01 - PROGRAMACION ENTERA

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PROGRAMACION ENTERA

Ing. Manuel Sánchez Terán

INVESTIGACION DE OPERACIONES II

PROGRAMACION LINEAL CON VARIABLES ENTERAS

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INTRODUCCION

Un programa lineal entero es aquel en que algunas o todas las variables están restringidas a tener valores enteros (o discretos), o incluso están más restringidas tomando exclusivamente los valores 0 ó 1. El empleo de variables enteras hace más complejo el problema de programación lineal, debido a la ausencia de continuidad. Si todas las variables de decisión deben ser enteras, tenemos un problema de programación lineal entero puro (PE); si sólo algunas variables de decisión deben ser enteras, pudiendo ser continuas las demás, se trata de un problema de programación lineal entero mixto (PEM). Existen otras situaciones en la que todas o algunas de las variables enteras sólo pueden tomar valores de 0 ó 1 para encontrar una lógica adecuada y solucionar el problema. A estas variables se les llama variables binarias. Uno puede llegar a pensar que es más fácil encontrar la solución a un programa lineal entero que a uno continuo, después de todo, el número de soluciones continuas es infinito mientras que en las enteras es finito. Pero desafortunadamente no es así. Cuando se tiene un problema de dos variables se puede encontrar la solución óptima entera muy fácil a partir de la solución óptima continua utilizando el método gráfico y explorando las soluciones enteras cercanas dentro del área de soluciones factibles. Pero resulta que en la vida real (o sea aquella que está más allá de los problemas introductorios de los textos guías) los problemas muy pocas veces, tienen dos variables pues en un fenómeno por sencillo que sea tendrá muchísimas variables relevantes dentro de su comportamiento y el modelo matemático entre más se simplifique menos representativo será. Los problemas enteros son más difíciles de resolver que los continuos, aún no existe un algoritmo que pueda resolverlos en forma consistente; el más popular -por ahora- es este algoritmo, el de Ramificación y Acotamiento ( Branch And Bound ), la mayoría de los programas comerciales elaborados para resolver para problemas lineales enteros utilizan este algoritmo.

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APLICACIONES •

Cajeros a asignar en turnos de atención

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Camiones a comprar para reparto de mercadería

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Escritorios a elaborar para surtir un pedido

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Computadoras a reparar en una semana

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Acciones a comprar con propósito de inversión

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Tiraje de libros

SOLUCION POR REDONDEO O TRUNCAMIENTO

Una primera aproximación a la solución de cualquier programa puede obtenerse ignorando el requerimiento de variables enteras y resolviendo el programa lineal resultante. Si la solución óptima al programa lineal fuese entera, entonces esta solución es también la solución óptima al programa entero original. De otro modo se pueden redondear los componentes de la primera aproximación a los enteros factibles más próximos y obtener una segunda aproximación . Este procedimiento se emplea a menudo, especialmente cuando la primera aproximación involucra números muy grandes, pero puede ser inexacta cuando los números son pequeños*. * Una explicación más extendida sobre la considerac ión de la solución re dondeada se encuentra en la lectura suger ida del capítulo 7: Optimización con Enteros, Tema 1: Introducción a la optimización con enteros del libro INVESTIGACION DE OPERACIONES EN LA CIENCIA ADMINISTRATIVA de G.D. Eppen y otros PRENTICE-HALL, México 2000, página 289.


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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE Laureate International Universities


En este último caso, la solución a un problema entero no debe determinarse mediante el redondeo de los valores decimales que las variables adopten. Por ejemplo: Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará estantes decorativos. Estima que el modelo A requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible, mientras que el modelo B requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los estantes son $120 y $80, respectivamente. ¿Cuántos estantes de cada modelo debe fabricar con estos recursos si desea maximizar sus ingresos? 

Si las variables pudieran adoptar valores continuos B

6

Declaración de variables: A: # estantes del modelo A B: # estantes del modelo B Función objetivo: Max Z = 120A + 80B Restricciones: 2A + 1B ≤ 6 7A + 8B ≤ 28 A, B ≥ 0

5

4

3

2

Solución inicial: A = 2.22; B = 1.56; Z = $391.11

1

A 1



2

3

4

5

Reducción de la región factible considerando solamente enteros

Una vez realizada la gráfica de este problema, una solución entera obliga a la región factible a reducirse a una malla de puntos dentro de la región anterior. B

Declaración de variables: A: # estantes del modelo A B: # estantes del modelo B Función objetivo: Max Z = 120A + 80B Restricciones: 2A + 1B ≤ 6 7A + 8B ≤ 28 A, B ≥ 0, y enteros Solución inicial:

6

5

4

3

2

La solución anterior deja de ser factible 1

A 1

2

2

3

4

5





Solución por redondeo

Nótese que si se redondea la solución óptima con decimales se tendría que A = 2 y B = 2, pero este punto se encuentra fuera de la malla, así que no se la puede considerar siquiera como una solución factible. B

Declaración de variables: A: # estantes del modelo A B: # estantes del modelo B Función objetivo: Max Z = 120A + 80B

6

5

Restricciones: 2A + 1B ≤ 6 7A + 8B ≤ 28

4

3

A, B ≥ 0, y enteros Solución inicial: A = 2.22; B = 1.56; Z = $391.11 Solución por redondeo: A = 2; B = 2; No es una solución factible

2

1

A 1



2

3

4

5

Solución por truncamiento

El aparente punto solución sería el más cercano al óptimo continuo, sin embargo Z no llega al máximo: B

6

5

4

3

2

1

A 1


2

3

4

Declaración de variables: A: # estantes del modelo A B: # estantes del modelo B Función objetivo: Max Z = 120A + 80B Restricciones: 2A + 1B ≤ 6 7A + 8B ≤ 28 A, B ≥ 0, y enteros Solución inicial: A = 2.22; B = 1.56; Z = $391.11 Solución por redondeo: A = 2; B = 2; No es una solución factible Solución por truncamiento: A = 2; B = 1; Z=$320

5

3





Solución óptima

B

6

5

4

3

2

1

A 1



2

3

4

5

Declaración de variables: A: # estantes del modelo A B: # estantes del modelo B Función objetivo: Max Z = 120A + 80B Restricciones: 2A + 1B ≤ 6 7A + 8B ≤ 28 A, B ≥ 0, y enteros Solución inicial: A = 2.22; B = 1.56; Z = $391.11 Solución por redondeo: A = 2; B = 2; No es una solución factible Solución por truncamiento: A = 2; B = 1; Z=$320 Solución óptima: A = 3; B = 0; Z=$360

ALGORITMO DE RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO (BRANCH AND BOUND)

Ramificación

Si la primera aproximación contiene una variable que no es entera, digamos x i, entonces i 1 i 2 . Este proceso, denominado ramificación forma tal, que elimina de consideraciones posteriores la solución anterior no entera p ara x i pero conservando todas las posibles soluciones enteras al problema original.

Ejemplo: Como una primera aproximación al programa entero

Max Z = 10x 1 + x 2 Sujeto a:

2x 1+ 5x 2 < 11

(1)

x 1 y x 2 > 0, y enteros

Se considera el programa lineal eliminando la condición de que las variables sean enteras. Y se determina la siguiente solución: x 1 = 5.5, x 2 = 0, con Z = 55. Ya que 5 < x 1 < 6, por ramificación se crean los dos nuevos programas enteros:

4




2x 1+ 5x 2 < 11

(2)

x 1 < 5 x 1 y x 2 > 0, y enteros


2x 1+ 5x 2 < 11

(3)

x 1 > 6 x 1 y x 2 > 0, y enteros

Para los dos programas creados por el proceso de ramificación, se obtienen primeras aproximaciones ignorando nuevamente los requerimientos de enteros y resolviendo los programas lineales resultantes. Si cualquiera de las primeras aproximaciones es todavía no entera, entonces el programa que la produjo se vuelve candidato para seguir realizando ramificaciones. Z* = 50.2 2 x 1 < 5

Z* = 55

x 1 = 5 x 2 = 0.2

1 x 1 = 5.5 x 2 = 0

x 1 > 6

No factible

3

Encontramos que el programa (2) tiene la primera aproximación x 1 = 5, x 2 = 0.2, con Z = 50.2, mientras que el programa (3) no tiene solución factible. Entonces, el programa (2) es candidato para seguir realizando ramificaciones. Ya que 0 < x 2 < 1, se agregan a (2) x 2 < 0 ó x 2 > 1, y se obtienen los dos nuevos programas: Max Z = 10x 1 + x 2 Sujeto a:

2x 1+ 5x 2 < 11

(4)

x 1 < 5 x 2 < 0 (en el cual x 2 = 0) x 1 y x 2 > 0, y enteros


2x 1+ 5x 2 < 11

(5)

x 1 < 5 x 2 > 1 x 1 y x 2 > 0, y enteros Ing. Manuel Sánchez Terán

5



Z* = 50

4 x 2 < 0

Z* = 50.2

x 1 = 5 x 2 = 0

2 x 1 < 5

Z* = 55

x 1 = 5 x 2 = 0.2

Z* = 31

5

1 x 1 = 5.5 x 2 = 0

x 2 > 1

x 1 > 6

No factible

x 1 = 3 x 2 = 1

3

Ignorando los requerimientos de enteros, la solución al programa (4) es x 1 = 5, x 2 = 0, con Z = 50, mientras que la solución al programa (5) es x 1 = 3, x 2 = 1, con Z = 31. Ya que ambas primeras aproximaciones son enteras, no es necesario continuar las ramificaciones.

Acota mi en to Considérese que la función objetivo ha de maximizarse. El proceso de ramificación se continúa hasta que se obtiene una primera aproximación entera (o sea, pues, una solución entera). El valor de la función objetivo para esta primera solución entera se vuelve una cota inferior para el problema y todos los programas cuyas primeras aproximaciones, enteras o no, den valores de la función objetivo menores que la cota inferior, se descartan. El programa (4) tiene una solución entera con Z = 50; entonces, 50 se vuelve una cota inferior para el problema. El programa (5) tiene una solución con Z = 31. Ya que 31 es menor que la cota inferior de 50, el programa (5) se elimina en cuanto a consideraciones posteriores y se le habría eliminado de esta forma aun si su primera aproximación hubiera sido no entera. La ramificación se continúa a partir de aquellos programas que tengan primeras aproximaciones no enteras y que den valores a la función objetivo, mayores que la cota inferior. Si durante el proceso se descubre una nueva solución que tenga un valor de la función objetivo mayor que la cota inf erior actual, entonces este valor de la función objetivo se vuelve la nueva cota inferior. El programa que proporcionó la cota inferior anterior se elimina, así como todos aquellos programas cuyas primera aproximaciones dan valores de la función objetivo menores que la nueva cota inferior. El proceso de ramificación continúa hasta que ya no haya bajo consideración programas con primeras aproximaciones no enteras. En este punto, la solución actual de cota inferior es la solución óptima al programa entero inicial. Si la función objetivo ha de minimizarse, el procedimiento es el mismo, excepto que se emplean cotas superiores . Así, el valor de la primera solución entera se vuelve una cota superior para el problema y se eliminan los programas cuando sus valores Z de primera aproximación son mayores que la cota superior actual.

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Consideraciones para los cálculos Siempre se realizan las ramificaciones a partir de aquel programa que parece estar más cerca del valor óptimo. Cuando existen varios candidatos para continuar las ramificaciones, se selecciona aquél que tenga el mayor valor Z, si se va maximizar la función objetivo, o aquél que tenga el menor valor Z, si se va a minimizar la función objetivo. Las restricciones adicionales se agregan una a una. Si una primera aproximación incluye a más de una variable no entera, las nuevas restricciones se imponen a aquella variable que esté más lejos de ser un entero; esto es, aquella variable cuya parte fraccionaria esté más cerca de 0.5. En caso de empate, se selecciona arbitrariamente una de las variables. Finalmente, es posible que un programa entero o un programa lineal tengan más de una solución óptima. En ese caso, se selecciona arbitrariamente a una de las soluciones como la óptima y dejando a un lado las demás.


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01 - PROGRAMACION ENTERA

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