GEOMETRÍAS
TRIÁNGULOS
Semana 01
II. SEGÚN LA LA LO LO NG ITUD ITUD DE SUS LADOS aq uel tr triángulo c uyos uyos lados lado s tienen tienen a . Triáng ulo Es Esca leno.- Es aquel
DE FINICIÓN Figura Figura geo g eométri métric c a que q ue se forma al a l unir unir tres puntos no colinea c olineales les mediante segmentos de recta.
diferente longitud. B
En el AB C :
AB
A
BC
AC
C
b. Triá ng ngulo ulo Isós Isósce ce les.les.- Es aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud. B
En el AB C : AB=BC
Elem plos: Vértic es:
A, B, C
La dos: AB, BC, AC
Notación: ABC :
A
triángulo ángulo de vér vérttices A, A, B y C
C
triángulo ulo cuy c uyos os lados lad os son c . Triá n g u lo lo Eq Eq u i lá lá t e r o. o. - Es a quel triáng
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
de igual longitud. B
Los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de sus ángulos o la longitud de sus lados.
I.
60 °
SEGÚ EGÚNN LA LA MEDIDA MEDIDA DE SUS ÁNGUL ÁNGULOS a . Triá n g u l o re c t á n g u l o .-.- Es aquel triángulo que tiene un ángulo recto
B
A C : B as ase e del A B C
En elA B C : A B= B C = A C
A B y B C : catetos
A
60 °
60°
C
A C : hipo tenu sa
+
C
A
Práctica
b 2 = a 2 + c2
1.
b . Tri á n g u lo l o O b l ic ic u á n g u lo l o . - Es aquel triángulo que no tiene
Del gráfi gráfico, co, calcula: calcula: "x"
un ángulo recto y puede ser: b.1.Triángulo acutángulo.- Es aquel triángulo que tiene sus ángulos interiores agudos. B
x
120°
En el A B C :
A
60°
C
< 9 0 ° < 9 0 ° < 9 0 °
b. b.2.T 2.Trriá ng ngulo ulo Ob tusá tusá ngulo.ngulo. - Es aquel triángulo que tiene
2.
un ángulo interior obtuso. B
a ) 50°
c ) 70°
b) 68 68°
d) 90 90°
e ) 95°
Del gráfi gráfico, co, calcula: calcula: x + 20 20
En el AB C :
130°
A
x
3x 150°
C
91
INGENIERÍAS
a) 10° b) 20° 3.
c ) 30° d) 40°
e) 150°
9.
De la figura, calcula: "x"
En la figura, ¿entre qué valores puede variar la longitud de segmento AC?
B ° 6 0
x 2
B
2 C
A
9
4 x
A
a) 10° b) 20°
C 8
6
c ) 15° d) 25°
e) 30°
10. Determina el mínimo y el máximo valor entero que toma "x"
D
a) 5
B
b) 5
c ) 2
Del gráfico mostrado, calcula: x, si: AB=AD=DC
A
B x C
70º A 60º
5.
b) 0 y 16
d) 0 y 18
e) 1 y 15
° 2 0
x
60°
a) 0,5
b) 2
d) 1
e) 0,3
c) 3
B
3 0 °
10°
A
20°
12. Del gráfico, calcula "x"
50° C x
20°
e) 80°
c ) 2 y 18
y
c) 50°
6.
a) 2 y 15
e) 180°
De la figura mostrada, c alcula: "x" B a) 30° 80° 30° b) 45°
d) 60°
40° x
4 0 °
D
De la figura mostrada, calcula R.
C
7 0 °
D
A
a) 5°
b) 15°
d) 10°
e) 20°
c ) 25°
R
x
7.
C
x+2
11. Del gráfico, c alcula: x/y
D c ) 120° d) 130°
a) 100° b) 110°
10
8
a) 90° – x
b) 90° + x
d) 180° – x
e) 3x
13. En la figura, AB = BC y BP=BQ, c alc ula: "x"
c ) x – 90°
B
a) 10°
Si en un triángulo rectángulo un ángulo externo mide 120°,
c) 50°
¿cuál es la medida del ángulo externo del otro ángulo agudo? a) 100°
b) 140°
d) 150°
e) 120°
2 0 °
b) 30° d) 20°
c ) 110°
P
e) 40°
Q x
C
A
8.
Según el gráfico señala la relación correcta.
14. De la figura, si BC=QC y m QCA = 48, calcula "x"
B
B
Q A
a) = 2 d)
2
=
b) =
C
H
c)
x
2
A
e) 2= 3
92
R
C
GEOMETRÍAS
a) 28°
c ) 40°
b) 30°
d) 48°
e) 60° B
y
x
15. En la figura, ca lcula x + y A
54° y
D
C
a) 1/2
c ) 1/4
b) 1/3
d) 2
e) 3
x
21. En la figura, A C // P Q . Calcule x. a) 234
c ) 240
b) 210
d) 126
e) 252
B
2
A ) 105º
16. Ca lcular el mayor valor entero de la longitud de un lado, si el perímetro de su región es 40 a) 20
c ) 22
b) 21
d) 19
B ) 75º
45 °
A
C ) 120º x
e) 18
D ) 90º
17. Del gráfico, ca lcula: "x"
E ) 60º
2 P
22. En la figura, AP = PQ ; NM = NB ; FE = FC. C alcule x.
5 0 °
B
° 6 0
A ) 18º
M N
B ) 450º
y
C ) 270º
x A
a) 100°
c ) 80°
b) 85°
d) 110°
D ) 540º
z
x P
C
E
E) 360º
e) 120° 23. En la figura calcule x y ab
18. De la figura mostrada , ¿cuál es el menor segmento? x
D
75°
60°
b) BC
d) DB
C) 3 D) 4 E) 1 2
y
B c ) CD
B) 2
a b
40° A
5 0 °
a) AC
A) 1
C
24. En la figura, AB = 8 y AD = AB + CD. Calcule x. B
e) AC
A) 3 B) 4 C
C) 6 D) 8
19. En la figura, AB=BC, PQ=QC y BQ=7, calcula: AB
60 °
A
D
B
E ) 10
25. En la figura, calcule: a + b + c + d
2x Q
b
P
A ) 150º
160°
A
a) 7
c ) 14
b) 12
d) 20
B ) 160º
° 0 1
C
C ) 170º D ) 200º
a
e) 30
d c
E ) 180º
26. Las medidas d elos ángulos interiores de un triángulo son (x + y); (x – y) y (2y – x). Calcule x cuando y toma su menor valor entero.
20. En la figura, c alcula la relac ión entre "x" e "y" Si AB=BC=C D
93
INGENIERÍAS
A) 83º D) 90º
B) 86º E) 87º
C) 88º
27. En un triángulo ABC, m A 2m C , AB = 2. Calcule BC si se sabe que es entero. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
A)
10°
B) 20°
D)
40°
E) 50°
C)
30°
33. Si m//n, calcula la medida del ángulo formado entre las rectas L1 y L2.
28. En la figura, PC = 12. Ca lcule el valor entero de AB. B
2
A
A) 5
P
B) 6
C) 7
D) 8
C
E) 9
A) D)
40º 25º
B) 35º E) 20º
C) 30º
29. En la figura, c alcule x si: AB = BC y CD = DE y + – = 70º. 34. En un triángulo ABC, se ubica el punto interior P tal que los triángulos APB y PBC son obtusos en P. Si AP=16, BP=12 y PC=9, c alc ular el menor perímetro del triángulo ABC si se sabe que es un valor entero. A) 42º B) 43º C) 44º D) 45º E) 41º
D
A ) 110º
E
x
B ) 100º
C
2
C ) 130º
A
D ) 160º
35. Calcula «x» si el triángulo AEB es equilátero y
140º.
E) 170º B
30. En la figura, c alcule x.
x
A) 10º D) 30º
B) 40º E) 20º
C) 15º
36. Según el gráfico, calcula (x + y). x
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 37º
E) 53º
31. Si EC = CD y FB = BP, calc ule «x».
A) 110º D) 210º
B) 150º E) 220º
C) 170º
37. En la figura, calcula el valor de A)
80°
B) 70°
D)
50°
E) 40°
32. Si
C)
si a + b + c + d = 420º.
60°
250º, calcula «x».
94
A) 10°
B) 15°
D) 25°
E) 30°
C) 20°
GEOMETRÍAS
38. Se prolongan los lados AC y BC de un triángulo ABC hasta P y
Q,
res-pectivamente.
Calcula
la
m BPA
si
m BAC m APQ 60º y m BCA – m APQ 60º . Además: AB = BQ. A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
A) 36º
B) 48º
D) 44º
E) 46º
C) 32º
43. Un triángulo tiene como perímetro 26 m y uno de sus lados mide 9 m. Halla la diferencia de las medidas de los otros dos
lados si el producto es 70 m2. 39. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC), se toman los puntos E y
A) 3 m
B) 4 m
F sobre AB y BC, respec tivamente, tal que el triángulo CEF es
D) 1 m
E) 5 m
C) 2 m
equilátero. Halla m FEB si m ACE . A)
D) 90 –
B) 3 C) 2 E) 45 –
44. En el interior de un triángulo ABC, se toma el punto «Q» tal que BQ=AC, m QAC 48º ym ACQ 18º .
mide 24 cm. Halla la suma de los valores que puede tomar x.
A) 36º
B) 18º
A) 18 cm
B) 24 cm C) 30 cm
D) 12º
E) 32º
D) 36 cm
E) 48 cm
relativo a BC tal que m BAL 2m LAC; mBCE 3mLCE («E»
valores enteros puede tomar la longitud de la hipotenusa? D) 3
E) 2
se encuentra en la prolongación de AC ). Halla el máximo
C) 4
42. Según la figura BC//DE, m–n = 36º, calcula el valor de
C) 24º
45. En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el punto «L» exterior
41. El perímetro d e un triángulo rec-tángulo e s 30. ¿Cuántos B) 5
la
mQBC; además mBAQ y m ABQ 60º– .
40. En un triángulo dos de sus lados miden x y 3x; el tercer lado
A) 6
Halla
valor entero de
si AD
= DE.
95
ALC.
A) 24º
B) 29º
D) 59º
E) 89º
C) 19º
INGENIERÍAS
Semana 02
LÍNEAS NOTABLES
1. C EVI AN A
Práctica
Segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su prolongación. 1.
Según la figura mostrada , calcula "x". 100°
x
2 . ALTURA Ceviana perpendicular al lado al que es relativo. – Triángulo acutángulo
2.
a) 10°
c ) 30°
b) 20°
d) 50°
e) 80°
Según la figura mostrada, ca lcula "x" si se sabe que "I" es el incentro del
ABC. B
–
I
Triángulo obtusángulo
x C A
3. –
a) 125°
c ) 150°
b) 135°
d) 120°
e) 145°
Según el gráfico mostrado, c alcula "x".
Triángulo rectángulo
110°
x
4.
3 . BI SEC TRI Z
a) 110°
c ) 130°
b) 140°
d) 135°
e) 145°
Según la figura, ca lcula "x".
Ceviana que biseca a un ángulo interior o exterior. –
B 80°
Bisectriz interior
x A
C
a) 100°
d) 140°
b) 120°
e) 150°
c) 130° –
Bisectriz exterior
5.
En un triángulo ABC se traza por B una paralela al lado AC que corta a las prolongaciones de las bisectrices interiores de A y C en M y N. Calcula MN si AB = 8u y BC = 9 u. a) 17 u
d) 16 u
b) 15 u
e) 17/2 u
c) 18 u
96
GEOMETRÍAS
6.
7.
En un triángulo ABC se trazan las bisec trices de A y C que se intersectan formando un ángulo que es el triple de B. Calcula "A + C".
a) 10°
a) 14° d) 100°
d) 30°
c) 28°
c ) 18°
e) 40°
c ) 60° d) 70°
c ) 110°
b) 119°
d) 95°
cm, calcula BE. G
a) 5 cm
E
d) 8 cm A
C
F
D
17. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mediana relativa a BC mide 2 2 m que interseca perpendicularmente con la mediana relativa a la hipotenusa. Calcula AB . a) 2 2 m
c) 4 m
b) 2 m
d) 4 2 m
e) 3 m
e) 70° 18. En un triángulo rec tángulo ABC la hipotensua mide "2a" unidades, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de las medianas relativas a los catetos es _______.
11. Según la figura, calcula la medida del ángulo ADB. B
a) 50°
a ) 3a2 b) 5a2
50° E
c ) 7a 2 d) 9a 2
e) 11a 2
19. En la figura mostrada, el ABC es isósceles, AM y CN son
d) 150° e) 180°
J
c) 7 cm
e) N.A.
c ) 40° d) 50°
c) 100°
B
b) 6 cm
10. En un triángulo isósceles MNP (NM = MP) se prolonga NP hasta Q, de tal forma que MP es bisectriz del ángulo NMQ. Calcula la medida del ángulo PMQ si el ángulo Q mide 30°.
b) 80°
e) 102°
16. En la figura, EF es la mediatriz de DC . Si AB // DE y AJ = 20
e) 12°
c ) 22°30' d) 18°30'
C
M
a) 125°
e) 10 cm
a) 30° b) 60°
H
sectrices de los ángulos B y C?
En un triángulo rectángulo ABC de hipotenusa BC, la bisec triz AM mide igual que el cateto AB. Calcula la medida del ángulo "C". a) 30° b) 32°30'
50°
ángulo BDC, donde D es el punto de intersec ción de las bi-
e) 80°
c ) 10° d) 11°
A
15. Si en un triángulo ABC, el ángulo A mide 58°, ¿cuánto mide el
En un triángulo ABC, el ángulo "A" mide 70° y el ángulo "C", 92°. Calcula el ángulo que forma la bisectriz exterior del ángulo B con la prolongación del lado AC. a) 8° b) 9°
9.
b) 20°
En un triángulo ABC se traza la c eviana BD de tal forma que AB = BD = DC y m BAC = 80°. Calcula m ABC. a) 20° b) 50°
8.
b) 360° e) 144°
B
A
D
medianas que se intersectan perpendicularmente. Calcu-
C
la AB
100°
B
a) a 10 12. Según la figura mostrada, c alcula "x".
b) a 5
B a) 115°
10 e) 2 10
c) 130° d) 150°
C
A
13. Según la figura, c alcula el valor del ángulo "x", si AD y BC son bisectrices de los ángulos A y C respectivamente. B
a) 30° b) 60° d) 120° e) 150°
D
21. En la figura, calcula «x».
6 0 °
x
c) 90° ° 2 0
A
A
H
C
20. En un triángulo rec tángulo ABC (recto en B), en el lado AC se ubica el punto P de manera que el ángulo PBC mide 40°. Si las bisectrices de los ángulos BAC y BPC se intersec tan en E, calcula m AEP. a) 25° c ) 40° e) 60° b) 35° d) 50°
x
e) 155°
M
d)
5 0 °
b) 125°
N
c ) 2a 10
C
14. En la figura, BH es la altura y BM es la mediana. C alcula la medida del ángulo " ".
97
INGENIERÍAS
A) 60º
B) 40°
D) 20°
E) 10°
29. Se tiene el triángulo ABC, de incentro «I», de tal manera que
C) 30°
A)
22. Se tiene un triángulo ABC en el que se traza la ceviana interior
BD tal que BD= 4,BC = 6; mABD= 3 , BCA = 2 yMBAD= . Calcula AD.
D)
A) 6
B) 8
D) 5
E) 10
mBCA, AB = C y BC = a. Halla AI.
mBAI
ac
B)
ac a–c
ac
E)
C)
2
ac
a2 c2
C) 7 30. En un triángulo rectángulo ABC, rec to en B, se traza la altura
BH. Calcula la medida del ángulo formado por las bisectrices
23. Calcula «x».
de los ángulos BAC y HBC. A) 60º
B) 75º
C) 90º
D) 100º
E) 120º
31. En un triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AN y
CM, de tal manera que mAMC
mNMB y mANC mMNB.
Halla mABC.
A) 40º D) 50°
B) 30° E) 45º
C) 60º
A) 18º
B) 24º
D) 36º
E) 45º
C) 30º
32. En un triángulo rectángulo ABC, mA
24. En la figura, hallar «x».
4mC. Halla la medida
del menor ángulo formado por la bisectriz de B y la mediatriz
de AC al interceptarse. A) 17º
B) 23º
D) 18º
E) 36º
C) 27º
33. En un triángulo ABC, donde AB = 8u y BC = 11u, se traza por B A) 10° D) 30°
B) 20° E) 18°
una paralela al lado AC, que corta a la prolongación de la
C) 15°
bisec triz interior de A en P y a la bisectriz exterior de C en Q.
Halla PQ. 25. En un triángulo acutángulo ABC, se traza la c eviana AD tal que AB = BD y mA–mC 60º. Halla mDAC. A) 28º B) 22º 30' C) 25º D) 35º E) 30º
26. En la figura, halla «x» en función de
A) 7,5 u
B) 1,5 u
D) 3 u
E) 5 u
C) 2 u
34. Sea ABC un triángulo obtusángulo, obtuso en «B». Se trazan las alturas AH y CQ . Determina la medida del ángulo formado
.
por las bisec -trices de los ángulos HAB y BCQ. A) 60°
B) 75°
D) 90°
E) 30°
C) 45°
35. En un triá ngulo ABC (AB > BC), se traza la bisectriz exterior BD A) D)
45° + 45° +
4
2
B) 60° + E) 90° –
C) 30° +
5
y se ubica el punto «E» en AB tal que AE = EC. Calcula la
3
mECB si la mADB 27º.
4
27. En un triángulo ABC, se traza la bisec triz exterior CP, de tal manera que PB = AC. A) 18° D) 36°
B) 24° E) 45°
Calcula mA si mB = 3mA. C) 30°
A) 27°
B) 18°
D) 40°
E) 54°
C) 36°
36. E n la figura, I es incen tro delA B C . C alcule x.
B
A ) 20º B ) 30º
70 °
28. Se tiene un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en C, de modo
C ) 36º
I
que mC – m A 32 . Calcula la medida del ángulo que forman
D ) 40º
la bisec triz exterior BE y la altura BH. A) 64º B) 69° C) 90° D) 72º E) 74°
A
98
80 °
x
C
E) 45º
GEOMETRÍAS 37. E n la figura calcule x.
41 . En la figura: m + n = 220 º. C alcule x. x
A ) 30º
n
B ) 35º
70°
m 80 °
A ) 5 0º
B ) 55 º
C ) 60 º
D ) 65 º
C ) 40º x
D ) 45º
E ) 36º
E ) 7 0º 42 . E n la figura, P y Q son incen tros de los trián gulos A B C y P D C
38. E n la figura calcule x.
respectivam ente. C alcule x. B
A ) 30º
A ) 50º
50 °
B ) 36º D
B ) 55º
D ) 65º
C ) 45º
x
D ) 60º
A
E) 70º
x
Q
P
C ) 60º
E ) 80º
C
43 . E n la figura, calcule x + y + z. 39. E n la figura calcule x.
A ) 40º
x 100°
B ) 30º
E) 220º
z
44. E n u n trián gulo A B C se trazan la b isectriz interior del A y la bisectriz exterior del
C
, las cuales se intersectan en . Por “ E ”se
traza la p aralela a A C qu e corta en Q y P a B C y A B respectiva -
A ) 60º
m ente. Si: A P = 15 y Q C = 12, calcule PQ .
B ) 90º
x
y
E) 80º
40. E n la figura calcule x + y.
C ) 140º D ) 200º
D ) 50º
B ) 280º
x
140°
C ) 25º 2
A ) 180º
y
A) 1
B) 2
C)3
D)4
E) 5
C ) 80º D ) 100º
45 . D ad o el trián gulo isósceles A B C , m
E) 110º
B =
1 00º , sob re los lad os
B C y A C se ub ican los p untos P y Q respectivam ente, tal qu e: m
B A P
m C B Q 30º .
C alcu le la m A ) 1 5º
99
B A P
B ) 30 º
m C B Q 30º C ) 40 º
D ) 50 º
E ) 60 º
INGENIERÍAS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Semana 03
1ER CASO: LADO – ÁNGULO – LADO
a) 90°
c ) 60°
(L.A.L.)
b) 89°
d) 73°
Q
B
3.
c A
e) 85°
De la figura mostrada, calcula " ".
c C
b
ABC
P
B 20°-
C
R
b
PQR
3 -20°
A
D
2DO CASO: Á NGULO – LADO – ÁNGULO (L.A.L.) B
Q
c A
4.
c C
b
P
a) 10°
c ) 20°
b) 15°
d) 16°
e) 30°
En la figura, c alcula "x", sabiendo que AB = DC y DB = DE. C
E 2x
R
b
D ABC
PQR
5 x
3x
B
3ER CASO: LADO – LADO – LADO (L.L.L.)
Q
B a
c A
P
C ABC
b
b) 12°
d) 18°
e) 20°
Según la figura, ca lcula "x".
R
A
4x
60°
6.
a) 30°
c ) 15°
b) 27°
d) 20°
e) 37°
Según las figuras que se presentan, calcula " – ".
En la figura mostrada, c alcula ST si QP = 8 m y PT = 12 m. Q
N a
R b
c
S c
P Q
a) 40°
c ) 60°
e) 70°
b) 30°
d) 50°
M
2.
a) 3 m
P c) 4 m
b) 6 m
d) 8 m
T
R e) 5 m
7.
70° a
° + D 3 0
b
b a
A P
100
S
E
x +
+10° 2x
b
C
a ° 5 0
3 0 °
Del gráfico mostrado, calcula "x".
B
De la figura, c alcula el valor de "3x + 2y".
5y
C
PQR
Práctica 1.
c ) 15°
a
c
b
5.
a) 10°
A
GEOMETRÍAS
A a) 15°
c ) 30°
b) 20°
d) –
e) 2 –
14. Según la figura, c alcula "x".
B
b) 56° 8.
b
a) 46°
En la figura que se presenta, calcula "x"; si AB = 16u y DE = x + 4.
B
E
c) 134° e) 60°
a
x
d) 57°
F
134°
b
C
a
D
A C
15. Si ABC y PQR son dos triángulos de tal forma que AC = PR, AB
E
= QR; m A = m R; BC = 12 cm y PQ = x2 – 4. Calcula "x".
D
9.
a) 8 u
c ) 13 u
b) 12 u
d) 16 u
e) 20 u
2
x +1
d) 5 cm
e) 6 cm
c ) 3 cm
b) 4 cm
16. En la figura adjunta, c alcula "x". B a) 30°
En la figura mostrada, calcula "x".
A
a) 2 cm
D
b) 45°
x
c) 10° d) 20°
B
2x +10°
e) 60°
C
A E a) 2 u
c) 4 u
b) 3 u
d) 5 u
17. En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula "2x".
C
17u
20°
e) 8 u
a) 200° b) 219°
x
c) 220° 10. De la figura mostrada c alc ula "x", si ABCD es un cuadrado y BH = 3 u, PH = 7 u.
C
e) 205°
a) 5 u b) 2 u c) 3 u
d) 210°
18. En la figura mostrada, c alc ula "x" si AP = BC.
B D
B
d) 4 u e) 7 u
H
a) 25° b) 30° c) 35° d) 40°
P
A
A
b) 10 u
40°
A
P
C
19. Sea ABCD un cuadrado cuyos lados tienen longitud "L". Por el
C
45°
70° x
e) 45°
11. Del gráfico, calcula AB, si AM = 8 u y CN = 6 u. a) 8 u
20°
x
c) 7 u
vértice B pasa una recta que no es paralela a ninguno de los
d) 5 u
lados. Si las distancias de los puntos A y C a la recta que pasa
e) 2 u
por B son 12 m y 9 m respectivamente. C alcula el valor de "L". M
N
B
12. En el gráfic o a djunto, c a lcula "x"; si BC = BE y B AE = DC.
a) 20 m
d) 25 m
e) 18 m
c ) 15 m
b) 12 m
a) 60° b) 50° c) 45°
x A 3x
x D
20. En un triángulo ABC se traza la mediana BR , de tal manera que AB = AR, y m RBC = 14°. Calcula m ABC.
C
d) 70° e) 75°
E
13. Según la figura, c alcula "x". a) 22°30'
B
21.
a) 14°
d) 51°
e) 60°
c ) 37°
De la figura adjutna, calcula el valor de "x".
b) 15°
a) 12°
c) 18°
b) 10°
d) 40° e) 30°
A
2
b) 57°
B 2x
24°-x
c ) 9°
C
d) 8° e ) 6°
101
A
M
N
C
INGENIERÍAS
22. En la figura adjunta AD ED. Si BC = 5 cm, calcula DF. E a) 4 cm C b) 2 cm c) 3 cm
c) a + b < BM < b + c
29. Según la figura, c alcula "x".
B
d) 5 cm
a) 20°
e) 6 cm
b) 30°
F D 23. De la figura adjunta, calcula BB M, si se sabe que BD = 6 cm. A
x
E
c) 40° d) 50°
a) 3 cm
20°
A
e) 60°
x
C
D
D
b) 4 cm c) 4,5 cm
30. Según la figura, c alcula "x".
M
d) 5 cm
a) 38° A
e) 6 cm
E
C
b
b) 40° c) 58°
24. En la figura que se presenta, calc ula "x" si AB = 25 u y DE = x2 +
x
a
d) 142°
B
9.
38°
e) 70°
a) 1 b) 2
B
a
b
A 31. Sean ABC y PQR dos triángulos congruentes de modo que: AC
C
c) 3
= QR, m A = m Q, m C = m R, AB = x + 1; PQ = 7 – x; PR =
F
d) 4
6; BC = 2y. Calcula "x + y".
e) 5
D
a) 1 u
c) 3 u
b) 2 u
d) 6 u
e) 7 u
25. En la figura mostrada, calcula "x".
3x+2
a) 6
32. En el cuadrado ABCD; CM = 2. Calcula AN, si el lado del
b) 7 c) 8
cuadrado mide 6 cm. B a) 1 cm
d) 9
b) 2 cm
e ) 10
c) 3 cm
M
d) 4 cm
2x+10
e) 5 cm
26. De la figura mostrada, calcula e l lado del c uadrado ABCD si BH = 5 cm y PH = 17 c m.
A
D
N
33. En la figura se muestran los triángulos ABC y PQC congruentes.
C
a) 5 cm
C
Calcula "x".
b) 7 cm
P
B
c) 10 cm
D
d) 12 cm
A
x
e) 13 cm
H
P
A
20°
B
27. De la figura AM + MB = 14 cm. Ca lcula CM + MD. B a) 10 cm
a) 50°
d) 55°
e) 65°
c ) 70°
C
b) 60°
b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm
A
34. En la figura AB = FC. Calcula " ".
C
B
e) 20 cm
D
2
28. Los lados AB y AC de un triángulo ABC miden "c" y "b" respectivamente con c < b. La longitud de la mediana BM relativa al lado BC se encuentra entre:
bc BM b c 2 2
d)
bc BM 2b c 2
b) b – c < BM < b + c
e)
ac BM a c 2 2
a)
A
102
F
a) 15°
b) 30°
d) 36°
e) 22°30'
C c ) 18°
GEOMETRÍAS
35. Según la figura, ABCD es un cuadrado. C alcula la medida de su lado si las distancias de los puntos A y C a la recta L es 4 m y 3 m respectivamente. B
42. En la figura, los triángulos ABC y PQC son equiláteros. Calcule . A ) 30º
B
a) 3,5
C ) 40º
A
c) 6
B ) 35º
Q
b) 5
C
D ) 20º
100º
d) 7
E ) 50º
C
A
e ) 12
D 43. En la figura, AB = BC, DC = 7 y DE = 3. Calcule AE.
36. En un triángulo ABC se traza la mediana BR de tal forma que AB = AR, y m RBC = 14°. Calcula m BAC. a) 104°
c ) 106°
b) 105°
d) 107°
B
e) 108° C
D A
37. En un triángulo ABC, se traza la altura BH , en la cual se ubica el punto P; de tal modo que AB = PC. Si m PAC = m BCA, calcula m APH. c ) 45°
b) 37°
d) 53°
e) 75°
TF, TE = LF. Calcule
A ) 37 º 2 B ) 55 º 2 C ) 45 º 2 D ) 30º
B
M C
A
A) B) C) D) E)
2
T
L
45 °
45. En la figura los triángulos ABC y CDE son equiláteros. Calc ule x.
E ) 18º
B
A) B) C) D) E)
B A
2 P
B) 5
E
C
x
30º 50º 45º 60º 53º
5 D
A
A) 4
10º 12º 15º 18º 20º
F
39. En la figura, AB = PC y AC = 10. C alcule AP.
E
38. En la figura, calcule si:
N
3 3,5 4 5,5 6
E
44. En la figura, EL a) 30°
A) B) C) D) E)
C) 5,5
D) 6
C
46. En la figura, C D = 2 (AB). Calcule .
E) 7,5
B
40. En un triángulo ABC se traza la ceviana B D de modo que AD = BC y m
B A D
D
m C B D m A B D . 2
Calcule la m A) 90º D) 105º
A
A B C .
B) 72º E) 108º
C) 120º
A) 10º D) 26º30’
41. En la figura, AB = MC. Calcule x. B N
75° 7 5 °
A
A) 45º D) 50º
30 °
C
M
B) 30º E) 60º
C) 37º
103
2
B) 18º30’ E) 28º
C
C) 22º30’
INGENIERÍAS
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
Semana 04
TEOREMA DE LA BISECTRIZ R b
A
a P
O
TEOREMA DE LA MEDIATRIZ
a
Q
B
Si mBAC – m BCA = 30 y
M
b 6.
b
a
C
a
N
m 2m
A
C
a) 60
c ) 65
b) 75
d) 70
e) 55
Calcula PM si BM MC . B
C 6cm
Práctica 1.
x P
A
De ac uerdo con la figura, calcula AD si AB = 4 m. B a) 4 2 m
7.
b) 6 2 m
M
C
10cm
a) 2 cm
c ) 4 cm
b) 3 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
De ac uerdo con la figura, DC = 8m. Calcula AB. B
c) 8 2 m
30°
A
d) 10 2 m e) 8 m 2.
es mediatriz de AC .
M
A
BASE MEDIA
a
L
B
M
a
e) 7 cm
B
B
M 2a
d) 6 cm
a
A
B
a
b) 4 cm
x
MEDIANA RELATIVA
A
c ) 5 cm
AB = MC, calcula el valor de "x",
M
a
b
5.
P
a) 3 cm
C
45° A
D En un triángulo ABC, se traza la med iana AM y la ceviana BD,
a) 1 m
c) 4 m
que se cortan en E. Calcula DC si AE = EM y AD = 1u.
b) 2 m
d) 6 m
a) 1u
c ) 3u
b) 2u
d) 4u
2
C
D
e) 8 m
e) 5u 8.
De acierdo c on la figura, la relación entre los perímetros de los triángulos PQR y RST es de 1 : 2. C alcula: QS.
3.
De acuerdo con la figura, calcula "x"
.
B
T
4 5u
P
x+4 A
a) 2 b) 3 4.
C
6x
c) 4 d) 5
60° S R b) (2 + 2 3 ) u c ) (2 3 + 4) u e) (2 – 3 ) u 30°
Q
e) 6
a) 5 u d) 2( 5 + 2) u
Calcula MN si BC = 6 cm. 9.
C
De acuerdo con la figura mostrada, calcula HQ si AC = 36m. B Q
M
A
37° N
A
B
104
20° H
C
GEOMETRÍAS
a) 13,5 u
b) 9 u
c) 6 3 u
d) 18 u
e) 9 3 u
a) 9 m
b) 18 m
d) 12 m
e) 24 m
c ) 25 m
10. Se tiene un cuadrado ABCD. CED es un triángulo equilátero y BP es perpendic ular. C alcula EP.
15. De acuerdo c on la figura mostrada, c alcula PQ si AB = 8m y AC = 12m.
1u E
A
B
B
P
Q
P D
a) 1/2 u
3 d) 2 2 u
C
b) 1 e) 1
3 2 u
A a) 1 m d) 2 m
c) 3/2 u
3 2 u
C b) 3 m
c) 5 m
e) 4 m
16. De acuerdo con la figura AB = CD y AC = BE. Calcula x + 23. B
11. De acuerdo c on la figura, ¿cuál es el valor de «a»?. D
50° D 35° a
A
C
45° x
A
60°
30°
C
4 3m B
a) 6 m
b) 24 3 m
d) 24 m
e) 12 m
E
c ) 12 3 m
12. De acuerdo con la figura, calcula RC si el ABC es equilátero. a)
d) 2 u e) 1,5 u
b) 47°
d) 38°
e) 48°
que AB = AR y m RBC = 14. Calcula m ABC.
1u
b) 1 u c) 3 u
c ) 35°
17. En un triángulo ABC, se traza la mediana BR de tal manera
B
2 u
a) 23°
a) 14°
c ) 53°
b) 37°
d) 51°
e) 64°
P R
2u A
18. De acuerdo con la figura c alcula "x", si mBAH=mECA=30° B
C
Q
13. De acuerdo c on la figura, calcula "x"
H
C
x
30°
A 50m
a) 200 3 m d)
200 3m 3
b)
400 3
D
c)
x
23°
A B
E
16
a) 2 u
c) 6 u
b) 8 u
d) 5 u
C
e) 4 u
19. A
3 /3 m
e) 250 3 m
b 2a B
14. De acuerdo c on los datos de la figura, c alcula el valor de "x" C 10m 8m A
x
B
105
a) /12
c ) /4
b) /6
d) /3
b
2a e) 5/2
a
C
INGENIERÍAS
25. De acuerdo con la figura, calcula "x".
20. En un triángulo escaleno ABC, se traza la mediana CM ; en el triángulo BMC, se traza la mediana BN , BN = 9 m; sobre AC
B
se toma un punto "F" de modo que MF//BN . Calcula: MF..
4u
UNI 1985 – I a) 6 m
c) 5 m
b) 4 m
d) 10 m
E
x
e) 8 m
30°
A
21. De ac uerdo c on la figura mostrada, calcula «x».
3u
a) 1 u
c)
b) 2 u
d) 1,5 u
C
D e) 0,5 u
A 26. Si en el cuadrado mostrado ABCD trazamos DF de tal manera que pa se por el vértic e E del triángulo equilátero AEB,
M
6
¿cuál es el valor de FC?
x
a) 2 2 b) 3 2
a
A
45°
B
C
B c) 4 d) 3
e) 4 2 F
22. De acuerdo con la figura mostrada, ca lcula " ".
E
D
C
B m
a)
C 10° 10°
A a) 10º
c ) 30º
b) 20º
d) 40º
a 3 2
b)
d) a (2
2m
D e) 60º
3)
a 3
c) a 2
e) a 1
3 2
27. Se tiene un triángulo ABC recto en B, donde A = 60º. La bisectriz del vértice "A"cae en el lado BC en el punto "D". Calcula DC si BD = 2 u.
23. De acuerdo con la figura, ca lcula: MN.
B
a) 1 u
c) 2 3 u
b) 2 u
d) 3 u
e) 4 u
28. En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en B, BF es perpendi-
N
cular a BC. Si FC = 30 u, y además, mFCB = 29º y mA BF =
M
3º, calcula AB.
A a) 4 cm
c ) 6 cm
b) 5 cm
d) 8 cm
10cm e) 10 cm
B
C 3°
A
EJERCICIOS PUCP 24. Según la figura, c alcula QS.
2 10u
P
T
6) u 3) u ( 3 2) u
c)
c ) 10 u
b) 30 u
d) 20 u
e) 15 u
3 m 300 3
a) 240 b)
60°
30° a) ( 3 b) ( 3
a) 22,5 u
29. De acuerdo c on la figura, c alcula "x".
2
Q
29° F
R
S
c)
3 400 m
3 3 m d) 250 2
d) (3 3) u e) ( 3 4) u
e) 175 m
106
C
m
B 30°
x
A 100m D
C
GEOMETRÍAS
30. De acuerdo con la figura, c alcula "x".
35. De acuerdo c on la figura mostrada, c alcula C D si AB=16 cm. A
C 4m 2m A
a) 2 m b) 4 m
B
x
c) 2 3 m d) 6 m
53° 30° 45° E C D
B
e) 4 3 m
a) 1 cm
c ) 3 cm
b) 2 cm
d) 4 cm
e) 1,5 cm
36. Si AD y BM son medianas del 31. De acuerdo c on la figura, c alcula «PM» si AB = 7 m y AC = 15
las longitudes x e y en ese orden.
m.
A
B
M
y
P
M
x B
C
A a) 3 m
c) 6 m
b) 4 m
d) 7 m
ABC y AC=30 cm, ca lcula
e) 8 m
C
D
a) 11 y 4
b) 8 y 9
c) 9 y 6
d) 9,5 y 5,5
e) 10 y 5
37. En el interior de un triángulo ABC (AB=BC), se toma el punto «p» de tal manera que mPBA = 10º, PB = AC y mPBC =
32. En la figura, AB+AM=12 cm y EM = 5cm. Halla: MB.
30º. Calcula mPAB.
B A
C
M
a) 10º
b) 25º
d) 30º
e) 15º
c ) 20º
D 38. En la figura, AD = 2 (DB). Calcule la m FP E .
E e) 6,5 cm
a) 7,5 cm c ) 7 cm b) 8 cm
B
33. En el cuadrilátero PQRS, si PQ=12 3 u y QR=8 3 u, calcu-
A
la PS + RS.
S
B) 30º E) 75º
c ) 50 u
b) 40 u
d) 60 u
C) 45º
D B
Q
P
e) 80 u
2
A
A) 4
B) 6
C
C) 8
D) 10
40. En la figura, AH = HQ, L 1 y L 2 son mediatrices de B D y Q C respectivamente,
B
m
A B C
= 100º . Calcule x.
E
12cm
B
H
L1 M
C
A
b) 8 cm
d) 16 cm
E) 12
=23º,
calcula: HE + BE.
c ) 12 cm
Q
34. De ac uerdo c on la figura, si mBAH=mECA=30º y
a) 6 cm
C
39. En la figura, AB si AC – PQ = 8. C alcule AB.
120° P
F
A) 15º D) 60º
R
a) 20 u
E
d) 6 cm
L2 D
e) 20 cm A
107
H
Q
N
C
INGENIERÍAS
A) 10º
B) 12º
C) 15º
D) 18º
E) 20º
44. Se tiene un triángulo ABC donde se traza la mediana B M , luego la perpendicular A H a dicha mediana
41. En la figura, AB = 7, AC = 15 y BM = MC. C alcule PM. B
A) B) C) D) E)
M P
A
C
BC = 2 (AH). Calcule la m A) 10º B) 30º D) 20º E) 45º
3 4 6 7 8
M
BC . C) 15º
C B
x
B
C
M x
A) B) C) D)
53º 60º 45º 30º E ) 53 º 2
A
A) 135º D) 127º
53 º
D
B) 120º E) 118º
C) 115º
P
46. En la figura, AB = BC = C D. Ca lcule la m 43. En la figura AC = BD y BC = CD. Calcule x.
B
C x
A
C 10 x
B
A) B) C) D) E)
en B M ,
45. Según el gráfico: AB = BC y A D C D 6 A B , calcule x . 5
42. En la figura AM = MC = MP. Calcule x.
A
H
30º 45º 37º 53º 60º
7x
5x
A
D
A) B) C) D) E)
8º 10º 12º 15º 20º
47. En la figura calcule x.
D
x
A) 45º D) 53º
108
7º
B) 30º E) 60º
C) 37º
C
DA
