Gotas s esfé esféri rica cas s de agua agua (de (de diám diámet etro ro 3mm 3mm y temp temper erat atura ura 20°C 20°C)) 1. Gota sedime sedimenta ntan n en una atmosf atmosfera era de aire aire a 60°C 60°C y presi presión ón atmosf atmosféri érica. ca. Calcul Calcular ar el incre incremen mento to de temper temperatu atura ra ue e!per e!perime imenta nta cada cada gota gota durante un periodo de tiempo de 2 segundos" suponiendo ue la gota cae con su #elocidad de sedimentación y el $u%o de calor calculado para las las cond condic icio ione nes s inic inicia iale les s se mant mantie iene ne dura durant nte e los los 2 segu segund ndos os de calentamiento. 2. &a medici medición ón de la #eloc #elocida idad d de sedime sedimenta ntació ción n de una esfera esfera puede puede utili' utili'arse arse para para determ determina inarr e!peri e!perimen mental talmen mente te la #iscos #iscosida idad d de un luido" a%o ciertas condiciones" en la forma siguiente* a) Calcular la #iscosidad del luido + (densidad ,-0 g/m 3) si una esfera de mm de diámetro y densidad 1120 g/m 3 sedimenta en él con #elocidad de 0., cm/s. b) Calcul Calcular ar la #iscos #iscosida idad d del luid luido o (densi (densidad dad 10 10 g/m g/m 3) si una esfera de -mm de diámetro y densidad 1200 g/m 3 sedimenta en él con #elocidad de ,cm/s. c) 4!pliue por ué no se puede aplicar este método en régimen de 5eton. 3. &a suspensión a$uente a un sedimentador con una concentración de 3 g/m3 está formado por partculas irregulares con una esfericidad de 0.6 y densidad de partcula de 120 g/m 3 y agua a 2-°C. Calcule el tama7o de las partculas separadas" si el sedimentador tiene una capacidad de 3 g/(m2s)81. 5ota* 9Capacidad:(#elocidad de sedimentación) (Concentración de solidos); Desarrollo 1. R/ Datos: -
cie de la gota T ∞=60 ° C =emperatura del $uido le%os del cuerpo.
8
?luido +ire
4n primera instancia calculamos la temperatura de la pelcula o >lm para saer a ué temperatura se encuentra el aire cuando $uye alrededor de la gota de agua. T f =
T w+ T ∞ 2
T f =
+
20 ° C 60 ° C 2
T f = 40 ° C + una temperatura de 0°C" el aire tiene las siguientes propiedades* −4
−5
@ μ F =1.9∗10 Poise=1.90∗10
3
ρf =1.128 kg / m
kg m∗ s
+ una temperatura de 20°C" el agua tiene las siguientes propiedades* ρ p= 998.2 kg / m
k ≡ D p
(
3
g ρf ( ρ p− ρ f ) 2
μ f
−3
k ≡ 3∗10 m
(
)
1 3
( )( 9.8 m
s
2
1.128
kg m
(
1.90
3
)(
998.2
−1.128
∗10− kg m∗ s 5
[ ]) kg
3
m
)
2
)
1 3
k ≡ 93.76 Como A 236 y mayor a 6,.12" el régimen es de 5eton. +Bora" +Bora" calcul calculamo amos s la #eloc #elocida idad d termin terminal al o sedime sedimenta ntació ción n de la partc partcula ula"" saien saiendo do ue se encuen encuentra tra en régim régimen en de 5eton 5eton"" gracia gracias s al cálcu cálculo lo del parámetro indicador U t =
√
U t =
√
4
g D p ( ρ p− ρf )
(
3 0.44
(
4 9.8 m
) ( ρf )
/ s )( 3∗10− m )( 998.2−1.128 [kg / m ]) 3 ( 0.44 )( 1.128 kg / m ) 2
3
3
3
U t =8.8741 m / s Comproamos si el régimen supuesto es el indicado por medio de la ecuación de Deynolds de partcula
R e p =
U t D p ρ f μf
(8.8741 m / s )( 3∗10− m)( 1.128 kg / m ) 3
R e p =
−5 1.90 10
∗
3
kg m∗s
R e p =1580.22 Ei DeF1000" el régimen régimen es de 5eton" por tanto la suposición es #álida. Calculamos el calor transferido del aire a la gota" saiendo ue ocurre un fenómeno de transferencia de calor por con#ección" para eso calculamos el $u%o de calor en la super>cie de la esfera por medio del nmero de 5uasselt para $u%o turulento. 4l nmero de 5ausselt (5u) es un numero adimensional ue mide el aumento de la transferencia de calor desde una super>cie por la ue un $uido discurre discurre (transferencia (transferencia de calor calor por con#ección) con#ección) comparada comparada con la transferencia de calor si esta ocurriera por conducción. Eupo Euponi nien endo do ue ue ocur ocurrre una con# con#ec ecci ción ón natu natura rall (mo# (mo#im imie iento nto con#e con#ect cti# i#o o producido en $uido y deido solamente a la #ariación de temperatura en el interior del $uido) desde esferas tenemos* 1 0.53
N u D =2 + 0.60 R e p Pr 3 Honde
N u D =2 + 0.6 ( 1580.22 )
0.53
( 0.7 )
3
N u D =28.416 Calculamos el coe>ciente de transferencia de calor por con#ección a partir de* N u D =
h∗ D p K f f
Honde f f es es la conducti#idad térmica del $uido.
W m∗ K
Hespe%ando el coe>ciente de transferencia de calor otenemos* N u D∗ K f h= D P
( 28.416 )( 0.024 h=
W ) m∗ K
( 3∗10− m) 3
h =227.328
W 2
m ∗ K
+Bora +Bora la transf transfer erenc encia ia de calor calor por por con#ec con#ecció ción n esta estalec lecida ida por por la ley de enfriamiento de 5eton es* Qco!eccio = h∗ "re #got#∗( T ∞−T w ) Qco!eccio = 227.328
W 2
m ∗ K
( $ ∗( 3∗10− m ) ) ( 333.15 K −293.15 K ) 3
2
Qco!eccio = 0.2571 W Igualamos la cantidad de calor transferido durante 2 segundos con la cantidad de calor ue recie la gota Qco!eccio =Q reci%i&o reci%i&o got# 0.2571
' =mgot# C p #gu# ( T s
Hónde* mgota es la masa de la gota esférica de agua. mgot# = ρ#gu#∗) got# ρ #gu#∗$ 3 mgot# = D p 6
3
mgot# =998.2
kg / m ∗$ 6 −5
mgot# =1.41∗10 kg
( 3∗10− m) 3
3
Cpagua es la capa capaci cida dad d calo calor r>c >ca a del del agua agua.. + una una temp temper erat atur ura a de 20°C 20°C k' C p#gu# =4.182 K ∗kg
( T otenemos
Hespe%ando el
0.2571
( T =
' ∗1 k' s 1000 '
( 1.41∗10− kg )( 4.182 5
( T = 4.36012
k' ) K ∗kg
K s
ρf =980 kg / m
3
−3
D p= 4 mm =4∗10 m ρ p=1120 kg / m U t =0.9
3
cm = 9∗10−3 m / s s
Euponiendo régimen de Etoe 2
g D p ( ρ p− ρf ) U t = 18 μf 2
μf =
g D p ( ρ p− ρ f ) U t
( ) = 9.8 m
μf
s
2
μf =0.1355
( 4∗10− m ) ( 1120 kg / m −980 kg ) 2
3
3
3
m
−3 9 10 m
∗
/s
kg m∗s
Jeri>camos si régimen supuesto es el correcto R e p =
U t D p ρ f μ F
(9∗10− m / s )( 4∗10− m )( 980 3
3
R e p = 0.1355
kg 3
m
)
kg m∗s
R e p =0.2603 4s #alida la suposición de régimen de Etoe ya ue De pA1. b. Datos: Datos: 3
ρf =1045 kg / m
−3
D p=8 mm =8∗10 m ρ p=1200 kg / m U t =9
3
cm = 0.09 m / s s
Euponiendo régimen de Etoe y aplicando la ecuación de #elocidad terminal para régimen Etoe" tenemos ue la #iscosidad es* μf =0.060
kg m∗s
Jeri>camos si régimen supuesto es el correcto por medio de la ecuación de nmero de Deynolds
(0.09 m / s )( 8∗10− m)( 1045 3
R e p = 0.06
kg m∗s
kg m
3
)
R e p =12.54 Como DepF1" no es #álido utili'ar el régimen de Etoe" por lo tanto es necesario utili'ar el régimen de +llen. + partir de la e!presión general del cálculo de la #eloci #elocidad dad termin terminal" al" determ determina inamos mos la ecuac ecuación ión de #eloc #elocida idad d termin terminal al para para régimen de +llen de la siguiente manera* 2
U t =
4 g D p
( ρ p− ρ f )
3 ρ f C D
C D = 0.6 R e p Deempla'ando C H en la ecuación de #elocidad terminal tenemos* 2
U t =
4 g D p 3 ρf
3 ρf
2
U t =
0.6
U t
( ρ p− ρ f )
(
U t D p ρ f μ F
)
0.6
( ρ p− ρ f )
55.5 ρf
U t D p ρ f μ F
4 g D p
)
0.6
ρ f ) ( D p ) ( ρ p − ρf )( U t ) ( ρ 55.5 ρ f ( μ F ) 0.6
ρ p− ρf ) ( ρ ρ f ) ( ρ 55.5 ρf ( μ μ F ) 1.6
=
0.6
4 g D p
0.6
ρ f ) ( ρ p− ρf ) ( ρ μ F ) 55.5 ρf ( μ 1.6
1.4
U t t =
0.6
0.6
2
U t
0.6
R e p
18.5
4 g D p
( 2
18.5
4 g D p
2
U t =
U t =
( ρ p− ρ f )
4 g D p
0.6
0.6
0.6
Hespe%ando μ F otenemos* 1.6
0.6
μf =
4 g D p
μf
0.6
55.5 ρ f
( ) = 4 9.8
0.6
ρf ) ( ρ p− ρ f ) ( ρ
m
2
s
1.4
(U t )
( 8∗10− m) ( 1200 kg / m −1045 kg / m ) ( 1045 kg / m ) 1.6
3
(
3
55.5 1045 kg
3
/m )
3 0.6
3
(
0.09 m
s
)
1.4
0.6
kg μf =0.0872 0.6 0.6 m s 0.6
μf =0.01714
kg m∗ s
Jeri>camos si la suposición de régimen de +llen es correcta por medio del nmero de Deynolds de partcula
(0.09 m / s )( 8∗10− m)( 1045 3
R e p = 0.01714
kg m
3
)
kg m∗ s
R e p =43.89 Como el De p está entre el inter#alo de 1 y 1000" caracterstico del régimen de transición o +llen" es #álida la suposición del régimen e implementación de ecuaciones para determinar la #iscosidad del $uido. c.
5o es #álido aplicar dicBo método con régimen de 5eton" deido a ue las ecuaciones del régimen de 5eton no están en función de la #iscosidad" ue es la #ari #aria ale le ue ue dese deseam amos os dete determ rmin inar ar"" adem además ás de ue ue las las #ari #aria ale les s dependientes de la las ecuaciones del régimen de 5eton ya son estalecidas por el e%ercicio. He igual manera" no es #álido utili'ar el método del régimen de 5eton ya ue el nmero de De p indica ue el régimen ue se dee traa%ar para los e%ercicios resueltos es para régimen de Etoe y régimen de +llen. 3. Datos Datos::
Concentración de suspensión solida*
435 kg
/m
3
Capacidad de sedimentación*
3
kg 2
m ∗s
4sfericidad ( ϕ ): 0.6 Hensidad de partcula
ρ p=1250 kg / m
3
3
Hensidad del $uido (+gua a 2-°C)
ρf =996.31 kg / m
Jiscosidad Jiscosidad del $uido (+gua a 2-°C)
μf =8.33∗10
Hiámetro de partcula
−4
kg m∗s
D p=* *
4n prim primer era a inst instan anci cia a calc calcul ulam amos os la #elo #eloci cida dad d term termin inal al por por medi medio o de la siguiente ecuación* C#p#ci&#& C#p#ci&#& &e se&imet#&or se&imet#&or =( !e+oci&#& !e+oci&#& &e se&imet#cio se&imet#cio ) ( cocetr#cio cocetr#cio&e &e so+i&os ) U t =
C#p#ci& C#p#ci&#& #& &e se&ime se&imet#&o t#&orr Cocetr#cio Cocetr#cio&e &e so+i&os 3
kg 2
m ∗s U t = 3 435 kg / m −3
U t t =6.896∗10 m / s
C D D
ℜ
=
4 g μf
( ρ p− ρ f ) 3
2
3 U t ρ f
Honde CH es el coe>ciente de arrastre. C D
ℜ
(
4 9.8 m
2
=
(
4
kg )( 1250 kg / m3 −996.31 kg / m3 ) m∗s
−3 3 6.896 10 m
C D
ℜ
/ s )( 8.33∗10−
= 8.48266
% =8.48266
∗
/s)
3
(
kg 996.31 3 m
)
2
C D =8.48266∗ℜ Hándole #alores supuestos a De" otendremos los puntos para gra>car una recta en una grá>ca C H #s Dep CH De 0.--266 0 .1 -.-266 1 -.-266 10 --.266 100 --2.66 1000 Kicando estos puntos en la grá>ca de coe>ciente de arrastre #s nmero de Deyno eynold lds s se tra' tra'a a una lne lnea a ue ue cort corta a la cur# cur#a a ue ue corr corres espo pond nde e a una una esfericidad de 0"6 en un R e %¿ de 3",.
+s" a partir de un de R e %¿
: 3", es posil posile e calcu calcular lar el diámetr diámetro o esfera esfera
#olumen de la partcula usando la relación del nmero de Deynolds as* De −!∗U t ∗ ρf R e %¿ = μ f
Hespe%ando el diámetro eui#alente esfera8#olumen R e%¿∗ μ f De −! = U t ∗ ρf
(3.9 )( 8.33∗10− De −! =
4
kg ) m∗s kg
(6.896∗10− m / s )( 996.31 3
)
3
m
−4
De −! =4.7284∗10 m 4l diám diámet etrro calc calcul ulad ado o a part artir de la #elo elocida cidad d de sed sedimen imenttaci ación es 4.7284
∗10− m 4
