DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y POISSON
1.
En una una fábri fábrica ca de cáma cámara ras s el 5% sale sale con def defec ecto tos. s. Dete Deterrmine mine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas: Solución: Probabilidad = .5 n = 12 "=2
2.
P !" = 2# = .$$
En una ocin cina de ser ser&ici icio al clie liente se atien tiend den 1 perso erson nas diarias. Por lo 'eneral 1 personas se &an sin recibir bien el ser&icio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes ( no )a*an recibido un buen ser&icio:
Solución: 1% no reciben bien el ser&icio .1 n = 15 + es b !15, .1# "=( P !" = (# = .12$
(.
-n come comerc rcia iante nte de de &erdu &erdura ras s tiene tiene cono conocim cimien iento to de que que el el 1% 1% de la la caa está descompuesta. Si un comprador eli'e / &erduras al a0ar, encuentre la probabilidad de que las / estn descompuestas de 1 a ( estn descompuestas.
Solución:
/.
Descompuesto 1% es .1 a=n=/ P !" = /# = 3 b="=/ P !" = 1# 3 P !" = 2# 3 P !" = (# = .2$2 3 ./$ 3 ./ = .(/5 En pruebas reali0adas a un amorti'uador para automó&il se encontró que el 2% presentaban fu'a de aceite. Si se instalan 2 de estos estos amorti' amorti'uad uador ores, es, )allar )allar la proba probabili bilidad dad de que / sal'an sal'an defectuosos más de 5 ten'an fu'a de aceite de ( a 4 amorti'uadores sal'a defectuosos.
Solución:
P = .2 n = 2 a P 6+ = / + es b 62, .2 P 6+ = / = .217 b P 6+ 8 5 P 6+ 9 4 + es 62, .2 P 6+ 9 4 = .1$4 c P !( ; + ; 4# = P !+ 9 (# < P !+ 9 # = .$/ < .7 = . 5.
Si 4 de 17 pro*ectos de &i&iendas &iolan el códi'o de construcción, >?uál es la probabilidad de que un inspector de &i&iendas, que selecciona aleatoriamente a cuatro de ellas, descubra que nin'una de las casas &iola el códi'o de construcción dos &iolan el códi'o de construcción al menos tres &iolan el códi'o de construcción@ + es b 6/, .((
4.
P !+ = # = .1$5 P !+ = (2# = .2$4( P !+ 9 (# = P !+ = (# 3 P !+ = /#
.2/ .245
.4 3 .7 .7/
-n a'ente de se'uros &ende póli0as a cinco personas de la misma edad * que disfrutan de buena salud. Se'An las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones &i&a ( aBos o más es 2C(. állese la probabilidad de que, transcurridos ( aBos, &i&an las cinco personas al menos tres personas.
Solución: n=5 P = 2 = .4 ( + es b 65, .4 + es b 65, .(( P !+ = 5# = + es b 65, .(( = P !+ = 5 < 5 = # = .147 P !+ 9 (# = P !+ 9 2# = ./2
.
Si de seis a siete de la tarde se admite que un nAmero de telfono de cada cinco está comunicando, >cuál es la probabilidad de que,
cuando se marquen 1 nAmeros de telfono ele'idos al a0ar, sólo comuniquen dos@
Solución: P = Está comunicado n = 1 + es b 61, .2 P !+ = 2# = .(2
7.
P = 1C5 = .2
En unas pruebas de alco)olemia se )a obser&ado que el 5% de los conductores controlados dan positi&o en la prueba * que el 1% de los conductores controlados no lle&an apro&ec)ado el cinturón de se'uridad. Fambin se )a obser&ado que las dos infracciones son independientes. -n 'uardia de tráco detiene a cinco conductores al a0ar. Si tenemos en cuenta que el nAmero de conductores es sucientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no &arGa al )acer la selección. Determinar la probabilidad de
que
)a*an
cometido
al'una
de
las
dos
infracciones,
e"actamente tres conductores: al menos uno de los conductores controlados.
Solución: n=5 P1 = .5 P2 = .1
+ es b 65, .5 P !+ = (# = .1 P !+ 9 1# = .224 + es b 65, .1 P !+ = (# = .7 P !+ 9 1# = ./1
$.
En una ciudad, el (% de los trabaadores emplean el transporte pAblico urbano. allar la probabilidad de que en una muestra de die0 trabaadores empleen el transporte pAblico urbano: a e"actamente tres trabaadores, trabaadores.
Solución:
b por lo menos tres
P = .( n = 1
a P !+ = (# = .24 b P !+ 9 (# = .41
1. Ha probabilidad de que un artGculo producido por una fábrica sea defectuoso es .2. Se en&ió un car'amento de 1. artGculos a unos
almacenes.
allar
el
nAmero
esperado
de
artGculos
defectuosos, la &arian0a * la des&iación tGpica.
Solución: n = 1 P = .2 q=1
Esperan0a matemática. E 6" = n.p. = 1 " .2 = 2. 8 Iarian0a: I 6" = n.p.q = 1 " .2 "
.$$7 = 1$.$4. 8 Des&iación Estándar:
11. El nAmero de clientes que lle'a a un banco es una &ariable aleatoria de Poisson. Si el nAmero promedio es de 12 por )ora, >cuál es la probabilidad de que en un minuto lle'uen por lo menos tres clientes@ >Puede esperarse que la frecuencia de lle'ada de los clientes al banco sea constante en un dGa cualquiera@
Solución: 12 JJJJJJ 4 minutos K JJJJJJ 1 min. K =2 P !+ 9 (# = 1 < P !+ ; 2# = 1 < .4 = .(2(
12. El nAmero medio de clientes que entran en un banco durante una ornada, es 25. ?alcular la probabilidad de que en un dGa entren en el banco al menos (5 clientes.
Solución: K = 25 n=1 P !+ 9 (5# = 1 < P !+ 9 (/# = 1 < .$44 = .(/
1(. Si de seis a siete de la tarde se admite que un nAmero de telfono de cada cinco está comunicando, >cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 1 nAmeros de telfono ele'idos al a0ar, sólo comuniquen dos@
Solución: P = 1C5 = .2 6está comunicado n = 1
+ es b 61, .2 P !+ = 2# = .(2
1/. Hos accidentes laborales diarios de una empresa si'uen una distribución de Poisson con K = ./. ?alcular las probabilidades. De que en un determinado dGa se produ0can dos a lo sumo dos por lo menos dos accidentes. De que )a*a / accidentes en una semana. De que )a*a un accidente )o* * nin'uno maBana.
Solución: K = ./ n=1 P 6+ = 2 = P 6+ ; 2 < P 6+ ; 1 .$$2 < .$(7 = .5/ L lo sumo 2
P 6+ ; 2 = .$$2
Por lo menos 2
P 6+ 9 2 = 1 < P 6+ ; 1 = 1 < .$(7 = .42
n=
K = ./
1
K
K = 2.7
P !+ = /# = P !+ ; /# < P !+ ; (# = .7/7 < .4$2 = .154
K = ./ P !+ = 1# = P !+ ; 1# < P !+ ; # = .$(7 < .4 = .247
P !+ = # = .//$
K
n=1
= .7
15. -n representante reali0a 5 &isitas cada dGa a los comercios de su ramo * conoce que la probabilidad de que le )a'an un pedido en
cada &isita es del ./. Mbtener: El nAmero medio de pedidos por dGa. Ha probabilidad de que el nAmero de pedidos que reali0a durante un dGa est comprendido entre 1 * (. Ha probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos.
Solución: n=5 P = ./
K=@
K=n"P K = 5 " ./ = 2 P !1 ; + ; (# = P !+ ; (# J P !+ ; # .75 < .1(5 = .22 P !+ 9 2# = 1 < P !+ ; 1# 1 < ./4 = .5$/
14. -na empresa dedicada a la fabricación * &enta de bebidas refrescantes obser&a que el /% de los establecimientos que son &isitados por sus &endedores reali0an compras de esas bebidas. Si un &endedor &isita 2 establecimientos, determinar la probabilidad de que por lo menos 4 de esos establecimientos realicen una compra.
Solución: P = ./ n = 2
+ es b 62, ./ P !+ 9 4# = .7/
1. -n ser&icio dedicado a la reparación de electrodomsticos en 'eneral, )a obser&ado que recibe cada dGa por trmino medio 15 llamadas. Determinar la probabilidad de que se reciban más de 2 llamadas en un dGa.
Solución: n=1 K = 15
P !+ 9 2# = P !+ 9 21# = 1 < P !+ ; 2# = 1 < .$1 = .7(
17. Hos mensaes que lle'an a una computadora utili0ada como ser&idor lo )acen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa promedio de .1 mensaes por minuto. >?uál es la probabilidad de que lle'uen a lo más 2 mensaes en una )ora@
Solución:
Variable de mensajes Ne'la de ( simple Onter&alo de minutos .1 1 min. K = .1 minuto K 4 min. allar P !+ ; 2# con 1 )ora K = 4 " .1 = 4 Onter&alo )oras 1 K=4 P !+ ; 2# = .42 1$. L una ocina de reser&aciones de una aerolGnea re'ional lle'an /7
llamadas por )ora: ?alcule la probabilidad de recibir cinco llamadas en un lapso de 5 minutos. Estime la probabilidad de recibir e"actamente 1 llamadas en un lapso de 15 minutos. Supon'a que no )a* nin'una llamada en espera. Si el a'ente de &iaes necesitará 5 minutos para la llamada que está atendiendo >cuántas llamadas )abrá en espera para cuando l termine@ >?uál es la probabilidad de que no )a*a nin'una llamada en espera@ Si en ese momento no )a* nin'una llamada >cuál es la probabilidad de que el a'ente de &iaes pueda tomar ( minutos de descanso sin ser interrumpido por una llamada@
Solución: K = /7 P !+ = 5#
n = 1 )ora K = /7 JJJJJJJJ 4 min. + JJJJJJJJ 5 min. +=/
K=/
P !+ = 5#
= P !+ ; 5# < P !+ ; /# = .75 < .42$ = .154 P !+ = 1# K = /7 JJJJJJJJ 4 min. + JJJJJJJJ 15 min. K = 12 + = 12 P !+ = 1# = =
= P !+ ; 1# < P !+ ; $# .(/
<
.2/2
.15
abrán / llamadas en espera cuando l termine:
P !+ = # = .17
K
=/
K = /7 JJJJJJJJ 4 min. + JJJJJJJJ ( min.
P !+ = # = .$1
K
= 2./
+ = 2./
2. Hos pasaeros de las aerolGneas lle'an en forma aleatoria e independiente al mostrador de re&isión de pasaeros. Ha tasa media de lle'ada es de 1 pasaeros por minuto. ?alcule la probabilidad de que a no lle'ue nin'An pasaero en un lapso de un minuto. b lle'uen tres o menos pasaeros en un lapso de un minuto. c no lle'ue nin'An pasaero en un lapso de 15 se'undos. d lle'ue por lo menos un pasaero en un lapso de 15 se'undos.
Solución: K = 1 " minuto a P !+ = # = apro". b P !+ ; (# = .1 c K = 2.5 P !+ = # = .72 d P !+ 9 1# = 1 < P !+ ; # = 1 < .72 = .$17.
Ne'la de ( simples: 1 JJJJJJJJ 4 se'. + JJJJJJJJ 15 se'. + = 2.5
21. ?ada aBo ocurre en promedio 15 accidentes areos. ?alcule el nAmero
medio
de
accidentes
areos
por
mes.
?alcule
la
probabilidad de que no )a*a nin'An accidente en un mes. De que )a*a e"actamente un accidente en un mes. De que )a*a más de un accidente en un mes.
Solución: K = 15 JJJJJJJJ 1 aBo = 12 meses K JJJJJJJJ 1 mes K = 1.25 " mes P !+ = # K = 1.25 1.( = .2( P !+ = 1# = P !+ ; 1# < P !+ ; # = .42 < .2( = .(5/ P !+ 8 1# = P !+ 9 2# = 1 < P !+ ; 1# = 1 < .42 = .((
P 6+ 9 1 = 1 < P 6+ ; = 1 < .2( = .2
22. Se estima que los accidentes fuera del trabao tienen para las empresas un costo de casi Q 2 mil millones anuales en prdidas de producti&idad. ?on base en estos datos, las empresas que tienen 5 empleados esperan tener por lo menos tres accidentes fuera del trabao por aBo. Para estas empresas con 5 empleados >?uál es la probabilidad de que no )a*a nin'An accidente fuera del trabao en un aBo@ >De qu )a*a por lo menos dos accidentes fuera del trabao en un aBo@ >?uál es el nAmero esperado de accidentes fuera del trabao en un lapso de seis meses@ >?uál es la probabilidad de que no )a*a nin'An accidente fuera del trabao en los pró"imos seis meses@
Solución: K=( P !+ = # = .5 P !+ 9 2# = 1 < P !+ ; 1# = 1 < .1$$ = .71 Para los 4 meses 6Ne'la de ( K = ( JJJJJJJJJJJJ 12 meses K JJJJJJJJJJJJ 4 meses K = 1.5 en 4 meses
P !+ = # = .22(
2(. Durante el periodo en que una uni&ersidad recibe inscripciones por telfono, lle'an llamadas a una &elocidad de una cada dos minutos. >?uál es el nAmero esperado de llamadas en una )ora@ >?uál es la probabilidad de que )a*a tres llamadas en cinco minutos@ >De que no )a*a llamadas en un lapso de cinco minutos@
Solución: K = 1 JJJJJJJJJJJ 2 minutos K JJJJJJJJJJJ 4 minutos K = ( En 1 )ora
P !+ = (# K = 1 JJJJJJJJJJJJJ 2 minutos K JJJJJJJJJJJJJ 5 minutos K = 2.5
P !+ = (# = P !+ ; (# < P !+ ; 2# = .57 < .5// = .21/
P !+ = # = .72
