Probabilidad y estadística José Luis Poveda Macías Ingeniero Físico Maestro en Educación
Nociones de probabilidad • • • • •
Definición. Espacio muestral y eventos. Axiomas y teoremas. Eventos dependientes. Eventos independientes.
Reporte 1 • En equipos de 4 personas, se les entregará un dado distinto. • El experimento consiste en calcular el número de veces que saldrán los valores divisibles entre 3. Éste es el evento deseado o “éxito”. • Anoten después de cada repetición si el resultado es el esperado. • Tabulen, en intervalos acumulados de 10, el resultado ó é obtenido:
• Grafiquen la relación
É
cada tanda de 10 acumulados. A. Actividad introductoria
para
Reporte 1 • Ahora hallen la relación
para
un único experimento. • ¿Es una estimación acertada? Analicen sus resultados y saquen sus conclusiones al respecto. • Repitan el procedimiento con otro dado.
A. Actividad introductoria
Definición • La probabilidad es la ciencia matemática que estudia y modela los fenómenos aleatorios.
• Ajusta modelos deterministas a eventos que no son predecibles con exactitud. 1. Definición
Significado de términos clave • Probabilidad: Del latín probabilitas, -atis En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.
• aleatorio: del latín aleatorius, propio del juego de dados 1. adj. Perteneciente o relativo a los juegos de azar 2. adj. Dependiente de algún suceso fortuito • determinista, de determinismo: Teoría que supone que la evolución de los fenómenos naturales está completamente determinada por las condiciones iniciales
¿Cómo es un fenómeno aleatorio? • Es un hecho del cual sus posible resultados son previsibles antes de efectuar el experimento. • Sin embargo, no se puede predecir el resultado final antes de realizarlo. • Al repetir el experimento varias veces, con las mismas condiciones iniciales, se pueden obtener resultados distintos.
1. Definición
Límite de una probabilidad • La probabilidad no es más que un límite cuando se repite un experimento infinitas veces. Es decir: →
• Donde f es la frecuencia relativa del resultado • s es el número de veces que ocurre un “éxito” • n es el número de repeticiones del experimento.
1. Definición
Definición clásica • Sea E un evento que puede ocurrir de s formas de un total de n maneras. Entonces su probabilidad se calcula:
• O dicho de otra forma:
1. Definición
Espacio muestral • Recordemos la teoría de conjuntos: – El espacio muestral S es el conjunto de todos los resultados posibles para un experimento determinado. – Puede considerarse como el Universo (U) para el experimento que se está planteando.
U 1
5 3
4 2. Espacio muestral y eventos
2 6
Evento – Es todo subconjunto existente en el espacio muestral del experimento. – Estos son definidos en el problema que se quiere resolver. El experimento es tirar un dado. U 1 Evento A= Cae un número par. 2 5 Evento B= Cae un número 4 B A 6 mayor o igual a 4. A= {2, 4, 6} B= {4, 5, 6} 3 2. Espacio muestral y eventos
Axiomas • Muchos de los axiomas pueden comprobarse mediante Diagramas de Venn, en caso de ser necesario. • P(A) = Probabilidad de que ocurra el evento A. • Axioma 1: ! "#$% ! &
– Si el evento tiene una probabilidad de cero, se dice que es un evento imposible. – Si el evento tiene una probabilidad de uno, se dice que es un evento seguro.
• Axioma 2: " ' 3. Axiomas y teoremas
&
Axiomas • Axioma 3: Para eventos mutuamente excluyentes () ∩ (+ ∅ para i ≠ j: /
- . () )01
/
2 -#() % )01
• Desarrollándolo: - (1 ∪ (4 ∪ … ∪ (/ - (1 6 - (4 6 ⋯ 6 -#(/ % 3. Axiomas y teoremas
Teoremas • " $∁ &9" $ • Sean A y B dos eventos cualesquiera: " $∪: " $ 6 " : 9 "#$ ∩ :% • Si A ⊆ B, entonces " $ ! " : • Sean A y B dos eventos cualesquiera: " $9: " $ 9 "#$ ∩ :% • Es importante notar que las propiedades de los Diagramas de Venn son aplicables en este caso. 3. Axiomas y teoremas
Ejemplo • Se ha seleccionado al azar una carta de una baraja de 52 cartas. Considera los eventos siguientes: A={corazón} y B={figura} a) Encuentra P(A), P(B) y -#( ∩ <% b% -#( ∪ <%
3. Axiomas y teoremas
Ejemplo a) Las cartas de figuras en las barajas son 3: jota, queena y rey; y hay uno por cada palo. En total son 12. Entonces, la probabilidad de que salga una figura es: >ú@ A B 12 F " : >ú@ A 52 &F
3. Axiomas y teoremas
Ejemplo a) En una baraja común existen 13 cartas de cada palo (corazones, espadas, diamantes, tréboles). Entonces, la probabilidad de que salga un corazón es: GúHIJK LI MKJNOKPIQ 13 & " $ GúHIJK LI MNJRNQ 52 T
3. Axiomas y teoremas
Ejemplo a) Finalmente, se quiere conocer la probabilidad de que sea una carta de corazón con figura. De los 13 corazones, sólo 3 son figuras. Por lo tanto: GúHIJK LI UVWXJNQ 3 " $∩: GúHIJK LI MNJRNQ 52
3. Axiomas y teoremas
Ejemplo b) Se quiere hallar -#( ∪ <%, o lo que es lo mismo, la probabilidad de escoger una carta corazón o una carta figura. Entonces se puede calcular con el teorema de la adición: 1 3 3 22 " $∪: " $ 6" : 9" $∩: 6 9 4 13 52 52 && Z[
A. Axiomas 3. Ejemplo y teoremas
Eventos dependientes • Las técnicas de conteo son muy útiles para poder determinar la probabilidad de distintos eventos. • Recuerda examinar el problema para escoger la técnica más conveniente para resolverlo. – – – – –
Diagramas de Venn Combinaciones Permutaciones Diagramas de árbol Adición y multiplicación.
A. Eventos 4. Ejemplodependientes
Ejemplo • Seis parejas casadas se encuentran en una habitación. Dos personas se eligen al azar. Encuentra la probabilidad p de que: a) Estén casadas b) Una sea hombre y la otra, mujer.
A. Eventos 4. Ejemplodependientes
Ejemplo Son 12 personas en total, por lo tanto, los casos posibles se calculan:
a)
12 12 ∙ 11 66 2 2∙1 Hay 6 parejas casadas, es decir: 1 6 ^ 66 11
b) Si uno es hombre y el otro mujer, entonces, los casos favorables se determinan: 6 6 36 1 1 36 6 ^ 66 11 A. Eventos 4. Ejemplodependientes
Actividad 7 • De una caja que contiene 10 bolas de color rojo, 30 de color blanco, 20 de color azul y 15 de color naranja, se saca una al azar. Halla la probabilidad de que la bola extraída: – Sea de color rojo o naranja. – No sea ni de color rojo ni azul. – No sea de color azul. – Sea de color blanco. – Sea de color rojo, blanco o azul. 7. Eventos 4. Fórmulasdependientes de conteo
Eventos independientes • Los eventos independientes son aquellos en los que se considera que la ocurrencia de uno no afecta directamente que suceda el otro. • Por ejemplo, si lanzo un dado, y luego tiro una moneda, son eventos independientes porque el resultado del dado no influye en la moneda.
5. Eventos independientes
Eventos independientes • Si se realiza el experimento múltiples veces, también puede considerarse cada evento como independiente del otro, puesto que en teoría el resultado anterior no afecta al siguiente. Es idéntico a cuando se efectúa el experimento con dados distintos. • Si dos eventos son independientes: " $∩: " $ "#:%
7. Eventos 5. Fórmulasindependientes de conteo
Ejemplo • Un sistema eléctrico en paralelo de n componentes independientes separados se muestra en la figura. La probabilidad de que un componente funcione es pi, con i = 1, 2, …, n, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? 1 2
A
…
3 n
5. Eventos independientes
B
…
Ejemplo • Un sistema en paralelo funciona cuando, por lo menos, uno de los interruptores hace contacto. La opción más lógica sería decir: P{el sistema funcione} = P{un contacto funcione} + P{dos contactos funcionen} + … + P{todos los contactos funcionen} • Sin embargo, es impráctico ya que existe una cantidad n de contactos que pueden funcionar. • ¿Existe alguna forma de tener un cálculo más sencillo? 5. Eventos independientes
Ejemplo Usemos otra perspectiva: • Una opción más sencilla es decir que el único caso que no me interesa es aquél en el que ninguno de los contactos esté funcionando. Utilizando la propiedad del complemento, obtenemos que: P{el sistema funcione} = 1 – P{el sistema no funcione} P{el sistema funcione} = 1 – P{ningún componente funcione} 1 2
A
… 5. Eventos independientes
3 n
B
…
Ejemplo • Sea Ai es el evento en el que componente i funciona, podemos decir que: & 9 " $& ∁ ∩ $Z ∁ ∩ ⋯ ∩ $ ∁ " QVQRIHN " QVQRIHN
& 9 _#& 9 0&
%
1 2
A
… 5. Eventos independientes
3 n
B
…
¡Cuidado! • ¡Antes de aplicar la fórmula de independencia, asegúrate que sea razonable suponer que todos los eventos son independientes entre sí! • ¡Una fórmula mal empleada puede provocar efectos catastróficos!
5. Eventos independientes
Three Mile Island, situada en Harrisburg, Pennsilvania, 28 de marzo de 1979
• En esa planta nuclear ocurrió un accidente nuclear en 1978. • Se pensaba que la probabilidad de que ocurriese un accidente era de una en 10 millones. Sin embargo, ocurrió. • Los estadísticos consideraron que había una probabilidad de 1 en 1,000 de cerrar una válvula de control de agua. • Dos válvulas = (teóricamente) 1 en 1 millón.
5. Eventos independientes
Three Mile Island • Sin embargo, la independencia no toma en cuenta los casos en que hay errores de juicio. • Además, las dos válvulas nunca habían sido cerradas. El trabajador no pudo haber intuido que ambas debían cerrarse al mismo tiempo si no le fue explicado. • Por lo tanto, los riesgos fueron subestimados, casi provocando una catástrofe nuclear.
Actividad 7 • Un sistema contiene dos componentes, C y D, conectados en paralelo. Supón que ambos funcionan de manera independiente. – Si la probabilidad de que falle C es 0.08 y la probabilidad de que D falle es 0.12, encuentra la probabilidad de que el sistema funcione. – Si tanto C como D tienen probabilidad p de fallar, ¿cuál debe ser el valor de p para que la probabilidad de que el sistema funcione sea 0.99?
