BALANCE DE MATERIA Y ENERGIA EN ESTADO NO ESTACIONARIO
Estos son procesos en que las cantidades o condiciones de operación dentro del sistema del sistema cambian con el tiempo. Algunas veces oirá la palabra estado transitorio aplicado a tales procesos. El estado no estacionario es un poco mas complicado que el estado estacionario y los los problemas generales que consideran procesos en estado no estacionario son un poco mas difíciles de formular y solucionar que los que implican proceso en estado estacionario. Sin embargo, dentro de esta categoría cae una amplia variedad de problemas industriales de importancia, como la instalación de equipo, el calentamiento o reacciones por lotes, el cambio de operación a otro y las perturbaciones que ocurren como condiciones fluctuantes del proceso. En este capitulo solo consideramos una categoría de procesos en estado no estacionario, pero es la que se utiliza mas ampliamente, los balances globales o macroscópicos. Al estudiar esta sección sus objetivos serán:
1. Escribir Escribir con con palabras palabras y símbolos símbolos los los balances balances macrosc macroscópicos ópicos de materia materia y energía en estado no estacionario. estacionario. 2. Resolver Resolver ecuacio ecuaciones nes diferen diferenciale cialess ordinaria ordinariass lineales lineales de balance de materia materia y energía sencilla dadas las condiciones industriales. 3. Tomar un proble problema ma por escrito escrito y traducir traducirlo lo a una ecuación(es ecuación(es)) diferencial diferencial(es). (es).
Para cualquiera de los balances de materia o energía deberá por ahora ser conocida a la perfección y se repite mas adelante como la ecuación (6.1). No obstante, deberá también darse cuenta que esta ecuación se puede aplicar en varios nivelas, o estratos, de descripción. En otras palabras, el ingeniero puede describir la operación de un proceso real mediante la escritura de balances sobre número de escalas físicas. Un ejemplo típico de este concepto podría ser el usado en meteorología, donde se puede utilizar los siguientes grados de detalle diferentes sobre una escala descendente de magnitud en el mundo real. Modelo del clima mundial Modelo del clima local Nubes individuales Flujo convectivo en nubes Transporte molecular
Las moléculas mismas
En forma similar, en ingeniería química podemos escribir balances de materia y energía desde el punto de vista de varias escalas de información: Balances molecular y atómico Balances microscópicos Balances de dispersión Balances de flujo pistón Balances macroscópicos (balances globales, balances totales) Al disminuir la magnitud del grado de detalle refere nte a un proceso. En este capitulo el tipo de balances que se describe y aplica es uno de los mas sencillos, el balance macroscópico. El balance macroscópico ignora todos los detalles dentro del sistema y, en consecuencia, da por resultado un balance alrededor del sistema total. Solamente queda el tiempo como variable independiente en el balance. Las variables dependientes, como la concentración y temperatura, no son funciones de la posición pero representan promedios totales del volumen del sistema total. En efecto, se supone que el sistema se encuentra lo suficientemente mezclado de tal modo que las concentraciones y temperaturas de salida son equivalentes a las concentraciones y temperaturas dentro del sistema. Para ayudar en la traducción de la ecuación (6.1)
Acumulación o disminución en el sistema
=
Transporte en el sistema a través del límite del sistema
-
Transporte fuera del sistema a través del límite del sistema
(6.1)
+
Generación dentro del sistema
-
Consumo dentro del sistema
A s ímbolos matemáticos, consultaremos la figura 6.1. La ecuaci ó n 6.1 se puede aplicar a la masa de un s olo componente o a la cantidad total de materia y energía en el sistema. Escribamos cada uno de los t érminos en la ecuaci ón (6.1) en s ímbolos matem á ticos para un intervalo de tiempo muy peque ñ o t .
Limite del sistema
Transporte de salida
Transporte de entrada
Fig. 6.1 Proceso general en estado no estacionario con transporte de entrada y de salida y generación y consumo internos.
Sea la acumulaci ón positiva en la direcci ó n en la que el tiempo es positivo, o sea, conforme el tiempo aumenta de t a t + t. Despu és, utilizando el balance de masa por componente como ejemplo, la acumulació n será la masa la masa de A en el sistema en el tiempo t + t menos la masa de A en el sistema al tiempo t.
Acumulación =
AV t + t
-
AV
Donde:
A=
masa del componente A por unidad de volumen
V = volumen del sistema
t
Nótese de las dimensiones netas del termino de la acumulaci ón son la masa de A. Dividiremos el transporte de masa a trav és del límite del sistema en dos partes, el transporte a trav é s de las superficies definidas S y S cuyas áreas se conocen y el 1
2,
transporte a trav é s del límite del sistema por otras superficies (indefinidas). El transporte neto de A que entra por (S ) y que sale por (S ) del sistema a trav é s de las 1
2
superficies definidas se puede escribir as í
Flujo neto a trav és del l í mite por S 1 y S 2 =
∆| − ∆|
Donde:
= velocidad del flu ido en un conducto con á rea de secci ó n transversal S S =área de secci ó n transversal definida perpendicularmente al flujo de materia Nótese de nuevo que las dimensiones netas del termino de transporte son la masa de A. otros tipos de transporte a trav és del limite del s istema se puede representar por Flujo residual neto a trav é s del limite = t
Donde
̇
A
̇
A
t
es el ré gimen de flujo masa del componente A, a trav és de los limites del
sistema diferentes de las superficie s definidas S y S . 1
2
Por último, el termino neto de generación – consumo se supondr á que se debe a la reacció n qu ímica r A
Generació n – consumo neto =
Donde
̇
A
̇
A
t
es el r égimen neto de generaci ón – consumo del componente A por medio
de la reacci ó n qu í mica.
La introducci ó n de todos estos t érminos en la ecuaci ón (6.1) da la ecuaci ón (6.2).Las ecuaciones (6.3) y (6.4) se pueden deducir de exactamente el mismo tipo de an á lisis. Pruebe usted mismo formular las ecuaciones (6.3) y (6.4). Balance de materia por componente:
|∆ − | = ∆| − ∆| + ̇∆ + ̇ ∆ Acumulación
Transporte a través de los
Transporte a
Generación o
límites definidos
través de otros
consumo
límites
(.)
Balance de materia total:
|∆ − | = ∆| − ∆| + ̇∆ Acumulación
Transporte a través de los
Transporte a
límites definidos
través de otros
(.)
límites
Balance de energ ía:
|∆ −| = + +/ ̇∆ − + +/ ̇∆ + ̇∆ − ̇∆+ ̇∆ Acumulación
Transporte a través de los límites definidos
Calor
Trabajo
(6.4)
Transporte a través de otros límites
Donde: = r égimen de la transferencia de energía que acompa ñ a a = r é gimen de transferencia de masa a trav és de las superficies definidas
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇
̇
= r é gimen de transferencia de calor hacia el sistema = r égimen de trabajo realizado por el sistema
= r égimen de flujo de masa total a travé s de los limites del sistema distintos que a travé s de las superficies definidas S y S 1
2.
= masa total, por unidad de volumen.
La otra nomenclatura para los balances de materia y energ í a es id é ntica a la de los cap í tulos 2 y 4; n ótese que trabajo, calor, generaci ó n y transporte de masa ahora son expresados como t é rminos de velocidad (r é gimen) (más o energía por unidad de tiempo). Si cada uno de los miembros de la ecuaci ón 6.2 se dividiese entre t obtenemos.
|∆ − | = | − | + ̇ + ̇ ∆ ( ) = −∆( ) + ̇ + ̇ (.)
Se puede obtener relaciones semejantes a partir de las ecuaciones 6.3 y 6.4. Después, si tomamos el limite de cada miembro de la ecuaci ó n 6.5 cuando t 0, obtenemos.
El
tratamiento an álogo de balance total de la masa y del balance de energía produce las siguientes ecuaciones:
() = −∆() + ̇ () =−∆ + + ̇ + ̇ − ̇ + ̇
(.) (.)
Se pueden obtener las ecuaciones 6.7 y 6.8 de las ecuaciones 6.3 y 6.4 respectivamente. La relaci ón entre el balance de energ ía dada por la ecuaci ón 6.8, que tiene las unidades de energ ía por unidad de tiempo y el balance de energía dada por la ecuaci ón 4.24, que tiene las unidades de energ ía, ahora ser á bastante clara. La ecuaci ón 4.24 representa la integraci ón de la ecuaci ón 6.8 con respecto al tiempo, expresada de manera formal como se indica. Las cantidades designadas en las ecuaciones 4.24 y 4.24 si el puno son los valores integrados respectivos de la ecuaci ón 6.9
− = ∫ *−∆(̂ + ̂ + )̂ ̇ -+ ̇ − ̇ + ̇ (.) Resolver una o la combinaci ó n de las ecuaciones muy generales 6.6 , 6.7 0 6.8 analí ticamente, puede ser bastante dif ícil y en los siguientes ejemplos tendremos restringir nuestro an álisis a casos sencillos. Si hacemos suficientes suposiciones (razonables) y trabajamos con problemas sencillos, podemos consolidad o eliminar t érminos suficientes de
las ecuaciones para poder integrarlas y desarrollar algunos resultados anal í ticos. Tambi én son posibles soluciones num éricas de ecuaciones no lineales.}
En la soluci ó n de problemas en estado no estacionario tiene que aplicar los procedimientos usuales de la soluci ó n de problemas estudiados en el capitulo 1,2 y 4. Se presentan dos tareas principales: a. - Establecer ecuaciones en estado no estacionario b. - solucionarla(s) una vez que la(s) esta(n) establecida(s) Después de que dibuje un diagrama del sistema y escriba toda la informaci ó n disponible, deberá tratar de reconocer las variaciones importantes y representarlas mediante letras. Despu é s, decida cual es la variable independiente e identif íquela. La variable independiente será la que tenga un valor o una serie de ellos, y entonces las dem ás será n las variables dependientes (se determinan por medio de las principales variables y el estado inicial del proceso que selecciona). La que se elija como variable independiente y la que se elija como variable dependiente por lo regular se fija mediante el problema pero puede ser arbitrario. Aunque no existen reglas generales aplicables a todos los casos, las cantidades que aparecen principalmente en el enunciado del problema por lo regular con las mejores elecciones. Necesitara tantas ecuaciones como variables dependientes tenga. Como se menciona antes, en el balance macroscó pico la variable independiente en el tiempo. En matem áticas, cuando la cantidad X varia con el tiempo, consideramos que dx en el cambio de X que ocurre durante un tiempo dt si el proceso continua por el intervalo que comienza en el tiempo t. digamos que t es la variable independiente y que X es la dependiente. Al solucionar problemas puede utilizar una o la combinaci ó n de la ecuaciones (6.6), (6.7)y ( 6.8) en forma directa o puede proceder de manera alternativa, como se muestra en algunos ejemplos, para establecer las ecuaciones diferenciables desde el principio, exactamente de la misma manera en que las ecuaciones(6.2)- (6.4) fueron formuladas. Para cualquier planteamiento el objetivo es traducir el enunciado del problema e palabras en una o má s ecuaciones diferenciales simultáneas que tiene la forma.
=(,)
Después suponiendo que esta ecuaci ón diferencial se puede solucionar, se puede encontrar x como funci ón de t. por supuesto, tenemos que conocer alg ún (as) condició n (es) inicial(es) o bien a un (o mas) tiempo (s) dado (s) conocer el (los) valor(es) de x Si dt y dx siempre se consideran positivos cuando se incrementen, se puede utilizar la ecuación 6.1. Sin dificultar con los signos. Sin embargo, si por alguna raz ó n transfiere una salida al segundo miembro de la ecuaci ón, o la ecuaci ó n se escribe en alguna otra forma, se deberá tener cuidado en el uso de los signos (vea el ejemplo 6.2 mas adelante). A continuaci ón vamos examinar algunos problemas en estado no
estacionario muy sencillos que son susceptibles a un an álisis matemá tico razonablemente elemental.
EJEMPLO: 6.1 balance de materia en estado no estacionario sin generación. Un tanque maneja 100 gal de soluci ó n agua – sal en la que 4.0 lb de sal se disuelven. El agua circula dentro del tanque a una velocidad de 5 gal/min y la soluci ó n de sal se derrama a la misma velocidad. Si el mezclado en el tanque es adecuado para mantener la concentraci ón de sal en el tanque uniforme en todo momento. ¿ Cuanta sal hay en el tanque al t érmino de 50 min? Suponga que la densidad de la soluci ón de sal es esencialmente la misma que la del agua. SOLUCION:
Establecer desde el principio las e cuaciones diferenciales que describe el proceso. Paso 1:
Haga el diagrama y anote los datos. V é ase la figura 6.1 5 gal/min 5 gal/min H2O pura (0 lb de sal/gal)
100 gal 4 lb sal
Fig. E6.1
