Estadística I
1. Definición 1. Definición Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos, lo cual sirve para sacar conclusiones que permitan tomar decisiones y aplicar los correctivos en caso fuera necesario.
2. Población 2. Población Es un conjunto de elementos con una característica común. Por ejemplo: Todos Todos los alumnos a lumnos matriculados en los Colegios.
5. Distribución de Frecuencias Consideramos una muestra de tamaño "n" (número de elementos de l de la a muestra) y la variable estadística "x" que puede tomar “k ” ” valores diferentes: x1, x2, x3, ......., xk . 5.1 5.1 Frecuencia Frecuencia Absoluta Simple (f 1) También llamada simplemente frecuencia, es el número de veces que aparece repetido el valor “xi” . Se cumple: f 1 + f 2 + f 3 + ....... + f k = n en notación sigma:
3. Muestra 3. Muestra
k fi n i1
5.2 5.2 Frecuencia Acumulada (Fi) Es una parte o subconjunto de la población. Generalmente se elige en forma aleatoria (al azar). Por ejemplo: una muestra de 40 alumnos del del Colegio TRILCE de Miraflores elegidos ele gidos al azar az ar..
4. Variable Estadística
Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias frecuencias absolutas simples. Así tenemos: F1 = f 1 F2 = f 1+f 2 F3 = f 1+f 2+f 3 . . . . .
Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en: A. Cualitat Cualitativa iva Son variables cuyos valores son cualidades que representa la población. Por ejemplo: la variable "profesión" puede adoptar las modalidades: Ingeniero, Ingenie ro, Médico, Profesor, Profesor, etc. B. Cuantitativa Son variables que pueden ser expresadas mediante números. Por ejemplo: número de alumnos matriculados, estatura, peso, edad, etc. Las variables cuantitativas pueden ser a su vez: B.1 Discretas Cuando toma valores enteros. Por ejemplo: número de alumnos, número de colegios en el distrito de Miraflores, número de hijos, etc. B.2 Continuas Cuando puede tomar cualquier valor numérico, enteros o decimales. Por ejemplo: el peso, la talla, el tiempo, el sueldo, etc.
. . . . .
Fi = f 1+f 2+f 3+........f i
5.3 5.3 Frecuencia Relativa Simple (hi) Es el cociente de la frecuencia absoluta simple y el número total de datos. Sus valores son números reales que oscilan entre 0 y 1. La suma de todas las la s frecuencias relativas es igual a 1. f hi i n
0 hi 1
5.4 Frecuencia Relativa Acumulada (Hi) Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias relativas simples. Así tenemos: H1 = h1 H2 = h1+h2 H3 = h1+h2+h3 . . . . . . . . . .
Hi = h1+h 2+h 3+.........hi
Nota: Las frecuencias relativas también se pueden expresar en tanto por ciento (%), bastará con multiplicar por 100 la frecuencia relativa. Ejemplos: ×100
0,32 0,07
Ejemplos prácticos 1. El siguiente gráfico nos muestra el número de pacientes atendidos en un centro de salud, en los años 2000; 2001; 2002 y 2003. f i (# pacientes)
32% 7%
×100
700 600 500 400 300 200
6. Representación de Datos Los datos pueden ser representados por:
xi (años) 2000 2001 2002 2003
6.1 Tablas Estadísticas Es un arreglo de filas y columnas en los cuales se encuentran distribuidos los datos.
Construiremos la tabla de datos estadísticos:
Ejemplo 1: De un grupo de 200 alumnos se obtuvo la siguiente información, respecto a sus edades.
xi
f i
Fi
2000 2001 2002 2003
200 500 700 600
200 700
n = 2 000
hi
Hi
0,1 = 10 % 0,10 = 10 % 0,25 = 25 % 0,35 = 35 %
1 = 100%
Cálculo de: * F1 = f 1 = 200 F2 = f 1+ f 2 = 200 + 500 = 700 F3 = ..................................... F4 = ..................................... xi = Variable estadística f i = Frecuencia absoluta simple
*
6.2 Gráficos Estadísticos Se pueden representar mediante barras o sectores circulares. Ejemplo 2: Con los datos del ejemplo 1, construimos los siguientes diagramas. f i
40 30 20 10
* H1 = h1= 0,10 H2 = hi + h2 = 0,10 + 0,25 = 0,35 H3 = .......................................... H4 = .......................................... 2. A un seminario empresarial asistieron 80 personas y se registró las edades de los participantes en los siguientes intervalos:
65
60 50
f 1 200 0,10 n 2 000 f 500 h2 2 0,25 n 2 000 h3 ......................... h 4 ......................... h1
45 38 25
27
Intervalos xi
14 15 16 17 18
Diagrama de Barras
Sector Circular
Conteo
f i
Fi
[20;25>
8
8
[25;30>
10
18
[30;35>
20
[35;40>
24
[40;45>
12
[45;50]
6 n = 80
hi
Hi H2
h3 F4
0,775 0,15
Luego de completar el cuadro interpretar los siguientes datos: f 4 = 24; hay 24 personas cuyas edades varían entre 35 y 40 años. F4 = 62; hay 62 personas cuyas edades varían entre 20 y 40 años. h3 = 0,25 = 25 %; el 25 % de los asistentes tienen entre 30 y 35 años. H2 = 0,225 = 22,5 %; el 22,5 % de los asistentes tienen entre 20 y 30 años. Nota:
2. Determinación del número de intervalos (k) Consiste en dividir el rango en un número conveniente de intervalos, llamados también "Intervalos de clase". Estos intervalos son generalmente del mismo tamaño. Podemos aplicar las siguentes alternativas: a) Si "n" es el número de datos, entonces k = n ; en el ejemplo: n = 40 k n 40 6,3 Puede considerarse 6; 7 y 8 intervalos b) Si "n" es el número de datos, entonces:
Cuando la variable toma muchos valores, como el caso anterior, imagínese hacer una tabla con cada una de las edades desde los 20 años hasta los 50 años, entonces la variable se agrupa adecuadamente en intervalos.
k = 1 + 3,3logn
en el ejemplo: n = 40 k = 1 + 3,3log40 = 6,28 puede considerarse 6; 7 y 8 intervalos. Los dos métodos nos dan el posible número de intervalos, la elección es arbitraria. Tomaremos en este caso: k = 6 intervalos, porque el rango es R = 18 y nos daría una cantidad exacta.
Al punto medio de cada intervalo se denomina Marca de clase, que es un valor representativo para el intervalo. 20 25 22,5 [1ra Marca de clase] 2 25 30 da [25;30 : x 2 27,5 [2 Marca de clase] 2 [20;25 : x 1
3. Determinación del tamaño de los intervalos (C) Dividimos el rango (R) entre el número de intervalos (k). También se le denomina Amplitud de clase. C=
M é to do p a r a d e te r m i na r el n úm er o d e intervalos para una variable continua A continuación se muestra las notas obtenidas por 40 alumnos de un aula en el último Examen Bimestral de Aritmética. 10 12 10 07
15 17 20 05
11 10 14 12
08 12 13 11
12 11 06 02
10 14 16 04
13 15 06 14
10 20 06 18
12 10 14 16
10 12 18 17
1. Determinación del Rango (R) Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos: Del ejemplo:
R = MAX - MIN R = 20 - 02 R = 18 Intervalos
R k
En el ejemplo: C
R 18 k 6
3
4. Determinación de los límites de los intervalos Generalmente el límite inferior del primer intervalo es el menor de los datos, luego se agrega la amplitud de clase (C) para obtener el límite superior del intervalo. En el ejemplo: MIN = 02 [límite inferior] C =3 02 + 3 = 05 [límite superior] 1er. intervalo: [02;05> 2do. intervalo: [05;08> Finalmente tendremos: (Realice el conteo y complete el cuadro)
Conteo
f i
[02; 05> [05; 08> [08; 11> [11; 14> [14; 17> [17; 20> n = 40
Fi
hi
Hi
Problemas para la clase
Pesos [250; 400> [400; 550> [550; 700> [700; 850> [850; 1000> [1000; 1050]
Bloque I 1. ¿Cuántas de las siguientes variables estadísticas son cualitativas? - Edad - Nacionalidad - Horas trabajadas a) 1 d) 4
-
Profesión Años de servicio c) 3
hi
Hi
18 6 3
7. ¿Cuál es el intervalo con la mayor frecuencia absoluta? a) 1° d) 4°
2. ¿Cuántas de las siguientes variables estadísticas son cuantitativas continuas?
a) 1 d) 4
Fi
Luego de completar el cuadro responda:
b) 2 e) 5
- Estatura - Peso - Número de cursos
f i 6 12
- Número de hijos - Sueldo
b) 2 e) 5
c) 3
8.
H
a
l l a
r
“
F
3
Se tomó una evaluación a un grupo de alumnos de cuarto año y los resultados obtenidos fueron: 97 80 75 120 92 78 105 82 79 87 82 92 105 81 76 70 84 87 91 84
c) 3°
b) 33 e) 55
c) 48
+ f 4”
a) 51 d) 42
9. Hallar “h1 + h4 + H2” a) 0,5 d) 0,7
* Enunciado:
b) 2° e) 5°
b) 0,6 e) 1,2
c) 0,3
10.¿Cuántos paquetes pesan 700 ó más gramos? a) 25 d) 12
b) 27 e) 15
c) 30
Bloque II 3. Determinar el rango (R). a) 40 d) 55
b) 35 e) 60
* Enunciado: c) 50
En una encuesta a 30 alumnos se obtuvo los siguientes datos, respecto a sus pesos en kilogramos:
4. El posible número de intervalo es: a) 6; 7 d) 2; 3
b) 7; 8 e) 8; 9
c) 4; 5
5. Si consideramos como número de intervalos k = 5, ¿cuál será los límites del último intervalo? a) [115; 120] b) [116; 120] d) [112; 120] e) [105; 120]
c) [110; 120]
6. Con la cosideración anterior, ¿cuál sería los límites del tercer intervalo? a) [90; 95> d) [80; 90>
b) [90; 98> e) [70; 80>
54 46 45 54 47
c) [90; 100>
* Enunciado: La distribución de frecuencias mostrada corresponde a los pesos de 60 paquetes registrados en una empresa de encomiendas.
42 52 40 52 58
58 62 56 48 52
64 66 55 61 54
70 58 64 63 57
46 47 66 60 56
1. Determine el rango (R). a) 40 d) 45
b) 45 e) 50
c) 30
2. El posible número de intervalos (k) es: a) 5; 6; 7 d) 8; 9; 10
b) 7; 8; 9 e) 3; 4; 5
c) 2; 3; 4
3. Si consideramos el número de intervalos k = 6, ¿cuál será los límites del primer intervalo? a) [40 ; 46> d) [36 ; 59>
b) [40 ; 45> e) [36 ; 50>
c) [45 ; 44>
4. ¿Cuál será los límites del intervalo de mayor frecuencia? a) [40 ; 45> d) [55 ; 60>
b) [45 ; 50> e) [60 ; 65>
c) [50 ; 55>
5. ¿Cuántos alumnos pesan menos de 55 kg? a) 10 d) 18
b) 12 e) 20
b) 42 % e) 60 %
c) 40,3 % Salario (soles)
b) 90 % e) 60 %
f i F # de personas i 120 50 80 90 60 n = 400
c) 0,40
10.Hallar el tanto por ciento correspondiente a los Administradores. b) 40 % e) 20 %
c) 25 %
b) 220 e) 180
c) 250
b) 130 e) 160
c) 140
b) 12 e) 18
c) 14
3. ¿Cuántos empleados ganan menos de 150 soles? a) 60 d) 40
b) 74 e) 50
c) 72
4. ¿Qué tanto por ciento de los trabajadores ganan entre 150 y 160 soles? a) 15 % d) 8,5 %
b) 12,5 % e) 17,5 %
c) 7,5 %
5. Hallar la marca de clase del último intervalo. a) 170 d) 155
b) 160 e) 150
c) 165
6. ¿Qué tanto por ciento de los trabajadores ganan entre 135 y 150 soles? a) 30 % d) 50 %
11.Hallar "F3". a) 200 d) 400
74
hi
9. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los Abogados?
a) 30 % d) 50 %
0,15 0,20 0,45
2. La frecuencia absoluta de la tercera clase es: a) 10 d) 16
Completar la tabla y responda las siguientes preguntas:
b) 0,20 e) 0,80
24 14 6 n = 80
Hi
1. El límite superior de la tercera clase es:
Se muestra la siguiente tabla de distribución del número de trabajadores de un Ministerio, de acuerdo a su ocupación.
a) 0,25 d) 0,70
8 12
hi
Complete el cuadro y responda:
a) 120 d) 150
A d m i ni s tra d ore s In geni er os A b og ados Ob reros S ecr e taria s
Fi
c) 80 %
* Enunciado:
xi ocupación
Número de (f ) i empleados
[100;110> [110;120> [120;130> [130;140> [140;150> [150;160>
c) 45 %
8. Determinar el tanto por ciento de alumnos que pesan menos de 65 kg. a) 40 % d) 50 %
c) 87,5 %
La tabla muestra una distribución de frecuencias de los salarios semanales en soles de 80 empleados de la compañía "SARITA S.A.".
7. Determinar el tanto por ciento de alumnos que pesan 60 kg o más. a) 30 % d) 20 %
b) 75 % e) 90 %
* Enunciado:
c) 14
b) 46,6 % e) 36,4 %
a) 62,5 % d) 72,5 % BloqueIII
6. ¿Qué tanto por ciento de alumnos pesan menos de 55 kilogramos? (Aprox.) a) 42,3 % d) 38,7 %
12.Hallar el tanto por ciento de los que no son Ingenieros.
b) 27,5 % e) 35 %
c) 32,5 %
7. Dada la siguiente distribución de frecuencias, respecto a las edades de empleados de una compañía:
Edades [19;21] [22;24] [25;27] [28;30] [31;33] hi
0,15
0,25
0,40
0,10
Además: F5 = 300, ¿cuántos empleados tienen edades entre 22 y 30 años? a) 175 d) 360
b) 225 e) 250
c) 450
1. ¿Cuál es la frecuencia relativa correspondiente a las secretarias? a) 0,15 d) 0,3
b) 0,2 e) 0,35
c) 0,25
2. Si se despiden ocho administradores, seis abogados y 16 obreros, ¿cuál es la frecuencia relativa de los contadores, luego de estos cambios?
* Enunciado: Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de 400 empleados según su edad: Edades [19;21] [22;24] [25;27] [28;30] [31;33] 0,10 hi 0,15 0,25 0,40 0,10
a) 0,35 d) 0,42
b) 0,13 e) 0,21
c) 0,27
* Enunciado: Se muestra la tabla de frecuencias de los rangos de sueldos que ganan un conjunto de profesores de colegios particulares.
8. ¿Cuántos empleados tienen entre 22 y 30 años? a) 255 d) 180
b) 300 e) 240
Sueldos [500; 800> [800; 1100> [1100; 1400> [1400; 1700> [1700; 2000>
c) 340
9. ¿Qué tanto por ciento de los empleados tiene a lo más 27 años? a) 70 % d) 40 %
b) 60 % e) 55 %
b) 30 % e) 80 %
0,20 c n = 40
c) 50 % 3. Hallar “a + b + c”
10.¿Qué tanto por ciento de los empleados tiene por lo menos 25 años? a) 40 % d) 70 %
hi 0,15 0,30
f i a b 10
c) 35 %
a) 15,2 d) 16,1
b) 18,1 e) 17,2
4. ¿Cuántos profesores ganan 1 400 soles o más? a) 6 d) 10
Autoevaluación
c) 12,2
b) 12 e) 8
c) 15
5. Del siguiente histograma, determinar el número de personas que tiene un gasto mensual de 350 a 650 soles.
* Enunciado: Se muestra la distribución de los trabajadores en una empresa de acuerdo a su ocupación:
N° personas 20
Ocupación
f i
15
Abogados Administradores Contadores Ingenieros Secretarias Obreros
20 30 12 8 18 32
12 8
Gasto mensual (S/.) 0
a) 30 d) 47
150
250
350
b) 35 e) 62
450
550
650
c) 42
Estadística II
Medidas de tendencia central 1. Moda (Md) Es el valor de la variable que más se repite o el de mayor frecuencia. Ejemplos: Hallar la moda en cada caso: a) 21; 30; 18; 21; 15; 20; 21; 15 Md = 21 b) 15; 18 ; 20; 18 ; 12; 15; 19
Md1 15 Bimodal Md2 18
2. Mediana (Me) Si tenemos “n” datos ordenados en forma creciente o decreciente, la mediana es el valor central si “n” es impar, y es igual a la semisuma de los valores centrales si “n” es par.
donde: xi: los valores que puede tomar “x” o la marca de clase en el caso de intervalos. f i: frecuencia absoluta de intervalo “i” . n: número de datos. Ejemplo: Las edades de un grupo de deportistas fue agrupada tal como muestra la tabla. Hallar la edad promedio de este grupo de personas. Intervalo (Edades)
xi
f i
xi f i
Fi
[10 - 14> [14 - 18> [18 - 22> [22 - 26> [26 - 30>
12 16 20 24 28
6 10 12 9 3
72 160 240 216 84
6 16 28 37 40
n = 40
772
5
x i f i
Ejemplos:
M.A. =
j1
n
=
772 = 19,3 40
Hallar la mediana en cada caso. a) 17; 20; 21; 23; 26; 32; 35 Me = 23 b) 21; 25; 16; 19; 28; 31 Ordenando: 16; 19; 21; 25 ; 28; 31
La media aritmética o promedio de todos los deportistas participantes es 19,3 años. 2. Moda (Md)
21 25 = 23 2 3. Media aritmética (M.A.) o promedio Me =
Es la suma de todos los valores observados de la variable, dividida entre el número total de datos. Ejemplo: Hallar la media aritmética de: 16; 18; 21; 21; 19; 15 M.A. =
16 18 21 21 19 15 = 18,33 6
Para datos tabulados
Md = Li +
d1 C d1 d2
donde: Li: límite inferior de la clase modal. d1: diferencia de frecuencias absolutas entre la clase modal y premodal. d2: diferencia de frecuencias absolutas entre la clase modal y postmodal. C: amplitud de clase. En el cuadro anterior, el intervalo de mayor frecuencia es el tercero [18 - 22>; entonces:
1. Media aritmética (M.A.) n
x i f i
M.A. =
Para calcular la moda de “n” datos tabulados, primero se ubica el intervalo que tiene la mayor frecuencia denominándose a éste clase modal y luego utilizamos la siguiente fórmula:
i 1
n
- Li: 18 - d2: 12 - 9 = 3
-
d1: 12 - 10 = 2 C: 22 - 18 = 4
Luego:
2. Hallar la mediana en cada caso:
d 2 1 Md = Li + C Md = 18 + 4 = 19,6 2 3 d1 d2 La moda de todos los deportistas es 19,6.
a) 63; 64; 73; 78; 79; 79; 81 Me = ................................ b) 15; 21; 18; 27; 31; 33; 25
3. Mediana (Me) n - Fm-1 Me = Lm + 2 C f m
donde: Lm: límite inferior de la clase mediana C: ancho de la clase mediana Fm-1: frecuencia absoluta acumulada de la clase precedente a la clase mediana f m: frecuencia absoluta de la clase mediana Observación:
c) 34; 28; 25; 32; 41; 37; 26; 43 Me = ................................ 3. Hallar la media aritmética en cada caso: a) 15; 21; 28; 32; 18 M.A. = ................................ b) 33; 21; 42; 52; 48; 36
La clase mediana es aquella cuya frecuencia absoluta acumulada sea mayor o igual a la mitad de los datos por primera vez. Del cuadro anterior, la mitad de los datos será: n 40 = = 20 2 2 en la columna de la frecuencia acumulada (Fi) buscamos aquella frecuencia que es mayor a 20 por primera vez, que será el tercer intervalo [18 - 22>.
- Lm: 18 - f m: 12
Me = ................................
-
Fm-1: 16 C: 22 - 18 = 4
M.A. = ................................ c) 456; 475; 508; 513; 518 M.A. = ................................ 4. Hallar la mediana y moda para cada conjunto de datos. a) 23; 18; 20; 18; 15; 22; 26 Me = ................................ Md = ................................ b) 10; 6; 10; 13; 12; 14; 10; 12
Luego: 40 n - Fm-1 - 16 Me = 18 + 4 2 = 19,3 Me = Lm + C 2 12 f m La mediana de todos los deportistas es 19,3.
Ejercicios 1. Hallar la moda en cada caso:
Me = ................................ Md = ................................ Problemas para la clase
Bloque I 1. Hallar la media aritmética de las notas obtenidas por un grupo de estudiantes, cuya distribución de frecuencias es:
a) 75; 81; 83; 65; 81; 73; 75; 86; 81
Notas [04; 08> [08; 12> [12; 16> [16; 20]
Md = ................................ b) 156; 152; 153; 152; 155; 156; 155 Md = ................................ c) 56; 53; 48; 46; 56; 48; 37 Md1 = ................................ Md2 = ................................
a) 11,2 d) 9,8
b) 11,7 e) 9,2
f i
xi
xi f i
14 12 10 4 c) 10,4
2. Las edades de un grupo de profesores está mostrada en el siguiente cuadro de frecuencias. Hallar la edad promedio si el ancho de los intervalos son iguales.
Edades [ ; 26> [ ; > [ ; > [38; > [ ; > [ ; 56] a) 33,8 d) 35,9
f i 5 16 15 12 8 4
xi
xi f i
a) 25 % d) 24 %
El siguiente cuadro muestra la distribución de frecuencias del tiempo en minutos que emplea un grupo de alumnos en ir de su casa al colegio: Tiempo [ ; 10> [ ; > [20; > [ ; > [ ; >
c) 35,2
3. Completar el siguiente cuadro y calcular el promedio de los pesos en gramos de un grupo de paquetes.
a) 210 d) 240
f i
xi
xi f i 625
7 225
2700 1100
2
b) 215 e) 245
c) 225
4. Del problema anterior, hallar la moda. a) 212,7 d) 227,6
b) 224,5 e) 232,4
c) 219,2
Un grupo de 80 trabajadores de una empresa tiene la siguiente distribución de frecuencias respecto a sus edades (Las amplitudes de los intervalos es la misma). f i
hi 0,05
16 0,3 0,25 12
5. Hallar la moda de las edades. b) 25,42 e) 30,66
b) 29,33 e) 32,66
Hi
0,1
0,35
4m 3m 0,3
8. Si todos los intervalos tienen el mismo ancho de clase calcule la mediana. a) 28,2 d) 24,3
b) 2,75 e) 22,8
c) 26,6
b) 15 e) 30
c) 20
9. Hallar “m” . a) 10 d) 25
10.Hallar el promedio de los tiempos de viaje en minutos . b) 27,8 d) 24,6
c) 23,2
Bloque II 1. Se muestra la nota de 11 alumnos en un examen de Matemática: 10; 12; 9; 12; 8; 14; 12; 10; 11; 12 y 8. Si el profesor decide aprobar a los alumnos cuya nota sea mayor o igual que la mediana, ¿cuántos aprueban? a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
Las edades de un grupo de personas asistentes a una reunión, tiene la siguiente distribución de frecuencias: xi (edades)
f i
18 19 20 21 22
11 15 12 10 6
c) 29,33
6. Hallar la mediana de las edades. a) 27,33 d) 31,36
hi
* Enunciado:
n = 80
a) 27,33 d) 28,66
f i
n = 200
a) 27,2 d) 26,5
* Enunciado:
Edades [18; > [ ; > [ ; 30> [ ; > [ ; > [ ; ]
c) 40 %
* Enunciado:
b) 34,2 e) 36,4
Pesos [100; 150> [150; 200> [200; 250> [250; 300> [300; 350]
b) 30 % e) 20 %
c) 28,33
7. ¿Cuál es el tanto por ciento de los trabajadores que tienen 34 ó más años?
2. ¿Cuál es la moda? a) 10 d) 18
b) 12 e) 15
c) 19
3. ¿Cuál es la media aritmética de las edades? a) 18,5 d) 19,7
b) 19,2 e) 20,2
c) 19,5
9. La clase mediana es de: a) 1ra clase c) 3ra clase e) 5ta clase
b) 2da clase d) 4ta clase
* Enunciado: 10.La clase modal es de: La tabla muestra la distribución de las edades de 50 alumnos de una universidad. Edades
xi
[16 - 19>
f i
Fi
hi
Hi
xif i
a) 1ra clase c) 3ra clase e) 5ta clase
b) 2da clase d) 4ta clase
10
[19 - 22>
BloqueIII
0,28
0,84
[22 - 25>
1. En una encuesta se obtuvo la siguiente información respecto a las notas obtenidas en un examen:
[25 - 28] 50
Puntaje
Completar el cuadro y responder:
[20; [40; [50; [60; [80;
4. ¿Cuál es el promedio de las edades de todos los estudiantes? a) 21,94 d) 20,26
b) 20,84 e) 21,26
c) 22,42
40> 50> 60> 80> 96]
Total
5. ¿Qué porcentaje de alumnos tiene menos de 22 años? a) 60 % d) 52 %
f i
b) 48 % e) 28 %
hi
30
90
se sabe además que:
c) 32 %
h1 = h5; h2 = h4; h2 - h1 =
1 9
Determinar el promedio. 6. ¿Cuál es la moda? a) 23,25 d) 23,54
b) 22,85 e) 24,62
a) 56,5 d) 58
c) 24,27
7. Determinar la moda de la siguiente distribución:
b) 57 e) N.A.
c) 57,5
2. La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 300 paquetes de un determinado producto.
Ii [0; 1> [1; 2> [2; 3> [3; 4> [4; 5]
Ii 10-14 15-19 20-24 25-29 30-35
f i
hi
a) 2,43 d) 2,65
3
10
b) 2,35 e) 2,56
17
8
5
c) 2,25
Los siguientes datos son los haberes quincenales de 20 obreros de una empresa (en dólares).
k
0,13
b) 22,10 e) N.A.
c) 22,14
12 10
8. Calcular la media, mediana y moda.
6 4
b) 175; 180; 190 d) 180; 175; 190
Dados los datos anteriores, clasifique en cinco intervalos de clase de igual tamaño.
2k
3. Dado el siguiente histograma, determinar la mediana. f i
210 200 220 150 190 100 160 150 170 190 140 180 230 210 160 140 180 130 200 190
a) 175; 180; 200 c) 175; 180; 180 e) 180; 190; 175
0,17
Hallar la moda. a) 23,10 d) 22,16
* Enunciado:
k/2
Edades 12
a) 23 d) 20,3
18
b) 19,4 e) 21,7
24
30
36
c) 20,6
4. Del siguiente histograma de barras, determinar la media de los datos con aproximación a la unidad. f i 15 12 10 5
Meses trabajados 2
4
a) 6 d) 9
6
9
Hallar la estatura media. a) 72,15 d) 65,75
1000
800 650 550 400
c) 10
5. Una muestra se dividió en ocho intervalos, siendo las frecuencias absolutas: 20; 21; 22; ... y las marcas de clase: 30; 29; 28;... ; calcular la media. a) 24,18 d) 27,13
b) 23,15 e) 26,27
c) 24,32
6. Se muestra una tabla de las frecuencias relativas de sueldos que ganan los profesores de universidades particulares: Rango de sueldos (S/.) [1 800; 2 200> [2 200; 2 600> [2 600; 3 000> [3 000; 3 400] s
i
e
l
s
u
e
l d
a) 0,4 d) 0,35
o
p
r
o
m
e
d
i o
f
u
e
d
e
Frencuencia relativa 0,1 m n 0,2 S
/
. 2
b) 0,3 e) 0,5
640, hallar el valor de “m” . c) 0,25
7. La tabla de datos que se proporciona corresponde a los pesos de 400 paquetes registrados en la aduana, del cual se pide la media y la mediana. Intervalos
f i
[64; 70>
50
[70; 80>
100
[80; 90> [90; 100> a) 81,75 y 83,33 c) 83,75 y 83,33 e) 83,75 y 81,25
100 b) 82,75 y 82,25 d) 81,25 y 82,25
10
a) 37,6 d) 41,3
60 63 66 69 72
-
62 65 68 71 74
30
b) 34,3 e) 40,6
40
50
c) 33,3
Ii
Xi
f i
[200; > [ ; > [ ; > [ ; 1 000]
10
10
f 2 f 3 = . Calcular el número de 3 5 familias con un ingreso entre 480 y 760.
Además: X = 580 y
a) 50 d) 54
b) 60 e) 65
c) 72
11.En un cuadro de distribución de cuatro intervalos de igual ancho de clase se sabe que: X1 = 12; X3 = 28; f2 = 45; h1 = h3 = 0,25. Si en total hay 120 datos, calcular su X . a) 18 d) 10
b) 22 e) 15
c) 12
12.En el histograma de frecuencias, hallar la mediana aproximadamente. f i 50 40 30 25 15 10
Frecuencia 5 18 42 27 8
20
10.En una encuesta sobre los ingresos anuales de un grupo de familias, se obtuvo la siguiente información:
8. Dada la siguiente tabla de frecuencias: Estatura (pulg.)
c) 62,15
9. En el siguiente histograma de frecuencias absolutas acumuladas (Fi) se pide la mediana y la media muestral. Dar su suma aproximada. Fi
12 14
b) 7 e) 8
b) 67,45 e) 65,15
xi 10
a) 37 d) 33
20
b) 31 e) 42
30
40
50
c) 32
60
a) 214,2 y 42 b) 210,4 y 45 c) 217,8 y 42 13.El cuadro estadístico muestra las horas extras realizadas d) 220,3 y 50 e) 219,4 y 45 por un grupo de trabajadores el mes pasado. Si el promedio es 40,08 horas, ¿qué tanto por ciento del total corresponde a 46 ó más horas extras? Los anchos de 3. El cuadro muestra el número de pedidos pasados por un grupo de vendedores. Hallar la moda si los anchos clase de todos los intervalos son iguales. de clase son constantes. Horas f i f i (N° vendedores) xi f i N° pedidos [ ; > a [300; 350> 9 [ ; > 3a [350; > 4500 [38; > 16 [ ; > 11900 [ ; > a [ ; > 30 [ ; 62] 4 [ ; 550] 11 a) 15 % d) 30 %
b) 18 % e) 10 %
c) 20 %
a) 428,12 d) 464,26
b) 454,76 e) 451,18
c) 436,38
4. Del siguiente histograma hallar el peso promedio de un grupo de personas.
Autoevaluación
1. Hallar la moda de la siguiente distribución que muestra las edades de un grupo de personas.
f i 43 22
[15; [20; [25; [30; [35; a) 35,23 d) 31,33
20> 25> 30> 35> 40]
b) 33,05 e) 32,15
2 6 14 36 22 c) 29,66
15 12 8 40
a) 65,7 d) 54,6
46
52
b) 60,2 e) 69,1
58
64
70
76
Pesos
c) 58,2
5. Una muestra se dividió en seis intervalos siendo las marcas de clase: 40; 46; 52; ... y las frecuencias 2. Los sueldos semanales de un grupo de obreros están absolutas. Hallar la suma de la moda y la mediana. distribuidos en la siguiente distribución de frecuencias con ancho de clase constante. Hallar el sueldo promedio a) 117,32 b) 112,45 c) 114,32 y cuántos trabajadores ganan S/.240 ó mas? d) 116,65 e) 118,23 f i hi Sueldos [ ; > k [ ; 210> 4k [ ; > 33 0,22 2k [ ; > [270; ] 0,08
