P ene nerr apan Ko K omposi sisi si F ung ungsi si D an I nv nve er s Ke K ehi hid dup upa an Seha Seharr i -ha harr i
Oleh kelompok 6 : Amrun Nasution Andri Fajar Irwanto Joko Saputro Muhammad Aziz F.R. Samsul Saputra
Kelas XI IPA 1 Mata Pelajaran : Matematika
DINAS PENDIDIKAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH ATAS NEGERI 1 PUTRI HIJAU TAHUN AJARAN 2012 Page | 1
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum wr.wb. Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Karunia-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan Laporan Matematika ini dengan tanpa hambatan apa pun. Kami berharap dengan adanya laporan ini, dapat membantu pembaca untuk menambah wawasan dan keterampilan pembaca serta dapat menghilangkan kejenuhan pembaca dalam belajar matematika. Akhir kata, kami sebagai penyusun menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam laporan ini. Untuk itu, berbagai berbagai kritik dan saran yang yang bersifat membangun dari semua pihak sangat kami butuhkan. Semoga laporan ini dapat digunakan sebaik-baiknya dan berguna untuk semua pihak.
Putri Hijau, 04 Juni 2012
Page | 2
DAFTAR ISI Kata Pengantar ........................................................................................................
i
Daftar Isi...................................................................................................................
ii
Bab 1 Pendahuluan :
Latar Belakang...............................................................................................
1
Rumusan Masalah .........................................................................................
2
Tujuan ............................................................................................................
2
Bab 2 Pembahasan :
Komposisi Fungsi dan Invers ........................................................................
3
Pengertian Relasi ...........................................................................................
3
Pengartian Fungsi ..........................................................................................
4
Macam-Macam Fungsi ..................................................................................
6
Sifat-Sifat Fungsi ...........................................................................................
7
Komposisi Fungsi ..........................................................................................
8
Invers Fungsi .................................................................................................
10
Penerapan Komposisi Fungsi dan Invers ......................................................
15
Bab 3 Penutup :
Kesimpulan ....................................................................................................
17
Saran ..............................................................................................................
17
Daftar Pustaka .........................................................................................................
18
Page | 3
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1.Latar Belakang Matematika merupakan salah salah satu mata pelajaran yang kebanyakan dinilai orang adalah rumit dan membosankan. Selalu menuntut otak untuk berpikir cepat tanpa ada selingan-selingan yang menyegarkan selain berhitung, menghitung, dan perhitungan. Sehingga banyak komentar-komentar orang yang merasa jemu dengan matematika “ apa guna dan manfaat mempelajari matematika dalam kehidupan kita sehari-hari?” Mereka yang mengemukaan komentar seperti itu adalah mereka yang tidak mengetahui penerapan matematika dalam keseharian kita. Jika kita kaji lagi, ternyata hampir setiap bagian dari ilmu matematika mempunyai manfaat dalam keseharian kita yang tidak kita sadari. Dalam laporan ini, kami akan menyajikan manfaat dan penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari, mengenai manfaat dan penerapan teori Komposisi Fungsi Dan Invers.
Page | 4
1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka dapat dirumuskan masalah sebagai berikut :
Apa manfaat dan penerapan Komposisi Fungsi Dan Invers dalam kehidupan sehari-hari?
Apa yang dimaksud dengan Komposisi Fungsi?
Apa yang dimaksud dengan Fungsi Invers?
Apa saja macam-macam Fungsi itu?
Apa saja sifat-sifat fungsi itu?
1.3. Tujuan Adapun tujuan kami membuat laporan ini adalah :
Memberikan wawasan kepada pembaca seputar manfaat dan penerapan teori Komposisi Fungsi Dan Invers dalam kehidupan sehari-hari.
Untuk mengetahui apa fungsi itu.
Untuk mengetahui arti dari komposisi fungsi.
Untuk mengetahui arti dari invers fungsi.
Untuk mengetahui macam-macam fungsi.
Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi.
Page | 5
BAB II PEMBAHASAN
I.
KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
A. Pengertian Relasi Antara Anggota Dua Himpunan
Relasi (hubungan) dapat terjadi antara anggota dari dua himpunan. Misalnya, A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6, 7}. Antara anggota himpunan A dan B ada relasi “tiga kurangnya dari”. Relasi tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram sbb:
Relas antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan
sebagai
berikut:
{(1,4), (2,5), (3,6), (4, 7)}
Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan menggunakan rumus. Misalnya anggota A dinyatakan dengan x, maka pasangannya ialah y anggota B dirumuskan: y=x+3
Page | 6
B. Pengertian Fungsi Dan Pemetaan
Perhatikan diagram panah berikut.
(1)
(2)
(2)
(4)
Pada gambar 1, 3 dan 4 setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan tepat satu anggota himpunan B. Relasi yang memiliki ciri seperti itu disebut fungsi atau pemetaan.
Pada gambar 2 bukan fungsi karena ada anggota A yang punya pasangan lebih dari satu anggota B.
Definisi:
Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaaan, jika dan hanya jika setiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat dengan satu unsur dalam himpunan B. Page | 7
Misalkan f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan: f: A B
Jika x A dan y B sehingga pasangan berurut ( x, y) f , maka y disebut peta atau bayangan dari x oleh fungsi f.
Peta atau bayangan ini dinayatakan dengan y f ( x) seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
Jadi,
suatu
disajikan
fungi
dengan
f
dapat
lambang
pemetaan sebagai berikut:
f : x y f ( x)
dengan y f ( x) disebut rumus atau aturan fungsi, x disebut peubah (variabel) bebas dan y disebut peubah (variabel) tak bebas. Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan dilambangkan dengan D f . Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan dilambangkan dengan K f .
Himpunan dari semua peta A di B disebut daerah hasil (range) dan dilambangkan dengan R f. Contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {5, 7, 9, 10, 11, 12} f: A B dimana f(x) = 2x +3
Page | 8
Diagram panahnya sbb:
Domainnya adalah A = {1, 2, 3, 4}. Kodomainnya adalah B = {5, 7, 9, 10, 11, 12} Rangenya adalah C = {5, 7, 9, 11}
Jadi Rr
K f , tetapi dapat juga R f
K f
B. Macam-Macam Fungsi
1. Fungsi Aljabar Fungsi
aljabar
adalah
fungsi
yang
menggunakan
operasi-operasi
penjumlahan,
pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan penarikan akar. Fungsi aljabar meliputi: a. Fungsi irasional b. Fungsi rasional -
Fungsi polinom
-
Fungsi kubik
-
Fungsi kuadrat
-
Fungsi linear
-
Fungsi pangkat
-
Fungsi pecahan
Page | 9
2. Fungsi Transender Fungsi transender adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.yang termasuk fungsi transender yaitu: a. fungsi eksponen b. fungsi logaritma c. fungsi trigonometri d. fungsi siklometri e. fungsi hiperboloik
3. Fungsi Khusus Fungsi khusus meliputi: a. fungsi konstan b. fungsi identitas c. fungsi modulus d. fungsi parameter
4. Fungsi Genap Dan Fungsi Ganjil Fungsi genap dan fungsi ganjil meliputi: a. fungsi genap b. fungsi ganjil c. bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil
5.Fungsi Periodik
C. Sifat-Sifat Fungsi
1. Fungsi Surjektif Fungsi f: A B disebut fungsi surjektif (fungsi onto atau fungsi kepada), jika di B mempunyai pasangan di A.
2. Fungsi Into Fungsi f: A B disebut fungsi into (fungsi kedalam), jika terdapat elemen B yang tidak mempunyai pasangan di A. Page | 10
3. Fungsi Injektif Fungsi f: A B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu), jika seriap elemen dari B memiliki pasangan tepat satu elemen dari A.
4. Fungsi Bijektif Fungsi f: A B disebut fungsi bijektif, jika I f adalah fungsi injektif dan sekalipun fungsi surjektif
D. Fungsi Komposisi
Perhatikan contoh berikut: Ada 3 himpunan yaitu, A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 9, 11} dan C = {27, 51, 66, 83}. f: A B ditentukan dengan rumus f ( x) 2 x 1 dengan g : B C ditentukan oleh rumus g ( x) x 2
2 . Ditunjukkan oleh diagram panah sbb:
Jika h fungsi dari A ke C sehinnga: peta dari 2 adalah 27 peta dari 3 adalah 51 peta dari 4 adalah 66 peta dari 5 adalah 83
Page | 11
dan diagaram panahnya menjadi,
fungsi dari h dari A ke C disebut fungsi komposisi dari g dan f ditulis h g f atau
h( x) ( g f )( x).
Secara umum:
Definisi: Misalkan fungsi f : A B ditentukan dengan rumus y f ( x) g : B C ditentukan dengan rumus y
g ( x)
Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan autan:
h( x) ( g f )( x) g ( f ( x))
o dibaca komposisi atau “bundaran”
Page | 12
E. Fungsi Invers
1. Pengertian Invers
Misalkan f fungsi dari himpunan A ke B yang dinyatakan dengan diagram panah sbb:
sehingga diperoleh himpunan pasangan berurutan: f : {(a, b) | a A dan b B}
Kalau diadakan pengubahan domain menjadi kodomain dan kodomaian menjadi domaian, maka diagram panahnya menjadi
dan himpunan pasangan berurutannya menjadi {(b, a) | b B dan a A}
Page | 13
Relasi yang diperoleh dengan cara seperti di atas disebut invers fungsi f dan dilambangkan dengan f 1
Jika fungsi f : A B dinyatakan dengan pasangan berurutan b B} maka invers fungsi f adalah f 1 : B A ditentukan oleh
f : {(a, b) | a A dan
f {(b, a) | b B dan
a A}
Apakah invers suatu fungsi juga merupakan fungsi ? Untuk jelasnya perhatikan diagram panah berikut.
(1)
(2)
(3)
Tampak bahwa yang inversnya juga merupakan fungsi hanya pada gambar (3). Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers fungsi itu disebut fungsi invers. Page | 14
2. Menentukan Rumus Fungsi Invers Perhatikan diagram panah berikut.
y adalah peta dari x oleh fungsi f, sehingga pemetaan oleh fungsi f dapat dinayatakan dengan persamaan:
y f ( x)
Kalau f -1 adalah invers dari fungsi f maka x adalah peta dari y oleh fungsi f -1 sehingga diperoleh persamaan:
x f 1 ( y)
Selanjutnya peubah x diganti dengan y dan peubah y diganti dengan x.
3. Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi
Misalkan h(x) adalah fungsi komposisi yang dapat dibentuk dari fungsi f(x) dan fungsi g(x). Fungsi h(x) kemungkinannya adalah .... ii) h(x) = (fog)(x) ii) h(x) = (gof)(x)
Page | 15
Diagram panahnya sbb: i)
Jadi ( g f ) 1 ( x) ( f 1 g 1 )( x)
ii)
Page | 16
Jadi ( f g ) 1 ( x) ( g
1
f 1 )( x)
Page | 17
II.
PENERAPAN KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS
Teori komposisi fungsi dan invers mungkin hanya biasa kita lihat, dengar, atau baca dalam mata pelajaran matematika. Namun, jika kita kaji lebih dalam lagi, penerapan teori komposisi fungsi dan invers dapat kita temukan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari, Berikut beberapa penerapan ilmu matematika tentang komposisi fungsi dan invers dalam kehidupan sehari-hari. 1. Proses pembuatan buku diproses melalui 2 tahap yaitu tahap editorial dilanjutkan dengan tahap produksi. Pada tahap editorial, naskah diedit dan dilayout sehingga menjadi file yang siap dicetak. Kemudian, file diolah pada tahap produksi untuk mencetaknya menjadi sebuah buku. Proses pembuatan buku ini menerapkan algoritma fungsi komposisi. 2. Untuk mendaur ulang logam, awalnya pecahan logam campuran dihancurkan menjadi serpihan kecil. Drum magnetic pada mesin penghancur menyisihkan logam magnetic yang memuat unsure bes. Lalu sisa pecahan logam dikeruk dan dipisahkan, sedangkan serpihan besi dilebur menjadi baja baru. Proses pendaur ulang logam tersebut menggunakan fungsi komposisi. 3. Sebuah lempeng emas yang dapat dibentuk menjadi berbagai perhiasan juga menerapkan fungsi komposisi. 4. Di bidang ilmu yang lain fungsi komposisi dan inver juga di terapkan seperti: a. Di bidang ekonomi : digunakan untuk menghitung dan memperkirakan sesuatu seperti fungsi permintaan dan penawaran. b. Di bidang kimia : digunakan untuk menentukan waktu peluruhan unsur. c. Di bidang geografi dan sosiologi : digunakan untuk optimasi dalam industry dan kepadatan penduduk.
d. Dalam ilmu fisika sering digunakan persamaan fungsi kuadrat untuk menjelaskan fenomena gerak. 5. Dengan menggunakan komposisi warna, pada mesin cetak dapat dihasilkan warna baru. Pembuatan warna tersebut menerapkan fungsi komposisi.
Page | 18
6. Ada berbagai masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menggunakan fungsi komposisi seperti uraian berikut. a. Harga jual p dari suatu komoditas ekspor hasil hutan dan jumlah terhual x, memenuhi persamaan P = ¼ x + 150 dengan 0 ≤ x ≤1.000 Misalkan biaya C dari produksi per unit adalah
+ 300
Jika kita mempelajari dan memahami fungsi komposisi dengan baik, kita dapat menentukan biaya C sebagai fungsi dan harga p ketika semua unit yang diproduksi terjual 7.
Penerapan komposisi fungsi juga terdapat dalam permainan sepak bola seperti Penyusunan pemain atau formasi pemain dalam tim.
Page | 19
BAB 3 PENUTUP
1. Kesimpulan
Mempelajari matematika bukan berarti tidak ada penerapan dan manfaat itu, yang bisa dipetik. Hampir setiap bagian dalam ilmu matematika mempunya tujuan dan manfaat yang bisa disimpulkan dan dapat pula diterapkan. Salah satunya dalam bagian “ Komposisi Fungsi dan Invers”. Berdasarkan isi laporan ini, kita dapat mengetahui seputar ten tang teori “Komposisi Fungsi dan Invers” dan menyimpulkan bahwa teori “Komposisi Fungsi dan Invers” mempunyai peran yang cukup penting bagi semua lingkup pekerjaan. Dalam kegiatan sehari-hari pun, kita juga melibatkan teori “Komposisi Fungsi dan Invers”.
2. Saran
Memang tidak mudah mempelajari suatu ilmu, khususnya matematika. Terkadang kita merasa jenuh karena kita selalu dihadapkan oleh angka-angka yang memutar otak. Bukan hanya itu. Nyaris tak ada selingan-selingan seperti mata pelajaran lainnya. Selain itu, rasa jenuh juga di akibatkan oleh ketidak tahuan kita akan dibawa kemana ilmu matematika yang telah kita pelajari itu. Dengan adanya laporan ini, kami berharap pembaca dapat menjadikan laporan ini sebagai selingan dan penumbuh semangat untuk terus belajar matematika.
Page | 20
DAFTAR PUSTAKA
Fermansyah, Dodi.2005. Matematika Program Ilmu Alam. Bandung:CV Regina Mousa, Madi. 2005. Matematika. Bandung: CV Regina Kanginan, Marthen. 2006. Cerdas Belajar Matematika.Jakarta: PT. Grafindo Media Pratama.
Page | 21
