CAPITULO 4
TASAS EQUIVALENTES
4.1 SIMBOLOGIA
d:
Tasa de descuento
i:
Tasa efectiva de interés
j:
Tasa nominal de interés
j¥
Tasa nominal con capitalización capitaliza ción continua
m:
Número de capitalizaciones capitalizac iones en el año
P:
Capital
S:
Monto o Valor Futuro
n:
Tiempo
e
2,71828183
is
Tasa de interés interé s simple
ic
Tasa de interés interé s compuesto
TASAS EQUIVALENTES
86
4.2 INTRODUCCION Y DEFINICIONES DEFINICIONES Si se invierte una suma de capital por capital por un año a una determinada tasa de interés y se obtiene un valor futuro igual al que se obtiene con otra tasa de interés, en el mismo período, las dos tasas consideradas consideradas son equivalentes. equivalentes. Por lo tanto cuando cuando los valores futuros o lo que sería lo mismo, cuando los intereses causados son iguales, las tasas aplicadas son equivalentes. Teóricamente, es posible obtener equivalencias entre las diversas tasas; sin embargo, tienen mayor interés las equivalencias entre las diferentes tasas de interés compuesto (efectiva, nominal capitalizable varias veces y nominal con capitalización continua), así como la relación entre tasa de interés simple y tasa de descuento simple. El procedimiento a seguirse en cada caso es idéntico, parte del principio de igualdad de los valores futuros, conforme se puede observar:
4.3 TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A TASA NOMINAL Y TASA NOMINAL EQUIVALENTE A TASA EFECTIVA Para seleccionar la mejor alternativa para transacciones que significan inversiones o créditos, se requiere obtener la tasa efectiva. En el primer caso es obvio que se seleccionará la que tenga la tasa efectiva más alta y en el segundo la más baja. Cuando una tasa nominal se capitaliza un mayor número de veces por año, se obtiene una tasa efectiva cada vez mayor, aunque tiene un límite, conforme podemos apreciar a continuación:
Por lo tanto, si la tasa de interés se capitaliza varias veces en el año, la tasa efectiva correspondiente es mayor a la tasa nominal. Únicamente cuando la capitalización es anual, la tasa efectiva efectiva es igual igual a la tasa nominal. 4.3.1 TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A TASA NOMINAL
Para deducir la fórmula correspondiente, correspondiente, igualamos el valor futuro a interés compuesto a una tasa efectiva con el valor futuro a una tasa nominal capitalizable varias veces en el año: jö æ P * (1 + i ) = P * ç1 + ÷ è mø n
n*m
87
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
Simplificando el capital o lo que e s lo mismo, suponiendo que el capital es igual a la unidad, se obtiene los montos de un a unidad monetaria a las dos tasas consideradas: jö æ (1 + i) = ç 1 + ÷ è mø
n*m
n
Para despejar i, trasladamos el exponente del primer miembro al segundo: j ö æ (1 + i ) = ç 1 + ÷ è mø
n* m / n
Simplificando los exponentes del segundo miembro: j ö æ (1 + i ) = ç1 + ÷ è mø
m
Finalmente, la unidad del primer miembro se traslada al segundo: m
j ö æ i = ç1 + ÷ - 1 è mø
[44]
Esta es una de las fórmulas de mayor utilización, pues en diversas situaciones se va a requerir determinar una tasa efectiva equivalente a una tasa nominal. Por ejemplo para seleccionar alternativas de inversión o de financiamiento. Ejercicio 4.1
¿Qué tasa capitalizable anualmente es equivalente al 10% capitalizable semestralmente? Datos: j = 0.10
m=2 2
æ 0.10 ö i = ç1 + ÷ -1 2 ø è i = 0.102500 Resolución utilizando MATLAB:
Sintaxis de la función effrr :
effrr(tasa nominal, número de capitalizaciones): >> effrr(0.10, 2) ans = 0.1025
TASAS EQUIVALENTES
88
Ejercicio 4.2
Determinar la tasa efectiva equivalente a las siguientes tasas nominales y demostrar que son equivalentes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TASA N° DE TASA NOMINAL CAPITALiEFECTIVA ZACIONES EQUIVALENTE 0.12 4 0.125509 0.16 2 0.166400 0.18 12 0.195618 0.24 2 0.254400 0.09 4 0.093083 0.15 12 0.160755 0.08 2 0.081600 0.06 4 0.061364 0.10 12 0.104713 0.15 4 0.158650
CAPITAL
10,000.00 10,000.00 10,000.00 10,000.00 10,000.00 10,000.00 10,000.00 10,000.00 10,000.00 10,000.00
DEMOSTRACION TIEMPO V.FUTURO V.FUTURO AÑOS TASA NOM. TASA EFECT 5 18061.11 18061.11 6 25181.70 25181.70 7 34925.90 34925.90 8 61303.94 61303.94 9 22278.16 22278.16 10 44402.13 44402.13 11 23699.19 23699.19 12 20434.78 20434.78 13 36495.84 36495.84 14 78583.96 78583.96
Desarrollo del problema N° 1: Datos: j = 0.12
m=4 4
æ 0.12 ö i = ç1 + ÷ -1 4 ø è i = 0.12550881 Resolución utilizando MATLAB: >> effrr(0.12, 4) ans = 0.1255
Para demostrar su equivalencia, vamos a determinar el monto a las dos tasas de interés, de un capital de 10000, durante 5 años: Utilizando la tasa efectiva
S = 10000 * (1 + 0.12550881) S = 10000 * 1.8061
5
S = 18061.11
89
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
Utilizando la tasa nominal:
æ 0.12 ö S = 10000 * ç 1 + ÷ 4 ø è
20
S = 10000 *1 .8061 S = 18061.11
Los problemas N° 1 hasta el 10, han sido resueltos utilizando la hoja electrónica Excel. 4.3.2 TASA NOMINAL EQUIVALENTE A TASA EFECTIVA
Igualando el valor futuro a una tasa nominal capitalizable varias veces en el año con el valor futuro a una tasa efectiva, de una unidad monetaria: j ö æ ç1 + ÷ è mø
n *m
= (1 + i )n
Para despejar j, trasladamos los exponentes del primer miembro al segundo: j ö æ n / n*m ç1 + ÷ = (1 + i ) è mø
Simplificando los exponentes del segundo miembro: j ö æ 1 / m ç1 + ÷ = (1 + i) è mø
La unidad del primer miembro se traslada al segundo: j m
= (1 + i )1 / m - 1
El denominador del primer miembro se traslada al segundo: j = m * éë(1 + i )1 / m - 1ùû
[45]
Fórmula para obtener una tasa nominal capitalizable varias veces en el año, equivalente a una tasa efectiva o capitalizable anualmente. Ejercicio 4.3
¿Qué tasa nominal capitalizable mensualmente es equivalente a la tasa efectiva del 18%? Datos: m = 12
i = 0.18
TASAS EQUIVALENTES
90
1 12 j = 12 * éë(1 + 0.18) / - 1ùû
j = 0.166661 Resolución utilizando MATLAB:
Sintaxis de la función nomrr nomrr(Tasa efectiva, Capitalizaciones en el año) >> nomrr(0.18, 12) ans = 0.166661 Ejercicio 4.4
Determinar las tasas nominales equivalentes a las siguientes tasas efectivas y demostrar que son equivalentes: TASA N° DE EFECTIVA CAPITALI-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.18 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.09 0.11 0.13
TASA INTERES
ZACIONES NOMINAL 4 0.168987 2,000.00 6 0.132469 4,000.00 12 0.149342 6,000.00 2 0.172556 8,000.00 4 0.186541 10,000.00 6 0.202183 1,000.00 12 0.217051 3,000.00 2 0.088061 5,000.00 4 0.105733 7,000.00 6 0.123471 9,000.00
Desarrollo del problema N° 1: Datos: i = 0.18
CAPITAL
m=4
j = 4 * éë(1 + 0.18)1 / 4 - 1ùû j = 4 * 0.042247 j = 0.168987 Resolución utilizando MATLAB:
DEMOSTRACION TIEMPO V.FUTURO V.FUTURO TASA TASA AÑOS EFECTIVA INT.NOM. 10 10,467.67 10,467.67 9 13,007.79 13,007.79 8 19,670.49 19,670.49 7 25,483.79 25,483.79 6 29,859.84 29,859.84 5 2,702.71 2,702.71 4 7,092.64 7,092.64 3 6,475.15 6,475.15 2 8,624.70 8,624.70 1 10,170.00 10,170.00
91
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
>> nomrr(0.18, 4) ans = 0.168987 Para demostrar su equivalencia, vamos a determinar el monto a las dos tasas de interés, de un capital de 2000, durante 10 años: Utilizando la tasa efectiva
S = 2000 * (1 + 0.18)
10
S = 2000 * 5.233836 S = 10467.67 Utilizando la tasa nominal:
æ 0.168987 ö S = 2000 * ç 1 + ÷ 4 è ø S = 2000 * (1 + 0.042247)
40
40
S = 2000 * 5.2339 S = 10467.82
Las tasas nominales equivalentes a las tasas efectivas dadas y las demostraciones correspondientes a los problemas 1 hasta el 10, han sido obtenidas utilizando la hoja electrónica Excel. En los grupos de 10 problemas, que se presentan en lo posterior, las tasas equivalentes y las demostraciones han sido elaboradas en la misma forma.
4.4 TASA NOMINAL EQUIVALENTE A OTRA CAPITALIZABLE DIFERENTE NUMERO DE VECES
TASA
NOMINAL
Para deducir las fórmulas, partiremos igualando el valor futuro a interés compuesto a una tasa nominal capitalizable varias veces en el año con el valor futuro a una tasa nominal capitalizable un número de veces diferente en el año: m1
æ æ j ö j ö P * ç 1 + 1 ÷ = P * ç1 + 2 ÷ è m1 ø è m2 ø
m2
Simplificando el capital y el tiempo: m1
æ æ j1 ö j2 ö ç 1 + ÷ = ç1 + ÷ è m1 ø è m2 ø
m2
El exponente del factor del primer miembro pasamos al segundo:
92
TASAS EQUIVALENTES
æ j1 ö æ j2 ö + = + 1 1 ç ÷ ç ÷ è m1 ø è m2 ø
m2 / m1
La unidad pasamos al segundo miembro: æ j ö = ç1 + 2 ÷ m1 è m2 ø j1
m2 / m1
-1
Despejando: m / m éæ ù j2 ö j1 = m1 * êç 1 + - 1ú ÷ êëè m2 ø úû 2
1
[46]
Ejercicio 4.13
¿Qué tasa capitalizable trimestral?
semestralmente es equivalente al 18% con
capitalización
Datos: m1 = 2
m2 = 4
j2 =0.18
éæ 0.18 ö 4 / 2 ù j1 = 2 * êç 1 + ÷ - 1ú 4 è ø ëê ûú j1 = 0.184050 Resolución utilizando MATLAB:
Primero obtenemos la tasa efectiva equivalente al 18% capitalizable trimestralmente: >> effrr(0.18, 4) ans = 0.192518 Luego, se obtiene la tasa nominal capitalizable trimestralmente, equivalente a la tasa efectiva del 19,25186%. >> nomrr(0.1925186, 4) ans = 0.18405
93
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
Ejercicio 4.6
Determinar la tasa nominal equivalente a las siguientes tasas nominales (capitalizables un número de veces diferente) y demostrar que son equivalentes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TASA N° DE TASA DEMOSTRACION NOMINAL CAPITALIZAC. NOMINAL J 2 CAPITAL TIEMPO V.FUTURO V.FUTURO J 1 m1 m2 EQUIVALENTE AÑOS TASA NOM.J1 TASA NOM.J2 0.12 4 2 0.121800 20,000 5 16122.22 16122.22 0.16 2 4 0.156922 21,000 6 31881.57 31881.57 0.18 12 2 0.186887 22,000 7 54836.97 54836.97 0.24 2 4 0.233202 23,000 8 117999.05 117999.05 0.09 4 12 0.089333 24,000 9 29467.59 29467.59 0.15 12 2 0.154766 25,000 10 86005.33 86005.33 0.08 2 4 0.079216 26,000 11 35617.89 35617.89 0.06 4 12 0.059702 10,000 12 10434.78 10434.78 0.10 12 4 0.100836 5,000 13 13247.92 13247.92 0.15 4 2 0.152813 2,000 14 13716.79 13716.79
Desarrollo del problema N° 1: Datos:
j2 = 0.12
m2 = 4
j2 m2
= 0.03
m1 = 2
éæ 0.12 ö4/ 2 ù j1 = 2 * êç1 + ÷ - 1ú 4 è ø ëê ûú j1 = 2 * é(1 + 0.03 ) - 1ù 2
ë
û
j1 = 2*0.0609 j1 = 0.1218
4.5 TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A TASA NOMINAL CON CAPITALIZACION CONTINUA Y TASA NOMINAL CON CAPITALIZACION CONTINUA EQUIVALENTE A TASA EFECTIVA 4.5.1 TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A TASA NOMINAL CON CAPITALIZACION CONTINUA
Para deducir las fórmulas, partiremos igualando el valor futuro a interés compuesto a una tasa efectiva con el valor futuro a una tasa con capitalización continua: P * (1 + i )n = P * e
j¥ * n
94
TASAS EQUIVALENTES
Simplificando el capital: (1 + i )n = e j¥
*n
Trasladando el exponente del primer miembro al segundo: (1 + i ) = e j¥
*n / n
Simplificando el tiempo: 1 + i = e j¥
Trasladando la unidad al segundo miembro: i = e j¥ - 1
[47]
Fórmula para obtener una tasa efectiva equivalente a una tasa nominal con capitalización continua. Ejercicio 4.7
¿Qué tasa capitalizable anualmente es equivalente al 8% con capitalización continua? Datos: j = 0.08
i = e.08 - 1 i = 0.083287
Ejercicio 4.8
Determinar las tasas efectivas equivalentes a las siguientes tasas con capitalización continua y demostrar que son equivalentes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TASA TASA NOMINAL EFECTIVA CAPIT.CONT EQUIVALENTE 0.06 0.061837 0.16 0.173511 0.18 0.197217 0.24 0.271249 0.09 0.094174 0.15 0.161834 0.08 0.083287 0.06 0.061837 0.10 0.105171 0.15 0.161834
CAPITAL
1,000.00 2,000.00 3,000.00 12,000.00 25,000.00 60,000.00 68,000.00 82,000.00 110,000.00 150,000.00
DEMOSTRACION TIEMPO V.FUTURO V.FUTURO AÑOS TASA NOM.C.C TASA EFECT 5 1349.86 1349.86 6 5223.39 5223.39 7 10576.26 10576.26 8 81851.50 81851.50 9 56197.70 56197.70 10 268901.34 268901.34 11 163941.18 163941.18 12 168463.52 168463.52 13 403622.63 403622.63 14 1224925.49 1224925.49
95
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
Desarrollo del problema N° 1: Datos:
jm = 0.06
P = 1000
n = 5
i = e0.06 - 1 i = 0.061836 4.5.2 TASA NOMINAL CON CAPITALIZACION CONTINUA EQUIVALENTE A UNA TASA EFECTIVA
Para deducir las fórmulas, partiremos igualando el valor futuro a una tasa con capitalización continua con el valor futuro a una tasa de interés compuesto a una tasa efectiva. Siguiendo el mismo procedimiento utilizado en el desarrollo del numeral 4.2.1: P*e e
j¥ *n
j¥ *n
= P * (1 + i )n
= (1 + i )n
e j¥ = (1 + i )n / n e
j¥
= (1 + i )
j¥ * log e = log(1 + i ) j¥ =
log(1 + i ) log e
[48]
Fórmula para determinar una tasa nominal con capitalización continua equivalente a una tasa efectiva. Ejercicio 4.9
¿Qué tasa con capitalización continua es equivalente al 6% capitalizable anualmente? Datos: i = 0.06
j¥ =
j¥ =
log(1 + 0.06) log e log(1 + 0.06) log 2.718281828
TASAS EQUIVALENTES
96
j¥ = 0.058269
Ejercicio 4.10
Determinar las tasas nominales con capitalización continua equivalentes a las siguientes tasas efectivas y demostrar que son equivalentes: TASA EFECTIVA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.065 0.070 0.080 0.090 0.100 0.110 0.120 0.045 0.055 0.075
TASA NOMINAL CAPIT.CONT 0.062975 0. 067659 0.076961 0.086178 0.095310 0.104360 0.113329 0.044017 0.053541 0.072321
CAPITAL
500.00 800.00 1,200.00 3,500.00 8,800.00 10,200.00 15,400.00 20,700.00 31,500.00 42,000.00
DEMOSTRACION TIEMPO V.FUTURO V.FUTURO AÑOS TASA EFECTIVA TASA NOM.C.C 5 685.04 685.04 6 1200.58 1200.58 7 2056.59 2056.59 8 6973.97 6973.97 9 20749.94 20749.94 10 28962.09 28962.09 11 53569.67 53569.67 12 35104.75 35104.75 13 63181.88 63181.88 14 115602.65 115602.65
Desarrollo del problema N° 1: Datos:
i = 0.065 j¥ =
j¥ =
log(1 + 0.065) log e 0.027349 0.434294
j¥ = 0.063
4.6 TASA NOMINAL CAPITALIZABLE VARIAS VECES EQUIVALENTE A TASA NOMINAL CON CAPITALIZACION CONTINUA Y TASA NOMINAL CON CAPITALIZACION CONTINUA EQUIVALENTE A TASA NOMINAL 4.6.1 TASA NOMINAL CAPITALIZABLE VARIAS VECES EQUIVALENTE A TASA NOMINAL CON CAPITALIZACION CONTINUA
Para deducir las fórmulas, partiremos igualando el valor futuro a interés compuesto a una tasa nominal capitalizable varias veces en el año con el valor futuro a una tasa con capitalización continua: j ö æ P * ç1 + ÷ è mø
n*m
= P * e j¥ *n
97
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
j ö æ ç1 + ÷ è mø
n *m
= e j¥ *n
j ö æ j¥ *n / n*m + 1 ç ÷=e è mø j ö æ j¥ / m ç1 + ÷ = e è mø j m
= e j¥ / m - 1
j = m * (e j¥
/ m
- 1)
[49]
Ejercicio 4.11
¿Qué tasa capitalizable continua?
semestralmente es equivalente al 18% con
capitalización
Datos: j = 0.18
m=2
j = 2 * (e0. 18/ 2 - 1)
j = 0.188349
Ejercicio 4.12
Determinar las tasas nominales capitalizables varias veces en el año equivalentes a las siguientes tasas nominales con capitalización continua y demostrar que son equivalentes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TASA N° DE TASA NOMINAL CAPITALINOMINAL CAPIT. CONT ZACIONES EQUIVALENTE 0.180 4 0.184111 0.175 6 0.177577 0.170 4 0.173664 0.165 2 0.171997 0.160 12 0.161071 0.155 6 0.157019 0.150 4 0.152848 0.145 2 0.150386 0.140 12 0.140820 0.135 6 0.136530
CAPITAL
200.00 600.00 1,400.00 2,600.00 6,400.00 8,900.00 11,450.00 22,750.00 84,500.00 99,000.00
DEMOSTRACION TIEMPO V.FUTURO V.FUTURO TASA TASA AÑOS NOM.C.C NOMINAL 2 286.67 286.67 4 1208.25 1208.25 6 3882.47 3882.47 8 9732.90 9732.90 10 31699.41 31699.41 12 57171.26 57171.26 14 93502.65 93502.65 1 26299.90 26299.90 3 128605.75 128605.75 5 194439.26 194439.26
TASAS EQUIVALENTES
98
Desarrollo del problema N° 1: Datos:
j¥ = 0.18 j¥ = 4 * (e
0.18/4
- 1)
j¥ = 4 * (1.046028 - 1) j¥ = 0.1841
4.6.2 TASA NOMINAL CON CAPITALIZACION CONTINUA EQUIVALENTE A TASA NOMINAL CAPITALIZABLE VARIAS VECES
P*e
e
j¥ *n
j¥ *n
jö æ = P * ç1 + ÷ è mø
jö æ = ç1 + ÷ è mø
n*m
n*m
jö æ e = ç1 + ÷ è mø
n*m / n
j ö æ e = ç1 + ÷ è mø
m
j¥
j¥
æ è
j¥ * log e = m * log ç 1 +
æ è
m *logç1 + j¥ =
jö
÷
mø
j ö ÷ mø
[50]
log e
Ejercicio 4.13
¿Qué tasa nominal con capitalización continua es equivalente al 18% capitalizable trimestralmente? Datos:
m = 4
j = 0.18
99
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
æ è
0.18 ö ÷ 4 ø log e
log ç1 + j¥ = 4 *
æ è
0.18 ö ÷ 4 ø j¥ = 4 * log 2.718281828 log ç 1 +
j¥ = 0.176068
Ejercicio 4.14
Determinar las tasas nominales con capitalización continua equivalentes a las siguientes tasas nominales capitalizables varias veces en el año y demostrar que son equivalentes: TASA N° DE NOMINAL CAPITALI-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 0.065 0.070 0.075 0.080 0.085
TASA CAPIT.CONT
ZACIONES EQUIVALENTE 2 0.039605 4 0.044749 6 0.049793 12 0.054874 6 0.059702 4 0.064478 2 0.068803 12 0.074767 4 0.079211 6 0.084404
Desarrollo del problema N° 1: Datos:
j = 0.04
m = 2
æ è
0.04 ö ÷ 2 ø j¥ = 2 * log 2.718281828 log ç1 +
j¥ = 2 *
j¥ = 2 *
log 1.02 log 2.718281828
0.00860017 0.434294
j¥ = 0.0396
CAPITAL
1,000.00 2,000.00 3,000.00 12,000.00 25,000.00 60,000.00 68,000.00 82,000.00 110,000.00 150,000.00
DEMOSTRACION TIEMPO V.FUTURO TASA AÑOS NOM. 5 1218.99 6 2615.98 7 4251.03 8 18613.77 9 42785.26 10 114333.53 11 144942.79 12 201123.35 13 308036.10 14 488962.06
V.FUTURO TASA NOM.C.C 1218.99 2615.98 4251.03 18613.77 42785.26 114333.53 144942.79 201123.35 308036.10 488962.06
TASAS EQUIVALENTES
100
4.7 TASA DE INTERES SIMPLE EQUIVALENTE A TASA DE DESCUENTO Y TASA DE DESCUENTO EQUIVALENTE A TASA DE INTERES SIMPLE 4.7.1 TASA DE INTERES SIMPLE EQUIVALENTE A TASA DE DESCUENTO SIMPLE
Para deducir las fórmulas, partiremos igualando el valor futuro a interés simple con el valor futuro a una tasa de descuento: S = P * (1 + i * n) S =
P
(1 - n * d )
Igualando los segundos miembros: P * (1 + i * n) =
P
(1 - n * d )
Simplificando el capital: (1 + i * n ) =
1 (1 - n * d )
Trasladamos la unidad al segundo miembro: i *n =
1 (1 - n * d )
-1
Obtenemos denominador común: i *n =
1 - (1 - n * d ) (1 - n * d )
Eliminamos los paréntesis: i *n =
1 - 1 + n * d (1 - n * d )
Despejando la tasa de interés y simplificando: i *n =
i=
n * d
(1 - n * d ) d
(1 - n * d )
[51]
Fórmula para obtener una tasa de interés simple equivalente a una tasa de descuento, para un valor determinado del tiempo.
101
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
Ejercicio 4.15
¿Qué tasa de interés simple es equivalente al 10% de descuento simple, durante 90 días? Datos: d = 0.10
i =
n=
90 360
0.10 90 ö æ ç1 - 0.10 * ÷ 360 ø è
i = 0.102564
Ejercicio 4.16
Determinar la tasa de interés simple equivalente a las siguientes tasas de descuento y el tiempo señalado en la cuarta (o última columna). TASA TASA DESCTO INT.SIMPLE TIEMPO CAPITAL
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.18 0.14 0.10 0.09 0.20 0.22 0.24 0.09 0.11 0.13
EQUIVAL. 0.182741 0.143345 0.102564 0.092784 0.218182 0.247197 0.279070 0.095745 0.119891 0.145794
AÑOS 0.0833 0.1667 0.2500 0.3333 0.4167 0.5000 0.5833 0.6667 0.7500 0.8333
12,000 25,000 52,000 120,000 150,000 40,000 30,000 15,000 18,000 10,000
DEMOSTRACION V.FUTURO V.FUTURO TIEMPO TASA TASA INT. DESC.EQUIV. SIMPLE MESES 12,183 12,183 1/12 25,597 25,597 2/12 53,333 53,333 3/12 123,711 123,711 4/12 163,636 163,636 5/12 44,944 44,944 6/12 34,884 34,884 7/12 15,957 15,957 8/12 19,619 19,619 9/12 11,215 11,215 10/12
4.7.2 TASA DE DESCUENTO EQUIVALENTE A TASA DE INTERES SIMPLE
Para despejar la tasa de descuento d, en función de la tasa de interés i, deducimos de la igualdad de los valores nominales de una unidad monetaria a interés simple y a descuento simple: Siguiendo el mismo procedimiento que el utilizado en el desarrollo del numeral 4.7.1, obtenemos la tasa de descuento: P
(1 - n * d )
= P * (1 + i * n)
TASAS EQUIVALENTES
1 (1 - n * d )
1
= (1 + i * n)
= (1 - n * d )
(1 + i * n)
(1 - n * d ) =
- n * d =
(1 + i * n )
(1 + i * n)
-1
1 (1 + i * n)
(1 + i * n) - 1
n * d =
d =
1
1
n * d = 1 -
n * d =
102
(1 + i * n ) i*n
1+ i * n i
[52]
(1 + i * n)
Fórmula para obtener una tasa de descuento simple equivalente a una tasa de interés simple, para un valor determinado del tiempo.
Ejercicio 4.17
¿Qué tasa de descuento simple es equivalente al 9% de interés simple, durante 120 días? Datos: i = 0.09
d =
n=
120 360
0.09 120 ö æ ç 1 + 0.09 * ÷ 360 ø è
d = 0.087379
103
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
Ejercicio 4.18
Determinar la tasa de descuento equivalente a las siguientes tasas de interés simple, en el tiempo indicado en la tercera (o última columna) y realizar la demostración correspondiente en base al valor futuro.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TASA TASA INT DESCTO TIEMPO CAPITAL SIMPLE EQUIVAL. AÑOS 0.18 0.182741 0.0833 12,000 0.14 0.143345 0.1667 25,000 0.10 0.102564 0.2500 52,000 0.09 0.092784 0.3333 120,000 0.20 0.218182 0.4167 150,000 0.22 0.247197 0.5000 40,000 0.24 0.279070 0.5833 30,000 0.09 0.095745 0.6667 15,000 0.11 0.119891 0.7500 18,000 0.13 0.145794 0.8333 10,000
DEMOSTRACION V.FUTURO V.FUTURO TASA INT. TASA TIEMPO SIMPLE DESC.EQUIV. MESES 12,183 12,183 1/12 25,597 25,597 2/12 53,333 53,333 3/12 123,711 123,711 4/12 163,636 163,636 5/12 44,944 44,944 6/12 34,884 34,884 7/12 15,957 15,957 8/12 19,619 19,619 9/12 11,215 11,215 10/12
4.8 TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A TASA DE INTERES SIMPLE Y TASA DE INTERES SIMPLE EQUIVALENTE A TASA EFECTIVA Símbolos:
is = Tasa de interés simple ic = Tasa de interés compuesta 4.8.1 TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A UNA TASA DE INTERES SIMPLE
P * (1 + ic )n = P * (1 + is * n)
(1 + ic )n = (1 + is * n ) (1 + ic ) = (1 + is * n)1/ n 1 ic = (1 + is * n) / n - 1
[52]
Ejercicio 4.19
¿Qué tasa de interés efectiva es equivalente al 10% de interés simple, durante 9 meses? Datos:
is = 0.10
n =
9 12
TASAS EQUIVALENTES
104
1 / 0 .75
9 ö æ ic = ç 1 + 0.10 * ÷ 12 ø è 1.3333
ic = (1.075 )
-1
-1
ic = (1.101230 - 1)
ic = 0.10123
Ejercicio 4.16
Determinar la tasa de interés efectiva equivalente a las siguientes tasas de interés simple, en los tiempos indicados y demostrar que son equivalentes: TASA INT.SIMPLE
TASA EFECTIVA
0.12 0.16 0.18 0.24 0.09 0.15 0.08 0.06 0.10 0.15
EQUIVALENTE 0.123600 0.154200 0.192519 0.246932 0.089030 0.140175 0.074337 0.057497 0.094389 0.133813
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CAPITAL
10,000.00 11,000.00 12,000.00 13,000.00 14,000.00 15,000.00 16,000.00 17,000.00 18,000.00 19,000.00
Desarrollo del problema N° 1: Datos:
is = 0.12
n = 1/0.5
æ è
ic = ç 1 + 0.12*
6 ö ÷ 12 ø
2
ic = (1.06 ) - 1 ic = (1.1236 - 1) ic = 0.1236
-1
6 12
DEMOSTRACION TIEMPO V.FUTURO V.FUTURO TASA AÑOS INT.S. TASA EFECT 0.50 10600.00 10600.00 1.50 13640.00 13640.00 0.25 12540.00 12540.00 0.75 15340.00 15340.00 1.25 15575.00 15575.00 2.00 19500.00 19500.00 3.00 19840.00 19840.00 2.50 19550.00 19550.00 2.25 22050.00 22050.00 2.75 26837.50 26837.50
105
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
También, es posible demostrar la equivalencia, determinando el capital, a partir del valor futuro, como se observa a continuación:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TASA INT.SIMPLE
TASA EFECTIVA
VALOR
0.12 0.16 0.18 0.24 0.09 0.15 0.08 0.06 0.10 0.15
EQUIVALENTE 0.123600 0.154200 0.192519 0.246932 0.089030 0.140175 0.074337 0.057497 0.094389 0.133813
FUTURO 10,000.00 11,000.00 12,000.00 13,000.00 14,000.00 15,000.00 16,000.00 17,000.00 18,000.00 19,000.00
DEMOSTRACION TIEMPO CAPITAL CAPITAL TASA AÑOS INT.S. TASA EFECT 0.50 9433.96 9433.96 1.50 8870.97 8870.97 0.25 11483.25 11483.25 0.75 11016.95 11016.95 1.25 12584.27 12584.27 2.00 11538.46 11538.46 3.00 12903.23 12903.23 2.50 14782.61 14782.61 2.25 14693.88 14693.88 2.75 13451.33 13451.33
Nota: Estas tasas son equivalentes únicamente para el tiempo que se utilizó para
obtener la equivalencia. A continuación podemos observar que, manteniendo constante el resto de datos y variando únicamente el tiempo, los valores futuros son diferentes, es decir, esas tasas no son equivalentes para otros valores del tiempo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
SI SEMODIFICA ELTIEMPO DEJAN DE SER EQUIVALENTES: TASA TASA DEMOSTRACION INT.SIMPLE EFECTIVA CAPITAL NUEVO V.FUTURO TASA EQUIVALENTE TIEMPO INT.S. 0.12 0.123600 10,000.00 0.75 10900.00 0.16 0.154200 11,000.00 0.75 12320.00 0.18 0.192519 12,000.00 1.25 14700.00 0.24 0.246932 13,000.00 2.00 19240.00 0.09 0.089030 14,000.00 1.50 15890.00 0.15 0.140175 15,000.00 0.50 16125.00 0.08 0.074337 16,000.00 2.00 18560.00 0.06 0.057497 17,000.00 3.00 20060.00 0.10 0.094389 18,000.00 1.50 20700.00 0.15 0.133813 19,000.00 0.75 21137.50
V.FUTURO TASA EFECT 10913.37 12249.08 14954.18 20212.90 15910.66 16016.85 18467.20 20104.18 20607.72 20876.59
Obsérvese que las tasas efectivas dejan de ser equivalentes a las tasas de interés simple señaladas como datos, al cambiar el tiempo. Las demostraciones correspondientes a los problemas 1 hasta el 10, han sido obtenidas utilizando la hoja electrónica Excel. 4.8.2 TASA DE INTERES SIMPLE EQUIVALENTE A UNA TASA EFECTIVA
P * (1 + is * n ) = P * (1 + ic )
(1 + is * n ) = (1 + ic ) n is * n = (1 + ic ) - 1
n
n
TASAS EQUIVALENTES
is =
(1 + ic )n - 1
106
[53]
n
Ejercicio 4.21
¿Qué tasa de interés simple es equivalente al 9% de interés capitalizable anualmente? Datos:
6 n = 12
ic = 0.09
is =
(1 + 0.09)
6/12
-1
6 12
is = 0.0881
4.9 TASA NOMINAL EQUIVALENTE A TASA DE INTERES SIMPLE Y TASA DE INTERES SIMPLE EQUIVALENTE A TASA NOMINAL 4.9.1 TASA NOMINAL EQUIVALENTE A TASA DE INTERES SIMPLE
Para deducir las fórmulas, partiremos igualando el valor futuro a interés compuesto a una tasa nominal capitalizable varias veces en el año con el valor futuro a interés simple: j ö æ P * ç1+ ÷ è mø j ö æ ç1 + ÷ è mø
n *m
= P *(1 + is * n)
n *m
= (1 + is * n )
j ö æ 1 / n*m ç1 + ÷ = (1 + is * n) è mø j m
= (1 + is * n)1 / n*m - 1
j = m * éë(1 + is * n)1 / n*m - 1ùû
[54]
Ejercicio 4.22
¿Qué tasa capitalizable mensualmente es equivalente al 9% de interés simple, durante 6 meses?
107
MATEMATICAS FINANCIERAS CON EXCEL Y MATLAB
Datos:
m = 12
i = 0.09
n =
6 12
1/ 0.75*12 éæ ù 9 ö - 1ú j = 12 êç 1 + 0.10* ÷ 12 ø êëè úû
j = 12 é(1 + 0.75 )
1/ 9
ë
- 1ù û
j = 12* (1.008068 -1 )
j = 0.096816
4.9.2 TASA DE INTERES SIMPLE EQUIVALENTE A TASA NOMINAL
j ö æ P * (1 + is * n) = P * ç1 + ÷ è mø j ö æ (1 + is * n) = ç 1 + ÷ è mø j ö æ is * n = ç 1 + ÷ è mø j ö æ ç1 + ÷ è mø is =
n*m
n*m
n *m
-1
n*m
-1 [55]
n
Ejercicio 4.20
¿Qué tasa de interés simple es equivalente al 10% capitalizable semestralmente, durante 12 meses? Datos:
j = 0.10
m = 2 12
*2
æ 0.10 ö12 ç1 + 2 ÷ - 1 ø is = è 12 12
n =
12 12
TASAS EQUIVALENTES
108
2
is = (1.05 ) - 1 is = 0.1025
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- En base a la tasa efectiva anual, qué alternativa recomendaría para realizar una inversión: a) Depositar el dinero al 6.8% capitalizable mensualmente; o, b) Adquirir un activo que le rinde el 7% con capitalización continua. a) i = 0.70015 b) i = 0.07251 X 2.- Determinar la tasa efectiva equivalente a la tasa del 12% capitalizable mensualmente. Realizar la demostración de equivalencia. i = 0.1268 3.- Determinar la tasa nominal capitalizable semestralmente, equivalente a la tasa del 18% capitalizable mensualmente. Realizar la demostración correspondiente. j = 0.18689 m=2 4.- Determinar la tasa efectiva equivalente al 18% con capitalización diaria.
i = 0.1972
5.- Determinar la tasa efectiva equivalente a la tasa del 12% con capitalización continua. Realizar la demostración correspondiente. i = 0.1275 6.- Determinar la tasa nominal capitalizable trimestralmente, equivalente al 24% capitalizable mensualmente. j = 0.2448 m=4 7.- Determinar la tasa con capitalización diaria equivalente al 24% con capitalización continua. j = 0.24008 m=360 8.- Determinar la tasa de descuento bancario equivalente a la tasa del 12% de interés simple, para un periodo de 120 días. d = 0.11538 9.- Determinar la tasa de interés simple equivalente a la tasa de descuento bancario del 20% anual, para 3 meses. i = 0.2105 10.- ¿Qué alternativa recomendaría para un inversionista: a) 8% capitalizable trimestralmente; b) 7,8% capitalizable mensualmente; y, c) 8,1% capitalizable semestralmente Mejor alternativa c) i c = 0.0826
