FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS GEOESTADÍSTICA PARA MINERÍA SEMESTRE IV
DOCENTE: ARTURO RAFAEL CHAYÑA CHAYÑA RODRÍGUEZ
GEORGES MATHERON Georges Matheron (02 Diciembre, Diciemb re, 1930 - 07 Agosto, 2000) fue un matemático francés.
En los años 60, Matheron acuñó el término de Geoestadística.
Co-fundador (junto a Jean Serra) de la Morfología Matemática.
Creador del “Centro de Geoestadística y Morfología Matemática” en la Escuela de Minas de París en Fontainebleau.
Matheron formalizó y generalizó matemáticamente un conjunto de técnicas desarrolladas por D. G. Krige (1941) que explotaban la correlación espacial para hacer predicciones en la evaluación de reservas de las minas de oro en Sudáfrica.
s o i c i n I
n ó iMatheron definió a la cGeoestadística como: i "la aplicación del n de las funciones i fformalismo aleatorias al reconocimiento y estimación de fenómenos e naturales“ (Matheron, 1962). D
HISTORIA Y PRINCIPALES ACTORES • 1960’s George Matheron - Centro de Geoestadística (actualmente Centro de Geociencias), Fontainebleau, Francia. • 1970’s André Journel - Centre for Reservoir Forecasting, Universidad de Stanford, California, U.S.A. • 1970’s Michael David – Ecole Polytechnique, Montreal, Canadá • 1970´s 1980´s, Margaret Armstrong, Centro de Geoestadística, Fontainebleau • 1990´s Aplicación a la industria petrolera: Francia, Noruega, U.S.A. • 2000´s Clayton Deutsch – Center for Computational Geostatistics, U. Alberta, Canadá
SOFTWARE • 1970’S BLUEPACK Centro de Geoestadística de Fontainebleau • 1988 GEO-EAS (Enviromental Protection Agency, U.S.A.) Programa para DOS • 1992 GSLIB Clayton Deutsch y André Journel U. de Stanford Código abierto de dominio público escrito en lenguaje FORTRAN • 1990’s I S A T I S (nueva versión de BLUEPACK) Software comercial de geoestadística de propósito general (Escuela de Minas de París-Geovariances) • 1989 GS+ (Gamma Design Software) Software comercial de geoestadística básica en 2D para Windows. • 2004 SGeMS Nicolas Remy, (U. de Stanford), Código abierto, de dominio público, para Windows.
CAMPOS DE APLICACIÓN La Geoestadística ha sido aplicada en diversas ramas de las ciencias y en las ingenierías: Industria petrolera, minería, ciencias del mar, hidrogeología, pesca, medio ambiente, ciencias agrícolas y forestales, ingeniería civil, procesamiento de imágenes, cartografía, ciencias de materiales, salud pública, meteorología, edafología, finanzas, entre otras
NOCIONES FUNDAMENTALES
Yacimientos Minerales El yacimiento se ve como una reunión de bloques, que serán estimados a partir de datos cercanos (muestras de sondajes o de pozos de tronadura).
En las muestras han sido medidos los atributos de interés: leyes (cobre, oro, arsénico...), densidad de la
muestra
bloque
límite de zona mineralizada
reporte de recursos / reservas
estudio de factibilidad
diseño de la explotación
planificación
control de leyes: mejorar la selección entre mineral y estéril
MINERAL Material que tiene un interés económico, en oposición a estéril
Esta definición depende de varios factores: • temporales (precio del metal, tecnología...) • legales (normas de seguridad, ambientales...) • ubicación (infraestructura disponible) • tasa de descuento...
LEY Es la concentración de un elemento en el subsuelo (elemento principal, subproducto o contaminante)
POTENCIA, ACUMULACIÓN
LEY DE CORTE
Se trata de un valor de ley que separa categorías distintas de material, por ejemplo mineral y estéril
DILUCIÓN
La dilución se refiere al hecho de mezclar (no separar) el mineral del estéril. Puede deberse a varios factores: • dilución interna
geométrica: debido al contacto entre mineral y estéril inherente (selectividad debida al tamaño de bloque) • dilución externa o de operación
RECURSO Y RESERVA MINERAL El concepto de recurso no está conectado a un objeto o a un material, pero si al valor asociado. Ej. Los depósitos de caolín en el Devon (UK) - Se formaron 300 millones de años atrás. - La historia del hombre los ignora. - En 1745, W. Cookworthy descubre el uso cerámico para producir porcelanas. (sucesivamente, será identificado la utilización para papel). - Hoy esos depósitos garantizan la mayoría de la producción inglesa de caolines.
DEFINICION DE RECURSO Y RESERVA Los depósitos de silex de Grimes Groves (UK) -Centro de producción de 2500 hasta 1400 AC. (110 años, Neolítico). - La llegada de las edades del bronce, del Cobre, y del Hierro, anulan el interés. - Desde entonces el área se quedó deshabitada.
RECURSO GEOLÓGICO
Concentración u ocurrencia de material de interés económico intrínseco en o sobre la corteza de la Tierra en forma y cantidad en que haya probabilidades razonables de una eventual extracción económica Se habla indistintamente de recursos geológicos, minerales o in situ
RESERVA MINERA
Es la parte económicamente explotable de un recurso mineral. Incluye dilución de materiales y tolerancias por pérdidas que se puedan producir cuando se extraiga el material.
Contempla la consideración de y modificación por factores razonablemente asumidos de extracción, metalúrgicos, económicos, de mercados, legales, ambientales, sociales y gubernamentales.
CATEGORIZACIÓN DE RECURSOS Y RESERVAS
Existen varios códigos internacionales para guiar la categorización de recursos y reservas: JORC (Australia), SAMREC (Sudáfrica), CIM (Canadá), IMM (Europa), SME (Estados Unidos)...
CLASIFICACION DE RESERVAS MINERALES Y ENERGIAS FOSILES Criterios Generales según (UNCF) -Viabilidad Económica y comercial (E). -Estudio y viabilidad del proyecto (F). -Conocimiento Geológico (G).
La mayoría de las clasificaciones adoptan los mismos criterios, implícitamente o explícitamente. La UNCF hace el cuadro de referencia para la armonización de las clasificaciones existentes.
CLASIFICACION DE RESERVAS MINERALES Y ENERGIAS FOSILES Las Clases y las Categorias -Tres categorías principales para la viabilidad económica y comercial. -Tres categorías para describir el estado y la viabilidad del proyecto. -Cuatro categorías para describir el nivel de reconocimiento Geológico (G). Una clase de cantidad, corresponde a un cubo (ej. 111) o a un conjunto de cubos. Los recursos totales son una clase que incluye todos los cubos.
CLASIFICACION DE RESERVAS MINERALES Y ENERGIAS FOSILES Categoría de las Reservas - E1 Económicas. - E2 Potencialmente Económicas. - E3 Intrínsicamente Económicas. - F1 Estudio de viabilidad. - F2 Estudio de Pre-Viabilidad - F3 Estudio Geológico. - G1 Prospección de detalle. - G2 Prospección general. - G3 Prospección - G4 Estudio de reconocimiento.
CLASIFICACION DE RESERVAS MINERALES Y ENERGIAS FOSILES Cantidad de los Recursos y Reservas - Las Reservas Mineras Demostradas 111 Probables 121 + 122 -Los Recursos Mineros . Con viabilidad 211 . Pre-viabilidad 221 + 222 . Medidos 331 . Indicados 332 . Previstos 333 . Reconocidos 334
¿DONDE INTERVIENE LA GEOESTADISTICA? La Geoestadística, interviene directamente o indirectamente en todos los tres ejes del sistema de clasificación: -En el cálculo objetivo de la confianza de las estimaciones y en la optimización de ellas. - En el control de proceso de selección. - En suministrar los elementos para soportar las diferentes elecciones del proyecto. - En contribuir a un cuadro probabilístico del cash-flow y al cálculo de los índices asociados (NPV, IRR..)
¿DONDE INTERVIENE LA GEOESTADISTICA? El análisis geoestadístico de datos interviene en todas las etapas de un proyecto minero: • Estudio geológico (largo plazo)
puede indicar direcciones de continuidad, restringir o ampliar la extensión de la zona de interés
• Campaña de exploración
evaluar y categorizar los recursos global) justificar la producción de largo plazo
in
situ
(evaluación
¿DONDE INTERVIENE LA GEOESTADISTICA? • Estudio de factibilidad y operación
campaña de sondajes en malla densa modelamiento geológico estimación local de recursos para determinar reservas mineras, planificar la producción de mediano y corto plazo, clasificar cada bloque como mineral o estéril reporte (inventario) de los recursos y reservas, detallando su cantidad y su confiabilidad auditoria para comprobar la evaluación
¿DONDE INTERVIENE LA GEOESTADISTICA? • Explotación
mediciones en pozos de tronadura control de leyes: definir qué bloques mandar a planta o botadero reconciliación mina - planta
A medida que avanza el proyecto minero, se tiene un conocimiento más completo del depósito y se actualiza los modelos geológicos y de recursos / reservas para incorporar la información nueva.
Ejemplo: pórfido cuprífero en el cual se mide la ley de cobre
La densidad del muestreo influye en el conocimiento de la continuidad espacial de los valores (regularidad, anisotropía...)
CUADRÁNGULO DE CAJABAMBA
CUADRÁNGULO DE CAJABAMBA
CUADRÁNGULO DE CAJABAMBA
Mapas GEOLÓGICOS
MAPA TOPOGRÁFICO
MAPA TOPOGRÁFICO Es la representación de una serie de planos horizontales a cotas diversas y con un intervalo constante entre dichos planos, los cuales cortarán a la superficie topográfica según una serie de curvas cerradas más o menos irregulares; estas curvas, que son el lugar geométrico de todos los puntos de la topografía que están a igual cota, reciben el nombre de curvas de nivel, siendo la equidistancia la diferencia de cota entre dos curvas de nivel consecutivas. Las curvas de nivel se proyectan punto a punto sobre el plano de proyección que se sitúa en cota 0 y se obtiene así la representación de la superficie topográfica en planos acotados
ELEMENTOS: curvas de nivel son líneas en el mapa que unen puntos de igual altitud. equidistancia diferencia de altura entre dos curvas de nivel. tipos de curvas de nivel: Curvas maestras o directoras. Más gruesas y con numeración. Curvas secundarias, más finas y sin números. Escala relación que existe entre las dimensiones representadas en el mapa y las reales
PERFIL TOPOGRAFICO
Dibujar dos ríos •Bordear de rojo la pendiente mayor. •Señalar un collado. •Río más rápido. •Riesgo de desprendimiento
ELEMENTOS PRESENTES EN LOS MAPAS TOPOGRÁFICOS a) LÍNEAS PARALELAS: indican laderas. Si estas líneas están muy juntas la ladera tiene una pendiente abrupta, mientras que si están separadas, se trata de pendientes suaves. b) CÍRCULOS (de contorno más o menos regular): indican picos, colinas, montañas en general. También pueden indicar depresiones pero, en este caso, los círculos suelen llevar añadido algún indicativo (sombreado, pequeñas líneas perpendiculares al contorno, etc.) c) UVES: cuando las curvas de nivel dibujan Vs o Us más o menos cerradas (contornos digitados), se trata de valles. En este caso, el vértice de la V señala aguas arriba.
¿CÓMO ES UN MAPA GEOLÓGICO? Un mapa geológico es un mapa topográfico sobre el que se han dibujado diversos símbolos que indican: Tipos de rocas de la superficie terrestre Tipo de contacto entre ellas Estructuras geológicas Elementos geomorfológicos
Los SÍMBOLOS empleados en el mapa se reflejan en la LEYENDA Colores o tramas Líneas de contactos Símbolos estructurales Símbolos geomorfológicos Cronología
COLORES O TRAMAS Cada COLOR indica una unidad litológica o conjunto de rocas, que tiene una edad determinada, aceptada internacionalmente y fácilmente reconocible en el campo o en foto aérea. Las TRAMAS indican el tipo litológico Las litologías y edades se expresan también con números y letras
EDAD DE LAS FORMACIONES GEOLÓGICAS GEOLÓGICAS EON Azoico: 4500 / 3 800 m.a. Arcaico: 3.800 m.a. / 2.500 m.a. m.a. Proterozoico: Proterozoico: 2.500 m.a. / 590 m.a. Fanerozoico: 590 m.a. / la actuali actualidad dad ERA PRECÁMBRICO (considerado como una Era) Paleozoica: Paleozoica: 590/245 m.a Mesozoica: 245/65 m.a. Cenozoica: 65 m.a./ la actualidad. PERIODOS: Paleozoico: Paleozoico: Cámbrico, Ordovícico, Silúrico, Devónico, Carbonífero, Pérmico Mesozoico: Triásico, Jurásico, Cretácico Cenozoico: Terciario Terciario (Paleógeno y Neógeno) y Cuaternario
Símbolos utilizados en el mapa geológico:
DIRECCIÓN DE UN PLANO, D: El valor de la dirección puede darse según varias notaciones: Desde el Norte, de 0° a 360° (ejemplos: N74°, N165°, N225°) Desde el Norte 0° a 180° e indicando la dirección hacia la que se mide, Oeste (O) o
BUZAMIENTO DE UN PLANO, ß: Ángulo entre la línea de máxima pendiente en dicho plano (perpendicular a la dirección del plano) y un plano horizontal, medido sobre un plano vertical. Se califica como buzamiento real frente al buzamiento
ESPESOR (POTENCIA) DE UN ESTRATO: Distancia existente entre el muro y el techo de un estrato medida perpendicularmente a ambos planos. La superficie de afloramiento de un estrato depende del espesor y del buzamiento del mismo, y de la topografía de la zona.
CAPAS HORIZONTALES (ß=0°) Una capa o estrato horizontal será paralelo a los planos que determinan las curvas de nivel, y, por tanto, la intersección del estrato con la topografía, la traza, será paralela a las curvas de nivel.
CAPAS VERTICALES (ß=90°) Independientemente de la superficie topográfica, la intersección del estrato con la topografía quedará siempre representada por dos líneas rectas (techo y muro de la capa) separadas por el espesor del mismo medido perpendicularmente a la capa
CAPAS INCLINADAS (0°<ß<90°) Si los estratos, o cualquier otro plano, poseen un cierto buzamiento, cortarán a la topografía según líneas curvas irregulares que darán proyecciones de líneas curvas irregulares, que determinarán, según sea su trazado, el sentido de buzamiento de los estratos mediante lo que se conoce en cartografía como "Regla de la V*".
Buzamiento opuesto a la pendiente:
Buzamiento a favor de la pendiente:
REGLA DE LA V La "Regla de la V" determina que si el plano inclinado corta con una superficie topográfica de valle, el contacto del plano con el relieve dibuja una "V" cuyo vértice apunta hacia donde buza el estrato. Asimismo, si el plano inclinado corta con una superficie topográfica de loma, el contacto del plano con el relieve dibuja un arco amplio con la parte cóncava situada hacia donde buza el plano.
CAPAS PLEGADAS. INTERSECCIÓN DE LOS PLIEGUES CON LA TOPOGRAFÍA.
Pliegue: Estructura planar curvada que se origina cuando los materiales se deforman dúctilmente, es decir, sin fracturarse. Pliegue anticlinal. Pliegue convexo hacia su parte superior, con los materiales más antiguos en el núcleo. Pliegue sinclinal: Pliegue cóncavo hacia su parte inferior, con los materiales más modernos en el núcleo.
Se representan mediante la línea que representa el eje del pliegue y unos símbolos (normalmente flechas) que nos indican hacia dónde buzan los flancos de la estructura plegada y, por lo tanto, el tipo de pliegue.
Pliegue anticlinal: las flechas divergen desde el eje del pliegue (traza del plano axial) => Pliegue sinclinal: las flechas convergen en el eje del pliegue
Si los flancos del pliegue buzan en el mismo sentido, uno de ellos estará en posición normal (muro en la parte inferior y techo en la superior) y otro en posición invertida (muro en la parte superior y techo en la inferior), con buzamiento invertido. De esta forma se puede diferenciar pliegue anticlinal con flanco invertido (anticlinal tumbado) y pliegue sinclinal con flanco invertido (sinclinal tumbado) y sus símbolos son diferentes
Los pliegues situados en los valles se muestran en el mapa geológico de forma diferente según sean de un tipo u otro. Si la erosión del valle del anticlinal dibuja un núcleo donde aparecen los estratos más antiguos con los contornos (o bordes) cerrados. Sin embargo, la erosión del valle del sinclinal deja aflorar un núcleo carente de estratos más modernos y con contornos abiertos.
Anticlinal
Sinclinal
CAPAS FRACTURADAS. Intersección de las fallas con la topografía Falla. Estructura planar que se origina cuando el material se deforma de manera frágil generándose un plano de rotura. Falla normal. El buzamiento del plano de falla se dirige hacia el bloque hundido. Capas fracturadas. Intersección de las fallas con la topografía
Falla inversa. El buzamiento del plano de falla se dirige hacia el bloque levantado.
Falla en dirección o de desgarre. Sólo desplazamiento en la horizontal.
Tras el levantamiento del bloque, o de forma simultánea, la simple erosión se encarga de igualar el relieve. Por tanto, tras la erosión, el reconocimiento de las fallas en el terreno y, por lo tanto, en el mapa geológico que lo representa, se basa fundamentalmente en la detección del desplazamiento relativo de una o varias capas, o la total desaparición de las mismas, y la repetición asimétrica de las capas (frente a la repetición simétrica en los pliegues).
CONCORDANCIA Y DISCORDANCIA ENTRE CAPAS. Intersección con la topografía Contacto normal o concordante. Separa dos materiales paralelos entre sí, que pueden suponerse consecutivos en el tiempo geológico. (Se representa por una línea de puntos)
Contacto discordante. Separa dos materiales no paralelos entre sí, que no tienen continuidad temporal. (Se representa por una línea discontinua)
Contacto mecánico. El plano de contacto es una falla
Los planos discordantes se caracterizan por falta de conformidad entre estratos encontrándose en series discordantes sobre otras series (suprayacente sobre infrayacente). Características de las DISCORDANCIAS. • El elemento discordante se encuentra suprayacente sobre varios elementos distintos • El elemento discordante carece de todas o de algunas de las estructuras geológicas de
la serie infrayacente • El elemento discordante tiene dirección y buzamiento diferente de la serie infrayacente
Intrusiones Cuando el contacto se produce entre rocas ígneas no estratificadas (plutónicas) y rocas estratificadas, se denomina INCONFORMIDAD y el contacto se representa por una línea continua (como los contactos mecánicos), siendo discordante el caso de intrusión de plutones y diques, y concordante en el caso de intrusiones tipo sills.
Cortes Geológicos: CONSTRUCCIÓN DE CORTES GEOLÓGICOS A PARTIR DEL MAPA GEOLÓGICO Corte geológico. Representación gráfica vertical de la disposición en profundidad de las unidades y estructuras geológicas, utilizándose el perfil topográfico como base de la representación. Este proceso conlleva una serie de pasos
Orden cronoestratigráfico (de más antiguo a más moderno) Cámbrico (C) Ordovícico (O) Silúrico (S) Devónico (D) Carbonífero (M) Cretácico (K)
1.- Planteamiento del problema: Dado un mapa geológico, construir el corte geológico según la línea AB.
2.- Se proyectan los datos topográficos a un perfil marcando los puntos de intersección de las curvas de nivel con la línea de trazado del corte geológico (AB) y cualquier otro dato topográfico principal. Para realizar el perfil topográfico se lleva el punto de intersección de cada curva de nivel a una escala vertical que bien puede ser la misma que la escala horizontal indicada en el mapa o bien puede exagerarse, indicándose, en este caso, la escala vertical utilizada.
3.- Se identifican los elementos geológicos que son cortados por la línea de perfil y se proyectan sobre el mismo marcando los puntos de intersección d e los datos geológicos del mapa a las alturas correspondientes.
4.- Se interpretan, extrapolan y representan, tanto en superficie como en profundidad, los elementos geológicos del corte, según el mapa. Concretamente, el muro de la capa de rocas del Crerácico (K) se dibujan en el corte geológico como un plano horizontal ya que interpretamos que sus contactos tienen una altitud constante sobre el mapa geológico.
5.- A partir de este punto, con el conocimiento de que la capa de rocas del Cretácico cubre el resto de las rocas, se procede a la proyección de las rocas infrayacentes.
6.- Se proyectan el resto de los datos geológicos, interpretando donde se sitúan estos contactos, sabiendo, por su buzamiento, que si perforáramos en las rocas carboníferas (M) encontraríamos cada vez más antiguas.
7.- Las rocas más antiguas (C-M) se encuentran plegadas. Siguiendo la interpretación del mapa geológico, se determina que el pliegue, que presenta rocas del Cámbrico (las más antiguas) en su núcleo, es un anticlinal.
8.- Se completa el corte geológico siguiendo los datos estructurales básicos de buzamiento del mapa geológico.
Cortes geológicos en mapas con estratos horizontales Se pintan los contactos corcondantes entre los diferentes materiales (planos de estratificación). Se sigue el mismo proceso utilizado en el trazado de las estructuras: se traza una línea, con el ángulo de buzamiento adecuado, que pase por la intersección definida en el perfil topográfico. Todas las líneas que se cruzan en un corte geológico deben tener "estilo geológico", es decir, es conveniente trazarlas a mano alzada y evitar los trazos completamente rectos. Despues se deben rellenar con tramas y colores las superficies definidas en el corte en función del tipo lotológico y edad
Cortes geológicos en mapas con pliegues
Cortes geológicos en mapas con pliegues
Cortes geológicos en mapas con fallas Falla Vertical:
Falla con buzamiento (falla inversa)
Cortes geológicos en mapas con discordancias
¿CÓMO ES UN CORTE GEOLÓGICO?
RECORDANDO MEDIDAS DE POSICIÓN
Las medidas de posición se dividen en un conjunto de datos en grupos con el mismo número de individuos. Para calcular las medidas de posición es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor . La medidas de posición son:
Cuartiles, Deciles y Percentiles
Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Q 1, Q 2 y Q 3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. Q 2 coincide con la mediana.
Cálculo de los cuartiles 1.- Ordenamos los datos de menor a mayor. 1, 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 2.- Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante las expresiones: N+1/4, N+1/2 y 3(N+1)/4
• Número par de datos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 • Número impar de datos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
CÁLCULO DE LOS CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra el cuartil en la tabla de las frecuencias acumuladas.
• Li es el límite inferior de la clase donde • • • •
se encuentra el cuartil. N es la suma de las frecuencias absolutas. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil. ai es la amplitud de la clase. fi La frecuencia parcial donde se encuentra el cuartil
TEMA 04 ESTADISTICA DESCRIPTIVA DE DATOS
4.1 LA ESTADISTICA DESCRIPTIVA Es una ciencia que analiza series de datos (por ejemplo, edad de una población, altura de los estudiantes, temperatura en los meses de verano, leyes de mineralizacion, etc) y trata de extraer conclusiones sobre el comportamiento de estas variables. Las variables pueden ser de dos tipos: A) Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, estrato, tipo de roca, etc). B) Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ley de mineral, dureza, etc).
Las variables también se pueden clasificar en:
1)Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: ley de mineral, edad de los alumnos de una clase). 2) Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: ley y profundidad). 3)Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: ley, profundidad, tipo de roca).
Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas: a) Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, etc.). Por ejemplo: Dureza de la roca, nunca podrá ser 3,45). b)Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la ley del taladro puede ser 0,89 %, 94,57 km/h...etc.
Cuando se estudia el comportamiento de una variable hay que distinguir los siguientes conceptos:
Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la ley de Cu de un taladro, cada taladro es un individuo; si estudiamos el precio de los metales, cada metal es un individuo. Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, etc.) que porten información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos el precio de los metales en una zona, la población será el total de minas de dicha zona. Muestra: subconjunto que seleccionamos de la población. Así, si se estudia la ley de un yacimiento, lo normal será no recoger información sobre todo el yacimiento (sería una labor muy compleja), sino que se suele seleccionar un subgrupo (muestra) que se entienda que es suficientemente representativo (taladros diamantinos)
4.2 Distribución de frecuencia La distribución de frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Distribución de frecuencia
La distribución de frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia. Variable
Frecuencias absolutas
(Valor)
Simple
Acumulada
Simple
Acumulada
x
x
x
x
x
X1
n1
n1
f1 = n1 / n
f1
X2
n2
n1 + n2
f2 = n2 / n
f1 + f2
...
...
...
...
...
Xn-1
nn-1
n1 + n2 +..+ nn-1
Xn
nn
Sn
Siendo X los distintos valores que puede tomar la variable. Siendo n el número de veces que se repite cada valor
Frecuencias relativas
fn-1 = nn-1 / n f1 + f2 +..+fn-1 fn = nn / n
Sf
Veamos un ejemplo: Medimos la ley de Cu para un yacimiento el cual se muestreado por canales obtenemos los siguientes resultados (%):
Muestra x Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Muestra 5 Muestra 6 Muestra 7 Muestra 8 Muestra 9 Muestra 10
Ley (%) x 1,25 1,28 1,27 1,21 1,22 1,29 1,30 1,24 1,27 1,29
Muestra x Muestra 11 Muestra 12 Muestra 13 Muestra 14 Muestra 15 Muestra16 Muestra17 Muestra 18 Muestra19 Muestra20
Ley (%) x 1,23 1,26 1,30 1,21 1,28 1,30 1,22 1,25 1,20 1,28
Muestra x Muestra 21 Muestra 22 Muestra 23 Muestra 24 Muestra 25 Muestra 26 Muestra 27 Muestra 28 Muestra 29 Muestra 30
Ley (%) x 1,21 1,29 1,26 1,22 1,28 1,27 1,26 1,23 1,22 1,21
Si presentamos esta información estructurada obtendríamos la siguiente tabla de frecuencia: Variable
Frecuencias absolutas
Frecuencias relativas
(Valor)
Simple
Acumulada
Simple
Acumulada
x 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29
x 1 4 4 2 1 2 3 3 4 3
x 1 5 9 11 12 14 17 20 24 27
x 3,3% 13,3% 13,3% 6,6% 3,3% 6,6% 10,0% 10,0% 13,3% 10,0%
x 3,3% 16,6% 30,0% 36,6% 40,0% 46,6% 56,6% 66,6% 80,0% 90,0%
1,30
3
30
10,0%
100,0%
Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces, entonces conviene agruparlos por intervalos, ya que de otra manera obtendríamos una tabla de frecuencia muy extensa que aportaría muy poco valor a efectos de síntesis. (tal como se verá en la siguiente lección).
Distribuciones de frecuencia agrupada Supongamos que la ley de las muestras nos dan los siguientes resultados (%): Muestra
(%)
Muestra
(%)
Muestra
(%)
Muestra 1
1,15
Muestra 11
1,53
Muestra 21
1,21
Muestra 2
1,48
Muestra 12
1,16
Muestra 22
1,59
Muestra 3
1,57
Muestra 13
1,60
Muestra 23
1,86
Muestra 4
1,71
Muestra 14
1,81
Muestra 24
1,52
Muestra 5
1,92
Muestra 15
1,98
Muestra 25
1,48
Muestra 6
1,39
Muestra 16
1,20
Muestra 26
1,37
Muestra 7
1,40
Muestra 17
1,42
Muestra 27
1,16
Muestra 8
1,64
Muestra 18
1,45
Muestra 28
1,73
Muestra 9
1,77
Muestra 19
1,20
Muestra 29
1,62
Muestra 10
1,49
Muestra 20
1,98
Muestra 30
1,01
Si presentáramos esta información en una tabla de frecuencia obtendríamos una tabla de 30 líneas (una para cada valor), cada uno de ellos con una frecuencia absoluta de 1 y con una frecuencia relativa del
: En lugar de ello, preferimos agrupar los datos por intervalos, con lo que la información queda más resumida (se pierde, por tanto, algo de información), pero es más manejable e informativa: Ley
Frecuencias absolutas
Frecuencias relativas
%
Simple
Acumulada
Simple
Acumulada
x
x
x
x
x
1,01 - 1,10
1
1
3,3%
3,3%
1,11 - 1,20
3
4
10,0%
13,3%
1,21 - 1,30
3
7
10,0%
23,3%
1,31 - 1,40
2
9
6,6%
30,0%
1,41 - 1,50
6
15
20,0%
50,0%
1,51 - 1,60
4
19
13,3%
63,3%
1,61 - 1,70
3
22
10,0%
73,3%
1,71 - 1,80
3
25
10,0%
83,3%
1,81 - 1,90
2
27
6,6%
90,0%
1,91 - 2,00
3
30
10,0%
100,0%
El número de tramos en los que se agrupa la información es una decisión que debe tomar el analista: la regla es
4.3 Medidas de posición central Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos. Las medidas de posición son de dos tipos: a) Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos. b) Medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie.
a) Medidas de posición central
Las principales medidas de posición central son las siguientes: 1.- Media: es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas: a) Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:
Xm = (X1 * n1) + (X2 * n2) + (X3 * n3) + .....+ (Xn-1 * nn-1) + (Xn * nn) --------------------------------------------------------------------------------------n
b) Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto final se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra). Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.
La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada
2.- Mediana: Es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores). No presentan el problema de estar influido por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido). 3.- Moda: Es el valor que más se repite en la muestra.
Ejemplo: vamos a utilizar la tabla de distribución de frecuencias con los datos de las leyes del muestreo por canales.
Variable
Frecuencias absolutas
Frecuencias relativas
(%)
Simple
Acumulada
Simple
Acumulada
x 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29
x 1 4 4 2 1 2 3 3 4 3
x 1 5 9 11 12 14 17 20 24 27
x 3,3% 13,3% 13,3% 6,6% 3,3% 6,6% 10,0% 10,0% 13,3% 10,0%
x 3,3% 16,6% 30,0% 36,6% 40,0% 46,6% 56,6% 66,6% 80,0% 90,0%
1,30
3
30
10,0%
100,0%
Vamos a calcular los valores de las distintas posiciones centrales: 1.- Media aritmética:
(1,20*1) + (1,21*4) + (1,22 * 4) + (1,23 * 2) + ......... + (1,29 * 3) + (1,30 * 3) Xm =
-------------------------------------------------------------------------------------------------30
Luego: Xm = 1,253 Por lo tanto, la ley media de este grupo de muestras es de 1,253 % Cu.
2.- Media geométrica:
X = ((1,20^ 1) * (1,21^4) * (1,22^ 4) * .....* (1,29^3)* (1,30^3)) ^ (1/30)
Luego: Xm = 1,253 En este ejemplo la media aritmética y la media geométrica coinciden, pero no tiene siempre por qué ser así
3.- Mediana: La mediana de esta muestra es 1,26 , ya que por debajo está el 50% de los valores y por arriba el otro 50%. Esto se puede ver al analizar la columna de frecuencias relativas acumuladas. En este ejemplo, como el valor de la ley 1,26 se repite en 3 ocasiones, la media se situaría exactamente entre el primer y el segundo valor de este grupo, ya que entre estos dos valores se encuentra la división entre el 50% inferior y el 50% superior.
4.- Moda:
Hay 3 valores que se repiten en 4 ocasiones: el 1,21, el 1,22 y el 1,28, por lo tanto esta seria cuenta con 3 modas.
4.4 Medidas de posición no central Medidas de posición no centrales Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales: Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados. Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados. Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados.
Ejemplo: Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la ley del yacimiento. Los deciles y centiles se calculan de igual manera, aunque haría falta distribuciones con mayor número de datos. (Ley)
Simple
Acumulada
Simple
Acumulada
x 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30
x 1 4 4 2 1 2 3 3 4 3 3
x 1 5 9 11 12 14 17 20 24 27 30
x 3,3% 13,3% 13,3% 6,6% 3,3% 6,6% 10,0% 10,0% 13,3% 10,0% 10,0%
x 3,3% 16,6% 30,0% 36,6% 40,0% 46,6% 56,6% 66,6% 80,0% 90,0% 100,0%
1º cuartil: es el valor 1,22 ya que por debajo suya se sitúa el 25% de la frecuencia (tal como se puede ver en la columna de la frecuencia relativa acumulada). 2º cuartil: es el valor 1,26 ya que entre este valor y el 1º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuencia. 3º cuartil: es el valor 1,28 ya que entre este valor y el 2º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuencia. Además, por encima suya queda el restante 25% de la frecuencia.
4.5 Medidas de dispersión Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos dispersos. Existen diversas medidas de dispersión, entre las más utilizadas podemos destacar las siguientes: 1.- Rango: mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado y el valor más bajo. 2.- Varianza: Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatorio de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatorio obtenido se divide por el tamaño de la muestra.
La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.
3.- Desviación típica: Se calcula como raíz cuadrada de la varianza.
4.- Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media.
amos a utilizar la serie de datos de las leyes y vamos a calcular sus medidas de dispersión. Variable
Frecuencias absolutas
Frecuencias relativas
(Ley) x 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29
Simple x 1 4 4 2 1 2 3 3 4 3
Acumulada x 1 5 9 11 12 14 17 20 24 27
Simple x 3,3% 13,3% 13,3% 6,6% 3,3% 6,6% 10,0% 10,0% 13,3% 10,0%
1,30
3
30
10,0%
Acumulada x 3,3% 16,6% 30,0% 36,6% 40,0% 46,6% 56,6% 66,6% 80,0% 90,0% 100,0%
1.- Rango: Diferencia entre el mayor valor de la muestra (1,30) y el menor valor (1,20). Luego el
2.- Varianza: Recordemos que la media de esta muestra es 1,253. Luego, aplicamos la fórmula:
Por lo tanto, la varianza es 0,0010 3.- Desviación típica: Es la raíz cuadrada de la varianza
Luego:
4.- Coeficiente de variación de Pearson: Se calcula como cociente entre la desviación típica y la media de la muestra.
Cv = 0,0320 / 1,253 Luego,
Cv = 0,0255
El interés del coeficiente de variación es que al ser un porcentaje permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras. Esto no ocurre con la desviación típica, ya que viene expresada en las mismas unidas que los datos de la serie.
4.6 Distribuciones bidimensionales Las distribuciones bidimensionales son aquellas en las que se estudian al mismo tiempo dos variables de cada elemento de la población: Por ejemplo: Ley y profundidad de un yacimiento. Para representar los datos obtenidos se utiliza una tabla de correlación: X/Y
y1
y2
.....
ym-1
ym
x1
n1,1
n1,2
x
n1,m-1
n1,m
x2 .....
n2,1 x
n2,2 x
x x
n2,m-1 x
n2,m x
xn-1
nn-1,1
nn-1,2
x
nn-1,m-1
nn-1,m
xn
nn,1
nn,2
x
nn,m-1
nn,m
Las "x" representan una de las variables y las "y" la otra variable. En cada intersección de una valor de "x" y un valor de "y" se recoge el número de veces que dicho par de valores se ha presentado conjuntamente
Ejemplo: Medimos la ley y la profundidad de un muestreo y obtenemos los siguientes resultados Muestra x Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Muestra 5 Muestra 6 Muestra 7 Muestra 8 Muestra 9 Muestra 10
Ley x 1,25 1,28 1,27 1,21 1,22 1,29 1,30 1,24 1,27 1,29
Profun. x 32 33 31 34 32 31 34 32 32 35
Ley x Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Profun. x 1,25 1,28 1,27 1,21 1,22 1,29 1,30 1,24 1,27 1,29
Ley x 31 35 34 33 33 31 35 32 31 33
Profun. x Muestra 21 Muestra 22 Muestra 23 Muestra 24 Muestra 25 Muestra 26 Muestra 27 Muestra 28 Muestra 29 Muestra 30
Ley x 1,25 1,28 1,27 1,21 1,22 1,29 1,30 1,24 1,27 1,29
Profun. x 33 32 34 34 35 31 34 33 35 34
Esta información se puede representar de un modo más organizado en la siguiente tabla de correlación Ley / Prof.
31 m
32 m
33 m
34 m
35 m
1,21 % 1,22 % 1,23 % 1,24 % 1,25 % 1,26 % 1,27 % 1,28 % 1,29 % 1,30 %
0 0 0 0 1 0 2 0 3 0
0 1 0 2 1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0 1 1 0
2 0 0 0 0 0 2 0 1 2
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1
Tal como se puede ver, en cada casilla se recoge el número de veces que se presenta conjuntamente cada par de valores (x,y). Tal como vimos en las distribuciones unidimensionales si una de las variables (o las dos) presentan gran número de valores diferentes, y cada uno de ellos se repite en muy pocas ocasiones, puede convenir agrupar los valores de dicha variable (o de las dos) en tramos
4.7 Distribuciones marginales Al analizar una distribución bidimensional, uno puede centrar su estudio en el comportamiento de una de las variables, con independencia de como se comporta la otra. Estaríamos así en el análisis de una distribución marginal. De cada distribución bidimensional se pueden deducir dos distribuciones marginales: una correspondiente a la variable x, y otra correspondiente a la variable y.
Distribución marginal de X X x x1 x2 ..... xn-1 xn
ni. x n1. n2. ... nn-1. nn.
Distribución marginal de Y Y x y1 y2 ..... ym-1 ym
n.j x n.1 n.2 ... n.m-1 n.m
Ejemplo: a partir del ejemplo que vimos en la lección anterior (serie con las leyes y profundidad) vamos a estudiar sus distribuciones marginales. Ley / Prof.
31 m
32 m
33 m
34 m
35 m
1,21 % 1,22 % 1,23 % 1,24 % 1,25 % 1,26 % 1,27 % 1,28 % 1,29 % 1,30 %
0 0 0 0 1 0 2 0 3 0
0 1 0 2 1 0 1 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0 1 1 0
2 0 0 0 0 0 2 0 1 2
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1
Las variables marginales se comportan como variables unidimensionales, por lo que pueden ser representadas en tablas de frecuencias
a) Distribución marginal de la variable X (ley) Obtenemos la siguiente tabla de frecuencia: Variable (Ley) 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30
Frecuencias absolutas Simple Acumulada 3 3 0 3 3 0 6 3 6 3
3 6 6 9 12 12 18 21 27 30
Frecuencias relativas Simple Acumulada 10,0% 10,0% 0,0% 10,0% 10,0% 0,0% 20,0% 10,0% 20,0% 10,0%
10,0% 20,0% 20,0% 30,0% 40,0% 40,0% 60,0% 70,0% 90,0% 100,0%
b) Distribución marginal de la variable Y (profundidad) Obtenemos la siguiente tabla de frecuencia:
Variable (Prof.) 31 32 33 34 35
Frecuencias absolutas Simple Acumulada 6 6 6 12 6 18 7 25 5 30
Frecuencias relativas Simple Acumulada 20,0% 20,0% 20,0% 40,0% 20,0% 60,0% 23,3% 83,3% 16,6% 100,0%
4.8 Coeficiente de correlación lineal En una distribución bidimensional puede ocurrir que las dos variables guarden algún tipo de relación entre si. Por ejemplo, si se analiza la ley y la profundidad es muy posible que exista relación entre ambas variables: mientras más profundo se la muestra , mayor será la ley. El coeficiente de correlación lineal mide el grado de intensidad de esta posible relación entre las variables. Este coeficiente se aplica cuando la relación que puede existir entre las variables es lineal (es decir, si representáremos en un gráfico los pares de valores de las dos variables la nube de puntos se aproximaría a una recta).
No obstante, puede que exista una relación que no sea lineal, si no exponencial, parabólica, etc. En estos casos, el coeficiente de correlación lineal mediría mal l a intensidad de la relación las variables, por lo que convendría utilizar otro tipo de coeficiente más apropiado. Para ver, por tanto, si se puede utilizar el coeficiente de correlación lineal, lo mejor es representar los pares
El coeficiente de correlación lineal se calcula aplicando la siguiente fórmula:
Es decir: Numerador: se denomina covarianza y se calcula de la siguiente manera: En cada par de valores (x,y) se multiplica la "x" menos su media, por la "y" menos su media. Se suma el resultado obtenido de todos los pares de valores y este resultado se divide por el tamaño de la muestra. Denominador se calcula el producto de las varianzas de "x" y de "y", y a este producto se le calcula la raíz cuadrada.
Los valores que puede tomar el coeficiente de correlación "r" s o n : - 1 < r < 1 Si "r" > 0, la correlación lineal es positiva (si sube el valor de una variable sube el de la otra). La correlación es tanto más fuerte cuanto más se aproxime a 1. Por ejemplo: Profundidad y ley: A mayor profundidad mayor Ley. Si "r" < 0, la correlación lineal es negativa (si sube el valor de una variable disminuye el de la otra). La correlación negativa es tanto más fuerte cuanto más se aproxime a -1.
Si "r" = 0, no existe correlación lineal entre las variables. Aunque podría existir otro tipo de correlación (parabólica, exponencial, etc.) De todos modos, aunque el valor de "r" fuera próximo a 1 o -1, tampoco esto quiere decir obligatoriamente que existe una relación de causa-efecto entre las dos variables, ya que este resultado podría haberse debido al puro azar.
Ejemplo: vamos a calcular el coeficiente de correlación de la siguiente serie de datos de ley y profundidad: Muestra
Ley
Profun.
Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Muestra 5 Muestra 6 Muestra 7 Muestra 8 Muestra 9 Muestra 10
1,25 1,28 1,27 1,21 1,22 1,29 1,30 1,24 1,27 1,29
32 33 31 34 32 31 34 32 32 35
Ley Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra Muestra
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Profun.
Ley
Profun.
Ley
Profun.
1,25 1,28 1,27 1,21 1,22 1,29 1,30 1,24 1,27 1,29
31 35 34 33 33 31 35 32 31 33
Muestra 21 Muestra 22 Muestra 23 Muestra 24 Muestra 25 Muestra 26 Muestra 27 Muestra 28 Muestra 29 Muestra 30
1,25 1,28 1,27 1,21 1,22 1,29 1,30 1,24 1,27 1,29
33 32 34 34 35 31 34 33 35 34
Aplicamos la fórmula: (1/30) * (0,826) r = ---------------------------------------------------------(((1/30)*(0,02568)) * ((1/30)*(51,366)))^(1/2) Luego,
r = 0,719
Por lo tanto, la correlación existente entre
4.9 Regresión lineal Representamos en un gráfico los pares de valores de una distribución bidimensional: la variable "x" en el eje horizontal o eje de abscisa, y la variable "y" en el eje vertical, o eje de ordenada. Vemos que la nube de puntos sigue una tendencia lineal:
El coeficiente de correlación lineal nos permite determinar si, efectivamente, existe relación entre las dos variables. Una vez que se concluye que sí existe relación, la regresión nos permite definir la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos.
Una recta viene definida por la siguiente fórmula: y = a + bx Donde "y" sería la variable dependiente, es decir, aquella que viene definida a partir de la otra variable "x" (variable independiente). Para definir la recta hay que determinar los valores de los parámetros "a" y "b": El parámetro "a" es el valor que toma la variable dependiente "y", cuando la variable independiente "x" vale 0, y es el punto donde la recta cruza el eje vertical. El parámetro "b" determina la pendiente de la recta, su grado de inclinación
La regresión lineal nos permite calcular el valor de estos dos parámetros, definiendo la recta que mejor se ajusta a esta nube de puntos. El parámetro "b" viene determinado por la siguiente fórmula:
Es la covarianza de las dos variables, dividida por la varianza de la variable "x".
El parámetro "a" viene determinado por:
Es la media de la variable "y", menos la media de la variable "x" multiplicada por el parámetro "b" que hemos calculado.
PRONOSTICO DE PRECIOS La situ situac ació ión n de los los precio ecioss de vent enta a lar largo plaz plazo o es uno uno de los los prob proble lema mass mas mas difíc ifícil iles es del mode modelo lo económ onómic ico o, mas aun aun cuan cuand do la vida vida de la mina mina será erá de 20 a 30 año años lo que hace hace que que la pre predicc dicció ión n de todos todos los costos costos relac relacion ionado adoss a los preci precios os futuro futuross sea evalu evaluado ado cons constan tantem temen ente. te. EJEMPLO
No X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 136
Periodo 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Ctv Cu $/Lb Y 103,47 86,79 104,59 133,16 104,26 103,22 72,02 71,34 82,26 71,68 70,49 80,58 129,42 166,4 304,9 323,17 2007,75
X2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 1496
YX 103,47 173,58 313,77 532,64 521,3 619,32 504,14 570,72 740,34 716,8 775,39 966,96 1682,46 2329,6 4573,5 5170,72 20294,71
En base base al méto método do de los los mínim mínimos os cuad cuadra rado doss tene tenemo moss las sigu siguie ient ntes es ecua ecuaci cion ones es :
Calc Calcul ulan ando do el valo valorr de b:
Calculando el valor de a:
9,49
Estimando Y tenemos:
Y = 44,7635 + 9,49 x
44,76
