06 Cap Vi - Flujo de Potencia Modificado 06-01-17

CAP. VI

FLUJO DE POTENCIA

CAP. VI – VI – FLUJO DE POTENCIA

SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

INDICE 6.1.-Introducción. 6.2.-Estructuraa gener 6.2.-Estructur general al de los sistemas de potencia. 6.3.-Definición del problema. 6.4.-Modelamiento de los componentes del sist sistema. ema. 6.5.-Clasificación de barras. 6.6.-Formulación de la matriz admitancia (YBUS).



INDICE 6.1.-Introducción. 6.2.-Estructuraa gener 6.2.-Estructur general al de los sistemas de potencia. 6.3.-Definición del problema. 6.4.-Modelamiento de los componentes del sist sistema. ema. 6.5.-Clasificación de barras. 6.6.-Formulación de la matriz admitancia (YBUS).



INDICE 6.7.-MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE FLUJO DE POTENCIA. 6.7.1.-Flujo de potencia linealizado. 6.7.2.-Método de Newton Raphson. 6.7.3.-Método Desacoplado Rápido. 6.8.-CASOS ESPECIALES. 6.8.1.-Control remoto de tensión 6.8.2.-Transformadores con regulación bajo carga. 6.8.3.-Transformadores desfasadores. 6.8.4.-Intercambio 6.8.4.-Intercambio de potencia controlada. 6.9.-APLICACIONES.


CAP. VI – FLUJO DE POTENCIA

6.1 ESTRUCTURA GENERAL DE LOS SISTEMAS DE POTENCIA



6.2 DEFINICION DEL PROBLEMA • FLUJO DE CARGA (FC): Obtención de las condiciones de operación

(tensiones, flujos de potencia) de una red eléctrica en función de su topología y los niveles de demanda y generación de potencia.



• FLUJO DE CARGA: Modelado de los componentes ⇒ obtención del sistema de ecuaciones e inecuaciones algebraicas ⇒ métodos de solución ⇒ estado de operación de redes en régimen

permanente. •

⇒ Red representada por un conjunto de ecuaciones e inecuaciones algebraicas. •

Obteniéndose el estado de operación de la red en ⇒ el comportamiento dinámico no es considerado.



6.3 APLICACIONES • FC es utilizado tanto en el planeamiento como en la operación de redes

eléctricas. • En general es parte de un procedimiento mas complejo. • Algunos ejemplo: • Operación • Análisis de seguridad: varias contingencias (accidentes, disturbios) son simuladas en el estado de operación de

redes, después la contingencia debe ser obtenida. Eventuales violaciones de los limites de operación son detectadas y las acciones de control correctivo y/o preventivo son determinadas.

• Planeamiento • Planeamiento de la expansión: nuevas configuraciones de redes son determinadas para atender el aumento de

la demanda y el estado de operación de la redes para la nueva configuración debe ser obtenida.

• A lo largo de los años, varios métodos de solución de FC fueron

propuestos. Para cada aplicación existen el método mas apropiado. Los factores considerados para la elección son mostrados en la tabla siguiente.


SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA TIPOS DE SOLUCION Precisión

Aproximada

Sin control de limites

Con control de limites

Desconectado

Conectado

Casos simples

Casos múltiples

Propiedades de los métodos de solución de FC Alta velocidad

Especialmente para:

•Aplicaciones en tiempo real •Casos múltiples •Aplicaciones interactivas •Redes de grandes dimensiones

Pequeño espacio de almacenamiento

Especialmente para:

•Computadoras con pequeña memoria

Confiabilidad

•Problemas mal condicionados

Versatilidad

•Análisis de contingencia •Aplicaciones en tiempo real •Habilidad para incorporación de características especiales

Simplicidad Especialmente para:



(control de limites de operación, representación de diversos equipamientos etc.) facilidad de ser usado como parte de procesos mas complejos •Facilidad de mantenimiento y mejoramiento de algoritmo y de programa

En general una aplicación requiere varias características 

Ejemplo: En el análisis de seguridad podemos necesitar un método de solución aproximado, sin control de limites operacionales, conectado, con solución de casos múltiples.



6.4 HISTORIA • Analizador de redes – paneles en que los equipos del sistema eran

emulados a través de conjuntos de fuentes, resistores, capacitores e inductores variables Para redes reales, el analizador de redes eran enormes (ocupando varias salas), consumían mucha energía y las modificaciones en las redes exigían alteraciones en la fijacion y ajustes en los valores de los componentes Los analizadores de redes fueron utilizados antes y durante algún tiempo después de la utilización de computadores digitales

• Primer método practico de solución del problema de FC a través de un computador digital ⇒ Ward y Hale, 1965 (método basado en la matriz

Y) • Métodos basados en la matriz Y: espacio de almacenamiento

pequeño (adecuado para los computadores de la época), convergencia lenta.



• Comienzos de la década de los 60: Métodos basados en la matriz Z (Gupta y Davies,

1961). Convergencia mas confiable, requieren mas espacio de almacenamiento, mas lentos. • En la misma época: Método de Newton (Van Ness, 1959). Características de

convergencia excelentes. Computacionalmente no era competitivo. • Mediados de la década de los 60: Técnicas de almacenamiento compacto (Tinney y

Walker, 1967) hicieron el método de Newton mucho mas rápido y exigiendo pequeño espacio de memoria, manteniendo la característica optima de convergencia ⇒ método de Newton paso a ser considerado como el mejor método y fue adoptado por la mayoría de empresas de energía eléctrica. • Década de los 70: métodos desacoplados (Stott y Alsac, 1974) basados en el método de Newton fueron propuestos ⇒ aún mas rápidos, manteniendo precisión y convergencia. Pronto en 1990 fue presentado un estudio teórico profundo de las características de los métodos desacoplados. • Fueron propuestos: Variaciones de los métodos desacoplados básicos, métodos para

redes mal condicionadas, métodos para redes de distribución (media y baja tensión), flujo de carga en continua, flujo de carga optimo, etc.


6.5 MOTIVACION E IDEAS GENERALES • Considerar el siguiente sistema de potencia




• Considerar que: • La función del sistema de generación es producir energía eléctrica que será consumida

modelado con una inyección de potencia en la barra. • La línea de transmisión es modelada como un circuito RL serie, representando las perdidas óhmicas de potencia y la presencia del campo magnético en torno a los conductores. • El sistema de distribución consume la energía transportada por el sistema de transmisión ⇒ modelado como una inyección de potencia en la barra. ⇒

• Diagrama unifilar correspondiente:





6.6 REQUERIMIENTOS DE UN SISTEMA DE POTENCIA • Cuantitativos • Entregar las magnitudes de potencia y energía definidas mediante acuerdos o contratos con:

Usuarios independientes con otros sistemas en los cuales eventualmente pueden estar conectados. • Permitir cantidades de potencia y energía que sirvan de reserva para situaciones eventuales • Que las previsiones de capacidad de la línea y los otros componentes garanticen los incrementos de acuerdo al crecimiento de la demanda

• Cualitativos • La energía debe enumerarse sujeta a restricciones en cuanto a: • Las variaciones de la tensión cuyas magnitudes dependen del nivel de esta última • Variaciones de la frecuencia en un 5 % 60±3

• El sistema de potencia debe tener una alta confiabilidad (se entiende

como la seguridad de que aunque el sistema sufra perturbaciones de magnitudes apreciables). La probabilidad de que existan discontinuidad en la prestación de servicio tendrá un valor rrazonablemente bajo.



6.8 CLASIFICACIÓN DE BARRAS 6.8.1. CLASIFICACIÓN DE VARIABLES:

a. Variables de Control:

u1   P G1  u  Q  u    2    G1  u3   P G 2      u Q  4   G2 

b. Variables de Estado:

 x1   1   x   V   x    2    1   x3   2      x4   V 2 

c. Variables de Disturbio (incontrolables)

 P 1   P  P L1  D1   P  Q  Q   P    2    L1    D1   P 3   P   P  L 2 D 2       P Q Q  4   L 2   D 2 



d. Restricción de Variables Variables de control

Variables de estado

 P G min  P D  P G max   QG min  Q D  QG max

 δ1  δ2  δ1  δ2 max  V min  V  V max



6.8.2 Tipos de Barras:

a. Barras Tipo P-Q (Carga) Datos:

PG , QG.

Datos:

PD , QD

Incógnitas:

|V|, δ

Sistema Eléctrico

PD , Q D

⇒

PG=0, QG=0



b. Barras Tipo P-|V| (Generación)

c. Barra Tipo |V|, δ (Referencia)

Sistema Eléctrico

Sistema Eléctrico

P, V PG , QG

V , δ PG , QG

PD , Q D

PD , Q D

Datos: PG , |V| (conocidas)

Datos: |V|, δ (conocidas)

Datos: PD , QD

Datos: PD , QD

Incógnitas: QG , δ

Incógnitas: PG , QG



6.8.3. Variantes de tipos de barras: En barra P-Q

PQV:

Cuando se tiene limites de operación |V|min ≤ |V| ≤ |V|max

PQRV: Cuando de se tiene la barra a una tensión controlada remotamente y se controla a través de la potencia reactiva En barras P-V

PVQ:

Tiene la barra limites de operación en |Q|min ≤ |Q| ≤ |Q|max

Tipos de Barras

Datos

Incógnitas

|V|, δ P-|V| P-Q

|V|, δ , PD , QD PG ,|V|, PD , QD PG , QG , PD , QD

PG , QG QG , δ |V|, δ



6.9 FORMULACIÓN DE LA MATRIZ ADMITANCIA [Ybus] 1 Zp1

2

Zp2 Ip1 P

Ip2

Vp Sp Ip

Ipq

Zpq

Ipn Zpn

n

q



I p  I p1  I p2    I pq    I pn I p 

V p  V 1 Z p1



V p  V 2 Z p2

 

V p  V q Z pq

 

V p  V n Z pn

 V q V 2 V n  1 1 1 V p I p         Z p1 Z p2 Z pq Z pn  Z p1 Z pq Z pn   V 1

Y              I p   y p1V 1  y p2V 2    y pqV q    y pnV n  y p1  y p2    y pq    y pn V p     pp

I p  Y p1V 1  Y p 2V 2    Y pqV q    Y pnV n 

n

 Y V pq

q   Y pp

I p   y p1V 1    y ppV p  y pqV q    y pnV n

q



I n   yn1V 1  yn 2V 2    ynpV p  ynqV q    ynnV n

 y11  y12  y1p  y1q   y1n  V1  I1    V       y y y y y    21 22 2p 2q 2n   2  I  2                      y y y y    p1 p2 pp pn   V p  I p            I      n   y  y p2  y np  y nq  y nn  Vn  n1             YBUS

 I   Y BUS V   I  

V   Y  

Matriz de corriente de inyección (Vector) Matriz de tensiones de barra (Vector) Matriz de admitancia de barras (Vector YBUS)


Y  


La matriz YBUS tiene las siguientes propiedades

Es una matriz cuadrada nxn (# de barras).  Los elementos de la diagonal son todos positivos.  Los elementos fuera de la diagonal son todos negativos.  Son simétricos -y12= -y21 entonces, -ypq= -yqp, a excepción de cuando se tiene en ese elemento transformadores con regulación bajo carga y con desfasamiento.  Es altamente ESPARSA.  Es una matriz compleja, sus componentes son todos complejos.  Los componentes de la diagonal son la sumatoria de todas las admitancias que salen de dicha barra. 


6.9.1 APLICACIÓN: Plantear la matriz admitancia del sistema eléctrico




Y 11  Y 12  Y  Y 12 13

Shunt

 Y

Shunt

12



1 0.03  j0.15



1 0.02  j0.1

 j0.02  j0.01

Y 11  1.282  j6.410  1.923  j9.615  j0.02  j0.01  3.205  j15.995 Y 12  1.282  j6.410

 3.2052  j15.9956  1.2821 j6.4103  1.9231 j9.6154   Y bus   1.2821 j6.4103 1.5315  j11.3478  0.2462  j4.9877   1.9231 j9.6154  0.2493 j4.9875 2.1725  j14.5629 16.3136   78.66º 6.5372101.31º 9.8058101.31º    Y bus  6.5372101.30º 11.4506   82.31º 4.9937 92.86º    9.8058101.31º 4.9937 92.86º 14.7240  81.52º 



6.10 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE FLUJO DE POTENCIA

S p  S G p  S D p Vp

SGp

SGq

p

Vq

S q  S Gq  S Dq

q

L SDq

SDp

p

I p

q

Z L Y sh

Y sh

I p 

V p  Vq ZL

 1  1 Vq  Ysh V p    Ysh V p  ZL  Z L 

Iq 

Vq  V p ZL

 1  1 V p  Ysh Vq    Ysh Vq  ZL  Z L 



V p  V p δ p

V q  V q δq

Z L  Z L  

Y sh  Y sh 90 

 1  1      δ δ I p  Y 90 V V      sh p p q q   Z θ   θ Z  L  L   1  1  Iq   Ysh 90  Vq δ q  V p δ p  Z θ  Z L θ  L  





S p  V I

* p p





I p 

S p* * p

V

Iq 

S*q Vq*

 1  1          δ   δ   δ S  V p   δ p  Y 90 V V V sh p   p p Z θ  q q p  θ Z L  L  * p

 1  1      S  V p   Y  90  V  δ V   δ sh p   Z θ  q q p Z  θ L  L  * p

2



S  S  * Gp

* Dp

V p

2

Z L V p

2

  θ  Y sh V p 90  V p V q 



1 Z L

 δ p  δq  θ 

2

1 P Gp  P cosθ   V p V q cos δ p  δq  θ  Dp  Z L Z L

 QGp  Q Dp   QGp  Q Dp 

V p

2

1 sen se n δ p  δq  θ  Z L

2

1 sen se n δ p  δq  θ  Z L

sen se nθ   Y sh V p  V p V q

Z L V p

2

2

Z L

sen se nθ   Y sh V p  V p V q jX

θ 

π

2

α

 

 π  α   sen  se nα   2   π  sen se nθ   sen se n  α   cosα   2  cosθ   cos

Z L R



cos δ p  δq  θ  sen se n α  δ p  δq

P Gp  P Dp 

QGp  Q Dp 

P Gq  P Dq 

QGq  Q Dq 

V p

2

senα  

Z L 2

V p

Z L V q

2

Z L V q

cosα  

senα  

2

Z L

cosα  

V p V q

senα  δ p  δq 

Z L V p V q Z L V p V q Z L V p V q Z L

Sumando las ecuaciones:

sen δ p  δq  θ  cos α  δ p  δq

1

cosα  δ p  δq   Y sh V p

2

2

senα  δ p  δq 

3

cosα  δ p  δq   Y sh V q

1



3

Balance de potencia activa

2

2

4



4

Balance de potencia reactiva





2 senα  P Gp  P Gq  P P V    V q Dp Dq p Z L

P Gp  P Gq  P Dp  P Dq 

  

  

Pot . Generada

Pot . Demandada

2



V p V q Z L



2senα cosδ

p

 δq 





2 2 senα  V p  V q  2 V p V q cosδ p  δq  Z L

             Pérdidas

QGp  QGq  Q Dp  Q Dq 

QGp  QGq  Q Dp  Q Dq 

 

 

Pot. Generada

Pot. Consumida

cosα  Z L

V

p

2

 V q

2



V p V q Z L

2cosα cosδ

2 2 cosα  V p  V q  2cosα cosδ p  δq   Z L

             Pérdidas



2

 V q p  δq   Y sh V p

2



     2

Y sh V p  V q

2

Aporte de los capacitore s del sistema



d. Newton Rapshon en coordenadas polares I p 

n



V p  V p e

Y pqV q

jδ p

q 1

* P jQ I   p p p V p

V q  V q e

* P jQ V   p p p I p

P p  jQ p  V p e

 jδ p

Y pq  Y pq e

n



jδq

Y pq e

jθ pq

V q e

jθ pq

jδ q

q 1

P p  jQ p 

n

 V V Y p

q

pq

.e

e  jθ  cosθ  jsenθ

 j δ p ( δq  θ pq )

q 1

P p 

n

 V V Y p

q 1

q

pq

cosδ p  ( δq  θ pq ) Q p 

n

 V V Y senδ p

q 1

q

pq

p

 ( δq  θ pq )



  P 1  ΔP 1   δ1  ΔP    2        P n  ΔP n   δ1  ΔQ    Q  1  1  ΔQ2   δ1        Q  ΔQn   n  δ1

P p  jQ p  V p e

jδ p



 P 1  V 1









 P n δ1 Q1  δn Qn δn

n



 P 1 δn

Y pq e

 jθ pq

 P n  V 1 Q1  V 1 Qn  V 1

V q e

 P 1   Δδ1   V n    Δδ2      P n        V n   Δδn  Q1   ΔV 1    V n   ΔV   2       Qn    ΔV  V n   n  

 jδq

q 1 jδ p


n



Y pq e

 jθ pq

q 1 p  q

aq  jbq  Y pq e

 jθ pq

V q e

 jδq

Vq e

 jδ q

2

 V p Y pp e

 jθ pp



 P p Q p jδ V p  j V p  V p e  V p  V p

p

 P p  V p

V p  j

Q p  V p

V p  V p e

jδ p

n



Y pq e

V q e

 jδq

2

 2 V p Y pp e

Y pq e

 jθ pq

V q e

 jδq

2

 V p Y pp e

q 1 p  q

 jθ pp

             P p  jQ p

 P p  V p  P p  V p Q p  V p

V p  j

Q p  V p

V p  P p  jQ p  V p

2

V p  P p  V p G pp

N pp

2

V p  Q p  V p B pp

 jθ pp

q 1 p  q

n



 jθ pq

L pp

2

G

pp

 jB pp 

2

 V p Y pp e  j

θ pp



 P p  V q  P p  V q

P p  Vq  P p  V q

V q  j

V q  j

Q p  V q Q p

V q  V p e

 V q

Vq  j

V q  j

V q  V p e

Q p  Vq

Q p  V q

jδ p

jδ p

Y pq e

a

q

 jθ pq

V q e

 jδq

 jbq 

Vq  e p  jf p a q  jb q 

V q  e p aq  f p bq  j  f p aq  e p bq 



 P p  V q

Q p  V q

V q  e p aq  f p bq

N pq

V q  f p aq  e p bq

L pq

 n  P p Q p  2 2 jδ  j  j  V p e  Y pq e  jθ V q e  jδ  V p Y pp e  jθ  V p Y pp e  jθ δ p δ p q 1  q  p   P p Q p 2  j  j P p  jQ p  V p G pp  jB pp  δ p δ p p

pq

Q p 2  P p  V p G pp  p

pp





 P p 2  Q p  V p B pp  p

q

Hpp

J pp

pp

    



   P p Q p  j  j  j   j   j  V p e Y pq e V q e             q  q      P p Q p  j   j e p  j. f p aq  jbq   q  q p

pq

q

 P p Q p  j   j e p aq  f pbq  j  f p aq  e p bq   q  q  P p  f p aq  e pbq  q

Hpq

Q p  e p aq  f pbq  q

J pq



e. Aplicación 2. Determinar la matriz Jacobiana para el sistema

V 1 , 1

1

2

P 2 ,Q2

P 4 ,Q4

4

3

P 3 , V 3



ΔP2   P2    δ    2 ΔP3   P3    δ 2    ΔP4    0       Q 2 ΔQ    2   δ 2    ΔQ   0  4 

P2 δ3 P3 δ3 P4 δ3 Q 2 δ3 Q 4 δ3

ΔP2  H 22 ΔP  H  3   32 ΔP4    0    ΔQ 2   J 22 ΔQ 4   0  

P2 V2  V2 P3 V2  V2

0

P3 δ 4 P4 δ 4

0

Q 2 V2  V2

0

Q 4 δ 4 H 23

0

0

N 22

H 33

H 34 N 32

H 43

H 44

0

J 23

0

L 22

J 43

J 44

0

  Δδ 2 0       P3 V4  Δδ 3    V4    P4  V4 .Δδ 4   V4    0  Δ V / V   2 2  Q 4   V4    V4  Δ V4 / V4  0  Δδ 2

  N 34 Δδ3  N 44  Δδ 4  0  Δ V2  L 44  Δ V  4

     / V2   / V4 



ΔP2   P2    δ    2 ΔQ 2   Q 2    δ 2    P ΔP3    3    δ 2    ΔP   0  4     ΔQ   0  4 

P2 V2  V2 Q 2 V2  V2 P3 V2  V2 0 0

ΔP2  H 22 N 22 ΔQ   J  2   22 L 23 ΔP3   H 32 N 32    0 ΔP4   0 ΔQ4   0 0

P2 δ 3 Q 2 δ 3 P3 δ 3 P4 δ 3 Q 4 δ 3

P3 δ 4 P4 δ 4 Q 4 δ 4

H 23

0

J 23

0

H 33

H 34

H 43

H 44

J 43

J 44

0 0

  Δδ 2 0      Δ V2 / V2  0     P3  V4  Δδ3   V4    P3  V4   Δδ  V4   4  Q 4  V    V4 4  Δ V4 / V2   

 0  Δδ 2    V / V Δ 0  2 2 

  N 34  Δδ3   N 44  Δδ 4  L 44  Δ V4 / V4   



f. Aplicación3

Barra Tensión 1.02 1 2 3

Carga 0.2

0.05

0.5

0.25



Y 11 

Z 12

 Y S 12  1

Y11 

0.04  j0.2 1

Y 22 

Z 21

 Y S 21  1

Y22 

0.04  j0.2

Y 33 

Y33 

1

1 Z 31

1 0.06  j0.4

Z 13

 Y S 13

 j0.004  1 Z 23

1 Z 32

1 0.06  j0.4

 j0.008  1.32887 j7.24068

 Y S 23

 j0.004 

 Y  31 S

1

1 0.08  j0.3

 j0.006  1.79141 j7.909726

 Y S 32

 j0.008

1 0.08  j0.3

 j0.006  1.19662 j5.543021



1 1 Y 12  Y 21     0.96153 j4.80769 Z 12 0.04  j0.2 1 1   0.36674  j2.44498 Y 13  Y 31   Z 31 0.06  j0.4 1 1 Y 23  Y 32     0.82987  j3.11203 Z 23 0.08  j0.3

 1.32828 j7.24068  0.96153 j4.80769  0.36674 j2.44498   Y bus   0.96153 j4.80769 1.79141 j7.909726  0.82987 j3.11203    0.36674 j2.44498  0.82987 j3.11203 1.19662 j5.543021



6.10.4. Método de Desacoplado Rápido Las Submatrices N y J son ignoradas dentro de la ecuación, desacoplándose esta en dos ecuaciones.

 Δδ   ΔP   H N     V Δ  ΔQ  J L        V    P p  jQ p  V p

 ΔP    H  Δδ   ΔV   ΔQ   L   V  

n



* Y pq V q

*

q 1


jδ p

n



Y pq e

 jθ pq

V q e

 jδq

q 1

P p  jQ p 

n

 q 1

Y pq e

 jθ pq

V p V q e

j( δ p  δq )



P p  jQ p 

n

 (G

pq

 jB pq )Cos( δ p  δq )  jSen( δ p  δq )V p V q

q 1

P p 

n

 G

pq

Cos( δ p  δq )  B pq Sen( δ p  δq )V p V q

q 1

Q p 

n

 G

pq

Sen(δ p  δ q )  B pq Cos(δ p  δ q )V p Vq

q 1

Cuando p=q 2

P  p  G pp V p

n

 G

pq



Cos( δ p  δq )  B pq Sen( δ p  δq ) V p V q

q 1 q  p 2

Q p  B pp V p 

n

 G

pq

q 1 q  p



Sen(δ p  δ q )  B pq Cos(δ p  δ q ) V p Vq



n  P p 2 2  H pp    G pq Sen( δ p  δq )  B pq Cos( δ p  δq )V p V q  B pp V p  B pp V p δ p q 1 q  p

                   Q p

H pp  Q p  B pp V p

2

 P p  H pq  V p V q G pq Sen( δ p  δq )  B pqCos( δ p  δq ) δq

Q p  V p

2

V p  L pp   B pp V p  Q p



  L pq  V q  V p V q .G pq Sen( δ p  δq )  B pq Cos( δ p  δq )         V q   0 1   Q p

Como:

δ p  δq  7º

cos( δ p  δq )  1 sen( δ p  δq )  0

L pq  V p V q B pq  H pq También: Q p  B pp V p

2

2

H pp   B pp V p  L pp

L pp   B pp V p

2



 H    L  V . B . V  Sub matriz

 H   V . B '. V   L  V . B ' '. V 

 B '  H pq 

L pq

 B ' '  H pp 

L pp

La matriz  P 

   H      V Q     L      V   

 P   H     V  Q  L    V 



 P   V . B '. V .  

. . . ( )

  V  Q  V . B ' '. V .  . . . ( )  V 

Consideraciones 

La diferencia entre las matrices [B’] y [B’’] estriba en que en presencia de barras de tipo P-V, los ejes correspondientes al voltaje controlado son omitidos



Los elementos que afectan al flujo de potencia reactiva como reactores y/o capacitores en shunt, capacitores en serie, capacitores de línea, taps fuera de lo nominal en transformadores de fase, etc. son omitidos en la matriz [B’]



El ángulo desfasador de los transformadores con desfasamiento (fase cuadratura) son omitidos en [B’’].





En cuanto a las tensiones, los términos en [V] del lado izquierdo de las ecuaciones (α) y (β) son pasados al primer miembro [ΔP/|V|] y la influencia de los reactivos sobre los ángulos son despreciados, así mismo el valor en [V] del lado derecho de la ecuación (α) es asumido en 1 p.u. la matriz [V] del lado derecho a 1 P.U.

 ΔP   V     B ' . Δδ    ΔQ   V     B ' '  ΔV    

Ambas sub matrices [B’] y [B’’] son reales y en ambos casos son simétricos; excepcionalmente [B’] no es simétrica cuando existe la presencia de transformadores desfasadores





Las resistencias en serie también son despreciados plantear la matriz o sub matriz [B’]. [B’]

[B’’]

solo tomamos la suceptancia

al



a. Aplicación 1

Barra Tensión 1.02 1 2 3

Carga 0.2

0.05

0.5

0.25

1

2 0.04

j0.20

j0.04

j0.08

j0.04

j0.06 j0.30

0.06 j0.40

0.08 j0.06

j0.08

3



Y 11 

Y 11 

Y 22 

Y 22  Y 33 

Y 33 

1 Z 12

 Y S 12  1

0.04  j0.2 1 Z 21

 Y S 21 

Z 31

 Y S 13

 j0.04 

Z 23

0.04  j0.2

 Y S 31 

Z 13

1

1

1

1

 Y S 23

 j0.04  1

Z 32

1  j0.08  1.32828 j7.13268 0.06  j0.4

1 0.08  j0.3

 j0.06  1.79141 j7.81972

 Y S 32

1 1  j0.08   j0.06  1.19662 j5.41702 0.06  j0.4 0.08  j0.3



1 1 Y 12  Y 21     0.96153 j4.80769 Z 12 0.04  j0.2 1 1   0.36674  j2.44498 Y 13  Y 31   Z 31 0.06  j0.4 1 1 Y 23  Y 32     0.82987  j3.11203 Z 23 0.08  j0.3

 1.32828 j7.13268  0.96153 j4.80769  0.36674 j2.44498   Y bus    0.96153 j4.80769 1.79141 j7.81972  0.82987  j3.11203  0.36674 j2.44498  0.82987  j3.11203 1.19662 j5.41702 



Despreciando las resistencias se tiene: 1

2

j0.20

j0.30

j0.40

3

Y 11 

Y 22 

1 Z 12

1 Z 12

 

1 Z 13

1 Z 23

 

1 j0.2

1 j0.2

 

1 j0.4

1 j0.3

  j7.5   j8.3333



Y 33 

Y 12 

Y 13 

1 1 1 1      j5.83333 Z 13 Z 23 j0.4 j0.3 1 Z 12 1

Z 13

Y 23 

1 Z 23







1 j0.2 1 j0.4 1 j0.3

  j5   j2.5   j3.33333

B '   | V p || B pq || V q |



5  2.5   7.5   B '   5 8.33333  3.33333    2.5  3.33333 5.83333 

0.15556 0.08889  B '     0.08889 0.2222  

 7.13268  4.80769  2.44498   B ' '   4.80769 7.81972  3.11203  2.44498  3.11203 5.41702 

0.16578 0.09524  B ' '     0.09524 0.23932  

1

1

I 20  Y 21V 10  Y 22V 20  Y 23V 30

I 30  Y 31V 10  Y 32V 20  Y 33V 30

I 20  0.1970995.59º

I 30  0.1890392.22º

I 20  0.01922 j0.19615

I 30  0.00732 j0.18889

S 20  0.01922 j0.19615

S 30  0.00732 j0.1888



ΔP 30  P p(especificado)  P p(calculad o)

ΔP 20  P p(especificado)  P p(calculad o) ΔP 20  0.2  ( 0.01922) ΔP 20  0.18078 ΔP 20 0 2

| V |

 0.18078

ΔP 30  0.5  ( 0.00732) ΔP 30  0.4926 ΔP 30 0 3

| V |

 0.49268

ΔQ20  0.05  ( 0.19615)

ΔQ30  0.25  ( 0.18889)

ΔQ  0.14615

ΔQ30  0.06111

0 2

0 2

ΔQ

| V 20 |

 0.14615

ΔQ30 0 3

| V |

 0.06111



 ΔQ20   ΔP 20   | V 0 |  | V 0 | 0    Δδ20  ΔV 2 2  2 1  1   B ' B ' '        0  0 0 0     Δδ ΔV ΔP ΔQ 3 3     3 3  0   0  | V |  | V 3 |   3   Δδ20  0.15556 0.08889  0.18078  0   0.08889 0.22222  0.49268    Δδ3  

 Δδ20   0.07191  4.12   0    0.12555  7.19  180 Δδ  x    3  π  ΔV 20  0.16578 0.09524 0.14615   0   0.09524 0.23932  0.06111    ΔV 3    ΔV 20  0.01841   0   4   ΔV 3   7.0552x10 



δ21  δ20   Δδ20   1   0    0  δ3  δ3   Δδ3  δ21  0   4.12  4.12  1   0     7.19    7.19    δ3     0  ΔV V  V  2         0 V  V   ΔV 3  1 2 1 3

0 2 0 3

V 21  1 0.01841  1.01841   1   1    4  0.99929  V 7.0552x10   3      V 21  1.01841  4.12º

V 31  0.99929  7.19º



H 23  L23   | V 2 || V 3 ||B 23 | ( 3.11200) 3.11200

H 32  L32   | V 3 || V 2 ||B32 | ( 3.11200) 3.11200 H 22  L22   | V 2 |2|B 32 | (7.81960) 7.81960 H 33  L33   | V 3 |2|B33 | (5.41690) 5.41690

I 31  Y 31V 11  Y 32V 21  Y 33V 31

I 21  Y 21V 11  Y 22V 21  Y 23V 31 I 21  0.16783173.56º

I 21  0.16677  j0.018827

I 31  0.51872157.86º

I 31  0.48048 j0.1954

S 21  0.17078  j0.00692

S 31  0.50081 j0.13369

ΔP 21  P p( especificado)  P p(calculad o)

ΔP 31  P p(especificado)  P p(calculad o)



ΔP 21  0.02922

ΔP 21 1 2

| V |

 0.02869

ΔQ21  0.04308 1 2

ΔQ 1 2

| V |

 0.042301

ΔP 31  0.00081

ΔP 31

1 3

| V |

 0.000811

ΔQ31  0.1163

ΔQ31 1 3

| V |

 0.11639

 Δδ21  0.15556 0.08889  0.02869  1   0.08889 0.22222 0.000811     Δδ3  

 Δδ21   0.004391  0.2516    1    0.002370  0.1358  180 Δδ  x    3  π


 ΔV 21  0.16578 0.09524  0.042301  1   0.09524 0.23932  0.11639     ΔV 3    ΔV 21   0.01809  1    0.03188   ΔV 3   δ22  δ21   Δδ21   2    1   1 δ3  δ3   Δδ3  δ22   4.12  0.2516   4.37   2     7.19   0.1358    7.33      δ3  

V 22  V 21   ΔV 21   2    1   1 V 3  V 3   ΔV 3 




V 22  1.01841  0.01809 1.00032  2   0.99929   0.03188  0.96741      V 3   V 21  1.00032  4.37º

V 31  0.96741  7.33º



6.10.5. DETERMINACION DE FLUJO DE POTENCIA Para la solución de flujo de potencia se puede utilizar las admitancias propias y mutuas que componen la matriz admitancia de barra Ybarra, o las impedancias de punto de operación y de transferencia que constituyen Zbarra. Considerando una matriz admitancia de barra de NxN , el elemento Y ij tiene la forma:

Y ij  Y ij  ij  Y ij cos ij  j Y ij sen ij  Gij  jBij

… (a)

La tensión en una barra típica i del sistema está dada en coordenadas polares por:

V i  V i  i  V i (cos  i  jsen i )

… (b)

Mientras que la tensión en una barra típica j se escribe de manera similar, cambiando solo el subíndice i por j .



La corriente total que se inyecta a la red a través de la barra i en términos de los elementos Y in de la matriz admitancia de barra está dada por:

I i  Y i1V 1  Y i 2V 2  ...  Y inV n 

N

 Y V in

n

n 1

Sean P i y Qi las potencias real y reactiva totales que ingresan a la red a través de la barra i , entonces el complejo conjugado de la potencia que se inyecta a la barra i es:

P i  Qi  V i

*

N

Y V in

n

n 1

Sustituyendo las ecuaciones (a) y (b) se tiene:

P i  Qi 

N

 Y V V ( in

n 1

i

n

in

  n   i )



Expandiendo la última ecuación e igualando las partes real y reactiva, se tiene:

P i 

N

 Y V V cos( in i

n

in

  n   i )

n 1

Qi  

N

 Y V V sen( in i

n

in

  n   i )

n 1

Las dos últimas ecuaciones constituyen la forma polar de las ecuaciones de flujo de potencia, las que dan valores calculados para la potencia real P i y la potencia reactiva Qi totales que entran a la red a través de una barra típica i .



6.10.5.1 FLUJO DE LÍNEA Cuando las ecuaciones de flujo de carga estática se han resuelto, entonces ya podemos determinar la potencia a través de las líneas de transmisión del sistema de n-barras. Consideremos la línea que conecta las barras i y j

i

Vi

j

V j

Yij '

Sij

'

Y ij

Y ij

2

2

Sij



La corriente de línea I ij que va desde la barra i hasta la barra j es

I ij  V i  V j  y ij  V i

y ij ' … (a)

2

El flujo de potencia S ij de la barra i a la barra j es:

S ij  P ij  jQij  V i I ij*

… (b)

Sustituyendo (a) en (b) se tiene:

S ij  P ij  jQij  V i V i *  V j*  y ij*  V i

2

y '*ij 2



Donde:





f 1 ( X , U )  V 1 V  V y * 1

* 2



* 12

 V 1

2

* y '12

2



* f '1 ( X , U )  V 2 V 2*  V 1* y12  V 2

f 2 ( X ,U )  V 1 V  V  y * 1

* 3

* 13

 V 1

2

*  V 3 f ' 2 ( X ,U )  V 3 V 3*  V 1*  y13

2

* y '12

2 * y'13

2 * 2 y'13

* 3

* 23

LINEA 2

2

y'*23 f 3 ( X ,U )  V 2 V  V  y  V 2 2 * 2 y' 23 * * * f '3 ( X ,U )  V 3 V 3  V 2  y23  V 3 2 * 2

LINEA 1

2

LINEA 3



6.10.5.2 PÉRDIDAS Las perdidas en cada una de las líneas de transmisión, son obtenidas de las sumas de los flujos en sentidos contrarios es decir:

Es decir : * f 1 ( X , U )  f '1 ( X , U )  {V 1 V 1*  V 2*  y12  V 1

2

* y '12

2

* }  {V 2 V 2*  V 1*  y12  V 2

2

* y '12

2



6.10.6 CASOS ESPECIALES 6.10.6.1. Intercambio de potencia controlada

Uniarea

Y pq

S pq

Q

P

Multiarea

I pq

Y sh p

Area-I Area-II

Y shq



Área-I: Exporta potencia +S pq Área-II: Importa potencia -S pq

 Y pq  Y pp Y pq  Y pq  Y sh p  Y    q Y Y   Y Y Y qq   qp qp sh   qp  Y  I pq   pp pq   I   Y  qp   qp

 Y pq  V . p  Y qq  V q   qp 

Y pp pq

Elementos de la diagonal de la matriz de la línea p-q



I pq  Y pq  Y sh p V p  Y pqV q

I pq  V p  V q Y pq  V Y

p p sh

  Y pp pq

2

  V p Y pq* V q* S pq  P pq  jQ pq  V p Y pp

S pq  V I  V p [Y ppV p  Y pqV q ] * p pq

*

pq

pq

2

S pq  V p Y pp e

 j pp pq

 V p e

j p

Y pq e

 j pq

V q e

pq

 P pq Q pq j  j  j  j   j V p e Y pq e V q e  p  p p

pq

 P pq Q pq  j   j (e p  jf p )(aq  jbq )  p  p

q

 j q

 P pq  jQ pq



 P pq Q pq  j   j[e p aq  f pbq  j ( f p aq  e pbq )]  p  p  P pq  f p aq  e p bq  H pq  p

Q pq  e p aq  f p bq  J pq  p

 P pq  e pbq  f p aq   H pq  q

Q pq  e p aq  f pbq   J pq  q

 j  P pq Q pq 2 j  j  j V p  j V p  2V p Y pp e  V p e Y pq e V q e      V p  V p pq pp pq

p

( e p  jf p )

 P pq  V p

V p  j

Q pq  V p

2

pq

p

( aq  jbq )

V p  2V p [G pp  jB pp ]  (e p  jf p )(aq  jbq ) pq

pq



 P pq  V p

2

V p  2V p G pp  e p aq  f pbq pq

 P pq V q  e p aq  f p bq  N pq  V q Q pq 2 V p  2V p B pp  e p bq  f p aq  V p pq Q pq V q  f p aq  e pbq  L pq  V q



a. Aplicación 1: Determinando el Jacobiano para el Sistema Interconectado.

El control se efectúa sobre la potencia activa y reactiva.

AREA 2

2

P2,Q2 1

Q42 P42

4

AREA 1

P4,Q4

|V1| Ref.

Ref.

6



Pot. Activa neta de intercambio = ∑ Pact fluyendo fuera del área-I

PI=P42.

Pot. Reactiva neta de intercambio = ∑ Qreact fluyendo fuera del área-I QI=Q42.

Pot. Aparente neta de intercambio:S I  P I  Q I  S 42

S 42 S 42 V 4 S 42 S 42 V 2 S I   4  | V 4 |   2  | V 2 |  4  | V 4 | | V 4 |  2  | V 2 | | V 2 | j 44

S 42 | V 4 | | Y 44 | e 2

42

 | V 4 | e j | Y 42 | e  j | V 2 | e  j 4

42

42

S 42  P 42 Q42   j  H 42  jJ 42  4  4  4

2



S 42  P 42 Q42 | V 4 | | V 4 |  j | V 4 |  | V 4 |  | V 4 |  | V 4 |

    S 42 | V 4 |  2 | V 4 |2 G44  N 42   j L42  2 | V 4 |2 B44   | V 4 | 42 42     S 42  P Q42  42  j  L42  jN 42  2  2  2 S 42  P 42 Q42 | V 2 | | V 2 |  j | V 2 | N 42  jL42  | V 2 |  | V 2 |  | V 2 |



 H 22   P 2   J Q   22  2   H 42   P 4   J     42 Q4    P 42   P I    2    Q Q I   42   2

N 22

H 24

N 24

0

L22

J 24

L24

0

N 42

H 44

N 44

H 46

L42  P 42 | V 2 |  | V 2 | Q42 | V 2 |  | V 2 |

J 44  P 42

 4 Q42  4

L44 J 46  P 42 | V 4 | 0  | V 4 | Q42 | V 4 | 0  | V 4 |

0 

   2  N 46  V 2 | V 2  L46 .  4   V 4 | V 4 0    6  0  V 6 | V 6  0

  |    |   |



b. Aplicación 2: Determinar el Jacobiano del siguiente sistema

AREA 2

Q32 2

P2,Q2

1

P32

3

AREA 1

P3,Q3

|V1| Ref.

Ref.

4



 P 2    P 2  2 Q    2   Q2  2  P 3    P 3  2   Q   3   Q3  2  P 23    P 32  2    Q23  Q32  2

 P 2 | V 2 |  | V 2 | Q2 | V 2 |  | V 2 |  P 3 | V 2 |  | V 2 | Q3 | V 2 |  | V 2 |  P 32 | V 2 |  | V 2 | Q32 | V 2 |  | V 2 |

 P 2  3 Q2  3  P 3  3 Q3  3  P 32  3 Q32  3

 P 2 | V 3 |  | V 3 | Q2 | V 3 |  | V 3 |  P 3 | V 3 |  | V 3 | Q3 | V 3 |  | V 3 |  P 32 | V 3 |  | V 3 | Q32 | V 3 |  | V 3 |

 P 2  4 Q2  4  P 3  4 Q3  4  P 32  4 Q32  4

  P 2 | V 4 |  | V 4 |   2   Q2 | V 4 |  | V 4 |   V 2 V 2    P 3 | V 4 |  | V 4 |   3  . Q3 | V 4 |  | V 4 |   V 3 V 3    P 32 | V 4 |  | V 4 |   4   Q32 | V 4 |  | V 4 |  V 4 V 4   

 N 22 H 23 N 23 0 0   2  P 2   H 22        V V L22 J 23 L23 0 0  2 2 Q2   J 22    P 3   H 32 N 32 H 33 N 33 H 34 N 34   3    . L32 J 33 L33 J 34 L34   V 3 V 3  Q3   J 32    P    P 32  2  P 32 | V 2 |  | V 2 |  P 32  3  P 32 | V 3 |  | V 3 | 0  0     23    4 0   V V  Q23  Q32  2 Q32 | V 2 |  | V 2 | Q32  3 Q32 | V 3 |  | V 3 | 0  4 4



6.10.6.2 Control remoto de tensión En el sistema de potencia, es posible controlar la tensión de una barra desde una fuente reactiva ubicada en una barra cualquiera de la red p

G Pp

s

q |V |

En el nodo P la potencia Pp es fijada y |Vp| es ajustada, considerando la restricciones para controlar remotamente la tensión de la barra “q” y mantener la tensión en | Vq|, donde además Pq y Qq son fijados

Q pmin  Q p  Qpmax



Para determinar los elementos del Jacobiano se debe considerar que Vp es ajustado para mantener Qp por lo que las derivadas respecto a la tensión de la barra Q deben ser efectuadas sobre la barra P ósea:

 P  P x V q  x V p  V q  V p

Q x Q x V q  V p  V q  V p

También las derivadas de QG respecto a δ y magnitud de |V| son cero y que todos los nodos conectados a Q son afectados por la sustitución de |V q| mediante la magnitud de |V p|



a. Aplicación 1: Determinar el jacobiano del sistema que se muestra en la Fig.

V 1 , δ1

Ref .

2 P 2

1

Barra  P  V |V4|= Constante |V2|= Controla Q4

P 4 ,Q4 , V 4

3 P 3 ,Q3

4

 P 2   H 22  P    3   H 32 Q3    J 32     P 4   0 Q4   0  

H 23 N 23

0

H 33 N 33 H 34 J 33

L33

J 34

H 43 N 43 H 44 J 43

L43

J 44

N 22   2

    N 32  3   L32 . V 3 V 3    0   4    0   V V   2 2



6.10.6.3 Transformadores con regulacion bajo carga. Transformador con Taps variable bajo carga.

p

Zpq

q aYT

Ypq (1-a) YT

Yp

a(a-1) YT

Yq

Equivalente π de un transformador en fase de taps variables

Y pq  aY T Y p  (1  a)Y T Y q  (a 2  a)Y T

a: Relación de Transformación a: Variable constante



Mediante estos transformadores se puede conmutar la tensión en cualquier lado del transformador.

a. Control del lado de envío P

P

ZT

ap:1

Ypq Barra P controlado mediante el taps a

q



La matriz admitancia del transformador entre las barras p – q es:

Y pq  Y p Y      Y qp

 Y pq   Y T  aY T    Y qp  Y q   aY T a 2Y T 

 aY T aY T  (1  a)Y T  Y     aY aY a ( a 1 ) Y    T T T   Expresiones del lado controlado

S p  P p  jQ p  V p

n



* Y pk V k *

k 1

S p  V p

n

 k 1 k  q

* * Y pk V k *  Y pq V q*



n



S p | V p | Y  2

* pp

* V p Y pk V k *  V p ( a p Y T * )V q*

k 1 k  p , q

S p | V p | | Y pp | e 2

 j pp



n



| V p | e

j p

| Y pk | e

 j pk

| V k | e

 j k

k 1 k  p , q

 | V p | e

j p

P p  jQ p  V p

(a p | Y T | e n

 q 1

 j pq

* Y pq V q* | V p | e

) | V q | e

j p

 j q

n

 q 1

| Y pq | e

 j pq

| V q | e

 j q



P p  jQ p | V p | 2 | Y pp | e

 j pp

 | V p | e

j p

n



| Y pk | e

 j pk

| V k | e

 j k

k 1 k  p , q

 | V p | e

j p

| Y pq | e

P p  jQ p | V p | | Y pp | e 2

 j pp

 j pq

| V q | e

 | V p | e

 j q

n



j p

| Y pk | e

 j pk

| V k | e

k  p , q

 | V p | e

j p

| ( a p )Y T | e

 j pq

| V q | e

 j q

Derivada δp

P p

 p

 j

Q p

 p

 j. | V p | e

j p

n



| Y pk | e

 j pk

| V k | e

 j k

k  p , q

 | V p | e

j p

| (a p )Y T | e

 j pq

| V q | e

 j q



 j k



P p

 p

 j

Q p

 p

 j. | V p | 2 | Y pp | e

 p P p

 p P p

 p Q p

 p

 | V p | e

j p

n



| Y pk | e

 j pk

| V k | e

 j k

k  p , q

 | V p | e P p

 j pp

 j  j

Q p

 p Q p

 p

j p

| (a p )Y T | e



 j pq

| V q | e

 j P p  jQ p  | V p | 2 | Y pp | e

 j q

 j pp

 j | V | | Y 2

p



 j  P p  jQ p  | V p | 2 (G pp  jB pp )

 Q p  B pp | V p | 2  H pp  P p  G pp | V p | 2  J pp

pp

|e

 j pp



Derivada δq

P p

 q P p

 q P p

 q P p

 q

 j

 j

 j

 j

Q p

 q Q p

 q Q p

 q Q p

 q

  j | V p | e

j p

| (a p )Y T | e

  j | V p | e

j p

| Y pq | e

 j pq

 j pq

| V q | e

| V q | e

 j q

  j (e p  jf p )(a q  jbq )   j e p a q  je p bq  jf p a q  f p bq 

 j q



H pq 

P p

 q

J pq  j J pq 

 f p a q  e p bq

Q p

 q

Q p

 q

  j e p a q  f p bq 

  f p bq  e p a q

Derivada a p

P p

a p

 j

Q p

a p

  | V p | e

j p

| Y T | e

 j pq

| V q | e

 j q



P p

a p P p

a p P p

a p

a p  j

a p  j a p  j

Q p

a p Q p

a p

a p | V p | e

j p

a p | V p | e

j p

Q p

a p

a p aq

| Y pq | e

 j pq

a p  (e p  jf p )(a q  jbq )

P p

Q p

| (a p )Y T | e

a p  e p a q  f p bq  N pq

a p  f p a q  e p bq  L pq

 j pq

| V q | e

| V q | e

 j q

 j q



b. Control del lado de envío q

q

1:a

ZT

P

Yqp

Sq,|Vq|

Barra q controlado mediante el taps a La matriz admitancia del transformador entre las barras q – p.

Y qq

Y qp  Y p Y      Y qp

 Y pq  aY T  (a 2  a)Y T   aY T    Y pq  Y q    aY T aY T  (1  a )Y T 

Y pp



P q  jQq  V q

n



* Y qk V k *

k 1

P q  jQq | V q | e

j q

n



| Y qk | e

 j qk

| V k | e

 j k

k 1 k  p , q

 | V q | e P q  jQq | V q | e

j q

j q

| Y qp | e

 j qp

n



| Y qk | e

| V p | e

 j qk

 j p

| V k | e

 | V q | | Y qq | e 2

 j k

k  p , q

 | V q | e

j q



| ( a)Y T | e

 | V q | 2 | Y qq | e

 j qq

 j qp

| V p | e

 a 2Y T e

 j qp



 j p

 j qq



 P p a p Q p a p  P q a p Qq a p

a p  N pq  a.a p | V p | 2 G pq

a p  L pq  a.a p | V p | 2 B pq

a p  N qp

 P i a p  0 a p

a p  Lqp

Qi a p  0 a p

Para todo los nodos conectados entre i – p.



6.10.6.4 Transformadores desfasadores Permiten controlar el Flujo de Potencia Activa, por determinada línea de transmisión.

P

a:1

Ip

Iq

Ypq

V

p

p

Vq Ypq= aYT Yqp= aYT

(1-a)YT

q

(1-a)YT

q

a: Complejo



a | a |  pq

 aY T   Y T Y     2  aY a Y T T  

a | a | e

j pq

j  Y T  | a | e Y T  Y     j 2 a Y T  | a | e Y T  pq

pq

Para Considerar este parámetro de control en el Jacobiano es necesario aumentar una fila y una columna, con la finalidad de considerar las variables Φ pq y Ppq. Los nuevos términos de derivada parciales de filas y columnas son: Expresión barra de envío:



n




* * Y pk V k *  V p Y pq V q*

k 1 K  q


n



Y V  V p ( | a | e * pk

* k

 j pq

k 1 K  q

 P p  pq  P p  pq  P p  pq

 j

Q p  pq

 j

 j

Q p  pq Q p  pq

  jV p ( | a | e

 j pq

Y T * )V q*

  jV p Y pq* )V q*

  j (e p  jf p )(a q  jbq )

Y T * )V q*



 P p  pq  P p  pq

 j

 j

Q p  pq Q p  pq  P p  pq Q p  pq

  je p aq  je p bq  jf p a q  f p bq 

 a q f p  bq e p   j aq e p  bq f p 

 a q f p  bq e p 

 P p  q

 aq e p  bq f p  

 H pq

Q p  q

 J pq



Expresión barra de recepción:

P q  jQq  V q

n



* Y qk V k *  V q Y qp* V p*

k 1 K  p

P q  jQq  V q

n



Y V  V q ( | a | e * qk

* k

k 1 K  p

 P q  pq  P q  pq

 j

 j

Qq  pq Qq  pq

 jV q Y qp* )V p*

 j (eq  jf q )(a p  jb p )

 j pq

Y T * )V p*



 P q  pq  P q  pq

 j

 j

Qq

  jeq a p  jeq b p  jf q a p  b p f q 

 pq Qq  pq

 P q  pq Qq  pq

 b p eq  a p f q   j a p eq  b p f q 

 b p eq  a p f q  

 a p eq  bq f q  

 P q  p Qq  p

  H qp

  J qp



Expresión en la línea: * P pq  Re . | V p | Y pp  V p Y pq* V q*  2

pq

P pq  Re . | V p | Y  | V p | e 2

 P pq  p  P pq  p  P pq  p

* pp pq

 Re  j | V p | e

j p

j p

| Y pq | e

| Y pq | e

 j pq

 j pq

| V q | e

| V q | e

 j q

 j q



 Re  jV pY pq* V q*   Re  j (e p  jf p )(aq  jbq )

 Re  j (e p a q  je p bq  jf p a q  f p bq )



 P pq  p  P pq  p

 Re  (bq e p  a q f p )  j (a q e p  bq f p )  bq e p  aq f p  

 P pq  | V p |  P pq  | V p |  P pq  | V p |

 P p

  H pq

 p

 Re  2 | V p | Y pp*  e

j p

* Y pq V q* 

pq

| V p | Re  2 | V p | Y  | V p | e 2

* pp pq

j p

* Y pq V q* 

| V p | Re  2 | V p | 2 (G pp  jB pp )  (e p  jf p )(a q  jbq ) pq

pq


 P pq  | V p |

 P pq  | V p |

| V p | Re  2 | V p | 2 (G pp  jB pp )  (e p a q  f p bq )  j ( f p a q  e p bq )

| V p |  2 | V p | 2 G pp  (e p a q  f p bq )

 P pq  | V p |  P pq  q  P pq  q


| V p | 2 | V p | 2 G pp  N pq

 Re  jV pY pq* V q*   Re  j (e p  jf p )(a q  jbq ) 



 P pq  q  P pq  q

 Re  (aq f p  bq e p )  j (aq e p  bq f p )  a q f p  bq e p  H pq

 P pq  | V q |  P pq  | V q |  P pq  | V q |

 V pY pq* e

 j q

| V q | Re  V Y | V q | e * p pq

 j q

  V pY pq* V q*

| V q | Re  (e p  jf p )(a q  jbq )




 P pq  | V q |  P pq  | V q |  P pq  pq  P pq  pq  P pq  pq

| V q | Re  a q e p  bq f p  j (a q f p  bq e p ) | V q | a q e p  bq f p   N pq

 Re  jV pY pq* V q*   Re  j (e p  jf p )(a q  jbq )   Re  j (aq e p  jbq e p  jaq f p  bq f p ) 




06 Cap Vi - Flujo de Potencia Modificado 06-01-17

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