FASE 4
PRESENTADO POR: DIANA SOCORRO TORRES COD; 1.099.322.534 YOLIVED MARTÍNEZ FERNEY BUSTAMANTE VARAS COD:105!."02.032 ERSAIN UZM#N VARAS 1030525$""
PRESENTADO A: %AIME ANTONIO M#R&UEZ 'TUTOR(
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 'UNAD( CALCULO INTERAL 201$
INTRODUCCION: Solucionar problemas que involucran análisis de gráfcas, volúmenes de superfcies de revolución y aplicaciones de las integrales en las ciencias que permiten la comprensión de situaciones relacionadas a su vida codiana y proesional.
Desarrollo de actividades Ejercicio 01
E)*+,)-,
,/ 3
,
,
/
,)
*678,)
,)-,
/
*+
2
f ( x )= x − x −6 x ,/ ,, <. E/ , =, ,>8,= ,) +),= , =+8,?*,. L ?+)*) =,/,**6)@ 6,-6 ,/ 86=-,6 )/== 8,=,)- +) *6786-7,)-6 8-*+/ , /= ?+)*6),= **= ,*6)6*= 86 =+ -*6)/ ?67 , =// , 76)-@ ,76= /+)6= ,,78/6=: U) ,,78/6 , +) ?+)*) ** *678/,- 6) *6) -66= =+= *6,?*,)-,= ,= . y = x 3−3 x2− 4 x −4 E) / 7,) =, 8+,, , ,) *6/6 ,, */6@ )-,=, +, /6 +, G*, ,/ -H7)6 ),8,),)-, ,= ,=8/ / ?* 4 +),= 6 =6, ,/ ,, @
E/ 6,-6 , ,=- 7,) ,/ 8/)-,7,)-6 , /= ?,,)-,= ?*= 6-,)= ,6, !.0 @ ,= , *76 / ?+)*) ** ,),/ , / ?67 3 ,) *6/6 7//6@ -)=?67)6=, 7, +, =, ) )-,)6 y = x /6= *6,?*,)-,= *+-*6 ,) *6/6 +/@ /),/ ,) *6/6 V)6-)-6 , ),8,),)-, ,) ,, */6.
3
2
L ?+)*) f ( x )= x − x −6 x 8= 86 ,/ 6,) ,/ 8/)6 *-,=)6@ -,), +=,)-, ,/ -H7)6 /),/ 6 ),8,),)-,@ ,/ *6,?*,)-, , /6= -H7)6= /),/ *+-*6 ,= +)6@ 86 *+)-6 / 78/-+ )6 ,= 7+*G.
=, -67 ,/ )-,/6 *,6 J2@ 3K 8 ,/ */*+/6 ,/ , =6/*- S, ,=*6, ,=-, )-,/6 =@ 86+, / ?+)*) ,*,*, G* 7,)6= )?)-6 *+)6 > ,= 7,)6 +, 7,)6= 6= *,*, G* ,/ )?)-6 *+)6 > ,= 76 +, -,=. E=-6 ,) *+)-6 / )/== , / ?+)*) , =+ ?*. AG6
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,,**6
8/)-,6
*,
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,
6
/
*+
,
2
f ( x )= x − x −6 x ,/ ,, >@ 86 *+)-6 +) ?+)*) ,+/,)-, ,= y =0 @ ,=-6 ,= 786-)-, 86+, ,) -H7)6= 8*-*6= ,/ ,, > G*, 7), , *6-, /6 *+/ , 6= 86/= +) ,) ,/ =,+)6 *+)-, 6- ,) ,/ -,*, *+)-,. E)-6)*,=@ ,) -+ ,/ -,6,7 ,/ /6 7,6 8 )-,/,= ,?)= ,/ *-,6 ,/ , ,), 86 / )-,=,**) , +) *+ +) ,*- ',, <( S, 8+,, =6/+*6) ,/ 86/,7 , */*+/ ,/ , 6 /= *6)*6),= 3
2
8686*6)= *676 / )-,/ , f ( x )= x − x −6 x ,=, 6= G=- *,6 3 2 ( )= − −6 x '),- 6 =)6 7,)6= 86+, f x x x =+76 / )-,/ ,
/ ?+)*) =+8,6 6 +, ,=- G*,)6 , *6-, ,= */7,)-, =, 8,* ,) ,/ -,*, *+)-,.
y =0
@ ,) / ?*
Ejercicio 02
C/*+/ ,/ , , / ,) /7- 86 /= *+= y 2=2 x e y = x − 4. E/ , =, ,>8,= ,) +),= , =+8,?*,. S+,,)*: E/6, / ?* 8 +) 7,6 *678,)=) ,/ ,,**6 ,=8,, > ,) ?+)*) , ,) /= *+= =. 2
y =2 x y= x −4
y
2
2
y
2
2
y
= x y + 4 = x
= y + 4
2
2
− y −4 =0
y = 4
y =−2
∫ [ f ( y )− g ( y )] dy
A =
4
A =
∫ −2
[
y + 4 −
4
y
2
2 4
]
dy 4
1 2 A = Y dy + 4 dy − y dy 2 −2 −2 −2
∫
∫
∫
A = 2
y
2
2
1
+ 4 y − . 2
3
4 4 A = + 4 ( 4 ) − − 2 6
A = 8 + 16−
32 4 −2 + 8 − =18 ( u 2 ) 3 3
Ejercicio 03
y
3 4
y
2
y
3
¿ +4 y − 4 ∫ 3 2 6 2 −2
[
( −2 )2 2
+ 4 (−2 ) −
(−2 )3 6
]
D,-,7), / /6)-+ , / *+
y=Ln(cos(x))
,) ,/ )-,/6 J0;3K
b
∫ √ 1 +( y ) dx ' 2
L=
a
R,78/)6 x
π /3
L=
∫ 0
2
(¿) ¿ 1 +¿ √ ¿
tan
√ (
π / 3
)
2
−sen ( x ) 1+ dx = ∫ cos ( x ) 0
π
π
3
3
∫
∫
0
0
…= sec ( x ) dx =
√ ( 1+
2
sen ( x ) 2
cos ( x )
)
π /3
dx =
∫¿ 0
π
sec ( x ) ( sec ( x ) + tan ( x ) ) sec ( x )+ tan ( x )
π
∫
dx=
sec ( x ) +( sec ( x ) tan ( x ) )
0
(| ( )+ ( )|)−
… =ln (|sec ( x ) + tan ( x )|) ¿ 3 =ln sec 0
3
π 3
tan
π 3
2
sec ( x ) + tan ( x )
(
ln |sec ( 0 )+ tan ( 0 )| =¿
…=ln (|2 +1.732|) −ln (|1 +0|)= ln (|3.732|)− ln (|1|)=1.317 −0 =1.317 L=1.317
)
dx
Ejercicio 04
√
2
x =−
1
x =
2 L *+ y = 1− x ,)-, // ,/ , , =+8,?*, ,/ =/6 ,=+/-)-,.
1 2
=, G*, /,,6 ,/ ,, >.
Ejercicio 05
E)*6)- ,/ 6/+7,) ,/ =6/6 ?676 / / ,) *6- 86 f ( x )=2 − x g ( x ) =1 /,,6 , / ,*- y =1 2
C/*+/76= ,/ 8+)-6 , *6-,: 2− x
2
=1 2
2−1 = x 1= x
2
√ 1=√ x
2
± 1 = x
/ ?67+/ ,/ 6/+7,) , +) */)6 ,=- 86 ,78/)6
2 2
dv= π ( 2 − x ) dx
1
dv=¿
∫ π (2− x ) dx − ∫¿ 2 2
1
2
V = π R h
x
5
−
5 4
4 x 3
3
+ 4 x
2
x − 4 x + 4 dx =¿ π { ¿
1 } −1
1
1
∫ π (2 − x ) dx=π ∫ ¿ 2 2
V =
−1
…
…
{ {
−1
5
1
−
5
−15 5
V = π
4 ( 1)
−
3
3
+ 4 ( 1) =
4 ( −1 ) 3
43 15
}
evluado en x =1
3
+4 (−1 ) =
}
−43 15
{ ( )} { } 43 −43 − 15 15
= π
86 15
= π
evluado enx =−1
86 3 u =π 5.73 u3 15
Ejercicio 06
6. L ,) *6- 86 / ?* ,
y =2 x − x
86 ,/ ,, > /,,6
2
,/ ,, . C/*+/, ,/ 6/+7,) ,/ =6/6 ,=+/-)-, ', ?+(
L 6 ,/ *=+//6 ,= >@ / /-+ ,/ 7=76 ,= h= 2 x − x 2 . C6) ,=8,*-6 /6= /7-,= , )-,*) =6) 0 ≤ x ≤ 2 . E) =, ,=- )?67*) 86,76= ,* +, ,/ 6/+7,) ,/ =6/6 ,),6 ,=: 2
∫
V = 2 πxhdx 0 2
2
|
∫ 2 πx ( 2 x− x ) dx =2 π ∫ x ( 2 x − x ) dx=2 π 2
V =
0
2
0
2 x 3
3
−
x
4
| | | 2
4 0
=2 π
16 3
−4
8 3
3
V = π u
Ejercicio 0
U) // , /6)-+ !0 *7 -,), +) ,)= /),/ +, 8686*6)/7,)-, / 2
*+6 , =+ =-)* +)6 , /6= ,>-,76=@ ,= ,* ρ ( x )= R x 8 R +) *6)=-)-,. S / ,)= ,) ,/ ,>-,76 7= 8,=6 ,= , $200 *7@ G//, =+ 7= -6-/ *,)-6 , 7= 'C ,(.
ρ ( x )
+),= , 7= 86 +) , /6)-+. b
M y
C e=
C6)=, ,/ *,)-6 , 7=: D,)= /),/:
ρ= ( 60 )=7200 2
R∗60 =7200 7200 3600
R=2
D6), ρ l ( x )=2 x b
∫
= ρ ( x ) dx a
= ab
∫ ρ ( x ) dx a
ρ l ( x )= R
x =60
R=
∫ xρ ( x ) dx
2
2
60
∫ 2 x dx =2 2
=
0
0
[ ] ( [ ]) ( [ ]) x
3
3
60
∫
2
2 x ∗ x dx
c=
0
60 0
2
=
=2
60 3
3
3
−
2
0
=144000 g
3
[ ] ( [ ]) ( [ ]) x
4
4
144000
=
60 2 4
4
4
−
0 2 4
144000
= 45 c
Ejercicio 0!
// ,/ *,)-6, , / ,) /7- 86 /= ?*= ,
y √ x
1 2
y x
,)-, > 0 > 4. C6)=, /= ?7+/= ,/ *,)-6, , / ,) ,) ,/ 8/)6: b
Ce( x )=
M y A
∫ x [ f ( x )− g ( x ) ] dx = ab
;
Ce( y ) =
∫ [ f ( x )− g ( x ) ] dx a
y =√ x
M x A
=
1 2
b
∫ [ f ( x )− g ( x ) ] dx 2
a b
∫ [ f ( x )− g ( x ) ] dx a
1
y = x 2
2
,)-, >0 >4
b
M y
Ce ( x )=
A
∫ x [ f ( x )− g ( x ) ] dx = 9b
∫ [ f ( x )− g ( x ) ] dx 4
M x = Ce ( y )= A
1 2
b
∫ [ f ( x )− g ( x ) ] dx 2
2
1
b
∫ [ f ( x )− g ( x ) ] dx 9
√ − ] [ ( )= ∫ [ √ − ] 4
∫ x
x
x
2
0
Ce x
4
x
x
x
2
0
4
4 3
2 x
∫ x
dx
= 04 dx
3 2
−
x
2
2
dx
1 2
x x − dx 2
0
¿ ¿0 ¿ ¿ ¿ ¿0 ¿ ¿
2
x
−
3
[ ] ∫[ ] 4
2
4
¿
5
2 x 5
2
x
−
3
6
¿
Ce ( x )=¿
√ − ] [ ( )= ∫ [ √ − ] 4
∫ x
Ce x
x
0 4
x
0
x
x
2
x
2
4
∫ √ x− x
dx
=¿ dx
Ce ( x ) =
[
3
0
4
96 8 = 60 9
x
[ ]
∫ x 0
−
2
1 2
x
−
2
2
2
]
dx
dx
Ce ( y )=
M x A
=
1 2
b
∫ [ f ( x )− g ( x ) ] 2
2
9
=
b
1 2
b
∫ [ f ( x )− g ( x ) ] 2
9
4 3
∫ [ f ( x )− g ( x ) ] 9
1
¿
2
4
[ ( )]
∫ ( √ x ) − 2
0
x
2
2
dx
=
4
1 2
4
[ ] 2
0
dx
4 3
2
2
x
∫ x− 4
3
x
2
−
x
¿
3
12
|4 ¿ 0 ¿ ] ¿ 1 ¿ 2
¿¿ ¿
( )= ( )
1 16 8− 2 3
1 8 2 3
4 3
4 3
8 6 24 = = =1 4 24 3
Ce ( y )=1 Ce=( Ce ( x ) !Ce ( y ) )
Ce=
( ) 8 !1 5
Ejercicio 0" . U) 8,/6- , -,)= =, /) ,-*/7,)-, G* 6 ,=, +) /-+ , 54 8,= *6)
+) ,/6* )*/ , " 8,==,. QC+/ ,= / ,/6* , 78*-6 = / 8,/6- 6/8, ,) / *, +) 8,=6) , ! 8,= , ,=--+ Co#siderar : '( 32 2@ = '0( 54 8,= '0( " '/ 8,/6- =, /) G* 6(.
$ol%ci&#: "a#os a ( # )=
−32 $%e seg
&s ( 0 )=54 $%es& v ( 0 )=
−−8 $%es
∫ (−32 ) d# =−32 # + c 1
v ( # )=
coo v ( 0 )=−8, en#onses : −8=−32 ( 0 ) + c 1 c 1 =−8 $o#an#o v ( # )=−32 # −8 aho'a #eneos (ue: s ( # ) = (−32 # −8 ) d# =−16 # 2 −8 # + c 2
∫
sabeos (ues ( 0 )=54, en#onses 0
¿ ¿ 54 =−16 ¿
en#onces : c 2=54 $odeoscalcula' # cuandos=6
−16 # 2−8 # + 54 =6 2 6 =−16 # −8 # + 54 2 0 =−16 # −8 # + 48 2
0 =−2 # −# +6 2
2 # +# −6 =0
seg
+ 1 ( 2 # )−12= 0 ( 2 # + 4 ) ( 2 # −3 )=0 2
4 #
# =
3 2
en#onses la veloc%dad dela $elo#a al gol$ea la cabe)aes : −65 $%es 3 3 v =−32 −8 = seg 2 2
()
()
Ejercicio 10
P ,=- +) ,=6-, , 50 *7 =, ,+,, +) ?+, , 130 N,-6). E)*+,)-, ,/ -6 ,/6 8 ,=- ,/ ,=6-, 20 *7 7= // , =+ /6)-+ )-+/ '=) ,=-(. 20 *7
20 c=
1 = 0,2 100 c
∫
* = + . A, - d* = + dx 0.2
* =
∫ 130 dx 0
¿ 0.2 ¿ 0 ¿ * =130 x ¿ * =130 ( 0.2) * = 26 ( )
Ejercicio 11
L= ?+)*6),= , / 6?,- / ,7) , *,-6 86+*-6 ,=-) = 86 S x 52 2 x D x100 x . D,-,7), ,/ ,>*,,)-, ,/ *6)=+76 ,/ 86+*-6@ =+86),)6 +, =, G ,=-/,*6 ,/ ,+/6 ,/ 7,*6 2
"alculando el punto de equilibrio
*
El
1 ( x ) = " ( x ) 2
522 x =100 − x 2
x 2 x +52 −100=0 2
x 2 x +52 −48 =0
−2 ± √ 2 − 4 ( 1 ) (−48 ) =¿ x = 2 ( 1) 2
…
−2 ± √ 196 −2 ± 14 =
x =
2
{−
6 8
2
2 x =6
#"alculamos el precio de equilibrio
0=522 (6 )=64
excedente del productor es
/0=
( 64−52)∗6 2
= 36u .
!ar calcular el excedente del consumidor 6
2
0
… 600−72 −384=144 u .
3
]
3
6 6 −384 =100 ( 6 ) − − 384=¿ 3 0 3
x /C =∫ ( 100− x ) dx −( 64∗6 )=100 x −
Ejercicio 12
S, ,=-7 +, ,)-6 , > 7,=,= / 86/*) , *,- *+ *7 +) ) , 2 + 6 √ x 8,=6)= 86 7,=. S / 86/*) *-+/ ,= , 5000 8,=6)=@ Q*+/ =, / 86/*) ,)-6 , 9 7,=,= L 86/*) , / *+ =, ,?) *676 $ ( x ) @ / *+/ ,) ,/ -,786 ,) ?+)*) > 7,=,=. d$ =2 + 6 √ x dx d$=( 2 +6 √ x ) dx d$ = ( 2 +6 √ x ) dx
∫
∫
$=2 x +
6 x
3 /2
3
+c
2
$=2 x + 4 x
3 /2
+c P-,)6 , / *6)*) )*/ $ ( 0 )=5000 =, 6-,),. 3 /2 $ ( 0 )=2 ( 0 ) + 4 ( 0 ) + c =5000 c =5000 P6 /6 -)-6@ / ?+)*) , / 86/*) 6 ,/ -,786 ,) 7,=,= > ,=. 3/ 2 $ ( x =9 )=2 ( 9 )+ 4 ( 9 ) +5000 =5126 L6 +, =)?* +, / 86/*) ,)-6 , 9 7,=,= ,= , 512! G-)-,=.
'I'(IO)R*+I*:
$r%, ". &. '., ( $r%, ". &. '. )*+-. "álculo integral. /0xico 1arousse 2 3rupo Editorial !atria. 4isponible en la 5iblioteca 6irtual de la 7894. :ecuperado de ;
>=lib=unads p=reader.acon? ppg@(docA4@+-B>B*(tm@-B+CC B>CD>> 5ente%, E. )*+-, mayo, *. Sólidos de revolución F /0todo de discos. G6ideoH. :ecuperado de ;-- Jemácas de estudio 9plicaciones en :obayo, &. )*+B, abril, +. 9plicaciones de la integral en las ciencias. G6ideoH. :ecuperado de ;K-
G--8:*78+=31.+).,+.*6,*-2"76?6+7=*+==.8G82393!
