ANÁLISIS DE CABLES Ejercicios Resueltos: Cables Rectos o Tensos con Cargas Puntuales Analizar como elementos sometidos a dos fuerzas con la tensión como incógnita:
T
T
• Las incógnitas son la tensiones en cada segmento y la altura de cada punto de aplicación de las fuerzas • Escribir las Ecuaciones de Equilibrio (EE en ! e y en los puntos de carga • "gualar el largo total del cable con los segmentos entre los puntos de aplicación de fuerzas y las coordenadas de los e!tremos
, yD) (xA, y(x y A)D FCC FB x xB x
La estrategia de solución solución es dibujar los DCL de cada punto y aplicar las EE, incluyendo la !"
Esto se aprecia en el siguiente s iguiente desarrollo:
#n cable tenso est$ apoyado en los e!tremos como indica la %gura y se encuentra ba&o la acción de tres cargas 'erticales Para su an$lisis esquematizamos el diagrama de cuerpo libre del cable
A)ora planteamos las ecuaciones de equilibrio:
∑ F = & → −' − ' −' + A + B = & ∑ F = & → A + B = & ∑ ! = & → − x ×' −x ×' −x '× L+ B× y
x
A
#
$
x
%
y
y
$
%
x
#
#
$
%
y
d+ Bx × &
Tenemos tres ecuaciones y * incógnitas+ por tanto requerimos una ecuación adicional ,i se conoce la coordenada de un punto - se puede
obtener la información adicional que se requiere Alternati'amente se requerir.a la tensión m$!ima en el cable
La tensión máxima en los cables se encuentra en la sección con más alta peniente!
Ejemplo "!/ #n cable est$ sometido a cargas concentradas de 0+1 23 y 4 23+ seg5n se indica en la %gura ,i la m$!ima tensión que puede soportar el cable es de 1 23+ -eterminar las reacciones en los apoyos A! y Ay+ y el $ngulo entre ellos ,olución:
,olución: En la %gura se )a representado un diagrama de solido libre para el cable -e la ecuación de equilibrio 67- 8 9+ A y =
1 10,2
. [ 2,5 ( 6,6 ) + 1 (3 ) ]=1,912 Resp
La tensión m$!ima de 1 23 tendr$ lugar en el tramo A del cable+ as. pues del diagrama de solido libre en el punto A del cable: A x
=
√ T
2 1
2
A y
−
=
√ 52
−
2
1,912
=
4,62 KN
Resp
Adem$s+ −
θ1= tan
1
A y A x
=
1,912 4,62
=
22,48 º
E&emplo 0 ,e tiene un cable %&o en sus e!tremos+ a la misma altura+ sometido a cargas concentradas
Para determinar la tensión en cada tramo primero es necesario conocer las reacciones en los apoyos
,e tienen cuatro incógnitas por lo cual el sistema es est$ticamente indeterminado Para ob'iar esta indeterminación se da como dato la posición de una de las cargas
∑ M A = 0 ∑ M A = − QB ·( b ) – QC ·( b + c ) – QD ·( b + c + d ) + Ey ·( b + c + d + e)
E y = E y =
Q B ·b + QC ·( b + c ) + QD ·( b + c + d )
( b + c + d + e) 0, 50 N ×( 0,30 m )
+ 0, 50 N × ( 0, 60 m )
1, 00 m ) +0,50 N (×
( 1, 20m )
E y = 0, 79 N ∑ M E = 0 ∑ M E = − Ay ·( b + c + d + e ) + QB ·( c + d + e) + QC ·( d + e) + QD · ( e)
A y = A y =
Q B
( c + d + e)
+ QC
( d + e)
+ QD
b+ c+ d +e 0, 50 N ×( 0, 90 m ) + 0, 50 N × ( 0, 60 m )
A y = 0, 71N
1,20m
( e) 0, 20 m ) +0,50 N ( ×
Para determinar las componentes )orizontales se corta el cable en el punto en el que conocemos la posición con respecto a la l.nea que une los soportes ,e dibu&an los -CL para los tramos a la izquierda y a la derec)a del punto de corte
× M C = 0 M C = E y ×(d+e) - E x × (h) - Q D (d)
Ex =
E y ×(d+e)- Q D × (d) h
=
0,79N ×(0,60 m)-0,5 N × ( 0, 4 m ) 0, 4 m
=0,69 N
,e 'eri%ca que la suma de fuerzas 'erticales y )orizontales es cero
E&emplo ; -eterminar: 4/ Tensiones actuantes en cada tramo 0/
-atos: Luz del cable: L 49m: -iferencia de altura entre apoyos: Δ)8 / 4 m
=ngulo que forma la cuerda A: α8 atg(Δ)>L8/1+?44@ Cargas actuantes: PC819 3
P-8;9 3 PE8*9 3
,olución:
C$lculo de la componente )orizontal de tensión en el cable
Equilibrio general
-istancia del cable al punto -
y-81 mB!-tgα → y-8*+? m
7omento de las fuerzas respecto a :
∑ MB
3m ×E +7! ×PD +9m P×C
7"0 = kN m
7omentos de la fuerzas a la izquierda de - respecto a -:
∑ MD
2 m ×C =100 kN ×m
Cables ba&o la acción de su propio peso: Catenarias Relaciones b$sicas:
y =
w x − 1÷ #$%h w T o
T o
Altura del Cable en un punto: dy dx
= senh
wx T o
Pendiente del Cable en un punto: T=
2
ω
x 2 + To2
=w
s2 + c2
c=
T 0 w
Tensión del Cable en un punto: s = csen
x c
Largo del Cable:
2 y 2 y L = − x A 1 + A÷ − A÷ 3 x A 3 x A 2
2 y 2 y + xA 1+ ÷B − ÷B 3 xB 3 xB
4
2
El Cable tiene peso propio por unidad de largo D3>m+ indicado por el s.mbolo ω+ el peso total es F s 8 c sen) (!>c
y 8 c cos) (!>c
0 0 0 y / s 8 c TG 8 ωc
F 8 ωs
i yA * yB → * yA + c
T 8 ωy
4
Cables #arabólicos Los cables ba&o la acción de cargas )orizontalmente distribuidas uniformemente se denominan cables parabólicos debido a la cur'atura que adquieren para responder a dic)a acción
Cable ba&o carga )orizontal distribuida uniformemente con ω D3>m+ colgando del mismo:
Altura del Cable en un punto:
y =
Pendiente del Cable en un punto:
dy dx
Tensión del Cable en un punto:
T = T 0
2
ω x
2
2T o
=
ω x
T o
+ w x 2
2
tg θ =
Largo del Cable:
2 y A 2 y A 2 y B 2 y B s = x A 1 + − + &&& + x B 1 + − + &&& 3 x A 5 x A 3 x B 5 x B 2
y =
w L2 " T0
T 0 =
4
w L2 "y
Gtras relaciones 5tiles:
2
4
w x T 0
E&emplo cable parabólico:
El cable de la %gura soporta una carga distribuida de 499 3>m Hcu$l es la tensión m$!ima del cableI
-ado que se conocen las coordenadas de los puntos de soporte y el punto inferior se puede utilizar directamente la ecuación de los cables parabólicos x'2 2 x(
=2
y' = 40 ! = y = 20 ! =
1 2 1 2
ax'2 2 ax
Con x - − x L * .& /
y
=
$ a # $ ax = .& = ( $%, . ) → a = &,#.0 / −# $ $
$ ")') m
,e llega a: x L $
%&'( m y x R
T &
=
ω
a
=
#&& 12/ = 030 1 &,#.0 /−#
T9 se obtiene de:
T/ax * T& # 4 a$xL$ * ( 030 1 ) # 4 ( &,#.0 /+# )
$
( +$%,. / )
$
T/ax * $"..& 1
Por tanto Tma! se obtiene de:
Ejemplos e catenarias!
E&emplo 4 #n cable que pesa ; D3>m est$ suspendido entre los soportes A y distantes 199 Dm+ siendo de 499 Dm la Jec)a en el punto medio -eterminar: a calcular los 'alores m$!imo y m.nimo de la tensión en el cable b Calcular la longitud del cable
,olución Ecuación del cable: ubicación del origen de coordenadas a la distancia Kc por deba&o del punto m$s ba&o KC del cable
y = c #$%h
x c
-el punto se conoce: !8019 m
y8499Bc m
Por tanto: 100
+ c = c #$%h
250
c
→
100
c
+ 1 = #$%h
250
c
El 'alor de c de la ecuación trascendente anterior+ se puede obtener en calculadoras a'anzadas o por interpolación:
c ;99 ;19 ;;9 ;0?+O Pero:
499>cB4 4+;;; 4+0NM 4+;9; 4+;91 *B$"++,c $(%- m
Cos)(019>c 4+;MN 4+0MM 4+;94 4+;91
Tensiones m$!imas y m.nimas:
T98ωc8;;0N8ON* 3
Tma!8ωy8;*0N840N* 3
Largo del cable: sA80csen)(!>c80;0Nsen)(9+?M008M1M9+N;N081*O+NM m Pero tambin se puede usar: y B2 − sB2 = c 2 → sB = 42"2 − 32"2 = 274, 95 m → stotal = 549,91 m
Ejemplo %: #n cable de una l.nea de conducción de energ.a elctrica pesa ;9 3>m y est$ su&eto a dos torres situadas a uno y otro lado del 'alle seg5n se indica en la %gura El punto est$ 49 m por deba&o del punto A El punto m$s ba&o del cable est$ 1 m por deba&o del punto
A
)
f
c
,i la tensión m$!ima es O99 3+ calcular: a Par$metro de la catenaria b Tensión en los puntos A y (módulo y 'ector c Longitud del cable entre los puntos A y ,olución a En una catenaria la tensión es función de la altura+ la tensión en el punto A permite obtener el 'alor del par$metro de la catenaria c: TA 8 Q (c B fB )8 ;9 (cB41 8 O99 3
c $ ". m
b El módulo de la tensión en el punto se obtiene a partir de la e!presión: T 8 ω (c B f 8 ;9 (41 B 1
T B =600 N
Las componentes )orizontales de las tensiones son: T& *TA x *TBx *c ×ω * .5& 1 las co/ponentes 8erticales son TAy * TA$ − TA$ = 667, . 1 x
TBy * TB $ − TB$ = %70,7 1 x
TA = .5&i + 667,. j 1 r
Las tensiones en forma 'ectorial son:
En cual9uier punto TA *7&&1
sA$ = %&$ − #5$
ωs
$ 4c
$
c*#5;
ω *%& ;
TB *0&& 1 → sA = $5,73 /
sB =#%,$% /
→ L =%7,$# /
r
TB = − .5&i + %70,7,. j 1
c largo del cable:
T *: x$ 4$ T o*$
r
