`~êíÉëá~å mêçÇìÅí ` = ^ × _ = {(ñ I ó ) ö ñ ∈ ^ ~åÇ ó ∈ _}
4
CHAPTER 1. NUMBER SETS
1.2 Sets of Numbers k~íìê~ä åìãÄÉêëW k tÜçäÉ åìãÄÉêëW kM fåíÉÖÉêëW w mçëáíáîÉ áåíÉÖÉêëW w + kÉÖ~íáîÉ áåíÉÖÉêëW w − o~íáçå~ä åìãÄÉêëW n oÉ~ä åìãÄÉêëW o `çãéäÉñ åìãÄÉêëW `
26.
k~íìê~ä kìãÄÉêë `çìåíáåÖ åìãÄÉêëW k = {NI OI PI K} K
27.
tÜçäÉ kìãÄÉêë `çìåíáåÖ åìãÄÉêë ~åÇ òÉêçW k M = {MI NI OI PI K} K
28.
fåíÉÖÉêë tÜçäÉ åìãÄÉêë ~åÇ íÜÉáê çééçëáíÉë ~åÇ òÉêçW w + = k = {NI OI PI K}I w − = {KI − PI − OI − N} I w = w − ∪ {M}∪ w + = {KI − PI − OI − NI MI NI OI P IK} K
29.
o~íáçå~ä kìãÄÉêë oÉéÉ~íáåÖ çê íÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëW ~ n = ñ ö ñ = ~åÇ ~ ∈ w ~åÇ Ä ∈ w ~åÇ Ä ≠ Ä
oÉ~ä kìãÄÉêë råáçå çÑ ê~íáçå~ä ~åÇ áêê~íáçå~ä åìãÄÉêëW oK
32.
`çãéäÉñ kìãÄÉêë ` = {ñ + áó ö ñ ∈ o ~åÇ ó ∈ o } I ïÜÉêÉ á áë íÜÉ áã~Öáå~êó ìåáíK
33.
k ⊂ w ⊂ n ⊂ o ⊂ `
Figure 5.
6
CHAPTER 1. NUMBER SETS
1.3 Basic Identities oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å
34.
^ÇÇáíáîÉ fÇÉåíáíó ~+M=~
35.
^ÇÇáíáîÉ fåîÉêëÉ ~ + (− ~ ) = M
36.
`çããìí~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå ~ + Ä = Ä + ~
37.
^ëëçÅá~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå (~ + Ä) + Å = ~ + ( Ä + Å )
38.
aÉÑáåáíáçå çÑ pìÄíê~Åíáçå ~ − Ä = ~ + (− Ä)
39.
jìäíáéäáÅ~íáîÉ fÇÉåíáíó ~ ⋅N = ~
40.
jìäíáéäáÅ~íáîÉ fåîÉêëÉ N ~ ⋅ = N I ~ ≠ M ~
41.
jìäíáéäáÅ~íáçå qáãÉë M ~ ⋅M = M
42.
`çããìí~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå ~ ⋅ Ä = Ä ⋅ ~
7
CHAPTER 1. NUMBER SETS
43.
^ëëçÅá~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå (~ ⋅ Ä)⋅ Å = ~ ⋅ ( Ä ⋅ Å )
44.
aáëíêáÄìíáîÉ i~ï ~( Ä + Å ) = ~Ä + ~Å
45.
aÉÑáåáíáçå çÑ aáîáëáçå ~ N = ~⋅
1.4 Complex Numbers k~íìê~ä åìãÄÉêW å fã~Öáå~êó ìåáíW á `çãéäÉñ åìãÄÉêW ò oÉ~ä é~êíW ~I Å fã~Öáå~êó é~êíW ÄáI Çá jçÇìäìë çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW êI êN I êO ^êÖìãÉåí çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW ϕ I ϕN I ϕO
46.
áN = á á O = −N á P = −á áQ = N
áR = á áS = − N áT = − á áU = N
47.
ò = ~ + Äá
48.
`çãéäÉñ mä~åÉ
á Qå+ N = á á Qå+ O = − N á Q å+ P = − á áQ å = N
8
CHAPTER 1. NUMBER SETS
Figure 6.
49.
(~ + Äá ) + (Å + Çá ) = (~ + Å ) + ( Ä + Ç )á
50.
(~ + Äá ) − (Å + Çá ) = (~ − Å ) + ( Ä − Ç )á
51.
(~ + Äá )(Å + Çá ) = (~Å − ÄÇ ) + (~Ç + ÄÅ )á
52.
~ + Äá ~Å + ÄÇ ÄÅ − ~Ç = O O + O O ⋅á Å + Çá Å + Ç Å +Ç
2.4 Roots _~ëÉëW ~I Ä mçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã ~ I Ä ≥ M Ñçê ÉîÉå êççíë Eå = O â I â ∈k F
91.
å
~Ä = å ~ å Ä
92.
å
~ ã Ä = åã ~ ã Ä å
93.
å ~ ~ å = å I Ä ≠ M Ä Ä
94.
~ åã ~ ã åã ~ ã I Ä ≠ M K = åã å = å ã Ä Ä Ä
95.
(~ )
96.
( ~)
å
å
ã
å
å
é
= å ~ ãé
=~ åé
å
~ã =
98.
å
~ =~
99.
ã å
100.
( ~)
97.
å
ã
~ ãé
ã å
~ = ãå ~ ã
= å~ã
15
CHAPTER 2. ALGEBRA
å å− N N ~ I ~ ≠ MK 101. å = ~ ~
102.
103.
~ + ~ O − Ä ~ − ~ O − Ä ~ ± Ä = ± O O N ~ ± Ä
=
~ m Ä ~ − Ä
2.5 Logarithms mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ñI óI ~I ÅI â k~íìê~ä åìãÄÉêW å 104. aÉÑáåáíáçå çÑ içÖ~êáíÜã
ó = äçÖ ~ ñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ñ = ~ ó I ~ > M I ~ ≠ N K 105. äçÖ ~ N = M 106. äçÖ ~ ~ = N
~ >N − ∞ áÑ 107. äçÖ ~ M = ~
ñ 109. äçÖ ~ = äçÖ ~ ñ − äçÖ ~ ó ó
16
CHAPTER 2. ALGEBRA
110. äçÖ ~ (ñ å ) = å äçÖ ~ ñ 111. äçÖ ~ å ñ =
N äçÖ ~ ñ å
112. äçÖ ~ ñ =
äçÖ Å ñ = äçÖ Å ñ ⋅ äçÖ ~ Å I Å > M I Å ≠ N K äçÖ Å ~
113. äçÖ ~ Å =
N äçÖ Å ~
114. ñ = ~ äçÖ ~ ñ 115. içÖ~êáíÜã íç _~ëÉ NM
äçÖ NM ñ = äçÖ ñ
116. k~íìê~ä içÖ~êáíÜã
äçÖ É ñ = äå ñ I
â
N ïÜÉêÉ É = äáã N + = OKTNUOUNUOUK â →∞ â 117. äçÖ ñ =
118. äå ñ =
N äå ñ = MKQPQOVQ äå ñ äå NM
N äçÖ ñ = OKPMORUR äçÖ ñ äçÖ É
17
CHAPTER 2. ALGEBRA
2.6 Equations oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI éI èI ìI î pçäìíáçåëW ñ N I ñ O I ó N I ó O I ó P
119. iáåÉ~ê bèì~íáçå áå låÉ s~êá~ÄäÉ
Ä ~ñ + Ä = M I ñ = − K ~ 120. nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå
~ñ + Äñ + Å = M I ñ NI O = O
− Ä ± ÄO − Q~Å O~
121. aáëÅêáãáå~åí
a = Ä O − Q~Å 122. sáÉíÉ ë cçêãìä~ë ∞
fÑ ñ O + éñ + è = M I íÜÉå ñ N + ñ O = −é ñ ñ è K N O= 123. ~ñ O + Äñ = M I ñ N = M I ñ O
124. ~ñ O + Å = M I ñ NI O
=± −
Ä K ~
=−
Å K ~
125. `ìÄáÅ bèì~íáçåK `~êÇ~åç ë cçêãìä~K ∞
ó P + éó + è = M I
18
K
CHAPTER 2. ALGEBRA
N P (ì + î ) á I ó N = ì + î I ó OI P = − (ì + î ) ± O O ïÜÉêÉ O
O
O
O
è è è é è é ì = P − + + I î = P − − + K O O O P O P
2.7 Inequalities s~êá~ÄäÉëW ñI óI ò
~I ÄI ÅI Ç oÉ~ä åìãÄÉêëW I ãI å ~N I ~ O I ~ P I KI ~å aÉíÉêãáå~åíëW aI añ I a ó I aò
126. fåÉèì~äáíáÉëI fåíÉêî~ä kçí~íáçåë ~åÇ dê~éÜë
fåÉèì~äáíó ~ ≤ ñ ≤ Ä
fåíÉêî~ä kçí~íáçå [~ I Ä]
~ < ñ ≤ Ä
(~ I Ä]
~ ≤ ñ < Ä
[~I Ä)
~ < ñ < Ä
(~I Ä)
− ∞ < ñ ≤ Ä I (− ∞I Ä] ñ ≤ Ä − ∞ < ñ < Ä I (− ∞I Ä) ñ < Ä [~I ∞ ) ~≤ <∞I ≥~ (~ I ∞ ) ~< <∞ I >~
19
dê~éÜ
CHAPTER 2. ALGEBRA
127. fÑ ~ > Ä I íÜÉå Ä < ~ K 128. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ − Ä > M çê Ä − ~ < M K 129. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ + Å > Ä + Å K 130. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ − Å > Ä − Å K 131. fÑ ~ > Ä ~åÇ Å > Ç I íÜÉå ~ + Å > Ä + Ç K 132. fÑ ~ > Ä ~åÇ Å > Ç I íÜÉå ~ − Ç > Ä − Å K 133. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã > M I íÜÉå ã~ > ãÄ K 134. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã > M I íÜÉå
~ Ä > K ã ã
135. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã < M I íÜÉå ã~ < ãÄ K 136. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã < MI íÜÉå
~ Ä < K ã ã
137. fÑ M < ~ < Ä ~åÇ å > M I íÜÉå ~ å < Äå K
I íÜÉå ~ å > Äå K 138. fÑ M < ~ < Ä ~åÇ å < M 139. fÑ M < ~ < Ä I íÜÉå å ~ < å Ä K
~ + Ä I 140. ~Ä ≤ O ïÜÉêÉ ~ > M I Ä > M X ~å Éèì~äáíó áë î~äáÇ çåäó áÑ ~ = Ä K 141. ~ +
N ≥ O I ïÜÉêÉ ~ > M X ~å Éèì~äáíó í~âÉë éä~ÅÉ çåäó ~í ~ = N K ~
20
CHAPTER 2. ALGEBRA
142.
å
~N + ~ O + K + ~ å ~N~ O K~ å ≤ I ïÜÉêÉ ~N I ~ O I KI ~ å > M K å Ä K ~
I íÜÉå ñ > − 143. fÑ ~ñ + Ä > M ~åÇ ~ > M
Ä I íÜÉå ñ < − K 144. fÑ ~ñ + Ä > M ~åÇ ~ < M ~ 145. ~ñ O + Äñ + Å > M
~ > M
~< M
ñ < ñ N I ñ > ñ O
ñ N < ñ < ñ O
ñ N < ñ I ñ > ñ N
ñ ∈∅
−∞< <∞
ñ ∈ ∅
a>M
a=M
a
21
CHAPTER 2. ALGEBRA
146.
~ + Ä ≤ ~ + Ä
147. fÑ ñ < ~ I íÜÉå − ~ < 148. fÑ ñ > ~ I íÜÉå
< − ~ ~åÇ > ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K
149. fÑ ñ O < ~ I íÜÉå ñ < 150. fÑ ñ O
< ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K
~ I ïÜÉêÉ ~ > M K
> ~ I íÜÉå ñ > ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K
(ñ ) ⋅ Ö (ñ ) > M Ñ (ñ ) Ñ 151. fÑ > M I íÜÉå K Ö (ñ ) Ö (ñ ) ≠ M (ñ ) ⋅ Ö (ñ ) < M Ñ Ñ (ñ ) K 152. < M I íÜÉå Ö (ñ ) Ö (ñ ) ≠ M
fÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ çåÅÉ éÉê óÉ~êI íÜÉå íÜÉ éêÉîáçìë Ñçêãìä~ ëáãéäáÑáÉë íçW í ^ = `(N + ê ) K 155. `çåíáåìçìë `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí
fÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ Åçåíáåì~ääó E å → ∞ FI íÜÉå ^ = `Éêí K
23
Chapter 3
Geometry
3.1 Right Triangle iÉÖë çÑ ~ êáÖÜí íêá~åÖäÉW ~I Ä eóéçíÉåìëÉW Å ^äíáíìÇÉW Ü jÉÇá~åëW ã ~ I ã Ä I ã Å ^åÖäÉëW α I β o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê ^êÉ~W p
ïÜÉêÉ Ü áë íÜÉ ~äíáíìÇÉ Ñêçã íÜÉ êáÖÜí ~åÖäÉK O ~O O O Ä 166. ã = Ä − I ã Ä = ~ − I Q Q ïÜÉêÉ ã ~ ~åÇ ã Ä ~êÉ íÜÉ ãÉÇá~åë íç íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄK O ~
O
Figure 10.
Å I O ïÜÉêÉ ã Å áë íÜÉ ãÉÇá~å íç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK
167. ã Å =
168. o =
Å = ãÅ O
~ + Ä − Å ~Ä 169. ê = = O ~+ +Å 170. ~Ä = ÅÜ
26
CHAPTER 3. GEOMETRY
~Ä ÅÜ 171. p = = O O
3.2 Isosceles Triangle _~ëÉW ~ iÉÖëW Ä _~ëÉ ~åÖäÉW β sÉêíÉñ ~åÖäÉW α ^äíáíìÇÉ íç íÜÉ Ä~ëÉW Ü mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
Figure 11.
172.
β = VM° −
α O
~O 173. Ü = Ä − Q O
O
27
CHAPTER 3. GEOMETRY
174. i = ~ + O Ä
~Ü ÄO 175. p = = ëáåα O O
3.3 Equilateral Triangle páÇÉ çÑ ~ Éèìáä~íÉê~ä íêá~åÖäÉW ~ ^äíáíìÇÉW Ü o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
Figure 12.
~ P 176. Ü = O
28
CHAPTER 3. GEOMETRY
O P
177. o = Ü =
~ P P
N ~ P o 178. ê = Ü = = P S O 179. i = P~
~Ü ~ O P 180. p = = O Q
3.4 Scalene Triangle E^ íêá~åÖäÉ ïáíÜ åç íïç ëáÇÉë Éèì~äF páÇÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW ~I ÄI Å ~ + Ä + Å pÉãáéÉêáãÉíÉêW é = O ^åÖäÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW αI β Iγ ^äíáíìÇÉë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW Ü ~ I Ü Ä I ÜÅ jÉÇá~åë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW ã ~ I ã Ä I ãÅ _áëÉÅíçêë çÑ íÜÉ ~åÖäÉë αI β Iγ W í ~ I í Ä I íÅ o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê ^êÉ~W p
29
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 13.
181.
α + β + γ = NUM°
182. ~ + Ä > Å I
Ä + Å > ~ I ~ + Å > Ä K
183.
~ − Ä < Å I Ä − Å < ~ I ~ − Å < Ä K
184. jáÇäáåÉ
è=
~ I è öö ~K O
Figure 14.
30
CHAPTER 3. GEOMETRY
185. i~ï çÑ `çëáåÉë
~ O = ÄO + Å O − O ÄÅ Åçëα I ÄO = ~ O + Å O − O~Å Åçëβ I Å O = ~ O + Ä O − O~Ä Åçëγ K 186. i~ï çÑ páåÉë
~ Ä Å = = = Oo I ëáå α ëáå β ëáå γ ïÜÉêÉ o áë íÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉK ~ Ä Å ÄÅ ~Å ~Ä ~ÄÅ = = = = = = O ëáå α O ëáå β O ëáå γ OÜ ~ OÜ Ä OÜ Å Qp
187. o =
188. ê O
(é − ~ )(é − Ä)(é − Å )
=
é
I
N N N N = + + K ê Ü ~ Ü Ä ÜÅ 189. ëáå
α O
ÄÅ
I
é(é − ~ ) I O ÄÅ α (é − Ä)(é − Å ) í~å = K O é(é − ~ )
Åçë
α
=
(é − Ä)(é − Å )
=
O é(é − ~ )(é − Ä )(é − Å ) I ~ O Ü Ä = é(é − ~ )(é − Ä )(é − Å ) I
190. Ü ~
=
O ÜÅ = é(é − ~ )(é − Ä )(é − Å ) K Å
31
CHAPTER 3. GEOMETRY
191. Ü ~ = Ä ëáå γ = Å ëáåβ I
Ü Ä = ~ ëáå γ = Å ëáåα I Ü Å = ~ ëáå β = Ä ëáåα K ÄO + Å O ~ O 192. ã = − I O Q O O O ~ Å Ä + ã ÄO = − I O Q ~ O + ÄO Å O O ãÅ = − K O Q O ~
Figure 15.
O O O Å EcáÖKNRFK 193. ^j = ã ~ I _j = ã Ä I `j = ã P P P Q ÄÅé(é − ~ ) I O ( Ä + Å ) Q~Åé(é − Ä) í ÄO = I O (~ + Å ) Q~Äé(é − Å ) O íÅ = K O (~ + Ä)
194. í O~
=
32
CHAPTER 3. GEOMETRY
~Ü ~ ÄÜ Ä ÅÜ Å I 195. p = = = O O O ~Ä ëáå γ ~Å ëáå β ÄÅ ëáå α p= I = = O O O p = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) EeÉêçå ë cçêãìä~FI p = éê I ~ÄÅ p= I Qo p = Oo O ëáå α ëáå β ëáåγ I ∞
p = é O í~å
α O
í~å
β O
í~å
γ O
K
3.5 Square páÇÉ çÑ ~ ëèì~êÉW ~ aá~Öçå~äW Ç o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
Figure 16.
33
CHAPTER 3. GEOMETRY
196. Ç = ~ O 197. o =
Ç ~ O = O O
198. ê =
~ O
199. i = Q~ 200. p = ~ O
3.6 Rectangle páÇÉë çÑ ~ êÉÅí~åÖäÉW ~I Ä aá~Öçå~äW Ç o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
Figure 17.
201. Ç = ~ O + ÄO
34
CHAPTER 3. GEOMETRY
Ç 202. o = O 203. i = O(~ + Ä ) 204. p = ~Ä
3.7 Parallelogram páÇÉë çÑ ~ é~ê~ääÉäçÖê~ãW ~I Ä aá~Öçå~äëW ÇN I ÇO `çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW αI β ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ ^äíáíìÇÉW Ü mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
Figure 18.
205.
α + β = NUM°
206. ÇNO + Ç OO
= O(~ O + ÄO )
35
CHAPTER 3. GEOMETRY
207. Ü = Ä ëáå α = Ä ëáåβ 208. i = O(~ + Ä) 209. p = ~Ü = ~Ä ëáåα I
N p = ÇNÇ O ëáåϕ K O
3.8 Rhombus páÇÉ çÑ ~ êÜçãÄìëW ~ aá~Öçå~äëW ÇN I ÇO `çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW αI β ^äíáíìÇÉW e o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
Figure 19.
36
CHAPTER 3. GEOMETRY
210.
α + β = NUM°
211. ÇNO + Ç OO = Q ~O
ÇNÇ O 212. Ü = ~ ëáå α = O~ 213. ê =
Ü ÇNÇ O ~ ëáå α = = O Q~ O
214. i = Q~ 215. p = ~Ü = ~ O ëáåα I
N p = ÇNÇ O K O
3.9 Trapezoid _~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä jáÇäáåÉW è ^äíáíìÇÉW Ü ^êÉ~W p
37
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 20.
216. è =
~ + Ä O
217. p =
~ + Ä ⋅ Ü = èÜ O
3.10 Isosceles Trapezoid _~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä iÉÖW Å jáÇäáåÉW è ^äíáíìÇÉW Ü aá~Öçå~äW Ç o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o ^êÉ~W p
38
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 21.
~ + Ä 218. è = O 219. Ç = ~Ä + Å O 220. Ü = Å O −
N ( Ä − ~ )O Q
Å ~Ä + Å O 221. o = (OÅ − ~ + Ä)(OÅ + ~ − Ä) 222. p =
~ + Ä ⋅ Ü = èÜ O
39
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.11 Isosceles Trapezoid with Inscribed Circle _~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä iÉÖW Å jáÇäáåÉW è ^äíáíìÇÉW Ü aá~Öçå~äW Ç o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
Figure 22.
223. ~ + Ä = OÅ
~ + Ä 224. è = =Å O 225. Ç O
= ÜO + Å O
40
CHAPTER 3. GEOMETRY
226. ê =
Ü ~Ä = O O
ÅÇ ÅÇ Å ÅO Å ~ + Ä ~ Ä ÜO + Å O = 227. o = = = N+ = +S+ OÜ Qê O ~Ä OÜ U Ä ~ 228. i = O(~ + Ä) = Q Å
(~ + Ä) ~Ä ~ + Ä iê 229. p = ⋅Ü = = èÜ = ÅÜ = O O O
3.12 Trapezoid with Inscribed Circle _~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä i~íÉê~ä ëáÇÉëW ÅI Ç jáÇäáåÉW è ^äíáíìÇÉW Ü aá~Öçå~äëW ÇN I ÇO ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
41
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 23.
230. ~ + Ä = Å + Ç 231. è =
~ + Ä Å + Ç = O O
232. i = O(~ + Ä) = O(Å + Ç )
~ + Ä Å+Ç ⋅Ü = ⋅ Ü = èÜ I O O N p = ÇNÇ O ëáåϕ K O
233. p =
3.13 Kite páÇÉë çÑ ~ âáíÉW ~I Ä aá~Öçå~äëW ÇN I ÇO ^åÖäÉëW αI β Iγ mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
42
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 24.
234.
α + β + Oγ = PSM°
235. i = O(~ + Ä) 236. p =
ÇNÇ O O
3.14 Cyclic Quadrilateral páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Ç aá~Öçå~äëW ÇN I ÇO ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ fåíÉêå~ä ~åÖäÉëW αI βI γ Iδ o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o mÉêáãÉíÉêW i pÉãáéÉêáãÉíÉêW é ^êÉ~W p
43
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 25.
237.
α + γ = β + δ = NUM°
238. míçäÉãó ë qÜÉçêÉã ∞
~Å + ÄÇ = ÇNÇ O
239. i = ~ + Ä + Å + Ç
N (~Å + ÄÇ )(~Ç + ÄÅ )(~Ä + ÅÇ ) I 240. o = Q (é − ~ )(é − Ä )(é − Å )(é − Ç ) i ïÜÉêÉ é = K O N O
241. p = ÇNÇ O ëáåϕ I
p = (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç ) I i ïÜÉêÉ é = K O
44
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.15 Tangential Quadrilateral páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Ç aá~Öçå~äëW ÇN I ÇO ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê mÉêáãÉíÉêW i pÉãáéÉêáãÉíÉêW é ^êÉ~W p
Figure 26.
242. ~ + Å = Ä + Ç 243. i = ~ + Ä + Å + Ç = O(~ + Å ) = O( Ä + Ç ) O O ÇNOÇ OO − (~ − Ä) (~ + Ä − é ) I 244. ê = Oé i ïÜÉêÉ é = K O
45
CHAPTER 3. GEOMETRY
N 245. p = éê = ÇNÇ O ëáåϕ O
3.16 General Quadrilateral páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Ç aá~Öçå~äëW ÇN I ÇO ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ fåíÉêå~ä ~åÖäÉëW αI βI γ Iδ mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
Figure 27.
246.
α + β + γ + δ = PSM°
247. i = ~ + Ä + Å + Ç
46
CHAPTER 3. GEOMETRY
N 248. p = ÇNÇ O ëáåϕ O
3.17 Regular Hexagon páÇÉW ~ fåíÉêå~ä ~åÖäÉW α pä~åí ÜÉáÖÜíW ã o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o mÉêáãÉíÉêW i pÉãáéÉêáãÉíÉêW é ^êÉ~W p
Figure 28.
249.
α = NOM°
250. ê = ã =
~ P O
47
CHAPTER 3. GEOMETRY
251. o = ~ 252. i = S~
~OP P I 253. p = éê = O i ïÜÉêÉ é = K O
3.18 Regular Polygon páÇÉW ~ kìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW å fåíÉêå~ä ~åÖäÉW α pä~åí ÜÉáÖÜíW ã o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o mÉêáãÉíÉêW i pÉãáéÉêáãÉíÉêW é ^êÉ~W p
48
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 29.
254.
α=
å−O ⋅ NUM° O
å−O 255. α = ⋅ NUM° O ~
256. o =
O ëáå
π å
O ~ 257. ê = ã = = o O − π Q O í~å å
~
258. i = å~
åo O Oπ 259. p = ëáå I O å ~O p = éê = é o − I Q O
49
CHAPTER 3. GEOMETRY
i ïÜÉêÉ é = K O
3.19 Circle o~ÇáìëW o aá~ãÉíÉêW Ç `ÜçêÇW ~ pÉÅ~åí ëÉÖãÉåíëW ÉI Ñ q~åÖÉåí ëÉÖãÉåíW Ö `Éåíê~ä ~åÖäÉW α fåëÅêáÄÉÇ ~åÖäÉW β mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
260. ~ = Oo ëáå
α O
Figure 30.
50
CHAPTER 3. GEOMETRY
261. ~N~ O = ÄN ÄO
Figure 31.
262. ÉÉN = ÑÑ N
Figure 32.
263. Ö O
= ÑÑ N
51
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 33.
264.
β=
α O
Figure 34.
265. i = Oπo = πÇ 266. p = πo O
=
〠O Q
=
io O
52
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.20 Sector of a Circle o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o ^êÅ äÉåÖíÜW ë `Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ `Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW α mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
Figure 35.
267. ë = oñ 268. ë =
πo α NUM°
269. i = ë + Oo
oë o O ñ πo Oα 270. p = = = O O PSM°
53
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.21 Segment of a Circle o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o ^êÅ äÉåÖíÜW ë `ÜçêÇW ~ `Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ `Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW α eÉáÖÜí çÑ íÜÉ ëÉÖãÉåíW Ü mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p
Figure 36.
271. ~ = O OÜo − Ü O 272. Ü = o −
N Qo O − ~ O I Ü < o O
273. i = ë + ~
54
CHAPTER 3. GEOMETRY
N o O απ o O 274. p = [ëo − ~ (o − Ü )] = − ëáå α = (ñ − ëáå ñ ) I O O NUM° O O p ≈ Ü~ K P
3.22 Cube bÇÖÉW ~ aá~Öçå~äW Ç o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW ê o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW ê pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
Figure 37.
275. Ç = ~ P
~ 276. ê = O
55
CHAPTER 3. GEOMETRY
277. o =
~ P O
278. p = S~ O 279. s = ~ P
3.23 Rectangular Parallelepiped bÇÖÉëW ~I ÄI Å aá~Öçå~äW Ç pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
Figure 38.
280. Ç = ~ O + ÄO + Å O 281. p = O(~Ä + ~Å + ÄÅ ) 282. s = ~ÄÅ
56
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.24 Prism i~íÉê~ä ÉÇÖÉW ä eÉáÖÜíW Ü i~íÉê~ä ~êÉ~W pi ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
Figure 39.
283. p = p i + O p_ K 284. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~ oáÖÜí mêáëã
p i = (~N + ~ O + ~ P + K + ~ å)ä
285. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~å lÄäáèìÉ mêáëã
p i = éä I ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêáãÉíÉê çÑ íÜÉ Åêçëë ëÉÅíáçåK
3.25 Regular Tetrahedron qêá~åÖäÉ ëáÇÉ äÉåÖíÜW ~ eÉáÖÜíW Ü ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
Figure 40.
288. Ü =
O ~ P
58
CHAPTER 3. GEOMETRY
P~ O 289. p _ = Q 290. p = P~ O
N ~P K 291. s = p_ Ü = P S O
3.26 Regular Pyramid páÇÉ çÑ Ä~ëÉW ~ i~íÉê~ä ÉÇÖÉW Ä eÉáÖÜíW Ü pä~åí ÜÉáÖÜíW ã kìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW å pÉãáéÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW é o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉ çÑ Ä~ëÉW ê ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
59
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 41.
~O 292. ã = Ä − Q O
Q ÄO ëáå O 293. Ü =
O ëáå
π å
− ~O
π å
N N 294. p i = å~ã = å~ Q ÄO − ~ O = éã O Q 295. p _ = éê 296. p = p _ + pi
N P
N P
297. s = p _Ü = éêÜ
60
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.27 Frustum of a Regular Pyramid ~N I ~ O I ~ P IKI ~ å _~ëÉ ~åÇ íçé ëáÇÉ äÉåÖíÜëW ÄN I ÄO I ÄP IKI Äå eÉáÖÜíW Ü pä~åí ÜÉáÖÜíW ã ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW pN I pO i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i mÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉëW mN I mO pÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW â qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
Figure 42.
298.
ÄN ÄO ÄP Ä Ä = = = K = å = = â ~N ~ O ~ P ~å ~
61
CHAPTER 3. GEOMETRY
pO 299. = â O pN 300. p i
=
ã(mN + mO) O
301. p = p i + pN + pO 302. s =
Ü (pN + pNpO + pO ) P
O ÜpN Ä Ä ÜpN [N + â + â O ] 303. s = N + + = P ~ ~ P
3.28 Rectangular Right Wedge páÇÉë çÑ Ä~ëÉW ~I Ä qçé ÉÇÖÉW Å eÉáÖÜíW Ü i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
62
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 43.
N O 304. p i = (~ + Å ) QÜ O + ÄO + Ä Ü O + (~ − Å) O 305. p _ = ~Ä 306. p = p _ + pi 307. s =
ÄÜ (O~ + Å ) S
3.29 Platonic Solids bÇÖÉW ~ o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
kìãÄÉê çÑ sÉêíáÅÉë qÉíê~ÜÉÇêçå Q `ìÄÉ U lÅí~ÜÉÇêçå S fÅçë~ÜÉÇêçå NO açÇÉÅ~ÜÉÇêçå OM
kìãÄÉê çÑ bÇÖÉë S NO NO PM PM
Octahedron
Figure 44.
309. ê =
~ S S
~ O 310. o = O
64
kìãÄÉê çÑ c~ÅÉë Q S U OM NO
pÉÅíáçå PKOR PKOO PKOT PKOT PKOT
CHAPTER 3. GEOMETRY
311. p = O~ O P
~P O 312. s = P
Icosahedron
Figure 45.
~ P P + R) 313. ê = NO 314. o =
~ O(R + R ) Q
315. p = R~ O P
R~ P P + R ) 316. s = NO
65
CHAPTER 3. GEOMETRY
Dodecahedron
Figure 46.
~ NM(OR + NN R ) 317. ê = O 318. o =
~ P N+ R) Q
(
319. p = P~ O R R + O R
)
~ P NR + T R 320. s = Q
3.30 Right Circular Cylinder o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW o aá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW Ç
66
CHAPTER 3. GEOMETRY
eÉáÖÜíW e i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
Figure 47.
321. p i
= Oπoe
Ç 322. p = p i + Op _ = Oπo (e + o ) = πÇ e + O 323. s = p _ e = πo Oe
67
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.31 Right Circular Cylinder with an Oblique Plane Face o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW o qÜÉ ÖêÉ~íÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW ÜN qÜÉ ëÜçêíÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW Ü O i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i ^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW p_ qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
Figure 48.
324. p i
= πo (ÜN + ÜO )
ÜN − Ü O O O p o o o 325. _ = π + π + O
68
O
CHAPTER 3. GEOMETRY
O Ü Ü − O 326. p = p i + p_ = πo ÜN + Ü O + o + o O + N O
327. s =
πo O O
(ÜN + ÜO )
3.32 Right Circular Cone o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW o aá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW Ç eÉáÖÜíW e pä~åí ÜÉáÖÜíW ã i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW p_ qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
Figure 49.
69
CHAPTER 3. GEOMETRY
328. e = ã O − o O 329. p i
= πoã =
330. p _
= π o O
πãÇ O
331. p = p i + p _ = πo (ã + o ) =
N Ç πÇ ã + O O
N N O 332. s = p_ e = πo e P P
3.33 Frustum of a Right Circular Cone o~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW oI ê eÉáÖÜíW e pä~åí ÜÉáÖÜíW ã pÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW â ^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW pN I pO i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p i qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
70
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 50. O
333. e = ã O − (o − ê )
o 334. = â ê pO o O 335. = O = â O pN ê 336. p i
= πã(o + ê )
337. p = pN + p O + p i 338. s =
= π o O + ê O + ã(o + ê )
Ü ( pN + pNpO + pO ) P
ÜpN o o 339. s = N + + P ê ê
O
ÜpN [N + â + â O ] = P
71
CHAPTER 3. GEOMETRY
3.34 Sphere o~ÇáìëW o aá~ãÉíÉêW Ç pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
Figure 51.
340. p = Q πo O
Q P N P N 341. s = πo e = πÇ = po P S P
3.35 Spherical Cap o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW o o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW ê eÉáÖÜíW Ü ^êÉ~ çÑ éä~åÉ Ñ~ÅÉW p_ ^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW p` qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
72
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 52.
ê O + ÜO 342. o = OÜ 343. p _
= π êO
344. p`
= π(ÜO + êO )
345. p = p _ + p` 346.
π
= π(Ü O + Oê O ) = π(OoÜ + êO )
π ( ) s = Ü Po − Ü = Ü(Pê O + Ü O ) S
O
S
3.36 Spherical Sector o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW o o~Çáìë çÑ Ä~ëÉ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW ê eÉáÖÜíW Ü qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
3.37 Spherical Segment o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW o o~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW êN I êO eÉáÖÜíW Ü ^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä ëìêÑ~ÅÉW pp ^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW pN I pO qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
74
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 54.
349. pp
= OπoÜ
350. p = pp + pN + pO 351. s =
= π(OoÜ + êNO + êOO )
N πÜ(PêNO + PêOO + ÜO ) S
3.38 Spherical Wedge o~ÇáìëW o aáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ÇÉÖêÉÉëW ñ aáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ê~Çá~åëW α ^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä äìåÉW pi qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
75
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 55.
352. p i
=
πo O VM
353. p = πo
O
354. s =
+
πo P OTM
α = Oo Oñ πo O VM
α = πo O + Oo Oñ
O P
α = o Pñ
3.39 Ellipsoid pÉãá ~ñÉëW ~I ÄI Å sçäìãÉW s -
76
CHAPTER 3. GEOMETRY
Figure 56.
Q 355. s = π~ÄÅ P
Prolate Spheroid pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E ~ > Ä F pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
356. p = Oπ Ä Ä +
~ ~êÅëáå É I É
~ O − ÄO ïÜÉêÉ É = K ~ Q O 357. s = π Ä ~ P
77
CHAPTER 3. GEOMETRY
Oblate Spheroid pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E ~ < Ä F pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
ÄÉ ~ ~êÅëáåÜ ~ I 358. p = Oπ Ä Ä + ÄÉ L ~ ÄO − ~ O ïÜÉêÉ É = K Q O 359. s = π Ä ~ P
3.40 Circular Torus j~àçê ê~ÇáìëW o jáåçê ê~ÇáìëW ê pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉW s
78
CHAPTER 3. GEOMETRY
Picture 57.
360. p = Q π Ooê 361. s = OπOoê O
79
Chapter 4
Trigonometry
^åÖäÉëW α I β oÉ~ä åìãÄÉêë EÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ éçáåíFW ñI ó tÜçäÉ åìãÄÉêW â
4.1 Radian and Degree Measures of Angles 362. N ê~Ç =
363. N° =
364. N D =
NUM°
π NUM
π
≈ RT°NT DQR?
ê~Ç ≈ MKMNTQRP ê~Ç
π ê~Ç ≈ MKMMMOVN ê~Ç NUM ⋅ SM
π ê~Ç ≈ MKMMMMMR ê~Ç 365. N ? = NUM ⋅ PSMM 366.
^åÖäÉ EÇÉÖêÉÉëF ^åÖäÉ Eê~Çá~åëF
M M
PM
QR
SM
VM
π
π
π
π
S
Q
P
O
80
NUM
OTM
PSM
π
Pπ O
Oπ
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.2 Definitions and Graphs of Trigonometric Functions
Figure 58.
367. ëáå α =
ó ê
ñ 368. Åçë α = ê 369. í~å α =
ó
ñ 370. Åçí α = ó
81
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
371. ëÉÅ α =
ê
372. ÅçëÉÅ α =
ê ó
373. páåÉ cìåÅíáçå
ó = ëáå ñ I − N ≤ ëáå ñ ≤ N K
Figure 59.
374. `çëáåÉ cìåÅíáçå
ó = Åçë
I − N ≤ Åçë ≤ N K
82
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
Figure 60.
375. q~åÖÉåí cìåÅíáçå
ó = í~å
I ñ ≠ (Oâ + N)
π O
I − ∞ ≤ í~å ≤ ∞ K
Figure 61.
83
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
376. `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå
ó = Åçí
I ñ ≠ â π I − ∞ ≤ Åçí ≤ ∞ K
Figure 62.
377. pÉÅ~åí cìåÅíáçå
ó = ëÉÅ
I ñ ≠ (Oâ + N)
π O
K
84
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
Figure 63.
378. `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå
ó = Åçë ÉÅ
I ñ ≠ â π K
Figure 64.
85
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.3. Signs of Trigonometric Functions 379.
nì~Çê~åí f ff fff fs
páå
`çë
q~å
`çí
pÉÅ
`çëÉÅ
H H
H
H
H
H
H H
H
H
α
α
H
380.
Figure 65.
86
α
α
α
H
α
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.4 Trigonometric Functions of Common Angles 381.
α°
α ê~Ç
M
M
PM QR SM VM NOM NUM OTM PSM
π S
π Q
π P
π O Oπ P
π Pπ O Oπ
í~å α M N P
Åçí α
O O P O
Åçë α N P O O O N O
N
N
P
N P
O
O P
N
M
∞
M
∞
N
−O
O P
ëáå α M N O
P O M
N O −N
−
− P
∞ P
−
N P
ëÉÅ α N O P O
ÅçëÉÅ α
∞ O O
M
∞
−N
∞
−N
M
∞
M
∞
−N
M
N
M
∞
N
∞
87
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
382.
α° NR NU
α ê~Ç π NO
ëáå α
Åçë α
í~å α
Åçí α
S − O Q
S + O Q
O− P
O+
R − N Q
NM + O R Q
R−O R R
R+O R
π NM
π
R +N
R +N Q
NM − O R R +N
NM − O R
R +N
NM − O R R +N
R
NM − O R Q
RQ
Pπ NM
R + N Q
NM − O R Q
TO
Oπ R
NM + O R Q
R −N Q
TR
Rπ NO
S + O Q
S − O Q
PS
P
4.5 Most Important Formulas 383. ëáå O α + Åçë O α = N 384. ëÉÅ O α − í~å O α = N 385. ÅëÅ O α − Åçí O α = N
4.10 Double Angle Formulas 410. ëáå Oα = O ëáå α ⋅ Åçëα 411. Åçë Oα = Åçë O α − ëáå O α = N − O ëáå O α = O Åçë O α − N 412. í~å Oα =
O í~å α O = N − í~å O α Åçí α − í~å α
Åçí O α − N Åçí α − í~å α 413. Åçí Oα = = O Åçí α O
92
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
4.11 Multiple Angle Formulas 414. ëáå Pα = P ëáå α − Q ëáåP α = P Åçë O α ⋅ ëáå α − ëáå P α 415. ëáå Qα = Q ëáå α ⋅ Åçë α − U ëáå P α ⋅ Åçëα 416. ëáå Rα = R ëáå α − OM ëáåP α + NS ëáå R α 417. Åçë Pα = Q ÅçëP α − P Åçë α = ÅçëP α − P Åçë α ⋅ ëáå O α 418. Åçë Qα = U Åçë Q α − U Åçë O α + N 419. Åçë Rα = NS Åçë R α − OM Åçë P α + R Åçëα
P í~å α − í~å P α 420. í~å Pα = N − P í~å O α Q í~å α − Q í~å P α 421. í~å Qα = N − S í~å O α + í~å Q α í~å R α − NM í~å P α + R í~å α 422. í~å Rα = N − NM í~å O α + R í~å Q α Åçí P α − P Åçí α 423. Åçí Pα = P Åçí O α − N N − S í~å O α + í~å Q α 424. Åçí Qα = Q í~å α − Q í~å P α
93
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
N − NM í~å O α + R í~å Q α 425. Åçí Rα = í~å R α − NM í~å P α + R í~å α
4.12 Half Angle Formulas 426. ëáå
α O
=±
N − Åçë α O
α
N + Åçë α 427. Åçë = ± O O 428. í~å
α O
=±
N − Åçë α ëáå α N − Åçë α = = = ÅëÅ α − Åçí α N + Åçë α N + Åçë α ëáå α
α
N + Åçë α ëáå α N + Åçë α 429. Åçí = ± = = = ÅëÅ α + Åçí α O N − Åçë α N − Åçë α ëáå α
4.13 Half Angle Tangent Identities
430. ëáå α =
O í~å
α O
N + í~å O
α O
94
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
431. Åçë α =
N − í~å
α
O
O
α
N + í~å O
432. í~å α =
O í~å
α O
N − í~å O
433. Åçí α =
N − í~å O O í~å
O
α O
α O
α O
4.14 Transforming of Trigonometric Expressions to Product 434. ëáå α + ëáå β = O ëáå
fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñI áíë ~ÇàçáåíI ÇÉåçíÉÇ Äó ~Çà ^ I áë íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ ã~íêáñ çÑ ÅçÑ~Åíçêë ` áà çÑ ^W ~Çà ^ = [` áà ]q K
540. qê~ÅÉ çÑ ~ j~íêáñ
fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñI áíë íê~ÅÉI ÇÉåçíÉÇ Äó íê ^ I áë ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ íÜÉ ëìã çÑ íÜÉ íÉêãë çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äW íê ^ = ~NN + ~ OO + K + ~åå K
541. fåîÉêëÉ çÑ ~ j~íêáñ
fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñ ïáíÜ ~ åçåëáåÖìä~ê ÇÉíÉêãáå~åí ÇÉí ^ I íÜÉå áíë áåîÉêëÉ ^ −N áë ÖáîÉå Äó ~Çà ^ ^− N = K ÇÉí ^
542. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå
(^_ )−N = _ −N^ − N K 543. fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ã~íêáñI íÜÉ ÉáÖÉåîÉÅíçêë u ë~íáëÑó
íÜÉ Éèì~íáçå ^u = λu I ïÜáäÉ íÜÉ ÉáÖÉåî~äìÉë λ ë~íáëÑó íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå ^ − λf = M K
5.5 Systems of Linear Equations
s~êá~ÄäÉëW ñI óI òI ñ N I ñ O I K oÉ~ä åìãÄÉêëW ~ N I ~ O I ~ P I ÄN I ~ NN I ~ NO I K
114
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
aÉíÉêãáå~åíëW aI añ I a ó I aò j~íêáÅÉëW ^I _I u
544.
~Nñ + ÄN ó = ÇN I ~ O ñ + ÄO ó = Ç O a ó a ñ ñ = I ó = E`ê~ãÉê ë êìäÉFI a a ïÜÉêÉ ~ ÄN a= N = ~N ÄO − ~ O ÄN I ~ O ÄO ÇN ÄN añ = = ÇN ÄO − Ç O ÄN I Ç O ÄO ~N ÇN a ó = = ~NÇ O − ~ O ÇN K ~ O ÇO ∞
545. fÑ a ≠ M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW
a ó a ñ ñ = I ó = K a a fÑ a = M ~åÇ añ ≠ M Eçê a ó ≠ M FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë åç ëçäìíáçåK fÑ a = añ = a ó = M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó ëçäìíáçåëK
~Nñ + ÄN ó + ÅNò = ÇN 546. ~ O ñ + ÄO ó + Å Oò = Ç O I ~ ñ + Ä ó + Å ò = Ç P P P P a ó a ñ a I ó = I ò = ò E`ê~ãÉê ë êìäÉFI ñ = a a a ∞
115
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
ïÜÉêÉ ~N ÄN a = ~ O ÄO ~ P ÄP ~N a ó = ~ O ~P
ÅN ÇN ÄN Å O I añ = Ç O ÄO ÅP ÇP ÄP
ÇN ÇO ÇP
ÅN ~N ÄN Å O I aò = ~ O ÄO ÅP ~ P ÄP
ÅN ÅO I ÅP ÇN ÇO K ÇP
547. fÑ a ≠ M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW
a ó a ñ a ñ = I ó = Iò = ò K a a a fÑ a = M ~åÇ añ ≠ M Eçê a ó ≠ M çê aò ≠ M FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë åç ëçäìíáçåK fÑ a = añ = a ó = a ò = M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó ëçäìíáçåëK 548. j~íêáñ cçêã çÑ ~ póëíÉã çÑ å iáåÉ~ê bèì~íáçåë áå
å råâåçïåë qÜÉ ëÉí çÑ äáåÉ~ê Éèì~íáçåë ~NNñ N + ~NO ñ O + K + ~Nå ñ å = ÄN ~ ñ + ~ ñ + K + ~ ñ = Ä ON N OO O Oå å O
KKKKKKKKKKKK ~ åNñ N + ~ åO ñ O + K + ~ åå ñ å = Äå
Å~å ÄÉ ïêáííÉå áå ã~íêáñ Ñçêã ~ NN ~ NO K ~ Nå ñ N ÄN ~ ON ~ OO K ~ Oå ñ O Ä O
M M ~ åN ~ åO
K
⋅ = I M M M ~ åå ñ å Ä å
áKÉK ^⋅u = _ I
116
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
ïÜÉêÉ ~ NN ~ ON ^= M
~ NO K ~ Nå ~ OO K ~ Oå M
~ åN ~ åO
K
I M ~ åå
ñ N ÄN ñ O ÄO u = I_= K M M ñ å Äå
549. pçäìíáçå çÑ ~ pÉí çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë å × å
u = ^− N⋅ _ I ïÜÉêÉ ^ −N áë íÜÉ áåîÉêëÉ çÑ ^K
117
Chapter 6
Vectors
r
r
r
r r
r
r
→
sÉÅíçêëW ì I î I ï I ê I ^_I £ r r sÉÅíçê äÉåÖíÜW ì I î I £ råáí îÉÅíçêëW á I à I â r kìää îÉÅíçêW M r `ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê ì W uN I vN I wN r `ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê î W uO I vO I wO pÅ~ä~êëW λ I µ aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW Åçë α I Åçë β I Åçë γ ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç îÉÅíçêëW θ
6.1 Vector Coordinates 550. råáí sÉÅíçêë r
á = (NI MI M ) I
r
à = (MI NI M ) I r
â = (MI MI N) I r
r
r
→
r
á = à = â = N K r
551. ê = ^_ = (ñ N − ñ M ) á
r
r
+ ( ó N − ó M ) à + (ò N − ò M ) â
118
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 73.
552.
→
r
ê = ^_ = (ñ N − ñ M )O + ( ó N − ó M )O + (òN − òM )O →
r
→
r
553. fÑ ^_ = ê I íÜÉå _^ = − ê K
Figure 74.
r
554. u = ê Åçëα I r
v = ê Åçëβ I r w = ê Åçëγ K
119
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 75.
r
r
555. fÑ ê (uI v I w ) = êN (uN I vN I wN ) I íÜÉå
u = uN I v = vN I w = wN K
6.2 Vector Addition r
r
r
556. ï = ì + î
Figure 76.
120
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 77.
r
r
r
r
r
557. ï = ìN + ì O + ìP + K + ìå
Figure 78.
558. `çããìí~íáîÉ i~ï r
r
r
r
ì + î = î + ì
559. ^ëëçÅá~íáîÉ i~ï r
r
r
r
r
r
r
r
(ì + î ) + ï = ì + ( î + ï )
560. ì + î = (uN + u O I vN + vO I wN + wO )
121
CHAPTER 6. VECTORS
6.3 Vector Subtraction r
r
r
r
r
r
561. ï = ì − î áÑ î + ï = ì K
Figure 79.
Figure 80.
r
r
r
r
r
r
r
562. ì − î = ì + (− î ) 563. ì − ì = M = (MI MI M ) r
564.
M =M r
r
565. ì − î = (uN − uO I vN − vO I wN − wO ) I
6.4 Scaling Vectors r
r
566. ï = λì
122
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 81.
r
567. ï =
r
λ⋅ì
r
568.
λì = (λuI λv I λw)
569.
λì = ìλ
570.
(λ + µ ) ì = λì + µ ì
571.
λ(µì ) = µ(λì ) = (λµ )ì
572.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
λ(ì + î ) = λì + λ î
6.5 Scalar Product r
r
573. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ì ~åÇ î r r
r
r
ì ⋅ î = ì ⋅ î ⋅ Åçëθ I r r ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå îÉÅíçêë ì ~åÇî K
123
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 82.
574. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêã r
r
fÑ ì = (uN I vN I wN ) I î = (u O I vO I wO ) I íÜÉå r r ì ⋅ î = uNu O + vNvO + wN wO K
575. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêë r
r
fÑ ì = (uN I vN I wN ) I î = (u O I vO I wO ) I íÜÉå uNu O + vNvO + wNw O K Åçë θ = O O O O O O uN + vN + wN u O + vO + w O
576. `çããìí~íáîÉ mêçéÉêíó r r
r r
ì ⋅ î = î ⋅ ì
577. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó r
r
r r
(λì ) ⋅ (µ î ) = λµì ⋅ î
578. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó r
r
r
r r
r r
ì ⋅ ( î + ï ) = ì ⋅ î + ì ⋅ ï r r
r r
579. ì ⋅ î = M áÑ ì I î ~êÉ çêíÜçÖçå~ä Eθ = r r
580. ì ⋅ î > M áÑ M < θ <
π O
K
124
π O
FK
CHAPTER 6. VECTORS
r r
581. ì ⋅ î < M áÑ
π O
r r
r
r
r r
r
r
<θ< πK
582. ì ⋅ î ≤ ì ⋅ î r r
583. ì ⋅ î = ì ⋅ î áÑ ìI î ~êÉ é~ê~ääÉä Eθ = M FK r
584. fÑ ì = (uN I vN I wN ) I íÜÉå r r
r
rO
r r
r r
r r
r r
r r
r r
ì ⋅ ì = ì O = ì = uNO + vNO + wNO K 585. 586.
á ⋅ á = à ⋅ à = â ⋅ â = N á ⋅ à = à ⋅ â = â ⋅ á = M
6.6 Vector Product r
r
587. sÉÅíçê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ì ~åÇ î r
r
r
•
ï = ì ⋅ î ⋅ ëáåθ I ïÜÉêÉ M ≤ θ ≤
ì × î = ï I ïÜÉêÉ
• •
r
r
r
r
r
r
r
π O
X
~åÇ ï ⊥ î X ï ⊥ ì r r r sÉÅíçêë ì I î I ï Ñçêã ~ êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ ëÅêÉïK
125
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 83.
r
á r r r 588. ï = ì × î = u N uO
r
r
à vN vO
â wN wO
vN wN uN wN uN vN 589. ï = ì × î = I− I vO wO u O w O u O vO r
r
r
r
r
r
r
590. p = ì × î = ì ⋅ î ⋅ ëáåθ EcáÖKUPF 591. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêë EcáÖKUPF r
r
ì × î ëáå θ = r r ì ⋅ î 592. kçåÅçããìí~íáîÉ mêçéÉêíó r
r
r
r
ì × î = −( î × ì )
593. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó r
r
r
r
(λì )× (µ î ) = λµì × î
126
CHAPTER 6. VECTORS
594. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó r
r
r
r
r
r
r
r
r
ì × ( î + ï ) = ì × î + ì × ï r
r
r
595. ì × î = M áÑ ì ~åÇ î ~êÉ é~ê~ääÉä Eθ = M FK r r
r r
r
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
598. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí
r
r
596. 597.
á × á = à × à = â × â = M r
á × à = â I à × â = á I â × á = à
6.7 Triple Product rr r
r
r
r
r
r
r
r
[ì î ï ] = ì ⋅ ( î × ï ) = î ⋅ ( ï × ì ) = ï ⋅ (ì × î )
599.
rr r
r rr
rr r
rr r
r rr
rrr
[ì î ï ] = [ ï ì î ] = [ î ï ì] = −[ î ì ï ] = −[ ï î ì] = −[ì ï î ] r
r
r
rr r
600. â ì ⋅ ( î × ï ) = â [ì î ï ] 601. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêã
uN vN wN r r r ì ⋅ ( î × ï ) = u O vO w O I uP vP wP ïÜÉêÉ r r r ì = (uN I vN I wN ) I î = (u O I vO I wO ) I ï = (uP I vP I wP ) K 602. sçäìãÉ çÑ m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ r
r
r
s = ì ⋅ ( î × ï )
127
CHAPTER 6. VECTORS
Figure 84.
603. sçäìãÉ çÑ móê~ãáÇ
s=
Nr r r ì ⋅ ( î × ï ) S
Figure 85.
604.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
fÑ ì ⋅ ( î × ï ) = MI íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ì I î I ~åÇ ï ~êÉäáåÉ~êäó r r r ÇÉéÉåÇÉåí I ëç ï = λì + µ î Ñçê ëçãÉ ëÅ~ä~êë λ ~åÇ µ K
605. fÑ ì ⋅ ( î × ï ) ≠ MI íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ì I î I ~åÇ ï ~êÉäáåÉ~êäó
áåÇÉéÉåÇÉåíK
128
CHAPTER 6. VECTORS
606. sÉÅíçê qêáéäÉ mêçÇìÅí r
r
r
r r r
r r r
ì × ( î × ï ) = (ì ⋅ ï ) î − (ì ⋅ î ) ï
129
Chapter 7
Analytic Geometry
7.1 One-Dimensional Coordinate System mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñ M I ñ N I ñ O I ó M I ó N I ó O oÉ~ä åìãÄÉêW λ aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç 607. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
Ç = ^_ = ñ O − ñ N = ñ N − ñ O
Figure 86.
608. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç
ñ M =
ñ N + λñ O ^` I λ= I λ ≠ −N K N+ λ `_
Figure 87.
130
λ
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
609. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí
ñ N + ñ O ñ M = I λ =NK O
7.2 Two-Dimensional Coordinate System mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñ M I ñ N I ñ O I ó M I ó N I ó O mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW êI ϕ oÉ~ä åìãÄÉêW λ mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç ^êÉ~W p 610. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë O O Ç = ^_ = (ñ O − ñ N ) + ( ó O − ó N )
Figure 88.
131
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
611. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç
ñ N + λñ O ó N + λ ó O ñ M = I ó M = I N+ λ N+ λ ^` I λ ≠ −N K λ= `_
7.3 Straight Line in Plane mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW uI vI ñI ñ M I ñ N I ó M I ó N I ~N I ~ O I £ oÉ~ä åìãÄÉêëW âI ~I ÄI éI íI ^I _I `I ^N I ^ OI £ ^åÖäÉëW α I β ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕ r kçêã~ä îÉÅíçêW å r r r mçëáíáçå îÉÅíçêëW ê I ~ I Ä 622. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ
^ñ + _ó + ` = M
623. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ píê~áÖÜí iáåÉ r
qÜÉ îÉÅíçê å(^I _ ) áë åçêã~ä íç íÜÉ äáåÉ ^ñ + _ó + ` = M K
ó − ó N ñ − ñ N = ó O − ó N ñ O − ñ N çê ñ ó N ñ N ó N N = M K ñ O ó O N
141
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 102.
628. fåíÉêÅÉéí cçêã
ñ ó + =N ~
Figure 103.
142
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
629. kçêã~ä cçêã
ñ Åçë β + ó ëáå β − é = M
Figure 104.
630. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã
ñ − ñ N ó − ó N I = u v ïÜÉêÉ (uI v ) áë íÜÉ ÇáêÉÅíáçå çÑ íÜÉ äáåÉ ~åÇ mN (ñ N I ó N ) äáÉë çå íÜÉ äáåÉK
143
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 105.
631. sÉêíáÅ~ä iáåÉ
=~
632. eçêáòçåí~ä iáåÉ
ó = Ä
633. sÉÅíçê bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ r
r
r
ê = ~ + í Ä I ïÜÉêÉ l áë íÜÉ çêáÖáå çÑ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉëI u áë ~åó î~êá~ÄäÉ éçáåí çå íÜÉ äáåÉI r ~ áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~ âåçïå éçáåí ^ çå íÜÉ äáåÉ I r Ä áë ~ âåçïå îÉÅíçê çÑ ÇáêÉÅíáçåI é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉI í áë ~ é~ê~ãÉíÉêI r
→
ê = lu áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~åó éçáåí u çå íÜÉ äáåÉK
144
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 106.
634. píê~áÖÜí iáåÉ áå m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
ñ = ~N + íÄN I ó = ~ O + íÄO ïÜÉêÉ (ñ I ó ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI (~N I ~ O ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ âåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI ( ÄN I ÄO ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ îÉÅíçê é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉI í áë ~ é~ê~ãÉíÉêK
145
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 107.
635. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ iáåÉ
qÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí m(~ I Ä ) íç íÜÉ äáåÉ ^ñ + _ó + ` = M áë ^~ + _Ä + ` Ç= K O O ^ +_
Figure 108.
146
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
636. m~ê~ääÉä iáåÉë
qïç äáåÉë ó = â Nñ + ÄN ~åÇ ó = â O ñ + ÄO ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ â N = â O K qïç äáåÉë ^Nñ + _N ó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _O ó + ` O = M ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ ^N _N = K ^ O _O
Figure 109.
637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉë
qïç äáåÉë ó = â Nñ + ÄN ~åÇ ó = â O ñ + ÄO ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ N â O = − çêI Éèìáî~äÉåíäóI â Nâ O = −N K â N qïç äáåÉë ^Nñ + _N ó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _O ó + ` O = M ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ ^N^ O + _N_O = M K
147
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 110.
638. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç iáåÉë
í~å ϕ = Åçë ϕ =
â O − â N I N + â Nâ O ^N^ O + _N_O
^ +_ ⋅ ^ +_ O N
O N
O O
O O
K
148
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 111.
639. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉë
fÑ íïç äáåÉë ^Nñ + _N ó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` O = M áåíÉêëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå éçáåí Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë − `N_ O + ` O_N − ^N`O + ^ O`N ñ M = I ó M = K ^N_ O − ^ O_N ^N_ O − ^ O_N
7.4 Circle o~ÇáìëW o `ÉåíÉê çÑ ÅáêÅäÉW (~ I Ä) mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI ñ N I ó N I £ oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI í
ñ = o Åçë í I M ≤ í ≤ Oπ K ó = o ëáå í 644. dÉåÉê~ä cçêã
^ñ O + ^ó O + añ + bó + c = M E^ åçåòÉêçI aO + b O > Q ^c FK qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë (~ I Ä) I ïÜÉêÉ a b ~=− I Ä = − K O^ O^ qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ áë
151
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
aO + b O − Q ^c o = K O^
7.5 Ellipse pÉãáã~àçê ~ñáëW ~ pÉãáãáåçê ~ñáëW Ä cçÅáW cN (− ÅI M ) I cO (ÅI M ) aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅ bÅÅÉåíêáÅáíóW É oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI í mÉêáãÉíÉêW i ^êÉ~W p 645. bèì~íáçå çÑ ~å bääáéëÉ Epí~åÇ~êÇ cçêãF
ñ O ó O + O =N O ~
Figure 115.
152
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
646. êN + êO = O~ I
ïÜÉêÉ êN I êO ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí m(ñ I ó ) çå íÜÉ ÉääáéëÉ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK
Figure 116.
647. ~ O = ÄO + Å O 648. bÅÅÉåíêáÅáíó
Å É =
~ ~O ñ = ± = ± É Å 650. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
ñ = ~ Åçë í I M ≤ í ≤ Oπ K ó = Ä ëáå í
153
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
651. dÉåÉê~ä cçêã
^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I ïÜÉêÉ _O − Q ^` < M K 652. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë
^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I ïÜÉêÉ ^` > M K 653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ
i = Q~b(É ) I ïÜÉêÉ íÜÉ ÑìåÅíáçå b áë íÜÉ ÅçãéäÉíÉ ÉääáéíáÅ áåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ ëÉÅçåÇ âáåÇK
654. ^ééêçñáã~íÉ cçêãìä~ë çÑ íÜÉ `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ
i = π NKR(~ + Ä) − ~Ä I i = π O(~ O + ÄO ) K 655. p = π~Ä
7.6 Hyperbola qê~åëîÉêëÉ ~ñáëW ~ `çåàìÖ~íÉ ~ñáëW Ä cçÅáW cN (− ÅI M ) I cO (ÅI M ) aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅ bÅÅÉåíêáÅáíóW É ^ëóãéíçíÉëW ëI í oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI íI â
154
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
656. bèì~íáçå çÑ ~ eóéÉêÄçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF
ñ O ó O − O =N O ~
Figure 117.
657.
êN − êO = O~ I ïÜÉêÉ êN I êO ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí m(ñ I ó ) çå íÜÉ ÜóéÉêÄçä~ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK
ñ = ~ ÅçëÜ í I M ≤ í ≤ Oπ K ó = Ä ëáåÜ í 663. dÉåÉê~ä cçêã
^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I ïÜÉêÉ _ O − Q ^` > M K 664. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë
^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I ïÜÉêÉ ^` < M K 665. ^ëóãéíçíáÅ cçêã
ÉO ñó = I Q çê â ÉO ó = I ïÜÉêÉ â = K Q få íÜáë Å~ëÉ I íÜÉ ~ëóãéíçíÉë Ü~îÉ Éèì~íáçåë ó = M K
157
= M ~åÇ
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 119.
7.7 Parabola cçÅ~ä é~ê~ãÉíÉêW é cçÅìëW c sÉêíÉñW j(ñ M I ó M ) oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI éI ~I ÄI Å 666. bèì~íáçå çÑ ~ m~ê~Äçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF
ó O = Oéñ
158
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 120.
bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ é ñ = − I O `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë é c I M I O `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ j(MI M) K 667. dÉåÉê~ä cçêã
^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I ïÜÉêÉ _ O − Q ^` = M K N K O~ bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ
668. ó = ~ñ O I é =
159
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
é ó = − I O `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë é c MI I O `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ j(MI M) K
Figure 121.
669. dÉåÉê~ä cçêãI ^ñáë m~ê~ääÉä íç íÜÉ ó -~ñáë
^ñ O + añ + bó + c = M E^I b åçåòÉêçFI N ó = ~ñ O + Äñ + Å I é = K O~ bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ é ó = ó M − I O `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë
160
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
é c ñ M I ó M + I O `ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ Ä Q~Å − ÄO O ñ M = − I ó M = ~ñ M + Äñ M + Å = K O~ Q~
Figure 122.
7.8 Three-Dimensional Coordinate System mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñ M I ó M I ò M I ñ N I ó N I ò NI £ oÉ~ä åìãÄÉêW λ aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç ^êÉ~W p sçäìãÉW s
161
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
670. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
Ç = ^_ = (ñ O − ñ N )O + ( ó O − ó N )O + (ò O − ò N )O
Figure 123.
λ ñ + λñ O ó + λ ó O ò + λò O ñ M = N I ó M = N I òM = N I N+ λ N+ λ N+ λ
671. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç
ïÜÉêÉ ^` I λ ≠ −N K λ= `_
162
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 124.
Figure 125.
163
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
672. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí
ñ N + ñ O ó N + ó O òN + ò O ñ M = I ó M = I òM = I λ =NK O O O
673. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉ
qÜÉ ~êÉ~ çÑ ~ íêá~åÖäÉ ïáíÜ îÉêíáÅÉë mN (ñ N I ó N I ò N ) I mO (ñ O I ó O I ò O ) I ~åÇ mP (ñ P I ó P I ò P ) áë ÖáîÉå Äó ó N N p= ó O O ó P
O
O
òN N òN òO N + òO òP N òP
O
ñ N N ñ N ó N N ñ O N + ñ O ó O N K ñ P N ñ P ó P N
674. sçäìãÉ çÑ ~ qÉíê~ÜÉÇêçå
qÜÉ îçäìãÉ çÑ ~ íÉíê~ÜÉÇêçå ïáíÜ îÉêíáÅÉë mN (ñ N I ó N I ò N ) I mO (ñ O I ó O I ò O ) I mP (ñ P I ó P I ò P ) I ~åÇ mQ (ñ Q I ó Q I ò Q ) áë ÖáîÉå Äó ñ N ó N òN N N ñ O ó O ò O N s=± I S ñ P ó P ò P N ñ Q ó Q ò Q N çê ñ N − ñ Q ó N − ó Q òN − ò Q N s = ± ñ O − ñ Q ó O − ó Q ò O − ò Q K S ñ P − ñ Q ó P − ó Q ò P − ò Q kçíÉW tÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëç íÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ ~åëïÉê Ñçê îçäìãÉK
164
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 126.
7.9 Plane mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI ñ M I ó M I ò M I ñ N I ó N I òN I £ oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI ^N I ^ O I ~I ÄI ÅI ~N I ~ O I λ I éI íI £ r r r kçêã~ä îÉÅíçêëW å I åN I å O aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW Åçë α I Åçë β I Åçë γ aáëí~åÅÉ Ñêçã éçáåí íç éä~åÉW Ç 675. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ
^ñ + _ó + `ò + a = M
165
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
676. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ mä~åÉ r
qÜÉ îÉÅíçê å (^I _I ` ) áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉ ^ñ + _ó + `ò + a = M K
Figure 127.
677. m~êíáÅìä~ê `~ëÉë çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ
^ñ + _ó + `ò + a = M
fÑ fÑ fÑ fÑ
^ = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñ -~ñáëK _ = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ó -~ñáëK ` = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ò-~ñáëK a = M I íÜÉ éä~åÉ äáÉë çå íÜÉ çêáÖáåK
fÑ ^ = _ = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñó -éä~åÉK fÑ _ = ` = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ óò-éä~åÉK fÑ ^ = ` = M I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñò-éä~åÉK
166
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
678. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã
^(ñ − ñ M ) + _( ó − ó M ) + ` (ò − ò M ) = M I ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí m(ñ M I ó M I ò M ) äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI ~åÇ íÜÉ îÉÅíçê (^I _I ` ) áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK
Figure 128.
679. fåíÉêÅÉéí cçêã
ñ ó ò + + =N ~ Å
167
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 129.
680. qÜêÉÉ mçáåí cçêã
ñ − ñ P ñ N − ñ P ñ O − ñ P çê ñ ó ñ N ó N ñ O ó O ñ P ó P
ó − ó P ó N − ó P ó O − ó P ò òN òO òP
ò − òP òN − ò P = M I ò O − òP
N N =MK N N
168
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 130.
681. kçêã~ä cçêã
ñ Åçë α + ó Åçë β + ò Åçë γ − é = M I ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ çêáÖáå íç íÜÉ éä~åÉ I ~åÇ Åçë α I Åçë β I Åçë γ ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë çÑ ~åó äáåÉ åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK
169
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 131.
682. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
ñ = ñ N + ~Në + ~ Oí ó = ó N + ÄNë + ÄOí I ò = ò + Å ë + Å í N N O ïÜÉêÉ (ñ I ó I ò ) ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉ I íÜÉ éçáåí m(ñ N I ó N I ò N ) äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI íÜÉ îÉÅíçêë (~N I ÄN I ÅN ) ~åÇ (~ O I ÄO I Å O ) ~êÉ é~ê~ääÉä íç íÜÉ éä~åÉK
170
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 132.
683. aáÜÉÇê~ä ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç mä~åÉë
fÑ íÜÉ éä~åÉë ~êÉ ÖáîÉå Äó ^Nñ + _N ó + `Nò + aN = M I ^ O ñ + _O ó + ` Oò + aO = M I íÜÉå íÜÉ ÇáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉã áë r r åN ⋅ å O ^N^ O + _N_ O + `N` O Åçë ϕ = r r = K O O O O O O åN ⋅ å O ^N + _N + `N ⋅ ^ O + _ O + ` O
171
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 133.
684. m~ê~ääÉä mä~åÉë
qïç éä~åÉë ^Nñ + _N ó + `Nò + aN = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ ^N _N `N = = K ^ O _O `O
685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê mä~åÉë
qïç éä~åÉë ^Nñ + _N ó + `Nò + aN = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ ^N^ O + _N_O + `N` O = M K
686. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ m(ñ N I ó N I ò N ) ~åÇ m~ê~ääÉä qç
íÜÉ sÉÅíçêë (~N I ÄN I ÅN ) ~åÇ (~ O I ÄO I Å O ) EcáÖKNPOF
172
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ñ − ñ N ó − ó N ò − ò N ~N ÄN ÅN = M ~O ÄO ÅO 687. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ mN (ñ N I ó N I ò N ) ~åÇ mO (ñ O I ó O I ò O ) I
~åÇ m~ê~ääÉä qç íÜÉ sÉÅíçê (~ I ÄI Å ) ñ − ñ N ó − ó N ò − òN ñ O − ñ N ó O − ó N ò O − ò N = M ~ Ä Å
Figure 134.
688. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ mä~åÉ
qÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí mN (ñ N I ó N I òN ) íç íÜÉ éä~åÉ ^ñ + _ó + `ò + a = M áë
173
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Ç=
^ñ N + _ó N + `òN + a ^ +_ +` O
O
O
K
Figure 135.
689. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç mä~åÉë
fÑ íïç éä~åÉë ^Nñ + _N ó + `Nò + aN = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M áåíÉêëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå ëíê~áÖÜí äáåÉ áë ÖáîÉå Äó ñ = ñ N + ~í ó = ó N + Äí I ò = ò + Åí N çê ñ − ñ N ó − ó N ò − ò N I = = ~ Å ïÜÉêÉ
174
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
~ =
_N `N ` I Ä = N _O ` O `O
ñ N =
ó N =
òN =
aN Ä aO aN Å aO aN ~ aO
^N ^ I Å= N ^O ^O
_N I _O
`N aN _N −Å `O aO _ O I O O O ~ + +Å ^N aN `N −~ ^O aO ` O I O O O ~ + +Å _N aN ^N − Ä _O aO ^ O K O O O ~ + +Å
7.10 Straight Line in Space mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI ñ N I ó N I òN I £ aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW Åçë α I Åçë β I Åçë γ oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI ~I ÄI ÅI ~N I ~ O I íI £ r r r aáêÉÅíáçå îÉÅíçêë çÑ ~ äáåÉW ë I ëN I ëO r kçêã~ä îÉÅíçê íç ~ éä~åÉW å ^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕ 690. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ
ñ − ñ N ó − ó N ò − ò N = = I ~ Å ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí mN (ñ N I ó N I ò N ) äáÉë çå íÜÉ äáåÉI ~åÇ (~ I ÄI Å ) áë íÜÉ ÇáêÉÅíáçå îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉK
175
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 136.
691. qïç mçáåí cçêã
ñ − ñ N ó − ó N ò − òN = = ñ O − ñ N ó O − ó N ò O − òN
Figure 137.
176
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
692. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
ñ = ñ N + í Åçë α ó = ó N + í Åçë β I ò = ò + í Åçë γ N ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí mN (ñ N I ó N I ò N ) äáÉë çå íÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉI Åçë α I Åçë β I Åçë γ ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉI íÜÉ é~ê~ãÉíÉê í áë ~åó êÉ~ä åìãÄÉêK
Figure 138.
693. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç píê~áÖÜí iáåÉë r
Åçë ϕ =
r
ëN ⋅ ëO ~N~ O + ÄN ÄO + ÅNÅ O = r r ëN ⋅ ëO ~NO + ÄNO + ÅNO ⋅ ~ OO + ÄOO + Å OO
177
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 139.
694. m~ê~ääÉä iáåÉë
qïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ r r ëN öö ëO I çê ~N ÄN ÅN = = K ~ O ÄO Å O 695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉë
qïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ r r ëN ⋅ ëO = M I çê ~N~ O + ÄN ÄO + ÅNÅ O = M K 696. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉë
ñ − ñ N ó − ó N ò − òN qïç äáåÉë ~åÇ = = ~N ÄN ÅN
178
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ñ − ñ O ó − ó O ò − ò O áåíÉêëÉÅí áÑ = = ~O ÄO ÅO ñ O − ñ N ó O − ó N ò O − ò N ~N ÄN ÅN = M K ~O ÄO ÅO 697. m~ê~ääÉä iáåÉ ~åÇ mä~åÉ
ñ − ñ N ó − ó N ò − ò N = = ~åÇ íÜÉ éä~åÉ ~ Å ^ñ + _ó + `ò + a = M ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ r r å⋅ ë = M I çê ^~ + _Ä + `Å = M K
qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉ
Figure 140.
179
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉ ~åÇ mä~åÉ
ñ − ñ N ó − ó N ò − ò N qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉ ~åÇ íÜÉ éä~åÉ = = ~ Å ^ñ + _ó + `ò + a = M ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ r r å öö ë I çê ^ _ ` = = K ~ Å
Figure 141.
7.11 7.11 Quadric Quadri c Surfaces Sur faces mçáåí ÅççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ èì~ÇêáÅ ëìêÑ~ÅÉëW ñI óI ò oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I ~I ÄI ÅI â N I â O I â P I £
180
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
699. dÉåÉê~ä nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå
^ñ O + _ó O + `ò O + Ocóò + Odòñ + Oeñó + Omñ + Onó + Ooò + a = M 700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå çÑ nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë `~ëÉ N O P Q R S T U V NM NN NO NP NQ NR NS NT
o~åâEÉF P P P P P P O O O O O O O N N N N
o~åâEbF Q Q Q Q P P Q Q P P P O O P O O N
∆ M >M
â ëáÖåë p~ãÉ p~ãÉ aáÑÑÉêÉåí aáÑÑÉêÉåí aáÑÑÉêÉåí p~ãÉ p~ãÉ aáÑÑÉêÉåí p~ãÉ p~ãÉ aáÑÑÉêÉåí aáÑÑÉêÉåí p~ãÉ
e n m ^ e d _ c n É = e _ c I I ∆ = ÇÉí(b ) I c ` o d c ` n o a â N I â O I â P ~êÉ íÜÉ êççíë çÑ íÜÉ Éèì~íáçåI ^ − ñ e d e _ − ñ c =MK d c ` − ñ
181
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
701. oÉ~ä bääáéëçáÇ E`~ëÉ NF
ñ O ó O ò O + O + O =N O ~ Å
Figure 142.
702. fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ E`~ëÉ OF
ñ O ó O ò O + O + O = −N O ~ Å 703. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí E`~ëÉ PF
ñ O ó O ò O + O − O =N O ~ Å
182
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 143.
704. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë E`~ëÉ QF
ñ O ó O ò O + O − O = −N O ~ Å
Figure 144.
183
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
705. oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ RF
ñ O ó O ò O + O − O =M O ~ Å
Figure 145.
706. fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ SF
ñ O ó O ò O + O + O =M O ~ Å 707. bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ TF
ñ O ó O + O −ò =M O ~
184
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 146.
708. eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ UF
ñ O ó O − O −ò = M O ~
Figure 147.
185
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
709. oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ VF
ñ O ó O + O =N O ~
Figure 148.
710. fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NMF
ñ O ó O + O = −N O ~ 711. eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NNF
ñ O ó O − O =N O ~
186
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 149.
712. oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NOF
ñ O ó O − O =M O ~ 713. fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NPF
ñ O ó O + O =M O ~ 714. m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NQF
ñ O − ó = M O ~
187
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
Figure 150.
715. oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NRF
ñ O =N O ~ 716. fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NSF
ñ O = −N O ~ 717. `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë E`~ëÉ NTF
ñ O = M
188
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
7.12 Sphere o~Çáìë çÑ ~ ëéÜÉêÉW o mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI ñ N I ó N I ò NI £ `ÉåíÉê çÑ ~ ëéÜÉêÉW (~ I ÄI Å ) oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I aI bI cI j 718. bèì~íáçå çÑ ~ péÜÉêÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇ
cçêãF ñ O + ó O + ò O = o O
Figure 151.
719. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí (~ I ÄI Å )
(ñ − ~ )O + ( ó − Ä )O + (ò − Å )O = o O 720. aá~ãÉíÉê cçêã
(ñ − ñ N )(ñ − ñ O ) + ( ó − ó N )( ó − ó O ) + (ò − òN )(ò − ò O ) = M I
189
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
ïÜÉêÉ mN (ñ N I ó N I ò N ) I mO (ñ O I ó O I ò O ) ~êÉ íÜÉ ÉåÇë çÑ ~ Çá~ãÉíÉêK 721. cçìê mçáåí cçêã
ñ O + ó O + ò O ñ NO + ó NO + ñ NO ñ OO + ó OO + ñ OO ñ PO + ó PO + ñ PO ñ OQ + ó OQ + ñ OQ
ñ ñ N ñ O ñ P ñ Q
ó ó N ó O ó P ó Q
ò òN òO òP òQ
N N N =M N N
722. dÉåÉê~ä cçêã
^ñ O + ^ó O + ^ò O + añ + bó + cò + j = M E^ áë åçåòÉêçFK qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë (~ I ÄI Å ) I ïÜÉêÉ a b c ~=− I Ä = − I Å=− K O^ O^ O^ qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ áë aO + b O + cO − Q ^ Oj o = K O^
fÑ Ñ ′(ñ M ) > M I íÜÉå ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M K EcáÖ NTTI ñ < ñ N I ñ O < ñ FI fÑ Ñ ′(ñ M ) < M I íÜÉå ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M K EcáÖ NTTI ñ N < ñ < ñ O FI fÑ Ñ ′ (ñ M ) ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
^ ÅêáíáÅ~ä éçáåí çå ÑEñF çÅÅìêë ~í ñ M áÑ ~åÇ çåäó áÑ ÉáíÜÉê Ñ ′ (ñ M ) áë òÉêç çê íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ÇçÉëå í ÉñáëíK ∞
831. cáêëí aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~K
fÑ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) > M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä (~I ñ N ] ~åÇ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) < M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä [ñ N I Ä) I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ñ N EcáÖKNTTFK
219
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
832. fÑ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) < M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä
(~I ñ O ] ~åÇ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E Ñ ′ (ñ ) > M F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä [ñ O I Ä) I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ñ O K EcáÖKNTTFK 833. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~K
fÑ Ñ ′ (ñ N ) = M ~åÇ Ñ ′′(ñ N ) < M I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ñ N K fÑ Ñ ′ (ñ O ) = M ~åÇ Ñ ′′(ñ O ) > M I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ñ O K EcáÖKNTTF
834. `çåÅ~îáíóK
ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í ñ M áÑ ~åÇ çåäó áÑ Ñ ′ (ñ ) áë áåÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M EcáÖKNTTI ñ P < ñ FK ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í ñ M áÑ ~åÇ çåäó áÑ Ñ ′ (ñ ) áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í ñ M K EcáÖKNTTI ñ < ñ P FK
835. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê `çåÅ~îáíóK
fÑ fÑ fÑ
Ñ ′′(ñ M ) > M I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í ñ M K Ñ ′′(ñ M ) < M I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í ñ M K Ñ ′′(ñ ) ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
836. fåÑäÉÅíáçå mçáåíë
fÑ Ñ ′ (ñ P ) Éñáëíë ~åÇ Ñ ′′(ñ ) ÅÜ~åÖÉë ëáÖå ~í ñ = ñ P I íÜÉå íÜÉ éçáåí (ñ P I Ñ (ñ P )) áë ~å áåÑäÉÅíáçå éçáåí çÑ íÜÉ Öê~éÜ çÑ Ñ (ñ ) K fÑ Ñ ′′(ñ P ) Éñáëíë ~í íÜÉ áåÑäÉÅíáçå éçáåíI íÜÉå Ñ ′′(ñ P ) = M EcáÖKNTTFK
8.8 Multivariable Functions cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ò (ñ I ó ) I Ñ (ñ I ó ) I Ö(ñ I ó ) I Ü(ñ I ó ) ^êÖìãÉåíëW ñI óI í pã~ää ÅÜ~åÖÉë áå ñI óI òI êÉëéÉÅíáîÉäóW ∆ I ∆ó I ∆ò K
846. cáêëí lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë
qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ñ ∂Ñ ∂ò = Ñ ñ E~äëç = ò ñ FI
∂
∂
qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ó ∂Ñ ∂ò = Ñ ó E~äëç = ò ó FK ∂ ó ∂ ó
222
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
847. pÉÅçåÇ lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë
∂ ∂Ñ ∂ OÑ = O = Ñ ññ I ∂ñ ∂ñ ∂ñ ∂ ∂Ñ ∂ OÑ = O = Ñ óó I ∂ ó ∂ ó ∂ ó ∂ ∂Ñ ∂ OÑ = Ñ ñó I = ∂ ó ∂ñ ∂ ó ∂ñ ∂ ∂Ñ ∂ OÑ = = Ñ óñ K ∂ñ ∂ ó ∂ñ ∂ ó fÑ íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉë ~êÉ ÅçåíáåìçìëI íÜÉå ∂ OÑ ∂ OÑ K = ∂ ó ∂ñ ∂ñ ∂ ó 848. `Ü~áå oìäÉë
fÑ Ñ (ñ I ó ) = Ö (Ü(ñ I ó )) EÖ áë ~ ÑìåÅíáçå çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉ ÜFI íÜÉå ∂Ñ ′ ∂Ü ∂Ñ ∂Ü = Ö (Ü(ñ I ó )) I = Ö ′(Ü(ñ I ó )) K ∂ ∂ ∂ ó ∂ ó fÑ Ü(í ) = Ñ (ñ (í )I ó (í )) I íÜÉå Ü′(í ) =
∂Ñ Çñ ∂Ñ Çó K + ∂ñ Çí ∂ ó Çí
fÑ ò = Ñ (ñ (ìI î )I ó (ìI î )) I íÜÉå ∂ò ∂Ñ ∂ñ ∂Ñ ∂ ó ∂ò ∂Ñ ∂ñ ∂Ñ ∂ ó I K = + = + ∂ì ∂ñ ∂ì ∂ ó ∂ì ∂ î ∂ñ ∂ î ∂ ó ∂ î 849. pã~ää `Ü~åÖÉë
∆ò ≈
∂Ñ ∂Ñ ∆ñ + ∆ ó ∂ñ ∂ ó
223
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
850. içÅ~ä j~ñáã~ ~åÇ jáåáã~
Ñ (ñ I ó ) Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í (ñ M I ó M ) áÑ Ñ (ñ I ó ) ≤ Ñ (ñ M I ó M ) Ñçê ~ää (ñ I ó ) ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç (ñ M I ó M ) K Ñ (ñ I ó ) Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í (ñ M I ó M ) áÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ Ñ (ñ M I ó M ) Ñçê ~ää (ñ I ó ) ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç (ñ M I ó M ) K
Ñ ññ (ñ M I ó M ) Ñ ñó (ñ M I ó M ) K a= Ñ óñ (ñ M I ó M ) Ñ óó (ñ M I ó M ) fÑ fÑ fÑ fÑ
a > M I Ñ ññ (ñ M I ó M ) > M I (ñ M I ó M ) áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ãáåáã~K a > M I Ñ ññ (ñ M I ó M ) < M I (ñ M I ó M ) áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ã~ñáã~K a < M I (ñ M I ó M ) áë ~ ë~ÇÇäÉ éçáåíK a = M I íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
854. q~åÖÉåí mä~åÉ
qÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ í~åÖÉåí éä~åÉ íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ò = Ñ (ñ I ó ) ~í (ñ M I ó M I ò M ) áë ò − ò M = Ñ ñ (ñ M I ó M )(ñ − ñ M ) + Ñ ó (ñ M I ó M )( ó − ó M ) K
224
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
855. kçêã~ä íç pìêÑ~ÅÉ
qÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ åçêã~ä íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ò = Ñ (ñ I ó ) ~í (ñ M I ó M I ò M ) áë ñ − ñ M ó − ó M ò − òM K = = Ñ ñ (ñ M I ó M ) Ñ ó (ñ M I ó M ) −N
8.9 Differential Operators r
r
r
råáí îÉÅíçêë ~äçåÖ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ ~ñÉëW á I à I â pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåë EëÅ~ä~ê ÑáÉäÇëFW Ñ (ñ I ó I ò ) I ì(ñ N I ñ O I KI ñ å ) dê~ÇáÉåí çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑáÉäÇW Öê~Ç ì I ∇ì ∂Ñ aáêÉÅíáçå~ä ÇÉêáî~íáîÉW ∂ä r sÉÅíçê ÑìåÅíáçå EîÉÅíçê ÑáÉäÇFW c (mI nI o ) r
r
aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Çáî c I ∇ ⋅ c r
r
`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Åìêä c I ∇ × c i~éä~Åá~å çéÉê~íçêW ∇ O 856. dê~ÇáÉåí çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå
∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ Öê~Ç Ñ = ∇Ñ = I I I ∂ñ ∂ ó ∂ò ∂ì ∂ì ∂ì K Öê~Ç ì = ∇ì = I IKI ∂ñ å ∂ñ N ∂ñ O 857. aáêÉÅíáçå~ä aÉêáî~íáîÉ
∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ = Åçë α + Åçë β + Åçë γ I ∂ä ∂ñ ∂ ó ∂ò
225
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
ïÜÉêÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê r ä (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) I Åçë O α + Åçë O β + Åçë O γ = N K 858. aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ r
r
Çáî c = ∇ ⋅ c =
∂m ∂n ∂o + + ∂ñ ∂ ó ∂ò
859. `ìêä çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ r
r
Åìêä c = ∇ × c =
r
r
r
á
à
â
m
n
o
∂ ∂ ∂ ∂ñ ∂ñ ∂ñ
∂o ∂n r ∂m ∂o r ∂n ∂m r = − á + − à + − â ∂ ó ∂ò ∂ò ∂ñ ∂ñ ∂ ó 860. i~éä~Åá~å léÉê~íçê
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ìI î fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëW ñI íI ξ
∫
∫
fåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW Ñ (ñ )Çñ I Ö (ñ )Çñ I £ aÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ó ′(ñ ) I Ñ ′(ñ ) I c′(ñ ) I £ oÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI ÅI ÇI â k~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI åI áI à
ïÜÉêÉ ì(ñ ) I î (ñ ) ~êÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåëK
9.2 Integrals of Rational Functions 876.
877.
878.
879.
∫ ~Çñ = ~ñ + ` ∫
ñ O ñÇñ = +` O
∫
ñ P ñ Çñ = +` P
∫
ñ é+N + ` I é ≠ −N K ñ Çñ = é +N
O
é
228
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
(~ñ + Ä)å+N + ` I å ≠ −N K 880. ∫ (~ñ + Ä ) Çñ = ~(å + N) å
881.
882.
883.
884.
885.
886.
887.
888.
889.
∫
Çñ
∫
Çñ N = äå ~ñ + Ä + ` ~ñ + ~
∫
~ñ + Ä ~ ÄÅ − ~Ç Çñ = ñ + äå Åñ + Ç + ` O Åñ + Ç Å Å
∫
Çñ N ñ + Ä = + ` I ~ ≠ Ä K äå (ñ + ~ )(ñ + Ä) ~ − Ä ñ + ~
∫
ñÇñ N = O (~ + Äñ − ~ äå ~ + Äñ ) + ` ~ + ñ
∫
ñ OÇñ N N = P (~ + Äñ )O − O~(~ + Äñ ) + ~ O äå ~ + Äñ + ` ~ + Äñ Ä O
∫
Çñ N ~ + Äñ = äå +` ñ (~ + Äñ ) ~ ñ
∫
Çñ N Ä ~ + Äñ = − + O äå +` O ñ (~ + Äñ ) ~ñ ~ ñ
∫
ñÇñ N ~ = + + äå ~ Äñ +` O O ~ + Äñ (~ + Äñ ) Ä
= äå ñ + `
229
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
890.
891.
892.
893.
894.
895.
896.
897.
898.
899.
∫
ñ OÇñ N ~ O + ` = P ~ + Äñ − O~ äå ~ + Äñ − O ~ + Äñ (~ + Äñ ) Ä
∫
Çñ N N ~ + Äñ = + O äå +` O ñ ñ (~ + Äñ ) ~ (~ + Äñ ) ~
∫
Çñ N ñ − N äå = +` O ñ − N O ñ + N
∫
Çñ N N + ñ = äå +` O N − ñ O N − ñ
∫
Çñ N ~ + ñ äå = +` O O ~ − ñ O~ ~ − ñ
∫
Çñ N ñ − ~ äå = +` O O O~ ñ + ~ ñ − ~ Çñ
∫ N+
O
= í~å −N ñ + `
Çñ
N ~
ñ ~
∫~
O
∫
ñÇñ N O O ( )+ ` äå ñ ~ = + O O +~ O
∫
+
O
= í~å −N + `
Ä Çñ N ~êÅí~å ñ + ` I ~Ä > M K = O ~ + Äñ ~Ä ~
230
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
900.
901.
902.
903.
∫
ñÇñ N ~ O äå ñ = + +` O ~ + Äñ O Ä Ä
∫
Çñ N ñ O = äå +` O O ñ (~ + Äñ ) O~ ~ + Äñ
∫
Çñ N ~ + Äñ äå = +` O O O ~ − Ä ñ O~Ä ~ − Äñ
∫
Çñ N O~ñ + Ä − ÄO − Q~Å äå = O +`I O O ~ñ + Äñ + Å Ä − Q~Å O~ñ + Ä + Ä − Q~Å
ÄO − Q~Å > M K 904.
Çñ O O~ñ + Ä ~êÅí~å = +` I O O O ~ñ + Äñ + Å Q~Å − Ä Q~Å − Ä ÄO − Q~Å < M K
∫
9.3 Integrals of Irrational Functions 905.
∫
Çñ O = ~ñ + Ä + ` ~ñ + Ä ~
906.
∫
~ñ + Ä Çñ =
∫
ñÇñ O(~ñ − O Ä) ~ñ + Ä + ` = O P~ ~ñ + Ä
907.
P O (~ñ + Ä) O + ` P~
231
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
908.
909.
910.
911.
912.
913.
914.
915.
∫
P O(P~ñ − O Ä) (~ñ + Ä) O + ` ñ ~ñ + Ä Çñ = O NR~
Çñ N ~ñ + Ä − Ä − ~Å äå = +`I (ñ + Å ) ~ñ + Ä Ä − ~Å ~ñ + Ä + Ä − ~Å Ä − ~Å > M K
∫
Çñ N ~ñ + Ä ~êÅí~å = +`I ~Å − Ä (ñ + Å ) ~ñ + Ä ~Å − Ä Ä − ~Å < M K
∫ ∫
∫
∫
~ñ + Ä N (~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) − Çñ = Åñ + Ç Å ~Ç − ÄÅ äå ~(Åñ + Ç ) + Å(~ñ + Ä ) + ` I ~ > M K − Å ~Å ~ñ + Ä N (~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) − Çñ = Åñ + Ç Å ~Ç − ÄÅ ~(Åñ + Ç ) ~êÅí~å − + ` I E ~ < M I Å > M FK Å(~ñ + Ä) Å ~Å O(U~ O − NO~Äñ + NR ÄO ñ O ) P ( ) ñ ~ + Äñ Çñ = ~ Äñ + +` P NMR O
∫
ñ OÇñ O(U~ O − Q~Äñ + P ÄO ñ O ) = ~ + Äñ + ` P NR Ä ~ + Äñ
∫
Çñ N ~ + Äñ − ~ = äå + ` I ~ > M K ñ ~ + Äñ ~ ~ + Äñ + ~
ïÜÉêÉ Å = Ö −N (~ ) I Ç = Ö −N ( Ä ) K 1065. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë Ä
Ä
∫ ìÇî = (ìî ) − ∫ îÇì Ä ~
~
~
1066. qê~éÉòçáÇ~ä oìäÉ Ä
å −N Ä − ~ ( ) ( ) Ñ (ñ )Çñ = Ñ ñ Ñ ñ O Ñ ñ ( ) + + å á M O å á N = ~
∑
∫
249
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 180.
1067. páãéëçå ë oìäÉ ∞
Ä
Ä − ~ [Ñ (ñ M ) + QÑ (ñ N ) + OÑ (ñ O ) + QÑ (ñ P ) + Ñ (ñ )Çñ = På ~ + OÑ (ñ Q ) + K + QÑ (ñ å−N ) + Ñ (ñ å )] I ïÜÉêÉ Ä − ~ ñ á = ~ + á I á = MI NI OI KI å K å
íÜÉ áåíÉêî~ä [~ I Ä] ÉñÅÉéí Ñçê ëçãÉ éçáåí Å áå (~ I Ä) K qÜÉå Å −ε
Ä
Ä
∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ + äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K ~
ε →M +
δ →M +
~
Å +δ
Figure 188.
9.10 Double Integral cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW Ñ (ñ I ó ) I Ñ (ìI î ) I £ açìÄäÉ áåíÉÖê~äëW
∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó I ∫∫ Ö(ñ I ó )ÇñÇó I £ o
ã
oáÉã~åå ëìãW
o
å
∑∑ Ñ (ì I î )∆ñ ∆ó á
à
á =N à=N
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW ∆ñ á I ∆ ó à oÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW oI p mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ
257
á
à
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
^êÉ~W ^ pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s j~ëë çÑ ~ ä~ãáå~W ã aÉåëáíóW ρ(ñ I ó ) cáêëí ãçãÉåíëW j ñ I j ó jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W fñ I f ó I fM `Ü~êÖÉ çÑ ~ éä~íÉW n `Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW σ(ñ I ó ) `ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW ^îÉê~ÖÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW µ
ïÜÉêÉ ì á I î à áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ êÉÅí~åÖäÉ (ñ á −N I ñ á )× ó à−N I ó à I ~åÇ ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I ∆ ó à = ó à − ó à−N K
Figure 189.
258
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
qÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ ÖÉåÉê~ä êÉÖáçå o áë Ñ (ñ I ó )Ç^ = Ö (ñ I ó )Ç^ I
∫∫ o
∫∫] [
[~ I Ä × Å I Ç ]
ïÜÉêÉ êÉÅí~åÖäÉ [~I Ä]× [ÅI Ç] Åçåí~áåë oI Ö (ñ I ó ) = Ñ (ñ I ó ) áÑ Ñ (ñ I ó ) áë áå o ~åÇ Ö (ñ I ó ) = M çíÜÉêïáëÉK
Figure 190.
1079.
∫∫[Ñ (ñ I ó ) + Ö (ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ö (ñ I ó )Ç^ o
1080.
o
∫∫[Ñ (ñ I ó ) − Ö (ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ − ∫∫ Ö (ñ I ó )Ç^ o
1081.
o
o
o
∫∫ âÑ (ñ I ó )Ç^ = â ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I o
o
ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK 1082. fÑ Ñ (ñ I ó ) ≤ Ö (ñ I ó ) çå oI íÜÉå
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ö (ñ I ó )Ç^ K o
1083. fÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ M çå o ~åÇ p ⊂ o I íÜÉå
259
o
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K p
o
Figure 191.
1084. fÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ M çå o ~åÇ o ~åÇ p ~êÉ åçå-çîÉêä~ééáåÖ
êÉÖáçåëI íÜÉå
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K
o ∪p
o
p
eÉêÉ o ∪ p áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë o ~åÇ pK
Figure 192.
260
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1085. fíÉê~íÉÇ fåíÉÖê~äë ~åÇ cìÄáåá ë qÜÉçêÉã ∞
Ä è ( ñ )
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇóÇñ o
~ é ( ñ )
Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ fI o = {(ñ I ó ) ö ~ ≤ ñ ≤ ÄI é(ñ ) ≤ ó ≤ è (ñ )} K
Figure 193. Ç î ( ó )
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó o
Å ì ( ó )
Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ ffI o = {(ñ I ó ) ö ì( ó ) ≤ ñ ≤ î ( ó )I Å ≤ ó ≤ Ç} K
261
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 194.
1086. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê oÉÅí~åÖìä~ê oÉÖáçåë
fÑ o áë íÜÉ êÉÅí~åÖìä~ê êÉÖáçå [~I Ä]× [ÅI Ç] I íÜÉå Ç Ä Ç ∫∫o Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫~ ∫Å Ñ (ñ I ó )Çó Çñ = ∫Å ∫~ Ñ (ñ I ó )Çñ Çó K Ä
få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ Ñ (ñ I ó ) Å~å ÄÉ ïêáííÉå ~ë Ö(ñ )Ü( ó ) ïÉ Ü~îÉ
Ä Ç ∫∫o Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫o Ö (ñ )Ü( ó )ÇñÇó = ∫~ Ö (ñ )Çñ ∫Å Ü( ó )Çó K 1087. `Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë
∫∫ o
Ñ (ñ I ó )ÇñÇó =
∫∫
Ñ [ñ (ìI î )I ó (ìI î )]
p
∂(ñ I ó ) ÇìÇî I ∂(ìI î )
∂ñ ∂ñ ∂(ñ I ó ) ∂ì ∂ î ïÜÉêÉ = ó ó ≠ M áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ íÜÉ íê~åë∂(ìI î ) ∂ ∂ ∂ì ∂ î Ñçêã~íáçåë (ñ I ó ) → (ìI î ) I ~åÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ o ïÜáÅÜ
262
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ñ = ñ (ìI î ) I ó = ó (ìI î ) áåíç íÜÉ ÇÉÑáåáíáçå çÑ oK 1088. mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
ñ = ê Åçë θ I ó = ê ëáå θ K
Figure 195.
1089. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
qÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇó Ñçê mçä~ê `ççêÇáå~íÉë áë ∂(ñ I ó ) ÇñÇó = ÇêÇθ = êÇêÇθ K ∂(êI θ) iÉí íÜÉ êÉÖáçå o áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW M ≤ Ö (θ) ≤ ê ≤ Ü(θ ) I α ≤ θ ≤ β I ïÜÉêÉ β − α ≤ Oπ K qÜÉå β Ü (θ )
∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K o
α Ö (θ )
263
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
Figure 196.
fÑ íÜÉ êÉÖáçå o áë íÜÉ éçä~ê êÉÅí~åÖäÉ ÖáîÉå Äó M ≤ ~ ≤ ê ≤ Ä I α ≤ θ ≤ β I ïÜÉêÉ β − α ≤ Oπ I íÜÉå β Ä
∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K o
α ~
Figure 197.
264
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1090. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå Ä Ñ ( ñ )
^=
∫ ∫ ÇóÇñ EÑçê ~ íóéÉ f êÉÖáçåFK ~ Ö ( ñ )
Figure 198. Ç è ( ó )
^=
∫ ∫ ÇñÇó EÑçê ~ íóéÉ ff êÉÖáçåFK Å é ( ó )
Figure 199.
265
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1091. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ
s=
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ K o
Figure 200.
fÑ o áë ~ íóéÉ f êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó ó = Ö (ñ ) I íÜÉå
= ~ I ñ = Ä I ó = Ü(ñ ) I
Ä Ö ( ñ )
s=
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇóÇñ K o
~ Ü ( ñ )
fÑ o áë ~ íóéÉ ff êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó ó = Å I ó = Ç I ñ = è( ó ) I ñ = é( ó ) I íÜÉå Ç è ( ó )
s=
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó K o
Å é ( ó )
266
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
fÑ Ñ (ñ I ó ) ≥ Ö (ñ I ó ) çîÉê ~ êÉÖáçå oI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉ çÑ íÜÉ ëçäáÇ ÄÉíïÉÉå òN = Ñ (ñ I ó ) ~åÇ ò O = Ö (ñ I ó ) çîÉê o áë ÖáîÉå Äó s = [Ñ (ñ I ó ) − Ö (ñ I ó )]Ç^ K
ïÜÉêÉ íÜÉ ä~ãáå~ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí EñIóF áë ρ(ñ I ó ) K 1095. jçãÉåíë
qÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáë áë ÖáîÉå Äó Ñçêãìä~ j ñ = ó ρ(ñ I ó )Ç^ K
∫∫ o
qÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ó -~ñáë áë j ó = ñ ρ(ñ I ó )Ç^ K
∫∫ o
qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáë áë f ñ = ó Oρ(ñ I ó )Ç^ K
∫∫ o
qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ó -~ñáë áë f ó = ñ Oρ(ñ I ó )Ç^ K
∫∫ o
qÜÉ éçä~ê ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ áë fM = (ñ O + ó O )ρ(ñ I ó )Ç^ K
∫∫ o
1096. `ÉåíÉê çÑ j~ëë
ñ=
j ó ã
ñ ρ(ñ I ó )Ç^ ∫∫ N I = ∫∫ ñ ρ(ñ I ó )Ç^ = ã ∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ o
o
o
268
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
ó =
j ñ ã
ó ρ(ñ I ó )Ç^ ∫∫ N K = ∫∫ ó ρ(ñ I ó )Ç^ = ã ∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^ o
o
o
1097. `Ü~êÖÉ çÑ ~ mä~íÉ
n=
∫∫ σ(ñ I ó )Ç^ I o
ïÜÉêÉ ÉäÉÅíêáÅ~ä ÅÜ~êÖÉ áë ÇáëíêáÄìíÉÇ çîÉê ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíë ÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí EñIóF áë σ(ñ I ó ) K 1098. ^îÉê~ÖÉ çÑ ~ cìåÅíáçå
N p
∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I ïÜÉêÉ p = ∫∫ Ç^ K µ=
o
o
9.11 Triple Integral cìåÅíáçåë çÑ íÜêÉÉ î~êá~ÄäÉëW Ñ (ñ I ó I ò ) I Ö(ñ I ó I ò ) I £ qêáéäÉ áåíÉÖê~äëW
∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs I ∫∫∫ Ö(ñ I ó I ò )Çs I £ d
ã
oáÉã~åå ëìãW
d
å
é
∑∑∑ Ñ (ì I î I ï )∆ñ ∆ ó ∆ò á
à
â
á =N à=N â =N
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW ∆ñ á I ∆ ó à I ∆ò â iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåW ~I ÄI ÅI ÇI êI ë oÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW dI qI p `óäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I ò péÜÉêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I ϕ sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s
269
á
à
â
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
j~ëë çÑ ~ ëçäáÇW ã aÉåëáíóW µ(ñ I ó I ò ) `ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW I ó I ò cáêëí ãçãÉåíëW j ñó I j óò I j ñò jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W fñó I f óò I fñò I f ñ I f ó I fò I fM
1099. aÉÑáåáíáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~ä
qÜÉ íêáéäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [~I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë ] áë ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ Ñ (ñ I ó I ò )Çs = ∫∫∫ ][ ][ ]
[~ I Ä × Å I Ç × ê I ë
ã
äáã
é
å
∑∑∑ Ñ (ì I î I ï )∆ñ ∆ ó ∆ò
ã~ñ ∆ñ á →M ã~ñ ∆ ó à →M á =N à=N â =N ã~ñ ∆ò â →M
á
à
â
á
à
â
I
ïÜÉêÉ ì á I î à I ï â áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ (ñ á −N I ñ á ) × ó à−N I ó à × (ò â −N I ò â ) I ~åÇ ∆ñ á = ñ á − ñ á −N I ∆ ó à = ó à − ó à−N I ∆ò â = ò â − ò â −N K 1100.
∫∫∫ [Ñ (ñ I ó I ò ) + Ö (ñ I ó I ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs + ∫∫∫ Ö (ñ I ó I ò )Çs d
1101.
d
∫∫∫ [Ñ (ñ I ó I ò ) − Ö (ñ I ó I ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs − ∫∫∫ Ö (ñ I ó I ò )Çs d
1102.
d
d
d
∫∫∫ âÑ (ñ I ó I ò )Çs = â ∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çs I d
d
ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK 1103. fÑ Ñ (ñ I ó I ò ) ≥ M ~åÇ d ~åÇ q ~êÉ åçåçîÉêä~ééáåÖ Ä~ëáÅ
fÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë (ñ I ó I ò ) ëìÅÜ íÜ~í (ñ I ó )∈ o I χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I íÜÉå
χ ( ñ I ó ) ∫∫∫d Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫∫o χ (∫ñ I ó Ñ )(ñ I ó I ò )Çò ÇñÇó I O
N
ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó -éä~åÉK fÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë (ñ I ó I ò ) ëìÅÜ íÜ~í ~ ≤ ñ ≤ ÄI ϕN (ñ ) ≤ ó ≤ ϕO (ñ )I χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I íÜÉå
ϕ ( ñ ) χ (ñ I ó ) Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫ ∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çò Çó Çñ ∫∫∫ ∫ χ ( ñ I ó ) d ~ ( ñ ) ϕ Ä
O
O
N
N
1105. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ
fÑ d áë ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [~ I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë] I íÜÉå
Ç ë Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫ ∫ ∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çò Çó Çñ K ∫∫∫ d ~ Å ê Ä
få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ Ñ (ñ I ó I ò ) Å~å ÄÉ ïêáííÉå ~ë Ö(ñ ) Ü( ó ) â (ò ) ïÉ Ü~îÉ
Ä Ç ë K ( ) ( ) ( ) ( ) Ñ ñ I ó I ò ÇñÇóÇò Ö ñ Çñ Ü ó Çó â ò Çò = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ d ~ Å ê 1106. `Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë
∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = d
= ∫∫∫ Ñ [ñ (ìI î I ï )I ó (ìI î I ï )I ò (ìI î I ï )] p
271
∂(ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇòI ∂(ìI î I ï )
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
∂ñ ∂ñ ∂ñ ∂ì ∂ î ∂ ï ∂(ñ I ó I ò ) ∂ ó ∂ ó ∂ ó ïÜÉêÉ = ≠ M áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ ∂(ìI î I ï ) ∂ì ∂ î ∂ ï ∂ò ∂ò ∂ò ∂ì ∂ î ∂ ï íÜÉ íê~åëÑçêã~íáçåë (ñ I ó I ò ) → (ìI î I ï ) I ~åÇ p áë íÜÉ éìää Ä~Åâ çÑ d ïÜáÅÜ Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ñ = ñ (ìI î I ï ) I ó = ó (ìI î I ï ) ò = ò (ìI î I ï ) áåíç íÜÉ ÇÉÑáåáíáçå çÑ dK 1107. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
qÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉë áë ∂(ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇò = ÇêÇθÇò = êÇêÇθÇò K ∂(êI θI ò ) iÉí íÜÉ ëçäáÇ d áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW (ñ I ó )∈ o I χN (ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O (ñ I ó ) I ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó -éä~åÉK qÜÉå Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θI ò )êÇêÇθÇò
∫∫∫
∫∫∫
d
p
χ (ê Åçë θIê ëáå θ ) Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θI ò )Çò êÇêÇθ K = ∫∫ ∫ o ( ê Iθ ) χ (ê Åçë θIê ëáå θ ) O
N
eÉêÉ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëK 1108. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
qÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë áë ∂(ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇò = ÇêÇθÇϕ = ê O ëáå θÇêÇθÇϕ ∂(êI θI ϕ)
∫∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = d
272
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
= ∫∫∫ Ñ (ê ëáå θ Åçë ϕI ê ëáå θ ëáå ϕI ê Åçë θ) ê O ëáå θÇêÇθÇϕ I p
ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ëéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëK qÜÉ ~åÖäÉ θ ê~åÖÉë Ñêçã M íç Oπ I íÜÉ ~åÖäÉ ϕ ê~åÖÉë Ñêçã M íç π K
Figure 202.
1109. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ
s=
∫∫∫ ÇñÇóÇò d
1110. sçäìãÉ áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
s=
êÇêÇθÇò ∫∫∫ ( )
p ê I θ Iò
1111. sçäìãÉ áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
s=
∫∫∫ ( )
ê O ëáå θÇêÇθÇϕ
p ê Iθ Iϕ
273
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1112. j~ëë çÑ ~ pçäáÇ
ã=
∫∫∫
µ(ñ I ó I ò )Çs I
d
ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå d ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí (ñ I ó I ò ) áë µ(ñ I ó I ò ) K 1113. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pçäáÇ
j óò
j ñó j ñò ñ = I ó = I ò= I ã ã ã ïÜÉêÉ j óò = ñ µ(ñ I ó I ò ) Çs I
∫∫∫ = ∫∫∫ ó µ(ñ I ó I ò ) Çs I = ∫∫∫ òµ(ñ I ó I ò ) Çs d
j ñò
d
j ñó
d
~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë = M I ó = M I ò = M I êÉëéÉÅíáîÉäóI µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK 1114. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó -éä~åÉ Eçê ò = M FI óò-éä~åÉ
E = M FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E ó = M F
∫∫∫ = ∫∫∫ ñ µ(ñ I ó I ò ) Çs I = ∫∫∫ ó µ(ñ I ó I ò ) Çs K
9.12 Line Integral pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW c(ñ I ó I ò ) I c(ñ I ó ) I Ñ (ñ ) pÅ~ä~ê éçíÉåíá~äW ì(ñ I ó I ò ) `ìêîÉëW `I `N I ` O iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI α I β m~ê~ãÉíÉêëW íI ë mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ r sÉÅíçê ÑáÉäÇW c (mI nI o ) r mçëáíáçå îÉÅíçêW ê (ë ) r
r
r
r
råáí îÉÅíçêëW á I à I â I τ ^êÉ~ çÑ êÉÖáçåW p iÉåÖíÜ çÑ ~ ÅìêîÉW i j~ëë çÑ ~ ïáêÉW ã aÉåëáíóW ρ(ñ I ó I ò ) I ρ(ñ I ó ) `ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW I ó I ò cáêëí ãçãÉåíëW j ñó I j óò I j ñò jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W fñ I f ó I fò sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s tçêâW t r j~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇW _ `ìêêÉåíW f bäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉW ε j~ÖåÉíáÅ ÑäìñW ψ
275
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1117. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå
r
r
iÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ê = ê (ë ) I M ≤ ë ≤ p I ~åÇ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå c áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `K qÜÉå p
r
∫ c(ê (ë ))Çë = ∫ c(ñ I ó I ò )Çë = ∫ cÇë I M
`
`
ïÜÉêÉ Çë áë íÜÉ ~êÅ äÉåÖíÜ ÇáÑÑÉêÉåíá~äK
∫ c Çë = ∫ c Çë + ∫ c Çë
1118.
`N ∪` O
`N
`O
Figure 203. r
r
1119. fÑ íÜÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó ê = ê (í ) I
α ≤ í ≤ β I íÜÉå
∫
β
∫
c(ñ I ó I ò )Çë = c(ñ (í )I ó (í )I ò (í )) (ñ ′(í ))O + ( ó ′(í ))O + (ò′(í ))O Çí K α
Çê Çθ I O ( ) ( ) c ñ I ó Çë c ê Åçë I ê ëáå ê = θ θ + ∫` ∫α Çθ ïÜÉêÉ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ éçä~ê ÑìåÅíáçå êEθF K 1122. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ sÉÅíçê cáÉäÇ
r
r
iÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ê = ê (ë ) I M ≤ ë ≤ p K qÜÉå r Çê r = τ = (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) Çë áë íÜÉ ìåáí îÉÅíçê çÑ íÜÉ í~åÖÉåí äáåÉ íç íÜáë ÅìêîÉK
Figure 204. r
iÉí ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c (mI nI o ) áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `K r
qÜÉå íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c ~äçåÖ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë p
∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çë K `
M
277
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1123. mêçéÉêíáÉë çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë çÑ sÉÅíçê cáÉäÇë r
r
r
r
∫ (c ⋅ Çê ) = −∫ (c ⋅ Çê ) I
−`
`
ïÜÉêÉ -` ÇÉåçíÉ íÜÉ ÅìêîÉ ïáíÜ íÜÉ çééçëáíÉ çêáÉåí~íáçåK r
1124. fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò(í ) I
α ≤ í ≤ β I íÜÉå ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = `
β
Çó Çñ Çò ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) m ñ í I ó í I ò í n ñ í I ó í I ò í o ñ í I ó í I ò í = ∫ + + Çí Çí Çí Çí α 1125. fÑ ` äáÉë áå íÜÉ ñó -éä~åÉ ~åÇ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ó = Ñ (ñ ) I
íÜÉå
∫
Ä
∫~
mÇñ + nÇó = m(ñ I Ñ (ñ )) + n(ñ I Ñ (ñ ))
`
ÇÑ Çñ K Çñ
1126. dêÉÉå ë qÜÉçêÉã ∞
∂n ∂m ∫∫o ∂ñ − ∂ ó ÇñÇó = ∫` mÇñ + nÇó I r r r ïÜÉêÉ c = m(ñ I ó )á + n(ñ I ó ) à áë ~ Åçåíáåìçìë îÉÅíçê ÑìåÅ∂m ∂n íáçå ïáíÜ Åçåíáåìçìë Ñáêëí é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉë I áå ~ ∂ ó ∂ ëçãÉ Ççã~áå oI ïÜáÅÜ áë ÄçìåÇÉÇ Äó ~ ÅäçëÉÇI éáÉÅÉïáëÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ `K
278
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1127. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå o _çìåÇÉÇ Äó íÜÉ `ìêîÉ `
p=
∫∫
ÇñÇó =
o
N ñÇó − óÇñ O`
∫
1128. m~íÜ fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë
r
r
r
r
qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå c = m á + n à + o â áë ë~áÇ íç ÄÉ é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåíI áÑ ~åÇ çåäó áÑ mI nI ~åÇ o ~êÉ Åçåíáåìçìë áå ~ Ççã~áå aI ~åÇ áÑ íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå ì = ì(ñ I ó I ò ) E~ ëÅ~ä~ê éçíÉåíá~äF áå a ëìÅÜ íÜ~í r ∂ì ∂ì ∂ì c = Öê~Ç ì I çê =mI =nI = o K ∂ ∂ ó ∂ò qÜÉå r r r c(ê ) ⋅ Ç ê = mÇñ + nÇó + oÇò = ì(_ ) − ì(^ ) K
∫
∫
`
`
1129. qÉëí Ñçê ~ `çåëÉêî~íáîÉ cáÉäÇ r
^ îÉÅíçê ÑáÉäÇ çÑ íÜÉ Ñçêã c = Öê~Ç ì áë Å~ääÉÇ ~ ÅçåëÉêî~íáîÉ r
r
r
r
ÑáÉäÇK qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå c = m á + n à + o â áë é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåí áÑ ~åÇ çåäó áÑ r
9.13 Surface Integral pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW Ñ (ñ I ó I ò ) I ò(ñ I ó ) r r mçëáíáçå îÉÅíçêëW ê (ìI î ) I ê (ñ I ó I ò ) r
r
r
råáí îÉÅíçêëW á I à I â pìêÑ~ÅÉW p r sÉÅíçê ÑáÉäÇW c (mI nI o )
r
r
aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Çáî c = ∇ ⋅ c
285
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
r
r
`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Åìêä c = ∇ × c r
sÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW Çp r kçêã~ä íç ëìêÑ~ÅÉW å pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ^ j~ëë çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW ã aÉåëáíóW µ(ñ I ó I ò ) `ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW I ó I ò cáêëí ãçãÉåíëW j ñó I j óò I j ñò jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W fñó I f óò I fñò I f ñ I f ó I fò sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s r cçêÅÉW c dê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíW d r r cäìáÇ îÉäçÅáíóW î (ê ) cäìáÇ ÇÉåëáíóW ρ r mêÉëëìêÉW é(ê ) j~ëë ÑäìñI ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñW Φ pìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉW n `Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW σ(ñ I ó ) r
iÉí ~ ëìêÑ~ÅÉ p ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê r r r r ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I ïÜÉêÉ (ìI î ) ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå a(ìI î ) çÑ íÜÉ ìî- éä~åÉK qÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå Ñ (ñ I ó I ò ) çîÉê íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÇÉÑáåÉÇ ~ë r r ∂ê ∂ ê Ñ (ñ I ó I ò )Çp = Ñ (ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) × ÇìÇî I ∂ì ∂ î p a (ì I î )
r r ∂ ó r ∂ê ∂ñ ∂ò = (ìI î )á + (ìI î ) à + (ìI î )â I ∂ìr ∂ì ∂ì ∂ì r r ∂ ó r ∂ò ∂ê ∂ñ = (ìI î )á + (ìI î ) à + (ìI î )â ∂ î ∂ î ∂ î ∂ î r r ∂ê ∂ ê ~åÇ × áë íÜÉ Åêçëë éêçÇìÅíK ∂ì ∂ î
1141. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ò = ò (ñ I ó ) ïÜÉêÉ
ò (ñ I ó ) áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå a(ñ I ó ) I íÜÉå
∫∫ Ñ (ñ I ó I ò )Çp = p
O
O
∂ò ∂ò ( ( ) ) + Ñ ñ I ó I ò ñ I ó N + ÇñÇó K ∫∫ ∂ñ ∂ ó a( ñ I ó ) r
1142. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ sÉÅíçê cáÉäÇ c çîÉê íÜÉ pìêÑ~ÅÉ p
fÑ p áë çêáÉåíÉÇ çìíï~êÇI íÜÉå r r r r ( ) ( ) c ñ I ó I ò ⋅ Çp = c ñ I ó I ò ⋅ åÇp
•
∫∫
∫∫
p
p
r
r
r
r
∂ê ∂ê = ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅ × ÇìÇî K ∂ì ∂ î a( ì I î ) r
fÑ p áë çêáÉåíÉÇ áåï~êÇI íÜÉå r r r r c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp
•
∫∫
∫∫
p
p
∂ê ∂ê = ∫∫ c(ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅ × ÇìÇî K ∂ î ∂ì a( ì I î ) r
r r ∂ ó r ∂ê ∂ñ ∂ò = (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â I ∂ìr ∂ì ∂ì ∂ì r r ∂ ó r ∂ò ∂ê ∂ñ = (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î ) ⋅ â K ∂ î ∂ î ∂ î ∂ î
1143. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ò = ò (ñ I ó ) I ïÜÉêÉ
ò(ñ I ó ) áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå a(ñ I ó ) I íÜÉå • fÑ p áë çêáÉåíÉÇ ìéï~êÇI áKÉK íÜÉ â -íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉ åçêã~ä îÉÅíçê áë éçëáíáîÉI íÜÉå r r r r c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp
∫∫
∫∫
p
p
∂ò r ∂ò r r = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ − á − à + â ÇñÇó I ∂ñ ∂ ó a( ñ I ó ) r
fÑ p áë çêáÉåíÉÇ Ççïåï~êÇI áKÉK íÜÉ â -íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉ åçêã~ä îÉÅíçê áë åÉÖ~íáîÉI íÜÉå r r r r c(ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = c(ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp
•
∫∫
∫∫
p
p
∂ò r ∂ò r r = ∫∫ c(ñ I ó I ò ) ⋅ á + à − â ÇñÇó K ∂ñ ∂ ó a( ñ I ó ) r
1144.
r r
∫∫ (c ⋅ å)Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó = ∫∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çp I p
p
p
ïÜÉêÉ m(ñ I ó I ò ) I n(ñ I ó I ò ) I o(ñ I ó I ò ) ~êÉ íÜÉ ÅçãéçåÉåíë çÑ r
íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c K Åçë α I Åçë β I Åçë γ ~êÉ íÜÉ ~åÖäÉë ÄÉíïÉÉå íÜÉ çìíÉê ìåáí r åçêã~ä îÉÅíçê å ~åÇ íÜÉ ñ -~ñáëI ó -~ñáëI ~åÇ ò-~ñáëI êÉëéÉÅíáîÉäóK
288
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1145. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã Äó íÜÉ îÉÅíçê r
ê (ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) I íÜÉå íÜÉ ä~ííÉê Ñçêãìä~ Å~å ÄÉ ïêáííÉå ~ë
m n r r (c ⋅ å)Çp = mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó = ∂ñ ∂ ó ∂ì ∂ì p p a(ì I î ) ∂ñ ∂ ó ∂ î ∂ î ïÜÉêÉ (ìI î ) ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå a(ìI î ) çÑ íÜÉ éä~åÉK
∫∫
∫∫
∫∫
o ∂ò ÇìÇî I ∂ì ∂ò ∂ î ìî -
1146. aáîÉêÖÉåÅÉ qÜÉçêÉã r
r
r
∫∫ c ⋅ Çp = ∫∫∫ (∇ ⋅ c)Çs I p
d
ïÜÉêÉ r c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o (ñ I ó I ò ) áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉ Åçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI r ∂m ∂n ∂o ∇⋅c = + + ∂ñ ∂ ó ∂ò r
r
áë íÜÉ ÇáîÉêÖÉåÅÉ çÑ c I ~äëç ÇÉåçíÉÇ Çáî c K qÜÉ ëóãÄçä áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê ~ ÅäçëÉÇ
∂m ∂n ∂o + + ÇñÇóÇò K ∫∫p mÇóÇò + nÇñÇò + oÇñÇó = ∫∫∫ ∂ñ ∂ ó ∂ò d 1148. píçâÉ ë qÜÉçêÉã r
∞
r
r
r
∫ c ⋅ Çê = ∫∫ (∇ × c)⋅ Çp I `
p
289
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
ïÜÉêÉ r c(ñ I ó I ò ) = m(ñ I ó I ò )I n(ñ I ó I ò )I o (ñ I ó I ò ) áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉ Åçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI r
r
r
á
à
â
m
n
o
∂ ∂ ∂ ∂o ∂n r ∂m ∂o r ∂n ∂m r ∇×c= = − á + − à + − â ∂ñ ∂ñ ∂ñ ∂ ó ∂ò ∂ò ∂ñ ∂ñ ∂ ó r
r
r
áë íÜÉ Åìêä çÑ c I ~äëç ÇÉåçíÉÇ Åìêä c K qÜÉ ëóãÄçä
1151. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê r
r
r
r
ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I íÜÉå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~ áë r r ∂ê ∂ê × ÇìÇî I ^= ∂ì ∂ î a(ì I î )
∫∫
r
ïÜÉêÉ a(ìI î ) áë íÜÉ Ççã~áå ïÜÉêÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ê (ìI î ) áë ÇÉÑáåÉÇK
290
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
1152. fÑ p áë ÖáîÉå ÉñéäáÅáíäó Äó íÜÉ ÑìåÅíáçå ò (ñ I ó ) I íÜÉå íÜÉ ëìê-
Ñ~ÅÉ ~êÉ~ áë O
O
∂ò ∂ò + ÇñÇó I ∫∫ ∂ñ ∂ ó a ( ñ I ó ) ïÜÉêÉ a(ñ I ó ) áë íÜÉ éêçàÉÅíáçå çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p çåíç íÜÉ ñó ^=
N+
éä~åÉK 1153. j~ëë çÑ ~ pìêÑ~ÅÉ
ã=
∫∫ µ(ñ I ó I ò )Çp I p
ïÜÉêÉ µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí ~êÉ~ EÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåFK 1154. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pÜÉää
j óò
j ñó j ñò ñ = I ó = I ò= I ã ã ã ïÜÉêÉ j óò = ñ µ(ñ I ó I ò )Çp I
∫∫ = ∫∫ ó µ(ñ I ó I ò )Çp I = ∫∫ òµ(ñ I ó I ò )Çp p
j ñò
p
j ñó
p
~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë = M I ó = M I ò = M I êÉëéÉÅíáîÉäóK µ(ñ I ó I ò ) áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK 1155. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó -éä~åÉ Eçê ò = M FI óò-éä~åÉ
ïÜÉêÉ σ(ñ I ó ) áë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíóK 1163. d~ìëë i~ï ∞
qÜÉ ÉäÉÅíêáÅ Ñäìñ íÜêçìÖÜ ~åó ÅäçëÉÇ ëìêÑ~ÅÉ áë éêçéçêíáçå~ä íç íÜÉ ÅÜ~êÖÉ n ÉåÅäçëÉÇ Äó íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ r r n Φ = b ⋅ Çp = I
∫∫ p
εM
ïÜÉêÉ Φ áë íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñI r b áë íÜÉ ã~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇ ëíêÉåÖíÜI c ε M = UIUR × NM −NO áë éÉêãáííáîáíó çÑ ÑêÉÉ ëé~ÅÉK ã
293
Chapter 10
Differential Equations
cìåÅíáçåë çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉW óI éI èI ìI ÖI ÜI dI eI êI ò ^êÖìãÉåíë EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëFW ñI ó cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW Ñ (ñ I ó ) I j(ñ I ó ) I k(ñ I ó ) Çó & I cáêëí çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉW ó ′ I ì′ I ó I£ Çí Ç Of pÉÅçåÇ çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉëW ó ′′ I &ó & I O I £ Çí ∂ì ∂ Oì m~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëW I O I£ ∂í ∂ k~íìê~ä åìãÄÉêW å m~êíáÅìä~ê ëçäìíáçåëW ó N I ó é oÉ~ä åìãÄÉêëW âI íI `I `N I ` OI éI èI α I β oççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåëW λN I λ O qáãÉW í qÉãéÉê~íìêÉW qI p mçéìä~íáçå ÑìåÅíáçåW m(í ) j~ëë çÑ ~å çÄàÉÅíW ã píáÑÑåÉëë çÑ ~ ëéêáåÖW â aáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãW ó ^ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW ^ cêÉèìÉåÅóW ω a~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíW γ mÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW δ ^åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíW θ mÉåÇìäìã äÉåÖíÜW i
294
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
^ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóW Ö `ìêêÉåíW f oÉëáëí~åÅÉW o fåÇìÅí~åÅÉW i `~é~Åáí~åÅÉW `
10.1 First Order Ordinary Differential Equations 1164. iáåÉ~ê bèì~íáçåë
Çó + é(ñ ) ó = è(ñ ) K Çñ qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ì(ñ )è (ñ )Çñ + ` ó = I ì(ñ ) ïÜÉêÉ ì(ñ ) = Éñé é(ñ )Çñ K
∫
∫
1165. pÉé~ê~ÄäÉ bèì~íáçåë
Çó = Ñ (ñ I ó ) = Ö (ñ )Ü( ó ) Çñ qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó Çó = Ö (ñ )Çñ + ` I Ü( ó ) çê e( ó ) = d(ñ ) + ` K
∫
∫
295
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1166. eçãçÖÉåÉçìë bèì~íáçåë
Çó qÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå = Ñ (ñ I ó ) áë ÜçãçÖÉåÉçìëI áÑ Çñ íÜÉ ÑìåÅíáçå Ñ (ñ I ó ) áë ÜçãçÖÉåÉçìëI íÜ~í áë Ñ (íñ I íó ) = Ñ (ñ I ó ) K qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå ò =
ó
EíÜÉå ó = òñ F äÉ~Çë íç íÜÉ ëÉé~ê~ÄäÉ
Éèì~íáçå Çò ñ + ò = Ñ (NI ò ) K Çñ 1167. _Éêåçìääá bèì~íáçå
Çó + é(ñ ) ó = è(ñ ) ó å K Çñ qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå ò = ó N− å äÉ~Çë íç íÜÉ äáåÉ~ê Éèì~íáçå Çò + (N − å )é(ñ ) ò = (N − å )è(ñ ) K Çñ 1168. oáÅÅ~íá bèì~íáçå
Çó = é(ñ ) + è(ñ ) ó + ê (ñ ) ó O Çñ fÑ ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå ó N áë âåçïåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå Å~å ÄÉ çÄí~áåÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÜÉäé çÑ ëìÄëíáíìíáçå N ò= I ïÜáÅÜ äÉ~Çë íç íÜÉ Ñáêëí çêÇÉê äáåÉ~ê Éèì~íáçå ó − ó N Çò = −[è(ñ ) + O ó Nê(ñ )] ò − ê(ñ ) K Çñ
296
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1169. bñ~Åí ~åÇ kçåÉñ~Åí bèì~íáçåë
qÜÉ Éèì~íáçå j(ñ I ó )Çñ + k(ñ I ó )Çó = M áë Å~ääÉÇ Éñ~Åí áÑ ∂j ∂k = I ∂ ó ∂ñ ~åÇ åçåÉñ~Åí çíÜÉêïáëÉK qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë j(ñ I ó )Çñ + k(ñ I ó )Çó = ` K
∫
∫
1170. o~Çáç~ÅíáîÉ aÉÅ~ó
Çó = −âó I Çí ïÜÉêÉ ó (í ) áë íÜÉ ~ãçìåí çÑ ê~Çáç~ÅíáîÉ ÉäÉãÉåí ~í íáãÉ íI â áë íÜÉ ê~íÉ çÑ ÇÉÅ~óK qÜÉ ëçäìíáçå áë ó (í ) = ó M É − âí I ïÜÉêÉ ó M = ó (M ) áë íÜÉ áåáíá~ä ~ãçìåíK 1171. kÉïíçå ë i~ï çÑ `ççäáåÖ ∞
Çq = −â (q − p) I Çí ïÜÉêÉ q(í ) áë íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ çÑ ~å çÄàÉÅí ~í íáãÉ íI p áë íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ ëìêêçìåÇáåÖ ÉåîáêçåãÉåíI â áë ~ éçëáíáîÉ Åçåëí~åíK qÜÉ ëçäìíáçå áë q(í ) = p + (qM − p) É − âí I ïÜÉêÉ qM = q(M) áë íÜÉ áåáíá~ä íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ çÄàÉÅí ~í íáãÉ í = M K
297
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1172. mçéìä~íáçå aóå~ãáÅë EiçÖáëíáÅ jçÇÉäF
Çm m N = âm − I Çí j ïÜÉêÉ m(í ) áë éçéìä~íáçå ~í íáãÉ íI â áë ~ éçëáíáîÉ Åçåëí~åíI j áë ~ äáãáíáåÖ ëáòÉ Ñçê íÜÉ éçéìä~íáçåK qÜÉ ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå áë jmM m(í ) = I ïÜÉêÉ mM = m(M ) áë íÜÉ áåáíá~ä éçéì− âí mM + (j − mM )É ä~íáçå ~í íáãÉ í = M K
10.2 Second Order Ordinary Differential Equations 1173. eçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí `çÉÑÑáÅáÉåíë
ó ′′ + é ó ′ + èó = M K qÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå áë λO + éλ + è = M K
fÑ λN ~åÇ λ O ~êÉ ÇáëíáåÅí êÉ~ä êççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ó = `NÉ λNñ + ` OÉ λ Oñ I ïÜÉêÉ `N ~åÇ ` O ~êÉ áåíÉÖê~íáçå Åçåëí~åíëK é fÑ λN = λ O = − I íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë O ó = (`N + ` O ñ )É
é O
− ñ
K
fÑ λN ~åÇ λ O ~êÉ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêëW
298
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
λN = α + βá I λ O = α − βá I ïÜÉêÉ Qè − é O é α=− I β= I O O íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ó = É αñ (`N Åçë β ñ + ` O ëáå βñ ) K 1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí
`çÉÑÑáÅáÉåíë ó ′′ + é ó ′ + èó = Ñ (ñ ) K qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó ó = ó é + ó Ü I ïÜÉêÉ ó é áë ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå çÑ íÜÉ áåÜçãçÖÉåÉçìë Éèì~íáçå ~åÇ ó Ü áë íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ~ëëçÅá~íÉÇ ÜçãçÖÉåÉçìë Éèì~íáçå EëÉÉ íÜÉ éêÉîáçìë íçéáÅ NNTPFK fÑ íÜÉ êáÖÜí ëáÇÉ Ü~ë íÜÉ Ñçêã Ñ (ñ ) = É αñ (mN (ñ )Åçë βñ + mN (ñ )ëáå βñ ) I íÜÉå íÜÉ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå ó é áë ÖáîÉå Äó ó é = ñ â É αñ (o N (ñ )Åçë βñ + o O (ñ )ëáå β ñ ) I
ïÜÉêÉ íÜÉ éçäóåçãá~äë o N (ñ ) ~åÇ o O (ñ ) Ü~îÉ íç ÄÉ ÑçìåÇ Äó ìëáåÖ íÜÉ ãÉíÜçÇ çÑ ìåÇÉíÉêãáåÉÇ ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK • fÑ α + βá áë åçí ~ êççí çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåI íÜÉå íÜÉ éçïÉê â = M I • fÑ α + β á áë ~ ëáãéäÉ êççíI íÜÉå â = N I • fÑ α + βá áë ~ ÇçìÄäÉ êççíI íÜÉå â = O K 1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ó jáëëáåÖ
ó ′′ = Ñ (ñ I ó ′) K pÉí ì = ó ′ K qÜÉå íÜÉ åÉï Éèì~íáçå ë~íáëÑáÉÇ Äó î áë ì′ = Ñ (ñ I ì ) I ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK
299
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ñ jáëëáåÖ
ó ′′ = Ñ ( ó I ó ′ ) K pÉí ì = ó ′ K páåÅÉ Çì Çì Çó Çì ′ ′ ó = = =ì I Çñ Çó Çñ Çó ïÉ Ü~îÉ Çì ì = Ñ ( ó I ì ) I Çó ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK
1177. cêÉÉ råÇ~ãéÉÇ sáÄê~íáçåë
qÜÉ ãçíáçå çÑ ~ j~ëë çå ~ péêáåÖ áë ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ Éèì~íáçå && + âó = M I ã ó ïÜÉêÉ ã áë íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ çÄàÉÅíI â áë íÜÉ ëíáÑÑåÉëë çÑ íÜÉ ëéêáåÖI ó áë Çáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãK qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ó = ^ Åçë(ωM í − δ ) I ïÜÉêÉ ^ áë íÜÉ ~ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíI
&& + γ ó & + âó = M I ïÜÉêÉ ã ó γ áë íÜÉ Ç~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíK qÜÉêÉ ~êÉ P Å~ëÉë Ñçê íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçåW
300
Oπ
ωM
I
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
`~ëÉ NK γ O > Q âã EçîÉêÇ~ãéÉÇF ó (í ) = ^É λNí + _É λ Oí I ïÜÉêÉ
λN =
− γ − γ O − Qâã Oã
I λO =
− γ + γ O − Qâã Oã
K
`~ëÉ OK γ O = Qâã EÅêáíáÅ~ääó Ç~ãéÉÇF ó (í ) = (^ + _í )É λí I ïÜÉêÉ
λ=−
γ
Oã
K
`~ëÉ PK γ O < Q âã EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF ó (í ) = É
−
γ Oã
í
^ Åçë(ωí − δ ) I ïÜÉêÉ
ω = Qâã − γ O K 1179. páãéäÉ mÉåÇìäìã
Ç Oθ Ö + θ=MI O Çí i ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíI i áë íÜÉ éÉåÇìäìã äÉåÖíÜI Ö áë íÜÉ ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóK qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå Ñçê ëã~ää ~åÖäÉë θ áë Ö i θ(í ) = θã~ñ ëáå í I íÜÉ éÉêáçÇ áë q = Oπ K i Ö 1180. oi` `áêÅìáí
Ç Of Çf N i O + o + f = s′(í ) = ωb M Åçë(ωí ) I Çí Çí `
301
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
ïÜÉêÉ f áë íÜÉ ÅìêêÉåí áå ~å oi` ÅáêÅìáí ïáíÜ ~å ~Å îçäí~ÖÉ ëçìêÅÉ s(í ) = b M ëáå(ωí ) K qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë f(í ) = `NÉ êNí + ` OÉ êOí + ^ ëáå(ωí − ϕ) I ïÜÉêÉ Qi − o ± o O − ` I ê NI O = Oi ωb M ^= I O iωO − N + o OωO ` iω N ϕ = ~êÅí~å − I o o`ω `N I ` O ~êÉ Åçåëí~åíë ÇÉéÉåÇáåÖ çå áåáíá~ä ÅçåÇáíáçåëK
10.3. Some Partial Differential Equations 1181. qÜÉ i~éä~ÅÉ bèì~íáçå
∂ Oì ∂ Oì + O =M O ∂ñ ∂ ó ~ééäáÉë íç éçíÉåíá~ä ÉåÉêÖó ÑìåÅíáçå ì(ñ I ó ) Ñçê ~ ÅçåëÉê î~íáîÉ ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ áå íÜÉ ñó -éä~åÉK m~êíá~ä ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ ÉääáéíáÅK 1182. qÜÉ eÉ~í bèì~íáçå
∂ Oì ∂ Oì ∂ O ì + O= O O ∂ñ ∂ ó ∂í ~ééäáÉë íç íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåí ì(ñ I ó ) çÑ îáÄê~íáåÖ ãÉãÄê~åÉë ~åÇ çíÜÉê ï~îÉ ÑìåÅíáçåëK qÜÉ Éèì~íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ ÜóéÉêÄçäáÅK
303
Chapter 11
Series
11.1 Arithmetic Series fåáíá~ä íÉêãW ~N kíÜ íÉêãW ~ å aáÑÑÉêÉåÅÉ ÄÉíïÉÉå ëìÅÅÉëëáîÉ íÉêãëW Ç kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å pìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW på 1184. ~ å
= ~ å−N + Ç = ~ å−O + OÇ = K = ~N + (å − N)Ç
1185. ~N + ~ å 1186. ~ á
=
= ~ O + ~ å−N = K = ~ á + ~ å+N−á
~ á −N + ~ á +N O
~N + ~ å O~ N + (å − N)Ç 1187. p å = ⋅å = ⋅å O O
304
CHAPTER 11. SERIES
11.2 Geometric Series fåáíá~ä íÉêãW ~N kíÜ íÉêãW ~ å `çããçå ê~íáçW è kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å pìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW på pìã íç áåÑáåáíóW p
1188. ~ å
= è~ å−N = ~Nè å−N
1189. ~N ⋅ ~ å 1190. ~ á
= ~ O ⋅ ~ å−N = K = ~ á ⋅ ~ å+N−á
= ~ á −N ⋅ ~ á +N
~ å è − ~N ~N (è å − N) = 1191. p å = è −N è −N ~N 1192. p = äáã på = å →∞ N− è cçê è < N I íÜÉ ëìã p ÅçåîÉêÖÉë ~ë å → ∞ K
11.3 Some Finite Series kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å
305
CHAPTER 11. SERIES
å(å + N) 1193. N + O + P + K + å = O 1194. O + Q + S + K + Oå = å(å + N) 1195. N + P + R + K + (Oå − N) = å O 1196. â + (â + N) + (â + O) + K + (â + å − N) =
å(Oâ + å − N) O
å(å + N)(Oå + N) 1197. N + O + P + K + å = S O
O
O
O
å(å + N) 1198. NP + OP + PP + K + åP = O
O
å(Qå O − N) 1199. N + P + R + K + (Oå − N) = P O
O
O
O
P
1200. NP + PP + RP + K + (Oå − N)
= å O (Oå O − N)
N N N N 1201. N + + + + K + å + K = O O Q U O 1202.
N N N N + + +K+ +K =N N⋅ O O ⋅ P P ⋅ Q å(å + N)
N N N N 1203. N + + + + K + +K = É (å − N)> N> O> P>
306
CHAPTER 11. SERIES
11.4 Infinite Series pÉèìÉåÅÉW {~ å } cáêëí íÉêãW ~N kíÜ íÉêãW ~ å 1204. fåÑáåáíÉ pÉêáÉë ∞
∑~
å
= ~N + ~ O + K + ~ å + K
å =N
1205. kíÜ m~êíá~ä pìã
på =
å
∑~
å
= ~N + ~ O + K + ~ å
å =N
1206. `çåîÉêÖÉåÅÉ çÑ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë ∞
∑ ~ = i I áÑ äáã p å
å →∞
å =N
å
=i
1207. kíÜ qÉêã qÉëí ∞
•
fÑ íÜÉ ëÉêáÉë
∑~ å =N
•
å
áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå äáã ~ å = M K å →∞
fÑ äáã ~ å ≠ M I íÜÉå íÜÉ ëÉêáÉë áë ÇáîÉêÖÉåíK å→∞
∞ ∞ ~å fÑ M < äáã < ∞ íÜÉå ~ å ~åÇ Äå ~êÉ ÉáíÜÉê ÄçíÜ å →∞ Ä å =N å =N å ÅçåîÉêÖÉåí çê ÄçíÜ ÇáîÉêÖÉåíK ∞ ∞ ~å fÑ äáã = M íÜÉå Äå ÅçåîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ~ å áë å →∞ Ä å =N å =N å ~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK
∑
∑
308
∑
∑
CHAPTER 11. SERIES
~ fÑ äáã å = ∞ íÜÉå å →∞ Ä å ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK
•
∞
∑ Ä å =N
∞
å
ÇáîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í
∑~ å =N
å
áë
1212. é-ëÉêáÉë ∞
N é-ëÉêáÉë ÅçåîÉêÖÉë Ñçê é > N ~åÇ ÇáîÉêÖÉë Ñçê é å =N å M < é ≤NK
∑ Ñ (å) = Ñ (N) + Ñ (O) + Ñ (P) + K + Ñ (å ) + K å =N
∞
∫
ÅçåîÉêÖÉë áÑ Ñ (ñ )Çñ ÅçåîÉêÖÉëI ~åÇ ÇáîÉêÖÉë áÑ N
å
∫ Ñ (ñ )Çñ → ∞ ~ë å → ∞ K N
1214. qÜÉ o~íáç qÉëí ∞
iÉí
∑~
å
ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK
å =N
•
•
•
∞ ~ å+N fÑ äáã < N íÜÉå ~ å áë ÅçåîÉêÖÉåíK å →∞ ~ å =N å ∞ ~ å+N fÑ äáã > N íÜÉå ~ å áë ÇáîÉêÖÉåíK å →∞ ~ å =N å ∞ ~ å+N = N íÜÉå ~ å ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉ ~åÇ fÑ äáã å →∞ ~ å =N å íÜÉ ê~íáç íÉëí áë áåÅçåÅäìëáîÉX ëçãÉ çíÜÉê íÉëíë ãìëí ÄÉ ìëÉÇK
~ å (ñ − ñ M ) áë ÅçåîÉêÖÉåí áë Å~ääÉÇ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ
å =M
ÅçåîÉêÖÉåÅÉK
311
CHAPTER 11. SERIES
1222. o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉ
fÑ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉ áë (ñ M − o I ñ M + o ) Ñçê ëçãÉ o ≥ M I íÜÉ o áë Å~ääÉÇ íÜÉ ê~Çáìë çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉK fí áë ÖáîÉå ~ë N ~å çê o = äáã K o = äáã å →∞ å ~ å →∞ ~ å +N å
11.9 Differentiation and Integration of Power Series `çåíáåìçìë ÑìåÅíáçåW Ñ (ñ ) ∞
mçïÉê ëÉêáÉëW
∑ ~ ñ
å
å
å=M
tÜçäÉ åìãÄÉêW å o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o 1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë
iÉí Ñ (ñ ) =
∞
∑
~ å ñ å = ~ M + ~Nñ + ~ O ñ O + K Ñçê ñ < o K
å=M
qÜÉåI Ñçê ñ < o I Ñ (ñ ) áë ÅçåíáåìçìëI íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ Ñ ′(ñ ) Éñáëíë ~åÇ Ç Ç Ç ′ Ñ (ñ ) = ~ M + ~Nñ + ~ O ñ O + K Çñ Çñ Çñ ∞
= ~N + O~ O ñ + P~ P ñ + K = ∑ å~ å ñ å−N K O
å =N
312
CHAPTER 11. SERIES
1224. fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë
iÉí Ñ (ñ ) =
∞
∑ ~ ñ = ~ å
å
M
+ ~Nñ + ~ O ñ O + K Ñçê ñ < o K
å=M
∫
qÜÉåI Ñçê ñ < o I íÜÉ áåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä Ñ (ñ )Çñ Éñáëíë ~åÇ
∫
∫
∫
∫
Ñ (ñ )Çñ = ~ M Çñ + ~NñÇñ + ~ O ñ OÇñ + K ∞ ñ O ñ P ñ å+N = ~ M ñ + ~N + ~ O + K = ~ å +`K O P å +N å =M
∑
11.10 Taylor and Maclaurin Series tÜçäÉ åìãÄÉêW å aáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW Ñ (ñ ) oÉã~áåÇÉê íÉêãW o å 1225. q~óäçê pÉêáÉë
(− N)å ñ å+N ñ O ñ P ñ Q 1230. äå(N + ñ ) = ñ − + − +K+ ±KI −N< ≤ NK O P Q å +N N + ñ ñ P ñ R ñ T = O ñ + + + + K I ñ < N K 1231. äå N − ñ P R T
ñ − N N ñ − N P N ñ − N R 1232. äå ñ = O + + K I > M K ñ + N P ñ + N R ñ + N
(− N) ñ Oå ñ O ñ Q ñ S + − +K+ ±K 1233. Åçë ñ = N − (Oå)> O> Q> S> å
314
CHAPTER 11. SERIES
(− N) ñ Oå+N ñ P ñ R ñ T + − +K+ ±K 1234. ëáå ñ = ñ − (Oå + N)> P> R> T> å
ñ P Oñ R NT ñ T SOñ V π 1235. í~å ñ = ñ + + + + + K I ñ < K P NR PNR OUPR O
N ñ ñ P Oñ R Oñ T + + + K I ñ < π K 1236. Åçí ñ = − + ñ P QR VQR QTOR ñ P N ⋅ Pñ R N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå +N + +K+ +KI 1237. ~êÅëáå ñ = ñ + O⋅P O⋅Q ⋅R O ⋅ Q ⋅ S K (Oå )(Oå + N) ñ < N K
π ñ P N ⋅ Pñ R N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N)ñ Oå+N + +K+ + KI 1238. ~êÅÅçë ñ = − ñ + O O ⋅ P O ⋅ Q ⋅ R O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N) ñ < N K
(− N)å ñ Oå+N ñ P ñ R ñ T 1239. ~êÅí~å ñ = ñ − + − +K+ ± K I ñ ≤ N K P R T Oå + N ñ O ñ Q ñ S ñ Oå + + +K+ +K 1240. ÅçëÜ ñ = N + (Oå )> O> Q> S> ñ P ñ R ñ T ñ Oå +N + + +K+ +K 1241. ëáåÜ ñ = ñ + (Oå + N)> P> R> T>
315
CHAPTER 11. SERIES
11.12 Binomial Series tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ã oÉ~ä åìãÄÉêW ñ `çãÄáå~íáçåëW å ` ã
å
1242. (N + ñ )
= N + å`Nñ + å` O ñ O + K + ã` å ñ ã + K + ñ å
å(å − N)K[å − (ã − N)] I ñ < N K 1243. ` ã = ã> å
1244.
1245.
N N+ N N−
= N − ñ + ñ O − ñ P + K I ñ < N K = N + ñ + ñ O + ñ P + K I ñ < N K
ñ ñ O N⋅ Pñ P N⋅ P ⋅ Rñ Q 1246. N + ñ = N + − + − + K I ñ ≤ N K O O⋅Q O⋅Q ⋅S O⋅Q ⋅S⋅U O P Q ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ñ N O ñ N O R ñ N O R U ñ 1247. P N + ñ = N + − + − + K I ñ ≤ N K P P⋅S P⋅S⋅V P ⋅ S ⋅ V ⋅ NO
11.13 Fourier Series fåíÉÖê~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW Ñ (ñ ) cçìêáÉê ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW ~ M I ~ å I Äå tÜçäÉ åìãÄÉêW å
316
CHAPTER 11. SERIES
~M ∞ 1248. Ñ (ñ ) = + (~ å Åçë åñ + Äå ëáå åñ ) O å=N
∑
1249. ~ å
=
N
π
Ñ (ñ )Åçë åñ Çñ ∫ π −π
1250. Äå
=
N
π
Ñ (ñ )ëáå åñ Çñ ∫ π −π
317
Chapter 12
Probability
12.1 Permutations and Combinations å
mÉêãìí~íáçåëW mã å
`çãÄáå~íáçåëW ` ã tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ã
1251. c~Åíçêá~ä
å> = N ⋅ O ⋅ PK(å − O)(å − N)å M> = N
1252. å må = å> 1253. å mã =
å>
(å − ã )>
1254. _áåçãá~ä `çÉÑÑáÅáÉåí å
å å> ` ã = = ã ã> (å − ã )>
1255. å ` ã = å ` å −ã 1256. å ` ã + å ` ã +N = å +N ` ã +N
318
CHAPTER 12. PROBABILITY
1257. å ` M + å `N + å ` O + K + å ` å
= Oå
1258. m~ëÅ~ä ë qêá~åÖäÉ ∞
oçï M oçï N oçï O oçï P oçï Q oçï R oçï S
N N N N N N N
O P
Q R
S
N N P S
NM NR
N Q
NM OM
R NR
12.2 Probability Formulas bîÉåíëW ^I _ mêçÄ~ÄáäáíóW m o~åÇçã î~êá~ÄäÉëW uI vI w s~äìÉë çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëW ñI óI ò bñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ uW µ ^åó éçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêW ε pí~åÇ~êÇ ÇÉîá~íáçåW σ s~êá~åÅÉW σ O aÉåëáíó ÑìåÅíáçåëW Ñ (ñ ) I Ñ (í )
ïÜÉêÉ _ á áë ~ ëÉí çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíë EÜóéçíÜÉëÉëFI ^ áë íÜÉ Ñáå~ä ÉîÉåíI m(_ á ) ~êÉ íÜÉ éêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëI m(_ á L ^ ) ~êÉ íÜÉ éçëíÉêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëK 1273. i~ï çÑ i~êÖÉ kìãÄÉêë
på m − µ ≥ ε → M ~ë å → ∞ I å p m å − µ < ε → N ~ë å → ∞ I å ïÜÉêÉ på áë íÜÉ ëìã çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëI å áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK 1274. `ÜÉÄóëÜÉî fåÉèì~äáíó
µ = åé I σ O = åéè I ïÜÉêÉ å áë ~ ëÉèìÉåÅÉ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ÉñéÉêáãÉåíëI ÉñéÉêáãÉåíëI é áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëë çÑ É~ÅÜ ÉñéÉêáãÉåíëI ÉñéÉêáãÉåíëI è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI Ñ~áäìêÉI è = N − é K 1283. _áåçãá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
å â å−â Ä(åI éI è ) = é è I â
323
CHAPTER 12. PROBABILITY
µ = åé I σO = åéè I ñ å Ñ (ñ ) = (è + éÉ ) I ïÜÉêÉ å áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ íêá~äë çÑ ëÉäÉÅíáçåëI é áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëëI è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K 1284. dÉçãÉíêáÅ aáëíêáÄìíáçå
m(q = à) = è à−Né I N è µ = I σO = O I é é ïÜÉêÉ q áë íÜÉ Ñáêëí ëìÅÅÉëëÑìä ÉîÉåí áë íÜÉ ëÉêáÉëI à áë íÜÉ ÉîÉåí åìãÄÉêI åìãÄÉêI é áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó íÜ~í ~åó çåÉ ÉîÉåí áë ëìÅÅÉëëÑìäI è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K 1285. mçáëëçå aáëíêáÄìíáçå
m(u = â ) ≈
λâ â >
É −λ I λ = åé I
µ = λ I σO = λ I ïÜÉêÉ λ áë íÜÉ ê~íÉ çÑ çÅÅìêêÉåÅÉI â áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëK 1286. aÉåëáíó cìåÅíáçå Ä
