พื้นที่ และ ปริมาตร (Area and Volume) วราภรณ์ สุขสุชะโน
1. หน่วยวัดความยาว เครื่องมือที่ใช้วัดความยาว โดยทั่ว ๆ ไป ได้แก่ ไม้บรรทัด สายวัด ตัวและสายวัด ชนิดตลับ ซึ่งมี หน่วยวัดเป็น ระบบอังกฤษ และระบบเมตริก ส่วนเครื่องมือวัดความยาวที่ให้รายละเอียดสูงกว่า 10 ถึง 100 เท่า ได้แก่ เวอร์เนียร์ คาลิเปอร์ (vernier caliper) และไมโครมิเตอร์ (micrometer) ซึ่งเครื่องมือ ทั้งสองชนิด นี้ใช้ใน ห้องทดลองทางวิทยาศาสตร์ โรงงานอุตสาหกรรมสาหรับงานกลึงหรืองานเจียระไนโล หะ ยังมี ครื่องมือวัด ความยาวอีกชนิดหนึ่งที่ใช้ ตั้งแต่สมัยโบราณ คือ ส่วนต่างๆของร่างกาย มนุษย์ เช่น นิ้ว ศอก และ วา ซึ่งไม่ มี ความแม่นยาหรือความคลาดเคลื่อนสูงเนื่องจากการวัดด้วย นิ้ว ศอกและวาของแต่ละคนไม่เท่ากัน
เวอร์เนียร์ คาลิเปอร์
ไมโครมิเตอร์ หน่วยวัดความยาวที่ใช้ในประเทศไทยมี 3 ระบบ ดังนี้ ระบบที่ใช้ส่วนต่างๆของร่างกายมนุษย์ เป็นเครื่องมือวัด มีหน่วยวัดเป็น นิ้ว คืบ ศอก วา เส้น และโยชน์ ระบบอังกฤษมีหน่วยวัดเป็น นิ้ว ฟุต หลา และ ไมล์ และ ระบบเมตริก ถือกาเนิดขึ้นที่ประเทศฝรั่งเศส เมื่อปี พ.ศ . 2336 มีหน่วยวัดเป็น เซนติเมตร เมตร และ กิโลเมตร
12
ความสัมพันธ์ของหน่วยวัดแต่ละระบบ ดังนี้ 1) หน่วยวัดความยาวไทย 12 นิ้ว เท่ากับ 2 คืบ เท่ากับ 4 ศอก เท่ากับ 20 วา เท่ากับ 400 เส้น เท่ากับ
1 1 1 1 1
คืบ ศอก วา เส้น โยชน์
2) ระบบอังกฤษ 12 นิ้ว 3 ฟุต 1,760 หลา
เท่ากับ เท่ากับ เท่ากับ
1 ฟุต 1 หลา 1 ไมล์
3) ระบบเมตริก 10 มิลลิเมตร เท่ากับ 100 เซนติเมตร เท่ากับ 1,000 เมตร เท่ากับ
1 เซนติเมตร 1 เมตร 1 กิโลเมตร
เปรียบเทียบหน่วยวัดความยาวระบบอังกฤษกับระบบเมตริก ( โดยประมาณ ) 1 นิ้ว เท่ากับ 2.54 เซนติเมตร 1 หลา เท่ากับ 0.9144 เมตร 1 ไมล์ เท่ากับ 1.6093 กิโลเมตร ตัวอย่างที่ 1 นายโชคดีมีความสูง 180 เซนติเมตร อยากทราบว่า เขามีความสูงกี่เมตร วิธีทา เนื่องจาก 100 เซนติเมตร เท่ากับ 1 เมตร ถ้า
180 เซนติเมตร เท่ากับ
1
180 1 . 8
100
เมตร
ดังนั้น นายโชคดีมีความสูง 1.8 เมตร ตัวอย่างที่ 2 เชือกเส้นหนึ่งมีความยาว 30 เมตร อยากทราบว่าเชือกเส้นนีย้ าวกี่ฟุต วิธีทา เนื่องจาก 1 เมตร เท่ากับ 100 เซนติเมตร ถ้า 30 เมตร เท่ากับ 100 30 3000 เซนติเมตร เนื่องจาก 2.54 เซนติเมตร เท่ากับ 1 นิ้ว ถ้า
3000 เซนติเมตร เท่ากับ
1 2 . 54
3000
1181
นิ้ว
13
เนื่องจาก 12 นิ้ว เท่ากับ 1 ฟุต ถ้า
1181 นิ้ว เท่ากับ
1181
98 . 417
12
ฟุต
ดังนั้น เชือกเส้นนีย้ าว 98.417 ฟุต 2. พื้นที่ พื้นที่หรือพื้นที่ผิว เป็นรูปเรขาคณิต 2 มิติ มีลักษณะแบนราบ ไม่มีความหนาหรือความลึก ตัวอย่าง
วงกลม
วงรี
สี่เหลี่ยม
หกเหลี่ยม
2.1 หน่วยวัดพื้นที่ 1)หน่วยวัดพื้นที่มาตราไทย 100 ตารางวา 4 งาน 400 ตารางวา
เท่ากับ เท่ากับ เท่ากับ
1 งาน 1 ไร่ 1 ไร่
2) ระบบอังกฤษ 1 ตารางฟุต 1 ตารางหลา 1 เอเคอร์ 1 ตารางไมล์ 1 ตารางไมล์
เท่ากับ เท่ากับ เท่ากับ เท่ากับ เท่ากับ
144 ตารางนิ้ว 9 ตารางนิ้ว 4, 840 ตารางหลา 640 เอเคอร์ 1 , 760 ตารางหลา
3) ระบบเมตริก 1 ตารางเซนติเมตร 1 ตารางเมตร 1 ตารางกิโลเมตร
เท่ากับ เท่ากับ เท่ากับ
100 ตารางมิลลิเมตร 10,000 ตารางเซนติเมตร 1,000,000 ตารางเมตร
2
สามเหลี่ยม
14
เปรียบเทียบหน่วยวัดพื้นที่มาตราไทยเทียบกับระบบเมตริก 1 ตารางวา เท่ากับ 4 ตารางเมตร 1 งาน เท่ากับ 400 ตารางเมตร 1 ไร่ เท่ากับ 1600 ตารางเมตร 1 ตารางกิโลเมตร เท่ากับ 625 ไร่ ตัวอย่างที่ 3 ที่ดินแปลงหนึ่งมีเนื้อที่ 200 ตารางวา ที่ดินแปลงนีม้ ีเนื้อที่กี่ตารางเมตร วิธีทา เนื่องจาก 1 ตารางวา เท่ากับ 4 ตารางเมตร ที่ดินมีพื้นที่ 200 ตารางวา เท่ากับ 4 200 800 ตารางเมตร ตัวอย่างที่ 4 นายคิดดี เป็นเจ้าของที่ดิน 2 แปลง แปลงที่หนึ่งมีเนื้อที่ 1 ไร่ 2 งาน ส่วนอีกแปลงหนึ่งมีเนื้อที่ 2 ไร่ 3 งาน เขามีที่ดินทั้งหมดเท่าใด วิธีทา แปลงที่หนึ่งมีเนื้อที่ 1 ไร่ 2 งาน เท่ากับ 1 4 2 6 งาน ส่วนอีกแปลงหนึ่งมีเนื้อที่ 2 ไร่ 3 งาน เท่ากับ 2 4 3 11 งาน เขามีที่ดินทั้งหมด 6 11 17 งาน หรือ 4 ไร่ 1 งาน 2.2 การคานวณหาพื้นที่ การคานวณหาพื้นที่ เกิดจากการดาเนินการระหว่างด้านของรูปเรขาคณิต ดังนี้ 2.2.1 รูปสามเหลี่ยม คือ รูปเหลี่ยมที่ประกอบด้วยด้านสามด้านและมุมสามมุม
สูง
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม =
1 2
× ฐาน × สูง
ฐาน a
c
b
ถ้า a, b และ c เป็นความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม s ( s a )( s b )( s c ) เมื่อ s
a b c 2
15
ตัวอย่างที่ 5 ผ้าชิ้นหนึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม ความยาวของด้านเท่ากับ 80, 50 และ 60 เซนติเมตร ผ้าผืนนี้มีพื้นที่กี่ ตารางเมตร วิธีทา ให้ a 80 b 50 และ c 60 จาก
s
a b c
80 50 60
95
2
2
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
s ( s a )( s b )( s c ) 95 95 80
95
50
95
60
1498.124 ตารางเซนติเมตร เนื่องจาก 10,000 ตารางเซนติเมตร เท่ากับ 1 ตารางเมตร
พื้นที่ 1498.124 ตารางเซนติเมตร เท่ากับ
1 1498 . 124
ตารางเมตร
10000
ดังนั้น ผ้าผืนนี้มีพื้นที่ 0.1498 ตารางเมตร 2.2.2 รูปสี่เหลี่ยม รูปเหลี่ยมที่ประกอบด้วยด้านสี่ด้านและมุมสี่มุม มีชื่อเรียกต่างกันดังนี้ 1) รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมแต่ละมุมเป็นมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเท่ากัน ทุกด้าน เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ส่วนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ด้านตรงข้ามเท่ากัน เรียกว่า รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส=ด้าน × ด้าน
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า=กว้าง × ยาว
2) รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันหนึ่งคู่ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู= 1 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง 2
3) รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันและเท่ากันสองคู่ มุมภายใน ไม่เป็นมุมฉาก พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน × สูง
16
4) รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คือรูปสี่เหลี่ยมที่มี ด้านตรงข้ามขนานและ ด้านทุกด้าน ยาวเท่ากัน มุม ภายในไม่เป็นมุมฉาก พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ฐาน × สูง หรือ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = 1 × ผลคูณของเส้นทแยงมุม 2
ทแยงมุม 5) รูปสี่เหลี่ยมใดๆ
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ =
1 2
× เส้นทแยงมุม × ผลบวกของเส้นกิ่งที่ตั้งฉากกับเส้นทแยงมุม
ตัวอย่างที่ 6 ที่ดินแปลงหนึ่ง มีเนื้อที่ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ความยาวของด้านคู่ขนานเท่ากับ 80 และ 120 เมตร ระยะ ห่างระหว่างด้านคู่ขนานเท่ากับ 100 เมตร ที่ดินแปลงนี้มีเนื้อที่กี่ตารางวา วิธีทา จากโจทย์จะได้ สูง 100 และ ผลบวกของด้านคู่ขนาน 80 120 200 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู= 1 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง 2
1
× 200 × 100=10000 ตารางเมตร
2
เนื่องจาก 4 ตารางเมตร เท่ากับ 1 ตารางวา พื้นที่ 10000 ตารางเมตร เท่ากับ
1
10000
2500
4
ตารางวา
2.2.3 รูปวงกลม รูปวงกลม ประกอบด้วยจุดศูนย์กลางและรัศมีซึ่งวัดจากจุดศูนย์กลางถึงเส้นรอบวง ถ้า O เป็น จุดศูนย์กลางของวงกลม และ รัศมีเท่ากับ r ดังภาพ แล้ว พื้นที่รูปวงกลม = o
r
เมื่อ มีค่าประมาณ r
2
22 7
หรือ 3.14
ความยาวของเส้นรอบวงวงกลม= 2 r
17
ตัวอย่างที่ 7 เชือกเส้นหนึ่งขึงเป็นรูปวงกลม มีเส้นผ่านจุดศูนย์กลางเท่ากับ 140 เมตร อยากทราบว่าพื้นที่ภายใน เส้นเชือกและเชือกที่ขึงยาวเท่าใด วิธีทา จากโจทย์จะได้ r 70 พื้นที่รูปวงกลม = r 2
22
70
2
7
=15400 ตารางเมตร
ความยาวเส้นรอบวงของวงกลม = 2 r 2
22
70 440
7
เมตร
3. พื้นทีผ่ ิวและปริมาตร 3.1 หน่วยวัดปริมาตรระบบเมตริก 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร
เท่ากับ
1,000 ลูกบาศก์มิลลิเมตร
1 ลูกบาศก์เมตร
เท่ากับ
1,000,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร
1 ลูกบาศก์เซนติเมตร
เท่ากับ
1 มิลลิลิตร
1 ลิตร
เท่ากับ
1, 000 มิลลิลิตร
1 ลิตร
เท่ากับ
1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร
1,000 ลิตร
เท่ากับ
1 ลูกบาศก์เมตร
3.2 ปริซึม (Prism) เป็นรูปทรงตันและเป็นชนิดหนึ่งของรูปทรงหลายหน้า (polyhedron) ที่มีฐานสอง ฐานหรือพื้นที่หน้าตัดบนและล่างเป็น รูปหลายเหลี่ยม (polygon) ชนิดเดียวกัน เท่ากันและขนานกันซึ่งฐาน อาจจะเป็นรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หรือ n เหลี่ยมใดๆ มีพื้นที่ผิวข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (parallelogram) ปริซึมที่มีสันส่วนข้างทั้งหมดตั้งฉากกับพื้นที่หน้าตัดบนและล่าง เรียกว่า ปริซึมตรง (right prism) ส่วนปริซึมที่มีสันส่วนข้างไม่ตั้งฉากกับพื้นที่หน้าตัดบนและล่าง เรียกว่า ปริซึมเอียง (oblique prism) ตัวอย่างปริซึมตรง
ปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้า
ปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ปริซึมสามเหลี่ยม
ปริซึมห้าเหลี่ยม
ปริซึ มสี่เหลี่ยมคางหมู
18
ตัวอย่างปริซึมเอียง
ภาพ ส่วนประกอบของปริซึมห้าเหลี่ยม
ภาพคลี่ปริซึมสามเหลี่ยม
ภาพคลี่ปริซึมสี่เหลี่ยม
การหาพื้นที่ผิวข้างและปริมาตรของปริซึม 1) พื้นที่ผิวของปริซึม = ผลรวมของพื้นที่ผิวข้าง + 2เท่าของพื้นที่ฐาน 2) พื้นที่ผิวด้านข้าง = เส้นรอบฐาน × สูง 3) ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × สูง
19
ตัวอย่างที่ 8 จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดและปริมาตรของปริซึมรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีด้านประกอบมุมฉากยาว 8, 6 นิ้ว และ สูง 12 เซนติเมตร วิธีทา ภาพจากโจทย์กาหนด
กาหนดให้ ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมยาว a เซนติเมตร จากทฤษฎีของพีทาโกรัส จะได้ a 8 6 10 เซนติเมตร พื้นที่ผิวข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 3 รูป แต่ละรูปมีพื้นที่เท่ากับ 8 12 , และ 10 12 ตารางเซนติเมตร ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างเท่ากับ 288 ตารางเซนติเมตร 2
พื้นที่ฐานรูปสามเหลี่ยม =
1 2
2
6 12
× ฐาน × สูง
= 1 × 6 × 8=24 ตารางเซนติเมตร 2
พื้นที่ผิวของปริซึม = ผลรวมของพื้นที่ผิวข้าง + 2เท่าของพื้นที่ฐาน 288 2 24 336 ตารางเซนติเมตร เนื่องจาก ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × สูง 24 12 288 ลูกบาศก์เซนติเมตร ตัวอย่างที่ 9 จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดและปริมาตรของปริซึมรูป สี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งด้านไม่คู่ขนานมีความยาว เท่ากันตามภาพและมีหน่วยความยาวเป็นเมตร
วิธีทา กาหนดให้ ด้านไม่คู่ขนานของสี่เหลี่ยมคางหมู มีความยาว a เมตร จากกฎของพีทาโกรัส จะได้ a 3 9 9 . 49 เมตร พื้นที่ผิวข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 4 รูป แต่ละรูปมีพื้นที่เท่ากับ 7 24 , 13 24 และ 9 . 49 24 ตารางเมตร ผลรวมของพื้นที่ผิวข้างเท่ากับ 935.52 ตารางเมตร 2
2
9 . 49 24
20
พื้นที่ฐานรูปสี่เหลี่ยมคางหมู= 1 × ผลบวกของด้านคู่ขนาน × สูง 2
= 1 × 7 13 × 9 90 ตารางเมตร 2
พื้นที่ผิวของปริซึม = ผลรวมของพื้นที่ผิวข้าง + 2เท่าของพื้นที่ฐาน 935 . 52 2 90 1115 . 52 ตารางเมตร เนื่องจาก ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × สูง 90 24 2160 ลูกบาศก์เมตร 3.3 รูปทรงกระบอก (Cylinder) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานหรือพื้นที่ หน้าตัดบนและ ล่างเป็นรูปวงกลมขนานกันและเท่ากัน
รูปทรงกระบอก
พื้นที่ผิวของรูปทรงกระบอก
การหาพื้นที่ผิวข้างและปริมาตรของรูปทรงกระบอก ให้ r เป็น ความยาวของรัศมีของฐาน และ h เป็น ส่วนสูง จะได้ 1) พื้นที่ผิวข้าง= 2 rh 2) พื้นที่ผิวทั้งหมด=พื้นที่ผิวข้าง + 2 เท่าของพื้นที่ฐาน พื้นที่ผิวทั้งหมด = 2 rh 2 r = 2 r h r 3) ปริมาตรทรงกระบอกตัน=พื้นที่ฐาน × สูง =r h 2
2
ตัวอย่างที่ 10 ถังเก็บน้าทรงกระบอกสูง 1.80 เมตร รัศมียาว 50 เซนติเมตร มีน้า 3 ของถัง จงหาปริมาณน้าในถัง 4
นี้และพื้นที่ผิวทั้งหมดของถัง วิธีทา จากโจทย์ h 1 . 80 เมตร และ r 50 เซนติเมตร 0.5 เมตร ปริมาตรของถังเก็บน้า = r h 2
22
0 . 5 1 . 8 1 . 4143 2
7
ปริมาณน้า
3 4
1 . 4143
1 . 0607
ลูกบาศก์เมตร
ลูกบาศก์เมตร
21
ปริมาณน้าในถังเท่ากับ 1.0607 ลูกบาศก์เมตร พื้นที่ผิวทั้งหมด== 2 r h r 2
22
ตารางเมตร
0 . 5 1 . 8 0 . 5 7 . 2285
7
3.4 กรวยกลม (Cone) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบ เดียวกับฐาน ผิวข้าง ฐาน
พื้นที่ผิวของกรวยกลม การหาพื้นที่ผิวข้างและปริมาตรของกรวยกลม ให้ r แทน ความยาวของรัศมีของฐาน h แทน ส่วนสูงของกรวย และ l แทน สูงเอียง จะได้ 1) พื้นที่ผิวข้าง = rl 2) พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน พื้นที่ผิวทั้งหมด = rl r = r l r 2
3) ปริมาตรกรวย
1
r h 2
3
ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรกรวยกับปริมาตรทรงกระบอก
ปริมาตรกรวย 1 ของปริมาตรทรงกระบอก 3
1 3
r h 2
22
ตัวอย่างที่ 11 กรวยใส่น้ามีปริมาณน้าอยู่ส่วนหนึ่งดังรูป อยากทราบว่า ปริมาณน้าที่มีอยู่และพื้นที่ผิวข้างของ กรวยเท่ากับเท่าใด
วิธีทา ให้ a เป็น ความยาวของรัศมีผิวน้า เนื่องจากสัดส่วนระหว่างรัศมีกับความสูงปลี่ยนแปลงตามกัน จะได้
a
8
ดังนั้น
5 10
ปริมาณน้า
1
a 4
r h 2
3 1 3
22
ลูกบาศก์เซนติเมตร
4 8 134 . 10 2
7
ให้ l เป็นสูงเอียง จากกฎของพีทาโกรัส จะได้ พื้นที่ผิวข้าง = rl
22 7
l
10
2
5
2
11 . 18
5 11 . 18 175 . 69
เซนติเมตร
ตารางเซนติเมตร
3.5 พีระมิด (Pyramid) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่เกิดจากการเชื่อมจุดระหว่างมุมของรูปหลายเหลี่ยม (polygon) กับจุดหนึ่งจุดที่เรียกว่า จุดยอด (apex) พื้นที่ผิวด้านข้างทุกด้านเป็นรูปสามเหลี่ยม จุดยอด สูง ฐาน
สูงเอียง
23
พีระมิดฐานสามเหลี่ยม
พีระมิดฐานสี่เหลี่ยม
พีระมิดฐานห้าเหลี่ยม
พีระมิดฐานหกเหลี่ยม
พื้นที่ผิวพีระมิดสี่เหลี่ยม
พื้นที่ผิวพีระมิดสามเหลี่ยม
การหาพื้นที่ผิวข้างและปริมาตรของพีระมิด 1) พื้นที่ผิวข้าง= 1 × เส้นรอบฐาน × สูงเอียง 2
2) พื้นที่ผิวทั้งหมด=พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน 3) ปริมาตร= 1 × พื้นที่ฐาน × สูง 3
ตัวอย่างที่ 12 โลหะทรงกรวยตันมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 40 เซนติเมตร สูง 32 เซนติเมตร เมื่อนามาหลอมเพื่อทา พีระมิด ฐานรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 10 เซนติเมตร ยาว 12 เซนติเมตรและ สูง 8 เซนติเมตรจะทาพีระมิดได้มาก ที่สุดกี่อัน วิธีทา โลหะทรงกรวยตันมี
r
40 2
20
เซนติเมตร และ h 32 เซนติเมตร
โลหะทรงกรวยตันมีปริมาตร
1
r h 2
3
1 3
22
20
2
32
7
ลูกบาศก์เซนติเมตร พีระมิด ฐานรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 10 เซนติเมตร ยาว 12 เซนติเมตร และ สูง 8 เซนติเมตร มีพื้นที่ฐานเท่ากับ 10 12 120 ตารางเซนติเมตร 13409 . 52
24
ปริมาตรพีระมิดแต่ละลูก= 1 × พื้นที่ฐาน × สูง 3
1
120 8
3
ลูกบาศก์เซนติเมตร
320
โลหะทรงกรวยตันปริมาตร 13409.52 ลูกบาศก์เซนติเมตรจะทาพีระมิดได้ 13409
320
. 52
= 41 ลูก
3.6 ทรงกลม (Sphere) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่ผิวโค้งเรียบ ทุกจุดบนผิวโค้งห่างจากจุดศูนย์กลาง เป็นระยะเท่ากันดังภาพ
ผิวโค้ง
การหาพื้นที่ผิวข้างและปริมาตรของกรวยกลม ให้ r แทน ความยาวของรัศมี จะได้ 1. พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 r 2
2. ปริมาตรของทรงกลม =
4
r
3
3
ตัวอย่างที่ 13 โลหะทรงกลมตันมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 18 เซนติเมตร เมื่อนามาหลอมเป็นโลหะทรงกลมตันขนาด เล็กได้ 81 ลูก โลหะทรงกลมตันขนาดเล็กมีรัศมี และ พื้นที่ผิวเท่ากับเท่าใด วิธีทา โลหะทรงกลมตันมี
r
18
เซนติเมตร
9
2
ปริมาตรของโลหะทรงกลม =
4
r
3
3 4
22
3
9
3
7
4
22
3
729
7
ลูกบาศก์เซนติเมตร
ให้โลหะทรงกลมตันขนาดเล็กมีรัศมียาว a เซนติเมตร ปริมาตรของโลหะทรงกลมขนาดเล็ก ปริมาตรของโลหะทรงกลม
4 3
22 7
729
4
a
3
3
ลูกบาศก์เซนติเมตร หลอมได้ 81 ลูก จะได้สมการ
25 81
4
a
3
3
81
4 3
22
a
3
4
3
22
729
7
3 a
22
729
7
9
a
4
3
7
พื้นที่ผิวของทรงกลมขนาดเล็ก = 4 r
4
3
9 2 . 08
เซนติเมตร
2
22
2 . 08
2
7
ตารางเซนติเมตร ดังนั้น โลหะทรงกลมตันขนาดเล็กมีรัศมี 2.08 เซนติเมตร และ พื้นที่ผิวเท่ากับ 54 . 389 ตาราง 54 . 389
เซนติเมตร
26
แบบฝึกหัด ข้อ 1 พ่อต้องการตัดไม้อัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยมีเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นยาว 20 เซนติเมตร และ 17 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของไม้อัดแผ่นนี้ ข้อ 2 กระจกรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแผ่นหนึ่งยาว 20 เซนติเมตร กว้าง 14 เซนติเมตร ถ้าใส่กรอบกว้าง 1 เซนติเมตร ความยาวรอบกรอบรูปนี้เป็นเท่าไร ข้อ 3 ห้องห้องหนึ่งกว้าง 4 เมตร ยาว 8 เมตร สูง 3 เมตร ต้องการทาสีผนังและเพดาน บริเวณที่ต้องทาสีมีพื้นที่ เท่าไร ข้อ 4 ผ้าเช็ดหน้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ 361 ตารางเซนติเมตร อยากทราบว่าความยาวรอบผ้าเช็ดหน้ายาวกี่ เซนติเมตร ข้อ 5 ห้องนอนมีความกว้าง 3.5 เมตร ยาว 5 เมตร ต้องการปูพรมภายในห้องโดยเว้นให้ห่างจากฝาด้านละ 0.1 เมตร ต้องใช้พรมที่มีพื้นที่กี่ตารางเมตร ข้อ 6 กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง 20 เซนติเมตร ยาว 30 เซนติเมตร สูง 25 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ด้านข้างทั้ง 4 ด้าน และก้นกล่องกี่ตารางเซนติเมตร ข้อ 7 สนามรูปวงกลม วัดเส้นผ่านศูนย์กลางได้ 5.6 เมตร จะมีพื้นที่กี่ตารางเมตร ข้อ 8 กระดาษรูปวงกลมแผ่นหนึ่งมีรัศมี 4.2 เซนติเมตร นามาแบ่งครึ่ง แต่ละครึ่งมีพื้นที่กี่ตารางเซนติเมตร ข้อ 9 กล่องพลาสติกทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่งกว้าง 60 เซนติเมตร ยาว 1 เมตร สูง 1.20 เมตร กล่องนี้จะ มีความจุกี่ลิตร ข้อ 10 ถังเก็บน้าทรงกระบอกใบหนึ่ง มีเส้นผ่าศูนย์กลาง 14 เมตร เก็บน้าเต็มถังได้ 1,848 ลิตร ถังเก็บน้านี้มี ความสูงเท่าใด ข้อ 11 ลังไม้ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก มีด้านกว้าง 1 เมตร ยาว 2 เมตร และสูง 1 เมตร ถ้าต้องการทาสีลังไม้นี้ทั้ง ภายนอกและภายใน บริเวณที่ทาสีจะมีพื้นที่ประมาณเท่าใด ข้อ 12 กระป๋องทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 3.5 เซนติเมตร สูง 12 เซนติเมตร จะมีพื้นที่ผิวภายนอกกระป๋อง เท่าใด ข้อ 13 ตัวถังส่วนที่ใช้บรรทุกของรถบรรทุกคันหนึ่งกว้าง 1.5 เมตร ยาว 2.5 เมตร สูง 1.2 เมตร รถคันนี้จะ บรรทุกข้าวเปลือกได้ประมาณกี่เกวียน ข้อ 14 ลูกเหล็กทรงกลมลูกหนึ่งมีเส้นผ่าศูนย์กลาง 14 เซนติเมตร ลูกเหล็กนี้จะมีปริมาตรเท่าไร ข้อ 15 หลังคาผ้าใบของของเต้นมีลักษณะเป็นรูปทรงกระบอกผ่าครึ่ง คลุมพื้นดินได้กว้าง 7 เมตร ยาว 10 เมตร จะต้องใช้ผ้าใบทาหลังคาอย่างน้อยกี่ตารางเมตร ข้อ 16 ท่อระบายน้าทรงกระบอกยาว 1 เมตร หนา 5 เซนติเมตร เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกยาว 40 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของท่อระบายน้านี้ ข้อ 17 ถังเก็บน้ารูปกรวยสูง 6 เมตร และมีเส้นรอบวงของปากกรวยยาว 31.4 เมตร ถ้าต้องการใส่น้าไว้ในถัง
27
นี้
1 2
ของความจุของถัง จะต้องใส่น้าลงถังนี้กี่ลูกบาศก์เมตร
ข้อ 18 หลอดแก้วรูปทรงกระบอกมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 7 เซนติเมตร มีน้าต่ากว่าระดับปากหลอดแห้ งลงไป 16 เซนติเมตร จงหาที่ว่างของหลอดแก้ว ข้อ 19 กระป๋องออมสินรูปทรงกระบอกมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิว ทั้งหมดของกระป๋องใบนี้ ข้อ 20 จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดและปริมาตรของปริซึมรูปสามเหลี่ยมซึ่งสูง 8 นิ้ว ด้านข้างของสามเหลี่ยมมีฐาน ยาว 3, 4 และ 5 นิ้ว ตามลาดับ ข้อ 21 เสาคอนกรีตต้นหนึ่งเป็นรูปปริซึมหกเหลี่ยมด้านเท่า ยาวด้านละ 8 นิ้ว เสานี้จะหนักเท่าใด ถ้าคอนกรีต หนึ่งลูกบาศก์ฟุตหนัก 135 ปอนด์ เสาสูง 12 ฟุต กาหนดให้พื้นที่ของหกเหลี่ยมด้านเท่า เท่ากับ 3
3 2
× (ด้าน)2
ข้อ 22 ถังน้ารูปปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากมีความกว้าง 6 ฟุต ความยาว 8 ฟุต และ ความสูง10 ฟุต ถังน้าใบนี้จุน้าได้ กี่แกลลอน (1 ลูกบาศก์ฟุต = 7.5 แกลลอน ) ข้อ 23 จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดและปริมาตรของปิรามิด ซึ่งสูง 15 เซนติเมตร ฐานซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวด้าน ละ 16 เซนติเมตร ข้อ 24 ลูกปืนเป็นทรงกลม 3 ลูก มีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 3, 4, 5 เซนติเมตรถ้าหลอมลูกปืนทั้งสามให้เป็นลูก เดียวกัน ลูกปืนทรงกลมใหม่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่าไร ข้อ 25 โคมไฟฟ้าแก้วรูปทรงกลมมีรัศมีภายนอก 10 เซนติเมตร แก้วหนา 0.3 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของแก้ว ที่ใช้ทาโคมไฟฟ้านี้ ข้อ 26 โต๊ะอาหารเป็นรูปวงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 84 เซนติเมตร จะมีพื้นที่เท่าไร ข้อ 27 รูปวงกลม 2 รูปมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน รูปวงกลมที่ 1 มีรัศมี 7 เซนติเมตร รูปวงกลมรูปที่ 2 มีรัศมี 14 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ของรูปวงแหวนระหว่างรูปวงกลมสองรูปนี้ ข้อ 28 ถ้าเอาลูกตุ้มที่มีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 6 นิ้ว หย่อนลงในถังกระบอกตรงตรงเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 1.5 ฟุต ในถังมีน้าอยู่เกือบครึ่งหนึ่ง เมื่อหย่อนลูกตุ้มลงไปน้าในถังกระบอกสูงขึ้นกว่าเดิมอีกเท่าไหร่ ข้อ 29 ลูกโลกจาลองลูกหนึ่งมีพื้นที่ตามผิว 1,386 ตารางนิ้ว จงหารัศมีและปริมาตรของลูกโลกจาลอง ข้อ 30 กรวยกลมลูกหนึ่งสูง 1 ฟุต และเส้นผ่านศูนย์กลางที่ฐานเป็น 5 ฟุต 10 นิ้ว จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดและ ปริมาตรของกรวยกลมนี้ ข้อ 31 แท่งแก้วทรงปริซึม มีฐานเป็นรูปสามเหสี่ยมที่มีความยาวด้านละ 9, 10 และ 17 เซนติเมตร ส่วนสูง
28
เท่ากับ 15 เซนติเมตร จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวรอบนอกทั้งหมด ข้อ 32 บ่อน้าแห่งหนึ่งก้นบ่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ด้านคู่ขนานยาว 6.7 และ 7.3 เมตร เส้นขนานคู่นี้ห่างกัน 4 เมตร และบ่อลึก 2 เมตร จงหาปริมตรของบ่อนี้ ข้อ 33 กระป๋องนมใบหนึ่งมีพื้นที่ตามผิวโค้ง 1,600 ตารางเซนติเมตร รัศมียาว 10.5 เซนติเมตร จงหาปริมาตร ข้อ 34 เหล็กแท่งหนึ่งเป็นรูปทรงกระบอกกลวงสูง 25 เซนติเมตร รัศมีขอบนอกยาว 5 เซนติเมตร รัศมีภายใน 3 เซนติเมตร เมื่อหลอมแท่งเหล็กนี้ให้เป็นรูปทรงกระบอกตันสูง 16 เซนติเมตร รัศมีของแท่งเหล็กใหม่ ยาวเท่าไร ข้อ 35 จะต้องใช้ผ้ากี่ตารางฟุตเพื่อทาหลังคากระโจมรูปกรวยกลม ซึ่งมีความสูงเอียง 10 ฟุต และเส้นผ่าน ศูนย์กลางของปากกระโจมยาว 14 ฟุต ข้อ 36 จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิด ทรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ 16 ฟุต และสูง 6 ฟุต ข้อ 37 พื้นที่ผิวโค้งของรูปทรงกระบอกรูปหนึ่ง เท่ากับ 2,640 ตารางเซนติเมตรและมีปริมาตรเท่ากับ 26,400 ลูกบาศก์เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวโค้งของรูปกรวยกลม ซึ่งมีฐานและส่วนสูงเท่ากับฐานและส่วนสูงของ รูปทรงกระบอก ข้อ 38 รูปกรวยกลมอันหนึ่งมีรัศมีที่ฐานยาว 6 นิ้ว สูงเอียง 10 นิ้ว ถ้าจะทาสีiรอบผิวโค้งจากฐานขึ้นมาโดยรอบ สูงตามแนวเอียง 4 นิ้ว ส่วนที่ทาสีมีพื้นที่เท่าไร ข้อ 39 เอาตะกั่วลูกหนึ่ง ซึ้งมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาว 3 นิ้ว มาหลอมเป็นลูกกลม 3 ลูกเส้นผ่านศูนย์กลางของสอง ลูกยาวนิ้วครึ่ง และสองนิ้วครึ่งตามลาดับ ตะกั่วลูกที่สามจะมีเส้นผ่านศูนย์กลางยาวเท่าไร ข้อ 40 ปริซึมแท่งหนึ่ง มีหน้าตัดหัวท้ายเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งมีฐานยาว 3 นิ้ว สูง 2 นิ้ว ปริซึมแท่งนี้สูง 4 นิ้ว จงหาพื้นที่ทั้งหมด และปริมาตรของปริซึม ข้อ 41 จงหาปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งยาว 10 นิ้ว กว้าง 6 นิ้ว ปิรามิดสูง 15 นิ้ว ข้อ 42 สระว่ายน้ายาว 40 ฟุต กว้าง 20 ฟุต ที่ก้นถังด้านหนึ่งลึก 3 ฟุต และลาดลงไปอีกด้านหนึ่งลึก 10 ฟุต สระ นี้จะจุน้ากี่ลูกบาศก์ฟุต ข้อ 43 จงหาพื้นที่ทั้งหมดและปริมาตรของกรวยกลมซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางที่ฐานยาว 6 นิ้ว กรวยกลมสูง 4 นิ้ว ข้อ 44 ดินน้ามันก้อนหนึ่งปั้นเป็นรูปทรงกลมมีรัศมียาว 4 เซนติเมตร เมื่อทุบแล้วปั้นเป็นรูปกรวยกลมมีส่วนสูง 25 เซนติเมตร จงหาว่ารัศมีฐานกรวยยาวเท่าไร ข้อ 45 ถ้าต้องการที่จะทาสีทรงกลมที่มีรัศมียาว 1 หน่วย กับทรงกลมรัศมียาว 2 หน่วย อยากทราบว่าพื้นที่ในการ ทาสีทรงกลมรัศมี 2 หน่วยเป็นกี่เท่าของพื้นที่ในการทาสีทรงกลมรัศมี 1 หน่วย
29
บรรณานุกรม Cooke, Charles, and Crust, Rita. (1992). Shape and Space. Cheltenham, England: Stanley Thornes. ________. (2547). คู่มือการเรียนรู้คณิตศาสตร์ไม่มีรั้วกั้น . วันที่ค้นข้อมูล 1 กันยายน 2554 , เข้าถึงได้จาก http://202.143.132.9/mat-sci/Matt/ วิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี. (2554). รูปทรงเรขาคณิต. วันที่ค้นข้อมูล 15 สิงหาคม 2554 , เข้าถึงได้จาก http://th.wikipedia.org/wiki/ รังสรรค์ ศรีสาคร. เครื่องมือวัดความยาว. วันที่ค้นข้อมูล 10 กันยายน 2554, เขาถึงได้จาก http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet3/kung/long/longmeas.htm Modified: 07 November 2013 Modified: 19 July 2013