F u n d a m e n to s d e m e c a n is m o s 3
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Fundamentos de mecanismos Y maquinas para ingenieros %
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Roqu Ro quee Calero Ca lero Pére Pé rezz José Jo sé Anton An tonio io Carta Car ta Gonzá Go nzález lez Las máquinas y sus mecanismos constituyen un pilar fundamental sobre el que se apoya toda la actividad del hombre. El mundo actual se distingue por el uso creciente creciente de máquinas de características diversas y aplicaciones múltiples. múltiples. Prácticamente nadie queda al margen de este mundo de la máquina, de modo que de una forma u otra todos somos usuarios de ellas. En un futuro próximo, la importancio de la máquina no va a disminuir, pero va a producirse una gran evolución en manos de la electrónica, la informática o los nuevos materiales. En este sentido, los necesidades formativas en el campo de las máquinas son crecientes. En particular, la formación sobre mecanismos y máquinas es esencial para todos los ingenieros superiores y técnicos, cualquiera que sea su especialidad. Existe una bibliografia muy extensa relacionada con el mundo de las máquinas y mecanismos, la mayoría son documentos especializados, y otros son obras más generalistas, dirigidas a ingenieros mecánicos, por lo que prácticamente ninguno abarca las necesidades reales y concretas del amplio número de técnicos de diversas ramas de la ingeniería que no son expertos en mecánica, pero que necesitan conocimientos relacionados con los mecanismos y máquinas. Por ello, la presente obra tiene como objetivo llenar esta laguna bibliográfica. Fundamentos de mecanismos y máquinas para ingenieros fia sido concebido como respuesta a estas necesidades formativas, presentando las siguientes características destacadas:
• A m p l i t u d , abarcando gran número de temas, algunos de los cuales sólo se encuentran en libros especializados. • Aplicabilidad, de modo que una parte del contenido tiene una aplicación práctica y directa en la actividad normal del ingeniero.
• Estructuración, con una elevada sistemática en la exposición de los temas, un claro encadenamiento de éstos y una máxima adecuación a los planes de estudio de ingeniería.
• Claridad en ia exposición, con un lenguaje sencillo y directo, sin merma del rigor conceptual y matemático. En ningún momento se fia recurrido a las formulaciones más teóricas y abstractas, sino a métodos sencillos, intuitivos y de fácil comprensión, aun por aquellos que no posean sólidas bases en mecánica general u otras materias afines. • Gran n úmero de figur as, gráficos gráficos y tablas, que refuerzan los conceptos teóricos. • Numerosos ejemplos, que permiten la puesta en práctica de los conocimientos adquiridos.
McGraw-HiU McGraw-HiU Interamericam i de España. S. A. IJ. A S uf wc iia n' o/ Th c M cG ra w- Hi tl C tm mi nie s
http://www.mcgraw-hill.es
ISBN; 84-481-2099-X
Fundamentos de mecanismos Y maquinas para ingenieros %
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Roqu Ro quee Calero Ca lero Pére Pé rezz José Jo sé Anton An tonio io Carta Car ta Gonzá Go nzález lez Las máquinas y sus mecanismos constituyen un pilar fundamental sobre el que se apoya toda la actividad del hombre. El mundo actual se distingue por el uso creciente creciente de máquinas de características diversas y aplicaciones múltiples. múltiples. Prácticamente nadie queda al margen de este mundo de la máquina, de modo que de una forma u otra todos somos usuarios de ellas. En un futuro próximo, la importancio de la máquina no va a disminuir, pero va a producirse una gran evolución en manos de la electrónica, la informática o los nuevos materiales. En este sentido, los necesidades formativas en el campo de las máquinas son crecientes. En particular, la formación sobre mecanismos y máquinas es esencial para todos los ingenieros superiores y técnicos, cualquiera que sea su especialidad. Existe una bibliografia muy extensa relacionada con el mundo de las máquinas y mecanismos, la mayoría son documentos especializados, y otros son obras más generalistas, dirigidas a ingenieros mecánicos, por lo que prácticamente ninguno abarca las necesidades reales y concretas del amplio número de técnicos de diversas ramas de la ingeniería que no son expertos en mecánica, pero que necesitan conocimientos relacionados con los mecanismos y máquinas. Por ello, la presente obra tiene como objetivo llenar esta laguna bibliográfica. Fundamentos de mecanismos y máquinas para ingenieros fia sido concebido como respuesta a estas necesidades formativas, presentando las siguientes características destacadas:
• A m p l i t u d , abarcando gran número de temas, algunos de los cuales sólo se encuentran en libros especializados. • Aplicabilidad, de modo que una parte del contenido tiene una aplicación práctica y directa en la actividad normal del ingeniero.
• Estructuración, con una elevada sistemática en la exposición de los temas, un claro encadenamiento de éstos y una máxima adecuación a los planes de estudio de ingeniería.
• Claridad en ia exposición, con un lenguaje sencillo y directo, sin merma del rigor conceptual y matemático. En ningún momento se fia recurrido a las formulaciones más teóricas y abstractas, sino a métodos sencillos, intuitivos y de fácil comprensión, aun por aquellos que no posean sólidas bases en mecánica general u otras materias afines. • Gran n úmero de figur as, gráficos gráficos y tablas, que refuerzan los conceptos teóricos. • Numerosos ejemplos, que permiten la puesta en práctica de los conocimientos adquiridos.
McGraw-HiU McGraw-HiU Interamericam i de España. S. A. IJ. A S uf wc iia n' o/ Th c M cG ra w- Hi tl C tm mi nie s
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FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
CONTENIDO BREVE
Pró logo ....................................................................................................
Capítulo 8. Mecan ism os de ca denas ....................................................269
xiü
Capítulo 0. Introducción general ...................................................
1
Cap ítul o 9. Meca nism os de roda mi ento s ....................................... .... 289
Ca pítu lo 1. Análisis topológico de mec anism os ............................
23
Ca pítu lo 10. Mec anism os n eu m át ic o s............................................. .... 323
Capítu lo 2. Análisis cinemático de mecanismos con movimiento p la n o ..................................................................................................
57
Capítulo 3. Estudio de fuerzas en mecanismos con movimiento conocido ............................................................................................
89
Ca pítu lo 11. Vib racio nes en mec anism os ....................................... .... 381 Ca pítu lo 12. Eq uil ib rad o de meca nismo s ....................................... .... 457 Capítu lo 13. Introdu cción al diseño de elementos de máqu inas ..
493
Capítulo 4. Relaciones ent re fuerzas y movimientos en mecanis mos pla nos ....................................................................................... 119
Capítulo 14. Materiales empleados en la construcción de elemen tos de m á q u in a s............................................................................... .... 503
Cap ítulo 5. Meca nismos de eng ran aje s .........................................
153
Capitu lo 15. Dimensionamiento de los elementos de máqu inas ..
521
Capítulo 6. Meca nismo s de le v a s .....................................................
215
Capitulo 16. Fund amentos par a el diseño de ejes y árboles . . . .
533
Cap ítul o 7, Mec anism os de corr ea s
247
Cap ítulo 17. Lub ricaci ón de m á q u in as ........................................... .... 569
...............................................
CONTENIDO
P ró lo g o .....................................................................................................
xiii
CAPÍTULO 0. INTRODUCCIÓN GENERAL..................................................
1
0.1. Definición de máquina.................................................................... 0.2. La máquina en los diferente.s sectores productivos y de servi cio s.................................................................................................... 0.3. Clasific ación de las máquinas por cat ego rías............................... 0.4. Los componentes de las máquinas................................................. 0.5. La estructura de las máquina s........................................................ 0.6. La actividad del ingeniero en el campo de la maquinaria............ 0.7. La formació;! de los ingenieros en el área de las máqu inas......... 0.8. Objetivos, estructura y contenido del libro «Fundamentos de mecanismos y máquinas para ingenieros» .................................... 0.8.1. Objetiv os............................................................................. 0.8.2. Estructura ............................................................................ 0.8.3. Contenido............................................................................
I
21 21 22
CAPÍTULO 1. ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS..........................
23
1.1. Concepto de análisis topológico de meca nism os.......................... 1.2. Conceptos básicos topo lógic os ...................................................... 1.2.1. Piez a.................................................................................... 1.2.2. Mi em bro............................................................................. 1.2.3. Par cin em ático ................................................................... 1.2.4. Cadenas cinem áticas ......................................................... 1.2.5. Mecanism o......................................................................... 1.3. Conceptos básicos alrededor del mecanismo de cuatro barra s.... 1.3.1. Generalidad es.......................................................................
23 23 23 24 25 29 30 33 33
1
14 15 19 19 20 21
1.3.2. Teorema de Gra shof........................................................... ....... 34 1.3.3. Conformación de los miem bros ....................................... ....... 34 1.3.4. Variantes del meca nism o .................................................. ....... 36 1.3.5. Inversiones del meca nismo ............................................... ....... 36 1.4. Exposición general de mec ani smo s............................................... ....... 38 1.4.1. Introducción a la exposición general de mecanism os.... ....... 38 1.4.2. Exposición de mecanismos simples según su par básico 38 1.4.3. Exposición de mecanismos .simples según su us o .......... .......43 1.4.4. Exposición de mecanismos diversos .......................................53 CAPÍTULO 2.
ANÁUSIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO.................................................................................. .......57
2.1. Introducción al análisis cinemático de meca nismo s .................... .......57 2.2. Velocidades y aceleraciones de puntos de miembros aisl ado s.... 58 2.2.1. Cálculo de las velocidades de los puntos de un miembro con un eje fijo de rotación................................................. .......58 2.2.2. Cálculo de las velocidades en miembros sin ejes fijos de rotación ......................................................................... ....... 59 2.2.3. Aceleración en miembros con ejes fijos de rot ació n ..... .......62 2.2.4. Aceleración en miembros sin ejes fijos de rot aci ón ...... .......63 2.3. Relación entre velocidades y aceleraciones de puntos de pares ci nemáticos ......................................................................................... .......63 2.3 .1. Relación de velocidades en pares de rod adu ra ......................63 2.3.2. Relación entre las velocidades (en un instante) de los pu nt os de dos miem br os en co nt ac to co n des liza mi ento................................................................................. .......64 2.3.3. Relación entre las aceleraciones (en un instante) de pun tos de dos miembros en contacto con roda dur a .......66
Viii
CONTENIDO
2.3.4. Relación entre las aceleraciones (en un instante) de pun tos de dos miembros en contacto con deslizamien to..... 2.4. Análisis de velocidades y aceleraciones en mecanismos pla nos . 2.4.1. Principio de dilat aci ón ...................................................... 2.4.2. Análisis de velocidades y aceleraciones por métodos gráficos............................................................................... 2.4.3. Cálculo de las velocidades y aceleraciones por métodos analíticos.............................................................................
4.3.4. Estudio del movimiento de los mecanismos fuera del período de régimen............................................................ 4.3.5. Conceptos básicos para la regulación de máquina.s........
142 148
MECANISMOS DE ENGRA NAJ ES ........................................
153
A. ANÁLISIS TOPOLÓGICO, CINEMÁTICO Y DINÁMICO DE LOS MECANISMOS DE ENGRANAJES ......................................
153
67 70 70
CAPÍTULOS.
70 82
5.1. CAPÍTULO 3.
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMIENTO
CONOCIDO.......................................................................... 3.1. 3.2.
Introducción..................................................................................... Generalidades sobre los esfuerzos actu antes................................ 3.2.1. Clases de esfu erzo s............................................................ 3.2.2. Consideraciones generales sobre los esfuerzos exteriores aplicados............................................................................. 3.2.3. Consideraciones sobre las resistencias pasivas ............... 3.2.4. Consideraciones sobre las fuerzas de ine rc ia ................. 3.3. Estudio de los esfuerzos en mecanismos con movimiento cono cido en un instante ........................................................................... 3.3.1. Ge neralida des .................................................................... 3.3.2. Estudio de los esfuerzos estátic os.................................... 3.3.3. Estudio de los esfuerzos diná mic os ................................. 3.3.4. Estudio de los esfuerzos totale s....................................... 3.4. Estudio de los esfuerzos en mecanismos con movimiento cono cido en instantes sucesivos.............................................................. 3.4 .1. Diagramas de esfu erzo s .................................................... 3.4.2. Variación de los esfuerzos. Fuerzas y momentos de tre pidación............................................................................... CAPÍTULO 4.
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTOS EN MECA NISMOS PLANO S.................................................................
4.1. Introducción..................................................................................... 4.2. Estudio general del movimiento de los mecanis mos ................... 4.2.1. Ecuación general del movimiento de los mecanismos en los diferentes períodos de marcha ............................... 4.2.2. Rendimien to de los mecanism os..................................... 4.3. Estudio del movimiento de los mecanismos a partir de su re ducción dinámica............................................................................. 4.3.1. Reducción dinámica de meca nismo s............................... 4.3.2. Ecuación del movimiento de los mecanism os a partir de su reducc ión diná mic a.................................................. 4.3.3. Estudio del movimiento de los mecanismos en período de régimen .........................................................................
89 89 89 89 90 90 96
97 97 98 105 113
5.2.
5.3.
5.4.
115 115 117
5.5. 5.6.
119 119 120
5.7.
120
5.8.
122 122
122 132 135
Introducci ón................................................................................... 5.1.1. Relación entre las velocidades de dos miembros en ro tación en contacto con desliz amien to............................ 5.L 2. Perfiles conjugados. Trazado.......................................... 5.1.3. Perfiles conjugados más usu ale s ................................... 5.1.4. Formación de la rueda dentada ...................................... 5.1.5. Trazado gráfico de la rueda dentada de perfil evolvente. Análisis topo lógi co ....................................................................... 5.2.1. Definición del mecanism o.............................................. 5.2.2. Usos del mecanism o....................................................... 5.2.3. Tipos de eng ranajes ......................................................... 5.2.4. Características de los engranajes................................... Estudio cinemático de los eng ranajes .......................................... 5.3.1. Engranajes cilindricos de dientes recto s........................ 5.3.2. Engranajes cilindricos de dientes inclinados ................ Estudio din W ico de los engra najes ............................................. 5.4.1. Esfuerz os en los engrana jes cilindrico s de dientes rectos............................................................................... 5.4.2. Esfuerzos en los engranajes cilindricos de dientes in clinados............................................................................. Introducción al estudio de los trenes de engranajes ................... Trenes de engranajes de ejes fijo s................................................ 5.6.1. Generali dades.................................................................. 5.6.2. Estudio cinemático de los trenes de ejes fijos .............. 5.6.3. Estudio dinámico de los trenes de ejes fijos ................. Trenes de engra najes de ejes mó vil es.......................................... 5.7.1. Generali dades.................................................................. 5.7.2. Estudio cinemático de los trenes de ejes m óv ile s........ Aplicaciones de los trenes de engrana jes .................................... 5.8.1. Caja de cambios en automóviles ................................... 5.8.2. Puente trasero en automóviles. Mecanismo diferen cial.
153 153 154 155 157 158 159 159 159 160 162 173 173 177 179 179 180 181 182 182 183 185 185 185 187 191 191 202
B. ASPECTOS CONSTRUCTIVOS Y DE FUNCIONAM IENTO ....
203
5.9. 5.10. 5.11. 5.12.
203 204 204 205
Materiales para engra najes .......................................................... Fabricación de las ruedas denta das .............................................. Normalizaciones de las ruedas dentad as ..................................... Montaje de las ruedas den tad as ...................................................
CONTENIDO
5.13. Lubricación de los en gran aje s..................................................... .... 205 5.14. Fallos en los engra naj es................................................................ .... 205 C. DISEÑO CINEMÁTICO DE TRENES DE EJES FIJOS. DIVER SOS CASOS........................................................................................ .... 208 5.15. Consideraciones generales sobre el diseño cin em átic o .................208 5.16. Diseño cinemático de los trenes de ejes fijos sin restricciones constructivas 209 CAPÍTULO 6. MECANISMOS DE LEVAS...... ............ .............................................. 215
A. ANÁLISIS TOPOLÓGICO, CINEMÁTICO Y DINÁMICO DE LOS MECANISMOS DE LEVAS..................................................... ....215 6.1. Estudio topológico .......................................................................... ....215 6.1.1. Definición y constitución del mecanismo ....................... .... 215 6.1.2. Usos del me cani smo ......................................................... ....216 6.1.3. Tipos existentes......................................................................216 6.2. Análisis cinem ático......................................................................... ... 222 6.2.1. Cálculo de las velocidades y acele racio nes .................... ... 222 6.3. Análisis diná mic o........................................................................... ... 224 6.3.1. Estudios de esfuerzo en las levas ..................................... ... 224
iX
7.2. Análi sis cin emá tico....................................................................... .... 249 7.2.1. Longitud de la correa...................................................... .... 249 7.2.2. Relación de tran sm isión ................................................ .... 251 7.2.3. Consideraciones cinemáticas en la conexión de árboles no paralelos..................................................................... ....252 7.3. Análisis diná mico......................................................................... ....252 7.3.1. Transmisión de esfuerz os ..................................................252 7.4. Notas sobre correas trapez oidales ...................................................256 B. ANÁLISIS CONSTRUCTIVO Y DE FUNCIONAMIENTO......... ....257 7.5. Materiales para correas y poleas.................................................. ....257 7.6. Fabricación de correas y po lea s................................................... ....257 7.7. Normalizaciones........................................................................... ....258 7.8. Utilización y montaje....................................................................... 259 7.9. Fallos en correas y pole as ............................................................ ... 259 C. DISEÑO DEL MECANISM O ........................................................... ... 261 7.10. Proceso general de cálculo de correas trape zoida les .................... 261 7.11. Ejemplo de cálculo de una transmisión por correas trapezoidales. 262 CAPÍTULO 8. MECANISMOS DE CADENA S...................................................269
B. DISEÑO CINEMÁTICO DE MECANISMOS DE LEV AS .............. 227
A. ANÁLISIS TOPOLÓGICO. CINEMÁTICO Y DINÁ MICO ....... ... 269
6.4. Introduc ción. Curva ba se ................................................................ ... 227 6.5. Curvas base más usuales. Comparación entre ella s ..................... ... 230 6.6. Diseño cinem ático de levas pl an as ................................................ ... 236 6.6.1. Trazado de la leva de traslación con seguidor de trasla ción ... 236 6.6.2. Trazado de la leva de rotación con seguidor de trasl a ción ... 238 6.6.3. Trazado de la leva de trasla ción con seguidor de rota ...239 ción 6.6.4. Trazado de la leva de rotación con seguidor de rota ción . 240 6.6.5. Limitaciones al diseño cinemático por el ángulo de pre sión ... 240 6.6.6. Empleo de seguidores planos y de rodillos ..................... ... 242 6.6.7. Diseño de levas com bin ada s............................................. ...244
8.1. Análisis top ológic o....................................................................... ... 269 8.1.1. Definición y constitución............................................... ... 269 8.1.2. Usos del meca nismo ..........................................................270 8.1.3. Tipos exist entes ............................................................... ...270 8.2. Análisis cinemático....................................................................... ... 271 8.2.1. Características constructivas ......................................... ...271 8.2.2. Relación de transmisión. Efecto cade na ....................... 272 8.3. Análisis dinám ico ......................................................................... 275 8.3.1. Transmisión de esf uer zos............................................... 275 277 B. ANÁLISIS CONSTRUCTIVO Y DE FUNCION AMIENTO ........
CAPÍTULO 7. MECANISMOS DE COR REA S........................................................ 247
A. AN ÁLISIS TOPOLÓG ICO, CINEMÁTICO Y DIN ÁM ICO ........ ... 247 7.1. Análisis topo lógi co ....................................................................... ...247 7.1.1. Definición y constit ució n................................................ ...247 7.1.2. Usos del mec anis mo ....................................................... ...248 7.1.3. Tipos exis tent es................................................................ ...248
8.4. 8.5. 8.6. 8.7.
Materiales para cadenas y ruedas................................................ Fabricación de cadenas y ruedas.................................................. Normalizaciones. Ta bla s............................................................... Montaje y utilización.................................................................... 8.7.1. Lubr icac ión...................................................................... 8.8. Fallos en cadenas y ruedas............................................................
277 277 277 280 280 280
C. DISEÑO DEL ME CANISMO ............................................................
283
8.9. Proceso general de cál cul o............................................................ 283 8.10. Ejemplo de diseño y cálculo de transmisiones por cadenas de rodillos............................................................................................ 284
CONTENIDO CAPÍTULOS.
MECANISMOS DE RODAMIENTOS
... 289
A. ANÁLISIS TOPOLÓGICO, CINEMÁTICO Y DINÁ MICO
... 289 9.1. Análisis topológico........................................................................ ... 289 9.1.1. Constitución y defin ición ............................................... ....289 9.1.2. Usos del mecanism o....................................................... ... 290 9.1.3. Tipos exist entes............................................................... ... 290 9.2. Análisis cinemá tico....................................................................... ... 293 9.2.1. Estudio cinemático de los cojinetes radiales (bolas y ro ... 293 dillos) 9.3. Análisis dinámic o.......................................................................... ... 294 9.3.1. Transmisión de esfuerzos en los cojinetes radial es ..... ... 294 B. ANÁLISIS RESISTENTE ... 295 9.4. Generalidades................................................................................. ... 295 9.4.1. Materiales de los rodam ientos ....................................... ... 295 9.4.2. Proce sos de fabricaci ón.................................................. ... 295 9.4.3. Normalizaciones.............................................................. ... 295 9.4.4. Utilización de los rodam ientos ...................................... ... 297 9.4.5. Fallos en cojinetes de rodamient os................................... 303 9.5. Análisis resistente.......................................................................... ... 306 9.5.1. Poder de carga de una esfera y un rodillo sobre un ani ... 306 llo de rodadura 9.5.2. Capacidad estática de carga de un rodam iento ................ 307 9.5.3. Capacidad dinámica de carga de un rodam iento ............. 307 9.5.4. Duración de los roda mie ntos .......................................... ... 308
C. SELECCIÓN Y UTILIZACIÓN DE RODAMIENTOS NORMA LIZADOS ............................................................................................. ... 309 9.6. 9.7. 9.8. 9.9.
Crit erio general de ele cción.......................................................... ... 309 Uso de catálog os............................................................................ ....309 Elección del lubricante y sistema de lubricación........................ ... 310 Elección de los ajustes y toleranci as para fijación del roda miento............................................................................................. ... 31 1 ... 316 9.10. Elección del sistema de sujeción 9.11. Ejemplo de selección de un rodamie nto ... 316 CAPÍTUL O 10. MECANISMOS NEUMÁTICOS
... 323
A. ANÁLISIS TOPOLÓGICO, CINEMÁTICO Y DINÁMICO DE LOS MECANISMOS NEUMÁTICOS............................................. ... 323 10.1. Análisis topo lógic o ....................................................................... ... 323 10.1.1. Definición del me canism o............................................ ... 323 10.1.2. Usos del me can ism o .........................................................324 10.1.3. Composición del mecan ismo ....................................... ... 324
10.1.4. Mecanism os neumáticos bás ico s ..................................... 345 10.1.5. Mecanismos neumáticos complejos ............................. .... 356 10.2. Análisis cinemá tico 359 10.2.1. Desplazamiento del pistón en los cilindros neum áticos. 359 10.2.2. Análisis de velocid ades................................................. .... 359 10.3. Análisis din ám ico 363 10.3.1. Fuerzas en los cilindros neumáticos de simple ef ec to . 363 10.3.2. Fuerzas en los cilindros neumáticos de doíjle efecto .. 364 B. A NÁLISIS CONSTRUCTIVO Y DE FUNCION AMIEN TO .... 364 10.4. Materiales empleados en la construcc ión de los mecanismos .... 364 neumáticos 10.5. Fabricación de los elementos de los mecanismos neumáticos .. 365 10.6. Mon taje 366 10.7. Lubri cació n 367 .... 368 10.8. Fallos en los elementos de los mecanism os neumá ticos .... 369 C. DISEÑO DE LOS MECANISMOS NEUMÁTICO S 10.9. Generalidades sobre el diseño de los mecanismos neum ático s. 369 10.9.1. Introducción al diseño de mecanismos neumáticos con mando secuencial .... 372 10.9.2. Método de cascada para anulación de señales perma nentes .... 373 10.9.3. Ejemplos de aplic aci ón ..................................................... 375 CAPÍTULO 11. VIBRACIONES EN MECANISMOS
.... 381
11.1. Pre ámbulo 381 11.2. Introducción al estudio de vibraciones mecá nicas 382 11.2.1. Concepto y origen de las vibraciones mecáni cas ...... .... 382 11.2.2. Clasificación.................................................................. .... 382 11.2.3. Parámetros fundamentales que las de fin en .................... 382 11.2.4. Sistema vibrante. Clasi ficac ión ....................................... 383 11.2.5. Grados de libe rtad ........................................................ .... 385 11.2.6. Rigidez .......................................................................... .... 385 11.2.7. Amortiguami ento en los sistemas vibrant es ................... 389 11.2.8. Planteamie nto general del problema de vibraciones mecánicas .... 389 11.3. Sistemas vibrantes de un GDL. Análisis genera l 390 11.3.1. Formulación general de la ecuación del movimiento. 390 11.3.2. Vibraciones libres no amortiguadas. Método gen eral, 391 11.3.3. Vibraciones libres amortigua das. Amortig uamiento .... 394 viscoso 11.3.4. Vibraciones forzadas no amortiguadas. Fuerza de ex .... 399 citación annónica. Resonancia 1i .3.5. Vibraciones forzadas amorti guadas ............................. .... 404
CONTENIDO 1 1 .4.
Aplicacion es prácticas de los sistemas vibrantes de un GDL....
416 11.4.1. Sistem a masa-reso rte.................................................... ....416 11.4.2. Sistemas de torsió n ...........................................................429 11.4.3. Sistemas de flexión ...........................................................430 11.5. Análisis general de sistemas vibrantes de dos GD L ....431 11.5.1. Formulación general de la ecuación del movimiento vibratorio en sistemas mecánicos de dos G D L ....431 11.5.2. Introducción al estudio de la vibración libre de siste ....432 mas con dos GDL no amortiguados 11.6. Aplicaciones prácticas de las vibraciones en sistemas de dos GDL ....438 11.6. 1. Vibraciones en autom óviles ......................................... ... 438 11.6.2. Transmisi bilidad de vibraciones sobre soportes mó viles....................................... .. ....441 11.6.3. Aislamiento de las vibraciones. Amortiguador diná mico de vibraciones ....443 11.6.4. Sistemas de torsión ...........................................................4 46 1L6.5. Sistemas de flexión....................................................... ... 450
CAPÍTULO 12. EQUIUBRAOO DE MECANISMOS
... 457
... 457 12.1. Desequilibrio de los mec anis mos 12.1.1. Concepto de desequilibrio de me cani smo s ................ ... 457 12.1.2. Causas del desequilibrio de mec anism os ................... ... 457 12.1.3. Efectos del desequilibrio de mecanis mos ................... ... 459 12.1.4. Clasificación del desequilibrio de mecanis mos ............. 460 12.2. Introducción al equilibrado de me cani smo s ... 461 12.2.1. Concepto de equilibrado de mec anism os ...................... 461 12.2.2. Formas de proceder al equilibrado de mecanismos.... 461 12.2.3. Clasificación del equilibrado de mec anism os ............... 462 ... 463 12.3. Equilibrados de miembros en rota ció n 12.3.1. Introducción general al equilibrado de miembros en rotación ... 463 12.3.2. Equilibrado con desequilibrio conocid o ..................... ...469 12.3.3. Equilibrado con desequilibrio des con ocid o .................. 474 12.4. Máquinas de equ ilib rar ... 481 12.4.1. Introducción a las máquinas de equilibra r .................. ... 481 12.4.2. Máquinas para equilibrado está tico ............................. ... 482 12.4.3. Máquinas para equilibrados diná mic os ...................... ... 483 12.5. Recomendaciones para el equilibrado de rot ore s ... 487 12.5.1. Tolerancias del eq uil ibr ado.......................................... ...487 CAPÍTULO 13. INTRODtiCCIÓN AL DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS. 493
... 493 13.1. Proceso de diseño de má quin as 13.2. Proceso general de diseño y cálculo de elementos de máq uina s. 496
13.3. 13.4.
Factores que inciden en el diseño y cálculo de elementos de má quinas .............................................................................................. 49 8 Consideraciones finales generales sobre el proceso de diseño de elementos de máquinas................................................................. 501
CAPÍTULO 14. MATERIALES EMPLEADOS EN LA CONSTRUCCIÓN DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS.................................................... 14.1. Introducción................................................................................... 14.2. Características generales de los materiales empleados en la
construcción de máquinas............................................................. 14.3.
Xi
503 50 3 50 3
Tipos de materiales emp leados en la construcción de eleme ntas
de máquinas................................................................................... Tratamientos de los materiales empleados en la construcción de elementos de máquinas................................................................. 14.5. Ensayos de materiales empleados en la construcción de ele mentos de máquinas ...................................................................... 14.5.1. Generalidades................................................................ 14.5.2. Ensayo de tra cción....................................................... 14.5.3. Ensayos de fatiga...........................................................
50 7 50 7 50 7 50 8
CAPÍTULO 15.
521
50 5
14.4.
15.1 . 15.2.
15.3.
15.4.
DIMENSIONAMIENTO DE LOS ELEMENTOS DE MÁQUINAS.
50 6
Introducción al dimensionamiento de los elementos de máqui nas................................................................................................... 521 Criterios de fallo de los elementos de máquinas......................... 52 2 15.2.1. Generalidades................................................................ .... 52 2 15.2.2. Fallo debido a esfuerzos consta nte s............................ .... 52 4 15.2.3. Fallo debido a esfuerzos variabl es................................... 525 Ecuaciones generales para el diseño de elementos de má quinas 52 7 15.3.1. Generalidades sobre las ecuaciones de diseño de ele mentos de máquinas ....................................................... 527 15.3.2. Ecuaciones generales de diseño bajo esfuerzos cons tantes .............................................................................. 527 15.3.3. Ecuaciones generales de diseño bajo esfuerzos va riables............................................................................. 527 Selección del coeficiente de segu ridad ....................................... 528 15.4.1 . Concepto de coeficiente de seguridad ......................... 528 15.4.2. Factores que intervienen en la elección del coeficien te de seguridad............................................................... 52 9 15.4.3. Fonnulación estadística del coeficiente de seguri dad. 52 9 15.4.4. Valoración del coeficiente de seguridad en la hipótesis de no fallo ...................................................................... 53 0 15.4.5. Valores prácticos aproximados de los coeficien tes de seg uri dad....................................................................... 53 2
xii
CONTENIDO
CAPÍTULO 16. FUNDAMENTOS PARA EL DISEÑO DE EJES YÁRBOLES... 533 16.1. Topología de ejes y árboles .......................................................... ....534 16.1.1. Definic ión de eje y árb ol............................................... ....534 16.1.2. Tipos de árbo les .................................................................534 16.1.3. Uniones de árboles a los cubos de ruedas y polea s .... ....536 16.1.4. Uniones entre árbo les........................................................538 16.1.5. Apoyos de árbo les......................................................... ....538 16.2. Análisis dinámi co......................................................................... ....539 16.2.1. Acciones sobre los árboles............................................ ....539 16.3. Análisis resiste nte......................................................................... ....542 16.3.1. Generalidades.....................................................................542 16.3.2. Análisis res iste nte......................................................... ....545 16.4. Vibraciones en árboles............................!.................................... ....549 16.4.1. Velocidades críticas en árb ole s ........................................549 16.5. Diseño de árboles ........................................................................ ......551 16.5.1. Generalidades................................................................. ....551 16.5.2. Diseño de árboles rectos de sección circu lar ..................552 16.5.3. Ejemplo de diseñ o de un árbol rec to............................ ....554 CAPÍTULO 17. LUBRICACIÓN DE MÁQUINAS............................................ ....569 17.1. Introducción................................................................................... ....569 17.2. Rozamiento seco entre elementos de máquinas en con tac to .... ....571 17.2.1. Composición de las superfic ies„ .................................. ....571 17.2.2. Topografía de las superficies ........................................ ....572 17.2.3. Contacto estático entre elementos de máquinas con ....572 superficies reales
17.2.4. Contacto con deslizamie nto entre elementos de má quinas .... 574 17.2.5. Efectos de la velocidad en la fuerza de rozami ento.... 576 17.2.6. Resis tencia a la rod ad ura.............................................. .... 577 17.2.7. Desgaste derivado del roza mi ent o ................................... 578 17.2.8. Tasa de desgaste. Factores que le afe cta n ....................... 581 17.3. Estu dio general de los lub ric antes ............................................... .... 583 17.3.1. Cla.ses de lubricantes ......................................................... 583 17.3.2. Estudio de los lubricantes líq uid os .................................. 584 17.3.3. Estudio de los lubricantes pastosos o grasa s ................... 591 17.3.4. Estudio de los lubricantes sólidos .................................... 592 17.3.5. Aditiv os de los lubrica ntes............................................ .... 594 17.3.6. Recomenda ciones para la elección de lubricantes. In fluencia de las condiciones de servicio .... 594 17.4. Estudio general de la lubr icac ión................................................. .... 595 17.4.1. Introducción a los tipos de lubricac ión........................ .... 595 17.4.2. Estudio de la lubricación hidro diná mi ca .................... .... 5% 17.4.3. Estudio de la lubricación elast ohidrod inámi ca ............... 598 17.4.4. Estudio de la lubricación lím ite ....................................... 600 17.5. Sistem as de lub ric ac ión ................................................................ .... 601 17.5.1. Introducción................................................................... .... 601 17.5.2. Lubric ación con ac ei te s................................................ .... 602 17.5.3. Sistemas de lubricación con grasa s .................................. 605 índice ......................................................................................................... .... 607
CAPÍTULO O
INTRODUCCIÓN GENERAL
CONTENIDO 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. O.S. 0.6. 0.7.
0.1.
Definición de máquina. La máquina en lo.s diferentes sectores productivos y de servicios. Clasificación de las máquinas por categorías. Los componentes de las máquinas. La estructura de las máquinas. La actividad del ingeniero en el campo de la maquinaria. La formación de los ingenieros en el área de las máquinas.
economista Echepare: «máquina es un tubo con una entrada por donde se mete dinero y una salida por donde sale más dinero». Modernamente la máquina se considera el resultado de un diseño (de una construcción) en el que intervienen dos grupos de factores: unos de natu raleza puramente mecánica (las piezas y los mecanismos que la constituyen) y otros de naturaleza no mecánica (estética, mercados, impacto social, régimen político imperante, etc.). Ambos conjuntos de factores hacen que las máquinas modernas adquieran diversas configuraciones y características según el enlomo sociopolítico y económico en el que se diseñan, construyen y utiUzan.
DEFINICIÓN DE MÁQ UINA
Aun cuando prácticamente todas las personas usan cotidianamente gran número de máquinas, especialmente en las zonas del mundo más desarro llado, pocos son los que pueden definir con claridad lo que se puede enten der por máquina. Ni siquiera los especialistas en este campo han llegado a una definición ciara y única de este concepto, debido, entre otras razones, a su gran complejidad y a los diferentes enfoques que se le puede dar a la pro pia máq uina . Así, si .se lee el diccio nario de la R eal Aca dem ia E spa ñol a de la Lengua, «máquina es cualquier artificio que sirve para aprovechar, dirigir o regular la acción de una fuerza». Según Rouieaux, «máquina es una com bina ción de sólido s res istentes, dis pue sto s de maner a que obl iga n a las fuerzas de la naturaleza a efectuar un trabajo, produciéndose ciertos movi mientos re.spuesta en función de m ovimientos de entrada ejecutados y pre vistos». Dentro del amplio abanico de definición de máquina se incluyen algunos aparentemente jocosos, pero perfectamente realistas, como la definición del
NOTA 0.1. Un tractor utilizado para arar la tierra tiene una forma y una estructura diferente en un mercado abierto y competitivo que en otro cerrado y dirigido. En el primero, la estética, el confort, la fiabilidad, etcétera, son factores que entran en juego en el diseño, mientras que en el segundo caso serán factores poco o nada relevantes.
0.2.
LA MAQUINA EN LOS DIFERENTES SECTORES PRODUCTIVOS Y DE SERVICIOS
En la era tecnológica que vivimos, y que es de suponer continúe su perfec cionamiento en el futuro, la máquina ocupa un papel primordial. Sin el con curso de estos ingenios, la vida en la Tierra, t¿ como hoy se conoce, sería
INTRODUCCIÓN GENERAL
realmente imposible. La máquina se encuentra presente en todas las activi dades del ser humano, desde la vida cotidiana hasta los sectores productivos prim ario y secundario, pasando por el sect or de servicios, incluyendo los de formación. Sin pretender ser exhaustivos, se va a exponer a continuación el nombre de un conjunto de máquinas que forman parte (y en ciertos casos, constituyen el fundamento) de la actividad en los diferentes sectores productivos y de servi cios. (Muchas de ellas serán fácilmente re conocibles por el lector. Otras no lo serán, pero se exponen con el deseo de que ello incite a los estudiosos de esta materia que con este libro se inician en la misma, a buscar en las fuentes bi bliográficas, catálogos, encic lopedias, etc., la información qu e precisen para acceder a su conocimiento.) Para dar un cierto orden a la exposición se han agrupado las máquinas por sectores, dividiendo a su vez cada uno de ellos en subgrupos. a) Sector primario
• Agricultura y ganadería.
• Minería.
b) Sector secundario
• Aeronáutica y espacio. • Alimentación. • Cantería. • Con.strucción civil. • Cemento y fibrocemento. • Defensa. • Energía. ■ Naval. • Obras públicas. • Química. • Tabaco. • Transportes.
Agua. Automoción. Caucho, plástico y fibras. Construcción mecánica. Cerámica y vidrio. Electricidad. Madera y muebles. Piel y calzado. Papel y artes gráficas. Siderometalurgia. Textil y papelera.
c) Sector terciario
• Ooméstico. • Medicina y salud. • Oñmática.
Educación. Ocio. Seguridad y saneamiento.
AGRICULTURA Equipos de granja;
Ensiladoras y cortadoras ensiladoras. Trilladoras. Trillos. Clasificadoras-cal ibradoras. Cortaforrajes (picadoras de forraje).
Ordeñadoras mecánicas. Trituradoras de sarmientos y ramas de poda. Descortezadoras.
INTRODUCCIÓN GENERAL Maquinaria agrícola;
• Motosierras o sierras de cadena. • Motocultor y motomáquina. • Arados.
• • • •
Cultivadoras y grada.s. Roíocultor y fresadora. Sembradora y plantadoras. Abonadora.
3
FIGURA 0.3 Pulverízadora y atomizadora. Segadora rotativa. Recogedora empacadora. Cosechadora de cereales. Segadora atadora. Cortacéspcd.
Tractor.
.-
4
- t-' i f
FIGURA 0.2 ______ Máquina para arado de dnco rejas.
-Vi.»
.
MINERÍA Cabrestantes. a.sccnsores. montacargas. • Excavadoras-cargadoras (de cadenas, con Perforadoras, corladoras. silones, etc.) Dragas de arrobadera, de succión. • Minadores continuos. • Sondas.
4
INTRODUCCIÓN GENERAL
FIGURA 0.4
FIGURA 0.5
Excavadora dragalina en una mina.
Vehículo lunar.
FIGURA 0.6 Lanzadera espacial.
AERONÁUTICA Y ESPACIO MoUJres de propulsión (reactores). Motores para coches espaciales. Equipos mecánicos e hidráulicos de a bordo.
Estructuras de vehículos espaciales. Vehículos de exploración exterior. Simuladores de vuelo,
INTRODUCCIÓN GENERAL AGUA
Lavadoras de botellas. Llenadoras, encapsuladoras y etiquetadoras. Confeccionadoras y llenadoras de cajas de botellas.
Bombas de agua. Turbinas hidráulicas. Desaladoras (ósmosis inversa, compresión de vapor) Depuradoras.
ALIMENTACIÓN
Máquinas para la industria conservera;
• • • • •
Almibaradoras. Clasiñcadoras-seleccionadoras. Cocedoras. Deshuesadoras. Envasadoras, empaquetadoras, embolsadoras, enfrescadoras y ensacadoras. • Enfriadoras de frutos y verduras. • Escaldadora.s-desvainadoras.
Extiactoras de zumos y aceites esenciales. Mondadoras-peladoras de frutos y verduras. Etiquetadoras y cerradoras. Cortadoras y fileteadoras de pescados. Desviceradoras de pescados. Saladoras y aceitadoras de pescado. Embaladoras.
Máquinas empleadas en la industria cárnica:
Máquinas para la industria harinera y derivados:
Máquinas para matanza:
Máquinas para limpia:
Desolladoras y peladoras. Desvisceradoras y limpiadoras.
• Canales. • Cortadoras y trituradoras de huesos. Máquinas para chacinería:
• • • • •
Máquinas Cutter. Máquinas para aprovechamiento de subproductos de matanza (gra.sas, sangre, gelatinas, etc.). Mezcladoras.
Amazadoias. Bafios, fundidore.s. Cortadoras y ñleteadoras. Embutidoras. Grapadoras.
Máquinas empleadas en la industria láctea y productos derivados: Homogeneizadoras. Mantequeras. Ordeñadoras mecánicas. Pasteurizadoras. Taponadoras.
Amasadoras. Batidoras. Bombas de trasiego. Centrifugadoras. Cubas para cuajar. Desnatadoras.
Máquinas para la industria oleícola y vinícola: • • • • • • •
Batidoras de rulos verticales. Bombas hidráulicas de impulsión. Clasificadoras seleccionadoras. Desmenuzadores de orujo de aceituna. Destiladores. Extractores por capilarídad. Lavadoras-embotelladoras.
• • • • • • •
Malaxadoras. Molinos quebrantadores. Molinos de rulos cónicos. Prensas. Secadores de orujo y cámaras de secado. Separadores. Termobatidoras.
Columnas cepilladoras y despuntadoras. Cribadoras-expulsadoras. Deschinadoras. Lavadoras de trigo.
Limpias completas (máquinas que realizan el conjunto de operaciones de limpia). Satinadoras-descortezadoras. Separadoras de trigo.
Máquinas para selección y mohuración:
• Cepilladoras de salvado (con tambor fijo o giratorio). • Cernedores (con tambor redondo y poligonal, centrífugos). • Clasificadoras calibradoras (cilindros, divisores y triaverjones). • Desatadores (con cepillo, a discos, de varillas flexibles).
Molinos uituradores. Planchisler (libre oscilación y autooscilación. Sasores (de trituración, para sémolas y semolinas de aspiración central). Separadores de tobogán, tamizadores.
Máquinas para panadería: • Amasadoras. • Batidoras. • Divisoras. • Hornos panaderos de alimentación continua.
Máquinas especiales para fabricación de pastas alimenticias. Mesas vibradoras. Refinadoras.
AUTOMOCIÓN Automóviles. Motocicletas. Bicicletas.
Vehículos remolque y especiales. Vehículos eléctricos para áreas cerradas.
6
INTRODUCCIÓN GENERAL
CANTERÍA
FIGURA 0.7 Auiomóvil eléciricfl del grupo PSA Pcugetrt-Ciircién
Cortadoras. Machacadoras.
Pulidoras. Conformadoras.
CAUCHO, PLÁSTICO Y FIBRAS SINTÉTICAS Máquinas para preparación:
• Autoclaves de regeneración. • Desguazadoras de cubiertas (laminadoras y cortadoras). • Lavadoras de regenerado. • Máquinas para preparar disoluciones.
Secadoras de regenerado. Sierran para caucho virgen (hidráulicas y mecánicas). Trituradoras de desperdicios. Tamizadoras de polvo y goma.
Máquinas para manipulación:
FIGURA 0.8 Bicicleta.
• Calandras laminadoras. • Calandras para perfilar bandas de rodamientos (para neumáticos) • Cilindros lavadores (para calidades impuras).
Cilindros mezcladores (Bamhurys. abiertos y cerrados). Cilindros recalentadores. Cilindros refinadores (de regenerados o de disoluciones). Engomadoras y grabadonts.
Máquina.s para fabricación de articules:
• Budinadoras (fabricación de tubos). • Cizallas y cortadoras de guillotina. • Engomadoras de tela (horizontales y verticales). • Envendadoras. • Máquinas especiales para la fabricación de neumáticos.
< < < < <
Máquinas de vulcanización continua. Prensas de compresión. Prensas de inyección. Prendas de transferencia. Recubrídoras para cables. Trenzadora para tubos y cables.
CONSTRUCCIÓN CIVIL Máquinas de fabricación de bloques, viguetas, etc. Máquinas de ama.sado (hormigoneras). Vibradores, compactadores. Martinetes, pisones. Clasiñcadoras de áridos. Dosificadoras y mezcladoras.
Dobladoras de hierros. Enderezadoras de varillas. Lijadora.s y pulidoras (de manual, terrazo, etc.). Sierras (circulares y de disco). Grutinadoras (proyectoras de hormigón). Máquinas de ensayo de hormigones.
INTRODUCCIÓN GENERAL
CONSTRUCCIÓN MECÁNICA ^láquinas herramientas para trabajos de metales siD arranque de viruta; . Cizallas de guillotina y cortadora de chapa. • Cizallas universales. . Dobladoras o curvadoras de perfiles, tubos y varillas. • Máquinas para laminación, estirado y calibrado (estiradoras, enderezadoras, conformadoras de perfiles, hileras, calibradoras, laminadoras, etc.). • Martillos de foija y martinetes (de caída libre, neumáticos, mecánicos, etcétera).
FIGURA 0.10 Sistema integrado de fabricación^
Plegadoras de chapas. Prensas sin especificar (de husillo, hidráulicas, excéntricas, de recambio). Prensas de embutir, de estampar, de extruir, de troquelar, de cizallar). Prensas de forja, estampado y corte. Punzadoras. Remachadoras. Curvadora de chapa.
FIGURA 0.9 Centro de mecanizado.
Máquinas herramientas para tra bajos de metales con arranque de viruta y por corte y abrasión: Afiladoras de herramientas. Brochadoras. Esmeriladoras, amoladoras o piedras esmeril. Fresadoras (horizontales, universales, verticales, copiadoras, de mesa giratoria). Limadoras o cepillos de camero, Mandrinadoras. Mortajadoras. acepilladoras, escopleadoras. Tomos horizontales (de punta.s, de copiar, revolver). Tomos verticales. Pulidoras. Rectificadoras. Sierras (circulares y alternativas). Taladradoras (de columna, radiales, múltiples, barrenadoras).
Ro.scadoras y aterrajadoras. Lapeadoras, alisadoras, pulidoras. Brochadoras. Tronzadores de disco de fricción. Punteadoras. Talladoras de engranajes. Centros de mecanizado. Herramientas manuales con accionamiento manual, neumático o eléctrico (taladros, llaves para tomillería, terrajas y machos, sierras, tenazas y alicates, sacatuercas, etc.). Máquinas para ensayos de dureza, resistencia, tensión, etc. Máquinas de equilibrar. Dinamómetros. Tacómetros.
7
8
INTRODUCCIÓN GENERAL
CEMENTO Y FIBROCEMENTO Hornos rotatorios. Dosificadoras. mezcladoras. Trituradoras, vibradoras. Envasadoras. Centrifugadoras de hormigón. Desfíbradoras de amianto.
Desmoldeadoras de tubos. Fabricadoras de placas, losetas, etc. Fabricadoras de tubos. Fabricadoras de pretensados. Onduladoras de placas.
Máquinas de émbolo (alternativas): • Motores de combustión interna.
Motores de combustión externa (máquina de vapor).
Máquinas rotativas:
CERAMICA Y VIDRIO Máquinas para la preparación de pasta cerámica: • Alimentadora.s. • Amasadoras. • Depuradoras de arcillas (mecánicas, electroósmosis, electromagnéticas, etc.). « Dosiñcadoras y mezcladoras. • Molinos de bolas o de rodillos.
Molinos de suelas horizontales y verticales. Quebrantadoras giratorias. Quebrantadoras de mandíbulas. Trituradoras de martillos o de impactos. Gravilladoras.
Máquinas empleadas en la fabricación de vidrio: Canteadoras y biseladoras. Cortadoras. Máquinas de cortar. Estiradoras de vidrio (horizontales y verticales). Laminadoras de vidrio. Máquinas especiales para la fabricación de ampollas, frascos y jeringas. Máquinas especiales para la fabricación de fibras (continuas, discontinuas, por centrifugación, etc.). Máquinas especiales para soldar vidrio.
Mateadoras. Moldeadoras (semiautomáticas y automáticas). Prensas de vidrio hueco (manuales y semiautomáticas). Pulidoras y desbastadoras. Requemadoras. Sopladoras. Taladradoras. Talladoras.
DEFENSA Carros blindados, sobre ruedas u orugas. Vehículos de transporte (incluido anfibios), blindados o no, sobre ruedas u orugas. Pistolas, fusiles, ametralladoras, cañones, etc.
Catapultas, lanzacohetes, rampas de lanzamiento. Mecanismos reguladores de tiro, seguidores, etc. Puentes móviles y sistemas auxiliares.
ELECTRICIDAD Máquinas de trefilar. Máquinas para eru'ollar hilos.
ENERGÍA
Máquinas para bobinado de motores y transformadores. Máquinas para la cubrición de cables eléctricos.
• Turbinas de combustión interna (turbinas de gas. reactores, estatorreactores). • Türbinas de combustión externa (turbina de vapor).
• TUrbinas hidráulicas. • TWbinas atmosféricas (aeromotores).
Motores rotativos oscilantes (motor Wankel):
FIGURA 0.11 Aerogenerador.
INTRODUCCIÓN GENERAL
NAVAL
MADERA Y MUEBLES Máquinas de corte:
• Sierras de cadena o motosierras. • Sacadores de chapa.
• Sierras de cinta. • Sierras circulares y de disco. • Tronzaderas de disco. Máquinas con arranque de viruta:
FIGURA 0.13
• Cepilladoras (alternativas y circulares). • Encopleadoras. • Fresadoras. • Machi-hembradoras. • Modureras o tupi. • Regruesadoras. • Tomos. • Universales o combinadas. • Canteadoras o escuadras.
Cizallas. Curvadoras. Lijadoras o pulidoras de banda. Plegadoras. Prensas de curvar y estampar. Prensas de encolar tableros. Tomos de desarrollar chapas. Trituradoras. Taladradoras.
RGURA 0.12 Taladro.
Empuñadura Motor eléctrico
Motor Mandril
Mango I
Selector de velocidades
Motores de propulsión. Equipos de a bordo (accionadoras de timones, etc.). Grúas, elevadores, rampas, etc.
Sincro-lifL
Artes de pesca y su accionamiento. Vehículos anfibios. Vehículos submarinos. Sistemas de descompresión.
10
INTRODUCCIÓN GENERAL
PIEL Y CALZADO Máquinas para la preparación de la piel: • Bombos de engrasar, teñir y limpiar las pieles. • Cepilladoras y abrillantadoras. • Cortadoras. • Descamadoras y desgranadoras. • Esuradoras, desvenadoras y alisadoras. • Graneadoras, grabadoras y planchadoras. • Máquina de blanchir, desflorar y apomazar pieles.
FIGURA 0.14 Excavadora.
Molinetes y bombos de curtir o de ribetear. Perforadoras. Pigmentadoras y teñidoras. Reabrídoras y peladoras. Rebajadoras, escurridoras y esparradoras. Repa.sadoras.
Máquinas empleadas en la industria del calzado: • Cosedoras de suelas o punteras. • Desviradoras (taloneras y palmillas, cantos y tacones). • Embastadoras de topos y contrafuertes. • Empalmilladoras. • Enteladoras de palmillas. • Lijadoras (de enfranques, tacones y plantas). • Apomazadoras.
Clavadoras de taloneras. Fijadoras de palmillas sobre horma. Prensas troqueladoras. Ranuradoras y biseladoras de cercos para apalniillado. Recortadoras de sobrantes (del montado del calzado y empalmillado). Regruesadoras de suelas.
OBRAS PÚBLICAS Machacadoras, quebrantadoras (rotativas y de mandíbulas). Trituradoras de martillos. Tamizadoras. Clasificadoras de áridos. Lavadoras de áridos. Martinetes. Perforadoras.
Excavadoras, retroexcavadoras, palas cargadoras, empujadoras (buldozers), empujadoras laterales. Niveladoras, explanadoras, apisonadoras, traillas. Dragalinas, zanjadoras. Quitaniveles, barredoras. Esparcidoras de grava, hormigonadoras, asfaltadoras. Marcadoras de suelos. Taquímetros. telémetros.
PAPEL Y ARTES GRÁFICAS Máquinas para la fabricación de papel y cartón: Fabricadora continua de papel. Bobinadoras. Calandras. Depuradoras y lejiadoras. E>esintegradoras y trituradoras. Fabricadoras de manipulados (onduladoras). Fabricadoras de papeles especiales (engomado, estucado, etc.).
Molinos de bolas, rodillos. Molinos de suelas. Molinos de niolturación de tintas. Rayadoras. Alzadora. Ensambladora.
INTRODUCCIÓN GENERAL
Máquinas de Artes Gráficas:
TEXTIL Y PAPELERA
• Cizalla circular. • Cosedoras (de alambre o hilo vegetal). • Guillotinadoras cortadoras. • Linotipias. • Máquina.s doradoras. • Máquinas para hacer lomos, encuadernadoras.
Minerva. Plano-cilfndricas. Plegadoras. Prensas de imprimir Rotativas. Slotter.
QUIMICA ■Autoclaves. ' Batidoras. ' Bombas de vacío. ' Centrifugadoras. ' Clasificadores de fases. ' Clasificadores de fases. ' Clasificadores de tamaño (por gravedad, por fuerza centrífuga). ' Desintegradoras. ' Emulsionadoras. ' Encapsuladoras e inyectoras. ' Filtros .separadores. Floculadoras, Granuladoras. Homogeneizadoras, Mezcladoras. Moldeadoras (de presión, inyección, de chorro). Prensas aglomeradoras (de briquetas, tabletas, píldoras, polvos).
Pulverizadoras y atomizadoras, excepto los agrícolas. Purificadoras. Reactores. Separadoras por acción eléctrica o magnética. Separadoras por acción de la gravedad e inercia. Separadoras por acción térmica, ventilación o depresión (secadores por congelación, refrigeración, evaporación, calor, etc,). Separadoras por presión (prensas continuas o intermitentes). Torres de catálisis. Torres lavadoras (scrubbers). Volteadores. Densímetros. Manómetros. Viscosímetros. Medidores de caudal.
SIDEROMETALURGU Trenes de laminación en caliente. Trenes de laminación en frío.
Trefiladoras. Fabricadoras de tubos.
Máquinas pa ra la preparación e hilaturas de fibras: • • • • •
Secadores. Máquina para confeccionar cigarrillos, colocar filtro, etc. Encajetilladoras. Empaquetadoras.
Manuares. Máquina Gamett. Peinadoras. Rompedoras y abridora.s de balas.
Batanes. Cardas de cintas y chapones. Emborradoras. Gills. Hiladoras.
Máquinas tejedoras: • Aspes y canilleras. • Bobinadoras y devanadoras. • Máquinas auxiliares para telares (maquinillas, peines para lisas, etc.).
Telares automáticos. Telares especiales (Jacquard, para hilos metálicos, de cintas, etc.). Telares mecánicos. Urdidoras mecánicas.
Máquinas para acabado: • Calandras. • Empacadoras o prensas de empacar. ■ Jigger. • Máquinas de acabado intermedio (para chamuscar, gasear, etc.).
Plegadoras. Recubrídoras. Trenzadoras.
Máquinas diversas: • Cortadoras de prendas de vestir. • Máquinas auxiliares de confección (ojalar, rebetear, pespuntear, pegar botones). • Máquinas de coser y bordar. • Máquinas industriales de planchar.
TABACO Tambores de humectación, De.shacedoras de manotillos. Bastidores y separadoras de vena. Picadoras, tamizadoras.
11
Máquinas para géneros de punto (rectilíneas o circulares). Máquinas para lavado automático. Máquinas para secado automático. Máquinas para tintes.
TRANSPORTES De fluidos: Bombas de impulsión (de émbolo y centrífugas).
Elevadoras de rosario y de canjilones.
12
INTRODUCCIÓN GENERAL
De sólidos:
• Carretillas elevadoras. • Puentes grúa. • Tomos y polipastos. • Elevadoras y galos. • Transportadores continuos (por rosca, por cadena, por cintas, por vibración, neumáticos).
• • • •
Montacargas. Grúas. Blondines. Tractores.
De personas:
• • • •
Ascensores. Escaleras mecánicas y cintas móviles. Ferrocarriles y funiculares. Teleféricos y monorraíles.
• Aviones. • Barcos. • Helicópteros.
DOMÉSTICO Lavadoras y lavavajillas. Neveras. Exprimidoras, batidoras.
FIGURA 0.17 Lavavajillas.
Molinillos de café. Balanzas. Ventiladores.
INTRODUCCIÓN GENERAL lí-'ías y
EDUCACIÓN
_ transporte de mercad • Carros para de niños. mano. • Taladros di! .cates. • Tenazas al' • cronómetros, despenado* ,
Aspiradoras. Fregadoras, enceradoras. Trituradoras de residuos. Cortadoras y picadoras. Afeitadoras. Cuchillos eléctricos.
Aparatos de laboratorio. Kits didácticos mecánicos. Proyectores y retroproyectores.
Máquina.s de dibujar (pantógrafos y tecnígrafos.) Compases.
MEDICINA Y SALUD Instrumentos quirúrgicos. Bombas extracorpóreas. Aparatos de hemodiálisis, respiración asi.<ítida, oxigeooterapia. Aparatos ortopédicos. Prótesis artificiales.
FIGURA 0.18 Lavadora.
Contrapeso para equilibrar el contenedor de espumas Accesorios
ra el Tubos piU arrastra agua qu^i . el deter^4tes, etc.,
i'jente, suavizar^r al tamb¿'
13
• Sillones, mesas quirúi]gicas, aparatos de rayos X, bomba de cobalto, etc. • Aparatos para gimnasia. • Aparatos para masaje. • Audífonos.
FIGURA 0.19 Botón para apertura iH? electromagn* de la puerta
Prótesis.
,|í)resde,
S^l/^ramasi . I
Suspensión del contenedor de espuma
*“* ¿a
'
sita'
del^
Polea del tambor Correa trapecial Cale fact or de 3 kVWL .fte del
Contenedor de espuma Ifijoj
OCIO
Amor tigua dor Filtro de hilachas
jcce soa! filtro Tapa de ac#
Ruedas, tiovivos, norias. Montañas rusas, carruseles. Autos de choque. Máquinas tragaperras. Juguetes. Simuladores. Giradiscos. magnetófonos, vídeos, cajas de música.
Instrumentos musicales de cuerda (pianos, etc.). Instrumentos musicales de tubo (órganos, acordeones, trompetas, etc.). Proyectores de películas, de diapositivas. Cámaras fotográficas y tomavistas. Telescopios y microscopios. Máquinas automáticas de fotografía y revelado.
14
INTRODUCCIÓN GENERAL
o f im
FIGURA 0.20 Montaña rusa.
• • • • •
Multicopistas. Fotocopiadora. Cortadora. Destructora de documentos. Contadora de monedas y billetes.
At
ic a
Grapadoras. Taladradoras. Relojes fechadores. Máquinas de escribir. Máquinas de calcular.
SEGURTOAD Y SANEA MIENTO Coches contraincendios. Coches-escalera y coches-bomba (para incendios y riegos). Barredoras, lavadoras de calles. Recogedoras de basuras. Trituradoras.
Limpiadoras de playas, alcantarillas. Lavadoras de automóviles. Robots antiexplosivos. Extintores. Pistolas de chorro.
FIGURA 0.22 Camión contriiincendio.s.
FIGURA 0.21 Simulador.
0.3.
CLA SIFICACIÓN DE LAS MÁQUINAS POR CATEGORÍAS
En forma itiuy esquemática, todas las máquinas que se emplean en los dife rentes sectores pueden clasificarse en tres grandes grupos; a) Máquinas motrices
Encargadas de transformar la energía primaria en energía mecánica.
INTRODUCCIÓN GENERAL
b) Máquinas operadoras Encargadas de transformar la energía mecánica procedente de la máquina motriz en trabajo útil.
c) Instrumentos y aparatos Encargados de ejecutar tareas de conso l, medición o ejecución de trabajos no directamente asociados a procesos productivos. En la Tabla 0.1 se muestra una primera aproxima ción a esta clasificación por categorías.
TABLA 0.1 a) Máquinas motrices — Máíjuinas de émbolo; — Máquin as rotativas. b)
— Motares rotativos oscilantes. Máquinas operadoras
0.4.
LOS COMPONENTES DE LAS MAQUINAS
Cualquiera de las máquinas anteriormente relacionadas se componen de un mimero determinado de elementos (piezas) componentes, unos fijos y otros mó viles, agrupados a veces para ejecutar tareas diferenciadas dentro de una mis ma máquina (formando mecanismos diversos). Así, se encuentran máquinas muy simples, constituidas por muy pocas pie zas, hasta máquinas más complejas, constituidas por decenas de miles de piezas. En las Figuras 0.24 a 0.32 se muestran algunas de las cerca de 20.000 pie zas que componen un automóvil de serie, como el de la Figura 0.23. A pesar de esa enorme complejidad, la realidad es que el número de componentes de las máquinas, conceptualmente diferentes, es bastante limi tado (aun cuando en cada máquina puedan presentar formas y tamaños di versos).
FIGURA 0.23 Automóvil de serie.
1. Máquinas herramienta.
— Para Uíibajar metales. — Para trabajar madera. — Para trabajar la piedra. 2. Máquinas para U-ansporte.
— Transporte de fluidos, — Transporte de sólidos. — Transporte de personas. 3. Máquinas operadoras. — Máquinas de dosificar. — Máquinas de envasar. — Máquinas de embalar. — Máquinas de etiquetar. — Máquinas de clasificar. c) Instrumentos y aparatos
— — — — — — — — —
Instrumentos de escribir, dibujar y reproducir. Instrumentos de óptica. Instrumentos quirúrgicos y de rehabilitación. Aparatos proyectores (de sólidos y líquidos), Aparatos de uso doméstico. Aparatos para medida y ensayos. Aparatos de simulación. Aparatos recreativos y deportivos. Herramientas manuales (accionadas a mano, eléctricamente y neumáticamente).
15
FIGURA 0.24 Motor ensamblado.
16
INTRODUCCIÓN GENERAL
FIGURA 0.25
FIGURA 0.26
Ensamblaje parcial del nioror.
Elementos del c»rbuTiKltir. Í1W «u'
»«»
ÍI7I1
INTRODUCCIÓN GENERAL
FIGURA 0.27
FIGURA 0.29
Elementas ele la Iransmisión de engranajes.
Piezas del diferencial.
FIGURA 0.28 ñezas de la palanca de cambios.
17
18
INTRODUCCIÓN GENERAL
FIGURA 0.30
FIGURA 0.32
Piezas del Treno trasero.
Mecanismo de clevahmas de la puena dclaniera. SSí
FIGURA 0.31 Algunos componentes del chasis.
El esquema siguiente muestra una agrupación tipológica de tales compo nentes; Elementos de unión:
— Tomillos y tuercas. — Remaches. Elementos para la transmisión de rotaciones:
— — — — — —
Árboles. Engranaje s. Correa s y poleas. Cadenas y ruedas. Cable s y pole as. Ruedas de fricción.
Elementos para la transmisión de movimientos (no rotatorios):
— — — —
Manivela s y cigüeñales. Bielas. Correderas (pistones). Levas y seguidores.
INTRODUCCIÓN GENERAL
Sistemas de adquisición, transformación o generación de energía motriz. (En el caso del automóvil del ejemplo anterior, el motor es el sistema que transforma la enei^'a química del combustible en energía mecánica, es decir, en el giro del cigüeñal con un par determinado.) Sistemas de transmisión y conversión de movimientos y fuerzas, conducente, en última instancia, a la realización del trabajo útil. (En el ejemplo del automóvil, este sistema está constituido por el embrague, caja de cambios, transmisión y mecanismo diferencial, que accionan las ruedas motrices y permiten el movimiento del vehículo.) Sistem a de contro l, que permite dirigir y controlar la potencia, movi mientos, etc., de la propia máquina. (En el caso del automóvil se encuentran dos subsistemas: la direc ción, que permite dirigir la ruta del vehículo, y el freno, acelerador y pa lanca y caja de cambios, que permiten controlar la potencia del motor y la velocidad del vehículo.) Sistema de lubricación, imprescindible en todas las máquinas, y que permit e dism inuir los rozam ientos y desgastes entre los elem entos en contacto con movimiento relativo entre ellos. (En el caso del automóvil está formado por el depósito de aceite, bombas de impulsión, conductos, filtros, etc.)
Elementos de soporte:
— — — —
Bastidores. Cojinetes de fricción. Cojinetes de rodamientos. Ejes.
Elementos neumáticos e hidráulicos:
— Cilindros. — Válvulas. — Bo m ba s. Elementos de los sistemas de control:
— Sensores (mecánicos, eléctricos, etc.;
NOTA 0.2. Igual que el número de componentes diferentes de las má quinas está limitado, también lo están los diferentes materiales con los que pueden ser construidos; — — — —
Hierro y sus aleaciones. Aluminio, magnesio, cobre, etc., y sus aleaciones. Goma, madera, cuero, etc. Plásticos y fibras sintéticas, cerám icas, etc.
FIGURA 0.33 E-structura general de las máquinas.
NOTA 0.3. Es evidente que todos y cada uno de los elementos de las má quinas han de ser calculados para resistir, sin fallos, todas las acciones que sobre ellos actúan. Pues bien, el número de tales acciones está también bastante limitado, siendo las más importantes: — — — — —
Sistema de generación, adquisición o transformación de energía motriz Sistema de transformación de movim ientos y fuerzas (conducentes a la realización d el trabajo útil)
Fuerzas y pares, perm anentes y transitorios. Impactos, choques y vibraciones. Acciones térmicas. Acciones corrosivas. Otras (de menor entidad, com o eléctricas, magnéticas, etc.).
Sistema de lubricación
0.6. 0.5.
LA ESTRUCTURA DE LAS MAQUINAS
El conjunto de elementos y mecanismos que constituyen todas las máquinas pueden a su vez agruparse en un conjunto de sistemas o subsistemas que de una u oü-a forma, con ma yor o menor virtualidad, están presentes en todas las máquinas. Tales son:
19
Sistema de control
LA ACTIVIDA D DEL INGENIERO EN EL CAMPO DE LA MAQUINARIA
En el mundo actual (y mucho más en el futuro) puede asegurarse que todas las personas tienen un c ontac to conti nuo con multitud de máquinas (a nivel de usuarios y operadoras de éstas) y un grupo más reducido, pero también muy numeroso, tiene un contacto más intenso, en diferentes órdenes de actividad.
20
INTRODUCCIÓN GENERAL
En el caso de la máquina automóvil, ésta es operada por millones de usuarios, comerciaÜTjada por miles de técnicos, economistas, vendedores, pu blicistas, etc., mantenida también por miles de técnicos de mantenimiento,/abricada por un relativamente alto número de técnicos e ingenieros de fabrica ción de diversas especialidades (mecánica, electricidad, química, etc.), diseñada, ensayada y verificada por un número más reducido de técnicos, in genieros y otros especialistas altamente cualificados y, finalmente, los conti nuos avances habidos en sus materiales, componentes, métodos de cálculo y sistemas de producción, son el resultado de las actividades de investigación y desarrollo de un grupo aún más reducido de técnicos y científicos de elevada cualificación y especialización. El cuadro adjunto (Fig. 0.34) muestra esquemáticamente las diferentes ac tividades relacionadas con el mundo de la máquina, y con la mayoría de las cuales el ingeniero mantiene un papel de actor principal.
FIGURA 0.34
Investigación Desarrollo Diseño Ensayos y verificación Fabricación Operación Mantenimiento Comercialización y venta
0.7.
LA FORMACIÓN DE LOS INGENIEROS EN EL ÁREA DE LAS MÁQUINAS
Para desarrollar las actividades expuestas en el punto anterior, es claro que el ingeniero tiene que poner en juego una serie de conductas adquiridas a través de un proceso de aprendizaje.
Tales conductas han de adquirirse en tres dominios diferenciados: el c og noscitivo, o adquisición de nuevos conocimientos; el psicomotriz, o la adqui sición de habilidades manuales; el afectivo-volitivo, o la adquisición de con ductas en el plano psicológico (como seguridad en sí mismo, capacidad de relacionarse con colegas, etc.). En el caso de los ingenieros, su campo de actuación principal se mueve entre las ac tividades de investigación y desarrollo (que son, por otra parte, las que impulsan el cambio tecnológico) y las de diseño, verificación y ensayos, fabricación, operación y mantenimiento (en el marco de una tecnología está tica, conocida). Por otra parte, las diferentes actividades exigen conductas predominantes en unos y otros dominios: así, en las fases de investigación, desarrollo y dise ño predominan los conocimientos sobre las habilidades manuales, mientras que en las fases de operación y mantenimiento predominan las conductas del área psicomotriz. En general, y si se separan las denominaciones de ingenieros de las de téc nicos especialistas, es evidente que para los primeros la posesión de conductas en el área cognoscitiva prevalece frente a aquellas del área psicomotriz, sin que pueda, por otra p arte, presc indirse de estas últimas. En el campo de la maquinaria, y en el dominio cognoscitivo, el ingeniero ha de poseer conocimientos de la topología de las máquinas (es decir, tipos, formas, usos, etc., de los componentes de las máquinas y sobre sus mecanis mos y subsistemas constituyentes). También ha de poseer conocimientos sobre análisis de máquinas, que le permitan interpretar sus diferentes pa rtes y especialmente conoce r las relacio nes entre los movimientos y las fuerzas que sobre el conjunto y sus partes pue dan actuar. Asimismo, también ha de poseer conocimientos de diseño y cálculo de los elementos mecánicos, que le permitan construir máquinas seguras, que no fallen durante su vida útil. Finalmente, también tiene que tener conocimientos sobre síntesis de má quinas (y sus mecanismos constituyentes) que le permitan el rediseño o diseño puro de nuevas máquinas, en función de necesidades cambiantes. En el dominio psicomotriz, el ingeniero ha de poseer habilidades en el ma nejo de diverso instrumental al servicio del control de las m áquinas (sensores, etcétera), así como para labores de ensayo, verificación y mantenimiento. Finalmente, en el dominio afectivo-volitivo el ingeniero ha de tener una máxima seguridad en sí mismo en cualquier actividad que ejecute relacionada con la maquinaria y capacidad para relacionarse con otros profesionales en un entorno en el que confluyen muchas personas, de muchas especialidades di ferentes. El aprendizaje de todas estas conductas requiere la posesión de una se rie de conductas previas, adquiridas en otras disciplinas de la carrera de in geniería, y entre las que se podrían desta car en el conjunto de materias bá sicas las matemáticas y la física (especialmente la mecánica) y en el
INTRODUCCIÓN GENERAL
conjunto de materias tecnológicas el dibujo técnico, la elasticidad y resis tencia de materiales, la tecnología mecánica y el conocimiento de mate riales.
0.8.
OBJ ETIVOS, ESTRUCTURA Y CONTENIDO DEL LIBRO «FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS»
0.8.1.
Objetivos
En el manco de lo que puede entenderse como un libro de «fundamentos», y en el contexto de todo lo señalado en este capítulo introductorio, el presen te libro pretende cubrir los siguientes objetivos de aprendizaje. En el dominio cognoscitivo; • Regulares conocimientos, a nivel descriptivo, de mecanismos, má quinas y sus elementos. • Medianos conocimientos de análisis de mecanismos, tanto cinemáti co (estudio del movimiento) como dinámico (transmisión de ftier¿as y relación entre éstas y el movimiento). • Ligeros conocimientcjs de síntesis de mecanismos, y en particular de aquellos mis empleados en la práctica. • Ligeros conocimientos del compon amien to en servicio de los com ponentes en las máquinas, y en partic ular, de la.s bases de cálculo para su dimensionamie nto (que introduc e una relación directa entre esta disciplina y la de resistencia de materiales, conocimiento de ma teriales y tecnología mecánica). • Ligeros conocimientos sobre lubricación de máquinas. En el dominio afectivo-evolutivo, el libro debe permitir alcanzar una cierta capacidad y confianza para moverse en el mundo de la máquina e in tegrarse fácilmente en un equipo de trabajo en este campo.
0.8.2.
Estructura
Para alcanzar estos objetivos, el libro intrixluce contenidos en tres grandes áreas; • Área descriptiva, donde se presentan, a nivel topt)lógico. diferentes mecanismos y sus elementos constituyentes.
21
(Sin descartar muchas otras materias que con mayor o menor intensidad han de tener presentes para acometer con éxito la amplia gama de actividades relacionadas con la maquinaria.)
• Área de tmálisis, donde se desarrollan métodos de análisis tanto cine mático como dinámico de mecanismos en general, y más en profun didad en mecanism os de uso corriente (engranajes, levas, etc.). Se in cluyen también en esta parte el análisis elastodinámico (vibraciones) y las causas de fallo más frecuentes. • Área de síntesis, donde se exponen métodos de diseño de algunos me canismos simples, así como »Íe los elementos que lo constituyen. (Sín tesis cinemática, por un lado, y bases para el diseño de elementos por otro.) Desde el punto de vista expositivo, el libro se ha dividido en cuatro grandes partes; • En la primera parte se exponen los conceptos generales sobre la to ptilogía, la cinemá tica y la dinám ica de los mecanismos, a sí com o la aplicación de tales conocimientos a mecanismos sencillos de uso ge neralizado en la maquinaria: engranajes, levas, cadenas, correas, ro damientos y mecanismos neumáticos. • En la segunda parte se analiza el comportamiento elastodiná mico de los mecanismos y sus elenientos, sus efectos y los modos de corre girlos: vibraciones y equilibrado. • En la tercera parte se introducen algunos conceptos relacionados con el cálculo de los elementos de máquinas, así como el com porta miento de éstos en servicio, en paiticular sus fallos como paso previo al estudio del mantenimiento de nnáquinas (sin embargo, y por ra zones de dar unidad al texto, este análisis de fallos se introduce como un anexo a cada uno de los mecanismos analizados en la pri mera parte, aun cuando su estudio deba s er abordado en el contexto de esta tercera parte de la obra). En la tercera parte se dan unas ideas sobre los materiales em pleados en la construcción de máquinas, el estudio de la fatiga de los elementos de máquinas, los criterios de fallo y las ecuaciones de di seño, los coeficientes de seguridad, etc. Como aplicación práctica de todo ello se hace una aplicación directa al diseño y cálculo de ejes y árboles. • En la cuarta y última parte se presenta el tema de la lubricación de máquinas, aspecto importante, sobre todo, para su correcta opera ción y mantenimiento.
22
INTRODUCCIÓN GENERAL
0.8.3.
Contenido
Con todo ello, la obra com prende los 17 capftulos siguientes: Capítulo 1 : Análisis topológico de mecanismos. Capítulo 2: Análisis cinemático de mecanismos con movimiento plano. Capítulo 3: Estudio de fuerzas en mecanismos con movimiento co nocido. Capítulo 4: Relaciones entre fuerzas y movimientos en mecanismos. planos. Capítulo 5: Mecanismos de engranajes. Capítulo 6: Mecanismos de levas.
I
J -
Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo Capítulo
7:
Mecanismos de correas.
8 ; Mecanismos de cadenas.
9;
Mecanismos de rodamientos. Mecanismos neumáticos. II : Vibraciones en mecanismos. 12: Equilibrado de mecanismos. 13: Introducción al diseño de elementos de máquinas. 14: Materiales empleadtw en la construcción de elementos de máquinas. Capítulo 15 Dimensionamiento de los elementos de máquinas. Capítulo 16 Fundamentos para el diseño de ejes y árboles. Capítulo 17 Lubricación de máquinas. 10:
CAPÍTULO 1
A N Á L I S I S T Ó P O L Ó G I C O DE M E C A N I S M O S
CONTENIDO 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
1.1.
Concepto de análisis topológico de mecanismos. Conceptos básicos topológicos. Conceptos básicos alrededor del mecanismo de cuatro barras. Exposición general de mecanismos.
FIGURA1.1 Piezas de una biela. .Casquíllo o cojinete de biela Taladro para aceite Ojo de biela
CONCEPTO DE ANÁ LISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
Tornillo de dilatación
El estudio topológico de los mecanismos engloba los aspectos relativos a su configuración geométrica y las consecuencias que de ella pueden derivarse. Así, el estudio topológico de mecanismos comprenderá el análisis de las formas de sus elementos componentes, el número de éstos, las uniones entre ellos, los tipos de movimientos que éstos pueden efectuar, las leyes por las que se rigen, etc.
Vástago de biela Pie de biela
*á W T P> is t ón d e s u j ec i ón 1.2.
CONCEPTOS BÁ SICOS TOPOLÓGICOS
i
Casquillos del cojinete de biela
1.2.1. Pieza Cuando en un mecanismo se van separando cada una de las partes que lo forman, se llega finalmente a tener una serie de partes indivisibles, general mente rígidas (aunque no necesariamente) llamadas piezas. En la Figura 1.1 se ha representado el conjunto de piezas que forman la biela de un autom óvil.
Tapa de la cat>eza de bi ^ a (sombrerete)
^
24
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
A título de curiosidad puede decirse que un automóvil de serie, de los nor males en el merca do, llega a tener un promedio de 16.000 piezas.
1.2.2.
Miembro
Un conjunto de piezas unidas rígidamente entre sí, sin movimiento posible en tre ellas se denomina miembro. Un miembro (o barra) es la unidad móvil de un mecanismo o máquina, pudiendo estar formado por una o varias piezas'. El miembro de un mecanismo sobre el que actúa la acción exterior apli cada (fuerza o par procedente de un motor de accionamiento, por ejemplo) se llama miembro conductor. El miembro que efectúa la acción exterior útil se llama miembro conducido. El miembro de un mecanismo que permanece fijo se llama bastidor. El resto de los iniembros de un mecanismo actuarán, por re gla general, como conductores y conducidos, simultáneamente. (En un motor de explosión, cada una de las partes móviles constituyen un miembro, y el con jun to de todas las pa rtes fijas constituye el bastidor.) En la Figura 1.2 se ha representado el miembro biela de un motor alter nativo.
En la Figura 1.3 puede verse los detalles del miembro bastidor de un motor de 4 cilindros con válvulas en cabeza.
FIGURA 1.3 Bastidor de un minor de 4 cilindrus con válvulas en cnbcza.
FIGURA 1.2 Miembn) biela de un motor de explosión.
' Desde luego, los miembros de un m ccaniim o no tienen por qué ser nece&aríomenie rígidos. Pueden ser uimbién miembros elásticos (resortes, etc.), y miembros fluidos o no mecánicos, como aceite en un conducto, etc.
1. Colad or para el llenado de aceite. 2. Tubo para echar el aceite. 3. Tapa o cárter de balancines. 4. Junta. 5. Culata. 6. Bloque de cilindros. 7. Cárter de distribución.
8. 9. 10. 11. 12.
Cárter del moto r. Tapa inferior del cárter. Tapón de vaciado del aceite. Junta. Cárt er o tapa que env uelv e al volante. 13. Jun te de culata. T. Tubo de vent ilació n del cárter.
ANÁL ISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
Obsérvese la enorme complejidad del conjunto y cómo, una vez acopladas todas sus piezas, forman un conjunto rígido, actuando, desde el punto de vis ta topológico (y también cinemático y dinámico), como un solo miembro.
1.2.3. 1.2.3.1.
Par cin emático
Se llama pa r al conjunto formado por dos (o más) miembros de un mecanismo en contacto, con movimiento relativo entre ellos. Así forman un par, en el mecanismo de un motor alternativo, la biela y el pistón, o la biela y el cigüeñal. E n el motor de la Figura 1.4, se tienen los pares: biela-cigüeñal;
Cierre de pares
El movimiento entre los dos miembros del par queda asegurado y viene limi tado por los denominados cierres de pares, de los cuales existen tres tipos; • Cierre de forma; el contacto queda asegurado por la forma de los dos miembros en contacto. En la Figura 1.5 se ha representado el cierre de un cilindro y el émbolo.
Definición de par
Pistón-biela;
1.2.3.2.
25
cigüeñal-bastidor;
FIGURA 1.5 Cierre de forma entre pistón y cilindro.
bastidor-pistón
FIGURA 1.4 Pares en el metanismo pistón-biela-cigOcflal,
UJ
— —t I Cierre de fuerza; el contacto queda asegurado por un miembro elástico interpuesto. En la Figura 1.6 se ha representado el cierre entre la leva y el elevador de válvula de un motor. Cierre de cadena; el contacto queda asegurado por medio de otro miembro del propio mecanismo. En la Figura 1.7 la unión entre las ruedas de engranajes 2 y 3 queda asegurada por la pieza de soporte I (bastidor).
3
á
Ui
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26
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
1.2.3.3.
FIGURA 1.6 Cierre de fuerea entre leva y válvula.
V á l v u l a ------ -Camisa de agua Bloque de cilindros Guía de válvula Resorte de válvula
Clasificación de los pares
Los pares pueden clasificarse; 1. Atendiendo a la superficie de contacto entre los dos miem bros que constituyen el par; • Pares superiores o de contacta lineal o puntual (leva-varilla) (Fig. 1.8.a). • Pares inferiores o de contacto superficial (cilindro-émbolo) (Fig. 1.8.¿>).
FIGURA 1.8 Pares superiores y pares inferiere!..
Conducto de aceite Elevador de válvula Á rb o l de lev as Leva Resalte de la leva
Varilla
Cilindro
\
\
Émbolo
(b)
2. Atendiendo al movimiento relativo entre sus puntos: • De primer grado o lineal, cuando cualquier punto de uno de los miembros describe una línea en su movimiento relativo respec to del otro miembro del par: Par prismático: un punto P describe una línea recta. (Par P) (Fig. 1.9.0.) Par rotación: el punto P describe una circunferencia. (Par R) (Fig. l.9.b.) Par helicoidal: el punto P describe un^ hélice. (Par H) (Fig. 1.9,c.)
ANÁL ISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
27
FIGURA 1.11 Par espacial o de tercer grado.
De segundo grado o superficial, cuando cualquier punto de uno de los miembros describe una superficie en su movimiento. Par plano: el punto P describe un plano. (Fig. l.lO.o.) Par cilindrico: el punto P describe un cilindro. (Par Q (Fig. 1 AO.b.) Par esférico: el punto P describe una esfera. (Par E) (Fig. 1.10.c.)
3. Atendiendo al tipo de rozamiento entre los dos miembros, se clasifican: • Par con deslizamiento: uno de los miembros desliza sobre el otro, en su movimiento relativo (cilindro-pistón). • Par con rodadura: uno de los miembros rueda sobre el otro, en su movimiento relativo (rueda-carril). • Par con pivotamiento: uno de los miembros piv ota sobre el otro, en su movimiento relativo (quicio-quicionera).
De tercer grado o espacial, cuando un punto de uno de los miembros describe una curva alabada. Por ejemplo, una esfera moviéndose dentro de un tubo de igual diámetro (Fig. 1.11).
4. Atendiendo al numero de grados de libertad que posee el movimiento relativo de los miembros que forman el par se clasifican en pares de I, II, ni, rv y V grados de libertad. En efecto, un cuerpo rígido en el espacio posee seis grados de li bertad (puede realizar seis movimien tos independient es entr e sí; o también se puede decir que hacen falta seis variables para definir el movimiento. Figura 1.1 2.a), que vendrán representadas por tres rota ciones paralelas a los ejes x, y ,z y tres traslaciones según esos tres ejes coordenados. Al formarse un par cinemático, un cuerpo libre se ve obligado a perm anecer en contacto con otro. Por tanto, los grados de liberta d del primero se reducen, según .sea el tipo del par (de los 6 movimientos po sibles de un miembro libre, al unirse a otro formando un par los redu cirá a 5, 4, 3, 2 o 1).
28
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
FIGURA 1.12
TABLA 1.1
Gr.tdos de libert»d tle un cuerpo rígido en el espacio y fonnundo un par cincn^ico.
Hsquemus, nombres y símbolos de pares eincmálicos. (irado de llbvrtad
RMiuemm, nombres y sínibidos de pares dneiuáticos
A P«rtk revolución R
/
ParcMfndnco C
En general, es fácil comprender que cuando un miembro (2) se mantiene en contacto con otro ( 1 ) (al cual se pueden fijar los ejes coordenados, como se ve en la Figura \ .\2.b ), los movimientos posi bles de e ste último puede ser las tres rotaciones y sólo dos tra slaciones (una traslación de 2 respecto de 1, según OZ, implica la rotura del par, su separación). En la Tabla 1.1 se expone una clasificación general de los pares ci nemáticos, atendiendo a sus grados de libertad. 5. Atendiendo al número de barras que conectan, los pares también se pue den clasificar en binarios (cuando conectan dos miembros), temarios (conectan tres miembros), etc. En general, par p-ario será el que conecta p miembros. En la Figura 1.13 se tienen ejemplos de pares temarios.
in
S
l
Par pmroártco P
í Par cKtúnco ranuimlo
Pai beJicüidal H
Cüniact. pcniuptincual
& Par
kv i /.
Ciintaa.
:
f>ai- rafciico E
Par plunu PÍ
P. cUindinco muirjt lo
Con uct. crí(>imiuai
IV Paí esfera cilindro Fx
Par plano cüiiKku P r Contacto bipuntual
Contacto bipumual
/ i Par e»>fera pt
Par esfera Be
Atendiendo al número de pares que se pueden conectar, los miembros o ba rras se clasifican en binarias (conectan dos pares), barras temarías (conectan tres pares), etc. En general, barra p-aria es la que conecta p pares.
NOTA 1.1. Las conexiones de miembros por pares superiores pueden ser reemplazadas por conexiones por pares inferiores, cuando se desee dis minuir la presión de contacto y el rozamiento. En la Figura 1.14 puede verse un caso típico, en donde el par superior formado por dos miembros (Fig. 1.14.a) ha sido sustituido por dos pares infer iores (Fig. 1.14.¿j): in troduciendo un nuevo miembro (3), con lo cual aparece el par prismático 3-1 y el par de rotación 2-3.
ANÁL ISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
29
una cadena cinemática, dependiendo para lograrlo del tipo de los pares que la formen. Por ejemplo, con tres miembros que formen tres pares inferiores de primer grado (prismático, rotación y helicoidal), en todas sus combinaciones posibles, .sólo se pueden formar dos cadenas cinemáticas; una formada por tres pares prismáticos, y otra formada por un par pri smático, otro de rotación y otro he licoidal, como se ve en la Figu ia 1.15.
1.2.4. 1.2.4.1.
Cadenas cin emáticas Definición de las cadenas
Puede definirse una cadena cinemática como la agrupación de varios pares elementales, de modo que todos los miembros formen parte, al mismo tiempo, de dos pares simultáneamente; en otras palabras, que todos los pares estén li gados entre sí. Sin embargo, puede haber algún miembro que no este ligado más que a otro.
1.2.4.2.
Clasificación de las cadenas
Pueden clasificarse en dos grupos: • Cadenas cerradas, cuando todos y cada uno de los miembros se une a otros dos. • Cadena abierta, cuando hay algún miembro no unido a otros dos.
1.2.4.3.
Constitución de las cadenas
Una cadena cinemática puede estar constituida por pares superiores, inferiores, o ambos simultáneamente. Al mismo tiempo, también puede contener pares de igual o de diferente grado. La cadena cinemática más sencilla contendrá sólo dos miembros (un par), siendo necesariamente abierta. Un ejemplo puede constituirlo la cadena for mada por un tomi llo y su tuerca. Las cadenas cinemáticas cerradas más simples pueden formarse con sólo tres miembros. Sin embargo, no siempre con tres miembros puede formarse
Las demás combinacio nes son inviables; unas, como la de la Figura 1.16, formada por tres pares de rotación, por imposibilitar cualquier movimiento (forma una estructura), y otras por ser simplemente imposible su construcción.
30
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Utilizando tres miembros con pares de grado diferente, se pueden formar multitud de cadenas cinemáticas. Así, por ejemplo, con dos pares inferiores y uno superior (de contacto li neal o puntual) pueden formarse las cadenas cinemáticas constitutivas de las levas, engranajes, etc. (Fig. 1. \l .a ). Con mayor número de miembros pueden formarse todo tipo de cadenas cinemáticas. En la Figura \.\ l.b se ha repre sentado una cadena cinemática típica, la de Watt.
RGURA1.17 Cadenas cinemáticas.
La Figura 1.18 representa otra cadena cinemática compuesta por seis miembros y sólo seis pares. En ella se observa que en el par A concurren tres miembros, por lo que el mecanismo tiene un par temario, y todos los demás bi narios. Asimismo, también tiene una barra ternaria, y las demás binarias. Las cadenas cinemáticas se nombran por el número de pares y de miembros de cada grado. Así, la cadena (n,, p¿ p¡\ n„ ...) es la formada por ru miembros binarios, n¡ temarios y cuaternarios, así como por pares binarios, />, ter narios y ninguno cuaternario. La cadena cinemática de la Figura 1.17.¿ tiene la configuración (4, 7, 2) y la de la Figura 1.18, tiene la configuración (5, 5, 1, 1). 1.2.5.
D
Mecanismo
1.2.5.1.
Definición de mecanismo
Un mecanismo es una cadena cinemática a la que se la ha inmovilizado uno de sus miembros. A este miembro fijo se le llama bastidor.
NOTA 1.2. Este concepto de miembro fijo requiere importantes mati-
zaciones: (b)
Como se ve, consta de seis miembros y siete pares. En ella puede obser varse que los miembros 2 y 6 son temarios, y los 1, 3,4 y 5, binarios. Así mis mo, todos los pares A, B, C, D, E, F y G son binarios de rotación.
Por ejemplo, puede haber una máquina compuesta por varios meca nismos, en la que un miembro móvil de uno de ellos sea el bastidor (miembro fij o) de otro de sus mecanismos. Sin embargo, en la mayoría de las máquinas, el miembro fijo de todos los mecanismos que la componen es un miembro único (por ejemplo, los diferentes mecanismos que componen un motor de explosión tienen como miembro fijo o bastidor el miembro único formado por la culata, el bloque y el cárter), lo que tampoco implica necesariamente que este bastidor sea un miembro totalmente inmóvil (por ejemplo, los diferentes meca nismos que componen un vehículo automóvil tienen un bastidor único, pero móvil con el auto). En muchas máquinas, sin embargo, el bastidor está unido solidaria mente al suelo, a través de una fundación de hormigón, por ejemplo, que se denomina bancada. En este caso, el bastidor y la bancada constituyen un único miembro, tal como se ha definido; su separación, a efectos ci nemáticos, carece de importancia, pero no así a efectos dinámicos, como se tendrá ocasión de comprobar. De la definición se deduce que de una cadena cinemática pueden obte nerse tantos mecanismos como miembros tenga, a medida que se fijen suce sivamente cada uno de ellos. Cada uno de estos mecanismos se llama inverso del que se ha tomado como fun dam ental.
ANÁL ISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
1.2.5.2.
Representación de los mecanismos
Con el fin de simplificar el estudio de los mecanismos, nunca se dibujan éstos en su totalidad, con la forma y dimensiones de cada uno de sus miembros y pares, sino que se sustituye el conjunto por un esquema, formado generalmente por los ejes de los diferentes m iembros (o por las líneas de unión de los centros de cada una de sus articulaciones). Estas articulaciones no se dibujan por regla general (aunque a veces puedan representarse por pequeños círculos, rectán gulos, etc.). En todo el estudio que seguirá, y a efectos de unificar la nomenclatura, se denominará siempre al miembro fijo de cualquier mecanismo con el número 1 , numerando todos los demás miembros por orden creciente, con números su cesivos 2 ,3 , ... A las articulaciones fijas (unión de un miembro móvil con el bastidor) se les denomina con la letra O, y los subíndices que indican los dos miembros que se unen. Así, por ejemplo, la unión del miembro 4 y el bastidor se repre sentará por 0 ,4. Las articulaciones móviles se designarán por letras mayúsculas, sin subíndice (A, B, C, etc.). En la Figura 1.19 se representa el mecanismo de una prótesis de una ro dilla, y al lado, su correspondiente esquema. (Obsérvese que el miembro fijo se representa siempre con un rayado-línea de tierra.) (Los miembros 2 y 4 se han representado por dos líneas con posiciones relativas fijas.)
1.2.5.3.
31
Clasificación de los mecanismos
• Atendiendo a la movilidad de sus miembros:
De los dos mecanismos de la Figura 1.20, con el miem bro fijo 1 en ambos, en el mecanismo de la izquierda se observa cómo fijada la posición de cualquie ra de los miembros móviles queda automáticamente fijada la posición de los otros miembros, lo que no ocurre en el mecanismo de la derecha. El primero se denomina desmodrómico o de movilidad determinada, y el segundo, no desmodrómico o de movilidad indeterminada. Obsérvese que el segundo mecanismo se convierte en des modrómico si se aplica movimiento a dos de sus miembros, por ejemplo, a los 2 y 5. NOTA 1.3.
FIGURA 1.20
Mecanismos desmodrómico y no desmodrómico.
FIGURA 1.19
Mecunismu de una pró tesis
En este libro sólo se considerarán los mecanismos desmodrómicos, con un solo grado de libertad, donde definido el movimiento de uno sólo de sus miembros queda definido el movimiento de todos los otros. NOTA 1.4 . Es de resaltar que el «cierre de pares» empleado puede re percutir en el hecho de que un m ecanismo sea o no desmodrómico. Por ejemplo, en el mecanismo de levas que acciona las válvulas de un motor de explosión, en el que el cierre del par leva-seguidor sea un resorte, puede ocurri r que a bajas revoluciones el resorte mante nga perfectam en te unidas la leva y el seguidor, con lo cual el m ecanismo es desmodróm i co, pero a altas velocidades .se vea imposibilit ado de hac erlo, con lo cual el m ecanismo deja de ser desmodrómico, siendo cau.sa de irregularidades en la marcha del motor.
32
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
> Atendiendo al tipo de movimiento de sus miembros: Pueden clasificarse en mecanismos planos (o con movimiento plano), en los que cualquier punto, de cualquier miembro, se mueve siempre en una tra yectoria que se encuentra en un plano (aunque no necesariamente todos los miembros se han de mover en el mismo plano), y mecanismos no planos o es paciales, en los que algunos de sus miem bros no se mueven en un plano (Fi gura 1 .2 1 ).
Un par de la clase I restringe en dos el número de grados de libertad de los dos miembros; luego hay que descontar de 3>N dos grados de libertad por cada P, que existan en el mecanismo. Análogamente ocurre con los pares de la clase II, salvo que estos pares sólo restringen en un grado de libertad el movimiento de los dos miembros, por lo que únicamente hay que descontar tantos grados de libertad c omo pares emitan de la cla.se II, o .sea, L. Al descontar los tres grados de libertad que pierde la barra fija, queda la expresión anterior
ñGURA1.21 FIGURA 1.22
Mecanismos especíales.
Efectos de aplicación de la fórmula de Grübler.
En este libro sólo se estudiarán los mecanismos planos.
1.2.5.4.
Grados de libertad de un mecanismo plano: fónvula de Grübler
Se denomina grados de libenad de un mecanismo al número de parámetros necesarios para definir su configuración geométrica (posición en cada instan te, de todos y cada uno de sus miembros). Para un mecanismo plano formado por N miembros (binarios o no), y una serie de P¡ pares binarios de un grado de libertad (R pares de rotación, P pares prismáticos, H pares helicoidales) y P„ pares binarios de dos grados de libertad (L pares leva), los grados de l iber tad del mecanismo vienen dados por la relación de Grübler: G = 3{N - ])-2 P,-P „
( 1. 1)
En efecto, si el mecanismo tiene N miembros, el numero de grados de li bertad, supuestos todos los miembros libres, incluso el bastidor, será 3N (por ser mecanismo plano). Al estar estos miembros conexionados pierden grados de libertad.
ANÁL ISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
En la Figura 1.22 se muestran algunos ejemplos de todo lo dicho, seña lando que: Si C = 1, el mecanismo es desmodrómico, con una sola variable de en trada. Si G = 2, el mecanismo no es desmodrómico, salvo que se suministren, si multáneamente, dos movimientos de entrada. Si G = O, resulta imposible el m ovimiento, y el mecanismo forma una es tructura estáticamente determinada. Si G = -1 , el movimiento es imposible, y el mecanismo resulta ser una es tructura, estáticamente indeterminada (hiperestática. Existe un elemento so brante).
NOTA 1.5. Obsérvese (Fig. 1.23) que tres miemb/os unid os por pa res de rotación forman una estructura, por lo que si se encuentran en un mecanismo, deberá considerarse a todos los efectos como un solo miembro.
33
FIGURA 1.24
Disposiciones de las barras al aplicar la Mnniila de Grübler. Estructura
1.3. 1.3.1.
Mecanismo
CONCEPTOS BA SICOS AL REDEDOR DEL MECANISMO DE CUATRO BARRAS Generalidades
El mecanismo plano de barras básico es el llamado cuadrilátero articulado, una de cuyas múltiples formas se represent a en la Figura 1.25.
FIGURA 1.23 Los miembros .3,5 y 6 forman uiui esiruciura.
FIGURA 1.2 5
’B
>B A(^ W =6 \ P, = 7 \2 ^11 - ®
Y
®
C
4
V
®
C
4
V
1 Ou
0 « \ \
\
\
Mecani.<;nios de cuatro bnrra.s.
N=i P, = 4 P„ = 0 G= 1
\
NOTA 1. 6 . En la aplicación de la fórmula de Grübler hay que tener cuidado, puesto que la disposición de una barra (como se ve en la Fi gura 1.24), puede convertir una estructura en un mecanismo, y vice versa.
(a)
Este mecanismo, de gran versatilidad como podrá comprobarse, está for mado por cuatro miembros (barras), uno de ellos Ojo (bastidor). Los miembros que giran unidos al miembro fijo (tienen un eje de rotación fijo) se llaman ma
34
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
nivelas o balancines, según que puedan dar o no una revolución completa; és tos serán los miembros 2 y 4 de la Figura 1.25. El miembro intermedio, que no tiene eje de rotación fijo, y que sirve de enlace para los dos anteriores se llama biela: éste será el miembro 3 de la Figura 1.25. El mecanismo está formado por cuatro pares de primer grado, de rotación, inferiores, de contacto con deslizamiento. En este mecanismo, si el miembro 2 es el unido al motor de acciona miento será el miembro conductor, el cual arrastra al miembro conducido 4 por interme dio del miem bro biela 3. En la Figura 1.25.a se observa que los miembros 2 y 4 giran en el mismo sentido, aunque ello no tiene por qué ocurrir a lo largo de todo el ciclo del movimie nto, como se observa en la nueva posi ción en la Figura 1.25.¿. Cuando los miembros 1 y 3 son iguales, así como los 2 y 4, el mecanismo se denomina paralelogramo articulado. En la configuración de la Figura 1.26.a, los miembros conductor y con ducido giran siempre en el mismo sentido, mientras que en la configuración de la Figura 1,26.¿> giran en sentidos opuestos (se denomina antiparalelogramo ar ticulado).
Si el soporte es la barra menor y se cumple la Ecuación (1.2), los dos miembros contiguos son manivelas (mecanismo de doble manivela). Figura 1,27.a. 2 + 1< 3 + 4
siendo
2 > 3> 4 > 1
( 1.2 )
FIGURA 1.27
Paralelogramo.s articulados con manivela.
FIGURA 1.26
(a) Puralelogniino articulado: (b.i antiparalelogramo articulado.
1.3.2.
Teorem a de Gras ho f
En un cuadrilátero articulado, los miembros 2 y 4 pueden dar una revolución completa (manivelas) o sólo oscilar a un lado y a otro (balancines), sin poder efectuar una revolución, dependiendo ello de cuál sea el tamaño y posición de sus diferentes miembros. Gra.shof e.studió tales leyes de movilidad determinando que en un cuadri látero articulado para que una o dos barras sean manivelas se ha de cumplir que la suma de las barras mayor y menor no sea mayor que la suma de las otras dos.
• En el caso que 2 + 1 = 3 + 4, siendo 2 = 4 y 1 = 3, Figura 121.b, se tie ne el paralelogramo articulado. • Si el soporte es una de las barras contiguas a la menor, el miembro me nor es una manivela y el otro un balancín. El mecanismo se llama de manivela-biela-balancín. Figura 1.27.C. • Cuando no se cumple que 2 + I < 3 -h4, los dos miembros que giran son balancines, y el mecanismo se llama de doble balancín. Figura 1.28.
1.3.3.
Confo rmac ión de los miemb ros
Los miembros del mecanismo de cuatro barras (como los de cualquier otro mecanismo) pueden adoptar diversas configuraciones, aun cuando todas res pondan al mismo esquem a. * En la Figura 1.29 se han representado las posibles variaciones de los ele mentos de un cuadrilátero articulado, a medida que el tamaño de sus uniones
ANÁL ISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
(articulaciones) van evolucionando. Como se ve, sus formas pueden ser muy diferentes, pero a efectos cinemáticos son todas idénticas:
FIGURA 1.28 Mecanismo de doble baJajicfn.
• La Figura 1.29.a representa el esquema del mecanismo. • La Figura 1 ,29.b representa el mismo mecani.smo, en el que la articula ción 0,4 se ha agrandado, sin que sea su tamaño mayor que BO„. (El miembro 4 es un cilindro macizo unido a un tramo de barra, que gira dentro del cilindro hueco 1 .) • La Figura 1.29.C representa el mismo mec anismo, pero ahora el miem bro 4 es una barra unida a una deslizadera c que se mueve sobre el ci lindro 1 . • La Figura 1.29.d representa el caso en que la articulación 0,4 es mayor que el propio miembro. El mecanismo es el mismo que los anteriores, y el miembro recibe el nombre de excéntrica. • Si el miembro ñO, , gira sólo un cierto ángulo, la excéntrica puede li mitarse, como se ve en la Figura 1.30.a. • El miembro B0¡^ puede sustituirse por una corredera que se desplaza en una acanaladura de radio 60,4, como se ve en la Figura 1 30.h.
FIGURA 1.30 Mecanismo con corredera.
FIGURA 1.29 Conformación de miembros d e mecanismos. (a)
—
35
(b)
o
^3
36
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
En este último caso, el mecanismo c ompleto quedan'a tal como se ve en la Figura 1,30.c; como es lógico, esto mismo puede hacerse extensivo a cualquier mecanismo de este tipo, incluso suponiendo trayectorias no circulares para la corredera.
1.3.4.
FIGURA 1.32
Mccaniíímo de doble corredera,
Variantes del mecanism o
El mecanismo cuadrilátero articulado puede presentar diferentes formas, según el tamaño y disposición de los diferentes miembros. A continuación se verán algunos ejemplos de estas posibles variaciones. A) Si en el cuadrilátero articulado normal de la Figura 1.29.a se supone que el centro se desplaza al infinito, el mecanismo se convierte en el conocido manive la-biela-corredera (Fig. 1.31), cuyo uso no es ne cesario recalcar (motores, compresores, bombas alternativas, etc,, tie nen este mecanismo como básico). El miembro 4 se desplaza sobre una trayectoria recta (centro de curvatura en el infinito).
FIGURA 1.33
Meca nismo d onde la biela es .‘su.sütuida por una corredera.
FIGURA 1.31
Mecanismo maiiivela-bicla-corredcrd.
1.3.5.
Inversio nes del mecanis mo
Como se mencionó anteriormente, de una cadena cinemática pueden obtener se tantos mecanismos como miembros tenga.
B) En el caso de que en el cuadrilátero articulado (Fig. 1.29.a) las dos manivelas tengan longitud infinita (0 ¡2 y O,, estén en el infinito), se tiene el mecanism o de doble corredera de la Figura 1.32. C) Otra variante del cuadrilátero articulado la constituye el mecanism o de la Figura 1.33, en el que la biela ha sido sustituida por una corre dera.
• En la Figura 1.34 se ha representado la cadena cinemática de cuatro ba rras y todas sus posibles inversiones. • En la Figura 1.35 se representa la cadena cinemáti ca de cuatro miem bros. con una articulación agranda da, y todas sus p osibles inversiones. • En la Figura 1.36 se representan las inversiones del mecanismo mani vela-biela-corredera, • En la Figura 1.37 se representan las inversiones del mecanismo con dos correderas.
ANÁL ISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
FIGURA 1.35
FIGURA 1.37
Cadena cinemática Ue cuatro miembros con articulación agrandada.
Inversiones del mecanismo con dos correderas.
4^
t>D 13 ^
1 XS
37
38
1.4.
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
EXPOSICIÓN GENERAL DE MECANISMOS
1.4.1.
Introd ucc ión a la expos ició n general de mecanismos
A continuación se van a exponer, por medio de dibujos y esquemas, una serie de mecanismos, más o menos simples y fácilmente comprensibles, que per miten una visión general de los mismos (aunque sin profundizar en el conoci miento de cada uno de ellos), así como una primera clasificación sistemática a nivel topológico de los muy variados mecanismos existentes. Con esta exposición no se pretende em ular los manuales existentes donde se analizan topológicamente miles de mecanismos, sino sólo exponer una se rie de ejemplos que se consideran más significativos de cara a la motivación del alumno que se inicia en esta materia, y que por tanto pueden estar al al cance de su comprensión en este estadio de sus conocimientos. Resulta muy difícil cualquier cla.sificación de los mecanismos que pre tenda ser ordenada y estructurada: mucho más en este caso que sólo trata de ser un resumen muy superficial. Por ello, la pauta seguida ha sido la de una primera exposición de meca nismos, en dibujos y esquemas detallados, con la característica común de su simplicidad y generalidad, teniendo en cuenta para su ordenamie nto el par más básico o característico, seguida de una e x posición más a mplia de otros meca nismos, ordenado s segtín su uso más fre cuente, para terminar con la exposición de algunos ejemplos de mecanismos diversos.
FIGURA 1.38 Mecanismo de cuña utilizudu para convertir el movimiento de iraslaáón, en el miembro 2, en oüx» de traslación, en los dos miembroo 4 y 3.
FIGURA 1.39 Tomillo te nsor Pani regular la longitud de tirantes, cables, etc. Uno de los tt)rnillo!> de regulación posee rosca de inclinación derecha, y el otro de inclinación iz quierda. Hosca a derech as
^ ,1
1.4.2. 1.4.2.1.
Expos ición de mecanis mos sim ples según SU par básico Mecanismos de par básico inferior
Mecanismos de cuña
Se emplean como mecanismos para la transmisión de movimiento, y para transmitir grandes esfuerzos. Mecanismos de tornillo
Se emplean para transmitir fuerzas y para convertir un movimiento circular en otro de traslación, o viceversa. Los hay de muchos tipos, y en las figuras se muestran algunos de ellos.
(O
j f
Rosca a izquierdas
^ .....................- X - ü i i
1 /- ---'X K N _ X
ANÁL ISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
39
Mecanismos de barras
Se emplean para transmitir el m ovimiento de un eje a otro. Ha sido estudiado con detalle en los puntos anteriores, pero aquí se reflejan algunos detalles constructivos.
1.4.2.2.
Mecanismos de par básico superior y cor)tacto con rodadura
Mecanismos de rodamientos
Se emplean preferentemente como elementos de soporte, aunque también pue de emplearse para la transmisión del movimiento. FIGURA 1.43 Rodamientoí. de bolas: (a >rígido de bolas con una hilera, (b) rodamiento axial de bolas de simple efecto.
(b)
40
f u n d a me n t o s d e m e c a n i s m o s y m á q u i n a s p a r a i n g e n i e r o s
FIGURA 1.44
FIGURA 1.46
R(>damientos de rodillos: (a) rodillos cilindricos, (b) rodamienlo de rodillos cónicos.
Cilindros de fricción exteriores. Los ejes giran en sentidos opuestos.
(b)
(a)
FIGURA 1.45 Totnillu de bolas. (Al girar el tomillo, lus bolas y la tuerca « despUizan longitudi nalmente.) Tuerca
Tornillo
Bolas
Mecanismos de fricción Se emplean para transmitir el movimiento entre dos ejes, por medio del roza miento generado entre dos superficies rodantes, comprimidas entre sí.
ANÁL ISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
1.4.2.3.
Mecanismos de par básico superior y contacto con deslizamiento
M e c a n i s m o s d e l e v as
FIGURA 1.50 (a) Engranajes cilindricos de dientes rectos, para ejes paralelos; (b) engranajes ci lindricos de dientes inclinados, para ejes pai'alelos.
Se emplean para convertir un movimiento de rotación (o traslación), según una ley dada, en otro de rotación (o traslación), según otra ley también pre definida.
(a)
Mecanismos de engranajes
Se emplean para transmitir el movimiento entre dos ejes, utilizando el em puje entre los dientes (para lo cual, uno desliza contra otro). Hay de mucho s tipos, según la forma constructiva y la colocación de los ejes de ambas ruedas.
41
42
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
FIGURA 1.53
FIGURA 1.55
Engranajes cónicos; (a) de dienies rectos, (h) de dicules inclinados.
Tipos de correas; (aj redonda; (h) plana; (c) trapecial; (d) banda trapecial; (e) en eslabones; (f) dentuda; íg) banda en V.
(b)
1.4.2.4.
Mecanismos con elementos flexibles
Mecanismos de correas
Se emplean para tra nsmitir la rotación de un árbol a otro, pudiendo ser de dos tipos: poleas y correas planas (permiten la conexión de árboles no paralelos), poleas y correas trapezoidales y correas y poleas dentadas.
Mecanismos de cadenas FIGURA 1.56
FIGURA 1.54
(a) Cadena de rodillo doble; (b) cadena de dientes silenciosa.
Mecanismos de transmisión por correas; (a) correas planas, (b) correas trapeciales.
(a)
(b)
(al
(b)
ANÁL ISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 1 .4.2.5.
Mecanismos con elementos no mecánicos
M e c a n is m o s n e u m á t ic o s
FIGURA
1.57
1.4.3. 1.4.3.1.
Exposición de mecanismos simples según su uso Mecanismos para la conversión del movimiento
iMecanismos que convierten un movimiento c ircular constante en otro circular, también constante
Cilindro neumático de simple efecto. El aire comprimido entra por el urincio A y empuja ul émbolo hacia la derecha. El reiormi del vastago se realiza, por un muelle incorporado, cuando el aire no ejerce presión en A.
FIGURA 1.60 FiGURAI.58
43
Transmis ión por trenes de engnmajes.
Válvula de asiento esférico. Un muelle mantiene cerrada la bola contra su asiento; el aire couiprímido no puede circular hacia el oriñcioA. Accionando el pulsador, la bola .se separa y pue de (luir el aire. Es necesario vencer la resiste ncia del m uelle y la presión del aire.
e
CU
44
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Mecanismos qu e convierten un movim iento circular constante en otro circular, de velocidad no constante FIGURA 1.61 Mecanismo de cuatn) burras con dos mímivelas. Cuando el eje de entrada (miembro conductor) gira a velocidad cíe., el de salida (miembro conducido) gira a velocidad distintíi, y variable con la posición del conjunto.
FIGURA 1.62 Riicda.s dentadas con relación de transmisión bi&scalonado. (La vel
FIGURA 1.64 Transmisión espacial con ruedas dentadas circulares, y relación de tnm.smisión variable.
ANÁLISI S TOPOLÓGI TOPOLÓGI CO DE MECANISMOS Mecanismos que convierten un movimient o circular constante en otro de magnitudes variables a voluntad: cambio de marchas
FIGURA 1.65 Cambio de marcha (3 velocidades). Accionunüo la palanca P el árbol F se se despla za a derecha o a izquierda, con lo cual es posible o btener tres diferent diferentes, es, velocida des de <;aii <;aiida da en el árbol F. para una velocidad fija de entrad a por el árbol D. Las i(ú¡, = 450. cOr = 150); B-G iü)¡ iü)¡,, = tres conexiones posibles en el esquema son; A-E i(ú¡, = 450, (i), = 550); C-H (
45
FIGURA 1.67 Cono conductor que se desplaza en el interior de un cono conducido. Mediante el acciuiiamiento de la palanca puede aumentarse o disminuirse la distancia existen te entre los ejes del cono conductor y del conducido, medida ésta en un piano per pe ndi cul ar a los mLsmos. P ara igual vel oci dad del co no con duc tor, el c ono co nd u cido va aumentando su velocidad a medida que penetra en el interior de aquél.
FIGURA 1.66 Transmisión automática por correas. Para una misma velocidad de la polea con ductora se tienen diferentes velocidades de la polea conducida, al variar los diá metros de amba.s (lo que se consigue acercando o separando sus caras laterales). Engranajes
FIGURA 1.66 Un cilindro 3 qu e .se .se desplaza en contacto con lo.s lo.s conos 2 y 4. Árbo les de entrada y salida paralelos. Al mover la posición del cilindro se modifica la relación de transmisión (para igual velocidad del cono conductor, el cono conducido adquiere diferentes velocidades, según sea la posición del cilindro).
- Servomot or de vacío
Contrapesos centrífugos
Caja reductora de piñones cónicos
46
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS INGENIEROS
FIGURA 1.68 (continuación)
FIGURA 1.70
Transmisión uutomátik' uutomátik'a por correas.
Conversión por nicdio de mecaiii.smo¡> de engranajes, Accionamiciilo «Itcmaüvo de dos cremalleras, por medio de una palanca y nieda dentada. Por la acción del muelle, la polea mantiene su máximo diámetro
Contrapeso centrífugo en reposo
grisaf ''
^ Polea mot riz
Contrapesos centríf ugos totalmente extendidos
Polea arrastrada
Polea con diámetro mínimo
1.4.3. 1.4.3.2. 2.
Mec anis mos de acoplamien to
Tienen por mi.sión mi.sión unir dos ejes o árboles, cualquiera qu e sea su posición relativa. relativa.
Mecanismos que convierten convierten un movimient o circular en rectilíneo FIGURA 1.69
FIGURA 1.71 Acoplamiento para árboles que se unen formando ángulo. Acoplamiento universal de cruceta. Su mayor problema estriba en que la velocidad del árbol anastnido no pe rma nec e cte. , s ino qu e varía en fun ció n del áng ulo p.
Conversión por medio de mecani.smos mecani.smos de barras.
\^ P
ANÁLISI S TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
47
FIGURA 1.72
FIGURA 1.75
Acoplamiento universal universal de bolas. En la superficie de la cubierta 1 y eji eji la exterior del extremo del árbol 3 van dispuestos seis canales, según líneas meridianas, en los que se alojan las bolas, Al girar el árbol 2 un ángulo y. las bolas ruedan en los canales, al tiempo que voltean con los árboles giratorios y transmiten el giro del árbol 4 al 2.
Enibrague de rueda libre, de rodillos. Si el árbol 2 impulsa en sentido contrario al do lab agujas del reloj, los rodillos 3 quedan a cuñados en el esp acio entre 4, y 5 es obligado a girar. Si 2 gira en el sentido de las agujas dcl reloj, los rodillos no están presio nado. s c ont ra 5 y no hay tran smi sión . El e fect o es el mis mo .si .si 5 g ira en se n tido contrario a la.s agujas más depnsa de lo que gira 2 hacia ese mismo .sentido. Rodillos (3) E s p a c io io d e a c u ñ a m i e n t o Árbol ránurado (2)
FIGURA 1.73 Acoplamiento entre árboles no colineales. Junta Oldham. (a) Tipo básico; (b) tipo miKlificado.
FIGURA 1.76 Dibujo esquemático de un embrague de fricción de un automóvil. En los esquemas se representan las posiciones embragada y desembragada. Cuando el conductor ac ciona el embrague, el collar de empuje aprieta el diafragma, diafragma, que actúa com o un re sorte sobre pivotes, permitiendo que los forros de fricción se separen del volante y desconecten el motor de la transmisión.
1.4.3. 1.4.3.3. 3.
Meca nismo s de embra gue
Tienen por misión igualar las velocidades de dos árboles, estando el árbol con ductor en marcha. También permite desacoplar dos árboles, unidos entre sí, cuando se desee.
EM B R A G A D O
D E S EM B R A G A D O
Disco
conducido
Forros de fricción
FIGURA 1.74 Embragues de garras. Un cubo está enchavetodo al árbol, y el otro cubo puede des lizarse axialmente (a lo largo de una lengüeta). Su mayor inconveniente es la difi cultad para embragar en marcha.
Cigüeñal Muelle
b
P
Plato de presión
48
f u n d a m e n t o s d e m e c a n i s m o s y m á q u i n a s p ar a i n g e n ie r o s
1.4.3.4.
FIGURA 1.76 (continuación) Dibujo escjucmático de un embrague de fricción de un auiomúvU.
Meca nism os de freno
FIGURA 1.77 Dibujo os[)uem.itic(.i de un freno de lumbor de zapatas inicriores, pivotantes. de un automóvil. En los esquenias superiores se represenüin las posiciones de sin frenar y frenado. Cuando el conduc tor acciona eJ pedal del freno, aumenta la presión en el interior del cilindro hidráulico y la:> dos zapata» son empujadas hacia la parte in terna dcl tambor giratorio. Cuand o se suelta el pedal dcl freno, las zapatas vuelven a su pi>sición inicial por la acción de un resorte. En el esquema inferior se repre senta una vista seccionada de un mecanismo de freno.
Disco co nducido Plato de presión
Muelle de retorno
Campana
Cigüeñal
Collar de empuje
SIN FRENAR
FRENADO Retén de polvo
Diafragma
Cilindro fijo
Zapata del freno
ANÁLISIS TOPOLÓGI CO DE MECANISMOS
f i g ur a
FIGURA 1.60
1.78
Freno de disco. La presión hidníulica comprim e las pastillas de freno, fijas al bastid or, co nuu el disc o g irato rio unid o u la rue da D. frenándolo. La ventaja de este tipo de freno frente al de tiunbor es su mayor potencia de frenado, debido a su niayot facilidad de eliminar calor, así como p or su capacidad sim ilar de frenado en ambos sentidos de marcha.
1.4.3.5.
49
Meca nism os para dibujar y realizar operacione s mat em áti cas
FIGURA 1.79
Mecanismo c
FIGURA 1.81 Mecanismo multiplicador de fricción. Los factores a multiplicar se introducen por el eslabón 3. en forma de distancia .t^ del carro 4-5 al eje de giro del d isco 2. y po r disco 2. en forma de ángulo de giro de este último. El giro del cilindro de radio H es proporcional al pnxlucto de los factores
Pantógrafo. 0 punto £ describe una figura semejante a la descrita por el punto F. a otra escala, variación de la escala se consigue moviendo lat» correderas 5, 7 y 6 (que .se inmovilizan en la posición de.seada). El punto O se fija en el papel (mesa de dibujo).
G),
X
A
—
//'
,| .2 1 C
/>^
ft), XJ; R
50
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
1.4.3.6.
Meca nism os de segurid ad
FIGURA 1.82
____
Dispositivo de .segiirídud de un ascensor. La cabina del asccn!>or esiá s iupend ida racdiunte un cable del anillo a del elem ento 2. El resorte 3 eMá comprimido. Si se rompe el cable, el resorte se estira, el plato b del elemento 2 ejerce presión sobre el elemento 4 y las palancas 5 y 6, al girar alrededor de los apoyos O,, y (?„, conectan el di.spositivo de bloqueo que a.seguni la parada de la cabina del ascensor (coclavamiento de la.s cui1a.s C contra las guía.s 1).
FIGURA 1.84 Mecaiusino para fijar una palanca. La palanca 3, que gira alrededor de O,,, puede ser fijada en una posición determinada por m edio del mecanismo de trinquete y ga tillo moslrtido en la fígura.
1.4.3.7.
Meca nism os de medición
FIGURA 1.85 Mecanismo de palancas articuladas de una báM,nila de plataforma. Las longitudes de los elementos dcl mecanismo satisfacen la.s condiciones; fCE = íl F; I)K + DC = = M + = /f. Si el elemento I es la plataforma y sobre ésta se pesa una carga Q. entonces el peso de la carga sexá igual a
FIGURA 1.83 Dispositivo para la detención automática de una máquina de rebobinar alambre. Si al enrollar el alambre del tamb or 4 en el 5 aumenta la resistencia al enrollado, con pel igro de rot ura del hilo , el pes o tara do de la pal an ca 2 res ult a in.suric ientc para mantener ésta en posición; al elevarse actúa sobre la palanca 6, de.seonectándose el embrague de accionamiento.
k AH donde es el peso de la pesa puesta sobre el platillo 2.
ANÁLISI S TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
f ig u r a
1.86
1.4.3.6.
51
Meca nism os de regulación
Teiisómetro de cables. Se basa en la medida del desplazuniicnto transversal del ca ble. el cua l será ftiDción d e la tens ión del mis mo. El apa rato se suje ta al c abl e co n las mordazas 4 y 6. La palanca 2, que lleva el mueUe 5 apoyado contra el rodillo 7, se aplica contra el cable por el apoyo 3. La fuerza de aplicación origina una defor mación transversal del cable, que se m ide con el giro del piñón 8, engranado con el sector dentado I . .s olidario a 2.
FIGURA 1.87 Mecanismo de palancas con ruedas dentadas de un tacómclro centrífugo con caja de velocidades. Al girar el árbol A, la masa anular 2 tiende a ocupar la posición ver tical venciendo al resorte 3. El movimiento se transmite a la aguja 4 por medio de la biela 5, el casquillo 6, la palanca 7, unida rígidamente con el sector dentado, y de la rueda dentada 9. La magnitud ae mide en la escala 10.
FIGURA 1.89 Mecanismo de un termostato con elementos elásticos. En el caso de elevación de temperatura del Kquido de baja temperatura de ebullición que se encuentra dentro de la cápsula ondulada 2, la válvula 3, unida con la cápsula ondulada 2, se despla za hacia arriba y cierra la sección de paso A. Cuando e l líquido se enfh'a, la válvu la 3 se desplaza ba jo l a ac ció n d el res ort e 4. El res ort e 5 sirv e p ara de tia ni ar e l t íqoido en el caso de elevacióíi de la presión en el sistema.
52
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
1.4.3.9.
Me can ism os de alim entaci ón de máqui nas aut omáti cas
FIGURA 1.92 Mecanismo de tolva con tambor de paletas. Al girar el tajiihor de paletas de ali mentación T, en el sentido de iax agujas del reloj, el material S depositado en la tol va A! se va alojand o en los comp artim ento s dcl tambo r; ul llegar a su posic ión in ferior el material cae, en can tidades iguales, en los envases V, que se desplazan en el sentido indicado por la flecha Q.
1
rll
-a
V
/ \ ^ w a
FIGURA 1.93 FIGURA 1.91 Mecanismo para orientar piezas con uña basculante. Las piezas I son empujadas po r e l c ana l Al lle ga r a su ex trem o, las qu e en fre nta n el hu eco a la uña son vol teadas. y las otras caen normalmente. De esa forma, todas las piezas quedan orien tadas en el canal descendente en la misma dirección.
Mecanismo automático para la selección y entrega de bolas de nxiauiientos al transportador, l^s bolas con diámetro superior al normal que llegan de la tolva 1, tre be jan en el borde de la tapa 2 y atven cun su peso la escotilla 3. que un muelle mantiene cerrada. Dichas bulas caen por la escotilla 3 en el cajón 4. Las bolas pequeña-s, al no trope/Jir con la tapa 2 siguen rodando h asta el cajón 5.
ANÁLISI S TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 1 .4 .4 .
Ex p o s i c i ó n d e m e c a n i s m o s d i v e r s o s
f ig u r a
1.94
Mecanismo de palanca;, y colisa del tren de ate rrí/nje a'Uáctil de un avión. El eleraenio 2 con la rueda a gira alrededor del eje fijo £),, del b astidor del avión. El ele mento 3 forma los pares de rotación A y B con los elementos 2 y 4. El elemento 4 gira alrededor del eje fijo 0„ del bastidor del avión. El visuigo 5 de! cilindro de elevación fomia el par de rotación C con el elem ento 4. El cilindro 5 gira alrededor del eje fijo 0,¡ del bastidor del avión. Cuando el pistón entra en el cilindro de ele vación los elementos 2 y 4 giran en las d¡recx;iones indicadas co n las flechi® y el mecanismo ocupa la posición mostrada con líiieas de trazos, que asegura la retrac ción del tren de aterrizaje del avión.
53
FIGURA 1.95 Meciinisnio disparador de un encend edor de bolsillo. Es un Himple cuadrilátero ar ticulado con la.< manivelii.'t (mejor, balancines) 2 y 4. y la biela 3. Al apretar con el dedo sobre la biela, el balancín 4 gira rápidamonle, y produce la chispa por frota miento con la piedra. El resorte antagonista sirve para hacer el retomo autoniáticaruente.
FIGURA 1.96 Mecanismo de palancas de un remero de juguete. Al girar la manivela 2 alrededor del eje 0,2 fijo al ba.stidor, la biela 3 desliza en la corredera 4. también unida al bas tidor. El punto C de la biela describe una curva t, como resultado de la cual se co munican los movimientos twícesarios a «las manos» 5 que sujetan los remos, y al cuerpo 6 el remero, que gira alrededor del eje fijo O,,. Travectoria
54
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
FIGURA 1.97
FIGURA 1.98
McxanistiK) regulador hidráulico de velocidad de una turbina hidráulica. El mecani.sm« de la figura regula lu velociilnd de una lurbin;) Pelíon (mi dibujada), por medio de la dcHviacMSn parcial del chorro de agua (desviador 14), en primera iasrantia, y eMraagulaciún del caudal de salida, por inedio de )a aguja 25. en segunda inscancia. La ñgura represen ta la posición del njocanisnin en marcha normal. Si por cualquier causa aumenta el nú mero de revolucione.s de la turbina, y con ella la del regulador cenirífugo 2, las bolas as cienden, y arrastran en üu subida al manguito 3. el cual desplaza la varilla 4. la cual giranílo alrededor del pivote <4. despla za el pistón 5 hacia abajo. (La articulación no es fi ja, pero permanece como tal debido a la inmovilidad del pistón 7, y las varillas 9 y 10.) Cuando el pistón 5 .se desplaa» hacia abajo, dentro del cilindro 6, el aceite a presión (pro cedente de uno bomba y depósito no dibujados) pasa al cilindro 8, de¡>plazando el fsstón 7 a la izquierda, tanto tiemp
Mecanismo de un conmutador. El botón 8. que efectúa tnoviinicnto de traslación a lo lai|!0 de la guía fija 1. tiene un extremo perfilado u. Al apretar el botón S, su ex tremo u acciona por tum o las palancas 2 y 3. unidas por el resorte 4 y las palancas 5 y 6. En este caso la palaiKa 7 ae de.<¡v(a respcctivameute a uno u otro lado res pe cto al e je fijo
FIGURA 1.99 Mecanismo de la puerta de un automóviL Los balancines 4 y 2 del mecanismo de cuatro elementos articulados 0„BA0,¡ giran alrededor de los ejes fijos 0„ y 0,> pe rte nec ien tes al b as tid or de ! a uto mó vil. El ele me nto 6, so lid ari o co n la p uer ta P, forma los pares de rotación E y C con el elemento 3 y la biela 5. En la posición abierta el mecanism o se fija por el saliente h del elemento 6 que entra en un hueco coiiespondiente dcl bastidor. En el dibujo izquierdo se muestra la puerta en posi ción abierta, y en el derecho, en posición cerrada.
f 5 • 3 \2 ^
/A 2,
ANÁLISI S TOPOLÓGICO DE MECANISMOS
f i g u r a 1.100 Mecanismo puní regular la profundidad de inmersión de un torpedo. El pÍKión 2 esui sumetido a la presión hidrustática dcl agua por k u par le infe rior y a la d cl aire tomprimido (alniacenadu en iin recipiente no dibujado) y un resoné (regulable a voluntad) por su parte superior. Mientras que el torpedo .se encuentre en la pro fundidad deseada (regulada por el resorte), el pistón .se encuentra en el punto me dio. El pistón 2 está unido por m edio de una biela 3 al balancfn 4, que gira alrede dor del punto fijo al bastidor O,,; po r su extremo inferior se encuentra el péndulo P, sensible a laü variaciones de inclinación del torpedo. C uando el torpedo se inclina, el péndulo P se desplaza respecto a su cuerp o y junto con la acción del pistón 2 se utiliza para poner en acción el timón de profundidad /. Si la proa del torpedo sube, y la profundidad de inmersión disminuye, el pistón 2 y el i^ndulo P despla zan la válvula 6 hacia la derecha. El aire co n ^m id o del deposito penetra en el ci lindro y obliga ai pistón a desplazarse hacia ¡¿a jo, y bajar el timón de profundidad 9, que gira alrededor del eje fijo al bastidor venciendo la acción del resorte 10. Cuando aumenta la profundidad de inmersión, el cilindro se pone en escape, de jan do sal ir el aire , y el r eso rte IO es el qu e h ace su bir e l tim ón de pro fund idad .
55
FIGURA 1.101 MccanÍKmo de las tccias de un piano. La tecla 2 gira alrededor del prisma f),,. El martillo 4 gira alrededor del eje fijo Al golpear la tecla 2, el elemento 3. que gira alrededor del eje fijo fl, se apoya con su exü-emo en el resalte J del martillo 4 y éste golpea la cuerda. En el inoinenlo del golpe la tecla 2 tropieza con el tope i y el extremo izquierdo de la tecla levanta el amortiguador a colchado libremente so bre ell a. Dc ipu és de da r u n g olp e sob re la cue rda , el ma rtil lo 4 cae y con su col a encuentra el uipe h en el que se apoya durante todo el tiempo que se mantenga pre sionada la tecla. El resorte H. unido al elemento 2. tiende a apretar el elemento 3 contra el resalte d del martillo 4. Al dejar de apretar la tecla, ésta descansa libre mente sobre el tope í y el amortiguador C se apoya sobre la cuerda impidiéndole vi brar. De e sta ma ner a, el g olp e sob re la c ue rda es níti do y el pia nis ta pue de con tro lar el tiempo de vibración.
CAPÍTULO 2
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
CONTENIDO 2 .1. Introducción al análisis cinemá tico de mecanismos. 2.2. Velocidades y aceleraciones de puntos de miemb ros aislados. 2.3. Relación entre velocidades y aceleraciones de puntos de pares ci nemáticos. 2.4. Análisis de velocidades y aceleraciones en mecan ismos planos.
decir, determinar la posición de cada m iembro del mecanism o, conocida la del miembro de entrada. Desde luego, el análisis cinemático de mecanismos, com o un fín en sf mis mo, tiene poca utilidad. Más bien debe ser considerado como un medio para llegar a resolver el problema dinámico (tanto directo como inverso, que se tra tará en posteriores capítulos), así como para comprobar los resultados obteni dos en la síntesis de mecanismos. El análisis cinemático de mecanismos puede acometerse por diversos métodos. Todos ellos pueden agruparse en las siguientes categorías: a) Según la forma de solución:
2.1.
IN TRODUCCIÓN AL ANÁLI SIS CINEM ÁTICO DE MECANISMOS
El análisis cinemático de mecanismos se refiere al estudio del movimiento de los mismos (desplazamientos, velocidades, aceleraciones y sobreaceleraciones de puntos y miembros constituyentes), sin atender para nada a la causa que produce tales mo vim ientos. Se trata, por consi guien te, de un aná lisis pu ra mente geométrico del movimiento. En general el problema cinemático de mecanismos se plantea del mod o si guiente: «dado un m ecanismo (número de m iembros, número de pares y di mensión de los miembros) y conocido el m ovimiento de uno de sus miembros, el conductor (en el caso de que tenga un solo grado de libertad) o de n miem bros (pa ra me can ism os con n grados de libertad), determinar el estado de movimiento (velocidades y aceleraciones) del miembro de salida — conduci do— y de todos los demás que sean necesarios, así como de puntos de parti cular interés». Aparte de ello, también comprende el problema de análisis posicional, es
1. Métod os gráficos. 2. Métodos analíticos. 3. M étodos numéricos. b) Según la amplitud (en el tiempo ) del movim iento del mecanism o:
1. Métodos posicionales. 2. Método s de ciclo completo. Los métodos gráficos han sido los más antiguos en su aparición, y los tra dicionalmente empleados. Ello fue debido a que los planteamientos analíticos conducían generalmente a sistemas de ecuaciones no lineales, de gran difi cultad de cálculo. A pesar de que actualmente estas dificultades analíticas han sido salvadas, los métodos gráficos no puede decirse que hayan quedado obsoletos. En efecto, éstos presentan ventajas tales como: • Son muy intuitivos, con lo cual se alcanza una profunda comprensión del movimiento de los mecanismos. • Son fáciles de aplicar.
58
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
• No requieren el empleo de herramien tas de cálculo complicadas. • Tienen alto valor pedagógico.
2.2.
Por contra, presentan los siguientes inconvenientes:
2.2.1.
• Son métodos posicionales. • Requieren un alto tiempo de resolución. • No siempre se pueden obtene r las soluciones deseadas. En todo caso, se hace preciso acudir a soluciones muy particulares. • Las soluciones vienen sup editadas a los errores de dibujo. Los métodos analíticos, de empleo mucho más moderno (datan de la dé cada de 1950) se apoyan, tanto en la puesta a su servicio de la ciencia mate mática, como en el uso de la mode rna herramienta que significa el ordenador (sin el cual apenas tendrían sentido estos métodos). Estos métodos están alcanzando un gran desarrollo, y a niveles prácticos están desbancando a los métodos gráficos, frente a los que presentan induda ble s v enta jas:
VELOCIDADES Y ACELERACIONES DE PUNTOS DE MIEMBROS AISLADOS Cálcul o de las velocidade s de los puntos de un miembro con un eje fijo de rotación
La velocidad lineal de un punto de un m iembro en rotación es un vector, de módulo, la velocidad angular por la distancia entre el punto y el eje de rotación, de dirección, la perpendicular al radio, y de sentido el que indi ca la velocidad angular. Por ser la v elocidad lineal proporcional a la dis tancia al eje de giro, puede determinarse la velocidad de cualquier otro pu nto qu e se en cu en tre ali ne ad o, co n la co ns tru cc ión gr áf ica qu e se ve en la Figura 2.1 .
• Permiten el análisis en ciclo completo. • Dan soluciones rápidas si se emplean orden adores adecuados. • Permiten planteam ientos generales (no tan casuísticos como los método s gráficos). • Su precisión es mayor que la de los métodos gráficos. Sin embargo, también presentan inconvenientes: • Requieren el uso de un ordenador. • Son métod os poco intuitivos y, por tanto, más difíciles de interpretar. • Son métodos demasia do mecánicos y, por tanto, poco pedagógicos. Los métodos numéricos presentan frente a los analíticos la ventaja de ser más generalistas, ya que no precisan del desarrollo de un conjunto de ecua ciones para cada mecanismo particular. Por tanto, no se requiere acceder al pro grama informático fuen te, para camb iar las e cuac iones, cad a vez que se d e see analizar un nuevo mecanismo, com o ocurre con los analíticos, sino que un mismo programa es válido para cualquier mecanismo. En definitiva, desde un punto de vista formativo no queda más remedio que llegar a un compromiso entre ambos métodos de análisis cinemático de mecanismos, que es lo que queda reflejado en el presente tema. Para el diseñador de máquinas, ambos métodos son importantes, y el em pleo d e uno s y otros ven drá definid o po r la pre cisión requerida , am plitud, r a pidez, disponib ilidad de ordena dor , etc.
Obsérvese que los extremos de los vectores velocidad de puntos alineados con el eje de rotación están también alineados. Esta misma construcción gráfica puede em plearse para hallar la velocidad de cualquier punto de un miembro en rotación, si se conoce la velocidad de uno solo de sus puntos, como se ve en el ejemplo siguiente:
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
2.2.2. e j em p l o
2.1
Dato s:
• Dimensiones. • Posición del miembro. • Velocidad de A, Incó gnita :
• Velocidad angular. • Velocidad de 6 .
2.2.2.1.
59
Cálculo de las velocidades en miembro s sin ejes fijos de rotación Mé tod o de las com pon ent es direccion ales
Como es fácil de ver en un cuerpo en movimiento compuesto (biela) las com pon ente s de la velocidad de dos pun tos cualesq uiera según la recta q ue los une ha de ser la m isma. En efecto, tal como se ve en la Figura 2.3, el hecho de que el cuerpo no se deforme implica que cualquiera que sea el movimiento, Aa = Bh.
FIGURA 2.3
Solución:
La velocidad de B es perpendicular a B 0,2 y en la misma dirección que in dica (O. El módulo de la velocidad de B es igual a A', por distar lo mismo de 0 ,2- Este módulo puede hallarse por la con.strucción gráfica anterior: uniendo 0,2 con el extrem o de se halla deshaciend o el giro y llevando sobre B se tiene Figura 2.2,
FIGURA 2.2 NOTA 2.1, Esto ocurre siempre, cualquiera que sea el tipo de movimiento (véase Fig. 2.4). FIGURA 2.4
60
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
De esta forma, conocida la velocidad de dos puntos de un miembro en movimiento cualquiera, quedan determinadas todas las demás.
NOTA 2.2.
Obsérvese que siempre habrá un punto de velocidad cero. En efecto, el punto P, obten ido trazando las perpend iculares a y v» ha de tener velocidad nu la (v^ = 0): al ser nulas las proyec ciones de y Vg en las direcciones AP y BP respectivamente (véase Fig. 2.6).
EJEMPLO 2.2 Da tos : v,, y dirección de v^.
FIGURA 2.6
Incó gnitas: Vg y v^.. Solución: Figura 2.5.
I. Se traza Aa = Bh. Por el extremo b se levanta la perpendicular a Bh hasta que corte a la d irrcción de v^; así se obtiene Vj, cuya proyección según la recta ^ es Bb. 2 .‘ Se traza üc = M . Sobre la perpendicular a Ce por c estará 3.‘ Se traza C í' = Bb'. Sobre la perpendicular a Ce' por c' es tar á v¿.. 4.' Am bas perpen diculares se cortan en A, extremo de v^.
2.2.2.2.
Mé tod o de los centro s inst antáneos de rotación
En el método anterior se ha localizado un punto que tiene velocidad nula en el instante considerado. En cualquier otra posición del miembro habrá otro pun to P que cumple la condición de ser nula su velocidad, y que no tiene por qué coincidir con el anterior. Observando la distribución de los vectores velocidad se ve que el pu nto P se asemeja a un eje de rotación fijo (sólo que varía su posición de un instante a otro). En consecuencia puede afirmarse que un miembro en movimiento com pue sto tiene, e n cada insta nte, un p unto de velocidad nula y alre ded or del c ual «parece» girar todo el miembro. Tal punto es el Centro Instantáneo de Rota ción (CIR), al que se denominará con la letra /. La localización del CIR de un miembro en movimiento es inmediata si se conocen las velocidades (o las trayectorias) instantáneas de dos cualesquiera de sus puntos. Com o se ve en la Figura 2.7, si y v* son las velocidades de /I y B. para hallar el CIR basta trazar por A y B las perpendicu lares a y v« (o las per pendicu lare s a las tray ectorias de /4 y B en el pu nto con sidera do). El punto / donde se cortan ambas perpendiculares es el CIR.
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
61
Si y Vg son las velocidades absolutas de los puntos ^4 y S del miem bro (3), la velocidad relativa de B respecto de A será; ( 2. 1)
Esta velo cidad relativa, v’a» (velocid ad con qu e un obse rvado r que se m ue ve con A observa cómo se mueve B) ha de ser un vector perpendicular al miembro AB. En efecto, si no lo fuera, v„ podna ser descompuesta en una componente según AB y otra perpendicular a AB. La com ponente de v*, según AB implica a que B se acerca o se aleja de A, lo cual va contra la hipótesis de cuerpo rígido. Lo anterior se comprende fácilmente si se supone el movimiento infinite simal del núembro AB resultante de una traslación y una rotación instantáneas (Fig. 2.9).
NOTA 2.3.
Si el miembro en cuestión tiene traslación pura, el CIR está en el infinito, en la dirección perpendicular a su velocidad. Si el miembro está en rotación pura, su CIR coincide con el eje de giro.
FIGURA 2.9
Conocido el CIR de un miembro en movimiento, el cálculo de la veloci dad de cualquiera de sus puntos es inmediato, sin más que aplicar los cono cimientos vistos en el Apartado 2.2.1 para miembros en rotación. La veloci dad de rotación instantánea de un miembro en movimiento compuesto será (ü.. = v./M = vJIB.
2.2.2.3.
Mé tod o de las veloci dade s relativas
Por definición, la velocidad relativa entre dos puntos de un m iembro no es más que la diferencia entre las velocidades absolutas de cada uno de ellos.
En efecto, el paso del miembro de la posición AB a \üA"B", puede consi derarse primero una traslación con velocidad igual a (paso de AB a A'B') y una rotación alrededor de A (paso de A'B' n A"). Para este desp lazam iento infin itesimal, en el límite, Vg^ será perpe ndicu lar a AB, por ser consecuencia del giro alrededor de A. De esta manera, puede decirse que la velocidad de un punto B de un miembro en movimiento será la suma de la velocidad de otro punto A (trasla ción) y de la relativa de B respecto de A (rotación). Vectorial mente; V b =V a +V ba
(2.2)
Conocida Vg, se pued e hallar la velocidad absoluta instantánea de rotación del miembro AB (que siem pre se pod rá considera r independiente de la tra.slación). (2.3) AB
62
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
2.2.3.
Aceleración en miembr os con ejes fijos de rotación
En el miembro de la Figura 2.10, girando alrededor de í),2 con velocidad an gular (o y aceleración angular a en el instante que se representa en el dibujo, la aceleración del punto A se puede descompo ner en una componente normal y otra tangencial (2.4)
El ángulo que forma el vector aceleración con el radio vale: 12 a aO|2i4 tg 0 : ú)'0„A w <
(2.6)
En un iastantc dado, para unos valores de a y indefinidos, el mó dulo del vec tor aceleración es proporcional a la distaiKia al centro de giro (al igual que ocurría con la velocidad) y el ángulo que forma la aceleración con el radio no depende de la distancia al eje de giro 0,;A y vale 6 ° (para velocidades era siempre de 90°). Lo anterior implica que los extremos de los vectores aceleración, correspon dientes a puntos que están alineados con el eje de rotación, están alineados entre sí. Puede entonces aplicarse la misma construcción gráfica que para veloci dades.
EJEMPLO 2.3 Datos: • Dim ensiones y posición. Aceleración de -4. Incógnitas: • Aceleraciones de 5 y C. Solución: I U n i e n d o 0¡ . con a \ extremo de y trazando por B una recta que for me con 0,y4 el ángulo obtenemos b', extremo de la ág. 2 ° La aceleración de C tendrá el mismo módulo que la B, por distar lo mismo de 0 ,2; además, form ará con OjjC el mismo ángulo. Con esto ya puede dibujarse la aceleración de C, como se ve en la Figura 2.11.
La aceleración normal de A tiene: Módulo
I»; = ft) 0,2-4
Dirección
La del radio de Oi^A
Sentido
De A hacia 0,2
La aceleración tangencial de A tiene; Módulo
\a'^\ = a O ^
Dirección
Perpendicu lar al radio 0 ,2-4
Sentido
El que indica a
El módulo de aceleración de A será: +(,aO¡ 2 A)- = O^^A^¡a- ’i-w* (2.5)
ANÁLISI S CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
2.2.4. 2.2.4.1.
63
Aceleración en miembros sin ejes fijos de rotación Aceleracio nes relativas en un miem bro en movimiento compuesto
Al igual que la velcx:idad, la aceleración relativa entre dos puntos de un miem bro en mo vim iento no es más que la dif ere ncia ent re sus ace leraciones abso lutas. En el miembro AB de la Figura 2.12: (2.7)
a¡>A = O o - a ,
2.3.
2.3.1.
De esta manera, conocida la aceleración de un punto A puede hallarse la de otro punto B por la expresión:
(2.8)
a„ = a .
En este caso, la aceleración relativa procede de los cambios que expe rimenta el vector velocidad relativa Va, (en mó dulo y en dirección). Debido a esto, la aceleración relativa puede descom ponerse en sus componentes normal y tangencial (Fig. 2.13), cuyos módulos valen: a BA
-
(2.9)
y cuyas direcciones son las que se muestran en la Figura 2.13. La aceleración normal relativa (debida al cambio de dirección del vector v ^) va dirigida hacia el centro de giro (punto A) y la aceleración tan gencial relativa (debida a la no constancia del módulo de v^,) tiene una dirección concordante con el sentido de aumento de la velocidad angular y perpendicular a AB. La ecuación resul tante que define la aceleración de B será: £iii —o. + a». + Ou
(2 . 10)
REU^CiÓN ENTRE VELOCIDADES Y ACELERACIONES DE PUNTOS DE PARES CINEMÁTICOS Relación de velocidades en pares de rodadura
Para estudiar la relación existente entre las velocidades de puntos de dos miembros en contacto con rodadura pura, ha de tenerse presente la propia con dición para que exista rodadura: «en el punto de contacto, la velocidad ha de ser igual en ambos miembros». A continuación, y po r medio de algunos ejemplos, se fijará este concepto, viendo cómo pueden relacionarse las velocidades de dos miembros en con tacto, cuando entre ellos existe rodadura pura.
EJEI\ / IPLO 2.4 Sea el miembro 2 (cilindro) girando sobre el 1 (plano) y desplazándose con la veloc idad Vo. Figu ra 2.14.
FIGURA 2.14
64
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Llamando I al punto de contacto, la condición de rodadura impone que la velocidad de I perteneciente al miembro 1 y la velocidad de / perteneciente al miembro 2 han de ser iguales. V„|)=V,<2)
(2.11)
Co mo V;,,, = O, la con dición ante rior indic a que = O (/^ tiene velocidad nula). Este punto será el CIR del miembro 2. Puede decirse que el miem bro 2 «bascula» sobre el 1, alrededor del punto de contacto I. La velocidad angular de 2 será, conocido el CIR y la velocidad del punto O, ( 2 . 12) lO Como se ve en la Figura 2.14. todos los puntos de 2 tendrán un vector ve locidad perpendicular al radio de giro. Aplicando los conceptos de velocidad relativa;
O = Vo + V,^
V, = Vn + V,
Vn = - V , .
(2.13)
La velocidad angular instantánea será; (2.14) que como se ve coincide con el anterior (2.12).
EJEMPLO 2.5 Sean los dos cilindros en contacto, com o se ve en la Figura 2.15. Por haber ro dadura pura entre ellos: (2.15) De esta manera, conocida la velocidad de rotación instantánea de uno de ellos puede hallarse la del otro;
(2.16)
_ POxi (O,
PO ,2
2.3.2.
Relación entr e las velocid ades (en un Instant e) de los puntos de dos miembros en contacto con deslizamiento
Para estudiar la relación existente entre las velocidades de miembros en desliza miento ha de tenerse presente que «en un contacto con deslizamiento, la velocidad del punto de contacto será diferente para cada miembro, pero la componente de las mismas en la dirección perpendicular al deslizamiento han de ser iguales». En un contacto con deslizamiento, se llamará velocidad de deslizamiento a la diferencia entre las velocidades absolutas del punto de contacto en ambos miembros. Sea el miem bro 3, que se desliza a lo largo del miem bro 2, el cual gira con velocidad angular üx. Sea P el punto de contacto ñcticio, perteneciente a 3 y a 2. Suponiendo que la velocidad de P(3) viene dada por el vector v„j, (repre sentado en la Figura 2.16) y la velocidad de P(2) por el vector la cond i ción de deslizamiento exige q ue las proyecciones de amb as según la dirección normal al deslizamiento PK sean iguales.
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
De no ser así. si la proyección d e v^j, fuera may or que la de v„3„ 3 se se para ría de 2 y se p erd ería la condició n de par cinem átic o. VectoriaJmente habría de cumplirse que: (2.17) A continuación se exponen algunos ejemplos que aclaran estos con ceptos:
65
Se cumple que: (2.18) (Expresión conocida que da la velocidad absoluta de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria también móvil, como suma de la velocidad de arrastre, v^ ,, m ás la velocidad relativa, v^j.^,.) Figura 2.18.
FIGURA 2.18
EJEMPLO 2.6 Dato s: • Dimen sión
• Oh
• Posición lvf(3-2)
Incógnita:
• v„3,-
FIGURA 2.17
EJEMPLO 2.7 En el mecanismo de la Figura 2.19, el miembro 2 (leva) empuja al 3 (seguidor) directamente.
Solución:
1 Conocido 0)¡ se halla v„2>. sobre la normal común , que ha de 2 ° Se traza un PK, proyección de ser igual que la proyección de v„j,. 3.“ En consecuencia, el extremo del vector ha de encontrarse sobre la recta KH. 4.“ Por el extremo de v„2i V sobre la línea KH, que lleva el módulo de y se obtiene el extremo del vector v„j,.
66
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Dalos:
• Dimen siones, posición, ú), y dirección de v^ ,. Incóg nita: • Velocidad del seguidor v^j,. Solución:
1.” Co noc ido (1)2se h alla 2 ° Se traz a la direcc ión de Vp,,,. 3° Las componentes de y en la dirección perpendicular al desli zamiento (D-D), PK, han de ser iguales, con lo cual se halla el módu lo d e v„ 3,.
2.3.3.
Relación ent re las aceler acion es (en un inst ante ) de puntos de dos miembros en contacto con rodadura
Com o se verá más adelante, en un contacto con rodadura, las aceleraciones del pu nto de con tac to son dif ere nte s en cad a mi em bro , per o sus componente s tangenciales han de ser iguales. Esto se verá mejor con unos ejemplos:
Pero el punto /(2) un momento antes y un m omento después de ser CIR tiene velocidad distinta de cero, y por consiguiente, tiene aceleración. Por otra parte, dado que no hay deslizamiento, el punto 1( 2 ) sólo puede m overse «hacia arriba», al rodar sobre 1. (En el intervalo infinitesimal del movimiento.) Debido a esto, la dirección de a,f 2^será necesariamente perpendicular al miem bro l. La ecuación que liga la aceleración de los puntos del miembro 2 (O e /) es: ^0(2) - ^/( 2) + ^0/(2)
( 2. 20)
Descomponiendo la aceleración relativa (giro alrededor de I) en su com pon ente normal y tan gen cia l qued a: ^(H2) - ^/( 2)
EJEMPLO 2.8
■*■^0/(2)
(2.21)
En esta ecuación se tiene:
Da tos :
5,
• Dimensiones, CAy a . Incógnitas:
• a„yá ,. ('W2)
Solución:
Como se vio anteriormente, el punto I (CIR) no tiene velocidad en este instante. Por consiguiente; V/(l) = V„2 ) = O
(2.19)
Como el punto O se desplaza siempre horizontal, tiene que tener esta dirección. Como se ha dicho, ha de tener dirección vertical y sentido hacia arriba. Su módulo es (o\Ol-, su dirección la de O/; su sentido, de O hacia /. Su módulo a ,0 /; su dirección perpendicular a O/: su sentido, con cordante con « 2.
De todo lo anterior y de la ecuación vectorial, se deduce: 1.° La a„j, ha de ser igual a la aj, y de sentido contrario. 2.” La a„ ha de ser igual a la y del mism o sentido.
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
e je m p l o
67
En cuanto a las componentes normales de la aceleración, es fácil demos trar que se cumple la relación dada por la Ecuación (2.26).
2 .9
Dalos: • Dimensiones
OnP 0 ,, P
!
Incógnita s: • 6),, o,. Solución: 1.” Conocida (o¡ se / /
/ (o, por la relación:
2.3.4.
O), ÉD,
( 2.22)
2 ° Conocidas íu¡ y Oj se calcula á„j, representada en la Figura 2.20 con sus componentes normal y tangencial de módulos respectivos = ( 0 ¡P 0 ,,
-
«2 P 0 f 2
(2.26)
Relación entre las aceleraciones (en un instant e) de puntos de dos miembros en contacto con deslizamiento
En el caso de un contacto deslizante, el cálculo de la aceleración no es tan in mediato como el de la velocidad. En efecto, aparece un término adicional, llamado aceleración de Corioiis, como se verá a continuación.
(2.23)
3.° Por datarse de rodadura pura, los vectores siem pre el mism o mó dulo, es dec ir, sie mpre hab rán de ser igu ale s las componentes tangenciales de la aceleración: ~ ®«3)
(2.2 4)
EJEMPLO 2.10
(2.25)
Sea el miembro 2 de la Figura 2.22 que gira con velocidad angular constante úí¡. El miembro 3 (corredera) se desliza a lo largo del 2, con la velocidad re lativa variable v, m-DLa velocidad absoluta del punto P(3) será:
de donde se deduce |¿W)| = «3--POn =
=> a, =
m 2 ) PO,,
FIGURA 2.21 ^ ^ 3 ) = ^P<2) + ^ l " ( 3 -2 )
(2.27)
Analizando todos los cambios posibles que pueden experimentar estos vectores velocidad, entre dos instantes sucesivos, puede calcularse la acelera ción absoluta del punto P(3)\ * V ariaciones de Vffir
Como el miembro 2 gira con velocidad angular constante aparecerá una aceleración angular debida al cambio de dirección de Por otra parte, como el punto P{2 ) se aleja del centro de giro 0,j (pasando de P a P' debido a la velocidad v„j.j,) variará el radio PO,, y con él variará el módulo de v,^,.
68
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Av será perpendicular a 0^,P y en un tiem po A/ producirá una aceleración de valor: a P (2 )
_ Av _ ©j A r _ A/ ~
Ar
^ M
(2.28)
En el límite La dirección de esta aceleración es perpendicular a 0 ,2/* y el sentido de (W,. • Variaciones de Como el miembro 3 no se mueve con velocidad uniforme, aparece una aceleración relativa, en el sentido del radio 0 ¡J’ de valor a,,,.},. Por otra parte, debido al giro de 2, el vector v„,,2)cambia de dirección, lo que implica una nueva componente de la aceleración. En un movim iento infinitesimal pasa a como se ve en la Fi gura 2.24. El incremento de la velocidad será: (2.29) Esta variación en Figura 2.23.
vendrá dada por el vector Av, tal com o se ve en la
De la semejanza de los triángulos AOA y /23se tiene; Aj _
Av ^Pí3-2)
rAS _
Av ''p(3-2)
=>A v=V p(3_j,A0
(2.30)
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
Av es perpendicu lar a 0 ,2^ , y en un tiempo Al producirá una aceleración de valor: Av A0 (2.31) ^PO-2 ) A/ “ a 7 ' ‘''’ En el límite
FIGURA 2.25 P O)
Punto móvil sobre m. Velocidad angular de la trayec toria m. Aceleración angular de la tra yectoria. On Eje de giro de la trayectoria. Q Centro de curvatura de la tra yectoria en el punto P. Punto alrededor de donde está giran do P, en este Instante, debido a su m ovimiento sobre la trayec toria. Q Velocidad angular de P respec t o d e Q. Aceleración angular de P en su movimiento instantáneo alre dedo r de Q. Velocidad lineal de P.
•
La dirección de esta aceleración es perpendicular a O , y el sentido el de £»,. En resumen, teniendo en cuenta todos estos términos la aceleración abso luta del punto P(3 ) será:
Í 2'
(2.32)
3p(2) + ^P(3-2) 2V/>(3_2)ft>2
En esta ecuación será siempre conocida, y se puede calcular supo niendo el punto P fijo al miembro trayectoria 2 (aceleración de arrastre). a„y_2 ) es la aceleración relativa. Puede calcularse supon iendo el miembro 2 fijo (trayectoria quieta) y el punto P deslizándose a lo largo de él. 2V(,j_2,íü es la aceleración de Coriolis. Su dirección es perpendicular a la velocidad relativa y su .sentido concuerda con el giro (o^. Como se ve, el módulo de la aceleración de Coriolis es el doble de la ve locidad relativa sobre la traye ctoria por la velocidad angular de la trayectoria. (Expresión conocida que indica que la aceleración absoluta de un móvil sobre una trayectoria también móvil es igual a la aceleración de arrastre, m ás la ace leración relativa, más la aceleración de Co riolis.)
En el caso más general, la trayectoria (miembro 2 anterior) no girará con velocidad angular uniforme, ni tampoco será rectilínea. Para dar una idea del caso más general, sea un punto móvil P (miem bro 3), que se des liza sob re la trayecto ria m, que a su vez está girando (Fi gura 2.25). üp -
Los módulos, direcciones y sentidos de todas estas aceleraciones son:
^Pir)
(2.33)
Desdoblando la aceleración relativa y la de arrastre en sus dos compo nentes normal y tangencial, y sabiendo que: (2.34)
« w = 2(V pX ¿i)
^P(a)
Módulo Dirección Sentido
Í2V Paralela a PQ De P a Q
Módulo Dirección Sentido
Pr Perpendicular a PQ El que indica
Módulo Dirección Sentido
o fp Paralela a P 0¡2 De P a 0,2
Módulo Dirección Sentido
a p Perpendicular a PO¡^ El que indica a
Módulo
2 \Vp\(o (doble
Dirección Sentido
Se tiene:
3p
—
+ ápf^f +
2( v p
X w )
(2.35)
69
de la velocidad relativa sobre la tra yectoria por la velocidad angular de la misma Perpendicular a Vp Es tal que si fuera una fuerza aplicada en el ex tremo de Vp lo haría girar en el mism o sentido o)
70
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
2.4.
ANÁLISIS DE VELOCIDADES Y ACELERACIONES EN MECANISMOS PLANOS
2.4.1.
Principio de dilatación
En todo el estudio que se va a realizar se considerará que todos los miembros de los mecanismos se extienden ilimitadamente en su plano. En el mecanismo de la Figura 2.26, un punto cualquiera P del plano puede considerarse perteneciente a cualquiera de sus miembros, tanto separada como conjuntamente. En la figura de la derecha se ha materializado este concepto.
Además, es necesario comprobar que los miembros próximos no se interfieren en sus movimientos. Es también necesario el trazado de la trayectoria de determinados puntos para conocer la magnitud del des pla zam ien to del miem bro conduc ido , o para estab lec er la for ma y di mensiones del cárter y bastidor de la máquina, en cuy o interior va a ir alo ja do el me can ism o.
FIGURA 2.27
RGURA 2.26
2.4.2. 2.4.2.1.
Análisis de velocidad es y aceleraciones por métodos gráficos Cálcu lo de las trayectorias
En forma gráfica, la trayectoria de cualquier punto de cualquier miembro del mecanismo puede hallarse dibujando el mismo en una serie de posiciones consecutivas, como se ve en la Figura 2.27.
NOTA 2.4.
El cálculo de trayectorias es interesante cuando el proyec to de un mecanismo exija la determinación de la trayectoria recorrida po r los punto s de cier tos mie mb ros, para ase gurarse que éste rea liza los movimientos requeridos por la función a que se le destina.
2.4.2.2.
Cálculo de las velocidades en meca nism os plan os
De los diferentes métodos gráficos para análisis de velocidades de mecanismos planos sólo se va a em plear el méto do de las velocidad es relativas, bas ado en lo expuesto en los puntos 2.2.2.3 y 2.3.2. Su amplitud de aplicación, y su ne-
ANÁLISIS CINEMÁTICO OE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
-esidad para el cálculo posterior de aceleraciones, lo convierten en el más imíiortante de los métodos gráficos, aun cuando conviene aclarar que por medio ^ él no pueden atacarse todos los problemas de análisis cinemático de meca nismos planas. El primer paso del análisis consiste en dibujar en el papel un esquem a del m e c a n i s m o , a una «escala de espacios» (K,) conveniente. Sobre el esquema se dibujarán los vectores velocidad conocidos, a otra es cala, también arbitraria, «escala de velocidades» (K,). A continuación se aplican, en forma sistemática, las ecuaciones ya cono cidas: • Para miembros aislados: Vg = \\ + • Para dos miembro s 2 y 3 en contacto en el punto P\ = + V■, «W) Contacto con deslizamiento Contacto con rodadura = V„
71
FIGURA 2.26
(2.36) (2.37) (2.38)
El proceso de cálculo de velocidades se muestra con varios ejemplos :
EJEMPLO 2.11 Cálculo de velocidades en el mecanismo biela-manivela-corredera. Datos: • Dimen siones del mecanismo (reales). • Posición (en la que se desea efectuar el análisis de velocidades) (0). • Velocidad angular del miem bro conductor ox, (en rpm , o rd/s). Incógnitas:
• Velocidad de las articulaciones. • Velocidad de la corredera. Solución:
I. Se dibuja el mecanismo a la escala K,, y en la posición deseada, como se ve en la Figura 2.28. 2.° Se calcula la velocidad en el punto A, dada por un vector perpendicu lar a 2 de mód ulo Iv^l = de sentido el de ox, y cuyo tamaño so bre el papel es fu nción d e la escala K, elegida. (En la Figura 2.28 se ha dibujado v^.) 3." Como puede observarse, el punto A pertenece a los miembros 2 y 3. En consecuencia:
4." La velocidad relativa entre los puntos B y A del miembro 3 viene dada por la expresión: «3)
O también, resumiendo: Vg = + v*,. Expresión que permite hallar la velocidad de B. En efecto, en la ecuación vectorial anterior se conoce completa mente el vector y las direcciones de los vectores Va, (perpendicular a AB) y del vector (al ser Vg,,, = la direcc ión del vector Vg,^, ne cesariamente ha de ser paralela al soporte 1). Una ecuación vectorial con dos incógnitas (los dos módulos) puede resolverse gráficam ente, con un p olíg ono vectorial, com o se ve en la Figura 2.29 (ya que equivale a un sistema de dos ecuaciones es calares con dos incógnitas). En primer lugar, se toma a partir de un polo tf, el vector equi polente a Vj,. A él se le suma el vector v«,, para lo cual, por el extremo a se traza una perpendicular a ( q u e es la dirección conocida de i'*,). Por el polo q, origen de v^, se traza la dirección conocida del vec tor Vg (recta paralela a B O,,). A mbas direc ciones cierran el polígono vectorial en el punto modo que el segmen to qb representa el vector Vg y el segmento ba el vector Vg,.
72
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
El mismo caso anterior, pero con el miembro conductor y el miemb ro bie la alineados, como se ve en la Figura 2.30 (correspondientes a los «puntos muertos superior e inferior» de este mecanismo). Como puede observarse, en am bos casos la velocidad de la corredera es nula {qb = 0), y la velocidad relativa es igual y contraría a la velocidad tan gencial del extremo A de la manivela.
EJEMPLO 2.13 Cálculo de velocidades en el mecanismo de cuatro barras. Datos:
S.° Finalmente, el valor numérico de la longitud de estos segmentos, multiplicado por el valor K^, da el valor numérico de las velocidades de los puntos A y B (corredera).
• Dimen siones y posiciones. • Velocid ad angu lar fi)¡. Incógnitas:
• V» Vo Solución:
EJEMPLO 2.12
• Cálculo de la velocidad de B.
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMI ENTO PLANO
En el miembro 3; = V, + V.
(2.39)
de Vg se conoce su dirección y su sentido que es perpendicular ai miembro 4 (v„ = Vgj)- De Vj, se conoce módulo , dirección y sentido. De se conoce su di rección que es perpendicular a AB. (Su sentido se obtendrá al cerrar el polí gono.) Esta ecuación vectorial con dos incógnitas (módulo de y módulo de v^,) puede resolv ers e g ráficame nte con el p roc edim ien to ya con ocido (Fig . 2.29 ): 1. Se elige un punto q del plano (polo) y partiendo de él se traza un vector qa, equipolente a v^. 2. Por q se traza una perpendicular al miembro 4 que será la dirección co nocida de Vg. 3. Por el extremo a de se traza una perpendicular a AB que será la di rección conocida de v „. 4. Am bas perpendiculares se cortan en b, lo gue cierra el polígono (Fi gura 2.32) y permite conoc er la (multiplicand o qh por la escala KJ. Vo = V. +v„
(2.40)
• Cálculo de la velocidad de C
Subrayando cada velocidad con tantas rayas como datos sean conocidos (módulo, dirección y sentido), se observa que se tiene un sistema de dos ecuaciones vectoriales con cuatro incógnitas, que tiene solución, pues equivale a cuatro ecuaciones e.scalares con cuatro incógnitas. (2.43) (2.44) Se conoce módulo, dirección y sentido. VcA Se conoce dirección (el sentido se obtendrá al cerrar el polígono). Vg Se conoc e módu lo, dirección y sentido. VcB Se conoce dirección (el sentido se obtendrá al cerrar el polígono). Las incógnitas serán el mód ulo y dirección de y los módu los de y v„. Para resolver la ecuación (sistema) se procede igual que en los ejemplos anteriores (Fig. 2.33): 1. Desde a se traza la perpendicular a CA, que representa la dirección del vector 2. Desde h se traza la perpendicular a CB que representa la dirección del vecto r Vfj. 3. El punto de intersección de ambas perpendiculares da c, y con él, la (je = Ve).
NOTA 2.5.
De la velocidad de C no se conoce ni su módulo, ni su dirección y sentido, per o p ued e e scr ibir se el siguiente sistem a de ecuacion es vectoria les: (2.41) Ve = i's + VcB
(2.42)
73
El polígono ab e es el «cinema» del miembro 3 del meca nismo. En él se observa que todas las líneas del cinema son perpendicu lares a las respectivas del mecanismo. Cada recta del cinema es la «ima gen» del miembro correspondiente del mecanismo. El miembro y su imagen son figuras semejantes, dependiendo el tamaño de la imagen de la escala tomada para los vectores velocidad. El cinema del miembro está gi rado 90° respecto de la posición de dicho miembro.
74
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
• Cálculo de la velocidad de M
b) Para dos miem bros 2 y 3 en contact o en el punto P
Puede efectuarse de dos maneras: 1. Relacionan do la velocidad de M con las de i4 y C, como se hizo para calcular la velocidad 2. Situando M proporcionalmente en el cinema, teniendo en cuenta la se mejanza entre miembro e imagen. En este caso se tendrá: MB mb =^ = -=r CB cb
—
-rM B = CB
^« 3) - <*«2) +^/>(J-2) ■‘■^/'(Corioli,)
^P(2) ■
Da tos:
• Dimen siones y posición. • Velocidad angular de 2. • Aceleración angu lar de 2. Incógnit a:
• Aceleración de B.
Cálculo de las aceleraciones en mecanismos planos
El cálculo de la aceleración de puntos de los miembros de un mecanismo se bas a en los conocim ien tos adq uirido s e n los Ap arta dos 2.2. 4.1, 2. 3.3 y 2 .3.4. Requiere el previo análisis de velocidades y la representación de los vec tores aceleración conocidos a la escala arbitraria así como la aplicación sis temática de las ecuaciones conocidas.
a) Para miem bros aislados á
(2.46)
Descomponiéndola en sus componentes; (2.47)
Con deslizamiento
(2.49)
^P(2)
^P (3-2) '
(2.50)
El proceso de cálculo de aceleraciones se m uestra con unos ejemplos:
EJEMP LO 2.14
2A .2.3.
(2.48)
Descomponiéndola:
(2.45)
con lo que ya puede situarse el punto m en el cinema (Fig. 2.34). El vector qm es el vector velocidad de M, v„.
Con rodadura
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
Solución:
1. 2. 3. 4.
75
Para ello se toma un polo de aceleraciones cualquiera q' (Fig. 2.37):
C onocida co, se hall a v^. Con el polígono de velocidades se calcula Vg y v ^ (Fig. 2.36). Con ocid o y Cfj se halla la 2;; y la 5^, es decir, 5^. En el miembro 3 puede escribirse la ecuación
a) A partir de q' se lleva el vector q'a' que representa la aceleración de A a la escala elegida b) Por el extremo a' de se lleva á l¡ , con lo que se tendrá la suma a HA +
(2.51) 5. Cono cida del cinem a de velocidades la Va,, se calcula la 5 ^ : módulo: ú)BA
BA
• dirección: la de AB. • sentido: de B hacia A. 6. De la a ^ se conoce su dirección, que es perpendicular a BA. 1. Co noci da la se halla o"g.
fl/t-
se traza una perpendicular, que será la c) Por el extremo del vector dirección de la de la que se descon oce su módulo. Con esto se hab rá representado todo el 2.° miembro de la ecuación vectorial. d) Por el polo q ' se lleva el vector a g. e) Por el ex tremo del vec tor 2 * se traza una perpendicular, que será la di rección de la 5á, de la que se desconoce el módulo. Estos dos términos representan el primer miembro de la ecuación vectorial. f ) Ambas p erpendiculares se cortan en el punto b' que cierra el polígono. El vector q ' h ' representa la aceleración de B. El cierre del polígono también representa los vectores a'^ya'g^. 8 ) Los verdaderos valores de las aceleraciones se obtendrán multipli cando los valores del cinema por la escala K„.
• módulo: co. B 0„
80,, • dirección: la del miem bro 4. • Sentido: desde B hacia 0 ,4.
FIGURA 2.37
8. De la se conoce su dirección, que es perpend icular al miem bro 4. 9. Subray ando todo lo conocido , se ve que sólo hay dos incógnitas (mo dulo de y 5 ^ , ya que el sentido de dichas aceleraciones se determi na al cerrar el poUgono), con lo que puede resolverse la ecuación con el correspondiente «cinema de aceleraciones». *BA
HBO,,
(2.52)
HAB
^ “■ < ■5
O 3
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76
FUNDAM ENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
NOTA 2.6. En el cinema de aceleraciones se aprecia: Todas las aceleraciones absolutas parten del polo y las relativas, no. La imagen del miembro AB es a'b'. Su tamaño depende de las escalas de espacios y aceleraciones escogidas. A diferencia del cinema de ve locidades en que la imagen estaba girada 90°, en éste está girada 0°, función áe ct ¡y (o^. 3. Las aceleraciones normales se dirigen siempre hacia el centro de giro (tanto absolutas como relativas) siendo, por tanto, paralelas a los miembros respectivos. Las aceleraciones tangenciales son perpendi culares a los respectivos miembros.
EJEMPLO 2.15 Da tos:
• Dime nsiones y posición. • Velocidad an gula r eo,. • Acelerac ión angular ot;. Incógnitas: • Acelerac iones de B y C.
Solución:
1. La acele ración de B se halla como en el ejemplo anterior. 2. La aceleración de C, de la cual no se tiene ningún dato, se halla resol viendo el sistema de dos ecuaciones vectoriales siguientes: (2.53) O r= a„ + ÜCB + a.
(2.54)
Por los datos, se conoce en módulo, dirección y sentido. Se calcula como en el ejemplo anterior y se conoce completamente. Se conoce su módulo (por conocer Vc<), su dirección y su sentido. Se conoce su dirección (perpendicular a CA). Su sentido se ob tiene al cerrar el polígono. a'a Se conoce completamente (por conocerse v„). a'cB Se conoce su dirección (perpendicular a CB). Su sentido se ob tiene al cerrar el polígono. 3. Cons truyendo el cinema como se ve en la Figura 2.39, se ha llar e.
ANÁUSIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
ej e m p l o
77
2.16
En la Figura 2.40 se representa el m ecanismo biela-pistón-manivela de un mo tor alternativo: Dal os:
• El cigüeñal gira a derechas a razón de 7.000 rpm. • Las dimensiones del motor son: — Lo ngitud de la biela = 14 cm. — Ca rrera del pistón = 6 cm. Incógnitas: • Se desea conocer la aceleración del pistón en los dos puntos muertos. Solución:
1. Se dibuja el mecanism o, a la escala K^. 2. Se calcula v. 2
-n |v^| =
Módulo: \á‘ BA
2
= 345.086 cm/s^ AB Dirección: paralela aAB Sentido: de B hacia A
3. En el PMS y en el PMI, y del correspo ndiente cinem a se obtiene: [vg^l = 2.198 cm/s y Vg = O cm/s 4. Se calcula
a'^
Módulo: desconocido Dirección: perpendicular a AB Sentido: cierre del polígono
Como se ve por los cinemas, la 5 ^ = O en ambos casos, y las aceleraciones del pistón en ambos puntos muertos son diferentes, siendo mayor en el PMS. = a>2AO,j =
/40|2
= 1.610.401,3 cm/s^
= a + a
= 1.955.487 cm/s^
= \a.
= 1.265.315 cm/s^
5. Se dibuja el cinema de aceleraciones, como se observa en la Figu ra 2.40, para lo cual tiene la expresión:
NOTA 2.7. Obsérvese que si el peso del pistón fuera de 2 N, la ftierza de inercia resultante de su ac eleración, que traccionaría la biela, sería de: Módulo: desconocido Dirección: paralela a SO,j Sentido: cierre del polígono
= -m 4|flg| = 0,2 k g l. 955.487 cm/s^ =3.911 N
78
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Solución:
EJEMPLO 2.17 Recorrido de la corredera:
FIGURA 2.41
En la Figura 2.42 se ha representado la circunferencia descrita por el ex tremo A de la manivela conductora 2 (AA‘A°). Las posiciones del balancín 4 tangente a esa circunferencia representan las posiciones extremas del mis mo. Desde los puntos B y B', y con el tamaño de la biela 5, se obtiene los pun tos C y C (sobre la línea de desplazamiento de la comedera 6), que indican las posicion es ext rem as de la misma. El segmento C C es el recorrido de la corredera, que soporta la cuchilla de corte. El avance de la cuchilla se produce mientras que la m anivela 2 describe el arco A'A"A, mientras que el retroceso se produce durante el arco A'A. Al ser el arco AA' mucho más corto que el AA"A , y la velocidad co¡ = cte., el retroceso se produce en menor tiempo que el avance (retroceso rápido). (Este mecanismo es muy empleado en máquinas cuya herramienta hace el trabajo en un solo sentido. Así se consigue que el movimiento en que no se pro du ce trab ajo útil sea el más cor to pos ible , y aume nte el ren dim iento de la misma: mayor número de cortes en la unidad de tiempo.) • Velocidad y aceleración de la herramienta, en este instante. 1. Se dibuja el mec anism o a esca la 1:5 /T, = 1/5 (Fig. 2.41). 2 n: 2=1 00 — -18:= 188,49 m/s. 60
La Figura 2.41 representa un mecanismo empleado en ciertas máquinas cepi lladoras. La manivela 2, con la corredera 3 unida a ella, gira a izquierdas. Por el interior de la correde ra 3 desliza el balancín 4 el cual, a través de la biela 5, arrastra la corredera 6, que se mueve sobre unas guías horizontales y que so porta a la cuchilla de corte. Datos;
Dimensiones: 0,jA = 18 cm; 0 ,j0,4 = 32 cm; 0,^4 = 42 cm; AB = 24 cm; flC= 60 cm. Velocidad = 100 rpm. Incógnitas:
Recorrido de la corredera. Velocidad de la corredera. Aceleración de la corredera.
ANÁLISI S CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
3. Com o los miembros 2 y 3 están unidos po r el pasador en el punto A: ~ ^^(31• 4. El miem bro 3 desliza a lo largo del 4, que a su vez gira alrededor de 0 ,4. El miemb ro 4 girará con una 0)4 y «4 desconocidas por ahora. El movimiento absoluto del miembro 3, cuya velocidad es puede ser des com puesto e n el m ovim iento de arrastre y en el de des lizamiento. Va (3) = V^(4)+V a (3-4)
En esta ecuación se conoce completamente v^j,, así como las di recciones de v^,4, y Resolvien do esta ecuación vectorial se ob tienen estas velocidades. (Ver cinema de velocidades. Figura 2.44.) 5. Con ocid a v^(4, se pued e halla r (Fig. 2.43).
79
Dividiendo ambas expresiones y despejando Ivjl queda: = 205,46 cm/s
M(4) Este v alor de Vj se lleva al cinema. • También puede hallarse 0 )^
=
'A(4)
Oh A
6. Conocida Vg se ha lla Vc, resolviendo la ecuación; Ve = Va + v „ Vg se conoce comp letamente y de y v^b se conocen las direcciones. La resolución de las ecuaciones vectoriales que dan las veloci dades se ha efectuado en el cinema de velocidades. Para dibujar el cinema se toma un a escala de velocidades 1:25, es decir, K^, = 1/25. v^(2) = Vyt(3) será un v ec tor de 188 ,49 /25 = 7. 54 cm. 7. R ealizando el cinem a y midiendo los vectores resultantes y multi plic and o po r la esc ala se obtiene:
• Gráficamente:
v^(4) = 5,2 3 25 = 130,75 cm/s = 5,4 -25 = 135 cm/s v^= 8,22-25 = 205,46 cm/s Vc =5,3-25= 132,5 cm/s 8. Como el miembro 2 gira con velocidad angular constante = «A(2) = <3^2/ 10,2 = 1.972 cm /s Su dirección y sentido son ya conocidos. 9. Por ser coinciden tes los puntos A(2) y /\(3), 5^(2) = 10. El miem bro 3 desliza a lo largo del 4, que a su vez gira con to, y « 4. La aceleración absoluta del punto A del miembro 3 puede consi derarse como la suma de la aceleración relativa, más la de arrastre, más la de Coriolis. ' / ( (4 ) + ^ / ( (3 - 4 )
Analíticamente: \v^\ = ( 0 ,A O ,,
Lo que interesa es calcular la aceleración de un punto de 4, por ejemplo, «^,4,. Conocida ésta puede hallarse la aceleración de fi y con ella, la de C. Desdoblando los términos de la ecuación anterior se tiene: ^ A ( 3) = ^ M A ) + ^ Á ( 4 ) + ^ A ( 3 -4 ) + ^ Á ( 3 -4 ) + ^ A ( c )
80
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Subrayando los elementos cono cidos de la ecuación vectorial se observa que tiene solamente dos incógnitas, por lo que puede resolverse gráfica mente:
De cada uno de estos términos se conoce lo siguiente; se conoce co mp letamente por ser la m isma qu e 5^(2, 04(4,
direc ción paral ela a 4 sentido: de /4 a 0,4 módulo = co^ - AO,^ =
de esta manera se calcula
= 407 cm/s^
modulo a4/40,4;desconocido por serlo dirección perpend icular a a ^,4, sentido, el concordante con el cinema módulo y sentido, no se conoce dirección paralela a 4 sentido, el concordante con el cinema módulo 2 •©4 •v^,3_4, ^ ' dirección perpendicular a sentido, el de la Figura 2.45
■*'^(3-4) 2
com o se ve en el cinema.
NOTA 2.8. Obsérvese que la ecuación anterior, tal como está escrita,
como el movimiento relativo es rectilíneo no hay aceleración normal «V m .
(2.55)
“^(3) • “A(4)
no puede resolverse con un cinema. Será necesario pasar una incógnita a cada miembro, quedando: = a A(4) ■ ^^(4)
42
135=840,5 cm/s*
Para resolver gráficamente esta ecuación se lleva el extremo del vector se ha lle á^ci coincidiend o con el extremo de 5^„ . Por el origen de vado la dirección de Por el polo se ha llevado ¿^,4, y a continuación la dirección de 0*^4,. (Obsérvese que las aceleraciones absolutas parten del polo, y las relativas no.)
ANÁUSIS CINEMATICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
11. Cono cida
se puede hallar
en form a gráfica (Fig. 2.46).
81
Siendo el valor de cada uno de estos términos los siguientes: cero, pues el movimiento de C es rectilíneo _
á'c
módulo desconocido dirección paralela a Vc sentido, el concordante en el cinema
ág
Conocida por la ecuación (5) resuelta en el cinema anteriormente módulo desconocido dirección perpendicular a CB sentido concordante con el cinema módu lo =
60 BC sentido de C a fi dirección paralela a 5
= 146,5 cm/s^
13. La resolución de las ecuaciones vectoriales (2.55) y (2.57) se ha efec tuado en el correspondiente cinem a de aceleraciones, utilizando la es cala de aceleracione s = 1/150 (Fig. 2.47).
Analíticamente: «:¡(4,=í»4^0i4 a l= c o ¡A ^ ^
^A(4) -
a , = a ‘.4(4) BOu
o 's = a \.S 2 ^ " " ^0>4
•2. Con ocida la aceleración de B puede hallarse la de C por la expresión (2.56): ü r = a B „ + a, U « C T U £ .— U g T
( - g TU f - g
(2.56) (2.57)
82
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Con esta escala, las aceleraciones conocidas quedan representados po r los vectores de longitudes: «A(2) = 1.9 74 /15 0= 13,16 cm. flü(4, =407/150 = 2,71 cm. ^Mc) = 840,5/150 = 5,6 cm. 14. Midiendo los vectores resultantes y multiplicándolos por la escala se obtiene: (4,7)(150) = 705 cm /s' (7.3)(150)= 1.095 cm/s' (6.4)(150) = 960 cm/s^
2.4.3. Cálcu lo de las velocidad es y aceleraciones por mét odos analíticos 2.4 .3.1.
Mé to do de Ra ve n
El método de Raven es una aplicación de los núm eros complejos al análisis de velocidades y aceleraciones de puntos de mecanismos planos. Como se verá, este método tiene una extrema sencillez en su aplicación, per o desg raciad am ente no pue de decirse lo mi sm o d e su resoluc ión. En efecto, en el caso de mecanismos muy complejos, la presencia de ecuaciones no lineales (trigonométricas, además) dificulta y en muchos casos imposibilita la solución matemática. E n el me jor de los casos, la gran cantidad de cálculos hacen el método generalmente engorroso. La mayor utilidad de este método se encuentra en la determinación de las relaciones entrada-salida de mecanismos, en el caso de que ambos dispongan de ejes de rotación fijos. A continuación se expondrán algunos ejemplos de aplicación de este mé todo, para hacer ver su sistemática y su alcance.
EJEMPLO 2.18 Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras. Dat os:
Dimensión: r„ r,, r¡, r« Posición inicial del mecanismo: 0, Velocidad de la barra de entrada: Ó, Aceleración de la barra de entrada: dj
Incógnitas:
* Posición de cada barra en función de * y (de las que se deducirá Vg) * ^3 y ^4 (de las q ue se d educirá Sg)
es decir, 6j y
Solución:
En primer lugar se sustituye cada miembro del m ecanismo por su vector complejo, como se ve en la Figura 2.49. Al existir seis incógnitas se necesitarán tres ecuaciones complejas para ob tener, después de igualar partes reales e imaginarias, las seis ecuaciones esca lares, que permitirán su cálculo.
ANÁUSIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
Ecuación de posición
En componentes: + r, = r.¡e‘^ + r^e'^ =
(2.58) (2.59)
+r^e‘^*
62 +
r,(cos 0, + / sen 0,) = r, - Tj(cos
i sen
62 )
(2.69)
Igualando parte real y parte imaginaria:
(2.60)
r^e‘^^+ r,e ‘<^=r,+r,e<^*
r, eos 0, = r, - rj eos 0,
(2.70)
r, sen 0, = -r^ sen 6 ^
(2.71)
Elevando al cuadrado las Ecuaciones (2.70) y (2.71) y sumándolas:
Ec u a c i ó n d e v e l o c i d a d e s
(2.61)
v, = l = r,éAie‘^ ) + r,é,Ue‘^)
o
r/ = r,^ + r/ -2 r, rj eos 02
(teorema del coseno)
(2.72)
De la Ecuación (2.71) V b = '’ b =
(2.62)
)
n sen 0, „ sen 0, = — --------- - = —
o rjÓj (ie‘^ ) + r,é j (ie'^ ) = r^é,
)
(2.63)
(2.73)
Expresión que permite hallar 0,. También se puede escribir: (2.74)
Ecuación de aceleraci ones O
83
a„ = \ = r, (<02 - é¡ ) (e"^) + r, (i 9, -
)( e‘^ )
(2.64)
Que conduce a: eos 0, +
eos 6 ^
(2.75)
r, sen 6 ^ = r, sen 0, +
sen 0^
(2.76)
r, eos 03 = aB = f B = r , ( i é,- él K e ‘ ^* )
(2.65)
O '20ɻ2 -
é¡){e‘o^)+ r,iié, - é¡)(e'^) = r,(ié,
(2 .66 )
Elevando al cuadrado las Ecuaciones (2.75) y (2.76) y sumando: rj = r/ + r/ +
1• Aná lisi s de p osi ció n
(eos 0, eos 0^ + sen 0, sen 0^) =
= r/ + ri + 2r,r^ cos(0, - 0^)
J^^term inación de los ángulos O, y 6!, podría hacerse a partir de la E cuación •60), pero las relaciones trigonométricas que se derivan de la misma son muy complejas. Por ello, Raven propuso el método de las «Ecuaciones de posición inde'entes», que establece un camino alternativo entre dos puntos interesantes, pu ede traz ar e l vec tor co mp lejo auxiliar con lo que se tendrá? , = ? , - ?2
(2.67)
r,(f"'0 = ^(e "^)-rj(í'<^) = r, -r ,(e “^)
(2.68)
(2.77)
De donde:
0
COS( , -
0, ) =
,2 4,
zr,rj
(2.78)
Expresión que permite hallar 0,. Volviendo a escribir las Ecuaciones (2.75) y (2.76) en la forma: eos 04 = Tj eos 03 - r, eo s 0, sen 9^ = r, sen 0, - r, sen 0,
(2.79) (2.80)
84
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Elevando aJ cuadrado las Ecuaciones (2.79) y (2.80) y sumando se obtiene: eos (63- 0,) =
(
2
.
8
1
En forma análoga se llegaría: ¿ _ _ h ¿ sen(03 - 02) " r4 ^ e n ( 0 4 - 0 j)
)
(2,89)
Expresión que permite hallar Las Ecuaciones (2.72), (2.75), (2.78) y (2.81) permiten el análisis posicional del mecanismo, en función de ft.
Recordando que i = e'^ , se tiene;
2. An álisis de vel ocida des
Cuy o módu lo vale |vfl| = t404 y cuya dirección es perpend icular a r^, al ser el argumen to 04 + — .
Escribiendo la Ecuación (2.63) en componentes, se tiene: rfi^i (eos 02 + i sen
) + ^3^3*(eos 0^ + / sen 63) =
= r^é^íXcos 64 + i sen 6 ^)
(2.90)
\
(2.82)
^
/
La velocidad de cualquier otro punto tal como el G, se calcula inmediata mente: = ^2 + 'i = 'i (tf'^) +
r202 (' eos
“ sen 02) + '3^3 (< eos 0, - sen 0,) = = T404 (i eo s 04 - sen 04)
(2.83)
Igualando parte real y parte imaginaria en la Ecuación (2.83): T202 sen 02 + rj03 sen 0j = f404 sen 04
(e‘^)
Va = h = r2 -é,H e‘^ ) + r,é ,i{e ‘<^)
(2.84) (2.8 5)
Escribiendo las Ecuaciones (2.84) y (2.85) en función de 02, queda: - r 3¿3 sen 6 ¡ +
sen 6 ^ =
sen 02
(2.8 6)
- r j 03 eos 03 + T404 eos 6 ^ = r2¿2 eos 02
(2.87)
Resolviendo por el método de Cram er el sistema deñnido p or las Ecua ciones (2.86) y (2.87): r2¿2 sen 0j 03 =
eos 02 -r ¡ sen -r j eos 03
sen 6 ^ U eos = - H sen 04
eos 04
.0
sen(^ 4 -^ 2) ^ s e n (0 4 ~ 0 3)
(2.92)
En com ponentes: = ( -r 202 sen 02) + (rjÓj eos 0j )i + H^gÓ^ e os ©3) + (r30j eos 03)1
^202 eos 02 + rj03 eos 0J = r404 eos
(2.91)
(2.88)
(2.93)
Vg = (-^202 sen 02 + r 03 sen 0j)-K/(fj®: eos 0 j + r 0 j eos ©3) (2.94)
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
Abreviadamente:
85
(~r¡ eo s 03) •0, + (-r^ eos 04) • Ó4 =
(2.95) El módu lo de v, será:
= (-r,02 eos 02 + rjáj sen 0, + r¡9j sen 0 , - r,0^ sen 0*)
(2.103)
Abreviadamente: (2.96)
(-r¡ sen 0 j) ■0, + (r^ sen 04)• 0^ = A
(2.104)
(+rj eos 03)• 03 + (-K, e o s 0 J - 0 ^ = B
(2.105)
El ángulo P con el eje real será: tag (P) = -i-
(2.97)
Resolviendo por el método de C ramer el sistema definido por las Ecua ciones (2.104) y (2.105):
3. Aná lisis de ace ler aci on es
A
La Ecuación (2.66) se puede escribir; (ie ‘^ ) -
03
) + r,6>, (i e ‘^ ) - r,é ¡ {e '^ ) =
sen 0^
B -r ^ eos 04 sen 04 -'■3 sen 03
=
eos 0j
(2.98)
1 (A eos 04 + sen 04) f3 sen (03 - 04)
(2.106)
eos 0 ^
-
Igualmente: En componentes:
04
r2¿2 (í eos 02 - sen 02) - '2^2 (eos 0, + ' sen + rjSj (/ eos 0j - sen 0j) - r¡é¡ (eos 0, +1 sen =
62 ) +
)=
eos 0, =
= - r 404 sen 04 - r4¿4 eo s 6 ^ -r^é^ eos 02 - rj02 sen
62 -
= C, (»¿4 - ^4
( 2. 100)
la aceleración tangencial de módulo
= (r202 sen
62
+ rj02 eos 02 + rj0, eos 0, - r^él eos 04)
(2.108)
0 ^r^y girada — respe cto
a r<).
La aceleración de cualquier punto tal como G se obtiene: ( 2 . 101)
Arreglando las Ecuaciones (2.1CX)) y (2.101) para despejar Oi y 04, queda: (- r, sen 03) 0j + (r4 sen 04) 04 =
+ r404^e''®^*'>
(recuérdese que -1 = = e ^ . En la expresión anterior el segundo término representa la aceleración normal (de módulo y girada ;r grados respecto de r j y el primer término
eos 0j - /j0j sen 0, =
= - r 404 eos 04 - r4¿4 sen 04
(2.107)
(2.99)
Igualando paites reales e imaginarías: sen 0, -
_ 1 (A eos 03 + fl sen 0,) T4 sen (04 - 03)
con lo cual se obtiene:
(í eos 04 - sen 04) - r^él (eos 6 ^ - « sen 0«)
- r 20, sen 02 - rjdj -
=
(2 . 102)
5^
= r,(/0 , -0^)(í.'«’- ) + r,( i03 -0 Í)(í > ‘»>)
(2.109)
Realizando operaciones se obtendrá el vector: a c = a ¡ + b ¡ i
Así como su modulo y el ángulo p con el eje real.
(2.110)
86
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
EJEMPLO 2.19
Ecuación de posi ción
Análisis cinemático del mecanismo manivela-biela-corredera. Datos:
• • • •
Dimen sión: r,, h Posición inicial del mecan ismo; 9^ Velocidad del miembro conductor: Aceleración del miembro conductor; dj
r g = r 2 +r^=r^e‘^ +r^e‘^
(2 . 111)
r , = x + h ^ x e ‘'^ + k e ‘i^)
(2.11 2)
O r2 -e '^ +rj -e ‘^ = x + ih
[h = cte]
(2.113)
Ecuación de velocidades V« = ?* = r A ii e‘^ ) +
^^.l 14)
ys = h = i
(2115)
Tjéj (lí-"^) + r3¿3(|V'*>) = i
(2.116 )
O
Ecuación de aceleraciones Incógnitas: • Posición de todas las barras; 6 , y r , = x • 0, y jt (velocidad de B) • X (aceleraciónde B) Solución:
a , = ? s = r, (i é ,- é ¡ ){e ‘^ ) + r,(i6 , - Ó¡)(e“^)
(2. 117)
a , = f , = x
(2.118)
r,{ ié ,- é ¡ K e '' ^ ) + r ,( ié ,- é ¡K e ^ ^ ) = x
(2.119)
O
1. An álisis de posición Escribiendo la Ecuación (2.113) en com ponentes: x + ih = r^icos
02 +1
sen 62) + 'jico s 0, +1 sen 9¡)
(2.120)
Igualando las partes real e imaginaria de la Ecuación (2.120): X = T2 eos ©2 + '3 eos
(2 .121)
/7 = rj sen 02 + r, sen d¡
(2.122)
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS CON MOVIMIENTO PLANO
De la Ecuación (2.121) se obtiene: 0, = arcsen
Separando parte real e imaginaria de (2.129):
h-r^ sen 0,
X = -K 2 [02 sen 0, + (02)^ eos 02] - rjl03 sen 0j + (0, f eos 6 ¡ ] (2.130)
(2.123)
0 = r2l02 eo s02 - ( 02)^ sen 0 ,l + r3t03 co s03 -( á j) ^ sen 0,] (2.131)
Llevando este valor a (2.119), se obtiene x. x = f 2 eos 02 + h eos arcsen
De la Ecuación (2.131) puede despejarse d¡:
h -r -, sen 6 -
(2.123a)
Q ’
r2[(02)^ se n 02 - 02co s02] ^ (¿3)^ sen 03 Tj eo s 03 eos 0j
^2. 132)
Sustituyendo este valor en la Ecuación (2-130) se obtiene x = lagl De donde se obtiene el vector:
2. Análisis d e vel ocida des Escribiendo la Ecuación (2.116) en componentes: Vg=rg = TjÓj /(eos 62 + i sen
ag = 'x+ Oí
62 )
+
+r^éj i(cos 03 +» sen 63) = i + O»
SIMBOLOGÍA V
sen ©2 - ^3^3 sen 0,
(2.125)
V a
O = ^,¿2 eos $2 + rj¿3 e os ©3
(2.126)
V», (ú a
La Ecuación (2.126) permite hallar Ó,:
S a
(2.127)
eos 0j
-
a
«;
Sustituyendo en (2.125) se obtie ne jt: t2 eos 62 jr = r, —------- sen eos 03
t2 eos Tj eos
02
. sen 6 -,
(2.128)
3. Aná lisis de ace leraci ones «« o
Escribiendo la Ecuación (2.119) en componentes: “ s='^s =^202 ‘(eo s ©2 +* sen 62) - »2(¿2)*(eos
62 +
i sen 62 ) +
+r,03Í(cos03+i sen 03)- r 3(¿3)^(cos03+/sen 0,) = = [-rj02 sen 0j - t 2(02)^ eo s B2 ~rfi^ sen 0, - r 3(03)* eo s03] + + ' [ ' i 02 c o s 02- r 2( 02)^ scn 02 - r j 03 eos
(2.133)
(2.124)
Igualando parle real e imaginaria de la Ecuación (2.124); X s
87
co s 03] = i f + 0/
15,1
(2.129)
Vector velocidad. Velocidad del punto A. Velocidad relativa de B respecto de A. Velocidad angular. Vector aceleración. Aceleración del punto A. Aceleración relativa de B respecto de A. Aceleración angu lar Aceleración normal d el punto ¿4. Aceleración tangencial del punto ;4. Velocidad de deslizamiento del punto P de! miembro 3 respecto del miembro 2. Aceleración del punto P del miembro 3 respecto del miembro 2. Velocidad del punto P perteneciente al miembro 2. Aceleración del punto P perteneciente aJ miembro 2. Aceleración de Coriolis del punto P. Valor absoluto de la velocidad de A. Valor absoluto de la aceleración de A. Ángulo del miembro 2 con el eje x positivo. Velocidad angular del miembro 2. Aceleración angular del miembro 2. Vector de posición del miembro 2.
CAPÍTULO 3
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMIENTO CONOCIDO
CONTENIDO 3.1. Introducción. 3.2. Generalidades sobre los esfuerzos actuantes. 3.3. Estudio de los esfuerzos en mecanismos con movimiento conocido, en un instante. 3.4. Estudio de los esfuerzos en mecanismos con movimiento conocido, en instantes sucesivos.
3.1.
INTRODUCCIÓN
En este tema se va a estudiar los tipos de esfuerzos (fuerzas y pares) que ac túan sobre los mecanismos, con movimiento conocido, así como la forma en que éstos se transmiten a través de todos los miembros que lo componen. Para ello se ha dividido el tema en tres partes. En primer lugar se analizarán los esfuerzos actuantes sobre los mecanis mos. y en particular las resistencias pasivas y los esfuerzos debidos al movi miento, es decir, las acciones derivadas de la inercia de los m iembros. En segundo lugar se estudiarán los esfuerzos que actúan sobre los meca nismos (y cada uno de sus miem bros) debido a la sola existencia de esfuerzos exteriores aplicados (sin considerar el movimiento de éste), para a continua ción calcular los esfuerzos sobre cada miembro derivados de sólo el movi miento de éste (esfuerzos de inercia). La suma, sobre cada miembro, de todos los esfuerzos actuantes constitui rán los esfuerzos totales, a partir de los cuales, y utilizando los conoc imientos adquiridos en Resistencia de materiales, pueden dimensionarse correctamente todos los miembros y piezas que los componen.
Todos estos cálculos se efectuarán en un instante determinado, en el que se conoce la posición del mecanismo y la velocidad y aceleración de todos sus miembros. En tercer lugar se realizarán algunas consideraciones sobre la variación de los esfuerzos sobre los miembros de un mecanismo en instantes sucesivos (a lo largo del movimiento de éste).
NOTA 3.1. En este capítulo no se tienen en cuenta las relaciones existentes entre las acciones exteriores aplicadas y el movimiento que adquiere el mecanismo, aspecto éste que se estudiará en el próximo ca pítulo , y qu e se cono ce co mo «p roble ma dire cto de la din ám ica de má quinas». El objeto de este capítulo es el cálculo de esfuerzos suponiendo el movimiento conocido, es decir, el «problema inverso de la dinámica».
3.2. GENERALIDADES SOBRE LOS ESFUERZOS ACTUANTES 3.2.1. Cla ses de esf uerzos Sobre puntos concretos de los mecanismos se aplican diferentes fuerzas y pare s, los c uales, po r tra nsform ación de sus facto res, dan lugar a otra s fu erza s y pares en otros puntos capaces de realizar un trabajo útil, además de comu nicarles el movimiento deseado.
90
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Los esfuerzos (fuerzas y pares), que obran sobre los diferentes miem bro s de u n mecan ism o pued en cla sific arse en tres grandes grupos: • Esfuerzos interiores. • Esfuerzos exteriores. • Esfuerzos de inercia. En el estudio que se va a realizar se considera que todos los m iembros son rígidos (indeformables) y, por tanto, no se co nsiderarán las fuerzas interiores. Los esfuerzos exteriores, que son los directamente aplicados, se pueden di vidir en tres grandes grupos: • Peso de los miembros. • Esfuerzos motores. • Esfuerzos resistentes. El peso de los miembros es, en la mayoría de los casos, despreciable frente al valor de las otras fuerzas, por lo que no se considerarán en estos cálculos. Además, si se supone que el mecanismo se mueve en el plano hori zontal, la acción del peso se encontrará en el plano vertical, por lo que su efec to puede separarse del resto de las fuerzas exteriores. Los esfuerzos motores son los que dan lugar al movimiento, y se consi derarán siemp re positivos. Los esfuerzos resistentes son las que se oponen al movimiento, y se con siderarán negativos. Éstos, a su vez, se pueden dividir en dos grandes grupos: • Esfuerzos útiles. • Esfuerzos pasivos. Los primeros son los realmente aprovechados para la realización de tra bajo útil, mie ntra s q ue los seg und os son las p érd idas en rozamientos. Los esfuerzos de inercia son los que aparecen sobre cada miembro en m o vimiento, por el hech o de estar sometido a un a cierta aceleración.
NOTA 3.2. Naturalmente, el co njun to d e todas estas fuerzas y pares so bre un me can ism o no actú an ind epe ndien tem ente entre sí. En efecto, el conjunto de las fuerzas y pares exteriores aplicados, motores y útiles, son la causa del movimiento del mecanismo, y con él, de la aparición de las fuerzas de inercia, además de las fuerzas de rozamiento.
En cada instante, estas fuerzas datos serán perfectamente conocidas en módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. A veces, en lugar de venir estos datos en forma de fuerzas pueden hacer lo en forma de momentos, como se verá en algunos ejemplos. En cualquier caso, tanto si los datos vienen dados en forma de fuerzas como de momentos, en general serán totalmente independientes del mecanis mo en sí. Por ejemplo, en el mecanismo de la máquina cepilladora de la Fi gura 3.1, las acciones exteriores conocidas serán la resistencia al corte en la cu chilla F y el par A/ aplicado por el motor de accionamiento. Sin embargo, en algunos casos esto no es verdad; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre el pis tón de un motor alternativo depende de condiciones internas a su mecanismo básico, com o es la velocid ad d e ro tación del cigüeñ al, por ejemp lo. (A may or velocidad, más gases entran en el cilindro.) En todo caso, siempre se supondrá en este tema que se conocen los es fuerzos exteriores aplicados sobre el mecanismo, en cualquier instante de su movimiento.
3.2.3. Consi dera cion es sobre las resist encias pasivas 3.2.2.
Consi deraci ones generales sobre los esf uerzos exteriores aplicados
En todo el estudio que se va a realizar, se parte del conocimiento de un a serie de fuerzas exteriores aplicadas, motoras y/o resistentes, sobre los diferentes miembros de un mecanismo.
3.2.3.1.
Introdu cción al cálculo de las fu erzas pas ivas o de rozamiento
La fuerzas de rozamiento o resistencias pasivas que pueden actuar sobre un miembro, dependen de la fuerza que transmite tal miembro (como conse cuencia de los esfuerzos exteriores aplicados), del tipo de unión (par) del que
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISM OS CON MOVIMIENTO CONOCIDO
forma parte, de los m ateriales de que están construidos (tanto el miembro en cuestión como el que está en contacto con él), entre otros factores. Antes de pasar aJ cálculo de las fuerzas de rozamiento sobre un miembro, es preciso ver cómo se generan éstas, y los diferentes tipos que pueden apa recer. Las resistencias pasivas que se oponen al movimiento de un miembro pueden deberse a: 1. Estar en contac to con otro miembro. 2. Moverse en un medio fluido como aceite, aire, etc. Las resistencias de este segundo grupo no se considerarán en este caso (al menos las aerodinámicas) y sólo se verá el cálculo de las fuerzas que obran so bre un miembr o debid o a est ar en cont acto con otro. Suponiendo el par de la Figura 3.2, en el que el miembro 2 se mantiene en contacto con el miembr o 1 por la acción de un sistema de fuerzas que actúa so bre él, F¡, F j,..., F,. En el punto de contacto A el sistema se reduce a la resultante y? y al mo mento resultante M. La resultante R se puede descomponer en una fuerza normal N y una tangencial T. L a normal tiende a penetrar 2 sobre 1, y la tan gencial a arrastrar 2 sobre 1. El par M se puede descomponer en una componente normal Ai, y otra tangencial M,. La componente normal del momento da lugar a un giro de 2 sobre 1 (mejor, alrededor de un eje perpen dicular a la superficie de contacto).
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La componente tangencial del momento da lugar a un giro de 2 alrededor de un eje situado en el plano de la superficie de contacto. El primero da lugar a un pivotamiento de 2 sobre I y el segundo a una rodadura. Como consecuencia de las fuerzas y momentos anteriores, se tiene; a) Al posible deslizamiento provocado por T se opone una fuerza de ro zamiento al deslizamiento F,. b) A la posible rodadura provocada por M, se opone una resistencia a la rodadura dada por el momento
,. c) Al posible pivotamiento provocado por se opone una resistencia del pivo tami ento dad a po r el mom ento (j),,.
A continuación se estudiarán cada una de estas tres resistencias que apa recen sobre un miembro po r estar en contacto con otro y sometidos a un con junto d e fuerzas. 3.2.3.2.
Fuer zas de rozamiento al deslizamiento
Sea el miembro 2, sometido a la reacción normal N (debida a su propio f)eso /*) y a una tracción horizontal F. Las experiencias de Coulomb realizadas con valores variables de P y F, llevaron a los siguientes resultados: 1. F ha de alcanzar un cjerto valor para que se inicie el movimiento, para un valo r dad o de P.
FIGURA 3.3
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2. La relación F/N = tag
F
(3.1)
Este valor de no depende de los valores d e P y F. 3. El valor de /ig depende sólo de la naturaleza, estado y disposición de las superficies en contacto, pero es independiente del valor de la carga nor mal Ñ y del área de contacto. 4. El valor de la fuerza de rozamiento es F, = siendo N la compo nente normal al plano de contacto del sistema de fuerzas aplicadas (de la resultante). 5. Iniciado el movimiento, el valor de la ñierza de rozamiento F, (y, por tanto, la fuerza necesaria para vencerla) es menor que al arrancar. Se obtiene así un nuevo coeficiente de rozamiento dinámico fj tal que /X< rt) 6. El valor de /i es independiente de la velocidad, para valores de ésta in feriores a 5 m/s. Para velocidades mayores: \ + aV \+pv
(3.2)
Siendo a y P coeficientes que dependen de la naturaleza y estado de la superficie en contacto. 7. Los valores á t f i y ^ están tabulados para distintos pares de materiales en contacto.
Círcul o de rozamiento Suponiendo un eje (2) sometido a una carga P y que apoya dentro de un coji nete (1). Si se somete el eje a la fuerza g, éste tenderá a moverse dentro del co jinete. A este movimiento se opondrá la fuerza de r ozam iento , como se re pre senta en la Figura 3.5. Inicialmente, y debido al rozamiento, 2 no deslizará sobre 1, sino que se moverá sin deslizar hasta alcanzar la posición que muestra la figura (b). La po sición límite antes de que se produzca el des lizamiento ocurrirá cuando la re sultante de la reacción del cojinete sobre el eje (fuerzas f,) , sea igual a la resultante de las fuerzas aplicadas (P y Q). O sea, cuando sea igual y con traria a
FIGURA 3.5 Cono de rozamiento El estudio del equilibrio de un miembro 2 apoyado contra otro miembro 1, so metido a un sistema de fuerzas variables, es fácil de ver si se dibuja el llamado cono de rozamiento. Sea A el punto de reducción del sistema de fuerzas que obran sobre 2. El cono que tiene de vértice A. y de semiángulo el ángulo de rozamiento (p es el cono de rozamiento. Si la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas cae dentro del cono, el cuerpo 2 no se moverá. Si la resultante cae fuera del cono, 2 deslizará sobre 1 venciendo la fuerza de rozamiento.
(b)
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS MECANI SMOS CON MOVIMI MOVI MIENT ENTO O CONOCIDO
Como /W tiene un valor constante, constante, la te n^ á una inclinación inclinación fija, igual al ángulo de rozamiento
El trabajo trabajo elemental elemental desarrollado por la fuerza de roza d T = F , - d s = n - N - d s
la potencia valdrá: W = — = F ^ — = F^ F^ V = f i N - V dt dt W = ix N V
esta potencia se consume en el desgaste y calentamiento de las superficies en contacto.
3.2.3.3. 3.2.3.3.
Resistencia a la rodadura
Puede suponerse que se desea mover el miembro 2 (cilindro) sobre la superfi cie plana 1, por acción de la fuerza F aplicada en B. Jntroduciendo en el punto de contacto A las dos fuerzas iguales y opuestas F y puede considerarse el sistema formado por las fuerzas fuerzas F y el par F). F). • La fuerza F «tira» del cilindro para hacerlo hacerlo deslizar. deslizar. • El par (-F , F) provoca la rodadura de 2 sobre 1. • Si F < Fj, Fj, = ^ • el cilind cilindro ro no desli desliza za..
FIGURA 3.6
(3.3)
Puede decirse que si la resultante de las fuerzas exteriores P y Q pasa por fuera del círculo círculo de rozamiento el eje des liza sobre el cojinete, y caso contra rio no. El círculo de radio p es el llamado círculo de rozamiento. La fuerza de reacción del cojinete sobre el eje no pasa nunca por su centro geométrico, sino que es tangente a este círculo. Esta circunferencia de rozamiento es de gran valor en los análisis gráficos de esfuerzos, ya que permiten el posicionado exacto de las fuerzas que se transmiten transmiten entre los miembros de un par. par.
NOTA 3.3. miento será:
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F) tiene que alcanzar un cierto va • La experiencia experiencia enseña que el par (- F , F) lor para que el cilindro empiece a rodar. Esto implica la existencia de otro par, de sentido contrario, que se opone a esta rodadura y que puede 5- Ñ. representarse por Ñ&s la reacción normal y 5 un coeficiente de dimensiones lineales, que se suele d ar en milímetros. Este par que se opone a la rodadura, es debido debido a un desplaza miento de la r eacción normal Ñ, como se ve en la Figura 3.7, debido, a su vez, a la deformación elástica que experimenta la superficie de con tacto. En la Figura 3.7 se observa exageradamente lo que ocurre en la su perfici per fici e def orm ada, y có mo est a def orm ació n or igin a qu e Af Af se tr aslad e una longitud S (en (en el caso de que 2 no se deforme y 1 sQ. sQ. • S depende, en general, de: a) Naturaleza de los cuerpos, en particular, de las propiedades elásticas. elásticas. superficies. b) Forma, disposición, dimensiones y estado de las superficies. c) Valor de los esfuerzos aplicados, de la velocidad y de la temperatura.
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FUNDAMENTOS FUNDAM ENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
perfec NOTA 3.4. Obsérvese en la Figura 3.7 que si el cuerpo 1 fiiera perfec tamente elástico, la recuperación de la parte deformada (zona á) sena á) sena ins tantánea, con lo que la «zona a» empujaría en empujaría en su recuperación al cilindro hacia arriba, y los esfuerzos por delante y por detrás de la zona de con tacto se contrarrestarían haciendo que 0 = 0. El retraso de la vuelta a la forma primitiva es lo que provoca la resistencia a la rodadura.
El par, extendido a toda el área será: < P^ P^ =¡ =¡ 2r 2r -d -d F F,, = 2 ^ l ¡ r d r
(3.6)
Experimentalmente se ha comprobado que , = 0,093 n L N
(3.7)
siendo L siendo L la la longitud del eje mayor de la elipse de contacto. 3.2.3A.
Resistencia al pivotamiento
La experiencia enseña que un cuerpo no pivota sobre otro hasta que no se apli ca un par. Esta resistencia al pivotamiento es consecuencia del rozamiento de desli zamiento entre las dos superficies en contacto. En efecto, la fuerza normal N provoc pro vocaa la deform def orm ació n d e l a supe s uperfic rfic ie (como (co mo cas o más gen eral era l p uede ued e s upo up o nerse que la superficie deform ada es una elipse). Al girar el árbol con velocidad a, sobre cada elemento de superficie ds aparece una fuerza de rozamiento dF^ de dF^ de sentido contrario a <ü, y de valor: dF, = nd N
(3.4)
En el punto simétrico aparecerá otra fuerza igual a dF^ que dF^ que formará con ésta un p ar de valor: d0 , = 2 r d F , = 2 - r - n d N
3.2.3.S. 3.2.3.S.
Compar ación entre las tres resistencias
En general, la resistencia a la rodadura siempre es despreciable frente a la re sistencia al deslizamiento. En cuanto a la resistencia al pivotamiento, es de la m isma naturaleza que la resistencia al deslizamiento, como se ha visto, sólo que el factor deforma ción es muy importante. A título de ejemplo, suponiendo que se desea mover un bidón de hierro de 500N de peso sobre una superficie también de hierro, siendo /i = 0,16; S = 0,05 cm. a) Arrastrándolo sobre una de las tapas F = /i-yV = 0,16 - 500 = 80A 80A^
(3.5)
FIGURA 3.8
(/• = 0,2 m.) b) Hacién dolo rod ar (/• F ' d = d N
; F' = 5 — = 0,05 0,0 5 — = 6,25 6 ,25 N d 4
ESTUDI ESTUDIO O DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMIENTO MOVIM IENTO CONOCIDO
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Se aprovecha este efecto en ciertos mecanismos para eliminar el efecto del rozamiento en algtín movim iento que interese. Por ejemplo, en los reguladores centrífugos (Fig. 3.12) se hace que el manguito gire sobre un eje hueco fijo; de este modo, vencido el rozamiento por el giro del regulador sobre la parte fija, basta una pequeña variación en la fuer za centrífuga producida por las bolas para que el manguito suba o b aje sin re sistencia, obteniéndose así mayor sensibilidad.
FIGURA 3.12
Como se ve, la diferencia entre las ñieizas a aplicar en uno u otro caso son muy importantes. 3.2.3.6.
Movimi ent o a la deriva
Si un cuerpo se mueve deslizando sobre otro, una vez vencida la fuerza de rq^ rq^ zamiento F^ F^ = N, N, basta aplicar al primero una fuerza muy pequeña F (Fig. 3.11), que tenga dirección distinta a la F, para F, para provocar la desviación del cuerpo en la dirección R re R resulta sultante nte de Fy F , ya que la fuerza fuerza F no ha de vencer resistencia alguna al deslizamiento, que se supone vencida por la F. Lo mismo ocurre si un cuerpo se mueve pivotando sobre el otro.
NOTA 3.5. Las fuerzas de rozamiento siempre se oponen al movi miento, pero sus consecuencias pueden ser tanto positivas como negativas. En el caso de la transmisión de potencia entre el miembro conductor de un mecanismo y el miembro conducido del mismo, interesa disminuir al máximo todo tipo de resistencias pasivas, puesto que éstas hacen dis minuir el rendimiento del mecanismo. Esto se logra con el uso de roda mientos. un buen sistema de engrase, etc. Sin embargo, otras veces las resistencias pasivas son nece.sarias, vién dose la necesidad de aumentarlas al máximo, como ocurre en los frenos, embragues de fricción, ruedas de automóviles, etc. En estos casos, para lograr un aumento de las fuerzas de rozamiento se recurre al empleo de materiales de mayor coeficiente de rozamiento, aunque teniendo siempre presente que la energía absorbida por estas fuerzas de rozamiento se transforma íntegramente en calor.
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FUNDAMENTOS OE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
3.2.4.
Consi deraci ones sobre las fuerzas de inercia
Analizando cada una de estas integrales se tiene:
Conocida la aceleración (en un instante dado) de cada uno de los elementos di ferenciales de masa dm de un miembro de un mecanismo en movimiento compuesto, la fuer za de inercia elemental que sobre él ob ra será; d J = - a dm
(3.8)
El conjunto de todas las fuerzas elementales que obra sobre el miembro forma un sistema de fuerzas coplanarias; este sistema tendrá una resultante ge neral y un mom ento resultante. Este sistema de fuerzas de inercia admite una reducción sencilla en el caso de tomar como punto de aplicación de la resultante el centro de gravedad del miembro. Si se conocen la velocidad y aceleración angular instantáneas del miembro en cuestión, la aceleración de cualquiera de sus puntos se puede relacionar con la del centro de gravedad, como ya se sabe: % = «c +«;cc =« c +«/rc +«¡fc
(3.9)
• ¡^5(; dm = aa- ¡d m = ac m por ser já ch ete .
En efecto: -dm = jco^ KG dm = (ü^ KC -d m ~ O por ser jK G dm el momento estático referido al centro de gravedad.
En efecto, su módulo es; •dm = j a KG dm = a jf^ G dm = 0 En resumen, la resultante general del sistema, aplicada en el centro de gra vedad vale: J =
La fuerza de inercia elemental de la masa dm situada en el punto K será: dJ = - a ^ dm = -á g dm -
dm - a'^fj dm
(3.10)
La resultante de todas estas fuerzas elementales que obra sobre el miem bro será: J
dm =
dm
• d m d m
(3.11)
• m
(3.12)
El momento elemental respecto del centro de gravedad será: d M c = - G Kx dJ = - GK x a^ d m - G Kx a l a '
~
«kg
(3.13)
El momento resultante será: Mf¡ = - \ g K X ac • dm - ¡G K x
• dm -
x
dm
(3.14)
Analizando cada una de estas integrales se tiene: • j p K x a ( j d m = 5( ;X j C K dm = 0, por ser j p K •dm el momento es tático referido al centro de gravedad. • j p K X ala dm = 0, puesto que la dirección de pro ducto vectorial es nulo. • j( fK X ala ■ d"' =
es la de GK, y el
•a) - í/wi = o J g K^ dm = a l^, siendo
Ig = ¡GK^ dm el momento de inercia respecto del centro de gravedad. Obsérvese que los vectores GK y ala son perpendiculares, por lo que su pro ducto vectorial es el pro duc to de los módul os GK GK sen 90°.
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMIENTO CONOCIDO
En resumen, el momento resultante referido al centro de gravedad será: =
(3.15)
En definitiva, el sistema de fuerzas de inercia elementales que obran sobre el miembro se reduce a; • Una resultante J equivalente a la fuerza de inercia total de la masa m, concentrada en el centro de gravedad. • Un par equivalente a la inercia de un volante con un momento de inercia referido al centro de gravedad igual al del miembro, girand o al rededor de G con la aceleración angular a.
FIGURA 3.14
NOTA 3.7. Como es lógico, la fuerza de inercia que obra sobre un miembro será, en general, variable de un instante a otro, si lo es la acele ración a que está sometido.
3.3.
ESTUDI O DE LOS ESFUERZOS EN MECANI SMOS CON MOVIMIENTO CONOCIDO EN UN INSTANTE
3.3.1.
Generalidades
El cálculo de los esfuerzos en m ecanismos con movimiento determinado (pro blem a inverso de la diná mica) pue de plantea rse en los sig uientes términos : Dado un mecanismo (conocidas sus masas, forma de los m iembros, etc.), en movimiento determinado (velocidad y aceleración de todos sus puntos), so bre el que actúan una serie de fuerzas y pares exterior es aplicad os (que en de finitiva, son las causantes de su movimiento), determinar los esfuerzos desco nocidos que actúan sobre cada miem bro, incluyendo el bastidor, debido tanto a las acciones estáticas com o a las de inercia. La solución de este problema es bastante sencilla. Basta con aplicar el prin cipio de D’Alembert a cada miembro, y al mecanismo en su conjunto, que dice:
En el análisis de fuerzas y pares en mecanismos es impo sible trabajar con vectores polares y axiales simultáneamente, por lo que es preciso sustituir los vectores Mr, y J por un solo vector equivalente 7'. Este vector J' tendrá el mis mo módulo, dirección y sentido que 7, pero estará desplazado del centro de gravedad una d istancia h, tal que: Mr = h
= «•/,
(3.16)
El desplazamiento /¡ de 7 se hará de manera que el momento provocado por J' desplazada, se oponga a la aceleración angular a del miembro. 3.6. Lo mismo se haría con todos y cada uno de los miembros mecanismo. Los miembros animados de un movimiento circular uni^TOe, la aceleración del centro de gravedad tiene sólo compon ente nor®’ y la fuerza de inercia es la llamada «fuerza centrípeta». o ta
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En un mecanismo en mo vimiento (o en cad a uno de su s miembros po r separado), el sistema compuesto p or todas las fuerzas de inercia so bre cada miembro, y las reac cion es de l bastid or (o la de los miembros contiguos), es un sistema en equilibrio en todos y cada uno de los ins tant es del movimiento. Por consiguiente las ecuaciones de la estática ^ F = 0 y 5 ^ A Í = 0 se han de cumplir tanto en el mecanismo en su conjunto como en cada uno de los miembros aislados. Como el estudio simultáneo de los esfuerzos sobre mecanismos, con mo vimiento determinado tiene el inconveniente de no mostrar separadamente el efecto de las fuerzas estáticas y el de las de inercia, que puede revestir excep cional importancia en mecanismos d e alta velocidad, se realizará el estudio de los esfuerzos sobre mecanismos en dos partes. Primeramente se efectuará un análisis de las fuerzas estáticas, sin consi derar para nada a las fuerzas de inercia (análisis estático). En segundo lugar, se calcularán los esfuerzos desconocidos en el sup ues to de que sólo actúan las fuerzas de inercia (análisis dinámico). Finalmente, se superpondrán los resultados de ambos análisis, obteniendo los esfuerzos totales que obran sobre el mecanismo en su conjunto, y sobre cada miembro por separado.
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NO TA 3.8 . Na turalm ente, en es te análisis no pueden olvida rse las fuerzas de rozamiento, función no sólo del valor de las fuerzas exte riores aplicadas, sino también de las de inercia que actúan sobre cada miembro. Afortunadamente, la introducción de las fuerzas de rozamiento, en la mayoría de los mecanismos, no modifica sustancialmente el valor de los esfuerzos totales que obran sobre cada miembro, po r lo que en la mayoría de los casos sus efectos pueden despreciarse. En todo caso, en el estudio que se va a efectuar sobre esfuerzos en mecanismos no se considerarán los efectos debidos a las resistencias pa sivas.
NOTA 3.9. En todo lo qu e s igue se efectuará el estudio de los esfuerzos sobre los miembros de un mecanismo en un instante cualquiera de su mo vimiento, determinado por la posición del mismo en ese instante. En cualquiera otra posición, los cálculos a efectuar serían exacta mente los mismos. Al final del capítulo se darán unas ideas sobre la va riación de los esfuerzos de un instante a otro, para resaltar sus conse cuencias sobre el mecanismo.
Para el cálculo de las fuerzas o momentos incógnitas pueden emplearse varios procedimientos, utilizándose en este caso la resolución gráfica de las ecuaciones generales de la estática aplicada a cada miembro (por su alto valor intuitivo y pedagógico): (3.17) Se comenzará estudiando el equilibrio estático de un mecanismo sencillo, como es el mecanismo motor, sometido a un sola fuerza exterior motora (la presión de los gas es sob re e l ém bolo), para h allar el par resistente eq uilibr an te M, en el cigüeñal (sin considerar el rozamiento). A continuación, se hará un estudio estático de mecanismos más generales, donde se suponen varias fuerzas exteriores actuantes, colocadas en puntos que no son necesariamente articulaciones.
3.3.2.2.
Estu dio estático del mec ani smo moto r
EJEMPLO 3.1 En el mecanismo de la Figura 3.15, se tiene:
3.3.2. 3.3.2.1.
Estud io de los esf uerzos estáti cos Introducción
El estudio estático de mecanismos consiste en analizar las fuerzas y mo mentos que sobre él actúan (sobre sus miembros), pero sólo los de naturale za estática, es decir, sin tomar en consideración las fuerzas de inercia (es como si estudiasen las fuerzas actuantes sobre un mecanismo, estando éste inmovilizado). En el estudio estático de mecanismos se parte siempre de unos datos: • Dimensiones. • Posición en el instante considerado. • Fuerzas (o momentos) exteriores aplicadas (motoras o resistentes), para h all ar unas incó gnit as: • Fuerzas (o momentos) exteriores desconocidos (resistentes o motoras). • Fuerzas (o momentos) sobre todos y cada uno de los miembros, inclu yendo el bastidor.
Datos: Dimensiones y posición. Esfuerzo debido a la presión de los gases. Incógnitas: Esfuerzos sobre cada miembro, incluido el bastidor. Par que se puede vencer en el cigüeñal: esfuerzo de giro.
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMIENTO CONOCIDO
Solución: Aplicando las ecuaciones generales de la estática a cada uno de los miem bros del mecan ism o s e tiene;
99
La Ecuación (3.21) se cumple evidentemente, por estar ambas fuerzas so bre la mis ma línea d e acció n. De la Ecuación (3.20) se obtiene que F„ (igual y contraria a F^) es igual y contraria a como se ve en la Figura 3.17.
1. Miembro 4 (pistón) Sobre él actúan las fuerzas siguientes; • F4= presión de los gases. • F ,4 = reacción del cilindro 1 (bastidor) sobre el émbolo 4. • F34= reacción de la biela 3 sobre el pistón 4. Para que esté en equilibrio, se ha de cumplir: Ft +
+ F34= O
A/(FJ + Af(FJ + AÍ(F„) = 0
(3.18) (3.19)
La Ecuación (3.19) se cumple evidentemente, por ser fum as concurren tes. De la Ecuación (3.18) se conoce F, y la dirección de F„ y F34, por lo que se pueden c alc ula r gráfic amente, com o se ve en la F igu ra 3 .16.
3. Miembro 2 (cigüeñal) Sobre él actúan las fuerzas; • F 32= reacci ón de la biela. • F, j = reacción del bastidor. • M, = par resistente aplicado. Por estar en equilibrio, se tendrá: ^32+^12 = 0
(3.22)
A f ( F 32> + A / ( F„ ) + K = O
(3.23)
De la Ecuación (3.22) se deduce que F32(igual y contraria a F ^) debe ser igual y contraria a F^. Con esto queda perfectamente determinada la fuerza como se ve en la F igura 3.18.
FIGURA 3.18 2. Miembro 3 (biela) Sobre él actúan las fuerzas: = reacción del pistón. • Fjj = reacción de la manivela. Para que estén en equilibrio se ha de cumplir: =O AÍ(F„)+M(F„) = 0
(3.20) (3.21)
10 0
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
De la Ecuación (3.23) se deduce que el par resistente que se puede vencer con la fuerza F^ de los gases, vale:
La Ecuación (3.26) se cumple evidentemente, como se ve en la Figu ra 3.20.
(3.24) en una compon ente en la dirección NOTA 3.10. Descomponiendo de la manivela o cigüeñal, y otra componente normal a la misma, se ob tienen f y Ñ, como se ve en la Figura 3.19. La fuerza ^ es la que real mente contribuye a crear el par motor, y se le llama un esfuerzo de giro. Como se comprende fácilmente: (3.25)
FIGURA 3.19 Sin embargo, la Ecuación (3.27) no se cumple. En efecto, de la descom pos ición efectua da en la F igura 3.20 se o bserva que ^ F = O y que las fuerzas F41 y F 21 forman un par que tiende a hacer girar todo el bastidor alrededor del eje del cigüeñal 0, j. (Su valor es exactamente igual al par resistente pues to que en definitiva no es más que su consecuencia.) Por consiguiente, el bastidor de un motor no se encuentra en equilibrio: está sometido a un par, denominado par de vuelco. Para contrarrestar este par y evitar el giro del bastidor (y con él, el de todo el mecanismo), puede recurrirse a varios procedimientos dependiendo del tipo de motor.
FIGURA 3.21
4. Miembro 1 (bastidor) Las fuerzas actuantes son: UJ
o o < o eo (K
O. < O
00
• F^= reacción de los gases. • Fj, = reacción del cigüeñal sobre el cojinete fijo. • F4, = reacción del pistón sobr e el cilindro. Para que estuviera en equilibrio se hab ría de cumplir: ^4 + Al + ^41 = O
(3.26)
M (P,) + Af(Fj,) + A/(F „)= 0
(3.27)
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMI ENTO CONOCIDO En grandes motores, el bastidor se une al suelo a través de una bancada lo suficientemente pesada para que el par generado por ésta equili bre al par de v u e l c o origina do sobre el bastidor. En pequeños motores la bancada no existe; el basti dor del motor es común al bastidor del mecanismo que genera el par resistente. (Po r ejemplo , un grupo motor-alternador, o motor-bomba centrífuga.) En este caso, sobre el bastidor actúan dos momentos iguales y contrarios que ten derán a deformarlo, dependiendo esta deformación de la posici ón relativa del motor y del alternador, como se ve en la Figura 3.21.
3.3.2.3.
Estu dio estático de me cani smo s en gener al
EJEMPL O 3.2 Sea el mecanismo de cuadrilátero articulado de la Figura 3.22. Datos;
• Posición y dimensiones. • Fuerzas exteriores actuantes Fj y F^ sobre los miembros 3 y 4, y posi ción y dirección de (no su módulo).
101
Incógnitas: • Mód ulo de la fuerza necesaria aplicada sobre 2 (c(m la dirección que se ve en la Figura 3.22) para vencer las fuerzas F ¡ y
• Fuerzas sobre todos los miembros, incluid o el bastidor. Solución:
1. Miem bro 4 Sobre él actúan las fuerzas: F,, F 34 y F „. Por estar en equilibrio: F4 + F „ + F |4= O
(3.28)
A/(F,)+M (F„) + M (F„) = 0
(3.29)
siendo M ( F „) el momento de la fuerza F,, respecto de un punto genérico (el mismo que para las otras fuerzas actuantes sobre este miembro). Como es fácil de ver, la Ecuación (3.28) no puede resolverse gráfica mente. Con la Ecuación (3.2 9) puede hacerse lo siguiente: a ) Se descompone F¿ en dos componentes, normal y tangencial a 4. Se
denotan por F^ y F 4.
b) Igualmente puede suponerse descompuesta
en F¿ y F¿. c) Tomando momentos respecto de O,^, las componentes tangenciales F, y F¿ no producen momento y las componentes normales están rela cionadas por la expresión: f : -e o , , = f z
FIGURA 3.22 FIGURA 3.23
B 0 „
(3.30)
10 2
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS d ) La ecuación anterior puede resolverse gráficamente en la forma si
guiente: • • • •
Se prolonga p q hasta que corte a la perpendicular a Uniendo con k se obtiene s. Traza ndo por s una paralela a 0 ^ i B corta B k en n. B n , con sentido opuesto a es el valor de
en k .
se traza la perpe ndíc ulo (direcció n de F ' ^ , sobre s encontrará el extrem o del v ector F 34. la cual se
2. Miemb ro 3 F ¡ y F^ y
F ^ + F , + F «3 = O
(3.31)
A/(F„) + M(F3)+M(F,3) = 0
(3.32)
La Ecuación (3.31) no puede resolverse gráficamente. En la Ecua ción (3.32) puede hacerse lo siguiente: a) Se descompone F ¡ en dos componentes Fj" y F,^ b ) Lo mis mo podna hacerse con F „, llamándolas F¿ y F^c) Tomando momentos respecto de A se tiene: F " A D = F "y A B
(3.33)
d ) Resolvie ndo esta ecuación gráficamente, como se ve en la Figura 3.24,
se obtiene Fí,. e ) Conocido F," y sobre la dirección de F¿ se encontrará el extremo del
vector F 43.
a ) Si se desea hallar la fuerza F 34 (igual y contraria a la F 43) se sabe que su extremo ha de encontrarse sobre la dirección de F ¿. b ) Inviniendo el sentido de FTj, el extremo del vector F ^ ha de encontrarse
también sobre la dirección de F ¿ invertida.
e ) P or el extremo de
Las fuerzas que sobre él actúan son Por estar en equilibrio:
3. Coiiocidas F ^ y F," así como las direcciones de F ¿ y F ,', puede hallarse F j , (o F43) del modo siguiente:
c ) Ambas direcciones se cortan en un punto, extremo de F ^ (Fig. 3.25).
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMI ENTO CONOCIDO 4. Mie mbro 2
10 3
5. Fuerzas sobre el bastidor (miemb ro 1)
Las fuerzas que sobre él actúan son:
Sobre el bastidor actúan las fuerzas F^^ y F^,. Ambas suman la fuerza F „ cuya dirección y punto de aplicación se observa en la Figura 3.28.
• Pi i (igual y contraria a F^ ,). • L a fuerza F^ , de la que sólo se conoce su dirección. • La reacción F,2, desconocida totalmente. Para que este miembro esté en equilibri o. + ^2 + ^12 = O M { .F , , ) + M (F , ) + M { F , , )^ Q
(3.34) (3.35)
El cumplim iento de la Ecuación (3 .35) implica que las tres fuerzas tienen que cortarse en un punto, con lo cual se conoce la dirección de y en la Ecuación (3.34) puede resolverse gráficamente, como se ven en la Figu ra 3.27.
Com o se observa, el bastidor no está en equilibrio. Para que lo estuviera habría que unirlo a una bancada, que contrarrestara la fuerza F,.
FIGURA 3.29
Superponiendo todas las figuras se obtiene el pol ígon o de fuerzas del con junto. Las reacciones del bastidor son las fuerzas F ,2 y F, 4- Las fuerzas datos F, y F f son equilibradas por la fuerza F, y las reacciones del bastidor (Figu ra 3.27).
10 4
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
NOTA 3.11. Si sobre un miemb ro no actúa ninguna fuerza exterior, sino sólo las reacciones de los miembros contiguos, es evidente que éstas sólo pueden tener la dirección del propio miembro, siendo, además, igua les y contrarias. En la Figura 3.29, igual y contraria a F „. Si l os datos se presentan en forma de pares, éstos se pueden reducir a fuer zas inüoduciendo dos de ellas iguales y contrarias, situados a una distancia de terminada, generalmente las articulaciones, y en la dirección que se desee.
EJEMPLO 3.3 Datos:
Dimensiones y posición (Fig. 3.30). Par motor tiene:
FIGURA 3.30
Miembro 2
Miembro 3 F „+ F , , = 0
M { F ^ + M ( F , ^ +
M (F ^ ) + M ( F „) = 0
Miembro 4 F v +
=O
M (F ^ ) + M ( F , , ) = M ,
+ M ( - F ^ —O
De ellas se deduce: M , = h , -F , M , = h , -F ,
Com o se observa, el momento resistente es mayor que el momento motor, esto se debe a que la velocida d del punto B es menor que la del A , conserván dose constante la potencia (Af^ ■co.= M , •o>t). 3. Sobre el bastidor actúan las fuerzas F, ^ y F ^ . Am bas son iguales y con trarias, dando lugar a un par puro sobre el mis mo (pa r de vu elco) . Incógnita;
• Par resistente A/4. Solución:
I. El par M 2 se sustituye por las dos fuerzas F ^ y - F i de las cuales se co nocen su dirección, que por comodidad se han tomado en la dirección de la ba rra 3. Su módulo vale: F j = M J h ^ .
OBSERVACIÓN FINAL Del estudio estático efectuado parece desprenderse aparentemente que el pro blema a resolver consiste siempre en, dadas una.s fuerzas motoras (o resisten tes) datos, calcular la fuerza resistente (o motora) que las equilibren, lo cual no es totalmente cierto.
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMI ENTO CONOCIDO En efecto, el problema queda mejor definido en la forma siguiente: D a d a s u n a s f u e r z a s e x t e r i o r es a p l i c a d a s , m o t o r a s y r e si s t en t e s, c a l c u l a r l a f u e r z a e qu i l i b r a n t e (o l o q u e es i g u a l , l a f u e r z a d e s eq u i l i b r a d a ).
De esta forma queda la puerta abierta a la consideración del problema real en máquinas, que se comprenderá fácilmente con el ejemplo del comporta miento de un motor alternativo. En efecto, en un mecanismo de este tipo, las fuerzas exteriores actuantes son la presión de los gases y el par sobre el cigüeñal. Éstas son dos fuerzas ex teriores que actúan constantemente, y que n o tienen por qué estar equilibradas en todo instante. En otras palabras, en ei E jem plo 3.1 del Apartado 3.3.2.2, dada la fuerza F^ , se calculó el par resistente que la equilibraba (igual y con trario al par motor). Pero este par resistente, en condicio nes reales de funcio namiento del motor, es un par dado, independiente del valor del par resistente obtenido como equilibrante de la fuerza F^ . Teniendo esto en cuenta, en el análisis estático del mecanismo del motor, donde se dan como datos la fuerza y el par resistente lo que se obtiene por medio de las ecuaciones de equilibrio es la fuerza (o par) equilibradora Ogual y contraria a la fuerza o par desequilibrado). Éste es un aspecto muy importante que se estudiará en el p róxim o capí tulo, y que se relaciona directamente con la marcha (nnovimiento) del meca nismo.
Sin embargo, debe resaltarse desde ahora una diferencia esencial entre los análisis estático y dinámico: • En el estudio estático se partía de unos datos (fuerzas motoras, por ejemplo, sobre el miembro conductor) para hallar unas incógnitas (fuer zas resistentes, sobre los miembros conducidos y reacciones del basti dor). Como se vio, siempre se podían hallar estas fuerzas con la condi ción de que todos los miembros móviles del mecanismo estuvieran en equilibrio. (Excepto el bastidor.) • En el estudio dinámico la fuerza que obra sobre cada miembro es una fuerza perfectamente conocida (función sólo de la masa del miembro y de su aceleración). En consecuencia, las únicas incógnitas a determinar son las reacciones sobre los diferentes miembros, incluido el bastidor. Además, al venir prefijado el sistema de fuerzas que actúa sobre todos y cada uno de los miembros del mecanismo, siempre se podrán calcular las reacciones de los miembros contiguos (ex clui do el bastidor) para que se cum pla la ecuación ^ F = O, pero difícilmente podrá lograrse que se cumpla en to dos los miembros la e c u a c i ó n = 0. En particular se verá que sobre el miembro conductor aparece siempre un par no equilibrado, que se denomina p a r a c el e r a d o r .
3.3.3.2.
Estu dio dinámico del meca nism o mot or
3.3.3. Estud io de los esfuerzos diná mico s
EJEMPLO 3.4
3.3.3.1.
En el mecanismo de la Figura 3.32 .se tiene:
Introducción
Datos:
A continuación se va a realizar el estudio de los mecanismos planos some tidos exclusivamente a las fuerzas de inercia que sobre sus miembros apa recen debido a la aceleración de que están dotados y que se suponen per fectamente conocidas en el instante considerado. Para ello se prescinde totalmente de los esfuerzos exteriores motores y resistentes que pudieran ha ber aplicados. Se comenzará estudiando un mecanismo sencillo ( el mecanismo básico de uji motor de explosión), para ampliar luego los conocimientos a mecanismos más complejos. En cualquier caso, una vez halladas las fuerzas de inercia que obran sobre cada miembro, el problema puede tratarse exactamente igual que el visto para el análisis estático, como se tendrá ocasión de comprobar. Aplicando las ecuaciones generales de la estática ^ F = 0 y ^ A / = 0 se calcularán los esfuerzos que actúan sobre todos y cada uno de los miembros del mecanismo, incluido el bastidor.
10 5
• Posición y dimensiones. • (O,.
• n u , m , y m*;
FIGURA 3.32
¡c,, I g ,-
10 6
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Incógnita:
Puede observarse que 7, se ha desplazado /i„ de forma que A/g, se opo ne a a,. ’ Para calcular las acciones sobre los diferentes miembros se aplicarán las ecuaciones generales de la estática.
• Esfuerzos sobre todos los miembros y par acelerador. Solución:
1 Conocid o se hallan los polígonos de velocidades y aceleraciones, í c , y «c, = J calculando como se ve en la Figura 3.33.
4.” Miembro 4 (pistón) Las fuerzas que sobre él actúan son:
FIGURA 3.33 * J \ i i J 34'
Polígono de aceleraciones
Polígono de velocidades
Por estar en equilibrio:
Q,-----------------------fe. b
A +
í
,4 + J „ = 0
M(/ ,) + Af( J„) + AÍ( 7„) = O
(3.36)
(3.37)
FIGURA 3.35 1 1~r 1-ow 2." Conocidas las aceleraciones, se calculan las fuerzas y momentos de inercia que obran sobre cada miembro:
7j = -ff i2-ác, ^g, = -«2/ g, = 0
h
= - >» y
=
Á =
á o,
1i
15 1
ó,
A/e;^= -a ,- /c ^ = 0
3.” Así, se ha obtenido el sistema de fuerzas que obra sobre el mecanismo (Fig. 3.34).
FIGURA 3.34
La Ecuación (3.37) se cumple evidentemente, por ser fuerzas concurren tes. En la Ecuación (3.36 ) sólo se conoc e y la dirección de J,*. 5.° Miembro 3 (biela) Las fuerzas que sobre él actúan son:
•
K «3
43
.
Por estar en equilibrio: (O j 1
4
7, + 743+-/ j , = 0
(3.38)
W , ) + M (7„) + A/(7a) = 0
(3.39)
V.’ J ' U ’ k v y 7 " . ' *
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMIENTO CONOCIDO
10 7
De la Ecuación (3.38) sólo se conoce 7j. De la Ecuación (3.39) se puede hallar como se ve en la Figura 3.36, to mando momentos respecto del punto B . Con ello, también se conoce la direc ción de7¿.
figura
3.36
del c.d.g (/i,) 7i Como ^43 = - J , 4 , se puede eliminar este término entre las Ecuacio nes (3.36) y (3.38). (3.40)
J i + J \ i = —J -U j J l } ' * ' J 23 - ~ J *¡ -
J m
(3.41)
Sumando (3.40) y (3.41): (3.42) Ecuación vectorial con dos incógnita.s (lo s módulos de y que puede ■’ssolverse gráficamen te, com o se ve en la Figur a 3.37, obteniéndose los valo-
Miembro 2 (cigüeñal) fuerzas que sobre él actúan son: * A.7,2,
ij,.
+ j ,2 + J i ¡ = o
m(7 ,) + W (7,j) + m(732) = o
(3.43) (3.44)
2 son conocidas, la Ecuación (3.43 ) permite hallar J,j, Como J 2 y J 32 = - J } como se ve en la Figura 3.38. A l examinar la Ecuación (3.4 4) se observa que no se cumple, por no ser las fuerzas J ¡, J n y J j 2 concurrentes.
108
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
NOTA 3.12. Descompon iendo en una componente normal y otra tangencia], como se ve en la Figura 3.40, el par acelerador valdrá también;
llamándose a la fuerza Vjj «esfuerzo giratorio de inercia».
7.” Con todo lo visto, ya se tiene completo el políg ono de fuerzas, como se ve en la Figu ra 3.41.
FIGURA 3.41
Aparece, por tamo, un par no equilibrado, cuyo valor puede hallarse fá cilmente tomando momentos respecto de 0 ,2. (3.45) Este par actúa .sobre el miembro conducido 2, hacia la derecha en este caso (en otro instante podría hacerlo hacia la izquierda), frenando el movi miento del motor. En consecuencia, el miembro 2 no está equilibrado, lla mando a este par, p a r a c el e r a d o r .
FIGURA 3.40
8.® Fuerzas sobre el bastidor (miembro I ) Sobre él actúan las fuerzas J 2 , y J*,. Para que estuviera en equilibrio se tendría que cumplir: 7„ + Á, = 0
(3.46)
AÍ(7„) + M ( J j = O
(3.47)
y com o se ve no se cumple ninguna de las dos ecuaciones.
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMIENTO CONOCIDO
FIGURA 3.42
3.3.3.3.
10 9
Estudio dinámico de me cani smo s en gene ral
EJEMPLO 3.5 Sea el mecanismo de barras de la Figura 3.44. Datos:
• «2, • Posición 02. • Dimensiones.
• Masas e inercias: m-,, m „
4 ^.
FIGURA 3.44 Sobre el bastidor actuará una fuerza J j - J,, + J^^, que tenderá a levantar y trasladar el bastidor. Al mismo tiempo, la diferencia entre las componentes verticales de las fuerzas y J „ provocará el vuelco de éste (com o refleja la Ecuación 3.47).
Incógnitas:
Esfuerzos sobre los miembros. Par acelerador.
Solución:
1. Conoci dos y a, se hallan a^^, ác, V «c , por medio de los correspon dientes polígonos de velocidades y aceleraciones, como se ve en la Figu ra 3.45.
110
1
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
FIGURA 3.46
2. En función de los datos anteriores se hallan las fueraas de inercia. =
=
5 c,
J t = -m ,
«g.
(3-48)
3. También se hallan los desplazamient os relativ os de las mismas, a par tir de los momentos de tales fuerzas respecto de los respectivos centros de gra vedad.
g, A^0 j = - « 2 - / Gi =>
*2 =
« 2 -le.
A continuación y aplicando las ecuaciones generales de la estática, se calculan las acciones sobre cada miembro y el par acelerador.
(3.49)
4. M iembr o 4 Las fuerzas que sobre él actúan son; • J i -, J n , J 34Por estar en equilibrio, se ha de cumplir;
Oj
04
*4 =
¡G
«4-/c,
lAl
(3.50)
7 ,+ 7.,^-734 = O
(3.52)
A/(7 j + M(7 ,J + A#(7„) = o
(3.53)
(3.51)
Así , se obtiene el sistema de fuerzas que obra sobre el mecanismo repre sentado en la Figura 3.46.
De la Ecuación (3.52) sólo se conoce 7^. De la Ecuación (3.53 ) se puede hallar por la construcción conocida, como se ve en la Figura 3 A l , y con ella la dirección de J'¡,, sobre la cual se en contrará el e xtremo de
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMIENTO CONOCIDO
111
f i g u r a 3.47
5. Mie mbro 3 Las fuerzas que sobre él actúan son:
6. Miemb ro 2
•
Las fuerzas que sobre él actúan son:
J
í
/
* J 2, J 121J } 2'
Por estar en equil ibrio, se ha de cumplir: 73 + 723+7,3 = 0^
(3.54)
M(73) + M(7j3) + Af( 7„) = 0
(3.55)
Para que esté en equilib rio se habrá de cumplir: 72
De la Ecuación (3.54) sólo se conoce J y De la Ecuación (3.55) se puede obtener -7 ¿ y la dirección de -7¿ . La i ntersección de las direcciones J l , y - J ¡, permite hallar J », como se ve en la Figura 3.47. Entonces, la Ecuación (3.5 2) permite hallar 7 „ y la Ecuación (3.54), J ^ .
+ 7,2 + 7, 2= 0
(3.56)
M { J , ) + a/(7,2> + m(7,2> = o
(3.57)
Como se conoce (igual y contraria a J 23 ) y J 2 , la aplicación de la Ecuación (3.56 ) nos permite hallar 7,2, como se ve en la Figura 3.50. Sin embargo, como es fácil de ver, la Ecuación (3.57) no se cumple, por no ser concurrentes las fuerzas 7,2,7,2, J j .
11 2
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS 7. Con todo lo visto, ya tenemos comp leto el polí gono de fuerzas, como se ve en la Figura 3.52.
En consecuencia, el miembro 2 no está en equilibrio ; sobre él actúa un par, que podemos calcular tomando momentos respecto del punto 0 ,2, eje de giro de e^a manivela conductora. 7,2 no produce momento, por pasar por 0 ,2; la suma de y nos da la h. fuer¿a que produce sobre el miembro 2 el momento Com o se observa en la Figura 3.51, este par (22 • actúa hacia la derecha, en el mismo sentido que la a celeración angular, tendiendo por consiguiente a acelerar más el mecanismo en este instante (par acelerador).
FIGURA 3.51 Las reacciones del bastidor son las fuerzas J , ^ y 7 ,4, que como se ve, equilibran a la fuerza total de inercia J j . = J ^ + /, + X
=
m
o
Se cumple
= Oy
.
8. Fuerzas sobre el bastidor Sobre él actúan las fuerzas: *
'^21'
J »'
Para que esté en equilib rio se habrá de cumplir; /j, + 7*. = O
(3.58 )
M (4 ) + M 7.,) = 0
( 3.5 9)
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMIENTO CONOCIDO Como se ve^ninguna de las dos ecuaciones se cumple. Sobre el bastidor actúa J t = h \ + ^ 41’ tenderá a levantarlo y trasladarlo, al tiempo que le pro vocan un v u e l c o . Para contrarrestar esta fuerza sólo se puede unir el bastidor a una bancada pesada, o eliminar la fuerza total de inercia procediendo al e q u i l i b r a d a del me canismo (eliminando las fuerzas de inercia, y la resultante de éstas sobre el bastidor).
11 3
Para ello basta con aplicar el principio de superposición, es decir, primero se calculan las fuerzas estáticas sobre cada uno de los miembros, luego las de bidas a la inercia, y finalmente se calcula la suma (vectorial) sobre cada miembro. Com o se ve, este punto no introduce nada nuevo, por lo que la exposición se reducirá al ejemp lo del mecanismo del motor.
3.S.4.2.
Estud io de los esf uerzos totales sobre el mecanismo motor
EJEMPLO 3.6 En el mecanismo de la Figura 3.54 (donde no tienen en cuenta los rozamien tos), se tiene; Datos:
F 4, debida a la presión de los gases. velocidad de giro del cigüeñal. m^ , w*3, ifit , Ia,< A;,’ ^G,-
FIGURA 3.54
.8
F, 4
Incógnitas:
3.3.4. Estud io de los esfuerzos totales 3.3.4.1.
Introducción
En este punto se realizará un estudio de los mecanismos planos sometidos si multáneamente a una serie de fuerzas exteriores motoras y resistentes, y a las fuerzas de inercia debidas al mov imien to de que sus miembros están animados.
• Af, o par resistente que se puede vencer en el cigüeñal (esfu erzo total de
giro). • Esfuerzos sobre todos los miembros. Solución:
Se efectúa por separado el análisis de los esfuerzos estáticos y dinámicos, aplicando luego el principio de superposición.
11 4
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS 1. Estudio de los esfuerzos estáticos
FIGURA 3.56
Exactamente igual a como se realizó en el Apartado 3 3 . 3 . 2 , se calcula el polígono de fuerzas, como se ve en la Figura 3.55: • El par resistente que se puede vencer vale: M , = • El esfuerzo estático de gir o vale:
h.
(par motor).
• La acción sobre el bastidor es un par puro, de valor;
Oifi.
FIGURA 3.55
2/ M
r
'/z/z/////.
1
//
Fi 2 = F a - ‘ Fr i
3. Estudio de los esfuerzos combinados Aplicando el principio de superposición, se tendrá: • M iembr o 4: 2. Estudio de los esfuerzos dinámicos
Al ser todas las fuerzas concurrentes, carece de interés su cálculo.
Exactamente igual a como se hizo en el A partado 3.3.3.2, se calcula pri mero las fuerzas de inercia y lueg o el políg ono de fuerzas, como se ve en la Fi gura 3.56: • El par acelerador vale
• Mie mbro 3: Se puede comprobar (en módulo) que; (3.60)
•/)', y se opone al giro
• E l esfuerzo dinámico de giro vale: esfuerzo estático de giro).
• 0,^4 ( com o se ve, es opuesto al
• La acción sobre el bastidor es la fuerza 7,. =
+ 7, + 7^ .
+
=
(3.61)
=
(3.62)
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMIENTO CONOCIDO
11 5
• Miembro 1;
Como se ve, el miembro 3 está sometido a una compresión de distinto va lor en los tramos A K y K B , y a una flexi ón dada por la fuerza , • Mie mbro 2: Como se ve, el miembro 2 está sometido a una tracción dada por la dife rencia entre F 32 y así como a una flexión, alrededor de 0 ,2, producida por la diferencia entre los pares motor y acele rador (siempre que sobre el mismo se encuentre aplicado un par resistente que equilibre esta diferencia).
4. Esfuerzo total de giro El e sfiierzo giratorio total será la suma del par estático y e l par acelerador. Se le denomina «par motor efectivo ». En el instante considerado el par acelerador es contrario al par motor, y el par total o par motor efe ctiv o será: (3.63) Se ve claramente que el efecto del «pa r acelerador» es el de modificar el valor del p a r m o t or (estático) haciendo que el «par motor total o efectivo» sea mayor o menor que él.
3.4.
3.4.1.
ESTUDI O DE LOS ESFUERZOS EN MECANI SMOS CON MOVIMI ENTO CONOCIDO EN INSTANTES SUCESIVOS Diagrama s de esf uerzos
Aplica ndo todos los conocimien tos anteriores pueden calcularse los esfuerzos totales que obran sobre todos y cada uno de los miembros de un mecanismo
11 6
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
determinado, cuando sobre él actúan una o varias fuerzas exteriores cono cidas, y su movimiento también está determinado. Pero todo ello se refiere a un instante del ciclo del movimiento del meca nismo, determinado por una posición concreta. Dado que lo que normalmente se deseará conocer son los e s f u e r z o s t o t a l e s m áx i m o s que soporta cada miembro, para en función de ell os dimensionarlos desde un punto de vista resistente (entre otras razones), es nec esario aplicar to dos estos cálculos a los sucesivos instantes del ciclo de movimiento del me canismo para saber en qué momento estos esfuerzos son máximos, y en qué cuantía. De un instante a otro en el movimiento de un mecanismo, los esfuerzos en los diferentes miembros pueden variar por diferentes causas: a ) Por variación de las acciones exteriores aplicadas. b ) Por los cambios de posició n del mecanismo (aun cuando las acciones
exteriores no varíen) c) Por la variación (inevit able) de las fuerzas de inercia. De todas ellas, por su interés, y a título de ejemplo, se mostrará la varia ción de las acciones exteriores y las de inercia en el mecanismo motor, así como la variación de la fuerza resultante en el mecanismo de una máquina ce pilladora. En todos ellos la dirección y el sentido de la fuerza aplicada se supone perfectamente conoci da en cada instante, ya que en el di agrama sólo se pueden reflejar variaciones de módulo. La representación de estas fuerzas variables se efectuará, no en función del tiempo, sino en función del ángulo girado por la manivela principal, partiendo de una posición inicial determinada, para lo cual se supone que el giro de esta manivela principal es con veloci dad constante.
Diagrama de esfuerzos mot ores sobre el pistón de un motor de explosión de cuatro t iempos, en función dei ánguio girado po r ei cigúeñai En este caso, la fuerza se debe a la presión de los gases en el cilindro; tiene dirección constante, según el eje del motor, y es variable en módulo y sen tido. El diagrama de fuerzas será proporcional al diagrama indicado del motor, como se ve en la Figura 3.60. Considerando la fuerza como positiva cuando actúa a favor del movi miento, y negativa en caso contrario, queda el diagrama de la Figura 3.61.
FIGURA 3.61 ESFUERZOS M OTORES SOBRE EL PISTÓN (f ,)
ESTUDIO DE FUERZAS EN MECANISMOS CON MOVIMI ENTO CONOCIDO
11 7
Diagrama de las fuerzas de inercia sobre el pistón de un mot or de cuatro tiempos, en función del ángulo girado por el cigüeñal Conocido el diagrama de aceleraciones del pistón, puede hallarse el diagrama de las fuerzas de inerci a sin más que multiplic ar las ordenadas del diagrama de aceleraciones por la masa, y c ambiarlo de signo. Considerando la fuerza de inercia positiva cuando tiene la misma dirección de la velocidad, y negativa en caso contrario, se tiene el diagrama de la Fig u ra 3.62.
FIGURA 3.62
Diagrama de esfuer zos totales sobre el pistón de un mot or de cuatro tiempos, en función del ángulo gi rado p or el cigüeñal Se obtiene por superposición de los dos anteriores, y el resultado es el que se ve en la Figura 3.63.
Diagrama de los esfu erzos resistentes sobre la cuchilla de una máquina cepil ladora, en función del ángulo girado po r la manivela Sería como se ve en la Figura 3.64, donde se observa el más rápido retro ceso.
3.4.2. Variación de los esfuerzos. Fuerzas y momentos de trepidación De lo visto hasta ahora se desprende que todos los miembros de un mecanismo están sometidos a esfuerzos variables en el tiempo (en form a cíclica, si el me canismo es cíclico) , debido tanto a la variación de los esfuerzos exteriores apli cados como a la influencia de la posición del mecanismo, y los efectos de las fuerzas de inercia.
11 8
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
En particular, es importante considerar las repercusiones de estas varia ciones sobre el miembro f i j o del mecanismo, o sea, sobre el bastidor, dado que las acciones sobre éste repercuten directamente sobre todos los demás miem bros del mecanismo y sobre la base que lo soporta. En términos generales, las acciones sobre el bastidor, como resultado de los esfuerzos totales, son un par de vu elco y una fuerza resultante. A l ser ambas variables en el tiem po dan lugar a lo que se conoce co mo par y fuerza de t r e p i d a c i ó n . Estos pares y/o fuerzas de trepidación se transmiten al resto del mecanis mo y a la bancada, si existe, produciendo vibraciones del suelo en las proxi midades, ruidos, rotura de piezas, pérdidas de potencia, etc. En general son más peijudiciale s las consecuencias de la fuerza de trepi dación que la del par de trepidación, aunque esto depende fundamentalmente del ti po de mecanismo. Por ejemplo, en motores de gran cilindrada y poca velocidad, predominan los efectos del par de trepidación (par de vuelc o) sobre los de la fuerza de tre pidación (resultante de las fuerzas de inercia), y lo contrario ocurre en motores de poca cilindrada y gran velocidad. En pequeños motores que mueven, por ejemplo, alternadores de poca po tencia, en los que el bastidor sirve de soporte y apoyo del conjunto, descan sando libremente sobre el suelo, el efecto de estas fuerzas y momentos es ma nifiesto; el grupo se pone materialmente a saltar y trasladarse sobre el suelo.
SIMBOLOGÍA F
Fuerza. Fuerza de rozamiento.
/i 5 J
Coefi cien te de rozamiento al deslizamiento. Coefi cien te de rozamiento a la rodadura. Fuerza de inercia.
M
Momento.
Fj
Fuerza exterior sobre el miembro 2. Fuerza de reacción del miembro 2 sobre el miembro 3. Momento (par) motor.
M,
Mome nto (par) resistente.
F"
Componente normal de la fuerza.
F '
Componente tangencial de la fuerza. Masa del miembro 2.
J 2 7,2
Fuerza de inercia del miembro 2. Reacci ón de la fuerza de inercia del miembro 1 sobre el 2. Par acelerador.
CAPÍTULO 4
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTOS EN MECANISMOS PLANOS
CONTENIDO 4.1. 4.2. 4.3.
FIGURA 4.1
Introducción. Estudio genera] del movimie nto de los mecanismos. Estudio del movi miento de los mecanismos a partir de su reducción dinámica.
V
F m
4.1.
INTRODUCCIÓN
En el tema anterior se vio cómo se calculaban las fuerzas desconocidas que de berían actuar sobre un mecanismo para equilibrar, en todo instante, a las fuer zas conocidas que sobre él se aplicaban. Asimismo, también se analizaron las fuerzas de inercia, resultantes del movimiento del mecanismo, que se supom'a conocido. El principio de su perposición permitió calcular los c i e r z o s t ot a l es que obran sobre un me canismo en movimiento conocido, cuando sobre él actuaban una serie de fuerzas exteriores, de manera que el conjunto estuviera en equilibrio. En éste se va a abordar el auténtico prob lema de dinámica de máquinas, el problema direclo, que es determinar el movimiento de las mismas cuando .sobre ellas ácUían un conjunto de esfuerzos exteriores (que son la causa del movimiento). Para comprender mejor este planteamiento, puede suponerse un miembro de masa m , al que se le aplica la fuerza exterior F y sobre el que actúa la fuer za de rodamiento F ,. Si F > F „ la fiierza total aplicada será positiva F j = F + F ^ > 0 . Esta fuerza desequilibrada le provocaré una aceleraciónc, d e tal forma que la ftier-
\ \ ' \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ za de inercia resultante equilibrará, en todo momento, a la fuerza exterior de sequilibrada. Fj- = 1 = - m
a
(4.1)
NOTA 4.1.
^ 5 = 0. En este caso. Obsérvese que si F = F , = ^ F j ==0 el miembro estaría en reposo, o moviéndose con velocidad uniforme.
De esta forma, conocidas las fuerzas exteriores aplicadas sobre el miem bro, podría hallarse su aceleración (pero no su velocidad, a no ser que se tu viera algún dato sobre la velocidad inicial), y viceversa, conocida la acelera
12 0
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
ción del miembro podría calcularse la «fuerza exterior desequilibrada» que la ha producido, pero no las fuerzas exteriores independientes que se han apli cado. En otras palabras, conocida J se puede hallar pero n o F y Generalizando estas ideas puede decirse que si sobre un miembro actúan un conjunto de fuerzas exteriores
que le provocan determinado mov i
En consecuencia, puede aplicarle el teorema de las fuerzas vivas; «en todo sistema de masas en movimiento, sometido a una serie de fuerzas e x t e r i o r e s , el trabajo que é st a s realicen durante un intervalo cualquiera de su mo vimiento, es igual a la variación de su energía cinética». Entre dos instantes cualesquiera a y del movimie nto del mecanismo
miento, en un instante cualquiera puede considerarse divi did o este conjunto de fuerzas en dos grupos; unas equilibradas entre sí, y otras desequilibradas: (4.2) Por e) principio de D’ Alembert, (4.3) Como siempre será ^ F , = O, se tendrá: IF , + J = 0
(4.4)
Si en otro instante cualquiera, el conjunto de fuerzas exteriores aplicadas se equilibra entre sí, ^ F ^ = 0 , entonces, 7 = 0= > a = O ye I miembro carece de aceleración, aunque no necesariamente de velocidad. Si en un instante cualquiera, el conjunto de fuerzas exteriores aplicadas no se equilibra entre sí, habrá una parte de eUas ^ F ¿ que habrán de equilibrarse con las fuerzas de
r„,=(£.C.),-(£.C.),
(4.5)
siendo: = Trabaj o realizad o por todas las fuerzas exteriores aplicadas al mecanismo, en el i ntervalo considerado. E . C . i , = Energía cinética del mecanismo, igual a la suma de la energía ci nética de todos y cada uno de sus miembros, en el instante b. E .C .„= ídem en el instante a. En realidad, la expresión anterior no es más que una forma de expresar el principio de la conservación de la energía. El primer término de la ecuación anterior puede desdoblarse considerán dolo como diferencia entre el trabajo generado por las fuerzas motoras (o momentos) aplicadas, y el trabajo consumido por las fuerzas ( o momentos) re sistentes (útiles y pasivas): 'r(aí>)
(4.6)
inercia ^ F ¿ = J , apareciendo sobre el miembro una aceleración, descono ciéndose, por demás, su velocidad. En resumen, las ecuaciones de D ’ Alemb ert no permiten determinar el estado de movimiento de una máquina (su velocidad) partiendo del conoci miento de las fuerzas exteriores aplicadas. Ha de recurrirse a consideraciones energéticas, tal como se verá en el presente capítulo.
NOTA 4.2. Por simplificar todo el estudio, no se consideran las repercusiones en el mis mo de las fuerzas de rozamiento.
4.2. 4.2.1.
ESTUDI O GENERAL DEL MOVIMIENTO DE LOS MECANISMOS Ecuaci ón general del movimient o de los mecanismos en los diferentes períodos de marcha
Un mecanismo en movimiento no es más que un sistema de masas (miembros) sobre los que actúan una serie de fuerzas (motoras, resistentes y de inercia).
NOTA 4.3. Obsérvese que la ecuación anterior no prejuzga nada acerca de la cantidad de energía que posee el mecanismo en el instante a . En efecto, la energía cinética en el instante a depende del trabajo acumulado desde el principio del movimiento (solamente indica la variación habida en la energía cinética entre los instantes a y b ). NOTA 4.4. En la ecuación anterior no se ha incluido el trabajo generado por los pesos de los miembros, ya que en un ciclo completo del movimiento del mecanismo, es cero. (Recuérdese que el peso es una fuerza constante, y en im mecanismo de movimiento cíclico, la trayectoria del centro de gravedad de cada miembro es una curva cerrada.) NOTA 4.5. En la ecuación anterior tampoco se incluye el trabajo efectuado por las reacciones de los miembros contiguos. En efecto, las reacciones del bastidor no efectúan trabajo, y el trabajo efectuado por las reacciones se anula con el efectuado por F^.
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTOS EN MECANISMOS PLANOS
4.6. Tampoco se ha tenido en cuenta el trabajo efectuado por las fuerzas de inercia. En efecto, en todo mecanismo (y en cada uno de sus miembros), el sistema formado por las reacciones del bastidor, las fuerzas exteriores motoras y resistentes y las fuerzas de inercia, es un sistema en equilibrio. Dado que el trabajo efectuado por las reacciones es nulo, queda:
121
(4.11)
n o t a
T „+ T , + T j = 0
, + T , = - T
j
(4.7)
Es decir, el trabajo efectuado por las fuerzas exteriores motoras y resistentes es igual y de signo contrario al efectuado por las fuerzas de inercia. Por tanto, si se incluyen las fuerzas de inercia entre las que efectúan trabajo para hallar la energía cinética, el resultado sería siempre nulo.
A continuación, se va a realizar el análisis de la Ecuación (4.6) en los diferentés períodos de marcha.
• Período de arranque Se parte de una velocidad inicial nula, y una posición i nicial dada. (Por e jem plo, el ángulo que la manivela principal del mecanismo forma con la dirección de referencia.) Lla mando a ese intervalo 01 se tiene: T ' .m i - Tr i ou = (£-C-)i - (£.C.)o = (£.C.),
(por ser (E . C \ = 0)
(4.8)
que también se puede escribir: ^(01) ~ T^oi) + { E . C . \
El es el producto exclusivamente por las fuerzas de rozamiento, que crece ligeramente con la velocidad del motor. El 71«pi) produci do por la combustión de los gases que entran en el cilindro; estos gases aumentan a medida que se incrementa la velocidad del motor, por lo que parece deducirse que el motor aumentaría indefinidamente su velocidad hasta romperse. Sin embargo, en motores «esta bles» , bien por el aumento de la resistencia al paso de los flui dos en los conductos de admisión, bien por poseer mecanismos de regulación, la ¡ai y entrada de gases queda limitada, y, por consiguiente, el v alor de T„ Como resumen, puede decirse que un motor trabajando en vacío incrementará su velocidad, y con ella, su energía cinética, hasta que el trabajo motor iguale al trabajo resistente, en cada ciclo del movimiento. En este momento, todo el trabajo motor se invierte en vencer las resistencias pasivas. Naturalmente, si el motor no arranca en vacío, la igualdad entre el trabajo motor y el resistente se alcanzaría a una velocidad menor (menor energía cinética). Si se desea que el motor gire a la misma velocidad de régimen que en vacío, habría de aumentarse el T„.
• P eríodo de régimen Cuando el mecanismo gira a la veloc idad de régimen, la velocidad al principio y al final de cada período es la misma. En consecuencia: 7^(12, - 7^12, = (£ -C )2 -( fC .) ,= 0 ;
(4.9)
Es decir, el trabajo motor desarrollado en el período de arranque se emplea en vencer el trabajo resistente en ese mismo período, y en un cierto trabajo su plementario, igual a la energía cinética almacenada por los miembros en mo vimiento. En todo p eríodo de arranque, por consiguiente: (4.10)
N O TA 4.7. La interpretación de la Ecuación (4.9) requiere unas consideraciones particulares, como puede ser su aplicación el mecanismo básico del motor de explosión. En el período de arranque y marcha en vacío se verificará:
po rser(£ .C.)j=(£ .C),
(4.12)
Luego en todo este período, ^01(12)
^r(l2)
(4 .1 3)
En el período de régimen, todo el trabajo motor se convierte en trabajo re sistente (útil y pasivo).
N O TA 4.8. El hecho de que un mecanismo esté en velocida d de régimen no implica, ni mucho menos, que su veloci dad sea constante en todos y cada uno de los instantes del cicl o. Por ejemplo, en un motor de explosión acoplado a una resistencia constante, ocurre, según se vio en el Apartado 4.1 del Capítulo 3, que las fuerzas motoras producidas por la explosión de los gases varía entre límites muy amplios, desde un valor máximo en el momento de la
12 2
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
combustión de los gases, hasta valores negativos en las carreras de compresión y escape. En consecuencia, dentro del ciclo, el trabajo motor es unas veces mayor y otras menor que el resistente, lo que implica que variará simultáneamente su energía cinética, o sea, su velocidad. El hecho de que el motor esté en velocidad de régimen (velocidad igual al principio que al final de cada ciclo), no impide que durante el ciclo la velocidad real oscile por debajo y por encima de un valor medio, o velocidad de régimen. Por supuesto, mayores variaciones aún se producirán si también es variable la fuerza ( o mo mento) resistente. Todo lo dicho para un motor de explosió n es apli cable a cualquier mecanismo con movimiento cíclico. Abundando en lo dicho anteriormente, las oscilaciones de la velocidad de los mecanismos en régimen serán tanto mayores y más bruscas cuanto menor sea su inercia; por ello, se recurre a la colocación de un volante, de cuyo tamaño (inercia) dependerá del grado de «regulari dad » que quiera dársele a la marcha del mecanismo.
Es decir, el trabajo resistente realizado en este período procede, una parte del trabajo motor efectuado, y la otra, de la energía cinética acumulada por el mecanismo, y que es cedida durante el frenado. En este período se devuelve ín tegramente el trabajo acumulado en forma de energía cinética en el período de arranque.
4.2.2.
Rendimiento de los mecanismo s
Se define el rendimiento como la relación entre el trabajo realmente efectuado (trabajo útil, T J y el trabajo absorbido por el mecanismo (trabajo motor T „).
i
(4.17)
T „
El rendimiento es una cantidad adimensional, siempre menor que la uni dad. En efecto, el trabajo motor se emplea en ejecutar el trabajo útil, y en ven cer las resistencias pasivas. T 'b = T‘ m - T T
NOTA 4.9.
Si en un mecanismo en velocidad de régimen aparece alguna perturbación en las fuerzas motoras o resistentes, de inanera que en un ciclo fuese, por ejemplo, 7^,2, > r„, 2,, el mecanismo se aceleraría, saliéndose de su velocidad de régimen. Para volver a ella habría de disminuirse el o aumentar el hasta alcanzar idénticos valores. El control sobre los valores del T „,2^ y constituye la «regulación de una máquina», que será abordada más adelante.
T -T t:
T t
-
4.3.
ESTUDIO DEL MOVIM IENTO DE LOS MECANISM OS A PARTIR DE SU REDUCCIÓN DINÁMICA
4.3.1. Reducción dinámica de mecanismo s
En este período, la velo cidad al final del mismo es nula, por tanto:
4.3.1.1.
por ser (E . C . ) ^ = O
(4.14)
También se puede escribir, ^m(23) +(£ -C .) 2 = r,,23)
(4.15)
Por tanto, en este período ^m ( 2i )
^H23)
(4.16)
(4.19)
El límite del rendimiento de cualquier mecanismo es 1; hacia este valor se aproxima, a medida que el trabajo pasivo tiende a cero.
• Período de parada
^ ( 23) ~ ^ 23) ~ - { E . C . ^ 2 \
(4.18)
Introducción
Para analizar la interacción entre las fuerzas actuantes sobre los mecanismos (mejor, los trabajos por ellas producidos) y las velocidades que éstos adquieren (mejor, su energía cinética) resulta mucho más cómodo sustituirlos por un mo delo equivalente. Esta sustitución será aceptable si el «modelo» posee la mis ma energía cinética que e l mecanismo, y si el trabajo de la fuerza aplicada al «m od elo » es igual, en todo momento, al trabajo de las fuerzas aplicadas al me canismo. A continuación, se va a exponer có mo pueden sustituirse todas las masas móviles del in mecanismo por una sola masa «fict ici a» equivalente, llamada «masa reduci da», colocada en un punto arbitrario de él (cuya trayectoria y v e
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIM IENTOS EN MECANISMOS PLANOS locidad son perfectamente conocidas), de forma que la energía cinética de esta masa sea idéntica a la energía cinética de todo el mecanismo, en cada instante. Igualmente se verá cómo pueden sustituirse todas las fuerzas que obran sobre un mecanismo por una fuerza única «ficticia», llamada «fuerza reduci da». actuando sobre la masa reducida, en dirección determinada, de forma que el trabajo desarrollado por esa fuerza reducida, entre dos instantes cualquiera del ciclo, sea igual al trabajo desarrollado p or todas las fuerzas actuantes sobre el mecanismo entre esos dos mismos instantes. Lógicame nte, al venir prefija da la trayectoria y velocid ad del punto de reducción, así como la dirección de la fuerza reducida, se deduce en consecuencia que tanto la masa como la fuerza reducida han de tener valores variables de un instante a otro, siempre que lo sean las fuerzas aplicadas al mecanismo, así como su energía cinética. Hechas estas sustituciones, el estudio del movimiento de un mecanismo queda reducido al estudio de una masa (masa reducida), co n movi miento de terminado (trayectoria y velocidad), a la que se aplica una fuerza (fuerza re ducida), con di rección determinada.
12 3
Si se desea, también pueden reducirse por separado las fuerzas motoras (la F ,) y las fuerzas resistentes (las F, y F^).
4.3.1.2.
Cálculo de la fuerza reducida, en un instante dado
Según se ha definido, la fuerza reducida a un punto de una fuerza aplicada a un mecanismo es la fuerza que aplicada en el punto de reducción (e xtremo de la manivela principal), con dirección determinada (tangente a la trayectoria en el punto de reducción), realiza en cualquier intervalo del movimiento del meca nismo el mism o trabajo que la fuerza exterior aplicada.
FIGURA 4.3
NOTA 4.10. En general, la reducción de un mecanismo siempre se efectúa al extremo de la manivela principal (aunque no necesariamente). En este caso, su trayectoria está perfectamente determinada (la circunferencia descrita), y su movimiento también (pues esta manivela irá acoplada al motor de accionamiento, en muchos casos. En otros, como en los motores, el movimiento del punto de reducción ha de hallarse por consideraciones energéticas, como se verá más adelante). La fuerza reducida siempre se supondrá tangente a esta trayectoria. En la Figura 4.2, el mecanismo de masas m,. m„ sobre el que actúa la fuerza motora y la resistente Fj y animado de una cierta %'elocidad dada por a),, puede reducirse al punto j4. El mecanismo reducido estará cons tituido por una sola masa (la ma.sa reducida total) girando alred edor de 0, j con velocida d a>, y una fuerza, la fuerza reducida total ^ tomada con direc ción perpendicular a 0 ,2^.
En el mecanismo de la Figura 4.3, si F, es la fuerza exterior aplicada en el punto C, y es la correspondiente fuerza reducida, se deberá cumplir que: d sA
= F, ■d s c ' , escalarmente:
R ‘ ¡í ^ d Sj ^ = F¡ ds^.
■eos a ,
(4.20)
siendo ds ^ y ds,. desplazamientos elementales compatibles con la deformación del mecanismo y a, el ángulo que la fuerza F, forma con la dirección de su desplazamiento. (Obsér vese que y ds/^ son paralelas por haber tomado la fuerza reducida paralela a la trayectoria del punto de reducción.)
NOTA 4.11. En realidad. lo único que se ha hecho es aplicar el principio de los trabajos virtuales: «en una serie de fuerzas en equilibrio, actuaiido sobre un sistema de sólidos, en cualquier movimiento imaginario compatible con el sistema, el trabajo efectuado por todas las fuerzas es nulo».
12 4
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS En el caso de mecanismos, y tal como se ha definido la fuerza reducida, el sistema formado por las fuerzas exteriores actuantes, y la fuerza reducida cambiada de signo, constituye un sistema en equilibrio.
En general, para un sistema de fuerzas exteriores actuantes, motoras y re sistentes, podría ponerse:
eos a¡
(4.24)
F ¡r -y '¡-c o s a j
(4.25)
1=1
La expresión anterior se puede escribir:
. É c eos a . d s.
(4.21)
multiplicando y dividiendo el segundo miembro por d t , queda:
«3 R ^ = F j - — - eos
(4.22)
siendo y v* las velocida des de los puntos C y A respectivamente. El valor de hay que hallarlo a partir del de v^, con el correspondiente ci nema de velocidades; sin embargo, dado que se trata de un cociente de velo cidades puede tomarse en el cinema una escala tal que = 1cm/s, con lo cual la expresión anterior puede escribirse: <=^3
Vf-cos a .
>=l siendo el conjunto de las i fuerzas motoras actuantes sobre el mecanis mo, v¡ las correspondientes velocidades de sus puntos de aplicación para = 1 cm/s y eos a ¡ el coseno del ángulo que cada fuerza forma con el vector asociado a la tangente a la trayectoria de ese punto. _ Eligiendo convenientemente los ángulos a , se obtendrá el sign o de Lo mismo puede decirse para el conjunto de las j fuerzas resistentes. Como R)r^ y son vectores en la misma dirección, pueden sumarse al gebraicamente, teniendo, R ^ = R^ ^ - r;!
R Í
(4.23)
eos a*
(siendo K = i + j )
(4.26)
(4.27)
siendo un número sin dimensiones. De esta forma se observa que la fuerza reducida de una fuerza dada, en un instante dado, no depende de la velo cidad del punto de reducción.
EJEMPLO 4.1 N O TA 4.12 . Obsérvese que la fuerza reducida puede variar de un instante a otro, tanto por variar la propia fuerza que se reduce, como al cambiar la posición del mecanismo (que hace variar a y a eos a ¡).
Datos:
Dimensiones y posición. Fuerzas aplicadas F , y F^ . Incógnitas:
N O TA 4.13. En algunos mecanismos, y en especial aquellos inherentes a motores alternativos u otros, el valor de las «fuerzas exteriores» actuantes (presión de los gases sobre el pistón, por ejemplo) sobre el mecanismo depende de la propia vel ocidad de éste. En este caso, el valor de la fuerza reducida queda ligada a la velocidad del propio mecanismo, es decir, a la velocidad del punto de reducción.
• Fuerza reducida en A (dirección perpendicular al miembro 2). Solución:
1. Partiendo de = 1 cm/s, se halla v<- y v^, con el cinema de velocidades. 2. Se miden los ángulos a , y a , y se calcula eos o , y eos a , . (Se trata de la multiplicación escalar de los vectores F y d s, estos últimos dibuja dos en el sentido del movimiento.)
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTOS EN MECANISMOS PLANOS 3 . Se halla la fuerza reducida, R* =
v'f - eos « j +
(4.29)
= r
•v’ó eos
12 5
(4.28) =r
(4.30)
R^
FIGURA 4.4 El momento reducido de un momento dado, puede calcularse fácilmente. En efecto, sea el mecanismo de la Figura 4.6 en el que se desea hallar el mo mento reducido al eje de accionamiento 0,2 del momento resistente apli cado en el eje 0 ,4. 1. Se calcula la fuerza ficticia F<, perpendicular a 4 y aplicada en un punto arbitrario B ' (elegid o de modo que = d -¡).
(4.31)
4.3.1.3.
Cálculo del mom ent o reducido, en un instante
Se llama «momento reducido» al momento de la fuerza reducida respecto del eje de giro
2. Se calcula la fuerza reducida de F 4 (obsérvese que la dirección de F^ coincide con la de Vg-)
(O-,
3. ducido.
Se calcula el momento respecto de 0,2 de
(4.32)
, que será el momento re
(4.33)
12 6
FUNDAMENTO FUNDAM ENTOS S DE MECANISMOS Y MÁQUINAS MÁQUINA S PARA INGENIEROS
(Ú 2
(4.34)
Esla energía cinética ha de ser igual a la de la masa reducida. Denomi nándola n*t, se habrá de verificar: 1
2
0 )^ / ), 0 ), = NOTA 4.14. Como se ve, en mecanismos rotatorios en los que )^ cte., el momento reducido de un momento dado es el producto de este último por la relación de transmisión íü!j/ío¡.
2 1 -í 2 •'"4 •'"4 Ve = - «4 -v^ -v^
(4.36)
Despejando el valor de la ma.sa reducida, se tendrá: \2 (4.37) ''A
4.3.1.4.
Cálculo de la la mas a reducida, en un instante dado
Según se ha definido, la masa reducida a un punto A (generalmente el extremo de la manivela principal) de un miembro o de tod o un mecanismo, mecanismo, es la masa (/r* (/r*)) que colocada en el punto de reducción, reducción, y moviéndose con la ve locidad de éste, tiene ella ella sola, en todo momento, la misma energía cinética que que el miem bro en cuestión o que todo el mecanismo. A continuación se va a exponer la forma de calcul ar la masa masa reducida de un mecanismo, comenzando primero por calcular la de sus miembros ais lados.
Como se ve, la masa reducida depende de la relación vg/v^; tomando el ci nema de velocid ades partiendo partiendo de = I cm/s, cm/s, quedará, quedará, com o valor de la masa reducida del miembro 4: (4.38)
NOTA 4.15. Obsérvese que la masa reducida vana de un instante a otro, al variar variar vj, pero su valo r es independiente independiente de la velocid ad del punto de reducción.
• Miem bro en movimiento movimiento de traslación traslación
En el mecanismo de la Figura 4.7, se va a calcular la masa reducida del miembro 4, de masa masa m^ , al punto A . Dado que todos los puntos puntos del miem bro 4 tienen la misma velocidad, su energía cinética será: será:
(4.35)
NOTA NOTA 4 .16.
Si el punto de reducci ón fuera el punto fi, se tendría n. = w. = cte. cte.
(4.39)
• Miem bro con movimiento movimiento de rotación rotación
En un miembro cualquiera de masa m , girando alrededor de un eje O, la ener gía cinéti ca de un elemento de masa d m que diste r del eje de g iro, será: será: = ^ - d m ( 0 ^ r '
^ -d m
(siendo (O la velocid ad angular)
(4.40)
La energía cinética de todo el miembro será: Y
j
=^
/o
siendo /(, /(,el mo mento de inercia de l m iembro respecto del eje de g iro.
(4.41) (4.41)
RELACIONES RELACI ONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTO MOVIM IENTOS S EN MECANISMOS PLANOS PLAN OS
12 7
NOTA 4.17. Igual que en el caso anterior, se observa que la masa reducida al punto A del miembro 4 es variable de un instan instante te a otro, por serlo v¿, v¿, pero no depende de la ve locida d del punto de reducción. reducción.
• Mie mb ro con movimiento movimiento compuest compuesto o
Sea un miembro cualquiera de masa m animado de un movimie nto compues to (traslación más rotación), tal como una biela de un mecanismo. Según se sabe, en cualquier instante de su movimiento este miembro tendrá un punto fijo, que será su centro instantáneo de rotación. En el mecanismo de la Figura 4.8, puede calcularse la masa reducida reducida al punto A , primero del miembro 2, y luego del 4. Igualando la energía cinética del miembro a la de la masa reducida se tendrá: Para el miembro 2: 2
® ^ ^ 2(0 |2 ) - 2
’a ” 2 • ' ’a
n í = i Í < M = ct cte. -
(4.42)
(4.43)
Para el el miembro 4: (4.44)
Llamando O, a este centro instantáneo instantáneo de rotación, la energía ci nética de este miembro será: (4.48)
(4.45) siendo w su velocid ad angular instantán instantánea. ea. Si G es su centro de gravedad, apli cando el teorema de Steiner, se tendrá;
j
* 4 ( 0 ,4 ,4 )
(4.46)
siendo /(¡el momento de inerci a del miembro respecto de su centro de gravedad. gravedad. En consecuencia, la energía cinética de este miembro será:
Haciendo v .= 1 cm/s cm/s,, en el cinema de velocidades, se tiene: tiene:
•vi •A,
(4.50)
(4.47)
— co
í, : + — m O)
0 ¡G~
(4.51)
12 8
FUNDAMENTO FUNDAM ENTOS S DE MECANISMOS MECANISM OS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS Com o Ve = ft) • 0 ¡G , queda finalmente: •
2
1
2 .
(4.52)
El primer término representa la energía cinética de traslación (energía que posee toda la masa masa del miembro, movi éndose con la v eloci dad Vq). Vq). El se gundo término representa la energía cinética de rotación (suponiendo fijo el centro de gravedad gravedad del miembro, y gir ando todo él a su alrededor con la ve lo cidad (O). En el mecanismo de la Figura 4.10, la masa masa reducida reducida del mie mbro 3 (biel a), referida al punto ¿4, extremo de la manivela principal se calculará de la expresión; 1
2
1 ,
^ 1 / 1 2
2'"^-''c{3)+2-^3(C3.-«>Í=2-"3
NOTA 4.18. A l igual que en los casos anteriores, anteriores, la masa reducida al punto A del miembro 3 es variable de un instante a otro, pero independiente de la veloc idad del punto de reducción.
• Mas a reducida de todo un mecanismo mecanismo
Se obtendrá sumando algebraicamente las masas reducidas de todos y cada uno de sus miembros, referidas al punto de reducción escogido, generalmente el extremo de la manivela principal.
(4.53)
EJEMPLO 4.2 \
+''A
2
ft). '3(03)
Teniendo en cuenta estos cocientes entre entre velocidad es, haciendo cm/s, cm/s, quedará final mente:
3(C 3)
(4.54) = 1
(4.55)
Datos:
• Dimensiones y posición. / ¡(Ojj ), ¡ncr¡)t íi(o,4)i
• ntj, nij,
FIGURA 4.11
FIGURA 4,10
Incógnitas: = r i 2 + n ¡ +
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIM IENTOS EN MECANISMOS PLANOS El momento de in ercia reducido (respect o de ¿>,3) será:
Solución:
1, Tomando v^= 1 cm/s, se halla Ivojl, Ivgl con el correspondiente cinema de velocidades. 2. Aplic ando las ecuaciones anteriores, se obtiene: " t
=
^3(C 3)
SO,
(4.56)
i ? ‘ = 0,2 A
n t =
=
Cálculo del mom ent o de inercia reducido, en un instante
Se llama «momento de inercia reducido» al producto de la masa reducida por el cuadrado de la distancia al eje d e gir o del punto de reducción. ,•"12 =«''■0,2/1
AO,,
2 'MOtt)
(4.59)
Con lo que queda finalmente: /
4.3.1.5.
12 9
(O.
\2 ' 4 (0 u )
(4.60)
NOTA 4.19. Como se ve, en mecanismos rotatorios en los que ( O j o ) , es constante, el momento de inercia reducido al eje principal, de un miembro en rotación, es igual a su momento de inercia respecto de) propio eje de giro, multiplicado p or el cuadrado de la relación de transmisión.
(4.57)
El momento de inercia reducido de un miembro de un mecanismo puede calcularse fácilmente. En efecto, sea el mecanismo de la Figura 4.12 en el que se desea hallar el momento de inercia reducido al eje 0 ,2, del miembro 4.
FIGURA 4.12
NOTA 4.20.
El momento de inercia reducido del propio miembro será: 2( 0 , 2)
4.3.1.6.
(4.61)
Diagrama s de fuerzas reducidas y de par, de masa reducida y de mome nto de inercia reducido
* Diagra mas de fuerzas reducidas
Como se vio:
B O,
T ’
(4.58)
Apli cand o los métodos anteriores, y tomando como punto de reducción el ex tremo de la manivela principal, puede calcularse la fuerza reducida de una o varias fuerzas actuantes sobre un mecanismo en los sucesivos instantes, en fun ción, por ejemplo, del ángulo girado por la manivela principal (donde se en cuentra el punto de reducción). Así pueden obtenerse diagramas de fuerzas re ducidas motoras, resistentes y totales. (En realidad, los diagramas representan los módulos de estas fuerzas, ya que las direcciones están determinadas para cada valor del ángulo girado (p.) En la Figura 4.13 se han trazado unos diagramas genéricos, en un cic lo del movimie nto del mecanismo. Además , se han representado separadamente los diagramas de fuerzas reducidas motoras, fuerzas reducidas resistentes y fuer zas reducidas totales.
130
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
NOTA 4.21. Tanto los diagramas de fuerzas reducidas motoras como resistentes pueden tener partes positivas y negativas. Lo mismo puede ocurrir con el diagrama de fuerza reducida total, obtenido como diferencia de los dos anteriores; en cada instante, si; y si
R:¡! > O
Rf, ^ sen {A’AO^^) _ AO,; ^ A'O,^
NO,.
F4
M0,2
(4.62)
< O=> R^ < R^
FIGURA 4.13
/A 0
A
r \
‘ Vai
AV// \ °p 1 ciclo
/
nJ’’ 1 cicl o
.1 1
¡
*1
0
\
^ ---- 1 cic lo
FIGURA 4.15
ji
EJEMPLO 4.3 En un motor de explosión de un cilindro y cuatro tiempos, en el que la fuerza motora (derivada de la presión de los gases sobre el motor) se muestra en la Fi gura 4.14, la fuerza reducida al punto A de esta fuerza motora puede hallarse por el proc edimiento analítico mostrado a continuación: (4.63)
eos a
= F , -
cos )3
(4.64)
sen /8
'i
A0,2
(4.65)
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTOS EN MECANISMOS PLANOS En esta igualdad se desprende que si se toma para la escala de fuerzas un valor tal que F* = y se traza por M una paralela a la biela, se obtiene el punto N (corte con la vertical por 0 ,2), siendo A'0,2= De este mo do puede obtenerse el diagrama de la fuerz a reducida motora, en un ciclo del movimiento del motor. Como se observa, unas veces es positivo y otras negativo, aunque natu ralmente, la parte positiva debe excede r con mucho a la negativa, para vencer las fiierzas resistentes.
131
En el caso de un motor, y para un ciclo se tendrá:
FIGURA 4.17
FIGURA 4.16
• Diagrama de masa reducida
Calculando la masa reducida de todos los miembros del mecanismo, referida al punto de reducción A (extremo de la manivela principal o cualquier otro que se desee) en los sucesivos instantes del ciclo del movimiento del mecanismo, se tendrá un diagrama com o el de la Fig ura 4 .18. Una característica de estos diagramas es que nunca pueden tener valores negativos, aunque sí nulos (en períodos de reposo, por ej empl o). * Diagramas de par
Teniendo en cuenta los valores de los momentos reducidos;
N ? }^ -= r -R t
(4.66)
(4.67)
siendo r el radio de la manivela principal, a cuyo extremo se han reducido las fuerzas, es evidente que los mismos diagramas de fuerzas reducidas represen tan, a otra escala, los momentos reducidos.
Además, estos diagramas se repiten periódicamente (son idénticos para los diferentes ciclos) y no dependen de la velocidad del punto de reducción v^.
13 2
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
* Diagrama de momento de inercia reducido
Si en lugar de fuerzas, se tomaran momentos:
Es semejante al anterior, sólo que a otra escala, por ser;
1
siendo r el radio del punto de reducción.
4.3.2.
Ecuació n del movimient o de los mecanismo s a partir de su reducción dinámica
4.3.2.1.
2
(4.69)
(4.70)
Teniend o presente que la masa reducida varía con la posició n del meca nismo (o sea, varía con d s )
(4.71)
Como, , , dv. ds dv. dv. V. — — = -------- — = — — = a . (aceleraciónde/t) *
ds
dt
ds
dt
d\ff
(4.75)
^
^
dy /
d(ú-, dt .a, 1 t di^^ = - ( o ; — ^ + i S ' ^ c o . ----- -------' dy/ dt d\jf 2
Como ya se ha dicho, entre dos posiciones infinitamente próximas el trabajo efectuado por la fuerza reducida ha de ser igual a la variación de la energía ci nética (de la masa reducida).
R ^ -d s = < ^ j - r 4 v l
^
d
(4.76)
Ecuaci ón diferencial del movimiento de los mecani smos
d Tj . = d { E . C . )
(4.74)
2
(4.68)
(4.72)
*
queda finalmente;
(4.73)
queda finalmente.
"í”
4'
(4.77)
Las ecuaciones diferenciales (4.75) o (4.77) son las que ligan en cada instante los diferentes parámetros que intervienen en e l mo vimien to de los mecanismos, es decir, las fuerzas exteriores aplicadas y la velocidad del mismo. Com o puede observarse, el par reduci do depende de /, cOj y yf.
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIM IENTOS EN MECANISMOS PLANOS
n o t a 4.22. En mecanismos rotativos, la masa reducida, o el momento de inercia reducido, son constantes (no dependen de la posición del mecanismo), por lo que la ecuación del movimiento queda;
•Ol2
i,
_
-N ,
A
(4.78)
í
2
i£±l_
(4.82)
d\ ¡f
Sustituyendo estos valores en (4 .77), se tiene:
(¿ % ) . (fi, ) . (^2 ).>i - « » 2 ), ^ ( 2\ . ' Av' ‘
EJEMPLO 4.4
13 3
),>. lAifí
^
(4.83)
de donde se obtiene:
En el mecanismo de poleas y correa de la Figura 4.19, en el que se suponen los 4 (rel ación de trans pares motor y resistentes M ^ y M ^ y las velocidades (O^y (O 0 ¿/( 0 ^ = j = cte.), se tendrá: misión, C
(4.84)
(4.79) Igualmente, también puede escribirse: Ecuación del movimiento: d y /^
(4.80)
A y / _ (ÜJjX^,+(£»j);
Ayr
V d t ; (■ [ A y / ^ ¡ (*í+i~^i)
(4.85)
2
Despejando: que permite relacionar los valores de del mecanismo.
y M ^ c o n la variación de la velocidad
2-Ay/-
(4.86)
(6)2),„,+( ú) j ),.
4.3.2.2.
Integración de ¡a ecuaci ón diferencial del movimiento de los mecan ismos
Finalmente, la acel eración angular en el instante i (no en el i + 1) se ob tendrá:
La Ecuación (4.6) sólo puede integrarse, en la mayoría de los casos, por mé todos numéricos, calculando progresivamente los valores de v^, í y cOj (pasan do del valor i al í + 1). Para ello, las expresiones anteriores pueden transformarse en las siguientes:
(4.81)
f d o } 2 ^
= (®2)r
d (0
A y /
= (®2),
Aü),
(4.86a)
(4.87)
En todas las Expresiones (4.84), (4.86) y (4.87), A y / es un paso de inte gración.
134
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
TABLA 4.1
EJEMPLO 4.5 Sea el mecanismo de la Figura 4.20 (cepilladora).
i
¥
<0
1
a
kg/ttf
Nin
rad/s
s
rad/fr’
34,0 33.9 33,6 33,1 32,4 31,8 31,2 31.1 31,6 33,0 35,0 37,2 38.2 37.2 35.0 33.0 31.6 31.1 31,2 31.8 32,4 33,1 33.6 33,9 34.0 33.9 33,6 33,1 32,4 31,8 31.2 31.1
789 812 825 797 727 85 105 137 181 185 179 150 141 150 157 152 132 132 139 145 756 803 818 802 789 812 825 797 727 85 105 137
5,00 4,56 4.80 4,63 4,80 4.80 5,90 5 ,1 9* 5,43 5,14 5,25 5,19 5,34 5,43 5.49 5,45 5.42 5,38 5.35 5,31 5.33 4,38 4.92 4,52 4,81* 4,66 4.73 4,66 4,78 4,81 5,89 5,19*
Datos: • El momento reducido (al punto
de las ftiereas motoras menos el de las fuerzas resistentes obedece a la expresión: =5.500-1.000 £0-A#( v ^)
donde Af( y/) tiene los valores que se dan en la Tabla 4.1.
FIGURA 4.20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 315 330 345 360 15 30 45 60 75 90 105
0,000 0,054 0,110 0.165 0,220 0,274 0,323 0 ,3 70* 0,419 0.469 0,519 0,569 0,619 0.668 0,716 0,764 0,812 0.860 0,909 0.958 1,007 1,061 1,117 1.172 1,228 1.283 1,339 U395 1,450 1_‘)05 1,554 1.601*
-8.4 +4,2 -3.1 +3,0 0.0 +20,2 -16,0 +4,8 -3,9 +2,2 -1 .2 +3,0 -1 .8 +1,2 -0.8 -fl,6 -0.8 -0,6 -0.8 +0,4 -19,3 +9.0 -7.5 +5.0 -2,8 +1.2 -1,3 +2.1 +0,6 +19.8 -15,8 +4.8
« Comienzo y fíoal de un per Mo * Velo cidíd angular inicia] del movitnicmo periódico.
Los momentos de inercia reducidos (c omo se sabe, sólo dependen de y/), son los mostrados en la Tabla 4.1 Incógnitas: • Velocidad media del ciclo.
• Duración del ciclo.
Solución:
1. Como los valores están tabulados de 15 en 15 grados, el paso de inte gración será: Av/^ = — 15 = 0,2618 360
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTOS EN MECANISMOS PLANOS 2. Suponiendo los valores iniciales: V o = 0 ;
De esta forma se han cumplimentado todos los datos de la tabla. Tales da tos pueden ser llevados a las correspondientes gráficas (su exactitud depende rá de los valores de A elegidos. Si se toman saltos menores, por ejem plo de 5 en 5 grados, su exactitud sería mucho mayor). Si la velocidad inicial elegida hubiese coincidido con la velocidad de ré gimen, habría tenido que cumplirse,
(O f ¡= 5 rad/s
t o=Q ;
13 5
3. Apli cand o las anteriores expresiones se tiene:
= (ü„ ú)„ (O,
co„
„ _(5.500 -1.000-5 - 789) 0,2618 , -----_ — + 34,0-5
Q)^ —
-
3-34,0-33.9 2-34,0
cosa que no ha ocurrido. En este caso, pueden proseguirse los cálculos, hasta que se encuentre un valor que se repita periódicamente. En este ejemplo, para la iteración 31 se repite el valor de co por vez pri mera, újj, = O), = 5,9 rad/s
5 = 4,56 rad/s
Por otra parte, la ley de movimie nto será: 2 ^}^r 2 0,2618 t, = ----------^ + ín = ------- ^---------- + 0 = 0,054 s ' ú ) , + ú > 0 " 4,56 + 5
3, corresponden a un ci lo cual indica que todos los valores de co entre O), y 0 ) clo (incluyendo íOj, = 4,8 rad/s). Como corresponde a un ángulo girado i f / = 360° ‘ 0°, ello quiere decir que 4,81 rad/s es el verdadero valor para ú)o- El tiempo del c iclo sería: r = /j, - í, = 1,601-0 ,370=1,23Is
Finalmente, la a celeración angular será: Con lo cual la velocidad angular media sería: ( 0 , - ü ) g 4,56 -5 , „ . , , 2 (a )o = — ----- ®--®o = ----------- 5 = -8,4 rad/s
A v'
"
2-ff
0.2618
I K
1,231
= 5,10 rad/s
Los valores de la siguiente iteración serán: (5.500-1.000-4,56-812) 0,2618 O). =-^-------------------- ^ ^ ------ + ' 33,9-4,56 3-33,9-33,6 2-33,9
4.3.3.
4,56 = 4,8 rad/s
4.3.3.1. 2 0,2618
+ 0,054 = 0,110 s /, =■ 4,8 + 4,56
Est udio del movimi ento de los mecanismo s en período de régimen Introducción al estudio del movimiento de l os m eca ni sm os en pe ríod o d e ré gim en
En mecanismos con movimien to cícli co, una vez reducido el mecanismo a una masa n )- y las fuerzas exterio res actuantes a una fuerza ^J., y conoc ido su valor para toda posición, puede escribirse la ecuación = (E.C.) » - (£.C .)„ de forma muy sencilla.
13 6
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS En efecto, conocidos los diagramas de fuerzas (o pares) reducidas motoras y resistentes, así como la fuerza reducida total (Fig . 4.21), el val or de trabajo desarrollado se calcula inmediatamente, para un intervalo cualquiera a b (que no tiene por qué coincidi r con un cic lo) por medio de la correspondiente inte gral, lo cual no es más que las áreas rayadas en la Figura 4.22.
RGURA 4.21
ym _ *ab
ú z n áo r d ^ = d s
R ^ 'd s ^
T‘ ab' - -
T L =
j
(4.88)
¥a
Su
(4.89)
d s = \ N ^ ^ 'd \ i f
f
d y / = '' ¡N p ^
diff
(4.90)
y.
Evidentemente, T^ , puede ser mayor, igual o menor que cero, según que el trabajo de las fuerzas motoras sea mayor, igual o menor que el producido por las fuerzas resistentes, respectivamente.
FIGURA 4.22
V.
%
w.
%
A/°«
N° '^
U
—
___
Igualmente, si se conoce el diagrama de momentos de inercia reducido puede conocerse el valor de la energía cinética del mecanismo en las posicio nes y w -
1
_
/
^
1 Mi
^■1 - 1
^
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIM IENTOS EN MECANISMOS PLANOS siendo y la vel ocid ad angular del punto de reducción en las posi ciones correspondien tes a ip. y «p* (qu e evide ntemente no tienen por qué ser iguales). En consecuencia, la ecuación = (E . C \ - (E . C .\ puede escribirse:
el mecanismo se acelera, pues puede asegurarse que,
(4.99)
= O, es decir, si
(4.100)
V-»
que es la ecuación integral del movimiento de un mecanismo en el intervalo ar . bitrario yf„ - ) y/„ En esta ecuación, si el trabajo de todas las fuerzas exteriores es mayor que cero, > O, la energía cinética en b es mayor que en a. Sin embargo, el que la en ergía cinética sea mayor en b que en a no quiere decir que > (a>2)„, ya que habrán de considerarse los valores correspon dientes del momento de inercia reducido Igualmente, si 7 ^ = O implica que la energía cinética es igual en b que en a . pero no que = (fflj)».
4.3.3.2.
(4.98)
(tt),)j, >(0>2)/ b ) Si durante todo el ciclo,
Va
13 7
Movim ient o de me cani smo s en ré gime n: ecuación de per ma nen cia en ré gim en
Si en la ecuación anterior se hace coincidir el intervalo arbitrario a b con un ci clo if/i - \fff (po r ejemplo, en un motor de 4 tiempos, i//; = O y = 2 • 360° = = 72 0°), se tiene,
se deduce que: (£Üj)y.=(ü>2)i y el mecanismo se dice que está en velocidad de régimen. La ecuación de permanencia en régimen será, por tanto. (4.102)
En este supuesto, mientras no se modifiquen las fuerzas exteriores ac tuantes sobre el mecanismo, éste permanecerá en régimen, con la misma ve locidad al inic io y al fínal de cada ciclo ( lo cual no quiere decir que sea la mis ma en los diferentes instantes dentro del cicl o). c) Si durante todo el ciclo T [ < O, es decir, si 'f í
(=),
Vi
Como el momento de inercia reducido sólo depende de la posición del mecanismo, es evidente que,
(4.101)
♦>/
(4.103)
el mecanismo se frena y. (4.104)
(4.95) En estas condiciones se tendrá:
4.3.3.3.
¥ a ) Si (r / ) =
es decir, si
(4.96)
Vi
-d w
dy/ > 'fi
(4.97)
Variaciones de la velocidad de un mecan ismo en pe ríod o de ré gi me n: vel oci da d de ré gim en . Grad o de irregularidad
El hecho de que la velocidad del mecanismo sea la misma al principio y al fi nal de cada cic lo no implica, com o se ha visto, que esta velocidad se manten ga constante durante todos los instantes intermedios del ciclo (aun cuando el mecanismo esté en velocidad de régimen).
13 8
FUNDAMENTO FUNDAM ENTOS S DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
En la Figura 4.24 se han representado los diagramas de los pares reducidos y del momento de inercia reducido para un ciclo.
Éste será un valor constante mientras el mecanismo permanezca en velo cidad de régimen. La veloci dad real oscilará por encima encima y por debajo de esta velocidad de ré gimen, a lo largo de todo el ciclo.
NOTA 4.23.
En la mayoría de las máquinas cíclicas, el término d i ^
(4.107)
dij/
puede ser despreciado, con lo cual, la ecuación diferencial del movimiento se reduce a; (4.108)
FIGURA 4.25
Se observa que las las áreas rayadas en la curva positiva que en la negativa, es decir.
es la misma en la parte
*'/
(4.105)
Vi
sin embargo, en el intervalo a b de las figuras, arbitrariamen arbitrariamente te eleg ido, se ob serva que que 7 ^ > O, lo que implica variaciones de la E . C . en ¿>y en a, y en el caso mas general, general, (úí,)* ^ (íüj)^ (aunque había había que contar contar con las variaciones de Ell o signifi ca que la velocidad veloc idad del mecanismo estará oscilando a lo lar go de todo el ciclo, definiéndose como velocidad media en en un ciclo o vel oci dad de régimen a la expresión.
7 O )'
d\f/
(4.106) (valor medio de la integral) integral)
RELACIONES RELACI ONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTO MOVIM IENTOS S EN MECANISMOS PLANOS En consecuencia, si se conocen los diagramas de e para el pe ríodo de permanencia en régimen, pueden calcularse los puntos en los que se producen producen los valores máximos y mínimos de la vel ocidad (aun cuando cuando no son valores absolutos, que habrían de hallarse por aplicación reiterada de la Ecuación (4.1 03), desde el instante / = 0. En efecto, el valor de o, se calcula del cociente. _
a, =
(4.109)
que dibujará una curva para a , con valores nulos en los mismos puntos que N f ' '-'- . Tales puntos puntos en que = O serán valores valor es de \ ¡fen que que m , es má xima o mínima. Como se observa, pueden aparecer varias velocidades por encima del valor medio, y varias por debajo. De todas ellas, una será máxima y otra mínima.
• G rad o de de irregularidad
Com o se ha visto, dentro de un ciclo pueden pueden haber varios varios valores superiores superiores e inferiores a la velocidad de régimen (velocidad media). Entre todos los valores superiores habrá uno que será el máximo absoluto, y otro, el mínimo absoluto, absoluto, denominados respectivamente respectivamente (íb^) (íb^)™ ™^ Y (® 2)itn«La variación máxima de la velocidad del punto de reducción, dentro del período de régimen, régimen, vendrá vendrá dada dada por (c o, )^ - ( 6)2) 11*.*.Se define e l grado de irregularidad en la marcha marcha de un un mecanismo por la relación.
(4.110)
Como, por por regla general, y O)^ no serán serán valores muy diferentes, diferentes, pue de hallarse hallarse el valor medio de la velo cidad de régimen por la media aritmética, aritmética, en lugar de por el val or medio de l a integral, como antes antes se hacía hacía::
media
( ^ 2)11111
(4.111)
El grado de irregularidad mide la desviación relativa que experimenta la velocidad del punto de reducción, respecto de su valor medio. En muchos me
13 9
canismos, esta esta desviaci ón no tiene ti ene gran importancia, importancia, pero en otros mecanismos es un factor decisivo. (Por ejemplo, el grado de irregularidad en un mecanismo para usos agrícolas puede ser mucho mayor que para un mecanismo de hilar, en que bruscos «tirones» sobre el hilo, provocado por la «irregularidad» de la marcha, pueden producir su rotura.)
4.3.3.4.
Volante de regulación. Generali dades
E)e todo lo visto se desprende que en máquinas cíclicas en penodo de régimen, para que el movimi ento del mecanismo fuera uniforme se habría de cumplir, = Q, en todos y en cada instante, que a, = O, lo que sólo puede ocurrir si cada uno uno de los instantes instantes del cicl o del movimiento del mecanismo oR* = en cada instante). Esto en la práctica es imposible de conseguir en la mayoría de los meca nismos (excepto quizá en turbinas sometidas a carga constante), por lo que se producir producirán án variaciones variaciones de la velocidad por encima y por debajo de la velocidad media de régimen. Estos pequeños aumentos y disminuciones de la velocidad, además de lo peijud icial en sí mismas que pueden ser ser,, producirán producirán también modi ficaciones ficacione s de las fuerzas de inercia, que aun cuando el mecanismo esté equilibrado, produci rán fuerzas fuerzas de i nercia tangenciales no compensadas compensadas sobre la mani manivela vela principal, lo que dará lugar a unas vibraciones de torsión sobre el eje de este miembro. De la ecuación simplificada =a2
(4.112)
se deduce que al agregar al mecanismo una masa adicional, aumentará el valor de lí y por consiguiente para iguales variaciones de el valor de o, será y ( O) menor, menor, y con ell a, la diferen cia entre El volante es una masa adicional (generalmente, una masa giratoria unida a la manivela principal), que al increment incrementar ar el valor de hace que disminu ya el grado de irregularidad. Como se comprende fácilmente, cuanto mayor sea la masa del volante, mayor será el momento de inercia redu cido del mecanismo, y, por tanto, me nores serán las variaciones de la velocidad angular de la manivela principal, para iguales valores de las fuerzas motoras y resistentes aplicadas. El papel del volante de regulación puede interpretarse del modo siguiente. En los momentos en que el par motor se mantiene superior al resistente, se dispone de un exceso de energía motriz para vencer el trabajo resistente. Este exceso de energía queda almacenado en el volante en forma de energía cinética (ya que ésta habrá aumentado su velocidad). Por el contrario, en los momentos en que el trabajo resistente supere al trabajo motor, el déficit de energía se compensa a base base de restar restar del volan te parte de la energía que posee (di sminu yendo ahora su su velocidad ).
1 40
FUNDAMENTO FUNDAM ENTOS S DE MECANISMOS Y MAQUINAS MAQUIN AS PARA INGENIEROS
El volante actúa actúa,, por consiguiente, como un «regulado r de la veloci dad de régimen».
NOTA 4.24. La facultad del volante de almacenar y ceder energía le hace útil para una aplicación distinta. En efecto, hay mecanismos en los que la regularidad de marcha marcha no reviste gran importancia, importancia, y sin embargo se le coloca un gran volante. Esto ocurre en mecanismos en los que las fuerzas resistentes actúan en un corto intervalo de tiempo dentro del cic lo (máquinas de estam estampar, par, troquelar, troquelar, etc; en general, máquinas máquinas que traba trabajan jan a «go lp es »). El volante almacena energía durante casi todo el ciclo (durante el cual las fuerzas re sistentes se reducen a las resistencias pasivas, siendo el trabajo motor muy superior al trabajo resistente), y la cede en el corto intervalo en el que la fuerza resistente (mejor, el trabajo resistente) es muy elevada. En ese corto intervalo, el volante disminuye bruscamen bruscamente te su velocidad, cediendo la energía cinética acumulada acumulada.. (Esto permite colocar en estos mecanismos motores relativamente pequeños, en comparación con los grandes esfuerzos resistentes resistentes que han de vencer.) NOTA 4.25. El volante también permite reducir los esfuerzos máximos que obran sobre algunos miembros de los mecanismos. En efecto, en aquellas partes del ciclo en que el par motor supera al resistente, este exceso de par se invierte en acelerar el mecanismo. Si la inercia del volante es muy superior a la del del resto del mecanismo, casi todo el exceso de par se invierte en acelerar el volante. Por tanto, los únicos miembros que sufrirán este exceso de par motor serán los que enlazan el volante con el punto de aplicación de la fuerza motriz. En cambio, los miembros que se encuentran del otro lado del volante sólo sufrirán el par resistente, que es menor. Un fenómeno análogo, pero inverso, ocurre cuando la irregularidad se debe al par resistente. «En general, para reducir los esfuerzos variables en la transmisión de potencia entre los miembros conductor y conducido de un mecanismo se debe colocar el volante lo mas próximo posible de la fuente de la irregularidad.» (En algunos vehículos automóviles, a pesar de que la inercia de todas sus sus masas masas rotatorias es suficiente para que las dif erencias entre el par mo tor y el par resistente no impliquen un alto grado de irregularidad, se añade un pequeño volante en el eje de salida del motor — cigüeñal— para evitar que la irregularidad del par motor repercuta sobre la caja de cam bios y el resto de la transmisión, produciendo vibraciones y fatiga sobre los engranajes, cojinetes, etc. Además, este pequeño volante consigue una marcha marcha más regular del motor cuando funciona desembragado.)
NOTA 4.26. A pesar de todo lo dicho hasta hasta ahora ahora,, la col ocación de un volante en un mecanismo que regule su marcha en régimen no siempre es beneficiosa. En efecto, si se desea un mecanismo que pueda cambiar rápidamente su velocidad media de régimen por otra velocidad de régimen diferente, el poner un gran volante resulta perjudicial, lo que ocurre por ejemplo en un automóvil. (En efe cto, la resistencia de un gran volante impediría las aceleracio nes rápidas del vehículo, al tener que invertir gran parte del trabajo motor en acelerar al volante, y también las frenadas bruscas, al tener que disipar los frenos la energía almacenada en los mismos, sin olvidar tampoco los peijudiciales efectos sobre los cambios de dirección del vehículo a que los efectos giroscópicos del volante dan lugar.)
4.3.3.5.
Introducción al cálculo del volante de regulación
Aplicando la ecuación general del movimiento de un mecanismo (reducido al extremo de su manivela principal) entre entre los instantes instantes de su cicl o en que la v e locidad de giro de la manivela principal es máxima y mínima absolutas, se tendrá:
(113)
suponiendo que el momento de inercia de la masa reducida del mecanismo permanece constante constante durante durante todo el ciclo.
(4.114)
media
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTOS EN MECANISMOS PLANOS despejando el grado de irregularidad &
_ ymái S =
4.3.3.6. -d w
(4.116)
Del análisis de esta expresión se obtienen las siguientes conclusiones: 1. El grado de irregularidad 8 será tanto menor cuanto menor sea el valor del trabajo
d y /
Mé to do apro xim ado par a el cálcul o de l volante de regulación
Se basa este método en suponerla masa total reducida del mecanismo despre ciable frente a la masa reducida del volante. Es decir, siendo el momento de inercia reducido (al mismo punto de reducci ón) de l a masa del volante. En estas condiciones, para im valor S dado del grado de irregularidad, y para una velocidad de régimen (<Ü2)medmco nocida, puede calcularse el mo mento de inercia reducido de la masa del volante que es necesario colocar al mecanismo para conseguir el grado de irregularidad deseado, por la expre sión:
(4.117) (4.118)
0[2 _
t v
Es decir, cuanto menor sea la diferencia entre y en cualquier in tervalo del ciclo. (Por ejemplo, en vehículos automóviles, accionados por un motor de ex plosión, en donde el par reducido resistente es prácticamente constante, la re gularidad de la marcha será tanto mayor cuanto mas regular sea el par motor, lo cual se consigue aumentando el número de cilindros del motor.) 2. También se obser\'a que 6 varía en razón inversa del cuadrado de la ve locidad de régimen. En consecuencia, en mecanismos dotados de más de un eje de rotación, el volante de inercia se colocará en el eje que gir e más rápido. 3. Finalmente, y como y a se ha dicho, 5 será tanto menor cuanto mayor sea el momento de inercia reducido i Como es lógi co, en el diseño de un mecanismo el grado de irregularidad S es un valor dado de antemano, función de los usos a que se destine el meca nismo. A titulo de referencia, se presentan los datos de la Tabla 4.2.
TABLA 4.2 Bombas y máquinas de aserrar......... ................ ............ .................... .
Telar es y máquinas üe fabric ar pap el
.....
.
141
i..................... ............... .
.
Máquinas de hilar ............................. ............................................. .. .
Máquinas eléctricas de o.c ..... ........................................................... .
Máquinas eléctricas de c.a .......... ......................................................
1/20
S{co¡i Com o se ve, el valor del momento de inercia reducido del volante de regulación depende del valor del trabajo efectuado por las fuerzas exte riores que obran sobre el mecanismo, entre los instantes en que la ve lo ci dad angular del punto de reducción es máxima o mínima absolutas en cada ciclo. Los valores en que <«2^^ máxima o mínima absoluta (y / ^ y estarían determinados si se conociera la curva de variaci ón de ft), con yf , lo que impli ca, según se vio en el Apartado 4.3.3.3, conocer la curva (X¡ en función de y/, obtenida como cociente entre N ^ - e ). '^ no se conoce (es precisamente lo que se va a calcular) no Dado que i ° puede calcularse la curva de variación de (Wj y, por tanto, los valores y/^¡^ y Sin embargo, el conocimie nto de la curva permite hallar los valores de V^'máxy V'min- Eh efecto, se sabe que Oj pasará por valores máximos o por mí = O (lo cual puede ocurrir varias veces nimos en aquellas abscisas en que dentro de un mismo ciclo). Suponiendo que las abscisas en que esto ocurra son y/i , yf-¡, yr ,, y V'i. la mayor y la menor d e las cuatro integrales siguientes.
1/40 1/100 1/100
^N^^ -'dy/,
'^¡N^^-dy/,
^0
V'o
dy/,
1^1»
''¡N^^ -dy /
(4-119)
¥o
1/200
indicará cuál de las abscisas anteriores corresponden a (CÍ 2)mfa y (
14 2
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS Suponiendo que la mayor integral fuera
d y / y la menor v'o
FIGURA 4.26 ? «? ■
d\ ¡f
n
el momento de inercia reducido del vol ante se calculará por la expresión:
i O >2 - íti— Jü
(4.120)
Este valor de así obtenido es el momento de inercia que deberá poseer la masa del volante proyectado, para lograr el grado de irregularidad ¿deseado. Sin embargo, lo que se calcula generalmente no es i^<^, sino un termino proporcional a este valor, denominando «factor de inercia». En efecto, dado que todos los volantes de regulación consisten en una masa en forma de rueda (Fig. 4.26), solidaria al eje de giro del punto de re ducción (generalmente, la manivela principal), si P es su peso y £> su diámetro medio, se tiene: P •v
-
8
(4.121)
4.3.4. 4.3.4.1.
Estu dio del movimi ento de los mecanismos fuera del período de régimen Introducción
Tal como se ha visto, un mecanismo sometido a una serie de fuerzas exteriores motoras y resistentes (incluyend o las resistencias pasivas), en movimien to, se encuentra en velocidad de régimen cuando a lo largo de todo un ciclo el tra bajo desarrollado por las fuerzas motoras es exactamente igual al desarrollado por las fuerzas resistentes.
¡N P ^ d \ f f = 0
(4.122)
(4.123)
V i
NOTA 4.27. Obsérvese que este método introduce dos aproximaciones. La primera es el empleo de la expresión que da el valor i y », de cuyo cálculo, como se vio en el Apartado 4.3.3.5, supuso imaginar constante, lo cual no es cierto. La segunda aproximación ha consistido en despreciar la inercia de los miembros del mecanismo, lo cual tampoco es cierto; esto último, como se comprende fácilmente, lleva a sobredimensionar el volante de regulación.
En otra forma, si se representan los pares motor y resistente por sus valo res medios a lo largo del ciclo, el mecanismo estará en régimen cuando ambos valores sean idénticos. (4.124) La velocidad media en el ciclo , o velocidad de régimen era; V^min (ü, )• =
----- o también i f
(o^ )* =
(4.125) 2
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTOS EN MECANISMOS PLANOS Si en condiciones de marcha en régimen se origina una variación de las fuerzas exteriores aplicadas, el mecanismo se saldrá de la velocidad de régi men, y entrará en «régi men transitorio», acelerándose o frenándose. En efecto, según se vio para mecanismos con 0,2
Si
> O
(po r ser
= cte.:
a.
fuerzas resistentes, manteniéndose constante las motoras o a una dismi nución de estas ultimas, manteniéndose constantes las resistentes. El mismo razonamiento puede aplicarse para justificar la «descarga brusca».
(4.126)
), signific a que 02 > O
(4.127 )
Usando los valores medios; Si
(4.128)
)*=>«,> O
y el mecanis mo se va acelerando en los sucesivos ciclos, en tanto persistan ta les diferencia s entre los pares motor y resistente medios. Si en un momento dado esta diferencia se anula, el mecanismo entraría de nuevo en veloci dad de régimen (aunque no al mismo valor de la velocidad me dia de régim en anterior a la perturbación). Com o se comprende fácilmente, si la diferencia entre y es muy grande y/o se mantiene durante mucho tiempo, el mecanismo puede al canzar velocidades inadmisibles: muy altas o de embalamiento (con su posible destrucción) o muy bajas (llegand o incluso a pararse). Por otro lado, estas variaciones de la velocidad fuera del período de régi men sólo pueden ser anuladas actuando sobre los valores de la fuerzas exte riores aplicadas (motoras y/o resistentes), lo cual exi ge la presencia de «m e '^ y N f ' ^ . canismos de regulación», capaces de modificar los valores de N °
NOTA 4.28. Las variaciones de las fuerzas exteriores aphcadas pueden englobarse en dos grupos;
NOTA 4.29. Como se comprende fácilmente, el concepto de «volante de regulación» en un mecanismo es algo totalmente diferente del de «regulación de mecanismos», tal como se ha definido. En efecto, el volante «regula» la velocidad del mecanismo dentro del período de régimen, en el cual el trabajo desarrollado por las fuerzas motoras es igual al desarrollado por las fuerzas resistentes, a lo largo de todo un cicl o, aun cuando diferente en intervalos intermedios. Pero cuando el trabajo de las fuerzas motoras no es igual al de las fuerzas resistentes a lo largo del ciclo, el mecanismo se frena o acelera, sin que el volante pueda hacer nada por evita rlo Lo que sí hará el volante de inercia es hacer que el cambio de vel o cidad del mecanismo sea más «lento» que si éste no existiera, dándole más tiempo al «regulador» para actuar, antes de que la diferencia de ve locidad sea muy acusada.
4.3.4.2 .
Ecua ción cara cter ística de una máqui na
La potencia de una máquina, medida en su eje principal (por ejemplo) es el producto del par reducido a ese eje (de las fuerzas motoras si se trata de una máquina motriz), por la velocidad de giro de tal eje de reducción. Utiliz ando valores instantáneos: (4.129) Si se tratase de una m áq u i n a a r r a s t r a d a podría ponerse;
TABLA 4.3
W , = N ^ ^ -o )2
Sobrecarga brusca Descarga brusca
14 3
Fuerzas motoras
Fuerzas' resistentes
i t
T i
Por otro lado, la potencia de una máquina es, en muchos casos, función del «grado de apertura» de una válvula, de un distribuidor, etc. (por ejemplo, en el caso de un motor de explosión, la potencia es función del «grado de aper tura» de la mariposa del carburador), = f ( k ) para una máquina motriz
La sobrecarga se entiende como un exceso de trabajo de las fuerzas resistentes sobre las motoras, lo cual puede ser debido a un aumento de las
(4.130)
para una máquina arrastrada
(4.131) (4.132)
14 4
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS Eliminando W„ entre (4.124) y (4.126), queda; F { N y , c o „K ) = 0
(4.133)
que es la ecuación caractenstica de una máquina motriz. En la misma forma podría obtenerse la ecuación característica de una máquina arrastrada. (4.134) Si en lugar de los valores instantáneos se emplean los valores medios, se podrán escribir las ecuaciones características en la forma;
= O máquina motriz
í>
= O
máquina arrastrada
(4.135)
(4.136)
NOTA 4.30.
Para comprender mejor el concep to de ecuación caracte rística de una máquina puede analizarse el comportamiento de un motor de explosión.
Las curvas representan la evolución de la potencia y del par motor, para diferentes velocidades medias de régimen, y manteniendo la palo con la úni meta del carburador en la posición de máxima apertura (K ^ ) y '^ = 0). ca resistencia de las fuerzas de rozamiento {N °
En estas condiciones, el motor hay que moverlo inicialmente para que entren gases en el cilindro. Cuando la explosión de los gases entrados ge neran un par superior al resistente (de las fuerzas de rozamiento) el motor continúa su marcha por sí so lo (punto 6 ). (Co mo se ha visto, el par motor es función directa de la cantidad de mezcla aire-combustible que entra en el cilindr o y que da lugar a la fuer za F.,.) Una vez superado el punto B , el motor se va acelerando, puesto que el par motor supera al resistente. Cuanto más se acelera, más gases entran, y mayor es la diferencia, en cada ciclo, entre el trabajo de las fuerzas mo toras y el de las resistentes. El par motor va aumentando, y la potencia también. A l llegar al punto C se alcanza la máxima po sibilidad de entrada de gases y a partir de él las pérdidas hidráulicas en los conductos de admisión hace que incluso al aumentar la velo cidad de giro , disminuya la cantidad total de combustible que entra en los cilindros, en cada ciclo. Por tanto, la fuerza F , es cada vez menor, y con ell a, el par motor medio Sin embargo, al aumentar la veloc idad, aunque sea menor, se pro duce el llenado más veces en la unidad de tiempo, por lo que el producto ÍN ° '^ ) (® 2)* sigue aumentando. En el punto D , este producto (la potencia) alcanza su máximo valor. A partir de él, las entradas de combustibles disminuyen más rápidamente que lo que aumenta (íüj)’ y la potencia decae. Si la velocidad sigue aumentando, la potencia y el par siguen dismi nuyendo, hasta que en el punto F toda la potencia (y todo el par) es ab sorbido de nuevo por las resistencias pasivas. En el caso de motores de e xplosión, tal punto significa una velocidad muy peligrosa, por lo que se dota a éstos de mecanismos que limitan la entrada de gases, de manera que no se sobrepase una cierta velocidad má xima (ü),)*^.
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTOS EN MECANISMOS PLANOS Si en lugar de abrir al máximo la mariposa del carburador se hubieran efectuado aperturas parciales, se obtendría una familia de curvas caracte rísticas de estos motores, como las mostradas en la Figura 4.28.
14 5
El par correspondiente al punto D es el par nominal de l motor. 1. Mo tor síncrono. 2. M oto r de inducción polifá sico. 3. Motor serie de corriente continua (todos ellos de par nomi nal, D ).
NOTA 4.31. A titulo informativo se presentan a continuación las curvas características de diferentes máquinas motrices: 'nirbina de gas
• Moto res eléctricos
M o t o r t r i f ás i c o d e i n d u c c i ó n . El punto A representa el máximo par de arranque. El tramo A B C corresponde al período «inestable» de arranque. La
máquina no debe funcionar en esta zona, pues se calentaría excesivamente. El tramo C D E es el de trabajo «estable», donde debe hacerse trabajar al motor.
I\irbina hidráulica
14 6
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
NOTA 4.32.
Curvas características de diferentes máquinas arrastradas
(o «cargas»).
FIGURA 4.33
El motor produce un par motor instantáneo y el compres or un par re sistente instantáneo En velocidad de régimen el conjunto funciona como si el motor diera un par constante (par med io) de valor y el compresor absorbiera un par constante (medio) Las curvas características del m otor (para distintas posiciones d e la palo meta del carburador) serán; F
= O de las cuales sólo se
han dibujado los tramos descendientes (y casi rectilíneos) (Fig. 4.34).
TABLA 4.4 1. Carga consíante
Carga!, de fricción , frenos, máquinas de elevación. máquinas herramientas, etc.
2. Carga lineal
Generadores de c.c., cargas de fricción vi.scosa, etc.
3. Carga parabólica
Bombas y ventiladores.
Las curvas características del compresor (para distintos grados de apertura de la válvula de paso de aire) serían: O
N'^-=L{colf
4. Carga hiperbóli ca
Devanadoras de papel. ^ ‘^ = = - L 0),
4.3.4.3.
L = ca.
¿ = cte.
Concep to de estabi lidad de las máquina s. Máquina s estables, inestables e indiferentes
Para comprender mejor todo lo que sigue se va a hacer referencia a una má quina concreta, formada por un motor de explos ión acoplado a un compresor de aire.
= O de las cuales
sólo se han dibujado los tramos centrales, casi rectilíneos y ascendentes (Fig. 4.35).
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIM IENTOS EN MECANISMOS PLANOS
14 7
En estas circunstancias;
es decir, el mecanismo tiende a disminuir su velocidad. Al disminuir la velocidad, el par motor aumenta, como se observa en la gráfica y el resistente disminuye, con l o cual la di ferencia anterior disminuye, hasta anularse en el punto F '. , con lo cual el mecanismo entra de nuevo
Si para el motor y el compresor cuyas curvas de par son las dibujadas se supone, en una situación concreta como la mostrada en la Figura 4.36, que el grado de apertura del carburador es K i , y e l grado de apertura de la válvula de paro de aire es q-¡, la superposición de ambas dará el «punto de funciona miento» , en el que se igualan los pares motor y resistentes (punto P ). Ello corresponderá a una velocidad de funcionamiento (íi) 2)(p)- Mientras no se modifiquen
j
y
[ n ^ '^ )
, la velocidad media
en velocidad de régimen, sólo que ahora a una velocidad menor El punto P" representa el nuevo p u n t o d e f u n c i o n a m i e n t o de esta máquina. Las máquinas que se comportan de este modo se dice que son «esta ble s», ya que frente a cualquier perturbación encuentran, por sí mi smo, una nueva velocidad de régimen. N o todas las máquinas se comportan del modo descrito, es decir, son es tables. En efecto, todas aquellas que presentan curvas (en el tramo casi recti lín eo) c omo las de la Figura 4.38, son esencialmente inestables.
se manten
drá constante, y el mecanismo estará en régimen. Suponiendo que se introduce una perturbación, dada por un brusco aumen to de la carga (defin ida por el paso de a manteniéndose fij o el par re sistente pasa a ser
mientras que el par motor continúa siendo ( ^ ^ 2
En este caso, al aumentar la carga (de
a q-^) se pasa d e P u F siendo, =>
a,<0
(4.138)
14 8
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
Como «2 < O, el mecanismo tiende a disminuir su velocidad. Sin embaí do, al disminuir la velocid ad media de giro, el par resistente crece (en lu gar de disminuir) y el motor disminuye, con lo cual a es aún mas negativa, y así se seguirá hasta la completa parada. En este caso se dice que la máquina es inestable. Ella, por sí sola, es in capaz de encontrar un nuevo punto de funcionamiento.
otro segundo órgano «actuador» que accione los elementos necesarios para volver al equilibrio perdido (sobre la palometa del acelerador, o sobre la vál vula de escape de aire del compresor, en el ejemplo que se viene siguiendo). Ambas funciones serán desempeñadas por el regulador, como se verá más adelante. • Efectos base de regulación Antes de iniciar el estudio de los reguladores es preciso analizar mejor las per turbaciones originadas en las máquinas al variar los pares motor y resistente (estando éstas en velocidad de régimen), pues en ellas es en donde el regulador se apoya para detectar la perturbación y posteriormente corregirla.
NOTA 4.33. Tod o lo que a continuación se va a exponer se refiere a máquinas estables.
Finalmente, en el caso de que las curvas de par motor y resistente fuesen pa ralelas, cualquier velocidad supone la igualdad de ambos pares; la máquina fun ciona a cualquier velocidad sin reaccionar en ningún sentido ante una perturba ción. La máquina es i n d i f e r e n t e , y por tanto tampoco es estable (Fig. 4.39). Una misma máquina puede presentar una zona de funcionamiento estable y otra inestable. En efecto, en el caso de un motor de explosión como el mostrado en la Fi gura 4.27, acoplado a un compresor como el de la Figura 4.37, su funciona miento en el tramo B C implica una marcha inestable, mientras que si lo hace en el tramo C E su funcionamiento será estable.
4.3.5.
Concep to s básico s para la regulación de máquinas
• Concepto Se entiende por tal el mantenimiento de la velocid ad de una máquina dentro de unos límites preestablecidos (que pueden ser más o menos estrechos), cuando sobre ella suijan variaciones en los pares motor y/o resistente. La regulación de una máquina requiere, por lo general, un órgano «d etec tor » o avisador de que se ha producido una perturbación en la veloc idad nor mal de giro (consecuencia de la variación en los pares motor y/o resistente) y
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIM IENTOS EN MECANISMOS PLANOS
14 9
Sea una máquina estable funcionando a velocid ad de régimen 0 }¡ (gráñco a de la Figura 4.40), con
).
Si en un instante concreto (/a), se produce una descarga instantánea pasa a aparecerá una acelera ción angular
(4.139)
Un cierto tiempo A i después, al ser la máquina estable, l a diferencia irá disnúnuyendo por sí sola, ya que al aumentar la velocidad disminuye el par motor. Com o consecuencia, también irá disminuyendo (Aa> 2, mientras que la ve locidad de giro ira aumentando (Ao). La desviación angular A (v a ri a ci ó n del ángulo girado en el tiempo) va aumentando también. Pues bien, cualquiera de estos efectos puede emplearse para detectar la perturbación. Si se emplea la variación de la aceleración (efecto acelerométrico), la gran aceleración inicial irá disminuyendo al irse aproximando los valores de ambos pares hasta que en el instante (í,) se anula. En ese punto, el acelerómetro dejará de funcionar. En ese momento serán iguales lo s pares motor y resistente, pero la vel o cidad será diferente de la deseada { 0) 2 ^ > fiJ,‘). Si se emplea la variación de la velocidad (efwto taquimétrico), en el instante t, los pares se habrán igualado, pero la diferencia de la velocidad, con la primi tiva, es máxima; por consiguiente, e l tacómetro sí puede seguir funcionando, en el sentido de hacer que la veloc idad disminuya de valor. Ell o lo consigue liaciendo que disminuya el valor del par motor respecto del resistente («cortando gases», en el caso de un motor). La aceleración 0^ empieza de nuevo a aumentar, pero ahora con valores negativos
Si se emplea como detector de la perturbación la d esviación angular, ésta se hace máxima en el instante t-y, cuando la máquina recupera su velocidad ini cial; en consecuencia, este regulador continuaría funcionando hasta que la desviación se anulase. En tal momento, el regulador dejaría de actuar, pero los pares motor y re sistente serían tan diferentes como aJ inicio de la perturbación. En consecuencia, se iniciaría de nuevo el proceso, oscilando la desviación entre cero y un valor máximo, sin que se alcanzara un punto de equilibrio. Sólo que en este caso, el período de la oscilación es doble que en el regulador taquimétríco.
a,<0
A l llegar al instante la velocid ad será idéntica a la de antes de iniciarse la perturbación, y el tacómetro dejará de funcionar. Pero en ese instante, la diferencia entre los pares motor y resistente es má xima y, dada la estabilidad supuesta de la máquina hará que la veloc idad em piece a decrecer por sí sola, con lo cual los pares motor y resistente se irán aproximando. El regulador taquimétrico se pondrá a funcionar de nuevo, pero ahora en sentido contrario (haciendo que aumente el par motor, es decir, «dando g ases» en el caso de un motor) para que aumente la velocidad desde el valor mínimo alcanzado < o \ ^ (Fig . 4.41). En resumen, con este sistema de regulación se consigue qu e la vel ocidad se mantenga oscilando alrededor de una posición de equilibrio tOj, entre los va lores extremos y ío \ ^ , pero sin conseguir un punto de estabilidad.
La «inestabilidad» de los últimos métodos hace necesario el empleo del método acelerométrico, y para evitar que se regule a velocidades distintas de la prevista se mezcla este efect o con el tacométrico.
15 0
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS
(En la práctica, la regulaci ón se hace a base de tacómetros, en los que se deja sentir el efecto acelerométrico en la medida que sea preciso.)
• Clases de regulación
La regulación de máquinas puede dividirse en dos grandes grupos, según la form a de actuación;
R e g u l a c i ó n m a n u a l y r e g u l a c i ó n a u t o m át i c a
La primera se efectúa por medio de un operario, que es el encargado de ac cionar manualmente el a c t u a d o r , cuando d e t e c t a una variación en la velocid ad de régime n de la máquina. Este procedimiento sólo se emplea cuando puede admitirse un alto grado de irregularidad en la marcha, y cuando las variaciones de carga son poco fre cuentes, o en tiempos predeterminados. La segunda es la forma normal de regulación. En ella, la perturbación es detectada por el d e t e c t o r , funcionando por cualquiera de los tres efectos mencionados y éste a su vez ordena la activación del a c t u a d o r , para lo cual el primero ha de contar con la suficiente energía. Este último aspecto llev a a efectuar una nueva clasificación de la regulación;
En este caso, al variar el par resistente (por ejemplo, por una descarga brusca del compresor, en el ejemplo que venimos referenciando) el motor se acelera; las bolas (dete ctor taquimétrico ) arrastran al manguito hacia arriba, con lo cual la válvu la del acmador se cierra, cortando la entrada de gases en el motor y disminuyendo el par motor. En este tipo de regulación directa, la posición del actuador depende exac tamente de la del manguito, la cual a su vez depende de la velocidad de giro del detector. Por consiguiente, en la regulación directa, el único sistema de regula ción es el tacométrico. El segundo caso, de regulación indirecta, viene obligada cuando se re quiere una gran energía para mover el actuador (po r ejemp lo, en un grupo al ternador-turbina hidráulica, el accionamiento del distribuidos del paso de agua (actuador) de la turbina requiere una potencia considerable, proporcional a la potencia de la propia turbina, l o cual llevaría a construcciones de detecto res de enorme tamaño, si la actuación fuera directa).
R eg u l a c i ó n d i r e c t a y r e gu l a c i ó n i n d i r e ct a
En la primera, el propio detector tiene energía suficiente para accionar el ac tuador, como puede ser el caso de la Figura 4.43.
En estos casos se recurre al accionamiento indirecto, en el cual la energía necesaria para mover el actuador procede de una fuente auxiliar (se rvomotor). La acción del detector queda limitada a la detección de la perturbación y a obligar a actuar al servomotor, para que éste a su vez accione al actuador. En la Fig ura 4.44 se muestra un esquema de regulación indirecta por me dio de un servomotor eléctrico, del ej empl o del alternador-turbina hidraúlica. En la posición de equilibrio, la pieza 1 permanece aislada eléctricamente. A l ocurrir una descarga, la veloc idad aumenta y el manguito sube. Con ello, 1 hace contacto con 3, y el circuito se cierra, poniendo en marcha el mo tor eléctrico, que gira en el sentido de c e r r a r el paso de agua. En el caso de sobrecarga, 1 y 2 entrarían en contacto, con lo cual el motor giraría en senti do contrario, abriendo el paso de agua, con lo cual se aumentaría el par motor.
RELACIONES ENTRE FUERZAS Y MOVIMIENTOS EN MECANISMOS PLANOS
SIMBOLOGÍA R Ñ
yv?;
I
Momento de inercia. Momen to de inercia del miembro 2 respecto del punto 0,2,
Fuerza reducida. Fuerza reducida al punto A de la fuerza F ,.
¡o
Mome nto de inercia respecto del centro de gravedad.
Momento reducido.
i
Momento de inercia reducido. Momento de inercia reducido al punto 0,2 del miembro 4.
Momento reducido ai punto 0,2 de la fuerza F^ .
ÑZ" -
Momen to reducido al punto 0,2 de las fuerzas motoras.
J
Relació n de transmisión.
Ñ° '=
Momen to reducido al punto O,, de las fuerzas resistentes.
5
Grado de irregularidad.
Ñ ° ^ ¡
Momento reducido al punto 0 ,2 del par aplicado al miembro 4,
W
Potencia.
n
Masa reducida.
Potencia máquina motriz.
<
Masa reducida al punto A del miembro 4.
Potencia máquina resistente.
151
CAPÍTULO 5
MECANISMOS DE ENGRANAJES
CONTENIDO A.
ANÁLISIS TOPOLÓGICO, CINEMÁTICO Y DINÁMICO DE LOS MECANISMOS DE ENGRANAJES 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8.
B.
ASPECTOS CONSTRUCTIVOS Y DE FUNC IONAM IENTO 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14.
C.
Introducción. Análisis topológico. Estudio cinemático de los engranajes. Estudio dinámico de los engranajes. Introducción al estudio de los trenes de engranajes. Trenes de engranajes de ejes fijos. Trenes de engranajes de ejes móviles. Apli cacion es de los trenes de engranaje.
Materi ales para engranajes. Fabrica ción de las ruedas dentadas. Norma lizacio nes de las ruedas dentadas. Montaje de las ruedas dentadas. Lubricac ión de los engranajes. Fall os en los engranajes.
DISEÑO CINEM ÁTIC O DE TRENES DE EJES FUOS. DIVERSOS CASOS 5.15. 5.16.
Consideraciones generales sobre el diseño cinemático. Diseño cinem ático de los trenes de ejes fijo s sin restricciones constructiva.s.
A. ANÁLISIS TOPOLÓGICO, CINEMÁTICO Y DINÁMICO DE LOS MECANISMOS DE ENGRANAJES 5.1. 5.1.1.
INTRODUCCIÓN Relación entre las velocida des de dos miembros en rotación en contacto con deslizamiento
Sean los dos miembros en contacto con deslizamiento de la Figura 5.1, repre sentados en dos posiciones sucesivas. Al moverse el miembro 2 (conductor) con la velocidad co, arrastra al miembro 3 (conducido) que se moverá con la velocidad a )¡. Gráficamente es fácil calcular co, a partir de ú)¡. En efecto, si A es el pun to de contacto = Oi¿ • 0,^4. Como se conoce la dirección de la velocidad relativa de deslizamiento (tangente a los dos perfiles en A ) y la dirección de la velocidad de A, 2,, puede calcularse resolvi endo la ecuación: (5.1) Conocida V^j, se puede hallar eo¡.
O), =
V.,3, On A
(5.2)
15 4
FUNDAMENTOS DE MECANISMOS Y MÁQUINAS PARA INGENIEROS Dividiendo (5-4) por (5-5) queda;
FIGURA 5.1
A B / A O , ^ _ A D ÍO . ^ b
(5.6)
A C I A O ,’n
como A 6 M 0,3 = íft, y A C I A O ^ ^ = í * queda: _
(Dj
0 ,2a
(5.7)
O^jb
Por ser semejantes los triángulos PO^-¿a y P O ^ j b se verificará: o,^/o„fc = po,vpo,2
(5.8)
La Ecuación (5.7) queda finalmente: Q>3
P O n
0}n
P0,3
c.q.d.
(5.9)
En general, la posición del punto P no es fija. El punto P se mueve arriba y abajo de la línea de centros, haciendo que o^/cü^ sea variable (aun cuando (o^ sea constante). ox¡, En forma analítica, también es sen cillo hallar una relación entre como se verá a continuación. En la Figura 5.1.¿ se ha trazado la normal ññ a los dos miembros en el punto de contacto. También se han trazado las perpendiculares y a ññ desde los centros de giro y O,,. Puede demostrarse que si P es el punto en que la normal ññ corta a la línea de centros 0 ,20,3 se cumple que:
(5.3) es decir, c u a n d o u n m i e m b r o c o n d u c e a o t r o c o n d es l i z a m i e n t o, l a s v e l o c i d a d e s a n g u l a r e s d e l o s d o s m i e m b r o s es t án e n r a z ó n i n v e r s a d e l o s s e g m e n t o s e n q u e l a n o r m a l c o m ún e n e l p u n t o d e c o n t a c t o d i v i d e a l a l ín e a d e c en t r o s . En las figuras, los triángulos A B D y AO¡^ b son semejantes; en ellos: A B / A O , , = A D / 0 ¡, b
Perf iles con ju gad os. Trazad o
Puede conseguirse una relación de velocidades constantes entre dos miembros en contacto con deslizamiento siempre que la forma de los mismos sea tal que la normal común en el punto de contacto pase siempre por un punto fij o de la línea de centros. En este caso se dice que los perfile s de ambos miembros son conjugados de deslizamiento. El punto P recibe el nombre de p u n t o p r i m i t i v o o punto P i t c h . El punto primitivo corresponde al punto de contacto entre dos supuestas circunferencias que rodaran sin deslizamiento, transmitiendo el movimiento con la misma relación de veloci dades. ( A estas circunferencias se les deno minan c i r c u n f er e n ci a s p r i m i t i v a s . )
(5.4)
EJEMPLO 5.1
Los triángulos A D C y A O ^ ^ son semejantes. En ellos: A C/ A O, ^ = A D I O , ^
5.1.2.
(5.5)
En forma gráfica es fácil obtener el perfil conjugado de deslizamiento de otro dado, punto a punto, como se expone a continuación (F ig. 5.2):
MECANISMOS DE ENGRANAJES
155
4, Se lleva el triángulo 0 ,2C E sobre 0|,P y se obtiene el triángulo idéntico Oj^PCq. C(, será la posición que ocupe C cuando E coincida con P. Si en ese momento, ambos miembros estuvieran en contacto en Q la normal común pasaría por P . X,, = C„ sería entonces un punto del miembro 3. 5. Deshaciendo de nuevo el giro se tiene que el punto del perfil T W del miembro 3 que ha de coincidir en Q (punto K „) se encontrará a una distancia de 0 ¡, igual a 0 , ¡C„. Con centro en se trazan los arcos de radios 0„Co y O t , P . 6. Sobre el arco 0 ¡-,P se mide P M = P E . E\ punto M en el miembro 3 es el equivalente al punto E en el miembro 2. 7. Con centro en Ai y radio C E se traza un arco que corta al arco de radio 0 , , C a en K . Este punto K es el punto conjugado del C. (E n realidad, lo que se ha hecho es girar el triángulo K ^ P O , , hacia la derecha un ángu lo tal que P M = P E . ) 8. La misma construcción se repite para todos los puntos del perfil dado SR , obteniéndose así todos los puntos del perfil conjugado T W . El miembro 2, con velocidad cix, empuja al miembro 3 (deslizándose so bre él), adquiriendo la velocidad t»i, de módulo constante y de valor (Oj = (Ú 2
O n P OnP'
5.1.3.
Datos:
• PerfiJ S R del miembro conductor 2 (arbitrario). • Rel ación de velocida des (oJ(a,, (q ue se desea permanezca constante).
Perfi les conju gados más usuales
Como se ha visto, dado un perfil cualquiera de un miembro siempre se puede hallar, punto a punto, su perfil conjugado. Esta construcción, punto a punto, es muy engorrosa y puede ahorrarse al existir unas curvas matemáticas cuyas conjugadas están perfectamente deter minadas. Entre ellas, las más usuales son las evolventes de círculos y las curvas ci cloidales. Se estudiarán en este libro sólo las primeras.
Incógnita: • Perfil T W conjugado del primero.
Perfiles conjugados de evolvente
Solución:
1. Fijada arbitrariamente la distancia entre centros 0|, 0u se locali za la posición del punto primitivo P por la relación ox/o), = 0 ,2P^ 0 ¡jP. 2. Se toma un punto cualquiera C del perfil dado, del cual se desea obte ner su conjugado. Para ello se traza la normal al per fil dado S R en este punto C. ____ 3. Con radio y centro en 0 ,2 se halla el punto E . En el movimiento de 2, en un instante dado, E estará situado .sobre P.
EJEMPLO 5.2 Datos:
El perfil SR del miembro conductor 2 (que se supone una evolvente de la circunferencia de radio a la que se denominará circunferencia base). La relación de velocidades deseada í»,/ía, = 0 i 2P / 0 ^iP.