02 MTC Dispersion Asimetria Curtosis

UNIFÉ

Administración de Negocios Internacionales

Estadística

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Definición: Las medidas de tendencia central son valores numéricos que tienden a localizar, en algún sentido, la parte central de un conjunto de datos. A menudo el término promedio se se asocia a estas mediciones. Cada una de las diferentes medidas de tendencia central puede recibir el nombre de valor medio o promedio. Dado un conjunto de datos se tratará de buscar una representación de ellos, que de manera condensada nos permita tener una idea global de ese conjunto. Así:

• • •

Conocer el dato que aparece con mayor frecuencia f recuencia en el conjunto. Saber cuál es el número que está a igual distancia de los valores máximo y mínimo. Conocer la media de los datos, es decir el número que resultaría de repartir el total de los datos equitativamente entre el número de individuos.

Las principales medidas de tendencia central son: Media Aritmética ( x ) Mediana (Me)

Moda (Mo)

MEDIA ARITMÉTICA Es el valor que tomaría cada uno de los datos si el total de los valores se repartiera uniformemente entre el número de ellos. La media aritmética es una medida muy precisa, por lo menos bajo ciertas circunstancias, por ejemplo, cuando la presencia de valores extremos no es significativa. La media aritmética juega un papel importante en la estadística descriptiva, pero por ser una medida de alta precisión, su rol es fundamental en la estadística inferencial.

Notación: Media poblacional Media muestral

µ

: :

x

,

M(X )

Media aritmética poblacional: La media aritmética aritmética de N números números tales como X 1 , X2 , ....... , XN se define como la suma de los valores de los N números, divididos entre N. N

µ =

∑ Xi

i =1

N

Ejemplo: Los totales anuales, en miles de millones de dólares, para las exportaciones agrícolas de cierto país del 2000 al 2009 son las siguientes: 21.9

21.9

23.0

23.6

29.4

34.7

41.2

43.3

39.1

33.

Determinar la media si los datos constituyen una población: 10

⇒

µ =

∑ Xi

i =1

10

=

311.8 = 31.18 10

Entonces, en promedio las exportaciones agrícolas durante dicho periodo han sido de aproximadamente 31.18 millones de dólares.

Gladys Enríquez Mantilla

50

UNIFÉ


Estadística Media aritmética muestral: x para datos sin agrupar: (Media aritmética simple). La media aritmética aritmética de n números tales tales como X 1 , X2 , ....... , Xn se define como la suma de los valores de los n números, divididos entre n. n ∑ Xi x = i=1 n Ejemplo: Las edades correspondientes a cinco alumnas de la Unifé son las siguientes: 23 , 27 , 19 , 24 , 21

⇒

5 ∑ Xi X = i =1 5

=

Calcular la edad promedio.

23 + 27 + 19 + 24 + 21 5

= 22,8 años.

x para datos agrupados: (Media aritmética ponderada). Sean X1 , X2 , ....... , Xk valores de la variable X con sus respectivas frecuencias frecuencias absolutas f 1 , f 2 , ...... , f k , la media de X se calcula mediante: Usando frecuencias absolutas:

Usando frecuencias relativas:

k

k

∑ Xi f i x = i =1

x =

∑ X i hi i =1

n

Ejemplos: 1.-

La siguiente tabla muestra la distribución del peso de un grupo de personas. Calcular e interpretar el promedio aritmético del peso. Peso Xi

Nº personas fi 7 12 9 14 6 n = 48

58 65 70 72 78 Total 2.-

5 ∑ f i X i 3292 = = 68,58 ≅ 69 kilos. X = i =1 48 48 En promedio estas personas tienen un peso aproximado de 69 kilos.

Un grupo de personas han sido clasificadas de acuerdo a su edad, obteniéndose los siguientes resultados. Edad Xi 18 20 24 27 30 Total

Nº de Personas f i 4 12 6 10 2 n = 34


hi 0,12 0,35 0,18 0,29 0,06 1,00

5 X = ∑ hi X i = 23,11 ≅ 23 años i =1

51

UNIFÉ


Estadística Media aritmética muestral: x para datos sin agrupar: (Media aritmética simple). La media aritmética aritmética de n números tales tales como X 1 , X2 , ....... , Xn se define como la suma de los valores de los n números, divididos entre n. n ∑ Xi x = i=1 n Ejemplo: Las edades correspondientes a cinco alumnas de la Unifé son las siguientes: 23 , 27 , 19 , 24 , 21

⇒

5 ∑ Xi X = i =1 5

=

Calcular la edad promedio.

23 + 27 + 19 + 24 + 21 5

= 22,8 años.

x para datos agrupados: (Media aritmética ponderada). Sean X1 , X2 , ....... , Xk valores de la variable X con sus respectivas frecuencias frecuencias absolutas f 1 , f 2 , ...... , f k , la media de X se calcula mediante: Usando frecuencias absolutas:

Usando frecuencias relativas:

k

k

∑ Xi f i x = i =1

x =

∑ X i hi i =1

n

Ejemplos: 1.-

La siguiente tabla muestra la distribución del peso de un grupo de personas. Calcular e interpretar el promedio aritmético del peso. Peso Xi

Nº personas fi 7 12 9 14 6 n = 48

58 65 70 72 78 Total 2.-

5 ∑ f i X i 3292 = = 68,58 ≅ 69 kilos. X = i =1 48 48 En promedio estas personas tienen un peso aproximado de 69 kilos.

Un grupo de personas han sido clasificadas de acuerdo a su edad, obteniéndose los siguientes resultados. Edad Xi 18 20 24 27 30 Total

Nº de Personas f i 4 12 6 10 2 n = 34


hi 0,12 0,35 0,18 0,29 0,06 1,00

5 X = ∑ hi X i = 23,11 ≅ 23 años i =1

51

UNIFÉ


Estadística Nota:

En el caso de intervalos Xi es la marca de clase.

Ejemplos: 1.-

La siguiente es la distribución del número de accidentes registrados durante 60 meses en cierta ciudad. Nº Accident. Ii : ´[L i-1 i-1 - L i] 10 20 30 40 50 60 Total

2.-

– – – – – –

19 29 39 49 59 69

Nº meses f i 2 10 4 16 20 8 n = 60

Xi 14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 -

X =

6 ∑ f i X i i =1 60

=

2730 = 45,5 ≅ 46 accidentes. 60

Calcular el promedio aritmético de la siguiente distribución de frecuencias. Peso Ii : [L i-1 i-1 - L i[ 50 – 55 55 – 60 60 – 65 65 - 70 Total

Nº alumnos f i 2 10 4 8 n=

hi

Xi 5 X = ∑ hi X i i =1 X =

Nota:

•

La media aritmética es la medida de tendencia central más comúnmente usada. Sin embargo, no es siempre ideal usarla como un promedio, porque es muy sensible a los valores extremos.

Ejemplo: Calcular la edad promedio de cinco personas, cuyas edades son: 135 = 27 años 18 20 19 23 55 ⇒ X = 5 Ejemplo: Tabla Incompleta. Completar la siguiente tabla de distribución de frecuencias, para la información dada: x = 50  Xi : edad f 1 = 4 f 2 - f 5 = 2 X1 = 10 u.e.: personas f 3 = 20 Simétrica k=5 Solución: Edad [L i-1 i-1-L i[ 0- 20 20- 40 40- 60 60- 80 80-100

E. prom Xi 10 30 50 70 90

Nº pers. Prop. pers f i hi 4 0,10 6 0,15 20 0,50 6 0,15 4 0,10 40 1,00

TOTAL x=

∑ f i Xi n

⇒

n× x =

% pers. hi% 10 15 50 15 10 100

Nº pers. Fi 4 10 30 36 40 -

Prop. Pers Hi 0,10 0,25 0,75 0,90 1,00 -

% pers. Hi% 10 25 75 90 100 -

∑ f i X i

2000 = 4x10 + 6(X1+A)+ 20(X1+2A)+ 6(X1+3A)+ 4(X1+4A) A = 20


52

UNIFÉ


Estadística

MODA (Mo) Es el valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia. Una distribución de frecuencias puede ser ser unimodal unimodal (una (una moda), bimodal (dos modas) modas) , ............ , multimodal multimodal (n modas). Ocasionalmente encontramos algunas de estas distribuciones en las ciencias sociales, siendo las bimodales más frecuentes.

Mo para datos no agrupados: La Moda es el dato que más se repite. Ejemplo: Seis personas presentan las edades siguientes: 25 2 5 , 18 , 20 , 25 , 30 , 25 Calcular e interpretar la Moda. ⇒

Mo = 25 años

La mayoría de estas personas tienen 25 años.

Mo para datos agrupados sin intervalos: Se ubica la máxima frecuencia absoluta simple ( f i ) , la moda es el valor de la variable que presenta dicha frecuencia. Ejemplo: Hallar e interpretar la moda de la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Nº de PCs vendidas Xi 20 22

Nº de meses f i 5 7

24

10

30 32

6 8

Máx f i = 10 ⇒ Mo = 24 PCs

En la mayoría de los meses meses se vendieron vendieron 24 computadoras. Sólo la Moda Moda tiene significado para variables cualitativas nominales.

Nota:

Ejemplos: 1.-

Hallar e interpretar la moda de la siguiente tabla de distribución de frecuencias. Profesiones Xi Economistas Ingenieros

Nº de personas fi 7 11

Administradores

23

Contadores Máx fi = 23

9 ⇒

Mo = Administradores Administradores

La mayoría de personas p ersonas entrevistadas son administradores.


53

UNIFÉ


Estadística 2.-

Interpretar la moda de la siguiente tabla de distribución de frecuencias correspondiente correspondiente a la importación de equipos informáticos:

2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Nº equipos (en miles) 5 47 55 96 145 170 190

2009

220

2010

160

Año

Máx f i = 220 ⇒ Mo = 2009 La mayor cantidad de equipos informáticos se importaron durante el año 2009.

Mo para datos agrupados con intervalos: En la columna de las frecuencias absolutas simples se ubica la máxima frecuencia; entonces el intervalo que posee dicha frecuencia es el intervalo modal, es decir el intervalo al cual va a pertenecer la moda. Máxima frecuencia =

f j

⇒

La mediana pertenece al intervalo I j

Luego se se aplica la siguiente fórmula: fórmula:

  ( f j − f j−1 )   Mo = LRI j + A j  ( f − f ) + ( f − f )  j−1 j+1  j  j donde:

LRI j : es el límite límite real real inferior inferior del del intervalo intervalo modal. modal. A j

: es la amplitud del intervalo modal.

f j

: es la mayor frecuencia absoluta simple.

Ejemplos: 1.-

La siguiente tabla muestra la distribución de las edades de un grupo de personas. Calcular e interpretar la moda. I 5

Entonces:   (15 − 9 ) Mo = 72 + 18   = 78,75  (15 − 9 ) + (15 − 5 )  La mayoría de estas personas tiene aproximadamente 79 años.


54

UNIFÉ


Estadística 2.-

Los siguientes datos corresponden al número de impresoras que se han vendido en una tienda durante los últimos tres meses. Nº impresoras : Nº de días :

20-39 8

40-49 22

50-59

30

60-80 16

81-96 14

Calcular e interpretar la moda. Entonces:   ( 30 − 22 ) Mo = 49.5 + 10   = 53.14 − + − ( 30 22 ) ( 30 16 )   En la mayoría de días se han vendido aproximadamente 53 impresoras.

MEDIANA (Me) Es el valor que divide al total de las observaciones, ordenadas en forma ascendente o descendente en dos partes de igual tamaño. Es decir que a uno y otro lado de la mediana se encuentra no más del 50% del total de las observaciones.

Me para datos no agrupados: Los datos originales X i se ordenan en forma ascendente o descendente.

a)

Si n es impar:

La mediana es igual al valor del término central.

Me = X n + 1 2

Ejemplo: Los periodos de tiempo, en minutos, que doce clientes esperaron en la cola de un Banco antes de ser atendidos fueron: 5

5

11

10

8

5

Variable Unidades estadísticas ⇒ Ordenando los datos:

10

4

10

6

10

: :

Tiempo de espera (minutos) Clientes.

4 , 5 , 5 , 5 , 6 , 8 , 10 , 10 , 10 , 10 , 11 Me = 8 min utos.

El 50% de los clientes esperaron menos de 8 minutos mientras que el otro 50% esperó 8 minutos o más.


55

UNIFÉ


Estadística b)

Si n es par:

La Mediana es igual a la media aritmética de los dos valores centrales. Xn + Xn Me =

2

2

+1

2

Ejemplo: Seis alumnas del tercer ciclo del programa de Administración de Negocios Internacionales de la Unifé obtuvieron las siguientes notas en estadística: 15 , 05 , 20 , 16 , 09 , 12 Calcular e interpretar la mediana. ⇒

Ordenando los datos: 05 , 09 , 12 , 15 , 16 , 20 Me =

12 + 15 2

= 13,5 puntos.

El 50% de las alumnas obtuvieron una nota inferior a 13,5; el 50% restante obtuvo una nota de 13,5 o más. Nota: • La Mediana es un promedio adecuado en los casos en que se presenten valores extremos (muy alto o muy pequeño).

Ejemplo: El número de e-mails que recibieron cada uno de los empleados de una compañía se muestran a continuación: 50 , 35 , 20 , 65 , 22 , 98 , 38 Calcular e interpretar la Mediana. Ordenando los datos: 20 , 22 , 35 , 38 , 50 , 65 , 98

⇒ Me = 38 e-mails.

La mitad de estos empleados han recibido menos de 38 e-mails; la otra mitad ha recibido al menos 38 e-mails.

Me para datos agrupados: Variable cualitativa ordinal. Si la variable es cualitativa ordinal, la mediana se encuentra en el n/2 lugar, por lo tanto se ubica dicho lugar en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas F i . Ejemplo: La siguiente tabla presenta la distribución de un grupo de alumnos elegidos en forma aleatoria clasificados según su ciclo de estudios. Ciclo de Estudios 1ero. 2do.

3ero. 4to.

Nº alumnos 4 2 6 3

F i 4 6 12 15

n = 7,5 = 8vo. lugar 2 ⇒ Me = 3ero.

El 50% de los alumnos está como máximo en 2do. Ciclo, el 50% restante está como mínimo en tercer ciclo.


56

UNIFÉ


Estadística Me para datos agrupados sin intervalos: n se encuentra ubicado entre dos frecuencias absolutas acumuladas: 2 n < F j F j−1 < ⇒ Me = X j 2 Ejemplo:

a)

Cuando

Nº trabajadores

Nº empresas

120 180

6 8 9 7

220 250

F i 6 14 23 30

n = 15 = 15vo. lugar 2 ⇒

Me = 220 trabajadores

El 50% de las empresas tienen menos de 220 trabajadores, el resto tienen 220 a más trabajadores. n coincide con una frecuencia absoluta acumulada: 2 X j−1 + X j n < F j F j−1 = ⇒ Me = 2 2 Ejemplo: F j −1

b)

Cuando

Nº hijos

Nº señoras

1 X j−1 = 2

6 9

15

X j = 4

7

22

5

8

30

Fi 6

n = 15 = 15vo. lugar 2 F j

⇒ Me =

2+4 = 3 hijos 2

Me para datos agrupados con intervalos: Se determina el intervalo mediano, es decir el intervalo que va a contener a la mediana, n ubicando en la columna de las frecuencias acumuladas el lugar mediante: 2

F j−1 ≤

n < F j 2

⇒

Me ∈ I j

Luego se aplica la fórmula:

 n   2 − F j−1  Me = LRI j + A j   f j     donde:

LRI j : es el límite real inferior del intervalo mediano. A j

: es la amplitud del intervalo mediano.


57

UNIFÉ


Estadística Ejemplo: Temperatura. ( °C ) 10-15 15-18

Nº días 8 9 12 7

18-25 25-30 F2 <

n < F3 ⇒ 2

Fi

Me ∈ I3

n = 18 = 18vo. lugar 2

8 17 29 36

 18 − 17  Me = 18 + 7   = 18,58  12 

⇒

En el 50% de los días se registro una temperatura por debajo de los 19 °C, en el resto de los días hubo una temperatura superior o igual a los 19 °C.

Se tienen los siguientes datos correspondientes a las notas en el curso de matemática de un grupo de estudiantes: 14 10

12 13

10 16

11 12

17 8

12 12

9 11

11 13

13

1.

Digitar los datos en la columna C1.

2.

Stat – Basic Statistics – Display Descriptive Statistics…

Clic en Statistics… 3.

12

Clic en OK y luego en OK.

El resultado obtenido será:


58

UNIFÉ


Estadística

MEDIDAS DE POSICIÓN Las medidas de tendencia central a veces son insuficientes sobre todo cuando en ocasiones se desea presentar el análisis con respecto a la posición que ocupa la información que para nosotros resulta relevante. Se les llama también medidas de localización. Las medidas de posición permiten el cálculo del valor de la variable que ocupa una cierta posición relativa respecto del conjunto total d e los valores observados. Las principales medidas de posición son: Cuartiles Deciles Percentiles

: : :

k = 4 partes iguales. k = 10 partes iguales. k = 100 partes iguales.

CUARTILES: Son medidas de posición que dividen al total de los datos ordenados, en cuatro partes iguales. De esta forma entre dos cuartiles consecutivos se encuentra ubicado no más del 25% del total de los datos.

El Q3 supera al 75% de los datos y es superado por el 25%.

DECILES: Son valores que dividen al total de los datos ordenados, en diez partes iguales; de modo que en cada una de estas partes se encuentre ubicado no más del 10% del total.

El D 4 supera al 40% de los datos y es superado por el 60%.

PERCENTILES: Son valores que dividen al total de los datos ordenados, en cien partes iguales: de manera que en cada una de estas partes se encuentre ubicado no más del 1% del total. De esta manera se puede establecer la siguiente relación entre cuartiles, deciles y percentiles así como también con la mediana. Q1 = P25


Q 2 = D 5 = P50 = Me

Q 3 = P75

59

UNIFÉ


Estadística Percentiles para datos agrupados sin intervalos: a)

k×n se encuentra ubicado entre dos frecuencias absolutas acumuladas: 100 n < F j ⇒ Pk = X j F j−1 < 2 Ejemplo:

Cuando

Nº empresas Nº de fi trabajadores 5 3

Fi 3

12

7

10

15 20 25 Total

5 3 2

15 18 20

Calcular e interpretar el P25 k×n 25 × 20 = = 5to. lugar 100 100 ⇒

P25 = 10 trabajadores

n = 20

El 25% de las empresas tienen como máximo 10 trabajadores, el 75% restante tienen más de 10 trabajadores.

b)

k×n coincide con una frecuencia absoluta acumulada: 100 X j−1 + X j k×n < F j F j−1 = ⇒ Pk = 100 2 Ejemplo:

Cuando

Nº empresas Nº de fi trabajadores 5 3 12 7

Fi 3 10

15 20

5 3

15 18

25 Total

2

20

n = 20

Calcular e interpretar el P75

k×n 75 × 20 = = 15vo. lugar 100 100

⇒ P75 =

15 + 20 = 17.5 2

P75 = 18 trabajadores aprox.

El 75% de las empresas tienen 18 trabajadores o menos, mientras que el 25% restante tienen más de 18 trabajadores.


60

UNIFÉ


Estadística Percentiles para datos agrupados en intervalos: Se determina el intervalo que va a contener al percentil, ubicando en la columna de las kn kn < F j frecuencias acumuladas el lugar mediante: F j−1 ≤ ⇒ Pk ∈ I j 100 100

Luego se aplica la fórmula:

 kn   100 − F j−1  Pk = LRI j + A j   f j    

LRI j : límite real inferior del intervalo al cual pertenece el percentil. A j

: amplitud del intervalo al cual pertenece el percentil.

Ejemplo: La siguiente tabla de frecuencias corresponde a la distribución de 42 días de acuerdo a la temperatura que se registró en cada día. a)

El 35% correspondiente a los días con menor temperatura. ¿Qué temperatura presentó como máximo? Tempe ratura. ( °C ) 10-15

Fi

8

8

15-18

9

17

18-25 25-30 30-34 Total

12 7 6 n = 42

29 36 42

F1 < 15 < F2 ⇒

P35 ∈ I2

 15 − 8  = 17.33 ºC P35 = 15 + 3  9  

Luego: b)

35 × 42 = 14.7 = 15vo. lugar 100

Nº días

Hallar la temperatura mínima y máxima para el 50% central de los días.

⇒

El 50% central deja a ambos lados un 25%, entonces para responder a esta pregunta deberán calcularse los percentiles: P25 y P75

25 × 42 = 10.5 = 11 vo. lugar 100 ⇒

75 × 42 100

⇒

< 11 < F2 ⇒ P25 ∈ I2

 11 − 8  P25 = 15 + 3   = 16  9 

= 31.5 = 32 lugar ⇒

⇒ F1

⇒ F3

< 32 < F4

⇒

P75 ∈ I4

 32 − 29  P75 = 25 + 5   = 27.14 7  

El 50% central de los días presenta una temperatura mínima de 16 ºC y una temperatura máxima de 27.14 ºC.


61

UNIFÉ


Estadística

Para calcular sólo un Percetil: Se tienen los siguientes datos correspondientes a las notas en el curso de matemática de un grupo de estudiantes: 14 10 1.

12 13

Digitar los datos en la columna C1.

10 16

11 12

17 8

12 12

9 11

11 13

13

12

2. Calc – Calculator…

En Funciones seleccionar Statistics y luego en la parte inferior buscar Percentile a continuación clic en Select. 3. Aparece:

4.

Luego hacer los siguientes cambios: (para calcular P25 )

Al hacer clic en OK aparece el resultado de P25 en la columna C2 ⇒ 10.75


62

UNIFÉ


Estadística

Para calcular varios Percentiles a la vez: Se tienen los siguientes datos correspondientes a las puntuaciones en motivación de un grupo de estudiantes: 65 65 67 72 67 69 1.

4.

75 67 74 70 71 71

64 75 73 54 80 51

76 70 82 58 66 82

73 60 50 65 57 56

63 76 62 68 55 64

76 74 74 52 64 70

66 78 66 64 77 64

71 78 65 63 52 65

72 71 60 58 65 66

Digitar los datos en la columna C1 y en la columna C2 escribir los Percentiles a calcular. 2.

Calc – Calculator…

3.

Clic en OK

Los Percentiles calculados aparecerán en la columna C3.


63

UNIFÉ


Estadística EJERCICIOS PROPUESTOS Media Aritmética - Moda – Mediana - Percentiles

1.-

Una empresa que vende microcomputadoras ha llevado a cabo un estudio, sobre una muestra de 200 empresas, encontrando al 28-02-10 los siguientes resultados: Volumen de Ventas Mensuales (miles de soles) 100-140 140-180 180-220 220-260 260-300 300-340 a) b) c) d) e)

2.-

24 50 72 30 16 8

Calcular e interpretar la media aritmética. ¿Cuál es el volumen de ventas mensuales de la mayoría de empresas? Hallar el volumen mínimo de las quince empresas de mayores ventas. Calcular el volumen bajo el cual se encuentran ubicadas la mitad de estas empresas. El 15% correspondiente a las empresas con mayores ventas, ¿cuánto vendieron como mínimo?

La siguiente tabla de distribución de frecuencias muestra la edad de un grupo de personas.

a) b) c) d) 3.-

Número de Empresas

L i − L s

10-20

20-30

30-40

40-50

fi

24

30

17

20

¿Bajo qué edad se encuentra el 35% correspondiente a los más jóvenes? Hallar la edad mínima del quinto superior. Hallar las edades mínima y máxima del 60% central de estas personas. Hallar el peso mínimo de las 15 personas que presentan mayor peso.

Los datos adjuntos indican los totales quincenales, en dólares, invertidos por una muestra de 50 empleados en un plan de beneficencia compartida: Monto de la Inversión 30 – 35 35 – 48 48 – 56 56 – 62 62 – 77 77 -80 a) b) c) d)

Nº de empleados 5 11 14 8 5 7

Hallar los montos de inversión mínimo y máximo del 50% central de los empleados. ¿Cuál fue el monto de inversión promedio? Hallar el monto de inversión mínimo para los diez empleados que más invirtieron. ¿Cuánto invirtió el 15% inferior de los empleados?


64

UNIFÉ


Estadística 4.-

Los siguientes datos son los sueldos de los trabajadores de una compañía. Sueldos 950-1000 1000-1050 1050-1100 1100-1150 1150-1200 1200-1250 1250-1300 a) b) c) d) e) f)

5.-

Calcular e interpretar el promedio aritmético. ¿Cuánto ganan la mayoría de los trabajadores? Hallar el sueldo mínimo y máximo del 80% central de los trabajadores. ¿Cuánto ganan como mínimo los diez trabajadores mejor pagados? Los veinte trabajadores con menor sueldo, ¿bajo que sueldo se encuentran ubicados? Hallar el sueldo mínimo correspondiente al 50% superior.

Los siguientes datos corresponden a la distribución de frecuencias de la duración de 50 llamadas telefónicas de larga distancia, redondeadas al minuto más cercano, realizadas por una compañía. Duración 4–7 7 – 12 12 – 16 16 – 21 21 – 27 27 – 30 a) b) c) d) e) f) g)

6.-

Nº Trabajadores 5 12 9 8 4 10 6

Nº de llamadas 23 9 11 4 2 1

¿Cuál es la duración promedio de la mayoría de llamadas? El 20% correspondiente a las llamadas de mayor duración, ¿cuánto duraron como mínimo? El 15% correspondiente a las llamadas más cortas, ¿cuánto duraron? Hallar la duración mínima de las cinco llamadas más largas. En promedio, ¿cuánto duraron las llamadas de esta compañía? ¿Se puede afirmar que 25 llamadas duraron menos de doce minutos? ¿Por qué? ¿Se puede concluir que la distribución es asimétrica positiva? ¿Por qué?

La siguiente tabla contiene los costos de reparación de un automóvil para los reclamos de categoría menor presentados ante una compañía de seguros. Costo de reparación 0 – 100 100 – 220 220 – 380 380 – 410 410 – 500 a) b) c) d)

Nº de reclamos 12 35 75 84 125

Hallar el costo de reparación más frecuente. El 15% correspondiente a los reclamos menores, ¿qué costo de reparación presentan? Los 20 reclamos mayores, ¿qué costo de reparación presentan? En promedio, ¿cuál es el costo de reparación de los reclamos?


65

UNIFÉ


Estadística 7.-

Un grupo de personas han sido observadas de acuerdo a su grado de instrucción obteniéndose los siguientes resultados: Grado de Instrucción Primaria Secundaria Superior no Universitaria Universitaria a) b)

8.-

Hallar e interpretar la moda. Si es posible, hallar e interpretar la mediana.

Las siguientes tablas muestran la duración de los artefactos electrónicos vendidos por dos tiendas A y B. Tienda A Duración (días) 17 23 28 35 42 a) b)

9.-

Nº de personas 15 25 8 4

Fi 7 12 20 35 42

Tienda B Duración (días) 12 – 18 – 24 – 30 – 38 -

18 24 30 38 46

X i f i 105 84 324 170 126

La mayoría de artefactos eléctricos tienen una mayor duración promedio, ¿en cuál tienda? ¿Por qué? En promedio, ¿cuál de las tiendas presenta una duración mayor?

El presidente de un sindicato clasificó a sus compañeros según el salario mensual en dólares en la siguiente forma: Salario mensual ($) Menos de 600 600-800 800-1000 1000-1200 1200 y más

Nº de Trabajadores 30 60 45 15 90

El presidente del sindicato solicita a usted que con su experiencia calcule el estadígrafo correcto entre media, mediana y moda, con un solo resultado. 10.-

Una empresa decide hacer un reajuste entre sus empleados. La clasificación se lleva a cabo mediante la aplicación de un test que arroja las siguientes puntuaciones. Puntuaciones 0-30 30-50 50-70 70-90 90-100

Nº de empleados 94 140 160 98 8

a) Los 15 empleados que obtengan la mayor puntuación, recibirán un aumento de sueldo, ¿a partir de qué sueldo recibirán aumento? b) Los 50 empleados que obtengan la menor puntuación serán despedidos. Pedro, obtuvo una calificación de 25, ¿será despedido? c) Los diez empleados con las mejores puntuaciones serán premiado. Luis obtuvo una calificación de 95, ¿será premiado?


66

UNIFÉ


Estadística 11.-

Las siguientes tablas muestran a dos grupos de alumnos clasificados según el número de palabras que han memorizado.

Grupo A

a) b) c) d) e) f) 12.-

Grupo B

Xi

f i

Ii

43 56 69 82 95

12 9 8 10 9

30 – 46 – 59 – 72 – 81 –

45 58 71 80 88

5 14 34 42 51

El grupo ganador será aquel cuyos 15 mejores alumnos obtengan cantidad de palabras memorizadas. ¿Cuál será el grupo ganador? Calcular e interpretar el promedio más adecuado del grupo B. ¿Cuál es la cantidad mínima de palabras que memorizaron correspondiente a los alumnos con mayor capacidad del grupo B? Los diez alumnos menos capaces del grupo A, ¿cuántas memorizaron como máximo? Los quince alumnos más capaces del grupo B, ¿cuántas memorizaron como mínimo? Hallar la nota mínima del quinto superior del grupo A.

la mayor el 20% palabras palabras

Si fueras profesora de la asignatura de Matemática de una sección de tercer ciclo y evaluaras el rendimiento de tus alumnos mediante una prueba objetiva, elaborada sobre la base de 100 puntos, luego sometieras los resultados al tratamiento estadístico, obteniendo los siguientes datos: Calificaciones 40-50 50-60 60-70 70-80 80-100 a) b) c) d) e) f) g)

13.-

Fi

Nº de alumnos 7 21 34 28 10

¿Qué procedimiento de resolución seguirías si quisieras hallar el nivel de calificaciones que alcanzó el 50% de los alumnos? ¿Sobre qué calificación se encuentra el 25% superior de los alumnos? ¿Entre qué calificaciones se encuentra ubicado el 50% central de los alumnos? Los quince mejores alumnos, ¿qué nota obtuvieron como mínimo? Los diez alumnos de menor rendimiento, ¿bajo qué nota se encuentran? ¿Cuál es la nota más común para este grupo de alumnos? Los alumnos que pertenecen al quinto superior serán premiados. Andrés, obtuvo una calificación de 92, ¿será premiado?

Supongamos que los salarios pagados a los empleados de una compañía, son como se muestra en la siguiente tabla: Cargos Directores Supervisores Economistas Contadores Auxiliares Obreros

Nº 2 4 6 4 26 110

Salario Mensual 930 510 370 350 246 190

¿Cuál promedio consideras que es el más adecuado? ¿Por qué?


67

UNIFÉ


Estadística 14.-

Una estudiante del programa de Administración de Negocios Internacionales, matriculado en la asignatura de estadística, preguntó en el departamento respectivo su nota correspondiente al primer semestre; el encargado de dicha dependencia le informó que estaba aprobada con un calificativo inferior en 3.23 al valor que dividía a sus compañeras en dos partes iguales. Si se sabe que los resultados son los siguientes: Xi fi

: :

37 42 3 8

47 13

52 20

57 28

62 40

67 36

72 12

77 7

82 3

¿Cuál sería el calificativo de dicha alumna? 15.-

La siguiente tabla muestra el número de horas que utilizaron viendo televisión un grupo de alumnos, durante una semana determinada. Nº de horas 5- 8 8-12 12-16 16-20 20-24 24-28 28-32 a) b) c) d)

16.-

Nº de Alumnos 3 7 9 16 x 11 5

Si se sabe que el promedio aritmético es 18.96, ¿Cuántos alumnos ven en promedio 22 horas? Los diez alumnos que más vieron televisión, ¿cuántas horas miraron como mínimo? Los quince alumnos que menos vieron televisión, ¿menos de cuántas horas miraron? ¿Cuántas horas ven televisión la mayoría de los alumnos?

Se tienen los siguientes datos correspondientes a las estaturas (pulg.) de un grupo de personas. Estatura : 59-62 62-65 65-68 68-71 71-74 Nº Alumnas : 5 18 42 27 8 Dividir a las personas en tres categorías: bajos, normales y altos, de modo que: Altos : el 15% superior. Bajos : el 20% inferior. Normales : el resto. a) b) c)

17.-

Hallar los límites entre estas tres categorías. Hallar el número de personas correspondiente a cada una de estas categorías. Calcular el promedio aritmético de esta nueva clasificación.

La siguiente tabla muestra el CI de un grupo de trabajadores: CI 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 a) b) c) d)

Nº de trabajadores 5 15 60 15 5

Calcular el CI más frecuente. Hallar el CI que es superado por el 50% de los trabajadores. ¿Cuál es el CI que supera a los CI del 75% de los trabajadores? Los diez trabajadores más inteligentes, ¿Qué CI tienen como mínimo?


68

UNIFÉ


Estadística 18.-

La distribución de las calificaciones de Estadística de 50 estudiantes fue la siguiente: Calificaciones 0-5 5-10 10-12 12-15 15-20

Nº de Estudiantes 2 8 20 15 5

Se desea agrupar a los alumnos de esta sección en cinco categorías, tomando en cuenta las notas obtenidas. El 10% de los que tienen las peores notas estarán en la categoría Deficientes, el 25% de los siguientes en la categoría Regulares, el 15% siguiente en la categoría Buenos, el 30% siguiente son Muy Buenos y el resto Excelentes. ¿Cuáles son los límites entre las diferentes categorías? 19.-

La siguiente tabla muestra a los principales países proveedores de Hardware. País México Brasil Estados Unidos China Taiwan Irlanda Otros

20.-

hi 0.14 0.05 0.58 0.02 0.03 0.04 0.14

Los siguientes datos corresponden a los sueldos mensuales de los obreros que trabajan en una compañía. Sueldos 390-420 420-450 450-580 580-610 610-740 740-770 770-850 a) b) c) d) e)

21.-

Interpretar la moda.

Nº de Obreros 12 35 26 8 20 10 6

Hallar el sueldo que es excedido por el 50% de los obreros. Calcular el sueldo que gana la mayoría de los obreros. Se desea agrupar a los obreros en tres categorías: A, B y C teniendo en cuenta sus sueldos. El 20% inferior estarán en la categoría C, el 25% superior en la categoría A. Hallar los límites entre estas categorías. ¿Cuál es el sueldo mínimo del quinto superior de los obreros? ¿Bajo qué sueldo se encuentran los quince trabajadores que tienen menor sueldo?

El ausentismo diario en una oficina parece ir en aumento. El año pasado un promedio de 47.8 empleados estuvo ausente algunos días, la mediana fue 52.4d mientras que la moda fue 55.6. Se recolectó una muestra de datos para el año en curso y se ubicaron en la tabla de frecuencias siguiente: Nº empl. Ausentes Nº de días

: 20-29 30-39 : 5 9

40-49 50-59 8 10

60-69 12

70-79 80-89 11 8

90-99 3

Calcular: media aritmética, mediana y moda; comparar estos resultados con los del año anterior. ¿A qué conclusión llegas?


69

UNIFÉ


Estadística 22.-

Se dispone de la siguiente información acerca de las rentas familiares (en dólares) en los hogares de cierta ciudad. Renta familiar 5000 – 10000 10000 – 15000 15000 – 20000 20000 – 25000 25000 – 30000 30000 – 35000 35000 – 40000 a) b) c)

23.-

¿Cuál es la renta familiar más frecuente? En promedio, ¿qué renta familiar tienen los hogares de dicha ciudad? ¿Cuál es la renta familiar mínima del 50% correspondiente a los hogares con mayor renta?

La siguiente tabla muestra la distribución del número de artículos producidos por un grupo de trabajadores: Nº de artículos producidos 150 – 179 180 – 250 251 – 350 351 – 465 466 – 548 549 - 650

Número de trabajadores 20 12 47 15 16 10

a)

Hallar el número de artículos promedio que produce la mayoría de los 302.74 trabajadores.

b)

Se desea agrupar a los trabajadores en cuatro categorías de modo que: A : el 15% superior correspondiente a los que producen más. B : el 35% siguiente. D : el 10% inferior correspondiente a los que producen menos. C : el resto. Hallar los límites entre dichas categorías y el número de trabajadores para cada una de ellas.

c)

¿Qué cantidad de artículos es excedida por la mitad de los trabajadores?

f)

Hallar la producción mínima del 30% correspondiente a los trabajadores más productivos.

g) h)

¿Cuál es la producción mínima y máxima del 50% central? ¿Cuántos artículos lograron producir los quince trabajadores más productivos? Habrá reducción de personal y serán despedidos los 10 trabajadores menos productivos. Alberto, ha producido 165 artículos, ¿será despedido? ¿Por qué?

i) 24.-

Nº de hogares 12 15 9 8 16 9 10

Un fabricante de radios portátiles escogió una muestra de radios fabricados durante una semana. Se analizaron los radios minuciosamente, y se anotó el número de defectos encontrados en cada uno de ellos. Nº de defectos : Nº de radios :

0 12

1 15

2 17

3 6

4 2

Hallar e interpretar la moda.


70

UNIFÉ


Estadística 25.-

La siguiente tabla muestra los sueldos de los trabajadores de una compañía. Sueldos (S/.)

Nº Trabajadores

950-1000 1000-1150 1150-1230 1230-1260 1260-1310 1310-1460 1460-1550

4 9 12 19 10 7 5

a)

Los 33 trabajadores con mayor sueldo en la empresa, ¿cuánto ganan como * 1242,63 mínimo?

b)

A la quinta parte de los trabajadores, correspondiente a los que ganan menos, se les dará un aumento del 15%. Si José gana 1100, ¿recibirá aumento?

* 1150

26.-

c)

Se considera que hay siete trabajadores cuyos sueldos son altos; en una reunión de directorio se acordó hacerles un descuento del 5% de sus sueldos. * 1417,14 ¿A partir de qué sueldo les corresponde dicho descuento?

d)

¿Qué sueldo es más común en dicha compañía?

* 1243,13

Completar las siguientes tablas de distribución de frecuencias, para la información dada: a)

Xi : gastos

H4-H3 = 0,08

H2 = 0,40

H5 = 0,70

H5-H4 = 0,12

k=6

H1 = 0,24

X3 = 17,5

x = 20,4

u.e.: semanas b)

c)

Xi : notas

k=8

n = 300

L 2 = 2,5

f 4 = 48

h2 = h6

L 7 = 12,5

H2 = 0,12

H7 = 1

x = 7,9

Xi : salarios

h1 = h7 = 0,02

u.e.: alumnos

Xmín = 70

f 1 = 12

n = 300

Xmáx = 120

f 3 = 84

x = 100,8

k=5

f 5 = 54

u.e.: obreros d)

Xi : estatura

u.e.: niños

X3 = 55,5

H2 = 0,28

h6 = 0,12

h1 = h6

x = 59,98

6

∑ Xi = 354 i =1

f 5 = 9


f 1 = 6

71

UNIFÉ


Estadística 27.-

A continuación se muestran tres gráficos que corresponden al tipo de distribución que presenta la variable en estudio. A

B

C

Simétrica

Asimétrica positiva

Asimétrica negativa

a) Si se tratara de los sueldos de tres empresas A, B y C; explique cómo son los sueldos en cada una de estas empresas. ¿En cuál de las tres te gustaría trabajar? ¿Por qué? b) ¿Cuál distribución le correspondería a las notas de un examen que según los alumnos, estuvo fácil? ¿Por qué? c) ¿Cuál distribución le correspondería a las notas de un examen que a criterio de los alumnos, estuvo muy difícil? ¿Por qué? 28.-

La biblioteca de una universidad tiene registrado el número de libros tanto de ciencias como de letras que solicitaron por día los alumnos, durante el año 2010.

Letras

a) b) 29.-

Ciencias

Xi

f i

Xi

f i

24 41 58 75 92 109 126

6 9 4 13 5 8 5

21 36 51 66 81 96

4 8 6 12 7 5

En los quince días de mayor lectura, ¿se solicitaron más libros de letras que * 93,7 69,75 de ciencias? ¿Por qué? ¿Podemos afirmar que mayormente se solicitan libros de letras que de * 75,5 66,68 ciencias? ¿Por qué?

En uno de los laboratorios de la Unifé se desea hacer un estudio acerca de las computadoras y la cantidad de virus que han ingresado el mes pasado. Xi : Fi :

29 4

38 12

47 17

56 29

65 34

74 42

83 46

a)

Se afirma que las quince computadoras con mayor cantidad de virus llegaron a 64.1 tener no menos de 64 virus, ¿estás de acuerdo? ¿Por qué?

b)

Clasificar a las computadoras en cuatro categorías diferentes: el 50% central en la categoría B, el 10% más afectado en la D y el resto en las categorías A y C. 42.5 70.6 77.4 Hallar los límites entre las categorías.

d)

Teniendo en cuenta la clasificación anterior hallar el número de computadoras correspondiente a cada categoría y luego calcular el promedio más adecuado.

54.5

e)

Hallar la cantidad de virus que presentan la mayoría de las computadoras.


72

UNIFÉ


Estadística 30.-

Durante los últimos dos meses se ha venido recogiendo la correspondiente a los e-mails recibidos por las alumnas de la Unifé. Ii : fi :

31.-

20-27 8

28-35 5

36-48 6

49-56 13

57-64 17

65-75 6

76-89 5

información

90-95 8

a)

Las 34 estudiantes centrales, ¿cuántos e-mails reciben como mínimo y como * 44.17 ; 68 máximo?

b)

Se desea realizar una nueva clasificación de modo que se tengan cuatro categorías. El 40% superior se divide en dos partes iguales para formar las categorías C y D; mientras que el 45% siguiente constituye la categoría B y el * 31 ; 61 ; 74 resto la A. Hallar los límites entre estas categorías.

c)

La mayor parte de los estudiantes, ¿cuántos e-mail reciben en promedio?

d)

Karina quiere saber cuántos e-mails ha recibido Rocío. El número de e-mail de Rocío es igual a la mitad del valor mínimo del 35% superior. ¿Cuántos e* 31 mails ha recibido Rocío?

e)

En promedio, ¿cuántos e-mails han recibido las alumnas de la Unifé?

* 59

La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias relativas de los pesos de cincuenta personas elegidas en forma aleatoria a la entrada de un gimnasio. Ii hi %

45-48 12

48-54 18

54-60 16

60-65 20

65-72 14

72-78 12

78-82 8

* 67

a)

Hallar el peso mínimo de las 15 personas más pesadas.

b)

Hallar el peso bajo el cual se encuentran ubicadas las 25 personas que no * 61 son las más pesadas.

c)

Se afirma que la media aritmética es menor que la moda, ¿estás de acuerdo?

* 61,37 y 62

32.-

d)

Hallar los pesos entre los cuales se encuentra ubicado el 80% central de estas * 47,5 ; 77 personas.

e)

Se ha tomado la siguiente decisión: diez personas deberán seguir un régimen para aumentar de peso. Pamela pesa 50 kilos, ¿deberá seguir dicho régimen?

f)

Construir un gráfico de caja.

Se toma una muestra de diez economistas y se les pide una predicción acerca del porcentaje de crecimiento del IPC para el próximo año. Las predicciones fueron: 3.6

3.1

3.9

3.7

3.5

3.7

3.4

3.0

3.6

3.4

Calcular el porcentaje de crecimiento promedio. 33.-

Se toma una muestra de 50 pólizas de seguros y para cada una de ellas se anota el número de reclamos efectuados durante los dos últimos años. Nº de reclamos Nº de pólizas a) b) c)

: :

0 21

1 13

2 5

3 4

4 2

5 3

6 2

La mayoría de pólizas, ¿cuántos reclamos presentan? En promedio, ¿cuántos reclamos se han presentado? Las 25 pólizas con mayor cantidad de reclamos, ¿cuántos reclamos presentan como mínimo?


73

UNIFÉ


Estadística 34.-

Se desea hacer un estudio en la Unifé con tal motivo se cuenta con la información correspondiente a las notas en el curso de Estadística de las alumnas del III ciclo de Administración de Negocios Internacionales. Ii

f i

: :

0-5 6

5-8 5

8-10 8

10-12 15

12-16 9

16-18 7

18-20 4

a)

La profesora de estadística va a premiar al quinto superior, ¿a quiénes * 16 ; 20 premiará?

b)

Si el 30% de las alumnas reprueba el examen de estadística, la profesora tomará un examen de recuperación, ¿será necesario dar la recuperación?

* 9.25

35.-

c)

A las quince alumnas que tengan las mejores notas, se les hará un descuento especial en su próxima boleta. Tu nota es 17, ¿te harás acreedora a dicho * 14,22 descuento?

d)

Las alumnas están muy preocupadas porque afirman que la nota más No. 11,08 frecuente ha sido 09, ¿hay razón para preocuparse? ¿Por qué?

e)

Se sabe que doce alumnas reprobarán el curso y que seis recibirán un premio especial. Hallar las notas entre las cuales se encuentran las alumnas que no * 8,25 ; 17,43 reprobarán ni recibirán premio alguno.

f)

En promedio, ¿qué nota obtuvieron las alumnas?

El director de un almacén está interesado en el número de quejas recibidas por el departamento de atención al cliente acerca de la calidad de los productos vendidos. Los datos correspondientes a un periodo de diez semanas aparecen en la siguiente tabla: Semana Nº de quejas a) b) c)

36.-

: :

1 13

2 15

3 8

4 16

5 8

6 4

7 21

8 11

9 3

10 15

Calcular el número medio de quejas semanales de esta población. Hallar el número de quejas más frecuente. El 50% correspondiente a las semanas con mayor cantidad de quejas, ¿cuántas quejas recibieron como mínimo?

Se toma una muestra de analistas financieros y se les pide que hagan una predicción (en dólares por acción) sobre las ganancias por acción de cierta empresa internacional para el próximo año. Los resultados aparecen resumidos en la siguiente tabla: Predicción 9.95-10.45 10.45-10.95 10.95-11.45 11.45-11.95 11.95-12.45 a) b) c) d) e) f)

Nº de analistas 5 9 13 15 8

¿Cuál ha sido la predicción más frecuente? Hallar el valor mínimo correspondiente al 20% superior de los analistas. ¿Bajo qué valor se encuentran las predicciones correspondientes de los 16 analistas con menores pronósticos? Hallar las predicciones mínima y máxima correspondientes al 80% central de los analistas. ¿Cuál fue la predicción mínima del quinto superior de los analistas? De los doce analistas que hicieron los mayores pronósticos, ¿cuál fue el mínimo pronóstico?


74

UNIFÉ


Estadística 37.-

Para ocupar un puesto de trabajo vacante en una agencia de viajes se realizan diferentes pruebas a los aspirantes, cada una de ellas con una importancia determinada. El resultado de las pruebas por parte de dos aspirantes es la siguiente: Prueba Geografía Contabilidad Idiomas Ofimática

Nota aspirante 1 9 6 7 10

Nota aspirante 2 7 5 10 4

importancia 1 3 6 2

Asp.2

¿Qué aspirante obtendrá el puesto de trabajo? 38.-

A los empleados de una empresa se les aplica un test de capacitación en el cual se obtienen los siguientes resultados: Puntuación Nº de empleados

39.-

7.5

: :

0-30 94

30-50 140

50-70 160

70-90 98

90-100 8

a)

El objetivo del test era redistribuir de menor a mayor puntuación a los empleados en auxiliares, administradores, jefes de sección e inspectores. Si los auxiliares han de ser el 65% de los empleados y los inspectores el 5%, ¿cuál será la puntuación máxima para ser auxiliar y la mínima para ser inspector?

b)

¿Cuál fue la puntuación obtenida por la mayoría de los empleados?

c)

En promedio, ¿qué calificación obtuvieron los empleados?

d)

Hallar la puntuación mínima de los quince empleados con mayor puntuación.

e)

¿Bajo que calificación se encuentran los cien empleados menos capacitados?

f)

Hallar las puntuaciones mínima y máxima correspondientes al 80% central de los empleados.

Para que un producto sea aceptado por su cliente principal, debe cumplir con ciertas especificaciones de calidad. Una de ellas, radica en que el promedio de longitud de los 20 primeros productos esté entre 20.0 y 20.9 centímetros. Si las medidas son: 22.3 19.6

20.4 21.5

19.8 18.5

19.9 18.7

20.1 20.9

20.8 21.1

21.6 20.1

19.8 21.5

20.5 22.3

23.4 17.9

¿Cumple el proveedor con las especificaciones del cliente? 40.-

La siguiente distribución corresponde a la recaudación de impuestos de un grupo de contribuyentes seleccionados al azar. (Recaudación de impuestos en miles de soles). Recaudación Nº contribuyentes a) b) c) d)

: :

50-70 2

70-90 15

90-110 8

110-130 12

130-150 3

¿Sobre qué recaudación está el 20% de las recaudaciones mayores? ¿Cuál fue la recaudación más frecuente? ¿Bajo qué recaudación están los diez contribuyentes que menos contribuyen? Hallar las recaudaciones mínima y máxima correspondientes a los veinte contribuyentes centrales.


75

UNIFÉ


Estadística

MEDIDAS DE DISPERSIÓN La Dispersión se refiere a la variabilidad entre los valores, es decir, qué tan grandes son las diferencias entre los valores. La idea de dispersión se relaciona con la mayor o menor concentración de los datos en torno a un valor central, generalmente la media aritmética. Las medidas de dispersión nos dicen hasta qué punto las medidas de tendencia central son realmente representativas de los datos. Mediante estas medidas podemos cuantificar la separación o la variabilidad de los valores de la distribución con respecto a un valor central. Ejemplos:

•

A continuación se muestran dos figuras. La primera presenta una distribución con datos más concentrados alrededor de su promedio 400 que la otra figura con respecto a su promedio 1000, es decir la primera figura es una distribución con menos dispersión.

400

•

1000

Las figuras siguientes muestran a tres distribuciones con promedio 70, sin embargo las tres difieren en cuanto a su variabilidad alrededor de la media.

poca variabilidad

alguna variabilidad

gran variabilidad

Ejemplo: Un empacador de refrescos indica que cada lata contiene 12 onzas. ¿Cuánto refresco tiene en realidad cada lata?

• • • • •

Es poco probable que todas las latas contengan exactamente 12 onzas. Existe variabilidad en el proceso de llenar las latas. Algunas latas contienen un poco más de 12 onzas, otras contienen un poco menos. En promedio las latas tienen 12 onzas. El empacador espera que haya poca variabilidad en el proceso de tal forma que las latas estén lo más cerca posible a las 12 onzas de refresco.


76

UNIFÉ


Estadística Ejemplo: Se tienen dos grupos de estudiantes que sometidos a una prueba arrojaron los siguientes puntajes: Puntaje 9 10 11 13 15 17 Total

Nº estudiantes 2 4 6 4 2 2 20

Puntaje 11 12 13 Total

Nº estudiantes 5 10 5 20

Al calcular el promedio aritmético para ambos grupos se obtiene:

x A = x B = 12

Este resultado puede conducir a conclusiones equivocadas cuando se está comparando distribuciones, pues se podría pensar que ambas secciones son idénticas en su rendimiento, siendo esto falso ya que observando los datos se aprecia que la sección B es más homogénea. En este caso el promedio no tiene suficiente grado de representatividad por lo tanto poco podrá decirnos acerca de los datos en estudio. Es necesario entonces calcular otras medidas estadísticas para mostrar cómo varían los datos alrededor del promedio y esto se logra mediante las medidas de dispersión. Es necesario estudiar las medidas de dispersión: 1. Para evaluar la confiabilidad del promedio que se está utilizando: Una dispersión pequeña indica que los datos se encuentran acumulados cercanamente, alrededor de la medida de tendencia central establecida. Por tanto, la medida de tendencia central se considera confiable o bastante representativa de los datos. Por el contrario, una dispersión grande indica que la medida escogida para representar los datos no es muy confiable, es decir, no es muy representativa de los datos. 2. Para apreciar cuán dispersas están dos o más distribuciones: Para poder comparar dos distribuciones de frecuencias entre sí, no sólo necesitamos la medida de tendencia central, sino también la dispersión entre las observaciones para no elaborar conclusiones erróneas. A menor medida de dispersión: el grupo es más homogéneo, más uniforme, más parejo, más compacto, menos variable, menos disperso.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTA Cuantifican el grado de concentración o de dispersión de los valores de la variable en torno de un promedio de la distribución. Son aquellas cuyo valor está expresado en unidades de medida de la variable y que, por lo tanto para comparar grupos la variable a comparar deberá estar expresada en las mismas unidades en todos los grupos. Principales medidas de dispersión absoluta:

• • •

Rango o Recorrido Varianza Desviación Estándar


: : :

R S2 S

77

UNIFÉ


Estadística RANGO O RECORRIDO:

R

Es la diferencia entre los valores máximo y mínimo de l os datos.

=

R

X máx −

X mín

Esta medida es muy fácil de calcular sin embargo no es muy recomendable porque sólo toma en cuenta los valores extremos, sin considerar los demás valores.

VARIANZA S2 , V[X] Es un valor numérico que cuantifica el grado de dispersión de los valores de una variable respecto a su media aritmética. Es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de la variable respecto a su media aritmética. 2 V [ X ] = M  (X i − x )    Nota:

•

La varianza nunca es negativa.

•

Cuando la variable toma un único valor; es decir cuando es constante entonces la varianza es cero.

•

Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.

Notación: S2

:

Varianza muestral.

σ2 :

Varianza poblacional.

Varianza poblacional: La varianza de N datos tales como X1 , X2 , ....... , XN se define como: N

σ2 =

∑=

X 2i

i 1

N

 N   ∑ X  i  = i 1  −  N       

2

N

=

∑= X

2 i

i 1

N

− µ2

Ejemplo: Se tienen las edades correspondientes a una población de trabajadores que laboran en una pequeña empresa privada. Calcular la varianza. 25

32 N

⇒

σ2 =

∑=

X 2i

i 1

N


19

21

34

36

35

45

42

2  N   ∑ X   i=1 i  289  2  = 9917 −  −   = 70.77  N  9  9       

78

UNIFÉ


Estadística Varianza muestral: Dado que en la práctica, µ será desconocida, es necesario reemplazarla por una aproximación adecuada; la media muestral x . Entonces, para compensar el uso de la media muestral como aproximación a la media poblacional, se divide por n − 1 en lugar de hacerlo por n.

S2 para datos no agrupados: Si se tienen los datos correspondientes a una muestra aleatoria : entonces la varianza se calcula mediante:    1  n 2 V( x ) = ∑ X −n n − 1 i = 1 i   

x1 , x 2 , .... , x n ,

2  n    X   i =1 i       n         

∑

Ejemplo: Calcular e interpretar la varianza de los pesos de un grupo de personas seleccionadas al azar. Los datos son los siguientes: 56

65

⇒

n=8

68

70

72

8 ∑ X i = 565 i =1

76

78

80 8 2 ∑ X i = 40 329 i =1

2 1  565   2 40 329 − 8  SX =   = 60,84 ≅ 61 kilos2 7  8    En promedio los pesos del grupo de personas, se alejan con respecto al promedio aritmético en aproximadamente 61 kilos al cuadrado.

S2 para datos agrupados: Sean Xi : x1 , x 2 , x 3 , .... , Xk los valores diferentes que toma una variable cuantitativa y fi : f 1 , f 2 , f 3 , .... , f k sus correspondientes frecuencias absolutas. Entonces, la varianza se calcula mediante:

2   k     ∑ f i X i   i =1   1 k 2 2 SX =  ∑ f i X i − n    n − 1 i =1 n           


79

UNIFÉ


Estadística Ejemplo: 1.-

Calcular e interpretar la varianza para la siguiente tabla de frecuencias que muestra la distribución de las edades de un grupo de personas seleccionadas en forma aleatoria. Edad Ii 4- 6 6 - 10 10 - 16 16 - 20 20 - 30 Total

  1 k 2 V( X ) =  ∑ f i X i − n n − 1 i =1  

Nº de personas f i 4 5 7 3 1 n = 20

 k   ∑ f i X i   i =1   n       

2  2  1   230   3200 − 20   =  20    19    

V ( X ) = 29.21 ≈ 29 años2 En promedio la edad de estas personas se aleja con respecto a su promedio aritmético en aproximadamente 29 años al cuadrado.

S2 usando frecuencias relativas:

S2 =

k  k  2 ∑ hi X i −  ∑ hi X i  i =1  i =1 

2

Ejemplo: Calcular e interpretar la varianza de la siguiente tabla de frecuencias que muestra la distribución de los pesos de un grupo de personas seleccionadas aleatoriamente. Usar frecuencias relativas. Peso 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 90 -100 Total

Nº de personas 6 8 10 9 7 n = 40

hi

2

2

S

=

k  k  2  ∑ hi X i  = − h X ∑ i i   i =1  i =1 

Nota:

•

La varianza puede usarse para comparar la dispersión de dos o más distribuciones, sin embargo, dado que las discrepancias con la media aritmética se elevan al cuadrado, resulta muy difícil interpretar la varianza. Una forma sencilla de volver a las unidades de medida originales es calculando la desviación estándar.


80

UNIFÉ


Estadística

DESVIACIÓN ESTÁNDAR Es la raíz cuadrada positiva de la varianza y posee las mismas unidades que la media aritmética, las cuales ya no están elevadas al cuadrado como en la varianza. La desviación típica, como medida de dispersión aporta información estadística sobre la variabilidad de los datos en relación a su media. Nos dará información acerca de la homogeneidad o heterogeneidad de los datos en relación al valor medio de los mismos. S =

V ( X)

La desviación estándar o desviación típica aparece para simplificar la interpretación de la varianza. Cuando calculamos la varianza, nos basamos en datos elevados al cuadrado, por lo que, el resultado obtenido debe interpretarse en unidades al cuadrado; por esta razón aparece la desviación estándar como la raíz cuadrada de la variancia. Distribuciones con igual promedio aritmético y diferente desviación estándar

Ejemplos: 1.-

Si la desviación típica del salario de los ingenieros de sistemas es $10,000 y la media aritmética es $30,000, entonces los salarios de los ingenieros fluctúan entre $20,000 y $40,000 dólares.

2.-

Calcular la desviación estándar de las notas obtenidas por un grupo de alumnas del tercer ciclo de administración de Negocios Internacionales de la Unifé en la primera evaluación de estadística. 12

07

⇒

n=9

14

11

16

09

9 ∑ X i = 111 i =1

Por lo tanto: 2 1   111   = 12.25 V (X ) = 1 467 − 9   8  9     


18

14

10

9 2 ∑ X i = 1 467 i =1 ⇒

SX =

12.25 = 3.5 puntos

81

UNIFÉ


Estadística Nota:

• La varianza y la desviación estándar se utilizan para comparar grupos cuya variable está expresada en las mismas unidades. Así, el grupo más homogéneo, más uniforme o en el que la media aritmética es más representativa será aquel en el cual la varianza o la desviación estándar es menor.

Ejemplo: En algunas semanas consecutivas, los oficiales de policía, Martínez y Castro levantaron las siguientes infracciones por exceso de velocidad: Martínez Castro

: 31 : 35

38 43

42 38

32 37

39 33

26 28

27

¿Cuál de los oficiales es más homogéneo con respecto al número de infracciones? Solución:

S2M

2 1   208   = 7 390 − 6   = 35,87 5 6      S2 < S2 M C

2 1  241   2 SC = 8 489 − 7    = 31,95 6  7   

El oficial Castro es más homogéneo porque su varianza es menor.

Nota:

•

Una de las aplicaciones de la desviación estándar es analizar la dispersión a partir de una distribución teórica, llamada curva normal; l a cual tiene forma simétrica. En este caso se tiene que: -

El 68,5% de los datos están dentro del intervalo: ( x − σ ,

-

El 95,5% de los datos están dentro del intervalo: ( x − 2 σ , x + 2 σ )

-

El 99,7% de los datos pertenecen al intervalo: ( x − 3 σ , x + 3 σ )


x + σ)

82

UNIFÉ


Estadística


12 13

10 16

11 12

17 8

12 12

9 11

11 13

13

12

1. Digitar los datos en la columna C1. 2. Stat – Basic Statistics – Display Descriptive Statistics…

Clic en Statistics…

Clic en OK y luego en OK. 3. El resultado obtenido será:


83

UNIFÉ


Estadística

MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVA La varianza y la desviación típica también tienen sus limitaciones. Similar a la media aritmética es vulnerable a la influencia de casos extremos. Además, cuando las medias aritméticas no son iguales o cuando las unidades de medición son distintas, la comparación de desviaciones típicas puede no ser significativa. El resultado de las medidas de dispersión relativa está expresado sin unidades de medida por lo cual sirven para comparar la dispersión de distribuciones de frecuencias en las cuales la variable a comparar está expresada en distintas unidades.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN: Es la desviación estándar dividida sobre la media aritmética multiplicada por 100. El mismo nos permite comparar desviaciones típicas de variables con unidades de medición distintas.

CV =

S × 100 x

Nota:

Si CV

≤ 30% ⇒ la dispersión es óptima.

Si CV > 50% ⇒ existe un alto grado de dispersión y por lo tanto la media aritmética es poco representativa.

Ejemplo: Se desea comparar los sueldos de los trabajadores de dos empresas A y B. Para tal efecto se tienen los siguientes datos: Sueldos ( 380 410 450 480 500

Empresa A $) Nº trabajadores 10 9 12 8 7

Empresa B Sueldos ( S/. ) Nº trabajadores 600-650 7 650-700 9 700-750 14 750-800 6 800-850 4

¿Se puede afirmar que los sueldos de los trabajadores de la empresa A son más uniformes? ¿Por qué? ⇒

CVA =

x A = 439.78

xB

S A = 42.55

S

42.55 × 100 = 9.68% 439.78

CVB =

B

= 713.75 = 59.67

59.67 × 100 = 8.36% 713.75

Por lo tanto, los sueldos de los trabajadores de la empresa A no son más uniformes; sino los sueldos de la empresa B porque presenta menor coeficiente de variación. Sin embargo en ambas empresas la dispersión es óptima ya que el CV < 30%.


84

UNIFÉ


Estadística

ASIMETRÍA O SESGO Una distribución es asimétrica cuando sus datos tienden a agruparse hacia uno de los extremos de la distribución. Cuando una curva es asimétrica, tiene un sesgo. El sesgo puede ser de dos tipos:

•

Si los datos tienden a agruparse en las primeras clases, se dice que la distribución tiene un sesgo positivo o que es asimétrica positiva.

•

Si los datos tienden a agruparse en las últimas clases de la distribución, se dice que ésta tiene sesgo negativo o que es asimétrica negativa.

El coeficiente de asimetría (CA): Es una medida que se utiliza para evaluar el sesgo de una distribución: CA =

3 ( x − Me ) S

Según es grado de asimetría una distribución puede ser:

Simétrica

Asimétrica positiva

Asimétrica negativa

As = 0

As > 0

As < 0

CURTOSIS O APUNTAMIENTO Mide el grado de elevación o de agudeza de una distribución comparada con la curva normal. Según su grado de curtosis, una distribución puede ser:

K=0

K>0

K<0

Coeficiente de Curtosis (K): Indica la deformación vertical de una distribución de frecuencias.

K =


P75 − P25 2 ( P90 − P10 )

85

UNIFÉ


Estadística


12 13

10 16

11 12

17 8

12 12

9 11

11 13

13

12

1. Digitar los datos en la columna C1. 2. Stat – Basic Statistics – Display Descriptive Statistics…

Clic en Statistics…

Clic en OK y luego en OK. 3. El resultado obtenido será:


86

UNIFÉ


Estadística

DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS Nos da una primera aproximación rápida a la distribución de los datos sin perder de vista las observaciones. Se separa a cada observación en dos partes: tallo y hoja Se listan en forma vertical y creciente los tallos y se agregan las hojas a la derecha del tallo correspondiente. Ejemplo: Para las observaciones: 94 , 107, 112 y 125 resulta: Dígitos tallo 9 10 11 12

dígitos hoja 4 7 2 5

Es conveniente presentar a los dígitos hoja ordenados en forma creciente para facilitar su posterior utilización, tanto en forma gráfica como tabular.

Utilidades: Un diagrama de tallos y hojas es útil porque en él podemos ver: cuan aproximadamente simétricos son los datos. cuán dispersos están los valores. La aparición de valores más frecuentes. La presencia de valores alejados del resto. Si hay concentraciones de valores.

Ejemplo: Trazar un diagrama de tallos y hojas para los siguientes datos que corresponden a las edades de un grupo de personas. 60 71 75 73 35

⇒

65 47 48 40 68

60 73 86 34 52

33 74 36 41

59 44 88 47

84 68 53 34

72 50 46 47

71 61 39 84

63 62 70 38

92 62 90 48

75 50 71 49

40 38 54 57

El diagrama de tallos y hojas será:

-

En el primer tallo hay ocho datos. Acumulados hasta el segundo tallo hay 19 datos. En el tercer tallo, se encuentra la mediana (59) y tiene siete datos. En el último tallo hay dos datos. Acumulados en el último tallo y el penúltimo hay seis datos.


87

UNIFÉ


Estadística

1.

Digitar los siguientes datos en la columna C1. 60 71 75 73 35

2.

65 47 48 40 68

60 73 86 34 52

33 74 36 41

59 44 88 47

84 68 53 34

72 50 46 47

71 61 39 84

63 62 70 38

92 62 90 48

75 50 71 49

40 38 54 57

Graph - Stem-and-Leaf…

Clic en OK 3.

El gráfico de Tallos y Hojas aparece en la hoja de Sesión.


88

UNIFÉ


Estadística

GRÁFICO DE CAJAS O BOXPLOT Es una presentación visual que describe al mismo tiempo varias características importantes de un conjunto de datos, tales como el centro, la dispersión, la desviación de la simetría y la identificación de observaciones que se alejan de manera poco usual del resto de los datos, este tipo de observaciones se conocen como “valores atípicos”.

Construcción del Boxplot: 1.

La caja contiene el 50% central de los datos.

2.

Sus extremos son, por lo tanto, el primer y tercer cuartil (Percentil 25 y Percentil 75) de la distribución.

3.

La línea central en la caja es la Mediana. De este modo, si la distribución es simétrica, dicha línea se encontrará en el centro de la caja.

4.

Los extremos de los “bigotes” que salen de la caja son los valores que delimitan el 95% central de los datos, aunque en ocasiones coinciden con los valores extremos de la distribución.

5.

También se suelen representar aquellas observaciones que caen fuera de este rango, es decir los valores extremos (valores atípicos o outliers).

Utilidades: -

Permite visualizar las características más importantes de un conjunto de datos, su posición, su variabilidad y la forma de la distribución. En cuanto a su variabilidad, cuanto más dispersas estén las observaciones, mayor será la amplitud de la caja. Nos proporciona la posición relativa de la mediana, los cuartiles (Percentiles) y extremos de la distribución. Es útil para ver la presencia de valores atípicos o outliers, sugiriendo la necesidad o no de utilizar determinados estadísticos. Proporciona una visión general de la simetría o asimetría de la distribución. Si la mediana no está en el centro del rectángulo, la distribución es asimétrica. Se puede utilizar para comparar la misma variable en dos muestras distintas.


89

UNIFÉ


Estadística Ejemplo 1: Los siguientes datos corresponden al tiempo (horas) que los alumnos seleccionados en forma aleatoria en una universidad usan Internet. 20 18 20 19 12

16 20 14 22 13

26 16 9 25 19

15 21 18 20

16 23 17 10

7 26 12 17

1.

Digitar los siguientes datos en la columna C1.

2.

Graph – Boxplot…

13 22 10 12

22 25 12 26

30 24 25 21

26 17 28 18

Clic en Ok 3.

El gráfico es:


90

UNIFÉ


Estadística Ejemplo 2: Se tienen los siguientes datos correspondientes al número de fórmulas memorizadas por un grupo de alumnos seleccionados al azar: Masculino 18 26

13 7

9 15

16 14

12 5

27 15

19 20

27 28

22 13

11 12

32 29

8 17

31 29

15 10

20 17

31 25

18 22

20 10

21 23

30

Femenino

1.

Digitar los datos en la columna C1 y en la columna C2 colocar el género de cada dato.

2.

Graph – Boxplot…

Clic en Ok

El gráfico es:

Clic en OK


91

UNIFÉ


Estadística

EJERCICIOS PROPUESTOS Medidas de Dispersión Absoluta y Relativa – Asimetría - Curtosis

1.-

Se utilizan dos máquinas diferentes para fabricar conductos de salida de papel destinados a copiadoras Kodak. Los conductos de una muestra de la primera máquina medían: 12,2 , 11,9 , 11,8 , 12,1 , 11,9 , 12,4 , 11,3 y 12,3 pulgadas. Los conductos hechos con la segunda máquina medían: 12,2 , 11,9 , 11,5 , 12,1 , 12,2 , 11,9 y 11,8 pulgadas. Si se desea utilizar la máquina que produzca conductos de tamaños más uniformes; ¿qué máquina deberá utilizarse?

2da.Máquina

2.-

y 0.06

Dos secciones A y B del III ciclo de la facultad de Administración de Negocios Internacionales de la Unifé rinden un mismo examen final de estadística y probabilidades. Los resultados fueron los siguientes: Sección A Nº de alumnos fi X i 3 18 5 50 14 154 8 104

3.-

0.12

Sección B Nº de alumnos Notas 4 18 20 2 1

4 8 12 14 16

a)

¿Cuál de las secciones es más homogénea con respecto a sus notas?

b)

¿Qué asimetría presenta la sección B?

c)

¿Se puede concluir que es alta la variabilidad en la sección A? ¿Por qué?

A ;

3.72

y

8.07

Un entrenador de pista y campo debe decidir a cuál de sus dos velocistas seleccionará para los cien metros planos en una próxima competencia. El entrenador basará la decisión en los resultados de cinco carreras celebradas entre los dos atletas, en un periodo de una hora, con descanso de 15 minutos. Los siguientes tiempos (en segundos) se registraron para las cinco carreras: Atleta Mendoza Ramírez

1 11,1 11,3

2 11,0 11,4

Carrera 3 11,0 11,4

4 15,8 11,5

5 11,1 11,4

Con base en estos datos, ¿a cuál de los dos velocistas debe seleccionar el Ramírez ; 4.52 y 0.005 entrenador? ¿Por qué? 4.-

Se tienen los siguientes datos correspondientes al peso de un grupo de personas y además se sabe que el peso promedio es 72,2 Kg. Peso Nº de personas a) b) c) d) e)

: :

50-60 12

60-70 7

70-80 x

80-90 9

90-100 5

¿Se trata de una distribución simétrica? ¿Por qué? Hallar e interpretar el grado de curtosis. ¿Podemos concluir que la variabilidad es baja? ¿Por qué? ¿Qué tanto se alejan los datos con respecto al promedio aritmético? ¿Cuál es el porcentaje de alejamiento de las observaciones con respecto al promedio aritmético?


92

UNIFÉ


Estadística 5.-

Los siguientes datos corresponden al número de veces que el programa Minitab se “colgó” durante un mes en cada uno de los ordenadores de una empresa. 9

12

14

19

10

12

15

21

29

17

En promedio, ¿en cuánto se alejan los datos con respecto al promedio aritmético?

6.01

6.-

La distribución siguiente representa el número de estudiantes en una muestra de 210 que llegaron a clase varios minutos después del tiempo fijado para la hora de clase. Min. De retraso Nº de estudiantes

0 180

1 13

2 6

3 4

4 3

5 2

6 1

7 1

¿Se puede afirmar que los datos presentan una distribución asimétrica positiva? Sí ; 0.97 ¿Por qué? 7.-

Se sabe que la media aritmética de la siguiente distribución es 11.5. Ii fi

4-6 4

: :

6 - 10 5

10 - 16 x

16 - 20 3

20 – 30 1

29.21

Calcular e interpretar la varianza. 8.-

Las secciones A, B y C del curso de estadística rinden el mismo examen final. Los resultados obtenidos se registran en las siguientes tablas: Xi 2,5 7,5 12,5 17,5 a)

Fi 3 8 22 30

Ii 2- 6 6-10 10-14 14-18 18-20

X i f i 16 144 240 32 152

Hi 0,10 0,20 0,80 1,00

hi X2i 2,5 10,0 86,4 45,0

¿En cuál de las secciones las notas son más homogéneas? ¿Por qué?

C ; 21.31 , 18.38 , 7.01

9.-

Un fabricante de detergentes quiere comprar una máquina empaquetadora que realice la operación de llenar bolsas de 250 gramos. La casa A le ofrece una máquina con la cual realiza unas pruebas y obtiene los siguientes resultados: 250, 252, 248, 253, 247.La casa B le ofrece otra y, realizando pruebas, obtiene los siguientes resultados: 258, 252, 247, 248, 245. ¿Qué máquina le interesa más comprar?

10.-

En dos empresas se ha observado al colectivo de trabajadores que causa baja laboral por motivos de enfermedad. El número medio de horas perdidas por este motivo en la empresa A ha sido de 130h y en la empresa B de 40h. Así mismo, las desviaciones típicas respectivas han sido de 60h y 45h. ¿En qué empresa hay mayor dispersión relativa en el número de horas perdidas? ¿Dónde es más representativa la media?

11.-

Durante un periodo de diez años, los precios de un producto fueron en promedio de $80 con una desviación estándar de $12. En el periodo anterior de diez años, el promedio fue de $50 con una varianza de 36. ¿En qué periodo hubo mayor periodo anterior ; 15% y 12% estabilidad?

12.-

Un grupo de niños de ocho años de edad tiene una estatura media de 141 cm y su desviación estándar es 6,9 cm; su peso medio es 42 kilos y su desviación estándar 5 kilos. ¿En qué aspecto es este grupo más variable, en estatura o en peso?

Peso ; 4.89 y 11.9


93

UNIFÉ


Estadística 13.-

Los alumnos de un grupo obtuvieron en matemática II una nota media de 68.7 puntos con una desviación estándar de 15.4 y los de otro grupo obtuvieron en la misma asignatura un promedio de 50.9 puntos con una desviación estándar de 19.6. ¿Cuál de los dos grupos tiene un rendimiento más heterogéneo?

Grupo 2 ; 22.4% y 38.5%

14.-

En una encuesta se obtuvo la siguiente información: Puntaje 0 – 40 40 – 60 60 – 80 80 - 100

Porcentaje 10% 10%

Si se sabe que la media aritmética de la muestra es 61 puntos, determinar la 321 varianza de la distribución. 15.-

Los tiempos que se indican en la tabla de frecuencias representa el tiempo (en segundos) que 24 trabajos estuvieron en control de la unidad de proceso (CPU) de una computadora. Tiempo 0,015 – 0,715 0,715 – 1,415 1,415 – 2,115 2,115 – 2,815 2,815 – 3,515 3,515 – 4,215 a) b) c) d)

16.-

Nº de trabajos 5 9 4 3 1 2

1 Calcular e interpretar la desviación estándar. Interpretar el coeficiente de variación. Hallar el grado de asimetría ¿Se puede concluir que la distribución del tiempo presenta una forma platicúrtica? ¿Por qué?

Dos marcas de máquinas A y B han sido diseñadas para producir cierto tipo de producto. Tienen igual precio. Un fabricante, al decidir cuál comprar, ha observado diez máquinas diferentes de cada marca en operación durante una hora. El número de artículos producidos por cada máquina se registra en la siguiente tabla: Marca A Marca B

35 27

36 28

49 53

44 52

43 48

37 29

38 34

¿Cuál máquina le recomendaría comprar? ¿Por qué? 17.-

42 47

39 45

40 45

A ; 18.23 y 104.4

Una empresa informática tiene un registro de productos de software al cual se les midió el número de errores encontrados medidos en cientos de módulos. Los datos se encuentran resumidos en la siguiente tabla: Xi : fi : a) b) c)

1 17

2 11

3 10

4 5

Calcular e interpretar la desviación estándar. ¿Qué sesgo presenta la distribución? Hallar el porcentaje de variabilidad de los datos.


5 3

1.24 0.62

94

UNIFÉ


Estadística 18.-

Un encargado de compras ha obtenido muestras de focos de luz de dos proveedores. En su laboratorio, ha probado ambas muestras con respecto a la duración de su vida útil, con los siguientes resultados: Duración de la vida útil (horas) 700 – 900 900 – 1100 1100 – 1300 1300 - 1500

Xi 800 1000 1200 1400

Muestras de Empresa A Empresa B 10 3 16 42 26 12 8 3

¿Los focos de cuál de las empresas tienen mayor uniformidad con respecto a su B ; 15 762.71 y 34531.07 duración? 19.-

Una prueba de conocimientos A, se calificó sobre 20 puntos dando una media de 12 y una desviación estándar de 2 puntos. Mientras que una prueba de aptitud B, se calificó sobre 100 puntos, dando una media de 70 y una varianza de 25. ¿Cuál de las A ; 16.7% y 7.14% dos pruebas tiene mayor dispersión? ¿Por qué?

20.-

Las siguientes tablas muestran la distribución de las tallas correspondientes a dos grupos de niños.

Grupo 1 Talla (cm.) 80-100 100-120 120-140 140-160 160-180

Grupo 2 Talla (pulg) 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

Nº de Niños 12 9 20 15 2

Nº de Niños 30 10 15 20 40 8

¿En cuál de los grupos la media aritmética es más representativa? ¿Por qué?

A ; 18.53 y 28.86

21.-

Se tienen las siguientes tablas de distribución de frecuencias correspondientes a los pesos de tres grupos de niños. A Peso (kgs.) 20 25 30 35

B Fi 5 12 25 30

Peso (Libras) 40-50 50-60 60-70 70-80

C Peso (Libras) 20-30 30-40 40-50 50-60

Hi 0,14 0,44 0,68 1,00

fi 9 17 12 6

¿Cuál de los grupos es menos uniforme con respecto a sus pesos? ¿Por qué?

C ; 16.91% , 17.29% , 25.08%

22.-

Se tienen tres empresa con aproximadamente número de inasistencias registradas durante los las tres empresas se da a continuación: Empresa: A : 3 19 4 5 B : 7 8 11 9 C : 10 17 12 2

igual número de trabajadores. El últimos seis meses en cada una de 15 14 18

6 16 13

¿En cuál de estas tres empresas existe mayor variabilidad con respecto al número de A ; 44.27 , 12.57 , 33.2 inasistencias?


95

UNIFÉ


Estadística 23.-

Se quiere comparar la dispersión existente entre los sueldos de los técnicos y profesionales de una empresa privada. A continuación se presentan ambas tablas: Sueldos/mes ($) 200 250 300

Sueldos/mes (S/) 400 500 600

Nº de técnicos 10 10 10

Nº de Profesionales 5 10 5

¿Se puede afirmar que la dispersión es ligeramente superior en los sueldos de los 16.3% y 14.5% técnicos? ¿Por qué? 24.-

Las notas de cincuenta alumnos se clasifican en una tabla de frecuencias con cuatro intervalos de igual magnitud. Se pide calcular el coeficiente de variación, sabiendo que: 24,74% X 2 = 50 f 1 = 4 F2 = 20 f 3 = 25 x = 62,4

25.-

El número de artículos producidos por dos máquinas durante los últimos meses ha sido el siguiente: Nº artic. 20 28 35 40 42

Nº meses 3 4 1 2 3

Nº artic. 10-14 15-19 20-24 25-29 30-34

Nº meses 2 1 6 2 3

¿Cuál de las dos máquinas es más heterogénea en cuanto al número de artículos A ; 77.7 y 43 producidos? 26.-

Se tienen los datos correspondientes a las distribuciones de frecuencias de las edades de dos grupos de personas. Edad 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80

Grupo 1 Nº personas 6 8 2 4 7 9

Grupo 2 Edad Nº personas 30-35 5 35-40 2 40-45 9 45-50 10 50-55 6 55-60 4

¿En cuál grupo es más representativa la media aritmética? ¿Por qué?

grupo 2

27.-

; 354.6

y

54.6

Una compañía requiere los servicios de un técnico especializado. De los expedientes presentados, se han seleccionado 2 candidatos: A y B, los cuales reúnen los requisitos mínimos requeridos. Para decidir cual de los 2 se va a contratar, los miembros del Jurado deciden tomar 7 pruebas a cada uno de ellos y contratarán al más uniforme. Los resultados se dan a continuación: Puntaje obtenido por A Puntaje obtenido por B

57 80

55 40

54 62

52 72

62 46

55 80

59 40

Si tú fueras el gerente de dicha compañía, ¿a cuál de los técnicos contratarías? ¿Por A ; 11.24 y 324 qué?


96

UNIFÉ


Estadística 28.-

La siguiente tabla muestra los tiempos en segundos empleados en establecer una conexión a Internet en diferentes ocasiones. Los datos se han agrupado mediante la siguiente tabla de frecuencias: Tiempo : Frec. : a) b)

29.-

1.35-1.40 6

1.40-1.45 8

1.50-1.55 12

1.55-1.60 15

Calcular e interpretar el grado de asimetría y curtosis. ¿Se puede afirmar que presenta alta variabilidad? ¿Por qué?

Proceso 1 3.74 3.89 3.06 3.65

3.65 3.33

3.81 3.26

Proceso 2 3.26 3.07 3.79 3.14

3.35 3.51

Las siguientes tablas muestran la distribución de las notas de los grupos A y C (en sistema vigesimal) y del grupo B (en sistema centesimal). A Xi

B Ii

Fi 8 15 23 35

10 12 15 17

31.-

1.45-1.50 14

Se utilizan dos procesos para producir discos de computadora. Han surgido problemas respecto a las variaciones en los tamaños de tales discos. Con base en los siguientes datos de ocho tamaños de discos en pulgadas para cada proceso, explique cuál proceso aconsejaría usted si su objetivo es minimizar la desviación en el tamaño alrededor de la media. 3.41 3.22

30.-

1.30-1.35 3

C Ii

f i 9 5 6 12

40-50 50-60 60-70 70-80

f i 5 3 14 7

0-5 5-10 10-15 15-20

a)

¿Se puede afirmar que el grupo C es más uniforme que el grupo A en cuanto a su rendimiento? ¿Por qué?

b)

¿En cuál de los tres grupos se podría afirmar que el promedio aritmético es más representativo? ¿Por qué?

En un programa de capacitación industrial, un grupo de aprendices es instruido con el método A y otro grupo con el método B. En el método A, durante cinco días los aprendices dejan de trabajar en la planta industrial y asisten a un curso de capacitación que dura cuarenta horas. En el método B, los aprendices son capacitados en la misma planta industrial bajo la supervisión de expertos de la planta durante el mismo tiempo. Al finalizar la capacitación son evaluados y calificados. Los aprendices son seleccionados aleatoriamente después de haber sido capacitados por cada uno de los métodos, son evaluados y calificados. Los datos de las calificaciones obtenidas por los aprendices son los siguientes: Método A : Método B :

71 72

75 77

65 84

69 78

73 69

66 70

68 77

71 73

65

75

Si tuvieras que elegir uno de los dos métodos basándote en el grado de dispersión, ¿cuál elegirías? ¿Por qué? 32.-

Los siguientes datos corresponden al número de errores por página en un libro de 500 páginas. Nº de errores Nº de páginas

: :

0 102

1 138

2 140

3 79

4 33

5 8

Calcular e interpretar la desviación estándar.


97

UNIFÉ


Estadística 33.-

Los siguientes gráficos corresponden a los resultados obtenidos por dos Tiradores al blanco. Explique para cuál de los Tiradores es más representativa su media aritmética, ¿Por qué? Tirador A

34.-

Tirador B

Se utilizan dos procesos para producir discos de computadora. Han surgido problemas respecto a las variaciones en los tamaños de tales discos. Con base en los datos de muestra observados, de ocho tamaños de discos en pulgadas para cada proceso, explica cuál proceso aconsejarías si tu objetivo es minimizar la desviación en el tamaño alrededor de la media. Proceso 1 Proceso 2

: :

3.41 3.81

3.74 3.26

3.89 3.07

3.65 3.35

3.22 3.26

3.06 3.79

3.65 3.14

3.33 3.51

35.-

En febrero del año pasado, los datos de préstamos personales de una mutual mostraron un promedio de $650 y una desviación estándar de $300d. Recientemente se calculó la media y la desviación estándar correspondiente a los préstamos personales de febrero del presente año resultando las mismas $900 y $350 respectivamente. ¿En cuál de los dos años los préstamos personales presentaron 45% , 39% menor dispersión relativa?

36.-

En un examen final de Estadística, la puntuación media de un grupo de 150 estudiantes fue de 78 y la desviación típica fue de 8 puntos. En Contabilidad, sin embargo, la media final del grupo fue de 73 y la desviación típica 7.6. ¿En qué asignatura hubo mayor dispersión absoluta y en cuál mayor dispersión relativa?

37.-

Un agente de inversiones encuentra dos valores prometedores. El primero conduce a un rendimiento medio del 10% con una desviación típica del 1.2%d; el segundo produce una tasa de rendimiento medio del 20% con una desviación típica del 5%d. Con ayuda del coeficiente de variación como medida de riesgo, el agente aconseja a su cliente más conservador que invierta en el primer valor. ¿Estás de acuerdo?

38.-

Supongamos que dos empresas desean repartir beneficios entre sus cuatro principales accionistas y que el reparto se realiza de la siguiente forma (en miles de dólares) Accionista 1 2 3 4

Empresa A 100 500 300 100

B 1200 1300 1400 1100

¿Cuál de los dos repartos es el más equitativo?


98

UNIFÉ


Estadística 39.-

Se aplicó una encuesta a dos grupos de estudiantes con respecto a la variable “Gasto en ocio”, diferenciando entre los que no trabajan y los que sí trabajan, obteniéndose los siguientes estadígrafos: Estadígrafo Media aritmética Mediana Varianza Desviación estándar Coeficiente de variación

No trabajan 20.37 20.00 66.58 8.16 40.06

Sí trabajan 36.15 35.00 425.38 21.27 58.84

En base a estos resultados: a) b) c) d) 40.-

¿Se puede afirmar que la media de esta variable es más representativa en el grupo que trabaja?, ¿por qué? ¿Cuál es la dispersión relativa de esta variable en el grupo que trabaja? ¿Se puede afirmar que la dispersión es óptima en los que no trabajan? ¿Por qué? La media aritmética de los que sí trabajan, ¿es muy poco representativa? ¿Por qué?

Se quieren comparar los sueldos de los profesores de dos centros educativos privados A y B. A continuación se presentan los datos de ambos colegios: Colegio A Sueldos/mes Nº de ($) profesores 300 – 350 8 350 – 400 15 400 – 450 18 450 – 500 25 500 – 550 19 550 – 600 14

Colegio B Sueldos/mes Nº de (S/) profesores 800 – 900 45 900 – 1000 38 1000 – 1100 20 1100 – 1200 24 1200 – 1300 15 1300 - 1400 8

a)

¿Cuál es el alejamiento en soles de los sueldos de los profesores del colegio B 154.86 con respecto al promedio aritmético?

b)

¿Cuál es el porcentaje de alejamiento de los sueldos del colegio B con respecto 15.23 al promedio aritmético?

c)

¿En cuántos dólares al cuadrado se alejan los sueldos de los profesores del 5578.75 colegio A con respecto a la media?

41.-

Se pretende comparar la variación entre dos pruebas (una de aptitudes mecánicas y otra de destreza manual) realizadas a un grupo de aprendices pertenecientes al cuerpo de bomberos. La media aritmética de las puntuaciones obtenidas en la prueba de aptitudes mecánicas fue 200, con una desviación estándar de 10. En la segunda prueba los resultados fueron de media 30 y desviación estándar 6. ¿En cuál de las dos pruebas se puede afirmar que existe mayor dispersión? ¿Por qué?

42.-

Para ir a su trabajo, Jessica puede optar por usar su auto o utilizar el transporte público. Durante los diez últimos días ha utilizado, alternativamente, uno u otro medio de transporte y ha anotado los minutos que demora en cada uno. Auto T. público

: :

17 21

25 23

16 22

28 24

26 20

¿Cuál crees que es el trasporte que más le conviene utilizar a Jessica? ¿Por qué?


99

02 MTC Dispersion Asimetria Curtosis

Recommend Documents