- Filosofia Y Matematicas - Ensayos en Torno a Wittgenstein

FILOSOFÍAYMATEMÁTICAS: ENSAYOS ENTORNO A WITTGENSTEIN

Alejandro Tomasini Bassols

Filosofía y Matemáticas: ensayos en torno a Wíttgenstein

Primera edición: 2006 Primera reimpresión en coedición con el IPN-Dirección General de Publicaciones: diciembre de 2006

© Alejandro Tomasini Bassols © IPN-Dirección General de Publicaciones © Plaza y Valdés, S.A. de C.V. Derechos exclusivos de edición reservados para Plaza y Valdés, S.A. de C.V. Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin autorización escrita de los editores. Plaza y Valdés, S.A. de C.V. Manuel María Contreras, 73. Colonia San Rafael México, D.F., 06470. Teléfono: 5097 20 70 [email protected] Calle de las Eras, 30, B. 28670, Villaviciosa de Odón, Madrid, España. Teléfono: 9166 58959 [email protected] www.plazayvaldes.com ISBN: 970-722-572-6 Impreso en México / Printed in México

Así, las matemáticas se pueden definir como el tema en el que nunca sabemos de qué estamos hablando ni de si lo que decimos es verdad.

Bertrand Russell, "Las Matemáticas y los Metafísicos" (1901), reproducido en Misticismo y Lógica.

ÍNDICE Presentación ................................................................ 11 Gódel y Wittgenstein................................................... 15 Números Wittgensteinianos ........................................ 39 Wittgenstein: lenguaje, números y aritmética............ 55 ¿Qué es la Inferencia Matemática? ............................ 75 Geometría y Experiencia ............................................ 93 De Espacios y Geometrías ........................................ 109 Teoría de Conjuntos y Filosofía................................ 129 Convención y Necesidad Matemáticas ..................... 157

Presentación omo otras ramas de la filosofía, la filosofía de las matemáticas es un lugar de encuentro para reflexiones de muy diversa índole. Es, permitiéndome recurrir a una sencilla metáfora, como una glorieta en la que desembocan múltiples avenidas. Su material de trabajo lo proporcionan, naturalmente, las matemáticas mismas, pero también, y sobre todo, lo que otros filósofos de las matemáticas, o los matemáticos en sus momentos filosóficos, afirman acerca de diversos aspectos de dicha disciplina. El filósofo de las matemáticas se ocupa, en efecto, de los números y más en general de las "entidades" con las que trabajan los matemáticos, de los principios de inferencia o razonamiento a los que éstos recurren, de las "verdades" a las que llegan, de los supuestos en los que se fundan, pero ni mucho menos forma parte de sus intereses hacer demostraciones, obtener nuevos resultados o descubrir nuevos principios. El filósofo de las matemáticas no compite con el técnico en matemáticas, ni tiene por qué hacerlo. Su investigación sencillamente no incide en el trabajo del matemático. En verdad, sería producto de una grotesca confusión pretender que lo hiciera. De hecho, lo que el filósofo de las matemáticas hace es plantearse interrogantes que para el matemático que está trabajando resultan las más de las veces extrañamente irrelevantes o a las que en todo caso ve como curiosidades intelectuales con las cuales, sin embargo, no sabría bien qué hacer. Ludwig Wittgenstein expuso la idea de manera brutal cuando afirmó, refiriéndose a la peculiar labor del filósofo de las matemáticas, que ésta es "por así decirlo, una ociosidad en matemáticas".1 Con este pensamiento no se pretende hacer redundante a la filosofía de las matemáticas, sino más bien conferirle el lugar que le corresponde en el ámbito de la reflexión y de la vida intelectual.

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L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Cambridge/London: The MIT Press, 1975), PartIV, sec. 52.

PRESENTACIÓN

El reconocimiento de que hay tal cosa como una división del trabajo de acuerdo con la cual el filósofo no puede pronunciarse sobre la labor del matemático tiene, obviamente, su contrapartida. Así como quien hace filosofía no está capacitado para corregir en su trabajo al matemático, es igualmente cierto que el matemático carece del entrenamiento indispensable para poder competir con el filósofo cuando es éste el que investiga. Si la filosofía de las matemáticas constituye una rama vital de la reflexión filosófica ello sin duda se debe desde luego a que las matemáticas en sí mismas son decisivas en la vida humana (por muchas y obvias razones que supongo que es innecesario enunciar), pero también a que con las matemáticas se produce exactamente el mismo fenómeno que se produce en otros ámbitos del conocimiento, un fenómeno detectado por Sócrates hace 2,500 años, a saber, que una cosa es ser un especialista en algo y otra muy diferente saber dar cuenta de eso en lo que se es especialista. El matemático sabe matemáticas, pero ello no lo capacita para esclarecer lo que hace cuando realiza su trabajo. Saber matemáticas es, por ejemplo, saber lidiar con números, con espacios, con estructuras algebraicas, con el infinito, resolver ecuaciones, hacer demostraciones, etc.; hacer filosofía de las matemáticas es más bien aclarar la naturaleza del número, del espacio o del infinito, explicar el status de las proposiciones o de las reglas matemáticas, exhibir las relaciones que se dan entre las matemáticas y otras ramas del saber o entre los sistemas numéricos y el lenguaje natural, y así indefinidamente. Se trata, pues, de dos tareas claramente diferentes, de dos planos de investigación completamente independientes uno del otro. En esta sencilla colección de ensayos, huelga decirlo, lo que ofrecemos no son matemáticas (Dios nos libre!), sino productos filosóficos concernientes a algunos aspectos de las matemáticas. Difícilmente podría negarse que la filosofía de las matemáticas es una rama particularmente apasionante de la filosofía. No es por casualidad que, desde que se iniciara en ésta hasta el ocaso de su meditación, esto es, hasta su muerte, Wittgenstein haya mantenido vivo su interés por dicha "ciencia". No deseo comprometerme con cantidades concretas pero, a ojo de buen cubero, puede afirmarse que los escritos de Wittgenstein sobre las matemáticas rebasan en volumen a sus reflexiones en relación con cualquier otro tema. O sea, más que sobre la mente o sobre el lenguaje, Wittgenstein escribió sobre diversas facetas de las matemáticas. Independientemente de la cantidad de páginas que Wittgenstein haya escrito, lo cierto es que las matemáticas representaban para un pensador como él un reto particularmente excitante, y ello por lo siguiente: muy probablemente más que en cualquier otra rama de la filosofía, en filosofía de las matemáticas se es particularmente proclive a la mitificación e, inclusive, a la mistificación. Más que los científicos naturales o los científicos sociales, los matemáticos son susceptibles de incurrir en excesos o desviaciones filosóficas gra12

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ves sin siquiera percatarse de ello. A los matemáticos les resulta muy fácil hablar de mundos abstractos, entidades lógicas, verdades necesarias o universos abiertos, sin entender del todo con qué concepción de la realidad y del simbolismo matemático se ven comprometidos. El fenómeno es hasta cierto punto explicable. En tanto que otros no ofrecen más que experimentos tentativos y verdades más o menos probables, los matemáticos proporcionan demostraciones y verdades apriori; allí donde otros titu bean al referirse a las entidades a las que supuestamente sus términos teóricos remiten, los matemáticos no tienen empacho en hablar de realidades intangibles, perceptibles sólo gracias al ojo de la mente; en contraste con todos aquellos que tienen que apelar a la experiencia y afanarse por encontrar evidencias, los matemáticos son libres para vagar por los universos que ellos crean, aterrorizados únicamente por el espectro de la inconsistencia y la contradicción. Así, al igual que el metafísico de otros tiempos, esto es, el filósofo de sofá, el matemático se ve a sí mismo como un colonizador de mundos todavía inexplorados, una imagen que ciertamente gratifica su ego pero que no por ello se vuelve de reputación respetable. Cabe señalar que en esta campaña de auto-glorificación y de creación de mitos, los matemáticos se han visto alentados por los filósofos tradicionales de las matemáticas. Por ello, la labor wittgensteiniana de esclarecimiento en esta área es particularmente valiosa, pues para realizarla había que enfrentar tanto a matemáticos filosóficamente incautos como a filósofos exaltados por los sistemas matemáticos y los beneficios que éstos acarrean. Por ello, la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein es inclasificable. De hecho, Wittgenstein lucha, de uno u otro modo, en uno u otro sentido, contra todas las corrientes de filosofía de las matemáticas: platonismo, intuicionismo, logicismo, empirismo, etc. Dado que el pensar wittgensteiniano es esencialmente iconoclasta, destructor de mitos generados por la incomprensión de la gramática del simbolismo de que se trate, las estrategias wittgensteinianas siguieron siendo las mismas que en filosofía de la psicología o en filosofía del lenguaje, sólo que aplicadas en este otro contexto. De igual modo siguió operando como un motor oculto la idea del Tractatus de que es sólo de las críticas a las diversas mitologías filosóficas que habrá de emerger poco a poco la visión correcta de las matemáticas. Me apresuro a decir que en esta colección de ensayos no me ocupo más que de una cantidad muy reducida de los múltiples temas que Wittgenstein abordó. El lector podrá fác ilmente constatar que estos ensayos efectivamente contienen una no fácil labor de carácter exegético, esto es, reconstrucciones de provocativos y sutiles puntos de vista concretos defendidos por Wittgenstein. Sin embargo, también se topará el lector con pensamientos que, por ser propios, yo no me atrevería a imputarle a Wittgenstein, si bien reclamo para ellos la cualidad de "wittgensteinianos". Ciertamente, pocas cosas me complacerían tanto como ver ratificado por otros no sólo que nada 13

PRESENTACIÓN

de lo que digo es incompatible con lo que Wittgenstein de hecho sostuvo, sino también que los puntos de vista que por cuenta propia defiendo son afines a las posiciones que él defendió o que eventualmente habría defendido. De ahí que si no se elevaran objeciones serias que hicieran ver que lo que sostengo no embona con lo explícitamente enunciado por Wittgenstein y con su perspectiva global, me sentiría satisfecho y consideraría que mi trabajo habría sido, aunque modesto, exitoso. Sin embargo, la emisión de un juicio en este sentido es privilegio más bien del lector y, por consiguiente, es algo acerca de lo cual no me corresponde externar una opinión. Por otra parte, aparte de la conexión con el pensamiento wittgensteiniano, lo que sí estoy en posición de afirmar es que si hay algo que vincula a todos los ensayos aquí reunidos, si hubo un hilo conductor en la elaboración de todos los trabajos, éste muy probablemente fue un decidido rechazo del realismo en filosofía de las matemáticas. La animosidad en contra de los mitos realistas en torno a las matemáticas es, creo, palpable a lo largo y ancho de estos escritos. En realidad, el material que aquí pongo a disposición del lector no representa más que un primer acercamiento a los temas considerados. Estos ensayos fueron escritos en muy diversos momentos, a lo largo de los últimos 12 años. Aunque desde luego los fui puliendo e hice un serio esfuerzo por uniformizarlos desde el punto de vista de mi actual forma de expresarme y de escribir, los textos quedaron básicamente como fueron redactados originalmente. A este respecto, siento que debo hacer una confesión, con miras a una aclaración. Tres de los textos aquí recopilados, a saber, "Números Wittgensteinianos", "Geometría y Experiencia" y "Convención y Necesidad Matemáticas" fueron previamente publicados y recogidos en otros libros míos. La decisión de volverlos a incluir en un nuevo libro no fue para mí nada fácil. No obstante, después de sopesar diversos argumentos en favor y en contra, me incliné finalmente por incluirlos sobre todo porque encajaban muy bien con mis trabajos más recientes y contribuían a darle a la colección una forma más acabada, enriqueciéndola con presentaciones y discusiones de los mismos temas pero desde perspectivas diferentes y con énfasis diferentes. Estoy, pues, convencido de que el libro en su conjunto es el mejor de los posibles, dadas las circunstancias en las que me encontraba al momento de compilarlo. Alejandro Tomasini Bassols México D. F., abril de 2006

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Godel y Wittgenstein1 I) Auto-referencia y Signifícatividad

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a auto-referencia es un fenómeno lingüístico a la vez común y nada fácil de explicar. Su carácter engañoso brota, entre otras cosas, del hecho de que de manera imperceptible se puede transitar de formas legítimas de auto-referencia, que son en ultima instancia comprensibles, explicables, justificables o redundantes, a formas ilegítimas, que finalmente nos dejan en la perplejidad y en el misterio y que son todo menos fáciles de descartar. La auto-referencia ilegítima está vinculada a las paradojas y se sabe cuan difícil es dar cuenta de éstas. De ahí que resulte de vital importancia aprender a diferenciar entre auto-referencia legítima y auto-referencia paradójica, pues de lo contrario no podremos evitar incomprensiones y enredos de diversa índole y estaremos tratando de aplicar a toda costa soluciones que valen para la auto-referencia paradójica a casos de auto-referencia que en el fondo no son problemáticos y que, por lo tanto, no las requieren. Por otra parte, sería muy aventurado determinar de entrada que toda forma de auto-referencia es paradójica y, por ende, falaz. Si se acepta, aunque sea tentativamente, la distinción entre auto-referencia legítima y auto-referencia espuria podremos aceptar que hay casos de auto-referencia falaz, para los cuales habrá que recurrir a los mecanismos usuales de bloqueo de formación de paradojas, y casos de auto-referencia legítima, como supuestamente acontece (así piensan muchos) con el teorema de Íncompletitud de Godel, que prima facie serían perfectamente inteligibles. Por mi parte, admito que hay formas legíti1

Agradezco a los Dres. José Antonio Robles (IIF) y Guillermo Morales Luna (CINVESTAV) las útiles observaciones que le hicieron a una primera versión de este trabajo. Naturalmente, ningún error que el ensayo contenga es adjudicable a ellos.

GóDEL Y WlTTGENSTEIN

mas de auto-referencia, si bien muy probablemente éstas sean en última instancia, como sugerí más arriba, redundantes. Ahora bien, si fórmulas como la del teorema de Gódel, que se refieren a sí mismas para, en cierto sentido, auto-descalificarse, caen bajo la categoría de auto-referencia legítima o no es algo sobre lo cual por el momento no me pronunciaré más que tangencialmente. Lo que por lo pronto haré será iniciar mi exposición ilustrando mediante ejemplos casos simples pero legítimos de autoreferencia, esto es, casos que precisamente por ser legítimos no son paradójicos y, por lo tanto, son en principio dispensables. De esta manera podremos desproveer al fenómeno lingüístico de la auto-referencia de toda aura de misterio y estaremos en una posición más ventajosa para comprender mejor el logro de Gódel. Pienso que, en principio, es en relación con dos "cosas" que podemos hablar de auto-referencia: a) personas o hablantes b) oraciones (o, eventualmente, proposiciones) Consideremos primero a los hablantes. Normalmente, empleamos el lenguaje para hablar del mundo, sólo que el lenguaje se presta a usos que podríamos calificar si no de anómalos por lo menos sí de especiales. La auto-referencia en este sentido es especial, porque a primera vista parece ser un mecanismo lingüístico, por lo menos las más de las veces, enteramente redundante. En efecto, si soy yo quien habla, mis interlocutores de manera natural se percatan de ello, pero entonces ¿para qué tengo que indicar que efectivamente soy yo quien habla? Ello no parece particularmente sensato. Y si, por otra parte, no estoy interesado en informar a nadie de que soy yo quien habla: ¿tendría algún sentido que yo me proporcionara a mí mismo la información de que soy yo quien está hablando? Esto no es sólo insensato, sino francamente absurdo. A primera vista, por lo tanto, la auto-referencia personal parece ser un mecanismo lingüístico que está de más. No obstante estas suspicacias, puede afirmarse que hay contextos lingüísticos en los que la auto-referencia está plenamente justificada. Daré un ejemplo. Supongamos que paso junto a un grupo de individuos que hablan de mí sin conocerme personalmente (digamos que no me conocen "by acquaintancé"). Imaginemos que alguien afirma de mí que soy italiano y que entonces yo intervengo y digo: 'No, Alejandro Tomasini no es italiano. Es mexicano'. Es éste un caso de auto-referencia perfectamente comprensible y justificada en la que ATB habla de ATB. Es debido a que es relativamente fácil construir ejemplos así que resulta inaceptable pretender descalificar apriori como un movimiento lingüístico ilegítimo todo acto de auto-referencia. De hecho, podemos afirmar que hay situaciones especiales en las que ese movimien16


to lingüístico está no sólo permitido, sino que es el apropiado; una situación particular lo justifica. En este caso, la auto-referencia se justifica por el hecho de que los hablantes no han visto nunca a la persona de la que hablan y que ésta no quiere darse a conocer. De lo contrario, siguiendo con el ejemplo, lo que yo tendría que decir sería sim plemente algo como 'No, yo soy mexicano, no italiano' y el recurso a la auto-referencia sería innecesario. Como moraleja general podemos extraer la idea de que tan absurda como la descalificación total de la auto-referencia es pensar que porque en una ocasión especial la auto-referencia persoaal es comprensible y está justificada, entonces lo está en todo momento y en cualquier circunstancia. Otro caso de situación en el que la auto-referencia resulta ser un movimiento lingüístico legítimo (si bien es debatible si lo es moralmente) es el siguiente: imaginemos que alguien se auto-dota de una importancia desmedida al grado de que empieza a hablar de sí mismo en tercera persona. Podría tratarse, e.g., de un déspota, de un artista o de un farsante. Una persona así podría decir: 'XYZ no dijo eso' o 'XYZ opina que ...', cuando 'XYZ' es el nombre de la persona que habla. En casos así y precisamente por ser de alguna manera anómalos, la auto-referencia es comprensi ble (inclusive si constituye una forma de hablar un tanto ridicula o despreciable). En todo caso, el ejemplo hace ver que, salvo en situaciones excepcionales o raras, la auto-referencia sencillamente no es la forma normal de hablar. Un ejemplo más debatible de auto-referencia nos lo proporciona el hablante deseoso de llamar la atención y de presentarse "de cierta manera". Es el caso de alguien que dice 'Yo soy el mejor futbolista' o 'yo soy la mejor actriz'. A primera vista, nos las habernos aquí con casos permisibles de auto-referencia: aparentemente, en efecto, alguien habla de sí mismo (o de sí misma) y lo que dice es comprensible, inclusive si es falso. Empero, es debatible que sea ésta una presentación adecuada de la situación. Lo primero que habría que señalar es que se trata más bien de casos de auto-descripción y es claro que auto-referencia y auto-descripción no son lo mismo; en segundo lugar, habría que señalar que si bien el mecanismo de auto-referencia en casos así no es gratuito, tampoco es indispensable. Se recurre a él por alguna razón que, al hacerla explícita, aclara en qué consiste su utilidad. Por ejemplo, el hablante quiere o necesita presentarse ante sus interlocutores de cierta manera, bajo cierta luz de modo que su persona se vea favorecida, para ser evaluado de tal o cual modo, etc. Es para no tener que estar constantemente haciendo explícito todo lo implícito en los objetivos del hablante que la auto-referencia puede ser un mecanismo lingüístico útil. Pero podemos ir más allá y argumentar plausiblemente que una expresión como 'yo soy el mejor alumno de mi clase' en realidad equivale a algo como 'en la lista de los alumnos y desde el punto de vista de las calificaciones el primer lugar es XYZ' y esto último no es un acto de auto-referencia, sino una simple descripción de una determi17

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nada situación de la cual uno forma parte. En general, puede afirmarse que sería un error inmenso pensar que el mero uso de 'yo' o de mi nombre basta para que estemos frente a casos de auto-referencia. La auto-referencia no es tanto un asunto de gramática como de lo que podríamos denominar 'intención semántica'. Es ésta la que en algún sentido es sospechosa o "anormal", no las oraciones en las que aparece el pronombre personal. Así, concediendo en aras de la argumentación que este último ejemplo es efectivamente uno de auto-referencia, lo que habría que inferir es que inclusive cuando ésta es legítima e inocua, de todos modos es en cierto sentido redundante y reemplazable. Se trata, en el mejor de los casos, de un mecanismo que facilita la comunicación, porque permite obviar partes del trasfondo de las "intenciones del hablante". Todo esto permite entrever algo importante, a saber, que lo realmente extraño y problemático es la auto-referencia, por así liamarla, "pura", esto es, los actos de auto-referencia que no son sustituibles por ningún otro acto de habla y por medio de los cuales no se cumple con ninguna función lingüística específica aparte de la de auto-referencia. Hay otras formas de discurso legítimas y mucho más usuales que sólo aparentemente son de carácter auto-referencial, con las cuales sin embargo fácilmente se les puede confundir. Tengo en mente los casos de expresión (de dolor, de sentimientos, de emociones, de recuerdos, etc.). Me refiero, en general, a situaciones en las que lo que se emplean son verbos psicológicos y actitudes proposicionales. En efecto, a primera vista parecería que si digo, por ejemplo, 'yo tengo un dolor en el brazo' expreso lingüísticamente mi dolor y, tácita o abiertamente, me apunto a mí mismo. O si digo 'yo recuerdo que ...', da la impresión de que tanto expreso un recuerdo como hablo de mí, esto es, indico que soy yo quien lo "tiene". En otras palabras, parecería que en una oración de forma tan simple como 'yo pienso que ...' hago simultáneamente dos cosas: hago explícito un pensamiento y al mismo tiempo me refiero a mí mismo ("a mí"). Es evidente, sin embargo, que la explicación de esos movimientos lingüísticos en términos de auto-referencia está totalmente desencaminada. De hecho, es fácil hacer ver que en la auto-adscripción de sensaciones, emociones, pensamientos y demás, la alusión a un "yo" que "tiene" determinados "estados mentales" es, además de gratuita, enteramente errada. Si alguien exclama: "Sí, pero es a mí a quien le duele", lo que quiere decir es algo como "este dolor que está aquí es muy intenso", "el dolor está aquí" (y señala uno dónde le duele), "claro, no eres tú quien lo padece", etc. Por consiguiente, podemos aseverar con confianza que en los casos de verbos psicológicos y de actitudes proposicionales simplemente no se produce ningún acto de auto-referencia. Esto está conectado con otro punto de vital importancia, en relación con el cual haré tan sólo unos cuantos recordatorios. 18


La ilusión de auto-referencia en los casos de verbos psicológicos y actitudes proposicionales brota del uso del pronombre personal 'yo' y sus derivados ('me', 'a mi", etc.). ¿Por qué, como dije, se trata de una ilusión? Wittgenstein aclaró de una vez por todas el tema: en estos casos nos las habernos con el uso de 'yo' como sujeto y una de las características de dicho uso es precisamente el no tener carácter referencial. Como bien se nos hace notar en las Investigaciones, "Cuando digo 'tengo un dolor' no señalo a una persona que tiene el dolor, puesto que en cierto sentido no tengo idea de quién sea".2 La verdad es que no podemos ya seguir asumiendo que hay tal cosa como un "yo" que "tiene" sensaciones o pensamientos. 'Yo', en los casos en los que no es usado para referir al cuerpo, sencillamente no refiere o no denota nada. Su función es otra. Esto es digno de ser tomado en cuenta, por la sencilla razón de que entra en conflicto con una larga y ya no tan venerable tradición filosófica que sostiene precisamente lo contrario, a saber, que 'yo' siempre tiene un uso referencial. No entraré aquí en esta discusión, entre otras razone porque ya la he considerado ampliamente en otros trabajos3 y no tengo nada nuevo qué decir al res pecto. Empero, me permitiré señalar rápidamente un par de rarezas asociadas con la convicción tradicional. En lo primero que habría que reparar al considerar la supuesta referencia o denotación de 'yo' usado como sujeto es en la ociosidad y en la futilidad de la empresa: ¿con qué objeto, para obtener qué estaría uno constantemente auto-identificándose, esto es, refiriéndose a sí mismo? ¿Qué ventaja para la comunicación ofrecería semejante proceder? Por otra parte ¿cómo dar cuenta de manera plausible del notorio fracaso en encontrar empíricamente la supuesta referencia? ¿Hay acaso algo más difícil que encontrarse a sí mismo, en el sentido de la metafísica tradicional? ¿Hay alguna tarea frente a la cual nos encontremos tan desorientados respecto a cómo proceder como la de buscarnos a nosotros mismos, cuando lo que buscamos es el legendario sujeto de las experiencias? Y ¿no es increíble que no haya nada tan difícil como encontrarnos a nosotros mismos, cada quien en su propio caso, desde luego? Por otra parte, si nadie ha logrado realizar la proeza de auto-atraparse: ¿no se debe ello acaso a que se está buscando algo que era lógicamente imposible obtener? ¿No es obvio, una vez hechas las aclaraciones pertinentes, que no hay nada qué buscar, y por lo tanto nada que encontrar, al usar 'yo' como sujeto? ¿No es evidente 2

L. Wittgenstein, Philosophical Investigations (Oxford: Basil Blackwell, 1974), sec. 404. Véase, por ejemplo, la sección sobre identidad personal en mi libro Enigmas Filosóficos y Filosofía Wittgensteiniana (México: Edere, 2002), pp. 343-54 y "Wittgenstein y la naturaleza del 'yo'" en Ensayos de Filosofía de la Psicología (Guadalajara: Universidad de Guadalajara, 2003), 2" edición. 3

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que no puede haber actos de auto-referencia cuando no hay entidad alguna que esté en juego? Infiero de todo lo anterior que, en tanto que mecanismo lingüístico útil y justificado por situaciones especiales, la auto-referencia personal no tiene nada de fantástico o de inexplicable y que es sólo cuando está involucrada una confusión filosófica, i.e., la idea metafísica de auto-referencia y auto-conocimiento, que la autoreferencia personal se convierte en algo misterioso. Con estas breves consideraciones podemos dejar de lado la cuestión de la auto-referencia de hablantes o personas. Examinemos ahora la auto-referencia semántica. Para evitarnos complicaciones innecesarias nos concentraremos en el caso de las oraciones. Diremos entonces que la idea es que, en lugar de versar sobre el mundo como la casi totalidad de ellas, ciertas oraciones, más bien inusuales, hablan de sí mismas, es decir, se toman a sí mismas como objetos de su propio discurso. A primera vista ello es fantástico y la primera reacción, la reacción espontánea es la de pensar que ello es o imposible u ocioso o absurdo. Consideremos, por ejemplo, la famosa paradoja del mentiroso: si un mentiroso asevera que todo lo que él dice son mentiras, entonces lo que afirma es verdad pero, dado que lo que un mentiroso enuncia tiene que ser falso, entonces efectivamente lo que dijo es falso, lo cual concuerda con lo que dijo y por lo tanto es verdad y así ad infinitum. De otro modo: si lo que el mentiroso dijo es verdadero entonces es falso, luego es verdadero, por consiguiente es falso, por lo tanto es verdadero, ergo es falso, y así sucesivamente. Aquí podemos establecer una primera conexión digna de ser consignada: la auto-referencia semántica está internamente conectada con las paradojas y hablar de paradojas es hablar de contradicciones. Muchos sostendrían, sin embargo, que no es el único caso de auto-referencia semántica: habría otros que, se supone, serían igualmente legítimos sólo que no darían lugar a paradojas, sino a enunciados verdaderos. Esto, como veremos, es debatible y lo menos que podemos esperar es que quien defiende esa idea aclare y justifique su idea implícita de auto-referencia semántica. Revisemos el asunto un poco más en detalle. Consideremos un ejemplo típico: 'La oración recién descrita tiene siete palabras' (cp). A primera vista, parecería no sólo que


que está dicho y lo que está involucrado (como las nociones de lenguaje y metalenguaje y las técnicas de uso y mención de expresiones, i.e., la técnica del entrecomillado) sería: 'La oración "La oración recién descrita tiene siete palabras" tiene siete palabras'. Como en el fondo lo que estamos haciendo es repetir ciertas expresiones, entonces el lenguaje, por un mecanismo de economía, nos permite ahorrarnos la repetición y formar una sola oración, creando así la ilusión de auto-referencia. Una vez hechas las aclaraciones pertinentes queda claro que, por lo menos en el ejemplo anterior y contrariamente a una primera impresión, no hay tal auto-referencia. El problema es que se trata de un ejemplo paradigmático, representativo de la auto-referencia semántica, y ello induce a pensar que es la idea misma de que una expresión puede referirse a sí misma lo que resulta sumamente extraño, por no decir incomprensible. La verdad es que no vemos, en este caso típico al menos, tal cosa como auto-referencia semántica. Más aún: no se entiende cómo podría producirse tan singular fenómeno. Nos auto-convencimos de que se había producido el fenómeno de auto-referencia semántica porque no nos habíamos percatado de que algo faltaba en una expresión dada o simplemente que estaba implícito en ella. La reflexión en torno a esta cuestión nos hace ver que realmente lo más extraño que podría suceder es que algo creado para dar cuenta del mundo, como lo es el lenguaje, perversamente se transmutara en algo que se revierte sobre sí mismo y modificara así su esencia funcional. Desde esta perspectiva, lo menos indicado parecería ser la aprobación de la auto-referencia semántica. Ahora bien, es precisamente el sospechoso fenómeno lingüístico de la auto-referencia en el que Godel funda su "prueba".4 En resumen, hay casos inobjetables de auto-referencia personal, los cuales no tienen nada de misterioso y se explican por el carácter peculiar de las situaciones en las que se comunican los hablantes (para enfatizar, insistir, llamar la atención, etc.) y casos anómalos, en los que sólo aparentemente se produce un acto de auto-referencia. Así, la auto-referencia legítima es superflua y la ilegítima inaceptable. El problema es que esta última es muy difícil de distinguir de la primera. La auto-referencia lingüística, por su parte, es más bien una ilusión y, si se le toma en serio, no puede más que dar lugar a paradojas, contradicciones, sorpresas, incomprensiones y demás. Es muy importante tener en cuenta lo que hemos dicho, ya que habremos de utilizarlo cuando consideremos la fórmula de Godel que, como se sabe, afirma de sí misma que no es demostrable. Antes, empero, debemos hacer algunos recordatorios concernien4

Esto es cuestionable. Podría argumentarse que lo que con el teorema de Godel acontece es más bien que se borra la distinción entre sintaxis y semántica, pero ¿no se borra con ello también la distinción original "lenguaje objeto-meta-lenguaje" y no se reintroduce con ello la noción misma de auto-referencia? 21


tes al contexto histórico en el que se inscribe el famoso Teorema de Incompletitud de Gódel,del931.

II) El Logicismo y la Aritmetización de la Sintaxis Es bien sabido que la gran aventura lógica del siglo xx, la cual culminó en la decisiva revolución computacional que se operó durante su segunda mitad, una revolución de inmensas consecuencias e implicaciones para la humanidad en su conjunto y la vida en el planeta en general, se inició propiamente hablando con el esfuerzo por parte de Bertrand Russell por resolver el problema planteado por las paradojas. Russell ofreció tres teorías para dar cuenta de ellas, a saber, la teoría del zig-zag, la de la limitación del tamaño de las clases y la que finalmente él mismo favoreció y que explica la gestación de las paradojas por un "círculo vicioso". En efecto, tanto en Principia Mathematica como en "Mathematical Logic as based on the Theory of Types"5 Russell explica la gestación de las paradojas con base en la idea de que en su formulación se comete una cierta falacia consistente en pecar en contra de lo que él denomino el 'principio del círculo vicioso' .6 Del principio del círculo vicioso Russell da de hecho cinco formulaciones diferentes, todas ellas equivalentes pero destacando diferentes facetas del fenómeno al que alude. La idea es siempre la misma: las paradojas surgen porque al hablar de una totalidad se incluye a ésta dentro de sí misma como si fuera un elemento más. Así, la totalidad resulta ser simultáneamente tanto una totalidad como un elemento de dicha totalidad. Es debido a ese doble juego, permitido por el simbolismo, que surgen las paradojas. Naturalmente, cuando así procedemos lo que construimos no es una proposición, sino un sinsentido. Para bloquear la formación de paradojas, Russell apela a la idea de tipo lógico, que en el fondo no es sino la idea de una jerarquía lingüística, esto es, la distinción de lenguaje objeto, meta-lenguaje, meta-meta-lenguaje, y así ad infinitum. La respuesta acabada de Russell pasó a la historia como la 'Teoría de los Tipos Lógicos'. Es ésta, como se sabe, una teoría sumamente compleja y de ramificaciones insospechadas en o para diversas áreas del pensamiento. Recordemos ahora rápidamente los lineamientos generales del programa de Russell. En su lucha en contra del idealismo prevaleciente en su época, al cual era 5

B. Russell, "Mathematical Logic as based on the Theory of Types" en Logic and Knowledge (London: Alien and Unwin, 1971), pp. 59-102. 6 Aunque hay muchas, de las mejores presentaciones del tratamiento de las paradojas por parte de Russell es, sin duda, la que encontramo s en el capítulo "Russell's Solution to the Paradoxes", del excelente libro de Ch. S. Chinara, Ontology and the Vicious-Circle Principie (Ithaca/London: Cornell University Press, 1973). 22


central la idea de que el conocimiento humano es una mera ilusión, Russell intentó desarrollar una filosofía cognitivamente optimista. La doctrina de las relaciones externas lo llevó a defender la solidez del conocimiento matemático, al que intentó fundamentar en la lógica. Partiendo, pues, de la lógica de primer grado junto con la teoría de conjuntos, Russell ofreció una definición formalmente impecable y operativa de las diversas clases de números, de las operaciones matemáticas y, en general de la verdades matemáticas. O sea, el programa de Russell era el de reconstruir el todo de las matemáticas recurriendo únicamente a nociones lógicas y conjuntistas. Y es al definir los números en términos de clases que se topa con el problema de las paradojas, lo cual va a crear dificultades inmensas en lo que era una nueva ciencia, a saber, la ciencia de los fundamentos de las matemáticas. Por el momento, quiero enfatizar dos cosas: a) el proceder russelliano es de carácter constructivo: primero se definen los núme ros naturales, luego los racionales, los irracionales, los complejos, etc.; se da cuenta primero de las operaciones básicas de la aritmética y de sus verdades más elementales y paulatinamente se abarcan todas las ramas de las matemáti cas. El programa logicista de Russell lleva de la lógica a la aritmética. b) El principio del círculo vicioso, central a la solución russelliana del problema de las paradojas, es básicamente un principio anti-auto-referencial, es decir, un principio que proscribe la auto-referencia semántica. Como ya indiqué, desde la perspectiva de Russell cuando dicho principio no se respeta lo que se cons truye es un sinsentido. Lo anterior es importante tenerlo presente porque el teorema de Gódel, que sistemáticamente ha sido visto como una refutación o una aniquilación de proyectos como (ínter alia) el programa logicista de Russell, forma parte de una estrategia que es en cierto sentido inversa al de este último: en lugar de logicizar la aritmética, lo que Gódel hace es aritmetizar la sintaxis. O sea, Godel no se plantea la cuestión de la caracterización del número: él simplemente los asume y trabaja con ellos.7 Bien vistas las cosas, por lo tanto, los proyectos de Russell y Gódel parecen constituir o 7

Podría, desde luego, objetarse, que Gódel trabaja no con números sino con numerales y es tentador ver en éstos elementos puramente sintácticos, al igual que sus fórmulas. Pero esta lectura es cuestionable, puesto que por una parte Godel realiza operaciones aritméticas con sus numerales y, por la otra, es obvio que él asume que sus signos tienen algún significado y ¿qué puede significar un numeral si no un número? 23

GODEL Y WITTGENSTEIN

pertenecer a dos líneas de investigación completamente independientes y que, más que otra cosa, sólo se tocan en un punto. En otras palabras, parecería que Godel habría podido construir su prueba sin saber absolutamente nada del programa de Russell. De ahí que, como argumentaré más abajo, hay un sentido en el que si el trabajo de Russell es meta-matemático, el de Godel es más bien meta-meta-matemático. Lo que es importante determinar, por consiguiente, es cómo incide uno en el otro, tomando en cuenta lo que ambos lógicos sostienen. Porque si el fenómeno de la auto-referencia no es en el fondo más que una ilusión semántica, el hecho de que se utilice un aparato formal impresionante no le hace perder su carácter ilusorio o de espejismo semántico. Ahora bien, que la auto-referencia es crucial en el teorema de Godel es algo difícil de negar. Hofstadter, por ejemplo, lo ha enunciado como sigue: "A Godel se le ocurrió la idea de utilizar el razonamiento matemático para explorar el razonamiento matemático".8 Y es muy significativo que la cuestión de si ello es en principio legítimo o no sea un tema que muy pocos han considerado que valía la pena discutir. En otras palabras, normalmente se cuestiona la auto-referencia, pero cuando se llega al teorema de Godel entonces nadie protesta. En verdad, difícilmente podría pasarse por alto el hecho de que el grandioso resultado de Godel, viz., una fórmula que dice de sí misma que no puede ser demostrada en el sistema, representa una violación flagrante del principio del círculo vicioso (el cual en sí mismo parece bastante razonable) y de la idea intuitiva de que la auto-referencia semántica no es un procedimiento lingüístico válido. Pero si nadie ha refutado el principio en cuestión y si normalmente nadie admite construcciones paradójicas generadas por auto-referencia, entonces claramente estamos aquí en un conflicto que teóricamente está todavía en espera de resolución. Cabe preguntar: si por toda una variedad de razones queremos zafarnos de las paradojas: ¿por qué entonces se acepta sin cuestionar la prueba de Godel si ésta se contrapone a intuiciones tan básicas como la incorporada en el principio del círculo vicioso? El problema de la existencia de Dios nos puede ser útil en este contexto: si efectivamente no puede haber pruebas apriori de la existencia de una entidad trascendente ¿podría el hecho de que alguien inventara una "prueba" formalmente impresionante, en la que se usaran libremente los conceptos de infinito, pruebas recursivas, abstracciones, operadores modales, etc., hacerla válida? ¿Y acaso no es precisamente eso lo que estaría sucediendo con el teorema gódeliano de incompletitud? Me parece que lo más que podría sostenerse es que Godel demostró que hay casos especiales de auto-referencia que no son ni paradójicos ni dispensables

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G. R. Hofstadter, Godel, Escher, Bach. Una Eterna Trenza Dorada (México: CONACYT, 1982), p. 19. 24


sino de una tercera categoría, pero en todo caso ello es algo en favor de lo cual se necesita abogar y la verdad es que argumentos en este sentido no abundan. Quizá debamos hacer ahora algunas aclaraciones generales concernientes al teorema de Gódel. Nadie ha cuestionado y probablemente nadie cuestionará el formalismo gódeliano, esto es, sus definiciones, la introducción de sus términos primitivos, sus reglas de inferencias y sus transiciones.9 En todo caso, no es la estructura formal misma lo que está en cuestión (por no decir "enjuego"). Si los matemáticos aceptan como formalmente válida la prueba de Gódel no nos toca a nosotros objetar nada al respecto. Pero una cosa es que sea inatacable y otra que su significación sea trans parente. Son su interpretación, su significado, sus implicaciones lo que es debatible y en relación con lo cual no hay todavía consensos claros y definitivos. O sea, es lo que el teorema "dice" lo que es todavía asunto de debate. Para movernos en la dirección de la aclaración, lo que hay que hacer es exhibir los supuestos implícitos en el trabajo de Gódel, sacar a la luz las nociones que usa pero que él mismo nunca esclarece, como las de proposición matemática, "decir", auto-referencia y demás. Es sólo cuando se tengan todos o por lo menos muchos de los elementos del gran rompecabezas, el iceberg completo y no nada más la parte que sobresale, que podremos empezar a entender qué fue realmente lo que logró Gódel con su prueba. Quisiera tratar de establecer un par de cosas en relación con esto último, pero para ello habremos primero de retomar algunas ideas de Ludwig Wittgenstein en torno a la naturaleza de la verdad matemática y sin las cuales difícilmente podría siquiera alguna reflexión en este sentido arrancar.

III) El Status de las Proposiciones Matemáticas Sin duda alguna el pensamiento del Wittgenstein de la madurez, esto es, el posterior a la discusión respecto a lo que es seguir una regla y el argumento del lenguaje privado, representa el punto culminante de una trayectoria pasmosa, única, pero puede sostenerse que el pensamiento del que quizá podríamos denominar el 'Wittgenstein intermedio', esto es, básicamente el Wittgenstein de Ludwig Wittgenstein y el Círculo de Viena,10 9

Esto, en mi opinión, es una grave omisión, porque es innegable que hay problemas de significación en las definiciones y en la prueba misma, dado que por ejemplo una misma fórmula resulta tener simultá neamente tanto un significado matemático como uno meta-matemático! 10 Ludwig Wittgenstein and the Vienna Circle. Conversations recorded by Friederich Waismann. Edited by Brian McGuinness (Oxford: Basil Blackwell, 1979). Hay traducción al español de Manuel Arbolí: Ludwig Wittgenstein y el Círculo de Viena (México: Fondo de Cultura Económica, 1973). 25

GÓDEL Y WlTTGENSTEIN

las Observaciones Filosóficas11 y la Gramática Filosófica,11 es un pensamiento fresco, intrépido, excitante, audaz, novedoso. En particular en las dos últimas obras citadas está plasmada una nueva filosofía del lenguaje y de las matemáticas, llena de intuiciones originales, de argumentaciones (en el estilo wittgensteiniano) contundentes y que hacen sentir que, página tras página, se hace progreso filosófico real. Para los objetivos de este trabajo me concentraré en especial en algo de lo mucho y muy valioso que Wittgenstein sostiene en las Observaciones Filosóficas. En particular, lo que deseo hacer son ciertos recordatorios concernientes a los puntos de vista de Wittgenstein en relación con la idea de demostración o prueba matemática. Esta breve labor de reconstrucción nos permitirá disponer de una plataforma desde la cual abordar y tratar de evaluar el valor filosófico del resultado de Gódel. Es obvio, por otra parte, que algo así se tiene que hacer, pues de lo contrario lo que estaríamos haciendo sería enfrentar el teorema de Godel desde la perspectiva del sentido común, en cuyo caso estaremos perdidos y no tendremos otra cosa que ofrecer que la aburrida lectura simplista de siempre, lo cual es algo que ciertamente queremos evitar. Empecemos con algunas generalidades. Nuestro punto de partida pueden serlo dos ideas que si se quiere se les puede calificar de 'triviales' (aunque no lo sean), viz., que en matemáticas nos las habemos con sistemas y que las matemáticas son por excelencia la ciencia de la demostración. Lo primero hace alusión al carácter integrado y orgánico de las matemáticas. La idea es que las proposiciones matemáticas están sistemáticamente conectadas unas con otras (no, desde luego, de manera arbitraria). No hay proposiciones matemáticas aisladas del resto. '2 + 2 = 4' presupone que 2+1 =3, que 3 + 1=4, que 3 + 2 = 5, etc. Considerada al margen o fuera de ese sistema proposicional, '2 + 2 = 4' no significa absolutamente nada. Por otra parte, dejando de lado los puntos de partida, esto es, los axiomas, es claro que a cualquier proposición matemática (en el sentido de teorema, no meramente de fórmula bien formada) se llega y se llega a ella por medio de una demostración. No hay forma de que una proposición matemática "se cuele", por así decirlo, y se incruste dentro del sistema si carece de su respectiva prueba. En matemáticas no puede haber fraudes. La prueba o demostración es la única forma como una proposición matemática puede integrarse o ser incorporada en un sistema y, por ende, es su única forma de legitimación qua proposición matemática. Por consiguiente, el sentido de una pro1

L. Wittgenstein, Philosophical Remarks (Oxford: Basil Blackwell, 1975). Hay traducción al español de Alejandro Tomasini Bassols: Observaciones Filosóficas (México: IIF/UNAM, 1997). 12 L. Wittgenstein, Philosophical Grammar (Berkeley/Los Angeles: University of California Press, 1978). Hay traducción al español de Luis Felipe Segura Martínez: Gramática Filosófica (México: IIF/ UNAM, 1996).

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posición matemática es una función de su pertenencia al sistema y su pertenencia al sistema es precisamente lo que su demostración garantiza. Sin demostración no hay sentido y, por consiguiente, tampoco verdad. El sentido de una proposición matemática es su contribución a la expansión del sistema al que pertenece. "Lo que una proposición matemática dice es siempre lo que su prueba prueba. Es decir, nunca dice más de lo que su prueba prueba".13 Quizá podríamos ir un poco más lejos y afirmar que lo que la proposición matemática expresa se muestra en las proposiciones de las que se deriva y las proposiciones matemáticas que a su vez permite deducir. En los sistemas matemáticos no puede haber huecos, puesto que "Las matemáticas son un método lógico"14 y lo que esto significa es que siempre hay una forma de construir un camino (una prueba constructiva) hacia una proposición matemática. Ese camino es su prueba. Un problema matemático presupone un método de prueba. Por eso distingue Wittgenstein entre problema y misterio, entre solución y revelación: "Esto es, donde sólo podemos esperar la solución gracias a alguna clase de revelación, ni siquiera hay un problema. A una revelación no corresponde ninguna pregunta".15 Wittgenstein no niega que haya conjeturas matemáticas, esto es, proposiciones que en un momento dado del desarrollo de las matemáticas son "indecidibles". Lo que al respecto afirma es simplemente que una proposición así es sencillamente una proposición "para cuya solución no poseemos todavía [énfasis mío] un sistema escrito"}6 Desde este punto de vista, lo que G6del habría mostrado es que hay proposiciones verdaderas para las cuales en la aritmética de Peano nunca habrá un "sistema escrito". Lo menos que puede decirse es que ello suena prima facie increíble. El ver las matemáticas a la Wittgenstein, Le., como (en palabras de Hintikka) un "montón de cálculos",17 ofrece algunas ventajas. Por ejemplo, de inmediato permite entender varias cosas. Para empezar, se nos aclara por qué las proposiciones matemáticas no dicen nada. No hay nada más erróneo que concebir las proposiciones matemáticas como proposiciones en el sentido usual sólo que en lugar de venir, por así decirlo, vestidas en letras vienen vestidas en numerales.18 Aquí sigue vigente el 13

L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, XIII, sec. 154. L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (London: Routledge and Kegan Paul, 1978), 6.2 (a). Para las citas del Tractatus en estos trabajos me serviré de mi traducción la cual, por cuestiones relacionadas con los derechos de autor, no ha podido ver la luz. 15 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, XIII, sec. 149. 16 Ibid, XIII, sec. 151. 17 J. Hintikka, "The Original Sinn of Wittgenstein's Philosophy of Mathematics" en Ludwig Wittgens tein: Half-Truths andOne-and-a-Half-Truths (Dordrecht/Boston/London : Kluwer Academic Publishers, 1996), p. 156. 18 Se podría quizá querer señalar, a manera de contraejemplo, a las variables, que sirven para indicar generalidad, pero no debería olvidarse que, independientemente de ello, sus valores son siempre números. 14

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pensamiento del Tractatus de acuerdo con el cual "Las proposiciones de las matemáticas no expresan pensamientos".19 Por consiguiente y en segundo lugar, entendemos por qué en matemáticas no pueden darse (o trazarse) las jerarquías simbólicas que sí tenemos en el lenguaje. Dentro o al interior de las matemáticas no hay tal cosa como "meta-matemáticas". Lo que "demostraciones meta-matemáticas" genuinas representan es en todo caso la expansión del cálculo, más cálculo, no una reflexión sobre él. Las matemáticas no admiten ser expresadas "en prosa". Cuando ésta aparece, ya estamos fuera del mundo de las matemáticas, propiamente hablando. "Quiero decir, la proposición matemática no es la prosa, sino la expresión exacta".20 En matemáticas se trabaja con números, no se habla acerca de ellos. A lo largo y ancho de su obra Wittgenstein abogó en favor de la idea de que el valor o la importancia de las matemáticas no es algo intrínseco a ellas, sino más bien algo externo, es decir, algo que les viene de su aplicación, de su utilidad. La utilidad de las matemáticas se expresa, por una parte, en la vida cotidiana, en toda clase de transacciones que los hombres realizan, desde las más simples hasta las más comple jas, y, por la otra, en su incorporación y empleo en las teorías científicas. En el Tractatus Wittgenstein enunció su punto de vista de manera concisa y sin ambigüedades como sigue: "En la vida no es nunca una proposición matemática lo que necesitamos. Más bien, empleamos proposiciones matemáticas únicamente para inferir de proposiciones que no pertenecen a las matemáticas otras que, de igual modo, tampoco pertenecen a las matemáticas".21 Es claro que no puede haber proposiciones matemáticas vagas u ociosas. O sea, una proposición matemática, como cualquier otra, tiene que reportarnos alguna utilidad, pero eso es algo que puede hacer sólo en la medida en que forme parte de un sistema, para lo cual su prueba es imprescindible, puesto que ésta es (por decirlo de alguna manera) su boleto de integración al sistema, su certificado de legitimidad. Una proposición matemática inconexa e inútil es un contrasentido. Por lo tanto, hay una relación interna fundamental entre "matematicidad" y "aplicabilidad".22

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L. Wittgenstein, Tractatus, 6.21. L. Wittgenstein. Observaciones Filosóficas, XIII, sec. 155. 21 L. Wittgenstein, Tractatus, 6.211 (a) 22 Aquí asumo que la, por así llamarla, legitimación de las matemáticas es externa a éstas y que, por lo tanto, no puede aparecer más que en la "vida civil". Por razones obvias, no puedo en este ensayo abordar siquiera la espinosa cuestión de las relaciones entre las matemáticas y la experiencia, ya sea perceptual o teórica, puesto que eso me alejaría demasiado de mi tema y me llevaría por otros derroteros. 20

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Es importante entender la perspectiva wittgensteiniana para poder apreciar con justicia su crítica. Lo que Wittgenstein hace es describir la funcionalidad peculiar de las proposiciones matemáticas. De esta descripción emerge la aclaración de su modo de significación. Y lo que poco a poco Wittgenstein descubre es, como argumenté anteriormente, que hay una conexión esencial entre una proposición matemática y su prueba o demostración. "La proposición matemática es el último eslabón en una cadena de prueba".23 Ahora bien, lo que hay que entender es que esta idea resulta de una descripción de lo que de hecho los matemáticos hacen, no de una concepción fantasiosa o a priori de las matemáticas. No formaba parte de las intenciones de Wittgenstein desarrollar una teoría del significado al modo tradicional. Por lo tanto, la etiqueta "verificacionista", a la que tantas veces se ha recurrido para caracterizar su posición, no es la apropiada. Wittgenstein no fue nunca un verificacionista en el sentido de los empiristas lógicos (Schlick, Ayer, etc.). Su objetivo era dar cuenta de la racionalidad de las matemáticas, de su estructura y de su modus operandi, y ello lo llevó a examinar el modo como adquieren sentido sus proposiciones. Esta perspectiva le permitió hacer una serie asombrosa de pronunciamientos concernientes a toda una variedad de temas, rara vez abordados por otros: el carácter prescriptivo de las proposiciones matemáticas, las diferentes clases de pruebas que hay (directas, por inducción, por reducción al absurdo, etc.), la naturaleza de los números, el infinito, y muchos más. Pero, más relevante para nuestros propósitos, le proporcionó una plataforma desde la cual comprender mejor y discutir los resultados de los matemáticos. Veamos a dónde nos lleva esto en el caso de Gódel.

IV) La Prueba de Godel El célebre artículo de Godel, como se sabe, fue publicado en 1931, si bien su impacto entre los filósofos empezó realmente a hacerse sentir por lo menos después de que Tarski presentara su artículo sobre la verdad, esto es, en 1935. Ahora bien, las observaciones de Wittgenstein que hemos citado, y algunas otras que habremos de utilizar, datan de 1929 (!). Parecería, pues, que Wittgenstein de alguna manera "olfateaba" resultados como el que haría famoso a Gódel un par de años después. Lo interesante y asombroso del caso es que, independientemente de que resulten convincentes o no, sus pensamientos ciertamente son relevantes para la comprensión y la discusión seria del resultado de Godel. 23

L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, XIII, sec. 162. 29


El trabajo de Gódel presupone todo el trabajo hasta entonces realizado en el terreno de los fundamentos de las matemáticas. Su punto de partida son las paradojas, en las cuales Gódel se inspira. Ahora bien, independientemente de que en última instancia fuera fallido, el programa logicista de Russell (y Whitehead) había inspirado a muchos otros matemáticos, de manera que se tenía una idea clara de qué era lo que se perseguía. El objetivo primordial para muchos era demostrar la consistencia de las matemáticas (signifique eso lo que signifique) y el ideal para alcanzarlo era la axiomatización. Se suponía que se podían ofrecer pruebas de consistencia, de manera que quedara demostrado que, por ejemplo, en la aritmética de Peano no se puede deducir tanto cp como ~cp, para alguna fórmula cp. Lo que Gódel hizo fue construir un sistema formal en el que se asigna un número a cada uno de los signos empleados (constantes, variables, paréntesis, cuantificadores, etc.), de manera que cualquier fórmula bien formada tiene una traducción al lenguaje numérico. Pero eso no es todo: todas las series de fórmulas bien formadas también la tienen, de manera que a cualquier demostración formal corresponde una demostración numérica. El número que le corresponde a cada expresión es su "número de Gódel". Esto es lo que se conoce como la aritmetización de la sintaxis. Curiosamente, en este caso es la aritmética la que "habla" de las oraciones del meta-lenguaje, en el sentido de que las refleja. En efecto, una vez establecidas las convenciones, Gódel pasa a hacer ver que "Cada enunciado meta-matemático está representado por una fórmula única dentro de la aritmética".24 O sea, todo lo que se afirme sobre el cálculo tendrá una representación o formulación numérica. En particular, afirmaciones como la de que algo es una prueba de una cierta proposición quedarán reflejadas en el simbolismo aritmético de determinada manera, es decir, como fórmulas bien formadas de la misma aritmética. Nagel y Newman lo exponen de este modo: "un enunciado meta-matemático que dice que una cierta secuencia de fórmulas es una demostración de una fórmula dada es verdadera si, y sólo si, el número de Gódel de la supuesta prueba está en la relación aritmética designada aquí por 'Dem' con el número de Gódel de la conclusión".25 Acto seguido, y aquí viene el gran truco formal, Gódel se las arregla para construir una fórmula G que es la representación aritmética del enunciado meta-matemático 'La fórmula G no es demostrable'. Quizá debamos aclarar con más detalle cómo aparece aquí el elemento de auto-referencia. Lo que sucede es que lo que la fórmula que Gódel construye hace al ser, por así decirlo, decodificada, es afirmar de ella misma que no es demostrable en el sistema cons24 25

E. Nagel y J. R. Newman, Gódel's Proof (USA: New York University Press, 1958), p. 77. Ibid, p. 79. 30


truido. Gódel hizo ver, además, que si G fuera demostrable, entonces su negación también lo sería, con lo cual se habría hecho ver que la aritmética es inconsistente, puesto que entonces permitiría deducir tanto una fórmula como su negación. Asumiendo, por lo tanto, que la aritmética es consistente, lo que se sigue es que la fórmula en cuestión es "indecidible", es decir, que ni ella ni su negación son demostrables. De particular importancia es señalar que no por ser indecidible deja la fórmula de ser verdadera. La verdad de la fórmula quedó demostrada meta-matemáticamente . Está implicado, desde luego, que la aritmética es incompleta, es decir, que necesariamente contiene verdades que no son demostrables. El resultado atañe a la aritmética por la sencilla razón de que el lenguaje que se aritmetiza es el lenguaje de la lógica (de segundo orden), es decir, un lenguaje suficientemente fuerte como para contener la aritmética. En síntesis: lo que Godel logró fue construir una "prueba" de una "proposición numérica" que "se refiere a sí misma" para "decir de sí misma" que aunque "verdadera", es "indemostrable" en el sistema al que pertenece. Lo menos que puede decirse es que se necesitan demasiadas comillas dobles para enunciar lo que se quiere afirmar. Intuitivamente al menos, es obvio que aunque ni los detectemos ni sepamos explicarlos, se han operado aquí cambios semánticos importantes y el que no sepamos dar cuenta de ellos quiere decir que aún no se ha aprehendido cabalmente el significado del teorema de Gódel. Por otra parte, si el sistema de Gódel no fuera otra cosa que una pequeña maquinaria formal, su trabajo sería una curiosidad y nada más. Pero el sistema de Gódel es tal que no sólo se aplica a las matemáticas en su conjunto (Le,, a aquellas ramas de las matemáticas cuyos axiomas y reglas son recursivamente enumerables y, por ende, cuyos teoremas se pueden ir enunciando), sino más en general que su resultado se aplica a cualquier sistema que sea lo suficientemente fuerte como para contenerlas, esto es, que pueda ser puesto en relación con los números de una manera sistemática. El resultado es, pues, todo menos trivial. El hecho de que los matemáticos no tengan nada qué objetar a la prueba de Gódel ni mucho menos quiere decir que entonces no tenga ésta nada de extraño, que no haya nada en ella para dejarnos perplejos y que no pueda ser cuestionado desde otras plataformas. Una forma de transmitir nuestra perplejidad es equiparando la prueba con lo que sería un procedimiento semejante sólo que en otro contexto simbólico. Consideremos que nuestro lenguaje objeto es el ruso y nuestro meta-lenguaje el español. Originalmente, lo que se quería era probar algo acerca del ruso (el cual corresponde, en nuestro ejemplo, a la aritmética), pero lo que ahora hacemos es usar el ruso para codificar el español y hablar acerca de éste. Así, a cada signo del español le hacemos corresponder uno y sólo un signo del alfabeto cirílico. Cualquier expresión del español tendrá entonces su versión en ruso. Y lo que ahora el Godel imaginario de 31


nuestro ejemplo nos diría es que hay una fórmula en cirílico que afirma de sí misma que no es demostrable y lo que a su vez eso querría decir es que hay una oración en español cuyo valor de verdad no podemos determinar! Si el parangón vale y tiene alguna utilidad es para dejar en claro que hay algo no sólo de sospechoso sino de fantástico en la prueba de Godel, por más que de acuerdo con los técnicos matemáticos ésta sea impecable, y por consiguiente también en el proyecto mismo, algo que quienes se limitan a repetir una y otra vez el resultado de Godel o su prueba completa no parecen ni siquiera detectar y mucho menos saber despejar. En sus escritos de filosofía de las matemáticas, Wittgenstein enuncia diversas críticas al trabajo de Godel, críticas que en su mayoría han sido minimizadas, vistas con desdén o, en el mejor de los casos, ignoradas. Importantes lógicos y filósofos de la ciencia han coincidido en opinar que simplemente Wittgenstein "no entendió" el teorema, o por lo menos no supo apreciar sus implicaciones formales.26 Yo pienso que el asunto no es tan simple y que las críticas de Wittgenstein algo nos dicen de más interesante que lo que han sostenido quienes se han limitado a aplaudir el malabarismo formal de Godel. De eso me ocuparé en la siguiente sección.

V) Presuposiciones Gódelianas Wittgenstein ha sido criticado en numerosas ocasiones por haber afirmado que su tarea "es no hablar acerca de (e.g.) la prueba de Godel, sino esquivarla".27 Esto ha sido interpretado por muchos como una declaración explícita de incapacidad por parte de Wittgenstein para enfrentar y dar cuenta del teorema de incompletitud. Para quien conoce, aunque sea mínimamente, la trayectoria de Wittgenstein, un juicio así resulta, aparte de injusto, torpe. Para empezar, Wittgenstein conocía el teorema y estaba perfectamente consciente de lo que entrañaba. Lo que él estaba afirmando era precisamente que su función no consistía en intentar poner en cuestión una demostración particular, el trabajo formal del matemático. Su crítica no pretendía ser "técnica" 26

El artículo "Wittgenstein's Philosophy of Mathematics" en Truth and Other Enigmas (Duckworth: London, 1978), pp. 166-185, de M. Dummett, y el ensayo "Wittgenstein's Remarks on the Foundations of Mathematics", de G. Kreisel, en British Journal for the Philosophy of Science, IX (1958-9), pp. 135158, ejemplifican muy bien esta posición un tanto desdeñosa y displicente en relación con el trabajo de Wittgenstein en el área de la filosofía de las matemáticas y, muy en especial, de sus reflexiones en torno al teorema de Godel. 27 L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Cambridge/London: The M.I.T. Press, 1975), V, sec. 16. 32


(cosa que por otra parte, por lo menos hasta donde yo sé, nadie todavía ha siquiera intentado). Ignoro si Wittgenstein pensaba que el trabajo de Godel era formalmente cuestionable, es decir, tal que se pudieran encontrar fallas internas (no hay en sus escritos nada en este sentido), pero lo que sí es claro es que él intuía que dicho teorema acarreaba dificultades de comprensión, porque con él se había aportado algo nuevo, con lo cual se creaban nuevos enigmas filosóficos. Esa era en general la actitud de Wittgenstein, lo cual queda además ampliamente confirmado con lo que dice inmediatamente antes de la multi-citada oración. Allí mismo él dice, refiriéndose a la lógica de Russell, que su trabajo "no es atacar la lógica de Russell desde dentro, sino desde fuera. Es decir: no atacarla matemáticamente -de lo contrario sería yo un matemáticosino su posición, su función".28 Su actitud es la misma frente al resultado de Gódel. O sea, no es qua técnico sino como filósofo que Wittgenstein encara tanto la lógica de Russell como el teorema de Gódel. Su tarea consiste, por lo tanto, en ofrecer una dilucidación filosófica de un resultado que obviamente plantea nuevos retos intelectuales, retos que en general sus más fanáticos adherentes ni siquiera perciben y simplemente dejan pasar. Insisto en que, por lo menos hasta donde yo sé, Wittgenstein no está rechazando la prueba de Gódel en cuanto tal, es decir, qua demostración. Si ningún matemático ve problemas en la prueba misma ¿cómo podría alguien externo a las matemáticas pretender siquiera rechazarla? Wittgenstein, por lo tanto, acepta (sobre la base del aval dado por los matemáticos) el resultado de Gódel, en el sentido de que acepta que es la fórmula final de una secuencia válida de fórmulas y no tiene, por consiguiente, para qué hablar de la prueba misma. Ello parece más bien obvio. El punto importante, en cambio, es que dicho resultado es filosóficamente problemático, como puede serlo una definición de 'materia' en la física cuántica o de 'vida' en la biología molecular. ¿Por qué es problemático el teorema de Gódel? Es evidente (o debería serlo) que no se trata de un teorema matemático más. Hay demostraciones matemáticas más complejas que no son filosóficamente interesantes. El teorema de Gódel sí lo es. ¿Por qué? Disponemos ya de algunos elementos que quizá nos permitan empezar a intentar responder a esta pregunta. En primer lugar, Wittgenstein tiene suspicacias frente al teorema de Gódel porque la labor de este último representa el último eslabón en una cadena de trabajos que tienen su origen en el proyecto logicista russelliano y Wittgenstein, con no malas y no

28

Ibid., V, sec. 16.

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pocas razones, cuestiona dicho proyecto. Es, pues, normal que algo que emana de dicho programa le resulte de entrada sospechoso. Por otra parte, del proyecto de Russell surgió, como una respuesta a lo que parecía un programa fallido, el de Hilbert, i.e., el proyecto de mostrar que la aritmética es consistente, un programa que a Wittgenstein también le resulta de hecho incomprensible, porque el miedo por las contradicciones siempre le pareció a Wittgenstein un típico producto de confusiones e incomprensiones.29 Una vez más, podrá pensarse lo que se quiera, pero lo único que no se puede afirmar es que su posición esté basada en argumentos desdeñables. Es perfectamente comprensible, por lo tanto, que Wittgenstein en un primer acercamiento se sintiera receloso frente al sorprendente resultado de Gódel. Por si fuera poco, Gódel enturbia las aguas con un trabajo en el que menciona Principia Mathematica cuando su verdadero blanco es el programa de Hilbert, puesto que lo que ante todo Gódel muestra es que la aritmética es indecidible dentro de la misma aritmética y que su consistencia no puede ser probada por medio de su propia teoría. Pero es obvio que Russell nunca se impuso a sí mismo de manera explícita la tarea de demostrar la consistencia de las matemáticas. Lo que él quería hacer ver era que cualquier verdad matemática tenía como traducción una verdad lógica. Dado que a la mitad de su programa se topó súbitamente con el problema de las paradojas, su labor consistió entonces en tratar de encontrar un mecanismo para resolver el problema que éstas planteaban. Esto Gódel simplemente ni lo menciona, a más de que ni siquiera se propone lidiar con dicho tema. Es más: puede afirmarse que lo que él logra es más bien (por lo menos a primera vista) reivindicar las paradojas, al formalizar una nueva "paradoja" para la cual no hay una solución formal.30 No es, pues, del todo errado afirmar que Gódel representa la venganza y el triunfo de las paradojas y de la auto-referencia, a las que con tanto trabajo se había logrado contener. En este sentido, el trabajo de Godel sí es claramente anti-russelliano. No estará de más preguntarse por la clase de problemas que Gódel se aboca a dejar resueltos en forma definitiva. Consideremos por un momento el lenguaje natural o el de cualquier ciencia natural. De seguro que se pueden hacer en dichos lenguajes aseveraciones que nunca podrán ser confirmadas o desconfirmadas, pero que no obstante son significativas. Por ejemplo, podemos afirmar que hay en el centro del planeta de nuestro sistema solar más distante de la Tierra lombrices carnívoras. Po29

Véase mi artículo "Russell y Wittgenstein sobre Contradicciones y Paradojas" en Estudios sobre las Filosofías de Wittgenstein (México: Plaza y Valdés, 2003). 30 Digo "nueva paradoja", porque es claro que el resultado de Gódel no conduce a contradicciones, como las paradojas que a Russell preocupan (o por lo menos no se ha demostrado que así sea). 34


demos afirmar con relativa seguridad que nunca nadie estará en posición de confirmar o de rechazar con base en evidencias empíricas semejante proposición. Para el lenguaje empírico es esa una proposición "indecidible". No obstante, nadie se sor prende por ello ni considera que se trate de algo que revista alguna importancia especial. ¿Por qué entonces poner el grito en el cielo cuando alguien nos demuestra que lo mismo puede darse en el caso de las proposiciones matemáticas, esto es, que habrá siempre alguna proposición que quizá sea verdadera, pero que no podrá nunca ser demostrada en la teoría de los números o, más en general, en un sistema formal con determinadas características? A más de uno podría resultarle inclusive hasta evidente! A lo que Wittgenstein apunta, por lo tanto, es a lo débil de la motivación godeliana. En todo caso, lo que Gódel está estableciendo es un resultado que anula todo un proyecto de fiindamentación que, entre otras cosas, era también semi-absurdo. Así vistas las cosas, sería con un resultado fantástico que se estaría anulando un programa absurdo. Eso sí parece tener sentido. Si efectivamente el problema de la inconsistencia de la aritmética es un pseudo-problema ¿no tendrá por lo menos un status raro cualquier teorema que establezca algo decisivo en relación con él? Des pués de todo, una solución para un pseudo-problema tiene que ser algo sumamente extraño. Por lo menos un poco de suspicacia en este caso no parece del todo fuera de lugar. En segundo lugar, es claro que con su teorema Gódel echa por tierra muchas distinciones útiles y que parecían definitivas y no deja de ser curioso que nadie proteste por ello, es decir, que todo mundo acepte ecuánimemente semejante proceder. En especial, en su teorema se borra, al parecer matemáticamente de manera justificada, la distinción "lenguaje objeto - meta-lenguaje", así como se ignora la idea del Tractatus de que una función no puede ser su propio argumento.31 Ahora bien, en lo que hay que insistir es en que no basta con un resultado para desechar una distinción que funciona muy bien en todas partes menos precisamente en la prueba en cuestión. Parecería que el mecanismo gódeliano está necesitado de alguna especie de justificación, es decir, que debería venir acompañado de alguna clase de explicación, de aclaraciones que Gódel simplemente no da. El mero teorema (o la fórmula final) no basta para comprenderlo. Podríamos aquí suponer que el resultado de Gódel si bien es inobjetable sintácticamente es ambiguo en algún otro sentido. Por ejemplo, podría sugerirse (y es a mero título de sugerencia que aquí me pronuncio) que si consideramos al lenguaje de la aritmética como el lenguaje objeto y al lenguaje de la lógica como el meta-lenguaje, entonces el lenguaje en el que se lleva a cabo la aritmetización 31

L. Wittgenstein, Tractatus, 3.333. 35


de la sintaxis equivale realmente no a borrar la distinción "lenguaje objeto - metalenguaje", sino a ampliarla, pues el resultado de Gódel sería una demostración que estaría tomando cuerpo en el "meta-meta-lenguaje". Ahora bien, el que ello fuera así implicaría que en el teorema de Gódel los numerales tienen otro significado, diferente en algún sentido del usual. Esto puede ser una idea totalmente descabellada, pero en todo caso surge de la inaplazable necesidad de disponer de una explicación de un resultado: tenemos derecho a saber por qué hemos de admitirlo si entra en conflicto con distinciones que normalmente todos aceptamos. Queremos saber cómo podemos mantener simultáneamente las dos cosas. Y la explicación, naturalmente, no puede consistir en apuntar una vez más al teorema. Lo dicho más arriba nos lleva a un tercer punto que es también importante. El teorema de Godel es desconcertante no sólo porque es una paradoja imposible de rebatir formalmente y porque anula distinciones establecidas y útiles, sino también porque pone en crisis una determinada concepción de las proposiciones matemáticas (y en general de las matemáticas), sin reemplazarla con nada. Nosotros partimos de la idea de que las matemáticas son la ciencia de la demostración y, por lo tanto, establecimos, en relación con las proposiciones matemáticas, una conexión interna o necesaria entre "sentido", "demostrabilidad" y "verdad". Pero el teorema de Godel destruye esta concepción, puesto que lo que representa es un contra-ejemplo: por medio de él se demuestra precisamente que hay al menos una proposición matemática (y probablemente un número infinito de ellas) que es (son) verdadera(s) y por ende significativa(s), pero que no es (son) demostrable(s) dentro del marco de las teorías matemáticas consideradas. Pero, una vez más, tenemos que poner en la balanza lo que está en juego: ¿rechazamos una concepción bien fundada sólo por un teorema o hacemos un esfuerzo por interpretar el teorema de alguna manera que no eche por tierra dicha concepción? Yo creo que esa era la vía por la que Wittgenstein empezaba a adentrarse y que, desafortunadamente, no pudo recorrer hasta el final. No obstante, ciertamente marcó con claridad el camino: lo que necesitamos es hacer un esfuerzo de imaginación para dotar de sentido al teorema de Gódel de manera que resulte consistente con lo que es una concepción muy bien armada de las matemáticas en su conjunto. Con lo que obviamente no podemos quedarnos contentos es con un juego formal impecable, pero que sencillamente impide que tengamos una concepción explicativa y congruente de las matemáticas in toto. Por lo anterior, me inclino a pensar que lo que con Godel se alcanza es, más que una prueba, algo así como un esquema de pruebas, una (por así decirlo), prueba de pruebas, la demostración de una nueva clase de pruebas. Él probó algo (yiz., una limitación) para todo formalismo que pueda ser puesto en relación sistemática con los números naturales y por ello probó algo más que un resultado meramente matemático (puesto que con la fórmula de Godel no se demuestra nada concreto en matemá36


ticas). Por ser tan abstracto, su resultado tiene implicaciones meta-matemáticas im portantes, como por ejemplo que todo programa de "reducción" de las matemáticas es fútil. Quizá un parangón aquí pueda ser útil para comprender la función del teorema de Gódel. Tomemos el campo de la economía. Hacer una inversión es hacer gastos, pagar sueldos, etc., para construir algo, digamos una fábrica. Pero considérese el capital financiero. Por medio de una computadora se mueven capitales que pasan de un banco en Hong-Kong a uno en Nueva York. También son inversiones sólo que en papel, en libros. O sea, podemos, si queremos, seguir hablando de inversiones, sólo que es claro que se trata de inversiones de una clase diferente. Lo mismo pasa con el "teorema" de Gódel y las matemáticas: si se quiere se le puede llamar a su teorema 'matemático', pero es claramente diferente de lo que normalmente es un teorema matemático. Por ejemplo, con el teorema de Gódel no se calcula nada, no se construye nada. Más que matemático, por lo tanto, el teorema de Gódel es un teorema formal32 en el que se usa la aritmética. La prueba de Gódel tiene quizá algo que ver con el absurdo matemático, sólo que ello es algo sumamente difícil de dilucidar (algo que probablemente ni Gódel mismo entendía, lo cual no tiene nada de sorprendente y sucede a menudo en ciencia). Por otra parte, puede defenderse la idea de que la comprensión cabal del resultado de Gódel exige que se le ponga en relación con otros resultados que le son de alguna manera afines. En verdad, parecería que para comprender el teorema de Gódel es menester comprender debidamente, inter alia, el trabajo de Turing y la teoría de la verdad de Tarski y ponerlos en conexión. Son resultados como esos lo que constituye el verdadero universo del teorema de Gódel y ellos no son, en el sentido más convencional, resultados matemáticos. En ellos se usan las matemáticas, pero parecerían pertenecer a un mundo formal superior. De ahí que no podremos comprender cabalmente lo que el teorema de Gódel "dice" mientras no lo veamos de manera sistemática en conexión con otros resultados con los que está internamente vinculado. La imagen a la que ello da lugar es la de un "universo" más amplio que el de las matemáticas. Lo que en todo caso sí queda claro es que Wittgenstein tenía razón al pensar que había un sentido en el que el resultado de Gódel no formaba parte de las matemáticas clásicas.

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Deliberadamente no digo 'lógico', puesto que es obvio que parte de lo que quiero decir es precisamente que hay algo de ilógico tanto en la prueba como en la motivación gódelianas. 37

GÓDEL Y WITTGENSTEIN

VI) Observaciones Finales Wittgenstein sostenía que una demostración matemática genuina es siempre una demostración de una proposición concreta. El teorema de Gódel no es eso. Wittgenstein pensaba que en matemáticas la prosa es irrelevante. En la prueba de Gódel una proposición matemática "habla" y "afirma" algo de sí misma. En efecto, la prueba de Gódel pretende ser una demostración de una proposición abstracta que de alguna manera se refiere al todo de las proposiciones matemáticas, Le., que supuestamente "dice" algo acerca de ellas. En ese sentido es "prosa" y en la misma medida, si Wittgenstein tiene razón, no forma parte del mismo universo. Desde el Tractatus Wittgenstein había defendido la idea de que la auto-referencia se produce cuando una función funge también como su propio argumento. Godel hace ver que hay juegos simbólicos en donde esta limitante no vale y que cuando se pasa del lenguaje objeto al meta-metalenguaje la auto-referencia es posible. ¿Refuta Godel a Wittgenstein? Claro que no. Lo único que se puede inferir es que si lo que Wittgenstein sostiene no se aplica o no vale para el teorema de Gódel, entonces el de Gódel no es estrictamente hablando un resultado matemático, sino un resultado de (por así decirlo) otra clase y en el cual y para el cual se usan las matemáticas. Puede entonces afirmarse que de alguna manera, sólo indirectamente, por exclusión quizá, Wittgenstein da cuenta de la labor de Gódel, y lo hace mejor inclusive que quienes se declaran los partidarios de este último, los cuales en la gran mayoría de las ocasiones no saben hacer otra cosa que ensalzar la hazaña formal de Godel. Pero ciertamente ensalzar no es comprender ni es saber explicar. De lo que estamos en espera, por consiguiente, es de la filosofía post-wittgensteiniana de los nuevos formalismos, esto es, de aquella filosofía que representaría un genuino avance, una expansión de la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein, y que permitiría dar cuenta de resultados como el de Gódel. Si lo que en general Wittgenstein afirma sobre las matemáticas no se aplicara al teorema de Gódel frente a lo que estaríamos sería no una refutación de sus puntos de vista, sino una clara indicación de que se alcanzó un límite en el desarrollo de cierta área del pensamiento humano. En dónde esté el genio que articulará para nosotros la nueva filosofía del formalismo es, sin embargo, algo tan enigmático e insondable como lo es aún en nuestros días el teorema que nos llevó a escribir estas líneas.

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Números Wittgensteinianos I) Introducción

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esde que, en el siglo V AJC, los pitagóricos pusieran en circulación la idea de que los números están en las cosas, la investigación respecto a la naturaleza del número se convirtió en un tema filosófico fundamental y no es exagerado sostener que muchos sistemas filosóficos, bien armados y atractivos en relación con otros tópicos, se derrumban ante su incapacidad para dar cuenta de él, Le., de dicho tema. La naturaleza del número, en efecto, constituye un tema no sólo difícil — por lo técnico — sino particularmente elusivo. Por ejemplo, no es de extrañar que al abordarlo se parta de premisas aceptables y que no obstante se desemboque, por medio de razonamientos impecables, en contradicciones, en absurdos, en problemas insolu bles o en propuestas francamente increíbles. A decir verdad, esto es lo que acontece con los pitagóricos: partiendo de la idea, a primera vista inobjetable e inocua, de que hablar de los números es hablar de algo y que usamos los números para contar entidades, es razonable inferir que los números, sean lo que sean, tienen algo que ver con los objetos contados, esto es, no están desligados de ellos. El que haya aquí dos leones me dice por lo menos dos cosas acerca de ellos, viz., que son leones y que son dos. No es, pues, descabellado concluir que, así como están allí los trozos de materia que conforman a los leones, allí está también, de alguna manera, el número dos. Si a consideraciones de esta clase añadimos las concernientes a la verdad y falsedad de los enunciados matemáticos, la objetividad de los resultados que se obtienen, su validez universal, etc., en verdad lo extravagante sería no proponer una teoría realista de la verdad matemática y una concepción objetivista del número. Estos lugares comunes permiten constatar que, en este como en muchos otros casos, las doctrinas filosóficas se extraen o se rundan en interpretaciones del simbolismo involucrado. Dicho de otro modo, debería ya ser obvio que toda teoría filosófica de

NÚMEROS WITTGENSTEINIANOS

los números procede de una teoría general del lenguaje, esto es, presupone una teoría así, no habría podido desarrollarse sin ella. Es claro, por otra parte, que ello es inde pendiente de que el filósofo del número se haya explícitamente pronunciado en relación con temas de filosofía del lenguaje. Esto en parte explica por qué inclusive en el caso de grandes matemáticos a menudo se pueden discernir, en sus pronunciamientos filosóficos, elementos de ingenuidad, por no hablar de crudeza o de primitivismo. Aunque desde luego no siempre, en múltiples ocasiones podemos rastrear los fundamentos de intrincadas teorías acerca del número en la bien conocida posición que hace de los numerales nombres de entidades y de diversos signos matemáticos nombres de propiedades o de relaciones que, se supone, valen entre dichas entidades. En este trabajo parto de la intuición wittgensteiniana de que una "representación perspicua" del lenguaje en general y del simbolismo matemático en particular debe generar la visión correcta del número y evitarnos la elaboración de una "teoría" al respecto. Me concentraré básicamente en lo que se nos dice en el Tractatus y, por consiguiente, en los números naturales. En vista del carácter abiertamente polémico de aquel primer gran libro de Wittgenstein, sería recomendable hacer un muy breve recordatorio de algunas ideas que constituyen su trasfondo natural y muy especialmente de algunas ideas del logicista más ambicioso y, pienso, coherente: Bertrand Russell. Es sobre el trasfondo de la crítica que Wittgenstein elabora de Russell que irá paulatinamente emergiendo una nueva concepción del número, mucho más profunda, esclarecedora y, creo, convincente.

II) Algunas Ideas de Russell No me parece que sea necesaria otra cosa que hacer una simple enumeración de algunas fundamentales (y bien conocidas) tesis russellianas para tener ante los ojos el cuadro que será el principal blanco de Wittgenstein. Para nuestros objetivos, nos bastará con tener presente los siguientes cuatro puntos: a) Russell es de los pocos filósofos que disponen de un criterio ontológico, a saber, el de los vocabularios mínimos. De acuerdo con éste, si un término es de alguna manera eliminable es porque es dispensable y si es dispensable es por que carece de significado, es decir, no denota. b) Russell no cuestiona las clasificaciones básicas del lenguaje natural, aunque sí altera sus contenidos y fronteras. Por lo tanto, hay sujetos genuinos, así como hay genuinas propiedades y relaciones. 40

FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS : ENSAYOS EN TORNO A WITTGENSTEIN

c) Russell hace suya la teoría lógica del significado, según la cual el significado de una expresión ineliminable es un objeto o una entidad de alguna clase y de algún tipo. d) Russell es un logicista. Lo que esto implica es que los numerales no son nom bres. Desde esta perspectiva, los números no son otra cosa que "construccio nes" o "ficciones" lógicas. No es nuestro propósito volver a la carga con el recuento de las objeciones ya clásicas elevadas en contra del programa de Russell, puesto que son de muy diversa índole y en este caso nos llevarían desde el joven Wittgenstein hasta el Wittgenstein de la madurez, pasando por Ramsey, Gódel, Benacerraf y muchos otros. En cambio, sí nos ocuparemos brevemente de las críticas contenidas en el Tractaíus, sólo que eso lo haremos después de haber reconstruido algunas de las elucidaciones wittgensteinianas respecto al lenguaje en general. Veamos, pues, rápidamente qué nos dice el joven Wittgenstein sobre la representación lingüística para pasar después a lo que es propiamente hablando nuestro objeto de investigación, esto es, el número.

III) El Tractatus y la Representación La posición de Wittgenstein en relación con el número queda articulada por medio de unas cuantas nociones, siendo las más prominentes las de concepto formal, serie formal, relación interna y operación. Empero, estas nociones son a su vez usadas dentro del marco de la teoría general de la representación defendida por Wittgenstein, a la que se le conoce como "Teoría Pictórica". Dado que no es nuestro tema, más que tangencialmente, la teoría misma de la representación, nos limitaremos a ofrecer únicamente sus lincamientos generales. El lenguaje, entendido como un sistema regulado de signos, es posible porque ciertas condiciones se cumplen. Dijimos que el lenguaje sirve para representar, pero esto de inmediato hace que nos planteemos ciertas preguntas. Quizá las más pertinentes para nuestros propósitos sean las dos siguientes: a) ¿qué representa el lenguaje? b) ¿cómo se representa por medio del lenguaje? Lo que se representa por medio del lenguaje es la realidad. Esto, sin embargo, exige ciertas aclaraciones. La expresión 'la realidad' no es un nombre de un algo, sino que más bien sirve para englobar a sus "elementos" en una totalidad. Paralelamente, lo que repre41


senta no es "el lenguaje", sino ciertas unidades lingüísticas, a saber, las oraciones, esto es, una clase especial de retratos (Bilder). Los elementos de la realidad que, propiamente hablando, son representados son los estados de cosas, las situaciones. La totalidad de dichas situaciones es "el mundo". Los hechos del mundo yacen en el espacio lógico, es decir, el espacio de la factualidad. Como una consecuencia de la fundamental propiedad lógica de bipolaridad de las proposiciones, el mundo del Tractatus resulta ser un mundo radicalmente atomizado, atomizado en el espacio, en el tiempo, en relación con los colores y sin causalidad. Los estados de cosas se dan o no con total independencia unos de otros. Por ello, la representación no es únicamente de los estados de cosas que de hecho se dan, sino de todos los estados de cosas posibles. Los estados de cosas a su vez se componen de objetos. La esencia del lenguaje es la representación factual y ésta es posible porque con el lenguaje se "retratan" hechos. La única función posible del lenguaje es la de retratar hechos. Cada oración o signo proposicional es un retrato potencial (si la oración está bien construida) que se vuelve una proposición cuando su sentido es pensado. Las oraciones completamente analizadas se componen de nombres. La representación de estados del mundo presupone entre otras cosas, y por lo menos, lo siguiente: a) que en una proposición elemental o completamente analizada haya tantos nom bres como objetos en el estado de cosas representado y que a cada nombre le corresponda uno y sólo un objeto. b) que la estructura del hecho retratado sea idéntica a la estructura de la propo sición. Lo que hemos dicho está en el núcleo de las respuestas a las preguntas planteadas más arriba y vienen enmarcadas (sigo en esto a Jaakko Hintikka) en una muy especial teoría de la ostensión. En efecto, es plausible sostener que cuando Wittgenstein afirma que los objetos (esto es, la sustancia del mundo) "se muestran", lo que quiere decir es que son el contenido de nuestra experiencia inmediata, el material último con el que ésta se construye y es por eso que sólo pueden "mostrarse' y no ser puestos en palabras. En todo caso, lo importante es lo siguiente: la representación tiene un carácter empírico. No hay representación genuina que no haga intervenir el mostrar, esto es, la ostensión, aunque su precio sea el silencio. Con esto en mente, intentaré reconstruir lo que Wittgenstein tiene que decir en el Tractatus en relación con los números.

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IV) Números y Verdad Matemática Como ya se dijo, el punto de vista correcto en relación con los números debe provenir de la intelección correcta del simbolismo matemático, el cual a final de cuentas no es sino una porción del lenguaje humano. Su carácter de subordinado es enunciado de diverso modo, pero una formulación particularmente cáustica es la que ofrece Wittgenstein cuando afirma: "En la vida no es nunca una proposición matemática lo que necesitamos. Más bien, empleamos proposiciones matemáticas únicamente para inferir de proposiciones que no pertenecen a las matemáticas otras que, de igual modo, tampoco pertenecen a las matemáticas".1 Es de crucial importancia, por lo tanto, entender cómo entra el simbolismo matemático en la representación pictórica del mundo. La primera de las nociones que debemos esclarecer es, me parece, la de concepto formal. Wittgenstein distingue esta noción de la de concepto genuino. Un concepto genuino es aquel que, al ser usado de manera apropiada, genera una proposición, esto es, algo que tiene condiciones de verdad. Conocer dichas condiciones es conocer su sentido. Desde el punto de vista de la Teoría Pictórica un signo para un concepto genuino es un nombre, puesto que Wittgenstein rechaza no tanto la idea de estructuración lingüística como la de tipo lógico y, sobre todo, tipo ontológico. Como él mismo nos lo dice, "Las jerarquías son y deben ser independientes de la realidad"2. Aquí es pertinente distinguir entre prototipos y tipos lógicos. Una función acarrea consigo su prototipo de argumento, pero esto no significa que una función sea de un "tipo lógico" superior. Y si se nos pregunta '¿por qué es ello así?', lo único que podemos responder es: "Las reglas de la sintaxis lógica deben ser inteligibles por sí mismas, tan pronto como se conoce de qué manera significa cada signo"3. Independientemente de si lo que Wittgenstein afirma es satisfactorio o no, el hecho es que siempre repudió la "teoría de los tipos lógicos" de Russell y, por ende, sus implicaciones metafísicas. En este punto es menester recurrir al simbolismo lógico usual. Una distinción básica es la distinción entre constante y variable. Una constante es un nombre, en tanto que una variable es más bien un mecanismo. Si un concepto es usado debidamente, al ser formalizada la expresión en la que aparece queda recogido por una constante. Pero hay conceptos que quedan recogidos en el simbolismo gracias única1

L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, (London/Henley: Routledge and Kegan Paul, 1978), 6.211 (a). 2 Ibid., 5.5561 (b) 3 Ibid., 3.334. 43


mente a las variables. En casos así nos las habernos con conceptos formales y un rasgo esencial de dichos conceptos es que no pueden quedar expresados por medio de proposiciones. La razón es simple: cuando intentamos hacerlo lo que generamos es una tautología, explícita o encubierta. Veamos rápidamente un ejemplo. Supongamos que hablamos de niños. Para poder hacerlo habremos de disponer de un stock de "nombres", en el sentido amplio autorizado por el Tractatus. Podremos entonces decir cosas como 'Juanito es simpático' y 'Luisito es mexicano'. 'Es sim pático' y 'es mexicano' son genuinos conceptos. Pero si ahora pretendemos decir 'Juanito y Luisito son niños', nuestra expresión carece de sentido: nosotros ya sabíamos, por ser usuarios normales del lenguaje, que 'Juanito' y 'Luisito' eran nombres de niños. Luego lo que en ese caso estaríamos haciendo sería construir una vacua tautología, una pseudo-proposición. En relación con los niños Juanito y Luisito "ser niño" es un concepto formal y no es predicable de ellos, al igual que sería absurda la negación de dicha pseudo-proposición ('los niños Juanito y Luisito no son niños'). Un punto importante en relación con esto es el siguiente: sería un error grotesco inferir que, desde el punto de vista del Tractatus, hay un conglomerado fijo de conceptos formales, en tanto que opuestos a conceptos genuinos, establecido apriori. Wittgenstein tiene el cuidado de recordarnos que los elementos de su aparato conceptual, nociones como objeto, propiedad, estado de cosa, etc., tienen un "uso oscilante". Dicho de otro modo, qué sea un objeto dependerá de qué sea un nombre en un lenguaje dado; asimismo, un concepto que en un discurso puede funcionar como un concepto genuino puede funcionar en otro como un concepto formal. Eso es algo que sólo pueden revelar nuestras variables. "Un concepto formal está automáticamente dado cuando se da un objeto que cae bajo él".4 Si ahora hablamos de los alumnos, decir que Juanito es un niño será decir algo con sentido, pero decir que es un alumno ya no será decir nada significativo, puesto que de entrada sabíamos que lo que teníamos eran nombres de alumnos. En este caso, el concepto formal será "ser alumno" y Juanito automáticamente cae bajo él. Ahora bien, Wittgenstein sostiene que los números son conceptos formales. Lo primero que esto implica es que los numerales no son nombres. O sea, el modo como entran los números en la representación pictórica de los hechos no es vía la designación, sino por medio de variables. Los numerales no son más que un mecanismo simbólico para recoger lo indicado por las apariciones de las variables, una vez que se ha encontrado la forma lógica de una oración. En efecto, si decimos que hay 3 objetos sobre la mesa lo que decimos es algo tan simple como ( Í 3x,y, z) [(Me & My & Mz) & (w) (Mw —> x = wv x = y v w = z)] . Es así como entran los números en las 4

Ibid., 4.12721. 44

FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS: ENSAYOS EN TORNO A WITTGENSTEIN

proposiciones. Los números, por lo tanto, son más como cuantificadores que como designadores de objetos. Las implicaciones filosóficas de este señalamiento son asom brosas: ponen coto a toda clase de disquisición acerca del número de objetos que hay en el mundo y permiten echar por tierra el axioma russelliano de infinitud, así como la jerarquía numérica de Russell. Si esto, que en verdad parece trivial, es acertado, entonces nada parece más descabellado que las concepciones filosóficas elaboradas a partir de consideraciones sobre los numerales en oraciones gramaticalmente bien formadas, pero cuya sintaxis lógica fue ignorada. Probablemente lo que más contri buya tanto a impulsar como a desacreditar dichas concepciones sea la idea ingenua de que los numerales son nombres de objetos. Ahora que sabemos que no son como nombres que entran en las proposiciones los signos matemáticos nos resultará com prensible la aseveración de Wittgenstein en el sentido de que "Las proposiciones de las matemáticas no expresan ningún pensamiento".5 En otras palabras, las proposiciones matemáticas no son ellas mismas retratos de nada. Dicho de otro modo: no hay tal cosa como "hechos matemáticos". Consideremos ahora la noción de relación interna. La definición wittgensteiniana, que es concisa y clara, concierne a las propiedades, pero es obvio que vale por igual para las relaciones. De acuerdo con él, "Una propiedad es interna si es impensable que su objeto no la posea".6 Así, pues, una relación interna es lo que nosotros llamaríamos una 'relación necesaria'. La aportación de Wittgenstein a la venerable controversia concerniente a qué propiedades y relaciones son necesarias y cuáles no consiste en señalar que una relación (o una propiedad) interna no puede quedar expresada por medio de proposiciones. Una relación así se muestra en las relaciones necesarias que de hecho valen entre las proposiciones involucradas. "La existencia de relaciones internas entre posibles estados de cosas se expresa en el lenguaje mediante una relación interna entre proposiciones que los expresan".7 De ahí que cuando imaginemos estar enunciando una relación necesaria entre objetos o entre estados de cosas, lo único que estaremos haciendo será construir una tautología o un enunciado analítico. Por ejemplo, decir que el 3 no habría podido ser inferior al 2 o que necesariamente es mayor que el 2, no es algo que tenga sentido decir. Eso es algo que se muestra en las sumas y restas que de hecho hagamos: si sumamos 3 el resultado es mayor que si sumamos 2 y si restamos 3 el resultado será menor que si restamos 2. Es así como se ve que el 3 es necesariamente mayor que 2. 5

Ibid., 6.21. Ibid., 4.123 (a). 7 Ibid., 4.125. 6

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La siguiente noción que Wittgenstein requiere para articular su punto de vista es la de operación. Las operaciones se ejercen prima facie sobre proposiciones y su objetivo no es sino el de extraer ciertas proposiciones a partir de otras. Desde la perspectiva estrictamente extensional del lenguaje defendida en el Tractatus, todas las proposiciones, independientemente de su apariencia superficial, son el resultado de operaciones de verdad que toman como bases a las proposiciones elementales. La noción de operación está, pues, vinculada a la de inferencia, por lo que tiene que ver, ante todo, con la forma lógica. Las operaciones permiten las transiciones preposicionales. "Una operación es aquello que hay que hacerle a una proposición para obtener otra de ella".8 Las operaciones son modificaciones estructurales o formales. Ellas mismas, por consiguiente, no dicen nada, no son una enunciación de nada. "En verdad, una operación no dice nada, sino sólo su resultado y ello depende de las bases de la operación".9 En este punto es importante trazar una distinción. Hay operaciones que se ejercen sobre proposiciones genuinas, esto es, proposiciones que enuncian la existencia de relaciones empíricas, de relaciones que pueden tanto darse como no darse y que no son, por así decirlo, adivinables. En realidad, en la vida cotidiana constantemente estamos efectuando operaciones, es decir, hacemos inferencias y extraemos conclusiones. Las operaciones que en casos así se realizan nos llevan de ciertas proposiciones a otras que, aunque implícitas, son diferentes. Sin embargo, hay casos en los que lo que deseamos efectuar es una y la misma operación, esto es, repetir la operación, tomando como base para ello el último resultado. Lo que en estos casos nos importan son proposiciones generales, como por ejemplo la proposición general 'a es el sucesor de b\ independientemente de qué o quiénes sean a y b. Surgen entonces series que ya no son empíricas sino formales, es decir, que se expanden por una relación interna, a diferencia de lo que acontece con las conexiones o series empíricas, las cuales están regidas por relaciones externas o contingentes. Las series formales son fundamentales para la caracterización del número: "Las series numéricas no están ordenadas por una relación externa, sino por una relación interna".10 Aquí el punto importante es el de que la noción de operación no presupone a la de número. Las relaciones internas hacen ver que en matemáticas los resultados son necesarios. El precio de ello, empero, ya lo conocemos: la no construcción de genuinos pensamientos. Aunque son muchas las cosas que se pueden decir en relación con las operaciones, me limitaré aquí a señalar una diferencia fundamental, enfatizada por Wittgenstein, *Ibid., 5.23. Ubid., 5.25 (b). 10 Ibid., 4.1252 (b).

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entre operación y función. Su posición es que "una función no puede ser su propio argumento, en tanto que una operación puede tomar como su base a sus propios resultados". 11 La idea de una función que se auto-aplica es una idea espúrea: no entender que una función, que contiene un prototipo, no puede ser su propio argumento, nos conduce directamente a la paradoja de Russell y a toda una serie de absurdos; en cambio, la idea de una repetición, de una y la misma operación que se ejerce una y otra vez, de una iteración, de una recursión, no tiene nada de ilegítima. Más aún, es lo que nos permite comprender qué son los números. Llegamos así a la caracterización del número. Para el Tractatus un número es simplemente "el exponente de una operación".12 Intentemos poner esto en claro. Cuando repetimos indefinidamente una cierta operación tomando sistemáticamente como base el resultado anterior generamos una serie formal, esto es, una serie regida por una regla que sistemáticamente se aplica. Ahora bien, en el caso de los números naturales esto es precisamente lo que sucede: se efectúa una operación (digamos una suma) sobre un término inicial y se construye "el siguiente" o "el sucesor". De ahí que, como afirma Wittgenstein, la forma general de un número entero sea [0, E,, £, + 1]. No obstante, la forma general del número no nos da números particulares, así como la forma general de la proposición no nos da una proposición. Más bien, un número, por así decirlo, acabado, aparece cuando en la serie formal apuntamos a un lugar determinado. Esto, sin embargo, no es otra cosa que indicar cuántas veces se efectuó la operación en cuestión. Desde esta perspectiva, el número es un lugar en una serie formal, en una progresión, es decir, un lugar en una serie regulada por una relación interna y al que llegamos por la iteración de una operación. El número es, pues, como ya se dijo, el exponente de una operación. Nada más. La concepción del número desarrollada por Wittgenstein lo conduce directamente a un determinado punto de vista acerca de la verdad matemática. Frege y sobre todo Russell nos acostumbraron a ver en las verdades matemáticas tautologías. La razón es por todos conocida: los logicistas traducen las verdades matemáticas a verdades expresadas en la terminología de la lógica y la teoría de conjuntos. Para ellos los números son conjuntos, clases de clases. Así, los enunciados numéricos se convierten en enunciados de la lógica (en un sentido muy amplio de la expresión puesto que por 'lógica' ahora se entiende 'lógica + teoría de conjuntos'). Nada más alejado del pensamiento de Wittgenstein que esto. Para él, la idea misma de conjunto es la idea de algo conformado empíricamente. Desde luego que se puede "definir" un conjunto n

Ibid.,S2Sl.

12

Ibid., 6.021. 47


por medio de una u na función proposicional, pero eso no pasa p asa de d e ser se r un mero artificio a rtificio formal, no la idea originaria de conjunto, de colección, de grupo. La idea de conjunto es la idea de una totalidad dada, en tanto que en matemáticas no nos las habernos con totalidades sino con sistemas, esto es, con series formales, las cuales obviamente pueden desarrollarse ad infinitum, es decir, tanto como uno quiera o pueda. Esto explica el violento pronunciamiento anti-logicista de Wittgenstein de acuerdo con el cual "La teoría de las clases es completamente superfiua en matemáticas".13 Un número es un modo de marcar un punto dentro de un sistema, no un elemento de una totalidad, de una clase. ¿Qué son, pues, las verdades matemáticas si no son ni tautologías ni proposiciones empíricas? "Las proposiciones de las matemáticas son ecuaciones y, por lo tanto, pseudo-proposicion pseudo-proposiciones". es".14 En general, nos vemos incapacitados para entender esto porque la gramática superficial de las verdades matemáticas es sumamente engañosa. Cuando decimos, por ejemplo, que el número 3 es primo o que 3 + 2 = 5, tenemos la impresión de estar construyendo una auténtica proposición, de algo que es verdadero o falso en el mismo sentido en que lo es una proposición como 'París es la capital de Francia'. Pero esto es un error: el signo de igualdad '=' no es el mismo que el signo de identidad '='. La identidad es una noción lógica espúrea, pero la igualdad es un signo legítimo y útil: sirve para indicar que las expresiones que están a ambos lados del signo son intercambiables, sustituibles. Esto se ve fácilmente si se recurre a las definiciones. Wittgenstein afirma que "Es una propiedad de '(1 + 1 + 1 + 1)' que pueda construirse construirse como '(1 + 1) + (1 + 1)'". 1)'".15 Aplicando esta propiedad y las definiciones de ' Y como '0 + 1', '2' como '1 + 1', etc., a la expresión anterior, Le., a '3 + 2 = 5', lo que tenemos es un esquema como: (1 + 1 + 1) + (1 + 1) = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) La gran ventaja de esta nueva formulación es que nos permite ver que al sumar no estamos predicando nada de nada, que no estamos, propiamente hablando, aseverando nada. Nuestra ecuación no es otra cosa que una regla para el uso de signos y lo que dicha regla indica es que éstos son intersustituibles sin que los cálculos que con ellos se hagan se vean afectados. En matemáticas no nos las habernos con conceptos, sino con reglas de sintaxis, gracias a las cuales logramos determinar extensiones a través de proposiciones. 13

Ibid., 6.031 (a). Ibid., 6.2 (b). 15 Ibid., 6.231 (b). 14

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Hay en el Tractatus unas cuantas secciones dedicadas a demoler la explicación fregeana de expresiones como '2 + 3 = 5' en términos de identidad de denotación y diferencia de sentido. No sólo la noción misma de significación quedó de hecho ex pulsada pulsada de las matemát matemáticas icas,, sino que Wittgen Wittgenstei steinn mostró mostró que la noción noción de identidad, identidad, requerida por la explicación fregeana, es absurda y da lugar a inmensas peticiones de principio. La identidad de denotación no se puede pued e aseverar: se muestra en el uso de los mismos nombres: es porque yo ya sé que dos expresiones denotan lo mismo o sirven para que nos refiramos a lo mismo que digo que sus denotaciones son idénticas. Comprender este rechazo por parte de Wittgenstein de lo que es una idea muy extendida es importante para entender la idea wittgensteiniana de ecuación. Su posición se expresa como sigue: "Una ecuación tan sólo caracteriza el punto de vista desde el cual considero a ambas expresiones, esto es, desde el punto de vista de su igualdad de significado".16 Así, si no nos dejamos desviar por las interpretaciones metafísicas del simbolismo, ciertamente podemos decir que '2 + 3' y '5' significan lo mismo. Lo que entonces se quiere decir es simplemente que la operación que se efectúa con el signo que está del lado izquierdo de la igualdad produce el mismo número que está indicado por la expresión numérica ubicada del otro lado del signo de igualdad. Esto no tiene nada que ver con el sentido y la referencia fregeanos. El que las ecuaciones sean pseudo-proposiciones no impide que efectivamente se parezcan parezcan más a las proposic proposiciones iones,, esto es, a los retratos retratos,, que las tautología tautologías. s. Desde el punto de vista vista del Tractatus, la lógica es "el gran espejo" de la realidad. Las leyes de la lógica sólo muestran la estructura del mundo, pero no dicen nada. Las ecuaciones, en cambio, si bien muestran lo mismo ("La lógica del mundo, que las proposiciones de la lógica muestran en las tautologías, la muestran las matemáticas en las ecuaciones"17) se diferencian de las tautologías por cuanto dicen algo, a saber, que muestran algo. La razón de esta diferencia procede, ante todo, del signo de igualdad de las ecuaciones matemáticas. Dicho signo se conduce como un auténtico verbo, como un signo de aseveración: indica o parece decir que dos operaciones producen el mismo número. Esta diferencia, sin embargo, ni convierte a las ecuaciones en retratos, esto es, en proposicio proposiciones nes (empíricas) (empíricas),, ni las desliga desliga por completo completo de de la lógica, lógica, puesto puesto que a final 18 de cuentas las matemáticas son un "método lógico". Cabría entonces preguntar: ¿hay alguna diferencia más palpable entre tautologías y ecuaciones que la diferencia respecto al decir y el mostrar? La respuesta es que sí: la diferencia parece residir en 16

Ibid., Ibi d., 6.2323.

17

Ibid., 6.22. Ibid., 6.2.

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el carácter altamente operativo o funcional de las ecuaciones, algo totalmente ausente en las tautologías. Las tautologías son perfectamente inútiles ("Por ejemplo, no sé nada acerca del tiempo si sé que llueve o no llueve"19), en tanto que las ecuaciones matemáticas están integradas en nuestro lenguaje, en nuestras formas lingüísticas, en las teorías científicas, y permiten hacer transiciones que desde un punto de vista práctico son importantes. Quizá debamos ya sintetizar o resumir la posición general del Tractatus en relación con el número, tomando en cuenta todos los elementos hasta ahora mencionados. Para Wittgenstein, un número no es ni un mero numeral ni una entidad. Un número es más bien un esquema proposicional, proposicional, una manera de marcar la forma de una proposición. proposición. En la medida en que los números tienen que ver con las formas lógicas de las proposiciones, y no con la idea empírica de clase o de agregado, el "conocimiento" matemático es, como el de la lógica, enteramente a priori. Sin tener que comprometerse con la explicación conjuntista de las progresiones, de las series formales, Wittgenstein puede dar cuenta de lo que es contar, puesto que la idea de contar es la de enumerar objetos nombrados. Puede, pues, constatarse que la excursión por los abstractos dominios de la elucidación filosófica no le impide al Tractatus hacernos entender también en qué consiste la practicalidad del simbolismo matemático.

V) Críticas al Tractatus Sería ocioso negar que las posiciones alcanzadas por Wittgenstein en el Tractatus hacen justicia a muchas intuiciones básicas y me parece que es igualmente indiscuti ble que q ue uno un o de sus mayores méritos es que qu e nos n os evita ev ita adoptar ad optar tesis metafísicas res pecto a los números. Empero, habría también que reconocer que el libro contiene pronuncia pronunciamient mientos os sibili sibilinos nos y, sobre sobre todo todo que, por por no aborda abordarr en forma forma direct directaa amplias amplias zonas de las matemáticas, parecería que las deja sin explicar. En lo que resta del trabajo, enumeraré y comentaré, sin entrar mayormente en detalles, algunas de las objeciones que se han elevado en contra de lo que se dice en el Tractatus acerca de las matemáticas y que considero inválidas. Terminaré enunciando lo que en mi opinión constituye la debilidad de la posición wittgensteiniana. En su célebre Introducción al libro de Wittgenstein, Russell escribe: "A mí me parece que, en relación con algunos temas, la teoría del Sr. Wittgenstein Wittgenstein necesita un mayor desarrollo técnico. Esto se aplica en particular a su teoría del número (6.02 y 19

Ibid., Ibid., 4.461 (e).

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sigs.), la cual, así como está, es susceptible de dar cuenta únicamente de los números finitos. Ninguna lógica puede considerarse adecuada hasta que se haya mostrado que es capaz de dar cuenta de los números transfinitos. No pienso que haya nada en el sistema del Sr. Wittgenstein que le haga imposible llenar esta laguna".20 Hasta aquí el comentario de Russell. Yo creo que en este caso, aunque podemos explicarnos por la falta de aclaraciones por parte de Wittgenstein por qué Russell hace este señalamiento, es Russell quien no parece comprender lo que está enjuego y es dudoso inclusive que pudiera hacerlo. Esto es algo que sólo quedará debidamente esclarecido en la obra posterior de Wittgenstein. Dicho brevemente, para éste el infinito no es ni una cantidad ni una extensión ni un número.21 No hay, por lo tanto, como lo piensa Russell, "números transfinitos". La aritmética transfinita es algo que exige elucidación gramatical, ya que el comportamiento de sus nociones clave, de nociones como K o, no es transparente. Wittgenstein da una idea de su novedoso (y por ello de difícil aprehensión, especialmente para un matemático) punto de vista cuando afirma que "El concepto de aplicaciones sucesivas de una operación es equivalente al concepto 'y así sucesivamente' ",22 es decir, a nuestro 'etc.', y es claro, por otra parte, que el concepto de infinito está conectado con el 'etc.' que no es el de la pereza, es decir, el 'etc.' que usamos cuando nos da flojera contar todos los elementos de un conjunto cuyos elementos no obstante podríamos en principio enumerar. La idea correcta de infinito, que posteriormente Wittgenstein desarrollará en detalle, tanto en las Observaciones Filosóficas como en las Observaciones sobre los Fundamentos de las Matemáticas, es la idea de una aplicación ilimitada de determinada operación, de la posibilidad de realizarla las veces que uno quiera. Esta posibilidad está inscrita en una regla, que es peculiar a los juegos de lenguaje de las matemáticas. Esta posición, que equívocamente ha sido llamada 'estrictamente finitista', puede resultarnos convincente o no, pero en todo caso debe quedar claro que la pretensión de Russell de extender la explicación que Wittgenstein ofrece de los números naturales a los números transfinitos es algo totalmente fuera de lugar. Es cierto, pues, que el "sistema" de Wittgenstein permite, en principio, dar cuenta del infinito, pero es falso que dicha explicación se funde en la explicación que ofrece de los números naturales. Otro pensador inconforme con la propuesta del Tractatus es Frank P. Ramsey. Hablando de la concepción wittgenstein iana de las ecuaciones matemáticas dice lo 20

B. Russell, "Introduction" en Tractatus Logico-Philosophicus, p. XX. A este respecto, recomiendo la lectura del capítulo I, "Consideraciones en torno al Infinito", de mi libro Filosofía Analítica: un panorama (México: Plaza y Valdés, 2004). 22 L. Wittgenstein, op. cit., 5.2523. 21

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siguiente: "No veo cómo pueda suponerse que esta explicación cubra el todo de las matemáticas y es evidentemente incompleta puesto que también hay desigualdades, que son más difíciles de explicar".23 Él sostiene asimismo que, así como está, la posición de Wittgenstein "es obviamente una concepción ridiculamente estrecha de las matemáticas y la limita a la simple aritmética".24 Nuestra dificultad consiste en evaluar qué tan demoledora es esta crítica de Ramsey. Yo pienso que la objeción de Ramsey apunta a una dificultad resoluble y, por lo tanto, que no constituye una refutación de lo afirmado por Wittgenstein. Lo más que podría mostrar es que la concepción del Tractatus es de alcance limitado. Lo que ciertamente Ramsey no muestra es que dicha concepción esté en principio incapacitada para abarcar los sectores de las matemáticas de los que Wittgenstein no se ocupa directamente, como por ejemplo la geometría. Por otra parte, es obvio que el ámbito fundamental para la especulación y la discusión filosóficas es el de los números naturales, puesto que otras clases de números son conjuntos de números naturales regidos por otras reglas. Por ejemplo, 71 es, digamos, 3.1416. Sus ingredientes, por así decirlo, son números naturales (3,1,4,6), sólo que rígidos por otras reglas que las de la aritmética elemental. Luego la naturaleza del número de uno u otro modo de pende de lo que se diga en relación con los números naturales. En cierto sentido, por consiguiente, la objeción de Ramsey es superable. La otra parte de la objeción, a saber, que las igualdades no constituyen los fundamentos de las matemáticas, es algo que Ramsey nunca demuestra. Hay un intento de demostración de esto en su articulo "The Foundations of Mathematics", pero no es fácil ver su fuerza. Su idea es simple y es la siguiente: en aseveraciones en las que intervienen expresiones matemáticas, como por ejemplo, la afirmación de que 'el cuadrado del número de los u es menor por 2 que el cubo del número de los w\ parte de la aseveración es acerca de objetos y propiedades y parte acerca de signos (puesto que las reglas matemáticas son reglas para el uso de signos). Pero entonces la parte matemática no es un elemento veritativo-funcional de la oración completa, sino que entra más bien como una constante lógica. Y esta observación le basta a Ramsey para sostener que "La teoría de las matemáticas como identidades es totalmente inadecuada para explicar dicho uso de m2 = «3 - 2".25 Confieso que no veo en qué 23

F. P. Ramsey, "Review of ' Tractatus"' en Irving M. Copi y Robert W. Beard (Eds.) Essays on Wittgenstein 's Tractatus, (London: Routledge and Kegan Paul, 1966), p. 20. 24 F. P., Ramsey, Foundations. Essays in Philosophy, Logic, Mathematics andEconomics. Editado por D.H. Mellor, (London/Henley, 1978), p. 168. 25 Ibid., p.170.

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consista el problema para el Tractatus. Desde la perspectiva de Wittgenstein, la ecuación asevera que la operación efectuada sobre m produce el mismo número que la realizada con n cuando a su resultado se restan 2. Supongamos que m = 5 y que n = 3. Tenemos entonces que 52 = 33 - 2; o sea, 25 = 27 - 2. La explicación de Wittgenstein no parece enfrentar aquí ningún problema. Quizá hayan sido elaboradas otras objeciones a las ideas de número y de ecuación delineadas en el Tractatus, pero debo decir que no las he encontrado. Ahora bien, si no me he alejado demasiado de la verdad, podríamos tal vez inferir que las críticas hechas, por así decirlo, desde fuera no han sido particularmente certeras. ¿Significa ello que la filosofía de las matemáticas del Tractatus es inatacable? Creo que la respuesta tiene que ser matizada. En mi opinión, la debilidad fundamental del Tractatus no se debe ni mucho menos a ignorancia o a incomprensión de técnicas matemáticas por parte de su autor, sino que procede más bien del enfoque general, enteramente formal, de la primera filosofía de Wittgenstein. Me parece que podemos dar expresión a nuestra insatisfacción preguntando: a final de cuentas ¿para qué, según el Tractatus, sirven los números? Russell, por ejemplo, diría: los números sirven para contar. Empero, como bien observó Max Black, a diferencia de Russell, al Wittgenstein del Tractatus no parece importarle mayormente la idea de contar ni, en general, lo que de hecho se haga con ellos. Las ambiciones filosóficas de Wittgenstein eran, aunque mal encaminadas, de un carácter mucho más abstracto. Sin embargo, si nos despreocupamos del contar y, en general, de toda clase de cálculo, nos vuelve a asaltar la pregunta: ¿para qué o por qué queremos o necesitamos números? La respuesta de Wittgenstein es, en síntesis, que los números son esquemas que exhiben la forma lógica de las proposiciones. Nuestra pregunta, por lo tanto, nos conduce a otra, de la cual depende, viz., ¿por qué en la práctica son importantes las formas lógicas, las formas apriori de los hechos contingentes conformados por los objetos de todos los mundos posibles? La respuesta es que el conocimiento de las formas lógicas es im portante porque encarna el conocimiento supremo, esto es, el conocimiento, inex presable proposicionalmente, de la estructura del mundo. Así, desdeñando toda respuesta que nos lleve por las vías de la practicalidad, el joven Wittgenstein se mueve más bien en la dirección de la contemplación pero también, por qué no decirlo, del misterio. Es claro que para un genio que regresa a la filosofía una respuesta así no podía resultar aceptable por mucho tiempo. Su segunda filosofía, es bien sabido, se inicia con un ataque simultáneo sobre diversas nociones y posiciones del Tractatus y, a no dudarlo, una de las nociones que con mayor rapidez se vio desmantelada fue precisamente la de forma lógica. Con el derrumbe de dicha noción se abrieron las puertas para la posibilidad de la gestación de una nueva filosofía de los números. La idea del Tractatus de que los números son como esquemas preposicionales sobrevi53


vió, sólo que al ser re-ubicada en el marco de una nueva concepción del lenguaje se transmutó. Estudiar la evolución del pensamiento de Wittgenstein sobre las matemáticas es ciertamente enriquecedor y apasionante. Naturalmente, dicho estudio rebasa los modestos objetivos que me plantee para este trabajo, por lo que no diré ya nada más al respecto.

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Wittgenstein: lenguaje, números y aritmética I) Wittgenstein y la Filosofía de las Matemáticas

E

s en volúmenes que se cuentan ya los estudios (libros, ensayos, reseñas) sobre la obra de Ludwig Wittgenstein. La verdad es que es de tales magnitudes dicha producción de trabajos sobre la vida y los escritos (publicados en vida o postumos) de Wittgenstein que ya nos rebasó: difícilmente, por ejemplo, podría encontrarse a alguien que hubiera leído todo lo que sobre él se ha escrito. Por otra parte, es un hecho que uno de los efectos de dicha producción (cualitativamente de lo más variado) ha sido convertir los estudios sobre Wittgenstein en una labor de exégesis y de reflexión cada vez más especializada y exigente. En efecto, es cada vez más difícil (sobre todo en relación con ciertos tópicos, que parecen agotados) decir algo novedoso o interesante, y sobre todo no repetitivo, sobre la herencia filosófica wittgensteiniana. Ahora bien, algo que llama la atención es que, a pesar de la gran variedad de enfoques y métodos para acercarse a los textos wittgensteinianos, rara vez encontramos lo que podríamos llamar una 'perspectiva integral'. Esto es algo particularmente patente en el caso de su filosofía de las matemáticas. Hay estupendas exégesis de las aclaraciones de Wittgenstein en relación con diversos temas de, e.g., filosofía de la mente en las que se resaltan sus conexiones internas con sus aportaciones en el área de la filosofía del lenguaje. Asimismo, las conexiones entre su filosofía del lenguaje y su filosofía de la religión han sido destacadas y aprovechadas ampliamente. En cambio, cuando pasamos al terreno de la filosofía de las matemáticas, las cosas cambian notoriamente. En este caso nos topamos con varios fenómenos no del todo explicables. Por una parte, y por sorprendente que resulte, hasta muy recientemente la filosofía de las matemáticas y de la lógica era la parte menos estudiada de la obra de Wittgenstein y, por la otra, a menudo lo que se hacía era examinarla, por así

LENGUAJE, NÚMEROS Y ARITMÉTICA

decirlo, como un universo auto-contenido, como si no mantuviera vínculos de ninguna índole con resultados alcanzados en otras ramas, en particular en la filosofía del lenguaje. El efecto inmediato de dicho tratamiento ha sido el de hacerle perder fuerza y brillantez a las posiciones wittgensteinianas. Esto, hay que decirlo, es algo que ha empezado a cambiar y disponemos ya de excelentes contribuciones en este sentido.1 No obstante, deberíamos preguntarnos: ¿cómo dar cuenta de dicho estado de cosas? ¿Cómo es posible que eso haya sucedido? Para explicarlo, aventuro, a manera de conjeturas, tres hipótesis, no excluyentes sino complementarias: a) el imperio del russellianismo. A lo que con esto apunto es al innegable éxito de Russell en imponer tanto una notación como una temática. Ni mucho menos quiero insinuar que el programa concreto de Russell haya triunfado, pero la realidad de su fracaso no refuta mi hipótesis: refutaron a Russell lógicos y filósofos que discutían con él "sus" problemas. Desde este punto de vista, Godel es un producto russelliano más. Y lo que hay que entender es que la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein era no sólo anti-russelliana, sino esencialmente también no-russelliana (terminología, problemas, enfoques, etc.). Para bien o para mal, este rasgo excluyó a Wittgenstein de muchas de las discusiones contemporáneas. b) La precoz proliferación de puntos de vista críticos que muchos consideraron como definitivos. Curiosamente, vale la pena señalarlo, Russell mismo no fue nunca un crítico así. Pero sí podemos mencionar a importantes pensadores, como F. P. Ramsey o M. Dummett, sin duda autoridades en el área, quienes miraron y enseñaron a mirar con desdén las aportaciones de Wittgenstein en esta rama de la filosofía. Es sólo ahora que empezamos a percatarnos de cuan equivocados estaban. c) La originalidad de la lectura wittgensteiniana de los lenguajes matemáticos y, sobre todo, el hecho de que la haya realizado mediante un aparato conceptual no sólo propio, sino incompartido. Es, pues, comprensible que si, por una parte, la notación del "aparato de las funciones preposicionales" y, en general, la teoría de la cuantificación es umversalmente aceptada y, por la otra, nadie recurre a la notación wittgensteiniana, mucho de las demoledoras críticas de Wittgenstein hayan pasado desapercibidas y no hayan sido nunca (o no hayan podido nunca ser) debidamente apreciadas. 1

En mi opinión, habría que destacar muy especialmente los trabajos de Juliet Floyd y de Jacques Bouveresse. 56


Como dije, esta situación está cambiando velozmente. Dudo mucho que la notación, por ejemplo, del Tractatus se vuelva súbitamente popular (por ejemplo, que se deje de usar '=', esto es, el signo lógico de identidad), pero lo que sí creo es que muchas de las intuiciones (geniales, hay que enfatizarlo) de Wittgenstein en torno a las matemáticas empiezan a convertirse en una nueva veta y a ser aprovechadas cada vez mejor. En este trabajo intentaré rescatar algunas ideas cruciales de Wittgenstein concernientes a los números y a la naturaleza de la aritmética, para lo cual me concentraré

básicamente en dos obras, viz., el Tractatus Logico-Philosophicus y las

Observaciones Filosóficas, tratando precisamente de destacar las conexiones entre ellas y su filosofía del lenguaje. Sin embargo, daré inicio a mi examen con algunas de las críticas que Wittgenstein eleva en contra del logicismo de Frege y Russell.

II) Algunas Fallas del Logicismo Uno de los errores más recurrentes en las discusiones referentes al logicismo de Russell consiste en limitarse a señalar ciertos resultados que aparentemente echan por tierra sus tesis más fundamentales. El teorema de incompletitud de Gódel o el carácter redundante del axioma de reducibilidad una vez reclasificadas las paradojas en lógicas y semánticas son ejemplos de ello. Sin embargo, es obvio que discusiones como esas, por importantes que sean y por desastrosas que hayan resultado para la filosofía de la lógica y de las matemáticas de Russell, se dan de todos modos en el marco de la filosofía russelliana. Después de todo, se trata de logros que contribuyen a reforzar y desarrollar un programa y una tradición que él inició. De ahí que esas críticas a Russell desde el interior del russellianismo contrasten fuertemente con la posición de Wittgenstein, la cual es abiertamente hostil a todo lo que Russell representa. Desde el Tractatus (y en verdad, desde las Notas sobre la Lógica y de las Notas dictadas a Mooré), a lo que Wittgenstein objeta es al programa mismo de reducción de las matemáticas a la lógica, a las intuiciones básicas de Russell, a su caracterización de los indefinibles de la lógica, a sus nociones fundamentales (identidad, cuantificación, etc.) y, desde luego, a lo que él consideraba una concepción radicalmente errada de la lógica (constantes, formas, verdades) y de las matemáticas. En verdad, desde la perspectiva del Tractatus prácticamente el todo de la im presionante labor de Russell se reduce a un auténtico fiasco filosófico (con la excepción de la Teoría de las Descripciones). A diferencia de, digamos, Gódel, Wittgenstein no intenta hacer ver que en el marco del sistema de Principia Mathematica ciertos resultados son inasequibles. Lo que él hace es rechazar el russellianismo in toto. 57


Ahora bien, la violencia del ataque de Wittgenstein en contra de la filosofía de Russell es realmente digna de llamar la atención. Después de todo, Principia Mathematica no es un panfleto cualquiera, sino una obra monumental. Empero, en el Tractatus dicha obra se ve sometida a un juicio devastador. A guisa de ejemplo, considérese el implacable veredicto en el sentido de que "La teoría de las clases es completamente superflua en matemáticas" (6.031). Pero la reducción de las matemáticas a la lógica (incluyendo la teoría de conjuntos) era precisamente lo original, lo novedoso de la escuela de Russell (y Frege). Si Wittgenstein estaba en lo correcto, es la idea motriz misma de la filosofía de las matemáticas y de la lógica de Russell, Le., el proyecto de definir los números en términos de clases y de definir las verdades matemáticas en términos de verdades lógicas, lo que está mal. Evidentemente, un juicio que tiene las implicaciones que tiene el de Wittgenstein no podría hacerse a la ligera, sino que tiene que estar muy bien fundamentado. Nuestra pregunta es: ¿lo está? Pienso que sí. Aquí parte del problema consiste en entender cómo o por qué puede estar mal algo que a todas luces es factible, es decir, algo ya realizado o materializado. O sea, si las definiciones logicistas funcionan, entonces ¿qué se cuestiona? Se supone que al proporcionarnos las definiciones de los números en términos de clases esclarecemos su naturaleza (su esencia). ¿Cómo es posible entonces que se quiera rechazar las implicaciones de las definiciones cuando éstas en sí mismas no tienen nada objetable? En las Observaciones Filosóficas Wittgenstein dice algo que es relevante para explicar esta situación. Lo que sucede es que estamos frente a una confusión. Por un lado, tenemos las reglas de la aritmética y sus aplicaciones y por el otro las definiciones logicistas. Es un hecho que la aritmética ya era practicada o usada mucho antes de que los logicistas avanzaran sus definiciones. Era precisamente su utilidad inmediata, obvia, la garantía de su corrección. Lo que los logicistas hicieron fue desarrollar un nuevo lenguaje formal al que ex-postfacto lograron poner en conexión de manera sistemática con el lenguaje de los números. Sobre esa base pasaron a alegar que eso y no otra cosa era definirlos, asumiendo que es sólo a través de su definición que se nos revela su naturaleza. Pero es allí donde está el error. Wittgenstein diagnostica la situación como sigue: "Porque se puede decir que las reglas para los numerales presuponen siempre las definiciones. Pero ¿en qué sentido? ¿Qué significa decir que un signo presupone otro que, estrictamente hablando, no está ni siquiera allí? Presupone su posibilidad; su posibilidad en el espacio del signo (en el espacio gramatical)".2 O sea, se pueden inventar tantos lenguajes o sistemas simbólicos como se quiera y luego dedicarse a establecer correlaciones 2

L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas. Traducción de Alejandro Tomasini Bassols (México: IIF/ UNAM, 1997), sec. 110, p. 122. 58


como las que establecieron Frege y Russell entre números y conjuntos, pero eso no es aclarar la "naturaleza del número", sino simplemente expandir el simbolismo formal. La aclaración que requerimos no se da en la expansión del simbolismo, sino en el análisis de las nociones empleadas. En este sentido, las definiciones logicistas no son un análisis de nada y lo que hacen es más bien alejarnos o desviarnos de éste. ¿Qué pasa, pues, si efectivamente la teoría de las clases (como todo parece indicarlo) es redundante en matemáticas? Parecería que el mero hecho de que para aprender a sumar sencillamente no se necesita recurrir a la teoría de conjuntos es un buen argumento en favor de esa sugerencia. Pero ¿qué significación tiene dicho factuml Lo que éste revela es simplemente que es el todo de la explicación logicista lo que está mal. Desolado, Frege terminó por aceptar que su noción de clase generaba contradicciones y optó por abandonar el proyecto original, pero Russell era más pertinaz: él pensaba que, mediante su Teoría de los Tipos Lógicos y su "«o class theory" (una aplicación de la Teoría de las Descripciones), él estaba en posición de subsanar las dificultades que plantearan las clases, entre otras cosas eliminándolas. Aparte de que el programa de Russell fracasó por cuanto se desvió de sus objetivos originales y terminó siendo otra cosa, puesto que (por ejemplo) él se vio en la necesidad de introducir axiomas no lógicos, como los axiomas de reducibilidad y de elección, el problema es, obviamente, que las dificultades filosóficas no se resuelven por medio de tecnicismos. Lo que estaba mal de raíz era, por ejemplo, la creencia de que la teoría de la cuantificación puede recoger sin confundirnos todos los usos de pala bras como 'todos', 'algún', 'cada', etc., y también que es de aplicación transparente en matemáticas, cuando a final de cuentas no es más que un recurso auxiliar. Quedó asimismo de manifiesto que las nociones que se requerían para el trabajo de reducción de las matemáticas a la lógica son problemáticas y (como la de identidad) superfluas. O sea, de hecho desde el Tractatus Wittgenstein acusa a Russell de no haber aclarado en lo más mínimo lo que son los números y de haber fracasado rotundamente en la labor de genuina aclaración filosófica. Lo que, desde la perspectiva de Wittgenstein, Russell habría hecho habría sido generar cadenas de confusiones e incomprensiones ocultándolas tras un simbolismo dúctil, proceso que habría culminado en el grotesco y palpable error consistente en afirmar que las ecuaciones son lo mismo que las tautologías. Russell no parece haber nunca sentido la diferencia radical que hay entre las clases y los números: las clases tienen un sabor empírico de la que los números carecen. Eso sólo se entiende si se comprende, primero, que "la generalidad que necesitamos en matemáticas no es generalidad contingente"? si,

3

L. Wittgenstein, TractatusLogico-Philosophicus (London: Routledge and Kegal Paul, 1978), 6.03l(b). 59


segundo, se tiene presente que "El símbolo para una clase es una lista"4 y si, tercero, se entiende algo obvio, a saber, que una lista de cosas es algo que tanto se da como puede no darse. Ese elemento de contingencia propio de las clases está por principio ausente en las matemáticas. Pero entonces ¿cómo podría la teoría de conjuntos contribuir a "fundamentar" las matemáticas? La desviación del análisis correcto de los conceptos matemáticos (entre otros) se inicia con la fácil sobreposición del lenguaje de la lógica a toda clase de simbolismos. Por ejemplo, podemos expresar en el lenguaje formal de la teoría de la cuantificación tanto 'hay un número primo entre el 10 y el 12' como 'hay un oso frente a mi recámara'. O sea, aparentemente por medio del lenguaje canónico de la lógica podemos simbolizar correctamente de la misma manera tanto proposiciones matemáticas como proposiciones en sentido estricto. Gracias a la lógica todo se uniformiza. Desde los inicios de su reflexión, Wittgenstein se sublevó en contra de esta supuesta utilidad del simbolismo lógico y en su etapa de madurez será al respecto mucho más explícito y contundente: "La maldición de la invasión de las matemáticas por parte de la lógica matemática es que ahora cualquier proposición puede ser representada en un simbolismo matemático y esto nos hace sentirnos obligados a comprenderla. Aunque, desde luego, este método de escribir no sea otra cosa que la traducción de vaga prosa ordinaria".5 En especial, al tratar a toda clase de oración de la misma manera el simbolismo russelliano simplemente borra la distinción entre el discurso matemático y el discurso normal. De ahí que nada sea más natural que la lógica lleve a pensar que cuando hablamos de matemáticas hablamos de objetos o que las aseveraciones matemáticas son verdaderas o falsas en exactamente el mismo sentido en que lo son nuestras afirmaciones acerca de hormigas o de naranjas. En el fondo, no tiene nada de extraño que el platonismo se haya atrincherado en la filosofía de las matemáticas mejor que en cualquier otra rama de la filosofía. Examinemos brevemente los números. Si bien para Russell no, para Frege, inevitablemente, los números eran objetos. Para Russell ello no tenía por qué ser así puesto que de acuerdo con él, por una serie de malabarismos simbólicos, lo que se dijera respecto a los números podía "traducirse" al lenguaje de las clases y luego deshacerse de éstas como meras "ficciones lógicas". De los símbolos para clases, en efecto, se puede decir exactamente lo mismo que de las descripciones: no tienen significado considerados en sí mismos, si bien toda proposición en la que aparecen es 4

L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, sec. 118, p. 130. L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Cambridge/London: The M.I.T. Press, 1975), parte IV, sec. 46, p. 155e. 5

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significativa. "Los símbolos para clases, como aquellos para descripciones, son, en nuestro sistema, símbolos incompletos: sus usos están definidos, pero no se asume que ellos mismos signifiquen nada en lo absoluto".6 Puede decirse, con base en otras razones, que la estrategia russelliana falló y que en su sistema nos quedamos sin saber qué son los números. Pero consideremos la posición fregeana. Si los números son objetos, entonces ser un número es tener una determinada propiedad. Por ejem plo, podría decirse de un niño que tiene la propiedad de ser mexicano y la de tener 5 años o de un juego de cuchillos y tenedores que tiene la propiedad de ser de plata y la de ser 12. Pero inclusive en un plano puramente intuitivo esto tiene que ser un error: sentimos que el ser 12 no puede ser como el ser de plata. Frege podía incurrir en una identificación errónea como esa porque carecía de un simbolismo perspicuo. En el caso de Russell el error ya no resulta tan fácil de comprender y de disculpar, porque su mismo simbolismo (del que se sirve Wittgenstein) parecería estar indicándole (dan ganas de decir 'gritándole') otra cosa. De hecho y típicamente, Wittgenstein aprovecha el simbolismo russelliano mejor que su propio creador. Veamos rápidamente cómo. Supongamos que decimos que hay 3 naranjas en la mesa (me ahorraré la descripción de la posición de las naranjas). En el lenguaje canónico de la lógica (i.e., el simbolismo russelliano), ello se expresaría como sigue: (3x)(3y)(3z)(((((Nx & Ny) & Nz) & (((w) (Nw ->x = w)vy = w)vz = w))) Pero ¿qué nos está diciendo esta expresión, asumiendo sin conceder que efectivamente se trata de la transcripción lógicamente correcta de la proposición en cuestión? Por lo pronto, se trata de una expresión compleja conformada por cuantificadores, conjunción, condicional y disyunciones, nada de lo cual está explícitamente enunciado en la proposición original. Pero en lo que sobre todo debemos fijarnos es en cómo aparece en esa expresión el número tres de nuestra proposición: es evidente que no aparece como un predicado especial. Más bien, es el que haya tres variables ligadas lo que indica que estamos hablando de tres objetos. En otras palabras, el número no es un predicado común más, sino que está indicado por las variables y eventualmente toma cuerpo en o se expresa a través de las constantes (nombres de objetos) con las que se les reemplace. Russell no tenía el aparato conceptual que se requería para expresar la distinción entre los predicados genuinos y los predicados meramente indicados por variables. Wittgenstein sí: para él, una cosa son los conceptos genuinos y 6

B. Russell & A. N. Whitehead, Principia Mathematica to *56 (Cambridge: Cambridge University Press, 1973), p. 71. 61


otra los conceptos formales. El concepto de número es un concepto formal, es decir, se da tan pronto hay objetos que caen bajo él: "Un concepto formal ya está dado tan pronto se da un objeto que caiga bajo él".7 Como ya dije, el número de objetos de los que se habla está explícitamente indicado por las variables individuales y se expresa o muestra en el número de constantes que se tendría que emplear para decir lo que se quiere decir. Supongamos que nombramos a nuestra naranjas 'a', 'Z>' y 'c'. Diremos entonces lo que dijimos más arriba mediante nuestra fórmula o, para ser más específicos, mediante (((Na & Nb) & Nc). Como se sabe, es de esta manera como se puede dar cuenta del axioma de infinitud.8 A su regreso oficial a la filosofía, en 1929, Wittgenstein enfrentó en forma directa la cuestión del carácter aparentemente predicativo de los números para desecharla de una vez por todas y lo que en las Observaciones Filosóficas sostiene no es más que un refinamiento, un complemento a la escueta posición del Tractatus. Su argumento puede ser reconstruido como sigue: sólo si podemos hablar de objetos que no caigan bajo ningún concepto podríamos significativamente hablar del número de ob jetos y eso es algo que no tiene el menor sentido. Quizá un paralelismo en este punto podría ser útil: el concepto de número funciona como el concepto de existencia. La existencia no es un predicado más: decir de algo que existe es decir que tiene alguna propiedad. Esta es una tesis clásica de Frege y Russell y lo curioso es que no la extendieran a los números, porque el concepto de número natural funciona exactamente del mismo modo, como acabamos de ver. Podríamos inclusive decir, parafraseando a Frege, que el concepto de número es un concepto de segundo grado. Desde la nueva perspectiva, los números no son otra cosa que las extensiones de los conceptos o, quizá mejor, retratos de extensiones de conceptos. Lo anterior tiene importantes implicaciones para la metafísica. Russell, por ejem plo, se pregunta por el número de objetos que hay en el mundo, pero si lo que hemos dicho es correcto, preguntas así son simplemente absurdas. No tiene sentido decir que algo es un objeto o que esos objetos son dos. No hay tal cosa como el predicado "ser dos" y, naturalmente, lo que vale para el 2 vale para cualquier otro número. No puede, por lo tanto, ni afirmarse ni negarse que hay un número infinito de objetos. Afirmaciones así se derivan o bien de un simbolismo lógicamente defectuoso o bien de una lectura defectuosa del simbolismo lógicamente correcto. 7

L. Wittgenstein, Tractatus, 4.112721. Véase a este respecto el famoso ensayo de F. P. Ramsey, "The Foundations of Mathematics" en su libro The Foundations of Mathematics (London: Routledge and Kegan Paul, 1931), pp. 210-12. Véase también Tractatus, 5.535. 8

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A pesar de las apariencias en sentido opuesto, el proyecto logicista no estuvo del todo bien pensado y eso es algo que puede verse si se examinan dos nociones cruciales, a saber, la de cuantifícación y la de identidad. ¿Cómo explican Frege y Russell la cuantifícación, por ejemplo una expresión de la forma 'todos los hombres son mortales' (( x)( Hx -> Mx))? La explicación que ofrecen es o defectuosa o circular: es defectuosa porque ellos tienen que explicar la generalidad como una conjunción o es circular porque si quieren evitar reducir la generalidad a una conjunción {Juanito es mortal & Teresita es mortal & ... & Pepito es mortal) tienen que reintroducir el concepto "todos", diciendo que los seres humanos que nombraron son todos los que hay, lo cual hace ver que no están explicando nada. Así, pues, la noción logicista de cuantificación, aunque operativamente muy útil, era una noción no aclarada y de utilización engañosa.9 El tema de la identidad obviamente representa otro formidable fracaso para los logicistas. Frege y Russell asumen que la identidad es ineludible y que es imprescindible dar cuenta de ella. Para explicarla y para explicar su utilidad, Frege elaboró su famosa doctrina del sentido y la referencia y Russell ofreció una definición que corresponde a la ley de Leibniz o coincide con ella. Ni el más optimista de sus seguidores, sin embargo, podría decir que alguno de esos intentos fructificó. En el Tractatus, en cambio, Wittgenstein asestó un golpe mortal a la idea de la utilidad y del carácter imprescindible de la identidad lógica. Hay una sección en la que el núcleo de la crítica a la noción de identidad es transmitido con inusitada fuerza: "A grandes rasgos: decir de dos cosas que son idénticas es un sinsentido y decir de una cosa que es idéntica a sí misma no es decir nada".10 No parece haber mucho que decir en contra de tan contundente dictum. El problema, claro está, es que sin la noción de identidad los sistemas de Frege y Russell ni siquiera arrancan. Por otra parte, hay que recordar que el enfoque wittgensteiniano no es meramente crítico: en el Tractatus se nos ofrece una notación por medio de la cual se hace ver que el signo de identidad resulta simplemente redundante y, obviamente, todo signo redundante carece lógicamente de significado, es decir, no está en lugar de nada. Por lo tanto, el signo de identidad es redundante y la noción de identidad superflua. Lo que he expuesto representa una reducida parte del mosaico de ideas que está en el trasfondo de la filosofía de la aritmética y de la lógica del Tractatus y de las Observaciones Filosóficas. Hay, desde luego, muchos otros temas que no he si9

Sobre la posición del Tractatus, véase mi trabajo "Lógica y Representación" en mi libro Estudios sobre las Filosofías de Wittgenstein (México: Plaza y Valdés, 2003). 10 L. Wittgenstein, Tractatus, 5.5303. 63


quiera mencionado y que habría que hacerlo si se quisiera dar cuenta de manera sistemática de todas las críticas de Wittgenstein a las filosofías de Russell y Frege, ya que en algún sentido constituyen su plataforma, su punto de partida. Empero, nunca habría sido ese un objetivo que me hubiera fijado para un trabajo de aspiraciones modestas, como este. Para nuestros objetivos, me parece que contamos con suficientes elementos para empezar a reconstruir diversos aspectos de la faceta positiva de la labor de esclarecimiento realizada por Wittgenstein en relación con los números y las proposiciones de la aritmética. Eso es de lo que ahora pasaré a ocuparme.

III) Lenguaje, Números y Aritmética Algo que resulta fascinante del pensamiento de Wittgenstein es su evolución, esto es, la cadena de ideas que él va con gran esfuerzo engarzando, las transiciones por las que pasa y los variados argumentos que va construyendo y que lo llevan de una posición, en general muy atractiva y sólidamente establecida, a otra que está todavía mejor labrada. En el caso de la reflexión sobre los números y la aritmética, se puede detectar con relativa facilidad tanto continuidad como cambio entre el Tractatus y las Observaciones. Dicho de manera cruda, en las Observaciones Wittgenstein sigue sosteniendo que los números son esquemas preposicionales y, desde luego, que las proposiciones aritméticas son ecuaciones, pero deja de jugar el papel fundamental que desempeñaba en el Tractatus la idea de operación, la cual era esencial para el tratamiento de los números en aquel primer gran libro. De manera general, pienso que la concatenación de ideas en las Observaciones es más fácil de seguir, más transparente que en el Tractatus, en donde realmente alcanzan el grado máximo de compresión. Me parece que el punto de partida de Wittgenstein en ambas obras es, primero, la intuición de que toda concepción que desligue lógicamente el lenguaje de los números del lenguaje natural será errada y, segundo, que toda teoría que pretenda dar cuenta de las "entidades" matemáticas al margen por completo de su potencial utilización (en el lenguaje natural o en teorías empíricas) está destinada a fracasar. No estará de más notar, asimismo, que muchas (no todas) de las cosas que Wittgenstein sostiene respecto a las proposiciones de la lógica valen por igual para las "proposiciones" de la aritmética, y de las matemáticas en general. De ahí que cualquier teoría (verbigracia, la de Frege) que dote a las proposiciones de la aritmética de un contenido tienen que ser falsas.11 "Cü.Ibid., 6.111.

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Por lo que uno de los peores errores que se puede cometer sea equiparar a las "proposiciones" aritméticas con proposiciones factuales, pretender ponerlas al mismo nivel, como si la única diferencia entre ellas fueran sus respectivos grados de abstracción. Contrariamente a lo que han sostenido filósofos como Mili o Quine, toda concepción sana de la aritmética tiene que empezar por reconocer que sus "proposiciones" tienen un status especial.12 De hecho, ni siquiera son proposiciones sino, como veremos, ecuaciones, aunque por diversas causas se les dé un trato proposicional. O sea, en contra de la superficial uniformización promovida por la lógica matemática, debemos a toda costa mantener la separación categorial entre proposiciones y expresiones matemáticas. Lo que de manera artificial las unifica es el trato indiscriminado de ambas en términos de argumentos y funciones. Por ejemplo, lo mismo podemos decir lFx' que 'x + 3 = 8' y parecería que en ambos casos la variable cumple la misma función. Pero es precisamente esa semejanza aparente lo que nos oculta la esencial diferencia que hay entre esas expresiones. En el primer caso, la variable indica que si en su lugar se coloca un nombre lo que tenemos es un retrato; en el segundo que si se le remplaza por un número, lo que obtenemos es una regla de sustitución de signos. De hecho, al igual que las proposiciones de la lógica y a diferencia de las proposiciones genuinas, las de la aritmética no requieren de ninguna clase de confrontación con la experiencia. Por decirlo de alguna manera, su "verdad" es a prior i.13 Pero entonces es absurdo hacerlas pasar por proposiciones genuinas cuando lo único que induce a hacerlo es un simbolismo de fácil pero engañosa utilización. Para entender esto debidamente, quizá debamos hacer algunos recordatorios concernientes a las proposiciones de la aritmética y al lenguaje en general. Para empezar, recordemos velozmente un par de ideas prominentes de Wittgenstein concernientes al lenguaje y a la lógica. Tenemos que distinguir entre signos proposicionales (oraciones), proposiciones y pensamientos. Todo signo proposicional construido con base en las directivas de la Teoría Pictórica es un retrato de un hecho posible. Los retratos son correctos o incorrectos. Una clase particular de retratos son las proposiciones. Éstas son retratos lingüísticos de hecho usados por los hablantes. O sea, es cuando yo pienso un retrato (uso una oración) que surge una proposición, puesto que ésta es el retrato "en su relación proyectiva con el mundo".14 El pensamiento es un retrato de naturaleza psíquica que mantiene con los objetos del hecho representado la misma relación que se da entre los elementos de la oración, que es ' 2 Cñ. Ibid, 6.112. 13 Cfr. lbid, 6.113. l4

Cñ.Ibid,3A2.

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una "entidad" lingüística, y los del hecho retratado. Con esto en mente, preguntémonos ahora: ¿cómo se vinculan números y proposiciones? Quizá podríamos replantear la pregunta de este otro modo: ¿quién podría tener algún interés en los números en o por sí mismos? Como bien lo implica Wittgenstein en el Tractatus, nadie: "En la vida no es nunca una proposición matemática lo que necesitamos. Más bien, empleamos proposiciones matemáticas únicamente para inferir de proposiciones que no pertenecen a las matemáticas otras que, de igual modo, tampoco pertenecen a las matemáticas".15 Por lo pronto, podemos inferir que el lenguaje de los números tiene algo importante que ver con lo que podríamos llamar las 'proposiciones naturales': entran para lo que es la representación lingüística de los hechos y exhiben la forma lógica de las proposiciones. Ahora bien, hay que observar en relación con los números que tanto se usan en la vida cotidiana (en donde se aplican) como se trabaja con ellos en matemáticas, sin considerar en lo más mínimo su potencial aplicación. Por lo tanto, se requieren explicaciones de dos clases diferentes: necesitamos saber, primero, cómo se incorporan los números al lenguaje natural y, segundo, qué son los números en tanto que elementos de los sistemas numéricos. Algo de las aclaraciones anteriores tal vez nos ayude a entender lo que son las adscripciones numéricas, esto es, las atribuciones de números a las cosas ('hay 5 perros en el jardín', 'compré dos botellas de vino', etc.). El reto en este caso es comprender y describir cómo entran los números en la representación lingüística y lo que vemos es que el modo como contribuyen a la significación de las proposiciones es contribuyendo a conformar su forma lógica. La ventaja de esto es que es sólo cuando se conoce la forma lógica de una proposición que realmente se le comprende y, por ende, que se sabe bajo qué circunstancias es verdadera o falsa o qué inferir a partir de ella. Esto ayuda a entender que pretender equiparar las proposiciones del lenguaje natural (mediante las cuales hablamos de objetos) con las "proposiciones" aritméticas (que tienen que ver más bien con la forma lógica de las proposiciones) no puede ser más que un error total. Podría intentar objetarse lo siguiente: en las Observaciones lo que se nos dice es que "Los números son retratos de extensiones de conceptos",16 en tanto que en el Tractatus Wittgenstein había sostenido más bien que "Un número es el exponente de una operación".17 Luego es falso que haya sostenido lo mismo en ambas obras. La respuesta a esta objeción consiste en señalar y en hacer ver que en realidad las dos caracterizaciones son prácticamente equivalentes. 15 16 17

Cfr.,X ibid, 6.211 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, sec. 100, p. 114. L. Wittgenstein, Tractatus, 6.021.

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Esto es algo de lo que, según pienso, podemos quedar convencidos. Veamos rápidamente cómo. Lo primero que tenemos que hacer es descartar lo que podría ser una acusación de circularidad: al hablar de exponente Wittgenstein no está empleando ninguna noción numérica. Un exponente es simplemente un indicador, un factor. Así, pues, un número no es más que el indicador de una operación. Wittgenstein lo representa mediante el signo '". Las operaciones se pueden efectuar sobre proposiciones o sobre términos. En ambos casos lo que tenemos son procedimientos reiterativos. No se pueden, sin embargo, efectuar sobre funciones. Por ejemplo, si tengo p, puedo tener (p & p), ((p &p) & p), (((p & p) & p) & p) y seguir aplicando la "operación" "&" tantas veces como quiera; o bien se puede, mediante la aplicación de la relación "sucesor" que vale para un término, generar lo que Wittgenstein denomina una 'serie formal'. Tendremos entonces el primer término a, el sucesor de a, el sucesor del sucesor de a, el sucesor del sucesor del sucesor de a, y así ad infinitum. Pero lo que no se puede tener es, partiendo de la función J(a), expresiones como (f(f(a))), (f(f (/"(a)))), etc. Expresiones así carecen por completo de sentido y la razón es simple: no se puede simultáneamente ser función y argumento: "Una función no puede ser su propio argumento, puesto que el signo de función contiene ya el prototipo de su propio argumento y no puede contenerse a sí misma".18 Esto último no es un mero capricho: de no aceptarlo se crean enredos y ambigüedades innecesarios e intolerables: "Si, por ejemplo, suponemos que la función F (fa) pudiera ser su propio argumento, entonces 'F(F(/3f))' sería también una proposición y en esta proposición la función externa F y la función interna F tendrían diferentes referencias, pues la interna tiene la forma 9 (fa), en tanto que la externa sería de la forma \|/(cp (fa)). Lo único en común que tienen ambas funciones es la letra 'F', que por sí misma no designa nada".19 Así, pues, es de primera importancia no confundir funciones con operaciones. De hecho, el no haberlas distinguido es lo que está en la raíz de las paradojas. Es obvio que el sistema numérico es una serie formal, en el sentido de que dado un término, digamos el 1, por medio de la relación "sucesor de" podemos generar el siguiente, y luego el siguiente, y así al infinito. Esto es crucial por una razón: hace ver que Wittgenstein asume que el concepto de número se introduce directamente, no por medio de definiciones, y luego lo que se construye al generar una serie formal es el sistema de números naturales mismo. El concepto de número es un concepto primitivo: se introduce, se expande y se aplica. Las definiciones en este caso son ente18 19

Ibid., 3.333 (a) Ibid., 3.333 (b).

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ramente redundantes. Lo que sí importa es que cumpla con su función. En el lenguaje natural, evidentemente, no estamos interesados en series formales, en sistemas como el decimal. A nadie le interesa hablar del padre de a, del padre del padre de a, del padre del padre del padre de a, y así sucesivamente. Lo que sí sabemos es que podemos generar, dado un término cualquiera, una serie formal y el sistema que se vaya creando sí nos puede ser útil. Lo importante de un sistema formal como el de los números naturales es que se le puede incorporar al lenguaje natural y al hacerlo exhibe las formas lógicas de las proposiciones. Ahora bien ¿qué empleamos en las proposiciones? El Tractatus diría "nombres", pero en las Observaciones Wittgenstein habla de predicados (incluyendo relaciones). Así, si digo que hay tres autos blancos en el estacionamiento, lo que afirmo es que la blancura de lo autos del estacionamiento tiene una cierta extensión, esto es, está instanciada en determinados casos (tres). Es como si dijéramos, señalando en cada ocasión a un auto diferente: la blancura está aquí, la blancura está aquí y la blancura está aquí. Pero entonces salta a la vista que los números enteros son efectivamente retratos de extensiones de conceptos. Lo que eso quiere decir es que la operación de aplicación del predicado 'es blanco' se realizó en lo que llamamos 'tres ocasiones'. Esto lo podemos representar así: {esto es blanco)™. El signo '"" es el exponente de la operación. Vemos, pues, que en lo que respecta a la caracterización del número en nada fundamental difieren el Tractatus y las Observaciones Filosóficas. De ahí que no tengamos que especular sobre la clase de entidades que son los números. Los números son simplemente lo que queda representado por o en las notaciones numéricas. Aquí vale la pena quizá hacer una pequeña digresión y considerar brevemente una discusión de Kripke que se encuentra en su Naming and Necessity. Al debatir la cuestión de la barra estándar del metro, Kripke sostiene que hay una longitud determinada a la que nos referimos mediante ia longitud de la barra M. 'Un metro', en cambio, es un designador rígido. Denota, por lo tanto, el mismo objeto en todos los mundos posibles en donde existe y lo que denota es una"cosa abstracta", a saber, una longitud particular (¿un trozo de espacio?). Pero si esto es así, entonces se sigue que es contingente que el metro coincida en extensión con la barra estándar. Lo que nosotros de manera espontánea diríamos, parafraseando a Kripke, es que según él es posible que el metro no midiera lo que todos los hablantes normalmente diríamos que es un metro. Esto es claramente absurdo, pero lo vuelve factible el engañoso modo de hablar de Kripke: él sostiene que 'metro' designa "una cierta longitud", una extensión "pura" a la que podríamos referirnos o apuntar, con independencia total de la barra que la determina. La definición usual de 'un metro', según él, tan sólo fija la referencia, no el significado de un 'metro'. Aquí preguntarle a Kripke '¿qué es fijar el 68


significado?' sería jugarle una mala pasada, puesto que sería hacerle una pregunta que nunca responde. Pero dejando de lado este detalle, podemos cuestionar lo que afirma. El cuadro que nos pinta es básicamente el siguiente: como si fueran salchichas y jamones que cuelgan en una carnicería, hay ciertas cosas abstractas que se llaman 'longitudes', siendo una de ellas la de un metro, a las que, por así decirlo, pescamos mediante descripciones que son contingentemente verdaderas de ellas. Podemos referirnos de manera "pura" a un cierto objeto así con total independencia de sus cualidades contingentes. Así, pescamos la longitud metro mediante la descripción 'la longitud de la barra Af , la que por un afortunado azar coincide con ella. O sea, en la historieta kripkeana es como si nosotros hubiéramos de antemano o desde siempre sabido que lo que queríamos era esa longitud en particular, a la que sin embargo todavía nunca antes habíamos visto instanciada (en barras, cintas métricas, rayos láser, etc.). Kripke mismo se ve forzado a reconocer que eso es casi absurdo, pero tiene que abstenerse de extraer la conclusión obvia: "Para una cosa abstracta como una unidad de longitud, la noción de referencia puede no ser clara. Pero supongamos que es suficientemente clara para los propósitos presentes".20 Ahora bien, para nuestros propósitos, lo importante es entender que lo que Kripke dice choca directamente con lo que Wittgenstein sostiene. Lo que éste afirma es que no tiene sentido adscribir números (como lo es 1 metro) con total independencia de propiedades de objetos, en tanto que Kripke asevera exactamente lo contrario: hay entidades numéricas (longitudes) que se pueden adscribir con independencia total de cualquier cualidad o relación que puedan tener los objetos. Podemos entonces hablar de "un metro" independientemente de todas las barras de un metro que haya en el universo y de las mediciones concretas que se hayan hecho. Eso es francamente absurdo y la posición esbozada por Wittgenstein y que aquí delineamos deja en claro por qué. Como he tratado de hacer ver, en la caracterización tractariana el concepto de operación es fundamental. Pero ¿por qué? En primer lugar, porque es lo que permite entender la idea de serie formal, propia de un sistema de los números naturales, pero, en segundo lugar y más relevante para nosotros, porque la idea de serie formal es lo que nos garantiza que el sistema tendrá las propiedades deseadas, que no habrá huecos entre sus elementos, que sus secuencias serán sistemáticas, no azarosas o caóticas. Para dar un ejemplo: no pasaremos abruptamente del 2 al 5, sino del 2 al 3, del 3 al 4 y del 4 al 5. El sistema numérico resulta de una operación recursiva y sería ésta, al generar una serie formal, la garantía de que estará bien construido. 20

S. Kripke, "Naming and Necessity" en Semantics of Natural Language. Editado por D. Davidson y G. Harman (Dordrecht/Boston: Reidel Publishing Company, 1972), p. 274. 69


Es en relación con este punto justificatorio que con la perspectiva de las Observaciones se va a marcar un cambio frente a la caracterización ofrecida en el Tractatus. La diferencia emerge del hecho de que a partir de 1929 Wittgenstein empezará a apreciar y a enfatizar cada vez más el aspecto práctico e instrumental del lenguaje. Desde la nueva perspectiva, lo que importa es la aplicabilidad de la aritmética y esa aplicabilidad aparece automáticamente con ella. No necesita ninguna clase de justificación externa. "Uno siempre tiene una cierta reticencia a darle a la aritmética una fundamentación diciendo algo acerca de su aplicación. La aritmética parece estar fundada en sí misma con suficiente solidez. Y ello, desde luego, se deriva del hecho de que es su propia aplicación".21 Pero se sigue de eso que el proyecto mismo de fundar la aritmética en una idea como la de operación era insuficiente y estaba desorientado. "Por otra parte, una introducción nebulosa del concepto de número mediante la forma general de la operación —tal como yo lo hice— no puede ser lo que se necesita".22 La noción de praxis empezaba a hacerse sentir con fuerza en el pensamiento de Wittgenstein y vino a desplazar a la idea de un desarrollo inmanente o interno de los sistemas formales, independiente por completo de las prácticas humanas. Respecto al status de las proposiciones aritméticas (y en general de las matemáticas), la posición de Wittgenstein siguió siendo la misma: en aritmética lo que encontramos son ecuaciones, no proposiciones. Las matemáticas no expresan pensamientos, no aluden a ningún estado de cosas, real o imaginario. En relación con la aritmética y los enteros naturales, él expresa en las Observaciones básicamente lo mismo: "La aritmética es la gramática de los números".23 La aritmética no "versa" sobre nada: "La aritmética no habla acerca de números, sino que trabaja con números".24 Los números, como ya vimos, son esquemas formales, esto es, estructuras preposicionales, no nombres de nada. Pero aquí hay un punto que es interesante recalcar y rescatar. Se le podría objetar a Wittgenstein que su posición es incoherente, puesto que por una lado rechaza la noción lógica de identidad ('=') y por la otra la acepta en las ecuaciones ('2 + 3 = 5'). Pero esta objeción es totalmente fallida. Estamos frente a un típico caso de ambigüedad, una imperfección más de nuestro lenguaje: el signo '=' es el mismo, pero la noción lógica de identidad no es la noción aritmética de igualdad. La primera ('a = a') prácticamente no sirve para absolutamente nada, en tanto que la segunda ('2 + 3 = 5') indica que las expresiones a sus costados son intercambiables y eso 21

L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, sec. 109, p. 120. Ibid., sec. 109, p. 121. 23 Ibid, sec. 108, p. 120. 24 Ibid., sec. 109, p. 120. 12

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tiene efectos prácticos interesantes. Recurrir a la noción lógica de identidad es perder el tiempo, puesto que para que podamos decir algo como 'Napoleón es idéntico a Napoleón' Napoleón' o 'Napoleón es idéntico a Bonaparte' Bonaparte' (empleando (empleando 'Napoleón' 'Napoleón' y 'Bonaparte' 'Bonaparte' como nombres, en el sentido del Tractatus), tengo que saber previamente qué objetos denotan 'Napoleón' y 'Bonaparte'. "La identidad de referencia de dos expresiones no se puede aseverar, ya que para poder afirmar algo sobre su referencia tengo que conocer la referencia y si conozco la referencia entonces sé si las expresiones significan lo mismo o algo diferente".25 En cambio, es una propiedad de los números que 2 + 3 = 5, 2 + 3 = 4 + 1,2 + 3 = 1 + 1 +1 +1 +1,2 + 3 = 9 - 4, y así indefinidamente. El método en matemáticas es el de sustitución: es por medio de reemplazos como el sistema se desarrolla. Ahora bien ¿cómo crece el sistema? El cálculo mismo nos lo va indicando, puesto que "Las matemáticas son un método de la lógica".26 En las Observaciones, Wittgenstein defiende la misma idea, sólo que la expone de manera diferente, ya que su terminología empieza también a ser diferente. "Ninguna investigación de conceptos, sino sólo la intuición directa [en el cálculo de números], puede decirnos que 3 + 2 = 5".27 En esto hay también una gran coincidencia con el Tractatus, en donde Wittgenstein había firmado que "A la cuestión de si se necesita la intuición para resolver los problemas p roblemas de las matemáticas se tiene ti ene que responder que en este e ste 28 caso el lenguaje mismo suministra la intuición necesaria". En este punto, Kant resulta ser un pensador más afín a Wittgenstein que filósofos contemporáneos a él, como Frege y Carnap.

IV) Consideraciones Finales Me inclino a pensar que en general se comete un error cuando se afirma que hay un Wittgenstein joven, que es el del Tractatus, y uno de madurez, que es el que inicia su labor en 1929 (dejando de lado las sutilezas concernientes a un Wittgenstein intermedio e inclusive a un último, cuarto Wittgenstein). Esa clasificación me parece equivocada. El corte histórico no necesariamente coincide con el filosófico. Yo creo más bien que el verdadero verdadero corte en la producción producción filosófica filosófica de Wittgenstei Wittgensteinn se da cuando él plantea y desarrolla la cuestión de lo que es seguir una regla. A partir de allí su 25

L. Wittgenstein, Tractatus, 6.2322. Ibid., 6.234. 27 L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, sec. 107, p. 119. 28 L. Wittgenstein, Tractatus, 6.233. 26

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pensamiento se orienta en una dirección completamente nueva. Hasta antes de ese momento, lo que Wittgenstein hace es pulir, perfeccionar las intuiciones del Tractatus. La labor de destrucción de mitos filosóficos, por ejemplo, es la misma en ambos períodos. En relación con las obras de d e las que aquí me ocupé ocu pé hay desde luego cam bios, pero éstos tienen que ver con matices y con los que de manera natural n atural acarrea un cambio terminológico importante. Se refuerza, por ejemplo, la idea de cálculo y con ella la idea de reglas, pero la idea de "método lógico" ya estaba en el Tractatus. La idea de las "verdades" matemáticas como meras ecuaciones, que en el primer libro había quedado un tanto en la oscuridad ("Una ecuación tan sólo caracteriza el punto punto de de vist vistaa desde desde el el cual cual cons conside idero ro a ambas ambas expres expresion iones, es, a saber saber,, el punto punto de de vist vistaa de 29 su identidad referencial") se perfila ahora con mucha mayor nitidez: "Una ecuación", se nos dice, "es una regla sintáctica".30 Esto es mucho más claro y también, filosóficamente, mucho más aprovechable. Se abandona también y definitivamente, definitivamente, gracias a la idea de cálculo como algo que sólo existe en el espacio y en el tiempo,31 toda forma de apriorismo, la idea misma de la lógica (y de las matemáticas) como el gran espejo de la realidad. Aunque presente en el Tractatus, la idea de demostración adquiere de pronto una gran relevancia para explicar el sentido de una "proposición matemática" (un inevitable "misnomer"). Asimismo, vale la pena enfatizar que, a diferencia de lo que estaba meramente implícito en el Tractatus, en las Observaciones Wittgenstein se aboca a dar cuenta de otras clases de "entidades matemáticas" aparte de los números naturales, como los irracionales y los transfinitos, además de que se ocupa también de otras ramas de las matemáticas, como la geometría. Pero nada de ello es contradictorio con lo que se había sostenido en el Tractatus, sino que más bien se trata de desarrollos de sus intuiciones primigenias. Podemos recurrir, para respaldar esto último, a la autoridad de Russell: "Hay algunos respectos en los que, tal me lo parece, la teoría del Sr. Wittgenstein necesita un mayor desarrollo técnico. Esto se aplica en particular a su teoría del número (6.02 y sigs.) la cual, así como está, es susceptible de dar cuenta únicamente de los números finitos. Ninguna lógica puede considerarse adecuada hasta que se muestre que es susceptible de dar cuenta de los números transfinitos. No pienso que haya nada en el sistema del Sr. Wittgenstein que haga imposible que llene este hueco".32 O sea, Russell, a diferencia

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Ibid, 6.2323. L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas, sec. 121, p. 133. 31 Cfr., Observaciones Filosóficas, sec. 108, p. 120. 32 Logico-Philosophicus. Traducido al inglés por D. Pears y B. B. Russell, "Introducción" a Tractatus Logico-Philosophicus. F. McGuinness (London: Routledge and Kegan Paul, 1978), p. xx. 30

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de Ramsey, nunca pensó que la concepción wittgensteiniana del número estuviera forzosamente confinada al mundo de la aritmética. Si Wittgenstein no había dicho nada en relación con otras clases de números ello fue sencillamente porque pensaba que la expansión de sus ideas era obvia y que la labor realmente difícil ya había sido realizada.

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¿Qué es la Inferencia Matemática?

I) El Gran Mito Realista omo en relación con cualquier otro caso de actividad o de disciplina humanas, las matemáticas nos presentan con el tradicional problema de tener que distinguir entre la práctica y la comprensión de dicha práctica. Lo primero no acarrea consigo de manera automática lo segundo. En este como en muchas otros casos, parte del problema consiste en que si bien los matemáticos disponen de la sólida plataforma del conocimiento matemático carecen del entrenamiento que permite dar cuenta de él, en tanto que los filósofos, si bien entrenados en el arte de ordenar pensamientos y capacitados para en principio desarrollar dicha labor, carecen a menudo de conocimientos sólidos en matemáticas, por la obvia razón de que en general no es matemáticas lo que estudiaron. Naturalmente, una situación así redunda en demérito de la filosofía de las matemáticas. Es cierto que siempre ha habido excepciones a esto que parece una regla general. Pitágoras, Platón, Leibniz, Frege, Husserl, Russell, Quine (por no citar más que a unos cuantos) son buenos ejemplos de feliz síntesis de matemáticas con filosofía, pero es evidente que los filósofos matemáticos grandes son más bien escasos. Parecería que lo problemático de la situación consiste no sólo en que dar cuenta de manera filosóficamente convincente de las matemáticas exige formarse simultáneamente en dos áreas completamente diferentes, sino también que requiere fundir en una sola dos mentalidades radicalmente distintas. Wittgenstein, se sabe, tenía una muy pobre opinión de los matemáticos filósofos: "En filosofía no se puede interrumpir una enfermedad de pensamiento. Debe ésta seguir su curso natural y la curación lenta es lo más importante. (Es por eso que los matemáticos son tan malos filósofos)."1 No debería, pues, sorprendernos que fueran

C

1

L. Wittgenstein, Zettel (Oxford: Basil Blackwell, 1967), sec. 382.

I NFERENCIA MATEMÁTICA

los mismos matemáticos en sus momentos filosóficos quienes, en su afán de aclaración de la naturaleza de su disciplina (sobre qué versa, cómo está constituida, en qué se funda, cómo se opera en ella, etc.), hubieran echado a rodar la multitud de mitos filosóficos en los que ahora está hundida la reflexión sobre las matemáticas. Kurt Gódel, podría argumentarse, es un buen ejemplo de ello. Es justamente en contra de ideas como la de que hay profundos problemas ontológicos en matemáticas, que los matemáticos son exploradores de un universo infinito de entidades abstractas, que hay hechos matemáticos, los cuales se caracterizan por determinados rasgos o pro piedades, etc., que se sublevó Wittgenstein. En este ensayo me ocuparé de una porción mínima del inmenso terreno abarcado por su pensamiento, es decir, presentaré exclusivamente algunas de sus ideas en relación con lo que son la inferencia y la experiencia matemáticas. Ahora bien, para estar en mejor posición de apreciar y evaluar la posición que Wittgenstein se fue labrando habremos primero de presentar, aunque sea en sus grandes lineamientos, los mitos de filosofía de las matemáticas que quedan englobados bajo el rubro general de "realismo". Es sólo una vez desglosadas las creencias fundamentales de la interpretación realista de las matemáticas que podremos abocarnos a reconstruir y exponer los puntos de vista de Wittgenstein en relación con nuestro tema. 'Realismo' en filosofía de las matemáticas apunta a un conglomerado de tesis de las cuales sus partidarios enfatizan las que más les convengan según sus necesidades del momento. La lista de ellas que a continuación presento, y que ni mucho menos pretende ser exhaustiva, se conforma sin embargo de tesis que parecerían ser esenciales al realismo. Podemos agruparlas en dos grandes bloques, uno concerniente a la naturaleza de las proposiciones matemáticas y otro referente más bien a cuestiones de orden epistemológico. Así, tenemos que para el realista común las proposiciones matemáticas: a) son verdaderas o falsas en exactamente el mismo sentido en que pueden serlo las del lenguaje común, las de historia o las de cualquier ciencia natural, e.g., la física o la biología b) vale para ellas el Principio del Tercero Excluido de manera irrestricta c) son verdaderas en virtud de algo externo a ellas d) describen rasgos necesarios de la realidad e) versan sobre objetos abstractos (puntos, números, espacios, etc.), tan reales como los osos o las radiaciones f) son apriori y verdaderas (o falsas) en todo mundo posible, es decir, son nece sariamente verdaderas. (La determinación de si son analíticas o no es otro 76


debate, aunque a primera vista al menos lo más congruente para el realista sería defender la idea de que no lo son). Por otra parte, podemos decir del matemático que: g) es ante todo un explorador de un universo particular y un descubridor de hechos de ese mundo. El matemático identifica y reconoce conexiones objetivas, totalmente independientes de su voluntad, gusto, etc. h) Su enunciación de verdades (matemáticas) presupone la realidad y el funcionamiento de facultades cognitivas especiales (i.e., no sensoriales). Es probable que un realista ambicioso y congruente defendiera todas las tesis mencionadas, pero es claro que diversos pensadores de esta tendencia han optado más bien por enfatizar una u otra en función, como dije, de los problemas que en el momento de su reflexión estén enfrentando. M. Dummett, por ejemplo, ha insistido en la importancia de (b), en tanto que filósofos matemáticos como H. Poincaré o matemáticos como G. H. Hardy han resaltado más bien (g) y (h). Por su parte, Platón y Frege subrayan más bien (c), (d) y (e). Como puede apreciarse, hay de todo, pero en todo caso una cosa es clara: son todas estas tesis (entre muchas otras) que Wittgenstein va a someter a una devastadora crítica. Antes de reconstruir sus argumentos, sin embargo, será útil hacer una presentación un poco más precisa de la perspectiva realista de los tópicos que aquí nos incumben, esto es, la inferencia y la experiencia matemáticas.

II) Realismo, Inferencia y Experiencia Es relativamente claro que lo que los realistas tienen que decir en torno a la inferencia matemática es ante todo el resultado de una interpretación, o por lo menos lógicamente parte de ella. Dicha interpretación se funda básicamente en un paralelismo o analogía, bastante poco sofisticado dicho sea de paso. La idea motriz parece ser la de que así como hay experiencia sensorial hay también lo que podría llamarse 'experiencia matemática', esto es, una experiencia puramente intelectual, y al igual que hay órganos para las experiencias sensoriales la experiencia matemática también tendría su órgano, viz., la mente. Ahora bien, una diferencia importante entre estas dos clases de experiencias es que en el caso de las sensoriales sólo podemos establecer conexiones probables, en tanto que en el de las experiencias matemáticas las co77


nexiones que establecemos son necesarias. El matemático "ve" (con el "ojo de la mente") que ciertas conexiones (entre números, por ejemplo) se dan y que ciertas proposiciones "se siguen" objetivamente de otras. Esto puede ilustrarse de manera sencilla por medio de teorías como las de geometría o de teorías axiomatizadas de números: partiendo de ciertos supuestos o axiomas o hipótesis se deducen teoremas, esto es, consecuencias lógicas de ellos por medio de reglas de razonamiento que se asume que son objetivamente válidas. En otros casos, lo que se tiene son ciertas fórmulas (e.g., para resolver ecuaciones de diverso grado) y el matemático "ve" cómo la fórmula en cuestión nos permite resolver la ecuación de que se trate. Así vistas las cosas, queda relativamente claro que lo que se debe hacer, si lo que se quiere es razonar correctamente, es usar o aplicar las fórmulas tal como a todas luces ellas mismas nos indican cómo hacerlo. O sea, de acuerdo con el realista no hay más que una manera de leerlas. Es por eso que se dice que, cuando efectivamente se les aprehende, el resultado ya estaba "predeterminado". No hay más que una forma objetivamente correcta de aplicar las fórmulas y, en general, de extraer conclusiones. O sea, no es que una vez alcanzado un cierto resultado éste se vuelva definitivo, sino que ya lo era desde antes de ser descubierto. Puede, pues, decirse que, en la medida en que para establecerlas no fue necesario recurrir a la experiencia sensorial sino sólo a una puramente intelectual, las proposiciones matemáticas son no sólo necesarias sino a priori. Inferir es precisamente el proceso mental de descubrimiento o de reconocimiento de conexiones abstractas objetivas. El cuadro realista global es, como puede apreciarse, complejo y rico en insinuaciones, sugerencias e implicaciones. Ahora bien, en la primera parte de sus Observaciones sobre los Fundamentos de las Matemáticas Wittgenstein se enfrenta a él con el claro propósito de desmantelarlo. Concentrándonos exclusivamente en la cuestión de la inferencia lógica, es de dicho esfuerzo que ahora pasaré a ocuparme.

III) La Naturaleza de la Inferencia Matemática Como era de esperarse, la inmensa labor de aclaración desarrollada por Wittgenstein en el área de la filosofía de las matemáticas tenía que incluir un capítulo dedicado a la inferencia matemática. Todo mundo entiende, por otra parte, que ni el peculiar estilo de Wittgenstein ni su muy especial forma de abordar y lidiar con los enredos de pensamiento permitirían presentar sus logros a la manera de un sistema deductivo. Al reconstruir el pensamiento de Wittgenstein inevitablemente lo mutilamos. Wittgenstein va abordando de manera libre las dificultades que su tratamiento del tema de manera natural le va planteando y es sólo poco a poco que se entiende cómo a través 78


de su disquisición se va tejiendo una nueva concepción del asunto. Así, pues, más que intentar sistematizar sus resultados lo que conviene es entender su enfoque y su método de trabajo. A este respecto, lo primero que tenemos que recordar es que la aclaración filosófica no es ella misma un cálculo más. O sea, las dificultades de comprensión que plantean las transiciones matemáticas no son un asunto más de números y no son quienes las efectúan los más apropiados para dar cuenta de ellas. Lo que tenemos que examinar es lo que los matemáticos dicen acerca de su propio trabajo. Ahora bien, eso que ellos dicen y que es nuestro material de trabajo, es decir, las descripciones que ellos ofrecen de lo que hacen, forzosamente lo enuncian en el lenguaje natural, esto es, por medio de expresiones que son del dominio público. Son, pues, los conceptos por así llamarlos 'naturales' lo que primeramente debemos examinar. De seguro que los egipcios o los aztecas razonaban, por más que no dispusieran de cálculos lógicos. "Y ¿en qué consiste la actividad especial de inferir? - Es por ello que es necesario que examinemos cómo efectuamos inferencias en la praxis del lengua je; qué clase de procedimiento en el juego de lenguaje es la inferencia".2 O sea, el concepto de inferencia no es un concepto matemático o construido primeramente por o para los matemáticos, como lo es por ejemplo el de número irracional, sino un concepto que emana del lenguaje natural y que los matemáticos se apropian para describir lo que hacen. Pero es precisamente a través de esa apropiación que se cuela la interpretación errada y, por consiguiente, que se generan las incomprensiones de las cuales no podemos después librarnos. Wittgenstein inicia su examen tratando de esclarecer lo que se quiere decir cuando se habla de "determinación" en el contexto de las matemáticas. Se dice, por ejem plo, que una fórmula "determina" un resultado, que ciertos axiomas y ciertas reglas de inferencia "determinan" los teoremas que se pueden obtener {Le., esos y no otros son los que se siguen), etc. Pero ¿qué significa 'determinar' cuando se le emplea en matemáticas? ¿Qué es la determinación (o la predeterminación) matemática? Lo primero que salta a la vista es que el uso de 'predeterminar' por parte de los matemáticos o de los filósofos de las matemáticas es, como era quizá de esperarse, un uso básicamente analógico. La prueba de ello es que no se le usa en el sentido literal o estricto en el que se usa en el discurso usual. En el sentido usual, decir que lo que alguien escribe está determinado, por ejemplo, por lo que otra persona dice o hace, podría querer decir, entre otras cosas, que la persona en cuestión: 2

L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Cambridge/London: The M.I.T. Press, 1975), Parte I, sec. 17, p. 8. 79


a) le da las respuestas al alumno pero en clave, de manera que éste tiene primero que descifrar un texto para llegar a ellas b) escribe las respuestas en el papel sólo que de manera muy tenue de manera que el otro tenga que fijarse y recalcar lo escrito c) le dicta (o, en general, le ordena) al alumno lo que tiene que escribir d) lo fuerza a que escriba ciertos resultados (podemos imaginar a un dictador que proporciona los resultados a los que quiere que sus científicos lleguen)3 e) lo amenaza de modo que el alumno u oyente escribe precisamente lo que la otra persona quiere. Eso y cosas parecidas es "determinar" algo para alguien. En todos esos casos, y otros que podríamos imaginar, tiene un sentido claro afirmar que los resultados ya estaban predeterminados para el alumno: si el dictador ya sabía a qué resultados se tenía que llegar, los resultados ya estaban predeterminados. El asunto es claro. Pero es también evidente que no es en ese sentido literal como en general se usa el término 'predeterminar' en el contexto de las matemáticas. En el caso de las operaciones matemáticas lo que se hace es algo sutilmente parecido, pero de todos modos diferente, a saber, se entrena a alguien para que aprenda a producir diversos resultados aplicando de cierto modo las reglas y fórmulas que se le proporcionan. Lo interesante y sorprendente es que, en general y en condiciones normales todos aplicamos las fórmulas o reglas de la misma manera. Por consiguiente, no es particularmente sorprendente que coincidamos en los resultados. Ahora bien, es esa concordancia lo que nos lleva a afirmar que el resultado tenía ya que haber estado allí, esperando, predeterminado. "Si, por lo tanto, nosotros determinamos estas transiciones en un sentido por completo diferente, a saber, sometiendo a nuestro alumno a un entrenamiento como, e.g., el que reciben los niños con las tablas de multiplicar y la multiplicación, de manera que todos aquellos que son así entrenados hacen del mismo modo multiplicaciones al azar (multiplicaciones que no se hayan hecho mientras eran entrenados) y con resultados en los que todos concuerdan (...), entonces nos resultará natural usar lo siguiente como una imagen de la situación: los pasos ya estaban dados y simplemente los está escribiendo".4 Pero en lo que los realistas no reparan es en el hecho de que la aceptación de resultados es ante todo la expresión de un entrenamiento colectivo exitoso previo para operar con signos de determinada manera. 3 4

Véase ibid., Parte I, sec. 22, pp. 9-10. L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 22, pp. 9-10. 80


Así, pues, hablar de que en matemáticas los resultados están "predeterminados", esto es, dados previamente a las operaciones, es hablar metafóricamente o, mejor dicho, construir una imagen. Ahora bien, en sí mismo ni mucho menos es el recurso a una imagen un procedimiento ilegítimo, siempre y cuando no olvidemos que la imagen resulta más bien de una interpretación. El problema surge cuando se pretende tomar la imagen (interpretación) por una descripción. De ahí que si lo que queremos es comprender realmente qué pasa cuando trazamos inferencias, lo que para empezar tenemos que hacer es desprendernos de dicha imagen y describir lo más exactamente posible lo que realmente hacemos cuando inferimos. O sea, el error generalizado consiste en pensar que se describe un proceso cuando es una imagen lo que nos guía en nuestra supuesta descripción. Nuestro objetivo debe ser más bien describir nuestro proceder de manera neutral, sin prejuzgar la cuestión, es decir, sin dejar que las imágenes en circulación se nos impongan y nos hagan encarar y comprender el tema a través de ellas. Como puede apreciarse, el paralelismo entre la estrategia argumentativa de las Remarles on the Foundations of Mathematics y la de las Philosophical Investigations es notable. Por ejemplo, en las Investigaciones Wittgenstein hace ver que cuando queremos aclarar lo que significa una palabra recurrimos a la expresión 'La palabra ... significa ....'. Pero lo cierto es que decir eso no es todavía decir nada, aparte de que es engañoso, puesto que sugiere equívocamente que el significado de V es el objeto o la cosa X. Pero la misma forma de palabras aparecerá independientemente de la clase de signo que esté enjuego: 'tendencia', 're', 'hiena', átomo', etc. O sea, siempre recurrimos a la formulación canónica, independientemente de la clase de significado que esté involucrada. "En otras palabras, la descripción deberá revestir la forma: 'La palabra ... significa ...'.5 Sin embargo, cuál sea el significado específico del término 'x' es algo que sólo la descripción del uso concreto que de él se hace podrá proporcionar y los usos, claro está, no son adivinables. Si queremos determinar el significado de una expresión, por lo tanto, tenemos que atender a las aplicaciones que de ella se hagan. De igual manera, decir que la fórmula predetermina el resultado no es todavía decir nada preciso: no es más recurrir al esquema que nos dice qué forma debe revestir la explicación de lo que es en el área de las matemáticas explicar que se obtuvo un resultado. O sea, cuando se le explica a alguien lo que es una inferencia correcta se le hacen las aclaraciones pertinentes y se le dice que "el resultado ya estaba predeterminado por la fórmula", o por las premisas. Pero, una vez

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L. Wittgenstein, Philosophical Investigations (Oxford: Basil Blackwell, 1974), sec. 10. 81


más, decir eso no es todavía explicar nada: es simplemente emplear la forma canónica de explicación en este contexto particular. Nosotros entenderemos por qué decimos que el resultado estaba de antemano determinado cuando efectivamente comprendamos lo que hacemos cuando inferimos, pero no simplemente porque ex presemos nuestra creencia de que el resultado estaba ya allí aguardándonos, puesto que esto último es simplemente aplicar la imagen que se está cuestionando. Describamos, pues, qué es lo que hacemos cuando inferimos algo. Consideremos una prueba. En una prueba, lo que hacemos es "extraer" una conclusión a partir de ciertas premisas.6 Una inferencia es más bien una transición, pero una transición no es un fenómeno inexplicable o esotérico. Lo que llamamos 'transición' no es mas que una secuencia de proposiciones o de oraciones que tiene como característica el que digamos que la última es la conclusión de las anteriores. "Una prueba -podría decires un esquema, en uno de cuyos extremos están escritas ciertas proposiciones y en el otro una oración (a la que llamamos 'proposición demostrada')".7 En otras palabras, considerada neutralmente una prueba no es más que una secuencia o lista ordenada de expresiones (proposiciones o fórmulas). Una característica de una demostración es que en ella empleamos expresiones como 'y por lo tanto', 'se sigue que', etc., por medio de las cuales vinculamos a la última proposición con las anteriores. La expresión 'y por lo tanto' indica un uso especial del esquema. Frases así son simplemente la expresión de la aceptación del esquema completo, es decir, del todo formado por premisas y conclusión. Esto exige algunas aclaraciones. Supóngase que lo que se quiere es resolver una ecuación de segundo grado. Se requiere utilizar una fórmula particular. Pero ¿cómo podría una secuencia de signos por sí sola forzar a alguien, a una persona, a hacer algo, esto es, a proceder de una u otra manera? O, mejor dicho: ¿cómo podría un esquema forzar a todo mundo a proceder de tal o cual modo? El esquema por sí solo no dice nada, es decir, no indica cómo tiene que ser aplicado. Es el hecho de que concordemos en nuestro uso del signo lo que constituye nuestro peculiar modo de empleo de dicha fórmula. O sea, lo que nos enseñamos unos a otros es a usar dicho esquema de determinada manera y de esa manera solamente. Al hacerlo y al privilegiar una aplicación particular, excluimos o prohibimos todas las potenciales formas de utilización alternativas. De hecho, como Wittgenstein se esfuerza por hacernos entender, múltiples otras aplicaciones de 6

Obviamente, el verbo 'extraer' ya prejuzga el asunto: nos induce a pensar que algo ya estaba allí de alguna manera metido y que nuestra tarea consiste en sacarlo a la luz. Esto ya es una interpretación de lo que hacemos, una interpretación que neutralizamos si entendemos lo que sucede. 7 L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Parte I, sec. 28, p. 11. 82


uno y el mismo esquema son imaginables, inclusive en los casos más elementales, pero precisamente por ello los procedimientos ya establecidos nos parecerán incuestionables, los objetivamente correctos. Los modos de aplicación de las fórmulas (reglas de inferencia, por ejemplo) que, por así decirlo, se hayan impuesto automáticamente nos impiden contemplar seriamente cualesquiera otras posibilidades de aplicación, a las que a partir de ese momento se nos hace ver como absurdas. Por otra parte, es claro que nuestros modos de aplicación de las reglas, las fórmulas, etc. (en otras palabras: nuestras matemáticas), tienen una justificación práctica, es decir, nos son objetivamente útiles, nos dan buenos resultados y, por lo tanto, no tenemos por qué cuestionarlos. La justificación última de nuestras matemáticas no es una "operación de la mente". La mente no es una garantía de nada en este caso. Más bien, las matemáticas se justifican por su carácter pragmático y en última instancia su éxito se funda en hechos brutos de la naturaleza humana acerca de los cuales no tiene el menor sentido preguntar nada. El hecho que hay que notar es que reaccionamos en general de la misma manera. Wittgenstein expone el punto como sigue: "Pero, si tienes razón, ¿cómo es que todos los hombres (o por lo menos los hombres normales) aceptan estos esquemas como pruebas de estas proposiciones?' -Sí, hay aquí una gran - e interesante - concordancia".8 Si para contar 2 + 2 no tendiéramos de manera espontánea a hacerlo como normalmente lo hacemos (recurriendo a los dedos de las manos, por ejemplo), seguramente tendríamos una aritmética diferente pero también, muy probablemente, una menos beneficiosa o útil que la que tenemos. En todo caso, sin nuestra nunca cuestionada concordancia en reacciones los juegos de lenguaje no se podrían siquiera gestar.9 Quizá no estaría de más preguntarnos: ¿cuál es la función de una prueba? ¿Por qué o para qué tenemos pruebas y no nada más, e.g., experimentos? Una prueba es, como dijimos, un mecanismo que nos lleva de lo que denominamos 'premisas' a lo que llamamos 'conclusión'. Un rasgo fundamental de una prueba es que nos permite dejar establecido de manera definitiva un resultado y, por eso, genera certeza. Se trata de una secuencia de oraciones mediante la cual imponemos como regla que no admite excepciones una determinada proposición, a saber, la última y razonamos de 8

L. Wittgenstein, ibid., Parte I, sec. 35, p. 13. El caso del juego de lenguaje de las sensaciones podría ayudamos a ilustrar el punto que Wittgenstein está estableciendo. Es claro que si cada vez que a alguien le duele algo éste hiciera una mueca diferente o reaccionara de diferente de modo y si todos reaccionaran de manera diferente de cómo lo hacen los demás cuando les duele algo, el juego de lenguaje del dolor (y todo lo que entraña) no habría podido construirse. El dolor de los demás sería irreconocible. Lo mismo acontece, mutatis mutandis, con los juegos de lenguaje de la aritmética, la geometría, la lógica, etc. 9

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conformidad con ella. En este sentido, una prueba y su conclusión son claramente diferentes de un experimento y su resultado. El resultado de un experimento siempre puede ser un evento inesperado, pero en matemáticas la sorpresa está excluida. No quiero decir que no hay resultados extraordinarios en matemáticas. Lo que afirmo es que no se da el caso de que la mitad de la humanidad infiera algo y la otra mitad algo diferente. Es en este segundo sentido que en matemáticas no hay sorpresas. No obstante, a pesar de ser drásticamente diferentes, no deja de ser curioso que la idea misma de inferencia esté formada a imagen y semejanza de la idea de experimento y, así, que se le asocie a ideas como las de exploración, aventura y descubrimiento. Pero en contraste con las proposiciones de las ciencias empíricas, lo interesante de las reglas matemáticas es justamente su peculiar status, el cual consiste en que una vez establecidas la posibilidad de su modificación quedó cancelada. A diferencia de lo que acontece con los experimentos, la experiencia futura no puede afectarla. La razón de ello es que se trata precisamente de reglas que sirven para medir la experiencia (pasada, presente y futura). El hecho de que las reglas matemáticas sean inmodificables no es un misterio ni se explica por medio de alambicadas especulaciones, sino que simplemente significa que nosotros nos forzamos a nosotros mismos a razonar de conformidad con ellas, esto es, a ajustamos a ellas. Pero esto último no significa ni implica que la regla misma sea lo que se nos impone. Un signo o una regla no tiene fuerza para obligarnos a deducir tal o cual cosa, para extraer tal o cual conclusión o resultado, entre otras razones porque todo signo puede en principio ser interpretado de un sinfín de formas. Wittgenstein nos recuerda esta posibilidad mediante una pregunta retórica: "¿Acaso no puede derivarse todo de algo por medio de alguna regla, o inclusive de acuerdo con una regla, con la interpretación apropiada?".10 Por lo tanto, si los signos adquieren el status de "verdades necesarias" ello se deberá a que nosotros, los usuarios de dichos signos, les conferimos tal rango. Como dice Wittgenstein, somos nosotros los inexorables. Puede verse que aquí ya están constituidos y operan diversos conceptos sin los cuales no podríamos dar cuenta de los fenómenos de inferencia matemática. El concepto de inferencia, por ejemplo, acarrea consigo al de "seguirse de". En realidad, se trata de una misma idea presentada desde dos perspectivas diferentes, viz., la de los hablante y la de los signos. Por una lado decimos que nosotros inferimos algo, dando a entender que efectuamos una actividad peculiar de descubrimiento de conexiones y resultados; por la otra, decimos que una proposición o un resultado se siguen de ciertas premisas, insinuando que la relación entre premisas y conclusión ya estaba allí 10

L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Parte I, sec. 7, p. 5. 84


y que lo único que requerían era su verbalización. El problema es que la forma misma de expresarnos nos induce a malinterpretar lo que hacemos y, por ende, a entender mal o no comprender la situación: no es porque A se sigue de B que decimos que podemos inferir B de A, sino que es porque como cuestión de hecho inferimos BdeA que podemos decir que A se sigue de B. Como bien señala Wittgenstein, el verbo 'seguirse de' es equívoco, puesto que sugiere que algo se da independientemente de que nosotros así lo consideremos, pensemos, creamos, etc. Pero en lo que no se repara es en el hecho de que lo importante de decir (y aceptar) que A se sigue de B es que se aceptó una regla, a la cual a partir de ese momento nos atenemos. La interpretación equivocada es la que hace del verbo una descripción de un supuesto hecho lógico, cuando en realidad no es más que la indicación de la aceptación de algo por parte de los usuarios del simbolismo. Lo anterior nos permite aclarar otro rasgo fundamental de las transiciones matemáticas, a saber, su necesidad. Wittgenstein ciertamente comparte el punto de vista tradicional de que las "proposiciones" matemáticas son necesarias. O sea, él no cuestiona, como dice, "La dureza del debe lógico".11 El adversario del carácter necesario de las matemáticas (tanto de proposiciones como de inferencias) es el empirista de corte milliano o quineiano. Ahora bien, aunque en su discusión Wittgenstein rechazará la muy contra-intuitiva posición empirista, su inconformidad se centra más bien en las explicaciones que se dan de la necesidad de los resultados matemáticos. En relación con esto último el enemigo es ante todo, una vez más, el realista. Ahora bien, puede verse que una vez desarticulado el cuadro realista (i.e., su idea de que investigar en matemáticas es como realizar una exploración, que un cálculo matemático es como un experimento, que el matemático percibe conexiones especiales, etc.), su posición se torna realmente débil y el camino queda entonces libre para generar las aclaraciones alternativas. Así, Wittgenstein hace ver que la obtención de un resultado en matemáticas equivale al establecimiento de una regla que, por razones que ya se adujeron, es inmodificable o inalterable. Esta nueva regla se incrusta en el sistema ya establecido y paulatinamente construido de resultados matemáticos fijos. Para referirse a estos resultados Wittgenstein habla de "paradigmas". Un paradigma es un patrón rígido e independiente ya por completo de la experiencia (a la que regula) y, en ese sentido, es decir, por no ser algo meramente probable, sujeto a nuevas corroboraciones, etc., puede decirse de él que establece una nueva conexión necesaria y, por lo tanto, esencial. Al establecer que 2 + 2 = 4, el matemático fija una conexión entre numerales que ya nada va a alterar. Presentado esto de manera mitológica, podría decirse 11

Ibid., Parte I, sea 121, p. 37.

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que el matemático enuncia relaciones necesarias entre el objeto 2 y el objeto 4. Wittgenstein prefiere decir más bien que "El matemático crea esencia"}2 Esto último puede resultar un pensamiento demasiado provocativo como para tranquilamente dejarlo pasar sin elevar ninguna objeción. Una réplica a este resultado de Wittgenstein que de inmediato se le podría ocurrir a un realista consistiría en señalar que cuando nos las vemos con propiedades esenciales de objetos (en este caso, su puestamente, de números) lo único que no podemos hacer es hablar de "creación" por parte de nosotros. Esencialmente, las cosas son lo que son o mantienen entre sí las relaciones que mantienen, independientemente de nosotros (de que las percibamos, conozcamos, aprehendamos, etc.). Los matemáticos pueden descubrir esencias, mas no crearlas. Esta estrategia, sin embargo, equivale a recurrir a una línea de argumentación que ya fue descartada y lo que ello pone de manifiesto es la incapacidad del realista para explicar, al margen de sus mitos, el carácter necesario de las proposiciones matemáticas. Wittgenstein, en cambio, descubre aquí una veta de valor filosófico incalculable: lo necesario emerge no de descripciones, sino de convenciones. Hablar de esencias es hablar de marcas conceptuales. "También podría haber dicho: no es la propiedad de un objeto lo que es 'esencial', sino la marca de un concepto".13 Aquí se siente la continuidad del pensamiento de Wittgenstein, puesto que puede claramente rastrearse esta posición en la doctrina de los conceptos formales y las propiedades internas expuesta en el Tractatus.u Desde esta perspectiva, lo esencial de un objeto brota de la caracterización inicial que de éste se haga. De ahí que Wittgenstein se sienta autorizado a sostener que "cuando se habla de esencia —, lo que se hace es constatar una convención".15 La convención fija conexiones que, una vez establecidas, son necesarias y obviamente (para nosotros) a priori. Y para el realista que insiste en que tiene que haber una diferencia radical o profunda entre proposiciones sobre esencias y proposiciones temporales, accidentales o contingentes, Wittgenstein tiene preparada la respuesta: "a la profundidad que vemos en la esencia corresponde la necesidad profunda de una convención".16 Factualidad y necesidad se excluyen mutuamente. Para la aclaración del concepto de inferencia la alusión a cualquier proceso o estado interno es completamente redundante. Pero si lo que llamamos 'inferir' no es 12

Ibid., Parte I, sec. 32, p. 13. Ibid., Parte I, sec. 73, p. 23. 14 A este respecto véase, por ejemplo, mi "Relaciones Internas" en mi libro Lenguaje y Anti-Metafisica (México: Plaza y Valdés, 2005). 2a ed. 15 L. Wittgenstein, Remarte on the Foundations ofMathematics, Parte I, sec. 74, p. 23. 16 Loe. cit. 13

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un proceso mental sino más bien la expresión del aprendizaje de manipulación de ciertos signos (premisas, reglas de inferencia) de determinada manera, entonces es inclusive engañoso hablar aquí de "transiciones". Pregunta Wittgenstein: "Ahora bien ¿a qué llamamos 'inferencias' en Russell o en Euclides? ¿Debería decir: a las transiciones que en una prueba llevan de una proposición a la siguiente? Pero ¿en dónde se encuentra la transición?" 11 La idea de transición como una especie de transformación interna y mecánica de los signos tan pronto se yuxtaponen unos a otros y se les conecta por medio de reglas de inferencia es una ilusión gramatical, un mito más. Las "transiciones" las efectuamos nosotros porque se nos enseñó a usar ciertos signos de determinada manera, esto es, primero, de una manera que todos reconocemos (todos procedemos igual), en la que todos concordamos y, segundo, de una manera que nos es prácticamente útil. Lo anterior nos permite comprender mejor lo que podría llamarse 'experiencia matemática'. Los realistas gustan de hablar de visiones, de representaciones, de aprehensiones. El enfoque wittgensteiniano nos libera de toda esta innecesaria mitología. La investigación matemática no es una exploración por territorios ignotos, sino una contribución a la expansión de un simbolismo que cumple con funciones precisas. No hay ninguna vivencia especial de por medio. No hay conexiones que descubrir, sino estructuras simbólicas cada vez más complejas que construir. Ahora bien ¿por qué o para qué se necesitan dichas estructuras? Las necesitamos por su utilidad práctica, es decir, por su aplicación tanto a las proposiciones del lenguaje natural como a las proposiciones de las diversas ciencias. La genuina experiencia humana queda plasmada en las genuinas proposiciones, pero no hay ninguna experiencia genuina conectada con lo que no son más que instrumentos para la expresión de las experiencias. Las expresiones matemáticas son esos instrumentos. Por lo tanto, no hay ninguna experiencia especial que sea la experiencia matemática o lógica, puesto que no hay experiencias para regular las experiencias. La experiencia matemática, en el sentido realista de percepción inusual de conexiones entre entidades abstractas, es una inútil invención filosófica más. Que no está involucrado en la inferencia ningún proceso interno, de carácter mental, etc., es algo que queda claro si, una vez más, confrontamos lo que Wittgenstein tiene que decir sobre lo que es inferir con lo que dice en las Investigaciones Filosó ficas sobre lo que es leer. Es inútil intentar ver en la lectura un proceso interno, lo que uno se dice a sí mismo cuando recorre con la vista ciertos signos, una experiencia caracterizada por sensaciones especiales, etc. Más bien, decimos de alguien que ya 17

Ibid, Parte I, sec. 18, p. 8.

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sabe leer cuando ya no comete errores o los comete sólo ocasionalmente, cuando se detiene en los lugares apropiados, cuando la entonación es la correcta, etc., es decir, cuando de manera general el aprendiz ya reacciona de manera sistemática como cualquier persona de la que decimos que lee normalmente. Lo que nos incumbe para la adscripción de la capacidad de leer es algo que está a la vista de todo mundo. El concepto de leer no está vinculado con procesos neuronales, con estados mentales, con intuiciones de ninguna índole. Es un concepto de carácter eminentemente conductual. Lo mismo pasa con "inferencia": para la formación de este concepto no se tuvo que recurrir a nada que no fuera el registro de las reacciones del alumno. Es un error pensar que no son imaginables o factibles otras formas de inferencia y que si no las hemos hecho nuestras es porque hay un patrón externo a nosotros, objetivo, eterno, divino que las descarta. Lo que pasa es más bien que con esas otras formas de inferencia no habríamos logrado ponernos de acuerdo, no habríamos concordado, nuestros juegos de lenguaje serían caóticos, inexactos, menos exitosos, etc. Lo que llamamos 'inferencia correcta' es la manifestación de una concordancia generalizada respecto a la utilización del simbolismo. Lo correcto es lo que colectivamente la comunidad lingüística así determina. "Ya vi una prueba - ahora estoy convencido. ¿Qué pasaría si súbitamente me olvido de esta convicción? Luego aquí hay un procedimiento especial: yo examino la prueba y luego acepto su resultado. - Quiero decir: esto es simplemente lo que hacemos. Esa es nuestra costumbre, o un hecho de nuestra historia natural".18 Es con este reconocimiento que tocamos fondo. No hay nada más qué explicar. Aquí se nos plantea, naturalmente, el gran problema: parecería que Wittgenstein está defendiendo una tesis convencionalista a ultranza,19 viz., la tesis de que absolutamente cualquier desarrollo y cualquier resultado son posibles: basta con que todos nos pongamos de acuerdo y los aceptemos. Pero esto parecería trivializar el concepto de inferencia, pues parecería implicar que la corrección de una inferencia es un mero asunto de decisión colectiva, de sano acuerdo democrático. Naturalmente, un punto de vista así equivale a la aniquilación de nuestro concepto normal de corrección. Llevado al extremo esto sugiere la idea absurda de que si todos nos ponemos de acuerdo en que '2 + 2 = 5' entonces, por consenso universal, 2 + 2 = 5. Wittgenstein mismo plantea la objeción como sigue: "Pero, de todos modos, yo puedo inferir sólo lo que realmente se sigue\ - ¿debería eso significar: sólo lo que se sigue cuando nos 18

L. Wittgenstein, ibid, Parte I, sec. 63, p. 20. Que es, como se sabe, de lo que lo acusó M. Dummett en su bien conocida reseña de las Observacio nes sobre los Fundamentos de las Matemáticas. 19

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atenemos a las reglas de inferencia; o debería significar: sólo aquello que se sigue cuando nos atenemos a tales reglas de inferencia, como si de algún modo concordaran con alguna realidad? Aquí con lo que de algún modo vago nos topamos es con que esta realidad es algo muy abstracto, muy general y muy rígido. La lógica es una especie de ultra-física, la descripción de la 'estructura lógica' del mundo, que nosotros percibimos mediante una especie de ultra-experiencia (con el entendimiento, por ejemplo)".20 La idea de fondo es que lo que es "correcto" o "incorrecto" tiene que ser por completo independiente de nuestro modo de manipular el simbolismo (lógico o matemático, y el lenguaje en general) y sería precisamente porque el mundo se com porta de cierta manera y no de otras que no cualquier transición transi ción es correcta corre cta o no. Sería absurdo adscribirle a Wittgenstein la idea de que cualquier inferencia es en principi principioo válida. válida. Su punto punto de vista vista no es es que no podemo podemoss disting distinguir uir entre entre "corre "correcto" cto" e "incorrecto", sino más bien que por medio de 'correcto' e 'incorrecto' no aludimos a realidades sino a prácticas establecidas, a usos colectivos de signos: "pero ¿con qué realidad concuerda aquí 'correcto'? Supuestamente con una convención, o con un uso, y quizá con requerimientos prácticos".21 No hay nada por debajo de las convenciones y las prácticas lingüísticas (en un sentido amplio de la expresión) y que las "sustente" o "fundamente". Estamos en la misma situación que cuando queremos dar cuenta de la "dureza" del concepto lógico de deber. Investigacioness se impone. Aquí un veloz recordatorio de un crucial pasaje de las Investigacione En la sec. 201, Wittgenstein enuncia su "paradoja": "Esta era nuestra paradoja: una regla no podría determinar ningún curso de acción, porque se puede hacer concordar cualquier curso de acción con la regla. La respuesta es: si todo se puede hacer concordar con la regla, entonces también se puede hacer que todo entre en conflicto con ella. Por lo que no habría aquí ni acuerdo ni desacuerdo".22 Aunque sea instintivamente, detectamos que algo debe estar mal en este resultado, puesto que nos deja sin explicación de lo que es aplicar correctamente un término. La respuesta la da el mismo Wittgenstein un poco más abajo: "A través de esto mostramos que hay una aprehensión de una regla que no es una interpretación, sino que se exhibe, de caso en caso de aplicación, en lo que llamamos 'seguir la regla' y 'contravenirla'".23 En otras palabras, Wittgenstein es el primero en admitir que no todo es el resultado de una mera interpretación, es decir, que no podemos arbitrariamente decidir llamar 20

L. Wittgenstein, Remerks on the the Foundations of Mathematics, Mathematics, Parte I, sec. 8, p. 6. Ibid., Parte I, sec. 9, p. 6. 22 L. Wittgenstein, Philosophical Investigations, sec. 201. 23 Loe cit.

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NFERENCIA CIA MATE MATEMÁT MÁTICA ICA I NFEREN

'correcto' o 'incorrecto' a cualquier cosa, sino que hay efectivamente una forma de aplicar una fórmula o una regla que ejemplifican lo que es la aprehensión correcta de las mismas. Pero lo importante es notar que, independientemente de si hablamos de aritmética o de ajedrez, el que algo sea una aplicación correcta de un signo o de una regla (y, por ende, una inferencia correcta) se explica en términos de usos, de convenciones, de prácticas, de concordancia en reacciones, no de supuestas realidades extra-simbólicas. Recurrir a éstas es simplemente apelar a una imagen y dejar ver que uno no ha podido aún liberarse de su maleficio.

IV) Consideraciones Finales Lo que he presentado no es más que una de las múltiples aristas del pensar wittgensteiniano en torno a las matemáticas. Creo que podemos constatar que su investigación tiene dos fases y dos facetas, a las que hay que mantener vinculadas. La primera fase de su labor es eminentemente destructiva. En este caso, por ejemplo, el blanco principal principal (aunque (aunque ni mucho menos menos el único) único) es el mito mito realista, realista, esto esto es, la concepción concepción realista de las matemáticas. La otra fase de su trabajo es la positiva o constructiva, sólo que ésta toma cuerpo no en una nueva teoría, sino a través de las aclaraciones y rectificaciones que va haciendo a lo largo de su ataque. Lo exitoso de la crítica de Wittgenstein se manifiesta en que, una vez aprehendido su pensamiento, estamos en posición de desprendernos de diversos mitos filosóficos, los cuales son sumamente dañinos. Por ejemplo, ahora entendemos por qué podemos hablar de verdad y de falsedad en matemáticas sin tener que asumir la existencia de objetos abstractos o podemos aceptar la idea de que hay una distinción objetiva entre lo correcto y lo incorrecto sin para ello dotar a las matemáticas de carácter descriptivo o factual. Vimos cómo lo que denominamos 'inferencia' en realidad está más bien asociado con reacciones primitivas, animales o espontáneas, de tipo "El fuego quema, eso es fuego y por lo tanto lo evito". Wittgenstein hace un esfuerzo por mostrar la esencial vinculación del concepto de inferir con otros conceptos cognitivos, como "pensar". Su idea es que es al aprender a pensar que se aprende a inferir. No se trata de procesos separados. Otro rasgo interesante del enfoque de Wittgenstein es que, sin convertir a las matemáticas en una ciencia empírica de todos modos recupera su esencial conexión con la experiencia. El proceso en el que Wittgenstein parece pensar es más o menos el siguiente: enunciamos leyes lógicas y matemáticas de manera experimental, pero una vez establecidas las volvemos inmunes a la experiencia. Si conjugamos

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estas reflexiones con los otros grupos de pensamientos que Wittgenstein produjo en relación con los números, la inducción, la existencia en matemáticas, el infinito, los problemas problemas de fiindamentación fiindamentación de las matemáticas, matemáticas, las contradicciones contradicciones,, etc., veremos que lo que nos legó es ni más ni menos que un cuadro básicamente correcto de eso que llamamos 'matemáticas'.

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Geometría y Experiencia

P

arece incuestionable que uno de los temas más excitantes a que da lugar la geometría es el de la caracterización de la relación que guarda con la experiencia y, en especial, con la experiencia visual. En relación con dicho tema se han mantenido, en general con argumentos ingeniosos, toda una gama de posiciones mutuamente excluyentes. El objetivo de estas páginas, por ello, se limita al de reconstruir algunas de las posiciones más representativas, ofrecer pautas de crítica y esbozar lo que podría ser la concepción más apropiada del status de la geometría y de su relación con la experiencia y el conocimiento. No estará de más, creo, señalar desde ahora que prácticamente no hay posiciones "puras". Dentro del empirismo, por ejem plo, hay tendencias radicalmente divergentes y, en verdad, mutuamente excluyentes. En este trabajo me centraré en lo que llamaré la 'visión estándar', en algunas tesis de Kant, en la posición semi-empirista-semi-convencionalista delineada por H. Poincaré y claro está, muy especialmente, en algunos puntos de vista de Wittgenstein. Mi plan de trabajo será el siguiente: haré una exposición sucinta de cada una de las posiciones mencionadas y completaré mi exposición con observaciones críticas y comentarios acerca de sus respectivas fuerzas explicativas, coherencia, etc. Hacia el final intentaré ofrecer una visión de conjunto que incorpore lo que en mi opinión es salvable de cada una de las "escuelas". Quizá lo mejor sea empezar por enunciar lo que probablemente sea en la actualidad el punto de vista más difundido. Éste fue formulado muy claramente por Bertrand Russell. De acuerdo con él, 'Geometría' es un nombre que cubre dos estudios diferentes. Por una parte, está la geometría pura, la cual deduce consecuencias de axiomas, sin investigar si los axiomas son 'verdaderos'; ello no contiene nada que no se siga de la lógica, no es 'sintética' y no necesita figuras como las que se usan en libros de texto de geometría. Por otra parte, está la geometría como una rama de la física, tal como aparece, por ejemplo, en la teoría general

GEOMETRÍA Y EXPERIENCIA

de la relatividad; ésta es una ciencia empírica, en la que los axiomas son inferidos a partir de las medidas y se ha encontrado que son diferentes de los de Euclides. Así, de las dos clases de geometría una es apriori pero no sintética, en tanto que la otra es sintética pero

no apriori.1

Difícilmente podría negarse que es ésta una presentación nítida y, a primera vista por lo menos, sumamente convincente de lo que es la geometría o, mejor dicho, de lo que son las geometrías. No obstante, esta posición no está, como veremos en un momento, más allá de toda clase de objeciones. Según Russell, como acabamos de ver, la geometría es o un cálculo o una ciencia empírica. Llamémosla G{ y G2 respectivamente. G, es necesaria y apriori, sólo que es analítica, en tanto que G2 es contingente, aposteriori y sintética. Ahora bien, un problema obvio para la posición russelliana es el siguiente: supongamos que un enunciado cualquiera, P (digamos, la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°) pertenece tanto a G x como a Gr O sea, el enunciado en cuestión es tanto una verdad empírica (el mundo es tal que, efectivamente, cuando se miden y suman los ángulos de porciones triangulares de espacio el resultado es 180°) como una verdad formal (hay una prueba para dicho enunciado y, además, su transcripción al lenguaje de la lógica da lugar a una tautología). ¿Tendremos entonces que reconocer que P es simultáneamente analítico-sintético-a priori-a />osterzorz-necesario-contingente? Es obvio que no podría decirse eso, a pesar de que es a eso a lo que está comprometido quien adopte este punto de vista. Un problema con la concepción estándar es, pues, que siendo su enfoque estrictamente lógico y totalmente abstracto, establece dicotomías meramente formales, las cuales conducen a atribuirle a las proposiciones de la geometría propiedades incompatibles. Ello a su vez muestra que, desde esta perspectiva, no es claro cómo se conectan la geometría y la experiencia. Parece ser un error hacer de la distinción "cálculo-hipótesis" la distinción fundamental y última. Por ejemplo, no parece ser verdad que la geometría que se usa no en la física sino en la vida cotidiana esté constituida por una serie de hipótesis que puedan variar, mejorarse, etc. Sean lo que sean las "verdades" de la geometría "vivida" o (como podríamos también llamarla) "fenomenológica", de seguro que no se trata ni de hipótesis ni de meras tautologías. Aquí ciertamente hay una distinción que trazar. Es claro que en relación con las teorías físicas sí puede haber geometrías más aptas unas que otras, pero es igualmente claro (supongo) que los objetos de la física no son objetos de percepción. Entonces, en el mejor de los casos, la posición de Russell adolece por lo menos del defecto de ser incompleta y de dejar en el misterio precisamente el asunto que aquí nos incumbe, a saber, el de la relación que vale entre la geo metría y la 1

B. Russell, History of Western Philosophy (London: Alien and Unwin, 1967), p. 688. 94


percepción. En efecto, parecería que se requieren no dos sino tres geometrías: la geometría "pura", que es como Russell afirma, analítica y apriori, la geometría que sirve en las diversas teorías científicas y que es, como él apunta, sintética y a posteriori, y la geometría de nuestra experiencia visual, de los objetos de experiencia y que, por lo menos en gran medida, parece inevitablemente ser euclidiana, apriori y sintética. Russell asimila demasiado fácilmente esta última a la geometría que podríamos llamar "experimental". Yo pienso que eso es un error. Presupone, por ejem plo, la creencia falsa de que los lenguajes teóricos son un desarrollo, un perfeccionamiento frente al lenguaje natural. Pero es evidente que si bien las teorías científicas pueden alterarse drásticamente, el carácter de nuestra experiencia y de sus objetos es fundamentalmente el mismo para nosotros que para el hombre de Cro-Magnon. Esto no queda reconocido en el punto de vista de Russell por lo que, aunque interesante para otros efectos, para nuestro tema resulta casi irrelevante. Probablemente el punto de vista con el que de modo más directo choca la concepción representada por Russell sea el defendido por Kant. La posición de este último puede ser brevemente descrita como sigue: los enunciados matemáticos tienen un carácter apodíctico, pero no son meras identidades, no son enunciados vacuos o, lo que equivale a lo mismo, no son enunciados analíticos. En geometría, como en cualquier otra rama de las matemáticas, se establecen conexiones imposibles de adivinar o de deducir de un modo enteramente formal. Sostener, e.g., que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180° es un descubrimiento. Es en este sentido que las matemáticas son sintéticas y necesarias. Kant da un ejemplo que quizá sea más ilustrativo, sólo que es un ejemplo de aritmética. Él afirma que nada en '7 + 5' permite adivinar o inferir que el resultado es '12'. Parafraseándolo, podríamos decir que ninguna consideración referente a los lados del triángulo o sobre sus ángulos considerados en sí mismos permitirían extraer el contenido del teorema concerniente a la suma de los ángulos. La idea kantiana, además, es que las matemáticas (y en particular la geometría) son a priori porque sus conceptos mismos lo son, es decir, porque los conceptos matemáticos (geométricos) no son conceptos empíricos. Esto significa básicamente dos cosas: primero, que la naturaleza no contiene objetos matemáticos (ángulos, vértices, líneas rectas, esferas, etc.) y, segundo, que es de facto imposible que conceptos como éstos pudieran haber quedado construidos sobre la base de experiencias o extraídas de ellas. La experiencia es demasiado pobre para ello. Los conceptos de las matemáticas, y en particular los de la geometría, son más bien la manifestación o la expresión de la forma como los seres sensibles y racionales percibimos los objetos que configuran a la realidad. Pero dado que en matemáticas se describe nuestra forma de percibir y conocer empíricamente, entonces es claro que las matemáticas son epistemológicamente previas a toda experiencia posible y, por 95


ende, independientes de ellas. Así, las matemáticas son, desde la perspectiva kantiana, sintéticas, necesarias y a priori. Así, pues, de acuerdo con Kant la geometría es sintética y a priori. Como se sabe, una de las grandes dificultades a las que sin éxito se enfrenta su concepción es, obviamente, la que representa la creación de múltiples geometrías, inexistentes todavía en su época. Por consiguiente, el reto para todo enfoque de corte kantiano será el de mantener simultáneamente la posición kantiana canónica respecto a la experiencia como esencialmente euclidiana dando cuenta al mismo tiempo de la existencia de las geometrías no euclidianas. Intentaré a este respecto ser claro: yo creo que el kantismo puro no puede resolver el problema. No obstante, también creo que posiciones neo-kantianas sí tienen más probabilidades de éxito. Por ejemplo, P. F. Strawson, en su magnifico libro, The Bounds ofSense,2 señala que hay elementos en la Crítica de la Razón Pura que permiten sacar adelante el programa kantiano, aunque sea modificado (eliminando, por ejemplo, el idealismo trascendental). Veamos cómo cree Strawson que se puede ello lograr. El modo como se determina en matemáticas si una cierta proposición es verdadera o no es apelando al principio de no-contradicción. Por consiguiente, mientras lo que se ofrezcan sean sistemas coherentes de axiomas y consecuencias, Kant no tendría ningún reparo en llamar a sistemas así 'sistemas geométricos'. Kant podría reconocer, con Russell, que hay una geometría "pura", cuyos enunciados son apriori, pero analíticos, aunque insistiría en que hay otra geometría que se compone de juicios a priori, pero sintéticos. El problema para Kant es más bien el que proviene de su convicción de que lo que la geometría euclidiana hace es describir la estructura del mundo físico, en tanto que teorías como, e.g., la de la relatividad muestran que eso es falso. Para salir del problema, Strawson propone, lo cual parece sensato, que se le asigne a 'físico' dos sentidos y entonces se podrá comprender que Kant está com prometido (o podría hacérsele estar comprometido) sólo con uno de ellos. Al hablar de "espacio físico" podemos distinguir entre el espacio del cual se ocupa exclusivamente la física y el espacio fenomenal. Así, 'espacio físico' es un nombre general que permite referir a toda la variedad de espacios definidos matemáticamente y usados en física. Puede inclusive admitirse que hay un número infinito de espacios físicos en este sentido. El punto, sin embargo, es que no todos esos espacios físicos son objetos de experiencia. Espacio que sea a la vez físico y perceptual sólo hay uno: el euclidiano o el que más se aproxima al euclidiano. De ahí que Kant podría aceptar que para diversos cálculos físicos, para los cuales se requiere el uso de términos teóricos, 2

P. F. Strawson, The Bounds ofSense (London: Methuen & Co., 1982). 96


geometrías otras que la euclidiana pueden servir, sin por ello tener que desprenderse de la idea de que para los requerimientos de la percepción humana sólo la geometría euclidiana es útil. En palabras de Strawson, puede afirmarse que "Con ciertas reservas y cualificaciones (...), parece que la geometría euclidiana puede también inter pretarse como un cuerpo infalsificabie de proposiciones acerca de líneas rectas, triángulos, círculos, etc., fenomenales, como un cuerpo de proposiciones a priori acerca de las apariencias espaciales de esas clases y, por ello, desde luego, como una teoría cuya aplicación está restringida a tales apariencias".3 Esto parece interesante, en particular por una consecuencia que quisiera enfatizar. De la propuesta strawsoniana parece seguirse que, por ejemplo, si bien para efectuar cálculos más exactos al utilizar teorías físicas aplicables al macrocosmos (dimensiones galácticas) se requiere emplear geometrías no euclidianas, de todos modos la interpretación de los resultados a los que conduce la aplicación de geometrías así se tiene que hacer con base en la comprensión euclidiana de los objetos (i.e., después de todo, los pizarrones, los diagramas, los lápices, las máquinas con las que se trabaja, etc., son objetos "euclidianos"). Pasa lo mismo que con las teorías físicas y la percepción visual: por más que un físico asevere que los objetos son, por decir algo, energía concentrada (y nos dé sus leyes), no tendría sentido decir que lo que nosotros vemos cuando vemos algo es una concentración de partículas elementales. Asimismo, realmente es poco plausible (si no es que declaradamente ininteligible) la afirmación de que alguien "visualiza" movimientos y figuras de un modo no-euclidiano. Pero si esto es acertado, entonces no se ve en qué sentido se podría hablar de una "refutación" de la Estética Trascendental. La complicación de este movimiento rehabilitador de la geometría euclidiana (que es más que meramente rehabilitador, puesto que a final de cuentas subordina todas las geometrías a la geometría euclidiana) concierne, evidentemente, a la naturaleza de los objetos fenomenales y de sus relaciones, acerca de los cuales se supone que versa la única geometría que es sintética a priori. Yo pienso que la posición neo-kantiana es atractiva, pero también que no es inmune a la crítica. Regresaré más abajo sobre algunas de las dificultades que creo le son intrínsecas. Estrechamente relacionado con la postura kantiana, pero en radical oposición a ella, está el punto de vista, clásico también (aunque, curiosamente, poco estudiado), desarrollado por H. Poincaré. La concepción por la que el matemático francés aboga es interesante, porque es un esfuerzo por combinar, de modo original, intuiciones

1

Ibid, p. 286.

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propias de escuelas opuestas, además de que contiene una tesis original. Intentemos sintetizar sus puntos de vista. Al igual que Russell, Poincaré distingue dos "geometrías", la empírica y la matemática, la inexacta y la exacta. Los conceptos de dichas ciencias habrán de ser, evidentemente, diferentes y lo que esto quiere decir es que versan sobre entidades diferentes. Consideremos, por ejemplo, la noción de espacio. Hay lo que él llama el 'espacio geométrico', al que distingue del que llama 'espacio representativo'. Otra manera de distinguirlos es diciendo que una cosa es el espacio teórico y otra el espacio de experiencia. El primero, se nos dice, es continuo, infinito, tridimensional, homogéneo e isótropo. En contraste, el espacio representativo es bidimensional, limitado, no es homogéneo y no es isótropo. No podrá sorprendernos, por lo tanto que, contrariamente a Kant, Poincaré sostenga que no tenemos en nosotros ab initio una idea de espacio. En relación con el espacio de experiencia, la posición de Poincaré es la de un empirista desenfrenado. El análisis introspectivo de la experiencia revela que lo único que está involucrado son movimientos de órganos, esfuerzos musculares, objetos sólidos y cosas por el estilo. Según él, si por 'espacio' vamos a entender la totalidad de los lugares, direcciones, etc., de los objetos de experiencia, entonces habrá que decir que no tenemos una idea, una impresión o, en terminología kantiana, una intuición del espacio, en este sentido. "Ninguna de nuestras sensaciones, aislada, habría podido conducirnos a la idea de espacio; hemos sido conducidos a ella solamente estudiando las leyes según las cuales esas sensaciones se suceden".4 Aparte de los sólidos y sus relaciones espaciales, no hay algo que sea "el espacio". El espacio representativo es, pues, el resultado de, por así decirlo, la suma de lo obtenido en el espacio visual (bidimensional), el espacio táctil y el espacio motor. Nosotros de modo natural no percibimos las cosas en un espacio de tres dimensiones, sino en uno de dos: las imágenes en la retina carecen de la dimensión de la profundidad. Tenemos que aprender a ver en tres dimensiones y ello se logra gracias a la coordinación de movimientos oculares y musculares. "La tercera dimensión nos es revelada de dos maneras diferentes: por el esfuerzo de acomodación y por la convergencia de los ojos".5 Mis representaciones en el espacio de experiencia {Le., en mi espacio perceptual) tan sólo reproducen mis sensaciones, pero mis representaciones tienen que satisfacer o ajustarse a ciertas regularidades empíricas concernientes a las posiciones relativas de los objetos. En otras palabras, los movimientos de los 4

H. Poincaré, "El Espacio y la Geometría" en Filosofía de la Ciencia. Selección e introducción de Eli de Gortari, (México: Colección "Nuestros Clásicos", UNAM, 1964) p. 130. 5 Ibid., p.126. 98


sólidos están sometidos a leyes (por eso hablamos de "regularidades"). La geometría "pura" sería entonces el sistema de leyes que rigen a los movimientos de los sólidos, los cuales no se conducen matemáticamente de manera ideal, sino sólo aproximada. De ahí que mis representaciones espaciales no puedan ser otra cosa que una "imagen deformada" de lo que sería su representación geométrica. "No nos representamos los cuerpos exteriores en el espacio geométrico, pero razonamos sobre ellos como si estuvieran situados en el espacio geométrico".6 El espacio geométrico (con todo lo que contiene, viz., líneas rectas, curvas, figuras, volúmenes y demás "entidades" perfectas) no es, como ya se dijo, un espacio de experiencia. Eso no quiere decir, sin embargo, que dicho espacio no sea regulador de la experiencia. Lo que sucede es que las representaciones empíricas se geometrizan a través de algún sistema geométrico particular. El que más nos conviene, desde un punto de vista práctico e inmediato, es el de la geometría de Euclides, pero eso, de acuerdo con Poincaré, no pasa de ser una feliz casualidad. No hay nada de necesario en ello y, por lo tanto, no hay bases para hablar aquí de "sintéticos apriori". Cabe no obstante preguntar: ¿con qué clases de verdades nos las habernos en cada caso? Aquí llegamos a la última parte en la explicación de Poincaré y, por cierto, la más original. Por una parte, las "verdades" obtenidas en la experiencia, las cuales dan lugar a hábitos, son enunciados hipotéticos, contingentes, a posteriori y probables. Los enunciados de la "geometría empírica" son generalizaciones y versan ante todo sobre los sólidos del espacio perceptual. Pero los objetos de la geometría genuina o pura son objetos ideales. Lo que para él esto significa es que dichos objetos son, estrictamente hablando, mentales. "La noción de esos cuerpos ideales está formada totalmente en nuestro espíritu, y la experiencia es una ocasión que nos ayuda a hacerla surgir."7 Ahora bien, lo que se llama "verdades" de esta geometría son meras convenciones. "Los axiomas geométricos no son, por lo tanto, ni juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales. Son convenciones: nuestra elección entre todas las convenciones posibles es guiada por los hechos experimentales, pero permanece libre, y sólo responde a la necesidad de evitar toda contradicción."8 En general, la posición de Poincaré es, pues, la siguiente: la geometría pura no es una ciencia empírica. Más aún: si hablar de ciencia es hablar de verdad y falsedad,

6

Ibid, p.129. 7 Ibid, p. 143. 8H. Poincaré, "Las Geometrías no Euclidianas" en Filosofía de la Ciencia, p. 160.

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entonces estrictamente hablando la geometría ni siquiera es una ciencia. "¿Es verdadera la geometría euclidiana? La pregunta carece de sentido".9 Es para la manipulación de los objetos de experiencia que es importante disponer de un sistema simbólico, mientras más cómodo mejor, y un sistema así puede ser tanto uno euclidiano como uno no-euclidiano. Pero dichos sistemas simbólicos no tienen nada que ver con la verdad o la falsedad, con cómo sea el mundo: son meros sistemas de convenciones lingüísticas. Así, Poincaré combina posiciones empiristas, mentalistas, convencionalistas y pragmatistas. El cuadro está bien armado sólo que, en mi opinión, tiene grietas que hacen que el edificio se derrumbe. Se puede argumentar en contra de la propuesta de Poincaré desde diversas pers pectivas. Para empezar, podemos señalar que la teoría de Poincaré es circular. De acuerdo con él, la geometría no es una ciencia empírica porque versa sobre objetos sólidos ideales, objetos perfectos que, obviamente, no son entidades de experiencia. Es por eso que las proposiciones de la geometría son meras convenciones. El problema es que la idea misma de sólido sí es una idea de experiencia. Pero entonces no hay tal cosa como geometría pura, puesto que los sistemas geométricos ya vienen cargados de conceptos de empirie. Desde este punto de vista, la geometría pura es no una convención sino, más bien, una idealización, es decir, un producto derivado de las regulaciones concernientes a los objetos en el espacio de la experiencia. Por otra parte, se podría objetar, podemos pensar o imaginar el espacio vacío, sin objetos, pero no objetos espaciales sin un espacio que los contenga. Poincaré presupone la inversa. Admito, desde luego, que el asunto es controvertible, pero deseo señalar que si ello es factible el planteamiento de Poincaré es simplemente ininteligible, puesto que presu pone que se puede hablar de relaciones espaciales sin asumir el espacio. En tercer lugar, hay que observar que partiendo de conjuntos de impresiones nunca se accede al espacio tal como lo conocemos. Además, en contra de Poincaré se puede esgrimir el conjunto de argumentos que se conoce como el 'argumento del lenguaje privado', puesto que para él los objetos de percepción son los objetos de "experiencia inmediata", en un sentido mentalista. Por último, vale la pena señalar que el enfoque genético es, en este contexto, sumamente equívoco. De hecho, no nos importa cuál sea el proceso por el que pasa alguien para llegar al estadio de sujeto cognoscente, sino lo que sucede con alguien que ya es un sujeto cognoscente constituido y lo que parece ser el caso en relación con el sujeto cognoscente real es que es simplemente falso que la percepción sea bidimensional. Nadie hace atribuciones geométricas antes de ver en profundidad. Cuando uno ve una persona uno asume que dicha persona 9

Ibid,p. 160.

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tiene un corazón, visceras, etc., y así la ve. No la ve en dos dimensiones. Las descripciones genéticas, por lo tanto, son, por fieles que pudieran resultar, totalmente irrelevantes para nuestro tema, que es la experiencia completa y su relación con la geometría. Pero esto parecería implicar que Poincaré no puede realmente sostener que la geometría perceptual no es tridimensional y euclidiana. Asimismo, la conexión que él establece entre la geometría y la mente está totalmente rebasada y no parece ser de mayor utilidad teórica. Infiero de lo dicho hasta aquí que la concepción de Poincaré, por lo menos tal como él la presentó, es implausible. No obstante, creo que contiene una intuición primordial y que, interpretada de cierta manera, tendría que ser incorporada, de uno u otro modo, en cualquier esfuerzo por dar cuenta de la geometría. Wittgenstein, como veremos, la incorpora, sólo que, por así decirlo, "lingüistizada". Pero antes de reconstruir las elucidaciones de Wittgenstein, me parece que sería conveniente intentar recoger los elementos cruciales de cada una de las concepciones de las que nos hemos ocupado. Por lo pronto, creo que estamos en posición de decir lo siguiente: a pesar de las diferencias, los pensadores mencionados parecen coincidir en que hay dos clases de geometrías, viz., la "empírica" y la "matemática", y también que, de uno u otro modo, el espacio perceptual de hecho tiene todas (o casi todas) las características de un espacio euclidiano. De algún modo, las proposiciones concernientes a dicho espacio lo describen. En lo que a primera vista no parece haber acuerdo es respecto al status de las proposiciones de las geometrías. Consideremos primero la geometría pura. Strawson (y, suponemos, Kant también) parecen aceptar la tesis de Russell de que los diversos sistemas de geometría pura se componen exclusivamente de enunciados analíticos y a priori. Aquí el problema podría ser con Poincaré para quien, como vimos, la geometría analítica resulta de convenciones y, por consiguiente, no tiene mayor sentido en este caso hablar de "verdades" en absoluto. En todo caso, todos convendrían en que no es la experiencia el origen de dicha geometría. No obstante, si al hablar de "convenciones" se enfatiza no tanto la cuestión de la arbitrariedad como el carácter no referencial de los signos involucrados, entonces la diferencia entre Poincaré, Russell y Strawson podría no resultar tan grande como parece. En efecto, si caracterizamos a ciertas proposiciones como verdaderas en virtud de los significados conferidos a los signos usados, lo que estamos diciendo es que dichas proposiciones son verdaderas por convención y esto no es otra cosa que decir que son analíticas. Así contemplado el asunto, Russell, Kant, Strawson y Poincaré estarían sosteniendo básicamente lo mismo. Consideremos ahora la geometría estrictamente "empírica". Poincaré y Russell coinciden en cuanto al status de sus proposiciones: básicamente, se trata de genera101


lizaciones y son, por consiguiente, sintéticas y aposteriori. En este punto, su posición común y la de Kant-Strawson son claramente irreconciliables, puesto que para estos últimos las proposiciones de esta geometría también son sintéticas, sólo que son apriori. No podría hablarse significativamente de experiencia visual no euclidiana. Quizá una manera de resolver este conflicto sería reconociendo, como sugerí más arriba, la existencia no de dos sino de tres clases de geometría. Dudo, sin embargo, que Russell, por ejemplo, aceptara trazar una distinción entre la geometría euclidiana de la experiencia y la geometría experimental de la física. Examinemos, por último, lo que podríamos llamar la 'geometría teórico-experimental', esto es, las geometrías con las que se labora en distintas teorías de física. Para Russell y Poincaré, dichas geometrías son hipótesis empíricas, puesto que permiten hacer predicciones. Desde la perspectiva kantiana, sin embargo, esto es cuestionable. Lo que los kantianos pueden argumentar es que la experiencia se da en el momento de hacer los cálculos, no al hablar de la supuesta referencia de sus resultados. La idea es que, aunque nos trasladaran al otro lado del universo, de todos modos, allá, nuestra experiencia seguirla siendo básicamente euclidiana. Los espacios no euclidianos son, como el infinito, lo que está siempre "más allá" de toda experiencia posible. En este caso, como puede observarse, la reconciliación de posiciones no es factible. Además de las dificultades internas a cada uno de los planteamientos considerados, a mi modo de ver hay una zona oscura común en todos ellos. Me refiero al problema de la relación que vale entre las dos clases de geometría y entre ellas y la experiencia. ¿Cómo y por qué se aplican ciertas convenciones o proposiciones analíticas a la experiencia? Hablar de "felices coincidencias", "afortunados azares" y demás es dejar el problema sin resolver. Yo creo que la resolución de este problema es la clave para la resolución de los demás, sólo que para hallarla parece imprescindible tender la mirada hacia el pensamiento wittgensteiniano. El texto de Wittgenstein que consideraré más en detalle es el de las pláticas (auténticas conferencias) concedidas a los miembros del Círculo de Viena y recogidas en el texto Ludwig Wittgenstein y el Círculo de Viena. El material concerniente a la geometría que encontramos en ese libro es escaso, pero altamente elucidatorio. De hecho, deseo sostener que quedan salvaguardadas las intuiciones "positivas" de todos, al tiempo que se evitan sus respectivos errores. La clave para la elucidatoria síntesis wittgensteiniana radica, en gran medida, en la elaboración de una nueva terminología. Así, un modo de dar cuenta del avance que representa Wittgenstein sería diciendo que él asimila las intuiciones de los pensadores anteriores, pero les da la formulación exacta: mucho de lo que ellos querían decir es correcto, sólo que no lo supieron decir. Veamos esto detenidamente. 102


Lo primero que habría que señalar es que Wittgenstein también reconoce el carácter ambivalente de la geometría, sólo que éste queda caracterizado de otro modo. La idea es la siguiente: por razones internas al pensamiento de Wittgenstein, sabemos que el estudio de la percepción es ante todo el estudio del lenguaje de la percepción (de cómo caracterizamos sus objetos, cómo medimos sus distancias, cómo calculamos sus movimientos, etc.). En relación con el lenguaje podemos distinguir por el momento dos grandes componentes: los juegos de lenguaje y los movimientos dentro de ellos, por una parte, y la gramática, por la otra. La gramática, en el sentido de Wittgenstein, es el sistema de reglas de uso que determinan la aplicación de las pala bras, es decir, fijan tanto lo que se puede afirmar o negar como lo que no tiene sentido decir. En este sentido, la geometría es parte de la gramática del lenguaje: fija lo que se puede decir en relación con los objetos de percepción. "La geometría del campo visual es la gramática de los enunciados acerca de los objetos en el campo visual. No se puede decir de esta geometría que es plausible".10 Lo que esto quiere decir es que no se trata de una mera "hipótesis" que podamos pulir, afinar, etc. En este punto, con Wittgenstein se retoma parte de la idea de Poincaré, al tiempo que se elimina lo que es redundante en ella, y la idea strawsono-kantiana, sin para ello comprometerse con idealismos de ninguna índole. Lo que por medio de esta primera geometría se logra es fijar los mecanismos lingüísticos para poder hablar de las posiciones, movimientos, volúmenes, etc., de los objetos de percepción. ¿Son estos objetos las "sensaciones", como quería Poincaré? No. Son los objetos de los que se habla en el lenguaje natural, los cuerpos. De lo dicho hasta aquí se sigue que los axiomas y los teoremas de la geometría no versan sobre nada. "Así, los axiomas de la geometría tienen él carácter de estipulaciones concernientes al lenguaje en el que queremos describir los objetos espaciales. Son reglas de sintaxis. Las reglas de sintaxis no son acerca de nada; las establecemos nosotros".11 La pregunta '¿acerca de qué, a qué se refieren los axiomas de la geometría?' tiene tanto sentido como la pregunta '¿acerca de qué o a qué se refieren "sujeto", "predicado", etc.?'. En este punto hay coincidencia con Poincaré (puesto que se apunta a un elemento de arbitrariedad en las proposiciones geométricas) y rechazo de la posición kantiana (puesto que se desprovee a la geometría de todo rasgo realista-empírico e idealista-trascendental). Por otra parte, sin embargo, se acepta la idea kantiana de que, siendo la percepción primordial para el conocimiento, habrá una 10

Luchvig Wittgenstein and the Vienna Circle. Converstions Recorded by Friederich Waismann. Edited by B.F. McGuinness (Oxford: Basil Blackwell, 1979), p.100. 1 Ibid, p.62

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geometría que será la más apropiada para ella y que, por consiguiente, será la geometría fundamental. Todo esto queda recogido espléndidamente como sigue: "No hay más que una cosa en el mundo que nosotros podemos postular: nuestro modo de expresarnos. No podemos postular la conducta de los hechos. Por consiguiente, puedo también decir que, si establezco un postulado, fijo con ello la sintaxis mediante la cual expreso hipótesis. Escojo un sistema de representación. Así, no hay ningún contraste en absoluto entre la concepción de la geometría como parte de una hipótesis y la concepción de la geometría como sintaxis".12 La gestación de hipótesis empíricas requiere de una estructura gramatical, que no es una hipótesis más, sino lo que nos garantiza su posibilidad. Sin reconocer diferencias esenciales entre ellas, Wittgenstein admite que puede hablarse de una segunda clase de geometría, a saber, los distintos sistemas geométricos que los matemáticos edifican, algunos de los cuales los físicos utilizan. Una idea importante de Wittgenstein (generalizable a todos los dominios de las matemáticas) es que esta clase de geometría por sí sola, es decir, el mero cálculo geométrico, es algo esencialmente incompleto. Lo que completa a la geometría es su aplicación. La aplicación puede abarcar desde las observaciones y mediciones más rudimentarias y elementales hasta las teorías más sofisticadas de la astrofísica. Es en este sentido que la geometría "es parte de una hipótesis".13 ¿Cuál es entonces el status de las proposiciones de la geometría? Mientras los sistemas de geometría no se integren a una teoría empírica particular, en la medida en que son consistentes son igualmente "válidos", pero igualmente incompletos. Se trata de propuestas simbólicas y, en ese sentido, de convenciones (o, si se prefiere, de proposiciones analíticas). Ahora bien, cuáles de los sistemas serán integrables al corpus del conocimiento científico es algo que sólo la experiencia determina. Aquí Wittgenstein innova: no es que ellas mismas sean contingentes. Lo que es contingente, es decir, lo que puede tanto darse como no darse, es su aplicación, porque lo que no se puede prever es cómo se expandirá el lenguaje de la ciencia. Aquí podemos hablar, con Poincaré, de "comodidad". La idea es la misma, sólo que está expresada de manera engañosa al hablar de "comodidad" o al hablar, como lo hace Russell, de "hipótesis empíricas". Es de la clase de uso que se haga de las reglas de geometría que depende el que las llamemos 'necesarias' o 'contingentes'. Ellas mismas no son ni lo uno ni lo otro. Así, pues, si la geometría euclidiana fija los límites de la significatividad de nuestras aseveraciones acerca de las posiciones, relaciones espaciales, etc., de nuestros 12 13

Ibid, pp. 162-63. Ibid, p. 162.

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objetos de percepción, entonces sus reglas (a las que usualmente damos status de proposiciones) pueden ser catalogadas como necesarias. En la medida en que en ella se establecen conexiones conceptuales se les puede calificar como sintéticas, pero no porque versen sobre o sean acerca de algo. De igual modo, podemos aplicarles el epíteto 'apriori' si lo único que deseamos afirmar es que las conexiones conceptuales que en ella se establecen son rígidas y que, por ello, fijan nuestro ulterior modo de hablar, los límites de la significatividad y, por ende, de la experiencia visual. Pero sería un error llamarlas así porque pensáramos que nosotros las "descubrimos" y que establecimos sus valores de verdad con independencia de la experiencia (mediciones, cálculos, etc.). En resumen: se puede ciertamente sostener que las reglas de la geometría son sintéticas a priori, siempre y cuando ello se haga por las buenas razones, es decir, no por razones kantianas y strawsonianas. En todo caso, debería haber quedado claro que los enunciados de la geometría no son descripciones de nada. En la medida en que fincamos sobre la geometría nuestro ulterior modo de hablar o de hacer predicciones, la geometría (la euclidiana en particular) se vuelve para nosotros, en tanto que seres lingüísticos, necesaria y, en tanto que seres percipientes, a priori. Lo que esto significa es que lo que pueda pasar como una experiencia posible es algo que tendrá que ajustarse a los modos de expresión fijados por la geometría euclidiana, porque si se nos habla de una experiencia no euclidiana, entonces sencillamente no comprenderemos lo que se nos estará diciendo. Desde el punto de vista de la experiencia, dicha geometría se contrapone a las diversas geometrías no euclidianas, a las que entonces se puede calificar (si se desea) como 'a posteriorV y que son las que se pueden integrar en las distintas teorías científicas. Pero es importante notar que, desde el punto de vista de las ontologías de las distintas teorías de las cuales forman parte, las distintas geometrías serán una vez más a priori, puesto que todo lo que se diga sobre sus objetos de estudio estará de antemano fijado gramaticalmente por las geometrías en cuestión. En este sentido las geometrías no son otra cosa que gramáticas para los distintos simbolismos y no hay ninguna diferencia esencial entre los múltiples sistemas de geometría. La diferencia más im portante entre ellas consiste en que, entre todos los sistemas de geometría, hay uno, a saber, el sistema euclidiano, que es empíricamente, esto es, para los requerimientos de la percepción humana, el fundamental. De esta manera, el rechazo de la geometría euclidiana sólo podría efectuarse si se alterara drásticamente nuestro modo normal de describir los objetos de nuestro campo visual. Ahora bien, para comprender descripciones efectuadas en concordancia con otra gramática se tendría que tener un lenguaje más fundamental que el lenguaje natural, pero ¿quién podría disponer de un lenguaje así y, por ende, quién podría comprender las descripciones de ese modo alternativo de hablar? Nadie. Por lo demás, la utilidad, el valor y el carácter necesario 105


y apriori de la geometría euclidiana se vuelven obvios cuando examinamos situaciones reales. Por ejemplo, si alguien quiere comprar o vender un rancho y requiere conocer su superficie, a lo único que no recurrirá es a una geometría, digamos, lobachevskiana. Si alguien rechaza con argumentos matemáticos el axioma de las paralelas durante la compra de un terreno, lo más probable es que se vea en problemas. En este sentido, la geometría euclidiana es necesaria, puesto que fija los mecanismos de medición de distancias, objetos, etc., de nuestro espacio perceptual común, que es (dicho sea de paso) el único real. Que la geometría euclidiana no es una descripción del espacio de experiencia es algo que se capta con claridad cuando describimos nuestro campo visual. Si vemos la vía de un tren, por ejemplo, aunque todos diríamos que los rieles son paralelos, de hecho no los vemos así, es decir, en total concordancia con la definición de 'paralelo'. Más aún: nadie podría verlos así, por más que así sean. Dicho de otro modo, nuestra experiencia perceptual no es estrictamente euclidiana. En este punto, por lo tanto, Strawson y Kant parecen estar equivocados. Lo que sucede es que no se conoce un sistema de geometría que pudiera recoger nuestra experiencia en toda su complejidad mejor de lo que lo hace la euclidiana. La más práctica, la más cómoda, la más utilizable es, en el plano de la experiencia sensorial, la geometría euclidiana. Su status privilegiado se deriva de que sobre ella ya están erigidos todos nuestros sistemas científicos, legales, etc., de medición, por lo que defacto es imposible reemplazarla. En este sentido, la geometría euclidiana es, como se dijo, apriori. La comprensión cabal de lo que es la geometría y de su relación con la percepción requiere de una filosofía de la ciencia adhoc. Si, por ejemplo, pensamos que la ciencia describe esencias (e.g., la biología nos da la esencia del tigre, la botánica la del mango, la mineralogía la del oro, la física la de la materia, etc.), tenderemos a ver en la geometría una ciencia de objetos abstractos. Huelga decir que esta mitología platonizante no nos lleva a ninguna parte. Si en cambio vemos en las leyes científicas reglas para realizar inferencias sobre objetos conocidos en la experiencia, entonces tenderemos a ver en la geometría parte de la gramática o (como decía Wittgenstein, todavía bajo la influencia de su propia filosofía anterior) de la sintaxis de nuestro lenguaje de cálculos, medidas, etc., de los objetos acerca de los cuales se habla. Pero la geometría misma no es acerca de ellos. La geometría "nunca puede decirnos nada acerca de un estado de cosas. Y esto muestra, una vez más, que en geometría nunca nos las habernos con la realidad, sino sólo con posibilidades espaciales. Los descubrimientos acerca del es pacio son descubrimientos acerca de lo que hay en el espacio. En matemáticas es

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tan imposible descubrir cualquier cosa como lo es en gramática".14 Lo que aquí se desecha es pues, entre otras cosas, el punto de vista de Poincaré de que la geometría versa sobre objetos ideales, que en su opinión equivale a decir "creaciones de la mente". La posición desarrollada por Wittgenstein evita fácilmente toda clase de mentalismos. Resumiendo: si no hemos errado el rumbo, creo que puede sostenerse que el aparato conceptual wittgensteiniano permite dar expresión a los atisbos o intuiciones acertadas de otras escuelas e integrarlas en lo que es una concepción básicamente correcta o, mejor dicho, en la concepción correcta. La geometría es parte de la "gramática", en el sentido estricto en que Wittgenstein usa la expresión. Por eso, puede afirmarse que la geometría es apriori, si lo que se quiere decir es que contribuye a determinar el marco de las experiencias o de los experimentos posibles y que, una vez integrada como parte de nuestro sistema real de representación, ya no se le cuestiona. Más bien, la geometría sirve para caracterizar a los objetos de los que se habla (de percepción, en el caso de la geometría euclidiana, y de objetos teóricos en el caso de las distintas teorías científicas, en especial las de la física). La geometría es, pues, parte del marco de descripciones significativas posibles. No obstante, puede afirmarse de ella que es aposteriori si con eso lo único que se quiere afirmar es que sólo la experiencia permitirá determinar cuáles serán, de todos los sistemas geométricos posibles que se puedan construir, los que de hecho nos resultarán útiles. Por otra parte, puede afirmarse que la geometría euclidiana es necesaria, si todo lo que se desea decir es que, dado o establecido nuestro sistema de representación, entonces ya no se le cuestiona (no cambiamos nuestros lenguajes a diestra y siniestra). Des pués de todo, también un sistema geométrico puede resultarnos indispensable. Por otra parte, la geometría euclidiana es contingente en el sentido de que es lógicamente posible que otra geometría nos hubiera resultado más "cómoda". De hecho, podemos imaginar cambios en el universo que fueran tales que nos viéramos forzados a quitarle la primacía a la geometría euclidiana y a reemplazarla por otra. Algo similar sucede, mutatis mutandis, con "analítico" y "sintético". La geometría euclidiana es analítica porque, integrada ya a nuestro lenguaje, nosotros definimos 'punto', 'línea', etc., tal como en ella se definen: lo que se diga será significativo o no por su relación con las estipulaciones del sistema; por otra parte, empero, la geometría es sintética en el sentido de que sus "proposiciones" (reglas) no son meras tautologías, sino que por medio de ellas se establecen nuevas conexiones conceptuales.

14

Ibid, pp. 62-63.

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Concluyo, pues, con lo que de hecho era mi hipótesis de trabajo, viz., que se requería un nuevo aparato conceptual y algunas modificaciones concernientes al empleo de ciertas categorías ("necesario", "apriori", etc.) para hacer avanzar nuestra com prensión acerca de cómo se relacionan los sistemas geométricos y la experiencia sensorial. Y parte de mi objetivo era mostrar que también en esta área las aportaciones de Wittgenstein son, si no completas, por lo menos sí definitivas.

De Espacios y Geometrías I) El Tractatus y el Espacio omo es bien sabido, el concepto de espacio ha dado lugar - al igual que el de tiempo - a toda una gama de doctrinas filosóficas y de teorías científicas que van desde lo sensato y plausible hasta lo extravagante e increíble y que son las más de las veces incompatibles entre sí. Asimismo, las perspectivas desde las cuales el espacio ha sido estudiado son también sumamente diversas. Por ejemplo, se ha debatido tanto acerca del carácter geométrico del espacio como de su irrealidad, de su naturaleza mental como de la imposibilidad de pensarlo desligado del tiempo. De igual modo, las más variadas categorías se han utilizado en los intentos por aclarar los diferentes conceptos de espacio que de hecho están en circulación. Podemos mencionar, entre muchas otras, las de geometrías, hipótesis científica, forma apriori de la intuición sensible, representación, relaciones, sustancia, absoluto y relativo, tiempo, percepción, gramática, perspectivas, números, color, estructura, axiomas e idealismo trascendental. El resultado neto es que, a pesar de la asombrosa cantidad de escritos concernientes al espacio por parte tanto de matemáticos y físicos como de filósofos, difícilmente podría decirse que reinan en relación con este tema la claridad conceptual y el acuerdo generalizado. Este ensayo es un intento de contribución a la labor de esclarecimiento consistente básicamente en el mero establecimiento de conexiones entre datos relativamente bien conocidos. Como muestra de las complicaciones asociadas con el concepto de espacio, podemos considerar brevemente lo que al respecto se dice en el Tractatus LogicoPhilosophicus. En aquel primer gran libro, Wittgenstein hace diversas aseveraciones que un examen detallado muestra que no son compatibles. Recuérdese, antes que cualquier otra cosa, que un concepto fundamental del libro es el de "espacio lógico", pero éste es ante todo un espacio proposicional. El espacio lógico resulta de lo que

C

ESPACIOS Y GEOMETRÍAS

sería la red conformada por la totalidad de las proposiciones. El espacio lógico es, pues, una totalidad de posibilidades y acota y agota lo que sería el reino de la factualidad. Es evidente asimismo que, aunque una noción que desempeña un papel importante en las elucidaciones del libro, la de espacio lógico es básicamente una metáfora. Sea lo que sea, por lo tanto, su significación se deriva de uno u otro modo de la noción primitiva que permitió construirla y ésta es la de espacio. Lo que queremos saber es entonces: ¿qué se sostiene en el Tractatus en relación con el espacio? La verdad es que no mucho. "Espacio, tiempo y color (cromaticidad)", se nos dice, "son formas de los objetos".1 Lo que esto significa es lo siguiente: las formas de un objeto son sus propiedades y relaciones formales y éstas son sus propiedades y relaciones necesarias. El problema, claro está, es que el lenguaje no permite la enunciación significativa de nada necesario. Por lo tanto, esas formas no pueden enunciarse sino únicamente expresarse o mostrarse a través de proposiciones genuinas (Le., significativas). Así, el que el espacio sea una forma de los objetos implica que para que éstos queden constituidos como tales tienen que mantener entre sí relaciones espaciales. En otras palabras, no hay ningún objeto real del que no podamos en principio dar sus coordenadas espaciales. No hay objeto no espacial. El mundo tiene forzosamente una estructura espacial. Esto es por lo menos algo de lo que está implicado por la proposición citada. A primera vista, el punto de vista del Tractatus es sensato y correcto. No obstante, aunque no explícitamente, Wittgenstein insinúa algo que no parece del todo com patible con dicha posición. Dice lo siguiente: "Cada cosa está, por así decirlo, en un espacio de hechos simples posibles. Puedo pensar que este espacio está vacío, pero no puedo pensar la cosa sin el espacio".2 De acuerdo con esto, el espacio sería una especie de contenedor, una metáfora a la que (como veremos) otros pensadores también recurren. Pero ¿cómo es posible que por una parte el espacio sea la totalidad de las relaciones espaciales que mantienen entre sí los objetos y por otra parte que sea lógicamente independiente de éstos? Parecería, pues, que en relación con el espacio hay una cierta ambigüedad en el Tractatus y que se le podría adscribir a éste tanto el punto de vista de que el espacio es algo real e independiente de sus contenidos como la idea de que no es otra cosa que una hipóstasis de lo que es el sistema total de relaciones espaciales que mantienen entre sí los objetos. En contraste con las sibilinas aseveraciones del Tractatus, pienso que, aunque escasas, las observaciones del Wittgenstein posterior a 1929 y referentes a la geome1

L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (London: Routledge and Kegan Paul, 1978), 2.0251. Ibid,, 2.013.

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FILOSOFÍA Y MATEMÁTICAS: ENSAYOS EN TORNO A WITTOENSTEIN

tría y al espacio constituyen una contribución transparente, auténticamente aclaratoria y que sería absurdo desaprovechar. Es evidente que, dado lo reducido del material con el que se cuenta, de ninguna manera podría sostenerse (a diferencia de lo que podría plausiblemente sostenerse en relación con otros temas) que Wittgenstein esclareció totalmente la temática. No obstante, lo que en este caso él tiene que decir es no sólo digno de ser recogido sino que es, aunque poco, definitivo. En lo que sigue me ocuparé de los temas del espacio y de la geometría en general, intercalando cuando lo juzgue conveniente las diversas aclaraciones de Wittgenstein. Posteriormente, examinaré los puntos de vista de Kant y Newton y terminaré atando cabos, esto es, tratando de redondear una posición que sea no sólo defendible, sino también atractiva. Como caso prueba para nuestra posición someteremos brevemente a consideración la tesis de que el espacio podría estar vacío.

II) Percepción y Realidad Cuando al despertarnos abrimos los ojos con lo que nos topamos es con nuestro campo visual, el cual coincide parcialmente con lo que es nuestro campo de experiencia. Digo 'parcialmente' porque es obvio que "campo visual" y "campo de experiencia" no son lo mismo. Un invidente no tiene campo visual, pero sí tiene vivencias o experiencias. A diferencia de lo que pasa con nuestro campo perceptual, que nos es dado, por así decirlo, de golpe, nuestro campo de experiencias es una construcción conformada, entre otras cosas, gracias a las correlaciones sistemáticas que hemos aprendido a establecer entre los data de los diversos espacios de los sentidos (táctil, visual, auditivo, etc.). Ahora bien, dejando de lado cuestiones referentes a la génesis del espacio de experiencia: ¿qué es lo que, aparte de los objetos (o lo que tomamos por tales) discernimos en nuestro campo visual? Como dato de experiencia, lo que podemos decir es que no percibimos espacio. Lo que en cambio podemos afirmar no que percibimos mas sí que discernimos es lo que normalmente llamamos 'relaciones espaciales', las cuales nos resultan indispensables para poder hablar de experiencia de objetos en lo absoluto. Por lo menos relaciones como las de "arriba/abajo" y "derecha/izquierda" y posiciones como "el centro de" son así. Nuestro campo visual es obviamente una totalidad estructurada y dicha estructura la conforman relaciones espaciales como las mencionadas. Por otra parte, ya constituido nuestro campo visual incluye no sólo relaciones propias de un espacio de dos dimensiones. Las relaciones de profundidad son esenciales a él. Alguien que intentara enfrentar el mundo que se le presenta en el espacio visual como si fuera un mundo de dos dimensiones exclusivamente podría volverse loco. Por otra parte, es claro que el marco general de 111


nuestro espacio perceptual es fijo. Lo que quiero decir es que el sujeto percipiente no se mueve dentro del campo visual como un objeto más. De ahí que podamos afirmar del campo visual o perceptual lo siguiente: a) resulta de la interacción "educada" de todos los sentidos b) incorpora o presupone un punto fijo (el cual no es un objeto más de percep ción) c) en él las posiciones son absolutas d) son indispensables a él el color y la forma e) está estructurado y organizado (no es caótico ni mutante) f) es ilimitado g) los objetos de mi campo visual son los objetos del mundo. Esto último quizá amerite algunas aclaraciones. La significatividad del discurso acerca de los objetos requiere y presupone de un mecanismo de identificación y éste no puede ser otro que el lenguaje. Pero el lenguaje es público y, por ende, compartido. Cuando empleamos las mismas palabras, 'perro' por ejemplo, lo que vemos es un perro, el cual es básicamente el mismo para todos, y de lo que hablamos es de un perro, no de la imagen de perro. Podemos, pues, liberarnos de la recurrente falacia del idealismo, esto es, la idea de que hay algo intermedio entre el sujeto percipiente y los objetos "percibidos", algo a lo que podemos llamar 'idea', 'sense datum\ etc. La noción de impresión sensorial no es una noción primitiva, sino derivada de la idea de percepción de objetos materiales. Lo que es importante entender es que mi campo visual coincide con el mundo: lo que percibo cuando digo que percibo algo son objetos del mundo. Pocas cosas hay tan absurdas como la idea de que estamos hundidos en una fantasía permanente tratando de acceder al mundo objetivo o real.

III) Clases de Espacios Si lo que hemos dicho es aceptable, podemos afirmar que disponemos de una noción primaria de espacio, en la cual valen o se dan relaciones espaciales. Evidentemente, nunca percibimos espacio: lo que detectamos son objetos colocados a ciertas distancias unos de otros. Cómo sea el espacio puro es, lo confieso, algo de lo que no tengo ni la más remota idea. El lenguaje natural induce a pensar en el espacio como en el gran contenedor, puesto que 'espacio' es un sustantivo y que tendemos a decir que los objetos están en el espacio. No obstante, el sentido común es neutral respecto a la cuestión de si el espacio es real, si es una sustancia, si es absoluto, etc., o si más 112


bien no es sino un intrincado sistema de relaciones espaciales. El sentido común y el lenguaje natural no pueden (ni tienen por qué) pronunciarse sobre dilemas así. Ahora bien, la noción de espacio quedó muy pronto vinculada a la geometría. Respecto a esta última no estará de más recordar que más que como una rama independiente de las matemáticas vio la luz como una disciplina con aspiraciones eminentemente prácticas. Los primeros "geómetras" empíricos, los ingenieros pioneros de Babilonia y zonas aledañas, a lo que aspiraban era a dividir terrenos, encauzar ríos, construir edificios, diseñar jardines. Fue sólo en la época de los griegos cuando la geometría se estableció como una rama autónoma de las matemáticas "puras". Surgió así la geometría euclidiana y fue entonces que empezaron a brotar los malentendidos tanto en relación con su status como respecto al status del espacio. Desde los griegos y hasta el siglo xix, la geometría euclidiana fue vista básicamente como una descripción abstracta de la estructura tanto del espacio perceptual como del espacio real (puesto que, como dijimos, en principio coinciden). O sea, en un primer momento se identificaron el espacio visual, el espacio físico y el espacio euclidiano. Estas fáciles identificaciones, junto con algunas otras incomprensiones matemáticas y complicaciones metafísicas, permitieron que Zenón formulara sus extraordinarias paradojas. Algunas de ellas pueden ser formalmente refutadas, pero ciertamente no todas sus ideas son descabelladas o absurdas. Por ejemplo, Zenón aspiraba a mostrar, entre otras cosas, que el espacio no se compone de un número infinito de puntos. Como veremos, se le habría podido responder a Zenón que su planteamiento era ambiguo, puesto que si a lo que se refería era el espacio real quizá tenía razón, pero si lo que tenía en mente en el espacio de la geometría euclidiana entonces estaba en el error. Así, confusiones de origen respecto a la naturaleza del espacio visual y de la geometría permitieron la gestación de enigmas de los cuales puede decirse que sólo hasta muy recientemente nos hemos liberado. Gracias al desarrollo de las matemáticas, en particular a la invención de sistemas geométricos no euclidianos, y al avance de la física se logró construir una plataforma para la resolución de antiguos problemas, pero (como era de esperarse) surgieron nuevos. Lo que quedó claro es que la geometría euclidiana no es una descripción de nada, que los espacios matemáticos forman parte de cálculos, que el espacio perceptual no necesariamente es euclidiano o, mejor dicho, no lo es totalmente, y que hay algo que podemos llamar 'espacio físico', que no es ni un espacio matemático ni es el espacio perceptual. Ahora tenemos tres clases diferentes de espacios. El espacio perceptual es una clase con un solo elemento; la clase de espacios matemáticos es una clase infinita y la del espacio físico probablemente contenga diversos elementos. Por ejemplo, el espacio real de la vida cotidiana es diferente del espacio real de la astro-física y muy probablemente diferente también del espacio de la física cuántica. 113


Es claro que las naturalezas de los espacios y las relaciones entre ellos no se pueden entender si no se tiene una visión clara de lo que es (son) la(s) geometría(s). Es por no entender su status (o sus respectivos statu) que no tenemos tampoco una idea clara de lo que son los espacios de diversa clase y sus relaciones entre ellos. Es por incomprensiones fundadas en identificaciones dudosas que se articularon teorías del espacio tan diversas como inverosímiles, como lo son las de Newton o Kant. Es, pues, la naturaleza de la geometría en general lo que urge esclarecer y de lo que pasaré ahora a ocuparme.

IV) Clases de Geometrías Si no me he equivocado en lo que he afirmado, tenemos derecho a hablar de un espacio perceptual y de relaciones espaciales en ese particular contexto y quizá lo primero que llama la atención es que, contrariamente a lo que se ha sostenido durante siglos, el espacio perceptual no es estrictamente euclidiano. Por ejemplo, en el espacio visual los rieles se van acercando cada vez más y parecen tocarse en el horizonte, lo cual contradice el postulado euclidiano de las paralelas. Pero, además, el campo visual es nítido en el centro y se va haciendo cada vez más borroso hacia los bordes, lo cual no encaja con las implicaciones de las definiciones de 'punto', 'línea', 'plano' o 'volumen' de la geometría euclidiana. Tal vez entonces lo que podríamos decir es que para el espacio visual de lo que disponemos es de una geometría puramente fenomenológica, constituida exclusivamente por ideas como "ubicación" o "lugar", "centro" y relaciones como las mencionadas al principio del ensayo. Para la vida animal o primitiva o básica la "geometría fenomenológica" es más que suficiente. Obviamente, su carácter modesto se revela tan pronto se rebasa el nivel orgánico elemental. Entonces resulta como claramente insuficiente para todo lo que no sea meramente ubicarse, moverse y orientarse en el mundo real. Sobre la naturaleza del espacio fenomenológico regresaré posteriormente. Entendidas como sistemas matemáticos, las geometrías no son descripciones de nada. ¿Qué son entonces? Son simplemente cálculos en los que ciertas proposiciones juegan el papel de axiomas y otras son deducidas de ellos por medio de reglas de inferencias. Esta caracterización coincide plenamente con la definición de las matemáticas que Russell ofrece en Los Principios de las Matemáticas. De acuerdo con él, "Las matemáticas puras son la clase de todas las proposiciones de la forma 'p implica q\ en donde/» y q son proposiciones que contienen una o más variables, las mismas en las dos proposiciones, y ni p ni q contienen ninguna constante salvo las 114


constantes lógicas".3 El problema es, pues, entender, qué son los sistemas matemáticos {le., un sistema simbólico que cumple las condiciones que Russell enuncia). Si no son descripciones de nada: ¿qué son y para qué sirven? La respuesta correcta a esta pregunta nos la da Wittgenstein: las geometrías son básicamente propuestas de reglas de sintaxis para la elaboración de enunciados referentes a un grupo definido de objetos. Por ejemplo, la geometría euclidiana es la sintaxis para las descripciones que hacemos de los objetos del espacio visual. Ella no los describe, sino que rige nuestras descripciones, es decir, determina lo que tiene o no tiene sentido decir en un ámbito dado. "Los axiomas - e.g.- de la geometría euclidiana son reglas disfrazadas de una sintaxis".4 La geometría euclidiana fija el marco lingüístico de lo que posteriormente serán nuestras ulteriores descripciones y mediciones. Tiene, pues, una función esencialmente normativa. Así, por ejemplo, sí al dividir un terreno cuadrangular alguien encuentra que la superficie no es igual al producto de la base por la altura, se le dirá que hizo mal su cálculo y se le pedirá que lo vuelva a hacer. O sea, la geometría euclidiana no resulta de la experiencia, sino que determina o constriñe la experiencia. Esa es su función primordial. En este punto quizá deberíamos hacer una aclaración, a fin de impedir potenciales confusiones. La geometría euclidiana no es geometría fenomenológica, por la sencilla razón de que, como bien lo señala Wittgenstein, "En el espacio visual no hay mediciones"5 y, más en general, "En el espacio visual (...) no hay tal cosa como un experimento geométrico".6 De hecho, nuestra percepción puede entrar en conflicto con lo que la geometría euclidiana estipula o enuncia. Por ejemplo, podemos ver figuras geométricamente diferentes como si fueran la misma, como pasaría con un círculo y una figura de mil lados, o como diferentes aunque sean del mismo tamaño. En verdad, hay multitud de ilusiones óptico-geométricas, en el sentido de que hay multitud de descripciones visuales que no coinciden con lo que la geometría prescribe. Como dice Wittgenstein "La palabra 'igualdad' tiene un significado diferente cuando la aplicamos en los tramos en el espacio visual que cuando la aplicamos en el espacio físico. La igualdad en el espacio visual tiene otra multiplicidad que la igualdad en el espacio físico".7 Pero la geometría euclidiana no sirve para corregir nuestra percep-

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B. Russell, The Principies of Mathematics (New York: W. W. Norton & Company, Inc), § 1. L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas. Traducción de Alejandro Tomasini Bassols (México: IIF/ UNAM, 1997), sec. 178, p. 206. 5 Ibid., sea, 212, p. 256. 4

6 Ibid.,sec, 1

178, p. 207. Ibid., sec, 215, p. 260.

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ción, la cual no es alterable o modificable, puesto que no hay nada con que se le pueda reemplazar. Nuestro acceso a los objetos del espacio perceptual es directo. "¿O debería más bien decir que inclusive en el espacio visual algo puede parecer diferente de cómo es? Ciertamente no!".8 Los errores en relación con el campo visual son de carácter visual (miopía, e.g.), no de geometría. Naturalmente, surgirán complicaciones cuando intentemos explicar lo que es la aplicación de la geometría. Consideremos ahora brevemente la geometría física, en el sentido de 'geometría que se usa en física'. Cuál sea el sistema geométrico que los científicos favorezcan para su integración en una teoría física es algo que dependerá ante todo de los requerimientos y del desarrollo de su disciplina. Aquí el fenómeno curioso es el siguiente: una vez que un sistema geométrico particular se integra en una teoría física dada automáticamente cambia de status, es decir, deja de ser un cálculo formal para convertirse en parte de una teoría empírica y adquiere por lo tanto el status de la teoría. Desde esta perspectiva, la geometría puede ser falsa. Hay aquí una gran diferencia con las otras clases de geometrías. La geometría fenomenológica, en el sentido en que empleé la expresión, es inmutable, apriori, necesaria; las geometrías matemáticas son desde luego también a priori, pero son meramente propuestas gramaticales y, por ello, no son ni verdaderas ni falsas, sino coherentes o incoherentes, útiles o no. En cambio, las geometrías empíricas, es decir, las que forman parte de teorías empíricas (de astrofísica, por ejemplo) son hipótesis científicas y son, por consiguiente, a posteriori y, sobre todo, verdaderas o falsas. Esto es interesante, por lo siguiente: podemos corroborar algo a primera vista inaceptable, viz., que un mismo sistema geométrico puede tener dos statu diferentes. Pero en el fondo esto no tiene nada de extraño, por la simple razón de que qué significado le confiramos a los signos dependerá de lo que de hecho hagamos con ellos. Un sistema geométrico dado en tanto que sistema formal puede ser a priori, pero en tanto que descripción de algún sector de la realidad puede ser falso. No parece haber en esto contradicción alguna. Las clases de geometrías que hemos considerado se diferencian claramente tam bién por sus respectivas ontologías. Podemos preguntar: ¿qué es lo que vemos cuando abrimos los ojos? La respuesta es tan simple como obvia: cuerpos, con toda la indeterminación que ellos acarrean. Ahora bien, los cuerpos contrastan con los objetos de la geometría euclidiana, los cuales no son cuerpos sino puntos, líneas y demás. Pero ¿qué es un punto, por ejemplo? No es una entidad real, en el sentido de existente en el mundo real. El punto es una entidad matemática y por lo tanto, más que otra cosa, una regla. Por eso Wittgenstein sostiene, con toda razón en mi opinión, que "el 8

Ibid., sea, 208, p. 248.

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espacio no es una colección de puntos, sino la realización de una ley".9 E inmediatamente añade: "Que un punto en el plano esté representado por una pareja de números y en el espacio tri-dimensional por un triplo de números basta para mostrar que el objeto no es el punto, sino la red de puntos". 10 Qué digamos acerca de las "entidades de la geometría" dependerá de qué pensemos acerca de las "entidades matemáticas" en general, de los números por ejemplo. Sobre este tema no me pronunciaré en este ensayo y me limitaré a recordar que desde la perspectiva wittgensteiniana no tiene mayor sentido hablar de ontología stricto sensu en relación con las matemáticas. Los números (naturales) tienen más bien que ver con formas preposicionales y operaciones y otras clases de números (los irracionales, por ejemplo) requieren de explicaciones diferentes, las cuales básicamente giran (como las entidades de la geometría) en torno a la noción de ley. En todo caso, la geometría no trata con objetos ideales, objetos abstractos ni nada por el estilo. La sintaxis no versa sobre nada en particular, sino que rige el discurso que versa sobre un sector de la realidad. Por último, consideremos los objetos de las geometrías empíricas. Éstos pueden ser de lo más variado, pero son ante todo entidades teóricas. Qué sea una entidad teórica dependerá de que visión de la ciencia se tenga. Para un realista burdo cualquier entidad teórica será un objeto tan real y objetivo como cualquier cuerpo, en tanto que para un instrumentalista es más bien un complejo mecanismo conectado de manera indirecta con determinados objetos de percepción (los instrumentos de laboratorio, por ejemplo). Sobre este asunto, empero, tampoco me pronunciaré en este trabajo.

V) Newton y Kant Al igual que el tiempo y los números irracionales, el espacio y la geometría han dado lugar a un sinnúmero de teorías. Como podremos apreciar, éstas las más de las veces están plagadas de confusiones, son ambiguas o declaradamente falsas. La verdad es que en no pocas ocasiones más que concepciones filosóficas propiamente hablando con lo que nos encontramos es con teorías científicas, esto es, teorías empíricas en las que aparece el concepto de espacio y en las que se utilizan diversos sistemas geométricos. El problema con esto es que con lo que nos topamos es con grandes construcciones que no vienen acompañadas de las aclaraciones pertinentes respecto

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Ibid., sec, 177, p. 206.

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Ibid., sea, 177, p. 206

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a sus respectivos statu y, por consiguiente, nos quedamos realmente sin entender de qué se está hablando. Un caso así es el de Newton. Su monumental obra, Los Principios Matemáticos de la Filosofía Natural, estableció las bases y el marco general de la física para los siguientes 300 años. En realidad, la teoría de Newton es una teoría general del universo. Gracias a los avances matemáticos por él efectuados (como la invención del cálculo infinitesimal), Newton inauguró lo que se conoce como la 'mecánica clásica' y pudo ofrecer una explicación unificada, sistemática, congruente y plausible de los movimientos de los cuerpos, tanto terrestres como celestes. Empero, su teoría, aunque en más de un sentido un paradigma de teoría científica, de todos modos no está exenta de elementos que, estrictamente hablando, son irrelevantes. Tal es el caso de la concepción newtoniana del espacio, acerca de la cual rápidamente diré unas cuantas palabras. Newton, como se sabe, es el gran defensor de la idea de espacio absoluto (y de tiempo absoluto). Desde su perspectiva, el espacio es algo así como el gran contenedor: abarca, abraza o contiene todo lo que hay en el mundo y que sea objeto de estudio para la física. Por lo tanto, para Newton es lógica y factualmente posible que dicho contenedor estuviera vacío. Los objetos (animales, estrellas, galaxias, etc.) no pueden pensarse sin el espacio, pero en la teoría de Newton el espacio sí puede pensarse sin los objetos. Qué o cómo sea el espacio vacío es algo que Newton nunca explica suficientemente. La idea que está detrás de tan extraña sugerencia es, como era de esperarse, la idea de que el espacio es una sustancia, es decir, es un algo en sí mismo, algo real. Este punto de vista es si no incompatible por lo menos redundante en una teoría estrictamente matemática del mundo material. O sea, la idea del espacio físico como una cosa especial es teóricamente gratuita. Esto es algo que Leibniz mostró cuando hizo ver que todo lo que se diga asumiendo la idea newtoniana de espacio absoluto se puede decir reemplazándola con un sistema de relaciones espaciales. Del espacio newtoniano se da cuenta por medio de la geometría euclidiana. El espacio newtoniano es euclidiano. Ahora bien ¿de qué espacio habla Newton? Es obvio que el espacio absoluto de la teoría de Newton no es un mero espacio matemático más, pero ¿es acaso el espacio perceptual? El espacio de Newton es el espacio físico, entendiendo por 'espacio físico' el espacio real. Newton rechazaría la sugerencia de que su espacio es un espacio puramente teórico, es decir, que no es un espacio de experiencia. En todo caso, lo que él sostendría (como lo sugieren sus trabajos de óptica) sería más bien que el espacio perceptual es idéntico al espacio real y que, por lo tanto, ambos son euclidianos. Desde su perspectiva, la geometría 118


euclidiana sería una descripción tanto del espacio real como del espacio perceptual, puesto que él no distinguiría entre éstos. Formalmente, la teoría newtoniana del espacio absoluto ha quedado teórica, si bien no prácticamente, refutada. Ello tiene por lo menos dos causas. Una de ellas es que con el desarrollo de las matemáticas surgieron las geometrías no euclidianas y la segunda es que el avance de la física llevó a integrar a estas últimas en teorías empíricas más avanzadas. Así, al ser aplicadas en cálculos cósmicos, sistemas geométricos no euclidianos permitieron hacer mejores predicciones y contribuyeron a revelar que el espacio sideral no es, estrictamente, newtoniano. Dicho de otro modo, las geometrías no euclidianas aunadas a la teoría de la relatividad permitieron echar por tierra las pretensiones universalistas de Newton, pero lo que las geometrías no euclidianas y la teoría de la relatividad ciertamente no demostraron es que el espacio perceptual no sea básicamente euclidiano o, alternativamente, más euclidiano que no euclidiano. Hay, no obstante, un detalle que no debería pasarse por alto. Cuando se habla de la "refutación" de Newton en realidad a lo que se alude es a predicciones de fenómenos ubicados sumamente lejos de nosotros en el espacio y en el tiempo (miles de años luz). Pero para la vida en la Tierra, esto es, la vida en donde los cuerpos son más o menos rígidos, y para los objetivos cotidianos, el mundo sigue siendo en lo esencial newtoniano. Es sólo para la astro-física y para la física cuántica que Newton perdió vigencia. Pero ¿qué podemos inferir nosotros de eso? El desarrollo de la física algo nos dice acerca de la naturaleza del espacio, pero lo que tenemos que entender es que lo que nos dice nos lo dice sólo indirectamente. Lo que en realidad la ciencia parece mostrar es que el mundo no es ni totalmente euclidiano ni totalmente no euclidiano. La física presupone y trabaja con diversos conceptos de espacio y el que lo haga algo nos indica acerca de la naturaleza del mundo, acerca de su flexibilidad y elasticidad, por así decirlo. En distintos contextos mundanos valen o se aplican distintas geometrías. El gran cambio teórico que se operó en relación con Newton fue la sustitución del espacio absoluto y el tiempo absoluto por una estructura de cuatro dimensiones conocida como 'espacio-tiempo'. El avance de la física llevó del espacio y el tiempo absolutos al espacio-tiempo relativos, pero eso es un avance teórico, no de aclaración de los conceptos involucrados. La obra de Newton fue tan impactante que marcó a la filosofía del espacio hasta finales del siglo xix y principios del xx. Eso no significa, sin embargo, que no se hubieran producido desde su aparición sublevaciones en contra de las diversas implicaciones de lo que era la nueva física de Newton. No olvidemos que éste habla de sus objetos de estudio (materia, movimiento, gravitación, visión, espacio, luz, tiempo, 119


colores, fuerzas, etc.) como si nos estuviera dando su naturaleza última. Goethe, por ejemplo, intentó (un tanto ingenuamente, quizá) oponer a la teoría física de los colores lo que podríamos llamar una 'teoría fenomenológica del color'.11 Pero si hay algo de lo que quizá podríamos lamentarnos con mayor razón es que las teorías de Newton sirvieron de aliciente para que uno de los más importantes filósofos de todos los tiempos elaborara y echara a rodar su propia teoría de la geometría y del espacio. Me refiero desde luego a Kant, del cual pasaré ahora a ocuparme. Quizá pueda afirmarse que la grandiosa teoría de Newton quedó finalmente refutada, pero en todo caso es claro que con él se sabía de qué se estaba hablando y cómo era factible mostrar que lo que sostenía era falso. Con Kant la cosa cambia. La impresión general imposible de evitar es que Kant hace trampa porque es sistemáticamente ambiguo, de manera que cuando uno cree haberlo refutado él tiene tranquilamente preparada su salida por otra parte. Veamos si esta acusación puede ser presentada en forma transparente y convincente. Que una ambigüedad seria permea la posición de Kant es algo que la mera enunciación de su posición general deja en claro: él se presenta simultáneamente como un realista empírico y un idealista trascendental. La idea general es compleja y la argumentación de Kant intrincada. Intentaré resumirla de manera que queden expuestos los puntos que para este ensayo me interesa discutir. Kant se propone en primer lugar dar cuenta del conocimiento humano. Desde este punto de vista, el conocimiento es algo esencialmente ligado a la experiencia. Por 'experiencia' Kant entiende 'experiencia posible'. O sea, es cognoscible todo aquello de lo que en principio podamos tener una experiencia. Y ¿cómo es posible el conocimiento? Es posible porque estamos epistemológicamente condicionados. Por una parte, tenemos impresiones sensoriales o, como Kant las llama, 'intuiciones' y, por la otra, operamos con conceptos o, en su terminología, con categorías. El conocimiento empírico es una síntesis de sensoriedad e intelecto. Desde esta perspectiva, Kant es un empirista radical. De hecho, se le podría adscribir la posición de los empiristas lógicos, si no fuera porque él no aborda los temas de los que se ocupa desde la perspectiva del lenguaje, sino desde la perspectiva del conocimiento y del funcionamiento de la mente. Pero hay un punto importante de coincidencia entre Kant y los positivistas lógicos: todo lo que sea inverificable es inaceptable: incognoscible paraKanty asignificativo para los empiristas lógicos.

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' Para una breve presentación de la posición de Goethe, véase el capítulo "Colores" en mi Enigmas Filosóficos y Filosofía Wittgensteiniana (México: Edere, 2002). 120


Kant se ve forzado por su propio planteamiento a distinguir entre las cosas de las que tenemos experiencia y las cosas en sí mismas. De éstas no sabemos nada, pero parecería que tenemos que presuponer su realidad, porque de lo contrario no podríamos salir de los pantanos de la gnoseología empirista clásica. Ahora bien, aunque consideremos las cosas en sí mismas como entidades reales, nada de lo que digamos se les aplica o, mejor dicho, no podemos saber si lo que decimos y que vale para las "apariencias" vale también para ellas. El conocimiento, como se dijo, está ligado a la experiencia, en el sentido de experiencia ordenada, es decir, captada sensorialmente y categorizada. Como el mundo no puede ser meramente de apariencias, tenemos que presuponer que detrás de éstas hay un mundo de entidades tales como son en sí mismas, independientemente de cómo accedamos a ellas, sólo que de nada concerniente a ellas podemos hablar, por la sencilla razón de que siempre que hablemos de algo ese algo habrá sido ya absorbido, por así decirlo, por nuestra red mental. Sea lo que sea, si hablo significativamente de algo entonces automáticamente ya convertí a ese algo en un objeto de experiencia posible. En este sentido hay un sorprendente y sugerente paralelismo entre, por una parte, los razonamientos de Kant y, por la otra, los de Parménides y de Meinong. Es obvio, pues, en qué sentido Kant es un realista empírico: él defiende un empirismo radical sólo que, para evitar los absurdos y las contradicciones a los que se ven llevados los empiristas tradicionales, Kant intenta superar el obstáculo que representa la idea de un mundo de apariencias. Por lo tanto, sus experiencias no son nada más experiencias subjetivas de un agente. Por ser realista, las experiencias de las que Kant habla son, por así decirlo, "objetivas". En eso consiste su "realismo". Por lo tanto, Kant está aquí jugando un papel doble: enfatiza la subjetividad y luego la suprime en aras del conocimiento. Esto nos lleva a examinar el otro lado de la moneda, esto es, la tesis del idealismo trascendental. Kant sostiene que el espacio y el tiempo son las formas puras de la intuición sensible. En otras palabras: es sólo bajo la modalidad de espacio (relaciones espaciales) y tiempo (relaciones temporales) que, de acuerdo con él, podemos tener experiencias de objetos. Desde esta perspectiva, el espacio y el tiempo son simplemente condiciones de posibilidad de la experiencia. Es éste un punto de vista muy afín al del Tractatus. El espacio en particular es requerido para que podamos tener la idea de objetos "fuera" de nosotros y de objetos que son independientes unos de otros. Esto suena bien, pero habría que fijarse en que la trampa ya está puesta, porque las experiencias de las que Kant habla no son meramente subjetivas. O sea, Kant parece manejar, además de una noción simple de experiencia como recepción de data, otra diferente. En este segundo sentido, la experiencia kantiana no es mera vivencia, un mero contenido de la conciencia, sino que es experiencia organizada y, por lo tanto, 121

ESPACIOS Y GEOMETRÍA

de algo. Una experiencia sensorial cruda cualquiera que no fuera "espacial" no sería una experiencia en el sentido kantiano. El hecho de ser espacial (y temporal) introduce un rasgo de objetividad que cambia la naturaleza de la experiencia e indica, por lo tanto, que se está hablando de experiencias en un sentido que no es, por ejemplo, el de la experiencia pura de los empiristas. Kant sostiene que en su sentido de experiencia, el espacio es esencial y, para evitar acusaciones de aseveraciones inverificables, limita todo su discurso sobre el espacio y el tiempo a sus "experiencias" y rehusa pronunciarse sobre si el espacio y el tiempo valen también para las cosas en sí. Pero en realidad, lo que queda claro es que todo su discurso sobre las cosas en sí se vuelve entonces perfectamente redundante: el rasgo de objetividad de la experiencia, requerido para poder hablar del conocimiento humano, quedó previamente introducido. Es por eso que a Kant no le preocupa especular sobre si el espacio, la aritmética, el tiempo, etc., valen o no para las cosas en sí: valen para los objetos de experiencia, que son externos al sujeto y los únicos relevantes para el conocimiento. Si apelamos a las nociones de espacio y de geometría que hemos considerado: ¿qué es lo que Kant sostiene? De inmediato queda claro que él no distingue entre espacio perceptual y espacio real. Una vez más, él de hecho maneja dos nociones de espacio real, desdeñando una de ellas. Hay un espacio real, que es el de las experiencias posibles, y un supuesto espacio real que es el de las cosas en sí mismas y que a nadie importa. Ahora bien, su espacio es simultáneamente el perceptual y el físico, pues es el espacio de los objetos de experiencia, es decir, de los objetos del sentido externo. Dicho espacio es, según Kant, euclidiano, pues es el espacio descrito por la geometría euclidiana. Kant, no imagina que puede haber un número infinito de espacios matemáticos, pero eso es algo que, por razones obvias, no se le puede criticar: si los matemáticos de su época no habían inventado sistemas geométricos alternativos, ni Kant ni nadie podía saber de ellos y por lo tanto él no estaba en posición de considerarlos. Ahora bien, eso no lo exime del error, independientemente de que su error haya quedado al descubierto muchos años después. ¿En qué consiste el error de Kant en lo que al espacio concierne? Primero, en que no distingue entre espacio físico y espacio perceptual y, segundo, en que sostiene que tanto el primero como el segundo, que según él son uno y el mismo, son euclidianos. Consideremos ahora la teoría kantiana de la geometría. Ésta es para él ante todo una descripción del espacio, en el sentido omniabarcador en que él maneja el término. En relación con esto podemos categóricamente afirmar que Kant quedó, al igual que Newton, empíricamente refutado. Es interesante notar, no obstante, dos cosas. Primero, que puede sostenerse con un alto grado de plausibilidad que la posición kantiana fue elaborada con miras a refutar ni más ni menos que a Newton. En la medida en que éste sostenía que el espacio era algo real e independiente de lo que en él se 122


encuentra, Newton estaba comprometido con la idea de que debemos de uno u otro modo tener la experiencia del espacio. Pero ¿qué clase de experiencia sería esa? Nosotros tenemos experiencias de objetos situados a diferentes distancias unos de otros, pero ¿experiencia del espacio vacío? Fue para salir de este problema que Kant se lanzó por la senda del idealismo trascendental. No obstante, hay un sentido en el que él siguió siendo newtoniano y eso es lo que explica que los avances de la ciencia que significaron la derrota de Newton representaron también la bancarrota del kantismo. Empero, Kant hizo una aportación magistral a la cuestión de la naturaleza de la geometría: para él, las proposiciones de la geometría son sintéticas a priori. Esto amerita algunas aclaraciones. La posición actual más extendida es que la geometría, en tanto que rama de las matemáticas, es ciertamente a priori, pero también analítica. Lo que en ella se hace es deducir teoremas a partir de ciertos axiomas. Dejando de lado diversas cuestiones relacionadas con la posibilidad de traducir los resultados de la geometría a los de otras ramas de las matemáticas, lo que sí podemos afirmar es que desde la perspectiva tradicional más extendida, esto es, la empirista lógica, la concepción kantiana de la geometría (considerada como un sistema puramente formal) es acertada por cuanto la hace una disciplina a priori, pero falsa por cuanto la convierte en sintética. En este punto Kant estaría claramente equivocado. Por otra parte, si de lo que hablamos es de la geometría física, entonces se le puede reconocer a Kant que la geometría es sintética, pero no ya que es a priori. Después de todo, la geometría física forma parte de hipótesis físicas y, en esa medida se convierte también en una hipótesis empírica más. Nos queda por considerar la noción kantiana de geometría en tanto que aplicable al campo de la experiencia visual, de la experiencia inmediata. Pienso que éste es el contexto en el que la concepción kantiana de la geometría y el espacio es casi totalmente acertada. Kant diría que la experiencia sensorial es necesaria y esencialmente euclidíana. O sea, el espacio perceptual es euclidiano y la geometría del espacio perceptual no es analítica ni podría, por razones evidentes de suyo, ser a posteriori. En este punto la posición de Kant es sorprendentemente cercana, aunque no idéntica, a la de Wittgenstein. Si lo que hasta aquí hemos afirmado es plausible, podemos entonces inferir que es básicamente por falta de distinciones, no de ingeniosidad, que las grandes teorías del espacio y la geometría han culminado en el fracaso. Creo que con Wittgenstein se logró avanzar en el terreno de la comprensión y que se sentaron las bases para el esclarecimiento progresivo de la investigación concerniente a los espacios y a las geometrías. Lo que ahora me propongo hacer es atar cabos y tratar de establecer algunas conclusiones que permitan redondear nuestro enfoque y tratamiento del tema. 123


VI) Consideraciones Generales Estamos quizá ya en posición de replantear, con una óptica nueva, la temática de la que nos hemos ocupado y quizá podamos sugerir vías de salida para algunos de los problemas tradicionales heredados. Y me parece que mi primera tarea debería ser la de hacer algunos recordatorios concernientes a los diversos tópicos considerados. Dijimos, por ejemplo, que en el espacio perceptual discernimos ciertas posiciones y relaciones básicas, como y . Este, vale la pena enfatizarlo, es el único espacio de experiencia. Los espacios matemáticos, en cambio, pertenecen a los diversos sistemas o cálculos geométricos que se inventen, en tanto que el espacio físico es un sistema geométrico integrado en una teoría científica y es también, por lo tanto, una hipótesis empírica. Así, un sistema geométrico en un contexto puramente formal adquiere un status diferente del que tiene en un contexto empírico. Una inquietud que de inmediato nos asalta es: ¿son las relaciones espaciales del espacio perceptual relaciones geométricas? Si lo que hasta aquí he dicho es acertado, la respuesta es que no. Es claro que, como lo dice Wittgenstein, sea lo que sea el espacio visual éste no es un conglomerado de puntos, líneas, volúmenes, etc. El espacio perceptual no contiene objetos matemáticos. De ahí entonces que no sea un espacio geométrico en sentido estricto. Nuestro espacio visual se nos da como un todo: nadie construye su espacio visual paulatinamente, yuxtaponiendo elementos discretos unos con otros. Esa idea del espacio visual es delirante. Que la geometría se aplique en nuestro espacio perceptual lo único que hace es indicar que éste es manipulable de cierta manera, así como el hecho de que multitud de sistemas geométricos no se puedan aplicar hace ver que su manipulación tiene límites. Como resultado que emana de la experiencia podemos decir que nuestro espacio visual es básicamente euclidiano, pero es obvio que no lo es totalmente. Ahora bien, lo que eso a su vez implica es que no hay ningún sistema geométrico susceptible de captar o de dar cuenta de o aplicarse a o de valer totalmente para nuestro espacio visual. En el espacio visual hay distancias, pero no mediciones ni cálculos; hay posiciones, pero no hay mapas; hay cuerpos, pero no hay figuras geométricas, y así indefinidamente. ¿Qué utilidad reviste la geometría (euclidiana) en nuestra vida cotidiana? La utilidad es eminentemente práctica. Siguiendo a Wittgenstein, lo que podemos decir es que lo que hace es fijar las reglas para la significatividad de ciertas descripciones de objetos de nuestro espacio visual y de operaciones que estemos interesados en realizar con ellos. Por ejemplo, si lo que nos interesa es comprar y vender terrenos, necesitamos tener alguna manera de satisfacer dichos requerimientos de manera coordenada y sistemática. Las descripciones que podamos hacer y las indicaciones 124


de cómo proceder para hacer ciertos cálculos las fija la geometría. En terminología wittgensteiniana, la geometría es la sintaxis de nuestras descripciones en relación con las cuales queremos realizar operaciones de cierta clase (cálculos de distancias, de áreas, de volúmenes, etc.). Sin dicha "sintaxis" las descripciones no podrían rebasar el nivel puramente fenomenológico. Pero, y esto es muy importante, la geometría, euclidiana u otra, no es ella misma la descripción de nada. El famoso axioma de las paralelas puede servir para ilustrar lo que hemos dicho. Como se ha hecho ver en más de una vez, el axioma euclidiano de las paralelas es matemáticamente sospechoso. No es deducible de los demás axiomas de Euclides ni hay forma de probarlo. Empero, así considerado, el problema que plantea es un pro blema interno a las matemáticas y por lo tanto cae fuera de nuestro ámbito de discusión. Por otra parte, es claro que dicho axioma contribuye a conformar un espacio matemático particular, viz., el euclidiano. Pero para nuestros objetivos el punto realmente interesante es más bien el de la relación de dicho axioma con el espacio perceptual. Lo interesante de dicho axioma, es que muestra que puede darse una cierta discordancia entre los data de la vista y del tacto. Yo diría, permitiéndome un barbarismo, que el axioma en cuestión es táctilmente verdadero y visualmente inexacto: transita de verdadero a falso en función de las distancias involucradas. Aunque quizá se podría acusarnos de caer aquí en un psicologismo inaceptable, me parece que podemos sostener que el fundamento de la geometría como ciencia son en última instancia las posiciones y las relaciones "geográficas" (por llamarlas de algún modo) de o en nuestro campo visual. O sea, la idea de relación geométrica tiene que tener su origen en las posiciones y relaciones básicas que nos sirven para ubicarnos y orientarnos en el espacio perceptual. Posteriormente, dicho sistema de ejes básicos se puede sistematizar e idealizar y lo que entonces tenemos es, primero, la geometría euclidiana y, después, las geometrías no-euclidianas. Este proceso de hecho se desarrolló aún más, puesto que lo que se logró hacer fue conectar de manera sistemática la geometría con la teoría de los números, de modo que cualquier sistema geométrico puede ser presentado como una teoría numérica axiomatizada. Pero es obvio que estos desarrollos ulteriores no eliminan la dependencia original de las nociones geométricas vis-á-vis la experiencia visual. Los sistemas geométricos tienen ámbitos precisos de significación. 'Línea recta' en un espacio plano no significa lo mismo que 'línea recta' en un espacio curvo. Podría argumentarse que en ambos casos se quiere decir lo mismo, a saber, la distancia más corta entre dos puntos. Sin embargo, esta mismidad de significado no pasa de ser una fórmula compartida, porque las clases de líneas en cuestión son diferentes. Después de todo, una línea recta euclidiana no es lo mismo que una geodésica. No obstante, creo que lo que habría que defender es más bien la idea de que los sistemas 125


geométricos son inconmensurables. Lo que eso quiere decir es simplemente que las afirmaciones que se hagan en un contexto son ininteligibles en otro. Lo mismo pasa con el axioma de las paralelas. Y esto está conectado con múltiples otros temas, como por ejemplo temas de percepción. Dada la definición euclidiana de 'paralelas', las líneas del diagrama ciertamente no lo son. Pero ¿no son acaso paralelas en otro espacio? Ello es perfectamente viable y dependerá de las definiciones que se ofrezcan. Si por medio de esas nuevas definiciones se pueden hacer cálculos confiables en, digamos, un espacio curvo, entonces esas líneas son paralelas, aunque obviamente no lo sean en el sentido euclidiano.

Así, el que ciertas líneas sean paralelas o no no es un asunto nada más de percepción, sin algo que depende de las definiciones que se ofrezcan, de la clase de ecuaciones que se resuelvan, de las aplicaciones que tengan los signos, etc. Y lo que obviamente no tiene el menor sentido intentar hacer es traspasar una noción de un sistema a otro. ¿Qué relaciones se dan entre el espacio perceptual y el espacio físico? Lo primero que hay que recordar es que en la física actual la noción de espacio ya no se usa sola: el concepto con el que se le reemplazó es el de "espacio-tiempo". Pero dejando de lado esta cuestión, lo que quisiéramos saber es lo siguiente: decididamente, el espacio físico no es un espacio de experiencia, pero entonces ¿no es real? El espacio físico es un espacio teórico y, por lo tanto, es un espacio construido. De acuerdo con Russell, por ejemplo, el espacio físico es un espacio de seis dimensiones, puesto que es una estructura de tres dimensiones constituida por medio de espacios de tres dimensiones, es decir, es una estructura tridimensional en el que cada punto es un espacio de tres dimensiones. Si así efectivamente es el espacio de la física, entonces es claro que no se trata de un espacio de experiencia. Pero entonces ¿cuál es el status del espacio físico, si el único espacio de experiencia para nosotros es un espacio tri-dimensional? Desde la perspectiva que hago mía, la noción física de espacio es la de un constructo que se requiere para poder efectuar cierta clase de mediciones y toda una variedad de cálculos. Pero nuestro aparato perceptual ciertamente no está adaptado para el "espacio-tiempo". Por ejemplo, nosotros podemos hablar de una 126


imagen mental o de un recuerdo que tuvimos en un momento dado, pero sería absurdo preguntar por la ubicación espacial de la imagen o del recuerdo. Consideremos ahora rápidamente la idea de espacio vacío. Es, obviamente, una idea intrigante. El Tractatus, como vimos, la hace suya, al igual que Newton y Kant. Pero examinémosla en relación con cada uno de los espacios considerados. Primero: ¿qué sería hablar de espacio vacío en relación con el espacio perceptual? Si no hay experiencia alguna de espacio en estado puro sino sólo de objetos manteniendo entre sí relaciones espaciales, la idea de espacio sin objetos sería algo así como la idea de ceguera total, de oscuridad completa, de no percepción en lo absoluto. Si se admite que el espacio perceptual puede estar vacío, daría lo mismo tener los ojos abiertos que a la inversa, pero ¿puede decirse que se ve algo cuando se tienen los ojos cerrados? Es obvio que no. Infiero que la idea de espacio de experiencia sin objetos de experiencia, esto es, objetos perceptuales, equivale a la supresión del espacio perceptual y no puede más que dar lugar a sinsentidos. Consideremos ahora los espacios matemáticos: ¿tiene acaso sentido hablar de espacios matemáticos vacíos? El único sentido con que puedo dotar a la expresión 'espacio matemático vacío' es que se tendrían ciertas reglas que están allí, pero que no se usan. O sea, las reglas serían potencialmente utilizables, pero mientras no se utilizaran no podría con todo rigor hablarse de espacios matemáticos. Los espacios matemáticos son, como las demás entidades matemáticas, construibles. De ahí que no tiene sentido preguntar si son reales o no mientras de hecho no se les construya. Es como si dijéramos que el dígito número ciento cincuenta en la expansión de TÍ es el 3: mientras no se construya dicha expansión, el 3 ni está ni no está. Eso es algo que la construcción misma determinará. Lo mismo sucede, mutatis mutandis, con los espacios matemáticos y sus contenidos. De ahí que tampoco en este caso tenga mayor sentido hablar de espacios vacíos. Por último: ¿qué querría decirse al hablar del espacio físico como de un espacio vacío? Me parece que, una vez más, la idea es ininteligible. El espacio de la física no es una presuposición, sino una construcción teórica que presupone otras entidades teóricas. Pretender usar el concepto sin sus presuposiciones es mutilarlo y, por ende, inutilizarlo. Todo ello me lleva a la conclusión de que, contrariamente a lo insinuado en el Tractatus y a lo sostenido por diversos pensadores importantes, la idea de espacio vacío no es más que una fórmula huera que no permite construir ningún pensamiento genuino.

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Teoría de Conjuntos y Filosofía1 I) Introducción

L

a teoría de conjuntos es una disciplina que, ciertamente y más que muchas otras, da qué pensar. Por una parte, se trata de una técnica simbólica sólidamente establecida y bien implantada en la mente del matemático estándar, una herramienta de la que con facilidad se sirve un cálculo en el que a primera vista al menos se obtienen resultados tan objetivos como en cualquier otra rama de las matemáticas. Por otra parte, sin embargo, es una disciplina plagada de nudos conceptuales, de huecos teóricos, carente de transparencia respecto a su verdadera utilidad y, hay que decirlo, filosóficamente sumamente turbia en lo que a su status y a sus implicaciones epistemológicas y metafísicas concierne. La verdad es que no es implausible sostener que la teoría de conjuntos constituye el mejor ejemplo de disciplina en la que se conjugan en forma evidente el manejo de una técnica con la incom prensión de la técnica en cuestión. No debería, pues, resultarnos sorprendente el que, al leer los escritos de los teóricos de conjuntos casi den ganas de decir: "mientras mejores son técnicamente, menos entienden lo que hacen!". Imposible no traer a colación la última sección de las Investigaciones Filosóficas, en la que Wittgenstein traza un interesante paralelismo entre la psicología y las matemáticas: "La confusión y la aridez de la psicología no han de explicarse porque se le llame una 'ciencia joven'; su situación no es compara1

Para este ensayo me beneficié de múltiples observaciones precisas, correcciones puntuales y críticas detalladas por parte del Dr. Guillermo Morales Luna y de la Mtra. Sandra Lazzer, a quienes les estoy profundamente agradecido. La responsabilidad respecto a los potenciales errores remanentes en el artículo recae, como es natural, sobre mí.

TEORÍA DE CONJUNTOS

ble a, por ejemplo, la de la física en sus inicios. (Más bien, lo es a la de ciertas ramas de las matemáticas. Teoría de conjuntos). Porque en psicología tenemos métodos experimentales y confusión conceptual. (Así como en el otro caso tenemos confusión conceptual y métodos de prueba)".2 Ciertamente no son la psicología y las matemáticas los únicos casos de ciencias plagadas de confusiones e incomprensiones. Otro caso paradigmático e igualmente ilustrativo nos lo proporciona la física. Sería en verdad demencial dudar de la efectividad del éxito de la investigación empírica del físico, pero lo que ni mucho menos es descabellado es cuestionar la interpretación que el físico hace de su propio trabajo y de sus resultados. Es precisamente porque el físico, por no estar capacitado para ello, no puede dar cuenta de lo que hace lo que explica que sea él mismo quien más contribuya a la proliferación de enredos y enigmas filosóficos en física. Este "no poder dar cuenta" no alude, obviamente, a una incapacidad intelectual por parte del científico, sino meramente a una falta de entrenamiento para la producción de cierta clase de aclaraciones. El diagnóstico general de dicha situación es relativamente simple y consiste en que si bien el físico es un especialista en un área científica determinada, lo cual lo convierte en un manipulador de cierta jerga y de ciertos métodos de investigación, de todos modos sigue siendo un hablante normal, natural. Así, es el físico mismo quien, tan pronto intenta expresar en el lenguaje natural sus resultados alcanzados por medio de un "lenguaje" técnico, quien mejor que nadie tergiversa sus propios resultados y engendra los formidables enredos filosóficos que rodean a la física. Es cuando quiere expresar sus resultados que el físico se ve forzado a construir metáforas, a acuñar símiles, a establecer paralelismos, etc., con cosas o fenómenos que nos son familiares, pero es precisamente por ello que prácticamente nunca logra decir lo que realmente quería decir. Nada más absurdo, por ejemplo, que dejarse llevar por la similitud de construcción gramatical y leer una proposición de la física como 'la materia es energía concentrada' o 'E = me2' sobre el modelo de 'el pan está hecho de harina' o 'Napoleón = el vencedor de Marengo'. Son, pues, las limitaciones de expresión intrínsecas al lenguaje natural lo que inducen al físico a formular tesis de carácter filosófico y es allí que inevitablemente él incurre en el error y en la confusión. Nótese, sin embargo, que el error filosófico del físico no le impide seguir adelante con sus investigaciones empíricas; lo único que logra es obstaculizar la comprensión de su propia práctica científica. Es por confusiones filosóficas que el hombre de ciencia cree estar haciendo algo muy diferente de lo que en realidad hace.

L. Wittgenstein,PhiIosophicalInvestigations (Oxford: Basil Blackwell, 1974), Parte II, sea xiv.

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La situación problemática del físico que acabamos de describir se reproduce de exactamente la misma forma con el teórico-conjuntista: éste imagina que porque es diestro en el manejo de un simbolismo especial, entonces no sólo automáticamente todo lo que diga acerca de su disciplina o ciencia será correcto, sino que sólo él es la autoridad para diagnosticar filosóficamente su propia disciplina. El problema, sin embargo, es que en realidad la mayoría de las veces lo que hace es o emitir absurdos o construir tesis ininteligibles. En este sentido, tal vez la única gran diferencia entre el físico filósofo y el teórico-conjuntista filósofo es que el primero es un poco menos soberbio y arrogante que el segundo y, por consiguiente, éste es menos proclive a tolerar desviaciones referentes a lo que es su interpretación de su disciplina. Los problemas filosóficos que la teoría de conjuntos engendra o a los que da lugar son de lo más variado, pero resaltan con mayor fuerza los ligados a la teoría del conocimiento y los que podríamos llamar 'de ontología'. Los lógicos y los matemáticos parecen considerar que hay un sentido legítimo de 'conocer' y sus derivados que es independiente del manejo de la técnica involucrada. No debe extrañar a nadie, por lo tanto, que además de saber hacer demostraciones los practicantes de la teoría de conjuntos nos hablen de visiones conjuntistas, de aprehensiones especiales, de formas de conocer completamente inusuales y para las cuales la única justificación que ofrecen es que manejan una técnica, un simbolismo determinado. Obviamente, esto es una falacia: saber de conjuntos no es otra cosa que saber hacer demostraciones en las que aparecen los signos propios de la teoría de conjuntos. No hay un saber especial por encima del saber que se materializa en la manipulación de los signos relevantes. No obstante, debo desde ahora advertir que no es de esta clase de problemas de la que me ocuparé aquí, sino más bien de algunos problemas de metafísica: la existencia o no existencia de lo que Quine llamó 'clases últimas', la interpretación correcta de los axiomas de existencia, la idea misma de conjunto vacío, la concepción iterativa de los conjuntos y cosas por el estilo. Mi objetivo y mi estrategia para alcanzarlos son los siguientes: en primer lugar, intentaré echar por tierra lo que podríamos llamar la 'lectura primitiva' {Le., filosófica) de la teoría de conjuntos. En un primer acercamiento, esta lectura (que es la compartida por prácticamente todos quienes se ocu pan del tema) salta a la vista como evidente de suyo, como "intuitivamente obvia". Pienso, sin embargo, que es completamente errónea y que es lo que está en la raíz de los problemas filosóficos de los que posteriormente nos tenemos que ocupar. Desde mi perspectiva, la comprensión correcta de la teoría de conjuntos tiene que emanar de una descripción fidedigna de sus principios y demostraciones, así como de una explicación adecuada de la utilidad que efectivamente tiene. La lectura alternativa no primitiva de la teoría de conjuntos aspira a generar comprensión sin para ello forzarnos a elucubrar y a construir teorías al respecto. 131


Como fácilmente podrá apreciarse a medida que avancemos, mucho de lo que afirme en este ensayo está directamente inspirado por lo sostenido por Ludwig Wittgenstein, tanto en el Tractatus Logico-Philosophicus como en las Remarks on the Foundations of Mathematics. Ello es comprensible si no perdemos de vista que, en última instancia, nuestra meta suprema no es otra que la de destruir mitos construidos en torno a la teoría de conjuntos y generar una visión deflacionaria de la misma. Estoy convencido de que es factible aceptar la técnica de la teoría de conjuntos sin para ello vernos comprometidos con los absurdos filosóficos usuales, independientemente del corte o de la estirpe que sean.

II) Notas Propedéuticas Algo que de inmediato llama la atención es el carácter declaradamente práctico de la teoría de conjuntos, lo cual en alguna medida explica la ausencia en ella de especulaciones y de lo que, en sentido estricto, podríamos llamar 'teorización'. Esta observación conduce eo ipso a la pregunta: ¿por qué entonces hablar de "teoría" en este caso? Antes de pronunciarnos al respecto, me parece que sería pertinente decir unas cuantas palabras acerca de lo que es una teoría, de manera que podamos contrastar lo que afirmemos con lo que digamos acerca de lo que podríamos denominar los 'instrumentos de las teorías'. Sin pretender ofrecer otra cosa que una respuesta general pero que sea tal que nos permita responder a nuestro interrogante inicial, preguntémonos: ¿qué es una teoría? Para empezar, quisiera señalar que por 'teoría' voy a entender 'teoría empírica', porque si algo puede servir de paradigma en este sentido ese algo es precisamente una teoría de las ciencias "duras". Así entendida, una teoría es ante todo una construcción proposicional elaborada por medio de un aparato conceptual particular. Dicho aparato presupone un vocabulario técnico, adhoc, caracterizado por una peculiar relación con la experiencia perceptual normal. Esto es comprensible: después de todo, si una teoría es empírica es porque las afirmaciones que permite hacer son, de una u otra forma, de manera más o menos directa (o inclusive indirecta) corroborables en la experiencia. La importancia del nuevo aparato conceptual consiste en que con él automáticamente quedan acotadas las áreas por investigar. O sea, los conceptos empleados delimitan el área de investigación. La realidad que se estudia es la que queda delimitada o recortada por los conceptos de que se trate. Una provechosa consecuencia de esto es que en ciencia siempre se sabe de qué se habla y, más importante aún, en general se puede determinar con precisión qué es un problema y 132


qué no lo es, qué es una pregunta genuina y qué es una pseudo-difícultad. Lo que una pregunta formulada por medio de palabras que no pertenecen a la teoría plantea es un pseudo-problema. Esto no significa ni implica que entonces la resolución de cualquier problema será algo fácil o automático una vez hecho un planteamiento legítimo. Lo único que sostengo es que, en general, en ciencia se puede determinar si una pregunta es relevante o no y si lo que se presenta como un problema efectivamente lo es o no. Desde luego que hay casos problemas, casos en los que en una primera etapa al menos no se puede saber si el problema es genuino o no. Así pasó con, por ejemplo, los famosos rayos F, a principios del siglo pasado. Sin embargo, aunque la polémica se extendió más de lo que hubiera sido deseable, lo cierto es que después de múltiples experimentos, de resultados fallidos, de reveses en las predicciones, de explicaciones alternativas efectivas, etc., los rayos T fueron descartados y la rama de la física que se ocupaba de ellos pudo seguir entonces su desarrollo lineal usual. Inclusive, puede darse el caso de que se pueda hacer ver que algo no se puede obtener. Ese fue el caso, por ejemplo, de la vacuna en contra del SIDA: en 1987, los científicos podían determinar con precisión que antes de 20 años era experimentalmente imposible producir una vacuna en contra del SIDA. Es claro, sin embargo, que esto no echa por tierra lo que hemos afirmado: un resultado negativo puede ser tam bién un resultado establecido científicamente. Y un último punto en relación con las características de las teorías: éstas siempre requieren de un instrumental especial, de una especie de lenguaje ad hoc para ellas. Este "lenguaje" lo proporcionan o lo constituyen las matemáticas. ¿Con que podemos contrastar las teorías? En primer lugar, con las descripciones que hagamos en el lenguaje natural. Esto, empero, no es relevante para nuestros propósitos. Lo que para nosotros en cambio sí es importante es el contraste que podemos trazar entre la teoría y el instrumental del que la teoría se sirve, esto es, las matemáticas. Podría objetarse que no hay tal distinción sobre la base de que en algún sentido el instrumental forma parte de la teoría misma. Esto, sin embargo, no parece ser exacto, por la sencilla razón de que ese mismo instrumental forma parte de cualquier otra teoría. Lo que esto a su vez hace ver es que se trata de un cuerpo simbólico lógicamente independiente. Las matemáticas son un "lenguaje" universal, en el sentido de ser un instrumental útil en o para cualquier ciencia particular. Así, por ejemplo, una cosa es una teoría acerca de la materia y otra una teoría acerca de flujos de capital, pero las matemáticas de la física y las de la economía son (o pueden ser) las mismas. Ahora bien ¿por qué son importantes los instrumentales simbólicos en o para las teorías empíricas? La respuesta es sencilla y obvia. En primer lugar, porque es por medio de ellos que se pueden hacer mediciones, cálculos, predicciones; en segundo lugar, porque son parte del instrumental que permite hacer transiciones. A 133


este respecto, recordemos la muy atinada observación de Wittgenstein en el Tractatus: "En la vida no es nunca una proposición matemática lo que necesitamos. Más bien, empleamos proposiciones matemáticas únicamente para inferir de proposiciones que no pertenecen a las matemáticas otras que, de igual modo, tampoco pertenecen a las matemáticas".3 Así, pues, y esto es muy importante, el rol de las matemáticas en las ciencias es puramente operativo. Pero esto último tiene consecuencias nada desdeñables y una de ellas sin duda es que si efectivamente ese es el rol de las matemáticas es porque las matemáticas no aportan nada sustancial a las teorías en las que se incrustan. Dicho de otro modo, las matemáticas no contribuyen con ninguna clase de ontología. No hay un universo matemático que, por así decirlo, se sume a los de las teorías mismas. No hay, además de las entidades físicas o biológicas presu puestas por las teorías, un universo de números que de alguna extraña manera se funda con ellas. Las teorías empíricas no estudian universos abstractos, sino que estudian el mundo real por medio de abstracciones. Pero si las teorías empíricas no versan sobre realidades misteriosas y desconectadas del mundo real y las matemáticas no son más que un instrumento para las teorías, lo que empieza a vislumbrarse es la idea de que la concepción misma de un mundo de entidades matemáticas abstractas es una aberración. No hay, en el sentido ontológicamente relevante de 'haber', universos matemáticos. Si nuestras suspicacias referentes a las "ontologías formales" ejemplificadas en las matemáticas están justificadas, lo que era un sospecha se convierte en una certeza cuando llegamos a la teoría de conjuntos. Por lo pronto, nuestra pregunta es: ¿es la teoría de conjuntos una teoría o un instrumental para las teorías? Para ser más preciso, quizá lo que deberíamos preguntarnos es si la teoría de conjuntos es una teoría, en el sentido delineado más arriba, o si no es más bien un instrumental para las matemáticas! La pregunta es entonces: ¿es la teoría de conjuntos una teoría en sí misma o es más bien un instrumental para un instrumental? A reserva de intentar desarrollar la idea más abajo, quisiera adelantar mi punto de vista. Desde mi perspectiva, la teoría de conjuntos no es más que la gramática (o parte de ella) de los lenguajes matemáticos. Es un instrumental conceptual ideado para poner orden en el mundo de los números y de las estructuras matemáticas, exhibiendo las reglas que rigen a los sistemas matemáticos. Se apeló a la teoría de conjuntos en primer término para el esclarecimiento de algunos tópicos matemáticos y una vez demostrada su utilidad y, por lo tanto, una vez "establecida", tuvo (como siempre en matemáticas) un desarrollo "inmanente". Pero es claro ahora que si era debatible hablar de ontología, de universos, 3

L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (London: Routledge and Kegan Paul, 1978), 6.211 (a). 134


de entidades al hablar de las matemáticas, al hablar del instrumental para las matemáticas un discurso así se vuelve no sólo absurdo sino peligrosamente absurdo, por mitologizante y hechicero.

III) Matemáticas Tal vez debamos, antes de seguir adelante, decir unas cuantas palabras acerca de las matemáticas mismas. No es desde luego nuestro propósito añadir una definición más a la larga lista de las que ya han sido ofrecidas a lo largo de la historia de la filosofía. Es bien sabido que, desde que recurrieron a ellas, los hombres se han preguntado qué clase de verdades son las verdades matemáticas y de qué clase de entidades se ocupan. Las caracterizaciones de las matemáticas han sido de lo más variado y, por lo general, igualmente inútiles unas que otras. Por ejemplo, es claro que no se nos esclarece nada si se nos dice que las matemáticas son "la ciencia de las cantidades" o si se afirma del número que es "la unidad dentro de la multiplicidad" o cosas por el estilo. Ahora bien, lo que estos fracasos definicionales ponían de relieve era simplemente que los matemáticos estaban en la muy incómoda situación de tener una "ciencia", que sistemáticamente desarrollaban y a la que de todas las áreas del conocimiento se recurría, de la cual sin embargo eran incapaces de dar cuenta. Es precisamente en este punto que se revela la utilidad de la teoría de conjuntos: con este nuevo armatoste formal se pudo finalmente elaborar una explicación adecuada de la naturaleza del número, de los principios matemáticos (inducción, las operaciones aritméticas, etc.) y de las estructuras algebraicas con las que se trabaja en matemáticas. Se pudo así superar la fase del recurso a las imágenes y a las metáforas y sustituirlas por definiciones precisas. De ninguna manera, sin embargo, el progreso representado por la teoría de conjuntos autorizaba, como lo han pensado sus adeptos, a hablar de "reducciones ontológicas" ni de nada que se le parezca. Sobre esto, naturalmente, regresaremos más abajo. Desde nuestro punto de vista, el rasgo fundamental de las matemáticas es que éstas se constituyen a través de sistemas regidos por lo que Wittgenstein denomina 'relaciones internas'. Los números naturales, por ejemplo, forman una serie regida por una relación interna, una ley de expansión. Las matemáticas son sistemas que crecen, pero lo hacen en concordancia con leyes formales. No hay nada empírico en ellas. Por otra parte, la afirmación de que en matemáticas nos las habernos con sistemas distintos, como por ejemplo los constituidos por los números enteros naturales y los números irracionales, se funda en la constatación de que damos explicaciones diferentes de ellos. Esto exige ciertas aclaraciones para ser debidamente entendido. 135


Es evidente, o debería serlo, que el simbolismo matemático es un simbolismo parasitario del lenguaje natural. En verdad, su funcionamiento se entiende sólo cuando se describe su íntima conexión con este último. Podría imaginarse (con dificultades, es cierto) una sociedad con un lenguaje carente de números, pero no una sociedad que nada más dispusiera de matemáticas. Por lo tanto, por lo menos en el caso del sistema numérico más simple, que es el de los números naturales, la explicación de su funcionamiento y utilidad exige que los veamos como teniendo algo que ver con las palabras del lenguaje. Ahora bien, la clase de palabras que más directamente está relacionada con los números es la de los adjetivos. Desde esta perspectiva podemos afirmar que, si los adjetivos significan conceptos, un número natural no es entonces otra cosa que la extensión de un concepto. Decir que hay tres objetos rojos es decir que este objeto es rojo y este otro objeto es rojo y este otro objeto también es rojo. O sea, los tres objetos son (en este ejemplo) la extensión del predicado "ser rojo" y lo que vale para el 3 vale para cualquier otro número, por inmenso que sea (e.g., 200626). Esto es importante, porque permite comprender que tiene sentido decir que existen los objetos y lo rojo, pero que no hay bases para decir lo mismo del 3. El número 3 no es más que un mecanismo lingüístico simple que emerge de una necesidad natural de contar y de distinguir objetos unos de otros (o de agruparlos, según el caso), siendo contar una forma de lidiar con los objetos, de enfrentarse a ellos. El que se use el signo '3' como sujeto de oraciones no convierte a '3' en un nombre propio. Los números son conceptos formales, no conceptos genuinos, como "rojo" o "ser padre de". De ahí que, como bien se señala en el Tractatus, la noción crucial para entender la idea de número sea no la de objeto, sino más bien la idea de operación. Es por eso que Wittgenstein afirma que "Un número es el exponente de una operación".4 Lo anterior es claramente una manera aceptable de explicar funcionalmente lo que es un número entero natural. No obstante, una explicación así podría resultarle inaceptable (o por lo menos insuficiente) a quien considerara otras clases de números, verbigracia los irracionales. A primera vista al menos, podría dudarse de que la caracterización de Wittgenstein permitiría explicar lo que es, por ejemplo, 'V2'. Em pero, para él también los números irracionales son exponentes (o factores) de operaciones, sólo que hay que entender la especificidad de las operaciones en función de las cuales quedan caracterizado. Lo que Wittgenstein sostiene es que, puesto que los números irracionales pueden expandirse ad infinitum, la idea de número irracional está ligada más que a otra cosa precisamente a la idea de expansión de una ley. Esto último, sin embargo, no invalida la definición introducida en conexión con los números * Ibid., 6.Ó21-

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naturales, sino simplemente nos hace ver que ésta era una caracterización sumamente general y que requiere de especificaciones particulares en función de las clases de números que se estén considerando. Por eso, puesto que cualquier número irracional puede expandirse o crecer tanto cuanto se quiera, nuestra atención habrá de fijarse no en una etapa particular de la expansión sino en la regla misma que la rige, esto es, la ley formal involucrada, y esto nos retrotrae a la noción de operación. Así, pues, aunque se tengan que dar explicaciones diferentes de sistemas numéricos distintos, de todos modos los números siguen siendo exponentes de operaciones. Ahora bien, lo importante de este contraste de explicaciones es que nos permite entender que con lo que nos las habernos en matemáticas es con una variedad de sistemas que son en cierto sentido acumulativos, pero que quedan caracterizados en función de leyes o reglas diferentes, y por ende de operaciones diferentes. Wittgenstein siempre aprovechó, en ambos sentidos, un cierto paralelismo que se da entre números y proposiciones: así como una proposición es todo aquello que se parece a lo que se denomina 'proposición', a la proposición paradigmática, y que es sometida a los mismos procedimientos y reglas que ésta, así también un número es todo aquello que se parece a lo que en primer término llamamos 'número' y que permite un tratamiento semejante. Estrictamente hablando, el 2 del conjunto de los números naturales no es el 2 de 'V2'. Una explicación semejante se puede avanzar en relación con, por ejemplo, Xo. Algo de primera importancia que de uno u otro modo se deriva de lo anterior es que los simbolismos matemáticos son sistemas rígidos, de carácter funcional u operativo, indispensables quizá pero en todo caso no descriptivos de nada. En matemáticas no se habla de nada, puesto que el simbolismo matemático no es, estrictamente hablando, un lenguaje. Como una consecuencia de lo anterior habría que reconocer que "Las proposiciones de las matemáticas no expresan pensamientos".5 Las matemáticas no versan sobre nada; por decirlo de alguna manera, no tienen tema. En palabras de Wittgenstein: "La aritmética no habla acerca de números, sino que trabaja con números".6 Es evidente, por otra parte, que si queremos expresar algo respecto de los números naturales inevitablemente tendremos que hacerlo tomando como modelo las oraciones normales del lenguaje natural. Son, pues, nuestras formas normales de expresión lo que nos confunde. Por ejemplo, el que 3 sea un número primo es algo que se muestra en nuestras operaciones. '8-^-4' me da como resultado un número entero, en tanto que '3 -^ 4' u '11 + 4' no. Que el 3 o el 11 sean números s

Ibid., 6.21. L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas. Traducción de Alejandro Tomasini Bassols (México: IIF/ UNAM, 1997), sec. 109. 6

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primos es algo que se revela o se muestra en las operaciones que se hagan, en el cálculo mismo. Empero, tan pronto dejamos el cálculo y pasamos a hablar de los números, al margen ya de las operaciones que con ellos efectuamos, pretendiendo expresar en palabras sus rasgos característicos o esenciales, los reifícamos y al hacerlo nos extraviamos intelectualmente. Al decir 'el 3 es un número primo' imperceptiblemente cambiamos su status y lo que era una regla del sistema queda convertida en una propiedad de una entidad. Nos vemos llevados entonces a pensar que '3 es un número primo' es como (en el sentido relevante) 'Cantinflas es mexicano' y eso es un error de consecuencias incalculables. No hay tal cosa como proposiciones matemáticas, aunque nosotros constantemente nos hacemos caer en la trampa de considerar las expresiones del simbolismo matemático como si lo fueran. Una regla de cálculo y de inferencia se convierte entonces en una descripción y como no hay entidades físicas observables que respondan a expresiones numéricas automáticamente le resulta fácil a muchos simplemente postular un mundo de entidades abstractas, con todo lo que eso acarrea. Un reto importante para quien quiera dar cuenta en forma global de las matemáticas es que tendrá que explicar su "objetividad". La posición estándar consiste en decir que las proposiciones matemáticas son verdaderas o falsas en el mismo sentido en que lo son las proposiciones de las ciencias empíricas o las afirmaciones hechas en el lenguaje natural, sólo que lo son de un modo un poco más fuerte. En fraseología filosófica esto se expresa diciendo que son a priori. Esto, aparentemente, llevaría a sostener que si las matemáticas son objetivas ello es porque efectivamente describen un sector especial de la realidad, a saber, el sector abstracto, o por lo menos uno de ellos. Pero una posición así no sólo no es explicativa, puesto que se limita a postular lo que se quiere hacer pasar por explicación, sino que es mucho menos plausible que aclaraciones alternativas. Por ejemplo, es obvio que las matemáticas tienen una faceta convencional, sólo que esta faceta se pierde por completo en la explicación usual. ¿Qué es lo convencional en las matemáticas? No quiero hacer mío el punto de vista del positivismo lógico de que es por una mera estipulación lingüística que '2 + 2 = 4' es verdadero, esto es, que esa "proposición" verdadera resulta de los significados arbitrariamente adscritos a los signos involucrados como resultado de alguna clase de consenso. Yo pienso que resultados alternativos eran viables. Lo que sí es claro es que, una vez establecido el sistema, pensar en concordancia con un sistema alternativo se vuelve imposible. Es por eso o en ese sentido que las matemáticas son a priori y necesarias. Pero el que así sean no cancela la posibilidad de que otras matemáticas (que no tenemos y ni siquiera visualizamos) habrían podido establecerse. Esto quizá se explique mejor mediante un ejemplo imaginario. 138


Consideremos el lenguaje de los colores. Tenemos nombres de colores: 'rojo', 'verde', etc. Los colores a nosotros nos parecen simples. Más aún: constituyen el paradigma de lo simple. Ahora bien, es perfectamente imaginable que los humanos hubieran elaborado un sistema de nombres de colores en los que, para aplicarlos, fuera necesario considerar otra cosa, como por ejemplo la forma o la saturación del color. Por ejemplo, podría hablarse de "rojo" sólo cuando se tratara del color de la sangre, pero si se tratara de un producto químico se tendría que hablar más bien de "rojoq". En ese lenguaje se dirían cosas que nosotros no expresaríamos de la misma manera y nuestra forma de expresión sería ininteligible (o deformada) para sus usuarios. Mientras que nosotros decimos que la sangre y la bandera son rojas, ellos dirían que la sangre es roja en tanto que el color de la bandera es rojoq. Por consiguiente, sobre la base de convenciones imaginables diferentes se generarían descripciones diferentes. Y lo que sostengo es que lo mismo habría podido pasar, mutatis mutandis, con las normas aritméticas. El sistema de aritmética elemental que prevalece no es ni el único imaginable ni el único viable. Lo que sí es es ser el sistema que a nosotros, los seres humanos, constituidos como sabemos que lo estamos, que percibimos, reaccionamos, seguimos reglas, etc., como lo hacemos, mejor nos acomoda (el único, quizá). Nosotros desarrollamos las series al modo como lo hacemos, pero es claro que no hay nada en las series mismas que nos obliguen a desarrollarlas de un modo determinado o en las reglas establecidas que nos fuercen a aplicarlas como lo hacemos. La objetividad de las matemáticas consiste en que se trata de sistemas simbólicos que, por su peculiar función, una vez establecidos no hay manera de proceder desviándose de ellos. O sea, no es ni por razones internas al simbolismo matemático mismo ni en virtud de supuestas realidades abstractas que las matemáticas son objetivamente verdaderas. Hay un número infinito de sistemas matemáticos divergentes, pero de todos los posibles hay sólo uno que a nosotros nos sirve, a saber, el que de hecho tenemos y que obviamente no estamos dispuestos a modificar o a remplazar. Lo anterior nos lleva a una problemática interesante. Parecería que los sistemas matemáticos tienen un desarrollo inmanente, independiente por completo de la utilidad que presten. Esto, sin embargo, no es más que un espejismo epistémico. Los sistemas matemáticos tienen un desarrollo inmanente porque son sistemas algorítmicos y están regidos por leyes formales, internas. De hecho, es debatible si podemos ha blar de "desarrollo" en estos casos. 'Expansión' parece un término más apropiado. En todo caso, dicho "desarrollo" es factible precisamente porque las matemáticas no dependen en lo absoluto de la experiencia. En matemáticas no hay experimentos. Se pueden desarrollar los sistemas que se quieran, puesto que a final de cuentas en ellos todo es un asunto de consistencia, siendo nosotros, los humanos, quienes determina139


mos lo que es contradecirse o seguir la regla apropiadamente. Sin embargo, hay un sentido de 'validación', el sentido gracias al cual se puede pasar de mero juego formal a sistema matemático, en el que la validación de las matemáticas viene dada por la utilidad que demuestran tener. Es porque permiten desarrollar complejas teorías empíricas y en general por su utilidad en la vida cotidiana que las matemáticas son "verdaderas" y "objetivas". Pero es evidente que esta utilidad no es utilidad proposicional, sino meramente instrumental. Es porque las expresiones matemáticas se integran a las proposiciones (tanto teóricas como del lenguaje natural) que se les considera también como proposiciones, pero un examen de su papel real deja en claro que cumplen funciones totalmente diferentes a las de las proposiciones y que así se les llama no "por cortesía", sino por falta de una palabra más apropiada. Si para algo debería haber servido nuestra breve disquisición es para reforzar la idea de que en las matemáticas no se habla de nada. Una vez más, las matemáticas carecen de ontología. Son las formas superficiales de hablar lo que nos induce a pensar otra cosa. Esto no nos compromete ni con posiciones intuicionistas ni con tesis formalistas ni con puntos de vista realistas. De hecho, rechazamos todas esas corrientes. Desde luego que usualmente los matemáticos hablan de entidades, existencia, verdad, etc., pero esto no es más que una mera fagon de parler. Nadie, en ningún contexto, escapa a estas modalidades lingüísticas. Todos, por lo tanto, de manera natural tendemos a hablar, e.g., de los "universos matemáticos", los "fundamentos de las matemáticas", el "infinito matemático", y así indefinidamente. No tenemos nada que objetar a estas formas de hablar, siempre y cuando tengamos presente que aunque legítimas son equívocas y muy fácilmente pueden hacernos caer en la confusión y la mitologización. Fue debido a la complejidad de los sistemas matemáticos y a la incapacidad de los matemáticos para dar cuenta de su disciplina que la teoría de las clases tuvo tanto éxito. Gracias al simbolismo de la teoría de conjuntos resultó factible ofrecer definiciones precisas de nociones matemáticas. No es que por medio de la teoría de con juntos (uso aquí indistintamente 'clase' y 'conjunto') se aporten soluciones a problemas matemáticos, sino que al ser traducidas al lenguaje de la teoría de conjuntos se pueden manipular más eficazmente los sistemas numéricos y las estructuras abstractas con las que se opera en matemáticas. Gracias a la teoría de conjuntos las matemáticas pueden ser contempladas, por así decirlo, desde fuera y en su totalidad, lo cual aclara lo que podríamos llamar 'situaciones matemáticas' y facilita su manejo. Ahora bien, nada de esto vuelve transparente el status de la teoría de conjuntos, de la que debemos ahora ocuparnos y para lo cual se requiere que hagamos de ella una presentación somera y sencilla. 140


IV) Teoría de Conjuntos Debo advertir desde ahora que ni mucho menos forma parte de mis objetivos hundirme en un estudio de teoremas de la teoría de conjuntos o de problemas técnicos que plantea. No son esos mis temas en este ensayo, que es de aspiraciones mucho más humildes. Tampoco me propongo examinar a fondo los problemas, estrictamente matemáticos, que llevaron a Cantor (su inventor) a desarrollar la teoría de conjuntos.7 Algunas palabras en este sentido, no obstante, serán imprescindibles, para poder ubicar mejor a la teoría y estar en una mejor posición para comprender debidamente su status. Un tema para nosotros particularmente importante es, desde luego, el de las relaciones que se dan entre la teoría de conjuntos, la lógica y las matemáticas. A este respecto, lo primero que hay que señalar es que lo que prevalece es la incomprensión y el caos. La situación prevaleciente parece ser la de que cada matemático o cada lógico da su propia versión del asunto, sin que les preocupe el que éstas coincidan o no. En un importante texto clásico de teoría de conjuntos, por ejemplo, se nos dice lo siguiente: "Aunque el presente libro está oficialmente dedicado al tratamiento de los fundamentos de la teoría de conjuntos únicamente, el hecho de que la teoría de con juntos sea una (y según algunos la única) disciplina fundamental del todo de las matemáticas por una parte, así como parte de la lógica por la otra, nos forzará a interpretar nuestro tópico de manera sumamente liberal y a menudo entraremos a discutir los fundamentos de la lógica como un todo y de las matemáticas como un todo. Es bien sabido que muchos pensadores se sienten extraviados al delimitar las fronteras de estas disciplinas. A menudo se ha dicho que la teoría de conjuntos les pertenece a ellas simultáneamente y que forma su vínculo común".8 Como puede fácilmente constatarse, los matemáticos, los lógicos y los teórico-conjuntistas hablan con el mismo desparpajo de los fundamentos de la lógica que de los de las matemáticas o que de los de la teoría de conjuntos. La cuestión de qué "fundamente" qué es una temática que, como iremos viendo, es todo menos clara. Iniciemos, pues, nuestra sencilla exposición de la teoría de conjuntos diciendo unas cuantas palabras respecto a su origen. La "teoría" en cuestión surgió como una respuesta por parte de Cantor a problemas estrictamente matemáticos y, más espe7

A este respecto véase el excelente libro de I. Grattan-Guinness, The Searchfor Mathematical Roots 1870-1940 (Princenton/Oxford: Princeton University Press, 2000). 8 Abraham A. Fraenkel y Yehoshua Bar-Hillel, Foundations ofSet Theory (Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1958), p. 5.

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cíficamente, a problemas en los que se combinan geometría y aritmética. Por ejem plo, uno de los problemas que él quería resolver era el de determinar cuántos puntos hay en una línea. Fue para responder a esa extraña pregunta que Cantor desarrolló lo que originalmente se conoció como la 'teoría de los agregados', que fue la expresión que él empleó. La respuesta de Cantor al problema es que hay 2" puntos en una línea. Cantor, por otra parte, pensaba que 28 era el primer número transfinito inmediatamente después de Xo. Esa es la así llamada 'hipótesis del continuo'. Es obvio que ni mucho menos estamos nosotros intentando hacer contribuciones técnicas, esto es, internas al cálculo, pero eso no implica que no podamos dar expresión a nuestra sensación de extrañeza ante la decisión de hablar de ' X' (Aleph 0) como si fuera un número. Lo menos que podemos afirmar acerca de la pregunta cantoriana de cuántos puntos hay en una línea es, primero, que es una pregunta sumamente extraña (por no decir descabellada) y, segundo, que contrariamente a las apariencias la respuesta no parece venir dada en términos numéricos. Lo que se hace es introducir un signo nunca antes empleado, el cual es puesto en conexión sistemática con los números, de modo tal que a su vez se le trata como si fuera el nombre de un número nuevo. Parecería que con ello se descubre un nuevo mundo (algunos lo han llamado un 'paraíso'). No obstante, la prueba de que tanto la pregunta como la respuesta de Cantor son extrañas es que se da una y la misma respuesta para cualquier línea! O sea, tanto una línea de un centímetro como una línea de un metro como una de un kilómetro se componen del mismo "número" de puntos, a saber, K o. Esto puede dejar satisfecho a cualquier matemático, porque él maneja además de las usuales otras reglas, reglas nuevas para la manipulación de un nuevo vocabulario que se suma al que tenía, pero es claro (aunque para ellos haya dejado de serlo) que lo que aquí se operó fue una modificación en el significado de 'número'. Dicho significado súbitamente se amplió. Es evidente que la respuesta de Cantor no es una respuesta numérica en el sentido estándar. Al matemático esto no le preocupa porque, como dije, recurre a reglas diferentes (a menudo no hechas explícitas) de las usuales, por lo que él se siente plenamente justificado en seguir hablando de Noy de Xj como si fueran (por así decirlo) nuevos números concretos, a saber, los primeros números transfinitos. Así, pues, la respuesta estándar acerca del "número de puntos" puede ser entendida como siendo de carácter numérico sólo porque se le da a ' X o' una interpretación numérica. Es obvio, sin embargo, que lo que realmente se hizo fue cambiar el significado de 'numérico'. En todo caso, lo importante para nosotros es notar que fue con la noción de infinito que hizo su aparición en el escenario la idea de conjunto. En efecto, X0no es otra cosa que la cardinalidad del conjunto de los números naturales. Curiosamente, de manera más o menos concomitante y en forma totalmente independiente del trabajo de Cantor hubo quien, desde otra perspectiva y teniendo 142


objetivos diferentes en mente, recurrió a la noción de conjunto. Me refiero, desde luego, a Frege. Para Frege la idea de clase era ante todo una noción lógica y desde luego crucial para su programa de definir las nociones y las operaciones aritméticas básicas. Si la noción cantoriana de agregado y la noción fregeana de clase son una y la misma, ello es algo sobre lo que no me siento capaz de pronunciarme pero que me parece ser una cuestión digna de ser discutida con cuidado. Por lo menos prima facie no son idénticas: para Cantor, la noción de agregado era una noción estrictamente matemática, numérica, ubicada por así decirlo en la cúspide de las matemáticas, en tanto que para Frege la noción de clase era una noción estrictamente lógica localizable más bien en sus fundamentos. En general, los teóricos de conjuntos, los matemáticos y los lógicos que reflexionan sobre cuestiones de fundamentos de las matemáticas no prestan la menor atención a diferencias como esta, sin percatarse de que es por dejar pasar sin discutir sutilezas así que se van gestando los graves problemas de comprensión que posteriormente se plantean y que se vuelven prácticamente imposibles de dilucidar. Independientemente de lo anterior, nosotros podemos ya enfrentar la pregunta: ¿qué se entiende en general por 'teoría de conjuntos'? Una de las muchas formas como podría caracterizarse la teoría de conjuntos sería decir que se trata del estudio de la noción de pertenencia ('e'). Así, a secas, sin embargo, esta caracterización es insuficiente. Esta caracterización es adecuada sólo si se hace explícito su trasfondo natural, esto es, la lógica de primer orden con identidad. Es por eso que los lógicos y los matemáticos sin mayor recato la fusionan con la lógica, pues les resulta muy cómodo hacerla pasar como parte de ella, cuando en todo caso lo que en realidad representa es una ampliación de la lógica. Ahora bien, la noción de pertenencia automáticamente acarrea consigo otras, como la de conjunto, y las de operaciones entre conjuntos, puesto que por sí sola no significa nada ni serviría para nada. Tiene sentido hablar de pertenencia sólo si podemos decir, e.g., que un algo, i.e., un elemento, le pertenece a otro algo o que es miembro de otro algo, esto es, de un conjunto. Así, pues, al integrar en un único cuerpo de doctrina la lógica y la teoría de conjuntos lo que los lógicos efectivamente hacen es enriquecer la lógica matemática clásica con la noción de pertenencia y con el aparataje simbólico que ésta entraña (conjuntos, unión, intersección, conjunto potencia, etc.). Aquí las prioridades son importantes y deben quedar claras: no es la lógica la que se incrusta en la teoría de conjuntos, sino a la inversa. Es por eso que, como ya se dijo, en general lo que se afirma es que la teoría de conjuntos es parte de la lógica. No estará de más observar que esta última es una afirmación problemática. Por ejemplo, a menudo se sostiene que la teoría de conjuntos es una rama más de las matemáticas, pero también que la lógica sirve para fundamentar las matemáticas. La situación no es clara: ¿tiene acaso sentido sostener que una rama de las matemáticas, 143


una de las más tardías dicho sea de paso, sirve también o al mismo tiempo para fundamentar el todo de las matemáticas? Parecería seguirse o que la lógica no sirve para fundamentar las matemáticas o que la teoría de conjuntos no pertenece a la lógica o que no es una rama de las matemáticas. La sospecha que a nosotros nos invade es, como ya lo manifestamos, que la teoría de conjuntos no es una teoría matemática más, sino más bien un instrumental para las matemáticas. Las teorías matemáticas son sistemas o cálculos numéricos y lo que deseo sostener es que el cálculo de clases no es un sistema numérico más, si bien todo cálculo matemático se puede poner en conexión sistemática con la teoría de conjuntos. En todo caso, es imposible no admitir que, en lo que a las relaciones entre la lógica, la teoría de conjuntos y las matemáticas atañe, a lo que asistimos es a un fracaso casi total de comprensión. Como ya se dijo, cada teórico presenta el cuadro que más le complace y se está lejos de llegar a un acuerdo generalizado. Lo que en general sucede es que se hacen todas las afirmaciones posibles bajo el supuesto tácito de que todos entienden los que los demás afirman. Por ejemplo, se habla de "fundamentación" pero, aparte de que no está en lo más mínimo claro qué es fundamentar una ciencia y por qué sería eso una tarea ineludible en el caso de las matemáticas, urge preguntar: ¿qué fundamenta a qué? ¿La lógica a las matemáticas? ¿O eso es algo que logran sólo la lógica y la teoría de conjuntos de manera conjunta? Por otra parte y dejando de lado la cuestión de si las matemáticas requieren de fundamentación alguna, ¿cómo se vinculan la lógica y la teoría de conjuntos? De que hay aquí graves enredos conceptuales y de comprensión es algo que los teóricos mismos reconocen. Por ejemplo, hay quien ha aseverado que "Tenemos menos certeza que nunca acerca de los fundamentos últimos de la (lógica y las) matemáticas".9 Aquí es un gran lógico quien nos habla de los "fundamentos de la lógica",10 sugiriendo que esto es algo que le corresponde a la teoría de conjuntos proporcionar (!). Pero ¿cómo podría una rama de las matemáticas fundamentar aquello que se supone que sirve para fundamentar las matemáticas in totol Lo único que no se puede aseverar es que haya en este ámbito del conocimiento claridad y comprensión conceptuales. No estará de más recordar que los problemas para la teoría de conjuntos surgieron casi inmediatamente después de su aparición. Cantor mismo enfrentó la primera paradoja a la que dio lugar su teoría de los agregados. Ésta consistía en lo siguiente: dada su definición de 'conjunto potencia' (el conjunto de todos los conjuntos de un conjunto dado), Cantor llegó rápidamente al resultado de que cualquier conjunto es 9 10

H. Weil, "Mathematics and Logic", citado en Abraham A. Fraenkel y Yehoshua Bar-Hillel, ibid., p. 4. Confieso que no tengo ni la menor idea de qué se trataría de estar diciendo con esto. 144


estrictamente menor que su conjunto potencia y, por ende, que el conjunto universal, esto es, el conjunto más grande que pudiera pensarse, no era (contrariamente a su propia caracterización) el conjunto con todo lo que hay, puesto que resulta ser más chico que su conjunto potencia.11 La consecuencia que normalmente gusta de extraerse es que hay más clases que cosas en el universo. Esto es sin duda una forma ingeniosa de decir algo, pero ¿qué? Si la idea implícita es que las clases son como cosas sólo que abstractas, entonces estaremos en medio del pantano de la mitologización filosófica en el ámbito de las matemáticas, que es precisamente lo que queremos evitar. A reserva de regresar sobre este tema más abajo, por el momento nos limitaremos a señalar que la implicación importante de la paradoja de Cantor pertenece a la teoría de los números y es simplemente que no hay tal cosa como el número natural más grande.12 Como "resultado" a los matemáticos éste les podrá resultar fascinante, pero ello no impide que en el fondo sea algo de lo más trivial: a nadie en sus cabales se le ocurriría pensar que hay algo así como el número más grande de todos, puesto que de inmediato a uno se le ocurre que a ese número, sea el que sea, se le puede sumar 1 (o el número que sea) y que eso siempre podrá pasar con el número que sea cuantas veces uno quiera. De manera que lo que Cantor logró fue ofrecer una "demostración" matemática de eso que intuitivamente ya "sabe" quien usa nuestro sistema numérico, un sistema simbólico regido por una ley formal. Nótese que la prueba de Cantor pertenece a la clase de demostraciones que hace que los matemáticos exulten, pero que no siempre es comprendida: el resultado no es matemático sino metamatemático, mediante lo cual quiero decir, en un sentido am plio, 'semántico'. Lo que quiero decir es lo siguiente: el resultado de Cantor es una regla que vale en el conjunto de los números naturales de acuerdo con la cual no tiene sentido hablar del número mayor que todos. Lo que se nos está diciendo es que afirmar que x es el número mayor de todos es, en el contexto de la aritmética, emitir un sinsentido. Nadie tiene nada en contra de esto, pero lo que debería ser obvio es que no se trata, como en general se le interpreta, de un resultado referente a "cantidades". Antes de discutir diversos aspectos de la teoría de conjuntos, consideremos rápidamente la versión clásica de la teoría. ¿Qué comporta? Están, como nociones no definidas, en primer lugar la crucial relación de pertenencia (simbolizada mediante 1

Imposible no ver el muy sugerente paralelismo con la así llamada "prueba onto lógica" de San Anselmo en favor de la existencia de Dios, /. e., la "prueba" de la existencia necesaria de un ser mayor que el cual ningún otro puede ser concebido. 12 Más en general, que para cualquier número transfinito siempre habrá uno más grande. 145


'e') y, por consiguiente, la noción de conjunto, entendida intuitivamente como agregado, colección, grupo o montón de elementos. En segundo lugar nos topamos con nociones de relaciones y de operaciones sobre o entre conjuntos, como la relación de inclusión ('cr'), la de intersección ('rV) y la de unión entre conjuntos ('u'). Apartir de estas nociones se definen otras como "dominio", "conjunto potencia", "complemento", etc. Una vez más, es de primera importancia observar que la teoría de con juntos por sí sola es totalmente estéril. Este simbolismo, considerado aisladamente, no pasa de ser un mero juego formal, entretenido quizá pero sin mayores implicaciones metafísicas. Para que la teoría de conjuntos pueda rendir los frutos que se esperan de ella tiene que venir acompañada de algo más. En el caso de los problemas relacionados con la fundamentación de las matemáticas este "algo más" es, como ya se dijo, la lógica. Así, al incorporarse a la lógica la teoría de conjuntos automáticamente incor pora o hace suyo el lenguaje de la lógica clásica, i. e., la negación, los cuantificadores, las conectivas, la noción de identidad, etc., y, desde luego, las "verdades" de la lógica, las tautologías. La "teoría" de conjuntos, por consiguiente, es un cuerpo simbólico que se incrusta o monta en otros previamente existentes y aunque a partir de ese momento forma un todo sigue siendo conceptual y lógicamente distinguible de la lógica. El punto importante, empero, es que es dicha incrustación lo que automáticamente permite que se hable en relación con la teoría de conjuntos de "pro posiciones" o de "verdades". Sin duda alguna el gran problema "teórico" (aunque me parecería más apropiado decir 'técnico') para la teoría de conjuntos desde el punto de vista de los matemáticos, los lógicos y los teóricos de conjuntos lo constituyeron las paradojas. En efecto, la teoría de conjuntos nació preñada del peor mal del que podría verse afectada una teoría (sobre todo si es formal): contenía o daba lugar a paradojas. Bertrand Russell mejor que nadie puso de relieve a través de su paradoja el hecho de que lo que se conoce como 'teoría ingenua de conjuntos' genera contradicciones y es por lo tanto, tal como fue formulada por Cantor, inaceptable. Lo interesante de la paradoja de Russell referente a las clases que no son miembros de sí mismas es que concierne de manera obvia a la noción central de la teoría, esto es, la noción de clase o conjunto (aunque quizá también podría pensarse que es la noción de pertenencia la noción problemática). Dada la importancia de la observación de Russell, quizá valga la pena reproducir la paradoja, a pesar de que ha sido presentada y discutida un sinnúmero de veces. La paradoja aparece como sigue: hay conjuntos que no son miembros de sí mismos. El conjunto de los ratones no es un ratón. Pero hay conjuntos que sí son miem bros de sí mismos. El conjunto de todos los conjuntos de objetos que hay sobre el escritorio sí es un conjunto. Consideremos ahora el conjunto de todos los conjuntos 146


que no son miembros de sí mismos y preguntémonos: ¿es ese conjunto miembro de sí mismo o no lo es? Si no lo es, por la definición misma del conjunto relevante, entonces sí es miembro de sí mismo, y si es miembro de sí mismo, entonces obviamente no es miembro de sí mismo. Así, el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos es miembro de sí mismo si y sólo sí no es miembro de sí mismo. La verdad es que ni siquiera es claro cuál es el diagnóstico apropiado de la paradoja porque, como insinué más arriba: ¿es la noción ingenua de clase la que vicia la teoría o no surge el problema más bien porque la relación de pertenencia no fue sometida a las restricciones apropiadas? Independientemente de la respuesta por la que uno se incline, ¿qué puede pensarse de una disciplina cuyas nociones fundamentales permite la gestación de contradicciones como la enunciada? El primer gran esfuerzo por resolver el problema de las paradojas lo constituyó la teoría russelliana de los tipos lógicos,13 de acuerdo con muchos un monumental esfuerzo técnicamente en última instancia fallido, entre otras cosas debido a la forzosa introducción de axiomas de carácter no lógico, como el axioma de reducibilidad. Esto es discutible, pero no entraré aquí en esa temática. Independientemente de ello, lo cierto es que la propuesta russelliana fijó en más de un sentido la pauta para la solución del problema, puesto que lo que dejó en claro fue que lo que había que hacerse era de alguna manera delimitar con precisión el alcance de las nociones relevantes. Esto fue precisamente lo que se logró cuando finalmente se pudo axiomatizar la teoría de conjuntos, labor realizada en primer término por Zermelo. Aquí, empero, se vuelven a plantear dificultades de comprensión. Al respecto, es menester hacer de inmediato una aclaración. Los matemáticos pueden quedar teóricamente satisfechos con sus soluciones "técnicas", esto es, con sus propuestas sim bólicas que les permiten continuar desarrollando sus temas y sistemas, pero ni mucho menos significa eso que las "soluciones" en cuestión ipso facto acarreen consigo claridad conceptual respecto a lo que se está haciendo. Debería quedar claro de una vez por todas que desarrollo técnico o simbólico no significa ni implica ni acarrea claridad o transparencia conceptual. Esto es algo que es factible ilustrar copiosamente. Si la solución para el problema de las paradojas fue la axiomatización, entonces nuestra pregunta ahora tiene que ser: ¿qué es axiomatizar una teoría? La respuesta es simple, pero veamos rápidamente lo que nos dicen algunos expertos. Fraenkel y 13

De hecho, Russell en Los Principios de las Matemáticas ofreció no una sino tres propuestas de resolución de las paradojas: la que finalmente él mismo favoreció y desarrolló a fondo en Principia Matemática (junto con A. N. Whithead), i. e., la teoría de los tipos lógicos, la teoría del zigzag y la teoría de la limitación de las clases. 147


Bar-Hillel, por ejemplo, afirman que "En general, se construye un sistema axiomático para axiomatizar (sic. ATB) una cierta disciplina científica previamente dada de una forma pre-científica, 'ingenua' o 'genética'. Se supone que los términos primitivos, no definidos del sistema denotan algunos de los conceptos tratados en esta disciplina, en tanto que los términos que denotan a los conceptos que quedan son introducidos en el sistema por definición. Se supone que los axiomas del sistema están en lugar de los hechos acerca de esos conceptos, en tanto que otros hechos están expresados por los teoremas, i.e., los enunciados que pueden derivarse de los axiomas sobre la base de la disciplina subyacente".14 Dejando de lado el detalle de que "se axiomatiza para axiomatizar", la idea en sí misma es bastante simple, por no decir pueril: se eligen ciertos términos que se introducen sin definir, que, por así decirlo, se comprenden "intuitivamente", los cuales son los términos primordiales de la teoría, y se eligen ciertas proposiciones que dan la impresión de ser fundamentales, mientras menos mejor; posteriormente se definen todos los demás términos de la teoría y se extraen todos los teoremas que sea posible extraer mediante reglas de inferencia cuya validez haya quedado previamente establecida. Así, pues, lo que se logró con la teoría de conjuntos, con algunas dificultades nunca resueltas de manera del todo satisfactoria, utilizando para ello la lógica, fue precisamente axiomatizarla. En este sentido, parecería que si hay algo en los fundamentos de la teoría de conjuntos es la lógica. En resumen: la teoría de conjuntos es un simbolismo formal, dotado de un vocabulario propio y de reglas particulares, que permite manejar con fluidez los sistemas matemáticos. Es, pues, como un lenguaje para las matemáticas, puesto que permite la formulación de sus teoremas, resultados, etc., de forma más transparente. En este sentido, probablemente tiene efectos no de resolución de problemas pero sí de aceleración para encontrar resultados satisfactorios. Puede, pues, afirmarse que, en este sentido al menos, el programa logicista triunfó. Lo que a menudo se hace es traducir oraciones matemáticas al lenguaje de la lógica enriquecida con la teoría de conjuntos y se asume que eso se puede hacer en cualquier ámbito de las matemáticas. Es en este sentido que puede afirmarse que la teoría de conjuntos y la lógica "fundamentan" las matemáticas. Ahora bien, si esto es cierto lo que parece seguirse es que es simplemente un error de nomenclatura hablar de "teoría" cuando nos referimos a la teoría de conjuntos. Debería hablarse más bien de "técnica conjuntista" o de "instrumental conjuntista". Pero nada de lo que se ha dicho permite inferir que la teoría de conjuntos versa sobre algo, que sea acerca de algo. Desde mi punto de vista, la mejor forma de presentar la idea es diciendo que la teoría de conjuntos ni versa ni no versa 14

Abraham A. Fraenkel y Yehoshua Bar-Hillel, op. cit., p. 27.

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sobre nada, más o menos en el mismo sentido en que lo mismo podría aseverarse de la gramática castellana. La filosofía de las matemáticas no tiene absolutamente nada que decir sobre resultados, preferencias axiomáticas, demostraciones, etc., pero sí respecto a lo que se afirma en relación con ellas. El material de trabajo para el filósofo de las matemáticas no son las matemáticas, sino lo que los matemáticos dicen acerca de su disciplina. Esto no es algo particularmente difícil de comprender. Lo que sucede es que es sobre la base de sus tecnicismos, en este caso de los de la teoría de conjuntos, que matemáticos y filósofos hacen inferencias fantásticas y extraen increíbles (y hasta podría decirse, ininteligibles) conclusiones metafísicas, hablan de visiones de mundos puramente inteligibles, de entidades que desbordan nuestra imaginación, y así sucesivamente. Nuestra perspectiva general es que todas esas pretensiones filosóficas (no teóricas) por parte de los matemáticos o de los matemáticos filósofos se fundan las más de las veces en profundas incomprensiones acerca de su propia labor y de su propio simbolismo. Veamos rápidamente algo en este sentido, recordando una vez más que no forma parte de nuestra labor hacer demostraciones o presentar nuevos resultados, sino contribuir a la comprensión genuina de lo que se hace, para lo cual (por lo menos en un primer acercamiento) consideraciones en un nivel básico son suficientes.

V) Comprensión e Inteligibilidad en Teoría de Conjuntos Consideremos en primer lugar la concepción más usual de los conjuntos, esto es, la así llamada 'concepción iterativa'. De acuerdo con ésta, un conjunto se compone de sus miembros y no es nada por encima de ellos.15 Esta caracterización suena plausi ble, pero de inmediato surge una dificultad: ¿cómo se le aplica al conjunto vacío? Aquí el problema es que si bien los teórico-conjuntistas pueden sin problemas designar mediante 'A' el conjunto vacío, hablar de él, hacer operaciones con dicho signo, manipularlo como si fuera una entidad especial, etc., de todos modos con ello no se responde a la inquietud conceptual planteada. ¿O acaso no se tiene derecho a preguntar: '¿cuáles son los elementos del conjunto vacío?' En todo caso necesitamos ls

De acuerdo con la concepción iterativa de los conjuntos, éstos se obtienen a partir de la aplicación reiterada de ciertos principios de formación, dando lugar a una jerarquía infinita en la que no hay un nivel último o final. El "universo" conjuntista en esta concepción es un universo abierto de entidades abstractas, esto es, los conjuntos, y es "abierto" en el sentido de que no queda nunca completado. 149


una aclaración de por qué, además de impertinente, es esta pregunta ilegítima. Los matemáticos, duchos en eludir por medio de tecnicismos dificultades como esta, se las arreglan para ofrecer una caracterización que formalmente les permite seguir adelante. El precio, sin embargo, es que aparte de las operaciones que permite efectuar no se tiene ni idea de qué es lo que se está haciendo. Entiéndase bien a lo que aspiramos: no estamos tratando de desechar o de deshacernos de la idea de conjunto vacío. Eso sería simplemente demencia!. Es obvio que el conjunto vacío es esencial en el simbolismo y permite expresar múltiples ideas. Sirve, por ejemplo, para definir el cero, el cual queda definido como el cardinal de todos los conjuntos equipotentes al vacío. Obviamente, empero, el mero manejo de 'A' no equivale a una aclaración, que es lo que nosotros demandamos. En todo caso, lo que no se debería pasar por alto es el hecho de que con lo que nos la estamos viendo aquí es básicamente con convenciones simbólicas. En relación con la idea de conjunto vacío, mi punto de vista es el siguiente: desde luego que dicha noción (designada por 'A') es una noción importante y legítima, pero su comprensión no es la que los partidarios de la teoría de conjuntos proponen. Lo que éstos proponen es simplemente una lectura del simbolismo que es filosóficamente primitiva. Para evitar la confusión filosófica lo que hay que hacer aquí es atender al funcionamiento del signo en su contexto natural, esto es, "teórico". Nuestra pregunta no es: ¿qué designa o nombra 'A'?, puesto que la nada no es algo que se pueda designar, sino ¿para qué sirve 'A'? O sea, lo que es preciso entender es que 'A' no fue introducido (por así decirlo) nominalmente, esto es, como el nombre de una entidad abstracta, sino más bien operacionalmente. Es, pues, como un signo que si nombra algo, lo que nombra es el resultado de una operación, puesto que es a ella que alude y es en conexión con ella como se le debe entender. No hay nada más por encima de eso. Por otra parte, es evidente que un signo así es requerido, puesto que es obvio que, una vez establecido el simbolismo, hay un sinfín de operaciones que no dan nada como resultado o que simplemente no se pueden realizar y es justamente para indicar eso que se habla de "conjunto vacío". Por ejemplo, si A = {1,2, 3} y B = {a, b, c}, la operación de intersección de A con B no da como resultado nada, puesto que A y B no tienen ningún elemento en común. En signos, (A n B) = A; o bien A puede servir para anular una intersección, como por ejemplo en (A n L) = A. Si no se tuviera un signo como 'A' no se podría expresar nada eso que estamos diciendo y muchas cosas más. No se trata, por lo tanto, de entrar en controversia con la "teoría" misma, como si lo que pretendiéramos hacer fuera rechazar algunos de sus "resultados". Lo que nos importa es despejar la neblina de la incomprensión filosófica, la cual afecta tanto a filósofos como a matemáticos, a lógicos y a teórico-conjuntistas. En este caso, el problema filosófico surge cuando A queda reificado por una lectura sustancialista, en este caso 150


paradójica en grado sumo, puesto que convierte al conjunto vacío en un algo, inevita blemente misterioso, con el cual sin embargo posteriormente se puede trabajar, tratar como una entidad, etc. De ahí que a menudo se nos enfrente con dilemas como el siguiente: o se acepta la existencia (en el sentido realista) del conjunto vacío o se rechaza una técnica que todos aceptan. Pero es obvio que se trata de un falso dilema, puesto que la interpretación usual es un absurdo total, inclusive si es inducida por el simbolismo y que se nos aparece como la más "natural". Las ideas de conjunto y de pertenencia en sí mismas no son particularmente misteriosas o problemáticas, pero se transforman en eso precisamente en manos de los matemáticos y los lógicos. Considérese la idea de conjunto: ¿qué hay de complejo, raro, misterioso o problemático con la idea de montón, de agrupación o de colección? Nada. El problema aparece, primero, porque la idea de montón es una idea empírica, la cual sin embargo es abruptamente trasladada al contexto de las ciencias formales, y, segundo, porque Cantor (seguido en esto por todos) transforma N 0 en un número, viz., el primer número transfínito. Así, dado que Xo es visto como un número y al mismo tiempo como la cardinalidad de la clase de los números naturales, súbitamente nos topamos con la idea de que los números son acumulaciones de con juntos y que los conjuntos son entidades! Resulta entonces prácticamente imposible eludir la idea de que el "universo conjuntista" es el resultado de una acumulación fantástica, sin fin, de entidades abstractas poblando a su manera el universo (y más allá!). Es de lo más natural entender 'e' no como un operador, sino como indicando que hay algo que de hecho le pertenece a otra cosa y, por consiguiente, es fácil ceder a la idea de que tanto elementos como conjuntos, de uno u otro modo, ya "están allí". Así se genera el cuadro tradicional del "universo conjuntista", esto es, una de las más dañinas mitologías filosóficas jamás ideada. Si por un momento nos olvidamos de que nos encontramos en un ámbito de importancia vital para el conocimiento, podríamos suponer que la teoría de conjuntos es un mero instrumento formal, un juego formal que, sin embargo, puede inesperadamente tener consecuencias desagradables, puesto que puede permitir que se gesten en su seno contradicciones. Así entendida la teoría, la axiomatización no es entonces un esfuerzo por enunciar "hechos" acerca de nada, sino un esfuerzo por normar o reglamentar el juego en cuestión de manera precisamente que no surjan contradicciones. Se trata de caracterizar nuestras nociones, los dominios, las extensiones, etc., de modo que pueda operarse con las nociones requeridas sin que esté presente siquiera la posibilidad lógica de una contradicción. A esto no hay absolutamente nada qué objetar. Parte del problema radica en que los matemáticos no han podido construir un juego perfecto. Esto no es muy difícil de mostrar. El proyecto mencionado de reglamentación es algo que, por ejemplo, A. Fraenkel llevó a cabo, sólo que su éxito no fue 151


completo o total. La razón es que Fraenkel se vio forzado a introducir "axiomas" que en la lectura tradicional se ven como teniendo "compromisos ontológicos". Eso es lo que pasa con, por ejemplo, su Axioma VI, i.e., el famoso Axioma de Elección. Éste no es una mera definición ni es una consecuencia de definiciones, sino que constituye una afirmación de naturaleza debatible. Los lógicos lo presentan como un "axioma", en el sentido de verdad indemostrable, pero (como veremos) una vez más es cuestionable que sea ese su verdadero status. Intentemos aclarar esto último. Lo que por medio del famoso Axioma de Elección se afirma es que si tenemos una colección infinita de conjuntos ajenos, esto es, que no tienen elementos en común, entonces podemos elegir o seleccionar un elemento de cada uno de dichos conjuntos y formar así un nuevo conjunto.16 Ahora bien ¿cuál es el status del axioma? La respuesta, por sorprendente que parezca, es que ello depende del contexto en que se aplique. Es evidente que si la colección de conjuntos que se considera es finita, entonces no hay ningún problema: en el momento en que hacemos la selección construimos el conjunto que requerimos. En ese caso, el Axioma de Elección es pura y llanamente redundante. Queda demostrado, por así decirlo, empíricamente y en el fondo no es más que una trivialidad. El problema, sin embargo, se plantea cuando, como tan a menudo en matemáticas, se quiere hablar de colecciones o conjuntos o clases infinitas. Lo que se nos dice es que no podemos demostrar que el axioma es verdadero por la simple razón de no se puede literalmente construir el nuevo conjunto que nos interesa ya que es lógicamente imposible que terminemos de recorrer la colección infinita de conjuntos ajenos a partir de los cuales tendríamos que hacer nuestra selección de elementos para el nuevo conjunto. La "solución" de los matemáticos consiste entonces en decir que lo más que se puede hacer es asumir, Le., "presuponer" que lo que el axioma asevera es factible o realizable. Como ya se demostró que el axioma es indispensable para ciertas demostraciones y es también independiente del resto de los axiomas de la teoría de conjuntos (y, por lo tanto, no lleva a contradicciones), entonces cómodamente se le asume como "verdadero". Así entendido, el axioma de elección es una verdad sintética apriori, una de esas verdades que sólo Dios puede establecer, etc., etc. Pero ¿es realmente ello así? A mí me parece que el axioma tiene otra lectura. No es una verdad, sino una simple regla para los sistemas numéricos. Es en este sentido semejante a la aseveración de que no puede haber ("existir") un número que sea el más grande de todos. Pero además hay otro problema: se nos dice que el axioma es indemostrable porque no podemos asegurar que efectivamente "existe" o "hay" la función de selección 16

O, lo que es equivalente, que si cada uno de los conjuntos en cuestión no es vacío, entonces su producto cartesiano tampoco lo es. 152


cuando el número de conjuntos involucrados es infinito. Pero si es el carácter infinito lo que es problemático: ¿por qué entonces se acepta sin cuestionar en el planteamiento mismo del problema que tenemos un conjunto infinito de conjuntos ajenos? ¿Por qué es la función infinita problemática, pero no el conjunto infinito sobre el que supuestamente se ejercería? Nótese que no estamos cuestionando la utilidad del axioma para el desarrollo de la teoría (y de las matemáticas en general), sino su interpretación. En general, dicho sea de paso, quienes aceptan el Axioma de Elección (Fraenkel, por ejemplo) no dicen sobre él nada nuevo ni avanzan un ápice frente a lo argumentado, hace 90 años, por Bertrand Russell. Desde luego que las discusiones referentes a la existencia de las clases, la aritmética transfinita, los conjuntos inaccesibles y demás temas propios de la "teoría" se pueden complicar tanto como uno quiera. Entran enjuego para ello múltiples cuestiones, tanto lógicas como filosóficas, que sería ridículo pretender considerar en un trabajo meramente aproximativo y programático como este. En verdad, lo único que hemos intentado hacer ha sido llamar la atención sobre la posibilidad de "leer" la teoría de conjuntos de un modo diferente al usual, motivados para ello por el obvio fracaso explicativo de las concepciones filosóficas en circulación. Naturalmente, la realización de nuestro "programa" exigiría que se reinterpretara el todo de la "teoría" en concordancia con sus lincamientos, lo cual es algo que obviamente rebasa el marco de nuestras posibilidades en este ensayo. Por ello, y para terminar, intentaré presentar, de manera global y a grandes brochazos, un cuadro diferente, admitiendo de entrada que hace falta muchísima argumentación para acabarlo y para dejarlo sólidamente asentado.

VI) Una Visión Alternativa Pienso que lo primero que se tiene que hacer es detectar el error básico en la concepción usual de la teoría de conjuntos para poder diagnosticar el mal y posteriormente intentar remediarlo. Lo que a mi modo de ver está en la raíz de la visión distorsionada de la teoría de conjuntos que a menudo se nos invita a compartir es simplemente lo que podríamos llamar 'primitivismo filosófico'. Wittgenstein describió atinadamente el fenómeno en unas cuantas palabras como sigue: "Cuando hacemos filosofía somos como salvajes, como gente primitiva que oye las expresiones de los hombres civilizados, las mal interpretan y luego extraen las más extrañas conclusiones a partir de ellas".17 Lo 17

L. Wittgenstein, Philosophical Investigations, sec. 194. 153


que él dice, obviamente, se aplica por igual a la filosofía de las matemáticas. El primitivismo filosófico al que alude consiste básicamente en interpretar los significados de los signos, en el ámbito lingüístico que sea, desde la perspectiva de la gramática superficial, esto es, en función de las categorías gramaticales comunes, y no desde el punto de vista de su aplicación. Y lo que se tiene que entender es que la descripción del uso de un signo y la descripción de su significatividad desde el punto de vista de la gramática superficial las más de las veces son simplemente incompati bles y llevan a resultados completamente diferentes. El problema, claro está, es que como la gramática se nos impone de inmediato, en este, como en prácticamente todos los casos, el intento por liberarse de los engañosos mitos de la filosofía nos fuerza a ir en contra de la corriente. Una pregunta clave, por consiguiente, es: ¿para qué sirve la teoría de conjuntos, esto es, qué problemas se superan o se resuelven por medio de ella? ¿Qué se obtiene gracias a ella? La respuesta es variada, lo cual deja ver su riqueza hermenéutica. Para empezar, es claro que gracias a la teoría de conjuntos (más la lógica) se logra una efectiva aclaración conceptual de las matemáticas: se pueden definir todas las nociones y las operaciones matemáticas y presentar sus principios fundamentales. Esto, a no dudarlo, es un gran logro técnico. Como consecuencia de lo anterior, la teoría de conjuntos se constituye en una especie de código abstracto que resulta fácilmente utilizable a todo lo largo y ancho de las matemáticas: es un lenguaje para la geometría, el análisis, la aritmética, etc. Esto permite uniformizar el trabajo matemático, pues se dispone de un formalismo más amplio que permite une. más fácil manipulación. Un formalismo así permite realizar "traducciones" de los lenguajes matemáticos y visualizar mejor el estado de la disciplina. Por otra parte, es claro que con un instrumental así el progreso en matemáticas se vuelve más fácil de visualizar, es decir, el trabajo matemático se simplifica. Así, por ejemplo, si una oración cualquiera O es indemostrable en teoría de conjuntos, entonces automáticamente sabemos que su traducción matemática, X, es indemostrable. Y a la inversa. Esto, sin embargo, no significa que si no se hubiera tenido O, entonces tampoco se habría podido demostrar X. No es que O fuera indispensable paraX, sino simplemente que la demostración de O a horra trabajo. Asimismo, y esto es muy importante, por medio de la teoría de conjuntos (junto con la lógica, desde luego) se pueden enunciar los principales principios y reglas ("axiomas") que de hecho rigen la expansión o el desarrollo de los sistemas numéricos. Desde este punto de vista, los principios de la teoría de conjuntos no son otra cosa que las reglas de uso (esto es, de gramática en profundidad) de los signos matemáticos; nos indican cómo se opera con ellos en un determinado contexto matemático, así como la clase de inferencias que está permitida o proscrita. Las discusiones acerca de los axiomas son discusiones acerca de lo que es 154


legítimo hacer y no hacer en matemáticas, no descripciones de nada. Cabría, pues, decir que hay un sentido en el que la teoría de conjuntos es simplemente la matemática (la gramática) de las matemáticas. Lo que nos da es, entre otras cosas y para decirlo a manera de slogan, la lógica del número. Lo anterior es importante porque hace ver que todas las discusiones de carácter ontológico en torno a las clases, el infinito, etc., son precisamente el resultado de incomprensiones de la lógica del número. La teoría de conjuntos no acarrea consigo ninguna "ontología", entre otras razones porque no es una teoría sino meramente el sistema de reglas que componen la compleja y sumamente abstracta gramática de las teorías numéricas. De hecho, en teoría de conjuntos no,aparece la noción de verdad; para ello requiere de la lógica. A final de cuentas, todo en teoría de conjuntos es asunto de definiciones y de deducciones y, cuando ello no es posible, entonces se introducen axiomas que sirven para regular el formalismo sobre el que se está operando. Esto es algo que con toda claridad ponen de relieve, por ejemplo, las discusiones en torno al axioma de comprensión: lo que se hace es debatir acerca del modo como se va a considerar aceptable que una función proposicional determine o no un conjunto. Por razones de sobra conocidas, se llegó a la conclusión de que expresiones de la forma 'F(F)' no se admiten y punto. Pero debería quedar claro que dicho "resultado" no es otra cosa que el resultado de una decisión, una estipulación. Discutir sobre la potencial existencia o no existencia de una función o de un conjunto es discutir sobre la conveniencia de aceptarlos o rechazarlos en función de la congruencia con el cuerpo de resultados ya disponible y con las eventuales consecuencias de su aceptación (o de su rechazo). Pero todo esto es, en última instancia, una cuestión de estipulaciones, de reglas, de definiciones, de convenciones. Desde esta perspectiva, lo más grotesco que puede hacer el lógico-matemático-conjuntista-filósofo es verse a sí mismo como un osado explorador cósmico hablándonos de realidades nunca antes soñadas por nadie. Es justamente contra esta clase de delirios que va dirigida la línea de argumentación que aquí hemos meramente esbozado. En resumen: la teoría de conjuntos no es una teoría matemática más, ni siquiera una rama de las matemáticas, puesto que no trabaja con números. Más bien, versa sobre números. La teoría en cuestión trabaja con conjuntos y pertenencia a conjuntos y estas nociones en sí mismas no son numéricas, sino que sirven para interpretar las "entidades matemáticas". De hecho, no parece ser del todo coherente sostener que la teoría de conjuntos es al mismo tiempo dos cosas, una rama de las matemáticas y los fundamentos de las matemáticas. Nosotros nos inclinamos por lo segundo, dándole a ello desde luego una interpretación acorde a la posición global que hemos venido delineando. Lo que por medio de la teoría de conjuntos se logra es simplemente poner orden en el mundo de los números, sobreponiendo un único formalismo sobre toda la 155


gama de formalismos matemáticos. Muchos problemas de comprensión, sin embargo, surgen precisamente porque en general se entremezclan dichos simbolismos y se les trata como si fueran lógicamente uno solo. Parte de nuestra labor ha consistido en señalar que son discernibles o separables. Después de todo, siempre tendremos derecho a preguntar: a final de cuentas: ¿qué tiene de matemática la teoría de conjuntos, que tiene de matemático 'e' o qué tiene de numérico el infinito? A lo que preguntas así apuntan es a la idea de que la así llamada 'teoría de conjuntos' no es más que una interpretación de lenguajes numéricos y de estructuras algebraicas, pero justamente así como una interpretación de la física no implica que se nos esté con ello dando una nueva teoría física, una interpretación de las matemáticas no implica una nueva teoría matemática. Nuestra conclusión, por lo tanto, es la ratificación de la intuición con la que iniciamos este ensayo, a saber, que hablar de "teoría" cuando se habla de "con juntos" es de entrada nombrar y describir mal el caso. Sería mucho más fructífero y nos evitaríamos múltiples dolores de cabeza si entendiéramos que la mal llamada 'teoría de conjuntos' no es sino un simple pero potentísimo instrumental formal, sumamente maleable y que permite el tratamiento sistemático de otro instrumental formal, viz., el de las matemáticas. Naturalmente, quien se empeñe en seguir hablando de mundos extraños y de visiones fantasmagóricas en relación con lo que a final de cuentas no es sino un instrumental para un instrumental está, desde luego, en libertad de hacerlo.

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Convención y Necesidad Matemáticas

E

n una bien conocida reseña del libro Remarks on the Foundations of Mathematics, M. Dummett presenta a Wittgenstein como un "convencionalista de hueso colorado" ifull blooded conventionalisf). Desde que apareciera el artículo de Dummett en 1959,1 muchos comentaristas y estudiosos de la obra de Wittgenstein han, en diverso grado y con mayor o menor reserva, adoptado y adaptado a sus propios requerimientos la interpretación de Dummett. Me propongo aquí, primero, hacer ver que hay un sentido en el que Dummett tiene razón, pero otro en el que él (y quien lo siga) está equivocado; segundo, explicitar lo que yo creo que es realmente el pensamiento de Wittgenstein en torno a lo convencional y lo necesario en matemáticas; tercero, tratar de mostrar que la concepción wittgensteiniana es la correcta. Antes de entrar de lleno en la discusión del pensamiento postrer de Wittgenstein, creo que será muy útil reconstruir rápidamente lo que se nos dice en el Tractatus respecto a la naturaleza de las matemáticas. Esta labor previa me parece importante, porque el Tractatus contrasta de manera notoria en ciertos puntos clave con lo que Wittgenstein llegó a pensar después y la yuxtaposición de sus primeros con sus segundos pensamientos puede orientarnos y ser una guía, si no infalible sí confiable, en la exploración de su última filosofía. Permítaseme empezar con una anécdota. Se cuenta que durante la lectura de un trabajo sobre la naturaleza de las matemáticas, el matemático G. F. Hardy afirmó que no estaba de acuerdo con el punto de vista de Wittgenstein de que las matemáticas consisten en o se componen de tautologías. Asombrado, Wittgenstein se habría apuntado a sí mismo y habría preguntado: "¿Dije yo eso?", dando con ello a entender que 1

M. Dummett, "Wittgenstein's Philosophy of Mathematics" en Truth and Other Enigmas (London: Duckworth, 1978).

CONVENCIÓN Y NECESIDAD MATEMÁTICAS

él nunca había dado el fatal paso que Hardy le estaba atribuyendo.2 Este incidente es importante porque refleja una distorsión consuetudinaria y difícil de erradicar, a saber, la de atribuirle al Tractatus el logicismo de Russell (!), al cual habría supuestamente enriquecido con la idea de que las proposiciones de la lógica son tautologías. Que esto es una grave confusión lo mostrará, espero, la siguiente veloz recapitulación de "tesis". Para el Russell pre-wittgensteiniano (Principia Mathematica incluida), las matemáticas y la lógica son idénticas, pero la lógica incluye proposiciones sintéticas y afirmaciones de existencia, como por ejemplo los axiomas de infinitud y de reducibilidad. Muy en la tradición de Frege y por razones propias conectadas con la noción de proposición, Russell acepta que la lógica tiene en sentido estricto implicaciones ontológicas: él acepta no sólo que hay entidades lógicas, que pueden ser nombradas, sino también hechos lógicos, que pueden ser descritos. La posición de Wittgenstein no podría ser más opuesta a ésta. En primer lugar, de acuerdo con él la lógica y las matemáticas son no sólo diferentes, sino totalmente independientes. La lógica se compone de tautologías, en tanto que las matemáticas de ecuaciones. La teoría de conjuntos, tradicionalmente asimilada a la lógica, es irrelevante en matemáticas.3 No obstante, lógica y matemáticas tienen ciertos rasgos en común y ello aparece como una consecuencia de la teoría pictórica del sentido por la que Wittgenstein aboga en su libro. Por una parte, ni las tautologías ni las ecuaciones expresan pensamientos,4 es decir, no son "retratos" de nada, no describen nada en el espacio lógico. Pero, y esto es la contrapartida de lo anterior, si bien ni las tautologías ni las ecuaciones dicen nada acerca del mundo, sí muestran en cambio algo acerca de él. Lo que exhiben es su estructura.5 La lógica, no obstante, parece recibir una cierta prioridad frente a las matemáticas, puesto que éstas últimas no son a final de cuentas más que "un método lógico"6 y la estructura que ambas revelan es la estructura lógica del mundo. Ahora bien, la estructura del mundo está dada apriori. Todos los mundos posibles están contenidos virtualmente en o por las propiedades formales de la sustancia del mundo, es decir, de los objetos. Lo único que pueden hacer las tautologías es reflejar dicha estructura, mas no "construirla", en ningún sentido en lo absoluto. Lo que los 2

Extraído del artículo de W. Mays, "Recollections of Wittgenstein" en Luchvig Wittgenstein. The Man and his Philosophy. Edited by K.T. Fann (Sussex/New Jersey: Harvester Press & Humanities Press, 1978), p.82. 3 L. Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (London: Routledge and Kegan Paul, 1978), 6.031 (b). 4 Ibid., 4.462 y 6.21. 5 Ibid., 6.22. 6 Ibid., 6.2 (a). 158


cálculos lógicos (e.g., la lógica de Russell) hacen es poner de manifiesto simbólicamente las propiedades formales de las proposiciones. La Teoría Pictórica por su parte nos aclara que para que haya tautologías tiene que haber proposiciones y para que haya proposiciones tiene que ser válido "el principio de que los objetos tienen a signos como sus representantes".7 De ahí que las "pruebas" en lógica no sean más que "expedientes mecánicos"8 para hacer ver que algo es una tautología, esto es, para mostrar una propiedad formal de cierta(s) proposición(es) o bien que ciertas relaciones formales valen entre ellas (y esto se aplica a los hechos que representan). Esto, naturalmente, tiene la siguiente consecuencia: los pasos en las derivaciones lógicas y, por consiguiente, en las transformaciones de las identidades matemáticas, no están sujetas a la voluntad ni del genio ni de la comunidad, no son el resultado de ninguna convención, acuerdo o generalización. Si '/>' se sigue de 'q\ '/?' objetivamente se sigue de '
7

Ibid., 4. 0312 (a). Ibid., ó. 1262. 9 Ibid., 5. 2. 10 Ibid., 5.61. 1 Ibid., 4. 0312 (b). 8

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nos llevara a cp y no a, e.g., \|r? ¿Qué fue, si hubo en efecto algo, lo que nos forzó a concluir 9 antes que a inferir \|/? ¿Por qué decimos que q> es necesario? Wittgenstein aborda la cuestión en forma radical o extrema de tal modo que no permite ninguna evasiva: él asume que si algo es "necesario", entonces tiene que ser imposible para nosotros no actuar de conformidad con ello. Las verdades necesarias tienen que ser tales que, a la manera de una fuerza física, obliguen al individuo que calcula a concluir

L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics (Massachussets: The M.I.T. Press., 1975), I, sec.H3(a). 13 M. Dummett, op. cit., p. 170. 160


surge en relación con los lenguajes formales únicamente porque, en las condiciones descritas, ninguna duda equivalente podría surgir en relación con, e.g., animales (ob jetos materiales). El escepticismo en cuanto a los objetos físicos es un ejercicio de salón. Supóngase que A cree que X es un inofensivo can, que B cree que se trata de un furioso tigre, que A trate de acercársele y que B le ruega que no lo haga: los resultados probarán de manera inequívoca quién tenía razón y sacarán a ambos díalogantes de toda duda. Pero ¿cómo podría uno u otro quedar convencido en el caso de un conflicto matemático cuando ya no hay nadie más a quien apelar? Es evidente que una respuesta en términos de "aprehensión", de "visión", etc., no funciona aquí en lo más mínimo. No sólo cada uno de los matemáticos podría con igual derecho afirmar que es él quien goza de la aprehensión correcta, sino que una respuesta en términos de aprehensión sólo podría operar o ser efectiva si se nos proporcionara una explicación o una descripción de la conexión entre el sujeto o la mente y la realidad que supuestamente apresa con el entendimiento. Si esta explicación no se nos da, lo que se nos proporciona no es más que una vaga evasiva y, desde luego, no algo que pudiera verse como una solución. Por otra parte, una respuesta intuicionista o de corte kantiano tampoco representaría una salida o una solución. Ambos matemáticos podrían jurar que su construcción es la correcta, que la expresión de su síntesis es la adecuada, etc. Es claro, pues, que en casos de respuestas como éstas, se seguiría careciendo de fuerza en la argumentación y, por ello, seguiríamos sin resolver satisfactoriamente la cuestión. Parece evidente, asimismo, que para este problema en particular ni una respuesta empirista ni una formalista nos sacarían de apuros. No tendría mucho sentido hablar de generalizaciones, por ejemplo, y mucho menos aún de acuerdo o estipulación, puesto que una de las partes se negaría a acatar las decisiones del otro, y a la inversa. Y es claro también que si nos concentramos en la "dimensión" sintáctica del sistema de signos en cuestión, no se obtendrá ninguna respuesta satisfactoria al problema: cada matemático podrá decir que en su juego el resultado es el que él decide que es. Nótese, sin embargo, que lo que muy rápidamente hemos desechado son ni más ni menos que todas las grandes escuelas de filosofía de las matemáticas. Ahora bien, mi tesis es que el "aparato conceptual" de Wittgenstein le permite salir airoso allí donde todos los demás fracasan. Es claro que el problema aquí planteado no es en parte más que un caso particular de una dificultad más general que se plantea tanto dentro como fuera de las matemáticas. Me refiero al problema de determinar lo que es seguir una regla. En este trabajo voy a asumir como correcta, en términos generales, la reconstrucción que me parece la más acertada, Le., la de S. Kripke. Lo que éste muestra, de manera irrefragable en mi opinión, es que Wittgenstein hizo ver que ningún planteamiento convencional logra eludir los problemas que genera la paradoja de Wittgenstein: cualquier 161


línea de conducta puede justificarse en términos de una regla que es diferente que la que se suponía que estaba operando. "Independientemente de cuantas reglas me des yo doy una regla que justifica mi empleo de tus reglas".14 Puesto que no hay solución posible en los planteamientos tradicionales, es decir, éstos están internamente incapacitados para suministrar una respuesta cuya fuerza sea tal que no sea posible rechazarla (ya se trate de un argumento trascendental, de una demostración apriori, etc.), la única opción viable es la que consiste en hacer ver que el problema mismo fue mal concebido, que no hay tal problema, que se está tratando de encontrar una respuesta a un problema fantasma, a una dificultad irreal. Así, pues, a lo que a través de su discusión Wittgenstein aspira es a desmantelar el problema, a ofrecer lo que Kripke correctamente reconstruye pero erróneamente califica de 'solución escéptica'. Veamos rápidamente lo que Wittgenstein sostiene. Varias son las nociones a las que Wittgenstein apela o inclusive acuña tanto para desmantelar las concepciones clásicas como para articular su punto de vista. Está, en primer lugar, la noción de comunidad. Esta noción es esencial, porque el "argumento del lenguaje privado" hace ver que nada que pudiera ser llamado 'lenguaje' podría ser elaborado por un individuo solo y eso se aplica por igual al lenguaje de las sensaciones que al lenguaje de las ecuaciones. La comunidad es, pues, condición necesaria (si bien no suficiente) para la existencia del lenguaje. En segundo lugar, nos encontramos con la noción de regla pero, asociada con dicha noción, hay dos cuestiones que es conveniente mantener separadas: 1) la cuestión del establecimiento de la regla y de su status a priori 2) la cuestión de lo que es seguir correctamente una regla Abordemos dichas cuestiones en ese orden. Una vez desechadas las concepciones filosóficas que hacen de las ecuaciones proposiciones, no queda otra posibilidad más que ver en ellas reglas de algún tipo. El carácter necesario y a priori de las reglas matemáticas no puede, por consiguiente, ser aclarado por mitos filosóficos, sino por la descripción de su ubicación dentro del sistema total de expresiones y de su función o utilidad. Las proposiciones genuinas son expresiones descriptivas {Le., sirven para describir el mundo, la experiencia, etc.), pero dichas descripciones no pueden construirse y aplicarse más que sobre la base de estructuras conceptuales fijas. Estas estructuras (que por razones evidentes no pueden ser "mentales") permiten, primero, establecer clasificaciones básicas (siendo 14

L. Wittgenstein, Remarks on íhe Foundations ofMathematics, Part I, sec. 113 (b).

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éstas en cierto sentido arbitrarias) y, segundo, conectar proposiciones de experiencia unas con otras. Recuérdese que tanto el uso de las proposiciones, en toda su diversidad, como el uso de las reglas, en toda su variedad, está coordinado por la comunidad como un todo. La relevancia y la corrección de las aplicaciones de expresiones (sean éstas de la clase que sean) son un fenómeno determinado por la sociedad lingüística como un todo. Pero, obviamente, esto no uniformiza los usos. La gramática superficial sí uniformiza la sintaxis (sujeto, predicado, complemento, etc.), pero deja intacta la arquitectura semántica, la cual queda estructurada por la utilidad y el papel de hecho desempeñados por las oraciones. Y obviamente, los roles que éstas pueden desempeñar pueden ser de lo más variado. Nadie niega el carácter necesario de las matemáticas y Wittgenstein menos que nadie. Su posición es que aclararnos nuestra aplicación de "necesario" (y nociones relacionadas) puede lograrse sólo haciéndosenos ver, mediante una descripción detallada, qué papel desempeñan en nuestras vidas las "proposiciones necesarias", en este caso las ecuaciones matemáticas. Ahora bien, en relación con estas últimas hay dos grandes grupos: i) los axiomas ii) cualquier identidad considerada aisladamente (e.g., '2 + 2 = 4')

Veamos caso por caso. En el primero, lo "necesario" de una fórmula (p depende exclusivamente de su posición dentro del "juego", cp es un punto de partida y podría ser, e.g., tanto 'Por un punto P exterior a una línea recta R se puede trazar sólo una paralela a /?' como 'Por un punto P exterior a una recta R se pueden trazar una infinidad de paralelas ai?'. Luego hablar de la necesidad de los axiomas en una teoría matemática acabada es sencillamente aludir a la posición de ciertas "proposiciones" dentro del sistema. Con ello, lo primero que se descarta es la idea de que los axiomas son "auto-evidentes". Cualquier axioma es tan bueno como cualquier otro para la construcción de una teoría matemática. La peculiaridad de los axiomas es que definen sistemas distintos. Esto es importante por varias razones. Wittgenstein, por ejem plo, sostenía que "La geometría del espacio visual es la sintaxis de las proposiciones que versan sobre los objetos en el espacio visual",15 usando 'sintaxis' en un sentido similar a su posterior uso de 'gramática'. Es decir, la "gramática" del lenguaje de los 15

L. Wittgenstein, Observaciones Filosóficas. Traducción al español, de Alejandro Tomasini Bassols (México: Instituto de Investigaciones Filosóficas, 1997), sec. 178. Véase el artículo "Geometría y Experiencia" incluido en este libro. 163


cuerpos físicos está dada por la geometría, pero esto no impide que a su vez la geometría tenga su propia gramática, la cual está dada en parte por sus axiomas. Ahora bien - y este es el punto importante - la gramática en este sentido no tiene justificación o validación en la experiencia, es decir, fuera de sí misma. Este es el núcleo de la doctrina wittgensteiniana de la autonomía de la gramática, una temática que no es factible abordar aquí.16 Por el momento nos bastará con concluir en relación con nuestro tema que, desde el punto de vista de la matemática pura, nada misterioso parece surgir con el carácter "necesario" de los axiomas. Consideremos ahora cualquier ecuación, e.g., '2 + 2 = 4'. También es ésta una "proposición necesaria", por más que dentro del sistema de las proposiciones necesarias sea dependiente de otras. Pero ¿por qué es ésta "proposición" necesaria? La respuesta de Wittgenstein es compleja y queda formulada de hecho en términos de sus reflexiones en las áreas de teoría del conocimiento, filosofía de la mente y filosofía del lenguaje. La idea central ya la conocemos y es que expresiones como esa no son estrictamente hablando proposiciones, sino que son más bien el instrumental lingüístico que permite cierta conceptualización o categorización de la experiencia y de la realidad. Son, en terminología de Wittgenstein, "paradigmas" o "medidas" para la realidad. Las matemáticas son sistemas formales de reglas que desempeñan el papel de canales de experiencia y conocimiento y que fijan eo ipso los límites tanto de la experiencia como del mundo. Es debido a que la experiencia y el conocimiento requieren de una estructura conceptual fija que necesitamos una matemática y dicha estructura no puede a su vez estar constituida por proposiciones ni quedar justificada o invalidada por la "realidad". Lo que indiscutiblemente es curioso es que nuestra matemática sea, por así decirlo, numérica, pero eso es un hecho contingente. Es quizá por eso que Wittgenstein afirma que "Los números no son fundamentales en las matemáticas".17 Es importante comprender que esta idea de Wittgenstein de distinguir entre pro posiciones genuinas y expresiones que parecen serlo pero que en realidad no lo son, sino que son más bien reglas, procede no de un mito filosófico más sino de observaciones y reportes sobre lo que de hecho decimos acerca de ellas y hacemos con ellas. Calificamos a las proposiciones matemáticas de "eternas", pero esto no es más que una manera de indicar que no estamos dispuestos a modificar nuestro sistema de reglas y no tiene nada qué ver con una realidad a-temporal; decimos también que la 16

Véase el ensayo "Gramática en Profundidad" en mi libro Lenguaje y Anti-Metafisica. Cavilaciones Wittgensteinianas. 2a edición, corregida y aumentada (México: Plaza y Valdés, 2005). 17 L. Wittgenstein, Zettel (Oxford: Basil Blackwell, 1967), sec. 706. 164


negación de dichas proposiciones es una contradicción o algo absurdo y esto es un mecanismo retórico para enfatizar el hecho de que las hemos erigido en incorregi bles, pero no es una descripción del modo como hasta Dios tiene que razonar; afirmamos que son verdaderas en todo mundo posible, pero esto equivale a decir que no disponemos de otro modo de descripción y que ni siquiera concebimos uno diferente al que tenemos y del cual nos servimos; sostenemos que las proposiciones de las matemáticas son verdades a priori, pero ¿qué es esto sino decir precisamente que no son "proposiciones de experiencia", puesto que esta última no sirve ni para confirmarlas ni para refutarlas? No parece entonces haber mayores misterios ni respecto a los axiomas ni respecto a las ecuaciones. Pasemos ahora a considerar nuestra segunda cuestión, Le., la cuestión de lo que es seguir una regla. Dado que ésta ya ha sido ampliamente discutida en la literatura, no me detendré mayormente en ella, sino que me limitaré a destacar algunos de los resultados más importantes, así como a describir algunas de las vías por las que se encauza el pensar wittgensteiniano. Diversas líneas de pensamiento convergen, en la obra de Wittgenstein, hacia el mismo resultado, a saber, que lo "objetivo", emerge como una necesidad propia del lenguaje y sólo como una consecuencia de ello de la realidad extra-lingüística. Ningún simbolismo podría operar si no contuviera el contraste "subjetivo-objetivo": la referencia a lo uno presupone la referencia a lo otro, y a la inversa. Lo mismo pasa con "necesario" y "contingente". Ahora bien, imaginemos un sujeto no entrenado en el uso del lenguaje. La primera fase de su incorporación al lenguaje corresponderá a la ostensión, independientemente de que se interpreten sus definiciones ostensivas como definiciones de términos para objetos privados o como definiciones de palabras para objetos públicos. Lo que en todo caso es claro es que al supuesto lenguaje de ese hablante único le faltará algo esencial, a saber, reglas que rijan la aplicación de los símbolos. La razón de ello estriba en que si no hay quien corrobore la aplicación de signos, entonces el sujeto no estará en posición de distinguir entre lo que es seguir realmente una regla y creer que está siguiéndola. Esto tiene la importante consecuencia de que para dicho "usuario" no habría la posibilidad de distinguir entre "correcto" e "incorrecto". El Robinson Crusoe lingüístico, a quien tantas veces se ha invocado y utilizado, carece de criterios para determinar si está justificado o no en la aplicación de un término o de una expresión, es decir, si efectivamente aplica o no la regla que determina su uso. Más aún, no dispondrá de una noción legítima de justificación. Se podría, en última instancia, intentar erigir en criterio a la memoria del sujeto, pero es obvio que, como dice Wittgenstein, la memoria no es "la suprema corte". De hecho cometemos errores de memoria. Luego puede darse el caso de que nuestro Robinson crea recordar que un término fue aplicado de cierto modo en el 165


pasado e inferir que debe ahora volverse a aplicar porque, gracias a la memoria se percata de que la situación es la misma y, sin embargo, que esté en un error. Por lo que el Robinson Crusoe lingüístico no podrá distinguir entre recordar y creer recordar. Otra línea de argumentación de Wittgenstein en contra de la tendencia a la privatización del lenguaje encarna en el ejemplo del escarabajo. Varias personas tienen cada cual una caja con algo a lo que llaman su 'escarabajo'. Nadie nunca ha visto ni puede ver el supuesto "escarabajo" del otro. Sin embargo, todos usan la palabra y hablan de los "escarabajos" suyos y de otros. Dada esta situación, los escarabajos en cuestión pueden ser algo, ¡pero bien podrían no ser nada! Lo que está implicado es sencillamente que lo "interno" es irrelevante para la significatividad y la comunicación. Puede o no suceder lo que los filósofos dicen que sucede cuando se ve o se siente algo, sólo que el uso de 'ver' y de 'sentir' es independiente de ello. Se desprende de todo esto que ni lo "subjetivo" ("privado") ni lo "natural" independiente de toda conceptualización pueden determinar lo que es objetivo. El carácter objetivo de las reglas, independientemente de qué clase de reglas se trate, es decir, ya sea de reglas para la aplicación de palabras ya sea de reglas de inferencia, surge por características intrínsecas del simbolismo y tiene, por ende, un carácter social. Consideremos entonces el caso de las reglas de inferencia. Las reglas - que, como vimos, no son proposiciones de experiencia - no son descripciones de la realidad, no reflejan rasgos del universo, estructuras de la mente, etc. Más bien, encarnan lo que nosotros calificamos de 'inferencia válida' y reconocemos como tal, i.e., son la formulación de lo que de hecho nosotros hacemos. Nuestras formas de vida se erigen sobre esas reglas. Es por eso que, aunque reconozcamos la posibilidad lógica de otras formas de vida, de hecho no las comprendemos ni podríamos hacerlo. Barry Stroud ha expuesto la idea en forma concisa y clara: "El interés de los ejemplos de Wittgenstein de gente que no 'juega nuestro juego' es sólo el de mostrar que el que tengamos los conceptos y las prácticas que tenemos depende de ciertos hechos que podrían no haberse dado. Dichos ejemplos muestran tan sólo que 'la formación de conceptos diferentes de los usuales' no es ininteligible, pero no se sigue de ello que esos conceptos nos sean inteligibles."18 Lo objetivo en lo que a las reglas atañe surge de lo que es una básica concordancia entre humanos. Los participantes en los diversos juegos de lenguaje se entrenan unos a otros y, en conexión con prácticas tanto lingüísticas como extra-lingüísticas, determinan lo que es la objetividad de la aplicación de los signos y las reglas. Ahora bien, esto requiere que se nos explique en qué 18

B. Stroud, "Wittgenstein and Logical Necessity" en Essays on Wittgenstein. Edited by E.D. Klemke (Urbana/Chicago/London: University of Illinois Press, 1971), pp. 460-61. 166


consiste la concordancia a la que Wittgenstein apela y que constituye, en sus descripciones, la base de la objetividad. Es claro que la "concordancia" que Wittgenstein tiene en mente no es una mítica convención. Su noción de concordancia se comprende cuando se recuerda lo que nos dice que son la enseñanza ostensiva y sus efectos. Hay "concordancia" cuando los seres humanos son introducidos al lenguaje y, al reaccionar como los demás, aprenden a manipular signos en conjunción con determinadas prácticas, que son las prácticas de otros, esto es, de quienes los introdujeron al lenguaje. La enseñanza ostensiva de reglas tiene como efecto la formación de hábitos de razonamiento, i.e., modos particulares de operar con las proposiciones y de transitar de unas a otras. Lo curioso es que, en general, todos tendemos a hacer lo mismo, es decir, reaccionamos del mismo modo, concordamos en nuestras reacciones. Por ello no nos avanza gran cosa decir ex post facto que es la lógica lo que nos ordena pensar de tal o cual modo. En cambio sí es esclarecedor reconocer que es el modo como razonamos lo que llamamos 'lógica'. En este punto, el segundo Wittgenstein repite al primero. "Solía decirse que Dios podría crear todo excepto lo que fuera contrario a las leyes de la lógica. La verdad es que no podríamos ni siquiera decir cómo seria un mundo ilógico".19 O sea, ningún lenguaje ni ningún cálculo que nos funcione puede ser "ilógico". Y obsérvese que este diagnóstico no da cabida a ningún nuevo mito, así como tampoco pretende ser una "explicación" de nada. Es simplemente una constatación, una descripción de lo que sucede. Resumiendo: las matemáticas constituyen un marco conceptual dentro del cual o mediante el cual describimos nuestra experiencia. Una vez obtenido cierto resultado "lo archivamos" y constituye una nueva base para el permanente desarrollo de nuestro sistema de descripciones. Los métodos matemáticos son inculcados y son interiorizados para que hagamos inferencias en concordancia con ellos. Pero la sanción última respecto a si procedemos o no en armonía con ellos viene dada por razones extra-matemáticas. Ni las matemáticas ni la lógica tienen su justificación, su raison d'étre, en sí mismas. Naturalmente, hay que tomar en cuenta el visto bueno de la comunidad relevante, condicionada ya por un largo entrenamiento, pero es so bre todo el éxito en la práctica, tanto cotidiana como teórica, lo que va a decidir si un determinado resultado es aceptable y si un razonamiento dado es válido o no. En este sentido, Wittgenstein no es convencionalista. Su pensamiento parece ser el de que el uso de las reglas requiere del establecimiento de convenciones, a las que la vida en la sociedad nos obliga a ajustamos, pero el establecimiento de convenciones presupone "concordancia" en la técnica del lenguaje. Es a algunas de esas convenciones que los 19

L. Wittgenstein, Tractatus, 3.031. 167


filósofos llaman 'proposiciones necesarias'. Tenemos, pues, una doble respuesta de Wittgenstein acerca del carácter necesario de las matemáticas. En primer lugar, las matemáticas son necesarias en el sentido de que los elementos que las componen, le., sus reglas, son expresiones fijas que constituyen un esqueleto categorial para la experiencia y para la realidad y, en segundo lugar, las matemáticas son una estructura que modela y uniformiza nuestro modo de pensar y actuar. Si lo que Wittgenstein dice es correcto, entonces varias ideas "clásicas" se vienen abajo. Una de ellas, por ejemplo, es la de que los cálculos (en el sentido de sistemas de reglas) se dividen en los intrínsecamente buenos y los intrínsecamente defectuosos. Esta dicotomía presupone la idea de que el mero examen del cálculo (le., la mera consideración de los axiomas, teoremas, etc.) bastaría para darle el visto bueno o condenarlo. Pero esto es describir la situación real exactamente al revés. Cualquier cálculo qua cálculo está "perfectamente en orden". "Un cálculo es tan bueno como cualquier otro".20 Cualquier cálculo fija o constituye la gramática de un lenguaje posible en el cual se podrán decir verdades y falsedades, pero aplicar las nociones "verdad" y "falsedad" al cálculo, previamente a su aplicación, no parece tener mayor sentido, puesto que lo verdadero y lo falso se derivarán de algún modo de él o en conexión con él. Lo que no parece tener mayor sentido es pensar que a un cálculo dado se le puede juzgar desde otro cálculo. Es con la aplicación del cálculo que surgen la verdad y la falsedad. Claro que se puede objetar, como lo hace el interlocutor imaginario en las Philosophical Investigations, como sigue "¿De modo que lo que tú estás diciendo es que la concordancia humana decide qué es verdadero y qué es falso?". Pero allí mismo se nos da la respuesta a la objeción; "Lo que los seres humanos dicen es verdadero y falso; y ellos concuerdan en el lenguaje que usan. Eso no es concordancia en opiniones, sino en forma de vida".21 Sobre la base del cálculo aceptado por una comunidad lingüística dada se pueden erigir teorías empíricas, las cuales conformarán nuestra percepción de la realidad y afinarán nuestra comprensión de ella, pero será entonces pueril hablar del cálculo elegido como del cálculo que "realmente corresponde a la realidad", que es "objetivamente válido", etc., puesto que al hacerlo se estará recurriendo a las teorías que en él se fundan. Dichos juicios, por lo tanto, serán emitidos desde la posición construida gracias a la aplicación del cálculo en cuestión. Lo que en cambio sí clasifica a los cálculos en "buenos" y "malos" es, ante todo y en primer lugar, su aplicación o, quizá mejor, su aplicabilidad, su potencial utilidad. Y con este criterio de clasificación obtenemos la 20

Ludwig Wittgenstein Wittgenstein andthe andthe Vienna Vienna Circle. Conversations Conversations recorded recorded by by Friederich Friederich Waismann. Waismann. Edited by B.F. McGuinness M cGuinness (Oxford: (Oxford : Basil Blackwell, Blackw ell, 1979), 1979) , p.202. p.202 . 21 L. Wittgenstein, Phil. Inv., sec 241.

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respuesta al problema de los matemáticos planteado más arriba: la "solución" viene dada por razones externas al cálculo mismo. La conclusión correcta será aquella que tenga la utilidad esperada. Y eso ¿cómo se decide? Hay diversos modos de determinarlo. En unas ocasiones la mera consistencia/inconsistencia con otros sistemas de signos ya establecidos bastará para preferir una a otra, en otras la posibilidad o imposibilidad de aplicación podrá ser decisiva, la fecundidad puede ser otro criterio, etc. Dicho de otro modo, es la praxis matemática, tanto teórica como en la vida cotidiana, lo que va a hacernos valorar, preferir y, por lo tanto, "justificar" a unos cálculos o sistemas de reglas antes que a otros. Pero lo importante aquí es que ya hemos tocado fondo: no hay ya ningún estrato ontológico inferior, más básico, en virtud del cual los cálculos se justifiquen o descarten. El cálculo es un modo de conceptualización de la realidad y es claro que de un mundo des-conceptualizado no tiene el menor sentido hablar. Por lo tanto, la pareja de predicados que prima facie se aplica a los cálculos no es "verdadero-falso", sino "útil-inútil" ("estéril-fructífero"). Si se acepta esto, entonces se ve claramente que no tiene mayor sentido insistir en que el cálculo es una representación lingüística peculiar, viz., de un mundo de entidades abstractas, por ejemplo. Como dice Wittgenstein "El cálculo mismo existe sólo en el espacio y en el tiempo".22 Un cálculo es una propuesta determinada de categorización, elaborada con objetivos específicos en mente (Le., para resolver problemas concretos). De ahí que lo que realmente importe sea su aplicación y esto a su vez implica que, si algo lo hace o puede hacerlo, sea la "praxis" lo que "fundamente" a las matemáticas. Echemos rápidamente un vistazo a la cuestión de cómo encaja la noción de convención en este cuadro de las matemáticas. Aquí el gran error por evitar es el de identificar la seminal noción wittgensteiniana de "concordancia" con la vaga y usual de "convención". Es sobre la base de un acuerdo social, el cual descansa en hechos contingentes (e.g., tener las manos como las tenemos, concentrar en nuestras cabezas los órganos sensoriales, etc.) que podemos estipular cosas, fijar convenciones, y demás. Pero la convención, la definición, la estipulación, presuponen el juego de lenguaje, Le., el dominio de una técnica engendrada en conjunción con acciones. En relación con lo convencional, creo que podemos decir que es una convención el que nuestro numeral para el número dos sea '2' y no '#' y que es convencional el que exista en absoluto la función de adición y que la denotemos mediante '+'. Pero ya fijadas ciertas convenciones, los resultados del uso o aplicación de los símbolos no es convencional. No es convencional el que 1 +1 = 2. La diferencia con el convencionalista tradicional es que, de acuerdo con éste, el resultado mismo de sumar es también una 22

L. Wittgenstein, Obseraciones Filosóficas., sec. 109. 169


convención. Aquí Wittgenstein se separa del convencionalista y a partir de este momento la descripción de Dummett deja de ser correcta. Por otra parte, vale la pena notar que el rechazo del convencionalismo no hace caer a Wittgenstein en el platonismo. Su anti-realismo se lo impide. Pero no por ello está incapacitado para dar cuenta de la objetividad y de la necesidad de las matemáticas. Lo objetivo aparece con la aplicación coordinada del simbolismo y ello se debe a su carácter social. Lo objetivo no es lo "natural en estado puro", puesto que a eso nosotros, los usuarios del lenguaje, no tenemos acceso (no sabemos cómo sea el mundo a o desconceptualizado). Es de este modo como Wittgenstein conserva el carácter necesario de las matemáticas, pues no hacerlo sería absurdo, sólo que hace surgir dicho carácter de la naturaleza social del simbolismo, y no de su supuesto carácter mental u ultra-físico. En otras palabras, lo que él hace es revelarnos que la fuente de la necesidad es otra que la sugerida por las escuelas. En general, se ha intentado dar cuenta del carácter necesario de las proposiciones de las matemáticas desde, por ejemplo, la perspectiva de un supuesto mundo abstracto y de lo que se considera que son sus rasgos esenciales. Serían entonces en virtud de que los objetos matemáticos son objetivamente como son que ciertos enunciados son verdaderos y que lo son necesariamente. También se ha argumentado desde la perspectiva de las características de la mente y de lo que se piensa que son sus modos inevitables de operar. Finalmente, se ha hablado de convenciones, de significados, etc. Pero tenemos poderosas razones para sostener que ninguna de esas supuestas explicaciones da realmente cuenta del lenguaje matemático, ni explica el desarrollo de las matemáticas ni nos aclara para qué sirven. Con Wittgenstein se abre una nueva perspectiva de elucidación y com prensión: la vía o perspectiva social. En su núcleo encontramos la idea de que es en función de los requerimientos prácticos que aquejan a los seres humanos que éstos elaboran sistemas de reglas, cuya validación última viene con su aplicación y utilidad, y que es sobre la base de las prácticas humanas que se gestan las convenciones lingüísticas. Pero no todo lo que se erige sobre convenciones es convencional y esto es precisamente lo que sucede con las matemáticas. Wittgenstein dijo alguna vez que "Las matemáticas se componen de cálculos".23 En relación con estos cálculos tenemos que aprender a detectar una cierta asimetría que los rige y que se ejerce con las nociones de temporalidad y de necesidad. Yo pienso que Wittgenstein efectivamente hace ver que la evolución de las matemáticas no está pre-determ pre-determinada inada.. El cálculo cálculo puede puede en todo todo moment momentoo desarr desarrolla ollarse rse en en la direcció direcciónn que 23

L. Wittgenstein, Philosophical Grammar (Berkeley/Los Angeles: University of California Press, 1974), p.468. 170


sea y nada en el cálculo mismo nos puede forzar a optar por una u otra proposición. Pero las matemáticas no pierden por ello su carácter objetivo: lo único que está implicado es que lo objetivo emerge no como la manifestación de un hecho natural o so brenatural. Nuestros resultados son productos de nuestros hábitos de razonamiento, derivados de nuestro peculiar modo de entrenarnos unos a otros (Le., quienes comparten una determinada forma de vida e introducen en ella a otros). Esto no quiere decir que no pueda haber conflictos entre hábitos de razonamiento y resultados de aplicaciones de reglas, e.g., en el caso de teorías científicas. Pero aunque hubiera resultados discordantes con nuestros hábitos (a pesar de que tratamos de sistematizarlos) y no obstante fueran aceptados, ello no tiene nada de particularmente misterioso: ni nuestros hábitos son inmutables ni los resultados arbitrarios, sino que estos últimos están integrados y avalados por teorías o sistemas de teorías, creadas para satisfacer requerimientos prácticos. De ahí que por lo que Wittgenstein abogue en el fondo sea por la primacía de la praxis. Por consiguiente, visto hacia el futuro no hay nada determinado, pero contem plado retrospectivamente todo en matemáticas resulta necesario. Si se acepta como real esta asimetría, entonces puede aceptarse que tenemos una dilucidación genuina de lo necesario en las matemáticas. Aquí es donde se siente la fuerza del antropologismo y de lo que podríamos quizá llamar el "praxismo" de Wittgenstein. Las matemáticas han sido aclamadas como eternas debido a que los cálculos que las constituyen se integran en un sistema útil, tanto práctica como teóricamente, y que justamente por esa razón no vamos a tolerar que se modifique. Dicho sistema es, de hecho, insustituible. No quiere decir eso que otra matemática no sería posible, como sería posible que el ajedrez tuviera reglas distintas. Recuérdese que "La aritmética", por ejemplo, "no habla acerca de números, sino que trabaja con números".24 Lo necesario de nuestras matemáticas reside en que en ellas los procesos son métodos de razonamiento y los resultados ecuaciones. Le., reglas. Luego las matemáticas tanto coadyuvan a la formación de conceptos como constituyen un sistema de conceptos que después inculcamos e inexorablemente aplicamos. Es por eso que Wittgenstein habla del "doble carácter de la proposición matemática como ley y como regla".25 Nuestras matemáticas, como es obvio, están profundamente arraigadas en nuestra cultura, constituyen en parte nuestras formas de vida y es por eso que nos resulta impensable no apegarnos a ellas y absurda cualquier propuesta alternativa. Pero sería conveniente que reconociéramos que al glorificarlas, como en general se hace, lo que en el fondo se está haciendo no es otra cosa que glorificarnos a nosotros mismos. 2J 25

L. Witlgenstein. Observaciones Filosóficas., sec. 109. L. Wittgenstein, Remarks on the Fo undations ofMathematics, Part II I, sec. 21. 171

Filosofía y Matemáticas: ensayos en torno a Wittgenstein se terminó de imprimir en diciembre de 2006. Tiraje: 500 ejemplares.

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