CALCULO INTEGRAL
PARTICIPANTES DANIEL RICARDO MERCHAN NORIEGA C.C. 1.052.411.765 CLAUDIA CAROLINA DIAZ C.C. 52.475.115 ELIANA TALERO BARRERO C.C. 21.178.693
TUTOR NATILIA XIMENA CORTES CRISTIHAN CAMILO CASTELBLANCO
GRUPO 100411_26
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA TAREA 1 – EL CONCEPTO DE INTEGRAL OCTUBRE 30 DE 2018
INTRODUCCION
En el presente documento se presenta el desarrollo del trabajo colaborativo 1 del curso de cálculo integral. Mediante el desarrollo de varios ejercicios nos proponemos dar cumplimiento a lo solicitado en la guía de actividades y, de esta forma, adquirir destreza en el manejo de las técnicas de integración y en la resolución de problemas relacionados con el cálculo integral. Es de resaltar que la cálculo integral, siendo una de las ramas más potentes y fructíferas de las matemáticas, reviste una importancia tremenda, toda vez que con el manejo y manipulación
de
sus
métodos,
podemos
afrontar
y
solucionar
numerosos problemas que se presentan tanto en el ámbito científico y tecnológico, así como en el ámbito comercial y empresarial. Las técnicas y métodos utilizados por el cálculo integral, son sin duda alguna y desde todo punto de vista, una poderosa herramienta de la cual podemos sacar provecho y aplicarlos en muchas de las actividades que realizamos a diario y como futuros profesionales.
Universidad Nacional Abierta y a Distancia Vicerrectoría Académica y de Investigación Guía de actividades y rúbrica de evaluación Tarea 1 - El concepto de integral Actividades a desarrollar
A continuación, se definen los 4 Tipos de ejercicios a desarrollar según las temáticas de la unidad. Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23). Desarrollar los ejercicios seleccionados utilizando el álgebra y la trigonometría para reducir las funciones a integrar a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado. Ejercicio a.
3 √ 3 √ 3 √ 3 1 3 1 3 1
32 32 3 2 √ 3
Ejercicio b.
5 1 4 La integral de una suma es la suma de las integrales
5 1 4 5 1 4
Solucionamos la primera integral
5 1 5 .√1 1 Hacemos sustitucion trigonométrica
Derivando:
1 : . √ 1 1 1
Reemplazando en la integral, simplificando e integrando:
5 . . 5 → − 5 1 5−
Sustituimos el valor del ángulo:
Por lo tanto la primera integral queda:
Solucionamos la segunda integral: La segunda integral es inmediata
4 4 4
Luego entonces la solucion general de la integral queda:
− Comprobamos mediante deribada
4 − 5 4
La derivada de una suma es la suma de sus derivadas
4 5− [4] 5.√1 1 4.l4n4 0 .√5 1 4
Ejercicio c.
11 −− luego procedemos a factorizar el termino del numerador ya que tenemos una diferencia de cubos perfectos, nos quedaría de la siguiente manera: 1 1 1 Se saca aparte el termino
1
Luego eliminamos términos semejantes ( en este caso el termino semejante es quedaría de la siguiente manera:
1
nos
1 1 1 Resolvemos el termino
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
y obtenemos el siguiente resultado:
−− encontramos la solución 2 1 luego procedemos a realizar la integral al termino encontrado el cual es: 2 1 Después de haber simplificado y factorizado el termino
∫ 2 1 2 1 2 1 + 2 1 3 2 1 32
Desarrollamos la integral la cual es:
Lo que hacemos es separar cada termino para integrarlo y poder obtener la solución
La solución es:
Ejercicio d.
Ejercicio e.
2
Tipo de ejercicios 2 – Sumas de Riemann
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 2 – 13). Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann Ejercicio a.
i.
ii.
iii.
1
Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [0, 4], en donde use una partición de n=8, Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y analizar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
ó ∞<∞,∞< ∞ 1 : ó ∞ < < ∞ ó 1,∞≥ 1 1 : ó 1 ∶ 1 − 1,0 0 2∗ 1 0 0 0 1 1 1 1 1 ∶ 0,1 1 Dominio de
Esta función no tiene puntos no definidos ni limitaciones de dominios. Por lo tanto el dominio es Rango de Vértice de
mínimo (0,1)
Escribir a la forma estándar: Para una parábola
las vértices del intervalo equivalen a
Simplificar
Sustituir
para encontrar el valor de y
Simplificar Lo que indica que el vértice de la parábola es (0,1) Puntos de intersección del eje Y intersecta: (0,1) Puntos de intersección con el eje de las abscisas (x) de Puntos de intersección con el eje de ordenadas (y) de Y intersecta: (0,1) Vértice de : Mínimo (0,1) Escribimos a la forma estándar
: ninguno
1 1, 0
Para una parábola
Simplificando
las x del vértice equivalen a
0
20∗1
−
0 0 1 Sustituir
para encontrar el valor de “y”
+1
Simplificar
Por lo tanto el vértice de la parábola es: (0,1) i.
Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann.
ii.
Calcular la integral definida utilizando Geogebra y analizar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
Como resultado: Si a<0, el vértice es un valor máximo Si a>0, el vértice es un valor mínimo De lo anterior se concluye que el vértice de la función es Mínimo (0,1)
Ejercicio b.
2 1
i.
Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [0, 1], en donde use una partición de n=8,
ii.
Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann.
iii.
Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
2 1 ∆ 108 81 ∆ 018 8
Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [0, 1], en donde use una partición de n=8, Primero calculamos la longitud de los subintervalos:
Ubicación vertical de la imagen de la función en cada intervalo:
Nos vamos a la definición de una suma de Riemann
1 1 ∑ ∆ ∑ 2 1 ∆ ∑[2 1] ∑[ 1] 8 8 4 8 = = = = Desarrollamos la sumatoria
[14 1]18 [7 24 1]1 18 [8 34 1]1 18 [44 1]18[54 1]18 [64 1]18 [4 1]8[4 1]8 , iv.
Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represéntelos rectángulos definidos por la suma de Riemann.
Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
Al comparar ambos resultados, vemos que las sumas de Riemann para 8 particiones, nos da un resultado aproximado (1,875u 2 frente a 2u 2), cuyo resultado se va aproximando en la medida que aumenta el número de particiones, ya con 10 particiones, llega a 1,92u 2, con 12 llega a 1,94u 2 y así sucesivamente; ya generalizando, la sumas de Riemann se pueden expresar como:
.∆ →lim ∑ = Ejercicio c. i.
1,1 ∆ 1 81 82
Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [-1, 1], en donde use una partición de n=8
∆ 82 ∆ 1 . 28 1 28 ∑ .∆ = ∑ 1 2 2 =
2 2 ∑1 . 8 8 = 2 2 4 1 8 8 64 644 48 1 4 4 2 ∑= 64 8 1 8
8 8 2 ∑= 512 64 8 8512 ∑ 648 ∑ 82 ∑1 = = = ∑ .∆ =
8512 8126 8 1 648 8 81 2 2 8 8 1116 0.6875 ii.
Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann.
iii.
Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
Ejercicio d. i.
ii.
iii.
Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [0, ], en donde use una partición de n=8, Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
Ejercicio e. i.
ii.
iii.
Utilizar la definición de Suma de Riemann para hallar una aproximación del área bajo la curva de la función en el intervalo [1, ], en donde use una partición
de n=8, Graficar en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo de la gráfica y ayudándose de Paint represente los rectángulos definidos por la suma de Riemann. Calcular la integral definida utilizando Geogebra y comparar el resultado con respecto a la aproximación que obtuvo utilizando la suma de Riemann con n=8.
Tipo de ejercicios 3 – Teorema de integración.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 50 – 53).
′ 1
Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando Ejercicio a.
1 14 12 1 ∫ 1|| Calculamos la integral indefinida
12
Aplicando la regla de integración
∫ 1||
1||
=
de las siguientes funciones
Agregamos una contante a la solución
1|| ∫ 14 1 ∫ ∫ lim → lim → lim → 1|| 12 1 lim → 21|| 14 14 12 1 =
Calculamos los límites:
=
-
Ejercicio b.
√ . .′
Aplicamos el primer teorema del cálculo
√
Por lo tanto aplicandola a la función:
(3)3 3(√ 3 ).13 3−.3
Simplificando:
Ejercicio c.
(√ ) 1
Resolvemos primero la integral indefinida y tenemos que esta no se puede resolver fácilmente por lo tanto tenemos que hacer una sustitución trigonométrica para poder llevar acabo la solución de la integral
Utilizamos estas sustituciones en la integral t=sin(u) dt=cos(u)du aplicamos un teorema del
cos cos2 cos 12 cos2 12
Factorizamos y separamos las integrales que salen en forma de suma por lo tanto nos quedaría de la siguiente manera
∫ cos2 ∫ cos2 ∫ 1 Nuevamente sustituimos 2u utilizando una nueva variable Z=2u Dz=2du Nos quedaría de la siguiente manera
14 cos 211
Finalmente resolvemos las integrales y nos da como resultado
sin4 2
Nuevamente sustituimos z=2u y nos queda
sin2 4 2
Aplicamos la fórmula de doble ángulo y nos da lo siguiente
Sustituimos utilizando
2 12 sin cos cos 1sin 2 12 sin 1 sin sin− 12 1 12 sin−
Por ultimo sustituimos u por
y obtenemos
y nos da como resultado
Sustituimos los limites en el resultado obtenido y nos queda finalmente
12 1 12 sin− cos 12 1 cos cos 1 cos 1 1 − − si n 1 si n 2 2 2 x
Finalmente realizamos la derivada de F’(x) La cual nos da el siguiente resultado
(cos ) cos 1 cos sin cos si n cos (cos ) ´ 2 (cos) (cos) 2 1 2 1 (cos) 1 √1 1 si n 2 2√1 2 2√1 Ejercicio d.
Ejercicio e.
2
Tipo de ejercicios 4 – Integral definida.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso: Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 54 – 57). Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo. Ejercicio a. Calcular la siguiente integral definida,
125 5
Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral.
125 5 125 5 125 5 5 25 125 5 5 25 5 5 5 25 5 25 5 25 155 2525 1 5 25 1
Calcular la siguiente integral definida,
1 525 525 25 525 5 l→+im 5 25 52 212 l→+im 5 25 2155 5552 2
3125 21 32 23125 21 125 5 32 2
Ejercicio b. Calcular la siguiente integral definida,
| 3|
Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral. Desarrollar el ejercicio que ha elegido Utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo. Ejercicio b. Calcular la siguiente integral definida,
| 3|
Omitimos el valor absoluto, teniendo en cuenta sus propiedades y teniendo en cuenta que la integral de una suma es la suma de sus integrales:
| 3| 3 3 Integramos, las integrales son inmediatas: | 3| 3 2 2 3 Aplicamos el segundo teorema fundamental del calculo: 3 5 3 | 3| 33 2 0 2 353 33 | 3| 992 252 15 92 9 | | , Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral. Para comprobar calculamos el área usando geogebra
Ejercicio c. Calcular la siguiente integral definida,
1
Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral.
1
Lo primero que hacemos es separar la integral ya que tenemos una sumatoria de términos y nos queda de la siguiente manera:
1 Resolvemos la integral y nos da
cos 2 ln2
Reemplazamos los limites de la integral tanto el limite superior como el limite inferior y obtenemos los siguiente:
cos cos2 ln ln 2
Finalmente operamos y obtenemos como resultado
ln2 1
Se adjunta evidencia de la gráfica con el área de la función
Ejercicio d. Calcular la siguiente integral definida,
− 1 Y realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral. Ejercicio e. Calcular la siguiente integral definida,
Realizar la gráfica de la función en Geogebra y tomar un pantallazo en donde se vea el intervalo a integrar, con ayuda de Paint editar la imagen para colorear el área que representa la integral.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 15 – 23). Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia - J.C. Sáez Editor. (pp. 54 – 57). Cetremo. (2011). Cálculo Integral - Tutorial de Integración Básica (Versión electrónica). Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=H3G08Aj0sLE MateFacil. (2016). Formulario de Integrales (PDF, descarga gratis) (Versión electrónica). Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=msDiFIjvHks&list=PL9SnRnlzoyX39hvLuyYgFE IdCXFXI3x MateFacil. (2016). Formulario de Integrales (PDF, descarga gratis) (Versión electrónica). Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=Q9Qo9wNWYpI&index=2&list=PL9SnRnlzoyX3 9hvLuyYgFEIdCXFXI3xaU MateFacil. (2016). Formulario de Integrales (PDF, descarga gratis) (Versión electrónica). Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=UEo5GnLCdZw&index=3&list=PL9SnRnlzoyX3 9hvLuyYgFEIdCXFXI3xaU MateFacil. (2016). Formulario de Integrales (PDF, descarga gratis) (Versión electrónica). Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=34w3XsAonO8&index=4&list=PL9SnRnlzoyX3 9hvLuyYgFEIdCXFXI3xaU