141998755 Fluidos Mecanica de Fluidos COMSOL PDF

Introduccion a la Mecanica de Fluidos y Transferencia de Calor con COMSOL Multiphysics R. Torres y J. Grau

ISBN 978-84-611-7318-1 D. Legal: B. 50824-2007

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Convenciones tipogrificas El entorno COMSOL utiliza exclusivamente el punto como separador decimal. Para no mezclar la utilization del punto y de la coma como separadores decimales se ha optado por especificar en todo el documento la separation decimal mediante un punto. En negrita se han realzado las palabras que aparecen escritas de la misma f o m a en el entorno de trabajo de COMSOL.

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Se han especificado en cursiva 10s valores que el usuario debe introducir o seleccionar en 10s cuadros de dialogo del entorno de trabajo. Las diferentes opciones de menu que el usuario debe seguir para llegar a una opcion determinada se han enlazado rnediante el simbolo >. Por ejemplo, Physics > Subdomain Settings nos indica acceder a1 menu Physics y seleccionar la opci6n Subdomain Settings.

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Prefacio La importancia que en la actualidad tienen 10s mCtodos computacionales de simulaci6n esta fuera de toda duda. En el Ambit0 especifico de la ingenieiia, la simulacibn numCrica de fen6rnenos de interCs practico tiene tal influencia en el desarrollo de nuevos productos o tecnologias que no se plantean nuevos disefios o prototipos sin antes haberlos contrastado computacionalmente. Hasta hace relativamente poco tiempo, el modelado y simulacion fisicos pasaban por el desarrollo de rutinas especificas destinadas a la solucion de problemas particulares y, por tanto, muy poco escalables. En general, estos desarrollos se fundamentaban en arquitecturas de programacion que eran practicamente imposibles de integrar, y obligaba a contar con la colaboracibn de una gran variedad de personal altamente cualificado tanto en la fisica que se deseaba modelar como en las ttcnicas y herramientas computacionales relacionadas. En la actualidad, el nivel de sofisticacion alcanzado por 10s entornos disponibles (corno es el caso de COMSOL) ha permitido solventar todos estos problemas. Con estas premisas, 10s autores han planeado con la edicion de este texto poner a disposici6n de aquellas personas, estudiantes o no, con inquietudes alrededor de la simulacion num~ricay conocimientos basicos de mecanica de fluidos y de transferencia de calor, de un mCtodo simple a travCs del cual conQcer y diseiiar correctamente las etapas inherentes en todo proceso de simulacion. Algunas evidentes y razonables, otras, unicamente identificables una vez se esta enfientado a1 problema: la calidad de la malla (grid) con la que se dicretiza el dominio de trabajo, el establecimiento correct0 de las condiciones de contorno ylo iniciales, el modelado adecuado del fenorneno bajo estudio, asi como la interpretation correcta de 10s resultados obtenidos y su alcance son algunas de las caracteristicas que deben ser valoradas de forma rigurosa. Con este texto, 10s autores desean introducir mediante problemas fundamentales de la mechica de fluidos y de la transferencia de calor y con la ayuda de un entorno como el que ofiece COMSOL, de criterios que permitan la correcta valoracion de la validez, bondad y alcance de 10s

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resultados obtenidos mediante simulaci6n. Es por ello que se ha optado por incorporar algunos ejercicios con soluciones analiticas que no deben ser entendidos como meras simplificaciones, sino como la forma id6nea de, en primer lugar, poder contrastar 10s resultados obtenidos, en segundo lugar, valorar explicitamente la influencia de distintas estrategias de simulacion y, en tercer lugar, explorar las posibilidades que ofiece el entorno de COMSOL para el planteamiento de problemas, sus capacidades de soluci6n y su potencial para el an6lisis de 10s resultados obtenidos. Las razones que han conducido a la elecci6n de COMSOL como herramienta de simulacidn son variadas y complementarias. Ofiece un entorno modern0 e intuitivo, es modular en su concepci6n, ofrece la posibilidad de estudiar 10s efectos de solicitaciones de distinta naturaleza (multifisica) de una forma muy sencilla y esta bien documentado. Sin embargo existen algunos modulos que creemos todavia en desarrollo y debieran ser complementados, particularmente aquellos relacionados con la dinamica de fluidos computacional. Incluso esta aparente limitaci6n debiera ser interpretada positivamente pensando en el gran recomdo que ofrece un entorno de simulacion de estas caracteristicas.

R. Torres Camara J. Grau Barcel6 Dpto de Mechnica de fluidos Universidad PolitCcnica de Cataluiia (UPC)

Contenido 1 IntroduccMn a 10s mktodos numbricos 1.1 Consideraciones iniciales 1.2 Dinhmica de fluidos computacional 1.3 Discretization y tipos de malla 1.4 Propiedades de 10s metodos nurntricos 1.5 Mttodos de discretizacion 1.5.1 Diferencias finitas 1.5.2 Vollimenes finitos 1.5.3 Elementos finitos 1.6 COMSOL: un entorno multifisico de sirnulacion

2 Transmisi6n estacionaria de calor 2.1 Consideraciones iniciales 2.2 Transmision a travts de un cerramiento plano 2.2.1 Planteamiento del problema y solucion analitica 2.2.2 Modelado mediante el GUI de COMSOL 2.2.3 Posprocesado y visualizacion 2.3 Transmision radial a travts de un elemento cilindrico 2.3.1 Planteamiento del problema y solucion analitica 2.3.2 Modelado mediante el GUI de COMSOL 2.3.3 Posprocesado y visualizacion 2.4 Ejercicios propuestos

3 Flujo newtoniano confinado 3.1 Consideraciones iniciales 3.2 Flujo laminar en desarrollo en una tuberia 3.2.1 modelado medante el GUI de COMSOL 3.2.2 Posprocesado y analisis de resultados 3.3 Flujo laminar confinado con transferencia de calor 3.3.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 3.3.2 Posprocesado y visualicion de resultados 3.4 Ejercicios propuestos

4 Flujo no newtoniano confinado 4.1 Consideraciones iniciales 4.2 Flujo en tuberias de un fluido Ostwald-de Waele 4.2.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 4.2.2 Posprocesado y analisis de resultados 4.2.3 Generacion de informes 4.3 Ejercicios propuestos

5 Flujo no isotermo 5.1 Consideraciones iniciales 5.2 Estudio de un calentador de aire 5.2.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 5.2.2 Posprocesado y analisis de resultados 5.3 Ejercicios propuestos

6 Transmisibn transitoria de calor 6.1. Consideraciones iniciales 105 6.2 Estudio del transitorio termico de la union de dos metales a diferentes temperaturas 6.2.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 6.2.2. Posprocesado y visualization 6.3. Ejercicios propuestos

7 Flujo turbulento 7.1 Consideraciones iniciales 7.1.1 Cierre k-E 7.1.2 Condiciones iniciales y ley de la pared 7.2 Flujo turbulento en un escal6n 7.2.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 7.2.2 Posprocesado y analisis de resultados 7.3 Ejercicios propuestos

8 Capa limite en una placa plana 8.1 Consideraciones iniciales 8.2 Capa lirnite fluidodirtamica en m a placa plana 8.3 Capa limite l&ar 8.3.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 8.3.2 Posprocesado y analisis de resultados

8.4 Capa limite turbulenta con transferencia de calor 8.4.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 8.4.2 Posprocesado y analisis de resultados 8.5 Ejercicios propuestos

9 Flujo externo alrededor de cilindros 9.1 Consideraciones iniciales 9.2 Analisis fluidodinamico del flujo alrededor de cilindros 9.2.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 9.2.2 Posprocesado y analisis de resultados 9.3 Flujo alrededor de cilindros con transferencia de calor 9.3.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 9.3.2 Posprocesado y analisis de resultados 9.4 Resistencia, sustentacion y vibracion inducida 9.4.1 Modelado mediante el GUI de COMSOL 9.4.2 Posprocesado y visualizacidn 9.4.3 Sirnulacion dependiente del tiempo 9.5 Ejercicios propuestos

Bibliografia

Introduccion a 10s metodos numericos 1

1. Introduccion a 10s m6todos numhricos 1.1. Consideraciones iniciales El objetivo que persiguen las disciplinas cientificas es la obtencion de leyes generales que pennitan explicar, y asi entender, 10s fenomenos naturales. La description de dichos fenomenos se plasma en ecuaciones matematicas cuya resoluci6n, c o n p e n t e con ciertas condiciones de contomo e iniciales, pennite estudiar casos particulares e incorporar dicho conocirniento a nivel tecnologico. Sin embargo, muchas de esas ecuaciones no admiten soluciones analiticas. Las ecuaciones de la mechica de fluidos son ejemplo de algunas de ellas. Su estudio se ha abordado desde diferentes frentes: mediante simplificaciones que permiten la obtencion de soluciones analiticas, mediante anilisis dimensional que permite la identificacion de las variables de influencia (y la combinacion entre ellas) y mediante la experimentacion. Las simplificaciones, sin dejar de ser importantes, no permiten la obtencion de soluciones para muchas situaciones de inter& en ingenieria. El estudio de flujos complejos, debidos a la turbulencia por ejemplo, asi como dominios de solucion y geometrias complejas exigen niveles de detalle que obligan a dejar de lado las simplificaciones El analisis dimensional es una extraordinaria herramienta de anhlisis de la fisica en general, y de la meczinica de fluidos en particular. La identificacion de las variables de influencia, su agrupacion en grupos adimensionales, la metodologia idonea para optimizar 10s recursos experimentales asi como compactar 10s resultados de 10s ensayos, son algunas de sus caracteristicas mas remarcables. Del analisis dimensional se establecen las relaciones de semejanza (geometrica, cinematica y d i n d i c a ) que penniten la extrapolation de 10s resultados obtenidos sobre modelos a escala, a prototipos a escala real aun cuando es imposible, en la practica, asegurar las condiciones de semejanza total. La tercera opcidn es la de estudiar 10s flujos a partir de experimentos. Claro esta que la validez de 10s resultados (siendo estos un conjunto limitado de observaciones) esta limitado por la resolucion y exactitud de 10s medios instrumentales disponibles y, naturalmente, de la disponibilidad de estos ultimos. En cualquier caso, la programacion, el disef3o y la ejecucion de 10s ensayos exigen grandes recursos de tiempo y dinero.

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Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

Complementariamente, la evolucion de 10s ordenadores ha permitido desde hace ya tiempo poner a disposicion de la comunidad interesada de una nueva tCcnica de analisis: el estudio computacional de 10s flujos o lo que en la actualidad se conoce como dintimica de fluidos computacional (DFC). Este planteamiento tiene por objetivo la resoluci6n de las ecuaciones del flujo haciendo uso de herramientas numericas discretizando el dominio de solucion espacial y temporalmente.

1.2. Dinamica de fluidos computacional Las ecuaciones que describen 10s fenomenos en 10s que estamos interesados (fluidos y transferencia de calor) son ecuaciones en derivadas parciales en su version diferencial, o ecuaciones integro-diferenciales en su version integral. La solucion de estas ecuaciones mediante metodos numericos necesita realizar dos discretizaciones, una espacial y otra temporal, y la calidad de la solucidn depende de la calidad de dicha discretizacion. Dichas discretizaciones aproximan las ecuaciones mediante diferentes tipos de formulaciones matematicas que incorporan 10s valores de las propiedades de interts en 10s diferentes nodos de la malla de calculo. De esta manera, las ecuaciones se transforman en sistemas de ecuaciones algebraicas que son las que a la postre deben resolverse y que se caracterizan por tener una dimension muy elevada. Cada nodo de la discretizacion incorpora una o mas incognitas a1 sistema. La DFC se utiliza desde el estudio basico de la mecanica de fluidos hasta el estudio de realizaciones tecnoldgicas como herramienta de diseiio. En el ambito basico nos permite buscar una descripcion de 10s procesos fundamentales, por ejemplo, mediante herramientas de resolucion directa de las ecuaciones (DNS). Eso si, con un coste computacional muy elevado per0 con resultados de gran inter& en investigacion bisica. Este campo esth limitado por la potencia de calculo disponible en la actualidad que permite solamente la resolucion de casos rnuy simples. La utilizacion de herramientas de simulacion y diseiio orientadas a entornos ingenieriles utiliza modelos que simplifican el calculo a costa de perder precision y generalidad en 10s resultados. Aun asi, estAn convirtitndose en herramientas de gran valor considerAndoselas imprescindibles a la hora de afrontar nuevos diseiios. El campo de estudio se puede considerar hoy en dia tan amplio como la propia mechnica de fluidos. Es importante tener presente que la solucion obtenida por un metodo numkrico es una aproximaci6n de mayor o menor calidad del proceso real y existen diferentes etapas en el proceso de res'olucion que pueden dar lugar a diferencias entre el resultado final y las obsemaciones expenmentales.

htroduccion a 10s metodos nunericqs

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En la primera etapa del proceso se plantea la descripci6n fisico-matedtica del problema a resolver y se establece un modelo m6s o menos realistic0 del fenomeno real bajo estudio. A mod0 de ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes son' las ecuaciones establecidas para describir el flujo de fluidos. La segunda etapa consiste en realizar la discretizacion espacial y temporal del dominio de soluci6n lo cual afiade nuevas aproximaciones a1 proceso de resolucion numtrica. Nuestros comentarios girarh alrededor de tres grandes aproximaciones usadas en la discretizacion de las ecuaciones: el mttodo de las diferencias finitas (DF), el metodo de 10s volhnenes finitos (VF) y el metodo de 10s elementos finitos (EF). Hay tambiin otros metodos destinados a problemas mas especificos como pueden ser 10s esquemas espectrales, 10s metodos de elementos de contornos o 10s automatas celulares, entre otros. La tercera etapa consiste en la resolucion de 10s sistemas de ecuaciones algebraicas resultantes de las discretizaciones. Este proceso depende del tipo de ecuaciones que en la mayoda de 10s casos son no lineales lo cual obliga a la utilizacion de nuevas aproximaciones que permitan su linealizacion junto con metodos iterativos de solucibn. En el momento de interpretar y verificar 10s datos obtenidos es de suma importancia la representacion grafica de 10s resultados. La cantidad de information obtenida en un proceso de simulaci6n puede ser enorme y se necesitan herramientas de posprocesado potentes para poder analizar y manipular agilmente 10s resultados y llegar a sacar conclusiones del estudio. En la fase de posprocesado la experiencia del usuario es de suma importancia a la hora de detectar problemas y errores en la solucibn.

1.3. Discretizaci6n y tipos de malla Es importante describir con un poco mas de detalle las consecuencias de la discretizacion pues sus caracteristicas determinan la metodologia de resolucion de las ecuaciones discretizadas. Existe una relacion entre la discretizacion y la complejidad del sistema resultante que debe resolverse. Cuando la discretizacion es regular, 10s sistemas son casi diagonales; si la geometria es compleja y la discretizacion es irregular 10s sistemas obligan a un coste computacional mayor. Se disponen de varias maneras de construir la malla de discretizacion: Malla (mesh) estructurada. Consiste en una disposicion regular de la malla. Puede entenderse como una deformacion de una malla rectangular para adaptarla a la geometria a estudiar y en la que cada celda viene identificada por dos coordenadas (ij) en 2D o por tres (ij,k) en 3D. Las

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Introduccibn a 10smetodos num6ricos

Mec&nica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS ventajas de este tip0 de malla es que se obtienen ecuaciones discretizadas mas simples y fziciles de resolver. Por contra, son poco apropiadas para geometrias complejas dado que no se dispone de un buen control sobre el tamafio de 10s elementos en todo el dominio de trabajo. Malla estructurada por bloques. Esta metodologia presenta diferentes niveles de subdivision del dominio. Una primera division en bloques pennite obtener un conjunto de subdominios cada uno de 10s cuales se discretizara utilizando una malla estructurada regular. Se deben tratar con cuidado las zonas de contact0 entre diferentes subdominios.

1.4. Propiedades de 10s mdtodos numdricos Los metodos numericos necesitan cumplir ciertas propiedades que aseguren la bondad de sus resultados. En muchos casos, la complejidad de 10s problemas impide el analisis del metodo completo y se recurre entonces a analizar cada uno de sus componentes. Si alguno de Cstos no cumple alguna de las propiedades requeridas, el mktodo completo tampoco las cumplira. Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto. Consistencia

El proceso de discretizacion deberia reproducir el valor exacto a medida que se mejora el refinado de la malla. La diferencia entre la ecuacion discretizada y la solucion exacta se denomina error de ti-uncamiento. Para asegurar entonces la consistencia del metodo, el error de truncarniento debe tender a cero a medida que 10s parametros de la malla (At y/o Ax) se hacen arbitrariamente pequefios. Idealmente todos 10s terminos deberian discretizarse con aproximaciones del mismo orden de exactitud, sin embargo, existen situaciones particulares como terminos convectivos en flujos a altos numeros de Reynolds o terminos difusivos a bajos n b e r o s de Reynolds que pueden ser dominantes y que, por tanto, deban recibir tratamientos especificos. Aun cuando la solution sea consistente, no puede asegurarse que la solucion del sistema discreto reproduzca la soluci6n exacta. Para que esto sea asi el metodo debe ser estable. Estabilidad

Decimos que un metodo nurnkrico es estable si no magnifica 10s errores que aparecen en el transcurso del proceso de resolution. Por ejemplo, en el caso de problemas dependientes del tiempo, la estabilidad asegura que el metodo genera

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soluciones acotadas mientras la solucion de la ecuacion exacta lo sea o, en el case de metodos iterativos, la estabilidad garantiza que el mktodo no diverge. Sin embargo, la estabilidad puede ser especialmente dificil de estudiar en ~roblemasno lineales. Esta es la razon por la que se recurre en muchas ocasiones al estudio de la estabilidad de problemas lineales para 10s que la expenencia demuestra que 10s resultados asi obtenidos pueden ser, except0 notables excepciones, aplicados a problemas mis complejos. Convergencia

Un metodo numkrico es convergente si la solution del problema discretizado tiende a la solution exacta de la ecuacion diferencial original a medida que el paso de malla se reduce. Solo para algunas situaciones particulares se disponen de condiciones necesarias y suficientes como las que valida el teorema de equivalencia de Lax: dado un problema de valor inicial lineal bien planteado y una aproximacidn de diferencias finitas a kl que satisfaga la condicidn de consistencia, la condicidn necesaria y suficiente para asegurar su convergencia es que sea estable. En el caso de problemas no lineales la estabilidad y la convergencia son dificiles de demostrar. En estos casos, se recurre a experimentos numericos consistentes en repetir 10s czilculos sobre sucesivas mallas cada vez mas refmadas. Si el metodo es estable y si todas las aproximaciones usadas en el proceso de discretizacion son consistentes, se encuentra usualmente que la solucion converge hacia una que es independiente de la malla.

Dado que las ecuaciones a resolver son leyes de conservacion el esquema numerico tambien tiene que serlo respecto de esas mismas leyes. Esto significa que, por ejemplo, en un estado estacionario y en ausencia de fuentes, la cantidad de magnitud abandonando un volumen cerrado es igual a la cantidad entrante de la misma magnitud en ese mismo volumen. El tratamiento de fuentes y sumideros deberia ser consistente de forma que la fuente (o sumidero) en el dominio sea igual a1 flujo net0 de la magnitud a traves de la frontera. Esta es una propiedad importante por cuanto impone restricciones sobre el error admisible en la solucion. Los errores debidos a la no conservacion son en muchas ocasiones solo apreciables sobre mallas poco refmadas y el problema es que es dificil determinar a priori c d l es la malla sobre la que estos errores son suficientemente pequefios.

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Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

Valor acotado

Las soluciones numCricas deben estar acotadas. Fisicamente hablando las magnitudes no negativas (densidad, energia cinetica turbulenta) deben ser siempre positivas, otras magnitudes como la concentracidn deben permanecer entre el 0 % y el 100 % por poner a l g k ejemplo. En ausencia de fuentes, algunas ecuaciones (por ejemplo la ecuacion del calor cuando no hay f%entes/sumideros presentes) requieren que 10s valores maximales ocurran en la frontera del dominio y, por tanto, estas propiedades deben ser heredadas por el mktodo de discretizacion. El caracter acotado de las soluciones es dificil de garantizar. Solo algunos esquemas de primer orden pueden asegurar esta propiedad mientras que todos 10s esquemas de orden superior pueden producir soluciones no acotadas. Afoxtunadamente, esto suele ocurrir cuando la malla no es lo suficientemente refmada. Realizabilidad

La propuesta de modelos de fenomenos complejos para ser tratados directamente (turbulencia, combustion o flujos multifasicos) debe estar orientada a la obtencion de soluciones fisicamente aceptables. Esto no es una caracteristica numkrica per se, sino que 10s modelos que no son realizables pueden dar lugar a soluciones sin sentido fisico o a soluciones divergentes. Exactitud

Las soluciones num6ricas a problemas de flujo o de transferencia de calor son solo soluciones aproximadas. Ademas de 10s errores inherentes a1 desarrollo del algoritmo de solucion, a la programacion o a1 establecimiento de las condiciones de contorno correctas, las soluciones numericas siempre introducen tres tipos de errores sistematicos: Errores de modelado. Definidos como la diferencia entre la solucion real y la solucion obtenida a partir del modelo matematico. Errores de discretizacidn. Definidos como la diferencia entre la solucion exacta de las ecuaciones de conservacion y la solucion exacta del sistema algebraic0 de ecuaciones resultante de la discretizacidn de aqutllas. Errores de iteracidn. Definidos como la diferencia entre la soluci6n iterativa y la exacta del sistema de ecuaciones algebraicas relacionado. Los errores iterativos son a menudo denominados errores de convergencia. Sin embargo, el tCrmino convergencia no solo se usa en conjuncion con la reduction

del error en 10s mttodos iterativos, sino tambien con la convergencia de las soluciones numericas hacia una soluci6n independiente de la malla. Es importante, si es posible, distinguir unos de otros. Unas veces pueden cancelarse y otras veces resultar que soluciones obtenidas sobre mallas poco refmadas dan, sorprendentemente, mejores resultados que las obtenidas sobre otras mas fmas 10 cual es, por defmicibn, contradictorio. Los errores relacionados con el modelo dependen de las hipotesis asumidas a la hora de establecer las ecuaciones de transporte. ~ s t opueden s ser despreciables para flujos laminares pues las ecuaciones de Navier-Stokes describen con suficiente exactitud este tipo de flujo. En el caso de flujos turbulentos, flujos bifasicos 0 fenomenos de combustion, 10s errores inherentes a1 modelo pueden ser muy grades. Los errores de modelado tambien aparecen debido a simplificaciones de la geometria o de las condiciones de contorno. Estos errores no son conocidos a priori y pueden ser solo evaluados comparando soluciones en las que 10s errores de discretizacion y convergencia son despreciables, con datos experimentales o con datos obtenidos a partir de modelos mas exactos (por ejemplo, datos obtenidos mediante simulacion directs). Se ha comentado anterionnente que 10s errores introducidos disminuyen a medida que se refma la malla. Sin embargo, sobre una misma malla, metodos del mismo orden pueden producir errores que pueden diferir en hasta un orden de magnitud. Esto es debido a que el orden solo informa de la velocidad a la cual 10s errores decrecen a medida que la malla se refina. No surninistra informacion sobre el error debido a una malla particular.

1.5. MCtodos de discretizacion

Es el mas antiguo y tambikn el mas sencillo de usar cuando las geometrias son sencillas. El punto de partida es la ecuaci6n de conservacion en forma diferencial. El dominio de la solucion es cubierto por una malla y en cada punto de la malla, la ecuacion diferencial es aproximada a partir de 10s valores nodales de las h c i o n e s . El resultado es una ecuacion algebraica por nodo de malla en el cual el valor de la variable en ese nodo y un cierto niunero de nodos vecinos aparecen como incognitas. En principio es posible aplicar DF a cualquier tip0 de malla per0 es usual utilizarlo con mallas estructuradas con las que este mCtodo es particularmente simple y efectivo y permite obtener esquemas de orden superior muy facilmente.

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Mecanica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

El mttodo de VF utiliza la forma integral de las ecuaciones de conservaci6n como punto de partida. El dominio es dividido en un cierto nhmero de volumenes de control contiguos sobre 10s que se aplican las ecuaciones de conservaci6n. En el centroide de cada volumen se establece un nodo sobre el que se valoran las variables de interts. La determinacibn de las variables en las superficies de control se lleva a cab0 mediante interpolacion mientras que las integrales de volumen y de superficie son aproximadas mediante formulas de cuadratura. El resultado final es una ecuaci6n algebraica por cada volumen de control que incluye valores de 10s nodos vecinos.

El metodo de VF es adecuado para cualquier tipo de gridy, por tanto, util para geometn'as complejas. La malla define solamente las fronteras de 10s volumenes de control y no necesita estar relacionado con un sistema coordenado particular. El mitodo es conservativo por construcci6n siempre que las integrales de superficie (representativas de 10s flujos convectivos y difusivos) sean las mismas para volhenes de control que compartan una misma fiontera. La desventaja de 10s VF respecto de las DF es que 10s metodos de orden superior a1 segundo son mas dificiles de desarrollar en 3D. Esto es debido a que el metodo de 10s VF requiere tres niveles de aproximaci6n: interpolacion, diferenciacion e integracion.

1.5.3. Elementos Jinitos El metodo de 10s EF es similar en muchos aspectos a1 de VF. El dominio se subdivide en un conjunto de elementos discretos generalmente no estructurados; en 2D se utilizan elementos tip0 tribgulo o cuadrilatero, mientras que en 3D se utilizan tetraedros y hexaedros. La caracteristica distintiva es que las ecuaciones en el metodo de EF estAn multiplicadas por funciones de peso antes de ser integradas sobre el dominio. En su metodo mas simple, la solucibn es aproximada por una h c i o n de forma lineal en cada elemento de forma que se garantice la continuidad de la soluci6n a travts de las fronteras de 10s elementos. Tales funciones pueden ser construidas a partir de sus valores en 10s extremos de 10s elementos. Las ecuaciones que deben ser resueltas se obtienen imponiendo la seleccion de una soluci6n optima de entre un conjunto de funciones permitidas (la que presente residual minimo). Una gran ventaja de 10s EF es la facilidad con la que trata geometrias complejas pues las mallas son muy faciles de refmar. Por otra parte, el mttodo es relativamente facil de analizar matematicamente y presenta algunas propiedades

Introduction a 10s metodos numericos

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bptimas para cierto tipo de ecuaciones. Su principal desventaja, la cual es compartida por todos 10s metodos que utilizan mallas no estructuradas, es que es mas dificil encontrar metodos eficaces para la manipulacion de las matrices resultantes.

1.6. COMSOL: sirnulacion multifisica mediante elementos finitos Mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (PDE) podemos describir una gran variedad de sistemas fisicos. Estas ecuaciones describen las variaciones de las propiedades en el espacio y a lo largo del tiempo y necesitan de ciertas condiciones (iniciales y de contorno) para su resolucion. Las soluciones analiticas solo son posibles en casos muy determinados per0 no a nivel general. Es en este punto en el que la resolucion numerica se constituye en una herramienta de gran ayuda. La herramienta COMSOL Multiphysics estA destinada a la resolucion de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (PDE) utilizando el metodo de 10s elementos finitos. En el entomo de trabajo de COMSOL el usuario dispone de las herramientas necesarias para la introducci6n de las ecuaciones que describen su modelo. Sin embargo, COMSOL incorpora un importante nhmero de sistemas fisicos predefinidos con sus ecuaciones (modelos) agrupados en heas tematicas (modulos) junto con librerias de materiales con un buen numero de propiedades fisicas relevantes. Otro aspect0 de gran importancia es la posibilidad que nos brinda de valorar el acoplamiento de diferentes fisicas en un mismo problema de una forma muy sencilla. Esto es, valorar la accion simulthnea de solicitaciones de distinta naturaleza sobre el mismo sistema. Podemos describir entonces a COMSOL Multiphysics como una herrarnienta de resolucion de ecuaciones en derivadas parciales basada en el mttodo de 10s elementos finitos, que incorpora predefinidos una gran cantidad de modelos y que permite la utilizacion simulthnea de diferentes modelos dando lugar a una resolucion multifisica de un mismo problema. El entorno de trabajo del COMSOL incorpora las fases fundamentales: definicibn del problema, resolucion del mismo y posprocesado. La definition del problema se inicia seleccionando 10s modelos fisicos a utilizar e introduciendo la geometria. El segundo paso consiste en especificar las propiedades fisicas y las condiciones iniciales y de contomo en 10s diferentes subdominios de estudio. La etapa de resolucion pasa por defmir una malla de calculo y especificar 10s parametros del metodo de calculo a utilizar. En este punto ya se puede ejecutar el motor de calculo para la resoluci6n del problema. La tercera etapa consiste en el posprocesado de

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Transmisi6n estacionaria de calor

Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTPHYSICS

resultados, se utilizan herramientas que nos penniten una gran versatilidad en la representacion grafica de 10s resultados obtenidos asi como de herrarnientas de calculo matematico que nos penniten, entre otras cosas, integrar propiedades en subdominios y contornos. Para ampliar aun mas su potencialidad y versatilidad nos permite exportar a formato Matlab(*.m) el modelo creado. Este modelo se puede ejecutar tanto en MATLAB como en COMSOL Script (el lenguaje de secuencia de comandos de COMSOL), teniendo acceso a toda la potencialidad de COMSOL implementada en forma de librerias. En muchos casos 10s beneficios que se obtienen son un mayor control del proceso de resolution, ampliando en gran medida la posibilidad de realizar estudios parametricos, tanto en la gesti6n de multiples parhetros como en el almacenamiento y posprocesado de 10s resultados obtenidos.

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2. Transmisibn estacionaria de calor 2.1. Consideraciones iniciales En este primer ejemplo se estudia la transmision de calor a travCs de varias capas de diferentes materiales. Si bien es cierto que se presentan dos mecanismos combinados de transferencia de calor, convection y conduccion, se hace especial enfasis en la transferencia conductiva para asi poder disponer de solucion analitica con la que poder contrastar 10s resultados obtenidos mediante COMSOL. En un primer caso se estudiara el acoplarniento de capas planas y en un segundo caso se estudiarh capas cilindricas El punto de patida es la ley de Fourier para la conduccion de calor que nos permite expresar el flujo de calor, q , en f h c i b n de la conductividad termica, k, y del gradiente de temperaturas, dT/&

2.2. Transmision a travCs de un cerramiento plano En el caso de una pared plana de espesor L con un flujo de calor constante, el flujo de calor se expresa en tCnninos de la potencia calorifica transrnitida, Q y la superficie de la pared, A, como

lo cual permite escribir

Integrando la expresion anterior se obtiene

QL

= k A ( T , - T,)

L2.41

De manera que disponemos de expresiones para la potencia calorifica transmitida y para el flujo de calor dadas, respectivamente, por

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P

Podemos hablar, por tanto, de coeficiente global de conduction de todo el cerramiento cuando nos referimos a la expresi6n de la potencia calorifica, o de coeficiente global de conduccion por unidad de superficie. A partir de aqui trabajaremos con el coeficiente global de conduccion por unidad de superficie definido como

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s

y con su resistencia tirmica asociada que es

Con las definiciones anteriores se obtienen las siguientes expresiones para la potencia calorifica transmitida y para el flujo de calor respectivamente $ = ~ , A ( T , - T , ) , q=UT(T,-T2)

P.81

Por otra parte, la transmision de calor entre el cerramiento y el aire circundante se modela con un coeficiente de conveccion, h, o con su resistencia termica relacionada, I/h. La resistencia ttrmica total de un cerramiento formado por distintas capas planas superpuestas (de espesores ei) se puede estudiar a partir de la analogia de resistencias en sene

I

i

Figura I .Esquema de la seccidn transversal del cerramiento, se representa cualitativamente e l p e ~de l temperatura.

Calculamos primer0 la resistencia termica para una configuracion de capas planas paralelas

Con esta resistencia termica obtenemos la conductividad global

La cual nos pennite obtener el flujo de calor a travts de la pared utilizando la segunda formula de la ecuacibn [2.8]

2.2.1. Planteamiento delproblema y solucidn analitica El ejercicio que se propone consiste en el estudio de la transmision de calor a travts de un cerramiento constituido por una pared formada por dos capas superpuestas de espesores el = e2 = 10 cm. Se estudia una superficie de I m2 . El primer material tiene una conductividad termica kl de 5 W/(m K) y el segundo otra diferente de valor k2 = 0.4 W/(m K). El coeficiente de conveccion con el entorno es de I0 W/(m2K) La temperatura de la zona I (izquierda de la figura 1) es de 20 "C y la de la zona 2 (derecha de la figura 1) de 0 "C.

A partir del flujo de calor podemos obtener la temperatura en cualquier punto del interior de la pared y, en particular, en el punto de union de las dos capas. Volvemos a calcular la resistencia ttrmica comprendida ahora entre la zona I y el punto intermedio

La figura 1 siguiente muestra el problema simplificado a 2D. De manera que la conductividad de la zona I es Ul= 1/0.12 = 8.333 Wm-lK-' Finalmente, obtenemos la temperatura en el punto de interes, TI

14

Mechca de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

Transmision estacionaria de calor

?

15

En estos momentos nos encontramos en el entomo de trabajo. Los pasos siguientes nos permitirin definir completamente el problema, resolverlo y entrar en la etapa de posprocesado para extraer 10s resultados que nos interesen. Siguiendo el mismo procedimiento, obtenemos 10s valores de las temperaturas ~ u p e r ~ c i a lde e s la paredes interior y exterior que resultan ser

Tpi= 15.74 "C = 288.89 K y T,,

= 4.26

"C = 277.41 K

1.2.2. Modelado mediante el GUI de COMSOL Iniciamos el entorno de trabajo ejecutando COMSOL. Seleccionamos New en la ventana Model Navigator de COMSOL y especificamos las caractensticas iniciales del proyecto (Figura 2),

A. Geometria del problema En este primer caso construimos la geometria a partir de reckingulos que representarin una seccion transversal bidimensional de la pared. En nuestro caso, , el dominio estA formado por dos rectringulos, uno para cada una de las dos zonas. 1. Seguimos la secuencia Draw > Specify Objects > Rectangle. 2. Las dimensiones del rectringulo son de I0 cm de ancho y I m de alto. Rellenamos el campo Width con 0.1 y el campo Height con I (figura 3, izquierda) 3. Generamos la figura con el boton OK. 4. Para el segundo rectingulo debemos indicar que se encuentra desplazado 10 c m respecto del origen (figura 3, derecha). Introducimos 10s mismos valores para 10s campos Width y Height y a continuation especificamos el desplazamiento de 0.1 m en el eje x. Pulsamos OK para finalizar. Podemos comprobar que cada rectingulo recibe un nombre de forma automAtica, R1 y R2,en nuestro caso. Este nombre puede ser modificado por el usuario en el momento de crear la entidad o posteriormente, editando 10s parhetros de la entidad con so10 activarla haciendo doble clic sobre ella.

Figura 2 :Model Navigator de COMSOL

1. Especificamos 2 0 en la lista Space dimension. 2. En la carpeta Aplication modes seleccionamos Heat Transfer Module > General Heat Transfer > Steady-state analysis 3. Finalizamos estaprimera selection pulsando el boton OK.

Figura 3:Especzj?caciones de 10s rectangulos RI (izquierda)y RZ (derecha).

16


d


:

17

%

e

B. Espec$caciones en 10s subdominios Una vez generada la geometria pasamos a especificar las propiedades de 10s materiales (tabla 1) junto con las condiciones iniciales y de fiontera (tabla 2). 1. Cambiamos a1 mod0 subdominio -3 7-& a-a j-i i-- @ ~. s 2. Seleccionamos Physics > Subdomain Settings del men^ principal. 3. Seleccionamos el recthgulo R1 y, en la pestafia Conduction, especificamos una conductividad tkmica de 5 W/(mK). 4. Procedemos de la misma forma con el recthgulo R2 asignindole una conductividad de 0.4 W/(m K) 5. Verificamos que la pestafia Convection tenga desactivada la conveccion para 10s dos dominios.

...

Subdominio

k (Wlm f l

Tabla 1. Especificaciones de 10s subdominios

Contomo

Condicion de contorno

h (W/d IQ

Tinf (IQ

10

273.15+20

10

273.15

1

Heat flu

2,3.5 v 6

Thermal insulation

7

Heat flux

Tabla 2. Condiciones de contorno delproblema

D. Mallado y solucibn En esta primem aplicacion generaremos la malla de cilculo de la forma mis simple, de forma automatics sin especificar n i n g h p a r h e t r o adicional.

1. Creamos la malla pulsando el b o t h de genemcion de malla A 2. Y realizamos dos refmamientos adicionales pulsando dos veces el boton de refmamiento de malla A . De esta forma habremos obtenido una discretizacidn del dominio con mis de 2000 elementos. 3. Mediante Solve > Solve problem iniciamos el motor de calculo para resolver el problema. Apareceri una ventana que nos informara del progreso de la simulacion y de la convergencia de 10s resultados (fig. 4).

C. Condiciones de contorno El siguiente paso consiste en la especificacion de las condiciones de contomo. Hay 6 segmentos que forman el contomo exterior del dominio y un segmento que se encuentra en la zona de contact0 de 10s dos reckingulos (figura 1). Los segmentos son numerados automaticamente por el progranxa en el momento de la generacion de las entidades geometricas. En la tabla 2 se indican las condiciones de contomo. 1. Cambiamos de mod0 de trabajo Physics > Boundary settings (F7 o 82) 2. El segmento I se corresponde a la pared vertical izquierda. Fijaremos para el un flujo de calor con un coeficiente de conveccion h de 10 W/(m2K) (Boundary condition > Heat flux). Para esta zona especificaremos una temperatura de 20 "C (Tinf = 273.15+20 K). 3. Seleccionaremos la opcion de aislamiento termico (Thermal insulation) para 10s contomos 2, 3, 5 y 6. Podemos seleccionar diferentes segmentos a la vez con la ayuda de la tecla Ctrl. 4. La pared vertical derecha se corresponde con el segmento 7. Especificaremos ,un coeficiente de conveccion de 10 W/(m2K) y una temperatura exterior Tinf = 273.15 K.

D'Y"ph"" ..

-

Progress Convergence Parameter Value

k dose automatically

--

Cancd

1

Figura 4. Ventana infonnativa sobre elprogreso de la simulacion.

2.2.3. Posprocesado y visualizacio'n En este ejemplo vamos a realizar un posprocesado simple destinado, basicamente, a obtener la distribution de temperaturas a traves de la pared. Obtendremos tambien el flujo de calor que atraviesa el cerramiento y, fmalrnente, las

P $ 18

Meciuica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

Transrnision estacionaria de calor

9

19

temperaturas superficiales exteriores de las paredes asi como la temperatura de la zona de contacto de 10s dos materiales que conforman el cerramiento. Son estos 10s resultados que deberemos comparar con las soluciones analiticas ya obtenidas.

3. Especificamos la linea que define la seccidn recta en la que visualizaremos la temperatura mediante las coordenadas xO=O, y0=0.5, xI=0.2, yl=0.5. 4. Pulsarnos el botdn OK.

A1 fmalizar la simulacidn de COMSOL se visualizan por defect0 la distribucidn de temperaturas en el cerramiento (figura 5). TambiCn podemos forzarla a travts de Postprocessing > Plot parameters y seleccionando en la pestaiia Surface la temperatura, como la magnitud a representar, de la lista Predefined quantities.

El resultado se presenta en la figura 7. Se observan 10s comportamientos lineales de la evolucidn de la temperatura en el seno de 10s dos materiales. Con la ayuda de las

Surface:Ternpel a b r e [C]

I

I

Max: :83.895 n

*:

herramientas de zoom a'P @ podernos consultar con mas detalle 10s valores de las temperaturas sobre la grifica. El punto de contacto entre 10s materiales se halla a 288 K, la temperatura de la pared izquierda es de 288.29 K y la temperatura de la pared derecha es de 277.40 K. Los resultados analiticos concuerdan claramente con estos valores.

Mln: 277.405

Figura 5: Distribucidn de temperaturas en el cerrarniento

Podemos observar que el material de la izquierda presenta una distribucidn de temperatura mas uniforme debido a que su conductividad es mas elevada. El material de la derecha presenta una conductividad mas baja y la distribucidn de temperaturas presenta una variacidn mas acentuada. A partir de un corte transversal de la pared se podrAn observar mejor estas evoluciones de temperatura, 10s parimetros a especificar se presentan a continuacidn (figura 6). 1. Seleccionamos Postprocessing > Cross-Section Plot Parameters 2. Seleccionamos la representacidn de la temperatura en la pestaiia Line/Extrusion.

Figura 6. Especificaciones del corte transversal para visualizar las evoluciones de temperatura a lo largo del cerrarniento.

,

20

Mechnica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MILTIPHYSICS

Otra forma de consultar valores con m L precision consiste en obtener las propiedades sobre 10s puntos que defmen la geometrfa. En este ejemplo nos es util dado que la transmision de calor es horizontal, solo depende de x. Podemos usar cualquier punto de una misma vertical para consultar 10s valores.

_, D

I

-7.

0

001

0.04

0.06

UUS

0.1 Llc-kwh

0.12

0.14

016

0.18

0.2

Figura 7. Distribucibn de ternperaturas a lo largo de 10s dos rnateriales que conforman el cerrarniento.

1. Seleccionamos Postprocessing > Point Evaluation... 2. Seleccionamos el punto I y especificamos Temperature en la lista desplegable Predefined quantities. 3. Pulsamos el boton Apply. En la ventana inferior nos aparece un texto con la informacion de la temperatura. 4. Repetimos el mismo proceso para 10s puntos 3 y 5 . 5 . Pulsamos el boton OK para finalizar.

Los valores obtenidos son: Value: 288.894681 [K], Expression: T, Point: 1 Value: 288.043617 [K], Expression: T, Point: 3 Value: 277.405319 [K], Expression: T, Point: 5

La potencia calorifica que atraviesa la pared la obtenemos a partir de la integracion del flujo de calor sobre un contorno.


21

...

i I

1. Seleccionamos Postprocessing > Boundary integration 2. Seleccionamos el contorno 7 y especificamos Normal total heat flux en la lista desplegable Predefined quantities (figura 9). 3. Pulsamos el b o t h OK.

Figura 8. Especificacionespara la determinacidn de la potencia calorifica por integracion deljlujo de calor.

Obtenemos el resultado, 42.553191 /W/rn], en la ventana de dialog0 inferior. Conviene seiialar que el hecho de trabajar con una sirnplificacion 2D del problema implica que en el resultado se nos indique que la potencia calorifica que atraviesa la pared lo es por unidad de longitud (altura en este caso). El flujo de calor lo obtenemos dividiendo por la profundidad ( I rn) y obtenemos 42.553191 W/rn2.

2.3. Transmisidn radial a travCs de un elemento cilindrico En este ejemplo estudiaremos la transmision de calor en un conduct0 cilindrico formado por dos capas de material de distintas conductividades. Los resultados obtenidos 10s contrastarernos con la solucion exacta conocida. Nos interesa encontrar la distribution radial de la temperatura y el flujo de calor. Las magnitudes que consideraremos interesantes para contraste con 10s valores analiticos son, la temperatura en la zona de contact0 de 10s dos materiales, y las temperaturas superficiales interior y exterior.

22

Mecbica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

Transrnision estacionaria de calor

Dada la geometria y simetria del ejercicio, la h i c a componente de inter& de la ley de Fourier en coordenadas cilindricas sera la componente radial

23

conveccion interior es de 5000 W/(m2K)mientras que el coeficiente de conveccidn exterior es de 20 W/(m2K). Un valor interesante de contraste con la solution analitica sera la temperatura en la zona de contact0 de 10s dos rnateriales.

El uso de la ecuacion [2.2] y de la formula de la superficie lateral de un cilindro de longitud L y radio r permite obtener

La integration entre rl y r2 para una diferencia de temperatura TI- T2,esto es

da como resultado Figura 9. Esquema de la seccidn recta del conducto bajo estudio

Detenninamos la resistencia total del sistema sabiendo que debe incorporar m a conveccion interior, dos capas materiales con conduccion y m a conveccion exterior. Esto es

de forma que la expresion para la potencia calorifica disipada sera

Expresion a partir de la cual obtenemos la resistencia tCnnica por unidad de longitud asociada a la conduccion A1 substituir valores obtenemos para la resistencia total RL = 0.05534 m H W y para la conductividad global UL=1/RL=18.07W/(mK). Ya podemos ahora determinar el flujo radial de calor por unidad de longitud del conducto. ~ s t es e La potencia calorifica transmitida por conveccion sigue la expresion ~=2rrrLh(T,-T?)

[2.2 11

Y la resistencia termica por unidad de longitud asociada a dicha conveccion

2.3. I . Planteamiento del problema y solucidn analitica En este ejemplo vamos a estudiar la distribution radial de temperatura y el flujo de calor en un tramo de 2 m de un conducto de 20 cm de diimetro interior formado por dos capas de material de distinta conductividad (figura 9). La capa interior, de 5 cm de espesor, tiene m a conductividad igual a 20 W/(m K). La exterior, de espesor igual a 2 cm, tiene una conductividad de 4 W/(m K). El coeficiente de

Para calcular la temperatura en la superficie entre ambos materiales utilizaremos las correspondientes resistencias tknnicas junto con el flujo de calor.

Y substituyendo valores resulta RL = 0.003545 rn K / Wpara la resistencia y UL= l/RL = 282.087 W/(me) para el coeficiente de transmision de calor. Haciendo uso de la expresibn del flujo de calor obtenemos la temperatura deseada

24

Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHySICS

2.3.2. Modelado mediante el GUI de COMSOL Sepiremos el rnismo proceso de resolution que en el ejemplo anterior. Si iniciamos COMSOL nos aparecera la ventana de creacidn de proyectos (figura 10). Si ya estarnos dentro, y queremos crear un nuevo proyecto seleccionaremos F i e > New. 1. Escogemos Axial symmehy (20) de la lista desplegable Space dimension para describir de una forma simple la geometria cilindrica que queremos estudiar. 2. Seleccionamos en Aplication modes el rnodo Heat Transfer Module > General Heat Transfer > Steady-state analysis. 3. Finalizarnos esta primera seleccion pulsando el boton OK.

Transmision estacionaria de calor

4

6

1 5

5

I

i

P

25

1. Seleccionamos Options>AxeslGrid Settings. En la ventana que aparece podemos definir las dimensiones en metros del area de dibujo. En la pestafia Axis especificaremos 10s valores mkximos y minimos para las coordenada r y z tal y como se indica en la figura 11. 2. Especificaremos a continuation 10s valores para la rejilla a la que ajustaremos 10s puntos que dibujaremos. Seleccionamos la pestaila Grid y desactivamos la opcibn de ajuste automatico Auto. 3. Introduciremos el valor Ie-2 para las coordenada r (r spacing) y z (z spacing) para generar un grid de alta densidad y pulsaremos OK. Para facilitarnos las cosas nos ayudaremos de la visualization de las coordenadas que aparece en la parte inferior izquierda de la pantalla. 4. Con la herramienta de dibujo de rectangulos definimos la capa interior marcando 10s vkrtices (0.10,l) y (0.15,O). 5. Volvemos a utilizar la herramienta de generacion de recthgulos y especificamos las coordenadas (0.15,l) y (0.17,O).

rrmslmt analyns

+

:<

0 Goheac Equatlon

0 l%lon-lratharmalFlow

f 0 k-c Turbulence Model

I A Eledro Thermal Interactlon

.+I

.+ A Flud-Thermal Interaction A MEMS Module

:+I

3 Structural Mcchmer Module

Figura 11. Especificaciones para las dimensiones del area de dibujo

B. EspeciJicaciones en 10s subdominios Figura 10. Seleccibn inicial en la ventana Model Navigator

...

Seguiremos la secuencia Physics > Subdomain settings para especificar las propiedades de 10s dos materiales que forman el sistema Estableceremos las propiedades mostradas en la tabla siguiente (tabla 3).

A. Geometria del problema Introduciremos la geometria utilizando las herramientas de dibujo que nos facilita COMSOL. Las dimensiones que tenemos para el problema nos vienen expresadas en cm. Para poder introducir la geometria comodamente primer0 definiremos las caracteristicas del area de trabajo.

Material

k (WlmK )

p (kglm)

Cp (kJlkgK )

1

20

2000

2400

2

4

2300

890

Tabla 3.Especificaciones y caracteniticas de 10s materiales.

26


Transmisi6n estacionaria de calor &

5

il

C. Condiciones de contorno Especificaremos un flujo de calor convectivo para la superficie interior del material 1 y la exterior del material 2. Las caras superiores de 10s dos materiales y las inferiores las especificaremos como aisladas ttrmicamente tal y como se muestra en la tabla 4. Contorno CondicGn de contorno

h (W/d K )

Tinf (K)

1

Heat flux

5000

273 15+80

7

Heat flux

20

273.15

2, 3,5 y 6

Thermal insulation

; E

1. Seleccionaremos Postprocessing > Cross-Section Plot Parameters ... 2. Seleccionamos la pestaiia Line/Extrussion. 1. Especificamos la temperatura como magnitud a visualizar en la lists Predefined quantities. 2. Indicamos el origen y final de la linea que determinara la seccibn recta de la que se obtendrin las temperaturas. En el recuadro Cross-section Line data introducimos rO=O.IO, z0=0.5, rl=0.17, z1=0.5. 3. Estimamos las temperaturas de la pared interior y exterior directamente de la grhfica obtenida para 10s que nos podemos ayudar de las herramientas de zoom p p p & Tempaatua

354 -

Tabla 4. Condiciones de contorno delproblema (General Heat Transfer).

. . .

. .

1 , : '---. . .

'

350 . . . . . . . . . .

.'

.

:

.

2.<_

.

--._

-

1.

1-

3 4 8 .

1. Seleccionaremos Mesh > Free Mesh Parameters. 2. Seleccionamos la pestafia Subdomain y especificamos un tarnaiio m h i m o de elemento de 2e-2 para el dorninio 1 y de le-2 para el dominio 2. 3. Pulsando el boton Remesh se construye una rnalla de unos 1800 elementos. 4. Mediante Solve > Solve problem iniciamos el motor de calculo para que se resuelva el problema. La ventana de dialog0 que nos aparece nos informa sobre el estado de progreso del calculo asi como de la convergencia de 10s resultados.

[K]

:.

\

D. Mallado y resolucidn Para la generacion de esta segunda malla no utilizaremos el mallado automitico. Definiremos un tamaiio m h i m o de elemento y generaremos la malla de forma automatics con esta restriction.

27

.

.

.

. . . . .: .

--'>,

/\

b

4.

L

3.16

--

. . . .

. . .

.

'\

- 5

' i \. Y44

-

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

\

.

?,

1 1

'~

\,

342

-

.

.

2.3.3. Posprocesado y visualizacio'n En esta fase de posprocesado estudiaremos la distribucion de temperaturas y del flujo de calor. Primero obtendremos el perfil de temperaturas en h c i 6 n del radio y, a partir de la grafica obtenida, detenninaremos las temperaturas superficiales interior y exterior junto con la temperatura de la zona de contact0 de 10s dos materiales. La representacion de un perfil con el flujo de calor nos permitira observar que tste no es constante (figura 12), mientras que la potencia calorifica disipada por unidad de longitud se mantiene constante.

Figura 12. Distribucidn de temperaturas a lo largo de la seccidn recta rO=O.10, z0=0.5, rl=0.17, zl=0.5.

Si compararnos esta grafica con la obtenida en el ejemplo anterior de placas planas vemos ciertas similitudes. Observamos que una mayor conductividad implica una variacion mas gradual de la temperatura. Sin embargo, tarnbitn se aprecian diferencias. El perfil de temperaturas ya no esta fonnado por dos lineas rectas, ahora aparece una cierta curvatura motivada por la evolucion logaritmica de la resistencia ttrmica.

28


Para la temperatura superficial interior se estima un valor de 352.69 K, para la temperatura entre capas obtenemos 348.02 K y para la temperatura superficial exterior 340.83 K. Podemos obtener estas estirnaciones mediante la herramienta Postprocessing > Point Evaluation...,consultando 10s valores en 10s puntos 1, 3 y 5. Si 10s comparamos con 10s resultados obtenidos en el estudio analitico del problema vemos que la concordancia es muy elevada.

Transmisi6n estacionaria de calor t

-t t i

29

2.4. Ejercicios propuestos 1. En relacion con el problema del cerramiento plano, realizar de nuevo el estudio cambiando el valor de la conductividad k2 por la de un material de conductividad 0.08 W/(m K). ~Cualesson las nuevas temperaturas? ~ Q u e potencia calorifica se esti transmitiendo en estas nuevas condiciones?

B

Procederemos de manera semejante para obtener el flujo de calor (figura 13):

...

1. Seleccionamos Postprocessing > Cross-Section Plot Parameters 2. Seleccionamos la pestaiia Line/Extrussion. 3. Especificamos Conductive heat flux, r component en la lista Predefined quantities. 4. Indicamos el origen y final de la linea que determinara la seccion recta y de la que se obtendra el flujo de calor. En el recuadro Cross-section line data introducimos rO=O. 10, z0=0.5, rl =0. 17, z1 =0.5. cafllurtrvs h e r Rur

co!npmnt

[~ld]

1300

\

I u 35

G c,6

007

o'~9

one

D I

0 11

Al(.letlgth

Figura 13. Evolucidn deljujo de calor a lo largo de la seccidn recta determinada por la coordenadas rO=O.10, z0=0.5, rl=0.17, zl=0.5.

Si recordamos 10s resultados obtenidos en el ejemplo de la pared plana se obtuvo un flujo de calor constante mientras que para la geometria cilindrica el flujo de calor decrece con el radio. La explicacion es sencilla, si nos fijamos en la geometria cilindrica apreciamos que el Area aumenta con el radio y la misma potencia calorifica atraviesa cada vez una superficie mayor, dando lugar a un flujo de calor decreciente en hncibn del radio.

2. En relacion con el problema de la seccion 1.3 con simetria cilindrica. Modificar el ejercicio para, con 10s mismos materiales, incrementar 10s radios. Comparar 10s resultados con 10s resultados analiticos con paredes planas y 10s mismos materiales. 3. En relacion con el problema de la secci6n 1.3, aiiadir un nuevo material de 2 cm de espesor y conductividad termica de 0.040 W/(m K). Obtener las nuevas temperaturas superficiales. Representar la nueva potencia calorifica que atraviesa el sistema.

,

30

Meclnica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULT~HYSICS

Flujo newtoniano confinado

31

3. Flujo newtoniano confinado 3.1. Consideraciones iniciales En este ejercicio se persiguen tres objetivos. En primer lugar, valorar la longitud de entrada (L,) que debe recorrer el flujo en la tuberia para llegar a establecerse un flujo completamente desa~~ollado y laminar. En segundo lugar, contrastar la simulacion numerics con la soluci6n analitica conocida para un flujo estacionario y laminar en una tuberia y, en tercer lugar, comprobar como COMSOL acopla el problema fluidodinamico con un fenomeno termico cuando una seccion de la conducci6n se encuentra a temperatura diferente de la del fluido circulante. En relacion con la figura 1, consideraremos la velocidad de entrada uniforme y computaremos el efecto memoria que el flujo tiene de su condicion de entrada. La difusion de cantidad de movimiento desde las paredes debido a la viscosidad del fluido hace crecer la capa limite hasta alcanzar el centro de la conduction momento, a partir del cual, consideraremos que las condiciones de flujo son unidireccionales. Esto es, el fluido se mueve solo en una direccion, el contorno que confma el flujo es de longitud infmita y su forma no varia en la direccion del movimiento.

I-

Longitud de entrada (Le)

-

Fluja mmpletamenle desanollado

Figura I : Flujo en desarrollo en una tuberia y detalle de la simeiria axialpara iransformar elproblema 3 0 en oiro en 2 0 .

32

Mecimica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

~ s t oultimo unido a1 caracter incompresible del flujo hace que 10s terminos convectivos no lineales desaparezcan y puedan obtenerse soluciones analiticas de las ecuaciones del movimiento (en tirminos, en este caso, de perfiles parabolicos de velocidades) con las que contrastaremos las simulaciones numericas. Una vez el flujo queda confmado por la tuberia, se fi-ena en las paredes y se acelera en el centro. En realidad, la aceleracion del nucleo no viscoso va acompafiada de una caida de presion que tiende a acelerar el flujo en la capa limite reduciendo su velocidad de crecimiento.

Flujo newtoniano confmado

33

Las hipotesis de trabajo que vamos a aplicar a la ecuacion [3.3], una vez el flujo estt completamente desarrollado, son: 1. Flujo estacionario. De manera que el termino de aceleracion local es nulo. 2. Flujo unidireccional. Esto es, el movimiento tiene lugar en una sola direccibn y el contorno que confma el flujo no modifica su geometria. De esta forma sera nulo el ttrmino de aceleracion convectiva. 3. La tuberia no necesariamente tiene que ser horizontal de manera que trabajaremos con presiones motrices (o reducidas) combinando asi 10s efectos de la presion y de la accion gravitatoria. Se define la presion motriz como p,=p+pgh.

Debe tenerse en cuenta que mientras la distancia reconida sea menor que la longitud de entrada (o sea, z < L,) la ecuacion de continuidad para un flujo estacionario, unidireccional e incompresible, au1a.x = 0 , no se cumple y deben aparecer en esta region, por tanto, componentes transversales de la velocidad que aseguren la ecuacion de continuidad de masa.

Ayudhndonos ahora de la simetria cilindrica del dorninio de trabajo, solo tiene interes la componente z de la ecuacion [3.3] que, por tanto, toma la forma

Las ecuaciones que COMSOL incorpora para la resolucion del problema fluidodinamico inicialmente planteado aqui se encuentran en el mod0 de aplicacion Incompressible Navier-Stokes del m6dulo Chemical Engineering. Estas ecuaciones son

Ecuacion

Dii p-=V.[Dt

P + rl(V; + ( V t ) ' ) ] + p f m v.ii=o

Donde p es la densidad, u es el vector velocidad, p es la presion, 7 es la viscosidad dinhnica, f, son las fuerzas masicas (o de volurnen) y D S l D t es la derivada sustancial o material definida por

A la hora de describir el flujo laminar en una tuberia de un fluido incompresible, newtoniano en el que las fuerzas masicas son el resultado de la accion del campo gravitatorio, la primera ecuacibn de [3.1] puede escribirse como

Ecuacion en la que ya puede vislumbrarse la dificultad adicional a la hora de obtener soluciones numericas de flujo de fluidos pues incluso en regimen estacionario el tkrmino de aceleracion convectiva es no nulo. Sin embargo, para el caso que nos ocupa, las simplificaciones que impondremos sobre la ecuacibn [3.3] son de tal calibre que podremos obtener soluciones analiticas. Son estas soluciones con las que a la postre vamos a validar nuestra simulaci6n con COMSOL.

que, integrada dos veces, con las condiciones de contorno

u , ( r = R ) = 0 (no deslizamiento en la pared) y

(2) r= o

=0

(para asegurar el

valor finito de la velocidad en el centro de la tuberia, esto es, en r = 0) pennite obtener el clasico perfil de velocidades parabolic0 correspondiente a un flujo laminar en una tuberia

El signo menos del gradiente de presiones (rnotrices) da cuenta de la disminucion de la presion motriz a medida que el flujo avanza por la tuberia (flujo de Poiseuille). En este punto el problema fluidodinamico esth resuelto. El caudal volumetrico circulante es el flujo del campo de velocidades a traves de una seccion recta de la tubena, esto es

Dado que la presion motriz vana linealmente con la distancia reconida (esto es, el tennino d pmld z es constante) y que las perdidas de carga a lo largo de cierto tramo de conduccion de longitud L vienen dadas por las diferencias de presiones

,

34



35

rnotrices, pml - pm2, identificaremos el gradiente de presiones motrices como (pm1 p,2) / L para asi calcular las ptrdidas mediante la expresion

Combinando este resultado con la expresion de Darcy- Weisbach para las ptrdidas de carga podemos identificar el coeficiente de fi-iccion, f, para rtgimen laminar como 64 /Re.

Figura 2. Representacidn esquematica del dominio de trnbajo

Asi mismo, 10s esfuerzos cortantes son

3.2.1. Modelado mediante el GUI de COMSOL 1. Seleccionemos New en Model Navigator de COMSOL. 2. Seleccione de la lista Space Dimension la opci6n Axial symmetry (20). 3 . Despliegue Application modes y seleccione la secuencia Chemical Engineering Module > Momentum Balance > Incompressible NavierStokes. 4. Pulse OK.

que en nuestro caso toman la forma

y cuyo valor maximo tiene lugar en la pared

Asi pues, tenemos a nuestra disposition la soluci6n exacta a un problema de flujo de fluidos que nos va a permitir explorar las posibilidades que ofrece COMSOL para obtener y contrastar estos resultados.

3.2. Flujo en desarrollo en una tuberia

T

*

'Von Pkutonan Flow

7

e

k-c Turbuince Mood

/lncommcssblesotham& Flud Flow

Los datos basicos para el ejemplo bajo estudio se muestran en la tabla I y en la figura 2 se muestra esquematicamente el dorninio de trabajo.

Densidad

Viscosidad dinarnica

Velocidad de entrada

Lo

L1

Diametro

1 kglm3

1.10' Pa.s

0.01 mls

0.1 rn

5.9 m

0.2 rn

Figura 3: Model Navigator de COMSOL Tabla 1. Datos bdsicos delproblema.

36

Mechnica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS


37

A. Geometria del problema

*

1. Seleccione el mod0 de dibujo . 2. Pulse la tecla Shifty simultibeamente el boton RectangleISquare 3. Especifique un rectbgulo (que COMSOL identificara como RI) con origen en el punto (r, z) = (0,0), anchura 0.1 m y altura 6 m (figura 4). de la barra de herramientas 4. Mediante el b o t h Zoom Extends acercaremos el rectibgulo creado y dibujaremos una linea (BI) entre 10s puntos (0, 0.1) y (0.1, 0.1). De esta forma tendremos dos subdominios diferenciados (figura 5).

AI:---

I

ivciocldad rnaxma de entrada

b2%L~

a.

&!scoadad .-dvlmra - ..

Figura 6: Caracteristicas del flujo, propiedades delfluido y numero de Reynolds correspondiente.

C. Especificaciones en 10s subdominios A traves de la selection de Subdomain Settings del menu Physics especificaremos las propiedades fisicas del fluido, densidad (ro) y viscosidad (mu), para 10s dos subdorninios que disponemos (figura 7).

Figura 4: Especijicaciones del rectangulo (RI) Figura 5: La coordenada radial (r) es (z) que identifica el campo de flujo bajo estudio. horizontalylacoordenada vertical (eje de la tuberia). ,

B. Opciones y especificaciones

Lbrary rmterlst:

1

71

~oad

1 Ouantitr ValuelEarrMiDn Umt

Results conveniente guardar las especificaciones del flujo (velocidades y dimensiones, por ejemplo) asi como las caractensticas del fluido (densidad, viscosidad, etc) de manera que cualquier cambio posterior so10 deba realizarse aqui. Para ello seleccionaremos Constants en la opcidn Options del menb principal.

...

La figura 6 muestra que pueden especificarse variables que se deteminan en funcion de 10s valores de otros parimetros como es el caso del numero de Reynolds que es computado con 10s valores especificados para la velocidad de entrada (vO), la viscosidad dinamica (mu), la densidad (ro) y el diametro (D).

1

/I

DescridSon

Mbms fwe, a dr

;

-it

r M c L b ~ m p

FW

e n lk do-

-.

-

-

.

PnmeaMR,

m'

--

&M&DPfunon...

- --- - -- - -

vf

canlsl

I

.---nppk

)

help

I

Figura 7: Especificaciones de las propiedades fisicas delfluido en 10s subdorninios del campo deflujo.

38

Meciinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS


39

D.Condiciones de contorno Mediante Boundary Settings del mend Physics introduciremos las condciones de contorno del problema. En la figura 8 se presenta la ventana de dialog0 a traves de la que deben especificarse tales condiciones en las fronteras. Por ejemplo, para el contorno 2 se especifica una condicidn tip0 Inflow/Ou@ow velocity con la que se impone una velocidad de entrada uniforme v O = O.OIm/s. Slip

slip I Symmetry

Yahre)Exprrrsmn Unit Desvtption I

IVU

P

i

csncct

1

mi%

z-vekw

pa

~rtssue

slip 1 Symmetry

Apdy

f

two

Inflow 1 Oufflow velocity 1

( va = 0.01 mls )

Las condiciones de contorno COMSOL pertinentes para nuestro problema son (figura 9) Contorno

1.3.6

2

Jipo

Slip/Symmetry

lnflow/OuMow velocity

Outflow/Pressure

Figura 9: Identification de contornos y condiciones defrontera.

j

Figura 8: Con las condiciones de contorno establecemos 10s valores y propiedades del campo de flujo en (asfronteras.

U

,

mh rvebcny

10

r

-

No Slip

E. Mallado La observacidn de ciertos detalles delflujo obligan a mallar el dominio (esto es, el carnpo de flujo) de manera mas fina en aquellas regiones en las que aquellos se maqfiestan. COMSOL ofrece la posibilidad de controlar totalrnente 10s detalles de la malla a traves de la opcidn Free Mesh Parameters del menu Mesh (vkase figura 10). Sin embargo, en este ejercicio utilizaremos 10s botones de la barra de herramientas. Obtendremos la malla (mesh) con el nivel de detalle que por defect0 establece COMSOL y la refmaremos con el objetivo de mejorar 10s resultados adn a costa de un mayor esfuerzo computacional.

...

0

Tabla 2. Condiciones de contomo deproblema.

Clicaremos Initialize Mesh de la barra de herramientas para inicializar el mallado. El resultado obtenido (imagen izquierda de la figura 11) muestra que con una malla tan grosera dificilmente podremos reproducir 10s detalles del flujo a la entrada de la conduction.


ReseP to WJults

Remedr

41

Merh Selected

Figura 10: La ventana Free Mesh Parameters. ..perrnite controlar 10s detalles del rnallado a distintos niveles: global, subdorninio, contorno y puntos. La pestaiia Advanced permite escalar la geornetria antes del rnallado.

Figura I I :Mallado por defecto (izquierda) y mejorado (refnado) para reproducir 10s detalles deflujo de mayor interb

3.2.2. Posprocesado y andlisis de resultados Clicando dos veces el b o t h Refine Mesh mejoraremos el detalle y mediante Refine Selection A c o n ayuda del raton, refinaremos la malla (por dos veces) en el borde de entrada a la tuberia pues es alli donde 10s detalles del flujo son mas exigentes. El resultado deberia ser semejante a1 mallado de la derecha mostrado en lafigura 11.

F. Resolucidn Pulsarnos el b o t h Solve

-- de la barra de herrarnientas para resolver el problema.

En esta etapa intentaremos alcanzar 10s objetivos planteados incialmente. Por ejemplo, la figura 12 muestra la representacibn por defecto del campo de velqcidades mediante un grafico de superficies (Surface Plot). En ella podemos distinguir clararnente la influencia (en escala de grises) que la pared que confina el flujo ejerce sobre el flujo uniforme de entrada mostrando en color oscuro el crecimiento de la capa lirnite.

42

Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTLPHYSICS


43

vamos a valorar la longitud necesaria que debe recorrer el flujo para desarrollarse completamente de tres maneras diferentes que nos pennitirh, ademas, valorar las prestaciones de analisis que permite COMSOL. La primera consiste en seguir la evolution de la velocidad en el centro de la conduccion hasta que alcance el valor (en el caso que nos ocupa, el doble de la velocidad uniforme de entrada). La segunda consiste en seguir la evoluci6n del perfil de velocidades a lo largo de la tuberia hasta el establecimiento del perfil parabolic0 definitive y, la tercera, consiste en seguir la evolucion de la presion hasta detectar una variation Lineal que es la que se corresponde con un flujo completamente desarrollado en una conduccidn de irea de seccion recta constante. Para seguir la evolucion de la velocidad en el centro de la tuberia especificaremos 10s parimetros mostrados en la figura 15 correspondientes a la opcion CrossSection Plot Parameters del menu Options comprobando antes que, en la pestafia General, la opcion Plot Type seleccionada sea LinelExtrusion Plot.

Figura 12: Representuci6n mediante un grajco de super-cie (Surface Plor) del camyo de velocidades U c h n s (U_chemical Navier-Stokes).

Debe sefialarse que el detalle del campo mostrado en la figura 12 se ha obtenido ajustando las especificaciones en la opcion AxesIGrid Settings... del menu Options tal y como se muestran en 10s detalles de las figuras 13 y 14.

,

unit. x-axm data

f-

AXIS equal

r-z limits

T Auto 1J eshb ...

:-ph~limits .

,

z

r rnin:

, ,

r max: 0 . 2

1 I1

zmm:

zm*:

.

Crms-sccMn llrn d&a

R Labels

--

R Auto

Line 5atShgs.

:-,:<,.'.::

r,.-

rc,..*' ,&

.

iI

.. ,..

.-h, , ,, -

-0.1

jl

-

{m/s

l

s

OK

Figura 15: Especr$caciones para el seguimiento de la velocidad en el cent?-ode la tuberia (r=O) a lo largo de la conduccidn (z=O hasta z=6)

camel P

Figura 13: Valores de las coordenadas radial y axial que determinan el tamaiio de la vista.

Figura 14: Espaciado para la rejilla de dibujo y valores "extras" (pueden ser varios separados por comas).

Como se observa en 10s camuos de seleccion y de texto de la figura - 15, se ha especificado que desea visualizarse el carnpo de velocidades a lo largo del eje de la tuberia (x-axis data = z, Predefined = Velocityfield y Expression = U-chns) y que las secciones rectas que se desean visualizar tienen coordenadas radiales r=O y

44

Mecknica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS


45

axiales que van desde z=0 a z=6. DespuCs de pulsar el boton Apply de la ventana de dialog0 aparece la grafica de la figura 16 de la que ya podemos obtener resultados relevantes a la hora de estimar la longitud de entrada L,.

Figura 17: A travks de Data Dkplay, COMSOL permite evaluar el valor de cualquier magnitud en coordenadas especzFcas.

A1 pulsar el botbn Apply aparecera en la ventana de mensajes inferior del entorno COMSOL el resultado mostrado en la figura 18 que concuerda perfectamente con la evidencia empirica.

Frgura 16 Evoluc~dnde la veloczdad en el centro de la tuberia a lo largo del ge de la misma. Para unjhqo laminar el valor exacto es 2. Para z=3, prcictzcamente se ha alcanzado ese valor, esto es, elflujo esta completamente desarrollado I

De la grafica de la figura 16 se observa que cerca de z = 3 la velocidad en el centro de la conducci6n es de 2 cm/s, valor que coincide con la soluci6n exacta para un flujo laminar de estas caracteristicas. Por otra parte, la evidencia expenmental establece que LJD es del orden de 0.058 Re que en nuestro caso da una estimaci6n de la longitud de entrada de 2.32 m.

Value: 0.019834 [mis], ExpressLon: n, Position: (0,2.42)

Figura 18: Valor de la velocidad media en r=O, z=2.42

Una alternativa para estimar la longitud de entrada consiste en seguir la evoluci6n de la presi6n a lo largo de la tuberia y detectar que el flujo esti completamente desarrollado cuando dicha variacibn es lineal.

Para comprobar la bondad de nuestra simulacidn podemos dejar que COMSOL valore puntualrnente el campo de velocidades en el centro de la tuberia a una distancia de 2.32 m del borde de entrada. Para ello, seguiremos la secuencia desde el menu principal Postprocessing > Data Display > Subdomain y especificaremos 10s valores de 10s campos que se muestran en la figura 17.

Cuando esta variation se evalGa por unidad de longitud de tuberia se obtiene el gradiente de presiones causante del flujo o las pCrdidas de carga lineales ocasionadas por la tuberia, s e g h se prefiera y dependiendo quC valoraciones deseen realizarse.

Debemos fijarnos que el valor 2.42 resulta de surnar 0.1 correspondientes a1 dominio I en el que el campo es'uniforme, mas 10s 2.32 que son 10s que de forma efectiva se recorren en el interior de la tuberia.

Seguiremos pues, igual que antes, la secuencia Postprocessing > Data Display > Subdomain... y especificaremos 10s valores de 10s campos que se muestran en la figura 19.

...

46


Flujo newtoniano confinado [Pal

Pr-re

Figura 19: Especificaciones para la valoracidn de la variacidn de presidn en el centro de la tubwia a lo largo de la misma.

47

Figura 20: Evolucidn de la presidn a lo largo de la tuberia. Si elJ2ujo esta completamente desarrollado, esta variacidn es constante a lo largo de la tuberia.

El resultado via COMSOL se muestra en la figura 20 donde puede apreciarse que, una vez recorridos 2.32 m de tuberia, la evolucion de la presion es practicamente lineal.

I

Im,s-...

unit:

..... .

i-...

Como tercera y ultima altemativa seguiremos la evoluci6n del perfil de velocidades. Para ello, haremos que COMSOL muestre dichos perfiles a distancias arbitrarias 0, 0.4, 0.8, y 2.42 m medidas desde el contomo de entrada (en el que hemos especificado la velocidad de entrada) estableciendo estas distancias con el radio bot6n Vector with distances de la ventana de dialog0 Cross-Section Plot Parameters tal y como se muestra en el detalle de dicha ventana en la figura 3 1.

,

Mult~piepacaltel lnes -

I

Flurnber of l n e ~

/

3-

-- -

f

"

... :--Cross-aectlonline

.. x-axC dab

-

-

. ..

- - - -- - - - -- --- --- - --

Vector w ~ t hdsrames

-

6, 0.4, 0 8, 2 42 --

!Lt;

.... . . .... . ""

2

.

-

I I

- .

Figura 21: Especificaciones de l a posiciones en l a que se desea visualizar 10s correspondientes perfiles de velocidades.

Ahora, y sobre la rnisma grbfica, haremos que COMSOL que dibuje el perfil analitico para poder llevar a cab0 las comparaciones pertinentes. Lo primer0 que debemos hacer es seguir la secuencia Postprocessing > Cross - Sections Pot Parameters > General y seleccionar el control Keep current plot. Asi podremos combinar diferentes representaciones.

...

48

Mecanica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICs

Despues, en la pestaiia LineiExtrusion especificaremos 10s parhetros mostrados en la figura 22 y pulsaremos el b o t h Apply con lo cual visualizaremos el perfil en las posiciones especificadas en el control Vector with distances a lo largo de la tuberia.

Figura 22: Pardmetros para la visualizacidn delperfil de velocidades en desarrollo en distintas posiciones a lo largo del eje de la conduccidn.

Figura 23: Parametros para la visualizacidn del perfil de velocidades exacto correspondiente a un flujo laminar en una tuberia en z=2.41

Despues repetiremos la misma operacion introduciendo en el campo Expression la expresion analitica del campo de velocidades para un regimen laminar como el aqui tratado (figura 23). En nuestro caso este perfil es

8

Flujo newtoniano confrnado

49

,

k'igura 24: Evolucidn delperfil de velocidades delflujo en desarrollo: z=0 (triangulos), z=0.4 (cuadrados), z=0.8 (cri-culos)y z=2.42 (estrellas) y perfil analitico exacto @untos)para el flujo laminar completamente desarrollado.

Vamos ahora a estudiar el flujo laminar establecido con ayuda del GUI de COMSOL detenninando algunas de las magnitudes de interes, que podremos contrastar analiticamente, y que son por ejemplo: el caudal volumetrico, 10s esfb~rzosviscosos, el coeficiente de perdidas f (a partir del que dispondremos de un nuevo criterio para volver a valorar la longitud de entrada), el coeficiente de fnccion Cf Por ultimo, llevaremos a cab0 un analisis del flujo para distintos numeros de Reynolds (lo que en COMSOL se denomina anklisis parametrico).

B. Analisis delf7ujo desarrollado Para distinguir facilmente esta expresi6n analitica de la previamente dibujada, pulsaremos el boton Line Settings de forma que en las listas desplegables de la ventana de dialog0 subsiguiente escogeremos que no dibuje linea y que el simbolo utilizado ahora sea cuadrado. Despues de pulsar Apply deberia verse algo semejante a lo mostrado en el grafico de la figura 24. Como puede observarse en la rnisma, el perfil correspondiente a la soluci6n analitica y el establecido a una distancia en la tuberia de 2.32 m (2.42 metros en la leyenda) son pricticamente coincidentes.

...

Determinaremos en primer lugar el caudal volumetrico. Para ello, seleccionaremos Boundary Integration del menu principal y seleccionaremos el contomo 5 de la lista Boundary Selection pues es el que se corresponde con el contorno de salida (p=O). Tal y como se muestra en la figura 25, la expresibn a integrar es, naturalmente, el campo de velocidades.

50



Figura 25: Parametros destinados a1 culculo del caudal volumetrico.

El calculo exacto del caudal volumCtrico da como resultado Figura 26: Selecciones para el ccilculo de 10s esfuenos viscosos en lapared (r=0.1) desde z=l hasta z=5.

Mientras que el calculado por COMSOL despuCs de pulsar el b o t h Apply es 3.146278. m3/s lo cual concuerda muy bien con la solucion exacta. El siguiente analisis consistira en la detenninacion de 10s esfierzos viscosos en la pared, ,z, y la de su version adimensional, el coeficiente de fi-iccion Cf Los esfuerzos viscosos vienen dados por

cuyo valor maximo ocurre para r

=R

Para estimar este resultado con COMSOL escogemos 10s parametros de la figura 26 y pulsaremos el boton Apply para reproducir la grafica de la figura 27. Como bien puede o b s e ~ a r s e ,cuando el flujo esti completamente desarrollado 10s esfierzos se hacen constantes y su valor coincide plenamente con la solucion analitica.

Figura 27: Evolucidn de 10s esjitenos viscosos en la pared a lo largo de la tuberia.

51

52

MecAnica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS


53

Ahora resulta trivial estudiar la evolucion de la version adimensional que es

Donde c es una velocidad de referencia que se escoge habitualmente para este caso como la velocidad uniforme de entrada (0.OI m/s). Seleccionaremos 10s parametros mostrados en la figura 28 y pulsaremos el b o t h Apply para visualizar la grrifica de la figura 29. A partir de Csta, se puede comprobar que cuando el flujo estA completamente desarrollado el valor de Cfestimado por COMSOL practicamente con el valor teorico de 0.08.

+-axis data

Figura 29: Evolucidn a lo largo de la tuberia (desde z=I hasta z=5) del coeficiente defi-iccidn Cf ! i I

I

Figura 28: Parcirneb-ospara la representacidn del coeficiente de fn'ccidn con la pared (r= R) a lo largo de la tuberia desde z=I hasta s=5 .

Vamos ahora a valorar la longitud de entrada analizando la evoluci6n del coeficiente de fiiccion f=64/Re. Este calculo tiene interes por cuanto en ocasiones se define la longitud de entrada como la longitud que debe recorrer el flujo en la tubena hasta que el coeficiente de Gicci6n f quede dentro del95% de su valor final (este es, 64/Re). ~ i b h ocoeficiente, que dibujaremos simulthneamente contra f = 64 / R e , puede calcularse para un flujo de estas caractensticas a partir de la ecuacion de DarcyWeisbach como

Asi pues, seguiremos la secuencia Postprocessing > Cross Section Plot Parameters > General > Keep current plot para asegurarnos poder combinar varias graficas en la misma figura. A continuacion, en el campo de texto Expression de la pestafia LinelExtrusion escribiremos 64/Re y pulsaremos el b o t h Apply.

54


i


55

~ o r escribiremos a en el campo Expression la expresidn 2*D/(ro*vOA2)*(-pz). Para distinguir esta grafica de la anterior, podemos modificar sus atributos a travCs del b o t h Line settings Cuando ahora pulsemos el b o t h Apply visualizaremos las graficas de la figura 30.

...

Figura 31. Especificaciones para el anhlisis parametrico: vO=O.005 0.01 0.02

Figura 30: Comparativa entre el coeficiente de ptrdidas, f=64/Re, de unjlzrjo laminar completamente desarrollado en una tuberia con la evolucidn de su cowespondiente valor en unjlujo en desarrollo. Esta vista peimite estimar la distancia apartir de la que considerar que eljlujo esta desarrollado.

Vamos a continuation a mostrar otra de las caracteristicas de COMSOL. La posibilidad de recrear el problema que hemos analizado para distintas condiciones de flujo especificadas por tres valores diferentes del niunero de Reynolds (Re). Para ello, seguiremos la secuencia Solver > Solver Parameters y en la ventana de dialog0 Solver Parameter que aparecera, seleccionaremos 10s valores mostrados en la figura 3 1.

...

Para evaluar conjuntamente resultados analogos a 10s de la figura 16 seguiremos las especificaciones de las figuras 32 y 33. El resultado despuCs de pulsar el boton Apply se muestra en las graficas de la figura 34.

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Mechca de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTlPHYSICS


57

De la misma manera, para obtener resultados hom6logos a 10s de la figura 30 per0 ahora simultineamente para 10s tres valores del niunero de Reynolds, estableceremos las especificaciones de la figuras 35 y 36, sin olvidar seleccionar Postprocessing > Cross-Section Plot Parameters > Keep current plot para combinar distintas representaciones graficas en la misma figura (figura 37).

Figura 32: Especificaciones destinadas a la visualizacidn de 10s resultados simultaneos correspondientes a 10s tres valores del numero de Reynolds que parametrizan el problema.

Figura 33: Especificaciones para la visualizacidn de la velocidad en el centro de la tuberia (r=O) y a lo largo de la conduccidn desde z=0 hasta z=6 r.-lc":,t"

l,n:s1

Figura 35: Especificaciones para la visualizacidn de la evolucidn del coeficiente de perdidas, J para 10s tres valores del numero de Reynolds.

Figura 34: Evolucidn de la velocidad en el centro de la tuberia (r=O) a lo largo de la mismapara 10s tres numeros de Reynolds que parametrizan el problema. Compare estos resultados con 10s de la figura 16.

Figura 36: Especijicaciones para la visualizacidn grafica del factor f=64/Re para cada uno de 10s tres valores del numero de Reynolds.

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Mechca de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS :wkme de irvnn


59

Las conducciones de secciones no circulares suelen usarse en calefaccion y climatizacion de edificios dado que las diferencias de presi6n no son grandes y son mas baratas. La ecuacibn de balance de energia que incorpora COMSOL en su modulo de ingenieria quimica es

ar

P Cpat + V . ( - L V T

+p

~

p = ~Q

~

)

Donde C, es el calor especifico, T es la temperatura, k es la conductividad termica, p es la densidad, u es el vector velocidad y Q es el t i m i n o fuente o sumidero. La

velocidad puede ser expresada analiticamente u obtenida por acoplamiento con la ecuacidn de balance de cantidad de movimiento.

Figura 37: Estimacidn de la longitud de entrada para cada una de las tres condiciones deflujo: Re = 100 (rojo), 200 (verde) y 400 (azul). Elflujo se considera completamente desarrollado cuando las gr6f;cas son practicamente (en un 95%) coincidentes.

El problema que se plantea consiste en valorar el calentamiento que suke una corriente laminar estacionaria en una tuberia cuando, a partir de cierta seccion, la temperatura de la pared es mas elevada. En la practica esto ocurre, por ejemplo, cuando en la superficie exterior del tubo tiene lugar un proceso de ebullicion o condensaci6n.

3.3. Flujo laminar confinado con transferencia de calor Hemos estudiado en la seccion anterior como el perf11 de velocidades y el coeficiente de friccion evolucionan en un flujo en desarrollo en una tuberia. Deseamos ahora estudiar la transferencia de calor en una conduccion semejante (pero ahora con el flujo ya completamente desarrollado) asi como el desarrollo de la capa lirnite termica. De esta forma podremos aprovechar una de las caracteristicas inherentes a COMSOL, esta es, su capacidad de combinar diferentes fenomenologias fisicas. En este caso, 10s efectos fluidodinarnicos y 10s efectos tennicos y resolver las ecuaciones correspondientes de manera conjunta. El interes tambien radica aqui en el flujo a traves de conductos circulares por cuanto, son 10s que desde un punto de vista tennico, proporcionan la mayor transferencia de calor para la menor caida de presion y, porque desde un punto de vista fluidodinhico, pueden soportar grandes diferencias de presi6n entre su interior y su exterior sin sufrir grandes distorsiones.

Figura 38. Representacidn esquematica de las condiciones delproblema.

3.3.1. Modelado mediante el GUI de COMSOL 1. Seleccione New en Model Navigator de COMSOL. 2. Seleccione de la lista Space Dimension la opcion Axial symmetry (ZD). 3. Despliegue Application modes y selecciona la secuencia Chemical Engineering Module > Momentum Balance > Incompressible NavierStokes y pulse el boton Add.

60


4. Despliegue Application modes y selecciona la secuencia Chemical Engineering Module > Energy Balance > Convection and Conduction y pulsa Add.

5. Pulse OK.

A. Opciones y especificaciones Estableceremos 10s valores de las constantes mostradas en la figura 39 que nos permitiran parametrizar el problema acoplado termo-fluidodinhico. Mam vmax -mu ,'I

EXprmZLan

-.2

0

14s

@=mm

'veloc~dadmaxlma

8

316 o2 ro*vmax'D/(mu)

o

iudlue.1

888

b2


61

2. Seleccionamos Physics > Subdomain Settings y especificamos para los tres subdominios (1,2 y 3) 10s valores de la tabla 2. 3. Pulsaremos OK. 4. Seleccionaremos del menu Multiphysics la opci6n 2. Convection and Conduction (chcc). 5. Seleccionamos Physics > Subdomain Settings y especificamos para 10s tres subdorninios (1, 2 y 3) definidos 10s valores de la tabla 3. Subdominio

1,2,3

P

m

P

mu

Subdominio

1.2.3

CP

CP

Q

0

u

u

v

v

Tabla 3.Especz$caciones para el modo de aplicacidn Incompressible Navier-Stokes.

den,~dad q~amitro numeyo de Reynolds +

-&coductc~itermIca i80 T: entrada del flutdo ~ n n tr 401-

--

Figura 39: Constantes y especz3caciones delproblemafluidotermico.

Tabla 4. Especz3caciones para el mod0 de aplicacion Convection and Conduction

B. Geometria del problema 1. Dibujaremos un rectAngulo RI con su vtrtice inferior izquierdo en el punto de coordenadas (r=O, z=0) y dimensiones, anchura = 0.1 y altura = 0.5. 2. Dibujaremos dos lineas (BI y B2). La primera de ellas entre 10s puntos (r=O, z=0.2) y (r=0.1, z=0.2) y la segunda entre (r=O, z=0.3) y (r=O.I,

z=0.3). Estas dos lineas permiten defmir tres dorninios diferentes en 10s que establecer diferentes condiciones de contorno ttrmicas como flujos de calor constante en la superficie, temperaturas superficiales constantes o condiciones de aislamiento termico.

C. Especz~cacionesen 10s subdominios 1. Seleccionaremos del menu Multiphysics la opci6n 1. Incompressible

Navier-Stokes (chns).

D. Condiciones de contorno 1. Seleccionaremos del menu Multiphysics la opcion 1. Incompressible Navier-Stokes (chns). 2. Seleccionaremos Physics > Subdomain Settings y especificaremos las condiciones de contomo de la tabla 4. 3. Seleccionaremos del menu Multiphysics la opcion 2. Convection and Conduction (chcc). 4. Seleccionaremos Physics > Subdomain Settings y especificaremos las condiciones de contorno especificadas en la tabla 5. Se ha escogido en este ejemplo una condicion de temperatura superficial constante per0 el ejercicio puede replantearse combinando distintas condiciones de contorno tkrmicas para las fronteras 8, 9 y 10.

1 62


Contorno

1,3,5

2

7

8,9,10

Tipo

Slip/Symmetry

Inflow/Out19ow velocity

O~rMowhssure

No Slip

-

i I


63

Tabla 5. Condiciones de contorno correspondientes a1 modo Incompressible Navier-Stokes.

Contorno

1,3,5

2

7

8

9,lO

Tipo

Axial symmetry

Temperature

Convective flux

Temperature

Thermal insulation

T

TO

Figura 40: Especifcaciones del mallado.

TP

Tabla 6. Condiciones de contorno correspondientes a1 mod0 Convection and Conduction.

E. Mallado En esta seccion varnos a realizar el mallado de una manera mis metodica.

...

1. Seguiremos la secuencia Mesh > Free Mesh Parameters y en la pestafia Global de la ventana de dialogo subsiguiente activaremos el control Custom mesh sue y en 10s campos de texto que se habilitaran especificaremos 10s valores de la figura 40. 2. Seleccionaremos la pestaiia Boundary. Especificaremos para 10s contornos 8, 9 y 10 10s valores de Maximum element s u e igual a 0.001 (figura 41). 3. Pulsaremos el boton Remesh.

Figura 41: Para 10s contornos 8, 9 y I0 especificamos un tamaiio especifco de elemento (Ie-3).

F. Solucidn 1. Comprobaremos que en las pestaiias Solve for y Output de la ventana de diilogo Solve > Solver Manager estin seleccionados las variables tal y como se muestra en las figuras 42 y 43.

...

64

Mechca de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTPHYSICS

2. Seguimos la secuencia Solve > Solver Parameters... para abrir la ventana Solver Parameters. 3. En la seccion Solver seleccionaremos Parametric linear. 4. En la seccion Parameters especificamos como Name of parameter, Tp, y como List of parameter values 10s valores 300, 310 y 320. 5. Pulsaremos OK. 6. Y pulsamos el b o t h Solve de la barra de herramientas.

Flujo newtoniano confiado

t

65

2. En la pestaiia Surface comprobaremos que el control Surface plot esti seleccionado. 3. Seleccionaremos en la lista desplegable Predefined quantities la temperatura (Temperature (chcc)) como la magnitud a representar 4. En la pestaila Arrow comprobaremos que el control Arrow plot esti seleccionado 5. En la pestaiia General y en la secci6n Solution to use podemos seleccionar en la lista desplegable Parameter value el valor del parametro que deseamos visualizar. En la figura 44 aparece la representacion correspondiente a Tp = 320 K.

Figura 42: Desearnos solucionar el Figura 43: Desearnos solucidn cornpleta del problernafluidico y rirrnico conjunramente. problernaf2uidico y t i m i c o .

3.3.2. Posprocesado y visualizacidn En la figura 44 se presentan la distribucion de temperaturas correspondientes a1 caso T, = 320 K junto con el perfil de velocidades que, naturalmente, para las condiciones del ejercicio no varia a lo largo de la conduccion. Visualizaremos pues, de forma simultimea, 10s resultados fluidodinamicos y 10s tCrmicos. Dado que no hemos planteado un problema acoplado (10s cambios de temperatura no afectan ni modifican ni la densidad ni la viscosidad del fluido) la distribucion de tempemturas no altera la distribucion de velocidades del flujo laminar establecido. 1. Seleccionaremos Postprocessing > Plot Parameters.

Figura 44: Carnpo de velocidades y distribucion de ternperaturas a lo largo de la conduccidn para T,=320

Visualizaremos a continuation la evolucion de la temperatura a lo largo de la conduccion tal y como se muestra en la figura 46. 6. Seguiremos la secuencia Postprocessing > Cross Section Plot Parameters y seleccionaremos 10s valores de la ventana 45. 7. DespuCs de pulsar OK podremos visualizar 10s perfiles de temperatura a lo largo de la conducci6n (figura 46).

-

66

M e c ~ c de a fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS


67

Por liltirno, visualizaremos 10s perfiles de temperatura en diferentes secciones de la tuberia a lo largo de su radio. La secuencia que debe seguirse es:

....

1. Seleccionaremos Postprocessing > Croos-Section Plot Parameters 2. En la ventana subsiguiente pulsaremos el boton Expression., y en el control desplegable Predefined quantities de la ventana X-Axis Data seleccionaremos Temperature (chcc). 3. Pulsaremos OK. 4. En la pestaiia General seleccionaremos en el control Solutions to use la temperatura de 320 K. 5. El resto de parametros que deben seleccionarse de la ventana CrossSection Plot Parameters se muestran en la figura 47. 6. Y pulsaremos Apply.

Figura 45: Especijicacionespara visualizar la temperatura a lo largo del eje de la conduccidn

Figura 47: parametros para la visualizacidn de la temperatura en funcidn del radio en dferentes secciones de la tuben'a.

Figura 46: Evolucidn de la temperarurapara cada uno de 10s tres casos del analisis parameh'co.

.oqansalo!3!3.1a[a lap sol anb s o m s p sol uos saloIeA ap olsal 13 '50'0 d 10'0 ' ~ 0 0 ' 0(slm ua) saloIeA saluam%ls so1 alapFsuo3 .o[np lap epeaua ap peppo1aA el uauag epeaua ap pn@uo~el alqos anb epuanpu! el EU-slap wed (Z'E uo!33as) or3plara lap 03rqamand s!s!~?ue un lez!Ieaa 'E .olIansal o!s!xa[a lap so1 anb sours? so1 nos saloIeA ap olsal 13 ' 9 . ~d ~r . ~ ' ~s . ~s~ ~a m p sol no3 o q a q l v d om03 vy3e (s'ed ua) v3peu!p pep!so3s!~ el anb d SOSE3 sol sopol ua -[ e ~ e &sa ~('m/ay ua) peprsuap el anb le1ap1suo3 .op!np lap se3psua13ere3 se1 nauaq epequa ap pq18nol el alqos anb e!Duanpy ZI a u F a l a p e n d (Z'E u ~ p 3 a s oppla[a ) lap o3~q?me1zds!s!1?ue un rezgeax '2 jasnzqgn anb op!ual m q orrroluo3 ap sauoy3!puo3 ?no? .ope[[ouesap a1uarue1aldruo3 y s a ed epe4ua ap uop3as el ua euaqnl e1 ua ornu [a anb anbrjpadsa as anb elanew ap (Z.E uop3as) oppla[a Ia aalue~dax '1

,op!3a1qqsaald JoIeA uq.81~ a ~ ~ e qornu e lap ep11es ap en-qaladmal a1 anb eurroj 1sl ap pnp%uo~ e q x p leloIeA .el!rrrj p ~ y % ueom ~ e8ual lo13eja1o3 o m 4 la anb elauvw ap opelIomsap aluauqa1dmo3 ornp un e a d 0!3pla[a la la3eqax .g jle3!paA e r a y [e)uozuoy las ap n 9 n l ua e u a q q el !s e u a q q e m ua opqlouesap l e v e l o[nu Iap euralqold lap oluanuealm~dla ua as~a3eqmuaqap sauor3mrj!pow ?no? .L

i 9 = ~rl S=Z e saluaypuodsauo:, e!laqv e1 ap sauor33as se1 allua eSle3 ap seprpqd set epu!urralap owo3? 'Z'E uoyx~asa1 ap oqansal o ~ ~ l a lap [ a sopqpsal sol ap osn o p u a p e ~ .9 j s p ~ o d aap~olauqu la uo3 epeaua ap p ~ q % uelo epn& ~ epuapuadap ap od!l anb? 'saloualm so!z1!3~a[a so1 ap sopqlnsal so1 ap q s ! ~el v ' S .oqansal o!~pla[a lap sol anb sows!m sol nos saloIeA ap opal l a .z.o A. 1.0 '50.0 (w ua) saloIaA sa1ua!r@s sol nlaprsuo3 .uo!33npuo3 e1 ap o.~aweypla uaua!l epaqua ap prq!Suol el alqos anb e p u a n p e1 nremmalap e n d (Z'E n p 3 a s ) opplara lap o31q?mled s!sy[ymun lezlleax

.v

70

Mecanica de fluidos y kansferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

Flujo no newtoniano confinado 7 1

4. Flujo no newtoniano confinado 4.1. Consideraciones iniciales Durante muchos afios cientificos e ingenieros han estado fascinados por el movimiento de cierto tipo de fluidos cuyo comportamiento de flujo esta bien descrito por las ecuaciones de Navier-Stokes. Se trata, en general, de fluidos estructuralmente simples y de bajo peso molecular. Existen, sin embargo, otro tip0 de substancias que presentan una mechica de flujo diferente y que requieren metodos de estudio alternativos. La interpretation moderna de la ley de la viscosidad de Newton establece la proporcionalidad, en condiciones isotermas, entre esfuerzo cortante y velocidad de deformaci6n. Existe abundante bibliografia en la que se demuestra que, incluso bajo patrones extremadamente complejos de flujo turbulento, las predicciones teoricas basadas en este modelo son experimentalmente verificables. Los liquidos homogtneos de bajo / medio peso molecular y la mayoria de disoluciones diluidas son fluidos newtonianos. Sistemas polifasicos, soluciones polimericas, emulsiones y suspensiones son algunos ejemplos de fluidos no newtonianos. Los fluidos no newtonianos se caracterizan, por sus parametros reologicos que son 10s coeficientes de las ecuaciones que describen su comportamiento, o a partir de reogramas que son las representaciones graficas de algunas de ellas (figura 1). Tanto unas como otras se obtienen de datos experimentales. En muchos procesos industriales la propiedad mas importante es la viscosidad debido a de su dependencia con la velocidad de deformacibn. Cambios de uno, dos o tres 6rdenes de magnitud en la viscosidad no pueden ser ignorados en calculo de conducciones, problemas de lubrificacion, disefio de reometros y viscosimetros, procesos de extrusion o procesado de polimeros.

La clasificacion fundamental del comportamiento no newtoniano se basa en la dependencia hncional entre esfuerzo tangencial y velocidad de deforrnacion. Se distinguen asi tres tipos de fluidos. Los que siguen una ecuacion reologica no lineal per0 estacionaria (figura l), 10s que presentan una estructura dependiente del tiempo (substancias tixotropicas) y aquellos que resultan de la combinacion de una componente viscosa (newtoniana o no) y una componente elastica (materiales viscoelasticos).

.

72


Flujo no newtoniano confinado 73 un fluido viscoso, presentando una dependencia lineal entre esfuerzo y velocidad de deformation (en el caso de plhticos de Bingharn) o no lineal (en el caso de plhticos no lineales y plhticos dilatantes). Pastas dentihcas, chocolates, pomadas, gomas naturales, mayonesas y suspensiones concentradas, en general, presentan este comportamiento viscoplastico. En muchos casos e s t h constituidas por una fase dispersa en forma de particulas en un medio dispersivo. Para concentraciones suficientes de la fase dispersa, la interaction entre particulas puede conducir a la fomaci6n de una estructura rigida capaz de soportar esfuerzos cortantes por debajo de cierto limite (su propio urnbral de fluencia) sin fluir.

Esfueno wrtante

Los modelos empiricos son 10s mas soconidos debido a su utilidad en problemas practicos de ingenieria. Se fimdamentan en la ecuacibn de unfluido no newtoniano generalizado e incornpresible (fluido viscoso general) debida a Reiner

Velocidad de defmacion

Figura I : Reogramas correspondienfesa comportamientos no nmtonianos dgerentes.

La pseudoplasticidad es, probablemente, el comportamiento no newtoniano m k c o m b . Se caracteriza porque la fluidez se increments cuando aumenta la velocidad de deformacion. Algunos cultivos de microorganismos, 10s polimeros y sus disoluciones, las dispersiones coloidales, las emulsiones, 10s barnices, entre otros, presentan este tip0 de comportarniento. Existe un cierto tipo de materiales que parecen dilatarse cuando son sometidos a la accion de esfuerzos cortantes. Esta dilatacion hace disminuir su fluidez, tanto mas, contra mayor sea el esfuerzo aplicado. Es un comportamiento relativamente extrafio, si se compara con el pseudoplastico, y se presenta en algunas suspensiones concentradas de sblidos, proteinas y en ciertas disoluciones de polimeros y detergentes. Es un comportamiento tipico de dispersiones compactadas como la harina o la arena mezcladas con agua para las que se admite que el comportamiento dilatante aparece a causa del aumento de la superficie total efectiva a1 disgregarse 10s paquetes de particulas solidas. Dado que la dilatacion estA asociada a una variaci6n de volumen y la dilatancia a un efecto cortante, se tratan, en realidad, de fen6menos distintos. No obstante, como que 10s materiales que muestran un efecto, en general, muestran 10s dos, 10s terrninos son a veces intercambiables. La plasticidad es un fenomeno mostrado por ciertos materiales que sometidos a esfuerzos tangenciales por 'debajo de cierto valor umbral se comportan como solidos elbticos, esto es, con capacidad de almacenar cierta cantidad de esfuerzo. Para valores superiores al umbral, la muestra se deforma de manera continua, como

donde la viscosidad no newtoniana es h c i 6 n de 10s invariantes (escalares) del tensor velocidad de deformacion

Si la viscosidad no newtoniana, un escalar, depende de d/ , entonces ha de depender solamente de aquellas combinaciones particulares del tensor que no dependan del sistema de coordenadas. Pueden escogerse tres combinaciones independientes como

Para-un fluido incompresible 11=0y para flujos cortantes (de cizalla) I3 es nulo. Se plantea entonces la necesidad de modelar este segundo invariante y es la experimentacibn la que, en la mayoria de 10s casos, provee de la informacion necesaria. Actualmente se admite que todo fluido que no presente comportamiento plkstico presenta un reograma como el mostrado en la figura 2. El final de la grafica esta provocado por la transicion de flujo laminar a turbulent0 o por la alteracibn del product0 debido a la excesiva disipaci6n de energia mecfinica. A la hora de describir dicho comportarniento se recurre a una dependencia entre la viscosidad y la velocidad de deformacion del tipo

74

Mecbica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

0 - 0- = ---f (2) OD - O m

Newtoniano

Flujo no newtoniano confinado

ajustar comportamientos newtonianos ( n = l ) , pseudoplasticos (Ol). Sin embargo, presenta algunas limitaciones. En primer lugar, predice valores nulos de la viscosidad para velocidades de deformacion muy bajas, si n>l, 0 infinitos cuando n
Figura 2 Comportamiento actualmente admitido para substancias no plasticas.

donde la fimcion f( 2 ) ha de ser la unidad par valores nulos de la velocidad de deformacion y nula para cizallas arbitrariamente grandes. El modelo de CarreauYasuda da forma explicita a dicha fimcion como

Este modelo contiene cinco parametros que permiten una gran flexibilidad a la hora de ajustar una gran variedad de comportamientos y que ya ha demostrado su utilidad en calculos numericos en 10s que se necesita una expresion explicita de la viscosidad no newtoniana. El parimetro a es una constante temporal, n ajusta la pendiente de la region lineal que aparece en la representation de In0 fiente a In 2 y a es un parimetro adimensional que describe la transicion entre la zona de bajas velocidades de cizalla y la region lineal antes comentada. Para a = 2 se reproduce el modelo de Carreau.

75

/Y~,"-~\ [ ( n - 1 ) 2

+ )j'))

L4.61

A pesar de estas limitaciones es uno de 10s modelos mas utilizado cuando se necesitan estimaciones practicas en flujos con o sin transferencia de calor y sometidos a grandes deformaciones y, es de hecho, el modelo sobre el que basaremos nuestro estudio en este ejemplo. El ejercicio que ahora se propone estudia 10s efectos de entrada hidrodinamicos en una tuberia debidos a1 flujo de tres substancias de comportamientos reologicos diferentes: newtoniano, dilatante y pseudoplastico. La figura 3 presenta esquematicamente el dominio de flujo bajo estudio.

Figura 3. Representacidn esquematica destinada a la estimacidn de 10s efectos de entrada hidrodinamicos de flujos no newtonianos.

4.2.1. Modelado mediante el GUI de COMSOL

4.2. Flujo de un fluido Ostwald - de Waele en tuberias Probablemente, uno de 10s modelos (empiricos) m b utilizados es el de la ley de la potencia de Ostwald-de Waele que responde a una ecuacion funcional de dos parametros ( T = K y " ) que dependen de la temperatura, de la presion, asi como de la naturaleza particular de la muestra. El indice de no linealidad, n, permite

1. Seleccionaremos New en Model Navigator de COMSOL. 2. Seleccionaremos de la lista Space Dimension la opcion Axial symmetry

(20).

3. Desplegaremos Application modes y seguiremos la secuencia Chemical Engineering Module > Momentum Balance > Non-Newtonian Flow. 4. Pulsaremos OK.

i

76



1 . Seleccionaremos el mod0 de dibujo y dibujaremos el rectimgulo, que COMSOL identificari como RI, con origen en el punto de coordenadas (r,z) = (0,0), anchura 0.1 m y altura 4 m pulsando la tecla Shift y clicando simultineamente el boton RectangleISquare 0 2. Mediante el boton Zoom Extends -$1, de la barra de herramientas acercaremos el rectingulo creado y dbujaremos una linea ( B I ) entre 10s puntos (0, 0.I) y (0.1, 0.1). El subdominio a partir de z = 0.I defme la zona de flujo confmado y por tanto no uniforme.

!

! i I

77

3. En la pestaiia Power Law de la ventana de dialogo Subdomain Settings Non-Newtonian Flow (chnn) especificaremos 10s parhetros m y n del modelo iguales a mu y M respectivamente.

D. Condiciones de contomo 1. Detallaremos en Physics > Boundary Settings las condiciones de contomo reflejadas en la tabla 2. Contorno

t,3,6

2

5

7

Ti~o

Slip/Symmefry

Inf7ow/0u~owvelocity

Ouflow/Pressure

No Slip

B. Opciones y especificaciones 1. Especificaremos 10s valores seiialados en la figura 4 en la ventana de dialogo que aparece a1 seleccionar Options > Constants. Tabla 2. Especificaciones de las condiciones de contorno

0.L "----

.=

F

1

I

-

. drns,dad . - -

-

dtlmetro tuberla . . Reynolds cslculado n d ~ de e no lhnsal~dad

...

-

1

1. Seguimos la secuencia Mesh > Mesh Parameters y en la pestaiia Global de la ventana de diilogo subsiguiente especificamos 10s valores de la figura 5.

Giubal mesh parameter,

-

Redefiwdmsh srzes:

Figura 4. Constantes y valores caracteristicos delfluido y delflujo.

Maxunum element Sl*: mxbnuo dement slzesallng factor:

rngmwth rata:

C. Especificaciones en 10s subdominios

Mesh cuvatue factor'

1. Seleccionamos Physics > Subdomain Settings 2. Especificamos las propiedades de la tabla 1 para 10s dos dominios definidos. Subdominio

mesh cwvatvrsmt off: Rrs&hon d m

wr e g m

Meshgwmetty tolorel:

1,2

P

ro

Viscosity model

Power law

Tabla I . Especificaciones de 10s subdominios.

Figura 5. Parbmeh-os de la malla seleccionados

2. Seleccionaremos la pesti6a Boundary. Para 10s contornos 5, 6 y 7 especificaremos Maximum element size igual a 0.01 (figura 6).

,

78

Flujo no newtoniano conhado


79

Figura 6. Refinado de la malla en 10s contornos 5, 6 y 7. Figura 7: Representacidn de las condiciones de entrada para 10s tres casos considerados. De izquierda a derecha, pseudoplasrico,newtonianoy dilatante.

...

1. Seguimos la secuencia Solve > Solver Parameters para abrir la ventana Solver Parameters. 2. En la seccion Solver seleccionaremos Parametric nonlinear. 3. En la seccion Parameters especificamos como Name of parameter, nn, y como List of parameter values 10s valores 0.6, 1, y 1.4. 4. Pulsaremos OK. 5. Y pulsaremos el boton Solve de la barra de herrarnientas.

4.2.2.- Posprocesado y analisis de resultados

...

1 . Mediante Postprocessing > Plot Parameters podremos comparar y visualizar las distribuciones de velocidades para 10s tres casos @seudopl~stico,newtoniano y dilatante). 2. En la pestaaa General comprobarernos que el Plot type seleccionado es Surface y en la lista desplegable Parameter value se puede seleccionar el caso que se desea representar. 3. En cada caso pulsaremos Apply para ver las representaciones sin que se cierre la ventana Plot Parameters.

A. Evolution de 10s perfiles de velocidad Visualizaremos las condiciones de desarrollo del flujo para cada uno de 10s casos considerados. Para graficar la evolution de la velocidad (en 10s tres casos) en el centro de la conduccion y a lo largo del eje de la misma seleccionaremos 10s parametros mostrados en las figuras 8 y 9. A1 pulsar el boton Apply podremos visualizar el resultado mostrado en la figura 10.

80

Mecfinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTPHYSICS


81

Figura 8. Parametros necesarios para la visualizacidn de la evolucidn de la velocidad en el centro de la conduccidnpara 10s tres casos. Figura 10: Evolucidn de la velocidad en el centro de la tuberia a lo largo del eje de la misma. Eljluido pseudoplastico (azul) alcanza mas rcipidamente las condiciones dejlujo desarrollado.

Alternativamente, podemos comparar 10s perfiles de velocidad completamente desarrollados para iguales caudales volumttricos y comparar c6mo la distinta naturaleza de 10s fluidos influye en la forma de aqukllos. Mediante las selecciones mostradas en la figura 11 podremos visualizar 10s perfiles de la figura 12.

Figura 9.Parcimeh-osnecesarios para la visualizacidn de la evolucidn de la velocidad en el centro de la conduccidn para 10s tres casos.

82

Mec5nica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS


83

En referencia a la figura 12 ya puede observarse que el fluido pseudoplastico presenta en el centro valores de velocidad inferiores. Muestra un perfil mas piano. Sin embargo, su velocidad es mayor que en 10s dos casos restantes cerca de las paredes. Esto es, sus prestaciones en ttrrninos de transporte convectivo de energia s e r h mejores que no en el caso newtoniano o dilatante.

B. ValoraciBn de 10s esfuerzos cortantes Otro resultado interesante, 10s esfuerzos cortantes, pueden obtenerse inmediatamente a travts de Postprocessing > Cross Section Plot Parameters y seleccionando 10s parimetros mostrados en la figura 13. Los resultados se muestran en la figura 14.

Figura I I . Especijicaciones para la visualizacidn de 10s perjles completamente desarrollados de 10s tres casos tratados.

y-amdata

' PreMlned q m l i s :

Isr-chnn

-- -- r ------

unt x-

d+?a

-- - -- - -

r FT '1 - - .

t

.

I

---

T

r

l

.

Ll~ere~ob~on

- - ---

-. 1

-

-Crosrrectmn h a data

rn

r Wtlpk pardlet hnes s I

A'

Shear late

Exprh.

--

]

D

-- -1 !

]ZOU / -

-

.

~ r t -at?- risb_i.,,-

c- i

Figura 13. Parametros destinados a la visualizacidn de 10s esfuenos cortantes.

Figura 12. Perjles de velocidad delflujo completamente desarrollado para 10s tres casos: pseudoplastico {azul), newtoniano (verde) y dilatante (rojo).

84


Figura 1.5. Especificaciones de aquellas secciones con informacidn relevante de la simulacidn que deben ser incluidas en el inforrne. Figura 14. Cornparativa de 10s esfierzos tangenciales (shear rate): pseudopl&tico (azul), newtoniano (verde) y dilatante (rojo).

4.2.3.- Generacidn de informes COMSOL offece la posibilidad de generar informes que incorporan buena parte de la informacion relevante de la simulacion a travCs de la secuencia File > Generate report... Por defecto, configura el informe en formato HTML aunque puede imprimirse directamente si se desea. Por otra parte, como puede verse en la figura 15, puede configurarse el contenido del informe especificando qut apartados y secciones son considerados de interts y aparecerin recogidos en el inforrne. El generador de informes incluye siempre la ultima representation llevada a cab0 durante la fase de posprocesado. Si lo que se desea es incluir mas representaciones graficas que no solamente la ultima, lo mas sencillo es editar mediante cualquier editor HTML (especifico o gentrico) el documento creado e incluir las imagenes adicionales (si es necesario, mediante un simple copiartpegar). Si deseamos publicar en la web el documento HTML creado debemos cuidar de colocar 10s ficheros de imagenes en el subdirectorio creado para tal fin sino no se v i s u a l i z a r ~ .

I

1 I

I

Flujo

no newtoniano confinado

I

1. Table of Contents

..

.. ..

Tltla - Fiillo no nt\*ncncano conilnado Table of Canlen!s 1.label p r 0 0 ~ feiS

Posiproceis,nY Geoml Constatlls

Figura 16. Detalle del informe generado en formato HTML.

86


Flujo no isotemo

87

4.3. Ejercicios propuestos 1. Aprovechando la solucion del problerna 2, valorar la influencia que sobre la longitud de entrada tienen el distinto comportamiento reologico del fluido (pseudoplastico, dilatante y newtoniano). 2. Rehacer el problema para estudiar 10s efectos de longitud de entrada hidrodinimica. Realizar un analisis parametric0 (uno para cada tipo de fluido) para determinar la influencia que sobre la longitud de entrada tiene el nlimero de Reynolds. Considerar la velocidad media (en d s ) como parimetro con 10s siguientes valores 0.002, 0.01 y 0.05. Valorar las posibles diferencias entre 10s tres casos. 3. Rehacer el ejercicio de manera que la tuberia incorpore un tramo calefactor. Valorar la posible influencia de la distinta hidrodiniimica desarrollada sobre el calentamiento del flujo.

4. Rehacer el ejercicio considerando que el flujo circula entre placas paralelas y es estacionario. Considerar que la amplitud de las placas es muy grande de manera que pueda resolverse el problerna en 2D

5. Los plasticos lineales de Bingham (vease figura 1) presentan una ecuacion reologica del tipo T = T O + K k en la que .roes el esfuerzo urnbral (por debajo de cual el fluido no fluye) y K es la viscosidad plistica (la que presenta el fluido en el momento en que comienza a fluir). Considere que el flujo de un fluido de Bingham en una tubena es debido a una caida de presion constante a lo largo del tub0 (es un flujo de Poiseuille). Simule el problema con COMSOL y determine 10s perfiles de velocidad y de esfuerzos cortantes. ~ Q u Cocurre en aquellas regiones del flujo en las que 10s esfuerzos son menores que el esfuerzo umbral, TO,del fluido?

5. Flujo no isotermo 5.1. Consideraciones iniciales En el estudio de flujos son muy importantes las hipotesis acerca del comportamiento de la densidad fiente a cambios de presi6n yio temperatura. Asi, la versi6n incompresible simplifica la formulaci6n del problema tratando la densidad como una constante, permitiendo el uso de una version simplificada de las ecuaciones del movimiento y de la ecuaci6n de continuidad. El estudio de flujos compresibles implica un esfuerzo computacional mayor. Existen situaciones intermedias que tratan el flujo como incompresible per0 permiten variaciones de densidad asociadas, exclusivamente, a cambios de temperatura. Esta aproximacion presenta un cornpromiso entre la disrninucion del coste computacional y la calidad de 10s resultados obtenidos. El modulo de aplicacion no isotermo esth destinado a1 estudio de fluidos incompresibles, no obstante, permite la posibilidad de pequefios cambios en la densidad motivados por variaciones en la temperatura. No debe utilizarse en situaciones en las que las velocidades del flujo Sean elevadas (un nlimero de Mach por encima de 0.3) ni cuando la cornpresion o expansion del fluido tenga efectos en el trabajo interno o en la temperatura. Dicha formulacion hace servir el termino general para el esfuerzo viscoso en la ecuacion de Navier-Stokes per0 la densidad se toma como constante en el termino conv'ectivo ecuacion [5.1] ( p ( uV ) u ) . La ecuacion de continuidad se considera en su version mas general para flujos compresibles en la ecuacion [5.2].

6 . Los fluidos no newtonianos considerados en este problema 4 no tienen en consideracion posibles componentes elasticas. Esto es, comportamientos viscoelasticos. ~ C Opodrian ~ O incluirse en COMSOL?

Para afrontar estos casos tarnbien se necesita disponer de la ecuacion de estado del fluido que nos permita obtener la densidad en las condiciones de trabajo como funcion de alguna de las otras variables dependientes, normalmente la temperatura

88


obtenida a partir de un balance energdtico del sistema. Por otra parte, se puede introducir el peso especifico como fuerza volumetrica F e n el estudio, por ejemplo, de fendmenos de convection natural.

5.2. Estudio de un calentador de aire Se va a estudiar en este ejemplo el calentamiento de un flujo de aire circulando entre dos placas planas mediante un elemento calefactor que presenta un relieve en la zona de circulation del fluido. El aire de entrada se encuentra a presion atmosferica y a 20 "C de temperatura. El elemento calefactor tiene una conductividad de 300 W/(m K), la pared superior se encuentra a 350 "C y las paredes exteriores e s t h aisladas. La figura 1 muestra el detalle de la section entre placas, el elemento calefactor asi como las dimensiones relevantes del problema.

Ia f

j

Flujo no isotermo

89

De manera que la velocidad promedio es, a partir de su definicih,

c = -v= A

213 urn, ~ Ymm

r n ,

=2 3

Resolveremos el ejercicio para un rango de velocidades promedio comprendidas entre 0.05 m/s y 1 m/s. Estos valores se corresponden con una velocidad mixima en el centro del canal de 0.075 d s a 1.5 d s . Como se puede comprobar calculando el numero de Reynolds para la velocidad promedio mas elevada, el regimen establecido es laminar

Para la resolution del problema con COMSOL dispondremos del modulo de transporte de momento para describir el comportamiento fluidodinamico y el modulo de balance energetic0 para describir 10s efectos tkrmicos.

5.2.1. Modelado mediante el GUI de COMSOL

4

b

0'008 m Figura I . Representacidn esquematica del sistema calentador y de las dimensiones relevantes de 10s elementos constituyentes del dominio.

El analisis pretende valorar la temperatura a la salida del sistema en funcion de la velocidad promedio del aire que circula entre las placas. Para ello, partiremos del perfil de Poiseuille para un flujo completamente desarrollado entre placas paralelas

1. Escogemos un espacio de trabajo 2D. 2. Pulsamos el boton Multiphysics para activar la opcion de aiiadir diferentes fisicas. 3. Seleccionamos en Application Modes la secuencia Chemical Engineering Module > Momentum balance > Non-isothermal Flow > Steady-state analysis. 4. Pulsamos Add para ailadir el modulo a la lista de modulos seleccionados. 5. Seleccionamos en Application Modes la secuencia Chemical Engineering Module > Energy balance > Convection and Conduction. 6. Pulsamos Dad para afiadir el modulo a la lista de modulos seleccionados. 7. Finalizamos esta primera selection pulsando el boton OK (figura 2).

A. Geometria del problema Y determinaremos la relacion entre la velocidad maxima y la velocidad promedio estudiando el flujo en la seccion de entrada (de altura y,, y profundidad unitaria). El caudal circulante de aire es

Trabajamos en una version simplificada del problema en 2D. Para definir la geometria se utilizan recthngulos, lineas rectas y curvas Bezier de segundo grado. La canalization por la que circula el aire la describiremos inicialmente mediante un rectangulo mientras que para el elemento calefactor utilizaremos lineas rectas y curvas Bezier de segundo grado. Definiremos correctamente el dominio "sustrayendo" del rectangulo inicial el elemento calefactor. Para ello, utilizaremos la herramienta de sustraccion de entidades geometricas de COMSOL.

90

Flujo no isotenno


91

6. Comenzaremos la representation del elemento calefactor marcando la linea recta vertical izquierda (linea 1 de la figura 4 ) . Los puntos a marcar son (3e-3,l.5e-3) y (3e-3,9e-4). 7. Continuaremos con la c w a de Bezier de la esquina inferior izquierda ( c w a 2 de la figura 4 ) mediante la herramienta de dibujo de c w a s Bezier de segundo orden. El primer punto ya esta marcado dado que estamos dibujando a continuacion de la linea recta. Los puntos a seleccionar son entonces (3e-3,7e-4) y (3.2e-3,7e-4). I-10 ion @

ranaen ana vsrc

-

1b ]

:j Flornen~urnbalanre

ici

=

I

* Incompressible Nav~cr-Stokes

l h n 1-3thernaI F1as.l Ste3dy sc3te analyrt, + Trjm~ent3nal\,s15 71 % Nun-Fle~~tnn~an Flaw 7

T

x-y gr~d

6a

Rr~nlmnn F ~rqt~nn, I

Dependant var~ablss~

1

Appicatlon mode name: Ich, cs El*rt>ent:

&pendent vanabl-:

Lagrange - Ouadrata

Apphc&on Mode &~operbex.

MdGewnetry,..

;1

s

-.

Add F r m e . . .

.

I

R u b ng~pplrahonmcde: hion-IsothermalFlow (chns)

M ~ ~ w c s

-3 Figuro 3. Especzficaciones de espociado de la rejilla de lo supeficie de dibujo

Figuro 2. Especificacidn de la multzjisica delproblerna en lo ventona Model Navigator de COMSOL.

1. El primer paso consiste en ajustar las propiedades de la rejilla para pasar a utilizar unas distancias entre puntos que nos permita trabajar comodamente con la geometria del caso. Seleccionamos Options > Axeslgrid settings. 2. Seleccionamos la pestaiia Grid, desactivamos la opcion de Auto e indicamos un tamafio de rejilla de le-4 m m tanto para el espaciado x como para el espaciado en y (figura 3). 3. Dibujaremos ahora el rectingulo que representara la canalization por la que circula el aire. Para ello seguiremos la secuencia Draw > Specify Objects > Rectangle. 4 . En la ventana emergente que aparece especificamos las dimensiones en metros del rectangulo. La altura es de I m m (Height = 0.001) y la anchura de 8 m m (With = 0.008). 5. Pulsaremos sobre Zoom extents & para ajustar la figura a1 irea de trabajo.

8. Pasaremos a seleccionar la herramienta de dibujar linea recta para continuar con la linea recta inferior (linea 3 de la figura 4 ) . Seleccionaremos el punto (4.8e-3,7e-4).

Figuro 4. Identification de 10s elernentos constitutivos del elernento calefactor: lineos rectas y cuwo de Bezier.

9. Una nueva c w a de Bezier de segundo orden representara la curva de la parte inferior derecha (curva 4 de la figura 4 ) . Los puntos a marcar son (5e-3,7e-4) y (5e-3,9e-4).

92

M e c b c a de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

10. Pasaremos a dibujar la recta vertical derecha (linea 5 de la figura 4)

marcando el punto (5e-3,l.Se-3). 11. Finalmente, cerraremos la figura completa con la linea superior (linea 6 de la figura 4) pulsando el b o t h derecho del raton. 12. Seleccionamos el objeto COI y escogemos la opci6n Edit > Copy. Este paso es necesario para no eliminar def~tivamenteel elemento. 13. El siguiente paso consiste en realizar la sustracci6n de 10s dos objetos mediante la opci6n Draw > Create Composite Object Esta herramienta permite realizar diferentes operaciones sobre entidades geomttricas. En el recuadro Set formula: introducimos la expresion RI-COI. 14. A1 pulsar Apply queda definido un nuevo objeto con el nombre COI. 15. Para recuperar el dominio correspondiente a1 elemento calefactor seleccionamos Edit > Paste. Se le asigna el nombre de forma automatica c02.

j5

I

Flujo no isotermo

'=

93

p M = p R T R'T

I

I 5

Es importante seiialar en este momento que para ser consistente con el modelo de flujo no isotermo seleccionado, se introduce la presion con un valor constante y solo se deja la dependencia de la densidad con la temperatura.

...

En este momento disponemos de dos subdominios, COI representa la zona por la que circula el aire y C 0 2 que representa el elemento calefactor.

B. Opciones y especijkaciones Especificaremos ahora las caractensticas del flujo asi como las del fluido. Para hacer una definition m6s consistente y centralizada, el entomo nos permite definir las expresiones y constantes que vamos a utilizar. Las constantes las especificamos a travCs de la secuencia Options > Constants (figura 5)

1.75e-5

............. ?a3 ........

I

5 ..

;50

1 . . . . . . . . . .

b! li.'

~ZP

1

Ewprrrsion

mu ...... ,

,

. -. .. ,_

..--;?:?+EL 303

1

Value

jl,!sL-5_ j233

__-320

---- i!!xfi:&!2-?:Lr,jj ,,,

j

Dewrtprion

..jYF3siiiad ..................... del dire

...........

[Tsmperatura ..-. -calefactor -..

0L~=2!:!!!2!?!22--.

.................

1004 ................

.

13%__---/Cvnd. calefact~jr , . . . . tirrn~ca ..........................

.............. i l 0 1 M

-

...

Figura 6. Especificacidn de la expresidn para la densidad del aire. La presidn es constante y solo depende de la ternperatura.

C. Espec~Jicacionesen 10s subdominios Es el momento de incluir la fisica asociada a cada subdominio. En este ejemplo se puede comprobar que hay un subdominio, el formado por la canalizacion por la que circula el aire, que presenta las dos fisicas definidas en el problema: un transporte de momento y otro de energia. El segundo de 10s subdominios, el formado por el elemento calefactor, solo incorpora la fisica relacionada con la transferencia de calor.

. .,C.jlor . . . . . . e;pscf~co . . . . . . . . . . ..ma ........

Por defecto, todas las fisicas que hemos definido se encuentran activas para todos 10s subdominios. El proceso que se va a seguir ahora es el de eliminar las fisicas de 10s subdominios donde no deban estar. En nuestro ejemplo necesitamos eliminar del subdorninio 2 el transporte de cantidad de movimiento. ... --.-... -. -.- .. -Figura 5. Especificacidn de constantes deljlujo y delfluido.

.-..

Aprovecharemos esta capacidad para introducir 10s parametros fisicos de nuestro modelo. Por ejemplo, el modelo de gas ideal para el aire a travts de la secuencia Options > Expressions > Scalar Expressions (Figura 6 ) .

1. Empezamos por seleccionar el modulo de fisica con el que queremos trabajar desde el menu principal mediante la secuencia Multiphysics > I Non-Isothermal Flow (chns). 2 . Para especificar la fisica asociada a cada subdominio debemos seleccionar Physics > Subdomain Settings 3. Ahora nos encontramos en el modulo de fisica Non-Isothermal Flow

...

94

Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS (chns). Seleccionamos el subdominio 2 y desactivamos el control de verificacion Active in this domain. 4. Vamos a definir a continuacion las propiedades asociadas a cada subdorninio y a cada fisica. Continuamos en el modulo Non-Isothermal Flow (chns) en el que especificaremos para el subdominio I 10s valores de densidad y de viscosidad (figura 7).

I

Flujo no isotermo

4

i : : !

1

3 Quantity ValuejExprersion

Kdu

r r

Select by qroup

I

Dewrrption

Density

Pa+

Dynarnc ~

F

Pa9$

Djlatahond ascuuty

kJjrn3

Uuhm t o m , x-dr.

lo

~ l r n ~

V o b w tmc, y-?w

Fr Fi

UnA

blm3

1:

m2

I P

10

vt/m3

neat source

!u

ds

x-vsboty

//

cmw "...------..---..-----,."---.--..-....."..--.-,",.------..--...~

Figura 8. Propiedades y constantes correspondientes a1 dominio I en el modo de apiicacidn COMSOL de Convection and Conduction.

Floe ln porous rnedla (Er~nkmarequattons) h:

95

Permeabdty

D. Condiciones de contorno

1

OK

1

cancel

]

HCIP

11

- - - - ---.- _ _ ___. Flgura 7 La dens~dadyla v~scoszdadasociadas a este dominlo son las dejinidas anteriormente como constantes del problema.

En la defmicion de las condiciones de contomo se sigue el mismo procedimiento que para la defmicion de las propiedades de 10s dominios (las tablas 1 y 2 recogen 10s valores seleccionados).

5. Ahora queda definir las propiedades asociadas al modulo de transporte de energia. Seleccionamos en el menu Multiphysics > 2 Convection and Conduction y pasamos a trabajar con 10s diferentes subdorninios. 6. Para el subdominio I definimos las propiedades correspondientes a la densidad, a1 calor especifico y a las componentes del campo de velocidades tal y como se indican en la figura 8. 7 . En la pestaiia Init se especifican las condiciones iniciales del problema. Es imprescindible definir la temperatura inicial del aire dado que el calculo de la densidad depende de la temperatura, si no, Csta quedaria indeterminada. Establecemos el valor de 293.15 K.

1. Seleccionamos la fisica sobre la que se va a trabajar: Multiphysics > NonIsothermal Flow (chns). 2. Accedemos a la definicion de las condiciones de contorno mediante Physics > Boundary Settings. 3 . A la entrada establecemos una condicion tipo Infow/Outflow velocity mediante un perfil parabolic0 desarrollado. 4. El perfil de velocidades se especifica introduciendo en el c a p o de edicion, UO, la expresion 4 *(3/2 *uqro) *s *(I -s) . En la expresion se ha sustituido el valor u-max por 3/2*uqro, quedando el perfil de velocidades referido a la velocidad promedio. El parametro s esta definido para todos 10s elementos que forman el contomo y su valor vana de 0 a 1 a1 recorrer todo el elemento. 5. Establecemos en las paredes laterales la condicion de no deslizamiento (No slip).

I___"--C_

96

Mec&nica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS 6. Defmimos presi6n constante cero a la salida (Ouflow/Pressure). 7. Para definir las condiciones de contomo para el transporte de energia seleccionamos el modulo de fisica del balance energetic0 mediante Multiphysics > Convection and Conduction (chcc). 8. En la entrada defmimos una condicion tipo Temperature igual a TO. 9. A la salida establecemos una condicion tipo Convectiveflwc. 10. Las paredes extemas restantes que envuelven a1 fluido se consideran aisladas (Thermal insulation). 11. La pared superior del elemento calefactor se encuentra a temperatura constante, TI. 12. Los dos laterales del elemento calefactor se consideran aislados y en las zonas del mismo en contact0 con el fluido no se especifican condiciones de contomo dado que no forman parte de n i n g h contomo exterior del dominio donde se aplica el estudio del transporte de energia. Existe la posibilidad de asignar alguna restriccion a estos contomos intemos per0 no se utilizan en este caso. Contorno

1

11

2,3,4,7,8,10,12 y 13

Tipo

Inflow/Outf/ow velocity

Outf/ow/Pressure

No Slip

Tabla 1 Condiciones de contomo correspondientes a1 mod0 Non-Isothermal Flow. Contorno

1

Tipo

Temperature

6

2,3,5,9 y 10

II ! i

!

!

i ! I

Flujo no isotermo 1, 2. 3. 4. 5.

97

Mesh > Free Mesh Parameters. Pulsarnos sobre la pestafia Subdomain. Seleccionamos el dominio 2 En la opci6n maximum element size especificamos el valor le-3. Con el b o t h Remesh creamos la malla.

Nuestro inter& es realizar un analisis paramktrico del problema variando la velocidad promedio a la entrada del sistema entre 0.05 m/s y 1 m/s. Estos valores se corresponden a una velocidad mixima en el centro entre 0.075 m/s y 1,5 m/s. 1. Para especificar el analisis parametric0 accedemos a Solve > Solve parameters. Accesible tambien mediante la tecla de fkcion F 11. 2. Escogemos el resolvedor Parametric. 3. En la secci6n Parameter especificamos en el carnpo de edicion Name of parameter el nombre del parhetro u q r o . 4. En el campo de edicion List of parameter values indicamos la lista de valores:0.050.l00.150.200.300.400.600.80l.00 5. El siguiente paso consiste en iniciar la simulacion mediante Solve > Solve problem. Aparece la ventana que nos va indicando el progreso de 10s diferentes procesos implicados en la simulacion. Un paritmetro importante a seguir para informamos sobre la evolucion de la simulacion es Convergence, inicialmente sus valores son elevados per0 al progresar el proceso de calculo 10s valores deben ir descendiendo hash llegar a ser inferiores a le-6.

11

Temperature Thermal insulation Convective flux

Tabla 2 Condiciones de contomo correspondientes a1 rnodo Convection and Conduction.

E. Mallado Naturalmente, el mallado debe ser mis fino en aquellas zonas donde se deban capturar gradientes importantes de las magnitudes bajo estudio. La propuesta de mallado que aqui se hace pasa por especificar un tamaiio maximo de elemento de la malla. Para este problema imponemos un elemento maximo de le-3 m.

5.2.2. Posprocesado y andisis de resultados El acceso a las herramientas de posprocesado se encuentra en el menu Postprocessing. Comenzaremos por un posprocesado para la velocidad de entrada de 1 mis y visualizaremos la distribution de velocidades (bidimensional) del fluido. 1. Seleccionaremos Postprocessing > Plot parameters. 2. Comprobamos que en la pestaiia General este seleccionado el valor 1 en Parameter value.

98

Flujo no isotermo

Mecanica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS 3. En la pestafia Surface activamos Surface plot (puede ser que ya se encuentre activo) y escogemos la magnitud a representar, en este caso empezaremos visualizando el modulo de la velocidad seleccionando Velocity field (chns) tal como se puede observar en la figura 9.

99

I

1

Predefinedquanbtizs: Temperature (chcc) Expresston:

Unit:

Spec~tsd ~ t f w ~ o heat n flu,, T (8.h~~)

Total heat H u ~ .T ( ~ h c c ) Cell Prclct nunlba, x-veb:~t.r. (chns) y-YSIOCI~), (~hn5)

T

F

smooth

(inc8:)

Cnlonnq and fill Color~oq.

Figura 9. Detalle de la ventana de dialogo para la seleccidn de la magnitud a vistralizar.

Se puede observar el cfecto del cambio de seccion de paso como un aurnento de la velocidad del fluido. Para analizar el calentamiento dcl aire visualizamos primer0 la distribucibn de temperaturas para la velocidad promedio a la entrada de 1 mls.

Figura 10: Modulo de la velocidadpara una velocidad de entrada de 1 mls

1. Scleccionaremos Postprocessing > Plot parameters. 2. En la pestafia Surface nctivamos Surface plot (puede ser que ya se encuentre activo) y escogemos la magnitud a representar, en este caso visualizaremos la distribucion de temperaturas seleccionando Temperature (chns) en Predefined quantities.

En la figura 10 observamos la distribucion de temperatura, se observa que no se calienta de forma uniforme el aire, el que pasa cerca del elemento calefactor consigue una temperatura mas elevada rnientras que el que pasa mas lejos mantiene una temperatura inferior. El rCgirnen de circulation laminar limita la mezcla del fluido en la direccion y, el calentarniento del aire sc da basicamente por conduccion. Otra interesante representacion es la de la densidad del fluido. Esta se encuentra relacionada con la temperatura a trav6s de la ecuacion de estado. En este caso seguimos 10s mismos pasos que en la representacion de la temperatura per0 ahora especificamos ro en Expresion. Se actualizan las unidades de Unit a 1 K .

Figura 11.- Distribucidn de la temperatura para una velocidad a la entrada de 1 mls

.

100

Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL hftLTIPHYSICS

Flujo no isotermo

101

En la figura 12 se presenta la figura con la representation de la densidad del aire. Las zonas en contact0 con el elemento calefactor se calientan disminuyendo la densidad del aire. La densidad a la entrada tiene un valor constante de 1.205 kg/m3 mientras que a la salida varia entre 1.12 kg/m3 y 1.18 kg/m3. Para ver con mas detalle esta variacion de densidad se van a representar 10s perfiles de densidad en la entrada y en la salida.

1.13

1.12

0

' '

'.L..

0.1

0.2

0.7

0.4

Lil

r-lmgth 0.5

'1.6

0.7

'1.8

- '.. 0.9

1(031

Figtrra 13: Perfil de densidad a la entrada (linea superior) y a la salida (linea inferior)

Figura 12: Distribucidn de la densidadpara una velocidad de entrada de 1 m/s

1. 2. 3. 4. 5.

Seleccionamos Postprocessing > Cross Section Plot Parameters En la pestafia General seleccionamos el valor 1 para el parhetro. En la pestafia LineExtrussion Lntroducimos ro en Expression. Seleccionamos Multiple parallel lines. Especificamos en Vector with distances 10s valores 0 -8e-3. 6. Pulsamos OK para finalizar.

...

Podemos observar mucho mejor en la figura 13 la diferencia entre las densidades a la entrada y a la salida. El valor constante de la entrada se encuentra representado por la linea superior. El valor de la salida varia entre 1.180 kg/m3 y 1.125 kg/m3, presentando un valor aproximado en el centro del conduct0 de 1.155 kg/m3.

La variacion de la densidad tiene un efecto direct0 sobre la velocidad del aire. Para un regimen estacionario, con una entrada y una salida, el caudal masico debe permanecer constante en todo el sistema. Se ha observado que la densidad presenta variaciones entre la entrada y la salida, por lo tanto, la velocidad a la salida sera distinta a la de la entrada. Comparando el perfil de velocidad entre la entrada y la salida se puede observar este hecho. La obtencion de 10s perfiles de velocidad sigue un gran paralelismos con la obtencion de 10s perfiles de densidad, cambiando solo la magnitud a representar, en este caso seleccionando Velocity field en Predefined quantities. En la figura 14 se observa el resultado. Para obtener la relacion entre la velocidad del fluido y la temperatura a la salida del sistema representamos el perfil de temperatura a la salida para todas las velocidades usadas en el estudio parametnco. (Figura 14) 1. Seleccionamos Postprocessing > Cross Section Plot Parameters... 2 . En la pestafia General seleccionamos todo el rango de valores para el parametro. 3. En la pestaiia LineExtrussion seleccionarnos Multiple parallel lines. 4. Especificamos en Vector with distances 10s valores 0 -8e-3.

102

Mecbica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULT~HYSICS

Flujo no isotemo

103

5.3. Ejercicios propuestos 1. Representar el perfil de velocidades a la entrada del sistema junto con el perfil de velocidade~en la zona de entrada del elemento calefactor.

2. Cuando se representa la densidad aparece como unidades 1K. LA que es debido? 3. Representar en una grafica la temperatura promedio a la salida en f u n c i ~ nde la velocidad de entrada.

4. Obtener la velocidad de entrada por debajo de la cual se puede considerar la temperatura de salida constante. Ampliar el estudio parametric0 si es necesario para precisar mejor 10s resultados. 0

1

3

0.1

0?

15.3

0.4

05

6.6

0.9

0.8

07

1

I =-length ,

rie-3

Figura 14. Perfiles de velocidad a la entrada y a la salida.

L I I

190 n

0.1

0.2

0.3

0.4

os

ua

il 7

os

1

0.9

An-icngth 110

Figura 15. Representation de la temperatura de salida parametrizada con 10s distint~svalores de la velocidad media de entrada. La linea inferior se corresponde al valor a la entrada, las otras, en orden empezando por am'ba se corresponden a las velocidades de 0.05 0.10 0. 15 0.20 0.30 0.40 0.60 0.80 1.00

104 Meckica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS Transmision transitoria de calor

105

6. Transmision transitoria de calor 6.1. Consideraciones iniciales La descripci6n de la transmision de calor por conduccion de calor para un fen6meno no estacionario viene caracterizada por la ecuaci6n de Fourier.

Esta expresion nos describe la evolution local de la temperatura respecto del tiempo ( aT I d t ) motivada por una conduccion de calor debida a una diferencia de temperatura entre el punto de estudio y su inmediato entomo ( . ( - k VT) ) y a una generaci6n local de calor ( Q ) .

v

Esta ecuacion nos servira para llevar a cab0 el estudio del transitorio termico que tiene lugar cuando dos materiales a distintas temperaturas se colocan en contacto termico. La cantidad de datos generados en un estudio transitorio hace que se deba sintetizar mucho la information durante la fase de posprocesado, por esto se desea analizar la evoluci6n de la temperatura en zonas especificas del dominio.

6.2 Estudio del transitorio tdrmico de la union de dos metales a diferentes temperaturas El sistema consiste en una placa de cobre de 4 mm x 20 mm de seccion a una temperatura inicial de 120 "C. Dicha placa se pone en contacto con otra de aluminio de 5 mm x 100 rnm que se encuentra a una temperatura ambiente de 20 "C (figura 1). La placa de aluminio se encuentra en contacto con el aire con el que se supone un coeficiente de conveccion de 20 W/(m2 K). Se desea estudiar la evoluci6n de la temperatura en la zona de contacto y en la parte central de la cara inferior de la placa de aluminio. Ambas placas se suponen de superficie ilimitada.

106

Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICs

Transmision transitoria de calor

6.2.1 Modefado mediante eel GUI de COMSOL

Figura n mis u claro laplaca caliente de cobre, mcis oscura la placa fria de aluminio.

lniciamos COMSOL y en la ventana Model Navigator escogemos 2D en la lista deplegable Space dimension y el modulo general de transmision de calor. Seleccionamos New en Model Navigator de COMSOL y pasamos a especificar las caracteristicas iniciales del proyecto (figura 2).

4 &nerd heat Tian$
-e +

."?

.

-...

.

6 51nhr3tEquation

Figura 2. Seleccidn del modo de aplicacion en la ventana Model Navigator.

II I j i

i

t

107

1. Seleccionamos la pestaiia New de la ventana Model Navigator de COMSOL. 2. Seleccionamos 2 0 en la Lista desplegable Space dimension. 3. Desplegamos la carpeta Application Modes (si no lo estuviera ya) y seguimos la secuencia Heat Transfer Module>General Heat Transfer> Transient analysis 4. Finalizamos esta primera seleccion pulsando el boton OK.

A. Generacidn de la geometria Para describir la geometria de este problema utilizaremos dos recthngulos para especificar 10s materiales y dos puntos que utilizaremos como balizas para estudiar la evolucion de la temperatura. El primer rectingulo nos servira para especificar la seccion transversal de la placa de aluminio y el segundo para especificar la seccion transversal de la placa de cobre. Trabajaremos con una version 2D del problema. 1. Seleccionamos Draw > Specify Objects > Rectangle.... 2. Introduciremos primer0 las dimensiones del recthgulo que define la secci6n transversal de la placa de aluminio. Rellenaremos el campo Width con 0.1 y el campo Height con 0.005. 3. Ahora desplazaremos el rectangulo respecto del origen de coordenadas. En el recuadro Position, en la lista Base, seleccionamos Comer y especificamos x = -0.05 e y = 0. 4. Generamos la figura pulsando OK. 5. Seguimos el mismo proceso para el rectangulo que define la seccion transversal de la placa de cobre. Introducimos 0.003 en el campo Width y 0.020 en el campo Height. 6. El rectangulo se halla desplazado respecto del origen de coordenadas. Escogemos Corner de la lista Base e introducimos x = -0.002 e y = 0.005. 7. Seleccionamos OK para fmalizar la introduccion de 10s dos rectingulos. 8. Introducimos el punto central de la cara inferior del aluminio mediante Draw > Specify Objects > Point... y coordenadas x = 0 e y = 0. 9. Pulsamos OK. 10. Repetimos el proceso para el punto central de la zona de contact0 entre 10s dos materiales. Las coordenadas ahora son x = 0 e y = 0.005. 11. Pulsamos el boton OK y finalizamos la introduccion de la geometria.

B. Propiedades Jisicas de cada subdominio Las propiedades tkrmicas de 10s materiales que utilizamos en este ejemplo las seleccionaremos de las libreria de matenales que acompaiia a COMSOL. Los dos materiales 10s encontramos en la libreria 1.

108 Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

I

En la tabla 1 encontramos resumidas las propiedades y las condiciones iniciales. Subdominio

Libreria

k (Wlm K)

p (kglm3)

C, (Wlkg K)

Tini (K)

1

Aluminum

160

2700

900

2

Copper

400

8700

385

273.15+20 273.15+120

Tabla 1. Propiedades fisicas de cada subdominio

k

1. Seleccionamos Physics > Subdomain settings del menu principal. 2. Seleccionamos el subdominiol. 3. En Library material pulsamos el b o t h Load 4. Seleccionamos Aluminum de la libreria 1. Observamos que en 10s recuadros de especificacion de propiedades aparecen 10s valores correspondientes a k, C, y p. 5. Pulsamos sobre la pestafia Init para especificar la temperatura inicial. 6. Introducimos el valor 273.15+20 en el campo de edicibn T(t0). 7. Seleccionamos el subdominio 2. 8. Accedemos a la p e s t a a Conduction. 9. En Library material pulsamos el boton Load 10. Seleccionamos Copper en la libreria 1. 11. Pulsamos sobre la pestafia Init para especificar la temperatura inicial. 12. lntroducimos el valor 273.15+120 en el campo de edicion T(to). 13. Pulsamos OK para fmalizar la especificacion de 10s subdominios.

...

Ii ii t

Transmisibn transitoria de calor

109

2. Realizamos una selecci6n multiple de 10s contomos 1, 2, 3 ,7 ,10 y 11 con ayuda de la tecla Ctrl y el bot6n izquierdo del rat6n. 3. Seleccionamos Heat flux en el selector Boundary condition. 4. Especificamos un valor constante, h-aire, del coeficiente de conveccion h. 5. Para la temperatura ambiente, Tinc tambiCn especificamos un valor constante, T-amb. 6. Pulsamos el b o t h OK para cerrar la ventana Boundary settings. 7. Seleccionamos Options > Constants para acceder a1 dialog0 de introducci6n de constantes. 8. Introducimos h-aire y especificamos el valor de 20. Introducimos T-amb y especificamos el valor de 273.15+20. En la figura 3 puede verse el resultado. 9. Pulsamos el b o t h OK para cerrar la ventana Constants.

...

...

C. Condiciones de contorno

Figura 3. Constantes correspondientes a1 coeficiente de conveccion fi) y a la temperatura externa (T,,S

Las condiciones de contorno reproducen el caso de una placa de cobre aislada tkrmicamente exceptuando la zona de contacto con la placa de alurninio. Una placa de aluminio con una convecci6n natural con el aire exceptuando la zona de contacto con el cobre. En la tabla 2 se especifican 10s valores particulares de las condiciones de contorno para todo el dominio. Contorno

Condicion de contorno

h (W/mZIQ

Tinf (IQ

1,2,3,7,10y 11

Heat flux

20

273.15+20

4,6, Y 9

Thermal insulation

D.Mallado

Tabla 2.Condiciones de contorno delproblema

Los pasos a realizar para definir las condiciones de contomo son: 1. Cambiarnos de mod0 de trabajo Physics > Boundary settings (F7 o

NaturaJmente, la utilizaci6n de las dos constantes permite mayor flexibilidad a la hora de realizar el estudio. Si deseamos cambiar la temperatura ambiente y realizar el mismo estudio a 10 "Cno es necesario que busquemos en todas las partes en que esth involucrada la temperatura ambiente, so10 necesitamos acceder a la ventana de edicion de constantes y cambiar el correspondiente valor. El mismo proceso se puede realizar para el coeficiente de conveccion del aire, abriendo la posibilidad a hacer otros estudios con valores diferentes de una forma muy sencilla.

m)

La zona de contacto entre las dos placas presentara gradientes de temperatura elevados necesitando de una malla fma para poderlos capturar correctamente. Planteamos un proceso de mallado en el que impondremos restricciones de tamafio de 10s elementos en las zonas mas sensibles.

110

Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS 1. Seleccionaremos Mesh > Free Mesh Parameters. 2. Seleccionamos la pestafia Subdomain y especificamos en Maximum element size un tamaiio miximo de elemento de Je-3 para 10s subdominios Jy2. 3 Seleccionamos la pestaiTa Boundary y aplicamos una restriccion mayor en la zona de contacto entre 10s dos materiales. Seleccionamos 10s contornos 5 y 8 y defmimos Maximum element sue con el valor de 5e-4. 4. Seleccionamos la pestafia Point y especificamos 5e-4 en Maximum element sue. 5. Pulsamos el b o t h Remesh para realizar el mallado. 6. Pulsamos el b o t h OK para finalizar.

Transmision transitoria de calor

111

fmalmente, en incrementos de 0.1 s hasta 3 s. En stgundo lugar se especifican 10s incrementos de tiempo en el proceso de cilculo. Estos pueden coincidir con 10s instantes en 10s que se guardan resultados o pueden ser diferentes. En este estudio marcarernos que coincidan 10s instantes de cilculo con 10s de guardar resultados. 1. Seleccionaremos Solver > Solver Parameters.... 2. Seleccionamos en la lista Analysis la opcion Transient y revisamos que en el control Solver se encuentre seleccionado Time dependent. (figura 5).

En la figura 4 podemos observar el resultado de la malla, apreciamos una densidad mayor de elementos en la zona de contacto de 10s dos materiales tal como nos habiamos planteado.

Figura 4. Detalle de lajnura de la malla en la zona de conracto de ambos materiales. F i p r a 5. EspeclJicaciones de 10s parametros de resolucidn.

En este ejercicio vamos a resolver un fenomeno transitorio de manera que en 10s parametros de resolucion deberemos especificar el interval0 de tiempo de estudio y 10s instantes en 10s que vamos guardando 10s resultados. Este tip0 de problemas conviene abordarlos por etapas, comenzando con intervalos de tiempo m& o menos arbitrarios y, en funcion de 10s resultados observados, modificarlos con otros m b precisos. Aqui utilizaremos 10s valores apropiados. En primer lugar se especifican 10s instantes de tiempo en 10s que se desean guardar resultados. En este caso se presentan tres incrementos de tiempo diferenciados: 10s primeros 0.01 s en incrementos de 0.001 s, a partir de ahi y hasta 0.09 s, en incrementos de 0.01 s, en incrementos de 0.05 s hasta 10s 2 s de sirnulacion y,

3. En el campo de edicion Times de la pestafia General especificamos 10s

tiempos 0:0.00J:0.01 0.02:0.01:0.09 O.I:0.05:2 2.J:O. 1:3. El forrnato utilizado es Valor inicial : Incremento : Valor final y para especificar diferentes intervalos se deja un espacio en blanco entre ellos. 4. Accedemos a la pestaiia Time Stepping e indicamos que se utilicen 10s tiempos especificados anteriormente para la resolucion. Seleccionamos en Time steps taken by solver la opcion Stnct. 5. Pulsamos OK para fmalizar la introduccibn de 10s parhmetros. 6. Mediante Solve > Solve problem iniciamos el motor de calculo para que se resuelva el problema.

112

Mecanica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MIJLTIPHYSICS

6.2.2. Posprocesado y visualizacidn

Transmision transitona de calor

113

una temperatura en este instante cercana a 310 K. La segunda parte del calentamiento es mucho mhs lenta obtenikndose el m b i m o a 1.8 s.

Para sintetizar 10s resultados primer0 se va a presentar la evolucion de la temperatura en el punto intermedio de contacto de las dos placas. En segundo ] u p r se presentma la evolucion de la temperatura en el punto central de la cara inferior de la placa de aluminio. De esta representacihn se obtendra el m b i m o de ternperatura de este punto y el instante en que se produce. Finalmente se presentari una distribucion de temperatura de todo el dominio de trabajo para el instante del &imo de temperatura en la cara inferior de la placa de aluminio.

...

1. Seleccionamos Postprocessing > Domain Plot Parameters 2. Seleccionamos la pestaiia Point. 3. Seleccionamos el punto 6 que se encuentra en rnedio de la zona de contacto de las dos placas. 4. Pulsamos Apply para visualizar la grifica con la evolucidn sin cerrar la ventana. 5. Consultamos 10s valores del miximo inicial utilizando la herramienta que nos permite hacer un zoom de una zona p p'p'g . Los resultados 10s podemos observar en la figura 6. 6. Repitiendo el zoom sobre la zona del m h i m o obtenemos un valor estimado de 35 7.3035 K para el instante de tiempo 4e-3 s. En la figura 6 se puede observar el transitorio inicial de calentamiento de la zona de contacto entre las dos placas. La temperatura conseguida es menor que la de la placa caliente. Podemos observar que en un interval0 de tiempo de una decima de segund~se observa un recalentamiento importante con un enfriamiento posterior de 10 K.

Time

Figura 6. Detalle de la evolucio'n de la ternperatura en el punto rnedio de la zona de contacto entreiernpaature las placas. [I I 330

7. Ahora seleccionaremos el punto 5. 8. Pulsamos el boton OK para representar la evolucion y cerrar la ventana (figura 7) 9. Con ayuda de la herramienta de zoom observamos que el maximo se encuentra en el instante de tiempo 1.8 s con un valor estimado para la temperatura de 32 7.3045 K. 10. Visualizaremos ahora la distribucion de temperatura para el instante 1.8 s. Para ello seleccionaremos Postprocessing > Plot Parameters 11. Seleccionamos la pestaiia General. 12. Especificarnos el instante de tiempo 1.8s en el selector Solution at time. 13. Pulsaremos OK para obtener la distribucion de temperaturas (figura 8).

...

En la figura 7 podemos apreciar una evoluci6n inicial muy ripida de la ternperatura. Antes de 0.2 s se ha llegado a la mitad del increment0 m b i m o , con

Figura 7. Evolucidn de la ternperatura en el punto 5, en la cara inferior de laplaca de alurninio.

I

i

114


La figura 8 representa la distribution de temperatura en las dos placas para el instante en el que se obtiene un mhirno de temperatura en la cara inferior. Se puede observar que el enfriarniento que sufre la placa superior y el calentamiento de la placa inferior. El flujo de calor horizontal provoca que el punto central de la cara inferior se vaya enfriando. Timc=l

.a

Sud face: Tempel ablr.:

[C:

Mar: 357.229

I

Transmisibn transitoria de calor

I IS

4. Editamos el fichero con un editor de texto para eliminar la cabecera (primera linea) y 10s valores del segundo bloque, todo el texto que se encuentra a partir de "% Elements (lines)". Guardamos el fichero con el mismo nombre. 5. Iniciamos el COMSOL Script desde el menu File > COMSOL Script. 6. Nos aparece el indicador de COMSOL Script para que introduzcamos 10s comandos 'C))'. La sintaxis es la rnisma que la del MATLAB. 7. Recuperamos el fichero desde COMSOL Script usando la f~1nci6nload y lo guardamos en la variable datos. Se debe especificar el nombre completo del fichero de datos, incluyendo el camino. El parametro '-asciifindica que es un fichero de texto. C)) datos = load('C: Documents and Settingskoan lTemperaturaPunto5. txt' , f-asciiy; 8. Con la funcion size podemos comprobar las dimensiones de la variable datos. Obtenemos una matriz de 78 filas y dos columnas. CD s i z e (datos) ans = 78 2

I~lin:1% ,255

9. Buscamos el m h i m o de la segunda columna y lo guardamos en ValMux. Con datos(:,2) referenciamos todas las filas para la segunda columna. Cw ValMax=mar(datos(:,2)) 10. Buscamos el minim0 y lo guardamos en ValMin. C)) ValMin=min(datos(:,2)) 1 1. Normalizamos 10s resultados. C))ResNom=(datos(:,2)- ValMin)./(ValMax- ValMin); 12. Representarnos la grifica normalizada utilizando la funcionplot. C))plot(datos(:, I),ResNorm(:, 1))

Figura 8. Representacidn de la distribucidn de temperaturapara el instante 1.8 s

Para poder manipular con mas detalle 10s resultados obtenidos tenemos la opcion de exportarlos a un fichero de texto. Estos ficheros 10s podemos analizar desde otras herramientas que nos permitan una mayor flexibilidad, un ejemplo puede ser el COMSOL Script. Utilizaremos estas posibilidades para representar 10s valores de la temperatura normalizados en el interval0 [0,1] en funcion del tiempo. 1. Generamos de nuevo la grafica que se muestra en la figura 7. 2. En la ventana de COMSOL donde se muestra la figura pulsamos el boton que nos permite exportar en formato ASCII. (Ver figura 9) 3. Indicamos el nombre ("EvTemperaturaPunto5.txt) y ubicacion del fichero.

Figura 9: Exportar datos en formato ASCII

Podemos utilizar la instruction help para solicitar information referente a las diferentes funciones disponibles en el entorno de trabajo de COMSOL Script. En la figura 10 se puede observar el resultado de representar 10s valores normalizados de la evolucion de temperatura. Se puede apreciar que la forma es la misma que la de la figura 7. Esta normalizaci6n es util para comparar las evoluciones obtenidas a partir de diferentes temperaturas iniciales (Ver ejercicio propuesto 2).

116


Flujo turbulento

1 17

7. Flujo turbulento 7.1. Consideraciones iniciales La turbulencia es uno de 10s problemas no resueltos de la fisica, especialmente en el sentido que no existen modelos matemkticos universalmente aplicables para su descripcion y explicacibn. Cuando la turbulencia debe ser tratada desde un punto de vista ticnico, la resolucion detallada no es tan importante como a l g h tipo de descripcion promediada del flujo.

Figura 10: Representacibn de la temperatura normalizada en elpunto 5

6.3. Ejercicios propuestos 1. Estudiar otras temperaturas iniciales de la barra de cobre, 160 "C y 200 "C. Representar en una misma grafica la evolucion de la temperatura en el punto 5 para cada uno de 10s tres estudios (similar a la figura 7). Comentar 10s resultados.

2. Normaliza la temperatura de las representaciones del ejercicio anterior en el interval0 [O, 11 restando la temperatura minima y dividiendo en cada caso por el increment0 maximo de temperatura. Comentar 10s resultados y compararlos con 10s del ejercicio anterior. 3. Representar la temperatura maxima en 5 respecto la temperatura inicial de la barra de cobre. ~ Q u Ctipo de relacion se obsewa?

4. Repetir el estudio cambiando la condicion de contorno de la parte superior de la barra de cobre de manera que se pase de tener el contomo aislado a tenerlo a una temperatura fija igual a la inicial de toda la barra. ~ Q u C diferencias se aprecian las graficas de la evolucion de la temperatura para 10s puntos 5 y 6?

Es aceptado en la actualidad que las ecuaciones de Navier-Stokes son capaces de describir completamente el flujo de fluidos. Entonces, ipor quC no las resolvemos directamente? El problema es que 10s flujos turbulentos se caracterizan, entre otros aspectos, por su caracter no estacionario y tridimensional y por incorporar en su dinamica un amplio espectro de escalas de longitud y tiempo. Para obtener cierta exactitud en la solution, la malla deberia ser capaz de reproducir la m b pequeiia de las escalas sefialadas que, junto con el caracter 3D de las fluctuaciones turbulentas, hacen que hoy en dia la resolucion directa de problemas de inter& en ingenieria sea, en tCrrninos de recursos computacionales, simplemente imposible. La alternativa a la simulacion directa (DNS, direct numerical simulation) requiere a l w tip0 de promediado de las ecuaciones de Navier-Stokes. En la gran mayoria de problemas de interts practico, es el flujo medio el patron de interts mientras que la influencia de la turbulencia se valora en tCrminos de su influencia sobre la evolucion de ese flujo medio, no sobre la descripcibn de la turbulencia en si misma. Esta manera de proceder describe muy bien la practica totalidad de las aportaciones computacionales actuales que forman parte de herramientas de simulacion y disefio destinadas a1 estudio de problemas de interts practico en ingenieria. Para mostrar esta estrategia consideraremos que la velocidad del fluido y la distribucion de presiones instantimeas pueden ser expresadas como la suma de una componente media y una fluctuante (turbulenta)

-

+

ii=U+ul p = P + p l

1 18

Flujo turbulento


Donde las variables en maylisculas se refieren a cantidades medias y las variables con prima a las fluctuaciones. Sustituyendo estas defmiciones en las ecuaciones de Navier-Stokes se obtiene

119

Este modelo establece que la viscosidad turbulenta es

Ecuacion que relaciona directamente la viscosidad de turbulencia con las variables de turbulencia y en la que C, es una constante empirica. Ecuaciones muy parecidas a las establecidas para describir un flujo laminar per0 con ciertos ttrminos extras denominados esfuerzos de Reynolds. Estos esfuerzos representan 10s efectos que las fluctuaciones turbulentas tienen sobre el flujo medio. Esto es, para obtener una descripcion completa del flujo medio necesitamos informacion sobre la estructura del flujo a pequefia escala. Si no se aiiaden ecuaciones adicionales a las anteriores, la aparicion de las incognitas que suponen dichos esfuerzos conducen a1 bien conocido problema de cierre de la turbulencia. La forma de asegurar este cierre es incorporar un modelo de turbulencia.

Por otro lado, las ecuaciones de transporte que se establecen para k y e son, respectivamente

Las constantes que aparecen en el modelo se detenninan a partir de datos experimentales y son mostradas en la tabla 1 siguiente. Constante

7.1.1. Cierre k- E Las primeras descripciones de la turbulencia se basaban en analogias con el movimiento caotico de molCculas gaseosas. De esta manera, 10s primeros modelos propuestos eran, fundamentalmente, de naturaleza difusiva. En estos modelos primigenios el transporte turbulento era modelado mediante una constante adicional (qT ) mediante la cual se asumia explicitamente que el transporte turbulento de momento se llevaba a cab0 por cizalla - p u" u = p,

(0t5 + (vfi)')

L7.41

Mis tarde, esta constante de viscosidad de turbulencia ha sido substituida por funciones empiricas y variables para las que se definen ecuaciones de transporte especificas. El numero de estas ecuaciones junto con las ecuaciones de continuidad y momento clasifica el modelo de turbulencia. En el caso que nos ocupa aqui, el modelo k-E,incorpora dos nuevas variables con sus correspondientes ecuaciones de transporte relacionadas: la energia cinCtica turbulenta, k, y la velocidad de disipacion de la turbulencia, E .

Valor

Tabla 1. Constantes del modelo k-Etomadas de D. C. Wilcox,Turbulence Modeling for CFD, DCW Industries Inc

A pesar de conseguirse una mejora sustancial en la descripcion de la turbulencia es un modelo que esti lejos de ser universal. A pesar de sus limitaciones es, sin embargo, posiblemente el mas utilizado en simulacion de flujos lurbulentos. Desafortunadarnente presenta fuertes limitaciones en zonas donde pueden manifestarse recirculaciones en el flujo asi como en la descripcion de flujos rotatorios en 10s que muestra un pobre ajuste de 10s datos experimentales. En la tabla 2 se muestran las ventajas e inconvenientes del modelo.

120

M e c h i c a de fluidos y transferencia de calor con C O M S O L M U L T I P H Y S I C S

Flujo turbulento

La implementation mediante elementos fmitos del modelo k-E es conceptualrnente directa pues sus ecuaciones son del tip0 difusion - adveccion. Esta claro que s u formas discretizadas seran altamente no lineales y fuertemente acopladas con las ecuaciones del flujo medio y que la exigencia cornputacional se incrementara notablemente respecto del caso laminar. Lo que no parece tan obvio son las dificultades numtricas que tambitn aparecen.

completarnente desarrollado y no confinado. En general, explica razonablemente bien problemas de turbulencia isotropica. Cerca de superficies sblidas, sin la naturaleza turbulenta del flujo cambia hacia niuneros de Reynolds menores donde 10s pequefios torbellinos asociados a la viscosidad son importantes. De hecho, muy cerca de la pared existe una subcapa viscosa en la que la aplicacion de un modelo de turbulencia no es lo mis adecuado.

Ventajas

Desde un punto de vista cornputacional las regiones cercanas a superficies solidas , constituyen un reto debido a que no solo el tipo de turbulencia vana con la distancia a la pared, sino que es alli donde las variables de flujo experimentan su mayores variaciones. En la mayoria de casos intentar resolver el flujo medio y la ecuaciones k-E en las paredes con gran detalle puede convertirse en prohibitivo, especialrnente en geometrias 3D.

Modelo simple para el que solo debe surninistrase information de condiciones iniciales y de contomo Excelentes prestaciones en rnuchas aplicaciones industrialesrelevantes Modelo bien establecido y el mas ampliamente validado

lnconvenientes *

Mas exigente cornputacionalmente que otros modelos mas simples como el de la longitud de mezcla Prestaciones pobres en una amplia variedad de casos: - algunos flujos no confinados - capas lirnite c u ~ a d a sy flujos giratorios - flujos rotativos - flujos desarrollados en conductos no circulares

Tabla 2. Ventajas e inconvenientes del modelo k-E.

I

, i

1

1 i i

I

Los mayores problemas de modelo k-E provienen de dos fuentes: del comportiimiento no lineal de las EDP's y de las condiciones de contorno para las ecuaciones del flujo medio y de transporte turbulento. Se sabe que la ecuacion de disipacion puede provocar serias inestabilidades y problemas de convergencia, asi como la prediccion de valores negativos para k y para E . Se atribuyen en ocasiones estas predicciones sin contenido fisico a1 modelado inexact0 de 10s terminos fuente de k y E. Por otra parte, cambio abruptos en la densidad de malla pueden acarrear problemas de convergencia.

7.1.2. Condiciones de contorno y ley de la pared No debe olvidarse que las ecuaciones k-E requieren valores de contomo que deben ser establecidos y especificados en todas las fronteras del dorninio. Especialmente problematicos son 10s valores en las entradas pues acaban por determinar el nivel de turbulencia del flujo total. El modelo k-E es conocido como un modelo para niuneros de Reynolds elevados que se desarrollo sobre una linica escala de longitud asociada a un flujo

121

I

i

En la actualidad se admite que la capa limite adyacente a una superficie sblida lisa esth constituida por varias zonas: una region o capa intema en la que 10s efectos viscosos son dorninantes, una capa de solapamiento (o bufler) en la que 10s esfuerzos viscosos y 10s esfuerzos turbulentos son del mismo orden de magnitud y una region extema en la que el flujo esth controlado por efectos inerciales. Esta estructura en capas es la base de la mayoria de modelos utilizados para estudiar flujos cerca de superficies. Asi, el uso de modelos de pared pennite estimar empiricamente el comportamiento del flujo en esas capas. Una ley de pared es un perfil "universal" obtenido de la combination de teoria y experirnentacion. Estos perfiles parametrizados suministran valores del campo de esfuerzos cortantes medios, de k y de E, y pueden ser aplicados directamente como condiciones de contorno del dominio computacional. Suficientemente cerca de la pared el flujo esth fuertemente influenciado por la viscosidad. Las fluctuaciones de velocidad desaparecen y, por ende, 10s esfuerzos turbulentos relacionados. De aqui que a la zona mas cercana a la pared se la denomine subcapa laminar o subcapa viscosa. Asi pues, puede pensarse en una relacion entre la velocidad del flujo medio, la distancia a la pared, la densidad y la viscosidad del fluido y 10s esherzos en la pared del tipo

A1 aplicar analisis dimensional se obtiene

122

Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTLPHYSICS

Flujo turbulent0

y definiendo v

de manera que la ecuacion [7.9] queda como

-1

La ecuacidn [7.11] se llama ley de la pared. Una teoria simple que pennite explicitar la funcion F consiste en admitir que el esfuerzo en la capa intema es debido completamente a la viscosidad de manera que

Que a1 integrar y emplear la condicion de no deslizamiento permite obtener

Expresion vallda unicamente muy cerca de la pared. A continuacion consideraremos la reglon en la que 10s efectos de la viscosidad no son importantes y la unica influencla de la pared es debldo a1 esfuerzo cortante causante, por otra parte, de un deficit de velocidad U , , - U. En estas condiciones, la velocidad del flujo dependera tambien del espesor de la capa y de la velocidad m h i m a de manera que

123

para obtener un conjunto completo de condiciones de contomo se necesitan en~ontrmlas escalas relevantes para k y E . Para conseguir esto consideraremos una capa limite con un perfil logaritmico como el descrito. En un estado de equilibria se asurne que la producci6n de energia cinttica turbulenta debe equilibrarse con el termin0 de disipacion. A partir de esto, las ecuaciones del modelo para k y E quedan

Mas aim, el flujo de momento en la capa lirnite es identico a1 esherzo cortante en la pared de forma que

Y haciendo uso de la definition de u, se obtienen las siguientes condiciones de

I

contomo para k y

E

1

i

Llegados a este punto conviene sefialar, en primer lugar, que tanto u, como .rp son, a priori, desconocidas per0 e s t k relacionadas con la solucion del problema a traves de

ecuacion que en forma adimensional recibe el nombre de ley del defecto de velocidades donde n es el vector unitario normal a la pared. En segundo lugar, debe especificarse un valor para la coordenada y que debe ser escogida de forma que 30 < O, zr, )/v < 100, esto es, de manera que asegure una transicion perfecta entre las regiones de la capa limite. En ultimo lugar, debe recordarse que no se ha considerado la componente perpendicular de la velocidad. Esta componente se toma como cero per0 pueden haber casos donde esto puede no ser correcto, por ejemplo, cuando hay succion en la superficie.

Consideremos ahora la capa de solapamiento. En ella deben curnplirse tanto la ley de la pared como la ley del defecto de velocidades. El ajuste se obtiene mediante una ley logaritmica del tipo

donde K es la constante de Kaiman (aproximadamente 0.41) y C es una constante universal para paredes lisas (igua15.5).

I

I

124

Flujo turbulento

Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL WLTLPHYSICS

7.2. Flujo turbulento en un escal6n

Vamos a establecer ahora las ecuaciones del modelo. En primer lugar, las ecuaci~nesde continuidad de masa y de momento

El ejercicio que se propone es un interesante ejemplo para estudiar las prestaciones de modelos de turbulencia debido a que presenta un flujo turbulento en un canal junto con un problema de recirculation debido a1 subito increment0 de la seccion de paso que representa el escalon. La variation espacial del campo de velocidades genera la produccibn de turbulencia fuera de la pared y su interaction con el flujo medio afecta a1 tamaiio de la zona de separation. El tamaiio de esta zona o longitud de reajuste, es una de las cantidades que el modelo utilizado deberia predecir con gran precision. El niunero de Re y la relacion de expansion del escalon son las magnitudes utilizadas para caracterizar el flujo. Los datos disponibles apuntan que dicha longitud de reajuste se increments con la relacion de expansion. El nhnero de Re se calcula a partir de la altura del escalon y de la velocidad de la corriente libre. La longitud de reajuste crece con el Re hasta 1200. En el interval0 1200
125

Ecuaciones en las que k es la energia cinktica turbulenta (m2/s2),E es la velocidad de disipaci6n de energia turbulenta (m'/s3) y Cves una constante del modelo igual a 0.09.

I

En segundo lugar, la ecuacion para la energia turbulenta

i !

I I

1

Y por liltimo, la ecuaci6n para

E

Las constantes del modelo propuesto se determinan de datos experimentales y son las mostradas en la tabla 3 Constant e

Valor

C,

0.09

Tabla 3. Constantes correspondientes a las ecuaciones [7.23] y L7.241.

Figura I Detalle de la geometria del dominio con las dimensiones relevantes detailadas

Las condiciones de contomo en las superficies solidas se establecen tanto a la velocidad como a k y a E travks de la ley de la pared correspondiente. Estas son, respectivamente ,

,

,

126


Dimensiones del objeto

Expresi6n

anchura

0.3048 0.0762

alt~~ra

De las expresiones antenores se deduce que tanto la cornponente paralela de la velocidad a la pared, U, como k y E, dependen de la soluci6n en si rnisma a traves de la derivada de la velocidad en la direction perpendicular a la pared.

Tabla 5. Especificaciones del rectdngulo RI.

3. Repetiremos el procedimiento anterior con las siguientes dimensiones -


7.2.1. Modelado mediante el GUI de COMSOL 1. En la ventana Model Navigator seleccionamos 2 0 en la lista Space

Dimension. 2. Del irbol Application modes seleccionamos Chemical Engineering Module > Momentum balance > k-E Turbulence Model. 3. Pulsamos OK.

Expresion

anchura

1.3335

altura

0.1143

X

0

Tabla 6. Especificaciones del rectangulo R2

A. Opciones y especiJicaciones I . Seleccionamos Constants del menu Options, entramos las constantes de la tabla I y pulsamos OK. Nombre

Expresion

Descripcibn

ro

1.23

Densidad

eta

1.79e-5

Viscosidad dinarnica

v0

18.2

Velocidad entrada

h-step

0.0381

Paso de altura

Re

ro'v0'h-stepleta

Nlirnero de Reynolds

Tabla 4. Constantes y propiedades correspondientes.

B. Geometria 1. Presionaremos la tecla Shift y pulsamos el boton Rectangleisquare. 2. Especificaremos las dimensiones del rectingulo de acuerdo a 10s valores de la tabla 2 y pulsamos OK.

4. Pulsaremos el boton Zoom Extents de la barra de herrarnientas principal. 5. Pulsaremos el boton Create Composite Object y entraremos RI+RZ en el campo de edici6n de la formula. 6. Deseleccionaremos el control de verificaci6n Keep interior boundaries y pulsamos OK.

C. Especificaciones en 10s subdominios 1. Seleccionaremos Subdomain Settings del menu Physics. 2 . Seleccionaremos el subdominio Subdomain 1 e introduciremos 10s valores de la tabla 7. Subdominio

I

o

ro

rl

eta

Fx

0

FY

0

Tabla 7. Especificaciones en 10s subdominios

128

Flujo turbulent0


3. Pulsaremos el boton Artificial Diffusion. 4. Deseleccionamos el control de verificacion Turbulent isotropic diffusion. 5. Pulsaremos OK para cerrar la ventana de diilogo Artificial Diffusion y, posteriormente, OK.

129

5. Pulsaremos OK para cerrar la ventana de dialogo Solver Parameters. 6. Y pulsaremos el bot6n Solve de la barra de herramientas para comenzar la resoluci6n del problema.

D. Condiciones de contorno I. Seleccionaremos Boundary Settings del menu Physics. 2. Especificamos las condiciones de contorno de la tabla 8 siguiente y pulsarnos OK. -

-

-

-

-

Contorno

1

2,3,4,5,6

7

Condition de contomo

Inflow

Logarithmic wall function

Oufflow / Pressure

uo

vo

vo

0

0

-

-

-

-

Tabla 8. Condiciones de contorno (la variable h es una variable predefinida del elemento de malla)

Figura 2: DetalIe de la malla obtenida mediante refinado adaptativo. Debe notarse que el resultado puede variar ligeramente de un ordenador a otro.

E. Mallado 1. Seleccionaremos Free Mesh Parameters del menu Mesh. 2. Pulsaremos el boton de selection Custom mesh size. 3. Introducimos el valor 3 en el campo de edicion Resolution of narrow

regions y pulsaremos OK. 4. Pulsaremos el boton Initialize Mesh de la barra de herramientas. 5. Para visualizar la malla (vease figura 2) pulsaremos el bot6n Mesh Mode de la barra principal de herramientas

F. Solucidn 1. Pulsaremos el bot6n Solver Parameters y activaremos el control de verificacion Adaptive mesh. 2. ~eleccionaremoslapestaiia Adaptative. 3. Introduciremos el valor 4 en el campo de edicion Maximum number of refinements. 4. Seleccionaremos de la lista desplegable Refinement method el metodo Meshinit.

7.2.2. Posprocesado y analisis de resultados El campo de velocidades mostrado en la figura 3 es generado automaticamente. A continuation vamos a estudiar la zona de recirculacion. Para ello graficaremos el contomo correspondiente a una velocidad horizontal nula y lo colorearemos de acuerdo a la distancia normalizada a1 escalon, x h . El maximo de x h a lo largo del contomo da el tamafio de la zona de recirculacion

1 I 1 1 I

130


Flujo turbulent0

-0 I?

Figura 3: Campo de velocidades con la presencia de la zona de recirculacidn en la esquina inferior despub del escalon.

La figura 4 muestra que la longitud de reajuste determinada es de 5.8. Resultados experimentales relacionados dan como valor 7.1 rnientras que resultados numericos haciendo uso del modelo k-E dan un valor de 6.1. Seleccionaremos del menu Postprocessing la opcion Plot Parameters. En la pestaiia General deseleccionamos el control de verificacion Surface. Seleccionaremos la pestarZa Contour y despues Contour plot. Introduciremos en el campo de edicion Expression la magnitud u. Seleccionaremos el control Vector with isolevels y entraremos 0 en el campo de edicion. En la pestaiia Color data seleccionarernos el control de verificacion Color data e introduciremos x/h-step en el campo de edicion Expression. Pulsaremos OK para visualizar la figura 4 siguiente.

13 1

1 ".:

0.3

4:

0.5

0.1

00s

u

our

r.1

".IS

02

0.z~

Figura 4: Determinacidn y calculo de la zona de recirculacidn. El grafico muestra el contorno correspondiente a una velocidad en la direccidn x igual a cero. Dicho contorno estd coloreado en funcion de la distancia a1 escaldn, x h . Su valor mcirimo nos da la longitud de la recirculacidn que en nuestro caso es igual a 5.8.

Ahora visualizaremos las lineas de corriente junto a1 campo de velocidades con las que podremos detallar mejor la zona de recirculacion del flujo despues del escalon. 8. Pulsaremos el boton Plot Parameters de la barra de herramientas. 9. Seleccionaremos la pestafia General. Deseleccionaremos el control de verificacidn Contour y seleccionaremos 10s controles de verificacibn Streamline y Surface. 10. Seleccionaremos la pestaiia Streamline. 11. Seleccionaremos el b o t h de opcion Specify start point coordinates. Introduciremos el valor 0.1 en el carnpo de texto x, y linspace(0,O. 13,20) en el campo de texto y. 12. Pulsaremos OK para obtener la grhfica buscada (figura 5).

132

Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTLPHYSlCS

Flujo turbulent0

3. Represente las perdidas de presion entre las secciones x estime el factor de fiicci6n f para esta seccion del canal.

=

133

-0.2 y x = 0 y

4. Estudie la influencia que sobre 10s resultados tienen otros valores que no 10s escogidos para el ejercicio para las escalas de longitud (Lr) y de intensidad de la turbulencia (IT). Dichos parhetros son accesibles a1 seleccionar el contorno 1 en la ventana Boundary Settings.

Figura 5. b'isualizacidn simultanea del campo de velocidadesjunto con las lineas de corriente que permiten detallar rnejor la zona de recirculation despuks del escaldn.

Una alternativa para la visualizacidn del flujo de retomo consiste en representar el campo de velocidades seleccionando Postprocessing > Plot Parameters... para despu6s activar el control Arrow plot de la pestafia Arrow.

7.3. Ejercicios propuestos 1. Valore la influencia de la calidad de la malla utilizada sobre 10s resultados obtenidos, esto es, contraste 10s resultados de este ejercicio 7 con 10s que se obtienen haciendo uso de una malla no tan refinada. 2. Representar el perfil de velocidades en varias secciones a lo largo del tramo estrecho inicial del canal. Contraste el ajuste de 10s datos a una h c i 6 n ley de la potencia del tipo

cuando el exponente es tal que n = 6, 7 y 8.

134

Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTJPHYSICS

Placa limite en una placa plana

135

8. Capa limite en una placa plana 8.1. Consideraciones iniciales La capa Limite es una zona del campo de flujo que se desarrolla en regiones cercanas a superficies solidas y en las que 10s efectos de transporte molecular y convectivo son comparables. En problemas de flujos extemos (no confinados) de interes practico, 10s niuneros de Reynolds son elevados. Esto puede interpretarse como que 10s efectos de la viscosidad son pequeiios fiente a 10s inerciales y que el flujo es, basicamente, no viscoso. Sin embargo, con esta suposicion no podria explicarse la resistencia de fiicci6n a h cuando todavia pudiera explicarse la resistencia de forma. Es la capa limite (Prandtl, 1904) la que explica como se genera la resistencia a h cuando 10s numeros de Reynolds Sean grandes. Independientemente de lo pequeiia que sea la viscosidad, el flujo debe cumplir la condicion de no deslizamiento en la superficie solida con la que contacta de manera que, en esta region (la capa limite), la velocidad crece desde cero hasta el valor de la corriente libre exterior. Este gradiente de velocidades es la causa de la generacion de considerables esfuerzos de cizalla que detenninan significativas fuerzas de resistencia. La teoria de capa limite intenta encontrar soluciones a1 flujo en esta region para, posteriormente, acoplar dicha solucibn a la del flujo exterior. Este acoplamiento de soluciones es tanto mejor contra mayor es el numero de Reynolds y contra mas esbelto sea el cuerpo pues bajo estas condiciones la capa limite (tanto si el flujo en la misma es laminar como si es turbulento) queda adherida a1 cuerpo ocupando una region muy delgada alrededor del mismo (desde luego, cuanto mas delgada sea la capa limite mas intenso es el gradiente de velocidades). En estas condiciones, el pequeiio efecto de bloqueo y deflexion que ocasiona la capa limite a las lineas de flujo se valora como el grueso ficticio que deberia aiiadirse a1 cuerpo para recalcular el flujo no viscoso sobre el cuerpo resultante. Es lo que se denomina espesor de desplazamiento (63. Son este espesor de desplazamiento, el espesor de la capa limite y 10s esfuerzos cortantes algunos de 10s parametros basicos de la capa limite que trataremos de estimar mediante COMSOL para valorar las condiciones de flujo y efectos resistentes asociados.

136

Mecbica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MLTLTPHYSICS

8.2. Capa limite fluidodinamica en una placa plana En la figura 1 se muestra esquematicamente un detalle del desarrollo de una capa limite en una placa plana delgada. Dicha placa presenta la peculiaridad de que la contribuci6n dominante a la resistencia es debida a la fiiccion mientras que la resistencia de forma es irrelevante. Comente exterior no perturbada (u-)

Region no viscosa J

Borde de la capa limite \

-4 l


137

r e s u b practicamente inalterado. Debe sefialarse que s610 se conocen soluciones exactas para el caso laminar y cuando la coniente exterior no presenta gradientes de velocidad (esto es, &=cte). Las condiciones con las que tradicionalmente se estudia la capa limite incorporan algunas consideraciones que permiten simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes. Por ejemplo, el transporte difusivo de momento en la direction del flujo es mucho menor que el convectivo y puede ser despreciado, las componentes de la velocidad en la direction del flujo principal son mucho mayores que en otras direcciones y el gradiente de presiones a travCs del flujo es mucho menor que el gradiente a lo largo del flujo principal. Asi pues, el flujo esta fundarnentalmente influenciado por 10s eventos aguas arriba.

_/-

8.3. Capa limite laminar 8.3.1. Modelado mediante el GUI de COMSOL Figura I : Dibujo esquematico de la capa limite desarrollada en unaplaca plana.

Cerca del borde delantero de la placa el nhnero de Reynolds es pequeilo y el flujo es laminar. Para una distancia suficiente, el flujo en la capa limite se desestabiliza y se hace turbulento y de forma mas incipiente contra mayor sea el nivel de turbulencia del flujo adyacente ylo mayor la rugosidad de la superficie (vease figura 2).

En primer lugar modelaremos el problema esquematizado en la figura 3 mediante el GUI de COMSOL. ............................................................................

Figura 3. Representacidn esquematica del dominio de habajo.

j---/ -,

r

C a p IaiiB larn~lar,

.

;".c

.

Figura 2: Para una distancia recorrida suficiente elfluio en la capa limite se desestabiliza y se transfonna en turbulento.

Mientras el espesor de la capa limite sea pequeiio (formas aerodinhicas), su influencia sobre la corriente exterior es debil y el patr6n de lineas de comente

1. Seleccionaremos New en la ventana Model Navigator de COMSOL. 2. Selecionaremos, de la lista Space Dimension, la opcion 2 0 . 3. Desplegaremos Application modes y seguiremos la secuencia Chemical Engineering Module > Momentum Balance > Incompressible NavierStokes. 4. Pulsaremos OK.

138

Mechica de fluidos y bmsferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS c

I

A. Geometria del problema 1. Seleccionaremos el mod0 de dibujo 't y dibujaremos un rectiingulo de anchura 6 y altura 3 pulsando la tecla Shift y simultineamente el bot6n RectangleJSquare

Placa limite en una placa plma Contorno

I

2

3

4

Tip0

Inflow/Outflow velocity

No Slip

Neutral

OuMow/Pressure

139

B. Opciones y especzficaciones Tabla 2. Condiciones de contorno

1. Seguiremos la secuencia Option > Constants...del menu principal. 2. Especificaremos las constantes en la ventana Constants con 10s valores mostrados en la figura 4.

r

Name

i

Expression

u0 . . . . . . .0. 01 .... mu

.

. . LC-3 . . . . ;!uO?. . . . muiru ....

1

1

Vidue

Dsjni@ion irelocidad curnente extarlor ......................... .-

.

.--. 0.01 UO .- . . .

...... ....-.. -..... .. .............. 2-6 .................... :6.. de la piaca . . . . . ILong~t~id . .Lam&"... ........ {n-n.o . _i . . . &.der,"o . . . . . . . . . . . . . . . .

!,+,smadad + .....dinirn~ca .......... .

!lWO

.....

. . . .

1. Seguirnos la secuencia Mesh > Mesh Parameters... y en la pestda Global de la ventana de dialog0 subsiguiente especificamos 10s valores mostrados en la figura 3.

...... . . . .

idensidad

vgb.%!+.?%m8t6~

-aobal &par&E9-

'

PredeRned me&sKes: m a u n ~ a nelement srm.

---

--

I

1 2 7

~axlmumbent hue ~ca~mq~dctor \O B

Uementpwth rate;

11 3

10 3

Figura 4. Especijicaciones depropiedades y constantes.

C. Especificaciones en 10s subdominios 1. Seleccionamos Physics > Subdomain Settings. 2. Especificamos las propiedades de la tabla I para el unico dominio definido.

1

Figura 5. Especificaciones de mallado.

I

I

Tabla I . Propiedades del subdominio.

D. Condiciones de contorno 1. Detallaremos en Physics > Boundary Settings las condiciones de contorno reflejadas en la tabla 2.

I

I

2. Seleccionamos la pestaiia Boundary de la ventana Mesh Parameters y para el contorno 2 especificamos el valor de Maximum element size igual a 0.05. 3. En la pestaiia Advanced especificamos para 10s factores de escala en la direcciones x e y 10s valores I y 2, respectivamente, y el parhetro Resolution of geometry igual a 15. 4. Pulsamos el boton Remesh.

F. Resolucidn 1. Pulsamos el boton Solve de la barra de herramientas.

140



8.3.2. Posprocesado y analisis de resultados

1

Teaia

En la figura 6 se muestra un detalle (zoom) de la soluci6n obtenida para la distribucion de velocidades. En ella puede observarse el contomo (linea continua oscura) correspondiente a 0.99*uO, esto es, la estimaci6n que la simulacion hace del espesor de la capa limite.

141

COMSOL

Tabla 3. Comparativa en relacibn a1 espesor de la capa limite

para la determination del coeficiente de resistencia adimensional seguiremos 10s pasos siguientes

1. Seleccionamos del menu principal Postprocessing > Boundary Integration ... 2. De la lista desplegable Predefined quantities seleccionamos Viscotls force per area, x component (K-x-ns en nomenclatura COMSOL). 3. En el control Boundary selection seleccionamos 2. 4. El objetivo es obtener la fuerza de resistencia a partir de la integral siguiente

Figura 6. Distribucidn de velocidades resulfante en el caso dejlujo laminar y frontera de la capa limite.

El contorno del espesor de la capa limite (0.99*u0) nos permitira evaluar su espesor y cornpararlo con 10s valores teoricos de la bibliografia.

~ I

...

1. Seguimos la secuencia Postprocessing > Plot Parameters 2. En la pestaiia Contour de la ventana Plot Parameters seleccionamos el control Contour Plot 3. Seleccionamos Vector with isolevels y especificamos el valor 0.99*0.01. 4. Seleccionamos en la seccion Contour color como color uniforme el blanco. 5. Pulsarnos el boton Apply.

5. Pulsaremos el b o t h Apply y visualizaremos en la ventana inferior algo parecido a Value of integral: -0.001 691, Expression: K-x-ns, Boundary: 2

6. La version adimensionalizada, CD,de la fuerza de resistencia D es 7 -,

rn

7. De manera que, haciendo uso de las expresiones conocidas de la bibliografia, podemos comparar 10s resultados con 10s obtenidos con COMSOL.

A. Espesor de la capa iimite (6) y coeficiente de resistencia ( C D )

COMSOL

Teoria

Ajustando la vista (zoom) de la distribucion de velocidades de la figura 6 puede obtenerse, sin mb que leer en el eje vertical, una estimacion para el espesor de la capa limite de 0.090. Consultando la bibliografia podemos comparar dicha estimacion con el valor te6rico.

CO

C, = 2 C,(L) =

w P u, L

=O , O O ~ ~

0.00564

Tabla 4. Cornparativa del coeficiente de resistencia.

142



B. Coeficiente defiiccidn (Cf)a lo largo de laplaca

143

7. De nuevo, en la pestaiia Linemxtrusion especificaremos el resultado de la simulaci6n con COMSOL. Dado que

Otra valoracion de gran interes es la estimacion del coeficiente de friccion, Ch a lo largo de la placa. 1. Seleccionaremos Postprocessing > Cross-Section Plot Parameters. 2. Seleccionaremos la pestaiia Linemxh-usion en la ventana subsiguiente. 3. Especificaremos en el campo de edition Expression la magnitud que desearnos visualizar. Primero la expresion teorica para el coeficiente de friccion (local):

la expresi6n que debe introducirse en el campo de edici6n Expression ks 2*nu*uy/uOA2

8. Y pulsaremos Apply.

4. Comprobaremos que el resto de parametros para la visualizacion son 10s que se muestran en la figura 7.

Figura 8.Comparativa reoria (circulos) - COMSOL (cuadrados) del coeficiente de fi-iccibn Cfa lo largo de la placa plana Figura 7. Especificaciones para la representacidn del coejciente defnccidn (ecuacidn 8.3).

5. Pulsamos el boton Apply para visualizar la grafica sin cerrar la ventana de dialogo. 6. Nos aseguramos que en la pestaiia General el control de verification Keep current plot esta activado. Asi podremos ver dos representaciones en la misma grafica.

C. Per-1 de velocidades de Blazdsius El primer calculo realizado de la capa limite h e la soluci6n de las ecuaciones de Prandtl para flujo laminar en una placa plana (como la de este ejercicio) llevado a cab0 por Blausius. Blausius establecio que el perfil de velocidades u/U (donde U es la velocidad de lacomente no perturbada) solo era hncion de la variable (adimensional) y / d x~/U . Vamos a visualizar este resultado mediante COMSOL.

144



145

1. Seleccionamos Postprocessing > Cross-Section Plot Parameters. 2. Activamos la pestaiia LineIExtrusion. 3. Introducimos en el campo de texto Expression la expresion del perfil de Blausius

...

4. En la secci6n x-axis data activaremos y pulsaremos el boton Expressi6n 5. En la ventana de dialog0 subsiguiente entrarernos la magnitud a representar en el eje horizontal

6. En la seccidn Cross-section line data especificaremos la secci6n en la que visualizarernos el perfil: xO=xI =5, yO=O, y1 =O.12 (figura 9). Figura 10. Representacidn con COMSOL del perfil de velocidades en la capa limite laminar sobre unaplaca plana apartir de 10s calculos exactos de Blausius.

8.4. Capa limite turbulenta con transferencia de calor A

P r n j d l n d quantjtier

Exvrbrion

&lrurtlnu'iuu)

UlYt

i

%-axed&

-

C ~ I I ration line data-

-

A -

El siguiente ejemplo muestra las posibilidades de COMSOL a la hora de estudiar una capa limite turbulenta con transferencia de calor mediante un modo especifico que tiene en cuenta la interaccion tkrmica y fluidica simultaneas. Ademas, tambien se indica (si dispone de recursos computacionales) corno modificar el modelo k-E para incluir variaciones en la densidad del fluido (flujo no isotermo). El ejercicio consiste en un proceso de enfiarniento por conveccion forzada de una placa plana que puede ser utilizado como banco de pruebas para comprobar la exactitud del modelo utilizado. El dominio lo constituye un flujo turbulent0 de aire que enfi-ia una fina placa de cobre de anchura supuestamente muy grande de manera que permitira estudiar el problema en 2D.

Figura 9. Especlficaciones para la visualizacidn del per-1 de velocidades laminar en laplaca segin Blausius.

8.4.1. Modelado mediante el GUI de COMSOL 1. Abriremos la ventana Model Navigator y seleccionaremos 2 0 en el desplegable Space dimension.

146

Meckica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

-

2. Seleccionaremos Chemical Engineering Module > Fluid Interaction > Turbulent Fluid Thermal Interaction. 3. Pulsaremos OK.

-


147

Thermal

A. Geometria del problema 1. Seguiremos la secuencia Draw > Specify Objects > Rectangle para crear dos rectingulos con las caracteristicas mostradas en la tabla 5 siguiente. -

Objeto

Anchura

Altura

Base x

Base y

R1

1.I

0.2

-0.1

0

R2

1

nni

n

n

~

Tabla 5. Especificaciones de 10s rectangulos con los que definiremos la geometria delproblema

2. Pulsaremos el b o t h Zoom Extends de la barra de herrarnientas principal para ver la geometria recien definida (figura 1 1).

Figura 12. Propiedades y constantes delproblema.

2. Seguimos la secuencia Options > Expressions > Scalar Expressions, especificamos 10s nombres y las descripciones (opcionalmente) de las expresiones de inter& (viase tabla 6) y pulsamos OK. Nombre

Expresion

Description

L

x-0

Distancia desde el borde de ataque

Tavg

T-amb+delta-TI2

Temperatura promedio

h-ref

mat1-k(Tavg)'NuL-reflL

Coeficiente h (handbook)

NuL-ref

0.037'ReL-refA00,*Pr-refA0.33

Ntimero de Nusselt de referencia

ReL-ref

u-en'Umatl-nuO(Tavg)

Numero de Reynolds de referencia

Pr-ref

matl-eta(Tavg)'matl _Cp(Tavg)lmatl-k(Tavg)

N~jmerode Prandtl de referencia

Tabla 6. Especificacidn de las expresiones escalares.

C. Consideracionesfisicas sobre 10s dominios Fi,wra I I . Detalle de la g e o m e ~ i adel problema.

B. Opciones y especrJicaciones 1. Abrimos la ventana de diiilogo Constants a traves del menu Options para especificar 10s nombres, expresiones y descripciones (opcionales) de las magnitudes de interes (vease figura 12) y pulsamos posteriomente el b o t h OK.

Es ahora el momento para especificar las condiciones de contomo y 10s atributos fisicos en 10s subdominios. El fluido es air? a presion atmosfirica y la placa es de cobre. Las caracteristicas materiales las cargaremos desde las librerias disponibles en COMSOL.

I . En el menu Multiphysics, seleccionamos el mod0 de aplicacion k-E Turbulence Model. 2. Seleccionamos Properties del menu Physics. 3. Estableceremos Set Non-isothermal flow en On y Corner smoothing a Off. 4. Pulsamos OK.

148


Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTJPHYSICS

5. Escogemos Physics > Subdomain Settings y seleccionamos Subdomain 2 (la placa). 6. Seleccionamos Solid domain en la lista desplegable Group. 7 . Seleccionamos Subdomain 1 (el fluido) y seleccionamos Fluid domain de la lista Group. Aqui planteamos dos posibilidades. La primera consiste en especificar valores constantes para la densidad y viscosidad del aire en el mod0 de aplicaci6n k-E Turbulence model. Esta es la posibilidad que se recoge en este ejercicio pues necesita de menos recursos.

...

La segunda consiste en, mediante el b o t h Load abrir la ventana de dialog0 MaterialsICoefficients Library desde la que seleccionar Aire como fluido tanto en Library 1 como en Library 2. Con esta segunda opcion (veanse, por ejemplo, el ejercicio de Flujo no Isotermo o bien la documentation de COMSOL referida a la libreria de modelos del modulo de ingenien'a quimica) es posible visualizar la variacion de la densidad en el dominio de trabajo. No debe olvidarse que en esta segunda opcion deben editarse las entradas correspondientes a la densidad (reemplazando p por p-ref y T por T-amb) y a la viscosidad dinamica (reemplazando T por T-amb)

debido a su proximidad a la placa solida, expenmenta una significativa variation de su velocidad tangential. Este es un aspect0 fundamental que tambikn debe ser considerado a la hora de modelar la transferencia de calor. De manera aniloga a lo que sucede con la velocidad del fluido, la temperatura no se modelada en la subcapa laminar. En lugar de considerar la continuidad de la temperatura a travCs de la capa limite se utiliza una@ncidn de pared termica. Habra, por tanto, un salto en la temperatura desde la placa s6lida hasta el fluido debido a la ornision de la subcapa laminar.

I

(3) Slip I Symmetry

Condicion de contomo

Valor

1

Inflow

uo = u-en

23

SlipISyrnmetry

48 8

Logarithmic wall function Normal flow I Pressure

7r

I

I

I

(8) Normal flow I Pressure

(1) Inflow (4,6) Logarithmic wall function Hi

(2) Slip I Symmetry

Figura 13. Tipos de condicion de contorno (k- E Turbulence Model) especificadas en cada zona relevante del dominio computational.

8. Asi pues, en 10s campos correspondientes a la densidad y a la viscosidad dinamica entraremos 10s valores, I y Ie-5, respectivarnente. 9. Pulsamos OK para cerrar la ventana de dialog0 Subdomain Setting. 10. Escogemos Physics > Boundary Settings donde estableceremos las condiciones de contomo de la tabla 7 siguiente y pulsaremos OK. Contomo

149

Para establecer la funcion de pared termica el modelo usa dos modos de aplicacion dc transferencia de calor: uno para la placa solida y otro para el fluido. Ambas esGn conectadas a travks de una condicion de contomo de flujo de calor, la funcion de pared termica. Esto significa que la resistencia a la transferencia de calor a travCs de la subcapa laminar esta relacionada con la resistencia a la transferencia de cantidad de movimiento para el flujo. Dicho flujo de calor, q, se determina a partir de

&=h

Po=0

donde p y C, son la densidad del fluido y la capacidad calorifica, respectivamente. C, es una constante del modelo de turbulencia y kw es el valor de la energia cidtica turbulenta en la pared. Twes igual a la temperatura del solido en la pared y T es la temperatura del fluido a1 otro lado de la omitida subcapa laminar.

Tabla 7. Condiciones de contorno correspondiente a1 modo k-E Turbulence Model.

La condicion de contomo de la ley logaritmica es utilizada en flujo turbulento para modelar el flujo en las cercanias de superficies solidas (vtase, por ejemplo, el ejercicio Flujo turbulento). Es una relacion algebraica que describe la transferencia de momento en la interfase placa-fluido. El dominio modelado termina en el extremo superior de la subcapa limite laminar en la que el fluido,

I

La cantidad T esta relacionada con la distancia a la pared adimensionalizada, yf, Y esta definida como

i

150



(3) Thermal insulation 3

4

151

I

Donde la distancia adimensionalizada, y', esta dada por

,+

114

= Y w C,

Ahora estableceremos 10s parametros del proceso de transferencia de calor. 1. En el menu Multiphysics seleccionaremos el primer mod0 de aplicacion Convection and Conduction (chcc). 2. Seleccionamos Physics>Subdomain Settings. 3. Seleccionamos Subdomain 2 y Solid domain de lalista Group. 4. Seleccionamos Subdomain 1 y Fluid domain de la lista Group. 5. Seleccionamos Air, 1 atm de la lista Library Material. 6. Editaremos las expresiones de Thermal Conductivity, de Density y de Heat capacity reemplazando p por p-ref and T por Tamb. 7. Seleccionaremos la pestaiia Init y escribimos T-amb en el campo de texto. 8. Pulsamos OK. 9. Abrimos la ventana de dialogo Boundary Settings del menu Physics. 10. Especificamos las condiciones de contomo de acuerdo a la tabla 8 siguiente y pulsaremos OK Gondicion de contorno

Valor

1

Temperature

To = T-amb

2.3

Thermal insulation

4,6

Grupo

I

v

El n h e r o de Prandtl turbulent0 esta fijado a 1.0, K es la constante de von Karrnan, la cual es tomada igual a 0.41, y P es una constante del modelo igual a 3.27.

Contorno

(8) Convective flow

(I)Temperature

k?

(2) Thermal insulation

(5) Temperature

Figura 14. Especificacidn de las condiciones de contorno relacionadas con el modo Convection and Condtlction (chcc).

13. Seleccionaremos Subdomain 2 y Solid domain de la lista Group. Pulsaremos el b o t h Load para abrir la ventana de dialogo MateriaVCoefficients Library, seleccionaremos Copper y pulsaremos OK. 14. Pulsaremos OK para cerrar la ventana Subdomain Settings. 15. Abriremos la ventana Physics > Boundary Settings y especificaremos las condiciones de contomo recogidas en la tabla 9 siguiente. Pulsaremos OK a1 acabar. -

Contorno

Grupo

5 4,6

Condicion de contorno Temperature

Valor To= T-amb

4

delta-T

wall

Tabla 9. Condiciones de contomo correspondientes al rnodo Convection and Conduction (chcc2).

D.Mallado

wall Convective flow

Tabla 8. Condiciones de contorno del modo Convection and Conduction (chcc)

11. En el menu Multiphysics seleccionaremos el segundo modo de aplicacion Convection and Conduction (chcc2) y, posteriomente, Physics > Subdomain Settings. 12. Seleccionaremos Subdomain 1 y despuCs Fluid domain de la lista Group.

A la hora de resolver el problema y conseguir una exactitud aceptable debe refinarse la malla en la frontera fluido-placa y, especialmente, en el primer punto de contacto. Para conseguir esto seguiremos 10s siguientes pasos: 1. Escogemos Mesh > Free Mesh Parameters y seleccionamos Coarse de la

lista deplegable Predefined mesh sues. 2. En el control Boundary selection de la pestaiia Boundary seleccionamos 4 y 6. Tomarnos Maximum element size igual a 5e-3.

152


Mecanica de fluidosy transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSIC~ 3. En el control Point selection de la pestafia point seleccionamos el 4 , escogemos el valor de Maximum element size igual a le-3. 4. Pulsamos Remesh para generar la malla pulsarnos OK.

g42. p o s p r o c e ~ a d ~anilisis y de resultados A. ~ i ~ t ~ i b u cde i dtemperaturas n

E. Resolucidn

pm \Isualizar la dis~buei6nen 2D de la temperawa sefiremos lo s i ~ i e n t e s

Vzimos a realizar Un analisis parametric0 para un cierto rango de Valores de la velocidad de entrada de manera que seleccionaremos un resolvedor paramehco. procedimiento de solucion se lleva a cab0 en dos etapas. En la primera se resuelve el ~roblemafluidodinamico, esto es, sin tener en consideraci6n 10s efectos t ~ Para dis~onerde esta manera de una buena soluci6n inicial antes de acoplar el ~roblematinnico. En una segunda parte, el resolvedor paramitrico resuelve el problems aco~ladocomplete para el conjunto de valores de la velocidad de enkada establecidos. 1. Escogemos Solve > Solver Manager, seleccionamos la pestafia Solve F~~ y en ella k-ETurbulence Model. 2. Pulsarnos el b o t h Solve para conseguir la primera soluci6n para el camp0 de flub. Este paso lleva alrededor de un minuto en un PC (PW 3.4 ~ b ~ 1GB de memoria RAM. 3. Volveremos ahora a la ventana de Solver Manager y en la pestafia Solve For seleccionamos todos 10s modos de aplicacihn. 4. En la pestaiia Initial Value seleccionamos coma valor initial la option Current solution y pulsamos OK. 5. Abrimos la ventana Solve > Solver Parameters y en la lists de resolvedores seleccionamos Parametric. 6 . En el camp0 de text0 Name of parameter entraremos u-en y en la control lists List of parameter values entraremos 10s valores 1 20 50 100. 7 . En la Pest&a Parametric seleccionaremos de la lists desplegable Predictor list la opcion Constant. 8. Activaremos el control de verification Manual tuning of parameter step size. En 10s tres campos siguientes (Initial step size, Minimum step size and Maximum step size) entraremos el valor 50. De esta manera obligamos a1 resolvedor a tomar 10s pasos tan grandes como sea posible, lo cual reduce el tiempo de soluci6n. 9. Pulsarnos OK. 10. Pulsamos el boton Solve de la barra principal. Sobre un PC (3GHz) se necesita alrededor de 10 minutos para resolver el modelo completo.

153

~

i

~ ~ l ~ ~ ~ i posfprocessing ~ ~ ~ r e m o> sPlot Parameters Y la pestafia General. 2. ~En la seccibn solution to use entramos el valor 1 en el CamPo de edicion ~ ~ parameter value. en SeleccionKnos la pe~taaaSurface y seleccionamos la temperarura la lists desplegable Predefined quantities. 4. Pulsando el botbn OK visualizarem~sla distribution de temperaturas coITespondientea una velocidad de entrada de I *Ly. 5, Podemos ahora repetir 10s pasos 1-4 para vi~ualizarla dishbucidn de temperamas correspondiente~a velocidades de entrada de 20,517 loom/' asi comparar 10s resultados.

)

Dado que la representaci6n en escala de grjses de la dismbucion de pierde toda su capacidad de conhaste se opts aqui Par visualizar lor contornos de ( f i ~ 15) a Y lo0 m's ('gura '1' temperama para velocidades de entrada de I

,( 1I

i

u_.n(l)-l

rrnhlur:T.rrp.i*uls -

18dlcL. 7, lrl -

O I

i

0 1

1

"3

! I

l l l _ l l l " _ l l l . ^ -

,11

1 " I

!

i; o

~

i

zs*7e r.;

,,=,

___-_-

._. ,.

-_----4

.-_I i;_._'-

"".. ....... -. ... '

,,-.

--

.

..... .. .-

1 1

~.. -4 ,

''

,

I 0.2

I

Figurn 15. Contornos de temperaturapara una velocidad delJujo de aire a la entrada de I d s .

I

:

154

Mecanica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICs

Figtrru 16. Contornos de temperatura para una velocidad delflujo de aire a la entrada de I00 m/s.


11

B. Conductividad t i m i c a tllrbtilentu delflujo de aire Seleccionaremos Postprocessing > Plot Parameters y en la pestafia Surface introduuiremos kT-chcc en el campo de edicion Expression y pulsamos Apply. kT-chcc es la conductividad termica turbulenta.

Figura 17. Conductividad tkrmica turbulenta del aire para unu wlocidad del Jujo a la entrada de 100 m/s.

La conductividad termica turbulenta es mucho mayor que la conductividad termica molecular del aire que es, a 323 K, de 0.03 W/(mK). Esto significa que la conductividad afiadida por la turbulencia es dominante y que 10s torbellinos turbulentos son 10s causantes de un significative increment0 del flujo de calor en la superficie enfiiada.

La capa de aire adyacente a la superticie caliente es bastante gruesa considerando la relativa alta velocidad del flujo. Esto es debido a la conductividad termica turbulenta causada por 10s torbellinos en el flujo.

1.

155

1 1

I

I

1

Dado que no hemos incorporado la dependenc~ade la densidad con la temperatura y la presion (recordar 10s comentanos realizados en el punto Consideraciones fisicas sobre 10s dominios) podemos afirmar que las variaciones inducidas en la velocidad del aire debido a esas dependencias no pueden ser estimadas aqui. Sin embargo, a medida que el aire se calienta disminuye su densidad y su velocidad crece suavemente de manera que puede considerarse que la capa limite se reduce un poco y que el coeficiente de transferencia de calor sera algo mayor. Puede a f m a r s e pues que hemos subestimado el eniiiamiento convectivo.

C. Coejciente de transferencia de calor 1. Seleccionaremos Postprocessing > Domain Plot Parameters. 2 . Seleccionaremos el contorno 6 de la pestafia Line/Extrusion. 3. En el campo Expression escribiremos abs(ntflux-Tf-chcc/(Ts-TJ). 4. Seleccionarernos tambien x de la lista x-axis data.

156

Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS 5. Pulsaremos el b o t h Line Settings y seleccionamos Line Svle: Dashed Line. 6. Activaremos Legend y pulsamos OK. 7. Pulsaremos Apply para generar las primeras lineas de la grafica. 8. Ahora, en la pestaiia General activaremos el control de verification Keep current plot. 9. Volveremos a la pestaiia Line/Extrusion y escribiremos h-ref en el campo de edicion Expression. 10. Pulsaremos Line Setting y seleccionaremos Line style: Solid Line. 11. Pulsaremos OK y Apply para finalizar.

La exactitud en la prediccion del coeficiente de transferencia de calor esta determinado por la precision de la analogia de Reynolds y la del modelo de flujo. ~ s t ees un ejemplo muy bien estudiado de manera que pueden verificarse 10s resultados. La figura 18 siguiente compara el coeficiente h local estirnado por el modelo con una expresion empirica valida para la geometria y condiciones impuestas aqui (asumiendo flujo turbulento).

Placa lirnite en una placa plana

157

El modelo explica bien 10s datos para velocidades de entrada bajas e intermedias. Sin embargo, el modelo de flujo falla en la prediccion cuando las velocidades son mayores. La h c i o n de pared logaritmica de COMSOL es vblida para un cierto rango de valores de velocidad y de tamaiio de malla. La relacidn usada esta basada en la distancia y' la cual, deberia estar en el rango 30 - 1000. Visualizaremos pues dicho parhnetro a lo largo de la placa para diferentes velocidades de entrada (figura 19)

...

1. Seleccionaremos Potprocessing > Domain Plot Parameters 2. En la pestaiia General desactivamos el control Keep current plot. 3. En la pestaiia LineExtrusion escribimos en el campo Expression, yplus-chns, y pulsamos Apply.

Figura 19. Distancia adirnensional y' de la prirnera celda a la superficie de la placa para diferentes velocidades de entrada (linea inferior u e n = 1 m/s, linea superior u-en = 100 rn/s). Figura 18. Comparativa coeficiente de transferencia de calor local para 10s distintos valores de la velocidad de entrada: experiencia (lineas sdlidas), modelo (lineas a trazos).

Notamos que y' excede el rango de validez cuando la velocidad supera lor 50 mls de manera que la celda es demasiado grande y, por tanto, menos precisas las estimaciones de la velocidad y del coeficiente de transferencia. Esto puede corregirse modificando el espesor de la capa en las especificaciones del modelo k-c o refmando la malla en la capa lirnite.



158

8.5. Ejercicios propuestos 1. Rehaga el ejercicio de flujo laminar en la capa limite de una placa plana para incorporar el caracter no newtoniano del flujo (vease el problema 3). Considere fluidos Ostwald - de Waele de exponentes 0'5, 1 y 2, esto es, comportamientos seudoplastico, newtoniano y dilatante. ~ Q u Cdiferencias se presentan a1 evaluar el espesor de la capa limite? El factor de fricci6n para el caso newtoniano depende de Re'" . ~ O C Ulo~ mismo con 10s fluidos no newtonianos? iPara todos 10s nimeros de Reynolds en regimen laminar? 2. La teoria de la capa limite permite estimar 10s coeficientes de transferencia de calor cuando se conocen las propiedades fluidicas y ttrmicas del fluido. En el caso de un flujo estacionario sobre una placa plana a temperatura uniforme, las soluciones para el nhnero de Nusselt (un) se muestran en la tabla 10 siguiente

Tabla 10. Numero de Nusselt (Nu) enfuncion del numero de Reynolds (Re) para diferentes n7imeros de Prandtl (Pr). La longitud caracteristica x, hace referencia a la distancia recorrida a lo largo de la placa.

Modifica el problema de capa limite laminar (seccion 8.3) incorporando que la placa se encuentra a una temperatura uniforme mayor que la del flujo. Visualiza el perfil de temperaturas en distintas posiciones a lo largo de la placa. 3.

En relacion a1 caso turbulent0 tratado en la seccion 8.4, visualiza el perfil de velocidades en diferentes posiciones a lo largo de la placa y comparalos con 10s perfiles Universales de velocidad (veanse las consideraciones previas del problema 6 relativas a perfiles Universales y leyes de pared)

159

4. En la tabla 11 siguiente se presentan algunas de las correlaciones empiricas

admitas actualmente para el factor de friccion en una capa limite turbulenta en una placa plana. Estimar el coeficiente de friccion y contrastar el resultado numtrico con las correlaciones anteriores. Ley de la potencia Blausius /perfi1 Universal de ve1ocidad

1 I

C, =

0.08 -

C,=

-

ReY4

0.0575

I T-

dcr

= 4.0 log[~e,%! -0.4

1

Tabla 11. Correlaciones para el factor de hccion en m a capa limite turbulenta en una placa plana. Las longitudes caractensticas 6 y L hacen referencia a1 espesor de la capa limite y a la longitud de la placa, respectivamente.

160

Mecfmica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTPHYSICS

Flujo extemo alrededor de cilindros

16 1

9. Flujo externo alrededor de cilindros 9.1. Consideraciones iniciales El modelo de capa limite explica razonablemente bien la resistencia de una placa plana per0 la situacidn es bien distinta cuando 10s cuerpos son romos. Incluso para numeros de Reynolds grandes el acoplamiento con la corriente exterior es muy complejo. La forma del cuerpo afecta considerablemente a la distribucion de presiones en el flujo y, como veremos, Csta tiene una influencia notable sobre la capa limite. En referencia a la figura 1, en la parte frontal el dCficit de cantidad de movimiento en la capa limite no es un problema debido a que la disminucion de la presion (y consiguiente aumento de la velocidad) genera un gradiente favorable de presiones que empuja el fluido en la capa limite. Sin embargo, en la parte posterior la situation es diferente. La presion aumenta en la direccion del flujo apareciendo un gradiente adverso de presiones que puede llegar a fienar el flujo en la capa limite y, eventualmente, invertir su direccibn. Corriente exterior no perturbada vdp

XDO .

Punto de remanso delantero (vx=O)

Gradiente adverso de presion

Punto de remanso

Gradlente favorable de presion Borde de la capa limite

Figura I : Esquema delj'lujo exfemo alrededor de un cilindro asi como de la capa limife desarrollada sobre su superjf?cie.

162


Asi las cosas, aparecen recirculaciones del flujo detras del cuerpo y, llegado el caso, la capa lirnite se separa generandose en la parte posterior una estela pulsatoria que deflecta la corriente principal alterando notablemente el patron predicho por la teona no viscosa. Son estos fendmenos 10s que trataremos de evidenciar con COMSOL. Conviene, por otra parte, hacer una descripcion cualitativa de la fenomenologia del flujo que vamos a estudiar. Cuando el nhmero de Reynolds es muy pequefio (esto es, Re < l), las fuerzas viscosas controlan el flujo y el patron de este alrededor del cilindro es semejante a1 mostrado en la figura 2. Para valores del Reynolds de alrededor de 20 (figura 3) el flujo es laminar aguas arriba y en el punto S se produce la separacion. Aguas abajo aparece m a region con dos remolinos estacionarios.

Flujo externo alrededor de cilindros

163

Cuando 10s valores del Reynolds son tales que 5000 < Re <15.000 el flujo se separa del cilindro para formar m a estela simttrica aguas abajo (figura 5). Cuando 50.000 < Re < 200.000 el coeficiente de arrastre se hace constante y la transicion ocurre a1 mismo tiempo que la separacibn (figura 6). En la figura 7 es Re > 200.000 y aqui la transicion ocurre por delante del punto de separacion y tsta se retrasa debido a1 caracter turbulent0 del flujo.

Figura 7 Flujo alrededor de un cilindro 2D Figura 6 Flujo alrededor de un cilindro 2 0 para valores de Re > 200.000. para 50.000 < Re < 200.000.

-

Figura 2 Flujo alrededor de un cilindro 2 0 Figura 3 Flujo alrededor de un cilindro 2 0 para valores de Re < I . para valores de Re 20.

Para valores del numero de Reynolds por encima de 20 (figura 4) 10s remolinos se inestabilizan y comienzan a vibrar irregularmente para acabar desprenditndose alternativamente a ambos lados de forma periodica. Son 10s denorninados vortices de von Karman.

El ejercicio que aqui se plantea consiste, inicialmente, en estudiar el flujo a travts de un sistema tubular de cilindros (vease la figura 8). En una primera parte se analizara ~ c a m e n t eel fenomeno fluidodinamico para, en una segunda parte, incorporar 10s efectos ttrmicos derivados de la transferencia de calor desde el cilindro a1 flujo. A continuacion se llevara a cab0 un estudio transitorio detallado de 10s vortices generados (vortices de von Karman) aguas abajo de un cilindro asi como de las fuerzas de sustentation y resistencias manifestadas. Todos 10s analisis fluidodinamicos se basaran en una corriente exterior basada en un flujo incompresible de un fluido newtoniano.

9.2. Analisis fluidodinamico del flujo alrededor de cilindros Vamos a estudiar, inicialmente, el flujo alrededor de un sistema tubular de cilindros que consideraremos de longitud muy grande comparada con sus secciones para evitar asi efectos de borde. De acuerdo a la figura 8 y aprovechando la simetria en ella identificada, podemos transformar el problema 3D en otro 2D con el consiguiente ahorro de esfuerzo computacional que esto conlleva. Figura 4 Flujo alrededor de un cilindro 2 0 Figura jFlujo alrededor de un cilindro 2Dpara 5000 < Re < 15.000. para vulores de Re > 20.

164

Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTPHYSICS

9.2.1. Modelado mediante el GUI de COMSOL 1. Pulsaremos el bot6n Multiphysics de la ventana Model Navigator de COMSOL. 2. Seleccionaremos de la lista desplegable Space Dimension la opcion Axial symmetry (20). 3. Desplegaremos Application modes y seleccionaremos la secuencia Chemical Engineering Module> Momentum Balance > Incompressible Navier-Stokes. 4. Pulsaremos OK.


165

3. Pulsaremos el b o t h Zoom Extends de la barra de herramientas principal. 4. Pulsa simultinearnente el b o t h EllipselCircle (Centered) y la tecla Shift y establece 10s valores mostrados en la tabla 2. Dimensiones del objeto

Valor

Radius

5e-3

x-center

0

y-center

3e-2

Tabla 2. Especijcaciones del circulo.

5. Pulsa OK. 6. Pulsa Control+A para seleccionar todos 10s objetos. 7. Pulsa el boton Difference. Asi queda configurado el dominio sobre el que se resolvera el problema.

Slsterna tubular de (30)

B. Opciones y especzficaciones 1. Especificaremos las opciones mostradas en la ventana Constants del menu Options (figura 9). -. Corrlente exterior

I le-3

' 7 5la3 r3

-- ."."

A--

EXPV.K~D

-- - -- -

Figura 8: Detalle de la geometria delflujo 3D que desea estudiarse y su simplzjicacion con ayuda de la sirnetria en un problema en dos dimensiones.

I.---\due.."-T

- .-

.-

Name eta

0

Dewnptb

IDN) 000s

3

!

-- - - -. - - ----

--

--7

-

+

1

--,--

rbll

-

-

I

t

+

-

-

1

&Fa

A. Geometria del problema

-

1. Pulsa el boton RectanglelSquare y simulthneamente el boton Shift. 2. Especifica 10s valores mostrados en la tabla 1 y pulsa OK.

z!

1

APPM

]

FAD

/

.

Figura 9. Constantes y propiedades del ejercicio.

C. EspeciJicaciones en los subdominios

-


canre1

Valor

Width

le-2

Height

9e-2

Tabla 1. Especijkaciones del rectangulo.

1. Seleccionaremos Physics > Subdomain Settings y especificaremos para el subdomuin I 10s valores ro y mu, respectivamente, para la densidad @) y la viscosidad d i n h i c a (7) especificados antenormente en la ventana Constants. 2. Pulsaremos OK.

166

Mecanica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS Subdominio


1 Cantorno

rl

167

Maximo tamafio del elemento

eta

Tabla 3. Especificaciones en 10s subdominios. Tabla 5. Especificaciones sobve la densidad de la malla.

D. Condiciones de contorno 1. Seguiremos la secuencia Physics > Boundary Settings y especificaremos en la ventana de diklogo el tip0 de condicion de contomo adecuada para cada frontera del dominio definido tal y como se muestra en la tabla 4. Contorno Tipo

1,3,5

2

SliplSymmet~y /nflow/Ouflow velocity Nomal flow/Pressure

U

0

v

vo

P

4

6.7 No-slip

0

Tabla 4. Condiciones de conforno covvespondienfes a1 modo Incompvessible Navier-Stokes.

E. Mallado Ahora se establecera una malla de mayor densidad en las partes del dominio en las que deseamos capturar algunas caracteristicas importantes de flujo alrededor del cilindro. I. Selecciona Mesh > Mesh Parameters. 2. En la pestafia Global estableceremos Element growth rate igual a 1.1. 3. En la pestaiia Boundary estableceremos 10s valores de Maximum element size para cada contomo con 10s valores de la tabla 5. 4. Pulsamos Remesh. 5. Pulsamos OK.

1. Seleccionaremos Parametric nonlinear como el tip0 de solucionador en la ventana de diklogo Solver Parameters. 2 . Entraremos vO en el campo de texto Name of parameter y 10s valores 5e4:2e-3:6.5e-3 en el control List of parameter values lo que nos permitira evaluar el problema para cuatro valores diferentes de la velocidad de la corriente exterior. 3. Pulsaremos OK. 4. Pulsaremos el boton Solve.

9.2.2. Posprocesado y ana'lisis de resultados Primeramente visualizaremos la distribucidn de lineas de corriente para cada uno de 10s casos analizados para asi visualizar 10s efectos de recirculacion del flujo en la zona posterior del cuerpo a medida que se incrementa la velocidad. 1. En la p e s t ~ aGeneral de la ventana de dialogo Plot Parameters seleccionaremos Streamline. 2. En la pestafia Streamline seleccionaremos Specify start point coordinates y estableceremos x igual a linspace(0,0.01,10) e y igual a linspace(0.038,0.038,10). 3. Escogeremos bajo Uniform color un color adecuado como el negro. 4. En la ventana de dialogo Advanced Streamline Parameters especificaremos que Maximum number of integration steps sea igual a 1000. 5. Repetiremos 10s pasos anteriores para las diferentes velocidades, vO, del estudio parametrico. Pulsaremos Apply para visualizar 10s sucesivos cambios.

168

Mechica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MLTLTIPHYSICS


I Figura 10. Lineas de coniente y distribution de presiones para velocidades de la coniente exterior crecientes de izquierda a derecha (VO ( d s ) =0.00054, 0.0025, 0.0045,0.0065)

9.3. Flujo alrededor de cilindros con transferencia de calor A continuacion vamos a incorporar la posibilidad de interaccion termica entre el cilindro y la corriente exterior. Reutilizaremos el ejemplo anterior e incorporaremos a la hidrodinamica estudiada la interaccion termica entre el cilindro y el flujo (en tkrminos COMSOL, acoplaremos dos fisicas)

I

Nombre

Expresion

eta

1e-3

Tabla 6. Constantes y propiedades.

Subdominio

169

1

Tabla 7. Especificaciones en 10s dominios.

B. EspeczJicaciones en los szlbdominios I . Seleccionaremos el menu Multiphysics y de el escogeremos la opcion 2

Convection and conduction (chcc). 2. Abriremos la ventana de dialog0 Subdomain Settings del menu Physics y especificaremos para el subdomain 1 10s valores de la tabla 7. 3. Y pulsaremos OK.

/

C Condiciones de contorno 1. Seguiremos la secuencia Physics > Boundary Settings y especificaremos en la ventana de dialog0 las condiciones de contorno apropiadas para el problema de transferencia de calor tal y como se muestra en la tabla 8.

9.3.1. Modelado mediante el GUI de COMSOL 1. Seleccionaremos el menu Multiphysics del men6 principal y en la ventana Model Navigator subsiguiente escogemos Chemical Engineering Module > Energy balance > Convection and conduction. 2. Pulsaremos el b o t h Add de la secci6n Multiphysics y asi acoplaremos 10s efectos fluidodinimicos y 10s termicos. 3. Pulsaremos OK.

A. Opciones y especzficaciones 1. A travCs de la ventana Constants del menu Options, afiadiremos las constantes relacionadas con la transferencia de calor que deseamos estudiar tal y como se muestra en la tabla 6.

Contorno

1,3,5

2

4

6,7

Eoo

Thermal insulation

Temperature

Convective flux

Temperature

Tabla 8. Condiciones de contomo correspondiente a1 modo Convection andconduction. I

!

D. Mallado y resoluci6n

I

,

Haremos servir las mismas especificaciones de mallado y las mismas consideraciones sobre el solucionador que en el problema fluidodinhico anterior. Comprobaremos antes de pulsar Solve, que en la ventana de dialogo de Solver Manager en las pestaiias Solver For y Output, la variable T esta seleccionada ya que de no ser asi COMSOL no resolvera el problema tCnnico asociado.

170



9.3.2. Posprocesado y analisis de resultados Estamos en disposicion de valorar 10s efectos de la interaccibn termica fluidocilindro visualizando la distribucidn de temperaturas establecida para cada uno de 10s cuatro valores de la comente exterior que definen el analisis parametrico realizado. Los pasos a seguir se muestran a continuacibn:

...

Seguiremos la secuencia Postprocessing > Plot parameters Seleccionaremos la pestafia General. Deseleccionaremos la opci6n Streamline y seleccionaremos las opciones Surface y Contour. En la pestafia Surface, seleccionaremos la temperatura como la magnitud predefinida a visualizar (Predefinided quantities). En la pestaiia Contour seleccionaremos Temperature (chcc) como Contour data de la lista desplegable Predefined quantities. Seleccionaremos Vector with isolevels e introduciremos en el campo de texto correspondiente 10s valores siguientes: 301:5:331 341:10:361. Escogeremos un color de contraste adecuado bajo Uniform color. Pulsaremos Apply.

Figura 11. Lineas de contomo y distribucion de temperaturas para velocidades de la comente exterior crecientes de izquierda a derecha (vo (mls) = 0.00054, 0.0025, 0.0045, 0.0065)

Los resultados se muestran en la figura 11. Cuando la velocidad es pequefia y no hay recirculacibn del flujo, se detecta una zona de alta tempertura detras del cuerpo pues es una zona de remanso en el flujo (vCanse las tiguras 1 y 11). A medida que la velocidad crece el campo de temperatura desarrolla una pluma que emerge desde el punto de separacion. La presencia de esta pluma se explica por el hecho que esa region recibe continuamente calor debido a la circulacion del flujo.

Figuru 12. Visualizacibn en escala de grises de la distribucion de temperaturas para velocidades de la comente exterior de 0.00054 y 0.0065 d s (izquierda y derecha, respectivamente) especificando hot como Culormap en la pestaiia gurface y ocultando 10s contomos deseleccionando Contour de la pestafia General.

171

172 Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICS

9.4. Resistencia, sustentaci6n y vibraci6n inducida Las teorias actuales de analisis de flujos extemos se fundamentan en la division del campo de flujo en dos zonas. Una zona de flujo potencial (esto es, un flujo irrotacional sin viscosidad) y una region de capa limite en la que 10s esfuerzos pueden ser considerables. Sin embargo, en muchas aplicaciones de interes so10 se esta interesado en las fuerzas y momentos que el flujo puede ejercer sobre el cuerpo y no tanto en 10s detalles locales del flujo establecido. Para un cuerpo bidirnensional con sirnetria axial como es el nuestro caso, la fuerza resultante esta en el plano definido por el eje del cuerpo y por el vector velocidad del flujo que se aproxima. La componente de dicha fuerza en la direccion del flujo se conoce como resistencia (y apunta siempre aguas abajo) y la componente perpendicular sustentacidn. Las fuerzas de sustentacidn solo se presentan cuando existe asimetria, bien debida a la forma del cuerpo, bien debida a1 desalinearniento (angulo de ataque) entre el cuerpo y la direccion de la corriente. En cualquier caso, tanto la sustentacion como la resistencia son el resultado de la accion de las fuerzas de presion (forma) y de 10s esfuerzos cortantes (friction) manifestados sobre la superficie mojada del cuerpo. El flujo que ahora estudiamos aparece en la practica, por ejemplo, por la accion del viento sobre estructuras como pueden ser cables o lineas de transporte de energia electrica (10s cables silban) o 10s bancos de tubos de intercambiadores de calor. La carga aerodinamica resultante tiende a doblar el cilindro y dicha carga debe ser contrarrestada por la capacidad de recuperacion elastica de la estructura (en este caso, el cilindro). Todas las estructuras tienen sus propias frecuencias natztrales . Cuando dichas estructuras estan sujetas a cargas fluctuantes de frecuencia parecida o igual a aquellas, pueden entrar en resonancia y provocar desde fatigas incipientes (caso de 10s tubos de intercambiadores de calor) hasta fallos subitos y catastroficos en el caso de estructuras de gran tamafio. El acoplamiento de flujo con otras estructuras cercanas, asi como problemas relacionados con inestabilidades hidroelasticas son mecanismos adicionales capaces de inducir la generacion de vibraciones por parte del flujo. En la figura 16 se muestra, esquematicamente, el canal en el cual se encuentra inmerso el cilindro. El cilindro esta desplazado para evitar soluciones estacionarias simetricas. El tiempo de simulation necesario para detectar patrones de flujo periodicos es dificil de predecir. Un buen estimador es el numero de Reynolds basado en el d i h e t r o del cilindro. Para valores por debajo de 100, el flujo es estacionario. A partir de este valor comienzan a aparecer 10s vortices de von Karman. La frecuencia y amplitud de las


173

oscilaciones son caracteristicas estables per0 10s detalles del flujo son muy sensibles a las perturbaciones. Podemos apreciar esta sensibilidad visualizando imagenes en 10s mismos instantes de tiempo per0 con pasos de tiempo diferentes. Debe notarse que esta sensibilidad es una realidad fisica, no un artilugio numerico.

Figura 16. Representacidn esquematica del dominio

Antes de determinar la evolucion en el tiempo de las fuerzas sobre el cilindro, validaremos el metodo solucionando el problema a bajos nbmeros de Reynolds mediante un solucionador direct0 no lineal. Este metodo permite ahorrar tiempo, detectar pequefios errores pues las simulaciones dependientes del tiempo requieren un considerable tiempo de computacion. Las fuerzas viscosas sobre el cilindro son proporcionales a1 gradiente de velocidades en la superficie del cilindro. La mejor manera de calcularlas consiste en usar un par de variables de restricci6n debil para mejorar la condicion de no deslizamiento a1 rnismo tiempo que recoge informacion precisa de 2" orden de las fuerzas viscosas.

9.4.1. Modelado mediante el GUI de COMSOL 1. En la ventana Model Navigator, seleccionaremos 2 0 de la lista desplegable Space Dimension. 2. En la lista de Application Modes seleccionaremos COMSOL Multiphysics > Fluid Dynamics > Incompressible Navier-Stokes y Steady-state analysis. 3. Aceptaremos 10s elementos por defect0 (Lagrange - P2 P I ) de la lista Element. 4. Pulsaremos OK.

174

Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MULTIPHYSICs

A. Opciones y especficaciones 1. Seleccionaremos AxesJGrid Settings del menu Options. 2. En la ventana de dialogo AxesJGrid Settings especificaremos los parimetros siguientes de la tabla 9 Para entrar el espaciado del grid selecciona la pestaiia Grid y deselecciona el control Auto. Ejes -0.3

x spacing

x rnax

2.5

Extra x

y min

-0.3

y spacing

y max

0.7

Extra y

lt i I

Grid

x rnin

fB

0.2

II

II I

i

I

'LI~,

i

3

-

3. Usaremos el b o t h derecho del raton para asegurar que se ha creado un circulo y usa el tick mark en y = 0.15 para comprobar que el radio es el correcto.

4. Compondremos ahora el objeto que definiri el dominio del problema. En la barra de herramientas de dibujo, Draw, pulsaremos el b o t h Create Composite Object. Entraremos RI-CI en el campo Set formula.

C. Propiedades del mod0 de aplicacidn (Application Mode)

1. Selecciona Properties ... del menu Physics. 2. En la ventana Application Mode Properties seleccionamos Non-ideal de la lista Weak constraints. 3. Pulsamos OK.

Tabla 9. Especificaciones de visualization y rejilla.

0 001 03

175

Lo primer0 que haremos es habilitar las restricciones dCbiles en la ventana de dialogo de Application Mode Properties.

0.05

3 Pulsa OK. 4. Selecciona Constants del menu Options y entra 10s nombres y expresiones de la figura 17. 5. Click OK.


I

I

! i

D. Condiciones de contomo Primero establecemos las condiciones de contorno para las ecuaciones de NavierStokes como si no hubieran restricciones debiles. Las variables de restriccion debil no estan activas hasta que las activemos nosotros mismos. Cuando se hace esto y se acopla una variable de restriccion a una variable dependiente dentro del dominio, la restriction debil analiza las restricciones especificadas para la variable del dominio y las reemplaza con una variable debil involucrada con la variable restriccion. 1. Seleccionaremos Boundary Settings del menu Physics. 2 . En la ventana de dialogo subsiguiente introduciremos la informacion de la

Figzrra 17. Propzedades y constantes delproblema.

1. Desde el menu Draw seleccionaremos el bot6n RectangleJSquare. Con el raton crearemos el rectangulo R1 desde (0, 0) a (2.2, 0.41). 2. Seleccionaremos en el menu Draw el boton EllipseJCircle (Centered). Mediante el raton crearemos un circulo CI con centro en (0.2, 0.2) y radio de 0.05.

;

tabla 10. 3. Seleccionaremos la pestaiia Weak Constr. 4. Seleccionaremos 10s contornos 5-8 (el cilindro) y despuis Use weak constraints. 5. Pulsaremos OK. Contorno

1

2,3,5-8

4

Type

Inflow

No-slip

OuMow

u

4'Umax*s'(l-s)

y rnin y max

0 0

Tabla 10. Condiciones de contorno (Incompressible Navier-Stokes).

176

Mecinica de fluidos y transferencia de calor con COMSOL MLJLTZPHYSICS


E. Especrficaciones en 10s subdominios

3. Pulsaremos OK. Podremos visualizar ahora en la ventana de mensajes el valor calculado: 5.579384. Ahora calcularemos el coeficiente de sustentacibn. 4. Cambiaremos el integrando del campo Expression a -lrn2*2 /(r0*(2*Umar/3)~2*D).El resultado en este caso es igual a 0.010568.

1. Selecciona Subdomain Settings del menu Physics.

2. En la ventana de dialog0 de Subdomain Settings introduce las propiedades materiales que se muestran en la tabla 11 Subdomain

177

1

9.4.3. Simulacidn dependiente del tiempo rl

eta

Ahora que ya sabemos que todo funciona para Reynolds pequefios y flujos estacionarios, vamos a llevar a cab0 una simulaci6n transitoria para Re = 150.

Tabla 11. Especificaciones en 10s subdominios

3. Pulsa OK.

F. Mallado 1. Escoge Mesh Parameters del menu Mesh.

A. Opciones y especificaciones I

En la ventana de dialog0 Constants del menu Options especificaremos que la velocidad m h i m a (U,,) sea de 1.5 para que el Reynolds correspondiente sea de 150.

2. Especifica el valor 0.03 para Maximum element size, el valor 1.2 para Element growth rate, y el valor 0.1 para Mesh curvature factor. 3. Pulsa OK. 4. Pulsa el boton Initialize Mesh de la barra de herramientas principal.

G. Solucibn 1. Pulsa el boton Solve de la barra principal de herrarnientas para solucionar el modclo.

9.4.2. Posprocesado y visualizacidn Las magnitudes a estudiar son 10s coeficientes de resistencia (drag) y sustentacion (lift). ~ s t o spueden ser calculados facilmente por integration de las variables de restriccion ddCil (las cuales son, realmente, multiplicadores de Lagrange correspondientes a las fuerzas viscosas) y la presion sobre la superficie del cilindro. Calcularemos primer0 del coeficiente de resistencia 1. Escogemos Boundary Integration del menu Postprocessing. 2. Seleccionamos 10s contornos 5 a 8 (correspondientes a la superficje del cilindro). Introducimos en el campo de edicion Expression la expresion -lrnl*2/ (ro *(2*Urna~/3)~2*D) correspondiente a la herza de resistencia.

B. Solucibn Durante 10s primeros segundos de la simulacion, antes de que el sistema alcance el movimiento periodic0 estacionario, la salida no tiene mayor interts. Asi que podemos ahorrar memoria guardando valores solamente cinco veces por segundo durante 10s primeros 3.5 segundos y, desputs, cincuenta veces por segundo durante el siguiente segundo y medio. 1. Escogemos Solver Parameters del menu Solve. 2. Seleccionamos Time dependent de la lista Solver. 3. Entramos [0:0.2:3.5 3.52:0.02:7] en el campo de edicion Times. 4. Entramos en el campo de edici6n Absolute tolerance el valor le-4. 5. Pulsamos OK. 6. Pulsamos el boton Solve del menu principal.

C. Posprocesado y visualization La diferencia respecto del primer caso de estudio puede verse inmediatamente (figura 18). Aguas abajo del cilindro pueden verse 10s vortices de von Karman debidos a la emision de torbellinos desde el cilindro.

178



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Figura 18. Flujo alrededor de un cilindro y vortices de von Karman.

Para ver la evolution de 10s vortices hasta que el completo desarrollo del flujo pulsaremos el boton Animation de la barra de herramientas Plot a la izquierda del GUI. Nota que la escala de tiempo de la pelicula cambia despuks de 3.5 segundos. Por otra parte, podemos investigar las fuerzas sobre el cilindro como una funcion del tiempo asignando la integral de superficie a una, asi denominada, integration coupling variable, las cuales permiten calcular integrales de expresiones sobre uno o varios subdominios, contomos o vkrtices. 1. Seleccionaremos el item de menu Options > Integration Coupling Variables > Boundary Variables. 2. Mediante Ctrl-click seleccionaremos 10s contomos 5 a 8 como un p p o . Escribimos Lift en el campo Name y -1m2 *2/(rho0*(2*Umax/3)*2 *O.I ) en el campo de edici6n Expression. 3. Deseleccionaremos el control Global Destination. Esto ahorra memoria porque de esta manera el valor de la integral se alrnacena solo en un nodo en lugar de hacerlo en todos 10s nodos del modelo. 4. Seleccionamos la pestaiia Destination y el punto 1. Pulsamos OK. 5 . Seguimos la secuencia Solve > Update Model para calcular la integral sin tener que volver a resolver el problema. 6. Seleccionamos Domain Plot Parameters del menu Postprocessing. Seleccionamos todos 10s pasos de tiempo y pulsamos Plot type: Point plot. En la pestaiia Point, seleccionamos el punto 1, y escribimos Li$ en el campo de edicion Expression. La representacidn grafica (figura 19) muestra claramente las oscilaciones en la fuerza de sustentacion. Puede intentarse algo parecido con la resistencia (drag), sin embargo, para numeros de Reynolds de entre 10 y 1000 es muy dificil analizar la resistencia incluso cualitativamente. El concept0 de capa limite pierde su importancia aun cuando las fuerzas de inercia son todavia significativas.

Figura 19. Oscilaciones de lafirerza de sustentacion.

Finalmente podemos investigar cual seria el comportamiento de particulas suspendidas en el flujo. Por ejemplo, pequeiias gotas de agua suspendidas en el flujo de aire. 1. En la ventana de dialogo Plot Parameters seleccionamos la pagina Particle Tracing. 2. Seleccionamos Particle tracing plot. 3. Seleccionamos Points en la lista Plot type. 4. En la lista Predefined forces seleccionamos Khan and Richardson force (ns). 5. En Start Points introducimos 0 en el campo de edicion x y O.l:0.05:0.3 en el campo y. 6. En la pagina Initial Values, deseleccionamos la opcion Auto y especificamos el valor 3.6 en el campo Start time para estudiar las particulas solo para un flujo completamente desarrollado. 7. En el campo Initial velocity entramos u y v para dar a las particulas la misma velocidad inicial que el flujo entrante. 8. Seleccionamos Disappear de la lista When particles leaves the domain en la pagina Point Settings. 9. En la pagina Release seleccionamos Time between releases y lo establecemos a 0.4.

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10. Pulsaremos el boton Advanced. 11. Seleccionaremos Manual tuning of step size y entramos 0.02 en el camp0 Initial time step y el valor 0.01 para Maximum time step. 12. Pulsaremos OK para cerrar la ventana Advanced Parameters. 13. Pulsaremos Start Animation en la pestaiia Animate. No olvidemos que la escala de tiempo de la animaci6n cambia despuCs de 3.5 segundos. Una vez fmalizada la animation, como se muestra en la figura 20, podremos guardarla en un fichero (*.avi) y visualizarla posteriormente.

Figura 20. Una vezjinalizada la animacidn podremos gztardarla en un archivo avi para, posteriomente, visualizarla, editarla o manipularla.

9.5. Ejercicios propuestos 1. Replantee el ejercicio para visualizar el patron de flujo incompresible alrededor de un cilindro cuando la velocidad del flujo es muy pequeiia de manera que el nlimero de Reynolds sea inferior a 1 (figura 2).


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2. ~QuCconsideraciones debenan tenerse en cuenta en las simulaciones si 10s nhneros de Reynolds fueran elevados? (vCanse la figura 5 y siguientes, y valore 10s resultados del problema 7). 3. Valore la importancia de disponer de una malla refmada alli donde 10s detalles de flujo son mas exigentes y compirese con 10s resultados de simulaciones que utilicen mallas groseras. 4. iPor que en la simulacion del flujo alrededor de un cilindro este se encuentra desplazado en el dominio computacional?

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Bibliografia

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THE FINITE ELEMENT METHOD IN HEAT TRANSFER AND FLUID DYNAMICS J . N . Reddy, D. K. Gratling. CRC Taylor-Francis (2001)

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141998755 Fluidos Mecanica de Fluidos COMSOL PDF

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