Probabilidad y estadística José Luis Poveda Macías Ingeniero Físico Maestro en Educación
Medidas de tendencia central • Media aritmética • Mediana • Moda
Medidas de posición • Las medidas de posición son las que ayudan a ubicar los datos principales en una distribución estadística. • Las más importantes son las que se localizan en el centro, ya que éstas definen características útiles. • La forma de calcularlas depende de las tablas utilizadas. 1. Medidas de posición
Media aritmética • La media aritmética es el centro geométrico de los datos. Para datos aislados: ∑ • Es posible simplificarlo haciendo: • Sustituyendo en la primera fórmula ∑ ∑ ∑ 2. Media aritmética
Media aritmética Finalmente, se obtiene: • Para datos ordenados: ∑ • Para datos agrupados: ∑
2. Media aritmética
Media aritmética • La media aritmética se ve influenciada, particularmente, por valores distantes a ella. • Por lo tanto, su valor es más representativo cuando los datos permanecen cercanos entre sí. • Es importante considerar lo siguiente: es la media muestral (n muestras) es la media poblacional (población de N) • Se puede probar que 2. Media aritmética
Mediana • La mediana es el valor localizado a la mitad de n datos, ordenados de forma creciente. • Si n es impar, la mediana es el dato en la posición . • Si n es par, la mediana es el promedio de los datos en las posiciones y . • Esto funciona tanto para datos aislados como ordenados. 3. Mediana
Mediana • En datos agrupados se requiere usar una fórmula más complicada basada en la interpolación lineal: ! • Donde: – = Límite real inferior de la clase mediana – n = Total de casos. = Frecuencia acumulada de las clases anteriores de la – mediana – = Frecuencia de la clase mediana – c = Tamaño del intervalo de la clase mediana. 3. Mediana
Mediana • La mediana es más representativa cuando existen valores atípicos ya que no se ve afectado por ellos.
3. Mediana
Moda • La moda es el valor o valores que se presenta con mayor frecuencia. • Puede no existir, ser unimodal, o multimodal. • En datos aislados, simplemente hay que encontrar los valores que se repiten más. • En datos ordenados, se ubican los datos con una frecuencia mayor.
4. Moda
Moda • Para datos agrupados: #
∆ ∆
∆
%
• Donde – = Límite real inferior de la clase modal. – ∆ = Diferencia de la frecuencia modal y la frecuencia de la clase anterior. – ∆ = Diferencia de la frecuencia modal y la frecuencia de la clase posterior. – c = Tamaño del intervalo de la clase modal. 4. Moda
Ejemplo 2 • La siguiente tabla de frecuencias presenta los resultados obtenidos al tirar un dado 40 veces. Encuentra los valores de: Valor
Frecuencia
1
9
2
8
3
5
4
5
5
6
6
7
A. Ejemplo
• la media • la mediana • la moda
Ejemplo 2 • Es importante verificar la clase de datos que se utiliza. En este caso, son datos ordenados. Por lo tanto, la fórmula necesaria para la media es: ∑ • En muchos casos, resulta útil agregar columnas donde se calculen los valores que resultan de los pasos. A. Ejemplo
Ejemplo 2 • En la tabla agregamos la multiplicación y las sumatorias: Valor (xi)
Frecuencia (fi)
1
9
9
2
8
16
3
5
15
4
5
20
5
6
30
6
7
42
Sumatorias
40
132
A. Ejemplo
Al dividir los resultados de ambas sumatorias, obtenemos el valor de la media: 132 ̅ ,. , 40
Ejemplo 2 • La mediana se halla ubicando el número de dato indicado. Como son 40 (número par), se toman los datos 20 y 21, y se promedian. Para ello resulta útil la frecuencia acumulada.
A. Ejemplo
Valor (xi)
Frecuencia (fi)
Frecuencia acumulada (fa)
1
9
9
9
2
8
16
17
3
5
15
22
4
5
20
27
5
6
30
33
6
7
42
40
Sumatorias
40
132
Los datos 20 y 21 están en esta clase.
Por lo tanto, la mediana es 3.
Ejemplo 2 La moda es, simplemente, el valor con la frecuencia mayor. Si observamos la tabla, el valor más repetido es 1. Por lo tanto, la moda es 1.
A. Ejemplo
Valor (xi)
Frecuencia (fi)
Frecuencia acumulada (fa)
1
9
9
9
2
8
16
17
3
5
15
22
4
5
20
27
5
6
30
33
6
7
42
40
Sumatorias
40
132
Ejemplo 3 • La tabla muestra una distribución de frecuencia de los salarios semanales de 65 empleados de la empresa P&R. Salarios
Número de empleados
$ 250.00 – 259.99
8
260.00 – 269.99
10
270.00 – 279.99
16
280.00 – 289.99
14
290.00 – 299.99
10
300.00 – 309.99
5
310.00 – 319.99
2
• Calcula la media aritmética, la mediana y la moda para esta distribución. B. Ejemplo
Ejemplo 3 • Para hallar la media, empezamos por agregar las columnas de marca de clase y su respectiva multiplicación, dado que la tabla está agrupada. Salarios
Marca de clase (Mk)
Número de empleados (f)
$ 250.00 – 259.99
254.995
8
2039.96
260.00 – 269.99
264.995
10
2649.95
270.00 – 279.99
274.995
16
4399.92
280.00 – 289.99
284.995
14
3989.93
290.00 – 299.99
294.995
10
2949.95
300.00 – 309.99
304.995
5
1524.975
310.00 – 319.99
314.995
2
629.99
Sumatoria
65
18184.675
B. Ejemplo
∗
Ejemplo 3 • Una vez hallado esto, se divide, tal como indica la fórmula: ∑ 18164.675 34. 35 65 • La mediana requiere utilizar la interpolación. Por lo tanto, es necesario agregar algunas columnas suplementarias. ∗
Salarios
Límites reales
Marca de clase (Mk)
Empleados (f)
$ 250.00 – 259.99
249.995 – 259.995
254.995
8
2039.96
8
260.00 – 269.99
259.995 – 269.995
264.995
10
2649.95
18
270.00 – 279.99
269.995 – 279.995
274.995
16
4399.92
34
280.00 – 289.99
279.995 – 289.995
284.995
14
3989.93
48
290.00 – 299.99
289.995 – 299.995
294.995
10
2949.95
58
300.00 – 309.99
299.995 – 309.995
304.995
5
1524.975
63
310.00 – 319.99
309.995 – 319.995
314.995
2
629.99
65
Sumatoria
65
18184.675
B. Ejemplo
Frecuencia acumulada (fa)
Ejemplo 3 • La fórmula requerida: ! • Es importante verificar cuál es la clase mediana. Para ello, notamos que es un número impar de elementos, por lo tanto, 6 77 se debe utilizar la fórmula , entonces 33. Frecuencia 8
B. Ejemplo
∗
Salarios
Límites reales
Marca de clase (Mk)
Empleados (f)
$ 250.00 – 259.99
249.995 – 259.995
254.995
8
2039.96
8
260.00 – 269.99
259.995 – 269.995
264.995
10
2649.95
18
270.00 – 279.99
269.995 – 279.995
274.995
16
4399.92
34
280.00 – 289.99
279.995 – 289.995
284.995
14
3989.93
48
290.00 – 299.99
289.995 – 299.995
294.995
10
2949.95
58
300.00 – 309.99
299.995 – 309.995
304.995
5
1524.975
63
310.00 – 319.99
309.995 – 319.995
314.995
2
629.99
65
Sumatoria
65
18184.675
Mayor – menor = c
Frecuencia acumulada (fa)
acumulada anterior
Clase mediana
Ejemplo 3 • Aplicando la fórmula: 32.5 18 9:;< 269.995 10 16 • Hacemos lo mismo para el caso de la moda:
34. >? Frecuencia anterior ∗
Salarios
Límites reales
Marca de clase (Mk)
Empleados (f)
$ 250.00 – 259.99
249.995 – 259.995
254.995
8
2039.96
8
260.00 – 269.99
259.995 – 269.995
264.995
10
2649.95
18
270.00 – 279.99
269.995 – 279.995
274.995
16
4399.92
34
280.00 – 289.99
279.995 – 289.995
284.995
14
3989.93
48
290.00 – 299.99
289.995 – 299.995
294.995
10
2949.95
58
300.00 – 309.99
299.995 – 309.995
304.995
5
1524.975
63
310.00 – 319.99
309.995 – 319.995
314.995
2
629.99
65
Sumatoria
65
18184.675
B. Ejemplo
Frecuencia modal
Frecuencia acumulada (fa)
Frecuencia posterior
Ejemplo 3 • Aplicando la fórmula: #
∆ ∆
∆
!
• Recordemos que las Δ implican diferencias con respecto a la frecuencia modal: ∆ @A:%B: %< CD; E @A:%B: %< F:A
B. Ejemplos
Actividad 3 • En una mediana empresa del estado de Tlaxcala se analizaron los salarios (en miles de pesos) de 35 trabajadores, los cuales se presentan en la siguiente tabla: Salario mensual
Frecuencia
1.7
12
2.2
7
2.6
9
3.0
5
4.2
2
• ¿Cuál es la moda, la media y la mediana?
C. Actividades
Actividad 3 • Según el diario Reforma, el salario inicial promedio para recién graduados de la licenciatura en Contaduría, durante 1996 y 1997, fue de $ 30,393. A continuación vemos una muestra de salarios iniciales en miles de dólares: 30.7
28.8
29.1
31.1
30.1
32.2
28.9
30.1
30.4
30.9
32.2
31.2
32.1
30.2
30.3
32.9
32.3
29.3
30.3
30.6
31.2
32.7
29.7
30.3
30.6
31.8
32.9
32.7
29.3
30.3
30.9
30.3
31.5
• Agrupa los datos. • Halla la media, la moda y la mediana C. Actividades
