Probabilidad y estadística José Luis Poveda Macías Ingeniero Físico Maestro en Educación
Probabilidad condicional • • • •
Definición. Procesos estocásticos. Ley de probabilidad total. Teorema de Bayes.
Video: Monty Hall
1. Video
Fuente: http://www.youtube.com/watch?v=AbepvfOaFhw&
Definición • La probabilidad condicional implica la reducción intencionada del espacio muestra para determinar la probabilidad de un evento cuando ya ocurrió otro. • Es decir, ∩ • Esto es, la probabilidad de que ocurra A si B ya sucedió.
B es el nuevo espacio muestral ∩ se convierte en los “casos favorables” 1. Definición
Definición • Se utiliza la probabilidad condicional cuando: se quiere calcular la probabilidad y sólo se tiene información parcial al respecto se descubre que hay datos que son más relevantes para lo que nos interesa calcular (Estadística).
1. Definición
Ejemplo • En cierta universidad, el 25% de los estudiantes reprobaron matemáticas, el 15% reprobaron química y el 10% reprobaron ambas. Se selecciona un estudiante al azar. a) Si el estudiante reprobó química, ¿cuál es la probabilidad de que haya reprobado matemáticas? b) Si el estudiante reprobó matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya reprobado química? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante haya reprobado matemáticas o química? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no haya reprobado ni matemáticas ni química? 1. Definición
Ejemplo a) Se busca | , es decir, la probabilidad de que el estudiante, habiendo ya reprobado química, también haya tronado matemáticas. 0.25,
0.15,
Aplicando la fórmula: ∩ 0.10 0.15
1. Definición
∩
0.10
Ejemplo b) Ahora se solicita | , es decir, la probabilidad de que el estudiante, habiendo ya reprobado matemáticas, también haya tronado química. Aplicando la fórmula: ∩
0.10 0.25 1. Definición
Ejemplo c) Esto implica utilizar la regla de la adición: ∪ ∩ ∪ 0.25 0.15 0.10 . d) Se desea obtener a todos aquellos estudiantes que no se encuentran definidos dentro de A y B, o sea, ∪ ∁ . Esto se halla con la fórmula: ∪
1. Definición
∁
∪
1
0.30
.
Actividad 8 • Un estudio de mercado en una ciudad indica que, durante cualquier semana, 18% de los adultos ven un programa de televisión orientado a temas financieros y empresariales, 12% leen una publicación orientada a esta temática y 10% realizan ambas actividades. Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad: – Vea el programa de televisión dado que lee la publicidad mencionada. – Vea la publicación dado que ve dicho programa de televisión.
1. Definición
Procesos estocásticos • Es una sucesión finita de experimentos en donde cada experimento tiene resultados con probabilidades dadas. • No tiene que ser una repetición del mismo experimento. • Los diagramas de árbol rotulados son utilizados para resolverlos fácilmente.
2. Procesos estocásticos
Ejemplo • Supón que se te dan 3 cajas: – La caja X tiene 10 focos, de los cuales 4 están defectuosos. – La caja Y tiene 6 focos, de los cuales 1 está defectuoso. – La caja Z tiene 8 focos, de los cuales 3 están defectuosos.
• Se escoge una caja al azar y luego se selecciona un foco de la caja. a) Encuentre la probabilidad p de que el bombillo no esté defectuoso. b) Si el bombillo no está defectuoso, encuentre la probabilidad de que provenga de la caja Z.
2. Procesos estocásticos
Ejemplo • Empecemos por determinar las probabilidades de cada experimento. 1. El primero consiste en seleccionar una caja al azar. Puesto que todas las cajas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, la probabilidad para cada una de ellas es . 2. El segundo experimento depende de la caja elegida. " de Si se escoge X, se tiene una probabilidad de ! # tomar un foco defectuoso. Por lo tanto, la probabilidad de escoger un foco funcional es de . #
3. Este proceso se repite para las otras cajas. 2. Procesos estocásticos
Ejemplo • Una vez planteadas las probabilidades, se dibuja un diagrama de árbol donde se ponen todas las opciones existentes para el problema. Experimento 2 Experimento 1
2 5
X
3 5
1 3
Inicio
1 3
1 6
Y
1 3
Z 2. Procesos estocásticos.
5 6
3 8 5 8
D
N • Cada ramal debe sumar 1 D • Considerar si los experimentos son al azar o existe algún sesgo. • Es posible calcular la N probabilidad total de un evento ocurrido en el segundo experimento. D N
Ejemplo a) Noten que las tres trayectorias principales son mutuamente excluyentes. Por lo tanto, si ocurre el primer experimento y el segundo experimento, y luego consideramos que hay 3 casos posibles, obtendremos la probabilidad de seleccionar un foco no defectuoso: 1 3 1 5 1 5 247 ' ∙ ∙ ∙ + 0.686 & 3 5 3 6 3 8 360 2 5
1 3 1 3 1 3
3 5
X 1 6
Y
Z 2. Procesos estocásticos
D
D
5 6 3 8
N
N 5 8
D N
Ejemplo b) Es un caso de probabilidad condicional, ya que sabiendo que el foco no es defectuoso, queremos saber si provino de la caja Z. Ya tenemos la probabilidad de que no sea defectuoso. Ahora necesitamos la probabilidad de que no sea defectuoso y que salga de la caja Z, o sea, , ∩ - . 2 5 1 3 1 3 1 3
3 5
X 1 6
Y
Z 2. Procesos estocásticos
D
D
5 6 3 8
N
N 5 8
D N
1 5 5 -∩, ∙ 3 8 24 Ahora aplicamos la fórmula de probabilidad condicional -∩, 5/24 -, . / , 247/360
Ley de probabilidad total • Remitámonos de nuevo al ejemplo anterior. Cada rama principal se puede considerar como un subconjunto (o eventos) mutuamente excluyente: A1
A1
A2
E E
A2
A3
E
E
S
• En el segundo esquema tenemos que: 0 0∩1 0∩ ∪ ∪ …∪ 3 0∩ ∪ 0∩ ∪ ⋯∪ 0 ∩ A. Ley 3. Ejemplo de probabilidad total
A3
Ley de probabilidad total • Ahora, con la fórmula de probabilidad condicional, obtenemos que: 0∩ 5 0| 5 5 • Aplicando la fórmula: 0 0| 0| ⋯ 0| 3 3 0
3
6 78
7
0|
7
que, en realidad, es la fórmula que aplicamos en el ejemplo. A. Ley 3. Ejemplo de probabilidad total
Teorema de Bayes • Es otra fórmula que es muy útil pero, sobre todo, es aplicada intuitivamente cuando se tienen que calcular probabilidades con diagramas de árbol. A1
A2
A3 A. Teorema 4. Ejemplo de Bayes
E
E
E
También se mostró en el ejemplo. Consiste en la división de la probabilidad total con respecto a la rama que nos interesa. Es un caso particular de probabilidad condicional.
Teorema de Bayes • Tenemos los eventos A1, A2, …, Ak, …, An, que forman una partición con S, y E es un evento cualquiera. Si aplicamos lo antes visto en la fórmula de probabilidad condicional: 5
5 ∩0
0
5
0
0| 5 0
Si consideramos la fórmula obtenida para calcular la probabilidad total de E: 5
A. Teorema 4. Ejemplo de Bayes
0
∑3 7:
5
7
0| 5
0| 7
Ejemplo • Supongamos que un dormitorio estudiantil en una universidad está conformado por: 1) 30% de estudiantes de primer año, de los cuales el 10% posee un auto. 2) 40% de estudiantes de segundo año, de los cuales el 20% posee un auto. 3) 20% de estudiantes de tercer año, de los cuales el 40% posee un auto. 4) 10% de estudiantes de cuarto año, de los cuales el 60% posee un auto. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de tercer año si tiene auto? 7. Teorema 4. Fórmulasde deBayes conteo
Ejemplo • Se traza el diagrama de árbol respectivo, y se determinan los eventos útiles. A
10% 90%
30% 40%
T N T
B
20% 80%
T
C
40% 60%
20% 10% D
60% 40%
N
N T N
4. Teorema de Bayes
Nos interesa T (evento tiene auto) a) La probabilidad total es: ; 0.30 0.10 0.40 0.20 0.20 0.40 0.10 0.60 . b) Se busca la probabilidad de <|= . Noten que la intersección está marcada en la probabilidad total anterior. Por el teorema de Bayes: 0.20 0.40 < =|< <= 0.25 = 8 32% 25
Actividad 8 • A una rata se le permite seleccionar al azar uno de cinco laberintos diferentes. Si las probabilidades de que pase por cada uno de los diferentes laberintos en tres minutos son de 0.6, 0.3, 0.2, 0.1 y 0.1, respectivamente. Si se sabe que la rata escapa en tres minutos, cuál es la probabilidad de que haya escogido: – El primer laberinto. – El segundo laberinto.
7. Teorema 4. Fórmulasde deBayes conteo
