UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA DISCIPLINA: VIBRAÇÕES MECÂNICAS PROF.: KELVIN ALVES PINHEIRO
1ª Lista de Exercícios (Vibração Livre) QUESTÕES 1a) Dê respostas ao que se pede: a) Considere dois movimentos harmônicos de frequências diferentes: x1(t)=cos2t e x2(t)=cos3t. A soma x1(t)+ x2(t) resulta em um movimento harmônico? Por quê? b) Seja um sistema vibratório de 1 GDL com parâmetros m (massa), c (amortecimento) e k (rigidez) e o deslocamento retilíneo da massa é dado pela variável x(t ). ). Quais são os parâmetros correspondentes a m, c, k e x(t ) para um sistema vibratório torcional e quais as suas unidades? c) Qual é o efeito da redução da massa sobre a frequência natural de um sistema? E qual o efeito da redução da rigidez sobre o período natural? d) Por que é importante determinar a frequência natural de um sistema vibratório? e) Quantas constantes arbitrárias deve ter uma solução geral para uma equação diferencial de segunda ordem? Como essas constantes são determinadas? f) A frequência de uma vibração livre amortecida é maior ou menor que a frequência natural do mesmo? Justifique a sua resposta. g) Qual é a utilização do decremento logarítmico? h) O que você entende por "equação do movimento"? 2a) Indique se as afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F) a) A amplitude máxima de um sistema amortecido não mudará ao longo do tempo. b) Um sistema que vibra no ar pode ser considerado um sistema amortecido. amortecido. c) Quando a massa vibra em sentido vertical, seu peso sempre pode ser ignorado na determinação da equação do movimento. d) O princípio da conservação da energia pode ser usado para se determinar a equação do movimento de sistemas amortecidos e sistemas não-amortecidos. e) Em alguns casos a frequência natural amortecida de um sistema pode maior que a frequência natural não amortecida f) A frequência natural não amortecida de um sistema pode ser dada por (g/ st) onde deflexão estática da massa.
st
éa
3a) A função dada por x(t )=10 )=10 sen( t t +60 +60o) é a resultante da soma de duas funções harmônicas escritas por funções senos. A primeira função harmônica é dada por x1(t )=5sen( )=5sen( t t +30 +30o), determine a outra função harmônica (ou seja, determine a amplitude e ângulo de fase da outra senoide).
4a) A máxima velocidade de uma massa de um simples oscilador harmônico (sistema massamola) é 10 cm/s, e o período de oscilação é 2 s. Se a massa é colocada a oscilar devido a uma condição inicial de velocidade e uma condição inicial de deslocamento de 2 cm, determine: (a) A amplitude do movimento; (b) A velocidade inicial; e (c) A máxima aceleração. 5a) Considere uma viga bi-engastada com seção transversal quadrada de 5 mm x 5 mm e comprimento de 1 m, que suporta uma massa de 2,3 kg em seu ponto médio, conforme figura abaixo. O sistema tem uma frequência natural de vibração transversal de 30 rad/s. Desprezando o peso próprio da viga, calcule o módulo de elasticidade da viga.
6a) Um cabo elástico é usado para transportar um cofre de 800 kg (Fig. Ao lado). O cofre está sendo baixado a 2 m/s quando o motor controlando o cabo subitamente emperra (para), determine: (i) a frequência de vibração em Hz do cofre; (ii) a amplitude máxima da vibração resultante. Despreze a massa do cabo e sabe-se que ele se estende 20 mm quando submetido a uma tensão de 4 kN. 7a) A barra uniforme ilustrada na Figura abaixo pesa 40 Newtons e está presa a uma mola de constante elástica k = 100 N/m. Se a extremidade A da barra é abaixada 0,03 m e liberada, determine: (a) o período da vibração livre e (b) a expressão da vibração angular da barra.
8ª) Um pêndulo torcional (Fig ao lado) possui uma frequência de oscilação de 200 ciclos/min quando está oscilando no vácuo. O momento de inércia polar de massa do disco é 0,5 kg.m 2. O pêndulo é então imerso em um óleo e sua frequência de oscilação passa a ser igual a 180 ciclos/min. Determine a constante de amortecimento devido ao óleo. 9ª) Um oscilador harmônico linear possuindo uma massa de 1,10 kg é posto em movimento com amortecimento viscoso. Se o período do movimento é de 0,1 s e se duas amplitudes sucessivas separadas por um ciclo completo do movimento, obtidas por medição, são iguais a 4,65 mm e 4,50 mm, calcule: (a) a frequência do movimento em rad/s; (b) o coeficiente de amortecimento viscoso.
10a) A resposta de vibração livre de um motor elétrico com peso de 500 N montado sobre uma base elástica (isoladores de vibração) é mostrada na Fig. abaixo. Determine a constante elástica e o coeficiente de amortecimento da base elástica.
11a) A barra da Fig. 5 tem uma massa de 3 kg. Se a rigidez da mola é k =120 N/m e o amortecedor tem um coeficiente de amortecimento c= 1000 N.s/m, determine: (a) a equação diferencial que descreve o movimento em termos do ângulo de rotação da barra; (b) a frequência natural do sistema.
Figura 5
