16. Soal-Soal Integral

16. 16. SOAL SOAL-S -SOA OAL L INTE INTEGR GRAL AL

=

= -

EBTANAS1995



1. Hasil Hasil dari dari

=-

3

3.

EBTANAS2001



2. Hasil  x 9  x 2 dx = …. (9   x ) 9   x  C  3 2 B.  (9   x 2 ) 9   x 2  C  3 2 C. (9   x 2 ) 9   x 2  C  3 2 2 D. (9   x 2 ) 9   x 2  (9   x 2 ) 9   x 2  C  3 9 E.

1 3

2

2

(9   x ) 9   x  2

2

1

 x

1 2

1 2

1 .

1

1

u

1

2

2

du

+C

3

3

u2 +C 3

9

2

2



sin 2  x cos x dx  …. D. sin 3  x  C  E. cos cos x - cos cos 3 x  C 

Jawab: cara 1:



sin n (ax+b) cos(ax+b) dx =



sin 2  x cos x dx 

=

9   x  C 



9   x 2

1 (2  1) 1 3

1 a( n  1)

sin n1 (ax+b) +c

sin 3 x + c

sin 3 x + c

Cara 2: Misal: u = sin x du = cos x dx

 = 

sin 2  x cos x dx 

=



2

1

du = x dx

9  x 2 dx =

u 2

1

2

2

 jawab: Misal isal u = 9 - x 2 du = - 2x dx



2

1

A.2 sin x. cos x + C 1 B. cos 3  x  C  3 1 C. sin 3  x  C  3

Jawabannya adalah B

A. 

1

2

du = -

1

UMPTN1991

8  x 3   x 2  4 x  C  3 2 3 =  x  4 x 2  4 x  C 

(3 x (3 x 2  – 8 x + 4) d x =

.

1

(9   x ) + C 3 1 =(9   x 2 ) 9   x 2 + C 3 Jawabannya adalah A =-

 jawab:

1

2

(3 x 2  – 8 x + 4) d x d x adalah …

A. x 3  – 8 x 2 + 4 x + C B. x 3  – 4 x 2 + 4 x 4 x + C 3 2 C. 3 x 3 x  – 4 x + 4 x 4 x + C 3 2 D. 3 x 3 x  – 8 x + 4 x 4 x + C 3 2 E. 6 x 6 x  – 8 x + 4 x 4 x + C



u

1

=

x dx Jawabannya adalah C www.belajar-matematika.com - 1

1 3 1 3

(sin x) 2 cos x dx u 2 du u3 + c sin 3 x + c

UAN2003

EBTANAS2000



4. Hasil

x sin(x 2 1) dx = …

A. – cos (x 2 1) + C

D.

1

cos (x 2 1) + C

2 E. -2 cos (x 2 1) + C

B. cos (x 2 1) + C C. 

1

6. Hasil

1

A. -

14 1

cos 2x. sin 5x dx = …. 1

cos 7 x 

6 1

cos 3 x  c

cos 7 x  cos 3 x  c 14 6 1 1 C. cos 7 x  cos 3 x  c 14 6 1 1 D. cos 7 x  cos 3 x  c 14 3 B. -

cos (x 2 1) + C

2  jawab: u = x 2 +1 du = 2x dx





x sin(x 2 1) dx = 1



=

2 1

=-

2 1

=-

sin u du



(karena du = 2x dx)

14

cos 7 x 

1 3

cos 3 x  c

cos u + c

Jawab :

cos (x 2 1) + c

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 1 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2

2 Jawabannya adalah C UAN2003 1 sin  x dx = … 5. 2  x

cos 2x. sin 5x = sin 5x cos 2x 1 = { sin (5x + 2x) + sin (5x – 2x) } 2



A. sin x

2

+c

C. sin

B. cos x + c

D. cos

Jawab: Misal ; 1 u= = x 1  x du = - x

2

=-

1  x 1  x

+c +c

2

=

E. cos x + c

1 2

 =

sin  x

 x dx = -

1

2

sin 7x dx +

1 14

. cos 7x -

1 6

1

cos 3x + c

sin u du Jawabannya adalah B

= cos u + c = cos



dx

 x 2



1



sin 3x dx 2 1 1 1 1 =- . cos 7x + - . cos 3x + c 2 7 2 3

1

2

( sin 7x + sin 3x )

cos 2x. sin 5x dx

=-



1

E.

1  x

+c

Jawabannya adalah D www.belajar-matematika.com - 2

UN2006 4

7. Nilai dari



 x 2  2 x  1

0

A. 10

EBTANAS1991

2 x  2

B. 8

C. 6

dx =…

  

2



9.

D. 5

0

E. 4

A. -1

Jawab:

 x 2  2 x  1 =



 x  2 x  1 2

0 4

=

2

D.

1 2

E. 1

2



dx

dx =

 x  1

0

C. 0

sin(2x-    ) dx

0

4

2( x  1)



1

  

( x  1) 2 = x+1

2 x  2

B. -

Jawab:

2x + 2 = 2 (x+1)

4

sin(2x-    ) dx =



  

2 dx

1

= -

0

2

2

cos (2x-    ) |

0

4

= 2x | = 2.4 – 0 = 8 0

= -

1

cos (    -

2

  

)–(-

1 2

cos(0 -

  

))

Jawabannya adalah B = -

UAN2007 3

8. Diketahui



(3x 2 + 2x + 1 ) dx = 25, nilai

a

A. -4

B. -2

C. -1

D. 1

1 2

a=…



cos 0 – (-

2 1 2

.1+

1 2

1 2

cos -

. -1 = -

1 2

  

-

1 2

)

= -1

E. 2 * cos 0 = 1, * cos -    = cos(     – 2    ) = - cos 2    = - cos 360 = - 1 )

Jawab: 3

=-

1

3

(3x 2 + 2x + 1 ) dx = x 3 + x 2 + x |

a

a 3

 jawabannya adalah A

2

= 27 + 9 + 3 - (a + a + a ) = 39 - (a 3 + a 2 + a ) = 25 (a 3 + a 2 + a ) = 14

UN2006 10. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x 2 - 2 dan garis y – x – 4 = 0 adalah….

Kita lakukan uji coba nilai (trial & error) : 2

a + a + a = 3  tidak memenuhi 3 2  a + a + a = 8 + 4 + 2 = 14  memenuhi 3 2 -2  a + a + a = -8 + 4 -2 = -6  tidak memenuhi 1 maka a = 2, sehingga a = 1 2 Masukkan nilai 1 2



3

A. 10 B. 11

C. 20

5 6 5 6 3 6

satuan luas

D. 20

satuan luas

E. 21

satuan luas

Jawabannya adalah D

www.belajar-matematika.com - 3

5 6 5 6

satuan luas satuan luas

Jawab:

=-

y = x 2 - 2 ….(1)

=-

1

(35) +

3 35

y – x – 4 = 0  y = x + 4 ….(2)

+

3

= 20 substitusi (1) dan (2) :

5 6

5 2

1

(5) + 6(5)

2

 70  15  180

+ 30 =

6

=

125 6

satuan luas

Jawabannya adalah D

x + 4 = x2 - 2  x2 - x- 6 = 0  (x - 3 ) (x +2 ) = 0 titik potong di x = 3 (batas atas) dan x = -2 (batas bawah)

UN2007 11. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah ….. satuan luas :

sketsa gambar untuk melihat posisi kurva dan garis,  pd gambar terlihat posisi di atas adalah garis, sehingga untuk  menghitung luasnya adalah persamaan garis dikurangi kurva (kondisi sebaliknya apabila kurva di atas garis)

5

A. 20

B. 13

6 1 2

C. 7

D. 6

1 2

E. 5

5 6

1 6

3



 jawab:

(y2 – y1) dx

2

Titik potong kurva dan garis :

3

=



2

(x + 4) –( x - 2) dx

2 3



=

(x +4 - x 2 + 2) dx

2

9 - x2 = x + 3  x2 + x – 6 = 0  (x + 3 ) ( x – 2) = 0

3

=



(- x 2 + x + 6) dx

2

==-

1 3 1 3

 x 3 +

1 2

3

 x 2 + 6x |

( 27  (8)) +

Titik potongnya adalah x = -3 (batas bawah) dan x = 2 ( batas atas)

2

1 2

luasnya =

(9  4) + 6(3-(-2)) www.belajar-matematika.com - 4

Jawab:

2



(pers .kurva – pers garis) dx

3

2

=



(9-x 2 ) – (x +3) dx

3 2

=



( 9 - x 2 - x – 3) dx

3 2

=



( 6 - x 2 - x) dx

3

1 3 1 2 2 = 6x -  x -  x | 3 2 3 = 6 (2-(-3) ) 1

=6.5 -

= 30 -

=

125 6

3

35 3

1 3

(8  ( 27)) -

(35) -

+

= 20

5 2

=

1 2

1 2

( 4  9) Mencari titik potong: y = x 2 …(1) x + y – 2 = 0  y = 2 – x ..(2)

(5)

substitusi (1) dan (2)

180  70  15 6

x2 = 2–x  x2 + x – 2 = 0  (x + 2 ) (x – 1 ) = 0 x = -2 (batas bawah) atau x = 1 (batas atas) (lihat pada gambar)

5 6

Jawabannya adalah A

UAN2002 12. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y – 2 = 0 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 0 . Volume benda putar yang terjadi adalah…

Mencari volume : 1

V=

  



(y 2

2

- y 1 2 ) dx

2 1

A. 15 B. 15 C. 14 D. 14 E. 10

2 3 2 5 3 5 2 5 3 5

=   

  

satuan volume



{ (2-x) 2 - (x 2 ) 2 } dx

2 1

  

satuan volume

  

satuan volume

=



((4 - 4x + x 2 ) - x 4 } dx

2 1

=   

  

  



(4 – 4x + x 2 -x 4 ) dx

2

satuan volume

1

  

satuan volume

=

  



(- x 4 + x 2 - 4x + 4) dx

2

www.belajar-matematika.com - 5

=

  

=

  

=

  

=

  

=

  

=

  

({(-

{(-

((-

1 5 1 5 1 5

33 5 33

5 72 5

5

 x +

1 3

Mencari titik potong:

1

3

2  x - 2x + 4x) |

2

1

(1  ( 32))  ( (1-(-8))-2(1-4)+4(1-(-2))} 3

33 +

1 3

9 - 2 . (-3) + 4 .3 )

substitusi (1) dan (2)

+ 3 + 6 + 12 ) + 21) =   

= 14

2

Persamaan kurva y= -x 2 + 4  x 2 = 4 – y …(1)  persamaan garis y = -2x + 4  2x = 4 – y 4 y x= ..(2) 2

  

5

 33  105

=4–y 4 (4-y) 2 = 1 6 – 4 y 16 – 8y + y 2 = 1 6 – 4 y 16 - 16- 8y+ 4y+ y 2 =0 - 4y + y 2 = 0 y2 - 4 y= 0

5

satuan volume

 jawabannya adalah D UN2007 13. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva y = -x 2 +4 dan y=-2x + 4 diputar 360 0 mengelilingi sumbu y adalah…. A. 8    satuan volume 13 B.    satuan volume 2 C. 4    satuan volume 8 D.    satuan volume 3 5 E.    satuan volume 4 Jawab:

( 4   y ) 2

x =4–y  2

y (y - 4) = 0 didapat y = 0 atau y = 4 ( terlihat pada gambar) mencari Volume: karena diputar terhadap sumbu y rumusnya menjadi: 4

V=



  

(x 1 2 - x 2 2 ) dy

0

( 4   y ) 2 { (4-y) –  } dy 4

4

=

  

 0 4

=

  

(16  8 y   y 2 ) 4-y –  } dy 4

 0 4

=

  

(16  4 y  16  8 y   y 2 )



4

0

= =

=

=

  

4   

4   

4

4



(4y - y 2 ) dy

0 2

( 2y -

(32 -

  

32

4

3

1 3

64

=

www.belajar-matematika.com - 6

3 8 3

3

4

y ) | 0

)=

  

  

4

(

96  64 3

)

satuan volume

} dy