TRABAJO Y ENERGÍA - RESUMEN
1º. El trabajo realizado por una fuerza constante es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento:
W
F r
es decir, se puede obtener como el producto de la componente de la fuerza en la dirección del movimiento y el desplazamiento producido, luego: W
F cos r Fr r
donde F r es la componente de la fuerza en la dirección del movimiento. 2º. Si la fuerza es variable, entonces el trabajo que realiza vendrá dado por: W
r 2
r 1
F d r
x2
x1
Fx dx
y2
y1
Fy dy
z2
z1
Fz dz
3º. El trabajo total realizado por varias fuerzas es igual al trabajo que realiza la fuerza resultante de ellas. 4º. Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula depende sólo de las posiciones inicial y final, no dependiendo del camino seguido. Por lo tanto, una fuerza será conservativa si realiza un trabajo nulo al recorrer una trayectoria cerrada. Son fuerzas conservativas, por ejemplo, la gravitatoria, gravitatoria, la eléctrica, la elástica, etc. 5º. El trabajo total realizado sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética que experimenta (Teorema trabajoenergía o Teorema de las fuerzas vivas). WTotal
1
1
2
2
Ec mv 22 mv12
6º. La unidad en el S.I. del trabajo y de la energía es el julio (J).
WF. conservati va
Ep
Es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre un sistema es igual a la disminución de energía potencial del sistema. Por lo tanto, el trabajo que realizan las fuerzas conservativas se realiza a costa de su energía potencial asociada. 8º. El valor absoluto de la energía potencial carece de importancia. Sólo interesan los cambios de energía potencial. 9º. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m a una altura y por encima del nivel de referencia es: Ep (grav) mgy
Esto es válido para alturas pequeñas sobre la superficie terrestre donde consideramos que “g” permanece constante. La energía potencial elástica de un muelle, de constante elástica K, cuando se alarga o se contrae una distancia x desde el equilibrio viene dada por: Ep (elástica)
1 2
k x2
10º. Si sobre un cuerpo sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas, la suma de la energía cinética y potencial, es decir, la energía mecánica permanece constante. Esta es la ley de conservación de la energía mecánica. Em
Ec Ep cte
11º. El trabajo realizado por una fuerza no conservativa actuando sobre una partícula es igual a la variación de la energía mecánica total del sistema: Wno conservati vas
Em
7º. La energía potencial de un sistema es la energía asociada con la configuración del mismo. La variación en la energía potencial de un sistema se define como el valor negativo del trabajo realizado por una fuerza conservativa que actúa sobre el sistema:
1
TRABAJO Y ENERGÍA - COMPLEMENTOS
1. TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA ELÁSTICA.
Como ejemplo de trabajo realizado por una fuerza variable tenemos el trabajo realizado por la fuerza elástica de un resorte o muelle.
producido. Por eso, puesto que la fuerza del resorte siempre actúa tendiendo a llevar al cuerpo hacia la posición de equilibrio, recibe también el nombre de “fuerza “ fuerza recuperadora”. recuperadora ”. Si se produce un desplazamiento arbitrario del bloque desde la posición 1 a la 2, el trabajo realizado por la fuerza elástica es: W
x2
x1
( kx )dx k
x2
x1
xdx
1 k x12 2
1 2
k x 22
Es decir, el trabajo realizado por la fuerza elástica depende sólo de los puntos inicial y final, por lo tanto, la fuerza elástica es una fuerza conservativa. conservativa .
X=0
F
X>0 F< 0
2. ENERGÍA POTENCIAL POTENCIAL ELÁSTICA
X
F
X<0 F> 0
Como hemos visto el trabajo que realiza un muelle cuando pasa de una posición x1 a otra x2 es:
X
W
Sea el caso de un cuerpo colocado sobre una superficie horizontal y lisa que está conectado a un resorte helicoidal.
Si el resorte se estira o se comprime una pequeña longitud respecto de su posición de equilibrio, se ejerce sobre el cuerpo una fuerza elástica, por parte del resorte, que viene dada por la ley de Hooke: Fk x
donde “x” es el desplazamiento del cuerpo con respecto a la posición de equilibrio. Es positivo cuando se encuentra a la derecha de x=0, y negativo cuando se encuentra a la izquierda de esta posición. “K” es la constante cons tante elástica del muelle. Los muelles rígidos tienen grandes valores de k, mientras que los “suaves” o fácilmente deformables tienen valores pequeños. El signo ““-“ nos indica que la fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo tiene siempre sentido contrario al desplazamiento
kx 12 2
kx 22 2
y, por lo tanto, la fuerza elástica será conservativa. Por lo tanto, al ser una fuerza conservativa se puede definir una función Energía Potencia Elástica Elástic a de tal forma que el trabajo realizado por la fuerza conservativa elástica equivale, de nuevo, a la variación negativa de la energía potencia elástica:
W
kx 12 2
kx 2 2 2
Epe (1) Epe (2) Epe
Así, si a partir de la posición de equilibrio (x=0) ejercemos una fuerza F sobre el bloque, el muelle se comprimirá una distancia “x” determinada. El trabajo realizado sobre el muelle queda almacenado en este en forma de energía potencial elástica. Cuando el bloque se libera, el muelle realiza un trabajo positivo sobre él, transformándose la Energía Potencial elástica en energía Cinética del bloque.
2
El nivel cero de energía potencia elástica es aquel en el que el muelle está en la posición de equilibrio (x=0). 3. CONSIDERACIONES ENERGÍA POTENCIAL
SOBRE
LA
1ª. La Energía Potencial es una energía de configuración. Nos hemos referido a la energía potencial de una partícula sometida a una fuerza conservativa como si esa energía potencial estuviese almacenada en la partícula, es decir, como si dicha energía estuviese exclusivamente ligada a la partícula a través de la posición que ocupa. Esto es, sin embargo, una forma simplificada de enfocar la cuestión ya que la Energía Potencial es una propiedad de un sistema de partículas, considerado como un todo, que interaccionan entre sí. Estrictamente hablando, la energía potencia depende tanto de las coordenadas de la partícula considerada como de las coordenadas de todas las demás partículas que constituyen su “medio ambiente”. Esto es, la energía potencial no debe asignarse a ningún cuerpo o partícula concreta, sino que debe de considerarse como algo perteneciente a todo el sistema en su conjunto, es decir, a todas las partículas interactuantes. Veamos algunos ejemplos. Consideremos una piedra situada a una cierta altura sobre la superficie terrestre. Podemos afirmar que “la piedra posee una cierta energía potencial mgh”, por cuanto que posee, en virtud de su posición, una cierta capacidad para realizar trabajo. Un poco de reflexión nos descubrirá que debemos considerar ese energía potencial como una propiedad del sistema piedra-tierra en su conjunto; es la posición relativa entre las partes la que determina su energía potencial. La energía potencial es mayor cuanto más separadas están dichas partes. Supongamos que abandonamos el sistema; las partes se aproximan y disminuye la energía potencial del conjunto. Durante esa “desaparición” de energía potencial se realiza un trabajo por parte de las fuerzas gravitatorias y se va incrementando la energía cinética del sistema.
La piedra “cae” hacia la Tierra, pero la Tierra “también cae” hacia la piedra. La Tierra adquiere pues una cierta aceleración, muy pequeña dada la enorme desproporción de masas. Como el cambio de rapidez de la Tierra es sumamente pequeño, su incremento de energía cinética es despreciable en comparación al de la piedra que “cae”, por lo que se identifica la energía cinética del Sistema con la energía cinética de la piedra. Además, como la configuración del sistema piedra-Tierra viene expresado en función de la posición (h) de la piedra con respecto a la Tierra, hablamos de la Energía Potencial del Sistema PiedraTierra como Energía potencial “mgh” de la piedra. Esta es la razón por la que solemos afirmar: La energía potencial mgh que pierde la piedra durante la caída se invierte en aumentar su energía cinética. Sin embargo, esta afirmación, expresada de manera correcta sería: “ La Energía Potencial mgh de interacción entre la piedra y la Tierra, cuando aquella se encuentra a una altura h, se transforma durante su caída en Energía Cinética del Sistema “ La energía potencial no existe para un cuerpo o partícula aislada.
2ª. La Energía Potencial no tiene carácter absoluto. Observese que la ecuación de definición de la energía potencial, WF. conservati va Ep , sólo permite calcular diferencias de energía potencial. Dicho de otra manera, el valor de la energía potencia en un punto B, Ep(B), sólo estará definido si conocemos el valor de Ep(A), pues entonces: Ep (B) Ep ( A ) WF. conservati va
Esto es, la energía potencial, al contrario que la energía cinética, no tiene carácter absoluto, ya que sólo podemos calcular “la diferencia de energía potenciales correspondientes a dos posiciones dadas de la partícula”; sólo la diferencia Ep(B) - Ep(A) tiene siempre un significado físico. Debido a esto, no podemos calcular la energía potencial en valor absoluto; todo lo más que podemos hacer es definir la diferencia de energía potencial de la partícula, para dos posiciones dadas, como “el trabajo que realiza 3
la fuerza conservativa, cambiado de signo, en un desplazamiento de la partícula entre esas dos posiciones”. Sin embargo, podemos dar un significado a la energía potencial en B haciendo que el punto A sea un punto de referencia conveniente al que le asignamos un valor arbitrario de energía potencial, ordinariamente igual a cero. Entonces: Ep (B) Ep ( A ) WF. conservati va
4. DIFERENCIAS ENTRE LA ENERGÍA POTENCIAL Y LA ENERGÍA CINÉTICA
1ª. Las fuerzas que intervienen en la ecuación de definición de la energía potencial son sólo las fuerzas conservativas. Comparando la ecuación de definición de la energía potencial, WF. conservati va Ep con la ecuación: W(Total) Ec
WF. conservati va Conviene dejar claro que cualquier punto o nivel de referencia cómodo es igualmente válido. Lo que importa físicamente es el cambio en la Energía Potencial, porque es lo que se relaciona con el trabajo efectuado. Así, por ejemplo, considerar “mgh” como expresión de la energía potencial gravitatoria significa que hemos fijado arbitrariamente un “valor cero” de energía potencial para una altura h=0. Se suele considerar como cero la energía potencial en el suelo donde estamos llevando a cabo el experimento. Sin embargo, es preciso insistir en que éste es un criterio totalmente arbitrario, pues si el suelo se hundiera, por ejemplo, el objeto seguiría cayendo.
que expresa el Teorema Trabajo-Energía Cinética, conviene hacer notar que esta última expresión es válida cualquiera que sea la fuerza F de que se trate, siempre que F sea la fuerza resultante, aunque no sea una fuerza conservativa. Sin embargo, la ecuación que se utiliza para definir la Ep sólo es valida para fuerzas conservativas. 2ª. La expresión que da el valor de la Energía Potencial es diferente según la fuerza conservativa que se trate.
3ª. La Energía Potencial puede ser positiva o negativa.
En tanto que la energía cinética de una partícula viene expresada siempre por la 1 fórmula mv 2 , no ocurre lo mismo con la 2 energía potencial. A cada fuerza conservativa podemos asociarle una energía potencial, que viene expresada por una ecuación distinta de acuerdo con la naturaleza de la fuerza, y que recibe distintos calificativos, tales como: energía potencial gravitatoria, energía potencial elástica, etc. No existe una fórmula única para expresar la energía potencial.
Todo depende referencia elegido.
3ª. La energía potencial no puede conocerse en valor absoluto.
Asimismo, para la energía potencial elástica se suele tomar como “nivel cero” a la posición de equilibrio del muelle.
del
nivel
cero
de
4ª. La Energía Potencia está asociada a fuerzas conservativas. En el caso de que la fuerza no sea conservativa, el trabajo que realiza en su desplazamiento desde A hasta B dependerá del camino que siga la partícula y, al no ser dicho trabajo función exclusiva de la posición inicial y final de la partícula, no existirá una función energía potencial asociada a la fuerza no conservativa. Por ejemplo, no existe ninguna energía potencial asociada a la fuerza de rozamiento.
Al contrario de lo que ocurre con la energía cinética, en la determinación de la energía potencial interviene una constante arbitraria (nivel cero). Esto no supone ningún inconveniente, ya que lo que está relacionado con el trabajo efectuado por las fuerzas no es la energía potencial sino sus variaciones, y éstas tienen siempre el mismo valor cualquiera que sea el nivel de referencia elegido. 4ª. La energía potencial puede tomar valores negativos. Mientras que la energía cinética es siempre positiva.
4
TRABAJO Y ENERGÍA - EJERCICIOS
1. Un cuerpo s e desplaza horizon talmente 50 m bajo la acción de una fuerza cons tante de 100 N. Determinar el trabajo realizado po r dich a fuerza si: a) Ac túa horizon talmente en el sentido del movimiento. b) Form a un áng ulo de 60º co n la h ori zont al. c) Actúa perpendicu larmente. d) Form a 150º co n la dir ección d el desplazamiento.
F
N FT
F N
Froz
α
P
α=30º
F es la fuerza paralela al plano de valor 15 N y Froz es la fuerza de rozamiento cuyo valor será: Al ser constante la fuerza, el trabajo lo podremos calcular de la forma:
W
a) W
F r F r cos
F r cos 100N 50m cos0º 5000 J
Froz
Como el cuerpo asciende por el plano las fuerzas FN y N no realizarán trabajo ya que forman un ángulo de 90º con el desplazamiento. El trabajo de las demás fuerzas será: W(F) 15N 10 m cos0º 150 J
b) W
F r cos 100N 50m cos60º 2500 J c) W F r cos 100N 50m cos90º 0 J d) W
FN 0,2 16,97N 3,39 N
W(FT ) 9,8 N 10 m cos180º 98 J
W(Froz ) 3,39N 10m cos180º 33,9 J
F r cos 100N 50m cos150º 4330 J El trabajo total realizado será: --------------- 000 --------------WTOTAL
2. Un cuerpo d e 2 kg recorre un espacio de 10 m en ascenso por un p lano inclinado 30º sobre la horizontal, obligado por una fuerza de 15 N paralela al plano. Si el coeficiente d e rozamiento entre el cuerpo y el plano vale 0'2, calcula el trabajo realizado por las fuerzas que actúan so bre el cuerpo .
150 J 98 J 33,9 J 18,1 J
--------------- 000 ---------------
3. Un cuerp o de 3 kg de masa experim enta un desplazamiento que viene dado por
r 3 i j 2k m bajo la acción de una
La situación sería la representada en la figura. En ella FT y FN son las componentes del peso cuyos valores son: FT
FN
mg sen 9,8 N
fuerza constante qu e vale F 10 i j 4k N . Determina: a) El trabajo realizado por la fuerza en ese desplazamiento . b) El valor de la com pon ente de la fuerza en la dirección del desplazamiento .
mg cos 16,97 N a) El trabajo realizado será:
N es la reacción del plano y del mismo valor que FN 5
r OB (0 0) i (3 0) j 3 j
F r (10 i j 4k ) (3 i j 2k ) J 30 1 8 23 J
W
r BC (3 0) i (3 3) j 3 i
b) El trabajo se puede expresar en función de la componente F r en la dirección del movimiento en la forma:
Luego el trabajo realizado será:
F cos r Fr r
W
Y como el módulo del vector desplazamiento Δr es:
W(O C) W(O B) W(B C) 15 j 3 j
15 j 3 i 45 0 J 45 J b) En este caso los vectores desplazamiento serán:
r 9 1 4 3,74 m
r OA (3 0) i (0 0) j 3 i
Tendremos que la componente de la fuerza en la dirección del movimiento será: Fr
W
r
23 J 3,74 m
6,14 N
r AC (3 3) i (3 0) j 3 j
Y el trabajo realizado sería:
W(O C) W(O A ) W( A C) 15 j 3 i
--------------- 000 ---------------
15 j 3 j 0 45 J 45 J c) En este caso el vector desplazamiento será:
4. Calcula el trabajo realizado po r la fuerza
r OC (3 0) i (3 0) j 3 i 3 j
F 15 j
N al tras ladar u na p artícu la des de
el pu nto (0,0) hasta el pu nto (3,3) según las siguientes trayectorias: a) (0,0) . . . . . (0,3). . . . . (3,3) b) (0,0). . . . . .(3,0). . . . . (3,3) c) (0,0). . . . . .(3,3)
Las trayectorias serían las representadas en la figura. B(0,3)
Y el trabajo será:
W(O C) 15 j (3 i
3 j ) 0 45 J 45 J
Como se puede observar en las tres trayectorias el trabajo realizado por la fuerza es el mismo, por lo tanto, se trataría de una fuerza conservativa.
--------------- 000 ---------------
C(3,3)
a c
5. Sob re u na p artícu la act úa la fu erza b
F 6x 2 i
2y j . Calcular el trabajo que
realiza cu and o la p artícu la se d espl aza desde el orig en O hasta el pun to P(1,1). O(0,0)
A(3,0)
a) En el primer caso la partícula va de O a B y a C. El trabajo realizado sería: W(O C) W(O B) W(B C)
Los vectores desplazamiento en cada uno de estos trayectos son:
En este caso se trata de una fuerza variable ya que su valor depende en todo momento de las coordenadas (x,y) en las que se encuentre la partícula. Por lo tanto, para calcularlo tendremos que utilizar la expresión: W
r 2
r 1
F d r
6
Como la componente F y es perpendicular al desplazamiento no realizará trabajo. Lo mismo ocurre con la fuerza Peso y con la reacción del plano N. El trabajo de la fuerza F es debido exclusivamente a la componente F x, luego:
Que en nuestro caso será: W
W
P
O
(6x 2 i
1
0
6x 2 dx
2y j ) (dx i dy j )
y
1
1
2y dy 2x 3 0 0
21 0
W(F) W(Fx ) 1125,83 N 6 m cos 0º
3J
6754,98 J El trabajo de la fuerza de rozamiento será:
--------------- 000 ---------------
W(Froz ) 489 N 6 m cos 180º 2934 J
6. Un bloque d e 100 kg es empu jado una distancia de 6 m sobre un p iso horizontal, mediante un a fuerza de 1300 N que form a un án g u lo de 30 º h ac ia ab aj o co n la ho rizo n tal . El coeficiente de rozamiento entre el bloq ue y el piso es de 0'3. Calcular: a) El trabajo que realiza cada una de las fuerzas. b) Comp rueba que el trabajo de todas las fuerzas que actúan sob re el bloque es igu al al trabajo d e la fuerza resultante q ue actúa s o b re é l.
a) La situación sería la siguiente:
Froz
F
Fx
α P
Fy
F
Cuyos valores serán: Fx
F cos 1125,83 N
Fy
b) Calculamos primero la fuerza resultante de todas las que actúan sobre el cuerpo. Como N neutraliza a las fuerzas P y F y, la resultante sobre el cuerpo será: FR
Fx Froz 1125,83 N 489 N 636,83 N
Y el trabajo que realiza esta fuerza resultante será:
--------------- 000 ---------------
Si descomponemos la fuerza F en componentes perpendiculares tendremos:
Froz
6754,98 J 2934 J 3820,98 J
Donde se comprueba que el trabajo de todas las fuerzas es igual al trabajo de la fuerza resultante de ellas.
α=30º
N=P+Fy
WTOTAL
W(FR ) 636,83 N 6 m cos 0º 3820,98 J
N
P
Y el trabajo total será:
F sen 650 N
sus 7. Un res ort e de c on stan te elástic a 80 N/m se com prime una longitud de 3 cm, a partir del equilibrio, sobre una su perficie lisa y horizo ntal. Calcular el trabajo realizado p or el resorte cuando el bloque pasa de la posición x 1 = - 3 cm hasta su pos ición no deformada.
La fuerza que ejerce el muelle viene dada por F kx y es, por lo tanto, una fuerza variable, ya que su valor depende en todo momento de la posición x. El trabajo que realiza al descomprimirse desde la posición inicial (x1=-0,03 m) hasta la posición final (x2=0 m) será:
El valor de la fuerza de rozamiento será: Froz
N (Fy P) 489 N
7
W
x2
x1
0
x2 ( kx )dx k xdx 80 0,03 m 2 0,03
0
N
0,032 N 80 0 0,036 J m 2
manera que le provoque una aceleración negativa para que pueda detenerlo (ver figura). La aceleración detenerlo será:
a
v v0 t
--------------- 000 ---------------
8. Calcula el trabajo q ue realiza la fuerza
F 3x i
al
desplazar
una
A(0,0,0) hast a el
r 2
r 1
F d r
x2
x1
Fx dx
y2
y1
Fy dy
z2
z1
Fz dz
3
3x 2 W 3x dx y dy 2z dz 0 0 0 2 0 3
1 2
y z2 2 0
1
2 0
27 2
1 2
2
s
2s
10,2 ms 2
La fuerza resultante necesaria para producir esta aceleración será:
9. Un cu erpo de 2 kg des cien de en c aída libre. a) ¿Qué fuerza constante es preciso aplicarle, en el instante en qu e su veloc idad es de 20'4 m/s, para detenerlo en 2 s?. b) ¿Quétrabajo se realiza sob re el c uerpo desde qu e se aplica la fuerza hasta que se detiene?. F>P
FR
ma 2 kg 10,2 ms2 20,4 N
FR
P F F P FR
b) Para calcular el trabajo debemos conocer previamente el espacio que recorre el cuerpo hasta que se detiene. Este será: s vo t
a) Si el cuerpo cae libremente es debido a que sobre él sólo actúa la fuerza peso que provoca que su velocidad vaya en aumento. Si queremos detenerlo es necesario aplicarle una fuerza hacia arriba y mayor que su peso de tal
a t2 2
20,4 ms 1 2 s
4 17 J
--------------- 000 ---------------
P
m
2 kg 9,8 ms 2 20,4 N 40 N
Que en nuestro caso tendremos que:
para
Esta fuerza debe estar dirigida hacia arriba. Ahora bien:
Al ser una fuerza variable su trabajo lo calcularemos de la forma:
0 20,4
necesaria
y j 2zk
partícu la desde el pu nto pu nto B(3, -1, 2).
W
negativa
10,2 ms 4 s 2
2
2
20,4 m
Por lo tanto, el trabajo que realiza la fuerza F que debemos ejercer será de: W
40N 20,4 m cos180º 816 J
El signo negativo del trabajo es debido a que la fuerza F que ejercemos tiene sentido contrario al movimiento del cuerpo.
--------------- 000 ---------------
10. Una p artícu la d e m asa m est áun ida a un muelle cuyo com portamiento no sigue la ley de Hoo ke, ya que la fuerza que ejerce es, en 2 func ión de la deform ación x, F=-4x - 2x. Calcular el trabajo que es preciso realizar para deformarlo 6 cm.
La fuerza F es variable ya que depende de la posición x en la que se encuentra el muelle con respecto a la posición de equilibrio.
8
La partícula pasa de la posición inicial, x 0= 0 m, hasta la posición final, x=0,06 m. El trabajo que realiza la fuerza elástica vendrá dado por: 0,06
x3 W F dx (4x 2 2x ) dx 4 x0 0 3 0 0,063 2 0,06 x 0 4 0 0,062 0 3 3,88 10 3 J
x
12. Si una m asa de 10 g cae, sin v elocidad inicial, desde una altura de 1 m y rebota has ta un a altura m áxim a de 80 cm . ¿Qué can tidad de energ ía ha perd ido ?.
0,06
Este es el trabajo que realiza la fuerza debido al muelle. El trabajo que tendremos que realizar nosotros será el mismo pero de signo positivo.
--------------- 000 ---------------
11. Una piedra de 2 kg atada al extremo de una cuerda de 0'5 m gira con una velocidad de 2 revolucion es por segundo. a) ¿C u ál es s u e n er g ía c in é tic a? . b) Calcu lar el v alor de la f uerza c entrípeta que actúa sob re la piedra. c) ¿Qu étrab ajo r ealiza la f uer za cen trípet a en una vu elta?.
a) La velocidad angular en el S.I. será:
2
Sol: 0'0196 J.
La pérdida de energía será debido a la pérdida de energía potencial, es decir:
Epg mg(h0 h) 0,01kg 9,8 ms 2 1m 0,8 m 0,0196 J --------------- 000 ---------------
13. Un trineo d e 5 kg s e desliza con una velocid ad inicial de 4 m/s. Si el coeficiente de fricción entre el trineo y la nieve es de 0'14, determ inar la d istan cia q ue rec orr eráel trineo antes de detenerse.
El trineo termina parándose debido a que en todo momento actúa sobre él la fuerza debido al rozamiento, que al ir en contra del movimiento le provocará una disminución de velocidad. La fuerza peso P se ve equilibrada por la reacción del plano N; estas fuerzas no afectan al movimiento del cuerpo.
rev 2 rad 12,56 rad s 1 s 1rev
vo=4 m/s
Su velocidad lineal será:
N=P
v=0
Froz
v r 12,56 rad s 1 0,5 m 6,28 ms 1
P Y su energía cinética: Ec
1 2
mv 2
1
2 kg 6,28ms 1 2
2 39,43 J
b) La fuerza centrípeta será: Fc
mv 2 r
157,75 N
c) Ninguno ya que en todo momento forma un ángulo de 90º con el desplazamiento.
Si aplicamos el teorema trabajo-energía cinética analizaríamos la situación de la siguiente forma: inicialmente el cuerpo posee una energía cinética, como la única fuerza que actúa sobre el cuerpo, la F roz, realiza un trabajo negativo entonces su energía cinética irá disminuyendo (su velocidad disminuye) hasta que termina perdiendo toda la energía cinética que tenía al principio, parándose finalmente. Aplicando el teorema trabajo-energía cinética tendremos que: WTotal
--------------- 000 ---------------
Δx
Ec
Y el trabajo total es debido al rozamiento ya que esta es la única fuerza que actúa, luego: WTOTAL
Wroz Froz x cos 9
El valor de la fuerza de rozamiento será: Froz
N P 0,14 5 kg 9,8 ms 2 6,86 N
Para calcular la velocidad final aplicaremos el teorema trabajo-energía cinética calculando primero la energía cinética final y de aquí la velocidad final. Es decir:
Luego el trabajo que realiza será:
WTotal
Froz x cos 6,86 x cos180º 6,86 x Wroz
Donde Δx es el espacio que recorre hasta pararse y la incógnita que debemos calcular.
FTOTAL x F Froz x (F mg) x WTOTAL
(25 N 0,35 4 kg 9,8 ms 2 ) 3 m 33,84 J
Ec EcF Ec 0 EcF 0 EcF
La variación de energía cinética será:
E c EcF Ec 0 0 Ec 0
1 2
2 5 kg 4 ms 1
1 2
mv 02
x
E c 40
6,86
WTotal
Ec
EcF 33,84 J
1
mv F2
vF
2 33,84 J
4,11 ms 1
Ec F
2
4 kg
2 Ec F m
6,86 x 40
5,83 m
--------------- 000 ---------------
--------------- 000 ---------------
14. Una fuerza horizon tal de 25 N se aplica a una caja de 4 kg, inicialmente en reposo sobre una mesa rugosa horizontal. El co efici ente d e fric ción cin é tic a entre l a caja y la mes a es 0'35. Determinar la veloc idad de la c aja desp ué s d e haber sid o em pu jada a lo largo de una d istancia de 3 m.
Sobre la caja actúan dos fuerzas: la fuerza
vo=0
Por lo tanto:
40 J
Si igualamos el trabajo total y la variación de energía cinética podremos calcular la distancia que recorre hasta pararse. Es decir: WTotal
Ec
N=P Froz
a) En el primer caso la altura con respecto al nivel de referencia es de 8 m, luego: Epg mgh 55 kg 9,8 ms 2 8 m 4,31 J
v?
F=25 N
P
15. Una mu chach a de 55 kg s e encuentra en el tercer piso de un edificio, que se encuentra 8 m p or encim a de la planta baja. ¿C u ál es la en er g ía p o ten c ial del s is tem a mu chach a-Tierra si: a) Si se elige com o niv el de referencia igual a cero en la planta baja. b) Si se elige com o niv el de referencia igual a cero en el segun do p iso, qu e está4 m p or encim a de la planta baja.
Δx=3 m
horizontal hacia la derecha y la fuerza de rozamiento hacia la izquierda. La primera favorece el movimiento y la de rozamiento va en contra de él. La fuerza peso P y la reacción del plano se anulan y no realizan trabajo alguno.
b) En el segundo caso la altura con respecto al nivel de referencia es de 4 m, luego: Epg mgh 55 kg 9,8 ms 2 4 m 2,15 J
--------------- 000 ---------------
16. Se empuja un bloq ue de 2 kg c ontra un m uelle, cuy a con stan te elásti ca es 500 N/m, co m pr im ié nd ol o 20 cm . ¿Cuánt o v ale l a 10
ener gía po ten ci al elást ic a del b lo qu e en ese instante?. Epe
1 2
kx 2
viene v
1
500Nm1 0,2 m2 10 J
dada
por
2m2
m1 gh . Supo ner m 2 > m 1 . m1 m2
La situación gráfica antes y después de caer sería la siguiente: m1< m2
17. Desde un a altura de 200 m se d eja caer una piedra de 5 kg. a) ¿Con qu évelo cid ad llega al s uelo ?. b) ¿Cu ánt o v ald rásu en erg ía po ten ci al en el pu nto más alto ?. c ) ¿Cu án to v al d rá s u e n er g ía c in é ti c a al llegar al suelo? . d) ¿Cuánto vald rá su velo cid ad en el pu nto medio de su recorrido?. 2 Cons iderar g=10 m/s a) La velocidad al llegar al suelo, aplicando la ecuación del m.u.a. será:
2gh 2 10 ms 2 200m 63,24 ms1
b) Epg0 mgh 5 kg 10 ms 2 200m 10 4 J c) Al no existir fuerzas no conservativas, la Epg arriba se transformará íntegramente en Ec en 4 el suelo, luego Ec = 10 J.
m1 P1
Em(pm) Epg0 Epg(pm) Ec(pm)
Donde pm indica “punto medio”. Por lo tanto: Ec(pm) Epg0
2 Ec(pm) m
h h
P2
v
Epg=0 El sistema inicialmente está en reposo. Comienza a moverse ya que las fuerzas que actúan son P2 y P1 y, al ser P2>P1, el sistema se moverá hacia la derecha de forma acelerada ganando velocidad. Al estar unidos por una cuerda el cuerpo 1 subirá una distancia h cuando el cuerpo 2 descienda también una distancia h. Además los dos se moverán en cada momento con la misma velocidad. Como las únicas fuerzas que intervienen, los pesos de los cuerpos, son fuerzas conservativas se cumplirá el Principio de Conservación de la Energía Mecánica. Por lo tanto tendremos que: Em0
EmF
Evaluaremos la energía mecánica inicial y final y las igualaremos. Para ello, consideramos como nivel cero de Epg el nivel al que se encuentran los cuerpos inicialmente.
Epg(pm)
10 4 J 5 kg 10 ms 2 100 m 5000 J
v(pm)
v
m2
d) Al conservarse la Em tendremos que: Em0
expresión
2
--------------- 000 ---------------
v
la
2 5000J 5 kg
44,72 ms 1
--------------- 000 ---------------
18. Dos bloques de masas m 2 y m 1 s e encuentran unidos por u na cuerda delgada que pasa por una polea ligera sin rozamiento. Demostrar que la velocidad de cada un o de lo s blo ques cuand o el más pesado de ellos desciende una distancia “h”
Energía mecánica inicial
La energía cinética de ambos cuerpos será cero ya que están en reposo. La energía potencial gravitatoria será cero ya que ambos cuerpos se encuentran en el nivel cero elegido arbitrariamente. Luego: Em0
Ec0 Epg0 0 0 0
Energía mecánica final Como ambos cuerpos se mueven a la misma velocidad v, la energía cinética del sistema será:
11
EcF
1
1
1
2
2
2
m1 v 2 m2 v 2 m1 m2 v 2
La Epg del cuerpo 1 será positiva ya que se encuentra por encima del nivel cero, mientras que la del cuerpo 2 será negativa al encontrarse por debajo del nivel cero. Luego: EpgF
m1gh m2gh m1 m2 gh
conservará la Em y lo que ocurre es que la pérdida de energía potencial se traduce en ganancia de energía cinética. Por lo tanto, podremos escribir que: mgh
cos 1
2
Luego, la velocidad al pasar por la vertical será:
Si aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica tendremos que:
EmF
2gh 2 9,8 ms 2 0,2 m 1,97 ms 1
2
0 m1 m2 v 2
1 m1 m2 v 2 2
v
v
--------------- 000 ---------------
1
m1 m2 gh
m2 m1 gh
2m 2
m1 gh m1 m 2
Al mismo resultado se hubiera llegado de haber elegido como nivel cero de Epg cualquier otra referencia.
20. Un p roy ectil de 2 g s ale del cañ ón de un fusil a 300 m/s: a) Calc ul ar l a en erg ía c iné tic a d el p ro yec til a la s ali da d el c añ ón. b) Si la fuerza que actúa sob re el proyect il m ien tr as es táen el c añ ón es F = 360 - 720 x , determ inar la lo ng itud del c añ ón.
a) Ec
19. Calcular la velo cid ad d e un pé nd ulo de 1 m d e longitud cu ando pasa por la vertical, si se su elta desde u na d esviación d e 37º.
h
mv 2
2
1
2
0,002kg 300ms 1 90 J 2
WF Ec EcF Ec 0 90 J 0 J 90 J WTOTAL
Para calcular el trabajo que realiza la fuerza F, al ser esta variable, tendremos que utilizar la expresión, siendo L la longitud del cañón: WF
α
1
b) Aplicaremos el teorema trabajo-energía cinética, es decir:
--------------- 000 ---------------
L-h
L h
h L L cos L 1m 1m cos37º 0,20 m
EcF EpgF m1 m2 v 2
m1 m2 gh
Em0
v 2gh
Para calcular h tendremos en cuenta que:
Por lo tanto: EmF
1 mv 2 2
L
0
F dx
L
360 720xdx 360x
L 0
0
L
x2 720 360 L 360 L2 2 0
L
h
Cuando el péndulo cae desde una desviación hasta la vertical desciende una altura “h”, perdiendo Epg. En cambio, gana Ec al ir ganado velocidad. Como la única fuerza que actúa es el peso, fuerza conservativa, se
Por lo tanto, tendremos: 90 360L 360L2
L 0,5 m
--------------- 000 ---------------
12
21. Un bloque de 0'5 kg de masa se encuentra en el extremo superior de un plan o q ue est áinc linad o 45º resp ecto de la horizontal. En la parte inferior del plano existe u n res orte d e co nstante elástica k=400 N/m, inicialmente sin deformar. El bloque se encuentra a 3 m d el extremo del resorte y está inicialm ente en r eposo . Al deslizar el bloque y entrar en con tacto con el resorte lo comprime. Calcular la deform ación m áxim a qu e su fre el reso rte.
La situación gráfica inicial sería:
cuerpo, suponiendo el nivel cero de Epg la base del plano. Al final sólo hay energía potencial elástica debido a la compresión del muelle. Al principio el cuerpo tiene Epg que, al descender se convierte en Ec y ésta se va convirtiendo en Epe al ir comprimiendo el muelle. Por lo tanto podremos poner que: 1
Epg0
EpeF
mgh kx 2
x
2mgh
2 0,5 kg 9,8 ms 2 2,12 m 400 Nm1
k
2
0,22 m
v0=0
--------------- 000 ---------------
3m h 45º La altura vertical h a la que se encuentra el cuerpo será:
22. Un n iñ o d e m asa 40 k g se d esliza h acia abajo po r un tob og án in clin ado 30º. El co efic ien te d e fr ic ci ón c in é tic a en tre el n iñ o y el t ob og án es 0'2. Si el n iñ o par te d el repo so d esde el p un to m ás alto del to bo gán, a una altura de 4 m sob re el suelo. ¿Qué velocid ad tiene al llegar al suelo? .
h 3 m sen 45º 2,12 m
Debido a la fuerza peso del cuerpo este desciende por el plano ganando velocidad y, al final, al encontrarse con el muelle lo comprimirá, perdiendo velocidad, hasta que al final el cuerpo se para siendo en este caso la compresión del muelle máxima. La situación final sería:
Las fuerzas que intervienen son las representadas en la figura, donde F T y FN son las componentes del peso. v0=0 Froz
N
x FT
h=4 m FN
v 30º
h x v=0
El niño recorre una distancia x a lo largo del plano, distancia que valdrá:
45º
donde x es la compresión experimenta el muelle.
máxima
que
Si analizamos la situación desde el punto de vista trabajo-energía diremos que: sobre el cuerpo actúa inicialmente la fuerza peso y al entrar en contacto con el muelle la fuerza elástica, como ambas son fuerzas conservativas, se conservará la energía mecánica del sistema. Ahora bien, inicialmente sólo hay energía potencial gravitatoria debido a la situación del
sen 30º
h x
x
h sen 30º
4m 0,5
8m
En este caso, al existir fuerza de rozamiento, la Epg inicial no se transforma íntegramente en Ec al llegar al suelo ya que parte de la energía se pierde debido al rozamiento. Al existir una fuerza no conservativa, la F roz, no se mantendrá constante la Em, ahora bien, podremos poner que:
13
W(Fnc ) W(Froz ) Em Ahora bien: W(Froz ) Froz x cos180º mg cos x 0,2 40 kg 9,8 ms 2 cos 30º8 m 543,12 J
Si consideramos como nivel cero de Epg la base del plano tendremos:
Em EmF Em0 EcF Epg0 1
1
2
2
mv mgh 40 v 40 9,8 4 2
2
ya que tanto μ como x son desconocidos.
Em EmF Em0 EpgF Ec 0 1
mgh mv12 20 kg 9,8 ms 2 x sen 30º
1
2
W(Froz ) Em
543,12 20 v 2 1568
1568 543,12
W(Froz ) Froz x cos180º mg cos x 20 kg 9,8 ms 2 cos 30ºx 169,74 x
20 kg 12 ms 1
Por lo tanto:
v
Se inicia con una velocidad v 1 = 12 m/s para terminar parándose a una altura h, recorriendo una distancia x sobre el plano.
2
20 v 2 1568
Movimiento de subida
20
7,15 ms1
--------------- 000 ---------------
23. Un blo que qu e tiene una masa de 20 kg comienza a ascender, por un plano inc lin ado q ue for m a un áng ulo de 30º co n la horizontal con u na velocidad de 12 m/s. Al regresar el cuerpo pasa por el pun to de partida con un a velocidad de 6 m/s. Calcula el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie del plano inclinado.
2
98 x 1440
Por lo tanto: W(Froz ) Em
169,74 x 98 x 1440
Ecuación con dos incógnitas que no podremos resolver sin otra ecuación que las relacione. Por eso vamos a analizar el movimiento de bajada. Movimiento de bajada Se inicia con velocidad cero a una altura h para terminar en el suelo con una velocidad v 2 = 6 m/s. W(Froz ) Froz x cos180º mg cos x 20 kg 9,8 ms 2 cos 30ºx 169,74 x
Em EmF Em0 EcF Epg0 Al existir fuerza de rozamiento no se mantendrá constante la Em sino que deberemos emplear la ecuación: W(Fnc ) W(Froz ) Em
1
1
2
2 2 20 9,8 x sen 30º 360 98 x
W(Froz ) Em
169,74 x 360 98 x
Si comparamos las dos ecuaciones obtenidas en la subida y en la bajada tendremos que:
v=0
98 x 1440 360 98 x
h
mv 22 mgh 20 6 ms 1
x
x 9,18m
v1=12 m/s 30º
v2=6 m/s
Vamos a aplicarla al movimiento de subida y al de bajada. Suponemos que el cuerpo finalmente está a una altura “h” con respecto al suelo después de haber recorrido una distancia “x” sobre el plano inclinado.
Y sustituyendo este valor en cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos para el coeficiente de rozamiento el valor de μ = 0,34.
--------------- 000 ---------------
14
24. Un cuerpo de 20 kg se lanza por un plano inclin ado 37º, con la velo cidad d e 20 m/s. Calcular la distan cia que recorre hasta que se detiene: a) Si se desprec ia el rozamiento. b) Considerando que el coeficiente de rozamiento ent re el cuerpo y el suelo es 0'2.
h
sen 37º
F 2 g a m
b) la velocidad con la que regresa al pun to de partida es: v
a) Si llamamos h a la altura vertical que sube y x a la distancia que recorre sobre el plano tendremos que:
v 02
v0
mg Fa mg Fa
a) Al existir fuerza de rozamiento tendremos que: W(Fnc ) W(Froz ) Em
h x
h x sen 37º
W(Froz ) Fa h
Si no hay rozamiento se cumple el principio de conservación de la energía mecánica, luego:
Em EmF Em0 EpgF Ec 0 1
Em0
EmF
1 2
20 kg 20 ms
1 2
mgh mv 02 2
20kg 9,8 ms 2 x sen 37º x 33,91m b) Al haber rozamiento tendremos que aplicar la ecuación: W(Fnc ) W(Froz ) Em
Por lo tanto: 1
Fa h mgh mv 02 2
hmg Fa
1 2
mv 02
Pasando la masa m denominador tendremos:
Em EmF Em0 EpgF Ec 0
v 02
mgh 1 2
1 2
mv 02
20 20 ms 1
20 9,8 x sen 37º
2
117,95 x 4000
2 m
mg Fa
2mg Fa
del
v 02
mg Fa 2 m m
numerador
al
v 02
F 2 g a m
W(Froz ) Fa h
31,3 x 117,95 x 4000 x 26,8 m
Em EmF Em0 EcF Epg0
Lógicamente una distancia menor que en el primer caso al existir ahora rozamiento.
25. Una pelota s e lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial v 0 . Si el aire ejerce una fuerza de rozamiento c ons tante F a sob re la pelota, demostrar que: a) la altura h alcan zada por la pelota es:
mv 02
b) Si aplicamos el mismo razonamiento al movimiento de descenso, tendremos que:
Igualando las dos ecuaciones tendremos que:
--------------- 000 ---------------
2
h
W(Froz ) Froz x cos180º mg cos x 0,2 20 kg 9,8 ms 2 cos 37ºx 31,3 x
h
1
mgh Fah mv 02
1
mv 2 mgh 2
1
2mgh Fah
2
m
Fah mv 2 mgh v
2hmg Fa m
Si sustituimos h por la expresión obtenida en el apartado anterior y desarrollamos llegaremos a la ecuación pedida para v. --------------- 000 --------------15
26. Desde un a torre de 40 m de altura se dispara un proyectil de 1 kg, formando un án g u lo d e 37 º c o n la h o rizo n tal , c o n u n a velocid ad de 120 m/s. Calcular la velocidad del proyectil cuando llega al suelo, por co ns iderac ion es energ é ticas , des prec iand o el rozamiento co n el aire.
alcanzará en la segunda rampa será también de 1 m. b) Al existir rozamiento la altura que alcanzará será menor de 1 m ya que parte de la energía inicial se pierde. A
El ángulo de inclinación no importa ya que al aplicar término energéticos sólo nos interesa el módulo de la velocidad. Al no existir rozamiento se cumple el principio de conservación de la energía mecánica.
x 1m
h
y
1m
β=53º
α=37º
v0=120 m/s El cuerpo desciende una distancia x en el primer plano que valdrá: sen 37º
h=40 m v
1
EmF
Ec 0 Epg0 EcF 1
mgh mv 2
1 2 v 2
1
2
mv 02
v
v 02 2gh 120 ms 1 2 9,8 ms 2 40 m
2
x
x 1,66 m
Desliza 1 m por el plano horizontal y asciende una distancia y por el plano vertical que valdrá:
Si consideramos nivel cero de Epg al suelo tendremos que: Em0
1m
v 02 gh 2
2
sen 53º
h y
y
h sen 53º
1,25 h
Para calcular el trabajo que realiza el rozamiento habrá que hacerlo por separado en cada una de las superficies. Es decir: W(Froz ) W(Froz )1 W(Froz )2
W(Froz )3
123,22 ms 1 --------------- 000 ---------------
27. Desde el punto A d e la figura se suelta un c uerpo . Calcular la altura que alcanza en la ram pa d e 53º: a) si no hay ro zamiento. b) si hay rozamiento en todo el recorrido, siendo 0'1 el coeficiente de rozamiento .
W(Froz )1
mg cos 37ºx
0,1 m 9,8ms 2 cos 37º1,66 m 1,3 m W(Froz )2
mg 1m
0,1 m 9,8ms 2 1m 0,98 m W(Froz )3
mg cos 53ºy
0,1 m 9,8ms 2 cos 53º1,25 h 0,73 m h Luego:
A
W(Froz ) 1,3 m 0,98 m 0,73 m h
m(2,28 0,73 h) 1m
1m α=37º
β=53º
La variación de energía mecánica desde la posición inicial a la final será:
a) Si no hay rozamiento se conserva la energía mecánica y, por lo tanto, la altura que 16
Em EmF Em0 EpgF Epg0 mgh mgh0 m 9,8 ms 2 h m 9,8 ms 2 1m 9,8 m h 9,8 m 9,8 m(h 1) Igualando las dos ecuaciones tendremos:
m(2,28 0,73 h) 9,8 m(h 1) 2,28 0,73 h 9,8 h 9,8 10,53 h 7,52 h 0,71 m Lógicamente, alcanzará una altura inferior a 1 m, debido a la pérdida de energía por rozamiento.
extremo libre de un resorte, de masa des prec iable y c on stan te elástic a k = 400 N -1 m , colocado horizontalmente. a) An alice las tran sfo rm acio nes d e energía que tienen lugar desde u n ins tante anterior al contacto del bloque con el resorte hasta qu e é ste, tras co mp rim irse, rec up era la lon gitu d in icial. ¿Cómo s e mo dif icaría el balan ce en ergé tico anterio r s i exi sti era rozamiento entre el bloqu e y la su perficie?. b) Calcule la c om presión m áxim a del reso rte y la velocidad del bloqu e en el instante de separarse del resorte, en el sup uesto in icial de que no hay ro zamiento.
La situación gráfica sería la siguiente: --------------- 000 ---------------
v0=10 m/s
28. Dejamos caer un c uerpo d e 100 g sobre un m uelle de K=400 N/m. La distancia entre el cuerpo y el muelle es de 5 m. Calcular la longitud x d el muelle que se comp rime. La situación antes y después sería:
5m
x
Las fuerzas que intervienen, el peso y la fuerza elástica, son conservativas luego se conservará la Em. Es decir: Em0
EmF
mgh0
Epg0 EpeF EpgF
1
kx 2 mgx 0,1 9,8 5
v=0
2
3
a) Inicialmente, en la posición 1, el bloque posee una energía cinética debido a su velocidad, suponiendo el nivel cero de Epg en el suelo. Al chocar con el muelle va perdiendo Ec pero el sistema va ganando Epe al ir comprimiéndose el muelle. Cuando el cuerpo pierde toda su Ec, posición 2, el muelle alcanza su máxima compresión, x, y , por lo tanto, su máxima Epe que al no existir rozamiento será igual a la Ec inicial del cuerpo antes de chocar con el muelle. Es decir, de la posición 1 a la 2 lo que ocurre es una transformación íntegra de Ec en Epe ya que la única fuerza que interviene, la fuerza elástica, es conservativa y la Em del sistema debe conservarse.
2
1
400 x 2 0,1 9,8 x 2
200 x 2
x
v
Nivel 0 de Epg
1
0,98 x 4,9 0 x 0,15 m --------------- 000 ---------------
29. Un bloque de 8 kg desliza por una superficie horizontal sin rozamiento con una -1 velocidad de 10 m s e incide sobre el
De la posición 2 a la 3 ocurre el proceso inverso. La Epe se convertirá íntegramente en Ec cuando el cuerpo abandone el contacto con el muelle. Por lo tanto, la velocidad del cuerpo al abandonar el muelle será de 10 m/s igual a la inicial ya que no ha habido pérdidas de energía. Caso de existir rozamiento, parte de la Ec inicial se perderá por rozamiento de tal manera que la compresión x del muelle será menor a la anterior y ya no se cumplirá que la Ec inicial 17
sea igual a la Epe del muelle en su máxima compresión. En el siguiente proceso, de 2 a 3, ocurrirá también una pérdida de energía por rozamiento y, por lo tanto, la Epe no se convertirá íntegramente en Ec. Consecuencia de los dos procesos en que la Ec final del bloque será inferior a la Ec inicial, por lo tanto, el bloque abandonará el muelle con una velocidad inferior a 10 m/s. b) Al no existir rozamiento se conservará la energía mecánica. Si aplicamos esta condición desde la posición 1 a la 2 podremos calcular l máxima compresión del muelle: Em0 1 2
EmF
mv 02
x
1
kx 2 2
mv 02 k
Ec 0 EpeF mv 02 kx 2
8 kg 10 ms 1 400Nm1
2
1,41 m
La velocidad final del bloque será de 10 m/s tal y como se ha razonado en el apartado anterior.
--------------- 000 ---------------
30. Un cuerpo de 0'5 kg se encuentra inicialm ente en reposo a un a altura de 1 m por encim a del extremo libre de un resorte vertical, cuy o extremo inferior está fijo. Se deja caer el cuerpo sobre el resorte y, des pu é s d e com pri mi rlo , vuelv e a sub ir. El resorte tiene una m asa despreciable y una -1 co ns tante elástic a k = 200 N m . a) Haga un anális is ener gé tic o d el p ro bl em a y ju stifiqu e si el c uerpo llegaráde nu evo al punto de partida. b) Calcule la m áxim a co mp resión qu e experim enta el resorte. -2 g = 10 m s . La situación gráfica sería la siguiente:
1m
h Nivel 0 de Epg
x
Si suponemos como nivel cero de Epg la posición del cuerpo cuando el muelle está en su máxima compresión el análisis energético será el siguiente. Si no existe fuerza de rozamiento, las únicas fuerzas que actúan sobre el sistema son la fuerza peso y la fuerza elástica, ambas conservativas, por lo tanto, se conservará la energía mecánica del sistema. Inicialmente, el sistema tiene sólo Epg debido a la altura, 1m + x, del cuerpo sobre el nivel cero. Al caer esta Epg0 se va convirtiendo paulatinamente en Ec. Al chocar el cuerpo con el muelle va perdiendo Ec y va ganado Epe. Cuando el muelle esté en su máxima compresión la Epg 0 se habrá convertido totalmente en Epe ya que en este momento el cuerpo no tiene Ec (está parado) ni Epg (está en el nivel cero). Desde está posición ocurrirá el fenómeno contrario, la Epe se irá convirtiendo primero en Epg y Ec y después la Ec se irá convirtiendo en Epg. Al no existir rozamiento no hay pérdidas de energía y, por lo tanto, el cuerpo alcanzará la altura inicial de 1 m. b) Si aplicamos la conservación de la Em desde la posición inicial hasta la máxima compresión del muelle tendremos que: Em0
EmF
mg1 x
1 2
Epg0 EpeF kx 2
0,5 10 1 x
1 2
200 x 2
51 x 100 x 2
2
100 x 5 x 5 0 x 0,25 m --------------- 000 ---------------
31. Una fuerza con servativa actúa sob re una part ícu la y la d espl aza, des de u n pu nto x 1 hasta otro punto x 2 , realizando un trabajo d e 50 J. a) Determ ine la v ariación de l a ener gía po tenc ial de la part ícu la en es e des plazam iento . Si la energ ía po tenc ial es cero en x 1 , ¿cu án to v al d ráen x 2 ? . b) Si la p artícu la, de 5 g, se m ueve b ajo l a influen cia exclusiv a de esa fuerza, partiendo del reposo en x 1 , ¿cu ál s erá la v elo ci d ad en x 2 ?; ¿cu ál s erá la v ari ac ión de su en erg ía m ec án ic a? .
18
a) Si la fuerza es conservativa podremos poner que: W(Fcons ) Ep 50 J
Ep 50 J
igual a la Ec inicial del cuerpo antes de chocar con el muelle. Es decir, de la posición 1 a la 2 lo que ocurre es una transformación íntegra de Ec en Epe ya que la única fuerza que interviene, la fuerza elástica, es conservativa y la Em del sistema debe conservarse.
Ep Ep( x 2 ) Ep(x1 ) 50 J Ep( x 2 ) 50 J Ep( x1 ) 50 J 0 50 J
v0=30 m/s
b) Si sólo existe la fuerza conservativa esta será también la fuerza resultante, por lo tanto, aplicando el teorema trabajo-energía cinética podremos poner que: W(FR ) W(Fcons ) Ec Como en x1 está en reposo su Ec 1=0, luego: W(Fcons ) Ec Ec 2
Ec1 Ec 2 50 J
v2
2 Ec 2 m
2 50 J 0,005 kg
x v=0
Em0 1 2 x
Y la velocidad en x 2 será:
141,42 ms 1
Al actuar sólo la fuerza conservativa su energía mecánica permanecerá constante, luego la variación de Em será nula.
2
EmF
mv 20
Ec 0 EpeF
1
kx 2
k
mv 20 kx 2
2
mv 02
10 kg 30 ms 1 200Nm1
2
6,7 m
b) Si existiera rozamiento parte de la Ec inicial se perdería guante la compresión del muelle y, por lo tanto, la Epe final será inferior a la Ec inicial lo que implica que la compresión del muelle sería menor que en el caso anterior.
--------------- 000 ---------------
--------------- 000 ---------------
32. Un cu erpo de 10 kg se lanza con u na -1 velocidad de 30 m s por una superficie horizo ntal lisa hacia el extremo lib re de un reso rte ho rizon tal, de con stan te elástic a 200 -1 N m , fijo po r el otro extremo. a) Analic e las var iacio nes d e energía qu e tienen lugar a partir de un instante anterior al impacto con el resorte y calcule la máxim a co mp resión d el resor te. b) Di s cu te en té rm in o s en erg é ti co s l as mo dificacio nes relativas al apartado a) si la superficie horizontal tuviera rozamiento.
1
33. Un blo que de 3 kg cuelga verticalm ente de u n m uelle cu ya c ons tante elástica es 600 N/m. a) ¿Cuál es el alarg amien to d el m uelle cuand o el b loqu e estáen equilib rio?. b) ¿Cu ánt a en erg ía po ten ci al s e alm acen a en el sistema m uelle-bloque?.
a) Según la ley de Hook: F kx
x
F k
mg k
3 kg 9,8 ms 2 600Nm1
0,049 m a) Inicialmente, en la posición 1, el bloque posee una energía cinética debido a su velocidad, suponiendo el nivel cero de Epg en el suelo. Al chocar con el muelle va perdiendo Ec pero el sistema va ganando Epe al ir comprimiéndose el muelle. Cuando el cuerpo pierde toda su Ec, posición 2, el muelle alcanza su máxima compresión, x, y , por lo tanto, su máxima Epe que al no existir rozamiento será
b) El sistema almacena energía potencial elástica: Epe
1 2
kx 2
1
600Nm1 0,049m2 0,72 J 2
--------------- 000 ---------------
19
34. Se empu ja un bloqu e de 2 kg con tra un mu elle cuy a con stan te elástic a es de 500 N/m, com prim ié nd olo 20 cm . Luego se suelta, y el muelle proy ecta al bloq ue por una sup erficie horizontal sin ro zamiento y por u n plano inclin ado de 45º sin rozamiento . ¿Quédistanc ia llega a recorrer subiendo por el plano inclinado?.
Aplicamos la ecuación W(FR ) Ec . Las fuerzas que intervienen son la F=25 N y la de rozamiento cuyo valor es:
La situación gráfica sería:
Froz
x=20 cm
FR
2
α=45º
h 3
α=45º
Si no existe rozamiento, como las únicas fuerzas que actúan, la fuerza elástica y el peso, son conservativas la Em se conservará a lo largo del desplazamiento del cuerpo. Inicialmente, posición 1, el sistema tiene Epe, al actuar el muelle esa Epe se va convirtiendo íntegramente en Ec, situación 2. Al comenzar a subir el plano la Ec se va convirtiendo en Epg. Cuando el cuerpo se pare finalmente, a una altura h recorriendo sobre el plano una distancia L, la Ec se habrá convertido íntegramente en Epg. Por lo tanto, en conjunto la Epe inicial se convertirá íntegramente en Epg al final, luego:
sen
EpgF
1 2
kx 2
mgh
500Nm1 0,2 m
2
2mg
h L
2 2 kg 9,8 ms 2
L
h sen
0,51 m
0,51m sen 45º
--------------- 000 ---------------
Como la caja está inicialmente en reposo su Ec0=0, por lo tanto: W(FR ) Ec
L
v
kx 2
F Froz 25N 13,72N 11,28N
W(FR ) FR r cos0º 11,28N 3 m 33,84 J
v
h
mg 0,35 4 kg 9,8 ms2 13,72N
1
α=45º
v=0
Epe0
35. Una fuerza horizon tal de 25 N se aplica a una caja de 4 kg, inicialmente en reposo sobre una mesa rugosa horizontal. El co eficien te de f ricc ión ci né tica entre la c aja y la m esa es 0'35. Determinar la veloc idad de la c aja desp ué s d e haber sid o em pu jada a lo largo de una d istancia de 3 m.
0,72 m
vF
2Ec F m
Ec F 33,84 J
2 33,84 J 4 kg
4,11 ms 1
--------------- 000 ---------------
36. Un bloque d e 4 kg cuelga de una cuerda ligera que pasa por una polea y po r el otro extremo estáatada a un b loqu e de 6 kg que descansa sobre una mesa rugosa. El co eficien te de fric ción cin é tica es 0'2. El bloque de 6 kg se empuja contra un m uelle cu ya co ns tante elástic a es 600 N/m, co mp rim ié nd olo 30 cm . En es tas condic iones se deja el bloque en libertad. Determinar la velocidad que tienen los bloq ues c uando el bloq ue de 4 kg ha caído una distancia de 40 cm.
El sistema está inicialmente en reposo, al liberar el muelle la masa 2 desciende en vertical 40 cm y, por lo tanto, la masa 1 se desplaza horizontalmente también 40 cm quedando el muelle en su posición de equilibrio y adquiriendo las dos masas una velocidad v, la misma para las dos ya que están unidas por una cuerda. Suponemos que la masa 2 está inicialmente a una altura “a” de la superficie horizontal. Asimismo vamos a considerar como nivel cero
20
de Epg la posición de la masa 2 al final de la caída. Ver figura.
Energía mecánica final
v=0
Los cuerpos están ahora en movimiento luego tendrán Ec. El muelle está en su posición de equilibrio luego no habrá Epe. La masa 1 tendrá Epg pero la 2 no ya que se encuentra en el nivel cero elegido. Por lo tanto:
x=30cm
m1=6 kg
EmF
m2=4 kg
P.E. del muelle
1 2
m1 m2 v 2
m1gh a
Por lo tanto: 1
Em EmF Em0 m1 m 2 v 2 m1gh a 2
v
1 1 kx 2 m1gh a m2 gh m1 m2 v 2 2 2 1
a
kx 2 m2 gh 2
Si sustituimos los valores numéricos nos quedará que:
h=40 cm Nivel cero de Epg
v
Em 5v 2 42,68
Las fuerzas que actúan son: los pesos de ambos cuerpos, la fuerza elástica del muelle y la fuerza de rozamiento. Al existir una fuerza no conservativa la Em no permanecerá constante debiéndose utilizar la ecuación W(Fno cons ) Em . La fuerza de rozamiento aparece sólo en el desplazamiento de 40 cm de la masa 1. Vamos a evaluar el trabajo que realiza el rozamiento y la variación de energía mecánica del sistema. Trabajo del rozamiento
W(Froz ) Froz r cos180º m1gr cos180º
0,2 6 kg 9,8 ms 2 0,4 m 1 4,7 J Energía mecánica inicial Al estar en reposo las dos masas no tendrán Ec. Al estar comprimido el muelle habrá Epe. Teniendo en cuenta el nivel cero de Epg elegido tanto la masa 1 como la 2 tendrán Epg. Por lo tanto:
Por lo tanto:
v
Em0
Epe Epg0 (1) Epg0 (2) kx 2
m1gh a m2 gh
42,68 4,7 5
2,75 ms 1
--------------- 000 ---------------
37. Se lan za un a peq ueñ a pel ot a de 15 g mediante una pistola de juguete que posee un m uelle cuya co nstant e es de 600 N/m. El muelle puede com primirse hasta 5 cm. ¿Qué altura puede alcanzar la pelota si se apun ta verticalmente?. Sol:5'05 m.
Si suponemos que no existe rozamiento se conservará la energía mecánica, por lo tanto la Epe al inicio se convertirá en Epg, luego: Epe Epg
1 2
kx
2
600 Nm1 0,05 m
mgh h
kx 2 2mg
2
1
4,7 5v 2 42,68
W(Fno cons ) Em
2 0,015 kg 9,8 ms 2
5,1m
2
--------------- 000 ---------------
21
38. Se conectan dos bloques p or medio d e una cuerda de m asa despreciable que pasa por u na polea sin rozamiento. El bloque m 1 = 0,5 kg está apoyad o s obre una sup erficie horizontal y unido a un resorte cuya co ns tante elásti ca v ale k = 50 N/m. Si el sistema se libera a partir del reposo cuando el reso rte no estáestir ado y m 2 = 0,3 kg cae una dis tancia h = 0,05 m antes de qu edar en reposo , calcula el coeficiente de rozamiento entre m 1 y la superficie.
Em0
m1gh a m2 gh
Energía mecánica final
Los cuerpos están al final también en reposo luego no tendrán Ec. El muelle está estirado una distancia de 0,05 m luego habrá Epe. La masa 1 tendrá Epg pero la 2 no ya que se encuentra en el nivel cero elegido. Por lo tanto: EmF
1
2
La situación gráfica sería:
kx 2
m1g h a
Por lo tanto: v=0 1
Em EmF Em0 kx 2 m1gh a 2
m1=0,5 kg
1
m1gh a m2 gh kx 2 m2 gh 0,0845 J 2
m2=0,3 kg
P.E. del muelle
Luego: W(Fno cons ) Em
x=0,05 m
0,0845 0,245
0,245 0,0845
0,34
--------------- 000 --------------a
h=0,05 m Nivel cero de Epg
v=0
Haciendo un análisis similar al del ejercicio anterior tendremos que: Trabajo del rozamiento
W(Froz ) Froz r cos180º m1gr cos180º
0,5 kg 9,8 ms 2 0,05 m 1 0,245 Energía mecánica inicial Al estar en reposo las dos masas no tendrán Ec. Al estar el muelle en su posición de equilibrio no habrá Epe. Teniendo en cuenta el nivel cero de Epg elegido tanto la masa 1 como la 2 tendrán Epg. Por lo tanto: 22
