Universidad Veracruzana
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Segundo Examen Parcial
Docente
M. en C Francisco Alejandro Alaffita Hernández
Alumnos
Elizabeth Martinez Martinez
David Velázquez Flores
Candy Samady González Pérez
Fecha de entrega
1 de Mayo del 2014
1.- Las armazones son estructuras ligeras capaces de soportar cargas pesadas. En el diseño de puentes, los miembros de la estructura están conectados con juntas rotatorias de pasador que permiten transferir la fuerza de un miembro a otro. La figura siguiente muestra una estructura que se mantiene estacionaria en el extremo inferior de la izquierda (1), que se desplaza horizontalmente en el extremo inferior derecho (4) y que tiene juntas de pasador en (1), (2), (3) y (4). Se coloca una carga de 10000 newton (N) en la junta (3) y las fuerzas resultantes sobre las juntas de la estructura tienen magnitudes dadas por f1, f2, f3, f4 y f5 como se observa en la figura. Cuando son positivas, estas fuerzas indican tensión en los elementos de la estructura y cuando son negativas indican compresión. El miembro de soporte estacionario tiene una fuerza horizontal F1 y una fuerza vertical F2, pero el miembro de soporte movible tiene únicamente la fuerza vertical F3.
Si la estructura está en equilibrio estático, las fuerzas en cada junta deben agregarse al vector cero, de modo que la suma de las componentes horizontal y vertical en cada junta debe ser cero.
En resumen:
Calcular las fuerzas f1, f2, f3, f4, f5, F1, F2 y F3, por medio de la regla de Kramer, Matriz inversa, Gauss-Jordan, Gauss-Jordan con pivoteo y a mano. Comparar los resultados.
Por la regla de Cramer
2) Matriz inversa:
Por el método de gauss
Solución del sistema a mano
2.- Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras. Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos.
En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadoras. Si se dispone diariamente de 504 horas, hombre, 1970kg de metal, 970 kg de plástico y 601 componentes electrónicos. ¿Cuantas computadoras de cada tipo se pueden construir por día?
Computadoras
Mano de Obra
Metales
Plásticos
Componentes
1
2
3
4
3
4
7
20
20
25
40
50
10
15
20
22
10
8
10
15
Primero sabemos que hay 4 tipos de computadoras y necesitamos saber cuántas de cada tipo se pueden construir por lo que le asignamos a cada computadora una incógnita.
Hacemos nuestras ecuaciones en la cual separaremos cada sección; mano de obra, metales, plásticos y componentes asignando la incógnita del tipo de ordenador:
3x + 4y + 7z + 20w
20x+25y+40z+50w
10x+15y+20z+22w
10x+8y+10z+15w
Igualamos a la cantidad que es necesaria en cada uno por día:
3x + 4y + 7z + 20w=504
20x+25y+40z+50w=1970
10x+15y+20z+22w=970
10x+8y+10z+15w=601
Ahora resolviendo el sistema de ecuaciones con el método de cramer en MATLAB
.
Los resultados son:
X1=10
X2=12
X3=18
X4=15
Lo que significa que:
Se pueden construir 10 computadoras del tipo 1
Se pueden construir 12 computadoras del tipo 2
Se pueden construir 18 computadoras del tipo 3
Se pueden construir 15 computadoras del tipo 4
3.-Para decidir que computador comprar, si el ENC174 o el MGR11, una compañía ha decidido evaluar la precisión con la que cada uno de estos modelos resuelve el sistema
34x+55y-21=0
55x+80y-34=0
El computador ENC174 da como solución x=-0.11 e y=0.45 y, para comprobar su exactitud se sustituye en el sistema y se obtiene:
34(-0.11)+55(0.45)-21=0.01
55(-0.11)+80(0.45)-34=0.00
El computador MGR11 da como resultado x=-0.99 e y=1.01 y, para comprobar su exactitud se sustituye en el sistema y se obtiene:
34(-0.99)+55(1.01)-21=0.89
55-0.99+801.01-34=1.44
¿Qué computador da mejor respuesta? ¿Por qué?
El computador ENC174, porque suponiendo que ambas soluciones ("x" y "y" ) son correctas, este computador presenta una mejor respuesta debido a que tiene una mayor precisión.
NOTA: Las soluciones presentadas no satisfacen las ecuaciones.
4.- Calcule la solución de Ax=B siendo la matriz de Hilbert de 4x4 dada por:
Utilizando la regla de cramer en MATLAP
se introducen los datos y se obtiene el vector solución
Para comprobar que nuestro resultado es correcto, multiplicamos A*X para obtener el vector solución.
5.- La distancia D=Dt recorrida por un automóvil se muestra en la siguiente tabla:
t
Dt
8
17.453
9
21.460
10
25.752
11
30.301
12
35.084
a) Determine la velocidad V(10)
Sabiendo que Vt=dxdt podemos usar las diferencias centrales con los datos proporcionados para obtener la velocidad en el punto t=10
Y obtenemos como resultado con V(10) = 4.4205.
b) Compare su respuesta con la que se obtiene sabiendo que la expresión de Dt es Dt=-70+7t+70e-t/10
Para calcular analíticamente la velocidad en t=10 derivamos Dt y tenemos
y evaluamos en 10.
Vt= dDtdt=7-7e-t/10
V10=dD10dt=7-7e-(10)/10
V10=4.4248
Y comparamos ambos resultados.
Resultado numérico
Resultados analítico
4.4205
4.4248
6. Sea fx,y=xyx+y . Calcule aproximaciones a fx2,3 y fy2,3 (fx es la derivada de f con respecto a x y fyes la derivada de f con respecto de y) con h=0.1, 0.01 y 0.001. Compare con los resultados reales.
1) Las derivadas parciales son:
fx=y2x+y2 fy=x2x+y2
2) Y al evaluar las derivadas parciales en los puntos (2,3) obtenemos
fx2,3=322+32=0.36 fy2,3=222+32=0.16
3) Ahora realizando el método numérico para las derivadas parciales con una h específica en MATLAB.
4) Obteniendo los resultados para cada una de las h específicas.
5) Y trasladando cada uno de los resultados a la siguiente tabla para compararlos.
Valor real de la derivada en (2,3)
Valor de la derivada en (2,3) con h=0.1
Valor de la derivada en (2,3) con h=0.1
Valor de la derivada en (2,3) con h=0.1
fx2,3=0.36
fy2,3=0.16
7.- Haga lo mismo que el ejercicio anterior pero con
fx,y=arctan xy
1) Las derivadas parciales son:
fx=11+xy2 1y fy=11+xy2 -xy2
2) Al evaluar las derivadas parciales en los puntos (2,3) obtenemos
fx2,3=11+232 13=0.2308 fy2,3=11+232 -232 =-0.1538
3) Ahora utilizando el método numérico anterior para derivadas parciales con una h específica y cambiando la función genera
4) Obteniendo los resultados para cada una de las h específicas.
5) Trasladando cada uno de los resultados a la siguiente tabla para compararlos.
Valor real de la derivada en (2,3)
Valor de la derivada en (2,3) con h=0.1
Valor de la derivada en (2,3) con h=0.1
Valor de la derivada en (2,3) con h=0.1
fx2,3=0.2308
fy2,3=-0.1538
