UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÀSICAS
MÓDULO
MÉTODOS PROBABILISTICOS PROBABILISTICOS
GLORIA LUCIA GUZMÁN ARAGÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA TECNOLOGÍA E INGENIERÍA NEIVA (HUILA), 2.007
TABLA DE CONTENIDOS INTRODUCCIÓN JUSTIFICACIÓN 2.2 UNIDAD 1 2.3 MODELOS ESTOCÁSTICOS O PROBABILÍSTICOS 2.4 CAPITULO 1 PROGRAMACION NO LINEAL 1.1 INTRODUCCION 1.2 PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA 1.3 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. LAGRANGE. 1.4 CONDICIONES KUNH-TUCKER 1.5 PROCEDIMIENTO DE BÚSQUEDA EN UNA UNA DIMENSIÓN. 1.6 TÉCNICAS DE GRADIENTE. 1.7 EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. NEWTON-RAPHSON. 1.8 MÉTODO DE LA CUESTA DE MAYOR PENDIENTE 1.9 FUNCIONES DE PENALIZACIÓN PENALIZACIÓN.
CAPITULO 2 PROGRAMACIÓN META 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
INTRODUCCION CONCEPTOS FUNDAMENTALES ESTUDIO DE CASO: PROGRAMACION DE INSTALACIONES OBJETIVOS MULTIPLES PROGRAMACION META IMPLEMENTACION TERMINOS CLAVE TALLER LECTURA AUTOREGULADA
UNIDAD 2 PROCESOS MARKOVIANOS CAPITULO 1 CADENAS DE MARKOV 1.1 INTRODUCCIÓN 1.2 PROCESOS ESTOCÁSTICO 1.3 CADENAS DE HARKOV 1.4 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.5 TALLER CAPITULO 2 TEORIA DE COLAS 2.1 INTRODUCCION 2.2 JUSTIFICACION 2.3 OBJETIVOS 2.4 ANTECEDENTES 2.5 CARACTERISTICAS DE UN SISTEMA DE COLAS 2.6 ELEMENTOS EXISTENTES EN UN MODELO DE COLAS 2.7 MEDIDAS MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA PARA EVALUAR UN SISTEMA SISTEMA DE COLAS 2.8 EJEMPLOS DESARROLLADOS 2.9 TALLER
UNIDAD 3 TEORÍA DE JUEGOS 3.1 INTRODUCCION 3.2 OBJETIVOS 3.3 CONCEPTO 3.4 IDEAS FUNDAMENTALES 3.5 MÉTODOS 3.6 GLOSARIO
3.7 EJERCICIOS RESUELTOS 3.8 TALLER 3.9 LECTURA AUTOREGULADA
UNIDAD 4 TEORIA DE INVENTARIOS 4.1. INTRODUCCIÓN. 4.2. OBJETIVOS 4.3. DEFINICION 4.4. ADMINISTRACION DE INVENTARIOS 4.5. CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 4.6. CARACTERÍSTICAS CLAVES 4.7. MODELOS DE INVENTARIOS E.O.Q. 4.8 OTROS MODELOS DE INVENTARIOS 4.9. MODELOS DE INVENTARIOS CON DEMANDA PROBABILISTICA 4.10 TALLER 4.11 ECTURA AUTOREGULADA 4.12 AUTOEVALUACIÓN
UNIDAD 5 TEORIA DE PRONOSTICOS 5.1. INTRODUCCION 5.2. OBJETIVO 5.3. BASES DE PRONÓSTICO. 5.4. FUENTES DE PRONÓSTICO 5.5. CLASIFICACION DE LOS METODOS DE PRONOSTICOS 5.6. EJEMPLOS DESARROLLADOS 5.7. MEDICIONES DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR MODELOS DE PRONÓSTICO. 5.8. TALLER.
ANEXO: TEORIA DE DECISIONES FUENTES DOCUMENTALES
INTRODUCCIÓN El curso de Métodos Probabilísticos – Componente de Formación Disciplinar y tiene carácter básico en los programas de Ingeniería que oferta la UNAD, además es de tipo teórico- práctico. Tiene como objetivo dar herramientas para una buena toma de decisiones, a fin de optimizar los resultados dados en una organización, en especial los relacionados con procesos, recursos, costos etc, de competencia para los futuros ingenieros y empresarios. El curso tiene 2 créditos académicos los cuales comprenden el estudio independiente y el acompañamiento tutorial, con el propósito de:
• Comprender los elementos teóricos que sustentan los métodos Probabilísticos. • Identificar y utilizar los métodos Probabilísticos para la solución de problemas. • Distinguir y manejar los conceptos teóricos sobre Modelos estocásticos y aplicarlos en la solución de problemas relacionados con los temas en cuestión.. • evaluar y aplicar las operaciones de acuerdo al campo de acción específico en el que se desenvuelve el futuro profesional. Este curso está compuesto por dos Unidades didácticas a saber:
Unidad 1. Análisis de decisión donde se pretende que el estudiante valore la importancia de la teoría de decisiones pues tiene que ver con la ciencia de la toma de decisiones, se pretende además desarrollar técnicas para medir los gustos o valores de las personas por medio de una función de utilidad. Esto proporciona también una medida de la actitud individual de una persona al riesgo. También se pretende mostrar como las creencias de una persona, en términos de
probabilidades sujetivas, pueden medirse implícitamente de su elección entre apuestas comparables.
Unidad 2. Modelos Estocásticos o probabilísticos: se plantean los diferentes métodos empleados para solucionar problemas relacionados con programación dinámica, teoría de juegos, inventarios, pronósticos, cadenas de Markov con los que se pretende que el estudiante posea más herramientas para que busque la solución óptima a problemas simples y complejos que se le puedan presentar tanto en la cotidianidad como en el ejercicio de su vida profesional y/o laboral. El curso es de carácter teórico- práctico y la metodología a seguir será bajo la estrategia de educación a distancia. Por tal razón es importante planificar el proceso de:
Estudio independiente: Se desarrolla a través del trabajo personal y del trabajo en pequeños grupos colaborativos de aprendizaje. Acompañamiento tutorial: Corresponde al acompañamiento que el tutor realiza al estudiante para potenciar el aprendizaje y la formación.
El Sistema de evaluación del curso es a través de la evaluación formativa, que constituye diferentes formas de comprobar el avance en el auto aprendizaje del curso. En este sentido se realizarán tres tipos de evaluación alternativas y complementarias, estas son:
Auto evaluación: evaluación que realiza el estudiante para valorar su propio proceso de aprendizaje. Coevaluación: Se realiza a través de los grupos colaborativos, y pretende la socialización de los resultados del trabajo personal. Heteroevaluación: Es la valoración que realiza el tutor.
El sistema de interactividades vincula a lo9s actores del proceso mediante diversas actividades de aprendizaje que orientan el trabajo de los estudiantes hacia el logro de los objetivos que se pretenden, de la siguiente manera:
Tutor-estudiante: a trasvés del acompañamiento individual Estudiante-estudiante: mediante la participación activa en los grupos colaborativos de aprendizaje. Estudiantes-Tutor: a través del acompañamiento a los pequeños grupos colaborativos de aprendizaje.
Tutor-Estudiantes: mediante el acompañamiento en el grupo de curso. Estudiantes-Estudiantes: en los procesos de socialización que se realizan en el grupo de curso.
Para el desarrollo del curso es importante el papel que juega los recursos tecnológicos como medio activo e interactivo, buscando la interlocución durante todo el proceso de diálogo docente-estudiante
Los materiales impresos en papel, se han convertido en el principal soporte para favorecer los procesos de aprendizaje autodirigido. Sitios Web: propician el acercamiento al conocimiento, la interacción y la producción de nuevas dinámicas educativas. Sistemas de interactividades sincrónicas: permite la comunicación a través de encuentros presenciales directos o de encuentros mediados ( Chat, audio conferencias, videoconferencias, tutorías telefónicas) Sistemas de interactividades diferidas: permite la comunicación en forma diferida favoreciendo la disposición del tiempo del estudiante para su proceso de aprendizaje, mediante la utilización de correo electrónico, foros grupos de discusión, entre otros.
El acceso a documentos adquiere una dimensión de suma importancia en tanto la información sobre el tema exige conocimientos y planteamientos preliminares, por tal razón es imprescindible el recurso a diversas fuentes documentales y el acceso a diversos medios como son: bibliotecas electrónicas, hemerotecas digitales o impresas, sitios Web especializados. En la medida en que usted adquiera el rol de estudiante, interiorice y aplique los puntos abordados anteriormente, podrá obtener los logros propuestos en este curso, así como un aprestamiento en los enfoques y métodos de la programación lineal, mediante la estrategia de la educación a distancia.
UNIDAD UNO MODELOS ESTOCASTICOS O PROBABILISTICOS CAPITULO 1 PROGRAMACION NO LINEAL 1.10 INTRODUCCION 1.11 PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA 1.12 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. 1.13 CONDICIONES KUNH-TUCKER 1.14 PROCEDIMIENTO DE BÚSQUEDA EN UNA DIMENSIÓN. 1.15 TÉCNICAS DE GRADIENTE. 1.16 EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. 1.17 MÉTODO DE LA CUESTA DE MAYOR PENDIENTE. 1.18 FUNCIONES DE PENALIZACIÓN.
1.1 INTRODUCCION Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal De una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar
en donde
para maximizar
y las
, sujeta a
son funciones dadas de n variables de decisión.
No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa. En este caso se destaca el estudio de optimización en una variable sin restricciones de la forma: Optimizar z = f(x) Donde f es función no lineal de x y la optimización se realiza en (-∞, ∞). Si la búsqueda se circunscribe a un sub. Intervalo finito [a, b] el problema es de optimización no lineal restring ida y se transforma a Optimizar z = f(x) Con la condición a x b.
Optimización no lineal multivariable Es el caso análogo al anterior, pero en el caso en que la función f es de más de una variable, es decir: Optimizar z = f( X) donde X = [x1, x2, ..., x n]T Si existen las restricciones Gi(X) = 0 Es un problema no lineal multivariable restring ido.
Ejemplo Una Compañía desea construir una planta que recibirá suministros desde tres ciudades A, B, C, tomando como origen la ciudad A, B tiene coordenadas (300 Km. al Este,400 Km. al Norte), y C tiene coordenadas (700 Km. al Este, 300 Km. al Norte) respecto de A. La posición de la planta debe estar en un punto tal que la distancia a los puntos A, B y C sea la mínima. Sean x1 y x2 las coordenadas desconocidas de la planta respecto de A.
Utilizando la fórmula de la distancia, debe minimizarse la suma de las distancias
√ (x12 + x22) + √ ((x1 - 300)2 + (x2 - 400)2) + √ ((x1 - 700)2 + (x2 - 300)2) No hay restricciones en cuanto a las coordenadas de la planta ni condiciones de no negatividad, puesto que un valor negativo de x1 significa que la planta se localiza al Oeste del punto A. La ecuación es un programa matemático no lineal sin restricciones. Veamos ahora algunos casos de programación no lineal comunes de encontrar:
1.2 PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA Es un caso particular de programación matemática no lineal. Un programa matemático en el cual cada restricción g i es lineal pero el objetivo es cuadrático se conoce como progr ama cuadrático, es decir f(x1,x2,..,xn) = S i=1,nS j=1,n cijxix j + S i=1,ndixi
Ejemplo Minimizar z = x 12 + x22 Con las condiciones x1 - x2 = 3 X2 3 Donde ambas restricciones son lineales, con n = 2 (dos variables) c 11 = 1; c12 = c21 = 0; c22 = 1 y d 1 = d2 = 0.
1.3 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Se pueden utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver los problemas no lineales en los cuales las restricciones son igualdades. Consideramos los del tipo siguiente:
(1) Para resolverlo, asociamos un multiplicador l formamos el lagrangiano
1
con la i-ésima restricción y
(2) Donde
son constantes (desconocidas) denominadas multiplicadores de Lagrange . Después resuélvase el sistema de n + m ecuaciones:
Teorema: Si existe una solución al programa (1), ésta se encuentra contenida entre las soluciones al sistema anterior, siempre y cuando y
todas tengan primeras derivadas parciales continuas y la matriz jacobina de m x n,
tenga rango m en X = X* El método de los multiplicadores de Lagrange es equivalente a emplear las ecuaciones de restricción para eliminar algunas de las variables x de la función objetivo y resolver después un problema de maximización sin restricciones para las restantes variables x.
Ejemplo: Una compañía planea gastar 10,000 dólares en publicidad. Cuesta 3,000 dólares un minuto de publicidad en la televisión y 1,000 dólares un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en la televisión y y minutos de comerciales en la radio, su ingreso, en miles de dólares, está dado por ingreso?
. ¿Cómo puede la empresa maximizar su
Solución: Se tiene el programa no lineal siguiente
Entonces
Hacemos
Obsérvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restricción 3x + y = 10. La ecuación (1) da y la ecuación (2) da Así,
,o
Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, o nos dan
. Entonces (4) y (5)
El hessiano para
es
Ya que cada mejor principal de primer orden es negativo, y , es una función cóncava. La restricción es lineal y, por lo tanto da la solución óptima para el programa no lineal. Así, la empresa tendría que comprar 69/28 minutos de tiempo de televisor y 73/28 minutos de tiempo de radio. Ya que l = ¼ , el gasto de un D extra (en miles) (para un D pequeño) aumentaría los ingresos de la empresa en aproximadamente 0.25 D dólares (en miles). En general, si la empresa tiene a dólares para gastar en la publicidad, se puede demostrar que . Vemos que si gasta más dinero en la publicidad, el incremento en el ingreso por cada dólar adicional para la publicidad se hace más pequeño
1.4 CONDICIONES KUNH-TUCKER El desarrollo está basado en el método de Lagrange. Estas condiciones son también suficientes bajo ciertas limitaciones que se establecerán posteriormente. Considere el problema maximizar z = f(X) sujeto a g(X)>= 0 Las restricciones de desigualdad pueden convertirse en ecuaciones sumando las variables de holgura no negativas apropiadas. Por consiguiente, para satisfacer las condiciones de no negatividad, sea i-esima restricción gi (X) >= 0. Defínase S = (S1 , S2 , . . . , S m )T y
la cantidad de holgura sumada a la
Donde m es el número toral de restricciones de desigualdad. La función de Lagrange es, por consiguiente, L(X,S,l ) = f(X) - l [ g(X) + S 2 ] Dadas las restricciones g(X) >= 0 Una condición necesaria para la optimidad es que l sea no negativa (o bien, no positiva) para problemas de maximización (o bien, minimización). Esto se justifica como sigue. Considere el caso de maximización. Ya que l mide la tasa de variación de f con respecto a g; l = d f / d g Como el lado derecho de la restricción g >= 0 aumenta sobre cero, el espacio de soluciones llega a ser menos restringido y así f no puede disminuir. Esto significa que l ³ 0. De igual manera, en el caso de minimización cuando los recursos aumentan, f no puede aumentar, lo cual implica que l >= 0 Si las restricciones son igualdades, esto es, g(X) =0 , entonces l será irrestricta en signo. Las restricciones sobre l dadas anteriormente deben de mantenerse como parte de las condiciones necesarias de Kunh-Tucker. Las condiciones restantes se obtendrán ahora. Tomando las derivadas parciales de L con respecto a X, S y l ,
El segundo conjunto de ecuaciones revela los resultados siguientes. . Esto significa que el recurso correspondiente es escaso y, 1. si l i > 0 , por lo tanto, se agota totalmente (restricción de igualdad). , l i = 0 . Esto significa que el recurso i-esimo no es escaso y, en 2. Si consecuencia, no afecta el valor de f, (l i =d f / d g i = 0 ). Del segundo y tercer conjunto de ecuaciones se deduce que l i gi (X) = 0, i = 1, 2, . ..,m
Esta nueva condición esencialmente repite el argumento anterior ya que si l i > 0, gi(X) = 0, o . Similarmente, si g i(X) < 0 , esto es, entonces l i > 0. Las condiciones de Kuhn-Tucker necesarias para que X y l sean un punto estacionario del problema de maximización anterior pueden resumirse ahora como sigue ; l ³ 0 f(X) - l g(X) = 0 l igi (X) = 0 y = 1, 2, . . , m g(X) >= 0
1.5 PROCEDIMIENTO DE BÚSQUEDA EN UNA DIMENSIÓN. Este procedimiento trata de encontrar una serie de soluciones prueba que conduzcan hacia una solución óptima. En cada iteración, se comienza con la solución prueba actual para llevar a cabo una búsqueda sistemática, que culmina con la identificación de una nueva solución prueba mejorada. La idea fundamental del procedimiento, es que se basa en el hecho de que la pendiente (derivada) sea positiva o negativa en una solución prueba, indica definitivamente si la mejora está a la derecha o a la izquierda, respectivamente. Así, si la derivada evaluada para un valor especifico de x es positiva, entonces x* debe ser más grande que esta x, con lo que x se convierte en una cota inferior para las soluciones prueba que en adelante se tomarán en cuenta. Por el contrario, si la derivada es negativa, entonces x * debe ser mas chica que esta x, y x se convierte en una cota superior. Una vez que se han identificado ambas cotas, cada nueva solución prueba que se selecciona entre ellas proporciona una nueva cota más estrecha de uno de los dos tipos, cerrando la búsqueda cada vez más. Siempre y cuando se use una regla razonable para elegir cada solución prueba en esta forma, la sucesión de soluciones prueba debe de converger a x *
Notación: Paso inicial:
Se selecciona g . Se encuentran
iniciales por inspección . Se elige una
solución prueba inicial. Regla de detención: Si
, de manera que la nueva x’ se encuentra a una distancia de x menor que g, el proceso termina. De otra manera, se regresa al paso iterativo. *
1.6 TÉCNICAS DE GRADIENTE. En este punto se desarrolla un método para optimizar funciones continuas que son dos veces diferenciables. La idea general es generar puntos sucesivos comenzando en un punto inicial dado, en la dirección del aumento más rápido (maximización) de la función. Está técnica se conoce como método del gradiente porque el gradiente de la función en un punto es lo que indica la tasa más rápida de aumento.
1.7 EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON. Una desventaja de utilizar la condición necesaria para determinar puntos estacionarios es la dificultad de resolver numéricamente las ecuaciones simultáneas resultantes. El método de Newton-Raphson es un procedimiento iterativo para resolver ecuaciones simultáneas no lineales. Aunque el método se presenta en este contexto, realmente es parte de los métodos conocidos como métodos de gradiente para optimizar numéricamente funciones no restringidas, irrestrictas. f i (X) =0, i=1, 2, ..., m
se Xk un punto dado. Entonces por el desarrollo de Taylor f i (X)
f i (Xk ) + f i (Xk) (X-Xk ) , i= 1, 2, ...., m
Por consiguiente, las condiciones originales pueden aproximarse por f i (Xk ) + f i (Xk) (X-Xk ) = 0 , i= 1, 2, ...., m Estas ecuaciones pueden escribirse en notación matricial como A k + B k (X - Xk ) = 0 Bajo la hipótesis de que todas las f i (X) son independientes Bk necesariamente es no singular. Por consiguiente, la última ecuación proporciona X = X k -Bk-1 Ak La idea del método es comenzar desde un punto inicial X 0. Utilizando la ecuación anterior, siempre puede determinarse un nuevo punto X k+1 a partir de Xk. El procedimiento finaliza con X m como la solución cuando Xm Xm-1
1.8 MÉTODO DE LA CUESTA DE MAYOR PENDIENTE. La terminación del método gradiente se efectúa en el punto donde el vector gradiente se anula. Esta es solamente una condición necesaria de optimidad. Por consiguiente, se destaca que la optimidad no puede verificarse a menos que se conozca a priori que f(X) es cóncava o convexa. Suponga que se maximiza f(X). Sea X 0 el punto inicial desde el cual comienza el procedimiento y defina f(Xk ) como el gradiente de f en el punto k de X k . La idea del método es determinar una ruta particular p a lo largo de la cual df/dp se maximiza en un punto dado. Este resultado se logra si se seleccionan puntos sucesivos X k y Xk+1 tales queXk+1 = Xk + r k f (Xk ) donde r k es un parámetro llamado tamaño de paso óptimo. El parámetro r k se determina de modo que X k+1 resulta en la mejora más grande en f. En otras palabras, si una función h(r) se define de manera que h(r) = f [ X k + r f (Xk ) ] r k es el valor de r que maximiza h(r). Ya que h(r) es una función de una sola variable El procedimiento propuesto termina cuando dos puntos sucesivos de ensayo X k y Xk+1 son aproximadamente iguales. Lo anterior equivale a tener
r k f (Xk ) 0 Con la hipótesis de que r k 0, la cual siempre será cierta a menos que X 0 sea el óptimo de f(x), esto es equivalente a la condición necesaria f (Xk ) = 0
Ejemplo: Considere el maximizar la función f(x1 , x2 ) es una función cuadrática cuyo óptimo absoluto ocurre en (x 1 , x 2 ) = (1/3 , 4/3 ). Sea el punto inicial X 0 = (1, 1) . Ahora f(X) = (4 - 4x1 -2x2 , 6-2x1 -4x2 )
Primera iteración f(X0 ) = (-2, 0) El punto siguiente X 1 se obtiene considerando X = (1, 1) + r (-2, 0) = (1-2r, 1) Por consiguiente, h(r) = f(1-2r, 1) = -2(1-2r) 2 +2(1-2r) + 4 El tamaño del paso óptimo que proporciona el valor máximo de h(r) es r 1 = 1/4. Lo anterior proporciona X1 =(1/2, 1).
Segunda iteración. f(X1) =(0, 1) Considere X = (1/2, 1) + r (0, 1) = (1/2, 1 + r) Por consiguiente, h(r) = -2(1+r)2 + 5(1+r) +3/2 Esto da r 2 = ¼ o bien X 2 = (1/2, 5/4) .
Tercera iteración. f( X2 ) = ( -1/2, 0 ) Considere,
Por consiguiente, h(r) = -(1/2)(1-r)2 + (3/4)(1-r) +35/ 8 Esto da r 3 = ¼ o bien, X 3 = ( 3/8, 5/4 ).
Cuarta iteración. f (X3 ) = (0, ¼ ) Considere
Por lo tanto, h(r) = -(1/8)(5+r)2 + (21/16) (5+r) +39/32 Lo anterior da r 4 = ¼ , o bien X 4 =(3/8, 21/16 ).
Quinta iteración. f(X4 ) = (-1/8 , 0 ) Considere
Por consiguiente,
Esto da r 5 = ¼ , o bien X 5 = (11/32, 21/16 ).
Sexta iteración. f(X5 ) = ( 0, 1/16 ) Ya que f(X5 ) 0, el procedimiento puede terminarse en este punto. El punto de máximo aproximado está dado por X5 = (0.3437, 1.31125).
1.9 FUNCIONES DE PENALIZACIÓN. Un enfoque alternativo para resolver el programa
(1) Comprende al programa sin restricciones:
Donde pi > 0 son constantes denominadas costos de penalización. La solución al programa (2) es la solución al programa (1), cuando cada g i (x) = 0. Para los valores grandes de pi la solución de (2) tendrá cada g i (x) cercana a cero, para evitar efectos adversos en la función objetivo por parte de los términos pi gi2 (x); y conforme cada pi -> ¥ , cada g i (x) -> 0. En la práctica, excepto en raros casos, este proceso no puede realizarse analíticamente. En cambio, se resuelve repetidamente el programa (2) empleando el patrón modificado de búsqueda, cada vez con un nuevo conjunto de pesos de penalización incrementados o con un tamaño de avance disminuido. Cada patrón de búsqueda con un conjunto específico de pesos de penalización y un tamaño de avance dado, es una fase del procedimiento de solución. El vector inicial para una fase en particular es el vector final de la fase inmediatamente anterior. Para la primera fase, se seleccionan pesos de penalización pequeños, a menudo de 1/50 = 0.02; generalmente se toma 1 como primer tamaño de avance.
Ejemplo: Usando la función de penalización:
Este programa de maximización, sin restricciones, en las dos variables x 1 y x2 , es lo suficientemente simple como para poderse resolver analíticamente. Haciendo , se obtiene:
Resolviendo estas ecuaciones para x1 y x2 , en términos de p 1 , se obtiene :
Es negativa definida para cada valor positivo de p 1 ,z es una función estrictamente cóncava y su único punto estacionario debe ser un máximo global. Entonces, dejando que , se obtiene la solución óptima al programa original:
CAPÍTULO 2 HEURISTICAS, OBJETIVOS MULTIPLES Y PROGRAMACIÓN META
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
INTRODUCCION CONCEPTOS FUNDAMENTALES ESTUDIO DE CASO: PROGRAMACION DE INSTALACIONES OBJETIVOS MULTIPLES PROGRAMACION META IMPLEMENTACION TERMINOS CLAVE TALLER LECTURA AUTOREGULADA
2.1 INTRODUCCION De vez en cuando, al administrador o al Ingenmiero se le presenta un problema que puede ser tan complejo que el modelo construido para abordarlo no se pueda resolver mediante los algoritmos tradicionales que el analista tiene a su disposición. Este puede ocurrir cuando:
1) El modelo, “correctamente formulado”, puede ser demasiado grande, no lineal en extremo, o demasiado complejo en el aspecto lógico (por ejemplo, que requiera muchas variables 0-1 en su formulación). 2) Se piensa que la imposición de supuestos simplificadores o aproximaciones podría hacer más manejable el problema, pero destruiría demasiado la estructura realística importante del problema (es decir, llevaría al problema tan lejos de la realidad que dejaría de ser útil). Aquí hay un dilema real. El modelo disponible es demasiado complejo para resolverlo. Al mismo tiempo, no estamos dispuestos a simplificarlo en alguna forma perfectible. ¿Qué se puede hacer en esta situación, en apariencia sin esperanza?. En parte, para contestar esta pregunta, se desarrolló el campo de la programación heurística.
Cuando en el análisis anterior usamos la frase
“el problema es
demasiado complicado para resolverlo”, estamos usando la palabra resolver en un sentido rigurosamente matemático. Queremos decir que el modelo matemático es tan complicado que, aunque exista una solución rigurosa (por ejemplo, una solución óptima en un problema de optimización), es difícil y quizá imposible, descubrirla con la tecnología existente y sabiendo como hacerlo. En tal caso, se podría emplear un algoritmo heurístico.
2.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 2.2.1 ALGORITMO HEURISTICO Un algoritmo heurístico es aquel que produce con eficiencia buenas soluciones aproximadas para un problema. Con frecuencia (lo que no quiere decir que siempre) cuando se emplea dicho algoritmo se debe poder medir con precisión la
bondad de la aproximación. Por ejemplo, en un contexto de optimización con algún algoritmo heurístico, se puede hacer una aseveración como: “Al terminar, se puede asegurar que está dentro del ____ % de optimalidad. “o” bajo ciertas hipótesis, la respuesta heurística será óptima en el ______ % de las veces”. El término heurística también se encuentra con frecuencia.
2.2.2 HEURISTICA Una heurística es una apelación intuitiva a una “regla interna” para trabajar con un aspecto del problema. Un programa heurístico es un grupo de heurísticas o algoritmos heurísticos. Por ejemplo, algunos programas de computación emplean la heurística en la fase 1 del método simplex para tratar de encontrar con rapidez el vértice inicial. También se emplea la heurística para obtener una iniciación rápida en el algoritmo de transporte, etc. Como se puede inferir de las definiciones anteriores, la heurística es un recurso que no se duda en usar en la resolución de los problemas de todos los días. Cuando se va al banco y se quiere minimizar el tiempo de espera, uno se puede formar en la línea más corta. Aunque esto no garantiza que resulte lo óptimo, es una regla de decisión que con frecuencia funciona bastante bien. Con base en la costumbre, se prefiere la ventanilla ocupada por un empleado joven y sonriente, aunque por cierto esto no garantice que sea más indulgente que otros. La lista sigue y sigue. En el contexto de la programación matemática, a menudo se emplea la heurística en conjunción con estrategias de resolución de problemas más rigurosas o generales, o como caso particular de ellas.
El punto importante es que un
procedimiento o algoritmo heurístico recurre a la intuición, pero puede garantizar
sus resultados, si los hay, sólo estadísticamente o dentro de ciertos márgenes de incertidumbre. Se emplea sobre todo por su eficiencia (en concreto, para producir con rapidez, con la esperanza de que sean buenos, si no óptimos, los resultados).
2.2.3 OPTIMIZACION COMBINATORIA En la primera parte de este capitulo estudiaremos varios ejemplos de algoritmos heurísticos que se aplican a grandes problemas de optimización combinatoria. El término optimización combinatoria significa que hay sólo un número finito de alternativas factibles y que si todas ellas se enumeran, puede encontrarse la óptima.
El problema radica en que, en la práctica, ese número finito con
frecuencia asciende a millones o a miles de millones de posibilidades y, por lo tanto, aun para las computadoras de alta velocidad, la enumeración completa está fuera de lugar. Aunque tales problemas se pueden formular como programas enteros con variables 0-1, a menudo son tan grandes que aun la formulación de PE es de un costo prohibitivo para llegar a la optimalidad con el enfoque usual de ramificación y acotamiento o enumeración parcial.
2.2.4 PROGRAMACION META Siguiendo los ejemplos de la primera parte del capitulo atenderemos después problemas en los que el objetivo es alcanzar niveles aceptables de ciertas “metas”. Por ejemplo, considérese un problema con objetivos múltiples, pero en conflicto. El presidente de una empresa quiere elevadas ganancias, pero también quiere mantener los precios bajos, con el objeto de evitar la pérdida de clientes. Un ejecutivo con un presupuesto fijo quiere invertir en investigación y desarrollo pero también quiere comprar materias primas para utilizarlas en la obtención de utilidades a corto plazo. Tales ejemplos de objetivos múltiples, pero conflictivos,
son típicos de las aplicaciones a los negocios. La programación meta versa sobre dichos problemas.
El tema está relacionado de cerca con la programación
heurística, ya que, en cierto sentido, la programación de matas misma puede considerarse como un enfoque heurístico que se refiere a los objetivos múltiples.
2.3 PROGRAMACION DE INSTALACIONES (SECUENCIACION DE LAS CORRIDAS EN UNA COMPUTADORA) 2.3.1 TIEMPO DE INSTALACION DEPENDIENTE DE SECUENCIA Imagine un solo medio de producción, a través del cual se deben procesar numerosos trabajos (por ejemplo, una computadora, un taladro de presión o una máquina de helados). Por lo general, el medio de producción tiene que detenerse después de ejecutar un trabajo, con el objeto de preparar el siguiente. Dicho “tiempo muerto” se llama tiempo de instalación o por cambio. Su duración puede depender del siguiente trabajo que se va a procesar y del que se acaba de completar.
Una sucesión de trabajos semejantes (hacer helados de vainilla
francesa en seguida de vainilla Nueva York) se interrumpiría durante menos tiempo por cambio (limpiar la máquina) que una secuencia de trabajos heterogéneos (vainilla francesa y chocolate alemán). Un problema administrativo típico consistiría en secuenciar los trabajos de tal modo que el tiempo total de instalación se minimice. Se puede ver con facilidad que desde el punto de vista combinatorio esto puede ser un problema grave. Si sólo hay tres trabajos por ejecutar, digamos A, B y C, se puede empezar con cualquiera de los tres, continuar con uno de los que restan y el tercero queda determinado (es decir, el trabajo que queda). Las sucesiones posibles se pueden distribuir como un árbol en el que cada arco representa una
sucesión. Las seis posibilidades aparecen en la figura. En general, con n trabajos hay n! = n (n – 1) (n – 2)…. Combinaciones posibles o secuencias. Con sólo 10 trabajos se producen 10! = 3.628.800 sucesiones diferentes. Se puede advertir que el número de sucesiones de trabajos posibles (n!) aumenta rápidamente según la magnitud de n.
AL TRABAJO
A
B
C
27
21
32
35
22
DEL TRABAJO O A B
49
C
46
46 12
Tiempo de instalación en minutos.
A
B
C
B
C
A
C
A
B
C
B
C
A
B
A
Árbol que muestra seis secuencias posibles para los tres trabajos A, B y C. Obviamente, una forma de resolver el problema anterior es mediante la enumeración integral. Es decir, producir cada una de las secuencias posibles de trabajos y calcular el tiempo total de instalación con ellas. Después, se escoge la sucesión asociada con el tiempo mínimo total. Aunque este algoritmo produciría un óptimo verdadero, no es práctico ni siquiera para valores modestos de n debido al gran número de secuencias que se tendrían que enumerar.
En estos problemas, a menudo se aplican reglas heurísticas, aunque no garanticen una solución óptima, porque, en general, conducen con suficiente rapidez a una solución satisfactoria. Como ejemplo, imagine un operador de computadora tiene tres corridas largas por hacer, el lunes por la tarde. La computadora esta ociosa en la actualidad. Para cada uno de esos trabajos hay un tiempo de instalación (buscar las cintas de ingreso de datos, colocarlas, instalar los discos y otros equipos auxiliares) según se especifica en la figura. Dado que sólo hay 3! = 3 . 2 = 6. Secuencias posibles, se pueden enumerar todas. Los resultados aparecen en la figura. Como se puede ver, la sucesión óptima (tiempo mínimo de instalaciones) es 0 – A – C - B. Veamos ahora cómo se podría aplicar una regla heurística a este problema. La regla que ilustraremos se designa como regla del mejor sucesor, a veces llamada algoritmo glotón. La regla procede como sigue: Resultados de la enumeración completa.
SECUENCIA
TIEMPO DE
TOTAL
INSTALACION
(MIN)
0–A–B–C
27 + 35 + 46
108
0–A–C–B
27 + 22 + 12
61
0–B–C–A
21 + 46 + 46
113
0–B–A–C
21 + 49 + 22
92
0–C–A–B
32 + 46 + 35
113
0–C–B–A
32 + 12 + 49
93
2.3.2 UNA HEURISTICA GLOTONA 1) En el paso 1 (es decir, para el primer trabajo), se realiza la tarea de menor tiempo de instalación inicial. 2) En cada etapa subsecuente se elige la tarea que tenga el tiempo mínimo por cambio, basándose en el estado actual. Vamos a aplicar ahora esta regla a los datos de la figura. El trabajo con el menor tiempo de instalación inicial es B. Por lo tanto, el primer paso es O – B. De acuerdo con el algoritmo glotón, pues acabamos de completar B, el trabajo que se elegiría sería C, ya que el recambio para B – C es menor que para B – A.
En
consecuencia, tenemos O – B – C y en seguida sólo podemos concluir con A. Por lo tanto, obtenemos heurística glotona: O – B – C – A. Tiempo total de instalación = 21 + 46 + 46 = 113. Nótese que esto está muy lejos de lo óptimo. En efecto, en este ejemplo, el algoritmo glotón, aunque apela a la intuición, proporciona la peor política posible para nuestro problema. Sin embargo, aplicar esta regla es muy fácil y los estudios de este tipo de problemas han demostrado que, estadísticamente, la regla no es mala para el tipo anterior de problemas de secuenciación.
Por ejemplo, se
demuestra en un artículo que la heurística produce con frecuencia mejores resultados que los que se podrían obtener mediante una selección aleatoria de tareas. En el mismo articulo se demuestra que la siguiente heurística modificada da resultados aun mejores:
2.3.3 UNA HEURISTICA MEJOR Transformar los datos originales de la figura restando a todos los datos de una columna el menor de los tiempos de instalación que aparezca en esa columna. Esto produce los datos de la figura.
O
A
B
C
0
9
10
23
0
A B
22
C
19
24 0
Datos transformados Aplicar el algoritmo glotón a este conjunto transformado de datos. Al hacerlo, se obtiene: Primera etapa mejor
0–A
Segunda etapa mejor
A–C
Tercera etapa
C–B
2.4 OBJETIVOS MÚLTIPLES
2.4.1 El problema de objetivos múltiples En muchas aplicaciones, el que elabora planes tiene más de un objetivo. Sus objetivos diferentes pueden tener igual importancia o, en última instancia, le puede ser difícil comparar la importancia de un objetivo frente a la de otro. Es frecuente que se refiera la presencia de objetivos múltiples como "combinar peras y manzanas". Por ejemplo, considérese el planificador de una corporación cuyas metas a largo plazo consisten en (1) maximizar las utilidades descontadas, (2) maximizar la participación en el mercado al término def periodo de planeación y (3) maximizar el capital contable existente al final de dicho periodo. Estas metas no son conmensurables, lo que significa que no pueden combinarse o compararse en forma directa. También es evidente que las metas están en conflicto. Es decir, hay una compensación, en el sentido de que al sacrificar los requerimientos de una meta se tiende a producir mayores réditos en las otras. Por ejemplo, gastar pocos dólares en publicidad (menos mercadotecnia) permite la construcción de nuevas plantas (mayor capital contable) y la compra de más materia prima (mayor producción). El enfoque de objetivos múltiples es un área reciente, pero importante, de las aplicaciones. En la actualidad, los métodos analíticos para manejar objetivos múltiples no se han aplicado en la práctica con la misma frecuencia que otros modelos, tales como la programación lineal, los pronósticos y el control de inventarios. Sin embargo, los aspectos que se cubren son importantes y algunos líderes de la comunidad de la ciencia de la administración piensan que llegarán a ser más importantes en un futuro próximo. Se ha encontrado que los modelos son especialmente útiles en los problemas del sector público.
2.4.2 Enfoque al Problema Se han desarrollado varios enfoques para los problemas de objetivos múltiples (también llamados de toma de decisiones multicriterios). Estos son: el uso de la teoría de la utilidad con multiatributos, la investigación de soluciones óptimas de Párelo mediante programación lineal con multicriterios, los métodos de
investigación heurística y la programación meta. Nuestro estudio se limita a la programación meta, concepto introducido por A. Chames y W. W. Cooper,4 y lo que de alguna manera puede considerarse como enfoque heurístico al problema de objetivos múltiples. La programación meta es un enfoque poderoso que se basa en desarrollos de la programación lineal que se presentó en los capítulos 2 a 6. Es un área que experimenta ahora considerable interés y desarrollo y que es, en potencia, un tema importante para los administradores futuros.
2.5 PROGRAMACIÓN META Es importante que recordemos lo estudiado en el Curso de Métodos determinísticos relacionado con la forma que adquiere el modelo de programación por meta: La forma del modelo de programación lineal sigue siendo la misma en programación por meta, es decir, también se tiene una función objetivo que optimizar sujeta a una o más restricciones. Sin embargo, dentro de este marco de referencia se agregarán dos conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de las restricciones de recurso que se han analizado. El segundo concepto es el de rango de prioridad entre las funciones de objetivo. Una vez que se establece un problema en el formato del modelo general de programación lineal, para obtener la solución puede aplicarse el MÉTODO SIMPLEX modificado solo para tomar en cuenta las prioridades.
La programación por metas es un enfoque para tratar problemas de decisión gerencial que comprenden metas múltiples o inconmensurables, de acuerdo a la importancia que se le asigne a estas metas. El tomador de decisiones debe ser capaz de establecer al menos una importancia ordinal, para clasificar estas metas. Una ventaja importante de la programación meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisión de objetivos múltiples. El primer paso en la formulación de un modelo de programación por metas consiste en fijar los atributos que se consideran relevantes para el problema que se está analizando. Una vez establecidos los atributos, se pasa a determinar el nivel de aspiración que corresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que el centro decisor desea alcanzar. Seguidamente, se conecta el atributo con el nivel de aspiración, por medio de la introducción de las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. Así para el atributo i-ésimo, se tiene la siguiente meta: donde, como es habitual, f(x)
representa la expresión matemática del atributo i-ésimo, Ti su nivel de aspiración, ni y pi las variables de desviación negativa y positiva, respectivamente. Las variables de desviación negativa cuantifican la falta de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración, mientras que las variables de desviación positiva cuantifican el exceso de logro de una meta con respecto a su nivel de aspiración. Como un nivel de aspiración no puede simultáneamente sobrepasarse y quedar por debajo de él, al menos una de las dos variables de desviación tomarán valor cero cuando la meta alcanza exactamente su nivel de aspiración. Una vez clarificado el significado de las variables de desviación, es importante introducir el concepto de variable de decisión no deseada. Una variable de decisión se dice que no es deseada cuando al centro decisor le interesa que la variable en cuestión alcance su valor más pequeño (esto es cero). Cuando la meta deriva de un atributo del tipo más del atributo mejor (objetivo ( objetivo a maximizar) la variable no deseada (a minimizar), será la variable de desviación negativa (cuantificación de la falta de logro). Finalmente, cuando se desea alcanzar exactamente el nivel de aspiración tanto la variable de desviación negativa como la positiva son variables no deseadas y por tanto variables a minimizar.
La programación meta se aplica en general a problemas lineales; es una extensión de la PL que permite al planificador acercarse lo más posible a la satisfacción de metas y restricciones diversas. Permite a quien toma las decisiones, al menos en el sentido heurístico, incorporar su sistema de preferencias al trabajar con metas múltiples en conflicto. A veces se considera como un intento de poner en el contexto de la programación matemática el concepto de satisfacción. Este término fue acuñado para comunicar la idea de que, a menudo, los individuos no buscan soluciones óptimas, sino, más bien, quieren soluciones que sean "suficientemente buenas" o "bastante próximas". Ilustraremos el método de la programación meta con abundantes ejemplos. Ejemplo: diseño de un programa educativo. Supóngase que se tiene un modelo de diseño de un programa educativo cuyas variables de decisión son x 1 y x2,
donde x1 es el número de horas de trabajo en la clase y x 2 el de horas de trabajo de laboratorio. Supóngase que se tiene la siguiente restricción del total de horas del programa: x1 + x 2
≤ 100 (total de horas del programa)
2.5.1 Dos clases de restricciones En el método de programación de metas hay dos clases de: (1) restricciones del sistema (llamadas "restricciones fuertes") que no pueden violarse; (2) restricciones de meta (llamadas "restricciones flexibles") que se pueden violar cuando sea necesario. La restricción anterior del total de horas del programa es un ejemplo de restricción del sistema. Supóngase ahora que, en el programa que se está diseñando, cada hora de clase abarca 12 minutos de experiencia en grupos pequeños y 19 de resolución de problemas individuales, en tanto que cada hora de laboratorio abarca 29 minutos de experiencia en grupos pequeños y 11 de resolución de problemas individuales. Nótese que el tiempo total del programa es, cuando más, 60(100) o 6000 minutos. Los diseñadores tienen que perseguir dos metas. Los estudiantes deben pasar hasta donde sea posible, un cuarto del tiempo máximo del programa trabajando en pequeños grupos y un tercio en la resolución de problemas. Estas condiciones son: 12x1
+ 29x 2 ≅ 1500 (experiencia en pequeños grupos)
19x1
+ 11x 2 ≅ 2000 (resolución de problemas individuales)
Donde el símbolo ≅ significa que se desea que el primer miembro sea "tan próximo como se pueda" al lado derecho de la restricción. Si fuera posible encontrar una política que satisfaga las metas de experiencia en grupos y resolución de problemas (o sea, que logre con exactitud ambos), entonces dicha política resolvería el problema. Un simple análisis geométrico muestra
que no existe tal política. Entonces, resulta claro que para satisfacer el sistema de restricciones se debe violar, al menos, una de las metas. Para implementar el enfoque de programación meta, la condición de experiencia en grupo se escribe de nuevo como restricción de meta: 12x1
Donde
+ 29x2 + u1 − v1 = 1500 u1
(u1
≥ 0,v1 ≥ 0 )
= Cantidad en la cual el total de experiencias en grupo es menor que 1500
v1
= Cantidad en la cual el total de experiencias en grupo excede de 1500
2.5.2 Variables de desviación Las variables u1 y v1 se llaman variables de desviación. Nótese que, por definición, queremos que u 1 o v1, (o ambos) sean cero porque es imposible que al mismo tiempo falte y sobre de 1500. Para acercar 12x 1 + 29x2 a 1500 cuanto sea posible, basta con hacer que la suma u 1 + v1 sea pequeña. En forma similar, se escribe como restricción de meta lo r elativo a resolución de problemas: 19x1
+ 11x 2 + u 2 − v 2 = 2000
(u 2
≥ 0,v 2 ≥ 0)
y en este caso queremos que la suma de las dos variables de desviación sean pequeñas. Nuestro modelo completo (ilustrativo) se escribe ahora de la siguiente manera: Min u1
+ v1 + u 2 + v 2
s.a. x1 + x 2 12 x1
+ 29 x 2 + u1 − v1
≤
100 (total de horas del programa)
=
1500 (experiencia en grupos pequeños)
19x1
+ 11x 2
+ u 2 − v2 = x1 , x 2 , u1 , v1 , u 2 , v 2
2000 (solución de problemas)
≥0
Este es un problema de PL ordinario que se puede resolver con facilidad por computadora. Las variables de decisión óptimas satisfarán el sistema de restricciones (total de horas del programa). También, resulta que el método simplex garantiza (por razones técnicas que no podemos tratar) que u 1 o v1 (o ambos) serán cero, con lo que estas variables satisfarán en forma automática las condiciones deseadas. La misma afirmación se cumple para u 2 y v2, en general, para cualquier par de variables de desviación. Nótese que la función objetivo es la suma de las variables de desviación. La elección de esta función objetivo indica que no tenemos preferencia entre las diversas desviaciones de las metas establecidas. Por ejemplo, nos es indiferente la decisión que se tome entre las siguientes: (1) una decisión que exceda en 5 minutos la meta de experiencias en grupo y acierte a la meta de solución de problemas con exactitud; (2) una decisión que acierte a la meta de experiencias en grupo con exactitud y le falten 5 minutos para la meta de solución de problemas; (3) una decisión en la que falten 2.5 minutos a cada meta. Dicho de otra manera, nos son indiferentes las tres soluciones (1)
u1
=0
v1
(2)
u1
=0
=5
v1
=0
u2
=0
u2
=5
v2
=0
v2
=0
(3)
u1
= 2.5
v1 u2 v2
=0 = 2.5 =0
Deben ser indiferentes debido a qué cada una de las tr es decisiones produce el mismo valor para la función objetivo. Esta condición puede ser adecuada para este problema concreto, pero no se cumpliría en todos los problemas de programación de metas. La sola diferencia de unidades podría producir una preferencia entre las variables de decisión. Por ejemplo, supóngase que el
problema de resolver la restricción relativa a solución de problemas hubiese sido escrita en horas; es decir, 19
x1 60
+
11 x 2 60
+ u 2 − v2 =
2000 60
No es fácil creer que al diseñador del programa le sea indiferente un exceso de 1 minuto en la experiencia en pequeños grupos (v 1 = 1) y una hora faltante en resolución de problemas individuales (u 2 = 1).
2.5.3 Ponderación de las variables de desviación Una forma de expresar una preferencia entre las diversas metas consiste en asignar distintos coeficientes a las diversas variables de desviación en la función objetivo. En el ejemplo de la planeación del programa se podría elegir: Min 2u1
+ 10v1 + u 2 + 20v 2
como función objetivo. Dado que u 2 (deficiencia en resolución de problemas) tiene el coeficiente más pequeño, el diseñador del programa preferiría tener una u 2 positiva que cualquiera de las otras variables de decisión (la u 2 tiene la menor penalización). En efecto, con esta función objetivo es mejor que falten 9 minutos en la meta de solución de problemas a exceder 1 minuto en la meta de experiencias en grupo. Para ver esto, nótese que para cualquier solución en la que v1 ≥ 1 , al disminuir 1 unidad a v 1 y aumentar 9 a u 2, se obtiene un valor menor en la función objetivo.
2.5.4 Restricciones de intervalo de meta Otro tipo de restricción de metas se llama restricción de intervalo de meta. Por ejemplo, imagínese que en la ilustración anterior a los diseñadores les fuesen indiferentes los programas en los que 1800 ≤ [minutos de resolución de problemas individuales] ≤ 2100 es decir, 1800 ≤ 19x1 + 11x2 ≤ 2100
En esta situación, el intervalo de meta se captura mediante dos restricciones de meta: 19x1
+ 11x 2 − v1 ≤ 2100
(v1
≥ 0)
19x1
+ 11x 2 + u 1 ≥ 1800
(u1
≥ 0)
Cuando se incluyen los términos u 1 y v1 en la función objetivo, el programa de PL trata de minimizarlos. Nótese que, cuando u 1 = 0 y v1 = 0 en optimalidad (los valores mínimos posibles), el total de minutos de resolución de problemas ( 19 x1 + 11x2 ) cae dentro del rango deseado (es decir, 1800 ≤ 19 x1 + 11x 2 ≤ 2100 ). De otro modo resultará que, en la optimalidad, una de las variables será positiva y la otra cero, lo cual significa que sólo se podrá satisfacer uno de los dos lados de la doble desigualdad.
2.5.6 Prioridades absolutas En algunos casos, los administradores no desean expresar preferencia entre diversas metas, en términos de variables de desviación ponderadas, ya que el proceso de asignar pesos podría parecer demasiado arbitrario o subjetivo. En tales casos, puede ser más aceptable establecer las preferencias en términos de prioridad absoluta de las metas. Antes de dedicarnos a este enfoque, resultará útil sintetizar las diversas formas en las que se pueden formular y manejar las restricciones de metas.
2.5.7 Resumen del uso de las restricciones de metas Cada restricción de metas consta de un primer miembro, digamos g i ( x1 ,..., x n ) y un lado derecho, b i. Las restricciones de metas se escriben utilizando variables de desviación no negativas, u i, vi. En la optimalidad, al menos uno del par ui, v i sería siempre cero. La variable u i representa deficiencia; vi representa exceso. Siempre que se use u i va sumada en g i ( x1 ,..., x n ) . Siempre que se usa vi va restada g i ( x1 ,..., x n ) . Sólo aparecen variables de desviación (o un subconjunto de ellas) en la función objetivo, y el objetivo siempre es
"minimizar". Las variables de decisión no aparecen en el objetivo. Hemos analizado cuatro tipos de metas.
1. Objetivo. Hacer g i ( x1 ,..., x n ) tan próximo a bi como sea posible. Para hacer esto, se escribe de nuevo la restricción de meta en la forma g i ( x1 ,..., xn ) + u1
− vi = bi
(u i
≥ 0, vi ≥ 0)
y en el objetivo se minimiza u i + vi. En optimalidad, al menos una de las variables ui, vi, será cero.
2. Minimizar deficiencias.
Para hacer esto, podemos escribir
g i ( x1 ,..., xn ) + u1
− vi = bi
(u i
≥ 0, vi ≥ 0)
y el objetivo consistirá en minimizar u¡, la deficiencia. Dado que no aparece v, en la función objetivo sino sólo en esta restricción, desempeña el papel de variables de excedente y, por lo tanto, la restricción puede escribirse en forma equivalente
g i ( x1 ,..., xn ) + u i
≥ bi
(ui
≥ 0)
Si la ui, óptima es positiva, la restricción será activa, ya que de otra manera u i, podría hacerse más pequeña. Esto también resulta claro en la forma de igualdad de la restricción. Es decir, si u i,>0, entonces, dado que v i debe ser igual a cero, tiene que ser verdad que g i ( x1 ,..., xn ) + ui
= bi
3. Minimizar excedentes. Para hacer esto, se puede escribir
g i ( x1 ,..., xn ) + ui
− vi = bi
(ui
≥ 0, vi ≥ 0)
y se minimiza v,, el excedente en el objetivo. Dado que en este caso u i, juega sólo el papel de variable de holgura, se puede escribir la restricción en la forma equivalente:
g i ( x1 ,..., xn ) − vi
≤ bi;
vi
≥0
Si la vi óptima es positiva, esta restricción será activa. El argumento para esto es análogo al del inciso 2 anterior.
4. Restricción de intervalo de meta. En esta instancia, la meta consiste en aproximarse todo lo posible a satisfacer a1
≤ g i ( x1 ,..., x n ) ≤ bi
Para escribir esto como una meta, primero "alarguemos el intervalo" escribiendo
ai
− ui ≤ g i(x1 ,...,xn ) ≤ bi + vi;
(ui
≥ 0,v1 ≥ 0)
lo que es equivalente a las dos restricciones ^ ≥ ai ⎫ ⎧⎪ g i ( x1 ,..., xn ) + ui − v i = ai ⎬↔⎨ ^ g i ( x1 ,..., xn ) ≤ vi ≥ bi ⎭ ⎪⎩ g i ( x1 ,..., xn ) + u i − vi = bi
g i ( x1 ,..., xn ) + ui
^
(ui ^
(u i
≥ 0, v i ≥ 0 ) ≥ 0, vi ≥ 0)
En el caso de una restricción de intervalo de meta, se minimiza u i + vi, en la ^
^
función objetivo. Las variables v i y u i , son meramente excedente y holgura respectivamente (no variables de desviación). Como de costumbre, al menos una de las variables de desviación u i, vi, serán cero en optimalidad. Al trabajar con dos restricciones que representen un intervalo de meta, la que tenga variable de desviación no nula (si la hay) será activa. En general, las restricciones de meta se expresan con mayor frecuencia en la forma adecuada de igualdad, usando las variables de desviación, de excedente y de holgura que se requieran. Las formas equivalentes de desigualdad que hemos desarrollado nos permitirán obtener, en problemas con dos variables de decisión, una vista geométrica del procedimiento de solución.
2.5.8 Problema de la selección de medios de Swenson. (Un minicaso que abarca prioridades absolutas) En esta aplicación se examina otra faceta posible de la programación meta (la asignación de prioridades absolutas, en oposición a ponderaciones) a un conjunto de metas. Tom Swenson, uno de los socios más antiguos de J. R. Swenson, la agencia de publicidad de su padre, acaba de realizar un acuerdo con un fabricante de productos farmacéuticos para montar una campaña de radio y televisión para introducir un nuevo producto, Mylonal. Los gastos totales de la campaña no excederán a $120,000. El cliente está interesado en llegar a varios auditorios con esta campaña. Para determinar la medida en que se satisfacen las necesidades de este cliente, la agencia estima el efecto de los anuncios en los oyentes que interesan. El efecto se mide en exposiciones usadas término que significa "gente alcanzada al mes". La radio y televisión, los dos medios que la agencia piensa usar, no son igualmente efectivos para llegar a todos los auditorios. En la figura 17.15 se muestran datos relevantes de la campaña del Mylonal. Exposiciones por $1000 de gasto TV
RADIO
Total
14.000
6.000
Tasa superior
1.200
1.200
Después de largas discusiones con el cliente, Tom acepta las siguientes metas para su campaña. Tom piensa que el orden de la lista de metas refleja la prioridad absoluta entre ellas. 1. El espera un total de exposiciones de por lo menos 840,000. 2. A fin de mantener un contacto efectivo con la principal estación de radio, espera no gastar más de $90,000 en publicidad por TV. 3. Piensa que se alcanzarán 168,000 exposiciones como tasa superior. 4. Para concluir, si se satisfacen las otras metas, le gustaría acercarse todo lo posible a maximizar el número total de exposiciones. El advierte que si gasta
completamente los $120,000 en anuncios por TV obtendría 120 X 14,000 o 1,680,000 exposiciones y que este es el máximo obtenible. Es claro que este es un problema con bastantes restricciones. No obstante, desde luego que no es un problema típico de programación matemática, dado que Tom tiene varios objetivos. Sin embargo, él piensa que un enfoque como programación matemática le ayudará a comprender y resolver el problema. Por lo tanto, procede de la manera habitual. Para construir el modelo del problema, introduce la notación x1 = dinero gastado en TV (en miles) x2 = dinero gastado en radio (en miles) Dado que su meta de máxima prioridad es el total de exposiciones, piensa que una forma razonable de construir el modelo del problema consiste en usar ese total como función objetivo y considerar las otras metas como restricciones. En la figura se muestra la formulación y la solución por computadora. Cada restricción y la función objetivo están marcadas para indicar el propósito al que sirven. Vemos que el problema es no factible.
2.5.8.1 Un problema no factible Claro está que, como no es factible, no hay modo de satisfacer simultáneamente las tres metas (total de gastos, gastos de TV y tasa superior de exposiciones) que Tom ha establecido como restricciones. Puesto que en este problema hay sólo dos variables de decisión, se puede usar el enfoque gráfico para investigar las formulaciones iniciales de Tom. El análisis de la figura 17.17 muestra con claridad que no hay puntos que satisfagan tanto la primera restricción (gastos totales) como la tercera (tasa superior de exposiciones). En este punto, Tom puede tratar de enfocar el problema en una forma un poco diferente. Podría cambiar una o más de sus metas, o quizá la función objetivo, y comenzar otra vez. Sin embargo, en general no hay un tratamiento sistemático satisfactorio. En problemas de muchas variables de decisión y varias metas en conflicto, reestructurar el problema para crear uno nuevo que tenga solución factible podría resultar una tarea difícil. Y lo que es más importante, en este proceso de reestructuración podría perderse la esencia del problema real. Recuérdese que a Tom no le son indiferentes las diversas metas; en realidad, ha establecido una prioridad absoluta entre ellas. La programación de metas con prioridades absolutas está diseñada para manejar exactamente el tipo de procesos de decisión que Tom quiere. Es un proceso secuencia! en el que las metas se agregan una a la vez (en el orden decreciente de la prioridad) a un problema de PL. Una descripción del procedimiento general, ilustrado con la campaña de publicidad de Tom, aparece a continuación.
2.5.8.2 Modelo de programación meta de la Swenson Las metas como desigualdades Con el objeto de postular este problema como programa de metas, Tom observa que su primera meta será deficiente si se viola. Si se viola la segunda meta, sería por exceso, etc. Usando este razonamiento, reestablece sus metas, con prioridad decreciente, así:
1. Minimizar las deficiencias en las 840,000 exposiciones (esto es, min h, , sujeta a la condición 14,000x 1 + 6000x2 + u ≥ 840,000, u1 ≥ 0). 2. Minimizar los gastos que excedan a $90,000 en TV (es decir, min v2, sujeta a la condición x 1 — v2 ≤ 90, v2 ≥ 0). 3. Minimizar la deficiencia de 168,000 como tasa superior de exposiciones (o sea, min u3, sujeta a la condición 1200x 1, + 1200x2 + u3 ≥ 168,000, u3
≥ 0). 4. Minimizar la deficiencia a 1,680,000 exposiciones totales, el máximo posible (es decir, min u 4, donde 14,000x1, + 6,000x2 + u4 ≥ 1,680,000, u4 ≥ 0). Nótese que las prioridades de Tom están ahora establecidas con claridad en términos ya sea de minimizar deficiencias (o sea, minimizar una u,) o de minimizar excesos (es decir, minimizar una v i). Su meta, como antes se estableció, se ha expresado en desigualdades, de acuerdo con nuestro estudio anterior. Esto facilitará un análisis gráfico. Puesto que ha formulado correctamente sus prioridades, Tom debe distinguir entre (1) restricciones del sistema (todas las que no se pueden violar) y (2) restricciones de meta. En este problema, la única restricción de sistema es que el total de gastos no deberá ser mayor de $120,000. Por lo tanto (dado que las unidades de x 1, y x2 son millares), tenemos: x1 + x2
≤ 120
En la notación de programación de metas, el problema de Tom puede expresarse ahora como sigue: Min P1u1 + P2 v2
s.a.
+ P3u3 + P4u4
x1 +
≤
120 (S)
+ u1
≥
840,000 (1)
− v2
≤
90 (2)
x2
14,000 x1 + 6000 x2
x1
1200 x1 + 1200 x2
+ u3
≥
168,000 (3)
14,000 x1 + 6000 x2
+ u4
≥
1,680,000 (4)
x1 , x2 , u1 , v 2 , u 3, u 4
≥
0
Nótese que la función objetivo consta sólo de variables de desviación y que es de la forma de minimización. Como ya se estableció, esto es verdad en toda formulación de programación de metas. En la función objetivo, los términos P k sirven como meras indicaciones de prioridades, en las que P k denota la prioridad más alta, etc. En rigor, lo que el enunciado anterior del problema significa es:
2.5.8.3 Regiones factibles secuenciales 1. Encontrar el conjunto de variables de decisión que satisfaga las restricciones del sistema (S) y que a la vez proporcione el valor mínimo posible de u 1 sujeto a la restricción (1) y x 1, x2, u 1 ≥ 0. Llámese a esto conjunto de decisiones RF I (es decir, "región factible I"). Considerando sólo la meta más importante, todos los puntos de la RF I son "óptimos" (es decir, lo mejor que Tom puede hacer) y (considerando otra vez sólo la meta más alta) le es indiferente cuál de esos puntos se elija. 2. Encontrar el subconjunto de puntos de RF I que da el mínimo valor posible de v2, sujeto a la restricción (2) y v 2 ≥ 0. Llámese a este subconjunto RF II. Considerando sólo el arreglo ordinal de las dos metas de máxima prioridad, todos los puntos de RF II son "óptimos" y en términos de esas dos metas de máxima prioridad es indiferente cuál de esos puntos se elija.
3. Sea RF III el subconjunto de puntos de RF II que minimizan u 3, sujeto a la restricción (3) y u3 ≥ 3.
4. RF IV es el subconjunto de puntos de RF III que minimizan u 4 sujeto a la restricción (4) y a u4 ≥ 0. Cualquier punto de RF IV es una solución óptima del problema global de Tom.
Puesto que el problema de mercadotecnia de Tom tiene sólo dos variables de decisión, se puede realizar el método de resolución anterior con el análisis gráfico. En general, se necesita computadora. En la próxima sección veremos cómo se puede hacer mediante programación lineal.
2.5.8.4
Análisis
gráfico
e
implementación
en
computadora
del
procedimiento de solución En la figura tanto el resultado de salida de la computadora como la geometría, revelan que Min u 1 s.a. (S), (1) y x1, x2, u1 ≥ 0 es u1 = 0. Aunque la computadora imprimió los valores óptimos de x 1 y x2, éstos no son de interés. La información importante es que u 1 = 0 lo cual nos dice que se puede obtener íntegramente la primera meta. Óptimos alternativos para el problema actual proceden de todos los valores de (x 1, x2) que satisfagan las siguientes condiciones:
⎧ x1 + x2 ≤ 120 ⎪ RF I ⎨14,000x1 + 6000x2 ≥ 840,000 ⎪ x ≥ 0,x ≥ 0 2 ⎩ 1 En cualquiera de dichos puntos se alcanza la meta de Tom (u 1 = 0) de modo que estas decisiones son de la misma preferencia, en términos sólo de la primera meta. Así, RF I es el área sombreada ABC. La línea marcada (1) representa la meta 1. La flecha marcada u 1 = 0 indica que en todos los puntos a la derecha de la línea (1) se alcanza la meta.
2.5.8.5 La región factible se vuelve más pequeña 2. En la formulación de cómputo de la figura se ha introducido la restricción que define RF I (renglones 2 y 3), junto con la nueva restricción de meta (2), y se advierte que Min v2 s.a. x en RF I, meta (2), y v2 ≥ 0
Primera Meta
Segunda Meta
es v2 = 0. Por lo tanto, RF II se define mediante
⎧ x1 + x2 ≤ 120 ⎪14,000x + 6000x ≥ 840,000 ⎪ 1 2 RF II ⎨ ⎪ x1 ≤ 90 ⎪⎩ x1 ,x2 ≥ 0
que es el área sombreada ABDE, que evidentemente es un subconjunto de RF I.
No se alcanza la meta 3 Continuando de esta manera, la figura muestra que RF III es el segmento de recta BD. En este caso, u 3= 24,000. Aunque se han alcanzado por completo las dos primeras metas (ya que u 1= v2= 0), la tercera no se puede lograr del todo porque u3>0
Meta 3
En esta etapa, a Tom le es indiferente cualquier que satisfaga x1 + x2
≤ 120
14,000 x1 + 6000 x2 x1
1200 x1 + 1200 x2
≤ 840,000
≤ 90
≥ 168,000 − 24,000 = 144,000
que define el segmento de recta BD.
La solución óptima
Para terminar, la figura muestra la solución óptima en el punto D. Recuérdese que la cuarta meta consiste en minimizar las deficiencias número de exposiciones posible, el cual es de 1,680,000. Por lo tanto, queremos minimizar la deficiencia u4, donde 14,000 x1 + 6000 x2
+ u 4 ≥ 1,680,000
En la figura encontramos el óptimo único x 1 = 90 y x'2 = 30; es decir, Tom debe gastar $90,000 en anuncios por televisión y $30,000 en publicidad por radio. Este hecho se confirma mediante el análisis geométrico, en el que es claro que el punto D(x1 = 90, x2 = 30) está más cerca de la línea que describe la meta 4, que es 14,000x1 + 6000x2 = 1,680,000, que cualquier otro de RF III (o sea, que cualquier otro punto de la recta BD). Nótese también que u 4 = 240,000. Por lo tanto, Tom logrará sólo 1,680,000 — 240,000 = 1,440,000 exposiciones.
Entonces, se ve que la programación meta con prioridades absolutas permite a un administrador (como Tom) resolver un problema en el que no hay solución que logre todas las metas, pero en el que está dispuesto a especificar un rango absoluto entre las metas y a restringir, en sucesión, su atención a los puntos que se acerquen en lo posible a cada meta.
2.5.9 Combinación de pesos y prioridades absolutas En alguna extensión, es posible combinar el concepto de ponderación con el de de prioridad absoluta. Para ilustrar este hecho, regresemos al problema de publicidad de Tom Swenson. AI revisar los resultados del estudio de prioridad absoluta, Tom y su cliente empezaron a discutir la importancia de los miembros más viejos del mercado de Mylonal. En particular, se concentraron en el número de exposiciones a individuos de 50 años o más. Vieron de nuevo que radio y TV no son igualmente efectivos para generar exposiciones en este segmento de la población. Las exposiciones por $1000 de anuncios son como sigue:
50 años y más
TV
RADIO
3000
8000
Una nueva meta Si no hubiera otras consideraciones, a Tom le gustaría obtener tantas exposiciones como fuese posible a personas de 50 años o más. Dado que la radio produce una tasa de exposiciones más alta que la TV (8000 > 3000), Tom ve que el número máximo posible de exposiciones "50 o más" se lograría asignando completamente los $120,000 a la radio. En ese caso, el máximo número de exposiciones "50 o más" sería 120 x 8000 = 960,000. A Tom y a su cliente les gustaría acercarse lo más posible a esta meta (minimizar la deficiencia) una vez que se hubiesen satisfecho las tres primeras. Sin embargo, recuérdese que también quieren acercarse en lo posible a la meta de
1,680,000 exposiciones totales (minimizando la deficiencia) una vez que se lograsen las tres primeras metas. Para resolver este conflicto de metas, deciden usar una suma ponderada de las variables de desviación como objetivo en la fase final del enfoque de prioridades absolutas. A su juicio, las deficiencias de la quinta meta (960,000 exposiciones en el grupo de 50 o más) es tres veces más serio que el de la deficiencia de la cuarta meta (1,680,000 exposiciones). La formulación, solución y análisis gráfico Vemos en la solución por computadora que la solución óptima de este problema es el punto B (x 1 = 15, x2 = 105). Recuérdese que cuando la función objetivo consistía en minimizar u 4, la decisión óptima fue el punto D (x 1 = 90, x2 = 30). Por lo tanto, vemos que en el análisis gráfico la nueva función objetivo ha trasladado la solución óptima de uno a otro extremo de RF III. No hay una forma gráfica obvia de encontrar la solución óptima para este problema; es decir, no hay contorno evidente de la función objetivo para impulsarlo en la dirección descendente que lleve hacia el punto x 1 = 15, x2 = 105. Sin embargo, se puede apelar a la intuición para ver que la solución óptima está lo más cerca posible de la meta de mayor ponderación.
Entonces, esto completa el análisis del problema de la campaña de publicidad de Tom Swenson. Es importante advertir que el procedimiento secuencial general de PL antes descrito para la programación de metas con prioridades absolutas, es válido para cualquier problema en el que las restricciones de sistema y las de meta se formulen mediante funciones lineales. Para cada nuevo problema se agrega una sola restricción al modelo previo y la función objetivo se modifica ligeramente. En términos generales, pueden incorporarse un gran número conveniente de variables de decisión. En el ejemplo con dos variables resultó útil debido a que hizo posible presentar la interpretación geométrica, en combinación con el resultado por computadora. Esto aumenta la comprensión de la técnica de resolución. El problema siguiente es útil para indicar cómo se pueden considerar a la vez las metas conflictivas y no conmensurables (es decir, peras y manzanas) mediante la programación meta. Es decir, produce alguna comprensión de por qué la programación meta es prometedora y crecientemente valiosa en el análisis de la política pública.
2.6 LA IMPLEMENTACIÓN Como en la mayoría de los modelos cuantitativos, es costumbre que los enfoques heurísticos sean implementados mediante un programa de computación. En la práctica, una diferencia entre el uso de procedimientos heurísticos, en lo que se opone a modelos más formales tales como la programación lineal o cuadrática, consiste en que en el último caso ya existen programas de cómputo. No obstante, en el caso heurístico a menudo la aplicación es ad hoc, lo que implica que deben elaborarse los programas. Una aplicación típica de la heurística es, como antes se estableció, el área de los problemas combinatorios extensos, para los cuales sería prohibitivo por lo costoso obtener una solución, ya sea por enumeración o aplicando un modelo matemático formal o de programación entera. En todas las aplicaciones de la heurística hay un criterio implícito del administrador en el que la "aceptabilidad", en lugar de la "optimalidad", es un modo adecuado de pensar. En otras
palabras, se siente que las "buenas soluciones", en oposición a las "soluciones óptimas", pueden ser valiosas y satisfactorias. Esta filosofía encaja bien, en particular, en problemas que más bien son vagos en su formación, tales como los problemas de alto nivel con objetivos sustitutos, o para los cuales Hay numerosos criterios en conflicto de intereses y para los que, en consecuencia, no está definida con claridad una sola función objetivo. En la práctica, el uso de la heurística está ligado, en algunos casos, al campo de la inteligencia artificial, donde la computadora se programa con técnicas heurísticas para demostrar teoremas, jugar ajedrez y aun escribir poemas. Quizá el uso más común de la heurística en la ciencia de la administración haya sido, a la fecha, en problemas de balance de líneas de ensamble, programación de trabajos y, asignación de recursos en la administración de proyectos. Sin embargo, en tiempos recientes ha habido un incremento en el alcance de sus aplicaciones, en áreas tales como la selección de medios en mercadotecnia,
delimitación
de
distritos
políticos
y
programación
o
posicionamiento de sistemas urbanos.
2.6.1 Interacción entre el modelo El que toma las decisiones En la implantación de modelos heurísticos, la interacción administrativa y la retroalimentación desempeñan un papel quizá mayor que en el caso de la construcción de modelos más formales, ya que, en el caso heurístico, el administrador debe evaluar no sólo el modelo, sino en forma implícita, también el algoritmo. Esto se debe a que, para el mismo modelo, heurísticas diferentes conducen a "soluciones distintas". Esta interacción estrecha entre el modelo y el que toma las decisiones se manifiesta también en la programación meta, cuando el que decide debe asignar prioridades a di- ; versas metas, como en la forma de arreglo ordinal (o sea, de prioridades absolutas). La programación meta apela a la intuición y en este sentido, es "heurística", en su enfoque de problemas con objetivos múltiples. En la programación de metas con prioridades absolutas, el administrador debe considerar con cuidado la "importancia relativa" o "utilidad"
de sus metas. Según el resultado del modelo, el que toma las decisiones puede querer cambiar las prioridades, o aun el número de metas, y volver a correr el modelo. En otras palabras, así como con la programación lineal, el análisis de sensibilidad viene a ser una parte importante de la implementación. Dado que la programación; de metas está más o menos en la infancia, el campo se desarrolla a gran velocidad, desde ' un punto de vista teórico, y parece claro que esto impulsará un uso mayor de la técnica, en especial cuando el análisis de sensibilidad llegue a ser mejor comprendido. En la práctica, existen códigos de computación para resolver programa gran escala, en el modo de procesamiento por lotes, pero no son parte de programas estándar. Para los problemas de tamaño medio del modo 1 la adecuación ideal para la técnica secuencial que se describe en este capítulo.
2.7 TÉRMINOS CLAVE Heurística.
Regla interna que apela a la intuición para manejar algunos
aspectos de un problema.
Algoritmo heurístico. Algoritmo que proporciona con eficiencia buenas soluciones aproximadas para un problema dado, a menudo con estimaciones, como de la bondad de aproximación.
Programa heurístico.
Conjunto de heurísticas y/o algoritmos heurísticos.
Tiempo de instalación.
Tiempo que se necesita para que una actividad
pueda comenzar.
Algoritmo glotón. Algoritmo que indica la máxima mejoría que se debe obtener en cada paso de un proceso secuencial.
Regla del mejor sucesor. Lo mismo que algoritmo glotón.
Relación de precedencia. Significa que deben terminarse ciertas actividades antes de que puedan empezar otras.
Diagrama de carga de personal. Gráfica de barras que muestra el número total de personal que se necesita por semana para realizar una programación de actividades dada.
Holgura. En el contexto de programación de proyectos se refiere a la máxima cantidad de tiempo que cualquier actividad dada puede demorarse sin retrasar la terminación del proyecto global.
Programación meta. Investiga decisiones admisibles que se acerquen en lo posible al logro de metas específicas.
Variables de desviación. Variables que se usan en programación meta para medir la extensión en que se violan determinadas metas.
Programación de intervalos de metas. Una versión de la programación meta en la que éstas se especifican mediante un intervalo de indiferencia, en vez de un valor numérico específico.
2.8 TALLER
1. Un fabricante de “Chips” para computadoras prueba 3 características diferentes (A;B y C) antes de embarcar sus productos. El tiempo de prueba, incluyendo el tiempo de preparación, depende de que pruebas ser hayan hecho antes. Inicialmente el equipo de pruebas no está preparado para cualquiera de las tres características, la tabla muestra el tiempo requerido. PRUEBA PRUEBA ANTERIOR O A B C
A
B
C
10 15 18
22 25 21
8 7 12 -
Use una heurística glotona para programar las pruebas. El objetivo es minimizar el tiempo total de pruebas
2. La compañía de distribución Alpha suministra un solo producto a tres clientes en diversos sitios desde b4odegas diferentes. Durante el período de planeación considerado, la compañía no puede cumplir la demanda de los clientes. Sin embargo, la compañía ha determinado que las demandas de ciertos clientes deben satisfacerse a expensas de otros. Para evitar desequilibrios serios, es importante balancear la porción de demanda satisfecha entre ciertos clientes. también debido a acuerdos sindicales, la compañía debe satisfacer ciertos requisitos mínimos en los niveles de embarque en ciertas rutas. Finalmente, varias de las rutas sobre las cuales se podría embarcar el producto son peligrosas y deben evitarse. A continuación se resume el problema de transporte y los costos de embarque se dan en cada una de las celdas y los valores de demanda en los márgenes. Nota que la demanda total excede al suministro total en 1,500 unidades.
Bodega 1 Bodega 2 Bodega 3
Cliente 1 10 8 2000
Cliente 2 4 10 1500
Cliente 3 12 3 5000
Suministro 3000 4000
La administración tiene las siguientes preferencias en las metas (en orden decreciente de importancia):
1. Satisfacer la demanda total del cliente 3 ( entrega garantizada) 2. Satisfacer por lo menos el 75% de la demanda de cada cliente. 3. Minimizar el costo de transporte para los artículos embarcados. 4. Embarcar por lo menos 1000 unidades en la ruta de la Bodega 2 al Cliente 1 (convenio sindical) 5. Minimizar el costo de embarque en las rutas de la bodega 1 al cliente 3 y de la bodega 2 al cliente 2 (peligros). 6. Balancear el porcentaje de demanda satisfecha entre los clientes 1 y 2. Plantear el modelo de programación meta.
3. La compañía Bevco ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes. Cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El análisis ha mostrado que sería rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos nuevos productos. En realidad, el propósito principal de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilización completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. Mientras que las plantas Bevco generalmente operan a capacidad plena en sus líneas de productos existentes, la producción por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aunque la compañía no necesita la fuerza laboral plena durante los períodos de holgura, el costo de los despidos sería considerable, y Bevco desearía evitar esto tanto como fuera posible. Además, la gerencia desearía balancear la utilización del exceso de capacidad entre las plantas sucursales. esto serviría para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos. Para el período que se está considerando, las plantas tienen las siguientes capacidades de producción en exceso ( en términos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos: Planta Capacidad de exceso de Capacidad de embarque producción (unidades) (pies cúbicos) 1 750 12,000 2 300 10,000 450 6,500 3
Los productos 1, 2 y 3 requieren 30,20 y 15 pies cúbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias a la utilidad de los productos 1,2 y 3 son $15 $18 y $12 respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que Bevco puede esperar ventas tan altas como 900, 1,000 y 700 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente, durante el período de planeación en consideración. Dada esta situación, la administración ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente.
1. Lograr una utilidad perseguida de $15,000 2. Utilizar tanto, como sea posible, la capacidad de exceso. Debido al bajo costo de la mano de obra, la administración cree que es 1.5 veces más importante utilizar la capacidad de exceso de la planta 1 que la de las plantas 2 y 3. 3. Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilización de exceso de capacidad entre todas las plantas. debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta 1, la administración cree que si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo, es dos veces más importante favorecer a la planta 1 con menor trabajo con respecto a las plantas 2 y 3. 4. Lograr el pronóstico de ventas para el producto 2, puesto que éste tiene la mayor contribución a la utilidad por unidad. 5. Producir suficiente cantidad de los productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas. 6. No exceder la capacidad de embarque disponible. Plantear el modelo de programación meta.
2.9 LECTURA AUTOREGULADA
TODOS NOS MORIMOS POR UN HELADO ¿O POR UN YOGIJRT? ¿Qué seria mejor que un helado en un caluroso día de verano? Bueno, ésa es una gran pregunta en el mercado de postres congelados donde distintas calidades de helados y yogurt congelados compiten por su refrescante dólar. Desde 1851, cuando abrió la primera fábrica comercial de helados en Baltimore, los EE.UU. han disfrutado de un romance con helados, industria que actualmente produce 9.5 billones de dólares al año. Más aún, el estudio de .esta área hace largo tiempo que forma parte de los estudios académicos. La universidad de Penn State ofrece desde 1890 un curso de dos semanas sobre helados. Los estudiantes aprenden la importancia de los diversos ingredientes y cómo mezclar, procesar, dar sabor y congelar sus creaciones. Ben Cohen y Jerry Greenfield son los graduados ¡ilustres de la versión por correspondencia del curso de Penn state. Su Ben & , Jerry’s Homemade, Inc., es un negocio de 58 millones de dólares, Su negocio ha capitalizado el deseo yuppie de helados sabrosos y naturales de primera calidad. Sus productos son altos en grasa, calorías y colesterol y también son densos, es decir, contienen menos aire, lo que diferencia sus helados de La mayor parte de los helados regulares de los supermercados. El yogurt congelado se está convirtiendo en un competidor del helado, Jimy Joanne Biltekoff son propietarios y administran Elan Foods, un negocio de rápido crecimiento de postres congelados. Procuran ofrecer un producto con el rico sabor del helado de primera calidad, sin crema. En su Lugar emplean yogurt, y afirman que su postre tiene la mitad de calorías y 80% menos grasa y colesterol helados que los helados de primera calidad. Imagine que está en el negocio de los helados y desea maximizar ganancias. También desea bajar los costos de capital. Más aún le preocupa el contenido de grasa, colesterol y calorías ¡Pero no desea sacrificar el buen sabor ¡ Tiene varios objetivos en mente, así que necesita decidir sobre su relativa importancia.¿ Cree que podría hacer helados para muchos mercados
diferentes? ¿Desea ampliarse al mercado de yogurt, como lo hicieron Ben & Jerry? Se da cuenta de que lo que tiene. de hecho, es un problema de programación de metas. ¿Puede imaginar el problema de mezcla de PL que construiría para ayudar a contestar sus preguntas?
PREGUNTAS SOBRE EL CASO:
• ¿Qué expectativas puede identificaren los clientes y propietarios entrevistados en el caso respecto a los postres congelados? • ¿Por qué es importante que los propietarios de tiendas de postres ofrezcan a los clientes vanas opciones? MÁS ALLÁ DEL CASO:
• Considere el problema de dietas del Hospital General Mountain View, ¿Qué similitudes tiene este problema hospitalario con la situación que enfrentan los productores de postres? • Enumere al menos cinco “metas posibles si tuviera que construir un problema de programación enfocado a postres congelados? CONSIDERACIONES PRÁCTICAS:
• Discuta las cuestiones de salud y de dieta respecto a los postres congelados y el impacto que estas cuestiones tienen sobre la línea de productos de una compañía de postres congelados. • Discuta el problema de incorporar el sabor como una de las metas de programación. ¿De qué tendría que prescindir para obtener un mejor sabor?
UNIDAD DOS CAPITULO 1 CADENAS DE MARKOV 1.1 INTRODUCCIÓN 1.2 PROCESOS ESTOCÁSTICO 1.3 CADENAS DE MARKOV 1.4 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.5 TALLER
1.1 INTRODUCCIÓN.
Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un momento dado. Algo más importante aún, es que permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema a través del tiempo. La tarea más difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La característica más importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro. Las cadenas de Markov se incluyen dentro de los denominados procesos estocásticos. Dichos estudian el comportamiento de variables aleatorias a lo largo del tiempo X(t,w). Se definen como una colección de variables aleatorias {X(t,w), t ∈ I}, donde X (t,w) puede representar por ejemplo los niveles de inventario al final de la semana t. El interés de los procesos estocásticos es describir el comportamiento de un sistema e operación durante algunos periodos. Los procesos estocásticos se pueden clasificar atendiendo a dos aspectos: si el espacio de estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos o continuos y de si los valores del tiempo son discretos o continuos.
Las cadenas de Markov es un proceso estocástico en el que los valores del tiempo son discretos y los estados posibles de la variable aleatoria contiene valores discretos, es decir, es una cadena estocástica de tiempo discreto. Las cadenas de Markov, se clasifican, además, dentro de los procesos estocásticos de Markov, que son aquellos en el que el estado futuro de un proceso es independiente de los estados pasados y solamente depende del estado presente. Por lo tanto las probabilidades de transición entre los estados para los tiempos k-1 y k solamente depende de los estados que la variable adquiere dichos tiempos.
1.2 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. UN proceso estocástico de tiempo discreto es una descripción de la relación entre las variables aleatorias X0,X1,...que representan alguna Característica de un sistema en puntos discretos en el tiempo.
Ejemplo 1: ruina del jugador: inicialmente tengo 2€, en los tiempos 1,2,...participo en un juego en el que apuesto 1€ que gano con probabilidad p y pierdo con probabilidad 1-p. Dejo de jugar cuando mi capital es 4€ o he perdido todo mi capital. Si Xi es la cantidad de dinero que tengo en el tiempo i, X0,X1,... es un proceso estocástico.
UN proceso estocástico de tiempo continuo es un proceso estocástico en el que el estado del tiempo se puede examinar en cualquier tiempo.
Ejemplo 2: número de personas en un supermercado a los t minutos de abrir
1.3 CADENAS DE MARKOV. Cadena de Markov: proceso estocástico de tiempo discreto que para t=0,1,2,... y todos los estados verifica P(X t+1=it+1 | Xt=it, Xt-1=it-1, ..., X1=i1, X0=i0)=P(Xt+1=it+1|Xt=it)
Hipótesis de estabilidad: P(X t+1=i t+1t=i)=pij (no depende de t)
Probabilidades de transición: p ij
Matriz de probabilidades de transición: P=
Se debe verificar:
Σ
J=1
py =1
p11
p12 ...
p1s
P21
p22 ...
p2s
Ps1
Ps2 ...
Pss
Las cadenas de Markov que cumplen la hipótesis de estabilidad se llaman cadenas estacionarias de Markov.
Distribución inicial de probabilidad de una cadena de Markov : q=[q1,...,qs] donde qi=P(X0=i)
E jemplo 3: la ruina del jugador es una cadena de Markov estacionaria Estados: 0, 1, 2, 3, 4 Matriz de transición
1
0
0
0
0
1-p
0
p
0
0
0
1-p
0
p
0
0
0
1-p
0
p
0
0
0
0
1
La matriz de transición se puede representar con un grafo en el que cada nodo representa un estado y cada arco la probabilidad de transición entre estados.
1-P 1
1-P
1- P
0 1
P
2
3
P
4
1
p
PROBABILIDADES DESPUÉS DE N PASOS. Si una cadena de Markov estacionaria está en el estado i en el tiempo m, ¿cuál es la probabilidad de que n períodos después la cadena esté en el estado j? P(Xm+n =j |Xm= i) = P(Xn= j | X0=i)=Pij(n)
Pij(n) es la probabilidad en la etapa n de una transición del estado i al estado j
Pij(1)=pij,
S
Py(2)= ∑ K=1
Pik PK j
Pij (n)
elemento ij-ésimo de Pn
Probabilidad de estar en el estado j en el tiempo n =
∑ qi py (n) S
i=1
CLASIFICACIÓN DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV.
Dados dos estados i y j, la trayectoria de i a j es la sucesión de transiciones que comienza en i y termina en j, de forma que cada transición de la secuencia tenga probabilidad positiva.
Un estado j es alcanzable desde un estado i si hay una trayectoria de i a j.
Dos estados i y j se comunican si i es alcanzable desde j y j es alcanzable desde i.
Un conjunto de estados S en una cadena de Markov es cerrado (constituyen una clase de la cadena) sin ningún estado fuera de S es alcanzable desde un estado en S.
Un estado i es absorbente si pii=1
CLASIFICACIÓN DE ESTADOS EN UNA CADENA DE MARKOV.
Un estado i es transitorio si hay un estado j alcanzable desde i, pero el estado i no es alcanzable desde j.
Un estado es recurrente si no es transitorio .
Un estado i es periódico con periodo k>1 si k es el menor número tal que todas las trayectorias que parten del estado i y regresan al estado i tienen una longitud múltiplo de k.
Si un estado recurrente no es periódico es aperiódico . Si todo el estado de una cadena son recurrentes, aperiódicos y se comunican entre sí, la cadena es ergódica.
PROBABILIDADES EN ESTADO ESTACIONARIO. Si P es la matriz de transición de una cadena ergódica de s estados entonces existe un vector
π=[π1 π2 ...π3 ] tal que n
LIMP P = n ∞
π1
π2 ... πs
π1
π2 ... πs
π1
π2 ...
πs
Es decir, LIMPij =(n)= π J n
∞
A π se le llama distribución de estado estable o de equilibrio para la cadena de Markov
PROBABILIDADES EN ESTADO ESTACIONARIO.
π se puede determinar a partir de la ecuación : π j =
∑π S
k
pkj
K=1
En forma matricial π =πp
Este sistema tiene un número infinito de soluciones porque el rango de P Siempre resulta ser menor o igual que s-1 También se debe verificar : π1 +π2 + ... + πs = 1
INTERPRETACIÓN INTUITIVA DE LAS PROBABILIDADES DE ESTADO ESTABLE.
π j (1 − p j j )
=∑ πκ Pk j
K ≠ j
Probabilidad de que una transición determinada deje el estado j = probabilidad de que una transición determinada entre al estado j.
Probabilidad de que una transición determinada deje el estado j =
π j (1 − p j j )
Probabilidad de que una transición determinada entre al estado j=
∑π
κ
Pkj
K ≠ j
En el estado estable el flujo de probabilidad hacia cada estado debe ser igual al flujo de probabilidad que sale de cada estado: probabilidades de equilibrio
ANÁLISIS DE ESTADO TRANSITORIO El comportamiento de una cadena de Markov antes de alcanzar el estado estable se llama comportamiento transitorio.
Para su estudio se utiliza las fórmulas dadas anteriormente para P i j(n).
1.3 PROCESO DE DECISIÓN MARKOVIANO Aplicación de la programación dinámica a un proceso de decisión estocástico
Las probabilidades de transición entre estado están descritas por una cadena de Markov.
La estructura de recompensas del proceso está descrita por una matriz cuyos elementos individuales son el coste o el beneficio de moverse de un estado a otro.
Las matrices de transición y de recompensas dependen de las alternativas de decisión.
Objetivo: determinar la política óptima que maximice el ingreso esperado en un número finito o infinito de etapas.
3
MODELO DE ETAPAS FINITAS
Objetivo: optimizar ingreso esperado al final de un período de tamaño N
Pk =[pi j k ] y R k =[ri j k ] matrices de transición y recompensa para la alternativa
k
f n(i)= ingreso esperado óptimo de las etapas n, n+1,...,N si el estado del sistema al inicio de la etapa n es i.
∫n(i) = max k
∫n+1(j) = 0,
m
∑j=1 P
ij
k
[rij k ∫n+1(j)]
,
n = 1,2,…, n,
j = 1,2, … ,m
Modelo de etapas infinitas
• Nos interesan políticas para las que existan soluciones de estado estable • Métodos: • Enumeración exhaustiva: se evalúan todas las políticas estacionarias posibles del problema de decisión • Iteración de política: determina la política óptima de forma iterativa 4 ENUMERACIÓN EXHAUSTIVA
Problema de decisión con S políticas estacionarias
Pasos del método
Calcular el ingreso de una etapa esperado de la política s dado el estado i,
i = 1,2,...,m:
s
m
∑
V1 = Pij rijs J=i Calcular las probabilidades estacionarias de largo plazo de la matriz de transición asociada a la política s
Determinar el ingreso esperado de la política s por paso de transición:
Es =
m
∑ i=1
πis vis
La política óptima s* se determina de forma que Es* = max{Es}
s
ITERACIÓN DE POLÍTICAS
Problema de decisión con S políticas estacionarias
Para una política específica :
Rendimiento total esperado en la etapa n :
m
P ∑ k j=1
∫n(i) = Vi +
ij ∫n+1(j),
i= 1,2, ... , m
η número de etapas que faltan por considerar: m
∫n(i) = Vi +
P ∑ j =1
ij ∫n – 1 (j),
i= 1,2, ... , m
El comportamiento asintótico del proceso se estudia haciendo η→∞
ITERACIÓN DE POLÍTICAS
Ingreso esperado por etapa : E=π1v1 + π2v2 + ...+ πmvm
Para η grande donde ∫n(i) ηΕ +∫(i) es un término constante que representa el efecto sobre el ingreso de comenzar en el estado i. Sustituyendo en la ecuación recursiva y simplificando
m
E=V1 +
∑
J=1
Pij ∫ (j) - ∫ (i), i= 1,2, ... , m
que es un sistema de m ecuaciones y m+1
incógnitas: E, f(1),...,f(m).
ITERACIÓN DE POLÍTICAS Para determinar el valor máximo de E se sigue un proceso iterativo que termina cuando dos políticas sucesivas son idénticas:
Paso de determinación del valor: se elige una política arbitraria s. Suponiendo f s(m)=0 se resuelven las ecuaciones:
m
∑P
Es=Vsi +
s ij
∫ s(j) - ∫ (i), i= 1,2, ... , m
j=1
Paso de mejoramiento de política: Para cada estado i determina la política k que produce
m
MAX K
∑P
ViK
K ij
∫ s(j )
, i= 1,2, ... , m
j=1
Las decisiones óptimas que resultan para los estados 1,2,..., m constituyen la nueva política t. Si s y t son idénticas, t es óptima. Si no es así, se repite el proceso con s=t.
1.4
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
PROBLEMA RATÓN:
Un ratón cambia de habitáculo cada minuto con igual probabilidad a las • salas adyacentes SALÓN 1
ENTRADA
1/2
S
E
1/2
1/3 1/2
1/3
1/3 1/3 1/3
H
C 1/3 1/2
Matriz de probabilidades de transición:
P=
0 1/3 1/2 0 1/3 1/3 1/2 0
1/3 1/2 0 1/2
1/3 0 1/3 0
|
Calculamos el espectro:
Autovalores:
λ λ λ λ
=0 =1 = -1/3 = - 2/3
λ
I–P|=0
Multiplicidad 1 y único de módulo 1
Existe distribución final. P (λ) ( I – P ) = 0 Sistema de ecuaciones:
( PS , PH , PC ,PE )
1 -1/2 -1/3 -1/2
-1/3 -1/3 1 -1/2 -1/3 1 0 -1/2
-1/3 0 -1/3 1
= (0,0,0,0,0)
PS + PH + PC + PE = 1 -Salón -Habitación -Cocina -Entrada
Las Probabilidades son
PS = 0,3 PH = 0,2 PC = 0,3 PE = 0,2
Existe distribución límite porque:
• •
El sistema tiene una sola clase final Esa clase final es aperiódica
PARA ACABAR CON EL RATÓN
• •
Se pone queso envenenado en la cocina Se abre la puerta de la entrada (S C)
S C
A hora
el
s is t e m a
ca rece lím it e
d e
H
d i s t r ib u c ió n
- H a y d o s d is t r ib u c io n e s f in a l e s
1/3
1/3 E
S C
S 1/3
1/3
1/3
1/3 C
1/3 1/3
H
E
¿Que probabilidad hay de que el sistema sea absorbido en cada estado final ?
• E, S y H son estados transitorios. • C y SC son estados recurrentes o finales. • • •
La situación inicial del ratón determinará la situación futura. Si inicialmente está en E es más probable que salga de casa. Si inicialmente está en H es más probable que se quede en la cocina.
Matriz de transición:
1 0 P=
0 1
1/3 0 0 1/3 0 1/3
Estructura de P :
0 0
0 0
0 0
0 1/3 1/3
1/3 1/3 0 1/3 1/3 0
P =
I
O
R
Q
Matriz identidad (tantas columnas y filas como estados finales)
• • • •
(I)
Matriz 2 x 3 (tantas columnas como transitorios y tantas filas como estados finales) (O) Matriz 3 x 2 (Probabilidades de absorción en un solo salto)
(R )
Matriz 3 x 3 (Probabilidad de transición entre transitorios)
(Q)
QIJ probabilidad de que el sistema, encontrándose inicialmente en el estado transitorio i acabe en el estado final j.
i = Entrada, Salón, Habitación (estados transitorios) (3,4,5) j = Cocina, Salir de casa (estados finales) (1,2) Q31 = 1/3 + 1/3 Q41 + 1/3 Q51
Prob. De que estando en 4 pase a 1 Prob. de que se marche directamente
Q41 = 1/3 Q31 + 1/3 Q51 Q51 = 1/3 Q31 + 1/3 Q41 Resolvemos el sistema:
1 -1/3 -1/3
-1/3 1 -1/3
-1/3 -1/3 1
Q31 Q32 Q41 Q42 Q51 Q52
=
I-Q
1/3 0 0 1/3 0 1/3
R
Matriz de prob. Entre transitorios
Matriz de absorción en un solo salto
Probabilidad de acabar en cada uno de los estados finales en función de su posición inicial.
Q31 Q32 Q41 Q42 Q51 Q52
=
1/2 1/2 1/4 3/4 1/4 3/4
La suma de los términos de las filas debe ser 1.
O termina en un estado final o en el otr o.
La probabilidad de los estados transitorios es ce ro
Dependiendo de la situación inicial del ratón ¿Cuánto tiempo medio tardará en desaparecer? Llamamos mi al número medio de transiciones hasta la absorción si el sistema se encuentra en el estado transitorio i
mE
Nos encontramos inicialmente en la entrada.
mi = es una v.a. de tipo discreto .
mi = 1, 2,3 ... El ratón se va a la 1ª
SISTEMA DE ECUACIONES:
mE = 1 ·1/3 + 1/3 (1 + mS ) + 1/3 (1 + mH) Pasar de la entrada al dormitorio 1.2.1.1.1
Tiempo
Tiempo
1.2.1.1.1.1.1.1.1
Probabilidad
mS = 1 ·1/3 + 1/3 (1 + mE ) + 1/3 (1 + mH) mH = 1 ·1/3 + 1/3 (1 + mE ) + 1/3 (1 + mS)
1 -1/3 -1/3
-1/3 1 -1/3
-1/3 -1/3 1
mS mE mH
=
1 1 1
mS mE mH
3 = 3 3
I-Q Independientemente de la sala donde se encuentre inicialmente, el tiempo que transcurre hasta que nos deshacemos del ratón es tres.
2. PROBLEMA TELEFONÍA MÓVIL Una agencia de telefonía móvil está estudiando la demanda presentada por el Ayuntamiento de una población cercana a Madrid. Esta población se ha querellado por una cobertura insuficiente del servicio de telefonía móvil. Concretamente aseguran que el tiempo que tarda una llamada en cortarse es
inferior a 10 minutos cuando las personas que están hablando transitan por la calle o circulan en vehículos. Para verificar este hecho dos técnicos de telefonía se han desplazado a esta localidad y han medido los niveles de calidad en conversaciones en los que ambos interlocutores hablan manteniéndose quietos en sus sitios (estudio estático), y también han hecho mediciones cuando ambos interlocutores andan por la calle (estudio dinámico). El estudio ha consistido en evaluar cada minuto los niveles de calidad de la recepción de señal en ambos terminales móviles. En el estudio estático los niveles de calidad de recepción en cada Terminal son dos, 1 y 2 , de menor a mayor calidad de recepción. En el estudio dinámico los niveles de calidad de recepción son tres, 0, 1 y 2. El nivel 0 corresponde a la pérdida de la llamada. Del resultado del estudio estático ha resultado que la probabilidad de que cualquiera de los terminales mantenga su nivel de cobertura en el minuto siguiente es del 80%, la probabilidad de que cada Terminal baje un nivel es de un 10% y de que suba otro 10%. Por otra parte del estudio dinámico ha resultado que la probabilidad de que la cobertura de cada Terminal se mantenga es del 70%, de que cada Terminal suba un nivel es del 20% y de que baje un 10%. PROBLEMA ESTÁTICO.
2.2 La variable de estado de ambos estudio de ambos estudios es el nivel de cobertura, y la cadena de Markov asociada será la siguiente: 0.81
0.09
0.81
0.09
1, 1
1, 2
0.01
0.09
0.01
0.09
0.09
0.01
0.01
2, 1
0.09
0.09
2, 2
0.09 0.81
0.81
La matriz de probabilidades de transición será:
PEE
0,81 0,09 0,9 0,01
0,09 0,81 0,01 0,09
0,09 0,01 0,81 0,09
0,01 0,09 0.09 0,81
La calidad de la conversación se establece como semisuma de los niveles de cobertura de los terminales operativos. Sería interesante preguntarse si es posible determinar la calidad media de conversaciones. Para calcularla estudiamos la distribución límite de los estados, que existe porque hay una única clase final aperiódica .
Autovalores de PEE se obtienen haciendo
λ
⋅ I − PEE = 0
= 1 λ = 0,8 (De multiplicidad 2) λ = 0,64 λ
La distribución límite existe, porque hay un auto valor λ = 1 de multiplicidad 1 (condición necesaria), y el resto de autovalores no tienen módulo 1 (condición suficiente). La distribución límite es la asociada al auto valor λ = 1
(p1, p2, p3, P4)
0,19 - 0,09 - 0,09 - 019 - 0,09 - 0,01 - 0,01 - 0,09
-
0,09 - 0,01 0,01 - 0,09 0,09 - 0,09 0,09 0,19
P1 +p2 + p3 + p4 = 1 0,19 - 0,09 - 0,09 - 0,01
P1
- 0,09 0,19 - 0,01 - 0,09 - 0,09 - 0,01 - 0,19 - 0,09 1 1 1 1
P2 p3 P4
0 =
0 0 0
=
0 0 0 0
(P1 P2 P3 P4) = (0,25 0,25 0,25 0,25) La calidad media de las conversaciones estáticas: q =(1+1). P1 + (1+2). P2 +(1+2). P3+(2+2). P4 q =2 * 0,25 +3 0,25
+ 3 0,25 +4 *0,25 =1,5
2
PROBLEMA DINÁMICO. Considerando variable de estado el nivel de cobertura, la cadena de Markov asociada será la siguiente: 0,0
1 1
0, 1
1
2
0,7 0,1
0,1 0,1
·
3
1
1, 2 ·
0,9 0,1 ·
0,1 0,1 ·
0,2 0,1 ·
4
6
·
0,7 0,7
0,9 0,7 ·
·
0,7 0,1 ·
1
7
0,7 0,2
1, 0
0,1 0,1 ·
1, 2
0,7 0,1 ·
1, 1
02 01
0,1 0,9
·
01 01
·
·
0,1 0,7
0,2 0,9
·
0,2 0,1 ·
·
02 02 ·
02 01 ·
0,2 0,7 ·
5
2, 1
2, 0 ·
1
·
8
0,9 0,1 0,9 0,7 ·
0,2 0,9 0,1 0,9
2, 2
9
·
0,81
La matriz de probabilidades de transición será:
I O R Q
PED = 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0,07
0,02
0,07
0,02
0,49
0,14
0,14
0,04
0
0,01
0,09
0
0
0,07
0,63
0,02
0,18
0
0
0
0,01
0,09
0,07
0,02
0,63
0,18
0
0
0
0
0
0,01
0,09
0,09
0,81
PED 0,01
Donde: • I
Matriz identidad (tantas columnas y filas como estados finales).
Matriz nula (tantas columnas como transitorios y tantas filas como • O estados finales).
• R
Probabilidades de absorción de un solo salto.
• Q
Probabilidades entre transitorios (tantas filas y columnas como Estados transitorios.
• 1, 2, 3, 4, 5 son estados finales. • 6, 7, 8, 9 son estados transitorios. Presenta cinco clases finales, luego, no existe una distribución límite de los estados en este estudio dinámico, luego no podemos determinar la calidad media del servicio como en el caso anterior. La calidad media del servicio será independiente del nivel de cobertura inicial de ambos interlocutores. Ahora calcularemos cuánto tarda en término medio en perderse una llamada que se realiza andando por la calle y que se inició con ambos terminales a máxima cobertura.
mi
Tiempo medio hasta que se corta la conversación si el estado inicial es i.
M6 m7 m8 m9
I–Q.
0,51 - 0,07 - 0,07 - 0,01 m6 m7 m8 m9
1 1 1 1
-0,14 -0,14 -0,04 - 0,37 -0,02 - 0,18 -0,02 - 0,37 - 0,18 - 0,09 -0,09 0,19
=
m6 m7 m8 m9
=
1 1 1 1
12,69 16,47 16,47 21,53
Luego el ayuntamiento no tendría razón en sus afirmaciones, el tiempo que tarda en cortarse una llamada es :
21,53 minutos si el nivel inicial de cobertura de ambos interlocutores es 2
16,47 minutos si el nivel inicial de cobertura de un interlocutor es 1 y el otro
es 2.
12,69 minutos si el nivel inicial de cobertura de ambos interlocutores es 1.
1.5
TALLER
1) Las 20 chicas y los 10 chicos de un curso de COU organizan un viaje, para el cual necesitan dinero. Deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía encuestadora que contrata a equipos jóvenes de dos tipos: TIPO A:
Parejas: una chica y un chico
TIPO B:
Equipos de cuatro, formados por tres chicas y un chico
Se paga a 30000 pesos. la tarde a la pareja y a 50000 pesos. la tarde al equipo de 4. ¿Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero?
2) Una fábrica de tableros de madera, pintados, produce dos tipos de tableros: Normales:
Llevan
una
mano
de
imprimación
y
otra
de
pintura.
Extras: Llevan una mano de imprimación y tres manos de pintura.
Disponen de imprimación para 10000 m 2, pintura para 20000 m 2 y tableros sin pintaren cantidad ilimitada. Sus ganancias netas son: 3500 pesos. por el m 2 de tablero normal y 5000 pesos. por m2 de tablero extra. ¿Qué cantidad de tablero de cada tipo les conviene fabricar para que las ganancias sean máximas
3) María distribuye su tiempo de ocio entre discoteca y cine. Cada vez que va a la discoteca gasta por término medio 30.000 pesos, mientras que si va al cine su gasto es de 5000 pesos. En cierto mes su presupuesto para ocio asciende a 220.000 Pesos. Y desea ir a la discoteca al menos tantas veces como al cine.
CAPITULO 2 TEORIA DE COLAS 2.1 INTRODUCCION 2.2 JUSTIFICACION 2.3 OBJETIVOS 2.4 ANTECEDENTES 2.5 CARACTERISTICAS DE UN SISTEMA DE COLAS 2.6 ELEMENTOS EXISTENTES EN UN MODELO DE COLAS 2.7 MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN SISTEMA DE COLAS 2.8 EJEMPLOS DESARROLLADOS 2.9 TALLER
2.1 INTRODUCCIÓN En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.
Todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc.
2.2. JUSTIFICACION
La teoría de las colas se ocupa del análisis matemático de los fenómenos de las líneas de espera o colas. Las colas se presentan con frecuencia cuando de solicita un servicio por parte de una serie de clientes y tanto el servicio como los clientes son de tipo probabilístico. La teoría de las colas no pretenden en ningún momento resolver directamente el problema de la espera en colas sino mas bien describe la situación que presenta una cola a través del tiempo y extrae lo que bien se podría llamar las características operacionales de la cola. Alguna de estas características son el número promedio de clientes en la cola, su tiempo de espera en la cola, el porcentaje de tiempo que el despachador esta ocupado, etc. Debido al carácter básico de estas teorías nos limitaremos a hacer una exposición de los modelos mas elementales sin entrar estrictamente a considerar la labor de optimización de los sistemas que representan.
2.3. OBJETIVOS
Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo.
Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
Hay que prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la “paciencia” de los clientes depende del tipo de servicio específico considerado y eso puede hacer que un cliente “abandone” el sistema.
2.4
ANTECEDENTES
El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegadasalida. En los problemas de formación de cola, a menudo se habla de clientes, tales como personas que esperan la desocupación de líneas telefónicas, la espera de máquinas para ser reparadas y los aviones que esperan aterrizar y estaciones de servicios, tales como mesas en un restaurante, operarios en un taller de reparación, pistas en un aeropuerto, etc. Los problemas de formación de colas a menudo contienen una velocidad variable de llegada de clientes que requieren cierto tipo de servicio, y una velocidad variable de prestación del servicio en la estación de servicio. Cuando se habla de líneas de espera, se refieren a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio. Los clientes pueden esperar en cola simplemente por que los medios existentes son inadecuados para satisfacer la demanda de servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez mas larga a medida que transcurre el tiempo. Las estaciones de servicio pueden estar esperando por que los medios existentes son excesivos en relación con la demanda de los clientes; en este caso, las estaciones de servicio podrían permanecer ociosas la mayor parte del tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, por que los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Las estaciones de servicio pueden encontrar temporal cuando, aunque las instalaciones sean adecuadas a largo plazo, haya una escasez ocasional de demanda debido a un hecho temporal. Estos dos últimos casos tipifican una
situación equilibrada que tiende constantemente hacia el equilibrio, o una situación estable. En la teoría de la formación de colas, generalmente se llama sistema a un grupo de unidades físicas, integradas de tal modo que pueden operar al unísono con una serie de operaciones organizadas. La teoría de la formación de colas busca una solución al problema de la espera prediciendo primero el comportamiento del sistema. Pero una solución al problema de la espera consiste en no solo en minimizar el tiempo que los clientes pasan en el sistema, sino también en minimizar los costos totales de aquellos que solicitan el servicio y de quienes lo prestan.
La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera y provee un gran número de modelos matemáticos para describirlas. Se debe lograr un balance económico entre el costo del servicio y el costo asociado a la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve este problema, sólo proporciona información para la toma de decisiones
2.5. CARACTERISTICAS DE UN SISTEMA DE COLAS Población de Clientes: Conjunto de todos los clientes posibles de un sistema de colas
Proceso de llegada: La forma en que los clientes de la población llegan a solicitar un servicio
Proceso de colas: La forma en que los clientes esperan a que se les dé un servicio
Disciplina de colas: La forma en que los clientes son elegidos para proporcionarles un servicio.
Proceso de servicio: Forma y rapidez con que son atendidos los clientes
Proceso de Salida: Forma en que los productos o los clientes abandonan un sistema de colas
Sistema de colas de un paso: Sistema en el cual los productos o los clientes abandonan el sistema después de ser atendidos en un solo centro o estación de trabajo.
Red de colas: Sistema en el que un producto puede proceder de una estación de trabajo y pasar a otra antes de abandonar el sistema.
CLIENTES QUE ESPERAN ●
PROCESO DE LLEGADA ●
POBLACIÓN DE CLIENTES
PROCESO DE COLAS
●
PROCESO DE SERVICIO
1
LLEGADA 2
CLIENTES QUE ESPERAN
CAJEROS
SALIDA
B
SALIDA
A LLEGA
C
2.6. ELEMENTOS EXISTENTES EN UN MODELO DE COLAS Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.
Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0< t1
población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio,
mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos.
Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.
Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son: La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado. La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.
Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los
servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.
La cola: Es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.
El sistema de la cola: Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura: Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada o determinística (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang (Gamma).
2.7 MEDIDAS DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR UN SISTEMA DE COLAS Valor numérico que se utiliza para evaluar los meritos de un sistema de colas en estado estable.
2.7.1. CONDICIONES: 1. Población de clientes infinita. 2. un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de capacidad infinita, con una disciplinas de colas de primero en entrar primero en salir. FIFO.
3. un proceso de servicio que consiste en un solo servidor que atiende a los clientes de acuerdo con una distribución infinita.
2.7.2. FORMULAS:
Taza de Llegada: número promedio de llegad por unidad de tiempo ( λ).
Taza de Servicio: número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo (μ).
Utilización: probabilidad de hallar el sistema ocupado.
U=p
p=
/
Probabilidad de que hayan clientes en el sistema o que el sistema este ocioso.
Po = 1-p
Probabilidad de que hayan clientes en el sistema.
• Pn = pn * Po
Número Promedio en Filas: número promedio de clientes que se encuentran esperando en la fila para su atención.
Lq = 2 /
( - )
Número Promedio en el Sistema: número promedio de clientes que se encuentran en el sistema.
L= ( - )
Tiempo Promedio en la Cola: tiempo promedio de un cliente que llega tiene que esperar en la cola antes de ser atendidos.
Wq = /
( - )
Tiempo Promedio en el Sistema: tiempo promedio que un cliente invierte desde su llegada hasta su salida.
Wq = 1 ( - )
2.7.3 FORMULAS PARA CALCULAR LAS MEDIDAS DE RENDIMIENTO DE UN SISTEMA DE COLAS M/M/1
MEDIDA DE RENDIMIENTO
FÓRMULA GENERAL L q = p2 / 1 – p
Número promedio en la fila Wq = L q / Tiempo promedio de espera en la cola W = Wq + 1 / Tiempo promedio de espera en el sistema L = Número promedio en el sistema
* W
Po = 1 – p Probabilidad de que no haya clientes en el sistema Pw = 1 – Po = p Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar Pn = p n * Po Probabilidad de que haya n clientes en el sistema U = p Utilización
2.7.4
FORMULAS
PARA
CALCULAR
LAS
MEDIDAS
DE
RENDIMIENTO DE UN SISTEMA DE COLAS M/M/c
Medida de Rendimiento
Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema
Fórmula General
1 Pa= ________________________________ C-1 * C Σ _pn_ + Pc n= o n! C! C-p
Numero promedio en la fila Lq = Pc+1 * __1__ * Po (c-1) (c-p)2
Tiempo promedio de espera en la cola Wq= _Lq_ λ Tiempo promedio de espera en el sistema
W = Wq + _1_ U
Número promedio en el sistema
L=λ
Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar Probabilidad de que haya n clientes en
*W
Pw = _1 _ * Pc * _c__ * Po C! C-p
el sistema (n < C )
pn = _pn_ * po n!
2.7.1 Probabilidad de que haya n clientes en el sistema ( n > C )
pn = ___pn ___ * po (c!)cn-c
2.7.2 Utilización U=1- Po+ _c-1_ P1 + c-2 P2+...+ 1 Pc-1 C C c
2.7.5 MODELO Y ANALISIS DEL SISTEMA DE COLAS ACTUAL El primer paso que debe dar consiste en analizar las condiciones de operación actuales. Debe reconocer que las máquinas tejedoras conforman un modelo de colas. Los clientes están constituidos por las máquinas que se atascan de vez en cuando. Existe un gran número de tales máquinas, de modo que podría suponer, razonablemente, que la población de clientes es infinita. Se tiene siete servidores independientes e idénticos que reparan las máquinas basándose en una estrategia de primera en entrar, primera en darle servicio. Usted puede pensar en estas máquinas formando una sola fila en espera de pasar con el siguiente servidor que esté disponible.
Para moldear esta operación el siguiente paso consiste en reunir y analizar los datos correspondientes a los procesos de llegada y de servicio. Suponga que se tiene que: 1. La aparición de máquinas atascadas puede ser aproximada por un proceso de llegada de Poisson con una tasa promedio de 25 por hora. 2. Cada máquina atascada requiere una cantidad aleatoria de tiempo para su reparación, que puede ser aproximada por una distribución exponencial por un tiempo promedio de servicio de 15 minutos, la cual, para cada servidor, significa una tasa promedio de cuatro máquinas por hora. Con estas observaciones, el sistema actual puede modelarse como un sistema de colas M/M/7, con λ = 25, μ= 4 y una población y un área de espera infinitas.
2.7.6 ANALISIS DE COSTOS DEL SISTEMA DE COLAS Al analizar
los méritos de contratar personal de reparación adicional en
Bavaria , usted debería identificar dos componentes importantes: Un
costo
por
hora
basado en el tamaño del personal
Costos total De personas Por hora
costos por =
hora para
numero de =
reparadores
cada reparador
Un
costo
por
hora
basado en el número de máquinas
fuera
de
Costos
costos por hora
Total por =
para cada maquina
Espera
fuera de operación
Número promedio =
de máquinas fuera de operación
operación.
Para seguir adelante, necesita ahora conocer el costo por hora de cada miembro del personal de reparación (denotado con C 8) y el costo por hora de una máquina fuera de operación (denotado por C W), que es el costo de una hora de producción perdida. Suponga que el departamento de contabilidad le
informa que cada reparador le cuesta a la compañía $50 por hora, incluyendo impuestos, prestaciones, etc. El costo de una hora de producción perdida deberá incluir costos explícitos, como la contabilidad de ganancias no obtenidas, y costos implícitos, como la perdida de voluntad por parte del cliente si no se cumple con la fecha limite de la entrega. Estos costos implícitos son difíciles de estimar. Sin embargo suponga que el departamento de contabilidad estima que la compañía pierde $ 100 por cada hora que una máquina esté fuera de operación. Ahora ya puede calcular un costo total para cada uno de los tamaños de personal. Para un personal de siete reparadores, el número esperado de máquinas en el sistema es 12.0973, de modo que: Costo total = (costo del personal) + (costo de la espera) =
=
Costo por hora por persona
*
Costo por hora por Cada máquina fuera De operación
Número de reparaciones
*
+
Numero esperado de máquinas fuera de operación
= (50 * 7) + (100*12.0973) = $ 1559.73 por hora Realizando cálculos parecidos para cada uno de los tamaños de personal restantes se tiene como resultado los costos por hora de cada alternativa que presentamos en la siguiente tabla:
2.7.7 Costos por hora para diferentes tamaños de personal de reparación de la empresa Bavaria
TAMAÑO DE PERSONAL
NUMERO ESPERADO EN EL SISTEMA
COSTOS POR HORA ($)
7
12.0973
(50*7) + (100*12.0973) = 1559.73
8
7.7436
(50*8)
+ (100*7.7436) = 1174.36
9
6.7863
(50*9)
+ (100*6.7863) = 1128.63
10
6.4594
(50*10) + (100*64594)
= 1145.94
11
6.3330
(50*11) + (100*63330)
= 1183.30
De los resultados, usted puede ver que la alternativa que tiene menor costo por hora, $ 1128.63, es tener un total de nueve reparadores. En consecuencia, su recomendación a la gerencia de producción de la empresa X, es contratar a dos reparadores adicionales. Estor dos nuevos empleados tendrán un costo de $ 100 por hora, pero este costo adicional está más que justificado por los ahorros que se tendrán con menos máquinas fuera de operación.
La
recomendación reducirá el costo por hora de $ 1559.73 a $ 1128.63, un ahorro de aproximadamente $ 430 por hora, mayor que la cantidad que cubre sus honorarios.
2.7.2.1.1 CARACTERÍSTICAS CLAVES En resumen, para evaluar un sistema de colas en el que controla el número de servidores o su tasa de servicio, se necesitan las siguientes estimaciones de costos y medidas de rendimiento:
El costo por servidor por unidad de tiempo (C8).
El costo por unidad de tiempo por cliente esperando en el sistema (Cw).
El numero promedio de clientes en el sistema (L).
Por cada alternativa que implique C servidores, calcule el siguiente costo total por unidad de tiempo: Costo total por unidad de tiempo con C servidores = (costo de servidores) + (costos de la espera)
=
=
costos por servidor por unidad de tiempo *
Costo por cliente por unidad de tiempo
= ( Cs * C ) + (Cw
*
Número de servidores
Número esperado de clientes en el sistema
* L)
Por último, seleccione la alternativa que ofrezca el costo total mínimo por unidad de tiempo.
2.8 EJEMPLO DESARROLLADO La Concesión Neiva – Bogotá, tiene unas estaciones para el pesado de camiones cerca de sus peajes, para verificar que el peso de los vehículos cumpla con las regulaciones viales. La administración de la Concesión está considerando mejorar la calidad del servicio en sus estaciones de pesado y ha seleccionado una de sus estaciones como modelo a estudiar antes de instrumentar los cambios. La administración desea analizar y entender el desempeño del sistema actual durante las horas pico, cuando llega a la báscula el mayor número de camiones, suponiendo que el sistema puede desempeñarse bien durante este periodo, el servicio en cualquier otro momento será aún mejor. Para estimar las tasas promedio de llegada y de servicio en la estación, los datos disponibles que la gerencia determina para los valores son:
λ = número promedio de camiones que llegan por hora = 60 μ = número de camiones que pueden ser pesados por hora = 66
El valor de μ = 66 es mayor que el de λ = 60, de modo que es posible hacer el análisis de estado estable de este sistema. Solución: La intensidad de tráfico es: p= λ / μ = 60 / 66 = 0.9091 Mientras más cerca esté p de 1, más cargado estará el sistema, lo cual tiene como resultados colas más larga y tiempos de espera más grandes. En términos de p, λ y μ las medidas de rendimiento, para el problema de la concesión, se calculan de la siguiente manera: 1. Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema (Po):
Po = 1 – p
= 1 – 0.9091 = 0.0909 Este valor indica que aproximadamente 9% del tiempo un camión que llega no tiene que esperar a que se le proporcione el servicio porque la estación de pesado está vacía. Dicho de otra manera aproximadamente 91% del tiempo un camión que llega tiene que esperar.
2. Número promedio en la fila (Lq): Lq = p2 / 1 – p
= (0.9091) 2 / 1 – 0.9091 = 9.0909
En
promedio
la
estación
de
pesado
puede
esperar
tener
aproximadamente nueve camiones esperando para obtener el servicio (sin incluir al que se está pesando) Cuando ya se ha determinado un valor para Lq se pueden calcular los valores de Wq , W, y L , así: 3. Tiempo promedio de espera en la cola ( Wq ) Wq = Lq /
μ
= 9.0909 / 60 = 0.1515 Este valor indica, que en promedio un camión tiene que esperar 0.1515 horas, aproximadamente 9 minutos, en la fila, antes de que empiece el proceso de pesado.
4. Tiempo promedio de espera en el sistema ( W ) W = Wq + 1 /
λ
= 0.1515 + 1 / 66 = 0.1667
Este valor indica, que en promedio, un camión invierte 0.1667 horas, 10 minutos, desde que llega hasta que sale. 3
Número promedio en el sistema ( L ) L =
λ * W
= 60 * 0.1667 = 10 Este valor indica, que en promedio, existe un total de 10 camiones en la estación de pesado, ya sea en la báscula o esperando ser atendidos. 4
Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar ( P w ) : pw = 1 – Po = p
= 0.9091 Este valor, como se estableció en el paso 1, indica que aproximadamente 91% del tiempo un camión que llegue tiene que esperar. 5
Probabilidad de que haya n clientes en el sistema ( Pn ) : Pn = p n * Po
Al utilizar esta formula se obtienen las siguientes probabilidades: n
Pn
0
0.0909
1
0.0826
2
0.0759
3
0.0684
.
.
.
.
.
.
Esta tabla proporciona la distribución de probabilidad para el número de camiones que se encuentran en el sistema. Los números que aparecen en la tabla se pueden utilizar para responder una pregunta como: ¿Cuál es la probabilidad de que no hayan más de tres camiones en el sistema?, en este caso, la respuesta de 0.3169 se obtiene mediante la suma de las primeras cuatro probabilidades de la tabla, para n = 0, 1, 2 y 3. 6
Utilización ( U ) : U = p
= 0.9091
Este valor indica que aproximadamente 91% del tiempo las instalaciones de pesado están en uso (un camión está siendo pesado). De manera equivalente, aproximadamente 9% del tiempo la estación está sin funcionar, sin que hayan camiones que se estén pesando.
2.9 TALLER En los siguientes ejercicios identifique y describa los siguientes aspectos del escenario de colas: a. Los clientes y los servidores b. La población población de clientes y su tamaño c. El proceso de llegada y los parámetros adecuados adecuados para la distribución de llegadas d. El proceso proceso y la disciplina disciplina de colas e. Proceso de servicios y los parámetros adecuados para la distribución tiempo - servicio 1. La división de mantenimiento mantenimiento de las Empresas Públicas de Neiva está tratando de decidir cuantos reparadores necesita tener para proporcionar un nivel aceptable de servicios a sus clientes. Las quejas llegan a un centro de servicios de acuerdo con una distribución exponencial, con una tasa promedio de 20 llamadas al al día. El tiempo que tarda un técnico reparador en en llegar al lugar donde se le llamó, resolver el problema y regresar también sigue una distribución exponencial, con un promedio de 3 horas y 30 minutos. 2. El gerente del Supermercado La Sexta desea determinar el número mínimo de cajeros que necesita para atender a los clientes que llegan a la hora del almuerzo. El tiempo promedio entre la llegada de dos dos clientes es de 2 minutos, pero el tiempo tiempo real entre llegadas sigue sigue una distribución distribución exponencial. exponencial. Cada cajero puede atender un promedio de 12 clientes por hora, pero el tiempo de atención a cada cliente varía de acuerdo a una distribución exponencial. 3. El portaaviones de Aires tiene un complemento de 80 aviones. aviones. Después de operaciones de rutina, los aeroplanos son llevados de la cubierta de vuelo a una cubierta inferior, inferior, dos a la vez. El recorrido en elevador elevador de una cubierta a otra dura 20 segundos segundos y se necesitan necesitan diez segundos para cargar y descargar descargar una aeronave del del elevador. Los elevadores llegan llegan al elevador de la cubierta de vuelo cada 30 segundos.
2.10 LECTURA AUTOREGULADA
UNA VISITA A DISNEY ¿Qué tan popular es Disney World en Orlando, Florida? Desde que abrió en 1971, 200 millones de personas han visitado Disney World, y esperan en filas para tener acceso a sus muchas atracciones. Lo administración de Disney pone mucha atención a la forma en que trata a sus clientes mientras esperan en las colas. En la ciencia de la administración. Las filas se conocen a menudo como colas, y la teoría de colon se aplica a muchas estructuras diferentes- En Disney World, por ejemplo, los visitante0s forman una fila para tener acceso al paseo con el Capitán Nemo, mientras que los mismos submarinos del Capitán Nomo hacen cola mientras bajan y suben, a los pasajeros - Qué también atiende las filas y a las personas es algo crítico para el negocio de Disney, Norm Doerges, directora de Epcot (que es parte de Disney World). analiza cómo Epcot fue diseñada. Primero, los investigadores de Disney recolectaron datos acerca del modo en que las personas pasan su tiempo en el parque. ¿Cuánto tiempo esperan en una fila? ¿Cuánto tiempo realmente invierten en Las atracciones? ¿Cuánto tiempo pasan comiendo? ¿Cuánto tiempo les lleva decidirse sobre qué hacer a continuación? Segundo, Disney pide a sus clientes su opinión acerca de cuánto tiempo estañan dispuestos a esperar para tener acceso a las diferentes atracciones y servicios. Los diseñadores deo Epcot entonces construyeron un modelo para simular sucesos y el flujo de tráfico en el parque. teniendo en mente la eliminación de las esperas largas. Tomar en consideración las necesidades de los clientes en la etapa de diseño, significa que Epcot podría evitar el hacer cambios coros ti gran escala en el porque después de que fuera construido.
PREGUNTAS SOBRE EL CASO 1. ¿Cuánto tiempo estaban estaban dispuestos a esperar los clientes clientes de Disney World para tener acceso a las atracciones más populares? ¿Qué factores
influyeron en sus decisiones? 2, Comente sobre la forma en que Disney revisa sus colas y con qué frecuencia lo hace. 8, ¿Qué tipos de datos objetivos y subjetivos recaba Disney para su modelo de simulación?
Más allá del caso 1. ¿Por qué los supermercados no utilizan el sistema de una sola fila que se ve en la mayoría da los bancos? 2 ¿Qué ahorro en costos pueden resultar del uso de un modelo de colas para decidir cuántos servidores controladores, cajeros, etcétera) tener trabajando?
Aplicaciones prácticas 1. Dé tres ventajas de un sistema de múltiples colas (como se ve, por ejemplo, en un supermercado) con respecto a un sistema de tino sola cola. 2, Dé tres ventajas do un sistema de una sola cola (como se ve, por ejemplo, en un banco) en comparación con un sistema de múltiples colas.
UNIDAD 3 TEORÍA DE JUEGOS
3.1 INTRODUCCION 3.2 OBJETIVOS 3.3 CONCEPTO 3.4 IDEAS FUNDAMENTALES 3.5 MÉTODOS 3.6 GLOSARIO 3.7 EJERCICIOS RESUELTOS 3.8 TALLER 3.9 LECTURA AUTOREGULADA
3.1 INTRODUCCIÓN En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. La técnica para el análisis de estas situaciones es llamada Teoría de juegos la cual es sin duda un modelo para empresas ganadoras o exitosas en un ambiente competitivo: Por ejemplo, existen muchos factores importantes a considerar cuando se hace una oferta importante, entre los cuales están: Establecer y mantener una posición de preferencia como oferente, desarrollar una relación de preferencia por parte de los clientes, de lo que se oferta en sí mismo, y del precio. Es una fascinante aplicación de la matemática pura y la psicología pura, e incorpora series de modelos capaces de simplificar problemas complejos de competencia o interacción incierta entre dos o más agentes.
3.2. OBJETIVOS
Conocer en qué consiste la Teoría de Juegos Desarrollar destreza para la toma de decisiones Poder elegir la mejor estrategia mediante un proceso matemático Saber elegir la mejor decisión de acuerdo a sus intereses Reconocer y desarrollar los diferentes métodos de la Teoría de Juegos
3.3 CONCEPTO Es una Teoría matemática, que estudia las características generales de las situaciones competitivas y hace parte de la teoría general de decisiones como mecanismo para el manejo de las estrategias. En la teoría de Juegos un oponente se designa como jugador, cada jugador tiene un numero de elecciones llamadas estrategias. Los resultados a pagar de un juego se resumen como funciones de las diferentes estrategias para cada jugador, en donde la ganancia de un jugador es igual a la pérdida del otro.
3.4
IDEAS FUNDAMENTALES
Una característica básica en muchas de las situaciones de conflicto y competencia es que el resultado final, depende de la combinación de estrategias seleccionadas por los adversarios.
La Teoría de juegos en una teoría matemática que estudia las características generales de las situaciones competitivas de una manera formal y abstracta.
Da una importancia especial a los procesos de toma de decisiones de los adversarios.
Se llaman juegos con suma cero por que un jugador gana lo que el otro pierde, de manera que la suma de sus ganancias netas es cero. Este juego consiste en que los dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dados. Si el número de dados coincide con el jugador que apuesta a pares (jugador 1) gana la apuesta ($1) al jugador que va por impares (jugador 2). Si el número no coincide el jugador 1 paga ($1) al jugador 2.
Un juego de dos personas se caracteriza por: 1. Las estrategias del jugador 1 2. Las estrategias del jugador 2 3. La matriz de pagos
3.5
METODOS
Existen 3 métodos para la solución de Teoría de juegos:
3.5.1 Estrategias Dominadas Consiste en eliminar una serie de estrategias inferiores hasta que quede una sola para elegir. Específicamente se puede eliminar una estrategia cuando está dominado por otra, es decir, si existe otra estrategia que siempre es al menos tan buena como esta, sin importar lo que hace el oponente.
Ejemplo 1:
El jugador 1 elimina la estrategia 3 (dominada) ya que ésta representa menos ganancias:
El jugador 2 elimina la estrategia 3 (dominante) ya que con ésta obtendrá mayores pérdidas.
El jugador 1 elimina la estrategia 2 (dominada):
El jugador 2 elimina la estrategia 2:
Entonces sabemos que el jugador 1 recibe un pago de 3 por parte del jugador 2. El pago para el jugador, cuando ambos jugadores juegan de manera óptima recibe el nombre de Valor de Juego. Si el juego tiene un valor de cero (0), se denomina Juego Justo, y si es diferente de cero (0) se denomina Juego Injusto.
3.5.2
Punto Silla
El método de punto silla se utiliza cuando no se puede aplicar el método de estrategias dominadas. Consiste en que el jugador 1 debe elegir las estrategias de menor valor y entre ellas escoger la estrategia de mayor valor a ganar (Maximin), mientras que el jugador 2 debe elegir las estrategias de mayor valor y entre ellas escoger la estrategia de menor valor a pagar (Minimax). Cuando el Maximin es igual al Minimax tanto en el valor como en signo se dice que hay punto silla. Esa posición corresponde a la intersección de la columna y la fila (Punto Silla). El Punto Silla es el valor del juego. Cuando estos valores no coinciden no existe Punto Silla y se puede concluir que el juego no es justo o la solución es
inestable.
Ejemplo 2: Estrategias 1
Jugador 2 1 5
Jugador 2 1
2
3
-3 -2 6 2
0
2
-2 4
3
El Jugador 1 elige el valor mínimo de cada fila y el jugador 2 elige el valor Máximo de cada columna.
El Jugador 1 elige el valor mayor entre los valores mínimos (Maximin). El Jugador 2 elige el valor mínimo entre los valores mayores (Minimax).
El punto de silla es igual a (0) (valor del juego), en este caso el juego es justo.
3.5.3
Estrategias Mixtas
Cuando un juego no se puede resolver por los métodos anteriores (Estrategias dominadas y Punto Silla) utilizamos el método de estrategias mixtas, que consiste en combinar las estrategias dominadas con el procedimiento de Solución gráfica Con este método se le asigna a cada estrategia una probabilidad.
Ejemplo 3:
El jugador 1 elimina la estrategia 3 (dominada)
Y1 + Y2 + Y3 = 1 X1 + X2 + X3 = 1 X1 = 1 - X2 Y1 = 0X1 + 5X2 Y2 = -2X1 + 4X2
Y1 = 5X2
Y2 = -2 (1-X2)+AX2 = -2X + 2X2 + 4X2
Y2 = -2+6X2
Y3 = 2X1 - 3X2 Y3 = 2(1-X2) - 3X2 = - 2X2 - 3X2
IGUALACION Y2 = Y3 -2+6X2 = 2 -5X2
Y3 = 2 - 5X2
6X2+5X2 = 2+2 11X2 = 4 X2 = 4/11 = 0.36*100
X2 = 36% Y X1= 64%
Jugador 1 (64%, 36%,0) V = -2 +6X2 = -2 + 6 (4/11) = -2 + 24/11 = 2/11 Y1(5X2)+Y2 (-2+6X2) + Y3 (2-5X2)= 2/11
-2Y2 +2Y3 = 2/11 (2) 4Y2 - 3Y3 = 2/11
Jugador 2 (0, 45.46%,54.54%) Solución: Observando los valores de los porcentajes de las estrategias encontradas para los dos jugadores podemos realizar el análisis de la siguiente manera: El jugador 1 le gana al jugador 2 en el primer turno por un valor del 64%, en el segundo turno le gana el jugador 2 al jugador 1 por un porcentaje del 45.46, lo que da hasta el momento un empate entre los dos jugadores, sin embargo en el tercer y último juego el jugador 2 le gana al jugador 1 con un 54.54%, lo que da como resultado final, que el juego sea injusto, y tenga un valor de juego igual a 2/11.
3.6
2.6 EJERCICIOS RESUELTOS
1. LA CAMPAÑA POLÍTICA: EJEMPLO DE PROTOTIPO Insertar Imagen Dos políticos contiende entre sí por la presidencia de la república de Colombia. En este momento ellos están haciendo sus planes de campaña para los dos últimos días antes de las elecciones; se espera que dichos días sean cruciales por ser tan próximos al final. Por esto, ambos
quieren emplearlos para hacer campañas en dos ciudades importantes. Cali y Medellín para evitar pérdidas de tiempo, están planeando viajar en la noche y para un día completo en cada ciudad o dos días en solo una de las ciudades. Como deben hacer los arreglos necesarios por adelantado, ninguno de los dos sabrá lo que su oponente tiene planeado hasta después de concretar sus propios planes. Cada político tiene un Jefe de Campaña en cada ciudad para asesorarlo en cuanto al impacto que tendrá (en términos de votos ganados o perdidos). Las distintas combinaciones posibles de los días dedicados a cada ciudad por ellos o por sus oponentes. Ellos quieren emplear esta información para escoger su mejor estrategia para estos dos días.
SOLUCIÓN FORMULACION: Los 2 jugadores, las estrategias de cada Jugador y la matriz de pagos. ESTRATEGIA 1: Pasar por un día en cada ciudad ESTRATEGIA 2: Pasar ambos días en Cali ESTRATEGIA 3: Pasar ambos días en Medellín
MATRIZ DE PAGOS
2. Para la siguiente siguiente matriz de pagos, determine la estrategia optima optima para cada cada jugador eliminado sucesivamente sucesivamente las estrategias dominadas dominadas (indique el orden en que se eliminaron).
SOLUCIÓN
El jugador 1 recibe un pago de 2 por parte del jugador 2. Este es un ejemplo de Juego Injusto.
3. Encuentre el Maximin, Mínimax el punto silla que tiene la siguiente matriz de pagos.
SOLUCIÓN El jugador 1 elige el valor mínimo de cada fila y el jugador 2 elige el valor máximo de cada columna:
El Jugador 1 elige el valor mayor entre los valores mínimos (Maximin). El Jugador 2 elige el valor mínimo entre los valores mayores (Mínimax).
El valor del juego es -1. Juego injusto.
3.7
GLOSARIO
ESTRATEGIA Es una regla predeterminada que especifica por completo como se intenta responder a cada circunstancia posible en cada etapa del juego. ESTRATEGIA PURA Son las mismas estrategias originales. ESTRATEGIA DOMINADA Es aquella que se elimina por que sus componentes son menores o iguales con respecto a la dominante. PUNTO DE SILLA Es el MÍNIMO ELEMENTO DE LA FILA y por el otro el MÁXIMO DE LA COLUMNA. MAXIMIN Es el valor que maximiza el pago esperado mínimo para el jugador. MINIMAX Es el valor que minimiza el pago esperado máximo para el jugador.
3.8 TALLER
1. Utilice el procedimiento gráfico para determinar el Valor del Juego y la estrategia mixta óptima para cada jugador.
2. Para la siguiente matriz de pagos, determine la estrategia optima para cada jugador eliminando sucesivamente las estrategias dominadas (Indique el orden en que se eliminaron).
3. Encuentre el Punto Silla del juego que tiene la siguiente Matriz de Pagos.
4. Utilice el procedimiento gráfico para determinar el valor del juego y la estrategia mixta óptima para cada jugador según el criterio de mínimax.
3.9 LECTURA AUTOREGULADA La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teoría de Juego. Entre las disciplinas donde hay aplicación de la Teoría de Juegos tenemos:
La Economía No debería sorprender que la Teoría de Juegos haya encontrado aplicaciones directas en economía. Esta triste ciencia se supone que se ocupa de la distribución de recursos escasos. Si los recursos son escasos es porque hay más gente que los quiere de la que puede llegar a tenerlos. Este panorama proporciona todos los ingredientes necesarios para un juego. Además, los economistas neoclásicos adoptaron el supuesto de que la gente actuará racionalmente en este juego. En un sentido, por tanto, la economía neoclásica no es sino una rama de la Teoría de Juegos. Los economistas que no se dan cuenta de ello son como el monsieur Jourdain de Le Bourgeois Gentilhomme, de Moliere, que se sorprendió de saber que había estado hablando en prosa durante toda la vida sin saberlo. Sin embargo, aunque los economistas pueden haber sido desde siempre especialistas camuflados en Teoría de Juegos, no podían progresar por el hecho de no tener acceso a los instrumentos proporcionados por Von Neumann y Morgenstern. En consecuencia sólo podían analizar juegos particularmente simples. Esto explica por qué el monopolio y la competencia perfecta se entienden bien, mientras a todas las demás variedades de competencia imperfecta que se dan entre estos dos extremos sólo ahora se les está empezando a dar el tratamiento detallado que merecen. La razón por la que el monopolio es simple desde el punto de vista de la Teoría de Juegos es que puede ser tratado como un juego con un único jugador. La razón por que la competencia perfecta es simple es que el número de jugadores es de hecho infinito, de manera que cada agente individual no puede tener un efecto sobre agregados de mercado si el o ella actúa individualmente.
En la biología Es imposible igualar el entusiasmo con que los biólogos evolucionistas que usan la teoría de juegos explican de conducta animal. No sé si escogen historias poco delicadas deliberadamente, para dar un poco de sabor a sus relatos con implicaciones sexuales, o si éstos son realmente los mejores ejemplos para ilustrar de qué manera la teoría de juegos es relevante. En cualquier caso, lo que los biólogos dicen sobre el pez sol es esto. Hay dos clases de machos en esta especie. El primero es un individuo regularmente hogareño que necesita siete años para alcanzar la madurez. Una vez alcanzada, construye un nido que atrae a las hembras que ponen que ponen huevos. Cuando los huevos han sido puestos, no sólo los fertiliza, sino que defiende la familia resultante lo mejor que puede mientras, la hembra continua
su vida independientemente. La otra clase de macho es un golfo. Por lo que dicen los biólogos, es poco más que un órgano sexual autopropulsado. Este posee ventaja sobre los machos normales, que consiste en alcanzar la madurez en sólo dos años. Sin embargo, es incapaz de responsabilizarse por su familia. En lugar de ello, espera Escondido hasta que una hembra ha puesto sus huevos respondiendo a las señales de un macho normal tenga la oportunidad de hacerlo. Si el golfo tiene éxito, el macho normal defiende una familia que no está relacionada con él en absoluto y que lleva por el contrario los genes del golfo. La teoría de juegos sirve para explicar por que las dos clases de machos pueden coexistir en proporciones fijas. Para que una historia de teoría de juegos se aguante en este contexto, necesitamos una explicación de cómo los genes se distribuyeron exactamente en la forma necesaria para asegurar a cada pez optimizaría, dada la mezcla actual en la población de hogareños golfos. No basta con decir que la Naturaleza, "con las garras y las fauces llenas de sangre", actuará de forma que sólo quienes se adaptan sobreviven. Esta respuesta rehuye el problema de cómo y por qué resulta que a veces adaptarse implica actuar racionalmente. Esta parece ser una de esas grandes cuestiones que no tienen respuestas fáciles.
En la filosofía Los especialistas en Teoría de Juegos creen que pueden demostrar formalmente por qué incluso el individuo más egoísta puede descubrir que con frecuencia, cooperar con sus vecinos en una relación a largo plazo redundará en su propio interés ilustrado. Con este fin estudian los equilibrios de juegos con repetición –juegos que los mismos jugadores juegan una y otra vez-. Pocas cosas han descubierto en esta área hasta el presente que hubieran sorprendido a David Hume, quien hace ya unos doscientos años articuló los mecanismos esenciales. Estas ideas, sin embargo, están ahora firmemente basadas en modelos formales. Para avanzar más, habrá que esperar progresos en el problema de la selección de equilibrios en juegos con múltiples equilibrios. Cuando estos progresos se den, sospecho que la filosofía social sin teoría de juegos será algo inconcebible y que David Hume será universalmente considerado como su verdadero fundador.
Elabore una síntesis de lo leído anteriormente y prepárese para Chat.
UNIDAD 4 TEORIA DE INVENTARIOS 4.1. INTRODUCCIÓN. 4.2. OBJETIVOS 4.3. DEFINICION 4.4. ADMINISTRACION DE INVENTARIOS 4.5. CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. 4.6. CARACTERÍSTICAS CLAVES 4.7. MODELOS DE INVENTARIOS E.O.Q. 4.8 OTROS MODELOS DE INVENTARIOS 4.9 TALLER 4.10ECTURA AUTOREGULADA 4.11AUTOEVALUACIÓN
4.1. INTRODUCCIÓN. Los modelos de inventarios tienen mucha importancia en el ámbito laboral de cualquier empresa o negocio en el cual se necesite tener información completa sobre los diferentes materiales o insumos que haya en existencia o que tengan que ser incluidos en la lista de pedidos que deben ejecutarse temporalmente de acuerdo con las necesidades de producción de la empresa o según el comportamiento de la demanda. Existen diferentes modelos de inventarios, los cuales se aplican en relación con los requerimientos del negocio en el cual van a ser empleados y se convierten en una base para la toma de decisiones por parte de los gerentes o encargados de producción que son los que están pendientes de que no haya faltantes o sobrantes en la producción, de modo que se generen el denominado logro que no es otra cosa que poseer un stock de mercancías que no se mueven o no producen ninguna ganancia.
4.2. OBJETIVOS
Conocer algunos de los más efectivos métodos para la toma de decisiones en cuanto al manejo de inventarios y sus métodos de control.
Determinar cual es el modelo de inventarios más adecuado de acuerdo con la empresa en la cual se vaya a implementar, de modo que se tenga una certeza de cuales son los artículos que se van a necesitar y ñeque medida debe realizarse el pedido.
4.3. DEFINICION
Son los artículos a la mano que un cliente puede comprar en un ambiente de fabricación, los inventarios son las materias primas para producir bienes terminados.
La madera, clavos, barniz y otros materiales necesarios para construir un librero son los artículos de inventario, el medio de producción es el cliente.
4.4. ADMINISTRACION DE INVENTARIOS
Son técnicas usadas para ayudar a los gerentes a determinar cuando deben ordenarse.
Consideremos las ventajas de tener grandes inventarios:
Para evitar escasez. Cuando se conoce la demanda futura de un artículo y se puede confiar en las entregas puntuales de un proveedor, siempre puede colocar pedidos de tal forma que se satisfaga toda la demanda sin necesidad de un inventario.
Para aprovechar las economías de escala. Al solicitar grandes cantidades un negocio puede obtener su suministros a un costo inferior, así mismo el negocio colocaría menos pedidos, lo que ahorraría esfuerzos y costos administrativos.
Mantener un flujo de trabajo continuo en un medio de producción de múltiples etapas.
Cada una de estas razones argumenta a favor de tener grandes inventarios a la mano.
4.5. CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS. Son las técnicas utilizadas para determinar cual de estas características tiene su modelo para poder aplicar el paquete para realizar el análisis correcto.
a. Demanda Dependiente: dos o más artículos en los que la demanda de un artículo determinado afecta la demanda de uno o más de los otros artículos. b. Demanda Independiente: dos o más artículos en los que la demanda de un artículo no afecta la demanda cualquiera de otros artículos. c. Demanda Deterministica Contra Probabilística: Existen dos categorías:
Demanda Deterministica: es la demanda de un artículo que se conoce con certeza. Ejemplo: un proceso de elaboración de un libro, una máquina inserta las 100 hojas por segundo aquí las hojas serían artículos o materias en inventario, la maquina es el cliente y la demanda Deterministica son las 100 hojas por segundo. Demanda Probabilística: es la demanda de un artículo que esta sujeta a la cantidad significativa de incertidumbre y variabilidad.
Ejemplo: en un hospital usted no sabe cuantos y que tipos de pacientes tenga la semana entrante, lo que ocasiona una demanda incierta de suministros médicos.
d. Déficit o Faltantes: una circunstancia en la que el inventario disponible es insuficiente para satisfacer la demanda. e. Tiempos Líderes: el tiempo entre la colocación de periodo de bienes y la llegada de estos bienes enviados por el proveedor. f. Descuentos Cuantitativos: cuando los inventarios son reabastecidos por proveedores externos, la cantidad pagada por artículo puede depender del tamaño de ese pedido. g. Políticas de Pedidos: es un enfoque para determinar como y cuando reabastecer los inventarios.
4.6. CARACTERÍSTICAS CLAVES: Pedido de artículos en intervalos de tiempo fijos: La cantidad a ordenar esta determinada por el nivel del inventario en el momento en el que se coloca el pedido. La cantidad pedida cada vez varía. Ejemplo: considere el reabastecimiento de leche en una tienda de abarrotes. Cada martes el gerente de lácteos pide la cantidad, y la cantidad depende de cuantos galones hay en el estante cuando coloca el pedido. Esta política también se denomina revisión periódica pues requiere revisara el nivel de inventario en puntos fijos de tiempo para determinar cuanto ordenar. Pedido de un número fijo de artículos cuando el inventario a la mano llega a un cierto nivel previamente especificado, llamado el punto de nuevos pedidos: En este caso, la cantidad pedida siempre es la misma, pero el tiempo entre los pedidos puede variar. Ejemplo: Un gerente de bar puede reordenar cerveza cuando el suministro actual cae por menos de tres cajas. Este nivel puede alcanzarse en 4 semanas cuando el negocio va lento o en una semana cuando el negocio está activo, digamos durante la semana del súper tazón. Esta política también se denomina revisión continua, pues requiere una comprobación continua del inventario para determinar cuando se alcanza el punto de nuevos pedidos.
i.
Revisión Periódica: es la política de ordenamiento que requiere revisar el nivel de inventarios en puntos fijos de tiempo para determinar cuando ordenar sobre la base de inventarios a la mano en ese momento.
ii.
Revisión Continua: es la política de ordenamiento que requiere revisar el inventario continuamente para determinar cuando se alcanza el punto de nuevos pedidos.
iii.
Punto de Nuevos Pedidos: nivel de inventarios en el cual debe colocarse el nuevo pedido.
4.7. MODELOS DE INVENTARIOS E.O.Q. Es aquel modelo matemático usado como la base para la administración de inventarios en el que la demanda y el tiempo líder son determinísticos. No se permiten los déficits y el inventario se reemplaza por lotes al mismo tiempo.
Características:
El inventario pertenece a uno y solo un artículo. El inventario se abastece por lotes. La demanda es Deterministica, es decir se conocen cuantas se venden en un tiempo determinado. El tiempo guía L es determinístico y se conoce. Los déficit no están permitidos.
4.7.1 Componentes de Costos de un Sistema de Inventarios.
El costo de pedidos u organización: (K) este es un costo fijo, independiente del número de unidades pedidas o producidas. se incurre es este costo cada vez que se coloca un pedido o que se echa a andar una máquina para una corrida de producción.
El costo de compra: (C) cada unidad pedida incurre en un costo de compra, que es un costo directo por unidad.
El costo de conservación: (H) este es un costo obtenido por cada artículo en inventario, un costo de conservación puede incluir lo siguiente:
Costos de almacenamiento: compuestos por los gastos generales del almacén, seguro, requerimientos de manejo especial, robo, objetos rotos, etc. Costos de oportunidad del dinero: comprometido en inventario que de otra manera podría haberse usado o invertido.
Los costos totales de almacenamiento y oportunidad que componen los costos de conservación se calculan como una fracción (i) del costo unitario C.
H= (Tasa de transferencia)*(Costo de la unidad) H=i*C Ejemplo: Para el Mouse valuado en $20000 con tasa de transferencia de 0.11, el costo de conservación por año por cada unidad es: H=i*C H = 0.11 * 20000 H = $2200
Tasa de Transferencia: (i) es la suma de las fracciones usadas en el cálculo de los costos de almacenamiento y oportunidad.
El costo de Déficit: (B) es el costo de no satisfacer la demanda. es decir el costo de que se acabe un artículo. recuerde que cuando no se puede satisfacer la demanda la venta se pierde.
TABLA DE RESUMEN
D = demanda por pedido
L= El tiempo para recibir un pedido
I= Tasa de transferencia por periodo, esta dada siempre en % C= El costo de compra de pedir cada unidad.
K= El costo fijo de colocar un pedido. H = (I * C) El costo de conservación por unidad por periodo.
4.7.2. Formulas del Modelo E.O.Q.
D - demanda por período. L - el tiempo guía para recibir un pedido. L = Q*/D i - tasa de transferencia por pedido. K - costo fijo de un pedido. C - costo de compra (costo por unidad). H - costo de conservación (H = I x C). Q - número de unidades. Q* - cantidad optima de pedido. Q/2- inventario promedio. CPA. Costo de pedido anual Cp = K x (D/Q).
Cc. Costo por compra anual Costo de conservación anual Ct .Costo anual total Número de pedidos Punto de nuevos pedidos (R)
Cc = C x D. Ch= (Q/2) x (H). Cta = (Cp) + (Cc) + (CH). NP = D/Q*. R = D x L.
Q*=
4.7.3. EJEMPLOS 1. El hospital de Neiva da servicio a una pequeña comunidad. Un suministro usado con frecuencia es la película de rayos x, que se pide a un proveedor fuera de la ciudad. Como gerente de suministros, debe determinar como y cuando hacer pedidos para asegurar que al hospital nunca se le termine este artículo critico, y al mismo tiempo, mantener el costo total tan bajo como sea posible. Para comprender como la cantidad de pedido (Q) impacta al nivel del inventario con el tiempo, supongamos que ordenamos lotes de: Q = 4500 películas en existencia. Y el proveedor se ha comprometido a satisfacer pedidos en 1 semana (es decir el tiempo guía es L = 1semana). El departamento de contabilidad del hospital ha proporcionado los siguientes valores: Un costo de pedidos fijo de $10000 para cubrir los costos de colocar cada pedido, pagar los cargos de entrega, etc. Un costo de compra de $5000 por cada película sin descuento de cantidad. Una tasa de transferencia de 30% por año (es decir, i=0.0) para reflejar el costo de almacenar la película en un área especial, así como el costo de oportunidad del dinero invertido en el inventario ocioso. Solución Demanda anual D= (1500 películas*12 meses)= 18000 películas Tiempo guía L= 1 semana= 1/52 de un año Tasa de transferencia anual de i= 0.30%
Costo de pedidos K= $10000 por pedido Costo de pedidos C= $5000 por película Costo de conservación anual H= i*C= 0.30*5000= $1500 por película al año. CTA = costo de pedidos anuak + costo compra anual + costo conservación A. COSTO DE PEDIDOS ANUAL: K*D/Q 10000*(18000/4500)= 40000 COSTO DE COMPRA ANUAL: C*D 5000*18000= 90.000.000 COSTO DE CONSERVACION ANUAL: (Q/2)*H o (Q/2)*(I * C) (Q/2)*(I * C) 2250*(0.30*5000)= 3.375.00 Ahora remplazamos en la formula general: CTA = costo de pedidos anual + costo compra anual + costo conservación A. CTA = 40000+90.000.000+3.375.000 CTA = 93.415.000 Ahora hallamos Q* Q*=√2D*K/H = √2D*K/I*C Q*= √2D*K/(i * C) Q*= √2*18000*10000/(0.30*5000) Q*=489,89≈ 490 NUMERO DE PEDIDOS: D/Q*=18000*490 D/Q*= 36,7≈ 37 pedidos
TIEMPO: L = Q*/D L = 490/18000 L = 0.027 NIVEL DE PEDIDOS: R=D*L R = 18000*0.027 R = 486 2. Almacenes Olímpica compra aproximadamente 10.000 televisores en el curso del año a un costo de 30 cada uno. Cada pedido incurre en un costo fijo de 85 y llega una semana después de haber hecho el pedido. Suponiendo una tasa de transferencia anual de o.15, calcule: La cantidad de pedidos óptimos. El punto de nuevos pedidos. El costo anual. Solución. Lo que se tiene: D = 10.000 H = I x C = 0,15(30) K = 85
i = 0,15
C = 30
H = 4.5
Q* = R=DxL
Q = (D/2 x H)
R = 10.000(1/52)
Q = 10.000/2(4.5)
R = 192,3076
Q = 22.500
CTA = costo de pedido anual + costo compra anual + costo conservación anual
K(D/Q) + C x D + (Q/2) x H 85(10.000/22.500) + 30(10.000) + 614,6363/2) x 4,5 CTA = 315208,35 3. Un almacén de venta de ropa para un suministro frecuente de jeans pide a un proveedor fuera de la ciudad, el gerente debe asegurar que estas nunca se terminen y que además se mantenga el costo mínimo posible. Teniendo en cuenta: La demanda es de 200 jeans por mes El proveedor tarda una semana en entregar la mercancía El costo de pedido fijo es de $50.000 Un costo de compra de $30.000 Una tasa de transferencia del 20% por año donde Q=1000 D = 200 I = 1
K = 50.000 C = 30.000 L = 0.20 Q = 1000
CPA = Kx(D/Q)=50.000(200/1000)=50.000 x 0,2=10.000 Costo de compra anual= C x D = 30.000 x 200 = 6.000.000 Costo de conservación=Q/2(I x C)=1000/2(0,2 x 30.000)=3.000.000 Número promedio de pedidos=D/Q=200/1000=0.2
4.8 OTROS MODELOS DE INVENTARIOS
4.8.1 Administración de Inventarios Justo Tiempo. Un sistema en el que se dispone de los inventarios solo en los momentos en que se necesitan. El objetivo del sistema es eliminar o reducir en gran medida el inventario requerido en un proceso de producción.
4.8.2 Demanda Dependiente: Planeación de Requerimiento Materiales (MRP).
Es una técnica que proporciona la cantidad de pedidos y también un calendario de cuando se necesita cada artículo y en que cantidad, además es una técnica que da una demanda exacta por se deterministica.
4.8.3 Modelo de Inventario Clasificación ABC:
Artículo de clase A: son los artículos que representan la más significativa proporción del valor total.
Artículo de Clase B: son los artículos insignificantes y no necesitan comprobarse. Artículo de Clase C: son los más importantes.
4.9. TALLER 1. Cada hora hay D estudiantes que desean tomar un autobús que los lleve de
la universidad a su lugar de práctica. La administración evalúa en h dólares cada hora que debe esperar un estudiante al autobús. Le cuesta k dólares a la universidad mandar el autobús. Si se supone que la demanda se presenta con rapidez constante, ¿cuantos autobuses debe mandarse cada hora para hacer ese viaje? ¿Qué tanto tiempo hay de espera de un autobús a otro? 2. Good Tire Distribuitors compra aproximadamente 18000 llantas en el curso
de un año a un costo de $20 cada una, para su reventa a sus detallistas locales. Cada pedido incurre en un costo fijo de $75 por cargos de procesamiento y entrega y llega una semana después de haber sido hecho. Suponiendo una tasa de transferencia anual i=0.25. utilice las formulas EOQ para determinar lo siguiente: a. La cantidad de pedidos optima Q* b. El punto de nuevos pedidos R. c. El número de pedidos por año. d. El costo anual total. 3. Comp. Express, empresa de ventas de partes de computadores para un
suministro frecuente de boards ATX, que se pide a un proveedor fuera de la ciudad, el gerente debe asegurar que estas nunca se terminen y que además se mantenga el costo mínimo posible. Teniendo en cuenta que: La demanda es de 120 boards por mes El proveedor se ha comprometido en que el pedido llegue en 2 semanas. El costo de pedido fijo es de $300000 Un costo de compra de $600000 por board Una tasa de transferencia del 20% por año donde Q=700 Se pide hallar: Costo anual total Numero promedio de pedidos 4. Mi Rubí empresa de venta de artículos de cuero para el suministro
frecuente de zapatos que se pide a un proveedor fuera de la ciudad, el gerente debe asegurar que estas nunca se terminen y que además se mantenga en costo mínimo posible. Teniendo en cuenta que: La demanda es de 120 zapatos por mes. El proveedor se ha comprometido en que el pedido llegue en dos semanas. El costo de pedido fijo es de $100000 Un costo de compra de $70000 por par de zapatos
Una tasa de transferencia del 30% por año donde Q=1000
Se pide hallar: Costo de conservación anual Tiempo entre pedidos Punto de nuevos pedidos(R).
5. una compañía compra 12.000 artículos por año para emplearlos en su
proceso de producción. Si el costo unitario es de $5000 por unidad, el costo de tenencia de una unidad es de $8000 y el costo de hacer una compra es de $10000. Determine los siguientes puntos:
La cantidad óptima de pedidos. El costo anual óptimo. El número de pedidos por año. El tiempo entre pedidos.
4.10. LECTURAS REGULADAS JUSTO A TIEMPO NCR Corporation, un exitoso fabricante norteamericano de equipo de computación, tiene un nicho en la industria bancaria y en las terminales de punta de venta (registros de ventes computarizados). C. Neil Jorgensen, vicepresidente de manufactura, hace hincapié en lo importancia de controlar el costo de inventario. La NCR trabaja estrechamente con sus proveedores para formar lazos de cooperación. NCR demanda da sus proveedores un alto rendimiento, precios competitivos y entregas frecuentes y confiables de los componentes que necesita. A su vez, los proveedores son recompensados con contratos por grandes volúmenes. Lavisit5n JIT se extiende más allá de la relación entre proveedor y fabricante. En el área misma de manufactura, JIT promueve una cercana cooperación entre la administración y el personal de producción. Se centra en tres técnicas JIT. 1. Kanban es la palabra japonesa que significa ‘tarjeta”. Cuando los trabajadores se quedan sin partes, marcan una tarjeta Kankan para indicar que necesitan más. La tarjeta kanban “jala” las partes del inventario y las lleva al área de manufactura. La técnica Kanban contrasta con el sistema tradicional de “empuje”, que produce cada vez más partes sin importar la demanda, lo cual conduce a un apilamiento innecesario de material e incurre en costos no necesarios. 2. La tecnología de grupo combina todas las líneas de producción especializadas. Esta técnica conduce a NCR a tener líneas de producción más grandes y eficientes. Los trabajadores pueden manejar cualquiera de varias partes, lo que significa que pueden cambiar de una tarea a otra, en vez de producir una sola parte todo el tiempo. 3. En las estructuras tradicionales de manufactura, los defectos son detectados cuando se inspeccionan los ensamblajes finales. Con un control de procesos estadístico, cada línea de producción es revisada cuidadosamente y se
Utilizan mediciones estadísticas para evitar que se produzcan defectos desde
el primer momento. Los empleados de NCR son estimulados a inventar sus propias señales kanban. a decidir qué trabajos tienen la mayor prioridad, a inspeccionar su
propio trabajo y a platicar con otros trabajadores para resolver cualquier problema que se presente. En una de las plantas, los resultados de JIT fueron bastante considerables Un proceso de nueve pasos fue reducido a cuatro, los inventarios grandes fueron eliminados, el espacio de producción fue reducido ala mitad y la producción diaria promedio por línea, para el producto de mayor volumen, se aumento al doble.
PREGUNTAS SOBRE EL CASO: 1. ¿Cuáles de Los nueve pasos de proceso fueron eliminados por JIT? 2. ¿Por qué puede JIT trabajar en estructuras de producción manual o automatizada?
MÁS ALLÁ DEL CASO: 1. Los fabricantes tradicionales norteamericanos han sido acusados de practicar métodos de inventario ‘por si acaso”. ¿Cuáles cree usted que son algunas de las diferencias que existen en la filosofía entre los sistemsa de “empuje” tradicionales y el sistema JIT de “jalón”? 2. ¿Cuántos empleados deben ser entrenados para instrumentar la visión JIT en el área de manufactura?
CONSIDERACIONES PRÁCTICAS: 1. ¿Qué demandas hace JIT sobre los tiempos y costos de producción para lograr consistencia con el modelo EOQ presentado en este capítulo? 2- ¿Cuáles son los beneficios que tiene el empleado al ser capaz de desempeñar varias tareas en vez de una sola?
4.11. AUTOEVALUACIÒN 1. Escriba dentro del paréntesis la letra a la cual corresponde la definición. A. Circunstancia en la que el inventario disponible es insuficiente para satisfacer la demanda B. Demanda de un artículo que esta sujeta a una cantidad significativa de incertidumbre y variabilidad. C. Cantidad pagada por artículo que puede depender del tamaño de dicho pedido.
( ) Costo de conservación
( ) Políticas de pedidos
( ) Planeación de requerimientos de materiales
D. Es un enfoque para determinar como y cuando reabastecer los inventarios.
( ) Demanda probabilística
E. Costo por periodo de tiempo por cada artículo en inventario.
( ) Descuentos cuantitativos
F. Técnica de administración de inventarios que proporciona un calendario de cuando se necesita cada artículo y en que cantidades.
( ) Déficit de faltantes
2. enuncie cuatro características de los Modelos E.O.Q. 3. Indique el significado de los siguientes símbolos.
K C H B Q* I D
UNIDAD 5 TEORIA DE PRONOSTICOS 5.1. INTRODUCCION 5.2. OBJETIVO 5.3. BASES DE PRONÓSTICO. 5.4. FUENTES DE PRONÓSTICO 5.5. CLASIFICACION DE LOS METODOS DE PRONOSTICOS 5.6. EJEMPLOS DESARROLLADOS 5.7. MEDICIONES DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR MODELOS DE PRONÓSTICO. 5.8. TALLER.
5.1. INTRODUCCION El éxito de un negocio depende a menudo de la habilidad para pronosticar, es decir hacer predicciones sobre el futuro. Estas predicciones se usan para tomar dos amplias tipos de decisiones: decisiones operativas en curso y decisiones estratégicas a largo plazo.
• Las decisiones operativas en curso, son la asignación de pocos recursos, la compra de materias primas, la determinación de horarios de trabajo, etc., • Las predicciones estratégicas a largo plazo también dependen de predicciones exactas. De esta forma el pronóstico es la estimación de las actividades futuras; se basa en el uso de datos anteriores de una variable para producir su desempeño futuro, solo son aplicables para predecir la demanda de artículos para los que se dispone de una cantidad sustancial de información anterior y no para productos nuevos.
5.2. OBJETIVO. Es reducir la incertidumbre o base de error.
5.3. BASES DE PRONÓSTICO. • • • • •
Ingreso por venta. Costo de productos manufacturados. Horas de mano de obra directa Horas de maquinaria. Costos de los insumos.
5.4. FUENTES DE PRONÓSTICO.
• Externas: actividades generales de la economía o factores geopolíticos, que después se relacionan con las actividades empresariales. • Internas: estima cada producto de una empresa, para después hacer un pronóstico agregado de todas sus actividades.
5.5. CLASIFICACION DE LOS METODOS DE PRONOSTICOS. 1. SEGÚN EL TIEMPO: o
o
o
A Corto Plazo: alcance de un día a un año, sirve para funciones de control, como ajuste de la tasa de producción, del empleo, del pronóstico de venta, etc. A Mediano Plazo: con alcance de una estación a uno o dos años. Son usados para la planeación operativa, el flujo de caja, el programa de producción y las ventas. A Largo Plazo: con un alcance de dos a cinco años, esto se usa para ampliar plantas, producir nuevos productos, cambiar políticas, adoptar nuevas tecnologías.
METODOS CAUSALES DE PRONOSTICOS REGRESIÓN LINEAL Establece la relación temporal para la variable de pronóstico, implica una relación causa-efecto. La ecuación general es: Y= α + βx Y = Variable dependiente.
α = La altura de la recta. β = La pendiente de la recta. x = Variable independiente. METODOS DE LOS MINIMOS CUADRADOS. Para calcular α y β:
α = altura de la línea recta. β = pendiente de la recta. Y = variable de la pendiente. X = variable independiente. x = promedio de los valores X. y = promedio de los valores Y. n = numero de observaciones. DESVIACION ESTANDAR.
COEFICIENTE DE CORRELACION.
COEFICIENTE DE DETERMINACION. (r2): es el porcentaje de variación.
Ejemplo 1: Encontrar la línea recta del mínimo cuadrado. X
Y
XY
X2
Y 2
85
2,3
195,5
7225
5,29
65
1,2
78
4225
1,44
73
1,8
131,4
5329
3,24
89
1,9
169,1
7921
3,61
92
2,6
239,2
8464
6,76
68
2,0
136,0
4624
4.00
68
1,3
88,4
4624
1,69
80
2,2
176,0
6400
4,84
∑ X:620 ∑ Y:15,3 ∑ XY:1213,6 ∑ X
Y = α y β Y = 0,920+0,0365x
2
:48812 ∑ Y 2:30,87
Desviación Estándar:
Coeficiente de Correlación:
Coeficiente de Determinación: r 2=0.9774:
2. SEGÚN EL MODELO SERIES DE TIEMPOS.
Modelos de Nivel Es aplicable cuando la demanda por periodo es relativamente constante sobre el tiempo alrededor de un valor A fijo pero desconocido. Error Aleatorio: una variación que se supone no tiene ninguna explicación casual adyacente. Demanda de un periodo t:
Dt = A + et Pronostico Ft para la demanda futura desconocida Dt en el periodo t:
Ft = A
Modelo de tendencia. Es aplicable cuando la demanda por periodo muestra un patrón por lo general creciente o decreciente durante el tiempo l. Modelo de tendencia lineal de la demanda Dt en un periodo t:
Dt = A + Bt + et A = demanda esperada en el tiempo t = 0 B = incremento esperado en la demanda periodo.
Ft = A + Bt
Modelos Estacionales. Es aplicable cuando la demanda por periodo en un año tiene un patrón estacional definido que se repite cada año.
Índice de Estacionalidad: Un valor numérico que indica si la demanda esta por encima o por debajo de un valor base.
Modelo estacional Multiplicativo: Modelo de pronóstico en el que la demanda durante una temporada se obtiene multiplicando el nivel por el índice de estacionalidad asociado. La demanda esperada en cualquier estación K en años es:
A * Sk Demanda en un modelo estacional multiplicativo:
Dt = (A * Sk) + et Demanda futura:
Ft = A * Sk Donde t corresponde a la estación k.
Modelo estacional de Tendencia. Modelo de pronóstico en el que la demanda muestra tanto una tendencia lineal como un efecto estacional. Modelo estacional de Tendencia Multiplicativa.
Modelo de pronostico en el que la demanda durante la temporada se obtiene multiplicando la cantidad de una línea de tendencia por el índice de la estacionalidad asociada. Demanda de un modelo estacional de tendencia:
Dt = (A + Bt) * Sk + et Demanda futura:
Ft = (A + Bt) * Sk Donde t corresponde a la estación k.
5.6. EJEMPLOS DESARROLLADOS Modelo Estacional:
•
Los datos mensuales para TERPEL comenzando enero de 1990 originan un valor m = 12, supungamos que los datos pasados producen una estimación A = 600.000 galones por mes y que los siguientes son estimaciones de los doce índices de estacionalidad:
En
Febr Mar Ab Ma
Jun Jul Ago Sep
Oct. Nov
Dic.
S1
S2
S3
S4 S5
S6
S7 S8
S9
S10
S11
S12
0.8 0.8
0.9
0.9 1.0
1.1
1.3 1.2
1.1
1.0
1.0
0.9
Aquellos índices cuyos valores exceden 1 (en junio a septiembre) indican que la demanda esperada en esos meses es mayor que el valor base A = 600.000 galones. Supongamos que decide usar este modelo estacional multiplicativo para pronosticar la demanda de la gasolina TERPEL en el tiempo t=54, esto es, en julio de 1994, que esta a 54 meses el mes de base de enero de 1990 (cuando t=0) para julio, K=7
en el cual corresponde al mes de julio.
F54 = A * Sk => F54 = 600.000 * 1.3 F54 = 780.000 galones •
El Metodo Promedio Moviles. Por ejemplo, con k=5 para el modelo de Good tire, el valor de A usado en el pronostico de las ventas en 1993 es el promedio del número de llantas vendidas en los 5 años anteriores. Usando los datos de la tabla:
Año
t
Venta de Llantas(Dt)
1980
0
76900
1981
1
81200
1982
2
95500
1983
3
91800
1984
4
102100
1985
5
106000
1986
6
99800
1987
7
98300
1988
8
86000
1989
9
76900
1990
10
106800
1991
11
98500
1992
12
85000 TOTAL = 1204800 PROMEDIO = 92677
A=[(ventas en 1988)+(ventas en 1989)+(ventas en 1990)+(ventas en 1991)+(ventas en 1992)]/5 A=(86000+76900+106800+98500+85000)/5 A=90640 Por tanto, el pronostico F 13, para la venta de llantas en 1993 es: F13 = A = 90640 llantas. Ahora la venta real de 1993 = 94400 llantas.
La nueva estimación de A usada para pronosticar ventas en 1994 se obtiene desechando las ventas de 1988 y se añade las de 1993 asi: A=[(ventas en 1989)+(ventas en 1990)+(ventas en 1991)+(ventas en 1992)+(ventas en 1993)]/5 A = (76900+106800+98500+85000+94400)/5 A = 92320 llanatas. El promedio F14 para la venta de llantas en 1994 es: F14 = A = 92320 llantas.
5.7. MEDICIONES DE RENDIMIENTO PARA EVALUAR MODELOS DE PRONÓSTICO.
Error Pronóstico. La cantidad por la cual la demanda real difiere de la demanda pronosticada. Existen tres mediciones de funcionamiento para evaluar un modelo de pronóstico en el que Dt es la demanda real en el periodo t y Ft, es la demanda pronosticada en el periodo t, encontramos:
RMSE: Error medio cuadrado
MAE: Error medio absoluto
MAPE: Error medio porcentual
EJEMPLO. Se ha desarrollado un modelo de pronostico para predecir las ventas mensuales de un modelo particular de carro basándose en los siguientes datos de los 6 meses anteriores, donde hallaremos error de pronóstico,
error medio cuadrado (RMSE), error medio absoluto (MAE), error medio
MES
VOLUMEN DE VENTAS
VENTAS PRONOSTICADAS
(t)
(Dt)
(Ft)
1
50
54
2
66
61
3
75
74
4
70
68
5
68
73
6
72
71
porcentual(MAPE).
ES
VOLUMEN DE VENTAS
1
50
2
66
3
75
4
70
5
68
6
72
Como las ventas pronosticadas no son iguales que las ventas reales como podemos calcular el error de pronóstico:
(t)
(Dt)
(Ft)
Error (Dt-Ft)
1
50
54
-4
2
66
61
5
3
75
74
1
4
70
68
2
5
68
73
-5
6
72
71
1
Los errores de pronostico (+) indican que la demanda real excede el pronostico y los errores (-) significan que la demanda esta por debajo del pronostico.
Ahora hallaremos RMSE y tenemos: (Dt-Ft)2
(IDt-FtI)/ (Dt) * 100
4
16
8
5
5
25
7
74
1
1
1
1,3
70
68
2
2
4
2,85
5
68
73
-5
5
25
7,3
6
72
71
1
1
1
1,3
Total
18
72
27,75
(t)
(Dt)
(Ft)
(Dt-Ft)
1
50
54
-4
2
66
61
3
75
4
RMSE = √72/6 = 3,46 MAE = 18/6 = 3 MAPE = 28/6 = 4,66
(Dt-Ft)
5.8. TALLER. 1. En la Universidad de Tunja se escogieron 10 muestras de hombres al
azar y se les pregunto la estatura (x) y el número de calzado (y), arrojando los siguientes datos: X 1.60 1.68 1.60 1.63 1.58 1.70 1.65 1.67 1.72 1.73 Σx
Y 36 38 35 37 34 39 37 38 39 40 Σy
xy
x2
y2
Σxy
Σ x2
Σ y2
Ecuación de la línea de regresión lineal (y). cuando x:1,75 Desviación estándar (s) Coeficiente de relación (r) Coeficiente de determinación. 2. Pronosticar las ventas diarias del almacén de zapatos Bucaramanga
basándose en los 11 meses anteriores donde deberá hallar: a. Error pronostico b. Error medio cuadrado (RMSE) c. Error medio absoluto (MAE) d. Error medio porcentual (MAPE)
MES
VENTA REAL (Dt)
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre
310 560 392 412 452 610 310 400 560 453 365
VENTA PRONOSTICADA (Ft) 350 564 332 420 390 622 285 395 570 374 458
3. La empresa Barcel S.A. de C.V. desea elaborar el pronóstico de ventas
(o de la demanda ) para uno de sus productos de mayor demanda en el mercado se le conoce como "chicharrones Barcel ", este pronóstico de la demanda si requiere para el mes de octubre de 2003, para lo cual se debe considerar que n= 2, 3, 4. sabiendo que los últimos meses el área de mercadotecnia ha registrado la int. histórica que se indica en la siguiente en la siguiente tabla Cuando n= 2
Mes
Venta real (Dt)
Venta Pronósticada (Ft)
Enero
30
-
Febrero
35
-
Marzo
28
32.5
Abril
20
31.5
Mayo
25
24
Junio
30
22.5
Julio
35
27.5
Agosto
40
32.5
Septiembre
50
37.5
Octubre
¿?
45
Cuando n= 3 Mes
Venta real (Dt)
Venta pronósticos (Ft)
Enero
30
-
Febrero
35
-
Marzo
28
-
Abril
20
31
Mayo
25
27.66
Junio
30
24.33
Julio
35
25
Agosto
40
30
Septiembre
50
35
Octubre
¿?
41.66
Cuando n= 4 Mes
Venta real (Dt)
Venta Pronosticada (Ft)
Enero
30
-
Febrero
35
-
Marzo
28
-
Abril
20
-
Mayo
25
28.25
Junio
30
27
Julio
35
25.75
Agosto
40
27.5
Septiembre
50
32.5
Octubre
¿?
38.75
ANEXO TEORIA DE DECISIONES 1.1 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9.
INTRODUCCIÓN OBJETIVOS TIPOS DE TOMA DE DECISIONES PROCESO DE LA TOMA DE DECISIONES PASOS PARA LA TOMA DE DECISIONES ERRORES EN LA TOMA DE DECISIONES ELECCIÓN DE UN CRITERIO DE DECISIÓN FORMULACION DE PROBLEMAS LECTURA AUTOREGULADA.
1.2
INTRODUCCIÓN
La Toma de Decisiones es una destreza que puede ser aprendida por todos y todas. Existen dos tipos básicos de decisiones: las que se dan usando un proceso específico y aquellas que se dan por sí solas. Ambos tipos proveen oportunidades y experiencias de aprendizaje. La ventaja de utilizar un proceso específico la toma de decisiones es que reduce los niveles de estrés. Aquellas decisiones sabias son las que se toman utilizando un proceso definido. Este proceso está basado en los valores y percepciones del aquel que toma la decisión. Incluye la consideración de alternativas y opciones a través de una evaluación periódica de las decisiones y sus efectos. Cada “problema” puede ser visto como una “oportunidad” de cambio.
1.2. OBJETIVOS
Proveer de herramientas para la toma de decisiones importantes.
Permitir seleccionar una decisión de un conjunto de alternativas cuando existe incertidumbre sobre el futuro.
La solución optima es obtenida de una matriz de ganancias en términos de criterios de decisión
Maximizar el beneficio esperado es un criterio común cuando las probabilidades son favorables.
Proveer de mecanismos para analizar la decisión en función de los riesgos, cuando el riesgo puede ser medido dentro del proceso de decisión.
1.3 TIPOS DE TOMA DE DECISIONES
• Programadas- es diseñado y planificado con procedimientos específicos. • No programadas- se dan de forma espontánea ó sin la programación que requiere la toma de decisiones. • Coercitivas – toma de decisiones obligadas y sin la participación de las partes concernidas. 1.4 PROCESO DE LA TOMA DE DECISIONES
Percepción de la situación que rodea algún problema. análisis y definición de un problema. contar con un sistema de información oportuno, confiable y actualizado. conocer los factores internos formales e informales de la organización. conocer los factores externos, definir restricciones y limitaciones. elegir correctamente las técnicas o herramientas a util izar. especificar los rendimientos y las metas esperadas. evaluar costo - beneficio. definir los objetivos. búsqueda de alternativas más adecuadas para el alcance de los objetivos. evaluación y comparación de las alternativas. implementación de esas alternativas.
1.5 PASOS PARA LA TOMA DE DECISIONES I.
Definir el Problema
Puedes preguntar a ti y a otros lo siguiente: ¿Qué crees que causa el problema? ¿Dónde, cómo y qué está pasando? ¿Con quién está pasando? ¿Por qué está pasando? Describa de manera específica el problema. Si se presenta un problema considerado como complejo es aconsejable que se proceda a contestar las preguntas mencionadas hasta que se logren describir los problemas relacionados. Es importante verificar el entendimiento de los problemas. Esto se puede lograr con el diálogo con un par para clarificar conceptos.
Otro aspecto a considerar es establecer un orden o prioridad en los problemas a tratar. Para ello es útil distinguir entre “urgente” e “importante”. El entender nuestro rol en el problema es importante, pues influye grandemente en como uno percibe el rol de los demás.
II. Buscar las Causas Potenciales del Problema.
En esta fase es importante recibir la retroinformación de los que notan el problema o quienes están siendo afectados por él. Escribe cuáles son tus opiniones y que has escuchado de otros. Haz una descripción de la causa del problema, en términos de lo que está pasando, dónde, cuándo, cómo, con quién y por qué.
III. Identificar Alternativas para Resolver el Problema.
Desarrollar una “tormenta de ideas” para la solución del problema. La “tormenta de ideas” consiste en colectar el mayor número de ideas posibles y luego cernir las mismas para encontrar la mejor idea.
IV. Seleccionar una alternativa para resolver el problema.
Se ha de considerar: ¿Cuál alternativa resolverá el problema a largo plazo? ¿Cuál alternativa es más realista al momento? ¿Qué recursos tenemos? ¿Están accesibles? ¿Tenemos el tiempo suficiente para implementar la alternativa? ¿Cuál es el riesgo asociado a cada alternativa?
V. Establecer el plan de acción para la implementación de la mejor alternativa. Considerar lo siguiente: ¿Cómo la situación se verá cuando el problema sea resuelto? ¿Qué pasos se han de tomar para la implementación de la mejor alternativa para resolver el problema? ¿Qué sistemas o procesos deberían ser cambiados por una política o procedimiento? ¿Cómo sabemos que los pasos se están llevando a cabo? ¿Qué recursos se necesitan en términos de personas, facilidades y finanzas? ¿Cuánto tiempo se necesita para implementar la alternativa? Para ello es necesario la creación de una agenda. ¿Quiénes será responsable de asegurarse de la implementación del plan? VI. Monitorear la Implementación del Plan.
Algunos aspectos a considerar:
Observar que se estén dando lo esperado a través de la implementación. Cotejar que se esté llevando a cabo el itinerario o agenda programada. Si el plan establecido no está dando los resultados esperados favor de revisar el plan.
VII. Verificar si el plan ha sido efectivo o no.
Una manera de ver su efectividad es verificar que las operaciones vuelvan a la normalidad. Auscultar si los cambios realizados evitarán el mismo problema en el futuro. Preguntarnos que hemos aprendido del proceso de toma de decisiones (conocimiento, entendimiento, destrezas). Realizar un memorando que describa los logros del esfuerzo durante el proceso de resolver el problema y compartirlo con todos/as.
1.6. ERRORES EN LA TOMA DE DECISIONES
Focalizarse en una sola fuente de información. Sobreestimar el valor de la información recibida de otros. Subestimar el valor de la información recibida de otros. Escuchar y ver sólo lo que queremos. No escucharnos No ofrecer participación Hacer de forma unilateral u obligada
1.7.
ELECCIÓN DE UN CRITERIO DE DECISIÓN
Clasificación de Criterios de Decisión
DECISIÓN TOMADA BAJO CERTEZA Los estados de la naturaleza que ocurrirán se asumen conocidos. En este caso el que toma las decisiones sabe con decisión cual estado de la naturaleza ocurrirá.
DECISIÓN TOMADA BAJO RIESGO Existe conocimiento de la probabilidad que un estado de la naturaleza ocurra. Para estados de la naturaleza se tiene en cuenta lo siguiente:
maximizar el perjuicio esperado, medido en perjuicio neto esperado. maximizar el perjuicio esperado, medido por su utilidad.
minimizar el perjuicio esperado, en este caso a y c conducen la misma decisión.
DECISIÓN TOMADA BAJO INCERTIDUMBRE La probabilidad de que ocurra un estado de la naturaleza es absolutamente desconocida. En este caso se supone que el que toma las decisiones tiene como conocimiento de la probabilidad con que ocurrirá los estados de la naturaleza y para ello se tiene en cuenta los siguientes criterios:
maximizar el rendimiento neto mínimo. maximizar el rendimiento neto máximo. minimizar el perjuicio máximo.
CRITERIO DE PENA MINIMAX Criterio de toma de decisiones que minimiza la penalidad máxima asociada con no haber tomado la mejor decisión posible. Penalidad = (ganancia por la mejor decisión) – (ganancia por la decisión no óptima). Cuando la penalidad se aproxima o es igual a cero (0) la opción seleccionada es la mejor alternativa para la inversión.
CRITERIO PROBABILÍSTICO Consiste en incorporar la probabilidad de cada uno de los resultados que se puedan presentar. Pasos:
estimar la probabilidad de cada resultado. utilizar estas propiedades para calcular una ganancia esperada para cada alternativa. escoger la alternativa que tenga la mayor ganancia esperada.
Permite incorporar su conocimiento (o creencias) acerca de la probabilidad relativa de cada resultado, para el caso del canal de televisión usted podría creer, basado en la experiencia, que hay una misma probabilidad de que la serie sea un éxito o un fracaso, pero que existe una menor probabilidad que la serie sea un gran éxito, para cada uno de los resultado posibles, usted debe: 1. Estimar la probabilidad de cada resultado. 2. Utilizar estas probabilidades para calcular una ganancia esperada. 3. Escoja la alternativa que tenga la mayor ganancia esperada.
CRITERIO OPTIMISTA (MAXIMAX) Consiste en escoger la alternativa que nos represente mayor ganancia en inversión.
CRITERIO PESIMISTA (MAXIMIN) El objetivo principal de este criterio es seleccionar la alternativa que maximice ganancia mínima posible, es decir, asegurar la mínima perdida.
CRITERIO HURWICZ Este criterio combina los criterios pesimista y optimista, decidiendo que tan optimista o que tan pesimista se desea ser.
se escoge el coeficiente de optimismo alfa que tiene valores de 0 a 1 (entre más cerca este de uno es más optimista).
fórmula para cada alternativa: Ganancia pesada = alfa * (ganancia máxima) + (1- alfa) * (ganancia mínima).
seleccione la alternativa que presente la mayor ganancia pesada.
1.8. FORMULACION DE PROBLEMAS ¿Qué es un problema? Es cualquier dificultad que no puede ser superada inmediatamente con los conocimientos y habilidades que poseemos.
¿Cómo se plantea comúnmente un problema?. En forma de pregunta o interrogante.
¿Por qué al enfrentarnos a nuevos problemas no los podemos resolver inmediatamente? Por que carecemos de conocimientos específicos.
TIPOS DE PROBLEMAS QUE EXISTEN. a. Define los problemas cotidianos. Problema en el que el cuerpo de conocimientos de que se parte es limitado, y se cuestiona un tema poco profundo e intrascendente, cuya solución afecta a un caso subjetivo. b. Define los problemas científicos. Problema en el que la pregunta se plantea sobre un trasfondo científico, el cual se estudia con un método científico y su objetivo primordial es aumentar el cuerpo de conocimientos.
1.9. LECTURAS AUTOREGULADAS. DECISIONES “EN LA BURBUJA” Como jefe de un instituto de investigación. ¿De qué manera decide cuáles de los 500 a 100 proyectos se deben financiar? ¿Cómo decido el nivel de presupuesto para aquellos proyectos que ha decidido financiar? ¿De qué manera compara y clasifica los proyectos, que pueden ser tan distintos corno tener manzanas y naranjas? ¿De qué manera satisface a muchos grupos de interés cada uno con un proyecto favorito? Ron Edelstein. Director de planeación y evaluación del Gas Research Institute (GRI). se enfrenta a estas preguntas cada año. GRl tiene un presupuesto anual de 200 millones de dólares destinado a proyectos de investigación. de modo que los respuestas que da a tales preguntas implican una tremenda importancia. GRl es la rama de investigación y desarrollo colectivo de la industria casera de los Estados Unidos de América, con miembros provenientes de los tres segmentos del negocio del gas natural: productores, conductores y compañías pequeñas de distribución y de servicio. Desde 1980, el departamento de planeación de GRI ha utilizado el PAM (Metodología de Evaluación de Proyectos, en inglés Project Appraisal
Methodology) para ayudar en la
clasificación inicial de los proyectos. PAM hace los primeros cortes en la búsqueda de GRI de cuáles proyectos apoyar para el siguiente año fiscal. PAM combina un riguroso análisis de decisiones de nivel sencillo con el análisis subjetivo de su personal experimentado y altamente entrenado. Los proyectos de investigación y de desarrollo pueden ser sobre nuevos productos, tecnologías, procesos o investigación básica. Los proyectos se evalúan para su apoyo potencial en un horizonte de cinco años y como les lleva más de un año su desarrollo y terminación, son reevaluados anualmente. Cada proyecto se examina utilizando cinco criterios de evaluación, tres cuantitativos y dos subjetivos. Para un periodo de recuperación de 30 años. Los resultados que se obtienen son multiplicados por la probabilidad do conseguir un éxito técnico y comercial. Los proyectos, entonces, son clasificados y se les asigne un nivel de presupuesto. Aquellos proyectos que apenas clasifican o que no consignen apoyo, se
consideran en la burbuja. Reciben un escrutinio Especial por parte de cuatro grupos conformados por diferentes especialistas de la industria del gas natural y de fuera de ella. Sus opiniones pasan a la junta de directores, la cual toma las decisiones finales sobre el apoyo. PAM ha ayudado a GRl a convertirse en una parte exitosa de la industria casera. Los proyectos apoyados han producido 240 productos, procesos y técnicas que hasta ahora han ahorrado a los consumidores aproximadamente 10 mil millones de dólares.
PREGUNTAS SOBRE EL CASO 1. ¿Cuáles son los cinco criterios de evaluación (tres objetivos, dos subjetivos, que utiliza PAM en sus evaluaciones? 2. ¿Cuál es marco temporal para los costos proyectados y para los beneficios proyectados?
MÁS ALLÁ DEL CASO 1. ¿Cuáles son algunas de las preocupaciones ambientales y de seguridad que deben enfrentar las distintas industrias de energía? 2- ¿De qué manera PAM toma en consideración los proyectos alternativos provenientes de fuera de la industria del gas natural?
CONSIDERACIONES PRÁCTICAS: 1. ¿De qué manera GRI introduce el elemento de riesgo en el análisis de PAM? ¿De qué manera, específicamente se evalúa el riesgo? 2. ¿De qué manera una herramienta como PAM puede ayudar a cualquier compañía a utilizar la administración por excepción en la determinación de cuales proyectos de investigación y desarrollo apoyar cada año ?
ÁRBOLES DE DECISIÓN 2.1. INTRODUCCION 2.2. CARACTERISTICAS 2.3. SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS DE DECISIÓN 2.4. LIMITACIONES DE LOS ÁRBOLES DE DECISIÓN 2.5. EJEMPLOS DESARROLLADOS 2.6. TALLER.
2.1. INTRODUCCION Un arbol de decisión es una representación grafica de las alternativas, probabilidades y pagos o ganancias asociadas con un problema de decisiones,
El primer paso para resolver problemas complejos es descomponerlos en subproblemas más simples.
Los árboles de decisión ilustran la manera en que se pueden desglosar los problemas y la secuencia del proceso de decisión.
Un nodo es un punto de unión.
Una rama es un arco conector.
La secuencia temporal se desarrolla de izquierda a derecha.
Un nodo de decisión representa un punto en el que se debe tomar una decisión. Se representa con un cuadrado.
De un nodo de decisión salen ramas de decisión que representan las decisiones posibles.
Un nodo de estado de la naturaleza representa el momento en que se produce un evento incierto. Se representa con un círculo.
De un nodo de estado de la naturaleza salen ramas de estado de la naturaleza que representan los posibles resultados provenientes de eventos inciertos sobre los cuales no se tiene control. La secuencia temporal se desarrolla de izquierda a derecha.
Las ramas que llegan a un nodo desde la izquierda ya ocurrieron. Las ramas que salen hacia la derecha todavía no ocurrieron.
Las probabilidades se indican en las ramas de estado de la naturaleza. Son probabilidades condicionales de eventos que ya fueron observados.
Los valores monetarios en el extremo de cada rama dependen de decisiones y estados de la naturaleza previos.
2.2. CARACTERISTICAS
Un Árbol de Decisión es una representación cronológica del problema de decisión.
Cada Árbol de Decisión tiene dos tipos de nodos: Nodos redondos corresponden a los estados de naturaleza, Representará situaciones cuyas ocurrencias son inciertas. Nodos cuadrados corresponden a las alternativas de decisión
Las Ramas que salen de cada nodo redondo representan los diferentes estados de naturaleza, representará un posible acontecimiento
Las ramas que sales de los nodos cuadrados representan las diferentes alternativas de decisión.
Al final de cada rama de un árbol están los pagos obtenidos de una serie de divisiones que componen ese árbol. Ejemplo. Suponga que el estado del tiempo es variable y puede que llueva o no. Usted tiene que tomar la decisión de llevar paraguas o no. Fig. 1.
Fig. 1. Árbol de decisión
2.3. SELECCIÓN DE ALTERNATIVAS DE DECISIÓN
Trabajando de atrás hacia adelante en el árbol, se calcula el valor esperado para cada nodo de estado de la naturaleza.
Dado que quien toma las decisiones controla las ramas que salen de cada nodo de decisión, se elige la rama que resulte en el mayor valor esperado.
Se van tachando todas las ramas que no sean seleccionadas.
Se prosigue el análisis hacia la derecha del árbol, hasta seleccionar la primera decisión.
La decisión que resulta de un análisis del árbol de decisión no es una decisión fija sino una estrategia condicional a la ocurrencia de eventos que sucedan a la decisión inmediata.
2.4. LIMITACIONES DE LOS ÁRBOLES DE DECISIÓN
Un árbol de decisión da una buena descripción visual en problemas relativamente simples, pero su complejidad aumenta exponencialmente a medida que se agregan etapas adicionales.
En algunas situaciones, la especificación de la incertidumbre a través de probabilidades discretas resulta en una sobre simplificación del problema.
2.5. EJEMPLOS DESARROLLADOS EJEMPLO 1: La compañía Certon ha desarrollado una nueva línea de productos. El gerente esta atento para decidir el mercado apropiado y la estrategia de producción. Hay tres estrategias consideradas, A = agresiva, B = básica, C = cautelosa. El estudio de mercado ha denotado F = fuerte, D = débil; los estimativos en pesos en cada caso están en la siguiente tabla. Decisión A B C
Estado de la naturaleza F 30 20 5
Donde F = 0,45, D = 0,55 – ¿cual será la mejor estrategia?
D -8 7 15
Una manera mas conveniente de representar este problema es usando árboles de decisión, como en la figura.1. Un nodo cuadrado representará un punto en el cual se debe tomar una decisión, y cada línea abandonando el cuadrado representará una posible decisión. Un nodo círculo representará situaciones cuyas ocurrencias son inciertas, y cada línea abandonando el círculo representará un posible acontecimiento
Figura 1: Árbol de decisión para Compañía Certon
El proceso de usar un árbol de decisión para encontrar la decisión óptima se denomina resolver el árbol. Para resolver el árbol se trabaja desde atrás hacia adelante. Esto se llama retornando el árbol. Primero, las ramas terminales se llevan hacia atrás calculando un valor esperado para cada nodo Terminal.
Primero se calculan los valores de cada rama, se multiplica el valor estimado en pesos y el valor de cada estado de la naturaleza y después se suman los valores con el fin de obtener un solo resultado, Ver la figura 2.
Figura 2: Árbol de decisión La Administración debe resolver un problema mas simple que es el de elegir la alternativa que lleva al valor esperado mas alto del nodo Terminal. De esta forma un árbol de decisión provee una forma más gráfica de ver el problema. Se utiliza la misma información que antes y se realizan los mismos cálculos.
EJEMPLO 2: Considérese La información suministrada en la siguiente tabla, utilice diagramas de árbol para solucionar el problema
2.9 DECISIONES
FRACASO(F)
ÉXITO(S)
BAJA(l) MODERADA(M) ALTA(H) 2.10 PROBABILIDAD
-2 -5 -8 0.4
5 10 6 0.4
FRACASO(F)
ÉXITO(S)
0.6 0.4 0.2
0.3 0.4 0.5
GRAN ÉXITO (G) 8 12 15 0.2
RESULTADOS: 2.11 2.12 DECISIONES BAJA(l) ODERADA(M) ALTA(H)
GRAN ÉXITO (G) 0.1 0.2 0.3
4
-2
5
5
F 0.4 0.6
1
S 0.4 0.3 2.2.2 2.2.1
6
L
0
8
7
-5
8
10
F 0.4 M
2
H
S 0.4 2.2.3
9
12
10
-8
11
6
F 0.4
3
S 0.4 2.2.4
12 GANANCIA ESPERADA = (0.4*(-2)) + (0.4*(5))+(0.2*(8)) = 1.6 GANANCIA ESPERADA = (0.4*(-5)) + (0.4*(10))+(0.2*(12)) =4.4 GANANCIA ESPERADA = (0.4*(-8)) + (0.4*(6))+(0.2*(15)) =2.2
15
1
1.6
L
0
M
2
4.4
3
2.2
H
Por tanto se toma la decisión Moderada ya que nos da la MAYOR ganancia
2.6. TALLER. 1) La compañía de limpieza jorge recibe contratos preliminares de dos fuentes, de un agente propio de la empresa y de los gerentes de los edificios. Históricamente, 3/8 de los contratos son obtenidos por el agente y 5/8 de los gerentes, desafortunadamente, no todos los contratos preliminares resultan para efectuarse. Actualmente, solamente ½ de los contratos obtenidos de los gerentes resultan, sin embargo 3/4 de los obtenidos por el agente se efectúan, por un contrato se obtienen $64000, el costo de procesamiento y seguimiento de un contrato que no se realiza es de $3200. ¿Cuál es el pago esperado asociado con los contratos preliminares. 2) Jorge esta contratado para realizar una presentación el 10 de mayo, las ganancias dependen fuertemente del tiempo, si particularmente el tiempo es lluvioso, el espectáculo pierde $28000 y si es soleado obtiene utilidad de $12000 (suponiendo que todo el día estará tanto lluvioso como soleado), jorge puede decidir cancelar el espectáculo, pero si lo hace pagara una multa de $1000. Históricamente el 10 de mayo tiene 1/4 del tiempo lluvioso.
Que decisión deberá jorge tomar para maximizar sus ganancias esperadas? ¿Cual es el valor esperado de la información perfecta?
Jorge tiene la opción de conseguir la información del tiempo en la oficina meteorológica. Cuando ha sido lluvioso la oficina ha estado en lo correcto (pronosticada lluvia) en el 90%. Cuando ha sido soleado, están el lo correcto (pronosticado sol) solamente en el 80% del tiempo.
Si Jorge obtiene el estado del tiempo, ¿Que estrategia deberá seguir para maximizar sus expectativas de ganancias? ¿Cuanto estará dispuesto a pagar jorge por el informe?
3
TEORIA DE LA UTILIDAD 434.1. INTRODUCCION
3.2. Determinando el valor de la utilidad 3.3. EJEMPLOS DESARROLLADOS 3.4. EN RESUMEN
3.1. INTRODUCCION El criterio de la ganancia esperada puede no ser apropiado cuando se tenga una única oportunidad para tomar la decisión y ésta tiene riesgos considerables. La decisión no siempre se escoge en base al criterio de la ganancia esperada. Un boleto de lotería tiene una ganancia esperada negativa. Una póliza de seguros cuesta más que el valor actual de las pérdidas esperadas de la compañía aseguradora. Acerca de la utilidad
El valor de la utilidad, U(V) refleja la perspectiva del tomador de decisiones. El valor de la utilidad se calcula para cada posible ganancia. El menor resultado obtenido tiene un valor de utilidad de 0. El mayor resultado obtenido tiene un valor de utilidad de 1. La decisión óptima se elige usando el criterio de la utilidad esperada.
Sobre la indiferencia para asignaciones de valores de utilidad
Listar todas las posibles ganancias en la matriz de ganancias en orden ascendente. Asignar una utilidad 0 al valor más bajo y un valor 1 al más alto. Para todas las otras posibles ganancias formular al tomador de decisiones la siguiente pregunta:
“ suponga que Ud. Podría recibir esa ganancia en forma segura o recibiría, ya sea la mayor ganancia con probabilidad p y la menor ganancia con probabilidad (1-p). ¿qué valor para p lo haría indiferente ante esas dos situaciones?
la respuesta a esta pregunta son las probabilidades de indiferencia con respecto a la ganancia y se usan como valores para la utilidad.
3.2. DETERMINANDO EL VALOR DE LA UTILIDAD
La técnica provee una cierta cantidad de riesgo para cuando el tomador de decisiones debe elegir una opción.
La técnica se basa en tomar la ganancia más segura versus arriesgar la obtención de la más alta o baja de las ganancias.
Tres tipos de tomadores de decisiones
1El no arriesgado - prefiere una ganancia segura a una probabilidad de una misma ganancia esperada. 1. El arriesgado - prefiere una ganancia probabilística a una misma ganancia segura esperada. 2. El neutral es indiferente a una ganancia segura o probabilística.
Utilidades
No arriesgado al determinar la decisión
Neutral al determinar la decisión
Arriesgado al determinar la decisión Ganancia
Hasta ahora hemos supuesto que el pago esperado en términos monetarios es la medida adecuada de las consecuencias de tomar una acción.
Sin embargo en muchas situaciones esto no es así y se debe utilizar otra escala de medida para las acciones que realizamos.
3.3. EJEMPLOS DESARROLLADOS EJEMPLO 1: Suponga que se le ofrece a una persona Ganar $40000 fijos: 50% de posibilidades de ganar $100000 50% de posibilidades de no ganar nada E {p(a 1 ,q)}= 0.5* $100000 + 0.5*0= $50000 E {p(a 2 ,q)}= 1* $40000 = $40000 Aunque la alternativa 1 tiene un pago esperado mayor, muchas personas preferirán los $40000 fijos En muchas ocasiones los tomadores de decisiones no están dispuestos a correr riesgos aunque la ganancia esperada sea mucho mayor. Se pueden transformar los valores monetarios a una escala apropiada que refleje las preferencias del tomador de decisiones, llamada función de utilidad del dinero Función de utilidad para el dinero U(M) 5 4 3 2 1 $10000 $ 20000
$30000
$40000 $50000 $60000
$100000
No todas las personas tienen una utilidad marginal decreciente para el dinero. Hay personas que tienen funciones de utilidad marginal creciente para éste.
Una función de utilidad para el dinero de este tipo nos muestra una utilidad marginal decreciente para el dinero. La pendiente de la función disminuye conforme aumenta la cantidad de dinero M. 2 a derivada < 0 cuando ésta existe. Cuando una función de utilidad para el dinero se incorpora en un análisis de decisiones para un problema, esta función de utilidad debe construirse de manera que se ajuste a las preferencias y valores del tomador de decisiones. El hecho de que distintas personas tienen funciones de utilidad diferentes para el dinero tienen una aplicación importante para el tomador de decisiones cuando se enfrenta a la incertidumbre. Bajo las suposiciones de la teoría de utilidad, la función de utilidad para el dinero de un tomador de decisiones tiene la propiedad de que éste se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada. La clave para considerar que la función de utilidad para el dinero se ajusta al tomador de decisiones es la siguiente propiedad de las funciones de utilidad Además se le ofrece Ganar $100000 con probabilidad p (utilidad = 4) No ganar nada con probabilidad 1-p (utilidad = 0) El valor esperado de la utilidad con esta oferta es E(utilidad) = 4 * p El tomador de decisiones será entonces indiferente ante cualquiera de estos 3 pares de alternativas Ganar $100000 con probabilidad 0.25 E(utilidad = 1) Definitivamente obtener $10000 (utilidad = 1) Ganar $100000 con probabilidad 0.5 E(utilidad = 2) Definitivamente obtener $30000 (utilidad = 2) Ganar $100000 con probabilidad 0.75 E(utilidad = 3) Definitivamente obtener $60000 (utilidad = 3). Para construir una función de utilidad para el dinero se hace lo siguiente: 1. Se le hace al tomador de decisiones una oferta hipotética de obtener una gran suma de dinero con probabilidad p o nada. 2. Para cada una de las pequeñas cantidades se le pide al tomador de decisiones que elija un valor de p que lo vuelva indiferente ante la oferta y la obtención definitiva de esa cantidad de dinero. Cuando se usa la función de utilidad para el dinero, del tomador de decisiones, para medir el valor relativo de los distintos valores monetarios posibles, la regla de Bayes sustituye los pagos monetarios por las utilidades correspondientes.
Por lo tanto, la acción (o la serie de acciones) óptima es la que maximiza la utilidad esperada.
FUENTES DOCUMENTALES
DOCUMENTOS IMPRESOS: THA, Hamdy A. Investigación de operaciones. Editorial Alfaomega, 5 edición 1.995. EPPEN, Gould y Schimidt. Investigación de operaciones en las Ciencias de Ingeniería. Editorial Prentice may, 3 edición GALLAGHER, Watson. Métodos Cuantitativos para la Toma de decisiones. Editorial McGraw Hill SHAMBLIN, James. Investigación de Operaciones. KAUFMANN , A. Faure R. Invitación a la investigación de operaciones. 7 edición. C:E:C:S:A MARTHUR Y SOLOW. Investigación de Operaciones. Editorial Prentice Hall. SASIENI, Yaspan. Investigación de operaciones. México. Limusa. BARROS,Oscar. Investigación operativa análisis de sistemas. Chile, Universitaria. MORA, Jose Luis. Investigación de operaciones e informática. Editorial Trillas. PRAWDA, Juan. Métodos y Modelos de investigación de operaciones. Editorial Limusa, 1.979. Tomo I THIERAUF, Robert. Introducción a la investigación de operaciones. Editorial Limusa 1.982
Revistas:
• • • • • •
ters & Industrial Engineering. Computers & Operations Research. IIE Solutions. Industrial Engineering. Industrial World en Español. International Journal of Operations & Production Management.
