„.
44. H all arla temperatura del sector cilindrico infinito 0 ^ ^ r0, 0 <
)> 0 < r < r„, 0. ) la superficie os termoaislada. 72. Hallar la temperatura de un sector cilindrico no acotado 0 ^ r Sí ro> cfo, —oo < 2 < -foo, si su temperatura inicia] es “ 11—o = / (r < C P< z)> 0 < ip < cf0, 0 < r < r0, —oo < 2 < +oo y sobro la superficie se cumple una de las siguientes condiciones do frontera: a) la temperatura de la superficie se mantiene igual a cero; b) la superficie os termoaislada. 73. Resolver el problema anterior para uji sector cilindrico z < -f-oo. semiacotado 0 ^ r /■„, 0 ^ (r), |r2 = x2 y< z). u i li- o = . 0) = / (r, cp), O < l < < -j-oo, entonces la expresión para u (r, t) puede ser obtenida según la fórmula (1 ) de la respuesta al problema anterior, si en ella hacemos está en el centro del resonador esférico. La dependencia con respecto a] tiempo es del tipo e-1" ' . Las oscilaciones de tipo eléctrico so determinan por las fórmulas \i u /
0 < q> < qp0.
45. Hallar la temporatura del sector cilindrico infinito r¡ ^ ^ r í j r , , 0 < tp ^
< r < r4, 0 <
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V . Ecuaciones de tipo parabólico
431
46. Hallar la temperatura del sector cilindrico infinito rA ^ r ^ r2, 0
0 <
47. Hallar la temperatura del cilindro circular finito 0 ^ r r0, 0 ¡sj <¡> ^ 2ji, 0 ^ z ^ cuya superficie se mantiene a una tempe ratura igual a cero, si la temperatura inicial es u |¡_0 => j (r,
r < r0, 0 <
48. Hallar la temperatura del cilindro circular finito 0 r s j r0, 0
49. Resolver el problema acerca del enfriamiento do una esfera de radio r„sobre cuya superficie semantiene una temperatura igual a cero. La temperatura inicial de la esfera es “ li-o = / (r> 0,
0 < r < r„,
0 ^ 6 ^ n,
0 ^ tp ^ 2it.
50. Resolver el problema acerca del enfriamiento do la esfera de radio r0, si sobre su superficie se realiza ol intercambio de calor por convección con un medio de temperatura iguala cero. Late peratura inicial do la esferaes < r0, sg
0
r
0 < cp < 2n. “ lf-o = 1 ('‘i
0 < 6 < n,
0
< cp < 2ji.
Medios heterogéneos ; factores concentrados
53. El cilindro circular heterogéneo 0 ^ r ri, 0 <1 cp 2n, O ^ z ^ j i está compuesto de un cilindro homogéneo 0 r ^ r0, 0 SC
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432
Planteamiento do lo» problem a»
^ r ^ r¡, 0 <;
11 -o = / (r,
2 n , 0 < z < l.
54. Resolver el problema acerca del enfriamiento del tubo cilin drico infinito r, ^ r ^ r, lleno de un líquido enfriador, si la tem peratura de este líquido todo el tiempo es igual a la tomperatura do la superficie interior del tubo y la superficie exterior es termoaislada. La temperatura inicial del tubo es igual a » li-o — 1 (r)> r¡ C r < r¡. 55. Resolver el problema anterior, suponiendo que sobre la superficie exterior del tubo se realiza ol intercambio de calor por •convección con un medio la tomperatura del cual es igual a cero. 56. El cilindro de radio r¡ con momento do inercia K sobre una ■unidad de longitud está hundido on un líquido y se lleva on giro por ol momento iXI =s const sobre la unidad de longitud. Determinar el movimiento del líquido y del cilindro si el líquido llena el espacio ontre el cilindro y el tubo coaxial inmóvil con el radio interior r. > r¡. Considerar que el cilindro y el tubo son infinitamonto largos. En el momento inicial de tiempo el cilindro y el líquido estaban en reposo. 57. Fuera de un conductor cilindrico hueco r, ^ r ^ r 2 de longitud infinita en el momento Z = 0 se establece instantáneamente el campo magnético constante ff0 paralelo al eje del cilindro. Hallar el campo magnético dentro del conductor con las condi ciones iniciales nulas, suponiendo que en la cavidad interior el campo es homogéneo y también que fuora y dentro del tubo existe un vacío. 58. La esfera heterogénea 0 ^ r ^ rt está compuesta do una esfera homogénea 0 ^ r ^ r<, y de una cápsula esférica homogénea '"o ^ ^ ri elaboradas de materiales diferentes. Hallar la temperatura de la esfera si su superficie se mantiono a una temperatura igual a coro y la temperatura inicial es u |(_0 = / (r, 0, (p),
0 ^ r < r¡, 0 ^ 0
Jt,
0 ^ cp
2n.
0
§ 3. M étodo de representaciones integrales En este parágrafo se examina la utilización de las representacio nes integrales a la solución de los problemas de contorno de la teoría do la conductibilidad térmica. Primero se incluyen los problemas sobre la utilización de la integral de Fourier, después sobre la cons trucción y el empleo de las funciones de manantiales.
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V . Ecuaciones de tipo parabólico
1.
43 3
Utilización de la integral de Fou rier
59. Hallar la distribución de la temperatura en un espacio no acotado, con temperatura inicial w l«-o •= / (x, 'J> *).
— °° < x , y, z < +oo.
Examinar también el caso particular cuando / ( i, y, z) no dopende de z. 60. Hallar la temporatura del espacio no acotado provocada por los manantiales de acción continua con densidad g (x, y , z, í)i la temperatura inicial del espacio es igual a coro. Examinar también los casos particulares cuando g (x, y, z, l) no depende do t y cuando g (x , y, z, í) no depende de z. 61. Resolver el problema de contorno u t — o2 Aíí,
—oo < x, y < 4-oo,
O < z < -f-oo,
O<
< t < +oo, «
U-0
=
O,
— oo
u 11 —o
=
/ (*> y< 2)>
<
x,
y <
+ 0 0,
O<
— 00 < X, y < + o o ,
—oo < í , i/
O < z < 4-oo,
O<
< t < 4 -00, « lz -o = / (•*> y -*>.
— 00 < *. y <
+ «> ,
U lí-o =“ o,
— oo < x, ¡/ < 4-oo,
O<
¿<
4-oo,
O < 2 < 4-00.
Examinar también el caso particular cuando / no depende de y. 63. Resolver el problema de contorno u, — a2 Au,
«!
lí-o = O,
— oo < # , ( / < 4-oo,O ■< z,
í < 4-oo,
—oo < * , ! / < 4-00, O < í < 4-00,
« 11 —o = 1 (*, y, z), —oo < x, y < 4-oo, O < z < 4-oo. 64. Resolver el
problema do contorno
«•( = a2 Aíí,
— oo < x, y < 4-oo,
O < z,
£ < 4-oo,
li-o =* / (*, y, í), — oo < z, y < 4-oo,
O < í < 4-oo,
— 00 < x, y < -foo,
O < z < 4-oo.
u |t —o = O» 2-0942
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+
O < z < -hoo.
Examinar también el caso particular cuando / no depende de y. 62. Resolver el problema de contorno u t = a 2 At¿,
t <
434
Planteamiento de los problemas
65. Resolver el problema de contorno u t = a 1 Am, u¡ — hu = 0,
—oo < x, y <
+ oo, 0 <
z, £ < +oo,
—oo < x, y <
+oo,
0, 0 < £ <
z =
<
U |t_„ = f (x, y, z), — oo <
y < + oo,
+ < »,
0 < z < -j-oo.
Examinar también el caso particular cuando / no depende de y, 66. Resolver el problema de contorno u¡ = a'- Au,
—oo c x, y < -f oo,
u , = h l u — I (x,y, £)1,—oo < x, y <
0 < z, £ < +oo, +oo,
z = 0,
0 < £ < +oo, u |(_0 = 0 ,
— oo < x, y < +oo,
0 < z < -f-oc.
Examinar también el caso particular cuando / no depende do y. 67. Resolver el problema de contorno u, — a2 Au + / (x, y, z, £), —oo < x, y < +oo, 0 < z, t < -foo,
“ I*-o = 0,
—oo < i , J < + o o ,
u ||.o = 0 ,
— oo <. x, y < +oo,
0 < £ < +oo, 0
68. Hallar la temperatura de una viga no acotada con sección transversal rectangular 0 ^ x ¡SJ /|, 0 ¡Sj y ^ /2, —oo <_ z <. +oo, si su temperatura inicial es u |(_0 = / (x, y, z),
0 ^ x ^ l¡, 0 < t / < /j,
—oo
2 s í -|-oo
y sobre la superíicie a) se mantiene una temperatura igual a cero; b) tiene lugar la aislación térmica; c) so realiza el intercambio de calor por convección con un medio de temperatura nula. 69. Rosolvor el problema anterior para una viga semiacotada x ^ i,, 0 ^ y l¡, con la sección transversal rectangular; 0 0 < z < -f-oo; examinar los casos que corresponden a las condicio nes de frontera a) y b). 70. Hallar la temperatura de un cilindro circular infinito 0 ^ r ^ r0, 0 ^ ip ^ 2it, — oo < z < + oo, si su temperatura inicial es ti lt-o = / (r <
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V. Ecuaciones de fipo parabó lico
436
a) la temperatura de la superficie se mantiene igual a cero; b) la superficie es termoaislada; c) sobre la superficie se realiza el intercambio de calor por con vección con un medio ambiento cuya temperatura es igual a ccro71. Hallar la temperatura de un cilindro semiacotado circular 0< ?•(,, 0 S j
0 < (p < (p 0
y sobre los bordes de la placa: a) se mantiene una temperatura igual a cero; b) tieno lugar la aislación térmica. 75. Resolver el problema anterior, suponiendo que un borde de la placa es termoaislado y la temperatura del otro se mantiene igual a cero. 76; Hallar la temperatura de una cuña no acotada con el ángulo de abertura rp0 si sobre sus caras: a) se mantiene una temperatura nula; b) tiene lugar la aislación térmica. 77. Rallar la temperatura de un espacio no acotado con una cavi dad cilindrica circular infinita si la temperatura inicial os igual a cero y la temperatura sobre la superficie de la cavidad se mantiene igual a U„. 2*
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43 6
Planteamiento de los problemas
2. Construcción y utilización d e las funciones do influencia de los manantiales puntiformes instantáneos de calor
78. Demostrar que el producto de las soluciones u¡ (x, t), u 2 (y, (), «3 (z, t) de los problemas de contorno
0< í< + o o , =
(x),
( 2 ')
— oo < * < -f oo, 0 < t<
“ alí-o = / 2(!/).
(1 ')
+ oo,
( t" )
( 2")
— o o < y < - fo o , 0 < t<
+ oo,
2
“ 3 l í -0 = fa (*)■. —OO < z < +oo,
( ")
es la solución del problema de contorno
—oo < x, y, z < +oo,
(1 “)
O < t < +oo,
( 1)
(2)
“ It-o = U (x) f 2 (y) fa (z)> —°° < x , y, z < +oo.
79. Utilizando las expresiones de las funciones de influencia do los manantiales puntiformes instantáneos de calor para las rectas — oo < x < + oo, —oo < y < + oo, —oo < z < -foo y la supo sición formulada en el problema 78, escribir la función de influencia del manantial punliforme instantáneo de calor para el espacio —oo
“ l i - o = / (*> y . z) .
— 00 < x , y , z <
+ o°i
-foo.
81. Escribir la expresión de la función de influencia del manantial puntiforine instantáneo de calor para el semiespacio —oo < x, y < +oo, O < +oo que corresponda a las condiciones de fron tera a) “ U-o = O, b) u 2 U _0 = O, c) (u 2 — hu) |z_0 = O, por las funciones unidimensionales correspondientes de influencia análogamente como so hizo en la solución del problema 79.
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437
82. Medíanle las funciones de influencia halladas on e) problema anterior resolver los problemas de contorno a) u< — a 2 Alt +
— oo < x,y < + 00, 0 < z, t < + 00, u |t _(> = (x, y, t), — 00 < x, y < + 00, 0 < í < -foo, P (x, y, z,
i),
u 11 _0 = / (2 , y, z), — 00< x, y < -feo, 0 < z < + 00;
b) u¡ — oa Au +
F (x, y , z, t), — 00 < * ,
y < + 0 0 , 0 < z, í < +00,
“ 1 Ir-o = ^ (x , y. £)> — 00 <. x, y < -foo, 0 < i < + 0 0 , “ I1-0 = / (*> !/. 2). — 00 < x, y < + 0 0 . 0 < 3 < + 0 0 ; c) u , = a1 A 1/. + /•' (a:, {/, z, í)- — 00 < *1 ¡/ < + °°, 0 < z, { < + 0 0, (ul —hu) |2_0 ==& (x, y, t), —o o < x , y < + 00, 0 < t < -f-oo,
w It-o = / (*. V, z), — 00 < x, y < -foo, 0 < z < + 00. 83. Sea i? una región cilindrica (infinita, seiniacotada o finita) paralela al eje z, y sea D xv su intersección con el plano xy. Sean dadas sobre la superficie de la región D las condiciones de frontero de primero, segundo o tercer género. Demostrar que el producto de la correspondiente función de influencia del manantial puntiforme instantáneo de calor para todo el eje z, del semieje z o del segmento finito del eje z por la función do influencia del manantial puntiforme instantáneo de calor para la región plana D x¡/ es la función de influencia del manantial puntiforme instantáneo de calor para la región D . 84. Utilizando la afirmación formulada en el problema anterior, escribir la expresión de la función de influencia del manantial pun tiforme instantáneo de calor para la capa plana — 00 < x} y < — co, 0 < z < /. Examinar los casos cuando sobre los planos de frontera z = 0 y z = I: h) se mantiene una temperatura nula; h) tiene lugar la aislación térmica; c) lino de los planos de frontera (z = 0) os termoalslado y sobre el otro (z = l) se mantiene una temperatura nula; d) sobre los ambos planos de frontera se realiza el intercambio de calor por convección con un medio de temperatura nula. 85. Construir la función de influencia del manantial puntiforme iastantáneo de calor para la viga no acolada con la sección transver — 00 < z < + 0 0 si sobre sal rectangular 0 ^ x ^ l,, 0 sC 1/ <á la superficie de la viga a) se mantiene una temperatura nula;
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438
Planteamiento de los problemas
b) tiüno lugar Ja aislación térmica. 86. Construir la función de influencia del manantial puntiforme instantáneo de calor para el paralelepípedo rectangular 0 ^ x s j l¡, y ^ ¿s. 0 s j z s j 0 Examinar los caso» cuando la superficie del paralelepípedo: a) so mantiene a una temperatura nula; h> os toi'moaislada. 87. Mediante ol método de reflexión construir la función de influencia dol manantial puntiforme instantáneo de calor para una cuña no acotada con ángulo de abertura — , donde m es un número m natural. Examinar los casos cuando los planos de frontera (p = O a) se mantienen a una temperatura igual a cero; b) son tcrmoaislados. 88. Hallar la distribución do la temperatura eu el espacio no acotado, producida por el hecho de que en el momento inicial de tiempo sobro la superficie esférica de radio r' se desprendieron ins tantáneamente ^ unidades de calor distribuidas uniformemente. (Construcción de la función de influencia del manantial esférico instantáneo do calor). 89. Mediante la función dol manantial hallada en el problema anterior resolver el problema de contorno
u(r, 0) — f ( r ) ,
0 < r < + oo,
donde r = -(-y1-\-zt. 90. Hallar la distribución de la temperatura en el espacio no acotado producida por el hecho de que on el momento inicial de tiempo en cada unidad de longitud de la superficie cilindrica infinita de radio r' se desprendieron Q unidades de calor distribuidas unifor memente. (Construcción de la función de influoncia del manantial cilindrico instantáneo de calor.) 91. Mediante la función de influencia hallada en la solución del problema anterior resolver el problema de contorno (1) ú (r, 0) — F (r),
0
(2 )
donde r = Y x 1 + y 92. Hallar la función do influencia dol manantial puntiformo instantáneo para la ecuación de la difusión si el medio on que se realiza la difusión so mueve con una voiocidad constante v con res pecto al sistema de coordenadas on examen.
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439
93. Hallar la función de influencia del manantial puntiforme inmóvil de potencia constante para la ecuación de la difusión en un medio que se innove con velocidad constante v en el sentido del eje x, si ol proceso de la difusión es estacionario y si se puede des preciar la transferencia de la sustancia en ol sontido dol ojo x on comparación con la transferencia como resultado del movimiento del medio (véase el problema 2 ). 94. Resolver ol problema anterior para el semiespacio 0 < z < < -j-oo, examinando los casos cuando: • a) el plano z = 0 es impermeable; b) sobre el plano z = 0 so mantiene una concentración igual a cero: c) el plano z = 0 es semiimpermeable. además, debajo de él (es docir, para z < 0)se mantiene una concentraciónigual a cero. 95. Hallar la concentración do la sustancia en difusión en el espacio no acotado que se desprende por un manantial puntiforme do potencia / (t) con las coordenadas x =
0para
para 0 ^ r < r o, r„ < r < + oo,
donde r es el radio-vector del sistema esférico de coordenadas. 97. Resolver el pi'oblema anterior para el semiespacio z > O, suponiendo que z0 < r„ y (O, O, z0) son las coordenadas del centro do la esfera, en el cual la concentración inicial es igual a í /0- Exa minar los casos cuando a) el plano z = O es impermeable para la sustancia en difusión, b) sobre el plano z = O se mantiene una concentración igual a cero. 98. Hallar la concentración do la sustancia on difusión en el espacio no acotado si su concentración inicial es igual n U0¡ss const para 0 ^ r < r „ , u 0para r0
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440
Planteamiento <íe los problem as
100. El canal con las paredes verticales y el fondo impermeable de súbito se llena do agua de tal manera que en una parte, para x < 0 , el nivel del agua es H x = const y en la otra parte, para x > 0 , //2 = const, y ulteriormente estos niveles se mantienen invariables (véase la fig. en la respuesta al problema, el eje vertical H es perpendicular al plano del dibujo). En el momento inicial el nivel de las aguas subterráneas en la — const. capa del suelo y > 0 es igual a Considerando que la capa está sobre una base impermeable que es la continuación del fondo del canal, hallar el nivel de las aguas subterráneas // (x , y , t) para t > 0 (y > 0). 101. Sobro la superficie de la cavidad esférica 0 ^ r ^ r„ de un espacio no acotado la temporatura debe variarse según la ley “ lr-r. = (0 i donde
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Capitulo VI ECUACIONES DE TIPO HIPERBÓLICO
A las ecuaciones de tipo hiperbólico llevan los problemas decarácter dinámico de la m e c á n i c a de lo s medios continuos (acústica, hidrodinámica, aerodinámica, teoría do elasticidad) y los problemas de electrodinámica*). En el capítulo presente se examinan el plan teamiento y la solución de los problemas de contorno de tipo hiper bólico para las funciones de dos y más variables independientes, así que esto capítulo es la continuación y el desarrollo del cap. II en que se examinan los problemas de tipo hiperbólico sólo para lasfunciones de dos variables independientes, Al igual que en el capí tulo II las oscilaciones de los medios continuos en todas partes de este capítulo se consideran pequeñas en el sentido usual de la palabra.
§ 1. Problemas físicos que cond ucen a las ecuaciones de tipo hiperbólico; planteamiento de los problemas de contorno En este párrafo se examina el planteamiento de los problemasde contorno para los procesos de la mecánica de los medios continuosEl planteamiento de los problemas de electrodinámica se examinan en el cap. IV**). 1. Plantear el problema de contorno acerca de la propagaciónde las perturbaciones pequeñas en un gas ideal homogéneo que llena un espacio no acotado, tomando por la función que caracteriza el proceso una de los magnitudes: la densidad del gas p, la presión en el gas p , el potencial de velocidades de las partículas del gas U , el vector de la velocidad do las partículas del gas r = 4- j i Á2> + -f fcy(3), el potencial del desplazamiento de las partículas del gas <1>* o el vector del desplazamiento de las partículas del gas u = iu>'' + + /u(S) + kui3\ Demostrar que utilizando una de estas magnitudesso puede expresar cualquiera otra de ellas. 2. Deducir las condiciones de frontera para el potencial de \elocidadesdelas partículas del gas £'* **), el potencial del desplazamien to
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-44 2
Planteamiento de los problemas
Examinar los casos cuando este plano: a) está inmóvil, l>) se mueve con la volocidad subsónica en el sontido de su normal según una ley dada. 3. El espacio está lleno con dos gases ideales diferentes, la fron tera de separación de los mismos es la superficie S*). Suponiendo que las presiones no perturbadas en ambos gases son igualos, plan tear el problema de contorno sobre la propagación do las perturba ciones pequeñas en el gas. Plantear el problema de contorno sobre las oscilaciones trans versales de una membrana con el borde fijo inmóvil si en el estado no perturbado la membrana es plana y el medio ambiento 110 pro duce resistencia a las oscilaciones de la misma. Observación. El problema sobre las oscilaciones de la membrana es el análogo bidimensional del problema sobre las oscilaciones de la cuerda**). 5. Plantear el problema de contorno sobre las oscilaciones de la membrana tendida sobre el hueco de un recipiente cerrado, te niendo en cuenta la variación de la presión en el recipiente excitada por las oscilaciones de la mombrana y considerando que la velo cidad de propagación de las perturbaciones pequeñas en el gas es considerablemente más grande que la velocidad de propagación de las ondas en la membrana (el problema sobre las oscilaciones de la membrana del tambor). 6. Deducir la ecuación de la propagación de las perturbaciones pequeñas en un gas que se mueve a velocidad constante con respecto al sistema de coordenadas. 7. Plantear ol problema de contorno sobre el contorneado esta cionario subsónico de una cuña inmóvil por el flujo plano paralelo simétrico del gas ideal. 8. Plantear el problema de contorno sobre el contorneado esta cionario subsónico dol cono circular por un gas ideal en el sentido del oje del cono, considerando que el flujo no perturbado es homo géneo y las perturbaciones excitadas por el cono son pequeñas. 9. Sea que ol nivel de un líquido ideal en un estanque con el fondo horizontal y las paredes verticales en el estado no perturbado es igual a h = const. Con oscilaciones pequeñas de la superficie libre pueden surgir movimientos en que las partículas dol líquido, que están en cualquier vertical, se mueven de modo igual en las direc ciones horizontales. Sea ? (x, y , £) la elevación de la superficio perturbada softre el nivel del líquido en reposo. Considerando la presión /> en el líquido perturbado a una profundidad igual a la hi*) La superficie geométrica. Se supone que durante el tiempo de examen la frontera
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V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
443
drostática, plantear el problema de contorno sobro la propagación de las perturbaciones pequeñas cu la capa, tomando por la función que caracteriza el procoso: 1 ) £ (x, y , t)\ 2 ) ol potencial do las velo cidades (horizontales) do las partículas del líquido si la presión p(> sobre la superficie del líquido queda constante (véase el problema 7 del cap. II. § t). 10. Plantear el problema de contorno i) para 'el caso cuando [/„ os una función dada de x, y , í, tomando por la función que caracte riza el proceso el potencial de las velocidades horizontales. 11. Deducir lo ecuación del movimiento del centro do la masa del elemento infinitésimo del medio elástico, tomando el elemento en la forma de un paralelepípedo rectangular con las aristas paralelas a los ejes de las coordonadas. 12. Utilizando la ley de Hooke para ol medio elástico, isotrópico y homogéneo, representar las ecuaciones dol movimiento halla das en el problema anterior, de forma que contenga sólo las compo nentes del vector de las fuerzas volumétricas y del vector del despla zamiento U = iu (x, y , z, t) + jv (x, y, z, í) + kw (x. y, z, t) demostrar que el “largamiento a tedas parles" 0 = di v U y el rotor B = rot U satisfacen, cada uno por separado, la ecuación
y
ondulatoria de d’Alembert -jjr — a2A
e u —
OX *
Vxy-
dv dx
,
(tu T y ’
Y 2.X“ Y « =
du
Ou Ez -= úz
~ó7'
dv
Y¡, — y*t - -¿7 0w óx
.
,
Ow
Ou
+ 1T
de la deformación e x
(D) =
Vi/* Yz*
V.XJ,
Vx,
Yv*
.
Vw
*) Las ondas clásticas «longitudinales» se propagan más lápidamente ijue las «transversales».
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444
Planteamiento de los problemas
En el caso cuando el medio es homogéneo y isolrópico las componen tes del tensor de la tensión (véase la respuesta al problema anterior) T*y (T) = » o» T*y eslán relacionadas por las correlaciones siguientes con las compo nentes del tensor de las deformaciones
as - M » + 2 j i - g .
« ,- H M - 2| í. £ .
/ Ow | Ov \
—ll ( Ou + d i ) ’
. Ow \
T« - T« “ ll ( ' 3T+ dx) ■
/ do *xy — * „* - P [ Or
.
Ou \
) '
donde 0 = div U, X y p son las constantes de Lame relacionadas del modo siguiente con el módulo E de Young y el coeficiente m de Poisson: u (3Á 2ii) X E— m = 7TK+ñ- El coeficiente m de Poisson caracteriza la razón de la contracción transversal correspondiente y el alargamiento longitudinal. El módulo del desplazamiento G = p. 13. rtepresentando el vector de las fuerzas volumétricas en la forma F = grad el) + rot li (acerca de la posibilidad de represen tación en esta forma de un vector arbitrario véase \M\. pág. 209), demostrar que si = (X + 2p) Aff- -f- Ü>, p-^í- = p + B , entonces el vector U = grad
*) Para más
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V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
445
15. Expresar por medio de las componentes del vector U y el tensor T (véase el problema 12) las condiciones de frontera para la propagación do las perturbaciones clásticas en un semiespacio isotrópico y homogéneo, si ol plano de la frontera a) está libre, b) está fijo rígidamente. Expresar para el problema plano estas condiciones de frontera por medio de los potenciales escalares (véase el problema 14). 16. Plantear el problema de contorno sobre las oscilaciones radiales de) tubo cilindrico circular bajo la acción de la fuerza radial F (/", ¿), donde F (r , t) es la fuerza que actúa sobre una unidad de masa que está a la distancia r del eje del tubo. 17. Plantear el problema de contorno sobre las vibraciones radia les de la capa esférica elástica r, ^ r ^ r 2 bajo la acción de la pre sión variable p (t) dentro do la cavidad interior. 18. Deducir la ecuación diferencial para la desviación desde el estado no perturbado de los puntos do una placa homogénea isotrópica fina que efectúa oscilaciones transversales pequeñas. Examinar, en particular, el caso cuando la placa está puesta (y sujeta) sobre la base elástica. Ohstmación. El
problema sobre ¡las- oscitaciones Iransvorsales (le un» placa es el análogo biilimensional del problema sobre las oscilaciones transver sales de la barra (véase § 1, cap. II).
19. Pasando a las coordenadas polares, plantear el problema de contorno sobre las oscilaciones transversales de una placa circular si el borde de Ja placa está rígidamente apretado. 20. En el origen do las coordenadas del espacio no acotado i , y, z, que representa en sí el vacío, se encuentra el dipolo eléc trica paralelo al eje z. El momonto del dipolo varía según la ley A/0= const, M i = M llcos(út,
— o o < í^ 0 , 0
Plantear el problema de contorno sobre la determinación campo electromagnético generado por el dipolo para t > 0 .
del
§ 2. Problemas sencillos; diferentes métodos de resolución 21. a) Resolver el problema de contorno Un — a 2 Au,
—oo < i , y, z < +oo,
« li-o =
0 < t < -foo, -|- z2. 0
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(1 ) (2)
446
Planteamiento de los problemas
»>) Hallar lim
u (x, y, z y t).
X , u , 2 — 0
22. Resolver el problema de contorno u,¡ = a2 Aa 4- / (r, l), r* = x- + y- + z“, 0 ^ r <; -f-oo, 0 < ¿ < + oo, u lt_« — 0 ,
ut ||_0 = 0 .
23. Resolver el problema de contorno Un — c* A u, — oo < x, y , z < + o o , 0 < i < + o o
( 1) (2 ) (1)
con las condiciones iniciales U0= const dentro de la esfera de radio r„,
I
O fuera de esta esfera,
H/|i=o = 0 on todas parles. U0 = const dentro de la esfera de radio r0, O fuera de esfera.
Í
«|(=u=0
en todas partes.
24. En el mo/nenlo inicial de tiempo t = O el gas dentro de un volumen esférico de radio r„ está comprimido de tal modo que la perturbación de la densidad es p = pi y fuera del volumen p sse 0. La velocidad inicial de las partículas del gas os igual a coro en todo ol espacio. Halla r el movimiento del gas para < > 0 . 25. Resolver el problema 23 b) para el semiespacio z ¡3* O si el centro de la esfera se encuentra en el punto (0 . 0 . z„), z0 > r„; examinar los casos particulares cuando «) » 12 —« — O, 1>) u z
= O.
2fi. Resolver el problema 23 b) para el ángulo diedro y > O, z > O si el centro de la esfera está en el punto (O, y0, Zn), 'Jo > r0> Zo > ra- examinar los casos cuando a) u Ijy-.oO, u z |?_p ” O, b) u,j ]¡f.(i = O, u — 0. 27. El espacio no acotado eslá lleno de un gas ideal en reposo. En el momento do tiempo / = O, en un cierto punto fijo do osle espacio empieza a actuar continuamente un manantial simétrico esférico de gas do potencia q (í). Hallar el potencial de las veloci dades de las partículas del gas para t > 0 , suponiendo que las per turbaciones generadas por el manantial son pequeñas. 28. Resolver el problema anterior si el manantial se encuentra
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VI. Ecuaciones do tipo hiperbólico
447
a) dentro del ángulo diedro , donde n es un número eidero mayor que cero; b) deutro de una capa plana 0 < z < í, además, los planos de frontera son inmóviles. 29. Do la solución del problema de contorno utt = a2 A 3t¿ + / (®, y,
z,l),
« It- o =
—oo < x, y, z < + 00,
0< í < < +00,.
<*, i/. *)<
— 00
< x , y, z <
+00
mediante el método «de descenso»*) obtener la solución del proble ma de contorno u*t = a2 A ^ * -1- / * ( 2 , y, í), — 00 < x , y < + 00 , 0 < Z < + 00 , »* I<—o =
“ * lí - o = 1í)* (*> y).
— 00 < * >
y < + 00..
30. De la solución del problema do contorno y. z. *)• — 03 < *' 0 < í < + 00,
Utt — al As“ ± « + / u |/_o =
11_ 0 = ’i’ (* . !/- 2)-
— 00
z < +°°< <
x , y, z <
+00
medíanlo el método «de descenso»*) obtener la solución del pro blema de contorno — 00 < x , y < -roo, uf, = a" A 2u * ± c2ti* -f- /* (2 , y, í). 0 < í < + 00 , u * 11_ 0 =
u t | ,» 0 =
’l:* (*■ y ),
— 00 <
x , y < -foo.
31. Sobre una recta fija en el espacio no acotado lleno de un gas ideal en reposo, están distribuidos continuamente los manantiales de gas que empiezan actuar en ol momento t = 0 , además, la potencia de los manantiales de una unidad de longitud de osla recta es igual a q(t). Hallar el potencial de las velocidades de las partículas del gas para / >- 0, suponiendo que las perturbaciones generadas por los manantiales en ol gas ambiente son pequeñas (fuera del entorno infinitésimo de la recta sobre Ja que están los manantiales). 32. Resolver el problema anterior para el cuadrante x ^ 0. 0 acotado por Jos planos absolutamente duros x *- 0, y — U y si la recta en que están los manantiales es paralóla al eje z y so define por las coordenadas x„. y«, x0 > 0 , y„ ~> 0. 33. lín el espacio no acotado lleno de un gas ideal en reposo se encuentra una copa esférica do radio r0 con el rentro en un pimío fijo. Empezando desde el momento t — 0 el radio de la superficie *) Véase 171, págs. 458-4U0.
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448
Planteamiento de los problemas
•esférica varía continuamente según la ley dada, además la veloci dad radial do los puntos de ln superficie es igual a ,u (t). Hallar el movimiento en el caso cuando n (¿) = A sen wi. 34. Resolver el problema anterior si la osfora se encuentra en ■un semiespacio acolado por un plano inmóvil. 35. En ol espacio no acotado lleno de un gas ideal on reposo se encuentra una esfera de radio fijo r0. Desde el momento í = 0 ol •centro de la esfera efectúa oscilaciones pequeñas con velocidad V (t); además, | V (<)l <*, donde a es la velocidad del sonido. Hallar el potencial de las velocidades do las partículas del gas. 36. Resolver el problema sobre el contorneado subsónicosimé trico estacionario do una cuña por el flujo de un gas ideal. Hallar ■el potencial de las velocidades on la región perturbada y la pertuiv Ilación de la presión sobre la cuña*). 37. Resolver el problema sobre el contorneado subsónico simé trico estacionario de ún cono circular con el ángulo de abertura pe queño**). 38. La onda plana de propagación para la ecuación u¡t = a2 Aw + cuy
dondo Am = 6 u '
(1)
' a u- , se llama la solución de la forma n (2 )
n
La onda plana m - / ( 2 a¡x¡— lit) tiene un valor constante para •cada plano de la familia
1=1
n
2 a¡x¡ — bt = const.
(3)
La distancia desde el plano (3) hasta el origen de las coordenados — 0, * 2 »=0 ......... xn — 0 es igual a bt+ const 71
(4)
Con la variación de t el plano (3) se muevo con una velocidad b 7»
*) Véase el problema 7. **) Véase el problema 8.
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(5)
V I. Ecuaciones do tipo hiperbólico
44 9
quedando paralelo a su posición inicial (para í = 0) y a(2 ¡ = const;
i= i
(B)
en otras palabras, con la velocidad (5) él so aleja de su posición inicial (6). Para simplificar la exposición consideraremos en ade n
lanto que 2 a\— 1 , es decir que a¡ son los cosenos directores de n
la normal al plano (3); Q = 2 a¡x¡ — bt es la fase de la onda 4—1
(2), y /, la forma de la onda. Demostrar que: 1 ) para que existan las ondas planas de forma arbitraria que se propagan con la velocidad a en cualquier dirección es necesario y suficiente que c — 0; 2) cuando c 0 para la ecuación ( 1 ) existen ondas planas de cualquier dirección do propagación y de cualquier velocidad, excepto la a, pero sus formas no pueden ser arbitrarias y son las soluciones de la ecuación diferencial r (Q) («2 -
+ / «?) e = 0.
(7)
39. Resolver el problema sobre el contorneado estacionario de la pared ondulatoria y = e sen vx, donde e es pequeño, —oo < x < < +oo, por el flujo del gas comprensible ideal, cuya velocidad no perturbada coincide con la dirección del eje x y es igual a U — const. Examinar los casos: a) de la velocidad subsónica del flujo, b) de la velocidad supersónica del flujo. 40. Mediante la superposición do las ondas planas con el frente paralelo al eje z, / (at — ax — Py), donde a y p son Jos cosenos direc tores de la normal al frente de la onda, obtener las ondas cilindricas (1)
donde r = Y x z +-y 2, Hallar la expresión explícita para \|>(r, t) con la condición de que
41. Mediante la superposición de las ondas esféricamente simé tricas ——y t dondo /, (|) y /¡(g) son funciones nrlii3-0942
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460
Planteamiento de los problemas
trarias, obtener las ondas cilindricas p2
’
pz= x 2-,-y2,
suponiendo quo las integrales convergen. 42. Hallar las ondas monocromáticas cilindricas simétricas en un espacio no acotado, resolviendo la ecuación u¡t — o2 Au, y des pués obtener estas ondas mediante la superposición de las ondas monocromáticas planas. 43. Mediante la superposición do las ondas planas obtener la onda esférica de la forma
r
44. Resolver el probloma sobre la reflexión y la refracción do la onda monocromática plana sobro la frontera de separación de dos gases ideales diforent.es; hallar la relación entro los ángulos de incidencia, de reflexión y do refracción y también entre las ampli tudes de las ondas incidente, reflejada y refractada. Considerar igua les las presiones no perturbadas en los ambos gases. 45. Hallar la relación entre los ángulos de incidencia, de refle xión y de refracción do la onda electromagnética monocromática plana sobre la frontera plana de dos dieléctricos isotrópicos homo géneos. 46. Examinando el caso de la incidencia normal do la onda elec tromagnética linealmente polarizada monocromática plana sobre el plano de separación de dos dieléctricos isotrópicos homogéneos, hallar la relación entre las amplitudes de las ondas inciden te, reflejado y refractada y dar las expresiones de las mismas.
§ 3. M éto do de separación de variables *> 1. Problemas de contorn o que no requiere n la utilización de las funciones especiales
En esto punto se examinan también los problemas de contorno para las regiones con las fronteras planas y esféricas, cuyas soluciones se expresan mediante series según las funciones propias más sim ples (elementales) del operador de Laplace para estas regiones. Inicialmente los medios se suponen isotrópicos y homogéneos, después se dan algunos problemas para los medios heterogéneos. ♦) Véase la primera llamada en la pág. 32 del tomo I.
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VI. Ecuaciones de tipo hiperbólico
a)
461
Medios homogéneos
47. Hallar los oscilaciones transversales de una membrana rec tangular 0 s j x l¡, 0 ^ y ^ l¡¡ con el borde fijo causadas por la desviación inicial u (x, y , 0) = Axy (Z, — x) (l 2 — y),
si so puede despreciar la reacción del medio ambiente. 48. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana rec 0 < ;/ < /2 con el borde fijo, causadas por la tangular 0 < x < distribución inicial de velocidades “ i (z, y, 0) = Axy (/j — x)
0 < í < +oa, considerando que la reacción del medio ambiente es despreciable mente pequeña. 51. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana rec tangular 0 sS x ^ 0 ¡sj y ^ l 2 con borde fijo, causadas por la fuerza transversal concentrada F (t ) = A sen oit, A = const, 0 < í < +oo aplicada en el punto (.r0, y0), 0 < x0 < llt 0 < y0 < l2, cousiderando que la reacción del medio ambiente es despreciablemente pequeña. 52.Hallar las oscilaciones del agua en un depósito rectangular 0 x ¿i, 0 ^ y ^ /a bajo la acción de la presión exterior variable sobre la superficie libre />»(*, y, t) — A eos ti eos ~r~ / (í), l 2
0 < í < + co,
/ (0) = 0
si la profundidad del agua en el estado no perturbado es igual a h. Se supone que la función / (í) tiene derivada continua*). 53. Resolver el problema 49, suponiendo quo el medio ambiente ejerce una resistencia proporcional a la velocidad. *1 Véanse los problemas 9 y 10.
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46 2
Planteamiento do los problemas
54. Hallar las oscilaciones establecidas de la membrana rectan x ^ lu 0 ^ y ^ l.¿ en un medio con resistencia propor gular 0 cional a la velocidad, bajo la acción de una fuerza transversal con tinuamente distribuida con densidad F = A sen mí,
0 < í < -(-oo, A «= const. El borde de la membrana es inmóvil. 55. Un gas ideal está encerrado entre dos esferas concéntricas S , | y S rr El radio de la esfera interior S ri varia según la ley r (í) = r¡ -j- e sen wt, —oo < í < +oo, 0 < s < rs — r, y la osfera exterior permanece invariable. Hallar las oscilaciones establecidas del gas entro las esferas. 56. Un gas ideal está encerrado entre dos esferas concéntricas Sr, y S r¡ con los radios fijos r, y ra. Hallar las oscilaciones del gas entre las esferas causadas por la perturbación radial inicial de la densidad P (r , 0) = } (r ), b)
r , < r < r2.
Medios heterogéneos
57. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana rectan x ^ l t, 0 ^ y ^ l2 compuesta de dos trozos rectangu gular 0 y <; Zs y x0 ^ x ^ i„ 0 y ^ lares homogéneos 0 ^ x ^ x0, 0 ^ l 2, causadas por las perturbaciones transversales iniciales. 58. Una cavidad esférica de radio fijo r 2 está llena con dos gases ideales diferentes; la superficie de separación de los mismos es la esfera Sri (0 < rx < r2) concéntrica a la superficie de la cavidad. Hallar las oscilaciones do los gases en las condiciones iniciales siguientes para el potencial de las velocidades u (r, í) y la presión P (r, ty. u (r, 0) = / (r), p (r, 0) — p0, 0 < r < r2. 2. Problemas de contorno que requieren la utilización de las funciones especiales
Al igual que en el punto anterior, primero van los problemas para los medios homogéneos y después para los medios heterogéneos. fl) Medios hojnogéneos 59. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana circu lar con borde fijo, causadas por la distribución inicial radialmente simétrica do las desviaciones y de las velocidades, considerando que la reacción del medio ambiente es despreciablemente pequeña. 60. Resolver el problema anterior, suponiendo que la desviación inicial tiene la forma de un paraboloide de rotación y que las veloci dades iniciales son iguales a cero.
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V I. Ecuaciones do tipo hiperbólico
45 3
61. Hallar las oscilaciones (ondas) del agua en un recipiente cilindrico vertical con el fondo horizontal si las condiciones iniciales poseen simetría radial y la presión sobre la superficie libre del agua queda constante. 62. Hallar las oscilaciones de una membrana circular con el borde fijo en un medio sin resistencia, causadas por la presión cons tante uniformemente distribuida que actúa sobre una parte de la membrana desde el momento t = 0, suponiendo que el medio am biente no ejerce ninguna otra resistencia a las oscilaciones de la membrana. 63. Hallar las oscilaciones de una membrana circular 0 ^ r ^ r0 con el borde fijo en un medio sin resistencia, causadas por la presión variable p «= / (r, t), 0 < r < r o, 0 < t < -f-oo aplicada en un lado de la membrana. 64. Hallar las oscilaciones de una membrana circular 0 ^ r r0 con borde fijo en un medio sin resistencia, causadas por la presión continuamente distribuida p — p 0 sen coi,
0
aplicada en un lado de la membrana. 65. Hallar con las condiciones iniciales nulas las oscilaciones de una membrana circular 0 ^ r sg; r0 en un medio sin resistencia causadas por el movimiento de su borde según la ley u (r0t) — \ A sen &>í,
0 < t < +oo.
66 . Resolver el problema 59 en el caso cuando el medio ambiente
ejerce una resistencia proporcionnl a la velocidad. 67. H allar las oscilaciones establecidas de una membrana circu lar con el borde fijo en un medio con resistencia proporcional a la velocidad, bajo la acción de la presión uniformemente distribuida (aplicada a uDa parte de la membrana) a) p = p 0 sen coi, 0 < t < +oo, p0 = const, b) P — Po eos
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Plonleamionto do los problemas
70. Hallar las osculaciones de una membrana circular del tam bor causadas por la presión continuamente distribuida p = lio sen coi;
0 < t < -f-oo, n 0 — const,
aplicada a la parte exterior de la membrana. 71. Hallar las oscilaciones transversales de una placa circular con el borde fijo rígidamente en un medio sin resistencia, causadas por las perturbaciones iniciales radialmente simétricas. 72. Hallar las oscilaciones transversales de la placa del problema anterior causadas por un golpe concentrado transversal en el con tro de la placa quo le comunicó el impulso I . 73. Hallar las oscilaciones transversales de la placa del proble ma 71 causadas por una fuerza transversal uniformemente distribuida con densidad p = p„ sen cal aplicada desde el momento i = 0. 74. Hallar las oscilaciones transversales de la placa del proble ma 71 causadas por una fuerza transversal concentrada P — = Pu sen coi aplicada en el centro de la placa desde el momento t = 0 (las oscilaciones de la membrana del altavoz). 75. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana que tiene la forma de anillo circular con los bordes fijos, generadas por perturbaciones iniciales radialmente simétricas. 76. Hallar las vibraciones transversales dp Ja membrana des cripta en el problema anterior generadas por una presión uniforme mente distribuida p = P(¡ sen
0 < í < +oo, p 0 = const,
aplicada a una parte de la membrana. 77. Hallar las oscilaciones del líquido on un recipiente con fondo horizontal, cuyas paredes son dos cilindros circulares coaxia les, si la profundidad del líquido en el estado no perturbado es igual a h — const y las perturbaciones iniciales son radialmente simétri cas*). 78. Hallar las oscilaciones de un gas (el potencial de las veloci dades) en un recipiente cilindrico circular cerrado, generadas por las oscilaciones radiales de la pared lateral que comienzan en el momento ¿ — 0 si las velocidades de las partículas de las paredes son iguales a / (z) eos «í, 0 ^ i
l (l es la longitud del cilindro), 0 < t < -foo.
Los fondos superior e inferior son inmóviles. 79. Hallar las oscilaciones do un gas en un cilindro circular cerrado generadas por las oscilaciones transversales de uno de sus fondos que comienzan en el momento í = 0 , si las velocidades de las *) Véase 3[ problema 9.
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V I. Ecuaciones do tipo hiperbólico
partículas de oslo fondo son iguales a / (z) eos
455
+ 00.
El segundo fondo y la superficie lateral dol recipiente son inmóviles. 80. Hallar las oscilaciones de un gas on un recipiente cerrado, formado por dos cilindros circulares coaxiales y dos fondos planos transversales generadas por las vibraciones radiales del cilindro exterior que comienzan en el momento t = 0 si Jas velocidades de las partículas de este cilindro son iguales a / (z) eos *>¿, 0 ^ z ^ l, l es la longitud del cilindro. Los fondos y el cilindro interior son inmóviles. 81. Hallar los oscilaciones do un gas en ol recipiente descripto en el problema anterior generadas por Jas oscilaciones transversales de uno de los fondos que empezaron en el momento í = 0 si las velocidades de las partículas de este fondo son iguales a / (r) eos wt, r* r ^ r**, r* y /■** son los radios de Jos cilindros interior y ex terior. El segundo fondo y los cilindros son inmóviles. 82. Hallar las oscilaciones transversales de una membrana circular 0 ^ r ^ r0 con ol borde fijo, generadas por un golpe con centrado normal a la superficie de la membrana que le comunicó on el punto (r¡, (p,), 0 < r, < r„, el impulso K. Contemplar el caso cuando el medio ambiente no ejerce resisten cia al movimiento de la membrana. 83. Un recipiente con agua que representa on sí un cilindro cir cular vertical con el fondo horizontal durante largo tiempo se mueve con velocidad = const en dirección perpendicular al eje del recipiente. Hallar las oscilaciones del agua on el recipiente para t > 0 si en el moinonlo ( = 0 el recipienlo instantáneamente se detiene y si para t < 0 el agua permanecía inmóvil con respecto al reci piente. Considerar constante la presión sobre la superficie libro del agua. 84. Hallar las oscilaciones de uno mombrana circular 0 sC r r„ con el bordo fijo, generadas por Ja presión variable conti nuamente distribuida p = f (r) eos (cp — coi),
/ (r0) = 0,
0 < í< + o o ,
aplicada a una parte de la mombrana. 85. Hallar las oscilaciones establecidas de la membrana descripta en el problema anterior en un medio con resistencia proporciona) a la velocidad. 86. H allar las oscilaciones de una mombrana circular 0 ^ r ^ ^ rc generadas por las oscilaciones de su borde según la ley u (r0,
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456
Planteamiento de los problemas
87. Hallar las oscilaciones de una membrana circular 0 ^ r r0 generadas por las oscilaciones de su borde según la ley u (r„, cp, í) = = F (cp) sen coi, F ((p) es una función suave con período 2jt. 88. Hallar las vibraciones do un gas on un cilindro circular cerrado 0 ^ r ^ r0, 0 ^ z generadas por las vibraciones radiales de su pared lateral con la velocidad que varía según la ley / (z) eos nep eos coi, n es número entero mayor que 0, 0 < t < -t-oo. Los fondos del recipiente son inmóviles. 89. Hallar las oscilaciones do un gas en un cilindro circular cerrado 0 ^ r ^ r„, 0 ^ z ^ í, generadas por las oscilaciones trans versales de uno de sus fondos con velocidad que varía según la ley / (r) eos nep eos coi, n es un número entero mayor que 0 , 0 < í < < -(-oo. 90. Hallar las vibraciones transversales de una membrana con el borde fijo, generadas por el impulso Inicial concentrado trans versal K comunicado a la membrana en cierto punto interior, si la membrana tiene la forma de un sector circular y el medio ambiente no ocasiona resistencia a Jas oscilaciones. 91. Resolver el problema anterior para la membrana que tiene la forma de un sector del anillo circular. 92. Hallar las vibraciones de un gas en la región acotada por dos cilindros circulares coaxiales inmóviles, dos planos perpendi culares al eje de los cilindros y dos planos que pasan por su eje si estas oscilaciones son generadas por las perturbaciones iniciales que no dependon de z. 93. Un recipiente esférico con un gas durante largo tiempo se mueve uniformemente con velocidad v y después en el momento t — 0 instantáneamente se detuvo y quedó inmóvil. Hallar las vibraciones del gas en el recipiente, surgidas como resultado de esto. 94. Un recipiente esférico lleno de un gas, a partir del momento t = 0 realiza oscilaciones armónicas pequeñas en la dirección de uno de sus diámetros; el desplazamiento del recipiente en la direc ción de diámetro es igual a A sen coi, 0
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V I. Ecuaciones do tipo hiperbólico
467
96. Hallar los oscilaciones de un gas en un recipiente esférico generadas por las vibraciones pequeñas de su pared que comenzaron en el momento t — 0 , si las velocidades de las partículas de la pared dol recipiente están dirigidas según sus radios y la magnitud de las velocidades es igual a P„ (eos 0) / (í), donde / (0) = f (0) — 0 . 97. Hallar las oscilaciones de un gas en un recipiente esférico’ generadas por las oscilaciones pequeñas do su pared que comenzaron en el momento t = 0 , si las velocidades de las partículas de la pared del recipiente están dirigidas según sus radios y la magnitud de las velocidades es igual a / (0) eos bit, 0 C t < +oo. 98. Resolver el problema anterior con la condición que las velocidades de las partículas de la pared sean iguales a A P " (eos 0) eos mi p eos mí*). 99. Resolver el problema 97 si las velocidades de las [partículas do la pared son iguales a / (0) eos m
101. esferas 102. esferas b)
Resolver el concéntricas Resolver el concéntricas
/ (0) = /' (0) = 0. problema 93 para un gas encerrado entre dos S T¡ y S rt, r, < r 2. problema 94 para un gas encerrado entre dos. S ri y S rt, r, ■< r2.
Medios heterogéneos
103. Hallar las vibraciones transversales de una membrana cir cular heterogénea i c o n el borde fijo, obtenida mediante la r ^ r, y una unión de una membrana circular homogénea 0 membrana homogénea de forma de anillo r, <1 r ^ r2, si las per turbaciones inicíalos son dadas.
§ 4. M é to do de las representaciones integrales En el primer apartado de este párrafo se han reunido los proble mas sobre la utilización de la integral de Fourier; en el segundo* sobre la construcción y empleo de las funciones de influencia de los manantiales concentrados instantáneos. *) I*™ (5) es Ia función asociada de Legendre, m < n.
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*458
Planteamiento de los problem as
1. Utilización de la integral de Fourier a) Transformación de Fourier
104. Resolver el problema de contorno u ,, = a2 A.U, “ l i- o =
— oo < x, y < -|-oo,
t,) (x > y )-
u t li- o =
0
(•*> y)<
u <
(1 ) (2 )
105. Resolver el problema do contorno —oo < a:, y, z < + 00,
u tt = a • A :,u, ■ “ l( - o =
(iJ (*< y, 2)-
lf= o =
Y
0 < í < + 00**), (1 )
( * , y , 2) .
— 00 < x, y, z < + 00.
(2)
lOti. Resolver el problema de contorno A2« ~r / (*, y, /), — 00 < x, y < i -|-oo, 0 < t < + 00, ( 1 )
■ult =
« U^o = 0 .
u t |¡=o = 0,
— 00 < x, y <_ + 00.
(2)
107. Resolver el problema do contorno ■u„ = n2 A 3i¿ + / (a:, y,z, ¿), u li^o = 0 , u,
— 00 < *, y, z < + 00, 0 < t < + 00, = 0 ,— 00 < x, y, z < + 00.
(1 ) (2)
108. Resolver ol problema de contorno u n — b'¿ A 2 Aji¡ — 0, — 00 < x, y < + 00, 0 < ¡ < + 00***), ( 1 )
(z. ¿/)> “ 1 Ií=o = ’P i31- y)- — 00 < *1 y < +°°-
« l<-« = b)
(2)
Transformación de Fourier — Dessel— Hankel
109. Utilizando la transformación do Fourier — Bessel, resolver >el problema de contorno l ( í ’= a ! ( ' F + l ¥ ■ )' u(r, 0) = — A
________
y,
0< r < + o ° ,
0< < < fo o ,
«1 (r, 0) = 0 , 0 ^ r < - r ° o .
(1 ) (2)
V i +h
*) Ai = div grad es el operador dB Laplace para el plano; en las coorde nadas cartesianas Aa = + gr¡ . **) A>= div grad es el operador de Laplucc paraol espacio;'on las coorde1 . ■ . <5* , ó1 , í>¿ . madas cartesianas A, = ^ ***) líl operador biarmónico ¿\2A3 que significa la utilización doble del ■operador de Laplace A2.
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VI. Ecuaciones de tipo hiperbó lico
469
110. Hallar Jas oscilaciones transversales radialmentc simétricas de una placa no acotada, resolviendo el problema de contorno
0 < r < + °°> 0 < ¿ < + oo,
’T F '1' bi ( ‘J ^ + T 1 7 )* “ = 0 , i¿ (r, 0) = / (r),
u, (r, 0) = 0,
0 <; r < +oo.
(I) (2)
Examinar, en particular, el caso cuando ra
/ (r) = Ac~ °! ,
0s£ ;•< + < * .
(2')
111. Hallar las desviaciones transversales radialmentc simétri cas de los puntos de una placa no acotada 0 r < + oo, si el punto r — 0 de esta placa desde ol momento i — 0 se mueve según una ley dada. Examinar, en particular, el caso cuando U(0’ M
0
,
« , < * < + oo.
<‘ )
112. Hallar las desviaciones puramente impulsantes, transver sales, radialmente simétricas de los puntos do una placa no acotada 0 ^ r < +oo bajo la acción de unas fuerzas transversales distribui das con la densidad p (r, t) = 16pfe¿>/ (r) t|>' (i),
—oo < í < +oo,
donde 2h es el espesor de la placa; p, la densidad do la masa do la placa; b tiene el mismo significado que en los problemas anterio res*); tj>' (t) = (f) depende sólo de t y / (r) de r. Examinar, en particular, los casos cuando: a) el movimiento de la placa se impulsa por la fuerza transversal concentrada lüpftéi|:' (¿), —oo «< í < +oo, aplicada en el punto r — 0 ; b) el movimiento de la placa se impulsa por la fuerza transversal 16pAM|:/ ( 0 » — 00 < í < +oo, uniformemente distribuida sobre el círculo 0 ^ r a; c) la fuerza descripta en el apartado b) actúa durante el tiempo i0, a saber para — oo < í ^ 0 , ( 0 ^0 = const para 0 < í < / 0,
0
para í 0< í < -t-oo,
*) Para más detalles véase el problema 18.
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46 0
Planteamiento de los problemas
dar las fórmulas asinlóticas para la representación de la solución para las magnitudes pequeñas y grandes de r; d)
í) = ^ - V ^ / ' ( í )
p ( r ,
— oo < i < + oo;
e) hallar las velocidades transversales de los puntos de una placa para j*2 p { r ,
— o o < í< + o o ,
=
donde ó (£) os la función 6 impulsiva (es decir, en el momento t — O la placa recibe un golpe transversal con el impulso, continuamente ri distribuido,
‘
'
2. Construcción y utilización de las funciones do influencia de los manantiales concentrados
a)
Funciones de influencia de los impulsos instantáneos concentrados
113. Construir la función de influencia del impulso instantáneo concentrado do potencia unitaria para la ecuación Utt ~
A 3i¿
en el espacio no acotado x, y, z, considerando al principio que el impulso tiene lugar en eJ origen de coordenadas en el momento t — = 0; hallar la función de influencia, resolviendo el problema de contorno u u — a~ A3k, u
=
0,
< x, y, z < +oo,
u t |t—o ~ S (x) 6 (y) 6 (z),
0 < i < +oo,
— oo <
z, y, z <
+oo,
(1 ) (2>
después pasar al caso cuando el impulso tiene lugar en el punto (g, ti, £) en el momento t = x. 114. Resolver el problema anterior para la ecuación = a2 A3u ± c2u. 115. Resolver el análogo bidimensional del problema 113. 116. R&solver el análogo bidimensional del problema 114. 117. Mediante la separación de variables construir la función de influencia para un impulso instantáneo concentrado para el primero, segundo y tercer problemas de contorno para la ecuación u tl = as A¡u: a) para la membrana rectangular 0 Sj 2 ^ ¿¡, 0 ^ y ^ l¡, 2n. b) para la membrana circular 0 ^ r ¿ J r 0, 0 ¡Sí q>
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V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
46t
118. Mediante el método de reflexión construir la función de
influencia de un impulso instantáneo concentrado para la ecuación , donde n es un número u¡t = a 2 A 2ií ± czu con ángulo 0 ¡Sj
entero mayor que cero, si sobre los rayos de frontera cp = 0 y cp = ^ se cumple la condición de frontera de segundo género. 119. Sea G una región plana acotada por ol contorno r suave a trozos. Suponiendo posible la utilización do la fórmula de Oreen — Ostrogradski que relaciona la integral curvilínea con la integral doble, hallar la solución a) del primero, b) del segundo y c) del tercer problema de contorno para la ecuación Utt = a2 A¡¡i¿ db c*u + + / (x, y, t) con las condiciones iniciales y de frontera heterogéneas, si se conoce la función de influoncia del impulso instantáneo con centrado para cada uno de los casos enunciados. 120. Mediante la función de influencia del impulso instantáneo concentrado hallada en la solución del problema 113, deducir la fórmula de Kirchhoff*) para la ecuación u lt = a* A3u + / (x, y, z, í). b)
Funciones de influencia de los manantiales concentrados de funcionamiento continuo
121. Construirla función de influencia del manantial concentrado de funcionamiento continuo de potencia variable / (t) (J (t) — 0 para t < 0) que se encuentra en un punto fijo del espacio para la ecuación u tt = a2 A 3u, es decir, resolver el problema de contorno u tt = «2
+ 6 (x — x„) 6 (y — y0) 6 (z — z0) / (t),
—oo < a:, y, z < -f-oo, u |j=0
0 < t < -f-oo,
Ut Ii=o = 0.
(1 ) (2)
122. Construir la función de influencia del manantial concentrado de funcionamiento continuo de potencia variable / (í) (/ (í) = 0 para t < 0) que se encuentra en un punto fijo del espacio para la ecuación u tt = a2 A ¡u, es decir, resolver el problema de contorno Un = «*
+ 6 (x — *0) 6 (y — y„) f (<),
— oo < x, y < +oo, u |í=0 = 0 .
0 < í < +oo,
>*< lc~o = 0.
(1 ) (2)
123. Construir la función de influoncia del manantial concentrado ■de funcionamiento continuo de potencia variable / (t) (/ (í) = 0 para *) Véase [7], págs. 464-468.
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462
Planteamiento de los problemas
t <; 0) que se mueve según lina ley arbitraria para la ecuación u tt = = a .* A 3u, es decir, resolver el problema do contorno Un = a¡ A 3u + ó
— oo
0 < £ < -f-oo,
t I í^ o ^
( 1) (2 )
donde X (£), Y (t), Z (<) son los coordenadas del manantial; X (0) = = y (0) = Z (0) = 0. En particular, hallar la función de influencia del manantial concentrado que se mueve rectilíneamente con la velocidad constante y; examinar los casos cuando a) v < a, b) v > a. 124. Tomando en consideración que si el manantial posee la potencia constante q y se muevo rectilíneamente con la velocidad constante i>, entonces en el sistema de coordenadas que se mueve junto con el manantial, el proceso será estacionario; hallar la función de influencia de tal manantial: a) para v <. a, b) para v >> a, omi tiendo los términos con las derivadas con respecto al tiempo en la ecuación de las oscilaciones, transformada en este sistema móvil de coordenadas. 125. Hallar el campo electromagnético generado por un electrón que se mueve rectilíneamente en un dieléctrico con una velocidad constante mayor a la de la luz en este dieléctrico (el electrón de Cherenkov). 126. Resolver el problema de contorno 20. 127. Hallar las oscilaciones de un medio homogéneo, isotrópico y elástico, que llenan todo ol espacio no acotado, y generadas por la fuerza de funcionamiento continuo F (£) (F (£) = 0 para í < 0), aplicada a cierto punto del medio y paralela a una dirección fija.
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Capitulo VII E C U A C I O N E S D E T I P O E L Í P T I C O A u + c u = - /
§ 1. Problemas para la ecuación A « — k2» = — / En este parágrafo examinaremos algunos problemas para lar ecuación de tipo elíptico A u - xsu. = 0,
(xa > 0),
(1>
a que conducen, por ejemplo, los problemas sobre la difusión de un> gas inestable que so desintegra en el proceso do difusión. La ecuación (1) tiene las soluciones fundaméntalos: e-xr
a) u0(M) = —— en el espacio tridimensional, b) u0 (M) — Ka (xr) sobre el plano (r es la distancia entre el punto M y ol origen de las coordenadas). La función K„ (x ), como es sabido, tiene una singularidad logarítmi ca para i = 0 y decrece exponencialmente en el infinito. El método de separación de variables al resolver la ecuación (1)' frecuentemente conduce a la ecuación de Bessel para el argumento imaginario y ’ + ^ - y ' — ( í + - £ ) .'/ = 0 ,
la solución general tiene la forma y = A IV(x) + B K V (;r),
donde I y (x) y K v (x) son funciones cilindricas de primero y segundo géneros de argumento imaginario. La función / v (x) es acotada cuando x — 0 y crece exponencialmente cuando x -*-oo. 1. Determinar la distribución estacionaria de la concentración de un gas inestable en un espacio no acotado, generada por un manan tial puntiformo de gas de potencia Q0. 2. Un manantial puntiforme de un gas inestable está situadoa la altura £ por arriba del plano z — 0, estanco al gas. Hallar la distribución estacionaria de la concentración. 3. Construir la función del manantial puntiforme para la ecua ción Au — y ? u — 0 sobre el plano y dar su interpretación física. 4. Resolver el problema 3, suponiendo que ol plano y = 0 es estanco al gas. 5. Construir la función de manantial para la ecuación do 1a difusión de un gas inestable, si el manantial se encuentra dentrode la capa (0 z ^ /) acotada por los planos 2 = 0 y z = / estancos al gas.
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■464
Planteamiento de los problem as
6. Resolver el problema análogo al 5 para el caso bidimensional. 7. Un manantial puntiforme de un gas inestable está colocado dentro de un tubo cilindrico infinito con las paredes estancas al gas. Determinar la distribución estacionaria de la concentración del gas, considerando que la sección del tubo puede tener una forma arbitraria. 8. Construir la función del manantial para laecuación Au — — x2u — 0 dentro de la esfera, con lascondiciones defrontera de segundo género. 9. Un manantial puntiforme de un gas funciona en un medio no acotado que se mueve con una velocidad constante y0. Hallar la distribución estacionaria do la concentración del gas. 10. Hallar la distribución estacionaria de la concentración de un gas inestable dentro do un cilindro infinito de sección circular, si sobre la superficie del cilindro so mantiene la concentración constante u |2 = u0. 11. Resolver el problema 10 para la región exterior al cilindro. 12. Resolver el problema 10 dentro de la esfera de radio a si a) w |r=a ” wo* b) u |r=a = u„ eos 8. 13. Resolver el problema 12 para la región exterior a la esfera de radio a. 14. A una profundidad h debajo de la superficie terrestre se encuentra un medio en el que está distribuida con la densidad •constante una sustancia radiactiva. Hallar a) la distribución do la emanación dentro de la tierra, b) la magnitud del flujo de la emanación a través de la super ficie torreste, considerando que su concentración sobre la superficie lorroslo es . igual a cero. 15. A una profundidad h debajo de la superficie terreste en cierto volumen está concentrada una sustancia radiactiva que desprende on una unidad de tiempo cierta cantidad de emanación (de un gas inestable) igual a Q0. Hallar: a) la distribución de la concentración de la emanación dentro de la tierra, b) la magnitud del flujo de emanación a través de la superficie terreste, considerando que el manantial de emanación es puntiforme y su concentración sobro la superficie terreste es igual a cero. 16. Resolver el problema recíproco al problema 15. Siendo cono cida la distribución del flujo a través de la superficie terreste g — = q (p); so debo hallar: a) la potencia del manantial Q„, b) la posición del manantial, es decir, la profundidad de la estratificación h de la sustancia radiactiva.
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V II. Ecuaciones de tipo elíptico
465
§ 2. Alg uno s problem as sobre las oscilaciones propias Los problemas sobre las oscilaciones propias de membranas y de volúmenes acotados, como es sabido, conducen a la ecuación homo génea L (v) + Xpy 0, L (y) — div (k grad v) (k (x) > 0, p (x) >• 0) dentro de cierta región T con condiciones homogéneas en su frontera. En el cap. I I y después en el cap. V, en la medida necesaria se exa minaron algunos problemas sobre las oscilaciones propias de la cuerda y de la membrana. En este parágrafo se brinda una lista más completa do problemas sobre los valores propios, que pueden resol verse mediante el método de separación de variables. La expresión «hallar las oscilaciones propias» en el futuro signi ficará que se deben encontrar los valores propios y las funciones propias normadas para la región examinada. 1. Oscilaciones prop ias de cue rdas y membranas
17. Resolver el problema sobre las oscilaciones transversales propias de una cuerda homogénea 0 ^ x ^ l si: a) los extremos de la cuerda están fijos rígidamente, b) los extremos de la cuerda están libres*), c) un extremo de la cuerda está libre y el otro, fijo, d) los extremos de la cuerda están fijos elásticamente, e) un extremo de la cuerta está fijo rígidamente y el otro, elásti camente, f) un extremo de la cuerda está fijo elásticamente y el otro está libre. 18. Hallar las oscilaciones longitudinales propias de una barra de longitud l compuesta de dos barras de longitudes x0 y L — x0 que poseen diferentes densidades (pj y pt) y módulos de elasticidad y i?2), suponiendo que los extremos de la barra: a) están fijos rígidamente, b) están libres, c) están fijos elásticamente. 19. A un extremo do la barra está sujeto un peso de masa M. Hallar las oscilaciones elásticas longitudinales propias de la barra, considerando que el segundo extremo de la misma a) está fijo rígidamente, b) está libre, c) está fijo elásticamente. *) Esto significa que
en los extremos de la cuerda son iguales a cero.
Ello tiene lugar, por ejemplo, cuando los extremos de la cuerda están fijos me diante anillos (con la masa despreciablemente pequeña) que resbalan sin roza miento por barras paralelas. 4-0942
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466
Planteamiento do los problemas
Prestar atención a la condición de ortogonalidad de las funciones propias. Para el problema a) examinar los casos de las cargas pequeñas y grandes, hallando las correspondientes correcciones a los valores propios no perturbados. 20. Resolver el problema sobre las oscilaciones propias de la cuerda cargada con una masa concentrada M colgada ¡en cierto punto interior de la cuerda, suponiendo que los extremos do ésta: a) están fijos rígidamente, b) están libres, c) están fijos elásticamente. Calcular las correcciones a los valores propios para el problema a). 21 . Hallar las oscilaciones transversales propias de una barra homogénea si: a) ambos extremos do la barra están fijos rígidamente, b) ambos extremos de la barra están libres, c) un extremo do la barra está libre y el otro esta fijo rígidamente. Hallar el primer término del desarrollo asintótico de las fre cuencias propias. 2. Oscilaciones propias de los volúmenes
22. Hallar las oscilaciones propias de una membrana rectangular: a) con la frontera fija rígidamente, b) con la frontera libre, c) si dos lados opuestos están fijos y otros dos, libres, d) si dos lados adyacentes están fijos y otros dos, libres, e) con la frontera fija elásticamente. 23. Resolver ol problema 22 para la membrana circular (los casos a), b), o)). 24. Determinar los valores propios y las funciones propias normadas para un paralelepípedo rectangular con: a) las condiciones de frontera de primer género, b) las condiciones de frontera do segundo género, c) las condiciones de frontera de tercer género. 25. Hallar las oscilaciones propias de una esfera con a) las condiciones de frontera do primor género, h) las condiciones de frontera de segundo género, c) las condiciones de frontera de tercer género. 26. Resolver ,el problema sobre las oscilaciones propias de un cilindro circular de longitud finita con las condiciones do frontera: a) de primer género, b) de segundo género, c) de tercer género. 27. Determinar las oscilaciones propias de una membrana que tiene la forma de un anillo circular a p ^ b si su frontera:
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VII. Ecuaciones de Upo elíptico
46 7
a) está fija rígidamente, b) está libre, c) está fija elásticamente. 28. Determinar las oscilaciones propias do una membrana que tiene la forma de un sector circular (p ^ a, 0 ^ (p ^
€-0
b) calcular la corrección AX = X, — XJ para e pequeños. 32. Una membrana circular de radio a está cargada con una masa M uniformemente distribuida sobre el círculo absolutamente rígido de radio s (r e). Comparar los valores propios Xn de esta membrana con los valores propios X£ de la mombrana no cargada. Examinar dos casos: M pequeño y M grande. Si M -> 0, entonces X„ -*-K- Si M entonces Xn -*-Xñ-i además X, -)-0. 33. Resolver el problema 31, suponiondo quo la frontera exterior está libre. 34. Formular el problema sobre las oscilaciones propias de un tambor como el problema sobre las oscilaciones de una membrana circular con el volumen asociado de aire. ¿Cómo depende la fre cuencia principal de las dimensiones del volumen asociado (véase el problema 5 del cap. VI)? 35. La membrana circular do un tambor grande tiene ol radio r0 = 50 cm,
p = 0,1 gr/cm2,
T = 10® din/cm.
4'
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468
Planteamiento de los problemas
«Cuál será la frecuencia principal si la membrana oscila en un espacio libre? La conexión de cierto volumen de aire a la membrana auméntala frecuencia principal 1,45 veces. Determinarla magnitud del volumen asociado.
§ 3. Propagación y radiación del sonido En este parágrafo se examinarán algunos problemas sobre la propagación, radiación y dispersión del sonido sobre los cuerpos sólidos que conducen a la ecuación de onda At¿ + k‘u - 0
(/c2 > 0).
(1 )
Al resolver la ecuación de la onda para un cilindro y una esfera aparecen las funciones esféricas Y = Pffl (eos t ) &< P> Y n (■&) = = Pn (eos O) y diferentes funciones cilindricas. Para resolver los problemas exteriores para un cilindro se usan las funciones de Hankel: -2
para p grandes,
*
np
±
D "
(n-1), p ¡ 2> , i — ln — , n
P
r e> 0 ,
para p pequeños, re = 0
en nuestro caso p = kr. La función H%' (kr) satisface la condición de radiación lím V r (4^- ik u ) = 0 , quo corresponde a la dependencia del tiempo de tipo e,ot. Para resolver los problemas sobre la radiación del sonido por una esfera y la dispersión sobre una esfera se utilizan las funciones sen ( p — T n ) ---- -
-
r
----- r • • • para p grandes,
3V5 . ü ^ + lT + • " para P P0(lucñ0S
4 -. . . para p grandos
. 1-3-5 . . . (2« — 1) .
pn
* ------- pñTT--------+ 1 . 3 . . . ( 2 . +
1) +
' ' • Pa ra
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P
P "5 'JenOS -
VII. Ecuaciones de tipo elíptico
469
En lo sucesivo utilizaremos para p pequeños ln represontación siguiente de la función £™'(p): (p )= = c tmeiv' " +
...,
donde
1-3 . . . (2m— 1) .. “ m— p *« • Ym — ( 2.32 La función
P!m« _ (2 m —l ) i( 2 mrj-1 )» •
(kr) satisface la condición do radiación
líin r (4^-H-íA‘u) = 0, Wr
I
que corresponde a la dependencia de) tiempo de tipo e1"'. Todas las informaciones teóricas necesarias acerca del material dol § 3 se puede encontrar en e) cap. V II y también en los comple mentos I y I I del curso 171. 1. Manantial puntiforme
36. Hallar la función del manantial para el semiespacio z > 0 si sobre el plano z = 0 la solución do la ecuación At> + lev = 0 a) satisface la condición de frontera de primer género v |í=0 — f, b) satisfaco la condición de segundo género 4t-|z= o — /• 37. Hallar la función del manantial para la ecuación de la onda en el semiespacio y 0 a) para el primer problema do contorno, b) para el segundo problema de contorno. 38. Calcular la energía que se irradia en e) espacio libre por un manantial acústico puntiforme aislado que oscila según la ley armó nica. Hallar también la magnitud de la impedancia acústica especí fica. 39. Un manantial acústico puntiforme está puesto en el semiespa cio z < 0 a una distancia a de la pared absolutamente rígida z — 0. Hallar la radiación dol manantial, su intensidad en la zona de la onda y comparar con la solución del problema 38. 40. Resolver ol problema 39, considerando que ol semiespacio está lleno de un líquido acotado por la superficie libre z = 0 en que la presión es igual a cero. Comparar con las soluciones de los proble mas 38 y 39. 41. Demostrar el principio de reciprocidad en la acústica: «Si en el espacio lleno de aire, parcialmente acotado por unos cuerpos inmóviles que se extienden a una distancia finita y parcialmente también no acotado, en cualquier punto M se excitan las ondas acústicas, entonces ol potoncial de velocidades generado por ellas en cualquier otro punto P por su magnitud y la fase coincide con aquel
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470
Planteamiento de los problemas
que tuviese lugar cu el punto M si en P se encontrase el manantial acústico» (véase f 361). 42. Demostrar que en un tubo cilindrico infinito de sección arbitraria con las paredes absolutamente rígidas en ciertas condi ciones pueden existir las ondas acústicas móviles. Hallar la veloci dad de fase de las ondas móviles y calcular el flujo de energía a tra vés de la sección infinitamente alejada del tubo (del guíaondas). Examinar los casos de las secciones rectangular y circular. 43. Construir la función del manantial puntiforme colocado dentro del tubo cilindrico de sección arbitraria para la ecuación do onda con las condiciones de frontera a) de primer género, b) de segundo género. Examinar el caso particular de la sección circular. 44. Resolver el problema 43 para ol tubo semiacotado z > 0. 45. Construir la función del manantial puntiforme para el reso nador cilindrico 0 z <1 l con la sección transversal arbitraria. Considerar las paredes dol resonador absolutamente rígidas. 2. Radiación de las membranas, cilindros y esferas
46. Sea que en la sección z = 0 del tubo de sección circular exa minado en el problema 42 se ba colocado una membrana que oscila con la velocidad v =■ o0eiul (el pistón). Determinar la reacción do la presión de las ondas acústicas sobre la membrana. 47. Resolver el problema 46, suponiendo que la velocidad del pistón exitante varía según la ley v = v0 (r) donde vv (r ) es una función dada. Examinar el caso particular
donde A es una constante; ¡im, la raíz de la ecuación J 0 (p.) = 0. Hallar la magnitud del vector de Umov y el valor de la impedan cia acústica sobre el pistón. 48. Sea que el cilindro de radio a pulsa, es decir, se comprime y se ensancha uniformemente según la ley armónica; su velocidad sobre la superficie para r = a es igual a Hallar la presión, la velocidad radial del aire a una distancia grande del eje del cilindro y también el flujo de energía. 49. Resolver el problema 48, suponiendo que el radio del cilindro 2 jic
es pequeño on comparación con la longitud de la onda X = — t
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VII. Ecuaciones de tipo elíptico
471
es decir, ka -C 1.
50. Un cilindro de radio a vibra, como entero, perpendicularmente a su eje (en el sentido del eje a:) con la velocidad v0eiml. Hallar la presión y las velocidades de las partículas del aire; para el caso < 1 calcular la impedancia acústica específica y la potencia completa de radiación para una unidad de longitud. 51. Un cilindro de radio a vibra según la ley armónica de modo que la velocidad sobre su superficie es igual a / (cp) eial, donde / (q>) es una función dada. Hallar la presión y la velocidad del aire, el flujo de energía (para ka pequeños, donde k = —■'j . Obtener de las fórmulas halladas las soluciones de los proble mas 48—50. 52. El centro de una osfera do radio a oscila en el sentido del eje polar con la velocidad v0eia“. Si a
(1 + 3 eos 28) eiot.
Tal manantial acústico se llama radiador de sogundo orden o manan tial cuadrípolo. Calcular la intensidad y la potencia de su radiación. Trazar el diagrama polar do la intensidad de la radiación. Examinar el caso de las ondas largas.
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472
Planteamiento de los problemas
56. Uua placa circular sólida vibra según la ley armónica en el hueco circular igual por su área a ésta y recortado en la placa plana sólida que se extiende al infinito. Hallar la presión y la velocidad de las partículas del aire y la potencia de la radiación. 57. Hallar la reacción del campo acústico sobre la placa, exami nada en el problema 56. Examinar el caso particular cuando el radio del pistón es pequeño en comparación con la longitud do la onda (ka 1). 58. Resolver el problema 56 si sobre la superficie del pistón (de la placa) la velocidad es variable: v = f ( r)
(pistón «no rígido»). Limitarse a la representación do la solución on la zona de la onda. 3. Difracción sob ro el cilin dr o y la esfera
59. La onda plana acústica se propaga en una dirección perpendi cular al eje del cilindro rígido infinito de radio a. Hallar la onda dispersa. Examinar los casos de las distancias pequeñas y grandes desde el cilindro. 60. Basándose en la solución del problema 59, calcular la inten sidad de la onda dispersa y también investigar la dependencia de la característica de la directividad de la onda dispersa con respecto a la longitud de la onda. 61. Calcular la potencia total en la onda del sonido dispersa sobre una unidad de longitud del cilindro para los casos límites de las ondas cortas y largas (véase el problema 59). Hallar la fuerza que actúa sobre el cilindro. 62. Construir la solución del problema sobre la dispersión de la onda plana del sonido sobre el obstáculo esférico. 63. Utilizando la solución del problema 62, calcular la intensi dad de la onda dispersa y la potencia dispersa total para ol caso ka ■ C l,
donde k = ~ = ~ , X, la longitud de la onda, a , el radio de la esfora. Calcular la fuerza que actúa sobre la esfera. 64. Resolver el problema sobre la dispersión de una onda plana sobro la osfera de radio p = a, si la esfera está completamente libre y se mueve bajo la acción del aire. 65. Resolver el problema sobre el movimiento de la esfera de radio a bajo la acción de la onda plana incidente si la esfera está
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V il. Ecuaciones do tipo elíptico
475
fija clásticamente, es decir, la fuerza de retorno es igual a X = - M a l í , donde 5 es )a coordenada del centro de la esfera; M , la masa de lo esfera. Despreciar ci rozamiento del aire.
§ 4. Oscilaciones electromagnéticas estables 1. Ecuaciones de M axw ell. Potenciales. Fórmulas vectoriales de Cr ee n— Ostrogradski
66. Escribir las ecuaciones do Maxwell en el sistema curvilíneo ortogonal de coordenadas (as,, ¡r2, x3), en que el cuadrado del ele mento do longitud se da por la fórmula ds2 — h\dx\ + h\dx\ + hldxl , donde h¡, k¡, h3 son los coeficientes métricos. 67. Demostrar quo la solución de las ecuaciones de Maxwell r o lH — -i-
/■ div £1= 0,
rot £ = — --
,
B = f d l (ji = conat),
div D = 4np,
D = t.E (n = const)
puede representarse de la forma B — rot A, £ • = —gradqi — i
gi
donde A es el potencial vectorial,
1
„
i¡2 A
a- ~3W
=
c* .
c
Aquí AA es el operador de Laplace que actúa sobre las componentes curvilíneas del vector A. Hallar la expresión de A,4 en las coordenadas curvilíneas ortogo nales. Demostrar que para p = 0, / = 0, las ecuaciones de Maxwell, admiten la solución de la forma D = io tA ‘, 11= — grad <(■'— ^ --j —, donde A' y tp' son los llamados antipotenciales.
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474
Plantaamlento de los problemas
Examinar el caso cuando la dependencia del tiempo es de la forma e~ial. 68. Introducir los potenciales escalar y vectorial para las ecuacio nes de Maxwell en un medio conductor homogéneo. 69. Introducir el potencial polarizado I I (el vector eléctrico de ilertz) para las ecuaciones de Maxwell en el vacío, utilizando las relaciones . i a i i .... — '
1
- l‘ZT7 U fi^ ‘ £>*'{ ’
// _ 0
" ' - u’
//
2
^
h¡ ítXy dx.¡ ’
/ / ______ — dU-
h3 d¡ra ’
p
_____
3
/ r.
h3 dx, dx} ’ \
TI ^ — 11 h.¿
c / ’
" U ■ oxi ’
h) para el campo de tipo magnético (£, = 0) tenemos:
n" _ r\
T¡n_
Tjt _ j 111' I ^ ' F . 1
+ 0r\ ’
OU
p>_
ir '_ 1
2 ~~ k,¿
± axl 0x.í
’
ti ' 3~
1 h¡¡
dx, dx ,
’
donde U y U ' son las funciones que satisfacen la ecuación it r i _j¡» 60 \ ¿Íj'f /!2fc3 [¿)Xj \ht Üx J /
¡ Ji¡_ _££_) | i i.2/7 _ q
\i j
5i! I J
Demostrar esta afirmación. Examinar después los sistemas esférico y cilindrico de coordena das. Demostrar que en el sistema cilindrico de coordenadas la fun ción U coincido con ¡a componente z del vector de Hertz I I = = (0, 0, U). 71. Introducir las funciones V y V" para el campo electromagné tico en un medio conductor cuyos parámetros son «, ¡x, a (conducti bilidad). 72. La esfera de radio a con conductibilidad o¡ y constante dieléctrica «j, está colocada en un medio no acotado de conductibi lidad a 2 y constante dieléctrica k2. Introduciendo las funciones U
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V II, Ecuaciones de tipo elíptico
476
y U ', formular para ellas las condiciones de frontera sobre la super ficie de la esfera. 73. Demostrar la validez del vectorial análogo de la segunda fórmula de Oreen f (W rot rot U — U rot rot W) dx = f {|U rot M7) — [W rot U]} n do, ¿
t
donde U — U (x, y, z), \V = IV (x, y, z) son funciones arbitrarias suficientemente suaves; T, cierto volumen acotado por la superfi cie 2; n, el vector unitario de la normal a la superficie 2. 74. Demostrar la validez del vectorial análogo de la fórmula principal de Green U (M 0) = U (x, y, z) = ~~éí \ (rotrot U ~~k2U) + g rfid
r
~"éí í
2
rot U 1
Srad q>] + (**U) grad
donde U es un vector arbitrario, 9= ^ .
r — V (x — |)2 + (í/ — -n)2-í-(z — £)2,
la distancia entre los puntos M (x, y, z) y P (|, T|, £). 75. Utilizando la fórmula vectorial principal de Green obtenida en el problema anterior, directamente, sin introducir los potenciales, escribir las expresiones de E y // que son las soluciones de las ecua ciones de Maxwell rottf = - i k 0&E + ^ - j , k = k 0V I ¿ , rot E = ik0\iH0,
div ¡1 = 0,
d iv £ = 4ip
en los puntos interiores de cierta región T mediante sus valores sobro la superficie 2 que acota el volumen T. 2. Propagación de las ondas electromagnéticas y de las oscilaciones en los resonadores
76. Aclarar la posibilidad de la propagación de las ondas electro magnéticas a lo largo de un cilindro circular infinitamente largo, cuya conductibilidad es infinitamente grande. La conductibilidad del medio ambiente o es finita. 77. Resolver el problema anterior, suponiendo que la conducti bilidad del cilindro es finita e igual a cr,.
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476
Planteamiento de lo* problemas
78. Demostrar que dentro de un tubo cilindrico, hueco e infinito (ol guíaondas) de sección arbitraria, con paredes idealmente con ductoras, puede existir un número finito de ondas electromagnéticas móviles. Hallar la expresión de la velocidad de fase y el flujo de energía de la onda móvil en el guíaondas. 79. Demostrar la existencia de ondas electromagnéticas co rrientes dentro de una cavidad limitada por dos suporficies cilin dricas coaxiles p = a y (>= 6. Considerar la pared del coaxil idealmente conductora. Calcular el flujo de energía y escribir la expresión para las com ponentes del campo para la onda principal que corresponde a la longitud mayor de onda. 80. Hallar las frecuencias propias y los campos electromagnéticos correspondientes de un resonador esférico con paredes idealmente conductoras. Calcularla energía media por el período en la onda fija. 81. Hallar las oscilaciones electromagnéticas propias del resona dor cilindrico que es un «segmento» del guíaondas radioeléctrico cilindrico de sección arbitraria con paredes idealmente conductoras. Calcular la energía media por el período en la onda fija. Examinar los casos particulares de los resonadores a) do sección rectangular, b) de sección circular. 82. Determinar las frecuencias propias de las oscilaciones electro magnéticas dentro del resonador toroidal de sección rectangular, considerando que las paredes son igualmente conductoras. 83. Difracción, sobre el cilindro. Una onda electromagnética plana cae sobro un conductor cilindrico circular infinito, cuyo eje es per pendicular a la dirección de ln propagación de la onda. Hallar el campo de difracción, considerando que el cilindro es conductor. El cilindro tiene capo dieléctrica con constante dieléctrica y con ductibilidad igual a cero. Examinar el caso del cilindro ideolmonto conductor. Suponiendo que el radio del cilindro a es pequeño en com paración con la longitud do onda incidente
, calcu
lar la potencia dispersa total. 84. Difracción sobre la esfera idealmente conductora. Examinar el problema sobre la dispersión de «na onda electromagnética plana sobre la esfera idealmente conductora. Hallar el campo electro magnético. 85. Difracción sobre la esfera conductora. Una onda electromagné tica plana que se propaga en un medio con los parámetros e = e,, o = 0, |.i = l. encuentra en su camino una esfera conductora de radio a, con parámetros 8 = e¡, (i = }i2. a =
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V IL Ecuaciones de tipo elíptico
477
3. Radiación de las ondas electromagnéticas
86. Hallar el campo de radiación de un dipolo eléctrico infini tésimo que se encuentra en un espacio no conductor infinito. Calcular la potencia media por el periodo de radiación. 87. Resolver el problema anterior, utilizando la representación de las componentes del campo electromagnético mediante las fun ciones de Borguins en el sistema de coordenadas esféricas p
_
i
Kzrj
E r =- d ¿ - + k U ' rr __ r»
p
— ^
d'V
E°- T d 7 d e rr
1^
dU
p
__
d^U
I
E* ~ rj. __ ik
J Í* ¡ ;’ dU
donde la función U satisface la ecuación Q dU \ , d*U , , , rr d I 1 1 d*U , dr* r3 sen 0
<¡0 (
r,
dO I + rJ son2 0 ~dq? +
de modo que Ja función u — ~ satisface la ecuación Au + k-u = 0.
88. En el centro de un resonador esférico con paredes ideal mente conductoras, hay un dipolo eléctrico infinitésimo dirigido según el radio. Determinar el campo electromagnético generado por el dipolo dentro del resonador. 89. Una esfora conductora homogénea de radio n con las constan tes e2, n 2, aa está puesta en un medio con otras constantesfísicas Ei, jix, (Tj. En el centro de la esfera se encuentra ol dipolo eléctrico que oscila según la ley armónica e~iat. Calcular el campo dentro de la esfera, la potencia media por el período de radiación y examinar el caso límite
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478
Planteamiento de los problemas
Considerar los casos particulares: el radio de la esfera es pequeño en comparación con la longitud de onda y a — *-oo. 92. Antena eléctrica vertical sobre la tierra esférica. Hallar el campo electromagnético generado por la antena eléctrica que se oncuenira sobre la tierra y que se considera como una esfera cuyo radio a tiene conductibilidad finita
En los problemas 94—101 se examina la propagación de las ondas radiadas por antenas que se encuentran sobre la superficie te rrestre. Con esto supondremos que la tierra es plana, homogénea y conductora (a veces idealmente conductora, otras, poseedora de conductibilidad finita); consideraremos la antena como un dipolo cuyo momento varía periódicamente en el tiempo con una frecuencia w: p = p ae~ial. para simplificidad supondremos I p 0 I = 1. Los problemas 94—97 tienen el carácter de planteamiento, aquí se debe introducir el vector de Hertz y plantear para sus componen tes distintas de cero el problema de contorno. Para resolver los problemas 98—101 se debe realizar el cálculo del campo electromagnético radiado por la antena y también la potencia media por el período de radiación. Aquí para el método de resolución es esencial el desarrollo en la integral de Fourier — Bessel con la utilización do la integral de Sommerfeld e~ = ¡ y o(x , ) C- * ' ^ M ' - 7^ = , j í- V T T F ? . (J 94. Antena eléctrica vertical. Sobre la superficie plana de la tierra que llena el semiespacio z < 0 hay una antena eléctrica vertical djrigida a lo largo del eje z. Introducir el vector de Hertz y formular para él las condiciones de frontera sobre Ja superficio terrestre, distinguiendo también la singularidad en el manantial. Considerar p = 1. 95. Antena magnética vertical. Sobre la superficie terrestro z = 0 hay una antena magnética vertical (cuadro horizontal). Resolver el problema de contorno para el correspondiente vector de Hertz si la tierra posee conductibilidad finita.
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VII . Ecuaciones de tipo elíptico
479
96. Antena eléctrica horizontal. Resolver el problema do contorno para la antena horizontal situada sobre la superficie terrestre, con conductibilidad finita. 97. Antena magnética horizontal. Un dipolo magnético olernental situado sobre la superficie terrestro z = 0 está orientado a lo largo del eje y, es decir, el cuadro con corriente se encuentra en el plano xz. Formular el correspondiente problema de contorno para ol vector de Hertz, considerando que la tierra es conductora. 98. Hallar el campo electromagnético de radiación de una antena eléctrica vertical sobre la superficie terrestre plana (voase el pro blema 94). Calcular el flujo de energía de radiación, considerando H = 1. Examinar los casos cuando la tierra es conductora ideal y cuando se sustituye por el aire. 99. Determinar el campo radiado por la antena magnética verti cal que se encuentra sobre Ja tierra plana (véase el problema 95). 100. Resolver el problema sobre la propagación do las ondas radiadas por una antena eléctrica horizontal que se encuentra sobre la superficie terrestre (véase el problema 96). 10Í. Hallar el campo electromagnético generado por una antena magnética horizontal situada sobre la superficie terrestre plana (véase el problema 97). 102. Un dipolo eléctrico vertical está situado on el punto z = z0, r <= 0 del medio 1, con constante de propagación igual a El medio 2 tiene forma de la plancha plana paralela con constante de propaga ción k« y fronteras z — a < zn y z = 0. El semiespacio z < 0 es idealmente conductor. Hallar el potencial polarizado del campo secundario JTiK. 103. Hallar el campo electromagnético excitado por la corriente lineal en un espacio no acotado y calcular el campo en la zona de onda. Determinar la resistencia de radiación. 104. Determinarla resistencia de radiación del dipolo semiondular en un espacio no acotado y también la parte reactiva de la resisten cia de entrada (reactancia) del dipolo semiondular. 105. Dentro del guíaondas cilindrico oxaminado en el problema 78 hay un dipolo puntiforme paralelo al eje del guíaondas y de vibra ción armónica según la ley e~M . Hallar el flujo de energía medio radiada en el período por el dipolo. Calcular la resistencia de radiación. Buscar la solución para un guíaondas de sección arbitraria y después examinar el guíaondas de sección circular, suponiendo que el dipolo se encuentra sobre el ejo del guíaondas. 106. Hallar lo expresión para el campo electromagnético dentro dol guíaondas, excitado por una corriente lineal de longitud 2 1 paralela al eje del guíaondas y calcular el flujo do energía a través de la sección transversal del tubo para el caso particular del dipolo
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480
Planteamiento de los problemas
semiondular situado sobre el eje del guíaondas radioeléctrico de sección circular. Hallar las componentes activa y reactiva de la resistencia de entrada. Resolver el problema con la aproximación de las corrientes dadas, despreciando la influencia del campo secun dario sobre la distribución de la corriente en el dipolo. 107. Utilizar la solución del problema 106 para la búsqueda de la resistencia de radiación y de reactancia del dipolo semiondular situado sobre el eje del guíaondas de sección circular y dirigido a lo largo de este eje. 108. Calcular el campo excitado dentro del guíaondas radioeléctrico con paredes idealmente conductoras por el dipolo eléctrico perpendicular al eje del guíaondas y paralelo a uno de los lados
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Capítulo V ECUACIONES DE TIPO PARABÓLICO
§ 1. Problemas físicos que se reducen a ecuaciones de fipo parabólico; planteamiento de los problemas de contorno 1. Para la temperatura del líquid o en el caso no estacionario tenemos du
. t d*u
, áau \
.
du
-5T = “‘ (-áS*-+ ipr+ a¡r)— '«-¿7 * — OO
< X, y < H-oo,0 < *, t < 4*°°I
(1)
a2 es el coeficiente de termodifusividad; para i =
) . ~ = a ( u — ()
donde / (xy y,
t) es la temperatura del plano z =
u )*„<, = q:> (x, y , z),
— oo <
*, y <
0,
(2)
0;
-fo o ,O < * < -f-oo,
(3)
en el caso estacionario (con la conductibilidad térmica «despreciablemente pe queña» en el sentido del eje x) Ou a2 / d2u , \ dx = l f [ ' W + - S F ) •
,
- « < » < + «>■
a da
..
X - ^ - = a ( « — /„)
donde
.
pata
/0 (*, i/) es la temperatura del plano « l*=o =
0
z=
K
+ oo,
.
0,
(!') ( 2')
i = O, + 00 .
o <
I <
+ 00 .
(3')
2. Para la concentración de la sustancia que se difunde en el medio móv il, que llena el semiespacio i > O y se mueve con velocidad constante en el sentido ael eje x, con la condición de que el plano 2 = O es impermeable, en el caso no estacionario tenemos:
__
Ou di ~
/ d*u - 0 2u , d 'u \ di1* + d -.1 )
V° 1 F •
— o o < x , i í < - f c o ,
■¿^■=0
du
para
O< s, í < -f-o o , *=
(1)
0,
(2)
D es el coeficiente de la difusión;
en el caso estacionario (con las condiciones del problema) du
D / d’£u , d“u \
’
- « < » < + “ . = °
«
^),
para
»=
0< x ,
K + co,
0,
— o o< y<-J-oo ,
( 1 ') (2')
O< ! < - } - 00.
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(3 ')
482
Planteamiento de los problemas
o
du — n l d2u i d‘ u i
3.a)
6l [ a i i + g yi +
\
9zi )
a^a
a,
— OO< i , y, z < - f oo,
P>°. (1)
0 < t < + oo,
u li= o = < ?(* .» . *).
.
du
h>
~ D b ? ‘+ á P "t-7?‘) + Pu'
dE d t
~ « > < * . y, z C + oo, n I d*u . d*u . d^u \ a a
(2)
p>0,
— co < x , y, z
\dx 3
dy 2
— oo ■< x, y, z < + oo.
dz"- I *
i « = _ £ ! _ ( ü « + i ! " + £ " ) , di 4n(io \ c?-r dy* dz‘ I '
'
(1') (2’)
(1>
o < t< + o o ,
( !')
donde E y U son los vectores de las intensidades eléctrica y magnética c, la velocidad de la luz on ol vacio; n, la permeabilidad magnética; o, la conductibilidad. E\,=„ = i
z
(2> (2’)
donde i, / , i son los vectores unita rios según los ejes x, y, i y 9 t,
- ‘ "- T - tr+ T - '’ ■ .t—
i #
<3>
,
div B = 0,
(5)
0,
(6)
d iv D =
escrita en el supuesto de que on la región examinada no> existen cargas volu métricas ni fuerzas electromotrices ajenas. Utilizando asi llamadas ecuaciones materiales del campo D = eE,
Tí = j i/ f,
j = o E
(7)
y la co ndición do la constancia do e, (t, o, y despreciando las corrientes de desplazamiento —■ j =~-
*
en comparación con las corrientes de la conducción
E, obtenemos los ecuaciones
• ro l II j=-Í22- E.
C -
Si de ambos miembros de la ecuación (8) tomamos rot y utilizam os conocida del análisis vectorial rot rot a = grad div a — div grad a,
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(91 la igualdad
V . Ecuaciones de tipo parabólico
483
entonces, mediante las ecuaciones (6), (7) y (9) se puede obtener la ecuación (1)* Análogamente se logra la ecuación (!'). j»
du
, g í Ó2u , d*u , ¡flu \
5- — ‘=a 0 < I < I,
dy?
— oo < y, i < +oo,
J.U* (0, y, z, I) — hu (0, y, z, t) = u (x, y, z,
0<
(1 )
t < +o o,
0, \ux (/, y, x, t) + 0) = / ( í , y, z),
hu (/, y, i, t) =
0, (2)
donde / es el espesor de la placo; el coeficiente de la conductibilidad térmica. Si la temperatura varía despreciablemente poco según el espesor, entonces u — u {y, z, t)
y -|f= <,í (’l j r + ' j j r ) —2Aiu’ —00< ¡,>* < + *>. 0 < t< + « > ,
(3)
Cpl donde p] es la masa de la unidad del área de la placa.
1 0 / du \ . i <9*u \ b’ -W ~ tt \TTir \r — l + 7 s - l^ } ' ,,
áu
. /
Ti ^ r ^ r 2,
0 ^ q> ^ 2n, 0 < í < -foo, \ur (rlT (p, i ) — h |u (rlt 9, f) — U íf)l = 0, 0 < t < + 001 Xur
0< < < + » ,
j u (r ,, q>, í)dtp] ,
(1) (2) (2') <2>
0 donde U (t), p*, c* son la temperatura, la densidad de masa y el calor específico 0 < q > < 2;x. r1^ r < r 2 del líquido dentro del tubo., u (r,
f| r=rí — r#0)(<),
0 < ( < + oo.
para
V-+0
r- . +
0 < í < + oo,
* ■ £ « " + * «*P v i F - T k ' Las ecuaciones dol
(2)
<3>
Indicación En las coordenadns cilindricas
1)
(i>
movimiento dei líquido
viscosoincompresibl
son dv r
dvr
V9
ü r + t v s r + —
v
(\
V% __
do r
- w +Vz ~
= - —p - T L+ dr *) v (r, i) «
dvr
«r ,
0r 2 1
-
1
—
¿qp2
~
, d*vr , 1 ** 1 r
dvr dr
2
dvy
7*“
0
(r, í); véase la indicación a este problema.
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\
484
Planteamiento de los problemas
__ 1 8p ~ ~pr á(f
¿>*i>
. _1_ doy d i1 r dr
_2_ dv, r* dt p
«
2) la ecuación do continuidad es dvr , 1 ,, dr
r
d»z vr d f d i ' r
donde r/r, ¡> ot b o u los vectores componentes de la velocidad en el sentido de los vectores unitarios de las coordenadas de! sistema cilindrico; 3) las componentes del tensor de las tensiones son
Las componentes del tensor de las tensiones en las coordenadas cilindricas se determinan análogamente a como se hace en las coordenadas cartesianas al deducir la ecuación del movimiento del medio elástico en el problema 11 del § 1 del cap. V I. 8. Resolución. Colocamos el origen do las coordenadas sobre la base imper meable y dirigimos el eje t verticalmente hacia arriba. Sea que en las proyec ciones sobre los ejes de las coordenadas los vectores f , V , V se escriben en la i z), V = {V' Vu, U = { u , v, w). Entonces la ecuación f o r m a / = {¡%, del movimiento de las partículas de las aguas subterráneas se puede escribir en la forma
d«nde p es la presión en las aguas subterráneas. Despreciando (en virtud del supuesto 2) de la enunciación del problema), las fuerzas de inercia, y utilizando
que se pueden escribir en forma vectorial del modo siguiente:
¡ 7 = — A: grad H ,
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(2)
V . Ecuaciones de tipo parabólico
486
donde
( 3)
//<*, y, t , f) = E = £ & . + , ,
P¡¡ es Ja presión sobre la superficie libre de la» aguas subterráneas (que no depen de de z, y, i). Sea que p, significa la presión hidrostática en el punto que está a la altura < por encima de la base impermeable, y z = J //0 (x, y, t) es la ecuación de la
superficie libre de las aguas subterráneas; entonceB para la presión hidrostática obtenemos la expresión siguiente;
Pt — Po = «P I * .
(*. y, » —
*1.
0 < * <
Ht (z, y ,
í)>
es decir, + * = / /„ (* , y, t).
(4)
De (3) y (4) hallamos para la presión excesiva la expresión siguiente: £ Z L P » = / 7 ( * . y, 2.
(5)
y, t).
En virtud del supuesto 1) de la enunciación del problema de (2), (3) y (S) so deduce:
<6>
u= ~ k l i r ’
es decir, las partículas de las aguas subterráneas situadas sobre una vertical tienen velocidades horizontales iguales. Examinando el prisma vertical fino con la base AxAy y la altur a II * (r, y, l) y utilizando la relación (6), la ecuación de continuidad se puede escrinir en la forma
Si la capa del suelo y la capa de las aguas subterráneas encima de la base imper meable se extiende «infinitamente», entonces el problema do contorno para deter minar el movimiento de la superficie libre de las aguas subterráneas se puede formular del modo siguiente:
OH* ___ k í a I f , Ot
~
m \3x \ “
d!í° ] t
dx ) +
+ Ty [Ifo~ Tir)} ’ Ho
y,
J < + oa’ 0 < í < +°°« ~ °° < T' '
(x, y),
<8
, y <
Observación. Frecuentemente de la ecuación no lineal (7) se pasa a la ecua
ción lineal 8,1 * — n» { d*!¡0 | d*l I ° ) dt l a *3
a2 — kh<> m > “
(V)
''
'
sustituyendo el factor //o entre las paréntesis que están en el segundo miembro de la ecuación (7) por la altura media ha — const de la superficie libre de la» aguas subterráneas.
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Respuestas, indicaciones y resoluciones
§ 2. El método de separación de variables
a) Medios homogéneos
9.
■
La solución del problema de contorno
i
r
-
•<- « ■• »<»<'■• “<•<'■• 0 < í< + o o ,
u
— u Ix— 1| = u— u l y — 1« = U |2=0= u l * = lt = ^ l
— I (x, y, i) ,
0 < * < ¿ 1,
0 < *< + C O ,
(1) (2)
O c t < l J
(3)
«s
+» « ( * , » , I , «)=
_a.It./±L+J2L +_2l.^ f
y¡
'*
¿h .m .ne
'»
sen—
A, m, n —! mnv
X sen ——^ son —-— ,
,í ,
(4)
*3
dondo
W o o
li
/,
Ak.'m, nSSiT*»l9 \ \ dX{
12 5 fl
11* X sen
r?íJtrj r son —-—- sen —-— dQ. lt /* *3 ,
_
(o)
10. ufx, y , zT0 = +<*•
' ~ (~ )
- - ((2*+l)«+(2»n+l)>+(Í>l+l),l « »(2k + l ) ( 2 »< + l ) ( 2 n + l)
S
k, m, n*=0
i
(2^+D ■
X
; 2" + 1) n:: ■ •
(i>
En ol centro del cubo
•(■r.
t
- y
‘ ) - " - ( 4 ) ' { 2 > -■ > * • h-=Q
} '■
*
Para todos los t que satisfacen la desigualdad
1,1 donde e es menor que el mínimo dp los números
,3>
1 y
, en el contro del cubo
ciencia cierta tendrá lugar el régimen regular con la exactitud relativa e. Indicación. Indicamos con a el primer término de la serie que está entre las llaves de la igualdad (2l y por .9 la suma de todos sus términos restantes. Para
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V . Ecuaciones de tipo parabólico
48 7
todos los t que satisfacen lo desigualdad (3) se tendrá*):
I — I < e; dado q u e 7 < 1
y
(4)
e C- ^-, resulta:
3a2S-f-3a,Ss+ S3 aa es decir, en el centro di>l cubo tendrá lu gar el régimen regulai con la exac titud relativa i . 11. La solución del problema de contorno { 0-u 4_ <^ u 4íu \ oz~ j ■ ~ = a ‘ l dx1 • dy 2
0 < í < /„ 1 du
ll*
I I Ou
~ [ 'W
■hu)
U * - ( £ + * * )
T hu j
¡
0 < í-j- co,
[I)
lp-0
a 1 1 i «
i i
_
(2 )
u (x, y,
2, 0 ) = / ( * i
„{*. y, 2,t)=
!/’ *)•
0 < T ¡ r < ít .
Ü < ¡ í < ¿ 2,
0 < s < l 3,
(3)
<-'*)
2 h, m. n=l
donde
fi /»*»
8XÍnmVn J J J / A
0 0 0
_
Km n~~ i.i, X2,
y< 2) Xk k*) Ym HJ) Z n {*) dx dy dz /jj\
[/l t >.J + )1=) + 2A |.[¡.(i(í, + ^ ) + 2J(l.[/s (vS4->>, )-t-2ftl ’
jx„ h j, de las ecuaciones
v ,. v2, . . . son respectivamente las raíces positivas
cte!,* = 4 - ( 4 ~ -£■),
««> # -x(t--f-).
X*(ar) = cos>.i2 + -í-sen?.fcX,
««'.'-
Y m (¡í) = cos
t
(x flr>i
Z„ (2>= cosv„ 2+-^-senvni.
t
).
**>
sen|i,„y. (7)
* l’ara más deta lles véase en el cap. I I I , §2, ta respuesta al problema 22.
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const» entonces En particular, si / {x, y , z ) = U 9 =
+00 u ( i l í l x1 l) = 4 W ,
2
X
A, m, n=0
w
-^sh+i (•*)
(y)S^2n4-i (2) ___
Indicación. Las raíces Xj, de la ecuación ctg fjX — —
cen las desigualdades 0 < X 1/1 < n , decir las desigualdades
0< i A < £ _ ,
j i < X 5¡ i< 2 « ,
(8)
— ~ j satisfa
2 n < X 3/ i < 3 n ,
. . . , es
..
(9)
* - < A ¿L
Sustituyendo X* en la ecuación ctg I x K ^ ^ y ^
--- , escribimos el resul-
tado en la forma o Ü L 2J L ‘8 ^ - ^ = - % = - — ^ .
1 ~
K En virtud de (¡»> t
g
(10)
> 0 para k impar y es menor que cero para k par.
l ’ero
2 tg-|
t»P — por eso de ( 10) se deduce que h
¿ÜÍ2. - J
, .
,~z — para k impar,
Xh
--
~~ para k par.
I’or consiguiente,
i, j Xk ix) dx — j — J^sen X *íi + -j^-ll — cosXi¡¡i)J =
“ i 7 z” " i T L '°| i r - [ , + T r ' í '17 1- J “ t
X*
8
2 J
|
j t -
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para A impar.
V. Ecuaciones de tipo parabólico
i.
48d
h
Análogamente se calculan ^ Yrn (V)dy, ^
o
2 n (i)di-
o‘
Observación. Si el paralelepípedo en el momento inicial de tiempo está calentado uniformemente (es decir, / (x. y, «) = t/0 =a const), entonces, evi
dentemente, la distribución de la temperatura en él será simétrica con respecto
a los plano 9 2 = - ^ , í f ' = y , í = -^, por oso se puede limitarse a determinar la temperatura en uno de los ocho paralelepípedos en que estos planos parlen el paralelepípedo inicial. 12. La temperatura en el centro del cubo —-I < x, y, s ^ l es igual a
f +"
l / " t+-£— , — ~
U = 8U0h31
( .
«>
dondo 3i0, Xj X2* ..«s o n las raíces positivas de la ecuación
tg x ;= — .
(2>
Para todas las magnitudes de tiempo t que satisfacen la desigualdad
! > ! ' = --
1 a 1
. in
X t
r W + w + í ^ ,) 11 / (fc/*+AZH-(tto>a y
' H t r ■ + ( £ ) ’ (3)
dende e es el mínim o de los números
1y
~ , en el centro del cubo a ciencia cier
ta tendrá lugar el régimen regular con la exactitud relativa e. Indicación. A fin de obtener la expresión (1) para la temperatura en el centro del cubo — l < i , j , i < / c« suficiente, de acuerdo con la observación al problema anterior, con hallar primero la temperatura de la parte 0 < x, y, i < l de este cubo, considerando que los planos * = 0, y — 0, z — 0 son termoaisla-
problema 29 del cap. III. 13. La solución del problema de contorno
(■ S j r+ íij') ’
»<»<+ -.
0
0<=< 1„
(l>
<*< + <» ,
u lx—o“ ^o*
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(3V
•490
Respuestas, indicaciones y resoluciones
es: -f°o “ (*.
O.2
í) = 166T0Aa ¿ i
m. n»0
t
,*
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1
X
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Y
______________
( cos van+12-f —
f*27nn ____________ Í__\ ___________
sen v 2„ « , j )
v a n- u ___________
V, U‘-2>*,i + *2H- 2*1-IU (v|„+,-t-A ) + 2*1 donde |i,t ;i2, clones
v,, v2, . . . son respectivamente las soluciones de tns ecun-
C t g /,(.= - !• ( £ —
J- ) .
.
c t g / 2V = |
indicación. Véase la indicación al problema 11. Ut. 11) Ier r a n ] /
J
;
I» ol proceso de carácter do avalancha de la m u lti plic a ció n de las pa r tículas tendrá lugar p?ra cualquier dimensión del cubo: * , a ]/ 3 _ 1 y jí ah j / 3 \ O ^cr = — u — arectg-a-— !-L-=------- , si * * oh 1/3 V $ ' P ;> 3a2k2\ el proceso do carácter de ava lanc ha será para cualquie r dim ensión, si P ^ 3azh3; fj es el coeficiente de la m u ltip licació n que entra en la ecuación <>»«
J . Ü 1 1 d‘ u } \ 4 — a2 1 -t- P,i PJ dt ' áz? \ áz-
Ou
n’n*o*
+°c
I
\ t) I
W
n n r
son
“ o r
A ne •o
2 f
(D
ntir ,
An = — j rf (r) sen —— rfr-
l2)
a Indicación. La ecuación do la con du ctibilid ad simetría radial se escribe en la forma dt
térmica on virt ud de la
f t>aU | 2 du \ \ dr,¿ “r r dr f •
El paso a la nueva función incógnita u (r, ¡) = r u (r, () conduce al problema de contorno sobro ol enfriamiento de la barra =
- ^4 -.
i-tO. í) =
0,
0< r< r„ , u(r0, í) =
u ( r , 0 ) — r /{ r) ,
0,
0 < í < + a>.
(3)
0< í< + c o ,
(4)
0 < z r< .r„ .
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(5)
V. Ecuaciones de tipo parabólico
491
La primera de las condiciones de frontera (4) es consecuencia de la acota ción de la temperatura u (r, l) en el centro de ia esfera u(-f-0, t) =
lim ru (r, t) — 0. r- + 0
+o° 10. «|r,0 = g. + 2 ^ l C . - i ) S .(-U "4' f n= 1
S
--
flJ±r Jj>_'
Para todos valores de tiempo t que satisfacen la desigualdad
= — J
aí Ine,
en el centro de Ja esfera tendrá Jugar a ciencia cierta el régimen regular con la exactitud relativa e > 0. Indicación. Véase la solución de) problema 22 del § 2 del cap. 111. 17. La solución del problema de contorno
•< ■ < + “ •
i t - ' & ' - T 1, ?)■ =
r = r„,
u(r, 0) = CA„
><>
0 < < < + !» ,
(2)
Q < r < r 0.
(3)
es:
u (r ,
<) —
< oagt I r;
^ 2 r0e i-! |i=< i eos Un
3 rj — 5r3 lOrg
'
,
n= i
r
I
'
(4) donde >in son las raíces positivas de la ecuación
tgn=n-
<5>
18. La solución del problema de contorno
4 r—
fS - + 4 £ } -
4íi- + ftu =
or
0
« < '< '• ■ « « < + - •
para
r=r„
0 < t < + N !,
0 < r < r0
u (r, 0) = / (r),
<« (2) (3)
es: -foo
.. « f .
-n*X2
^
* )= 2 j
a " ‘
n= 1
—
p—
>
l4 >
donde
2 rg>.i+(r„A—1)* f . . . . . An “ '77 ' ^ + ( ^ - 1 ) ^ . J r¡
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<5>
49 2
Respuestas, indicaciones y rosoluciones
Xn son las raíces positivas de la ecuación
X <6 )
J». H(r, í) = t'j +
+ « f u r ; ? ( i 1 )i r +1 ser l’„)>ir0¿¡ «=1
____________ a,tín‘ sen JÜ L r5 (u?, + / lV * - /¡ r0) r <•.
>
m O
donde jia son las raíces positivas de la ecuación tg >*= —
r0h - 1 >
(2)
y h, el coeficiente del intercambio de calor que entra en la co nd ición frontera =eh |Cri — u)
para
r=
0<
rv,
de <3)
t <-f- 00 .
En ei centro de la esfera
U(0,0 = f,+ 2 (y 1- í o)/»r.2 <- D ™ ' ^ n—I
(4)
Si ;ir„ < 1, entonces, evidentemente, la serie (4) satisface las condiciones del teorema du Lcibn lz sobre las series de términos de signo variab le. Utiliza ndo esto, hallamos que para todos valores de tiempo t que satisfacen la desigualdad
ro ln fr Ml + ftVs—hr„ n í + f P r l — hrc (¡ijí — Mí) i
/ >tiJ+ (fern— 1)» 1 V
+ (/ir„— 1)> / *
en el centro de la esfera tendrá lu gar a ciencia cierta el régimen regular con la exactitud relativa e > 0. 20.La solución del problema de contorno l ¡ T = a ' { - J ^ + T 1 7 -} ■ ° < r < ro.
-¡ÉH “ * Dr |r= r0
+
—“i I|r—r, .
u (r, 0 ) = £/„,
0
0 < t< + o o ,
0 < »< +«>,
(1)
(2)
< r < r„,
( 3)
r<¡- -
+<* uZ ¡
|iar
ín
A2rJ—ílr0)
r
(4)
donde |in son las raíces pos itivas de la ecuación
>> lBI‘= xh rr ir „-r i *’
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<5>
V. Ecuaciones de tipo parabólico
493
Indicación. Primero se debe hallar la solución particular de la ecuación
(i) que satisface la condición heterogénea de frontera (2). Tal solución particular se puede buscar en la forma U (r , í) = í/j 4* a t -f- F (r), donde P (r) es una función incógnita. 21. La solución del problema de contorno du dt
(i7 -A'u)Lr=o- (4 7 +a=“)L=°<*(r, 0) = t{ r) ,
ulr,
fl < r < r „
J 5ÍÜ M ^ £ | H ^ L ,
(2)
(3)
m
dondo An ~
2 j r/(r)sen[X n (r —r,) + v„]<(r (5)
r2— ri + A.n son las raíces positivas de la ecuación
U - ( a . + t - ) (a. - 7 -) Clg Xn (r2— r,) =
-----
7--------- ;----- T V — >
v„ = arctg — -n . ■ ■
(6>
(7)
*i+7"I 22. a) b) ei proceso tendrá el carácter de avalancha para cualquier dimensión de la esfera, c) ^cr- es Ia ra‘z positiva mínima de la ecuación
1 (-¥ ■ -)- ¿ W 6) Medios heterogéneos ; factores concentrados
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23. La solución del problema de contorno
cipi-lr2^ 1{■fe' + 'ijí'}»
° < i< :c »- o < ¡ / < ) „
csPi-^-=:*r*{- 0- + *0- }>
* • < z < l “ fl< y < ' í .
u ( í ( — 0. y, t) — u (x„ 4 -Ü, !/, lttu x (xc— 0, y,
oo,
o < f< + » ,
0 < v < ¿ j , o < t < + 00, t) — ktux {xc+ 0 , y, t), 0 < y < / 2,O c í c + o o , u|,«»=u|a:=íl = «|ff_,v=u|i,=l2 = 0, <),
u (1 , y, 0) = / (*, y),
(i) (i’> (2) <2')
(2*) (3)
c.«:
u (z, y, <) — 2
m, « = 1
n< l’m „ (*« !/).
Am.n*
M
donde sen (ümnx —---- sen— sen ü)mnx 0
---
^
^
<2
y ^ ¿: , (5)
sen U m n d i — z ) . nny --- = ---------- sen — , *2 scnú>mn(/i— *«)
r» __£iPi ü)m n— “ ^T— Amn
y
^ x 0 < x < /,,
=a
0^
y ^
^ .
*2
"*** “ m u ---------- JT(«>Amn ,
Xmn (m = l, 2, 3, . . . ; n = l , 2. 3, . . . ) son las raíces de la ecuación trascedenle
k' V
Jp}-
£^ L ^m r,- —^-Ctg^xo y r
= k ,\ / ■ ^•xj,„--2^1ctg ( ( r.- í I) y / '
^ } , (7>
1. 1, \J H t*» !/) i (*» !/) *>m n (* , y) dx dy Am. /»■=* ^
(8)
----- — ¡rr--- p ------------
IL I t
= I í)Pl
' ’
\ CjP j
II i m n II
0 < * < ^Co.
para
para
0<
y < /4,Q.
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!Uf„ .r ll 4= \\M * . P)*m. n (*. y) dx dy =
00 f
cí Oixo ____cgPa(^i" ____|
4 \ sen20)mnx 0
Jq)
I
^10)
sen54
Las funciones um. n son ortogonales con respecto ol núcleo f.i ( j , «/) sobre el rectángulo 0 ^ x ^ i l9 0 ^ y ^ /2*
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V . Ecuaciones de tipo parabólico
495
24. L 8 solución del problema de contorno du . í d2u . d*u C P * - g r = 'r. [ sp r + s ^
0 <; r <
0< y
j 0 ,
í2,
Du
0< s < í , ,
0 < í < + o o,
d2u
I
fjp + dy2 l2_a r = * n * „ < * < / „ 0 < y < / a, 0 < 2 < ; ,, 0 < í <+oc, « ( 'o — 0, .V, 2, l) = u( z 0+0, ¡í, 2, ?)• a. 0 < 2 < i s, 0 <;í<-$-oo, ír,a*(z 0— 0, y, 2, 0 = ^"*(■*'0-1-0. », 2, i), 0 < y < í 2, 0 < 2 < í a, 0 < í < + oo,
0
0 < s r < ; z,
J|
u (x, >J, í , t)=*
A m, n , v*
d') (2) ( 2' ) ( 2 ")
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u l t - o - f ( * f !/• *).
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(3) (4)
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0 Sss 2 ^ / j .
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» 1 , 2, 3, . . . ; />= 1. 2, 3, . . . ) son las raíces
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496
Respuestas, indicaciones y resoluciones
1} h h j J Jl* (* . y. ») /(* . », *)»m, n, p{*t y, * ) d z d y d i 0
0 0
An "■ P ~
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n.p
v,
ClPlJQ -+■ son8
( 10)
Las!funcionesp (*, ¡/, s) son ortogonales con respecto al ntícleo 1* (*. ií,tz)"sobre el paralelepípedo 0 < y < í 2, 0 < i < i s. 2¡>. La solución del problema de contorno
{'STS' + T ' l r } ’
0< << + oo,
(1)
ci P * 4 f = = * ! { 4 ^ " + " 7 ' f r ) »
0 < í< - ¡- o o .
(!')
u (r„— 0, <) = u (r t -t-0, í),
*i“r (»"ii—0. í) ~ M r (ri)+ 0-*>. u ( r „ 1) = 0 ,
“ (r,
0 <(<-)-oo. 0 < « < + <*,
(2)
(2') (2 *)
0< /<- ¡-o o,
0) = / ( r ),
0< r < r , ,
(3)
es:
í” *)= y
->■-1
" fn (r),
(<)
71=1
donde Xn (n = l ,
2. 3, . . . ) son loa micos de la ecuación Irascedonte
~í£!-| —
l/'/tlCiPiCtg|r0J.„
- yS 5S T ctg { (r.- ri)X. 1 / ^ } = ^ sen d)„r
0<
r sen nr0 ’ "n (r) =
,
(5)
r < r„.
(6 )
sen (ün (rt — r) r sen « « ( r t —-'o) rg) s „ = xb1/
Wn =* X
^ : ,
(')
l> (r) / (rl ü„ (r) dr
■^n---
I »n II2
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(8 )
V. Ecuaciones de tipo parabólico
49 7
es lio» lls= \ l‘ ( O i 'n ( r ) d r =
C' P' rJ --- h
2 son2Mnfo
g»°»_
Las funciones (r) ton ortogonales con respecto alnúcleo ¡t (r) segmento 0 < r,. 26. La solución del problema de contorno du
1 F=
, f 02u
2
.
du 1
— —
. ... du _4 nr?. p V* TdV = fa r^ —
} ,
r , < r < r It
sobro el
.
0 < í< + o o ,
(i,
r=ri
«!»-=>-!== (*>.
«Ií-_r2= 0, 0 < ¡< + o o ,
(2)
rl < r < r „
u(r,C>) = H r) ,
(3)
donde p* y c* son ladensidad de masa y ol calor específico del líquido, resulta:
+TO
„4
S n«=t donde
;2, hnl
se n
t*—
,,a)
-------- -------- ,
-
r , < r < r s,0 < i < +
son las raíces de la ecuación ctgXn i r j - r i ) ” -
^
3* ,
(5)
An —
»■ *
2 j
r¡ (r) sen
(r— r2¡ dr
(ü)
T rH
1 \2 , , , , 2i;sr,p*<;*-l / a 2k 7 tr,(>-c* . r' ( --- ü . ----- U 7 ¡ l T x " + ru J
Indicación. Mediante la sustitución v (r, t) — ru (r, t) el problema (t), (2),
(3) se reduce al problema sobre el enfriamiento del segmento con la capacidad concentrada en el extremo, y que se resuelve análogamente a como se hizo en el cap. I I I (véase el problema 50).
a) Medios homogéneos -ce
B,rt 0 ^
o[ l - 2 S e n=l
0 < r < r 0,
_
Ú
£
¡ J 0
-
0 < í < — oo,
donde r, es e! radío del cilindro y fin, las raíces positivas de la ecuación
= 0.
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(1)
/ 0 (u) =
498
Respuestas, indicaciones y resoluciones
En las condiciones del régimen regular, es decir, para valores tan grandes de t que la suma de los términos de la serie ( 1 ) que corresponden a |a2, ua, . , . es despreciablemente pequeña en comparación con el primer término*)
2 (til?) f i O T j ' r“" J> 0 < r< r »'
(2)
la temperatura media sobre la sección transversal es
U (f l* ¿ ’0 [ 1—
rS ‘ ] .
Observación. Ln los pum os con coordenada r, = JÜ- el
1*2
(3) régimen
regular
llega antes, debido a que en estos puntos .«e anula el término de la serie ( 1) quo corresponde a |x2.
+-
U (^ )
28. «cr, t) = 8LT0
P
e
, ,
■, donde u„ son las raíces positivas
n= i de la ecuación /„ 1^1 = 0. En las condiciones del régimen re gular
A (— ) -üS¿*
u\¡\ 11 « 8(7Q
(*?•>!
Ja temperatura media sobre la sección transfersal os
ffW - ÍS ,
»Ía» ■ '* .
Observación. 151 régimen regular llego antes en los mismos puntos que on
el problema ante rior (véase la observación a la respuesta al problema ante rior). 29. La solución del problema de contorno du til
, f d'¿u ■{ f
1 t
T
\^■=1
d V
.
^
u ) ’
P»*ft
0 < t < + o o . (1 )
r=r„,
u ( r , 0) = í Qy
0^
0 < í< + » ,
(2)
t ^
(3)
rq,
♦) Recordemos que para las raíces de la ecuación representación / de modo que
»
2,4048,
...
1 . 0,05661 [it »
/ 0 (n) = 0 tiene lugar la
0,053041 ,
5,5201,
\
« 8,6537, , , ,
Los valores de / , (p.„) véanse en [7], pág. 394.
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V. Ecuaciones de f¡po parabólico
499
i
■ir. 0 - * . + ?
[2 ¿ ¡ - i ( ■ - * - £ ) - S
(4)
( * ) ] .
donde (i„ son las raíces de la ecuación Irascedenle •/Ó'1‘>=0.
(5)
30. La solución del problema do contorno
0 « r < r o,
Í !i= a * { !£ 4 ~ - - | L } .
=
(D
0 < r s jr 0.
r^+ fc- l I. Or
0< » < + o o ,
=0,
0
Jr-=r0
+
_
(2) (3)
Vn'itt t
«ir , 0 - S / í n /
,4>
4
TJ—1
donde
rQ A n = .
. f r¡ (r) J„ (Ü 2Ü ) dr.
(5)
o pn son las raíces positivas de la ecuación fi/£
(C)
En las condiciones del régimen regular r«
2I>5
\r I (r) /„
) dr u?o»t
u ( r, t ) ü í -- a . ... ... ,t 7— :— /o ( — ) « rc lní+ W r?) ¿ I (M-i) ' rv I
.
3). La solución del problema de contorno
t —
{ - S - + T Í- } ■¿L. = /t(C fj— uj
» « '< '• • »<=*<+” •
parar = r 0,
«(r. 0) = t?„
«>
0< í< + o o ,
(2)
0 < r< r0
(3)
es
- 1,211» , u (r, I ) - V, +
2 l 6', — 1 '„) S
+
/o
n=i
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>
(4>
600
Respuestas, Indicaciones y resoluciones
donde j.in son las raíces positivas do l.i ecuación (5) Observación, lín virtud de (5)
^ i ( m ) ______
____hr¡,^
Hn Pí<¡Í>JT^F(Í*ñ)T ~ -Mlln' ll‘ n + i “,'¡Sl ' De esta manera. la expresión (4) para u (r, <) puede ser escrita en la forma
- “*>1» f
+90 u (r , t\ =L \ + 2( l\ -V <))h r<¡ 2
rt,
/„((!„)
n=l
im
«
_ o*Uñf_ rs_r5-2 h ^- 32. u (r, 0 = {.'0+ a
4a2
,2hrf,a +“ e
+—
(tí)
J ° (\>' „» <) '
i •* • oí
■w
r5 /,
l^n) U‘a
~
,
( 1) donde pn tienen los mismos valores que en la respuesta al problema ante rior. .'13. La intensidad del campo magnético es
{- s . ■*■06
n«=l
J
(V2LL\
M J
■
donde ^in son las raíces positivas de la ecuación li l flujo de la inducción magnética a través de la sección transversal df*l cilindro us ¿n
r<\
n
J3r dr d
! » rr ,„
2n
-r~ _!!ÍUL2,/,,
(
, 5 y //„{ ! - 2 S
-
's
-j
Íi^ r íb }
r dr d
+{c =nrSn//0{ l - i 2 " indicación. En la ecuación
para
el
vector
de
la
tica *>
.„ eu d-H . 4nno dll A,í=^ 1 F + — — *) Véase ¡7], págs. 287-2M.
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_ £22? ,
intensidad
1-5 — }■ magné
V . Ecuaciones de fipo parabólico
501
para un medio conductor con elevada conductibilidad so puede despreciar el 8ii #2JI ., . ., 4nuo OH . termino — <*n comparación con el termino — — —— Tlo
C"
Ot
a la ecuación „
dH ot
-
Ot
c1
4jtiut
Desarrollando ol vector H con respecto a los vectores unitarios cT% ev, ez del sistema cilindrico, el eje quo coincido con el eje del cilindro
H = Hrer + //,*» + Hje,. Dado que el campo exterior no depende de
I I (r, 0) = 0. I I (r0, t) = H 0
0< r< r„.
<2>
0
34. I¡n el sistema cilin drico de coordenadas el eje z de que coincide con el sje del cilindro
I l ^ e rH r + t ^ H v + e 2H z, „
.
//r= //,E 0,
IIz^= H (r,
I),
berto'rliei ü)’ rn— hci 10'r lierw'fl " ber- <.)' r„-(- lio i 2o/r 0 , ,, be ria 'r beiCu'r„— beio 'r bero/r. X eos bit + //„ ----- ¡— , 0, . ;------ ! x v> r„-r- bei2
donde
jtn
son las raíces positivas de la ecuación J 0 (p)ssO ycú' = Í ^ ^ .
Resolución. La solució n del problema ■H t -
'
W
+
t
4 ^ }.
I I (r, 0) = 0,
/ í (r„, í) = //„ eos (oí,
de contorno
• < ' < * « < « < + -• 0 s £ r < r 0, 0< /<
<*> (2)
4- 00,
(3)
hallamos como parte real de la s olu ción del problema de contorno
{ ^ + T £/(r„,
£7(r0,
- S }.
0 < «< + °°, 11', 0 < r < r „ . (2')
0) = O,
n < í < +
oo.
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(3')
602
Respuestas, indicaciones y resoluciones
La solución del problema de contorno <1'). U
(3 ) la buscamos en la forma
0
IV
donde V (r, l) es solución p articu lar de la ecuación (1') quesatisface la condición de frontera (3') y es de la forma (5)
V > , i ) = f í ( r ) t la ‘ , H '(r ,
i) es la solu ción de la ecuación ( 1 *) que satisface la co nd ición W (r. 0) = — Y (r, 0) = — n (r)
in ic ial
(6)
y la condición de frontera W ( r „ t ) = 0.
(7)
Sustituyendo (5) e.i (!') y (3'). Iiallamo*
I» (ro<>>'
0
!,er “ r° + 1be‘
r°
(8)
donde
V \/ i)
fl(r)=//0; 7 ,:r - f , ’ l<,(r0u>'y T) t-^
»>,
(9>
_ ._f
rí / o(17 ^ }’
<‘°)
7»=}
a
______________________ — o/a
_
4
II-
*tnCÚ
r**1______
ttn
- “ •«■W.-
E! cálculo de la integral que está en el numerador de la igualdad (11) se realiza mediante el siguiente procedimiento general. Sean Zv (X*x) y Zv (Xx) funciones cilindricas arbitrarias de v-ésimo orden; X y X*, unos números reales o complejos. Obtenemos:
jL f!Í 2 ^ £ ) J + ( * . , _ £ )
,12)
(is> Multiplicando la primera de ellas por Zy (k**) y la segunda por Zv (Xi), restando los resultados y realizando la integración, obtenernos: r . . x \>.ZV(>*x) Z'v (U)-Jw*Zv ( U ) (%*x)\ \xZv (k*x) Zv (/•*) dx = ------------- --------------------.
( 14>
*) Recordemos que J e (xi V 0 = í¡¡ (x \r i) = ber x + i bei *; ber x • _ t ** , *• . xx* | J 10 -+
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V. Ecuaciones de Jipo parabólico
603
Haciendo X* — <■>' \/7t >, = — f obtenemos:
ro
Y 'i) / „ ( ^ )
rfr = i / 1,
,
(15)
de donde directamente se deduce (lt). Separando la parte real de Y (r, i) y de W (r, t ) y sumando, obtenemos la igualdad (1 ), dada en la respuesta. Observación. EJasando a lím ite en (14) cuando }.* Á, y u tiliza ndo !a ecuacíón ( 12), no es difícil obtener una relación importante para calcular las normas de las funciones propias
f ,, ,
y.Z\0.r)dz =
n2
(X*)4 [Zv (3ur)]*+KM*—V*| |ZV(>.*■>)*
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,„ /^r\„
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X<
X« donde
ri
+Íí"t ln
*
lni.
; |i„ son las raíces positivas de la ecuación Jt, (|0 A’o (!>*) — 1 o &<•*) A'o ((O = 0,
y Z. ( * f )= A ’. ( M n « / , ( ^ ) - / , ( M ) A ' ll( ü ^ )
.
Para V y = Í72= £ / * = const, / (r) — C 'a—const
+0° S
71=1
■MMnJZoí — ) (Uní
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/«dícflcídn. Para calcular la norma de las funciones propias (^•A¡r ) = = ^ i ( ^ ^ T i ) A j (?v/4r ) — A j 0*kr i ) J i (k/*r)
se debe utilizar lu igualdad ( 1 G) de Ib observación a la solución del problema 34 y la expresión para ol wronskiano de las funciones cilin dric as / v (2).
v (s)
I /v W
A 'v C) | = _2_
I(z) ATJ
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n *
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604
Respuestas, indicaciones y resoluciones
30. Lu solución dol problema de contorno
Ou
n ( d~u
,
“(
_ = a» | 1 -r +
«(/•,,
0
^
_ _ | ,
= 0,
u r (r2,
« (r,
~f-CO
r , < r < r i.
<) = - y - ,
0) = 0,
0<
f
...
,
( . < < < + =».
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í < + oo,
(2 )
rj < r < r2,
(3)
ji
!<(r, t) = U (r)-f- 2
( / , (>./¡r,) A'# (>.fci) — A '„ (X * r,) (K j, r)] ,
(4)
>t—I
donde U (r ) =
ln — es la solución estacionaria de )a ecuación (I)
que
satisface las condiciones de frontera (2) (e) limite a que tiende la tempera tura cuando t-*- — oo), y los coeficientes A* so hallan por las fórmulas
"*=V
xírtr(r)|y“(X"ri)A’°(X‘r)r i
— A’o (^ftri) *^t! (X^r)] di"t (5) X/t son las raíces positivas de la ecuación Jo (Xrj) A'J (Xr2) — aV8 (Xr,)
(Xr2) = 0 .
<6>
37. La solución del problema de contorno
Ou
.. (<7¿u .
1
Ou \
— = a ¿{ ^ + — —
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A
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0 — ftlU(r,t í) = 0»
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u (r, 0) ■=£’fl,
/4v
O c K + o .,
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(1)
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0, 0 < í (3)
es: “ (r’ ' ) = Z
Ah e a' ^ 't (|>vji^£ (Xfer,) — M o l W i ) ] XoO-h’') — l>-*'v ó ^ h r , ) —
h=l
— /i,A’0 (>.;tr,)l /»(>•;,r) ),
(4)
donde
J* = — j ^ X *
I W ^ O + V 'i> (W ]» ______________________ (W+X¿) IAl,J H ' t - k r , ) - h , J ,)!'■>-(;,; + ?,/,) f5“ 7¿ (M,r.,) + V . (X*r2)J2 A ________________________
X
¿’k
f/©"•—{IX/^y (X&rA)—M o (Xftri)] X [r2A'i (X&rj)—
lX/tA'o (X^r|) — A|Aft (Xft^))'{ r 27 x (X/jr.,)— rtJ j (
(X^rj)]
rt)J^
?.í, son la* raíces positivas de* la ecuación
I X /¿ (Xtj) — h xJ 0 (a/*i) I Jó ^*r 2)
X-A'o (X rt) — (^r s)^ ó(^ r2)
* (X ri) I __ y “i" o (X r2)
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V. Ecuaciones de tipo parabólico
506
38. La solución dol problema de contorno
1
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(1)
0) = 0,
(2) <3>
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además, y(r , í) = rl(.(r, *)*), es
•fr.
5
(4>
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(5)
donde X* son lns raíces positivas de la ecuación J i (^J.ri) A‘i (X ^rj)
N , (X»tr|) /| (X ^r 2) = 0.
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n,
¿n,t( + fl„. * sen ”>(>]«
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( 2 ).
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< )=
2
positivas de
la ecuación / „ ( n ) = 0(5> .
,,,(»> . J n \ ~ 7T ~ /
» •t o s « fpH - * n .h s e n n ( p | X
n, k=0 *-á ~r~ Xe r°
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*) Véase la indicación a la respuesta al problema 7.
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506
Respuestas, indicaciones y resoluciones / l 4 n ,r
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/ u(n)r\ X f ( r ,
(4)
I # " son las raíces positivas de la icuac ión y Jn (p) ■ + ■r t h J „ (n) =
0;
(5>
b , el coeficiente del interc ambio de calor que entra un la ecuación de fron
tera f¿ ü
L
I
Jr*-ra
dr
=
0,
0<<
(6)
41. u. (r, tp, t) = =
+0° -a*>/n)af 2
*
*
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n ,k = 0
Zn dond e
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( 1)
(2)
son las raíces pos itiv a' de la ecuación J n
J n
( X ^ V 8) = 0 ,
nX),">!
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S i a P r i ) - J l Q . ín,r,)
(3)
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X J
^ / (r, if) Z„ (X¡,n,r) eos n
(4)
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J / (r,
1 ) Z„ (XS,n’ r) sen n
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(6 )
V. Ecuaciones de tipo parabólico
607
Observación. Si se representa la solución mediante las funciones propias 2 n (>in)r) = J n (X¡,n >r2) Nn ( X j f M - t f » ( X ' " ' r 2) / „ (X¿n ,r ) =
J n (4 "V S)
=
Zn
w
(esta relación entre '¿n y Z* se establece mediante (3|). entonces u (r.
>. e T), /t=0
*
x
X Zn (X)"'r) {/ln, k eos W f+ fin, h seri n(p).
(8 )
Las fórmulas para An & y Bn. k se obtienen de las fó rmulas (4) y (6) si la fracción J n (>.JtnV,)
/ í (XÍ">r,)-/^(Xj'")r,> es sustituida por la fracción
Jiapn) 42. La solución del problema de contorno íü = dt
[l7-
t*!
«r> / í í + J - i ü - L * — 1 \¿/r2 1 r dr 1 r2
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0 < (p < 2 n ,
0 < í< 4 - o o ,
( 1)
[lf+fc*uL„=0’ 0<'
< + °°.
“ l t = » = / ( ' ,i
r , < r < r 2,
+» u (r,
2
(2)
0 < «J. < 2rt,
(3)
-a*>.ín)3| «
" X
n, fc=0
X Z„ (Xj,n)r) {/)„ * eos racp+
8n,
t, sen nqj,
(4)
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Zn (XÍnV ) = [X
(X £"r )-
-
l ^ n)An ( ^ V , ) - / , t A-n ( X ^ ’r
donde Xj,n) fon las raíces positivas de la ecuación
>-kn)Jñ
- M « (4n,'-í)
C4n)ri) - '■An
(X ^ V .l + M . . (X¡,">r2) X«>‘' a ; ( X ^ V j + M ' n ( X ^ r . )
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(b)
50 8
Respuestas, indicaciones y resoluciones
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n = n i;¡$e.
U> ^
Bn, h=
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(9)
OfeseriíacWn. Se puede representar la solución mediante las funciono» propias 2» ( 4 n)r) -
l ^
( 4 n,r,) + k ,/n (4">r2)J A’» -
-
t t i ’‘>ra)-(-h.,A'n ( 4 " ,r.)] J n
relacionadas con las funciones Z n
(10)
por las relaciones
z n ( 4 " M =
*S;‘y n (xV'Vai-j-ftg/n (?.},"V,) XjJ'Vñí^V,)-/.,/» (4»>r,) u (r,
+“ v
Z„ (Xj¡r) {yl„
e
u-/r
Las fórmulas pala >*„, ), y diante la sustitución de 43. u (r, (f, ()=
" ( " ’’
(M) ~
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eos ttcf+i#n . it sen n
(12)
j, se obtienen de las fórmulas (7) y (9) me
Zn por Z„.
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50 9
donde Jtj1* son Las raíces positivas de la ecuación
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40. La solución del problema ríe contorno „ í di u . i du , 1 íftu 1 7 r = 0' ( ~ -r r i 7 + - ^ w ) ' du
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61 0
Respuestas, indicaciones y resoluciones
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(4)
V . Ecuaciones de tipo parabólico
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48. La solución del problema de contorno du
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Respuestas, indicaciones y resoluciones
40. La solución del problema de contorno 3u _ . ! í
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50. La solución del problema de contorno
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V . Ecuaciones de tipo parabólico
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614
Respuestas, indicaciones y resoluciones
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52. La s olución del problem a de contorno „„ /[ O-u 02u
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V . Ecuaciones de tipo parabólico
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(6)
616
6)
Respuestas, indicaciones y resoluciones
Medios heterogéneos ; factores concentrados
53. La solución del problem a fie contorno du
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son las raíces de la ecuación irascedeute J n
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fc,®/!, (<5r„) kM.*¡ ’ n (ü>r„)
0
(5)
k^ óJ¡, (
¿V„ (wr,>
V
(o»o)
J n (ür,)
(•5)
P
ni, n . P (r) ~ l*^n (Mnt. n, Prol
( ^ m , n. P**i)
— iVn (ó)m, n, p^o) Jn (°>m, n, rr i))l J n(tóm n.
^
(V
( / n (^m. n. pr) $ n (wm, n, pr‘i) — M n ( © j n , n , p r) J n (<0m, n . Pr 1 )] ] J n
rx
2rt
n. p O f
^
I
^ n i dr ^ dy ^ / (r , qp,
2) f l m ,
al f
«n—
}
ra< r ^ r t, mnz
.
p (r ) eos n
p {r)
0 t i,
C n_\2,
n =£ 0, n = 0,
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(8)
V . Ecuaciones de tipo parabólico
2a
l
\ rji dr J d<\ J / (r, cp, z) /?»,. n. p (r) sen
_
->mr r*. P —
517
sen -2 p L ¿z
»•í'______ !J____ 0 Si---------------------------0 t (9)
| C lPl
0 « r < r 0,
para
1 c2p 2
r0 < r < r ¡ . Par!1 Las funciones fím, n . pf (r) y / ím, p2 (' ) para diferentes p, y gonales con respecto al núcleo rp sobre el segmento O ^ r ^ r j . 54. La solución del problema de contorno i)u / d2u . 1 du \ n -
- * = “ \ -3 ? -+ T -s r }>
o < * < + »>
ar?C»p* ^ - = 2 n r , ^ - | ^
,
son
p,
(«>
V
- F - U s = 0’ ° < ‘ < + ~ -
(2)
« (r, 0) = / (r),
(3)
r, < r < r „
donde X es la cond uctibilid ad térmica del materia] del tubo; c* y p*. calor específico y la densidad de masa del liquido, resulta
el
■4*00 «
Ane~a2
(Xnr),
(4)
r<= i
donde
Z0 (Xnr)“ J q (?*nra)
(Xnr2) / o (Xn^),
(o)
Xn son las raíces de la ecuación trascedcnte Zq (X,ní’1) = - ^X n -- 2 } ^ ( X n í * i ) »
(6)
*1 ^ rf (r) Z„ (J.„r> dr -- n 8r^* P * / (r,) Z ,
=
------------------------------- -------------------------------*).
(7)
j r[Z,(>.„r)F dr-- a*rfr*P* [Z0(X^r,)]»
2A.
55. La solución del problema de contorno <)u
ót
/ ¿¡2u , 1 l dr* r
■?c*p* -dU
d7~ =
du Or
,
1
du .1 i r | r = r 2
K (r, 0) = 1 (r),
0 < < < + 00, r, <
r < r2,
*) Véase (21) y (27) en el problema 57.
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(2) (3)
618
Respuestas, indicaciones y resoluciones
se obtiene de la solución del problema anterior si suponer
Zo
(Áfcr2) 4- /¿Ao (^Arí )l ^e (^br)*
(4)
56. Para determinar la velocidad v (r, t ) de las partículas del líquido*) y la velocidad angular
l f = v {-0-+ T--|— 7 ^ } ’ »l r_ r
i
P|, _rj = 0,
r' < r < r‘’
(i)
K ~ !- = M + 2m-;pv
.
(2)
0 < í < -f-oo, u (r, 0) = 0,
r , < r < r 4.
(3)
Elim in an do
+
p' — =°*
<2>>
0 < t < + OC. Buscamos la solución particular estacionaria de la ecuación (1) V =
V (r),
(4)
que satisface las condiciones heterogéneas de frontera (2')*‘ ). Si después suponer V (r, í) =
u (r, £) + V (r),
(5)
entonces para u (r, í) obtenemos el problema de contorno du
I d*u
i r = v {— A lOL íH
|r=rt
1
du
+ T ~
u
"1 }•
.
,
r* < r < r>- o < í < + « ,
= 2 ''Ir'rjv 1. I "^ or7 — T r J Ir = r i ’ » i r , 0) = - V ( r) ,
“ l-= M = 0 ’ r, < r < r 2.
'> < < < + o o ,
(6) (?) (8)
Resolviendo el problema de contorno (C), (7), (8) y determinando mediante (5) o (r, t), de la condición de frontera i> l r= rl = ¿i
- v?.?^
f>h(r).
(9)
l’arn /?* (r) obtenemos la ecuación
d-R , 1 dH
nh
, I .„
1 \,, ,, HAv -Z r+ V -S T + l**— pr)*- ® . (10) (r) = Z¡ (?.fcr), donde Z , {2) es la solución general de la ecuación de las fun
ciones cilindricas de primer orden en que las constantes indefinidas son eligidas
— i’v Ir, t) (véase la solución del •) v (r, t) problema7). V (r) esel lím ite a que tiende lo velocidad de laspartículas del líquid o cuando t + 00.
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V. Ecuaciones de tipo parabólico
0 so cum pla para cualesquiera ).k:
de modo que la con dición de frontera R k (r2) =
(X^r2) / j (Xfrr ) ■ — J\ (X^r2) Afj (Á./(r).
(^hr) ~
519
(11)
Exigiendo el cumplimiento de la primera de las condiciones de frontera (7), obtenemos la ecuación para determinar los valores propios - \ l K Z l O.>r,) = ¿ nr f pv [ ÁfcZ,' ( X»r,
)
-
J
.
Mediante las relaciones (14) del problema 34 y la igualdad (12) hallam os las relaciones que expresan la ortogonalidad generalizada de las funciones prnpias Z, (Xftr), T2
f A' j r/j (Á^r) Zi (Xn r) dr -I- 2*(r,pv ^
íXnrj) = 0 *)
(13)
ri para k =£ n
^■JO u (r, 0 = 2
Ane " 'n <í,Zl (>.nr),
(14)
«:=1
donde K
f
V ( r,) Z x (Ánr,)
\ r\ '(r)Zx0 .n r )d r + -^ r —
i4n = —
' ro
•
í ‘
(15)
K
r ¡Zi(/.n/-)) 8 d<-T- 2nr,pv~l2 i (x» riH 5
57. Resolución. A] igual que en el problema 33 obtenemos: <¡H „ f ó2// , 1 S// 1 , ~TT ~ ~ i T i — -------------- r— > . r , < r < r s. At \ . dr* r dr 1 • H (r,
0) —
H (r., í)
=
, cl 0 < í< + o o , 4nn¡j
, a 2 = -;----- ,(1)
0,
r, < r < r „
(2)
H„
0 < t < +oo,
(3)
donde H es la componente del campo magnético en el sentido del eje i que coincide con el eje del cilind ro (las otras componentes del vector de la intensidad del campo magnético son iguales a cero). Hallemos la condición de frontera para r = rt . Escribimos las ecuaciones de Maxwell . ,, 4no _ . e rot f f — rot E = — — c
dE
...
(4) '
dt
(5)
en las coordenadas cilindricas 1 d lf, r
_ I 4no 0z
dIh
dtp dH r
OHz
I 4no
.
«
, e___ d_\ . \ 0 c dt )
0 \ „
~ñi ---- — = 1 - 7 “ + T í T ) £»> *) Véanse (21) y (27) en el problema 57.
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r * ^
,
(G)
52 0
Respuestas, indicaciones y resoluciones
1
1 r
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Or 1 r
d£.f>_______ [j di e
<)Er dz
1 o
1
r
r
dr
d ll r _ ( /i n4no n
. f 3 \_ + 7-7 t ) £ -
<6*>
OHr 9 '^
dt
i)E z _ Or
ji c
<)l
’
'
'
q e t _
» c
O H, ot
'
'
'
dy
Dado quedespreciamoslas corrientes del desplazam iento y debido a que H r = = //,, = 0 (véase lasolución del problem a 33), entonces de <6')obtenemos:
/,rto ,
«ur, cfr
(8)
c
Integrando (5) sobre la sección transversal de la cavidad interior utilizando para eso Ja fórmula de Stofccs y usando la condición de que en todas partes de la cavidad I I es igual al valor de H sobre la superficie interior del tubo, obtene-
*•>=»!
c
(»>
Ot Ir^-n’
De (8) y (9) obtenemos por fin la condición de frontera buscada
«£, I
^ 2,1 g, d i r t i
(rsssci
dt
Tj
dr [rsssri *
es decir, _ OH I M 2 dH Ot lr= r,~ r, ' dr
0 < t < + oo.
(3')
l’araliberarse do la heterogeneidad en la condición de frontera (3), buscamos la solución del proble ma de contorno (I), (2), (3), (3’ ) en la forma / /| r , I ) = / / , T « ( r . í|.
(10>
l’ara u (r, t) obtenemos ol p roblem a de contorno ^ - = a2 /-4 -j—|— — 4 ^ } , dt
\dr*
1 r
k (r,
r,cr
or t
0) = — //„,
0<<<+ oo,
r, < r < r.¿,
K ( r „ 0 = 0 , 0 < / < +oo, Ou I dt | r = r , —
2(i rt
du Or
(11 ) ( 12) (13) (13')
Las soluciones particulares de )a ecuación (11) que satisfacen las condiciones d« frontera (13) las buscamos en la forma L\(r, t) = t~a,k“ tfík lr).
(14)
Sustituyendo (14; eia (11), obtenemos
j 1
tMh ,
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/-i
V. Ecuaciones de tipo parabólico
5211
Por consiguiente, (r) = ¿o < V ) .
05>
donde Z 0 (2) = A N 0 (2) + B J 0 (2) es la solución general de la ecuación de las funciones cilindricas de orden nulo. Eligimos las constantes A y B de tal modo que la condición (13) para Z 9 (X^r) se cumpla para cualquier valor do X*: por ejemplo, hacemos — J 1 (Áfci-j) .V, (\hr). 2 0 (Kr) “ N <¡ frhri ) J o Sustituyendo con (14) en (13')* hallamos
(10).
dlih (ñ dr
(X^r 1) — — Xft
Z q (Xhri)
(15)*
Tal es la ecuación Je la cual se hallan los valores propios X|, X2, X«, . . . del problema de contorno. He la ecuación (15) y de la ecuacióu que se obtiene me diante la su stitución de k en (151 por n obtenemos, mu ltiplican do respectivamen te por R n (r) y R h (r), restando los resultados o integrando;
(XJ - X I , 5 m k (r) * „ (r) d r = { r [ * » ,,)
» . tr)
j} ~ ;.
r 1 (19) En virtud de 1» condición de frontera (13) y (17) obtenemos
rt
¿
( K — Á*) { j rlth (r) ltn
de donde para « ^
dr - ¿
fíh (r.) /i„ (rt)} -
0,
(20).
A- ha 1Jamos:
rt \rKh(r) Rn tr) d r -- —-j-/?/, (r,)
(r,) = U.
(21 )
De tal manera, las funciones /?/, (r) y Rn (r) son ortogonales generalizad ámente (la relación (21 ) es la expresión «le la orlogonalidad generalizada). La resolución del problema de contorno (11), (12), (13) buscamos en la for ma de la suma de la serie
»(r. 0 = ¿¡
(22)
h>=> i
u ír , í) satisface la ecuación ( 11 ) (si la serie converge suficientemente bien)-
y las condiciones de frontera (13), (13'). Exigereinos el cumplimiento de las condiciones iniciales, suponiendo primero para la comunidad que « (/*, 0) = / (r). Suponiendo en (22) t = 0, obtenemos - f
H n = 2 AhKh w.
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(23).
-feo
/ (r ,) — 2
A/tfín (ri).
(24)
k=l
Multiplicamos (23; por r R n (r) o integramos con respeclo a r r t
-4-co
\rí ( r) R n Ir) dr =
n Multiplicamos (24) pur
fí
y r2:
n
Ak ^ rf íh (r)
/‘=1
r,
(25)
(?) dr .
r»
R n (O): -foc
Rn (r,) * 2 Ah^ *«t
Rh ^
^26)
Rn
Sumando (25) y (26), obtenemos en virtud de (21)
r*
i
r*
*L
'
rl
\ r f ( r ) R n ( r) dr - - JÍ - f{ rt ) R n {trí ) ^ A n { ^ rR*n
dr —
R*n
j
.
(27)
Por consiguiente,
?
rf
(28)
*I j r ñ lw d r — l l i l (r.)
ated iante la ig uald ad (16) del problema 34, el wronskiano de las funciones cilín•dricas y la con dición de frontera ( i 8) obtenemos:
5 rK (r,dr= T ? k ~ T ( 1+^ )
z S (W l)-
(29)
Sustituyendo en el numerador de (28) / (r) <= — / /, y utiliz an do el wronskiano de las funciones cilindricas, obtenemos para el numerador indicado el valor
M
íí + íH ^ ^ -iá r }-
í30'
En virtud de (29) y (30) la igualdad (28) toma la forma
An - Ho
(T T + jr N ^ -ia jr ---- r«K. 'V
"--- . n é — r { r + l + - w ) zi ^
Zo=*A (Xnr«) /«
i)— (?-nr%) A<>(Xnrj)«
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<31>
(3¿)
V . Ecuaciones de tipo parabólico
523
58. La solución del problema dv contorno
c$ z
()
ñ 1 d / tr*-2H-\± \ . r- dr \ Or 1 ' r‘ sen t) dé
-k clpl — T t —
(
1
\ d r2 dr
— “ M
1
da \
W
i
/
r- sen*
a2u \ clif-2 / ’
0
0 < r < r«. (1) du \ 1 1 d d2U \ / r2 _2fí. ^ ■ l -i.¡ ^ sen 0 r- sen! 0 (Ííf.1 / ’ dü ) dr r" sen 0 00 r r<, < r < r , .
0 ^ 0 Ej n,, 0 < T 0.
(!')
2n
(2) ( 2') ( 2") (3)
u ( r , O,
-f oo
2
se» n, p=-0 rn«0
donde los valores propios Xmn/, y las funciones propias Rmfíp (r) se hallan análo gamente a como se hizo en los problemas 53 y 24.
§ 3. M éto do de representaciones integrales 59. La
9o)ución del problema de contorno u¡ = «! 4su, — oo < x, jr, 2 < +oo, u
i
i
*
y , i\.
—
O < t < -|-oo,
(l)
y, z
0* . d2 ¡ ó*
donde ‘■'í = -5pr+ -g ^r + - ^r- t's;
+oo
“ <*’ »•s*°~TSV 5 F n i /(5’ Si / no depende de z, entonces
i)e"
40"
d'M
(3)
_
u(i1 »■ í)=7i7 ¡7H r í l ,(l' 11)0 Indicación. La imagen de Fourier de la función
w<
dld"-
<3<>
F (x, y, z) arbitraria*}
*) No nos detenemos sobre las limitaciones de F (a:, y, z), para las cuales a ciencia cierta existe F (/., ja, v) y tiene lugar la fórmula de inversión (5), remitiendo, con respecto a este problema, a la literatura especializada.
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ocxzx,
+9C
El paso de P a F según la fórmula (4) se denomina transformación de Fourier con respecto al núcleo El paso de la imagen F al original F se realiza según lu fórmula •r«w
F{x' y- S)=75j5»/í
1j j
!'■v)
1'lw+víl dk d|l dv.
(5>
M ultiplic ando ambos miembros de las igualdades (1 ) y (2) por (.‘Í>"+>"1+Vk) e imegranoo con respecto a E. i), £ entre — oo y + oo, obtenemos la ecuación diferencial ordinaria y la cond ición inicial para la imagen de Fourier ü de la solución u del problema de contorno (1), (2). Hallan do ñ y utilizan do la formación inversa de Fourier, obtenemos u. En el caso cuando/n o depende de s el problema de contorno (1), (2) se con vierte en el problema de contorno u¡ = a*&tu,
— oo < x , y < -j-oo,
u | , _0*= / (¡r, y),
O < t < +<*>,
— oo < x, y < + oo,
(1*) (2')
donde A
______ * L 4 . J
L
z ~ d x1 r Oy- ‘
Para resolver el problema de contorno (!'), (2') se debo utilizar la transforma ción de Fourier para la función de dos variables -roo
P (>•• lO ■" é r
i í F(l'
Con esto la fórmula ele inversión es de hi forma
-foo F (.1-, !/) = - i - j j /•■(X, , , ) t -H).3c+Wld)i£Í)i.
(5')
—oc 00. La solución vlel problema de contorno U( =
(J \ y, z, i),
— o o C x , y , 2 c -f -c o t
» l f—o= 0,
0<:. * < r-rco ,
— oo < ,r, y, z <-f-oo
(1) (2)
es:
«(*, y» 2, i) = t
í = ('í t N r p o
—00 í -» 55
(y- $)«•»
e
+
*(5’ n- í T ) < w ; - t3>
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V . Ecuaciones de Upo parabólico
525
SI g (x, y, z, 0 no dependo do t, os decir, * = « (* . lh z)r entonces la expre sión (3) para la solución se puede llevar a la forma
<>= - 5 5 P J í 5 í ü i r L i l { 1- °
( ¿ T i ) } M
— 00
w
a donde («)— •— —sr- \e“ to2dui y r =
y * J
=
~r {y — m)* +
(2 —£r* Si
6{x* S* sr
‘ 00 t U ( X , !/ , t ) =
-J-5 -
j
J
e
J
— oc
0 00 dependo de z, entonces ^ 1 )» Hy- in2
* (5 .
n . t>
7 ZT 7
*
J d g d ,, .
0
Indicación, l'ara fr = g {r % y, z) la expresión (3) se transforma en (4) me
diante la sustitución 2(1 \f t — T 4-30
61. u {*, !/, 2, /) =
----
*_
+c c
+- »
f de f dil
—•»
f
-oc
X
O
x/(S-n. O l *
*“*'
Jrf^.
H)
Si / (*, y, z) no depende de y, entonces
U ,(X , Z, ,1 <) =
1 (2o y ni)"
f J,
f
„r
S
5 4 *
'
Ha*1
Ha*í
X /(£,?>*{.
(2)
Indicación. Utilizar lu transformación rio Fourier con respecto al núcleo ---
!--- ¿i P-s-runl
21' V '2
vr
* en el semiespacio —
n
ctAgsen x í
para — oc < |<- f- 00, O < £ < - { - o o . Indicación. Véase también la solución del problema 59 del cap. III.
62. u (je, y y z, t) =
,
* —
f ----
f
---
d X
+ °° ( y - £>*+(?/-n )2+z* —
f
f ,,
4/2= (t-T )
X
i X /(| . t), T) d;
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(1)
526
Respuestas, indicaciones y resoluciones
Si / (¿, yy I) no depondo de y, entonces
-f-OO
t
u <*■* • - T S T - 5 T P = V - 5 e‘ —po 0
~
' (- T) *
(2)
Indicación. U tiliz ar la transformación de Fourier propuesta en la ind i
cación a! problema anterior. -f-OO
'
-f-30 -f-OO
' -w
f
0
-oo
(3c-S)*+(y-n)3-HtTÜ* i
r
x/ft, 1), £)l «"
+ <’"
ia‘‘
4,lí'
M-
Indicación. Utilizar la transformación de Fourier con respecto al núcleo ---
ei tví+MDl cos vj
(2 n ) J l - en el semiespacio— oo <
^ <-Koo,
0 <£<■+-ce.
64. k (x , y , z y t) =
í (2ai/ n)»
•
+ r
\
J l( — t ) 3 / “ -90 0
/«tftcíicííírc. U til iz ar problema anterior.
J J
la transform ación propuesta en la
i
65.
s- “ <*’ i,’ 2-‘ ) = ^ 7 w
+00
+00
5
—00
-00
indicación
al
-4-00
í dn 5 x
[ +»
-
2/»
J
.
^
du> ] y (6, tj, o d i.
O Si j no depende do »/, entonces
T-» - 2 h
(x-6)»+(z+t-K»>)2
^
d io J
d ld? .
o Indicación. Utilizar la transformación de Fourier con respecto al núcleo 1 01/2-.3/2
ffM+m n vcosvC + *genvC V2 k'¿
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V. Ecuaciones de Upo parabólico
sobre el somiospiicio— c o < £ , ^ < + ;». 0 < entonces se debe utiliza r !<■ transform ación núcleo
1
x>. Si / no depende de y » de F ourier con respecto n i
J íX veos vj+ ftsen vt
v*+A*
ji
0< J <+
para — oo < |
627“
x.
Víase también la solución del problema 05 del cap. III.
.
u (x,
h f ,, di .v, t, <)= — — ;=— \ -----------r— X
+r“
+P°
r
] di ] <¡n j (2-ft)/(s, —PO -00 (I
Si / no depende de
'>-;)-+iy-n)--i-(x-rC)i
k
entonces -*-«•
i
T»
j 77^T)r J J x
!•(jr.*, O=
Ü
-
— oo
O
zit_i£rl£±iíííj? tlí-
Indicación. U tilizar la I ra ní formación de Fourier propuesta en e)
blema anterior.
67‘ “ (*’
*’ 0 = T i ^ C
j ¡ 7 = 7 ^ I dS ] í ' (l' ” • T) x
'x-i)* -Kv -n)* +< t-tp
J djd n.
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68.
u (x, y,
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-feo
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d!) I' / (í, >). i)
G¡
(x, y, 2 , I , T|,
i ) di,
¡ = 1, 2. 3,
en e! caso a) bajo la integral está fi,; en el caso b), G¡-, en el caso c), G3, donde
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it , e l c o e f i c ie n t e d e l i n t e r c a m b i o d e c a l o r . Indicación. U t il iz a n d o la t r a n s f o r m a c i ó n d e F o u r i e r c o n r e s p e c to a z -foo
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J, V,
t)= _ L _
^ it(x , y, £, i) ri v td t,
(l)
-0 0
+
7 (*, V, v) = —
y in
«• ^ 1 (x, y, p eiv* rfr.
J
( 2)
llegamos a la ecuación
„ ( d*u . <5au ,,-1 du 31 ==al { i S + W - V * }
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(3)
V . Ecuaciones de tipo parabólico
629
y la condición inicial “ li= o = / ( ;r- ¡)> v )-
W
La sustitución 1v ( i, y, v, t)
lleva a la ecuación , r (92« . <5'i> 1
óv
(— + á F l
<3'>
y la condición inicial v lf=i = / (*. V, v).
(4*)
Las condiciones de frontera para v serán las mismas que para u. Hallamos-» mediante el método de separación de variables y después, sustituyendo su expre sión en (5), utilizamos a ü la transformación inversa de Fourier, con esto después de realizar la integración respecto a v se obtiene las expresiones dadasenla respuesta. ¡2
■foo
69.
u (x, y, z, <)“=
j 0
¡ i
dt, ^ ^ / (£, TI, IJ
£)
X
o
X G i (x, ifi íi
t),
i) di;, í — i , 2.
V a las condiciones de frontera a) corresponde la función G¡ que so obtiene de la iunción G, do la respuesta al problema anterior mediante la sustitución del
d-B»
factor e
i " 2‘
r
U-t>»
por el factor I c
caso b) G. se obtiene de
ia' 1— e 4aa| J ,
Análogamente en el
mediante la sustitución r
<*+t)2 -i
Cz-h»
por [e~ iatt + • "
4a:!' J.
Indicación. En el caso a) se debe utilizar la transformación seno de Fourier
con respecto a * y en el caso b), la transformación coseno con respecto a z. Después el problema se resuelve análogamente al anterior. 70. •foo
=
^ d£
-00
u (r, q>, z, <) — ro
2ic
J r' dr’ J
o
f(r\ tp\ £) Gj (r,
9 , z,
r ‘ ,
o
En el caso a) i = i ,
4aJí
t
, z, r\
ar\nV nt •
J „
X
- (S & )/.(^ ) -2
----
t»
U n (4n’)l*
_ / 2 ®n — t i
para para
1
-c-T
2
*
f-* A
71, * = 0
cos n (qp— ip'),
n = 0, n^O ,
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1= 1. 2, 3.
530
Respuestas, indicaciones y resoluciones son las raíces positivas de la ecuación J n 0
00,
En el caso b) i — 2,
_i£rí>i
" V
r„
I J n \ r„
---- ^Tñ —
/
v-, ■ ¿ j
e
G. (r,
j-oo
ar°nV * * K „=0
,
,,
-««»■* 19-*).
f2
en={1
X
para
»=0 ,
««■Ti O Í0) I * — ¿ p - j ^ n) son las rafees de la ecuación
J'n (n) =
0, ¡^tl>Sí h{,'" > 0 para rí
0.
En ol caso c) <=-3. G3 (r, qp, i , r ' ,
, — V üT
2
ju — arjn ]/ ‘ /{,
J * ( ~ ^ r )
— r e„JJ (|<Í'°) T « n 'f h '| /■ 2 “
\1
" (“
r„ “ )
» -------- 1« — (»— — ü l l pj J 0, n -±= 0,
para
» =
pnm
p£n> son las raíces positivas de la ecunc ión
/' ro
1
.^
0¿w?n>arión. En el caso )>) a la raí/. |i¿0' — 0 Jo correspondo un a fu nció n propia idénticamente Igual n una constante. Indicación. Rl problema su resuolve análogamente al problema 08. 71. M -(/ ,
+oo r0 =
j 0
2n
d£ ^ r' dr u
^ U r ' , cj.\ {;) 6'¡ (r .
on el caso a) $-=1, G { «j obligue de Gx del problema sustitución
1= 1, A
r<-C»a dc\ factor e 4nlí
por
el fac tor
anterior
| I
e
mediante la (r-P* 4n"< — ¿
on el caso l>) l - C.¿ so obtiene do G.¿ del prhlema anterior mediante ia susti(r-g)* r l •’-£)* Ü + i> l | tución del factor c por el factor | c 4,líí -f ** 4rt_f J * 72. u (r,
=
rn
^ d i ^ r‘ dr' ^ / (r',
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1) wp’ ,
¡ = 1, 2;
U+
V. Ecuaciones de tipo parabólico
531
en el coso a) í = I, o, ir,
,,-D. -~isa~ ______ €
_
+m
^
^V
t
i j ú l L . ) (J^ ÍL ) —
0
en el caso b) f — 2,
2, r ', tp', £, t) =
<3, (r,
a* » V *
K .to
njtqi T'o
niui>
cos -- — eos — — ,
' 1
{o2 |ijn)> 0 para n =£ 0,
pnrn
<ío »
para
0, n = 0,
son las raíces do la ecuación
•'V, W - ". A h raÍ7, p¿gl corresponde la función propia idénticamente igual aúna constaute. u
2
+00 =
^
0
r,i
«ro
dt. j r' dr' ^ /(r\q>\ $,f)S í(r,
0
z, r'
9 ', £, í)rfip',
í = i,
2;
o
en el caso a) ¿= 1, Gx ee obtiene de C 2 delproblema sustitución del factor
anterior mediante
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la
532
Respuestas, indicaciones y resolucion es
en el caso b) ! = 2, G¡ se obtiene de G2 del problema aDterior mediante la U-»° r (z-t)» U+O» | sustitución del factor e por el factor L« 4aJ| +« *ollí J. +«>
j
pdp J f (p,
o
i>
(rT
i = 1, 2;
en el caso a) i = 1, G,
2
í
{ X Jo
(M ^« a (>.r) X d x js e n - ^ - s e n - ^ ; -5? W J %
en el caso b) i — 2,
Gt (r,
-foo
= - |~ 2
e" {
™ „=(i
+
(M J» n (X r )X d x jc o s - ^ - c o s - ^ . ,
o
'Oo [-i1
l
®" para n rt 0, 0.
para * =
Si se u til iz a la oonocida relación para
las funciones de Beasel
+co gZ-fya j í “ ftlx*/v(ax)/v(ir)‘' ^ = -^r e" W J v ( ^ r r ) , o Re(v)> — 1,
|Argf»|<-|J-,
obtenemos:
+°°
p^-t-ra
^ e a?I * J WTC (?wp) J nJT(X-r) \d\=* ~2¡aH
0 Por eso
6
l>o
4°*** n7X
«J>o
( 2a*t )
y G2 se puede representar en la íorma
,„
r*+oa'
—1 1 A.- +°°
0 , ( r . 9 . P . » ' « ) - i ^ S r -2
M =i
( w
) 3en^
Sea/ ^ ’
_i!±£í.
C, (r,
-2
eos J £ £ co
enfjm
"I 9« n«0 V» 1_ para » = 0,
—(T 2
para
n =£ 0.
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¿ g - ,
V . Ecuaciones de tipo parabólico
63 3
Indicación. Las soluciones particulares de la ecuación d u __ dt
4
( d*u . í du , 1 \ dr- ' r dr r r’
duu 1
3qiJ /
las buscamos en la forma V (r,
, n = 0, 1, 2, 3..........En ambos casos u„ (r, l) es la solución
*0
de la ecuación
La solución del problema inicia l de contorno la buscamos en forma de suma de estas soluciones particulares: en el caso a)
+oo
u (r.
= 2
“»
scn
«cal
to
:
en el caso b) « (r,
n=0
“ » (r ' *> C03
<3>
'
Desarrollando / (r , cp) — u l í==0 en serie coa respecto a sen caso
en el primer
y con respecto a cos JÜI5L en el segundo, hallamos
. . .
las condiciones
,
iniciales para un (r, t): • en el caso a)
2 f
wn(r, 0) = / n (r) = —
/ijup' j /(r, q>') sen —— d
o
(4)
0
en el caso b)
(r, 0) = /„(r) = -5_ i / (r.
i»
0, (4')
“ o (r.
0) = /0
0 La solución de la ecuación (1) con la condición inicial (4) ó (4') acotada cuando r-»-0, la buscamos en la forma “ n (r,
0“
\
5
)
Un
J Vn
o 1 rm 0-P) J
nn W >■
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P «¿P.
utilizando la integral do Fourier — Bossol — Hankel *>
+00+00 F(r)= |
j
P (P) A , (>-P) J y (.Xr) X dX(i d P,
V > — —
.
75. La solución del problema do contorno
1 du . 1 d*u 1 ~dl ~ “ \~drr ~ T 'd F 'i "P !"3 ^ ' / ’ 0 <
0< r < + « , 0< í< + ° o ,
(1 )
3lí ^ = 0 ,
u ( r , 0 , t) = 0,
“ (r,
0<
0 < r< + o o
<¡>o
U(r,
+“> j d f ‘ \ /( p , q> ')C(p. r,
(3)
0
p rfp.
í)
(4 )
(1
donde 4-CO
03
2 { j e~a‘>' ‘ J ( 2n+l)jt (U>)J ( 2n+ l)n
G(P, r,
«—0
=
2%
■
2cp0
*
t(,
j d í J r’ dr’ J / ( r '. n-', Q G¡ (r, (p, i, r ', rp', £, t)d(f’, -DO O U
en el caso a) ¿ =
X
2
O
X£6n 76. u (r, 9 , 2, t) = r, +“
(Xr)
¡ = 1, 2;
1, -
Gt =
U-D* w t
\
2a j/ nf
-G,.
donde G. es hallada en ol problema 74; en el caso b) l — 2,
(z-t)2 ~ - 4
donde G, es hallada en el problema 74. Indteación. Si utilizar la transformación de Fourier con respecto a 2 , enton ces el problema se reduce al problema 74. ») Víase [42], págs. 459-500.
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V . Ecuaciones de tipo parabólico
63 5
77. La solución riel problema «lo contorn-i
- ^ =0* B ^ + T - !7 } ’
r# < r < + « ,
+
0< í< + », r «< r < + o c
(D
«(<•>, t) “ t/o=co nst,
(2)
u (r, 0) = 0,
(3)
os:
2ü„ T n
, «
{r' )= ‘ rt
J
—
k
(f. X)
/g (W-) + .'V'ilr,l)
r#
dx X '
...
°
donde X ) - / „ (r 0X) íV 0 ( r/ t) - jV ( r 0X) J 0 (r\).
*
(5 )
Indicación. U t i li z a r l a t r a n s f o r m a c i ó n i n t e g r a l de W e b e r c o a r e sp e cto a l n ú c l e o r K ( r , X ) s o b r e e l i o t e r v a l o rc ^ r < -f- 0 0 » u t il iz a n d o p r e c is a m e n t e p r i m e r o e s ta t r a n s f o r m a c i ó n e n l a e c u a c i ó n (\), o b t e n e r l a e c u a c i ó n p a r a l a im a g e n de
W eber
de
la
función
i n c ó g n i ta
-J-OO t ) — \ u { r
\) dry
(0 )
r„ luego, una vez hallado u (X, t ), utilizar la fórmula de inversión de YVeher -foo
(?)
7 8 . Indicación. L a v a l i d e z d e l a a f i r m a c i ó n s e v e r i íi c a m e d i a n t e l a s u s t it u c i ó n d i r e c t a d e la f u n c i ó n u (x , y , 2 , í) = ux (x , t) u 2 (y, í) uz ( 2 , í) en la e c u a c i ó n ( 1 ) y e n la c o n d i c i ó n i n i c i a l ( 2 ).
(x-ZYi+Qj-f\)*+(z-W
(2a /nt) e n e l p r o b l e m a 7 8 s e h a c e / s ( * ) = 6 ( x ) , / 2 (y) = Ó (¿/), / i ( *) = Á (*)» e n to n c e s d i r e c t a m e n t e se o b t i e n e q u e l a f u n c i ó n d e i n f l u e n c i a d el m a n a n t ia l p u n t i fo r m e i n s t a n t á n e o d e c a l o r p a r a e l e s p ac io — 00 < x, y, 1 < < 4 - 00 es e l p r o d u c t o d e la s f u n c io n e s d e i n f l u e n c i a d e lo s m a n a n t i a l e s p u n t i f or m e s i n s t a n t á n e o s d e c a l o r p a r a l a s r e c ta s — 00 < x < - fo o , — 00 < y < H -oot
Indicación . S i
— 00 ■< 2
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53 6
Respuestas, indicaciones y resoluciones 80. u(x, y, i, t) =
(2.7 s?-IÍI'"
/*%««*«*
+ (2a (2a /i/w n i )) ’ í0
SH *
*««
x ~
(5) T)> r, x)
(i)
Indicación. La fórmula (1) se puede obtener de una forma completamente
elemental, pero no estricta, utilizando el sentido físico de la función de influen cia obtenida en la solución del problema 79 y considerando la temperatura bus cada u (x, y, i , f) como la suma de las accioues de los m anantiales elementales instantáneos, distribuidos en el momento inicial de tiempo con la densidad / (x, y, i), y los manantiales de actuación continua, distribuidos cou densidad P (*, y, i, í). La fórm ula (1) puede ser obtenida también mediante la fórmula de Green análogamente a como se hizo en la solución del problema 68 del cap. III. 81. a) Gl {x, y, t, 5, n. b. <>=
r (g-£)»-Hy-ti)3+(»-E)3 ■ 4¡x2! 7 ~ r r L« (2al/nt) b)
'
(g-W-O-nVMU-K)1 I. -4o 2 < J
02(x, y, l, l, TJ. S , í ) =
r
1
-le”
(*- S)--H;;-n)a+(«-?)»
,,n2í
( 2a Y J»)3
tx-S)a+ü/-n)-+(»+1);
ialt
+ c
c) Gj(x, y, z, S, »], 5, <) = r . ~
__________ 1
4n2¡
,
~
4o2 1
_
(2a V^íü )3 I —
2h
\
* - " «« "
* > j.
n 82. n) u (ar, y, *, <) = 4*oo
4-<»
= J d| ^ flíri —oo
— oo i
-faa jdT
4"00
J /(?> 1I> O
(*■y- 2-S- Tl>
V <)<*£+
4-00
JJ» (6, n.
U
— oo
i
4-®
z. £• n, o. »—t)d5*iH-
4-9®
- f j á r ^ d í j [ P {l, H.t . r)G , (x, y, z,
>}, £,
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í—
V . Ecuaciones de tipo parabólico
53?
b) u (x , y, x, t) =
-foo
^
+Oi
j J /(£. >1,
di
0
—oo
í
-foo
—
!/, 2, S, n. 5. o d U n -
fl* j d t ^ J
0, í — -i)d|di) +
- OO
+00
t
^ d i j
o
+ 00
d i j ^ F
6
1
l , 1 ) G t (x,
2
5
o 0=
c) u(*. y, «, +00
4- oü
^ dt J (
0
/ ( I» TI» ? ) í s ( * . | . ! . I
i), t . t )d | d r i +
-OO +0 0
1
-\-ha 2 ^ d t ^ j
—00
t
-*-00
+ ^
+0 0
J ^F (6, *!• £• t) G, (x, y, z,
dT j d i
83. Indicación. U tiliz ar e) método blema 79. 84. a) G (¡c, y ,
2, g, i), g,
I (»-t+2»l)3 j i =
00
kaM
2 1
2
2, 6, rj, 5 , í) = ti-S)2+(l/-ri)2 . * i -+ ------ 4ñ¡5| (2o / í r t)8 2
I I
----
1 , (ST/SJ*- ' T V a + ¿
'
1
+"
2
n—I
“
v:-';
f
nínSa*
*
e
( «- C + »» »» »
n__. (.
1
U+t+8nl)S\
s (.
(2a Y n t )
e
011 la indicación al pro
t) —
(x-6)2-f{y-íi)2 ---- 43»!--
l>) G(x, y,
propuesto
rj, t, t — T> d; di
_ U + l+
---¡r~* TI—O
wnz &en~~i —
njit 90,1 — Y 9
2 nO*\
uní
lin t ^
eos —¡— c.os —¡~ | ,
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1538
Respuestas, indicaciones y resoluciones y.
cv-Si-Kfl-'n)» ---- 4^7-- ^ (2rt /Hf)*
‘
(>-E+2*ir.«
/
¿ n=-oo
«g4;-2nl;2 \
u
*
;
( 3 f - 6 ) g f (y -7 |> «
« "
4“*1 (2
2 sn - ^ T ^ I
C.'1 + (|S« (2i»+l)*C 2; c,,s
‘ -
n—>1 d) (?<*, y, X, *, t), 5. <)=» (X - 6 )¿ - K .7 - •>!)>•
(2« 1/Í7)¿
<>„¡+ **)/ + 2*
"^
Xp*n eos
-J-fc son Xnx) (X» cos
sen A-n£)t
31»- A 5
l n son las raíces positivas do la ecuación nlg /X — —s=-r85. a)
6'i (a;, y,
z, x\ y\ s 't í) =
iz-t'y* 4«s j
(2a |/"ji/)’
+ 0°
/
( x - x #- l- 2w fi) ¿
2 I
+
X U" b)
6'j
(ar,
< j ,
( x- H x, - f 2 n < i ) i \
s, i ' , ¡ / ,
íy+lt' + Zh l,)!
4,,a'
—í~
,,a-'
J,
() =
iz-z'fi vi Ti.
+ / s ( 2 a \r 7it) n, «=-oo
(.v -i'-z n ii)!
f*-t
kMt
/:
+ e~
(y-y*+2Mg)» ( y - f N ™1 -fe
I X W
Indicación. Utilizar la afirmación formulada i;n el problema *9. .
KO. a) G, = Sf ni) íir ( 2a \
v
+TO
I
S
'•
* /
7 h, m, n«
XU "
4<,ií
\
(x-x'+¿kl,)=
05
4011
Jx
(u-ry’+7.mi2yz x -e~ /
xU~
4* “ jx (g-z'-i-2n¿3)a
*«*<
(z-fz*+2n¿3)a \
- e"
*<*
j,
b) se obtiene de (7lt si en todas partes entre las paréntesis delante de e :so coloca el signo más. Indicación. Véase la indicación al problema anterior.
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V . Ecuaciones de tipo parabólico
53 9
67. a) G (r, cp, z, r\ 9 ', z\ t) = t r ' 171-1 2" ' r . o S
~ t! :'
2 (e
(2a I^JTí)*
4a2|
). b ) G ( r ,
2,
r ' ,
0 =
f 2rr'coí(
-
( 2o / H ¡ ) $ 2rr' C03 {cp-Hp'+2f<—
+e
U
Indicación. Sea que el m anantial instantáneo está en el punto P0 con coorde nadas (r\ cp', s') (fíg. 48). Construimos consecutivamente: la reflexión simétri ca P x «el punto P o con respecto al plano 7, después la reflexión sim étrica P$ del punto P y con respecto al plano / / , luego la reflexión simétrica P3 del punto
Po con respecto al plano /, etc., colocando en el caso a) en los puntos con los
números pares los manantiales instantáneos de potencia unitaria positiva y en los puntos con los números impares, los de potencia negativa; en el caso b) en todos estos puntos se colocan los manantiales instantáneos de potencia unitaria positiva. Tenemos: ¿ A O P ¡ = - < p ' ,
¿ A O P Í = q / + 2 - £ - ,
¿ A O P ¡ =
m
¿AOP;=-(
¿ A O P ; = - ( < p ' + 4 - !U
\
m /
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640
Respucsids, indicaciones y resoluciones
¿
+ e
AOPt
•••.
Los puntos Pirn-i y Po 5011 simétricos con respecto al plano IJ\ en efecto,. ¿A O P zm_x — 2
—
cp'j =
indicado de los manantiales, en los casos a) y b) las condiciones de frontera sobre los planos I y / / serán cum plida s. Observación. El método de reflexionesiya es ina plicable para una cuña con el ángulo de abertura — , donde n y m son números naturales primos*). En el caso de un a cuña con un án gulo de abertura arbitrario cp0 las expresiones de las funciones de influencia para las condiciones de frontera a) y b) fueron obtenidas en la solución del problema 76 de este parágrafo (véase también el problema 74). Si cp0 ~ — t donde m es un número natural, entonces la expresión (obtenida menx
Hiante el método de reflexión) de la función de influencia puede ser transfor mada en la expresión en la solución del problema**). 88. Colocando el origen del sistema esférico de coordenadas en el centro de la esfera, obtenemos u = - 2 - C (r . r\ i).
W
C [)
dondo
(r —r*)2 i (r,
—í
=-L ,
r’, !) = •
(r+ r')a i
/¡a'“ J
(2>
8 n a rr' \Z"nt
se denomina función de influenc ia del m anantial esférico de calo r. Indicación. Resolvemos la ecuación » < '< + « •
0< «+ co ,
(3)
con las condiciones iniciales
!
0
para
0
epi^dr-
Para
’-‘ < r < r' + dr'<
(4>
0
oo, para r'-f-dr' < r después, en la solución obtenida pasamos al lím ite cuando dr' 0. La solución de la ecuación(3) con la condición inicial (4) mediante la sustitución v (r7 t) = = ru (r, t) sereduce al caso unidim ensio nal y v (0, 0 = 0, dado que u (0, t es una magnitud acotada. (r - 5)2 feo p Ar-hS)* -i 89.
K(r,
- /
2ar
i
ün/n ’
í'
4a2í J]d| +
y nt
J
d i
J Y t — t i» r
j
{■/«. t) L .; 4q2(<-t)
o *) Para més detalles véase 141), pág. 185. * •) Véase [411, pág. 184.
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id .
V. Ecuaciones de Upo parabólico
541
90. a — -^—.C (r, r', t), cp
(1)
donde +oo
f i ( r , r 0 = - ^
^
í - “ a,-S ,/
0 (>.r)y 0 ().r')X
0 r ¡i + r ' «
(2> se llama la función de influencia del manantial cilindrico de calor. Indicación. Resolvemos la ecuación du dt
con la condición inicial
»(r,°)-<¡
0
para
í „ p Qdf-cp-
P «»
0
(4)
0
r* -+-dr ' < r < -J-oo para y después, en la solución obtenida pasamos al límite cuando dr' -*■ 0. Para r = 0 u(r, í) debe ser acotada. La solución de la ecuación (3) que satisface la condición in icial (4) y que sea acotada para r = 0, la buscamos en la forma + oo -f-oo
u(r, í) =
|
^ U
(5)
0 o Véase también la indicación al problema 74.
91. M r .
(- w ) * +
S
o
---lí __ i „~4a»
B
G (*, y, z, x\ y ' , z't í) = :
(2 / 5 i ) X<
4ÜI
’
(i)
donde in, t>„ u3 son las componentes de] vector o en el sentido de los ejes x, y, z y x\ y , z , las coordenadas del punto en que estaba el manantial en el mo mento t = 0.
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54 2
Respuestas, indicaciones y resoluciones Indicación. En el sifiloma de coordenadas que se mueve junio con el medio
la ecuación de la difusión toma la forma ^
at ¿>Au. Escribiendo la expresión
do la función de influencia en el sistema móvil de coordenadas y regresando al sistema inmóvil, obtenemos (1 ). 93. Para el ma na ntial con las coordenadas (0. y\ z') tenemos iy-y')2+(z-X'Y¿
a
x¡
G { z , y, J, i / , z ) = 4 5 ^ 7 «
94. ») (i (x, y. *.
r
xLe
(y-*/')*+
z ' +«
"
i
J.
Al)n? c)
6 (x. !/.
jj^ X »
<.?/ —
Q / - . |y , ) 2 - K s T Z , ) g
~ r * )M
4—«
4— X
+ 0»
*’ ‘ >=='(2 (2 V. ^ W - 1¡, (t-i)*/*
U<' ’
x
Xe
4£H(-t)
Indicación. Buscamos la solución de la ecuación du Ot
. í
d2u
¿»i/2
. d'u \
.
+ / (< ) *
(* -< P CO) 6
^ (0 ) ó
( z - x Cí))>
(1)
con la condición inicial
“ lí=0 = 0’ es el símbolo de la función delta impulsiva.
Un
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<2>
V. Ecuaciones de tipo parabólico
donde
643^
i
— s _ r <.-5* ,¿í;. y n
(2).
J
o
Indicación . Si se utilizo la función de influencia del manantial esférico-
instantáneo hallada en la solución del problema 88, teniendo en cuenta la se mejanza do los problemas térmico y de difusión, entonces la solución de la ecuación du . n / (Pu . 2 Ou \ , — = D \ 1 ?r+ 7 — / ’ « < + o o ,<3) que satisface la condición inicial u{r, 0) — /(r),
0 < r < - f £X>>
(4>
puede ser representada en la forma ■foo
u (r, t ) = ^ / ( r ' ) G ( r , r', t) 4nr'* dr\ donde -C (r. r\t) = -
8
-JLST-1 e~ ÍD '
4" ‘
- e
y nD t
El problema se puede resolver también reduciéndolo a tada mediante la sustitución i>(r, t) = r u, (rt /).
una
barra semiaco-
í>7. a) w(*. ¡/y z, r) = Z ( Y xz -\- ij *-\-{ z — *o)'^ *) + « ( V **+{/*•i (z—s j - , <), b) dondeu (rt
98.
U
(x, y, X, t) = U ( Y X2 4* y®+ (*— 2o)2- <)— » ( V * *
0 es
+
I
♦*)*
la solución del problem a anterior.
K(r, 0 = - 5^ - J « ' _ í 5 r / . ( ^ T) r ' ¿r'. o
(1>
Indicación. Si utilizar la función de influencia del manantial cilindrico
instantáneo obtenida en la solución del problema 00, teniendo en cuenta la semejanza do los problemas térmico y de difusión, entonces la solución de la ecuación
lf =D
<><-•<+*>•
0 < i < + .^,
que satisfaco l;i condición inicial
se puede representar en la fo ma
+00
u ( r , / ) = ^ í( r ') G { r t r\ t)2nr* dr\
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(2)
©44
Respuestas, indicaciones y resoluciones
donde
1
rg-f-r'2 <5)
( w ) -
4nD t
!)!). a) u (x, y, t) — u ( Y (x — x ^ + y * , t) + ií ( Y (z-Mol’ -t-y* . *). I>) u (x, y, t) — u ( Y ( x — x»)‘ + !/3 i t ) ~ “ (v /’(* + io )4+ .Vs. <). ■donde u(r, t) es la solución del problema anterior. )0Ü. La solución del problema de contorno (fig. 49) d i! . ( d*H , d 'H 1 7- = aM 1._ dx% ' ^Ol rs-H— dy2 r-5-í> I ’ H (x, y,
,
kh a “ -------m
1
,
0
0) = //'„ = const, — oo < i <-(-<».
— o o < x < + oo, t < + o o ,
0
(1) (2)
(3)
"<*’ *
( i27a Y7 * r ) + J h T J h - [ 1~ ( i t t t ) ] ” x
(// ¡ - H , ) y f
n
3 o
l|a+l/» ia n
dr)
T|s-f¡/a ’
Indicación. Construir la función de influencia del manantial puntiforme instantáneo para el semipleno y > 0 con la condición homogénea de frontera de
Fig. 4? primer género para la ecuación ( 1) y después representar la solución del proble ma (1), (2), (3) mediante esta función del manantial. 101. Para el flujo buscado q (t) obtenemos la expresión
•) Véase la solución del problema 8.
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V . Ecuaciones de tipo parabólico Indicación. Mediante la sustitución i/(r, t) = ru (r ,
temperatura del espacio, pasamos al problema: H
t), donde u (r, í) es la
, d*v
dv -
64 5
^ a
- g - ?'
'•0 < r < +
v (r t 0)=0, v(r„, t) = r0
oo ,
0 < í<
+ » ,
r „ < r < + oo, 0 < < < + oo,
■ ^ • 1 ^ = — £*<*> + 9 ( 0 .
0 < (< +
o o,
donde q (í) es la función buscada. Después, como en los problemas 95 y 96 § 2 cap. III, resolviendo la ecuación integral de Abel, hallamos q (¿).
9-0942
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Capitulo VI ECUACIONES DE TIPO HIPERBÓLICO
§ 1. Problemas físicos qu e conducen a las ecuaciones de tipo hiperbólico; planteamiento de los problemas de contorno 1. Por coordenadas de Lagrange*) de una partícu la lomamos sus coordena z, en el estado no perturbado. Sean las coordenadas carte dos cartesianas x, sianas de la partíúula, en el estado perturbado, ¡guales a | = x + «<» (*, y, i, t), ti = y + u*z> {x, y, i, t),
í — z -f- u'»> (*, y, s, <)• El vector u = iu (1>-f- ju ‘-> + fc¡<|3: caracteriza el desplazamiento de la partícu la del estado no perturbado *, y, z. El vector de la velocidad de la partícula os
o= -|~í-= ivM-\-juW+ kuW — íe('>-f-/p(!>+ fcol3), dt
donde el punto colocado encima representa la derivada con respecto al tiempo. El potencial de las velocidades y el del desplazamiento se determinan por las igualdades grad U — v, grad (V = u, cada uno con exactitud hasta un sumando que es una función arbitraria del tiempo. La perturbación de la densidad o y la perturbación de la presión p se determinan como antes**). Cada una de las magnitudes Pi
Pi
i =
en el supuesto de que las perturbaciones sean pequeñas, satisface la ecuación
“ll = «2 (“** + «UV + “ll)'
(■ >)
donde a 2 — k — ; k = — es la razón del color específico con respecto a la prePo
sióu constante al calor especííico a volumen constante; p 0 = const y p0 = const son, respectivamente, la presión y la densidad no perturbadas. Las condiciones iniciales se escriben en la forma u (x, ¡I, z, 0) = / (X , y, s),
«( (r, y, s, 0) =- F (x, y , i), — oo < x, y, z < + <».
Cada una de las magnitudes p, p, U, , o, « puedo ser expresada por cualquier otra de estas magnitudes mediante las relaciones p = iflp,
(3)
VtA'i
*) Para más detalles sobre las coordenadas de Lagrange víase el problema 4, | 1, cap. II. **) Véase el problema 4, § 1, cap. II.
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V|. Ecuaciones de tipo hiporbólico Po't>« + P=<>. o=gradí/,
547 (5) (ti)
u = gradO),
(7)
— w -
<8)
Indicación. La ecuación de continuidad en las coordenadas de Lagrange se puede obtener examinando la deformación del volumen elemental A jA y&z y teniendo en cuenta que su masa queda invariable; el coeficiente do la deforma ción del volumen es el determinante de Ostrogradski («el jacobiano»). La ecua ción al serlineal se vuelve adiabática y las ecuaciones (4J y (5) se deducen del mismo modo que las correspondientes ecuaciones en la solución del problema 4 § 1 cap. II . 2. Sobre el plano que acota el semiespacio en examen deben cumplirse las condiciones de frontera
. dp a) ' dn
dp dn
dU dn
— = dn
.
,
,
d
-
,
.
,
f dn e
0, donde -r— es la derivada según la direc-
ción de la normal al plano;
b> Ü H ' -
4 í r = 5 VdL
^
o
^ - = - ^ - ^ 1londcVW cS la
proyección de la velocidad del plano sobre la dirección elegida de la normal a que corresponde' la derivada
.
3. Las magnitudes de una parte de la superficie Z están marcadas con el Índice 1, do la otra parte, con el índice 2. Sobre la superficie 2 deben cumplirse las condiciones de frontera p0t¿/l==P 02^ 2í (1 )
W i - ¡>U*
dn ’
On ~
W
donde t- significa la derivada con respecto a la dirección de la normal a la on superficie 2 ; poj y p»2 son las densidades no perturbadas de los gases. Indicación. La c ondición de frontera (1) so obtiene mediante la ig ualdad de la respuesta al problem a 1. La con dición de frontera (2) expresa la conserva ción de la frontera de separación de los gases (la igualdad de las componentes según la normal de las velocidades de las partículas de ambos gases adyacentes en un mismo lugar a la superficie 2 ). 4. Para la desviación u (.r, y, t) de las partículas de la membrana del plano del estado no perturbado (el plano X O Y ) obtenemos: O^u
n / d “ u
. d*u \
“ (ih5-+ -w ) '
0< ( <+ °°'
(*•
donde G esla región sobre el plano (r, y) acotada por elcontorno u (*,
U ,0 )
— /
(x, y), «|r =
u ,
0,
(x, 0 <
i j ,
0) =
F ( z ,
i j )
,
(0
»)ec. (x,
!/) í
/<+ «> *)
P, G,
(2 ) (3)
*) La deducción más detallada de la ecuación (1) véase on [71, págs. 39-42.
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648
Respuestas, indicaciones y resoluciones
5. La ecuación (i) en la respuesta al problema anterior se debe sustituir por la ecuación
O donde a, es la velocidad de la propagación de las ondas transversales en la membrana; p,, la densidad superficial ae la membrana; Q0, el volumen del reci piente; p0, la densidad no perturbada del aire; o0, la velocidad do la propagación de las perturbaciones pequeñas en el aire. Indicación. En virtud de la condición a„ » a, la presión del aire encerrado en el recipiente al calcular las fuerzas que actúan sobre un elemento de la mem brana, se puede considerar independiente de las coordenadas del elemento en examen de la membrana y determinado por la variación general del volumen del recipiente como el resultado de la flexión de la membrana. Observación. Si la velocidad de la propagación de las perturbaciones peque ñas en el medio ambiente es considerablemente menor que la velocidad de la propagación de las perturbaciones en la membrana, es decir, si a» < a,, entonces la reacción del medio sobre cada elemento de la membrana se determina por el estado del medio en la proximidad inmediata a este elemento. En este caso la ecuación de las vibraciones de la membrana*) puede ser escrita en la forma oí u , í (/*u . á¡u ) ___ po da dy1 / Sí 1 — i dx3 p, dt '
G. {-g7+ (»o. v)}2u=«»áy,
(i)
donde U es el potencial do las velocidades de las partículas del gas excitadas por las perturbaciones pequeñas, ¿yi01 H- j u ^ } •+■ko^°\ el vector de la velocidad del movimiento del medio, el operador (u0, V) se determina por la relación
(*.*)-*• £ + # ,i + * , -k'
(2)
y el potencial U se considera como una función do las coordenadas {*, y , 2) del punto geométrico y del tiempo t en el sistema inmóvil de coordenadas con respecto al cual el medio se mueve con la velocidad ü0; con otras palabras, U se estudia en las coordenadas de Euler **). Si el eje x coincide en dirección con el vector o0) entonces
9 0*0, V>= °3 ¿7 y lo ecuación (1) loma la forma d*U , _
«W
, _ d*U
\
H ,x
-á7r+2t‘ ^ r + ' ;*155-=‘,a{ ^ r + ^ ' + ^ - / -
(1>
% ( d'U
dHJ , W
Iguales ecuaciones tienen lugar pora la densidad y para la presión.
*) Véase [381. pág. 224. **) l'a ra más detalles sobre las coordenadas de Lagrange y de Euler véase el problema 4, § 1, cap. II.
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VJ. Ecuaciones de tipo hiperbólico
64 9
Indicación. Primero se deben deducir las ecuaciones básicas do la hidrodi
námica en las coordenadas de Euler -!-(•>*. V) c* = - i- grad p,
(3)
|j-+d¡v(pi>*)- 0, P = /(P ).
/ (í>) = /'» t^ . p¡¡
(4) *=
7 —,
c0
(5)
o* = D„ -f- ü, p — pn + p. P — Po + /'• donde o* es la velocidad total («abso luta») ae las partículas; c0. la velocidad del despla 2amiento; t>, la velocidad relativa y las magnitudes po. Po, (>. P se determinan del mismo modo que en el problema 1. El hecho de que las ecuaciones (3), (4), (5) se vuelvan lineales y la eliminación de p y p, conducen, a la ecuación (í) de la respuesta. La ecuación (1) puede ser obtenida también por el siguiente procedimiento. En el sistema de coordenadas (0\ x ' , y', s') que se mueve junto con el medio y que coincide en el momento í = 0 con el sistema inmóvil (O, *, y, z) para el y' , i ' , «)> tendrá lugar la ecuación potencial U = U
3»0
, / oh ; . 0*U .
dP ~ a ( di1 + dy1 +
S'V \
)‘
(*
t) a las coordenadas do Euler El paso de las coordenadas de Euler (x't y\ (,x , yy 2, í) transforma la ecuación (6) en ía ecuación (í) de la respuesta.
7. Hacemos coincidir el eje Oz del sistema rectangular cartesiano con la arista de la cuña de modo que la cuña sea simétrica con respecto al plano xOt y la dirección de la velocidad del flujo corriente coincida con la dirección del eje Ox (fig. 50). El ángulo de abertura de la cuña lo denominamos por 2e. Puesto que en el caso dado el potencial de las velocidades U%v — grad U no depende ae z y de í, entonces la ecuación ( l") de la respuesta al problema anterior se lleva a la forma dH J 1 d*U
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650
Respuestas, indicaciones y resoluciones
donde M — — > 1 en virtud deí planteamiento del problema (la velocidad del a flujo corriente es mayor que la velocidad dol sonido). La ecuación (1) tiene lugar entre la superficie de la cuña y la onda de interrupción (discontinuidad) débil*). Sobre la superficie de la cuña tenemos:
(,;»+4 r ) lBí
para
í'= x ,s e*
Sobre la onda de interrupción débil V = 0
donde tg a = — -
para
y = x tg a,
(3)
\
YM * - 1
8.
En el sistema cilindrico de coordenadas, cuyo eje Oz coincide con el eje del cono (íig. 51) para el potencial de velocidades U — U (r, z) obtenemos el
problema de contorno ú*V dz¿
1
f d *U x \ M 2— \ \ Or* ' r
dr i
entro la superficie del cono y la superficie de la onda de interrupción (disconti nuidad) débil
(2) ♦) La onda de interrupción (discontinuidad) débil separa la región perturba da de la no perturbada; sobre la superficie de la onda de interrupción débil el potencial U y sus derivadas de primer orden son continuas. Para más detalles véase (tñJ,
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V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
661
sobre la superficie del cono, es decir, para r = z tg a ; sobre la superficie de la onda de interrupción débil
U = 0.
(3)
9. Para £ (x, y, t) obtenemos el problema de contorno m) V >
Ü I =(tW i ! L + *!L\
\dx* ’ Oy* ] ’
dt*
«*=gfc, g es la aceleración de la fuer/a do gravedad; £(z,
y,
0)=/(z,
y),
£, ( * ,; / , 0) = /’ (x, //),
-J¿-=0 sobre la parod del estanque, donde 4- es la derivada con respecto a la dirección de la norm al (/Tí
Para el potencial de las velocidades horizontales problema de contorno
W t/(r,y,
. / m 0) =
h (x , y),
,
(2)
(3) a la pared.
U (x, y, í) obtenemos el
s
.
U, (z, y, 0) = FX (*, y),
-¿^- = 0 sobre la pared del estanquu.
(2’) (3')
indicación. Obtenemos primero: ln ecuación de continuidad
Ot
—div w,
donde w ts el vector do la velocidad horizontal; la ecuación del movimiento dw
.
. dp
. Op
i r ’— *n d ^ p ^ - ‘ ~
Jw
la ecuación que expresa la presión en el líquido a una dislanc¡H i del fondo del estanque
P — Po = 89 {h + í —
*).
y después se realizan las eliminaciones necesarias (véase también la solución del problema i). 10. La ecuación del potencial de las velocidades horizontales toma la forma
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552
Respuestas, indicaciones y resoluciones
Las condiciones iniciales y de frontera se form ulan como en la respuesta al problema anterior.
11
0i u _
dox
faxy , 8xx. , v
d^v _
P“^ " —
+v >
P T F — a r A~—
+ — +z'
donde o x, t xii, xxí son las proyecciones sobre ioa ejes de coordenadas del vector de la tensión (fue actúa sobre el área perpendicular al eje x\ análogamente so determinan xyx,
. ,, d& „ d*u P— + x, 0jr=MAw-t-(*+n) d2v
|
|
d0
P - a j r ^ H - t x + iO - ^ + r . p-|^- = |iiw + (X+ p) 4^-+Z, donde
6 = div U.
M- Ü “ l ( 4 * + { £ ) + * p f j r - <>- + 2i‘) { 4 ^ - + - 0 } + í 'i( * ' y< *>. p 4 í " ^ { l i r + - | £ } +*'«<*• "• *>• F, (i, y, t) y f ’j (r, «, í) son los términos indopondientes que se obtienen del vector de la densidad de las fuerzas volumétricas. 15. a)
(1 )
donde cos (n, x), cos (n, y), cos («, í) son los cosenos directores de la normal al elemento de frontera examinado. b)
V = 0,
es decir,
u — 0,
u = 0, w = 0.
(2)
Tomando el plano m por la frontera y dirigiendo el eje y al interior delcuerpo, en el casodel problema plano*) obtenemos las expresiones siguientes de las *) Véase el problema 14.
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V I. Ecuaciones de Upo hiperbólico
563
condiciones de frontera:
I.
' dx !
S ij *
I d\
I“ dx
9x
-0
ÓH I
9H
dx dy
(O
dx dy Jv=o
d 'j1
dx'2
dv
=0
Jj/=
_ n.
donde q> y ij; son los potenciales que figuran en la respuesta ni problema ante rior. Indicación. Los primeros miembros de las igualdades (1) son las proyeccio nes sobre los ejes de coordenadas del vector de la tensión aplicada al área con 1» normal »»). 16. Para el desplazamiento radial u (/-, l) do la partícula del tubo, queestá a la distancia r del eje del tubo obteuemos
& = a' { l ! £ + T - W - 7 r ) + p ^ *>■
°< *< + ~ .
(«>
donüu r, y r 2 son los radios interior y «xlorior dol tubo, aa = - A Í S i ; o, la velocidad de la pr opagarían de* las deformaciones longitu dinales,
f r - f r - 1 A“ J r_ r, = 0 ’ dondo h
X+
+
<2>
’ 0) =
0< 0<
r < r0) >
í3>
r < r0. >
17. Paraeldesplazamiento radial u(r, t) de las partículas dela capa esfé rica, en las condiciones del planteamiento del problema obtenemos: d*u
( d2u , 2
Olí
n
2 u\
á í r = aa{-573-+ - - 3r - — }-
< + °°.
.
0>
a 2 tione ol mismo sentido que un ol problema anterior,
n
a+
d" j.» “ _ / ~ P ( n u (r.
0) = 0, 1
Para
para ,
r = r »*\
r= r j
,,v
<¿>
.
18. Para los desviaciones transversales de los puntos de la placa desdila posición no perturbada, obtenemos la ecuación d2u ,
/ d*u
d'u
, ,ru \
1
_
7?r+f (-d7r-r21^ 7>^+ 7F ) ' ~ 2^ ' p( ’ u' *) Para más detalles véase 1261, págs. 17-18.
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l>
554
Respuestas, indicaciones y resoluciones
dondo c3
. f 1'1 s— E , el módulo dp Yuung; m, el confidente de Poisson, áp (l — m2) 2 h, el espesor de la placa; p, la densidad de masa de la placa; p (x, y, i), la fuerza transversal que actúa sobre una unidad del área de la placa. Si la placa está sobre uno base elástica, entonces d*u
„ / f l 'u
.
.
d 'u
8 'u
Ol■ +<" ( Or' ' “ O c 'd ^
\ .
k
i
,
,,
2/cp
2hp P
1 J' ' *
k es el coeficiente de la elasticidad do la base*). Nota. El conjunto do los términos entre paréntisis es cómodo escribirlo
en la forma A 2Aaií, donde A2 = div grad es el operador de Laplace sobre el pJano.
* / J3
Ü*u_
0r‘
u. =
0,
u (rf í>. 0 ) =
0< r
1 + r
Or
0 < q> <
< r„,
1 d \2
&
r* 0
2n,
/ (r, (f),u¡ (r, cp, 0 ) = F (r, cp),
0<
t <-|- oo,
<
r ^ r0,
0
0 < q> < 2n,
( 1) (2)
« (»-o. Vi 0 — “r (ro.
{
t
f
¡
^
T
j ó ^
^
I I ij , lí=o — 0 o n ,t \ _ _ 3a.1/0sen 0 r* Ot ll-o y -
c I
l
1
I / > r>ÍK , > a ( , ) para r (2 ) para
iúMti . son o>t sen U i\ ---
para
ar 8
r> t >
0.
W )
0.
(3)
Indicaciiín. Utilizar el sistema do ecuaciones de Maxwell en las coordenadas
esféricas. En virtud de la simetría cilindrica y de las reflexiones electrodinámicas elementales H r = //0 = = 0 para t > 0. Para t = O so tiene ol campo electrostático excitado por el dipolo electro stático de modo que |,=0 = 0 y ,, . —V o cos 0 r l/=0---- ---- i
AI „ son Ü
* « 1(^.0= ---¡3-- •
La condición inicial (2') lu obtenemos de estas relaciones ■ecuación de Maxwell 1
I 0 (r E 0) 0 E t I
r
I
Or
oQ ]
mediante
la
_______ t_ ó I I , ,
a
0t '
Por último, la condición de frontera (3) expresa la intensidad del campo magné tico en los pontos tan cercanos al dipolo, que se puede despreciar el tiempo de la propagación do las perturbaciones (véase |17J). *) Véase el problema 10 § 1 cap. II .
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V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
65 5
§ 2. Problemas sencillos: diferentes métodos de resolución 21 . a) u (r , !) = (r
— at) cp (
r ~ - g ¿ ) - | - q ) (r- f- a t)
dondo los funciones
1
son continuas do forma par para | negativos; (2)
lim u (r, t) = at
r-a Indicación.
La fó rm ula (1) so obtiene en el supuesto que u (r, /) quodc acotado cuando i— > 0. (
r + o < í - T)
U(f, <)= - ¿ T jj dT
22.
j
5/(6, *)<¡Z,
donde / (5, es continua de forma par para los valores negativos dp 23. Con las condiciones iniciales a): para
U>
« (r, t) --
r — at
°<‘< V
para
ro—
0
para
r‘’ ^~r < ( < + « ,
0
para
Uo
U,
0
2r
r—at
2r
< (<
n
ro + r a
para
0
<
r <
a
a
para para
r ~ r° < ( < a
r+ r» a
‘L i l a . < ( < + < » , a.
Coa las condiciones iniciales b): í/jí
para
0< < < —
u(r, () =
0
u(r,
para != *■ < < < ^ 1°
p a ra
r-;>-^ - < i < - ) - » .
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r 0,
66 6
Respuestas, indicaciones y resoluciones
24. El potencial de las velocidades de las panículas del gas es igual a u (r, t) de la respuesta a! problem a anterior con las condiciones iniciales b), si se supone que í /0 = — a" — , donde as = k — .
po
Po
25. Sea U (r, i) la solución del problema 23 b) para el espacio no acotado (víase la respuesta al problema 23 b)); entonces
t, t) = U (r, <)—•£/ (r, t),
a)
u (x,y,
b)
u (*, y, z, í) = U (r, í) + U (r, i ),
donde r = + ¡r + (z — zo)1, r — V + V° + (2 + !o>426. Sea U (r, l) la misma función que en la respuesta al problema anterior; entonces a) b) donde
u (i. y, *, í) - U (r„ t) - ü (r„ ¡) + U (r „ l) - U (r4, t), u (*,y, z, t) — U (r „ í) -1- £/ (ra, t) — U (r „ t) — V (ru t),
ri = / **+ (» — i/o)a+ (s— *»)*. p3
rs = >/** + (» T y ¡i F + (* -— *o)Ji
/ * a+ (» + w)*+ (*+*o)1'.
27.
-----
) V + (!/-y„)2+ (z + í0>*i7 (t) = 0
^nr ° -- ,
para
«< Ü .
indicación, cp (r, <) es la solución del problema de contorno
(j>„= a3Aij),
(1)
(2)
= g (<).
(3)
a) Sea que el ma nantial está en el plano z = z( y tiene lascoordenadas r„, D„, 0 <
60 <
• Entonces, designando por cp (r, I ) la solución
del problema anterior, obtenemos
~
n- 1
J1 { M rí . <)+
(i)
ft=o
donde r h = j / r r * + rg— 2rrr,cos |e + rk = j
/
"
09+ - ^ - j + ( z — zc)a ,
— 2rr„cos (9 — 0,-- ^ - ) +( * —
.
(2) (3)
b) Sea que el ma nan tial está dentro de la capa 0 < z < ¡ y tiene las coor denadas r,,, y,,, zt, 0 < z0 < l. Denotando por
+”
A®-oo
O + V l'* , 0}.
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(1')
V I. Ecuaciones de iipo hiperbólico
55 7
donde
rA=-/r* + (2+30-2W)s, rft—
V r 2- f ( " —
(2')
— 2/W)2,
(3 ')
aquí r — ■/(* — *o)s + (¡/ — 'Jo)*- Observemos que para cada valor de t > 0 la serie (1') formalmente infin ita de facto se reduce cada vez a la suma de un número finito de términos, dado que
Para
(rjt, f) = 0
IC - — J
p^al
, f r + J J
1
p
1< — .
para
1
D)
ff J
/»(£■ n. *)djd<\ \
3
p
/ < ■ « ( « / ’ *
1 1
donde p = Y ( x — £)’ + (y — i|)s-
»•- <■... ~ ¿ ¡ - { i JJ«•>5-■#« *>+ (|<0<
I f f , . ít
+ J
P«£aí
+
! "
0
**«■ ^
\ch c v r t 1 —p® V
55
'
* *■ +
v
psS a«- t)
,
'
'
1
donde p = Y ( x — J)a + (y —si en la ecuación delante do c*u está el signo más; si delante de este término está el signo menos, entonces en la respuesta dada en todas partos ch debe sustituir por cos. Indicación. La solución de la ecuación uít =
( 1)
que satisface las condiciones iniciales u
1^ 0 = 0,
u, |¡_o = F(x, y)e<*,
se relaciona por la relación u (x, jr, t, t ) = e «i 4» (r, y, ()
con la solución de la ecuación
uii = a‘ (ux* + um¡> + ciu* que satisface las condiciones iniciales u* | i=o = 0 .
o? |(= 0 = F (x, y),
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(2)
558
Respuestas, indicaciones y resoluciones
lo que no es difícil obtener mediante )a presentación de la solución del problema (1), (2) mediante la integra l de Poisson*). Si en la ecuación ante c-u está el signo menos, entonces se debe realizar la sustitución u (x, y, z, í ) = t iczu* (x, y, t). 31. Para el potencial de las velocidades u'(r. t) obtenemos la expresión
u (p, <)= |
i
i ‘ ¿na
lo
V (t) dr Y a ‘ (t — i) s— p£
—
para
o la expresión equivalente
O (*>
u (p , () =
j o
? ( < — r c h É ) d£ p“ra < > 't »
q (í) = isidora g(í) o, si liajo la integra l SC considera
0 para para /<<< 0
+00 oo U(P. 0 = — dondo p — Y x* + el eje t. Indicación.
119 ( * — -§-c h &) <£.
!/3 6' 1» recta sobre que están los manantiale s so toma por () es la solución del problema de contorno
-f r -í v + T T F ) *
°< p < + ~ '
Un ím ( 2 n p - ^ - ) = 9 ( 0 » dV f -ü ' pu (p, 0)«=uj(p, 0) ^ 0,
°< t < + ~ ’
0 < í< + »,
0 < p < + of..
Formalmente u (p, /) en la forma (3) se puede obtener m ediante el método del «descenso* (la integración con respecto a z entre — oo y -f-co) de la solu ción del problema 27; después no es difícil verificar que con la condición de acotación de q (t) la luución obtenida de esta manera satisface todas las condiciones del problema. Observación, En el origen de las coordenadas u (p, 0 tiene la singularid ad logarítmica con respecto a p. Usando la forma (1) para u (p, í) y utiliz an do la integración por paites y la fórmula de Taylor, se puede representar wjp, í) en la forma
t
u (p, t) = -^-q ^^ ( 0 ) l n 2 * — ^ 5- jj q' ( t ) l n 2 ( í — x)dx + e(p, í),
*) Véase [2|, tomo II, págs, 553-554*
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VI. Ecuaciones de tipo hiperbólico
659
donde e (p, l ) — * 0 paro p —> 0. 'I
32.
n (x, y, < ) = — J - 2
H-oo
<1 (
j
ch í )
fe=l 0 donde Pi =
Yi*~ *«)4 +
(» — ¡O ”.
Pí =
Pa = / ( * + * .) * + (» + yo)*.
P, =
V
\/(x-x„)2 + (i/+ ¡;„)í.
33. l'ara el potencial de las velocidades de las partículas dol ¡jas fuera do la esfera obtenemos la expresión
0{r, 0 =
r„ <. r <
4-oo,
t < y fuera de la esfera, la expresión
V (r, t) = -
rnA
ü)
üi
n>
a
— cos — rü-i— — sen —
■ son wí 4 r0
donde X„ son las raíces positivas de la ecuación l R ( r flX ) ^
— -
!>•
j / (r) sen (>.nr) dr
Un f sen2 (>.„/•! dr
• sen — r.
Observación. La expresión de U (r, í) para O ^
r ^ r0 se obtiene en el
supuesto de que no haya resonancia, es decir, que X = — no coincida con ninguno a
de los valores propios >.n*). *) Acerca de la búsqueda de la solución en el caso de la resonancia véase el problema 134, § 3, cap. II.
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660
Respuestas, indicaciones y rcsolucionos
34. Sea que el centro de la esfera está sobre el eje Oz en el punto z0 > r0 > > 0 y ol plano z = 0 es la frontera del semiespacio en examen. Entonces, deno tando por V (r, t) la solución del problema anterior, obtenemos la solución del pronlema 34 en la forma u (x,
i j ,
i,
t ) = U (fj, í) + U (r„ t) para rt > r« y z > O, para O < rx < r0,
« (*, y, z, t) — U (rx, t )
\ í xs-t- y donde r, (z — z„)2, f/'*, 4 -ff*+(*+*o)“. 35. Pn rn el poten cia l de las velocidades obtenomos la expr esión
/(( ) = ar$e
r° ‘ f V ( t ) s e i l
c r°
Jx.
Indicación. La solución del problema se puede buscar on la forma
r J.a velocidad do las partículas del gas es
3(/«) n — f , 3 ( / ' « ) » —/ ' , H ( n f ) ---+ --- ari ---7~> '~ñh~
y = grad U —
(n es el vector unita rio según la dirección de /•; el tildo significa la diferenciación do I con respecto a su argumento) satisface la condición de frontera ur = Vn para r — r0, de donde para / obtenemos la ecuación
r W + T - f 'W + ^ - 1 0 -=r ^ V (t).
ro
36.
rñ
Para el potencial de las velocidades U provocadas por una perturbación
pequeña y para la perturbación do la presión p obtenemos las expresiones
Indicación. Para determinar p so debo u tilizar
respuesta al problema
1 *).
la relación (4) de la
*) Se debe pasar en la relación indicada a las coordenadas de Euler y u ti li zar el carácter estacionario del proceso y la pequenez do las perturbaciones. Acerca de las notaciones véase la respuesta al problema 7.
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V I. Ecuaciones de tipo hiperbó lico
561
\ \ 1. V (r, x) =
— Y - p r tgsa-l-f-~--í-tgaIn
Y
tg«.
+4¿-
tg a
i
0 < x < + co, iv c tg a <
v—.y vs- 1 v = - ^ Í L > 1,
~ < ctgot,
l^+V^—1 ,
l-lr-»
,
v — l A ’* — 1
------- v + 7 ^ = j 18 s= r-o-o - _J — ~» v2— 1 -f--?r tg a tg e Ln ---
¿
Indicación. Véase el problema
a‘
v — y v®— 1
8; la solución de la ecuación (1) con las condi
ciones de frontera (2) y (3) se puede buscar en la forma U (r, i ) = rip ( i ) = n f (C),
í= y .
Para determinar p se debe utilizar la relación (4) de la respuesta al problema 1. 39. Para establecer el potencial de las velocidades perturbadas provocadas por la influencia de la pared obtenemos el problema de contorno (en las coorde nadas de Lagrange) (1 —
j tf 2) ux x -\- u yu =
0,
— oo <
+oo, 0 < j <
* <
donde a es la velocidad del sonido en el iiy (r, 0) —1 í/eü> cos
ü >x
,
-) -o o t M = —
, ( 1)
gas,
— o o < x < -f*
oo ,
(2)
a) En el caso de la velocidad subsónica del flujo 1 — M* > 0 laecuación (1) es elíptica. u { x , y ) = ---cosa*.
v 1 —M*
b) En el caso de la velocidad supersónica del flujo 1 — M 2 < 0 ** (*» y) — --- r = = = r senü) (x — y y jl/a— 1
M z— 1 ).
Indicación. En el caso elíptico la solución se debe buscar en Ja forma u (x, y) = u, (x) u2 (y)
y en el caso hiperbólico, en la forma de las ondas de propagación, teniendo en cuenta que en el caso hiperbólico (supersónico) las perturbaciones pequeñas se propagan hacia la derecha de loa manantiales ue perturbación. La condición de frontera (2) se obtiene de la condición exacta de frontera
í-üfc-)
\u+ u*/ íront
V dx )I i /ronl
despreciando las magnitudes pequeñas de orden superior.
10—00Í2
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562
Respuestas, Indicaciones y resoluciones Observación. Comparando las soluciones en los cosos elíptico y hiperbólico,
vemos que las perturbaciones provocados por la pnred ondiforme a la medida de nlojomiento de ella (el crecimiento de y) en el caso elíptico se amortiguan rápidamente y en el caso hiperbólico conservan su amplitud. 40.
0< < < •
para
0
/ n , r„— at\ r„— r .rt+Z ( “ + ares
r < t <
0<í<
para *
„
►O c j r c r , , ,
4-00, r—r»
I * , r»— r~ r« . ^ r + rO ~2 arcsen \ — j l’ara —J- < <■—a — ’ para
< * < + °°>
Haciendo x = r cos cp, y = r sen
de las ondas esféricamente simétricas
r
^
y —^nt !r^ y luego efectuar r
la sustitución necesaria de la variable de integración. 42. Resolución. Buscarnos la solución de la ecuación
«2u
/ d2a , 4 ,>u l Or * ^ r di
en la forma u (r, t) —
(r); esto da:
u (r, o = /l í- iw'y 0 (kr) + BH ?> (kr) í " 1®*,
k =
A y B son constantes arbitrarias*), u2 (r, t) = Ae~ití>fJ 0 [kr), la onda cilindrica
monocromo tico estable que no tiene singularidades cuando r = u, (r, i) i
y
0, para r grandes
t)
u, (r, í) = Be~'m lI\ot (kr) es la onda cilindrica monocromática lio propagación «divergente» que tiene una singularidad para r = 0. Para r pequeños u 2 (r, t)
B
ln (Ar) e"
para r grandes
*) Acerca de las funciones J 0 y I I ^ véase [7], págs. 574, 714, 725, 748, 753 y otras.
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V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
663 -
Integrando la onda monocromática plana
(í * &>*Q+ysen Q\ v >
0 entre 0 y jí, obtenemos n (r, í>-< r lo< p ' ' rco5(B- ' t ) dO = 2ne -¡'*lJ a (kr), II
con respecto a] ángulo
A= ^ - .
SI se realiza integración sobre el plano de 1» variable compleja de) comino L (fig. 52), entonces nos queda:
8 a lo largo
¡Tg (r, <) = í - iM‘ j « i'lrc'ls9¿e = n f -to'/ í¿ " (kr).
1. 44. Resolución. Tomemos como plano de separación de los dos medios el * = 0 (fig. 53). Las magnitudes correspondientes al semiespacio z < 0 las marca-
Fig. 52
Fig. 53
mos con el subíndice 1 y las correspondientes al semiespacio s > 0, con el subín dice 2. Designamos las ondas incidente, refleja y refractada, respectivamente, por
q=
1
1 1 ,
Aquí Ar, =
—, = — y í , = — son los números de onda; ci>,,
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564
Respuestas, Indicaciones y resoluciones
las condiciones de frontera*) Pi í'pi-t-|pí! = p!
para
z= 0 . (2)
Consideremos el vector n, paralelo al plano xOz, es decir, n¡ — (cos a ,,
0, cos y,}.
Escribimos ahora en la forma de coordenadas los vectores n f y n 4: n* = {eos a f , cos Pf, cos y* ¡,
ns = {eos a», cos p2, cos y8}. Dado que las funciones de T. ev,t, ev,x, ev,t, con la cond ición que v„ vJt v 8 son diferentes y linealmente independientes, entonces la sustitución de , «p*. q>, en las condiciones de frontera ( 1 ) y (2) conduce a las igualdades
13) cos pf = cos p4= es decir, los vectores unitarios n f y k¡ cos
0,
(4)
«2 también son paralelos al plano
= ¿i cbs a f = *a cos a 2,
!
xOi,
(5)
de donde se obtienen las relaciones conocidas entre los ángulos de incidencia, reflexión y refracción: a i = —a f dado que la onda reflejada como y la onda incidente está en el semiespacio * < 0
(!) cos tti cosa 2
k2 k¡
a¡
__
_a,_ a2 ‘
«i SI las igualdades que se obtienen como resultado de la sustitución de
Pi-^i "l" M í = Pí -^2* ki cos Y i^ i + kx cos vf>lf = k, cos y 2.A4:
de estas ecuaciones, utilizando la igualdad cos TÍ = — cos Ti - obtenemos A *.
P i* i eos Yi — p|fc8cos Yz j 9-Ct. le, r.os v .
45. Denotando por « i, n*, a¡. al igual que on el problema anterior, los vectores unitarios en el sentido de las direcciones de las ondas incidente, refleja *) Véage la respuesta al problema 3.
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VI. Ecuaciones de tipo hiperbólico
585
y refractad a, obtenemo s (véase fig. 53)
a' _
v, cos a, -i cosa*-" y2 ” Vl2 “ V
ai>
ea k, ’
c
V,“ l / e T ’
**
c V * t *
donde ¿ es la velocidad de la luz en el vacio; Pj y e2, las constantes dieléctricas del primer y segundo medios (consideramos ^ = |i* = 1 ). Indicación . La onda monocromática electromagnética plana se puede repre sentar en la forma*)
// = fl<0)tfi(<úí_Anr>.
E —
Después se deben utilizar las condiciones sobre la frontera de separación de dos dieléctricos*). 46. Representando la onda incidente en la forma**)
El = {E1e<(u(- ‘ ,I); O; 0),
//í = {0; l / £ 0},
obtenemos:
E*^{E*eil““ -k'*\ 0; 0);
fl* = {0; - y'ST' E»í1<“ ' +>.2): 0};
E, = { £ ¡.e*<“ ,- ,,■',; 0: 0);
; ~ ] A T E ¿ w -h't); 0}, Ht={0
donde
- ’- y f '
« -• Í T Í f '§ 3. M étodo de separación de variables
a) Medios homogéneos 47. La solución del problema de contorno 2
0
0
y
¿2
0
1
“ li= » — “ ! x =í,= uly=« = u !j=ü, = ®> “ (*, y, 0) = A xy(ll — x )( l,— y), 0 < * < 1,.
fi )
u¡ (i, y, 0) = 0,
0 < y < /*,
(3)
es
- < * .« ) = ^ L x +~ sen (2m+ t>na ccn (2« + i) Jry X
V
2 j m.
__________ lJ _________________ k
71=0
_______________ cos
Snal i / V
1*
•) Véase [7j, pág. 495. **) Véase [17], págs. 499-509.
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I (2n + 1)«1
l¡
B66
Respuestas, indicaciones y resoluciones
48. La solución del problema de contorno
0 < z < ¿i,
u tt = a1 {uxx + uliv),
u(x, y, 0) = 0,
0<
ut(x, y, 0) = A xy(ll — x )(li — y),
“ (*, !/. 0 = — 3l‘a
0 < z < ¡ !,
( 1)
0 < y < l z (3)
X
(2m + l)a ( 2n-(-l)3, /
m.„=0
0 < f < + oo,
y < l „
(2m -M )3 , (2/!-¡-l)s
y
--
jj— +
-- ---
49. u(xt y , <) = mzíx nny0 nn y , mJix0 r —5---- 5-. +°° sen , sen —:— sen — r^- sen — — _ _ \ K _ v ____ w ______ ij n nal ^ y n / i(Jo-t-Zq lf . _______^ ¡i ______ L L^sen napl.í. 2 j , „
K
l f + T
donde p es la densidad superficial de la masa. Indicación. Se puede hallar primero la solución, suponiendo que el impulso K está uniformemente distribuido sobre los entornos x„ — e < x < *„ + e, y0 — 8 < y < yo + 8 del punto (i„ , y0), v después pasar ai lím ite cuando 0*}. e Se puede también utiliza r la función S imp ulsiva de Dirac y formu lar las condiciones iniciales del modo siguiente 0
ut (z, y,
0
6{ x
0
6
0
El segundo procedimiento conduce mucho más rápidamente al fin. Utilizando las funciones 6, elegimos el multiplicador del producto de las funciones 6 , de modo que el impulso total transmitido a la membrana sea igual al dado. 50. La solución del problema de contorno (1
aa {u:c.T
1
0
1
“ lr=o “ “ lx=(, = u Iíí- o” « l¡,=!, “ ( * ,! /, 0 ) = 0 ,
u (z , y. í) =
"
m,n=l
uj {x, y, 0) = 0,
0 < x < i,,
(2> 0 < y < ¡ a,
Amn ( senwí — J 2 _ sen ü>m„< ) s e n ^ ^ s e n ^ ,
'
Ü)mn
/
1
¿i
) Véase la solución del problema 101 § 3 cap. II.
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*4
(3)
(4)
V I. Ecuaciones do tipo hiperbólico
56 7
donde
Amn= l M
¿ ^ V M
4<0,(I' !')son
(5)
m2 n¿ I f ‘— ’
(6 )
/
con la condición do que la frecuencia de la fuer/,a impulsante no coincida coa ninguna de las frecuencias propias a (¡>mn- Si o>= e>,„0,1() (i la resonan cia i), entonces ,
,,
“ (*. u, <)=
+« 'Ti . / . i» mnx nny . >1 Amn I seutol — -— sen wm„ í] ) sen —— sen-r-i-f" . \ wmn/ ‘i h
m, )i-=i
7«^bnt + /tm»no i3®0 “ í — íiXcosait) son 'H^L sen 'i íM f
(7)
donde Amn se determina según las fórmulas (5) y
=i ¿
{ dl í •4" )
#)
(8)
sen
Odjtfr^acidn. Si la frecuencia de omo», e9 múltiple, es decir, corresponde al valor propio m últip le, entonces en vez de un término resonante aparecerá un grupo de ellos cu la forma indicada. 51. Si Ja frecuencia de la fuerza impulsante no coincide con nin guna de las frecuencias propias de la membrana, es decir,
* * > -&
s
--------------^
------------- X
m , rtsssl
mnxn nrti/a mnx t X sen —¡—i sen — sen —j— sen
Si
(la resonancia), entonces
+®
¿2
‘t
h
senoii— -^-senmmn( tomrx mnxn nn ; / „ m n x __ nny , ----- -3---r ----- sen —— sen —-Jsen — j— sen —— ¡1 <2 “mn— i 1 ¡, '
S
ra, n=l
*1
nny #
«4-n,
, moJt*rt n0Hí/a mnil* 2/1 , 4— —— (sen (oí— o)¿ cos coi) sen . ■sen . -sen — — sen ' ¿a pilleo 0 ¿ 3crt;fl(rMn. Si la frecuencia
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66 8
Respuesfas, indicaciones y .resoluciones
5 2 . E l p o t e n c i a l d o l a s v e l o c i d a d e s h o r i z o n t a l e s d e la s p a r t í c u l a s d e l a g u a es la s o l u c i ó n d e l p r o b l e m a d e c o n t o r n o
d*U
-
d*u \ .
( d*U ,
A
nz
{ l 3 - + - 5 F } + T C0S—
¿ a i
C?JT |X=0
= i£ i
0 * |x-*íj
C0S1 T / {, )’ 0 < í < + oo,
= ííí|
t>y lv = 0
= ^ í li dy
«o
\y=l2
( 1)
o* =
(2>
*
U t i x , y %0 ) = 0 .
U(T< y,0) = 0 , RI
ny „
(3)
p u e d e s e r re p r e s e n t ad o e n í a f o r m a
t U(x, y,
í) = ^ - 1
u
*
\ i ' ( t) s e n A (/ — x) d i J c o a y
co s- ^- .
(4)
1 2
53 . a (a:, j/t í) = ,„
+ 00
/ v
2
=
mnxn
nny0
Ü
\
s on — p - s en ---
rriTiz
se n — —
s en
nny ^
k ---- ^ - n » mní.
rn, n = 1 donde
¡i—
" (
t t
-t )—
-
y v! 09 el coeficiente de la resistencia que entra en la ecuación
Ü“ ^ 54. m(j,
.v ,
\GA “
J i 2f>
0= +0°
„! / Ü £ + Í í i \ _ 2va i i \aza ^ a»1 / di • (
^
¿
(2 m + 1) ( 2 n + l )
_
4 ® » v ‘ l a
mx x n /,
S° n
nny ¡¡ »
m , 7 i= » l
«mn =
, /
na y
mr
, n d .
Indicación. B u s c a m o s l a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n
d*U 1ÍF' q u e se a n u l a
para x =
0 , x = l 1% y — 0 , y — l z , e n l a f o r m a
U(x , v, ») = V<*, tf) í to'| e n to n c e s u ( r , y , <) = l m ( ( / ( x , problem a do contorno
y, i))- P a r a d e t e r m i n a r V ( x , y) o b t e n e m o s
o . » - 2 v » ü ) i ______ £
a2 po*» AV h V|x=0= v | „ ti=K|¡_ 0- i ' | ^ (l= l\
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el
V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
56 91
Su solución la buscamos en !a forma
+OO
T7 /
\
^ >J
v (z, y )=
m JlX „
A
n n V
Amn sen -y- sen —
.
7TJ, 7 » = 1
55. La solución del problema de contorno d*U QÜ \ „ / d*Ut , 2
Or | r = n
=eo)c os o)í, *4^- I
&r | r = r t
=
0,
0
(V (r, I) es el potencia] de las velocidades de las partículas del gas) que
representa las oscilaciones armónicas estables con la frecuencia
0 ( t )>2- ^ )
1 scn-£(r,— r,)+ |Í_í--- L]| C 0 S - ^ . ( r a — Ir,
— i- +
r ,)
r , J 1 ü) \ 01 sen O t /( — „ — W r $-1f-■ — cos — r„ 1 2a \a a r2 a i ---- -------------------^ --- --------------- ------- /COSO)/, -----1 y / r.\ v i>. I 4 \ /í A1 A r 1 v\ „ m
56. La solución del problema de contorno *>
S -(S + r£ ). —
l1>
^■Ur0’^Ur0' £ /( r, 0) = 0,
(2>
y ( (r, 0 ) = - - ^ - / ( r ) , Po
r , < r < r*.
(3>
+ 00
es
», /
TI <
U ( r , í ) =
A n
V
cosXnr4-YnSunXnr
____
^ .
-----------s en aKnt ,
íiwl donde Xn son las raices de la ecuación transcendente .
,
J H / r t — 1 /r ,
tg X « r , - r , « ---- , " .
i— rlr2
Xn Sen An^j~}---- COS \jiT 2
2
y n S ---------------------------------r 2-------------------
4
?.n eos ?.nra---- sen Xnr 2
T2 a2 r
¿ n = — — \r/ (r ) [eos Xn^ + Yn sen Xnr] dr. Po J *) C/ (rt í) e3 el p otencial de las velocidades de las partíc ulas del gas
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570
Respuestas, indicaciones y resoluciones Indicación. Pasar a la nueva función incógnita V (r, t) = rU (r t t).
ib) Medios heterogéneos 57. La solución del problema de contorno o Ü Ü L - T „ / £ í í . i 4-d2“ i l
1
0 C a:
l 0 ^
9 l^ F - T°Xd& + ! F / >
0 < y < / 2,
\ u ( * o - 0, y, <) = «( *o + 0, y, t), « x ( x o - 0, ¡/, i) , /
(1)
t <+<*>
0 0< l<
<. , lt£. r
| oo,
m
(2)
u Ii - 0 ~ “ /jc= ! i = u lK-0= u ,K=¡2~®> « ( * . y. ») = / ( * , y), OS
0=Sy«SZ2,
tit (x, y, 0 )= F{x , y),
u (xi y> 0 — ^ Mmn w8 í-mní+ ^mt» sen Xmní) í'mn íxi y )i m, n«J
(í)
(i)
donde sen (úmnx ---
—
--
sea íiimnio
% »(» . !/) =
nn y
.
0 < a r < i 0, 0 < y <
son-yi,
2
l,
(5)
■ J Sg.|m"».'.r £ >. sen^p, * „ « * « ( , 0 « y « < a, 2
S e n ú> mn (J| - ^ o)
<
2*n* 2 ,- __V_) -¿ "n■ £¡¡ 9 -7nn ~ T
1 *i = |7’j* -“¿
rt"27l2 || 5
(6)
«londe \mn (m, n = t, 2, 3, . . . ) son las raíces de la ecuación trascedcnte
-
}
/
"
{
('«“ W
0-*1
\ ) |1 (*. y) / (*> i/)
6o
r7x™"
f"}>
(7)
(*. y) dx dy
Iwmn I!*
(8)
lí li \ \n (*, l/) F (*. y) v mn( x , y) dx dy
&mn —-
hrnn |iymíi
Pn
0< z < x , „
II2 0 < y < ¡ 2, 1 0 < y < í 2, /
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(9) (10)
V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
II i'mn IIa = j j t> 0
U) Vmn (*»
-
571
//) dxdy =
P2Ul -xo) sen2« míl {lt —
Pl*n sen2 ci)mn2g
M
)■
(11)
58. La solución del problema de contorno 3*u
„
P” ~d7i_
r at u . Z du \
lPo \’0rí + m 7 JF I ’
d *u
d *u
° « r « r‘’
du \
Su ár lr-rj+0 '
dr ¡r=r,-o"
0) =
'> < í< - r« .
( 1>
Poi " lr = r! - o — Po»" l r = r i+ « ’
du I
« (r,
,
ri< r < ra
Voi-gp— ICiPo { - g ^ + ~ 17 )>
,
,
u (r, í ) = 5 j
^
0) =
«, (r,
/(r),
cosqui,
0< 0,
t < + o o ,
0<
0 < r < r ¡,
(2)
r < r4.
(3)
O C ÍC+ oo,
(4 )
n=l donde X n f n ^ l i 2, 3, . . . ) son las raíces de la ecuación trascedento Xr, X . __ X — Poaeos -pos sen Poi sen a. i X X Xi ,1 X X X . 1 X -cos— r , -- sen— r, —sen— r, -i— cos— r , --- ¿eos— r¡ -{ — sen— r. i a t 1 <>2 a2 r¡ a, ‘ a¡¡ r, ri at aa 1 a X X . 1 X X X , 1 X —sen— r»H— cos— r» cos— r,-l— sen— r,4 --/i. “ / i. “ 1 r . a. a . ¿ 1r . n .
=0, (5)
0< r < r , ,
etn sen <>n (r) = <
(6)
PnCOS-^ r- j-7 n son -^2-
r, < r < r 2.
Las constantes a n, Pn y Yn se determinan con ex actitu d basta el factor constante común del sistema de ecuaciones ( p c l sen-^- r i ) a n — ( p ó j e o s ^ - r , j / l í - c o s - A n r ---L s e n ^ - n )
U
,
r,
«i
/
p „ - (p 0.se n
{-í\r.
0>
« „ + ( Á ü. sen - ^ - r , + «2 l «1
_j--Leos iü- n ) p„-t- ( — -^-cos r 1
r, ) yn =
«2 * \
r ^ —
sen
1 «3«2 »
Cj
rA
/
Yn=0,
) Pn + -(- í-í- sen — rs— — eos — rt ) Yn = V r, a. a, a2 1 / ‘
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0,
(7)
572
Respuestas, indicaciones y resoluciones
] T*
An ——--- rr-—
MO’
í
------ . « = 1.2, 3.........
I»» .M
(b)
°< r < r "
If t* r»
* < '< * ■
<-'n 1*= |
H(r) »?i (r) dr.
(9)
(10)
a) Medios homogéneos 59. La solución del problema de contorno
1 du \ ( ~ + T — )> B(r«, í) = 0, u (r, 0) =
d2u
A
A
,
(1) ° < r < r°' <><<<+“ • 0
es
«
{¿»C03(UJ ^ , ) + f l n3,m{a-!ií- , ) } / 0 ( ^ ) ,
(4)
donde
An~ í i a V o p Jo r
. ...
r°
f J
ri|)(r)J0 (■— -) M r , /
Un son las raíces positivas de la ecuación / tf(ji) = 60. La solución del problema de contorno
dr,
0.
0 u (r0, () = «(r.
0) = i l ( i — íj-j ,
0,
u f (r.
(5)
( 1) (2)
0) = 0,
0 < r < r 0,
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(3)
V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
J
u (r, «) = 8/tJ 2
n=l
( K 2L )
(— ) y° '■c o s ^ i , — '•r
V - U i (fin)
57 3
(4)
r0 ’
fin son las raíces positivas de la ecuación / o ( j i ) = 0. Indicación.. Para calcular los coeficientes de la serie (4) u tiliza r ta fórx
(nulax j 0 (x) dx = x j ¡ (x); establecer primero la valid ez de la fó rmula
^ xV„ (x) dx =
2xa/ „ (i ) + (xa— 4x) J t (x).
(5)
61. El potencial de las velocidades horizontales de las partículas del agua es la solución del problema de contorno . f 0*U . 1
^
5T / >
Ií5 - = a { ^ - + T -
I u (0. OK+oo, V ( r , O ) - If (r ),
n
__ _
0< t < + » ,
.. .
( 1)
0< í< + » ,
(2)
0 « r < r 0.
(3)
J /,( r,
Para él obtenemos la representación
0
4
o •foo
( ^ c o s ^ +^ e n ^ ) / *
,(4)
Tí—1 donde
4
=t
o
f
! r
(5)
Bn - ------- 77 -, --- vñ \ r'P M A) ( - ^ W r ,
flHnro [^0 (^«)]
' r0 /
J
son las raíces positivas de la ecuación A 0*) = G. 62. La solución del problema de contorno d*u dt*
(i) u (ro» 0 = o, u ( r . 0)*=0,
0
ut ( r , 0 ) = 0,
0^
r
(2) < r„%
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(3 )
674
Respuertas, indicaciones y resoluciones
+0° J
„ (r. |) -
t i í*f\
2rS S
*
cos
«KS*\,
donde j»* son las raíces positivas de la ecuación /(,( n) = superficial de la membrana. 03. La solución del proble ma de contorno ^ • = í ,{ ^
+
7
-3
7 } + ? í ( r ' í>' u ( r r, t ) — 0,
u ( r , 0) = 0,
es
(4>
0, p, la densidad
0< t< + o o ,
O íS r e r ,,
0 < í <-¡-
u , (r , 0 ) = 0 ,
<1 > (2>
0< r< r„,
(3)
-foo
“ (r- o = S
^
w /(>
/
w=i »-l>
n
^ f d , x) J 0 o
<*»
»
senCün(* — x )<¡5,
donde
ecuación J<¡ (u)=
r0
(4)
0.
64. La .solución del problema de contorno
0 < r < r„,
- ^ - = a a { - | ^+ - i - ^- } - j- ^ - s e n< o t. “ (>■0. u (r, 0) = 0,
u(r,
0 = 0,
0 < í < + oo,
0< l< + ® ,
B|(r, 0)==0,
8) .A
( 1> (2>
0 < r ^ r 0,
(3>
sen(flí+J £ ^ x «f>
Jo (JtnL) scn^ünl Vy-r° o / fo v T1 r° ¿ !ln (0)^5-aVÍ,) / t
Í41
1
n=i donde son las raíces positivas de la ecuación J 0 (n) = 0 si sólo la frecuencia
(no hay resonancia). En el caso de la resonancia la solu to ción se halla análogamente a como se hizo en la solución del problema 133, § 3, cap. II.
J. ( — )
--
-— --- sen ü>!—
i ¡ loro ^ /o
+AnJa (
— )
' r« '
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VI. Ecuaciones de 1¡po hiperb ólico
575-
donde
Hn son las raíces de la ecuación J„ (n) = 0. Indicación. Primero se deben hallar las vibraciones forzadas con la frecuen cia de la fuerza impulsante en la forma U (r, t) — R (f) sen coi. Observación. La solución está escrita en el supuesto que no hay resonancia, es decir, que o) ^ o>„ = ^ 5 , n = i , 2, 3, . . .
^I)
66. La solución del problema de contorno 5
=
' ( S
t í í ) - ' - w u(r,
« (r - O
0) =
S *
~VZt
«| (r,
» < '< ~
0) =^f (r)>
»< ■ < + O c r c r ,,,
<» (3).
003 a n t + R n Se n u¡nt) X / a ^
'j ,
(4 >
dondo
" “ T f / . W !f» r'f ( r ) j° i ^ - ) dr'
<5>
ro R n ~
” — 1''ift-f-í;----------------
Oln
j
<.»nr|I/, (Un)!2 ;¡
r t W / ,
Un son las raíces positivas de la ecuación / n (M) =
(i^ - )
ár,
(t¡>
0,
Sn = 1 / S - v » ) ,
(
(a2Un—rgctí*)*+ Av«fií*
*) Suponemos que o,, son reales para n — 1, 2, 3, . .
si para n =
= 4, 2, 3* . . . íi)n son imaginarios on los términos correspondientes, eos y ser* se sustituyen por ch y sh y el signo delante del primer sumando en la fórmula (6) se cambia por el opuesto.
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676
Rospucstos, ¡ndicacior.cs y resoluciones
*- .í. ( —
)
7J=«i
(0V n — rl<ú*) coa toí 4 -2v*o) sen o>/
X
(osr t —» > » ) » + 4v'u>* 0.
donde |i„ son las raíces positivas de la ecuación /„ (n) = Indicación. Véase la indicación al problema 50. 68. Se debe hallar la solución de la ecuación
Ü¿L=«> / Ü í L x ± i £ . \ _ l dr* ' r
di*
’
dt ’
dr )
que satisface las condiciones de frontera
I V (O, t) | < *4“oo,
V (r0, i) =
y después tomar su parte imagiuaria. Para este fin nos liberamos de la hetero geneidad en la condición de frontera, pasándola al segundo miembro de la ecua ción diferencial; precisamente, buscaremos la solución del problema en la forma V (r, t)-=u{r, 0 + 4 ~x-e'al ,
ro
donde |/?(0) 1< + oo,
u(r, t ) = /?(r)etu',
/?(r,) =
0.
( 1)
l'ara /f(r) obtenemos la ecuación diferencial tPR , 1 dn
—2vs
,
1 ^ + T ir + —
, f / útr*
4 \
2or’
«»—
v1
1 «r 7 »
cuya solución que satisfaga las condiciones de fron tera (1) la buscamos en la forma
* (r ) = 2 AnJ, ( ^ - ) ,
0 (|j) = 0,
2 r d2u , 1 du\ 2\?ru (r,, a-. < „ „ --- r—>—
O
O < r < r0,
0<
t < + < » ,
“ (ro, 0 = 0, i¿(r, 0)=< p(r),
a= = - ^
4. . t) dr,
/
2l ,
0 < /<+ «>,
uj (r, 0) = i|) (r),
O< r < r„,
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(d)
(2) ( 3)
VI. Ecuacionos de tipo hiperbó lico
“ «■. 0 = 2
{ /)n c o s ^ Í 4 - « n s e n ^ Í }
(|*„
7 1 = i
6 77
- / 0(f
(4)
°J
donde fin son las raíces positivas de la ecuacióu / 0 (^) + x / 2 (fl) = 0,K — f l f r
' B = *0 . 1r j . % , a* -)+ T T-¡¡r1 r
rg,*)
(5)
“
dr'
ro
»»=«.pn> p---)+ r í ( r ) í/ o ( * * n t ;) ----u[/?(|*B ------^r/Í(M n )J ¡j "7'
Indicación. Las soluciones particulares de la ecuación Ou 11 r 0r J
ü iL * , ..,f J ü í j- L { dr* ^
2:i
ro
Pqgo PiOo
que satisfacen las condiciones
|u (0, 0 |< +oo,
t) =
u (r„
0,
tas buscamos en la forma U (r, t ) = R (r) T (í).
Después de la separación de variables eso conduce a las ecuaciones r+ W T - 0 ,
{ rR (r) dr.
o Antes de buscar ía solución de la última ecuación que satisface las condiciones | R (0) | < + oo,
R (r0) = 0,
realizamos en estaecuación la sustitución de variables: Xr = z, R (f) — R
{1') =
= y (z); esto conducirá a la ecuación
'* + 7 y‘ +»(a)= donde jx = Xr0. Con esto las condiciones (1) tomarán Ja | y (0) | < -i- oo,
\ xy (z) “*■
0
<2'>
forma y 00 = 0.
•) Sobre las notaciones véase el problema 5. 11-0942
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(3')
678
Respuestas,
indicaciones y resoluciones
L ü solución de la la buscamos en la
ecuación (2') que galisfaceJas condiciones de frontera (3') forma J 0 (*) — / „ (n).
y(x) -
(4')
La sustitución de (4') en (2') da J
M l O )dx,
(5')
0 ([iie conduce a la ecuación siguiente para determinar los valores ft que correspon den a los valores propios X = ü-del problema de contorno en examen
ro
/0 (y) +
(H) = 0*K
(6)
* . * J 2d . * P»«? Uo Tomando
donde n„ son las raíces positivas de la ecuación Irascedente ( 6), no es difícil establecer las relaciones siguientes de ortogonalídad*») para las funciones propios R n (r) del problema de contorno en examen { r » n i r ) « m ( r) rfr =
¡ 4 í - , - (^
o
+ T T / » ('‘ "> J (i
I
» arU
» = "•
para
m ^ n. t
(7,
+00 +
2 An »„(<•) sen n—I
ro
( 1)
donde x y JRn (r) tienen el mismo sentido que en el problema anterior,
ro ----- * p-------- r- [ r\$ (r) H n (r) A n = ------p (r) dr' dr, ---- f ---- --27----- T Í rí (r) ‘■Mn'-o |^i(»«n)+-^/Í(f«n)J o --
(2)
donde If (r) =
'■ 1---L í ! _ L _ --- 1 2x .i L
(3)
Tc es la tensión de la membrana.
*) Para eso, después do realizar la integración en el segundo miembro
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VI. Ecuaciones de fipo hiperbólico
B79
Indicación . Véase la indicación al problema anterior.
71. La solución del problema de contorno i»
—¡-c4A 2A2u — 0,
0 < r < r 0, 0 < í < - f - o o ,
u (r0, i) = « r ( roi <) = °>
u (r, 0) = /( r ),
0
< < < + oo,
¡»( (r, 0 )— F (r),
(1 )
(2)
0 < r < r„,
(3)
la buscamos med iante el método de separación de variables. Observemos que en condiciones do la simetría radial
. _
...
1 0
(4)
g^+T7F> a las soluciones particulares de la ecuación (2) las buscamos enlaCorma U (r, t) = R (r) T(t),
Obtenemos
(5>
7” +
A 2A2« - k * R = 0,
**=-|í- .
(6) (7)
La última ecuación se puede escribir asi: (8)
(A , + *2) (A, - *«) fi (r) = 0. De esta manera R (r) puede ser la solución de la ecuación (A, + * * ) R ( r ) = 0 .
es decir,
o de 1;» ecuación (At -*.*)/T(r) =
0.
^ - + 4 - ^ - + ír» /í= 0 ,
jJD es
(9)
| J If
decir, -i-
*t/j = 0 .
(9'>
Dado que nos interesan sólo las soluciones de la ecuación ( 8) que están acotadas para r = 0, entonces R (r) - CV6 (kr) + D I 0 (kr). (10> Para satisfacer las condiciones de frontera {2), R (r) debe satisfacer las condi ciones de frontera R (ro) = B ' (r0) = 0. (11 ). Sustituyendo con (10) en (11), obtenemos Jas ecuaciones CS 0(kr„) + D f,( k r ü) = 0, 1
CJ¿ (*'•<,)+ DI* (* 0 = 0. / U > Buscarnos las soluciones no triviales de la ecuación (8) que satisfacen las condi
ciones de frontera (11), por eso las constantes C y D no deben convertirse eu cerosimultáneamente, en consecuencia, el determinante del sistema ( 12) debe ser Igual a cero. Así llegam os a la ecuación trascodentc Jo (kr ,) 1¿ (kr„) - I o (kr0) J ¡ (A-r„) = 0
(13>
para determinar los valores propios de nuestro problema de contorno k ¡, k2. . . . . . . Como funciones propias se puede tomar R„ (r) = R (knr) =
re (knr0) / 0 (k„r) —
J „ (k„r0) /„ (knr).
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(14)
680
Respuestas, indicaciones y resolu clonoi
Estas funciones son ortogonales*) con respecto al núcleo r sobre el segmento 0 < r < r». Para demostrar esta afirmación observemos que la ecuación (7) se puede escribir en la forma
a r cutre'cero y r0; esto da nmRnar=
- “" é i - T l F (
(,6)
*) La ortogonalidad de W„ y R m puede ser demostrada sin la investigación detallada de sus comportamientos para r = 0. Tomemos las ecuaciones &3&*Rn (r) —
(r)
0,
AaA tR m (r) k ^ R m
(r) ~ 0,
multiplicamo s la primera por R w (r) y la segunda por R n (r) y restamos; llegamos a la igualdad Integramos esta igualdad sobre el circulo K con la frontera F. 0 < 0 < 'f < 2« y utilizamos la fórmula de Green
r < r0,
J ^ R m ^ n d o = ^ ^ [^mAjAjftn — ^ n Á 3AsR m1 da =
- 5 (* -* ¥ * -"-
í
F
(~>
F
- ^ Ü A í fi n ) * = 0, dado que sobre la circunferencia I\ r = r6, tiene lugar
Si * mM>An (*m. *n > 0 ) , entonces de la igualdad
j \«m¡tnd
u
es decir,
—
0T
rn
j r R m ( r) R n ( 0 ¿ r = 0.
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(17)
V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
681
La sustitución en el segundo miembro de la igualdad última se convierte en cero idénticamente para r = 0, lo que se deriva de la estructura de las series para las funciones de Bessel J „ (x) e / o (z), y para r . = r0 esta sustitución se convierte en cero en virtud de las condiciones de frontera (11). Por eso para km =/= kn, km > 0, será: > 0, k„ (17)
Si en la igualdad (16) se sustituye k m por k y se pasa al lim ite'cu an do k -*• kn, entonces, liberándose de la inde term inación según la regla de L ’H ospItal, hallamos»)
o
< = r p l (k „ r t) I U k n r , ) .
La solución de) problem a de contorno (1), (2), (3) la obtenemos de suma de la serie u (r, <) =
en
(18) forma
2 {^n eos (c*i&f) + £ n sen (ca*S»0 } R „ (r).
donde
_0__________
72. u(r.
sen (k*ncH)>
donde la rigidez cilindrica D es igual a
8Bh* ««) 3 ( i — m») y /?n (r) tiene el mismo sentido que en el problema anterior.
*) Se podía ut ilizar de modo análogo la relación (17) obtenida en la llamada anterior. **) Véase la solución del problema 18 del capitulo presente.
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_ 2o ptcV; *y00 <■>£>
^
s en ( A ric * rt — .— -— '3011 o>í
. . .
UI_______
,
% ..
, ,
A (knr o) Hn (r)
' k‘„ r p i(k „ r) / » ( *„ r ) >
/ * n £ lV
donde R n y D tienen el mismo sentido que en el problema anterior*),
2
._ c Po 2n 0
+M sen Ik^cPt) -- —
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¿I
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,, , ( / q (^*nro) — «^0 (^n ^u) ] /?n (f )
‘
*'br¡J$ (*„r„)/S(fcnr.)
>*
75. La solución del problema de contorno
¿>*u r =®2 {I 7T-+--7--fr} *
r* < r < r” o<«+ ». 0< t< + o o , u (r *, O ^ u í r * * . t) = 0, I»(r, 0) = ip (f). i*f (r, 0) = H'(r), r* < r < r**, +OO
(i) (2) (3)
e s u < r, «) = 2¡ (/ln cos(aXnO + ^ n «en («í.n))/?n (r). n=l
(4)
donde / l , t í = ; , ( r W / / ¡ » r i , ) - / , r i » ) / / í , ' ( r l , ) ,
(5)
Un son las raíces positivas de la ecuación S, (r*X) V i " (r” U ~ J 0 (r**K) //J» (r»Á) = (l,
(C)
, _ j W k _______ Jj(Ur*) V 2 ‘ n (k„r*) J
... (<>
r*
./S (W * * W Í (W*) i *■*W «n (<■ )*-.
(7')
r*
-f-oo 7 6 . u ( r , / ) — /? ( r )s e n < ü í 4 -
^
( r) s en a>vní ,
(1)
n=!
« « — á jr x í ["*"
F í ) ] - ' . (t ) +
)
*) En caso de resonancia o)-*-0in = ^ c2, la indeterminación en la resolución sé salva aplicando la regla de L* Hospital.
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683
n _
C n t \o _____ J\ (XnT*) j' /J(Xnr**)-/|(Xnr*) J (r) Rn {r) dr' r*
2«
”
(3)
R n ( r ) = J 0 (y.nr) H ^ ‘ ( k n r - * ) - / 0 (\ „ r^ ) tfí»(X„r),
(4)
Xn son las raicea positivas de In ecuación //0<» (Xr**) — J q (Xr**) H
(5)
+00 77. u ( r , í = > 2
n= 1
(1)
{-4n eos aX„<-t-/?n sen flX„t¡ «J¡ (r),
ffS = - ^o (W ) i/ i ” ' (X „r ** )- /í(X „r ** )//<■>' (X„r),
(2)
Xn son las raíces positivas de la ecuación J i (Xr*) // < "' (Xr**) — J q (Xr**) //<'>' (Xr*) = 0,
r**
r** j
(3)
r«P (r) n * (r) dr
j n f (r) « * (r) dr
,
« „ = Í 1 ---------- .
r^J4 (r) dr
j r*
aX„ ^
rflj* (r) dr
r*
+00
I. u(r. *. , ) = { 2 ¿„/0 ( r ] / ^ Í - ^ - ) c o s a c o s *.+ n—i +00
-------------------------------
4- S " " " M - ^ H ^ C O S M in. n^O ¿ _ = ________________________2 ___________________ f
J l/ ^n sns 1K
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Hmn — 0. 1, 2 , 3, . . .
w f c j I ' " • ( ? ) ' • W a
' -
sun las raíces positivas de la ecuación 7, (n) = fl
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(3')
584
Respuestas, indicaciones y resoluciones
Observación. El término cos cot en la igualdad (1) es la solución particu lar de la ecuación \ dr*
d i2
'
r
dr T dt* f '
f,
que satisface las condiciones heterogéneas de fronte ra del problema,
^
79. El potencial de las velocidades es igual a
+oo «V, *» 0 = { S /ln’ c h í K m=0
2 rt,
r P ¡ (..m ) | / r
( ^ “ ) } C0SÍI>í+ _
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o
c h i)/
n=
1 , 2, ...
I'm. (»»= 0, 1, 2, — ), son las raíces positivas de la ecuación / i (¡») = 80. E l potencial de las velocidades es igual a
0'
u (r, i, /) = | 2 '•nflj! (r) eos - y— } cos mí +
S n, m=0
w «•* ^-cosía j/X= ,+ - 2j í - ,
(1)
/?n (0 = K '0 (x„r*) / 0 (y.nr)-K, (xnr) /ó (xnr*),
l 2 . ,v P j / \ «nz . A n= i a -ñT ^ ) J 1 (I)Ü0S“ d2’ ',í=,' ¿....... •) Aquí se supone que x„ son reales; en caso contrario K t e /„ se susliluyen |ior A’0 y J 0.
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l A° - m í ( r * * )
(/|)
o
V!, <-->= / , d m r) //<,»' (Xmr * * ) - / J (Xmr**) //<’ > (Xmr),
Xm'son las raicés"posltlvas do la ecuación J¿ (>•<-*) B ^ ' (\ r**)-J'0 (Xr**)
(Xr*) = 0,
r** An ^ r!1 n (r) /?* (r) dr
= --t\
\ rrl‘% H *,z
\
.
i 81. El potencial de las velocidades es igual a ii
+“
_____
u (r, i, i) = { 2 A*Rh
j_ cos “ *+
2
Snmfl! M € ís 22 i c o í í a \ f w, »p=0 ' « í (r) = /„ (X„r) « i lv (X „r *» )- /i (X„r**) í/<‘>().„r), X„ (n = 0, 1, 2, . .. ) , son las raíces positivas de la ecuación / i (Xr*) #{,*>' ( X r * * )- / J (Xr**) tf
J
r/ (r) ÜS (r) dr
A n — j/
1— —
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sil ¡ ] / X & - - j
« / ’T T o? cos —— mju 1C ch 2 y \\—
^no — — —p- j
dz ,
r/?*=(r)rfr.
n=
1 ., 2„, J,.. .. ,
ch z " j / " —-• -y dz.
*) Aquí se supone que X* > —
para todo n = 0, 1, 2t . . .
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§86
Respuestas, indicaciones y resoluciones
Y
82. u tr , w,
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5'“r<' A. nn-A =0
r°,
.
1 r° 7
*nMÍ'°J'n X cos n (
< i o n d e n j ," ’ s o n l a s
r a íc e s p o s i t iv a s d e l a e c u a c i ó n
-íí 2
paran = 0 paro »
ví°*
J n ( n ) = 0 ;
0;
r„, el radio de ía membrana; (r,, n>,), el punto del golpe. Indicación. Se puede en principio considerar que el impulso K está distri buido uniformemente en el momento t = 0 sobre el área elemental q>i <
la forma
“ (r,
9 > 0) = 0,
0 < (p < q>„,
f pr^tp&r — £■
0
sobre el área indicada,
0
l
0 < r < r0,
fuera del área indicada,
y después, en la solución obtenido con estas condiciones iniciales, pasar al lím ite «uando A<¡> -*• 0, y A r — 0. Se pueden utilizar también las funciones á impulsivas para la expresión
0) = 0,
«I
0
0) = —2- 6* (r — r,)
0 < r < r c, 6 (
0 ró*(r — r,)/(r ) dr = f ( r , ) ,
si
r¡ < rt < rj.
O I r5* (r — r,) f (r) dr = 0,
si r, está fuera del segmento |r¿, r¡¡),
rv cualquiera que sea la función continua / (r). De esta manera, el producto i* (r— ri)ó (
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V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
58 7
83. El potencial do las velocidades horizontales de las partículas del agua es la solución del problema de contorno . r d*u . \ du , 1 ¡fiu \ { dr"- + r dr + r2 0
d*u dt1
0 < q > < 2« , «rfro»
t) =
u (r,
0.
0 ^ r < ro.
0
0 < < j > < 2n,
u, (r,
(1)
0 < í < + <». 0 < r < r p,
0 <
(2) (3)
para íI obtenemos la expresión
+OQ u ( r , Cp, í ) — t’qCOS
A nJ\ ( ^ T ~ ) C O S - 3 j ~ - ,
donde |»n son las raíces positivas de la ecuación /í(|¿) =
2|¿n J An = +X> 84. u (r,
qp, t) — ~ ^ «p " íi—1
l*n
0
V
( i ^ ) dr
r,[ F .- IU !W l
'
4
( )
(5>
[ cos(
( 1)
0
donde p,n son las raíces positivas de la ecuación /|(| 0 =sO,
ro
r<» 2 ¡ r/M /, ( M ) r f r
\ r lW J , ( » £ .) * ■
0
t»
(2 ) r V \ 2
J r /f ( ü ^ } d r Observación. Se puede obtener la otra forma de la solución. Para eso se debe,
primero, sin preocuparse sobre las condiciones iniciales, hallar la solución parti cular do la ecuación heterogénea / d2u ,
di*
1 du
1
d*u \
/ (r) \dr" ' r dr 1 r£ 0q>* J ‘ p
<-TT'A -----3- -I---7--T-T ? + Z TTí'CO S (q ) — íot),
que se anula para r = r0r en la forina Í7 (rt
(9 — &><).
Usando el método de variación de las constantes con la utilización dol wronskia-
2
no de las funciones cilindricas W' { / , (2), TV, (2)} = — , para fí (r) no es difícil
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68 8
Respuestas, indicaciones y resoluciones
obtener la expresión
Mil " « - i r
7 7 " J \ ~ )
«
*
■
(
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-
«
. * ( * 4
(-? ) í
( ? ) " + # *
0
V(’
( ? ) 5 " »'■
o
(t-)
*■
Después se debo hallar la solución de la ecuación homogénea con correspon dientes condiciones iniciales heterogéneas.
85 .
u(r, <|>, 0 = | 2
n=»l
Cn (aV&—d®*) A
( ’T~) } C0S(
+«* — 2rgxí»> ( 2 « n=l
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sen (
2 Í r/(r)y‘ ( ^ ) "
P>;2 <(*n) l ( ^ - a V 5 i ) 4+ ¡i ' 1 ^ ]
Un son las raíces positivas de la ecuación / [ tu ) — 0. Indicación. La solución del problema puede ser obtenida como la parte real de la solución de la ecuación
-2ÜíL=as /¿!Ü - L ± ÍÜ + - L Ü M _ 2x ^ - í..Ü £L íí(,'-“') itl- út ' p \árJ ‘ r dr r 2 á
'
m
que se convierte en cero cuando r — r0. Esta solución de ]a ecuación ( 1) se puede buscar en la forma U ( r ,
9,
(r)*1**-*0 .
La solución de la ecuación diferencial que se obtiene para R (r) se puede hallar en la forma -foo
fl(r)-2
.
AnJy
(i^).
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Vf. Ecuoclones de tipo hiperbólico
Slj5.
(<)}cos
9,
u
68 9
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2 j r [3aa/ (í) — r*/* (01
( J^
L) dr
’t’m (O* jim son tas raíces positivas de la ecuación J n (n) =
0.
+oo 87. u (r,
+ fí„
9,
t) = sen
J n ( * jr ) (•^nCOSncp+
+00 sean
(Anm coa " 9 + B *m sen nq) sen a^ m ' ,
r0
’ son las raices positivas de la ecuación / n (n) =
2n
0.
2n
9 ) cC0S n(P ¿T» An = (
\u /
n = » l, 2, 3,
2n í
« . ( ^ ) ro
F
(q>) sen
n 'f d
2, 3,
...,
í
fí"m~ indicación,
ecuación.
1‘rimero es conveniente hallar la solución particu lar de i»
. . 012
f S*u , l d u , r dr \dr1
i d*u \ r3 ¿ícp3 / *
que satisface la condición de frontera u (r0, 9 , t) = F (9) sen at. Esta solución particular es natural buscarla en la forma V (r, ip,
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* = 0, 1 , 2, . .
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| 2 AhJn ( —7 — ) c h í 1 *=0 °
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7 t } cosn«¡pcos(iií +
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donde ^n fc(r ) = £ nji M n>r) >' ^ in> tienon el mismo sentido que oii el pro-
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La solu ción del problema de contorno (1). (2), (3) so puedo representar la forma u
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7Í, /<«=<)
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592
Respuestas, indicaciones y resoluciones
donde
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7 //° son las raíces positivas de la ecuación
* hk <^i> •Po
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n > 0,
(7)
r,
n
/(<■.
(r) r dr ¿
b
----- -- --------- .
j r* .„ * (r)dr = ri
(8)
(9)
*
Resolución. Colocamos el origen del sistema esférico de coordenadas en 93. el centro del recipiente y dirigimos el eje 0 = 0 según la velocidad del m ovi miento del recipiente para I < 0. Entonces, el potencial u de las velocidades de las partículas del gas no dependerá del ángulo
d*u H
át »
0 < r < r c,
0 s S fl< n ,
» r ta . 0, < )= 0 ,
O <0<«,
9l r ) } ’
(t)
0 < t< + o o ,
0 < < < + cx>,
(2)
u (r, 8, 0) = Vr cos 0, u, {r, 0, Oj = 0, 0 < r < r„, 0 < 8 < n,
(3) Es natural tratar de buscar la solución del problema de contorno (1), (2), (3) cu la forma u {r, 0, <) «= w (r, i) cos 0. (4) Esto conduce al siguiente problema de contorno para u>:
d*u)
. f 1 á / , \ 2w 1 = “ { 75-57 ( r,- 5 r )- — } '
° < r < r«-
0 < l < + « ,,
«’r(«V 0 = 0 . u>(r, 0) = vr ,
0 < f< + o o , w,(r , 0) = 0, 0 < r ^ r 0,
(5) (6) (7)
que se resuelve mediante el método de separación de variables,además, y para w(r, t) obtenemos la oxpresión
Hr. <)* S .
A-l
~ -- (8)
y r
ro
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VI. Ecuaciones do tipo hiperbólico donde
m*
693
s<'n las raíces positivas de la ecuación
vS'3(h)-jS 3 M = o , 2 r9
m
2
5
p A u ~ - ~ --- -- --- 5-rr,
* - 1 , 2, 8, . . . (10)
94. El potencial u de las velocidades dft las solución del problema de contorno
0-ti ~W
1
, r 1 a / , du \ . { r“ dr V dr )
0 < r < r 0,
pa rtículas del gas es la
d /
sen 6
0< 0< ji,
„ du. \l 8 ) } »
3
( )
0< ¿ < + o o ,
du =(0A cos 0 cos ai, dr |r=r. u (r, 0, 0) = 0,
u,(r,
(2)
0, 0)=>0.
(3)
La solución dol problema de contorno (1), (2), (3) se puede representar en la forma
u(r,
0 , t) = '| m J4r + 2
cos 0 cos (0<+
A n —-—
'•IW +
2
c * ~
—
T 5—
cos 0 cos —
*
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donde nn son las raíces positivas de la ecuación i - / 3 (|i)=0, 2 r„
<ú*A
2
5
(*h#)4
Ah — — j—g-----------
(5)
--------------------------- ,
* = 1, 2 , 3 ..........
12-0942
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(6)
694
Respuestas, indicaciones y resoluciones
í +» | “ lr !
/ 3 (
)11 * ( r 2 r ( M f t M
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1
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71=1
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1 2
l r0 J
4'!«r*-wJ '.psm ----“
r ---- 5 - T - ^ *
dr
* = 1 - 2 , 3 , .. .
(7)
2
06ser«íción« El sumando
i
+oo
0)<4r-f“
2
A n
2
2
---
J eos 0
(8)
COS Olí,
que entra en (4) es la solución de la ecuación(1) que satisface la condición frontera (2), pero no satisface las condiciones iniciale s (3). La función cú>lrcos 0 cos (ot satisface la
condición de frontera (2), pero no
í „ ,
de
satisface S!a ecuación ( 1).
'
*
95. u ( r , 0, <) = | t ¡ 7 J = T + 2 A ‘ ---- y j --- — j ^n(cos0)co soit +
+ 5}C*
ft-i
-----
------- Pn (eos 0) COS —i
1
donde |i¡,n) son las raíces positivas do la ecuación
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---
,
(1)
V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
Ck= ---
isft +
V * —
¡tí —
1=1
r
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r rü
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i H " ’ i . » i < — )*
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2 \+i ^
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„r
69 5
-Ak.
(4>
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Observación. Véase lu observación a la respuesta al problema anterior. *JG. El potencial de los velocidades do Jas partículas dcí gas es la solución del problema de contorno 02u
' { ^ £ K
? ) + r a
0 < r ^ r 0,
r £ ( “
» w ) ! .
«>
0 < í < + oo,
uT(r„, e. t) — P n (co se )/(/), “ (>•. 0, 0) = t»t(í\ H, 0) = U, La solu ción del problema de contorno la forma
0< 0< n,
0< í< + o o ,
0 < r < r0, O < 0 ^ n .
(2) (3)
(1), (2), (3)so puede representar en
/ Wí r \
H(r, o, <>= ’
( t)
^ i. »ff-‘
v-i
J n+ ;i '
r«
'
,
' 2 1’» <‘>------ ^ ------- I fín
donde nj,"’ son las raíces positivas de la ecuación
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(4)
59 6
Respuestas, indicaciones y resoluciones
7n+ ■ ( ? )
+~
----7p=--- P^cosO)} cas <út -J-
97. u(r, 0,
71**l
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S
j tWirr) .. i ( n + - \~?r ro //
,
■¿nfc---- 1— —----- P n (coa8) eos—lií --
(|)
An — ó n ' - ' t A \ / ( 0) P n ( eo s 8 ) s en 6 d O, (ro)
/?n (r) =
---
------ , ,
n=u, i, ;
V>
n = U , l , 2 , . . . . (2 )
¿nh —'
A*=* 1, 2, 3......... donde
n - 0 , 1, 2, 3.........
(3)
son las raíces positivas de la ecuación
I»/.
M - J j
n+ i
i (l*)='l. n+ |
(4)
98. 151 potencial de las velocidades de las partículas del gas es la solu ción del problema de contorno d2u
H¡*
■
'( iíl'i l+ iü | flr |r=ro
j i í í (-"3 9
= / ) P ^ (cos 8) cosm 9 cosoi(, « l t- O = « t l (= O =
0i
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w
) ■ 1,1 (2) (3)
V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
solución del problema de contorno la formo
59 7
se puede repre^ntar
3
J
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l) =
0
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' ,,+i. ( * ¥) ' r“
2 ii=i
(t)í
cosí ^
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(4)
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donde jAfc son las raíces positivas de la ecuación
, (|1) »+*
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. (u )“ 0, ¿ »+s
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(5)
Ak — — m
* = 1 , 2, ...
(6 )
. ( ? ) 99. « (r, 0, Ti í) = eos mtp cos toí 2
,
J
X P ” (COS0) + COSm
2
2
/ln/¡
------
I ^ n 'r \
7 = ---- X r
X Pn
ro
donde |.i¿re> son las raíces positivas de la ecuación
1
, (n) — j "+ ~ ¿
¡ij'
j
, n+ T
00
= 0,
(2)
3 n
r0“ j I (0) Pn (eos 0) sen 0 d© ¿ i 71 —
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598
Respuestas, indicaciones y resoluciones
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l Í T 1) ' .
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0** >L‘ — ¿ p - J
(4)
100. El potencial de las velocidades solución deJ problema de contorno
de las partículas
del
gas os
1 "*■ r * s e n 2 6
du = / ( < ) P y ( c o s e ) c o s m
1
la
...
S
/(0) = /'(0 ) = 0,
(2)
«li=i>=“ll=o=0.
(3)
La solución del problema do contorno (1), (2), (3) se puede representar en la forma
í,.„„ “
donde
-
( 0 ------ — 7 =----
y¡
nro
“ i
V r
P% (eos 6) cos m<
son las raíces positivas de la ecuación
yJ‘
i 00 — \ J
n+T
% (<) =
r J.
i 00-0.
" +T
p (IU,Ln^ \/ '( x ) s c n — p — { t - x ) d x , J ro
Áh = ---- -5-¡----_ 2 ------ ^ 4 ----- ,
0
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101.
u (r,
0, 0 =
(5)
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, .
* = 1 ,2 ,3 ,. ..
(7)
1- ' ÍLIíLtii- , (X*r) —
(X*r)
|
------- ---- ------- eos a\ht\ cos 6 t ( 1)
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VI. Ecuaciones de lipo hiperbólico
599
donde Xk son las raíces positivas do la ecuación
f ir x J ' 3 0 . r { ) - ± - J ± (Xr,)] [xr,¿V '3 (Xra)— ±-AT „ ( X r ,) ] -
2
2
2
[*Xrr ^3 (Xr2) — *2" /
T *2” ^
oír — Xfcr,^ ^ (Xftr,)
T
?
» J f
^
3 {Xr2) J |" Xr,¿V'3 (Xr , ) — T ~Z
8 (^*fcr))» T
(2)
T
Pfc— ^ r , / j (Xftrt) —
J ^ (X^rg),
T
(3)
~2
2 [aji-T^ (X)¡r) — ¡?fcAr^ (X^r)| dr
---------------- ------------------------ - -------------------- ,
(>■*>')— Pk-V
r¡
2
+»
2
*=1.2 ,3...
---
------- COSWÍ +
a s/^3 (X^r) — pftW ^ (X * r) Ah ----
(4)
3 (X *r )J2dr T
u ( r , 6 , ( ) = | --- ------- —
+
N 3 ( X r , ) ] “ 0,
5
^
102.
2
-----
"j
T I --- ------- cos aX*l | cos 0,
donde Xj¡, ctf¡, p|¡, tienen los mismos significa dos problema anterior,
que
en
la
( 1)
respuesta al
-íO'im-T'it-!?-)] a ~ la*
IY (w, o, n . r,>
m
"
j -
2 --------------------------------------------------------- 2
p - “ ---------------- i -
------------------------ 2---- •
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000
Raspuosfas, indicaciones y resoluciones
W((ú, a, rlt r2)=*
(4 )
(5)
•í
j <• [a*.^
b )
( U r ) ~ f i i , N ^ (X*r)]sdr
Medios heterogéneos
103. La solución del problema de contorno
_1_ a«i , i ar» + r 3r “ / Éfífa? I _1_ au 2 , dr 1 { ar * + r 1**.+
i á 2u, r4 dtf2 i r¿
asu 2 5
“ (ri — 0.
\0 < < p < 2 n ,
ur (r,— 0,
0,
u (r,
u (r ,
“ 1 (r,
(2)
t < 4-oo,
O < r < r„ O<
9<
(2'-> 2rt,
(2*> (3>
2 f lmn(r){[ám n Cos nq>+6mn sen nqpJcosAmní-|m, n=>i + [ó:mnCosn<}>+&mn seo n
(4)
donde Xmn son las raíces de la ecuación trascedente / „ (ar¡) ñ j 'n i w r j
0
N n (cír,) ü s N n’ ( M r ,)
Nn
Jn (
=0,
J n
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(5)
V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
— Pi^ “ =-TT>
60 1
— “ =- £-•
jr.\
(6>
[/rt (rjJrr.r:r'i) Arn ((,)rn rir j) —Afn (tómnri) /n
{G>mnr2)] ^n
nr)»
0< r < r „
fimn (r) ■
[ /n (comnr) A?n (Cc>mnr2) ~ (tómnr) J n (^ptn^a)! Jn (c*>ninri)» r, < r < r 3,
2."; rt
J' d
o
_ | V 2 jx
1 para n 22 para n
0, =
0para ,
n — 0
r¿
( dtp i n ( r ) / ( r , q>) flmi* (r) sen ncp dr
Ómn = -2 --- í ---------------------- .
(»>
mn (r) dr Ji j |i (r) P 2
0
Las fórmulas para
§ 4. Método de las representaciones integrales c) Transformación de Fourier Recordemos que la imagen de Fourier de la función F (¿e, y) con respecto aü núcleo se llam a a la función +0 0
F ( X , n ) = - ¿ - \ \f t H + W p f t , n) dsdn-
d>
— 00
El original se reconstruye según la imagen mediante la fórmula de inversión +00
F(x, J0= -¿- í j
(X, n)dXdn.
—OO Análogamente se determina la transformación do Fourier en el espacio*). *) Para más detalles véase el cap. V, § 3.
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(II)
*802
Respuestas, indicaciones y resoluciones
i 04. Resolución. Utilizando la transformación de Fourier de la forma (I) ■a la ecuación (1 ) y las condiciones iniciales (2) del problema en examen, obtene mos la ecuación diferencial ordinaria y las condiciones iniciales ¿¿7 "
—
<)- +a»(X»+ n»)ü(A., n, l) - 0 .
(1)
dU 0) = V ( k , K),
{2)
Ü ( X , n , 0) = Ó ( X , n > ,
donde u, O , V son las imágenes de Fourier de las funciones w, La solu ción dela ecuación (1 ) con (as condiciones iniciales (2) se escribe en la forma üWti>(X, n)c oS flpt+ ¥ (X . n) sc“ apf ,
(3)
1/tih/ando la transformación inverna do Fourier, hallamos 4 * 0 0
n)cosapic- 1(í-*+MI/)dXíín-í-
" (*. !/. O =-$j¡- { J j — oo
+ J J V (X, (1) S° ¿ " P~ —o>
rfX <¡j.} .
(4)
Su stituy endo los valores de Q (X , ji) y V (X, |i), llegamos a la igualdad -feo
y ’ l) = l 2 S j r
.í j .í j —
I ® ® ' ’l ) c o s a P‘ +
OO
+ •F (g, r¡) SOn~
} e« ’'(x-E)+H(l/-il»dEdT) dX
(5)
■donde p=VX*+p. Introducimos las coordenadas polares mediante las relaciones z a r c o s
X = (>cosO, \ _ f ^ = p sen 0 , )
(o)
= pr cos (6 — q>) — pr cos
+oo +oq 2zi 2n l* . V.O - - ¿ r
5 5J J
* (¡j, T,) -3 - ^ -
™ • ' pr dr dp d
0 0 0 0
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(7)
V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
60 3
En virtud de la iguald ad *) _ L
de {7) obtenemos:
j eipr
(8)
j j í •4-co4-cc 2fi
M *. y, 0 = 2^
V tt* T») *** apí/° (Pr) rdr
o o o
d(P'
(9>
Pero ••) +«>
0 1
í
\/ 0 (pr) sen api dp = < J I — 7 ~r'»
O
[
para j
r5
para
at < r, at > r,
^
(10)
por_eso
1
Ua(x-v-
a t
f f V (g , >]) r dr d
l»)
0 0
«! se puede obtener de u 2 mediante la difere nciación respecto a t, si prc-
Fig. 54 viameute sustituimos V (£, í\) por
u(x . y. /)— 1— 2. f f J H i ii jL L ^ í L + 1 Y w — r* ;2 jx a dt ) } o o
at 2n
+^r ¡ J 0 0
11) rdrdtp y'”aa<*—r
'P (I-
r-!/■(*-6)»+(y— 1|)». *) Véase [71, pág. 741, (13'). •* ) Véase [7j> pág. 751 (12) y (13).
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(12)
604
Rospuestas, indicaciones y resoluciones
IOS. Resolución. Utilizando la transformación de Fourier análogamente como esto se hizo en ta solución del problema anterior, obtenemos
u (i, y, z,
t) = a, (x,
y, z, l) + u 2 (x, y, z,
i).
(1)
donde
u.tr, y, i, t)“ (2n)3
í $ 5 5 5 5 ® rs' i',t) c o s a p ‘ x SJ 5! x e it > < * . l ) + n ( i/ - » ) T V ( Z - ; ) ] d ; d t l d 5 d X d f l d v
(3 )
(p = l A ! + l* 2 +v*)- Pasando a las coordenadas polares según las fórmulas \ —
X
= r sen 9 cos q>,
i) —
>. = p sen 0' cos 9 ',
y =
r sen 0 sen 9 ,
J —
p. = p sen 0' sen 9 ',
z ■= r
cos 0,
v = p cos 0',
(4)
donde 0 es el áng ulo entre el sentido po sitiv o del eje 2 y el vector r = = (J — x) i + (11 — y) j + ( t — si *y 0 ', el án gu lo entre r y p = l ¡ + ¡ i j -(■ \k (fig. 55), es decir, tomando el sentido del eje z por el sentido positivo del
eje polar en el sistema esférico de coordenadas, obtenemos: 4-co -foo n n 2 n 2 n
(x-f-rsen 0 cos
y+r sen 0
sen q>, r c o s 0) x
o o o o o o x son
afit
ap
eipr C08 e’ pV>
e sen 6. dp
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¿r ¿g
d9/ d(p dlf.
VI. Ecuaciones de tipo hiperbólico La realización de la integración respecto a cp' y
605
8' da
+00 +00 n 2»t (x -f-r sen 0 cos «p, y-}- r sen 0 sen
r eos 0) X
0 0 0 0 X Sen pr sen api r sen 0 dp dr dO dtp = -foo -foo n 2 ji
f ^ ’lr (.r-|-r sen 0 cos
í
J
o
o o o
’ 4 ti Ta
X (eos p (r — a i) — eos p (r-f ai)} r sen 0 dr dp dO d
—
-foo
+0 0
j
dp J
0
rV (x + r sen 0 cos
o
(5)
se puede calcular mediante la integral de Fourier ■feo
—
j o
-foo
dp j
/ (r ) c o s p (r — a í) d r = / (a i) ,
o
suponiendo í r*F (x + rs e n \
0 cos qp,
Sí / (r) satisface las condiciones de la posibilidad del desarrollo en Ja integral de Fourier y es continua, entonces la integral (5) es igual a cero para { < 0 y atV (x -f- at sen
0 cos qp, j/ -+- at sen 0 sen
z -f at co?
0) para
t >
0.
Análogamente -foo -J-OO
-foo fW
r xP (ar-j-r sen __( — afT {x — ai sen
0 cos (p, y -f-r sen 0 sen q>, z-j-rcos 0) cos p (r-f-aí)dr = 0 cosq>,
y — a t s e n 0 sen
0
para ¿ < 10* para * . > 0 .
De e9ta manera
n 2n y i *»
^ \ >ir (¿--{-ai sen
0 cos
y-j-at sen 0 sen
0 0 4~a£ cos0) sen 0 <20 d
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606
Rospuesfos, indicaciones y resoluciones
u, (x, y, z, t) puede ser obteuida de u2(xy y, zy í) mediante la diferenciación con respecto a t después de la sustituc ión previa de ¥ por O:
it 2ji « i <*> i/. *» í ) = ' 5 ^ { “¿ f
\ ( ^ (* + ** sen
o
0 eos
y + al x
o X sen 0 sen q-, z-f-at cos 0) sen 0 dQ dtp} .
10G.
**l.
j j 0
r
'
(1 )
r = v '(* - 5 )a+(ff-n)2. ,, , , 107.
/ ( í. n . c.
u ( x , u . 2 , I) = - f i ^ r j
} 3
-------------------- ---------------------<Ü ¿r, d i,
(1)
r^at Pasando a las coordenadas esféricas como en el problema laintegración con respecto a cp', 0', p y r.
an terior,realizar
+00 IU8 .
4> (x + 2| y~bt, ¡,+ 2^ |/F/) sen í (! i +~)s) d% d"r)+
u (x, y , O — -jL
I
+ 1T
O
-O O
4-oo
( dt f j V ( * + 2 6 V 5 í , u + ¿n v *») s ™ ' (Ia+ i 1) di dñ*(1) —oo
Indicación. Utilizando la transformación de Fourier, nrt es difícil obtener
la expresión siguiente
4-oo “
<) = l 2
^
1 í
] í
’ l) c o s ^ (? ~ £ ) c o s H (!/ — T¡) t
X cu s
*í(>.»+(i»)d|dT|
< r t . < í ( í + j
X
-too
dx ^
O
j
J
< K(| , l l) c o s X ( x — ¡j) X
—oo
X c o s ( i (y — 1|) co s i>i (X * + |i2) d | di| d\ du,
(2 )
si tenemos on cuenta que las integrales análogas en las cuales en vez (le eos X (x— 5) o co»ii(i/— 11) están sen X (x — i¡) o son ^ (1/— ij), son iguales a cero, l.as transformaciones ulteriores pueden ser realizadas mediante las igualdades
,
+oc' [ c.os jkj 2 cos qct d a = y - y cos (
4*00
--- J f ) ’
__
_
\ sen r a* cos qo d o - ] / - y sen ( -j- ~ -|j-) ,
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P> O
(3)
VI. Ecuaciones de lipo hiperbólico
607
y la sustitución de variables
Z—z
*)—y
bt
2
’
//v
~
Y b t
Las igualdades (3) pueden ser obtenidas, por ejemplo,- de las integrales deFresnel ■foo
T,
^ cos j a J x = "|/f-g"
-fOO
[ sen z 2 d x = j / " -g-
y
— oo
_
(5>
—oo
mediante el paso a la variables o de integración según la fórmula
(6>
* = <*V7— - ' . ¿ 1/ p 6) T r a n s f o r m a c i ó n d e F o u r i e r - B e s s e l
Recordemos que la imapen de Fourier-Ressel de la función / (r), 0 < r < -f-oo respecto al núcleo / v (^£)*) se llama a la función
+00
7(M - J O
d>
El orig inal se reconstruye Según la imagen mediante la fórmula de inve rsión -foo
/(<•)= j X j W J y , (Xr)dX.
,09.
(2>
u (r, ,) = - 7 5 - í -------------- 1------------- + V < «- , -«JÍ \ . .1 t 9
r2—«2/3
1/2.
14“— w
Indicación. Ap lican do
la transfo rmación de Fourie.r— Bessel de orden nulo a] problema de contorno c)2u —TT*- = a2 ( ■ *— ?—_L--1--Ó'1 — )\i dt\ar* r dr /
» (r,
0) = / (r),
« í (r,
0 < r , ,( <_ + o o T
( 1 ),
A _
0) = K (r),
O ^ T r < + o o , (2)
no es difícil obtener la expresión siguiente para su solución -foo
«(/-,{)=
-foo
\ l j (X) cos (aXt) J-, (Xr) d>. +
f7(X)sen(aX0/«(Xr)dX.
O
0
*) O, brevemente, la imagen de Fourier— Uessel de v-éslmo orden.
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í.'t)
608
Respuestas, indicaciones y resoluciones
En nuestro caso u, (r, 0) = g(r) = 0, por consiguiente, ? ( M = 0,
A
/ (r) =
Para /'(?.) no es difícil oblener la expresión
T Para eí>o
so
(
\
)
(4)
debe utilizar la relación ■i-OO f «* “* J 0(p*) d* = - 7 = = = - *)
J
1 /
ps+co*
y leí fórmula de inversión. La sustitución de (4) en (3) do:
+00 U (r, t) = Ab ^ £r~,%b coa (aXí) /„ (Xr)
i) +oo
= Re|yl6 J e-W6+ia,>/(,(X/-)dx}, u
(5)
+00
“
para / (p) =* Ae~i>7',(l~ obtenemos:
R* ,
®
/le
1+T*
/
/?*
. /?*t \ -- r+7¡-( cos T+^7 '+ t sen T p r 3" /
’
(>
donde
y
(3)
Indicación . Para la imagen de Fourier— Bessel do orden nulode la solución del problema de contorno (1 ), (2) (véase el planteamiento) obtenemos la expre sión
+00 ü a , í) = cos(4X*0 J II (i) /«(*.') di.
*) Véase |7], pág. 750.
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(4)
V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
€09
Si, al emplear In fórmula de inversión, utilizamos la integral de Weber
+“ . / xs+r» \ j ZS<,aySo(>-r)*-pt2rt=-2¿-' 4P /o ( 2 7 )» (5) Ü haciendo p = — í 6f. entonces para u (r, í) obtenemos la expresión (i ). Si en (4) sustituimos / (|) —
entonces para ü (Á, t) nos queda 4-oo
Í
52 »
i
|
I , >,2aS
ai ¿o (^|) <%> = "g- ¿4aa«
2
eos (6<>.2),
(6)
vív+1>—
J -)
O
con eso se debe utilizar la integral de Hankel *)
avr ( t ! | + T v)
x
2v + l p 2 ll't "2' Vr(l-|-v)
>
para v = O, p — l/o s, n = 2 , a = X. Usando la fórmula de inversión y utilizando esa misma integral de Hankel para ft — 2 , v = O, a — r y a8 / 4¡6i \
^ = t ( 1+—
)
obtenemos la expresión (2) para u (r, <). 111 . Si el p unto r = O se mueve según la ley u. (O, t) =
O Si oj) (f) se da por las relaciones (1 ) (v<5asc el planteamiento), entonces
donde el seno integral y el coseno integral se determinan por las relaciones X
I
sen C —
O
+0 0
C eos £ Ci (*) = — J — x
Indicación. Suponiendo en la igualdad (1) de la respuesta al problema ante
rior r = O, obtenemos la ecuación integral para determinar / (r). Si en ella su ponemos p = V I entonces ella se transforma en una ecuación integral que fácilmente so resuelve mediante la transformación seno de Fourier**). *) Véase [42), apartado 393. *♦) Sobre la definición de la transformación seno de Fourier véase el cap. II, §4.
13-0942
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610
Respuestas, indicacion es y rosoluciones
112. La ecuación de las vibraciones forzadas transversales de la placa*) para p (r, í) = 16píibf (r)\|>' (t) toma la forma + b '¡ (^ 5 H— T-
l F
- ^ r )2 « = 8fc/ ( r ) r (t)
- c o < !< + o o ,0 «
Su solución es
J P/ (P)sen[1 E l ± l L j /o ( _ £ _ _ ) ¿p.
■
los
« (r» í):
(1>
0
casos
particulares obtenemos las
expresiones siguientes
para
t •)
“ (r, 0 = 4 - 5 ^ (T> sen L t F ¿ = ^ ] " ^ T 5 — oo
+00
í b) u (r.
t)=
J
n> (X) dT j / „
0=
^
(6 (t— i) S*|
O
— oo
C ) U (r,
(|r) / , (|
j / o ( | r ) A (|a)l—
c o i i6 %
)
O si r < o , entonces parn t < l 0
+ - w
* ) + * » ( * ) - -
G (^ r)}-
donde ( i ) a = - j --- Si (j ) — *Ci (*),
G (*) =
una expresión análogase obtiene para 1 > io! si r S> a,
■ ' ' ■ ,> * ¥ [ , ' ( w ) + w c i ( í r ) ] ’ *) Véase <»l problema 18.
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—— Ci
VI . Ecuaciones de tipo hiperbólico
. („ „
611
, ( 5517¿ r í y ) +
„ (^ r )
t
j / (*) H ( t —
= —
OO
donde p*i
-
■ ■
e)
ÓI
“
^ ( p ’ + í 8)
l .003 \P*-H, )~r P
Indicación. En ol caso a) hacer / ( r ) =
impulsiva de Dirac; Hessel para u (r, í) (
( f + P i -I- a h & -
, donde
6 (r) es la función Ó
on el caso c) primero hallar la imagen do Fo urier—■
1 — cos (fcXgf)
, (aX)
iwt\
( ? f r . ) J.
'
6a?.1
>
^
i S& W/j (aX) eos \b (<— (o) Ás) — cos (JifX*) l i w X ----------- W ----------- ’
. ^,
y después utiliz ar U fó rm ula di* inversión. Al deduc ir las fórmulas asintóticas emplear las integrales -foo
4- OO
J J\ (x) cos ( 6x2) dj*= 1 — eos^ J i (x) sen (frx2)
o
>
o -fCO \xJo (x) eos (bx*) dx = - L sen ( J j- 'j ,
0 -fou j
(j) sen (bx-) dt = 4jJ-cns ( l j ) •
Las dos últimas integrales pueden ser obtenidas de la integral de Weber dado en la indicación al problema 110 ; en el caso d) se debe utilizar la citada integral de Weber.
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612
Respuestas, indicaciones y resoluciones
a) Punciones de Influencia de los impulsos instantáneos concentrados
tl«. x ( « , »J . « . I ) - -4na J - 6 ( r r - 8t> =
*
4wa2
° ( ‘ ~r ~ )
'r
(1)
v/
donde r = f-*a. En el caso cuando el impulso puntiforme instantáneo tiene lugar no en el origen de coordenadas en el momento t = 0 sino en el pun to r|, £ en momento t = t función de influencia toma forma
y. ( x , y , z , l , r),S, t - t ) = ^ 5 ------- - -------,
(2 )
donde r = l / ( j . — ^)2+ (y— ti)2+ (í — f) 2. indicación. Se debo aprovechar el hecho do que **)
-i- | cos k ( j —
dk = b (x — j-0)
y también que fi ( i + i,| - 0 si i y i , > 0 simultáneinente. La expresión (2) se obtiene de ( 1 ) mediante ia sustitucióu de x por x — g, . . ., t por t — x, lo que es leg ítim o dado que Ja ecuación u¡t — a-A2u es invariante con respecto a esta sustitución. Y.
X , I J , Z ,
, _ ^ í
6 ( * - T" r )
f
4ji a* J
V
£
f ) j ,
*) Se debe tener en cuenta que la función
6 es par y que 6 (a:) = —• 6
( 1)
»
donde a es uaa constante positiva a rbitraria . La úl tim a afirm ación se verifica mediante la integración con respecto a x entre — oo y -j-oo. **) Véase 171, pág. 304.
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VI. Ecuaciones de tipo hiperbólico
613
si en la ecuación inicial ante c'u está el signo más y x (*. y, J. |, T1.&, t— T) =
4na2
J L )J ,
(2)
si en la ecu ación inicial ante c2w está el signo menos;
Indicación. El problema so resuelvo análogamente al anterior; primero se
obtiene la expresión para la función de influencia del impulso instantáneo con centrado que tuviese lugar en el origen de las coordenadas x = y = i = 0 e n e l momento t — 0 y después al igual que en el problema anterior se realiza el paso al caso más general del impulso instantáneo concentrado en el punto £, ij, ¡¡ en el momento x. La función „ ir ',— I o Para ll para 0
—*> < *< 0, 0<¡r<+oo
está vinculada a la función ó (x) por la correlación o 0 (x) — 6 (x).
, 115*). x (x, y,
o„ (í— x ----
q, t — x) = - r r r - ------- - — ■■. = >na
,
Y a 1 (i— t) — r%
r=\/
116 **). x (r, y, |,
- -
t — t ) =
1 5 y [ l 7- ~ Z Í ch i c
^
}’
si en la ecuación ante c*u está el signo más; en el caso cuando en la ecuación ante c2mestá el signo menos, entonces en la respuesta se debe sustituir ch por cos. *) Al igual que en los problemas 113 y 114 primero se obtiene la función de influencia del impulso instantáneo concentrado que tuviese lugar en el mo mento t = 0 en el origen de las coordenadas y después se realiza el paso al im pulso que tuviese lugar en nn punto cualquiera en el momento arbitrario t — x. **) Véase la llamada en la pégina anterior.
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61 4
Respuestas, indicaciones y resoluciones
117. Primero examinamos )a membrana rectangular. 1) para el primer problem a de contorno, cuando x = rectángulo
0 sobre la frontera d
•foo
^ *
e
( * . y . E . ■n.
« v *—
t
4
Í1Í2
) = - j t
-
y
sen
nxy w
mnx
sen — r-1-
¿1
— r—
m,
X
.
.
sen <
. _. .J "
'{ M
X 9en —r-2_«en l j
i t + i t }
/j»
2) para el segundo problema de contorno, c u a n d o ! = 4^-1 = 0,
iil
=0
Jv—o
.* (* / ,
dy li/=ía
t
\
*
*—T i ‘lís
•foo
1
fe, ti, t ~ t ) = ~ t- j --- í— j-j—
hh
>. m,
'
mju: #
em. „ cos —:— X
li
n=0
m -f n«¡fe0
{no (r—-r) ] / " ^+ - g - }
X C O S - ^ c o s a c o s -2£ L —
*2
*1
‘2
, /
aV donde em , n = 2 para m-n = 0 y em. n = 4 para m n=¡£=0;
m" , n* i r +i r
3) para el tercer problema de contorno, cuando
** I —
— a,x I
dx |x=*0
[x= 0
=r.0,
— I —0Í3X I = 0, 0» h/=o li/=0 (*. y. i> »], <—t) = + CO
_ /
dx I -r—i
!*=¿i
o I +i ?i*
¡x=Ii
= a0 ,
dx I ~ +, o M I =~ 0, oy I v í j r‘ Ik-Ij
Y
8Cn (tW+< Pm) sen (V7. y + i l ' 7t)sen (nn 6 +
^
r, , (a.fti + fe) W + Pi) 11 , , «XsPs + ^nH ^ + fen „ sen {a(i— t) Y ¿m + v'n)
a Y Hk+vft doude jim son las raíces positivas de la ecuación
Vn, las raíces positivas de la ecuación 1
I
OCjPj \
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V I. Ecuaciones de -tipo hiperb ólico
Toaremos la respuesta para la membrana circular. 1 ) en el caso del primer problema de contorno, cuando x ) ^
« (, 9.
=
---- - J p j j w-))-
,- fl -
615
0,
X
a|xír*’í
X co 3 n
sen ----- , '"o donde n£n) son las raíces positivas de la ecuación / n (í*) = _ / 2 8n _ \1
0,
0, n ^ ¡ 0;
para para
n=
2) en el caso del segundo problema de contorno, cuando
^P-\
Of Ir—ro
=
0,
x (r,
i_1c «rj
M
/ r t " ’») J l r t " V r0 ) J n \ r 0
2 y i1 jtar0 n, k=Q e„nin> [ l —
\ )
ap.íR>í
Xcos n (
r°
donde nkn> son las raíces positivas de la ecuación J n ([i) = 0 y zn toma los mis mos valores que en el caso 1 ); 3) en el caso del tercer problema de contorno, cuando
dx ■ á r | ^ +ox' ^ o = 0’ *(**,
°v-kn
—
donde (i *1*1 son las raíces positivas de la ecuación fi/„ (¡x) + a J „ (|i) = 0 y en toma los mismos valores que en el caso 1 ). 118. Re alizando las reflexiones pares, obtenemos, partien do de la función de influencia para el plano no acotado:
n-‘ a„ i t —t — — ) K ( r , «p, r „
XchTc \
/
~
l-f-
° ^
“ -i - *
x ch
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6 16
Respuestas, indicaciones y resoluciones
/•£ = ] / " r 3+ r j — 2rr 0 cos (q>— q>,-|-2A -£■'j , r j = | X r * + r § - 2rr„ cos (
.
a) La solución del prim er problema
<•*¿211 ±
-)-/ (x. y, t) dentro de la región G para 0 < < < - )- 00.
v)- «
(1) (2) (3)
« |r = jí (x, y, i ) sobre el contorno T para 0 < t < + o o
se expresa mediante la función de influencia del impulso concentrado instantá neo Y. — y . (x. y, £, tj, t — t) que satisface la condición de frontera x | r = 0 del modo siguiente u (x, y, 0
= J J If <£. q) «i (* .
£> q.
+ 'i' (5. q) * <*.
0
y,
I. t).
01
¿I ¿ i +
t
~~ Í ÍX ^ i 1
0
^
o
—
8’ ^ 11’ Z— T) ^ d’1—
a’ J dx
}i(i, t|, t) y' ‘ — í l ds.
(4)
Aquí d . 0 . . . d - ^- = cos (n, | ) _ + c os (n , q) —
significa la derivada según la dirección do la normal exterior. b) La solución del segundo problema de contorno que difiere del problema a) sólo por la condición do frontera 4 £ | r -H (*. *. 0.
(3-)
mediante la correspondiente función de influ encia x que satisface la cond i ción de frontera
dx S n
|p = Ü’
se expresa del modo siguiente: t
K (i, J’ ,
t) — I i -f-Za+ a 2^ dx
0
|j.(g, q , z) x (*, y, g, q. t — x) d i dq,
(4')
r
donde / , e / , significanel primer y el segundo sumandos en la fórm ula (4). c) La solución del tercer problema de contorno que difiere del problema a) sólo por la condición de frontera
V' *>•
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(3,)
V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
617
mediante la correspondiente función de influencia x que satisface la condi ción de frontera
se expresa del modo siguiente
t u ( x % y , t) = I í + f 2+ a z j o
n» *) *
(*, í/.t> fl- f — t) tfs,
(4*>
r
donde 7, e /2 tienen los mismos valores que en (4'). indicación. Pasando a las ecuaciones
/)lv
-7r-s-= a-<\¿*± c2x
(5).
crj/
y 4 j^-=asA2u ± xy
de t, #, U
í - t):
(6>
y, <)
5 , i|, i y ut iliza nd o las condiciones iniciales para x (x, y, £, i)„ x l,—i =
0,
x, |(= t =
6
(x — i) 6 (y — ii),
no es difícil obtener mediante la fórmula de Green—Ostrogradski que
“ (*, tf, t) = j j [« (5, i), 0) xi (*, y, 5, + < + I”
i), «) +
(I, n. 0)x(-e, y,£, i), í)M 5 d»)+ 'j ]' /(|. -q, t)x (í, y, 5, n, <—t)d§
+ a* ^ dx ^ |"x (x, y,
11, t — t)
dn
--
- U (6, n , x) * *< * • F . E . n . » - T ) j d ,
(7>
Para eso las ecuaciones (5) y ( 6) después del paso a £, i), x, se deben m u ltip licar respectivamente por u (|, ij, t) y x {*, y , g, t), 1 — t), restar una de otra, eintegrar el resultado con respecto a g, 11 sobre la región G y con respecto a T entre 0 y I. 120. Indicación. Sea la región £2 acotada por las superficies Si y S * (fie. 56). Trazamos, tomando el punto (x, y, 2) como el centro la esfera S t deradio e; el vo lum en acotado por ella lo indic amos por a>e. Mu ltip lica nd o 1ai ecuación
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€1 8
Respuestas, indicaciones y resoluciones
•por x(*. !/. », I. 11. £, t— T) = 4jl<2a
■ y la ecuación dhi di2
por u (£, n, x), se debe restar una de otra c in Legrar el resultado sobre el volu*nen Q con la exclusión de
rando
u y
/ continuadas de cualquier modo para los valores negativos de t.
4>) Función de Influencia de los manantiales concentrados de funcionamiento continuo
12 1 .
ú>(x, y, s, x0, y0t z0, t) =
«donde r = Y(x —-co^-r(¡í + ¡/o)a+ (2—lo)’. J J V A L_
122. 0) (r, y,
donde
r — Y
sr0, t) =
(*—*<,)*+(y—y0)4-
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V I. Ecuaciones de tipo hiperbólico
619
(-■?) M L, /
123 .
O -4 c31sa2r S '
rK donde
dP(r) 1 dr |
y rn son las raíces positivas de la ecuación F (r) = 0,
donde <¿>r es la proyección de la velocidad del m an an tia l sobre la dirección del radio vector r, trazado desde el pun to de observación al m an antial; por eso se puede anularse sólo en tal caso cuando la velocidad dei movimiento del ma nantial vi > a; por consiguiente, sólo en esta cond ición la ecuación F (r) — 0 puede tener más de una roí/. Si el manantial se mueve rectilíneamente con una velocidad constante o, entonces, dirigiendo el eje x en el sentido del movimiento del manantial, obte nemos a) para v < a , es decir, para Ai = — < 1,
.. .
® (*, y, *.
>
A / ( r - u t ) + • / ( * - « ( ) “+
1
4^a3
/. y' *’
—aíi)
y
b) para i> > a , es decir, para jW =
1
/ vt
/ V +
M (x—
(
+
N
a ( i—at»)
;
— >1
k<)»—(AfS—1)(»*-H*) \ a ( A / 2- l )
;
,
/ ( * — K¿)' — (A/2— l )( y 2+ a') A/ (x — wf)— t/(x — i>«)2— (Aís— 1) (y* + i 5) \ ) a (Ai3— 1) / ( * — rt)* — (A/2— 1) (»*+ 2*)
Observación. Con esta igualdad la solución se determina dentro del cono circular con la vértice en O ' el eje de que sirvo el semieje negativo de i y el segmento OO' (véase fig . 57); ctg a = Jlf2 — 1. En este cono la raíz V (* — vt)2 — (i\r2 — 1 ) (y2 4- z-) es real. Si el manantial empezó a actuar en el momento de tiempo I — 0 cuando se encontraba en el punto O, entonces la re gión, en que las perturbaciones excitadas por él pueden ser diferentes de cero, es la parte del espacio acotada por el cono mencionado y la parte de la esfera de radio at con el centro en el punto O (el punto O está dentro de esta región y el cono es tangente a la esfera).
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62 0
Respuestas, indicaciones y resoluciones
En el punió de «observación» A (x, i/, 2) en el momento t para v > a llegan las perturbaciones emanadas por el manantial de dos posiciones: A 1
Fig. 57 yA
Las distancias A tA y A ZA son iguales a
. . ..
y <*-«)•-(«*-!)(»*+*»)
m
M ( x - t t t )- Y { .c- v t ) * - ( M * - i ) (
¿\ i A = r<í — -------------------------------- W ~ i ------ •
En el punto
el manantial se encuentra en el momento f, = í —
y en
el punto A2 , en el momento t2= t — Si la potencia a) para i ? < a ,
del manantial es
constante y
esigual
es dec ir para M = ~ < l , i
q
o) (x, y, z, t) = —— - —
4no*
---
Y (x — vt)2 + (i — M 2) (v2+
25)
;
h) para w > a , es decir par» M — ~ > 1, u,
2, <
) = „
*
2na2
•
-
q
.. .
.
-—
y (x— W)*— (A/“ — 1) (»*+x*)
Indicación. En
la integral que expresa la solución de con las condiciones iniciales (2)
la ecuación (I)
+ oo
J ' *• ' > = ^ r “ <*• ’
j i j - ~ —
6 (6 - l - v | ) ó ( r i - í y ] ) x
oo
X 6 ( ; — [Z]) d l d r i d l . r =
í )2+ (tf—
)|)2 + (s— ü z.
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aq ,
V I. Ecuaciones de tipo hipe rbólico
621
donde (O] significa que en la función O el argum ento t está sustituido por t -- — , es conveniente pasar a las variable s nuevas de integración « , fl, a. « = S -[ A j.
determinante
/>(«, p, y)
y=£-[Z];
P = t j- [ K | ,
con esto en vez del determinante
a* - ■ es conveniente («» p. Y)
V
y:
u til iz ar
el
.
124. E l man an tia l está en el origen del sistema do coordenadas O ' z i i' i' que se mueve junto con el manantial y está situado como se indica en fig. f>7, x’ = vt — X, y' = y, ¿ = s. a)
Para i> < a, es decir M c>‘ a
, 1
— < 1. se obtiene ia ecuación de tipo elíptico
1 / o2u , — A i * ( dy'*
(flu \ dz'* ) “
q
*/<«*(/»*#»» a * < 1 — A /*) 6 (j : ) 6
II
— ___ — „___ mediante la sustitución de variables .!' = £, y' _
\f i — Al*
, «
---
y'f — A/ 2
se transforma en la ecuación de Poisson
cuya solución es la función de influencia de) manantial conconmdo u (| ,
o
i ), í> = ---------- ................r - ,—
-
4jt« * / is+y+s*
en las coordenadas inicia les x\ y\ z'i u(x\ y 't z') =
b)
para
_______ 9 4na*
es decir p ata A
+ —A/2)(y'2+ z'*)
/
1, se obtiene la ecuación de tip o
hiperbólico u d*u dx ” ~
1
q f. . . . / ó*u , d*u \ . « . . . f. . M * - 1 ( i”/ * "r 17 * ) + a" (>/2— 1) ) 6 0 ) ó ( i ).
Resolviéndola me diante la fórmula iniciales
“ lx'-0 = y’
inte gral necesaria con las condiciones
‘‘*'l:e'=0=0,
obtenemos
1 ■¿na*
<¡ l ) ( y ' 2+ 0
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622
Respuestas, indicaciones y resoluciones 125.Sea
queelelectrón se
v = const*), a = — V
«
mueve alo largo
del eje % conunavelocidad
v
la luz en el vacío
y a = —~ , la velocidad de la luz en el dieléctrico en examen con la constante
Y 8
dieléctrica e. El potencial escalar del campo magnético excitado por el electrón móvil es
,
2e
—
__
para u t ~ z > y r ,
,-{■ 6Y ( v t — z)J— v2r 2 0
para
...
(1)
vi — z < y r .
Aquí e es la carga del electrón; y2 — -^ — X; r — Y x 1+ 1¡2, y se supone que en el momento t =
0 el electrón está en ol punto X
—
y
=
z —
0 .
Las componentes del potencial vectorial son iguales a 0,
A . = A,,
A 2 = e —
además,
H=iot,A,
1 dA
£■ =— grad
ot
(2) (2 ' )
En cada momento de tiempo t el campo electromagnético excitado por el elec trón es diferente de cero sólo dentro del cono con vértice en el electrón (fig. 5S)
Fig. 58
y las superficies equipotenciales dentro del cono son los hiperboloides de rota ción (vt — z)2 — y2r2 const. Indicación. Para los potenciales encalar y vectorial tienen lugar las ecua ciones .
£ d 3
4 ji
r &A- c2
dt >
p' c
<») ‘ '
*) En realidad esta velocidad variará como resultado de la radiación de energía por el electrón. Para más detalles sobre esto véase (18).
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VI. Ecuaciones de lipo hiperbólico
62 S
además *> div A + — — . = 0 . c
(4)
dt
En nuestro caso (5>
Ix = .'¿£>= 0*
¡ 2e — »p“ iw6(*)fi(ir)8 ( z— vt), p = í S ( i) 6 (y) ó ( í— vt).
( 6).
La su stituc ión de estos valores de p y j en la ecuación (3) inmed ia tamente da Ax ^ A y= 0,
<7>
/», = « — cp,
por eso la igualdad (4) se transforma en la igualdad 9AZ
e d
(8>
Os ^ c at
Jo que permite, utilizando (7) y (8), expresar todas Ilas componentes del campo electromagnético por med io del potencial escalar
j
A/>’
rV
[ re o s « { í — L J + J L sen
sen
0, l > y ,
‘
|"r sen o> 1 1—
— ^-cos
8,
2A/„ cos 0
■T ^ 1 [ ( ’• - £ ) —
( - * ) + T - **0" ( f
5") J scn0’
£e =
•>T-
jM0se» 0 >3
1
. ^
1< T
r
•
127. Para los desplazamientos do u, v, u\ en el sentido de los ejes x, y, s, considerando que la fuerza F (1) es aplicada al origen de las coordenadas y está dirigida a lo largo del eje x, obtenemos la expresión r
r
~ w F ( t “ T ) + w f'
________ *} Véase 17). pág. 498.
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<624
Respuestas, indicaciones y resoluciones
r
— &-F ( í _ t ) } »
u' ~ j k í ^ r
(y)] J
[, ~ t ) ~
r
- 4 ' ( —
f)}.
2 (2w—2) <7 X-f 2;a (m - 2 )p
p
fr4~.iL— J i ’
P '
P ’
■p e» la densidad Je la mnsa del rncdio; a. lu velocidad de propagación de las deformaciones longitudinales; 4, la velocidad de propagación de las deformadonos transversales. Indicación. A ln superficie de la esfera pequeña de radio r con centro en el origen
J-.
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Capitulo VII E C U A C I O N E S D E T I P O E L Í P T I C O A u + c u = — /
§ 1. Problemas para la ecuación A « — x2» x2» = / 1. La concentración del gas en el punto M (x , yy z), que se halla a una distancia r del manantial P = P (§, t¡, £) es u=
r =
4itO
^ ( x -
+
(¡/ -
Tl)=> +
(J -
a
donde D es el coeficiente de dif difus usión ión , x 2 = ^ nn
2.
constante de desintegración.
i
+
--Kr* v
donde
P = P(\, t], £)>
A/ = A/ ( x , y , j ) , r =
y
( X -
! )
«
(¡, —
n)* +
(z -
C )s ,
rl —MP¡ MP¡ = Y (* —6)*+(í )*+(íf— f—« «|)s+ ( f + 0 *,
t|. -?)• El manantial eatá en el punto P (|, r), £). Indicación. La condición de la estanqueidad a los gasea de la pared z = 0
-r-l -r -l[ic^o = ° dz demuestra que la reflexión con respecto al plano debe ser par. 3. La función del manantial puntiforme para la ecuación A2u — x2u x2u = 0 sobre el plano (x, y) es de la forma G ( x , y\ s
’l)=>-5j¡-tfo(>'-r),
donde K q es una función cilindrica de argumento imaginario, orden nulo, y se gundo género*
r = V ^ - ^ + U- il)2La interpretación física de la función del manantial es la concentración estacionaria excitada en el punto x, y, z0, por el manantial del gas inestable, uniformemente distribuida sobre la recta infinita paralela al eje s y que pasa por el punto |, 11, *0; la potencia del manantial por unidad de longitud es igual numéricamente a D . 4.
1
G(x, y, l , i))
=1
~ [#„(*'•) +^<>(>'•'■1» .
donde r=Y(x-t)*+(y-v)\
r, = ■ /(*-& /(*-& )»+(y+ n) *.
14—0942
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62 6
Respu Respuest estas, as, indicaciones y resoluciones
5. Si el manantial está en el punto (5, t|, £). entonces
y 2j
u ~ t ¿ d
r
L ^ñ
i
V r,* l
r¡T ^ i '
donde
rn = Vr(x-l (x -l)» )»-f -f Uf—H)*-K*-tn) —H)*- K*-tn)a a. rñ = v "( "( * -
( y - ’! ) * + & )* í í ,= 2 n i - ; .
t „ = 2 »í »í+ 5 ,
Indicación * Las Las imágenes en en los planos z = 0 y 2 =
1 son pares y están están
en los puntos
2 n i + ;>
( t . Tí, £n
y
i l , tu V i - 2 nl nl -
0-
La converge c onvergencia ncia de la serie serie es es eviden evid ente te en virt vi rtu u d de la existe exi stencia ncia de los los factor factores es
^m
/
n y e~y’rn ’r n bajo el signo de ia suma. expotenciales e suma . 6. Si el manantial está en el punto (£. *))> entonces
u = ^2S ñ nD
2
(
(x r„) r„ ) + /
donde r n = ■ / (* ( * — ? )2 )2+ ( i / — r) r) n ) J , rj> = • / ( x - | ) I + ( í ( - i l ¿ )i )i .
1 n = 2ní + ri, rii ri i = 2nZ—n. Indicación. Véase el problema 5. La convergencia de la serie se ve de la
fórmula asintótica
7
(M) (P) w—-2 i. V 'fn 'fn (M) 20 Z j ||Mp„ j|í / X „ + X2
v'x.+x» v'x.+x» I >-t>
71=1
donde (M {x, j,); 2) es el p unto un to de ohservación ohs ervación.. (P (£, (£, tj); £), el punto pu nto en que que está el m an an tia ti a l; y v|>n , los valores y funcio fu nciones nes propios propi os del prob pr oble lema ma plano bt'Pn + MV i *= *=
dv = 0
0
sobre
sobre
5,
C*
5 , la sección sección transvers transversal al del tubo; tub o; C t su frontera; v, la norma nor mall a C %
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V II. Ecuacion Ecuaciones es de tipo elíptico elíptico
62 7
Indicación. La solución clel problema de contorno
D&it—$u= —/
At¿ ~r~~~ — —0 dv
donde
2.
sobre
2 es la superficie del tubo, se debe buscar en la forma oo
« = 2 “n(* “n(*)lÍT lÍTi(A i(AO. n=l Conociendo la solución de este problema, no es difícil pasar al caso límite del manantial puutlforme. 6. Si el manantial está en el punto (p, 8', cp'), entonces •
.
u ( r , 0,
donde G (r, 0, (p; (>, 0’, tp') es ia (unción del manantial que se define por la» fórmulas
.
.
..
.
y ¡ ? U 0 . < p ) y i P ( 0 ' . 9 ') . £ G ( r , 6,
cos 0) { cos 'iq>
<• se sen |k |
pa,a a,a
p ara
^
*<
ü0
son las funciones esféricas; P (n\ las funciones asociadas de Legendre,
1 ytft) Hg— 2 1 " 11 2n + 1
2 para * = para 0, h (n —*)! ’ h~ \ 1 para (n + fc)lí
f xa x ' lliifói í x (««) («« o )J lIn n f x(xp p) )~ — Íinn( n( («P «xp) xp P ))>| >>l > |lñ á (X ((x“)l (x“) X “ )] )l]--||f ?-| ^y
k = k
0, 0,
p ara
r< p „
par para
r > p;
®n (r> P) = [ x *| Íi(xa )T )„(x r) — |n (xr) xr) n i (xa)]
_-L ?„ (*) — *
, (2 ), n+T
2 I
r],, (x) =
_JL x 2 K
, (x). n+T
Indicación. Representar la solu ción del del problema Ati — x8u x8u = — /, uT |r^0~
0 en la forma
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Haciendo
» = 2
f
( 0, 0 ,
“ n h (r (r )
/=
í¡
ji “ 0 f c = - n
/ » * ( r> r > Y n ’ <6 '
n = 0 h = - t i
obtenemos L u „ k = ( r' r ' u' u ' ^ Y — (X2r j + n <« +
a «nJt (>•> = j G„ (r, p> / „ ! (p) (p) p* dp dp,,
1 » «„ «„>, = — /n* (r), (r), 2n n
/nfc /nfc = j
0
ujj, ( a ) = 0,
j / (p, 0 ', tp') tp') y (nfc) (0 ', cp') X
() 0 LGn LG n = 0 (r
X sea sea 0' ¿0' d
p), p),
G ’n n (P + 0i P) — G'„(p— 0 , p ) =
-
i- ,
G'„(n, p) = 0.
9. Si al eje eje z de! sistema recta ngula r de coordenadas lo dirigi di rigim m os a lo lar de f0, entonces
“ xr_ xr _-orr u(x, y, .)-■%•-£ ------- --------------- ,
donde r = Y (x — jj)3+ (y — r| r|)z + (z — O*. O* . r = a es el radio del cilindro, entonces Si r =
•W—
-ÍÜ 3 -*
Indicación. Se exige hallar la solución acotada de la ecuación
Aau — y.2u = O,
r < o
con la condición W l r= r= a “
«o -
4* K* (Xr) I*= u (»■)-=«0 ~ K ^ a ) '
44 11.
I , (xr)
12
> l l — Uf.
,. b)
'
0
V a
2 ^ l (XO) T ('-«•) 7 3 ('-
=
„u 0 « sHw . r
Xa
Yo ~2 r. / o \2 xr ch x r— sh xr „ --- r----- r----- eos 9. u = ua . i . eos eos 0 = u 0 —
(xa) / 3 (xa)
V r / xa ch xa —shxa
T
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V il. Ecuaci Ecuaciones ones de tipo tipo elíptico elíptico
62£
(*r) 1 8 . ,, ,, „ =
- | ( x a ) ^ u ,,-
£
2
V a
K 3 *X r '
~2a
xr
/ a \2 y.r+ 1 e
b> “ = “» - 7 r i r 7 T M cos9=Uo( T )
•cos 6 .
2
14. a) S i lasuperficie la superficie terrest terrestre re coincide con el plano plan o i — 0,entonces 0,entonces la distribu dist ribu ción de la concentración de de la emanación emana ción dentro de de la tierra se dopo doporr lo fórmula
{
^ - « ' ^ s h x r para
-A- ( i — e- X I cb y.h)
0
/i < z < oo,
j j - ; p es la constante de radiación; D , el coeficiente de difu donde x = " j/ " -
sión, /„, la densidad de los manantiales. b) El flu jo de la emanació em anación n a través de de la superficie superficie terres terrestre tre es
,- fliüOl = —* «**'*• z |r=0 15. a) Si z = 0 es es la superficie terrest terrestre re y el man m anan antia tia l está en el punt pu nto o {0, 0, h), entonces la concentración es
e-*ri e-*r Qfí / f-*r f*riii U~ 4nD \ — r,
gg-xr* g~xr* xr» y \ r2 / ’
donde
i’i= V, Pí + ( 2~í ~í*) *)2 2. r2=V p s+(z +(z+ A)a. P = V i’ + í ! . b) (El flu jo a través de la superficie terres terrestre tre z — 0 es
^= £Lrw(“+i)'‘xr*0
donde
r , = VW+V- 16. Se exige d eter et erm m inar in ar ‘¿ .n
\
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(1)
630
Respu Respues esta tas, s, indicaciones indicaciones y resolucione resolucioness
después la integral
oo2n
co
ó l = Q th th Kt Kt (xft).
(2)
De las fórmulas (1) y (2) tenemos kK ,
T)e aquí, dado que I y Q son conocidas, determinamos la variable h y después según la fórmula (1 ), la potencia p otencia del m an an tial ti al
§ 2. A lgu no s problem as sobre la las oscilaciones oscilaciones propias 17, 17, Designamos Desig namos por o — v (x) la amplitud de la desviación del punto de ta cuerda con la coordenada z. Se exige hallar la solución de la ecuación homo génea v” -f- "Kv —
0
«con las correspondientes condiciones homogéneas de frontera, a) Las condiciones de frontera son v (0) « = 0,
v (l) c=
0,
ios valores propios son
las funciones propias son . . 31n (*) = seo -y z, On (*) encuadrado de la norma de las funciones propias es
II •>„ IIa = ¡/ 2. 2. b) Las condiciones de frontera son
✓ (0) = 0,
v' <í) = 0,
los valores propios son
Xn =
(n = 0, 1 , 2, .
),
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VI I. Ecuaciones de tipo elíptico
631
I rs funciones propias son i>n (*) = eos
x
( n = 0,
1 , 2, . . . ) ,
«1 cuadrado de la norma es I 2. " = 20,, n = 0. |l>n|l» = y e » , e»-\ 1 , ft =jb 0. 1
c) Las condiciones de frontera son
,
v (0)
=■0,
»’ (l ) =» 0,
los valores propios son
(0 = 0. 1 . 2 , . . . i :
X n = [ ” (2” f+ 1 ) ] a »s funciones propias son «„<*) = sen nS ^ ± J ) .x el cuadrado de la norma es *
(n =
0, 1 , 2 . ...),
* ii
vn ir- - í/ 2.
d) Las condiciones de frontera son (ü) — h, v (0) =
0,
0.
w' U) + ht » (í) =
donde h¡ > 0, h t > 0, los valores propios Xn se determinan de la ecuación trascedente
M
IJ . , . i —
(^1
i1
í!
(i)
Xn = UZ
las funciones propias son
1
_
y \n + i¿ 1
Uf>
_
C0S ^ X»*+ hl sen\/ Xnx\ t
el cuadrado de la norma es lt „
ni
1
i ( h i + h t> ( M n +
^ if ta )
~ 2 + 2 U + > W to + é
/
j
j
(n— *» 2.
)
En el caso particular euaudo h l = h , la ecuación (1) toma la furnia
*H r
-
jü
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63 2
Respuestas, indicaciones y resoluciones e) Las condiciones de frontera son v (0) =
0,v*
0,
(!) + hv (i) =
los valores propios "Kn se determinan de la ecuación
tgH = — j*y ,
(» —1, 2, ...),
Xn = -^-
las funciones propias son el cuadrado de la norma es
vn (*) = sen Y K * ,
2 1 2 (|&+OT*)* f)
Las condiciones de frontera son v' (0) =
0,
v' (l) -f hu (l) =
0,
loa valores propios X„ se determinan de lo ecuación
M ^
*8 i*
\
!*n — p )
las funciones propias son u„ (x) = cus y \„x.
el cuadrado de la norma es h l *
1? ' _L II "n < II = - s —|—¡
18. La ecuación de las oscilaciones propias longitudinales de barra la heterogénea es de la forma
—
dx l
r ^ í x l — l - 4-Xot> = 0 d x j ^ 'P
’
•'
p = / £ i (•» <•'« ).D = / P i ( I < x »>
( .£ , ( x > x 0),
P
\ pt ( x > x u)
a) Las condiciones de frontera son v (0) =
0,
0,
v (/) =
los valores propios se determinan de la ecuación *lPl «B 'V ^^0 + a 2p 2 Ctg
(/ — X„) = 0,
donde
a' = Y i r >
a* - Y j t
las funciones propias son
y r n
on -*■ --- x sen
*>n (*)
para
0<
para
x0 < x < l.
x < x
«i - U^. ( í - x )
s e n l ^ ( , - x c)
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V il . Ecuaciones do tipo elíptico
633^
el cuadrado de la norma es Pi*«
Pa
’■=— +2 sen2 3¿.hu x¡) 2 sen2 V ^ n
(n —l f 2f ...)» ^
b) Las condiciones de frontera son v ' <0) =
i>' ( 0- =0.
Los valores propios se determinan de la ecuación
. V\ , . i/ * , , * A lo + a tP í lg ” ( í— * o) = 0. “i "j
« 1P1 tg — Las funciones propias son
CO S
para
V>-n --- 2 X 0 “l
0 < x < x,,,
-
cosi£ii(¡-x)
___ “t, ____ c° 3 K A l (2—X0) _
para x 0 < x < í,
el cuadrado de la norma es Pi*c
=
P s ( í — *o)
+
--
2 eos»
2 COS» V A * ! x0
(» = 1, 2, ...).
( í — x 0)
c) Las condiciones de frontera son
v' (0)— h\V (0) = 0,
a' (l) ■ + -luv
—
Los valores propios so determinan de la ecuación
*0 -
« i Pi
Y l + h , tg
\/x
ht— — tg1^- (I — *.)j
+ a 2p ,
x,
-\-ht tg l— (¿ — x„)
donde
, / £, , /■£'2 1 — 1/ —i , rt2= l / — . *
Pl *
*
Pi
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<634
Respuestas, indicaciones y resoluciones
Las funciones propias son
para
i - tifa
Vn(x)=<
y
(n = l ,
. ,
2,
...),
l-£ £ r X n (*) =
tí,
eos
fl|
x + « .A , sen
y „ (x) = l/ T ^ eos -3^2 (/— jO + Oj A, sou fli
x,
(/ — r).
“s
El cuadrado dela norma es
11■”*l|2=T l k ) J x- < * > + yffe) í n (x) *• -\'0
t(x )
-
l
V
(x)
irtrn ]M1
U c v < J u,
p.u ;»¡\rn
r 0 < x <. I
•de las ecuaciones homogéneas
v" + A -
A - U
' a{
uk
•que satisfacen las condiciones de frontera a) o b), o c), y las condiciones de -conjugación en el luga r de la discontinuidad de ios coeficientes delaecuació v = pt
E x\/ — E 2 v'
para
x = x0.
Es conveniente buscar la solución en la forma
< X{*) »{*)--
X (x0)
Y{x)
y{* o)
para para
0 < x < . r 0, x0 < x < / ,
«donde X (j:) satisface la ecuación X " 4- A- A’ = 0 y la condición de frontera
ai
para x = 0, e Y (x) satisface la ecuación V ' + i l ' * 0
ai
frontera para » =
l.
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y la condición de
V il. Ecuaciones do tipo elíptico
636
Las funciones propias son ortogonales con peso p (x): i J
xo On (ar) ͻm (a:) p (,x) dr = px \X n (x) X m (*) dx + i
+ P*
m =5¿= a,
j Y ti (*) Km (x)dx = 0, x$
t
II
Xo
*„ II» = \ (,) p ( , >
« * =
j n
t
w * +
J n
*.
10. El peso está en el extremo x = /. La cond ición de frontera en este extre»tuo es de la forma
Las funciones propias ~{f;n (x)} satisfacen la condición de ortogonaiidad con la •carga / ^ vm (x) vn (x) p (x) d x + M v m (i) Un (/) = 0 o
para
m *f= n
E l cuadrado de la norma de la función propia i>„ (x) so determina por la fórmula l
II
IIa ” J' (*) P (*) <í*+
n (¿)<»=
1, 2,
ü a) El extremo x — 0 está fijo rígidamente, v (0; = 0. Los valores propios se determinan de la ecuación ctg Y ^ n l =
]/Ár, las
funciones propias son „n (x ) = i í 2 V ^ ( n = 1 . 2 . 3 . . . . ) ,
son i Xní
el cuadrado de La norma es lf> . M" , M II Un II ~ T + - 2 f ' - n’ + - 2 ' Las fórmulas de las correcciones do los valores propios: lj_si el peso .1/ es pequeño, entonces X donde
—|
J
son ^os va^ores propios de la bar^a no cargada
con el extremo libre;|
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3, . . .
636
Respuestas, indicaciones y resoluciones
2) si l el peso M es grande, entonces + A / Í ......... donde
j
son los valores propios de la barra con el extremo
=
l
fijo rígidamente. b) El extremo x *s 0 está libre, v' (0) = 0. Los valores propios se determinan de la ecuación tg l/X n í = —
V^n-
Las funciones propias son
En ( x)^ eo s C0SV j j i £
(« = 1 , 2 , 3 , . . . ) ,
eos 1/ Xn l el cuadrado de la norma es (|ln
+
o) El extremo x = 0 está fijo clásticamente, v' (0) — hv (0) = 0. Los valores propios se determinan de la ecuación
- ? * ■
Las
íuncioncs
propias son
rn (x) =
X n (x)
X nW
X n (•*) = 1/TT cos 1/ n ¡ x
’ h sen ]/ 17¡i.
El cuadrado de 1» norma es | »n IP “ x ^ J j y l l^ i »l l* -
Indicación. La condición dinámica do la carga del extremo x — l esde la forma M utt — — Kux (2, t). Suponiendo u íx, t) — v (x) T (/).obtenemos des pués de ía separación de variables p;«ra o (a*) la ecuación v*+\v -0 ,
v' (i) =
\v (/)
La condición de ortogonaiidad se deduce de la fórmula de Green
donde
^ I y
(i:m) —
cte=
vmrn lo*
L (i>) = i£
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VII. Ecuaciones de tipo elíptico
637
Para calcular la norma se debo utilizar la ecuación característica. 20. La masa concentrada M está en el punto x = x%, a) Ambos extremos de la cuerda están fijos rígid amente, v
y (0) = 0,
Los valores propios \ se determinan de la ecuación
Las [unciones propias son „ V --- x sen -= ■ a
para 0
sen i £ i i l0 a i'n (* ) =
sen
v
a
sen
x)
para
xt < x < l.
(l — x0)
El cuadrado de la norma es P (l — x0)
i t n i _________P£ü_______ 2 sen4 V'krc r<>
2 sen1
(n = l . 2, ... )■
_ *o> «(i —
b) Ambos extremos de la cuerda están libres, «' (0) = 0, w' (Z) = 0. Los valores propios Xr, se determinan de la ecuación tg ——
—
(!■— * o ) ---
Las funciones propias son í
vn (x) =
V^Ju cos - --- x r==— para l/Tñ eos - -------- x0 a eos
(¿ — x} v 7
a
eos 1^ . (
0 < x < x0>
para
x0 < z < l.
2- ^ )
El cuadrado de la norma es P*o
2 eos» ~
a
-P-U—
*„
2 eos*
a
J I>)
-+ (l — za) v
(n = 4, 2,
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638
Respuestas, indicaciones y resoluciones c) Los extremos de la cuerda están fijos elásticamente, ✓ (0) — h xv (0) = 0,
i>' (l) -|- h2v (l = 0.
Los valores propios se determinan de la ecuación — *o) a k i— / í t g ~ x o ------ ~7= --- 2------- + -------- 7 =--- 2---- = ^ 1 T ah 2 tg — 1„) •+- V>a>h tg ^~ r *«+ ah¡—
Los funciones propios son
i>n (*) *=
X n _(•*) X n (*o)
para
U < jr< ^ t
Yn (*) Y n (x0)
para
x0 < r < Ü,
X rt (a) = Y\ n eos j f o w x + ah i sen V'n (ar)** V ’XÍlcos
(/— a-)-|-a/t3i>en
(J — x).
1L1 cuadrado de la norma es 1 II ‘ ••ra 11®*=
^
v “n
M
P d x +
M e H x 0)
(n =
l,
2,
. .. ) •
i 21. La ecuación de las oscilaciones transversales propias de la barra homo génea es do lu forma p
>— ? U « o, a“
donde a2 = ~ ; E es el módulo de elasticidad; 7, el momento de inercia de la p S sección transversal respecto a su eje horizontal; p, la densidad de la barra; S , el área de su sección transversal. a) Ambo? extremos están fijos rígidamente v =s 0,
v' = 0
Xn ^ a J- i íL
para
3 = 0,
x =
( n - 1 , 2, . .),
donde [i„ es la raíz de la ecuación ch eos ja =» 1. La función propia es Vn (a-) = i4n { ^ c h ji a -^— eos ji n -1 j (sh \ in — sen Un) —
— (ch n „ — cos pn) (sh p n
-y
donde An es un factor arbitrario.
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— sen p B - y
j } ,
VI I. Ecuaciones de tipo elíptico
639»
b) Ambos extremos están libres, v* — 0,
v9' = 0
para
x = 0.
x =
(/* = 1* 2, .. . ) , donde
e9
raíz de la ecuación ch
Vn (x)=- ^n | (ch
ja cos
|x =- 1,
J4-C0S í y arj (*h JI71— Set» |in) — — feh jin 4-cos fi») (s h ^ y x — sen
c) Un extremo (x = 01 está fijo, el segundo extremo (x = l ) está libre,. , para x — /, t>— 0, v' = 0 para x =■ 0; vm = 0, vmt —■0 * „ = . « - JÍ 2.
( » = 1 , 2, . . . ) ,
donde ¿in es la raíz de la ecuación ch
jí
cos n = — 1,
o „(x) = >l„ { ( c h i y * — COS * y * ) (Sh.u« — sen fin)— — (ch |in — coS(in) (^ h ^ y x _ sen ¡y * ) }-
22. Sean x — 0, x = a, y = 0, y = b los lados de) rectángulo. a) Si la frontera He la membrana está fija rígidamente {v — 0 para x = 0„ a; y = 0, 6), en toncos los valores propios son >-m. n = * 2 ( ’^ T + ' p r )
(m ’ ," = 1 > 2'
lus funciones propiss son Jim
nn
vm. n (X, y) = sen — x sen -y y,
I k n . n ll ’ - y . b) La frontera de la membrana está libre (r^ = 0 para x — 0, a; t>y pora y *= 0, b).
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O
<640
Respuestas, indicaciones y resoluciones
c) Dos lados opuestos x = 0, x = a, están fijos rígid amente (í> — 0 para x — 0, a) y oíros dos (y = 0 e y = b) están libres (uy — 0 para 2/ = 0. b), n = J*2 {
“I-y r )
( « “ I* 2t nm
Vm, n (*, //)
«=*¡0, 1, 2, . . . ) , nn
X
y
ll'-m.n|l*=-|-«6en. e) Dos lados adyacentes x = 0 y y *■ 0 están fijos rígid am ente y otros «dos están libres (m, , = 0 . 1 . 2 . . . , .
------ 7 y,
Vm. n (x, y) = sen^ — - x sen
llom. n||’ = j . f) Todas las aristas de la membrana rectangular están lijas elásticamente, ux (0, j’ ) — h, v (0, ¡í) =
"lí (*i 0) —
*l s ° (z < 0)
= 0,
0,
t>x (a, y) -f- ftjf (a, y) =-= 0,
Uy (*, b)
+ A4« (x,
b)
= 0.
(Los valores propios ?.m,n se determinan de la ecuación
*m.n = M ’J*+ (Híf’l5
<« =
U
2--------),
dond e (!&’ y n'„2> son las raíces de las ecuaciones
tg (uW .) , t*» + W
,>..
( iiW J S - Í J jV n'.(z, y) = 1(41’ cos n ^ ‘z + ít , sen '
tg !» ( .» ) = <*» + W * > . , *
— V í4» cos + ft» sen n'„2>y]
X
1 X V W ,,. . " m' " "
( j l +
\2
)4+ *SV Uln ’>'J + ,'S *
<>!+ *») ]x 2 K n - r + fc?i iü* y> )*+ fci); x
\ v f b • ('»;.+*4>i
$— i f
2.
de modo que Aus + fr|us = O,
«í =
(» *= *• 2).
Indicación. Sobre la í ron lera de Jos medios 1 y 2 las componentes tangen ciales del vector ríe la intensidad del campo eléctrico y del vector de la intensidad del campo magnético, en el caso dado Eq, £‘t , //q. i l { p, deben ser continuas73. Indicación . Utilizar Ja fórmula vectorial
div \db] = (b rot a) — (a rot b)
(1 )
y Ja fórmula de Ostiogradski. 74. liesolución. En la fórmula (B-r rot. rot U — U rot rot \V}dx^
{[¿7 rot W 'l— \W rot C U n d o
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(1)
688
Respuestas, indicaciones y resoluciones
dondo cp = suponemos: W = atp,
e^r ---
; a, un vector constante arb itrario. Los
cálculos dan: rol W = Igrad
cp, a h rot rot W — ak^q, -+■grad (a grad cp),
U rot rot W = a {k'*
U] -h div {(a grad cp) £/|,
[\V rol Í/J n = (rol U , n\ W ,
(£/ rot IF| n — [U (grad cp, aj] = (Ua) (grad cp. n) — — (U grad
(an).
En virtud do la fórmula de Ostrogradski j div [(« grad cp) U\ rfx = ^ (Un) (grad
(2)
l
Bajo ol signo de la integral do superficie en la fórmula (l) eslá la expresión de Fa, donde F = V (grad cp, n) — (U grad cp) n
— [rot (J,
«| cp -f- (Un) grad
= {Un) grad ip -f- Igrad
(3)
La expresión subintegral que está en el primer miembro es de ia forma «, donde = (rot rot U — k2U) q> 4* grad cp div U . El vector a es, de este modo, el multiplicador común para todos los tér minos de la fórmula ( 1), y dado que es arbitrario, entonces se puede simplificar como resultadoobtenemos la fórmula C
f
t
*
F
da ,
(4 )
si el punto M q no pertenece a la región T. Siol punto M 0 está dentro de T, en tonces circunscribiremos alrededor de este punto una esfera pequeña 2 e de radio e y utilizaremos la fórmula (4) a la región T — T t acotada pur las super ficies I y 2 B. Estimamos la magnitu d F sobre 2 c. Observemos que grad
— ¡k )
Por eso F l c= (i- — ik j q>(8) ( (tr«)n-r-(rt— |rot Uo\ (t) » ~ y, por consiguiente, lim
í F ito = 4nt/(M<,). e-í) J £ Dado que lím
\O)dx =*0 obtenemos en el límite
8-° í
U M — k í ®«*t— ¿ í T
Fd° L
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V il. Ecuaciones de tipo elíptico
689
ó V ( -V0) =
J { ( r o l r o l U — k W )
(p d i v
U ) d i M —
T ~ ' k Í
8 r »
E 75. H (M 0) — — — f { — k Jq y + g r a d < p d i v / } rfx— C(úfí J T ~ ~
t Í
f « / í ]
r,
d e
2 H (Af0>= i- ^ [ygrad cp]J U M l * £ l — 11*//] grad <(/) — (« //) grad q>| do, T
¿
donde
eikr
,
(o , /—
.
co
Indicación. En la fórmu la general (5) on la respuesta 74 hacer, respectiva mente, (J ■=E y £/ = //. En el segundo caso a la derecha aparecerá el sumando
^ [w/l
[ í»y l <[>d c r = j
{ — [y g r a d
(I)
T
£
Parn su demostración se deben multiplicar ambas partos por un vector arbi trario a y utilizar las relaciones [ nj\ a
[ / , acp] = a q > r o t y — ( j r o t a
a {
d e m o d o q ue
\a [ny](f>da= \ div [y, a
í
T
De aquí, en virtud de la arbitrariedad de a y se deduce (1).
76. Dirigiremos el eje z del sistema cilind rico de coordenadas p,
I (a > 0),
H = ff0e-tal+i“ '«-e I* 1 (P > 0),
18-U942
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69 0
Respuestas, indicaciones y resoluciones
os decir, las ondas amortiguadas. Aquí se adoptan Ins designaciones
1
~\í e3(.i2d)44 -lü n “o2ji 2(o2 -f-ep.ro2
/"
a - \
2^
*
\f e2¡.i“0)4+ 1 ( ^ 2a 2|j,¿íJ>8— t‘n.0)2 2? "
A_i / " V
#0 = (¿opj E t v 0),
>
H u = (H qp - i
^)t
además, p
^ o p = —
C*
__
w
,
^
o1*1"- ¿o
p
"o ^p -
JJ
JJ
7/or>— p
op>
?
donde A y B son unos factores constantes, c6
t = a - /P .
c*
Si c = 1; [i = 1; o — 0 (el vacío); entonces k = — A*fll las ondas a lo largo]de esle cable se propagan con la velocidad do la luz: p _
I j —
/.* J (G)f-/<0z) ,
t j Qt
_
p
r j __ i j r i ( ( ú l- h t z ) . l i — t i oC
M p
q
?
^ E r>n
c p»
// — K k tí */op “ p
j j
__
7 I* r . —
11 o p —
•
77.Resolución. Sean
jilt ox las características del cable, «2, u2. o.¿] las características del medio ambiente. Elegimos ei sistema cilind rico de coordenadas (p. rp, z), dirigiendo el eje z a io targo del eje del cilindro y colocando el origen dt* las coordenadas sobre el eje del cilindro. Designando fJz — u , = v y suponiendo que ía dependencia de u y u con respecto a z se da por el multiplicador ¿'4vz, es decir, u = u V vz» o=ifietVZ9 etr., obtenemos despues de simplificar por esle multiplicador F. o = r*u<, * P '
f , = J
j/o =„.„«>
i r = '**c a,l“ l $ *"* v ü)}i dp ' p dy y
z
P
'«>
donde pt = h i — y1,
-i I (1)
L
p
OH'
e
d(> ’
"
Y 'V
t} o)|i p
*Q
cty
"P dp
í
f
*5 = -í— --- f — ^ r ~ > 5»s funcioiios u° — a\ |>(p,
y
d° = (Vi|>(p,
donde a y P son constantes;(p,
(/*
=0.
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( 2)
VII. Ecuaciones de fipo elíptico
691
De aq uí hallam os las soluciones particulares de la forma
>i n (p.
I
/ „ (pp)
dentro del cilind ro
i ) (pp)
fuera del cilind ro
^
Sustituyendo las expresiones para r|>n en las fórm ulas (1) y (2), obtenemos: dentro del cilindro
El - ai p V n (PiP) ' in í, I!\ «
[—^
PiP ÍA (í-iP)
« , / n (P,P) +
(PiP) J ** "* .
£?,= |~^ p ”' P|J" (PiP) + *VPi«iJ » (PiP)] t'"9.
ff‘ p
=
[ ( P
t P
)
+ iP ih S Í (P.PÍp"*-
fuera del cilindro E» = cl , p \H<» (ps p)«in*,
^ = [ - - ^ L« í « y ) (pí p ) + - i i ^ - p 1» (n,>'< p 2p ) ]
! /$ = [ ~ ~
(P,P)— ^ - a 4ffí,‘)'(pJp)]
£ ? , = [ P.ffí,”
--
OM> a^//
Sobre la frontera p — a deben ser continuas las componentes tangenciales de E y H. Esto da cuatro ecuaciones homogéneas con cuatro incógnitas (*j, o«, Pi, pj. Igualando el determinante del sistema a cero, obtenem os la ecuación de dispersión con respecto a y
r
k\ j-n{\) k\ HW (>i) 1 r h,
(S)
__
I H l'
J n
(I)
P ,v
Mt g y ' w i
T] //}j1{y ) J
w»” (ti) J I X ..., / 1
/« (i) *~
_ l \2
Y lñ*"~ 6» J ’
...
(>
donde i =■ piQ\ rj = p 2a\ a , ol radio del cilindro. Esta ecuación tiene un con junto infinito de raíces“vnm (véase [35?, pág. 460).
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692
Respuestas, indicaciones y resoluciones
Para la onda principal n — 0 la ecuación de dispersión se descompone en dos ecuaciones: H j/t» (n) _ ftfoi H }*>(.)> *? n, u\"(n)
“
£/ ,(£) -M5) ’
(5)
p . IM g ) i>i J A D '
(6)
La primera de ellas determina las ondas admisibles de tipo magnético y la segunda, las ondas de tipo eléctrico. 78. Sean 2 la superficie del tubo; S. su sección perpendicular; C, la frontera de 5. Dirig imos el eje z paralelamente n la directriz del tubo. La dependencia del tiempo es e ~***. Cualquier campo dentro del guíaondas se puede representar en forma de suina de ios campos de tipos eléctrico (//t = 0) y magnético (C. 0), cada uno de los cuales se determ ina por la componente z de] correspondiente vector de Hertz (véase el problema G9). Si I I z — 0, entonces, tomando n, = II, obtenemos el problema para la función escalar A ll+ k »ri= 0 ü =
dentro
0 sobre 2 .
Si E j = 0, entonces n ' = IT y AIl'-)-i2n '= 0
-^-=0 dv
dentro do sobre
2,
2.
Existen soluciones particulares de la forma n ( M , s)= i(> „( M )e
y„= Yk*—
Yn
n ' (Ai, *) = tj>n (Ai) «iYn*>
=V »
8011 'os valores propios
de los problemas de contorno Aj’tn + X n'l,n = 0
dentro de
S, i)>n= 0
sobre C,
= 0
dentro de
5, —!jn = 0
sobre
C.
Si?»„ < i 2para n = 1 , 2 , . . . , N yXn > J ip a r a n == JV + 1, ¿V + 2.......... entonces existen N ondas móviles, cada una de las cuales se propaga con la velo cidad de fase kc c
Si >.j > fc5, entonces en el tubo no pueden haber ondas móviles. S i.11 (M , z) — /In'pn (Af¡ c~ 'Vf|2, entonces el flujo de energía a través de la sección transversal es igual a
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Con esto se supone que(Af) están normadas a 1 [ r n d s = t.
Indicación. Si introducir el sistema de coordenadas rectangulares, entonces
_
dan
p x~
__ daI I v — W 7 ’
dxdz ' -f
IT
*
dll ~dy~'
p __ d2Xl . . 8|-j
2—
,, dTl T»
jr
’
ír _ JIz - °
E l problem a obtenido para I I ' es análogo al problema 42 sobre la propagación de la 9 ondas acústicas dentro de un tubo cilindric o con paredes rígidas (véase [7J, pág. 528). 79. Las ondas móviles pueden existir cuando e cumplen las siguientes con diciones: a) si Kn,n — < k2, entonces existen tantas ondas móviles como solu ciones linealmente indepéndientes de la ecuación de la onda para km.n, que satisfacen a esta desigualdad; aq uí es la raíz de la ecuación J n
_
J n
N n (na)
_
N n
en este caso pueden haber ondas de tipo eléctrico. dad
b) Para todos los valores propios Kn. n para los cuales se cum ple la desigual *m .n = l i t e ’!1 <
donde
es la raíz de la ecuación J' „ (Ma) N'n (Mi) - J ’ n (Mi) N n ’ (f>a) = 0, .
existen ondas móviles de tipo magnético ( E z = 0). Para la onda principal de tipo magnético (n = 0) tenemos: Vm= f c ) / i -
n , = n = 4 mflm (p)«*
1Mm
--W
donde Am es el coeficiente, n m fe)
=
J <¡ (í‘mp) N o (Hma)
— / „ (nm«)
N c (Hmp),
es la raíz de número m de la ecuación J Q (pa) N 0 (|li6) ~ J 0 (ph) N 0 fría) = 0.
El flujo do energía a través de la sección transversal es igual a y __
*“
I a I* -i / " 4 4*3 \ A m \ V 1
ílm 1F
¿o 7 f { ^ b ) -------
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694
Respuestas, indicaciones y resoluciones
Las componentes del campo se dan por las fórmulas £* = J.mn ,
£<» = 0,
E„ = iymAmB ‘ m (p)eI
I l v = — AmikR'm ( p )í'< vm*-“ í>,
II.=0,
//p = 0,
de modo que i r ^ ~ l L e , .
Ym
Indicación. Se deben utilizar los resultados del problema 78, suponiendo ue la región S tiene forma de anillo con los radios a y b. Las funciones propias
3
e la membrana en forma de anillo con las fronteras fijas y libres están dadas en la respuesta al problema 27. 80. Sea que el origen del sistema esférico de coordenadas (r, 0,
b
\
1
k-
1d1 (ru)
(r«)
ir _a jj __ — ik du / r “ ’ ®— s é 5 T e9 >
__
,
du W" “ ' k w
_
donde u — um,„ os la función propia del problema de contorno Au + k2u = 0,
u = 0
para
r — a,
se hallan por la fórmula um,n (r, 0, q>) = t „
V iT (0,
(n = I , 2, . . .; m = 0, ±1,
± 2, . . ., ±h), donde km,n —
c
es el número propio de onda que es la raíz de la ecuación
J
i (ka) n+2 1 (ka) J
, ,.
ka
•« / " Ji
, .
J 2p j W ' ’1,n((’> = ]/ n + 12 F ’V
»-5
y ^ ' (8, q>) = P ' £ " (cos 0)
_
mq>, la función esférica.
La frecuencia propia más baja corresponde a n — 0; um,0 (r) ~ 't’o además km se determina de la ecuación / , (ka) 2
J , (ka-) ~2
= ka.
es decir, tg (ka) = ka
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V il. Ecuaciones de tipo elíptico
695
l’ara las oscilaciones de tipo magnético ( E r — 0) tenemos: r r „
a
' l
_
ih
dv
'
E*
& (<•'’>
„ 1 (« O lr» ~ ~ ~ ¿¡7W >
// ' = - 5 ^ “ + * (r">'
i
it* (rv)
donde ” - v,n n = '!>„ (*m.nr) Y '™ (ü, . además km „ so determinan de In ecuación J
,(*
Para n = 0 obtenemos: »m,t> = ’to (¿W),
donde ,
Jim
rt
Indicación. Compárase con el problema 25 sobre las oscilaciones acústicas propias de la esfera. 81. Se examina eJ segmento del guíaondas cilindrico de scccidn arbitraria acolado por dos planos s = r t/ (es eje z os paralelo a la directriz del cilindro, véa se el problema 78). Las oscilaciones do tipo eléctrico (//z = 0)
n^>7j (M ) COS ^
II z ~ Jlm.n
(I — z)t
donde >|>n (M) es la función propia del problema de contorno “i“ Á-n^|>n = 0
dentro
de
S %
= 0
sobre
C9
Las frecuencias propias son <»m. n = « l / r * n + (^ T f) •
Las oscilaciono.» de ti ]kj magnético ( £ ¡ = ü)
ll 1= flm, n (A-/, z) = Ám, „>))„ (Ai) Sen-^- (I — z), donde ij’n (Ai) es la función propia del problema de contorno A 2'l>nH-Ín'|>n = Ü dentro de S .—I—2Í=20 = sobre ov
Las
fr e c u e n c i a s p r o p i a s
C.
s on
« » . , * - « ] / -Kn + i^T ll Y - La energía eléctrica media por el período en la onda estacionaria es igual al valor medio por el período de la onda magnética $el. = &magn. =
I2»
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696
Respuestas, indicaciones y resofuciones
La energía total en
onda estacionaria no varía on el tiempo y es igual
ck2\n | / l n | 2 .
& —
Para el resonador con sección circular o rectangular, las fórmulas para n siguen siendo validas; allí se debe sólo sustituir Ja expresión concreta para la función propia a) para la sección rectangular con los lados a y b: m
\¡)—
-£j¡¡
~
x
~
y,
ín('W) = í¡)n,m ( * , » ) = eos parcos
£(,=2, fr=£0, e, = 1;
b) para la sección circular de radio a tenemos! —
U . m (r, f ) =
i,m(r.
/
/
| /' £«o32
Í J Í S lL ”
-
r
k' l í . a rn ,,
, ’' ■cZ o s "«P.
-/ré(lC')
:::«v. ] /.r ,.n .P _ n, iM tf’l»-»*
1
sen'
____________________________ \
a
y
COS r
. .
' « o * » ’)
donde uñí1* es la raíz de Ja ecuación /„(|.i) = 0, Xmw —
luiPM 2
la raíz
(|0 — 0 .
de la ecuación
Las funciones if>m n y Vm.n dadas m¿ís arriba están normadas a 1. Indicación . Las funciones TI y 17 satisfacen la ecuación de onda Ai¿ -f- k2u =
=
0 y las siguientes condiciones de frontera: n=
0 sobre 2 ; sobre
2;
^3 - = 0
para
oz
z = =fc/t
11 = 0 pura *=*:£/•
Para calcular la energía eu todo ei volumen se debe utiliza r la fórmuJa de Green (véase [7], págs. 538*542). 82. Sea que el toroide está acotado por las superficies p = a y p — £> y los planos z — — l y z = 1. Se le puede interpretar como el «segmento» de un coaxial de longitud 21, examinado en el problema 79. Para los potenciales polarizados II y 1J son validas las fórmulas obtenidas al resolver el problema 81 y para las funciones propias de la sección transversal dadas en la respuesta al problema 79 v
r»
/ \c<*s mp
*
y r¡>n se deben tom ar las expresiones .
.
a
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, Ncos
n«> n(f
V II. Ecuaciones de tipo elíptico
697*
donde Km, n (P) = J n (|ltf »p) N n
«m , n (p )= ^ n (fa¡*’P) Mm1'
(|it f ' a ) iV„ (|i<»»p)f (¿m ’«)—
’p).
determinan respectivamente do las ecuaciones R m . n ( b ) -
0.
Rrn.n <í>) = 0.
Las frecuencias propias son iguales a
<ím.» = cj/[íínnT + (^)\
Indicación. Véase el problema 81. 83. Difracción sobre el cilindro. El eje del cilind ro estáj dirigido según e l eje z; la onda plana se propaga a lo largo del eje x. el vector de la intensidad del campo magnético en la onda incidente está dirigido paralelamente al eje del cable. Designamos con e,, ,ut, a¡ los parámetros del cable; e, = 1, u 2 = 1, or2 = 0, los parámetros del medio; k¡ y kz, los respectivos números de ond a, además,
,, ejm>5 + iínojuú * ------- * • La dependencia con respecto al tiempo es del tipo e~""'. Sólo la componente z de] vector E es diferente de cero B = (0, 0, E),
mediante ella se expresan //„ y „
_____ic 1 SE P |Ui> p ¿l(p ’
/ / „
=
-
v |l(0 op '
! H z — 0 .
l'ara E *= E (p ,
c ih2* +
£ =
2j
« » ^ >(* íP )«‘m0Para
P > «.
7 ?l= — CO
U>
OO
2
*m/m(*iP) «lm<>
P»™
P < «.
donde a os el radio del cable, ~ J'm (*!<■) Jm ( M ) — M m (*,«) J'm (k2a) Mi J!n(k,a) //«> ( k ^ - k ^ ' {k2a ) J m ( M ) b
_ ¡m Jm (*««) //&}' (k.a ) Jm (V> + Jm (Mli
m‘
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698
Respuestas, Indicaciones y resoluciones Si el a i bit? os un co nductor ide al, entonces a
(¿ 2*0
— __L™
.
‘ na< (*,«)’
m
Indicación, Se requiere luí lla r la solu ción de la ecuación
0
para
r < a,
A E<’¿> -|- h$E = 0
para
r > u,
AA,”*1)
=
demás £ ( 2) *= E0 -I- « - elh'x -|- u, -ijuo satisiace sobre •que satisface sobre la la suj superficie del cabio p = a las condiciones de contin uida d de E z y I I ^ lo que da:
1 ú El' ) /í<2) , ------ = . — ;--í*i ¿P o?
nn
para
p = a.
Además de eso la fun ción u debe satisfacer en el infi nit o la con dici ón de rad iación r- / dU
,‘Í'Ü » ^ ( Í F - ‘^ ) = 0La solución se busca en la formo (1). Los coeficientes am y bm se calc ulan de Ja con dició n para p = o, además debe utiliza rse el desarrollo de c'k>x en serie: j íp e o s T _
/>Vm (*sp)
y
Si el cable es un conductor ideal, entonces lct — oo y las condiciones de írontera se reducen a una: £r<2)=e,'‘!"«>9
para
p= a.
Por eso para am se obtiene la expresión „
= _ ¿m ^ m ( V ) I liX '
84. Difracción sobre la esfera idealmente conductora. La onda plana se pro paga en la dirección del eje polar z del sistema de coordenadas esféricas r, (3,
p _ w
I
r
d r* ^ ~
_ « r r dr1
■*
___
1
U '
PV dró&’
’
8
i r
w 3r ó 8 ’
1
F *
„
’
_Ji_££L r 30 »
•donde U = ru,
m
£/' = rv.
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1^
Vil . Ecuaciones de tipo elíptico U
699
U'
Las funciones u = — y v = ——se hallan de las ecuaciones de onda Au -fr r -j- ksu = 0 y Ai> ■ + ■k*v = 0, y las condiciones de frontera -JL(ri*) =
0,
i»=0
que son las consecuencias de las
1
d2 (ru) A *■« = — HT5 q = 0 '
para
r—
igualdades
ik d , v r s ' = - T ¥ w -! "
p" ra
'' = “ -
Para resolver el problema, ante todo se deben hallar los potenciales u° y i?° para la onda inciden te. Dado que el campo electromagnético es determinado completamen te por las magnitudes E r y #V» entonces calculam os: Ó X
IT0 —
™ n A Ocos
m J h r COS Q _
— COS
=
'
dr
1{ V° =
sen 0 sen
i h r cos 0
_
2 (2n-(- l)ín- í ^ ~ - /'n1' (eos 0) eos
e= - i E i l 4 r c« r «sos B «0= ile r ¿)0
'
=
2
(2n + l) f"
P'n" feos
0) sen .|.
donde />„" (cos 6) =
P n (eos 0).
Por otra parte, E'r" = ~ ^ - + ^ ( ™ U).
H°r =
Haciendo u° —
tj=0
a
(*r)
(cos
cos ÍP*
oo
v y = V £„\|>n (&r)
(cos 0) son cp,
n -ü
comparando ambas expresiones para E% y li% y teniendo on cuenta la ecuación d? / . \i t
,
obtenernos
an — dn =
2»4~1 t '*"1 /x(íi-f-l) k
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70 0
Respuestas, indicaciones y resoluciones Ahora buscamos la solución dol problema en ln forma oo
u (r,
0.
(kr) + a„t'„u (kr)) P n” (eos 0) cos(p,
n=0 co
v ( r , 0, <(.)= V a n hl',. {kr) + pnK»* (A01 P „ " (eos 0) Sen
Las condiciones de frontera para r = a permiten d eter min ar a n y
'*" =
7.""\ka) ’
n" = - - § W
’
'V n (& = 'te l * * n W l .
1fn'(;r) =
27
w w - s - w w i.
85. Difracción sobre la esfera conductora. Si el sistema de coordenadas y la onda incidente eslán elegidos lo mismo que en el problema anterior, entonces los potenciales incógnitos de Borguins*) U = ru y U ’ = ru serán determinados por las expresiones oo
(*Jr) + ttn tn 1
X flfl
«—0
Pn *
&) c<>s
r > a (el aire),
oo r < a ,
' n=ü oo
2 r<=ü
!♦» (*<<■) + Pntn ' (*ir>] P'n' (eos 0) sen
para
r> a,
oo
Wn'fn (¿ir) P'ñ' (eos 0) SL><>q>
para
r < , n.
n=0
donde * í ... *1 -Ifn (*,«) S'„ (*, «) — t t n = J Í L ! --------- Ü1
( V ) V n (*,«)
•i
„
/ ln —
ki
l'l'n (*,«) Z¡í*
(M > t « ‘ (*,«>1
.
.——------------ ----- «n» H,A
¿=-~Zn“ <*i«) 4'n ( k t a ) ~ ^ Hl L ' V „(*««)£tf*(*,»). Mí análogamente se escribenlas expresiones para /2n y fin ; de ia esfera;klt e! número de onda del medio.
es el
*) Véase el problema 70.
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número de onda
V II. Ecuaciones de tipo elíptico
701
Las componentes de los campos eléctrico y magnético se calculan por las fórmulas (1) y (2) del problema 84. Son excepciones las expresiones para Z?_ y ¿V 9 0 '
--------1 „
ik-c
u *~
híT
V le
•
indicación. Se deben utilizar las expresiones, obtenidas en la solución del problema anterior, para los potenciales u° y v0 do la onda incidente. Los condi
ciones de frontera sobre la superficie de la esfera son de lo forma . . = _0 _ d (rtl2)
.
.
Ííjlí| para
(’'v2) — ~
h 1k1 = h,w>
(re,),
8G. Dipolo eléctrico en el espacio tío acotado. Sea p = o0
dipo lo. Elegiremos el sistema de coordenadas esféricas r, 0,
2 cos e
E„ = sen 0
£ ) ( J L .- .Ü —
n 0, *« ) I I , ,
H v — ik senO ^ ík -- ir0, =
0.
Aquí n 0 es la componente del vector de Her tz dirigido a lo Inrg» del eje 2, .ihr
n o = P o - V í " “’í Un la zona de la onda (kr ~s> 1 ) con exactitud hasta los términos de orden de -ij- y de mayor orden de pequenez E r = 0,
E¡¡ ~
son e n 0.
La energía media durante ol período es Pok'c
Indicación. Véase [7], pág. 451. Indicación. Sea que ol dipolo está colocado en el origen dol sistema de 87. coordenadas esféricas r, 0 ,
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70 2
Respuestas, indicaciones y resoluciones
2 (9 = 0). Entonces *
r
-
+
4
i i r = 0,
* e = T á T 5 o < r“>-
^ = T á r k (ru )= 0 -
//„=(>,
//*=¿ A Í2-,
(O
donde « = — es la solución de la ecuación r
áu+/c1u=0, además lim r — í/cu) r-»oo \i/r ,
=0
(la condición de radiación).
La condición de exitación so puede tomar en la iorma „ ifeson 0 //,, « — p ,, ----5---
p a r a r pequeños
11,^ = — p„fc2-^ ~ - e'kr para r grandes.
listo da: « =
(kr) e o s 0 .
í<'> (A r)
( * _ ±
)
donde A = ik^pQ.
De aquí se deducen las fórmulas dol problema 86 para las componentes del campo E r, A’q. I í rf. Sea que el dlpolo con el momento p = p ,e ~ '° ‘ está dirigido a lo largo 88. del eje z del sistema do coordenadas r, 0,
2W
T, (A-a) _
*«+¡ (*«> +♦, (*«)
’
‘
,
2* * ‘ ¿ 1. (*>•
Las componentes dej campo se calculan por las fórm ulas (1) del problema 87. Indicación. El problema difiere del anterior en q^ue en vez de la condición de radiación en el infinito aquí aparece la condición de frontera Ü 0 — 0 ó J L (rM) = 0 sobre la superficie de la esfera r — a. Por eso en la solución deben or
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VII. Ecuaciones de iipo elíptico
703-
contenerse dos funciones cilin dric as Iinc alm enle independientes, por ejemplo, //<>' , y JH'*’ j , N , y /
n+T
" +T
n +T
, , //••’ !
M+T
y S
n +T
, ,
etc.
M+T
Elegimos las funciones J . y l!'1' . . La constante A es la misma que en el "+T "+T problema anterior, la constante D se elige de ia condición para r = a. 89. Si elegimos el sistema de coordenadas esféricas r, 0,
0,
B '- l J Z j f é . ,
Mw- 0.
^8 = 0,
f f
d" ~W’
además, pur!i
r > „
para
r< „.
k* =
La función
__ f
U 1
1* u 2
Pai‘a para
r< «
se determina por las fórmulas
0, «; = i/Vfa l í í ” (fc2r)+ »!(', ( i 2r)| cos 0 . “i **■ CZi1* (Ajr) cos
donde £*,*> (a*4) Z ¡»
Si1’ (oír,) V, (O*,) — tj), (aA-2) z;*> (a*,)
*' "
*ÍHi S i- (»* ,) Y , (a/ct) - vt>, (akt) Z',‘ >(fl/í2) *«,. -------------------------------- Po*-*, t i " ( « * i) V i ( «**) ~ ' \ ( o ^ Z i 11 (a*,)
Vi(iE)= t Par» Oí
co C -*■0,
W1>
i
z'<"<*>“ -|r w
<*»•
2
Txr í v <’ » os decir, llegamos a la solu ción de!
problema 88. Para a -► oo <7 0, fí -*■ 0, y nosotros obtenemos la solución del proble ma 86 sobre el di polo en el espacio no acotado. 00. Introdu cim os el sistema de coordenadas esféricas r, 0,
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704
Respuestas, Indicaciones y resoluciones
ei problema anterior s ,= .f fr = /fe= 0 ,
¿?, = - | ^.( ru )+ * » (r u) ,
Eg= ±
ick1 du " » = ~¡^r~ w , 'donde
{ Uj u2
para para
»R
para
r < a, a < r < &, r > b
-se determina por las expresiones “ i = iPo>4 11\" ( V ) + <1+1 (*0^)i cos 0, « , = [#4’i (kr) + C í[ " (kr) ] cos 0,
“3 =
DZ\l> (k^) cos
6.
Los coeficientes A, B, C, D, se hallan Je la solución dol sistema de ecuacio nes siguientes:
< M I tti*' (**o) + /l
OCI"|Z?** (i6)+ c 5 " ’ (tó))¡Po** \z\" (fc,«) + ■¿'F, (fc.o)] - B V t (ka) + CZ'}> (ka), DZ\l > (k0b) = BW^ikb) + CZ\'> (kb).
Aquí se adoptan las designaciones (i))',
'¥l (x) =
Z\'< (x) = [*ft“ (z)l'.
Indicación. Los potenciales u¡, u2, u3 satisfaced las ecuaciones
Auj +
= 0
{« =
1 , 2, 3),
kt = k 3 = k c ,
= ¿i
y las condiciones de frontera para
r — b.
Sobre la elección de las expresiones para ul , u.¿. Uj véanse los problemas ante riores. 91. Resolución. Introducimos el sistema de coordenadas esféricas r ' , 8, ©, ■con origen en el centro de la esfera, el dipolo está en ol punto r = r ', 0 = 0. El campo no depende del ángulo
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VI I. Ecuaciones de fipo elíptico
70 5
La función u
={
U|
para
u3
para
satisface Ja ecuación de onda Au + i 4u =
r < a, r > a
0, donde para
r
para
r>a.
En la superficie de la esfera r = a las componentes tangenciales del vector# y del vector H deben ser continuas, es decir, E o y
Estas condiciono» serán cumplidas si exigim os que sean continuas
>
“s
Para
(ru)
r= «.
J
La función ru¡, obviamente, tiene en ol m anan tial una singu laridad de
JhoR
tipo — ^ — ,
___________
donde R — y r'a-|-r*— 2rr' cus 0 « r , 0, q;) es el
sorvación), es decir, ut
1
punto de ob-
eik(,R
-- ----
^— .
— — c¿ Tomando u, = «,>-(-1>0, donde u 0= —
&
u0= —
gibüR
.—
(ct es un mu ltiplica
dor de normación que será determinado más abajo) obtenemos para vt y u2: 0
para
r < < 7,
A« 2"l"^2wa = ^
Para
para
r > a»
r = a,
19-0942
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(1)
706
Respuestas, indicaciones y resoluciones Las soluciones particulares son de la formu (*0'-) + x;w >(f c 0r)1 p n (cos 8),
i'in =
utn = IZJnttf* (*T) +
(*r)l P„ (COS 0).
En virtud de la acotación de la Junción u, para r = 0, el coeficiente A'n ~ 0; de la condición de radiación para r -*■ <*> se deduce que B'n — 0. Por eso V, (<-. 8 ) =
1
2
/ ln ’ l n ( V ) P n (COS 6 ), I
n: °
<2)
\
8).
('. 0 ) = 2 /?n£5*»(*r) P „ (cos n—0
)
Para determinar los coeficientes An y Bn de las condiciones de frontera para r = a utilizam os ol desarrollo de la solución funda men tal ue en la serie con res pecto a los polinomios de Legendre: a "£n” ( V ) Pn (eos 0)
2 '¡k0R ik0H ■=
para
r > r\ r
n
J
(3) ( V ) Pn (eos 6)
2
n-0
J
ü„ (2 n + l ) * n ( V ' ) ,
Para r'
I
r < _r ' ,.
para
bn = (2n + 1)
( V ’ >-
0 debe cumplirse la condición
— u = ipt¡klí\1' (A'0r) P , (cos 8)
(p„ es el momento del dipolo).
Teniendo en cuenta que ol primer sumando para n = 0 en (3) se debe omitir, dado que para el = Er — — 0 y observando que
(j
/0
r'~o
r i —0,5
P*ro
»>li
para
n = 1,
bailam os ct = 2 Sustitu yendo en la cond ición (11 para r — a las expre siones (2) y (3) (para r = a > r'), obtenemos PanZ'n" ( M ) + A„M'n (*,
(ka), ~ r
Do aquí hallamos
í-2
a
(v >
(*«)—
( ^ v , , (M )-
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VII. Ecuaciones de tipo elíptico
707
Si o —*■oo (A-—► oo), entonces B H= 0,
, An—
7/n' (kf¡a)
^
*» (**>
•**»
y llegamos a la solución del problema sobre el dipolo colocado on el punto (r*r 6 , cf) dentro do la esfera idealmente conductora. !)2. Antena eléctrica vertical sobre la tierra esférica. Ln antena (el dipolo pun 0= 0 y orientada tiforme) está ubicado on el punto r' — a -f- h (h > 0), largo del eje 9 = 0. El m omento del dipolo es igual g p = Poe ~ , a i - Elmulti plicado r que depende dol tiempo e~,a l [o om itim os en todos lados. Para el potencial u — ~ tenemos: dentro de la tierra (r < a) OO
2 '“M 'n (*r).
u, =
Pn (eos 0),
n— 0
fuera de la tierra (r > o)
u== p i k j r +
2 z?n?" 1 < * » '■ >
í _ j •
j {
2
(p«n + tfn) t’n" (V ) Pn (COS 0)
( r > r'J.
[P M V íV O + tfn a '' (*«'•)] Pn (cos 0)
f r < r ’>;
n==0 OO
2
0
donde (
----
a „ = ( 2 n + i) i| > „ (V ' )>
¿5---- .
í’«=I.2 b + 1 i
I1
'
W ’(V ).
Si la tierra es idealmente conductora, entonces
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4l ,0) *o=— .
708
Respuestas, indicaciones y resoluciones
Como resultado tenemos:
“ 1 = 0,
s
p '‘ (cos0)-
n=0
Véase el problema 91. 93. Antena eléctrica vertical sobre la tierra esférica. La antena está colo cada en el punto r ' = a, 0 = 0 sobre la superficie de latierra. Dentro de la tierra {r < a)
1
2pt>k o V 1 (2 n + l) Vn ' (Ay>) „ (cosO) a'k* 2 j ^ „ ( * a) I Z ' » (k0a ) - C n \',>n (i
71=0 fuera de la tierra (r > a )
2p0 ^ ■ ‘ 2 — ¡ r ¿ I
n=*»0
(2» + l ) f t « > ( V > n (
C n-7~ nU M
’•
Aquí Cn significa la expresión r
_
^‘6
(ha) ^
.
Indicación . En la resolución del problema anterior es necesario realizar 0. Durante los cálculos utilizar la expresión para el el paso al limite para h
wronskiano <*) Vn"’ (x)-U '> (*) r » (*> = -p-. E l paso al lí m ite para h - * 0 da: lim (flnp + f ln) = - ^ . _ — “ 2 C n ~ z n (*o“) h-0
94. Se introduce el vector de Hertz n dirigido a lo largo de la antena. En el sistema de coordenadas cilind ricas p, q>, z, tenemos:
tip= nT ■ o,Hz= fi. Dado que el problema posee simetría axial,
* ■ --& + « '--i *
(p -S -).
2= 0 í,n0 _ « n ,.,n
Sobre la superficie terrestre para .-.r.
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V II. Ecuaciones de tipo elíptico
70 9
donde
ri0,
-jj-
corresponde a
n,fe 2= £0) +^ m ao)
2 > 0 (la atmósfera),
correSj,Jn()e a z < o (la tierra)
(H = 1). El momento de) dipolo p = p 0e~‘a l , p t — 1; el multiplicador e~,'ú‘ está omitido en todas partes. 95. El campo electromagnético se expresa mediante el vector maenético de Heilz en el cual es diferente de coro sólo la componente a lo largo dol eje de lo antena II , = n , pur eso E 2 = 0. En virtud de la simetría axial =
0,
tú <5n
1—
£* =
c dp '
u ' = k%n+-i£- El potencial n
satisface la ecuación
All-f-&2n = 0,
donde
‘“I
*5 = —j-
para
z >
0,
&a =
y las condiciones de conjugación sobro la superficie terrestre n rI n0=n,
3n0 c*JT ——2-=— -.
para
í=
. 0,
además e\k^H
li o ==
^
hn^seg.*
JhR n —— 7,— I-n SCg.,
_ xpre_________ can el potencial de Hertz para el dipolo en el medio no acotado con el número de onda correspondiente (fc o Ar0); n„ ar.g. y IL e(?,, la radiación secundaria. 96. Intro ducim os el sistema de coordenadas x, y, t, dirigiendo el oje i per pendicularmente a la superficie terrestre y el eje x, a lo largo de la antena, £ = grad div
n +A2n,
lie 2C
= — ~ ro tn ,
XI = (Tlx, O,
11*),
donde 17* y flz satisfacen la ecuación de onda
1.2]r i
^ B* ~ k u * + —
p
/ dfly i \ ("5 7 - +- 3T 7»
„ d / dXlx i d ílx \ B» ~ 5 r \ S Z " + ~ ) ’
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710
Respuestas, indicaciones y resoluciones
e* - k*n * + - 5 - ( % + % ■ ) »
,," r __ id ;* an.
¡c4> /t?nx " " ------- aT) >
ILas condiciones de frontera para
j
íí-a2 ¿>ny
= 0 (sobre la superficie terrestre) son:
*|n0l-w n „ ¿sn
—
tan
^^Íqx
i
dU<¡:
__
QUX
.
dll^
ÍHabitualmenle, en lugar de n r se introduce la fu nción F : n
- 9F°
0F n — Ul~l¿r-fr-
ILa primera y la última condiciones de frontera dan; n ox+ ^ i = n , + i f f - .
f . = f .
97. Sea que el cuadro con la corriente eléctrica está colocado cu el plano x, a, de modo que la normal al cuadro está dirigida a lo largo del eje y. Los vec tores del campo se expresan mediante ol vector magnético de Hertz £ = í- ^ - r o tn ,
«1 vector
„
H = AsIl + grad div II,
I I tiene las componentes n¡, y n ¿ diferentes de cero, de modo que
(ü> /dnz b
¡a> anz
an» \
r — s r j«
. &> an¡,
**= - - r- sr*
—
£ *= í — i r >
-+ f í^ m
I + - L ( ^ +
t a s condiciones de frontera para z = n 02= n it an ov _ tfz
dfifl ds ’
^ )
0 son Ar3n 0y=A' 3n ^,
ó n o u l e n 0z __ dUu
dy
dz
dy
|dn¿ dz
Si tomamos
n - üU T ' n
u °!
«entonces, en vez de la primera y cuarta condiciones obtenemos:
F'-r.
n»i' + ^ - = 11!/ + 4 r -
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VII. Ecuaciones de jip o elíptico
711
98. Colocamos dentro do la antena el origen del sistema de coordenadas. Entonces, sobre de la tierra
2 "o = - g —
k2 cihoü .«-.-s— pr 4 - j lo PO U (>■<■)'- V W -"Vd\ (t > 0 ),
0 en la tierra
n=% - +&"~¡r~ J/
donde f ».s
0
2k^
k
Y w - k i- Y w - k *
*3+ *’ />■*-*? H +
*S + *íV rx|— *•’ ’ fc2 l/? .’ —
■/).» — *!
+ Ag /> .* — h1 ’
R = / r * + s“. Resolución. Introducimos de acuerdo con el problema 94 el vector eléctrico de Hertz n — (0, 0, n . = II), además
2¡.2 .ilion n- * T F F — + n—
•
»
2k‘ = ^
eikR — + n-
Utilizaremos el desarrollo integral del potencia) primario eikR e- V Xa-AS uij.
y buscaremos la excitación secundaria en la forma OO
n„»c =J/o (M /o <>.r) *-
{*> 0),
o
00 n Sec = f / (X) K (Xr) « VT¡rry:i:i}.
(z <
0).
o I l 0 sec. Y Osee- expresadas por estas integrales, obviamente, satisfacen las ecuaciones
An0 sec H-
fiCC= 0,
Anfiec-{-k2ris*c=o.
Exigiendo el cumplimiento de las condiciones de frontera
2 o= **FI, ^ 0*1
- ^ L= —
para
2 = 0,
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712
Respuestas, indicaciones y resoluciones
obtenemos:
00
í
(Jio/o W + M/ (X)| /<, (Xr) dX = 0
donde fta = X»— **, (iJ = Xa- * { . De aqui y bailamos / ■"
* m,— |t h W - k i+ k t )lo I c ^ + k f r . '
2fepA-* X
i
l / W
*3 + A»
n
Hq— t*
A-n„ + A > *
Casos particulares: 1) k = o o , la tierra es un conductor /
U W =
rí ¿ihQÍt
H0 = 2
j / „ (X r) «-•*» I ' I - ^ - - == 22
Po
u
,
-
n — O (dentro de la tierra). La excitación primaria se refleja de la superficie terrestre. 2) k = A*0, la antena en un medio homogéneo (en el aire). En este caso /o (X) =
O,
/ (X) =
O,
g'lhQÍi
11 = — — en todo el espacio. 99. El vector magnético de Hertz n = (O, O, TI) se determina del modo si guiente: sobre la tierra n 0=
ifcon
.
j /o (X)
/ 0 (Xr) <- y°zdX
(* > 0) t
o dentro de la tierra m\hR
~
donde M X )= A ü £ = íl, n m>+t* (!„= / X 3- * ; ,
m ) = _L ñ= E £, i* it+ p . ’ | i= y T * - * 1,
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VII. Ecuaciones de tipo elíptico
713
Las expresiones para n „ y TI se puedo escribir de otro modo: oo
n o“
j o
para
g~M°rX dX
x>0,
oo
n =
j
p
a
r
a
0.
í<
0 En el coso de la tierra idealmente conductora k = co, ¿i = oo y II = il 0 = — 0. La acción de la antena magnética se compensa por las corrientes verti ginosas que surgen dentro de la tierra. Indicación. Véanse los problemas 95 y 98. 100. Si la antena está dir igida a lo largo del eje x , entonces en corresponden cia con el problema 96 el vector de Hertz es II (nx, 0, donde
=
nz),
oo
n„x=
f
e-WKd\
para
z>
0,
r)
para
z<
0.
»>
0,
0 oo
"*=
§■ J
*J-jp
0 oo •
Hoz =
2
( i * - k%) eos y j
“ »'?.= d\,
0 oo
"* =
- ( V - k l ) eos
e<“ >* d i.
i <
0,
o donde
Indicación. La función ü x se determina por la ecuación A li* + /:2n v = 0
y las condiciones de frontera A Ín03C= A-»n„
*} = & = * * J E *
para
:= =0.
ffí
De aqui se ve que las funciones n c¡* y -77 11* coinciden con las expresiones para
1J0 y n en la solución del problema anterior. Para la función ü 2=
tenemos:
S F 0
d F
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714
Respuestas, indicaciones y resoluciones
Tomando
oo F, =
J lo (X) U (Xr) e - ^ ’d).
( * > 0).
OO F =
[ / (X)
(Xr)
( « < 0)
0 y utilizando las expresiones ya halladas para
n0l y
fIT, obtenemos
/.(>•) = / La (unción FU se calcula según la (órmula n
áf0
o
, I = _ d í * = Cj°
ar, 'f' ~ W •
ri
*J
ri’ = l F c o s '>' — •
10í - Utilizam os todas las notaciones del problema 97. Bn este caso los campos E y // se expresan mediante el vector magnético de Hertz TI *= (0, Hj,, Í I 2), donde
2fcst - y
5
C 2kx
n y/— \
(Xr)
¿X
(Xr) eU!\ dX
para
para
z >
0»
z < 0,
o oo
11J£ = 2 (AJ - *5) sen
<•’' ,l<11 X* rfX
para
2 > 0,
e>'2^ ‘ d^
Para
2 < O-
'
OO
n t = 2 (A3 — A§) sen q ^ o
Los valores de N y A" se dan en la respuesta al problema anterior. 102. E l potencial polarizado n = (O. 0. 11, =■ n ) determ ina las co m po nentes del campo electromagnético mediante las fórmulas E = grad div II + fr'II,
I I = — ¡A-rot 11.
Para el potencial [(
flli \n 2
para para
t > a,
0< z < a
obtenemos n 1 = ü t prlm. + D! 8ee.»
lis = n 2 prlni.-í-nz seo.»
donde OO
II, prim.- \ / „ ( X r ) e- ^ l ' - " > ' ^ , Jo
111
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VII . Ecuaciones de Up o elíptico
71 5
oo J
p,
00 n í P rim . = j /,(>■)/
0 00 n 2 Se c .= ^ Í . w / . M
e -M (*+*«).
ÁdX
O
H i = v
I<2 = Y T J ^ k i .
Utilizando las condiciones de frontera
an,
^ r i.^ fr jn ., y también
an,
para
» = a,
^ ^ - = 0 para s = 0, bailamos
,
k"m¡- ft?n3 th n 8a
71 W
ArSm-Mí^thjM
’
li ,kU - t*lJ»+M “+ M '0 t03. Sea / = I 0 f ($) e~i
t 5
y , ^1
&) ¿ i,
eikH
donde n<>= — ^ — ; H, la distancia entre los puntos [M (p,
H = — ik rot II.
La resistencia de radiación es igual a
1
(
R = - - L { J n {/* + *»/] dz— n f | } ,
si / ( - 1) = / ( / ) =
0.
21 Indicación. La normación de n se obtiene de la condición H ú > m — cerca
cp
de la corriente.
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716
Respuestas, Indicaciones y resoluciones
La resistencia de entrada de la corriente de línea se determina por ia si guiente fórmula del método de las fuerzas electromotrices inducidas l
« = — ^
J Ez (.1
i) / « dz.
Sustituyendo íiqui E¡ por la expresión
c integrando por partes, obtenemos la expresión dada m is arribo para fí . 104.'Si el dipolo es semiondular, entonces / = I J (2) para — / ^ 2 < /, donde
n=
í n° {M' iW°’ , _ í ) cos ktdí'
la resistencia de entrada del dipolo semiondular es 2* 2n * =
4
{
.J J S L * * * } .
0
o
La componente activa de la resistencia"de entrada~o resistencia de irra diación es
o La componente reactiva o reactancia es
1
~
2n
f
sena
,
R r = -----\------ da, c J a
o
~
Resolución. 1’nra ca lcular R se utiliza E z =
giH
donde
l E * = - z j¿ k
(". "0; *-t)J / (E) <*£■
\
-I
= - - ^2 ■e integrando por partes, obtenemos:
Teniendo en cuenta que i
(.M, .VÍo,*)=
j no(A/,A/0; *-£ )(/'(£)+ *2/(£)] d£+ Jtí.; <+*) f (-;)-n»
Esto es posible si ¡" (z) es continua a trozos.
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(/)}.
i-z ) r
v il. Ecuaciones de tip o elíptico
717
Para ei dipolo semiondular r «
+ a-v = o,
/
+
y ( - o
- /• (¡)
k.
Por eso,
=
{no (M, Aí0, i + «) + n» (M , A/„¡ í-z)}.
La sustituc ión’ de este valor de E t en la fórmula
n=
-
J - \E z (A/0, Af0; z) / (z) dz
da: « = - -y- j n» (,Wo, Af0; í + s) / (z) dz, donde n» (>V/0; A/0; Tomando l + z = a, después de transformaciones simples obtenemos la fórmula dada más arriba para li. En particular, en el sistema de unidades prác ticas
105. Sea que ol eje 2 coincide con el eje del guíaondas y el dipolo está on el plano z — £ en el punto A/0 y se halla dirigido paralelamente al eje 2. El campo se determina sólo por la componente z del vector oléctrico de Hertz
n= (0, 0, n), donde H=
^— ikc
es 6l momento del dipolo,
W , " o , z— Q
M y Aí„ son los puntos on el plano de la sección perpendicular,
— k%, k= Q /c ; Xn , el valo r propio, y
'as
funciones
normadas del problema de contorno ^a'l’n +
= 0
en
5,
i¡i„ = 0
sobre
S la sección transversal del guíaondas; C, la frontera de S.
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C,
propias
71 8
Respuestas, indicacion es y resoluciones La resistencia de radiación
es igual zv fí_._£íL Ü c *
2
W l/ k s— ?.n ’
donde A' es el número máximo de las ondas móviles dentro del guíaondas de modo que Xjv < A’ , Xat+j > fc*Si el dipolo está sobre el eje del guíaondas circular de radio
entonces
N
/?!■■>_
¿. ( ± \ 2 - y ---------ck*a> \a ¿ J / m = l / ? (t* m ) ] /
donde
1
es la raíz de la ecuación J 0 (ju) = 0.
Indicación.
n 0 es consecuencia de la fórmula gene
La fórmula FI =
ral para n dada en la respuesta al problema 103. La función del man antial IIo para la ecuación de onda A u + k^u = 0 en una región cilind rica arbi traria con las condiciones de frontera nulas fue construida en el problema 45. Para calcular R (a> so utilizó la fórmula
í?“»=]im 4 ¿| - j
\{BxH l - E vH i ) d x d y
y la primera fórmula de Green. 106. Para una corriente arbitraria de línea I = I J (z) cuando — l s í z In función de Hertz es 4n7,
1
donde TI0 {M , Af0; t — t) se da po r la fórmula (1) de la respuesta al problema (interior. La potencia de radiación Wr — =
donde
S ^ 2 * 0 * ° - { [ \ / ( í ) c o s x „ í d £ ] 2+ [ ^ / { £ ) s o n K nS ^í |2} i n- l " -¡ -I Xn =
Xn.
*l Víase 7, pág. 526.
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/,
V II. Ecuaciones de tipo elíptico
71 9
En ol caso general, para el dipolo semiondular dentro del guíaondas do sec ción arbitraria S se obtienen las fórmulas N
,
Pia, _ ± L V
(Wn) (1
~ ' ¿ x N
»ir. _ _ Í £ ”
_______ _
eos ix Y i - y j )
Xn l / T ^ r _________
V
í ! i ( ^ i ) S C l l ^ V l — 1-ji
C 7¿1 = 1
>-n
V M - Y 'h
| +
4n_ ^
V
T~
f e W H + r ” ^ " - 1)
¿ i X,‘
M-JV+I
A»|>n +
v'v*n — 1
~ 0 en S; i|in = 0 sobre C\ X
C
n = -^--, C es la frontera de S; Viv < li Yíí+i > •. Véanse los ^ \|)f,rfS = l; y‘
problemas 45 y 103. 107. Para el dipolo sem iond ular que está sobre el eje del guíaondas circ u lar tenemos: la parto activa de la resistencia do entrada es
mtT| J > (Hm) l'&> V 1—7m la reactancia es p ,r.
4 yi
sen a
Cm-í
fü. V
J ‘
Ll5* donde ym— ' ^ E I
4
\ .— y-m
l — c~” Yy m — I
c
i= y £
, /f ((im)
’
08 *a ra“z do 1° ecuación / , (|i) = 0; o, el radio del guía-
ondas. x < a, 0 < y < 6) la sección del guíaondas. 108. Sea S (0 a) E l dipolo Infin ités imo está orientado a lo largo del oje y se ha lla en el punto M 0 (d, Un). La resistencia de radiac ión de este dipo lo se da p or la fórmula
P “ 'a >~
N
2
r
N’
S
______ 1
.. . ____ _______ rrta=?l n= 1
------- 4
*> n í r i| ™ n ( A / ) i ÉÜ2 _______ L j . .... ;i V V * dx° ^ J
S r-
iL+ " ^ S
m = 0 w = 0_ ______
___
_
_
2^ /< wwnX n^m n
J- - o
donde
. /1*>
$ n (Ai) = ijhnn (*♦ y) = | /
i , (« 1 - * mn (X, „) = l - ^ ^ T c o s ^
,/»i/*»n 4
Jim
, eos ^
3TÍ2
x sen -y - y,
y
(„ _ {£
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I~ l),
720
Respuestas, indicaciones y resoluciones
,
=
„ / m2 . n2 \ , . (-¿T-l-p-J (w, * — 1 ,
X * n = n*
) — Xnjm
<"». « =
0, 1 , 2, ...),
*mn — ^ k " — Xmn>
Los límites /V y JV', Ar, y N't son tales, quo Xw¡v., L Y]fí/ son
los
valorss
propios máximos para los cuales xmn y 5Cmn son reales. En el caso, más interesante en la práctica, de la onda H , t tenemos 'l>io = ° .
V-'io {-r, « ) = } / ~ j¡ (o s -^-x’
^•io=‘ ( v ) í
y para Rtli obtenemos la fórmula de Sleter.
& Y
(2)
T
(ias fórmulas (1 ) y (2) están dadas en el sistema do unidades prácticas). b) Sea que el dipolo semiondular está orientado a lo largo del eje y y sus (d, ¡/21 además y , — y j = extremos so hallan en los puntos M x (d, yt) y =-^-
• La distribución de la corriente dentro del dipolo se do por la fórmula I = /„ son k (y — y¡).
La resistencia de radiación es igual a N
-x . .
N'
8)1 , -n vi 2tn ab m = l n=»0
sen* --- d eos* a
T
1 ('■+*)
« Jin cosSw
Pmn |"
(^mn < h*) donde Pm rt ~
A.mT» =
1
n-\
>
/! 1 , ¡> «— ■ *»
\2 ,
m= «
0, 0.
Los límites superiores de sumación ;V y N ’ se hallan de la condición
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Sean x, y, z las coordenadas cartesianas de cierto punto y x,. x2, x 3* las coor denadas curvilíneas ortogonales de este punto. El cuadrado del elemento de longitud se expresa por la fórmula
ds2 — dx 2 -f- dy2 + dz 2 =
4 " h\dx\ -p h1dx%,
donde
son los coeficientes métricos o Jos coeficientes de Lamé. El sistema ortogonal de coordenadas se caracteriza completamente por tres coeficientes métricos Alt ^ 2* ^9* Damos la expresión general para los operadores grad, div Trot y el operador de Laplace A en eJ sistema curvilíneo ortogonal de coordenadas:
i
Jiv-1 =
ií X j h
{h*h'A¿ + ~ é ; h ,i¡
rot A ==
i
h 2¡¡ h¡¡3
_ 0 ____ d ____ Ar, 0x2 dx^ hiAj h,A¿ h^An
.
1 r ‘ = * 1^ 2*3 i
0 ¡ ft2J>3 Ou \ <**1 \ l‘ ¡ 9Xi I
,__ £ _ / M a óx-t \ II,
|_t> / h,h, dx, V h,
Ou \ d.t.¿ )
du 'i ~| áx, I i '
i i 3, son los vectores unitarios básicos; A = {A ,. A , , A a), un vector donde arbitrario, « — escalar, ,4¡¡ = A , U¡. x¡. x3); s ~ 1, 2, 3; u = u (ar,, x¡, x8).
xt =* x,
x, = y,
ar
■ oy -
xa — 2.
oz
h\ = t, div A-
h2 =
l.
Ox '
hs — i, Oy '
l / 5 20 -095 2
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dz
722
Complemento i
rol A —
k
i ñ
d dx dy
0 dz
Ax
A t
/ ()AZ QAy \ . , \ 'ty
Au = uxx + uv„ + u „ , donde i, /'. fr, «on los vectores unitarios directores de los ejes x , y, z. 2.
xx = r,
^
3 = ¿ *
— (p.
están relacionadas con las coordenadas rectangulares por las ecuaciones x = r cos cp,
y = r sen if\
s = z.
Las superficies de coordenadas: r = const son cilindros;
fl2 ~ r,
1
de modo que du
du . dr 1, + 7 i r
div A
( 1 OAi V r r«p
Ou
.
1
o dr ■ M . ) - 4
m
2 in.
¿K)
W j \ i + ( + l dt i1 I
\ dr J
+ r J L 4 -W J _ J . " l i ta, I r ¡ir 2 r i«|) J _ 1 U r
1
i) /
ra
<’>3« , i.)2u ¿>cp4 ~r t>z- *
— 0,
xx = r,
J
*3 = cp
so relacionan con los coordenadas rectangulares por Jas fórmulas x = r sen
0 cos cp,
y = r sen
6 sen cp,
z = r eos B,
Las superficies do coordenadas: esferas concéntricas r — const; planos
1,
h2 = r.
==> r sen
0,
de modo que gra
du . . 1 du u — ^ tj-f- r ^ \
,liv Á = ~ ? r 7 7 (r2i4l)'
r sun 6
.
_d_
¿0
-
1
rseng
dn ^
(sen 0 /12) +
r sen
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6
óAs d
Complemento
rot/1= - n ¿ n r L ~ i r (?on6^ )- ^ 1
Au = —
0 /
2 O h \ ,
1
7 ? ( r ^ r ) + 7^
JTi =
]
¿>+ a i
1
A ou \
77T mT (* • " « -3 5 - J K - r f o
X,
Xt =
723
H,
J-J =
02u ! ? -
2
se determinan mediante las fórmulas de transformación -C= CAJl,
y = £ /( ? .* — t) (1 — fi2),
3 = 2.
donde c es el multiplicador de escala. Los coeficientes métricos son ¡guales a *»-!• La? superficies
Si r, 8, son las coordenadas polares de 1111 punto sobre el plano entonces las coordenadas parabólicas pueden ser introducidas mediante Jas fórmulas rl ~ X = Y 2r sen
,
1^ = 1! =
Y 2 r eos y
, x3 = i .
Las superficies de coordenadas X = const y ji - const representan cilindros parabólicos intersecados con las directrices paralelas al eje z. La relación con las coordenadas cartesianas se da por las fórmulas * = Y (ns— Xa)
v — Xu,
Los coeficientes métricos son h 1 = 64 = Y'/-' + n2,
z = z.
h, =
1.
Se introducen mediante las ecuaciones (o > b > c). x 2 y2 j2 a'- + X ~l~l r + T + 7 i ~ x ' — 1 > c~) (ecuación del elipsoide) jr2 ( ¿ . 4■fi* „ ,
- fV
+
-2 / s , 4~ ~o-r— — 1 (—cs > ^ > — />2) (ecuación del t M c • ll una hoja) j2 v > — a-) (ecuación del . -|— s r — = 1 ( — Jf2
0~ t-V
t-
. V
J ()S h d j - ig j
hiperboloide do hiperboloide de
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724
Complemento
A cada punto (x, y. i) le correspondo sólo un sistema de valores Á, ji, v. Los parámetros x, = ).,
X, = n ,
x, = V
se llaman coordenadas elipsoidales. Las coordenadas x, y. z se expresan explí /i, v: citamente mediante
, •. / " (X + a2) (fl-i-a2) (v + a3) * = ± 1/
---
/
t
(X + ft8) (n + i*/ (v 4- h2) '
» — == K >/
---------------- ’ (c2— ¡>2) (a 2— 6=)
*
(>.+c>)tn+<-S)(v + c*)
- =K
(a*— c«)(6* — c*J
Los coeficientes de Lame son iguales a ,
1 ■ , / ( X — n ) ( X — v P
1
1 i/~
2 K
( n — v ) Q t — >•>
« 3(m)’
‘ ~ 2 V
1 , /■ (V — X ) (V — |i) y v — p m —
’
donde R
El operador de Laplace “e puede represen la r en la forma
^-ir=rttdW=vrfa-v)n w
+ ( V _ X ) f l (10 £
( *w £ ) +
( * 0 4 - g - ) + < * - „ > S (V ) £
( A W
*L) ].
La solución particular de la ecuación de Laplace que depende sólo de X, U = U (X) se da por la fórmula
°- A5w
+s-
donde A y B son constantes arbitrarias.
a) Las coordenadas elipsoidales degeneradas (a, P, (p) para el elipsoide alargado de revolución se determinan mediante las fórmulas x =» c sen p cos «p, y =* c sen a sen (5 senz = c c h a cos p, donde c es el multiplicado r de escala, 0 a < oo, 0 < P n ,— n <1
dp2) -J- c2 sh2 a sen2 P d($z.
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de dondo para los coeficientes métricos se obtienen los valores Ai = h 2 = c j/$ h a a -+- sen* p.
hs ■ +-/¿v = c sli a sen p.
La ecuación de Laplace es de la forma
A“ =
e»(shaa + sena tí) ["3Ta l a ( sh “ l a ) ^ sen p ~J¡T ( * ' " ^"ájT ) + / I . 1 \¿»»u -] _ . \shs
b) E l sistema de coordenadas elipsoidales degeneradas (a, p,
0 sg
p cos (j\ y — c ch a sen p ten <}', a < c»,
0 < p < n ,
—n <
z = e sh o.eos
<[>< n.
Las superficies de coordenadas: unos elipsoides aplastado s de revolución o. — const, unos hiperboloides de una hoja de revolución p — const y unos pla nos
i
u —' c2 (ch2a — sen2p) I ch
d ol
l a
du
\f 1a l a ) '
0 / 1 sen p t)p \sen
du
\. /
1 \sen2 o:
1 \
J
El sistema de coordenadas toroidales (a, p. <{.) se determinan mediante las fórmulas c sh a coa
chce — c o s p ’
c sh a sen y
c sen P
^ “ c h a — cos p ’
c h a — cos p ’
donde c es el m ultiplic ad or de escala, 0 ^ ol < oo, — :t < p < rr, — a C
(p=
esferas, p = const (z - c c t K p)2+ P2^ ( l s l r ) í ; planos rp = const. El cuadrado del elemento lineal en el sistema toroldal de coordenadas es de la forma
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726
Complemento
los coeficientes métricos son iguales a j ) ía =
£ c h a — cosfl 9
h
e sh a
<í— c h a — c osp
y el operador de Laplace so dn por la expresión siguiente [ Ou \ sh a 11 i ¿p [ ch a — cos p c?p /
it / Ou \ sh a 11 oa \ c h a — cos ¡í <)r¿ ) M
1
,
1 ' (ch a — cos (5) sh a
i?2u
flep® '
Es conveniente introducir en vez de u una función nueva v mediante la relación _________________ ü = \f'¿ ch ct — '2 cos P* i?t con esto la ecuación Aa = 0 conduce a la ecuación
4-l7pp+ vc
t a + -£* v 4“
?Vp ~ ^ •
a) Coordenadas bipolares sobre el plano. Las variables :r2 =
= a, se llaman
*3 — z
p,
lascoordenadas bipolares si tiene lugar la igualdad a sh a X
a sen ft
c h a — cosp *
_
ch a — cosP *
Los coeficientes métricos son iguales a a
/l I " ^ 4— . _"■ ií Jí — 1> 1 2 c h a — cos p > 3 b) Las coordenadas bi esféricas X i — V.,
X i = p ,
X¡f = (J,
se determinan mediante tus fórmulas <• se» « coa cp ch p — cosa donde <
rp <
c es el
c sen a gen
m u l ti p l ic a d o r
!/—
c h p — cosa
d o e s c a la ,
0
^
^ ______ c sh p ’
a <; p:
c lip — c o s a
’
— oo <
oo :
p <
— n <
n .
Estas fórmulas se representan en forma compacta 2 + ip = cictg-2-^-^-
(p = >/'xa+ ¡íí ).
Superficies de coordenadas: superficies de forma de huso de revolución, a = const: ( p - c c t g a ^ ^ - ^ ) 2;
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Complemento
727
esferas, ft=eonst: p.-r i , - . « t h p p - = ( - 1 £ j r )\ fíanos, {> — const. La expresión para el cuadrado del elemento lineal en las coordenadas bipo lares esféricas es de la forma i s * = (el,
c sen a , a = ch (i — cos a 7
y la ecuación de Laplace lo mu la forma d i sena d a I c h j i — cosa
du \ da
d ¡ sen a úfi \ clip — cos a
du \ ,
/ ' -j___________!_________ Ü ü . = ' son a (ch p — cos a) úy-
0.
Para resolver la ecuación de Laplace es cómoda la sustitución u — 1^2 ch p — 2 cos av.
Entonces, para la función v se obtiene la ecuación \
\
kclc+ m + o a c i e 'j — T v + s¡in.,a um ^ o .
a) Las coordenadas esferoidales alargadas * l = X,
2
= cX|t,
= (i,
r a = (f,
y = c —l ) ( t —u'-)cos
X5>1, A<= c V
— h * = c / ( Á ' - D d - M 2)-
h* “ c Y T = $ >
b) Las coordenadas esferoidales aplastadas = X, x = ckp i sen
Í J = ¡I,
*3
tf>,
y ~ c Y (/•'“ — 1) (1 — n 2),
Las superficies X = const son esferoides aplastados; des de una hoja. Los coeficientes métricos son ft, = c j / L j —!i-,
/ ,= - P y ^ L _ i L i
z — c/.ji eos
= const, hiperboloi
/ia = cXn.
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728
Complemento
Las x, = X,
xa = n,
i , — f
que se determinan por las ranclones t .=
X|i cos (f,
y = X|i sen tf,
t = >/s (Xa — ns)
se llam an coordenadas paraboioidaies. Los coeficientes métricos son iguales a *, = * , =
V?.'- -(- |i»,
h 3 = Xp.
Las superficies de coordenadas X = const, p = const, son parabola s de re volución alrededor del eje d« simetría Oz.
Notaciones: a , función vectorial, u, función escalar. [[06 ] c] = (ac) b — (6c) a, [« [ócll = 6 (ac) — c (« 6), Errad (ui>) — u grad v + v grad u, div (uo) = a grad u + u div a, rot (ua) =» |a grad u] + « r o ta , div (« 6 | = b rot a — a rot b. rot rot a = grad div a — Aa. grad {(ib) — a div b + 6 div a + [a r ot ó| ■ + ■[6 rot a], rot («&) =■ a div b — b div « ■+• (6V1 a — (aV)
6,
donde
, Oa . . !>a , da ( K ) a = b x-s - + bu — Jr bl - ^ .
III.
eos := 1 — -i- s; + sen
s = z—
= ~Y (elz +
23+ -gj- s‘ — . . . =
(‘ ¡I — > ' i=) = — t sli (Is),
cos (x+.'/)=c os x eos y — sen x sen y, sen (x+ y) = scn x cos y + cos x sen y, cos x cos ¡/ = -l-cos (x-r (/) + -7 - coa (x— y), sen xsen y =
--
1 1 — cos (x + y)H— eos (x — y).
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Complemento
729
2. Funciones hiperbólicas ch z = \ 4* -Tjp 2* +
z*4- • • • — -g- (
slíj2= 2 -f- -i- s34*
— -TJ- (e* — e~¿) = — Í sen («*), ch2z— sh2 z= »l,
ch (.r 4" y) = ch x ch y 4“ sh x sh y, sh (x 4* y) “ sh x ch y 4- ch x sh y.
z («) =
—
Yn
f e~'*~da.
J
Desarrollo cu serio para z peijueílos _2
Y Desarrollo asintótico pura z grandes 0 ( « ) = í _____ f i — u V 'ñ ~ v
2z* 1 (2z)>
) (2:)’
En^la tab la 1 están dados los valores de ® (z) para ( ) < z ^ 2 , ; ) .
OO r(z )=
j- e-‘tz-'di (fio j > 0 ) , i - ( = + i ) = s r (j), U
r(n + l)=n!, r “>
r(i) = j,
r ( - i - ) = /í¡,
r <2‘> ! *“ o r(z)- *- |/2 nz 2í~ *
r ( í >r ( 2+ Í ) para
2> 1 ,
La función beta *< *,* )-
f i 1' " 1
= 2 ^ son2* " 1(peos2^-1
21-8942
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J
—
t
í!x (x*+k* —
(x, k),
/ ( l — x 2) ( l - A - 2-r“-)
k),
I
1 k),
— '7
J
k3+ k V )
J
■
/(1-i- y2) (l + ft'53j K_
j w _ 1 ( j _ r J n W l ú \ - ¿ )
00
= 2
Jt=0
N n (z) =
(
r
(¡X
I i -
(x , A ),
<¡z
J
!
o l"- '
-
Y ( l — x*) (l — k*x*) '
■■-
^ = senct,
--
í i £ +_
Ü
¿
_
~ ñ Tc os
[*
_
1! («+ t ) ^ ü l (n-|-l)(n + 2)
A-'=cosa.
•••
o*1 ( z ) ^ +n
{k+1 )
r ()<+« + i) 7 Z Z
V
-^-[21n (-|-)+Y-’t>(»H-1)J n-* L
5>
n Zl
(«— w - n j
, / 2 \n-*«
m=0 "*•' ( — J
L
n
T n ("
+*~ )»
(*)—
00
y
l (
m=i
/ z xn*im
l
* 2 ‘
mí <«+ m)l
*[2(4-+rpr)].
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Complemento donde
731
r (/») 'h (”>= -r7 7íy » jV0 ( z ) ^ » —
(ln
2— 0,11503),
n = 0
” - ' 2-3.......
(Re!> 0),
A'"<í)^ V /" ^ - se,,[ z_ 4- ’l ( " + - r ) ]
2
(í ) = ( _ l ) ' > / n
A ‘_ n ( * ) = ( — 1 )n A fn ( ) .
J n (2) A'¡, (2) - J ' n (2) A’ „ (2) = A ( / „ , . V „ ) = ~
,
A'n_, (2) /„ (2 )-.Vn (2 )
OO
V (el wronskiano),
XV
2 •M z)* - *" '', / „ (2 )= - ^ J «-**«■><»+«»»«* n=-oo -«
(n es mi número entero),
U'¿' (z) = / „ (z) + í
rrn“ (z) = / „ (z)-ü vn (2 )i / " A e" i l '- T n “ t I . Las fórmulas recurrentes
z
' '
n—1
n+ 1*
'
n -1
n+1
Ó
, V, d r _ [ * •* » —
n >7 d r Zn (x) 1 1_— ^ ¡ — j = — j j - ,
Zn+i
= x ¿ q
I’ Z l ( u x ) x d x * = - ^ x * |Zg(ouc) + Z }(a *)) ,
^
=
[ZJ, (a*) — ZmM (a i) Z m + - («*)].
Aqui Z n (z ) = j4 / n (*) 4- Z?¿Y„ (x) es cu alquier solución de la ecuación de Bessel
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732
Complemento Las funciones del argumento imaginario
(t) « ^ T
« t í 7
ntn" N^
B 5
-•
'■ < * > -
(f)'
2 T
A-0
(#)"+..
x)-xZ z Y - £ °-X’ n > 0, /_n (*) = /n (*),
7T+
K q (x) —> — í l n X-.0 \
) -f- • ••,
¿
K „ ( i) = / C n ( i) ,
C = 0,5772 es la constante de Eule r,
I
*n{z)K'n (* )-Ik ( * ) Kn ( * ) /n
(*)
+
« n - i
/n-i
/ 71-1 (a:) “ *^n4-t (*)
K n [x) =
(*)»
| ^ %h“~~
A (/„ ,
A
Kn) «
(/n, *
—
n)
|
=
,
i
,
^n -i (a:)4"Jrn+i (*) —
= ^ ’ Zn = -^n
ó
(*)»
Zn — ^n *
Algunas integrales CO
j e- “< / „ ( 6 0 ^ = -5p r [Vri¡M : b3- a ] ' 1. 0 (2¡>)nr ( rt+ 4 -)
«
] e~atJn(bt)tn i l = -----------rt
r. / 1 r ( 4 ) («’ +*»)
¡ J
»Hr’
JV. ( « ) * = — ln " ± / g . ,+ ^ ov yo*H-fca i/V + fc* «
y b son reales y positivos)
La ecuación 1(1— * 9) y’ J' + n (» + i) tf*=0,
(—1 < z < 1 ) ,
CO
2 Y r§ + ra—2rr0 cos 0
2
7
( 7 7 ) 71 Pn *cos 0)
para
r
( - ~ ) n Pn icos 0)
para
r > <0 .
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Complemento
(n-f 1)
i (* )- x (2 « + d) P n (*) + n/>n-i (*) = 0, '« M - a f c r & H * '- ! ) " !-
La ecuación de las funciones asociadas <« + 1 ) - - ^ ) „ = 0, 1,
fc = n, k z¿ n.
P « " ( X ) = ( l — r«) 2
Pn (*),
OO
eí o cos 0 =
V
p B + 1) Én ^ „ (p ) P n (c o s 8 ) ,
n=0 l f n (P) = y r - i . / n + t( p ),
2
(2n + l) f tí ’ (Po) ’U (P) Pn (eos 9),
r < r0l
71=0
ikR
OO
V (2 «- H ) Mfn (Po) £n ' (P) «=0
r„,
r>
w
Ü =
— 2rr0 eos 0,
p = kr,
p0= kr0.
U (p) Ü t Y (P ) - ? (n >(P>
'Po(P)=-~■ — ,
(P)= f —
(cosQ),
--- ,
(P )= - ^- ,
H’i ( P )= - ^ ( J ^ - P — co sp ) ,
t ..» ( P)=
f _ _
(± _ ,).
F
La ecuación
*<1— *)y'+lv— («+P+1)*I y ' — <»py=o, ^—
Pl Yl
1-21 ( 7 + 1)
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* + " "
733
734
Complemento
y = Hi — » l _ v f (a — Y + l. P— 7 + 1. 2 — y. *), J>n (*) = /'' ( - » ,
n + 1, 1,
( - » . « + 1,
1, ^ P ~ )
,
« — * ^ F [m- ...... ... . .. . » + <• ^ - ) ■ La función hipergeomélrica confluente (degenerada) F - F (« .
y p) — I -1- a
, v
t> 1 « ( « + * ) P* I
1,
V ( Y + 1 ) I, r - • •
d*F , , . dF p - a p r+ ^ - r t- S p —
„ “F=0-
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»
Complemento
735
Tabla 1
La ¡ole gral de los errores O (z)
= —7 = -
(
d a f
/ n J
o t
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04
z
0^z^2,3
r
z
d>tz)
0 , 81)
0,81 0,82 0,83 0,84
0,7421 0,7480 0,7538 0,7595 0,765!
1.21 1,22 1,23 1,24
0,85 0,86 0,87 0,88 0,89
0,7707 0,7761 0,7814 0,7867 0,7918
1,25 1,26 1,27 1.28 i ,29
0,9229 0,9252 0,9275 0,9297 0,9319
0,40 0,41 0,42 0,43 0,44
0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0000 0,0113 0,0226 0,0338 0,0451 0,11564 0,0676 0,0789 0,0901 0,1013
0,45 0,46 0,47 0,48 0,49
0,4284 0,4380 0,4475 0,4569 0,4662 0,4755 0.4S47 0,4937 0,5027 0,5117
0,10 0,11 0,12 0,13 0,14
0,1125 0,1236 0,1348 0,1459 0,1569
0,50 0,51 0,52 0,53 0,54
0,5205 0,5292 0,5379 0,5465 0,5549
0,90 0,91 0,92 0,93 0,94
0,7969 0,8019 0,8068 0,8116 0,8163
1,30 1,31 1,32 1,33 1,34
0,9340 0,9361 0,9381 0,9401) 0,9419
0,15 0,16 0,17 0,13 0,19
0,1680 0,1790 0 , 1900 0,2009 0,2118
0,55 0,56 0,57 0,58 0,59
0,5633 0,5716 0,5798 0,5879 0,5959
(1,95 0,96 0,97 0,98 0.99
0,8209 0,8254 0,8299 0,8342 0,8385
1,35 1,36 1,37 1,38 1,39
0,9438 0,9456 0,9473 0,9490 0,9507
0,20 0,21 0,22 0,23 0,24
0,2227 0,2335 0,2443 0,2550 0,2657
0,60 0,61 0,62 0,63 0,64
0,6030 0.6117 0,6194 0,6170 0,6346
1,03 1,01 1,02 1,03 1,04
0,8427 0,8468 0,8508 0,8548 0,8586
1,40 1,41 1,42 1,43 1,44
0,9523 0,9539 0,9554 0,9569 0,9583
0,25 0,26 0,27 0,28 0,29
0,2763 0,2869 0,2974 0,3079 0,3183
0,65 0.66 0,67 0,68 0,69
0,6420 0,6494 0,6566 0,6633 0,6708
1,05 1,06 1,07 1,08 1,09
0,8624 0,8661 0,8698 0,8733 0,8768
1,45 1,46 1,47 1,48 1,49
0,9597 0,9611 0,9624 0,9637 0,9649
0,30 0,31 0,32 0,33 0,34
0,3286 0,3389 0,3491 0,3593 0,3694
0,70 0,71 0,72 0,73 0,74
0,6778 0,6847 0,6914 0,6981 0,7047
1,10 1,11 1,12 1,13 1,14
0,88*2 0,8335 0,8868 0.8900 0,8931
1,50 1,51 1,6 1,7 1,8
0.9661 0,9661 0,9763 0,9838 0,9391
0,35 0,36 0,37 0,38 0,39
0,3794 0,3893 0,3992 0,4090 0,4187
0,75 0,76 0,77 0,78 0.79
0,7112 0,7175 0.7238 0,7300 0,7301
1,15 1,16 1,17 1,18 1,19
0,8961 0,8991 0,9020 0,9048 0,9076
1,9 2,0 2,1 2,2 2.3
0,9928 0,9953 0,9970 0,9981 0,9939
i ,20
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0,91(13
0,0130
0,9155 0,9181 0,9205
736
Complemento Tabla 2
Raíces di» las ecuaciones características / 0 (ii)—0 y Raícos n„ de la JJ
1
2 3 4 5
ecuación
2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309
Raíces nn de la ^cuncidn J i (| i) = 0 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706
(|i) = 0
Raíces d<* la ecuación
.
6 7 8 0
10
J o ( M ) = 0
Raicra nn i ? la (•ctiacitai J j
18,0711 21,2116 24,3525 27,4035 30,6346
19,6159 21,7601 25,9037 29.0468 32,1897 Tabla 3
Ralees de la ecuación caracte rístico lh - h
0,0 0,01 0,02 0,03 0,06 0,08 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80,0 100,0 oo
/i(H)
— -i- il l h '
Ul
(•2
ys
Mi
n»
0,0000 0,1412 0,1995 0,2814 0,3438 0,3960 0,4417 0,5376 0,6170 0,7465 0,8516 0,9408 1,0184 1,0873 1,1490 1,2048 1,2558 1,4569 1,5994 1,7887 1,9081 1,9898 2,0490 2,0937 2,1286 2,1566 2,1795 2,2509 2,2880 2,3261 2,3455 2,3572 2,3651 2,3750 2.3S09 2,4048
3,8317 3,8343 3,8369 3,8421 3,8473 3,8525 3,8577 3,8706 3,8835 3,0091 3.9344 3,9594 3,9841 4,0085 4,0325 4,0562 4,0795 4,1902 4,2910 4,4634 4,6018 4,7131 4,8033 4,8772 4,9384 4,9897 5,0332 5,1773 5,2568 5,3410 5,3846 5,4112 5,4291 5,4516 5,4652 5,5201
7,0156 7,0170 7,0184 7,0213 7,0241 7,0270 7,0298 7,0369 7,0440 7,0582 7,0723 7,0864 7,1004 7,1143 7,1282 7,1421 7,1558 7,2223 7,2884 7,4103 7,5201 7,6177 7,7039 7,7797 7,8464 7,9051 7,9569 8,1422 8,2534 8,3771 8,4432 8,4840 8,5116 8,5466 8,5078 8,6537
10,1735 10,1745 10,1754 10,1774 10,1794 10,1813 10,1833 10,1882 10,1931 10,2029 10,2127 10,2225 10,2322 10,2419 10,2519 10,2613 10,2710 10,3188 10,3658 10,4566 10,5423 10,6223 10,6964 10,7646 10,8271 10,8842 10,9363 11,1367 11,2677 11,4221 11,5081 11,5621 11,5990 11,6461 11,6747 11,7915
13,3237 13,3244 13,3252 13,3267 13,3282 13,3297 13,3312 13,3349 13,3387 13,3462 13,3537 13,3611 13,3686 13,3761 13,3835 13,3910 13,3984 13,4353 13,4719 13,5434 13,6125 13,6786 13,7414 13,8008 13,8566 13,9090 13,9580 14,1576 14,2983 14,4748 14,5774 14,6433 14,6889 14,7475 14,7834 14,9309
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He 16,4706 16,4712 16,4718 16,4731 16,4743 16,4755 10,4767 16,4797 16,4828 10,4888 16,4949 16,5010 10,5070 16,5131 16,5191 16,5251 16,5312 16,5012 16,5910 16,6499 16,7073 16,7630 16,8168 16,8684 16,9179 16,9650 17,009» 17,2008 17,3442 17,5348 17,6508 17,7272 17,7807 17,8502 17,8931 18,0711
Complemento
737"
Tabla 4
Raíces fin de la ecuación característica J„ (n) N 0 (4j¿) — N , (|i)/0 (Ají)=0 k
M-l
1,2 1.5 2,0 2,5 3,0 3,5 <4,0
15,7014 6,2702 3,123(1 2,0732 (,5485 1,2339 1,0244
31,4126 12,5598 6,2734 ■4,1773 3,1291 2,5002 2,0809
H3
H-1
>*»
47,1217 18,8451 9,4182 6,2754 4,7038 3,7608 3,1322
62,8304 25,1294 12.5014 8,3717 6.2767 5,0190 4,1816
78,5385 31,4133 15,7040 10,4672 7,8487 6,2776 5,2301
Tabla 5
Raíces de ta ecuación característica t g jx = —
h
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50.0 60.0 80,0 100,0 oo
V-l
1,5708 1,6320 1,6887 1,7414 1 ,7906 1,8366 1,8798 1,9203 1,9586 1,9947 2,0288 2,1746 2,2889 2,4557 2,5704 2,6537 2,7165 2,7654 2,8044 2,8363 2,8628 2,9476 2,9930 3,0406 3,0651 3,0801 3,0901 3,1028 3,1105 3,1416
Uz
M3
4,7124 4,7335 4,7544 4,7751 4,7956 4,8158 4,8358 4,8556 4,8751 4,8843 4,9132 5,0037 5,0870 5,2329 5,3540 5,4544 5,5378 5,6078 5,6669 5,7172 5,7606 5,9080 5,9321 6,0831 6,1311 6,1606 6,1805 6,2058 6,2211 6,2832
7,8540 7,8667 7,8794 7,8920 7,9046 7,9171 7,9295 7,9419 7,9542 7,9665 7,9787 8,0382 8,0965 8,2045 8,3029 8,3914 8,4703 8,5406 8,6031 8,6587 8,7083 8,8898 9,0019 9,1294 9.198G 9,2420 9,2715 9,3089 9,3317 9,4248
10,9956 11,0047 11,0137 11,0228 11,0318 11,0409 11,0498 11,0588 11,0677 11,0767 11,0856 11,1296 11,1727 11,2560 11,3349 11,4086 11,4773 11,5408 11,5994 11,6532 <1,7027 11,8959 12,0250 12,1807 12,2688 12,3247 12,3632 12,4124 12,4426 12,5664
1*0
Mt
14,1372 14,1443 14,1513 14,1584 14,1654 14,1724 14,1795 14,1865 •14,1935 14,2005 14,2075 14,2421 14,2764 14,3434 14,4080 14,4699 14.5288 14.5S47 14,6374 14,6860 14,7335 14,9251 15,0625 15,238" 15,3417 15,4090 15,4559 15,5164 15,5537 15,7080
17,2788 17,2845 17,2903 17,2961 17,3019 17,3070 17,3134 17,3192 17,3249 17,730617,3364 17,3649 17,3932 17,4490 17,5034 17,556217,6072 17,6562 17,7032 17,7481 17,7908 17,9742 18,1136 18,3018 18,4180 18,4953 18,5497 18,6209 18.6650 18,8.496
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738
Complemento Tabla 6
Las seis primeras raíces*)
ai
<*2
03
«4
«5
a»
0
0
3,1416
6,2832
9,4248
12,5664
15,7080
0,0(11 0,002 0,004 0,006 0,008
0,0316 0,0147 0,0632 11,0774 0,0893
3,1419 3,1422 3,1429 3,1435 3,1441
5,2833 6,2835 6,2838 6,2841 6,2845
9,4249 9,4250 9,4252 9,4254 9,4256
12,5fiü5 12.5605 12,5667 12,5608 12,5670
15,7080 15.7081 15,7082 16,7083 15,7085
0,U1 0,02
0,04
0,t'6 0,08
0,0998 0,1410 0,1987 0,242.0 0,2791
3,1448 3,1479 3,1543 3,1606 3,1668
6,2848 6,2864 6,2895 6,2927 6,2959
9,4258 9,4269 9,4290 9,4311 6,4333
12,5672 12,5680 12,5696 12.5711 12,5727
15,7086 15,7092 15,7105 15.7118 15,7131
0,1 0,2 0,3 0.4 0,5
0,3111 0,4328 0,5218 0,5932 0.Ü533
3,1731 3,2039 3,2341 3,2636 3,2923
6,2991 6,3148 6,3305 6,3461 6,3616
9,4354 9,4459 9,4505 9,4670 9,4775
12,5743 12,5823 12,5902 12,5981 12,6000
15,7143 15,7207 15,7270 15,7334 15,7397
0,0 0,7 0,8 0,9 1,0
0,7051 0,7506 0,7910 0,8274 0,8603
3,3204 3,3477 3,3744 3,4003 3,4256
6,3770 6,3923 6,4074 6,4224 6,4373
9,4879 9,4983 9,5087 9,5190 9,5293
12,6139 12,6218 12,6296 12,6375 12,6453
45,7460 15,Í524 15,7587 15,7650 15,7713
1,5 2,0 3,0 4,0 5.0
0,9882 1,0769 1,1925 1,2646 1,3138
3,5422 3,6436 3,8088 3,9352 4,0336
6,5097 6,5783 6,7040 6,8140 6,9096
9,5801 9,6296 9,7240 9,8119 9,8928
12,6841 12,7223 12,7966 12,8678 12,9352
15,8026 15,8336 15,8945 15,9536 16,0107
6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
1,3496 1,3766 1,3978 1,4149 1,4289
4,1116 4,1746 4,2264 4,2694 4,3058
6,9924 7,0640 7,1263 7,180» 7,2281
9,9667 10,0339 10,0949 1U,1502 10,2003
12,9988 13,0584 13,1141 13,1660 13,2142
16,0654 16,1177 16,1675 10,2147 16,2594
15,0 20,0 30,11 40,0 50,0
1,4729 1,4961 1.5202 1,5325 1,54110
4,4255 4,4915 4,5616 4,5979 4,6202
7,3959 7,4954 7,61157 7,6647 7,7012
10,3898 10,5117 10,6543 10,7334 10,7832
13,4078 13,5420 13,7085 13,8048 13,8666
16,4474 16,5864 16,7691 16,8794 16,9519
60,0 80, u 100,11 oo
1,5451 1,5514 1,5552 1,5708
4,6353 4,6543 4,6658 4,7124
7,7259 7,7573 7,7704 7,8540
10,8172 10,8606 10,8871 10,9950
13,9094 13,9644 13,9081 14,1372
17,0026 17,0686 17,1093 17,2788
*¡ Tortas las raíces de *sta ecuación son reales si C > 0.
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Complemento
739 Tabla 7
Lag sets primeros raíces*) ccu du la ecuación a ctg c
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I . Obras ¡¿eneróles de estudio y colecciones de los problemas sobre las ecuaciones de la física matemática Kpi>uoo A. II. 0 1950.
■ ’P
(Krylov
1
i>
i,
x
A . ¿V .
2 . Cmupitoo B. II, K y p e B u c i n e ñ M arO MaT HK H.— M . : H a v j i a , 1 97 4 ( t . I , 11); 1974 ( t . I I I , i . I ) ; 1 9 7 4 ( t . I I I ,
Tljonov A . j V . , Samarsky A . A . E c u a c i o n e s d o l a F í s ic a m a t e m á t i c a , 2 -a e d i c ió n ,
E ditorial
M l R , 1 98 0. 8 . B.iaduMupoo B. C. y p a a i ie n i i H M a T en ia nM O C K ofi $ n 3 U K li. M . : H a y h a , 19 7 1. ( Vtadímirov V. S . E c u a c i o n e s do l a F í s ic a m a t e m á t ic a ) . 9 . T uxohoh A . ¡ I . ii CeeuiHUKoe A . P . T e o p n ji (¡>yTBKi(iiií tcoMnaC KCtiofi n epc M e i in o ü . — M . : H a y K a , 1 9 79 . (Tíjonov A . N ., Svés hnikw A . G. T e o r í a d e l a s f u n c io n e s d e v a r i a b l e c o m p l e j a ). 1 0 . C o ur an t I I . , I li lb e r t D . M e t h o d e n d e r m a t h e n i a li s c h e n p h y s i k , V e r l a g v o n J u l l u s S p r i n g e r , 1 93 1. 1 0 a . Courant H. P a r t ia l d i f f c r e n t ia l e q u a t io n s , N . Y . — L o u d o n , 1 96 2. I I . Webster A . , Szegd G. P a r t i d l e d ilf e n t i a lg l e i c h u n g e n d e r i n a t h e r n a t is c h e n p h y s i k , T e u b n e r in L e ip z i g u n d B e r l í n , 1 9 30 . 1 2 . r to um ep H . M . ii KysiMuu P. O. C S o p u i i K a a : ; a ’í n o s u e m e i i MaT OMATHKe. — M . : lo c T e x n a a a T , 1 9 51 , a . I I I . {Giunter N . M .t Kusmin li . O. P r o b l e m a s s o br e la M a t e m á t i c a s u p e r i o r ) . 1 3 . C m uphoo M . M . 3 a « a í i i n o y p a B H o n n a j i M aT C M aT U 'i ec K oi í
11. Monografías sobre cuestiones especíales 1 5. Vionmep I I . M . T e o p i i » n o T e n u i ia i ia j i oS n p n M c u e m i o k o c h o b u w m 3 aA a^ a.w M a TC M UT ii'ie eK oii ( Jm a s iK i i. — W . : F o c r c x n a ^ a r , 1 9 5 3 . (Glunter .¥ . M . T e o r í a d e l p o t e n c i a l y s u a p l i c a c i ó n a l o s p r o b l e m a s p r i n c ip a l e s d e l a F ís i c a m a t e m á t ic a ) .
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