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Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ 250 EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS CON APLICACIONES
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SERIE CORONEL 02
(C) Serie Coronel, 2016 (C) 2016. Pedro Pablo CORONEL PÉREZ / Pablo Josué CORONEL LÓPEZ DEPÓSITO LEGAL: If07620145102757 ISBN: 978-980-12-7590-9 DIAGRAMACIÓN INTERNA: Editorial Infinito, 2016 (Prof. Pedro P. Coronel P.P. / Prof. Néstor F. Herrera) DISEÑO DE PORTADA: Elkin J. Calle Cortés EDITOR LITERARIO: Magister / Lcdo. Pedro Alberto Cor onel López ASESORA METODOLÓGICA: Magister /Lcda. Yuraima Coronel Pérez IMPRESIÓN: Editorial Infinito, San Cristóbal [junio, 2017] TIRAJE: 500 ejemplares. TIPO DE SOPORTE: Papel Bond base 20 gr/cm2 Las observaciones, sugerencias y correspondencia se r uega hacerlas llegar a los siguientes correos electrónicos:
[email protected] /
[email protected] Impreso en la República Bolivariana de Venezuela Printed in the Bolivarian Republic of Venezuela
Las publicaciones de la SERIE CORONEL gozan de protección de los derechos de propiedad intelectual en virtud del Protocolo a la Convención Universal Sobre Derechos de Autor. Sin previa autorización por escrito por parte del editor, quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas por las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía, el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. Reservados todos los derechos.
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A mi primer nieto, Massimo Lorenzo
“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo”. GALILEO GALILEI (1564-1642) / Filósofo y matemático italiano
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CONTENIDO
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Comentarios de los autores
08
Fundamento Teórico para la derivación
09
Tablas y fórmulas matemáticas
22
Bibliografía
28
Cálculo de derivadas aplicando la definición de límites
29
Regla de diferenciación: Regla de la potencia
38
Regla de diferenciación: Regla de la suma y la diferencia
42
Regla de diferenciación: Regla del producto
54
Regla de diferenciación: Regla del cociente
61
Derivación de funciones trigonométricas
66
Regla de diferenciación: Regla de la cadena
82
Aplicación de la regla de la cadena a: funciones trigonométricas y sus inversas, logarítmicas y exponenciales
100
Derivación Implícita
138
Aplicar la regla L´Hopital para evaluar un límite
167
Ritmo o razones de cambio relacionados
182
Optimización
203
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COMENTARIOS DE LOS AUTORES ¡Bienvenidos a la primera edición de 250 EJERCICIOS RESUELTOS DE DERIVADAS CON APLICACIONES de cálculo 1! La editorial infinita se enorgullece en presentar a la comunidad estudiantil y profesoral el libro antes mencionado. El propósito de este libro es presentar a quienes inician estudios universitarios, una serie de ejercicios sobre DERIVADAS, muy representativos y resueltos en forma detallada. Evidentemente, será de gran utilidad para estudiantes de carrera vinculadas a la ingeniería, las ciencias, la tecnología o cualquier especialidad donde el cálculo matemático sea un requisito indispensable dentro del pensum de estudio. El número de ejercicios incluidos permite que el libro pueda ser utilizado también como texto tanto por el alumno como por el profesor en el desarrollo de este importante tema de cálculo. Los autores se han esmerado en la explicación de los procedimientos utilizados en la resolución de cada uno de los problemas. Los ejercicios han sido seleccionados con el objeto de ampliar los conocimientos adquiridos en clase, así como también para que el estudiante adquiera práctica en la resolución de problemas y así prevenirle ante las dificultades con que normalmente se tropieza el principiante. Esperamos que disfrute de la primera edición de 250 Ejercicios Resueltos de Derivadas con Aplicaciones de Cálculo 1. Como siempre, serán bienvenidos los comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra.
Pedro Pablo Coronel Pérez AUTOR
Pablo Josué Coronel López AUTOR
Pedro Alberto Coronel López EDITOR L ITERARIO
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FUNDAMENTO TEÓRICO PARA LA DERIVACIÓN
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Recta tangente a una gráfica
Cuando el valor de ∆ es pequeño, ya sea positivo o negativo, se obtienen puntos Q y Q´
Supóngase que = ( ) es una función continua cuya gráfica se muestra en la figura 1(a). Si la gráfica de posee una recta tangente L en un punto P, como se ilustra en la figura 1(b), el problema es determinar su ecuación. Para hacerlo se requiere: (a) las coordenadas de P y (b)
de la gráfica de f a cada lado del punto P, pero cercanos a él. Es de esperar que, a su vez, las pendientes ´ estén muy cerca de la pendiente de la recta tangente de L.
Ver
figura (2b).
la pendiente de L. Las coordenadas de P no presentan dificultad, puesto que un punto de la gráfica se obtiene especificando un valor de x, por ejemplo, x = a, en el dominio de . Las coordenadas del punto de tangencia son ( , ( )).
1(a)
Figura 1
1(b)
Una manera de aproximar la pendiente consiste en determinar las pendientes de rectas
Figura 2
secantes que pasen por el punto P y cualquier otro punto Q de la gráfica. Si P tiene coordenadas
( , ( )) y se hace Q por coordenadas ( + ∆ , ( + ∆ )), entonces, como se muestra en la figura 2(a), la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q es:
Con base en la figura 2(b), podría decirse que si la gráfica de una función = ( ) tiene una recta tangente L en un punto P, entonces L debe ser la recta que es el límite de las secantes
=
=
( + ∆ ) − () +∆−
∆= ( + ∆ ) − () Si
que pasan por P Y Q cando Q → P, y de las secantes que pasan por P y Q´ cuando Q´ → P. Además, la pendiente de L debe ser el valor límite de los valores cuando ∆ → 0. Esto se resume como sigue:
DEFINICIÓN 1 Sea = ( ) una función continua. La recta tangente a la gráfica en el punto ( , ( )), es la que pasa por el punto y su pendiente es:
∆ = ( + ∆ − )
= lim
∆→
Entonces
12 10
=
∆ ∆
(+∆)− () ∆
= lim
∆
∆→ ∆
Siempre que el límite exista.
La pendiente de la recta tangente en ( , ( )) se conoce también como pendiente de la curva en el punto. La definición 1 implica que una tangente en ( , ( )) es única, puesto que un punto y una pendiente determinan una sola recta.
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La derivada
La velocidad media ( ) o rapidez media de un objeto móvil es la razón de cambio de
De lo explicado anteriormente, se determinó que si la gráfica de una función posee una tangente en el punto
=
la posición con respecto al tiempo, definida mediante
, , entonces la pendiente de ésta es:
=
+∆− ∆ ∆→
= lim
=
∆ ∆
Si s = s(t) es la función posición de un objeto en movimiento rectilíneo, su velocidad en
Para una función dada usualmente es posible obtener una fórmula, o regla general, que
el instante t es:
proporcione el valor de la pendiente de la recta tangente. Esto se realiza evaluando:
() = lim
(+∆)−()
∆→0
lim +∆− ∆ ∆→
∆
= ´() ó
En otros términos, la función velocidad es la derivada de la función posición. La
Para cualquier (para el cual exista el límite). Luego se sustituye un valor de
después
de haber encontrado el límite. El límite anterior se conoce como la derivada de y se denota por ´.
velocidad puede ser positiva, cero o negativa. La rapidez de un objeto se define como el valor absoluto de su velocidad, y nunca es negativa. La posición de un objeto en caída libre (despreciando la resistencia del aire) bajo la influencia de la gravedad se obtiene mediante la ecuación:
DEFINICIÓN 2
´ =
lim (∆∆) = ∆→0 lim ∆ ∆ ∆→0
´ también = ) con respecto a la variable .
Siempre que este límite exista. La derivada instantánea, de la función
se llama razón de cambio
() =
1 2
2
Donde es la altura inicial del objeto, la velocidad inicial y g la aceleración de la gravedad, que en la superficie terrestre es de – 9.8 m/s. Derivabilidad y continuidad
Ritmos o velocidades de cambio relacionados De acuerdo a lo estudiado en la sección anterior, la derivada permite realizar cálculos para encontrar pendientes. Pero también sirve para determinar el ritmo de cambio de una variable respecto a otra. Los siguientes ejemplos constituyen ritmos de cambio: crecimiento de poblaciones, ritmos de producción, flujo de un líquido, velocidad y aceleración. Para describir el movimiento de un objeto que va en línea recta se utiliza los ritmos de
ó ó
La siguiente forma alternativa como límite de la derivada es útil al investigar la relación que existe entre derivabilidad y continuidad. La derivada de f en x = c (o en x = a), es: () ´() = lim → ( )
siempre que dicho límite exista.
cambio.
Observe que la existencia del límite en esta forma alternativa requiere que los límites El movimiento de la recta se suele representar en posición horizontal o vertical, con un origen
unilaterales
marcado en ella. Sobre tales rectas, el movimiento hacia la derecha (o hacia arriba) se considera de dirección positiva y el movimiento hacia la izquierda (o hacia abajo) de dirección negativa.
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lim
→
()−() −
lim
→
()−() −
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existan y sean iguales. Estos límites laterales se denominan derivada por la izquierda y por la
Regla de diferenciación: La regla del múltiplo constante
derecha, respectivamente. Se dice que f es derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en (a,b) y existen además la derivada por la derecha en a y la derivada por la izquierda en b.
Si f es una función derivable y c un número real, entonces cf también es derivable y:
[()] = ´()
Si una función no es continua en x = c, no puede ser derivable en x = c. Por ejemplo, la función parte entera o mayor entero.
Reglas de diferenciación: Las Reglas de suma y diferencia Aplicación del proceso de límite para el cálculo de derivadas
La derivada de la suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables f y g es derivable en sí. Además, la derivada R+r (o f-g) es igual a la suma (o diferencia) de las derivadas de f, g.
Para encontrar la derivada de una función se requiere de la definición de la derivada de una función, es decir: La derivada de f en x viene dada por:
f´(x) = lim
(+∆)−()
∆
∆→0
[ () + ()] = ´() + ´()
[ () ()] = ´() ´()
Siempre que exista ese límite.
Derivada de las funciones seno y coseno Regla de diferenciación: La regla de la constante La derivada de una función constante es 0. Es decir, si c es un número real, entonces:
lim
∆→
[] = 0
∆ ∆
=1
lim
− ∆
∆→
∆
=0
Estos dos límites pueden utilizarse para demostrar las reglas de derivación de las funciones seno y coseno. Y estas a su vez sirven de base para demostrar las restantes funciones
Regla de diferenciación: Regla de la potencia Si n es un número racional, entonces la función () = es derivable y
trigonométricas.
[ ] = −1 .
La regla de la potencia establece simplemente que para diferenciar : Se coloca el exponente delante de . El exponente se disminuye en 1.
Regla de diferenciación: Regla del producto Si f y g son funciones diferenciables, entonces
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[ () ()] = () ´() + () ´()
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La regla del producto se memoriza usualmente en forma verbal de la siguiente forma: La
primera función por la derivada de la segunda función más la segunda función por la derivada
[ ] = −1 ´
de la primera.
Derivación Implícita Regla de diferenciación: Regla del cociente
≠ 0, entonces: ´−´ []2
Si f y g son funciones diferenciables y g(x)
⌈ ⌉ =
Una función = (), donde su variable dependiente se expresa únicamente en términos de la variable independiente x, se conoce como función explícita.
= 2 6 Sin embargo, algunas funciones sólo se enuncian de manera implícita en una ecuación. Por ejemplo,
23 + 4 = 2
En forma verbal, la regla del cociente es: El denominador por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el denominador al cuadrado.
Entonces surge la siguiente pregunta: ¿Cómo encontrar la
para la ecuación anterior
donde resulta muy difícil despejar como función explícita de ?
Regla de diferenciación: La regla de la cadena
= es una función derivable de u y además = es una función derivable de x, entonces = es una función derivable de x. = ∗ Si
En este tipo de situaciones se debe usar la llamada derivación implícita. Para tener claro esta técnica es preciso tener en cuenta que la derivación se efectúa con respecto a . Si hay un término por derivar donde aparezca ( ) será necesario aplicar la regla de la cadena. Ejemplo:
[ ] = 5
Estrategias para la derivación implícita
O su equivalente
[ ] = ´() ∗´ La regla general de las potencias La regla para derivar tales funciones se llama regla general de las potencias, y no es sino un caso particular de la regla de la cadena. Si
= [] , donde u es una función derivable de x y n es número racional, entonces: −1 = []
a) Derivar ambos lados de la ecuación respecto de . b) Agrupar todos los términos en que aparezca
en el lado izquierdo de la ecuación y pasar
todos los demás a la derecha.
c) Factorizar d) Despejar
del lado izquierdo de la ecuación.
.
Ritmo o razones de cambio relacionados
o su equivalente
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La derivada
de una función = () es su razón de cambio instantánea con respecto
a la variable . Cuando una función describe posición o distancia, entonces su razón de cambio
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En la ciencia, la ingeniería y la administración es frecuente interesarse por los valores máximo y mínimo de funciones; por ejemplo, una compañía está naturalmente interesada en
con respecto al tiempo se interpreta como velocidad. En general, una razón de cambio (o
maximizar los ingresos al mismo tiempo que en minimizar los costos. La próxima vez que el
intensidad de variación) con respecto al tiempo es la respuesta a la pregunta ¿Cuán rápido
lector vaya a un supermercado intente este experimento: lleve consigo una pequeña regla y
varía una cantidad? Por ejemplo, si V representa un volumen que varía o cambia en el tiempo,
mida la altura y el diámetro de todas las latas que contengan, por ejemplo, 16 onzas de
entonces
alimento (28.9 3 ). El hecho de que todas las latas de este volumen especificado tengan las
mismas medidas no es una casualidad, puesto que existen dimensiones específicas que
es la razón, o la rapidez, a la cual está variando el volumen en el tiempo t. Una
razón de, por ejemplo,
minimizarán la cantidad de metal utilizado y, por consiguiente, minimizarán el costo de
= 103 /, significa que el volumen está aumentando 10 centímetros cúbicos cada
segundo. De manera semejante, si una persona va caminando hacia el poste de un alumbrado, a una razón constante de 3 pies/s entonces alejándose del poste entonces
interpretar la descripción verbal para establecer una función de la cual se busca un valor máximo o mínimo. Estos son los tipos de problema verbales que realzan el poderío del cálculo
= - 3 pies/s. Por otra parte, si la persona camina
y proporcionan una de las muchas respuestas posibles a la añeja pregunta de: ¿para qué sirve?
= 3 pies/s. Las razones negativa y positiva significan, desde
A continuación, se señalan los pasos importantes en la solución de un problema de aplicación
fabricación a la compañía. En los problemas que siguen se dará una función, o bien, habrá que
luego, que la distancia está decreciendo y creciendo, respectivamente. Estrategia para resolver problemas de ritmo o razones de cambio relacionados
de máximos y mínimos. 1. Identificar todas las cantidades dadas y las que se van a determinar. Si es posible, elaborar un dibujo.
1. De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situación planteada.
2. Escribir una ecuación primaria para la cantidad que se va a maximizar o minimizar.
2. Designar con símbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar
3. Reducir la ecuación primaria a una que tenga una sola variable independiente. Esto quizá implique el uso de ecuaciones secundarias que relacionan las variables independientes de
que varían con el tiempo.
la ecuación primaria.
3. Analizar el enunciado del problema y distinguir cuáles razones de cambio se conocen y cuál es la razón o ritmo de cambio que se requiere. 4. Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o
4. Determinar el dominio admisible de la ecuación primaria. Esto es, determinar los valores para los cuales el problema planteado tiene sentido. 5. Determinar el valor máximo o mínimo deseado mediante las técnicas de cálculo.
Derivadas de orden superior
han de determinarse. 5. Usando la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos miembros de la ecuación obtenida en el apartado anterior, con respecto al tiempo. 6. Sustituir en la ecuación resultante del punto (5), todos los valores conocidos varia sus
Así como al derivar una función posición se obtiene una función velocidad, al derivar esta última se obtiene una función aceleración. En otras palabras, la función aceleración es la segunda derivada de la función posición. La segunda derivada es un ejemplo de derivada de orden superior.
razones de cambio, a fin de deducir (despejar) la razón de cambio requerido. Extremos de una función Es de vital importancia, determinar el comportamiento de una función en un intervalo I. Las siguientes preguntas son pertinentes: ¿f tiene un valor máximo? ¿Tiene un valor mínimo?
Optimización de funciones
¿Dónde es creciente la función? ¿Dónde es decreciente? En esta sección del fundamento teórico se verá cómo las derivadas se utilizan para responder estas preguntas.
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Definición de extremo
El teorema anterior señala que los extremos relativos de una función sólo pueden ocurrir
Sea f una función definida en un intervalo I que contiene a c. f(c) es el mínimo de f en I si f(c)
≤ f(x)
para toda x en I.
f(c) es el máximo de f en I si f(c)
≥ f(x)n
en los puntos críticos de la función. Se pueden utilizar las siguientes estrategias para determinar los extremos en un intervalo cerrado. Estrategias para la determinación de extremos en un intervalo cerrado:
para toda x en I.
Teorema del valor extremo Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces f tiene un mínimo como un máximo en el intervalo.
1. 2. 3. 4.
Se encuentran los puntos críticos de f en (a,b). Se evalúa f en cada punto crítico en (a,b). Se evalúa f en cada punto extremo de [a,b]. El más pequeño de estos valores es el mínimo. El más grande es el máximo.
Extremos relativos y puntos o números críticos Determinar los extremos de () = 3 − 4 en el intervalo [-1,2]. Definición de extremos relativos:
Al aplicar las estrategias anteriores se obtiene los siguientes resultados:
1. Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f(c) es un máximo, entonces f(c) recibe el nombre de máximo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un máximo
Puntos críticos: 0 y 1, mínimo= -1, máximo= 16.
relativo en (c, f(c)).
Criterio de la segunda derivada
2. Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual f(c) es un mínimo, entonces f(c) recibe el nombre de mínimo relativo de f, o se podría afirmar que f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).
Teorema: Sea f una función tal que f´(c)= 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto
Definición de un número o punto crítico:
que contiene a c.
Sea f definida en c. Si f´(c)= 0 o si f no es derivable en c, entonces c es un punto crítico de f.
1. Si f´´(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)) 2. Si f´´(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c))
Teorema: Los extremos relativos ocurren sólo en números o puntos críticos.
Si f´´= 0, entonces el criterio falla.
Se concluye, si f tiene un mínimo relativo o un máximo relativo en x=c, entonces c es un punto crítico de f.
Determinación de extremos en un intervalo cerrado
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TABLAS Y FÓRMULAS MATEMÁTICAS
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BIBLIOGRAF A Larson R, Hostetler R. Y Edwards B . (1995). Cálculo. Volumen 1. México. McGraw-Hill.
Zill G, Dennis (1985). Cálculo con Geometría Analítica. México, Grupo Editorial Iberoamérica.
Wisniewski Piotr M. y Banegas G. Ana L. (2004). Introducción a las matemáticas universitarias. México. McGraw-Hill.
Pita R, Claudio. (1998). Cálculo de una variable. México, Prentice- Hall Hispanoamericana.
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050
= ( 4 + 1 )( 2 − )( − 8)
Se identifican los dos primeros factores como la primera función, es decir
(4 + 1)(2 − ) ← ò
= (4 + 1)(2 − )
( − 8) + ( − 8)
(4 + 1)(2 − )
= (4 + 1)(2 − )(3 − 8) + ( − 8)[(4 + 1)(4 − 1) + (2 − )(4)]
La expresión algebraica que está en los corchetes es el resultado de haber aplicado la regla del producto de nuevo.
Luego se procede a resolver las expresiones indicadas en los corchetes
= (4 + 1)(2 − )(3 − 8) + ( − 8)[16 − 1 + 8 − 4] = (4 + 1)(2 − )(3 − 8) + ( − 8)(24 − 4 − 1 )
y´= (4 + 1)(2 − )(3 − 8) + ( − 8)(24 − 4 − 1 )
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La longitud de un rectángulo está dada por 2t+1 y su altura es
√ , donde t
es el tiempo en segundos y las dimensiones están en centímetros. Encontrar el ritmo de cambio del área respecto al tiempo
.
Derivación de Funciones Trigonométricas
052
Conocidas las derivadas de las funciones seno y coseno (Demostración realizada en los problemas 8 y 9), la regla del cociente permite establecer las de las cuatro funciones trigonométricas restantes.
El área del rectángulo está representada por la siguiente fórmula
= ℎ
Demostrar que la derivada de la tangente de x es la secante al cuadrado de x
Donde L es la longitud y es igual a 2t+1. Y h la altura y es igual a
√
Sustituyendo L y h en la fórmula del área se tiene Considerando que la
= ( 2t+1) √ Luego se procede a derivar el área con respecto al tiempo
=
[(2t+1)]
= (2+1) − + 2 = 2+1 1 + 2
22
1
1
= 2+1+(212)(22) 22 = 2+1+4 1 22 = 6+1 1 22 = 6+1 / 2√ 34 60
060
= cos
y aplicando la regla del cociente se obtiene
[ ] = cos )− (cos) = cos ((cos) (− ) = coscos− (cos) + = Como el = 1 [ ] = Como
cos =
[ ] = 2 [ ] = 35 66
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= −
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072
3 = 3 2cos
´= = = = =
2cos (33 )33 2cos 2cos2 2cos3cos [33 2sen] 42 626 +62 42 62+62 62 4 62+2 2 4 3 22 + 1 22 2 cos cos
= = 1+sectan = 1+ +sectan = +sectan = 32 sectansec
= tan
084
El problema presenta el producto de tres factores. Para aplicar la regla del producto se procede a identificar los primeros factores como la primera función
→ ó
´ = ( )
(tan) +tan
( )
= ( )( ) + tan[( cos + (2)] = ( )( ) +tan[ cos + 2] = + cos + 2 = + cos =
+ 2 tan
+ sen x +2
´ = + sen x +2
Nota: Observe que la expresión que está escrita en corchetes (segundo paso), es el resultado de aplicar nuevamente la regla del producto.
´= 32 sectansec 36 74
81 37
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() =
126
Para la resolución del problema se requiere el uso de la siguiente fórmula
() = : ´() = √ 1´−2 Entonces, para hallar la derivada se requiere u´
Sea =
()
Se procede a derivar ambos miembros de la ecuación anterior
ln=(cos) A continuación, se deriva ambos miembros de la ecuación:
´ =
Donde
2cos (− )ln+(cos) ´= 2cos (− )ln+(cos) ´= 2cos (− )ln+ (cos) () ´ ´() = √ 1´−2 representa el numerador en la fórmula
Por tanto, la derivada es:
[−2 cos ln + ] ´() = √ 1 −( )
105 38
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()= 3 3
165
Se procede a aplicar la regla de la cadena
´()= 2 √ +− √ +− −+ ´() = √ 1 2 √ 1 (+)(−1)−(−)(1) (+) ´() = √ (−−−+) (+) ´()= −6(+) − = −(−)(+) −(−) = (−)(+) ´()= (−)(+) ´()= − Expresado el resultado en términos de logaritmo neperiano
= ()1 ()→ = ()1 () → = ()1 ´()= (2)(2 9) 131 39
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= √ 1 −+
167
Se reescribe la función
195
Se procede a derivar implícitamente:
= −+ − 1 1 ´ = 2cos 2 2 2cos = −+ − − −+2
+ + =
=
tan( ) =
) ( √ √
= √ √ + + = √ √
−+
´ = 2√3
−+ 2 1 √
( ) 1 = 1 : (+)
Se reagrupan términos para despejar
1 =
= (+) 1 −(+) = (+) Como 1 = = −(+) (+) = (+) (+) (+) (+) 2 = (+) ( ) 2 = ( )
= ( ) 133 40
153 41
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1 1
lim ( − ) →
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222
∞−∞. ∞−∞ ó
Para poder aplicar la regla de L´Hopital, es necesario transformar
la indeterminación
en
Esto se hace de la siguiente forma
a 7, 15 y 24 pies de la pared?
241
b) Determinar el ritmo al que cambia el área del triángulo formado por la escalera, el piso y la pared, cuando la base de la primera está a 7 pies de la pared c) Calcular el ritmo de cambio del ángulo formado por la escalera y la pared
1 − 1 = lim − = 00
lim →
base se desliza a razón de 2 pies por segundo. a) ¿A qué ritmo está bajando su extremo superior por la pared cuando la base está
Al evaluar el límite por sustitución directa nos encontramos con una indeterminación de la forma
Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada sobre una pared (ver figura). Su
cuando la base está a 7 pies de la pared.
→
Luego se procede a derivar numerador y denominador:
− − lim lim = [ → → ] lim cos−1 + = 00 → Al evaluar el límite se nota que persiste la indeterminación, se continúa entonces derivando:
cos−1 cos−1 lim lim = → + → + − lim cos+cos− → Al evaluar el límite resultante se obtiene
− = 1+1−0 0 = 02 = 0 lim cos+cos− →
La información que nos proporciona el problema es Longitud de la escalera: 25 pies Valores numéricos para la base: 7,15 y 24 pies.
= 2 /
Lo que se pide:
,
,
1 1
lim ( − ) = 0 → 172 42
197 43
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Solución
Cálculo de
para = 15 pies + = 25
a) La figura geométrica plana que se forma con la escalera, el piso y la pared es un triángulo rectángulo. Por tanto, al aplicar el teorema de Pitágoras se tiene
= √25 − 15
+ = 25
= 20
Usando la regla de la cadena y derivando ambos miembros de la ecuación se obtiene
2 + 2 = 0
15 = − / 10
= −
= − Cálculo de
Cálculo de
para = 24 pies + = 25
para = 7 pies
= √25 − 24
+ = 25
= 7
= √25 − 7 = 24 =
= − ∗ 2
2 = −2
= −
=
−
− ∗ 2
7 = − / 12
= −
=−
=−
∗2
/
48 = − / 7
El signo menos (-) significa que la escalera se desliza hacia abajo por la pared.
198 44
199 45
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b) La fórmula para calcular el área de un triángulo es
= 1 ℎ → = 1
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Cuando la escalera baja por la pared lo hace con un
La función trigonométrica que relaciona los catetos es la tangente.
tan=
Usando la regla de la cadena y derivando ambos miembros de la fórmula se obtiene
= 1 + Para:
= 7 → = 24 = − / 1 = 1 + = 1 [7− +242] 1
Usando la regla de la cadena y derivando ambos miembros de la ecuación se obtiene
− =
= 1 =
= 1 1
c)
Como
= 1
se tiene:
1 1 = ( ) = (1 )
= (527)/ 24
Para hacer el cálculo de
es necesario calcular el .
= 5 = 5 → = 5
Para
200 46
. Y cuando se desliza lo hace con un .
7 = 7 pies, = 24 , = 2 /, = 1 /
201 47
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=
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( −
Un generador de fuerza electromotriz constante y resistencia
250
interna r se conecta a una resistencia de carga R.
= (4 [ ∗ 2 − 7 (− 7 ] 5 4 4 = 576 ( 49 65 4 69 = 576 (576+49 65 69 = 576 ∗ 65 65 69
= 1 / 12 Se pide: a) En función de las condiciones del problema deducir una expresión matemática para determinar la potencia P, disipada en la resistencia de carga. b) Encontrar el valor de R en función de r para que la potencia sea máxima.
Optimización Solución
En la ciencia, la ingeniería y la administración es frecuente interesarse por los valores máximo y mínimo de funciones; por ejemplo, una compañía está naturalmente interesada en maximizar los ingresos al mismo tiempo que en minimizar los costos. La próxima vez que el lector vaya a un supermercado intente este experimento: lleve
a) La intensidad I de la corriente que circula por el circuito dado, es el cociente entre la fuerza electromotriz del generador y la resistencia total del circuito R+r. La potencia disipada en la resistencia de carga es:
consigo una pequeña regla y mida la altura y el diámetro de todas las latas que contengan, por ejemplo, 16 onzas de alimento (28.9
3). El hecho de que todas las
,
latas de este volumen especificado tengan las mismas medidas no es una casualidad, puesto que existen dimensiones específicas que minimizarán la cantidad de metal
= 2
ó
1
utilizado y, por consiguiente, minimizarán el costo de fabricación a la compañía.
202 48
225 49
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Para demostrar lo enunciado en la conclusión, se procede a obtener la segunda
La intensidad de corriente en el circuito es:
derivada:
=
ó 2
2 +−2−(−+) 4+3 = +8
Al sustituir la ecuación 2 en la ecuación 1 y teniendo en cuenta que la resistencia total es: R+r se obtiene:
2
ó = (+) 3
=
2 −2+−4−++3 = +8
(+) ó .
2 −2+3[++2−+] = +8
b) Para hallar el valor de R en función de r se procede a derivar la ecuación primaria, para obtener los puntos críticos y el dominio de la función P en el intervalo
[0,∞).
2 (+)−2(+)] = (+)4 2 +2+ −2−2] (+)4 = 2 −+] = (+)4
2 −2[+−2+2] = +5 Como = : 2 −4 → = = 25 2 = 3
Se iguala a cero la primera derivada:
2 −+ ] = −+ ] = 0 = (+)4 (+)4
2 2 = 0 → 2 = 2 → = Como la
< 0,
2 25 = 23
se concluye entonces que la potencia en la resistencia de carga es máxima.
Como la función P es continua y positiva en el intervalo, podemos afirmar que el punto crítico es máximo En conclusión: “La potencia disipada en la resistencia de carga es máxima cuando ella iguala a la resistencia interna del generador” .
226 50
227 51
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(C) Serie Coronel [No. 02], 2017 La presente edición, que consta de 500 ejemplares, se imprimió en San Cristóbal, Venezuela.
Impreso en la República Bolivariana de Venezuela [PRINTED IN THE BOLIVARIAN REPUBLIC OF VENEZUELA ]
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