TEMA
LONGITUD DE ARCO
TRAPECIO CIRCULAR: Área del Trapecio Circular
Una de las muchas aplicaciones del radian como unidad angular, es el cálculo de longitudes de arco.
a .b S= .d 2
L: Longitud de arco AB R: Radio de la Circunferencia Θ: Número de radianes del ángulo central que subtiende el arco AB
Se cumple que:
L=θxr
;
0 < θ ≤ 2π
ÀREA DEL SECTOR CIRCULAR:
Ángulo central θ=
a −b d
Observaciones: • El incremento de un mismo radio “R” en un sector circular inicial de Área “S” (fig.1); produce un incremento de área proporcional a los números impares de “S”, que el estudiante podría comprobar (fig.2).
Se denomina sector circular a la porción del círculo limitada por 2 radios. El área ( S ) de dicha región se determina de la siguiente manera:
Fig. 1
R 0
S R R
1 S = θ .r 2 2 S=
S=
A
= 2π r = π r2
3. Para trabajar con los problemas: π = π=
355 113
π = 3+ 2 * 57 º 17´ 44,81´´ 4. 1Rad = * 63 g 66 m 19,77 s
5.
R 0
1 L2 . 2 θ
1. longitud de la circunferencia: L
22 7
Fig. 2
R
1 .L.r 2
IMPORTANTE:
2. Área del Círculo:
R
S
3S
R
5S
7S
R
Aplicación de la Longitud del Arco Número de Vueltas que da una Rueda(#v) El número de vueltas (# V ) que da una rueda al desplazase (sin resbalar) desde la posición A hasta B. Se calcula mediante la relación.
= #v
Ec d = 2π R 2π R
Ec: Espacio que recorre el centro de la rueda.
θ= B
Ec d = R R
R
R: Radio
θB : Angulo barrido
0
0 R
A
B
1 Rad. > 1º > 1g
ÁREA: MATEMÁTICA
1
“Si comenzase de nuevo mis estudios, seguiría el consejo de Platón y comenzaría con las matemáticas”. Galileo Galilei.
04. Hallar “x” si el área del trapecio circular es 21m2
01. ¿Cuántas vueltas da la rueda de 4cm de diámetro?
2m
9m
0
2m
Solución: r = 2cm
80 π 100cm
nV =
n V = 2000 vueltas
05. Del gráfico hallar “x+y”
2π 2cm
l C = 80π . 100cm
x a θ
BLOQUE I 01. De la figura M=
x
𝑎𝑎𝑎𝑎 +𝑏𝑏𝑏𝑏
mostrada, determine
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏
el valor
de
θ
a) a d) 4a
b) 2a e) 5a
c) 3a
06. Un péndulo se mueve como indica en la figura. Calcular la longitud del péndulo, si su extremo recorre 3π m.
b a y
z
y
θ
x
π/12
A) 1/2
B) 1
C) 2
D) 1/3
4m
E) 3
g
50
02. De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si la líneas curva ABC, tiene por longitud 4πm. 0
a) 5m d) 8m 12m
8m
cuerda
c) 7m
07. Calcula : L 1 + L 2 + L 3 a) 10π
D
C
b) 6m e) 9m
A B
03. Hallar el cociente de las áreas sombreadas A y B respectivamente. A
8
b) 8π
L3
c) 6π d) 4π
π/4
L1 L2 6
π/3
6
10
π/5
10
e) 2π
B 4
ÁREA: MATEMÁTICA
4
2
08. De la figura, halla: L 1 + L 2 a) 2π
12. De la fi gura, calcular: E =
m−n pθ
A) 0 B) 1 C) 0,5 D) 0,2 E) 2
L1 20°
b) 4π
30°
c) 6π
L2
36
d) 8π e) N.A.
13. Del gráfico; Hallar: " α "
5π 14 3π B) 14 2π C) 7 3π D) 7 5π E) 7
09. En el gráfico, halla la suma de las longitudes de los arcos AB y CD. a) r(π-θ)
A)
C
b) 2r(π+θ) B
c) 2r(π-θ) d) r(π+θ)
A
r
θrad
D
14. Del gráfico: calcular “ θ “ ; Si: 2OC = 3BC
e) r (π+θ) 2
A)
10. Calcula la longitud de la línea desde “A” A a) 21πm
hasta “D”.
48m D)
b) 22πm c) 23πm
O
B
d) 24πm 45°
e) 25πm
π
34 3π B) 34 5π C) 34 7π 34
E)
9π 34
15. Del gráfico; calcular “ θ “
C
D 11. De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, (O: centro de la circunferencia). A)
π 2
B)
π 3
C)
π 4
D)
π 5
E) π 6
Rpta: ............................... ÁREA: MATEMÁTICA
3
“Si comenzase de nuevo mis estudios, seguiría el consejo de Platón y comenzaría con las matemáticas”. Galileo Galilei.
BLOQUE II
05. En la figura,
01. Si: AB + CD = 26. Halle el área del sector circular EOF. 4 A
A1 = 4 A2 , L AB = 2s metros. ∠AOB = 45º. Calcular : " x"
C
A) 1 B) 2 C) 3 o D) 4 E) 6
2θ
4
A) 1 B) 2 C) 3
E 4
D) 2
D
θ
E) 2 2 F B
06. Calcular “x” si el área de la región sombreada es x2 −3
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 2,5
07. En el gráfico:, calcular : E = θ −1 − θ A) 1 B) 2 C) -2 D) -1 E) 1/2 09. Del gráfico; se sabe que L BC = 4π . Calcular L BD A) 2π B) 4π C)6π D) 8π E) 10π
04. Halle el área sombreada:
A C
A) π B) 2 π C) 3 π D) 4 π E) 5 π
o
A)2 R (3 + π ) B ) R (3 + π ) C )2 R D) R(3 + π ) E ) NA
6
30º
11. Hallar la longitud de la faja que envuelve a los cilindros iguales en el caso mostrado.
D B
ÁREA: MATEMÁTICA
4
12. Del gráfico, calcular el perímetro de la región sombreada; si BC = BO A) B) C) D) E)
07. ¿Cuál es el área de la región sombreada de la siguiente figura?.
4π + 7 5π + 6 5π + 8 5π + 10 5π + 12
08. En la figura, halla la longitud del arco BC si AE = 20m.
BLOQUE III
C
6m 2 + 3n 2 + 2 p 2 01. Del gráfico obtener: P = S
A)2π B) 4π C)6π D)8π E)12π 02. Hallar el valor de “L” si el trapecio circular tiene un área de 32m2 A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
D
B 2α
α
A
E
a) πm b) 2πm c) 4πm d) 6πm e) 8πm
09. Halla: “θ” si L 2 = 5L 1 L2 L1
a2 + b2 c2
θ rad
a) π/3 b) π/4 c) π/5 d) π/6
A) 1 B) 2 C) 6 D) 4 E) ½
10. Calcula:
04. Del grafico, hallar el perímetro de la región sombreada. A)10a B)11a C) 12a D)13a E) 14a ÁREA: MATEMÁTICA
4α
O
O 03. Del gráfico, obtener: E =
3α
a) 3 b) 3/5 c) 8 d) 5 e) 5/3
O
e) π/8
L1 + L 2 L2 + L3
L1
L2
L3
Ç11. Calcula θ si 2L 1 = 3L 2 5
“Si comenzase de nuevo mis estudios, seguiría el consejo de Platón y comenzaría con las matemáticas”. Galileo Galilei.
L1 L2 θRad
O a) π/2
b) π/3
c) π/4 d) π/5 e) π/6
12. Determina el valor de “L” en el esquema a) 5
mostrado.
C 14
2
b) 7
B
c) 9
L 3 4
A
d) 10
r
e) 12
O
D
3
E
2
F
13. En la figura, halla la longitud del arco BC, si AC=18m. B
A
80°
C
O
a) πm b) 3πm c) 5πm d) 6πm e) 8πm 14. Del gráfico, halle el número de vueltas que dará una ruedita de radio 1, al ir de A hasta B si CB = 8π y AOC es un sector circular.
A) 2 D) 5
ÁREA: MATEMÁTICA
B) 3 E) 6
C) 4
6
