FASE 2: DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN
JHOAN SEBASTIAN ALMARIO MANUEL FERNANDO SOLORZANO CESAR EDUARDO IBATA
GRUPO: 100412_128
TUTOR: ROBEIRO BELTRAN TOVAR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ECUACIONES DIFERENCIALES
NEIVA HUILA 2017
INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía. Una ecuación diferencial es una función que al remplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir la convierte en una identidad. Las Ecuaciones Diferenciales de segundo orden, tienen una importancia fundamental en la Matemática y para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones. Las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de orden superior tienen una gran variedad de aplicaciones a muchas situaciones físicas y ricas en consideraciones teóricas como son el teorema de la existencia y unicidad cuya demostración no es fácil de encontrar en libros de esta asignatura por eso y mucho más las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior ocupan un lugar muy importante en la teoría matemática. El presente trabajo está enfocado en el tema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, así como de orden n y de orden superior, donde aplicaremos nuestros conocimientos en la solución de ejercicios y problemas.
OBJETIVO GENERAL
Conocer y definir las propiedades y métodos de las ecuaciones lineales de segundo orden, así como de orden n y de orden superior y aplicarlos en la solución de problemas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Aplicar los conocimientos sobre ecuaciones lineales de segundo orden, así como de orden n y de orden superior.
Participar de forma grupal en la solución del trabajo colaborativo. Plantear y solucionar problemas. Reconoce y diferenciar una ecuación diferencial de segundo orden, así como de orden n y de orden superior.
Clasifica ecuaciones diferenciales de orden superior, de acuerdo con su tipo, orden y linealidad. Reconoce la diferencia entre una solución particular y una solución general de las ecuaciones de segundo orden, así como de orden n y de orden superior.
Resolver correctamente las ecuaciones de segundo orden y orden superior con coeficientes constantes.
DESARROLLO ACTIVIDAD INDIVIDUAL
Ejercicio # 1 Realizado por Jhoan Sebastian Almario Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique 1. Una an ( x )
ecuación
diferencial
de
orden
superior
dn y d n−1 y dy ( ) +a x +… a 1 ( x ) + a0 ( x ) y=g ( x ) n−1 n n−1 dx dx dx
es
de
la
forma
y puede ser solucionada por
´´ ´ diferentes métodos. La ecuación diferencial: y − y + y=2 sin 3 x , puede ser
solucionada por los siguientes métodos y tiene como solución general: 1. Método de variables separables y método de ecuaciones exactas. √3 x 2 √3 2. C1 cos 2 x+ C2 sin ¿ ¿ 1
x
y =e 2 ¿
√3 x 2
3.
√3 x+ C sin ¿ C1 cos 2 2
¿
−1
x
y=e 2 ¿ 4. Método de variación de parámetros y método de coeficientes indeterminados. Solución:
No se puede realizar mediante variables separables, además el método de ecuaciones exactas es para ecuaciones de primer orden y esta es de segundo orden, es por ello que se descarta el numeral 1.
y ' ' − y ' + y =2sin 3 x
y '' − y ' + y =0 2
m −m+1=0 m=
1± √ 12−4 2
m=
1± √ 3i =α ± βi 2
Se obtiene la ecuación característica para obtener la solución homogénea, permitiéndonos descartar el numeral 3
Al resolver la ecuación característica se tienen las soluciones m1 y m2 entonces: y h=C 1 ∙ e αx cos ( βx ) +C 2 ∙ e αx sen ( βx ) 1 x 2
1
x 3 3 y h=C 1 ∙ e cos √ x +C 2 ∙ e 2 sen √ x
(2 )
(2 )
y p=a cos 3 x +b sin 3 x y ' p=−3 a sin 3 x+3 b cos 3 x y ' ' p=−9 a cos 3 x−9 b sin3 x
Reemplazamos los valores de
yp en la
ecuación original ''
Aunque ya con la solución homogénea podemos descartar el numeral 3 buscamos la solución particular para confirmar.
'
y p− y p+ y p=2 sin 3 x −9 a cos 3 x−9 b sin 3 x+3 a sin 3 x−3 b cos 3 x +a cos 3 x +b sin 3 x=2 sin3 x
Factorizamos
(−8 a−3 b ) cos 3 x +(−8 b+ 3 a)sin 3 x=2 sin 3 x Igualamos términos semejantes: −8 a−3 b=0
a=
−3 b 8
−8 b+3 a=2
−8 b+3
( −38 b)=2
−73 b=2 8 b=
2∗−8 73
b= a=
−16 73
( )
−3 −16 8 73 a=
6 73
y p=a cos 3 x +b sin 3 x y p=
1 x 2
6 16 cos 3 x− sin3 x 73 73
1 x 3 √ √ 3 x + 6 cos 3 x− 16 sin 3 x y=C 1 ∙ e cos x +C 2 ∙ e 2 sen Con 2 2 73 73 lo anterior confirmamos que
( )
( )
la respuesta es C si 2 y 4 son correctas.
Ejercicio # 2 Realizado por Cesar Eduardo Ibata
ITEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique 2. El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria y c =C 1 y 1 +C2 y 2 +C3 y 3 y después se calcula el wronskiano W ( y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , y 3 ( x )) . Posteriormente se determina
f ( x ) , para poder encontrar
hallar la solución particular mediante la integración de u3´ =
u1 u1´ =
u2
y
W1 W ,
W3 W , donde:
| | | | |
y1 W = y '1 y ''1
y2 y '2 y'2'
y3 y '3 y '3'
y1 W 3= y'1 '' y1
y2 0 ' y2 0 '' y 2 f ( x)
,
0 y2 W 1= 0 y '2 f ( x ) y '2'
| |
y3 y'3 y '3'
,
y1 0 ' W 2= y 1 0 '' y 1 f ( x)
|
y3 y'3 y '3'
u3 , y poder u2´ =
W2 W
y
Una solución es
y p=u1 y 1+ u2 y 2 +u3 y 3
diferencial es entonces W1 ,
W2
y
W3
y la solución general de la ecuación
y= y c + y p . Con base en lo anterior, los valores para y la solución general de la ecuación
respectivamente: 1
W 1=−2 x e−x −e−x , W 2=2 e−x
2
1 y=C 1+ C2 x+C 3 e−2 x + e x 3
3
1 y=C 1+ C2 x+C 3 e x + e−x 4
x y W 3=e
W 1=2 x e−x + e−x , W 2=2 x e x y W 3=−2 e−x
Solución y ' ' ' +2 y ' ' =e x Forma general de la solución es: y ( x )= y c + y p
y '' ' +2 y ' ' =0 El polinomio característico es: r 3 +2 r 2=0 r 1=−2 ; r 2=0=r 3
−2 x
y c =C 1 e
+C2 x+ C3
f 1 =e−2 x ; f 2=x ; f 3=1
y '' ' +2 y ' ' =e x
son
Se calcula el Worskiano:
|
|
e−2 x x 1 −2 x W ( f 1 , f 2 , f 3 )= −2 e 1 0 −2 x 4e 0 0
W ( f 1 , f 2 , f 3 )=−4 e−2 x y p=u1 f 1+u 2 f 2+u 3 f 3 Donde por definición, uk =
Wk W
| |
0 x 1 x W 1= 0 1 0 =e x e 0 0
|
|
e−2 x 0 1 −x −2 x W 2= −2 e 0 0 =2e 4 e−2 x e x 0 Con lo anterior podremos obtener la solución particular, −2 x
y p=
e
4
∫ e 3 x dx+ 2x ∫ e x dx+∫ e−x+ 2 x e−x dx
1 1 x y p= e−2 x e 3 x + e x −2 x e−x −2 e−x 4 3 2
( )
1 y p= e x 3 Solución general: y ( x )=C1 e−2 x +C 2 x +C 3+
ex 3
Ejercicio # 3 Realizado por Cesar Eduardo Ibata
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. 3. Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial ordinaria que tiene un valor especificado que se conoce como la condición inicial, de la función desconocida en un punto dado del dominio de la solución. Para el problema de valor inicial y p y la y ( π ) =0 , y ' ( π ) =2 , la solución particular y '' + y=4 x +10 sin x , solución al problema
y
corresponden a:
1.
y=9 πcosx +7 sinx +4 x −5 x cosx
2.
y p= Ax+ B+Cx cosx+ Ex cosx
3.
y p= Ax+ B+Cx cosx+ Ex sinx
4.
y=9 πsinx+7 sinx+ 4 x−5 x sinx
Respuesta: 1 y 3 B Solución. y '' + y=4 x +10 sin x , y ( π ) =0 , y ' ( π ) =2 y c =C 1 cos x +C 2 sin x y p= AX +B+ Cx cosx + Ex sinx
'
y = A+C . cos x−Cx sin x + E . sin x+ Ex cos x '
y ' =−C sin x−C . sin x−Cx cos x + E cos x + E cos x−Ex sin x y ' ' =−2C sin x−Cx cos x+ 2 E cos x−Ex sin x
2C sin x−Cx cos x +2 E cos x −E sin x + Ax+ B+C x cos x + Ex sin x=4 x+10 sin x Ax−2 C sin x +2 E cos x+ B=4 x +10 sin x A=4 C=
-2C=10
10 =−5 −2
2 E=0 → E=0 B=0 y p=4 x−5 cos x y p=C 1 cos x +C 2 sin x+ 4 x−5 cos x Como
' y ( π ) =0, y ( π )=2 entonces
y ( π ) =4 π −5 π cos π=0 4 π −5 π (−1 )=0 4 π +5 π
y ( π ) =9 π ' y ( π ) +2=4−5 cos π +5 πsin π ' y ( π ) +2=4−5 (−1 ) +5 π ( 0 ) ' y ( π ) +2=4+5+ 0 ' y ( π ) +2=9
' y ( π )=9−2
y ' ( π )=7 y=9 π cos x +7 sin x+ 4 x−5 x cos x
Ejercicio # 4 Realizado por Manuel Fernando Solorzano
ITEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
4.Una ecuación diferencial de de n-ésimo orden se puede escribir como: an Dn y+ an−1 D n−1 y +…+ a1 Dy+ a0 y=g ( x ) , dk y , k=0,1,2, … , n . dx k
donde
Dk y=
como
L ( y ) =g ( x ) , donde
L
Cuando se cumple la ecuación anterior también se escribe
denota el operador diferencial o polinomial, lineal de n-ésimo
orden an Dn +a n−1 D n−1+ …+a 1 D+a 0 La notación de operador no sólo es una abreviatura útil, sino que en un nivel muy práctico la aplicación de operadores diferenciales permite justificar las reglas para determinar la forma de la
solución particular
y p . Ésta se deduce casi de manera automática una vez se encuentra un
operador diferencial lineal adecuado que anulaa diferencial
g ( x ) . Por lo anterior de la ecuación
y ' ' −3 y ' =8 e3 x + 4 sin x , se puede afirmar que:
1
El operador diferencial que anula a
2
La
solución
g ( x ) es ( D 2−3 ) ( D+1 ) ( D2−3 D ) y=0 yp
particular
que
se
propone
debe
y p= Ax e 3 x + A x 2 e 3 x + B cos x+C sin x 3
El operador diferencial que anula a
4
La solución particular
g(x) es ( D−3 ) ( D2 +1 ) ( D2−3 D ) y=0
y p que se propone debe ser
PROPOSICION ENUNCIADO EXPRESION MATEMATICA y ' ' −3 y ' =8 e3 x + 4 senx (1)
O EXPLICACIÓN Derivamos para anular 4sinx
D ( y ' ' −3 y ' )=24 e 3 x + 4 cosx (2) D 2 ( y' ' −3 y ' )=72 e 3 x −4 sinx (3)
Sumando (1)+(3) D 2 ( y' ' −3 y ' ) + ( y' ' −3 y ' ) =80 e3 x D 3 ( y ' ' −3 y ' ) + D ( y '' −3 y ' ) =240 e3 x −3 D 3 ( y ' ' −3 y ' ) −3 ( y ' ' −3 y ' ) =−240 e 3 x D 3 ( y ' ' −3 y ' ) + D ( y '' −3 y ) =240 e 3 x Sumando los dos últimos resultados,
−3 D 2 ( y ' ' −3 y' ) −3 ( y ' ' −3 y ' ) + D3 ( y ' ' −3 y ' ) + D ( y ' ' −3 y ' )=0 Agrupando,
y p= Ax e 3 x + B cos x+C sin x
ser
D 5−6 D 4+ 10 D3 −6 D2+ 9 D=0
( D−3 )2 D ( D2+ 1 )=0 El polinomio característico será,
( r−3 )2 r ( r 2 +1 )=0 Solucionando la ecuación y encontrando las 5 raíces. r 1=0 ; r 2 =3; r 3=−i; r 4 =i con multiplicidad 2 Solución: y ( x )=C1 +C 2 e 3 x +C3 xe 3 x + C4 cosx+ C5 senx Donde,
y p=C 3 xe 3 x +C 4 cosx+C5 senx
La solución es la D
Desarrollo de la primera parte grupal Ejercicio 1 La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 � es dθ rad = 0 , � = 0,2 ��� y la velocidad angular inicial dt =1 s para el movimiento. Solución. d2 θ +10 θ=0 dt 2
d2θ +10 θ=0 dt 2
Si para �
Determine � en función de t
2
m +10=0 m 1=√ 10i ; m 2=−√10 i θ=C 1 cos √10 t +C2 sen √ 10 t Remplazamos la condición inicial para el ángulo. para t=0,C 1=0,2 Derivamos. dθ =−C1 sen √ 10 t+C 2 cos √10 t dt Luego, remplazamos. −C 1 sen √ 10 t+C 2 cos √10 t=1 →C 2=1 θ=0,2cos √10 t+ sen √ 10 t
Ejercicio 2 La figura representa un edificio de dos pisos. Las masas de los pisos son �1 y �2. Cada piso se apoya en seis columnas. Cuando el suelo se mueve horizontalmente debido a un temblor, los pisos también se mueven así, y las columnas actúan como resortes y se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales totales de cada conjunto de seis columnas son �1 y �2. El movimiento horizontal del suelo es �. Para el caso en que las masas son idénticas (�1 = �2 = �) y las rigideces son idénticas (�1 = �2 = �) obtenga un modelo de ecuación del edificio y encuentre su solución homogénea. Se tiene la siguiente situación:
Para la que se plantean las siguientes ecuaciones diferenciales por tratarse de dos masas y teniendo en cuenta las Leyes de Newton: ��11 + 2��1 − ��2 = �y ��21 − ��1 + ��2 = 0 Dividiendo la ecuación entre � y asumiendo � = �/� el resultado es:
Ahora para tener una ecuación en términos sólo de �1 se diferencia la ecuación (1) dos veces para obtener:
Ahora sustituyendo �21 de la ecuación (2) y �2 de la ecuación (1) se obtiene:
Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: �4 + 3��2 + �2 = 0. Como no hay ningún término en �3 ni �, esta ecuación es cuadrática en �2 y se puede usar la fórmula cuadrática:
Entonces, las raíces características son:
Como estas raíces son imaginarias, la solución homogénea tiene la forma:
√
√
k k La solución contiene oscilaciones con frecuencias en radianes de 0,618 m y 1,618 m Solución Error de signo de algunos términos: x '1' +2 α x 1−α x 2=αy x '2' −α x1 +α x 2=0
En estén punto podemos ver que la expresión a derivar tiene un error en los signos pero la derivada es correcta :
4
d x1 dt
4
2
+2α
d x1 dt
2
2
−α
d x2 dt
2
2
=α
d y 2 dt
Al sustituir las ecuaciones verificamos: 4
d x1 dt
4
2
+3α
d x1 dt
2
2
2
+α x 1=α y + α
2
d y 2 dt
Esta es la ecuación deseada; cuyo polinomio característico es: �4 +3��2 + �2 = 0.
β 2=
−3 α ± √ 9 α 2 −4 α 2 −3 ± √ 5 = α 2 2
(
)
Entonces, las raíces características son imaginarias: β=± 0,618
β=± 1,618
√ √
k i m k i m
la solución homogénea será entonces: x 1 ( t )=C 1 sen 0,618
√
√
√
La solución contiene oscilaciones con velocidad angular en rad/s de 0,618
√
√
√
k k k k t+C 2 cos 0,618 t +C3 sen 1,618 t +C 4 cos 1,618 t m m m m
k k y 1,618 m m
CONCLUSIONES
Para solucionar una ecuación diferencial de segundo orden se pueden aplicar los siguientes casos: 1. Solución general como combinación lineal de soluciones linealmente independientes. 2. Solución de una ecuación mediante coeficientes indeterminados. 3. Solución por variación de parámetros.
Se define ecuación lineal de grado
n
si
f (x)=0 la ecuación recibe el nombre
de ecuación lineal de grado n homogénea y en caso contrario será no homogénea.
Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes, pueden ser homogénea y no homogénea, todo depende de quién sea
f ( x) , si es
idénticamente cero estamos hablando de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes homogénea y en caso contrario estamos frente a una ecuación diferencial no homogénea.
Para resolver una ecuación diferencial lineal de orden superior hay que tener en cuenta primero la ecuación diferencial homogénea para la cual se plantea y se resuelve la ecuación homogénea y la forma de f ( x) para poder aplicar y
encontrar un operador diferencial anulador. Los métodos son los mismos aplicados para la solución de ecuaciones de segundo orden, teniendo en cuenta unas pequeñas adaptaciones.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Peña, M. (2016). Ecuaciones diferenciales de orden superior. http://hdl.handle.net/10596/8185
Ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior. http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/modulo_exe/unidad_2_ecuaciones_d iferenciales_de_segundo_orden_y_de_orden_superior.html
Ecuaciones diferenciales de orden superior (2009). http://matap.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/EDOs/3_Ecuaciones_diferenciales_ orden_superior.pdf
Definición de ecuación diferencial de orden n. http://mitecnologico.com/sistemas/Main/DefinicionDeEcuacionDiferencialDeOrden N
