Capítulo II VIBRACIONES Mecánicas
Vibraciones Mecánicas
Física General II
2.1
Optaciano Vásquez García
INTRODUCCIÓN Las vibraciones mecánicas se refieren a la oscilación de un cuerpo o un sistema mecánico alrededor de su posición de equilibrio. Algunas vibraciones son deseables, como por ejemplo el movimiento pendular que controla el movimiento de un reloj, o la vibración de una cuerda de un instrumento musical. En cambio en muchas aplicaciones mecánicas no se desea la presencia de las vibraciones. Así por ejemplo la vibración excesiva de máquinas máquinas y estructuras puede ocasionar ocasionar que se aflojen las uniones uniones y las conexiones llegando en algunos casos a producir el colapso de la estructura. El estudio de las vibraciones es muy amplio de tal manera que existe un conjunto de publicaciones e investigaciones destinados al tema. Nuestra intención en este trabajo es presentar los principios básicos de las vibraciones que deben ser entendidos por los alumnos de ciencias e ingeniería y que sirven de base para el estudio de otros cursos de su especialidad. En este sentido solo estudiaremos las vibraciones con un solo grado de libertad, es decir aquel movimiento en el cual la posición se puede expresar con una sola coordenada por ejemplo x ejemplo x,, o y o y en en la figura 2.1a, o 2.1b y por θ en el movimiento pendular figura 2.1c. figura 2.1c.
(a)
(b) Figura 2.1. Vi braci br aciones ones mecáni cas con u na sól sól o grado grad o de li bertad.
(c)
Las dos componentes básicas en toda vibración son la masa y la fuerza recuperadora. Esta última que con frecuencia es proporcionada por un mecanismo elástico, tiende a regresar a la masa a su posición de equilibrio cuando ella es separada de dicha posición y liberada. En forma general las vibraciones se clasifican en vibraciones libres y vibraciones forzadas. Las forzadas. Las primeras son originadas y mantenidas por fuerzas elásticas o las gravitatorias y las segundas son producidas por fuerzas periódicas aplicadas ext eriormente. Las vibraciones libres y forzadas se dividen a su vez en amortiguadas y sin amortiguamiento. amortiguamiento. Cuando las fuerzas que se oponen a la fuerza recuperadora son despreciables se dice que la vibración es sin amortiguamiento. Cuando las fuerzas como el rozamiento del tipo viscoso no es despreciable se denominan vibración con amortiguamiento Es sabido que en todo sistema real está presente las fuerzas disipativas como el rozamiento que tiende a extinguir la vibración. Sin embargo, embargo, en muchos sistemas la pérdida de energía debido al rozamiento rozamiento es tan pequeña que a menudo pueden pueden ser despreciables resultando entonces una vibración vibración libre.
2.2
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE UNA PARTÍCULA. Consideremos una partícula partícula de masa sujeta a un resorte ideal de rigidez k tal como se muestra en la figura 2.2. Si el movimiento descrito por m es vertical, la vibración es de un solo grado de libertad. Cuando m está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son el peso, W = mg y y la fuerza elástica F e
k st . Si se
aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL, se tiene
F 0 x
mg k st 0
(2.1)
Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm menor que δ st desde la posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial la partícula se moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la posición de equilibrio generando de esta forma una vibración libre.
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2.1
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INTRODUCCIÓN Las vibraciones mecánicas se refieren a la oscilación de un cuerpo o un sistema mecánico alrededor de su posición de equilibrio. Algunas vibraciones son deseables, como por ejemplo el movimiento pendular que controla el movimiento de un reloj, o la vibración de una cuerda de un instrumento musical. En cambio en muchas aplicaciones mecánicas no se desea la presencia de las vibraciones. Así por ejemplo la vibración excesiva de máquinas máquinas y estructuras puede ocasionar ocasionar que se aflojen las uniones uniones y las conexiones llegando en algunos casos a producir el colapso de la estructura. El estudio de las vibraciones es muy amplio de tal manera que existe un conjunto de publicaciones e investigaciones destinados al tema. Nuestra intención en este trabajo es presentar los principios básicos de las vibraciones que deben ser entendidos por los alumnos de ciencias e ingeniería y que sirven de base para el estudio de otros cursos de su especialidad. En este sentido solo estudiaremos las vibraciones con un solo grado de libertad, es decir aquel movimiento en el cual la posición se puede expresar con una sola coordenada por ejemplo x ejemplo x,, o y o y en en la figura 2.1a, o 2.1b y por θ en el movimiento pendular figura 2.1c. figura 2.1c.
(a)
(b) Figura 2.1. Vi braci br aciones ones mecáni cas con u na sól sól o grado grad o de li bertad.
(c)
Las dos componentes básicas en toda vibración son la masa y la fuerza recuperadora. Esta última que con frecuencia es proporcionada por un mecanismo elástico, tiende a regresar a la masa a su posición de equilibrio cuando ella es separada de dicha posición y liberada. En forma general las vibraciones se clasifican en vibraciones libres y vibraciones forzadas. Las forzadas. Las primeras son originadas y mantenidas por fuerzas elásticas o las gravitatorias y las segundas son producidas por fuerzas periódicas aplicadas ext eriormente. Las vibraciones libres y forzadas se dividen a su vez en amortiguadas y sin amortiguamiento. amortiguamiento. Cuando las fuerzas que se oponen a la fuerza recuperadora son despreciables se dice que la vibración es sin amortiguamiento. Cuando las fuerzas como el rozamiento del tipo viscoso no es despreciable se denominan vibración con amortiguamiento Es sabido que en todo sistema real está presente las fuerzas disipativas como el rozamiento que tiende a extinguir la vibración. Sin embargo, embargo, en muchos sistemas la pérdida de energía debido al rozamiento rozamiento es tan pequeña que a menudo pueden pueden ser despreciables resultando entonces una vibración vibración libre.
2.2
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE UNA PARTÍCULA. Consideremos una partícula partícula de masa sujeta a un resorte ideal de rigidez k tal como se muestra en la figura 2.2. Si el movimiento descrito por m es vertical, la vibración es de un solo grado de libertad. Cuando m está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son el peso, W = mg y y la fuerza elástica F e
k st . Si se
aplica las ecuaciones de equilibrio al DCL, se tiene
F 0 x
mg k st 0
(2.1)
Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm menor que δ st desde la posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial la partícula se moverá hacia arriba y hacia abajo alrededor de la posición de equilibrio generando de esta forma una vibración libre.
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Para determinar las ecuaciones ecuaciones que gobiernan a la vibración consideremos a la partícula en en una posición arbitraria x arbitraria x medida medida a partir de la posición de equilibrio como s e muestra en la figura 2.2b,
Figura 2.2.
Di agrama de cuer cuer po li bre de m: (a) en equi equi li bri o está estático ti co y (b) en movimi ento.
Del diagrama de cuerpo libre y cinético se observa que la ecuación de movimiento de la masa es
F x max mg k st x mx
(2.2)
Al remplazar la ecuación (1) en (2), resulta
m x kx 0
(2.3)*
El movimiento definido por la ecuación (3)* se conoce como movimiento armónico simple y simple y se caracteriza por que la aceleración es proporcional y de sentido opuesto al al desplazamiento. También se puede escribir en la la forma
x n x 0
(2.4)
En donde ω n se denomina frecuencia natural circular o pulsación natural, y se expresa
n
k m
(2.5)
La solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes dada por la ecuación (2.4) es de la forma
x Ase Asen n nt B cos n t Donde A Donde A y y B B son son constantes que se determinan de las condiciones iníciales. A veces es más conveniente escribir la ecuación (2.6) en una forma alternativa dada por
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(2.6)
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x xm sen sen nt
(2.7)
La velocidad y la aceleración están dadas por
v x xm n cos nt
(2.8)
2 a x sen n t xm n sen
(2.9)
La gráfica de la posición x en x en función del tiempo t muestra muestra que la masa m oscila alrededor de su posición de equilibrio. La cantidad xm se le denomina amplitud de la vibración, y vibración, y el ángulo φ se denomina ángulo de fase. fase. Como se muestra en la figura 2. 3, τ es el período el período de la vibración, vibración , es decir el tiempo que tarda un ciclo.
m 2 2 k n
(2.10)
La frecuencia natural de vibración que representa el número de ciclos descritos por unidad de tiempo está dada por
f
Figura 2.3. 2.2.1
1 1 k 2 m
(2.11)
Gráf ica desplazamiento desplazamiento en fu nció nci ón del ti empo para u na oscil oscil ación li bre
Péndulo simple. Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida de un punto fijo por medio de una cuerda de longitud l y y de masa despreciable (figura 2.4). 2. 4). Si la partícula partícula se desplaza un ángulo θ 0 de su posición de equilibrio y luego se suelta, el péndulo oscilará simétricamente respecto a su posición de equilibrio.
Fígura 2.4.
Pé ndu lo simpl e: (a) I nstalación y (b) Di agrama de cuerpo l ibr e .
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Aplicando las ecuaciones de movimiento al DCL de la masa m resulta.
F ma t
t
mgsen ml
g l
sen 0
(2.12)
Para ángulos pequeños, sen , donde θ se expresa en radianes. Entonces la ecuación (12), se escribe en la forma
g 0 l
(2.13)
Por tanto, el péndulo describe un movimiento armónico simple de frecuencia circular dada por
n
g l
(2.14)
El período de la vibración pendular se expresa en la forma
2 2.2.2
l g
(2.15)
Péndulo compuesto. Un péndulo compuesto es un cuerpo de dimensiones finitas que oscila alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por un punto del cuerpo debido a la acción de la fuerza gravitacional (peso). El cuerpo rígido oscilará en un plano vertical cuando se le separe de su posición de equilibrio un ángulo θ 0 y se suelte. Para determinar las ecuaciones que gobiernan a este movimiento consideremos un cuerpo de forma arbitraria tal como se muestra en la figura 2. 5 en donde ZZ’ es un eje horizontal y C es su centro de masa situado a una distancia b del punto de oscilación O.
Figura 2.5.
Diagr ama esquemáti co de un pé ndu lo f ísico
Para una posición angular θ, respecto a la vertical las fuerzas que actúan sobre el sólido son su peso mg y la reacción en el punto de oscilación. Aplicando las ecuaciones de movimiento al diagrama se encuentra
M I O
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mgbsen I O
(2.16)
̈ es la aceleración angular, el Donde I O es el momento de inercia del cuerpo con respecto al punto O y signo menos se debe a que el peso produce un momento de restitución. Para ángulos pequeños,
sen , entonces la ecuación (16) se escribe
mgb 0 I O
(2.17)
La ecuación (2.17) es la ecuación diferencial de un MAS y la solución de la ecuación diferencial es de la forma
0 sen n t
(2.18)
Por tanto, el péndulo describe un movimiento armónico simple de frecuencia circular dada por
mgb I O
n
(2.19)
El período de la vibración pendular se expresa en la forma
2
I O mgb
(2.20)
Por otro lado el momento de inercia con respecto al punto de oscilación se puede expresar utilizando el teorema de los ejes paralelos en función del momento de inercia con respecto al centro de masa, esto es
I O I C mb2
(2.21)
Teniendo en cuanta la definición de radio de giro, K C
I O / m ,
la ecuación anterior se puede
escribir 2 I O mK C mb2
(2.22)
Al remplazar la ecuación (2.22) en la ecuación (2.20) se obtiene
2
2 mK C mb2
mgb
2
2 K C b2
gb
(2.23)*
Esta ecuación es muy importante porque nos permite determinar en el laboratorio la aceleración de la gravedad y el radio de giro del pé ndulo f ísico .
2.2.3
Péndulo de torsión. Este péndulo está constituido por un cuerpo rígido soportado por un eje en la forma indicada en la figura 2.6. Si el ángulo de torsión es pequeño y el sistema inicia su movimiento desde el reposo, los
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esfuerzos desarrollados en el eje producen y mantienen un movimiento angular armónico simple. Suponga que el movimiento vibratorio del cuerpo B se iniciara induciendo en el péndulo el ángulo de torsión θ, pequeño y liberándolo a continuación.
Figura 2.6.
Representación de un pé ndul o de torsión
En la mecánica de materiales se demuestra que si no se excede el límite de proporcionalidad del material de un eje macizo circular, el momento de torsión que se aplica al eje es proporcional al ángulo de torsión y se determina mediante la ecuación.
r 2 G M k L 2 L I P G
(2.24)
Donde IP = πr 4/2, es el momento polar de inercia del área de la sección transversal del eje macizo, G es el módulo de rigidez del material, L es la longitud del eje y θ es ángulo de tor sión. La ecuación que describe el movimiento de éste péndulo es
M z I z M I Z Al remplazar el valor del momento de torsión en esta ecuación, resulta
k I Z k 0 I Z
(2.25)
La ecuación (2.25) indica que el movimiento es angular y armónico con una frecuencia circular natural dada por
k n I Z
r 4 G 2 LI Z
(2.26)
El período de la vibración pendular se expresa en la forma
2
69
2 LI Z r 4 G
(2.27)
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Una charola charola A está unida a tres resortes como se Ej emplo mpl o 2.1. 2.1. muestra en la figura. El período de vibración de la charola vacía es de 0,75 s. Después de que el resorte central C se ha suprimido se observa que el período es de 0,9 s. Si se sabe que la constante constante del resorte central es 100 N/m. Determine la masa m de la charla.
Solución En la figura (a) se muestra el DCL de la charola en posición de equilibrio y en (b) el DCL de la charola A para una posición fuera del equilibrio.
(a)
(b)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio a (a), se tiene
F
y
0 mg kB kC k D s 0
(1)
Aplicando las ecuaciones de movimiento a (b) resulta
F y may mg kB kC kD ( s y) my
(2)
Remplazando la ecuación (1) en la ecuación (2), obtenemos
my k B kC kD y 0
(3)
La ecuación (c) es la ecuación diferencial de un M.A.S con frecuencia circular
k B kC k D m
(4)
El período de vibración será
T
1 m 2 k B kC k D
(5)
Remplazando el valor de k C C se se tiene
T 1
1
m 2 k B 100 N / m kD
70
(6)
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Cuando no existe el resorte C, el período es
T 2
1 m 2 k B k D
(7)
Dividiendo las ecuaciones (5) y (6) resulta
T2 T1
k B 100 N / m kD k B k D
0,9 0, 9 0,75
k B kD 100 N / m
k B kD
k B k D 27 N / m 227, 27
Remplazando esta última expresión en la ecuación
0,9
1 m 2 227, 27
m 4,66 kg
Rta
Una barra de 0,8 m de longitud y 60 N de peso Ej emplo 2.1. 2.1. se mantiene en posición vertical mediante dos muelles idénticos cada uno de los cuales tiene una constante k igual a 50 000 N/m. ¿Qué fuerza vertical P hará que la frecuencia natural de la barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo para pequeñas oscilaciones.
Solución En la figura (a) se muestra el DCL de la barra en posición de equilibrio equilibrio y en (b) el DCL de la barra para una posición (θ) fuera del equilibrio.
(a)
(b)
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Aplicando la segunda condición de equilibrio se tiene
M
A
0 k2 2 0, 2 k 1 1 0, 8 0
(1)
Aplicando la segunda ley de newton para el movimiento de rotación de la varilla
M
A
I A
k2 2 x2 0, 2 cos k1 1 x1 0, 8 cos W 0, 4sen P 0, 8sen I A cos
Para ángulos pequeños
1 y sen
(2)
, entonces la ecuación (2) se escribe
k2 2 x2 0, 2 k1 1 x1 0, 8 W 0, 4 P 0, 8 I A
Remplazando la ecuación (1) en (2), resulta
k2 x2 0, 2 k1 x1 0, 8 W 0, 4 P 0, 8 I A k2 0, 2 0, 2 k1 0, 8 0, 8 W 0, 4 P 0, 8 I A Teniendo en cuenta que
k1
k2 k y IA
1 2 ml , resulta 2
k 0, 04 k 0, 64 W 0, 4 P 0, 8 1 3
ml 2
1 3
ml 2
0, 68k 0, 4W 0, 8 P 0
Remplazando valores se tiene
1 60 2 0, 68 5000 0, 4 60 0, 8 P 0 0 , 8 3 9,8 1, 306 3376 0, 8 P 0 La frecuencia circular será
n
3376 P 1,306
Para que la frecuencia sea cero se tiene
P 3376 N
Rta.
72
(3)
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Un cilindro uniforme de 7 kg puede rodar sin Ej emplo mpl o 2.3. 2.3. deslizarse por un plano inclinado y está sujeto por un muelle como se muestra. Si su centro se mueve 10 mm plano abajo y se suelta, hallar: (a) el período de la oscilación y (b) la velocidad máxima del centro del cilindro.
Solución En la figura (a) se muestra el DCL del cilindro en la po sición (x G) fuera del equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la figura para una posición de equilibrio estático se tiene
F ma
m(o) 0 mgsen14 Froz Fe,0 0 (1) x
M
G, x
IG I G (0) 0 Froz r 0 F roz 0
G
Sumando las ecuaciones (1) y (2), resulta
mgsen14 Fe,0 0 mgsen14 k s 0
(3)
La ecuación de movimiento de traslación en la dirección x, nos da
F
x
maG , x
mgsen14 Froz Fe mx mxG mgsen15 Froz k s xG mxG (4) La ecuación de movimiento de rotación nos da
M I F r I r I 12 mr G
roz
Froz
Froz
G
G
2
G
1 2
mr
73
(5)
(2)
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Sumando las ecuaciones (3) y (5), resulta
mgsen14 k s
xG mxG
1 mr (6) 2
Remplazando (3) en (6), se tiene
mxG
1 2
mr kxG
0
(7)
La relación entre la aceleración lineal y angular se obtiene tomando como centro instantáneo el punto CI de la figura.
x G r xG r xG r
xG
(8)
r
Remplazando (8) en (7) y simplificando resulta
3 2
mxG kxG 0
3
7 xG 790 xG 0 2 xG 75.24xG 0
El periodo se determina a partir de la frecuencia circular n
2 2 T n T
T 0,72 s
2 75.24
Rta
Para determinar la velocidad máxima se aplica las condiciones iníciales.
x G Asen nt 50.103 Asen 8, 67(0) 50.103 Asen xG A cos nt 0 8, 67 A cos 8,67 0 0 8,67 cos
2
y A= 50 mm
La velocidad para cualquier posición es
v xG 0, 43sen 8, 67t / 2 La velocidad máxima será
vmax
2.3
0,43 m/s
Rta
VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS. En análisis vibratorio considerado hasta ahora no ha incluido el efecto de la fricción o el amortiguamiento del sistema y como resultado de ello, las soluciones obtenidas son solo una aproximación cercana al movimiento real. Debido a que todas las vibraciones se disipan con el tiempo, la presencia de fuerzas amortiguadoras debe incluirse en el análisis. Se dice que un sistema tiene amortiguamiento cuando posee elementos que disipan energía. Existen varios tipos de amortiguamiento: amortiguamiento viscoso, lo experimentan los cuerpos que se mueven con una velocidad
74
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moderada en el interior de fluidos; amortiguamiento de Coulomb, producido por el movimiento relativo de superficies secas; y el amortiguamiento estructural , es producido por la fricción interna del material elástico. En esta sección nos dedicaremos únicamente al estudio del amortiguamiento viscoso.
2.3.1
Amortiguador viscoso lineal. Este tipo de amortiguamiento se presenta en forma natural cuando sistemas mecánicos oscilan en el interior de un medio fluido. También aparece en sistemas mecánicos utilizados para regular la vibración. Una forma de representarlo es la mostrada en la figura 2.7. Este tipo de amortiguador está formado por un pistón el cual se mueve en el interior de un cilindro el cual contiene un fluido viscoso como el aceite. Al moverse el émbolo se opone el fluido el cual debe atravesar pequeños orificios practicados en el émbolo.
Figura 2.7.
Representaci ón de un amorti guador
Para nuestro estudio vamos a utilizar los amortiguadores lineales, en este caso la fuerza de fricción debido al amortiguamiento es directamente proporcional a la velocidad lineal siendo la constante de proporcionalidad el llamado coefici ente de amortiguamiento (c) . Esta fuerza se expresa
F V 2.3.2
c x
(2.28)
Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso. Para determinar las ecuaciones que gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador como el mostrado en la figura 2.8.
Figura 2.8.
Di agrama de cuerpo li bre de una par tícula de masa m con amor tiguami ento
Aplicando la segunda ley de Newton al bloque se tiene
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F
X
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mx
mg k st x c x mx Recordando que en el caso de equilibrio estático,
(2.29)
mg k st , la ecuación anterior se escribe
m x c x k 0
(2.30)*
La ecuación (2.30)* es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. La teoría de las ecuaciones diferenciales nos dice que la solución es de la for ma
x Ae t
(2.31)
Remplazando la ecuación (2.31) conjuntamente con sus derivadas en la ecuación (2.30) se obtiene la ecuación característica expresada por
m 2 c k 0
(2.32)
cuyas raíces son
1, 2
c c 2 4mk 2m
(2.33)
La solución general de la ecuación se escribe
x Be 1t Ce 2t
(2.34)
Las constantes B y C se determinan a partir de las condiciones iníciales , mientras que λ 1 y λ 2 se determinan de la ecuación característica. Debe observarse además que el comportamiento del sistema depende de la cantidad subradical, ésta puede ser positiva, nula o negativa.
Coefi ciente de amor ti guamiento críti co ccr . Es el valor del coeficiente de amortiguamiento para el cual se hace cero la cantidad subradical de la ecuación (2.33), en consecuencia
ccr 2m
k 2m n m
(2.35)
El coeficiente de amortiguamiento crítico representa la cantidad mínima de amortiguamiento requerida para que el movimiento no sea vibratorio. La solución de la ecuación diferencial (2.30) tiene tres formas.
A.
Movimiento sobre amortiguado. En este caso c > c cr , entonces las dos raíces de la ecuación característica son reales y diferentes. Por tanto la solución puede escribirse
x Ae 1t Be 2t B.
(2.36)
Movimiento críticamente amortiguado. Aquí c = ccr , en este caso las dos raíces son iguales. La solución general será
x A Bt e
76
nt
(2.37)
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C)
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Movimiento subamortiguado. Las raíces de la ecuación (33) son complejas y conjugadas. 2
1, 2
c k c i i d 2m m 2m
(2.38)
Donde α =c/2m y ω d es la frecuencia circular amortiguada dada por 2
d
k c m 2m
(2.39)
El período de la vibración amortiguada será
d
2
d
2
c m 2m k
(2.40)
2
Remplazando la ecuación (2.38) en (2.31) resulta
x x0 e t Sen d t
(2.41)
El movimiento de la ecuación (2.41) se dice que es periódico en el tiempo de amplitud decreciente tal como se muestra en la figura 2. 9. En donde se observa que el “ período” es el tiempo entre dos valles o picos
Figura 2.9.
Representación de la posición en función del tiempo para un movimiento subamortiguado
Decremento logarítmi co. Es una cantidad que nos permite medir la velocidad de decaimiento de una oscilación, se expresa como el logaritmo de la razón entre cualquier par de amplitudes sucesivas positivas (o negativas). Esto es
x1 x0 e t 1 y la amplitud siguiente es
77
(2.42)
Física General II
Vibraciones Mecánicas x2 x0 e
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(t 1 d )
(2.43)
la razón entre las dos amplitudes es
x1 x2
x0 e t 1 x0 e t 1 d
e d
(2.44)
Por lo tanto el decremento logarítmico será
ln
x1 x1
d
ln e d c d
2m
(2.45)
Razón de amorti guami ento. También conocido como factor de amortiguamiento, es una cantidad definida como la razón entre el coeficiente de amortiguamiento ( c) y el coeficiente de amortiguamiento cítrico (ccr ), esto es
c c cc ccr 2 mk 2m n
(2.46)*
En función de esta cantidad se pueden obtener las siguientes relaciones
1, 2 n i n 2 1
(2.47)
En función de la razón de amortiguamiento se puede decir que un movimiento es sobre amortiguado si (ξ > 1), es críticamente amortiguado si (ξ =0) y s ubamortiguado sí (ξ < 1). Para el caso de un movimiento subamortiguado, la pulsación propia amortiguado y el decremento logarítmico se escriben en la forma.
d n 1 2 d
2 n 1
2
2 1
2
78
amortiguada, el período
(2.48)
(2.49)
(2.50)
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El cuerpo W de 12 kg mostrado en la figura es Ej emplo 2.4. sustentado por tres resortes y tres amortiguadores viscosos como se muestra en la figura. Si k 1 = k 2 = 150 N/m; k 3= 120 N/m; β1 = β2 = 0,8 N.s/m y β 3=1,4 N.s/m y para iniciar el movimiento se desplaza al cuerpo 100 mm hacia abajo y se suelta desde el reposos. Determine: (a) La ecuación diferencial que describe el movimiento, (b) la frecuencia (si existe) y (c) el decremento logarítmico.
Solución En la figura (a) se muestra el DCL del cuerpo en la posición de equilibrio estático y en (b) el DCL del cuerpo para una posición ( y) fuera del equilibrio.
(a) Aplicando las ecuaciones de equilibrio al diagrama A, se tiene
(b)
F y maG , y m(o) 0 mg k1 s k2 s k3 s 0
(1)
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento del bloque resulta
F y maG , y mg k1 k2 k3 s y 1 2 3 y my Remplazando la ecuación (1 en (2) resulta.
my+ 1 2 3 y k1 k2 k3 y 0 Al sustituir los valores dados en el pr oblema se tiene
12 y 3 y 420 y 0 La solución de la ecuación diferencial es de la forma
y De t y De t y 2 De t
79
(3)
(2)
Vibraciones Mecánicas
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Remplazando estas cantidades en la ecuación (3) nos permite obtener la ecuación característica, dada por
De t 12 2 3 420 0 12 2 3 420 0
(4)
1,2 0,125 i 5,9
(5)
La solución de la ecuación (4) nos da
1,2 i d La ecuación (5) indica que el movimiento es subamortiguado por tanto existe una “frecuencia amortiguada”.
d 2 f 5,9 f 0,94 hertz
Rta.
Como el movimiento es subamortiguado la solución de la ecuación diferencial (3) es de la forma
y Ae0,125t sen 5,9t
(6)
La velocidad es
y Ae0,125t [5,9 cos 5,9t 0,125sen 5,9t ] Remplazando las condiciones iniciales en las ecuaciones (6) y (7) resulta
0,1 Asen 0 A[5,9cos 0,125sen ] Los valores de A y φ son
A 0,1 m
=89° La posición en cualquier tiempo será
y 0,1e0,125t sen 5,9t 89 El decremento logarítmico es
0,1e0,125t ln 0,125(t T 0,1e 1 1 0,125T d 0,125 0,125 0,94 f 0,133 Rta d
80
(7)
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
Se muestra una barra de 2,25 m de longitud y Ej emplo 2.5. 200 N de peso en la posición de equilibrio estático y soportada por un muelle de rigidez k =14 N/mm. La barra está conectada a un amortiguador con un coeficiente de amortiguamiento c = 69 N.s/m. Determine: (a) La ecuación diferencial para el movimiento angular de la barra, (b) el tipo de movimiento resultante, (c) el período y la frecuencia del movimiento (si procede) y (d) la razón de amortiguamiento.
Solución En la figura (a) se muestra el DCL del cuerpo en la posición de equilibrio estático y en A (b) el mg x DCL del cuerpomg para una posición ( y) fuera del equilibrio. 1,125 m
FV=cv
Bx
By
1,25 m K δS
By
k(δS + xe)
Aplicando la segunda condición de equilibrio a la figura (a) resulta
M
B
0
mg 1,125 k s 1, 25 0
(1)
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación se tiene
M
B
I B
mg 1,125cos k s xe 1, 25cos cv 1,85cos I B (2) Para ángulos pequeños senθ≈ θ y cosθ=1, entonces se tiene
mg 1,125 k s xe 1, 25 cv 1,85 I B Remplazando la ecuación (1) en (3) resulta
k xe 1, 25 cxv 1,85 I B I B cxv 1,85 k xe 1, 25 De la figura (b) se tiene que
x e 1,25
(5)
x v 1,85
(6)
81
(4)
(3)
Vibraciones Mecánicas
Física General II
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Remplazando (5) y (6) en (4) se obtiene
1 2 ml 3
c 1,85 1,85 k 1, 25 1, 25 =
(7)
Remplazando los datos del enunciado y simplificando se tiene
34,4 236,2 21875 0
(8)
La frecuencia circular natural es
n
21875 25, 22 rad/s 34,4
La razón de amortiguamiento se determina a partir de
ceff 2meff n
0,136
236,2 2 34, 4 25, 22
Rta,
La ecuación anterior nos indica que el movimiento es subamortiguado por tanto existe frecuencia y el período amortiguados
34,4 2 256, 2 21875 0
3, 43 i 24,98 1,2 i d 1,2
La frecuencia amortiguada es
24,98 rad / s 2 f 2 / Td f 3,97 s T d 0,25 s d
Ej emplo 2.6. Un cilindro uniforme que pesa 35 N, rueda sin deslizar por una superficie horizontal como se muestra en la figura. El resorte y e amortiguador están conectados a un pequeño pasador exento de fricción situado en el centro G del cilindro de 20 cm de diámetro. Determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento.
82
la
Física General II
Vibraciones Mecánicas
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Solución En la figura se muestra el DCL del cilindro para una posición arbitraria cualquiera respecto a la posición de equilibrio mg
F e = k x G
F V = c v
F roz N C
Aplicando las ecuaciones de movimiento de traslación, se tiene
F x mxG kxG Froz Fv mxG kxG Froz cxG mxG
(1)
Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotación, se tiene
M G I G 1 mr 2 2 1 Froz mr 2
Froz r
(2)
̈ , obtenemos Remplazando (2) en (1), y teniendo en cuenta que = 1 1 x kxG cxG mr kxG cxG mr G mxG 2 2 r
(3)
3 mxG cxG kxG 0 2 3 35 xG 33, 3xG 120 xG 0 2 9.8 5,36 xG 33,3 xG 120 xG 0
Rta
Parte (b) Cálculo de la razón de amortiguamiento
ceff 2meff n
0,656
33.3 2 5, 36
120/5,36
Rta
Parte (c). Tipo de movimiento. Como ξ < 1; el movimiento es subamortiguado
83
Física General II
2.4
Vibraciones Mecánicas
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VIBRACIONES FORZADAS. 2.4.1
Vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Uno de los movimientos más importantes en el trabajo ingenieril es las vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Los principios que describen este movimiento pueden aplicarse al estudio de las fuerzas que originan la vibración en varios tipos de máquinas y estr ucturas.
. El sistema mostrado en a figura 2.10, proporciona un modelo de un F uerza armónica de exci tación sistema masa resorte sometido a una fuerza de carácter armónico dada por F = F 0 sen( ωt), donde F 0 es la amplitud de la vibración armónica y ω es a frecuencia de la vibración armónica.
(a)
(b)
Figura 2.10. (a) B loque sometido a un a fu erza periódica externa, (b) DCL y ciné ti co. Aplicando las ecuaciones de movimiento según el eje x, resulta
F x ma x F 0 sen t kx m x
m x kx F 0 sen t
(2.51)*
La ecuación (2.51)* es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes. Su solución está compuesta por: i) una solución complementaria; y ii) una solución particular. La solución complementaria se determina haciendo igual a cero el segundo término de la ecuación (2.51)*, y resolviendo la ecuación homogénea, es decir
m x kx 0 La solución de esta ecuación es de la forma
x xm sen( nt )
(2.52)
Como el movimiento es periódico la solución particular es de la forma
x P Bsen t
(2.53)
Determinando la segunda derivada con respecto al tiempo de la ecuación (2.53) y remplazando en la ecuación (2.51) da por resultado
Bm 2 sen t k bsen t F 0 sen t Despejando el valor de la constante B resulta
84
Vibraciones Mecánicas
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B
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F 0 / m F 0 / k k 2 1 ( ) 2 m n
(2.54)
Remplazando la ecuación (2.54) en (2.53), resulta
F 0 / k
x P
n
2
sen t
(2.55)
1 La solución general será
x xC x P Asen n t
F 0 / k
n
2
sen t
(2.56)
1
De la ecuación (2.56) se observa que la oscilación total está compuesta por dos tipos de movimiento. Una vibración libre de frecuencia ω n figura 2.11a, y una vibración forzada causada por la fuerza exterior figura 2.11b. De esto se observa que la vibración libre se extingue quedando la vibración permanente o particular como lo muestra la figura 2.11c.
(a)
Figura 2.11.
(b)
(c)
(a) vi braci ón l ibr e, (b) vi bración perman ente y (c) Superposici ón de ambas.
En la ecuación (2.55) se observa que la amplitud de la vibración particular depende de la razón entre las frecuencias forzada y natural. Se define como factor de amplif icación al cociente entre la amplitud de la vibración estable y la deflexión estática.
MF
( x P ) max F 0 / k
1
n
2
(2.57)
1
De esta ecuación puede observarse que aparece la resonancia cuando las dos frecuencias son aproximadamente iguales esto es = 1 . El fenómeno de resonancia no es deseable en las vibraciones
de elementos estructurales porque producen esfuerzos internos que pueden producir el colapso de la estructura.
Desplazamiento excitador periódico. Las vibraciones forzadas también pueden surgir a parir de la excitación periódica de la cimentación de un sistema. El modelo indicado en la figura 2.12, representa la vibración periódica de un bloque que es originada por el movimiento armónico δ = δ 0senωt.
85
Vibraciones Mecánicas
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Figura 2.12. Vi bración f orzada debido a un desplazamiento peri ódico . En la figura 2.13, se muestra el DCL y cinético del bloque. En este caso la coordenada x se mide a partir del punto de desplazamiento cero del soporte es decir cuando el radio vector OA coincide con OB. Por lo tanto el desplazamiento general del resorte será ( x –δ0senωt)
ti co Fig. 13. Di agrama de cuerpo l ibr e y cin é
Aplicando la ecuación de movimiento según la dirección horizontal se tiene
F x ma x k x 0 sen t mx m x kx k sen t
(2.58)
Comparado la ecuación (2.58) con la ecuación (2.51) se observa que su forma es idéntica por tanto su solución seguirá el mismo procedimiento establecido anteriormente.
2.4.2
Vibración libre con amortiguamiento viscoso. En nuestras consideraciones sobre las vibraciones de un solo grado de libertad y con amortiguamiento viscoso, encontramos que la energía era disipada por el amortiguador y la amplitud disminuía con el tiempo. Sin embargo, si proporcionamos una fuente de energía externa podemos mantener las oscilaciones con una amplitud constante. Para determinar las ecuaciones que la gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador sometido a una fuerza periódica externa P =P 0senΩ, tal como se muestra en la figura 2.14.
(a)
Figura 2.14.
(b)
. (a) Sistema mecá ni co forzado, (b) Di agrama de cuerpo li bre
86
Física General II
Vibraciones Mecánicas
Optaciano Vásquez García
Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, se obtiene.
F x ma x P 0 sen t kx c x m x
m x c x kx P 0 sent
(2.59)*
La ecuación diferencial (2.59)* es una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, no homogénea y con coeficientes constantes. Su solución se obtiene sumando una solución complementaria y una solución particular . La solución complementaria satisface a la ecuación homogénea y la solución particular es una función cualquiera que satis face la ecuación diferencial. Por lo tanto, la solución total se escribe
x(t ) xC (t ) x P (t )
(2.60)
La solución particular estudiada anteriormente, se extingue rápidamente según el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solución particular o permanente o de estado estacionaria es la que se mantiene, siendo esta de carácter armónico y viene expresada por.
x P xm sent
(2.61)
Remplazando la ecuación (61) en la ecuación (60) resulta.
m 2 xm sent c xm cost kxm sent P 0 sent Haciendo (Ωt-φ) sucesivamente igual a cero y π/2, resulta
c xm P 0 sen
(2.62)
k m x
(2.63)
2
m
P 0 cos
Elevando al cuadrado ambos miembros de las dos ecuaciones anteriores, resulta y sumándolos, resulta
k m 2 2 c2 x 2 P 2 0 m
(2.64)
De la ecuación (64), se obtiene la amplitud la misma que está dada por
xm
P 0
k m
2 2
(2.65)
2
c
El desfasaje φ se obtiene dividiendo las ecuaciones (62) y (63)
tg
c k m
2
(2.66)
Bajo estas circunstancias la solución particular se escribe
x
P 0
k m
2 2
2
c
87
sent
(2.67)
Vibraciones Mecánicas
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k / m ,
Pero la frecuencia natural está dada por, n
y el valor del coeficiente crítico de
amortiguamiento es c cr = 2mωn, el factor de amplificación será
MF
x m P 0 / k
1
1 /
2 2
n
tg
(2.68)
2c / ccr / n 2
2c / ccr / n 2
1 / n
(2.69)
En la figura 2.15, se muestra el factor de amplificación en función de la razón de frecuencias para distintos valores de la razón de amortiguamiento. Observe que a medida que se va disminuyendo la razón de amortiguamiento la amplitud de la vibración va creciendo. La resonancia se produce cuando la razón de amortiguamiento tiende a cero y las frecuencias son aproximadamente iguales
Figura 2.15. Relación entre el factor de amplif icación y la r azón de fr ecuencias.
88
Vibraciones Mecánicas
Física General II
2.5 2.5.1
Optaciano Vásquez García
PROBLEMAS RESUELTOS Vibraciones libres
X A.Sen( .t )
. A.Cos( .t ) X 2
Problema 01.
. A 2 X ...........................(1) X
Un instrumento que se utiliza p ara medir la vibración de una partícula realiza un movimiento armónico simple de frecuencia propia 5 Hz y aceleración máxima de 40 m/s2. .Determinar la amplitud y la máxima velocidad de la vibración.
Si cuando X = 0, v 0 =2 m/s; entonces se tiene
2 A2 0 2 . A..............................(2)
Solución
Además se tiene que a 2 X
Datos e incógnitas
50m / s 2 2 X
50rad / s.........................(3)
f 5 Hz ;..amax 48m / s 2 ; A ??;..vmax ??
La velocidad cuando X = 20 mm, será Cálculo de la amplitud
v 50 0,04 2
A
2
amax
Problema 03
(2 . f ) 2
A 48,6mm...................... Rta.
Un bloque de masa m se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamiento, según se muestra en la figura. Determine la constante k del resorte único que podría sustituir los dos representados sin que cambiara la frecuencia del bloque.
Cálculo de la velocidad máxima
vmax vmax
2
v 1,73m / s.............................. Rta.
amax A (2 . f ) A 2
0,02
. A 2 . f 2 (5)(0,0486) 1,53m / s...................... Rt
Problema 02 Solución
Una partícula vibra con un movimiento armónico simple. Cuando pasa por su posición de equilibrio, su velocidad es de 2 m/s. Cuando se halla a 20 mm de su posición de equilibrio, su aceleración es de 50 m/s2. Determine el módulo de la velocidad en esta posición.
Datos e incógnitas
m;.. k 0;..k 1 ;..k 2 ;..k e ??
Solución
En la figura se muestra el DCL del bloque en una posición X a partir del equilibrio.
Datos e incógnitas.
0;..v 2m / s;.. X 20mm;.. a 50m / s 2 ,..v ??
X 0
Es sabido que la posición en cualquier tiempo está dada por
89
Vibraciones Mecánicas
Física General II
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Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección X, resulta F x m.a x
F e1 F e 2 m. X k 1 X k 2 X m X (k 1 k 2 ) X 0.....................(1) m X Para sustituir los resortes por uno equivalente sin modificar la frecuencia, debe cumplirse que
k e X 0.....................................(2) m X Aplicando las ecuaciones de equilibrio en la dirección vertical, se tiene Comparando las ecuaciones (1) y (2), resulta
F y 0 mg k 1 1 k 2 2 k 3 3 0..................(1)
k e k 1 k 2 .........................................Rta.
En la figura se muestra el DCL de la masa en una posición arbitraria Y, a partir de la posición de equilibrio
Problema 04 Una masa de 2 kg está suspendida en un plano vertical por tres resortes, según se muestra en la figura. Si el bloque se desplaza 5 mm hacia abajo a partir de su posición de equilibrio y se suelta con una velocidad hacia arriba de 0,25 m/s cuando t = 0. Determinar: (a) La ecuación diferencial que rige al movimiento, (b) El periodo y la frecuencia de la vibración, (c) La posición de la masa en función del tiempo y (d) El menor tiempo t 1 > 0 del paso de la masa por su posición de equilibrio
Aplicando la ecuación de movimiento
F y mY mg F e3 F e1 F e 2 mY mg k 3 ( Y ) k 1 ( 1 Y ) k 2 ( 2 Y ) mY .....(2) mg k 3 3 k 1 1 k 2 2 (k 1 k 2 k 3 )Y mY Remplazando la ecuación (1) en (2), resulta
Solución
(k 1 k 2 k 3 ) 0 mY 7000Y 0 2Y
Datos e incógnitas
3500Y 0........................(3) Y m 2kg ;.. X 0
5mm;..v 0,25m / s ;..t 0;.. Ec. Dif . ??;..T ??;.. A ??;.. X f (t );..t 1 ??
El periodo de vibración se obtiene de la frecuencia circular
En la figura se muestra el DCL de la masa en la posición de equilibrio. Se supone que los resortes están estirados
2 3500 T T 0,1062 seg ......................................(4)
90
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Calculo de la amplitud . La solución de la ecuación diferencial (3), tiene la forma
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En la figura se muestra el DCL de m en una posición arbitraria X a partir de la posición de equilibrio
Y A.Sen( .t ).............................(5)
Su velocidad viene expresado por
59,2 A.Cos(59,2t )....................(6) Y Remplazando las condiciones iniciales, se tiene Aplicando la segunda ley de Newton en dirección horizontal, se tiene.
0,005 ASen .....................................(7)
0,25 59,2 A.Cos ............................(8)
F x m X F e m X . kX m X kX 0 m X 90 X 0 10 X 9 X 0.......................................(1) X
Resolviendo simultáneamente las ec.(7)y (8),resulta
A 6,54mm
49,86º La posición en cualquier tiempo t, será
Y 6,54Sen(59,2t 0,87)...................Rta.
La frecuencia circular está dada por
El tiempo t1>0, será
9 3.rad / s................................(2) El período será
0 6,54Sen(59,2t 1 0,87) t 1
0,015 seg ...................................... Rta.
2
3 T T 2,09Seg ........................................ Rta
Problema 05
La frecuencia natural, es
En la figura, la coordenada X mide el desplazamiento de la masa de 10 kg respecto a su posición de equilibrio. En t =0, la masa se suelta del reposo en la posición X =0,1 m. Determinar: (a) El período y la frecuencia natural de las vibraciones resultantes, (b) La posición de la masa en función del tiempo
f
1 1 Y 2,09
f 0,48 Hz ........................................ Rta
La solución de la ecuación diferencial (3), tiene la forma
X ASen(3t )...............................(3)
Solución La velocidad está dada por Datos e incógnitas
3 ACos(3t ).............................(4) X 0 m 10kg ;..k 90 N / m;..t 0 : X 0,1m. y. X T ??;.. f ??;.. X f (t )
Reemplazando las condiciones iniciales, se tiene
91
Vibraciones Mecánicas
Física General II
0,1 ASen .........................................(5)
Optaciano Vásquez García
F 0 mg k s . 0........................(1)
0 2 ACos .........................................(6) Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores, resulta 2 A 0.1m
En la figura se muestra el DCL de m en una posición arbitraria Y, a partir de su posición de equilibrio
La posición en función del tiempo será
X 0,1Sen(3t / 2)
Rta
Problema 06 Un collar de 4 Kg está unido a un resorte de constante k = 800 N/m como se muestra en la figura. Si al collar se le desplaza 40 mm hacia abajo desde su posición de equilibrio y se le suelta, determinar: (a) El tiempo necesario para que el collar se mueva 60 mm hacia arriba y (b) La velocidad y aceleración correspondientes.
Aplicando la segunda Ley de Newton, en dirección vertical, se tiene
F y ma y W F e mY ............................(2) mg k ( Y s ) mY Reemplazando la Ec.(1) en (2), resulta
kY 0 mY 800Y 0 4Y 200Y 0......................................(3) Y La ecuación (3), es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia circular = √ 200rad/s, y la posición en función del tiempo está dado por
Solución
Y ASen(14,14t )............................(4)
Datos e incógnitas
La velocidad se expresa como
0 m 4kg ;..k 800 N / m;..t 0 : X 40mm,.. X
14,14 ACos(14,14t )...................(5) Y
t ??;.. X 60mm ;..v ??;..a ??
La amplitud A y el desfasaje φ, se determina utilizando las condiciones iniciales, esto es:
En la figura se muestra el DCL de m en posición de equilibrio
40mm ASen ....................................(6) 0 14,14 ACos ...........................(7) Resolviendo las ecuaciones anteriores, resulta
A 40mm.............................................(8)
/ 2...............................................(9) La posición, velocidad y aceleración como función del tiempo se expresa en la forma
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
92
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Y 40Sen(14,14t )mm
Aplicando la ecuación de equilibrio, se tiene
Y 565, 6Cos(14,14t / 2)mm / s Y 79.97 Sen(14,14t / 2)m / s
Optaciano Vásquez García
F y 0 (m B m P ) g 4k s 0.........................(1)
2
El tiempo cuando Y = 60mm↑ será
En la figura se muestra el DCL de la plataforma más un bloque de masa m i en posición Y, a partir de la posición de equilibrio.
20 40 sen(14,14t / 2) t 0,15 seg
La velocidad y la aceleración cuando t = 0,15 s. serán
40Cos14,14(0,15) / 2 Y 485mm / s Y 79.79Sen14,14(0,15) / 2 Y 3991mm / s ............................... Rta Y Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene
Problema 07
F y m s Y
Una plataforma A que tiene una masa desconocida esta soportada por cuatro resortes teniendo cada uno una constante elástica k. Cuando no hay nada sobre la plataforma el período de vibración vertical es de 3,9 s; mientras que si soporta un bloque de 2 kg sobre la plataforma el período de vibración vertical es de 4,10 s. Calcular la masa de un bloque colocado sobre la plataforma (vacía) que hace que la plataforma vibre verticalmente con un período de 4,6 s. ¿Cuál es el valor de la constante elástica k del resorte?.
............(2) (m p m B ) g 4k ( s Y ) (m P m B )Y Reemplazando la ecuación (1), en (2), resulta
4kY 0 (m P m B )Y Y
4k m P m B
Y 0.........................(3)
La ec (3) es la ecuación diferencial de un M.A.S. con una frecuencia circular 4k n2 ......................(4) m P m B El período está expresado por
T 2
m P m B 4k
................................(5)
Por condición del ejercicio, cuando m B = 0, entonces T 1 = 3,9 s, es decir
Solución En la figura se muestra el DCL de la plataforma cuando sobre ella está colocado un bloque de masa m i, en estado de equilibrio estático.
3,9 2
m P 4k
.......................................(6)
Además, cuando m B = 2 kg; T 2 = 4,1 s, entonces
4,1 2
m P 2 4k
..................................(7)
Resolviendo simultáneamente las ecuación (6 ) y (7), resulta
93
Vibraciones Mecánicas
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m P 19kg ............................................(8)
Cuando el bloque esta en equilibrio estático, x = 0, entonces Fe0= k 1δs y T = T0
k 12,33 N / m......................................(9) Además cuando se coloca sobre la plataforma un bloque de masa desconocida, el período es T 3 = 4,6 s, se tiene
T 3 2 4,6 2
Optaciano Vásquez García
F x 0 T 0 k 1 1 0..........................................(1)
m P m x 4k 19 m x
Cuando el bloque está en movimiento, la segunda ley de Newton, establece
4(12,33)
m x 7,43kg ........................................ Rta
F x m X T k 1 ( 1 X )
Problema 08 Un bloque que pesa 100N se desliza por una superficie horizontal sin fricción como se muestra en la figura. Los dos resortes están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y exentas de rozamiento. Si se desplaza el bloque 75 mm hacia la izquierda de su posición de equilibrio y se suelta con velocidad de 1,25 m/s hacia la derecha cuando t = 0, determine: (a) La ecuación diferencial que rige el movimiento; (b) El período y la amplitud de la vibración, (c) La posición del bloque en función del tiempo
W .........................(2) X g
En la figura se muestra el DCL de la polea móvil para una posición Y a partir de la posición de equilibrio estático
Cuando la polea está en equilibrio, Y = 0 entonces F e2 = k 2 δ2 y T = T0, entonces
F y 0 k 2 ( 2 Y ) 2T 0 0 k 2 2 2T 0 0............................(3) Cuando la polea se está moviendo hacia abajo, se tiene
F y mP aPy k2 ( 2 Y ) 2T 0 k2 2 k2Y 2T 0.....................(4)
Solución Datos e incógnitas
W B 100 N ;.t 0 : x o 75mm ;.vo 1,25m / s
Remplazando la ecuación (1) en (3), resulta
En la figura se muestra el DCL del bloque para una posición “x” a partir de la posición de equilibrio
k 2 2 2k 1 1 0..................................(5)
Remplazando la ecuación (4) en (2), resulta
k 2 2
( 2 Y ) k 1 ( 1 X )
k 2 2 2
94
k 2 2
W g
Y k 1 1 k 1 X
X
W g
......(.6) X
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Problema 09.
Sustituyendo la ecuación (5) en (6), resulta
W g
k 1 X X
k 2 2
Optaciano Vásquez García
Cuando el sistema representado en la figura está en equilibrio, el resorte 1 (k 1 =1,2 kN/m) está alargado 50 mm y el resorte 2 (k 2 =1,8 kN/m) lo está 10 mm. Si se tira de la masa m hacia abajo una distancia δ y se suelta a partir del reposo, determinar: (a) la ecuación diferencial que rige el movimiento, (b) La distancia δmax tal que los hilos se hallen siempre a tensión, (c) La frecuencia y la amplitud de la vibración resultante y (d) La posición de la masa en función del tiempo
Y 0........................(7)
De la geometría de la figura se tiene X Y ..................................................(8) 2 Remplazando la ecuación (8) en la ecuación (7), tenemos W k 1 X k 2 ( X ) 0 X g 2 2
W (k 1 k 2 ) X 0 X g 4
100 9,8
(833 X
1333 4
) X 0
114,3 X 0.................(9) X El período de la vibración resultante, será
Solución
2 114,3 T T 0,59 seg ....................................... Rta.
Datos e incógnitas
1200 N / m;.. 1 50mm;..k 2 1800 N / m; 2 90mm;.. Ec. Dif . ?;.. max ?;.. f ?;..Y f (t ) k 1
La frecuencia de vibración es
f
En la figura se muestra el DCL del bloque en posición de equilibrio
1 1 1,7 Hz ........................ Rta. T 0,59
La posición y la velocidad en función del tiempo están dadas por las ecuaciones
X ASen(10,7t )..........................(10)
10,7 ACos(10,7t )...................(11) X Aplicando las condiciones iníciales, se tiene
0,075 ASen .................................(12) 1,25 10,7 ACos ..........................(13) Resolviendo las ecuaciones anteriores, resulta
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene F y 0
A 0,138m
F e02 F e01 mg
tg 0,642
k 2 2 k 1 1 mg ...............................(1) Remplazando valores, se tiene 1800(0,09) 1200(0,05) 9,8(m)
Por lo tanto la posición en función del tiempo está dada por la ecuación
m 10,41kg ............................(2)
X 0,138Sen(10,7t )...................Rta.
En la figura se muestra el DCL del bloque en una posición arbitraria Y, a partir de la posición de equilibrio
95
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
A 50mm
2
La posición del cuerpo en cualquier tiempo es
Y 50Sen(16,98t / 2).................Rta.
Problema 11. Una placa plana P realiza un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia f = 1,5 Hz. Un bloque B descansa sobre la placa, como se muestra en la figura, y el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la placa es µ s =0,60. ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa?. ¿Cuál es el valor de la velocidad máxima?.
Aplicando la segunda ley de Newton en dirección vertical, resulta
F y mY mg F e1 F e 2 mY ....(3) mg k 1 ( 1 Y ) k 2 ( 2 Y ) mY Remplazando la ecuación (1) y (2) en (3), resulta
(k 1 k 2 ) 0 mY 3000Y 0 14,1Y 288,2Y 0...........................(4) Y Debido a que el resorte 1 está estirado 50 mm, entonces para que los dos resortes actúen siempre a tensión, la distancia máxima, será
Solución Datos e incógnitas
max 50mm..........................(5)
f 1,5 Hz ;.. s 0,60;.. A ??;..vmax ?? En la figura se muestra el DCL del sistema compuesto por el bloque más la placa en una posición arbitraria X.
Cálculo de la frecuencia natural. De la ecuación (4), se tiene
2 . f 288,2 f 2,7 Hz ............................................(6) La posición en función del tiempo tiene la forma
Y ASen( .t )................................(7) La velocidad instantánea es
16,98 ACos(16,98t )..................(8) Y Aplicando las ecuaciones
Remplazando las condiciones iníciales, se tiene
F x m s X F e (m B m P ) X kX (m B m P ) X
50mm ASen ...................................(9) 0 ACos ..................................(10)
Ordenando la ecuación anterior
Resolviendo simultáneamente se tiene
96
Vibraciones Mecánicas
Física General II
X
k m B m P
X max 2 A s g
X 0............................(1)
k m B m P
S g 0,6(9,8) 2 9 2 0,066 m.................................. Rta.
Amax
La frecuencia circular natural es:
Optaciano Vásquez García
2 . f 2 (1,5 HZ )
Amax
3 .rad / s......................................( 2)
La velocidad máxima del sistema será
La solución de la ecuación diferencial (1) es de la forma
A 0,066(3 ) vmax 0,62 m / s..................................Rta. vmax
X ASen(3 .t ).............................(3) La velocidad en cualquier tiempo será
Problema 12 3 . ACos(3 .t ).......................(4) X
Las dos masas de la figura se deslizan por sendas superficies horizontales exentas de fricción. La barra ABC está en posición vertical en el equilibrio y su masa es despreciable. Si los resortes están sometidos a tracción en todo momento, escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición X(t) de la masa de 10 kg y determinar la frecuencia y el período de la vibración resultante. (Supóngase oscilaciones de pequeñas amplitudes).
Su aceleración está dada por la ecuación
9 2 ASen(3 .t )...................(5) X La aceleración máxima esta dado por
3 2 A...........................................(6) X
Ahora se analiza el movimiento del bloque B. Según condición del problema el bloque B no debe moverse respecto a la plataforma. Por lo tanto su diagrama cinético es el que se muestra
Solución Datos e incógnitas Aplicando las ecuaciones de movimiento al DCL se tiene
m1 10kg ;..m2 15kg ;..m ABC 0;..k 1 2000 N / m k 2 2000 N / m;..k 3 3500 N / m;.. Ec. Dif . ??;
F y 0
T ??;.. f ??.
N B / P m B g .....................................(7)
En la figura se muestra el DCL de m 1 en la posición de equilibrio estático
F x m X F s m B X ...................................(8) s N B / P m B X s m B g m B X s g ....................................(9) X
Como el bloque no debe moverse respecto de la plataforma, entonces
Aplicando la ecuación de equilibrio en la dirección horizontal, se tiene
97
Física General II
Vibraciones Mecánicas
F x 0 T 01 k 1 1 ...............................(1)
Optaciano Vásquez García
En la figura se muestra el DCL de m 2 en una posición arbitraria X a partir de la posición de equilibrio
En la figura se muestra el DCL de m 2 en la posición de equilibrio estático
F x m2 a2 x 2 k 2 ( 2 X 2 ) m2 X 2 ..........(5) T 2 k 2 ( 2 X 2 ) m2 X Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene F x 0
En la figura se muestra el DCL de la barra ABC, cuando se ha girado un ángulo θ a partir de la posición de equilibrio
T 02 k 2 2 ............................(2) En la figura se muestra el DCL de la barra ABC en la posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de movimiento a la barra ABC, se tiene
M B I B T 1 (0,1Cos ) T (0,2Cos ) T 2 (0,2Cos ) 0( )
Aplicando la segunda condición de equilibrio, se tiene M B 0
T 01 (0,1m) T 03 (0,2m) T 02 (0,2m) 0,1k 1 1 0,2k 3 3 0,2k 2 2 .........(3)
Para ángulos pequeños, Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces la ecuación anterior se escribe
En la figura se muestra el DCL de m 1 en una posición arbitraria X a partir de la posición de equilibrio
0,1T 1 0,2T 3 0,2T 2 ...............................(6) Remplazando la ec.(4) y(5) en (6), resulta k X m1 X 1 1
2k 3 ( 3 X 2 ) 2 k 2 ( 2 X 2 ) m2 X 2
..(7) Remplazando la ec.(3) en (7), resulta
k 1 X 2k 3 X 2 2k 2 X 2 2m2 X 2 ..........(8) m1 X
Aplicando las ecuaciones de movimiento, tenemos
F x m1a1 x T 1 k 1 ( X ) m1 X k 1 ( 1 X )............(4) T 1 m1 X
Del gráfico por triángulos semejantes, se observa que X 2 X 0,2
0,1
X 2 2 X ....................................(9)
98
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Remplazando la ec.(9) en (8), se tiene
Optaciano Vásquez García
Aplicando la segunda condición de equilibrio, se tiene
M A 0 m1 X k1 X 2k3 (2 X ) 2k2 (2 X ) 2m2 (2 X ) 0
K s (a) mg (L).............................(1)
(m1 4m2 ) X (k1 4k2 4k3 ) X 0
En la figura se muestra el DCL del sistema para una posición angular θ en sentido horario
(10 60) X (2000 14000 8000)X 0 X 342,86X 0.......(10) La ecuación (10) es la ecuación diferencial de un MAS, con frecuencia circular
342,86 18,52rad / s
La frecuencia natural será
f
18,52 f 2,95 Hz .......... Rta. 2 2
Aplicando la ecuación de movimiento de rotación al sistema, se tiene M A I A
El período de la vibración es
mgLCos K ( s
T
1 f
1 T 0,34 seg .............. Rta. 2,95
Y )(a.Cos ) mL2 ..........(2)
Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces la ecuación (2), se escribe
Problema 13
mgL K s a K .a.Y e
Encuentre la ecuación diferencial del movimiento y el período de vibración del sistema mostrado en la figura. Desprecie la masa de la barra rígida a la cual está unida la esfera (partícula).
mL2 ............(3)
Remplazando la ec.(1) en la ec. (3), resulta
mL2 K .a 2 0 2
K .a2 mL
0...............................(4)
La ec. (4) es la ecuación diferencial de un MAS, con frecuencia circular
Solución n
Datos e incógnitas
T
“a”; “L”; “m”; “g”; Ec. Dif. =??; T=?? En la figura se muestra el DCL del sistema compuesto por la barra más la esfera en la posición de equilibrio estático.
K .a 2 2
mL
T
2 . L
m
a
K
2
..................................... Rta.
Problema 14 La esfera maciza y homogénea de 10 kg mostrada en la figura gira sin deslizar cuando se desplaza a partir de su posición de equilibrio. La tensión inicial de cada resorte es 250 N/m y las constantes elásticas son K 1 =900 N/m y K 2 =1200 N/m. Para iniciar el movimiento se desplaza el centro de la esfera 75 mm hacia la derecha y se suelta a partir del reposo. Calcular la frecuencia del
99
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
movimiento resultante y la rapidez máxima del centro de masa de la esfera.
G ( K 1 K 2 ) X G m X
2
G 0 m X 5 5( K 1 K 2 ) G X X G 0 7.m 5(900 1200) G X X G 0 7(10) G 150 X G 0....(5) X
Solución
La ec.(5) constituye la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia circular dada por
Datos e incógnitas
m 10kg ;.. F e 0
250 N ;.. K 1 900 KN / m; max ?? K 2 1200 N / m;.. f ??;.. X
n 150 12,25rad / s La frecuencia de vibración será
En la figura se muestra el DCL de la esfera cuando su centro está desplazado una distancia X G a partir de su posición de equilibrio.
12,25 2 2 f 1,95 Hz ........................................ Rta. f
La solución de la ecuación diferencial (5), es de la forma
X G ASen(12,25t ).......................(6) La velocidad del centro de masa de la esfera es
G 12,25 ACos(12,25t )..............(7) X Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
F x F e2 F e1 F s ( F e0 K 2 X G ) ( F e0 K 1 X G ) F s G ( K 1 K 2 ) X G F s m X
Remplazando las condiciones iníciales, se tiene
G m X G m X G m X
0,075m A.Sen 0 12,25 A.Cos Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores, se tiene
0..............(1)
M G I G
A 75mm
2 F s ( R) mR 2 5 2 .................................(2) F s mR 5
2
Entonces la velocidad y la aceleración del centro de masa de la esfera son:
Remplazando la ec.(2) en (1), resulta
G ( K 1 K 2 ) X G m X
2 5
X G 75Sen12,25t
0......(3) mR
mm 2
G 0,918Cos12,25t X
Para el caso en el cual la esfera rueda sin deslizar la fuerza de fricción es estática, entonces existe una relación entre la aceleración lineal y la aceleración angular, esto es
m / s 2
La velocidad máxima será
max 0,92m / s..................................Rta. X
......................................(4) G R X Remplazando la ec, (4) en (3), resulta
100
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Problema 15
Optaciano Vásquez García
El momento de inercia con respecto al punto C, es
I 0,55kg .m 2
La barra uniforme AB de 8 kg está articulada en C y sujeta en A a un resorte de constante K = 500N/m. Si el extremo A recibe un pequeño desplazamiento y se suelta, hallar: (a) La frecuencia de las pequeñas oscilaciones, (b) El mínimo valor de la constante K del resorte para el que habrá oscilaciones.
Donde la ecuación (3) en (2), resulta 0, 04mg 0,1652 K 0,055 0, 055 (0,1652 K 0, 04mg ) 0....(4) La ec. (4) constituye la ec. Diferencial de un MAS de frecuencia circular
n 2 . f f
0,1652 K 0,04mg 0,055
1 0,1652 K 0,04mg ...............( 4) 2 0,055
Remplazando valores se tiene
f
Solución
1 0,1652 (500) 0,04(8)(9,8) 2 0,055
f 2,22 Hz ....................................... Rta
Datos e incógnitas
El mínimo valor de K, será aquel valor para el cual siempre se mantenga positiva la raíz cuadrada de la ecuación(4), esto es
m 8kg ; K 500 N / m; f ??;..K min ?? En la figura se muestra el DCL de la varilla en una posición definida por un ángulo θ, a partir de la posición de equilibrio.
0,1652 K 0.04mg K min
0,04(8)(9,8) 115,3 N / m.................. Rta.
Problema 16 Dos barras uniformes cada una de masa m =12 kg y longitud L = 800 mm, están soldadas formando el conjunto que se muestra. Sabiendo que la constante de cada resorte K = 500N/m y que el extremo A recibe un pequeño desplazamiento y luego se suelta, determine la frecuencia del movimiento subsiguiente.
Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotación a la varilla se tiene
M C I C ) mg (0.04Sen ) KX e (0,165 cos ) I C mg (0,04Sen ) K (0,1652 Sen Cos I C ......(1) Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces la ecuación (1), se escribe
.................(2) 0,04mg 0,1652 K I
101
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Solución
Optaciano Vásquez García
Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces la ecuación (1), se escribe
Datos e incógnitas
L L m g ( ) K ( Y ) K ( Y ) ( ) I ...( 3) AC 2 1 1 1 2 2 2 2 C
12kg ;.. M BD 12kg ;.. K 1 K 2 500 N / m L 0,8m;.. f ?? m Ac
Remplazando la ec. (1) en (3), resulta
En la figura se muestra el DCL del sistema compuesto por las dos varillas en la posición de equilibrio estático, asumiendo que los dos resortes están estirados
L L m g ( ) ( K K )(Y ) ( ) 1 2 1 AC 2 2
I ..........(4) C
Reordenando la ecuación anterior se tiene 2 L L I C K 1 K 2 m AC g 0.......(5) 2 2
El momento de inercia del sistema respecto del punto C será
I C
I C AC I C BD 1 1 2 m BD L BD 3 12 1 1 (12)(0,8) 2 (12)(0,8) 2 3 12
2 m AC L AC
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
M C 0
I C
L L F e01 ( ) F e02 ( ) 2 2 K 1 1 K 2 2 .....................................(1)
3,2kg .m 2 ......................................(6)
Remplazando la ec (6) en la ec,(5), se tiene
2
0,8 0,8 500 500 3,2 12(9,8) 0
En la figura se muestra el DCL de las barras cuando se ha girado un ángulo θ respecto a la posición de equilibrio
2
2 35,3 0......(7).
La frecuencia circular está dado por
n 2 . f 35,3 5,94rad / s
La frecuencia de vibración será
f
n
5,94
2 2 f 0,95 Hz ......................................... Rta.
Problema 17 Una esfera A de 400 g y una esfera C de 280 g están unidas a los extremos de una varilla rígida de masa despreciable que puede girar en un plano vertical alrededor de un eje que pasa por B. Hallar el período de las pequeñas oscilaciones de la varilla.
Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotación al sistema se tiene
M I C
L m g ( Sen ) K ( AC 2 1 1
Y ) K 1
2
(
2
Y
2
C
L2 Cos ) I C ...( 2)
)(
102
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
.......(4) 0,49,80,125 0,289,80,2 0,0175 0,0588 0 0,0175 ~ 3,36 0..................(5) La frecuencia circular será
3,36 1,833rad / s n
El período de la vibración resultante será
T
Solución
2
2 1,833
T 3,43 seg ....................................... Rta
Datos e incógnitas
m A 0,4kg ;..mC 0,28kg ;...m AC 0;...T ??
Problema 18
En la figura se muestra el DCL del sistema para una posición θ a partir de la posición de equilibrio.
Un peso de 6 kg pende de un cilindro de 4 kg como se muestra en la figura, mediante un pasador sin fricción que pasa por su centro. Escriba la ecuación diferencial del movimiento para la posición Y G(t) del centro de masa del cilindro y determine el período y la frecuencia del movimiento vibratorio resultante
La ecuación se movimiento de rotación para el sistema nos da
M B I B m A g 0,125Sen mC g 0,2Sen I B ...........(1)
Solución Datos e incógnitas
Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces la ecuación (1), se escribe
6kg ;...mC 4kg ;... R 0,25m;... K 800 N / m Ec. Dif ??;... f ??;...T ?? m B
m A g 0,125 mC g 0,2 I B .........(2)
En la figura se muestra el DCL del bloque en posición de equilibrio estático
El momento de inercia respecto al punto B, será
I B I C A I B C I B var illa
m A 0,1252 mC 0,22 0 0,40,1252 0,280,22 I B 0,0175kg .m 2 ................................(3) Al sustituir la ec.(3) en (2) resulta La ecuación de equilibrio nos da
103
Vibraciones Mecánicas
Física General II
F y 0
Optaciano Vásquez García
En la figura se muestra el DCL del cilindro en movimiento
T 0 m B g 6(9,81) T 0 58,86 N .....................................(1) En la figura se muestra el DCL del cilindro en posición de equilibrio estático
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tie ne
F y mC a Gy G T mC g F e T 1 mC Y G ..........(6) T 39,4 K s Y e T 1 4Y
Aplicando las ecuaciones de equilibrio tenemos
F Y T 10 K s T 10 K s T 10 K s M G
0 W C T 0 49,81 58,86 98,1 N .................................(2) 0 K s ( R) T 10 ( R) T 10 K s ....................................(3)
M G I G T 1 ( R) F e ( R) T 1 K ( s Y e )
1 2 1 2
mC R 2 ..................(7) mC R
Sumando las ecuación (5) y (6), se tiene Reemplazando la ecuación (3) en (2) resulta
K s K s 2 K s
G ..............(8) 98,1 K s Y e T 1 10Y
98,1
98,1..........................................(4)
Sumando las ecuación (7) y (8), resulta
En la figura se muestra el DCL del bloque cuando se ha desplazado una distancia Y a partir de su posición de equilibrio
G 98,1 2 K s Y e 10Y
1 ...(9) mC R 2
Remplazando la ecuación (4) en (9), resulta
G 10Y
1
(4)(0.25) 2 KY e 0 2
G 0,5 1600Y e 0....................(10) 10Y De la cinemática de los desplazamientos se tiene
Aplicando las ecuaciones de movimiento para el bloque, se tiene
F Y m B a By G .....................................(5) 58,86 T 6Y
104
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
m 13,6kg ;.. 150 ;..r 0,125m;..T ??;..amax ??
Y G R
G R Y
G Y 0,25
En la figura se muestra el DCL del cilindro en la posición de equilibrio estático
.........................(11)
Además Y G R
Y e
2 R
Y e 2Y G .........................(12)
Remplazando las ecuación (11) y(12), en la ecuación (10), resulta
G Y 16002Y G 0 0 , 25 G 3200Y G 0...... Rta. 12Y
G 0,5 10Y
La ecuación anterior constituye la ecuación diferencial de un M.A.S con frecuencia circular
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
F x 0 mgSen15º F s F e0 ............................(1) M G 0
n 2 . f 266,67 16,33rad / s La frecuencia de vibración es
f
F e0 (r ) F s (r ).................................(2)
16,33 f 2,6 Hz ............ Rta. 2 2
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
mgSen15º 2 K s ................................(3)
El período
T
1 f
1 2,6
T 0,38 seg ............... Rta En la figura se muestra el DCL del cilindro para un desplazamiento instantáneo X G a partir de la posición de equilibrio
Problema 19 Un cilindro uniforme de 13,6 kg puede rodar sin deslizar por un plano inclinado 15º. A su perímetro está sujeta una correa y un muelle lo mantiene en equilibrio como se muestra. Si el cilindro se desplaza hacia abajo 50 mm y se suelta. Determinar: (a) El período de la vibración, (b) La aceleración máxima del centro del cilindro
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene Traslación
G F x m X G mgSen15º F s F e m X G .................(4) mgSen15º F s K s X e m X
Solución Datos e incógnitas
105
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
32,08Cos32,08t ................(12) G 32,082 Sen32,08t ............(13) X G X
Rotación
M G I G F s (r ) F e (r ) I G ............(5) F s (r ) K ( s X e )(r ) I G
Remplazando las condiciones iníciales, resulta
0,05 A.Sen 0 32,08 A.Cos
Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta
G mgSen15º 2 K s 2 KX e m X
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores, se tiene A 50mm
1 .......(6) m.r . 2
Remplazando la ec.(3) en (6), se tiene G 1 m.r . 2KX e 0.................(7) m X 2
2
Remplazando estos valores obtenidos resulta
De la geometría y teniendo en cuenta que el centro instantáneo de rotación es el punto de contacto, resulta
X G 50.Sen 32,08t
.............. Rta. 2
G 0,05(32,08) 2 Cos32,08t X La aceleración máxima será
amax 2 A (32,08) 2 (0,05) amax 51,45m / s 2 ....................... Rta
G r . X G r . X
G X r
.....(8)
Problema 20
X X e 2.r . 2.r G X e 2 X G ..(9) r
Una rueda escalonada que pesa 90 N rueda sin deslizar por un plano horizontal, según se indica en la figura. Los resortes están unidos a hilos arrollados de manera segura sobre el cubo central de 30 cm de diámetro. Si el radio de giro del cilindro escalonado vale 225 mm, escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición X G(t ) del centro de masa del cilindro y determinar el período y la frecuencia del movimiento vibratorio resultante.
Remplazando la ec.(8) y (9) en (7), resulta
G m X
1 X m.r G 2 K 2 X G 0 2 r 3 G 4 KX G 0 m X 2
3 G 4(5250) X G 0 (13,6) X 2 G 1029,4 X G 0.................(10) X
La ec. (10) es la ecuación diferencial de una MAS con una frecuencia circular
2 1029,4 32,08rad / s T T 0,196 seg ....................................( Rta)
Solución
n
Datos e incógnitas
La solución de la ecuación diferencial (10), es
W 90 N ;.. R1
15cm;.. R2 30cm;. K G 225mm X G t ??;..T ??
X G A.Sen32,08t ......................(11)
En la figura se muestra el DCL de la rueda para una posición cualquiera X. Las fuerzas que obran son: el
La velocidad y la aceleración en cualquier tiempo
106
Física General II
Vibraciones Mecánicas
peso (W), la reacción normal (N C), la fuerza de fricción (Fs) y las fuerzas elásticas F e en cada uno de los resortes
Optaciano Vásquez García
Remplazando las ec. (4), (5) y (6) en la ec (3), resulta K 2 R22 R12 R12 R22 G 1 G k 2 X G k X m X R 2 1 G R 2 R2 2 2 Remplazando valores se tiene
22.5 2 302 152 302 152 1400 X 2 1000 X G 302 9,18 X G 1 30 G 30 Simplificando la ecuación anterior se tiene
G 131X G 0.................................(8) X Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
De la ecuación diferencial (8), se obtiene la frecuencia circular. 2 131 11.45rad / s n T
G F x m X G F e 2 F e1 F s m X G .....................(1) k 2 X 2 k 1 X 1 F s m X
El período de la vibración es
M G I G F s ( R2 ) F e 2 ( R1 ) F e1 ( R1 ) mK G R1 R1 mK G2 ...........(2) k 1 X F s k 2 X 2 R R R 2 2 2
T
2 2 T 0,55 seg ..... Rta. 11,45
Problema 21
Sumando las ecuaciones (1) y (2), resulta
Un cilindro de masa m y radio R está conectado con muelles idénticos de constante k y gira sin rozamiento alrededor del punto O. Para pequeñas oscilaciones, ¿cuál será la frecuencia natural?. El cordón que soporta a W1 está enrollado alrededor del cilindro.
R1 R1 mK G2 k 2 X 2 k X1 k 2 X 2 k1X R mXG R 1 R2 2 2 R1 R1 mK G2 k2 X 2 1 k1 X 1 1 mX G ........(3) R2 R2 R2 La cinemática para la rueda muestra una relación entre las deformaciones de los resortes y el desplazamiento del centro de masa de la rueda
Solución Datos e incógnitas
G R2 .......................(4) R2 X X X 2 R2 R1 R2 R1 G ......(5) R2 X X 1 R2 R1 R2 R1 G .......(6) R2 X G
" m" , " R", " r", " k", " W1", n ?? En la figura se muestra el DCL del bloque.
107
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al bloque, se tiene
F y 0
T0 Mg
Optaciano Vásquez García
Aplicando las ecuaciones de movimiento al cilindro, se tiene M O I G
(1)
T ( R) k ( 2 X e )(rCos ) k 1 X e (rCos ) I G Para ángulos pequeños Cosθ ≈ 1; y Senθ ≈ 0, entonces la ecuación anterior, se escribe
En la figura se muestra el cilindro en equilibrio estático.
MO I G T ( R) k ( 2 X e )(r ) k 1 X e (r ) I G
(4)
Remplazando la ec. (3) en (4), resulta
k 1 r kX e r k 2 r kX e r I o (5) MgR MRY Al sustituir la ec (2) en (5), resulta 2kX e r 1 mR 2 MRY 2
Aplicando las ecuaciones de equilibrio para el cilindro
MO 0 - k 1 (r ) k 2 (r ) Mg ( R) 0
(6)
De la cinemática se tiene que
(2)
X e r
En la figura se muestra el DCL del bloque pero desplazados de su posición de equilibrio estático.
. R y Y
(7)
Remplazando la ec (7) en (6), resulta
) 2k (r )r 1 mR 2 MR( R
2 1 MR 2 2kR 2 0 mR 2 2 4kr 2 0 m 2 M R 2
(8)
La ec.(8) constituye la ecuación diferencial de un MAS cuya frecuencia circular natural es Aplicando las ecuaciones de movimiento para el bloque se tiene
n
4kr 2
m 2 M R 2
....... Rta.
F y MY Mg T MY T Mg MY
Problema 22
(3)
Un cilindro uniforme de 4 kg pende en un plano vertical en el seno de un hilo ligero, como se muestra en la figura. Si el cilindro de 250 mm de radio no se desliza
En la figura se muestra el Dcl del cilindro cuando gira un ángulo θ
108
Vibraciones Mecánicas
Física General II
por el hilo, escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición Y G(t) del centro de masa del cilindro y determinar el período y la frecuencia de la vibración resultante.
Optaciano Vásquez García
Aplicando las ecuaciones de movimiento de traslación y rotación, se tiene F y m yG
mg k S y e T m y ....................(4)
M G I G T r k S y e r 12 mr 2 ..............(5) T k S y e 12 mr Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta
mg 2k S 2kye m y 12 mr ........6
Solución
Remplazando la ec.(3) en la ec. (6), tenemos
Datos e incógnitas
m 4kg ;..r 250mm;..k 800 N / m;..Y G (t ) ??
2kye m y 12 mr ........................(7)
En la figura se muestra el DCL del cilindro en la posición de equilibrio estático
La cinemática para el cilindro muestra una relación entre la deformación del resorte y el desplazamiento del centro de masa del cilindro
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene F y 0
tg
T 0 k S mg ...................................(1)
y G r
y e
2r
y e 2 y G .............(8)
tg sen
y G
r y G r ................................................(9)
M G 0 T 0 (r ) k S (r )...............................(2)
Remplazando lasa ec. (8) y (9) en la ec. (7), resulta
Remplazando la ec.(1) en la ec (2), resulta
Y 2k 2Y G m y 12 mr r G 4kY G m 12 mY
2k S mg ......................................(3) En la figura se muestra el DCL del cilindro para una posición arbitraria a partir de su posición de equilibrio
G Y
8k 3m
Y G 0................................ Rta.
La ecuación anterior constituye la ecuación diferencial de un MAS cuya frecuencia circular es
n
8k 3m
8800 34
n 23,09rad / s.................................(11) El período de la vibración será 2 2 n T T 23,09
T 0,272 s............................................Rta.
109
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
M C 0 T 1, 0 0,15m T 2, 0 0,15m
La frecuencia natural de vibración será
f
1 1 T 0,272
T 1, 0 T 2, 0 .............................(1) En la figura se muestra el sistema barra más partícula B para una posición arbitraria θ, a partir de su posición de equilibrio.
f 3,68 Hz....................................Rta.
Problema 23. La partícula B de 0,25 kg de masa está colocada sobre una barra rígida BC de masa despreciable como se muestra en la figura. El módulo de cada uno de los resortes es 150 N/m. La tensión en cada uno de los resortes es 10 N cuando la barra BC está en posición vertical. Para iniciar el movimiento oscilatorio se desplaza al punto B 25 mm hacia la derecha y se libera a partir del reposo. Calcular: (a) La ecuación diferencial del movimiento, (b) La frecuencia natural de la vibración, (c) La posición angular en función del tiempo.
Aplicando las ecuaciones de movimiento de rotación, se tiene
M C I C mg 0,25Sen T 0 kX T 0 kX 0,15 cos I C ...(2) Para ángulos pequeños se tiene
Solución
sen
Datos e incógnitas m B 0,25kg ;..k 1 k 2 150 N / m;..T 0 10 N ;..
y
cos 1
Bajo esta condición la ecuación (2) se reduce a:
t 0 : x0 25mm , v0 0;.. Ec. Dif . ??,.. f ??
2 mg 0,25 2kX 0,15 m B 0,25
0,259,80,25 21500,15 X 0,25 0,252
En la figura se muestra el DCL de la barra más la partícula B en la posición de equilibrio
0,6125 450,15 0,015625 ....(3)
Simplificando se tiene
392,8 0..................................(4) La frecuencia natural se determina a partir de la ecuación que define la frecuencia circular, es decir:
2 . f 392,8rad / s f 3,15 Hz.....................................R ta.
n
La solución de la ecuación diferencial (4), es de la forma Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
0 sen n t 0 sen19,82t ......................(5)
110
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
F y 0
Aplicando las condiciones iniciales, se tiene
k S E 0 mg
0,1 0 sen
k S V S mg
0 19,82 0 cos
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones anteriores, resulta
En la figura se muestra el DCL del cilindro cuando se ha desplazada una distancia Y hacia abajo a partir de su posición de equilibrio
0 0,1rad
k S R 2 h mg ....................(1)
2
Por lo tanto la ecuación (5) se escribe
0,1 sen19,82t
....................Rta. 2
Problema 24. Un cilindro uniforme de masa m y radio R está flotando en agua. El cilindro está unido a un punto central superior a un resorte de constante k . Si el peso específico del agua es γ, encuentre la frecuencia así como el período de la vibración resultante.
Aplicando la ecuación de movimiento según el sistema de referencia, se tiene
F y mY mg E F e mY mg V k S Y mY
..........(2) mg R 2 h Y k S Y mY Remplazando la ec. (1) en la ec. (2), resulta
R 2 k Y 0 mY
Solución
k R 2 Y 0.........................(3) Y m
Datos e incógnitas
La ecuación (3) es la ecuación diferencial de un MAS, con frecuencia circular
m;.. R;..k ;.. ;.... f ??;....T ?? En al figura se muestra el DCL del cilindro en la posición de equilibrio estático.
n 2 f f
k R 2 m
1
k R 2
2
m
........................... Rta.
El período de la vibración resultante será
T
m 1 2 ...................Rta. f k R 2
Problema 25. Una masa de 6 kg pende de un hilo que está arrollado a un cilindro de 10 kg y 300 mm de radio, como se muestra en la figura. Cuando el sistema está en
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
111
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
F y 0
equilibrio, el punto A se encuentra 200 mm directamente encima del eje, el cual está exento de rozamiento. Si se tira de la masa hacia abajo desplazándolo 50 mm y se suelta el sistema a partir del reposo, determinar: (a) La ecuación diferencial que rige el movimiento vertical de la masa, (b) La frecuencia y la amplitud de la vibración y (c) La posición de la masa en función del tiempo.
T 0 m B g .......................................(2) Remplazando la ec.(1) en la ec. (2), resulta
k S d m B g .r .................................(3) En la figura se muestra el DCL del cilindro para una posición arbitraria θ a partir de la posición de equilibrio.
Solución Aplicando la ecuación de movimiento de rotación resulta
Datos e incógnitas m B 6kg ;..mC 10kg ;..r C 0,3m;..d 0,2m
t 0 : .. y B 50mm;..v 0 0;.. Ec. Dif ??;.. f ??;
M 0 I 0
A ??;...Y (t ) ?? .
.......(4) T r k S x e d cos I 0
En la figura se muestra el DCL del cilindro
Del gráfico se observa que x e = d senθ, entonces la ecuación (4) se escribe
...(5) T r k S d . sen d cos I 0 Para ángulos pequeños se tiene que
sen
y cos 1..................(6)
Remplazando la ec. (6) en la ec. (5), da
T r k S d . d I 0
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
..............(7) T r k S kd 2 12 mC r 2
M 0 0 k S d T 0 r ...........................(1)
En la figura se muestra el DCL del bloque en una posición Y a partir de la posición de equilibrio
En la figura se muestra el DCL del bloque en posición de equilibrio
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
112
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene
Optaciano Vásquez García
Remplazando las condiciones iniciales, se tiene
0,05 Y 0 sen
F y m B Y m B g T m B Y
0 8,99Y 0 cos
...............(8) T m B g m B Y
Re solviendo, se tiene Y0 0,05 m
Remplazando la ec. (8) en (7),
y /2
Finalmente la posición en función del tiempo será
Y 0,05 sen 8,99t
m B g m B Y r k S d kd 2 12 mC r 2 mC Y r ....(9) m B g .r k S d kd 2 12 mC r 2
...................Rta. 2
Problema 26. Remplazando la ec.(3) en (9) resulta
Determine la pulsación natural ω n del sistema mostrado en la figura. Se desprecian la masa de las poleas y el rozamiento en ellas.
r .............(10) kd 2 12 mC r 2 m B Y Teniendo en cuenta que
............................(11) r Y r Y La ecuación (10) se escribe
1 2
Y Y m BY r kd 2 0 r r 2 d 1 2 mC m B Y k Y 0 r 2 0,2 10 6 Y 200 Y 0 2 0,3 80,8Y 0...(12) Y
mC r 2
Solución. Datos e incógnitas
k ;..m1 m2 m;.. ;.. n ??.
En la figura se muestra el DCL del carro, en posición de equilibrio
La ec. (12) es la ecuación diferencial de una MAS con frecuencia circular dad por
n 2 f 80,8 rad / s f
1 80,8 f 1,43 Hz .......... Rta. 2
La solución de la ecuación diferencial (12), es
Y Y 0 sen8,99t ......................(13) La velocidad será Aplicando las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas, se tiene
8,99Y 0 cos8,99t ..................(14) Y
113
Física General II
Vibraciones Mecánicas
Optaciano Vásquez García
F x 0 T 0 k S mgsen ...........................(1) En la figura se muestra el DCL del sistema del bloque más la polea
Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
F y mY ....................................(5) mg 2T mY
Remplazando la ec. (4) en (5), resulta Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
mY ......(6) mg 2mgsen 2k S X 2m X
F y 0
Por cinemática de movimientos dependientes, se tiene X A 2Y B cons tan te
2T 0 mg ...........................................(2)
2Y 0 X 2Y ......................(7) X
Remplazando la ecuación (2) en (1), se tiene
Remplazando la ec (7) en (6) resulta
mg
2
k S mgsen .........................(3) X ...(8) 2
m mg 2mgsen 2k S X 2m X
En la figura se muestra el DCL del carro cuando se ha desplazado una cierta distancia X hacia arriba a partir de la posición de equilibrio
Al sustituir la ec. (3) en (8), se tiene
X 2kX 0 2m X 2 4kX 0 5m X
m
X
4k X 0...................(10) 5m
La ec. (10) constituye la ecuación diferencial del MAS con una frecuencia circular expresada por
n
Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
F x m X T mgsen k S X m X ........(4) T mgsen k S X m X
2.5.2.
4k ................................ Rta. 5m
Vibraciones amortiguadas
Problema 27. Un bloque de masa m se desliza por una superficie horizontal exenta de fricción, como se muestra en la figura. Determine el coeficiente de amortiguamiento c del amortiguador único que podrá sustituir a los dos representados sin que cambiara la frecuencia de vibración del bloque.
En la figura se muestra el DCL del bloque más la polea cuando se ha desplazado una distancia Y hacia abajo a partir de su posición de equilibrio
114
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
Solución Datos e incógnitas
m; K 0, c ??
Solución Datos e incógnitas
En la figura se muestra el DCL de la masa m, para un desplazamiento x a partir de la posición de equilibrio
W = 50 N; k 1 =1333N/m;k 2 = 1000N/m; c = 83,3 N/m; Para t 0 = 0, y0 = 175 mm, v 0 = 3,75 m/s; Ec dif= ¿??; T=??; Y = f(t); t 1 > 0 En la figura se muestra el diagrama del bloque en la posición de equilibrio, aquí la fuerza viscosa es nula.
Aplicando las ecuaciones de movimiento según las direcciones mostradas, se tiene
F x ma x k 1 X k 2 X F 1v F 2v m X (k 1 k 2 ) X c1 X c 2 X m X (c1 c 2 ) X (k 1 k 2 ) X 0 m X
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
Por lo tanto el coeficiente de amortiguamiento único será
F y 0 k 1 1 k 2 2 W 0
c c1 c 2
Rta.
(1)
En la figura se muestra el DCL del bloque para una posición arbitraria Y a partir de la posición de equilibrio
Problema 28 Un bloque que pesa 50 N pende, en un plano vertical, de dos resortes y de un amortiguador, como se muestra en la figura. Si se desplaza el bloque 175 mm por encima de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad inicial hacia arriba de 3,75 m/s cuando t = 0, determine: (a) La ecuación diferencial que rige el movimiento, (b) El período de la vibración resultante, (c) la posición del bloque en función del tiempo y (c) El primer instante t1 > 0 en que el bloque pasa por su posición de equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de movimiento en dirección Y se tiene
115
Vibraciones Mecánicas
Física General II
F y mY mY k 1 ( 1 Y ) k 2 ( 2 Y ) W cY
Optaciano Vásquez García
Aplicando las condiciones iniciales
(2)
0,175 Asen
Remplazando la ec (1) en (2), resulta
3,75 8,17 Asen 19,76 A cos
cY k 1 k 2 Y 0 mY 50 9,8
83,3Y 1333 1000Y 0 Y 16.34Y 457,26Y 0 Y
Resolviendo estas ecuaciones se tiene
(3)
1,41rad A 0,177mm
La solución de la ec diferencial (3) Es de la forma
La posición en cualquier instante será 8,17t
y Ae t
y 0,177e
sen19,76t 1,14
y Ae t t 2 y Ae
El tiempo t1 > 0, se determina haciendo Y = 0
Remplazando las ecuaciones anteriores se obtiene
0 0,177e 8,17t sen19,76t 1,14
Calculando el valor de t se obtiene
Ae t 2 16,34 457,6 0 La ecuación característica es
Rta.
T = 0,1 seg
2 16,34 457 ,6 0
Problema 29.
La raíces de la ecuación característica son
Un bloque que pesa 100 N se desliza por una superficie sin fricción, según se indica. Los dos resortes están sometidos a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y sin fricción. Si se desplaza al bloque 75 mm a la izquierda de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad de 1,25 m/s hacia la derecha cuando t = 0, determine: (a) la ecuación diferencial que rige el movimiento, (b) el período de la vibración resultante, (c) la posición del bloque en función de tiempo.
1, 2 8,17 i (19,76) De la ecuación anterior se o btiene que γ = 8,17 ωd = 19,76 El período será Td = 0,318
La posición del bloque en cualquier instante es
y Ae t sen d t
y Ae 8,17t sen19,76t Solución
La velocidad es Datos e incógnitas
y Ae 8,17t 8,17 sen(19,76t ) 19,76 cos(19,76t )
116
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
F x mX
W = 100 N; k 1 = 833N/m;k 2 = 1333N/m; c = 167 N.s/m; Para t0 = 0, x0 = 75 mm, v 0 = 1,25 m/s;
k 1 1 X mX T c X
Ec dif= ¿??; T=??; Y = f(t); t 1 > 0
(4)
En la figura se muestra la DCL de la polea imponderable, para un desplazamiento Y hacia abajo En la figura se muestra el diagrama del bloque en la posición de equilibrio, aquí la fuerza viscosa es nula.
Aplicando la segunda ley de newton se tiene
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
F x 0 T 0 k 1 1
F Y mY
(1)
k 2 2 Y 2T 0
En la figura se muestra el DCL de la polea móvil
T
k 2
2
2 Y
(5)
Remplazando la ec (5) en (4), resulta
k 2 2
2 Y c X k 1 ( 1 X ) mX
(6)
Remplazando la ec (3) en (6) se tiene Aplicando las ecuaciones de equilibrio
c X k 1 X m X
F y 0 2T 0 k 2 21
2
Y 0
(7)
Por cinemática de movimiento dependiente se obtiene X 2Y (8) Y X / 2
(2)
Al remplazar la ec (8) en (7), resulta
Comparando las ecuaciones (1) y (2), se tiene
2k 1 1 k 2 2
k 2
c X k 1 k 2 / 4 X 0 m X
(3)*
167 X 833 10,2 X En la figura se muestra el DCL del bloque para un desplazamiento x hacia la derecha.
1333 X 0 4
16,37 X 1144,34 X 0 X
(9)
La solución de la ecuación diferencial es de la forma
y Ae t y Ae t (10) t 2 y Ae
Aplicando la segunda ley de newton, se tiene
Remplazando las ecuaciones anteriores se obtiene
117
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Problema 30
Ae t 2 16,37 114,34 0
Dos barras esbeltas están soldadas según se indica. La barra ABC pesa 10 N y en la posición de equilibrio está horizontal. La barra BD pesa 15 N y en la posición de equilibrio está vertical. Determine: (a) a) la razón de amortiguamiento ζ. (b) el tipo de movimiento y (c) la frecuencia y el período del movimiento (si procede).
La ecuación característica es
2 16,37 114,34 0
(11)
Las raíces son
1, 2 8,2 i(6,9)
(12)
De la ecuación anterior se o btiene que γ = 8,2
(13)
ωd = 6,9
Optaciano Vásquez García
(14)
La posición del bloque en cualquier instante es
X Ae t sen d t
X Ae 8,2t sen6,9t
(15)
Solución
La velocidad en función del tiempo es
Datos e incógnitas
Ae 8,2t 8,2 sen(6.9t ) 6,9 cos(6,9t ) X WABC = 10 N; W BD =15N k = 40N/m c = 167 N.s/m; (a) ξ = ??; (b) Tipo de mov; (c) T = ??, f = ¿?
Remplazando las condiciones iniciales
0,075 Asen
En la figura se muestra el DCL del sistema de varillas para una posición angular θ cualquiera
1,25 8,2 Asen 6,9 A cos Resolviendo estas ecuaciones se tiene
0,68rad A 0,119m Por lo tanto la posición en cualquier tiempo es
X 0,119e8,2t sen6,9t 0,68 El tiempo t > 0 para el cual v = 0, se obtiene de la velocidad Aplicando las ecuaciones e movimiento al sistema, se tiene
8,2t
8,2 sen(6.9t 0,68) 6,9 cos(6,9t 0,68) 8,2t 0 0,119e 1 8,2 sen(6.9t 1 0,68) 6,9 cos(6,9t 1 0,68)
0,119e X
M B I B
Resolviendo eta última ecuación se determina el tiempo solicitado t 1 = 0,19 s
(1)
m BD g 0,3sen kY 0,2cos Fv 0,2cos IB
Rta.
Para ángulos pequeños senθ = θ y cosθ =1,
118
Vibraciones Mecánicas
Física General II
m BD g 0,3 kY 0, 2 c 0, 2 0, 2 I B 15(0,3) 40(0, 2 ) 80(0, 2 ) I B 2
2
Datos e incógnitas
m = 5kg, k = 1200 N7m; c= 400 N.s/m; θ = 15º (a) ζ = ??; (b) tipo de mov.; (c) T = ¿? f =¿?
La ecuación diferencial de la vibración será
3,2 6,1 0 I B
Optaciano Vásquez García
En la figura se muestra el DCL del cilindro en posición de equilibrio estático.
(2)
Se procede a determinar el momento de inercia de las varillas respecto al punto B 2 1 I B 12 m ABC L ABC 13 m BD L2BD
121 ( 910,8 )(0,4) 2 13 ( 915,8 )(0,6) 2 I B 0,197kg .m 2
(3)
Remplazando la ec. (3) en (2), se tiene
3,2 30,96 0 0,197
Rta.
Parte (a). Cálculo de la razón de amortiguamiento ceff 3,2 2 meff k eff 2 0,197(30,96)
1,46
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
F x 0 mgsen F R k 0
Rta.
M G 0 F e,0 r k r 0
Parte (b) Tipo de movimiento. Como la razón de amortiguamiento es mayor que la unidad, el . movimi ento es sobre amorti guado
(1) (2)
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta Parte (c). Como el movimiento es sobre amortiguado no hay período ni frecuencia.
mgsen 2k 0
(3)
En la figura se muestra el DCL del cilindro para un desplazamiento x del centro de masa. .
Problema 31. Un cilindro uniforme de 5 kg rueda sin deslizar por un plano inclinado, según se muestra. El resorte está unido a un hilo ligero inextensible, arrollado sobre el cilindro y el amortiguador lo están a un pequeño pasador sin fricción situado en el centro G del cilindro de 400 mm de diámetro. Determine: (a) la razón de amortiguamiento. (b) el tipo de movimiento y (c) la frecuencia y el período del movimiento (si procede).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
F x maGx G m X mgsen F R k ( X e ) c X
Solución
119
(4)
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Problema 32
M G I G F R r k X e (r ) I G / r F R k X e I G
Calcular la razón de amortiguamiento ξ del sistema representado en la figura si la masa y el radio de giro del cilindro escalonado son m = 9 kg y K G = 140 mm, la constante del resorte es k = 2,6 kN/m y el coeficiente de amortiguamiento del cilindro hidráulico es c = 30 N.s/m. El cilindro rueda sin deslizamiento sobre su radio r = 150 mm y el resorte tanto a tracción como a compresión.
(5)
Sumando la ec. (4) y (5), resulta
G m X mgsen 2k ( X e ) c X
Optaciano Vásquez García
I G r
Remplazando la ec. (3) en (5), se tiene mX
I G
cX 2kX e 0 (6) r Relaciones cinemáticas. Tomando como centro instantánea al punto de contacto
Solución Datos e incógnitas M = 9 kg; K G =140 mm; k = 2600 N/m; r = 0,15m c =30 N.s/m En la figura se muestra el DCL de la rueda en posición de equilibrio
r G r X X e 2r X G
(7)
Remplazando la ec. (7) en (6) y el valor del momento de inercia, resulta
3 G c X 4kX G 0 m X 2
Aplicando las ecuaciones de equilibrio resulta
Remplazando valores, se tiene 3 G 400 X 4(1200) X G 0 (5) X 2
F x 0 F R k s 0
G 400 X 4800X G 0 7,5 X
M G 0
La razón de amortiguamiento será
c eff
FR (r) = 0
2 meff k eff
(1)
(2)
400 2 7,5(4800)
Remplazando (2) en (1), resulta
1,05
k s 0
Como la razón de amortiguamiento es mayor que la unidad el movimiento es sobre amortiguado. Por lo tanto no existe período ni frecuencia.
(3)
En la figura se muestra el DCL de la rueda para un desplazamiento X G de su centro de masa.
120
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
Remplazando lo valores dados en el problema resulta
G 30 X 2600X G 0 16,84 X La razón de amortiguamiento será
ceff
30
2 meff k eff
2 16,84(2600)
0,0716 Aplicando las ecuaciones de movimiento resulta
Problema 33.
F x m X
Para el sistema representado escribir su ecuación diferencial de movimiento en función de la variable x. Hallar la expresión del índice de amortiguamiento en función de las constantes del sistema indicadas. Desprecie la masa de la palanca AB y suponer que se efectúan pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio representada.
F R F e F V m X m X F R kX G c X
(4)
M G I G F R (r ) mK G2 2 F R mK G / r
Rta.
(5)
Sumando las ecuaciones (4) y (5), resulta
G m X G kX G c X
mK G2 r
(6)
Relaciones cinemáticas. Tomando como centro instantáneo el punto de contacto de la rueda con el piso.
Solución Datos e incógnitas M; k; c; a; b; ec. Dif = ¿? En la figura se muestra el DCL del bloque m
r G r X X G
(7)
G X r Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
Remplazando la ec. (7) en (6), se tiene
G kX G c X G m X
F y 0
G mK G2 X r
r
T 0 mg k S
(1)
En la figura se muestra el DCL de la palanca acodada
K 2 c X G kX G 0 m1 2G X G r
121
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
T (a cos ) F V (b cos ) 0 Para ángulos pequeños cosθ = 1, entonces (5) T (a) F V (b) 0
Reemplazando la ec (5) en (4), se tiene Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
mY mg k S Y a cv(b) 0
M o 0 T 0 (a) 0 Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene
0 mg k S
(6)
Al sustituir la ec. (3) en (4) , resulta (2)
mY kY a cv(b) (3)
(7)
De la geometría de la figura se obtiene
En la figura se muestra el DCL del bloque para un desplazamiento Y a partir de su posición de equilibrio
sen
Y V
Y Y V a b
b Y a
B (8) Y a Remplazando la ec. (8) en (7), se tiene vV
cb 2Y kaY 0 maY
Aplicando la segunda ley de Newton se tiene
a
F y mY
2 Y cb Y k Y 0
T mg k ( S Y ) mY mg k ( S Y ) T mY
a
m
(4) La razón de amortiguamiento será c eff cb 2 / ma 2 2 meff k eff 2 1k / m
En la figura se muestra el DCL de la palanca acodada para una posición angular cualquiera.
Aplicando las ecuaciones de movimiento, resulta.
M 0 I O Debido a que la palanca es de masa despreciable, el momento de inercia es nulo
122
cb 2 2a 2 mk
Rta.
(9)
Vibraciones Mecánicas
Física General II
2.5.3
Vibraciones forzadas.
Optaciano Vásquez García
Para ángulos pequeños
cos 1 , entonces
Problema 34
F a F e a I B
Dos esferas de M = 2 kg de masa cada una están soldadas a una barra ligera que está articulada en el punto B. Una segunda barra ligera AC está soldada a la anterior. Se aplica una perturbación en el punto A igual a F =F0 Senωt. En el otro extremo C, se encuentra un muelle recuperador que cuando AC está horizontal no presenta deformación. Si la amplitud de la rotación estacionaria del sistema se mantiene por debajo de 20.10-3 rad, ¿Qué rango de frecuencias ω está permitido?. Utilizar los siguientes datos: l = 300 mm; K = 7000N/m; F 0 = 10 N; a = 100 mm.
aF 0 sen t I B kxe a aF 0 sen t Ml 2 Ml 2 kxe a
kxe a aF 0 sen t 2 Ml 2 7000 (0,1) 2 0,1(10) sen t 2(2)(0,3) 2
70 sen t 0,36
(1)
La solución permanente es de la forma
0 sen t
(2)
La velocidad y la aceleración se expresan
0 cos t
(3)
2 0 sen t
(4)
Remplazando las ec. (2), (3) y (4), en(1) resulta
0,36 2 0 sen t 70 0 sen t sen t
Solución En la figura se muestra el DCL del sistema compuesto por las dos masas más las dos varillas
Simplificando se tiene
0,36 2 0 70 0 1
0 70 0,36 2 1 Remplazando valores se obtiene
7,45rad / s Problema 35 Dos barras uniformes iguales cada una de masa m están soldadas formando un ángulo recto y están suspendidas, tal como se muestra, de un eje horizontal que pasa por O: hallar la pulsación excitadora crítica ω C del bloque B capaz de producir en el sistema unas oscilaciones de amplitud excesiva. La masa del conjunto soldado es m .
Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
M
B
I B
F (a cos ) ( Mg Mg )lsen F e a cos I B
123
Vibraciones Mecánicas
Física General II
Optaciano Vásquez García
kl 2 mgl 5ml 2 kl bsen t 2 12 2 2 Simplificando la ecuación (2) en (1), resulta
6kb 6kl 6mg sen t 5ml 5ml
La ecuación obtenida es una ecuación diferencial que describe el movimiento forzado sin amortiguamiento. Su frecuencia natural circular está dada por la ecuación
Solución
n
En la figura se muestra el DCL del sistema formado por las dos varillas.
6 k g 5 m l
La pulsación para la resonancia es
C n
6 k g Rta. 5 m l
Problema 36 EL elemento de fijación B recibe un movimiento horizontal x B = b cos ωt . Deducir la Ecuación diferencial del movimiento de la masa m y definir la pulsación crítica ωC para la cual las oscilaciones de la masa se hacen excesivamente amplias.
Aplicando las ecuaciones de movimiento, se tiene
M o I o F e' 2l cos F e 2l cos mg 2l sen I o Para ángulos pequeños, senθ ≈ θ y cosθ ≈ 1.
k 2l 2l k 2l y B 2l mg 2l I o
Solución En la figura se muestra el DCL de m para un desplazamiento x a partir de su posición de equilibrio.
Simplificando la ecuación anterior, resulta
kl 2 mgl kl I o y B (1) 4 2 2 El momento de inercia esta dado por 1 I o 13 ml 2 12 ml 2
5ml 2 I o 12
(2)
Aplicando las ecuaciones de movimiento al DCL, resulta
Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene
F e F e' F V ma x
124
Vibraciones Mecánicas
Física General II
k 1 x k 2 x x B c x mx m x c x k 1 k 2 x k 2 xB m x c x k 1 k 2 x k 2 b cos t
Optaciano Vásquez García
T 0 50N 0
(1)
En la figura se muestra el DCL del bloque de 75 N.
La frecuencia natural es
n
k 1 k 2 m
La frecuencia de resonancia está dada por
C n
k 1 k 2 m
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
Rta.
F y 0 T 0' k 75N 0
Problema 37. Los dos bloques mostrados en la figura pende, en un plano vertical, de una barra de masa despreciable que está horizontal en la posición de equilibrio. Si se aplica al punto D de la barra una fuerza P(t) = 20 sen(Ωt), determine la máxima amplitud de la oscilación estacionaria del bloque de 50 N.
(2)
En la figura se muestra el DCL de la barra de masa despreciable en equilibrio
Tomando momentos respecto a B, se tiene
M B 0 T0' (0,15) T 0 (0,450) 0
(3)
En la figura se muestra el DCL del bloque de 50N para una posición Y.
Solución En al figura se muestra el DCL del bloque de 50 N en equilibrio estático.
La segunda ley de Newton nos da
F y ma y
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
F y 0
125
Vibraciones Mecánicas
Física General II
T 1 50 c y
0,15T2 0,45T1 20sent 0,225 (7)
50 y 9,8
T 1 50 c y 5,1 y
Optaciano Vásquez García
Remplazando (5) y (6) en (7), y en este resultado se reemplaza la ecuación (4), se tiene
(5)
En la figura se muestra el DCL para el bloque de 75N para un desplazamiento respecto a su posición de equilibrio.
2.68 y 14,85 y 125 y 4,5 sent La solución particular tiene una amplitud
y m
F 0,eff
k
eff
y m
m 2 ceff 2 2
4,5
125 2,68
2 2
14,852
La máxima amplitud se obtiene derivando la ecuación anterior respecto de Ω. Al realizar la derivada e igualarlo a cero se tiene Aplicando la segunda ley de Newton
5,59rad / s
F y m2 a2 y 75 y2 9,8 T 2 75 k y2 7,65y2
Remplazando el valor de la frecuencia circular obtenida en la amplitud de la vibración de estado permanente se tiene
k y2 75 T 2
(6)
y m
En la figura se muestra el DCL de la barra para un desplazamiento angular cualquiera
B
125 2,68(5,59) 2 2 14,85(5,59)2 y max
Aplicando las ecuaciones de movimiento, resulta
M
4,5
I B
0,15T2 cos 0, 45T1 cos 20sent 0, 225cos 0 Para ángulos pequeños cosθ ≈ θ, entonces se tiene
126
48,5mm
Rta.
Física General II
Vibraciones Mecánicas
2.6
PROBLEMAS PROPUESTOS.
2.6.1
Vibraciones libres
Optaciano Vásquez García
4. Con la hipótesis de ausencia de deslizamiento, hallar la masa m del bloque a colocar encima del carrito de 6 kg para que el período del sistema sea de 0,75 segundos. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático mínimo μ S del sistema para el cual el bloque no resbala sobre el carrito cuando éste se aparta 50 mm de la posición de equilibrio y luego se suelta?.
1. En la figura mostrada, la coordenada x mide el desplazamiento del centro de gravedad del carrito de masa m = 10 kg respecto a su posición de equilibrio. Si en t = 0 el carrito está en la posición en la cual el resorte de constante k = 90 N/m está sin deformar y tiene una velocidad de 0,3 m/s hacia la derecha. Determine: (a) el período y la frecuencia del movimiento del centro de masa del carrito y (b) la posición del carro como función del tiempo.
5. Si los dos resortes están sin deformar cuando la masa se halla en la posición central representada, determine el desplazamiento estático de la misma, ¿Cuál es el período de las oscilaciones en torno a la posición de equilibrio?.
2. El cilindro de 2 kg se encuentra suspendido de un resorte de constante k = 98 N/m como se muestra en la figura. Si se desplaza al cilindro 100 mm hacia abajo y se suelta desde el reposo cuando t = 0. Determine: (a) la elongación y la velocidad cuando t = 3 s; (b) la aceleración máxima del cilindro.
6. Al cilindro de masa m se le da un desplazamiento vertical y0 desde su posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. Despreciando la masa y la fricción en la polea. Determine: (a) la ecuación diferencial de la vibración vertical del cilindro y (b) el período y la frecuencia natural de las oscilaciones pequeñas.
3. El carrito de masa m = 4 kg y el resorte unido al muelle de constante k = 64 N/m, se encuentran inicialmente en reposo como se muestra en la figura. Si el carro se desplaza hacia 10 mm hacia abajo del plano inclinado y se libera desde el reposo. Determine: (a) el período y la frecuencia de la vibración resultante, (b) La posición en función del tiempo del carrito.
7. Durante el diseño de un sistema de soporte con resortes cuya plataforma es de 4000 kg , se ha decidió que las vibraciones libres verticales en la condición de descargado no debe exceder de f 1 = 3 ciclos/s. (a) Determine la constante máxima k aceptable para cada uno de los tres resortes idénticos y (b) Para esta constante de los resortes, ¿cuál podría ser la frecuencia natural f n de las vibraciones verticales de la plataforma cargada con un camión de 40 Mg ?.
127
Física General II
Vibraciones Mecánicas
Optaciano Vásquez García
8. En la posición de equilibrio, el cilindro de
30 kg causa una deformación estática de 50 mm en el resorte helicoidal. Si el cilindro es desplazado una distancia adicional de 25 mm y liberado desde el reposo, determine la frecuencia natural resultante f n de la vibración vertical del cilindro en Hz.
12. El período de vibración del sistema mostrado en la figura es 0,80 s. Si el cuerpo A es removido, el período del sistema es 0,7 s. (a) la masa del cuerpo C, (b) el período de vibración del sistema cuando los bloques A y B son removidos.
9. Hallar la frecuencia natural f n de las oscilaciones verticales del cilindro de masa m. despreciar la masa del cilindro escalonado y el rozamiento del mismo.
13. Un bloque de 35 kg está soportado por el dispositivo de muelles que se muestra. Desde su posición de equilibrio sufre un desplazamiento vertical descendente y se suelta. Sabiendo que la amplitud del movimiento resultante es 45 mm, halle: (a) la ecuación diferencial que gobierna a cada uno de los movimientos de los bloques (b) el período y la frecuencia del movimiento, (c) la velocidad y la aceleración máximas del bloque.
10. La plataforma A de 50 kg está unida a los resortes B y D de constante k = 1900 N/m cada uno. Se desea que la frecuencia de vibración de la plataforma no varíe cuando sobre ella se deposita un bloque de 40 kg , por lo que se añade un tercer muelle C. Determine la constante del resorte C.
14. El carrito de masa m se encuentra unido a dos resortes k 1 y k 2. Si ambos resortes se encuentran sin deformar cuando el carrito se encuentra en equilibrio. Determine la frecuencia natural para pequeñas oscilaciones.
11. Calcular la frecuencia natural ω n del sistema mostrado en la figura. Desprecie la masa, el tamaño y el rozamiento de las poleas.
128
Física General II
Vibraciones Mecánicas
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15. En el sistema mostrado en la figura, desprecie la masa y la fricción de las poleas y determine la frecuencia angular para oscilaciones pequeñas del bloque de masa m
19. El disco de 89 N de peso y radio R = 152,4 mm rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal. El resorte tiene una constante k = 218,9 N/m . Si en t = 0, el resorte está sin deformar y el disco tiene una velocidad angular en sentido horario de 2 rad/s. Determine: (a) el período y la frecuencia de la vibración resultante y (b) la amplitud de la vibración resultante del centro del disco.
16. Una corredera de 5 kg descansa sobre un muelle sin estar unida a él. Se observa que si la misma se empuja 180 mm o más hacia abajo y se suelta pierde contacto con el muelle. Halle: (a) la constante del muelle, (b) la posición, velocidad y aceleración de la corredera 0,16 s después de haberse empujado 180 mm hacia abajo y soltado.
20. El engranaje de masa m y de radio de giro alrededor de su centro O de K 0. Los resortes de constantes k 1 y k 2 se encuentran inicialmente sin deformar cuando la rueda se encuentra en posición de equilibrio. Si a la rueda se le da un pequeño desplazamiento angular θ como se muestra y se libera desde el reposo. Determine: (a) la ecuación diferencial del movimiento de la rueda y (b) el período y la frecuencia para pequeñas oscilaciones.
17. El embolo vertical tiene una masa de 2,5 kg y está sujeto entre dos resortes que se encuentran siempre comprimidos. Determine la frecuencia natural f n si el mismo se aparta de su posición de equilibrio y se suelta. Desprecie el rozamiento en la guía
21. Una barra uniforme AB de 750 g está articulada en A y unida a dos muelle, ambos de constante k = 300 N/m. Halle: (a) la masa m del bloque C para que el período de las pequeñas oscilaciones sea 0,4 s, (b) Si el extremo se desplaza 40 mm y se suelta, halle la velocidad máxima del bloque C.
18. El proyectil de 0,1 kg se dispara contra el bloque de 10 kg que inicialmente se encuentre en reposo sin que en el resorte sin que en el resorte actué fuerza alguna. El resorte tiene ambos extremos sujetos. Determine la elongación horizontal máxima x max del resorte y el período de la oscilación subsiguiente del bloque con el proyectil incrustado.
22. Una barra uniforme AB de 8 kg está articulada en A a un soporte fijo mediante los pasadores B y C a
129
Física General II
Vibraciones Mecánicas
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un disco de 12 kg y 400 mm de radio. El muelle sujeto en D mantiene el equilibrio de la barra el a posición representada. Si el punto B se mueve 25 mm hacia abajo y se suelta, halle: (a) el período de la vibración, (b) la velocidad máxima del punto B.
26. El bloque tiene una masa m y es soportada por una barra rígida de masa despreciable. Si el resorte tiene una constante elástica k . Determine el período y la frecuencia de la vibración del bloque.
23. La longitud del resorte se ajusta de tal manera que en la posición de equilibrio el brazo se encuentra en posición horizontal como se muestra en la figura. Despreciando la masa del brazo y del resorte, determine la frecuencia natural f n de las pequeñas oscilaciones.
27. La boya cilíndrica flota en agua salada (densidad, 1030 kg/m3) y tiene una masa de 800 kg con un centro de masa bajo para que se mantenga estable en la posición vertical. Hallar la frecuencia f n de sus oscilaciones verticales. Suponga que la superficie del agua permanece tranquila en sus proximidades.
24. La masa de la barra esbelta mostrada en la figura es m. El resorte no está estirado cuando la barra está en posición vertical. El collarín ligero C se desliza sobre la barra vertical lisa, quedando el resorte horizontal. Determine la frecuencia natural de las pequeñas oscilaciones de la barra.
28. Determine el período natural de la vibración de la esfera de masa m = 3 kg . Desprecie la masa de la barra y el tamaño de la esfera
25. Una esfera A de 400 g y una esfera C de 280 g están unidas a los extremos de una varilla AC de 560 g que puede rotar en un plano vertical alrededor de un eje que pasa por B. Halle el período de las pequeñas oscilaciones de la varilla.
29. Un bloque de 25 kg está soportado por un cable, que se enrolla sobre un disco circular de 35 kg y 0,5 m de radio y está sujeto a un resorte como se
130
Física General II
Vibraciones Mecánicas
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muestra en la figura. Se tira el bloque hacia abajo 0,2 m desde su posición de equilibrio y se suelta. Determine: (a) la ecuación diferencial para el movimiento del bloque, (b) el período natural de la vibración y (c) la velocidad máxima del bloque.
33. Determine la frecuencia natural para pequeñas oscilaciones de la esfera de 10 lb de peso cuando la barra es desplazada un pequeño ángulo y liberada. Desprecie el tamaño de la esfera y la masa de la barra. El resorte tiene una longitud no deformada d = 1 pie y una constante k = 5 lb/pie.
30. La rueda de 50 lb tiene un radio de giro con respecto a su centro de gravedad G de k G = 0,7 pies. Determine la frecuencia de vibración si se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio y se suelta. Suponga que no existe deslizamiento.
34. El peso G = 25 lb está fijo en el extremo de la barra como se muestra en la figura. Si ambos resortes de contantes k = 2 lb/pulg están sin deformar cuando el ensamblaje está en la posición vertical. Determine el período y la frecuencia natural de la vibración del peso cuando es desplazado ligeramente un ángulo θ y liberado. Desprecie el tamaño del bloque y la masa de las barras. Considere que r = 12 pulg, y d = 6 pul.
31. La polea de 50 kg de masa es unida a dos resortes como se muestra en la figura. Si la polea es desplazada una pequeña cantidad y liberada, determine el período y la frecuencia. El radio de giro de la polea es K G = 250 mm.
32. Una barra uniforme esbelta de 3 kg está atornillada a un disco uniforme de 5 kg . Al disco está sujeto un muelle de constante 280 N/m que está sin deformar en la posición representada. Si el extremo B de la varilla recibe un pequeño desplazamiento a la izquierda y se suelta, halle el período de la vibración del sistema.
35. Un brazo ABC de 635 g está sujeto en B por un pasador y en C a un muelle: En C está conectado a una masa de 11,4 kg unida a un muelle. Sabiendo que ambos muelles pueden trabajar a compresión o
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Física General II
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a tracción, halle la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del sistema cuando la masa reciba un leve desplazamiento vertical y se suelta.
38. Una barra de peso despreciable está articulada en A
36. Una masa de 4 kg está suspendida en un plano
39. Derive la ecuación diferencial para el movimiento
vertical según se muestra. Los dos resortes están sometidos s y tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y sin fricción. Si se lleva a la masa a 15 mm por encima de su posición de equilibrio y se suelta con una velocidad de 750 mm/s hacia abajo cuando t = 0. Halla: (a) La ecuación que rige al movimiento, (b) el periodo y la amplitud de la vibración resultante, (c) la posición de la masa en función del tiempo.
de del sistema mostrado inicialmente en equilibrio. Desprecie la masa del cuerpo AB y considere oscilaciones pequeñas.
y en el extremo B lleva una esfera puntual de 4 kg de masa. Si a la varilla se gira un ángulo θ 0 = 0,1 rad y se le da una rapidez angular de ω = 0,6 rad/s en sentido horario en t = 0. Determine: (a) la ecuación diferencial que describe el movimiento del sistema, (b) la posición angular en cualquier tiempo.
40. Un disco delgado de 2 kg y radio r = 200 mm pende por su borde de un pequeño pasador sin fricción, como se muestra en la figura. Escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición angular θ(t) del disco y determinar el período y la frecuencia del movimiento vibratorio resultante.
37. Sobre una superficie horizontal se deposita un semicilindro macizo de radio r y se le hace rotar un pequeño ángulo y se suelta. Suponiendo que rueda sin deslizar. Determine la frecuencia de sus oscilaciones pequeñas.
41. La cáscara semicilíndrica de espesor despreciable. Pero uniforme, y radio r oscila con pequeña
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Física General II
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amplitud sobre la superficie horizontal. Despreciando el deslizamiento, determine: (a) la ecuación diferencial para oscilaciones pequeñas y (b) el período de las oscilaciones.
45. El radio del disco mostrado en la figura es R = 100 mm, y su momento de inercia es I = 0,005 kg.m2. La masa del cilindro pequeño es m = 2 kg y la constante del muelle es k = 200 N/m. El sistema se encuentra inicialmente en reposo. En el instante t = 0, se le da al cilindro una velocidad inicial hacia debajo de 1 m/s. Determine: (a) El período y la frecuencia de la vibración resultante y (b) La posición del cilindro respecto a su posición de equilibrio como función del tiempo.
42. La varilla esbelta uniforme de longitud l y masa m2nestá fija al disco uniforme de radio l/5 y masa m1. Si el sistema está representado en su posición de equilibrio. Determine la pulsación natural ωn y la velocidad angular máxima ω de las pequeñas oscilaciones de amplitud θ 0 en torno al eje O.
43. Con una barra delgada y uniforme se forma un semianillo de radio r como se muestra en la figura. Determine el período y la frecuencia para pequeñas oscilaciones cuando la barra pivota en su centro sobre la cuchilla horizontal.
46. Dos cuerdas elásticas están unidas a una pelota de masa m y estiradas a una tensión inicial T. Si la pelota recibe un pequeño desplazamiento lateral y se suelta, determine la frecuencia de la vibración resultante.
44. El hilo ligero atado al bloque de 50 N de la figura está arrollado a un cilindro uniforme de 35 N . Si el hilo no se desliza por el cilindro, escribir la ecuación diferencial del movimiento para la posición y(t) del bloque de 50 N y determine el período y la frecuencia de la vibración resultante.
47. ¿Cuál es la frecuencia natural de vibración torsional del cilindro escalonado?. La masa del cilindro es de 45 kg y su radio de giro es de 0,46 m. Utilizar los datos siguientes: D1 = 0,3 m; D 2 = 0,6 m; K 1 = 875 N/m; K 2 = 1800N/m y W A = 178 N.
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compresión, determine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del sistema cuando la barra se gira levemente y se suelta.
16. Un cilindro escalonado de 3 kg se mantiene sobre un plano inclinado mediante un muelle cuya constante es k = 400 N/m. El radio de giro del cilindro con respecto a su centro de masa es K G = 125 mm; R1= 100 mm y R2 = 200 mm. Determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento del carrete, (b) El período y la frecuencia para pequeñas oscilaciones.
50. Sobre dos poleas A y B que rotan en sentidos opuestos descansa una barra de masa m y longitud L. Siendo μ K el coeficiente de rozamiento cinético entre la barra y las poleas, halle la frecuencia de vibración si la barra recibe un leve desplazamiento hacia la derecha y se suelta.
51. Hallar el período T del sistema si la pieza 48. Derivar la ecuación diferencial del movimiento del
articulada AB de masa m 2 está horizontal en la Posición de equilibrio estático representada. El radio de giro de AB con respecto a O es K 0 y su centro de gravedad está ubicado en el punto G. Suponga pequeñas oscilaciones.
sistema mostrado en la figura en función de la variable x1. Las masas de las piezas articuladas es despreciable. Formular la pulsación natural n en rad/s para el caso k 1 = k 2 = k y m1 = m2. Se supone que las oscilaciones son pequeñas
52. Una varilla delgada uniforme tiene una masa de 3 49. Una barra uniforme ABC de 2 kg está sujeta por un
kg . Halle la posición x en que debe encontrarse el cursor de 1 kg de masa para que el período del sistema sea 0,9 segundos. Suponer pequeñas oscilaciones en torno a la posición horizontal de equilibrio representada.
pasador en B y sujeta en C a un muelle. En A está conectada a un bloque DE de 2 kg , que puede rodar sin deslizar, unido a un muelle. Sabiendo que ambos muelles pueden trabajar a tracción o a
134
Física General II
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56. Si el disco de r = 100 mm tiene una masa de
8 kg y la constante de cada uno de los muelles es k = 400 N/m. Determine la frecuencia natural para pequeñas oscilaciones del disco.
53. Los dos bloques mostrados en la figura se deslizan por sendas superficies horizontales sin fricción. Las barras de conexión tienen peso despreciable y en la posición de equilibrio, ABC está vertical. Supóngase oscilaciones de pequeña amplitud y determine. (a) la ecuación diferencial del movimiento del bloque de 75 N y (b) la pulsación propia de la oscilación.
57. Un trozo de masilla de 3 kg se deja caer desde el reposo desde una altura de 2 m sobre un bloque inicialmente inmóvil el cual se encuentra sostenido por cuatro resortes cada uno de los cuales tiene una constante k = 800 N/m. determine la elongación x en función del tiempo durante la oscilación subsiguiente, donde x se mide desde la posición original del bloque representado.
54. Una barra de 1 m de longitud y 120 N de peso se mantiene en posición vertical mediante dos muelles idénticos cada uno de los cuales tiene una constante k igual a 50 000 N/m. ¿Qué fuerza vertical P hará que la frecuencia natural de la barra alrededor de A se aproxime a un valor nulo para pequeñas oscilaciones.
58. Si el extremo inferior de la barra de 1,5 kg es desplazado ligeramente de su posición de equilibrio y liberada desde el reposo. Determine la frecuencia natural de vibración si cada uno de los resortes tienen una constante k = 120 N/m.
55. El disco semicircular tiene una masa m y un radio r se encuentra articulado en O como se muestra en la figura. Determine el período natural para pequeñas oscilaciones del disco si se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio y se suelta desde el reposo.
59. Determine la ecuación diferencial del movimiento de la posea de 15 kg de masa. Asuma que no existe deslizamiento entre la superficie de contacto de la polea y el plano. El radio de giro de la polea es
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K G = 125 mm, la contante de cada resorte es k = 200 N/m y se encuentran sin deformar en la posición de equilibrio.
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frecuencia natural de oscilación alrededor de A próxima a cero para pequeñas oscilaciones?. ¿Qué significado físico tiene esto?
60. La barra tiene una masa M = 8 kg y se encuentra suspendida de dos resortes cada uno de los cuales tiene una constante k = 40 N/ m tal que cuando está en equilibrio forman un ángulo = 45° como se muestra en la figura. Determine el período de vibración de la barra si es desplazada ligeramente hacia debajo de su posición de equilibrio y liberada desde el reposo.
63. Una varilla AB de 800 g está atornillada a un disco de 1,2 kg. Al centro de éste está sujeto un muelle de constante k = 12 N/m cuyo otro extremo C está unido a una pared. Sabiendo que el disco rueda sin deslizar. Determine el período de las pequeñas oscilaciones del sistema.
64. Dos barras de masa m y longitud l están soldadas en forma de L y sostenidas en equilibrio en un plano vertical por dos resortes como se muestra en la figura. Si la constante de cada uno de los muelles es k . Determine la frecuencia para pequeñas oscilaciones del sistema.
61. El pequeño cañón dispara una bala de 4,5 kg con una velocidad absoluta de 250 m/s que forma un ángulo de 20° con la horizontal. La masa conjunta del cañón y su afuste es de 750 kg . Si el mecanismo de retroceso se compone de un resorte de constante k = 27 kN/m y el amortiguador de coeficiente viscoso c = 9000 N.s/m. Determine el retroceso máximo xmax del cañón.
62. Una barra de masa m y longitud L está fija en la 65. Dos bloques de 1,5 kg de masa cada uno, se
posición vertical mediante dos muelles idénticos cuya constante es K . Una carga vertical P actúa en el extremo superior de la barra ¿Qué valor de P, en función de m, L y K , hará que la barra tenga una
encuentran unidos mediante eslaboles cortos a una barra rígida BC. La masa de la barra y de los eslabones es despreciable, y los bloques pueden
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2.6.2. VIBRACIONES AMORTIGUADAS.
deslizar sin fricción sobre las superficies horizontales. El bloque D se encuentra unido a un resorte de constante k = 720 N. Si el bloque a se desplaza 15 mm a partir de su posición de equilibrio y se suelta, determine la velocidad máxima del bloque D durante su movimiento.
68. Halle el valor de la razón de amortiguamiento del dispositivo sencillo compuesto de una masa, amortiguador y resorte.
69. Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso para el cual la razón de amortiguamiento del sistema vale. (a) 0,5 y (b) 1,0
66. Dos esferas pequeñas A y C cada una de masa m se encuentran unidas a una barra AB horizontal de masa despreciable la cual se encuentra sostenida por un pasador en A y un resorte CD. Determine la frecuencia para pequeñas oscilaciones del sistema.
70. Halle la razón de amortiguamiento del sistema representado. Se desprecian las masas de las poleas y el rozamiento en las mismas y se supone que el cable está siempre tenso.
67. Calcular la frecuencia natural f n de la oscilación vertical del sistema mostrado en la figura. La polea de 40 kg tiene un radio de giro de 200 mm respecto a su centro O y la constante del muelle es k = 2 kN/m.
71. (a) Deduzca la ecuación diferencial de movimiento para el sistema que se muestra. (b) Determine la amplitud de la vibración de estado estable y el ángulo por el que x se atrasa a y si m = 6 kg , k = 8 kN/m, c = 40 N.s/m, Y = 80 mm y = 30 rad/s.
72. Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso para el cual es crítico el amortiguamiento del sistema representado.
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horizontal como se muestra en la figura. Si el sistema mecánico se gira un ángulo pequeño en sentido anti horario y se suelda desde el reposo, determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento de la barra, (b) el coeficiente de amortiguamiento que hace que el c amortiguamiento sea críticamente amortiguado.
73. Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento viscoso para el cual es crítico el amortiguamiento del sistema representado.
76. La barra uniforme de masa m está en equilibrio en la posición horizontal. (a) Deduzca la ecuación diferencial de movimiento para pequeñas oscilaciones de la barra. (b) Determine la razón de amortiguamiento si m = 16 kg ; c1 = 30 N.s/m; c2 = 20 N.s/m y k = 90 N/m.
77. La plataforma, soportada por un pasador en B y un muelle en C, está en equilibrio en la posición que se muestra. Cuando el amortiguador viscoso situado en A se desconecta, la frecuencia del sistema para pequeñas oscilaciones es 2,52 Hz . Determine el coeficiente de amortiguamiento c que amortiguará críticamente al sistema.
74. Se muestra una barra de 2,25 m de longitud y 250 N de peso en la posición de equilibrio estático y soportada por un muelle de rigidez k =12 N/mm. La barra está conectada a un amortiguador con un coeficiente de amortiguamiento c = 50 N.s/m. Si un momento impulsivo proporciona a la barra una velocidad angular en el sentido de las agujas del reloj de 0,5 rad/s en la posición que se muestra. ¿Cuál será la posición angular de A para t = 0,2 s?.
78. Una bola esférica de 134 N de peso está soldada a una barra ligera vertical que, a su vez, está soldada en el punto B a una biela horizontal. Un muelle de rigidez k = 8,8 N/mm y un amortiguador c = 179 N.s/m está conectados a la biela horizontal. Si A se desplaza 75 mm hacia la derecha, ¿Cuánto tiempo tardará en volver a la configuración vertical?.
75. La barra rígida AB de masa m y longitud L se encuentra articulada en O y está en posición
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81. Halle el valor del coeficiente de amortiguamiento c para el cual el sistema está críticamente amortiguado si la constante de cada resorte es k = 70 kN/m y m = 90 kg.
82. El sistema de la figura está compuesto por el
79. Encuentre la expresión para le respuesta de estado
cuerpo W de 45 kg , un resorte cuya constante es 650 N/m y un amortiguador viscoso cuyo coeficiente es 200 N.s/m. Determine el coeficiente de amortiguamiento crítico y el decremento logarítmico.
estable x(t) del bloque si Y = 10 mm, = 600 rad/s. ¿Se adelanta o se atrasa x(t) al desplazamiento impuesto Y(t )?.
83. Una masa de 2 kg pende, en el plano vertical, de dos muelles, como se muestra en la figura. Si se desplaza la masa 5 mm por debajo de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad hacia arriba de 20 mm/s cuando t = 0, determine: (a) la ecuación diferencial que rige al movimiento; (b) El período de la vibración resultante; (c) la posición de la masa en función del tiempo.
80. Una masa de 4 kg pende en un plano vertical como se ve en la figura. El resorte se halla sometido a tracción en todo momento y las poleas son pequeñas y sin fricción. Si se desplaza la masa 15 mm por encima de su posición de equilibrio y se suelta dándole una velocidad hacia debajo de 0,75 m/s cuando t = 0, determine: (a) La ecuación diferencial que rige al movimiento, (b) El período de la vibración resultante y (c) la posición de la masa en función del tiempo.
84. Los dos bloques de la figura penden, en un plano vertical, de una barra de masa despreciable que está horizontal en la posición de equilibrio. Si a = 15 cm y se suponen oscilaciones de pequeña amplitud, determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento ; (d) El período de la
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87. La barra rígida en forma de T y de masa
vibración resultante (si procede) y (c) El valor de a para el amortiguamiento crítico
despreciable lleva en uno de sus extremos una esfera puntual B de 4 kg de masa como se muestra en la figura y gira en un plano vertical alrededor de un eje horizontal que pasa por el punto A. Los resortes tienen las constantes elásticas k 1 = 70 N/m; k 2 = 200 N/m; k 3 = 230 N/m y el amortiguador tiene un coeficiente de amortiguamiento c = 15 N.s/m. El equilibrio del sistema se perturba girando la barra y liberándola del reposo. Determine: la ecuación diferencial del movimiento, (b) la frecuencia amortiguada y (c) la razón entre las amplitudes de los ciclos primer y tercero.
85. Una barra uniforme de 1,6 kg está articulada en O y sujeta en A por un muelle y en B está unida a un amortiguador. Halle: (a) La ecuación diferencial del movimiento para pequeñas oscilaciones, (b) El ángulo que forma la barra con la horizontal 5 segundos después de empujar la barra 23 mm hacia abajo y soltarla.
88. La masa del cuerpo en forma de T del sistema de la figura es despreciable y la masa de la esfera puntual B es de 30 kg, la constante del resorte es k = 1200 N/m y el coeficiente de amortiguamiento es c = 270N.s/m. El sistema está en equilibrio AB se encuentra horizontal. Determine, para el movimiento que se produce al perturbar el equilibrio, (a) El tipo de movimiento que se desarrolla, (b) La frecuencia de la oscilación si procede y (c) La razón de amortiguamiento.
86. El bloque de 25 N de peso de la figura se desliza por una superficie horizontal sin fricción mientras que el que pesa 15 N pende en un plano vertical. La barra ABC tiene una masa despreciable y en la posición de equilibrio tiene su brazo AB horizontal. Si c = 250 N.s/m y se supone oscilaciones pequeñas, determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento ; (d) El período de la vibración resultante (si procede) y (c) El valor de a para el amortiguamiento crítico
89. Se
quiere determinar el coeficiente de amortiguamiento c de un amortiguador observando la oscilación de un bloque de 50N de peso que pende de él según se muestra en la figura. Cuando se tira hacia abajo el bloque y se suelta, se observa que la amplitud de la vibración resultante disminuye de 125 mm a 75 mm en 20 ciclos de oscilación. Determine el valor de c si los 20 ciclos se completan en 5 s.
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93. Una barra esbelta AB de 6 lb está empernado a un disco uniforme de 10 lb. Un amortiguador de coeficiente de amortiguamiento c = 0,6 lb,s/pie está unido al disco como de muestra en la figura.. determine: (a) la ecuación diferencial del movimiento para pequeñas oscilaciones y (b) la razón de amortiguamiento c/ccri.
90. Una barra esbelta uniforme de 2 kg y 500 mm de longitud gira alrededor del pivote exento de fricción situado en B, como se muestra en la figura. En la posición de equilibrio la barra es horizontal. Determine: determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento; (b) La razón de amortiguamiento; (c) El tipo de movimiento ; (d) El período de la vibración resultante (si procede) y (c) El valor de a para el amortiguamiento crítico
94. Las dos masas mostradas en la figura se deslizan por superficies sin fricción. En la posición de equilibrio la barra ABC está vertical, siendo despreciable la masa. Si a = 100 mm y se suponen oscilaciones de pequeña amplitud, determine: (a) La razón de amortiguamiento; (b) El tipo de movimiento; (c) La frecuencia y el período del movimiento (si procede) y (d) El valor de a que da amortiguamiento crítico.
91. Para el sistema representado considere que la palanca AB tiene una masa m2 y un radio de giro K 0 respecto al punto O. Determine: (a) La ecuación diferencial del movimiento en función de la variable x, (b) la frecuencia natural no amortiguada ω n (c) la razón de amortiguamiento ζ
92. El disco escalonado cuyo peso es de 89 N tiene un momento de inercia I = 0,81 kg.m2, y en t = 0 recibe una velocidad angular de 1 rad/s en sentido horario. Determine: (a) la ecuación diferencial del movimiento del centro de masa del disco, (b) la frecuencia de las oscilaciones pequeñas del disco y (c) la posición del centro del disco respecto a su posición de equilibrio en función del tiempo si c = 233,5 N.s/m.
2.6.3 VIBRACIONES FORZADAS. 95. El sistema mostrado está compuesto por un cuerpo masa m = 4 kg y dos resortes de constantes k 1 = 350 N/m y k 2 = 250N/m. El desplazamiento de E es armónico y está dado por y E =1,2 cos2t , donde y E y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine la amplitud de la vibración estable de W.
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99. Hallar la amplitud x del movimiento estacionario de la masa de 10 kg si (a) c = 500 N.s/m y (b) c = 0.
96. En la figura se muestra la forma como se sustenta a una esferita de 25 kg . La masa de la barra es despreciable y la constante del resorte es k = 400 N/m. El movimiento del rodillo E es armónico y está dado por y E =12 cos7t , donde y E y t se expresan en milímetros y segundos, respectivamente. Obtenga la solución estable que describe el movimiento de B.
100. El sistema representado en la figura se ajusta para que se encuentre en equilibrio cuando AB esté horizontal y x E sea igual a cero. La masa del cuerpo B es 25 kg , la constante del resorte es 1200 N/m y el valor del coeficiente de amortiguamiento es c = 300 N.s/m. La posición del punto E varía de acuerdo con la ecuación x E =0,125 sen 5t, donde x E y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine la amplitud del movimiento de B y su velocidad máxima.
97. El movimiento del bloque E mostrado en la figura es armónico y lo define la ecuación y E =0,15 sen10t, donde y E y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. La constante de R 1 es 150 N/m y la constante de R 2 es 250 N/m. Se considera despreciable la masa de las barras que soportan al cuerpo W de 15 kg. Halle la solución estable que describe el movimiento del sistema.
101. Las dos masas de la figura se deslizan por superficies horizontales lisas. La barra ABC es de masa despreciable y está vertical en la posición de equilibrio. Si al punto D de la barra se aplica una fuerza P(t) = 50 senΩt N, determine la máxima amplitud de la oscilación estacionaria del bloque de 10 kg .
98. El carro de 64,4 lb está sometido a la acción de una fuerza armónica como se indica. Si c = 0, determine los límites permitidos a la pulsación excitadora de modo que la amplitud de la respuesta estacionaria sea inferior a 3 pulgadas
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102. El elemento de fijación B recibe un movimiento
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según se indica en la figura. En el borde de la polea del motor ( e = 25 cm) está fija una pequeña masa (m = 0,5 kg ). Determine la máxima amplitud de la vibración forzada resultante del motor.
horizontal x B = b cos t. deducir la ecuación del movimiento de a masa m y determine la pulsación crítica para la cual las oscilaciones se vuelven extremadamente grandes.
103. El elemento de fijación B recibe un movimiento horizontal x B = b cos t. deducir la ecuación del movimiento de a masa m y determine la pulsación crítica para la cual las oscilaciones se vuelven extremadamente grandes. Halle también la razón de amortiguamiento.
107. El bloque que pesa 12 N se desliza por una superficie sin fricción tal como se indica en la figura. El resorte tiene una longitud natural cuando la barra AB está vertical y BC horizontal. Las masas de las barras son despreciables. Suponiendo pequeñas oscilaciones, determine: (a) El dominio de pulsaciones para el cual el movimiento angular estacionario de la barra AB es inferior a 5o (b) La posición del bloque en función del tiempo si se desplaza 5 cm hacia la derecha y se suelta a partir del reposo cuando t = 0 y = 25 rad/s.
104. El cuerpo W de 30 kg mostrado en la figura se une a la pared mediante los resortes R 1 y R 2 cuyos módulos son 1 kN/m y 400 N/m, respectivamente. La fuerza F expresada en newton varía con la ley F = 10 sen 2t , donde t es el tiempo en segundos. (a) obtenga la solución estable que describe el movimiento de W, (b) Determine la velocidad máxima de W.
105. La barra uniforme de masa m y longitud L tiene un eje de oscilación en su centro. E resorte de constante k de la izquierda está sujeto a una superficie inmóvil, pero el de la derecha, también de constante k , lo está a un soporte sometido a un movimiento armónico dado por y B = b sen t . halla la pulsación excitadora de resonancia.
108. Los dos bloques de la figura penden en un plano vertical, de una barra de masa despreciable que está horizontal en la posición de equilibrio. Si se le aplica al punto D de la barra una fuerza hacia arriba ( P = 20 sen t ) N, determine: (a) La máxima amplitud de la oscilación estacionaria del bloque de 50 N ; (el dominio de pulsaciones que hay que evitar para que la amplitud de la oscilación del bloque de 50 N no supere los 37,5 mm.
106. El motor de 3 kg descansa sobre un resorte
(k = 150 kN/m) y un amortiguador (c = 120 N. s/m)
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