t Süponcmos, por supuesto, qnc cla por x.
tt
se queda dentro de la región paramctri1a·
388
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Curvas u-paramétricas
Figura 7.13
14. Sea a una geodésica de inclinación r en el paraboloide de revolución
Af: z =
X~
+ )'~.
EncuéntrPse el \·alcr mínimo ele :::(al, es ckcir. la altura menor a que Descienda a. (Indiració11: Empléese una carta ele Monge.) 15. Demuéstrese que no hay ninguna gcoclésic::t en la trompeta (V. 6.6) que se pued::t definir en la totalidad de la recta real. 16. En un toro de re\·olución, sea a una geodésica que en algún punto es tangente a la circunferencia superior (u = 7./2). Demuéstrese que a siempre SP quecb en la mitad ele afuera cid toro ( -7./2
17. Sea C un catenoide (ejemplo 6.1 del capítulo V) en el que e = L y sea a la geodésica con la propiedad ele que
a(O)
=
x( u 0 ,
U0 ),
1/o
=:/=O,
y ele que a'(O) forma un ángulo cpn con los meridianos. Observemos que 'Pn y 7. - '?o determinan parametrizaciones diferentes de la misma gPodésica.) ¿Para qué valores de 'Po se tiene que a corta la circunferencia mínima, u = O, ele C? 18. Una jJaramet;ización de Jjou:·il!c x: D --c> 1\1 es una paran1etrización ortogonal para la cual E = (; = U + V, donde U es una función solamente ele 11 y rr es función solamente de V. Si a= x(al, ae) es una geoclé:áca de rapidez unitaria c¡ue se expresa en términos de una parametrización así. háf2:
tiene valor constante, donde 'P es el ángulo desde
X 11
hasta a'
PROPIEDADES MINTMIZANTES DE LAS GEODÉSICAS
389
19. Sea E 1 , E 2 un campo de sistemas de referencia en una superficie geométrica .M. Para i = 1, 2, sea K¡ (p) la curvatura geodésica en p de la curva integral de E; que pasJ. por p. a) Demuéstrese que K= E 1[K"]- Ej,<,] - K," -K/. b) Verifíquese estJ. fórmub en una superficie de revolución J.rbitrJ.ria, por medio del campo ele sistemas de rcfcrenciJ. del ejemplo 6.4 del capítulo VI. (Indicación: En a), demuéstrese que ,,,,dL'¡) =K¡.)
S
Propiedades minimizantes de la longitud de las geodésicas
En la sección anterior, pensamos en las geodésicas como las curvas más rectas; aquí investigarnos su carácter corno las cmTas más cortas. El prcblema básico es, dicho sin mucha pn'cisión, el de encontrar la tr:~yectoria más corta ele un punto a otro en una superficie geométrica. En E 2 , la solución es simple: Dados dos puntos p y q, hay un segmento único ele recta que va de p a q, y esa trayectoria es más corta que la de cualquier otra curva que vaya desde p hasta q (ejercicio 11 de la sección 2 del capítulo Il). En una superficie geométrica arbitraria Af, la situación se vuelve más intcrPsante. En primer lugar, puede no existir la curva más corta de p a q (ejercicio 3 de la sección 4 del capítulo VI). Y, en caso de existir, tal l'ez no sea única. Por ejetuplo, no tardaremos en clPmostrar el resultado previsible de que, en una esfera, todas las semicircunferenciz:s que van del polo norte al polo sur tienen la misma longitud mínima. Para que nuestra terminología se vuelva precisa, emplearemos el concepto de distancia intrínseca (capítulo VI, sección 4). 5.1 DEFINICIÓN. Sea a un segmento de curva que va desde p hasta q en M. Entonces 1) a es uno de los segmentos de curva más cortos desde p hasta q cuando L(a) = p(p,q) 2) es el segmento de curva más corto clesdt: p hasta q cuando
L(a) = p(p,
q)
y, además, cualquier otro segmento de curva más corto desde p hasta q es simplemente reparametrización de o:. En el primer caso, también se clicc que a mmzmzza la longitud de aro! desde p hasta q: la definición signific:1 que si f3 es cualquier otro segnrnto de curva desde p hasta q, entonces !"((3) >!"(a). E11 el segundo caso, decirnos que a minimiza de manera única la lm!gitud de arco. Esta "unicidad" se debe entender con la liberalidad suficiente para tomar en cuenta la reparametrización, puesto que la repara-
390
LA GEOi\IETRÍA DE RIEMANN
metrización monótona (ejercicio 10 de la sección 2 del capítulo II) no altera la longitud de arco. Todas estas curvas más cortas resultarán ser geodésicas (lema 5.8). El primer resultado principal (teorema 5.6) nos enseñará que los segmentos geodésicos que son mficientemente cortos se comportan en una superficie geométrica arbitraria tan birn como lo hacen en E". Antes ele eso, necesitaremos algunos preparativos. En el plano euclidiano, cuando nos interesa la distancia al origen, resulta natural el empleo ele las coordenadas pobres, pues, entonces, la distancia desde O hasta
x(u, v) =(u cos u, u sen v) es simplemente u. A continuación, gelleralizaremos esta parametrización al caso de una superficie geométrica arbitraria "U. Como teníamos en el caso de E", las curvas u-parámetro serán las geodésicas que salen de un punto fijo p de ,U. Se pueden describir esas geodésicas de manera conveniente del modo que veremos en seguida: Si v es un vector unitario tangente en p, sea /v la geodésica única que empieza en p con la \·elocidad inicial v. A continuación, vamos a organizar todas estas geodésicas dentro del mismo mapeo de la manera siguiente:
5.2 DEFINICIÓN. Sea e 1 , e 2 un sistema de referencia en el punto p de M. Entonces x(u,v)
=
Yc .. ere¡+Sent·e,(u)
es el mapeo polar geodésico de M con polo p. Aquí, el dominio de x es la región más grande de E" en que la fórmula consen·a su sentido. La elección de v fija un vector tangente y unitario v
=
cos ve 1
+
sen vee
rn p (figura 7.14) . En ton ces·, la curva u-paramétrica.
Figura 7.14
u~x(u,
v) =¡_.(u)
es la geodésica radial con velocidad inicial v. Puesto que 11 v 11 = 1, la rapidez de esta geodésica es unitaria, de manera que la longitud de 1\- desde p = 1, (O) hasta yv(u) es sencillamente u. En el caso especial en que e 1 , e 2 es el sistema natural de referencia en el origen O de E 2 , el mapeo polar geodésico se convirrtc en
PROPIEDADES MINIMIZANTES DE LAS GEODÉSICAS
X
(u, V)
=
Ye os
ve1 + sen ve 2
391
(U)
= O + u (cos ue 1 + sen ue 0 ) = (ucosv,usenu). Por lo tanto, x es una generalización de las coordenadas polares del plano. El polo p es lugar problemático en un mapeo polar gcod(.~ico. Para clarificar la situación en las proximidades ele p, definimos (de acuerdo con la situación que se describe en la definición 5.2) un nuevo mapeo
v'u v) = Yuc1 + ve, (1) · J \ ' La teoría ele ecuaciones diferenciales nos enseña que y es clifcrenciablc, y se verifica con facilidad su regularidad en el origen. Por lo tanto, según el teorema ele la función inversa, y es difeomorfismo de un disco D,: u" + v~ < E" sobre una vecindad 'JZ, de p. 'Jl, se llama vecindad normal de p. En el caso especial en que M = E", y es simplemente el mapeo identidad y( u, v) = (u, v), de manera que si 1\1 es cualquiera, y es generalización de las coordenadas naturales (rectangulares) de E 2 .
5.3 LEMA. Para un número E> O suficientemente pequeño, sea S, la franja O< u < E en E 2 • Entonces, el mapeo pobr geodésico x: S-;. M con polo p parametriza una vecindad normal 'Jl, de p, que omite al mismo p (véase la figura 7.15) .
r--s.E1
o
E
~.
Figura 7.15
Demostración. Observemos que x le pasa a y la relación habitual ele las coordenadas polares y las rectangulares, es decir x(u,v)-
YcosVet+Senve,(u)
= y(u cos v, u sen v)
= Yucosvet+Usenve,( 1 )
392
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Figura 7.16
donde hemos aplicado la identidad y, (u) = Y,,, ( 1) del ejerocw 2 ele la sección 4. Aquí, esta fórmula nos expresa a x como composición ele dos mapeos rc~ulares: 1) El rnapeo polar euclidiano (u, v) -----'? (u cos v, u sen v), el cual envuelve la franja S, alrededor del disco D,. y 2. El mapeo uno a uno y ele D, sobre ':JZ .• Por lo t:mto, x es regular y transforma S, de la manera propia ele las coordenadas polares sobre la vecindad 'J7" donde se omite solamente el pclo.
1
De aquí extraemos una consecuencia fundamental: SI q = x (u 0 , v,) es cualquier punto en una vecindad normal 'J7 ele p, entonces hay una sola r:eorihica de rapidez unitaria que va desde p hasta q que queda comfJ!etarnente dentro de ~7, a saber, la geodésica radial y(u)
=
x(u, v 0 )
(Demostración: Cualquier geodésica de rapidez unitaria que com1enza en p cs, por la unicidad de las geodésicas, una curva u-paramétrica de la param(•trización polar. Como nos lo sugicrc la figura 7 .16, todos, con la cxcepción de v = 1'o + 2c.n, salen de 'J7 sin tocar q, y las elecciones diferentes de n nos siguen dando la misma geodésica y, gracias a la ambigüedad habitual que interviene en las coordenadas polares.)
5.4 G >O.
LEMA.
En una paramctrización polar geodésica, ¡;;
=
1, F
=
O.
Demostración. Puesto que las curvas u-paramétricas son geodésicas de rapidez unitaria, tenemos que
F Por lo tanto,
=
Xu • X 11
1'
y
O.
PROPIEDADES MINIMIZANTES DE LAS GEODÉSICAS
393
de manera que F es constante en cada curva u-paramétrica. Ahora bien, las funciones E, F, G están bien definidas, aun cuando x no se restrinja a la franja S,. La curva v-paramétrica v~ x(O, v) es simplemente la curva constante en el polo p, de manera que
Pero, entonces, F(O, u) =O para todo u, y, puesto que F, = O, c"oncluimos que F es idénticamente cero. Debido a que x (que aquí se ha restringido una vez más a la franja S,) es una parametrización, es decir, un m apeo regular, sabemos que EG - F 2 = }~G no es nunca cero. En consecuencia, G >O.
1
5.5 EJEMPLO Vamos a separar explícitamente las parametrizacioncs polares geodésicas en dos casos clásicos. 1) La esfera unitaria ~ en E 3 . Para tener más simplicidad, sea p el polo norte (0, O, 1). Para que las geodésicas irradien de p como se ve en la figura 7.17, cambiamos la parametrización geográfica a x(u,v) =(sen u cos v, sen u sen v, cos u). Cada curva u-paramétrica es, en efecto, una parametrización de rapidez unitaria de uno de los grandes círculos; en consecuencia, es geodésica. Para u = O, encontramos Xu(O,v) = (cosv,senv,O) = cos ve1
+ sen ve2
donde
Por lo tanto, granas a la unicidad de las geodésicas, X
(u, V) = Ye os
ve 1 + sen
p
Figura 7.17
t'P
2
(U)
394
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
lo que nos enseña que x, según lo hemos definido, es el mapeo polar geodésico (definición 5.2). Es fácil ver que la vecindad normal mayor posible Jl, de p ocurre cuando E = .,., pwe>s en la franja S,, x es paramctrización polar de la totalidad de la esfera, con la excepción de los polos norte y sur. 2) El jJlano hijJerbólico !J. (ejemplo 2.4). Tomamos p= (0,0) y e1 = Ut(p),e" = Uc(p). (Puesto que la función g rs 1 en el origen, esto n sistema de referencia.) Sabemos, gracias al ejemplo 4.11, que las geodésicas de H que pasan por el origen siguen trayectorias de rectas euclidianas. Por tanto, para cualquier número v, la curva
= ( t cos v, t sen v)
es por lo menos pregeodésica del tipo que buscamos. En el ejemplo 2.4, en con tramos que la función de longi tu el de arco s ( t) = 2 tanh-1 ( t /2) para una curva así; por tanto,
s--¿ a( 2 tanh ~)
= ( 2 tanh
i
cos
v, 2 tanh
i
sen
v)
es la reparamctrización de a ele rapidez unitaria. Al cambiar la notación de s a u, obtenemos x(u,v) =
(2tanh~cosv,2tanh~senv).
Puesto que las curvas u-parámetro de x son geodésicas de rapidez unitaria, y Xu (0, v) = cos ve1 + sen vez, llegamos a la conclusión, como en ( 1), de que x es mapeo polar geodésico. La vecindad normal es, en este caso, la totalidad de la superficie H.
5.6 TEOREMA. Para cada punto q de una vecindad normal 'Jl, de p, el segmento geodésico radial en 'Jl, que va desde p hasta q minimiza de manera exclusiva (única) la longitud de arco. Demostración. Sea x la parametrización polar de la vecindad normal
'Jl,. Si q = x(uo, v 0 ),
el segmento geodésico radial será
y( u) = x(u, vo), Sea a continuación a un segmento de curva arbitrario desde p hasta q en M; podemos arreglar las cosas de manera que a quede definida en el mismo intervalo que y.
PROPIEDADES MINIMIZANTES DE LAS GEODÉSICAS
395
Empezaremos por la demostración de que ( 1)
Consideremos en primer lugar el caso (figura 7.18) en que a se queda dentro de la \Tcindad 'Jl . Podemos suponer que, una vez que parte de p, a no regresa nunca a p; de lo contrario, sería suficiente para nosotros eliminar ese rodeo, y tendríamos una a de menor longitud. Por tanto, bien podemos poner
Figura 7.18
Puesto que a (O) = p y a ( u 0 ) = q, tenemos que
(2)
(El término 2-;;-n está aquí otra vez debido a la falta de unicidad de los ángulos en las coordenadas polares.) Puesto que tenemos para x que E
=
1 y F
=
O, la rapidez de a es
Ahora bien, (3)
En consecuenCia,
L(a) = J:o y a/"+ Ga/ 2 dt =
al(u 0 )
a1(0)
-
>Lo a/
=
dt
(4)
U0
donde, en el úllimo paso, interviene (2). Pero la geodésica radial tiene rapidez unitaria, de manera que uo
L (y) =
J
dt = u 0 ,
0
y llegamos a la conclusión de que
L(y)
396
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Si a no se queda en 'Jl, tenemos la desigualdad estricta L (y) < L (a). Pues es preciso que a pase por la circun fcrcncia jJO!ar, u = u 0 --que se indica con una línea punteada en la figura 7.18- para salir de 'JZ,.t Pero, de acuerdo con la demostración anterior, su longitud ck arco ha de ser, por lo menos, u 0 = L (y) cuando llega a esta circunferencia. A continuación, demostraremos la afirmación de unicidad: Si L(a) = L(y), entonces a es reparametrización ele y
(5;
La argumentación anterior nos ha ensciíado que, si ], (a) = L (y), entonces a permanece dentro ele ~!7, y la clcsigualclacl de (4·) se convierte en igualdad. Esto {¡Jtirno implica que y at'" + ()a/" = a/. Puesto que C > O, concluimos a partir ele (3) que
a/>0,
a/
Por lo tanto, a" tiene el valor constante
a(t) = x(a 1 (t),
Z'v)
=
1.'o
O (con lo cual n
(6) =
O en ( 2) ) , y
= y(ai(t)),
con lo que vemos que a es, en efecto, parametrización monótona de y.
1
Figura 7.19
Este resultado fundamental nos enseña, como decíamos antes, que si los puntos p y q están suficientemente cerca el uno del otro, entonces -corno se tiene en el espacio euclidiano !_Jara puntos arbitrarios---; hay un segmento geodésico único que va desde p hasta q y es más corto que cualquier cmYa clesd(: p hasta q. (La diferencia con el caso euclidiano, sin embargo, radica en que puede haber otras geodésicas que no sean de las más cortas desde p hasta q.) Si x es parametrización polar geodésica en p, también decimos que la trayectoria C, de la curva v-parámetro u = E, es la circunferencia polar de radio E en p (figura 7.19). El teore-
"f En una demo:;tración cuidadosa se ha de intervenir el axioma de Hausdorff (ejercicio 5 de IV.3), cuya \·alidcz suponemos en todo este capítulo.
PROPIEDADES MINIMIZANTES DE LAS GEODÉSICAS
397
ma 5.6 nos enseña que C, consta, en realidad, de todos los puntos que distan E de p. En los casos especiales en que se tienen vecindades normales grandes, esta información local puede resultar decisiva. 5.7 Ep:MPLO. Propiedades minimi.:antes de la longitud de las geodésicas en la esfera :S de radio r. Con un simple cambio ele escala~ poclcmos concluir, a partir del ejemplo 5.5, que cada punto p de :S ticne una vecindad normal 'JZ .. ,.: la totalicbd ele :S con la t>xccpción de - p, el punto antípoda del polo p. En comecuencia, el teort>ma 5.6 implica que: a) Si dos puntos p y q de :S no son antípodas (es decir, q =/= - p), entonces cxiste una cun·a única 1 que es la mús corta desde p hasta q. Pero conocemos todas las geodé-sicas ele :S: sólo puede ser la que va por t>l ;¡reo mús corto del gran círculo que pasa por p y q. b) La distancia intrínseca p en :S está dada por la fórmula
p(p, q) =
n'}
clnnclc ¡'} ( Cl < {} < ") es el &ngulo desde p hasta q en E' (figura 7.20). Si p y q no son antípodas, esto es consecuencia de (a), debido a que
e(p, q)
=
!,(1)
=
r{}.
A medida que q se mueve hacia el punto antípoda - p ele p, deducimos, por continuidad, Figura 7.20 que p(p, -p) = r. En consecuencia: e) Hay una infinidad ele geodésicas miniruizantes que van ele un punto p de :S al punto antípoda - p, a sabrT (parametrizaciones de rapidez constante ele), semicircunferencias que \"an de p a -p. (Demostración: Todas ellas tienen longitud r = p ( p, - p).) d) :-Jo hay ning(m segmento geodésico de longitud L (1) > .. r capaz de minimizar la longitud de arco entre sus extremos. Esto se desprende inmediatamente del hecho de que la distancia intrínseca p nunca excede ele .. r. Esto se ve geométricamente con claridad, puesto que si y empieza en p, su longitud es mayor que ::-r en cuanto 1 pasa por el punto antípocl2 -p. Pno, entonces, el otro arco /' del mismo gran círculo es mis corto que y.
Supongamos que o: es un segmento ele cmYa en ¡\[ desde p ha;,ta q, y que f3 es un segmento de curva desde q hasta r. Ahora bien. en general no es posible unir o; y f3 para form:u una sola cun·a ( dife¡cnciable) que vaya ele p hasta r, puesto que en q puede baber una "punta ;¡guda"', cmno se ve en la figura 7.21. Por medio de las técnicas del cálculo avanzado, se puede '·redondear'' esta punta aguda, de manera que se obtenga
398
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
q
Figura 7.21
un segmento de curva y desde p hasta r que (si enunciamos el teorema más débil) es sólo un poco más larga que a y (J. De manera m:Ís explícita, para cada E> O, hay una y tal que !"(y) ~!,(a) + I"((J) +E. De esto se desprende que, en la distancia intrínseca, se cumple la desigualdad del triángulo. De hecho, dados los puntos p, q v r, la definición ele distancia intrínseca nos enseña que, para cualquier E> O, existen curvas a y fJ como las de antes con la propiedad ele que
L(a) < p(p, 11)
+
E
L((3) S p(q, r) +E.
El redondeo ele la punta aguda en q no cuesta más ele otro E: obtenemos un segmento de curva y desde p hasta r con h propiedad de que
p(p, r) S L(y) S fl(p, q) Pero, como
E
+
p(q, rl
+
3E.
es arbitrario, llegamos a la conclusión de que
p(p,r) j { es segmento de curva desde p hasta q que no es geodésica, entonces L(a) > p(p, q). Pero si a no es geodésica, entonces hay un momento t 0 en el que la aceleración a" (t 0 ) no es cero. Por continuiclacl, a" no puede ser cero en las imncdiaciones ele t 0 , ele manera que podemos suponer que t 0 < b. Para un E > O que sea suficientemente pequeño, a(tu + E) queda en una vecindad normal ele a , y el segmento de a que va dt>sclc t,1 hasta t 0 + E no es geodésica, puesto que a" (t 0 ) =F O (figura 7.22 l. Pero, entonces, de acuerdo con el
Figura 7.22
399
PROPIEDADES MINIMIZANTES DE LAS GEODÉSICAS
teorema 5.6, su longitud L 1 ,,,t,,c, es estrict;unente mayor que la distancia intrinseca desde a(to) hasta a(t 0 + E). Por tanto. según la desigualdad del triángulo,
> p(p, a(t
0 ))
+
p(a(t 0 ), a(to
+
E))
+
p(a(t"
+
E), q)
1
>p(p,q).
Este result:1do no nos sorprende: demaoiado: e1 camino más corto no puede dar vuelta nunca. Tampoco tcnclrú puntas agudas, ptF:s unzt argumentación un poco más complicada nos hace ver que una curva más corta (que tal vez sea quebrada) tendrá que ser, ele hecho, geodésica (no quebrada). Aquí podemos ya enunciar el resultado fundamental ele esta sección. 5.9 TEoRJ·:\IA. Dados dos puntos cualesquiPra p y q en una superficie geodésicamente completa ;\f, existe un sPgrnento geodésico más corto desde p hasta q.
Demostración. Este procedimiento es ingenioso, y su elaboración se clpbe sucesi,·amente a y arios matcmúticos. (V é:1se el teorema 10.9, pág. 62, ele la obra de Milnor [7].) Empezaremos con la elección ele un candidato a la curva más corta desde p hasta q. Sea
p (V)
=
X
(a, V) ,
parametrización de la circunferencia polar C ele radio a en una vecindad normal ele p. Por el ejercicio 6, tenemos que la función v-7p(f3(v),q) es continua en el inte1Talo cerrado [0, 2,.]; en consecuencia, la función toma su valor mínimo en, concretamente, v 0 • Sea ¡ la cun·a parámetro, v = v 0 • Puesto que "~1 es geod{:sicamente completa, y (u) está definida para todo u> O. Veremos que y llega a q; en realidad, que
-¡(r) = q
donde r
p(p,q).
=
( 1)
(E<:ta es la situación que ilustra la figura 7 .23.1 Puesto que ¡ ti en~ rapickz unitaria, 0htendrcmos que
L(y) \~
T
=
p(p,q),
el teoremzc quedará demostrado.
P;1ra nTificar ( 1), emplParemos una varianon de la argumentación inductiva estándar en la cual se reemplazan los n{tmeros enteros por los reales. Para cada número u =-:: O. consiclercuos la afirmación
cA (u) :
p(y(u),ql
'ce
r- u
(2)
400
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Figura 7.23
donde, como antes, r = p(p,fJ). Esto nos dice que y (ck rapidez unitaria) es eficiente: después de recorrer una distancia u, la distancia hasta q ha quedado reducida precisamente en u. Concluiremos la demostración cuando exhibamos la validez de '-il ( r), pues, entonces, p(y(r). q) =O,
de manera que, por el ejercicio \ y ( r) = q. Empezaremos a trabajar en esto con la Yerificación ele que '-il (a) es yáJicla cuan el o a es la que definíamos antes: es dec:ir, p(y(a), q) = r - a.
(3)
Según el teorema 5.6, p(p, y(a)) =a; en consecuencia, por la desigualdad del triángulo, r= p(p,q)
Para llevar a ( 3), hemos de ÍmTrtir esta desigualdad. Por la definición de distancia intrínseca, para cualquier E > O, existe un segmento de curva a desde p hasta q tal que L(a) < p(p, q)
+
E.
Ahora bien, a tiene que tocar en la circunferencia polar C; digamos que lo hace concretamente en a ( t 0 ), y observemos que la porción de a desde p hasta a(t 0 ) tiene la longitud L 1 >a, y lo que queda de a tiene longitud
(Esto último es porque y (a) era un punto más cercano a q en C.) Por consiguiente. a+ p(y(a), q) < L1 +Le= L(a) < p(p, q) +E.
Y, puesto que
E
era arbitrario, obtenemos la desigualdad a+ p(y(a), q) < p(p, q)
que necesitábamos para demostrar (3).
401
PROPIEDADES MINIMIZANTES DE LAS GEODÉSICAS
P
= 'Y(O)
q Figura 7.24
Aquí pasaremos a la parte inductiva de la dcr11ostr;¡ción. Pm";io c¡uc e ·1 (u) carece ele sentido para u > r. Por co!lSÍguiente, el conjunto dP los números a para los que se verifica , 1/ (a) ti eH· un supr!:'mo b. con b < r. Puesto que las funciones que intl-rvienen en la proposición e 1/ (a) son continuas, sr desprende ele la ddinición ck supremo que Jl (b) es válida. He aquí el plan del resto ele b demostración: se su jwne que b < r y se obtiene una contradicción. Entonces. puesto que b < r, lll'mos ele tener que b = r; en consecuencia, cA(r) se verifica, como queríamos. Sea C'' una circunferencia polar de radio a* < r - b en una vecindad normal ele y ( b). Al n·producir la argumentación qur clirnos con respecto a la circunferencia e, obtcnemos un punto e"' ron la propiedad ele que p no puede ser negativa,
p (e'", q)
=
(3')
p ( ¡ ( b 1, q) - a"'.
(Véase la figura 7.24.) Pero '--"1/(bl dice que p(y(b),q) nera que
p(c"', q)
=
r- b -
r - b, de ma-
(4)
a'''.
El paso principal que nos falta dar es la demostración de que
(5)
e'=y(b+a"').
Esto no resulta drmasiado difícil. Mediante la clesigualclacl del triángulo,
p(p, e)
+
p(e*, q)
> p(p, q)
=
r.
Al aplicar ( 4), obtmemos
e(p, e')
:=:: b +a'.
Pero hay una e un;¡ quebrada desde p hasta e··· con longitud precis;¡mentc de b + a'''. De hecho, si \Trnos la figura 7.24·, nos damos cuenta de que podemos recorrer y desde p hasta y ( b) con la longitud ele arco b, y a continuación, desde y ( b) hasta e"' en una geodésica radial con longitud
402
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
de arco a*. Por tanto, de acuerdo con el comentario que se hizo antes de este teorema, esta curva no está en realidad quebrada. En consecuencia, se trz:ta de y en todas partes, de manera que ¡ ( b + a'') es precisamente e*. Por último, substituimos la información de ( 5) en (4), de manera que obtenemos p(y(b+a''),q) =r- (b+ Esto nos dice que ,_ji (b + a ) es válida, y como b + a* es estrictamente más grande que la cota superior b, tenemos la contradicción qur buscábamos.
1
EJERCICIOS
1. En el plano hiperbólico H, encuéntrese la distancia intrínseca desde el origen O a un punto arbitrario p. Dedúzcase que todas las geodésicas de H tienen longitud infinita y que, en consecuencia, JI es completo. (Indicación: Aplíquese la desigualdad del tri:mgulo.)
2. En el semi plano de Poincaré (ejercicio 6 de la sección 4) : a) Encuéntrese una ecuación F(x, y, e) =O de las trayectorias de las geodésicos semicirculares que pasan por el punto (0, 1). b) Encuéntrese una ecuación G(x, )',a) =O de las circunferencias polares con centro en (0, 1) (Indicación: Son las trayectori<1s ortogonales de las curvas de (a) . ) e) Hágase un basquejo en el que se vean varias curvas de cada familia. 3. En el punto p = (r, O, O) del cilindro Ji: x 2 e1
=
(0, 1, O)
y
+
y2 = r 2 , sean
e 2 = (0, O, 1).
Encuéntrese una fórmuh explícita del mapco y (pág. 391) en este caso. ¿Cuál es la mayor wcindad normal del punto p?
4. Compruébese la validez del procedimiento que emplearnos en la demostración del teorema 5.9 al aplicarlo al caso especial .U = E 2 . Es decir: a partir del mapeo polar geodésico x(u,u) = (p 1 +ucosu,p 2 +usenv)
enp.
procédase de acuerdo con la primera parte de la demostración del teorema 5.9 para determinar la geodésica y.
S. La distancia intrínseca es una métrica en M. Hágase ver que a) U na vecindad normal JI, de p consiste en todos los puntos q de M tales que p(p, q) < E.
PROPIEDADES MINIMIZAN TES DE. LAS GEODÉSICAS
403
b) p cumple con las tres propiedades métricas: i 1 p >O y p (p, q) = O si y sólo si p = q, ii) p(p, q) = p(q, p) y iii) la desigualdad del triángulo. (Indicación: Es necesario recurrir al axioma de Hausdorff con el objetivo e¡ u e se describe en la nota al pie de la página 396.) 6. La distancia intrínseca es continua. Es una superficie geom~trica 1.1, definimos p¡ ~ p como la sucesión dP números reaks p(p, Pi) que converge a O. Demuéstrese que si p¡ ~ p y f{¡ ~ q, entonces (p;, q;) convcrge a p(p, q).
7. Sean a y f3 dos geodésicas de rapidez unitaria. distintas entre sí, que parten del mismo punto a (O) = f3 (O) . Si a y f3 se n1f'lven a cortar después de haber recorrido cada una la misma distancia r > O, es decir, oé ( r) = [3 ( r), demuéstrese que, mús allá de r, ni a ni f3 minimizan la longitud de arco. (Aplíquese el hecho de que las geodésicas quebradas no pueden minimizar la longitud de arco.) 8.
(Continuación). En el cilindro 1.1: x 2 + y2 = r 2 , demuéstrese que: a) T:na geodésica que empieza en (a, b, e) no puede minimizar la longitud de arco después de pasar por la recta antípoda t ~ (-a, -b, t). b) Si q no pertenece a la recta antípoda de p, demuéstrese que existe una geodésica única que es la más corta desde p hasta q. Declúzcase una fórmula de la distancia intrínseca en el cilindro.
9. Demuéstrese la falsedad del recíproco del teorema 5.9: póngase un ejemplo de una superficie geométrica 1.1 tal que dos puntos cualesquiera que puedan unir por medio de una geodésica minimizante, sin que 1.1 sea geodésicamente completa.
1O. Sea y: [a, b]--:> 1.1 parametrización de una porc10n de un meridiano de una superficie de revolución i\1. Demuéstrese que y minimiz:t de manera única la longitud de arco. (Indicacic)n: Exprésese una cur\'a a ele la que se pretenda lo mismo como x ( a 1 , a~), donde x es parametrización canónica, y repítase el procedimiento del teo1Tn1a ( 5.6.) 11. Sea Jf una superficie de revolución aumentada (ejercicio 12 ele IV.l).
a) Si J1 tiene solamente una intersección (con el eje de re\·olución) hág:m: ver que tocb geodésica y de lvf que parte de p minimiza ele manera única la longitud de arco. b) Si 1\1 tiene una segunda intersección q con el C'je de re\·olución. demuéstrese que lo propuesto en (a) se cumpl(' si y sólo si y no llega a q. (Indicación: No es necesano hacer cálculos.)
404
6
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Curvatura y puntos conjugados
Haremos un breve examen de la influencia de la cmYatura gaussiana 1\. de una superficie geométrica lvf en las geodésicas de Jf. 6.1 DEFINICIÓ=". L n segmento geodésico ¡ cksck p hasta q mmnniza localmente la longitud de arco desde p hasta q cuamlo, para .cualquier segmento ele cun·a a que yaya ele p a q y esté suficientenwntc cerca ele y se tenga que L(a:) > ],(¡).
Para clarificar el sentido de la frase "suficicntcuH·nte cerca", definiremos en primer lugar que ex se E-acerque a ¡ cuando hay una ll']Jarametrización á ele ex, C'll el mismo in ten al o I que ¡, tal que p (a ( t)' 1 ( t) ) < E para todo t en I (figura 7.25). A continuación, alteramos el final ele la definición 6.1 ele manPra que diga "cuando exista un s > O tal que, para cualquier ex que se E-acerque a y, tengamos que L(a:) >lo(¡)". Esta mm1mización local es estricta (o única) cuando tenemos la desigualcbcl estricta
L(cx)
>
L(y),
a menos que ex sea rcparametrización ele y.
q
p Figura 7.25
Para darnos una idea intuiti\·a de esta definición, Yamos a imaginarnos que y es una cuerda elástica ---o liga- que 1) está const rcílida a permanecer en ;\!: :.! ) cst{t en tc·nsión, y 3) tiPne sus extremos sujetos a p y q. Puesto que ¡ es geodésica, cstCt en equilibrio: si no lo fuese, su tensión la haría cambiar de posición y voh-crc:c más corta. Pero, ¿es estable el equilibrio? Si hacemos un poco a un lado ¡ )¡;¡<,(a obtener una nue\·a cun·a ex y la soltamos, ¿ \·oh-crá a la posición ori~inal, y:' Es evidente que
405
CL'RVATURA Y PUNTOS CONJUGADOS
y es (estrictamente) estable si y sólo si y es un mínimo (estricto) local en el sentido que se ha definido, pues si a es más larga que y, la tensión la voh-erá a la posición de y. La imTstigación de la minimización local depende del concepto ele puntos conjugados. Si y es una geodésica de rapidez unitaria que comienza en p, entonces y es una curva u-parámetro, v = v 0 , de un mapeo polar geodésico X con polo p. Sabrmos qut:, a lo largo de y, la función = Xv • x, es cero en u = O, pero es no nula inmeclia tamente después (lema 5.4). un punto y(s) = x(s, s0 ) en el que s >O es punto conju¡.;ado ele y(O) = p en y cuando s, V o) = O. (Estos puntos pueden existir o no existir.) El significado geométrico ele los conjugados se apoya en la interpre-
e
e(
.' d e• •v1 (, ' taoon - JI, x,. , como 1a tasa a 1a cua 1 se :1partan 1as curvas u-parámetro (geodésicas radiales). Dicho sin gran precisión, si E > O es 1
1 1
fijo y si Y e= 1! Xv 11 es grande, entonces Ja distancia desde x(u, v) hasta x (u, v + E) será grande: las geodésicas radiales se apartan con rapidez. Cuando y G es pequeña, esta distancia también lo es, y las geodésicas radiales se juntan nuevamente. Por consiguiente, cuando G se anula en un punto conjugado
ello nos sugiere que, s1 v está cerca ele v0 , las curvas u-parámetro han llegado todas a este punto después ele haber recorrido (con rapidez unitaria) la misma distancia s 1 (figura 7.26). Por desgracia, tal vez no se dé en realidad ese encuentro. (e solamente controla los términos de prirnera derivada, y los términos ele orden mayor pueden seguir siendo distintos de cero, aunque G se anule.) x(S¡, Vo)
Figura 7.26
El pLmo cuclicli
406
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
En particular, no hay puntos conjugados. Comparemos los casos del ejemplo 5.5, a saber, la esfera unitaria ::S y el plano hiperbólico II. En relación con :S, encontramos que
ve=
sen u.
Por lo tanto, las geodésicas radiales que parten concretamente. del polo norte p de ::S, se apartan con menor rapidez de la que lo hacen en E", puesto que sen u O. En pfccto, se ve en la figura 7.17 que, una vez que han pasado por el ecuador, empiezan a juntarse unas con otras. Todas tienen su primer punto conjugado después de recorrer una distancia .,.., puesto que ~G-( .,.., v) = sen" = O. En este caso, por supuesto, el encuentro de las geodésicas sucede realmente; el lugar es el polo sur ele :$. En d plano hiperbólico, sabC'mos que las geodésicas que irradian del origen son simplemente rectas euclidianas, pero se apartan más rápidamente que en E", como se espera a partir del hecho ele que, en I-1, "las reglas se encogen a medida que se aproximan a los bordes". Para demostrarlo, emplearemos los datos del inciso (2) del ejemplo 5.5, con el fin ele calcular
ve= senh u. Por lo tanto, V G > u para u puntos conjugados.
>
O, y tenemos nuevamente que no hay
6.2 TEOREMA. Si y es un segmento geodésico desde p hasta q con la propiedad de que no hay puntos conjugados de p = y (O) en y, entonces y minimiza (estricta y) localmente la longitud de arco desde p hasta q. Demostracilín. Sea x un mapeo polar geodésico en p, y rPstrinjamos su dominio a la región E~ en la que > O. Debido a que no hay puntos conjugados de p en y, podemos poner y(u) = x(u, u0 ) para O< u< u 0 • (Por lo tanto, admitimos la posibilidad u = O en esta ecuación, como es habitual, aun cuando = O allí.) A continuación, sea a otro segmento de curTa desde p hasta q, donde ,a también está definida en el intervalo [0, u 0 ]. A partir de aquí, nuestra demostración buscará apoyarse en el hecho de que, si a está suficientemente cerca de y (en el sentido que ya definimos), entonces podrmos expresar a como
e
e
a ( t)
=
x ( a 1 ( t) , a e( t) ) ,
y esta expresión se acerca tanto a la de y que a 1 (0) =O,
(figura 7.27).
407
CURVATURA Y PUNTOS CONJUGADOS V
(a¡, 112)
Figura 7.27
La demostración completa de esta afirmación ---que es bnstante plausible-- no tiene nada ele trivial. l'\o hay ningún problema en u = O, puesto que podrmos reemplazar un segmento inicial corto de a por una geodésica radial, y esto no nos quita generalidad, pues no se alarga a. Entonces, a 1 y a 2 se construyen paso a paso, por medio del hecho ele que x es mapeo regular y, en comecuencia, es localmente difeomorfismo. Entonces, tenemos, así como sucedía en la demostración del teorema 3.6, que
L(a) = ¡uo
Jo
y a/ 2+-Ca/ 2 dt >
al(u 0 )
=
-
a1(0)
=
11 0
=
ruo
Jo
a/ dt
L(y)
1
y si L(n:) = L(y), entonces a es simplemente reparametrización ele y.
Aquí, nos dedicaremos a liberar la idea ele punto con jugado de la dependencia de los mapeos polares geodésicos. Para ello, examinaremos el "coeficiente de dispersión" y G desde cerca. 6.3 TEoREMA. Sea x un mapeo polar geodésico definido en una región
en la que de Jacobi
e> O.
Entonces,
yG =
11 Xv 1!
sastiface la ecuación diferencial
(YG)"" + KyG =O, somrtida a las condiciones iniciales
y G(O, v)
o
(YG)n(O,v)
La finalidad de la restricción G ciabilidad de yG: Aquí tenemos a vemos, en efecto, que
=
para todo v.
1
> O consiste yG( u, v)
en asegurar h diferen-
bien definido para u
=
O;
yG(O, v) = 11 Xv(O, v) ll = O. Sin embargo,
yC
no necesita ser diferenciable en u
taremos ( yG) "(0, v) y
(y-C) uu (0,
=
O, pues interpre-
v) como límites: por ejemplo,
408
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Demostración. La validez de la ecuación de Jacobi se desprende inmediatamente del lema 6.3 del capítulo VI, puesto que, como se Ye en el lema 5.4, E = 1 y F = O para x. Por lo tanto, gracJas a los comentarios anteriores, 'erá suficiente que demostremos
(11 >O).
lím (yG)"(u,v) u -~0
No es necesario que consideremos más que una sola geodésica radial = x( u, v0 ) , para lo cual ponemos
y (u)
g(u)
=
y7J(u, Vo)
para u
> O.
De nueYo, puesto que E = 1 y F = O, obtenemos un campo de sistemas de referencia en y para u
> O.
Como ¡ es geodésica. F 1 es paralelo y, ¡;or el ejercicio 3 de la sección 4, también lo es E c. Por paralelismo, E e está bien definido en u = O ( figura 7.28). Ahora bien,
l<,\(0)
=
X¡¿(0,v 0 )
=
COSVoel
+
Senv 0 e 2;
en consecuenCia,
Ademús, puesto que E 2 es paralelo y x,
=
gE" en y, obtenernos
en y para u
P = r(O) Figura 7.28•
> O.
409
CURVATURA Y PUNTOS CONJUGADOS
Si tomamos límites cuando
u------?
O, obtenemos
Xm-(0, v0 ) = (límg' (u)) E 2 (0). //-)()
Pero
Xu(O, v) = cos
11 e1
+sen v e 2
para todo v;
en consecuencia,
Xuv(O,
v0)
= -sen Vo e, + cos
V0
e 2 = E,(O).
Y es así como la última ecuación implica que lím,Ho g' (O) lím ( y'~G) u(ll, 11 0 ) 11
1: es decir,
1
--j()
1
para v 0 arbitraria.
En términos ele la dispersión de las geodésicas radiales, las condiciones iniciales anteriores nos enseñan que, cuando salen primcramt:nte del polo p en cualquier superficie geométrica, se dispersan a la misma tasa en que lo hacen por el plano euclidiano E". Pues allí teníamos que en consecuencia,
>/ G (0,
v) =
O,
yG
= u;
(y'G)u(O,v) =l.
Sin embargo, la ecuación de Jacobi, expresada como
(y'(})
uu
=
- f { y' G, nos enseña que, de allí en adelante, la tasa de dispersión dejJende de la cUJT'atura gawsiana. Para K < O, las geodésicas radiales se dispersan más rájJidamente que las de E". (Observamos l"Sta anterioridad en d plano hiperbólico.) Para K > O la tasa ele dispersión es menor que E 2 (como tenemos en la esft:ra) . En particular, con el fin de localizar puntos conjugados, ya no t:s necesario que construyamos explícitamente mapeos polares geodésicos, como
hasta aquí lo habíamos hecho. Poclt:mos encontrar y'(j en una geodésica y al resolver la ecuación de Jacobi en y, sometida a las condiciones dadas. El teorema 6.3 implica explícitamente el resultado siguiente. 6.4 CmwLARIO. Sea y geodésica de rapidez unitaria que parte del punto p en JI. Sea r; la solución única de b ecuación de Jacobi en y,
g"
+
K(y)g =O
tal que g(O) =O, g'(O) = l. Entonces, el primer punto conjugado de y(O) = p en¡ (ele existir) es 1 (s 1 ), dondes, es el menor númno positivo tal qut: g(s 1 ) = Cl.
6.5 Ep:MPLO Puntos conjugados 11 Sea 1 una geodésica ck rapidez unitaria que parte dP nt;dquier punto p ck la csfcr;t ::::: de radio r. Lt ecuación de J;tcobi de 1 C', por tanto, e" + = o, cuya solución general cst[t chda por
410
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
g ( s)
S
S
r
r
= A sen - + B cos --
.
Las condiciones iniciales g(O) =O, g'(O) = 1 resultan, rntonces, en g(s) = r sen (s / r). El primer cero de esta función es que s1 > O ocurre en h = r. Por lo tanto, el primer jJUnto conjugado de y (O) = p en y está en el punto antÍjJoda de p. (Esto concucrd:c con nuestros cúlcuios anteriores de la esfera unitaria por medio ele m apeos pobres geodésicos.) 2) Sea y una p:crametrizZtción de rZtpidez unitaria del ecuador exterior ele un toro de revolución T con radios R > r > O. Aquí, y es geodésica y sabemos que, en y, K tiene el valor constante 1/r(R + r). En consecurncia, por el corolario 6.4, el primer punto conjugado y(s 1 ) ele y(O) = p en y ocurrirá a exactamente la misma distancia s1 a lo largo de y que en el caso de que y estuviera en una esfera con esta cun·atura K. De ello se desprende que s1
= ;rVr(R + r).
6.6 CoROLARIO. No hay puntos conjugados en nmguna geodésica ele una superficie con curvatura K < O. En consecuencia, todo segmento geodésico de una superficie así es localmente minimizante. Demostración. Apliquemos el corolario 6.4 a una geodésica y en Af. Puesto que g(O) = O y g'(O) = 1, tenemos que g(s) >O para s >O, por lo menos, hasta el primer punto conjugado (si existe). Pero K< O implica que g" = - Kg > O, de manera que g' es función creciente; de hecho, g' > l. En consecurncia, g (s) > s hasta el primer punto conjugado; pero por esta misma razón, tal punto conjugado no puede existir. Del teorema 6.2 se desprende, entonces, el enunciado final.
1
Por ejemplo, en un cilindro circular C (K = O), la geodésica hclicoidal y que va desde p hasta q -indicada en la figura 7.29- es, en efecto, estable, como se verifica mediante el experimento directo. Aunque mini-
Figura 7.29
Figura 7.30
411
CURVATURA Y PUNTOS CONJUGADOS
miza localmente, no es, desde luego, minimizantc. El segmento de recta a constituye evidentemente un camino considerablemente más corto para u· desde p hasta q. Para que el estudio de los puntos con jugados vaya mucho más lejos, es necesario 2plicar el cálculo de variaciones (véase -:\lilnor [7]). Nosotros nos limitaremos a citar un solo resultado, que viene a complementar el teorema 6.2. En cuanto una geodésira y que parte de p pasa jJOr el primer jJunto conjugado de p en y, ;;a no minimiza la longitud arco. Esto se ve con bastante facilidad en una esfera ~. En la figura 7.30, la geod(:sica y desde p hasta q es sólo un poco más brga que la prinwra distancia conjugada .,.r. Si el plano del gran círculo de ¡ gira ligeramrntc en rotación alrededor de un ejt:' que pase por los extremos p y q, dejará en ~ un segmento de curva a que, como se verific:1 analíticamente, es estrictamente más corto que y. (Obscn-cmos que la única geodésica mús corta desde p hasta q no es tú cerca de y.) El teorema 6.3 también sirve para dar una descripción bastm1te intuitiva de la curvatura gaussiana en una superficie geométrica arbitraria.
6.7 LEMA. Si x es mapeo polar geodésico con polo p, entonces
(u> 0). En todo lo que expondremos a continuación, o (u") nos denotará una función ele u y v (u> O) tal que lím"_, 0 o( u") /u"= O. En la fórmula, entonces, si u es suficicntemt:'ntc pequei1o, o ( u 3 ) resulta despreciable en comparación con los dos primeros términos. Demostración. Como antes. consideremos g(u) = y G (u, v) en una geodésica radial y (u) = x( u, 1.'). Como solución de la ecuación de Jacobi en y, g es difcn·nciable en u = O. Por tanto, tiene un desarrollo de Taylor
g(u)
=
g(O)
+
g'(O)u
+
g"(O)
u~
2
+
u3
g"'(O) -
6
+
o(u 3 ).
Las condiciones iniciales del corolario 6.4 son g (O) = O, g' (O) = 1; en consecuencia, a partir de la ecuación ele Jacobi, obtenemos g" (O) = O. Al diferenciar la ecuación de Jacobi, vemos qnc
g"'
+
K(y)'g
+
K(y)g' =O.
En consecuenCia,
g"'(O) = K(y(O) 1 = -K(pl. Al hacer la substitución en el dt:'sarrollo de Taylor, obtenemos el resultado que queríamos.
1
412
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Figura 7.31
Supongamos que los habitantes de una superficie geom~trica jJ qulSlcran determinar la curvatura gaussiana de NI en un punto p. Al medir una distancia pequelia E en todas las direcciones desde p, obtendrán una circunferencia polar ce de radio E. Ahora bien, si J,;f = E", el perímetro de Ce es simplemente L (e") = 2"E. Pero, si K > O, las geodésicas radiales desde p no se dispersan con esa rapidez, de manera que Ce deberá ser más corto que 2-;;-r: y si K< O, se dispersan con más rapidrz, ele manera que e" ha de ser más largo que 2-;;-E. La relación entre J,( Ce) y K se puede medir con alguna precisión. Para un E > o suficientemente pequCI'ío, ce queda paramctrizacla por v ~ x (E, v), donde x es paramctrización polar geodésica en p. Por consiguiente,
En consecuencia, según el lema anterior,
Por lo tanto, si los observadores en "\1 miden J, (Ce) con mucho cuidado para e pequeño, pueden determinar aproximadamente lo que Yalc·la curvatura gaussiana ele Af en p. Al tornar los límites, obtencr;1os el 6.8
CoROLARIO.
}{(pi=
lírn, __ ,,
(3/_,r::) (2-;;-r- L(CJ).
Es fácil hacer la prueba e],. la fórmula ) en una esfera ::S ele radio r en E". Como se yc en la figura 7.31. la circunferencia polar C, con centro en p es, Pn realicbcl, una circunferencia cuclidian:~ de raclio cuclicli:nw r sen 17. don ele 1'l = ri r. Por tzmto. :ocgím h serie ck Tay\or ele b funcióu ~;t·no,
CURVATURA Y PUNTOS CONJUGADOS
413
con lo cual tenemos una demostraciún adicional de que ::::: tiene curvatura gaussiana K = 1/r". EJERCICIOS
1. Sea x la pararnetriz:1ción polar del plano hiperbólico dada en el ejemplo 5.5. Dedúzcase y G (u, v) = senh u ele dos Il13YJC'ras diferentes: al calcular x,. o x,. y al resolver la ecu:1ción de Jacobi. 2. Si ce es circunferencia polar alredC'dor de un punto p de lYf, diremos qup la región que encierra es el disco polar De de radio E. a) Demuéstrese que el área dPl disco polar es
e,
y, en consecuenCia
b) Aplíquese esta fórmula para encontwr la curvatura gauss1ana de una esfera de radio r.
3. En el origen O del plano hiperbólico, encuéntrese b longitud de la circunferencia polar e,. y el área del disco polar DE (O< E< 2). Dedúzcase de c;¡da resultado que K (O) = - l. 4. Sea j f una superficie 3unwntada de I'C\·olución (ejercicio 12 ele IV.l). a) Si lvf se corta con A en un solo punto p (corno sucede en un paraboloide dC' revolución), hágase ver q11e p carece ele puntos conjugados en ninguna geodésica. b) Si Af se corta con A en dos puntos, p y q (corno sucede en un elipsoide ele revolución), hágase wr que p y q son puntos conjugados en toda gpocJésica que los una. (Indicación: El teorema 6.3 del capítulo V constituye una solución de la Pcuación de Jacobi.) Los ejcrcicios siguientes se refieren a una variante útil de la p3r:l.nwtrización polar geocll>sic3 en la que el polo p se substituye por una cun·a regular arbitraria. 5. Sea f3: I ---:> ,\1 una cun·a regular en Af, y sea X un campo vectorial (no nulo) en j3 t:1l que (Y y X son linealrrwnt(' independientes en cada punto. Definamos x(u,v) = ")'X
414
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
x(u, v)
X Figura 7.32
Figura 7.33
por tanto, las curvas u-parámetro de x son geodésicas que cortan a {3 con velocidades iniciales que están dadas por X (figura 7.32). Demuéstrese que: a) x es mapeo en alguna región D que contiene al intervalo (0, v), ven l. b) Si escogemos adecuadamente {3 y X, esta parametrización x se convierte en i) el mapeo identidad de E 2 (coordenadas naturales), ii) la parametrización canónica ele una superficie de revolución, y iii) una parametrización reglada de una superficie reglada (capítulo V, sección 5) . 6.
(Continuación). Si {3 es curva de rapidez unitaria y si X es la normal unitaria N de {3 (sección 4), hágase ver que, para x: E= 1, F =O
y ,¡-e; es la solución de la ecuación de Jacobi ( ·Ie) uu que
v'G(O, v)
=
1
y
( YG)u(O, v)
=
-K9
+
K yG = O tal
(v).
La elección natural de X en d ejemplo anterior significa que, en esta parametrización, e tiene significado geométrico. Si e (U o, Va) = o, entonces, (por analogía con los puntos conjugados) decimos que x(u 0 , v 0 ) es ]Junto focal de {3 a lo largo de la geodésica normal v = v 0 • Aquí, los rayos de luz que emergieran ortogonalmente de {3 tenderían a encontrarse ( figura 7.33).
.'\IAPEOS QUE CON SERVAN LOS PRODUCTOS INTERIORES
415
7. a) Si {3 es una circunferencia de latitud en una esfera ::S, hágase ver que los polos norte y sur de ::S son los únicos puntos focales de (3. b) Si {3 es una curva del plano euclidiano, hágase ver que sus puntos focales son exactamente sus centros ele curvatura: es decir, los puntos de su evoluta. !Vt'ase el ejercicio 15 de II.4.) 7
Mapeos que conservan los productos interiores
Ya vimos que una i~ometría local F: Af ----'> N transf orrna las geodésicas ele N. Por medio de la notación yv de la geodésica con velocidad inicial v podremos ser más explícitos. 7.1 LEMA. Si F: Af----'> N es isometría local y sr v es un vector tangente a Af en p, entonces
F(y,) =
{P
(V)
Demostración. De acuerdo con el comentario anterior, geodésica de N. Su wlociclad inicial es el vector tangente
y=
F ( Yv) es
a l\' en F ( p) . Por tanto, gracias a la unicidad de las geodésicas ( tcorerna 4.3), y es precisamente /'F.:,(rl. Por consiguiente, una isometría local queda completamente determinada por su efecto en un solo sistema de referencia.
1
e
7.2 TEOREMA. Sean F y isometrías locales de M a N. Si tenemos, para un sistema de referencia e 1 , e" en un punto p de J.vf, que
entonces F = G. Demostración. Si Af es geodésicamente completa, la demostración resulta particularmente fácil. Si q es punto arbitrario de Af, entonces, según el teorema 5.9, existe un vector ven el punto especial p tal que yv(r) = q. A partir ele la hipótesis acerca de F, y e*, deducimos, por linealidad, que F.,, y e* concuerdan en v = c 1 e 1 + ccec. Por tanto, el lema anterior nos enseña que F(y,) = {P.(v) = {G (v) = e(y,.).
Por consiguiente, en particular, se verifica que
F(q) = F(y,(r)) = e(y,(r)) para todos los puntos q de Af.
e(q)
416
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
La demostración en el caso en que Af es cualquiera es un refinamiento de la anterior. A partir del lema 5.3, es posible obtcnPr una geodésica quebrada f3 desde p hasta q y deducir que F(/]) = G((J) por medio de la argumentación anterior aplicada a cada sqnnento no quebrado ele [3.
1
A continuación, utilizaremos el hecho de que las i'>omctrías locales consen·an las geodésicas para construir algunas isometrías locales. Nuestro fin es exhibir el parecido de familia que cxistP entre las :-.upcrficie~'i geométricas de la misma cun·atura const;mtc. Dado cualquier número K, hay una superficie geo!llétrica particularmente simple Af (K) cuya curvatura gaussiana tiene el \·alor constante K. 1) Si K> O, sea Af(K) la esfera ::S de la cmyatura K (y, en consecuencia, ele radio 11 .Y7[). 2) Si K= O, sea Af(K) el pbno euclidiano E". 3) Si K< O, sea M(K) el plano hiperbólico If ck curvatura K (y. en consecuencia, ele pseudorraclio 11 y - /{: véase el ejercicio 4 de la sección 2). Diremos que ,\l(K) es la suj)(?rficie geomhrica estándar de curvatura constantr K. Por supuesto, hay muchas otras superficies de cun·atura constante: se distinguen por el hecho de ser geodé:,icamentc completas y simplemente conexas (pág. 204). 7.3 TEOREMA. Sea N una superficie geornetnca geodésicamente completa con curvatura gaussiana constante K. Entonces existe una isomctría local F de la superficie estándar Af (K) sobre N. El primer mapeo del ejemplo 4.6 del capítulo VI es uno ele los casos ele este teorema, como también lo es la isometría local (ejercicio 6 de la sección 2) de una esfera sobre un plano proyecti\·o. Demostración. Fl caso en r¡ue ]{
Acerca de la superficie S, afirmaremos que 1) x está definido en todo el semi plano derecho S: u > O (como consecuencia de la completitud geodésica). 2) Su inwgcn x(S) cubre la totalidad dt' N, con la excepción posible del polo p (como consecuencia del teorema :).~) y ele la definición de los mapeos polares geodésicos).
MAPEOS QUE CONSERVAN LOS PRODUCTOS INTERIORES
417
3) :X: S-'? N es mapeo regular. (Por el lema 5.4, E= 1 y F =O, pero ya hemos hecho notar que la ecuación de Jacobi para K = -1 nos senh u, de manera que EG - F2 = senh 2 u > O en S.) Así, este resultado general es válido para x: S-'? H también, pero aquí sabemos más. Por el ejemplo 5.5, toda la superficie H es wcindad normal del polo p: por tanto, x sólo tiene las ambigüedades habituales de las coordenadas polares; la ecuación x (u, v) = q determina c!P mant'ra única a u, y a v de manera única, con la excepción de la adición de algún múltiplo de 2r. ( q =/= p). Gracias a esta información adicional, concluimos que la fórmula da
yG =
F(x(u,v) =
x(u,v)
es consistente, de manera que define un mapeo polar F de H sobre la totalidad de N. (Para demostrar la cliferenciabiliclacl de F en el recurrir, corno hacíamos en la demostración del lema y y y que corresponden a x y x). Se ve con facilidad local por medio del criterio del lema 4.5 del capítulo acuerdo con 3, tenemos que E= 1 =E,
F =O= F,
G = senh 2 u = G
polo p, hemos de 5.3, a los mapeos que F es isornetría VI. En efecto, de
para
u> O,
y, en el polo p, la conservación de los productos interiores es consecuencia honesta de la continuidad. El caso en que K = O. En esto, la argumentación es una copia literal de la anterior, con la excepción ele que
M(K) = E 2
y
G = G = u 2•
El caso en que K > O. Aquí requerimos de una idea nueva, pues la mayor vecindad normal 'JZ de un punto p ele la esfera ::S = M (K) no es la totalidad ele ::S: se omite el punto antípoda, -p. Al argumentar de la manera en que se hizo para el caso K < O, obtenemos una isometría local F,: JL-'? N. Ahora repetimos este argumento una vez más en un punto p''' en difPrente ::::: para ambos p y -p. Obtenemos una isometría local F 2 : ~]]"'--'?N, donde 'JI" PS la totalidád de ::S menos -p. Los sistemas ele referencia que determinan a F 2 se eligen ele manera que los mapas ele derivadas de F, y F 2 concuerden en p. Por tanto, según el teorema 7.2, F, y F 2 son idénticas en la región traslapada de 'JI y 'Jl"'. Pero 'J2 y 'JI"' cubren la totalidad de la esfera :S, de manera que F 1 y F 2 constituyen entre ambos una sola isometría local F: ::S--'? N. Puesto que ::S es compacta y N es conexa, el ejercicio 6 de la sección 7 del capítulo IV nos enseña que F transforma a ~ en la totalidad de M.
1
418
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Una isometría F: M___,. M de una superficie geométrica a sí m1sma se puede considerar como simetría de J1. Todas las características de la geometría ele J!,f son iguales en cada punto p que en F(p), puesto que esta geometría se compone de invariantes isornétricas. Los re~mltados del ejercicio 9 de la sección 4· del capítulo VI nos hacen ver de inmediato que el con junto !f (M) de todas las isometrías F: J!,f ___,. j1 forma un grupo, así como el con junto de todas las isometrías del espacio euclidiano ( ejercicio 7 de la sección 1 del capítulo III). Decimos que !f (ld) e~ el grupo de isometrías de .M. Este grupo !f pi) es, por supuesto, inlrÍnseco a A1, y cuando Ai es superficie en E\ no se le debe confundir con los grupos cf (Af) de simetrías euclidianas de Af (ejercicio 7 de la sección B del capítulo VI). Una simetría euclidiana F de A1 e E 1 es una isometría ele E 3 con la propiedad de que F (Af) = M; existe cuando la forma de A1 en E 3 es simétrica en el sentido ordinario que tiene esta palabra. Cada 'imctría euclidiana F de J1 da lugar a una isomctría F J Af: },1 ___,. A1, pero, en general, este proceso no nos da todas las isometrías de M e E" (ejercicio 9). En una superficie geométrica arbitraria Jf, el grupo de isometrías !f (M) da una descripción algebraica de Af que es novedosa. En términos poco precisos, a medida que M es más simétrica, tenernos que !f (Af) es mayor. Aunque no vamos a efectuar la demostración, pondremos el ejemplo del elipsoide
(a>ú>cJ que posee exactamente ocho elementos en su grupo de isomctría, y todos ellos provienen de sus simetrías euclidianas, ele la manera que describimos antes: tres reflexiones (una en cada plano de coordenadas), tres rotaciones de 180° (una alrededor de cada eje de coordenadas), la isornctría p ___,. - p y, por supuesto, el mapeo identidad de .H. El menor grupo de isometrías posible ,fj (M) ocurre cuando el mapeo identidad de Af es la única isometría de }vf. Podernos producir una superficie geométrica así si le ponemos un chichón al elipsoide, de manera que se destruyan sus siete isometrías no triviales. En cambio, una superficie geométrica lvf tiene~ la mayor simetría posible cuando existe toda isometrb posible de las que permite el teorema 7 .2. Es decir, si tenemos sistemas de referencia C¡, Ce y e,, e2 en dos puntos cualesquiera de Af, existe una isometría F: Ai-> A1 tal que
Cuando esto suceda, diremos que A1 es homogénea con respecto a los sistemas de referencia; dos sistemas de referencia cualesquiera t:n Af están simétricamente ubicados.
MAPEOS QUE CONSERVAN LOS PRODUCTOS INTERIORES
419
-------e ~~
------
Figuro! 7.34
Por tanto, lo que demostramos en el teon·ma 2.3 del capítulo I li es que E" es homogéneo con respecto a los sistPmas dr referencia, y b misma rlPmostrZJrión se rumple para En a;·bitrarios y, en particular, par:1 E 0 • En los ejercicios ele esta sección, veremos que todn sujJerfirie estándar JI(K) de curvatura constante es homogénea con respecto a los sistemas de referencia.
7.4 DEFINICIÓ:-¡. Una superficie geométrica A1 es homogénea en Jmntos (o simplemente hmno[!.énea) cuando dos puntos cualesquiera p y q clf' M hay una isometría F: M__.,. A1 tal que F ( p) = q. Una superficie homogénea con respecto a los sistemas ele refrrencia es, por supuesto, homogénea, pero lo contrario no es cierto. Un cilindro circular C en E 3 nos da un ejemplo de ello. De hecho, si F es una rotación ele E 3 alrededor del eje de C, o una trasbción de E3 a lo brgo de este eje, entonces F transforma C en C, ele manera que produce una isometría de C. En consecuencia, dados puntos cualesquiera p y q de C, podemos ltaccr una rotación para poner p en p, que está en el mismo rayo de q, pZ~ra, Z1 continuación, trasbdar p a q. La composición de estas dos isometrías es una isometrb que tr:-tnsforma a p en q. Por otra pZ~rte, C no es homogéuea con respecto a los sistemas de referencia: todos sus pw:tos son geornélrieamcnte equivalentes, pero no todos sus sistemas de referencia. (Demostración: En los vectores unitarios que vernos en la figura. 7 .34·, no ha;.' ninguna isometrÍa capaz de transformar Ct en C1 , pues, por el lema 7.1, F tendría que tr:-tmJormar la gcoclésicZ~ uno a uno Yc, en la geodésica pe'' óclica y r 1 : esto es impo:·;ible, puesto qul' F es uno a uno.) f ,a homogeneidad es una restricción muy fuerte.
lv1
7.5 TEOREMA. Si una superficie geomélrica M es homogénea, entonces geodésicamente completa y tiene curvatura gaussiZ~na constante.
C'S
420
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
a' (lo)
u
0.
F('.JL) Figura 7.35
Demostración. La constancia de la curvatura es consecuencia de la definición de homogeneidad y del hecho de que las isometrías consrrvan la curvatura. La demostración de completitud es más interesante. Si A1 no es geodésicamente completa, hay una geodésica máxima ele rapidez unitaria a que se define solamente en el intervalo 1, que caracterizaremos concretamente como 1: t a, que no es la totalidad de la recta real. Verificaremos la imposibilidad de esto. Por el lema 5.3, todas las geodésicas que emanan de un punto arbitrario p de Al recorren por lo menos una distancia fija e > O. Tomemos tu en 1, con la propiedad de que a - 10 < c/2. Puesto que Af es homogénea, existe una isometría F: Ji--'> 1\1 tal que F(p) = a(t 0 ). Ahora bien, sucede que, para algún vector unitario u en p, F,.(u) = a'(t 0 ). Por tanto, el segmento geodésico F(yu) tiene la velocidad inicial
<
y recorre una distancia e con rapidez unitaria (figura 7.35). Pero, entonces, un cambio ele parametrización nos permite aplicar el teorema 4.3 con el objeto de definir a en el intervalo t to + E. Pero lo + E a, ele manera que aquí se ha contradicho la maximalidad del intervalo I, y con ello se demuestra que Al es geodésicamente completa.
r: <
>
1
Como nos lo sugiere el título ele esta sección, las isometrías (locales) no son los únicos mapeos importantes en la geometría que conservan el producto interior. Vamos a ver brevemente los otros tipos principales.
7.6 DEFINICIÓN. Sea F: A1--'> E' un mapco de una suprrfici,· geométrica hacia E''. Si el mapa de derivadas F,, consnva el pnxlu~·to interior de vectores tangentes, entonces F es una inmersión ismn/írica. Si F es, además, uno a uno, entonces F es una inyección isomhrica. Cna inyección isométrica F tal que la íunción inversa F- 1 : F(Al) ~ Jf es continua se llama jnopia. Esta definición es indebidamente prohibitiYa. Es evidente que podernos quitar E 3 -o incluso M- y poner en su lugar cualquier variedad de Riernann (pág. 354).
MAPEOS QUE CONSERVAN LOS PRODUCTOS INTERIORES
421
Si F: M~ E 3 es inyección isométrica propia de una superficie geométrica en E 3 , entonces la imagen F(M) es superficie en E 3 y la función F: M -e> F(M) es una isometría.
7.7
LEMA.
Demostración. Si x: D -e> A1 es carta propia dentro de .A1, entonces el mapeo compuesto F(x): D ~ E 3 es una carta que descansa en F(M). Además, F(x) es carta propia. De hecho, su función inversa F(x.(D)) -e> D es simplemente x- 1 F-r, que es continua, pues x- 1 y F- 1 son continuas también. Por tanto, podemos comprobar con facilidad la definición 1.2 del capítulo IV. Ahora bien, como superficie geométrica, F(A1) emplea el producto escalar de E", y, por definición, F: NI--:> E" conserva los productos interiores.
1
Es así como vemos que el estudio de la geometría de las superficies de E" es exactamente igual al estudio ele inyecciones isométricas propias de superficies geométricas en E 3 . Este resultado bastante técnico es importante sólo porque nos sugiere una generalización considerable del trabajo que hicimos en los capítulos V y VI. Bien podríamos haber estudiado allí la clase -mucho más grande- de las inmersiones isométricas en E 3 , haciendo a un lado las restricciones de propiedad e inyectividad. En esto no hay dificultad real alguna, como no sean las complicaciones de notación. Como teníamos en el caso especial que explicamos en la página 354, la imagen F(.A1) de una inmersión isométrica F: .A1 ~ E 3 puede cortarse a sí misma; de cualquier modo, pensaremos en ella corno una especie de superficie defectuosa en E 3 • Si definirnos el operador de forma de una su jJerficie inmersa de ésas, por lo menos nos daremos una idea de la manera en que se puede generalizar el resto de los capítulos V y VI. Puesto que se conservan los productos intniorcs, una inmersión isométrica F es regular. Por consiguiente, F,, ( T 11 ( .H) ) es subespacio bidimensional de TP(p) (E 3 ) ; desempeña el papel de plano tangente para F(JH) en F ( p) . U na función normal unitaria U asigna a cada punto p (en una región de .A1) un vector unitario ortogonal a F,,(Tv(A1)). Si a es curva en ;\1, entonces Ua es un campo vectorial en F(o:) en E". EntoncPs, si Y es la \Tlociclacl inicial de o:, definimos S(v) como el vector único en T¡¡(M) con la propiedad de que
F: (S (V) )
=
-
U a 1 ( Ü)
Este operador de forma S es nuevamente un operador lineal simétrico en T 11 (lo,1). La mayor parte ele nuPstros resultados anteriores se cumplen bastante bien en la generalización. Por ejemplo, si la curvn tura gaussiana K ele Al se define intrínsecamente, como se hizo en la sección 2, entonces, mediante
422
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
una reorganización de las cuestiones lógicas del capítulo VI, sección 2, podemos hacer ver que K= det S. Un teorema corno el teorema 3.7 del capítulo VI resultará ser más informativo: Si M es superficie compacta con curvatura constante K (>O) y si F: "H--+ E" es _inmersión isométrica, entonces F es isometría de M en a una esfera euclidiana ~ de radio 1j y K en E 3 • Dicho de otra manera: aunque permitamos que F(A1) se corte a sí misma, esto no podrá suceder: F(M) sólo puede ser una esfera ordinaria y redonda en E". Hemos Yisto que hay superficies geométricas A1 que no pueden ser inyectadas isométricamente en E 3 ; ejemplos de esto son el toro llano (ejemplo 2.5) o el plano proyectivo del ejercicio 6 de la sección 2. En este caso, resulla natural que intentemos inyectar i\1 en un espacio euclidiano E" de mayor dimensión. A medida que n crece, esta tarea se vuelve menos difícil. (Dicho sin demasiada precisión, al tener mús dimensiones por bs que 1H se puede curvar, crece la posibilidad de que encontremos una forma para l'v1 que resulte compatible con la geometría intrínseca que posee. Véase el capítulo VI, sección 9.) Por tanto, aunque los toros llanos no se encuentran en E 3 , los podemos encontrar en E 4 •
7.8 EJEMPLO. La inj'ección isométrica de un toro llano en E'. Partiremos de mapeo :X: E 2 --+ E 4 tal que x(u,v) = (cosu,senu,cosv,senv) Si x es parametrización del toro llano T que vimos en el ejemplo 2.5, entonces la fórmula F(x(u,v)) = x(u,v) Es consistente; en realidad, nos define un mapeo uno a uno F: T-¿ E 4 • Esto se demuestra si obscryamos que
x(u, v)
=
x(u1, v1 ) (=) 11 1 =u+ 2r.m, v1
= v
+ Si Icemos las flechas de implicación de consistencia que buscábamos; la otra uno a uno. Entonces, F es inyección isométrica interiores. De la manera acostumbrada,
2r.n(=)x(u, v) = x(u 1 ,v1).
izquierda a derecha, obtenemos la dirección nos enseiía que F es cuando F* conscrYa los productos calculemos
Xu
= (-sen u, cos u, O, O)
Xv
=
(0,0, -senv,cosv).
E 11 consccuenna,
E= 1,
F =O,
G=l.
423
MAPEOS QUE CONSERVAN LOS PRODUCTOS INTERIORES
Estas funciones concuerdan con E, F y G para x, de manera que, s1 empleamos la misma argumentación con que demostramos el lema 4.5 del capítulo VI, veremos que F,, conserva los productos interiores. La situación general de aquí no se ha entendido bien. Aunque toda superficie geométrica compacta se puede inyectar isoJ!létric~~ 17 , nos queda la posibilidad ele que podamos suh,tituir el !7 P9f,ir&~~l~' tan p:·quelía romo + .· · :• .· "'t,. ~.¡;.~\
4\) ':r\\
'!~>~,~Y
JI')
EJERCICIOS
~ N una isometrb local, y supongamos que A1 -es-· gc~dé sicamente completa. Demuéstrese que F es sobre si y sólo si N es
1 . Sea F: l\1
geodésicamente cornpleta.i' 2. Demuéstrese que una superficie geométrica geodésicamente completa con CU!Tatura constante y positiva es compacta. (Este resultado tambien se cumple cuando simplemente K 2: e >O. Véase el teorema de .:VIyers en la obra ele Hicks [S].) 3. Supongamos que en k! podamos unir dos puntos cualesquiera mediante por lo menos una geodésica, y que en N se puedan unir dos puntos mediante no más de una geodésica. Demuéstrese que toda isorrwtría local F: A!~ N de esas superficies será uno a uno. 4. Sea F: M-> A! una isomctría distinta del m apeo iclenticbcl. Si se Íija una curva de rapidez unitaria bajo F, es decir, SI
F(o:(s)) = a(s)
para todo
s,
hágase ver que a es geodésica ele jf.
5. Sean x y x parametrizaciones polares geodésicas de las vecindades normales
y
':.lle (con el mismo valor de e) en dos superficies
geométrica>. Si J{(x) muéstrese que
JlE
y
=
J{(x) en el dominio común st de
X
y x, de-
'JZ, son isométricas.
6. Demuéstrese que la esfera :S y el plano hi pcrbólico H son homogéneos con respecto a los sistemas ele referencia. ( lndicaci0n: Declúzcanse en :S las isometrías que se requieren a partir de transformaciones ortogonales de E"; en JI, aplíquese el teorema 7.3 y uno ele los ejercicios anteriores.) t Auncptc la tlcrnostración no e.;; c\--r1lc:ttal, :;r sabe que las dos prupic
424
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
7. Demuéstrese que el toro llano es homogéneo, aunque no es homogéneo con respecto a los sistemas de referencia, y que un toro de revolución ordinario en E 3 no es homogéneo. 8. Demuéstrese que: a) En el cilindro circular recto F: e-? e es de la forma F (p)
=
e:
x2
+ y2
r2 en E 3 • toda isometría
(p 1 cos {} -+-Pe sen{}, p 1 sen{} -+- Pz cos {},e PJ
+
a)
donde E = -+- l. b) Toda isometría ele una esfera o ele un cilindro circular recto en E;3 es la restricción de una isometría de E:3 •
9. Sea A1 el cilindro en E'3 cuya curva de sección transversal es la elipse 4x" + y" = 4. (Podríamos cmplPar cualquier otra curva cerrada y no circular.) Demuéstn·se que existe una isomctría de Al que no es rPstricción de una isomctría dP. E". (1 ndicaciórz: Paramctríccse M mediante x(u, u) = ,ct(u) + vU;;, donde a es una pararnetrización periódica y de rapidez unitaria de la elipse.)
1O. En la esfera ~ de radio r, sea T un triángulo cuyos lados son segmentos geodésicos de longitudes a, b y e (todos menores que "r). Sea {} el ángulo ele T en el vértice p que se opone al lado a. a) Dcmuóstrese la ley ele los cosenos: a cosr
=
cos
b
e cosr r
+
sen
b r
sen
r e
cos {}.
b) Hágase ver que esta fórmula se aproxima a la ley habitual euclidiana con los cosenos cuando el valor de r es grande en comparación con a, b, c. (1ndieaciún: Con el objeto de determinar cos {} encuéntrense vectores unitarios ub, Uc en p, tangentes a los lados b y c.) 11. Demuéstrese que el plano proyccti\·o (ejercicio 6 de la sección 2) es homogéneo con respecto a los sistemas ele referencia. (1ndieaciún: Si F: :S---+ :S es una isometría de la esfera :S C E" ·entonces F (- p) = - F ( p) ; en consecuencia, hay un m apeo F: :S -? :S tal que PF = FP.)
12. Demuéstrese que los grupos ele isomctrías ele bs superficies isométricas son isomorfos. 13. Si 1H es superficie en E'1 que no descansa en un plano, húgase \·cr que la función F---+ F Al es isomorfismo del grupo euclidiano ele simetrías cJ (M) a un subgru po ele isornetrías e 0 ( ,H) . 1.
425
MAPEOS QUE CONSERVAN LOS PRODUCTOS INTERIORES
Se pueden construir explícitamente isometrías del plano hiperbólico si se reconoce un punto del plano como número complejo
z
u
=
+
iv = (u, v),
y se aplican los ejercicios de la sección l. Por tanto, s1 la magnitud de z, tenemos 1
z
1 "
1
z
1
nos denota
= zz = u" + v",
<
y es posible describir el plano hiperbólico como el disco 1 z 1 2, con la estructura geométrica conforme que vimos en el ejemplo 1.3, dada por
g(z) = 1 14.
1
z
1
2
/4.
(Traslación del plano hiperbólico.) Para un número real fijo e= (e, O) en H, sea T el mapeo T(z) = 4[(z + c)/(cz + 4)] definido en If. a) Hágase ver que T(H) C H y que T: l! ---'?1-f es uno a uno y sobre.
Si denotamos con H' el mismo disco, z < 2, pero con la estructura euclidiana habitual; el ejercicio 7 de la sección 1 nos enseña que T: H'---'?1-f' es mapeo conforme con escala ,\(z) = dT/dz:. b) Verifíquese que la escala es 1
1,
1
,\(z)
4- c 2
-lcz + 412 .
= 4--~
e) Declúzcase que T: H---'? H es isometría del plano hiperbólico. (Indicación: Aplíquese el ejercicio 9 ele VII.l.) Estos métodos sirven para verificar que H es homogéneo con respecto a los sistemas de referencia y ~-si vamos un poco más lejospara hacer una deducción elegante de las geodésicas de H.
15. (El semijJlano de Poincaré P es isométrico al plano hijJerbólico 11.) En términos de números complejos, P es el semi plano Irn z > () con la estructura geométrica conforme g(z) = Im z. (Im z es la parte imaginaria v de z = u + iv.) Sea F el mapeo
+ 2i iz+:Z'
z F(z) -
definido en H. Hágase ver que a) IrnF(z) = (4- /zi"J/:iz+21 2 • b) F cs mapco uno a uno de H sobre P. (Calcúlese explícitamente p-1.) e) En relación con las estructuras euclidianas. F es conforme, con factor escalar ,\(z) = 4/ i iz + 2.]".
426
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
d) F: H --7 P es isometría. Hágase un bosquejo de H y P e indíquense las imágenes en P de cada uno de los cuatro cuadrantes de H. 8
El teorema de Gauss-Bonnet
Hemos visto que la curvatura gaussiana K ele una superficie geométrica M tiene fuerte influencia en las otras características geométricas de M, como son la traslación paralela, las geodésicas, las isometrías y, desde luego, la forma de M si se tiene que está en E". A continuación, veremos que la influencia de la curvatura gaussiana penetra hasta la conformación topológica más esencial y definitiva de A1: las propiedades completamente independientes de la estructura geométrica particular de lvf. El paso principal de esta demostración será un teorema que relaciona la curvatura total de un 2-segmento con la cantidad total ele flexión ele su frontera. En una curva arbitraria a en M, la curvatura geodésica nos dice cuál es su tasa de flexión en relación con la longitud de arco. Por tanto, para encontrar la cantidad total de flexión ele a, vamos a integrar con respecto a la longitud de arco. 8.1 DEFINICIÓN. Sea tY: [a,b]--7M un segmento regular de curva en una superficie geométrica orientada Af. La curvatura geodésica total
J" K11 ds
de a es S(Ú)
J
Kg(s) ds
s(a)
donde Kg ( s) es la curvatura geodésica de una reparametrización ele rapidez unitaria de a. La curvatura geodésica total de a en Af es, por tanto, la analogía de la curvatura gaussiana total de una superficie en E". Por ejemplo, sea e una circunferencia de radio r en E 0 , donde E" tiene la orientación natural. Si a es una curva que hace un viaje en el sentido opuesto al de las manecillas del reloj en e, entonces a tiene la curvatura geodésica ·constante Kg = 1/ r. Por tanto,
al margen del tamaño de la circunferencia. La curvatura total de un viaje en el sentido de las manecillas del relo.i será dP - 277", pues, en grnl'ral, si la orientación de AJ se mantiene fija, entonces la curvatura geodésica total de un segmento de cuJYa a no se ve afectada por una reparamctri-
427
EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET
zacwn que conserve la orientación, pero cambia de signo en una reparametrización que invierte la orientación. (Lo primero es consecuencia clara de la definición; lo segundo se deduce, por ejemplo, del lema siguiente.)
8.2 LEMA. Sea a: [a, b] -:.k! un segmento regular de curva en una región de M orientada por un campo de sistemas de referencia E 1 , E 2 • Entonces,
L
ds
Kg
= '? ( b)
-
+
L
(/)12
donde
w 10
es la forma
Demostración. Ninguno de los términos se ve afectado por reparametrizaciones que conservan la orientnción; por tanto, podemos suponer que a es una curva de rapidez unitaria. Pero, entonces, el resultado se desprende inmediatamente al integrar la fórmula del lema 4.5.
1
En la teoría de integración del capítulo VI, sección 7, usábamos 2-segmentos x: R ~ A1 que eran uno a uno y regulares en el interior R 0 de R. A continuación, vamos a imponer el requisito más exigente de que x sea uno a uno y regular en la frontera de R también. (Esto equivale a decir que x: R ~ M es la restricción a R de una carta definida en algún intervalo abierto que contenga a R.) Cuando x es un 2-segmento regular y uno a uno, sus curvas de arista a, {3, y, a (definición 6.4 del capítulo IV) son uno a uno, regulares, y pensaremos en la frontera {)x = a + f3 - y - a como si fuera una sola curva quebrada que encierra la región rectangular x(R). A continuación, nos propondremos definir la curvatura geodésica total de ox. La definición de curvatura geodésica nos dice que la curvatura geodésica total es simplemente el ángulo total que su tangente unitaria T recorre (con respecto a la longitud de arco). Pero para recorrer la totalidad de
ox
=
a
+ f3 -
a
y -
no tendremos solamente que obtener las flexiones totales de las aristas, que son
f
, ux
Ku
ds
J = J
=
Kg
a
Kg
Jp
ds
+
ds
+\
a
,,
Kg
Kg
/3
ds
+1
lfs -
Kg
j -y
~ Jy
ds
K(!
+1
ds -
J-6
K 11
~ .l5
ds
Kg
ds
sino también los ángulos que tendría que recorrer una tangente unitaria Ten ax en las cuatro esql'inas ele la región rectangular x(R) (figura 7.37).
428
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Figura 7.36
Figura 7.37
Para
R: a< u< b, estas "esquinas"
p1=x(a,c),
P2 = x(b, e),
p3 = x(b, d),
p4 = x(a, d)
se llaman vértices de x(R). En general, si un segmento regular de curva a en una región orientada termina en d punto en que otro segmento f3 empieza, digamos concretamente a(1) = {3(0), entoncPs el ángulo de flexión e desde a hasta f3 es el úngulo orientado desde a' ( 1) hasta f3' (O), que sea menor en valor absoluto (figura 7.36). En un 2-segmento, usamos la orientación determinada por x, es decir, la forma de área dA1 tal que dkf ( x,, x,,) > O, para establecer una tPrminología con que estemos familiarizados en el caso de un polígono del plano. 8.3 DEFINICIÓN. Sea x: R-'> A1 un 2-segmento regular y uno a uno, con vértices p 1, p 2 , p.,, p.1 • El cálculo exterior E¡ de x en p¡ (1 < j < 4) es el Úngulo de flexión pn p¡ derivado de las curvas de arista a, {3, -y, -8, a, · · · en el ordPn en que ocurren en ()x. El ángulo interior t¡ de x en p¡ es " - e¡ (figura 7.37). Al dar esta definición, pensamos en aplicaciones más generales; en el caso que tenemos, los ángulos exteri(jres se expresan con facilidad en
429
EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET
1
{3 =
'.
Xv
.:. x ..
Figura 7.38
términos del ángulo habitual de coordenadas desde por medio de
Xu
hasta
f.!
Xr
=
(O
< {} < ")
{J.,
donde {}i es el ángulo de coordenadas en el vértice Pi· Por ejemplo, consideremos la situación en p", como se exhibe en la figura 7.38. Por la definición de las curvas de arista, J3' es Xv, pero ( -y)' es - x,, puesto que -y es una reparametrización de y que invierte la orientación. Por consiguiente, e3 + {} 3 = 7f. (Las demostraciones analíticas pueden partir de la definición de ángulo orientado que dimos en la sección 7 del capítulo VI.) Aquí ya nos encontramos preparados para demostrar el resultado fundamental de esta sección. 8.4 TEOREMA. Sea x: R---'? lvf un 2-segrncnto regular y uno a uno en una superficie geométrica Af. Si dlvf es la forma de área en x(R.) determinada por x, entonces,
~ curvatura gauss1ana total dC' x
'-
curvatura geodésica tot:d de (x.
(La curva geodésica y los ángulos exteriores aplican la oril'ntación de
x(R) dada por dAf, donde d}vf(x,, x,.) >O. Observemos que no es necesario que la misma Af está orientada; ni siquiera que sea orientable.) Este resultado se llama fórmula de Gauss-Bonnet con ángulos exteriores. Puesto que E i = " - Li para 1 < j < 4, la fórmula se puede expresar como
430
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
JJx K dm + Ix
Kg
ds = (t 1
+ "" +
¡3
+
¡4)
-
2r.
en términos de los ángulos interiores de x (R) . Demostración. Sea E 1 = xu/ -{E en la región x(R). A continuación, sea E~ el campo vectorial único con la propiedad ele que "t" 1 , E 2 es campo de sistemas ele referencia con dA1 ( E 1 , E 2 ) = + l. En este caso (compárese esto con la página 334), la segunda ecuación estructural se con~ierte en
dw 12 = -KD 1
A
8 2 = -K d1H
La potencia de esta demostración se basa en el teorema de Stokes
(6.5 del capítulo IV), que nos da '6' = x.
JJx
K dlvf
+
J
2x
w, 2
= O.
( 1)
i\plic¡ut>rnos a continuación el lema 3.2 para cvalu~1r
p
Jcx ro12 = J" ron + JfJ ú>12- JY W12- J
Figura 7.39
6
w12.
(2) Tenemos en o~ que a' = x, = y E E 1 , de manera que el ángulo
L L w12
=
Kg
( 3)
ds.
A continuación, estudiaremos un caso más difícil, concretamente Aquí, el ángulo 'P desde
fll"'lz·
es precisamente el ángulo de coordenadas {} desde Xu hasta Xv (véase la figura 7.39). En consecuencia, el lema 8.2 se aplica para obtener Jo
K0
ds =D.-{},+
J 0
w1z
donde, como teníamos antes, O < D; < " es el ángulo de coordenadas en el vértice Pi de x ( 1 < j :S 4). Pero corno y
esto se vuelve
J 6
W¡z
=
T. -
Et -
L1
+
J 6
Kg
ds.
(4)
431
EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET
De manera por completo semejante, encontramos que
i
Jjl
y que
"-'12 =
rr
-
I
Y
+
w1z
Cz
=
+
I
Y
+ i
l's
Kg
J/]
Kg
ds
(5)
(6)
ds.
De manera que ( 2) se convierte en
Ix
w12
=
=
I,
K9 ds
Lx
+ IJlK 9 ds- IYK 9 ds-
I~
K9 ds- 2"
+
(e 1
+ Cz
Kgds-
2rr
+
(e 1
+
e2
+
c3
+
~:.1 ).
+
Ee
+
~'4)
1
Y al substituir en ( 1) obtenemos la fórmula que buscábamos.
La fórmula de Gauss-Bonr:ct clepemlt>, en realidad, no del mapeo particular x: R -7ld, sino solamente de su imagen ~R = x(R). de manera más explícita, si x es otro 2-segmento regular y uno a uno con la misma imagen !]{, entonces cada uno de los seis términos de la fórmula de Gauss-Bonnet de x tendrá exrrctamente el mismo valor numérico que el término correspondiente en la de x. Esto no nos debe sorprender si x y :X tienen la misma orientación, es decir, si determinan la misma forma de área en !R. Pero vamos a suponer que son de orientaciones opuestas (como se ve en la figura 7.40'1, de manera que dl'vfx = -dMx. Tomaremos el caso más engañoso y, para ello, consideremos curvas de arista corno son a y
f3
f3
en la figura 7 .4·0. Ahora bien, a y (3 van en direcciones opuestas:
es una reparametrización de
f3
que invierte la orientación. Pero las
curvaturas geodésicas de a y f3 se calculan en términos de las formas de úrea opuPstas dM x y dlv1" Por tanto, hay dos cambios de signo, ele manera que
I,
Kg
ds =
f
Kg
13
ds.
Declic;-¡remos lo que queda de esta sección a estudiar aplicaciones ele la fórmula ele Gauss-Bonnet. La idea funcbmental es extenderla a regio-
Figura 7.40
m I'UIJLIOTECA
¡¡¡:;;;
432
LA GEOMETRÍA
DE
RIEMANN
nes más generales; en particular, a superficies geométricas enteras. Para ello, conviene que veamos algunas propiedades básicas de las superficies en las que no interviene la geometría. Una descomposición rectangular 9) de una superficie lvl es una colección finita de 2-segmentos regulares y uno a uno x 1 , • • ·, xi cuyas imágenes cubren a M de manera tal que si dos de ellos se traslapan, lo hacen en, o bien un solo vértice común, o bien una sola arista común. Es evidente que una descomposición rectangular es una especie de enlosado (definición 7.3 del capítulo VI), pero las regiones x;(R;) son aquí realmente "rectangulares" (puesto que X; es uno a uno y regular en la totalidad de R;), y se les pide que se ajusten entre sí muy pulcrarnente, como se ve en la figura 7.41 (compárese con el enlosado de la figura 6.17).
8.5 TEOREMA. Toda superficie compacta M tiene descomposición rectangular. (En consecuencia, en particular, 111 tiene un enlosado.) Este resultado es, desde luego, plausible, pues si 1\1 estuviera hecha ele papel, podríamos tornar sencillamente unas tijeras y recortar en ella trozos rectangulares hasta que no nos quedara nada de i\1. Se da una demostración general de esto en Lcfschetz [8] (se aplica el ejercicio 10). Entenderemos que una descomposición rectangular Dl lleva COJ!Slgo no solamente sus regiones rectangulares X¡ ( R;) -e¡ u e se llaman carassino también los vértices y las orillas (aristas) de estas regiones.
Figura 7.41
8.6 TEOREMA. Si fD es descomposición rectangular de una superficie compacta M, sean e', a y e los números respectivos de vértices, aristas y caras en 9). Entonces, el entero v - a + e es igual en todas las descomposiciones rectangulares de M. Este entero x(.M) se llama característica de Euler-Poincaré de M.
433
EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET
La demostración natural de este famoso teorema es puramente topológica; sin embargo, es consecuencia fácil del teorema 8.8. Es fácil generalizar estos resultados. En primer lugar, podríamos substituir la superficie entera por una región poligonal, que pueda descomponerse en regiones rectangulares X¡ (R¡) pulcramente ajustadas entre sí (como se veía antes) . En segundo lugar, podríamos reemplazar en todas partes los rectángulos R por polígonos. (Un polígono Pes la rcgion acotada de E 2 encerrada dentro de una curva poligonal simple, sin excluir a la misma curva.) La combinación de las dos generalizaciones nos liC'\"a al concepto de descomposición jJoligonal iD de una n'gión (poligonal) ~R en AL La característica de Euler-Poincaré x U!{) de De sigue siendo independiente de la elección ele descomposición poligonal. 8.7 EJFC'.1PLO. La característica de Euler J'oincaré. 1) Lna esfera ::S tiene X (::S) = 2. Cuando "inflamos" un cubo, como se ve en la figura 7.42, obtenemos una descomposición rectangular {j), de ::S. Dl1 tiene v = 8, a= 12, e= 6: por tanto, X= 2. Si lo que inflamos es un prisma, tenemos la descomposición poligonal {[Jz, con V = 6, a = 9, f = 5; ele nuevo, aquí X = 2 (figura 7 .421.
Figura 7.42
2) Ln toro T tiene x(T) =O. Concibamos a 7' como toro ele revolución, y hag:nnos cortes a lo largo ele tres meridianos y tres paralelos. Esto nos deja con una descomposición rectangular DI en la que v = 9, a = 18, e = 9; en consecuencia, X = O. 3) Al agregar un asa a una superficie compacta. se reduce en 2 su caractcríctica de Euler-Poincaré. Sin mucha precisión, decimos que un ··asa"' es un toro al que k falta el interior de una cara. (Suponemos que Jf y el toro se clan en descomposición rectangular.) Para agregar a 1\1 un asa, se quita el interior ele una cara ele 1\1, y, al borde que queda, se le ajusta con suaYidad el borde del asa, de manera que coincidan los vértices y las aristas de los dos bordes (figura 7.43).
434
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
. t9 -~ ..
.
'o
"
M+ H =M' Figura 7.43
Esta operación nos produce una superficie nuc\·a Ji', que ya nene provista de su descomposición rectangubr. La característica ele EulerPoincaré de ,H' es
x(M)- 2, puesto que su descomposición tiene exactamente dos caras menos que ,\1 en combinación con el toro. (La unión de los dos bordes elimina cuatro vértices y cuatro aristas también, pero esto no tiene efecto alguno en x-) Se ve con facilidad que las superficies difeomórficas tienen la nwma característica de Euler-Poincaré, pues si x 1 • • · , x 1 es descomposición de
Al y F: Jf ---'?i\1 es difcomorfismo, entonces F(x 1 ) , · • ·,F(xr) será descomposición de Af con exactamente los mismos valores ele v, a y c. Por ejemplo, no importa cuán exageradamente distorsionemos la esfera
S:
x~
+ y + z~ 2
=
1,
la superficie que resulta 1\1 mantendrá su misma característica de EulerPoincaré, a saber, 2. ~Iientras no inten·engzm estructuras geométricas, la palabra "esfera" podría significar "superficie difeomórfica a :S". Con el fin de evitar cualquier confusión posible, consen·aremos la terminología más larga. Supongamos que, a partir ele la esfera ::::;, añadimos sucesivamente h asas ( h = O, 1, 2, · · · ) para obtener una nueva superficie ¡ ( h) . Lo que resulta notable en la operación de añadir asas es que toda suj!erficie comjJacta orientablc Af es difeomórfica a algunas de las S ( h). En este caso, diremos que la misma A1 tiene h asas. Por (3) del ejemplo 8.7, tenemos que
x(M) = x(2:(h)) = x(S) - 2h = 2- 2/z. En la figura 7.44, por ejemplo, las cuatro superficies tienen una sola asa = O. Aunque en esta breve explicación ele la característica de Euler-Poincaré hemos utilizado conceptos de cálculo, nuestros comentarios conservan su validez si, en lugar ele eliferenciabilidad, pedimos en todas partes conti-
y, por tanto, en todas se tiene que X
435
EL TEOREMA DF GAt;SS-BONNET
®
'
Figuro 7.44
nuiclacl. La característica ele Euler-PoinGm-; es, en realidad, una invariante to jJológica. t Volveremos aquí al tema ele las superficies geométricas para demostrar una consecuencia t>spect;tcular del teorema 8.4. 8.8 TEORL:VIA. (Gauss-Bonnet). Si Af es una superficie geométrica compacta y orientable, entonces la curvatura gaussiana total de Af es 2"x(M), donde x(M) es la característica de Euler-Poincaré de M.
Demostración. Fijemos una orit>ntación de A1 con forma de área dM, y sea !JJ una descomposición rectangular de 111 cuyos 2-segmentos x 1 , • • · , Xf están todos positivamente orientados. Por tanto, {]) es, en particular, un enlosado orientado de Af, según lo definimos en el capítulo VI, sección 7. Por definición, la curvatura total de .M es
JL
!{ rfj[
-~ JL,
J(
( 1)
dM
;\plicaremos a cada sumando la fórmula de Gauss-Bonnet. (Esto es válido, pues en cada región X¡ (Ri) la forma de área rLH es la que X¡ determina.) En términos de ángulos interiores, esta fórmula dice
JL,K
dM
=-
izx,Kgds- 271'
+
(t1
+
t2
+
t3
+
t4)
(2)
Consideremos a continuación lo que pasa cuando tomamos en cuenta (2) para substituirlo en ( 1!.
t Una invariante topológica es una propiedad que todo homeomorfismo (es decir, toda función continua con inversa continua) conscn·a. Un difeomorfismo es un homeomorfismo, pero lo recíproco no es cierto. Sin embargo, una peculiaridad de las d;mcnsioncs bajas E'S qup dos superficies son difeomórficas si (y sólo si) son tamhi(n homcomórficas.
436
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Figura 7.45
Puesto que JI es supé'rficie --localmente parecida a E"-- cada arista ele la descomposición !]) ocurrirá exactamente en dos caras; señalemos para dlo a xi (Ri) y X¡ (R¡). Sean ai y ai parametrizaciones de esta arista que ocurren respectivamente en oxi y oxi. Puesto que estas regiones tienen la misma orientación que Jf, ai y a¡ son reparametrizacioné's la una ele la otra, tales que im'icrten la orientación, como se ve en la figura 7.45. Por tanto,
J
a.i Kg
ds
+
f
etj
Kg
ds
=
O.
De esto se desprende que
pues acabamos ele ver que las integrales sohrC' las curvas ele arista se cancelan por pares. (Como es habitual, escribiremos v, a y e como los números de vértices, ele aristas y ele caras de la descomposición.) Por consiguiente, la substitución de (2) en ( 1) produce
¡·¡
JJ
K dM
=
-2"/
+ /J
(4)
JI
donde /j es b suma de todos los ángulos interiores de todas las caras de la descomposición. Pero la suma dé' los ángulos interiores en cada vértice es precisamente 2" (figura 7.46), de manera que /} = 2-;cc'. Por tanto, (5)
J';:¡ra completar ];:¡ demostración, harc·mos urw sencilla obscn·acióll combinatoria. Las caras de la descomposición {;l son rectangulares: cada cara tiene cuatro aristas. Pero cada arista perte1wce a exactamente dos caras. Por tanto, 4c cuenta dos veces las a: es decir, 4c = 2a. De manera equivalente, -e = e - a, de mané'ra que ( 5) se conYierte en
437
EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET
Figura 7.46
fl
jj
1
KdJf=2-;;-(u-e+f) =2-;;-x_(Af). ,1(
Puesto que: la característica de Eukr- Poincaré es invariante topológica, rstc teorema nos cnseíia de la curvatura total es in uariante topológica. De manera más explícita, sean Af y 1H superficies geom{tricas que son meramente difeomórfiras.t Entonces, las curvaturas gaussi:mas K y k ele "U y X1 pueden ser muy diferentes, pero sus curvaturas totales son
id /nticrzs, pnes ( ;1l srr clifcomórficas) )\[ y "U tirncn b mism:c característic:l ele Euler-Poincm{: en consrcurnria.
¡¡-
j{
t,
dif.
~ Jf
Ya nos hemos encontrado con algunos rasos ck este teorema. Por ¡•jemplo, el toro del ejemplo 2.'i tenía K = O. v, en consecuencia, cun·at11ra total de cero. Por otra lJarte, esta rni,-ma 'uncrficic adquiere ele E: su estructura geométrica habitual corno toro ele renllución, para el cuzd la cmTatura es vari:1blc: de cualquirr modo, dcscubrimo, en el GlpÍtulo YL sección 7, que su cmTatura total es tarnbit'·n cero. (E1 difeomorfislllo es, en este: caso. nada más el mapeo identidad.'! En general. es suficiente contar las asas para determinar la cuf':atura total. 8.9 C01wr .wro. Si j f es supcrficic cm~1pacta y oricntabk con /1 a;;as ( h = n, 1. 2, ... ) ' entonces en cualquirr r·structur;J gcométric:l. ·en Jf, la cun·atura total es ele 4" ( 1 - lz 1.
Demostración. Ya llf'mos Yisto que Jf tiene como c;¡r;¡ctrr!stic.! ele Eukr--Pninc¡ré 2 - ~!h.
1
El teorema ele C.auss-Bonnct (teorema 8.3 u 8.<1) constituyn un ca mm o para cnfrcnt:1r a1gun('S problcm:1s ck apancncJa forrnicbblr. Por ejemplo, T
Y<'ao<' h
not~
:tl pw de la
págin~
·135.
438
LA GECJ:\IETRÍA DE R!El\IANN
el ca'io ( l) cid ejcr;1plo 2.3 nos enseña que si eliminamos un solo punto de una esfera ::S, existe una estructura geométrica en la esfera agujer,1da para la e ua! !{ = O. Pero no j;ucdc haber estructura geométrica en una csfc·w (·111/.j;!l'la ::::: para la rual !{
JL ]{
d:::: :=; O,
!o que contradice el hecho de c¡ue 2,.x (:$) = 4;;-. Si in\'l'rtiwos es la argumentación, encontramos que una sujJcl ficie geomi;Lrica co111 pacta )' orientablc en !a que K > O ha de ser difeonu!rfica a una esfera. Su curvatura total es positi\·a; pero, en el corolario 13.(), h es un entero no negati\·o, de manera que tiene que ser cero. Por tanto, la superficie carece de asas; es difeomórfica a la psfer:l ::S =::S (O). En los ejncicios \'Cremos mús resultados ele esta clac e. El tcorc·ma ele Gauss-Bcmnet se dcil!uestra al partir JI en regiones rect:mgubrcs y aplic;¡r a cada una de ellas la fórmub de Gauss-Bonnet. Este procedimiento funciona grZ~cias a que todas estas regiones están orientacbs cohercntenwntr mecliZ~nte una orientación ele la misma J[, ele 1nancra que las integrales /K 9ds en las fronlcr~¡s ck estas rcgiont:s se canceLln por pares. TcJ¡cmos aquí la escnci:1 ele la idea fundamental de la 1o j}()logía algeb 1aica; en efecto, fueron consideraciones de esta clase las e¡ u e lle\·aron a Poincaré a inventarla ( \ éa:;~: Ldschetz [8]). l\fecliante b ;¡p]icación de este procedimiento a regiones adecuadas ele 1\1 podemos llegar ;¡ enunciar una forma más general del teorema de Gauss-Bonnct ( cjt'lTic:io 8) . Un corolario (ejercicio 11) nos enseña la manera ele extender el tcort:ma 8.4 de los rectángulos a polígonos arbitrarios. Para \ er la nnnna en que la idea de frontera se generaliza en situaciones así, daremos una dcnwstr:lción directa (aunque innecesaria, desde el punto ele vista l(Jgico) del ejercicio 11 en el caso especial ele un triángulo, es decir, la imar;cn .él uno a uno y regular ele un triángulo ordinario T t:n E" ( figura 7.471.
Figura 7.4l'
439
EL TEOREMA DE GAUSS-TIOI'\NET y ---------...
¿
Pa p¡
T
L\
P2
Figura 7.48
8.1 O CoROLARIO. Si .::, es un triángulo en una superficie gcométrica 1H, entonces
(En el transcurso de la demostración 1remos explicando esta notaci{m.)
Demostración. Sea dA! una forma de área arbitraria en la rcgwn .6-. Obtenemos una descomposición rectangular ele D. = y ( T) de la m;mcra siguiente. Pártase T en tres cuadriláteros, como lo indic<:t la figura 7.48; a continuación, los cambios de variables en y exhibirán las imágenes como las regiones rcctangularcs Xt (Rt), xARc), x~ (R 3 ) que constituyen una descomposición rectangular de D.. Como es habitual, disponemos bs cosas de manera que cada X¡ esté positivamente orientada. Por tanto, la fórmula de Gauss-Donnet se aplica aquí a los ángulos interiores para ver que la curvatura total de D. es
ff
JJ-1
K rL\1
=
±jJx¡ ff K r!M
1
=
1
donde c0' cs la suma de todos los ángulos interiores. De las doce aristas en 2'Xt, oxe, oX::, las seis que son interiores se cancelan por pares (por lo menos, JKg ds lo hace, en ellas) . Las otras seis se rombinan por pares para darnos las curvas a 1 , a~, a.1 (figura 7.47) que constituyen la frontera 2D. del triángulo orientado D.. En consecuencia,
±jr~
1 =1
x¡
Kg
ds
=
r
J
Qtl
Kg
ds =
r
J
rt1
Kg
ds
+
r
Jrt~
Kg
ds
+
r
J
Kg
ds
rt3
En la suma !1, los úngulos interiores t1, te, t 3 en p1, p 2 , p:3 son los del mismo triángulo .6-. Los demás, que ocurren en los \·értices que introdujimos ele manera artificial, suman, eYidentcmente, Sr.; por tanto, encontramos que
440
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
Lo que hacernos PS adaptar al triángulo las definiciones de 8.3; por tanto, [j +
1
Si las puesto, el triángulo resultado
curvas de arista del triángulo son geodésicas, entonces, por sutérmino de curvatura geodésica se anula. En particular, en un de geodésicas en una superficie de curvatura [{ constante, el se reduce a
donde A es el área del triángulo. Por tzmto, el conocido teorema de la geometría plana acerca de que la suma de los ángulos intpriorcs de un trián-
Figura 7.49
gulo es " depende del hecho de que E" es llano. Hay ejemplos en los que se ve fácilmt:'ntc la manera en que un triángulo de geodésicas se bs puede arreglar para tener ¿, + [e + t:¡ mayor que " en una esfera (K> O) (figura 7.49). EJERCICIOS
1. Encuéntrese la curvatura gaus:>wna total de: a) Cn elipsoide. b) La supcrricie ele la figura 4.10. e) JIJ: x" + y' + zG = l. 2.
Demuéstrese c¡m-, en un:1 superficie geométrica ;\/ compacta y onentablc:
K
> O=) 1\f
K=O
es difcomórfica a una esfera
1\1 es difcomórfica a un toro
[{ < O=) ,\1
es una esfera con 1z 2':,2 asas
(véase el tf'xto)
441
EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET .-
:.. ...:.
~-::~,
3. a) Sea M una superficie geométrica. compacta y oricnt~híe/ O:~"ii0 ftt'-. asas. Demuéstrese que existe un punto p ele Al en d cual ' • - . '"-t; q~ .. ~ :; K(p) >O Sl h = o, K(p) =O
;;¡
h
K(p)
Sl
h >2.
=
1,
b) Si Af es superficie compacta y oriPntable en E' que no es di feomódica a una esfera, hágase ver que hay un punto p de JI en el cu:~l J{(p) A1, hágase ver quP la curvatura geodésica total fa Kg ds es
J a
a"•](a 1
a •a
1
1 )
d
t.
(Indicación: Ejercicio 9 de la sección 4.)
b) Sea x una carta ortogonal (positivamente orientada) en Al. Dedúzcanse las fórmulas siguientes de las curvaturas geodésicas totales de las curvas paramétricas:
_ JVz ,., (Observemos que ·JEv = - Xuu'X,., y que 1e,. = - Xvv'Xu, y, si A1 está en E", tanto las clerivad:~s intrínsecas como las euclidianas clan el mismo resultado.)
5. Sea x: R --é> :S la carta geográfica (ejemplo 2.2 del capítulo IV), restringida al rectángulo R: O < u, u < "/ 4. Calcúlese por scp;uado cada uno dP los términos de la fórmula ele Gauss-Bonnet de x. 6. Si F: A1 ~N es mapeo de superficies compactas y orientadas, el grado grr ele F es el área algebraica de F(M) dividida entre el área ele N. Por t:tnto, gr 1 • representa el número algebraico total de veces cr.1e F enrolla a JI;! sobre l\'. Si Al es superficie compacta y. orientada en E", dcmuéstrC'se el teorema de IIojJf: el grado gra del mapeo de Gauss es el entero x(¡\J) /2. (Se puede demostrar que el grado es siempre un númpro entero.) Una regiún poligonal orientada !:Y en una superficie ]¡[ es una región orientada que tiene una descomposic·ión rectangular x 1, • • ·, x 1,, en la que siempre disponemos las cos:~s ele manera que esté po;,iti\·amcnte orientada. Entonces, la frontera 2~I' de 9:' es la suma formal de las cun·as ele arista que aparecen ex:~ctamen\c en una de las •fronteras ux 1 , • • · , 2x~c. Excluimos
442
LA GEOMETRÍA DE RIEMA:-/N
Figura 7.50
ele esto la situación e¡ u e se ve en la figura 7 .:in, de manera que 2~;' siempre estará compuesta de curvas simples ( qucbrC~das) y ccrrad;1s. Est;¡,; definiciones tienen la propiedad de que, si a es una ele las ;1ristas de 00), entonces .He/) siempre apunta hacia el intrrior de la región 5_P. (Esto \·icnc a dar rigor a la regla aproximada: ''Se lTCOITe la frontera ele rnanC'ra que b región siempre c¡ueela a nuestra izc¡uicTela.'')
7.
a)
Si ~+, es una 1-forma en una n·gión poligonal micntada ~e, demuéstrese el teorema generalizado ele Stokc'>
( . cb¡ sicrnifica ~ • (~ d11.) ( lnr!iracic5n: El (Si c5J' = :::,;a;, entonces ·'i'~.(j) ('J lema del capítulo IV produce algunas cancelaciones por pares, como sucede en la demostración del teorC'ma 8.8.) b) ])C'dúzcase que si ·rp es cualquier 1-forma en una superficie compacta y orientada 1\1, entonces Jhr dq) = O. e) Dos descomposiciones rectangulares (positivamente orientadas), que sean diferentes, de la misma región [? producen fronteras de que son diferentes desde el punto ele vista técnico; sin embargo; ambas ocupan el mismo conjunto ele puntos. Demuéstrese que, para CU~llquil'l' ]-forma en ~P, ~r _\P (~¡ es ié·u~d en ambas. ' !
'
'
r
Si :~e es una regwn poligonal orientada en una superficie geométrica, demuéstrese que,
8. (El teorema generalizado dr Gauss-Ronnct.)
Hg,K dM + L'l"K
9
ds
+ 2:
EJ
=
2,.x(.0))
done!:: :S E i es la suma ele los ángulos exteriores ele Q', según se definieren en h definición 8.3 en el caso especial ele una región rectangular (figura 7.:)11. (Indicación: Refínese la demostración del teorema 8.8: clasifíquensc las aristas y los vértices con los ele c~P y los del intFrior de D'. Observemos que, en cada curva cerrada y simple de frontera, el número ele aristas es igual al número ele vértices.)
EL TEOREMA DE GAUSS-BONNET
443
Figura 7.51
9. Demuéstrese que las propiedades siguientes de una superficie com-
pacta y orientable JJ son equivalentes entre sí: a) Existe un campo vectorial tangente en Af c¡uc no se anula. b) x(Af) =O. e) ¡\1 es difcomórfica a un toro. (Indicación: Para (a) =) ( b), 1xm·éase a Af de Pstructura geométrica y aplíquese el ejercicio 7.) Las propiedades (a) y ( b) resultan ser, en realidad, equivalentes en cualquier \·ariedad compacta. 1O. a) Si una región .Cfc tiene desc:m 11posición rectangular, derívese de ella una cle;,composición triangubr y verifíque'ie que v - a + e
vale lo mismo en ambas. b) Hágase lo n:nsmo, con papeles invertidos de "triangular" y " rectangular''. La idea de región simple (ejercicio 12 de VI. 7) se puede extender si se define el mapco F: D--o> 1\f como no cliferem:iablc (pero aún continuo) en n puntos de la circunferencia u" + v 2 = l. Con esto, aparecen n puntas agudas en la fron\na c5i ele !_¡) = F(D). Decimos, en este caso, que es un n-polígono ( n >O). La característica ele Euler-Poincaré de un n-polígono es + 1, puesto que, en una descomposición triangular, tenemos. (como se n~ en la figura 7.52) v - 1 ~~ f = ej2.
oo--F
D Figura 7.52
444
LA GEOMETRÍA DE RIEMANN
11. Si 51) es un n-polígono orientado de geodésicas (es decir, las aristas son geodésicas) en una superficie geométrica, demuéstrese que
JI
11
., 51'
donde
Ej
y
tj
KdM =
2~-
L:EJ; = (2j =1
11
n),.
+ L:tj j
1
son los ángulos exteriores e interiores de 0'.
12. (Continuación). a) Si !} es n-polígono ele geodésicas en el plano, demuéstrese que rz > 3 y que la suma de los [mgulos exteriores de ~p es 2~. b) Si A1 es superficie con curvatura gaussiana ]{*O constante hágase wr que el área de un polígono de geodésicas queda determinada por sus úngulos, exteriores o interiores. e'¡ En la esfera ::S de radio r, encuéntrese un 3-polígono de geodésicas 0_) cuyos ángulos interiores sean, cada uno, de 3~ /2. ¿Cuál es el área de 51)? 13. a) En una superficie Al en que K < O. dt>muéstrcse que no existen n-polígonos ele geodésicas con n <::: 2. Por tanto, en particular, dos geodésicas de Al no se pueden encontrar para f armar la frontera de una región poligonal simple. b) En una esfera ::S, en la que hay valores de n > O, ¿existen n-polígonos de geodésicas? (1'\o se cuentan los "vértices removlbks", que son los de ángulo exterior ele ceJO.) 14. En el plano hiperbólico, sea 5.E'n (n ? 3) un "n-polígono de geodésicas'' cuyos vértices estén en el borde u" + v 2 = 4 de H, ele manera que, en realidad, no pertent>ct>n a H (figura 7.53). Encuéntrese el área de 9_\.
Figura 7.53
f3 es una curva cerrada y simple en tonces la curvatura geodésica total de (3 es ±2~. Por tanto, gente unitaria T ele (3 recorre una circunferencia completa al (3. Demuéstrese la validez ele este res\;ltado si se supone que
15. (Hopf Umlaufsatz). Si
E", enla tanrecorrer (3 es la
RESUMEN
445
curva de frontera de una región simple d. (Indicación: d es un O-polígono, de acuerdo con la definición que se hizo un poco antes del ejercicio 11.) La supos1c10n anterior siempre se cumple, pero su demostración reqmere de métodos topológicos bastante profundos.
9
Resumen
Una superficie geométrica -es decir, una variedad bidimensional de Riemann- generaliza el plano euclidiano al reemplazar E" por una superficie cualquiera y substituir el producto escalar de vectores tangentes por productos interiores arbitrarios. En la geometría de Rirmann que resulta, se define la longitud ele una curva como se hacía antes, y se da la idea ele distancia intrínseca mediante la generalización de la distancia euclidiana con que estamos familiarizados en el plano. La aceleración de una curva también es una idea geométrica, pero no resulta igualmente evidente la manera en que el producto interior ele vectores tangentes puede llevar a la medida de la flexión de una cun:a. Después de Ricmann, pasaron 70 u 30 años durante los cuales se llevaba a cabo dicha medición por medio ele fórmulas bastante complicadas, en términos ele cartas ele coordenadas ( 4.2 es muestra ele ello). Con la actitud de Cartan, el producto interior sirve para definir el concepLo de campo de sistemas de referencia, y su forma de conexión expresa la rapidez de rotación ele un campo de sistemas de referencia. La ecuación de conexión V' l E 1 = w1e (V) E e define, a continuación la derivada cm·ariantl', ele la cual es caso especial la acekración. Tanto en la geometría ele Riernann como en la euclidiana, las geodésicas son las curvas con aceleración cero. Las geodésicas no son solamente las curvas más rectas, sin embargo; también son las más cortas, en el sentido que se explica en las secciones 5 y 6. La sencilla regla euclidiana de que "la recta es la distancia más corta entre dos puntos", no nos preparzt para entender el comportamiento nuevo y sutil de las geodésicas en una superficie geométrica arbitraria, y ni siquiera en una superficie -tan sencilla como son la esfera o el cilindro. La obra de ~filnor [7] da una idea de cuán lejos puede llevar al estudiante el análisis de las geodésicas. ,\ estas zdturas, es apenas necesario señalar que la curvatura gaussiana ]{ ele una superficie geométrica JI f'S la propiedad geométrica más importante que tiene, pues hemos visto que, tarde o temprano, la curvatura interviene en casi cualquier investigación geométrica. En efecto, podemos definir K, por ejemplo, en términos de campos vectoriales paralelos (holonomía), ele geodésicas radiales (la f'Cuación de Jacobi) o de circunferencias
446
LA Gf.Ol\IETRÍA DE RIEl\IANN
pobres. (En un:1 superficie en E-1 • nos serYimos del operador de forma, y nos podría haber v;llido para lo mismo el m apeo de Gauss.) En el punto de vista de C;utan, sin embargo, se define b cmTatura por medio ck b ecuación ch, 12 = - J{ 0 1 A g"' que nos nJuc,tra a K (en el sentido explicado anteriormente) como la "segunda derivach" com{l'J de iodos ]o, campo:; de sistemils ele referencia en JI. Y es por esta ddir~ci(m que hemos llegado más directamente al resc11iac1o central ele la gcnnwtrb biclimensionill de Riemann: el teorema de Gauss-Bonnct. Si hacemos a un lado consecuencias trigonométricas como las del corolario 8.1 O el contenido del teorema es que la curvatura determina h topología, por lo r:wnos en el caso compilcto y orient:tblc. En general, los resultados de este capítulo son \·{tliclos en varic·cL
f
Bibliografía l. H. Flandcrs, Differential Forms: With App/icatimz¡ to thc l'hysical Sciences. Acadcmic Press. ~ucva York, 1963. G. Birkhoff y S. 1\IacLane, A Survey of M odern A lgebra. Macmillan. Nueva York. 195:3. l. T. J. Willmore, An Introduction to Differential Geometr)'. Oxford Univcrsity Prcss, Londres y Kucva York, 1959. 4. R. Courant y H. Robbins, TVhat is Mathematics? Oxford L'niversity Press, Londres y I\ueva York, 1941. (Hay traducción al español: c'Q.ué es la matemática?, publicada por la casa editora AguiJar.) 5. N. J. Hicks, Notes on Differential Geometr)'. Van Nostrand, Princeton, Nueva Jersey, 1965. 6. D. J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry. Aclclison-Wesley. Reacling, Massachusctts, 1961. 7. J. W. Milnor, Morse Theory. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey. 8. S. Lcfschetz, Introduction to Topology. Princcton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1949. Los libros ele Willmore y Struik están mas o menos en el m1smo nivel ele dificultad que éste. El libro ele Hicks empieza en un nivel que se puede comparar con nuestro capítulo VII y hace una exposición muy concisa de la geometría multiclimensional ele Riemann; en su bibliografía se enumeran varios trabajos más detallados acerca de este t~ma.
447
Respuestas a los ejercicios impares Estas respuestas no vienen completas; en algunos casos, cuando se pide una demostración, damos sólo una indicación.
Capítulo 1 Sección 1 1. a) x"y 3 sen 2 z, e) 2x 2 ycosz 3. b) 2xehcos (eh), h = x 2 +y2
+ z2
Sección 2 1. a) -6U 1 (p) + U 2 (p) - 9rf:Jp) 3. a) V= (2z 2 /7)U 1 - (.ty/7)U" e) V= xU1 + 2yU2 +,\fU, 5. b) Aplíquese la regla de Cr::uncr.
Sección 3 1. a) O, b) 7 • 27 , e) 2e 2 3. a) y 3 , e) yz 2 (y 2 z- 3x 2 ) , e) 2x(y 1 5. Aplíquese el ejercicio 4.
-
3z 0 )
Sección 4 l. a'(r./4) = ( -2,0, \(2)v, donde jJ = (1,1, -{2) 3. (3(s) = (2(1- s2 ), 2s yl-..::_-~ 2 , 2s) 5. Las rectas se cortan en ( 11, 7, 3). 7. Yp = (l,O,l)p 9. En a(O): t--7 (2,2t,t)
Sección 5
1. a) 4, b) -+, e) -2 5. b' dy- ydx)j
+ yz)
450
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
7. a) dx- dz, b) no es 1-forma, e) zdx + xdy, d) 2(xdx +ydy), e) O, (f) no es 1-fonna. 9. -+- (0, 1 ~) 11. a) Empléese la aproximación ele Taylor de la función t--¿ f (p + tv) b) Exacto: - 0.420, aproximado: -} Sección 6
1. a) cp 1\ >f; = yz cos .z dx dy - sen z dx dz - cos z dy dz b) rlcp= -zdxdy-ydxdz. Nótese que d(dz) =d(1•dz) =0, por 1.6.3. 7. Aplíquese esta definición a la fórmula que está después de I.6.3. 9. Si se supone la validez ele la fórmula, póngase f = y, g = .1:. Sección 7
1. a) (0,0), b) (-3,1), (3,-1), e) (0,0), (1,0) 5. a) (2,0,3) en (0,0,0), b) (2,2,3) en (0,2,-;;-) 7. GF = (gi(fJ,fc), gc(/dc)) 11. a) F- 1 = (v,ue-"), b) F- 1 = (u 1'',u + u 1 i'·\. e) F 1 = ((9 -u2v) /2, 5 - u - v). F es difromorfismo ~obmente m (a\ y en (e), puesto c¡ur, en ( b), F- 1 no es difercnciablc (cuando u = O).
Capítulo 11 Sección 1. a)
-4, b) (6,-2,2), e) (1,2,-1)/v6, (-1,0.3)/-v'Tü, d) 2vTI, e) -2/ {13 5. Si v X w =O, entonces u • v X w =O para todo u; aplíquese el ejercicio 4. 7. Vz = v - (v•u)u Sección 2 3. (3(s) = (\(i-+~"/2,s/v:!.senh 1 (s/v2)) 5. Si se bas:1 en ti ( i = l. 2), entonces s,, es más o menos la longitud
de arco de a desde t 1 iusta tz. 9. b) La condición es, desde luego, necc.,aria: p:ua ,·crificar que es :>uficientc, muC·strrsc que una reparanwtriz:1ción de rapidez unitaria ele a
tiene aceleración cero. 11. b) L(a)
r/¡ ¿ ja
a'•udt
=
r¡,
2: Ja
do:¡ r1 d~ 11; t =
(ci- p) •u
d( =
p,q
)
451
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
Sección 3 l. K = l,T = O,B = (-%,0, -%),centro (0,1,0), radio l. 7. a) 1 = 11 a(h)' 11 = 11 a'(h)h' 11 = 1 h' 1, en consecuencia, h =+l. b) Sea E= +1, entonces a= a(h) implica T = tt'(h) h' = ET(h); en consecuencia, í
Sección 4 1. Sea f = f + 2; entonces K = T - 2/f; B = (t",-2t,2) // 3. a) N(O) = (0,-1,0), T(O) = J{
9. a){}= "/4.u = (1,0,1)/Y2;y(t) = (t- (t"j6),t 2 , -t 15. e) La cvoluta es también una cicloide. 17. a'(t) = (f(t) sen t, f(t) cos t, f(t)g(t))
+
(t1 /6))
Sección 5 1. a) 2U 1 (p) - Uc(p), b) UI(p) 5. a) 8U 1 (p) - 4(Uc) (p)
+
2 U"(p)
+
4 U,,(p)
Sección 6 1. Hágase Yer que V•W =O, y aplíquese II.l.8. 3. Por ejemplo, E 2 = -sen zU" + cos zU,, y R, = R 1 X E".
Sección 7
1. w," = O. '"13 = w" 3 = ( df) / \ 12 3. ú>te = - df, w10 = cos f df, '''"" = sen f df 5. Por el inciso (3) de U.5.4,\7 r(¿ fiE;) = ¿ qf;]E; + ¿ [i\7 rE;. 7. En un punto arbitrario p, a(t) = tp es una curva con a'= 11 p 1! F1. Hágase ver que 11
P
11
F1[jJ]
=
1!
P
11·
Capítulo 111 Sección 1 3.
(T,) - 1 = T_ 0 , C- 1 = T o- 1 (a)C-'.
=-te,
en consccuenoa, F-1
e=
(T,,CI ' = C-'T-a
5. b) Por medio del ejercicio 3, encontramos que F- 1 (p) = ( 5 {2, -5, 4-v'2)
452
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
Sección 3 1. Si F y G tienen partes ortogonales A y B, entonces, por III.1.2, sgn (FG) = dct (AB) = det A · det B. 5. es una rotación, que recorre un ángulo de "/2 alrededor del eje determinado por a. 7. Para E 1 : F(s) =Es+ so; para E 2 : F =Te, donde e=
e
cos 1J ( sen{}
-E sen{}) E COS {}
Sección 4 1. b) Por definición, /i(s) es el punto que corresponde canónicamente a T(s); en consecuencia, por III.2.1, C(/i) corresponde a F,.(T), la tangente unitaria de F (/3). 5. Para un vector tangente v en p, F,.(\i',.W) = W(F(p) + tC(v) )' (0) = \7 F*(vl W.
Sección 5 1. f3 = Tv(e(a) ), donde e(ui) = ei 3. Consecuencia de III.5.7 5. Si T no es idénticamente cero, se supone que T(O) =1= O y se examina la demostración de 5.3. 7. Sea F =Te, donde Tes la traslación en (0,0, bs0 /c) y cos (so/ e) e= [ sen6s 0 /c)
-Esen (so/e) Ecos ( s0 j e)
o
01 0
eJ
donde E= -+-1. Entonces, F(/3) = f3(Es + s 0 ) 9. a(s) = (f cos r,o(s) ds, J sen r,o(s) ds), donde
J K(s)
ds
Capítulo IV Sección 1. a) El vértice, O, b) todos los puntos de la circunferencia x 2 + y 2 = 1, e) todos los puntos clel eje de las z. 5. b) e =1= -1 9. Aplíquese el ejercicio 7. 11. q está en F(M) ,.j y sólo si F 1 (q) está en M, es decir, g(F-1 (p)) =c. Usesc la indicación para aplicar IV..l.4.
453
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
Sección 2 l. e) x(u, v) = (u,v,u" + v") t'S una posibilidad; una parametrización deriYada de IV.2.5 omitirá un punto de la superficie. 5. x, X Xv = v8' X 8 7. b) Rectas (rayos) y hélices, e) M: xsen (z/b) = ycos (z/b) 9. x(u, v) = (cos u- v sen u, sen u+ v cos u,¡;) 13. a) Si g' no es nunca cero, reparametrícese la curva perfil para obtener u~ ( u,f (u ),0), y aplíquese IV.2.5.
Sección 3 1. a) r 2 cos 2 v, b) r 2 ( 1 - cos 2 v ces u sen u) 3. a) u y v son las funciones coordenadas euclicli~mas de x- 1 y. b) Exprésese y = x (U, ü) en términos de coordenadas euclidianas y diferénciese. 5. a) .H está dada por g = z- f(x,y) =O, con \lg = (-/r, -fu, 1), y ves tangente a M en psi y sólo si v•\Jg(p) =O. 7. \7 0 = (- }',- x,l) es campo vectorial normal; V es campo vectorial tangente si y sólo si V•\7 9 =O; por ejemplo, V= (x,O,z). 9. a) Tp(.\1) consta de todos los puntos r tales que (r- p)·z =O; en consecuencia, v 1, está en T P ( AJ) es decir, v•z = O) si y sólo si
p + v está en Tv(M). 11. a) 2,..
Sección 4 3. d(f>) (x,, Xv)
5. Si
=
2/(x) -
eu -
d,>(Xv)
es una curTa con la velocidad inicial v en p, entonces
rt
,[¡;(/)] = (gfa)'(O) = g'(fa) (O) (f(t)'(O) = g'(f(p) )vA!].
' 1
7. En el traslapamiento de Q.1i y Q{h df; - rlfj
9. b) du(xu) = xu[il] =
~(u(x)) ('u
2u r"u
=
=
d(fi - fi') = O.
1
.
Sección 5 1. Si x: D ~M es carta, entonces F(x): D ~N es (por 3.2) mapeo diferenciable. En consecuencia, y- 1 Fx es diferenciable para cualquier carta y en N. r·--~-~·"
454
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
3. Si :X y y son cartas en M y N, entonces y- 1 Fx = (y- 1 y) (x- 1 x) es diferenciable, por ser composición de funciones difcrcnciabks. 7. b) x'''(v) = r 3 sen 2 v cos v du dv 11. Sólo a) no es difeomorfismo. · 13. b) F,,(ax 11 + bxv) = ayu +by, implica la linealidad.
Sección 6 7. a) 2r.m, b) 2r.n. 13. b) Hágase ver que Ja.> = Jx d para una x adecuada. 15. e) Empléese la conexión simple para demostrar la fómmla de la indicación; véase la figura 4. 46. Sección 7
1. a) Conexa, no compacta, e) conexa y campacta, e) conexa, no compacta. 3. Si v no se anula en N, hágase ver que F''v no se anula en ~~f. 5. a) Si Z es una normal no nula, sea ±U= +Z/ ![ Z 11. Si V es una normal unitaria cualquiera, póngase V = ( V·U) U y
Sección 8 1. Modifíquese la demostración del caso ele la cinta de ).lcibius en IV.7. 9. (x X y)- 1 (x X y) = :X-':X) X (y-1 y), que es la función cliferenciable.
Ca.pítulo V
Sección 1 1. Empléese el método 1 del texto. 3. a) 2, e) l. Sección 2
1. b) Si e 1,e" = (ú 1 + u2)/v2, entonces S(e1) = e1 y S(e")
-e2
Sección 3 5. b) En un lado, una elipse, y ningún punto en el otro; las dos ramas de una hipérbola (asíntotas en las dos rectas de (a) ; dos rectas paralelas en un lado, y ningún punto er; el otro.
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
455
ü~ es curva en 1\1 con la velocidad inicial y en p, entonces F.,(v) = F(a)'(O) = (a+ EUa)'(O) = v- ES(v) m F(p).
7. a) Si
Sección 4
5. K = - 36r 2 / ( 1 + 9r 4 ) "; no es mínima. 7. Calcúlese la rapidez a partir ele a' = a/xu + a/xv. 13. p = x(u, v) es punto umbilical si y sólo si S(xn) = kxu y'S(xv) kxv en (u, v) . Hágase el producto escalar con Xu y Xv. 15. a) Ninguno, puesto que K< O, b) el ongen (punto ele planicie), e)
(O -+- ~
y-¡;?. - b 2 a"
~
2
b
)
si a
~
b
Sección 5
3. Un meridiano a descansa en un plano ortogonal a Af a lo largo de a, en consecuencia, a" es tangente a este plano, y (con una parametrización de rapidez constante) ortogonal a a': por tanto, a" es ortogonal a Jf. 7. S ( T) = - L:'; en consecuencia, por el desarrollo ortonormal, U' = -S ( T) •TT - S (T) •VV. Prosígase ele la misma manera que en la demostración de las fórmulas de Frenet. 15. En el rayo que pasa por (}' (u), la fórmula ele [{ del ejercicio 14 nos enseña que o bien K es idénticamente cero, o bien K < O tiene un valor mínimo - 1 / p (u) e en (}' (u). y se alza simétricamt:>nte hacia el cero cuando v--'> ± oo. 17. a) Para (u, O. 0) + v(O, 1, u): el eje de las .Y, con jJ(u) = 1 + 11 2. b) Aplíqnt:>se Pl ejercicio 15. Para u fij<~, K = - ( 1 + u 2 + -" tiene un mínimo cuando <' = O. 19. e) x = a + d) es no cilíndrica, y podPmos suponer que a es curva guía (clp rapidez unitaria). Pero a'•8 X 8' =O (puesto que K= O) y a'•8' = O ( cun·a guía) : en consecuencia, T = a' y 8 son colineales. Sección 6 1. K = ( 1 - :r~) ( 1 + x" cxp ( - x 2 ) ) -e. 3. Aplíquense los resultados de V.2. J'\ótese c¡ne los merieli¡mos son Sl'ccionrs norm;1lPs. 5. Jf tien(• b par:nnrtriza(iÓn x(u.:•) = (ucos:•.us('nv,f(u)). 7. C:on la p:n:1mctrización lnbituaL al argumentar como se hizo en V.6.2 se tirnen s'olanwnte los casos extremos: rl es siempre cero, g' no es rmnca cern. En el primer caso, 1\1 es parte de un plano (que es caso especial ele un cono) . 9. e) Si r = f tiene la parametrización de rapidez unitaria (g, h), dondr h (u) =re-"'"· hág:1:;e ver que f (¡y no h!) satisface la ecuación diferencial ele YI.6.fi.
456
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
Ca.pítulo VI
Sección
1. a) a"= w1e(T)Ez + w,3(T)E3 ; en consecuencia, a" es normal a M si y sólo si w 12 (T) =O. 5. Si el campo cilíndrico de sistemas de referrncia se restringe a Jf y se invierten los índices 1 y 3, obtenemos el campo de sistemas de referencia en (1) de VI.l.3. De acuerdo con los cálculos de II.7, w12
=
o1 13
= O,
Sección 2 = ¡f(E1) 81 + ¡f(E2 ) B2 b) /; = h1w23 - hzw13
3. a) ¡f¡
=
-
hzB1
+
h1Bz.
Sección 3 1. Si K = H = O, entonces k 1 ke = k 1 + k 2 = O. Por consiguiente, k1 = kz = O y S = O. 3. Supóngase que k 1 =/= k 2 y recúrrase al lema de Hilbert (3.6) para llegar a una contradicción. 5. En el caso en que k 1 =1= k 2 , aplíquese VI.2.7 para verificar que, por ejemplo, k1 = O. Por el ejercicio 2, las k 1 curvas principales son rectas. Hágase ver que las k2 curvas principales son circunferencias, y que las ( k1) rectas son paralelas en E 3 • Sección 4
1. (d) =) (b): si u es vector tangente arbitrario en p, entonces u = av + bw; en consecuencia,
11 F*u
W=
a"ll F*v 11"
+ 2ab F*v•F;,w + b
2
l[ F,w 11 2 =
a 2 [[v[[ 2 +2abv•w+b 2
[[w[[ 2
=
[[u[[ 2
3. Si a es un segmento de curva desde ( -1,0,0) hasta (1,0,0) de longigitud 2, entonces, de acuerdo con el ejercicio mencionado, a parametriza un segmento de recta; esto es imposible, pues a se tiene que quedar en 1\1. 5. a) Dcfínase F(a(u) + vTa(u)) = f3(u) + uT~(u) b) Escójase f3 en E 2 con la misma función de curvatura. 7. a) El critcrio (a) se convierte Pn F.,.(v)•F,.(w) = A- 2 (p)v•w; el cnterio (e) se convierte en F.,.(e;)•F,.(ej) = A."(p)o;;. 11. Póngase F(x(u,v)) = x(a(u), b(u)) para paramctrizacioncs adecuadas.
457
RESPUESTAS A EJERCICIOS XMPARES
13. En y, hágase ver que las condiciones E = G y F = O equivalen a g' = cos g, que tiene la solución g (u) = 2 tan-1 ( ev) - ( :-:-/2) tal que g(O) =O. Aplíquese el ejercicio 7. 15. F(x(u,u)) = (f(u) cosu, f(u) senu), donde x es parametrización canónica y f(u) = exp (f~(dtfh(t)).
Sección 5 1. Si a' = E, a lo largo de a, entonces F(a') = F*(E 1 ) = E 1 a lo largo ele F(a). Aplíquese VI.5.3. 3. K o existe isometría local de la silla de montar M ( -1 :::;; K < O) sobre un catenoicle en el que -1 :::;; K < O, puesto que K tiene un punto aislado y mínimo (ten O) micntr;:cs que J{ toma cada uno de sus valores cn circunfercncias completas (Hay muchos ejemplos más que son posibles.) 5. b) Se desprende de VJ.4.:1. puesto quc, para x 1 calculamos E, = cosh 2 u = G,, y F 1 = O (indqJCnclicntcmtente de t). d) Para 1\1 1 : U 1 = (s,-c,S) jC, de manera que las coordenadas euclidianas de U 1 son independientes de t. Sección 6
1. b) () 1 = v'l+ u 2 du, u2) "· 3. w12 = -{}, du.
() 2 = udu. "' 12 = du/v'T-+ uZ,
K= 1/(1
+
Sección 7 3. a) A= (2"/3){(1 + c2 )'1,- 1}, b) w 5. a) Empléese una pararnetrización canónica; en ton ces, x"'" (K rli1!) (- h" / h) (h du du) = - h" du du. Recuérdese que h' = sen 'P· e) en la suprrficie trompeta, lím 'Pa = -1, lím 'Pb = O. (1-...,>'l
b-HfJ
7. Aplíquese te] ejercicio 5. En los bordes ele esta:, tres superficies, lt' = srn 'P--¿ ±l. Para K= l/c 2 (V.6.5): en el caso (2). TC = ~t-17/c. ",1=4"ac: en el caso (31, TC~~4-;r, A=4"c.2. Para K= -llc 2 (ejercicio 9 ele V.6):MatieneTC=2-;r(a-c)'c, Mb tiene TC = -4-;r. 9. a) Aplíquese el ejercicio 14 de V.5.
11. Defínasex(u,u) = F((1- u) cosu, (1- u) senu),enR: O:::;; u:::;; 1, o:::;; 11:::;; 2-;r. 13. Con la normal hacia afuera, H = - ¡;r, y h = r.
458
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
15. Al dividir, si resulta necesario, por las longitudes de V y W, podemos suponer que son campos vectoriales unitarios. Por tanto, V, U X V es un campo tangente de sistemas de referencia en
ff _ J{ dM JJM
=JiJJf F*(i< dAf) = JJlf if K(F)F''(dM)
Sección 8 1. Si N es isomhrica a una esfera S de radio r, hágase ver que N es compacta y que tiene K= 1/r2 • Por tanto, según el teorema ele Liebmann, N también es una esfera de radio r, de manera que una traslación nos exhibirá la congruencia de N con ¿;_ 3. Con la excepción de las geodésicas, todos los casos se desprenden inmediatamente ele la conservación de los operadores ele forma. Sólo las geodésicas y la curvatura gaussiana necesitan ser conservados por isometrías arbitrarias (ejercicio 1 de VI.\ y el ele theore-
ma egregium). 5. b) El que se detemrina por -U. 9. Declúzcase del theorema egregium que una simetría euclidiana F de M tiene que dejar fijo el origen, por lo cual F es ortogonal. Considérese su efecto en el sistema natural de referencia en O.
Capítulo VIl
Sección 1 . b)
459
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
7. a) F,,U 1 = fnU 1 + g 11 Uc, F,,U 2 = fvU1 + R1·Uc (aplíquese el f'JCl'ClC!O 6)' b) La derivada compleja ele F = f + ig es dF 1dz = [n + igu. Por tanto, la ma~nitucl dF 1dz es (f,/ + g,,") '", que se puede expresar en formas difcn<>ntcs por medio de las ecuaciones de Cauchy-Ricmann. 1 1
1
Sección 2
3. A
=
;rr 2 1 ( 1 - : ) , (E, F, G calculada como en el ejemplo 4.11); A(H)
=
w.
n
S. E = = 1 y F = O, de manera que A = 4""· Podrmos definir nneyamente la estructura geométrica para hacer de E y G números positiYos. 7. Verifíquese que la parametrización Xc~ del ejercicio 5 ele \'I.5 es Jsometría.
Sección 3 1. Nótese que Ei = z1U i restringida a a es r sent U 1 ; por tanto, a' = - E1 + cot ( t) E". Puesto que w 12 = du 1u eyaluado en a' es - 1, deducimos ele la fórmula de la derivada covariantc que a" = cot (t)I,.,1- cot 2 (t)E 2 • 3. En la demostración a que hacemos referencia, obsérvese que '''"l (V) E" = -V' 1E3•E1E3 = S (V) ·ñ\E:;. S. a) La demostración de VII.3.6 nos enseña que el ángulo de holonomía de a es
-J:
wda') dt = -
L
w12
Aplíquese el teorrma de Stokes, sin olvi(br que dw 12 mera ecuación rstructural) .
7. Y'= j'E 1
+ /o>
21
(a')E 2 , en COJl!'l'C'UCncia, F,(1''¡
=
=
j'lé·,
-K djVf (pri-
+
E1-
¡'n')lé.c.
F Y = Y = fE 1 , en consecuencia, Y' = f'E 1 + f0ct(F,,(1'') Aplíquese VI.5.3. 11. H' tiene lon~itucl constante e; en cualquier región oricnt:~ble, húgase ver que el ¿.ampo ele sistemas ele referencia E1 = Wlc, Ec =](El) tiene forma ele conexión cero, y, en consecuencia, curvatura cero.
Sección 4 1. Debido a que a"= O, a(h) "= a'(h)h". 3. Aplíquese el ejercicio 6 de la sección 3..
460
RESPUESTAS A EJERCICIOS 1:\lPARES
5. Todas las circunferencias euclidianas que pasan por el polo norte, pues corresponden, en la proyección estereográfica, a rectas clel plano. 9. Por medio de las ecuaciones de a' y a" que ;;c. cbn en el texto, tenemos que J(a') = J(vT) = vN; en consecuenna, a"•}(a') = 11 . a) Para
13.
15.
17. 19.
Uo
::;
u :::; u t
-
E,
b) Si el encuentro tiene lugar, entonces a' y /3' son colincales; en consecuencia, por VII.4.2, a y f3 son iguales ( ccl lllargen de la parametrización) ; esto es imposible. a) en la 1nrametriznción habitunl de un :e superficie de reYolución, e= h" (h es la distanci:c :el eje ele revolución)' y las cun·as u-paramétric:cs son los meridianos; por comi¡.;uiente, la inclin:cción e es h sen cp. b) Este resultado se desprende ele los ejercicios 11 y 12, puesto que esa paralela es una curva ele barrer::t. Es obvio que los meridianos se aproximan ::tl borde (en una dirección). Aplíquese el ejncicio 13 para wri ficar que cualquier otra geodésica 'e cort:L con una cun·a ele barrna y se acerca al borde en ambas direcciones. [sen cp 0 [ < 1/cosh u 0 • a) Empl6eseVI.2.4, (b) 1{ 1 O, K" h'jh.
Sección 5 l. p(O,p) =tanh-'CIP:i/2), norma euclidiann. 3. Las geodésicas son hélices y y(u.n) = /'""' ,.,.,(1)
5.
7.
9. 11.
=
(rcosujr,
r sen :1 r, u). J ,;1 mayor vecindad normal es r¡ccr; y es n~gular para cualquier E, pero la cw1dición de inwcti·iclad deja de cumplirse cuando E> ;-;-r. a! Si q está en YJ entonces, JlOf :J.:l. p(p, q) O. La long-itud L ele e: desde O hasta r + E es igual a la de b curva quebrada: (3 desde íJ h;tsta r y, a continuación a clcscle r hasta r + E. En cousccuenci:t, L > (l(rt(O), a(r +E)) según el comcn1:1rio :cntcrior a :J .8. D: u" + v" < 1, con estructura geométrica euclidiana. a) Hay solamente un segmento geodésico (un meridiano) desde p hasta cualquier otro punto.
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
401
Sección 6
5. a)
X 11 t0,v) =X(n), y, puesto que x(O,;•) =¡'x,, 1 (0) =cfJ(v), tenemos que x,. (O, v 1 = (5' ( v). Por tanto, ¡~·e - P c., distinto ele cero cu:-tndo u = O, ;;. por continuicbcL para ]11 pequeíío. b) (iii) f3 una curva base, X = o. 7. a) Las cury;:s v-parÚll!etro son nu~ricli:mos ele lcmgituJ. 1
b) Puesto que K= O, b ecuación ele ]<1cobi se \uchc (\((:Juu =O, en consecuenci:1, y G es lineal en G(u, z•) = 1- K,1 (¡·)u.
11.
y de ello se desprende que
Sección 7
1. Si N es geodésicamente completa, fí jcsc un punto p de: M; entonces, hay un segmento geodésico y,. desde F(p) hasta un punto arbitr;;rio q de .N. Pero, si ves t2l que F:,(v) = w, tendremos que F(y 1 l = Yn·, con lo cual se ve que (I e'itá en F ( Jf). 3. Si p 'F q en )\!, entonces cualquier sl·gmento gecd(:sico u que ,·aya desde p h:tsta q tiene rapidez distinta ele n·ro. En con':ecut'ncia, F (u) es geodésica no constante desde F ( p) h:;sta F ( q), y de ello se desprende que F(p) F((J), aun cuando intf'rpretcmos ''dos" como "dos diferentes'' en la propiedad de unicidad de N. 5. Es una variación de \'II.7.3. 7. Para nT que una superficie ;\[ no es horuogl-ar:a con respecto a los sistemas de referencia, es suficiente ( ~.egún la argumentación que se hace en d texto acerca del cilindro) verificar que en 1\I hay aLc:,unas geodésicas que son uno a uno junto con otras que no lo son. Obs(Tvese que la x de VII.2.5 es isomctría local. 9. Si 1~ es la longitud de arco de la elipse, \·erifíquese que F(x(u, v)) = x (u + (L/ 4), ¡•) es isometría ele }vf que no conserva la distancia euclidiana. 11. De acuerdo con el ejercicio 8 ( b), F es la restricción a ::S de una transforn tación (ortogonal) lineal; en consecuencia, F ( - p) = - F ( p) . Es ;¡sÍ como podcmos definir F { p, - p} = { F ( p L F (- p)}, y deducimos l:1 homogeneidad con respecto a los sistemas ele referencia de :S: a partir ele la cJp ~. · 13. L2 función es homomorfismo; es, por tanto, suficiente que demostremos que <:s 11110 a uno. Pno, en la demostración de VI.8.3, si Af no es de planicie (y si, por tanto, S=/= O), entonces F es única.
Sección 8
l. En a) y e), la superficie es clifeomórfica a una esfera, de manera que TC = 4:7. En b), hay cuatro asas, a lo que se debe que TC = -12,..
462
RESPUESTAS A EJERCICIOS IMPARES
3. a) Para h = 1: si K no fuese nunca cero, entonces, de acuerdo con un ejercicio anterior, o bien K > O, o bien K < O; ambas cosas son imposibles, puesto que, por VII.8.9, })M E dé\1 = O. b) Por \ 1.3.5, K tiene valor positivo en alguna parte. Pero JI tiene por lo menos un asa, de manera que
en consecuencia, hay alguna parte en la que K es negativa.
5. }/,.,1< dA1 = - f,x K 1 ds = r./4v2 7. a) Si x 1 , • • ·, xk es una descomposición positivamente orientada. entonces, por el teorema de Stokes (IV.6.~J), tenemos que J~ .dr¡, = 1 ~ JJx, dq, = ~ J,x, q>. Pero, con respecto a las aristas que no están en r!P, IV.6.6 n'sulta en una cancelarión por pares. e) Si Xi y Yi son dos desromposicioncs positivamente orientadas, entonces, según el comentario posterior a VI. 7 .5, vemos que
(a) =) ( b) : cualquier estructura geométrica (que exista) en M se puede modificar ele manera que el campo \TCtori;ll no nulo T:, sea de longitud unitaria; entonces, F,, ](E 1 ) es un campo de sisttemas de referencia. Se ddine sn forma de conexión en la totalidad ele la supé~rficie, y, por tanto, 2"X (1\1) = Jhr K dA! = - f(,r d"''" = O. 11. Es consecuencia del ejercicio 8. 13. Por la propiedad de unicidad de las geodésicas, los ángulos interiores dr~ un polígono de geodésicas no pueden ser +.,.. (es decir, no hay cúspides), de manera que -" < E < "· Aplíqtwse el ejercicio 11. b) todo n =1= 1 (si n = O, un gran círculo) . 9.
In dice
Campo de sistemas de rdcrcncia adaptado, 2B2 en E", 99 en una cun·a, 144 en una superficie, 28 7, 351 natural, 19 principaL 291 transferido, 312-313 Campo esférico ele sistemas de referenCJa, 100 adaptado a la esfera, 231-:235, 317319 dual y fnrmas de conexión, 113-114 Campo natural de sistemas de referencia. 19 Campo principal de sistemas de referencia. :!91 Campo toroidal de sistemas de referencia, 102 (ejercicio 4), 114 (ejercicio), 2fl6-28 7 Campo transferido de sistemas de referencia, 312 Campo vectorial en el espacio euclidiano. 18 en una curva. 66-68, 367 en una superficie de E", 173-175, 1 77 (ejercicio 12) normal, 173. 175 tangente, 173, 175 en una superficie abstra~ta, 212 Campo vectorial euclidiano, 173 Campo vectorial normal, 173 Campo vectorial normal y unitario, 208 (ejercicio 5), 220 Campo vectorial paralelo, 68-69, 36+ Característica de Euler-Poincaré. 433434 Caras, 431 Carta, H9-162 abstracta, 211, 213
Aceleración, 68, B3 de una cun'a en una superficie, 227, (ejercicio 3) intrínseca, :16 7 Análisis vectorial, 43 (ejercicio 8) Angulo, 57 exterior, 428 interior, 428 orientado, :n+ que forman los CJCS de coordenadas, 242 Anr;ulo exterior, 423 Angulo interior. +28 Angulo 01 icntado, 334 Angulo que forman Jos ejes ele coordenadas, 242, 253 (ejercicio 81 Aparato ele Frenet, (ejercicio 1), il7 Aproxin1ación cuadrática, 233-23G Aproximación de Frc·net, 75, 76, Bl (ejercicio 9) Arca, 435-H 1 Arca algebraica, 331-332, '141 (ejercicio 6) Asa, 3B2. 431. 437 Axioma de Hamdorff, :~ 15 (ejercicio 5), 396 n
Binonnal, 72. 82, 85 Borde (cuna del), 19B, 427, 432
Campo adaptado ele sistemas de referencia, 282-213 7 Cam¡n asociado de sistemas de referencia, 316-313 Campo cilíndrico de sistemas de referencia, 99-101 formas de conexión, 107-108 1-formas duales, 115 (ejercicio ·J.) +63
464
ÍNDICE
cálculos geométricos de una, 2-t2-H9 de Mongc, 152 ortogonal, 253 (ejercicio 9), 316-
321 princip:ll, 25é~ (ejercicio 9), 321 (ejercicio 4) propia, 14'l, 17[; (ejercicio 14) Carta conforme, 309 (ejercicio 7), 320 (ejercicio 2) Carta de coordenadas, véase C:1rta Carta de ~.Iongc, 151, 252 Carta geográfica, 160-161 Cartan, E., 55, 111, 115, 347 Catenoidc, 271 como superficie mínima, 271-273 curvatura g::mssiana del, 271, 275 total, 3 29-330 curvaturas principales del, 271 isometrb local en el, 306-308 map2o de Gauss del, :n9 (ejercicio 20) Centro de curvatura, BO (ejercicio 6) Cilinc:w, 154, 266 (ejercicio 11) geodé-sicas del, 315 (ejercicio 2), 103 (ejercicio B) pararnctri?ación del, 163, 166 ( ejercicio 6) Cinta de Méibius, 207, 209 (ejercicio
7) Círc\•lo oscnlador, 80 (ejercicio 6) Circunferencia, 74·. 77 Circunferencia polar, 39G, 412-•1-13 Congruencia ele cun·as, 13B-146 determinada por la curvatura y la torsión, 145 Congruencia de superficies, 22[), 3•1 03"17 C"njunto abierto, 15, 56, 178 Cono, 166 (ejercicio 5), 266 ( ejercicio 11) Conoide, 26il (ejercicio 20) Coordenadas isotérmicas, 320 ( ejercicio 2) Coordenadas ortogonales, 316-321 fórmula de curvatura gaussiana de las, 3 ~o Cuasicarta, 322 Curva, 26 cerrada, 197 cerrada y simple, 177 n en una superficie, 170-171 expresión en coordenadas de una, 170 no parametrizada, 31-32 periódica. 31 plana, 76
regular, 31 uno a uno, 31 Curva de rapidez unitaria, 6·1 Curva d ircctriz, 16G Cun·a esférica, 7B, 81 (ejercicio 10) Cun·a guía, 267 (ejercicio 14) Curva irnagcn: 1.S Curva integraL 215-216 Curva principaL :.:s 7-259, 261-:267, 302 (ejercicio ·l) Cur\'::t r::'gul:tr~ 31
Cun·as Cun·as Curvas Curvas
asintóticas, 260-2G 1, 265 ele Dupin, 2•10 (ejercicio 5) paralelas, 13'l para\lll'tricac, 1'J'l
Curvatura g~Ht':lsi:1na total de una cur-
va, T~B-TJ:l. 4:15-·HO de una cute>. 373 (ejercicio 5) el mapco de Gauss y la, 333 la característica de E ulcr-Poincaré y h. EH la holonornía y la. 3 73 (ejercicio 5) Curvatura gaussiana . ::.:3 11--:239, :J:-JG-:358 i}éanse Indiúclualmcntc también las Sll])('rficics clifercnciabilidacl de la, 23B el inten·alo ele la, :ll5 (ejercicio 3) en la ecuación ele Jacobi, 407 el mapco g·ausc;iano y la, 331 el operador de forn1a y 1::-t, 23+ el signo de la, 2'\6-:.'3 7 fórmulas ele la explícitas, 2:18, 245, 250, 290, 313 implícitas, 237, 28'l la cur\·atura geodé,gica y la, 389 (ejercicio 19) la holonomía y la, 373 (ejercicio 5) la invariancia isométrica de la, 31 'l-
31G las cirnmfcrencias polares y la, 411-
413 las cmYatums principales y la, 234 hs discos polares y la, (ejercicio 2) Curvatura geodésica, 265 (ejercicio 7), 377-379, 387 (ejercicio 9) total, 426-+27 Curvatura media, 234. 237-240, 245, ~50,
289
Curvatura normal, 225-234, 251 ( ejercicio 14) signo de la, :.' ~ 9 ·Curvaturas principales, 230-239 corno valores característicos, 231 fórmula de las. 23B Curvatura total de una curva, 'l3 ( ejercicio 16)
ÍNDICE
Curvatura total geodésica, 426-430, 443 (ejercicio 4), 444 (ejercicio 15) Curvatura, véase también Curvatura gaussiana
de una curva en E2, 80 (ejercicio 8)' 146 de una curva en E'l, 72, 80, 85
Darboux, 98 Delta de Kroneckcr, 35, 58 Derivada covariante en una cart:J, 244, 372-:JH cuclicliana, 9-t-9 7, 138 (ejercicio 5), ~~0-22
L
3GU
intrínseca, 365, 3 74 Derivada de un campo vectorial euclidiano, 11:1 Derivada direccionaL 22-2~l. 175 cálculo ele la. 2:1, 37 Derivada exterior, 40-~13, 43-·H, 181182 Desarrollo ortononnal, 58-60, 101 Descomposición rcctangubr, '132 Dcsigttalcbd del triúngulo. 398 Desigualdad ele Sch\\'arz. 57 Difcornorfismo, 51, 53 (ejercicio 11), 189 Difcrcnciabilicbd, 1+, 21, 45, 169, 171172 Diferencial, 3+-:18 Dirección, 172 Direcciones asintóticas, 259, 261 Dirección principal, 230 Disco polar, 413 (ejercicio 2) Distancia euclidiana, 56, 62 ( ejercicio 2) Distancia intrínseca, 302-30"1, 309 (ejercicio 3), 402 Dominio, 1O
Ecuación ele Gauss, 285 Ecuación de Jacobi, 407-cWfJ. ·111 (ejercicio 6) Ecuación de simetría, 285 Ecuaciones de Cudazzi, 285, 293 Ecuaciones ele conexión en el espacio euclidiano, 104, 240 en una superficie, 284, 365 Ecuaciones estructurales en E", 111-112 en una superficie, 285, 289, 33·t, 357-358 E. F. G., 166 (ejercicio 2), 242, 364 Elipsoide, 168 (ejercicio 1O)
465 curvatura gaussiana del. 2."10-232, :'55 ( cje!·cicio 19) grupo de isometrías del, 4· 18 puntos umbilicales ele!, 25'i ( ejercicio 2~)) simetrías euclidianas del, 346 ( ejercicio 10) Enlosado. :;:z.J, +:12 Escala, 30:1 Esfera, 15:; caractc1 i1aciones geornetncas ele la, 29'>. 297, 300 carta gc:¡gráfica de la, 160-161, 318:JJ 9 con asas. 434 curvatura ganssiana de la, 239, 253 (ejercicio -1) 290, +13, 413 (ejercicio 2) estructuras gcornétricas de la, 4-3B
geodésicas ele la, 263-26·1, 397-398 holonomía, 371-3 72, 386 (ejercicio 4) homogeneidad de sisteinas de referencia, 423 (ejercicio (i)
isomctrbs locales ck la, 41 -,_ 118 operador ele fon11a: 221-21:2 propiedades topológic:J.o,, ::0-1-206, 433 puntos conjugados de la. 406, 409411 rigidez, :H5 (ejercicio 1) simetrías t'L!clidianas ele la, 346 (ejercicio 8) Esfera estereográfica, 360, 38G ( ejercicio 5) EsfC'ra unitaria. 150 Espacio euclidiano, 13, 15 Espacio ta;:gcntc, 17 Estructura gcmnl,trica conforme, 350:15 L 354 (ejercicio 1), 3:i8-359 Eudiclcs, 381<185 Evoluta, 92 (ejercicio 15) Expresión en coorclcnaelas, 169, 192 (ejercicio 6)
Flexión, 307, 315 (ejercicio 5) Fonna ele área, 324-325, 334, 355 (ejercicio ·1) Forma diferencial cerrada o exacta. 184 (ejercicio 2), 201. ::o3 en E 2 , 183 en E3, 33-43 en una superficie, 17 8-18·1 retroacción ele una, 190
466
ÍNDICE
Formas de conexión en el espacio euclidiano, 102-108 en una superficie, 284, 312, 317, 351 Forma, véase Forma diferencial Fórmula consistente de un mapeo, 193 (ejercicio 10) Fórmula de Euler, 299 Fórmula de Gauss-Bonnct, 429-431, 4 38--110, 444 (ejercicio 11) Fórmula de la derivada covariante, a (ejercicio 5), 219-220, 368 Fórmulas de Frenet, 73, 83 Fórmulas de las bases, 28 7 Frenet, 98 Frontera de una región, 411 de un 2-segmento, 198 Función, 9-1 O sobre, 1O uno a uno, 10 Función angular, 64- (ejercicio 12), 338 (ejercicio 15) Función compuesta, 9 Funciones coordenadas euclidianas, 19, 26, 35, 45, 67 Funciones coordenadas naturales, 14 Función inversa, 1O Función normal unitaria, 24+, 421 Función soporte, 251, 255. 293
como campo vectorial normal, 174, 249 Grado ele una forma, 39, 178 de un mapeo, 441 (ejercicio 6) Grupo, 123 ele isometrías. 418 de simetrías euclidianas, 3.46 ( ejercicio 7) euclidiano, 123 ortogonal, 124 Grupo de isometrías, 418
Haz tangente, 214 Hélice, 26, 73-H. 142 Hélice cilíndrica, B8-92 Helicoide, 167 (ejercicio 7) Cálculo de las cartas del, 246-247 como superficie reglada mínima, 261, 268 (ejercicio 22) isometrías locales del, :J 06, 315-316 mapeo ele Gauss en el, 339 ( ejercicio 20) Hiperboloide elíptico, 16B (ejercicio 10) Holonomía. 3 71-3 73 ángulo de, 3 71 la curvatura gaussiana y la, 373 (ejercicio 5) Homotópica a una constante (curva), 20:i
Gauss, 281, 3H, 347 Geodésicas, 262-267, 374-416 también véanse Individualmente las superficies cerradas, 266 ( ejercicio 13) en superficies de cun·aturas no positivas, 41 O, 444 (ejercicio 13) existencia y unicid:>d de las, 376 extensión ele las, 40·1-406 fórmulas de coordenadas ele las, 3 75-
:382 los sistcm;¡s de referencia y las, 286 (ejercicio 1) propiedades de minimización de la longitud de las, 389-4-11 su conscn·ación por las isometrías (locales), 316 (ejercicio 1). 37+, 415-416 Geometría euclidiana, 133, 349-350, 354 Geometría intrínseca. 311. 349 Geometría riemanniana, 354, 354-446 Gradiente, 44 (ejercicio 8), 61 (ejercicio 11)
Hopf. Hl, 444
Identidad de Lagrange, 241 ( ejercicio 6) Imagen, 9 Irnagen esférica, de una curva. B 7, 92 (ejercicio 11) de una superficie, véase Mapco de Gauss Inclinación de una geodésica, 379, 387 - Indice, 202 (ejercicio 5) Inmersión isométrica 4 20-·123 Integración de formas diferenciales, 195-204, 324-3-10 1-forrnas en regiones orientadas, 326, 335 (ejercicio 4) 1-formas en !-segmentos. 195-197, 200-201
2-fornns en 2-segmentos, 197-200, 202 (ejercicio B) 339 ( ejercicio 21) Integral de funciones. 327, 335 (ejercicio 4)
467
ÍNDICE
Integral impropia, 326-327 Intervalo abierto, 26 Invariante isométrica, 311, 349 Inserción isométrica, 420-42 2 Isometría del espacio euclidiano, 11 7133 mapa de derivadas, 124 su determinación ;ncdiante sistemas ele referencia, 125 teorema ele descomposición, 120 Isometrías ele superficies, 302-305, 310, 315, 351 las inmersiones isométricas y la, 420 las isometrías euclidianas y la, 340343 Isometría local, 303-309, 415-418 criterio de la, 305, 303 (ejercicio 1), 309 (ejercicio 1O) de superficies de curvatura constante, ·116 su dctenninación mediante sistemas de referencia, 415 Isometría que conscn·a (invierte) la orientación, 130, 339 Isomorfismo canónico, 17-13, 57, 74· Jacobiano, 330, 336 (ejercicio 8), :l33 (ejercicio 1 7) J (operador ele rotación), 355 ( ejercicio 5)
Lema de Hilbert, 299 Le\·i Ci\·ita, 369 Ley ele los cosenos, 424 (ejercicio 10) Línea ele curvatura, véase Curva principal, 1, m, n, 244-245 Longitud de un segmento ele curva, véase Longitud de arco de un vector, 57 Longitud ele arco, 63-66, 253 (ejercicio 7) función de la, 65
Mapa el" derivadas, 47-53 ele una carta, 176 (ejercicio 4) ele una isometría. 1 :2·+ de un mapeo ele superficies, 187Ul8, 194 M apeo de espacios euclidianos, 44-54 de superficies. 185-193 ele Wcingarten, ;·éase Operador ele fonna
antípoda, 192 (ejercicio 5) conforme. 307-310, :l56 de Gauss. 224-226, 331-333 identidad, 118 polar geodésico. 390-391 que conserva el área, 338 ( ejercicio 16) Mapeo regular, 51. 138 Matriz de disposiciones, •59, 106 Matriz jacobiana, 49 .. Matriz ortogonal. 172 Minimización de la longitud de arco, 390 Minimización local ele la longitud de arco, ·10-l-41 O . Movimiento rígido. véase lsometría del espacio euclidiano Multiplicación escalar, 13-18-19 Mapeo Mapeo Mapeo Mapco Mapeo J\1apco
i\Jorma, 56 Kormal principal. 72, 82, 35 N-polígono. 443-4H
Operación de corchetes, 98 (ejercicio 7), 226 (ejercicio 9) Opcradm de forma, 220-225 Campos de sistemas ele referencia en térntinos deL 284 comD derivada del mapeo ele Gauss.
:131 demostración de simetría del, 245246, 287 (ejercicio 6) ele una superficie inmersa, 4 21 la curvatura normal y el, 2 2 7 las curvaturas gaussiana y media y el, 2:l5 las derivadas cm·ariantes y el, 3 72 (ejercicio 3) los vectores y las curvaturas principales y eL 2:11 polinomio car:1cterístico · del, 240 (ejercicio +) su consen·ación en las isometrías euclidian<1S. 31G-341 Orientación ele campos tangentes ele sistemas ele refcrcnci
468
ÍNDICE
Paraboloide elíptico, 16él (ejercicio 11), 253 (ejercicio 6) ParaLoloide hiperbólico, 16~) ( ejercicio 12). 253 ( ej2rcicio 6) Pararnctrización canónica. 2 73 Paramctrización ele C!airut, 3 79-309 Paramccri¿aciéln de Liouvillc, 388 (ejercicio 1il) - Paramctriz;lc1.t'nl de una curYa. 32 Paramctrización en una supcri'icic, 161 criterios de regularidad, 1G2, 166 (ejercicio 2) susceptible de descomposición en cartas, 193 (ejercicio 9) P::trametrización polar, ¡;codésica, 391394 Parámetro de clistri!JUción, 267 Parte vectoriaL 16 Plano cartesiano. :151 Plano en E", 75, 157 (ejercicio 2), 263, 294 Slt identificación con E:!, 151 Plano cstcrcogr:ífico, :160 P~:1no euclidiano, l:"J, 3:!0, 33·!-385 isomctrías locales del, 415-117 Plano hiperb(,]icn, 362
Propiedad ele Leibniz, 24 Propic·cbdes topolhgicas, 20+-211, 435 n Proyección ele l\Icrcator, 311 ( ejercicio 13) Proyección estereográfica, 187, 190 con1o rnapeo conforn1c, 311 (ejcrcicio 14) Pseudoesfer:1, ,-éase Trompeta Punto conj11gctdo, 405-411 Punto de Clp!icación, 16 Punto de pbnicic, :237 Punto f"cal. •1 J 5 P11ntos antípoclas, :_: 1O Puntos
nnit::tri(J~;.
,1 G
(ejercicio
Punto urnbilic:1l, :231, :251 1~)),
véase
ianz!n/n
S!Iprrficic
tot:1lmente umbilical
Rapidez, 65 Rayo, J 65 Recta, 26. 29, 69, 26+ (ejercicio 1) IJropicd:Hlc:i J;; nlinin1izaciéln ele la ]o¡lgitml de la, 6') (ejercicio 1) Rcc1.a t:mgcntc, 33 (ejercicio 9) Reflexión, LJO Región pcdi:mn:1l, "141 Región simple, 337 Regb ele ~dt~rnc¡ción, 38, 61, 1 7') Rep;:¡r;:¡rnetrización, 29 de rC!piclcz unitaria, 65 monótona, 70 (ejercicio 1O) que conscr\·a ( inYicrte) la orientación, G6 r. eparalTICtrÍZL1CÍÓ11 qU{' C(Jl1SC1Ya (invierte)
la orientación,
fiG
Retroacción, 1 'JO Ricmann. H9, 385 Rigidez, 315 (ejercicio 1) RotC!ción, 21 (ejercicio 4)
Secciones tnnsversales, 16:3 Sección normal, 228 !-segmento, 195 2-segmento, 197 Segmento de curva, 70 (ejercicio 10), 195 Segmento más corto de curva, 390 Semiplano ele Poincaré, 354 ( ejercicio 2) circunferencias polares del, 402 ( ejercicio 2) curvatura gaussiana del, 363 ( ejerC!CW
] )
gt=odésicas del, 386 ( 2jercicio 6)
469
ÍNDICE
isométrico al plano hiperbólico, 425 (ejercicio 15) Serret, 98 Signo de una isometría, 129 Silla de montar, 168 cálculo de las cartas de la, 247-249 doblemente reglada, 261 simetrías euclidianas de la, 346 ( ejercicio 9) vectores principales de la, 254 ( ejercicio 11) Silla de montar ele mono, 15 7 ( ejercicio 6), 237, 266 (ejercicio 9) curvatura gaussiana del, 253 ( ejercicio 5) Símbolo de Halmos, 19 Simetría euclidiana. 346-34 7, 418 Sistema de coordenadas, 1fl5 ( ejercicio 9), 316-:l1B Sistema ele referencia Sistema de referencia de Frenet, 72 Sistema ortonormal ele referencia, véase Sistema de referencia Sobre, 10 Subconjunto. 9 Superficie abstract
~3:~0
caracterización local de una, 31 O (ejercicio 12) curvas principales, ~5'!, ~70 curvatura gaussiana ele una 270. 273, 278, 279 í ejercicio' 5) , curv;¡turas principales, ~70 curvatura total, 3:15 (ejercicio 5) ele curvatura constante. 271-277, 280 ejercicio 0), 336 (ejercicio 7)
geoMsicas
ele
una,
387
(ejercicio
U) meridianos y par~lelos en una, 156 par3.rnetrización ele una
canó:Jica, 273 especial, 160 (ejercicio 13) habitu;ll. 16'1-165 propiedacks topológic!:ls, 21 O ( ejercicio 14) tipos ele elifeomorfismo de una, 216 (ejercicio il) Superficie de Schcrk, 255 (ejercicio 21) carta en la, 3·}6 (ejercicio 11) mapeo ele Gauss de la. 330 ( ejercicio 20) Superficie geodésicamente completa, :302n, :176-3/fl los segmentos geodésicos mas cortos en la, 399 Superficie geométrica, 350, .J.J r Superficie geométrica estándar, 415.¡ 19 Superficie homogénea, 419-422, +24· Superficie homogénea con respecto a los sistemas de referencia, 419 Superficie inmersa, 216 (ejercicio 1O), 252, 121 Superficie llana, 240, 266 (ejercicio 11), 263 (ejercicio 2) Superficie mínima, 240, 315 ( ejercicio 5) ele revolución, 271-273 ejemplos ele, 273 llana, 301 (ejercicio 1) mapeo ele Gauss ele una, 336 ( ejercicio 6), 339 (ejercicio 20) rcghda, :2G8 (ejercicio 22) Superficie orientable 204·-206, 214 ( :·j ~rcicio 1) Superficie reglada, 166-1 G8, 261, 2662(JB cnr\·atura gaussiana total de una, 226 (ejercicio 9) no cilíndrica, 267 (ejercicio 14-) Superficie simplemente conexa, 204,
·116 Superficies isom{iricas, 3C-} Superficies paralelas. :• 11. :'-12 Superficie tangente, :.'GG ( cjc,rcicio 11) isornetrías de una, :JO') (ejercicio 5), 31.5 (ejercicio 2) Superficie totalmente umbilical, 294~07
Tangente unitaria, 71, 31, 85 • Tensor métrico, 350
470
ÍNDICE
Teorema de Gauss-Bonnet, 435-438, 4+2 (ejercicio 8) Teorema de Hilbert, 302 Teorema de la función inversa, 51,
188-190 Teorema de Licbman, ·114 Teorema de Stokcs, 198-200, 4-12 ( ejercicio 7) Theorema egrcgium, 311-315 Toro de revolución, 165 cálculo de las cartas del, 270-271 característica corres pon di e n te de Eulcr-Poincaré 434, 442 ( ejercicio 9) curvatura gaussiana del, 236-2:17, 270-271 curvatura gaussiana total del, 329, :l33 mapeo de Gauss del, 225 (ejercicio 5)' 332-333 para;nctrización habitual, 165 Toro plano, 362. 364 (ejercicio 5), 424 (ejercicio 7) su inserción m E>, 422 Torsión, 73, 82 fórmuh de, 85 signo de la, 136-13 7 Transforrrwción crtogonal, 119 Traslación, 117-119. 130
Traslación paraJe la, 3 71 Traslapamicnto liso. 172, 211 Triánguh, 13tl-4-l0 Triple producto escalar, Gl-63. 130 Trompet
323-:l24, :Ln Tubo, 255 (ejercicio 1(j) l!no a uno, 14 Variedad, 21 3<216 Variedad ricmanniana, 353 Vecindad, 56, 150 ncnnal, 391 \lcctorc:~
ortogonales, 57
Vectores paralelos, 16 Vectores principales, 230, 254 (ejercicio 1O), 256 (ejercicio 22) como \'ectores característicos, 231 \7cctor tangente a E·', 16, 26
a una superficie, 172, 212-213 Vector unitario. 58 Vector, uéase Vector tangente Velocidad, 2B-29. 212-213 V clocidaclcs parciales, 160, 162, 172 V clocidad inici:tl. 3 2 (ejercicio 6) -Vértices, 't27-"12tl