BAB I SISTEM BILANGAN REAL
A. PENGERTIAN BILANGAN REAL
Sebenarnya sistem bilangan real telah kita kenal bahkan kita telah mempelajari sejak di bangku sekolah dasar. Sistem bilangan ini merupakan pengetahuan dasar yang harus kita pahami karena sangat berguna bagi kita untuk menyelesaikan masalah-masalah yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari, juga pada bidang bisnis dan manajemen. Bagaimana seorang pengusaha dapat menjalankan usahanya apabila tidak menguasai sistem bilangan, bahkan pendagang kaki lima harus juga menguasai sistem bilangan agar menjalankan usaha dagangnya untuk dapat keuntungan. Dalam bab ini akan dipelajari macam-macam bilangan real juga operasioperasi hitung yang dapat dilakukan pada bilangan Real. Namun sebelumnya akan kita pelajari dulu macam-macam bilangan Real. Sistem bilangan Real disusun dari macam-macam bilangan.
B. MACAM-MACAM BILANGAN REAL 1. Bilangan Asli (A)
Bilangan asli merupakan bilangan yang pertama yang digunakan oleh manusia untuk membilang. Bahkan seorang ibu melatih anak balitanya juga pasti mulai dari bilangan Asli, Bapak-Ibu guru yang mengajar Olah Raga juga menggunakan bilangan Asli dalam menghitung barisannya dan masih banyak lagi yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Bilangan Asli yaitu : 1, 2, 3, 4,.... dilambangkan huruf A dan dapat ditulis : A : {1, 2, 3, 4,.......}
2. Bilangan Cacah
Bilangan cacah merupakan gabungan antara bilangan Asli dan nol dan dilambangkan dengan huruf C dapat ditulis : C : {0, 1, 2, 3,...}
1
3. Bilangan Bulat
Bilangan Bulat merupakan gabungan antara bilangan Cacah dan lawan bilangan Asli dan dilambangkan dilambangkan dengan huruf B dan dapat ditulis : B: {......., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ......}
4. Bilangan Rasional
Bilangan Rasional juga bisa diartikan bilangan pecah dan dapat dinyatakan p bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk q dengan P, Q B, Q ≠ 0.
bilangan Rasional dapat dilambangkan dengan huruf Q dan dapat ditulis dalam p
bentuk Q : { q a,b , dan q ≠ 0 }
5. Bilangan Irasional (I) p Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk q
dengan p, q B dan q ≠ 0. Bilangan Irasional dilambangkan dengan huruf I. Contoh :
2,
7 , dan log 7 ... .
6. Bilangan Real (R)
Bilangan Real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional Bilangan Real dilambangkan dengan huruf R dan dapat ditulis juga R = U I
Dari macam-macam bilangan Real di atas dapat dibuat skema sebagai berikut : Bil. Bulat negatif Bil. Bulat
Bil. Nol Bil. Cacah Bil. Asli
Bil. Rasional Bil. Pecah Bil. Real
Bil. Irasional
2
Selain dapat dibuat skema bilangan Real di atas juga dapat dinyatakan dengan diagram Venn berikut ini : R B A
C Q
I
Gambar : 1.1 Diagram Venn dari Himpunan Bilangan Real
Rangkuman 1) Bilangan Real tersusun dari : a. Bilangan Asli b. Bilangan Cacah c. Bilangan Bulat d. Bilangan Rasional e. Bilangan Irasional 2) Bilangan Real dapat dibuatkan : a. Skema b. Diagram Venn
Latihan 1.1 1. Tuliskan anggota-anggota dari himpunan di bawah ini : a. { 5 buah bilangan Asli yang pertama } b. { a a < 5, D C } c. { e -3 e e B } d. { q q faktor dari 12 } e. { s s tahun kabisat dari tahun 1995 sampai 2005 } 2. Tulislah 5 contoh bilangan Irrasional! 3. Buktikan bahwa 2,512512... merupakan bilangan rasional!
3
4. Tentukan diantara bilangan-bilangan di bawah ini yang merupakan bilangan rasional! a. b.
1 1 , -3, 3 10 ,
16 ,
3
5 , 3 5 , 2 3
c. log 10 , log 7 , log 1000 , log 250 d. 0,25 ; 0,217217... ;
0 4
;
2 3
5. Tentukan bilangan rasional yang tepat di tengah-tengah bilangan bilangan di bawah ini: a.
1 2 dan 2 3
b.
1 2 dan 6 3
c.
1
1 1 2 5 dan 3
d.
2
1 1 3 2 dan 3
Tugas 1 Buat diagram Venn tentang anggota bilangan Real, kemudian beri warna yang berbeda masing-masing bilangan. Tunjukan daerah gabungan dari 2 bilangan yang ada.
C. OPERASI PADA BILANGAN BULAT
1. Operasi Hitung Penjumlahan pada bilangan bulat. Untuk a, b, c berlaku sifat-sifat sebagai berikut : a) Tertutup a + b = c, untuk a, b B didapat C B b) Komutatif a + b = b + a, untuk a, b B
4
c) Assosiatif (a + b) + c = a + (b + c), untuk a, b, c B d) Invers tambah (lawan) Untuk a, -b B ada invers tambah, yaitu -a, + b sehingga berlaku : a + (-a) = 0 -b + b = 0 e) Elemen identitas a+0=0+a=a
Untuk lebih memahami sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat, kita lihat contoh berikut ini : = 5 dengan 2, 3, 5
1. 2 + 3
(sifat tertutup)
2. 4 + (-9) = -9 -9 + 4 -5
= -5
(sifat komutatif)
3. (2 + 5) + (-4) (-4) = 2 + [5 + (-4)] 7 + (-4) = 2 + 1 3 =3 4.
5 + (-5) = (-5) + 5 0 =0
5.
(sifat assosiatif)
(sifat invers atau lawan)
3 +0 =0 +3 3 =3
(sifat identitas)
2. Operasi pengurangan pada bilangan bulat. Untuk a, b, c bersifat tertutup untuk operasi pengurangan. Contoh : 5 - (-4) -8 - (-4)
=5+4=9
, 5, -4, 9
= -8 + 4 = -4
, -8,-4, 4
3. Operasi perkalian pada bilangan bulat, memiliki sifat pada operasi pengurangan tidak berlaku : a) Sifat komutatif b) Sifat asosiatif
5
Operasi perkalian pada bilangan bulat, memiliki sifat sebagai berikut : a) Tertutup Untuk setiap a, b didapat C B berlaku a x b = C b) Komutatif Untuk setiap a, b akan berlaku a x b = b x a c) Assosiatif Untuk setiap a, b, c berlaku (a x b) x c = a x (b x c) d) Elemen invers (kebalikan) perkalian 1
1
Untuk setiap a B mempunyai elemen netral a berlaku a x a = 1 e) Elemen Identitas Untuk elemen identitas perkalian adalah 1, sehingga a B berlaku a x 1 = 1 x a = a. f) Distributif perkalian terhadap penjumlahan. Untuk setiap a, b, c B berlaku : a x (b + c) = (a x b) + (a x c) g) Distributif perkalian terhadap pengurangan Untuk setiap a, b, c B berlaku : a x (b – (b – c) c) = (a x b) – b) – (a (a x c) Untuk lebih dapat memahami sifat-sifat operasi hitung perkalian pada bilangan bulat, lihat dengan cermat contoh di bawah ini : Contoh : 1. 4 x (-2) = -8, 4, -2, -8, B 2.
(sifat tertutup)
2 x -3 = -3 x 2 -6 = -6
(sifat Komutatif)
3. (3 x – x – 2) 2) x -4 = 3 x (-2x – (-2x – 4) 4) -6 x – x – 4 4 =3x8 24 1
4.
5x 5
= 24
(sifat Assosiatif)
1
= 5 x 5 =1
(sifat elemen netral)
6
5.
(-3) x 1 = 1 x (-3) -3 = -3
6.
(sifat elemen identitas)
5 x (-3 + 6) = (5x – (5x – 3) 3) + (5 x 6) 5 x 3 = -15 + 30 15 = 15 (sifat distributif distributif perkalian terhadap penjumlahan)
7.
6 x (7-5) = (6 (6 x 7) – 7) – (6 (6 x 5) 6 x 2 = 42 – 42 – 30 30 12 = 12 (sifat (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)
4. Operasi Pembagian Pada Bilangan Bulat Untuk a dan b bilangan bulat, a,b B , b ≠ 0 maka membagi a dengan b sama dengan mengalikan a dengan kebalikan b (invers perkalian), sehingga berlaku: a:b=ax
1 b
=
a b
, b ≠ 0
Contoh : 1.3 1. 20 : 5 = 20 x =
1 5
20 5
= 4 1 2. 50 : (-2) = 50 x − 2 50 = − 2
= -25
RANGKUMAN 1. Pada operasi hitung penjumlahan bilangan bulat berlaku sifat : tertutup, komutatif, asosiatif dan elemen invers 2. Pada operasi hitung pengurangan tidak berlaku sifat komutatif 3. Pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat : tertutup, komutatif, distributif dan asosiatif.
7
4. Pada pembagian bilangan bulat sama dengan mengalikan dengan kebalikan bilangan pengali.
LATIHAN 2. 1. Tulislah contoh- contoh sifat -sifat yang berlaku pada bilangan berikut: a) Tertutup pada bilangan asli b) Komutatif pada bilangan bulat c) Assosiatif pada perkalian bulat. d) Distributif perkalian terhadap penjumlahan. e) Distributif perkalian terhadap pengurangan.
2. Tentukan nilai dari : a) 2 + 3 b) 6 + (-3) c) -8 + 4 d) -10 – -10 – 12 12 e) 3 x (5 +4 ) f) 5 x (8-3) g) ( 5 x 2) + ( 5 x 8) h) ( 8 x 4 ) - ( 8 x 6 )
3. Lengkapilah a) 12 x ( 5 + 10 )
= (12 x.....) + (....x 10 ) = ... + ... =...
b) 5 x (10 – (10 – 2 2)
= ( ...x 10 ) - ( 5 x ...) =...-... =...
c) (5 + 3 ) : ( 8 : 4 )
=... : 2 =... :... =...
8
d) ( -125 : 5 ) + ( 50 : -5 ) = (-25) +... =... + (-10) =...
TUGAS 2 Salin dan lengkapi persoalan di bawah ini ! 1. a x ( b + c )
= ( ...x...) + ( a x ...) = ( ...) + (...) =...
2. p x {(-q ) + ( 5 )}= ( p x ...) + (...x...) =... + ... =...
D. OPERASI PADA BILANGAN PECAHAN
Bilangan pecahan merupakan salah satu anggota dari bilangan rasional. p
Bilangan rasional dinyatakan dalam bentuk q dengan p, q B, q ≠ 0. Untuk p
bilangan pecahan juga ju ga termasuk bilangan rasional yang dinyatakan dalam d alam bentuk q , p.q B , q ≠ o dan p ≠ q , p disebut pembilang dan q disebut penyebut dari bilangan pecahan tersebut. Pada operasi hitung bilangan pecahan juga berlaku sifat – sifat – sifat sifat operasi seperti yang berlaku pada bilangan bulat. : 1. Penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan. Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan – bilangan pecahan dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menyampaikan penyebut tiap-tiap sukunya. a) Jika p q
p q
dan r s
r s
adalah bilangan – bilangan – bilangan bilangan pecahan, maka berlaku :
p . s q . r q . s
9
p
r
b) Jika q dan p q
r s
s
adalah bilangan-bilangan pecahan, maka berlaku :
p . s q . r q . s
Untuk lebih jelas dan lebih memahami operasi penjumlahan dan pengurangan dari bilangan pecahan, lihat contoh berikut ini!
Contoh = 1.4 Hitung nilai dari : 1 1 a. 2 + 3
1 1 c. 2 2 + 5 3
1 4 e. 5 - 3
2 3 b. 4 + 5
1 1 d. 2 - 5
1 1 f. 6 3 - 2 5
Jawab : a.
3 2 1.2 1.2 1 5 1 + = = = 3 6 6 2.3 2
b.
23 2 3 3 15 8 3.5 2.4 1 + = = = = 20 5 20 4 20 4.5
5 16 1 1 5 47 15 32 5.3 5.3 16.2 16.2 7 c. 2 2 + 5 3 = 2 + 3 = = = = 6 6 2.3 6
d.
1.5 − 1.2 3 1 1 5− 2 = = = 2.5 10 2 5 10
e.
4.3− 2.5 2 2 12 − 10 4 = = 15 5.3 15 5 - 3 =
f.
1 11 2 1 19 19.5 − 11.3 62 95− 33 2 4 6 3 - 5 = 3 - 5 = = = 15 = 15 3.5 15
Latihan = 1.3 Hitung nilai dari operasi – operasi – operasi operasi bilangan berikut ini! 1 1 1. a. 3 + 5
2
1
e. 4 3 + 1 5
1
1
i. 4 4 + 2 3
10
5 b. 7 + 1 c. 3 -
2 5 1 4
1
1
1 2 1 d. 3 - 4
b. c. d.
1
g. 5 6 + 3 2 2 4 7 1 h. 3 + 5
2
2. a.
2
f. 3 2 - 1 7
1 1 1 2 + 3 + 5 2 2 3 7 + 5 + 4 1 1 3 + 2 3 4 1 4 1 + 3 5 4
1
2
j. 7 3 - 1 7 20 2 k. 3 - 1 3 40 1 1 l. 7 + 2
3 1 1 e. 8 - 5 - 4 1 1 1 f. 5 2 +1 3 + 4 1 1 1 g. 5 6 -1 2 +2 3 20 2 1 h. 3 + 5 + 2
n− 1 1 2 Buktikan bahwa : 2 n - n − 1 = 2n 2− 2 n
1 1 1 i. -5 2 + 3 -2 4 1 1 1 j. -6 2 -1 2 -3 3 1 1 1 k. -7 2 +1 3 -2 4 1 57 l. 4 + 4 - 7 3
dengan n
4. Nisa me mpunyai uang Rp. 25.000,- Seperlima uangnya dibelikan buku dua perlima uangnya dibelikan pensil kemudian seperempatnya untuk beli pulsa. Sisanya ditabung. Hitunglah uang yang ditabung!
Tugas 3 Isilah teka – teka – teki teki di samping ini, sesuai pertanyaan pada nomor kotak 1)
1. Bilangan yang dapat dinyatakan p q , q, p r, q ≠ 0 (menurun)
2. Bilangan yang tak dapat dinyata p kan q , p, q
2) 3) 4)
r, q ≠ 0
5) 6)
3. 1 adalah elemen ... pada perkalian 4. Sesudah dijelaskan perlu diberi ... .
7)
5. Lawan bilangan ganjil 6. Bilangan bulat positif digabung dengan 0 7. Bilangan digunakan berhitung pada baris berbaris
11
2. Perkalian dan pembagian bilangan pecahan a) Perkalian Untuk menyelesaikan operasi perkalian dua bilangan pecahan atau lebih dengan cara : “mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.” p
r
Untuk q dan p
x
q
r s
s
adalah bilangan-bilangan pecahan, maka berlaku :
p x r
q x s
=
pr qs
Contoh : 1.5 1)
1 1 1 1.1 x = = 3 6 2 3.2
2)
3 6 2 3x2 3x2 5 x 3 = 5x3 5x3 = 15
3)
1
5 2 9 5x9 5x9 45 9 1 2 3 3 x 4 = 3 x 4 = 3x4 3x4 = 12 = 12
b) Pembagian Untuk menyelesaikan operasi pembagian pada bilangan pecahan dengan cara mengubah tanda kali menjadi perkalian dan membalik pecahan pembaginya p
r
untuk q dan p
:
r
q s
p q
x
s
s r
adalah bilangan-bilangan pecahan maka berlaku :
p x s q x r
Contoh : 1.5 1.
6 1 3 6 6 18 1 : = x = = 3 1 12 12 12 12
2.
11 11 11 1 3 1 2 5 2 : 2 = : = x = = 2 2 4 2 4 2 1
3.
6
4.
1 2 11 1 2 11 3 66 1 2 1 16 5 : 2 2 2 : 3 = 2 : 2 : 3 = 2 x 1 x 2 = 4 =
20 20 9 4 26 2 1 80 2 2 3 : 4 = 3 : 4 = 3 x 9 = 27 = 27
12
Rangkuman Latihan : 1.4 3) Hitung nilai operasi-operasi perkalian bilangan berikut ini! 1 a. 2 x
1
1
1
g. 1 2 x 2 3
8
4 2 2 2 b. 5 x 3 h. 1 5 x 3 3 2 2 1 c. 2 x 3 i. 3 5 x − 2 2 1 1 1 1 d. - 3 x 5 j. − 3 3 x + 5 7 2 3 1 1 e. - 5 x 7 k. − 3 3 x − 5 7 1 2 3 1 f. - 5 x - 7 l. 20 3 x − 1 3 4) Hitung nilai pembagian berikut ini :
1 a. 2 :
1 d. - 2 :
1 8
4 2 b. 5 : 3 1 1 c. 7 8 : 1 4
1 8
4 2 e. 5 : - 3 1 1 f. - 7 8 : - 1 4
5) Hitung nilai dari : 1 1 a. 3 x 2 :
b.
3
1 1 2 d. 10 2 x - 2 : 3
1 8
1 1 1 7 : 2 5 x 4 2
2 1 1 e. 9 3 : -2 2 x -1 3
6) Tentukan nilai n dari : 1 1 a. 2 x n = 5, n = ... . d. 3 2 : n = 7, n = ... . 2 1 2 1 b. 1 3 x n = 6, n = ... . e. 2 3 n x 7 2 = 15 3 , n = ... . 1 1 2 1 c. n x - 2 = 3 2 , n = ... . f. - 3 n : 2 = 20, n = ... . 7) Pak Joko mempunyai uang Rp. 10.000.000,00 dan seluruhnya akan
3 dibagikan pada ke-tiga anaknya. Anak pertama mendapat 8 bagian, anak
kedua mendapat
5 16 bagian dan anak ketiga mendapatkan sisanya.
Hitung jumlah uang masing-masing bagian ketiga anak Pak Joko.
13
Tugas 4 Dalam kelasmu tugaskan ketua kelas membuat angket tentang hobby siswa dalam 1 kelas, kemudian dikumpulkan. Hitung jumlah siswa sesuai dengan hobby yang sama. Diskusikan, terus tentukan bagian dengan bilangan pecahan dari masing-masing hobby.
Rangkuman 1. Pada operasi hitung perkalian pada bilangan pecahan berlaku sifat : a. Kumulatif b. Assosiatif c. Distributif perkalian terhadap penjumlahan d. Distributif perkalian terhadap pengurangan 2. Operasi perkalian pada bilangan pecahan dapat dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. 3. Operasi pembagian pada bilangan pecahan dapat dilakukan dengan cara mengganti tanda pembagian dengan tanda perkalian tetapi pecahan pembagi harus dibalik.
E. PECAHAN, PERBANDINGAN, SKALA DAN PERSEN 1. Pecahan
Pecahan bisa dinyatakan dengan tiga cara : a. Pecahan biasa Biasa ditulis dalam bentuk
a b
, a, b B, b 0 dan b bukan faktor a. Pada
bidang bisnis bilangan b ilangan pecahan biasa digunakan di gunakan ukuran berat, diameter pipa dll. Contoh : berat gula
: ½ kg
diameter pralon : ½ dm b. Pecahan desimal Pecahan desimal biasa dipakai dalam banyak hal dalam kehidupan seharihari seperti ukuran panjang, ukuran berat, ukuran kecepatan dll. Pecahan ini
14
menggunakan sistem nilai tempat, nilai suatu angka dalam suatu bilangan tergantung pada tempatnya. Contoh : 0,1275. Angka 1
1 bernilai 10
Angka 2
2 bernilai 100
Angka 7
7 bernilai 1.000
Angka 5
bernilai 10.000
5
c. Persen Bilangan ini biasa digunakan untuk menyatakan kadar suatu unsur dalam campuran zat kimia, diskon harga suatu barang pada bidang bisnis, laba dan rugi pada bidang perdagangan dll. Persen menyatakan perbandingan dengan seratus (perseratus) dan ditulis dengan tanda “%”. Contoh : 3%
3 = 100
60%
60 = 100
d. Mengubah desimal ke dalam bentuk biasa dan persen persen 1). Bilangan dengan angka di belakang koma terbatas 0, . . . perseribu perseratus persepuluh Contoh : 0,275 0,275
2 7 5 = 10 + 100 + 1.000 200 5 70 = 1.000 + 100 + 1.000
15
5
= 1.000 2). Bilangan dengan angka di belakang koma tak terbatas berulang. a. Jika banyak angka yang berulang satu angka, maka pecahannya adalah angka yang berulang dibagi 9. Contoh : 3 0,3333 ... = 9
b. Jika banyak angka yang berulang dua angka, maka pecahannya dua angka yang berulang tersebut dibagi 99. Contoh : 35 0,353535 ... = 99
c. Jika banyak angka yang berulang tiga angka, maka pecahannya adalah tiga angka yang berulang dibagi 999. Contoh : 251 0,251251251 ... = 999 dst.
e. Mengubah persen ke dalam bentuk pecahan biasa dan desimal. Untuk mengubah bentuk persen menjadi bentuk pecahan biasa dapat dilakukan 1 dengan menggantikan tanda persen (%) menjadi persentus ( 100 ) kemudian
bentuk disederhanakan, jika mau dijadikan pecahan desimal dapat dilakukan dengan menjadikan desimal dari pecahan yang dihasilkan.
Contoh 20 1). 20% = 100
= 0,2 25 1 2). 25% = 100 = 4 (pecahan biasa)
= 0,25
(pecahan desimal)
16
Latihan : 1.5 1. Tulislah pecahan di bawah ini ke dalam bentuk desimal. a.
1 4
b.
2 5
c.
40 60
d.
12 120
e.
125 100
2. Tulislah bentuk desimal ini ke dalam bentuk pecahan biasa. a. 0,25 b. 2,50 c. 32,75 d. 75,82 e. 90,10
3. Tulislah bentuk persen di bawah ini ke dalam bentuk pecahan biasa. a. 25% b. 4,5% c. 52,25% 1
d. 67 5 % 3
e. 87 4 % 4. Hitunglah. a. 25% x 16 +2,50 1
b. 2 4 x 5,5% + 7,5 1 1 1 c. 4 2 % x ( 3 2 + 6 4 ) - 4,5
17
1
1
1
d. 120,5 + ( 10 2 - 2 4 ) x 20 3 1
e. 40 x ( 2 2 + 6%)
Tugas : 5 Lengkapi tabel berikut ini! No
Pecahan
Desimal
Persen
1.
2 5
...
...
2.
...
0,75
...
3.
...
...
35%
1 2
...
...
5.
...
7,55
...
6.
...
...
675%
7.
...
8,555
...
12 50
...
...
9.
...
...
10.
...
10,375
4.
5
8.
1
5
3 8 %
...
2. Perbandingan
Perbandingan dua buah nilai atau besaran sejenis dapat dinyatakan sebagai pembagian atau pecahan biasa. Secara umum pembagian nilai a dan nilai b d itulis : a
a : b atau b (dibaca a dibanding b)
Ada 2 jenis perbandingan : a. Perbandingan senilai Yaitu perbandingan yang harganya sama. Bentuk umum perbandingan ini adalah :
18
A1 : B1 = A2 : B2
atau
A1 B1
A2 B2
Contoh : Harga 4 buku tulis adalah Rp. 12.000,00, berapa harga 10 buku tulis? Jawab : Harga 4 buku tulis = 12.000,00 Harga 1 buku tulis =
12.000 = 3.000 4
Jadi harga 10 buku tulis = 10 x Rp. 3.000,00 = Rp. 30.000,00
b. Perbandingan berbalik nilai Yang dimaksud perbandingan berbalik nilai, jika kedua perbandingan tersebut mempunyai nilai kebalikan. Bentuk umum : A1 : B1 = B2 : A2 A1 . B1 = B1 . B2 Contoh : Sebuah pekerjaan dikerjakan 10 orang akan selesai dalam 24 hari. Jika dikerjakan oleh 16 orang akan selesai berapa hari? Jawab : Jumlah orang
Jumlah hari
10 / A1
→
24 / B2
16 / A2
→
x / B1
didapat 10 X B1 A1 A2 = B2 → 16 = 24
16 x = 240 x = 15 Jadi apabila pekerjaan dikerjakan oleh 16 orang akan selesai dalam 15 hari.
19
3. Skala
Skala adalah perbandingan antara ukuran suatu obyek pada gambar dengan ukuran sebenarnya. Misalnya pada peta ditulis skala : 1 : 1000. Akhirnya 1 cm pada gambar mewakili 1000 cm ukuran sebenarnya. Jika pada peta jarak kota A dan kota B adalah 3 cm, berarti jarak sebenarnya kota A dan kota B adalah 3 x 1.000 cm : 3.000 cm ukuran pada pada gambar gambar Skala = ukuran sebenarnya sebenarnya
Jadi
Skala dibedakan menjadi dua macam : a. Skala Perkecilan Biasa digunakan untuk menggambarkan ukuran-ukuran yang besar yang tak bisa muat jika digambar pada kertas dengan ukuran tertentu.
Misalnya : - Jarak kota dengan kota lain. - Untuk menggambar sketsa rumah dan lain-lain. Contoh : Jarak kota A dan kota B pada peta 3 cm, sedang jarak Kota B
sebenarnya 6 km. Jika jarak pada gambar kota B dan kota C 1 cm, tentukan :
Kota A
Kota C
a. Skala peta tersebut. b. Jarak sebenarnya kota B dan kota C
Jawab : Jarak kota A dan kota B sebenarnya sebenarn ya = 6 km = 600.000 cm ukuran ukuran pada pada peta 1) Skala = ukuran sebenarnya sebenarnya 3 = 6.000.000 1
= 200.000 Jadi skala peta = 1 : 200.000
20
2) Jarak sebenarnya kota B dan kota C = 1 x 200.000 cm = 200.000 cm = 2 km
b. Skala Perbesaran
Biasa digunakan untuk menggambarkan benda-benda yang berukuran kecil, dengan diperbesar akan dapat memperjelas gambar. Misalnya : benda-benda elektronis, ukuran baut mur dan lain-lain. Contoh Gambar disamping menunjukkan gambar lubang baut berbentuk lingkaran dengan skala 20 : 1, Berapa diameter lubang baut tersebut?
4 cm Jawab : 1
Skala 20 : 1 1 cm = 20 cm ukuran sebenarnya Diameter sesungguhnya = 4 cm 1
= 4 x 20 cm 4
= 5 cm = 0.8 cm = 8 mm 4. Persen
Persen dilambangkan dengan “%”. Biasa digunakan pada hampir semua bidang : bidang bisnis, teknik, pajak dan lain-lain. Pada bidang bisnis : untuk menyatakan diskon harga barang dan lainlain. Pada bidang teknis : untuk menyatakan target pekerjaan yang diselesaikan dan lain-lain.
21
Contoh : Dila membeli baju, pada label harga tertulis harga baju Rp. 125.000,00 Diskon 20%. Tentukan : a. Diskon yang diperluas. b. Harga yang dibayar diba yar.. Jawab : 20 a. Diskon = 100 x Rp. 125.000,00
= Rp. 25.000,00 b. Harga yang dibayar
= Rp. 125.000,00 – 125.000,00 – Rp. Rp. 25.000 = Rp. 100.000,00
5. Rangkuman a. Untuk mengubah pecahan ke bentuk persen dengan cara : Persentase : Pecahan x 100%
b. Perbandingan A1 A2 Perbandingan senilai B1 = B2
Perbandingan berbalik nilai A1 + A2 = B 1 – 1 – B2 B2 c. Skala =
Ukuran pada gambar Ukuran sebenarnya
d. Persen dilukis dengan lambang “%” berarti “%” berarti perseratus.
LATIHAN : 1.6 1. Ubahlah bentuk pecahan biasa ke dalam persen! a.
2 8
b.
3/ 4
c.
2 /5
22
d. 1 2 / 8 1 e. 5 2
2. Ubah bentuk pecahan desimal ke dalam bentuk pecahan biasa dan persen! a. 0.40 b. 0.675 c. 2.50 d. 3.75 e. 4.20 3. Adnam membeli kemeja dengan membayar Rp. 75.000,00 sesudah mendapat diskon 25%. Berapa harga kemeja sebelum kena diskon? 4. Dalam kelompok siswa terdiri dari 12 siswa, setiap siswa berkewajiban membayar Rp. 300.000,00 untuk membuat laporan pembukuan keuangan. Jika 2 orang keluar dari kelompok itu, berapa rupiah beban tiap siswa yang harus dibayar? 5. Tinggi badan Gita pada foto 33 cm, tinggi kaki 15 cm, sedangkan tinggi kaki sesungguhnya 1,0 m. Hitunglah badan Gita sesungguhnya!
Tugas! 6 1. Jelaskan yang dimaksud dengan perbandingan! Sebutkan 2 contoh dalam bidang marketing! 2. Bagi siswa dalam kelasmu dengan anggota perkelompok 4 orang masing kelompok membuat contoh 1 tentang perbandingan senilai dan 1 contoh perbandingan berbalik nilai dan beri penyelesaian yang singkat! 3. Ukurlah panjang, letak dan tinggi ruang kelas kemudian gambarlah dengan ukuran skala 1 : 100!
23
BAB II BILANGAN BERPANGKAT
A.
Pengertian bilangan berpangkat
Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut : .. . x p p n p x p x p x ...
n faktor n
p
= disebut bilangan berpangkat
p
= disebut bilangan pokok
n
= disebut pangkat
Contoh : 1. 25 2 x 2 x 2 x 2 x 2
5 faktor
= 32 2. (5) 5 (5) x (5) x (5) x (5) x (5)
5 faktor
= – 125 125
B.
Sifat bilangan pangkat n
m
n+m
1. P x P = P
, n, m A
Contoh : 3
5
3+5
2 x 2
=2
8
=2
= 128 n
m
n-m
2. P : P = P
, n, m A
Contoh : 8
5
5 x 5
8-5
=5
3
=5
= 125
24
n m
3. (P ) = P
nxm
dengan n, m A
Contoh : 3 4
3
(2 )
3
3
3
=2 x 2 x 2 x 2 3x4
=2
12
= 2 n
n
n
4. (p.q) = p .q Contoh : 3
3
(2.5)
= 2 .5
3
= 8.125 = 1000 5. (
p q
p
n
) =
n
qn
Contoh : n
(10/2) = 53 =125 3
3
3
(10/2) =10 /2 =1000/8 =125 C.
Persamaan Perbandingan
Contoh : 2x+1
Tentukan nilai x dari : 3
= 27
Jawab : 2x+1
= 27
2x+
3
3
2x+1
x
x
Jadi nilai x = 1
25
D.
Macam-macam Bilangan Berpangkat 1. Bilangan berpangakat positif
Untuk p R , n dan m bilangan bulat maka berlaku : n
a) p = p x p x p x ... x p n faktor b)
n
m
p x p = p
n+m
Bukti n
m
p x p = (p x p x p x ... x p) x (p x p x p x ... x p) n faktor
m faktor
= (p x p x p x ... x p x p x p x p x ... x p) n+m n+m
erbukti
=p Contoh : 1. 2
5
2.
5
= 2x2x2x2x2 = 32
2 x2
2
7
=2
= 2x2x2x2x2x2x2 = 128 2. Bilangan berpangkat tak sebenarnya
a) Bilangan pangkat nol 0
,p
p = 1
Contoh : 3-3
2
3
3
= 2 /2 8
=
8 3-3
=1
0
,(2 =2 )
b) Bilangan pangkat negatif -n
p = 1/p
n
Contoh : 0
10 ;10; 1; 0,1; 0,0; ... 2
1
0
2
1
0
-1
-2
10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; ... 1
2
10 ; 10 ; 10 ; 1/10 ; 1/10 ; ...
26
1 1 di dapat 0,1 = 10 = 1/10 -2
2
0,001 = 10 =1/10 c) Bilangan pangkat pecahan 1/n
dengan nA dikalikan sebanyak n faktor , maka didapat :
Jika p 1/n
1/n
1/n
p x p
1/n
1/n+1/n +1/n+...+1/n
x p x ... x p
=p
n faktor
n.suku
=p
n.1/n
.1
=p =p 1/n
Jika p adalah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan itu sendiri sebanyak n faktor akan menghasilkan p. maka dapat diartikan 1/n
p = p
m/n
dengan n , pR
p
n
1/n
dengan m, n dan mengambil analog dari dari p maka p m/n
Jika dikalikan dengan p
m/n
sebanyak n faktor, maka didapat :
pm/nx pm/nx pm/nx...xpm/n = p
m/n+m/n+m/n+...+m/n n suku
= p
n x m/n
m
= p
Jadi p
m/n
dapat diartikan sama dengan
n
m/n
p m atau p
m
= ( n p )
dengan
m,nA. 1/2
=
2
4 = 2
2) 8 =
2
8=
Contoh: 1) 4
1/3
3
2 3 = 2
=2 ¾
3) 16 = ( 4 16 )
3
3
=2
=8
27
Rangkuman
1. Bilangan berpangkat adalah hasil perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri secara beruntun. n
P = pxpxpx...xp n.faktor
2. Sifat-sifat pangkat n
m
n+m
, untuk n, m A
2. P : P = P. P.
n-m
, untuk n, m A
n m
nxm
, untuk n, m A
n. n
, untuk n, m A
1. P x P = P n
m
3. (P ) = p n
4. (P.q) = P q
n
p n 5. ( q ) 1 n
3. p = 4.
p
m/ n
=
= ( n p )
m
n
, untuk n, m A
, untuk n, m A
1
n 5. p
q
, untuk n, m A
p
n
P
, untuk n A
p n
Latihan 1.6. 1. Nyatakan pangkat bilangan bulat, dan tentukan nilainya! 5
a. 2
6
2
5
2
2
2
f. 2 : 2
2
5
b. 3 x 3
g. x : x
3 2
c. (3 )
h. 6 : 6
3 2 d. ( 5 )
i. 2
6
e.
5 5
– 2 2
1
3
j. ( 5 )
2
2. Nyatakan dalam bentuk pangkat positif – 3 3
a. a
– 3 3
b. p.q 2
– 3 3
c. p .q x p
4
.q
28
– 3 3 – 2 2
d. 3a b
.c
– 3 3
e. (2pqr)
– 2 2
f.
a(2q
– 3 3
.b)
2
3 – 4 4
g. – 5(P 5(P .q.r )
3. Nyatakan dalam bentuk pangkat a.
3
p 2 1
b. 2
2 p 5 2
c. 4
4
3 x . y 3
6. Jika x = 81 tentukan harga
x
1
2
x
3
x
4
4 1
x
4
Tugas Bagi siswa dalam kelas menjadi beberapa masing beranggota + 5 orang. Masing-masing mengerjakan tugas di bawah ini: 1. Sederhanakan! −2
p q p – 2 2 3 0 a. ( q ) x ( p ) x ( q )
b.
2
−5
3
x . p . q . r −4
2 .p
−3
−6
.q
2. Tentukan nilai x, dari : – (2x – (2x – 1) 1)
a. 4 3.
=
1 16
3x
−1
b.
1 9 x
2
1 27
( 2 x 4 )
2/3
– 4/3 4/3
Jika x = 64 dan y = 125, tentukan harga 5 x .2.y.
29
BAB III OPERASI BILANGAN IRRASIONAL
A. Bilangan Irrasional 1. Pengertian p
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk q , dengan p, q B dan p 0 Juga disebut bilangan tak rasional atau bilangan maya atau bilangan khayal. Bilangan irrasional dibedakan menjadi 2 yaitu : a) Bilangan irrasional berbentuk pecahan desimal tak terbatas tak berulang. Contoh : e
= 2.718218 ... .
b) Bilangan irrasional berbentuk akar 2 = 1.414213562 ... .
3 = 1.732050808 ... .
2. Operasi Bilangan Irrasional a) Penjumlahan dan pengurangan
Bilangan irrasional tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan kecuali bilangan itu sejenis, karena besarnya tidak terukur. Contoh : 1) e + e 2) e e 3)
5 +
2 =
4) 2 3 – 3 3
2 +
5
3 + 4 3 = (2 – (2 – 3 3 + 4)
3 = 3
3
b) Perkalian bentuk akar
30
a x
a = a
p x
q =
m
p . q
p x n q = m.n
p . q
Contoh 1)
5 x
5 = 5
2)
5 x
2 =
10
8 = 2 3.8 = 2 3. 2. 4 = 2 4 . 6 = 2 . 2 6 = 4 6
3) 2 3 x
4) 5 2 x 3 7 = 5.3 2. 7 = 15 14
c) Menyederhanakan bentuk akar
Menyederhanakan bentuk akar dengan cara menggunakan sifat
p x
q =
p . q
Contoh : 1)
8 =
2)
125 125 =
4 .2 =
4 .
25.5 =
2 = 2 2
5 = 5 5
25 .
d) Merasionalkan Penyebut Pecahan
1)
2)
3)
4)
1
1
=
p k
p k
=
p k p q
p
=
k p q
p
x
p p
x
p
k p q
=
p
=
=
x
k p q
p
=
k p p
p _ q p _ q x
1
=
=
p p
p
p k p
p
k ( p
q)
p q 2
q q
=
=
k p 2
k ( p p q
q)
=
q
( p
k p q
q)
( p
q)
31
5)
k p
q
k
6)
k
=
p
k
=
p q
q
p
x
p
q
k ( p
=
p
x
p q
q
p q 2
q
p
q)
q
=
k
=
k ( p
( p
p 2
q
q)
k
p q
=
p q
q)
( p
q)
Contoh : 1
1)
5 3
2)
3)
1
=
5 3
=
7 3
2 11
7
5
x
5
7
x
7
x
2 11
=
5
=
3
=
5
=
3 7 7
1
5
5
=
2
11
2
11
3
7
7
3 (2
=
11)
2 11
=
3 9
(2
11)
1 = (2 11) 3
5
4)
7 7
= 5)
2
4 3
5
3
7
2
x
7
2
7
2
=
7
5
2
72
= 5
7
2
5
2
=
4
6)
5
=
5
4 3
5
3
x
3 5
4
=
3
5
5
x
=
43
5
95
3
5
3
5
=
4
= 3 3
35
5
5
= 2
3
5
Latihan 1.7 1. Sederhanakan. 1)
32
2)
1000
3) 2 12 +
75 5 – 45
4)
20 +
5)
125 125 – 12 +
27
32
2. Rasionalkan penyebutnya. a.
b.
c.
d.
1
e.
7
2
f.
8
2 7 3 5 6 11
g.
h.
3 7 2
2 3 5 2
5
5 2 5
3
7 3
3. Sederhanakan! a.
b.
c.
2
7
4 7
1 3 2
2 5 2
Tugas Kerjakan secara berkelompok! 1.
2.
3.
4.
5.
2 5 2 3 7 7 5 2 5
3
11 7
3 3 2 3 5 2 52 3
33
BAB IV LOGARITMA
A.
Pengertian
Coba ingat kembali bilangan berpangkat n
p = q
dengan : p = bilangan pokok n = bilangan pangkat q = hasil pangkat ...
Sekarang kita kita balik : p = q Dibaca p pangkat berapa hasilnya q ? atau q adalah p dipangkatkan berapa ? Jawaban dari pertanyaan di atas adalah n dan dalam matematika dinyatakan p
log q = n
Jadi logaritma logaritma adalah invers dari perpangkatan. n
Jika q = p (P > 0 dan p 1) adalah bilangn berpangkat dengan pokok p dan pangkat n maka inversnya adalah: p
n = log q
disebut logaritma dengan bilangan pokok p.
dari keterangan tersebut dapat disimpulkan : p
log q = n
q=p
n
Dengan p > 0, p 1 p : bilangan pokok logaritma q : radikal n : hasil penarikan logaritma
Untuk logaritma dengan bilangan pokok 10, biasanya bilangan pokok logaritma tidak ditulis. Contoh 10
1) log 100 = log 100 = 2 10
10
4
2) log 10.000 = log 10.000 = log 10 =4 3
3
3
3) log 27 = log 3 = 3 1 5 – 2 2 4) log 25 = log 5 = – 2 2 5
34
B.
Sifat- sifat logaritma
1. Sifat (1) Setiap bilangan tidak sama dengan 0, apabila dipangkatkan nol hasilnya ada;lah 1. 0
Jadi p = 1 , p 0 p
log 1 = 0
Contoh : 5
0
log 1
= 0 , sebab 5 = 1
1 2
1 0 sebab = 1 2
log 1 0 ,
2. Sifat (2) Setiap bilangan dipangkatkan 1 hasilya bilagan itu sendiri. 1
Jadi p = p.
p
log p = 1
Contoh : 5
log 5 = 1 1 2
log
1 2
1
3. Sifat (3) n
n
n
log (p . q) = log p + log q
Contoh : 2
2
2
a. log (4 . 8) = log 4 + log 8 = 2 + 3 = 5 3
3
3
b. log 81 = log 9 + log 9 = 2 + 2 = 4
4. Sifat (4)
p a = log p – p – log q q
log
a
a
Contoh : 2
16 2 2 16 – log 2 = 4 – 4 – 1 1 = 3 = log 16 – 4
a. log
b.
5
625
5
5
log 25 = log 625 – 625 – log 25 = 4 – 4 – 2 2 = 2
35
5. Sifat (5) n
a
a
log p = n . log p
Contoh : 2
3
2
a. log 8 = 3 . log 8 = 3 . 3 = 9 5
4
5
b. log (125) = 4 . log 125 = 4 . 3 = 12
6. Sifat (6) p
log
1
n
p
q = n . log q
Contoh : a.
2
b.
3
log
3
log
4
1 1 4 16 = 3 . 2 log 16 = 3 . 4 = 3 1 3 = 4 . log 81
81
1
3
= 4 . log 3
4
1
= 4 .4 = 1
7. Sifat (7) p
1 – p p log q = log q
Contoh : a.
2
1 – 2 2 log 16 = log 16
= – 4 4 b.
3
1 – 3 3 log 9 = log 9
= – 2 2 8. Sifat (8) p
q
p
log q . log r = log r
36
Contoh : 5
log 125 .
125
log 25 = = 5
= log 25 =2 9. Sifat (9) p
log q =
x
log q
x
log p
Contoh : 2
5 = 3 2 log 8
log 32
8
log 32 =
10. Sifat (10) p m
n
n log q
p
m
log q
6 3 6 2 log 8 = 3 .
Contoh :
2
log 8
= 2.3 = 6
Rangkuman
p
n
log q = n p = q , p > 0, p
2. Sifat Logaritma : a)
p
log 1 = 0
b)
p
log p = 1
c)
p
log q . r = log q + log r
d)
p
log r = log q + log r
p
q
p
p
n
p
p
e) p log q = n . log q f)
p
log
n
q =
1 p n . log q
37
g)
p
h)
p
p
i)
log
p
= – = – log q
q
q
p
log q. log r = log r log q log p
log q =
p m
j)
1
log q n
n
p
m
log q
Latihan : 1.8 1. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi logaritma! 3
a. 5 = 125 b. 54 = 81 c. 26 = 64 d. 54 = 625 2. Tentukan nilai x, dari : a.
2
b.
5
log 32 = x 2
log 25 = x – 2 2 2
c. 4. log 25 = 3 x + 1 4
d. 2 – log x = 0 5
2
e. 0. log 0.25 = x – 3x 3x + 4 3. Sederhanakan! a.
2
b.
7
c.
2
log 48 – 48 – 2 2 log 6 = ... . 3
7
log 4 + 2. log3 – log3 – 2 2 . log 6 = ... . 2
2
log 2 + log 3 – 3 – log 8 = ... .
d. log 3 + log 4 – 4 – log log 6 + log 8 = ... . 4. Jika log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771 dan log 7 = 0.8451 0.8 451 Tentukan Tentukan : a. log 42 b. log 84 c. log 10.5 d. log 14 4 e. log 28
38
Tugas Kerjakan secara berkelompok! 1. Tentukan x, jika x R 3
a.
3
log (x+2) + log x = 1
b. log (x+1) – (x+1) – log log (x – (x – 1) 1) = log 3 3
c.
3
log (x+1) + 2 = log 2.25
d. log (5 + x) – x) – log log (2x – (2x – 1) 1) = 1 5
e.
C.
5
log (5x+20) – (5x+20) – log(2x – log(2x – 1) 1) = 2
Menggunakan Daftar Logaritma
Daftar logaritma yang biasa kita gunakan menggunakan bilangan pokok-pokok kita lihat : No.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5
6090 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709
. . . 65
8129 8136 8145 8149 8156 8162 8169 8176 8188 8189
. . .
1. Cara mencari nilai logaritma a) Kolom pertama (n) dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan secara berurutan dari 0 sampai 1.000.
39
b) Kolom ke-2 sampai 11, dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan bilangan 0, 1, 2, 3, ..., 9 (0 sampai dengan sembilan) c) Cara menggunakan daftar logaritma dangan bilangan pokok 10. Contoh : 1) Dengan menggunakan daftar logaritma tentukan nilai logaritma dan : a. log 15 b. log 54 c. log 500 2) Tentukan nilai logaritma dari : a. log 6,5 b. log 652 c. log 659 Jawab : 1) a) log 5 = ... . Terletak antara log 1 = 0 dan log 10 = 1 Sehingga Log 5 = 0, ... Angka dibelakang koma dicari pada kolom 1 s/d 11, menunjukkan angka dibelakang koma (sering disebut mantis), sehingga didapat. log 5 = 0,6090 b) log 54 = ... . Terletak antara log10 = 1 dan log100 = 2 Sehingga log 54 = 1, ... Angka dibelakang koma dicari pada kolom 1 s/d 11, pada kolom 6, sehingga didapat bilangan 8156. Jadi log54 = 1,8156 c) log 500 = ... . Terletak antara log 100 = 2 dan log 1.000 = 3 Sehingga log 500 = 2, ... Angka dibelakang koma dicari pada kolom 2 (lajur 0) ketemu angka 6090. Sehingga log 500 = 2,6090
40
d) log 6,5 = ... . Terletak antara Log 1 = 0 dan Log10 = 1 Jadi, Log 6,5 = 0, ... Angka dibelakang komanya pada kolom 2 (n = 65) ketemu 8129 Jadi, Log 6,5 = 0,8129 e) log 652 = ... . Terletak antara Log 100 = 2 dan log 1.000 = 3 Jadi, log 652 = 2, ... Angka dibelakang koma dilihat pada komom 4 (n = 65) ketemu 8145 Jadi, Log 652 = 2,8145 f) log 659 = ... . Terletak antara Log 100 = 2 dan Log 1.000 1.00 0 = 3 Jadi, Log 659 = 2, ... Angka dibelakang koma dicari pada n = 65 kolom 9. didapat 8189. Jadi, Log 659 = 2,8189
Soal : Tentukan nilai dari : 1.
10
2.
10
3.
10
4.
10
5.
10
6.
10
7.
10
8.
10
9.
10
log 2 log3,2 log 51
log 108 1 log 100
log 6,64
log 6,6421 log 2.405
log 7.210,45
41
10
10. log 0,0252
2) Cara Mencari Anti Logaritma Jika nilai logaritma suatu bilangan sudah diketahui, maka bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan daftar logaritma. Jadi daftar logaritma juga merupakan merupak an daftar Anti logaritma. Contoh : 1) Tentukan x dari soal di bawah ini! a. log x = 0.750 b. log x = 0.7958 c. log x = 1.6628 d. log x = 3.6628 Jawab : 1. a.
log x = 0.750 (antara 0 dan 1), maka x terletak terletak antara 1 dan 10. Sehingga : 0 < log x < 1, maka 1 < x < 10.
b. log x = 0.7958 (sama cara mencari) 0 < log x < 1, sehingga 1 < x < 10 Setelah dicari pad a daftar logaritma didapat angka 615 jadi x = 6.15 c. log x = 1.6628 Sehingga 1 < log x < 2 sehingga 10 < x < 100 Angka 6628 dilihat pada daftar logaritma didapat angka 460 jadi x = 46.0 d. log x = 3.6628 Sehingga 3 < log x < 4 sehingga 1000 < x < 10.000 Angka x = 4600
42
EVALUASI 2
1. Pak Amir memiliki tanah seluas 8.000 m . Karena sudah tua akan dibagikan kepda ke-empat anaknya. Anak I mendapat
3 8
bagian, 30% untuk anak II dan
0.2 bagian untuk anak III. Anak Anak ke IV mendapatkan sisanya. Tentukan : a. Bagian masing-masing anak! b. Bagian anak IV seperberapa bagian anak I? 2. Tentukan nilai dari : a. – 7 7 + ( – – 2) 2) = ... . b. 10 + ( – – 3) 3) = ... . 2 1 + 1 3 2 = ... .
c.
2 1 d. – 5 7 + 1 5 = ... .
1 2 e. – 8 5 – 3 3 3 = ... .
3. Rasionalkan penyebutnya! 1
a.
f.
5 7 3 b. 7 5 2
5
13 4
e.
3 5
= ... .
1 3 1 1 h. (3 4 x 7 4 )-(3 2 x 2 4 )=... .
7 13
d.
7
x
1 1 1 g. (3 2 x ( 7 2 + 2 2 ) = ... .
2
c.
2
2 5 i. 4 3 : 1 3 = ... .
7
2 1 j. – j. – 9 9 3 : 1 3 = ... .
2
2 4
4. Sederhanakan! a.
2
log 48 – 48 – log6 = ... .
2
b.
6
log 4 – 4 – log20 = ... .
c.
5
5
2
5
log 4 +3. log 25 – 25 – 2. 2. log 4 = ... . 2
2
6
d. Jika log 3 = a dan log 5, nyatakan log 50 dalam a dan b
43
