Mecánica Tema12.Oscilaciones:vibracionesmecánicas.
CeciliaPardoSanjurjo DPTO.DEINGENIERÍAESTRUCTURAL YMECÁNICA EstetemasepublicabajoLicencia: CreaveCommonsBY‐NC‐SA3.0
Vibraciones Por vibración mecánica se entiende el movimiento oscilatorio de una partícula, sólido o sistema de sólidos en torno a una posición de equilibrio.
Nos limitaremos a un solo grado de libertad
• • •
Vibraciones libres. Movimiento armónico simple Vibraciones amortiguadas amortigua das Vibraciones forzadas. Resonancia
Vibraciones Por vibración mecánica se entiende el movimiento oscilatorio de una partícula, sólido o sistema de sólidos en torno a una posición de equilibrio.
Nos limitaremos a un solo grado de libertad
• • •
Vibraciones libres. Movimiento armónico simple Vibraciones amortiguadas amortigua das Vibraciones forzadas. Resonancia
Vibraciones libres. Movimiento armónico simple
Bloque que cuelga de un resorte de constante elástica k Fm=k (leq-lo) posi posici ci n de de equilibrio lo
mg= k(leq-lo) mg
leq
xm
Desplazando el bloque de su posición de equilibrio una distancia x:
(
kx + k l
posici n de equilibrio
x=0 (a)
Fm=k (leq+x-lo) eq
O
∑F
kx
x x
− lo ) =
ma
x) (
mg − k leq − lo
(b)
+
=
mx
− kx
x
mg xm
mx + kx
=
0
Ec diferencial del movimiento
mx + kx
=
ec. diferencial de 2º orden con coeficientes constantes
0
La solución es una combinación de exponenciales x = C1e λ1 t
+
C2 e λ 2 t
siendo λ1 y λ 2 , las raíces del polinomio característico
El polinomio característico característico es el obtenido sustituyendo en la ec. diferencial → λ x
En nuestro caso
Definiendo:
mλ
ωn
2
=
x
=
→λ x
+k= 0→λ
x →1
2
=−
k =
2 − Aω n ·senω n t −
k m
x
m
Derivando respecto al t: a
2
v
=
x
2
Bω n ·cos ω n t
=
=
=
→ λ = ±i
k m
A·senω n t + B·cos ω n t
Aω n ·cos ω n t − Bω n ·senω n t
2 −ω n ·x
A y B son constantes a determinar a partir de las condiciones iniciales del problema
Otra forma de expresar la solución:
x = x m sen
(ω
n
t+φ
)
T
A B
=
=
tgφ
x m cosφ
xm
x m senφ O
B =
t
A + xm
xm Amplitud o valor máximo del desplazamiento ωn =
frecuencia angular o pulsación natural de la vibración; en rad/s
φ ángulo de fase o desfase
T es el periodo o tiempo en que hace una oscilación completa:
Frecuencia , f, es el número de oscilaciones por unidad de tiempo:
f=1/T
unidades SI: Hz (hercios o ciclos/s)
T
2π =
ω
Muelles en paralelo Sistema en la posición de equilibrio:
Muelle único equivalente:
k1
ke
k2
xeq
xeq
Separado ligeramente de la posición de equilibrio: ambos muelles se estiran la misma longitud k1
k2 xeq
ke
xeq
!x
Fm
1
+
Fm2
=
Fme
→
ke
=
k1
+
k2
!x
k2
k1
Muelles en serie xeq2
xeq1 xeq
k1!x1
k2!x2
xeq1
xeq2
!x1
ke
!x2
xeq
k1 Δx1
=
k 2 Δx 2
xeq
!x
=
k e Δx
=
ke!x
ke!x
Δx
Fm
1 ke
1 =
k1
=
Δx1
1 +
k2
+
Δx 2
!x
Fm ke
=
Fm k1
+
Fm k2
Un bloque de 25 kg se sostiene mediante la disposición de que se muestra. Si el bloque se desplaza verticalmente de su posición de equilibrio hacia abajo, determínense: a) el periodo y frecuencia del movimiento resultante y b) la velocidad y aceleración máximas del bloque si la amplitud del movimiento es 30 mm
6 kN/m 3 kN/m 24 kN/m
Muelle equivalente : 1 ks
25 kg
ke
1 =
=
6 ks
1 +
+
→
24 3
=
ks
=
ke
yequil
4.8 kN / m
7.8 kN / m
k ey
25 kg
Ecuación del movimiento al desplazarlo una distancia (y) de la posición de equilibrio (2ª ley de Newton)
m y + k ey
=
0
y
y+
ω
ke
y
m
ke
=
m
=
0
→
y
=
y o cos ( ωt )
7800 N / m =
=
25 kg
Frecuencia
f
ω =
2π
=
17.66 rad/s
2.81 Hz
Frecuencia angular o pulsación
Periodo
T=
2π =
0.36 s
ω
b) Derivando respecto al tiempo la coordenada y(t) hallamos la velocidad y aceleración del bloque en cualquier instante
y
=
y o cos ( ωt )
y
=
−
y oω sen ( ωt )
y
=
−
y oω 2 cos ( ωt )
vmáx = y oω = 0.03·17.66 = 0.53 m/s (cuando pasa por la posición de equilibrio) a máx
=
y oω 2
=
0.03 · 17.66 2
=
9.36 m / s2 (en los extremos de y= ± y o )
Péndulo simple O O
n
!
n
t
T
t
!
mgsen! !
an= #2L
mgcos!
at= L"
mg ∑ Ft
=
∑ Fn
ma t )
=
− mg senθ
=
ma n ) T − mg cos θ
Ecs dinámica
m at =
m an
Cinemática: v
=
Lω
∑ Ft
=
=
L·
dθ dt
2
2
at
ma t ) − mg senθ
=
=
Lα
=
L
d θ dt
mL
d2θ dt 2
2
an
θ
=
v =
L
θ(t)
=
2 dθ ⎞ ⎛ L⎜ ⎝ dt ⎟ ⎠
ec del movimiento
L θ + gsenθ = 0
Para ángulos θ muy pequeños, el sen
g θ+ θ = 0
θ
θ
(en radianes)
Ec. de movimiento armónico simple
L
2 θ + ω n θ = 0 siendo ω n
=
g
Frecuencia angular del péndulo simple
L
Solución para el desplazamiento angular :
De periodo:
T=
2π ωn
→
T
=
2π
g L
θ = θmsen ( ω n t + φ )
Péndulo físico: Sólido oscilando en torno a un punto fijo Y O
X
O dG
dG
!
G mg
mg
dG sen!
Teorema del momento angular: MO
=
IOα )
− mgdG ·senθ
=
IO θ
Para ángulos θ muy pequeños, el sen θ
θ
mgdG θ+ θ=0
(en radianes)
IO
Movimiento armónico simple con frecuencia natural: ωn
=
mgdG IO
periodo:
T
=
2π
IO mgdG
Dos barras uniformes, cada una de masa 12 kg y longitud L=800 mm, se sueldan para formar la “T” del dibujo. La constante de cada resorte es k=500 N/m y al extremo A se le da un pequeño desplazamiento y se suelta. Calcular la frecuencia del movimiento resultante.
A
m=24 kg L
OG
IO
12·0 =
=
+ 12·0.4
24
1 12
12· 0.8
G =
0.2m
O
2
+
1 3
12· 0.8
2
=
3.2 kg·m
2
k
0.5 L
0.5 L
Se desplaza ligeramente de la posición de equilibrio
OG=0.2 m G
!
mg= 235.2 N
y 0.4!
O
y= 0.4sen! 0.4!
!
ky
ky
El teorema del momento angular θ respecto al punto fijo O: α =
MO
Para θ pequeño :
senθ
θ
47 θ − 160 θ
ω
=
35.3
=
5.94 rad / s
cosθ =
θ 3.2
pulsación
1
=
y
IO α ) mg OG senθ − 2ky·0.4 cos θ
0.4θ
θ + 35.3 θ = 0 Frecuencia
f
ω =
2π
=
0.94 Hz
=
θ IO
mpg=15 N r=0.75 m
Ejemplo : Hallar el periodo natural de oscilación del sistema cuando apartamos al bloque A hacia debajo de su posición de equilibrio
O
mAg=3 N
mA
3 =
9.8
=
0.306 kg m p
15 =
9.8
=
1.53 kg
k=80 N/m
MO=0) Fm=T=3
En la posición de equilibrio: Polea : M O
O
=
0 ) T·r − Feq ·r
=
X=0 Fm=k(leq-lo)
Y
Bloque : ∑ Fy
T
=
T T=3 N
leq lo mAg=3 N
m Ag
=
)
0 m Ag
Feq
=
T
0→T
=
Feq
Esquema de fuerzas
Sistema desplazado una distancia y del equilibrio !
"
α y
O
r
#
y
y
=
=
O
θ
Fm=k(leq-lo+y) =Feq+ky
r θ
X=0 Y T
T y
mAg=3 N
(eq.) y
leq+y
y y
lo
k=80 N/m
mAg=3 N
Polea: MO
=
Bloque : ∑ Fy
(
mA
+
IO α ) T·r − Fm ·r =
)
)
ma m A g − T
0.5m p y + ky = 0
=
=
⎛ 1 m r 2 ⎞ θ ⎜⎝ 2 p ⎟ ⎠
Eliminando T m Ag
− 0.5m p rθ −
m A y
ωn =
Feq
− ky
=
m A y
y
k mA
+
0.5m p
=
8.64rad / s
T
2π
=
ωn
0.73 s
Vibración de una viga Una viga sobre la que actúa una carga sufre una deformación. El desplazamiento de sus puntos se calcula a partir de la resistencia de materiales, siendo proporcional a la carga aplicada. Q=mg
dest
Si la carga Q ha producido un desplazamiento del punto en que se ha colocado d est significa que la viga ha respondido con una fuerza recuperadora que la iguala. Podemos calcular entonces la constante recuperadora k: Q
=
k·dest
→
k
Q =
d est
Separando el sistema de esa posición de equilibrio, la viga vibrará en torno a ella en un movimiento armónico simple de frecuencia natural ωn
=
k m
Aplicación de la conservación de la energía en vibraciones Otra forma de encontrar la ec. diferencial del movimiento armónico si todas las fuerzas son conservativas E cin x
=
+
E pot
Asen
E cin
+
=
x
cte
(ω n t + φ)
E pot
=
k
1 2
mx 2
x +
Derivando respecto al t :
1 2
kx 2
=
(
1 2
=
− Aω n cos ( ω n t + φ )
kA2
m x x + kx
) = 0 → mx + kx = 0
Este procedimiento se puede aplicar a cualquier sistema conservativo haciendo desplazamiento del sistema respecto a su posición de equilibrio.
Como ejemplo, para el sistema bloque-polea anterior:
E cin
E pot
=
=
1 2 1 2
m A y
2
+
k ( l − lo
1 2
+
IO θ
2
=
1 2
m A y
2
+
1 ⎛ 1
1 2 ⎞ 2 2 mr ⎟ θ = ( m A + 0.5m ) y ⎜ ⎠ 2 ⎝ 2 2 "
2
y ) − m A gy y
En la posición de equilibrio y=0, la E pot es mínima:
⎛ dE pot ⎞ ⎜⎝ dy ⎟ ⎠ y
=
=
0 → k ( l − lo )
=
m Ag
O
r
y
0
!
#
y
mAg=3 N
k=80 N/m
La energía mecánica es constante:
(
d E cin
+
dt
E pot
)
=
0
⎡⎣( m A + 0.5m ) y + k ( l − lo + y ) − m A g ⎤⎦ y = 0
( m A + 0.5m ) y + ky = 0
(eq.) y
y y
Una barra de 800g está atornillada a un disco de 1.2 kg. Un resorte de constante k= 12 N/m une el centro del disco y la pared. Si el disco rueda sin deslizar, determinar el periodo de pequeñas oscilaciones del sistema. Radio del disco=250 mm; AB=600 mm
r=250 mm A
k C
600 mm
B
"= !
y
xA=r!
x
k
Desplazamientos pequeños:
A
C
A
0.3 cos!
senθ
θ
cosθ
1−
G ! "= !
Disco: ω
Rueda sin deslizar sobre el suelo: Ec
1 =
2
2
m vA
1 +
2
IA
ω2
1 =
Barra: gira como el disco
2
(
θ)
1.2· 0.25
ω
=
θ
vA
=
r θ
=
0.25 θ
⎛ 1 1.2·0.25 2 ⎞ θ 2 ⎜ ⎟ ⎠ 2 ⎝ 2 1
2 +
=
Ep
=
0
θ2
0.05625
θ
− AG senθ 0.25θ − 0.3θ
xG
=
xA
yG
=
1 2 ⎞ − AG cosθ −0.3 ⎛ ⎜⎝ 1 − 2 θ ⎟ ⎠ =
=
vGx
=
vGy
−0.05 θ ⎫⎪ dt ⎪v v ⎬ G Gx dyG 0.3 θ θ ⎪ dt ⎪⎭ vGy O ( 2 )
dxG
=
=
=
=
vGx
=
O (1)
1 2 θ 2
1
Ec
=
Ep
=
2
2
m b vG
1 +
2
IG
ω2
1 =
1 1 2 ⎞ 2 θ2 ) + ⎛ 0.8·0.6 ⎟ θ ⎜ ⎠ 2 ⎝ 12
(
0.8 0.0025
2
=
0.013
θ 2
1 2 ⎞ 2 − m b gAG cosθ − m b gAG⎛ = cte + 1.176θ ⎜⎝ 1 − 2 θ ⎟ ⎠
Resorte elástico:
Ep
La energía total:
E
1 =
=
2
kx 2A
1 =
0.06925θ
2
2
2
12 ( 0.25θ )
+ 1.551θ
=
0.375θ2
2
La energía mecánica es constante del movimiento: dE dt
( 0.1385 θ
+
3.102 θ
) θ
De frecuencia angular
=
θ + 1.551·2θ θ 0 → 0.06925·2 θ
=
0
ω=
θ + 3.102 θ 0.1385
3.102 0.1385
=
4.73 rad / s
=
0
=
0
Ec. del movimiento vibratorio
periodo
T
2π
=
ω
1.33 s
Vibraciones libres amortiguadas Los sistemas reales no se mantienen indefinidamente en vibración, ya que siempre hay rozamientos que hacen que pierdan energía hasta que se paran. De entre los tipos de fuerzas de rozamiento que puede haber, vamos a considerar únicamente el rozamiento fluido o amortiguamiento viscoso, que tiene lugar cuando un cuerpo se mueve dentro de un fluido. Este tipo de rozamiento puede ser de origen natural e inevitable como el debido movimientos en el aire o en agua, o bien puede ser buscado a propósito para eliminar vibraciones indeseadas Nos limitaremos a amortiguadores lineales: la fuerza de amortiguación se opone a la velocidad y es directamente proporcional al módulo de la velocidad con que se extiende o comprime el amortiguador
F
=
− cv
siendo c : constante de amortiguamiento viscoso (unidades S.I.
→
N·s/m)
x,x
c cx
k
mg kx
x
N
x
2ª Ley de Newton:
∑ Fx
=
ma x
)
− kx − cx = m x
Ec. diferencial del movimiento: (de 2º orden con coeficientes constantes)
+ kx = 0 m x + cx
Polinomio característico: mλ
2
+ cλ + k
= 0 → λ1,2 =
−c ±
2
c − 4mk 2m
Vamos a escribir estas raíces en función de las siguientes variables: ωn
ζ
k =
m
pulsación natural del sistema
c =
c =
2 mk
2mω n
o razón de amortiguamiento (adimensional)
λ1,2 = − ζω n
± ωn
ζ2 − 1
El valor de c tal que la raíz es cero se llama coeficiente de amortiguamiento crítico, c r : cr
La solución
x
=
C1e
=
λ1 t
2m ω n
+ C2 e
=
2
mk
λ2 t
Se comporta de forma muy distinta según c sea mayor, menor o igual que c r
•
Sistema sobreamortiguado (o fuerte): 2
0 < ζ −1 < ζ
c
>
cr
( o ζ >1)
→ λ1 ,λ 2 reales y negativas → x ( t ) exp onencial decreciente
No hay movimiento vibratorio
•
Sistema con amortiguamiento crítico λ1 =λ 2
=
−ω n
c
=
cr
( ζ=1)
1 raíz doble
La solución es de la forma (se puede comprobar sustituyendo en la ec. diferencial)
( ) = ( B + Ct ) e
x t
−ω n t
No oscilatoria, cae rápidamente a 0
Tiene interés en ingeniería porque el sistema regresa a su posición de equilibrio, sin oscilar, en el menor tiempo posible .
•
Sistemas subamortiguados (o débil)
λ1,2 = − ζω n
± iωn
1− ζ
c
<
cr
( ζ <1)
2
ωd
La solución quedaría:
x(t) = e
−ζω n t
(C e 1
ωd t
+i
+
C2 e
− iω d t
O bien:
( ) = x m e − ( c / 2 m ) t sen (ω d t + φ)
x t
Vibraciones con amplitud exponencialmente decreciente en el tiempo
cr tico
sobreamortiguado
t
Td
2π =
periodo de la vibración amortiguada
ωd
Ed. McGraw- Hill
d bil
)
Vibraciones forzadas
Se llaman así cuando hay una fuerza periódica aplicada al sistema o una perturbación periódica de alguna distancia
c Fo sen
!t
k
x,x
x
cx
+ kx = Fo sen m x + cx
Fo sen !t mg
ωt
kx x
La solución general es: xh : solución ec. homogénea
x ( t ) = xh + xp
+ kx = 0 m x + cx
xp : solución particular de la ec. completa
N
xh sería la solución del movimiento libre amortiguado y en cualquier caso representaría un movimiento transitorio que desaparecería al cabo de un tiempo. Una solución particular en cambio es la vibración estacionaria: xp
=
x o sen ( ωt − ϕ )
Sustituyendo en la ec. diferencial se obtiene que es solución si:
xo
=
Fo 2 2
( k − mω )
tgϕ = +
( cω )
2
cω k − mω 2
Teniendo en cuenta que: la frecuencia natural de la vibración libre
ω
Y el coef. de amortiguamiento crítico es
cr
n
=
=
k m
2m ω n
xo
=
Fo
tgϕ =
k
1
⎡1 − ( ω / ω )2 ⎤ n ⎣ ⎦
2 ( c / cr ) (ω / ω n ) 2
1 − (ω / ω n )
2
+
⎡⎣ 2 ( c / c r ) ( ω / ω n ) ⎤⎦
2
Amplitud de la vibración estacionaria
Desfase entre la vibración estacionaria y la libre amortiguada
siendo c / c r el factor de amortiguamiento /
ω ωn
la razón entre la frecuencia de la fuerza aplicada y la natural del oscilador
Como se puede ver de la expresión de la amplitud, en ausencia de amortiguación (c=0), si la frecuencia angular de la fuerza aplicada coincide con la natural, la amplitud se hace infinita. Se dice entonces que hay resonancia
Xo (Fo / k)
Ed. McGraw- Hill
ω
/ ωn
Una vibración forzada puede provenir del exterior (por ejemplo, un suelo que se mueva como ocurre en los terremotos) o interior como ocurre cuando en una máquina hay una rotación descompensada. Desequilibrio de una pieza giratoria de una máquina:
− cx −
mdesg
cx r G
kx
kx
=
2
( x + r cos ωt ) 2
t
( M + m ) x + cx + kx = m des
x
Es la misma ec. forzada que hemos visto antes con =
dt
!
Mg
Fo
M x + m des
d
m des rω
2
m=M + m des
2
des
rω cos ωt
Un remolque y su carga tienen una masa de 250 kg. El remolque se sostiene por medio de dos resortes de constante k=10 kN/m y se arrastra sobre un camino aproximadamente senoidal, siendo su oscilación vertical de mínimo a máximo de 80 mm y la distancia entre dos máximos de 5 m. Determinar a) a que velocidad ocurrirá la resonancia y b) la amplitud de la vibración a una velocidad de 50 km/h.
v
5m
Remolque con dos ruedas y 2 muelles en paralelo, muelle equivalente con k e= 2k Si en lugar de un muelle hubiese un enlace rígido, el movimiento del remolque tendría una amplitud de 40 mm
y v key yequi
v y
Suelo horizontal: movimiento oscilatorio en torno a la posición de equilibrio
yequi C
m y = −ke y
yC=cte
→
m y + ke y = 0
v
y
Suelo senoidal:
La variación de la longitud del muelle es el resultado del desplazamiento del carrito (y) y de la oscilación del suelo (yC): −
ke y
→
−
ke yC=yosen !t
k e ( y-yC )
5m (recorrido en un periodo)
m y = − k e ( y − yC )
→
m y + k e y = k e y o sen ωt
Características de la sinusoide del suelo:
T
5 =
v
2π
2 πv ω
=
ω
=
5
a) Valor de v para el que ocurre la resonancia m y + key
ωn
=
ke m
=
k e y o senωt
2·10000 N/m =
=
250 kg
La resonancia ocurre cuando:
ωn
=
ω →
8.95
8.95 rad/s 2 πv
=
(
Asen ωt − ϕ
)
con ϕ
Fo
A=
(ke
−
mω
2 2
)
=
c2 ω 2
ω
=
5
7.12 m/s = 25.6 km/h
=
=
17.45 rad / s
0 ya que c = 0
k e yo
= +
v
5
2 πv
b) Amplitud de la vibración para v=50 km/h
y part
→
=
ke
−
mω
2
=
0.04·20·10 3 20·10
3
−
250·17.45
2
0.014 m
=
14 mm
En la figura se muestra un modelo simplificado de lavadora. Un bulto de ropa mojada forma una masa de m=10 kg dentro de la máquina y ocasiona un desequilibrio giratorio. La masa giratoria es de 20 kg (ropa incluida) y el radio del tambor es de 25 cm. La lavadora tiene una constante del resorte equivalente a k=1000 N/m y una razón de amortiguamiento de 0.05. Si durante el ciclo de lavado, el tambor rota a 250 rpm, determinar la amplitud del movimiento y la magnitud de la fuerza transmitida a los lados de la lavadora.
c/2
k/2
r
m
M
k/2
M=10 kg
m=10 kg
c/2
mt=M+m=20 kg
k/2 y
0.5ky
c/2
0.5ky
0.5cy
m
r M
r
N1
y
M y y
y 0.5ky
m t
!
r sen ! t
N2
y
c/2
k/2
0.5ky
0.5cy
Movimiento en el eje y en torno a la posición de equilibrio: yM
=
y → yM
ym
=
yM
+
=
y
r senωt → ym
=
y−r
ω
2
senωt
2ª ley de Newton aplicada al conjunto: M yM
+
m ym
=
− ky − cy
( M + m ) y + cy + ky = mrω 2 sen ωt
Análogamente en la dirección x : M xM
+
xM
x
xm
= =
m xm
xM
+
=
N1
0.5ky
− N2
r cos ωt
→
xm
=
x−r
( M + m ) x = N1 − N 2 + mrω 2 cos
ω
2
r
N1 cos ωt
0.5cy
M y y
m t
!
N2
y
ωt
r sen ! t
0.5ky
0.5cy
Suponiendo que la lavadora no avanza en la dirección x: 0.5ky
0.5cy
x N1 0.5ky
N2 0.5cy
=
0
→
N2
−
N1
=
mrω
2
cos
ωt
=
1713.48 cos
ωt
(N2- N1)máx=1713.48 N (para calcularlas separadamente habría que utilizar la ecuación del momento, pero harían falta cotas que no sabemos)
Solución estacionaria: k
ωn
Fo
=
=
ξ≡
A
1000 =
mt mrω
2 =
20
2m t ω n
=
0.05
→c
=
(k
−
m Tω
2
2 =
ω
=250 rpm·
=
2π 60
Aω cos ( ωt − ϕ )
=26.18 rad/s
1713.48 N
=
0.1 20
50
14.14
=
=
2
)
+
c
2
ω
2
(10
3
−
14.14 (26.18 ) 2
y
1713.48
cω k − mt ω
Asen ( ωt − ϕ )
0.1 m t ω n
Fo
=
=
50 rad/s
=
10·0.25·26.18
c
tgϕ =
y
=
3
10 − 20 (26.18 )
2
=
2
20 ( 26.18)
2
)
−0.029 → ϕ
+
(14.14·26.18)2
−0.029
rad
−1.7º
Fuerzas máximas sobre la carcasa: cuando una es máxima la otra es 0 ky máx
A·10 3
=
135N
cy máx
cAω
50 N
0.135 m
Las resonancias son importantes en ingeniería porque pueden tener efectos destructivos y los diseños han de procurar evitarlos. Algunas son de origen natural: terremotos, vientos Otras se generan por su uso mg dest dest
Si el ritmo de los pasos coincide con la frecuencia natural del sólido, la amplitud resultante es grande
Pasarela del milenio La alta vibración con el tránsito de gente el día de su inauguración hizo que se revisase el diseño para incorporar amortiguadores
ww2. eng.cam.ac.uk
Wikipedia
En zonas sísmicas los edificios altos se diseñan para aguantar los terremotos y evitar frecuencias resonantes
Freephotos.biz
Someformofhuman
Rascacielos Taipei
Centro Nyedermeyer La vibración de la pasarela es claramente apreciable para los paseantes. El apoyo está en un extremo