TRABAJO COLABORATIVO N°2 ECUACIONES LINEALES E INTERPOLACIÓN
CLAUDIA INÉS TAMAYO BARRAGÁN BARRAGÁN CÓDIGO 49722131 MARYERI GUTIERREZ GUTIERREZ CLAVIJO CLAVIJO CÓDIGO 49698785 LICETH PAOLA LORA MEDINA CÓDIGO KELVIN DAVID DAVID ORCASITA ORCASITA CÓDGO 1065817694 ARMANDO VILLA MARENGO CÓDIGO
CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS
GRUPO: 100401_47
Presentado a: CARLOS ANDRÉS GÓMEZ VARGAS TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLÓGICAS E INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA DE SISTEMAS CEAD VALLEDUPAR OCTUBRE DE 2016 VALLEDUPAR
INTRODUCCIÓN
Existen muchas aplicaciones en el campo de la ingeniería en las cuales es necesario, no sólo encontrar el valor de una variable que cumpla una ecuación, sino hallar el valor de diferentes variables que satisfagan distintas ecuaciones simultáneamente, es decir un sistema de ecuaciones. En una de las secciones de esta unidad se tratan los diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas específicamente lineales. Mediante este trabajo colaborativo se analizarán las características de los métodos de Gauss simple, Gauss-Jordan, Gauss-Seidel y Jacobi, tales como la convergencia y sus criterios, las iteraciones, tiempos de ejecución, además de que se ahondará en el mundo de la notación matricial, tipos y operaciones entre matrices. Adicionalmente, Adicionalmente, por medio de ejercicios prácticos y aplicados, aplicados, se estudiarán los temas de optimización y ajuste de curvas con el objetivo de obtener valores intermedios de funciones expresadas de forma tabular, a través de la interpolación, que será de utilidad en diversas áreas de la ciencia, como el polinomio de interpolación de Newton por diferencias divididas, diferencias finitas y su variación; el polinomio de interpolación de Lagrange.
TRABAJO COLABORATIVO N°2 ECUACIONES LINEALES E INTERPOLACIÓN 1. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando los Método de eliminación de Gauss.
22315 3 4 4 6 23217 327
Ec.1 Ec. 2 Ec. 3 Ec. 4
En primer lugar, se han enumerado cada una de las ecuaciones del Sistema. Ahora, se procede a solucionarlo por medio de la Eliminación de Gauss, que consiste en dos procesos, la eliminación hacia adelante y la sustitución hacia atrás.
Eliminación hacia adelante Se eliminan cada una de las incógnitas de la siguiente manera,
Eliminar w -Se multiplica la ecuación 1 por 3
22315 22315 × 3 366945 - y luego se resta de la ecuación 2
3 4 4 6 3 6 6 9 45
-----------------------------------------
-Se multiplica la ecuación 1 por 2
107 1051
22315 22315 × 2 244630
Ec. 6
- y luego se resta de la ecuación 3
23217 244630
2 513
-----------------------------------------
Ec. 7
-Se resta la ecuación 1 de la ecuación 4
327 22315
35 22
-----------------------------------------
Ec. 8
Tenemos ahora un nuevo sistema de ecuaciones:
22315 107 1051 2 513 35 22
Ec.1 Ec. 6 Ec. 7 Ec. 8
(La ecuación 1 se mantiene igual, ya que contiene a w )
Eliminar x -Se multiplica la ecuación 6 por el término
107 1051× 0,7 5,1 -Y luego se resta de la ecuación 7
2 513 0,7 5,1
-----------------------------------------
1,3 47,9
Ec. 9
-Se multiplica la ecuación 6 por el término
107 1051× 103 3 2,13 15,3 -Y luego se resta de la ecuación 8
35 22 3 2,13 15,3
-----------------------------------------
2,926,7
Ec. 10
Tenemos ahora un nuevo sistema de ecuaciones:
22315 107 1051 1,3 47,9 2,926,7
Ec.1 Ec. 6 Ec. 9 Ec. 10
(La ecuación 6 se mantiene igual, ya que contiene a x )
Eliminar y -Se multiplica la ecuación 9 por el término
−,−, ,,
1,3 47,9 × ,, 2,98,923 17,623 -Y luego se resta de la ecuación 10
2,926,7 2,98,923 17,623 -----------------------------------------
10,92310,923
Ec. 11
Finalmente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones, que al representarlo en una matriz se tiene una matriz triangular superior.
22315 107 1051 1,3 47,9 10,92310,923
Ec.1 Ec. 6 Ec. 9 Ec. 11
Sustitución hacia atrás Ahora, en la ecuación 11 se despeja la variable z y se procede a solucionar el sistema por medio de sustituciones.
10,10,992323 1
Se despeja y de la ecuación 9, y se reemplaza z hallada anteriormente para obtener y
7,1,943 7,91,41 3 3 Se despeja x de la ecuación 6, y se reemplazan z y y halladas anteriormente para obtener x
5173101 517y10z 10 10 2
Se despeja w de la ecuación 1, y se reemplaza z, y y x halladas anteriormente para obtener w
15223 152223312 Entonces la solución del sistema es:
2. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Gauss-Jordán.
230 3268 330 2328
Primero, se expresa el sistema como una matriz aumentada (coeficientes más el lado derecho de las ecuaciones),
1 0 32 32 16 80 32 13 32 11 80
Con el fin de convertir la matriz, en una matriz identidad, y que en el vector de la derecha se muestren los valores de la solución, se realizan las sguientes operaciones:
-Eliminar el término que contiene a X de los renglones 3 y 4. Se multiplica por (-3) el renglón 1 y luego se resta del renglón 3
1 2 3 1 0 × 3 3 6 9 3 0
3 1 3 1 0 3 6 9 3 0 0 5 6 2 0 Se multiplica (2) por el renglón 1 y luego se resta del renglón 4
1 2 3 1 0 ×2 2 4 6 2 0 2 3 2 1 8 2 4 6 2 0 0 1 8 1 8 1 0 32 32 16 80 00 15 68 21 80 La matriz parcial queda:
Ahora se normaliza el segundo renglón, dividiendo entre (-3)
0 3 2 6 8 ÷3 0 1 2⁄3 2 8⁄3
-Eliminar el término que contiene a y de los renglones 1, 3 y 4. Se multiplica por (2) el renglón 2 y luego se resta del renglón 1
0 1 2⁄3 2 8⁄3 ×2 0 2 4⁄3 4 16⁄3 1 2 3 1 0 0 2 4⁄3 4 16⁄3 1 0 5⁄3 3 16⁄3 Se multiplica por (5) el renglón 2 y luego se resta del renglón 3
0 1 2⁄3 2 8⁄3 ×5 0 5 10⁄3 10 40⁄3 0 5 6 2 0 0 5 10⁄3 10 40⁄3 0 0 8⁄3 8 40⁄3 Se multiplica el renglón 2 por (-1) y luego se resta del renglón 4
0 1 2⁄3 2 8⁄3 ×1 0 1 2⁄3 2 8⁄3 0 1 8 1 8 0 1 2⁄3 2 8⁄3 0 0 22⁄3 1 16⁄3 La matriz parcial queda:
10 00
01 00
52⁄3 ⁄ 3 822⁄3 ⁄3
3 2 81
168 ⁄3 ⁄403⁄ 16⁄33
8⁄3 0 0 8⁄3 8 40⁄3 ÷(8⁄3) 0 0 1 3 5
Ahora se normaliza el tercer renglón, dividiendo entre ( R2=
)
-Eliminar el término que contiene a z de los renglones 1, 2 y 4.
5⁄3 0 0 1 3 5 ×5⁄ 3 0 0 5⁄3 5 25⁄3 1 0 5⁄3 3 16⁄3 0 0 5⁄3 5 25⁄3 1 0 0 2 3 Se multiplica por (
) el renglón 3 y luego se resta del renglón 1
2⁄3 0 0 1 3 5 ×(2⁄3) 0 0 2⁄3 2 10⁄3 0 1 2⁄3 2 8⁄3 0 0 2⁄3 2 10⁄3 0 1 0 4 6 22⁄3 0 0 1 3 5 ×(22⁄3) 0 0 22⁄3 22 110⁄3 0 0 22⁄3 1 16⁄3 0 0 22⁄3 22 110⁄3 0 0 0 21 42 Se multiplica por (
) el renglón 3 y luego se resta del renglón 2
Se multiplica por (
) el renglón 3 y luego se resta del renglón 4
La matriz parcial queda:
1 0 00
100 001 00
234 653 21 42
Ahora se normaliza el cuarto renglón, dividiendo entre (21)
0 0 0 21 42 ÷21 0 0 0 1 2
-Eliminar el término que contiene a t de los renglones 1, 2 y 3. Se multiplica por (-2) el renglón 4 y luego se resta del renglón 1
0 0 0 1 2 ×2 0 0 0 2 4 1 0 0 2 3 0 0 0 2 4 1 0 0 0 1
Se multiplica por (-4) el renglón 4 y luego se resta del renglón 2
0 0 0 1 2×4 0 0 0 4 8 0 1 0 4 6 0 0 0 4 8 0 1 0 0 2
Se multiplica por (-3) el renglón 4 y luego se resta del renglón 3
0 0 0 1 2 ×3 0 0 0 3 6 0 0 1 3 5 0 0 0 3 6 0 0 1 0 1
La matriz final queda:
1 0 00
100 001 00
000 121 1 2
Entonces la solución del sistema es: x = -1
y =-2
z = -1 t = -2
Se comprueba la solución, reemplazando los valores en las ecuaciones iniciales:
230 → 1(2×2)(3×1)2 0 3268 → (3× 2)(2× 1)(6× 2) 8 330 → (3× 1) 2 (3× 1) 2 0 2328 → (2× 1)(3× 2)(2× 1) 2 8 3. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Jacobi.
5312 956 2374 Utilizar un ξ < 1%
Para resolver por medio de este método iterativo, primero, se obtienen las ecuaciones necesarias, por medio de la ecuación de Jacobi:
+ − − Donde tenemos que:
− ó Se procede a obtener cada uno de los elementos de la ecuación de Jacobi:
Matriz diagonal:
5 0 0 00 09 07 Matriz superior:
Matriz diagonal inversa:
15 01 0 − 0 9 10 [0 0 7] 0 0 0 21 30 00
Matriz inferior:
0 3 1 00 00 50 − 15 0 0 12⁄5 12 1 − 0 9 10 64 42⁄⁄3 0[ 0 7 ] [ 7 ] →15120604 125 →01219604 23 →0120641 7 47 0 3 1 0 0 0 0 3 1 00 00 50 21 30 00 2 1 30 50 − 35 15 15 0 0 0 0 3 1 1 − 0 9 10 2 1 30 50 192 03 59 [0 0 7] [7 7 0 ] Término
Término
Término
− 01 35 − 92 03 7 7 Término
15 35 15 59 19 59 0 27 37
Ahora se reemplaza en la fórmula de Jacobi:
+ − −
++ 122⁄⁄35 + 4⁄7 Se obtienen las ecuaciones es de Jacobi:
Si reorganizamos, nos queda:
+ 123 5
35 15 219 359 7 7
+ 125 35 15 + 23 19 59 + 47 27 37 + 65 9
+ 423 7
Para realizar la primera iteración se suponen valores iniciales para x , y y z y se sustituyen en las ecuaciones anteriormente despejadas, y así se obtienen nuevos valores para las variables. (Chapra, 2007).
0
0
0
Iteración 1
Iteración 2
12 123 2,4 5 5 6 65 0,6667 9 9 4 423 7 7 0,5714 Para la iteración 2, se utilizan todos los valores obtenidos para las incógnitas en la iteración 1, para hallar nuevos valores de x, y y z. Asimismo, para cada una de las siguientes iteraciones, se utilizarán como base los valores encontrados en la iteración inmediatamente anterior.
2,4 0,6667 0,5714 123×0, 6 6670, 5 714 123 1,8857 5 5 5×0, 62, 4 5 714 65 1,250 9 9 3×0, 42×2, 4 6 667 423 0,4 7 7 Cálculo del error para cada una de las variables
| | | × 100 |1,8|18572, 4 || ,8857| ×100 27,27% | | × 100 |1,2500, 6 667| || |1,250| ×100 46,7% | | × 100 |0,40, 5 714| || |0,4 | ×100 242,85%
Iteración 3
1,8857 1,250 0,4 123×1, 2 500, 4 123 1,7295 5 5 61, 8 8575×0, 4 65 9 9 0,6539
42×1, 8 8573×1, 2 50 423 0,5034 7 7 Cálculo del error para cada una de las variables
| | × 100 |1,72951, 8 857| || |1,7295| ×100 9,03% | | × 100 |0,65391, 2 50| || |0,6539| ×100 91,26% | | | × 100 |0,|500340, 4 || ,5034| ×100 20,54% De esta misma manera se siguen realizando las iteraciones consecutivamente, hasta alcanzar el error de menos del 1%. A continuación se muestran las iteraciones en forma tabulada realizadas en Excel. (El archivo en Excel donde se realizaron los ejercicios se encuentra en el foro de trabajo colaborativo).
Iteración
X
Y
Z
Error X
Error Y
Error Z
Iniciales
0
0
0
1
2,4
0,66666667
-0,5714286
100
100
100
2
1,88571429
1,25079365
0,4
27,2727273
46,7005076
242,857143
3
1,72952381
0,65396825
0,50340136
9,030837
91,2621359
20,5405405
4
2,10829932
0,57916856
0,2029932
17,9659267
12,9150136
147,989276
5
2,09309751
0,78814815
0,27915776
0,72628313
26,5152678
27,2836985
6
1,98294266
0,74414541
0,36437707
5,55511992
5,91319045
23,3876703
7
2,02638817
0,68456193
0,31404594
2,14398719
8,70388551
16,0266768
8
2,05207203
0,71735094
0,30092316
1,25160647
4,57084722
4,36084054
9
2,02977407
0,72749514
0,32231384
1,09854419
1,39440049
6,63660073
10
2,02796569
0,71313387
0,32029051
0,08917216
2,01382445
0,63171861
11
2,03617778
0,71405702
0,313619
0,40330917
0,1292815
2,1272652
12
2,03428959
0,71867586
0,31636094
0,09281804
0,6426886
0,86671409
13
2,03206667
0,71694276
0,31780097
0,10939207
0,24173497
0,45312134
14
2,03339454
0,71589576
0,31642309
0,0653029
0,14625096
0,4354542
La solución del sistema se encuentra en la iteración N° 12, con los siguientes datos:
2,0 3 0,09%
0,7 1 0,64% 0,3 1 0,86% 4. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Gauss-Seidel.
4210 8 142 6 7 89, 5 9 2 3 56,5
Tenemos que, el criterio de convergencia para método de Gauss-Seidel es:
Donde, el elemento diagonal cada renglón de la matriz.
|| >
debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal
para
Al expresar el sistema de ecuaciones dado, como una matriz tenemos:
42 160 87 89,1425 9 2 3 56,5
Se observa que no cumple con el criterio de convergencia requerido, por lo que se procede a ordenar las ecuaciones, para que la matriz sea diagonalmente dominante, de la siguiente manera:
9 2 3 56,5 4 10 8 142 2 6 7 89,5
94 120 83 56,1425 2 6 7 89,5
En el primer paso del método, se despeja la incógnita sobre la diagonal para cada uno de los renglones:
56,529 3
142410 8
89,527 6
Con estas ecuaciones, se podrán calcular los valores para x 1, x2 y x3 de forma iterativa.
,
Se suponen valores iniciales para y conforme se encuentren nuevos valores de x, estos se usan inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar el valor siguiente, a diferencia del método de Jacobi que utiliza todos los valores de las iteraciones anteriores. Ahora se realizan las iteraciones correspondientes hasta encontrar un error de
Iteración 1: valores iniciales
Iteración 2
1%
0 0 0
56, 5 56,529 3 56,52030 9 9 6,2778 142410 8 14246,21077880 11,6889 6 889 89,527 6 89,526,2778611, 0,973 7 Se sustituyen los valores iniciales de ecuación despejada:
para encontrar
Luego para calcular X 2 se toma el valor calculado anteriormente para X 1
Para calcular X 3 se toma el valor calculado anteriormente para X 2 y X1
Iteración 2
11,6889 0,973 9 73 56,529 3 56,5211,688930, 3,3559 9 9 73 142410 8 14243,355980, 12,0792 10 0 792 89,527 6 89,523,3559612, 1,4732 7 Para calcular X 2 se toma el valor calculado anteriormente para X 1
Para calcular X 3 se toma el valor calculado anteriormente para X 2 y X1
en la primera
Cálculo de errores:
| | 3 , 3 5596, 2 778| |1|11 × 100 |3,3559| ×100 87,06% | | | 1 2, 0 79211, 6 889| |2|22 × 100 |12,0792| ×100 3,23% | | | 1 , 4 7320, 9 73| |3|33 × 100 |1,4732| ×100 33,95% |
Iteración 3
12,0792 1,4732 4 732 56,529 3 56,5212,079231, 3,1024 9 4 732 142410 8 14243,102481, 11,7804 10 7 804 89,527 6 89,523,1024611, 1,8018 7 Para calcular X 2 se toma el valor calculado anteriormente para X 1
Para calcular X 3 se toma el valor calculado anteriormente para X 2 y X1
Cálculo de errores:
| | | 3 , 1 0243, 3 559 |1|11 × 100 |3,1024| ×100 8,17% | | | | 1 1, 7 80412, 0 792 |2|22 × 100 |11,7804| ×100 2,53% | | | 1 , 8 0181, 4 732| |3|33 × 100 |1,8018| ×100 18,23% |
De esta manera continúan las iteraciones, hasta alcanzar un error porcentual menor al 1% para las tres incógnitas X 1, X2 y X3. A continuación se muestran las iteraciones realizadas en Excel:
Iteración
X1
X2
X3
Error x1
Error x2
Error x3
Iniciales
0
0
0
1
6,27777778
11,6888889
0,97301587
100
100
100
2
3,35590829
12,079224
1,47326279
87,0664284
3,23145839
33,9550363
3
3,10241819
11,7804225
1,80180409
8,17072647
2,53642422
18,2340193
4
3,05930475
11,5348348
2,02462593
1,40925607
2,12909568
11,0055807
5
3,03960584
11,3644569
2,1762924
0,64807448
1,49921735
6,9690299
6
3,02691211
11,2482012
2,27956691
0,41936241
1,03354909
4,53044424
7
3,01832187
11,1690177
2,34989285
0,28460318
0,7089568
2,99272942
8
3,01247622
11,1150952
2,39778231
0,19404776
0,48512846
1,99723975
9
3,00849585
11,0783758
2,43039334
0,13230459
0,33145127
1,34180081
10
3,00578537
11,0533712
2,45260031
0,09017528
0,22621732
0,90544594
11
3,00393963
11,0363439
2,46772248
0,06144387
0,15428371
0,61279848
La solución del sistema se encontró en la iteración N°10, donde se hallaron los siguientes valores para las incógnitas y sus respectivos errores porcentuales:
3,0057 0,09% 11,0533 0,22% 2,4526 0,9%
5. Determine el Polinomio de Interpolación de Lagrange para la siguiente tabla. X
1
3
5
7
Y
-2
1
2
-3
En primer lugar, se observa que hay cuatro puntos en la tabla por lo que polinomio de interpolación de Lagrange será de tercer grado. Ahora, se deben aplicar las fórmulas de Lagrange:
Donde
∑ =
corresponden en la tabla a los valores de
3
∏= ≠
y los valores de x son:
, es decir que el
X
− − 0 −− −− −− − − − − −−−− − − 1 −− −− −− − − − − −−− − − 2 −− −− −− − − − − −−−− − − 3 −− −− −− − − − − −−− ∑ = 1 2 3 −−− −−−− ×2 ×1 −−−− −−− ×2 ×3
Se calculan los Cuando
Cuando
Cuando
Cuando
Entonces se sustituyen los en la formula general, se multiplican por su respectivo como se dan en la tabla inicial:
−−− −−− −−− −−− ( − − +− − +− +−) − +− Si se resuelven los paréntesis se tiene,
Finalmente, se obtiene el polinomio de tercer grado que pasa por los puntos mencionados en la tabla:
− 3
Se verifica con la siguiente gráfica y su respectiva tabla, que al evaluar los puntos (x) en la función polinomial hallada, se encuentran unos puntos (y) que coinciden con los de la tabla.
X
-8
-7
-6
-5
Y 67 46 29,5 17
-4 -3 8
2
-2
-1
0
1
2
3 4 5
6
7
8
-1,5 -3 -3 -2 -0,5 1 2 2 0,5 -3 -9
70
50
30
10
-10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0 -10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-30
-50
X
-70
-90
Y
6. Determine el Polinomio de Interpolación usando la Interpolación de Diferencias Divididas de Newton, e interpole en el punto x = 4.
X
7
6
4
2
-4
Y 1430 908 278 40 -242
La fórmula general del polinomio de interpolación de Newton es:
…− °1 °5,
Como se tiene que el donde sería de grado 4.
, entonces el polinomio de grado n, para este caso
Inicialmente se deben calcular las diferencias divididas (se denotan como la evaluación de la función entre corchetes) que permiten hallar el valor de los coeficientes del polinomio.
, , , , −, …, Diferencias divididas X
F(x)
Xo X1 X2 X3 X4
7 1430 6 908 4 278 2 40 -4 -242
Primeras diferencias divididas
Segundas diferencias divididas
Terceras diferencias divididas
Cuartas diferencias divididas
,, , , ,, ,, ,, ,, ,, ,, , , , ,
A continuación se muestran los cálculos en detalle de las diferencias divididas:
Primeras diferencias divididas
− 278908 315 , − 9081430 522 , 67 46 − 24240 47 , − 40278 119 , 24 42 Segundas diferencias divididas
, , , , 315522 47 69
, 119315 , , , 26 49 , , , , 47119 44 9 Terceras diferencias divididas
, , 4969 , , , , , 27 4 949 4 , , , , , , , 46 Cuarta diferencia dividida
, , , 44 , , , , , , , 47 0 X
F(x)
Xo 7 1430 X1 6 908 X2 4 278 X3 2 40 X4 -4 -242
Primeras diferencias divididas
Segundas diferencias divididas
Terceras diferencias divididas
Cuartas diferencias divididas
522 315 119 47
69 49 9
4 4
0
Los resultados de las diferencias divididas que están en negrita en la tabla, representan los valores de los coeficientes del polinomio como se dijo anteriormente:
1430 , 522 , , 69 , , , 4 , , , , 0 Ahora se reemplazan los coeficientes en el polinomio:
4 1430522 69 0 Resultará un polinomio de tercer grado, ya que el coeficiente
Se sustituyen los valores de x:
14305227 69764764 Se realizan las operaciones para destruir los paréntesis:
14305223654 69 13424 17 94168 14305223654 69 89728984 68 376672 Se reducen términos semejantes:
4 2
POLINOMIO D E INTERPOLA CIÓN DE NEW TON
4 44 4 42278 Finalmente se interpola en el punto
Se demuestra que el polinomio cumple para los puntos dados inicialmente
7. Dados los puntos: (-4.5, 0.7), (-3.2, 2.3), (-1.4, 3.8), (0.8, 5.0), (2.5, 5.5), (4.1, 5.6) determine los polinomios de grado 4 y 5. Graficar para determinar la curva más aproximada. X
Xo=-4,5
X1=-3,2
X2=-1,4
X3=0,8
X4=2,5
X5=4,1
F(x)
0,7
2,3
3,8
5
5,5
5,6
Se utilizará la interpolación de Lagrange para hallar los polinomios de 4 y 5 grado.
∑ =
∏= ≠
Polinomio de grado 4 Se calculan los Cuando
0
+, +, −, −, −− −− −−− − −,+, −,+, −,−, −,−, +,−,−,+, −, +,+,,−, , 1 +, +, −, −, −− −− −−− − −,+, −,+, −,−, −,−, +, +, −, −, − +, −, −, +, −, , 2 +, +, −, −, −− −− −−− − −,+, −,+, −,−, −,−, +, +, −, −, +, −, −, +, , , 3 +, +, +, −, −− −− −−− − ,+, ,+, ,+, ,−, +, +, +, −, − +, +, −, −, −, , 4 +, +, +, −, −− −− −−− − ,+, ,+, ,+, ,−, +, +, +, −, +, +, +, −, , , Cuando
Cuando
Cuando
Cuando
Luego se sustituyen los se dan en la tabla inicial:
en la formula general, se multiplican por su respectivo
∑ =
como
1 2 3 4 4 341,3238,149,7255,13 5848,96×0,7442,3 6311,253,1375228,9912,6× 2,3 4,4 9,47,01876432, 1228,8 × 3,8 6,6 2,79,4328842,7950,4 × 5 +, +,, +,−, ×5,5 20,677 149,0,28,7591348 149,0,3,98154133 16,149,6,079251323 34,149,3,92088385132 149,122,6,257201356 53,2,109,33524 44 53,5,9385253 4 25,53,6333915232 +
53,12,135522 213,53,39525 47,2528764 47,5,587644 45,47,6857643 98,47,4587642 0,047,888764 88,79,704288 79,288 79,288 79,288 79,288 264,537 264,537 264,537 264,537 264,537
0,001327 0,0004 0,0554 0,510734,6276
Polinomio de interpolación de cuarto grado
A continuación, se muestra la gráfica: 6
5
4
3
2
1
X
0 -6
-4
-2
0 -1
F(x)
2
4
6
X
F(x)
X
F(x)
X
F(x)
-5
-0,190275
-1,6
3,658320973
1,8
5,355766485
-4,8
0,151160397
-1,4
3,797840597
2
5,409368
-4,6
0,473023189
-1,2
3,931541133
2,2
5,456177429
-4,4
0,776530061
-1
4,059773
2,4
5,495678925
-4,2
1,062846741
-0,8
4,182835661
2,6
5,527305685
-4
1,333088
-0,6
4,300977621
2,8
5,550439949
-3,8
1,588317653
-0,4
4,414396429
3
5,564413
-3,6
1,829548557
-0,2
4,523238677
3,2
5,568505165
-3,4
2,057742613
0
4,6276
3,4
5,561945813
-3,2
2,273810765
0,2
4,727525077
3,6
5,543913357
-3
2,478613
0,4
4,823007629
3,8
5,513535253
-2,8
2,672958349
0,6
4,913990421
4
5,469888
-2,6
2,857604885
0,8
5,000365261
4,2
5,411997141
-2,4
3,033259725
1
5,081973
4,4
5,338837261
-2,2
3,200579029
1,2
5,158603533
4,6
5,249331989
-2
3,360168
1,4
5,229995797
4,8
5,142353997
-1,8
3,512580885
1,6
5,295837773
5
5,016725
8. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación de diferencias finitas de Newton e Interpole en el punto x = -13/14
X 0 -1 -1/3 -2/3 Y -2 -4 -8/3 -32/9 Para aplicar el polinomio de interpolación de Newton de diferencias finitas, los datos correspondientes a los valores de X de la tabla deben cumplir con un espaciamiento constante:
101 1 31 23 2 313 13
−
El espaciamiento no es constante, entonces el método de Interpolación de diferencias finitas de Newton no puede aplicarse en este caso, así que se interpolará por medio del método de diferencias divididas. (como en el punto 6)
La fórmula general del polinomio de interpolación de Newton es:
…− °1 °4,
Como se tiene que el donde sería de grado 3.
, entonces el polinomio de grado n, para este caso
Inicialmente se deben calcular las diferencias divididas (se denotan como la evaluación de la función entre corchetes) que permiten hallar el valor de los coeficientes del polinomio.
, , , ,, , Diferencias divididas X Xo X1 X2 X3
0 -1 -1/3 -2/3
F(x)
Primeras diferencias divididas
-2 -4 -8/3 -32/9
,, ,
Segundas diferencias divididas
,, ,,
Terceras diferencias divididas
, , ,
A continuación se muestran los cálculos en detalle de las diferencias divididas:
Primeras diferencias divididas
8 42 − − , 10 2 , 1334 2 1 32 8 − 9 3 , 2313 83
Segundas diferencias divididas
, , , , 122 0 380 2 2 , , , , 2331 Tercera diferencia dividida
, , 20 , , , , , 2 30 3 Los resultados de las diferencias divididas que están en negrita en la tabla, representan los valores de los coeficientes del polinomio como se dijo anteriormente.
X Xo X1 X2 X3
F(x) 0 -1 -1/3 -2/3
-2 -4 -8/3 -32/9
Primeras diferencias divididas 2 2 8/3
Segundas diferencias divididas
Tercera diferencia dividida
0 2
-3
2 , 2 , , 0 , , , 3 Ahora se reemplazan los coeficientes en el polinomio:
22 03 Se sustituyen los valores de x y se realizan las operaciones de los paréntesis:
220 0301
2231 13 223 3 3 4 2 Finalmente, se obtiene el polinomio de tercer grado que pasa por los puntos mencionados en la tabla.
Interpolación en el punto
−
13 13 3 4 23 14 4 14 13142 2,401967933,4489795920,928571422 3,975583
A continuación se observa la gráfica correspondiente: 1000
x
0 -10
-5
0 -1000
-2000
-3000
-4000
-5000
-6000
-7000
y
5
10
15
CONCLUSIONES
Las técnicas tradicionales para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, son arduas, complicadas y requieren mucho tiempo, esto limitó por un largo periodo la solución de problemas ingenieriles complejos, sin embrago, se puede concluir que gracias a la ciencia computacional y sus recursos dichos métodos pueden realizarse de manera más práctica, rápida y aplicada a sistemas de ecuaciones de cualquier magnitud. La eliminación de Gauss en todas sus variaciones constituye el método no sólo más antiguo, sino uno de los más importantes y fundamentales al resolver problemas en ingeniería, es la base de muchos softwares y algoritmos numéricos. El método de Gauss-Seidel converge de manera más rápida y efectiva que el método de Jacobi, dando la mejor aproximación, siempre y cuando el criterio de convergencia se cumpla, en donde la matriz debe ser diagonalmente dominante. El método de GaussJordan requiere de un 50% más de operaciones matemáticas que el método de eliminación Gaussiana, es por esto que se considera como “simple”.
A la hora de escoger el método ideal para resolver un sistema de ecuaciones lineales, se deben evaluar tanto las características del sistema como la densidad, la diagonal y el tamaño, así como las ventajas y desventajas de los métodos, que incluyen su nivel de precisión, estabilidad y rango de aplicación. Se pudo observar que cuando se quiere estimar el polinomio único de n-ésimo grado que pase por cada uno de los puntos de una función tabulada, que tanto el polinomio de interpolación de Newton por diferencias divididas y el polinomio de interpolación de Lagrange no requieren de la condición de igual espaciamiento entre los valores de X u orden ascendente en el caso de los valores de Y, como si lo requiere el polinomio de interpolación de Newton por diferencias finitas. El método de interpolación es una herramienta muy utilizada en el ámbito laboral, ya que gracias a sus procesos de aproximación en la mayoría de los casos se pueden restablecer datos perdidos de diversas bases de datos como el control de pedidos en un almacén, ingresos o egresos del mismo etc.
