S A R O G Á T I P ”
DEFINICIÓN: Es parte de la Teoría de los Números, que consiste en averiguar si un número es divisible por otros, sin necesidad de realizar la operación de división.
DEFINICIONES PREVIAS: ❖
Múltiplo: Se dice que un número entero es múltiplo de otro entero positivo llamado modulo, si el primero es el resultado de multiplicar el segundo por otro factor entero.
A B A mB o A B o
Notación:
Se lee: • • •
❖
A es múltiplo múltiplo de B. B es factor de A. B es submúltiplo de A.
Divisor: Se denomina divisor de un número a cualquier valor que lo divide exactamente mediante una división entera.
Ejemplo:
C. Si un múltiplo de “n”, se eleva a un exponente entero y positivo, el resultado será un múltiplo de “n”.
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
S A R O G Á T I P ”
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: Son reglas que permiten determinar si un número n úmero entero es divisible por otros (módulos), en caso contrario se podrá hallar el residuo que dejaría al dividirlos. ❖
Divisibilidad por 2: o
S A R O G Á T I P ”
Sea: N abcdef
N2
f
0; 2; 4; 6; 8
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
S A R O G Á T I P
❖
Divisibilidad por 3: Sea: o
N abcdef
N3
o
ab c d e f
3
”
❖
Divisibilidad por 4: o
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
Sea: ❖
N4
o
2e f
f
4
Divisibilidad por 5: o
”
“
Sea: N abcdef
S A R O G Á T I P A I M E D A C A A S O I R O L G
N abcdef
❖
N5
0; 5
Divisibilidad por 7: Sea:
N
abcdef ,
entonces se cumple:
S A R O G Á T I P ”
NOTA:
El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo. ➢ A la unidad se le conoce como divisor universal. ➢ Todo número entero positivo es divisible por sí mismo. ➢ Un número entero negativo “puede” ser múltiplo de un número entero positivo. ➢
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
S A R O G Á T I P “
A I M E D A C A A S O I R O L G
S A R O G Á T I P
A. La adición o sustracción de múltiplos de un mismo número siempre es igual a un múltiplo del mismo número.
Divisibilidad por 8: o
Sea:
”
”
PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD:
❖
❖
N abcdef
N8
o
4d 2e f
8
Divisibilidad por 9: Sea: o
N abcdef ❖
N9
o
abc d e f
9
Divisibilidad por 11: Sea:
N
abcdef ,
entonces se cumple:
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
S A R O G Á T I P
❖
Divisibilidad por 13:
”
B. La multiplicación de un múltiplo de “n” por un entero, da como producto un múltiplo de “n”.
PRIMERO GRADO
Sea:
N
abcdef ,
entonces se cumple:
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
Profesor: Martín H. P.
1
S A R O G Á T I P ”
o
10.Hallar 10. Hallar “n”:
n 3
n 1 n 2n
11
“
o
1. Halla “a”, si: si :
a722 a7222 2
A) 3 D) 6
11
B) 4 E) 7
C) 5
S A R O G Á T I P
25a3
A) 3 D) 7
9
B) 6 E) 4
C) 8
o
abc
2,
halle el máximo valor de “a + b + c”.
S A R O G Á T I P “
A) 24 D) 28
B) 26 E) 29
C) 27
o
4. Calcula el mayor valor de “x”, si: A) 6 D) 8
301x
”
C) 3
o
A) 3 D) 7
n 1 n 2 n 11 B) 4 E) 6 o
8n8
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
S A R O G Á T I P ”
C) 5
6. Halla el mayor valor de “n”, si:
A I M E D A C A A S O I R O L G
S A R O G Á T I P
3
B) 7 E) 9
5. Halla el valor de “n”:
6
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
S A R O G Á T I P ”
A) 8 D) 0
B) 2 E) 7
C) 9
7. Halla “x”, si se sabe que:
7 x
2
3
S A R O G Á T I P ”
o
o
B)
3
C) 3
o
2x45y 11.Calcula 11.Calcula el valor de “x”, si: 2x4
72
A) 2 D) 5
B) 4 E) 3
C) 1
12.Calcula 12. Calcula el residuo de dividir: S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 60, entre 7. A) 1 D) 3
B) 5 E) 6
C) 2
o
13.Si: 13. Si:
a a 1 a 7,
calcula el valor de “a”
A) 4 D) 7
B) 3 E) 1
C) 6
14.Calcula 14. Calcula la suma de los valores que puede tomar “m”, si : o
847m2
4
A) 13 D) 15
B) 24 E) 12
C) 25
15.Halla 15.Halla la suma de los valores de “a”, si: si : o
a
5
a
3 a a
2
3
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
o
A)
B) 2 E) 5
“
A I M E D A C A A S O I R O L G ”
3. Si:
A) 1 D) 4
”
o
2. Calcula “a”, si:
A I M E D A C A A S O I R O L G
o
C)
3 1
3 2
A) 11 D) 9
B) 4 E) 12
C) 7
16.Una 16. Una revista tiene más de 14 páginas y menos de 26. Si el número de páginas es múltiplo de 4 y múltiplo de 6, ¿cuántas páginas tiene la revista?
“
o
D) 3 2
A I M E D A C A A S O I R O L G
E) N.A. o
8. Si: 1a 2a 3a ... Hallar el valor de: “a” A) 0 D) 5
10a
9
”
B) 8 E) 7
C) 6
9. Halla “a”, “b” y “c” si: s i: o
o
o
”
A) 5; 6 y 7 D) 6; 7 y 8
PRIMERO GRADO
B) 8; 7 y 5 E) 2; 3 y 8
“
C) 2; 3 y 4
B) 18 E) 25
C) 20
17.¿Cuántos 17. ¿Cuántos números múltiplos de 7 pero no de 13 existen entre 3000 y 5000?
“
A I M E D A C A A S O I R O L G
S A R O G Á T I P
abc 9 ; ccbba 5 y ca 13 Hallar el valor de: “a”
S A R O G Á T I P
A) 12 D) 24
A I M E D A C A A S O I R O L G
A) 264 D) 363
B) 242 E) 286
C) 135
18.En 18. En un barco se observó que la quinta parte de las mujeres son casadas y la séptima parte de ellas tienen hijos. Calcula cuántos varones hay, si el total de personas es 50. A) 13 D) 16
B) 14 E) 17
C) 15
Profesor: Martín H. P.
2