12 Projeto Lajes Macicas

PROJETO DE LAJES MACIÇAS – CAPÍTULO 12 Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos. 17 maio 2003

PROJETO DE LAJES MACIÇAS 12.1

DADOS INICIAIS A planta do tabuleiro, com as dimensões das lajes e das vigas, encontra-se

no Desenho 1, no final do capítulo. A partir dessa planta, obtém-se os vãos teóricos das lajes, considerados até os eixos dos apoios e indicados na Figura 1. Outros dados: concreto C25, aços CA-50 (φ ≥ 6,3 mm) e CA-60 (φ = 5 mm) e cobrimento c = 2 cm .

Figura 1 – Vãos teóricos

12.2

VINCULAÇÃO No vínculo L1-L2, há continuidade entre as lajes e elas são de portes

semelhantes: ambas serão consideradas engastadas. Já no vínculo L1-L3, a laje L1 é bem maior que L3. Esta deve ser considerada engastada, mas aquela não deveria ser. Resultaria para a L1 a vinculação indicada na Figura 2.

USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas

Projeto de lajes maciças

l 2x

=

2 l 1y 3

Figura 2 – Vínculos L1-L2 e L1-L3 (dimensões em centímetros) Porém, como se verifica a condição l 2 x ≥

2 l y , a laje L1 será considerada 3

engastada ao longo de toda essa borda. No vínculo L2-L3, a laje L2 é bem maior que a L3. Esta será considerada engastada e aquela apoiada. A laje L4 encontra-se em balanço e não há equilíbrio se ela não for engastada. Porém, ela não tem condições de receber momentos adicionais, provenientes das lajes vizinhas. Portanto, as lajes L2 e L3 devem ser admitidas simplesmente simplesmente apoiadas nos seus vínculos com a L4. Em conseqüência do que foi exposto, resultam os vínculos indicados na Figura 3 e os tipos das lajes L1, L2 e L3 são, respectivamente: respectivamente: 2A, 2B e 3.

Figura 3 – Vínculos das lajes 12.2


12.3


PRÉ-DIMENSIONAMENTO Para as lajes L1, L2 e L3, a altura útil d será estimada por meio da

expressão: dest

= (2,5 - 0,1n) l / 100 *

n é o número de bordas engastadas *

l é o menor valor entre l x (menor vão) e 0,7 l y A altura h será adotada considerando o valor aproximado: h = (d + c + 0,5) cm

c = 2,0 cm

h = (d + 2,5) cm

O pré-dimensionamento pré-dimensionamento das lajes L1, L2 e L3 está indicado na Tabela 1.

Tabela 1 – Pré-dimensionamento das lajes L1, L2 e L3.

L1

L2

L3

x (cm)

380

460

230

y (cm)

690

500

500

0,7 y (cm)

483

350

350

380

350

230

n

1

1

2

dest (cm) hest (cm) h (cm)

9,1

8,4

5,3

11,6

10,9

7,8

11

11

11

Para a Laje L4 em balanço, pode ser adotado o critério da NBR 6118 (1978), com Ψ2 = 0,5 e Ψ3 = 25 , resultando: dest =

l x

ψ2 ψ3

=

110 = 8,8 cm 0,5 25

Será adotada a espessura h = 11 cm para todas as lajes.

12.3


12.4


AÇÕES, REAÇÕES E MOMENTOS O cálculo de L1, L2 e L3 está indicado na Tabela 2. No cálculo das reações

de apoio e dos momentos fletores, foram utilizadas as tabelas de PINHEIRO (1993).

Importante: Neste projeto, foi considerada uma carga de paredes divisórias de

1,0 kN/m2, atuando em todas as lajes L1, L2 e L3. Quando a posição das paredes for conhecida, e principalmente quando elas forem de alvenaria, seus efeitos devem ser cuidadosamente considerados, nos elementos que as suportam. O cálculo da laje L4 é feito conforme o esquema indicado na Figura 4.

g+q

g1 + q1

Figura 4 – Esquema da laje L4

As cargas uniformemente distribuídas são: g = gpp + gp + r = 2,75 + 1,00 = 3,75 kN/m 2

q = 3,00 kN/m 2

p = g + q = 3,75 + 3,00 = 6,75 kN/m 2 Na extremidade, será considerada uma mureta de ½ tijolo cerâmico (1,9 kN/m2), com 1,10 m de altura, e uma carga variável de 2,0 kN/m. g1 = 1,9 ⋅ 1,10 = 2,09 kN/m

q1 = 2,00 kN/m

p1 = g1 + q1 = 2,09 + 2,00 = 4,09 kN/m Reações de apoio: r = pl + p1 = 6,75 ⋅ 1,10 + 4,09 = 11,52 kN/m Momento fletor: pl 2 6,75 ⋅ 1,10 2 + p1 ⋅ l = + 4,09 ⋅ 1,10 = 8,58 kNm/m m= 2 2

12.4



Tabela 2 - Esforços nas lajes L1, L2 e L3

Lajes

Características

Ações (kN/m2)

Reações de Apoio (kN/m)

Momentos Fletores (kNm/m)

L1

L2

L3

Tipo

2B

2A

3

l x (cm)

380

460

230

l y (cm)

690

500

500

l y/l x

1,82

1,09

2,17

Peso Próprio

2,75

2,75

2,75

Piso + Revestimento Revestimento

1,00

1,00

1,00

Paredes

1,00

1,00

1,00

Carga de uso

3,00

3,00

3,00

g

4,75

4,75

4,75

q

3,00

3,00

3,00

p

7,75

7,75

7,75

νx ν'x νy ν'y

3,46

2,01

4,38

5,07

-

6,25

1,83

2,85

2,17

-

4,17

3,17

r x

10,19

7,17

7,81

r'x

14,93

-

11,14

r y

5,39

10,16

3,87

r'y

-

14,87

5,65

µx µ'x µy µ'y

5,78

3,61

7,03

11,89

-

12,50

1,66

3,74

1,60

-

9,18

8,20

mx

6,47

5,92

2,88

m'x

13,31

-

5,12

my

1,86

6,13

0,66

m'y

-

15,05

3,36

12.5



As reações de apoio das lajes (dentro dos semicírculos) e os momentos fletores estão indicados na Figura 5, na qual encontram-se, também, os momentos fletores compatibilizados (dentro dos retângulos).

5,39

7,17

3 9 , 4 1

9 1 , 0 1

6 1 , 0 1

7 8 , 4 1

2 9 , 5

6,57 6 8 , 1

6,13

8,58 0

8,58

14,18 6,47

13,3 13,31 1 15,0 15,05 5 7,17 11,14

2 1 , 5

5 6 , 5

0

2 1 , 5

7 2 8 5 , , 3 1 1

8 8 , 2

3,36 0 5,39

8,58

3,36 7,81

0,66

0

8,58

Figura 5 – Reações (semicírculos, kN/m) e momentos (retângulos, kNm/m)

12.5

DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS O dimensionamento das armaduras está indicado na Tabela 3. Inicia-se

pelos momentos nos apoios, em geral os de maior valor, em ordem decrescente. Em função dos diâmetros e dos espaçamentos obtidos para essas armaduras, pode ser conveniente modificar a espessura das lajes, situação em que os cálculos precisam ser alterados. Em seguida, são calculadas as armaduras de vão. Foi admitido d = 8,5 cm.

12.6



Tabela 3 - Dimensionamento das armaduras (momentos em kNcm/m) Vínculo Momento ou laje

mk

md

kc

ks

as,nec

as,e e (cm2 /m) espaçamento (cm2 /m)

L1/L2 L1/L3

m'

1418

1985

3,6

0,026

6,07

L2/L4 L3/L4

m'

858

1201

6,0

0,025

3,53

L2/L3

m'

512

717

10,1

0,024

2,02

mx

647

906

8,0

0,024

2,56

my

186

260

27,8

0,023

mx

592

829

8,7

0,024

2,34

my

657

920

7,9

0,024

2,60

mx

288

403

17,9

0,024

1,28

my

66

92

78,5

0,023

0,90

8 c/ 8

6,25

10 c/ 13

6,15

8 c/ 14

3,57

6,3 c/ 8,5

3,71

6,3 c/ 15

2,10

6,3 c/ 12

2,62

8 c/ 19

2,63

6,3 c/ 33

0,95

6,3 c/ 13

2,42

8 c/ 20

2,50

6,3 c/ 12

2,62

8 c/ 19

2,63

(a)

6,3 c/ 20

1,58

(c)

6,3 c/ 33

0,95

L1 l = 1,82

L2 l = 1,09

L3 l = 2,17

0,85

(b)

(a)

Armadura mínima para ρ smin = 0,15% (C25)

(b)

Armadura mínima para 0,67 ρsmin

(c)

Armadura de distribuição: 0,2 a s,princ; 0,5 a smin ou 0,90 cm2/m

12.5.1 Armadura mínima Para concreto C25, ρsmin = 0,15%

a) Armadura negativa e armadura principal para a s1,min = ρmin ⋅ bd =

0,15 100 8,5 = 1,28 cm 2 /m 100

12.7

2


b) Laje com a s2,min


2

= 0,67ρmin ⋅ bd = 0,67 1,28 = 0,85 cm2 /m (nas duas direções)

c) Armadura de distribuição e armadura secundária para

a s3,min

2

0,2 a s,princ  ≥ 0,5ρmin b d = 0,5 1,28 = 0,64 cm 2 /m  2 0,90 cm /m

Nos vínculos L1-L2 e L1-L3, tem-se: a s3,min

= 0,2 6,07 = 1,21 cm 2 /m (φ6,3 c/ 26 cm; a se = 1,21 cm2/m)

Nos demais vínculos e na direção x da L3: a s3,min

= 0,90 cm2 /m (φ6,3 c/ 33 cm; a se = 0,95 cm2/m)

12.5.2 Diâmetro máximo

φmax =

h 8

=

110 8

= 13,8 mm ≤ 12,5 mm ⇒ φmax = 12,5 mm

12.5.3 Espaçamento máximo a) Armadura principal para s max

2 e nas duas direções para

2h = 2 11 = 22 cm ≤ ⇒ smax = 20 cm 2 0 cm 

b) Armadura de distribuição e armadura secundária para smax

2

= 33 cm

12.8

2


12.6


FLECHA NA LAJE L2 Será verificada a flecha na laje L2, na qual deverá ocorrer a maior flecha.

12.6.1 Verificação se há fissuras A verificação da existência de fissuras será feita comparando o maior momento positivo, em serviço, para combinação rara ( md,rara

= my,k = 657 kN cm/m ),

com o momento de fissuração m r , dado por: mr =

α f ct I0 yt

α =1,5 para seção retangular f ct

23 = 0,3 f ck = 0,3 ⋅ 25 2 3 = 2,565 MPa = 0,2565 kN/cm 2

I0

=

b h3 12

yt

=

h 2

100 ⋅ 113 = 12

=

= 11092 cm 4

11 = 5,5 cm 2

Resulta: mr =

α f ct I0 yt

=

1,5 ⋅ 0,2565 ⋅ 11092 5,5

= 776 kN cm/m

Como md,rara < mr , não há fissuras.

12.6.2 Flecha imediata A flecha imediata pode ser obtida por meio da Tabela 2.2a de PINHEIRO (1993), com a expressão adaptada: 4 b pl x ⋅ ⋅ ai = 100 12 E c I0

α

12.9



α = 4,02 (Laje tipo 2A, λ = 1,09) b = 100 cm p = g + ψ 2 q = 4,75 + 0,3 ⋅ 3,00 = 5,65 kN/m 2 = 5,65 ⋅ 10 - 4 kN/cm 2 lx

= 460 cm = 4,6 ⋅ 10 2 cm

E c = 0,85 ⋅ 5600 f ck = 0,85 ⋅ 5600 25 = 23800 MPa = 2380 kN/cm 2 I0 = 11092 cm 4 = 1,1092 ⋅ 10 4 cm 4

Resulta: 4 b pl x 4,02 100 5,65 4,6 4 10 8 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = 0,32 cm ai = 100 12 E c I0 100 12 10 4 2380 ⋅ 1,1092 ⋅ 10 4

α

a i = 0,32 cm

12.6.3 Flecha total A flecha total é dada pela flecha inicial mais a flecha diferida. Pode ser obtida multiplicando-se multiplicando-se a inicial pelo coeficiente 1 + α f , com:

α f =

∆ξ 1 + 50ρ'

Para um tempo infinito (t ≥ 70 meses) e carregamento aplicado em t0 = 1 mês, obtém-se:

∆ξ = ξ( t ) − ξ( t 0 ) = 2 − 0,68 = 1,32 (tabela 5 do capítulo anterior) ρ' = 0 (taxa de armadura de compressão) Resulta a flecha total: a t = ai (1 + α f ) = 0,32 (1 + 1,32) a t = 0,74 cm

12.10



12.6.4 Flecha limite Flecha limite admitida pela NBR 6118 (2001) : l x

250

=

460 = 1,84 cm 250

Como a t <

l x

250

, a flecha atende as especificações da citada Norma.

Fazendo um cálculo análogo para a laje L1, ter-se-ia: tipo 2B, λ =1,82, mxk = 6,47 kN.m/m, α = 5,49, l x = 380 cm, a i = 0,204 cm e

a t = 0,47 cm <

lx = 1,52 cm 250

Portanto, com relação às flechas, poderia ser adotada uma espessura menor para as lajes.

12.7

CISALHAMENTO Será verificada a resistência sem armadura transversal (estribos), para o

maior valor da força cortante, indicado na Figura 5. Esse valor refere-se à laje L1, v 'x = 14,93 kN/m . Deverá ser verificada a condição: v ' xd ≤ v Rd1 v Rd1 =

VRd1 bw

= d τRd1

τRd1 = 3 f ck (1 + 50ρl) (1,6 − d) α q com (1,6 − d) ≥ 1 Para

cargas

distribuídas

tem-se α q = 0,17 .

12.11

e

d = 0,085 m <

l

20

=

3,80 = 0,19 m , 20



Considerando-se asx = 2,63 cm2 / m (φ8 c/ 19) : As

2,63 0,3094 = b d 100 ⋅ 8,5 100 ρ = 0,3094 %

ρ=

=

τRd1 = 3 25 (1 + 50

0,3094 3,80) (1,6 − 0,085) 0,17 = 1,20 MPa 100

τRd1 = 0,120 kN/cm2 v Rd1 = 8,5 ⋅ 0,120 ⋅ 100 = 102,0 kN/m Portanto: v ' xd = 1,4 ⋅ 14,93 = 20,9 kN/m < < v Rd1 = 102,0 kN/m Não há necessidade de estribos.

12.8

COMPRIMENTO DAS BARRAS SOBRE OS APOIOS A armação das lajes encontra-se no Desenho 2A, no final deste capítulo. O

cálculo dos comprimentos das barras sobre os apoios internos é diferente do relativo à laje L4 em balanço.

12.8.1 Apoios internos Podem ser adotadas barras alternadas com comprimentos horizontais dados pela expressão: a=

3 l xmax + 20 φ + 0,75 d 8

Nos vínculos L1-L2 e L1-L3 serão adotadas barras de mesmo comprimento, calculado com l xmax = 460 cm (laje L2).

12.12



No vínculo L2-L3 considera-se considera-se l xmax = 230 cm , da laje L3, pois a L2 foi admitida simplesmente apoiada nesse vínculo. O cálculo dos comprimentos das barras para os apoios internos está indicado na Tabela 4 (ver também Desenho 2A).

Tabela 4 - Comprimentos dos trechos horizontais das barras (em centímetros) Vínculo

x max

L1-L2 L1-L3

460

1,0

8,5

L2-L3

230

0,63

8,5

(a)

d

3/8

20

0,75 d

a

a/3 (a)

2a/3 (a)

aadot

172,5

20

6,4

19 9

65

1 35

20 0

86,3

12,6

6,4

10 5

35

70

10 5

x max

valor inteiro mais próximo, múltiplo de 5 cm.

12.8.2 Laje L4 em balanço Sendo l o comprimento da barra no balanço, adota-se o comprimento total do trecho horizontal igual a 2,5 l (ver (ver Figu Figura ra 6 e Dese Desenho nho 2A). 2A). a = 2,5 l = 2,5 (110 - 2) = 270 cm

14,18 8,58

7,09

6,57 14,18 8,58 13,66

1,5

Figura 6 – Comprimento total do trecho horizontal

12.13


12.9


COMPRIMENTO DAS BARRAS POSITIVAS O comprimento das barras positivas pode ser calculado conforme indicado

na Figura 7 e no Desenho 1.

Figura 7 – Comprimento das barras positivas

Nos apoios de extremidade, serão adotadas barras com ganchos de 90º, prolongados até a face externa, respeitando-se o cobrimento. Nos apoios internos com lajes adjacentes, serão adotadas barras sem ganchos, prolongadas de pelo menos 10φ a partir da face do apoio. O cálculo dos comprimentos das barras positivas está indicado na Tabela 5, na qual: x é a direção do menor vão y é a direção do maior vão

φ é o diâmetro da barra l 0 é o vão livre

∆l e e ∆l d são os acréscimos de comprimento à esquerda e à direita, de valor (t − c) ou 10φ; para φ ≤ 10 m , pode-se adotar 10 cm no lugar de 10 φ t é a largura do apoio c é o cobrimento da armadura l h,nec

= l 0 + ∆l e + ∆l d 12.14



l h,adot é o valor adotado do trecho horizontal da barra l tot

= l h,adot + ∆l g

l tot é o comprimento total da barra

∆l g é o acréscimo de comprimento de um ou de dois ganchos, se houver (Tabela 1.7a, PINHEIRO, 1993)

Tabela 5 - Comprimento d as barras positivas positivas (em ce ntímetros) ntímetros) L a je

L1 L2 L3

D ir e ç ã o

0

e

d

h,nec

h,adot

g

to t

x

0 ,8

360

18

8

386

390

8 ,0

398

y

0 ,6 3

670

18

18

706

705

6+6

717

x

0 ,6 3

440

6 ,3

18

464

470

6 ,0

476

y

0 ,8

480

8

18

506

510

8 ,0

518

x

0 ,6 3

210

18

6 ,3

234

240

6 ,0

246

y

0 ,6 3

480

6 ,3

6 ,3

493

500

-

500

Para a laje L1, na direção y, o comprimento l h,nec = 706 cm é o valor máximo para que seja respeitado o cobrimento, nas duas extremidades da barra. Em geral, os valores adotados l h,adot são múltiplos de 5 cm ou de 10 cm .0 Os comprimentos adotados estão indicados no Desenho 2A.

12.10 ARMADURAS DE CANTO Na laje L1, nos dois cantos esquerdos, e na laje L2, canto superior direito, não há armadura negativa. Nessas posições serão colocadas armaduras superiores de canto, conforme o detalhe 2 indicado no Desenho 2A, válido para os três cantos. Para as lajes L1 e L2, os maiores valores de l x e da armadura positiva são: l x

= 460 cm

as = 2,60 cm2 / m

12.15



Então, o comprimento do trecho horizontal das barras de canto, sua área por unidade de largura e as quantidades serão:

l

h

a sc

l x

= =

+ t - 2 =

5 as 2

=

460 + 20 − 2 = 92 + 18 = 110 cm 5

2,60 = 1,30 cm 2 /m (Adotado φ6,3 c/ 24; a se = 1,31 cm 2 /m) 2

O detalhe das armaduras de canto encontra-se no Desenho 2B.

12.11 NÚMERO DAS BARRAS Há várias maneiras de numerar as barras. Como as primeiras a serem posicionadas nas formas são as barras positivas, recomenda-se começar por elas e, em seguida, numerar as negativas.

12.11.1 Numeração Numeração das barras positivas O procedimento ora sugerido consiste em numerar primeiro as barras positivas da laje L1, considerando N1 a de maior área por unidade de largura, N2 a da outra direção, N3 a de maior área por unidade de largura da L2, e assim sucessivamente. Com essa numeração, as barras relativas aos maiores momentos positivos têm número ímpar e devem ser colocadas por baixo das de números pares. Dessa maneira, as barras que resistem aos maiores esforços terão o maior braço de alavanca, sendo portanto mais eficientes. Para garantir o correto posicionamento das barras, deve ser colocado de forma clara, nos desenhos de armação das lajes:

BARRAS POSITIVAS DE NÚMERO ÍMPAR (N1, N3 ETC.) DEVEM SER COLOCADAS POR BAIXO DAS DE NÚMERO PAR (N2, N4 ETC.). A numeração das barras inferiores está indicada no Desenho 2A. Essas barras são as seguintes: N1, N2, ...N6.

12.16



12.11.2 Numeração Numeração das barras negativas Terminada a numeração das barras positivas, inicia-se a numeração das barras negativas, com os números subseqüentes (N7, N8 etc.). Elas podem ser numeradas da esquerda para a direita, de cima para baixo, com o desenho na posição normal, e em seguida, procedendo da mesma forma, com o desenho sofrendo uma rotação de 90º no sentido horário, o que equivale ao observador posicionado à direita do desenho. Obtém-se dessa maneira as barras N7, N8, N9 e N10, indicadas no Desenho 2A já citado. Na seqüência, são numeradas as barras de distribuição da armadura negativa e outras barras eventualmente necessárias. necessárias.

12.11.3 Barras de distribuição As barras N10 já citadas são de distribuição, nos vínculos L2-L4 e L3-L4. Outras barras de distribuição relativas às armaduras negativas são: N11, nos vínculos L1-L2 e L1-L3, e N12, no vínculo L2-L3 (ver Desenho 2A).

12.11.4 Barras Barras de canto As barras de canto serão as N13 (Desenho 2B).

12.12 QUANTIDADE DE BARRAS A quantidade ni de barr barras as Ni pode ser ser obtida obtida pela equação equação:: ni =

b j si

b j é a largura livre, na direção perpendicular à das barras si é o espaçamento das barras N i Poucas vezes ni vai resultar um número inteiro. Mesmo nesses casos, e nos demais, deve-se arredondar n i para o número inteiro imediatamente inferior ao valor obtido, conforme está indicado na Tabela 6. Somente para as barras de canto, recomenda-se recomenda-se adotar o número inteiro mais próximo (barra N13 na Tabela 6).

12.17



Tabela 6 - Quantidade das barras (b j e si em cm)

Barra

b j

si

ni,calc

ni,adot

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9 N10 (e) N10 (d) N11 N12 N13

670

19

35,3

35

360

33

10,9

10

440

19

23,2

23

480

13

36,9

36

480

20

24,0

23

210

33

6,4

6

670

13

51,5

51

470

14

33,6

33

480

15

32,0

31

150

33

4,5

4

100

33

3,0

2

130

26

5,0

4

70

33

2,1

2

92

24

3,8

4

12.13 DESENHO DE ARMAÇÃO A armação das lajes encontra-se nos desenhos 2A e 2B, nos quais estão também a lista das barras, com diâmetros, quantidades e comprimentos, e o resumo do consumo de aço, com comprimento total e massa total por bitola e a soma dessas massas.

12.18

12 Projeto Lajes Macicas

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