No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.
I) LISTAGEM Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves . Exemplos: A) O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
II) Propriedade de Seus Elementos O conjunto é apresentado por meio de uma propriedade que sirva a todos os elementos do conjunto e somente a estes elementos.
Exemplo: Seja A o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então: A = {x / x é vogal do nosso alfabeto} A = {a , e , i , o , u }
Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada. A
7 1 9
4 8 3
6 5 2
T
M e
o i
a u
2
5
1
7
Exemplos : 1) Um conjunto formado por números A inteiros entre 2 e 7. A =
{
x ∈Z / 2 < x < 7
}
4
A={3,4,5,6}
3
6
5
2) Um conjunto formado por números Naturais pares e primos. A
A = { x ∈ N / x e par e primo } A={2} conjunto unitário
A={ 2 }
2
CONJUNTO VAZIO Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Representado por φ ou { } Exemplos: M = { números maiores que 9 e menores que 5 } = { } P={x/
1 =0 X
}
CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que tem um único elemento.
Exemplos: 2 x / x { F = { x / 2x + 6 = 0 } ; G =
= 4 ∧ x < 0}
CONJUNTO FINITO É o conjunto com número limitado de elementos. Exemplos: E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 } N = { x / x2 = 4 }
CONJUNTO INFINITO É um conjunto com um número ilimitado de elementos. Exemplos: R = { x / x < 6 } ; S = { x / x é um número par }
Se um elemento pertence a um conjunto se usa o símbolo: ∈ Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo: ∉ Exemplo:
Se M = {2;4;6;8;10}
2 ∈ M ...se lê 2 pertence ao conjunto M 5 ∉ M...se lê 5 não pertence ao conjunto M
Não levamos em consideração a ordem, nem a repetição dos elementos. O conjunto {x; x; x; y; y; z } = { x; y; z }. Cardinal = nº de elementos. n(A) = nº de elem. de A
Exemplo: A= {a;b;c;d;e} B= {x;x;x;y;y;z}
n(A)=5 n(B)=3
Exemplo:
Se A = {2;4;6;{8};10}
(
) 2∈A
(
) 6∉A
(
) { 8} ∈ A
(
){2} ∈ A
(
){2} ∉ A
(
) 0∉A
(
) 8∈A
(
) 2∈A
INCLUSÃO Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se A for uma parte de B. NOTAÇÃO : A ⊂ B Se lê : A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B.
A
1 2
A
A
A
A
1
1
1
1
2
2
2
2
{1} ⊂ A { 2} ⊂ A {1;2} ⊂ A { } ⊂ A
PROPRIEDADES: I ) Todo conjunto está contido em si mesmo. A ⊂ A
II ) O conjunto vazío está contido em qualquer conjunto. φ ⊂ A
Seja o conjunto A = { então :
∅ .....
∅ , 1 , 2, { 1 } },
A
{
∅
} ..... A
1 ..... A
{ 1 } ..... A
2 ..... A
{ 2 } ..... A
{ 1 } ..... A
{ { 1 } } ..... A
∅ ..... {
A
∅ , 1 , 2, { 1 } } ......... A
{ 1 , 2 } ..... A
B
A 1 3
2 4
7 5
7
6
5
6
8 9
A ∪ B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A
A U B = { x / x Є A ou x Є B } A A B B
B
A
1 3
2 4
B 7 5
6
7 5
6
8 9
A ∩ B = { 5; 6; 7} A
A∩B={x/xЄAexЄB} A A B B
B
A B= O
A
1 3
2
7 5
4
7
6
5
6
8 9
A − B = { 1; 2; 3; 4} A–B=? A
B
A B
B–A=? A
B
A
B
B-A=O A A B
B
B
A∆B
Exemplo:
A 1 3
2 4
7 5
6
A∆B = { 1; 2; 3; 4} ∪ { 8; 9}
7 5
6
A∆B = { x / x ∈ (A − B) ∨ x ∈ (B − A)}
B 8 9
A∆B = (A − B) ∪ (B − A)
A
B A-B
B-A
A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
A
B
COMPLEMENTAR : A
B⊂ A
A
B B
CAB(complementar de B em relação a A ) Obs: EX:
CAB=
A-B
A = { 1, 3 }
e B={1,2,3,4 }
CBA=
{2,4}
Pág. 236
∈
{ 3, 4, 5 } A
B
E 1 2
3
4
6
5
7
A tabela expressa o número de cursos oferecidos, em uma faculdade, por turno. Da análise da tabela, pode-se afirmar que essa instituição oferece um total de cursos igual a : TURNO Matutino Vespertino Noturno Matutino e Vespertino Matutino e Noturno Vespertino e Noturno Matutino, Vespertino e Noturno
A) 25
C) 20
B) 22
D) 15
Nº. DE CURSOS 10 9 6 5 4 4 3
E) 10
(01) A pesquisa envolveu 500 pessoas . (02) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento . (04) 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculação . (08) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela . (16) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28,4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa .
ATIVIDADES
N°. DE PESSOAS
Alongamento
109
Hidroginástica
203
Musculação
162
Alongamento e hidroginástica
25
Alongamento e musculação
28
Hidroginástica e musculação
41
As três atividades
5
Outras atividades
115
Nº 1
Nº 2 a
b
c
acertaram pelo menos uma acertaram a nº 1 70 50 acertaram a nº 2
80
a + b + c = 80 a + b = 70 b + c = 50
a + b + c = 80 a + b = 70
b + c = 50 c = 10
c = 10
b = 40 a + b = 70 a = 30
OS CONJUNTOS NUMÉRICOS Q Q’ R N Z ?
C
CONJUNTOS NUMÉRICOS 1) NÚMEROS NATURAIS Estes números foram criados pela necessidade de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais.
N = { 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, ... ... } }
1 2
3
4
CONJUNTOS NUMÉRICOS 2) NÚMEROS INTEIROS • Os números naturais não permitiam a resolução de todas as operações. A subtração de 3 - 4 era impossível.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
N
⊂Z
N
Z
CONJUNTOS NUMÉRICOS 3) NÚMEROS RACIONAIS
Entretanto...surgiu outro tipo de problema:“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros ? “ ⊂ Para resolver este tipo de problemas foram criados os números fracionários.
Q = Z ∪ { números fracionários } Q
N
⊂
Z
⊂Q
N
Z
1. O p r o d u t o d a s d íz im a s p e r ió d ic a s 0 ,1 6 6 6 ... e 0 ,6 6 6 ... É a d íz im a p e r ió d ic a 0 ,X X X ..., s e n d o X u m a l g a r is m o n ã o n u l o . O v a l o r d e X é (A) 1 (B ) 3 (C ) 6 (D ) 8 (E ) 9
(01) Se x = 0,666... , y = -1,333... e z = 12,444..., então z
x−y
= 6,222.... .
CONJUNTOS NUMÉRICOS 4) NÚMEROS IRRACIONAIS Ao aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar a medida do comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário, não conseguimos encontrar um número racional para essa medida. Ex.:
Q
2
π N
3 Z
Q’
CONJUNTOS NUMÉRICOS 5) NÚMEROS REAIS Qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. Podemos dizer, portanto que número real é todo número decimal, finito ou infinito. Q
Z
N
R
Q’
Símbolos de exclusão: + Exclui os negativos. - Exclui os positivos. * Exclui o zero.
A* = números não nulos. A+ = números não negativos.
A -- = números não positivos. A*+ = números positivos. A*-- = números negativos.
v F F v v v F v
A = { 0, 2 ,4 ,6 ,8, 10, ...} B = { -1, 0, 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } C = { 0, 1 ,2 ,3 ,4 }
X -1 3
0
2 1
5
B 4
Intervalos [a; b] = { x Є R/ a ≤ x ≤ b } = ]a; b[ = { x Є R/ a < x < b } = [a; b[ = { x Є R/ a ≤ x < b } = ]a; b] = { x Є R/ a < x ≤ b } = [a; +∞[ = { x Є R/ x ≥ a } = ]- ∞; a[ = { x Є R/ x < a } =
a
b
a
b
a
b
a
b
a a