RESUMO DO MODELO MATEMÁTICO Max WX 1000 x1 Y #00 x2 A"unção O$etioB %ueito a 3x1 Y #x2[ 40 Ae!triçe! t)ni)a!B 7x1 Y 4x2[ 60 x1 Z0 Ae!triçe! de não-negatiidadeB x2Z0 14# EXEMPLOS DE FORMULA!"O FORMULA!"O DE MODELOS tio! de m',uina! m',uina! A: B e CC ,ue odem rodu+ir E)(9,* 1$ /on!ideremo! uma ('$ri)a )om tr! tio! ,uatro roduto! 1C 2C 3C 4. /ada um do! roduto! tem ,ue a!!ar or alguma oeração em )ada um do! tr! tio! de m',uina! Am',uina de tornearC er(urar e laminarC or exemloB. < ta$ela a$aixo mo!tra mo!tra o! temo! ne)e!!'rio! ne)e!!'rio! de )ada m',uina m',uina ara (a+er a oeração oeração em )ada rodutoC rodutoC o total total de (un)ionamento da! m',uina! or !emana e o lu)ro o$tido !o$re a renda de uma unidade de )ada um do! roduto!. /on!idera-!e ,ue o! lu)ro! !ão diretamente roor)ionai! ao nHmero de unidade! endida!. %a$endo-!e ,ue ,ueremo! determinar a rodução !emanal ara )ada roduto de modo a maximi+ar o! lu)ro!C (ormule o ro$lema de rogramação linear. 5io de m',uina A B C 8nidade de lu)ro
1 1C# 1 1C# #C24
Produto! 2 3 1 2C4 # 1 3 3C# 7C3 C#4
4 1 3C# 1 4C1
5emo total utili+ado or !emana 2000 000 #000
%uonDa %uonDa ,ue x !ea o nHmero de unidade! do roduto j rodu+ida! or !emana. ;eem então !er )al)ulado! o! alore! de x 1C x 2C x3 e x4 ,ue maximi+em o lu)ro. ;e!de ,ue o temo di!onGel ela m',uina !ea limitadoC não !e ode aumentar ar$itrariamente ar$itrariamente a !aGda de )ada um do! roduto!. roduto!. < rodução re)i!a !er di!tri$uGda entre o! roduto! 1C 2C 3 e 4 de modo ,ue o! lu)ro! !eam maximi+ado! !em ex)eder o nHmero m'ximo de Dora! de m',uina! di!onGei! em )ada um do! gruo! de m',uina!. Modelo "O Max W X #C24x1 Y 7C3x2 Y C#4x3 Y 4C1x4 Alu)ro !emanalB %.<.. 1C#x1 Y x2 Y 2C4x3 Y x4 [ 2000 Dora! ora! Am', Am',uuina ina ddoo tio io
x1C x2C x3C x4 Z0
E)(9,* 2$ ;ieta Para uma $oa alimentação o )oro ne)e!!ita de itamina! e roteGna!. < ne)e!!idade mGnima de itamina! de 32 unidade! or dia e a de roteGna! de 36 unidade! or dia. 8ma e!!oa tem di!onGel di!onGel )arne e oo! ara !e alimentar. alimentar. /ada unidade de )arne )ontm 4 unidade! de itamina! itamina! e 6 unidade! de roteGna!. /ada unidade de oo )ontm unidade! de 12
itamina! e 6 unidade! de roteGna! . =ual a ,uantidade di'ria de )arne e oo! ,ue dee !er )on!umida ara !urir a! ne)e!!idade! de itamina! e roteGna! )om o menor )u!to o!!GelV %a$e-!e ,ue )ada unidade de )arne )u!ta 3 unidade! monet'ria! e )ada unidade de oo )u!ta 1 unidade monet'ria. Modelo "O Min W X 3x 1 Y x2 %.<.. 4x1 Y x2 Z 32 6x1 Y 6x2 Z 36
A)u!toB Aitamina!B AroteGna!B
x1C x2 Z0
E)(9,* 3$ 1nvestimentos 2inanceiros3 4e5a um investidor que dispõe de 6 7. e v%rias opões de investimento. O investidor pretende maximizar seu capital ao final de um ano, levando em conta os investimentos potenciais. *o investimento 8 cada real aplicado $o5e produz uma renda trimestral de 6 ,/ e devolve o principal ao final de um ano. *o investimento 9 cada real aplicado $o5e retorna 6 7,/ ao final de um ano. O investimento ! estar% disponível ao início do :o trimestre e cada real aplicado retornar% 6 7,&; ao final do ano. 4abe
8 ? investimento em 8@ >9 ? investimento em 9@ >! ? investimento em !@ A7, A&, A: e A/ ? recursos aplicados em fundos de renda fixa no início de cada trimestre correspondente. Bodos esses investimentos podem ser visualizados num eixo $orizontal em escala trimestral, onde a seta para baixo indica uma aplicaão e a seta para cima o retorno de caixa. O símbolo C registra o $orizonte do estudo, ou final do /o trimestre.
13
Fe!!e modeloC a (unção o$etioC e,uação A0BC indi)a o montante ao (inal do 4 o ano. < re!trição A1B indi)a a! tr! o!!i$ilidade! de ali)ação do! re)ur!o! Doe di!onGei!C a !a$er ine!timento
renda. Para o inG)io do 4 o trime!tre o Hni)o ine!timento o!!Gel 4 e o! re)ur!o! di!onGei! !ão a renda do ine!timento
E)(9,* 4$ Modelo de Mi!tura! O dono de um ai'rio re)i!a (a$ri)ar uma ração e!e)ial ara a! !ua! galinDa!C de (orma a atender 9! ne)e!!idade! mGnima!. < rodução de!eada de!ta ração de *0 ^g e a mi!tura dee !er (ormada or doi! ingrediente! $'!i)o! o milDo e o (arelo de arro+C ,ue )u!tam 0C*0 e 0C30 or ^g re!e)tiamente.
/omo!ição de )ada ingrediente
%olução
14
%a$e-!e tam$m ,ue a mi!tura dee ter elo meno! 7 de roteGna e 3 de (i$ra. PortantoC a !oma da! ,uantidade! de roteGna de )ada ingrediente dee ex)eder 7 da ,uantidade totalC en,uanto ,ue a ,uantidade de (i$ra dee !er elo meno! !uerior a 3C ou !ea
EC (inalmenteC o dono do ai'rio de!ea rodu+ir a mi!tura de (orma a ga!tar o mGnimo o!!Gel.
E)(9,* 5$ Planeamento da Produção ;urante o! rximo! !ei! me!e!C o
%olução ;e(ina _ t C `t e It Cara t X1C2C...6C ara indi)arem re!e)tiamente a rodução regularC em Dora!-extra! e o e!to,ue ao (inal do m! t.
1#
E)(9,* 6$ -rocessos Huímicos < emre!a Petro di!e de dua! (onte! de etrleo $rutoC denominada! @leo < e @leo C endido! em $arri! A$$lBC ,ue ela ode ad,uirir ara ro)e!!amento. O @leo < )u!ta 2C00$$l e o @leo 22C00$$lC !endo ,ue a! ,uantidade! di!onGei! !ão de 10.000 $$ldia e 7.000 $$ldia re!e)tiamente. E!!e! leo! odem a!!ar or doi! ro)e!!o! !u)e!!io!C no! ,uai! não D' erda! em olume rimeiro uma de!tilação ,ue agrua o! leo! em !ua! (raçe! lee! e e!ada!C a! ,uai! odem !er endida! ou ro)e!!ada! noamente. O !egundo ro)e!!o um )ra,ueamento ,ue o! tran!(orma em doi! roduto! (inai! ga!olina e die!el.
I das fraões por tipo de leo diesel por fraão
I de gasolina e
%a$e-!e ,ue a! (raçe! lee! odem !er endida! or 20$$l e a! e!ada! or 27$$lS a ga!olina endida or 3#$$lC en,uanto ,ue o die!el endido or 30$$l. %olução
16
!om as vari%veis de decisão acima, o modelo torna
O modelo a)ima tem 10 ari'ei! e e,uaçe!. Pode-!e notar ,ue dua! ari'ei! odem !er !urimida!C a !a$er "LEE e "PE%<;
me!e! de unDoC ulDoC ago!to e !etem$roC me!e! de i)o de demandaC ara um de !eu! roduto! lGdere!. Ela di!e do! !eguinte! dado! ;emanda rei!ta /aa)idade rodutia egular Jora! extra! %u$)ontratação E!to,ue ini)ial em unDo /u!to! de rodução Formal Jora! extra! %u$)ontratação Manutenção do e!to,ue
;/'<* 00
;/<* 1.000
700 700 #0 #0 1#0 1#0 100 unidade!
A=*.* *00
S(.(9>7* 00
700 #0 130
700 #0 120
40C00unidade #0C00unidade 70C00unidade 2C00unidadem!
Solução
;e(inição da! ari'ei! de de)i!ão x11 c ,uanto rodu+ir em unDo c Dora! normai! x12 c ,uanto rodu+ir em unDo c Dora! extra! x13 c ,uanto rodu+ir em unDo c !u$)ontrataçe! x21 c ,uanto rodu+ir em ulDo c Dora! normai! x22 c ,uanto rodu+ir em ulDo c Dora! extra! x23 c ,uanto rodu+ir em ulDo c !u$)ontrataçe! x31 c ,uanto rodu+ir em ago!to c Dora! normai! x32 c ,uanto rodu+ir em ago!to c Dora! extra! x33 c ,uanto rodu+ir em ago!to c !u$)ontrataçe! x41 c ,uanto rodu+ir em !etem$ro c Dora! normai! 17
x42 c ,uanto rodu+ir em !etem$ro c Dora! extra! x43 c ,uanto rodu+ir em !etem$ro c !u$)ontrataçe! O )u!to de manutenção do! e!to,ue! em unDo !er' EM un x 2C00unidade x m! e EM unX AEIB un Y AE"B un 2 %a$e-!e ainda ,ue /omo P X ;YE"-EIC teremo! E"X EIYP-; P X Produção E"X E!to,ue "inal EI X E!to,ue Ini)ial < ta$ela a !eguir auxilia o )'l)ulo M? EI P7*@/* D(9+'@+ EF KunDo 100 x11Y x12Y x13 00 x11Y x12Y x13-700 KulDo x11Y x12Y x13-700 x21Y x22Y x23 1.000 x11Y x12Y x13Y x21Y x22Y x23- 1.700
O )u!to men!al do e!to,ue / unXAEIB un Y AE"B un x 2C00unidade x m! 2 %omando-!e ara o! ,uatro me!e!C tem-!e /e!to,ueX AEI unYE" unY EI ulYE" ulY EIagoYE"agoY EI!etYE"!etB x 2C00 /omo E" unX EI ul et). /e!to,ueX AEI unY2EI unY 2EIagoY2EI!etYE"!etB x 2C00 X EI unY2EI unY 2EIagoY2EI!etYE"!et %u$!tituindo-!e ela! exre!!e! da ta$ela anterior tem-!e /e!to,ueX100 Y 2Ax11Y x12Y x13-700BY 2Ax11Y x12Y x13Y x21Y x22Y x23- 1.700B Y Y 2Ax11Y x12Y x13Y x21Y x22Y x23 Yx31Y x32Y x33 c2.600B Y Ax11Y x12Y x13Y x21Y x22Y x23 Yx31Y x32Y x33 Yx41Y x42Y x43 c3.400B ;edu+indo-!e tem-!e /e!to,ueX 7x11Y 7x12Y 7x13Y #x21Y#x22 Y #x23 Y 3x31Y 3x32Y 3x33 Yx41Y x42Y x43 c13.300 C/.* @( P7*@/*
/ rodução X 40Ax11Y x21Y x31Y x41B Y #0Ax12Y x22Y x32Y x42BY 70Ax13Y x23Y x33Y x43B C/.* T*.+
/totalX / roduçãoY/e!to,ue 1
<! a reduçãoC tem-!e ".O. X /total X47x11Y #7x12Y77x13Y 4#x21Y##x22 Y 7#x23 Y 43x31Y #3x32Y 73x33 Y Y41x41Y#1x42Y 71x43 c13.300 F/'* O>(.*
MIF /total X47x11Y #7x12Y77x13Y 4#x21Y##x22 Y 7#x23 Y 43x31Y #3x32Y 73x33 Y Y41x41Y#1x42Y 71x43 c13.300 R(.7( O E" dee !er maior ou igual a +ero. x11Y x12Y x13-700〈 0 ou x11Y x12Y x13 〈 700 x11Y x12Y x13Y x21Y x22Y x23〈 1.700 x11Y x12Y x13Y x21Y x22Y x23 Yx31Y x32Y x33 〈 2.600 x11Y x12Y x13Y x21Y x22Y x23 Yx31Y x32Y x33 Yx41Y x42Y x43 〈 3.400 x11≤ x12≤ x13≤ x21≤ x22≤ x23≤
700 #0 1#0 700 #0 1#0
x31≤ 700 x32≤ #0 x33 ≤ 130 x41≤ 700 x42≤ #0 x43≤ 120
x11〈 x12〈 x13〈 x21〈 x22〈 x23〈
0 0 0 0 0 0
x31〈 x32〈 x33 〈 x41〈 x42〈 x43〈
0 0 0 0 0 0
< !olução do !i!temaC )om a utili+ação do !o(tQare LIF;OC lea 9 !eguinte !olução MGnimo )u!to X 1#0.30C00 ari'ei! x11X700 x12X#0x13X70 x21 X700 x22X #0 x23X1#0 x31 X700 x32X#0x33 X130 x41X700 x42X#0 x43X#0
E)(9,* $ V(7 ANEXO 1# ESTUDO DE CASO 15# PROBLEMAS PROPOSTOS PROBLEMA 01 8m )arinteiro o!!ui 6 eça! de madeira e di!e de 2 Dora! de tra$alDo ara )on(e))ionar $iom$o! ornamentai!. ;oi! modelo! enderam muito $em no a!!adoC de maneira ,ue ele !e limitou a e!!e! doi! tio!. Ele e!tima ,ue o modelo I re,uer 2 eça! de madeira e 7 D de tra$alDoC en,uanto o modelo II ne)e!!ita de 1 eça de madeira e Dora! de tra$alDo. O! reço! de enda !ãoC re!e)tiamenteC 220C00 e 10#C00. "aça um modelo linear ,ue aude o )arinteiro a de)idir ,uanto! $iom$o! de )ada modelo deem !er )on(e))ionado! !e de!ear maximi+ar o rendimento o$tido )om a! enda!. PROBLEMA 02 %ea uma m',uina de (a+er )oo! )om doi! molde! di(erente!. /om o rimeiro dele! !ão (a$ri)ado! 100 )aixa! de )oo! ara !u)o em 6 D!S )om o !egundoC !ão (a$ri)ada! 100 )aixa! de )oo! ara )o,uetel em # D!. < m',uina oera 60 D! or !emana e a )aa)idade do de!ito de 1#.000 m 3. 8ma )aixa de )oo! ara !u)o mede 10 m 3S uma )aixa de )oo! ara )o,uetel mede 20 m 3. O lu)ro ela enda de uma )aixa de )oo de #A)oo! ara !u)oB e de 4.#A)oo! ara )o,uetelB. O Hni)o
1*
(regu! di!onGel não a)eita )omrar mai! de 00 )aixa! or !emana de )oo! ara !u)o e )omra tudo ,ue (or rodu+ido de )oo! ara )o,uetel. "ormule um modelo linear ara audar o (a$ri)ante a de)idir ,uanta! )aixa! or !emana de )ada tio de )oo deem !er rodu+ida! ara maximi+ar o lu)ro.
PROBLEMA 03 8m (a+endeiro e!t' e!tudando a dii!ão de !ua roriedade na! !eguinte! atiidade! rodutia!
20
Pe!o AbgB #2 23 3# 1# 7 alor 100 60 70 1# 1# "aça um modelo linear ara o ro$lema ara audar a ex)ur)ioni!ta a de)idir ,ue iten! deem !er )ondu+ido! de (orma a maximi+ar o alor total e !em ex)eder a! re!triçe! de e!o.
PROBLEMA 0 %uonDamo! ,ue o!!uGmo! $arra! de 6 m de )omrimento ,ue deem !er )onenientemente )ortada! ara o$termo! $arra! menore!C no! !eguinte! tamanDo! #0 $arra! de 2m 60 $arra! de 3m *0 $arra! de 4 m ;e!enola um modelo linear ,ue determine )omo deerão !er o! )orte! de (orma a minimi+ar a! erda!. PROBLEMA 0 8ma agen)ia de )orreio! re,uer nHmero! di(erente! de emregado! em dia! di(erente! da !emana. O nHmero de emregado! em Dor'rio integral ne)e!!'rio! em )ada dia dado na ta$ela a$aixo. (7+*$ P+7+ *79/+7 (.( ,7*>(9+ ;ia 1 X %egunda "eira 17 *77(.+9('.( ,7(* ,(7(>(7 /( + @(* + (7 ;ia 2 X 5erça (eira 13 (.+ '* * 'H9(7* @( (9,7(=+@* /( .7+>+<+ (9 +@+ @+: ( 9 * 'H9(7* @( (9,7(=+@* /( *9(+ ;ia 3 X =uarta "eira 1# + .7+>+<+7 (9 +@+ @+ @+ (9+'+ ;ia 4 X =uinta "eira 1* ;ia # X %exta (eira 14 ;ia 6 X %'$ado 16 ;ia 7 X ;omingo 11
16# SOLU!"O GRÁFICA O! ro$lema! de rogramação linear ,ue enolem aena! dua! ari'ei! odem !er re!olido! gra(i)amente. < interretação geomtri)a do! ro$lema! de rogramação linear muito imortante uma e+ ,ue o exame do! tio! de neg)io ,ue odem o)orrer em )a!o! !imle! enolendo !omente dua! ari'ei! (orne)e um a!to aro(undamento no ,ue ode o)orrer em um )a!o mai! geral )om ,ual,uer nHmero de ari'ei!. ;e inG)ioC amo! a)Dar uma interretação geomtri)a e a !olução ara o !eguinte ro$lema de rogramação linear. 3 x1 + # x 2 ≤ 1#C # x1 + 2 x 2 ≤ 10C A1B x1 C x 2 ≥ 0 Max z = # x1 + 3x 2 ;eemo! a)DarC rimeiramenteC o! )onunto! de nHmero! Ax1C x2BC ,ue !ão !oluçe! 8( ,+7+ * ,7*>(9+ Introdu+imo! um !i!tema de )oordenada x1x2 e notamo! ,ue ,ual,uer )onunto de nHmero! Ax1C x2B um onto no lano x1x2. 5odo! o! onto! Ax1C x2B ,ue !e 21