1 Definición de fuerzas cortantes Las vigas son miembros estructurales diseñados para soportar cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes. En general las vigas son barras largas rectas que tienen un área de sección transversal constante. Generalmente se clasifican con respecto a cómo están soportadas:
Viga simplemente soportada: es aquella que está articulada en un extremo y soportada mediante un rodillo en el otro extremo.
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Viga en voladizo: está fija o empotrada en un extremo y libre en el otro.
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Vigas con voladizo: uno o ambos extremos de la viga sobresalen de los apoyos.
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Vigas continuas: una viga estáticamente indeterminada que se extiende sobre tres o más apoyos.
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Sin carga: la misma viga se considera sin peso (o al menos muy pequeño con las demás fuerzas que se apliquen).
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Carga concentrada: una carga aplicada sobre un área relativamente pequeña (considerada como concentrada en un punto).
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Carga uniformemente distribuida: sobre una porción de la longitud de la viga.
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El diseño real de una viga requiere un conocimiento detallado de la variación de la fuerza cortante interna V y del momento flexionante M que actúan en cada punto a lo largo del eje de la viga. Las variaciones de V y M como funciones de la posición x a lo largo del eje de la viga pueden obtenerse usando el método de secciones estudiado en el tema anterior. Sin embargo es necesario seccionar la viga a una distancia arbitraria x de un extremo, en lugar de hacerlo en un punto específico. Si los resultados se grafican, las representaciones graficas de V y M como funciones de x se les llama diagrama de fuerza cortante y diagrama de momento flexionante. Definición de esfuerzos cortantes Son fuerzas internas en el plano de la sección y su resultante debe ser igual a la carga soportada. Esta magnitud es el cortante en la sección. Dividiendo la fuerza cortante por el área A de la sección obtienes en el esfuerzo cortante promedio en la sección. Los esfuerzos cortantes se presentan normalmente en pernos, pasadores y remaches utilizados para conectar varios miembros estructurales y componentes de máquinas. La fuerza cortante en cualquier sección de una viga tiene igual magnitud, pero dirección opuesta a la resultante de las componentes en la dirección perpendicular al eje de la propia viga de las cargas externas, y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de la sección que se está considerando. 7.2 Definición de momentos flectores Definición de momento flexionante Un diagrama de fuerzas cortantes o un diagrama de momentos flexionantes es una gráfica que muestra la magnitud de la fuerza cortante o momento flexionante a lo largo de la viga. Se denomina momento flector al momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. Es un requisito típico en vigas y pilares, también en losas ya que todos estos elementos suelen deformarse predominantemente por flexión. El momento flector puede aparecer cuando se someten estos elementos a la acción un momento (torque) o también de fuerzas puntuales o distribuidas. El momento flexionante en cualquier sección de la viga tiene igual magnitud, pero dirección opuesta a la suma algebraica de los momentos respecto a la sección que se esté considerando de todas las cargas externas, y reacciones en los apoyos que actúan sobre cualquiera de los dos lados de esta sección.
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Para elementos lineales el momento flector Mf (x) se define como una función a lo largo del eje transversal del mismo, donde "x" representa la longitud a lo largo del eje. El momento flector, dadas las condiciones de equilibrio, coincide con la resultante de fuerzas de todas las fuerzas situadas a uno de los dos lados de la sección en equilibrio en la que se pretende calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de momento flector varía a lo largo del mismo. Así mismo las cargas estarán completadas en secciones y divididas por tramos de secciones.
Para fines educativos. Hibbeler (2004).
Donde el esfuerzo de corte cambia de signo, el momento flector es máximo. Carga uniformemente distribuida.
DEFINICION :
La línea de influencia representa la variación de las reacciones de momento o cortante en un punto específico de un miembro a medida que una fuerza concentrada se desplaza a lo largo del miembro. Una vez que esta línea es construida se puede determinar fácilmente cuál es la posición de la carga en la estructura que provocaría la mayor influencia en un punto especificado. Además a partir de los datos del diagrama de influencia podemos calcular la magnitud de los esfuerzos de momento y cortante, e incluso el valor de la deformación en ese punto.
Líneas de influencia Considerando la forma en que actúan las cargas en una estructura vemos que se pueden clasificar en cargas permanentes (muertas), cargas no permanentes o vivas y/o cargas de construcción. La carga permanente, como su nombre lo dice, siempre estará presente en la vida útil de la estructura y producirá sobre esta efectos constantes; la carga viva o no permanente fluctúa tanto en posición sobre la estructura como en su duración produciendo efectos variables en ella. Podríamos concluir, de una manera apresurada, que colocando la carga viva sobre toda la estructura produciríamos los efectos máximos en ella, esta afirmación no es cierta y requiere de un estudio mas complejo. Un ejemplo simple de este efecto es el de una viga simplemente apoyada con voladizo a un lado. Si la carga viva actúa sobre toda la viga, producirá un momento positivo en la luz menor que si actúa solo en el tramo apoyado; en este ejemplo sencillo nos percatamos de la importancia de saber colocar la carga para que produzca los efectos máximos y así cuando diseñemos no corramos el peligro de que nuestra estructura falle.
En este capítulo estudiaremos el método de las líneas de influencia para colocar la carga viva o variable de tal manera que produzca efectos máximos de corte,
flexión, reacciones y deflexiones tanto para cargas puntuales como para cargas distribuidas. La línea de influencia es un grafico que define la variación de un esfuerzo (corte, momento flector o torsor), reacción o deflexión en un punto fijo de la estructura a medida que se mueve una carga unitaria sobre ella. La línea de influencia es diferente al diagrama de momento o cortante o a la elástica de la viga, estos representan la variación de la función a lo largo de la viga para una serie de cargas definidas y el otro define como varía V, M o δ en un punto específico cuando se mueve una carga unitaria sobre la viga no dando el valor de la función en toda posición. La línea de influencia utiliza una carga unitaria ya que por los conceptos de linealidad, proporcionalidad y superposición se puede determinar la función especifica simplemente multiplicando el valor de la línea de influencia por el valor de la carga real. Este método se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes grúas, bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas móviles. Determinación de la línea de influencia: La línea de influencia es una gráfica en la cual las ordenadas representan una fuerza interna o deflexión y la abscisa representa la posición de una carga unitaria. Para su construcción se define el punto de estudio sobre la estructura, se comienza a variar la posición de la carga puntual y se encuentra el valor del esfuerzo interno a medida que se mueve la carga, se puede construir una tabla del valor de la función vs la posición de la carga y después se grafica. Otro método es encontrando la ecuación de la línea de influencia y graficando. Construyamos la línea de influencia para la reacción en A de la siguiente viga: Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se calcula RA. Otro método es encontrando la ecuación de la variación de la reacción en A a medida que se mueve una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reacción en función de la posición x de la carga P=1,0. Aplicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reacción por proporciones tenemos:
Notemos que la ecuación tiene pendiente negativa y con una variación lineal para RA.
Para obtener el valor de la reacción en A para cualquier carga P, se multiplica la ordenada de la línea de influencia por el valor de la carga. Si L=8m, P=5 ton localizada a 3m del punto A el valor de la reacción sería:
Línea de influencia para el cortante en A: Se determina la variación del cortante en A por el método de las secciones: En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las reacciones en función de la posición x y después se aplica el método de las secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la línea de influencia:
Haciendo equilibrio en la sección y localizando la carga en x>0 tenemos:
En este caso concluimos que la línea de influencia del cortante en A es igual a la de la reacción en A Note que la línea de influencia se hacer para la convención positiva de los esfuerzos internos. Línea de influencia para la reacción en B:
Línea de influencia para el momento en A: Para cualquier posición de la carga unitaria el momento en A será cero.
Línea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2 Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos:
Para x
, de donde
Para x>L/2 se toma la sección A-C para equilibrio:
Línea de influencia para el cortante en C:
Momento en C:
USO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA: 1. Caso de cargas puntuales: Para cualquier carga puntual P se multiplica el valor de la ordenada en el punto x y ese es el valor del corte o del momento o la función graficada. Para encontrar los valores máximos de V o M se debe colocar la carga puntual P en el punto de máxima ordenada.
Ejemplo Construya la línea de influencia para el cortante y momento en el punto B y diga en que puntos debe colocar una carga puntual para producir los máximos efectos de cortante y momento en B.
Encontremos las reacciones en función de x:
Líneas de influencia para corte y momento en B: 0 < x < 4m
Para 4
Líneas de influencia: VB
MB
Se producen dos puntos donde puede actuar P y obtener el máximo momento en B, estos dos puntos son: x=0 y x=4m. Para el cortante se debe colocar la carga en x=4m para obtener el mayor cortante en B. 2. Caso de cargas distribuidas: En realidad una línea de influencia para una carga distribuida no se podría encontrar como tal, pero la línea de influencia de la carga puntual se puede usar para determinar en que tramos colocar la carga distribuida para que produzca los valores máximos en un punto. Si sabemos que el valor de la reacción, cortante o momento en un punto esta dado por la por la ordenada “y” de la línea de influencia multiplicada por el valor de la carga actuante P; entonces para una serie de cargas P, o sea una carga distribuida, el valor del cortante, momento o reacción se podría determinar por la suma de todos los cortantes o momentos de cada una de las cargas:
Para cargas distribuidas podemos considerar que cada carga P corresponde al valor de la carga distribuida por una longitud pequeña de viga Δx, dándonos la sumatoria como:
Notemos que el valor de la función conserva el signo de la grafica de la línea de influencia, así, si queremos obtener valores máximos debemos colocar la carga distribuida sobre áreas que sumen, con el signo correspondiente, a un valor existente.
Ejemplo Determine donde debe colocar una carga distribuida para producir el mayor cortante negativo y momento en el punto ..C.
Para producir el máximo cortante negativo debemos cargar la viga en la zona de la línea de influencia con área negativa y para el momento máximo cargamos toda la viga ya que toda el área es positiva.
Ejercicio Encontrar el máximo momento y el cortante máximo que se puede desarrollar en el punto C de la viga mostrada cuando está sometida a una carga permanente de 5000N/m. una carga viva distribuida de 1800 N/m y una carga puntual de 5000N.
Momento mínimo
Como hacer las líneas de influencia de una forma rápida? Principio de Muller-Breslau La de la línea de influencia en un punto dado para la cortante o momento esta dada por la deformada de la viga al aplicar ese momento o cortante en el punto determinado, retirando la capacidad de la viga para aguantar esa función. Línea de influencia para reacción en A
