ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
GR-1
2015 - A
CAPÍTULO I: ESTADÍSTICA
2
1.1.1. Introducción a la Estadística CONCEPTO DE ESTADÍSTICA
Es un conjunto de principios y métodos de apoyo a la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.
Es la ciencia que utiliza métodos científicos para recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos; para obtener conclusiones válidas para tomar 3 decisiones.
1.1.1. Introducción a la Estadística FUNCIÓN DE LA ESTADÍSTICA Su función principal es predecir el comportamiento de una población sobre la base de la información de una muestra, equilibrando: objetivos, costos, técnicas y conclusiones que infieran 4
1.1.1. Introducción a la Estadística CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA O DEDUCTIVA: Busca describir y analizar u grupo determinado, sin sacar conclusiones acerca de un grupo mas grande.
INDUCTIVA O INFERENCIAL: Se ocupa de condiciones donde las inferencias son válidas.
las 5
1.1.2. Población y Muestra POBLACIÓN Es el conjunto total de individuos, objetos o medidas que poseen algunas características comunes observables en un lugar y en un momento determinado Una población puede ser finita o infinita
6
1.1.2. Población y Muestra MUESTRA Es un subconjunto representativo de la población. El tipo de muestra seleccionado depende de la calidad del estudio de la 7 población.
1.1.3. VARIABLES: Discretas y Continuas Una es un símbolo (X, H, Y, 𝑥, 𝜑) que puede tomar cualquier valor de un conjunto predeterminado, llamado DOMINIO de la variable. Si la variable sólo toma un valor, se le llama variable constante. A una variable que toma cualquier valor entre dos valores, se le llama variable continua. Si no es así, se denomina variable discreta. 8
a) b) c) d)
Número de acciones vendidas por día en la bolsa de valores Las temperaturas registradas cada media hora en un observatorio El tiempo de vida de los televisores La longitud de 100 tornillos producidos en una fábrica 9
a) b) c) d)
e)
El número G de galones de agua en una lavadora El número B de libros en el estante de una biblioteca La suma S de los puntos obtenidos al lanzar un par de dados El diámetro D de una esfera El país C en Europa 10
1.1.4. Matemática básica para estadística REDONDEO DE DATOS 72,8 a la unidad más cercana es 73; ya que está mas cerca de 73 que de 72
72,465 a la centésima más cercana 72,46
11
a) b)
c) d) e) f) g) h) i)
j)
48,6 136,5 2,484 0,0435 4,50001 143,95 368 24448 5,56500 5,56501
unidad más cercana unidad más cercana centésima más cercana milésima más cercana unidad más cercana décima más cercana centena más cercana millar más cercano centésima más cercana centésima más cercana
49 136 2,48 0,044 5 144,0 400 24000 5,56 5,57
12
Sumar los números: 4,35 8,65 2,95 12,45 6,65 7,55 9,75
Directamente b) Redondeando a la décima más cercana de acuerdo a la convención del entero par c) Redondeando a fin de incrementar el dígito antes del 5 a)
13
1.1.4. Matemática básica para estadística CIFRAS SIGNIFICATIVAS Si una altura se registra exactamente como 65,4 pulg, significa que la verdadera altura está entre 65,35 y 65,45. A los dígitos exactos, aparte de los ceros necesarios para localizar el punto decimal, se les llama dígitos o cifras significativas 14
1.1.4. Matemática básica para estadística CIFRAS SIGNIFICATIVAS 65,4
3 cifras significativas
4,5300
5 cifras significativas
0,0018=,0018=1,8x10-3
2 cifras significativas
,001800=0,001800=1,800x10-3
4 cifras significativas 15
a) b)
c) d)
e) f)
g)
149,8 149,80 0,0028 0,00280 1,00280 9 7,58400x10-5
4 5 2 3 6 1 6
16
1.1.4. Matemática básica para estadística CÁLCULOS
Al realizar cálculos que impliquen cualquier operación, el resultado final no debe tener más cifras significativas que los números con menos cifras significativas 17
CAPÍTULO I: ESTADÍSTICA
18
1.2.1. Datos Sueltos Se les llama a los datos recolectados que no han sido organizados numéricamente.
EJEMPLO: Conjunto de pesos (libras) de 40 estudiantes hombres, obtenidas del registro universitario, que está ordenado alfabéticamente. 19
138
164
150
132
144
125
149
157
146
158
140
147
136
148
152
144
168
126
138
176
163
119
154
165
146
173
142
147
135
153
140
135
161
145
135
142
150
156
145
128
20
1.2.2. Ordenación Una es un conjunto de datos numéricos en orden creciente o decreciente de magnitud. A la diferencia entre el número mayor y el menor se le conoce como rango (R) de los datos.
EJEMPLO: Mayor peso de los 40 estudiantes es 176 lb, menor peso es 119 lb. 21
119
125
126
128
132
135
135
135
136
138
138
140
140
142
142
144
144
145
145
146
146
147
147
148
149
150
150
152
153
154
156
157
158
161
163
164
165
168
173
176
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1.2.3. Distribuciones de Frecuencia Al organizar una gran cantidad de datos en bruto, suele resultar útil distribuirlos en clases o categorías (𝒊) y determinar la cantidad de datos que pertenece a cada clase; esta cantidad se conoce como la frecuencia de clase (𝒇). Para comparar entre dos características o muestras es aconsejable usar frecuencias relativas (𝒇𝒓), que se 23 expresa en porcentaje.
1.2.3. Distribuciones de Frecuencia A la disposición tabular de los datos en clases con sus respectivas frecuencias de clase se le conoce como distribución de frecuencias o tabla de frecuencias
24
1.2.3. Distribuciones de Frecuencia PESO (lb) 119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181 TOTAL
CANTIDAD DE ESTUDIANTES 3 6 10 11 5 3 2 40
25
1.2.3. Distribuciones de Frecuencia A los datos organizados y resumidos como en la distribución de frecuencias anterior se les llama datos agrupados. Aunque al agrupar los datos se pierden muchos de los detalles originales de los datos, esto tiene la ventaja de que se obtiene una visión general clara y se hacen evidentes las relaciones. 26
Cálculo del número de Clases o Intervalos (#𝑖) a)
Método empírico:
𝟓 < #𝒊 < 𝟏𝟓
b)
Muestras pequeñas:
#𝐢 = 𝒏 #𝐢 = 𝟒𝟎 = 𝟔, 𝟑𝟐 = 𝟕
a)
Método de Sturges :
#𝐢 = 𝟏 + 𝟑, 𝟑𝟐𝟐 ∙ log 𝑵
#𝐢 = 𝟏 + 𝟑, 𝟑𝟐𝟐 ∙ log 𝟒𝟎 = 𝟔, 𝟑𝟐 = 𝟕
27
Número de Clases PESO (lb) 119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181 TOTAL
CANTIDAD DE ESTUDIANTES 3 6 10 11 5 3 2 40
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1.2.4. Intervalos de clase y límites de clase (LC) Son los números extremos de una clase.
Un intervalo de clase que, por lo menos teóricamente, no tenga indicado el límite de clase superior o el límite de clase inferior, se conoce como intervalo de clase abierto. Por ejemplo, al considerar grupos de edades de personas, un intervalo que sea “65 años o mayores” es un intervalo de clase abierto. 29
Límites de Clase 119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181
30
1.2.5. Fronteras de Clase (FC) Llamada también “verdadero límite de clase”, son los extremos que incluyen todas las medidas de un intervalo y se los obtiene dividiendo la precisión de la medida de los datos por 2 y restando/añadiendo este valor a cada límite de clase. En la práctica, las fronteras de clase se obtienen sumando el límite superior de un intervalo de clase al límite inferior del intervalo de clase inmediato superior 31 y dividiendo entre 2.
1.2.5. Fronteras de Clase (FC) En el ejemplo, la precisión es 1; ya que estamos trabajando con unidades. PRECISIÓN = 1 PRECISIÓN/2 = ½ = 0,5 Al
límite inferior de clase se resta 0,5
Al
límite superior de clase se suma 0,5
32
Frontera de Clase 118,5 – 127,5 127,5 – 136,5 136,5 – 145,5 145,5 – 154,5 154,5 – 163,5 163,5 – 172,5 172,5 – 181,5
33
1.2.6. Tamaño o Amplitud de un Intervalo de clase El tamaño, o la amplitud, de un intervalo de clase es la diferencia entre sus fronteras superior e inferior y se le conoce también como amplitud de clase, tamaño de clase o longitud de clase. Si en una distribución de frecuencia todos los intervalos de clase tienen la misma amplitud, esta amplitud común se denota c. 𝟓𝟕 𝑹 𝒄= 𝒄 = = 𝟖, 𝟏𝟒 = 𝟖 34 #𝒊 𝟕
Tamaño de Clase con Límites de Clase 119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181
8 8 8 8 8 8 8
35
Tamaño de Clase con Frontera de Clase 119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181
9 9 9 9 9 9 9
36
1.2.7. Marca de Clase (𝑥) La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene sumando los límites de clase inferior y superior y dividiendo entre 2. A la marca de clase también se le conoce como punto medio de clase.
𝒙=
𝑳𝑰𝑪 + 𝑳𝑺𝑪 𝟐
37
Marca de Clase 119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181
123 132 141 150 159 168 177
38
1.2.8. REGLAS GENERALES PARA FORMAR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS En el conjunto de los datos en bruto, se determina el número mayor y el número menor y se halla, así, el rango (la diferencia entre los números mayor y menor). 39
1.2.8. REGLAS GENERALES PARA FORMAR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Se divide el rango en una cantidad adecuada de intervalos de clase de una misma amplitud. Si esto no es posible, se usan intervalos de clase de diferentes amplitudes o intervalos de clase abiertos.
40
1.2.8. REGLAS GENERALES PARA FORMAR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Se determina la cantidad de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase; es decir, se encuentran las frecuencias de clase. La mejor manera de hacer esto es utilizando una hoja de conteo 41
INTERVALOS
CONTEO
FRECUENCIAS
119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181 TOTAL
/// //// / //// //// //// //// / //// /// //
3 6 10 11 5 3 2 40
42
43
1.2.9. HISTOGRAMAS FRECUENCIAS
Y
POLÍGONOS
DE
Los histogramas y los polígonos de frecuencias son dos de las distribuciones de frecuencias 44
HISTOGRAMAS Conjunto de rectángulos que tienen: a)
Sus bases sobre un eje horizontal (el eje X ), con sus de longitudes iguales a la amplitud del intervalo de clase,
b)
Áreas proporcionales a las frecuencias de 45 clase.
POLÍGONO DE FRECUENCIA
Es una gráfica de línea que presenta las frecuencias de clase graficadas contra las marcas de clase. Se puede obtener conectando los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos de un histograma 46
1.2.9. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA
Relativa Acumulada
Ojivas
relativas acumuladas
Ojivas
de porcentajes
47
FRECUENCIAS RELATIVAS La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida entre la suma de las frecuencias de todas las clases y generalmente se expresa como porcentaje Las representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias relativas se obtienen a partir de los histogramas o polígonos de frecuencias, cambiando 48 únicamente, en la escala vertical
FRECUENCIAS ACUMULADAS
A la suma de todas las frecuencias menores que la frontera superior de un intervalo de clase dado se le llama frecuencia acumulada MENOS
A la suma de todas las frecuencias mayores que la frontera inferior de un intervalo de clase dado se le llama frecuencia acumulada MÁS 49
OJIVAS Una gráfica que muestra las frecuencias acumuladas menores de cada frontera superior de clase respecto a cada frontera superior de clase o viceversa se le conoce como gráfica de frecuencias acumuladas u ojiva. Siempre al hablar de distribuciones acumuladas o de ojivas, se tratará del tipo “menos que”. 50
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS RELATIVAS Y OJIVAS PORCENTUALES La frecuencia acumulada relativa o frecuencia acumulada porcentual es la frecuencia acumulada dividida entre la suma de todas las frecuencias Si se emplean las frecuencias acumuladas relativas en lugar de las frecuencias acumuladas, se obtiene una distribución de frecuencias acumuladas relativas y una gráfica de frecuencias acumuladas relativas 51
CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS Cuando se tienen poblaciones grandes puede esperarse que los polígonos de frecuencias, o los polígonos de frecuencias relativas, correspondientes a estas poblaciones estén formados por una gran cantidad de pequeños segmentos de recta de manera que sus formas se aproximen a las de unas curvas, a las cuales se les llama curvas de frecuencias o curvas de frecuencias relativas, respectivamente. 52
CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS Es razonable esperar que estas curvas teóricas puedan ser aproximadas suavizando los polígonos de frecuencias o los polígonos de frecuencias relativas de la muestra; esta aproximación mejorará a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Ésta es la razón por la que a las curvas de frecuencias se les suele llamar polígonos de frecuencias suavizados. 53
TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS
Simétricas
En forma de J
Sesgadas a la izquierda
En forma de U
Sesgadas a la derecha
Bimodales
Distribuidas uniformemente
Multimodales 54
CAPÍTULO I: ESTADÍSTICA
55
1.3.1. Notación de Índices El símbolo, 𝑋𝑗 (que se lee “X subíndice j”) representa cualquiera de los N valores 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ,. . . , 𝑋𝑁 que puede tomar la variable X. A la letra j que aparece en 𝑋𝑗 representando a cualquiera de los números 1, 2, 3, . . . , N se le llama subíndice o índice. En lugar de j se puede usar, por supuesto, cualquier otra letra, i, k, p, q o s. 56
1.3.2. Notación de Sumatoria El símbolo 𝑁 𝑗=1 𝑋𝑗 se emplea para denotar la suma de todas las 𝑋𝑗 desde j = 1 hasta j = N; por definición, 𝑁 𝑗=1
𝑋𝑗 = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ + 𝑋𝑁
Cuando no puede haber confusión, esta suma se denota simplemente como 𝑋, 𝑋𝑗 , 𝐽 𝑋𝑗 El símbolo es la letra griega mayúscula sigma y denota suma. 57
1.3.3.Promedios o medidas de tendencia central Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como estos valores típicos tienden a encontrarse en el centro de los conjuntos de datos, ordenados de acuerdo con su magnitud, a los promedios se les conoce también como medidas de tendencia central. 58
1.3.3.Promedios o medidas de tendencia central Se pueden definir varios tipos de promedios; los más usados son la media aritmética, la mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica. Cada una de ellas tiene ventajas y desventajas de acuerdo con el tipo de datos y el propósito de su uso. 59
1.3.4. Media La media aritmética, o brevemente la media, de un conjunto de N números 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , . . . , 𝑋𝑁 se denota así: 𝑋 (que se lee “X barra”) y está definida como:
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 + ⋯ + 𝑿𝑵 𝑿= = 𝑵
𝑵 𝒋=𝟏 𝑿𝒋
𝑵
𝑿 = 𝑵 60
1.3.4. Media Si los números 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ,…, 𝑋𝐾 se presentan 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 ,…, 𝑓𝐾 veces, respectivamente (es decir, se presentan con frecuencias 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , . . . , 𝑓𝐾 ), su media aritmética es: 𝑲 𝒇𝟏 𝑿 𝟏 + 𝒇𝟐 𝑿 𝟐 + 𝒇𝟑 𝑿 𝟑 + ⋯ + 𝒇 𝑲 𝑿 𝑵 𝒋=𝟏 𝒇𝒋 𝑿𝒋 𝑿= = 𝑲 𝒇𝟏 +𝒇𝟐 +𝒇𝟑 + . . . +𝒇𝑲 𝒋=𝟏 𝒇𝒋 𝒇𝑿 𝒇𝑿 = = 61 𝒇 𝑵
1.3.4.1. Media Aritmética Ponderada Algunas veces, a los números 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ,…, 𝑋𝐾 se les asignan ciertos factores de ponderación (pesos) 𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 ,…, 𝑤𝐾 que dependen del significado o importancia que se les asigne a estos números. 𝒘𝟏 𝑿𝟏 + 𝒘𝟐 𝑿𝟐 + 𝒘𝟑 𝑿𝟑 + ⋯ + 𝒘𝑿𝑵 𝑿= = 𝒇𝟏 +𝒇𝟐 +𝒇𝟑 + . . . +𝒇𝑲
𝒘𝑿 𝒘 62
1.3.4.1. Media Aritmética Ponderada Algunas veces, a los números 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ,…, 𝑋𝐾 se les asignan ciertos factores de ponderación (pesos) 𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 ,…, 𝑤𝐾 que dependen del significado o importancia que se les asigne a estos números. 𝒘𝟏 𝑿𝟏 + 𝒘𝟐 𝑿𝟐 + 𝒘𝟑 𝑿𝟑 + ⋯ + 𝒘𝑿𝑵 𝑿= = 𝒇𝟏 +𝒇𝟐 +𝒇𝟑 + . . . +𝒇𝑲
𝒘𝑿 𝒘 63
1.3.4.2. Propiedades de la Media Aritmética
1.
En un conjunto de números, la suma algebraica de las desviaciones de estos números respecto a su media aritmética es cero. 64
1.3.4.2. Propiedades de la Media Aritmética
2.
En un conjunto de números 𝑋𝑗 , la suma de los cuadrados de sus desviaciones respecto a un número 𝑎 es un mínimo si y sólo si 𝑎 = 𝑋 65
1.3.4.2. Propiedades de la Media Aritmética 3.
Si la media de 𝒇𝟏 números es 𝒎𝟏 , la media de 𝒇𝟐 números es 𝒎𝟐 , . . . , la media de 𝒇𝑲 números es 𝒎𝑲 , entonces la media de todos estos números es 𝒇𝟏 𝒎𝟏 + 𝒇𝟐 𝒎𝟐 + 𝒇𝟑 𝒎𝟑 + ⋯ + 𝒇𝑲 𝒎𝑲 𝑿= 𝒇𝟏 +𝒇𝟐 +𝒇𝟑 + . . . +𝒇𝑲
Es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias. 66
1.3.4.2. Propiedades de la Media Aritmética 4.
Si se cree o se supone que un número A (que puede ser cualquier número) es la media aritmética y si 𝑑𝑗 = 𝑋𝑗 − 𝐴 son las desviaciones de 𝑋𝑗 de A, entonces: 𝑵 𝒅 𝒋=𝟏 𝒅𝒋 𝑿=𝑨+ =𝑨+ 𝑵 𝑵 𝑵 𝒇𝒅 𝒋=𝟏 𝒇𝒋 𝒅𝒋 𝑿=𝑨+ 𝑵 =𝑨+ 67 𝑵 𝒇 𝒋=𝟏 𝒋
1.3.4.3. Cálculo de la Media Aritmética para Datos Agrupados Cuando se presentan los datos en una distribución de frecuencias, se considera que todos los datos que caen en un intervalo de clase dado coinciden con la marca o punto medio del intervalo. Para datos agrupados, interpretando a las 𝑋𝑗 como las marcas de clase, a las 𝑓𝑗 como las correspondientes frecuencias de clase, a A como cualquier marca de clase supuesta y 𝑑𝑗 = 𝑋𝑗 − 𝐴 68 como la desviación de 𝑋𝑗 respecto de A
1.3.4.3. Cálculo de la Media Aritmética para Datos Agrupados Si todos los intervalos de clase son de una misma amplitud c, las desviaciones 𝑑𝑗 = 𝑋𝑗 − 𝐴 se pueden expresar como 𝑐𝑢𝑗 , donde 𝑢𝑗 puede tener valores enteros positivos o negativos o cero (es decir, 0, ±1, ±2, ±3, . . .) 𝑿=𝑨+
𝑵 𝒋=𝟏 𝒇𝒋 𝒖𝒋
𝑵
=𝑨+
𝒇𝒖 𝒄 𝑵
69
1.3.4.3. Cálculo de la Media Aritmética para Datos Agrupados Es equivalente a la ecuación 𝑿 = 𝑨 + 𝒄𝒖 . A esta ecuación se le conoce como método codificado para calcular la media. Es un método muy breve recomendado para datos agrupados cuando los intervalos de clase tienen todos la misma amplitud. Obsérvese que en el método codificado los valores de la variable X se transforman en valores de la variable u de acuerdo con X = A + cu. 70
1.3.5. Mediana La mediana de un conjunto de números acomodados en orden de magnitud (es decir, en una ordenación) es el valor central o la media de los dos valores centrales. En datos agrupados, la mediana se obtiene por interpolación, como se expresa por la fórmula 𝑵 − 𝒇 𝟏 𝟐 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 = 𝑳𝟏 + 𝒄 𝒇𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 71
1.3.5. Mediana
Geométricamente, la mediana es el valor de X (abscisa) que corresponde a una recta vertical que divide al histograma en dos partes que tienen la misma área. A este valor de X se le suele denotar 𝑋. 72
1.3.6. Moda La moda de un conjunto de números es el valor que se presenta con más frecuencia; es decir, es el valor más frecuente. Puede no haber moda y cuando la hay, puede no ser única. A una distribución que sólo tiene una moda se le llama unimodal. 73
1.3.6. Moda En el caso de datos agrupados, para los que se ha construido una curva de frecuencia que se ajuste a los datos, la moda es el valor (o los valores) de X que corresponden al punto (o puntos) máximos de la curva. A este valor de X se le suele denotar 𝑿. 74
1.3.6. Moda En una distribución de frecuencia o en un histograma la moda se puede obtener mediante la fórmula siguiente: ∆𝟏 𝑴𝒐𝒅𝒂 = 𝑳𝟏 + 𝒄 ∆𝟏 − ∆ 𝟐 75
RELACIÓN EMPÍRICA MEDIA-MEDIANA-MODA En las curvas de frecuencias unimodales que son ligeramente sesgadas (asimétricas), se tiene la relación empírica siguiente:
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 − 𝑴𝒐𝒅𝒂 = 𝟑(𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 − 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂) 76
RELACIÓN EMPÍRICA MEDIA-MEDIANA-MODA En las figuras se muestran las posiciones relativas de la media, la mediana y la moda en curvas de frecuencias sesgadas a la derecha o a la izquierda, respectivamente
77
La Media Geométrica (G) La media geométrica G de N números positivos 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ,..., 𝑋𝑁 es la raíz n-ésima del producto de los números: 𝐺=
𝑁
𝑋1 𝑋2 𝑋3 ...𝑋𝑁 78
La Media Armónica (H) La media armónica H de N números positivos 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ,..., 𝑋𝑁 es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de los números:
𝑯=
𝟏
𝑵 = 𝟏 𝑵 𝟏 𝒋=𝟏 𝑿 𝑿 𝒋 𝑵
79
RELACIÓN ENTRE MEDIA GEOMÉTRICA Y ARMÓNICA
ARITMÉTICA,
La media geométrica de un conjunto de números positivos 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ,..., 𝑋𝑁 es menor o igual que su media aritmética, pero mayor o igual que su media armónica. 𝑯≤𝑮≤𝑿 80
RAÍZ CUADRADA MEDIA La raíz cuadrada media (RCM) o media cuadrática de un conjunto de números 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 ,..., 𝑋𝑁 se denota se define:
𝑹𝑪𝑴 =
𝑿𝟐 =
𝟐 𝑵 𝒋=𝟏 𝑿𝒋
𝑵
=
𝑿𝟐 𝑵
𝑿2 y
81
1.3.7. Cuartiles, deciles y percentiles En un conjunto de datos ordenados de acuerdo con su magnitud, el valor de en medio, que divide al conjunto en dos partes iguales, es la mediana. Entonces aquellos valores que dividen al conjunto de datos en cuatro partes iguales son denotados Q1, Q2 y Q3 son el primero, segundo y tercer cuartiles, respectivamente; el valor Q2 coincide con la mediana. 82
1.3.7. Cuartiles, deciles y percentiles De igual manera, los valores que dividen al conjunto en diez partes iguales son los deciles y se denotan D1, D2, . . . , D9, y los valores que dividen al conjunto en 100 partes iguales son los percentiles y se les denota P1, P2, . . . , P99. El quinto decil y el percentil 50 coinciden con la mediana. Los percentiles 25 y 75 coinciden con el primero y tercer cuartiles, respectivamente. 83
1.3.7. Cuartiles, deciles y percentiles
A los cuartiles, deciles, percentiles y otros valores obtenidos dividiendo al conjunto de datos en partes iguales se les llama en conjunto cuantiles. 84