23-Iniciación Al Algebra

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M¡,nrfN M¡,Nunr, Socm RosA,yNA. MnrÍ¡s C¡u¡.cno MncnÍN Manf,q MBnceoES Plr¡,n¡n M¡orN¡, Jos¡rn HEnNÁNo¡z DolrÍÑcuez

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Colección: MATEMATICAS:CULTURAY APRENDIZAJE

t4. Proporcionalidad geométrica y sonrc.i¿rtrzil Crupo Beta

15. Poliedros l. Area de conocimiento: didáctica de las matemáticas Angel Gutiérrez,BemardoGómez Alfonso, JuanDíaz Godino,Luis Rico Romero

2. Números y operaciones Luis Rico Romero,EncamaciónCastroMartínez,Enrique CastroMartínez

Cregoria Guillén Soler

16. Una metodología activa y lúdica para Ia enseñanzade la geometrÍa Angel Martínez Recio, Francisco Juan Rivaya

17. El problema de la medida Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez

3. Numeración y cálculo BernardoGómez Alfonso

4. Fracciones SalvadorLlinares Ciscar,M." Victoria SánchezGarcía

5. Números decimales;por qué y para qué Julia CentenoPérez

6. Números enteros JoséL. GonzálezMarí, M." Dolores Iriarte Bustos,Alfonso Ortiz Comas,InmaculadaVargasMachuca,ManuelaJimeno pérez,Antonio Ortiz Villarejo, EstebanSanzJiménez

7. Divisibilidad ModestoSierraVázquez,Andrés García,M! T. Conzllez Astudillo. Mario ConzálezAcosta

18. Circulando por el círculo FranciscoPadillaDíaz, Arnulfo SantosHernández,Fidela Velázquez, Manuel FernándezReyes

19. Superficie y volumen M." Angelesdel Olmo Romero,FranciscaMoreno Caretero, FranciscoGil Cuadra

20. Proporcionalidaddirecta M.'Fortuny Aymémi M."LuisaFiolMora,José 21. Nudos y nexos.Redesen la escuela Moisés Coriat Benarroch,JuanaSanchoGil, Antonio Marín del Moral, Pila¡ Gonzalo Martín

22, Por los caminos de la lógica Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz

ll. Itr
r). ltlsll¡nnciónen cálculo y medida lslrkr'' ScgoviaAlex, Encarnacióncastro Martínez,Enrique castro Martínez. | ,r¡lr ltico llornero

llf. Arlt¡nética y calculadora l r l c r l c r i cU d i n ai A be lló

| |, M¡rtcrialespara construir la geometría ( 'rrrnrcrrllurgués Flamerich,Claudi Alsina Catalá, JosepM., Fortuny Aymemi

12. lnvitación a la didácticade la geometría ('l,r¡rli Alsirracatalá, JosepM." Fortuny Aymemi, carmen BurguésFlamerich

l.l. Simetría dinámica llalacl PérezCómez, Claudí Alsina Catalá,CeferinoRuiz Garido

23. Iniciación al álgebra : ManuelMartínSocasRobayna,MatíasCamachoMachín,M." MercedesPalareaMedina, ': Domínguez JosefaHernández 24. Enseñanza dela suma v de la resta CarlosMazaGómez 25. Enseñanza dela multiplicación CarlosMazaCómez

y de la división

26. Funciones y gráficas Giménez J
27. Azar y probabilidad Juan Díaz Godino, CarmenBatanerollcrnabéu,M." JesúsCañizaresCastellano

28. Encuestas y precios Andrés Nortes Checa

29. Prensa y matemáticas Antonio FernándezCano, Luis Rico Romero

30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso JoséA. CajaravillePegito

INICIACION AL ALGEBRA

31. Ordenar y clasificar Carlos Maza Gómez, Ca¡los Arce Jiménez

32. Juegos y pasatiempos en la enseñanza de la matemática elemental JosefaFemández Sucasas,M.' Inés Rodríguez Vela

33. Ideas y actividades para enseñar álgebra GrupoAzarquiel

M¡.nrÍN M¡,NunL'Socns Ro¡nyN¡. Mrrf¡rs C¡,unc¡¡o MtcnÍN MrnÍe M¡ncnons Pnr,¡,nnnMnorNn JosnpnHnnNÁNo¡z DolrÍNcusz

34. Recursos en el aula de matemáticas Francisco Hemán Siguero, Elisa Carillo Quintela

Consejo editor: Luis Rico Romero,JoséM." Fortuny Aymemi, Luis Puig Espinosa

EDITORIAL

SINTESIS \.-

i''iccodigod+barras-JÉQJ-J'l Q?3-9r:Vt' r :'irrsi#'d*adqarrsirlór; ¡-.il¡t:¡eX* Uan¡e -**.,. i t,,-f r.#,Cf"'Adr-1;.ri$;r;lll;

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Indice

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q.',l:rri:,,rr3qiql¡¡.fl[Ctand.¡1]j$,:tiratura .;; 1,.-rr N i.i:a!rs:.,, "- iliirit.:,,*;r,r".irj.'i:r:.rii.

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Presentación l.

Lenguaje algebraico y comprensión matemática

1.1. Introducción 1.2. El lenguaje y la formación de los conceptos matemáticos

1.3. La notaciónformal 1.4. El lenguajehabitual'yel 1.6. El lenguaje algebraico . . El signb de"igualdad

. La sustituciónformq.l,, .. . El uso y significadgde las letras I'r inrcra rcimpresión:febrero 1996 I)iscño dc cubierta: JV Diseño sráfico llcservarkrstt>doslos derechos Está prohibido, bajo las s¡rlrr:io¡ros ¡ronalosy el resarcimiento civil previstos en l: rs lc y c s , r c p r o d u c i r ,r e g istr a ro tr a n sm itir e sta p u b lit'trci<'rn, f nk:¡¡rzro parcialmente,por cualquier sistemade rc c u¡ r c r i r c i r yi np o r c u a l q u ie rm e d io ,se am e cá n icoe, le cIrirrrit:o,rnir¡¡nótico,electroóptico, por folocopia o por t ' t t rrl t ¡ r r i tor (r r o , s i n l a a u to r iza ció np r e via p o r e scr itod e lit lilo r i ¡ r lS f n t r : s i sS,. A . O MA I { ' I ' I N M A N I " J E L SOCAS MA ' ¡ ' I A I i ( ] A M A C H O N4 , M ^ I i I { ( ] Ii I ) E S P A LAREA t ( ) s t i t r A I I T i R N A N DEZ {1 t il ) t ' t ( l t t t n l , s f N ' r B S Is, s. e V¡l l e l r c ¡n r o s o 3 , 4 .2 8 01 5M a d r id ' li. l r r l o n o( 9 1) 5 9 32 0 9 8 I lr' lr¡ i r i l ol c ¡ 1 r rM l : 9 4 0 - 19 9 6 llillNr fi4 773¡i-{)6ti-6 lrlrc si r ' n r : n L a v e lS A I rn¡rr c s to>n E s p a ñ a- P r i n te din Sp a in

37

2, Marco históricodel álgebra 2.1. Introducción :..... 2.2. Inicios del álgebray clasificación. . . . 2.3. El álgebrageoméf.rica 2.4. Resoluciónde ecuaciones .... . Ecuacioneslineales . . '. . 4, . . Ecuaciones cuadráticas . .. -. . Ecuaciones de grado qayor que dos . Sistemasde ecuacioneslineales . Ecuaciones diofánticas 2.5. E l á lgebr aabst r aót a. . . . . .

3. El álgebray los-estadiosdel desarrollo 3.1. Introducción 3,2, Los estadiosdel desarrollode Piaget 3.3. Los estadiosdel desarrolloy las matemáticas y el álgebra.... 3.4. Los estadiosdel desarrollo 4. Enseñdnza-aprendizajedel álgebra 4.1. Introducción

1l 1l t2 13 15 19 22 24 25 28

3t

38 4l 45 . : ". . . . . . .

45 50 56 6I 64 66

"73 73 t)

77 8l 9l 91 7

4.2. Diferentesinterpretacionesdel curriculo dc álgebra en la escuela 4.3. Erroresen álgebra 4.3.1. Generalidades ... 4,3,2. Erroresen resoluciónde ecuacloncs. . 4,3.3. Correcciónde errores r endizajedel álgebra. 4.4. Principiosgeneralespara la enseñanza-ap 4,5. Estrategiasde enseñanzaen aritmética generalizada. . . . . . .

92 96 96 105 109 110 lt9

5. Lenguajevisual y lenguajealgebraico 5.1. La teoriade los hemisferios cerebrales. Representación espacial y lenguaje.... 5.2. Simbologíavisual y verbal 5.3. Sugerencias didácticasa travésdel lenguajevisual . 5.3.1. Organizaciónde la instrucción 5.3.2. Fórmulasnotables 5.3.3. Razonamientoinductivo.Generalizaciones 5.3.4. La demostracióny justificaciónde propiedadesalgebraicas

tt9

6. Iniciacióna las ecuaciones. . 6.1. Los modelos... . . 6.2. Distintostipos de modelos 6.2.1. Balanza 6.2.2. Diagramas 6.2.3. Máquinas 6.2.4. Gráficos 6.2.5. Tablerosde fichasde colores 6,2.6. Juegos 6.3, Ecuaciones 6.3.1. Escriturade ecuaciones. . . . 6.3.2. Resoluciónde ecuaciones. . . .

169

Bibliografla

205

r39 t4r 144 144 148 Él l6l

r69 172 172 175

r79 181

r82 r84 189 190 196

Presentación Para manifestarnuestrasideas o introducir aspectosde la realidad en nuestramente,abstraerloso transformarlosen ideas,tenemosque usar un prodigiosoartificio que las sustituya;por ello la humanidadha creadouna inmensayariedadde elementosde comunicaciónque llamamos. Empleandolos simbolosse han creadoestructurasde comunicaciónmás complejarque han generadolas diferentesgamasde lenguajeque utilizamos hoy día. Entre estagamade lenguajesseencuentrala matemática,que constituye y comprensiónmás podeuno de loo elementosdo comunicació4-exprosión , que ha el hombre. roso inventado . Es obvio que muchosalumnos,incluyendoalgunosde los más capacifados,no sientenatracciónpollas mátemáticas.Esta actitud negativatiene,sin lugar a dudao,diversasfuentes.Entre ellasdestacanpor su enormeimportancia:lanaturalezadel pensamientomatemáticoy las formasde comunicar y expr€sarlas matemáticasque dificultanla comprensiónde la misma, del álgebraesun núcleoesencialen la comuniLa enseñanza-aprendizaje cación y expresiónde las firatemáticasy debe ser introducidaoomo una parte$til, apetecibley bella que facjlita los procedimiontosen¡píricosinducformal y deductivo. tivos frenteal tradicionalplanteamierfto El libro presuponedel lector un conocimientode los contenidoselementalesde aritmética y centra la f-rnalidaden orientar la enseñanza-aprendízaje del áúgebraen la escuelasecundariaobligatoria. El carácterintuitivo con el que setratan los contenidos;haceposiblesu conocimientoinclüsoa aquellos alejadosde los temasmatemáficos lectoresque seconsiderandefinitivamente y en especialdel álgebra. r Proponemosen el libro un acercamientoal álgebraen la pscuelaobligael r, el , toria en términosde traducciónde lenguajes: el ,el y el de los
En el capítulo segundo se hace un somero recorrido por la historia de la matemática para situar en ella los conceptos básicos del álgebra. En el capítulo tercero se relacionan los niveles de pensamiento con la enseñanza-aprendizajede las matemáticas en el marco de la psicología evolutiva de Piaget. En el capítulo cuarto -previo hacer diferentes interpretaciones del currículo de álgebra en la escuel?- y, a partir de un análisis de errores en álgebra, se hace una propuesta de la enseñanza-aprendizaje del álgebr4, basada en ocho principios generales,que intenta minimizar la mayor parte de las dificultades del tema que nos ocupa. El capítulo seis ofrece diferentes con el fin de facilitar la asimilación de conceptos y de procesossobre una baseempírica y convincente para el alumno. En la mayoría de los capítulos se sugieren actividades,unas resueltas,y otras planteadas como propuestas para su resolución. Nada mejor para recoger los frnesque nos ha guiado en la elaboración de este libro que las palabras de Polya:

Lenguajealgebraico y comprensiónmatemática

I.I.

INTRODUCCION

El lenguajehabitual,por medio dgl cual logramoscomunicarnos, exige de nuestraparteunh retléiiOnio6rela ielacióncon su usoal transmitirideas relativasa las matemáticas. -*F t matemáticohacemosuso continuo del Para expresarel conocimi".e¡to, lenguajeordinario.Así, cuandodecimosque >, haciendouso de eselenguaje,'estructurado de acuerdocon su gramática. Como resultaevidenteque,'lamatemáticano puedeprescindirdernuestro idioma, parece acertado asaljzar aspectosde éste que suelen afectar al lenguajede las matemáticas. Algunos problemas y dificultadel que encontramos en la enseñanzade las matemáticas no sorlen realidadinherentesa ella,sino que aprendizaje problemas de nuestro constituyen lenguaje.Obviamente,el conocimientode para lenguaje no bastará resolver estosproblemasque planteanlas nuestro matemáticas.Esto se debe a que las matemáticastienen un lQnguajepropio generalmentereconocido,aun admitiendoque su sistemad'e símholosy terminologíasno son propiedaó.dela matemáticamisma y que ella pueda y descritaen una variedadde lenguajes, en parte,porquelas ser.presentada palabrastienenpará las matemáticast¡n significadomuy prbpié y a menudo distinte del que comúnmentese les atribuye. Por ejemplo, en la frase que las palabias:distancia,recta,punto y longitud, anteriormenJc, mencienamos cual, difiere del que podemosatritienenun significadomuy especíhco,'él nacela necesidad buirlesen nuestrolenguajeordinario.De estainsufrciencia de generarsuspropiaspalabrasy reglaspara lograr decir de las matemáticas aquelloque le compet€,y que en el lenguajehabitualno es posibledecir,o,

(Porv,t, 1965,p^9. 133.) Los Auronrs

ll

10 rEL,

cuando lo es, resultasumamentecomplicadoy complcjo.Esto es precisamentelo que haceque las matemáticas tenganun lcnguajediferentede aquel que le suministranlas palabrascon que se exprcsa. La importanciacapital de considerarcomo propio el lenguajede las matemáticas, no radica únicamenteen su capacidadpara describirmuchos de los fenómenosde caráctercuantitativoque sucedena nuestroalrededor, sino también,fundamentalmente, en que constituyeel único lenguajecapaz de describiry hacercomprensiblela matemáticamisma.

en cuantoa si el lenguajeprecedeo sucedeal desarrollodel concepto,esque muchosde los tests relativosa éste,en especiallos de Piaget,dependen considerablemente de la comprensióny uso del lenguajepor el niño. No parecequedarclarihcadoel lugar del lenguajeen el desarrollode los pero la idea de que el lenguaje,y particularmente conceptosmatemáticos, el lenguajeoral, es una parte esencialde esteproceso,sí pareceestar perfectamenteestablecida. Ahora bien,lo que si estásuficientemente admitidoesque un objetiuoprincipal de la educaciónmatemáticaes capacitar a los niños para expresarsusideasmatemáticasverbalmente. Esto incluyela capacidad paraescuchary para hablarsobrematemáticas, asícomo para leery escribir sobreellas. La adquisicióndel lenguajey de los conceptoses un procesodinámico, no es un modelopasivode aprendizaje. La comprensióny uso del lenguaje por el niño varía segúnla implicaciónen la situaciónen que se usa, y la interpretaciónque dicha situacióntengapara é1. Es esencialque el alumno y el profesordiscutanlos variossignificados e interpretaciones de las palabrasy frases,con lo que el profesorestá en por sí mismo coherentemente. condicionesde ayudar al niño a expresarse AusrrN y HowsoN (1979)sugierenque en los últimos veinte años el desarrollocurriculár en'matemáIicasha hecho necesariauna mayor comprensiónlectora por parte de los ,alumnos,y opinan que no se presta suficienteatenciónen asegurarse de que el nuevo vocabulario-aun no habiendouna concienciageneralde la necesidadde introducirlo- es en realidad entendido.Además señalanque existe un verdaderopeligro en simplificarlas formas verbalesen orden a facilitar su lectura.Mencionan estudiosque sugieren,por ejemplo,que ciertosesquemas de aprendizajeque empleanhchasde trabajo, pp.edenusar un vocabulario básicoen una forma muy limitada,creandoasí barrerasal desarrollodel lenguajede los concepy restringi4ovocabulario,usadofiecuentemente tos. También,un específico en textos y exámenes,tiende a reforzar(animar) a los alumnos . Los trabajosde investigaciónsobreel papelque desempeña el lenguajeen el aprendizajede las matemáticasson bastantelimitados como indican Ausrr¡¡ y HowsoN (1979)ya que éstees un tema de interésrelativamentereciente.

1.2. EL LENGUAJE Y LA FORMACION DE CONCEPTOS MATEMATICOS ¿Puedeun niño adquirir el conceptode antesde aprenderlos nombresde los números?,o por el contrario,¿debeser animadoa emplear expresiones como ,antesde que tengauna nociónreal de su significado? En la enseñanza de algunostópicosde matemáticas hay que decidirsobre cuál es el momentoadecuadopara introducir el vocabularioy los simbolos apropiados.Sin embargo,el papeldel lenguajeen la adquisiciónde conceptos constituyehoy una verdaderaincertidumbre,a pesardel prolongadoy extensodebateentre lingüistas,psicólogosy filósofosacercade la relación entre lenguajey pensamiento. Pt¡'cer (1926)consideró,al menosen sus primerosescritos,que el lenguajesólo puedereflejar,no determinar,el desarrollodel conocimiento. (lsonr (1974)hacehincapiéen la estrechainterdependencia entrelenguay dcsarrolloconceptual:
:!

1.3. LA NOTACION FORMAL Para algunosautores,la matemáticaes ella misma un lenguaje;para otros, esta añrmaciónes un o .Lo que sí quedainternacionalmente admitido es

l,rr cvidcnciaexperimentaltambiénes equivoca.un problemaparticulai t2

t3 I

que la matemáticaha desarrolladouna sintaxisy un vocabulariopropios, aunquesus'símbolos y terminologíasno sean,en exclusiva, de la matemática misma. La matemáticatieneuna notaciónque le es propia y que haceposiblela aplicaciónformal de las reglasde la aritméticao del álgebra.Esta notación formal en matemáticas esesencialen el desarrollode la mismay escausade gran confusiónen la opinión de los alumnos.Esta confusiónproviene,en general,de la separaciónentre la aparienciavisible de la notación y el significadosubyacente de la misma.De maneramás precisa,una gran parte de los alumnosintentanver el significadode una notación,exclusivamente, sobrela basede su aparienciavisible.El error común 5x - x : 5. es un claro ejemplode esto,quitandox en 5x queda5. Además,el uso anómaloen álgebrade la yuxtaposiciónpara denotar la multiplicación(por ejemplo, escribiendoab por a x b) ayuda a generarla notaciónconfusa. Mayor confusiónse producecon la notaciónfuncional.Escribir sen2x como 2 sen.xse origina de conversiones análogasa x2y en 2xy. La notación indicial es otra área donde la aparienciavisual produce confusión.Por ejemplo,en las potencias,el uso de a2 denotanooa x a, frecuentemente confundidocon 2a, no es con frecuenciauna escrituraade- * cuadapara expresiones comoa2 x bs : as, la posicióndel x entreel 2 y genera el 3, el error a2 x a3 : e6. El uso del signo igual en matemáticasplantea varias dificultadesde Li aprendizaje. Los alumnoslo utilizan primeramente, conociendoel signoen su forma operacional:<6 más 3 hacen 9, ponemos6 + 3 : 9, y solamente más tarde en su aspectomás general.En álgebra,el signo igual denotaecuaciones o identidadesindistintamentey puedecausarconfusión. De él nos ocuparemoscon mayor profusiónen el párrafo 1.6,relativo al unálisisde los diferentescontextosen que el uso de las letrasapareceen el úlgebra,y en el párrafo 5.2 del capítulo5, dedicadoa erroresen el álgebra, El mejorcaminoparaprocedercon taleserroresnotacionales es,naturalrncnte.estimulara los estudiantes a reflexionar acercadel signifrcado de tales cxpresiones. Sin embargo,estogeneraun enormeconflictocon la intención principaldel empleode la notaciónformal,que esen primerlugar conducir kx procesosmatemáticosmediantela manipulaciónapropiadade las reglas que ñon dcterminadas por la forma matemáticade la expresiónimplicada, rirr lrrstrabasoriginadas por la necesidad de referenciar cadapasoindividual cn pr() dc algún signifrcado subyacente. Las reglasmismasdebentenerun c¡l¡rdoinicialen lasque sonjustificadas en términossignifrcativos, peroesla ttoiuci(rnformal quien determinala elecciónde la regla.un alumno que ncccsituen cada paso una referenciasignificativa,tendrá difrcultadesde comprcnsiónen procesosque impliquenmanipulaciones múltiples,pero comprenderámucho menosusandosolamentela notaciónformal. es decir'. t4 \

citadas.Este es uno de los problemascentralesen la sin las referencias' de las matemáticas. enseñanza-aprendizaje El uso de la notaciónformal puedeconducirnosa reglasirracionales,a sin sentidoy, no obstante,tal manipulaciónformal es un manipulaciones rasgoesencialde las matemáticas.

1.4, EL LENGUAJE HABITUAL Y EL LENGUAJE DE LAS MATEMATICAS El lenguajeordinario es un vehículonecesariopara la comunicaciónde ideas.En matemáticases el símbolismoformal otra manerade realizarla comunicación,principalmentede forma escrita.Este lenguajeescritode las operaen dos niveles,en el primeroes el niuelsemántico,donde matemáticas los simbolosy las notacionesson dadascon un significadoclaro y preciso. En estenivel existeun paralelismocon el lenguajeordinario.Los símbolos tambiéntienenun segundonivel,el niuelsintóctico,en el que las matemáticos reglaspuedenser operadassin referenciadirectaa ningún signihcado.Este nivel sintácticoes un elpmentoepencialen el desarrollode las matemáticas. el lenguajeordinario tiene que ayudar a interpretarel En matemáticas, lenguajesimbólico,lo que prod.uceun conflicto de precisión.El lenguaje ordinario iluedeexpresarsu signiñcadoa pesarde que se cometanabusos o faltasde ortotalescomo roturasde reglasgramaticales morfosintácticos, grafta.El significadopuede ser comunicadopor alusión o asociación.El lenguajeordinario puedetambién ser usadopara expresaremociones,dar opiniones,discutircualidadeso valores.Por el contrario,el lenguajede las sometidoa reglasexactas,no comunicasu matemáticas esmás precisol-está signifrcado, salvopor la interpretaciónexactade estossimbolos,y no puede juicios o valores.rEste es el conflictoinvolucradoen el expresaremociones, uso del lenguajeordinario dentro delcontexto matemático. esoriginadopor el vocabulaOtro problemadel lenguajeen matemáticas rio común. Palabrascomo, por ejemplo,raí2, potencia,producto, matriz, primo, factor, diferencial,integral, semejante,índice, funciÓs,etc., tienen y en el lenguajehabitual,de modo que diferentes en matemáticas significados palabras produce a causade la confusiónsemántidificultades el usode tales ya que estas para fácil esteproblqma,. No una solución implicada. existe. ca palabrasson parte de un vocabularioestándarde las matemáticas;sin embargo,el hechode reconocerque existendificultades,es un primer paso para interveniren ello. Hay, también,algunaspalabrasusadasen ciertoscontextosque pueden podrian ser evitamotivar confusiones de conceptosy que,probablemente, del lenguajediario cuando se empleanconnotaciones das.Particularmente, asi su significapara atraerla atenciónsobreun símbolo,sepuedeoscurecer

t5

do más que destacar el concepto subyacente;por cjomplo, en la sustracción, en la simplificación que connota hacerla más pequeña." Igualmente, tenemos palabras específicamentematemáticas,por ejemplo, hipotenusa, paralelogramo, coeficiente,isósceles,múltiplo, etc., que por ser poco familiares y frecuentementemal entendidas,suelenpresentar al alumno considerablesdilicultades, al encontrarse con ellas únicamente en sus lecciones de matemáticas,donde son definidas sólo una vez y nunca más. Generalmente, no tiene acceso a buscarlas en un diccionario matemático, ya que pocos libros de texto lo incluye. Las palabras de igual signihcado en el lenguaje ordinario y en matemáticas tienen su principal problema en saber que, en efecto,el significado es el mismo. A veces, los niños pueden pensar que una palabra del lenguaje ordinario toma un signil-rcadomisterioso cuando se emplea en matemáticas, o, quizás ellos no entienden realmente su verdadero signiñcado, en ambas situaciones. En un estudio con 300 alumnos de secundaria,OttennuRN y Ntcnor-soN (1976) investigaron la comprensión de 36 palabras comúnmente usadas en matemáticas. Se les pidió que dieran una información esquematizada,tal y como se indica en el ejemplo:

CUADRO

Palabras

(l)

(mas)

(3)

(4)

Diagrama

Describeen palabras sumar,es decir, 4 más 7 es ll

+:: 4+7=

Peralelnoramo

)t

Per nendi c r r l a

35 32 31 26 25 23 22

C

"aA.qA

R F'reeciÁn R ec fáns nl n Par al el o

A

l.'raccióndecimal . Cuadradoperfecto R adi o. Perimetro N í'

(Deflav¡Áñ D¡nm¡rl

i

Factor . Rombo f.Jni ón. (i¡qAie¡te Cimpr

En la columna (1) ponían sí, si entendianla palabra,y no' en caso contrario.En la columna(2)poníanel símboloparala palabrasi lo tenía(no ttxlaslaspalabrastienensimbolo).En la columna(3)dibujabanun diagrama de la palabra.Y en o r¡sabannúmeroso símbolospara mostrarel signifrcado el signifrcadode la palabrausandoun ejemplosi lo lir columna(4)describían rlcsctban. 1): en tres categorias'(cuadro fueron clasi-ficadas t.us rcspucstas ('orrt,t'tu;si lo descritoen las tres últimascolumnasindicabauna inter¡rclrrciirno()rrcctadel término. Vudu: si nadade lo escritoen las tresúltimascolumnasindicabahaberlo en la primera. conrprcndido,aunquese hubieseescrito> ('onfusa:si algunade las respuestas de las tres últimascolumnasestabq cn contradiccióno no estabaclara. tó

¡drzÁ

EI qtÁn

ll

Correctas

R nfac i Án

Iul"lti¡li¡a

I ntersecciÁn

(2)

Palabras. porcentaje de respuestas

99,7 99,7 94 92 9l 88 77 72 68 65 @ 64 58 52 49 45 43 4l 40 37

I\/I

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Parabrat":i?oJo" Símbolo

l.

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l)rnd f,I í,ltinl

S¡ m ei a

I' I ndi c e A nl i c ac i Án

F

Trapecio

, . . . . . . . . . . : ',

2r 20 l9 l8 t6 t6 15 11

Vacias

0,3 0,3 2 7 8 q

t9 lr 29 24 25 29 35 5+

20 51 5l

50 44 60 4l 61 62 47 65 7l t5

75 59 45 66 77 78 8l 76 79

Confusas 0 0 I 0,3 8 J

17 2 10 ll 8 7 13 32 A

t9 9 t6 -) 22 6 22 9 +

4 J

20 34 15 5 ) 3

9 10

que las respuestas clasifrcadas Los autoresadyiertenque podría pen$arse como (vacías))suponensiempreuna no comprensiónde las palabrascorrespondientes,tratándose,a vecesde una inhabilidad de los alumnos para cxpresarsu significado,La gravedadde los resultadosradica en que las

t7

palabrasconsideradasson parte del lenguajecomún usado en clasesde dandopor sentadola compreny, principalmente, en exámenes, matemáticas sión de su significado. Otros aspectosdel lenguajede las matemáticasque difrerendel lenguaje natural,son los que hacenreferenciaal lenguajesimbólico,y que son fuente de confusiónde muchosalumos;por ejemplo,su sintaxis-reglas formales y desarrollarse másallá de las operaciones-puedealgunasvecesextenderse Así, en el procesode aprenderel del dominio original de sus aplicaciones. por ejemplo,podemosdiferenciardos etapasdistintas. uso de exponentes, despuésde definirla notaciónmedianteejemplos,talescomo: Primeramente, a3 - - e' a' a Q3' as :

:

a' a' a' a' a

a' a' a

Q8

llegar al esquema general a2. a1 :

a2+1

_

Q9

tido y esventajosoquitarlas restriccioncs anteriores de m y n, esdecir,cómo hacerpara que las reglasprecedentes seanválidaspara todoslos valoresz y n racionales?, surgenasí las extensiones de notaciónde exponentes: ao se le representapor I a-2 se le representapor 1la2 aLt2 se le representa por \/á

y asl suceslvamente. Este procesode generalización de las matemáticases una característica esencialde la mismay esparteinherentede su lenguajesimbólico,que difiere sustancialmente del lenguajeordinario.Contrasta,en todo ello, la flexibilidad semánticadel lenguajeordinario con la precisióndel simbolismomatemático. una tendenciapara eliminar el uso del lenguajeordinario de las matemáticas, a causade las dificultadesimplicadas,seríaescribirlas matemáticasinvolucrandosolamentesímbolos,pero esto serviría,únicamente, para incrementarlas distanciasentrelas matemáticasy la realidad.

que puede ser expresado simbólicamente :

a^'a'

I.5. EL LENGUAJE ARITMTTTCO

e ^ tn

Empleando los métodos de manipular fracciones algebraicas se pueden ftrrmar también un esquema para la división: 51

a' : a-

a'Q

:

a2

sigrricrrdocl csquemageneral qlr

ta5

_

Q11- 5

_

Q6

simbólicamente r¡rre¡rucdcscr expresado e ^ ie n

:

e^-n

rlorrrlc t,t y n representan dos números naturales cualesquiera distintos de ccro y cn cl segundo caso /?res mayor que t4. l,¿rsrcstriccionesde m y n son necesariaspara la definición inicial de a2, ¿r. ... Los simbolos como 40, e-2, etl2 no tienen signifrcadoen términos de csta dcfinición. En un segundo paso nos preguntamos, ¿bajo qué condiciones está p.ttii18

La aritméticase estructuracon un sistemade notaciónmuy particular, diferentedel lenguajeordinario, aunquecomporta con él algunosrasgos especificos. Los problemasde la aritmética tienen que obedecera ciertas reglas: 7 + 4 : !, a la vezque no admitenotras,7* :4. Las reglasno son todas simples,en particular,los numerales,|¿s divisioneslargas,las fraccio_nes, la jerarquíade las operaciones, los paréntesis, etc.,requierenmucho adiestramiento para acometerlas operaciones y los símboloscon significado. Nos ocuparemosen esteparágrafo,aunquesomeramente, de la relación entre el lenguajeordinario y la aritméticaescrita,así como de la lectura y comprensiónde los símbolosaritméticos. Existensemejanzas, algunasno del todo triviales,entre el lenguajeordinario y la aritmética (o matemáticas).En el lenguajeordinario podemos encontrar elementoscomo los nombres,que a menudo,simbolizan personasu objetos,y elementoscomo los verbos,que con frecuencia,simbolizanaccioneso relaciones. En aritméticalos números7, 35,...,son como nombresy los signos*, -, :,..., son como verbos.Existenreglaspara combinar elementosen una oración del mismo modo que existenpara ecuaciones: <5x - : 8> no es una ecuacióny tampocoes oración .Algunasecuacionesestánbien formadas,pero son falsas. t9

<<7+ 5: 15>,al igual que algunasoracioncscstán bicn formadaspero son falsas, . No obstante, la diferencia entre la aritmética y las expresionesverbaleses también bastante notable. Las características algorítmicas no son sistcmáticamenteusuales en el vocabulario y en la sintaxis del lenguaje ordinario, pero sí pueden ser incidentales:plurales, pasados,comparativos, palabras compuestas,modelos de frasespara ser completadas,etc., aunque ninguno de ellos se acerca remotamente a la estructura sistemáticade los numerales.Inclusive los sistemasnoposicionalestenían una regularidad bastante aceptable.En un sistema posicional uno puede, comenzando con una pequeña colección de símbolos digitales, representar todos los números naturales de acuerdo con estrictas reglas algorítmicas. El lenguaje ordinario ha desarrollado un amplio número de recursos estructurados tales como preposiciones,conjunciones, afijos, subordinación de frases,etc. Análogamente, la aritmética (las matemáticas)poseeelementos estructurados; los más signihcativos son los paréntesis. Además, hay una gran cantidad de estructuras implícitas al realizar una tarea aritmética o al leer alguna afirmación, por ejemplo, en la jerarquia de las operaciones,la multiplicación se realiza antes que la suma. Las frases:
v-


son casi equivalentes,sin embargo, (mayores) en el primer caso no incluye a niñtls, y en el segundo es apropiado incluir a hombres' En aritmética se tiene más cuidado

7veces.... 3 + 5 ¡'rrrcdcscr distinguido de 7 v e c e s3 .... + 5 y eslir clistinciónes formalizada así:

7x(3+5)

7 x3+5

l:n aritmética debe quedar perfectamenteclaro lo que significan las exprcsiones; éstas están sujetas a estrictas reglas que indican cuándo uña

20

expresión debe estar entre paréntesis y cómo debe ser leida. Si las reglas matemáticas fueran adaptadas al lenguajc ordinario, uno podría escribir niños y (Señorasmayores) (Señoras y hombres) mayores pero esto no es así e indica una gran diferencia entre el lenguaje ordinario y el lenguaje aritmético. Consideremosahora el problema del papel diferente desempeñadopor el orden en el lenguaje ordinario y en la aritmética. El orden de las letras y las palabras en un texto escrito no introduce ningún otro significado que ése.Sin embargo, en la aritmética muchos de sus simbolos tienen significados que varían según su presentación espacial.Por ejemplo, 52, 52,25, (5,2), etc. Para la escritura de los números en nuestro sistema decimal (sistema posicional) el problema del orden es esencial. Igualmente se mantiene el orden en las operaciones,aunque rÍo es lo mismo en la adición que en la sustracción,ni en la multiplicació-n que€n la división. Señalemos,por último, que la mayoría de las investigacionesrelativas a la lectura y comprensiónde los símbblos aritméticos:(+)), ((->, ((x)), ((:)) e ((:D, destacan que éstos son interpretados generalmente en términos de accionesñsicas. BnowN (1981) pidió a alumnos de doce a quince años que escribieran historias ajustadas a una expresión simbólica dada; por ejemplo, (84 - 28>>,<<9:3>, <84 x 28>,(9 + 3)).La mayoria de las historiasincluían accionesfisicas como: para (por ejemplo, 3 x 9 se considera como 3 paquetes con 9 caramelos cada uno). Indioa igualmente BnowN que, probablemente, la mayoría de los niños encuentran por primera vez estas operaciones aritméticas en situaciones relativas a acciones fisicas, lo que acarÍea luego serias consecuencias.Por ejemplo, encontró que habia niños incapaces de interpretar una expresión como 16:20, porque para ellos l6 cosasno pueden ser repartidasentre 20

2l

personas.El porcentajede alumnosque contestóque no había respuesta para 16: 20 fue: 12 años 5l oA

13 años 47 0A

14 años 43 Yo

15 años 23 0h

con el signo<: )) surgetambiénde la asociaLa confusióny difrcultades ción del (:D con accionesfisicas. BEHny otros (1980)indicanal respectoque (existe unafuerte tendenciaentre los niños a considerarque el signo ":" es sólo aceptable en una expresión cuando le precede uno o mós signos operatiuos (+, -, etc). En efecto, algunos niños nos dicen que las respuestas deben ir detrás del " : ". Obseruandoen los niños una extremada rigidez en la escritura de expresionesnuméricas, una insistencia en escribirlas en determinadaforma y una tendencia a representar acciones (por ejemplo, añadir) más que a reflexionar, hacer juicios e inferir significados. Más aún tenemos alguna ersidenciade que iugerir esto a los niños no hace cambiar su idea de la igualdad hasta que son mqyores))

1.6. EL LENGUAJE ALGEBRAICO El uso de las letras como variablesprocedede la geometria griega.La comunicaciónescritadel conocimientogeométricorequeríael uso de figuras donde los puntos eran señaladoscon las letras del alfabeto;inclusiveen De manerasimilar, textosnuméricoslas letraseran usadascomo numerales. por letraso combinacioerandesignados laslíneas,triángulos,cuadriláteros, nesde letrasque en el fondo indicabanpuntos.La utilizaciónde las letras como variablesen geometríano propició el nacimientode un lenguaje algorítmico.No hay un vocabularioalgorítmico,ni segeneraningunaformalizaciín de las operaciones. En álgebra,el empleode las letrascomo variablesesde fechamás fardia. de resoluciónson tan linealesy cuadráticasy métodosgenerales Ecuaciones antiguoscomo los textoscuneiformes. En Grecia, las letras también significabannúmeros que podían haber inducido a los matemáticosgriegosa su utilizacióncomo incógnita;sin embargo,seproduceun impedimentofuertepara trasladarel uso geométricó de las letras directamenteal álgebra:mientras todos los puntos son en geometría,los númerostienenuna bien distinguidaindividualidad. Al final, en el periodo heleno,en el trabajo de Diofanto, hay por lo menosun símboloparala incógnita,una abreviaciónde número.En la Edad un Media, llega a ser el nombre de la incógnitadesarrollándose simbolismoúnico para las potenciasde la incógnita. 22

El paso decisivohacia una notación algcbraicamás útil fue dado por Viéte(sobre1600),quientambiénindicópor letraslas magnitudesindeterminadasy las variablesen expresiones algebraicas. Estanotaciónesel comienzo del desarrollode un lenguajealgebraicopropio, que consiguesepararse más y más del lenguajeordinario. Las letras son primeramenteusadas para indicar númerosarbitrarios y más tarde también para funcionesarbitrarias. En el álgebra,aparecencomo variablesexpresionesde cualquierclasede objetos,lo que permite considerardiferentestipos de álgebra:álgebrade conjuntos,aritmética,álgebrade funciones,etc. Sin embargo,en esteparágrafonos referiremos fundamentalmente al álgebrade números;así,todaslas variablesserán variablesnuméricas.Veremoscómo el modelo numérico. combinadocon la idea de variable-letra como número generalizado- nos conducedirectamenteal álgebra,o al menosa un aspectoesencialde ella, que ha sido el que históricamente se ha desarrolladoen primer lugar y que hoy, en los nivelesque nos ocupa,es el de uso más amplio. El cálculoalgebraiconacecomo-generalización del modelonumérico.Si para trabajar con un modelo aritmético tenemosque aprender a realtzar cálculoscon números,por ejern$o,l5:'l 37,7 x 66,5,paratrabajarcon un modelo algebraico,debemosser igualmentehábilesen cálculoscon variables. Todo cálculo algebraicosercoñStruyea partir de las cinco propiedades características del sistemanumérico:la conmutativay asociativade la suma y el producto,y la distributivadel productorespectode la suma. .,!.*b:b+a (a+b)*c:a+(b+c) a'b: ! b'a

-

( a'b) 'c a'f t

+ c\ :

:

a'( b'c) a'b + a. c

\

El
23

que tiene análogascaracterísticas quc cl problemade factorizar

. El signode igualdad

az+ub-2h2:

En aritméticael signo(: )) seentiendecomo una acciónfisica.Unasveces sirve para conectarun problemacon su resultadonumérico3 + 5 : l-l , dondeuna parte es conociday Ia otra debesercompletadacon el resultado de la ejecuciónordenadapor la primera;otras vecespermiterelacionardos procesosque dan el mismo resultado3 x 4 : 4 + 4 + 4, y en algunos casosrelacionala secuencia de pasosintermediosde un procesoque conduce a un mismo resultado,por ejemplo,

:a 2 *

z

2b2 - (i)' )"t . (:)' -

=("*

: ( " *) u *

3x(5-2)+4:3x3*4-13

),)'- (i,)':

'r,)(". L, -'rr)

: (a .r 2b)(a - b) dondecadaeslabónde la cadenade igualdadesexpresauna simplificacióno cambioen la forma de su predecesor, es decir,una . La presenciaen el álgebradel signo(:)) como señalde acciónno tiende a desaparecer.El álgebraen la escuelatradicional está llena de problemas semejantes: (a+b)'(a-b):az-62 donde es interpretadacomo un sistemade reglasde transformaciones lingüisticas(sintaxis)guiadasautomáticamente por una interpretacióndel signo igual como una acción.En estecálculoexpresadopor una eadenade igualdadesapareceun término bien caracterizadoy avtomatizadoen el álgebrade la escuela,.De estamanera,y de acuerdocon ciertasreglas, son las expresiones en un sentidoo en otro, pero la aplicacibn de la no se limita exclusiyamente a expresionesalgebraicas para resolverlas. tautológicas,sino tambiéna ecuaciones Por ejemplo:

dondelos diferentespasossonjustificadospor el signo igual. Apareceasíun cambioimportanteen el sentidodel signo(: )) en su paso de la aritméticaal álgebra.El sentidode igualdadaritméticaseconservaen pero no en expreel álgebracuandotrabajamoscon tautologíasalgebraicas, sionescomo 4, -.,? :12x * 7 que es verdaderacuandox :'5'. A diferenciade las tautologiaslas ecuaciones no son aflrrmaciones puesel signo igual en universalmente verdaderas, una ecuaciónno conexionaexpresiones equivalentes, aunquesí condicionaa la incógnita.Dada una ecuación,la tareapara resolverlaconsisteen determi(restricciones) nar los valoresdesconocidos que hacena la ecuaciónverdadefa. i-

x2-Sx*6=0

r La sustituciónformal

x2 - 2.t1, * 25la+ 6 - 2 5 1 = 4 0

Los procesosde sustituciónque conducende 3x5:5x3

('-")'-;:o

x-

24

5l 22

+x:412+x:2

a.b:b-a

o la verilicaciónde que si

t)' :'^ (' '-tr:ll2-x:612+x:30

a

x2-5x*6:0

Y

por x : 3 sustituyendox por 3, son procesosformales. es satisfecha La sustituciónformal,sin embargo,seextiendemás allá. De la identidad

,t'stnrrot :

üALDAS "1f'

l St'l 0 Ii - i '^ ¡

2.5

se obtiene,al reemplazara por a + c y ó por b + d, (a + c + b + d)(a + c - b - d) : (a + c)2 - (b + d)2 dondevariablesde una expresiónson sustituidaspor expresiones más complejasque son nuevamentevariables. Estastransformaciones algebraicas constituyenun poderosoinstrumento de cálculoalgebraicoque estáa mitad de caminoentrelo puramenteformal y un conocimientoexplícitode su significado. Las expresiones algebraicasa sustituir debenser interpretadasestáticamentey aceptadas las sustituciones solamentedentro de los paréntesis; en el casoanteriordelreemplazodea + cporay deó -| dpor ben (a + b )' (a -

b ) -- a 2 -

Generalización,cuando términos numéricos son reemplazadospor variables, por ejemplo, de

3x(5-2):3x5-3x2 x'(y - z):

x.y - x.z

o cuandomodeloso esquemasobtenidosen situacionesconcretas,generalmentenuméricas,son extendidos,por ejemplo,de 1+3]-5:32,1+3+5+i:42. a

- r): n2 ,D - t' '

b2

simplificaciólz,cuando en una expresióndada, expresionesparcialesson reemplazadas por variables,por ejemplo,en

produceinicialmente l(a + c) + (b + d))l(a + c) - (b + d)l : (a + c)2 - (b + d)2 El caminohaciala sustituciónformal debecomenzarcon pasosseguros en medio de un progresodeliberadamente lento. La organizaciónde las instrucciones en esquemas semejantes a un pequeñoordenadorpuedefacilitar la comprensión.Si queremosleer (a + b)(a - ó), como producto de la sumade ay by de la diferenciadeay b,el uso de diagramaspuedeserun estadointermedioque ayudeen estesentido

x4 3x.2- 2 _sustituirx2 por y. Eliminación,cuandovariablesiinplicadasen una sustituciónson suprimidas,por ejemplo,en la resolucióndél sistema 2x+y:16 5x+y:25 al sustituir! : 16 - 2x en'la'segunda ecuaciónque da .

(a+b)(a-b)

5x + (16 :-2¡) : )J

Complicaciónestructural,cuandoen una expresiónlas variablesson reemplazadaspor expresiones dadas,por ejemplo,én la resoluciónde la ecuación x' + px :

q, sustituyendo x por u -

u y considerando u., : {, no, J

queda u3- u3: Q

La sustituciónformal es un instrumentode cálculoalgebraicoimportantea que se maniliestaen diferentes causade su amplio campo de aplicaciones, procesosmatemáticostalescomo: 26

Particularización, cuando las variables son reemplazadas por números para verificar ciertas expresiones;por ejemplo, verificir que

Sr-n(n+l)

L',t=l

. ¿

27

Ev

En general,los métodosde resoluciónde ccuucioncslinealesy cuadráticasy de sistemasde ecuaciones utilizan estosproccsos.Talesmétodospueden serintroducidosnuméricamente y generalizados por mediode la sustitución formal.

donde el número que falta debe scr colocado dentro del marco. El mismo marco no tiene valor y simplemente indica que existe un número desconocido. Si la cuestión se plantea asi:

( ¿ S in f 5 : S , e n t o n c e sn : ? ) . El uso y significadode las letras El uso del conceptode variableen matemáticases una prácticacomún; sin embargo,los alumnosmásaptosson capacesde cometerel mayor de los errores.Partede las difrcultades procedende que el álgebraen la escuelano desarrollasufrcientemente el sentidode variabilidadligado a las letras.Esta práctica común ha servido más para oscurecerel significadodel término mismo,que para mostrar la diferenciareal con el sentidoque puedentener las letras. Consideramos aqui los diferentes contextosen los que aparecenlas letras en el álgebradentro de la clasificaciónutilizada por Kücr¡nunuN (1981). Interesa,más que la notaciónformal en sí misma,las ideasrepresentadas (o conceptosrepresentados por los alumnos)por esasexpresiones. KücnBunNN describeseiscategoríasdiferentesde interpretacióny uso de las letras: a) b) c) d) e)

f) a)

Letrasevaluadas. Letrasignoradas. Letrascomo objeto. Letrascomo incógnitasespecíficas. Letrasgeneralizando números. Letrascomo variables

Letras eualuadas

Estacategoríaes aplicadaa las respuestas dondea laXlet¡as_s9 lgsel_qrye un valor numéricodesdeel principio. Contcxto(l). Si a * 5 : 8, ¿cuáles el valor de ¿? La letra a tiene un valor específico.Es inicialmentedesconocidapero cv¿rlr¡¡rblc. Aqui los alumnosevitan el operar con uÍa incógnitaespecífica. l,os problcmasde estaclase,comunesal finalizarel ciclo mediode la E.G.B., scr asimiladospor los niñosreflexionandosobreel significadode una ¡rrrcclcn lclru como un valor numéricoespecífico. Esteuso de las letrases probablerrrcntccl primeroque el alumno posee,desarrolladopor la aritmética,desde krs primerosaños bajo la forma

n+5:8 28

Contexto (2). ¿Cuál es el valor de 5. a * A :3?

3, cuando a :

I,a:2,

b) Letras ignoradas Aquí los alumnosignoranlas letras,o a lo más reconocensu existencia, pero no le asignanningún sigirlficado. Contexto(3).Sia * b : 43,a * b + 2 : Esta cuestiónpuedeber resueltasin el uso de las letras,aunqueparecen . implicadasdos incógnitas.Sin embargo,ningún resultadop"#lt. obtener esasincógnitas.Puedenser osencialmente igñoradaspor un procedimiento de igualaciónque enfocala atenciónen ( +1). cues,tiones análogas,aunquecon mayor grado de dificultad,puedenser planteadas. Si.z - 245 :752. o, sie*f

:8,

e+f

n _ 246: *g:

c) La letras como objeto Lasletrasson vistas,como un objetoconcreto(frutas,ladosde un polígono, etc.),eliminandoasí el significaáoabstractode las letraspor atgo mas concretoy real. (4). Simplihcar Contexto 2.x * 3.y + 4., _ y. Aquí las letras no son necesariamente una representación de números pertenecientes a algún conjunto numérico,son como variablessobre un 29

conjuntoformadopor objetosde algunaclase-diferentes clasesde frutas-, por ejemplo. Contexto(51. calcular el perímetrode un rectángulode lados m y n,

- Calcularel áreadel rectáneulo

A:

e¿ p:

p:

Contexto(7). Los lápices azulescuestan10 pesetascada uno y los lápicesrojos 12 pesetascada uno. Compro algunoslápicesazulesy rojos y en total me cuestan180pesetas. Si ó es el número de lápicesazulesy r es el número de lápicesrojos comprados,¿quépuedoescribiracercade b y r? La respuestacorrectaa estacuestiónrequiere-eluso de las letrascomo incógnitasgenuinas. e) Letras generalizandonúmeros

(no Las letrasson aún idea de un simplenombre o marca de los lados pueden ser y lados) los de desconocidas longitudes como son vistastodavía juntadas. las El uso de las letras como objeto reduceel signifrcadoabstractode es no donde letras a objetos,pero esta reducciónocurre con frecuencia involucran se i en problemasdonde aclecuado.Esto sucedeespecialmente objetosi los entre distinguir y esencial es etc.) peras, salaiios, (lápices, objetos mismosy su cantidad. d) l.atras como incógnitasespecfficas Losalumnosconsideranlasletrascomounnúmerodesconocido,pero cspccificoy puedenoperar sobreél directamente' ('tttttt'.uto(6). ¿Cuáles el resultadode añadir 4 a 3n2 de puzzlepara muchosalumnos'La respuesf istucucstiónesuna especie todos los alumnos' pero no es contestadap-or simple, muy parece 4 tu .1ll t a concluiren 3r tienden alumnos los incógnita, .rna como colliiderada si il cs 7n o 7' en casocontraiio,los alumnosdan las-respuestas y 4 como rcspuesta; y 4) son 3 (los números cn l,r quc lós elementosque tienen significado ignoradas' son ¡xopiurncntecombinadosmientrasque las letras Otros ejemplosdentro de estecontextoson: Dado un polígonode n lados,si cadalado tienede longitud 2, calcular el perímetro. 30

Los'alumnos ven las letras como una representación, o al menos son capacesde deducirlo;de varios valoreshuméricosantesque de uno exactamente. Contexto(8). ¿Para qué naloresde x en el conjunto {0, 1, ..., 9} se verifica3x*l<19? Todoslos alumnosson inducidosa evaluar3x * Tparax:0, 1,...,9,y compararla respuestacon 19. 'Otros ejemplosde estecontextoserían: -¿Qué valorestoma c si"c + d : l}y c es'rinferiora d? - L + M + N : L + P + M,se verifica:'siempre nunca algunasveces.

.^,1

f) Letras como uariables Las letrasson consideradas como una representación de un conjuntode y se observauna relación sistemáticaentre dos valoresno especificados, conjuntosde valores. El conceptode variableimplica claramenteel conocimientode la incógnita y de sus posiblesvalores.Pero estoestámás allá de la comprensiónde las letras como incógnitas eppecíficasy como generalizaciínde números. SeñalaKücHnunNN que este conceptoes difícil de encontrar con toda exactituddebido a que la mayoría de los ítems que puedendar idea de variable,a menudo son resueltosen un nivel de interpretaciónmás bajo. lnclusodentrode la resoluciónde un mismoproblema,el alumnocambiade 3l

interpretación,lo que generagran dificultad no scllamcnteal observador, sino tambiénal mismo niño. El ejemplodado en el contexto(7) planteaclaramenteestasdilicultades. En la relaciónde los lápicesrojos y azulesadquiridos, l0á+l2r:180 o como genecomo incógnitasespecíficas las letraspuedenser consideradas interpretaciones ralizaciín de números.Sin embargo,ninguna de las dos una relaciónque existeentreá y r, por lo que esnecesario inducea establecer tomar la interpretaciónde las letrascomo variablesen un paso posterior. al En 10ó -f l2r : 180,á y r seinterpretancomo incógnitasespecíftcas, observarque la expresiónes una ahrmaciónverdaderapara un particular par de númerosconsideradoscomo incógnitas(6, 10).Análogamente,las de números:l0b + l2r : como generalización letraspuedenserobservadas para un conjuntofrnito de paresde números(6, l0), (12,5), 180es satisfecha (0, 15),(18,0). Estainterpretacióncontienela ideade que los valoresde b y r puedencambiar,pero no reflejala verdaderaidea de cambio,para ello es necesariocompararlos valoresunos con otros mediantealgunavia. Un primer paso en tal comparaciónpuedeser el orden de los paresde valores,para quieneses posiblereconoceruna correspondencia

0

t2 | 18

Contexto (10). Un rectángulo tiene de área 24 cm2. Determinar una cxpresión para el perímetro del rectángulo en términos de la longitud del lado del rectángulo.

I Aquí a los alumnos se les pide que describan el método de cálculo del perímetro del rectángulo, dada la longitud de un lado. Resultando la expresión -/

t¿\ p:21,.7)

r decreciente 15

á creciente ++ 6 I

Contexto (9). ¿Quién es más largo 2rr í¡ 2 + n? Explicarlo. Probar que si x > 5, entonccs4.v * | > 3x * 4. Este es un contexto no funcional cn cl que las letras r o x, respectivamente. tienen claramente las característicasde una variable. El interés de esta cuestión es comprender si los niños reconocen que el tamaño relativo de ambas expresiones(2n y n + 2) y (4x + | y 3x + 4) dependen de los valores de n y x, respectivamente.

t

10 --------+

1 5

............-

1 0

Sc pucde ir más lejos y describir el grado con que b y r cambian relacionesentre ellos. Tal relación puede ser expresadade c¡rtuhlccicndo por ejemplo, lirnl¡¡sdifcrentes, listc scntidoañadidoa las relacionesde estaclasedan a

donde / cm denota la longitud y p cm el perímetro que simboliza esta descripción. El simbolo / representauna variable, puesto que su valor cambia de rectángulo en rectángulo. La representaciónposterior de esta relación (funcional) entre perímetro y loñgitud sobre un gráhco cartesiano,refuerzael soncepto de variable, puesto que el movimiento a lo largo del grafo es una consecuenciade la variación de los valolés de la longitud. Contexto (ll). ¿Cómo se simboliza el n-ésimo número impar? El verdadero concepto de variable puede ser dificilmente eludido en cuestionescomo ésta. La letra n puede ser cualquier número natural. Una rcspuestacomo 2n - I señalael descubrimiento del requerimiento necesario para su posición en la secuenciade los números impares. Naturalmente esto constituye una relación funcional. En un nivel de comprensión superior estaria la siguiente cuestión: -

1 0 á + l 2 r:1 8 0 un vcrdadero avance desde la interpretación de las letras como incógnitas cspecificas o como generalización de números a las letras usadas como variables.

32

Si el n-ésimo número impar es 2n - l; ¿cuál es el (3n f l)-ésimo número impar?, lo que es equivalente a preguntar por f(3n * 1), dado

f (n ): 2 n - r . La habilidad para resolver correctamente problemas de este tipo indica que el concepto de variable está claramente entendido.

1.1

6. Elegir un problemaalgebraicoy pensaren diferentesversiones en lenguajehabitual y lenguajearitmético.

EJERCICIOS

1

a los numerales, semejantes 1 . Los símbolosliteralestienenciertascaracteristicas matemáticas5n - 4 = n + 8; y por ejemplo,apare@njuntos en expresiones queson únicamente suyas,por ejemplo,la posibilidadde una otrascaracterísticas variosnúmerosa la vez(númerogeneralizado):0< ¿ < 10. letra de representar y diferencias. Señalarotras semejanzas 7

Analizaren los diferentescontextosel significadodel signo (=)), señalandolas y las diferencias. semejanzas a)

3 x (5 - 7) : 3

b\

3(x-2): 4x+9

x 5 - 3 x 7 :

15 - 2l :

-6

3x- 6: 4x*9

a las palabras;por semejantes Los símbolosliteralestienenciertascaracterísticas así,en el enunen ciertasexpresiones' ejemplo,ambospuedenser reemplazados ciado:

3x- 6+6: 4x+9+6 3x: 4x*15



3x- 4x: 4x- 4x+15

por diferentesnombresde personas el pronombrepuedeser reemplazado paia obtenerenunciádosverdaderoso falsos,igualmentecomo .r en x2 + 2x = numéricasver: 3, puedeserreemplazada por númerosparaobtenerexpresiones por el signifique ejemplo, son diferentes, y caracteristicas daderaso falsas; otras cado del' símbolo en una expresióndebe ser el mismo en cualquiersituación dondeaparezcaen el contexto'dado,asíel valor de x en la expresión5(x - 2) + + 7 : 18 - 3x, es el mismo en cualquiersituacióndonde se encuentre,En verbalesestono es así,idénticaspalabraso frasespuedenreferirsea expresiones y diferencias. Señalaotras semejanzas diferentescosasen una mismasentencia. 3. Completael siguientecuadrode traducciónde lenguajes: Lenguajehabitual

Lenguajearitmético

- x: 15 x:

- 15

c) 6x8:48 d) (a - 2b ) '( a + 2b) : a( a * 2b) - Zb( a+ 2b) : = a2 * 2ab - 2ba - 4b2 : a2 -

4b2

e) x2-4x+3: 0 x2 - 2. ?. x + 4 + 3 - 4: 0 ( x- 2) '- l: 0

Lenguajealgebraico

.

@_2) z: t

2x ( 6+ 7) : 2x 6+ 2x 7

- 2: l ( m - n l 2 =m 2 +n 2 - 2 m n

x=3 La diferenciaentredos números consecutivoselevados al cuadradoes el doble del menor más uno.

!; ]

x- 2: - l x: l

Señalados ejemplosde uso de la en álgebraen diferentes procesos,tales como: generalización, particularización, simplificac[ón, eliminación o complicaciónestructural. a2+b2:c2

4. Analizarlos diferentescontextosen los que aparecenlas letrasy el uso que se de 7.oy 8.onivelde E.G.B.(docea catorce hacede las mismasen las matemáticas años).(Comienzodel álgebra.) 5.

34

Analizarlos diferentescontextosen los que aparecenlas letras y el uso que se de 1.oy 2.ode B.U.P.(catorcea dieciséis hacede las mismasen las matemáticas del álgebra.) años).(Asentamiento

35

Marco histórico del álgebra

2.1. INTRODUCCION La historia de la matemáticaha sido utilizada por la didácticade la matemáticabajo distintospuntos de vista: desdeinformacioneshistóricas que sirvenparanlotivar un temanuevo,hastala construcciónde secuencias didácticasinspiradasen la progresiónhistóricaseguidaen el desarrollode algunasteorías.En cualquiercaso,la historianos ofrecediferentes ideaspara la actividad didáctica e incluso puede ser utilizada por el profesor como rcferenciapara anticipar dificultadeso erroresposiblesen el aprendizajede los alumnos. Expondremosen estecapítulo los conceptosbásicosdel álgebradentro ,ie su marco histórico,partiendodel para construirlosen clase. Esto nos permitesatisfacerdiversasnecesidades, talescomo: - Representarlas matemáticascomo parte de la cultura humana que evolucionacon ella, preparandoasí el terreno para llegar a la organizaciónque los conceptosmatemáticostienen actualmente. - Reconocerla importanciadel lenguajesimbólicoy de las técnicas,y y ambigüedades las insuñciencias de cadaformalismo. - Construiro profundizarlos conceptosmatemáticosque sehan elegido por medio de la diversidadcon la cual cada épocalos presenta. Se puedencrear secuencias didácticas,por ejemplo,reflexionandosobre d simbolismode cada época,viendo las posibilidadesy los límitesde cada lrmr-r en particular,insistiendoen los niños en la idea de que las matemáticas molucionany que no es una cienciahechay frja. 5l

No obstante,esteplanteamientopresentattlgutrtlsproblcmaspara llevarlo a cabo. Entre ellos destacamosla imposibilidacldc presentara los niños los temas con una exactitud histórica, ya que dctcrminadosformalismoso demostracionesexceden su nivel de conocimiento. En cstos casos es preciso hacer una adaptación a las diferentes edades, sin, por ello, deformar la

transferenciade términos al otro rlricrnbro dc la ecuación (al-jabr) y la cancelaciónde términos igualcs cn ulrrbos nticmbros de la ecuación (almuqabalah). Asi. dada la ecuación

x2+3x+7:7-2x+4x3

realidad histórica.

al-jabrda 2.2. INICIOS DEL ALGEBRA Y CLASIFICACION El álgebra se caracteriza por sus métodos, que conllevan el uso de letras y expresionesliterales sobre las que se realizan operaciones.Está presenteen toda la matemática, pues cualquier problema termina convirtiéndose en un cálculo más o menos algebraico. En las últimas décadas, el álgebra ha cobrado gran importancia. Sus aplicacionesse han multiplicado debido a problemas tecnológicos,al análisis y también a l¿ fisica, que ha podido expresar cuestionesfundamentales de mecánica cuántica por medio de expresionesalgebraicas. Para dar una idea de los inicios del álgebra es imprescindible remontarse al concepto de número. Los números eran percibidos por los antiguos como una propiedad inseparable de una colección de objetos, propiedad que ellos no podían distinguir claramente.Más adelante,aparecenlas operacionescon números como reflejo de las relaciones entre los objetos concretos, y los hombres fueron descubriendo y asimilando las relacionesentre los números. Finalmente, a medida que la vida social se hizo más intensa y complicada, fueron apareciendoproblemas más complejos que impulsaron a perfeccionar los nombres y de los números. La primera etapa hacia los signos matemáticos y las fórmulas en general, la constituye la aparición de los símbolos numéricos, que aparentementese produjo al mismo tiempo que la escritura y que jugó un papel fundamental én el desarrollo de la aritmética. Todavía en este tiempo, cualquier ley o la resolución de un problema matemático se expresaba con palabras, pues la utilización de signos para las operacionesaritméticas y la designaciónliteral para la incógnita tuvo lugar mucho más tarde. La palabra (ALGEBRA> proviene del titulo de un libro Al-iabr (algunos usan Al-gebr) w'al-muqabalah,escrito en Bagdad, alrededor del año 825 por el matemático y astrónomo Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi (Mohammed hijo de Musa nativo de Khwarizm), que muestra en sus trabajos la primera fórmula general para la resolución de ecuaciones de primero y segundo grados. El título Al-jabr w'al-muquhaldft signihca o (transposición y climinación>)o, como expresaCarl Boyer, la

38

x2+5x+7:7+4xt y al-muqabalah da x2+5x: 4x3 Esta obra fue traducida al latín en los primeros años del siglo xrr por Juan de Sevilla y Gerardo de Cremona, y con el tiempo se le llamó simplemente Algebra. El origen del vocablo responde s-atisfactoriamente al contenido real de la cicncia misma. El álgebra comienza en realidad cuando los matemáticos cmpiezan a interesarse por las (cálculos con números racionalot cnteros, fraccionesordinarias, raices cuadradas y cúbicas, progresionesy Irxlo tipo de ecuaciones). Cabe señalar en este período los trabajos del ya mencionado en el cnpitulo l, George Peacock(1791-1858), tendentesa fundamentary justificar

39

las operaciones con expresiones literalcs. A cl sc dcbc el que decía: distinguiendo entre álgebra aritmética, donde las letras representannúmeros naturales y los signos + y - tienen el significado aritmético ordinario, y el álgebra simbólica, donde siguen actuando las leyes del álgebra aritmética, pero se elimina la restricción a los naturales. El principio de permanencia alirmaba que todas las reglas que se verifican con los naturales, por ejemplo, conmutativa y asociativa de la suma y de la multiplicación, y distributiva de la multiplicación respecto de la suma, seguíanverificándosepara todos los demás números u objetos representados por las letras. Así, la importancia del signilicado de los símbolos quedó relegada a un segundo término ante la primacía de los símbolos por sí mismos y sus leyes de combinación; por ejemplo, la adición signif,rcará cualquier proceso que se ajuste a determinadas leyes. Hasta este momento, finales del siglo xvrrr y primera mitad del xrx, el álgebra era la ciencia de las ecuacionesy su problema fundamental radicaba cn la teoria de resolución de ecuacionesalgebraicas. En la segundamitad del siglo xrx, el álgebra presentó un notable impulso dcbido a grandes matemáticos, entre los cuales destacamos las ideas de Galois (1801-1832)sobre la teoría de ecuacionesalgebraicas.Teorías tales como la de grupos, determinantes y matrices, por citar algunas, alcanzaron $ un profundo desarrollo. Todo esto favoreció el nacimiento del álgebra abstracta contemporánea (3." fase),llamada algunas vecesálgebra moderna. En esteperiodo se prescinde de los números, de ahí el nombre de abstracta, y los objetos utilizados pueden ser cualesquiera(matrices,vectores,tensores,etc.) sobre los cuales se definen ciertas operaciones que verihcan unas determinadas propiedades, construyéndoseel álgebra a partir de axiomas previamente definidos. En la actualidad, la revolución de los ordenadores está creando nuevos problemas sobre la mecanizaciín de los cálculos algebraicos,lo que lógicamente conducirá a un desarrollo aún mayor del álgebra. La notación algebraica presenta también tres períodos claramente diferenciados: . El período retórico o verbal, en el cual las operaciones se describían con palabras. Este período se extiende desdelos babilonios (1700 a. de C.) hasta Diophante (250 d. de C.). . El período sincopado o abreviado, cuando empiezan a utilizarse algü-

40

nas abreviacionespara simplil'icarll rcsoluciónde los problemas.Este período comienzacon Diophtntc y clura hastacomienzosdel siglo xvt. La ecuación 2x3 + 8.v - (5.r2 + 4) : 44 se escribíaen notación de Diophante así: K-p

sry /r A=c x32 x8 - x25

M¿

éo{(

1. 4

p6 44

. El período simbólico aparece en el siglo xvl y utiliza ya diferentes simbolos y signos matemáticos. Esta notación que fue más o menos estable en tiempos de Isaac Newton (1642-1727),se mantiene actualmente sin uniformidad total. Este período coincide con la 2." fase anteriormente indicada que, como hemos señalado, está asociada al nombre de Viéte, el cual comenzó a denotar por letras no sólo las incógnitas, sino números dados previamente. Así, la ecuación

.

xs - 15xa * 85x3 - 225x2-f 274x :

r2o

la escribiacomo IQC - l5QQ + 85C - 225Q + 274N aequatur120 con Nuestra notación moderna es debida a Descartes(1596-1650), ligeras modificaciones posteriores x3-6xx+13x-

l0oc0

El desarrollo histórico que hacemos a continuación no será lineal, sino que nos vamos a hjar en tres aspectos que nos parecen fundamentales:el Írlgebra geométrica de los griegos, que nos permite descubrir estrechasrelaciones con la geometría, la resolución de ecuacionesa través de los tiempos, por su incidencia directa en la enseñanza y el álgebra moderna, por los cambios introducidos en ella.

2.3. EL ALGEBRA GEOMETRICA Los griegos, aunque se cree que conocían los métodos de los babilonios (métodos puramente algebraicos) parala resolución de ecuaciones,desarroll¿¡ronmétodos geométricospara resolverlasy comprobar diversaspropiedadcs. 4l

En el libro II de Zos Elementos,de Euclidcs (3(X)a. dc C.) (el más corto de todos ellos),hay 14 proposiciones que permitcn rcsolvcr problemas algebraicos. Actualmente, nuestra álgebra simbólica los rcsolvcría rápidamente, pero el valor didáctico del álgebra geométricaes importante. Citaremos a continuación la forma de probar la propiedad distributiva y resolver ecuaciones. La proposición I dice: ')
con la misma habilidad eran c¿rp¿rccs dc rcsolverecuacionescuadráticas de los tipos ax - x2 : b2 y a.u + t'2 : h2. La representacióngeométrica dc cstas situacionesviene dada por la construcción sobre un segm€nto¿r,de un rectángulo cuya altura desconocida x debe ser tal que el área del rectángulo considerado excedadel área dada en el cuadrado de lado x, en el primer caso ax- x2: b2 con los segmentosa y b verlficando la relación a > 2b.

Esto es: A

AD'AC: AD'AB + AD'BC -l b(a c): b'a * b'c

y en el segundo ax * x2 :

b2, que se quede corto respecto del área A. a

como podemosver, es la propiedaddistributivadel productorespectode la asociativay conmusuma.De forma análogasedemuestranlas propiedades tativa del producto. La proposición4 nos permiteverifica¡la expresión (x+y)':x2*y2*2xy
x2

x'y

x'y

y2

T

De esta forma, los griegosconsiguieronresolverlas ecuacionescuadrátic¡rs por medio de los procedimientosconocidos como de .He aquí cómo lo hacian en el primer caso.Se basabanen la proposicirin 5, que dice:
( x+ ylt:x2 *y2+2x¡

Figura 2.1

42

A

rigrriente: sobre la línea recta AB, detetminamos un segmento AB : a y construimosun roctánguloABMK de áreaa.x. Fijando en ésteun cuadrado rfc fado x, DBMH, obtenemos un nuevo rectángulo ADHK de área c-v -r2, que es igual al área de un cuadrado de lado á.

y dividiendoambosresultados,

Esto es:

ax:

p- q

b

pn- qm

o también

es decir,

s

a

b2

_b_: pn- qm q p- q

a

b,

Lo resolvíanutilizandoel métodode la falsaposición,como los egipcios' Posteriormente,Brahmagupta(siglo vu) expresa,ya de forma sincopada, cómo resolverecuacioneslineales.La incógnita la representabapor la abrepor la primera sílabade las palabras' viatura (ya), y las operaciones : cx | 4 la soluciónvendrádada dividiendo b Dada la ecuaciónax * entre la diferenciade los coeftcientes conocidos los términos la diferenciade es, esto los desconocidos; de

llcndo esto último el valor de x. Veamosun ejemplo.Seala ecuación5x valor de x: x : 3 y x : 4, y sustituyendo, 5.4 - 10:p] 5.3 - l0:Q) l! tiene que

d -b

x :

Estos métodospasaron a los árabesque lo extendieronpor Europa. Al algebristaAbu-Kamil (siglosrx y x) se le atribuyeuna obra donde trata la solución de ecuacioneslinealespor simple y doble falsa posición. El método de la es el siguiente: Seala ecuaciónax t b : 0 y supongamosdos valorespara la x: am+b:P\ an * b:4)

X: m )

x:n)

l0 : 0, si tomamoscomo

10.3 - 5.4 1gq5

J0-20

- lo- t

Este principio fue posteriormCntepresentadoen una forma ligeramente por el
tll Lgs dos lineasde la izquierdarepresentanp y q y las de la derecham y n cruz del centro indica que hay que multiplicar. El métodopuedeser sintetizadocomo sigue:

restando, a(m-n):P-q

L Considerandos valorescualesquierade la incógnitam, n.

2,

Por otra parte,eliminandoa en [1] a m n -fb n :p n \ a m n l b m:q m)

l,

Calculanlos errorescorrespondientes a ellosp, 4. Hallan el valor de la incógnita en función de los valoresdados y sus

crrores.

121

nuestio ejemplo,

que restando, b (n -m )-p n -q m

48

49

Hacemosnotar queen los textosoliginalcstrabajanen basesexagesimal. Posteriormente, los griegosdcl pcríodoalejandrinoabandonaronlos métodosdel álgebrageométrica y seaccrcarona los métodosde los babilonios. Herón(100d. de C.) resuelve la ecuación,rt+ 4x : 896,buscandoun cuadradoperfecto:

con lo cual,

-'

10.3 - 5'4 r0-5

. Ecuaciones cuadráticas:

x2+4x*4:900

Una ecuaciónde segundogradocon una incógnitaesuna expresiónde la forma ax2 -l bx * c : 0, dondex es la incógnitay a, b y c son números conocidoscona * 0. Resolveresta ecuaciónconsisteen hallar los valoresde x que la satisfagan. En los documentosegipcioscasi no aparecenestasecuacionesy en los no pareceque conocieranun tratamienpoquísimoscasosque seencuentran, to sistemáticopara su resolución.Sin embargo,los babiloniossí que las resolvíancon soltura. Las tablas de raíces cuadradasque poseíanles permitieron resolver de la formax2 -t px : g x2 : bx 'f c y x2 + c ecuaciones inmediatamente : bx. A menudo llamaban a la incógnita . Entre los problemasresueltos,tenemosel siguiente:

Ilxpresamossu soluciónen notaciónretórica(columnade la izquierda)y cn la notaciónactual (columnade la derecha):

xz - x:870 p : l; Toma la mitad de I que es 0,50y multiplica 0,50por 0,50,que es0,25.Sumaestenúmero a 870,lo que da 870,25.En las tablascomprobamosque éstees el cuadradode 29,50. Suma0,5 a 29,5y el resultadoes 30,el lado del cuadrado.

P l2 : 0 , 5 0 Ql2)2 : 0'25

Q:870 q + @1 2 )2 : 8 7 0 , 2 5

(x+212:900 x-1 2:30;

x:28

Diophante,el mayor de los algebristasgriegos,distinguetres clasesde ccuaciones cuadráticas: ax2+bx:c ax2=bxlc axz+c:bx pura cada una de las cualestiene un métodoespecífico de solución. Los hindúes(Iv d. de C.) en los tratadossobrela construcciónde altares rcsuelvenya ecuaciones cuadráticasdel tipo ax2 + bx : c. Trabajosposterioresofrecencon detallemétodosde resoluciónAryabhata(500d. de C.) da fu rcglapara resolverla ecuación6x2 + 100x - 1600 : 0, medianteel Algcbraretórica,que expresada en nuestranotación:

@- to o l 2 6 po(lcmosexpresarlacon la fórmula actualmenteutilizada

-100 +

1002+ (4'6. 1.600) 12

E -;=t ---.-

\/\pt¿r+q+ptz:x 29,5+0,5:30 que esla raíz de la ecuación:

('omo vemos,lasdossonexactamente lo mismo,con la excepción de que Aryhhataeliminala raiz negativa. llrahmaguptada dos reglasque podemosexpresarsimbólicamente:

x2-Px:q Sin embargo,la segundasolución no la obtienen.

50

[,NIl/EÉ]J: i nr,r ^l rr,rr¡0.,..

FRANCf¡i:{r _jú:,. SIsTr*.

¿t

(.¡rL i.)¡:,,

.sl

Como ax2 + bx : c, sust it uim os¿r 2\ l * ubx por a'ci h a(-

/ h\2

u(+l ')

2

trl

(l

Trabajos posteriores, tales como los de Sridhara (siglo xl) y Bháskara (siglo xu) describen que la ecuación cuadrática tiene dos raíces, que un número negativo no tiene raiz, y que un número negativo puede ser raiz de un número positivo. El método utilizado en el álgebra hindú es esencialmenteel , usando nuestra notación desarrollaríamos así: Sea la ecuación ax2 + bx :

Por otra parte, el área del cuadrado total es (ax 't bl2)2, siendo la longitud del lado

(ax + bl2)

trI]

De [I] deducimosque la longitud del lado será:

f f i;

c

c igualandocon [II] resulta Multiplicamos el término independiente por el coeficiente"de la x2, añadimos el cuadrado de la mitad del coeficiente del término en x y a su raiz cuadrada le restamosla mitad del término independiente, que dividido por el coeficientedel término en x2 nos da el valor de la incógnita.

b ax.r 1:

a' c

b 2

y despejando la incógnita: b 2

l)csde el punto de vista didáctico se tiene una interpretación geométrica sll¡lcr0ntc: lrl mótodo consiste en sumar el área rayada de la frgura al resto: b12

ll2abx

[7F + ac J\t

xLos conocimientos algebraicósde los indios pasaron a China y al Oeste a través de los árabes. Sin embargo, éstos también recogieron los trabajos de los griegos y por ello su álgebra incluye pruebas geométricas para resolver ccuaclones. Al-Khwarizmi distinguía tres tipos de ecuacionescuadráticas: x2+bx: c

(a2x2 + abx) + ll2abx

u2 12

(t

x2: bxt c

/ h\2

x2+c: bx Como vemos, no incluían términos negativos y las soluciones negativas Iumpoco eran aceptadas. Las demostraciones de sus métodos fueron geométricas. Por ejemplo, ptra resolver

bl2

52

x2+bx: c

utilizaban el equivalente a la aplicación de la firrnlula l)

x-

fuc cl prinrcroquc usó términosnegativosen MichaelStifel(1487-1567) cuadráticas: Considerótres clasesdc ccuaciones susecuaciones.

+t' L

x': t ' x2 :

Tal método era justifrcado de la siguiente forma: El área del cuadrado de la frgura siguiente puede ser expresada como

l. * r(il]' o x2+^(T).,(#)

- ár b-r -('

+c

x2: bx y da como soluciones

b

=t

Un avanceimportantesurgiócon FrangoisViéte.No solamenteintrodujo una notaciónalgebraica,sino que también reemplazílos métodosbasaalgebraicos. por otros estrictamente dos en pruebasgeométricas Por ejemplo,resolvamos x2+bx:c bl4

como la sumade dos númerosu y z. Se suponeque x puedeexpresarse Sustituyendoen la ecuación,

bl4

Simplifrcandoe igualando estasexpresiones, /

h \2

(" + l l \¿/

: r'+ b x +

(u -r

u2 + (22 + b)u1-z2lbz:c

b2 4

tomamosz :

y volviendoa la ecuaciónoriginal tenemos

(b Y

b2

\"*z/:c*

4

z)' +b(ulz):s

-;

b ¿ lr2 -

y hrrflando la raiz cuadrada,

. + t:ffi;

b2 4

luego

cst()es. la solución buscadaserá

FtY

" :J l .z / * ' - i 54

b

y a partir de u, obtendremospor sustituciónel valor de .r. Viéte estudió también las relacioncscnlrc los cocficicntcsy las raicesde la ecuacióncuadráticae introdu.io un mólodo tlc aproximitci(rn, La resolución de una ccu¿rci(rndc scgtrttrlogrtttltt tittnlriótt sc pucdc tt

realizar gráficamente.Damos valores arbitrarios a ra.r y con los valores que toma la expresión ax2 + bx * c trazamos cr gráficoj que resulta ser una parábola' Los valores en que la gráfica corta ar i1" ox,son las solucionesde la ecuación. Por ejemplo, sea x2 i x - 6 : h cuya representaciónes la siguiente parábola:

Los babilonios nos han dejado va'ios c.jcnrplosde resoluciónde ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, las de la form¿r \.r : rr, las resolvian directamente con las tablas de raícescúbicas quc mancjaban con soltura, y, cuando la solución no era exacta, realizaban una intcrpolación lineal para buscar una aproximación.De forma similar hallaban las solucionesde

x3+x':o buscandoen las tablasel producto xz(x+l\:a En casosmás generales como x2(l2x+l):714 realizabanlas siguientesoperaciones:se multiplicaban por 122,, (l2x)2(l2x+l):252 luegolas soluciones son: X :2

X:-3

Si tenemosuna parábola que no corta al ejeox,como en er caso x2 + c, con (' > 0, las raíces de la ecuación vendrian dadas por los números complejosx : +ir/i. Los griegos conocieron bien la parábola y sus propiedades y las otras seccionescónicas.sin embargo, sus proposiciones ibin encaminadas a analizar las relacionesentre las seccionescónicas y las expresiones relativas a dos variables x e !, y no a la solución gráfica de ecuaciones. A Descartes debemos en gran parte la aproximación moderna de la clasificación de las ecuacionespor grado y la ielación de la geometria y el álgebra,.que hacen posible la combinación de los métodos"ulgeur"i"* y geométricos.

realizandoel cambio| :

Y2(Y+l):252 y una vez hallado el valor de y, se reducíael problemaa la soluciónde la ecuaciónfineal citada(y : l2x). Lo que no sabemoses si resolvianla ecuacióncúbicade tipo general ax3+bx2+cx*d:O Hipócratesde Quios (430 a. de C.) fue el primero que observóque el famoso problema griego de la era equivalentea buscardos mediasproporcionalesen proporcióncontinuaentre dos rectas dadas:

9 :!:v

. Ecuacionesde grado mayor que dos comencemos por estudiar las ecuacionesde grado 3, que como es sabido responden a la ecuación general a x 3 + b x 2 + c x Id :0 donde a, b, c, d, son números reales y a + O. 56

l2x, se tiene

xy2a

de donde, x2

u

/2 :

2ax

JI

cardano (1501-1576)describeen su ,4r,sMtrgtru,métodos de solución de ecuacionescúbicas,aunque,tal como él mismo dicc, no fue el descubridorde la solución. Dejando a un lado detallessobre esta historia,pueslos datos son contradictorios, veamosalgunos ejemplosde solución: sea la ecuación x3 + 6x : 20. La resolución de esta ecuación en la forma retórica que utilizaba cardano ocupa varias páginas. con la notación actual, al sustituir x por u - u y u. u : 2,tendríamos (u -u )' + 6 (u -u ):2 0 de donde u3 -

3u2uI

3uu2-

u3 + 6u -

6u :20

u 3 -6 u + 6 u + 6 u -6 u -u 3 :2 0 obteniendo entonces,

Viéte, en el siglo xvII, muestra quc utlit ccuación cuadrática puede reducirse a una ecuación cúbica. Un siglo clcspuósya se conoce que las ecuaciones cuadráticas,cúbicaso cuárticasticncn, rcspcctivamente,2,3o 4 raicesy se comienza a preguntar si este resultado sc pucde extender a ecuacionesde grado superior. La respuestaa esta cuestión nos la da el TeoremaFundamental del Algebra, que afirma: 1 + "' + aú + La primera demostración se debe a Gauss (1777'1855)que la expone en su tesis doctoral. Sin embargo, en ésta quedan algunos aspectosno del todo claros, por lo que Gauss da hasta cuatro nuevas demostraciones. Este problema fue también estudiado ampliamente, entre otros, por D'Alembert (1717-1783),Euler (1707-1783)y Lagrange (1736-1813).En la actualidad se han obtenido varias demostraciones rigurosas de este teorema.

u 3 -u 3 :2 0 Si eliminamos u :

. Sistemas de ecuacioneslineales

?, se tiene

El sistema formado por las siguientesecuaciones,

/a

u, - (,Y \u/

:

es decir, u6 - 23 : 2ou3 ^,

Si, por último, hacemosu3 : t, tenemost2 - 20t - g : 0, de donde : asi:u3 :

l0 + .r/tOS;u3 : /OS

x: /fTF+

l0 * ./i08

- 10,obteniendolinalmente,

1o- V-vlim- lo

lintonces, para el caso general, Cardano expone que la solución de la ccuaci(rnx3 ! px : q, vendrá dada por la fórmula:

ax* bY :c f ¿, +

"y

: fI

'

con

a' b' c' d' e' 'f' números reales

recibe el nombre de sistema de ecuacioneslineales con dos incógnitas. Resolver el sistema consistirá en hallar'las soluciones de ¡ e y, que lo satisfagan.También aquí puede ocurrir que haya una única solución, que no haya ninguna o que sean infinitas. Como hemos ya señalado,fueron resueltospor los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como , <, sin que tuvieran relación con problemas de medida. <área>>, o >, Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuacionesen los siguientestérminos: ll4 anchura * longitud :

.Y-

@ 1 3 )" + (q l2 )' -q l2

llstudió también otros casosy cuando se le plantearon problemas con las rrríccsnegativas,las llamó ,argumentando que estos resultados cr¿rn(tan sutilescomo inútiles>.

ó0

longitud * anchura :

7 manos 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía scr: anchura : 20, longitud : 30. Para compro-

6t

barlo utilizabanun métodoparecidoal de eliminación.En nuestranotación. sería: y * 4x:

28.)

y + x:

101

restandola segundade la primera,seobtiene3x : 18,esdecir,x : 6 e y : -4. También resolvíansistemasde ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.Por ejemplo, xl:10

1

9(x - y)' : *'!

Diophanteresuelvetambiénproblemasen los que aparecíansistemasde pero transformándolos en una ecuaciónlineal.Por ejemplo,para ecuaciones, y, x e cuya suma sea20 y la sumade suscuadrados208, hallardos números realizabalos siguientescálculos:

Diophante

Mediante sistemas

. r¡1 0 + x y x l0 -x (1 0+ x )2 + (1 0- x ) 2 : 2 0 8 1 0 0 + 2 0 x t x 2 -1 0 0 - 2 0 x -x 2 : 2 0 8 200+2x2:208 2xz : 8; x2 :4; dedondex : 2

x+Y:20 x2+y2:208 sustituyendox : 20 - ¡ en la segundaecuación, (20 - y)' -f y2 : 208 nos apareceuna ecuaciónde segundo grado.

sustituyendoy por lOlx en la segundaecuación,se tiene: 9x2 -

l8x.l\lx -t 9(l0lx)2: ¡2

quedandodefinitivamente 8xa -"180x2 * 900 : 0 llegandoa la anterior ecuaciónbicuadráticaque sí sabíanresolver.otras veces,lassustitucioneserandeltipox : u I u;y: u - u. Los griegostambiénresolvíanalgunossistemasde ecuaciones, pero utilizando métodosgeométricos.Thymaridas(400 a. de c.) había encontrado una fórmula para resolverun determinadosistem a de n ecuacionescon r incógnitas. La expresión x:

(k, + k, + '.'+

kn_) - s

n-2

Los númerosbuscadosson 8 y 12.Diophantesólo aceptabalas solucionespositivas,pueslo que buscabaera resolverproblemasy no ecuaciones. Utilizí ya un álgebrasincopada,como hemosseñaladoanteriormente.Sin embargo,una de las dificultadesque encontramosen la resoluciónde ecuacionespor Diophantees que carecede un métodogeneraly utiliza en cada problemamétodosa vecesexcesivamente ingeniosos. Los sistemasde ecuaciones aparecentambiénen los documentosindios. No obstante,no llegana obtenermétodosgenerales de resolución,sino que resuelventipos especiales de ecuaciones. (siglom a. de C.), El libro El arte matemático, de autor chino desconocido En ellosenconcontienealgunosproblemasdondese resuelvenecuaciones. tramos un esbozodel método de las matricespara resolversistemasde lineales.Uno de dichosproblemasequivalea resolverun sistema ecuaciones linealespor dicho métodomatricial. de tres ecuaciones Seael sistema 3x-l 2y-f z:39 2x+3y+ z- 34 x-l 2yl3z: 26

permiteobtenerlassoluciones del sistema escribíanla matriz de la siguienteforma: ,r + ,r1 + x 2 + ' .. * rn _ r J+Jrt

-kl

t" \

62

-k2 *

xr-r

:

kn-t

63

y haciendo operacionesentre las columnas cJcla matriz obtenían un sistema más sencillo cuya solución era inmediata:

(2."col. x 3)

(2.^col. x 3." col.)

(2."col. _ 3.. col.)

Al expresaralgebraicamentela condición o condicionesimpuestaspor un problema que trata de determinar cicrtos números, pueden resultar ecuaciones o sistemas indeterminados. La cuestión puede presentar dos aspectos diferentes: las soluciones de la ecuación o sistema planteados convienen al problema, y 2. el enunciado del problema impone ciertas condiciones en virtud de las cuales se determinan o, al menos, se seleccionanlas soluciones. l.

y así sucesivamentehasta

de donde esta última matriz nos proporciona las ecuaciones

362 : 99 ,,5y+ z:24 3x+2y+ z:39 Tengamos en cuenta que la resolución de sistemaslinealesde ecuaciones

Un tipo de ecuacionesrelacionadascon el segundo aspecto señalado son las , llamadas así en honor del matemático griego Diophante, y que son ecuacioneslinealescon distintas variables de coeficientes racionales y con la condición suplementaria de que sólo admiten como solución números naturales y pueden hacerseextensivasa solucionesenteras. (Si se trata, por ejemplo, de número de ciudadanos, no podemos admitir solucionesfraccionarias). Para que una ecuación lineal con dos o más incógnitas y de coeficientes enteros admita solucionesenteras,es condición necesariaque el m.c.d. de los coeficientesde las incógnitas divida al término independiente. En efecto, sea la ecuación lineal A x + By+

. . . + Eu :

F,

A, B, . . . , E, FeZ

si D es el m.c.d. (A, B, ..., E) y designamos por a, b, ..., e los coeñcientes obtenidos al dividir aquéllos por el m.c.d., es decir: A: Da,

B: Db, . . . ,

E: De

la ecuación anterior puede escribirse D(ax -l by + '.. -l eu) : . Ecuacionesdiofánticas Si se tiene una ecuación con más de una incógnita, las soluciones de la misma son indeterminadas. Así, si consideramos la ecuación 5 x + y :3 9 a cada valor que se atribuya a x se le asocia el correspondientevalor de y en la fórmula

!:30-5x 64

¡;

tll

Si esta ecuación se satisfacepara valores enteros de x, y,..., z resultará que para estos valores, el primer miembro de [] es múltiplo de D, luego, necesariamente,si existen soluciones enteras, son tales que F es múltiplo de D. Por tanto, la ecuación diofántica ax * by : c, donde a, b y c son números enteros positivos, es resoluble precisamentesi el m.c.d. de a y á es un divisor de c. Además, si (xo, yo) es una solución, el conjunto de soluciones está formado por todos los pares (xo + tb, lo -

ta),

con t e Z

Una parte considerablede la
65

I

i:

Aunque la idea de matriz está implícita en los cuaternionesde Hamilton se atribuye a Cayley y en la extensióna n-uplas de Grassmann(1809-1877), (1821-1895)su creación. La teoría de matrices de Cayley tuvo su origen en el estudio de las transformacioneslineales. Simultáneamente,Sylvester(1814-1897)amplía la teoría de los determinantesy publica, entre otros, un método para eliminar x de dos ecuacionespolinómicas de grados n y m. más conocido por Lewis Carroll' Posteriormente,Dodgson (1823-1898), enriquecerála teoría sobre determinantes,y otros, como Frobenius y Jordan, tr abajarán sobre matrices. Las nociones de determinante y matriz, consideradascomo innovaciones en el lenguaje matemático, se revelaron altamente útiles, no sólo en el desarrollo mismo de las matemáticas,sino como instrumento de cálculo que forma parte de las técnicas del matemático moderno. A George Boole (1815-1864)debemosotro tipo de álgebra,el álgebrade Boole, que se aplica al álgebra de conjuntos o a la lógica, y, más recientemente, en el diseño de computadoras. Despuésde 1870,con la obra de Benjamín Peirce(1809-1880),se da un paso hacia una concepción más abstracta con el concepto de álgebras lineales asociativas,las cuales incluyen como casosparticulares el álgebra ordinaria, los vectoresy los cuaterniones. Proponemos a continuación unas actividades tipo para alumnos de la escucla obligatoria, utilizando el recurso didáctico que supone el conocimicnto dcl desarrollo histórico del álgebra: ()hfutitto Resolverecuaciones de segundogrado. Ni rr , / 13-l5 años . de ciertasecuaclones métodospara encontrarsoluciones lctiuidud. Existendiferentes {c scgundogrado,uno de ellosesel métodogeométricoutilizado,entreotros,por AlKhwarizmi,matemáticoárabedel siglo tx, asociadoa un problemade medidade árcas. Así,por ejemplo,para encontraruna soluciónde la ecuaciónx2 + l2x : 64,se procedede la manerasiguiente: se construyen - Alrededorde un cuadradode lado x (cuyo valor se desconoce) parte de 12, que la cuarta (obsérvese 3 es y x 3 lados rectángulos de cuatro de x) (Fig. 1). coeficiente - Cada rectángulorayadode la hgura tieneun áreade 3'x. es iguala - Elirea del cuadradopequeñoque estáen el centro(concuadriculas) -El -x

68

x2. área total de la zona rayada vale x2 * l2x. es la solución de la ecuación si, y solamente si, esta área es igual a 64. Por otra parte, para obtener el área del cuadrado grande hay que añadir a las zonas rayadas,4'3'3 : 36 (los cuatro cuadradosesquinasde lado 3)'

+ l + )t + J +

Fig. t. -

El área total del cuadrado srande será:

64+36:100 y, por tanto,su ladoserá10. -

Con ayuda de x también podemos expresar el lado del cuadrado grande como 6 * x, de donde una solución de la ecuación dada será 4. Utilizar el procedimiento de Al-Khwarizmi para encontrar una solución de las ecuaclonqs: a ) x 2 + l Dx :3 9 . b ) x 2 + 8 x :6 5 .

Objetiuo: Resolver ecuacionesdiofánticas. Niuel: 14-16 años. Actiuidad: Uno de los métodos para resolver ecuaciones diofánticas se basa en el procedimiento ideado por Euler que vamos a aplicar a la resolución del siguiente problema: Si llamamos x al número de fascículosde una clasee y al número de fascículosde la segunda clase,se tiene la ecuación: 6 8 0 x+7 6 0 y:1 1 .1 6 9 Para resolverla se busca primeramente una solución particular despejando la incógnita de coefrcientemás pequeño:

r:

li

-

l'+ '17

5_2v -

69

Ii il i¡/)

I Además,como x, y son númerosenteros,llamaremosI al valor que tomará \-)t

"

t7

-t , es decir.

,:-

a) b) c) d)

5 -2 v 17

x2+ l 2x-6 4: 0 x2-l 2x +64: 0 x2-8x+ 64 : 0 x2-6x-10: 0

3. Demostrarla propiedadasociativadel productopor los métodosde los griegos.

la y, se tiene que despejando l :-B t+ 2 +

t-t 2

y e Z, t e Z, entoncest : - 1, luego,sustituyendoestevalor en la expresióndada de x, se tendráque x : 5 x : I :

de los griegosresolveren las Utilizando los métodosdel álgebra-geométrica que seaposible,las ecuaciones situaciones

5 fascículosde una clase ll fasciculosde la otra clase

Si se tienein cuentaque la solucióngenerales

4. Resolverla ecuaciónx + ll2x :

5. Hállesela edadde Diophante,tomandolos datosdel epigrama. utilizadaspor los egipciospor el métodode la siguientes 6. Resolverlasecuaciones > o regulafalsi.

t: ) 6x b) x+2x:8 a) ¡ +

y que ,r > 0;.y > 0, no existenmás solucionesque para el valor t : 0' - Utiliza esteprocedimientoPara: a) Hallar todaslas solucionesenterasde la ecuación15x - 130y : 35' b) En una escuelade Magisterio,la especialidadde Cienciastiene un número de alumnoscomprendidoentre 250 y 300, distribuidosen tres grupos:en el primero hay ios 19/35 del total, en el segundo hay Ul4 del total y en el y i.rr..o estáel restode los alumnos.¿Cuántosalumnostienela especialidad gruPos? cadauno de los tres

I

c)

x-

d)

ll x+3x+rx:10

x :5 + 1 9 ft Y:l l -l 7 k

16 por el método de la regulafalsi.

e)

0

,:

I'

r

i:l

z+

x+3x+5x:30 '1 I x + jx 1x:

il

a

7. Fórmesela ecuacióncúbica cuyas raícesson I t métodode Cardano.

.fi

y -3 y aplíqueseel

De Morgan propusoel siguienteacertijo:Resolverlo. utilizandoel . a) 2x-5:0

EJERCICIOS 1. Empleandoel métodode Viéte,resolverlas ecuaciones: a) x 2- l4x + 40 :0 b) x 2 - l4x - 3 2 :0 c) x2 + 7x - 60.750: 0

70

b) c)

|+ t : o x -3 .

-l : 0

)v+7 - -2 : 4 d)'5 -' -'

7l

por.elmétodode completar 10. Resolverlasecuaciones de segundogradosiguientcs cuadrados: a) x 2- llx : - 9 ll.

Expresaren lenguajehabituallos pasosdel algoritmoque utilizabanlos babilonios para resolverecuaciones de segundogrado de la forma x2 I px : q.

12. Obtenerpor el métodode factorizaciónlas solucionesde las ecuaciones cuadrá-

El álgebray los estadios del desarrollo

ticas siguientes: a ) x 2+ 7x - 60: 0

13. Los babiloniosconocíanla existenciade valoresx, y, z talesque x2 + y2 : 22, pero se debe a la escuelapitagóricala soluciónparticular de esta ecuación diofántica: x :

rl 2 (n 2- l ),

y : n,

z :

l l 2(n2 + l )

con z impar, solución que probablementededujeron de la propiedad .Probar ambasalirmaciones.

3.I. INTRODUCCION La posibilidadde reconocerlos estadiosgenerales del desarrollointelectual, representado cadauno de ellos por un modo caracteristico de razonamiento y por unas tareasespecíficas de matemáticasque los alumnosson capacesde hacer,constituyeuna información valiosapara los profesoresa la hora de diseñar el material de enseñanzay permite conocer el nivel de y respuestas realizaciones a cuestiones esperadas de los alumnos. Dentro del marcode la psicologíacognitiva,los trabajosde Piaget,Collis y del ChelseaC.S.M.S.Project (Conceptsin SecondaryMathematicsand Science), señalanpautasde estedesarrollogeneraldel conocimientode los alumnosrelacionadocon susactuacionesen matemáticas, en general,y del álgebra,en particular.A ellosnos referiremosbásicamente a lo largo de este capítulo.

3,2. LOS ESTADIOS DEL DESARROLLO EN PIAGET La psicologíaevolutiva se centra en el desarrolloo evoluciónde los niños,enfatizandolos aspectosrelacionadoscon el aprendizajey los procesosde cognición.Estedesarrolloque comienzadesdeel nacimientodel niño, va conformando un procesode evolucióny maduración. Los estadios de este procesoson universales, propias. aunqueca{a niño poseecaracterísticas La personalidadmás importante de esta corrientees J. Piaget.Piaget señalaque el desarrollode la inteligenciade los niños es una adaptacióndel individuo al ambienteo al mundo que lo circunda.Aborda el problemadel desarrollode la inteligenciaa travésdel procesode maduraciónbiológica.

'72

I

il{ li: lll

'll

,ll

J)

En esteenfoque,la palabraaprendizajetienc un doble sentjdo.El primero, más amplio, se refiereal propio desarrollode la inteligenciacomo proceso espontáneoy continuo que incluye maduración,experiencia,transmisión socialy desarrollodel equilibrio.El segundose limita a la adquisiciónde nuevasrespuestas para situacionesespecíficas o de nuevasestructuraspara determinadasoperaciones mentales.

forma distinta de pensar y estructurarlas cosasque origina una nueva comprensióny satisfacciónal sujeto. En definitiva, un e-tudo de nuevo equilibrio.

tiempo. Piaget distinguetres estadiosde desarrollocognitivo,cualitativamentediferentesentre sí, que se subdividenen subestadios. I.

Estadio sensoriomoror, abarcadesdeel nacimientohasta los dos primeros años de vida. período sensorialy de coordinációnde accionesfisicas. II. Estadiode operaciones concreras, abarcadesdelos dos a los onceo doceañosde edad.consisteen la preparacióny realizaciónde las operaciones concretasde clases,relaciones y números.Estesegundo estadiose subdivideen: a) Períodopreoperacional (dos a sieteaños).período de pensamiento representativo y prelógico. b) Período operacionalconcreto(sietea once años).período de pensamientológico concreto. III. Estadiode operaciones formales,se inicia alrededorde los once a doceañosy alcanzasu plenodesarrollotresañosmás tarde.período del pensamientológico ilimitado. El ordenpor el que pasanlos niñoslas etapasde desarrollono cambia,es decir,debenpasarpor las operaciones concretaspara llegaral estadiode las operacionesformales;pero la rapidez con que pasan l,osniños por estos estadioscambiade personaen persona. En los niñosno seproducencambiosfrjosque apaÍezcande la nochea la 74

mañana.Hay períodosde desarrol[r co¡ti¡u9 que se sobreponen;de hecho, su desarrollosensoriomoCuandoun niño entra en la etapa ¡rrcopct'aciotral, tor continúa, a pesar de que la nucv¿tcapacidadde pensamientorepresentacional seael rasgo dominante del pcríodo. lgualmente,un niño que sustenta un pensamiento operativo concreto en una labor de permanencia (v'g. capacidad para retener un número) puede estar en la etapa preoperacional con relación a trabajos más complicados de permanencia. Análogamente, a medida que el niño entra en el período de las operaciones formales el pensamiento operativo concreto continúa en varias áreas, para, poco a poco, llegar a ser integrado en un sistemamás comprensible de operacionesformales. El razonamiento operativo formal no siempre funciona con toda su capacidad, y en determinadas circunstanciasbaja a un nivel inferior de pensamiento. Adultos y adolescentes,a menudo, regresan al pensamientode operacionesconcretas y aun al pensamiento preoperacional cuando se les expone a nuevas áreas de aprendizaje, beneficiándosecon experienciasconcretasen estasáreas antes de avanzar a niveles abstractosde pensamlento. Acerca de su concepto de , Piaget señala que no hay periodos estáticoscomo tales.Cada uno es conclusión de algo comenzado en el que precede y el principio de algo que nos llevará al que sigue' De esta forma, como ya hemos señalado, las operacionesconcretas llegan a ser integradas en las operaciones formales. En el período de las operaciones concretas,la acción fisica y mental del niño hacia objetos crea operacionesy relaciones. En el período operativo formal, la acción mental hacia esas operaciones y relaciones, da por resultado operaciones de operaciones y relacionesde relaciones. En el esquema siguiente pueden verse estos estadios y sus principales características. Estadios del desarrollo cognitiuo según Piaget

[. Sensoriomotor

Al nacer, el mundo del niño se reduce a sus acciones.El niño no es capaz de representacionesinternas de sus acciones (lo que usualmente consideramos como pensamiento). Ausencia operacional de símbolos. Estadio prelingüístico. Los objetos adquieren permanencia,aun cuando éstos (cero a dos años) están fuera de su propia percepción. Desarrollo de los esquemassensoriomotores. Finaliza con la iniciación de la conducta dirigida a un objetivo y la invención de nuevas soluciones, es decir, con el descubrimiento y las combinaciones internas de esquemas.

n 5T?i'TAti vF-RsI'i)AD I tJt¿ ( : A t - { ) A7' :5 ,ii*atS116 'itii;i: 'rt Hrht rrrr: \-* I :,1;:t;;'; üÉ

Estadíosdel desarrollo cognitiuo .tt'gún l,iugt't ( t tmtinuación)

Estadios II.

Operaciones concretas Ila) Preoperacional (2-7 años)

('a n¡ctcristicas El pensamiento infantil ya no está sujeto a acciones externasy se intcrioriza. Inicio de las funcionessimbólicas. Representación significativa (lenguaje, imágenes mentales,juegos simbólicos,invencionesimaginativas, etc ). A pesar de los grandes adelantos en el funcionamiento simbólico, la habilidad infantil para pensar lógicamente está bastante limitada: . Ausencia de reversibilidad: incapacidad para invertir mentalmente una acción fisica para volver a su estado original. . Ausencia de concentración: incapacidad para retener mentalmente cambios en dos dimensiones al mismo tiempo. o Lenguaje y pensamiento egocéntrico: incapacidad para tomar en cuenta otros puntos de vista.

II. Operaciones concretas ilb\ Operacional concreto (7-llll2 años)

III.

Operaciones formales

(lrlr2-l4l15años)

76

El niño mejora su capacidad de pensamiento lógico ante los objetos fisicos. es capaz de pensar en objetos fisicamente ausentesque forman parte,de experiencias pasadas,pero no con hipótesis verbales.El pensamiento infantil está limitado a cosas concretas en lugar de ideas. Adquiere la reversibilidad que le permite invertir mentalmente una acción que antes sólo habia llevado a cabo fisicamente, la inclusión lógica, la clasificación y ordenamiento de objetos, la habilidad'para conservar ciertas propiedades de los objetos (número, cantidad) a través de los cambios de otras propiedades,la capacidad de retener mentalmente dos o más variables cuando estudia los objetos. Se vuelve más sociocéntrico,cada vez es más consciente de la opinión de los otros. Las operaciones matemáticas básicas surgen en este período. Habilidad para pensar más allá de la referenciaa experiencias concretas. Capacidad de usar, a nivel lógico, enunciados verbales y proposiciones en vez de objetos concretos únicamente. Habtlidad pata pensar teóricamente sobre las consecuencias de los cambios de objetos y sucesos. Habilidad para razonar acercade las combinacionesde las variables en un problema. Capacidad para comprender reglas generalesde ejemplos particulares. Capacidad para deducir de proposiciones generales conclusionesparticulares.

3.3. LOS ESTADIOS DE DT]SARR0I,I,() Y LAS MATEMATICAS En el parágrafo anterior hcmos lcc()gi(louna breve aproximación a los nivelesde pensamiento(estadiosdc dcsarrollcl)cn el marco de la psicología del desarrollode Piaget.Ahora qucrcrn()sprcscntarestosaspectosrelacionados con la enseñanza-aprendizajede las matemáticas,describiendocada uno de ellos por su manera característicadc razonamientoy por los tipos de tarea que los alumnos pueden hacer. Los trabajos iniciales de Piaget, los posterioresde Collis y los del Chelsea C.S.M.S. Project, señalan un camino en el desarrollo en los niños del estadio operacional concreto al estadio operacional formal, en el contexto particular de la enseñanza-aprendizajede las matemáticas. En síntesis,los estadios del desarrollo cognitivo, tal como podrían derivarse de los trabajos de Piaget y propuestos por Collis (1980), serían los cinco estadios siguientes: (0) (1) (2) (3) (4\

Preoperatorio (cuatro a seis años). Temprano de operacionesconcretas (siete a nueve años). Final de operacionesconcretas (diez a doce años). De generalizaciónconcreta (formal temprano) .(trecea quince años). De operacionesformales (dieciséisaños en adelante).

Como ya se señaló, las edadescronológicas correspondientesa los estadios son solamente orientativas, varían mucho de una a otra cultura, de una a otra persona y de una a otra tarea en la misma persona. Es el orden de sucesiónde los estadios lo que permanece invariante. Analizamos ahora los cuatro últimos estadiosdel desarrollo cognitivo en el aprendizaje de las matemáticas, en el marco de los trabajos de Collis (1975a, 1975b y I 980),quien ha intentado examinar algunos conceptosmatemáticos respecto al tipo de items que pueden usar los alumnos en los distintos estadios, relacionándolos con los diferentes ítems científicos estudiados por INHELDEny Pncrr (1958). Asi,el estadio(l) ( tempranode operacionesconcretasl se manihesta por la capacidad de los alumnos para trabajar significativamentecon operaciones simples sobre elementos concretos. Ambos, elementos y operaciones,deben estar relacionados con objetos llsicos y con operaciones realizablesexperimentalmente. Por ejemplo, y en lo que se refiere al sistema de numeración, aparte de la utilización de una de las cuatro operaciones de la aritmética elemental con números pequeños, la concreción de las operaciones debe venir garantizada por alguna analogía fisica, y la concreción de los números, aseguradapor la disponibilidad del material fisico. El niño puede calcular 6 + 3 : 9, imaginando un conjunto de seisy tres elementoscolocadosjuntos y contados. Aun con estasrestricciones,el niño parece necesitarla operación clausuraday con un resultado írnico para que la operación tenga sentido

71

y atrabajarcon fórmulascomo V : u x b x c, siempreque selescapacite a un úniconúmeroy que cada para teneren cuentaquecadaletra representa momento' cualquier en puede clausurarse operaciónbinaria no tiene necesidadde El alumno . ( El estadio@) de operaciones f'ormales) ellos con modelos de la combinación o operaciones relacionarelementos, abstractobien sistema un realidad y puede como tomar fisicos, análogos la clauabordando y no reglas, relaciones definiciones, sus con determinado Estenivel de clausurano surahastaque ha agotadotodaslas posibilidades. necesitade ia tranquilidadque le proporcionanlos númerosy las operacionesfamiliares.La clausuraes ahora una propiedadmatemáticaque puedeo la no existir en un conjunto dado. El chico no relacionanecesariamente a elementos puede aplicarla clausuracon su propia realidadfisica,sino que definidas. abstractosy a operaciones El alumno puederesolverproblemasen los que las letras representan númeroso variablesque empleanuna operaciónbien determinada.Se enfrenta con variablesen cuanto tales, porque puede evitar sacar la conclusión final hasta haber consideradolas diversasposibilidades'estrategia esencialpara obteneruna relacióndistinta de la de obtener un resultado único. operacionalconcretoes,como hemosvisto,el el pensamiento En síntesis, de los niños menoresde diez años, la mayoría pensamiento de de tipo por aunqueen muchoscasosseextiendemásallá de esaedad.Caracterizado la necesidadde considerary manipular materialesfisicos,implica, solamente, operacionesque presentenclausura,es decir, una expresiónmatemáticaserá significativapara el niño si es posibleconcluiren un único número. En cuanto al desarrollodel pensamientoen el niño, en términosde la que éstetienede la clausura,veamosfinalmente,otros ejemplosde necesidad que implicanlas diferentesformasde clausura:a) clausurainmeoperaciones diata,b) clausurano inmediatay c) clausuraimposible.

325 x 417 4T7

Jv

325 x 405

32s

son o-no equivalentes, sin clausura. Los alumnosde estenivel utilizanelementos generalizados (cifrasgrandes y letrasen sustituciónde números).Estándispuestosa entendery usar con significadola generalización m'a

78

n ,a

r

5ó3 x 6y2 x gson +7y4'+ a) Determinarsilasexpresiones3 ' equivalentes.Estas son operacionesde dos númerosque dan una clausurainmediata. b) Sepide igualmenteal niño que decidaen cadacasosi las expresiones: 225 + 387y227 + 385 6146 x 131y 131 x 146sonequivalentes. Estosejemplosno requierenun cálculode estassumaso productosy, por tanto, la clausurano es inmediata,aunquesí es posible.Esta situación se entiendecomo clausurano inmediata. 4 Decidir si las expresionessiguientes:(a - b) y (a + 1) + (1 - ó) o calcular 6(a - 1) x (á + 1)y (a + l) x (b - 1) sonequivalentes 3x * 2y, son expresionesque no tienen clausura.No existe un camino sencilloque basadoen la experiencia,garanticela unicidad anterioreso la adiciónen el último ejemplo.La de las equivalencias 79

continua necesidadde los alumnos dcl pcnsamiento de clausura es,al menos en parte, responsable de resultados tales como 3x + 2y : : 5xy, común en los últimos cursos del Ciclo Superior de la E.G.B. Parece que el pensamiento en el niño sigue un desarrollo desde un estadio en que debe existir una garantía de clausura hasta el estadio final, en que se ve a la clausura-simplemente como una propiedad matemática y donde el alumno puede operar con variables en las relacionesmatemáticas. Por último, el período formal se caracteriza, como hemos visto, por la habilidad de los niños para pensar más allá de la realidad concreta. Razonamientos deductivos e inductivos, abstraccionesreflexivas,pensamiento proporcional, esquemasoperacionalesque implican combinacionesde operaciones o combinaciones de variables, etc., son aspectosde este desarrollo. El niño de la etapa anterior desarrolló un número de relaciones con el soporte de materiales concretos; ahora puede pensar acerca de relación de relaciones y, en general, de otras ideas abstractas. Es capaz de entender plenamente y apreciar, por ejemplo, las abstraccionessimbólicas del álgebra. En general, los cálculos aritméticos conducidos por el uso de materiales fisicos: ábacos,bloques aritméticos multibase, tableros de contar, etc., implican operaciones concretas. El cálculo con algoritmos formalizados es la frontera entre las operaciones concretqs y formales. Podemos describir, siguiendo a Collis (1980),gran parte de las matemáticas de la escuelaobligatoria, y en particular del álgebra,como un sistema o estructura lógica de relacionesformado básicamentepor un conjunto definido de elementos y por métodos claramente determinados para operar con ellos. La necesidadde comunicar parte de la estructura o del sistema a los demás, da origen a un simbolismo formal que incluye tanto a los elementos como a las operaciones. En el enunciado 3(a + b) : 3a * 3á, tomando como ejemplo para ilustrarlo, los elementosimplicados son números y variables y las operaciones a efectuar con ellos (multiplicación y adición), están claramente definidas. Los símbolos 3, a y á, son abstracciones que nos pcrmiten comunicar nuestro pensamiento a los demás de un modo abreviaclo, y, por último, el propio enunciado indica la existencia de una conexión cntrc las dos partes de la estructura, las relativas a la suma y a la multiplicacirin. Vcamos ahora en este marco descriptivo de las matemáticas de la escuela obligatoria lo que puede esperarseen los distintos estadiosdel desarrollo. En cl cstadio (l), los niños no tienen aún capacidad para construir un sistema rrr¿rtcmático en cuanto tal, pero ya comienzan a preparar sus cimientos en lirrlna de estructuraselementalesconcretas.En el estadio (2), el niño comienz¿r u desarrollar sistemas matemáticos simples y representa un nivel de rlcslrrrollo en el que ya puede comenzar a usar las matemáticas como tales. lirrr¡riczaa desarrollaruna estructuraconcreta de experienciasque puede ir 8 ()

construyéndoseaño tras año para fonttitr rut sistcmalógico concreto.En el cstadio (3),el chico es capaz de desarrollur r¡n¿rcstructura matemáticacompleja en la medida en que tenga un fundantcnto concreto.Los elementosy sus símbolos presentan escasa dificultad, ¿l menos que se internen en el dominio de lo abstracto y carezcan de una contrapartida fisicamente observable. Esto significa que se les escapanlos conceptos que implican nociones irbstractasde razon y proporción, pero que si se les proporcionan fórmulas cn las que estén incluidas estas nociones, son capaces de emplearlas para ffcgar a resultados concretos. En el estadio (4), está preparado para trabajar con el sistema formal abstracto que, para el matemático, constituye la esencia de las matemáticas. En la enseñanza de la geometría igualmente podemos distinguir los patrones de pensamiento concreto y formal. Van Hiele (1986),por ejemplo, ha identilicado cinco niveles de pensamiento geométrico que conducen de lo concreto a lo formal. Estos estadios son también analizados en el libro de csta serie Inuitación a la didáctica de la seometría.de C. Alsina y otros (1987, cap. 5).

3,4. Los estadios de desarrollo y el álgebra Bajo el término <álgebra> consideramos el álgebra de los números y de Ius
lrl

En la sustituciónde letraspor números,Collis (1975b)descubrióque la capacidadpara trabajarcon letrasdependía,en gran parte,de lo que ellos eran capacesde considerarcomo real. El siguienteítem, tomado como ejemplo,nos proporcionauna imagenclara de cada nivel de desarrollo:
a Siempre Nunca Algunasveces, estoes,cuando... 2. mln+q:m+P+q Siempre Nunca Algunasveces, estoes,cuando... 3. a + 2b * 2c : a + 2b + 4c Siempre Nunca Algunasveces, estoes,cuando...> En el estadio (1) los alumnos tienden a considerarcada letra como representante de un númeroy sólo de uno. Su manerade resolverel problema consistíaen sustituirdirectamentela letra por un númeroespecíf-rco. Si esteúnico intento no lograba un resultadosatisfactorioabandonabanesta tarea. En este ejemplo,en el ítem 1 respondenhabitualmente sobrela basede ensayarun número para a y otro para b. Los dos ítems siguientesfueron imposiblesde resolverpor los alumnosque utilizabanla estrategiade sustituircada letra por un número. En el estadio(2) los alumnosque operabanen estenivel intentabanun par de númerosy si satisfacían la relaciónsacabansu conclusiónsobreesta base.Estosalumnospodíanresolverel ítem I porqueconfrabanen quecierta cantidadde númerosespecíficos reemplazara a las letras,pero eranincapaces de usar los ítems2 y 3. En el estadio(3) los alumnos parecíantener un conceptode número
rlc cncontrarse fueraremotay vaÍiarn y p de forma ampliala posibilitlr¡tl (nunc¿r)) lln lrrscgtrncl¿t situaciónno erancapaces la respuesta seleccionaban de concebirun casoen que 2.t (un nirrncro)fucra igual a 4x (un mismo número). En el estadio(4)el alumnopuedecontemplarla letracomo una variable y es capazde realizarla deducciónfinal en los ítems2 y 3. analizamos el conceptoque el alumno En la resoluciónde ecuaciones utilizando tienede la operacióninversaen los distintosnivelesde desarrollo, comoejemploel problemade resolveruna ecuaciónsimplecomox + 5 : 7. En el estadio(1) el problemase contemplacomo una tareade contar. Para hallar x el alumno cuentadesde5 hasta7, y se registrael número de unidadesempleado.No poseeel conceptode operacióninversa.En este pero solamenteen térmiestadio,tambiénla sustraccióntieneun significado, nosfÍsicos,que es como puedeserasumido. de En el estadio(2) ve ambaspartesde la ecuacióncomo representación un númeroúnico y la ecuaciónpuedeserresueltafácilmente.Sin embargo,a pesarde que puedereconocerla respuesta como obtenidapor sustracciónde puedesiempreusarsecomo 5 a7,no reconoce en generalque la sustracción anulaciónde la adición. En los estadios(3) y (4),la noción de inversaes general,conoceque una expresiónequivalentea x * 5 puedeser reducidaa x por sustracciónde 5. En álgebraabstracta,consideramos algunostrabajosposterioresde Collis (1978)referidosa sistemasabstractosde matemáticaelemental.Serefiere operaciones, al estudiode un sistemadehnidoen términosde suselementos, reglas,etc.,y se esperaque el estudiantetrabajedentro de estesistemasin referenciaa ningunarealidadfuera del propio sistema. la siguientecuestión: Consideremos de los números0, 1,2,...,y * €Surlo a, b, c,...,puedensercualquiera operacióndel tipo a x b : a -f 2 x á. Examinacada una de las siguientesafirmacionese indica cuándo es cierta cada una de estas afirmaciones l. 2. 3. 4. 5.

a*b:b*a. a*(b*c\:(aiá)*c. a*d:a. a*(b-lc):(a*b)*c. a+(b,*c):(b,*c)+a.

Parecerazonablesugerirque seríaprecisoque un alumnoestuviera operandoal nivel formal para trabajardentro de un sistemamatemático definidocomo el expuesto. (1)y (2),los alumnosqueoperana estosnivelestiendena En los estadios ignorarla operacióndefiniday sustituyenlas operaciones binariasde aritmé83

tica elemental,es decir, no pueden superar la tcndencia de ver una operación ta l c om o * y r ec u rri r a u n a o p e ra c i ó nc o n o c i d a + , -, x,:. En el estadio (3), los alumnos indicaban que eran conscientesdel hecho de usar la operación dehnida como tal y no trasladarla a una operación más familiar, pero no tenían suñcientecontrol del sistemacomo para ser capaces de deducir los resultados correctos. Estos son ejemplos de respuestastípicas a los dos primeros ítems: >

ó



* 2xa> > xc)

Parece como si en este estadio transitorio, el alumno pudiera generalizar sufrcientementea partir de su experiencia con operaciones para utllizar la operación definida correctamente, pero era incapaz de ir más allá de la información que se le presentaba para realizar las deducciones necesarias sobre las variables. En el estadio (4) los estudiantes son capacesde trabajar correctamente dcntro del sistema definido. Estas ideas de Collis son utilizadas para la construcción de los tests de álgebra de C.S.M.S. Küchemann establecesus ya mencionados usos diferentes de las letras en los tests (cap. 1).

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evaluadas. ignoradas. como objeto. como incógnitas específicas. generalizando números. como variables.

Los ítems de los tests son divididos en cuatro grupos de acuerdo con la complejidad de los ítems y de la naturaleza de los elementosque intervienen en cada cuestión,abarcando las seiscategoríasde interpretación de las letras. Estos cuatro grupos pueden considerarse,aproximadamente,como representantes de los diferentes estadios o niveles de desarrollo descritos anteriormente. Los ítems más representativos de cada nivel están recogidos en forma abreviada en las tablas siguientes(3.1); (3.2); (3.3) y (3.4),junto con las respuestasy los errores más comunes de los alumnos de catorce años. Los ítems del nivel 1 (tabla 3.1) son puramente numéricos [8 y 7.ii)], o tienen una estructura simple y pueden resolverse usando las letras como objetos [9.i) y l3.i)], o como evaluación de letras [6.i)], o ignorando las letras como [5 i)]. 84

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Los items del nivel 2 (tabla 3 2) incrcnrcntancon relacióna los anteriores su grado de complejidad,sin cmblrrgo. lrrslctras aún tienen que ser evaluadas [11.i) y ll.iil], o ignoradas 12,4.i) y .5.ii)j,o usadascomo objetos [7.iii), f.ii), f.iii) y 13.iv)1. Para los alumnos del nivel I cstos ítcr¡s son de mayor complejidad y erróneascquivalcntesa 4ht o hhhht envez de 4h + t tiendena dar respuestas vez de3a I 5ó en el í t em 13. iv) y, 763 envezdeT6l ítem 9.1i ),68ab en en el en el ítem 5.ii). Los alumnos de este nivel 2 no son capacesaún de trabajar consistentenúmeros generalizadoso variables. mente con incógnitas especíl-lcas, Parece que el avance producido en este nivel es, fundamentalmente, un incremento familiar con la notación algebraica. Los alumnos del nivel 3 (tabla 3.3) pueden utilizar las letras como incógnitas especifrcas,pero solamentedonde la estructura del ítem es simple. Estos niños están dispuestos a ver con signihcado respuestassimilares a 8 + g lítem S.iii)l;3 n + 4 [ítem 4.ii)], it p : 2n [ítem 9.iv)]. Los niños que se encuentran en niveles inferiores, fundamentalmente nivel 1, en los ítems que requieren incógnitas especílicasasignan un valor a las letras,p : 32 en vez de p : 2n,en9.iv) o e * f * g : 12 envezde 8 + + g en 5.iii) o en el caso de las letras ignoradas,,danrespuestascomo 7n o 7 en vez de 3n -t 4 en 4.ii). En el nivel 4 (tabla 3.4) los alumnos pueden competir con items que requieren incógnitas específicasy tienen estructura compleja [13.v), 4.iii), 7.iv), etc.], o con ítems similares a20,22 o 17.i) que necesitanque las letras sean consideradas como incógnitas especificas,pero donde hay una tentación fuerte a tratarlas como objetos. Otros ítems de este nivel implican números generalizadoscomo 18.ii) o variables como 3. Observamos que los ítems de los niveles I y 2 pueden ser resueltos sin tener que considerar a las letras como incógnitas específicas,mientras que en los niveles 3 y 4 las letras tienen que ser tratadas al menos como incógnitas específrcasy en algunos casos como números generalizadoso variables.

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88

Enseñanza-aprendiz aje del álgebra EI álgebra es una fuente de confusión considerable y de actitudes negatiuas en los alumnos.

(BoorH, L. R. 1988)

4.I. INTRODUCCION En la enseñanza-aprendizaje del álgebra,como en la de toda la matemática, nos encontramoscon una gran variedad de dificultadesque pueden agruparsea grandesrasgosen los siguientestópicos: 1. Dificultadesdebidasa la naturalezadel tema algebraicodentro del contexto de las matemáticas. 2. Dificultadesque surgende los procesosdel desarrollocognitivo de los alumnos y de la estructuray organizaciónde sus experiencias. 3. Dif'rcultadesatribuibles a la naturaleza del currículo, a la organización de las leccionesy a los métodosde enseñanza usados. 4. Dificultades debidas e actitudes afectivasv no racionaleshacia el álgebra. Nos ocuparemosde estostópicosy seindicaránsugerencias en forma de principiosgenerales y de estrategias prácticas,para preveniry solucionarla enseñanza-aprendizaje del álgebra.Al tratar las dificultadesen términosde prevencióny tratamiento,estamoscombinandoestrategiasgeneralesy, a largo plazo, estrategiasparticularese inmediatas.La prevencióntiene una incidencia directa en una mejor planificación del álgebra dentro de los programasde matemáticas. Los remedios,por otro lado, estánrelacionados con la interacciónprofesor-alumno, día a día, en la clase.Es importante 91

señalar que éstos no se sugieren en cl scntido ncgativo de una simple correcciónde errores,sino más bien en scntido positivo de un conocimiento de los mismos para que la corrección se incorpore a la mejora general de la calidad de la enseñanza del álgebra. Si el profesor entiende los errores específicosdel alumno más como una información parcial de las dificultades del álgebra, que requiere un refuerzo preciso, que como equivocaciones innecesarias,que con una mejor atención del alumno no se producirán, se habrá avanzado mucho en el éxito de la enseñanza-aprendizaje del álgebra. El capitulo lo hemos dividido en cuatro partes: diferentes interpretaciones del curriculo del álgebra en la escuela, errores en álgebra, principios generalespara la enseñanza-aprendizajedel álgebra y estrategiasde enseñanza en aritmética generalizada.

4.2. DIFERENTES INTERPRETACIONES DE ALGEBRA EN LA ESCUELA

DEL CURRICULO

Parece ser que actualmente hay unanimidad cuando se habla de las competenciasdel álgebra en la escuelaobligatoria. El álgebra debe ocuparse del estudio de las o y de las propiedadesque las relacionan. Ahora bien, existen diferentesinterpretacionesque pueden hacersede la ahrmación anterior, y que dependen de la intervención que poseen esas (variables)en diferentescontextos. Por ejemplo, el papel de la variable x en las expresión 2x * 5 : 7 y logx2 : z.logx es esencialmente distinto, ya que en la primera de las expresiones,representauna incógnita y cn la segunda, aparece incluida en una identidad que se satisfacepara un rango determinado de valores (x e R+). Teniendo en cuenta lo anterior, scgún las diferentesinterpretacionesde la variable, darán lugar a un tipo de irlgebra, apareciendo distintos currículos y, como consecuencia,diferentes concepcionesde la enseñanza-aprendizajede la materia, que aunque resulta diñcil de delimitar, parece más claro si se tienen en cuenta las consideraciones señaladas. Por otra parte, siendo evidente la diferencia entre el álgebra superior (enseñanzaen la Universidad) y el álgebra de la escuela,resulta obvio que las experiencias del profesor en la primera pueden ser para la segunda,aunque nunca . Con todo esto, analizando los diferentesusos que hacemosde la variable, se podrán delimitar las interpretaciones a que nos hemos referido. El argumento
En el primer caso,podemos que puede ser sustituido par:r obtcrrcr cl pcrímetro de un rectángulo cualquiera de dimensionesx e ¡,, cn cl scgundo cs una incógnita, en el tercero es el argumento de una función, pcro roprcscntando una identidad, y por último, en el cuarto caso es donde únicamcntc aparece un aspecto claro de variabilidad que permite obtener las ordenadas de los puntos que forman una recta en el plano. La x representaen estecaso una verdadera variable en el sentido usual. En el capítulo 2 hemos visto el complicado proceso histórico seguido por la humanidad para llegar al actual uso e interpretación de las letras. En la enseñanza del álgebra se pueden distinguir también distintos períodos y diferentesinterpretacionesde las letras. En libros de la década de los sesenta, la letra como solia aparecer representadapor números cuando se comenzaban a resolver sistemasde ecuaciones.En el álgebra moderna, las variables se entienden como . En la actualidad, esta última tendencia es la más utllizada, esto es, se interpreta como un símbolo que puede ser reemplazado por elementos de un conjunto. Muchos de nuestros alumnos (incluso universitarios) consideran que las variables son letras que deben ser sustituidas por números obligatoriamente, y no se detienen a analizar que en geometría, por ejemplo, las variables representan puntos, rectas, etc.; en lógica, proposiciones;en análisis, funciones. En el capitulo I hemos hecho referencia a estas cuestiones;sin embargo, es conveniente resaltar la importancia que posee el concepto de variable tanto cuando se intenta conformarlo como concepto matemático, como cuando se le considera para interpretar los distintos currículos de álgebra que se pueden elaborar. Tendremos, en primer lugar, una interpretación del álgebra como aritmética generalizada y, en bonsecuencia, las letras forman parte de modelos que permiten generalizar las propiedades. Por ejemplo, la generulización de 3(5 + 2) : 3' 5 + 3'2nos lleva a la propiedad distributiva del producto a(b + c) : a'b + a'c. respectode la suma (o >), También, el razonamiento

2 ( 3+ 4 ) : 1 4 : 2 . 3 + 2 . 4 : 6 + 8 1(3+ 4) : 7 : I ' 3 + I . 4 : 3 + 4 0 ( 3+ 4 ) : 0 : 0 ' 3 + 0 ' 4 : 0 + 0 considerandolos números negativos

-1 (3 + 4 ) : -2 (3 + 4 ) :

-7 : (-r).3 + (-l) 4 : -3 - 4 -t4: (-2).3 + (-2).4: -6 - 8 93

y, en general, -a(b + c):

-a'b

- a'c

de la propiedaddel productode númerosnegatillevaríaa la generalizacíón situadasentre paréntesis. vos por expresiones del Haciendoanálisishistórico,seobservaque estesentidogeneralizador álgebratuvo una repercusióninmediata,puestoque desdela invenciónde la notaciónalgebraica(Viéte)hastael nacimientodel cálculopasaronescasamenteciento cincuentaaños.La geometríaanalíticase inventó entre estas dos etapas. Otra interpretaciónque podemoshacer del álgebrava encaminadaa considerarlacomo el estudiode métodospara resolverciertos problemas En estecaso,las letrasseconsiderancomo incógconcretos:las ecuaciones. nitasespecíflrcas a determinar.Por ejemplo,la soluciónal problema(encontrar un númeroque multiplicadopor 5 me dé 20>no seobtendríaescribiendo simplemente5x : 20. Si diésemosesto como soluciónválida se tendría construidala expresiónalgebraicade su solución;sin embargo,en este contexto,la variablex ha de ser calculada,esto es,actúacomo incógnitao constante. Otra concepciónque se puedetener del álgebraes la del . sentido completo de variabilidad.La fórmula del perímetrode cualquier rectángulo,ya reseñada,es un ejemploclaro de estanueva interpretación; existe,pues,una relaciónentre las variableslargo y ancho.Otro ejemplo representativo de estasituación., j, dond. a la pregunta<¿quéle ocurrea ] si t se hacetan grande.orno ,.-quiera?>.Pocosalumnosde los últimos cursosde secundariason capacesde responder,que k no es una incógnitani el estudiode un modelo se trata de generalizaruna expresión.Representa algebraicoestudiandoen él la variaciónde una función,lo que conformapor Muchosprofesí mismola nafuralezapropia de los conceptosmatemáticos. sorespiensanque, precisamentepor lo que acabamosde ver, el sentido del álgebra. funcionales el que priva en la enseñanza El aspectofuncionaldel álgebraes esencialen la actualidadpara el uso de los lenguajesinformáticosy hay que tener en cuenta que existe una diferenciasustancialen el empleo de dichos lenguajes,por ejemplo,un valorespara una contadoresuna funciónque nos permiteobtenersucesivos cierta variable.En este caso,la función se representapor x : x * 1, y considerando los aspectosanterioresseríauna ecuaciónirresolubledondelas Creemosque es fundaletras se interpretancomo númerosgeneralizados. 94

mental tener esto en cuenta dada la irrrport:rnciaque la informática va adquiriendoen la enseñanza. La última interpretaciónque tienc cl álgebraes la que denominamos interpretaciónestructural.Ahora, las letrasconstituyenentespertenecientes a estructurasalgebraicas talescomo grupos,anillos,dominiosde integridad o cuerpos,a los que se les puedenaplicar las propiedadessatisfechas por cada uno de los conjuntos en los que se actúe. Las ecuacionesen los conjuntosusuales(N, Z, Q y R) admitiránsoluciones segúnla estructuraque seconsidere. El trabajocon polinomiosrepresenta un ejemplocaracterístico: si se pide
2bx+2ax+a-bD'

hemosde tener en cuentaque las letras (o variables)no se interpretande forma análogaa los casosanteriores;es decir,no constituyenuna incógnita específica, no son tampocoargumentosde funcionesy no setrata de generalizar el modeloaritmético.La situaciónquedaresueltasimplemente considerandoa las letrascomosímboloscon los que sepuedeactuarutilizandounas que secumplenen ciertaestructuraalgebraica. reglaso propiedades Sacando factor común y simplihcando,se tiene: azx+ a2-b zx- b2

axz - bxz - 2bx t 2ax * a - b (a+b)(a-ó)(x+1)

( a2- b2) ( x+t )

(a - b)(x2 -f 2x + l) a+b

@:"+1 Se podría comprobarsustituyendolos valoresde x por distintosnúmeros, es decir,considerandoel aspectofuncionalde los polinomios,pero no tendríaningún sentidohacerlo.Hemosmanipuladolas variablescomo entes abstractoscon el objetivosimplede obteneruna expresiónmás sencilla. Si tenemosen cuentatodo lo que hemosindicado,podemosconcluirque estascuatro interpretaciones debenser utilizadasen la elaboraciónde un currículo de álgebra,de forma que éste no puede en ningún momento observaruno solo de esoscontextos,por lo que es necesariocombinarlosy no limitarseexclusivamente a considerarel álgebracomo aritméticageneralizada,ni como el estudio de las ecuaciones,ni desdeel punto de vista funcional,ni desdeel aspectoestructural,aunqueesciertoque un tratamiento inicial como aritméticageneralizadalavoreceel desarrollode los otros aspectos. En los apartadossiguientesde este capítulo vemos que los currículos utilizadosen nuestropaís fueron configurados,segúnlas distintasépocas,

9.s

poniendo énfasis en una dirección única, lo quc provocó consecuentemente diferentesdiscontinuidades en el procesc.r dc cnsoñanza-aprendizajedel álgebra. Representamosen el cuadro 4.1 las distintas interpretacionesdel álgebra escolar, indicando en un segundo nivel la concepción que se posee de las variables o letras va mencionadas. Cuadro4.1

do en el sentido de ,ltl que implica el uso de letras para números y la escritura de exprcsioncsgcrtcralesque representanreglas aritméticas y expresionesdadas. El proyecto SESM centró más el intorós cn analizar la naturaleza de los errores cometidos por los alumnos quc cn el tipo de cuestionesque los alumnos resuelven correctamente y, cspecialmente,en el caso en que tales errores sean cometidos por un amplio número de estudiantes.Del análisis de estos errores comunes, observamos que muchos de ellos podían ser atribuidos a aspectostales como: la naturaleza y significado de los símbolos y las letras; b) el objetivo de la actividad y la natvraleza de las respuestas en álgebra; c) la comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes,y d) el uso inapropiado de o . a)

CURRICULO DE ALGEBRA DE LA ESCUELA OBLIGATORIA

Algunos de estos aspectoshan sido consideradosen los capítulos 1 y 3, fundamentalmentelos señaladosen los apartados c y ó. Aquí completaremos esta lista de errores y posibles causasde las dificultades de los alumnos para aprender el álgebra, sin pretender que sea de ninguna manera exhaustiva. Los tres primeros aspectosgeneran errores que se originan en la transición conceptual de la aritmética al álgebra, mientras que el cuarto d) se debe fundamentalmente a falsas generalizacionessobre operadores o números. a)

4.3. ERRORESEN ALGEBRA 4.3.1. Generalidades Un conocimientode los erroresbásicosen álgebraesimportantepara el profesorporque le proveede informaciónsobrela forma en que los niños interpretanlos problemasy cómo utilizan los diferentesprocedimientos algebraicos. Esta informaciónle sugiereformasde ayudar a los alumnosa corregirdichoserroresy, al mismo tiempo,le señalalas posiblescausasde las dificultadesde los chicospara aprenderálgebra. proyectode investigación que trató de identificarlos tipos Un interesante de erroresque cometenmás comúnmentelos estudiantesy de explicarlas razonesde estoserroresfue realizadopor el grupo de álgebradel proyecto Strategiesand Errors in SecondaryMathematics(S.E.S.M.)llevado a cabo en el ReinoUnido entre 1980y 1983(Booth, 1984).Los estudiantes implicados en estetrabajo oscilabanentrelos trecey dieciséisaños,y a pesarde las diferencias de edad y de haberestudiadodiferentescursosde álgebra,cometían similareserroresen todoslos niveles.El términoálgebraera consi(era96

La naturaleza y significado de los símbolos y las letras

Los cambios conceptualestienen incidencia en la consecuciónde errores. A veces,los alumnos fallan al asumir cambios conceptualesconvencionalesy se tienen que contentar con conocer que existen situacionesnuevas donde su conocimiento es inadecuado e inapropiado. El mayor cambio conceptual en el aprendizaje del álgebra se centra alrededor de su diferencia con la aritmética: signihcado de los símbolos e interpretaciones de las letras. Los símbolos son un recurso que permite denotar y manipular abstracciones.Una de las teorías iniciales de los estudiantesserá el reconocimiento de la naturaleza y significado de los símbolos para poder comprender cómo operar con ellos y cómo interpretar los resultados. Este conocimiento les permitiría la transferenciade conocimiento aritmético hasta el álgebra, aceptando las diferencias entre ambos. El discernimiento del significado de los valores simbólicos les puede llevar a dar 7x como respuestade 3x * 4, que tiene que ver con su interpretación del símbolo de la operación. En aritmética el símbolo + es interpretado como una acción a realizar, es decir, * significa realizar la operación. La idea de que el símbolo de la suma puede indicar el resultado y la acción, no es fácilmente apreciada por los alumnos aunque estas dos nociones sean ncccsariaspara el conocimiento del álgebra. 91

En ordena trabajarcon valoressimbólicos, el estudiante necesita ampliar el conceptode notaciónusadopara las operaciones aritméticas.A veces,los alumnos reducenla comprobaciónde la validez de una transformación algebraicaa comprobarla verdadaritméticade un ejemplo.La ambigüedad notacionaly la dualidaden álgebraprovocanconfusiónen la conexiónentre la evoluciónsimbólicay numérica. En aritmética,la concatenación es usadaen la notación.Error tipico en álgebraes concluir que si x : 6, 4x : 46. También en la notación de fraccionesmixtas donde se denota implícitamentela /1\ adiciónl4;1, seoriginanerrorescomoescribirxy : -8, dadosx : -3 e a,/ \ no omitir el signode la multiplicacióndemasiado 5. Seríaaconsejable ya que ayudaríaa evitar pronto cuandosetrabajacon productosalgebraicos, estoserrores, En lo que serefierea la maduracióndel conceptode igualdad,sepresenta un cambio conceptualmás critico. A diferenciade la situacióncon otros valoressimbólicos,estecambioclaramenteimplica la extensiónde un connuevo,especeptoexistentemás que la adquisiciónde uno completamente ((:)) y porque en ecuaciones de en aritmética las características cialmente algebraicas compartenla mismanotación. En aritmética,el signo(: )) es usadopara conectarun problemacon su resultadonuméricoy, con menor frecuencia,para relacionardos procesos que dan el mismoresultado 3x4:6+6

4+7:ll

de pasosque conducena un resultadoftnal o para unir la secuencia 2 x (6 - 4) :2'2

: 4

esdecir,el signoigual tienesiempreun sentidounidireccionalque precedea una soluciónnumérica. Los alumnostrasladana vecesestesignificadodel signo<: > al álgebray lo confundencon el (:) de la ecuación 3x*3:2x*7 aritméticasanteriores,no a diferenciade las expresiones Las ecuaciones, esdecir,el signo(: )) no coneverdaderasuniversalmente, son afirmaciones sino que obligaa la incógnitaa tomar un valor paraque xionaidentidades, la expresiónsea verdadera.Este sentidobidireccionaldel signo igual, que puedesera vecesun indicadorde una relaciónde equivalenciamásque\una 98

señalpara escribirla solución,no suclcscr fircilmenteinteriorizadopor los alumnos. lo veremosen Los problemasque planteael signo((: )) en lasecuaciones cl párrafo siguiente. es el siguiente: Un ejemplode error frecuente 3 2+x 3(x-l)

7x x-l +7x(2*x):3

Parececomo si el alumno hicierala transformación:

*.i -A D +B C en el miembro izquierdoolvidandoel denominadorcomún y el significado de equivalenciadel signoigual. Por último, una de las diferenciasmás obvias entre la aritméticay el álgebraresideen el signifrcadode las letras.Las letrastambiénaparecenen aritmética,pero de forma diferente(m) y (g), por ejemplo,puedenusarseen aritméticapara representar(metros))y (gramos>más que para representar el número de metros o el número de gramos,como en álgebra,aunqueel aspectomás signifrcativose da en la idea de la letra como variable.Incluso cuando los alumnos interpretanletras que representannúmeroshay una como en tendenciaa considerarlas letrascomo valoresúnicosy especíhcos, : variables, comoen generalizados o como que números más como a i 5 9, : : analizadas ampliamente fueron Estas cuestiones ó' a. a o A b + aI b en los capitulos2 y 3. en algebra b) El objetiuode la actiuidady la naturalezade las respuestas El centro de la actividaddel alumno en aritméticaes hallar soluciones numéricasconcretas,sin embargo,en álgebrano es así. El objetivo es la obtenciónde o para resolverproblemasadecuadosque nos permitanencontrarla soluciónnumérica,peroésteno esel objetivoinmediatO. Muchos estudiantesno se dan cuentay suponenque en las cuestiones se les exigesiempreuna soluciónúnica y numérica. algebraicas de términoúnico pareceserla causade errores Laideasobrela respuesta por cometidosfrecuentemente los alumnos que simplificanuna expresión 99

como 3x f 5y en 8xy. Esteproblemapuedeaparecerporquelos estudiantes tienenuna dificultadcognitivapara aceptarla falta de clausura(Collis,1975) reflejauna situaciónderivadade la aritmética,referentea lo o, simplemente, que se suponedebe ser una (respuestabien dadu (Matz, 1980),como ya hemoscomentadoen el apartadoantenor. c) La comprensiónde Ia aritméticapor parte de los estudiantes El álgebrano estáseparadade la aritmética;en efecto,aquéllaesen gran parte aritmética generalizada.De aqui que para entenderla generalizaciiln de relacionesy procesosse requiereque éstosseanantesasimiladosdentro del contextoaritmético.A veces,las dilicultadesque los estudiantespresentan en álgebrano son tanto dificultadesen el álgebracomo problemasque se quedansin corregiren la aritmética.Situacionesde la aritméticadondelas el ideasde los alumnosinfluyenen el álgebrason,por ejemplo,las fracciones, potencias, paréntesis, etc. uso de con fraccionesy dan Así, los alumnosque no dominan las operaciones resultadoscomo éstos: tll 235 t_

112

,- 1- s 111 t_

,-1 -6 al campo algebraico. luegolos traducenerróneamente el menor También surgenmuchos erroresal calcular incorrectamente denominadorcomún o en la obtenciónde fraccionesequivalentes.Por ejem1R plo, para sumar la efectúancometiendolos siguienteserrores: + n lS

3+8

38

x-

3s:

4.7.5

otras veces,con la preocupaciónde no olvidar los factorespor los que hay que multiplicarlos,omiten los numeradoresprimitivos

loo

3 I 5+4 \ 28-35:41.5 TY"i :TAL UN] V€RSJOAI) I.II FRA¡JcIsco J05€ ':t 'í-\ ''$ i t :' 1.f'fiA f,¿

El signo <<->>, sobre todo cuand'va coloca
a+b

-(a*b):-a+b

a

b

+-

c

En estegrupo,podemosconsiderartambiénlos erroresdebidosa generalizacionesincorrectasde propiedades aritméticas,que veremosen los apartadosdr, dz y ds. En la mayoríade los errorescometidosen aritmética,los alumnosreflejan dificultadesen la interiorizacióndel conceptoo falta de percepción.por ejemplo,en los erroresdel tipo ( - l)n : - 4, multiplicanen lugar de hacerla potencia. d) EI uso inapropiado de o Algunoserroresse debena que los alumnosusaninadecuadamente una fórmulao reglaconocidaque han extraidode un prototipo o libro de texto y que usan tal cual la conoceno la adaptanincorrectamente a una situación nueva.Tiendenasí un puentepara cubrir el vacíoentre reglasconocidasy problemasno familiares.La mayoríade estoserroresseoriginancomofalsas generalizaciones sobreoperadoreso sobrenúmeros. Los primerosse debena la falta de linealidadde estosoperadores. La linealidaddescribeuna manerade trabajarcon un objeto que puede descomponerse tratando cada una de sus partesindependientemente. Un operadoresempleadolinealmentecuandoel resultadofinal de aplicarloa un objetoseconsigueaplicandoel operadoren cadasubpartey luegosecombinan los resultadosparciales. La linealidad es bastantenatural para muchos alumnos,ya que sus experiencias anterioresson compatiblescon hipótesisde linealidad.Dentro de ellos analizaremoscinco grupos de errores: dr) Erroresrelativosal mal uso de la propiedaddistributiva. dr) Erroresrelativos.almal uso de los recíprocos. dr) Erroresde cancelación. dr)

Ennon¡s

RELATIVOSAL MAL uso DE LA pRopIEDAD DrsrRrBUTrvA

Los primeros erroresque encontramospuedendebersea una aplicación incorrectade la misma.tal como: a'(b + c): a'b + c llegandoinclusoalgunosalumnosa aplicarlacorrectamente cuandoel valor que multiplicaestáa la izquierday no sabenqué hacersi estáa la derecha: a' (b + c) :

a'b + a'c

( a + b) . c:

''!

t0t

AL uso ¡>r nn
Con mucha frecuencia encontramos los errores:

Estoserroresresultangeneralmente de los erroresen como consecuencia aritméticaque hemoscitado en el apartado l, y que al sumar fracciones dan como resultadocualquierade las siguientesexpresiones: algebraicas,

JA+B:,F+JE (a + b )2 :a 2 + b 2 a ' (b ' c ) :

l1 -+ab

(a ' b )' (a ' c )

A B+C

A B

+-

*

A C

*

a+b

11 -*;

F

-

ab

En general,éstos resultancuando una expresiónalgebraicaes linealmentedescompuesta distribuyéndolael operadormásdominanteen partede expresiones. Una justificaciónde estoshechospodría venir de que cuandoal alumno se le exponeque

A( B + r ) : n'B + A .C

y

A (B - C): A . B - A . c

puedecreerqueestoesválidosiempre, inclusopuederecordarotrosejemploscomo

J Aú : J A J E

y

B +C A

BC :-{AA

para los cuales fue válido y generalizaesta propiedad. Por esto, es muy importanteel resaltarcuándoy con respectoa quiénseverificala propiedad distributiva;por ejemplo,cómo la raiz cuadradaes distribuiblecon respecto a la multiplicacióny no con la suma. Para evitar taleserroresse podría trabajar sobreun esquemacomo el que sigue(esquema4.1),el cual refleja tambiénla prioridad de las operaciones. Indica ésteque la propiedaddistributiva sólo puedeaplicarsedesdeuna línea a la inferior.

11 ¿- b

2 t+b I a'b

Son frecuentestambiénal resolverecuacionesdondela variableestáen el denominador:

de

1 :1 JX

deduc enque3:x t7

.+

Estetipo de error puedevenir inducido de situacionescomo: 1 1 :: queda x:2 ¿x

ó

x

:;

J

+

.x :)

J

o

a - +-

b

aI b

JJJ

de las que deducenque con los recíprocosse puede trabajar exactamente igual. dr) EnnonnsDEcANCELACTóN En estegrupo estaríanerroresde la forma: Ax+By x+y

Esquema 4.1

:A+B

que probablementederivan de la regla

Av

;

: A, dando origen a diversas

como situaciones

9x+6

: 9X

4x-3 4'-

102

-

Y-

I

t03

que pueden obtener por analogía con

El uso n¡ nlÉrooos rNFoRMAr.ris r,()lrI'ARIEDE Los ESTUDIANTES

dr)

JI

3'x

x

Estos tipos de errores parecenindicar que los alumnos generalizanprocedimientos que se verifican en determinadas condiciones. Tanto los errores de cancelación como los recíprocos se podrían haber evitado si el alumno hubiese modificado la situación para que encajasecon la regla, envez de extender la regla para abarcar la nueva situación. Para el error recíproco, la solución podría ser igualar una fracción a otta, encontrando el denominador común y despuésexpresando la suma de fracciones en una sola fracción. Igualmente, si el alumno hubiese sacado factor común en los problemas de cancelación, la regla ya conocida podría haberse aplicado, y si no se encontrara un factor común implicaría que la regla usual no se puede aplicar y no que debe encontrarse otra forma de usar la regla. Por otra parte, podemos distinguir también:

Los alumnos no usan generalmcntclos métodos matemáticosformales cnseñadosen clase,sino que emplean co¡r bastante frecuenciamétodos informales propios, tanto en la enseñanzaprimaria (Carpenter y Moser, l98l) como en la enseñanzasecundaria(Booth, l98l). Estosmétodosparecentener óxito en la resolución de cuestionessencillas,pero no pueden ser extendidos a problemas más complicados, lo que tiene implicaciones negativas en la habilidad de los estudiantespara elaborar o entender enunciados generales cn álgebra. Por ejemplo, si un estudiante para encontrar el número total de elementosen dos conjuntos de 27 y 32 elementosno usa la noción de suma, representándola por 27 + 32, sino que resuelve el problema contando, quizás sean pocas las posibilidadesde que el alumno representepor x * y el número total de elementosde los dos conjuntos de x e y elementos.Aquí la dihcultad no está tanto en la generalizacióndel ejemplo aritmético como en la de tener un procedimiento apropiado y la representaciónde ese procedimiento en aritmética a partir del cual generalizar.

4.3,2. Errores en resolución de ecuaciones Ennonns DEBIDoSA FALSAS sosnp l.rúMnnos GENERALIzACTONES

do)

La necesidadde generalizarsobre números en álgebra surge con muchísima frecuencia, pues permite formular una regla general a partir de un problema-ejemplo con unos números esenciales. En la solución de un problema como (x -7 )(x +

x - 7: 0

6

x-

+

5 :0

(x -a )(x -b ):k x - a: k

6

x -b :k

x:7

ó

x:5

x :a * k

+

6

x:b+ k

En estos ejemplos,los números 0 y I son los que aparecencomo especiales. Ay A * 0 : A ,p ro vi enenerrorescomol ' 0 Delas ex pr es ion e sA ' l :

A y de A + (-Al :0

ro4

seoriginau

Errores que se originan en la transición conceptual de la aritmética al álgebra

a) -

-5 ):0

aunque el 7 y el 5 no son críticos para el procedimiento, el 0 sí lo es. Los alumnos, sin tener esto en cuenta, lo generalizan dando el siguiente resultado:

+

La mayoría de los errores cometidos en la resolución de ecuacionesse deben a las causas señaladasanteriormente. Veamos algunos ejemplos.

):

o.

Al calcular el m.c.m. o hallar el denominador común. lo hacen incorrectamente:

enj -

hacen

*7x:r*;,

|*ett,:27+;

Efectúan operacionesen el primer miembro de la ecuación sin modificar el segundo: 3xl 5:7

hacen 3x+5- 5: 7.

dedonde

3x: 7

obien

en ( x+2) 2: 5 para lograr el cuadrado perfecto, suman cuatro unidades sólo al primer miembro:

x2 + 4r + 4 : 5 llegandoa (x * 2)' : 5 t05

- Cambianel signo de un miembro sin modificarel otro, en -2x + 3 : 5, multiplicanpor (-1) sólo el primermiembro,dando:

el trabajar coll ccttitcitlnesrequiere, por un lado, Consecuentemente, interpretar el signo igual que aparccc cxplicitamentey, por otro, reconocer expresionesequivalentescuando no sc dan.

2x-3:5 b)

En estosúltimos erroresse observaque la causaprincipalestá,como ya hemosdicho, en el desconocimiento del significadodel signo igual en las ecuaciones. Ellos trabajan una parte de la igualdadsin ver la necesidadde modificarel otro miembrode la misma manera. En la resoluciónde ecuaciones, se procedede arriba a abajo mediante transformaciones sucesivas, pero no de una única expresión,sino de una relaciónde expresiones (ecuación)que son transformadas aplicandolas mismas operaciones a amboslados.Aunqueestasoperaciones no mantienenla igualdadde lados correspondientes de líneasconsecutivas, sí conservanel valor de la incógnita.Por ejemplo,en la resoluciónde la ecuación

(/so inapropiado de fórmulas o rcglus de procedimientos

Unas vecesson errores debidos a falsasgeneralizacionessobre operadores,así encontramoserroresdebidos al mal uso de la propiedad distributiva,

dan 3x]_2:7x

en 3(x+2\:7x incorrectas, o simplificaciones

deducen x:5

de'!':t, ¿ o referidasal uso de reciprocos,

!_ x

6 2x-l

,l 1l

Oe

los lados correspondientes consecutivos no son igualesal pasara

x(2x - 1)1 : x(2x - l)^ ! '2x x

-

-:--1-:' 3x+5

x

7

-|

e tc .

sin embargo, en ambos casos se conserva el valor de la incógnita. Para ecuacionessimples como 2¡ : 6, es fácil encontrar el valor de la incógnita reformulando la ecuación, pero para ecuacionesmás complejas,la obtención de la incógnita requiere simplificaciones sucesivaspor medio de transformaciones y reducciones apropiadas. En este sentido, los alumnos deben observar en la resolución de la ecuación las lineas en orden a determinar: l. 2.

La naturaleza de cada transformación. La relación entre los nuevos lados izquierdo y derecho de la ecuación. 3. La igualdad o desigualdad de los lados correspondientesconsecutivos,cs dccir, las rclacionesentre el lado derechoe izquierdo consecutivo, rcspectivlmcntc.

|06

3x*5:x17

sobre Otras veces,son erroresproducidospor falsasgeneralizaciones números,por ejemplo,al resolver

:+-v:o x

y los lados correspondientesconsecutivos sí son iguales al pasar a, 8 x -4 :6 x ,

llegan a

reducena común denominador y obtienen 3 + x2 : 0, y, análogamente, cuando el segundomiembro es otro número, actúan igual que si fuesecero,

3

- .T -v : .r

10, obtienen 3 + -t2 :

l0

con lo que resuelvenuna ecuacióndiferentea la dada. También son frecuentesprocedimientostales,que de (¡-3X x-5) : 7,

ent onces x- 3: 7

Y

x- 5: 7

y procediendoanálogamente, r le , vr :

- 3v

con lo que omiten la soluci
+

.t:

-3

0.

|07

Hay también errores específicosal aplicar métodos o fórmulas de resolución para resolver la ecuación de segundo grado o los sistemasde ecuaciones. Son errores que reflejan descuido de rcalización más que malentendidos reales. En x2 -

3x -

6 :

0, escriben ,{ :

j '+v

:l

)

r J'

4x-3y:

tll

eliminan incorrectamente los denominadores en la primera ecuación y obtienen

2x + 3y: 4x - 3y:

l\ lJ

l2l

aplican el método de reducción, obteniendo la solución x : 3, sustituyen y obtienen6 + 3y : l;! : -513. Para comprobarlo no acudena la primera, sino a [2], verihcandola exactitud de las soluciones. Por último, como ya hemos indicado anteriormente, los alumnos usan con bastante frecuenciamétodos informales propios, y éstos generan dilicultades en la resolución de ecuaciones,sobre todo en aquéllas que tienen cierta complejidad. Al considerar ejemplos tales como:

1) 2) 3) 4)

x+7:20 4x+3:7x 5xt-4:6x 3x-t2:14

los alumnossuelenobtenerfácilmentela soluciónpor propiosde la aritmética. En el caso1),x tieneque ser 13 al descomponer 20 en 13 + 7. En el caso 2), 3 tieneque serigual a 3x por serlo que le falta a4x paravaler7x, con lo Quex: l. En 3),4 seidentificacon la -r que eslo que le falta a 5x para el total 6x y, sin embargo,en el caso 4), descomponen el segundomiembro de manera similar al primero,obteniendo3.u -t 2 : 12 + 2 y asix : 4. 108

,v*2 .v*5

' isnorando los

signos de los coeficientesde la ecuación. O bien, al comprobar las soluciones de un sistema no lo hacen en las ecuacionesde partida, sino en aquéllas más sencillasobtenidas por manipulaciones (que pueden ser erróneas)de las primeras:

2

Evidentemente,si se complica cl ¡rloblcnra,estos métodos informales generan errores, así en

6 1

la ecuaciónpor igualación contestanque x puedeser4 y 2, ya queresuelven respectivamente. de los numeradoresy denominadores,

4+2 x +2 r +5- 2+s - j

6

4.3,3. Corrección de errores El análisis de errores, como ya hemos indicado, tiene un doble interés:de una parte, sirve para ayudar a los profesoresa conducir mejor la enseñanzaaprendizaje del álgebra, insistiendo en aquellos aspectos en los que los alumnos cometen errores, y de otra, contribuye a una mejor preparación de estrategiaspara la corrección de los mismos. En estesentido, el profesor debe entender los errores especificosde sus alumnos como una información de las dilicultades del álgebra que requiere un esfuerzopreciso en las dos direcciones apuntadas anteriormente, entendiéndose,obviamente, que si al detectar un error, el alumno reconoceinmediatamente el fallo y lo corrige, aplicándolo a la generalidad de los casos,no será necesarioningún remedio, si, por el contrario, se produce con cierta frecuencia,implica que es algo más que un descuido que necesita una atención más precisa. La superación de los errores por parte de los alumnos constituye un tema básico en el aprendizaje que genera grandes dificultades. Las investigaciones actuales señalan que los errores están profundamente interiorizados por los alumnos y que no son de fácil eliminación. Incluso en muchos casos,parece ser que los estudianteshan superado un error y luego lo vemos, con desilusión, resurgir al poco tiempo. Por ello, plantear a los estudiantes que su comprensión conceptual de una parte del álgebra es incorrecta y darles entonces una explicación, es, a menudo, insuficiente para eliminar el error. El estudiante debe participar activamente en el proceso de superar sus propios errores, para ello, el profesor debe provocar conflicto en su mente a partir de la inconsistencia de sus propios errores, forzándolo a participar activamente en la resolución del conflicto sustituyendo los conceptos falsos por la comprensión conceptual adecuada. El profesor rara vez indica a los alumnos cuál es la respuestacorrecta,sino quc simplcmenteles pide comproquc resultan de contrircliccioncs baciones'y pruebas que intentan pr()v()c¿rr los falsos conceptosde los cstr¡rlilurtcs.l:llos cst¡in dirig,iclosa conscguir la

I0()

resolución de la contradicción, mediantela solicitudde máscomprobaciones y pruebas.El objetivono es tanto hacerescribira los estudiantes la fórmula o reglade procedimientoadecuada, como hacerlosenfrentarse con la contradicción y eliminar sus falsosconceptosde forma que éstosno vuelvan a aparecer. Otra ventajade estaforma de tratar el problema,dado que esmuy poco probableque toda la claseestéde acuerdoal mismotiempocon la respuesta correcta,esque en la clasesegenerandiscusiones que son excelentes no sólo para mostrar los diferentesconceptosfalsos que los estudiantespuedan tener, sino también para ayudarlesa superarlosa través de sus propias interacciones.

4.4. PRINCIPIOS GENERALES PARA LA ENSEÑANZA.APRENDIZAJE DEL ALGEBRA El álgebra,entendidacomo el desarrollode habilidadespara manipular letras y otros símbolosque puedensignificarcosasdiferentes,y también como construcciónde operaciones,expresioneso entidadesabstractasa través de relacionesbien defrnidas,ha sido consideradaen los diversos currículosde formasdistintas.Su introducciónparteunasvecesde elementos del lenguaje,poniendoénfasisen su aspectosintáctico(programasanteriores a l97l), o en su doble aspectosemánticoy sintáctico(Nuffreld,1978),otras, de las estructuras(programasde l97l: Dienes, l97l), y en ocasiones,de (programas elementos funcionales de 1981;Castelnuovo-Barra, 1983).Insisten,por lo general,en la relacióndel álgebracon la resoluciónde problemas y con los procesosde generalización, algunoscon la ayuda de la visualización geométricay otros con el uso de . El tratamientodel álgebraque se proponeen estelibro no olvida este conjunto de apreciaciones, aunque descartacomo punto de partida los aspectosfuncionalesy de estructuraspor ser, como hemosvisto, los más dificiles,teniendoen cuenta el procesológico-históricodel desarrollodel álgebraque se recogeen el esquemal. Para intentarminimizarla mayor parte de las dificultadesde la enseñanza-aprendizaje del álgebraen la escuelaobligatoriaseñalaremos ocho principios generales, que son principiosválidostambién,en su mayor parte,para toda la matemática. 1. Un determinadogrado de uutomutizaciónen las operaciones básicusen un estadioes un prerrequisitopura el desarrolloen el estadiosiguiente. En otras palabras,el avancehaciael razonamientoen aritméticageneralizadaestarásubordinadoa que los niños hayanautomatizadolas operacio-

u0

ESQ I lllM A 4. 2

el razonamientode nesbásicasde la aritméticaelemental;o el progresohacia de quélos alumnoshayanautomatizado i;;"p*;;i""es formales,dependerá básicasiet trttimo estadioconcreto(nivel 3). Asi, la capaciiu, putu manejarvariables,por ejemplo,iría precedidade una competencia Ju¿"ir.ru"i"nes en el núnl"ro, !"n.r"ii""ios (collis, 1975b).otro ejemplo, p"r"'""u"¡", que los de hecho "án el ;i;; ¡; góneralización.onórrtu(nivel 3), lo constituye adolescentesencuentrannaturallafórmuladelvolumendelprismarecto V:a.á.c,dandounamedidacorrectaparaunamultituddeprismas rectos,enelsentidodequesustituyenpornúmerosletrasencadafórmula, formalescuandoson capaces es hastael estadiode las operaciones ;;;;;" entre las relacionesexistentes a relativas cuestiones de abordardirectamente t"r¿i*.nrionesdelprismarecto;porejemplo,enunaafirmacióntalcomo: a c p^ra mantener si ó se duplica y o permaneceigual, ¿quédebehacerse constantea Z? demasiadorápido' 2. No introducir nueuasideaso técnicasalgebraicas EstedeberíaSerunodelosprincipiosfundamentalesdelaenseñanza crear.diftcultade las matemáticas;ignorarlo túpont, sin lugar a dudas' de una línearecta ;;r;; eiaprendizaj".forn.nlo, como ejemplola ecuación en puede-ser.introducido .n-et pUnó cartesiáno.Inicialmente,esteconcepto : m' x 6 relacióncon la inclinacióno pendienteen la forma algebraica| ';: este En funcional. en un sistema ;.x I ,,trabajando principalmente, funcional, para resolver un sistemade dos it"nt.u,oirnto'esencialmenie del punto coordenadas icuacionescon dos incógnitasdebemosencontrarlas deinterseccióndedoslíneasrectas'Alosalumnosselespidequeexpresen las ecuaciones ca¿áecuaciónde la forma y : trtx i /4y entoncesresuelvan par de números del funcional aspecto del por sustitución,pero la reíación lll

requiere una gran atención por parte de los alumnos. Una solución más satisfactoria,entre otras, seria encontrar las coordenadasdel punto de interseccióndesdeel punto de vista estrictamentealgebraico,usando la técnica de eliminación y, después,establecerexperienciascon la noción geométrica de pendiente y su aspecto funcional. Otro ejemplo podría ser la resolución de ecuacionessimples, donde el desarrollado en el cap. 6) método de la (método de la >, introducido apresuradamente,frente al
entera no habrá una factorizaciiln scncilll). l)or ensayo y error podemos encontrar una solución,x : 3, tal quo: x3 + x2 _ 6x

3.

No introducir ideas o técnicas algebraicas demasiado específicas que no siruan para el desarrollo algebraico futuro.

Hemos analizado en el capítulo 1, párrafo 6, seis categoríasdiferentesde interpretación y uso de las letras. No parece adecuado para el desarrollo futuro del álgebra hacer una introducción de la misma viendo a las letras como un objeto, sería un contexto demasiado específico que ahogaría su desarrollo posterior. Análogamente, un comienzo del álgebra de forma que considerara a las letras como incógnitas especílicascon un único valor, también limitaría el proceso posterior. Parece que una introducción más adecuada se lograría considerando a las letras como números generalizados que permitiría pasar desdela aritmética a la aritmética generalizaday de ésta al álgebra. Un caso concreto donde las técnicas demasiado específicaspueden causar difrcultades en el futuro podría ser la factorizaciín de polinomiosj A veces, los usados para factorizar polinomios de segundo grado dihcultan la comprensión del proceso general; esto se pone de maniliesto al intentar facforizar polinomios de mayor grado. Veamos como ejemplo la factorizaciln de p(x) : x3 * x2 - 6x - 18. Sabemos que p(x) tiene un factor (x - o), si, y sólo si, a es una solución de la ecuación p(x) : 0, y que 4 es una solución entera de p(x) : 0, si a es factor de 18 (si no hay solución

rt 2

(.r _ 3)q(x)

El factor cuadrático 4(x) que queda por determinar se puede ahora encontrar por una división sintética (Ruffini u otra); pero utilizar únicamente esta técnica específicapuede oscurecer el principio de identidad de polinomios que es una técnica práctica, sencilla y de gran utilidad en el desarrollo posterior de las matemáticas.Esta técnica consisteen encontrar los coeficientes del factor cuadrático comparando las potencias de x. Así, el término constante debe ser 6, y si llamamos al término lineal áx y comparamos los términosen Jr2,encontramosque -3 + b : l, de donde b : 4;igualmente puede hacersecon los términos en x, -3b + 6 : - 6, que dará, obviamente, el mismo resultado. La factorización es, por tanto, p(x) : (x - 3)(xz * 4x * 6), y si buscáramos la solución de p(x) : 0, se reduce a que x- 3: 0

donde la igualación es necesaria. Una vez entendido esto, la práctica de la técnica de igualación puede ser desarrollada con ecuaciones como 2x i 5 : 17, antes de proceder con ecuacionescomo la anterior.

ltt :

o

x2+4x+6: 0

Asimismo, hemos de considerar que, si bien es cierto que introducir una idea o técnica nueva en un contexto más general evitará los problemas creados al tomar un contexto más específico,también puede crear otras dihcultades iguales e incluso mayores. En muchos casos,al tratar con alumnos que desarrollan un aprendizaje más lento, un contexto más específico será necesario para progresar. Sin embargo, esto no devalúa el principio anterior. Será el profesor en su actuación el que debe cuestionarsesobre una técnica o idea algebraica en términos parecidos a: ¿Un contexto más especíhco hace la idea o técnica más fácil de comprender sin que oscurezcael significado auténtico de la idea, o el propósito de la técnica? 4.

Asegurar que los aspectos diferentes de una idea, técnica o símbolo algebraico estén claramente distinguidos.

La variedad de interpretaciones semánticas de las letras en álgebra ha sido considerada en los capítulos I y 3. En todos los casos, la falta de comprensión de la idea, técnica o símbolo causa verdaderas dificultades de aprendizaje. Una ilustración de este principio es el uso del signo negativo en los enteros y su extensión a los símbolos literales. Este uso incluye tres aspectos distintos: a)

Como representaciónsimbólica de los números negativos. Por ejemplo, -7 incluye el signo ( )y al digito 7 como un símbolo completo que representaal entcro mcnos siete. il:l

Por ejemplo,al b) Como el inversode la suma(reglade los paréntesis). : y -5 -(-5) negativo en +5 -(+S¡ el signo escribir +5, representauna operaciónsobre un entero que generaotro entero. Desdeestepunto de vista se origina la escriturasimpliltcadade los de la equivaenteros,asíomitir el signo(+ ) en (+ 5) esconsecuencia lencia-(+5) : -5 ó +(+5) : +5. c) Como la operaciónsustracción.Por ejemplo,en ( + 4) - (- 3), el símbolonegativoen el centro denota una operaciónde un par de enterosque origina un tercerentero, *7. En álgebra,al consideraruna expresióncomo 7x t 3y y operar sobreella se sugiereque estamostratando con cuatro entidades: en cualquierordenconvenien5x, -y, -7x, I3y que podemosreescribirlas que conectanlos diferentestérminos te. Es decir,los signosoperacionales unido al términoque estáa su derecha estántratadoscomo si seencontrase y opera con él como una expresióncompleta.Dicho de otra forma, lo que sucedees que consideramos 5x-y-7x+3y

como (+5x)+(-y)

+(-7x)

+(+3y)

y utilizamosla leyesconmutativay asociativade la suma de enteros.En otras palabras,uno tiene que sustituir(-) como una operaciónde sustracción en un par de términospor (-) como una operacióninversaaditivacon término único. De la mismamanera,otra situaciónque relacionalos aspectosa) y á) es el hechode que muchosalumnospiensan,por ejemplo,que -2x siempre debeserun númeronegativo,porquetieneun signonegativoa la izquierda. 5. No introduciro establecerla notaciónformal antesde que una idea o técnicaalgebraicahaya sido asimiladapor los alumnos. Con relacióna esteprincipio generalpuedeexistirdivisiónde opiniones. Para algunoses la habilidadpara comprenderla notaciónformal el indicador de que una idea o técnicaalgebraicaha sido asimiladapor los alumnos. Para otros,la notaciónformal es una ayudaen el procesode asimilación,es decir,trabajandodesdeel principiocon la notaciónformal la idea o técnica mejor entendillegacon másclaridada los alumnosy es,consecuentemente, tieneéxito, se demuestra da. Pero en la práctica,dondeesto aparentemente que la notaciónconsolidala asimilaciónque previamentehabíarealizadoel alumno. Tomemoscomo ejemplo la manipulaciónde potenciasde exponente tt4

que es una de las partcstlcl írlgcbraclementalque originamás fraccionario errores.Ello es debido,en muchc¡scasos,¿rque nunca se ha trabajado adecuadamente la idea que estádetrirsdo la notación.Si los alumnosentendieranlos significadosasignadosa 2 I o l0 1/2,probablemente desaparecerían la mayor parte de las dificultadespara entenderque a^' en :

para todo m, n racionales

e^*'

De maneraanáloga,la notaciónfuncionalpuedesermal utilizadaporque a menudo el conceptoque subyacede función nunca se desarrollaapropiadamenteen la mente de los alumnos más allá de la simple representación de los diagramasde Venn que se relacionanuno con otro. La idea de que en la mayor parte de los casosprácticosuna función vienedeterminadapor la regladada en notaciónformal,vieneoscurecidapor el hecho de que la regla permanecemás implícita que explícita para la mayoría de los alumos,y así nos encontramosen trabajosposteriorescon la incapacidadde los alumnospara determinarf(g(x, y)), sabiendo,por ejemplo,que f(x, y) : (n - !, x ¡ y)y g(x,r¡ : Qx I ),, x - 5y). 6. Euitar la complejidadnotacionalinnecesaria. Estees un aspectoen el que las de la década pasadatienenmucho que decir,Toda notaciónexigeun gran esfuerzode la memoria;los alumnosolvidan con facilidadpor qué surgela notacióny de dónde vienensus reglasoperacionales. Las notacionesinnecesarias incrementannotablemente la complicación, inclusodondelas ideassonsencillasy seconfundeen muchoscasoscon el propio proceso. Tomemoscomo ejemplola resoluciónde la ecuación 5x * 3 : 2x -f 15. donde,v es un númeroracional Se tieneque: 5x*3:2x+15+ +5x

* (-2x) + 3 : 2x + (-2x) * 15e +3x+3:15<> +3x

* 3 + ( -l) : +. lx e,

ll

{- 1r ) + > .!

tS + (--3)<>

12+

I

( 12) <>

4< >

la solucrónes el conjunto {4} lls

Hay en este ejemplo complejidades inncccsariastales como el uso de la doble implicación (+), que es considerada por cl alumno como una forma decorativa del signo de igualdad, o simplemente,como una especiede ornamentación que utiliza el profesor, pero que no contribuye en nada en el resultado; o el uso de las llaves para expr€sar la solución, donde la insistencia de {a} nos lleva a que x : {4}, forma usual para inecuaciones,pero que en ecuacioneses simplemente decorativa; o el uso de la adición de enteros, es decir, tratar la sustracción como la adición de un entero negativo, que parece más resaltar el punto de vista de las ,donde la nación abstracta de grupo está detrás de todo ello. Todo este excesosupone una complejidad añadida para entender el proceso de resolución de la ecuación. 7.

los>, no solamentea los modelos ñsicos (hirliurzas,etc.) o gráfrcos(figuras, diagramas), sino también a los modckrs l¡bstractos (aritmético, etc.). No obstante,dada su importancia en álgcbra, scpararemosel modelo aritmético y el modelo geométrico (del que nos ocuparcmos ampliamente en el cap. 5) del resto de los modelos. En este sentido, la enseñanza-aprendizajedel álgebra se realizará en términos de traducción de los cuatro lenguajesbásicos:aritmético, habitual, geométrico y algebraico, que los consideraremoscomo vértices de un cuadrado que se conexionan entre si por sus lados y diagonales.

L.AR.

L.AL.

Fauorecer la comprensión algebraica en términos de traducción de lenguaJes.

En el desarrollo histórico del álgebra, como hemos visto en el capitulo 2, se dan dos característicasprincipales, de un lado el lenguaje y los simbolos, que nos muestra el álgebra en su aspecto lógico-lineal relacionándose y utilizando el lenguaje aritmético verbal, y de otro, el uso de modelos fundamentalmente geométricos, que nos pone de manifiesto la importancia de cstos modelos como herramienta apropiada a la hora de comprender muchos conceptos y fórmulas algebraicas.Parece que un proceso adecuado de cnseñanza-aprendizajedel álgebra debe incluir diferentes actividades que provean de oportunidades para desarrollar sus características. El uso de más de un lenguaje para representar un concepto favorece la abstracción del concepto, ya que tenemos más puntos de referenciay permiten establecerasí más relaciones. Por otro lado, el hecho de presentar un concepto de formas diversas hace que a éste se le conozca en más facetasde las que normalmente se le considera cuando se hace el aprendizaje con un solo lenguaje. De igual manera, el uso de los diferentes lenguajes permite adaptarnos a los distintos niveles intelectualesde la clase,ya que cada niño o niña evolucina a su ritmo y son más o menos aptos a los diferentesmodos de comunicación. Al ser el álgebra un lenguaje de comunicación de ideas abstractas,plantear su enseñanza-aprendizajeen términos de traducción de lenguajes: el , el de los y el , estimula y favorece el desarrollo de su conocimiento. El uso de los diferentes
L.H. En ocasiones,el lenguaje geométrico será sustituido por el lenguaje de otro modelos fisicos o gráhcos e interpretado y usado en el mismo sentido, principalmente en el capitulo 6 dedicado al tema de las ecuaciones,donde además haremos un análisis más detallado sobre los modelos. El cuadro 4.2 de la página siguiente muestra un ejemplo de traducción de lenguajespara el cuadrado de la suma de un binomio. En matemáticas,al estar los conceptos tan fuertementejerarquizados, es decir, al existir entre ellos una gran dependencia, los generan (esquemas) mentales que facilitan la comprensión de estas abstraccionesy permiten progresar en el aprendizaje de nuevos conceptos. Fundamentalmente se utilizarán en la presentaciónde un concepto como una herramienta de comunicación de ideas abstractas,ideas que expresadas con el recurso de los irán adquiriendo más fácil y adecuadamente los alumnos. 8. No introducir técnicasformales demasiado pronto. Sobre aspectos formales del álgebra ya hemos hecho algunos comentarios en los principios 5 y 6, nos referimos ahora de forma más precisa a las técnicas o procedimientos formales, ya comentadas en el párrafo de errores.

t7

CUADRO 4.2

(a+b)2: = a2 + b2 + 2'a'b

LENGUAJE ALGEBRA¡CO

(1 +3 )'?: :1 2+32 +2 '13

r r z

E

e

e

6

6

z-

i

ñ. ó



4

4,5. ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA GENERALIZADA

e

i

F

LENGUAJE

En la introducción de métodos frtrmalcs se debe tener claro, antes que nada, la necesidadde tales procedimicntos. Ello requiere que el profesor, de una parte, reconozca que los estudiantes pueden tener un método informal para una determinada clase de problemas y que el valor de este método informal para solucionar problemas sencillossea reconocida y discutida, y de otra, que las limitaciones del método seanconsideradaspor el procedimiento de intentar usarlo para resolver un problema del mismo tipo, pero más dificil. De esta manera se sugiere a los alumnos la necesidadde un procedimiento más general, esto es, más formal. En cualquier caso, la introducción de una técnica formal debería estar precedida por una reflexión en estos términos. ¿Es necesariay significativa? ¿Está motivado el alumno y procede de métodos más elementales ya utilizados?

EN ARITMETICA

GEOMETRICO

En este apartado nos ocupamos de algunos aspectosde la enseñanzadel álgebra en forma de aritmética generalizaday en términos de traducción de lenguaje,tal y como hemos señalado en el párrafo 3, principio séptimo

a

L.AR.

b

L.AL.

Las expresionesgeneralesde las solucioneSde las ecuaciones,por ejemplo, de ax t b: c

ax + b :c .r* d

como

a+ 0,

" :]k -ba), c o mo

-Y

ode

a+ c

no son, afortunadamente,de uso habitual. Los profesoresutilizan para esta) situacionesformas más simples de resolución. Retrasar las técnicas formales por procedimientos más informales hasta que los procesos sean identlllcables en varios contextos (principio 7) parecc lo más adecuado en álsebra. l l8

L.G.

L.H.

aunque aquí nos limitaremos a los lenguajeshabitual, aritmético y algebraico, dejando, por su importancia, para el capitulo siguiente (cap. 5) las actividades del álgebra con el uso del lenguaje geométrico, y para el capítulo 6 el estudio de las ecuacionescon el uso de diferentesmodelos lísicos y gráhcos. En este sentido apareceránactividades conducentesa expresar,por ejemplo, en lenguaje algebraico la relación entre dos variables dadas en lenguaje habitual, o en lenguaje aritmético (mediante una tabla) o inversamente, a escribir en lenguaje habitual situacionesdadas en otros lenguajes(por ejem-

119

plo, a partir de una sencilla ecuación de dos variables),etc. No obstante, dada la imposibilidad a vecesde separar el lenguaje geométrico o el del resto de los modelos, de los anteriores,apareceránesporádicamentealgunas actividades que los incluye. Las estrategiasde enseñanzase apoyan en los ocho principios generales anteriores (párrafo 4) e inciden fundamentalmente en las áreas de dihcultades analizadasen el párrafo segundo de este capítulo, a saber:comprensión de la aritmética por parte de los estudiantes,naturaleza y significado de los símbolos y las letras, objetivo de la actividad y natvraleza de las respuestasen álgebra y el uso inapropiado de . Las estrategiasde enseñanzautilizadas siguen el esquemageneral recogido en el cuadro 4.3.

LENGUAJE

Lenguaje aritmético Situaciónde partida

Frimer nivel de generalización

Señalemosalgunas ideas básicasrecogidas en esteesquéma,indicadas ya cn los principios generales: -

t20

-

NIVELES DE COMPRENSION

Lenguaje habitual Enunciado. Situación de partida

La necesidad de alcanzar las estructuras adecuadas en el lenguaje aritmético, sin las cualesel alumno está incapacitado para lograrlas en el caso algebraico.

Introducir el nivel de las lctras ctlnlo n(rrncrosgeneralizados,de los cualeses más fácil particularizarra c.jcnrpkrs de valoresúnicoso específrcos como en ecuacionesdcl tipo r i 3 : 7, caso especialen el que hay solamente un valor para cl quc cs verdadera la expresión, o generalizara ejemplos donde se consideran las letras como variables y estudiar esa relación de dependenciacomo en ejemplos del tipo A: b'a

-

CUADRO 4.3 PROCEDIMIENTO

-

-

ó

y: 2x- t 5

Facilitar el proceso de generalizaciónen términos de buscar regularidades en el campo numérico y hacer generalizacionesbasadasen sus observaciones.Comprobar las generalizacionesy encontrar métodos formalizados y simbolizados que permitan probarlas. Importancia de la formalización y simbolización del método en la enseñanzadel álgebra. Recordemos en este sentido que los alumnos están más acostumbrados a buscar respuestasconcretas que a hjarse con detenimiento en el método para obtenerlas, y menos aún a la simbolización del método. Permitir la consecucióny validez de las respuestasabiertas,como, por ejemplo, a * 5, a las que no están acostumbrados los alumnos. Utilizar el lenguaje algebraico para modelizar situacionesrealesexpresadas comúnmente en lenguaje habitual o en lenguaje aritmético.

Con relación a la tercera columna del cuadro conviene señalar que no podemos olvidar la idea hnal, que es que el alumno comprenda el lenguaje algebraico y su uso, y que ésta debe ir precedida de una comprensión cuantitativa que se facilita habitualmente en forma de lenguaje aritmético, que a su vez, en la mayoría de los casos, necesita de una comprensión cualitativa expresadageneralmenteen forma de lenguaje habitual. En cuanto a la segunda columna, lenguajes,señalar que en la situación intermedia, sin excluir al lenguaje aritmético, puede ser colocado cualquier otro de los lenguajes de los modelos y, fundamentalmente,el geométrico. Por último, con relación a los procedimientos, debemos señalar que el primer nivel de generalizaciónhace referenciaa las conjeturas basadasen las observacionesy a sus comprobaciones, mientras que el segundo nivel de generalizacióncorresponde a los métodos formalizados y simbolizados que permiten probar la generalización. Un esquema sencillo que recoge el procedimiento en las actividades propuestas sería el esquema 4.3. Las actividades que se presentan,no pretenden en ningún momento ser excluyentesy exhaustivascon relación a los diferentesproblemas que acarrea la enseñanza-aprendizaje del álgebra en forma de aritmética generalizada, sólo son ejemplos ilustrativos dc las estrategiaspresentadas.

t2l

. Actividades:Escribir el doble, el triplc, cl cuadrado, la mitad, la tercera parte, el doble menos cuatro, etc., de cualquier número. . Actividad 2: Opnn¡rcIoNnso srruAcroNES Expresarla base y la altura de cualquier rectángulo en el que la base sea el doble de la altura.

NUMÉRICAS

-_= ;-l Situación II

l_stt¡ación N

I

Rnv¡sróN DEL PRocESo Y ANÁLISIS DE SITUACIONES

8 x 4 no podrá ser la solución.

NOTACION Y DEMOSTRACION FORMAL

Las actividadeslas dividiremosen tres grupos:situacionesen lenguaje habitual;situacionesen lenguajearitmético,y otras situaciones.

Tanto 8 y 4 como 10 y 5 no son de cualquier las dimensiones rectángulo.

V, o l2a

I

, essolución

(Se observa cómo de esta manera podemos representar cualquier rectángulo que tenga la base doble que la altura.)

SITUACIONES EN LENGUAJE HABITUAL. ACTIVIDADES . Objetivos:Traducir el lenguajehabitual al lenguajealgebraicopasandopor el lenguajearitmético. Presentarlas letrascomo númerosgeneralizados. Resaltarla validezde respuestas abiertas.

o Actividades: Expresarla basey la altura de cualquierrectángulocuya baseexceda en 5 unidadesa la altura;la altura es 512de la base;la basey la altura diheren en 10 unidades;etc. r Actividad3:

. Nivel: Once a treceaños.

Escribirla sumade cuatro númeroenteros cualesquiera. consecutivos

. Actividadl: Escribeuna expresiónque represente la sumade 7 con cualquiernúmero.

3+7 ó 7+ 3 no podrá ser la solución

5+7

5+6+7+8,no podrá ser la solución

ó 7+5

no podrá ser la solución

a+7

n*( n+1) +( n+2) +( n+3) , es la solución. ó 7 + aesl asol uci ón

(Seobservaque a puedeser cualquier número.)

r22

l+2+3+4,no podrá ser la solución

Tanto 1, 2,3,4, com o5, 6, 7 y 8 no son númeroscualesquicra.

(Seobservaque n representaa un número enterocualquieray (n + 1),(n + 2) y (n + 3) consecutivos, son los siguientes respectivamente.)

t21

Actividades de amontonar boliches:

SITUACIONES EN LEN G U A.II.] A RI'I'M I]'I'¡CO.ACTIVIDADES

o Objetivos: Traducir el lenguaje habitual al lenguaje algebraico. Usar las letras como incógnitas. Establecer igualdades de cantidades. Formular ecuaciones. Utilizar el álgebra como herramienta para probar situaciones.

1. Tablas numéricas:

r Actividades: Un montón liene a boliches. Expresa el número de boliches que hay en el segundo montón sabiendo que: 1. Hay doce boliches menos que en el primero. 2. Hay siete veces más que en el primero. 3. Hay la sexta parte de boliches que en el primero, etc.

1.a) Obseruando regularidades

. Actividad l: Escribir la igualdad de las dos cantidades sabiendo que hay dos montones. El primero tiene doble que el segundo. Y en total hay 24 boliches.

. Nivel: Once a trece años.

1. "' m ont ón

2.o montón

Total

2a

a

24

. Objetivos: Traducir el lenguaje aritmético al lenguaje algebraico. Generalizar situaciones numéricas. Usar las letras como números generalizados. Utilizar el álgebra como herramienta para probar situaciones.

. Material: Tablero de contar del I al 100, tabla de sumar y tabla de multiplicar. Tablero de contar del I al 100

2 a + a :2 4 o Actividad 2i Escribir la igualdad de las dos cantidadessabiendo que hay tres montones.El primero tiene 3 bolichesmás que el segundo.El tercerotieneel doble de bolichesque el primero. En total hay 29 boliches. 1." montón (a + 3 )

2.o montón a

(a

3 ." ' m o ntón 2(a

T

3)

Total 29

Piensa un número entero. Súmale el siguiente. Súmale 9 al resultado obtenido, divide el resultado obtenido por 2. Réstale el resultado de partida. ¿Qué solución obtienes?

2a+10 2

r24

:a15

4

5

6

I4

15

l6 26

8910 t'l

t8

2

22

24

25

J

32

JJ

34

3s 36

JI

27

28

29 30 38 39 40

4

42

43

44

45

46

47

48

49

50

5

52

53 54

55

56

57

58

59

6

62

63

64

65

66

69

72

I5

74

t)

76

67 68 7'7 78

60 't0

79

80

19

20

8

82

83

84

85

86

87

88

89

90

9

92

93

94

9s

96

97

98

99

100

7

8

9

Tabla de sumar

+

Por ejemplo,10, 1 0 + 1 1 :2 1 ; 2 l + 9 :3 0 ; 30:2 : 15; 1 5 -1 0 :5 a ;a + (a + l ):2a (2 a+ l )+ 9:2a+ 10

J

t3 23

3)+a+2(a+3):29

. Actividad 3:

Por ejemplo,7; 7+ 8= 15; 15 + 9 : 24; 24: 2: 12; 12- 7: 5

2 t2

I

* l;

y a+ 5-i t:5

2

J

I

z

J

4

5

6

2

J

4

4

5

6

7

8910

5

6

7

8

9

3

4

5

0

7

8

9

0

tt2

6

6 7

4

5

5

6

8

9

0

I

213

7

8

9

t0

1

2

314

6 7

789

0

11

2

J

4t 5

8910

l12

J

4

516

6

718

8

9

10

ll

213

4

9

t0

ll

t2

314

5

11

6t 7

TTAL UNI \/IIRSI OAD OIST'TT is(:fJ Jü:iE ,llÉ i.)AL$A5 FRANTj :¡rAlFnA ÉÉ BtBLt0l'LU^i

125

¡ Actividad 2: Lo mismo para la tabla dc sumar.

Tabla de multipliutr X I

2

2

2 2 ^

6

5

6

'l

8

9

4

5

6

7

8

9

8

10 l 2

l+

t6

2l

a'l

18

6 7

7

421283542495663

8

8

6

9

9

8

5

24 27

32 40 36 4 5

56 64 72 54 63 72 81

48

propiedades.., En las actividadesse trata de encontrarregularidades, enunciarlas (comprensióncualitativa),tratar de justihcarlassin usar el álgebra(comprensión medianteuna notaciónadecuaday demostrarlasalgebraicuantitativa),expresarlas camente(comprensión conceptual).

Tomemosun cuadradoformadopor cuatro númerosdel tablerode contar del I al 100,

6+8:7+7

lzlal

27

6 9 12 1 5 4812162024283236 0 15 20 25 30 35 40 45 5 6 2 l 8 24 30 36 42 48 54

J A +

18

J

f,Trt I I

I

llTroI

f

9+11:10+10

,

I 1 0I 1 1|

+

x

A lg e b ra ic a me n|I t e . +l x+ I - l lx+1lx+21

,

x+(x+2):(x+1)+(x+

r).

¡ Activid¡d 3: Lo mismo para la tabla de multiplicar.

f-Tf l+lol

,

2+6+3+4

No se verifltca. Sin embargo,sucedeque 2 x 6 : 3 x 4. propiedadpara cualquiercuadradode 2 x 2 casillas? válida esta ¿Es

l6Tsl

que por ejemplol--l obsérvese | ,o ,i l, + 15 : 5 + 14.¿Esválidaestapropiedad

,

l e l t2 l | 15Trol

para todos los cuadrados2 x 2? Enunciarla y justificarla.

,

6x12: 8x9

15x20: 18x20

l 18l 24l Algebraicamente, a' b (a+ l )

1 6 + 27: 17+ 26

a(b

+

l)

(a+1)(á+l)

a'b'( a + l) ( á + l) :

a( b + l) ( a + r ) b

3 4 + 4 5 :3 5 + 4 4 OTRAS ACTIVIDADES

x

x+l

x+10

x+10+1

x + (x + 10 + 1) : (x + 1) + (¡ + 10) 126

Tratar de justifrcarlasin el uso del álgebra.

¿Sonciertastambiénestaspropiedadessi tomamoslos cuatro númerosde dos Y para cuadradosde 3 x 3 ftlas y dos columnasno contiguas,respectivamente? Y casillas,¿semantendránlas mismaspropiedadesrespectode las dos diagonales? verificándose si seeligeun númerode cadafila y columna,respectivamente, ¿seguirá la propiedad?Y para cuadradosde 3 x 3 líneasno consecutivas, ¿seguirásiendo válida?

t27

Las propiedades que pueden descubrirse son diversas y de diferentes grados de dificultad. Las pautas más interesantespueden ser: Observar filas, columnas, diagonales,simetrías,etc. Situacionesde números, pares, impares, múltiplos, etc. Sumas,diferenciaso productos de números en filas, columnas, diagonales,en cuadrados de n x n. etc. 1.b) Combinando tablas Otro tipo de actividades con tablas: l. Construir tablas nuevas a partir de las dadas, examinando las diferencias. Por ejemplo, de:

I

2

J

4

(x+v)

I

2

J

1

I

2

J

4

2

J

4

5

2

z

A

6

8

I 2 3 4

J

6'

9

4

4

8

t2

12 t6

. Objetivos:Traducir el lenguajearitméticoal lcnguajealgebraico. Usar letrascomo númerosgeneralizados y como incógnitasespecíficas. Dar respuestas abiertasen forma de expresiones algebraicas sencillas. . Nive[ Once a trece años. . Materiat Diagramasnuméricos.utilizaremos dos tipos de diagramasnuméricos: abiertosque conducena respuestasabiertasy cerrados,que facilitan igualdadesde expresiones(identidadeso ecuaciones). . Actividades:Recorrerestosdiagramasnuméricosrealizandolas operacionesindicadas con númeroso con letras para obtener unas vecesrespuestasabiertasy otras igualdadesy reglasde procedimientospara igualdades. Ejemplosde diagramasabiertos:

\xy)

J

2. Diagramasnuméricos

A

J

4

5

6

4

5

6

7

)

6

r.

vA

l

l

|

|

x2O

1 nt't-"F' f-------;-T f.l

Construir +.

2(xv)

I

2

J

4

I

2

4

6

8

14

2

481216

15

t9

J

6

18

24

L9

24

4

8162432

(xy)+(x+ y)

I

2

J

4

1

J

5

7

9

2

5

8

11

J

7

ll

A

9

T4

o cualquieraotras como x' y + 5 6 x' y'(x

t2

b I

6

2

10

2 10

J

t4

4

5

18

22

4

22 28 34 14 22 30 38 46 18 28 38 48 5 8

5

22

r28

16

34

46

58

70

|

|

b

|

-10

-ó -:l

|

:?

-

o S

,)

lA |

I

-

: o_ i:

'

f----..'

_.i

r+_l

<

,-!_

o con instruccionesde la forma.

F==r¡------EF-----=-n'

+ y) * 2, etc.

w"\J2

a

+-

v1

v

_.

I

@-'--''\2

Dada una tabla, encontrar la regla que la dehne. Por ejemplo: a

l - +- - :- l

L^

8

.a

fQ

l

J

I

48142232

2 3 4 5

8

t2

18

4

5 Entendiéndose:

26

36

t4 18 24 32 22 26 32 40 50 32 36 42 50 60 42

E------'O------E

c:a - b

(lo de la izquierda menos lo de abajo)

129

o bien

equivalentea:

FFE

c =b - a (lo de la derecha menos lo de la izquierda)

o Actividades:Expresaren forma de diagramasabiertos: l. 2. 3. 4.

( a. 10 + 60) : 1 5 . [ ( a + 3) . 2 + l 4 f:2 . 6( a+ b) - 4( a- b )-a . ( 3a + b) . 2 + ( 3 a - b ) + a .

o también

Ejemplosde diagramascerrados

x7

Lr)-l_J_-

+25

T I]

10

cuando la salida en ambasramas es el mismo Que también puederepresentarse númeroo letra,así:

x4

l-1

l-l.-------_-t

A

I

5'a - 10 :

12 - 4a.

¡ Actividades:Expresaren forma de diagramascerradoslas situacionessiguientes: 5a= 3a+ 8

; 6a t 4 =7a- 2

7 a + 4:

; 8 - 4a: 8a

+24

;

3( ¿ * E) ; 4 - 5a : 5( 6 - 2a)

3. Secuenci¡snuméric¡s o bien . Objetivo: Buscar regularidadesen secuenciasnuméricasy expresarlasalgebraicamente. ¡ Actividades:Para las siguientessecuenciasnuméricas,determinar otros números que siganlógicamentea los anteriores.Di con tus propias palabrascuál creesque es la regla que siguen.Exprésalaalgebraicamente: l . l , 4,7, 10,... 3. I x 2,2 x 3,3 x 4, 4 x 5, . . . 5. 4,9, 14,19,...

130

2. 5, 10,15,20,... 4. 95,89,83,77, ... 6. 1,3, 6, 10,...

t3l

. Actividad 2:

. Nivek Catorce a dieciséis años. . Actividad 1:

Yuxtaponemostriángulosequiláteros. Encontrarla relaciónentreel númerode ladosy el númerode triángulosde la sucesiónsiguiente:

Para la siguientesecuencianumérica determinaotros númerosque sigan lógicamentea los anteriores.Di con tus propias palabrascuál es la regla que siguen. Exprésalaalgebraicamente. 2, 6, 10, 14,

Tr iángulosl

2

3

4

l_\

L u g a( /r) l t l 2 l 3 l 4 r*rn (t)ltl6l10l14

tl l 2 l 3 1 4 l 5 l 6 r l tl 6 l ro l 1 4 l t8 l t

\/\/\/ 444

tltl2l¡ l¿

t l:rlrsrlrzrlrr

t lrlzltl+ 5 1 6

.ltltlrle

11113

222

REGLA. Cada término se obtienedel anterior sumándole 4 unidades.

REGLA: El númerode lados de la siguientefrgura se obtienedel número de lados de la anteriormás dos.

REGLA: REGLA:

t:4 1 -2

l: 2t +l

3. Otras situaciones: . Objetivo:Usar las letras como númerosgeneralizados. Resaltarla validez de las respuestasabiertasen forma de expresionesalgebraicas sencillas. Traducir lenguajes.

132

t33

. Materiales:Figuras geométricas,fundamentalmenteel rectángulo. Expresarel áreade cualquierrectángulocon ladoscualesquiera.

4 x 3 no podrá ser la solución.

-Calcular el perímetrode un hcxágonoregular y de un dodecágono regular. -Calcular el áreade los rectángulosde las hguras:

5 x 2 n o p o drá ser la solucir)n.

Tanto 4 y 3, como 5 y 2 no son las dimensiones de cualquier rectángulo.

. Actividades; -Calcular el áreade las zonasno sombreadasque aparecenen las figuras sisuientes: 0

a x b o b x a e s l a s o l u c i ó n ,¿porqué? (Seobserva que a y á puedenser un número cualquiera,con lo que el rectángulopuede tener dimensionesarbitrarias.)

. Actividades:

x

- Expresarel perímetro de cualquier rectángulo. - Calcular el perímetro de la figura siguiente:

v

+-10---------+

!

+r+

+ a

v

+b+

+-l_+

-1 0 -

r34

r35

D.iseñarestrategiasy proponcr actividadcspara la correción de los erroresde la actividadanterior.

EJERCICIOS

t . Realizalas actividadespropuestasen estecapitulo. 2. Determinary explicarlos errorescometidosen los ejemplossiguientes. Clasifrcarlos. a) -3 - (-3) - -s. 15-a-b a-b h) )3 c) (-a + b)' : -a' + bz - 2ab. .. 5(5¡ - 5y) :x-l' d) 5

el::3.

Proponerdiferentesactividadesalgebraicas dondelas letrasseanconsideradascomo variablesy distinguir los diferentesnivelesde comprensión:cualitativo,cuantitativoy conceptual,tomandocomo referenciael esquema4.3.

4l

-s-j:j'

54 - 52 : 1. { 3 - o hl" ' 3 " = ' : 53- 9.

d

5 4 -3 .

Prepararun diseñoinstruccionalpara 7.ode E.G.B.(iniciosdel álgebra) dondeinicialmentelas letrasseanconsideradas como númerosgeneralizados,siguiendolos principiosgeneralesy las estrategiasde enseñanza consideradas en el capítulo.

i\

4^- 4n: 4- ' .

i)

( o- b) ' : a2- b 2 .

Prepararun diseñoinstruccionalpara 1." de B.U.P. (asentamiento del álgebra)donde inicialmentelas letrasseanconsideradas como números generalizados, siguiendolos principios generalesy las estrategiasde enseñanza consideradas en el capítulo.

k) oft : Jau. t)

atñ

, x 2x : ---; ml'v'v

:

Proponerdiferentesactividadesalgebraicas dondelas letrasseanconsiy distinguirlos diferentesniveles deradascomo númerosgeneralizados de comprensión:cualitativo,cuantitativoy conceptual,tomando como referenciael esquemaL Proponerdiferentesactividadesalgebraicas dondelas letrasseanconsiy distinguirlos diferentesnivelesde deradascomo incógnitasespecificas comprensión: cualitativo,cuantitativoy conceptual,tomandocomo referenciael esquema1.

I

f)

Elegir un problema algebraicoy dar diferentesversionesen lenguaje habitual,aritméticoy geométrico.

a2b.

-'

n \ G- 4 :a* 2.

- El o)'J3 +s p)

x 2- 4x : 5 x 2- 4x - 1 ( x - 2) 2: 5

) 4 :5

x:2X.6. d x ( x + 2 ) ( x-3 ):3 +x:3 ; +x:3

136

; x:l

x*2:3

y

x-3=3+

I x:0. |]7

Lenguajevisual y lenguajealgebraico 5.I.

LA TEORIA DE LOS HEMISFERIOS CEREBRALES. REPRESENTACION ESPACIAL Y LENGUAJE

En la actualidad, muchos autores, respaldadospor consideracionesfisiológicas, defienden que cada uno de los hemisferios (izquierdo y derecho) representan procesos mentales diferentes; para ellos, el hemisferio izquierdo constituye el soporte del pensamiento abstracto, analítico y lógico asociados a las funciones lingüísticas; el hemisferio derecho correspondería al pensamiento concreto, global, intuitivo que corresponde a los procesosespaciales. Esta clasifrcación puede identifrcarse, sin dihcultad, con dos maneras de comunicar los conocimientos matemáticos que dependeno pueden depender de las concepcionespropias que sobre la matemática tienen los enseñantes. Distintas experienciasdemuestran que, mientras muchos niños son capaces de progresar en un trabajo individual guiado por procesosespaciales,otros son incapaces de avanzar en esos procesos, necesitando de esta forma un trabajo más analítico y menos intuitivo. Sharma (1979) identihca personas con oRrENr¡,clóN ¡n HEMTsFERTo DEREcHo y personas con onrnNr¡,clóN DE HEMTsFERTo rzeurERDo, con habilidades claramente diferenciadas en cuanto a sus aptitudes matemáticas que dependen de las características propias de cada uno de los hemisferios cerebrales para procesar la información. Como se observa en el cuadro 5.1, de acuerdo con las característicasde cada hemisferio se obtendrían alumnos con habilidades específicassegún el tipo de enseñanzarecibida. La enseñanzade las matemáticasen las últimas décadasha enfatizado los contenidos correspondientesal desarrollo de aspectospropios del hemisferio izquierdo, en detrimento de actividades enfocadasa procesos característicos del pensamiento espacial.

t39

CUADRO 5.I CARACTERISTICASEN EL PROCESAMIENTO DE LA INFORMACION - en palabras. - Procesala informaciónunidad a unidad. - Se organiza secuencialmente. - Procesa la información en el Hurr,rrsranlo nivel abstracto del lenguajey IT,QUIERDO las palabras. - El trabajo se procesade las parte al todo.

CARACTERISTICASDE LOS ALUMNOS - Son muy hábilespara resolver actividadesde lenguaje y expresionesverbales. - Resuelvenlos problemaspaso a paso. - Buenosen cálculo. -Expertos en la resoluciónde que seconstruyen operaciones (suma,multisecuencialmente plicación,potenciación). - Ante problemas de planteo, buscanalgoritmos para resolverlos.

- Mira los problemasen conjun- <> en imágenes. - Procesa la información gloto y realizala búsquedade sus solucionesaproximándolasglobalmente. - Se ocupa de los aspectosvibalmente. - Buenosen la identificaciónde Hutrltsnenro sualesy espaciales. - Procesala informaciónvisualmodelos, tanto espacialescot )liR u c H o mo simbólicos. mentey las comunicaa través - Rápidosy creativosen la resode acciones. - El trabajo se procesadel todo luciónde problemasde la vida real. a las partes. - Parecenjugar metafóricamente con los problemasde planteo antesde resolverlos.

(1980a,1980b)indicanque los pobresresultaCarpentery colaboradores dos obtenidosen los exámenesnacionalesamericanose inglesesse deben fundamentalmente,a la primacía de una enseñanzabasada en aspectos verbalesy lingüisticospropiosdel lado izquierdodel cerebro.Aseguraquede las tresetapasprincipalespropiasen la resoluciónde un problemamatemático: 1. hacerun esquemao dibujo de la situaciónplanteada, 2. aplicar los mecanismospropios del método de resoluciónelegido, 3. reflexionarsobreel sentidode la soluciónencontrada. 140

los pasos1 y 3, que constituyenescncialmcntc procesosmentalespropiosdel hemisferioderecho,son omitidospor la mayoríade los alumnosque resuelven mal esosproblemas.Esta situaciónes fácilmenteidentificablecon el métodoseguidopor muchosde nuestrosalumnoscuandose les planteaun problema,puestoque tiendensiemprea buscaruna ecuaciónpara <>, en vezde reflexionarsobreél intentandoencontraruna estrategiamás sencillaque permitaresolverlo.Setiendea buscarun método,un mecanismo o una fórmula. Estaclasificaciónes similar a la usadapor Pask(1976),que distingueen sus experienciasa alumnos (correspondientesa preferencias sobre el hemisferioderecho)y (correspondientesa prelerencias sobreel hemisferioizquierdo),estableciendode esta forma una teoría análoga a la cerebral. Aunqueotros autorescalifrquentodasestasteoríascomo poco consistentes, lo que es verdaderamente cierto es que se puedendistinguir en las matemáticas esosdos aspectosprincipales,lenguajey símbolospor una parte y representaciónespacialpor otro, que debenser totalmentecomplementarios. Por ello creemosque en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemáticaes necesarioincluir múltiplesactividadesque proveanoportunidadespara desarrollarparalelamente que acabande ser estascaracterísticas señaladas.

5.2. SIMBOLOGIA VISUAL Y VERBAL Skemp señalaen su libro Psicologíadel aprendizajede las Matematicas, que la imaginación mental de las personaspuedeclasificarseen dos tipos: visual y verbal, de maneraque en la representaciónde los conceptosmatemáticosse planteandos sistemasde símbolosa utilizar denominadosvisuales y verbales.Para é1,los símbolosverbalesson la representación de la palabra oral y escrita,y los visualesestánconstituidospor diagramasde distintasclases. El lenguajealgebraicotienemucho más en común con la simbolización verbal que con la visual,aunquehay que teneren cuentala importancia que el componentegráfico poseesobre todo tipo de razonamientológico-matemático que se realice.De esta manera,habrá que tener en cuentaque en matemáticase utilizan con muchafrecuenciala combinaciónde ambostipos de simbología,que puede quedar patente en la combinación realizadapor Descartescon la invención de su Geometría. Como característicasfundamentalesde estosdos sistemasde simbología se tienen(Skemp,1980,pág. 117)

t4l

VISUAL

VERBAL-ALGEBRAICO

Abstrae propiedadesespaciales,tales como forma,posición.

Abastraepropiedadesque son independientesde la conhguraciónespacial, talescomo número.

Más dificil de comunicar.

Más fácil de comunicar.

Puede representarpensamientomás individual.

Puede representarpensamientomás socializado.

Integrador,muestraestructura.

Analítico.muestradetalles.

Simultáneo.

Secuencial.

Intuitivo.

Lógico.

pero Muchas de estaspropiedadesson en realidad complementarias, caÍacterizzn y al mismo tiempo permiten estableceruna comparación de ambasclasesde símbolos.Es fácilmenteobservableque las caracteristicas socializantesdel sistemaverbal-algebraicoexplican de alguna manera su hegemoníasobre el visual,por cuanto que su facilidad de comunicacióncontrastacon lo arduo que resultala expresiónde una idea por una lmagen. El aspectoalgebraicoque poseenlas matemáticas de la escuelaobligatoen la clasificaciónanteriordentrode la simboria nos indicaque permanece pero la experienciay la historia han mostrado la logía verbal-algebraica, importanciade la visualizacíoncomo una
CUADRO 5. 2 IMAGINACION MENTAL

SI STEM A SI M BO LI CO

FORMULAS ALGEBRAICAS

VISUAL IDEOGRAFICO

VERBAL ALGEBRAICO

LOGICO LINEAL

mientosgeométricosgriegos,para quienesno existia el álgebra,sino que todo se traducíaal aspectovisual-ideográfrco ya indicado. No obstante,existenmuchos profesoresque prefierencomprobar las propiedades para algunosejemplosnuméricos,antesque utilizarargumentos geométricosrigurosos.Así, parajustificar la propiedaddistributivadel producto respectode la suma lo hacenmedianteargumentos(aritméticos>o < [4 y 5 son númerosnaturalesque cumplenque 4 x (4 + 5) : 4 x 4 + 4 x 51,pudiendoutilizarel argumentovisualde Los Erementos.de Euclides(Fig. 5.1).

a 'b

a ( b +c) : a'c

: a 'b + a .c

Figura 5.1,

Demostrando 0 y ó > 0), t43

ayudaa comprenderla justificaciónde la propiedad,puesabarcaun número para cualquier de casosinfinito que posteriormentepodrá ser generalizado número real.

MODELO DE ACTIVIDAD PARA ORCANIZAR UNA SECUENCIA DI DACTI CA

r Objetivos: Utilizar la representación gráfica de productos como rectángulos, para el planteamiento de actividades dirigidas a la adquisición de los mecanismos básicos que permitan realizar productos de expresionesliterales con paréntesis.

5.3. SUGERENCIAS DIDACTICAS A TRAVES DEL LENGUAJE VISUAL El lenguajevisual puedeser utilizado como recursodidácticode apoyo de esto, tanto al lenguajearitméticocomo al algebraico.Como consecuencia planteadasa lo largo de estasecciónseconstruyenapoyándolas actividades nos fundamentalmente en el cuadro 5.3,es decir,considerandoel lenguaje visual y una esquematizacióndel mismo (visualizaciónsimplifrcada)como pasointermedioen el desarrollode cadaactividadalgebraica. Dicho de otra forma, dada una expresiónalgebraicao numérica,el paso previo a su transformaciónvendrá apoyadopor una traducción al lenguajevisual en un primer momento,sintetizadoen un esquemaen el pasosiguiente,que refleja una nuevadimensióndel mismo,para terminar el procesocon la transformación de la exprbsiónalgebraica.

. Nivel: Once a trece años. r Indicación: Se entregan cuatro fichas al alumno. ACTMDAD

1 (de introducción):

4 x 5 podemos representarlocomo el área del rectángulo de dimensiones4 y 5, es decir,

t 4x5 4

CUADRO 5.3 LENGUAJE VISUAL

+ LENGUAJE ALGEBRAICO. NUMERICO

LENGUAJE ALGEBRAICO. NUMERICO

Si se quiere representar4 x b, parecelógico hacerlo así:

VISUALIZACION SIMPLIFICADA (ESQUEMA)

53.f.

Organizaciónde la instrucción

en nivel de difrcultad creciente, Las siguientesactividadessecuenciadas van encaminadas(siguiendoel esquemaanterior) a la adquisiciónde las destrezasnecesariaspara la realizaciín de multiplicacionesde expresiones literalescon paréntesis. 144

ya que la medidade b, al no serconocida,la podemosexpresarpor l-...-¡ ¿Cómopodrias representara x 4?,¿y a x b? ACTIVIDAD 2: Teniendo en cuenta lo que se ha hecho en la ficha anterior, observa que gráficamente? 4 x (5 + 3) se puederepresentar

145

t

ACTIVIDAD 3:

+-5--+<-_3€

R epresentar(a + 5) x b; ( x + 3) x 2; ( y + c) x 3m ediant er ect ángulos, y utilizar un cuadro de doble entrada como el de la ficha anterior. ACTIVIDAD 4:

4

Observaque (a * 4) x (b x 3) lo podríamosrepresentargráficamente

I

+--b

y más esquemáticamente RECTANGULOS

¿Cómocalcularías4 x (5 + á[ Completa el cuadro siguiente. resolviendolos productosde las expresionesentre paréntesis,podemosescribir

+5-++b+

(a + 4) x (á + 3) : a x b + a x 3 + 4 x b + 4 x 3

4x(5+b)

xl

s | ¿

4x(5+b): 4x5+4xb

que podemosesquematizarloasí: x a

4

4l4x5l4xb

<-5

++b+

b axb 4xb

ax3 4x3

ESQUEMA

Completa las actividadesdel cuadro siguiente: ax(5+ b)=

ax ( 5+ b)

)

b

(x+3)x(y+5)

(x+3)x(y+5): =xx5+xxy+ 13xyt3x5

(3+a)x(4+x)

( 3+a\ x( 4+x) :

ts -c + + d + ,ax(c+ d)= :4xc* axd

ax ( c + d\ c

ld (x+y)x(a+b)

r46

(x+r)x(a+b)

147

5,3.2. Fórmulas notables Se planteandos actividadesque se apoyan en el lenguajevisual para .justihcarlas fórmulas

Haz ahora el plieguerepresentadocn la figura 5.5;despliegay escribe,explicando razonadamente las dimensiones de los rcctángulosM, N, p, e fig. 5.6).

(a+b)2:a2*2ab+b2

Las dimensiones de M son

ancho : largo :

Las dimensionesde N son

ancho : largo :

Las dimensionesde P son

ancho : largo :

Las dimensionesde Q son

ancho : largo :

(x+yXx-y):x'-y' Se utilizan materialesdiferentespara cada caso,pretendiendocon esto completarmanipulativamente el soportevisual inicial. ACTIVIDAD 1: . Objetivo:Interpretar gráhcamentela identidad (x + y)(x - y) : x2 - y2.

M

. Nivek Doce a catorceaños. . Material: Folios, láryi2,regla y tijeras. . Actividad:Toma una hoja de papel y considerasusdimensiones,ancho (x) y largo (x + y), tal y como se v€ en la figura 5.2.¿Podriasescribirque el ancho esr + / y el largo x?, ¿por qué?

x- y Figura 5.5

y

lP

r__

N

a

x

v

Figura 5,ó

¿Cuálesel áreadel cuadradode la figura 5.8?,¿eláreade p?, ¿y eláreade N * área de Q?

Z

Figura 5.2.

x+y

N

¡/

Ahora pliega tal y como se indica en la figura 5.3 y vuelvea la posición original (Fig. 5.a).Quedará un cuadradoy un rectángulo,¿por qué tienen las dimensiones

Figura 5.7

que se ven en la figura 5.4?

Figura 5.8

De la comparaciónde las figuras 5.7 y 5.g podemosescribir la igualdad buscada. Explica la importancia de la fórmula obtenida. ¿Secumplirá siemprecualesquieraque seanlas dimensionesdel folio elegido?, ¿quésignificaríaeso?

W

VW R

I a

ACTIVIDAD 2: Figura 5.3,

Figura 5.4.

. Objetivo:Interpretar geométricamente la identidad ( a +b ) 2 :a 2 +2 a b +b 2

148

t49

. Nivel: Doce a catorce años.

Agrupando en forma de puzzles los trozos de cartulinas que has ido obteniendo a lo largo de la actividad, interpreta la siguiente gráfica y completa (Fig. 5.11)

o Materia[ Cartulinas de diferentes colores, tijeras. o Actividad: Utlliza dos tiras de cartulina de diferentes colores y tamaños

b

ffi Construyecon las cartulinasrecortadaslos cuadrados at, bt y también el rectánguloa'b, como vesen la Iigura 5.9.

a(a + b)

a2

a

b(a + b)

I I I

t

b

b' a

¿ Figura5.11 ( a+b) 2: ( a+b) ( a+b)

l Figura 5.9

5.3.3. Razonamiento inductivo. Generalizaciones

Une ahora a con b, obtendrás una nueva tira de longitud a + b

La importancia del razonamiento inductivo es obvia y tiene sus implicaciones directas en la enseñanza del álgebra. Polya se refiere extensamente a é1.En sus trabajos distingue entre el razonamiento inductivo o inducción y lo que conocemos por inducción matemática.

ub

Cámbiala por una sola tira de ese tamaño. Construye un cuadrado de lado a * b. Observa la hgura 5.10. a *b

(Porvn, 1965, párg. úa.)

( a+ b \ ( a +b )

Figura 5,10

150

UNIV E RS I DA DDI $ T RI T A L FRA NCIS CO J t )$ E ü F Cu i" it t t 5 sIsTE lrA o E t llk r, )t " . -, " ;

Para la obtención de las leyes y propiedades,tanto en las cienciasexperimentales como en las matemáticas (a través de --€n palabras de Polya- la observación, la regularidad y la coherencia) se emplea a menudo el razonamiento inductivo, aunque, si bien, en las matemáticas es donde únicamente se pueden sistematizar mediante una demostracióh matemática (usando el

r 5t

métodode inducción)y admitir como válidoslos resultados encontradospor inducción. Los utensiliosempleadospor la inducciónson para Polya,la generalización, la especializacióny la analogiaque él mismo define(Polya, 1966): t

Sin pretenderextendernosen cuestionescomplejas,en la inducciónde propiedadesmatemáticastrataríamosprimeramentede encontraruna regularidad entreciertosobjetosmatemáticos,de forma que buscandosimilaridadesentre éstos,podremospasara un nivel de abstracción,por último, que nos permita generalizarla regularidad encontrada para particularizar a a modo de comprobaciónde la validezde lo conjeturado. casosespecíficos Es importante generalizarexpresionesy entendersu significado. Presentamos a continuaciónalgunasactividadestípicasde generalización de propiedadesde los númerosnaturales.

MODELOS DE ACTIVIDADES PARA GENERALIZAR Figura 5.12

ACTIVIDAD 1: . Objetivo:Interpretar, haciendouso de material y del lenguajevisual que | + 2 + n (n + 1 ) +J + . . . + n . Nivel Doce a quince años. o MateriahCartulinacuadriculaday colecciónde cuadrados. . Actividad:Alineandolos cuadradosque presentanlos primerosnúmerosnaturales podemosconstruirescaleras como las de la figura 5.12. Construyedos escalerasde cada tipo y únelasen forma de prtzzle,tal y como vesen la figura 5.13. Observaque el área del rectánguloque se forma con la escaleracuarfa,por ejemplo,es A ' B : 2 (l + 2 + 3 + 4) y susdimensiones las podemosescribircomo A :4 + l B :4

152

Figura 5.13

t53

Si en vez de los cuatro primeros númerosnaturales,lo hacemoscon 5, con 6, etc., tendríamosnuevosrectángulosde dimensionesA y B. Completa el siguiente cuadro:

Suma de los números naturales

l+2 l+2+3 l+2+3+4 l+2+3+4+5 I +2+3+4+5+6

Area del rectángulo

Dimensión de A

Dimensión de B

tr 2(r+2+3+4)

4+l

:1 6

12:l

4

1 2 +2 2 +3 2 +4 2 =

Figun 5.14

Para determinarloen el casogeneralen el que sumamoslos n primeros números naturales,observaque:

2(l+2+3+'..+n\:A.B

t ll

y también,

NH ff i

A:n + l B :n

Figura5.15 ¿por qué? Si sustituyesahora A y I por sus valoresen [], +3+ . . . *n?

¿cuántovale I + 2 +

construye, recortandola cartulina cuadriculada,una torre como la de la figura 5.14y dos como la de la figura 5.15y únelastal como se ve en la figura 5.16. Se observaque el área del rectánguloA. B es:

l + 2 + 3 + ...* n :. A'B: 3( 12

+ 22 + 32 + 421

Compruebasi esa <
1 ,2 ,3 ,4 , 5 , 6 ,7

ACTIYIDAD 2: . Objetivo:Interpretar,haciendouso del material y el lenguajevisual que 12 + 22 + n(n + lX2¿ + l) T" ' T n- : " 6

A

. Nivek Catorce a dieciséisaños. . M¡teri¡h Cartulina cuadriculaday colecciónde cuadrados. . Activid¡d: Disponiendo convenientemente los cuadradosque representanla suma de los cuadradosde los cuatro primerosnúmerosnaturales,podemosconstruir una torre como la de la figura 5.14o una torre como la de la hgura 5.15. 154

BFigure 5.16

t55

siendosusdimensiones

A:1+2+3+4 B:2'4 + 1

v

Suma de los númeroscuadrados

Area del rectángulo

Dimensión deA

12+ 22 12+ 22+ 32 12+ 22+ 32 +4 2 12+ 22+ 32 + 42 + 5 2 1 2+ 22+ 32 + 42 + 5 2 + 6 2

3 (1 2+ 2 2+ 3 2 + 4 2 )

l+2+3+4

Dimensión deB

y B : 2' n

:n ("

:' )(véaseA C TIV ID A D 12or+ 22 + " ' n2? l; ¿ p o rq u é ? ,¿ c u á n to v a l e s e g ú n l oanteri *

Figura 5.lE

Se observaen la figúra 5.18un cuadradode lado | + 2 + 3. ¿Podremosdecir que 13 + 23 + 33.: (1 + 2 + 3\2? Recortaahoraun trozo mayor de cartulinay añadeun nuevobloquemultibase (43)y los cuadradosnecesarios(de manera parecidaa lo hecho en el otro caso). ¿Sepuedeafirmarque13 + 23 + 33 * 43 : (l + 2 + 3 + 4)2?,¿porqué? Si tuviésemosque sumar como último cubo el de arista n, ¿de qué forma podríascalcularla suma lt + 23 + 33 + ... + n3?

3ú2 + 22 + 32 + 42)

ytendr em os que ,4: | + 2 + 3 + " ' * ,

32

Figura 5.17

2.4+l

Para determinarloen el casode n, observaque A'B :

32

J-

si en lugar de los cuatroprimeronúmeroscuadrados,lo hacemoscon 5, 6, etc., podríamosionstruir también el rectángulode dimensionesA y B. completa el siguientecuadro:

13+23+33+. . . *n3

l ),

L

1 2 + 2 2 + ...+ n 2 :.

ACTIVIDAD 4 . Objetivo:Generalizaruna expresiónutilizando el lenguajevisual y materiales. . Niveh Doce a catorceaños.

ahoraParan : 2,3, 4, 5, 6,7' Compruébalo

¡ Materiak Bloquesmultibaseo cubos de madera(por ejemplo,dc 3 cm de lado). . Actividad:Construyeun cubo de arista 2 unidades(Fig. 5.19).

ACTIVIDAD 3: o Objetivo:Interpretar,haciendouso del material y el lenguajevisual que lt + 23 + + . . . + n3 : ( l + 2 + ... + n )2 . o Nivel: Catorce a dieciséisaños. ¡ Materiak Cartulina cuadriculaday bloquesmultibase' o ActivirüaüConstruye sobre el papel centimetrado un cuadrado de lado 25 cm' Recórtalo. a Coloca sobrela cartulina los cubosde los bloquesmultibasecorrespondientes la en remarcados cuadrados f ,2r,33 tal y como vesen la figura 5.17,y cuentalos con el númerode cubos? figura 5.18,¿coinciden 156

Figura 5.19

157

Si se sumergecompletamenteel cubo en un recipientecon pintura: a) b) cl d) e)

f)

¿Cuántoscubos forman el cubo mayor? ¿Cuántoscubos tienen pintadas las 3 caras? ¿Cuántossolamentedos caras? ¿Cuántossolamenteuna cara? ¿Cuántosninguna? tCoát la suma de las respuestasdadasen los apartadosanteriores? "r compara las respuestasdadasen a) y f), ¿existenalguna relación entre ellas? y completala Hazio mismopára los cubosde las figuras5.20,5.21,5.22,5.23 tabla:

griegosa algunasclasesde números,estoes,a los que sedenominannúmeros Jigurados. l,os númerosl, 3,6, 10,...,n(n -l l)12, rectbianel nombre de números triangulares,ya que podían ser dispuestosen forma de triángulos:

a I

A 3

Los númerosl, 4, 9, ...,nz sedenominabanNúu¡nos cuADRADos, ya que podíanrepresentarse por:

Figura 5.20

Dimensiones del cubo

Figura 5.21

0

Figura 5.22

Número de caras pintadas 4 J 2 I

Figure523

Número total de cubos

u 4

16

Sellaman númerospentagonales a los que puedendistribuirseen forma de pentágonosy son de la forma 1,5, 12,...,n(3n - l)12.

2 4 5 6 ;

¿? tienede dimensiones ¿Ocurrirálo mismosi el cubosumergido anteriores los resultados Ánadea la tablaunafila conestosdatosy comprueba (para2,3,4, 5, 6). Númerosfigurados que se han visto en las actividadesanteriores(1,2 y 3) Las expresiones ,on.ono.idas desdeia antigüedad.Una fuenteimportante de actividadesde este tipo se encuentra en la representacióngeométricaque asociabanlos 158

Tendremoscon todo esto,que podrían ser construidosnúmeroshexagonales,etc. En general,tendría sentido hablar de NúMsnospoLrcoNALEs. Si se observa la forma de obtener cada uno de los distintos tipos de números(en general)poligonales,se pueden extraer algunas implicaciones didácticasútiles para algunosde los aspectosde la enseñanzasecundariay representativas del métodoinductivo de razonamientomatemático.

r 59

el n-ésimo número pentagonal tcndrh oomo expresión general,la suma de una progresión aritmética de razón 3

-Cada número triangular es obtenido añadicndo una nueva fila a la anteflor:

t + 4 + 7 + ". + (3n - 2) : n(3n- 1)12

A

o

r +2

1

l+ 2 + 3 + 4

Tendrá sentido, vista la forma de definir los números poligonales, el dehnir también NúMsnos pouÉonrcos. Las distribuciones más evidentes vendrían representadaspor cubos y pirámides triangulares y cuadrangulares:

por la sumade númerotriangularvendrárepresentado El n-ésimo geométrica de razón1: unaprogresión

Piramidal cuadragular Cúbico

l+2

+3+

".*n:n(n+ l)1 2

Piramidaltriangular

-Cada número cuadrado puede ser obtenido añadiendo una al ant er ior c on 3 , 5 ,7 ,9 ,... p u n to s .

1+3*6:10

1+4+9:14

3t:27

Se puede demostrar que el n-ésimo número con configuración espacialcn dos dimensiones es de la forma a P {: I

l+3+5

an2 I

bn + c, n eN

( m : nit m er odeladosdelpolí gono)

1+3+5+7

por la sumade el n-ésimonúmerocuadrangularvendrárepresentado una progresiónaritméticade razbn 2. 1+3+5+"'+(2n-l):n' - Cadanúmeropentagonal,seobtieneañadiéndoal anterior,4,7, lO,..., puntos.

y puede ser obtenido, conociendo tres de ellos, resolviendo el sistema de 3 ecuacionescon 3 incógnitas. Análogamente ocurre para los números tridimensionales(poliédricos);se trata entonces de determinar los coeficientesa, b, c y d, sabiendo que su expresión general será de la forma: PO ': an3+bnz+cnt d'

r eN

5.3.4. La demostración y justificación de propiedades algebraicas

I+4+7 160

l+ 4 + 7 + 1 0

La justificación de propiedades o teoremasen matemáticas requiere muy a menudo un gran aporte intuitivo, así como un proceso de razonamiento lógico deductivo. Teniendo en cuenta las experienciasy los resultados sobre el desarrollo evolutivo del niño (cap. 3), sabemos que es a partir de los dieciséis años cuando pueden alcanzar las capacidades necesariaspara desarrollar con rigor una demostración matemática. Por otra parte, conociendo los resultados de van Hiele, el rigor de una demostración matemática es

t6l

alcanzadosólo por las pocaspersonasque seencuentranen el último de los nivelesdel pensamientogeométrico(nivel 4, van Hiele, 1986). Es por eso por lo que las actividadesde demostraciónque podemos planteara alumnosde doce a dieciséisaños,no se correspondencon una demostraciónrigurosa y formal, sino que más bien seránactividadesque permitanjustificar una cierta proposición o teoremamatemático,y en ellas debeintentarsepor todoslos mediossimplificaral máximoeserigor lógicoy formalismoanteriormentealudido. Segúnla teoríade van Hiele,los alumnosque seencuentranen el tercer nivel de pensamiento geométricoson ya capaces de deducirpropiedades. Los niñospuedenestablecer relacionesentrepropiedades de una mismaligura y entredistintasfiguras.Sededucenpropiedades de las representaciones visuales y se reconocenclasesde figuras.Se puedetambién: - Comprenderla inclusiónentre figurasanálogas. - Entenderel signihcadototal de una definición. - Suministrarargumentosinformalesque puedenser seguidospor los alumnos. Sin embargo,en estenivel, el alumno no comprendeen su totalidad el significadode la deducción,de las demostraciones y el papelquejueganlos axiomas.Los resultadosobtenidosempíricamente seutilizan conjuntamente con técnicasdeductivas,aunque las variacionesdel orden lógico de las deducciones no son advertidasen generalpor los niños.

C

e c-+

ts_

á_________>

Figure5.2 EI otro cuadradosedescompone en cuatro triángulosrectángulosigualesy un guldrafo, de tar forma que raslongitudesde los catetosseanlas dimensionesde ros ladosde los cuadradosB y C (Fig. 5.25). Recortala figura 5.24d,e.manera q_ueobtengasdos cuadradosy dos rectánguros y recortalos cuatro triángulosde la frgura5.25.

ACTIVIDADES b

ACTIVIDAD 1: . Objetivo:Justificarel teoremade Pitágorasy expresarloalgebraicay geométricamenteutilizandomaterialy apoyándose en el lenguajevisual. . Nivel: Trece a quince años. . MateriaL Cartulina, tijeras y balanzade brazos iguales. o Activid¡d: Recortaen cartulina dos cuadradosiguales(por ejemplo,de 17 cm). Coloca uno en cada platillo de la balanza,Observa:LA BALANZAnsrÁ ¡N EQUILIBRJO.

Descompónahora uno de los cuadradosen dos nuevoscuadradosy dos rectángulos,tal y como se indica en la figura 5.24(no es necesarioque tenganuna medida determinada).En nuestrocasoelegimosc = 5 cm. ¿Cuánto valdrá B?

r62

Figura5.25 separandolos dos rectángurosde ra figura 5.24 y los cuatro triángurosde la figura5.25,y colocandolo que queda(A, Bt C) enlabalanz"(, ." ;;;lutillo y B, C en otro), observa:LA BALANZA coNuNú¡l EN EeuILrBRro. Se cumplirá que: A: B+C

r63

Comprueba ahora que lo que se quedó fuera de la balanza para el primer cuadrado (Fig. 5.2a),coincide con lo que dejasteen la figura 5.25. Hazlo por superposición. ¿Quiénes l? ¿Quiénes B? ¿Quiénes C? Observandola figura 5.25,vemos que I es el cuadrado construido sobre la hipotenusade cualquierade los triángulos. Observandola figura 5.24,vemosque -B es el cuadradoconstruidosobreel catetomayor y C es el cuadradoconstruidosobreel catetomenor. Esta propiedadsecumplirá siemprey recibeel nombre de r¡onru¡. on PtrÁc'on^l,sy lo enunciamosasí: Observay explica en la figura 5.26la forma algebraicade expresarlo:

El volumen del cubo de la figura anterior será(a * b\, : V. Teniendo en cuenta el valor numérico de a y ó, escogeahora los bloques multibase necesariospara formar un puzzle. ¿Qué relación existirá con el cubo inicial?Observala figura 5.28.

a2+ b2: c 2

4A Figura5.26 En el casoconcreto(c : 5), ¿cómoseríala igualdad? Repitey compruebalo obtenido,dándolea c un valor cualquiera.

ACTIVIDAD 2: . Objetivo:Justificarque (a * b)t : at + 3a2b+ 3ab2+ b3. r Nivel: Trece a quince años. . Material Bloquesmultibase. . Actividad: Elige, de entre los bloques multibase,el que correspondea 5 cm3 y consideremosque el lado es de la forma ¿ + á (Fig. 5.21),con a : 4 cm y á :1c m .

r64

Figura 5.28 Vamos a llamar Z'al volumen de la nueva figura. Completa: V':a 3 +b 3 + Comparando V y V' se obtiene una igualdad o fórmula importante: ( a +b ) 3 : en nuestro caso concreto, ¿cómo será esta identidad? (a :

4 y b :

l\.

tó5

EJERCICIOS a 2 - b 2 -( a * b ) ( a - b l l.

Realizarlas actividadespropuestasen el capítulo. I I

2. construir una secuenciaanáloga a la ACTIVIDAD I para organizar una secuenciadidáctica(5.3.1),con el objeto de obtenerproducios en lJs que intervenganmás de dos sumandosdel tipo (a + b + 2) x (3 + c).

I I

I (.+F--

Estableceruna secuenciaen la que se estudien mediante el lenguaje visual expresionesde la forma 2a x 3b : 6ab.

lb

3b X

2a

a a

b ab ab

b ab

ab

ab

ab

b

L!-

*_ a

a-r,

?_a

,

Estableceruna secuenciaen la que se estudien mediante el lenguaje visual expresionesde la forma 2a x 3a : 6a2.

5. A¡alizar visualmentelas diferenciasentre 3a2y (3a)2. 6. Teniendo en cuenta las siguientesgráficas,plantear actividadescon cartulina análogasa las reseñadas en 5.3.2.

b (a + b)(a - b) = a(a - b) -r b(a - b\ : a2 - b2 Los primerosnúmerosimparespuedenservisualizados sobreun cuadradocomo se indica en la figura.

a

l3 rlrl ¿l

(a -

r66

b)' :

a2 - 2(a = a2- 2ab+ b2

)

7

9

u

I

¡

t

I

r rl

t

I

t

¡

TT

T

T

T

T

T

I

T

T

r

b)b - b2 :

rtl

I

t67

Utilrzar cartulina cuadriculaday una colecciónde cuadradospara establecer una expresióngeneralde la suma de los n primeros númerosimpares. 8. Teniendoen cuenta que el n-ésimonúmero poligonal es Pf : an2 + bn + c, n e l\ (z : númerode ladosdel polígono)comprobar,sabiendoque los tres primeros números triangularesson 1, 3, 6, que su término ¿-ésimoes de la forma:

Iniciación a las ecuaciones Obtener Ia expresiónpara los ¡r-ésimos (Pi : l, Pt : 4, Pt : 9) númeroscuadrados númerospentagonales (Pf : I, P: : 5, P: : 12) númeroshexagonales (4 : l, Pt : 6,4 : 15) 9. Construir una secuenciadidáctica para sumar y restar polinomios con los visualessiguientes: equivalentes

Lenguaje visual

Punto

Lenguaje algebraico

Lenguaje verbal-conceptual

cantidad discreta

6.I. LOS MODELOS Los conceptos,segúnla teoria de Piaget,son el resultadode abstraccioy que va íntimanes que logiamos despuésde un procesode percepciones mente unido al conceptode clasificación.Los conceptosestán relacionados unos con otros o se derivan de otros, salvo los conceptosprimarios, por lo que podemos decir que existen unas estructurasbásicasen las cuales nos asentamos.Por ello, el aprendizajetendrá como linalidad la formación y consolidaciónde dichas estructurasmentalesque Skemp denomina EseuEMAS.

Segmento

longitud

Cuadrado

área

Cubo

volumen

10. Elaborar una actividadsimilar a la actividad I (5.4.3)para demostrarel teorema del cateto y el teoremade la altura.

Si tenemosen cuenta que en matemáticaslos conceptosestán fuertementerelacionados,organizándolosen unas estructurasbásicaso esquemas disminuiremosla cantidad de conceptosa aprender,ala vez que facilitamos su aprendizaje. Por ejemplo,rrnavez adquirido el esquemapara resolverun sistemade dos ecuacionescon dos incógnitas,podemosgeneralizarel procesoa un sistemade n ecuaciones con r incógnitas. Es interesante, sin embargo,señalarque el uso de modelostienealgunas desventajas.La primera está relacionadacon el tiempo. Aprender de forma memorísticala regla para resolverla ecuaciónde segundogrado

- b+ 2a esmucho más sencilloque comprenderel procesopara llegar a ella, pero no esnecesarioindicar la evidenciadel valor formativoque esteprocesoconlle-

168

169

va. La segundadesventajaestáunida a la correctaformaciónde los esquemas.Para que los modelosseanválidosdebenteneruna doblefunción,por totalmenteacordes una parte,han de permitir describiru obtenersoluciones con la situación representaday por otra han de crear esquemasque el alumnopuedaadaptarlosa nuevosconceptos.Los modelossonen el álgebra una herramientafundamentalque permitepasarde una situaciónproblemápor ejemplo,en lenguajeordinario,al modeloy de éstea la tica, expresada, en estesentido,entenderemos también expresiónalgebraicacorrespondiente; el modelocomo una forma de lenguaje,como ya seseñalóen el capítulo5, y se utilizará en este capítulo de iniciación a las ecuacionescon un doble signifrcado:como lenguajey como recursodidáctico que engendraesquemas que hacen más fácil el aprendizaje.De esta manera, en ecuaciones,los modelospermitirán pasar de forma simple de la situaciónproblemáticaa la ecuacióncorrespondiente,así como iniciar a los alumnosen su resolucióny en el conocimientode las reglasde manipulaciónde expresionesalgebraicas sencillas. Los modelosque vamos a proponer serán,en general,intuitivos, explícitos y analógicos. Intuitiuos. Las relacionesmatemáticasson modelosabstractosde realiLas fórmulasF : m'a o V : a'b 'c son modelosabstracdadesconcretas. tos de la fuerzaque ejerceun móvil o del volumen de un ortoedro, respectivamente.En el primer caso, conocida la aceleracióny su masa, podemos predecirlo que sucederáen la realidad;y en el segundocaso,conocidaslas tres dimensiones,podemosseñalarel volumen del ortoedro. Muchas vecesen la elaboraciónde modelosabstractosutilizamos consfisicaso gráficaspara las representaciones cientementeo inconscientemente son los modelos nocionesque estamostrabajando. Estas representaciones intuitivos, modelosde naturalezasensorialque algunasvecesno reflejan constituyenun buenmodeuna realidad.Los cubosencajables directamente lo intuitivo para el volumen del ortoedro,y el grálico de la función F : m' a, qve representaun fenómenoobservable.es un modelo intuitivo de función. En matemáticas,uno de los modelosintuitivos más utilizadosson los diagramas. Explícitos. Los modelosse planteanexplícitamentecon uso de diferentes tipos de recursosgráficos:gráficosde todo tipo, diagramas,, , histogramas,etc. , a una clase Analógicos. Los modelosson analógicoscuandopertenecen Por ejemplo,los bloquesaritméticos distintade la realidadque representan. multibasede Dienespara conocerlos sistemasde numeracióny las operaciones. 170

La analogiaes utilizada constantemente en matemáticas.Polya (1966) distinguediferentestipos de analogías,que intervienen,tácita o explícitamente.en el razonamientomatemático. 1."categoria: Tanto el modelocomo el originalno usanexplícitamente medios intuitivos. sino solamentesimbolismonumérico por ejemplo,el casode las opealgebraico.Consideremos, racionescon númerosimaginarios,dehnidospor analogía con los númerosreales. 2." categona: Se da cuando un término es intuitivo, generalmenteuna representacióngeométrica,y el segundotérmino es una expresiónsimbólica.Las representaciones geométricasde las funcionesbasadasen el isomorfismofundamentalentre números y figuras es el ejemplo más importante de esta categoría. 3." categoría: El modelo es extramatemático,más específicamente una representaciónmaterial de los conceptos matemáticos. Los materialesestructurados(como los ábacoso regletas de Cuisenaire)seencuentranen esta categoría.Pero también se puedenincluir aquí las representaciones gráficas de los númeroso de los conceptosgeométricos. Como ya hemos indicado, la utilizaciín de modelos juega un papel fundamentalen la creaciónde conceptosy procesosde razonamiento,pues permite hacer accesiblesy manipulables conceptosintelectualmentemás dificiles.Y para que esto ocurra es necesarioque el modelo cumpla las dos condiciones: - Que la descripcióno solución obtenida en el modelo seanigualmente válidas en la situación que representany - Que el modelo tengaen sí mismo una autonomíacon respectoa lo representado. Un estudio más detallado sobre modelospuede verseen la obra de Fishbein(1987). Los modelosque vamos a utilizar con más frecuenciaen estecapítulo para el estudiode las ecuaciones, reglasde manipulaciónde ecuacionesy resoluciónde ecuacionesson: balanza,diagramas,máquinas,gráficas,tableros de ñchas.etc.

171

6.2. DISTINTOS TIPOS DE MODELOS

para pasarfinalmentea expresarestasituaciónde equilibriocon la ecuación s*3:6

6.2.1. Balanza Labalat]ua de dos platillos de brazosiguales(Fig. 6.1)utilizada en forma pvzile facilitará la adquisicióndel conceptode ecuación,el uso de algunas de reglasde manipulaciónde igualdadesy la resoluciónde ecuacionessencillas.

Buscarla soluciónseráencontrarel equilibriode nuevo,pero dejandoen un platillo solamentela garrafa.Para ello, quitamos 3 kg de cada platillo (Fig. 6.3),con lo que nos queda la garrafasola en un platillo (Fig. 6.4)

Figun 6.1 Representaremosla ecuación como la situación obtenida al estar la balanzaen equilibrio. Supongamos que desconocemosel peso de una garrafa (Fig. 6.2) y que la balanza se equilibra colocando en un platillo 3 kg y la garrafa y en el otro 6 kg.

Figura 6.2

El purzzlerepresentadopodemosescribirlo con palabrascomo: peso de la garrafa + 3 kg : 6 kg o también como:

2+3:6

r72

expresadosimbólicamente es:s : 3. puede Con este modelo se llegar, realizandodiferentesactividades,a conclusiones sencillasque permitiránusaralgunasreglasde manipulacióndc igualdades.En forma de resumentendríamos: ACTIVIDAD EN EL MODELO

ECUACION

Si se añade o quita el mismo peso a los dos platillos, la balanza sigue equilibrada.

Si se sumao restael mismo número a los dos miembros de una ecuación. éstano varia. Lo mismo ocurriría si multiplicáramos por un número uno de los miembros de la ecuación.deberíamosmultiplicar por el mismo número el otro.

Estemodelo tiene algunasdesventajasque debemostener en cuenta;una de ellas es que se considerala s como una cantidad desconocida(en lugar de una variable)que necesitamos> no es aplicable a ecuacionescomo x * 4 : O, :4. x2 Es importantetambiénno usarcon demasiadainsistenciala mismaletra (x)) para designarla incógnita,porquelos alumnosllegana pensarerróneamenteque la ecuación(es una igualdaddondefrgurala x>. Convieneusar también otras letras o símbolosy que los alumnosentiendanmuy clara-

t73

menteel carácterdistintivode una ecuaciónque sólo severificapara ciertos valoresparticularesde la letra o letrasque en ella figuran,contrastandocon las identidadesque se verifrcanpara todos los valoresde las letras que intervienen. Este modelo de la balanzapuedeser utilizado para las inecuaciones.En éstasse tratará precisamentede buscar los valoresque mantenganel desequilibrio inicial. Por ejemplo,para la inecuación2x * 3 ) 9, tendríamos:

Puestoque ambasbalanzasestánen equilibrio,lo seguiránestandocon cualquiercombinaciónde ellas:

En particular, nosinteresará aquellaqueelimineunavariable, por ejemplo: 3A + C : 38 * D +3x + 6y +(-3x + y) : 2l _ 7 7y:14+l:2 De forma análogaa la anterior,llegaremosa la conclusiónque si añadimos o quitamosuna misma cantidada cada platillo, seguiráen la misma situaciónde equilibrio o desequilibrio.

2x+3>9 2x>6 x>3

2x*3:9 2x : 6 y

X:3

La resoluciónde un sistemade ecuaciones por el métodode eliminación (o reducción)puedeser también ilustrado gráficamentecon el modelo de la balanza. Seael sistema

x*2 Y : 7I -3 x* y:-7 J Sillamamosa x+2y:A 7:B

v

-3.x*!:C -7:D

podríamosrepresentarcada pareja por una balanza

6,2.2. Diagramas Los diagramasson,en general,esquemas expresados unas vecesen lenguajegráfico-figurativo(pictórico)y otras en lenguajegráficono ligurativo (ideográfico), que sirvenpara demostraruna proposicióngeométrica,resolver un problema o expresarde forma lógica o gráficala ley de variación de un suceso.con este último sentido se utilizará en este capítulo,es decir, como esquemas ilustrativosde diferentesrelacionescuantitativasque representan el recorrido de esasrelacionesbajo órdenesde cálculo. Los otros aspectosseránconsiderados bajo el conceptomás generalde gráfico. construiremoslos diagramascon el uso de tres tipos de símbolos:las flechas y los círculos indicarán las órdenes de cálculo, por ejemplo, al significaráel operador multiplicativo 3, al igual que @ indicará er operador aditivo, los rectángulosl--l representaránlas situacionesintermedias,así como el comienzoy final de los diagramas. Por ejemplo,el diagrama:

|-_[t 5 Do-t_1 ¡-rl parte de un número conocido 4 y por medio de determinadasoperaciones llegamosa obtenerel resultado.En estecamino toda la sentenciaanterior es igual al último rectángulo;así,por ejemplo,si consideramos el segundo rectángulo:4 x 5 : 20 y nos frjamosen el último: 4 x 5 - J - 13. De estamaneracada sentenciavienedeterminadapor el rectánguloinicial y por las operaciones de cálculoindicadas.

t74

175

Otro ejemplo de diagrama numénco:

Mediantelos diagramasse representan fácilmentelas operaciones inver-

t--{l

[zt l3 [T-t t--2-1¿.1t-T-l

é J

sin más que buscar la operación que nos permite recorrer el diagrama en sentido contrario; de esta forma podemosjustifrcar los pasosa seguiren la resoluciónde ecuaciones.En el ejemploanterior, 3s + 2 : 29, cuyo diagrama es:

ó

I

[il

:1 [Ts-l:3 fx-l

t

oI

su resoluciónvendrá dada por el diagrama inverso

Trt

.1

l-l Análogamente,podemos partir de datos desconocidos,por ejemplo, el siguientediagrama:

y escribiendoen forma simbólica,la sentenciasería:

Por tanto's :9

'T :"

t-il5T--l3|-Ir]

Veamosa nivel simbólico la situación anterior:

La sentenciacompleta permite expresarla ecuación:

tE¿laIr-z-t

5s-7:13 Los diagramasfacilitan al alumno el paso de un enunciadoverbal a la expresiónde la ecuacióny a su resoluciónposterior. Veamosun ejemplo: ENUNCIADO VERBAL

DIAGRAMA

DIAGRAMA

|E 3 ¡zr1 ,"2g1

EXPRESIÓN SIMBOLICA

3s:29-2 27

Hallar un número tal que su triplo aumentadoen 2 dé 29

176

[s- :3 f--131291

-)

._ [---l (- fze-l

3s + 2:29

FORMA SIMBOLICA

s :T

3s + 2:29

3s :27

s: 9

t77

Es obvio que en los diagramaslinealesse podrá construir el diagrama inversocon ciertafacilidad,no así en los ramificados. Veamos qué sucedeen una ecuación de segundogrado en la forma generalux2 + bx + c : 0. Esta no sepuedeexpresarmedianteun diagrama lineal,pero sí medianteun diagramaramificado.

La soluciónmedianteeste modelo se hace imposible,ahora bien, las para expresiones ax2 + bx * c : 0 y k(x + m)2 * n : 0 son equivalentes :2kmy pasarde a: k,b c : kmz t n.Elproblemaconsisteentoncesen la primera forma a la segunday resolveresta última con el diagramainverso. En el ejemplo(x * 3)z - 25 : 0, sería:

tr-g@@E

El siguienteesquemanos daría la posibilidadde plantearuna ecuación cuya resoluciónnos permitiría obtenerel valor de s, es decir:(6 + s) + (5 + * s) : 21; de dondos : 5. Estos esquemasadmiten una representación más sencillade la forma siguiente: 6

J

5

2l La reglapara esteejemploseríaque el valor de cada cuadradoinferior es la sumade los dos superioresconsecutivos. Situacionesque se pueden complicar más variando las operacioneso aumentandoel númerode cuadraditoslescalones). 6.2.3.

Veamosotras situacionesde aprendizajedonde algunosdiagramasno linealesconstituyenmodelosinteresantes. t78

Las máquinas constituyenun recurso didáctico de tipo gráfico, que utilizando un lenguaje preinformático: entrada (input), salida (output) y 179

orden o regla de transformación,permitencrear situacionesde aprendizaje de tipo aritmético o algebraico con una fuerte componente de carácter funcional.

En otros casossepuedenconstruirmáquinascompuestas con dos o más caminos,como, por ejemplo:

la misma entrada

ENTRADAII | 2 | 3 | s I salnn | , | 6l e | 3"_l

donde el alumno tiene que buscar el número que recorriendolos dos caminos distintos,origina la misma salida,esdecir, hay que plantear y resolverla ecuación

Figure 65

5s*6:3s*20 La representaciónmás sencillaseríala figura 6.5,a la que correspondela tabla adjunta.Tal gráfico permitedistintasvariantesde búsqueda:conocidas la entrada y la regla, buscar la salida; o conocida la salida y la regla, encontrarla entrada;o conocidasvarias entradasy salidas(la tabla) buscar la regla.Un ejemplo de máquina compuestaseríala figura 6.6 con su tabla correspondiente.

6.2.4. Gráficos Entenderemospor gráficos las diferentesformas de representaciónde datos numéricospor medio de líneasque ponen de manifiestola relación de esosdatos entre sí, y también las descripciones,representadas por medio de f-rguraso signos,de conceptos,operacionesy demostracionesmatemáticas. En esteaspecto,los gráficosincluyena los diagramasy a las máquinascomo situacionesparticulares y que por su importancia hemos querido tratar separadamente. Veamosalgunassituacionesde aprendizajede las ecuacionesdonde algunos grálicosconstituyenmodelosinteresantes. l.

E N T R AD AI I | 2 | 3 | 4 | s SA L ID A I l l 3l 5l ? 12" -l

I I

Dado un plano dondealgunasde susmedidasno estónespecíficadas,traÍar de encontrarlss:

Activid¡d: Hallar las medidasdel siguienteplano, anotando susecuaciones.

I

Jt - 5{

Figurr 6.6

+-

¿t

\f

Estosgráficostambién podrían adoptar la forma de diagramasabiertos. Así, los ejemplosanterioresse podríanexpresar,respectivamente:

+

2

i

t+3 ENTRADA p.=[ro'oo 180

o ENTRADA @[ro''oo

t+

(-)

'l T + (\¡

t+ lFigura 6.7

t8r

2. Estsblecerrelacionesdel tipo x t y : q. Actividad:Encontrarlos valoresnaturalesde r y b talesque r I b : 7. Podemosutilizar dos dados,uno rojo y otro blanco con suscarasnumeradasdel 0 al 5 y un gráficorectangular(Fig' 6.8).

La única regla de eliminación es: . Para jugar se colocan las fichas sobre el tablero y se expresasimbólicamente el signihcadode las mismas.Así,

oo o

A

A:

AAI

alo

2 x+l :5

oo

o

Figure ó.ll

Figura ó10

0r2345 Figura6.t donde r reprdsentael número obtenido en la cara del dado rojo y á el número obtenido en la cara del dado blanco. 6.2.5. Tablerosde fichas de colores El tablero de fichasde coloreses un material que constade un tablero de madera o cartulina con un símbolo de igualdad en el centro (Fig. 6'9):

El procesocorrecto lo acabaráel que consigaaislar las fichasque representanlas incógnitaspositivas,sin que quede en el lado contrario otro triángulo. Sejugará por turno haciendomovimientos(introduciendoo eliminando fichas)que hagan de la situación otra equivalente. Surgenalgunaspropiedadesdel modelodespuésde habermanipuladoel material y jugado con él: a) Cada situaciónes equivalentea la anterior si se añadeo se quita el mismo número de fichas en los dos lados del tablero siempreque seande la mismaforma o color (Fig. 6.12).

A

tta

'J O Q

Figura 6.9

t82

amarillo para incógnitasnegativas. negro para incógnitaspositivas. amarillo para númerosnegativos. negro para númerospositivos.

JJ g

- x+3 :x- 1 +l

- x *2 :x* l - 2

A A O O

A

A'

IA

oo

y flrchasde dos colores y dos formas. Las fichas puedenser bicolores,pero siempreseránde dos formas. Supongamosque se eligen las formas triángulo (A) y círculo (O). Las fichas podrían ser:

- 3 x+2 :- l

oo

Figura 6.12

o bien

AA

oo o

AA 3 :x* x

t83

b) Se presentancasosno resolubles.

Tambiéncadajugada de las de la frgura 16.13se podría expresar:

Estemodelopuedeayudar a introducir a los alumnosen el conceptode ecuación,en la observaciónde algunasreglasde manipulaciónde la igualdad y en la resoluciónde ecuaciones sencillas.

-3+8-2:3 para(a) para(b) 0+7-4:3 + 3 para (c) Es interesante indicar tambiénque anteunajugadacualquiera(Fig. 6.1a) pretendiendo y obtenerun determinadoresultado(Fig. 6.15)

6.2.6. Juegos 1. Juegoconfichas de plástico o csrtulinas

f fi tr

. Materiat Fichasde cartón o cartulinasen dos colorescon númerosnaturales y una ficha blanca para el cero. Los cartonesrojos los representamos de la forma

ffiÉE

gana un número de puntos igual a n. Los cartonesazuleslos representamos de la forma

E|.

w

que se

m"indican

indicanque se

Figura 6.14

Figura 6.15

pierdeun númerode puntos igual a n. se puede actuar:

El cero se representapor un cartón blanco de la forma | 0l

A \ f f iEtrffi re

a) b)

7, -2 + 5 + 0 - 4 - 6 : es lo mismoque ,

b )f f iE E

(ganarD6,-2+

-7;y

@

l2) Figura 6.13.a)

184

que procede de averiguar el valor de la jugada de la figura 6.14,que es: -8 - 3 + 4 + 5 + 6 : 4y apar t ir de élllegar a lo anterior:

4-6: 3+5:

+6.

Tffi

6

4 *(-6):

")

@==

L1I Li_l L:_-JL2]

tr

t--l

no podemos obtener ?.

Lrl Figura 6.13.b)

-2

y en el casode coloresseríaquitar un cartón rojo del 6 o añadir un cartón azul del 6. Es oportuno indicar que no siempresepuedellegara todoslos números con un grupo determinadode tarjetas.Por ejemplocon

Es importanteindicar que hay jugadasequivalentes.

f f it r

quitando el cartón 6; añadiendo el cartón -6.;

Figura ó.13.c)

Supongamos ahora que disponemos de cartones rojos de <3> y uno azul de 4 y queremos obtener 11 puntos, ¿cuántoscartones rojos necesitamos?

t85

y siguiendoel procesollegamosa que con sietecartonesrojos y 5 azules tambiénse obtieneel 1:

Lo podemosaveriguarmedianteel siguienteesquema: +3

-4

1

4

--+

-l --+ 2 --5 -

0+

15

3 * 6 --+ 9 --+ 1 2 --+

0 --+

8 --+

J

-4

@

3 --+ 6 + 9 --

-4 I

8

4+ -l -r2 -5 --+

@

-

TJ

-12 --+ -9

de cartones solamente ahoraquedisponemos Supongamos ffiAt queremosganarun punto (o seaobtener1),¿cuántoscartonesrojos y azules necesitamos? Ahora

-6

J

-

6 -+

-4--+ -1 --+ 2+ -4Jllll

-8 --+-5 --+ -i IJJJJ

-1 2 --9 --+ -6 +

186

I

--+

J

8 --+

ü --+

- 3 --+ J

-7

J

11 - + I

4 --+

J

0 --+ t --+ -4 --+

J --+ -8

J

--+

7 --+

J

3 --+ i

18 --+

2l

r4-- ri J

t

10 -- t 3

t

6 --r I

t

9

I

2- - 5 J J -J -5 --+ -2 --+\v I --+

esdecir.3'7 - 4'5 : I Podriamos obtener diferentespares que son solución de la ecuación diofánticadada en [1]. podemosexpresarque la soluciónvienedadapor el número Resumiendo, de flechasrojas y azulesque hay que poner para pasardel <0>al (l)) o a cualquierotro númeroque queramosobtener. Hay que considerarque existensituacionesen el juego que no tienen solución.Por ejemplo,obtenersolamentecon cartones+6 y -10, el - 13. 6x-lOy:-13 0 --+

3 --+ 12

-4 --+ 2 --

JJJJJ

18 --+24... 8 -¡ 14...

JJJJJ

20 --, - 14 + -g --->-2 --+ 4...

9- - +12 5+

8

Oi '

4

- 3+

0

Observamosy concluimosque necesitamostres cartonesrojos y dos cartonesazulespara llegar de <0> a <1> que era lo que queríamosobtener.

3'3 - 4'2:

oI

-14 -- - 1l

10 +

3T

--+

tt

lo podemosaveriguarmedianteel siguienteesquema:

oT _ 4 JJIIJ

t

-+

-16 + -13 -- - 10 +

tll

3x-4Y:1

-2

iJ

--+14 ....

5 I

z-

J

+

9 --+ 12 --+ 15 --

J

+

-5-+

-20 -- -17

1 5 --+ 18....

12+

--+ - l

-8+

que indica que necesitamos5 cartonesrojos. Continuandoel esquemaobservamosque no existeninguna otra solución,ya que los númerosvan aumentando: 0- -+

JJ

it

6 --+

3+

debidoa que con tarjetasde valores-10 y *6 nuncase puedeobtenerun númeroimpar. 2. Rutas numérícas Los ejemplosde rutas numéricasque vamosa presentarestánadaptados del juego del Golf Matemático que figura en el libro La lógicaen la escuela, de Glaymann, M., y Rosenbloom,P.; editado por Teide en 1973. El desarrollo del juego consisteen dar dos númerosenterosque llamamos inicial (i) y final (,f) de la recta numérica y uno o dos operadoresque indicaremosen forma de flecha. Se trata de llegar a f partiendo de i y utilizandocadauno de los operadoreslas vecesque seannecesarias, sin tener ningunaprioridad un operadorsobreotro. (En ocasiones podemoslimitar el númerode vecesque se puedeusar uno de ellos.)

r 87

algunasde las rutas se puedenexpresarasí:

Veamosalgunosejemplos: : 14 y T, r" trata de ver si partiendodel 2 1. Conocidosi :2,f puedollegaral 14,añadiendoel 3 el númerode vecesque sequiera. Se puedeprocederasí: +1

+1

2;sjSjrr;14

+1

+1

4 + 6'4 - 9 : 4 + 6'7 - 9'3 :

I9,T V l.

ioT - gl

16T

28:

-s l V WY WY Y -s l

-s l

1T

22:

7:

34: -sl

1 3 T te T -g l

sl

4:

4oT -sl

2s:31T -sl

-sl

1oT rc : -e t -el tT

7:

46-sl

I

37-sl

I

22: 28+ -e J -e J t t 3 T 1 e --

En estediagrama se observanlos númerosfinales que podemos alcatlzary que son: l, 4, 7, 13, 16, 19,22, 25, 28,etc.,diferentesrectas por las que se puedellegar a cadauno de ellos, así como el número de vecesque seha utilizadocadaoperador.En estesentido,sepuede introducir una nueva regla de juego: <
i:4,

f:20,

+6 +t

-9 --+

De estassituaciones numéricaspodemospasartambiénal lenguaje algebraico.En el primer ejemplo: i :

2, f :

14, T, h ruta

numéricadescritaequivalea2 + 3 x 4 : 14;esdecir,pretendemos analizarsienZ tienesoluciónla ecuación2 + 3'x : 14,dondex es el númerode vecesque tenemosque aplicar el operador * 3. En el segundoejemplo: i :4 ,

188

f :1 9 ,

+6

+,

-9

+

(7,3),

etc.

Otras variantesde estasrutas numéricasseoriginan cuandodamoscomo dato conocido el número de vecesque se han utilizado los operadoresy como desconocidoalgunosde los otros datos,por ejemplo:

Partamosdel número4 y apliquemoslos operadoresdados

4:

19

es decir,pretendemos ahora encontrarlas solucionesde la ecuación diofántica4 + 6' x - 9' | : T9,dondelas letrasxeypueden tomar diferentesvaloresnuméricosen estecaso: (4, l),

2. Análogamente, dadosi : 4,f :

19

3. Conocido/ :

17,!,

-J,

encontrarI, sabiendoque seha usadotres

vecesla primera flecha y dos vecesla segunda. Esta situación puede representarsefácilmentemediante un diagrama:

|--rt 5 t_] l3 tI

g t---l -g [-t

_9 [Trl

que se podrá expresaralgebraicamentecomo la ecuación: i + 3.5 - 2.6:

17

obteniendosu solución medianteel diagrama inverso o resolviendo la ecuaciónanterior. Inversamente,podríamos dar ecuacionessencillaspara que el alumno las expreseen forma de rectasnuméricas. fichasde coloresy rutasnuméricas,de caracteLos dosjuegosanteriores: rísticassimilares,han sido aplicadospara prepararel trabajocon ecuaciones; en ellos las letras puedenintroducirsesegúnlas situaciones,como incógnitas Ambosjuegosson tambiénsusespecíficas o como númerosgeneralizados. ceptiblesde seradaptadospara estudiarotros tipos de problemas.El primero, por ejemplo, puede ser utilizado, entre otras cosas, para hacer una aproximacióna los númerosenterosy el segundopara el estudio de las propiedadesde las operacionesdel cálculo mental semiescrito. 6.3. ECUACIONES La resoluciónde problemasha sido el punto centralde las matemáticas a lo largo de la historia,como ya seha visto en el capítulo 2. Recientemente se 189

ha convertidoen el eje de la educaciónmatemática(Agendafor Action, 1980);sin embargo,la resoluciónde problemasen generaly la que conlleva situacionesalgebraicasen particular, siguepresentandograndesdificultades a los estudiantes. Uno de estosproblemasestá ligado a las cuestionesdel lenguajeque hemoscitado en el capítulo 1. El alumno debe tener claraslas semejanzas y diferenciasentre el lenguaje ordinario y el lenguajede las matemáticas,y conocerlas peculiaridades del lenguajealgebraico. Los estudiantesnecesitantambién adquirir ciertashabilidadesespecíficas para resolverlos problemas:usar tablas,diagramas,fórmulas,saberdetectar los datos conocidos y los que deben buscar, traducir frasesdel lenguaje habitual al lenguajesimbólico y probar posiblessolucionesque satisfaganel problema.Todo esto son estrategias básicasque necesitan.

6.3.1. Escritura de ecuaciones En este párrafo proponemoscómo utilizar los diferentesmodelos para que el alumno pase del enunciado verbal de un problema a su expresión simbólica. Se presentan las actividades en una ficha con tres columnas. En la primera de ellas se da el enunciadoverbal;en la segundase ha de reflejarla situaciónproblemáticamedianteel modelo elegidopara, finalmente,escribir la ecuacióncorrespondiente. Antes de sugerirlea los alumnosel uso de distintos modelosse plantearían algunasactividadespara que se familiarizasencon los mismos. El primer ejemplo se da completo y seguidamentequedaríansin.rellenar cualquierade las tres columnas,para fomentar indistintamenteel paso del problemaa la ecuacióny viceversa. El camino seguidoviene dado por el siguienteesquema:

. Obietivo:Expresarigualdadesde cantidadescon númerosy simbolos. r Nivek Doce a catorc,eaños. ¡ Materiah Balanza de brazos iguales.Caja de pesas.Objetos distintos. Papel y bolígrafo.

ACTIVIDADES 1. Observa que los pesos de cada lado son iguales.¿Cuál es el peso de la barrica? 2. Consideraque la balanza no está en equilibrio, ¿Qué peso añadirías sobreel platillo para que se equilibre? 3. Si en una balanzaen equilibrio colocamosdos pesas:de 6 y 2 kg en la derechay en el otro dos de 4 kg c/u, ¿cómo se encuentralabalanza?

s:¡ + fl Dibuja la situación indicada.

Expresa la igualdad numérica.

4. Explica aquí la situación reflejada en el dibuio.

3kg+6kg: 4kg+

5. Observa que la balanza está equilibrada. ¿Quéocurresi añadimos I kg a cada lado?, ¿y si quito 2 kg a cada platillo?

Expresa numéricamente la primera igualdad (dibujo) y las dos que te han resultadoal hacer lo indicado.

6. Observa esta balanza. ¿Qué ocurre si se cambianlos dos platillos entresí?

190

Escribe la igualdad numérica que expresala situación delabala¡za.

+n

trtrtr E trE

Expresa numéricamente ambassituaciones, la dada y la pedida.

l9l

7. Observaesta balanza. ¿Qué ocurre si se AAA añadesobrecadaplatillo r 12[2[2 la mitad de lo que tenía?, ¿.ysi seañadesobrecada -^flato et doble?

z

8. Observa esta balanza. Calcula el peso de cada botella. (Todas las botellas pesan igual.)

r

Expresa numéricamente las situaciones obtenil-6lf-6.| 7 das.

. Objetivo: Pasar de un enunciado verbal a la representación simbólica mediante el uso de la bala¡za. . Nivel: Doce a catorce años.

Enunciado verbal Expresa la situación de la bala¡za.

Balatt¿a

Una bolsa de naranjasy otra de manzanaspesan 54 kg. La bolsa de naranjas pesa 12 kg más que la de manzanas.

Expresiónsimbólica

x+Y: 54 ¡ : y¡ 12

. Objetivo: Iniciar al lenguaje simbólico. . Nivel: Doce a catorce años. o Material: Balanza de brazos iguales. Caja de pesas. Objetos distintos. Papel y bolíerafo.

ACTIVIDADES

1. Observa que la balanza está equilibrada.

Llamandocon la letra x al pesodel saco,expresa la situaciónindicada.

. Objetivo: Plantear un sistema de ecuaciones mediante el uso de la balanza

ACTIYIDAD Enunciado verbal

2. Representaen la balanza una situación correspondiente a la expresión x-1 6:x+x+x+2

Modelo: balanza

Expresión simbólica

Si una lata de aceite y una garrafa de vino pesan 40 kg y se sabe que dos latas de aceite y 7 garrafas de vino pesan 230kg, expresa en el modelo de la balanza la situación.

(imagina que lo desconocido es el peso de una lata). 3. Inventa una situación semejantea las antenores.

r92

. Objetivo: Pasar de un enunciado verbal a su expresión simbólica mediante el uso diagramas y plantear ecuacionesde primer grado con una incógnita. . Nivel: Doce a catorce años.

r93

ACTIVIDAD 1 Enunciadoverbal

Modelo

Halla el valor de los la. dos igualesde un trián+ 3 gulo isósceles,sabiendolx -r l+-l q u eés t os s on, r es p e c ti v a mente, 3 crn más grande que el lado desigualy su perímetroes lE cm.

ACTMDAD

Expresiónsimbólica

5. Observala siguiente representación de una máquina. Entrada

Escribe la igualdad nu mérica que expresala si tuaciónde la máquina.

7. Observa la siguiente representación de una máquina.

Escribela igualdad numéricaque expresala situaciónde la máquina.

x2 l+-H 6+ 3)2* x= 18 *"J ¡-,;f I ro I

2. Completala columnaque falta.

Enunciadoverbal l. La suma de dos números consecütivoses 43. ¿Ctánto vale el más E pequeñode los dos?

Modelo

+(r '

Expresiónsimbólica

l) -'

+ ;

E

2. Observala representación de esta máquina compuesta.

Expresa simbólicamente la situación.

3. María tiene algunos discos. Su amiga le dio 25. Ahora tiene 47. ¿Cuántos discos tenía María al principio?

Expresa simbólicamente la situación.

4. Observa que la salida recorriendo la parte superior de la máquina e ss x 5 + 6. S ilos d o s s caminos(superiore infe- (la misma rior) dan la misma sali- entrada) da, ¿cuáles la expresión que indica el inferior?

Escribe la igualdad numérica que expresala situación de la máquina.

. Objetivo:Pasar de un enunciadoverbal a su expresiónsimbólicay plantear ecuacionesde segundogrado medianteel uso de diagramas.

ACTIVIDAD 1 Enunciadoverbal (+ 0) \ (la misma salida)

Representaun diagrama que permita obtener un número cuyo cuadrado aumentadoen 13 dé 28.

Modelo: Diagrama

Expresiónsimbólica

x2+13: 38

ACTIVIDAD 2 Enunciadoverbal

Modelo: Diagrama

Expresiónsimbólica

Representaun diagrama que te permita obtenerel lado de un cuadrado sabiendo que si a su área se le suman6 cm2 obtienes70 cm2.

En esteprocesoplanteamosla utilizaciónde una nueva ficha con tres columnas.En la primerapediremosque tratende buscarla situaciónexperimentalmente;en la segunda,mediantela inversióndel modelo y, hnalmente, en la tercera,mediantelas reglasformales. Planteamosa continuaciónuna seriede actividadespara resolverecuacionesde primer grado con una incógnita.El primer modelo que utilizaremos serádiagramas. . Objetivo: Resolver ecuaciones de primer grado mediante diagramas. . Nivek Doce a catorce años.

ACTMDAD

6.3.2. Resoluciónde ecuaciones

1: Resolverla ecuaciónx + 7 : 9

Buóquedaexperimental

Una vez que los alumnos son capacesde pasar del lenguajehabitual al lenguajealgebraico;es decir, que a partir de un problema expresadopor un enunciadoverbal,pasana la ecuacióncorrespondiente,secomienzaa trabajar en la resofuciónde ésta. En una primera fase es convenjentetrabajar mediante procedimientos informaleso de . Estosmétodosson usadosfrecuentementepor los alumnos.Los procedimientosde búsquedaexperimental más frecuentesserán:la descomposición(propia de la aritmética)y la estrategia de ensayoy error. La limitación de los procedimientosinformales nos debedejar paso a la cimentaciónde los formales. A continuación,medianteel uso de los diferentesmodelosy por inversión de los mismos,encontraremosla solución;lo que nos permitirá descubrirlas reglasformalespara resolverlos distintos tipos de ecuaciones. En resumen,el caminoseguidopara pasarde un problemaa su resoluciónvendrádado por el siguienteesquemaque completael anteriormentemencionado(esquema 6.1).

Inversión del modelo

Estrategiaformal

x+7:7+2 x:2

ACTMDAD

2: Resolverla ecuación5'x :

Búsquedaexperimental

10 Estrategiaformal

Inversión del modelo

tr

5'x : 10 (.- - {.')

tr

x:2

5'x : l0 5'x l0 . _-; )) x:2

ENUNCIADO VERBAL ACTMDAD

3: Resolverla ecuación3x + 2 : 5

Búsquedaexperimental

x l3 x + 2 1 5

BUSQUEDA EXPERIMENTAL

t96

TNvERSION DEL MODELO

TRANSPOSICION (ESTRATEGIA FORMAL)

¡-[' 11

5

Tr 15

Inversión del modelo

formal Estrategia

tr-'@--@--tr

3x+2:5 3x-t2-2:5-2

E--@--O-E

JX5

3:1 x:l

197

Para estetipo de ecuaciones también podemosutilizar el tablero y las fichasbicolorescomo indicamosen las actividadessiguientes.

ACTMDAD

1. Resolverla ecuación3x : 9. Representala ecuación en el tablero.

. Objetivo:Resolverecuaciones del tipo a * x : b.

3x :

9

. Nivel Doce a catorceaños. . Material: Cartulinas. Fichas bicolores de dos formas (circulos y triángulos, por ejemplo). ACTMDAD

l. Resolverla ecuaciónx * 3 : 5 Representa la ecuación en el tablero.

a

ooo Quitamos tres unidades a cada miembro (poniendo fichas de color contrario).

I ooo

I

Representa la situación en el tablero.

A

|

aJ J

ñññ Observael dibujo del tablero.

oo

ñga

Observael dibujo y explica lo que se ha hecho.

a

x* 3:5

Escríbelo mente.

simbólica-

simbólica-

I ooo

¿Cuánto le corresponde a cada incógnita?

Escribe la solución.

aaa

|

oo

= oo

Escribe la solución correspondiente.

x+ 31 5

. Objetivo:Resolverecuaciones del tipo a'x * b : c. . Nivel: Doce a catorceaños. . Materi¡l: Cartulinas. Fichas bicolores de dos formas (círculos y triángulos, por ejemplo).

ACTMDAD. Resolverla ecuación2x + 3 : 7. Representada la ecuación en el tablero.

Escribe la ecuación correspondiente.

t-

. Objetivo:Resolverecuaciones del tipo a- x : b. . Nivel: Doce a catorceaños. . Material: Cartulinas.Fichas bicoloresde dos formas (círculosy triángulos,por ejemplo). 198

Escríbelo mente.

x+3-3:5-3

Compruebael resultado sustituyendoel valor de la x en la ecuacióninicial. ?r-? 15

I ooo

-- ooo

--t

-'-

a

ooo

ooo -:_ oo o t99

¿Cómo eliminarías los círculosamarillos?

Representala situación en el tablero.

Representa numéricamentelo que has hecho.

ACTMDAD

2. Resolverla ecuaciónx2 - ll :

Inversión del modelo

aa

'o o o o

aaa:

aaa

aññ ¿Cuántoscírculosnegros le correspondena cada triángulo?

Estrategiaformal x2- ll: 64 x2- ll+11: 64+ll

| bññ

r. /\¿/x' : \// l)

x : +JTs

oo oo

A A

64.

ACTIYIDAD 3. Resolverla ecuaciónx2 - 4x + 3 .: 0. + J :U Inversión del modelo

Compruebaque la solución obtenidaes la verdadera.

Estratesiaformal

La transformamosen su equivalente x2 -4x

+ 4-l :0;(x

( x - l) ' - I : 0

- 2) 2 - | : 0

( x- r ) ,- r + l :r

"@o "@" Para resolverlas ecuacionesde segundogrado podemosutilizar los diagramascomenzandosiemprepor ejemplossencillos,tales como los siguientes:

JC -4: //h-"tt\

"-^CI¡ \y'\c/-Ir-o

,ffii*

^

{

x - 2 : +l x:2+l

?

11

. Objetivo: Resolución de ecuacionesde segundo grado. o Nivel: Catorce a dieciséis años.

ACTMDAD

l. Resolverla ecuaciónx2 :

Inversióndel modelo

La resoluciónde sistemasde ecuacionespuedecomenzarpor actividades como la siguiente,en la que mediantemanipulacionescon las ecuacionesde primer grado encontramosreglasde procedimientoy la solucióndel sistema.

64. Estrateeiaformal

o Objetivo:Hallar la solución de un sistemade ecuaciones.

_E

. Nive[ Catorce a dieciséisaños. x2:64

G: x:

200

JA *8

[JNIr/F.RSIDÁO f] | crQl TAL FRANCI Si,$ .¡¡ri¡ri" :'t' ..¡,i i 'r-lj StSTEnA DE u:¡r. ¡{.¡i--.. i

. Enunciadoverb¡k Sabiendoque tres rotuladoresy cuatro cuentoscuestan690 ptas. y un rotulador y dos cuentoscuestan310 ptas. Calcular lo que valen: a) Dos rotuladoresy dos cuentos. b) Un rotulador y un cuento. c) Un cuento. dl Un rotulador.

201

Si restamos miembro a miembro la segunda ecuaciónde la primera resulta una ecuación equivalente.

l) lll + ¡ ¡ ! ¡:690 :310 2) | + tr tr 4) ll + tr ¡:690 -310

Si dividimos los dos miembrosde la ecuación p o r dos , r es ult a u n a ecuaciónequivalente.

2x + 2y :38O

á )l + D :1 9 0

!

x+ v:l 9O

x + 2 y : ile x r ! : l9 o

:1 2 0

v:120

ó)l+!:190 tr:120 4 |

x + y : r9 o ! : r2 0

:7 0

x :7O

Y para resolverecuaciones sencillasde primer grado con dos incógnitas podemosusar rutas numéricas. . objetivo: Resolverecuaciones de primer grado con dos incógnitas(ecuacióndiofántica)medianterutas numéricas. . Nivel: Catorcea dieciséisaños. Resolver3x - y :

2 equivalea construir la ruta numéricacon

i :0 ,-f : 2, i, : .

Realizar las actividades propuestas en este capítulo.

2.

Utilizar diferentes modelos para expresar las ecuaciones lineales siguientes: b) c) d) e)

f)

rlli

- l+

2

IJJI

- 2+

JIIJ

-3 -

lttt

3 +6 +9

m+ 7:23. 3m* 5:2m . 5m-8:4m . m-6:8. 4m - 5 :2O . 3m+ 8:5m - 6.

3. Resolverde formasdiferenteslas ecuacionesde la actividadanterior,entre otras: método aritmético,reglasformales,búsquedaexperimental,método de la balanza, inversión del diagramay resoluciónen una estructuraalgebraica. 4. Hacer un diseñoinstruccionalpara introducir a los alumnosde 7.' nivel de linealesmedianteel métodode Ia balanza. E.G.B.en la resoluciónde ecuaciones 5. Hacer un diseño instruccional para introducir a los alumnos de 7.o nivel de E.G.B. en la resolución de ecuacioneslinealesmediante el tablero de lichas bicolores.Analizar las similitudes,así como las ventaias e inconvenientesde ambos procedimientos. 6. Utilizar diagramaspara expresarlas ecuacionescuadráticassiguientes: a)

b) c) d) e)

f) c) 0+

x2-4:0. 2x2-21:o . 3x2+ 2x-5 : 0. x2-4x+ 4: 0. 3x2-5x+ 1 : 0. x2 - 6x : 8. x2 + | :4x.

7. Resolverla siguienteactividad utilizando el procesoindicador en el capítulo para iniciar en la resoluciónde sistemasde ecuaciones.

2 +5 +8 l +4 +7

. Objetivo:Hallar la solución de un sistemade ecuaciones.

0-3+ 6

. Niveh Catorce a dieciséisaños.

- 4+ - l +2 +5

202

t.

a)

2)l+ntr:310 b)l+ tr :190

ACTMDAD.

EJERCICIOS

3x + 4y :690 x+ 2Y :Jl Q

. Enunciadoverba}Sabiendoque un obrero compra 2 tornillos y cuatro tuercas que pesanl7 g, y otro compra 3 de las mismastuercasy 5 de los mismos tornillosque pesan32 g. Calcularlo que pesan:

203

a) Dos tuercasy un tornillo. b) Una tuercay un tornillo. c) Un tornillo. l)

¡ i' r * * + L, ] - : 17

2)

* ! r * + I l- J - LL: lZ

Resolvermediante formas diferenteslas ecuacionesde la actividad anterior, entre otras: inversión del diagrama, reglasformales,búsquedaexperimentaly completacióndel cuadrado. 9. Traduce los problemassiguientesal lenguajealgebraicoy resuélvelosmediante la inversióndel modelo: a) Hallar dos númerossabiendoque su suma es igual a 2l y que uno de ellos es igual al doble del otro. b) La edad de una personaes 4l años y la de su hijo es 9. Hallar al cabo de cuántosaños la edad del padre triplica la del hijo. c) Hallar la longitud del lado de un cuadradosabiendoque si se aumentaésta en 4 cm, su área se incrementaen 64 cm2, d) Dos coches, M y N, cuyas velocidadesmedias son de 30 y zl0 km/h, respectivamente, distan 280 km. Hallar a qué hora seencontraránsabiendo que a las tres de la tarde empiezana moverseel uno hacia el otro. Resolverlas siguientesecuacionesde primer grado con dos incógnitasmediante rutas numéricas: a)

b) c) d) e)

2M

3x + 4y :2. 23m-4y:tt. 4r-7p:)). x+lOY:$. l3x + 6y: 136.

Bibliografía AlzpuN, A. (1984):. ActasIV J.A.E.M.,Tenerife,pigs. L57-167. ArsKslNnRov, A. D., et al. (1973):La matemática:su contenido,métodosy signiJicado. Vol. l, Alianza"Madrid. AusrrN, J. L., y HowsoN, A. G. (1979):. EducationalStudiesin Mathematics,10, págs. 16l-197. Bnnn, M.; Enrur.lcng S.,y Ntcnors, E. (1980):. M athe¡naticsTeaching,92, págs. 13-I 5. D. (1983):.Research on learning and Berr, A. W.; Cosrnrro, J., y Kücneulxx, teaching( Part A). NFER-Nelson, Windsor, de I'histoire des mathematiquesdans la production de BoERo,P. (19E6):<>. Dídactique des M athematiques,Orleans. EducationalStudies BoorH, L. R. (19E1):>. in Mathematics,12, pá9s.2940. Bootn, L. R. (1984):Algebra: children'sstategies and eruors.Nfer-Nelson,Londres. Boorn, L. R. (1988):. En T. P. Carpenter,J. M. Moser y T. Romberg (eds.):, Addition and sustraction.Lawrene Earlbaum Associates,Hillsdale,N.J. Crsrnrr.¡uovo, E, y B*nl, M. (19E3):I¿ matematicanella realta. Boringhieri, Torino. Corrnr4 J. P. (1985):Historia de las matemáticas,voIs.I y II, Siglo XXI, Madrid. Colus, K. F. (1975c):A estudyof conuete andformal operationsin school Mathematics: a piagetian oiewpoint Australian Council for Educational Research,Melbourne. CoLLts,K. F. (1975a):.A.C.E.R. ResearchSerres,núm. 95, Melbourne.

205

CoLttq K. F. (1975b):The deuelopment of formal reasoning.University of Newcastle, Australia. Colt-rs,K. F. (1978):. En J, A. Keats, K. F. Collis y G. S. Halford (eds.):Cognüiuedeuelopment. John Wiley, NuevaYork. CotlIS, K. F. (1980):,En S. Modgtl, V C. Modgil (eds.):Towardsan Theory of Psychologicaldeuelopment. NFER, Windsor. Traducción al castellanoen Infancia y Aprendizaje(1982),19-20,págs. 39-74. CHorr, E. (1974):.MahtematicsTeaching,69, pigs. 9-13. DIcrsoN, L., et al. (1984):ChíldrenlearningMathematics:A teacher'sguide to recent research,HOLT, Oxford. DrnNns,Z. P. (1971):Construcciónde las matemál¡c¿¡.VicensVives,Madrid. FrscHnnrN,E. (1987):Intuition in scienceand MathematicsEducation Reidel. Dordrecht. Frrcc, G. (1984):Nu¡nbers.Their history and meaning.Penguin Books, Inglaterra. Fntcoso, A. (1977):Los elementosdel lenguajede la Matemár¡c¿.Trillas, México. Fn¡uonrqntl4 H. (1973):,Mathematicsas an educatíonaltask, Reidel,Dordrecht. Fnruorurn,u; H. (1983):Didactical phmomenologyof mathematicalstructures,Reidel, Dordrecht. Fuvs, D.; Gnoons, D.; TrscHrnz, R. (1988):.Journal for Researchin Mathematics Eútcation. Monogralia número 3. Hrnr, K. M. (1981):Children'sunderstandingof Mathematics:II-16. John Murray, Londres. Hlnr, K. M. (1981):<.En K. M. Hart (ed.): Children's Understanding of Mathematics:Il-16. John Murray, Londres. INueLoen, B., y Prlcrr, J. (1958):The growth of logical thinkingfroni childhoodto adolescence. Rutlegeand Kegan Paul, Londres. INsroNn,H. (1984):>. Journal of Children'sMathematicalBehaoior,3, 1, págs.93-L66. M.E.C. (1980):Nueuasorientaciones pedagógicas:EducaciónPreescolary Educación GeneralBásica (1.' y 2.oetapa). EscuelaEspañola,Madrid. M.E.C. (198I): Programasrenouadosde la E.G.B.: Ciclo Superior.EscuelaEspañola, Madrid. M.E.C. (1984):
206

on MathematicsEducation,Reidel' Orrr, M. (1986):.Perspectiues Dordrecht. OtttntunN, M. K., y NtcHorsoN, A. R. (1976):. Mathematicsin School,5(5),págs.18-20. Plsx, G. (1976):,Stylesand Strategiesof Learning Mathematics:A teacher'sguide to recentresearcá,Holt, Oxford. PEsxrN,A. S. (1977):>. Reston. Pncrt, J. (1926):The languageand thoughtof the child. Routledgeand Kegan Paul, Londres. Acta Ptlctt, J. (1954):>. Psychology,10, págs.E8-98. PIAcEr, J., y lNnnrorn, B. (1969):Thepsychologyof the child' Routledgeand Kegan Paul, Londres). PotYl, G. (1965):CómoPlanteary resoluerproblemas,Trillas, México. PoryA, G. (1966):Motemáticasy razonamientoplausible,Tecnos,Madrid. SANcmz Ropnlcupz, A. (1987):>. Focuson SHmu4 M. C. (1979):>. learning problems in Mathematics, vol. l, párgs.63-(A, Framingham, Massachusetts. Scxrcllcr, V. P. (1987):.En M. Montgomery y A. P. Shulthi (eds.):.Learning and TeachingGeometryK'12- 1987 Yearáoo&.NCTM, Virginia. Sreup, R. (1980):Psicologíadel aprendizajede las matemóticas,Morata' Madrid. University Press,LonS.M.P.(1985):SchoolMathematicsProject I I-16. Canr|,¡iridge dres. Sours Nor1s Pno¡ecr (1981): Algebra. Ideas and material for years 2-5 in the SecondarySchool.Shell Centre for Mathematical Education, University of Nottingham. TnocoNlz, A. F., y BELDA,E. (1964):Anólisisalgebraico,Yizcaina,Bilbao. VIN Hntr, H. P. (19E6):Structureand Insight, AcademicPress,Nueva York' Vlcormry, L. S. (1962):Thoughtand language,M.I.T. Pressand John Wiley, Nueva York. WHnla¡v, G. H. (1977):
U N I V E R S I D A DO I S T R I T A L FRANEIS(:O"IO$F DF CAIDAS SlSl il'iA rit S.ttit-ruI ^,.!^i 207