UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA PRIMERA PRÁCTICA CALIFICADA
Tema de laboratorio: Tracción Simple
Curso: Calculo por elementos Finitos
MC516-C
Profesor : Ing. Ronald Cueva Pacheco
Alumno: Leguía Cáceres, German Alexis
Fecha de realización: realizaci ón:
10 / 09 / 2014
2014
20101222C
Índice
Enunciado del Problema....................................................................3
Solución.............................................................................................4
Grados de Libertad Nodales................................................ ..............5
Vector Carga......................................................................................6
Matriz de Rigidez................................................................................8
Ecuación de Rigidez y Condición de Contorno..................................9
Esfuerzos y Resultados....................................................................10
Diagrama de Flujo.............................................................................11
Uso de Matlab...................................................................................12
Conclusiones................................................................................... 15
2
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Dado la siguiente placa triangular, cuyo espesor es constante, t=150mm, calcular los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo. Utilizar tres elementos finitos.
Considerar: PA t (espesor)
= 30 [KN] = 150 [mm]
E
= 3.0x105 [N/mm2]
Y
= 8.0gr-f/cm3
n
= 3 partes
= 78,45x10-6 [N/mm3]
3
SOLUCION: 1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Se consideraran tres elementos finitos. Para facilitar los cálculos los elementos finitos tendrán longitud de 100, 500 y 500mm.
Y los espesores lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:
1200 600
b1
2
b2
600 300
b1
2 300 2
900 mm
450 mm
150 mm
Entonces, el modelado del cuerpo sería el siguiente:
Y las áreas se calculan de la siguiente relación: A1 b1 x t
4
Cuadro de conectividad:
NODOS e
GDL
(1)
(2)
Primer nodo
Segundo
1
1
2 3
le
Ae 2
1
2
(mm)
(mm )
2
Q1
Q2
1000
135000
2
3
Q2
Q3
500
67500
3
4
Q3
Q4
500
22500
Nodo
2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)
A través del grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:
5
Luego el vector de desplazamiento será:
0 Q 2 Q mm Q3 Q 4 Donde Q1= 0 pues la placa esta empotrada y los demás desplazamientos son incógnitas que tendrán que ser calculadas. 3. VECTOR CARGA
6
Analizando las fuerzas en cada elemento finito: F 11 F 21 F 22 F 32 F 33
y Axl 1 2
R1 5295.37 N R1 N
y Axl 1 2
y Axl 2 2
y Axl 2 2
y Axl 3
F 43
2
P A 35295.375 N 1323.84375 N 1323.8475 N 441.28125 N
y Axl 3 2
441.28125 N
Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:
F 1 F 11 5295.37 N R1 N F 2 F 21 F 22 36619.2225 N F 3 F 32 F 33 1765.12875 N F 4 F 43 441.28125 N
Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera
F 1 5295.37 R1 F 2 36619.2225 N F 1 F 3 1765.12875 F 4 441.28125
7
4. MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que esta determinada por la siguiente ecuación:
1 1 AE 1 1 K i l 1 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 AE 0 0 l 2 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 AE 0 l 3 0 0 0 0
0 0
0
0 0
0
0 1 1 0 1 1
Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:
1 1 135000 x3 x105 1 1 K i 1000 1 0 0 0 0
0 22500 x3 x105 0 500 3 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0
0 0
0
0 67500 x3 x105 0 500 2 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0 0 0
0
0
0 1 1 0 1 1
Finalmente: 0 0 405 405 405 810 405 0 N K i 10 5 x 0 405 540 135 mm 0 135 135 0
8
5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuación de rigidez esta determinada por la siguiente ecuación:
F i K i Q
Lo que con nuestros valores calculados tenemos:
5295.37 R1 36619.2225 105 x 1765.12875 441.281250
0 0 0 405 405 405 810 405 0 Q 2 0 405 540 135 Q3 135 135 Q4 0 0
Para resolver:
36619.2225 1765.12875 105 x 441.281250
810 405 0 Q2 405 540 135 Q 3 0 135 135 Q4
Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos: Q2 95.86580 x10 5 mm
Q3 101 .3137 x10
5
Q4 104 .5824 x10
5
mm mm
Y para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la siguiente submatriz:
0 Q 5 5295.37 R1 10 x405 405 0 0 2 Q3 Q4 Resolviendo obtenemos: R1 44121 .019 N
9
6. ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuación: e
e
Qi E 1 1 l Qi 1
Y obtenemos lo siguiente:
0 3 x 105 5 1 1 1 95.8658 x 10 1000 1
1
0.287597
3 x 105 95.8658 5 2 1 1 101. 3137 x 10 500 2
2
0.032687
3 x 105 101.3137 5 1 1 10 x 31 500 104.5824 3
3
N mm 2
0.019612
N mm 2 N mm 2
7. RESULTADOS
Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:
R1 44121 .019 N
0.287597
1
2
3
0.032687
0.019612
N mm 2 N 2
mm
N mm 2
10
8. DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
INGRESO DE DATOS CONSTANTES: E,f,t VECTORES:L.A.P
CALCULO DE VECTORES
AL1 R1 2 2 1 AL AL F= ; 2 2 3 2 AL AL P A 2 2 3 AL 2
EA1 1 L 1 E A 1 L K= 0 0
1
EA
0
1
L EA
2
1
2
L
EA
1
L
EA
2
3
EA
2
3
L
E A
2
2
L 2 E A
2
L
L 3
0
0 3 EA 3 L 3 EA 3 L 0
EA 3
L
TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL 1 A L 1 2 2 1 A L A L 0 = 2 2 3 2 A L A L P A 0 2 2 3 A L 0 2
1
EA
2
EA
0
1
L 1 EA
2
1
L
L
EA 2
L 0
2
EA
3
3
EA
2
2
L 2 EA
2
L
0 3 EA 3 L 3 EA 3 L 0
L EA 3
L
3
R Q Q Q
1
2
3
4
IMPRESIÓN DE RESULTADOS
R1 , Q2 , Q3 , Q4 , E 1 , E 2 , E 3
FIN
11
Luego escribimos la siguiente función en MATLAB: clc clear all R1=sym('R1'); %datos de entrada b0=input('ingrese la base SUPERIOR de la placa= ' ); %input('Ingrese base superior(mm):') bn=input('ingrese la base INFERIOR de la placa= ' );%input('Ingrese base inferior(mm):') t=input('Ingrese el espesor de la placa= ' ); %input('Ingrese espesor(mm):') h=input('Ingrese la altura de la placa= ' ); %input('Ingrese altura(mm):') n=input('Ingrese la cantidad de elementos finitos= ' ); %input('Ingrese numero de elementos finitos:') E=input('Ingrese el modulo de elasticidad= ' ); %input('Ingrese modulo de elasticidad(N/mm2):') y=input('Ingrese la densidad del material= ' ); %input('Ingrese densidad(N/mm3):') Pa=input('Ingrese la carga PA= ' ); %input('Ingrese carga(N):') %calculo de bases y áreas de elementos le=zeros(n,1); ho=zeros(n,1); bo=zeros(n,1); b=zeros(n,1); a=zeros(n,1); Fe=zeros(n+1,1); bo(1)=b0; ho(1)=h; for i=1:n if n>i le(i)=input( 'Ingrese longitud del elemento finito(mm):' ); b(i)=(bo(i)+bn+(bo(i)-bn)*(ho(i)-le(i))/ho(i))/2; a(i)=b(i)*t; ho(i+1)=ho(i)-le(i); bo(i+1)=2*b(i)-bo(i); else le(i)=ho(i); b(i)=(bn+bo(i))/2; a(i)=b(i)*t; end end disp('Bases(mm):' ) disp(b') disp('Longitudes(mm):') disp(le') disp('Areas(mm^2):' ) disp(a') %calculo de las fuerzas for i=1:n Fe(i)=y*a(i)*le(i)/2; end for i=1:n+1 if i==1 F(i)=Fe(i); elseif i==n+1 F(i)=Fe(i-1); else F(i)=Fe(i-1)+Fe(i); end end F(2)=F(2)+Pa; disp('El vector de fuerzas(N):' ) disp(F') %calculo de la matriz rigidez
12
k=zeros(n+1); for i=1:n x=zeros(n+1); x(i,i)=1;x(i+1,i)=-1;x(i,i+1)=-1;x(i+1,i+1)=1; k=k+(a(i)*E/(le(i)))*x; end disp('La matriz de rigidez es(N/mm):' ) disp(k) %calculo de desplazamientos inv(k(2:n+1,2:n+1)); ((F(2:n+1))'); Q=inv(k(2:n+1,2:n+1))*((F(2:n+1))'); Q=[0;Q]; disp('..............................' ); disp(' RESULTADOS'); disp('=============================' ); disp('Los desplazamientos de los nodos son(mm):' ) disp(Q) %calculo de la reaccion k(1,:)*Q; R1=k(1,:)*Q-F(1); disp('=============================' ); disp('La reaccion en el extremo es:' ) disp(R1) %calculo de esfuerzos for i=1:n e(i)=(E/(le(i)))*[-1 1]*[Q(i); Q(i+1)]; end disp('=============================' ); disp('Los valores de los esfuerzos son(N/mm^2):' ) disp(' e1 e2 e3'); disp(e);
13
9. VISTA EN EL COMMAND WINDOW DE MATLAB
14
10. CONCLUSIONES
- Podemos apreciar, al utilizar más nodos, que las respuestas no varían enormemente, solo aumentan la precisión con la cual se presentan. - Se recomienda utilizar un número moderado de nodos, ya que las operaciones con matrices se vuelven demasiado engorrosas al ser de orden nxn donde n es el número de nodos. - Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeñas (décimas de micras), además todas son hacia abajo que es el sentido positivo asumido como referencia. - En el ejemplo no desarrollamos todo estrictamente en el SI, nos referimos específicamente al uso de los metros, debido a las magnitudes de las elongaciones y esfuerzos; es por ello que se utilizó en el desarrollo milímetros en vez de metros. - Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de compresión para nuestro sistema de referencia.
15