3° Aritmetica

ARITMÉTICA 3er AÑO DE SECUNDARIA

Cálculos Básicos I Cálculos Básicos II Conjuntos I Repaso Conjuntos II Numeración I Numeración II Repaso Adición Sustracción Multiplicación División Potenciación Repaso Teoría de la Divisibilidad Repaso Divisibilidad Números Primos Maximo Común Divisor (M.C.D.) Repaso Minimo Común Múltiplo (M.C.M.) Racionales I Racionales II Repaso Razones Proporciones Repaso Promedios Regla de Tres Simple Regla del tanto por Cuanto Regla de Interés Simple Repaso

5 9 15 22 26 33 40 47 52 59 62 68 74 81 85 92 96 102 108 114 117 123 128 134 137 142 150 154 160 166 172 179

ARITMÉTICA 3er AÑO DE SECUNDARIA

Aritmética

Cálculos Básicos I Descomposición Polinómica de un Numeral * CIFRA X CIFRA

Factorización o Descomposición de Números: *Descompón en factores:

* 4675 = 4000 + 600 + 70 + 5

3

2

= 4x10 +6x10 +7x10+5

* 5831 = 5000+800+30+1

3

2

= 5x10 +8x10 +3x10+1

* 3427 = 3000+400+20+7 = 3x103 +4x102 +2x10+7

a) 240 240 120 60 30 15 5 1

b) 140 140 2 70 2 35 5 7 7 2 1 140 = 2 x5x7 c) 332 332 2 166 2 83 83 2 1 332 = 2 x 83

Observación: * 5021(7) = 5x73+2x71+1 * 3452(6) = 3x63+4x62+5x6 +2 4

* 10001(5) = 1x5 +1

2 2 2 2 3 5

Nivel I 1) Si: A = -15 +(18-16+19) - 3(15-4) y B = -91 - (16 -17 -17) -2(-18), halla A+B.

240 = 24 x3x5

a) 69 d) -69

* * * *

ENUNCIADO ¨Forma Verbal¨

EXPRESIÓN MATEMÁTICA ¨Forma Simbólica¨

La suma de 2 números consecutivos. La suma de 3 números enteros consecutivos. Si tengo a, entonces el cuádruple de lo que tengo. Si tengo y, entonces el doble de lo que tengo, aumentado en 20.

* Si tengo z, entonces el triple de lo que tengo, disminuido en 10. * El cuadrado de la suma de 2 números.

3ro de Secundaria

⇒

x + ( x+1)

⇒

x + ( x+1) + (x+2)

⇒

4a

⇒

2y +20

⇒

3z - 10

⇒

(x + y)2

Un eulerino... un triunfador

c) -64

2) Si: M =-35 -5(8-16) +(16-19)+26 y N = 45 - 35(17-23) -(15+16), halla M - N.

a) -194 d)198

Ecuaciones de Primer Grado Una ecuación es una relación de igualdad que se establece entre 2 expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable.

b) -27 e) -8

b) -196 e) 196

c) -198

3) Si: A= -25 -17 - 5(6 - 7) - 3(-5) y B = - 15 +19- 6(8-7) - 2(-3), halla A x B.

a) 88 d) - 26

b) -88 e) - 22

c) 22

5

Aritmética

4) Si: M= 4 - 15 +19 - 2(16 - 23) y

N = - 19 - 35 - 3(5 - 7) - (-8),

halla M x N. a) 880 d) - 88

8) Calcula el mayor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 240. a) 12 d) 18

b) -22 e) 88

c) -880

I) El producto de 2 factores Z+ consecutivos. _________________________ II) El producto de 4 factores Z+ consecutivos. _________________________ III) El producto de 5 factores Z+ consecutivos. _________________________ IV) El producto de 7 factores Z+ consecutivos. _________________________ 6) Descompón 1260 en:

I) El producto de 2 factores Z+ consecutivos. _________________________ II) El producto de 6 factores Z+ consecutivos. _________________________ +

III) El producto de 7 factores Z consecutivos. _________________________

IV) El producto de 10 factores Z+ consecutivos. _________________________ 7) El producto de dos números naturales es 420. Calcula el mayor de éstos, sabiendo que son consecutivos. a) 20 d) 25

6

b) 21 e) 26

c) 22

c) 16

9) Calcula el menor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 182.

5) Descompón 420 en:

b) 15 e) 20

a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

10) Calcula el menor de dos números naturales consecutivos cuyo producto sea 90. a) 15 d) 9

b) 45 e) 6

c) 20

11) Dos números están en la realación de 3 a 5 y suman 80, calcula el mayor de ellos. a) 50 d) 15

b) 30 e) 10

b) 65 e) 180

b) 100 e) 20

c) 130

c) 70

14) Calcula el menor de 2 números cuya diferencia es 52 y estén en la relación de 7 a 3. a) 13 d) 52

b) 60 e) 39

c) 91

15) Las edades de Pedro y su hijo son como 9 es a 7. ¿A qué edad tuvo Pedro a su hijo si actualmente posee 81 años? a) 45 d) 50

b) 36 e) 60

a) 90 d) 27

b) 30 e) 18

c) 24

17) ¿Cuántos "octavos" hay en 4 1/4? a) 16 d) 64

b) 32 e) 100

c) 34

18) Auméntale a 2/3 sus 2/3. a) 4/3 b) 11/9 d) 12/15 e) 12/3

c) 10/9

19) Auméntale a 4/5 sus 4/5. a) 36/25 b) 16/25 c) 16/5 d) 136/5 e) 32/25 20) Disminúyele a 5/8 sus 3/8.

13) Calcula el menor de 2 números cuya diferencia sea 50 y estén en la relación de 12 a 7. a) 120 d) 40

16) ¿Cuántos "novenos" hay en 3 1/3?

c) 20

12) Dos números suman 200 y están en la relación de 13 a 7. El mayor de ellos es: a) 70 d) 120

Nivel II

c) 18


a) 1/4 b) 25/64 c) 15/16 d) 10/16 e) 31/32 21) Disminúyele a 4/5 sus 3/8. a) 17/40 b) 12/56 c) 1/2 d) 1 e) 11/56 22) El producto de tres números consecutivos es 90 veces el menor. Indica el mayor de ellos. a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

23) El producto de dos números impares es 783. Indica el mayor. a) 21 d) 27

b) 31 e) 29

c) 33

24) El producto de dos números pares consecutivos es 5624. Indica el mayor de ellos. a) 74 d) 78

b) 72 e) 82

c) 76

3ro de Secundaria

Aritmética

25) ¿Cuántos dígitos tendrá el producto de 212 x 58 ? a) 9 d) 12

b) 10 c) 11 e) más de 12

26) ¿Cuántos dígitos tendrá el producto de 216 x 512 ? a) 12 d) 15

b) 13 c) 14 e) más de 15

27) ¿En cuánto aumenta el producto de 283 x 198 si se aumenta cada factor en 1? a) 1 d) 481

b) 283 e) 482

b) 3 e) 9

c) 5

29) Dos números difieren en 3 unidades y de su producto es 208. Calcula el mayor de ellos. a) 13 d) 20

b) 16 e) 21

c) 18

30) Un lingote pesa 6kg más la cuarta parte de su peso total. ¿Cuánto pesa el lingote? a) 6kg d) 16kg

b) 8kg e) 12kg

c) 10kg

Nivel III

b) 20L e) 50L

c) 30L

3ro de Secundaria

n(n+1) = 42 n(n+1) = 90 n² + n = 132 n(n+3) = 70 n² + 3n = 208 n(n+2) = 80 n(n+4) = 221 n(n-2) = 440 (n+1)(n+3) = 1023 (n+1)(n+3) = 255

33) Dos números están en la misma razón que 3 y 5. Si la suma de éstos es 56, calcula el menor. a) 20 d) 23

b) 21 e) 25

c) 22

34) Si la edad de Alicia es a la edad de Beto, como 6 es a 7, halla la edad de Beto si la diferencia de sus edades es 4.

a)25 años b)28 años c) 30 años d)12 años e) 15 años

35) Si A = 3 y 7A - 4B = 26 , B 2 halla A + B.

a) 9 d) 15

b) 10 e) 20

a) 120 d) 150

b) 123 e) 195

c) 130

37) Si la suma de dos números es 25 y su diferencia es 13, calcula el menor de ellos.

a) 6 d) 7

b) 8 e) 9

38) Si las edades de Alejandro y Beatriz suman 58 y Alejandro es mayor que Beatriz por 6 años, calcula la edad de Alejandro.

c) 10


a) 30 años b) 31años c)32años d) 33 años e) 34 años

39) Si el precio de la papa excede en S/.1,20 al precio del queso, halla el precio del queso si la suma de ambos es S/.4,60.

a) S/. 0,5 b) S/. 1,5 c) S/.1,7 d) S/. 2,0 e) S/. 2,3

40) Si el precio de la papa excede en S/.1,20 al precio del queso, halla el precio del queso si la suma de ambos es S/.4,60.

a) S/. 0,5 b) S/. 1,5 c) S/.1,7 d) S/. 2,0 e) S/. 2,3

41) Si se sabe que un kilogramo de arroz cuesta S/.1,20, ¿cuál es el precio de 400 gramos?

a) S/.0,30 b) S/.0,50 c)S/.0,36 d) S/.0,48 e) S/.0,25

42) Si un atleta recorre un kilómetro en 7 minutos, ¿en cuánto tiempo recorrerá 650 metros? a) 3,5 min b) 4,51 min c) 4,55 min

c) 12

36) Los números A, B, C y D están en la misma relación que 3, 5, 2 y 7, halla A + D si la suma de los cuatro es 221.

31) Se desea obtener alcohol al 80% de pureza para lo cual se posee 40 litros de alcohol puro. ¿Cuál será la cantidad de agua a mezclar con el alcohol puro? a) 10L d) 40L

c) 198

28) Si se efectúa 2137753, la cifra de las unidades del producto final es. a) 1 d) 7

32) Calcule ‘‘n’’, sabiendo que es entero positivo.

d) 6,3min e) 6,5 min

43) Si un alumno puede resolver 48 problemas en una hora, ¿cuántos problemas resolverá en 35 minutos?

a) 25 d) 28

b) 26 e) 30

c) 27

44) Si una batería termina de consumirse en 4 días, ¿en cuántos días se habrán consumido los 5/7 de ésta? a) 15/7 días b) 10/7 días c) 16/9 días

d) 20/7 días e) 15/9 días

7

Aritmética

45) Calcula el 20% del 50% del 15% de 3000.

47) ¿Qué porcentaje de 30 000 es 7500?

a) 50 d) 39

b) 45 e) 49

c) 36

a) 10% d) 25%

b) 15% e) 50%

c) 30%

46) Calcula el 40% del 25% del 10% de 70 000.

48) ¿Qué porcentaje de 45 000 es 9000?

a) 500 d) 700

b) 100 e) 120

c) 150

a) 10% d) 25%

49) El producto de dos números impares positivos consecutivos es 323, halla el menor.

b) 15% e) 30%

c) 20%

a) 17 d) 23

b) 13 e) 21

50) Un galón de pintura rinde para 30 m². Si con los 2/5 de los 3/4 de 8 galones se han pintado los 2/3 de los 4/5 de una pared, ¿cuál es la superficie de dicha pared? a) 720 m2 b) 270 m2 c) 135 m2

A = -10 + ( 15 - 12 + 7 ) - 3( 5 - 2 ) B = -12 - ( 10 - 9 - 8 ) - 2(- 4)

a) -3 b) -6 c) 3

d) 6 e) 9

3) Halla cuántos "tercios" hay en : 2 1/3

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

d) 13,5 m2 e) 520 m2

2) El producto de dos números naturales es 17. Calcula la suma de ellos.

1) Calcula A + B si:

a) 10 b) 18 c) 7

d) 3 e)14

4) Indica cuántos dígitos tendrá el producto de: 210 x 54

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 10

5) Un lingote pesa 2400 g más la tercera parte de su peso total. ¿Cuánto pesa el lingote?

8

a) 2700 g b) 3600 g c) 4000 g

c) 19

d) 4200 g e) 5000 g


3ro de Secundaria

Aritmética

Cálculos Básicos II

La invención de los números data de los albores de la humanidad, de allí que el profesor Puig Adam de la Real Academia Española de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales dijera que ‘‘la Matemática es tan vieja como el instinto de propiedad, es decir, tan antigua como el hombre’’. Y agregara: ‘‘Éste se sintió matemático en cuanto el afán de retener lo suyo lo llevó a contar sus rebaños y a medir sus tierras’’. Pero, ¿cómo contaban sus ovejas, sus bueyes o sus caballos? Pues por medio de guijarros (piedras), que iban colocando en un recipiente de barro, uno por cada animal que hacían entrar en el redil . He aquí como se manifestaba su instinto de propiedad. También, y con el mismo fin, solían hacer marcas en los árboles.

1. Aritmética Es la parte de la matemática que tiene por objeto el estudio del número. En aritmética se estudian las propiedades, las operaciones, las medidas y las comparaciones que se realizan utilizando números.

3. Conjuntos Numéricos A) LOS NÚMEROS NATURALES (N) Son aquellos que se obtienen de la observación de los objetos que se encuentran en la naturaleza.

2. El número Es un ente abstracto, es decir, que no existe en el mundo real. Es la idea de cantidad que se forma en nuestra mente al observar los elementos de un conjunto. Por ejemplo, cuando observamos los dedos de una mano se forma en nuestra mente una idea de cantidad a la cual llamamos cinco: esta idea es un número.

3ro de Secundaria

N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

B) LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) Son aquellos que se obtienen como la diferencia de dos números naturales.

Por ejemplo: 5 – 2 = 3, 4 – 4 = 0 y 3 – 7 = -4 Z = { ... , – 3, –2, –1, 0,1,2,3, ...}


C) LOS NÚMEROS RACIONALES (Q) Son aquellos que se obtienen como el cociente de dos números enteros. Ejemplo:

2 = 6 , –3 = -6 , 0 = 0 3 2 4 1 5 0,5 = , 2,5 = , 0,3 = 1 2 2 3 23 0,25 = 90 Q={

a / a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0} b

D) LOS NÚMEROS IRRACIONALES (I) Son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. Los números irracionales tienen expresión decimal infinita no periódica. Ejemplo:

2 = 1,4142...

π = 3,141593...

e = 2,7182...

I = {x/x tiene expresión decimal no periódica} E) LOS NÚMEROS REALES (R) Contienen a los números racionales e irracionales. R={x/x es racional o irracional} R=Q∪I

9

Aritmética

Ejemplo 3: Tiburcio demora 18 minutos en comer un pollo. ¿Qué parte del pollo comió en 1 minuto? a) 3/4 d) 1/6

Pedro Puig Adam (1900 – 1960) Fue uno de los matemáticos españoles que más trabajaron en la didáctica de las Matemáticas. Fue, salvo entre los círculos profesionales españoles, un desconocido. Catedrático del Instituto San Isidro de Madrid y de Metodología de las Matemáticas en aquella universidad, compaginaba su contacto real con la enseñanza con sus inquietudes pedagógicas ,influyendo en los nuevos profesores. Su preocupación por los problemas de la enseñanza lo llevó a ser un destacado miembro de la C.I.E .M. (Comisión Internacional para la Enseñanza de las Matemáticas), logrando que la XI C.I.E.M. se celebrase en Madrid en 1958. En este mismo año redactó el Decálogo del Profesor de Matemáticas en el que recogía sus opiniones sobre la enseñanza de las matemáticas en los Institutos de Bachillerato. El Decálogo, siempre en vigor, nos muestra como los actuales pontífices didácticos no nos descubren nada nuevo.

10

c) 1/9

Resolución:  El total del pollo en 18 minutos.  En un minuto Ejemplo 1: Una persona demora 20 min en lustrar el piso de su sala. ¿Qué parte lustró en 1 minuto? a) 1/5 d) 1/10

b) 1/20 e) 1/15

c) 1/2

Resolución:  Lustra una sala en 20 min. 1 20

 En un minuto

Ejemplo 4: Los 4/7 de la propina de Luis equivalen a 52 nuevos soles. ¿Cuánto es la propina de Luis? a) S/.103 b) S/.97 d) S/.83 e) S/.91

c) S/.102

Total = x

Un obrero demora 8 días en abrir una zanja. ¿Qué parte de la zanja abrió en dos días? a) 1/2 d) 1/4

1 18

Resolución:

Ejemplo 2:

b) 1/8 e) 1/16

4 7

x = 52 x = S/.91

c) 1/5

Resolución: 1 1 + = 8 8

Aquí se ve el famoso Omnipoliedro y el Icosaedro construidos por él en el Instituto San Isidro.

b) 2/18 e) 1/18

2 8

1 4


3ro de Secundaria

Aritmética

Ejemplo 5:

2) Efectúa:

Un alumno de colegio pesa 16 kg más los 3/7 de su peso total. ¿Cuánto pesa dicho alumno?

15 x 6 x 3 =  6 x 5 21 25 21

a) 22kg d) 24kg

b) 19kg e) 21kg

c) 28kg

Resolución: Total = x 16 + 3 x = x 7 16 = x – 3 x 7 16 = 4x 7 x = 28 kg

1  2 3 x 4 5 6

12 x 9 =  4 x 9 5 16

 4 de los 10 de 810. 5 27

9 8 25 de 4 de los de 64. 11 9 16

4) Resuelve:

1) Efectúa:

2 x  x + = 26 3 5

11 – 3 + 5 =  7 7 7

 5 x + 3 x = 70 – 2 x 9 5 5

 1 – 5 + 1 = 3 2 6



6 2 5 – + = 8 3 15

 –1 + 3 + 2 = 2 5  3 6 – 9 + 1 3 = 8 5 4  6 – 2 – 2 2 = 7 3

3ro de Secundaria

1 3 100 (2x) + (3x) = + 6 7 4 7

 3 (2x) – 1 ( x ) = x + 5 2 4 2 2 5) Calcula «n», sabiendo que es entero positivo.

 n(n+1) = 42  n(n+2) = 80  n (n+1)=90  n(n+4)=221  n2 + n = 132  n(n – 2) = 440  n(n + 3) = 70  (n + 1)(n + 3)= 1023  n2 + 3n = 208  (n + 1) (n + 3) = 255


d) 12 años e) 15 años

8) Si A = 3 y 7A – 4B = 26, 2 B

12 x 15 x 5 x 6 =  6 6 20 7

Nivel I



a) 25 años b) 28 años c) 30 años

30 x 11 x 14 =  77 15 9

3) Calcula:

d) 23 e) 25

7) La edad de Alicia es a la edad de Beto como 6 es a 7. Halla la edad de Beto si la diferencia de sus edades es 4 años.

=

 5 de los 14 de los 12 de 50. 7 3 5

2 4 3 + – = 5 8 6

a) 20 b) 21 c) 22

 14 x 8 x 3 = 9 21 2





6) Dos números están en la misma razón que 3 y 5. Si la suma de éstos es 56, calcula el menor.

halla A + B. a) 9 b) 10 c) 12

d) 15 e) 20

9) Los números A, B y C están en la misma relación que 3, 5, 2 y 7. Halla A + D si la suma de los cuatro es 221. a) 120 b) 123 c) 130

d) 150 e) 195

10) Si la suma de dos números es 25 y su diferencia es 13, calcula el menor de ellos. a) 6 b) 8 c) 10

d) 7 e) 9

11) Si las edades de Alejandro y Beatriz suman 58 y Alejandro es mayor que Beatriz por 6 años, calcula la edad de Alejandro. a) 30 años b) 31 años c) 32 años


12) El precio de la papa excede en S/. 1,20 al precio del queso. Halla el precio del queso si la suma de ambos es S/. 4,60. a) S/. 0,5 b) S/. 1,5 c) S/. 1,7

d) S/. 2,0 e) S/. 2,3

11

Aritmética

13) Si se sabe que un kilogramo de arroz cuesta S/.1,20, ¿cuál es el precio de 400 gramos? a) S/. 0,30 b) S/. 0,50 c) S/. 0,36

d) S/. 0,48 e) S/. 0,25

14) Si un atleta recorre un kilómetro en 7 minutos, ¿en cuánto tiempo recorrerá 650 metros? a) 3,5 min b) 4,51 min c) 4,55 min

d) 6,3 min e) 6,5 min

15) Si un alumno puede resolver 48 problemas en una hora, ¿cuántos problemas resolverá en 35 minutos? a) 25 b) 26 c) 27

d) 28 e) 30

16) Si una batería termina de consumirse en 4 días, ¿en cuántos días se habrá consumido los 5/7 de ésta? d) 20/7 días e) 15/9 días

17) Calcula el 20% del 50% del 15% de 3000. a) 50 b) 45 c) 36

d) 39 e) 49

18) Calcula el 40% del 25% del 10% de 7000. a) 500 b) 100 c) 150

d) 700 e) 120

19) ¿Qué porcentaje de 30 000 es 7 500? a) 10% b) 15% c) 30%

12

a) 10% b) 15% c) 20%

d) 25% e) 30%

21) El producto de dos números impares positivos consecutivos es 323. Indica el menor. a) 17 b) 13 c) 19

d) 23 e) 21

22) Un galón de pintura rinde para 30m2. Si con los 2/5 de los 3/4 de 8 galones se han pintado los 2/3 de los 4/5 de una pared, ¿cuál es la superficie de dicha pared? a) 720 m2 b) 270 m2 c) 135 m2

d) 13,5 m2 e) 520 m2

23) ¿Cuántos «cuartos» hay en 5 1/2?

Nivel II

a) 15/7 días b) 10/7 días c) 16/9 días

20) Qué porcentaje de 45 000 es 9 000?

d) 25% e) 50%

a) 11 b) 22 c) 33

d) 44 e) 10

24) ¿Qué parte de 3 1/3 es lo que le falta a 1/9 para ser igual a los 2/3 de 3/5? a) 11/45 b) 9/150 c) 13/150

d) 2/5 e) 41/150

d) 19 e) 23

26) Para terminar una obra en 9 días se necesitan 32 obreros. ¿En cuántos días terminarán la obra 24 obreros? a) 11 b) 12 c) 13

a) 8 b) 6 c) 7

d) 2 e) 5

28) Veinte obreros construyen 28 metros de pared en cada día. ¿Cuál será el avance diario si se retiran 5 obreros? a) 13 m b) 19 m c) 21 m

d) 25 m e) 30 m

29) Veinticuatro carpinteros hacen una casa en 30 días. El triple de carpinteros, ¿qué tiempo tomarán para hacer la misma obra? a) 30 d b) 20 d c) 21 d

d) 5 d e) 40 d

30) Una cocinera demora 26 min en preparar cierta comida. ¿Qué parte de dicha comida prepara en 2 min? a) 1/2 b) 1/13 c) 1/26

d) 1/4 e) 1/5

Nivel III

25) El producto del mayor y el menor de tres números consecutivos es 288. Calcula el número intermedio. a) 15 b) 17 c) 13

27) Cinco paquetes de chocolates son suficientes para 20 niñas. ¿Cuántos paquetes de chocolates se necesitarán para 32 niñas?

d) 14 e) 15


31) José demora 10 segundos en tomarse un vaso de agua. ¿Qué parte tomó en un segundo? a) 1/4 b) 1/2 c) 1/5

d) 1/10 e) 1/20

32) Un caño llena un depósito en 7 min. ¿Qué parte del depósito llena en 1 min? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/5

d) 1/6 e) 1/7

3ro de Secundaria

Aritmética

33) Eduardo pinta 1/4 de una casa en un día. ¿En cuánto tiempo pintará toda la casa? a) 10 días b) 8 días c) 5 días

d) 4 días e) 2 días

34) Un caño «A» llena un depósito en 3 min y otro caño «B» llenaría el depósito en 6 min. ¿Qué parte llenarían los dos caños en 1 min? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 1/6 e) 1/8

35) Mediante un cierto mecanismo una piscina puede ser vaciada en 20 horas. ¿Qué parte de la piscina se vacía en una hora? a) 1/3 b) 1/6 c) 1/10

d) 1/20 e) 1/30

36) Dado el numeral 43176543, halla la suma de las cifras de tercer y sexto orden. a) 6 b) 12 c) 8

d) 5 e) 9

37) Halla el número de dos cifras del sistema decimal que sea igual a ocho veces la suma de sus cifras. a) 64 b) 56 c) 54

d) 63 e) 72

38) ¿Cuántos números de dos cifras equivalen al cuádruple de la suma de sus cifras? a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

39) Disminuye a 400 sus 7/25. a) 640 b) 288 c) 112

d) 622 e) 138

3ro de Secundaria

40) Los 3/5 del costo de un artefacto es S/. 42. ¿Cuánto cuesta el artefacto? a) S/. 140 b) S/. 50 c) S/. 60

d) S/. 80 e) S/. 70

41) En un aula hay 42 alumnos. Si los 3/7 son hombres, ¿cuántas mujeres hay en dicha aula? a) 18 b) 6 c) 30

d) 24 e) 21

42) Mi cumpleaños es el 12 de junio. En ese día, ¿qué parte del mes ya pasó? a) 12/31 b) 3/7 c) 2/5

d) 3/5 e) 1/4

d) 21 e) 42

44) Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Si se extraen 15 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de leche salen? a) 7 b) 10 c) 6

a) 10 b) 20 c) 11/70

d) 1/10 e) 1/7

48) Se tiene 15 botellas de 4/3 de litro cada una. Si se vierten los 3/5 de las 15 botellas, ¿cuántos litros quedan? a) 10 b) 9 c) 8

d) 6 e) 7

49) Calcula la suma de cifras del resultado:

43) Perdí los 2/7 de mi dinero, luego perdí 15 soles más y aún me queda una cantidad igual a los 5/4 de 24. ¿Cuántos soles tenía al principio? a) 35 b) 70 c) 63

47) ¿Cuál es el número que disminuido en 7 unidades produce un resultado igual al que se obtiene multiplicándolo por 3/10?

E = (9999 .... 9999)2 27 cifras

a) 250 b) 240 c) 243

d) 500 e) 600

50) ¿Cuánto le falta a la mitad de 8/11 para ser igual a los 5/7 de los 2/3 de los 6/11 de 7? a) 15/11 b) 16/11 c) 20/11

d) 30/11 e) 12/11

d) 9 e) 8

45) Un túnel contiene 40 litros de vino y 10 litros de agua. Si extraemos 35 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de vino salen? a) 28 b) 26 c) 32

d) 30 e) 25

46) Si A es los 2/3 de 9/7 y B es los 5/4 de 2/3, halla A – B. a) 1/32 b) 1/42 c) 6/7

d) 5/6 e) 5/7


13

Aritmética

2) Un depósito se vacía mediante cierto dispositivo en 2 horas, y mediante otro dispositivo en 4 horas. ¿Qué parte vaciarán los dos dispositivos simultáneamente en 1 hora?

1) Un caño «A» llena un depósito en 3 min y otro caño «B» llenaría el depósito en 6 min. ¿Qué parte llenarían los dos caños en 1min?

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 1/6 e) 1/8

3) De los dos caños que fluyen a un tanque, uno solo lo puede llenar en 3 horas. ¿Qué parte llenarán los dos caños juntos en 1 hora? Considera que ambos caños trabajando solos se demoran el mismo tiempo para llenar el tanque.

a) 1/3 b) 1/5 c) 3/5

d) 2/3 e) 5/3

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 3/4 e) 4/3

4) Una fracción irreductible se multiplica por 5 y la misma fracción se divide entre 7. Si el producto de ambos resultados es 3,8 , halla la suma del numerador y el denominador de la fracción original.

a) 1/3 b) 1/5 c) 3/5

d) 2/3 e) 5/3

5) Una persona ha perdido en un negocio la cuarta parte de los 5/3 de su dinero, quedándole S/. 600. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?

a) S/. 900 b) S/. 180 c) S/. 1200

d) S/. 1500 e) S/. 900

“Tenemos la virtud, que a veces es defecto, de la GENEROSIDAD en el momento del triunfo, sin darnos cuenta de que aquel que ha sido derrotado, interpreta la generosidad como debilidad, y aprovechará la situación para invertirla”.

Pablo Macera

14


3ro de Secundaria

Aritmética

Conjuntos I CONJUNTOS I

Clases de Conjuntos

Conj. Unitario Conj. Universal Conj. Infinito Conj. Disjuntos

CONJUNTO Es la agrupación, colección o reunión de objetos, que poseen una característica en común. Notación

Conj. Vacío Conj. Finito

 Conocer los coneptos básicos de conjunto.

Conj. Iguales

 Conocer los diferentes tipos de conjunto.

Conj. Potencia

CLASES DE CONJUNTOS 1. CONJUNTO UNITARIO Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplo:

A = {m, n, r, s} Mayúscula

R = {y ∈ N / 3 < y < 5}

Minúscula

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: A) Por extensión : Cuando nombran cada uno de sus elementos. Ejemplo:

2. CONJUNTO VACÍO Es aquel conjunto que no tiene elementos.

M = {x/x, x es inca actual}

3. CONJUNTO UNIVERSAL Es el conjunto que comprende a otros conjuntos. Su símbolo es «U».

Ejemplo:

Es aquel que tiene un número limitado de elementos. Ejemplo: N = {x/x ∈ N, 10 < x < 20} 5. CONJUNTO INFINITO Es aquel conjunto donde la cantidad de elementos es ilimitada. Ejemplo: A = {x/x, x ∈ N} 6. CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos son iguales cuando poseen los mismos elementos. Ejemplo: A = {r, o, m, a} B = {a, m, o, r}

A = {x/x es vocal}

3ro de Secundaria

4. CONJUNTO FINITO

Ejemplo:

A = {a, e, i, o, u} b) Por comprensión : Cuando nos dan una idea del conjunto.

OBJETIVO

A=B


15

Aritmética

7. CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elemento(s) en común. Ejemplo:

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

DIFERENCIA SIMÉTRICA

1. CON RESPECTO AL UNIVERSO

A ∆ B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B} o {x ∉ A ∧ x ∈ B}

A = {1, 2, 3} B = {4, 5, 6}

A=∪ –A

8. CONJUNTO POTENCIA Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Ejemplo:

A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A)

Notación A’ Se lee complemento de A Otra notación:

A’ = A = A

U

A

2) A ∆ A = ∅

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B} Diferencia

CBA= B – A = {x/x ∈ B ∧ x ∉ A} Notación Se lee: Complemento de A respecto a B. B A

A

B

Representación gráfica «A – B»

4) (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C)

2. CON RESPECTO A OTRO CONJUNTO

U

U

3) A ∆ B = B ∆ A 5) (A ∆ B) ∩C=(A ∩ C) ∆ (B ∩ C)

n

23 = 8

Representación gráfica «A ∆ B».

1) A ∆ ∅ = A

Representación gráfica A’ = U–A

2 = subconjuntos

B

PROPIEDADES

P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, ∅} Fórmula:

U

A

C

Halla la potencia del conjunto A. A = {a, b, c}

Diferencia Simétrica

Representación gráfica CA B

Leonardo de Pisa fue el primero que utilizó la denominación de números quebrados al llamarle números ruptus (rotos) y empleo la raya de quebrado para separar el numerador y el denominador, en el siglo XVI. Aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio del M.C.M.

PROPIEDADES 1) A – A = ∅ 2) ∅ – A = ∅ 3) A – ∅ = A 4) (A – B) ⊂ A 5) A–B =(A∪B) – B=A – (A∩B)

16


3ro de Secundaria

Aritmética

Ejemplo:

Resolución: Demostración A∪B = B∩A (Propiedad Commutativa) Dados : A = {1, 2} B = {2, 4} ∴ A ∪ B = {1, 2, 4} B ∩ A = {1, 2, 4}

x={19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}

Luego :

¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto A = {1, 2, 3, 4}? Resolución:

B={19,20,21, 22, 23, 24, 25, 26}

# subconjuntos = 2n donde n : #elementos

Ejemplo:

24 = 16

Si A = {3, {5}}, ¿cuál de las afirmaciones es verdadera? a) {3, 5} ⊂ A b) {5} ⊂ A c) 5 ∈ A

d) {{5}} ⊂ A e) {{{5}}}⊂A

Ejemplo: Expresa por comprensión: A = {3, 5, 7, 9}

Resolución: Ejemplo:

Calculamos los subconjuntos de A.

¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, que posee 16 subconjuntos?

2n = 16 ⇒

2n = 2 y

∴n=4

B = {x/x2 – 5x + 6 = 0} Resolución:

x x

– 6 +1

∴ x = 6 ∧ x = – 1

Ejemplo: Expresa por extensión el siguiente conjunto:

1) Dados los conjuntos:

B = {x/x ∈ N, 18 < x < 27}

9.6

Luego 9 + 6 = 15

Ejemplo:

halla A ∩ B.

a) {1, 2, 4, 5, 10, 20} b) {2, 4, 6, 8} c) {1, 2} d) {1, 2, 4, 5, 20} e) {1, 2, 4, 10, 20}

Se dan los conjuntos iguales A y B, calcula ab. A = {3a – 8, 44}


B={10,ba – 20}

Resolución: 3a – 8 = 10 ba = 44 + 20 3a = 18 ba = 64 a = 6 b6 = 64

3ro de Secundaria

a = 9 b=6

A={x/x es un número Z+ menor que 21} y B = {x / x es divisor de 20},

∧ ab = 54

a–b=3

⇒ (x – 6)(x + 1) = 0

Nivel I

Si A = {3, a – b} y B={ab, 54} son unitarios, calcula a + b. Resolución:

Determina el conjunto B si:

{{5}} ⊂ A

Ejemplo:

Ejemplo:

A={x/x ∈ N, 2
A = {{3},{{5}}, {3,{5}}, φ}

Resolución:

Resolución:

∴ b = 2 ⇒ ∴ 62 = 36


A = {x∈N / 3≤ x < 40} B = {x∈N / 2< x ≤ 42}

¿cuántos elementos tiene el conjunto A∩B?

a) 32 b) 33 c) 34

d) 35 e) 37

17

Aritmética

3) Del siguiente diagrama, halla (P∪R)∩Q. P Q

9 2 3

1

8

R 6

5

4

7

a) {2, 4, 6} d) {2, 3, 4, 5, 6} b) {2, 4, 5, 6} e) {2, 5, 6} c) {5, 6}

4) Del siguiente gráfico, halla (A –B) ∪ (B – C). A 1

B

C

3

2

4

6 7 5

a) {1, 2, 4, 6} b) {2, 3, 4, 5, 6} c) {1, 2, 3, 4} d) {1, 2, 3, 5} e) {1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) {6, 7, 8, 9} b) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} c) {1, 2} d) {1} e) {2, 3, 4, 5}

a) {4, 5, 6, 7, 8, 9} b) {1, 2, 3, 4, 5} c) {2, 4, 6} d) {1, 2, 3} e) {6, 7, 8, 9}

d) {2, 5} e) {3, 6}

a) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} b) {2, 4, 6, 8} c) {1, 2, 3, 5, 9, 11} d) {1, 2} e) {4, 5, 6, 7, 8}

a) 16 b) 15 c) 8

14) ¿Cuál es la expresión que representa a la zona sombreada? a) A – B b) B – A c) A ∩ B d) A ∆ B e) b y c

B

A

15) ¿Cuál es la expresión que representa a la zona sombreada?

9) Si A = {x ∈ N / x < 7}, B = {x ∈ N / 3 ≤ x < 9}, C = {x ∈ N / 5x = 20} , halla A∪B∪C.

a) A∪B b) (A∩B)–C A c) (A∪B)∩C d) (A–C)∪(B–C) e) A–B

d) 4 e) 32

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

d) 18 e) 23

12) Dado el conjunto unitario: A = {2b + a; 3a + b; 4b – 3} Halla b – a. a) 3 b) 4 c) 1

d) 2 e) 5

13) ¿Cuál es la expresión que representa a la zona sombreada?

a) A + B b) A – B A c) A ∩ B d) B – A e) B

C

16) Dado el conjunto unitario: A = {2b + a; 3a + b; 4b–3} Halla ‘‘n(A∪B)’’, siendo: B = {5a; 4a + b – 1; 5}

17) Sean los conjuntos: A = { {2;1} ; 3 } y B = { {a;b} ; 3 ; {2;1} } , halla ‘‘B – A’’.

a) 10 b) 12 c) 15

B

Nivel II

11) Calcula la suma de los elementos del conjunto ‘‘A’’. A = {x/x ∈N ; 10< 3x + 2 < 18}

7) Dados los conjuntos: A={1,2,3,5} y B={2,4,5,6,7}, halla A – B.

18

a) {0, 1, 2} b) {0, 1, 2, 3} c) {0, 1, 2, 3, 4, 5} d) {1, 2} e) {3, 4, 5}

10) ¿Cuántos subconjuntos tiene A = {1, {1}, 1, ∅}?

5) Halla R ∪ P, sabiendo que: R = {x∈N / 5< x < 10} P = {x∈N / 2≤ x ≤ 5}

a) {1, 4} b) {1, 3} c) {2, 3}

6) Halla el conjunto M ∪ N, si M = {x ∈ N / 3< x < 9} N = {x ∈ N / 4 < x < 6}

8) Halla la unión de los siguientes conjuntos: A = {x∈N / x ≤ 5} B = {x∈N / x2 = 16} C = {x∈N / x – 3 = 2}

B


a) ∅ d) { {a;b} } b) {a;b} e) {∅} c) {1; {a;b}}

18) Sean los conjuntos: A = { 1; 2; 3; 4} y B = {2; 3} , halla ‘‘A – B’’.

a) 1 b) 4 c) {4}

d) {1,2} e) {1,4}

19) Si el conjunto ‘‘A’’ es unitario, halla a + b. A = {7–a ; b+4 ; 5}

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 7

3ro de Secundaria

Aritmética

20) Si los conjuntos ‘‘A’’ y ‘‘B’’ son unitarios, halla ‘‘a2 + b2’’. A = {a+b ; 12} B = {4 ; a–b}

a) 70 b) 90 c) 80

d) 50 e) 60

21) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos? a) 30 d) 32 b) 35 e) 42 c) 40 22) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 6 elementos? a) 50 d) 64 b) 54 e) 70 c) 60 23) Dado el conjunto: A = {4; {5} ; {4;5} ; 6} , ¿cuántas proposiciones son falsas?

– {5} ∈A – { {4}}⊂A – 4⊂A – 7∉ A – {4;5} ∈A – ∅⊂A – {{4;5} ; 6 }⊂A – {6}⊂A

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

26) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. A = {5, 7, 9} I. 5 ∈ A II. 7 ⊂ A III. 9 ⊂ A

d) FFF e) FFV

27) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. A = {3, 2, 5, 6} I. 5 ∉ A II. {5} ⊂ A III. 6 ∈ A

a) VVV b) FVV c) FFF

d) FFV e) FVF

28) Dado el conjunto: A = {x+3/x ∈ N, 5 ≤ x ≤ 10} Halla la suma de elementos.

a) 36 b) 48 c) 63

d) 72 e) 81

29) Dados los conjuntos unitarios «A» y «B». A = {a + b; 16} B = {a – b; 4} Halla «a . b»

24) Dado:

a) VVV b) VFF c) VFV

a) 36 b) 42 c) 45

d) 50 e) 60

32) Sean los conjuntos iguales: A = {a2 + 1 ; 12} B = {a – b ; 17} ¿Cuál puede ser el valor de «a+b»?

a) –12 b) –20 c) 12

d) 4 e) 10

33) Calcula la suma de los elementos del conjunto:

B = {x2 / x ∈ Z, –5 < x < 3}

a) 40 b) 30 c) 35

d) 32 e) 25

34) Dados los conjuntos: A = {x+2 / x∈N, 5 ≤ x < 12} y B = {x–1 / x ∈ N, 2 ≤ x < 10}, ¿cuántos subconjuntos propios tiene A ∩ B?

a) 7 b) 8 c) 15

d) 16 e) 10

35) Si los conjuntos «A» y «B» son iguales. A = {n2 + 1; –6} B = {2 – m; 10} halla «m + n» (m, n ∈ N)

a) 10 b) 11 c) 15

d) 16 e) 18

x+1 ∈Z/ x∈Z; 2 ≤x≤ 14} y 3 B = { x–1 ∈Z/ x∈Z;4≤x< 10}, 2 halla n(A∪B).

30) Dados los conjuntos unitarios «A» y «B»; A = {m + 2p; 17} B = {2m–p;–1}. Halla «m . p»

36) Dados los conjuntos: A = {1, 3, 5, 7, 8} y B = {x/x ∈ N, 1 < x < 8}, halla B – A.

a) 5 b) 6 c) 7

A={

d) 8 e) 9

a) 15 b) 12 c) 18

d) 21 e) 16

a) 2, 4 b) 2, 6 c) 2, 4, 6

d) 3, 5, 7 e) 3, 5, 8

Nivel III 25) ¿Cuál de los siguientes conjuntos tiene 15 subconjuntos propios?

a) {k; a; r; i; n; a} b) {m; a; r; i; o} c) {j; e; s; s; i} d) {x/x ∈ N ; 3 ≤ x ≤ 7} e) {x/x ∈ Z ; –2 ≤ x ≤ 2}

3ro de Secundaria

31) Halla la suma de los elementos de «P ∩ Q». P = {x + 2/ x ∈ N; 3 ≤ x ≤ 8} Q = {2x/ x ∈ N; 2 ≤ x ≤ 12}

a) 15 b) 17 c) 21

d) 25 e) 24


37) Halla la suma de elementos de «M» si:. M = {x2+1/ x ∈ Z, –2 ≤ x ≤ 4}

a) 32 b) 34 c) 36

d) 35 e) 40

19

Aritmética

38) ¿Cuántos subconjuntos tiene «A»? A = {5, 7, 8, 3, 2}

44) ¿Cuántos subconjuntos tiene: A = {14; {4}; 14; ∅}

a) 30 b) 40 c) 32

d) 35 e) 80

39) ¿Cuántos subconjuntos tiene «B»? B = {a, r, i, t, m, e, t, i, c, a}

a) 64 b) 128 c) 256

d) 8 e) 1024

40) ¿Cuántos elementos tiene un conjunto con 15 subconjuntos propios?

a) 8 b) 4 c) 6

d) 2 e) 13

41) ¿Cuántos elementos tiene un conjunto con 31 subconjuntos propios?

a) 4 b) 5 c) 6

a) Sólo I b) Sólo III c) I y II

d) I y III e) Sólo II

43) ¿Cuántos subconjuntos propios tiene «m»? M={x/ x ∈ N, –2 < x < 5}

a) 15 b) 31 c) 63

20

d) 4 e) 32

45) Dado el conjunto «A», indica verdadero (V) o falso (F) si: A = {5; {6}; 8; {10; 11}} I. {5} ∈ A → {8} ⊂ A II. {8; 10} ∈ A ∧ {5} ⊂ A III.{{10; 11}}⊂A ↔ {5;8}⊂ A

a) FFV b) VFF c) VFV

d) FFF e) VVF

46) Si n(A) = 7 y n(B) = 4, ¿cuál es el máximo número de subcojuntos que puede tener A∪B?

a) 27 b) 28 c) 29

d) 7 e) 127

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) I y II e) I y III

50) Si los elementos «A» y «B» son números enteros, halla: n (A ∩ B).

A = { x+1 / x ∈ N, 2

B={

a) 1 b) 2 c) 3

2x–1 / x ∈ N, 3
d) 210 e) 211

Georg Cantor

d) 8 e) 9

42) Dado el conjunto: A={x2+1/ x∈Z ∧ –3 ≤ x ≤ 4}, ¿qué proposiciones son verdaderas? I. n(A) = 5 II. «A» tiene 16 subconjuntos. III.«A» tiene 31 subconjuntos propios.

a) 16 b) 15 c) 8

49) Dado el conjunto: A = {x+1/x∈N,4 <2x+1<14} Indica los enunciados verdaderos. I. La suma de sus elementos es 25. II. Tiene 31 subconjuntos propios. III.Su mayor elemento es 6.

47) Dados los conjuntos «A» y «B», se cumple: n[P(A)] = 128 n[P(B)] = 256 n[P(A∩B)] = 32 Calcula n[P(A∪B)].

a) 8 b) 32 c) 256

d) 512 e) 1024

El matemático alemán Georg Cantor introdujo la teoría de conjuntos en el siglo XIX, y desarrolló una aritmética de números infinitos, consecuencia de dicha teoría. Las ideas de Cantor fueron criticadas por algunos de sus colegas que las consideraban demasiado abstractas.

48) Sean «A» y «B» conjuntos unitarios, tales que: A = {a + b; 12} B = {3a – 2b ; 11} Halla la suma de elementos de «M». M = {x2 +3x / x∈N, b ≤ x ≤ a}

a) 108 b) 124 c) 136

d) 164 e) 172


3ro de Secundaria

Aritmética

2) Los conjuntos «A» y «B» son tales que n(A∪B)=30, n(A–B)=12 y n(B–A)= 10. Halla n(A) + n(B).

1) Dado el conjunto unitario: A = {a + b; a + 2b – 3; 12} Halla a2 + b2.

a) 80 b) 74 c) 104

d) 90 e) 39

3) El conjunto Z tiene 64 subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto Z?

a) 6 b) 5 c) 7

d) 4 e) 8

a) 22 b) 38 c) 36

d) 25 e) 37

4) Si A = {a, b, c, d, e, f, g} B = {f, b, c, h, i, h, j} C = {a, c, e, i, k, l} D = {a, b, d, f, k, i, j} halla C ∩ [D – (A ∩ B)].

a) {a, i, k} b) {k, b, c} c) {a, b, c}

d) {a, i, b} e) {a, i, j}

5) Si n(A ∩ B) = 2 n(A ∪ B) = 14 n (A – B ) = 7 halla n(A) – n(B).

a) 3 b) 2 c) 8

d) 5 e) 9

Cuando te acerques a los principales y magnates, acuérdate de que hay allá arriba un príncipe más grande aún, que te ve y te escucha, y a quien debes complacer antes que a nadie... Epicleto

3ro de Secundaria


21

Aritmética

Repaso Nivel I

4) Si:

1) Calcula:

M = 4+15 -19-2(16-23)-5(2-3) N = -19-35-3(5-7)- (-8) -(-5)(-3)

E = -15 -(18-16 -19) -3(15-4) F =-91 -(16-17+17) -2(-18)-(-1)

a) 31 d) -31

b) -27 e) 39

c) -64

2) Si: A = -35+5(8-16) - (16-19)-(-8) B = 45 +35(17 -23)- (15-16) Halla A - B. a) -194 d) 198

b) -100 e) 100

c) -198

* El producto de 2 factores consecutivos. ...................................................... . 7) Relaciona correctamente.

c) 22

I. 0 II. 3 III. -1

A. -2 + 7 +2(-1) B. -1 - (-1) -1 C. -(-2) - 2

a) IA; IIB; IIIC b) IC; IIA; IIIB c) IC; IIB; IIIA d) IB; IIA; IIIC e) IB; IIC; IIIA

halla A x B /56 b) -124 e) -22

c) -880

* El producto de 2 factores consecutivos. ...................................................... . 6) Descompón 1640 en:

A = -25+17-5(6+7)-3(-5)-(-2) B =-15-19-6(8+7)-2(-3)-(-3)(-2)

a) 124 d) -26

b) -22 e) 88

5) Descompón 182 en:

3) Si:

halla M xN / 19 a) 55 d) -55

Halla E - F.

9) Coloca verdadero(V) o falso (F), según corresponda.

8) Relaciona correctamente.

I. 0 II. 30 III. --42

A. 52 + 7 +2(-1) B. -1 - (-1) -1 C. -(-2) - 2

0

I. 24 = 16

II. -(-3)2 = 9 .......... ( )

III. 23 x 25 = 28

55 IV. 322 = 333

a) FFFV b) FFVV c) FVVV d) VVVF e) VVVV

0

............( )

0

0

...( )

..........( )

3

10) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda. -1

I. 3 64 = 16 -1/2 ...............( )

II.6 2120 = 220 ...............( )

III. 4 81 = 3

IV.

a) VVFF b) VFFF c) FVVV d) FFVV e) VVVV

.................( )

16 = 4 16 ..... .....( )

11) Si: 0 A = 3 8 x (-6)2 - (-5)3 (3)0 0 0 0 B =(-2)3 x(-2)2- (-3)3 -(-3)2 - 42

halla A - B. a) -104 d) 694

b) 104 e) -108

c) 108

a) IA; IIB; IIIC b) IC; IIA; IIIB c) IC; IIB; IIIA d) IB; IIA; IIIC e) IB; IIC; IIIA

22


3ro de Secundaria

Aritmética

12) Si: 0

0

17) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

0

M= 3 125 x 64 (-2)3 - (-5)3

N= 144 0- 121x(-3)3 -(-3)2x(-2)2

halla M + N.

0

a) 36 d) -343

b) 72 e) 243

0

c) 84

13) Descompón polinómicamente: ___ ab0 = ....................................... __ xy = ....................................... 2437 = ....................................... ___ x0y = ....................................... aaa = ....................................... ___

14) Descompón polinómicamente:

124 = ....................................... 300 = ....................................... 3501 = ....................................... ___ x00 = ....................................... ___ x0x = .......................................

I. 587 ___ II. a0b ___ III. a00

a) 5 d) 8

__ - __ I. xy yx +__ xx __ __ __ II. xy+y0+x0 __ - __ III. __ xy+yx xx

A. 20x + 11y B. 11y C. 20x - 9y

a) IC; IIA; IIIB b) IA; IIB; IIIC c) IC; IIB; IIIA d) IA; IIC; IIIB e) IB; IIA; IIIC

b) 6 e) 9

c) 7

d)FFVV e)VFFF

a) VVFF b) VFFF c) FVVF

a) 3 ∉A b) 9 ∈A c) 6 ∉A d) 0 ∈A e) 5 ∈A

A = {2; 3; {5}; 6; {7}} indica cuántas de las siguientes expresiones son correctas.

I. 5∈A III. {{7}}⊂A II. {5}∈A IV. 3⊂A a) 1 d) 4

21) De acuerdo al diagrama, ¿cuál es el conjunto ‘‘A∩B∩C’’? a) {2; 4;5;6} b) {8} B A c) {5} 1 2 3 d) {2; 5} e) {5; 6} 4 5 6 8


c) 9 ∈E

25) Dado el conjunto:

d)VVFF e) FVVV

7

A = {x/x ∈N∈ 0 < x < 9}, entonces es cierto que:

a) 21 ∈E b) 7 ∈E d) 2 ∉E e) 4 ∉E

i) {7}∈C ... ( ) ii) {5}⊂C ... ( ) iii) {{12}}∈C .... ( ) iv) {{7}}⊂C ... ( )

C

3ro de Secundaria

a) (A+B) b) (A∪B) c) (A∩B) d) (A−B)∪(A−B) e) (A−B)

24) Si: E = {3x/x ∈N∧ 1 < x < 9}, entonces no es cierto que:

20) Dado el conjunto: C= {5; {7}; 9; {12}}. indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

B

23) Si:

i) 7∈A ... ( ) ii) 9∈A ... ( ) iii) {10}∈A .... ( ) iv) {15}∈A ... ( ) a) VVFF b) VFFV c) VVVF

16) Relaciona correctamente:

c) VFV

19) Dado el conjunto: A= {7; 8; 10; 15}. indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

Nivel II

b) FVF e) VFF

18) El conjunto de ‘‘A’’ tiene 128 subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto ‘‘A’’?

A. 100a B. 100a +b C. 500 + 80 + 7

a) IC; IIB; IIIA b) IC; IIA; IIIB c) IA; IIB; IIIC d) IB; IIA; IIIC e) IA; IIC; IIIB

A

I. 690 = 2(230) +1 (230)...( ) II. 380 = 20(10+8) ............( ) III. 16900 = 132 x 103 .........( ) a) FFF d) VVV

15) Relacionar correctamente:

22) En el diagrama mostrado como se puede expresar lo sombreado.

b) 2 e) 5

c) 3

26) Del gráfico, ¿cómo se puede expresar lo sombreado? B

A

a) A ∪ B b) A − B d) A ∩ B e) B − A

c) B −Φ

23

Aritmética

27) Del gráfico,

A

1 2

6

3 7

4 8

9

11 C

B

12

32) Si los conjuntos A y B son unitarios, hallar a2 - b2. A = {a + b ; 12} B = {4 ; a - b}

¿cuál es el conjunto (A∪B)∩C? a) {7} b) {6; 7} c) {6; 7; 8}

d){9} e){8; 9}

28) Si el conjunto "A" es unitario, halla "a + b".

a) 64 d) 48

a) 128 y32 b) 16 y 32 c) 32 y 64

b) 4 e) 7

c) 5

29) ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto que posee 5 elementos?

a) 32 d) 30

b) 16 e) 18

c) 64

30) En los siguientes diagramas, ¿cómo se puede expresar lo sombreado? I

A

II


a) ( A ∪ B); (A ∩ B) b) ( A − B); (B − A) c) ( A − B)∪ (B − A); ( A −B) d) ( A ∩ B ∩ C)(A - B) e) ( A - B); (A ∪ B ∪ C )

a) 14 d) −7

b) 36 e) 60

c) 39

c) −14

b) 7 e) 21

A

1 2

C

31) Si un conjunto tiene 6 elementos, ¿cuántos subconjuntos tiene dicho conjunto?

24

c) FFF

36) Del diagrama, indica cuál es el conjunto ‘‘(A∩B)∪C’’.

Nivel III

a) 32 d) 64

b) FVV e) FFV

35) Dado el conjunto: A = {x/x ∈ Z ∧ −5 ≤ x ≤ −2}, halla la suma de los elementos del conjunto. B

A = {3 ; {8} ; {5}; 4}, ¿cuáles proposiciones son falsas o verdaderas? i) ‘‘A’’ tiene 8 subconjuntos. ii) ‘‘A’’ tiene 31 subconjuntos. iii) ‘‘A’’ tiene 4 elementos. a) VVV d) VFF

B

A

11 1 2 3 7 6 8 5 9 4 13 10 C 12

c) 62

d) 64 y 32 e) 64 y 128

6

4 5

3

B

9

B

A

33) Dados los conjuntos: A = {t; r; i; l; c; e} B = {e; s; t; u; d; i; o} halla la cantidad de subconjuntos de A y de B.

A = {7-a ; b+4 ; 5} a) 3 d) 6

b) 32 e) 26

37) De acuerdo al diagrama, indica los elementos del conjunto (A∪B)∩C.

a) {2; 4; 8; 9} b) {2; 5; 4; 8} c) {4; 8; 9}

d){4; 8; 9; 10} e){2; 4; 8; 9}

38) En una fiesta se observó que 25 personas llevaban lentes, 18 usaban anillos de compromiso y 8 llevaban lentes y anillos. Determina cuántas personas usaban lentes solamente.

a) 11 d) 17

b) 13 e) 19

c) 15

39) En una biblioteca habían 17 personas, de las cuales 6 leyeron revistas ‘‘A’’, 9 la revista ‘‘B’’ y 6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántos no leyeron las revistas ‘‘A’’ ni ‘‘B’’?

a) 8 d) 2

b) 4 e) 10

c) 6

40) De 150 soldados que participan en una batalla, 90 perdieron un órgano, 80 perdieron un miembro y 30 escaparon ilesos. ¿Cuántos soldados perdieron simultáneamente un órgano y un miembro?

a) 25 d) 80

b) 50 e) 15

c) 75

7

8

10

a) {4; 5; 6; 7; 8} b) {4; 5; 6; 7} c) {4; 5; 6; 7; 9} d) {4; 5; 9; 10} e) {5; 6; 7; 8; 9; 10}


41) De 234 postulantes, 92 postulan a la PUC, 87 a la UNMSM y 120 no postulan a ninguna de estas 2 universidades. ¿Cuántos postulan a las 2 universidades simultáneamente?

a) 35 d) 65

b) 45 e) 75

c) 55

3ro de Secundaria

Aritmética

42) Durante el mes de Febrero de 1998 una persona salió a pasear cada día con A o con B o con ambas. Si 14 días paseó con A y 20 días paseó con B, ¿cuántos días paseó con ambas?

a) 6 días b) 4 días d) 2 días e) 1 días

c) 55

43) El conjunto de "B" tiene 256 subconjuntos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto "B"?

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

44) Dado el conjunto: A= {4; 8; 11; 16}.

indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

i) 4∈A ... ( ) ii) 9∈A ... ( ) iii) {11}∈A .... ( ) iv) {16}∈A ... ( )

a) VVFF b) VFFV c) VVVF d) FFVV e) FVFV

C = {2; {3}; {5,2}}

indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

i) {2}∈C ... ( ) ii) {2}⊂C ... ( ) iii) {{3}}∈C .... ( ) iv) {{3}}⊂C .... ( )

a) VVFF b) VFFF d) FFVV e) VFFF

a) {2; 4; 5; 6} b) {8} c) {5} A B d) {2; 5} 2 6 1 e) {5; 6} 45 8 8 C 9

47) En el diagrama mostrado cómo se puede expresar lo sombreado. A B a) (A+B) b) (A∪B) c) (A∩B) d) (A−B)∪ (B −A) e) (A−B) 48) Si A = {y/y ∈ N∧0 < y < 6}, entonces es cierto que:

45) Dado el conjunto:

María Gaetana Agnesi (1718 - 1799)

46) De acuerdo al diagrama, ¿cuál es el conjunto ‘‘A∩B∩C’’?

a) 3 ∉A d) 0 ∈A

b) 9 ∈A e) 5 ∈A

c) 6 ∉A

Nació en Milán (Italia) un 16 de mayo de 1718. Hija de Pietro Agnesi y Anna Brivio, fue la mayor de 6 hermanos (4 hermanas y 2 hermanos). Desde pequeña conoció a gente muy inteligente y preparada: profesores universitarios, científicos, filósofos..., ya que su padre daba grandes fiestas y los invitaba. Sus padres la presentaban a sus importantes invitados como una niña prodigio y algunos de ellos instruyeron a María en diversos temas y ciencias.

49) Si: E = {4x/x ∈ N ∧ 1 < x < 7}, entonces no es cierto que:

a) 4 ∈E d) 2 ∉E

b) 7 ∈E e) 4 ∉E

c) 9 ∈E

c) FVVF 50) Dado el conjunto: A = {2; 3; {1,7}; {7}}

3ro de Secundaria

indica cuántas de las siguientes Torre de Pisa expresiones son correctas. Es una de las construcciones más majestuosas que existen en Italia I. 5∈A III. {{7}}⊂A por su peculiar construcción. II. {5}∈A IV. 3⊂A posee un ángulo de inclinación a) 1 b) 2 c) 3 que le da una belleza especial. d) 4 e) 5


25

Aritmética

Conjuntos II OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión

OBJETIVO

Diferencia

Intersección

Complementación

I. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Las operaciones entre conjuntos son disposiciones específicas de combinar conjuntos para formar otros. II. CLASES DE OPERACIONES

 Aplicar el concepto de conjunto para resolver problemas.  Conocer las operaciones de conjuntos y sus aplicaciones con diagrama.

Diferencia Simétrica

2.3. DIFERENCIA (–) A – B = {x/x ∈ A y x ∉ B} 2.4. COMPLEMENTACIÓN C(B) = B’ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ B}

2.1. UNIÓN O REUNIÓN (∪)

2.5. DIFERENCIA SIMÉTRI CA (∆)

A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A)

Significa: 1 : 2 : 3 : 1 y 2 : 2 y 3 : 1, 2 y 3:

Identificación de zonas para 3 conjuntos: A 2

1 6

5 7

2.2. INTERSECCIÓN (∩) A ∪ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}

III. P R O B L E M A S Q U E SE RESUELVEN CON CONJUNTOS Identificación de zonas para 2 conjuntos. A

B 1

26

2

3


Sólo «A» AyB Sólo B A B AoB

Significa: 1 3 7 2 4 6 5 2 y 5 4 y 5 5 y 6

: : : : : : : : : :

3

B

4 C

Sólo «A» Sólo B Sólo C Sólo A y B Sólo B y C Sólo A y C A, B y C AyB ByC AyC

3ro de Secundaria

Aritmética

Ejemplo: Demostración Si U = {1, 2, 3, 4, 5, ... 200} A = {x/x es divisor de 625} B = {x/x es divisor de 155}

C C(A) = A

El 2000 fue el Año Mundial de la Matemática

C C(A)=C{U–A}=U–(U–A)=A

Resolución:

U–A

A = {1, 5, 25, 125} B = {1, 5, 31, 155} A∪B=6

Así fue declarado por l a U N E S C O, e n a p o y o

Pero n(A∪B)’ = n(U) – n(A∪B)

a la iniciativa de la Unión Matemática Internacional. Como se considera a la matemática la principal portadora del pensamiento racional, juega un papel fundamental en la formación de la persona.

Calcula n(A ∪ B)’.

Ejemplo:

⇒ 200 – 6 =

194

Ejemplo:

Si A = {a, b, c, d, e, f, g} y B = {c, d, g, h, i} halla A ∆ B. Resolución: A ∆ B = (A – B) ∪ (B – A) = {a, b, e, f} ∪ {h, i} A ∆ B = {a, b, e, f, h, i}

En un aula hay 60 alumnos de los cuales a 7 no les gusta ni geometría, ni aritmética y a 35 les gusta sólo aritmética. ¿A cuántos les gusta geometría si a los que le gustan ambos cursos son 10? Resolución: U(60)

Ejemplo:

x

Una persona come huevos y tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de abril. Si comió tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas, ¿cuántas mañanas come huevo y tocino? Resolución:

10

35 7

x + 10 + 35 + 7 = 60 x=8 Ejemplo:

Usando un diagrama: Tocino (25)

Huevos (18)

Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4} ∧ B = {2, 6, 8}, halla A ∩ B. Resolución:

25 – x

x

18 – x A 1

25 – x + x + 18 – x = 30

B

4

6 2

3

8

43 – x = 30 x = 13

3ro de Secundaria


A ∩ B={2}

27

Aritmética

5) En una clase de 30 alumnos, 14 han sido aprobados en Matemática, 10 en Física y 5 en ambos cursos. ¿Cuántos alumnos han sido aprobados en un curso por lo menos?

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {a, b, c, d, e, f}; B = {f, e, z} Halla A ∆ B. Nivel I

Resolución: A

B

b a

e

d

z

f

c

1) En una peña criolla hay 32 artistas, de los cuales 16 son bailarines, 18 cantantes, y 12 cantan y bailan. ¿Cuántos artistas ni cantan, ni bailan?

A ∆ B={a, b, c, d, z} Ejemplo:

Resolución:

a) 77 b) 83 c) 51

d) 74 e) 90

B’ = U – B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10} 3) De 100 personas 30 sólo hablan inglés y 50 hablan francés; el número de personas que hablan francés es quintuple de los que hablan sólo francés. ¿Cuántos hablan inglés?

Ejemplo: En el gráfico, halla x. A

B 2x

x

x

U(60)

d) 80 e) 90

4) De 120 personas: 30 conocen sólo Argentina, 40 no conocen Brasil, el número de personas que conocen Brasil es el cuádruple del número de personas que conocen Brasil y Argentina. ¿Cuántas personas conocen sólo Brasil?

Resolución: 2x + x + x = 60 4x = 60 x = 15

a) 50 b) 60 c) 70

a) 80 b) 70 c) 60

a) 5 b) 7 c) 9

d) 10 e) 40

a) 20 b) 14 c) 18

d) 12 e) 16

8) En un salón de 100 alumnos que practican Álgebra y/o Geometría: – 80 practican Geometría. – 60 practican Álgebra. ¿Cuántos practican un solo curso?

d) 50 e) 40


d) 19 e) 20

7) A 60 alumnos de un salón les preguntaron por el deporte que practicaban y respondieron: – 40 juegan fútbol. – 36 juegan voley. ¿Cuántos alumnos practican los 2 deportes si todos practican al menos uno de estos?

28

a) 11 b) 15 c) 17

6) Para ir a trabajar a una fábrica de un grupo de 100 obreros, 30 van con polo y 40 con camisa de obrero. Si 60 van con polo o camisa, ¿cuántos obreros van con polo y camisa si hay obreros que van con otro tipo de ropa?

d) 14 e) 15

2) En una reunión de profesores 23 usan corbata, 16 usan anteojos, 10 usan solamente anteojos. Los que no usan corbata son el triple de los que usan solamente corbata. ¿Cuántos profesores estaban reunidos?

Dados los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 10} A = {2, 4, 6} y B ={1, 3,5}, halla A’ y B’.

A’ = U – A = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}

a) 10 b) 11 c) 12

a) 60 d) 50 b) 40 e) 30 c) 20 9) Durante el mes de diciembre, Rafael va a misa o al teatro. Si 18 días va a misa y 20 días va al teatro, ¿cuántos días va solamente a misa? a) 7 b) 12 c) 10

d) 11 e) 9

3ro de Secundaria

Aritmética

10) En una peña criolla trabajan 32 artistas, de éstos 16 bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no bailan ni cantan es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

11) De un grupo de 40 personas se sabe que 14 de ellas no estudian ni trabajan, 10 personas estudian, y 3 estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades?

a) 23 b) 24 c) 25

d) 30 e) 50

12) En un avión viajan 120 personas, de las cuales: – La tercera parte de ellas beben. – La quinta parte de ellas fuman. – 18 personas fuman y beben. ¿Cuántas personas no fuman ni beben?

a) 74 b) 62 c) 83

d) 48 e) 31

13) Una academia deportiva tiene 80 miembros de los cuales 30 no practican ni atletismo ni fulbito, 20 practican atletismo y 6 practican fulbito y atletismo. ¿Cuántos practican sólo uno de estos deportes?

a) 30 b) 38 c) 20

d) 44 e) 25

14) De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se escribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades, ¿cuántos se inscribieron en ambas disciplinas?

a) 30 b) 25 c) 35

15) De un total de 12 camiones que transportan papas o camotes, 5 camiones transportan sólo papas y 6 transportan papas y camotes. ¿Cuántos camiones transportan sólo camotes?

d) 10 e) 34

3ro de Secundaria

a) 3 d) 5

b) 4 e) 2

c) 1

21) En una biblioteca había 17 personas, de las cuales 6 leyeron la revista A, 9 la revista B y 6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántos no leyeron las revistas A ni B?

a) 6 b) 7 c) 8

d) 4 e) 12

Nivel II

Enunciado (preg. 16, 17 y 18) En una escuela de 600 alumnos, 100 alumnos no estudian ningún idioma extranjero, 450 estudian francés y 50 estudian francés e inglés. 16) ¿Cuántos estudian sólo francés? a) 100 d) 350

b) 200 e) 380

c) 400

17) ¿Cuántos estudian inglés? a) 50 d) 200

b) 100 e) 60

c) 150

18) ¿Cuántos estudian sólo inglés? a) 50 d) 60

b) 60 e) 100

c) 40

19) En una competencia atlética conformada por 15 pruebas participaron 50 atletas, observándose que al final 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce; 7 conquistaron medallas de oro y plata; 6 plata y bronce y, 8 oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas? a) 28 d) 22

b) 20 e) 26

c) 24

20) En una encuesta realizada a 120 personas sobre cierta preferencia, se obtuvo las respuestas ‘‘sí’’ de parte de 80 personas y ‘‘por supuesto’’ de 50 personas. ¿Cuántas personas no respondieron las frases anteriores si el número de personas que res pondieron ‘‘sí’’ y ‘‘por supuesto’’, es la cuarta parte de los que dijeron ‘‘sí’’ solamente? a) 10 d) 6

b) 8 e) 3

b) 7


22) De un total de 85 universitarios, 42 estudian inglés, 56 estudian computación y 15 no estudian ninguno de estos dos cursos. ¿Cuántos estudian inglés y computación?

a) 18 b) 28 c) 35

d) 40 e) 52

23) En una empresa trabajan 100 personas, entre contadores, economistas e ingenieros; 45 de ellos tienen sólo una de estas profesiones: de los contadores 25 son economistas y 27 son ingenieros, y 33 son economistas e ingenieros. ¿Cuántos de los referidos trabajadores tienen tres profesiones?

a) 20 b) 16 c) 15

d) 18 e) 13

24) De un grupo de 60 turistas que viajó al interior del país se obtuvo la siguiente información: – 20 personas visitaron sólo Cuzco. – 16 personas visitaron sólo Iquitos. – 8 personas visitaron sólo Huaraz y el mismo número visitaron Cuzco y Huaraz. – 7 personas visitaron Huaraz e Iquitos. – 4 personas visitaron Iquitos y Cuzco. – 3 personas visitaron las tres ciudades. ¿Cuántas personas visitaron Cuzco o Huaraz?

a) 25 b) 30 c) 40

d) 41 e) 46

29

Aritmética

25) De 55 alumnos se obtuvo: – 32 estudian Excel. – 22 estudian Windows. – 45 estudian Word. – 15 estudian los tres cursos. ¿Cuántos estudian sólo dos cursos?

a) 36 b) 32 c) 14

d) 29 e) 16

26) Dados los conjuntos «A» y «B», se sabe que: n(A) = 30 ; n(B) = 18 ; n(A∪B)= 40. Halla n(A∩ B).

a) 7 b) 8 c) 10

d) 12 e) 15

27) Si se sabe que: n(A ∪ B) = 70 y n(A – B) = 18 y n(A) = 41; halla n(A ∆ B).

a) 42 b) 45 c) 46

d) 47 e) 48

28) En un estante se encontraron 85 libros: 29 libros son de física solamente; 34 libros son de química y 13 libros son de física y química. ¿Cuántos libros son de otras materias?

a) 25 b) 28 c) 35

d) 22 e) 45

29) En la biblioteca había 17 chicas de las cuales 6 leyeron la revista «A», 9 la revista «B» y 6 leyeron ambas revistas. ¿Cuántos no leen ninguna revista?

a) 8 b) 29 c) 12

d) 13 e) 14

Nivel III 31) A 30 alumnos, se les toma examen de inglés y castellano con los siguientes datos: 20 aprueban castellano, 18 aprueban inglés y 12 alumnos aprueban ambas asignaturas. ¿Cuántos alumnos no aprueban ninguno de estos 2 cursos?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

32) De 100 personas que leen por lo menos 2 de 3 revistas (A, B y C) se observa que ellas: 40 leen las revistas A y B, 50 leen B y C y 60 leen A y C. ¿Cuántas personas leen las 3 revistas?

a) 22 b) 42 c) 26

d) 28 e) 25

33) De 162 vendedores ambulantes, 60 venden camisas y blusas; 40 camisas y pañuelos; 50 blusas y pañuelos y 40 venden sólo una clase de esas prendas. ¿Cuántos ambulantes venden por lo menos los 3 tipos de prendas mencionadas?

a) 14 b) 20 c) 15

d) 24 e) 100

34) Richard come huevos o frutas en el desayuno todas las mañanas durante 31 días. Si 17 mañanas comió huevos y 25 mañanas comió frutas. ¿Cuántas mañanas comió ambas cosas?

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

30) Treinta personas ven el canal A, 35 personas ven el canal B y si 20 personas de las que ven el canal «A» también ven el canal «B». ¿Cuántas personas conforman el grupo?

35) En una fiesta de 150 personas se observó que 80 consumieron gaseosa, 90 consumieron ponche y 30 no consumieron ningún tipo de bebida. ¿Cuántas personas consumieron los dos tipos de bebida?

a) 40 b) 45 c) 50

30

d) 55 e) 60

a) 40 b) 50 c) 60

d) 30 e) 80


36) De un total de 60 deportistas que practican fútbol o natación se sabe que 38 practican fútbol y 32 practican natación. ¿Cuántos practican ambos deportes?

a) 8 b) 10 c) 12

d) 14 e) 16

37) Durante el mes de agosto, Enrique salió a pasear con Angélica o Beatriz. Si 17 días paseó con Angélica y 23 días con Beatriz, ¿cuántos días paseó sólo con una de ellas?

a) 22 b) 21 c) 20

d) 18 e) 10

38) Un alumno de 4.º A comió queso o jamón en el desayuno, cada mañana durante el mes de junio. Comió 24 mañanas jamón y 17 mañanas queso. ¿Cuántas mañanas comió queso y jamón?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

39) De 400 alumnos se sabe que 140 practican full contact, 160 practican karate y 120 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican ambos deportes?

a) 10 b) 15 c) 20

d) 25 e) 30

40) En una encuesta realizada a 450 personas sobre la bebida de su preferencia, 280 prefieren Inka Cola, 190 prefieren Coca Cola y 110 prefieren otras bebidas. ¿Cuántas personas prefieren ambas bebidas mencionadas?

a) 130 b) 140 c) 135

d) 145 e) 150

3ro de Secundaria

Aritmética

41) En una encuesta realizada a 101 jóvenes sobre el conjunto de embutidos se obtuvo que 37 consumen solo hot dog; 24 consumen solo jamonada y los que consumen hot dog y jamonada son la cuarta parte de los que consumen otros embutidos, ¿cuántos consumen hot dog? a) 37 d) 43 b) 39 e) 45 c) 41 42) De un grupo de 200 deportistas se sabe que 130 son limeños y 140 hacen pesas. Si 32 deportistas no son limeños y hacen pesas, ¿cuántos deportistas limeños no hacen pesas?

a) 20 b) 22 c) 26

d) 28 e) 32

43) De un grupo de 89 deportistas, 20 practican baile y 58 no fuman, los que son bailarines pero no fuman son 17, ¿cuánto suman los deportistas que fuman pero que no practican baile con los deportistas que sí practican baile pero no fuman?

a) 10 b) 42 c) 43

d) 16 e) 45

44) En un salón de clases de la universidad San Marcos hay 65 alumnos, de los cuales 30 son hombres; 40 son mayores de edad y 12 mujeres son menores de edad. ¿Cuántos hombres no son mayores de edad?

a) 10 b) 12 c) 13

d) 15 e) 18

45) De 68 asistentes a un espectáculo se sabe que el número de hombres casados es el doble del número de mujeres solteras. Si el número de casados es 21, de los cuales 4/7 son hombres, hallar la diferencia entre el número de mujeres casadas y hombres solteros.

d) 15 e) 40

46) Dados los conjuntos «A» y «B» se cumple: n(A ∪ B) = 30 n(A – B) = 12 n(B – A)= 7

Halla n(A) + n(B).

a) 42 b) 41 c) 36

d) 32 e) 33

a) 38 b) 35 c) 45

d) 42 e) 27

48) En una escuela de 135 alumnos, 90 practican natación, 55 practican karate y 75, ping pong. Veinte alumnos practican los 3 deportes y 10 no practican ninguno de ellos. ¿Cuántos alumnos practican exactamente 2 de los deportes mencionados? a) 50 b) 45 c) 55

a) 200 b) 150 c) 55

d) 72 e) 50

50) En una competencia atlética conformada por 15 pruebas participaron 50 atletas. Observándose que al final: 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce, 7 conquistaron medallas de oro y plata, 6 de plata y bronce, 8 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no conquistaron medallas?

47) De 90 alumnos de un club deportivo se sabe que 42 practican fútbol, 38 basquet, 34 voley, 5 practican los 3 deportes, y 13 no practican ninguno de ellos. ¿Cuántos practican tan solo uno de los deportes mencionados?

3ro de Secundaria

a) 32 b) 31 c) 14

49) En el conservatorio de música hay 250 alumnos de los cuales 100 estudian guitarra, 120 violín y 100 trompeta, además 54 estudian guitarra y violín; 30 violín y trompeta, 46 guitarra y trompeta. Además 10 personas estudian todos los instrumentos. ¿Cuántas personas no estudian ninguno de estos instrumentos?

a) 28 b) 26 c) 24

d) 22 e) 20

Una adivinanza Augustus de Morgan (¿ – 1871) fue un matemático inglés nacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el planteamiento de adivinanzas y problemas ingeniosos. Este personaje nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanza sobre su edad: «El año x2 tenía x años. ¿En qué año nací?»

d) 60 e) 35


31

Aritmética

1) En una encuesta realizada a 120 alumnos sobre cierta preferencia, se obtuvo las respuestas «sí» de parte de 80 alumnos y «por supuesto» respondieron 50 alumnos. ¿Cuántos alumnos no respondieron las frases anteriores si el número de alumnos que respondieron «sí», «por supuesto» es la cuarta parte de los que dijeron «sí» solamente?

a) 10 b) 8 c) 7

d) 6 e) 3

2) De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se inscribieron en natación y 135 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades, ¿cuántos se inscribieron en ambas disciplinas?

3) En una colonia china 3480 comen arroz sin sal y 5700 comen arroz con sal; si los que no comen arroz son el doble de los que comen arroz con sal y sin sal. ¿Cuántos comen arroz, si en total hay 1000 chinos?

a) 400 b) 700 c) 280

d) 820 e) 1640

a) 25 b) 30 c) 35

d) 0 e) 5

4) Un club de natación tiene 38 nadadores de estilo libre, 15 de estilo mariposa y 20 de estilo pecho. Si el número total de nadadores es 58 y solo 3 de ellos practican los tres estilos, ¿cuántos practican exactamente un solo estilo?

a) 39 b) 49 c) 40

d) 35 e) 20

5) En un conjunto de personas se determinó que 10 hablan inglés, 20 español, 5 inglés y francés, 4 solamente inglés y francés, 6 solamente español y francés, y 2 únicamente inglés. ¿Cuántas personas en total hablan únicamente español o los tres idiomas?

a) 10 b) 12 c) 14

d) 11 e) 13

La diferencia que existe entre los necios y los hombres de talento suele ser sólo que los primeros dicen necedades y los segundos las cometen. Mariano José de Larra

32


3ro de Secundaria

Aritmética

Numeración I NUMERACIÓN I

OBJETIVO Principales Sistemas de Numeración Descomposición Polinómica

 Conocer las diferentes bases de numeración.  Expresar un número en su forma polinómica.

Observación

I. NUMERACIÓN Es un conjunto de reglas que nos permite nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas pocas palabras y signos o cifras.

A partir de base 11 se usa la representación:

II. SISTEMA DE NUMERACIÓN

αα12 o (10)(10)12 → tiene 2 cifras

2.1. PRINCIPALES SISTEMAS Base

Sistema

Cifras Disponibles

10 = (10) = α 11 = (11) = β 12 = (12) = γ

2

Binario

0, 1

Ejemplo:

3

Ternario

0, 1, 2

310(11)15 →tiene 4 cifras

4

Cuaternario

5

Quinario

6

Senario

7

Septenario

8

Octal

9

Nonario

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

10

Decimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

11

Undecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

12

Duodecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

3ro de Secundaria

0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7


33

Aritmética

2.2 DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO Observemos el siguiente ejemplo: Descompón:

7326 :

7000 + 300 + 20 + 6

7x103 + 3x102 + 2x10 + 6

Descomposición polinómica de 7326

121(3)= 1 x 32 + 2 x 3 + 1

9 Base ≠ de 10

+ 6 + 1 16

(Base 10)

En un numeral indicado de base «n» toda cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades «n» veces la que está a su derecha. Ejemplo: 7 8 5 6 La posición del 8 (centenas) es 10 veces la posición del 5 (decenas) pues 1 centena = 10 decenas.

6 2 3 47 «La posición del 2 vale 7 veces la posición del 3». «La posición del 6 es 7 veces la posición del 2».

En sus comienzos, el hombre numeraba las cosas con los dedos. Si quería decir 1, levantaba un dedo, si deseaba decir 2, levantaba dos dedos, y así sucesivamente. Con las dos manos podía contar hasta 10. Para señalar un número mayor hacía girar las manos: dos veces por 20, tres para 30, etc. Algunos pueblos utilizaban, además, los dedos de los pies como complemento.

Número Capicúa o Simétrico De 2 cifras: aa : 22

De 3 cifras: aba : 313; 5556

De 4 cifras : abba : 1221; 44447

De 5 cifras: abcba : 357539; 66666

Descomposición Polinómica (DP) De a Uno: * abcdn = a. n3 + b.n2 + c.n + d * 2234 = 2.42 + 2.4 + 3 * 270349 = 2.94 + 7.93 + 3.9 + 4

Por Grupos:  34925 = 34.103 + 9.102 + 25  13257 = 137.72 + 257

 234569 = 2349.92 + 569  abababn = abn . 10101n  ababn = abn . 101n  abcabc7 = abc7 . 10017

Los Números Romanos El origen exacto o la razón por la cual emplearon rayas verticales para indicar el 1, 2, 3 y 4 no se conoce, pero la opinión más generalizada es que provienen de los dedos de las manos; el 5 provendría entonces de una mano abierta, que se fue simplificando hasta quedar en forma de V; el X resultaría de la unión de dos cincos. Lo real es que emplearon también algunas letras de su alfabeto, como se puede observar a continuación:

34


Demostración Sea: N = abc ...... pqt un número de m cifras ⇒ abc ...... pqt= ⇒ ax10m–1+bx10m–2+cx10m–3 .... + qx10+ t Demostración: Grado del polinomio: (número de cifras)–uno = m–1 Luego: N : ax10m–1+bx10m–2+cx10m–3 .... + qx10+ t

3ro de Secundaria

Aritmética

Ejemplo: Halla a + b + C, si CCC(8) = ab1 . Resolución:

Ejemplo: Convierte 546(7) a base 10. Resolución: ⇒ 5 x 72 + 4 x 7 + 6 ⇒ 5 x 49 + 28 + 6 = 279 546(7) = 279

⇒ C . 82 + C . 8 + C = ab1 ⇒ 64C + 8C + C = ab1 ⇒ 73C = ab1 7 ⇒ 73(7) = ab1

Ejemplo:

⇒ 511 = ab1 ⇒ a + b + C = 5 + 1 + 7

Ejemplo: Halla el valor de «n» si 123(n)= 231(5).

a + b +C = 13

Resolución:

Indica en qué sistema de numeración se realizó: 41 – 32 = 5 Resolución: ⇒ 41(x) – 32(x) = 5(x) ⇒ (4x + 1) – (3x + 2) = 5

⇒ 1 x n2+2n+3 = 2x52 + 3x 5 + 1 ⇒ n2 + 2n + 3 = 50 + 15 + 1 ⇒ n2 + 2n + 3 = 66 ⇒ n2 + 2n – 63 = 0

n n

+9 –7

∴

n=7

Ejemplo:

x = 6 → sistema senario

¿En qué sistema de numeración se cumple que el número 370 del sistema decimal es igual a 226? Resolución:

Ejemplo: Convierte 121(5) a base 10.

⇒ 370 = 226(n)

Resolución:

⇒ 370 = 2 x n2 + 2 x n + 6

⇒ 121(5) = 1 x 52 + 2 x 5 + 1

⇒ 364 = 2 (n2 + n)

⇒ =25 + 10 + 1

⇒ 182 = n(n + 1) Ejemplo:

⇒ 13 x 14 = n (n + 1) Ejemplo:

Halla el valor de «n» si: a0a(n) = (2a)a(2n)

∴

n = 13

Halla «a + b» si ab(4) = 14. Resolución:

Resolución:

Por descomposición polinómicamente:

Descomponiendo polinómicamente:

121(5) = 36

⇒ 4a + b = 14

a0a(n) = (2a)a(2n)

⇒ 4a + b = 4 x 3 + 2

⇒ an2 + 0n +a = (2a)(2n) + a ⇒ an2 = 4an

⇒ a + b = 3 + 2

n=4

3ro de Secundaria

a+b=5


35

Aritmética

Nivel I

8) Si aba(5) = 2ba(7) halla a.b.

1) Calcula a + b si ab(9) = ba(7) .

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 12

a) 3 b) 4 c) 5

II) a + b + c si abc(3) = 15.

a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 7

d) 3 e) 4

4) Halla x en 42(x) = 22. a) 9 b) 8 c) 7

d) 6 e) 5

5) Si 3x7(9) = 322, halla x.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

6) Si ab(7) = ba(4), halla a + b.

a) 0 b) 1 c) 2

a) 5 b) 6 c) 7

36

a) 4 b) 5 c) 6

d) 3 e) 4

d) 8 e) 9

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

a) 6 b) 7 c) 8

a) 17 b) 18 c) 19

a) 12 b) 11 c) 15

a) 6 b) 5 c) 7

d) 8 e) 9


d) 6 e) 3

16) Sabiendo que aaa7 = bc1, halla a + b + c. a) 9 b) 8 c) 12

d) 7 e) 11

a) 40 b) 48 c) 56

d) 64 e) 72

18) Halla un número de 2 cifras, cuya suma de cifras es 10 y al invertir el orden de sus cifras el número disminuye en 36 unidades. Da como respuesta el producto de las cifras del número pedido.

d) 10 e) 13

14) Un número se escribe en el sistema binario como 101010. ¿ En qué base se representará como 132?

d) 20 e) 21

13) Si los numerales están co rrectamente escritos, halla m+n+p. n23(m) ; p21(n); n3m(6) ; 1211(p)

a) 1 b) 4 c) 2

17) A un número de 2 cifras se le agrega dos ceros a la derecha, aumentándose el número en 4752. Calcula el número original.

d) 9 e) 5

12) Si 3a4(7), aa8(b), bb y 25(a) están correctamente escritos, además 2c2c(7) = 1000, halla a + b+ c.

15) Determina el valor de "a" si: 13(a–1)a = (a + 1) (a / 2)8

Nivel II

d) 7 e) 8

11) Halla a si 3a4(7) = 186.

7) Si ab = 3a + 3b, halla b – a.

d) 7 e) 8

10) Halla el valor de n en 213n= 81.

3) Calcula: I) a + b si ab(5) = 14.

a) 4 b) 5 c) 6

9) Halla el valor de x en 90 = 230(x).

2) Calcula a + b si abb(9) = bba(6).

a) 21 b) 30 c) 33

d) 40 e) 50

19) Halla un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas, dé como resultado 72. Da como respuesta la suma de cifras. a) 13 b) 12 c) 10

d) 9 e) 8

3ro de Secundaria

Aritmética

20) Halla a.b si: ab(5)+ ba(6)+ aa(7)+ bb(8) = 74

a) 12 b) 6 c) 10

d) 7 e) 13

21) Un número de 3 cifras del sistema de base 7 se escribe en la base 9 con las mismas cifras pero colocadas en orden inverso. Expresa el número en base decimal y da la suma de sus cifras.

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

22) Se tiene un número de dos cifras al que se le invierte el orden de sus cifras. La diferencia de los cuadrados de ambos números es 891. Halla el número y da su suma de cifras.

a) 7 b) 9 c) 5

d) 4 e) 8

23) Halla 26 en base 2. ¿Cuál es la suma de sus cifras?

a) 2 b) 1 c) 0

d) 4 e) 5

24) Dado el numeral capicúa: a (b + 1)(7 – b)(8 – a) halla «a+b».

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

25) Si el numeral es de la forma: (a – 2)a (3a), calcular a2+2a+3

a) 13 b) 10 c) 15

d) 12 e) 18

27) ¿Cuántos numerales de 2 cifras significativas cumplen que al incrementarles el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras resulta 55?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

28) ¿Cuántos numerales son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

29) Si «A» es un numeral de 3 cifras y «B» es otro numeral de 2 cifras, halla el mayor valor que puede tomar «A–B». Da la suma de cifras del resultado.

a) 25 b) 26 c) 27

d) 19 e) 17

30) Un numeral de 3 cifras que empieza en la cifra 2 es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Halla el producto de sus cifras.

a) 36 b) 39 c) 42

d) 48 e) 56

Nivel III 31) Halla un numeral de tres cifras cuya cifra de segundo orden sea el doble de la cifra de primer orden y la cifra de tercer orden sea el triple de la cifra de segundo orden. Indicar la suma de sus cifras.

33) Juan tiene ab años y dentro de «7a» años tendrá 56. Halla «a + b».

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 12

34) Si a un numeral de 3 cifras que empieza con la cifra 6 se le suprime esta cifra, el numeral resultante es 1/26 del numeral original. Halla el producto de las cifras del numeral.

a) 36 b) 60 c) 48

d) 72 e) 56

35) Halla el mayor numeral de dos cifras significativas, tal que al sumarle el numeral que se obtiene de invertir el orden de sus cifras se obtiene 77.

a) 52 b) 81 c) 62

d) 72 e) 61

36) Halla el numeral de dos cifras que sea igual a 3 veces la suma de sus cifras. Da como respuesta la diferencia de sus cifras.

a) 4 b) 5 c) 8

d) 2 e) 1

37) Si se cumple abab=N.ab, halla la suma de cifras de «N».

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

26) Si al numeral ab de cifras significativas le restamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras, se obtiene 72. Halla «a+b».

32) Si a – b= 2 y ab + ba = 132, halla «a.b».

38) Halla un numeral de tres cifras que empieza en la cifra 4, tal que al eliminar esta cifra, se obtiene un numeral que es 1/17 del número original. Indica la suma de sus cifras.

a) 7 b) 3 c) 9

d) 10 e) 12

3ro de Secundaria

a) 10 b) 7 c) 9

a) 21 b) 28 c) 32

d) 6 e) 12

d) 35 e) 38


a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 15

37

Aritmética

39) Un numeral de dos cifras es tal que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un segundo numeral que excede en 5 al triple del primero. Halla la diferencia de cifras del numeral.

46) Halla «n» si 1111(n) = 85.

47) La suma de cifras de un número es 14 y si al número se suma 36, las cifras se invierten. Da como respuesta la diferencia de las cifras de dicho número de dos cifras.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 2

40) Calcula el producto de cifras de un numeral capicúa de 3 cifras que es igual a 23 veces la suma de las cifras diferentes.

a) 3 b) 6 c) 12

d) 9 e) 10

41) Si se cumple lo siguiente: 546(n) = 42n(8), halla n2 + n.

a) 72 b) 42 c) 90

d) 56 e) 30

42) Si se cumple: 320(n) = 206(5), halla n2 – n.

a) 20 b) 6 c) 12

d) 2 e) 30

a) 5 b) 4 c) 6

a) 3 b) 4 c) 5

d) 7 e) 8

d) 2 e) 1

48) Un número está compuesto por 3 cifras. La cifra de las centenas es 4 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Da como respuesta el producto de dichas 3 cifras.

a) 90 b) 64 c) 48

d) 36 e) 80

49) Un número aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93. Halla la suma de sus cifras.

43) Si se cumple: 373(n)=251, halla (n+1)(n–1).

50) ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a siete veces la suma de sus cifras?

a) 35 b) 80 c) 63

d) 48 e) 24

44) Expresa 121n + 11n en base n+1 si n > 2.

a) 110 b) 100 c) 101

a) 11 b) 7 c) 9

a) 1 b) 2 c) 3

a) 100 b) 101 c) 111

38

Uno de los dinosaurios más famosos y conocidos es, sin duda, el Tiranosaurio. Tyrannosaurus rex, su nombre científico significa «Rey Reptil Tirano». El primer descubrimiento de restos de este animal fueron encontrados en Montana. EE.UU., en 1902, por Barnum Braw quien lo bautizó en primera instancia como Dinamosaurus imperiosus. La polémica de si el T–rex era cazador o carroñero está dividida entre los diversos investigadores. El T–rex poseía una característica mandibular excepcional, al atacar a su presa o al tragar la carne, tenía la capacidad de expandir sus mandíbulas hacia los lados de manera que podía abrir más su hocico. Este carácter confirma la propuesta como cazador, aunque esto no quería decir que en ocasiones se haya alimentado de animales muertos.

d) 6 e) 8

d) 4 e) 5

d) 111 e) 120

Paleorreconstrucción: El T–rex en la posición actual y comparado con una figura humana. El T–rex tenía una altura de 7m, algo así como 2 pisos, mientras que un hombre actual tiene en promedio 1,80m, es decir, el T–rex tiene 5,2 m más, casi el cuádruple de la altura de un hombre.

45) Expresa 156n en base (n+2) si n>6.

Una Comparación que felizmente no se dio...

d) 110 e) 120


3ro de Secundaria

Aritmética

1) Expresa en base 10 el numeral 1235.

a) 38 b) 35 c) 36

d) 37 e) 80

2) Si 2x3y; z1x; 312z ; yy7 están correctos, halla x + y – z.

a) 7 b) 5 c) 8

3) Si a un número de tres cifras se le agrega un 5 al comienzo y otro al final, el número obtenido es 147 veces el número original. Da como respuesta la suma de las cifras del número original.

a) 10 b) 11 c) 14

d) 13 e) 12

d) 4 e) 3

4) La cifra de las decenas de un número de dos cifras es igual al doble de la de las unidades. Cuando se invierte el orden de sus cifras este número disminuye en 27. ¿Cuál es el número?

a) 39 b) 63 c) 93

d) 36 e) 33

5) Si a un número de tres cifras se le invierte la cifra de las unidades a la decenas, aumenta en 45; si se invierte la cifra de las decenas y centenas, disminuye en 270. Si se invierte las cifras de las unidades con las centenas, ¿cuál de las alternativas es verdadera?

a) Disminuye en 198 b) Aumenta en 130 c) Disminuye en 130 d) Aumenta en 198 e) Aumenta en 99

"Me preguntas ¿qué es Dios?, no sé qué decirte; lo que sí puedo afirmar es que siempre será mucho más de lo que la naturaleza humana puede ofrecerte". Francisco Jaramillo

3ro de Secundaria


39

Aritmética

Numeración II NUMERACIÓN II

OBJETIVOS  El alumno al terminar el presente capítulo será capaz de convertir números de bases diferentes.

Cambios de Bases

 Podrá resolver problemas de aplicación de bases diferentes.

I. DEL SISTEMA DE BASE 10 A UN SISTEMA DE BASE N 1.1. MÉTODO: DIVISIONES SUCESIVAS

Ejemplo:

Ejemplo: Convierte 583 a base 2. 583 2 18 291 2 3 –9 145 2 1 11 5 72 2 1 1 12 36 2 0 18 2 0 0 9 2 1 4 0 Se divide hasta que los residuos sean menores que la base que se pide, marcando los residuos y el último cociente.

235(7) a base 3. 1. Descomposición polinómica

2. Divisiones sucesivas: 2 2 0

2 1

Luego: 583 = 1001000111(2)

Métodos a emplear:



124

–4

3 41

1 11

2

3 13

3

1

4

3

1

1

∴ 124 = 11121(3)

1.er Método: Descomposición Polinómica:

polinómica.

12345 = 1 x 53 + 2 x 52 + 3 x 5 +4 = 194

Divisiones sucesivas.

40

1.2. DEL SISTEMA DE BASE «N» AL SISTEMA DE BASE «K» (N ≠ K ≠ 10)

 Descomposición

235(7) = 2 x 72 + 3 x 7 + 5 235(7) = 98 + 21 + 5 = 124


3ro de Secundaria

Aritmética

1.er Paso :

2.º Método: Ruffini

3

1 5 1

2 3 4 5 35 190 7 38 194

Convierte un número de base «n» a base «m».

Descomposición polinómica

N=3x4 +0x4 +1x4+2 N = 198 2.º Paso : 198 6

8 24 8 0 3

Ejemplo: Expresa 3012(4) en base 8.

Numeración China

2

Luego : 3012(14) = 306(8)

Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo, aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero, siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aun así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10.

Demostración

Demuestra que: 0,7948 = 7 x 10–1 + 9 x 10–2 +4 x 10–3 + 8 x 10–4 Descomponiendo polinomicamente: 0,7948 = 0,7 + 0,009 +0,004 + 0,0008 0,7948 =

7 9 4 8 + + + 10 100 1000 10000

0,7948 =

4 7 9 8 + + + 101 102 103 104

∴ 0,7948 = 7 x 10–1 + 9 x 10–2 +4 x 10–3 + 8 x 10–4

Templo de Partenón Existe unanimidad al afirmar que las matemáticas se desarrollaron en Grecia a lo largo de los siglos VII y VI antes de Cristo, una vez que los griegos formalizaron un alfabeto más o menos uniforme, aunque los historiadores modernos admiten que nuestros conocimientos sobre la ciencia de esa época carecen de un sólido fundamento.

3ro de Secundaria


El número áureo se utilizó para establecer las proporciones de las partes de los templos. Por ejemplo en el Partenón, su planta es un rectángulo en el que la relación entre el lado mayor y el lado menor es dicho número. La sección áurea se usó mucho en el renacimiento, particularmente en las artes plásticas y la arquitectura.

41

Aritmética

Ejemplo:

Ejemplo: Si mp(7) es igual al triple de pm(7), calcular p + m.

Halla a + b + c en abc(4) = 17. Resolución: La torre Eiffel de 320 metros de alto, en París, hecha en 1889, tiene 12000 piezas metálicas y 2500000 remaches y ningún obrero murió en su construcción.

17 1

Resolución: 4 4 1

⇒ mp(7)= 3 (pm(7))

4 1

⇒ 7m + p = 3 (7p + m)

∴ 1+1+1=3

⇒ 4 m = 20 p ⇒ 1 m = 5 p

Ejemplo:

⇒ p + m = 1 + 5

Halla aab si aa0b(4)=82.

p+m=6

Resolución: 82 4 2 20 0

4 5 1

Ejemplo: Expresa el numeral 352(6) a base 7.

4 1

Resolución:

⇒ 1102(n)= aa0b(4)

⇒ 352(6)= 3 x 62 + 5x 6 + 2 = 140

∴ 1 12 = 1

140 0

Ejemplo: Si se cumple 2153(n) = 1abc(7), halla a + b + c + n. Resolución: ⇒ 2153(n) = 1abc(7) ⇒ 5 < n < 7 ∴ n = 6

⇒ 2153(6) = 1abc(7) ⇒ 2153(6) = 2 x 63+1x 62+5x6+3 ⇒ 2153(6) = 501

4 71

Resolución: Ejemplo:

⇒ 121(3)= 1 x 32 + 2 x 3 + 1

Si se cumple xxx(11)+xx(11)– x(11)=ab8, calcula «a + b – x».

16 2 0 8 2 0 4 0

Resolución: 2 2 0

⇒ [x(11)2 +x(11)+x] + x(11)+x] + x = ab8 2 1

7

⇒ 133x + 12x + x = ab8 ⇒ 146 x = ab8 3

⇒ 438 = ab8

1 10 7

7 2

352(6)= 260(7)

∴ 121(3)= 10000(2)

501 7

Convierte 121(3) a base 2.

⇒ 121(3)= 9 + 6 + 1 = 16

Reemplazando:

Ejemplo:

7 20 6

3 1

⇒ a + b – x = 4 + 3 – 3

⇒ 2153(6) = 1314(7) = 1abc(7)

∴ a+b – x = 4

∴ a+b+c+n = 3+1+4+6 =14

42


3ro de Secundaria

Aritmética

Ejemplo: Expresa 120(2) a base 3. Resolución: i. 1x 22 + 2 x 2 + 0 ⇒ 4 + 4 + 0 = 8 ii.

8 2

6) Expresa 10111011(2) en base ocho.

3 2

1) Halla a + b en ab(9) = 135(7) . d) 14 e) 15

2) Si abbc8=41759, halla a+b+c.

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

d) 3 e) 4

a) 276(8) b) 121(8) c) 134(8)

d) 544(8) e) 454(8)

a) 31123(5) b) 1124(5) c) 21411(5)

a) 6 b) 7 c) 8

a) 11 b) 12 c) 13

a) 4 b) 5 c) 8

a) 33 b) 34 c) 35

a) 100 b) 120 c) 124

d) 14 e) 15

d) 9 e) 10

d) 36 e) 32

d) 130 e) 150

14) Expresa mayor número de tres cifras del sistema nonario, en base diez.

a) 720 b) 724 c) 722

d) 726 e) 728

15) El mayor número de dos cifras del sistema decimal, expresalo en el sistema binario e indica la suma de sus cifras.

d) 9 e) 10

10) Calcula: a + b + n si: ab5(n) = 1n4(7)

II) 13204 en el sistema decimal.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

Nivel II 16) Expresa en el sistema senario el menor número de tres cifras diferentes de la base 8.

a) 1326 b) 1506 c) 1336

d) 1246 e) 1256

17) Expresa en base 9, el menor número de la base 6 cuya suma de cifras sea 18.

a) 11859 b) 12859 c) 11589

d) 349 e) 2439

18) Si se cumple : abc8 = 1036n, halla a + b + n.

a) 15 b) 18 c) 20

d) 24 e) 26

13) I) Escribe 1000 en base siete.

5) Expresa : 2714(9) en base 5.

d) 9 e) 10

12) Halla a2 + b2 + c2 si : abc(8) = cba(17)

4) Convierte 356 a base 8.

a) 6 b) 7 c) 8

11) Halla a + b + c, si aabc(7) = babb(5)

3) Hallar "a" si: aaaa(6) = 635(9) a) 0 b) 1 c) 2

d) 9 e) 10

9) Si x55(y)=(x–1)xx(7), halla x+y.

Nivel I

a) 6 b) 7 c) 8

8) Si b3c3(a)=aa3(5), halla a+ b+c.

a) 11 b) 12 c) 13

d) 277(8) e) 270(8)

7) Halla n si 4bc(9) = 7rs(n).

∴ 120(2) = 22(3)

a) 273(8) b) 274(8) c) 275(8)

d) 11213(5) e) 1231(5)

3ro de Secundaria

a) 6262(7) b) 2626(7) c) 3131(7)

d) 4314(7) e) 3626(7)


19) Halla n si: 455(n) = 354(n + 1)

a) 6 b) 7 c) 5

d) 8 e) 9

43

Aritmética

26) Halla «n» si se sabe: 43(n) + 56(n) = 131

20) Halla a+ b en : 3(2a)6 = 4ab

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

21) Si se cumple: 1312(101 ) = 1312, halla n. n

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

27) Halla a + b + c si se cumple: 315(8) = abc(6)

a) 10 b) 9 c) 12

d) 13 e) 8

28) Convierte 543(6) a base 4. 22) El menor número de 4 cifras de la base n se escribe en la base diez como 5ab. Halla a + b + n y expresa el resultado en base 2.

a) 10032 b) 10112 c) 1012

d) 11112 e) 5002

23) El cuádruplo de un número es de la forma ab , pero si al número se le multiplica por 3 y luego se le divide entre 2, se obtiene ba. Halla (a–b).

a) 1 b) 2 c) 3

además (n–2)(n2)(n+4)= cde(7),

halla a + b + c + d + e + n. a) 15 b) 13 c) 14

d) 17 e) 12

25) Calcula «a + b + c» si los numerales están correctamente escritos: 10a(4); 2bc(a); bb(c)

a) 5 b) 6 c) 7

44

d) 3 e) 8

a) 3233(4) b) 5222(4) c) 3033(4)

d) 222(4) e) 3332(4)


a) 323(8) b) 353(8) c) 549(8)

d) 543(8) e) 555(8)


d) 5 e) 8

24) Si se cumple 4a(ab) = a0a8

a) 132(7) b) 134(7) c) 124(7)

d) 143(7) e) 144(7)

34) Expresa, en el sistema senario, el menor número de 3 cifras diferentes de la base 8. Da la suma de sus cifras.

a) 132(6) b) 150(6) c) 133(6)

d) 124(6) e) 125(6)

35) Si se cumple que 201(3) = abcde(n), halla a+b+c+d+e+n.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

36) Descompón polinomicamente el mayor numeral de 3 cifras de la base «n».

a) n3 b) n3+1 c) n4–1

d) n3–1 e) n4+1

37) Si se cumple: (n–1)(n–1)(n–1)(n)=(2n–1)(2n–1)(2n), hallar «n».

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

Nivel III 31) Convierte 1010101(2) a base 8.

38) Halla el valor de «x» si: (x–1)(x–1)(x)=8

a) 100(8) b) 103(8) c) 104(8)

d) 125(8) e) 120(8)

32) Convierte 678(9) a base 4.

a) 20231(4) b) 32123(4) c) 20331(4)

d) 53244(4) e) 62743(4)

a) 5 b) 3 c) 7

d) 6 e) 8

39) Halla el valor de «n» si: (n–1)(n–1)(n–1)(n) = 215

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

33) El mayor número de 3 cifras de la base «n» se representa en base 5 como 4021. Halla «n».

40) Halla «n» para que se cumpla: 126(n) = 256(8)

a) 9 b) 7 c) 8

d) 10 e) 12


a) 15 b) 14 c) 13

d) 12 e) 11

3ro de Secundaria

Aritmética

41) Si se cumple ab2 = 1331(n), expresa (a+1)(2b)(n+1) en base nueve.

a) 55 b) 36 c) 42

d) 46 e) 54

47) Halla «n» si 111(n) = 85.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 7 e) 8

48) Si a56(8) = (a+1)60(k), 42) Si a2b(8) = a6(n–1)n , halla «a + b + n».

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

halla (a + k). a) 10 b) 20 c) 15

d) 14 e) 13

49) Si aa(9) = a0a(n) , 43) Si se cumple m00m6 = np1 , halla «m + n + p» (0 = cero).

a) 12 b) 15 c) 18

d) 14 e) 20

44) Halla a + b si se cumple: 16 = 6ba 16 16 . 33 veces . . 16 ab

a) 7 b) 10 c) 8

d) 11 e) 9

halla (a + n) máximo. a) 3 d) 6 b) 4 e) 7 c) 5

50) Si: aa ..............= 828 1a 1a . . «a» veces . 1a

halla «a».

a) 7 b) 8 c) 9

d) 11 e) 6

45) Si 11..... 11(2) = 1023, «n» cifras

halla n2.

a) 100 b) 120 c) 150

d) 180 e) 190

Los ábacos son los instrumentos de cálculo más antiguos que se conocen. Antes de su invención se utilizaban piedrecillas (de hecho que la palabra cálculo significa piedrecilla), se hacían muescas en palos, en huesos, se hacían marcas en la arena, etc. Se han utilizado ábacos tanto en culturas occidentales como en culturas orientales. Los romanos tenían una especie de ábaco que consistía en una tabla con hendiduras donde se colocaban piedrecillas. Este ábaco, tiene para cada dígito de un número 4 +1 cuentas. La superior vale 5 y cada una de las inferiores vale 1. En la imagen está representado el número 0987654321. Por ejemplo: el tres se representa llevando al centro 3 cuentas de la parte inferior. El 7 se representa como 5 + 2, por lo que llevamos al centro una cuenta de la parte superior y dos de la parte inferior. El de la imagen debe ser de Vietnam (Ban–Tien), que usa el mismo sistema de los ábacos japoneses (cuentas abajo, una arriba), conocidos como Soroban.

46) Si 1(a + 1)a1(4) = 1a1, halla «a2».

a) 3 b) 2 c) 5

d) 6 e) 7

3ro de Secundaria


45

Aritmética

1) Si aba(8) = 1106(n), halla a + b. a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

3) Si a un número de 3 cifras que empieza con 9 se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. Halla la suma de las cifras del numeral.

a) 17 b) 18 c) 19

d) 20 e) 30

2) Si ab7cd(m) = 7607(9), halla a + b + c+ d.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

4) Si un número se escribe en base 10 como xxx y en base 6 como aba, entonces a+b +x es igual a:

a) 6 b) 3 c) 4

d) 2 e) 5

5) Si 354(n+1) = 455(n), determina el valor de «n».

a) 9 b) 8 c) 7

d) 6 e) 5

"En la vida se ve uno a veces ante la disyuntiva de complacer a Dios o complacer al prójimo. A la larga conviene más lo primero, porque Dios tiene mejor memoria". Harry Kemelman

46


3ro de Secundaria

Aritmética

Repaso OBJETIVO  Conocer las operaciones de conjuntos y sus aplicaciones con diagramas.  Conocer los diferentes tipos de conjuntos.  Expresar un número en su forma polinómica.  C o n o c e r y d e s a r r o l l a r problemas de las diferentes bases de numeración.  Resolver problemas de numeración y conjuntos.

Los Griegos tenían...

Émilie de Chatelet (1706 – 1749) Marquesa de Chatelet nació en el seno de una familia ilustre el 17 de diciembre de 1706 en Saint Jean en Greve, Francia. Con diez años ya había estudiado matemáticas y metafísica; a los 12 sabía inglés, italiano, español y alemán, y traducía textos en latín. Estudió a Descartes, Leibniz y Newton. Escribió Las instituciones de la física, libro que contiene el cálculo infinitesimal. Hacia 1745 tradujo los principios de la matemática de Newton.

Sofía Sonia Kovalevskaya (1850 – 1888)

... tres problemas clásicos de

Nació en Moscú, el 15 de enero del año 1850. Gracias a Mittag–Leffer, Sonia pudo trabajar a prueba durante un año en la Universidad de Estocolmo. Durante este tiempo Sonia escribió el más importante de sus trabajos, que resolvía algunos de los problemas al que matemáticos famosos habían dedicado grandes esfuerzos para resolverlos. Más tarde sería premiada por la Academia de Ciencias de París, en el año 1888.

matemática: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Estos problemas debían resolverse utilizando solamente regla sin

3ro de Secundaria


47

Aritmética

7) Un caño llena un estanque en 4 horas y el desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si se abren ambos conductos a la vez?

Nivel I 1) Gasté S/.15,72 en ciertas compras y pagué con un billete de S/20. ¿Cuánto fue mi vuelto?

a) S/. 3,28 b) S/. 4,28 c) S/. 4,80

d) S/. 3,18 e) S/. 3,28

2) Trilcito «El Caminante» ha recorrido un camino en tres etapas: primero recorrió 21,12 km, luego 2,381 km y finalmente 7,5 km. ¿Cuántos kilómetros mide dicho camino?

a) 31,01 b) 31 c) 31,001

d) 30,999 e) 31,1

3) Nina va al mercado y hace cinco compras que le cuestan S/. 23,80, S/.11, S/.46,50, S/.29,60 y S/.27,30. ¿Cuánto dinero ha gastado en total?

a) S/. 139,10 b) S/. 138,20 c) S/. 138

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/5

a) 30 min b) 20 min c) 40 min

d) 50 min e) 80 min

6) En 1 min un caño llena 1/50 de un depósito. ¿En cuánto tiempo llenará todo el depósito?


48

d) 7/9 h e) 3/2 h

8) Para pintar una esfera de 20 cm de radio gasto S/. 64. ¿Cuánto se gastará para pintar una esfera de 25 cm de radio?

a) S/. 80 b) S/. 50 c) S/. 100

d) S/. 70 e) S/. 8

9) Si 3 metros de tela cuestan S/. 120, ¿cuánto se pagará por 5,5 metros de la misma tela?

a) S/. 300 b) S/. 220 c) S/. 500

d) S/. 600 e) S/. 550

d) 80 min e) 90 min

a) h/(r+d) b) hd/(h–r) c) hd/(h + r)

d) d + r e) r – d

14) Cuatro caballos cuyas fuerzas equivalen a 150 kg cada uno, llevan un coche que pesa 1640 kg. ¿Cuántos caballos se necesitan para llevar el mismo coche, si ahora la fuerza de cada caballo equivale a 100 kg?

a) 2 b) 3 c) 5

d) 6 e) 10

15) Seis monos comen 6 plátanos en 6 minutos. ¿En cuánto tiempo 50 monos comerán 150 plátanos?


d) 150 min e) 12 min

Nivel II 10) Si 3 lapiceros cuestan S/. 6, ¿cuánto costarán 12 lapiceros?

a) S/. 30 b) S/. 24 c) S/. 35

d) S/. 70 e) S/. 50

d) 1/6 e) 1/7

5) En 1 min un caño llena 1/3 de un depósito. ¿En cuánto tiempo llenará todo el depósito?

a) 5/6 h b) 6/3 h c) 4/5 h

d) S/. 132,80 e) S/. 138,30

4) Un caño llena un depósito en 7m. ¿Qué parte del depósito llena en 1 min?

13) Si «h» hombres hacen un trabajo de «d» días, entonces «h + r» hombres harán el mismo trabajo en: (da tu respuesta en días).

16) La suma de 2 racionales es 31/20 y su diferencia 1/20. Hallar el producto de dichos racionales.

a) 16/20 b) 3/15 c) 15/20

d) 4/10 e) 3/5

11) Si 4 mesas cuestan S/. 80, ¿cuánto costarán 10 mesas?

17) ¿Cuánto le falta a la mitad de 8/11 para ser igual a los 5/7 de los 2/3 de los 6/11 de 7?

a) S/. 100 b) S/. 200 c) S/. 300

d) S/. 400 e) S/. 500

a) 15/11 b) 16/11 c) 20/11

d) 30/11 e) 12/11

12) Si 21 obreros tardan 10 días para hacer una obra, ¿cuántos obreros se necesitarán para hacer la misma obra en 15 días?

18) Dado el conjunto: A = {{3; 8}; {5; 7}; 8}, ¿cuántas de las siguientes proporciones son correctas? I. {5; 7}∈A III. 8 ⊂A II. {∅} ∈ A IV. {5; 7} ⊂ A

a) 15 b) 16 c) 14

d) 20 e) 50


a) FFFF b) VVVF c) VVFF

d) VFFF e) FVVV

3ro de Secundaria

Aritmética

19) Si un conjunto tiene 15 subconjuntos propios, ¿cuántos elementos tiene el conjunto?

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

20) ¿Cuántos elementos tiene un conjunto si tiene 31 subconjuntos propios?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

21) Dado el conjunto: B = {f, r, a, n, c, e, s, c}, ¿cuántos subconjuntos tiene «B»?

a) 64 b) 128 c) 32

d) 132 e) 46

22) Si L = {l, i, l, i, a, n, a}, ¿cuántos subconjuntos tiene «L»?

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 32

23) Halla la suma de elementos de cada conjunto si: A = {x/x ∈ N; 5 < x < 9} y P = {x2/x ∈ Z; 3< x < 7}

a) 21 y 15 b) 21 y 77 c) 77 y 20

a) 21 y 50 b) 50 y 21 c) 21 y 12

a) 64 y 64 d) 64 y 32 b) 32 y 32 e) 128 y 128 c) 32 y 64

27) Si A={c, o, m, i, d, a}, B ={p, a, n, e, s}, ¿cuántos subconjuntos tiene cada uno de los conjuntos?

a) 32 y 32 d) 16 y 32 b) 64 y 64 e) 32 y 16 c) 64 y 32

28) Hallar n(A) + n(B) si se tiene: A = {x/x ∈ N, 2 < x < 7} B= {x/x ∈ Z, 7 < x < 13}

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

29) Halla la suma de los elementos de «M» si: M= {x2+2 / x ∈ Z, 1 < x < 6}

a) 50 b) 61 c) 62

d) 64 e) 52

d) 15 y 77 e) 16 y 21

24) Si Z={x+1/x∈N; 4 < x < 8}, Y = {x2/x ∈ Z; 2< x < 6}. Halla la suma de elementos de cada conjunto.

26)¿Cuántos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos? M = {e, s, c, u, e, l, a} N = {t, a, l, e, n, t, o}

d) 12 y 50 e) 50 y 12

30) Dado el conjunto: R= {x2+1/x ∈ Z, 3 < x < 7}, ¿cuántos subconjuntos tiene «R»? Halla la suma de elementos de «R».

a) 8 y 80 b) 5 y 50 c) 8 y 36

d) 8 y 42 e) 9 y 80

Nivel III

25) Dado R = {a, {b}, {s}, t}, ¿cuántas proposiciones son falsas? I. {{b}} ⊂ R d) {s} ⊂ R II. {a} ∈ R e) {t} ∈ R

31) Si P = {g, a, r, o, t, a} y Q = {t,o,g,a}, halla P∩ Q.

a) VVVV b) VVVF c) FFVV

d) FFFV e) VFFF

3ro de Secundaria

a) {g, a, t, a} d) {g, a} b) {t, o, g, a} e) {t, a} c) {g, o, l}


32) Si R= {2, 4, 6, 8, 10}, ¿cuántos subconjuntos tiene «R»?

a) 5 b) 12 c) 16

d) 32 e) 30

33) De un grupo de 45 niños, 15 gustan del color azul, 25 del color rojo. Si 5 gustan de ambos colores, ¿cuántos niños no gustan de estos colores?

a) 20 b) 5 c) 10

d) 15 e) 25

34) Si de un grupo de 100 personas se descubrió que 35 personas se desempeñaban como zapateros, 27 como albañiles y 30 como carpinteros, 8 como carpinteros y albañiles, 9 como carpinteros y zapateros, 11 como albañiles y zapateros y 5 con los 3 oficios, ¿cuántos se desempeñan sólo como albañiles?

a) 13 b) 18 c) 20

d) 19 e) 15

35) De un grupo de consumidores (90 personas) se sabe que 35 consumen pollo, 40 consumen pescado y 25 carne de res. Si 5 consumen pollo y pescado, 12 consumen pescado y res, 7 consumen res y pollo y 3 personas consumen los 3 tipos de carnes, ¿cuántas personas no consumen ninguno de estos 3 tipos?

a) 26 b) 9 c) 25

d) 5 e) 11

36) Si N={x/x ∈ Z; 1 < x < 9}, ¿cuántos subconjuntos tiene «N»?

a) 16 b) 32 c) 64

d) 128 e) 4

49

Aritmética

37) Si A = {x+1/x∈Z, 3 < x < 11}, ¿cuántos subconjuntos propios tiene «A»?

a) 128 b) 127 c) 129

d) 126 e) 132

38) Si B={x/ x ∈ Z, 1 < x < 11} y C = {x/ x ∈ Z, 2 < x < 10}, hallar n(B) . n(C)

a) 64 b) 56 c) 72

d) 63 e) 81

a) 128 b) 8 c) 120

d) 136 e) 140

40) Si T={x/x ∈ Z, 3 < x < 10} y U = {x/x ∈ Z, 4 < x < 9} halla P(T) – P(U).

a) 64 b) 16 c) 48

50) Marca verdadero (V) o falso (F).

I. 46(7) > 45(6) II. 37(8) < 45(7) III. 32(4) = 42(3)

a) VVF b) VVV c) FVV

d) 32 e) 54

a) 3; 2; 3 b) 4; 2; 1 c) 3; 2; 1

d) 3; 1; 2 e) 3; 2; 2

44) Indica los números que están mal escritos. I. 342(5) III. 1321(3) II. 203(4)

39) Si Z = {x/x ∈ Z, 1 < x < 9} y W= {x/x ∈ Z, 3 < x < 7}, halla P(Z) + P(W).

43) ¿Cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos? I. ab4(8) II. cd(3) III.(81)(49)d(85)

a) I y II b) II y III c) I y III

d) Sólo III e) Sólo II

45) Indica cuántas cifras tienen los siguientes números si están bien escritos: I. aa(11)bc(13) II. ab(13)(15)

a) 4 y 3 b) 5 y 4 c) 3 y 3

d) 4 y 4 e) 5 y 5

46) Halla «m + n» si mn(9) = 143(5).

a) 8 b) 7 c) 6

d) 9 e) 11

41) Ordena de menor a mayor los siguientes números: I. 73(8) II. 43 (5) III. 32(6)

47) Relaciona ambas columnas adecuadamente. I. 31(4) ( ) a) 34 II. 43(5) ( ) b) 13 III.46(7) ( ) c) 23

a) I, II, III b) I, III, II c) III, II, I

d) III, I, II e) II, I, III

42) Indica si es verdadero (V) o falso (F), según corresponda. I. 41(5) > 51(6) II. 36(7) > 37(6) III. 41(7) < 42(6)

a) VVF b) FVF c) FFV

50

d) VVV e) VFF

a) III, I, II b) III, II y I c) I, III, II

d) I, II y III e) II, I y III

48) ¿Cuánto suman todos los posibles valores de «a» si 3a124(6)?

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

49) Si 4c13(7), ¿cuánto suman todos los posibles valores de «c»?

a) 21 b) 20 c) 19

d) 22 e) 23


d) FFV e) FFF

Algunas definiciones de Matemáticas  Aristóteles: Es la ciencia de la «cantidad».  Descartes: Es la ciencia del orden y de la medida.  Gauss: Es la reina de las ciencias, y la aritmética es la reina de las matemáticas.  Eric T. Bell: Es la reina y la sirvienta de la ciencia.  Henri Poincaré: La matemática no estudia objetos sino relaciones entre objetos: podemos reemplazar un objeto por otros siempre y cuando la relación entre ellos no cambie.  Benjamin Pierce: Es la ciencia que obtiene conclusiones necesarias.  David Hilbert: Es un juego con reglas muy sencillas que deja marcas sin significado en un papel.

Estas definiciones no concuerdan en decirnos que es la matemática. Unas subrayan el aspecto formal, abstracto y puro; otras las aplicaciones y los usos. Las fronteras entre estos dos aspectos no están bien marcadas y existen muchas zonas de influencia recíproca.

3ro de Secundaria

Aritmética

1) ¿Cómo se escribe 200 en base seis?

a) 533(6) b) 532(6) c) 432(6)

3) Si el numeral: (a–4)a(a–4)6 = xyyz(4), halla x + y + z.

a) 6 b) 5 c) 4

d) 433(6) e) 454(6)

2) ¿Cómo se escribe en base 4, el menor numeral de cuatro cifras diferentes del sistema de base 6?

a) 1233(4) b) 3123(4) c) 2513(4)

d) 3213(4) e) 4312(4)

4) En un grupo de 70 personas: 32 hablan inglés, 26 español, 37 francés, 6 inglés y español, 9 español y francés y 12 inglés y francés. ¿Cuántos hablan los 3 idiomas? d) 7 e) 8

a) 3 b) 2 c) 4

d) 5 e) 6

5) De 72 jóvenes que postularon a las universidades: UNI, UNMSM y/o UNFV, 25 a la UNFV, 28 a la UNMSM y 1 postuló a las 3 universidades. ¿Cuántos postularon a solo 2 de estas universidades?

a) 19 b) 15 c) 20

d) 14 e) 21

"Si nunca abandonas lo que es importante para ti, si te importa tanto que estás dispuesto a luchar para obtenerlo, te aseguro que tu vida estará llena de éxito. Será una vida dura, porque la excelencia no es fácil pero valdrá la pena". R. Bach

3ro de Secundaria


51

Aritmética

Adición Objetivos  Aplicación de las propiedades de la adición en el uso común diario.  El alumno manejará mejor la operación de la adición.  Reconocer y aplicar las sucesiones numéricas más importantes.

2. PROPIEDADES

Demostración:

A. Propiedad de Clausura

a+0=a a + (p - p) = a a+p=a+p a=a

Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro número natural. B. Propiedad Commutativa El orden de los sumandos no altera la suma. Ejemplo: 7+3=3+7

ADICIÓN

3. SUMAS NOTABLES (SUMATORIAS) 1. La suma de los «n» primeros enteros positivos: 1 + 2 + 3 +... + n =

n(n+1) 2

C. Propiedad Asociativa Propiedades

Clausura

La forma como agrupamos los sumandos no altera la suma. (a + b) + c = a +(b + c)

Ejemplo:

1 + 2 + 3 + ... +48 =

Commutativa

= 1176

Ejemplo: (4 + 9) + 1 = 4 + (9 + 1)

Asociativa

48(48+1) 2

13 + 1 = 4 +

10

14 = 14

2. La suma de los «n» primeros números pares positivos: 2 + 4 + 6 + ... + 2n= n(n+1)

Neutro D. Elemento Neutro 1. ADICIÓN: Es una operación que hace corresponder a cada par de números m, n ∈ N otro número natural llamado suma, denotado por m + n.

52

a+0=a Ejemplo:

Ejemplo: 2 + 4 + 6 + ... + 92= 46(46+1)

= 2162

7+0=7


3ro de Secundaria

Aritmética

3. La suma de los «n» primeros números impares positivos: Ejemplo:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2

1 + 3 + 5 + ... + 59 = 302 = 900

4. La suma de los «n» primeros cuadrados perfectos:

Ejemplo:

12 + 22 + 32 + ... + n2=

n(n+1)(2n+1) 6

62(62 + 1)(2.62 + 1) = 81375 12 + 22 + 32+ ........ + 622 = 6

5. La suma de los «n» primeros cubos perfectos:

Ejemplo:

13 + 23 + 33 + ... + n3=

13 + 23 + 33 + ... + 243 =

2

[ n(n 2+ 1) ]

[ 24(242 + 1) ]

2

= 90000

1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + n ( n + 1 ) =

Efectúa: 2 + 22 + 222 +...+ 222222 Resolución:

6. La suma de los «n» primeros productos de 2 enteros consecutivos:

Ejemplo 1:

n(n+1)(n+2) 3

2+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 =6x2 1 0 . =5x2 . 8 . . =4x2 . . 6 . . . =3x2 . . . . 4 . . . . =2x2 . . . . . 2 . . . . . =1x2 2 4 6 9 1 2

Ejemplo: 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + ... + 74 x 75 =

74(74 + 1) (74 + 2) 3

= 140600

Ejemplo 2: La suma de dos números consecutivos es 21, halla dichos números. Resolución: Sean los números: x, x + 1 x+ (x + 1) = 21 2x + 1 = 21 2x = 20 x = 10

La mayor biblioteca del mundo es la del Congreso de los EE.UU., ubicada en Washington DC. Posee 108'433370 items, ocupa una superficie de 265000 metros cuadrados, tiene 856 km de anaqueles y alrededor de 4600 empleados.

3ro de Secundaria

Los números son 10 y 11.


53

Aritmética

Ejemplo 3: Halla la suma: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

Si (a + b + c)2 = 289, calcula abc + bca + cab.

Resolución:

∴ U.N.I. = 1 . 9. 8 = 72

Resolución:

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 11 11 11 5x ( 11) = 55

Ejemplo 4:

a + b + c = 17

Disponiendo en columna: a b c 1 1 7 1 8

Si a + b + c = 6, halla: a b c + c a b b c a

b c a 1 7

c + a b 7

Nivel I 1) Halla el valor de S si:

8 7

Rpta.: 1887

abc+ cab bca 666

Ejemplo 5: Si tres números consecutivos suman 303, halla dichos números. Resolución: Sean los números: x, x + 1, x + 2 x + (x + 1) + (x + 2) = 303 3x + 3 = 303 3x = 300 x = 100

Resolución: 5 + 5 5 5 5 5

S = 1 + 2 + 3 + ... + 85

a) 3655 b) 3254 c) 3321

E = 1 + 2 + 3 + ... + 120

a) 7000 b) 7260 c) 7500

5 5 .... 5 5 5

Unidades : 37 x 5 = 185 + Decenas : 36 x 5 = 180....... Centenas : 35 x 5 = 175......... 485....

S = 2 + 4 + 6 + ... + 96

a) 3000 b) 2352 c) 2308

Rpta.: 485

Ejemplo 9: Si UU + NN + II = UNI Calcular U.N.I.

Resolución: 20 (21) 2 21 x 10 = 210

54

U

d) 7800 e) 7953

3) Halla S si:

d) 4500 e) 6700

4) Halla P si:

P = 2 + 4 + 6 + ... + 144

a) 5006 b) 5256 c) 7800

Resolución: Halla la suma: 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20

d) 4000 e) 5000

2) Halla el valor de E si:

37

∴ 100, 101 y 102.

Ejemplo 6:

Ejemplo 8: Calcula las 3 últimas cifras de 5 + 55 + 555 + ... (37 sumandos).

Resolución:

Reemplazando en la operación se obtiene: I = 8.

Ejemplo 7:

d) 5350 e) 6000

5) Halla E si: U N I N

U + N I I

Unidades: U + N = 10; llevo 1 Centenas: U = 1 → N = 9


E = 1 + 3 + 5 + ... + 121

a) 3721 b) 3000 c) 8700

d) 4005 e) 3800

3ro de Secundaria

Aritmética

6) Halla S si:

S = 1 + 3 + 5 + ... + 205

a) 10070 b) 10609 c) 7003

d) 895 e) 6059

7) Halla S si: S = 1 + 4 + 9 +... + 400

a) 3000 b) 2750 c) 2870

d) 5034 e) 6000

d) 14 e) 15

9) Si a83 + 5b9 + 64c = 1659, halla a + b + c. a) 10 b) 13 c) 9

d) 15 e) 7

d) 12 e) 11

11) Halla a+b+c si se cumple que: x1x+x2x+x3x+....+x9x = abc4 d) 16 e) 20

12) Si ab + ca = 111 y a, b, c ≠ 0, halla ba + ac .

a) 111 b) 120 c) 110

d) 1565 e) 1666

d) 121 e) 130

a) 0 b) 6 c) 2

d) 4 e) 8

17) Halla a + b + c si: a7c + c62 + 5ba = 1c26 a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

21) Halla la suma de los 40 números de la siguiente serie: S = 9 + 99 + 999 + 9999 +....+ 999...9

Da como respuesta la suma de las cifras del resultado.

a) 40 b) 38 c) 47

d) 45 e) 50

22) Determina la suma de cifras del resultado de la siguiente adición :

a) 14 b) 11 c) 15

d) 13 e) 12

19) Halla la cifra de los millares de la siguiente suma: S = 5 + 55 + 555 + 5555 +... (27 sumandos)

7 + 97 + 997 + ....+ 999...997

a) 1 b) 3 c) 5

a) 70 b) 50 c) 65

d) 69 e) 80

23) Halla la suma de todos los números naturales de tres cifras que se puedan formar con las cifras 1, 4 y 5 . Da como respuesta la cifra de mayor orden de dicha suma.

18) Si abc + bc + a0a = c7a , y 0 = cero, halla a + b + c.

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

24) Sabiendo que la suma de 25 números naturales consecutivos es 775, halla la suma de los 25 naturales consecutivos siguientes.

d) 7 e) 9

13) Si (a + b + c)2 = 361, halla abab + caba + bccc . a) 19994 b) 198888 c) 21109

20) Halla x + y + a si: a1x + a2x + a3x + ....+ a7x = 38y1

60 cifras

a) 13 b) 14 c) 15

a) 1665 b) 1555 c) 1653

16) Halla la cifra de las centenas de la siguiente suma : S = 3 + 33 + 333 + 333+..., sabiendo que hay 25 sumandos.

d) 131 e) 144

15) Si L + F + V = 15, halla LFV + FVL + VLF

10) Calcula el valor de m + n si: mn + nm + 352 = nmn a) 15 b) 14 c) 13

a) 110 b) 111 c) 121

Nivel II

8) Halla el valor de (a + b) si: aba = aa + bb + 443 a) 11 b) 12 c) 13

14) Si a + b + c = 11, halla el valor de aa + bb + cc .

a) 920 b) 1400 c) 825

d) 975 e) 1000

d) 21009 e) 34532

3ro de Secundaria


55

Aritmética

25) Si 1+2+3+ ... + x = (2a)(2a)(2a), halla x + a. a) 39 b) 40 c) 41

d) 42 e) 43

26) Si abc + cba = 1272, calcula el valor de «b».

a) 3 b) 4 c) 5

a) 10 b) 13 c) 15

d) 20 e) 21

30) Si ab + ca = 111, halla ba + ac.

a) 111 b) 120 c) 110

d) 121 e) 230

a) 1999 b) 19898 c) 21009

d) 21109 e) 20109

32) Si a + b + c= 14, calcula el valor de ab3 + c2b + 4ac + bca.

a) 1177 b) 1977 c) 1544

d) 1777 e) 19999

33) Se tiene que ab+bc+ca = abc, luego a . b . c es:

a) 72 b) 80 c) 60

d) 36 e) 50

34) Si ab + bc = 89 y a+b+c=12, halla a – b + c.

d) 18 e) 21

29) Calcula (a + b + c + x), si: 1x1+2x2+3x3+...+9x9 = ab8c a) 14 b) 15 c) 16

d) 16 e) 15

28) Halla «a + b + c» si: a1a+a2a+a3a+ ... +aaa = 8abc1

31) Si a + b + c= 19, hallar abab + caba + bccc.

d) 8 e) 9

27) Halla «a + b» si: ab8 + ba9 = 1ab7 a) 1 b) 12 c) 18

Nivel III

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

38) Si b42a + dab3 + ac68 = ecba4, calcula a + b + c + d + e. a) 20 b) 22 c) 23

d) 19 e) 18

39) Halla las tres últimas cifras de la suma: 7+77+777+7777+... (40 sumandos)

a) 430 b) 630 c) 610

d) 810 e) 710

40) Halla a + b + c si se cumple que: x1x +x2x + x3x + ...+ x9x = abc4 a) 6 b) 5 c) 12

d) 15 e) 14

41) Calcula el valor de «n» en: 1 + 2 + 3 + ... + n = 136 a) 19 b) 15 c) 18

d) 17 e) 16

Personaje del tema

35) Calcula a + b en: a2b+a3b+a4b+ ... + aab = 5992 a) 10 b) 12 c) 14

d) 16 e) 9

36) Halla x + y + a si: a1x+a2x+a3x+ ... + a7x = 38y1 a) 6 b) 7 c) 8

John Napier

(1550 – 1617) Matemático escocés, inventor de los logaritmos neperianos. Recomendó en 1617 el uso del punto (.) para separar la parte decimal de la entera.

d) 9 e) 10

37) Si (m+p+r)2 = 289, halla mmpr + prmp + rprm

56

a) 18887 b) 19777 c) 18977

d) 18877 e) 17777


3ro de Secundaria

Aritmética

42) Calcula el valor de «p» en: 1 + 2 + 3 + ... + p = 300

a) 24 b) 25 c) 22

d) 21 e) 20

43) Si (m + p + q)3 = 1331, calcula el valor de mpq + pqm + qmp

a) 1221 b) 2221 c) 1122

d) 2211 e) 2113

44) Calcula la suma de las tres últimas cifras del resultado de: 3+33+333+3333+ ... (18 sumandos)

a) 16 b) 15 c) 14

d) 13 e) 12

46) Indica cuánto excede «m» a «p» si: p = 1 + 4 + 9 + ... + 900 m = 1 + 8 + 27 + ... + 2744

a) 609 b) 1570 c) 1260

d) 530 e) 855

47) Halla el valor de U + N + I si: UNI + UIN + UN = NUI a) 2 b) 4 c) 5

d) 9 e) 11

48) Determina la suma de cifras del resultado de la siguiente adición: 7 + 97 + 997 + ... + 999...997 60 cifras

a) 67 b) 68 c) 66

d) 70 e) 71

45) Si (m + n + p) = 15, calcula: A = 8mp + m6n + np3 + pnm a) 2528 b) 2258 c) 1575

49) Sabiendo que la suma de 30 enteros consecutivos es 945, halla la suma de los 30 enteros consecutivos siguientes.

d) 1551 e) 2211

Personaje del tema

Gottfried Wilhelm Leibniz Lingüista, filósofo y matemático alemán que en 1698 propuso utilizar el punto (.) como signo de multiplicar y la coma (,) para separar la parte entera de la decimal.

3ro de Secundaria

a) 1845 b) 1729 c) 1922

d) 3545 e) 2795

50) Al sumar a un número de 3 cifras el resultado de invertir el orden de sus cifras se obtuvo 1291, pero si en vez de haberse sumado se hubiera restado, el resultado hubiese terminado en 7. Halla el mayor de los mismos.

(1646 – 1716)

Recuerda

a) 791 b) 794 c) 792

d) 793 e) 795


El Perú tiene una superficie de 1’285 215,6 km2. Europa : 10’530 751 km 2 contiene 8 veces al Perú aproximadamente. Asia: 44’ 936 000 km2 contiene 34 veces al Perú aproximadamente. África: 30’272 922 km2 contiene 23 veces al Perú aproximadamente.

Una pulga puede saltar 30 veces su altura. Si una persona pudiera hacer eso, podría saltar 2 veces la altura que tuvieron las Torres Gemelas.

57

Aritmética

1) Calcula la suma de cifras de la siguiente adición: 8+ 98+998+9998 + ... + 999... 98 50 cifras

a) 47 b) 48 c) 49

d) 50 e) 51

3) Halla las tres últimas cifras de la suma: 7+77+777+7777+... (40 sumandos) a) 430 b) 630 c) 610

d) 810 e) 710

2) Si a+b+c = 13, calcula: E = 1ab + a6c + bc4 + cba

a) 1665 b) 1655 c) 1607

d) 1555 e) 1675

4) De la siguiente suma: DOS + DOS + TRES = SIETE Cada letra diferente señala una cifra diferente. Halla la suma de las cifras utilizadas en los numerales. a) 17 b) 18 c) 19

d) 20 e) 21

5) En cierta universidad existe m7n7 alumnos de ciencias, 2x7x alumnos de letras y nxm docentes. Halle m + n + x si en total hay ymxm personas.

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

"Cualquier cosa que valga la pena hacerse bien, vale la pena hacerla despacio". Gipsy Rose Lee

58


3ro de Secundaria

Aritmética

Sustracción Es una operación aritmética inversa a la adición que consiste en que dados 2 números: Minuendo y Sustraendo, se busca un tercer número llamado Diferencia que sumado con el Sustraendo nos da el minuendo. Ejemplo:

Ejemplos:

Ejemplos:

721 - 127 = 594 482 - 284 = 198 935 - 539 = 396

CA (5372)= (9-5)(9-3)(9-7)(10-2) = 4628

En otras bases:

Completar:

Si abcn - cban = xyzn,

18 - 6 = 12 18 excede a 6 en 12 unidades En general:

M-S=D

Donde: M : Minuendo S : Sustraendo D : Diferencia

PROPIEDADES 1. En una sustracción siempre se cumple que: S + D =M 2. La suma de los tres términos de una sustracción es:

entonces: x+1 = a-c, y = n-1, x+z = n - 1

5317 - 1357 = 3637 5238 - 3258 = 1768

CA(2357) = 10007 - 2357 = 4327

COMPLEMENTO ARITMÉTICO El complemento aritmético de un número entero es la cantidad que le falta para ser una potencia de 10, siendo ésta la menor posible.

En general: Si N es un numeral de k cifras en base n. CA(N) = nk - N

Interesante

Ejemplos: CA(2) = 10 - 2= 8 CA (64) = 100 - 64 =36 Ca (759) = 1000 - 759 = 241 En general: Si N tiene k cifras

3. Dada la sustracción: MÉTODO PRÁCTICO

3ro de Secundaria

CA(5172) = __________________

CA(1425) = 10005 - 1425 = 3035

CA (N) = 10k - N

entonces: x+1 = a - c, y = 9, x+z = 9

CA(1384) = __________________

En otras bases:

Ejemplos:

M + S + D = 2M

Si abc - cba = xyz

CA(279) = ___________________

CA(abcd) = (9-a)(9-b)(9-c)(10-d) Donde d ≠ o


En la antigüedad, el matemático griego Diofanto utilizaba el signo ´ para indicar la sustracción y los hindúes usaban un punto. Ya en la Edad Moderna, los algebristas italianos la representaban con una ‘‘m’’, letra inicial de la palabra ‘‘minus’’. Los algebristas alemanes e ingleses fueron los primeros en utilizar el signo actual ‘‘-’’, el cual es, al parecer, una alteración de la letra ‘‘m’’ manuscrita, al que denominaron signum subtractorum. Los signos + y - fueron publicados por primera vez en 1489 por el alemán Johann Widman.

59

Aritmética

35) Halla DA si: NORA - NAN = DAN

a) 9 d) 49

b) 1 e) 16

41) Si abc - cba = mnp, halla mnp + npm + pmn c) 81

36) Si los 3 términos de una sustracción suman 360, halla la suma del sustraendo más la diferencia.

a) 90 b) 270 d) 360 e) 135

c) 180

37) Si al minuendo de una sustracción le sumamos 230 y al sustraendo le sumamos 90, ¿en cuánto varía la diferencia?

a) Aumenta 320 b) Disminuye 320 c) Aumenta 140 d) Disminuye 140 e) No aumenta ni disminuye

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

abc = cba + 2x4 abc = 1535 - cba

a) 50 d) 60

a) 210 d) 185

b) 370 e) 500

a) 40 d) 50

b) 80 e) 90

c) 60

a) 150 d) 153

a) 68 d) 78

c) 54

b) 151 e) 149

a) 12 d) 15

b) 70 e) 56

a) 52 d) 480

b) 520 e) 498

b) 13 e) 16

c) 14

CA(ab) +CA(abab) = 3674

a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

49) El doble de un número de 3 cifras excede al triple de su CA en 380. Halla el número.

c) 152

a) 575 d) 576

b) 676 e) 543

c) 678

50) Halla CA (a + b + c)

c) 71

45)En una resta, si al minuendo se le agrega 2 unidades y al sustraendo se le aumenta 5 unidades en las centenas, entonces la diferencia disminuye en : c) 502

si CA (abc) - abc = 632.

a) 85 d) 67

b) 86 e) 77

a) 20 b) 21 d) 19 e) 23

Hoy sabemos más cosas que los antiguos griegos, gracias a que la ciencia y la tecnología se han desarrollado, Hoy podemos dar explicaciones a muchos fenómenos naturales que los antiguos griegos sólo abordaron desde la mitología. Hoy sabemos más sobre cómo está constituido el ser humano, sabemos de su anatomía y de su fisiología, sabemos de células y genes. Sin embargo, si no somos soberbios, debemos reconocer que si bien es cierto que hoy sabemos más sobre el hombre, hoy sabemos menos qué es el hombre.

c) 22


c)87

MATEMÁTICA EN GRECIA

46) Halla el menor número que excede a su complemento aritmético en 1436. Da como respuesta la suma de sus cifras.

60

b) 52 e) 70

abc + CA (cba) = mnp7, halla m + n + p.

48) Halla (a + b), sabiendo que:

44) En una sustracción, al sustraendo le sumamos 140 y le restamos el cuádruple de la suma del sustraendo más la diferencia, obteniéndose como resultado el minuendo. Sabiendo que el sustraendo es el mayor número posible cuya suma de cifras es 3 y que la diferencia es un número positivo, halla la suma de los términos de dicha sustracción.

c) 200

40) La suma de los 3 términos de una sustracción es 240. Si el sustraendo es la tercera parte del minuendo, halla la diferencia.

c) 1998

43) Un número de 3 cifras, abc, es tal que:abc - cba = mn3 Si se sabe que la suma de sus cifras es 19, halla el valor de a2 + b2 + c3.

c) 10

39)La diferencia de 2 números es 305. Si al mayor le quitamos 20 y al menor le aumentamos 85, la nueva diferencia es:

b) 1997 e) 2000

42) Calcula el valor de a . b . c si:

38) La suma de 11 números enteros consecutivos es 99. Halla la diferencia entre el mayor y el menor.

a) 1995 d) 1999

47) Sabiendo que :

3ro de Secundaria

Aritmética

2) Si la suma de los tres términos de una sustracción es 280 y se sabe que el minuendo es el cuadruplo del sustraendo, halla la diferencia.

1) Halla x.y si:

abc - cba = x(x+3)y

a) 12 b) 18 c) 10

d) 16 e) 9

3) En una sustracción, el minuendo aumenta en 2 decenas y el sustraendo disminuye en 1 centena. ¿En cuántas unidades varía la diferencia?

a) Disminuye 80 b) Aumenta 80 c) Disminuye 100

d) Disminuye 120 e) Aumenta 120

a) 90 b) 105 c) 80

d) 200 e) 45

4) Si la suma de cifras de un número de cuatro cifras significativas es24, halla la suma de cifras del complemento aritmético del número.

a) 8 b) 9 c) 11

d) 13 e) 15

c b 5) Si CA [(2a)b( )] = a( )(b+2), calcula 2 2 a+b+c.

a) 11 b) 13 c) 15

d) 14 e) 12

"Cualquier cosa que valga la pena hacerse bien, vale la pena hacerla despacio". Gipsy Rose Lee

3ro de Secundaria


61

Aritmética

Multiplicación  DEFINICIÓN

2. P. Conmutativa

Es una operación aritmética que consiste en adicionar una misma cantidad un número determinado de veces.

2 x (a x 3)= 2 x (3 x a) = (2 x 3) x a =6xa 3. P. Distributiva

En general:

axb=bxa

Ejemplo:

Ejemplo: 5 x 4 = 5 + 5 + 5 +5 = 20 4 veces

Ejemplos:

a x (b + c) = a x b + a x c Ejemplo:

M x m = M + M + ... + M = P m veces

Donde: M: multiplicando m : multiplicador P : producto  ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN Ejemplo: 259 x 27 1813 518 6993

Multiplicando Multiplicador Productos Parciales Producto

Donde: 1813= 259 x 7 518 = 259 x 2  PROPIEDADES 1. P. Asociativa

(a x b) x c = a x (b x c)

62

ab . 99 = ab (100 - 1) = ab00 - ab 4. La terminación del producto de dos números es igual a la terminación del producto de sus últimas cifras Ejemplo: * (... 3) x (... 4) = (... 2) ya que 3 x 4 termina en 2. * Si abc x 3 = xy7 → c= 9 ya que 9 x 3 termina en 7.

* 5 (6) = 30 * 6 (7) = 42 * 7 (8) = 56 6. Cantidad de cifras de un producto Ejemplo: Si A tiene 5 cifras y B tiene 4 cifras, entonces: 104 ≤ A < 105 103 ≤ B < 104 Multiplicando: 107 ≤ AxB < 109 Luego AxB tiene 8 ó 9 cifras. En general: Si A tiene n cifras y B tiene m cifras A x B tiene n + m – 1 o n + m Ejemplo: Halla la mínima cantidad de cifras de abcd x mn . Solución:

Observaciones: (# Par) (# Entero) = (# Par) (# Impar) (# Impar) = (# Impar) (..... 5) (# Impar) = (....... 5) (..... 5) (# Par) = (....... 0) (......9) (.....x) = [...... (10 - x)]

abcd mn

→ →

4 cifras 2 cifras

Luego: abcd x mn → (4 + 2) - 1 = 5 cifras

5. Producto de Enteros Consecutivos n(n +1) =

..... 0 ..... 2 ..... 6


3ro de Secundaria

Aritmética

 LEYES FORMALES I. Clausura El producto de dos números enteros es un número entero. Simbólicamente se denota de la siguiente manera: ∀ a, b ∈Z → a . b = P ∈ Z II. Conmutativa El orden de los factores no altera el producto.

Reto Si: ab . a = 679 ab . b = 873 Halla la suma de las cifras del producto:

William Oughtred fue el primero

abab × a0b

palabra "veces", que en la lengua

a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

A×B=B×A III. Elemento Neutro Multiplicativo Existe uno y sólo un número que se denota por "1", tal que: a.1=a o 1.a=a

El Símbolo de la Multiplicación

en usar el signo "x" en vez de la árabe comenzaba con dicha letra. Gottfried Wihelm Leibniz propone utilizar el punto para indicar la multiplicación, puesto que la "x" ya se utilizaba para denotar las variables en álgebra, y en 1637,

 LA MULTIPLICACIÓN EN OTROS SISTEMAS 5 3 28 × 3 48 5150 201 6 2 5 3 3 08

René Descartes empezó a usar la yuxtaposición de los factores. Más adelante, en 1688, Leibniz utilizó ç para denotar esta operación.

 TEOREMA Dado P = a . b, si "a" aumenta o disminuye en "n" unidades, entonces P aumenta o disminuye en "n . b" unidades. Ejemplo: En una multiplicación, si el multiplicando aumenta 6 unidades, el producto aumenta en 78 unidades. Calcula el multiplicador. Resolución:

6 . m = 78 m = 13

∴ el multiplicador es 13.

3ro de Secundaria

R. HALMITON (1805 - 1865) Describió una forma matemática de manejar pares de números reales. Esas reglas se usan en la actualidad para operar con números complejos. Más adelante descubrió la clave para operar con ternas o n-uplas de números, en el caso de n > 2, que consistía en descartar la propiedad conmutativa de la multiplicación usual. A los nuevos objetos que creó los llamó cuaterniones, precursores de lo que ahora son los vectores. Su monumental obra acerca de este tema, Treatise on Quaternions, fue publicada en 1853.


El número circular es uno de los números más curiosos de la matemática, debido a que al multiplicarlo por cada uno de los números menores que su cantidad de cifras, estas permutan de una forma impresionante. 142857 x 1 = 142857 142857 x 3 = 428571 142857 x 2 = 285714 142857 x 6 = 857142 142857 x 4 = 571428 142857 x 5 = 714285 Trata de encontrar otro número circular.

1 2 5 4 8 7

63

Aritmética

7) Halla a + b + c si abc . 999= ...276

Nivel I 1) ¿En cuántas veces aumenta el producto de tres números si el primero se duplica, el segundo aumenta en su cuádruplo y el tercero en su duplo? a) 20 d) 29

b) 30 e) 35

c) 40

2) ¿En cuántas veces aumenta el producto de tres números si el primero aumenta en su duplo, el segundo se triplica y el tercero aumenta en su triple? a) 35 d) 42

b) 30 e) 48

c) 36

3) Si el producto de dos números es 517, y el multiplicando aumenta en 5 unidades, el nuevo producto es 752. Halla el multiplicador. a) 47 d) 54

b) 49 e) 61

c) 51

4) El producto de dos números es 855. Si el multiplicador aumenta en 12 unidades el nuevo producto es 1395, halla el multiplicando. a) 30 d) 45

b) 36 e) 50

c) 43

5) Halla a + b + c + m + n si abc2 . 9 = mnnnn a) 20 d) 30

b) 22 e) 32

a) 11 d) 14

b) 12 e) 15

c) 13

8) Halla x + z - y si xyz . 999 = ...841 a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

9) En la multiplicación abcd x 74 la diferencia de los productos parciales es 7944. Halla (a + b) . (c + d) a) 80 d) 96

b) 84 e) 100

c) 91

10) En la multiplicación abcd x 62 la suma de los productos parciales es 34288. Halla a + b - c + d. a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

11) Halla a + b + c + e si abcde3 x 7 = 12abcde a) 10 d) 15

b) 12 e) 17

c) 21

12) Halla a + b + c + d, si abcd4 x 3 = 1aabcd a) 15 d) 13

b) 17 e) 22

c) 25

64

b) 28 e) 29

a) 8 d) 9

b) 7 e) 10

c) 6

14) Halla a + b si a [C.A(a)] . b [C.A(b)] = 532, y además b - a=1. a) 1 d) 12

b) 2 e) 9

c) 3

15) Si a dos números se les aumenta y disminuye 11 unidades respectivamente, el producto de ellos aumenta en 319 unidades. Calcula la diferencia de dichos números. a) 20 d) 40

b) 27 e) 45

c) 34

Nivel II 16) Si a dos números se les aumenta y disminuye 15 unidades respectivamente, el producto queda aumentado en 1125. Calcula la diferencia de dichos números. a) 20 d) 45

b) 25 e) 60

c) 40

17) Halla b + c si: aaa8 = bc1

c) 24

a) 5 d) 8

6) Halla a + b + c + n + k si abc3 . 7 = nkkkk a) 25 d) 20

13) Halla x + y si x [CA(x)] . y [CA(y)] = 2368, y además x - y = 3.

b) 6 e) 9

c) 7

c) 16


3ro de Secundaria

Aritmética

18) Halla x + y + z si: xxxx5 = yz8 a) 7 d) 11

b) 8 e) 15

c) 13

19) Calcula la cifra de las decenas de: 1234567890123x342973x2532 + 7637 a) 2 d) 3

b) 5 e) 0

c) 7

20) La cifra de segundo orden de 7529 es: a) 2 d) 9

b) 0 e) 5

c) 7

21) Si se sabe que A tiene 8 cifras B 12 cifras y C 5 cifras, ¿cuál es la mayor cantidad de cifras que puede tener la expresión? E=A .B .C 2

a) 53 d) 56

3

b) 54 e) 57

c) 55

22) Si se sabe que A posee 6 cifras, B tiene 8 cifras y C 12 cifras, ¿cuál es la mínima cantidad de cifras que puede tener?

b) 48 e) 51

25) Calcula la suma de cifras de: E = 999...9 x 999...9 20 cifras 20 cifras

a) 180 d) 150

b) 90 e) 36

c) 45

Nivel III 31) Calcula a + b + c + d + e si abcde × 4 = edcba. a) 23 d) 26

26) Si abc × c = 549, halla a + b + c. a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

b) 21 e) 24

c) 22

c) 10

23) Si abc = ...abc, calcula a + b + c , n ∈ Z+. a) 13 ó 17 b) 16 ó 17 c) 16 ó 18 d) 13 ó 16 e) 14 ó 17

29) Si xyz × 6 = (z - 1) 384, halla x + y + z. a) 8 d) 13

b) 10 e) 18

c) 15

34) Si abcde1 = 3 x (1abcde), halla el valor de "a + b + c + d + e".

3ro de Secundaria

b) 17 e) 20

c) 18


a) 25 d) 28

b) 26 e) 29

c) 27

35) En la multiplicación adjunta, la suma de las cifras del producto total es:

30) Calcula a + b + c + d si abcd × 4 = dcba. a) 16 d) 19

halla abc x abc. a) 228 079 d) 276 089 b) 318 089 e) 218 089 c) 356 788

c) 49

n

halla mnp x pnm.

33) Si se cumple que: abc x a = 1868 abc x b = 2802 abc x c = 3269,

28) Si abc × c = 1536, halla a + b + c. b) 9 e) 13

c) 25

a) 410 414 d) 401 402 b) 410 401 e) 410 410 c) 41 041

c) 14

27) Si abc . a . b . c = 992, halla a2 + b2 + c2. a) 20 d) 23

b) 24 e) 27

32) Sabiendo que: mnp x m =2930 mnp x n = 4 688 mnp x p = 3 516

a) 8 d) 11

E = A . C2 . B3 a) 47 d) 50

24) Si abcdn = ...abcd, calcula a + b + c + d si n ∈ Z+. a) 17 o 21 b) 21 o 25 c) 17 o 25 d) 13 o 25 e) 13 o 17

*

*

*

*

*

8

*

*

*

0

2

*

2

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

1

a) 30 d) 33

b) 31 e) 36

8

×

9

c) 32

65

Aritmética

36) Sabiendo que abc x 47 = ... 253, halla abc. a) 879 d) 899

b) 978 e) 789

c) 917

37) Sabiendo que abc x 73 = ... 421, halla abc. a) 766 d) 677

b) 776 e) 676

c) 767

38) Si: a x abc = 1 044 c x abc = 2 784 b x abc = 1 392

b) 32 e)126

c) 48

39) Si: M x PAPA = 12 120 A x PAPA = 9 696 Calcula AMA x APA.

b) 16 e) 19

c) 17

40) El producto de dos números naturales es 2 856. Si al multiplicador se le agrega 13 unidades resulta que el producto es 3 740. Halla la suma de los números. a) 110 d) 127

b) 115 e) 130

b) 20 e) 27

c) 21

42) El producto de dos números es 720. Si se añaden 6 unidades al multiplicando, el producto es 816. ¿Cuál es el multiplicador? a) 82 d) 16

66

b) 36 e) 32

c) 45

a) Se duplica b) Se triplica c) Se cuadruplica d)Se reduce a su mitad e) No varía

c) 28

b) 5 e) 16

48) La suma de productos parciales de N x aa es 738, calcula el producto.

c) 14

a) 4059 d) 4049

45) En la multiplicación de dos números, si a uno de ellos se le quita 3 decenas, el producto disminuye en 10 830. Halla el otro número. b) 361 e) 326

b) 4029 e) 4069

c) 4039

49) La suma de los productos parciales de abc × 53 es 1872. Calcula el producto anterior. a) 12322 b) 12382 c) 12402 d) 12202 e) 12352

c) 412

50) Halla la suma de las cifras de un número, sabiendo que al multiplicarlo por 35, la diferencia de los productos parciales es 6 490.

46) Dada una multiplicación de 2 factores, si el primero se triplica y el segundo se cuadruplica, entonces el producto aumenta en:

a) 14 d) 23

a) 12 veces d) 7 veces b) 11 veces e) 6 veces c) 10 veces

b) 18 e) 19

c) 22

Número circular

Observemos qué le sucede al número 142857: • • Primero lo escribimos dos veces seguidas en un esquema como éste, de modo que se evidencia una simetría.

c) 120

abcde7 × 5 = 7abcde

47) Si P = a . b, además "a" aumenta al doble y "b" disminuye en su mitad, entonces el producto:

44) ¿Cuál es el menor número que multiplicado por 37 da un producto cuyas cifras son todas cuatro? Da como respuesta la suma de sus cifras.

1

4

2

2

4

1

Y ahora viene lo lindo: • Si lo multiplicamos por 2, obtenemos 285714, marcado en el esquema con fondo rojo.

2

4

1

7 5

8

8

5 7

1

4

5

•

5

7

1

4

4

1

2


7

1

7 5 8

5

2 •

7

1

2

5

8

8

5 •

7 5 8

7

2

2

4

1

Si lo multiplicamos por 6, obtenemos 857142, marcado en el esquema con fondo rojo.

4

7

4

1

4

8

8

8 5


2


2

•

7

8

8 7

1

4

2

5

5


7

8

41) Halla "a + b + c + d + e" si:

a) 19 d) 24

b) 42 e) 54

a) 320 d) 317

Indica la suma de cifras del producto. a) 15 d) 18

a) 16 d) 64

a) 12 d) 3

Calcula a.b.c a) 56 d) 96

43) Si a un número se le agrega 2 ceros a la derecha, éste aumenta en 381 150. Halla el número original y da la suma de sus cifras.

1

4

2

Finalmente, si lo multiplicamos por 7, obtenemos 999999, número simétrico por excelencia.

3ro de Secundaria

Aritmética

2) El producto de dos números es 736, si el multiplicando aumenta en 5 unidades el nuevo producto es 896. Halla el multiplicador.

1) En cuántas veces aumenta el producto de tres números si el primero se triplica, el segundo aumenta en su doble y el tercero en su triple.

a) 30 b) 32 c) 34

d) 35 e) 36

3) Halla:

a) 28 b) 30 c) 32

d) 26 e) 42

4) Halla:

a+b+c+m+n si abc3 x 9=mnnnn a) 36 b) 34 c) 32

d) 30 e) 28

a+b+c si abc x 999 = ...727

a) 10 b) 12 c) 14

d) 16 e) 18

5) Si: a x abc = 546 b x abc = 1911 c x abc = 819 Calcula a.b.c.

3ro de Secundaria

a) 30 b) 36 c) 42

d) 48 e) 54


67

Aritmética

División  DEFINICIÓN Es la operación inversa de la multiplicación que tiene por objeto, dados dos números: dividendo (D) y divisor (d), hallar un tercer número llamado cociente (q), que multiplicado por el divisor y sumar su residuo, nos da el dividendo. En general:

D R

donde: D: Dividendo d : Divisor q : Cociente R : Residuo

d q

 CLASES DE DIVISIÓN

a) División Inexacta por Defecto:

D d q Rd

D 0

d q

Se cumple: D=d.q

Ejemplo: 135 5 ___ 27 0

⇒

147 15 ___ 9 12

68

D = dq + Rd

cero ≤ residuo < divisor • En la división entera inexacta se cumple que:

⇒

15 está contenido 9 veces en 147, quedando 12 unidades.

residuo máximo = divisor - 1 residuo mínimo = 1 • En una división exacta para que el cociente aumente o disminuya 1, entonces al dividendo se aumenta o disminuye 1 × divisor.

147 = 15 . 9 + 12 b) División Inexacta por Exceso:

D d q+1 -Re

• Si se multiplica o divide el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no varía, pero el residuo queda multiplicado o dividido, según el caso, por dicho número.

Se cumple: D = d(q+1)-Re Re < d

Ejemplo: 147 15 ___ 10 -3

⇒

15 está contenido 10 veces en 147, excediendo en 3 unidades.

Si D = dq + R D.k =(d.k)q+R.k D d.q R = + K K K

• En una división exacta el máximo valor que puede añadirse al dividendo para que el cociente no varíe es:

147 = 15 . 10 - 3

135 = 5 . 27

Es aquella en la cual el divisor no está contenido de forma exacta en el dividendo y, por tanto, existe un residuo distinto de cero.

• En toda división se cumple que el residuo es menor que el divisor.

Ejemplo:

5 está contenido 27 veces en 135

2. División Inexacta

Se cumple:

Rd < d

1. División Exacta Es aquella en la cual el dividendo contiene al divisor un número entero (exacto) de veces y, por tanto, el residuo es cero.

 PROPIEDADES

divisor - 1

La ilusión de Müller-Lier El segmento bc parece más largo que el ab, aunque en realidad son iguales. a


b

c

3ro de Secundaria

Aritmética

Leonardo de Pisa Leonardo de Pisa, fue el primero que utilizó la denominación de números quebrados al llamarle números ruptos (rotos).

Nivel I

División Son varios los signos que tenemos para indicar la división: La barra horizontal, de origen árabe, ya era usada por Fibonacci en el siglo XIII, aunque no se generalizó hasta el siglo XVI. Es, desde luego, la forma más satisfactoria, pues no sólo indica la operación sino que en el caso de que sean varias las operaciones a realizar establece el orden de prioridad entre ellas (digamos que además de signo es paréntesis). La barra oblicua, (/), variante de la anterior para escribir en una sola línea, fue introducida por De Morgan en 1845.

÷

:

En 1659, el suizo Johann Heinrich Rahn inventó para la división el signo ÷, que resulta bastante gráfico una vez que la barra de fracción es norma general. No tuvo mucho éxito en su país, Suiza, pero sí en Gran Bretaña y los Estados Unidos, aunque no tanto en la Europa continental. Los dos puntos se deben a Leibniz (1684), que los aconsejaba para aquellos casos en los que se quisiese escribir la división en una sola línea y la notación con raya de fracción no fuese por tanto adecuada. Este signo mantiene el parentesco de la división con la multiplicación, para la que Leibniz usaba un punto. En cuanto al gnomon o ángulo que utilizamos para separar dividendo, divisor y cociente en la división larga no se dispone de una información precisa. Boyer, en su Historia de la matemática, p.182, dice: "Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por tanto, es muy probable que también provenga de la India el método de "división larga" conocido como el "método de la galera", por su semejanza con un barco con las velas desplegadas. Pues bien: en dicho "método de la galera" se utilizaba un ángulo parecido al que se usa en la actualidad para separar el divisor de los otros números. Esta es la referencia más antigua que he encontrado".

3ro de Secundaria

1) En una división inexacta el divisor es 12 y el cociente 27. Halla el dividendo si el residuo es mínimo. a) 325 d) 352

b) 300 e) 271

c) 250

2) En una división inexacta el divisor es 17 y el cociente 31. Halla el dividendo si el residuo es máximo. a) 551 d) 672

b) 543 e) 700

c) 653

b) 55 e) 60

c) 57

4) Al sumar dos números se obtiene 298. Halla el mayor de ellos si al dividirlos se obtiene 5 de cociente y 16 como residuo. a) 243 d) 374

b) 251 e) 193

c) 365

5) En una división inexacta el residuo por defecto es 17 y el cociente por exceso es 24. Calcula el dividendo si el residuo por exceso es 12. a) 684 d) 728

b) 531 e) 853

a) 213 d) 216

c) 472

c) 215

b) 610 e) 870

c) 750

8) Al dividir un número entre 121 se obtiene 32 como residuo y al dividirlo entre 129 se obtiene 8 como residuo. Si en las dos divisiones se obtiene el mismo cociente, halla dicho número. a) 229 d) 450

b) 350 e) 275

c) 395

9) En una división el resto por exceso es el triple del resto por defecto. Si el cociente por defecto es 15 y el dividendo más el divisor es 520, calcula el divisor. a) 30 d) 33

b) 31 e) 35

c) 32

10) En una división, el resto por exceso es la mitad del residuo por defecto. Si el cociente por exceso es 16 y el dividendo más el divisor suman 550, halla el dividendo. a) 221 d) 517


b) 214 e) 217

7) Si al dividir un número entre 105 se obtiene por residuo 60 y al dividirlo entre 117 se obtiene 12 por residuo, halla dicho número si en las dos divisiones se obtuvo el mismo cociente. a) 530 d) 480

3) Al sumar dos números se obtiene 170 y al dividirlos se obtiene 2 como cociente y 17 como residuo. Halla el menor de dichos números. a) 51 d) 59

6) En una división inexacta el residuo por exceso es 9 y el cociente por defecto 15. Halla el dividendo si el residuo por defecto es 5.

b) 383 e) 671

c) 493

69

Aritmética

11) En una división inexacta el cociente es 21 y el residuo 4. Si el dividendo se aumenta en 100 unidades y se vuelve a dividir, se obtiene una división exacta de cociente 25. Halla el dividendo original. a) 550 d) 470

b) 620 e) 350

c) 730

b) 15 e) 18

c) 16

13) ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que al dividirlos por 23 den un residuo que es el doble de su cociente? a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

14) ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que al dividirlos por 16 den un resto que es el cuádruple de su cociente? a) 1 d) 4

b) 2 c) 3 e) Ninguno

15) En una división al residuo le faltan 9 unidades para ser máximo y será mínimo al restarle 31. Halla el dividendo si el cociente es la mitad del residuo. a) 703 d) 706

b) 704 e) 707

16) En una división por defecto al residuo le falta 36 unidades para ser máximo y será mínimo si restamos 34. Halla el dividendo si el cociente es la quinta parte del residuo. a) 329 d) 623

12) En una división inexacta el cociente es 10 y el residuo 5. Si el dividendo se aumenta en 102 unidades y se divide entre el mismo divisor se obtiene 17 por cociente y 9 por residuo, ¿cuál es el divisor? a) 14 d) 17

Nivel II

c) 705

b) 151 e) 715

c) 539

17) En una división inexacta la suma de los términos es 113. Si triplicamos el dividendo y el divisor, la suma de los cuatro términos resulta ahora 331. Halla el cociente. a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

18) La suma de los términos de una división inexacta es 128. Si el dividendo y el divisor se reducen a su tercera parte, la nueva suma es 50. Halla el cociente. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 19) En una división inexacta el divisor es 50 y el residuo es el triple del cociente respectivo. Halla el máximo valor que puede tomar el dividendo. a) 848 b) 771 c) 215 d) 253 e) 594 20) En una división inexacta el divisor es 37 y el residuo es el doble del cociente. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar el dividendo? a) 604 b) 702 c) 553 d) 671 e) 800

22) En una división el cociente es 12, el divisor es el triple del cociente y el residuo es mínimo. Halla la suma de cifras del dividendo. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 23) ¿Cuántos números enteros menores que 400 pueden ser dividendo de una división cuyo cociente es 12 y su resto 14? a) 32 b) 15 c) 19 d) 18 e) 20 24) ¿Cuántos números menores que 500 pueden ser dividendo de una división cuyo cociente es 15 y su residuo cuatro tercios del cociente? a) 12 b) 14 c) 13 d) 11 e) 10 25) Al dividir dos números enteros positivos se obtiene 18 de resto y 7 de cociente. Si el dividendo excede al divisor en una cantidad igual al cuadrado del resto, calcula el divisor. a) 51 b) 53 c) 28 d) 38 e) 61 26) En una división inexacta el divisor es el menor capicúa de 3 cifras, el cociente es la mitad del resto que es máximo. Entonces el dividendo es: a) 5150 b) 5050 c) 5250 d) 5350 e) 5500

21) En una división el cociente es 18, el divisor es el doble del cociente y el residuo el máximo posible. Halla la suma de cifras del dividendo. a) 12 b) 17 c) 21 d) 25 e) 29

70


3ro de Secundaria

Aritmética

27) En una división inexacta el divisor y cociente poseen las mismas 2 cifras: 6 y 7 pero en orden inverso, siendo el resto máximo. El menor valor del dividendo es: a) 5158 b) 5198 c) 5167 d) 5307 e) 5107 28) En una división de enteros positivos el divisor es 12 y el resto 7. Si el dividendo se multiplica por 12, el resto de la división será ahora: a) 7 d) 4

b) 6 c) 5 e) 0

29) En una división de enteros positivos el resto y divisor son 15 y 4 respectivamente. Si el dividendo se quintuplica y se repite la operación, el nuevo resto será: a) 2 d) 5

b) 3 c) 4 e) 6

30) En una división de enteros positivos el resto y divisor son 18 y 13 respectivamente. Si el dividendo se cuadruplica, entonces volviendo a dividir, el resto será: a) 12 d) 15

b) 13 c) 14 e) 16

Nivel III 31) Calcula el divisor de una división, tal que el dividendo es el mayor número de 3 cifras diferentes, el cociente es 57 y el resto 18. a) 20 d) 17

b) 19 c) 18 e) absurdo

33) En una división exacta cuyo divisor es 17, diga el mayor valor que debe añadirse al dividendo para que el cociente aumente 3 unidades. a) 33 d) 50

b) 34 c) 51 e) 67

34) En una división el divisor y resto son 7 y 15 respectivamente. Calcula el menor valor que debe aumentarse al dividendo para que el cociente aumente en una unidad. a) 8 d) 21

b) 22 c) 14 e) 15

35) En una división el divisor y resto son 3 y 17 respectivamente. El menor valor que debe añadirse al dividendo para que el cociente aumente en 4 unidades es: a) 14 d) 65

b) 31 c) 68 e) 51

36) La diferencia de 2 números es 64 y la división del mayor entre el menor da cociente 3 y residuo 18. ¿Cuál es el mayor? a) 87 d)49

b) 32 e) 85

c) 79

37) La suma de dos números es 611, si la división entre ellos tiene cociente 32 y el residuo es el más grande posible. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos números? a) 574 d) 572

b) 573 e)576

a) 24 d) 54

b) 36 c) 48 e) 72

39) El cociente de una división entera es 11 y el resto es 39. Halla el dividendo si es menor que 500. Da como respuesta el número de soluciones posibles. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

40) La suma de los cuatro términos de una división entera inexacta es 641. Si al dividendo y al divisor se le multiplica por 7, la suma de términos será 4 349. Halla el cociente. a) 23 d) 41

b) 20 c) 32 e) 18

41) En una división el dividendo es 498 y el residuo 17. ¿Cuál es la mínima cantidad que se puede aumentar al dividendo para que el cociente aumente en dos unidades, sabiendo que el divisor es 37? a) 48 d) 57

b) 52 c) 55 e) 62

c) 575

32) En una división exacta cuyo divisor es 23, cuál será el menor valor que se debe añadir al dividendo para que el cociente aumente 3 unidades. a) 45 d) 69

38) Al dividir un número entre 113, se halló por resto 11 y dividiendo entre 108, el resto es 31. Si en las dos divisiones el cociente es el mismo, ¿cuál es el producto de las cifras del dividendo?

42) Se sabe que en una división entera el divisor es 30 y el residuo 12. ¿Cuántas unidades como mínimo se le puede disminuir al dividendo para que el cociente disminuya en 11 unidades? a) 311 d) 314

b) 345 e) 313

c) 342

b) 46 c) 68 e) 26

3ro de Secundaria


71

Aritmética

43) Determina el número N si es el mayor posible y además al dividirlo entre 50, se obtiene un resto que es el triple del cociente. a) 1 079 b) 750 d) 913 e) 848

c) 890 a) 10 d) 15

44) En una división el cociente es 18, el divisor es el doble del cociente y el residuo es el máximo posible. Halla la suma de cifras del dividendo. a) 12 d) 25

b) 17 e) 29

46) ¿Cuál es el mayor número entero que al dividirse entre 45 da por residuo el triple del cociente? Da como respuesta la suma de sus cifras.

c) 21

b) 12 e) 572

c) 16

47) En la siguiente división: m7n

mn pp

1n Calcula m+n+p. a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

45) La suma de dos números es 328 pero si se los divide, el cociente es 6 y su residuo 13. Halla el número mayor. a) 204 d) 273

b) 246 e) 283

c) 261

48) ¿Cuántos números enteros menores que 400 pueden ser dividendo de una división cuyo cociente es 12 y su resto 14? a) 32 d) 18

b) 31 c) 20 e) 14

49) ¿Cuántos números enteros positivos cumplen con la condición de que al ser divididos entre 25 se obtiene un resto igual al sextuple del cociente respectivo? a) 2 d) 5

b) 3 c) 4 e) 6

50) En una división entera inexacta se observa que la suma de los términos es 1 073. Si se triplica el dividendo y el divisor, entonces la suma de los términos es 3 153. Entonces el divisor puede ser: a) 31 d) 29

b) 43 c) 25 e) 30

Una División Misteriosa Esta representación no es más que un ejemplo de división de dos números de varias cifras, en el cual todas ellas se han sustituido por puntos:

No se da ni una sola cifra del dividendo ni del divisor. Se sabe únicamente que la penúltima cifra del cociente es 7. Hay que hallar el resultado de esta división. Advertimos, por si acaso, que todos los números que se consideran escritos aquí se encuentran en el sistema de numeración decimal. Este problema sólo tiene una solución.

72


3ro de Secundaria

Aritmética

2) Al sumar dos números se obtiene 106 y al dividirlos se obtiene 3 como cociente y 14 como residuo. Halla el menor de dichos números.

1) En una divisón inexacta el divisor es 15 y el cociente 18. Halla el dividendo si el residuo es mínimo.

a) 284 b) 270 c) 180

d) 300 e) 350

3) En una división inexacta el residuo por defecto es 15 y el cociente por exceso es 21. Calcular el dividendo si el residuo por exceso es 17.

a) 655 b) 640 c) 670

d) 700 e) 550

a) 43 b) 33 c) 23

d) 18 e) 70

4) ¿Cuál es el mayor número entero que al dividirse entre 20 da por residuo el triple del cociente? Da como respuesta la suma de sus cifras.

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 14

5) ¿Cuántos números pueden ser dividendos de una división de divisor 20 y de residuo igual al cuadrado de su cociente respectivo?

3ro de Secundaria

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7


73

Aritmética

Potenciación POTENCIACIÓN

Teorema Fundamental

Cuadrados

Para que un número sea una potencia de «n», es condición necesaria y suficiente que todos los exponentes de los factores primos de su descomposición canónica sean múltiplo de «n».

Caracteres de exclusión

Reconocer cuando un número tiene posibilidad de ser k2 a fin de efectuar cálculos con rigurosidad.

Conclusión:

n

αn

.b

βn

.c

Cuadrado Perfecto Un número es cuadrado perfecto si en su descomposición canónica, los factores primos, están elevados a exponentes múltiplos de 2.

Ejemplos: 2

36 = 3 . 2

Ejemplos:

Todo k2 NO puede terminar en 2; 3; 7 y 8

γn

k2 = a2α . b2β . c2γ

2 x 2 x 2 = 23

k ...0 ...1 ...2 ...3 ...4 ...5 ...6 ...7 ...8 ...9 k2 ...0 ...1 ...4 ...9 ...6 ...5 ...6 ...9 ...4 ...1

ρ =aα . bβ . cγ

⇒ ρ = a

Potencia Operación que consiste en multiplicar un número por sí mismo varias veces.

A. SEGÚN SU ÚLTIMA CIFRA

En general:

Aplicaciones

Criterios de Inclusión y Exclusión de Cuadrados

2

2500 = 22 . 54

5 x 5 x 5 x 5 = 54

B. POR LA TERMINACIÓN DE CIFRAS CEROS Ejemplo: 6400 = 64 . 102 = 82 . 102 = 28 . 52

En general:

abc... x 0000 ... 00 = k2 cuadrado «2n» ceros perfecto

C. TERMINACIÓN EN CIFRA “5” Ejemplos:

En general: Exponente

b x b x b x b x ... x b = bn «n» factores

74

52 = 25

252 = 625

152 = 225

Potencia Perfecta


3ro de Secundaria

Aritmética

Ejemplo 1:

En general:

Si abc...xy5 = n5

⇒ y = 2 ∧ abc...x = n(n+1)

2

¿Cuál de los siguientes números puede ser k2?

D. NÚMERO PAR k2 ES 4°

142 = 196 → es 4º

182 = 324 → es 4º

En general:

a) ab44

b) ab66

c) cd02

Resolución: º (a) pues si es par debe ser 4.

Ejemplo 2:

(2n)2 = 4n2 → es 4º

¿Cuál de los siguientes no es k2? a) cde6

E. NÚMERO IMPAR k2 ES 8° + 1

152 = 225 → es 8º + 1

172 = 289 → es 8º + 1

En general:

(2n+1)2 = 4n2+ 4n + 1 = 4n (n+1) + 1 ∴es 8º + 1.

b) abc4

c) abc7

Pitágoras (582 a.C. - 497 a.C.) Se sabe muy poco de la vida de Pitágoras, parece haber nacido en Grecia, en la Isla de Samos, a mediados del siglo VI a.C. Se piensa que fue discípulo de Tales, que viajó por Egipto pero que a su regreso estando su país ocupado por los Persas, se fue a las colonias italianas de Grecia donde fundó su famosa escuela Pitagórica.

Resolución: (c) el k2 no puede terminar en 7.

Ejemplo 3: ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) (a – 2)(8 – a) 61 b) b(b + 2)(5 – b)(10 – b) c) (a – 1)a a(8 – 3a)

F. APLICANDO EL CRITERIO ° DEL 9 º 9º + 1 ; 9º + 4 Todo k puede ser 9; º ó 9 + 7. 2

a) Suma de cifras es 13 → 9º + 4 b) Suma de cifras es 17 → 9º + 8 c) Suma de cifras es 7 → 9º + 7

Ejemplos:

152 = 225

es

9º

232 = 529

es

9º + 7

31 = 961

es

9º + 7

172 = 289

es

9º + 1

162 = 256

es

9º + 4

2

Resolución:

3ro de Secundaria

∴ No puede ser k2, la clave (b).

Ejemplo 4:

Una adivinanza Augustus de Morgan (1806 1871) fue un matemático inglés nacido en la India. Acostumbraba a recrearse en el planteamiento de adivinanzas y problemas ingeniosos. Este personaje, nacido en el siglo XIX, planteaba esta adivinanza sobre su edad: «En el año x2 tenía x años. ¿En qué año nací?»

Un k2 tiene por cifras 0; 2; 5; 7 y 8. Calcula la raíz cuadrada.


75

Aritmética

Resolución:

Resolución:

⇒ Sólo puede terminar en 0 ó 5, debe ser 5, pues sólo hay un 0.

⇒ x = 2

⇒ La decenas debe ser el 2. ⇒ Las posibilidades son:

780 870 708 807

25 25 25 25

⇒ Lo que precede a 25 debe terminar en 0, 2 ó 6 y además debe ser n(n+1). ó

29x30

No

Luego

87025

{

78025

{

87025 = 2952 ∴ La raíz es 295.

⇒ 55y = n(n + 1)

550 No 552 = 23 x 24 556 No

⇒ Luego 55225 = 2352 ⇒ y + x + k = 2 + 2 + 235 ∴ y + x + k = 239

Si (n + 1)n(n + 3)(n + 2) = k 2, calcula «n». Resolución: ⇒ “n” no puede ser 0; 1; 5; 6; 7; 8 ó 9.

Es decir, para: º +1 ⇒ 5 → 52 = 25 = 12

Ejemplo 7: Si 7ab6 = k2, calcula la suma de los valores de ab.

∴5→1 Luego no puede terminar en: 2; 3; 5; 6; 7; 8; α y β

Resolución:

⇒ k → 84; 85; 86; 87; 88; 89 ⇒ pues : k = 84 → 842 = 7056 k = 86 → 862 = 7396 ∴ ab = 05 ó 39 suma = 44

⇒ Tampoco no puede ser 3 pues la decena no será 2. ⇒ Las posibilidades son: n = 2 → 3254 es 9º + 5, No n = 4 → 5476 ∴n=4

Ejemplo 8: Demuestra que en el sistema de base 12 todo k2 no puede terminar en 2; 3; 5; 6; 7; 8; α ni β. Resolución:

Ejemplo 6: Si 55yx5 = k2, calcula y + x + k.

Un número del sistema de base 12 puede terminar en 0, 1, 2, ..., α y β; donde α = 10 y β = 11. Ahora bien, sus cuadrados:

Nivel I 1) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) ab36 b) bc5 c) abc9


d) abc8 e) 1ab4

2) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) ab000 b) cd7 c) ab45

d) xy00 e) 1ab8

3) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) a9 b) xy25 c) ab44

76

k2 0 1 4 9 4 1 0 1 4 9 4 1

k 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → α → 11 →

⇒ 7006 ≤ k2 ≤ 7996 83,7 ≤ k ≤ 89,4

Ejemplo 5:

d) ab24 e) xy66

3ro de Secundaria

Aritmética

4) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) cab72 b) abc001 c) abc64

d) ab641 e) abc725

5) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) (a + 2)a(8 – 2a)9 b) a1(6 – a)6 c) (7 + a)(a + 2)(4 – 2a)9 d) (4 + a)(5 – a)(a – 3)(10 – a) e) 6(a + 3)(10 – a)4 6) E l m e n o r v a l o r q u e d e b e multiplicarse a 12 para que sea k2, es: a) 1 b) 12 c) 8

d) 3 e) 6

7) El menor valor entero positivo por el cual se debe dividir 12 para que sea k2, es: a) 1 b) 2 c) 3

d) 12 e) 48

8) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) b) c)

º 9 9º + 6 9º + 1

d) 9º + 7 e) 9º + 4

9) ¿Cuál de los siguientes números no puede ser k2? a) b) c)

º 11 º + 9 11 º +5 11

º +1 d) 11 º +6 e) 11

10) Si 2a9 = k2, calcula a + k. a) 22 b) 23 c) 24

d) 25 e) 26

3ro de Secundaria

11) Si 3b1 = k2, calcula k - b. a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

12) Si a8a = 2b2, calcula a + b. a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

d) 13 e) 14

14) Si abc = (a + b + c)3, calcula a.b.c a) 10 b) 12 c) 16

d) 36 e) 48

15) Si aba = ca2, calcula a + b + c. a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

16) Si ab = (a + b)2, calcula a . b d) 12 e) 24

17) Si 8ab = k2, calcula a + b + k. a) 31 b) 32 c) 33

d) 34 e) 35


d) 23 e) 24

19) El menor valor entero positivo que debe multiplicarse a 23 . 49 para que sea k2 es: d) 49 e) 98

20) Si N = 43 x 63 x 125, ¿cuál es el menor entero positivo que debe multiplicarse a N para que sea k2? a) 120 b) 24 c) 12

d) 6 e) 4

21) Si 12p = n2, entonces p es de la forma: a) p = 12k2 b) p = 3k2 c) p = 6k2

d) p = 8k2 e) p = 12

22) Si 24n = k2, entonces n es de la forma: a) n = 24p2 b) n = 6p2 c) n = 3p2

Nivel II

a) 6 b) 8 c) 10

a) 20 b) 21 c) 22

a) 1 b) 2 c) 8

13) Si ab5 = bc2, calcula a + b + c. a) 10 b) 11 c) 12

18) Si 7ab y 7cd son k 2, calcula a + b + c + d.

d) n = 2p2 e) n = 24

23) Si 18n = p2, entonces n es de la forma: a) n = 18k2 b) n = 6k2 c) n = 3k2

d) n = 2k2 e) n = 4k2

24) ¿Qué entero positivo bastará multiplicar a 75 para que sea k2? a) 3 b) 5 c) 7

d) 9 e) 11

77

Aritmética

25) Si A = 33 . 5 . 72, ¿por cuánto habrá que multiplicar a A para que sea k2? a) 9 b) 5 c) 15

d) 25 e) 50

26) ¿Cuál es el menor número entero por el cual debes multiplicar a 792 para que el resultado sea un k2? a) 11 b) 22 c) 44

d) 33 e) 66

27) ¿Cuál es el menor número entero por el cual debo multiplicar a 168 para que el resultado sea un cuadrado perfecto? a) 21 b) 14 c) 6

d) 42 e) 49

28) ¿Cuál es el menor número entero por el cual debo multiplicar a 2448 para que el resultado sea un k2? a) 17 b) 18 c) 19

d) 20 e) 21

29) ¿Cuál es el menor número entero por el cual debo multiplicar a 540 para que el resultado sea un k2? a) 5 b) 15 c) 40

d) 45 e) 50

30) ¿Cuál es el menor número entero por el cual hay que dividir a 108675 para que el cociente sea un cuadrado perfecto? a) 575 b) 115 c) 483

78

d) 69 e) 139

38) Entre 200 y 1200, ¿cuántos números son cubos perfectos?

Nivel III 31) ¿Cuál es el menor número entero por el cual hay que dividir a 1080 para que el cociente sea un cuadrado perfecto? a) 10 b) 15 c) 20

d) 25 e) 30

32) Si ab5c0 es un cuadrado perfecto, calcula a + b + c. (ab5c0 es el máximo posible) a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

33) Si 7ab5c0 es un cuadrado perfecto, calcula a + b + c. a) 2 b) 4 c) 8

d) 9 e) 10

34) ¿Cuántos números de 4 cifras son cuadrados perfectos? a) 60 b) 64 c) 66

d) 68 e) 69

35) ¿Cuántos números de 3 cifras son cuadrados perfectos? a) 21 b) 22 c) 23

d) 24 e) 25

36) Entre 200 5 y 668 11, ¿cuántos números son cuadrados perfectos? a) 89 b) 21 c) 66

d) 67 e) 65

37) Entre 6067 y 630 12, ¿cuántos números no son cuadrados perfectos? a) 585 b) 586 c) 587

d) 588 e) 589


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

39) ¿Cuántos números no son cubos perfectos del 216 al 10000? a) 9765 b) 9767 c) 9769

d) 9770 e) 9771

40) Si 1mp5 = k2, calcula m + p + k. a) 39 b) 38 c) 37

d) 36 e) 35

41) Si 42ab5 = k2, calcula ba + k. a) 225 b) 215 c) 205

d) 235 e) 245

42) Si 84ab0 = k2, calcula k - a + b. a) 289 b) 290 c) 291

d) 292 e) 293

43) Si 8ab1 = k2, calcula b - a. a) 3 b) 5 c) 8

d) 9 e) 6

44) ¿Cuántos cuadrados perfectos hay en 5x1 ; 5x2 ; 5x3 ; ... ; 5x1000? a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17

45) ¿Cuántos cuadrados perfectos hay en 7 × 1 ; 7 × 2 ; 7 × 3 ; ... ; 7 × 7000? a) 30 b) 22 c) 21

d) 29 e) 31

3ro de Secundaria

Aritmética

46) Si k2 es de la forma ab96, calcula la suma de valores que puede tomar ab. a) 105 b) 115 c) 125

a) 92 b) 87 c) 98

d) 135 e) 145

47) Si k2 es de la forma 7xy9, calcula x + y. a) 0 b) 4 c) 10

48) Si aabb = k2 , calcula a + b + k.

50) Si k2 = 5cd4, calcula c + d. a) 6 b) 8 c) 10

d) 99 e) 101

d) 9 e) 12

49) Si abab + 1 = k2 , calcular a + b + k

d) 16 e) 11

a) 116 b) 117 c) 118

d) 119 e) 120

Crucigrama de Números

24

22

12

6

16

14

19

7 8 10

11 18

17

2 2

5

2

7

5

11 18

6

5

3

8

8

9

28

22

9 27 2 6 8 7 5 7 12

3

1

5

3

7

8

9

16 12

6 10 17 1

6 6 9

4

8

17 5

29

1 14 4 2 6

9 7 3 19 9 7 16


24

9

42

8

12

11

27

17

7

16

7

17

6

Solución

29

5

•Serie, son las casillas en blanco entre dos casillas coloreadas. •Si en una casilla coloreada el número está por debajo de la diagonal es que se refiere a la serie que está por debajo suyo, mientras que si el número está por encima de la diagonal se refiere a la serie que está a su derecha.

17

42 11

Como en los crucigramas normales:

3ro de Secundaria

28

8

Se trata de rellenar los cuadrados en blanco con números de una cifra, de manera que la serie de números que pongas debajo de las casillas blancas sumen el número que hay en la casilla coloreada.

79

Aritmética

2) Si 90b5 es un cuadrado perfecto, entonces b es:

1) Todo cuadrado perfecto no termina en:

a) 1 b) 0 c) 4

d) 2 e) 6

3) La suma de las cifras del número cuadrado perfecto comprendido entre 627 y 700 es:

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

4) El menor entero positivo que debe multiplicarse a 123 para que sea k2 es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5) ¿Cuántos k2 existen entre 135 y 493?

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

"Decisión y tenacidad, esto es lo que hace falta. El mundo y tu vida cotidiana te proporcionarán el material sobre el que trabajar". Sai Baba

80


3ro de Secundaria

Aritmética

Repaso 5) Si a dos números se les aumenta y disminuye 15 unidades respectivamente, el producto queda aumentado en 1125. Calcula la diferencia de dichos números.

REPASO

División Nivel I Potenciación 1) En una sustracción, si al minuendo se le disminuye 14 y al sustraendo se le aumenta 8, entonces la diferencia: Complementar y ejercitar operaciones de división y potenciación, tipo examen de admisión.

a) Disminuye en 6 b) Ddisminuye en 22 c) Disminuye en 12 d) Aumenta en 6 e) Aumenta en 22 2) La suma de los 3 términos de una sustracción es 548. Calcula la suma del sustraendo con la diferencia.

Origen del Cero Los babilonios en su última etapa usaron un símbolo para indicar el espacio vacío y también un primitivo sentido del valor de posición; también los mayas lo habían usado ya.

a) 274 d) 234

b) 214 e) 264

c) 224

3) Si CA(3aa) = (cb3), calcula a + b + c. a) 12 d) 15

b) 13 c) 14 e) 16

El uso de este símbolo se originó para cubrir los lugares que en las columnas operatorias carecían de cifras, y en las cuales se les ocurrió escribir un punto (.), al cual reemplazaron más tarde por un pequeño círculo (o) y posteriormente por un óvalo (0).

4) Si P = a . b . c, además "a" aumenta 3 veces; b se reduce a sus 3/4 y C se quintuplica. Entonces P:

3ro de Secundaria


a) Se multiplica por 5 b) Se multiplica por 10 c) Aumenta 15 veces d) Aumenta 14 veces e) Aumenta 13 veces

a) 20 d) 45

b) 25 c) 90 e) 60

6) Halla x + y + z si xxxx5 = yz8. a) 7 d) 11

b) 8 c) 13 e) 15

7) El producto de dos números es 855. Si el multiplicador aumenta en 12 unidades, el nuevo producto es 1395. Halla el multiplicando. a) 30 d) 45

b) 36 c) 43 e) 50

8) En una división inexacta, el dividendo es 615, el cociente 35 y el residuo es 55. Halla el divisor. a) 17 d) 20

b) 18 c) 19 e) absurdo

9) ¿Cuántos números enteros positivos existe, tal que al dividirlos por 31 dan un residuo que es el triple del cociente? a) 5 d) 12

b) 8 c) 10 e) 18

81

Aritmética

10) El cociente de una división de 2 números naturales es 48 y el residuo es 9. Si el número mayor es menor que 640, entonces, no puede ser: a) 585 d) 441

b) 537 c) 489 e) 633

11) Calcula el menor número que al dividirlo por otro arroja un cociente igual al residuo máximo y éste, a su vez, es el menor número de 2 cifras. a) 100 d) 115

b) 110 c) 120 e) 125

12) Al dividir un número por 13 se obtuvo 7 como residuo. Si dicho número se multiplicara por 15 y se volviera a dividir, ¿cuál será el nuevo residuo? a) 7 d) 1

b) 5 c) 3 e) 6

13) Al dividir un número por 4 el residuo obtenido es 1. Si dicho número se multiplica por 4, ¿cuál será el nuevo residuo? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) No se puede calcular 14) Al dividir 56027 entre 19, calcula la suma del cociente y el resto. a) 2963 b) 2863 c) 2683

82

16) Al dividir A entre B el cociente es 12 y el resto es el máximo posible. Si A + B = 405, calcula A. a) 0, 1 b) 2 c) 0, 5

d) 0, 4 e) 0, 2

17) Al dividir un entero positivo por otro, el cociente es 15 y el resto el máximo posible si ambos números suman 696. Calcula el mayor. a) 676 b) 655 c) 658

d) 653 e) 672

18) El resto, cociente y divisor de una división son pares consecutivos, respectivamente. Calcula el cociente si el dividendo es 646. a) 22 b) 24 c) 26

d) 28 e) 30

19) Si el dividendo de una división es 483 y además el resto, cociente y divisor son impares consecutivos respectivamente. Calcula el cociente. a) 21 b) 23 c) 25

d) 27 e) 29

d) 2693 e) 2663

15) Al dividir 111117 entre 23, ¿en cuánto excede el cociente al resto? a) 4827 b) 4127 c) 4267

21) Al dividir 1330 entre 11, calcula la suma del cociente y el resto.

Nivel II

d) 4567 e) 4777

20) En una división, el resto es mínimo. Si el cociente es la mitad del divisor que es el mayor número de 2 cifras, calcula el dividendo si los términos son enteros positivos. a) 4803 b) 4802 c) 4801

a) 110 b) 120 c) 130

d) 140 e) 150

22) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. (I) En una división de enteros el cociente siempre es entero. (II) En una división, el resto máximo es siempre uno menos que el dividendo. (III) En una división de enteros positivos, si el dividendo se multiplica por n enteros, el resto también se multiplica por n. a) VVV b) VFV c) FFV

d) FVF e) FFF

23) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. (I) En una división inexacta de enteros positivos, si el divisor y resto se multiplican por n, entonces el dividendo también se multiplica por n. (II) En una división inexacta de enteros positivos, si el dividendo y resto se multiplican por n entonces el cociente o el divisor quedará multiplicando por n. (III) En una división inexacta el resto mínimo es 1. a) VVV b) VVF c) FVV

d) FVF e) FFF

d) 4800 e) 4799


3ro de Secundaria

Aritmética

24) En una división inexacta el resto es máximo, el divisor es 10 unidades menos que el cociente que tiene 2 cifras tal que el producto de sus cifras es 7. El dividendo será: a) 4390 b) 4391 c) 4392

d) 4393 e) 4394

bc 4

d) 3 e) 4

26) En una división inexacta el dividendo termina en 7, el divisor termina en 3 y el resto termina en 8, ¿En qué número termina el cociente? a) 1 b) 2 c) 3

d) 7 e) 9

27) En una división inexacta el resto termina en 4, el cociente termina en 9 y el dividendo termina en 3 ¿en qué número termina el divisor? a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

28) A y B poseen 5 y 9 cifras, respectivamente. ¿Cuántas cifras tendrá como mínimo A5 ÷ B2en su parte entera? a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

29) ¿Cuántos k 2 hay del 100 al 10000? a) 90 b) 91 c) 92

d) 29 e) 30

d) 93 e) 94

3ro de Secundaria

37) Calcula la suma de los k 2 , comprendidos entre 25 y 100. a) 228 b) 229 c) 230

Nivel III

a) 29 b) 30 c) 31

calcula a - b +c. a) 0 b) 1 c) 2

a) 26 b) 27 c) 28

31) ¿Cuántos k2 hay entre los 1000 primeros enteros positivos?

25) Si abc 4

30) ¿Cuántos k 2 hay entre 180 y 1524?

d) 32 e) 33

d) 231 e) 232

38) Si 8ab = k2, calcula a + b + k. a) 30 b) 32 c) 33

d) 34 e) 35

39) Si 6ab = ab2, calcula a + b. 32) ¿Cuántos k2 hay del 102(5) al 666(7)? a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17

33) ¿Cuántos k2 de 3 cifras hay en el sistema decimal? a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 22

34) ¿Cuántos no son k 2 del 1 al 1005? a) 971 b) 972 c) 973

d) 974 e) 975

2

2

35) ¿Cuántos no son k del 10 al 902? a) 7919 b) 7920 c) 7921

d) 7922 e) 7923

36) ¿Cuántos no son k2 del 43 al 282? a) 700 b) 701 c) 702

d) 703 e) 704


a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

40) Si aba = k2, la suma de valores de k es: a) 33 b) 34 c) 35

d) 36 e) 37

41) Si 5ab y 5cd son k2, calcula a+ b+ c+ d. a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 24

42) Si a(a +1)4 = k2, calcula a + k. a) 33 b) 34 c) 35

d) 36 e) 37

43) Si 3n2 = abc, calcula n + a+ b +c si c ≠ 0. a) 15 b) 16 c) 17

d) 18 e) 19

83

Aritmética

a) 216 b) 18 c) 12

a) 14 b) 15 c) 16

d) 24 e) 6

d) 20 e) 21 2

47) ¿Qué entero positivo basta multiplicar a 903 para que sea k2? a) 8 b) 4 c) 6

d) 6 e) 21

a) 49 b) 7 c) 14

d) 27 e) 28

2) ¿Cuántos k2 hay entre 24 y 600?

d) 0 e) 1

a) 21 b) 22 c) 23

49) Si 30abcd0 = wxyz , calcula: a+b+c+d+w+x+y+ z a) 24 b) 25 c) 26

d) 10 e) 12

a) 19 b) 20 c) 21

d) 22 e) 23

2

3) ¿Cuántos k2 hay entre 64 y 900?

a) 17 b) 18 c) 19

d) 17 e) 18

1) El menor entero positivo que se debe multiplicar a 493 para que sea k2 es:

48) Si 6a0b5c = xyz , calcula a +b + x + y + z.

46) Si 15abc = xy5 , calcula a + b +c + x + y.

45) Si N= 243 x 143, entonces el menor entero positivo por el cual se debe dividir para que sea k2 es: a) 7 b) 3 c) 2

2

2

44) Si A = 122 x 183, entonces el menor entero positivo por el cual se debe multiplicar a A para que sea k2 es:

4) Si 18abc = xy5 , calcula ab+ xy.

d) 24 e) 25

a) 35 b) 36 c) 37

d) 38 e) 39

2

5) Si 9ab5 = cd , calcula a.b + c.d.

84

a) 36 b) 32 c) 12

d) 45 e) 63


3ro de Secundaria

Aritmética

Teoría de la Divisibilidad En el conjunto Z de los enteros, se define: dados los enteros a y b ≠ o cualesquiera, se dice: b es divisor de a y se escribe: a/b si existe un entero k, tal que: a = b.k también se dice: a es divisible por b o a es múltiplo de b.

* 1 es divisor de todo número. * 0 es múltiplo de todo número, excepto de él. NOTACIÓN DE UN MÚLTIPLO DE n n ; n ∈Z

• Indica los múltiplos de 12.

Ejemplos: * 60 es divisible por 10, pues 60 = 10 x 6

Éstos son: ...; -24; -12; 0; 12; 24; 36; ...

OBTENCIÓN DE UN MÚLTIPLO Si a = n ⇒ a = n.k

* - 20 es múltiplo de 4, pues -20 = 4 x (-5) * 8 es múltiplo de 8, pues 8=8x1 * 0 es múltiplo de 5, pues 0=5x0 * 5 es divisor de 40, pues 40 =8 5 * 7 no es divisible por 0, pues 7 no existe 0

Ejemplo 1: Calcula la suma de los 20 primeros enteros positivos divisibles por 11. Resolución 11 x 1 + 11 x 2 + ... +11 x 20 11 x (1 + 2 + 3 + ... + 20) 11 x 20 x 21

2

2310 Ejemplo 2:

* 6 es divisor de -24, pues -24 = -4 6

La Teoría de los Números Los Elementos de Euclides son considerados frecuentemente, de una manera equivocada, como un libro dedicado exclusivamente a la geometría. En los libros VII, VIII y IX trata de la teoría de números: La palabra "número" para los griegos se refería siempre a lo que hoy llamamos naturales o enteros positivos. Euclides no usa expresiones como "es múltiplo de" o "es un factor o divisor de" sino que la sustituye por "está medido por" o "mide a", respectivamente, pues Euclides representa a cada número por un segmento, hablará de un número como AB. También menciona la distinción de un número par, impar, primo, compuesto, plano y sólido (los que se expresan como producto de 2 ó 3 factores, respectivamente)... Howard Boyer, ed. Madrid 1986, página 157.

¿Cuántos enteros múltiplos de 7 hay entre 100 y 1394? Resolución

3ro de Secundaria

100 < 7k < 1394 14,2 < k < 199,1 Éstos son: 199 - 15 + 1 = 185


85

Aritmética

Ejemplo 3: Calcula el mayor número de 4 cifras divisible por 43. Resolución

Sea el mayor número de 4 cifras igual a 43k, hacemos: 43h = 9999 h = 232,5 como k es entero, tomamos k = 232 y el número será: 43 x 232 = 9976 PROPIEDADES DE LA DIVISIBILIDAD 1) Si un número divide a otros dos, entonces divide a la suma, a la diferencia, al producto y a la potencia de dichos números. Es decir: Si a y b son múltiplos de n, entonces a + b ; a - b ; a x b y ak serán también múltiplos de n.

3) Si la fracción N/a es entera, entonces N es divisible por a.

n-n=n

n×n=n

(n)k = n

Resolución Sea N el menor entero positivo tal que:

N es 4

N es 6

Luego, el menor será N = 12.

86

⇒ N es 12

Ejemplo 2: De un grupo de personas, la cuarta parte son solteros, los 5/6 son mujeres y los 3/5 llevan lentes. ¿Cuántas personas como mínimo forman el grupo? Resolución Sea N N → solteros N es 4. 4 ii. 5N → mujeres N es 6. 6 3N iii. → lentes N es 5. 5

Ejemplo:

i. A×B es: (5+2) (5+3) = 5+6 =5+1 ii. A3 es: (5 + 2)3 = 5 + 8 =5+3 iii. 3A - 2B es: 3(5 + 2) - 2(5 + 3) =5+6-6=5 ∴ Éstos restos son: 1; 3 y 0

99 y (a - c)

Calcula el menor entero positivo divisible por 4 y 6.

n + r

Resolución

Entonces abc - cba es 3 ; 9 ; 11; 33;

Ejemplo 1:

2) Si A se divide entre n y dá de residuo r, se representa A como:

Si A y B se dividen entre 5, los restos respectivos son 2 y 3. ¿Cuál será el resto de A × B; A 3 y 3A - 2B entre 5?

abc - cba 100a + 10b + c - 100c - 10b - a 99a - 99c 99 (a - c) 3 . 3 . 11. (a - c)

4) Si N es divisible por a y por b, entonces será divisible por el MCM de a y b.

Convención: n + n = n

Resolución

i. Si D y d son n → r es n ii. Si d y r son n → D es n iii. Si q y r son n →D es n Ejemplo: En una división, el dividendo es 7 + 2, el cociente es 7 + 3 y el resto 7 + 1. ¿Cómo es el divisor? Resolución D = dq + r 7 + 2 = d (7 + 3) + 7 + 1 3d = 7 + 1 +14 =7 3d = 7 + 15 d = 7 + 5

i.

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Luego N es: 60 El menor será N = 60 personas.

Se denomina ecuación diofántica (en honor al matemático griego Diofanto, siglo IV) a aquella ecuación cuyas constantes son números enteros y cuyas incógnitas representan números enteros.Pueden ser de 2 o más incógnitas y de primer grado o de grado superior. En particular estudiaremos la resolución de una ecuación diofántica lineal de 2 incógnitas.

5) Todo número es divisible por sus factores si: N=a×b

6) En la división: D = dq + r , r < d

entonces: N es a y N es b Ejemplo: La expresión abc - cba, ¿de cuántos es múltiplo?


Ax + By = C Donde: {A, B, C} ⊂ Z Para que la ecuación anterior tenga solución es necesario y suficiente que: o C= MCD (A,B)

3ro de Secundaria

Aritmética

Ejemplo: Un negociante tiene S/. 1500 y decide comprar cajas de leche y aceite a S/. 70 y S/. 80 cada caja respectivamente. ¿De cuántas maneras se puede efectuar la compra?

x

18

-8

y 3

10 10

-8

1) Del 1 al 1200, determina: ¿Cuántos números enteros son 2? ¿Cuántos números son 10? ¿Cuántos números no son 30? Halla la suma de dichas respuestas.

e) Si:

MCM(a;b)

Determinamos todas las soluciones posibles reemplazando los valores de y en la ecuación (1):

Nivel I

N es a ; N es b; entonces N es:

o

7 + ( 7 + 1) y = 7 + 3 o y = 7+ 3

K∈Z+

n + r ; r < n ó n - r' ; r' < n

Expresando todos los términos en o función de 7 : o

k

(n ) = n

d) Si A no es divisible por n, entonces A es:

Sea: x → # de cajas de leche y → # de cajas de aceite → 70x + 80y = 1500 7x + 8y = 150 ... (1)

o

c) La potencia de un múltiplo resulta otro múltiplo del mismo número.

2 17

f) Si P = a . b, entonces: P es a

+7 +7

P es b P es (a . b)

Por lo tanto, la compra se puede efectuar de 3 maneras diferentes.

a) 760 b) 1600 d) 1260 e) 1500

2)

Del 1 al 1500, determina: ¿Cuántos números son 5 ? ¿Cuántos números son 6 ? ¿Cuántos números no son 15 ? Halla la suma de dichas respuestas.

a) 1950 d) 980

b) 1800 e) 800

c) 1880

c) 1500

3) Del 1 al 750, ¿cuántos números enteros son 3 pero no 5?

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD

a) La adición o sustracción de múltiplos de un mismo número, siempre es igual a un múltiplo del mismo número. n+n=n

n - n=n

b) La multiplicación de un múltiplo de "n" por un entero, da como producto un múltiplo de "n". n . k=n

3ro de Secundaria

Plaza de San Pedro, Ciudad del Vaticano Ciudad del Vaticano, centro mundial de la Iglesia Católica, es un estado independiente dentro de la ciudad de Roma. Muchos de sus edificios fueron diseñados y decorados por algunos de los mejores artistas del momento. Gian Lorenzo Bernini diseñó en 1667 la Gran Plaza que enmarca la entrada a la Basílica dentro de un dinámico espacio oval formado por dos columnas semicirculares.


a) 150 d) 240

b) 200 e) 210

c) 180

4) Del 1 al 820, ¿cuántos números enteros son 2 pero no 41?

a) 400 d) 280

b) 180 e) 390

c) 370

87

Aritmética

5) ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 5 y 7 a la vez?

a) 183 d) 217

b) 257 e) 297

c) 123


a) 17 d) 20

b) 18 e) 21

c) 19

7) En un examen donde participan 100 alumnos, de los aprobados 1/3 son mujeres, los 5/6 proceden de colegios nacionales y los 3/8 son menores de 15 años . ¿Cuántos salieron desaprobados, sabiendo que es el menor posible?

a) 8 d) 4

b) 12 e) 2

c) 6

a) 10 d) 11

b) 8 e) 12

c) 9

9) Determina la suma de los 24 primeros múltiplos enteros positivos de 6.

a) 1600 b) 1500 d) 1800 e) 1100

c) 900

10) La suma de los ‘‘n’’ primeros múltiplos enteros positivos de 5 es 950. Halla ‘‘n’’.

a) 17 d) 23

88

b) 19 e) 24

a) 9 + 2 b) 9 +3 c) 9 + 5

a) 8 + 2

d) 8 + 5

b) 8 + 6

e) 8 - 4

c) 8 + 3

13) ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 3 y terminan en 8? a) 27 d) 30

b) 29 e) 34

c) 32

a) 181 d) 300

16) En una multiplicación, el producto es de la forma (13 + 3). Si uno de los factores es ( 13 + 2), ¿de qué forma será el otro factor?

b) 299 e) 400

a) 13+ 9 b) 13 - 2

d) 13+ 8 e) 13 + 1

c) 305

15) En una división el divisor es (11+ 3); el cociente es (11 + 8) y el resto ( 11 + 9). ¿Qué forma tiene el dividendo?

a) 11 + 3

d) 11 + 9

b) 11

e) 11 + 4

c) 11 + 1

c) 13 + 5

17) Del 1324 al 2007, ¿cuántos enteros son divisibles por 9?

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

18) Del 222(3) al 777(8), ¿cuántos enteros son múltiplos de 15 con resto 7?

14) ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 6 y terminan su escritura en 2?

Nivel II

d) 9 + 1 e) 9 + 4

12) Expresa de manera simplificada: (8+1)+(8 + 2)+( 8+3)+...+ (8+ 43)

8) Un bus con 100 personas se estrelló; de los sobrevivientes los 8/9 no fuman, los 5/12 no beben y los 7/8 son solteros. ¿Cuántos no son solteros?

11) Expresa de manera simplificada: (9 +8) + (9 + 3)(9 - 5)

a) 29 d) 32

b) 30 e) 33

c) 31

19) Un número de la forma (3a)(3b) ab siempre es múltiplo de:

a) 41 d) 17

b) 43 e) 9

c) 11

20) Un número de la forma ab(2a) (2b), es siempre divisible por:

a) 6 y 34 b) 6 y 17 c) 6, 17 y 34 d) 6, 17, 34 y 51 e) 51 y 6

c) 21


3ro de Secundaria

Aritmética

21) En un salón de clase, la cantidad de alumnos es mayor que 354 pero menor que 368. El número de alumnos es tal que si se agrupan de 2 en 2 sobra 1 y si se agrupan de 7 en 7 sobran 4, ¿cuántos alumnos se deben aumentar para que al agruparlos de 12 en 12 no sobre nadie?

a) 11 d) 9

b) 12 e) 8

a) 12 d) 10

b) 15 e) 11

c) 13

23) En una fiesta donde habían 342 personas entre hombres y mujeres, la cantidad de varones era múltiplo de 11 y la cantidad de damas múltiplo de 7, siendo la diferencia entre estas cantidades mínima. Determina el número de hombres.

a) 220 d) 187

b) 198 e) 209

a) 7 d) 4

b) 6 e) 5

c) 231

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c)5

26) Del 1 al 100, ¿cuántos son múltiplos de 6?

a) 15 d) 14

b) 16 e) 12

c) 17

a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

a) 33 d) 36

b) 34 e) 37

c) 14

c) 35

29) Del 1 al 300, ¿cuántos números no son múltiplos de 8?

3ro de Secundaria

a) 36 d) 263

b) 37 e) 264

b) 9 e) 15

c) 11

31) H a l l a l o s e l e m e n t o s d e l conjunto: A = {x ∈ N / 23 < x < 38, x es divisible por 4}

a) {24, 28, 32, 36} b) {16, 18, 20, 24} c) {12, 16, 24} d) {36, 40} e) N.A.

32) H a l l a l o s e l e m e n t o s d e l conjunto: E = {x ∈ N / 70 < x < 90, x es divisible por 8}.


a) 7 d) 13


Nivel III

25) Un determinado artículo cuesta S/. 2,10. Si un comprador tiene 15 monedas de 5 soles y la cajera tiene 20 monedas de 2 soles, ¿de cuántas maneras diferentes se puede efectuar el pago si compró 10 de dichos artículos?

30) ¿Cuántos números existe entre 300 y 500, que sean a la vez divisibles por 4 y 6?

c) 3

c) 10

22) Los alumnos del curso de aritmética se sientan en bancas de 7 alumnos, excepto la última banca donde se sientan 8 alumnos. Cuando van al laboratorio se sientan en mesas de 4 alumnos salvo un alumno que se sienta solo. ¿Cuál es el número de alumnos si se sabe que está comprendido entre 76 y 92? Da como respuesta la suma de cifras del número hallado.

24) Una tienda comercial importa refrigeradoras y lavadoras cuyos precios por unidad son $ 270 y $210, respectivamente. Si gastó en total $ 2730, ¿cuántas refrigeradoras compró?

a) {76, 78} b) {74, 76} c) {72, 80, 88} d) {80} e) N.A.

33) En un barco había 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. Determina cuántas personas murieron en dicho accidente.

a) 100 d) 70

b) 80 e) 60

c) 75

c) 262


89

Aritmética

34) A un congreso asisten entre 100 y 200 ingenieros. Si se sabe que 2/7 de los asistentes son ingenieros mecánicos y los 5/11 son ingenieros mineros, ¿cuántos son ingenieros mineros?

a) 154 d) 100

b) 74 e) 70

a) 317 d) 386

b) 462 e) 216

c) 421

a) 30 d) 65

b) 25 e) 100

a) 100 d) 130

b) 120 e) 150

c) 125

39) ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 14 y terminan en 8?

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

40) ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 17?

36) En un barco viajaban 90 personas y ocurrió un accidente, de los sobrevivientes se sabe que las 3/13 son niños y la quinta parte son casados. ¿Cuántos murieron?

1, 2, 3, 4, ..., 875?

c) 84

35) A un congreso médico asistieron entre 500 y 600 personas. Se observó que 2/7 de los asistentes son ginecólogos, 1/3 son neurólogos y 2/13 son pediatras, ¿cuántos asistentes no son pediatras?

38) ¿Indica cuántos múltiplos de 7 hay en:

a) 51 d) 54

b) 52 e) 55

c) 53


a) 24 d) 27

b) 25 e) 28

c) 26

42) Del 400 al 1400, ¿cuántos números son múltiplos de 7 pero no de 5?

a)114 d) 140

b) 143 e) 29

c) 150

1, 2, 3, 4, 5, ..., 284 a) 90 d) 95

b) 91 e) 96

c) 94

43) ¿Cuántos números del 1 al 210 no son múltiplos de 3 ni de 5?

a) 210 d) 70

b) 98 e) 115

a) 41 d) 44

b) 42 e) 45

c) 43

46) Un número de la forma: ab(2a)(2b) siempre es divisible por:

a) 30 d) 60

b) 40 e) 68

c)51

47) ¿Por qué número es siempre divisible un número de la forma abba?

a) 2 d) 11

b) 7 e) 9

c) 13

48) Halla un número capicúa de 3 cifras, sabiendo que es múltiplo de 7; y además al agregar 3 unidades a este número se convierte en múltiplo de 5 y al restarle 3 unidades al número original se convierte en multiplo de 2. Da como respuesta la cifra de las decenas.

a) 2 d) 6 b) 0 e) 7 c) Toma 2 valores

a) 18 d) 21

b) 15 e) 26

49) Halla el año en que nació Andrés si es 53 + 31 y además fue presidente a los 53 años. Ocho años más tarde volvió a ser presidente (dicho año fue múltiplo de su edad más 3). Da como respuesta el producto de las cifras del año de nacimiento.

a) 24 d) 48

b) 72 e) 32

c) 40

c) 112

44) ¿Cuántos números enteros mayores que 500 y menores que 2 100 son múltiplos de 8, 12 y 15 a la vez?

90

c) 90

37) Indica cuántos múltiplos de 3 hay en:

45) Un número de la forma (3a)(3b) ab es siempre múltiplo de:

c) 13


50) En un salón de clases donde hay 59 personas, la octava parte de los hombres usan anteojos y la séptima parte de las mujeres practican voley. ¿Cuántos hombres no usan anteojos?

a) 14 d) 21

b) 7 e) 35

c) 28

3ro de Secundaria

Aritmética

2) En un barco había 150 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes se sabe que 2/7 fuman, 3/5 son casados y 1/3 son ingenieros. Determina cuántas personas murieron en dicho accidente.

1) Del 1 al 200, ¿cuántos números no son múltiplos de 8?

a) 150 b) 175 c) 70

d) 25 e) 30


a) 120 b) 160 c) 180

d) 200 e) 220

a) 30 b) 45 c) 60

d) 75 e) 90

4) Un número de la forma abba siempre es divisible por:

a) 7 b) 13 c) 11

d) 17 e) 5

5) En una división el divisor es (7 + 2); el cociente (7 + 4) y el resto (7 + 3), ¿qué forma tiene el dividendo?

3ro de Secundaria

a) 7 + 1 b) 7 + 2 c) 7 + 3

d) 7 + 4 e) 7 + 5


91

Aritmética

Repaso 5) Si abcdef x 4 = fedcba , halla a + b + c + d + e + f .

Nivel I 1) Dos números enteros positivos consecutivos tienen por producto, 4a0. El mayor es:

a) 19 d) 22

b) 20 e) 24

c) 21

2) Si xy . y = 224 xy . x = 56 halla el producto xyxy . xy

a) 79184 b) 79914 c) 70484 d) 79024 e) 71264

3) En cierta multiplicación: N x a(2a) Se cometió el error de colocar los productos parciales sin desplazar hacia la izquierda, obteniendo 258. Halla el producto.

a) 1032 d) 1056

b) 1044 e) 1024

a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

a) 11 d) 12

c) 36

b) 10 e) 13

c) 22

7) En cierta división inexacta, los términos dividendo y divisor se dividen entre 3, así el resto disminuye en 12. Calcula el resto inicial.

a) 6 d) 16

b) 10 e) 18

c) 9

c) 1008 8) Completa el cuadro: D

d 20

c) 14

q

q

r

r

10

10

8 5

19 19

15

(máx)

8 17

92

b) 27 e) 54

6) En una división de enteros positivos, si el dividendo y el divisor se quintuplican, el resto aumenta en 44. Halla el resto original.

4) Si abc x 13 = ... 641, halla a + b + c.

a) 18 d) 45

10

Leonhard Euler Euler nació en Basel, Suiza. Su padre, un pastor, quería que su hijo siguiera sus pasos y lo envió a la Universidad de Basel para prepararle como ministro. Por intersección de Bernoulli, Euler obtuvo el consentimiento de su padre en cambiarse de ministro a matemático. Después de fallar en obtener una posición en Física en Basel en 1726, se unió a la Academia de Ciencia de St. Petesburg en 1727. Cuando se detuvo sus fondos de la academia el sirvió como un lugarteniente médico en la armada rusa de 1727 a 1730. Su reputación creció después de la publicación de muchos artículos y su libro Mecánica (1736 -1737). En 1766, Euler volvió a Rusia. En Rusia llegó a estar casi complemente ciego después de una operación de cataratas, pero aún así podía continuar con su investigación y escritura. Tenía una memoria prodigiosa y podía dictar tratados en óptica, álgebra y movimiento lunar. A su muerte en 1783, dejó atrasados una vasta cantidad de artículos. La academia de St. Petesburg continuó publicándolos por casi 50 años más.

9

(máx) (máx)

Donde: r es residuo por defecto. r’ es residuo por exceso. q es cociente por defecto. q’ es cociente por exceso.


3ro de Secundaria

Aritmética

9) ¿Cuántos números cumplen tal que al dividirlos entre 37, el resto es el cuadrado del cociente respectivo?

a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

a) Se multiplica por 5 b) Disminuye en 8 c) Aumenta en 8 d) Se duplica e) Aumenta en 5

a) 90 d) 81

b) 36 e) 74

a) 7+2 d) 7+5

b) 7+1 e) 7+6

c) 7+3

Nivel II

11) Del 1 al 300, ¿cuántos números son múltiplos de 4?

21) Calcula (a + b) si: 1ab × CA (ab) = 9744

c) 12

10) En una división, el divisor y el resto son 7 y 20. Si el dividendo se quintuplica y se vuelve a efectuar la división, entonces el resto original:

15) Si N = 7 + 3, entonces N2 es:

c) 75

12) ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 7?

16) La expresión: S = (11+2)3 + (11+3)4 + (11+6)2 es igual a:

a) 11+4 d) 11 - 2 b) 11+8 e) 11 - 4 c) 11+10

a) 7 d) 6

b) 8 e) 5

c) 9

22) Efectúa 2837 × 999999. Da como respuesta la suma de cifras del producto.

a) 54 d) 56

b) 53 e) 52

c) 55

23) Si se efectúa 2137753, la cifra de las unidades del producto final es:

17) En un barco viajaban menos de 150 personas y ocurre un accidente, obteniéndose la siguiente información de los sobrevivientes: los tres séptimos son casados y los cuatro treceavos eran extranjeros. ¿Cuántos murieron en el accidente?

24) La suma de los términos de una sustracción es 164. Si el sustraendo es igual al complemento aritmético del minuendo, calcula la diferencia.

a) 41 d) 59

b) 91 e) 62

c) 32

a) 1 d) 7

a) 60 d) 66

b) 3 e) 9

b) 62 e) 68

c) 5

c) 64

18) Halla el residuo de dividir M entre 8 si se sabe que: M=(1993)6+(1994)4 + (1995)2)

25) Si abc = 2 × cba, calcula a - b + c.

13) ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 4 pero no de 3?

19) Si 4A =11 y 7A = 4, ¿cuál es el menor valor que puede tomar A si es un número de tres cifras?

26) Si a9nm5m es divisible entre 504, halla a.n calcular a - b + c

a) 128 d) 118

a) 225 d) 180

b) 136 e) 218

b) 205 e) 150

c) 108

c) 200

14) En una división el divisor es 11+ 2, el cociente es 11+4 y el resto 11+5, entonces el dividendo será:

a) 11+1 b) 11+2

d) 11+4 e) 11+5

c) 11+3

3ro de Secundaria

a) 1 d) 4

a) 124 d) 101

b) 2 e) 5

c) 3

b) 132 e) 112

c) 148

a) 0 d) 9

a) 21 d) 9

b) 3 e) 11

b) 24 e) 18

c) 6

c) 16

20) Un número de la forma ab(2a) (2b) es siempre divisible por:

a) 2, 3 y 4 b) 2, 17 y 9 c) 3, 4 y 17

d) 2, 6 y 17 e) 2, 3 y 11


93

Aritmética

27) En una sustracción, la suma de sus 3 términos es 180. Si la suma del sustraendo más el minuendo es 120, halla el valor de la diferencia.

a) 90 d) 30

b) 60 e) 150

c) 45

28) Si abc - cba = pqr, calcula pqr + rpq + qrp .

a) 999 b) 1998 d) 1999 e) 1008

a) 350 d) 180

b) 200 e) 179

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

a) No se altera b) Aumenta 3 veces c) Disminuye 2 veces d) Se multiplica por 3 e) Se multiplica por 8

c) 240

c) 5

a) 53 d) 59

b) 55 e) 61

c) 57

35) Calcula la suma de las cifras de la suma de todos los números de 10 cifras cuyo producto de cifras es 7.

a) 68 d) 71

b) 69 e) 72

c) 70

36) Calcula la suma de las cifras de la suma de todos los números de 7 cifras cuyo producto de cifras es 5.

Nivel III

a) 12 d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

37) Si 1 + 3 + 5 + ...+n es igual a 1xy5, calcula x + y + n.

31) La suma de los 3 términos de una sustracción es 1118. Si la suma del sustraendo y la diferencia es N, calcula el CA(N).

38) Si la suma de los CA de los números a10, a11, a12,...,a89, es 52040, halla el valor de a.

a) 559 d) 441

b) 567 e) 463

c) 542

a) 70 d) 73

39) Si mpq - qpm = mn(2m), calcula m x n.

c) 12

94

a) 9 d) 3

b) 2 e) 5

c) 72

b) 10 e) 8

a) 1 d) 4

b) 71 e) 74

32) Si 6mn + npm = 1000, calcula n + m + p. a) 7 d) 6

40) Al sumar a un número de 3 cifras el resultado de invertir el orden de sus cifras se obtuvo 1291; pero si en vez de haberse sumado se hubiera restado, el resultado hubiese terminado en 7. Halla el mayor de los mismos. a) 791 d) 793

b) 794 e) 795

c) 792

34) Si mcdu x 4 = udcm, calcula m + 2c + 3d + 4u.

30) Calcula el CA del mayor número de 3 cifras distintas y da la suma de sus cifras.

c) 998

29) La diferencia de 2 números es 305. Si al mayor le quitamos 20 y al menor le aumentamos 85, la nueva diferencia es:

33) Si P = AxB y A aumenta en sus 3/5, mientras B disminuye en sus 3/8, entonces P:

b) 18 e) 15

41) Si abc + cba = 1291 y abc - cba = xy5, calcula a + b - c.

a) 3 d) 5

b) 6 e) 8

c) 9

42) Un alumno ha de multiplicar un número por 50 pero al hacerlo se olvida de poner el cero a la derecha, hallando así un producto que se diferncia del verdadero en 11610. ¿Cuál es el número que le dieron a multiplicar?

a) 258 d) 254

b) 256 e) 257

c) 257

43) Si al número 1a2aa5 lo divido entre 11 el resto es 6, halla a.

a) 0 d) 9

b) 3 e) 6

c) 4

c) 3

c) 27


3ro de Secundaria

Aritmética

44) Encuentra la suma de todos los números de 3 cifras que sean múltiplos de 7.

a) 567 d) 154

b) 777 e) 1764

c) 1197

45) Si 8xyx5y es divisible entre 88, halla x . y

a) 6 d) 2

b) 3 e) 15

c) 4

46) Calcula (n - x) si el número nx1xn es divisible entre 44.

a) 0 d) 5

b) 3 e) 2

c) 4

47) Si abc = 66(a - b + c), calcula a.

a) 2 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

48) Halla la suma de cifras del menor número de la forma a6b que es múltiplo de 28.

a) 14 d) 16

b) 15 e) N.A.

Pierre de Fermat (Beaumont, Francia, 1601-Castres, 1665) Matemático francés. Poco se conoce de sus primeros años, excepto que estudió derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Interesado por las matemáticas, en 1629 abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas. Diseñó así mismo un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica, a manera de trazar las correspondientes tangentes. Logros todos ellos, que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad. Otro campo en el que realizó destacadas aportaciones fue el de la teoría de números, en la que empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto; precisamente en el margen de una página de dicha edición fue donde anotó el célebre teorema que lleva su nombre y que tardaría más de tres siglos en demostrarse. De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes resultados relacionados con las propiedades de los números primos, muchas de las cuales quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y teoremas. Desarrolló también un ingenioso método de demostración que denominó «del descenso infinito». Extremadamente prolífico, sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (sólo publicó una obra científica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su obra.

c) 12

49) Si el número abc6bc es divisible entre 1125, halla el valor de "a".

a) 6 d) 5

b) 7 e) 4

c) 8

50) Si: 15! = 130a6a4368000 calcular "a"

a) 2 d) 6

b) 3 e) 7

c) 4

3ro de Secundaria


95

Aritmética

Divisibilidad Criterios de Divisibilidad Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral, permiten determinar su divisibilidad respecto a ciertos módulos (divisor). DIVISIBILIDAD POR 2: Un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par. Si: ...abc es 2° ⇒ c = 0,2,4,6 ó 8 Ejemplo : 567328 es 2° porque 8 es 2° DIVISIBILIDAD POR 4: Un número es divisible por 4 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 4; también si el doble de la penúltima más la última resultan un 4° . Si: ...abc es 4° ⇒ 2b + c es 4° ó

...abcd es 8° ⇒ bcd = {000; 008; 016;...;992} También cuando: 4b+2c+d es 8°

3144 es 8° pues 4x1+2x4+1x4 ° es 16 que es 8.

DIVISIBILIDAD POR 3:

Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un número múltiplo de 8; también cuando el cuádruple de la antepenúltima cifra más el doble de la penúltima, más la última cifra resulta un ° múltiplo de 8.

96

24 es 6°

es 2° (última cifra par) es 3° (suma de cifras 6)


Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Un número es divisible por 5 cuando la cifra de las unidades es cero o cinco.

Si abcde es 3° ⇒ a+b+c+d+e ° es 3.

Si ...abc es 5° ⇒ c = 0 ó 5

Ejemplo : Personaje del tema

543621 es 3° pues 5+4+3+6+2+1=21 es 3° DIVISIBILIDAD POR 9:


Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y 3 a la vez. Ejemplo :

Ejemplo :

bc = {00, 04,...,96}

Ejemplo : ° 132 es 4° pues 32 es 4.


Un número es divisible por 9 cuando la suma de cifras es un múltiplo de 9. Si abcdef es 9° ⇒ a+b+c+d+e ° +f es 9.

Carl Jacobi

(1804 – 1851) En 1834 probó que si una función univaluada de una variable es doblemente periódica entonces la razón de los períodos es imaginaria. Este resultado impulsó enormemente el trabajo en esta área, en particular por Liouville y Cauchy.

Ejemplo : 1863 es 9° ° pues 1+8+6+3 es 18 que es 9.


3ro de Secundaria

Aritmética

F. Cavalieri

(1804 – 1851) Cavalieri desarrolló un método de lo indivisible, el cual llegó a ser un factor en el desarrollo del Cálculo Integral.

⇒ h - (3g+4f+e)+(3d+4c+b)° 3a es 13

DIVISIBILIDAD POR 7: Un número será divisible por 7 cuando se le aplique la siguiente regla de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los siguientes factores: 1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1,... Luego de realizar el producto se efectúa la suma y si el resultado es 7° el número será múltiplo de 7.

Ejemplo : ° 3 3 6 3 1 es 13 hacemos 3 - 1 - 4 - 3 1 ° pues 9 - 3 -24 -9 + 1 = - 26 es 13 DIVISIBILIDAD POR NÚMEROS COMPUESTOS Se descompone en factores cuya divisibilidad se conoce.

Si abcdefgh es 7° ⇒ a b c d e f g h ↓↓ ↓ ↓ ↓↓↓ ↓ 31 2 3 1 23 1 + + Ejemplo :

⇒h + 3 g+2 f - (e +3 d + 2c) + b + 3a = 7°

356785 es 5° pues termina en 5.

Ejemplo :

DIVISIBILIDAD POR 25: Un número es divisible por 25 cuando sus 2 últimas cifras forman un múltiplo de 25. ° ⇒ bc = {00, 25, Si ...abc es 25 ° 50,75} Ejemplo : ° 54325 es 25 pues termina en 25

Nivel I

1 0 2 1 3 es 7° hacemos: -3 -1 2 3 1; pues -3+0 +4+3+3 = 7 que es 7° DIVISIBILIDAD POR 11: Un número es divisible por 11 cuando la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de las cifras de orden par, resulte múltiplo de 11. ° ⇒ b+d-a-c es 11 ° Si abcd es 11 Ejemplo :

DIVISIBILIDAD POR 125: Un número es divisible por 125 cuando sus 3 últimas cifras forman un múltiplo de 125. ° ⇒bcd =000, Si ...abcd es 125 ° ó 125 Ejemplo : ° 8178375 es 125 ° pues 375 es 125

3ro de Secundaria

1 0 0 1 es múltiplo de 11 hacemos: - + - + ° pues -1 + 0 - 0 +1 = 0 que es 11 DIVISIBILIDAD POR 13: Se multiplica cada cifra del número por el factor indicado de derecha a izquierda. Si: a b c d ↓↓ ↓ ↓ 31 4 3 (-) (+)

° e f g h es 13 ↓↓↓ ↓ 14 3 1 (-) (+)


1) Calcula la suma de valores de x si 222xx es divisible por 7.

a) 8 b) 7 c) 9

d) 10 e) 11

2) Calcula x si x2xx5 es divisible por 7.

a) 2 b) 3 u 8 c) 3

d) 2 ó 9 e) 1 u 8

3) Halla «a» si 4a8a6 es múltiplo de 11.

a) 3 b) 5 c) 7

d) 9 e) 6

4) Halla «a» si 5a782 es divisible por 11.

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 3

97

Aritmética

a) 3 b) 5 c) 6

d) 8 e) 0

6) ¿Qué valor toma «a» para que el complemento aritmético de aa37 sea divisible por 9?

a) 0 b) 3 c) 5

d) 6 e) 9

7) Si los numerales a43, ab2 y abc son, respectivamente, múltiplos de 7;9 y 11, calcula a + b + c.

a) 7 b) 11 c) 10

d) 9 e) 8

8) Halla (n+m) si 2n5n8 es divisible por 9 y 11, respectivamente.

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

a) 5 b) 6 c) 7

a) 5 b) 7 c) 3

a) 1 b) 5 c) 6

98

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

15) Al convertir el número 4343... (28 cifras) al sistema nonario, la cifra de primer orden es:

a) 0 b) 2 c) 4

d) 6 e) 8

d) 8 e) 9

d) 8 e) 6

d) 7 e) 8

a) 2 b) 5 c) 7

d) 9 e) 6

17) ¿Qué valor se debe reemplazar a x para que xx253x sea múltiplo de 13?

a) 3 b) 4 c) 7

a) 0 b) 1 c) 3

a) 5 b) 4 c) 8

d) 12 e) 3

21) A. Calcula «x» si: 4x + 5x+...+9x es divisible por 7.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

B. Calcula «x» si: 1x + 2x+ 3x+...+10x es divisible por 9.

a) 9 b) 8 c) 7

d) 5 e) 6

a) 5 b) 6 c) 7

B. Si a8a946b es múltiplo de 56, halla «a + b».

a) 7 b) 8 c) 9

d) 5 e) 2

18) Si 5a10b es divisible por 72, calcula «a».

d) 13 e) 8

22) A. Si 1a60ab es divisible por 99, calcula «b - a»

° + a2, calcula 16) Si a3aa1 = 13 «a».

a) 15 b) 12 c) 9

20) Indica (x + y) para que 7x36y5 sea divisible por 1375.

Nivel II

11) Calcula el resto de dividir 5151... (51 cifras)entre 11.

d) 3 e) 4

14) Al convertir 1212...(37 cifras)a base 9, la cifra de las unidades es:

10) ¿Cuál es el resto de dividir 282828...(50 cifras entre 11)?

a) 0 b) 1 c) 2

13) Calcula el resto de dividir 55...5 (120 cifras)entre 7.

9) Al dividir 4x5x6x7x entre 9 el resto es 5. Calcula x.

19) Si el número 7xyx5y es divisible entre 88, halla el valor numérico de x + y.

12) Calcula el resto de dividir 222... (68 cifras)entre 7.

5) Si CA (1x2x) es divisible por 9, calcula x.

d) 4 e) 8


d) 8 e) 9

d) 10 e) 11

23) ¿Cuántos números de 3 cifras existe, tal que sean divisibles por el número formado por sus últimas cifras y éste a su vez divisible por 7?

a) 1 b) 3 c) 4

d) 5 e) Ninguno

3ro de Secundaria

Aritmética

Pierre de Fermat Nació el 17 de agosto 1601 en Beaumont de Lomages, Francia; Fermat fue abogado y un gobernante oficial. Es más recordado por su trabajo,en la Teoría de Números, en particular por el último teorema de Fermat; las matemáticas eran para él su hobby. En 1636, Fermat propuso un sistema de geometría analítica, similar a uno de Descartes quien lo propuso unos años después. El trabajo de Fermat estaba basado en una reconstrucción del trabajo de Apolonio, usado en el Álgebra de Viete. Similar trabajo dejó Fermat al descubrir métodos similares de diferenciación e integración encontrando los máximos y mínimos. Falleció el 12 de enero de 1665 en Castres, Francia.

24) Halla «a x b x c» si:

° ; cba =7 ° ; bac=9° abc =11

a) 144 b) 162 c) 186

d) 174 e) 214

29) ¿Cuántos números de 3 cifras son ° 17?

a) 8 b) 10 c) 12

d) 14 e) 16

2

26) Del 1 al 500, ¿indica cuántos enteros son: I. múltiplos de 5 II. múltiplos de 20 III.múltiplos de 7

Halla la suma de los 3 resultados.

a) 190 b) 192 c) 194

d) 196 e) 198

Halla la suma de los 3 resultados.

a) 909 b) 910 c) 911

d) 912 e) 913

28) ¿Cuántos números de 3 cifras son ° 23?

a) 37 b) 38 c) 39

d) 40 e) 41


a) a x b b) a c) b

d) 22 e) 99

31) La expresión:

abc+acb+bac+bca+cab+cba es siempre divisible por:

a) 23 b) 13 c) 11

d) 37 e) 33

32) El producto de 3 enteros positivos consecutivos: n (n+1)(n+2)es siempre múltiplo de:

a) 3 y 4 b) 2 y 5 c) 2 y 3

d) 3 y 5 e) 5 y 7

33) La expresión n2 (n2 - 1)es siempre divisible por:

a) 2 y 5 b) 3 y 5 c) 3 y 4

d) 4 y 5 e) 5 y 7

34) Si los alumnos de un colegio se agrupan de a 6; 8 y 11 siempre sobran 3; pero de a 7 no sobra ninguno. ¿Cuántos son los alumnos como mínimo?

3ro de Secundaria

2

Nivel III

27) Del 1 al 779, ¿indica cuántos enteros : I. no son 9° II. son 3° y 4° III.son 4° pero no 3°

d) 53 e) 54

30) La expresión ab - ba siempre es divisible por:

25) Calcula la suma de a y b, tal que 26ab63 sea divisible por 31, además a y b son impares.

a) 50 b) 51 c) 52

a) 1059 b) 1323 c) 1587

d) 1851 e) 795

99

Aritmética

35) De un grupo mínimo de personas los 3/11 son viejos, los 5/18 son calvos. El menor número que conforman el grupo que tienen cabellos es:

a) 132 b) 143 c) 154

d) 198 e) 396

36) La edad en años de una persona es: ° -1 2° +1; 7° + 6 y 10 Halla la suma de las cifras de la edad. a) 12 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14 37) El menor número de 4 cifras que sea:

° + 2 y 15 ° - 13 es: 9° - 7; 12

a) 1072 b) 1076 c) 1082

a) 2075 b) 2025 c) 2135

d) 2275 e) 2125

a) 12 b) 9 c) 15

d) 18 e) 21

41) Si nn37 = 9° + 4, halla n.

a) 3 b) 5 c) 6

d) 7 e) 1

42) Si 2x858 = 9° ° y485y = 11 6990z = 8°

a) 4 b) 2 c) 6

d) 5 e) 3

halla x + y +z.

a) 17 b) 18 c) 16

a) 9 b) 10 c) 11

d) 15 e) 19

a) 2 b) 3 c) 6

a) 3 b) 4 c) 5

d) 8 e) 9

a) 6 b) 5 c) 9

d) 8 e) 7

° 50) Halla a.b si 5a10b = 72

a) 12 b) 24 c) 15

d) 48 e) 32

Reto

d) 7 e) 4

45) Si nn + 52n = 7° +1n3, halla n.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 12 e) 13

° 44) Si 2n569 + n69n = 11, halla n.

d) 7 e) 8

° 48) Si 316a9a = 13, halla a.

° halla la suma de 43) Si vvv3 = 7, valores de v.

a) 4 b) 5 c) 6

° 49) Halla a si 4a3bc = 1125

° halla a. 39) Si a2a53 = 9,

° + aaa, 47) Si aaa2aa = 13 halla a.

d) 1084 e) 1086

38) Halla la suma de los 25 primeros enteros positivos divisibles por 7.

40) Si n2n31 = 3, halla la suma de los posibles valores de n.

d) 6 e) 1

Dos viajeros van vendiendo vino por los pueblos. En su furgoneta llevan 3 barriles: uno de 8 litros lleno de vino, otros 2 vacíos de 3 y 5 litros; de capacidad. A mitad del camino se pelean y deciden repartir el vino en partes iguales, pero sólo disponen de los barriles citados. ¿cómo podrán hacerlo?

° halla n. 46) Si nn97n = 13,

100

a) 3 b) 4 c) 6

d) 7 e) 8


3ro de Secundaria

Aritmética

° halla x.y. 2) Si x34y = 72,

° halla a. 1) Si a3a5 = 9,

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

° 3) Halla a si 2a6bc = 1125.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 16 e) 12

° halla a. 4) Si 2a6a8 = 11,

d) 4 e) 5

3ro de Secundaria

a) 20 b) 24 c) 28

a) 6 b) 8 c) 5

d) 2 e) 3

5) ¿Cuál es el resto de dividir 282828... (50 cifras) entre 9? a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 7


101

Aritmética

Números Primos Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Los números enteros positivos (Z+), se pueden clasificar de acuerdo a la cantidad de divisores Z+ que poseen:

Números Simples

Números Compuestos: Son aquellos que poseen más de dos divisores. Ejemplo :

Números Primos

4 : 6 : 12 : 20 :

La Unidad

Z+

1; 2; 4 1; 2; 3; 6 1; 2; 3; 4; 6; 12 1 ; 2; 4; 5; 10; 20

Números Compuestos

Divisores

A) La Unidad Es el único Z+ que posee un solo divisor.

Observación

:

Todo número compuesto, posee una cantidad de divisores simples y divisores compuestos.

B) Números Primos Llamados también primos absolutos, son aquellos números que poseen únicamente dos divisores: la unidad y al mismo número.

2 5 17 23

: : : :

1;2 1;5 1 ; 17 1 ; 23

3 2 y 3 son los únicos números consecutivos y a la vez primos absolutos. 4 Sea ‘‘P’’ un número primo. Si P > 2, entonces:

5 Sea ‘‘P’’ un número primo. Si P > 3, entonces:

Ejemplo : 12

:

1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores

De los divisores de 12 son: Simples → 1; 2; 3 Primos → 2; 3 Compuestos → 4; 6; 12 EN GENERAL

o o (P = 6 + 1) v (P = 6 - 1) ¿Cómo se determina si un número es primo?  Se extrae la raíz cuadrada al número dado, si es exacta se determina que el número no es primo.

CDN = CDSN + CDCN

 Caso contrario, se considera todos los números primos menores o iguales que la parte entera de la raíz.


3ro de Secundaria

Divisores

102

1 El conjunto de los números primos es infinito. {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17;...}

o o (P = 4 + 1) v (P = 4 - 1)

1 Divisor

Ejemplo :

PROPIEDADES:

2 2 es el único número primo par.

Números Simples:

1

Donde: CDN : Cantidad de divisores de N. CDSN : Cantidad de divisores simples de N. CDCN : C antidad de divisores compuestos de N.

Aritmética

 Se divide el número dado entre cada número primo considerado.

Ejemplo : Sean los números 11, 12 donde:

 Si en dichas divisiones, se obtiene al menos una exacta, el número no es primo.

11 :

y 15,

1 , 11

12 : 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12  Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo. Ejemplo : ¿El número 193 es un número primo?

15 : 1 , 3 , 5 ,

15

Divisores El único divisor común es 1, entonces 11, 12 y 15 son PESI.

 193 = 13, .... ≈ 13  Números primos ≤ 13 : 2, 3, 5, 7, 11, 13.

1) Dos o más números consecutivos son siempre números PESI. Ejemplo :

N = Aα x Bβ x Cδ x ...

o

2 + 1 o

3 + 1

Sean los números 13, 14 y 15, donde: 13 :

o

1 , 13

5 + 3

14 : 1 , 2 , 7 , 14

o

15 : 1 , 3 , 5 , 15

7 + 4

Divisores

o

11 + 6 13 + 11

Como en ningún caso las divisiones son exactas, entonces 193 es un número primo.

Números Primos entre sí (PESI)

El único divisor común es 1, entonces 13, 14 y 15 son números PESI. 2) Dos o más números impares consecutivos son siempre PESI. Ejemplo :

3ro de Secundaria

Donde: A, B, C, ... : Factores primos de N. α, β, δ, ... : Enteros positivos.

Cantidad de Divisores de un Número (CDN) Si :

N = Aα x Bβ x Cδ x ... Descomposición Canónica

CDN = (α+1)(β +1) (δ + 1) ...

Sean los números 33 y 35, donde: 33 :

(Primos relativos o coprimos) Dos o más números son primos entre sí (PESI) cuando tienen como único divisor común a la unidad.

 144 = 24 x 32  150 = 2 x 3 x 52  1200 = 24 x 3 x 52 EN GENERAL

 Comparando 193 con cada uno de los números primos considerados.

o

Todo entero mayor que la unidad, se puede descomponer como la multiplicación de sus factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos. Esta descomposición es única y se llama descomposición canónica.

Ejemplo : Observaciones:

193 ⇒

Teorema Fundamental de la Aritmética

1 , 3 , 11 , 33

Ejemplo :

35 : 1 , 5 , 7 , 35 Divisores

El único divisor común es 1, entonces 33 y 35 son números PESI.


¿Cuántos divisores tiene 720? * 720 = 24 x 32 x 51 CD720 = (4 +1) (2+1) (1 + 1) CD720 =30

103

Aritmética

11) B. ¿Cuántos divisores impares tiene 60? Da como respuesta la suma del mayor y menor divisor impar.

7) Completa:

Nivel I

1) Determina la cantidad de divisores de 40.

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

2) ¿Cuántos divisores tiene 60?

a) 21 b) 12 c) 14

d) 15 e) 16

a) 1 b) 6 c) 5

d) 2 e) 3

4) ¿Cuántos divisores primos posee 420?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

5) Entre los números 360, 270 y 180, ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 520?

a) 360 b) 270 c) 180

d) Ninguno e) Todos

A. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. El 4 es un número primo. ( ) II. La unidad sólo tiene un divisor. ( ) III. 8 es un divisor de 12. ( )

a) 250 b) 120 c) 200

104

a) VFF b) VVF c) VVV

a) VVF b) VFV c) VVV

d) FFV e) FFF

C. Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. 12 tiene 6 divisores. ( ) II. 41 es un número primo. ( ) III. 15 tiene 10 divisores. ( ) a) VVF b) VFV c) FFV

d) 14 e) 12

10) ¿Cuántos números primos hay en el siguiente grupo de números? 2; 17; 21; 23; 37; 39; 47; 48; 51; 65; 71

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

11) ¿Cuántos números compuestos hay en el siguiente grupo de números?

d) FFF e) FVF

B. Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. 24 tiene 8 divisores. ( ) II. 61 es un número primo. ( ) III. 16 tiene 4 divisores. ( )

a) 20 b) 16 c) 18

6; 11; 15; 23; 28; 31; 42; 49; 56; 67; 73; 78

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

12) Completa:

36

d) VVV e) FFF

9)

6) Entre los números 250, 120 y 200, ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 378?

b. Los números compuestos son aquellos que tienen .................. ................. divisores.

8)

3) ¿Cuántos divisores primos posee 320?

a. Los números primos sólo tienen 2 divisores: ........................... y ................................................ .

d) Ninguno e) Todos

A. ¿Cuántos divisores pares tiene 80? Da como respuesta la diferencia entre el mayor y el menor divisor par.

a) 79 b) 78 c) 80

d) 81 e) 82


3ro de Secundaria

Aritmética

13) Completa:

18) Descompón canónicamente los siguientes números, luego halla la cantidad de divisores de cada uno.

56

14) Carlos tiene una suma de dinero igual a la suma de todos los números primos menores que 25. ¿Cuánto tiene Carlos? a) S/.80 b) S/.85 c) S/.90

d) S/.95 e) S/.100

15) Rocío tiene una cantidad de dinero igual a todos los números compuestos menores que 30. ¿Cuánto tiene Rocío?

a) S/.270 b) S/.280 c) S/.290

d) S/.300 e) S/.305

20) Descompón canónicamente 1500 y da como respuesta su número de divisores.


a) 10 b) 30 c) 40

tiene 100 divisores, halla n2.

a) 5 b) 36 c) 25

a) 18 b) 19 c) 21

d) 17 e) 31

a) 10 b) 8 c) 6

d) 4 e) 2


3ro de Secundaria


d) 16 e) 9

25) Si:

B= 3n x (25)2 x 49 x (121) x 11

tiene 360 divisores, halla «n».

a) 6 b) 8 c) 9

d) 5 e) 4

26) ¿Qué valor debe tener n si nnn + 1234 es divisible por 7?

d) 15 e) 20

23) ¿Cuántos divisores más tiene el número 480 que el número 300?


17) La edad de la profesora de Biología es igual a la suma de todos los divisores de 24. ¿Cuál es la edad de la profesora?

d) 18 e) 48

22) ¿Cuántos divisores más tiene el número 720 que el número 100?

16) La edad del profesor de R.M. es igual a la suma de todos los divisores de 16. ¿Qué edad tiene el profesor? a) 21 años b) 23 años c) 47 años

a) 16 b) 24 c) 32

21) Descompón canónicamente 560 y da como respuesta su número de divisores.

Nivel II

100 = 480 = 1240 =

A = 2n x 81 x 49 x 7,

19) Descompón canónicamente los siguientes números, luego halla la cantidad de divisores de cada uno.

512 = 120 = 300 =

24) Si:

a) 5 b) 3 ó 5 c) 2 ó 9

d) 9 e) 2 ó 7

27) Si:

M = 2n x 32 x 73 x 112

tiene 175 divisores compuestos, halla «n».

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

28) Sabiendo que:

A = 6n x 3 2 x 5 2

tiene el doble de divisores de B= 22 . 52 . 7n, halla el valor de «n».

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

105

Aritmética

29) Sabiendo que:

A = 6n x 30

tiene el doble de divisores de B= 6 x 30n, halla el valor de «n».

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

35) De los divisores de 750: A. ¿Cuántos son pares? B. ¿Cuántos son múltiplos de 6? C. ¿Cuántos no son múltiplos de 15?

A. El número de divisores primos. B. El número de divisores. C. La suma de los divisores.

A+B+C

a) 17 b) 18 c) 19

d) 20 e) 21

31) Entre los números 250, 120 y 200, ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 378? a) 250 b) 120 c) 200

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

33) ¿Cuántos divisores de 500 son múltiplos de 25?

a) 16 b) 12 c) 8

d) 6 e) 9

34) ¿Cuántos divisores impares tiene el número 17 640?

a) 18 b) 19 c) 20

106

a) 26 b) 27 c) 28

d) 30 e) 32

d) 21 e) 22

a) 180 b) 183 c) 185

d) 186 e) 187

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

a) 10 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

a) 9 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 12

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

45) Si 15n x 45 tiene 39 divisores compuestos, halla «n».

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

46) ¿Cuántos ceros se debe colocar a la derecha del número 9 para que el resultado tenga 188 divisores compuestos?

a) 6 b) 7 c) 5

d) 8 e) 9

47) ¿Cuántos ceros se debe colocar a la derecha del número 15 para que el número formado tenga 84 divisores?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

48) Si N = 144 x 144 x 144... («n» factores) tiene 280 divisores compuestos, ¿cuántos divisores tiene n4?

41) Halla el valor de «n», para que el número de divisores de «N» sea el doble que el número de divisores de «M». M = 30n y N = 15 . 18n

d) 48 e) 64

44) Si 40 x 12n tiene 80 divisores, halla «n».

40) Si «W» tiene 1369 divisores, determina el valor de «n» en: W = 10 . 102 . 103 ... 10n

a) 49 b) 50 c) 51

43) Si 6n x 18p tiene 77 divisores, halla «n x p».

39) Halla «n» si 175 tiene 120 divisores.

d) Ninguno e) Todos

32) ¿Cuántos divisores múltiplos de 20 tiene el número 240?

d) 15 e) 16

38) ¿Cuántos divisores compuestos tiene 363 x 152?

Nivel III

a) 12 b) 5 c) 8

37) ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 1 200?

Da como respuesta la suma de las cifras del resultado de:

d) (5, 6, 10) e) (9, 8, 8)

36) ¿Cuántos divisores de 540 no son múltiplos de 6?

30) Dado el número 3560, halla:

a) (8, 4, 10) b) (6, 7, 8) c) (8, 4, 6)

42) Sabiendo que 12 n tiene 88 divisores compuestos, ¿cuántos divisores tiene 15n ?

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

3ro de Secundaria

Aritmética

49) Al dividir el número de la forma bbb, que tiene 16 divisores, entre 5, se obtiene como residuo:

a) 6 b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

50) Calcula la suma de todos los números de la forma abab, que sean múltiplos de 7 y que posean 12 divisores. a) 19089 d) 19209 b) 19129 e) 19509 c) 19319

1) ¿Cuántos divisores tiene 120?

a) 12 b) 14 c) 16

2) ¿Cuántos divisores impares tiene 150?

d) 18 e) 20

3) ¿Cuántos divisores de 1200 son múltiplos de 8?

a) 10 b) 12 c) 14

d) 10 e) 12

4) Si 20 x 18n tiene 50 divisores, halla n.

d) 16 e) 18

a) 4 b) 6 c) 8

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

5) ¿Cuántas divisores compuestos tiene 1600?

3ro de Secundaria

a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 22


107

Aritmética

Máximo Común Divisor (M.C.D.) Definición Se llama M.C.D. de varios números diferentes de cero, al mayor número que sea divisor de todos ellos. Ejemplo : Sean los números 12; 30 y 48. 1 2 3 6

• P O R D E S C O M P O S I C I Ó N

360 180 90 45 15 3

INDIVIDUAL EN FACTORES PRIMOS (descomposición canónica) El MCD será el producto de factores primos comunes con el menor exponente. Ejemplo :

Sean los números 1200; 1440 y 900. Donde: 1200 = 24 × 3 × 52 1440 = 25 × 32 × 5 900 = 22 × 32 × 52 MCD(1200,1440, 900)=22x3x5=60

2 2 2 3 5

1

3

150 50 Último residuo

0 MCD (350; 200)

Propiedades Básicas 1). Sean los números A y B , si A es múltiplo de B:

⇒ MCD (A; B) = B

Sean los números 30 y 6 , donde 30 es múltiplo de 6.

⇒ MCD (30; 6) = 6

3, 8 y 25 son P.E.S.I., entonces se detiene la operación. MCD(360,960,1200)=23x3x5=120

Algoritmo de Euclides Procedimiento: Se divide el mayor entre el menor, obteniéndose un cociente y un primer residuo. Sin considerar el cociente, se divide el menor entre el primer residuo obteniéndose otro cociente y un segundo residuo, enseguida; se divide el primer residuo entre el segundo, así sucesivamente, hasta que el residuo resulte cero. El MCD de los enteros es el divisor de la última división cuyo residuo ha resultado cero. Ejemplo : 1.

1

240

60

2) Sean los números A y B , si A y B son P.E.S.I.

⇒ MCD (A; B) = 1

Ejemplo :

Sean los números 36 y 25 , donde 36 y 25 son P.E.S.I.

⇒ MCD (36; 25) = 1

3) El MCD también es el mayor fac-

tor común de varios números.

1 4

540 300 240 60

Último residuo

108

960 3000 480 1500 240 750 120 375 40 125 8 25

1

350 200 150 50

Sean los números 360; 960 y 3000

⇒ MCD (12; 30; 48) = 6

• P O R D E S C O M P O S I C I Ó N

Ejemplo :

→ Divisor común → Divisor común → Divisor común → Máximo divisor común

Cálculo del M.C.D.

2.

SIMULTÁNEA EN FACTORES PRIMOS. Se busca solamente los factores comunes.

0

 MCD (4x; 6x) = 2x

 MCD (a2; a3) = a2

MCD (540; 300)


3ro de Secundaria

Aritmética

Euclides

4) Si M = 33 x 52 x 71 , N = 23 x 32 x 73 y P = 23 x 31 x 53 x 74

Nivel I

Nació: 365 a.C. en Alejandría, Egipto. Falleció: Alrededor del 300 a.C. Muy poco se sabe con certeza de su vida. Sin duda que la gran reputación de Euclides se debe a su famosa obra titulada Los Elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos. Las definiciones que emplea son nominales, es decir, definiciones en que se da a una palabra una denotación que se determina a priori. Entre estas definiciones están las de: 1. Punto, que lo define como “una cosa que no tiene parte”. 2. Línea, “es una cosa que sólo tiene largo; es una longitud sin ancho”. 3. Línea recta, "es la que está igualmente situada con respecto a sus puntos". 4. “Los extremos de las líneas son puntos”. 5. Superficie, "es lo que tiene sólo ancho y largo". 6. "Los límites de la superficie son líneas". 7. Ángulo, "es la inclinación de una línea con respecto a otra". 8. "Ángulos adyacentes, "son los que tienen un lado común y los otros en línea recta". 9. Ángulo recto, "es aquél que es igual a su adyacente". 10. Ángulo agudo, "es menor que el recto" y ángulo obtuso, es mayor que el recto”.

3ro de Secundaria

1) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

I. MCD (15; 7) = 7

( )

II. MCD (72; 24) = 12

( )

III.MCD (18; 6)= 6

( )

a) VVV b) VFF c) VFV

d) FFV e) FVV

2) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. MCD (n; n+1) = 1, n ∈ Z+.

Halla el MCD (M; N; P)

a) 15 b) 6 c) 3

5) Si MCD (ab0; abab) es ba, halla a + b.

III. MCD(36; 18)=36 ( )

a) FFF b) VVF c) VVV

d) FFV e) VFF

halla el MCD (A; B; C).

a) 360 b) 90 c) 270

a) 12 b) 15 c) 18

d) 20 e) 24

a) 9 b) 18 c) 16

d) 27 e) 24

8) Al calcular el MCD de 2 números por el algoritmo de Euclides, los cocientes fueron 1; 1; 2; 2; 3 y 3. Si el MCD fue 15, calcula la suma de ambos números.

d) 180 e) 300


d) 21 e) 200

7) Al calcular el MCD de 2 números por divisiones sucesivas, los cocientes fueron 2; 5; 7 y 4. Si el MCD fue 12, calcula la suma de cifras del mayor.

3) Si A = 23 x 35 x 52 x 74 , B = 24 x 32 x 5 x 11 y C = 22 x 32 x 54 x 132 ;

a) 15 b) 6 c) 3

6) Si MCD(ab0ab; a(a+b)b) es 55(a+b). calcula a . b.

( )

II. Si A = 2n × 3n y B = 2n+1 × 3n+2 ⇒ MCD (A,B) = 2n+1 × 3n+2 ( )

d) 21 e) 200

a) 3210 b) 3220 c) 3230

d) 3240 e) 3250

109

Aritmética

9) Si MCD (144k; 100k; 120k) es 124, calcula k.

a) 13 b) 17 c) 19

d) 23 e) 31

10) Si MCD (180x; 240x; 360x) es 420, calcula x.

a) 18 b) 7 c) 24

d) 14 e) 6

A D G 4

– B – – F – – 117 – – M –

C 1638 234 18

5 K H

Calcula el valor de: A + B + F – (K – G – M)

a) 6908 b) 6712 c) 6402

d) 6942 e) 6802

d) 16 e) 28

a) 32 b) 18 c) 12

MCD (A, B, C) = 2 x 32, halla 3n + 2.

a) 11 b) 8 c) 14

MCD (M, N, P) = 23 x 32, halla 2a + b.

a) 16 b) 14 c) 11

Halla :A+B+F–(K + G + M)

a) 439 b) 429 c) 366

d) 465 e) 539

a) 57 b) 60 c) 64

d) 58 e) 56


a) 89 b) 53 c) 69

d) 63 e) 78

21) Se ha dividido tres barras de acero

de longitudes 540, 480 y 360m en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido?

a) 25 b) 23 c) 33

d) 24 e) 32

22) Se ha dividido tres barras de cobre

17) Halla el MCD de 2 enteros, cuya suma es 7366, sabiendo que los cocientes sucesivos en su cálculo, mediante el algoritmo de Euclides son 1, 1, 3, 5 y 2.

110

d) 13 e) 8

d) 92 e) 386

enteros primos entre sí, mediante el algoritmo de Euclides, se ha obtenido los cocientes sucesivos, 1, 2, 3, 3 y 2. Halla el número mayor.

a) 192 b) 197 c) 249

20) Al calcular el MCD de dos

A – D – G – 13 –

C 2 45 K 15 H 3

d) 20 e) 17

16) Si : M = 2a+3 x 3b-4 x 53 , N = 2a-1 x 32b x 52 y P = 22a x 32b-1; y además

d) 18 e) 32

enteros primos entre sí, mediante el algoritmo de Euclides, se ha obtenido los cocientes sucesivos, 1, 2, 2, 3, 5 y 2. Halla el número mayor.

15) Si : A=2n–1x 32n+1 x 5n+2 , B = 2n+2 x 3n+1 x 7n y C = 2n+1 x 3n x 7n+1; y además:

a) 14 b) 28 c) 42

19) Al calcular el MCD de dos

d) 16 e) 24

que al aplicarles descomposición simultánea obtenemos el proceso: B – F – 5 – M –

14) En cuántos ceros termina el MCD de : A = 250 . 324 . 560 . 720 y B = 232 . 5100 . 732

Nivel II

12) Dados 3 números A, B y C, tales

a) 48 b) 64 c) 32

cuya suma es 1022, sabiendo que los cocientes sucesivos en su cálculo, mediante el algoritmo de Euclides, son 1, 2, 3 y 4.

11) Dados 3 números A, B y C, tales que al aplicarles descomposición simultánea obtenemos el proceso:

18) Halla el MCD de 2 enteros,

13) En cuántos ceros termina el MCD de : A = 230 . 347 . 524 y B = 288 . 360 . 528

de longitudes 240, 480 y 560m en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido?

a) 33 b) 16 c) 21

d) 60 e) 17

3ro de Secundaria

Aritmética

23) Tres barriles contienen 210,

300 y 420 litros de cerveza, sus contenidos se van a distribuir en envases que sean iguales entre sí y de la mayor capacidad posible. ¿Cuántos de estos envases son necesarios si de cada barril no debe sobrar nada de cerveza?

a) 33 b) 16 c) 21

28) ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez a 24, 60 y 144?

a) 43 b) 20 c) 63

d) 42 e) 73

d) S/.30 e) S/.70

a) 1 L b) 2 L c) 3 L

d) 4 L e) 6 L

35) Aplicando el algoritmos de Euclides. Halla el MCD de 90 y 180.

a) 1 L b) 2 L c) 3 L

36) Aplicando el algoritmo de Euclides, halla el MCD de 40 y 60.

d) 4 L e) 6 L


26) Halla el MCD de 40 y 60.

a) 120 b) 140 c) 70

32) Se trata de depositar el aceite de 3 barriles que tienen 210, 300 y 420 litros de capacidad en envases que sean iguales entre sí. ¿Cuál es la menor cantidad de envases que se emplearía para que todos estén llenos y no desperdiciar aceite?

d) 90 e) 20

27) Halla el MCD de 540 y 300.

a) 60 b) 90 c) 80

d) 75 e) 65

3ro de Secundaria

d) 21 L e) 42 L


d) 38 e) 72

31) Tres cilindricos contienen 120 litros; 144 litros y 250 litros. Si se desea vaciar cada contenido en pequeños recipientes iguales sin sobrar nada, ¿cuál es el máximo volumen del recipiente?

Nivel III

estampillas, uno tiene un valor monetario de S/. 1 900 y el otro de S/ 3 550. Si todas las estampillas tienen el mismo valor y éste es el máximo valor posible. ¿Cuál es el costo de cada estampilla?

30) Se tienen 2 cilindros que contienen 80 litros y 68 litros de agua. Si se desea vaciar en pequeños baldes sin sobrar nada, ¿cuál es el mayor valor que puede contener el balde?

25) Johana tiene 2 paquetes de

a) S/.60 b) S/.50 c) S/.10

a) 14 b) 24 c) 36

a) 14 L b) 7 L c) 6 L

d) 14 e) 15

29) ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez a 72, 120 y 1 080?

480 y 680 litros de aceite. Sus contenidos se van a distribuir en envases que sean iguales entre sí y de la mayor capacidad posible. ¿Cuántos de estos envases son necesarios si de cada barril no debe sobrar nada de aceite?

d) 60 e) 17

24) Tres barriles contienen 200,

a) 60 b) 24 c) 12

33) Te n e m o s q u e l l e n a r t r e s cilindros de capacidades 294, 378 y 462 litros. ¿Cuál es la máxima capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente?

a) 30 L b) 51 L c) 31 L

d) 41 L e) 27 L



111

Aritmética

el proceso de c a l c u l a r e l M C D, c a l c u l a A+B+C+D+E+F+G +H.

44) Calcula el MCD de:

39) E n

24 – 36 – 40 A B C D E F G H a) 77 b) 78 c) 79

d) 80 e) 81

Las Matemáticas no son nada sin los números

A = 3n x 52n+1 x 7 y B = 32n x 2 x 5n+1 a) 32n x 21 b) 3n x 5n c) 3n x 52n+1

d) 3n e) 2n x 5n+1

45) Calcula el MCD de: 40) En el proceso de calcular el MCD, determina A + E +I.

A – B – C 2 D E F 2 G H I 5 4 3 4

a) 120 b) 130 c) 140

d) 150 e) 160

41) Halla el MCD de A y B.

A = 6x+1 + 6x y B = 9x+1 + 9x; x >1 a) 21 . 3x b) 3 . 2x c) 3x . 5x

d) 51 . 3x e) 2x . 3x

46) Si MCD (200k; 180k; 240k;)es igual a 600, calcula k.

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

A. 22x33x55 B. 22x3x52 47) Halla "k", sabiendo que:

a) 100 b) 200 c) 300

d) 400 e) 500

42) Halla el MCD de "A", "B" y "C" siendo:

A = 202 x 153, B = 123 x 102 y C = 182 x 213 x 114

a) 108 b) 216 c) 432

A = 4010 x 2114 B = 605 x 353 y C = 804 x 142

a) 218 x 58 d) 210 x 54 b) 218 x 54 e) 210 x 54 x 72 c) 210 x 58 x 72

112

MCD(210k; 300k; 420k)=1200

a) 6 b) 15 c) 40

d) 90 e) 30

48) Calcula A + B en el esquema del algoritmo de Euclides: x

d) 27 e) 320


1

A B x

a) 6 b) 15 c) 40

1

1

2 8

d) 90 e) 30


¿Sabes que si estuvieras estudiando en la época romana sería imposible que sacaras un cero en clase? ¿Y que los primeros números eran simplemente signos? El concepto de los números y las cuentas se remonta a la prehistoria, cuando los primeros números eran signos u objetos iguales que se repetían hasta llegar a la cifra deseada. Pero la complejidad de algunos hizo necesaria la creación de grupos. Fue así como se crearon símbolos para los grupos de diez, para los de cien,etc. Los babilonios fueron los que más desarrollaron este sistema a través de muescas en la arcilla, pero no fueron los únicos. Por ejemplo, los griegos empleaban letras de su alfabeto para referirse a esos números. Los primeros que comenzaron a usar estos signos en escritura fueron los romanos. De hecho, si te fijas, sus números reflejan una forma de contar con los dedos: el uno, el dos y el tres se consiguen con los dedos levantados, el cinco es una V, el diez se expresa con las manos cruzadas a la altura de las muñecas, etc. Pero los números tal y como los conocemos hoy día se deben a la antigua escritura india, país donde se desarrollaron de gran manera la medicina y las matemáticas en el siglo IV de nuestra era. Eso sí; los que los trajeron a Europa fueron los árabes. De ahí el nombre de arábigos con que se conoce a nuestros números. Estos habían comenzado su expansión por la India alrededor del año 711, y así tomaron contacto con sus ciencias y conocimientos. Posteriormente, y con su introducción en Europa, fue como se logró implantar este sistema numérico.

3ro de Secundaria

Aritmética

49) Calcula M + N en el esquema del algoritmo de Euclides: x

1

2

3

M N x

a) 710 b) 720 c) 730

50) Al calcular por divisiones sucesivas el MCD de dos números se obtuvo por cocientes: 1,2,1,3,1,1, y 2. Si los números son PESI, ¿cuál es el número mayor?

4 10

d) 740 e) 750

a) 87 b) 86 c) 85

1) Si el MCD (72k, 50k, 60k) es 62, calcula k.

a) 13 b) 17 c) 19

d) 23 e) 31

a) 25 b) 23 c) 33

2) Al calcular el MCD de dos números por divisiones sucesivas, los cocientes fueron 2;5;7 y 4. Si el MCD fue 12, calcula la suma de cifras del mayor.

3) Se ha dividido tres barras de acero de longitudes 540, 480 y 360m en trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible. ¿Cuántos trozos se han obtenido?

d) 84 e) 88

d) 24 e) 32

a) 9 b) 18 c) 16

4) ¿¿Cúal es el mayor número que puede dividir a la vez a 24, 60 y 144?

a) 60 b) 24 c) 12

5) Calcula el MCD de A= 4010 x 2114 ; B = 605 x 353 y C = 804 x 142.

3ro de Secundaria

a) 218 x 58 b) 218 x 54 c) 210 x 58 x 72

d) 27 e) 24

d) 14 e) 15

d) 210 x 54 e) 210 x 54 x 72


113

Aritmética

Repaso 5) Calcula A – B en el siguiente algoritmo de Euclides:

Nivel I 1) Calcula el MCD de:

M = 27 x 3 x 5 6 , N = 28 x 33 x 54 y

P = 23 x 3 2 x 5 2

a) 1000 b) 200 c) 72

d) 27x33x56 e) 23x3x52

x

1 1

1

2

A

B

3

d) 53 e) 54


A = 125 x 162 , B = 66 x 254 y

C = 183 x 202

a) 218x36 b) 218x35 c) 26x35

d) 26x36 e) 26x35x52


A = 243 x 12 , B = 602 x 30 y

C = 283 x 18

a) 26x35 b) 25x32 c) 26x3

d) 25x33 e) 25x32x5

4) Calcula A + B en el siguiente algoritmo de Euclides: 1

1

6) Los cocientes sucesivos obtenidos al calcular el MCD de 2 números por el método de divisiones sucesivas fueron: 2; 5; 1; 5 y 4. Si el MCD fue 12, calcula la suma de las cifras del número mayor.

x

1

3

A

B

6

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

a) 5 b) 6 c) 9

d) 12 e) 15

a) 108 b) 109 c) 110

114


a) VVV b) VFV c) FVV

d) FVF e) FFF

10) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda. I. El símbolo se 8° lee: múltiplo de 8. Por ejemplo 16 es . ° 8 II. El símbolo 4/8 significa 4 es divisor de 8. III. El símbolo 4/8 significa 8 es múltiplo de 4.

d) 111 e) 112

d) FVV e) FFF

I. El cero es múltiplo de cualquier número. ( ) II. Los múltiplos pueden ser números negativos. ( ) III. El cero es divisor de todo número excepto de él mismo. ( )

x

a) VVV b) VVF c) VFV


7) Al calcular el MCD de 2 enteros positivos por el algoritmo de Euclides, los cocientes sucesivos fueron: 1, 2, 3 y 4; mientras los 3 primeros restos sucesivos fueron k; 2k y 3k. Calcula el MCD si el número mayor fue ab5.

I. El divisor de un número es denominado también factor o submúltiplo. ( ) II. Múltiplo de un número es aquel que contiene exactamente a otro. ( ) III. Todo número es divisor y múltiplo de sí mismo. ( )

5

x

a) 50 b) 51 c) 52

8) Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a) VVV b) VFV c) FVV

d) FVF e) FFF

3ro de Secundaria

Aritmética


I. 20 es divisor de 5. II. –8 es múltiplo de 4. III. 1 es divisor de todo número.

a) VVV b) FVV c) VFF

d) VFV e) FFF

12) Indica cuál de los siguientes números son divisibles por 13: 91 ; 143; 113

a) 91 y 113 b) 143 y 113 c) 91 y 143

d) 143 e) 91

13) Indica cuál de los siguientes números son múltiplo de 17: 340 ; 510 ; 78

a) 340 b) 510 c) 78

d) 340 y 78 e) 340 y 510

14) ¿Cuántos múltiplos de 5 hay en los enteros del 1 al 237?

a) 45 b) 46 c) 47

d) 48 e) 49

15) ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en los enteros del 1 al 720?

a) 80 b) 81 c) 82

d) 83 e) 84

16) Del 1 al 500, ¿cuántos enteros no son divisbles por 11? a) 45 b) 455 c) 445

d) 435 e) 450

3ro de Secundaria

a) 1114 b) 1118 c) 1120

d) 1124 e) 1140

18) ¿Cuántos enteros divisiles por 2; 3 y 8, hay del 1 al 800?

a) 27 b) 28 c) 29

d) 30 e) 31

19) ¿Cuántos enteros divisibles por 4; 6 y 15 hay del 1 al 800?

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

20) ¿Cuántos enteros no son divisibles por 8 del 100 al 1 200?

a) 960 b) 961 c) 962

d) 963 e) 964

21) ¿Cuántos enteros no son divisibles por 7, del 229 al 1 1117?

a) 325 b) 326 c) 327

d) 328 e) 329

22) ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 27?

Nivel II

17) Del 1 al 1200, ¿cuántos enteros no son múltiplos de 15?

a) 32 b) 33 c) 34

d) 35 e) 36


a) 123 b) 124 c) 125

d) 126 e) 127


24) ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 4 son divisibles por 13?

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

25) ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 2 son divisbles por 9?

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

26) ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 4 son múltiplos de 8?

a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 24

27) ¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 6 son divisibles por 4?

a) 44 b) 45 c) 46

d) 47 e) 48

28) E l numeral a(2a) es siempre múltiplo de:

a) 5 b) 5 y 3 c) 3 y 4

d) 4 y 5 e) 6 y 4

29) E l numeral (5b)b es siempre divisible por:

a) 3 y 7 b) 2 c) 8

d) 5 y 13 e) 3 y 17

30) La expresión n3 – n (n ∈ Z+) siempre es múltiplo de:

a) 5 b) 7 c) 9

d) 8 e) 6

115

Aritmética

36) Indica verdadero (V) o falso (F):

Nivel III 31) La expresión n5 – n (n ∈ Z+) siempre es múltiplo de:

a) 7 b) 9 c) 11

d) 3 y 11 e) 30

* MCD (15; 16; 18) = 2 * MCD (20k; 16k; 40k) = 8k * MCD (60; 70; 80; 90) = 10

a) VVV b) VFV c) VFF


aa7 + bb7 + cc7

es siempre múltiplo de:

a) 7 b) 8 c) 9

* MCD (6; 3) = 3 * MCD (18;36) = 18

* MCD (1; 2; 4; 8) =1

a) VVV b) FFF c) FVV

d) FVF e) VFF

34) Indica verdadero (V) o falso (F): * MCD (7; 72; 73; 74) = 7 * MCD (5k; 8k; 10k) = k * MCD (12n2;15n2; 20n2)=3n2

a) VVV b) VVF c) VFF

d) FVV e) FFV


* MCD (7; 8; 9) = 1 * MCD (12; 13; 15) = 1

* MCD (n; n+1; n+2) = n

a) VVV b) VVF c) VFF

d) FVV e) FFV

a) VVF b) VVV c) FFF

a) 5 b) 8 c) 7

d) FVF e) VFF

d) FVF e) VVF

a) 40 b) 20 c) 50

d) 10 e) 60

a) 10 b) 20 c) 30

A – I F 10 2

a) 201 b) 202 c) 203

40) Calcula el MCD de 180, 300 y 150.

240 – H K 20 G

B J 45 E 3

C 2 D 5

d) 204 e) 205

46) Calcula A + B + C + D + E en el proceso de hallar el MCD:

39) Calcula el MCD de 200, 120 y 100.

d) 11 e) 13

45) Calcula A + C + K + E + G en el proceso de hallar el MCD:

* MCD (2; 6) = 6 a) FFF b) FVV c) FFV

d) 10 e) 20

a) 3 b) 6 c) 8

* MCD (20; 10) =20 * El MCD de 12 y 4 es 1

d) 7 e) 8

44) Si MCD (60k; 54k; 84k) es 78, calcula k.


d) 40 e) 50

B – ... ... 45 ... ... E

... – ... C ... ... ... 7

a) 1008 b) 998 c) 978

120 ... ... ... ... ... ...

d) 968 e) 958

47) Calcula el MCD de: 41) El mayor número que divide a 240, 200 y 320 es:

116

* El MCD de 20 y 30 es 10. * MCD (2; 3) = 6

a) 2 b) 4 c) 6

43) Si MCD (56k; 112k y 119k) es 140, calcula k.

* MCD (4; 6) = 6

d) 10 e) 11


d) FVF e) FFV

32) La expresión:

42) El mayor número que divide a 360, 376 y 420 es:

a) 20 b) 30 c) 40

d) 60 e) 80


A = 26 x 3 4 x 5 3 , B = 23 x 36 x 55 y

C = 2 x 37

a) 23x34 b) 22x35 c) 26x37

d) 250 e) 162

3ro de Secundaria

A ... 2 ... ... D

Aritmética

Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) Definición Se llama M.C.M. de varios números positivos, al menor número distinto de cero que contiene a cada uno de ellos un número entero y exacto de veces.

Así:

Números 6 8

Los números de Mersenne son de la forma Mp=2p –1, cuando p es primo y Mp también lo es, Mp se denomina primo de Mersenne. Existen pruebas especiales de primalidad y búsqueda de factores que los hacen matemáticamente atractivos.

Múltiplos 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,... 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...

Múltiplos comunes : 24, 48, 72 ... MCM (6; 8) = 24

Cálculos del M.C.M. • Por Descomposición Individual en Factores Primos (descomposición canónica)

* El MCM es el producto de factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente. Ejemplo :

Sean los números 80; 120 y 150.

Donde:

80

= 24 × 5

120

= 23 × 3 × 5

150

= 2 × 3 × 52

MCM (80, 120, 150) = 24 × 52 × 3 = 1200 • Por Descomposición Simultánea de Factores Primos

* Se busca todos los factores sin excepción. Ejemplo :

Sean los números 60; 140 y 200

MCM (60, 140, 200) = 23×3×52×7 = 4200

3ro de Secundaria

60 140 30 70 15 35 15 35 5 7 1 7 1 7 1 1

200 100 50 25 25 5 1 1

Marin Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648), fue un fraile franciscano que pasó la mayor parte de su vida en los monasterios parisinos. Fue el autor de Cognitata PhysicoMathematica, en donde afirma sin probarlo que Mp es primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 y para ningún otro primo hasta 257. Llevó 300 años establecer la veracidad de esto. En 1947 se comprobó que Mersenne había cometido cinco errores (M61 es primo, M67 es compuesto, M89 es primo, M107 es primo y M257 es compuesto). Su correspondencia con Fermat, entre otros matemáticos, contribuyó al desarrollo de la Teoría de Números.

2 2 2 3 5 5 7


117

Aritmética

Propiedades Básicas

1 Sean los números A y B , si A es divisible por B.

⇒ MCM (A; B) = A


I. MCM (32;16) = 32

( )

II. MCM (1;a;a2) es a2.

( )

III. MCM (A;B) es A x B.

( )

Ejemplo : Sean los números 36 y 9 , donde 36 es divisible por 9.

⇒

a) FFV b) FVV c) VVV

3) Si: A = 23 x 52 x 73 , B = 22 x 53 x 112 y C = 33 x 54

⇒ MCM (A; B) = A x B Ejemplo : Sean los números 12 y 25 , donde 12 y 25 son P.E.S.I. MCM (12;25) = 300

halla la cantidad de divisores del MCM (A; B; C). a) 480 b) 240 c) 960

d) 1260 e) 1400

4) Si A = 24 x 53 x 72 , B = 23 x 52 x 73 y C = 34 x 53x 71

halla la cantidad de divisores del MCM (A; B; C). a) 480 b) 400 c) 200

d) VVF e) FFF

MCM (36;9) = 36

2 Sean los números A y B , si A y B son P.E.S.I.

⇒

7) El mínimo común múltiplo de 24k; 20k y 12k es 840. Calcula k.

d) 300 e) 600

I. MCM (18; 6) = 18

( )

II. MCM (13; 7) = 91

( )

III. MCM [n; n+1] = 1, n ∈ Z+.

a) FVV b) VFF c) VVV

118

d) VVF e) FFF

( )

y además la cantidad de divisores del MCM (A, B) es 420, halla «n».

a) 7 b) 8 c) 15

d) 14 e) 16

6) Si A = 2n-3 x 3n y B = 2n x 3n+2x 5n+4

Si la cantidad de divisores del MCM de A y B es 480, halla «n».

a) 6 b) 8 c) 5

a) 10 b) 17 c) 26

d) 37 e) 50

9) Halla «x» si el MCM de: A = 81 x 18x y B = 18 x 81x es 16 x 318. a) 8 b) 10 c) 2

d) 6 e) 4

10) Halla «x» si el MCM de: A = 64x x 18x y B = 36x x 9 es 221 x 38. a) 6 b) 3 c) 4

d) 5 e) 2

11) ¿Cuántos son los números positivos menores que 3200 que son divisibles a la vez por 4, 5, 6 y 8?

5) Si A = 2n+2 x 3n-3 y B = 22n-1 x 3n ;

d) 8 e) 9

8) El mínimo común múltiplo de 18p; 30p y 50p es 1800. Calcula p2+1.

Nivel I 1) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

a) 5 b) 6 c) 7

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

12) ¿Cuántos son los números positivos menores que 500 que son divisibles a la vez por 3, 4, 8 y 12?

a) 18 b) 20 c) 24

d) 16 e) 25

d) 7 e) 9


3ro de Secundaria

Aritmética

13) S e t i e n e l a d r i l l o s c u y a s dimensiones son 12; 15 y 24 cm. ¿Cuántos ladrillos serán necesarios para asentar y formar un cubo compacto?

a) 400 b) 600 c) 800

d) 1000 e) 1200

14) ¿Cuántos ladrillos de dimensiones 6x15x20 cm se necesita para formar el segundo cubo compacto?

a) 450 b) 540 c) 680

d) 600 e) 960

15) Halla la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla que se puede dividir en pedazos de 2, 5 y 8 pies de longitud.

a) 80 pies b) 40 pies c) 120 pies

d) 60 pies e) 240 pies

Nivel II

16) Halla la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla que se puede dividir en pedazos de 16, 8 y 18 cm de longitud.

a) 72 cm b) 52 m c) 144 cm

d) 14 m e) 288 cm

17) Calcula el MCM de 12 y 5.

a) 70 b) 50 c) 60

d) 40 e) 30

18) Calcula el MCM de 2 y 16.

a) 16 b) 18 c) 12

d) 15 e) 17

3ro de Secundaria

19) Halla el MCM de:

a) 360 y 150 Rpta.: _____________

b) 45 y 39

25) ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con reglas de 30, 50 y 60 cm? a) 400 cm d) 500 cm b) 300 cm e) 600 cm c) 200 cm

Rpta.: _____________

c) 12 y 84 Rpta.: _____________

20) Halla el MCM de: A = 23 x 5 2 y B = 22 x 53 a) 100 b) 400 c) 1000

d) 200 e) 800

21) Calcula el MCM de: M = 210 x 34 x 52 y N = 28 x 3 6 x 5 1 x 7 a) 2 x 3 x 5 x 7 b) 28 x 34 x 51 x 71 c) 210 x 34 x 52 d) 28 x 34 x 51 e) 210 x 36 x 52 x 71 22) Halla el MCM de 39, 91 y 143. a) 3 003 d) 273 b) 3 542 e) 3 000 c) 715 23) ¿Cuál es el menor número, diferente de cero, divisible por 4, 12 y 18? a) 12 d) 50 b) 24 e) 40 c) 36 24) ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir con reglas de 25 cm, 20 cm y 30 cm no graduadas? a) 300 cm d) 400 cm b) 200 cm e) 500 cm c) 100 cm


26) Si MCM (9a, 2a) = 196, calcula «a». a) 8 d) 50 b) 7 e) 4 c) 6 27) Si MCM (9a, 4b) = 90, calcula a.b a) 12 d) 20 b) 15 e) 14 c) 18

28) Halla el MCM de A y B si: A = 220 x 310 x 59 B = 210 x 36 x 512 a) 220 x 310 x 59 b) 210 x 36 x 59 c) 220 x 310 x 512 d) 220 x 36 x 512 e) 210 x 310 x 512 29) Halla el MCM de N y M si: N = 202 x 103 y M =304 x 105 a) 26 x 35 x 56 b) 210 x 310 x 54 c) 29 x 34 x 55 d) 29 x 34 x 59 e) 27 x 34 x 59

30) Si: A = 2n x 3n+2 y B = 2n+1 x 5n+1 halla el MCM de A y B si n ∈Z+.

a) 2n x 3n+1 b) 2n x 3n+2 c) 2n+1 x 3n+1 d) 2n x 3n+3 e) 2n+1 x 3n+2

119

Aritmética

31) Calcula el MCM de A y B, si n >1 y n ∈Z+; y además: A = 2n+1 x 34 x7 y B = 2n x 35

a) 2n x 35 b) 2n+1 x 35 x71 c) 2n+1 x 34 d) 2n+1 x 34 x 71 e) 22n x 35 x 71

32) Calcula el MCM de A y B, si n ∈Z+; y además: A = 5n+2 x 75 x 3 y B = 35 x 5n

a) 25 b) 212 c) 221

a) 315 b) 317 c) 325

d) 29 e) 216

d) 520 e) 560

a) 5 b) 6 c) 7

d) 318 e) 310

a) 5 b) 6 c) 7

a) 12 b) 18 c) 24

d) 8 e) 9

d) 2 e) 36

a) 6h 21 min 18s b) 6h 22 min 18s c) 6h 21 min 15s d) 6h 20 min 15s e) 6h 22 min 18s


d) 7:30 a.m. e) 8:30 a.m.

a) 5401 b) 5621 c) 5841

d) 5201 e) 5000

43) Las planas de aritmética, álgebra y geometría se reúnen cada 10; 12 y 14 días, respectivamente. Si hoy 1 de enero del 2007 se reúnen las tres planas, ¿en qué fecha se volverán a reunir todos?

40) Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 segundos y 54 segundos, respectivamente. Si a las 6 horas 15 minutos se encienden simultáneamente, ¿a qué hora vuelven a encenderse juntas?

a) 4 a.m. b) 8 a.m. c) 9 a.m.

42) En una reunión asisten entre 5000 y 6000 personas. Si se agrupan de a 8; de a 15 o de a 18 siempre sobra José; pero en grupos de a 11 es exacto. ¿Cuántos asistieron?

d) 8 e) 9

39) Las fiestas patronales de tres pueblos se celebran en forma especial cada 4, 6 y 8 años. ¿Cada cuántos años se celebra simultáneamente la fiesta patronal de estos pueblos?

35) Halla el MCM de: 1; 2; 4; 8;... ; 128 a) 1 x 2 x 4 x 8 x ... x 128 b) 128 c) 256 d) 1024 e) 4096

120

a) 5 b) 540 c) 5210

38) La edad de una persona tiene ex a c t a m e n t e v e i n t e a v o y treintavo. La suma de las cifras de su edad será:

34) Halla el MCM de 38, 37 y 310.

5; 52; 53; 54;...; 520 es:

37) La edad de una persona tiene exactamente mitad, quinta y séptima. Calcula la suma de las cifras.

a) 5n x 35 b) 35 x 5n x 75 c) 35 x 5n+2 x 75 d) 31 x 5n+2 x 75 e) 5 33) Halla el menor número entero positivo que contiene a 25; 27 y 29 a la vez.

41) De un terminal terrestre salen 4 lineas de ómnibus; la primera cada 6 minutos. la segunda cada 8 minutos, la tercera cada 10 minutos y la cuarta cada 12 minutos. Si a las 2.00 a.m. salieron las 4 juntas, ¿a qué hora volverán a salir las cuatro al mismo tiempo?

36) El menor número entero positivo divisible por:

Nivel III

a) 23 de febrero de 2007 b) 24 de febrero de 2007 c) 22 de febrero de 2007 d) 25 de febrero de 2007 d) 26 de febrero de 2007

44) En un patio de forma cuadrada se desea acumular losetas 15 x 24 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 60 b) 160 c) 240

d) 40 e) 80

3ro de Secundaria

Aritmética

45) En un patio de forma cuadrada se desea acumular losetas 24 x 30 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 20 b) 60 c) 12

d) 120 e) 10

49) ¿Cuál es el número comprendido entre 600 y 800, que al ser dividido entre 14, 18 y 35 da siempre como residuo 8?

a) 738 b) 638 c) 648

50) Un suceso ocurre cada 5 minutos, otro cada 10 minutos y otro ocurre cada 8 minutos. Si a las 5 p.m. ocurren los 3 sucesos a la vez, ¿a qué hora se encontrarán los 3 sucesos por última vez en el mismo día?

d) 630 e) 688

a) 11:20 p.m. d) 11:10 p.m. b) 11:40 p.m. e) 11:00 p.m. c) 11:30 p.m.

46) Halla el mayor número de 3 cifras que dividido entre 6, 8 y 14 da siempre residuo cero.

a) 740 b) 999 c) 960

d) 840 e) 980

Los tres amigos

47) Hallar el mayor número de 3 cifras que dividido entre 9, 12 y 14 da siempre residuo cero.

a) 962 b) 892 c) 896

d) 756 e) 968

48) ¿Cuál es el número comprendido entre 500 y 1000, que al ser dividido entre 12, 21 y 35 da siempre como residuo 6?

a) 642 b) 946 c) 866

Reto

Tres amigos van a tomar unos tragos en un bar. Cada trago vale 10 soles por lo que cada amigo pone 10 soles, en total 30 para pagar los tragos. Después de pagar, el camarero recuerda que hay una oferta por cada tres tragos y les devuelve 5 soles. Como no pueden dividir 5 soles entre los tres, deciden quedarse con 1 sol cada uno y darle los 2 sobrantes al camarero como propina. Al final cada uno puso 9 soles (10 al principio menos 1 que le han devuelto), que multiplicado por los 3 amigos dan 27 más los 2 que le dieron al camarero suman 29. ¿ Qué pasó con el otro sol?

d) 846 e) 876

3ro de Secundaria


121

Aritmética

1) ¿Cuál es el menor número, diferente de cero, divisible por 4, 12 y 18?

a) 12 b) 24 c) 36

d) 50 e) 40

3) De un terminar terrestre salen 4 líneas de ómnibus; la primera cada 6 minutos, la segunda cada 8 minutos, la tercera cada 10 minutos y la cuarta cada 12 minutos. Si a las 2.00 a.m. salieron las 4 juntas, ¿a qué hora volverán a salir las cuatro al mismo tiempo?

a) 4 a.m. b) 8 a.m. c) 9 a.m.

d) 7:30 a.m. e) 8:30 a.m.

2) Si MCM (9a ; 2a) = 196, calcula a.

a) 8 b) 5 c) 7

d) 4 e) 6

4) En un patio de forma cuadrada se desea acomodar losetas de 15 x 24 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. ¿Cuál es el menor número de losetas que se requiere?

a) 60 b) 40 c) 160

d) 80 e) 240

5) Halla el mayor número de 3 cifras que dividido entre 6; 8 y 14 da siempre residuo cero.

122

a) 740 b) 840 c) 999

d) 980 e) 960


3ro de Secundaria

Aritmética

Racionales I Transformación de números decimales a fracciones 1. DECIMAL EXACTO: La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la parte entera seguida de la parte decimal y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales haya. Ejemplo : 2 * 0,2 = 10 242 * 24,2 = 10

13 * 0,13 = 100 425 * 4,25 = 100

* 0,224 =

224 1000

Factorización de números formados por «nueves»

9 = 32 99 = 32 x 11 999 = 33 x 37 9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 32 x 41 x 271 999999 = 33x7x11x13 x 37 9999999 = 32 x 239 x 4649 99999999= 32x11x101x73x 137

2. DECIMAL PERIÓDICO PURO: La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la diferencia entre la parte entera seguida del período menos el período y en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el período.

)

13 * 0,13 = 99 3145-31 * 31,45 = 99

* 0,254 =

254 999

)

)

)

2 * 0,2 = 9 24-2 * 24,2 = 9

)

Ejemplo :

3. DECIMAL PERIÓDICO MIXTO: La fracción generatriz se obtiene colocando en el numerador la diferencia de la parte no periódica seguida del periodo menos la parte no periódica y en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga la parte no periódica.

Ejemplo :

3ro de Secundaria

)

)

124-1 123 * 0,124 = = 990 990 2752-27 2725 * 0,2752 = = 9900 9900 8324-83 * 8,324 = 990 )

)

)

)

23-2 21 * 0,23 = = 90 90 214-21 193 * 0,214 = = 900 900 245-24 * 2,45 = 90


¿Cómo lo hizo? Un jefe árabe dejó en herencia 17 camellos para sus tres hijos, de manera que tenían que repartírselos del siguiente modo: La mitad para el mayor de los tres hijos. La tercera parte para el mediano. La novena parte para el más pequeño de los tres. Ante la imposibilidad de hacer el reparto de los camellos, acudieron al Cadí. Se trataba de un hombre justo, generoso y un buen matemático. ¿Cómo afrontó el Cadí la situación? Regaló a los tres hermanos un camello de su propiedad, de modo que eran 18 el total de camellos a repartir. Así, al mayor de los tres hermanos le correspondió 9 camellos, al mediano 6 y al pequeño 2. Pero con esto sobró 1 camello, que naturalmente devolvieron al Cadí llenos de agradecimiento y admiración por su sabiduría.

123

Aritmética

5) Simplifica:

9) Reduce:

)

0,18 0,15 1 A + 0,6 0,10 15 = B

2) Simplifica: )

[–0,6

]+

÷ 8 ÷ (0,5)–1

(0,75 ÷ (–2)) – [(0,5 – 1)

a) -3/4 b) -5/8 c) -1/4

-1

]

-3

d) -2/3 e) -5/12

a) 49 b) 50 c) 51

d) 58 e) 41

6) Al simplificar y obtener la fracción irreducible, halla el numerador de: –1 0,5 1,5 – 0,6 4 0,1296 + –2 + 0,3 0,2 – 1 a) 1 d) 7 b) 3 e) 9 c) 5

(

)

a) 12 b) 13 c) 21

1,2 – 0,12 0,2 + 2,2

se obtiene 0,ab. Halla a + b.

a) 7 b) 8 c) 9

)

0,1 6/5 + 1,1 3/25

) )

)

a) 2 b) 3 c) 1

d) 4 e) 5

)

d) 0,67 e) 0,83

1/3 – 0,08 5/3

0,01 a 0,001 ?

)

) )

a) 0,62 b) 0,62 c) 0,81

) )

(0,2)–2 x 0,5 23

se obtiene a0,b. Halla a + b.

a) 13 b) 15 c) 17

a) 125 b) 135 c) 145

d) 155 e) 165

(

0,06 – )

)

)

1,3 + (4,5 ÷ 0,5) 1,6 x 0,04

1 3

)

a) 3,2 b) 4,7 c) 4,9

? d) 5,1 e) 5,7


)

8) ¿En cuánto excede (0,16 + 4,16) a

4) Reduce:

124

d) 10 e) 11

11) Al reducir:

7) ¿En cuántos treintavos excede

)

)

[(1,4)(1,2)]+(3,6 ÷ 0,4 ) + 23

d) 27 e) 9

10) Al simplificar

3) Reduce:

)

)

)

d) 20 e) 40

y halla el numerador de la fracción simplificada.

)

a) 10 b) 30 c) 50

)

y halla A + B si A/B es irreductible.

)

– 0,25

)

(2,999...)–1 x 0,02 ÷ (–0,3) 0,00333... 0,333...

1 5

0,2 – 1,36

)

1) Simplifica

)

(0,5 + 1,6 – 3,06) x )

Nivel I

12) Si 0,ab =

d) 18 e) 10 5 , 33

halla a + b.

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

3ro de Secundaria

Aritmética

)

13) Si: 0,ab =

5 , 15

halla a + b.

a) 8 b) 7 c) 6

18) ¿Cuántos ceros tiene en la parte 73 decimal ? 327 x 12512

d) 5 e) 4

a) 5 b) 15 c) 14 15) Divide

)

)

)

halla a + b. d) 17 e) 12

7 220 x 523

e indica la suma de sus cifras del número decimal.

a) 9 b) 10 c) 11

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

17) ¿Cuántos ceros tiene en la parte 121 decimal ? 223 . 521

a) 15 b) 16 c) 17

d) 18 e) 19

d) 10 e) 9

26) Calcula:

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

22) ¿En qué cifra termina el período de 6 910 ? 119

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

a) 1 b) 2 c) 3 24) Calcula:

3

1 2

d) 4 e) 5

–2

1 4

11 2 a) 1/6 b) 1/2 c) 2/3

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

1010 666 77777 33 2 + + + + 1515 555 55555 99 5 a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

28) Ordena de menor a mayor:

23) Calcula la suma de las cifras del período de : 2246 12739 x 723326

222 3333 4444 11111 + + + 444 6666 8888 22222

27) Calcula:

21) ¿En qué cifra termina el período de 1327 ? 123

3ro de Secundaria

a) 13 b) 12 c) 11

20) ¿Calcula la suma de las cifras del período de: 19 ? 27027

16) Calcula la suma de las cifras decimales de : 3 217 x 515

d) 12 e) 13

Nivel II

d) 33 e) 32

19) ¿Calcula la suma de las cifras del período de 5 ? 909

14) Si: 0,a + 0,b = 1,5;

a) 36 b) 35 c) 34

25) A qué es igual: 1 1 4 ÷3 4 2 3 2 7 a) 1/2 d) 3/2 b) 2/3 e) 1/4 c) 3/4

2 ; 3 16 b) ; 17 2 c) ; 3 a)

2 ; 3

5 ; 16 7 17

5 16 ; 7 17 2 5 ; 3 7 16 5 ; 17 7

5 ; 7 e) 16 ; 17 d)

2 ; 3 5 ; 7

29) Ordena de menor a mayor:

a=

13 5 ; b= 17 8

a) a, b, c b) b, c, a c) c, a, b

;c=

d) b, a, c e) c, b, a

d) 5/6 e) 1


16 17 2 3

125

21 24

Aritmética

30) Calcula los 600.

a) 200 b) 230 c) 240

2 de los 3

3 de 5

d) 250 e) 300

Nivel III 3 3 7 31) Calcular los de los de los 4 5 4 de 450.

a) 210 b) 220 c) 230

a) 1/9 b) 2/3 c) 1/3

(

b)

c)

a) 1/5 b) 5/5 c) 2/5

a) 1/2 b) 1/4 c) 3/2

d) 3/5 e) 3/4

8 a) 27

d)

19 b) 27

1 e) 27

c)

11 27

126

)(

)(

1+

)

a) 1

d) 7

1 b) 20

e) 3

c)

1 5

38) Reduce: 1 14

) ( 1- 19 )( 1- 161 ) 1 ... (1900)

29 a) 30

d) 21 15

1 b) 15

e)

c)

31 30

13 27

a) S/.2400 b) S/.2600 c) S/.3000


a) S/.2 b) S/.3 c) S/.4

d) S/.6 e) S/.8

a) S/.480 b) S/.320 c) S/.360

d) S/.400 e) S/.450

a) 100 b) 110 c) 120

d) 130 e) 140

46) ¿A qué es igual los a/b de los m/n de los b/m de n/a?

d) 1/2 e) 5/8

d) S/.3200 e) S/.3600

d) S/.400 e) S/.500

45) Calcular la mitad de los 3/5 del quíntuplo de los 2/7 de 280.

a) 1 b) 2 c) mn

d) an e) amn

47) De un recipiente lleno de agua se extrae los 2/5; luego los 3/4 del resto y por último la quinta parte del nuevo resto. ¿Qué parte queda?

40) Tengo S/.4000 y gasto 1/10, ¿cuánto me queda?

a) S/.100 b) S/.200 c) S/.300

44) Tengo 2400 soles y gasto la tercera parte de los 3/5. ¿Cuánto me queda?

31 60

a) 1/8 b) 1/4 c) 3/8

d) S/.2500 e) S/.3000

43) ¿A qué es igual los 3/4 de los 2/5 de los 8/3 de 10 nuevos soles?

)

1 10

a) S/.2000 b) S/.2100 c) S/.2400

42) Calcular la mitad de los 3/5 de S/.1000.

39) Una persona gastó los 5/8 de su dinero. ¿Qué parte le quedó?

35) Fredy pierde los 2/3 de los 2/3 de los 2/3 de su dinero. ¿Qué parte le queda?

(

41) Calcular los 2/3 de 4500 nuevos soles.

1 15

7 30

(

d) 3/5 e) 4/5

34) Jaime pierde los 3/2 de la mitad de los 5/3 de su dinero. ¿Qué parte le queda?

e)

37) Simplifica: 1 1 1+ 1+ 4 3 1 ... 1+ 20

33) ¿Qué parte de mi dinero me queda si gasto los 3/8 de los 8/5 de mi dinero?

)

)

1 6

(

d) 2/9 e) 5/9

)(

)(

(

d) 240 e) 250

32) ¿Qué parte me queda si gasto los 7/9 de mi dinero?

36) Simplifica: 1 1 1 1114 3 2 1 ... 130 1 a) d) 2 30 5

a) 5/21 b) 1/25 c) 7/25

d) 9/25 e) 3/25

3ro de Secundaria

Aritmética

48) Jaime va de compras al mercado. Primero gasta los 5/8 de lo que tenía, luego gasta los 3/5 de lo que le quedaba y por último gasta los 3/4 del nuevo resto. ¿Qué parte de lo que tenía le quedó?

a) 3/8 b) 1/20 c) 1/16

1) Reduce:

a) 1/16 b) 1/8 c) 3/16

d) 1/4 e) 5/16

a) 1/4 b) 1/3 c) 5/8

d) 1/12 e) 1/16

2) ¿En cuántos treintavos excede 0,01 a 0,001 ?

d) 155 e) 165

5 , halla (a+b) 33

a) 5 b) 6 c) 7

50) Un recipiente está lleno de vino. Se vierte primero la mitad del contenido, luego se vuelve a vaciar los 2/3 de lo que quedaba; a continuación se derrama 1/5 de lo que sobraba y finalmente se vierte los 3/8 de lo que sobró antes. ¿Qué parte quedó?

cierta cantidad de dinero, cada vez que jugó perdió la mitad de lo que tenía. Si esto sucedió 4 veces sucesivas, ¿qué parte le quedó al final?

1,3 + (4,5 ÷ 0,5) 1,6 x 0,04

a) 125 b) 135 c) 145

3) Si 0,a b =

d) 3/40 e) 7/80

49) Una persona entra a un juego con

a) 2 b) 3 c) 1

d) 4 e) 5

4) Si 0,a + 0,b = 1,5 , halla: (a + b).

d) 8 e) 9

a) 5 b) 15 c) 14

d) 7 e) 12

5) Simplifica:

3ro de Secundaria

1+

1 3

1+

a) 1 1 b) 20 c) 1 10

1 4

1+

1 ... 1 1+ 5 20 d) 7 e) 3


127

Aritmética

Racionales II Operaciones con Fracciones

¿Qué parte de 10 es 15?

1. FRACCIÓN DE UN NÚMERO

2 de 60. 3

Calcula los

3 x 5 x 140 = 60 5 7

Ten en cuenta En este tipo de ejercicios las palabras sucesivas: «de»; «del»; «de la»; «de los» significa el símbolo (x) de multiplicación.

El número precedido de «es» va en el numerador y el otro precedido de «de» va en el denominador. Es «es» de la forma: «de»

∴ el triple de la mitad o 1 y

2 x 60 = 40 3 2. FRACCIÓN DE FRACCIÓN DE UN NÚMERO 3 5 Calcula los de los de 140. 5 7

Te diste cuenta

15 3 = 10 2

media veces.

4. SERIE DE FRACCIONES ESPECIALES

1 1 1 1 n (a) + + + ... + = 1x2 2x3 3x4 n(n+1) n+1

n 1 1 1 1 (b) + + + ... + = 2n+1 1x3 3x5 5x7 (2n – 1) x (2n + 1)

(c) Progresión geométrica ilimitada de razón menor que 1: S = a + ar +ar2 +ar3 + ... S=

3. ¿QUÉ FRACCIÓN O PARTE ES UN NÚMERO DE OTRO?

¿Qué parte es

5 3 1 6

5 1 de ? 3 6

¿Qué parte es 5 de 20 ? 5 1 = 20 4

∴ es la cuarta parte

128

5. FRACCIONES EQUIVALENTES DE IGUAL COCIENTE

* Calcula una fracción equivalente a términos es 588.

20 , tal que el producto de sus 15

= 10

∴ es 10 veces

a 1–r

20 4 = 15 3

La fracción equivalente es 4k 3k

dato : (4k) (3k) = 588 12 k2 = 588 k = 7

∴ la fracción equivalente será: 28 21


3ro de Secundaria

Aritmética

4) Calcula:

Nivel I

S = 1+

1 1 1 x 1+ x 1+ x 2 3 4

1 ... x 1+ n

n +1 3

a) n + 1

d)

b) n - 1

e) n2

n +1 c) 2

D= 1-

... x 1 -

1 n

+n a) 1 2 1 b) n

n-1 2 n +1 e) 3

d)

c) n2 3) Si:

halla «P».

a) 2 3 11 b) 12 24 c) 25

12 13 5 e) 6

d)

3ro de Secundaria

x=1+

1 1 1 1 + + + +... 2 4 8 16

tiene infinitos sumandos , calcula «x». a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

6) Calcula: 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... 1 7 a) d) 3 87 2 b) e) 10 3 81 c) 5 9 7) Halla el valor de:

1 1 1 1 1 P = + + + + ...+ , 2 6 12 20 600

17 18 4 e) 5

d)

5) Si la serie

)

1 1 1 x 1 - x 1- x 2 3 4

a) 2 3 15 b) 16 16 c) 17

2) Halla «D» si:

1 1 1 1 + + +...= 1+ 1 a a2 a3 2+ 1 infinitos términos 1+ 5 donde «a» es un número racional.

P=

23 a) 17 40 b) 23 c) 17 40

17 23 e) 40 17

d)

9) Señala el valor de: 1 ) 2+1 2+1 2 + 1. . . a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2

P = ( 2 - 1)(2 +

)

2 1 2 1 1 + + + + ...+ 4 6 24 20 30x

)

1) Halla «S» si:

8) Halla «a» si se cumple:

1 S=14

1 1 119 16 1 ... x 1 2500 50 51 a) d) 100 100 52 49 b) e) 100 100 48 c) 100


10) Halla «S»:

x=

1 5 11 599 + + +...+ 2 6 12 600

20 a) 25 520 b) 25 c) 576 25

25 25 23 e) 25

d)

129

Aritmética

11) Halla el valor de «A»: 1 1 3 1 + + + +... 2 2 8 4

A=

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

)

)

)

0,3+0,03+0,003+...+es igual a: 10 a) 3 b) 1 9 1 c) 3

17 a) 15 b) 11 15 c) 14 15

a) 3 b) 4 c) 5

a) 180 b) 264 c) 286

130

5 a) 75 b) 30 50 c) 3 6

9 15 e) 15 25

d)

17) ¿Cuánto le debemos quitar a los 2/3 de los 5/7 de los 6/5 de los 3/4 de 21, para que sea igual a la mitad de 1/3 de 2/5 de 3/4 de 14?

21 a) 10 7 b) 9 63 c) 10

90 7 83 e) 10

18) Si a los 2/7 de una cantidad se le quita los 2/5 de los 3/7 de la misma cantidad, se obtiene los 2/9 de los 4/5 de 909. Halla la cantidad original. a) 1042 b) 1212 c) 1312

d) 1412 e) 1414

19) ¿Cuánto le falta a 4/9 para que sea igual a los 2/3 de los 5/7 de los 6/11 de los 4/9 de 7?

d) 6 e) 7

4 a) 11 b) 5 11 c) 7 11

d) 15 e) 12

d) 8 11 e) 3 11

d) 254 e) 190


36 a) 25 b) 16 25 c) 16 5

36 5 32 e) 25

d)

22) Disminúyele a 5/8 sus 3/8.

d)

a) 22 b) 21 c) 18

21) Auméntale a 4/5 sus 4/5.

16 15 e) 18 15

15) Calcula el denominador de una fracción equivalente a 15/22 y que la suma de sus términos sea 444.

d)

14) Halla el número de fracciones irreductibles con denominador 45, que sean mayores que 2/9 pero menores que 2/5.

d) 10 27 e) 10 81

13) H a l l a l a s f r a c c i o n e s d e denominador 15 que sean mayores que dos décimos y menores que la unidad más dos décimos. Indica la fracción mayor.

16) Halla la fracción equivalente a 6/10; tal que el producto de términos resulte 375.

12) La suma:

20) Descompón la fracción 101/110 en otras dos que tengan por denominadores 5 y 22. Da como respuesta el producto de los numeradores.

Nivel II

1 a) 4 25 b) 64 c) 15 16

10 16 31 e) 32

d)

23) Disminúyele a 4/5 sus 3/8.

17 a) 40 b) 12 56 c) 1 2

d) 1 e) 11 56

24) ¿Cuántos «novenos» hay en 31/3?

a) 90 b) 30 c) 24

d) 27 e) 18

25) ¿Cuántos «octavos» hay en 41/4?

a) 16 b) 32 c) 34

d) 67 e) 100

3ro de Secundaria

Aritmética

d) FVF e) FFV

)

)

(

)

(

)

* 0,87 > 0,78

* 0,21 > 0,21

* 2,3 - 0,3 = 2

)

a) VVV b) FFF c) FVF

d) FFV e) VFF

a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6

(

)

29) Indica verdadero (v) o falso (f), segun corresponda.

* 0,4 - 0,3 = 0,2

(

)

* 0,2 x 0,3 = 0,6

(

)

)

)

)

)

)

)

a) VVV b) VFV c) FFV

d) FVF e) VVF

3ro de Secundaria

a) 1,1 b) 2,1 c) 3,1

d) 4,1 e) 5,1

34) Simplifica:

0,1 + 0,2 + ... + 0,8

a) 1 b) 2 c) 3

40) Calcula: 0,1 ÷ 0,001

)

4,55 + 5,44 5,4 + 4,5

d) 405 e) 900

)

)

)

(

)

* 0,2 + 0,3 = 0,5 )

a) 45 b) 90 c) 450

)

)

d) FFV e) VFF

)

39) Calcula:

)

)

)


)

)

)

2 ÷ 0,2 0,02

)

* 0,77 = 0,777

)

33) Calcula:

d) 11 19 e) 19 5

)

)

)

(

1 a) 3 b) 11 5 c) 5 19

)

* 0,222 = 0,2

)

d) 18 e) 19

)

)

)

)

a) 15 b) 16 c) 17

)

0,1 + 1,2 +2,3 1,0 + 2,1 + 3,2

)

)

(

d) 0,7 e) 0,8

38) Calcula: )

* 0,3 = 0,33 )

)

) )

0,12 + 0,21 0,32 + 0,23

0,4 + 0,4 0,04

)

)

37) Calcula:

32) Calcula:


)

)

)

)

c) 3 7

)

d) FVV e) FFF

2,1 x 0,12 x 1 0,21 0,21 121 1 a) d) 1 11 21 1 3 b) 7 e) 11

)

)

(

d) 11,1 e) 12,1

36) Calcula:


a) 8,1 b) 9,1 c) 10,1

)

a) VVV b) FFF c) FVV

)

)

)

(

)

* 4 es una fracción periódica 24 pura. ( ) * 5 es una fracción periódica 15 mixta. ( ) 4 * 28 es una fracción periódica mixta. ( )

a) VVV b) VFV c) VFF

)

Nivel III


(

1,1 + 1,2 + 1,3 +...+ 1,7

) )

d) FVF e) FFF

)

35) Simplifica:

) )

)

(

)

* 0,12 = 12 90 * 0,333 = 0,3 24 * 2,4 = 9

)

a) VVV b) VFF c) FVV

)


)

26) Indica verdadero (v) o falso (f), segun corresponda. 3 * 5 es una fracción decimal exacta. ( ) * 2 es una fracción decimal 3 periódica mixta. ( ) * 5 es una fracción decimal 6 periódica pura. ( )

d) 4 e) 5


a) 1 b) 2 c) 8

d) 10 e) 11

131

Aritmética

49) ¿En qué cifra termina el período 4 de ? 4468

41) Calcula: )

0,25 ÷ 0,11

a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 )

42) Si 0,a =

43) Si 0,ab =

44) Si 0,ab =

45) Si 0,ab =

)

d) 6 e) 7

5 , calcula a + b. 6

a) 8 b) 9 c) 10 46) Si 0,ab =

d) 5 e) 6


a) 3 b) 4 c) 5 )

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

a) 1 b) 2 c) 3

d) 9 e) 7

d) 36 e) 25

4 , calcula b - a. 11

a) 2 b) 3 c) 4 )

2 , calcula "a2". 3

a) 1 b) 4 c) 16 )

d) 2,5 e) 3,0


d) 11 e) 12


a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

Terencio, el jugador metódico

Terencio es un jugador empedernido que cuando dispone de dinero se lo juega a los dados. Siempre lo hace de la misma forma: gane o pierda, apuesta la mitad del dinero que tiene; a la segunda jugada, apuesta la mitad del dinero que tiene entonces; en la tercera jugada, la mitad de los que tiene después de la segunda; y así sucesivamente. Cierta tarde tenía 16 euros y jugó 6 veces, ganó tres y perdió otros tres. ¿Con cuánto dinero acaba? Solución: El orden de pérdidas y ganancias es indiferente, acaba perdiendo 9 euros y 25 céntimos. Distintos supuestos: 1.a jugada : Apuesta 8 y gana 2.a jugada : Apuesta 12 y gana 3.a jugada : Apuesta 18 y gana 4.a jugada : Apuesta 27 y pierde 5.a jugada : Apuesta 13,5 y pierde 6.a jugada : Apuesta 6,75 y pierde

................ Tiene 16 + 8 = 24 ................ Tiene 24 + 12 = 36 ................ Tiene 36 + 18 = 54 ................ Tiene 54 – 27 = 27 ................. Tiene 27 – 13,5 = 13,5 ................. Tiene 13,5 – 6,75 = 6,75

Si disponía de 16 euros y termina con 6,75 euros, ha perdido 9,25 euros.


a) 1 b) 2 c) 3

d) 7 e) 9


a) 2 b) 0 c) 4

132

d) 6 e) 8


3ro de Secundaria

Aritmética

a) 2 3 12 d) 13

11 b) 12 e) 5 6

c)

24 25

)

)

1 1 1 1 1 , + + + +...+ 2 6 12 20 600

0,3 + 0,03 + 0,003 + ... es igual a: a) 10 3

1 b) 9

10 d) 27

e)

c)

1 3

10 81

4) ¿Cuánto le falta a 4 para que sea igual a 9 los 2 de los 5 de los 6 de los 4 de 3 7 11 9 7?

3) Calcula el denominador de una fracción equivalente a 15 y que la suma de sus 22 términos se 444. a) 180 b) 264 c) 286 d) 254 e) 190

a) 4 11 d) 8 11

b) 5 11 e) 3 11

c) 7 11

3ro de Secundaria

)

)

)

)

)

)

)

)

5) Simplifica: 1,1 + 1,2 + 1,3 + ... + 1,7 a) 8,1 b) 9,1 c) 10,1 d) 11,1 e) 12,1

)

E=

2) La suma: )

1) Halla E:


133

Aritmética

Repaso 6) ¿Qué fracción es 1 1/5 de 3/5?

Nivel I 1) Calcula los 2/5 de los 3/4 de 40.

a) 20 b) 12 c) 26

d) 28 e) 30

2) Calcula los 2/13 de los 5/7 de los 3/4 de 1820.

a) 110 b) 130 c) 140

d) 150 e) 160

a) 1 b) 2 c) 1/5

d) 1/6 e) 2/3

7) ¿Qué parte representa la mitad de un número de sus tres cuartas partes?

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4

d) 3/2 e) 4/3

8) Halla el MCM (120,200) 3) Pedro gasta la mitad de los 5/4 de los 3/8 de su dinero. ¿Qué parte le queda?

a) 49/64 b) 47/64 c) 48/64

d) 43/64 e) 41/64

4) Francisco regala la tercera parte de los 3/7 de su plata. ¿Qué parte le quedó?

a) 1/7 b) 2/7 c) 3/4

d) 4/7 e) 6/7

5) ¿Qué parte son los 2/5 de 20 de los 3/4 de 60?

a) 45/8 b) 8/45 c) 2/15

134

d) 15/2 e) 3

a) 600 b) 700 c) 500

d) 750 e) 800

9) Juan posee tres varillas cuyas medidas son 360, 480 y 560 cm. Se quiere dividir en pedazos iguales que tengan la mayor longitud posible. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo?

a) 35 cm b) 30 cm c) 40 cm

d) 45 cm e) 50 cm

10) En un accidente de avión donde viajaban 200 personas, los sobrevivientes se pueden agrupar de 5 en 5, de 6 en 6 ó de 8 en 8. ¿Cuántos fueron los muertos?

a) 120 b) 80 c) 100

11) Si 3a =2b, ¿qué parte es a de a+b?

a) 1/3 b) 2/3 c) 2/5

d) 3/5 e) 3/4

12) Si 8a = 4b, ¿qué fracción de a + b es b–a?

a) 1/2 b) 2/3 c) 1/3

d) 3/4 e) 1/5

13) ¿Cuántos ladrillos de dimensiones 12, 15 y 10 cm se utilizaron para construir el cubo más pequeño posible?

a) 120 b) 60 c) 80

d) 90 e) 180

14) El menor número de losetas de 34 x 18 cm necesarias para construir un cuadrado es:

a) 135 b) 184 c) 306

d) 153 e) 148

15) ¿Cuántos tercios tiene 6?

a) 2 b) 3 c) 1

d) 4 e) 18

d) 120 e) 200


3ro de Secundaria

Aritmética

23) L a diferencia de los números: 0,43737 ... y 0,21515... es:

16) ¿Cuántos cuartos hay en el 4? d) 8 e) 16

17) Al aumentar 3/8 en sus 3/8 se obtiene:

a) 33/64 b) 23/64 c) 3/8

d) 9/64 e) 3/4

18) Halla el MCM de 12 x 9n y 6 x 8n.

a) 23n+ 1 x 3 b) 23n+ 1 x 32n+1 c) 22 x 3 d) 22n x 32n+1 e) 24 x 3

19) Disminúyele 3/5 sus 3/5.

a) 24/25 b) 17/25 c) 13/25

d) 9/25 e) 6/25

d) 4/9 e) 5/9

24) Halla «E» si:

E = 0,24 x 1,90 : 1,4 – 0,13

a) 1/7 b) 2/3 c) 3/15

d) 1/5 e) 2/9

25) Halla la fracción generatriz de 0,35555...

a) 10/45 b) 17/45 c) 18/33

d) 16/45 e) 13/31

26) U n número está formado por 22 cuartos. Halla el residuo de dividir este número entre 7.

a) 2 b) 3 c) 5

d) 6 e) N.A.

20) Si 0,a + 0,b = 1, halla a + b.

a) 10 b) 20 c) 100

d) 50 e) 1

21) Si 0,a + 0,b = 1 y a – b = 2, halla a.

a) 15 b) 12 c) 10

d) 8 e) 11

)

)

a) 0,9 b) 1 c) 9,9

a) 2 b) 4 c) 1

d) 5 e) Cualquier valor

28) ¿Qué valores deben sustituir a los números 7 y 3 del número 57103 para que sea múltiplo de 72? a) 8 y 6 b) 8 y 2 c) 2 y 6

d) 4 y 6 e) 8 y 4

d) 0,3 e) 0,4

3ro de Secundaria

a) 445 b) 415 c) 425

d) 465 e) 491

a) 2 ó 4 b) 3 c) 1 ó 8

31) Al multiplicar A por el número 13, se obtiene un número formado sólo por cifras 8; siendo éste el menor número. Halla la suma de las cifras de A.

a) 27 b) 28 c) 29

d) 3 ó 5 e) 4 ó 6


d) 30 e) 31

32) H alla (a+b), sabiendo que el número a53b84 es divisible por 88.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

33) Halla «a» si el número aaa bb ab es divisible por 65.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

34) Si P = 12k tiene 45 divisores, ¿cuántos divisores tiene k12?

a) 13 b) 14 c) 25

d) 36 e) 45

35) Sean: A = K x K3 x K5 x ... x K21 y

B = K x K2 x K3 x ... x K11 Donde K es el menor número que tiene 18 divisores. Halla en qué cifra termina el número de divisores de la siguiente expresión:

29) Si vvv3 = 7 , entonces «v» es: )

o

0,3 + 0,33 + 0,333 )

o

27) Si a2a53 = 9 , entonces «a» es:

22) Halla el valor de:

30) Si 7N = 325x, «N» es:

Nivel III

)

a) 1 b) 2 c) 4

a) 1/9 b) 2/9 c) 3/9

)

)

Nivel II

E = A x B x B x ... x B

2048 veces

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) N.A.

135

Aritmética

36) ¿A qué exponente se debe elevar 60 para obtener el menor número divisible por 723?

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

37) La suma de las cifras del menor número natural que cumple con:

* Poseer un número impar de divisores. o * Es 24. es:

a) 9 b) 12 c) 15

d) 18 e) 27

38) ¿Cuántos divisores múltiplos de 30 posee N=2p3q5r, sabiendo que 25N posee el doble de número de divisores que N, 729N el triple y 4096N el cuádruple?

a) 4 b) 6 c) 8

d) 12 e) 18

39) ¿Cuántos números que aceptan como factores primos a 2 números consecutivos cumplen con que: «el número de divisores de su cuadrado es el triple de su número de divisores»?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) N.A.

40) ¿Cuántos rectángulos cuyas dimensiones en decímetros sean números pares y de 36m 2 de superficie existen?

a) 26 b) 27 c) 35

136

d) 36 e) N.A.

41) Calcula P – Q si: P = 2 x 3a x 5b Q = 2c x 3 x 5

y

Además MCM (A; B) = 180.

a) 9 b) 10 c) 11

d) 13 e) 14

42) Dado: P = 12n y Q= 3n x 48.

Además se sabe que el MCM de P y Q tiene 81 divisores.

Halla : n + 1

a) 3 b) 6 c) 4

d) 7 e) 5

43) Halla el valor de «x» si el MCD de «P» y «Q» es 162, siendo: P = 6x+1+ 6x y Q = 9x+1 + 9x

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

44) Halla la diferencia de 2 números cuyo MCM es 816 y, cuyos cocientes que se hallan al aplicar el algoritmo de Euclides para determinar su MCD son 2, 1 y 5.

a) 88 b) 48 c) 136

d) 68 e) 60

45) Halla el número de ladrillos necesarios para construir un cubo compacto, sabiendo que su arista está comprendida entre 2 y 3 m, y que las dimensiones del ladrillo a usarse son de 20, 15 y 8 cm.

a) 5760 b) 720 c) 240

d) 960 e) 120

46) Si el MCM de A = 12n x 45 y B = 12 x 45n tiene 450 divisores, halla n2.

d) 25 e) 1

47) Tres móviles (A, B y C) parten al mismo tiempo de una misma línea de partida de una pista circular que tiene 240m de circunferencia. S i «A» se desplaza con velocidad de 8m/s, «B» a 5m/s y «C» a 3m/s, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que los tres móviles realicen el primer encuentro?


d) 8 min e) Jamás ocurre un encuentro

48) Se requiere cercar un terreno rectangular de 952m de largo y 544m de ancho con alambre sujeto a postes equidistantes de manera que disten de 3m a 40m, y que corresponda un poste en cada vértice y otro en cada uno de los puntos medios de los lados del rectángulo. ¿Cuántos postes se necesita?

a) 86 b) 88 c) 90

d) 87 e) 89

49) Tres ómnibus de TEPSA salen de su terminal, el primero cada 8 días, el segundo cada 15 días y el tecero cada 21 días. Si los tres ómnibus salieron juntos el 2 de enero del 2000, ¿cuál fue la fecha más próxima en qué volvieron a salir juntos?

a) 20 abril 2002 b) 21 abril 2002 c) 22 abril 2002 d) 23 abril 2002 e) 2 abril 2002

50) ¿Cuál es el mayor número, tal que al dividir 8439 y 8380 entre dicho número se obtiene como residuo 21 y 8 respectivamente?


a) 4 b) 9 c) 16

a) 86 b) 46 c) 23

d) 27 e) 32

3ro de Secundaria

Aritmética

Razones Ejemplo 1:

Hipatia de Alejandría (370 – 415)

Observa los objetos indicados:

Ahora compara y responde: ¿Qué hay más, computadoras o personas? Rpta.:

¿Qué hay menos, computadoras o personas? Rpta.:

¿Cuánto más?

¿Cuánto menos?

Rpta.:

Rpta.:

Las personas, ¿son el doble o la mitad de las computadoras?

Las computadoras, ¿es el doble o la mitad de las personas? Rpta.:

Rpta.: Ejemplo 2: Observa los números indicados:

8

2

Ahora, compara y responde: ¿Cuál es el mayor? Rpta.: ¿Cuánto más? Rpta.:

¿8 es doble, triple o cuádruple que el 2? Rpta.: ¿2 es cuádruple, mitad o cuarta parte que el 8?

Filósofa griega, nacida y muerta en Alejandría. Es la primera mujer de la que se tiene noticia que dedicó su vida a las matemáticas. Su muerte en el año 415 a manos de cristianos fanáticos marcó el ocaso de la escuela de Alejandría que inició sus actividades con Euclides (300 a.C.) y continuó con grandes matemáticos como Arquímedes, Apolonio o Pappus. La obra de Hypatía se centró en los comentarios sobre las obras de los matemáticos anteriormente citados y unos trabajos originales sobre curvas cónicas. Hypatía fue la última lumbrera de la biblioteca de Alejandría y su martirio estuvo muy legado de la misma.

Rpta.: Estas dos comparaciones se denominan: Razón Aritmética y Razón Geométrica.

3ro de Secundaria


137

Aritmética

Razón Aritmética

6) En una discoteca se observa que por cada 8 mujeres hay 5 hombres; además, el número de mujeres excede al número de hombres en 21. ¿Cuál es la nueva relación si se retiran 16 parejas?

Es la comparación de 2 cantidades mediante la sustracción de sus números. Partes: ra = a – b

Consecuente

Razón Aritmética

Antecedente

a) 50/29 b) 40/19 c) 30/19

d) 83/19 e) 40/29

Razón Geométrica Es la comparación de 2 cantidades mediante la división indicada (fracción) de sus números.

7) En una fiesta hay hombres y mujeres de tal manera que el número de mujeres es al número de hombres como 4 es a 3, además después del reparto de comida se retiran 6 mujeres. ¿Cuántos hombres hay en la fiesta si todos pueden bailar?

Partes: a rg = b

Antecedente Consecuente

Razón Geométrica

Se dice también : * “a es a b” * “a es entre sí con b” * “relación de a y b”

a) 16 b) 18 c) 20

8) Si

3) Halla (y – x) si: 5x = 4y; y además x + y = 72. Indica como respuesta la suma de sus cifras.

Nivel I

1) La diferencia de dos números es 60 y su razón es 0,75. Halla el menor de dichos números.

a) 180 b) 120 c) 240

x 2 = ; calcula “x + y”. y 5 a) 25 b) 24 c) 21

a) 28 b) 30 c) 75

d) 55 e) 77

d) 32 e) 12




5 m = , donde: 9 n

2m+3n =111, calcula “m + n”.

a) 15 b) 27 c) 25

d) 13 e) 14

5) Ana tuvo su hijo a los 18 años. Ahora su edad es a la de su hijo como 8 es a 5. ¿Cuántos años tiene su hijo?

138

a) 10 b) 11 c) 12

4) Dos números son entre sí como 4 es a 11 y su diferencia es 35. ¿Cuál es la suma de ellos?

d) 60 e) 75

2) Si x2 + y2 = 261, y también

d) 24 e) 30

9) Se sabe que

d) 42 e) 32

A 4 = ; B 7

además 2A+5B=258. Halla “A”

a) 24 b) 42 c) 28

d) 20 e) 36

10) Dos números están en relación de 5 a 8. Si aumenta a uno de ellos 91 y al otro 133, se obtendría cantidades iguales. Halla el número menor.

a) 60 b) 70 c) 45

d) 120 e) 115

3ro de Secundaria

Aritmética

11) Si

a 4 = ; a + b =143; b 7

calcula “a”.

a) 32 b) 36 c) 40 12) Si

calcula “n”.

a) 26 b) 52 c) 91

d) 130 e) 156

calcula “q”.

a) 56 b) 63 c) 70

d) 77 e) 84

calcula “a”.

a) 104 b) 117 c) 130

d) 143 e) 156

a) 54 b) 63 c) 72

d) 81 e) 90

a) 25 b) 30 c) 35

d) 40 e) 45

3ro de Secundaria

a) 28 b) 35 c) 42

d) 49 e) 56

a) 24 b) 36 c) 48

d) 12 e) 9

a) 65 b) 60 c) 55

d) 50 e) 45

a) 5:3 b) 4:3 c) 5:4

a) 36 b) 39 c) 42

d) 45 e) 48

d) 6:5 e) 5:6

24) A posee 2 000 soles y B 1 800 soles. La relación de dinero de A y B es:

a) 5/6 b) 3/5 c) 5/4

d) 10/9 e) 6/9

25) Jaime tiene S/.60 y gasta S/.45. La razón geométrica entre lo que gastó y no gastó es:

a) 4:3 b) 5:2 c) 3:5

d) 1:4 e) 3:1

26) Dos números están en la relación de 2 a 3. Si se aumenta a cada uno de los términos en 9 unidades su razón es 3/4, halla el mayor de los números.

a) 18 b) 27 c) 36

d) 45 e) 63

27) La razón geométrica de las raíces cuadradas de dos números es de 1 a 4. Si la suma de dichos números es 170, halla el menor de ellos.

21) De un grupo de niños y niñas se sabe que hay 7 niños por cada 3 niñas. Si los niños son 60 más, ¿cuántas niñas hay?

Nivel II 16) La razón aritmética de dos números es 24 y su relación 8/5. Calcula el menor.

20) En una fiesta por cada 5 hombres hay 2 mujeres. Si en total asistieron 91 personas, ¿cuántos son hombres?

15) La razón aritmética de dos números es 36 y su razón geométrica es 5/9. Calcula el mayor.

d) 66 e) 77

19) En cierta reunión por cada 2 hombres hay 3 mujeres. Si en total son 60 personas, ¿cuántas son mujeres?

a 13 = y a–b = 99; b 4

a) 35 b) 44 c) 55

23) A tiene un terreno de 600 m2 y B tiene otro terreno de 480 m2. Calcula la relación de superficies de A y B.

18) La relación de 2 números es 7/20 y su razón aritmética es 65. Calcula el menor.

p 6 = y q – p= 12; q 7

14) Si

m 5 = ; m+n=180; n 13

13) Si

d) 48 e) 52

17) La relación de 2 números es 6/11 y su razón aritmética es 25. Calcula el mayor.

a) 10 b) 160 c) 20

d) 150 e) 30

22) En una mesa hay 10 vasos y 25 platos. La razón aritmética de platos y vasos es:

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16


139

Aritmética

28) La relación geométrica de 2 números cuya suma es 65, se invierte si se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de los números?

a) 34 b) 51 c) 26

d) 39 e) N.A.

29) En una reunión hay hombres y mujeres siendo el número de hombres al total de personas como 3 es a 8, y la diferencia entre hombres y mujeres es 24. ¿Cuál será la relación entre hombres y mujeres si se retiran 33 mujeres?

a) 4:3 b) 3:4 c) 2:5

a) 14 000 b) 14 500 c) 13 000

a) 36 b) 72 c) 108

d) 48 e) 24

33) La razón de 2 números es 3/4. Si el producto de ambos es 48, entonces el mayor de dichos números es:

d) 5:2 e) N.A.

30) En un partido de la «U» vs. Alianza inicialmente favorecen las apuestas a la «U» en razón de 3 a 2, pero al final es favorable a Alianza en razón de 5 a 1. ¿Cuántos hinchas de la «U» se pasaron a Alianza si en total 30 000 apostaron?

37) La razón aritmética de 2 números es 91. Si la razón geométrica de los mismos es 13/6, entonces el mayor de dichos números es:

32) La suma de 2 números es 144. Si su razón es 1/3, ¿cuál es su razón aritmética?

a) 6 b) 2 c) 12

d) 8 e) 16

a) 2 b) 6 c) 8

d) 12 e) 10



31) La suma de 2 números es 165. Si su razón es 7/4, ¿cuál es su razón aritmética?

a) 15 b) 45 c) 30

140

d) 105 e) 60




d) 132 e) 143

a) 4:1 b) 1:4 c) 2:5

d) 5:2 e) 8:1

40) La razón entre la suma y la diferencia de dos números es 7/2. La razón geométrica entre el mayor y el menor es:

Nivel III 36) Las edades de María y Luisa están en la relación de 2 a 5. Dentro de 5 años sus edades sumarán 59 años. Halla la edad de Teresa si hoy la relación de la edad de María y Teresa es de 7 a 10.

a) 154 b) 121 c) 110

39) La razón entre la suma y la diferencia de dos números es 5/3. La razón geométrica entre el mayor y el menor es:

35) Las edades de Jorge y Mario están en la relación de 9 a 8. Hace 25 años estaban en la relación de 11 a 7. ¿Cuál es la diferencia de las edades de Jorge y Mario?

d) 12 580 e) 18 000

d) 156 e) 169

38) La razón aritmética de 2 números es 121. Si la razón geométrica de los mismos es 13/2, entonces el mayor de dichos números es:

34) La razón de 2 números es 3/5. Si el producto de ambos es 60, entonces el mayor de dichos números es:

a) 143 b) 132 c) 196

a) 5:9 b) 3:8 c) 8:3

d) 9:5 e) 7:1

41) La suma, diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. Determina la suma de dichos números.

a) 16 b) 20 c) 40

d) 15 e) 10

3ro de Secundaria

Aritmética

42) La suma, diferencia y el producto de dos números están en la misma relación que los números 6, 2 y 16. Determina la suma de dichos números.

a) 8 b) 12 c) 16

d) 48 e) 24

46) Pa r a d i b u j a r u n t e r r e n o rectangular se empleó una escala 7/600. Si resulta un dibujo cuyo perímetro es 294 cm, halla el área del terreno sabiendo que la razón de sus dimensiones es 4/17.

43) En una granja el número de patos es al número de gallinas como 3 es a 2, además el total de animales es 22. ¿Cuántos patos hay si además existe 2 conejos en la granja?

a) 4 b) 3 c) 12

a) 5 b) 20 c) 10

a) 44 b) 54 c) 144

a) 30 b) 32 c) 34

a) 4 b) 5 c) 6

3 a) 5

b)

c)

4 5

5 d) 7 e)

1 2

9 10

50) Dos motociclistas parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Transcurridos los primeros 45 minutos la razón de la distancia a su punto de partida es de 3 a 5, y a los 30 minutos siguientes se encuentran distanciados 80 km. ¿Cuál es la diferencia de sus velocidades en km/h?

d) 36 e) 38

48) En una reunión asistieron personas solteras y casadas en la relación de 13 a 5. La razón entre hombres casados y mujeres casadas es de 4/1. Si asistieron 90 personas en total. ¿Cuántas mujeres casadas asistieron a dicha reunión?

d) 15 e) 25

45) Para elegir los nuevos dirigentes de un club se presentan 2 listas “A” y “B”. Para votos se hacen presentes 240 socios. En una votación de sondeo inicial, la elección favorece a “B” en la razón de 3 a 2, pero en la votación legal, “A” ganó en una razón de 5 a 3. ¿Cuántos socios cambiaron de opinión?

d) 2 448 m2 e) 2 856 m2

47) En un acuario hay peces de colores azul, anaranjado y amarillo. Si el número de peces azules es al número de peces anaranjados como 6 es a 5 y el número de peces amarillos es al número de peces azules como 5 es a 4, ¿cuántos peces azules hay en el acuario, si la razón aritmética entre el número de peces amarillos y anaranjados es 15?

d) 16 e) 8

44) En una reunión por los festejos de año nuevo a la cual asisten 140 personas entre varones y damas, por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si llegan “n” parejas, por cada 4 mujeres habrá 5 hombres. Halla “n”.

a) 1 224 m2 b) 168 m2 c) 833 m2

49) En un corral hay «n» aves entre patos y pavos. Si el número de patos es a «n» como 5 es a 12, y la diferencia entre el número de patos y el número de pavos es 18, ¿cuál será la relación entre patos y pavos?

a) 20 b) 12 c) 18

d) 16 e) 24

Pensamiento

d) 7 e) 8

“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”

d) 56 e) 64

Arquímedes

3ro de Secundaria


141

Aritmética

2) Ana tuvo su hijo a los 18 años. Ahora

1) La razón geometrica de dos números vale 4 y su razón aritmética es 45. Halla el 7 menor número.

a) 60 b) 70 c) 30

su edad es a la de su hijo como 8 es a 5. ¿Cuántos años tiene su hijo?

d) 45 e) 80

3) Dos números están en relación de 5 a 8. Si aumenta a uno de ellos en 91 y al otro en 133, se obtendrían cantidades iguales. Halla el número menor.

a) 60 b) 70 c) 45

d) 120 e) 115



4) La razón geométrica de las raíces cuadradas de dos números es como 1 es a 4. Si la suma de dichos números es 170, halla el menor de ellos.

a) 10 b) 160 c) 20

d) 150 e) 30

5) La razón entre la suma y la diferencia de dos 7 números es . Halla la razón geométrica 2 entre el mayor y el menor.

142

a) 5:9

d) 9:5

b) 3:8

e) 7:1

c) 8:3


3ro de Secundaria

Aritmética

Proporciones Proporciones

1.2. Proporción aritmética continua (PAC)

Se forma con dos razones iguales.

Cuando los términos medios son iguales y distintos a los otros.

Clases

Ejemplo 1:

1. PROPORCIÓN ARITMÉTICA

Se llama así cuando se tienen 2 razones aritméticas iguales, en la forma:

a-b=c-d=r

.... (1)

* 5 - 3 = 3 - 1

* 4

Donde: a y d: extremos b y c: medios

Principio:

7 7 = -3 2 2

En general:

a-b=b-c

r: razón aritmética

b : media diferencial c : tercera diferencial

de (1) a+d=b+c

Suma de extremos = Suma de medios

b=

a+c 2

Ejemplo 2:

Subclases 1.1. Proporción aritmética discreta (PAD)

Resolución:

Cuando los términos medios son distintos. Ejemplo 1:

Calcula la media diferencial de 1/5 y 1/3. 1 1 + 5 3 b= 2

* 5 - 3 = 8 - 6 * 9 - 2 = 16 - 9 En general:

Rpta.: b =

a-b=c-d d : cuarta diferencial

Ejemplo 2: Calcula la cuarta diferencial de 5 ; 1/2 y 7

3ro de Secundaria

Ejemplo 3:

Resolución: 1 5=7-x 2 9 x=72 Rpta.: x =

4 15

5 2


Calcula la tercera diferencial de 2 y 1/4. Resolución: 1 2= 4 1 x= 4

1 -x 4 7 4 Rpta.: x = -

143

3 2

Aritmética

2. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Ejemplo 2:

Se llama así cuando se tienen dos razones geométricas iguales, en la forma: a c b = d = k

.... 2

Calcula la media proporcional de

1 y 4

1 si es positiva. Resolución:

Donde:

a,b,cyd≠0

a y d → extremos b y c → medios k → razón geométrica o simplemente "razón" o constante de proporcionalidad

Principio:

Rpta.: b =

Calcula la tercera proporcional de 8 y 2. Resolución:

Subclases

8

2.1. Proporción geométrica discreta (PGD)

Ejemplo 1:

*

2 2 x = 2 . 2

3 12 = 4 16

a c b = d

o

Propiedades

Resolución: 12 = 9 4 x 12x = 36

Calcula la cuarta proporcional de 12, 4 y 9.

P.1. Si:

a)

a c a-c a+c = = = b d b-d b+d

b)

a+b c+d = b d

c)

a+b c+d = a-b c-d

an d) bn

e)

Rpta.: x = 3 2.2. Proporción geométrica continua (PGC) Cuando los términos medios son iguales y distintos a los otros. Ejemplo 1: En general:

*

n n

cn dn

=

a = b

n n

c d

1 3 = 3 9

* 8 = 4 4 2 a b b = c

b : media proporcional o media geométrica.

144

a c = , se cumple: b d

a:b::c:d

d : cuarta proporcional Ejemplo 2:

2 2

x =

27 * 9 = 3 9

En general:

2 x

=

2

Cuando los términos medios son distintos.

1 2

Ejemplo 3:

de (2) a.d=b.c

Producto de extremos = Producto de medios

1 x1 4

b2 =

c : tercera proporcional b2 = a.c


3ro de Secundaria

Aritmética

P.2. En una PGC

6) Calcula la suma de los 4 términos de una PGC, para la cual se verifica que el producto de los 4 términos positivos es igual a 27 veces la semisuma de los medios.

a b = b c a) Producto de 4 términos: a . b . b . c = b4

Nivel I

b) Producto de 3 términos: a . b . c = b3

P.3. En una PGC a b = = k b c

* b = ck

* a = ck2

P.4. Si: a c e = = =k b d f

a) a = bk ; c = dk ; e = fk

a+c+e b) k = b+d+f

c) k3 =

a.c.e b.d.f

d) kn =

an + cn + en bn + dn + f n

1) El producto de los 4 términos positivos de una PGC es 1 296. Halla la media proporcional.

a) 8 b) 6 c) 9

d) 10 e) 12

2) El producto de los 4 términos positivos de una PGC es 225. Halla la media proporcional.

a) 12 b) 8 c) 9

d) 15 e) 6

3) En una PGC, la suma de los términos extremos es 20 y su diferencia 16. Halla la media propocional si es positiva.

a) 3 b) 64 c) 6

d) 9 e) 81

4) En una PGC, la suma de los términos extremos es 29 y su diferencia 21. Halla la media proporcional si es positiva.

a) 24 b) 16 c) 10

3ro de Secundaria

a) 6 b) 8 c) 9

a) 14 b) 12 c) 16

d) 10 e) 9

7) La suma de los 4 términos de una P.G. es 65 y cada uno de los

3 últimos es

¿Cuál es el último término?

a) 16 b) 8 c) 27

2 del anterior. 3

d) 64 e) 81

8) La suma de los 4 términos de una P.G. es 85 y cada uno de los 3

últimos es

1 del anterior. 4

¿Cuál es el primer término? a) 4 b) 16 c) 64

d) 32 e) 16

9) En una proporción geométrica continua, el producto de sus 4 términos positivos es 312 y además uno de sus extremos es 9 veces el otro. Da como respuesta la suma de sus términos.

d) 8 e) 12

5) Calcula la suma de los 4 términos de una PGC, para la cual se verifica que el producto de los 4 términos positivos es igual al cuádruplo de la suma de los medios.

a) 124 b) 144 c) 164

d) 134 e) 140

d) 7 e) 10


145

Aritmética

10) En una proporción geométrica continua, el producto de sus 4 términos positivos es 28 y además uno de sus extremos es 4 veces el otro. Da como respuesta la suma de sus términos.

a) 14 b) 16 c) 18

d) 20 e) 22

15) En una proporción geométrica continua, la suma de las raíces cuadradas de los extremos es 7. Si la diferencia de los extremos es 7, determina el valor de la media proporcional.

11) El producto de los 4 términos positivos de una proporción geométrica continua es 50 625. Si la suma de los extremos es 34, halla su diferencia.

a) 10 b) 16 c) 14

a) 4 b) 5 c) 3

a) 6 b) 8 c) 12

a) 35 b) 15 c) 30

146

d) 45 e) 25

a) 10 b) 12 c) 15

a) 260 b) 254 c) 250 21) Se sabe que:

d) 18 e) 20

17) La suma de los cuadrados de los 4 términos enteros positivos de una PGC es 7 225. Calcula la media proporcional si la diferencia de extremos es 75.

a) 15 b) 16 c) 12

d) 18 e) 20

18) La suma de cuadrados de los 4 términos enteros positivos de una PGC es 3 025. Calcula la media proporcional si la diferencia de extremos es 25.

a) 15 b) 20 c) 25 19) Si

d) 30 e) 35

d) 245 e) 248

a b = = k; b c

además a, b, c y k son enteros positivos tal que a > b > c > k. Calcula el mayor valor de a si la diferencia entre la suma de extremos y la suma de medios es 450.

a) 800 b) 648 c) 1 800 22) Se sabe que:

d) 9 e) 16

14) En una proporción geométrica, la suma de los términos de la primera razón es 45 y la suma de los términos de la segunda razón es 75. Halla el segundo antecedente sabiendo que la suma de los consecuentes es 48.

16) En una PGC, la suma de raíces cuadradas de los extremos es 9. Si la diferencia de extremos es 9, calcula la media proporcional.

d) 6 e) 2

13) En una proporción geométrica, la suma de los términos de la primera razón es 15 y la suma de los términos de la segunda razón es 25. Halla el primer antecedente sabiendo que la suma de los consecuentes es 16.

d) 16 e) 12

a c 3 = = ; b d 4

además: ab - cd = 780 b - d = 4 calcula b + d.

Nivel II

d) 18 e) 12

12) El producto de los 4 términos positivos de una proporción geométrica continua es 1296. Si la suma de los extremos es 13, halla su diferencia.

a) 8 b) 10 c) 64

20) Si

d) 2 100 e) 2 000 m n = = k; n p

además los términos y la razón son enteros positivos. Calcula el mínimo valor de "m" si (m+p) - (2n) = 100 y m>n>p>k

a) 90 b) 98 c) 121

d) 144 e) 225

a c = = k b d a+5 c+15 además: = b+3 d+9

23) Si

calcula 1/k

a) 2/3 b) 1/3 c) 3/2

d) 3/5 e) 5/3

m p 5 = = n q 4

además: pq = 1 100 + mn p - m = 25 calcula m + p.

a) 35 b) 40 c) 45

d) 50 e) 55


3ro de Secundaria

Aritmética

1 A B = = ; p a b A-9 B+12 además: = ; a - 15 b+20

24) Si

calcula p.

a) 3/4 b) 4/3 c) 3/5

a) 12 b) 14 c) 15

a) 36 b) 25 c) 30

d) 40 e) 15

a) 3 b) 5 c) 7

d) 11 e) 13

28) ¿Cuál es la tercera proporcional de 9 y 12?

a) 16 b) 18 c) 15

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

30) En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 34 y su diferencia es 16. Halla la media proporcional.

a) 12 b) 13 c) 15

d) 24 e) 20


d) 14 e) 16

3ro de Secundaria

a) 6 b) 3 c) 4

d) 5 e) 2

a) 30 b) 32 c) 34

d) 36 e) 38

34) En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Halla la media proporcional.

a) 20 b) 25 c) 29

d) 27 e) 36

35) ¿Cuál es la tercera diferencial de 30 y 23?

a) 15 b) 16 c) 14

d) 13 e) 12


a) 23 b) 21 c) 22

d) 32 e) 40

37) Halla la cuarta diferencial de 32, 24 y 10.

d) 60 e) 10

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

38) Halla la cuarta diferencial de 55, 50 y 19.

33) En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 90 y la diferencia de los mismos es 54. Halla la media proporcional.

27) ¿Cuál es la cuarta proporcional de 36, 12 y 9?

a) 30 b) 45 c) 50

32) La suma de los 4 términos enteros positivos de una proporción geométrica continua es 18. Halla la diferencia de los extremos.

d) 18 e) 20

26) Halla la cuarta proporcional de 6, 15 y 10.

31) En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma 65. Halla la media proporcional.

d) 5/3 e) 2/3

25) Si m : n :: p : q, además la razón de la proporción es "k" y m - q = 15, n - p = 3, k > 5 y es par; calcula el mayor de los términos.


Nivel III

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

39) La tercera proporcional de “a” y 21 es a 14 como 6 es a la tercera proporcional de b y 10. Halla “a+b” si a – b = 4.

a) 50 b) 76 c) 28

d) 46 e) 72

40) Halla la cuarta proporcional de a b

a 2,

a) a/b b) b/a c) a2

y b2 d) b2 e) a2b

41) Halla la cuarta proporcional de a, a.b y b

a) b b) 2b c) b2

d) a2 e) ab

147

Aritmética

42) Completa las partes de la proporción geométrica discreta:

49) Halla la tercera proporcional de 25 y 20.

45) Se llama proporción aritmética discreta cuando:

4 12 = 2 6

a) Tiene 3 términos iguales b) Sus cuatro términos son diferentes.

• 4 y 12 ________________

•

2 y 6 ________________

•

4 y 6 ________________

c) Sus términos medios son iguales.

a) 18 b) 16 c) 12

d) 15 e) 24

50) En una proporción geométrica continua, el mayor de los términos es 18 y el término intermedio es 12. Halla la suma de los cuatro términos.

d) Todos los antecedentes son diferentes.

• 2 y 12 ________________

43) C o m p l e t a l a s p a r t e s d e la proporción geométrica continua: 9 12 = 12 16

• 9 y 12 ________________

• 12 y 16 ________________

• 9 y 16

44) Se llama proporción aritmética continua cuando: a) Sus cuatro términos son iguales. b) Sus cuatro términos son diferentes. c) Sus medios son iguales. d) Los antecedentes son iguales.

a) 1 300 b) 1 200 c) 1 350

d) 1 420 e) 1 500

47) En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la relación de 4 a 9, siendo su suma 65. Halla la media proporcional

________________

• 12 y 12 ________________

148

46) En una proporción geométrica, los extremos suman 75 y su diferencia es 15. Halla el producto de los medios.

a) 30 b) 45 c) 50

d) 60 e) 90

48) En una proporción geométrica continua, los términos extremos están en la misma relación que 4 y 25, y su suma es 116. ¿Cuál es la media proporcional?

a) 40 b) 45 c) 50

a) 42 b) 48 c) 52

d) 60 e) 50

Tres estudiantes fueron a USA. Llegaron a un motel y pidieron rentar un cuarto. El hijo del dueño del motel, que se encontraba en la recepción en el momento que llegaron, les dijo que un cuarto cuesta 30 dolares. Entonces cada uno de los estudiantes saco 10 dolares y asi juntaron los 30 dolares para pagar el cuarto. Después de haber pagado y subido a su cuarto llegó el dueño del motel a la recepción y se dió cuenta que su hijo les cobró demasiado porque el cuarto cuesta solamente 25 dolares, entonces mando a su hijo al cuarto con 5 billetes de 1 dólar. Pero el hijo decidió que va a ser demasiado dificil dividir 5 dólares entre 3 personas, puso 2 dólares en su bolsa y dió un dólar a cada uno de los estudiantes.

d) 60 e) 80


3ro de Secundaria

Aritmética

1) El producto de los cuatro términos

2) La suma de los cuatro términos de una P.G. 1 es 85 y cada uno de los 3 últimos es del 4 anterior. ¿Cuál es el primer término?

positivos de una PGC es 1 296. Halla la media proporcional

a) 8 b) 6 c) 9

d) 10 e) 12


a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

a) 4 b) 16 c) 64


a) 23 b) 21 c) 22

5) Halla la cuarta proporcional de a2;

3ro de Secundaria

a a) b b b) a

d) 32 e) 16

d) 32 e) 40

a y b2. b

d) b2 e) a2b

c) a2


149

Aritmética

Repaso 5) En una reunión de cada 6 hombres hay 5 mujeres. Si en total son 132, calcula la razón aritmética de hombres y mujeres.

Nivel I

1) La razón aritmética de 2 números es 120 y la razón geométrica es 8/3. Calcula la mitad del mayor.

a) 192 b) 96 c) 48

d) 184 e) 98

2) La razón aritmética de 2 números es 80 y la razón geométrica es 3/5. Calcula el doble del menor.

a) 120 b) 60 c) 240

d) 160 e) 280

3) En un salón, el número de alumnos y alumnas están en la razón de 2 a 7. Si en total son 63, ¿cuántos alumnos llevan chompa sabiendo que son la mitad?

a) 5 b) 6 c) 7

d) 12 e) 14

4) En una reunión el número de hombres y mujeres están en la relación de 9 a 5. Si en total son 112, ¿cuántas damas se pintaron los labios sabiendo que eran la cuarta parte?

a) 8 b) 10 c) 11

150

d) 20 e) 40

a) 10 b) 12 c) 18

d) 24 e) 30

6) En una granja, por cada 6 gallinas, hay 10 conejos. Si hay 18 conejos más que gallinas, calcula el número de gallinas.

a) 9 b) 18 c) 27

d) 36 e) 45

a) 25 b) 20 c) 15

d) 10 e) 5

8) En un salón existen 20 alumnos y 18 carpetas. Si se retiran 8 alumnos, calcula la razón geométrica de carpetas a alumnos.

a) 2 : 1 b) 1 : 2 c) 3 : 2

a 3 = b 5

d) 2 : 3 e) 3 : 1


y a + b = 48

calcula a + 2b

a) 78 b) 75 c) 79 10) Si

d) 76 e) 77

m 3 n = 5 y m + n = 170,

calcula n - m

a) 70 b) 60 c) 80

d) 90 e) 100 a 3 b = 2

11) Si

7) En una cesta hay 35 huevos y se rompen 10. Calcula la razón aritmética de huevos “sanos” y “rotos”.

9) Si

calcula a + b

a) 143 b) 156 c) 169

12) Si 5a = 9b calcula “b”

a) 50 b) 60 c) 70

y a - b = 75,

d) 182 e) 195

y a + b = 196, d) 80 e) 90

13) Si 20n = 70b y n - b = 65, calcula n + b

a) 153 b) 135 c) 117

d) 108 e) 99

3ro de Secundaria

Aritmética

c a b = = 5 2 3

14) Si

y

a + b + c = 60, calcula “b”

a) 12 b) 15 c) 18

d) 21 e) 24

p m n = = 7 5 6

15) Si

y

m + n + p = 198, calcula “p”

a) 51 b) 49 c) 63

d) 70 e) 77

Nivel II

16) Si

c a b y = = 12 4 8

a + b + c = 42, calcula “c”

a) 7 b) 14 c) 21

17) Si

d) 28 e) 35

12 a = 15 20

m + n + p = 110, calcula “n”

a) 30 b) 33 c) 35

d) 37 e) 39

y

calcula “b - a”

a) 9 b) 10 c) 11

24 120 ; = 5 b

a) 11/20 b) 9/10 c) 7/20

d) 13/20 e) 19/20

a) 11 b) 7 c) 11/2

d) 7/2 e) 11/4

a) 1/9 b) 1/27 c) 1/36

d) 1 e) 3/2

a) 4 b) 6 c) 8

d) 16 e) 2

24) Calcula la cuarta diferencial de 1/2, 1/3 y 1/5 18) Dadas las proporciones geométricas x 9 = 4 12

y

calcula “x + y”

a) 5 b) 6 c) 7

6 18 ; = y 12

d) 8 e) 9

3ro de Secundaria

a) 1/10 b) 1/15 c) 1/20

a) 1 b) 1/4 c) 3/2


d) 39 e) 24

a)

4 1

d)

5 1

b)

3 4

e)

6 5

c)

2 1

29) En una proporción geométrica continua la suma de los 4 términos es 64 y la diferencia entre los extremos es 48. Halla la suma de los extremos.

a) 49 b) 50 c) 51

d) 52 e) 48

30) En una proporción geométrica continua la suma de los términos extremos es 60 y la de los antecedentes es 24. Calcula la media diferencial de la media proporcional y uno de sus extremos.

d) 1/25 e) 1/30

d) 4 e) 8

a) 18 b) 20 c) 26

25) Calcula la cuarta proporcional de 4, 2 y 1/2

d) 35 e) 28

28) La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es a la diferencia de sus extremos como 3 es a 1. ¿Cuál es la razón geométrica del extremo mayor y el extremo menor?

23) Calcula la media proporcional de 8 y 2

a) 21 b) 22 c) 23

27) La suma de la media diferencial de 38 y 12 con la cuarta diferencial de 15; 10 y 19 es igual a:

21) Calcula la media diferencial de 25/3 y 8/3

22) Calcula la media proporcional de 1/3 y 3

d) 12 e) 13

20) Calcula la media diferencial de 1/2 y 3/5

p m n y = = 12 14 18

26) Si la media proporcional de "a" y "b" es 14 y la tercera proporcional de "a" y "b" es 112, ¿cuál es la diferencia entre "a" y "b"?

19) D a d a s l a s p r o p o r c i o n e s geométricas:

a) 36 b) 28 c) 48

d) 40 e) 32

151

Aritmética

35) En una proporción geométrica la suma de los dos primeros términos es 20 y la suma de los 2 últimos términos es 25. Halla el menor de los términos medios si la suma de los consecuentes es 27.

Nivel III

31) En una proporción geométrica continua la suma de los extremos excede a la suma de los medios, en la unidad. Además el producto de sus términos es 1 296. Halla la suma de la media proporcional y sus extremos.

a) 19 b) 20 c) 21

d) 22 e) 23

32) En una proporción aritmética continua los extremos son entre sí como 7 es a 3. Si 10 es la tercera proporcional de la suma de los extremos con la media diferencial de la proporción inicial, calcula la suma de los extremos de la última proporción.

a) 50 b) 20 c) 30

a) 30 b) 26 c) 40

a) 8 b) 4 c) 6

152

d) 10 e) 12

aa+1 aa = b aa

y además la suma de los términos de esta proporción es 144, calcula el valor de la media proporcional. a) 16 b) 27 c) 32

a) 9 b) 6 c) 8

a) S/.120 b) S/.240 c) S/.360

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

40) Se reparte S/.1 593 en forma DP a dos cantidades de modo que ellas estén en la relación de 52 a 7. Halla la suma de las cifras del número mayor.

d) 9 e) 25

a) 6 b) 9 c) 12

d) 15 e) 18

41) S e r e p a r t e u n a s u m a d e dinero en forma DP a las edades de dos personas que son 2 números impares consecutivos. Si el menor recibió S/. 400 menos que el mayor, ¿cuál es la edad del menor si la cantidad repartida fue S/.1 600?

d) 7 e) 10

38) Tres amigos se asocian para poner un negocio. Juan pone S/.8 000, Peter los 3/4 de lo que puso Juan y Walter el resto, completando así un total de S/.20 000. Si al cabo de un año se produce una ganancia de S/.1 200, ¿cuánto le corresponde a Walter?

d) 18 e) 10

37) En una proporción geométrica la suma de los extremos es 21; la suma de los medios es 19 y la suma de los cuadrados de los cuatro números es 442. Halla la suma de las cifras del mayor de los cuatro términos.

d) 36 e) 42

34) En una proporción aritmética continua, el primer antecedente es mayor en 8 unidades que el segundo consecuente. Calcula el término medio sabiendo que el producto de sus términos diferentes es 120, siendo todos los términos enteros.

a) 14 b) 12 c) 16 36) Sabiendo que:

d) 40 e) 56

33) En una proporción geométrica discreta, el producto de los antecedentes es 120 y el producto de los consecuentes es 270. Si la suma de los 2 términos de la primera razón es 25, ¿cuál es la suma de los términos de la segunda razón?

39) Divide el número 2 877 en partes proporcionales a 422; 283 y 562. Da la suma de las cifras del número mayor obtenido.



42) Cuatro socios al iniciar un negocio aportaron como sigue: dos de ellos S/.1 500 y los otros dos S/. 2 000. Luego de 2 años de haberse iniciado el negocio y a cuatro años de su fin entró un quinto socio aportando S/.5 000. ¿Cuál fue la ganancia total si el último sólo ganó S/.2 000?

a) S/.5 400 b) S/.5 800 c) S/.6 000

d) S/.6 200 e) S/.6 400

d) S/.450 e) S/.540


3ro de Secundaria

Aritmética

43) Divide 950 entre A, B y C de modo que la parte de "A" sea a la de "B" como 4 es a 3 y la parte de "B" sea a la de "C" como 6 es a 5. Halla la mayor parte.

a) 400 b) 500 c) 600

d) 700 e) 800

44) Tres técnicos deben repartirse S/.423 890 por haber ensamblado televisores y radios. El primero 2 televisores y 20 radios; el segundo 5 televisores y 12 radios y el tercero 6 televisores. Si el trabajo de un televisor es equivalente al de 5 radios, ¿cuánto recibió el segundo técnico?

a) S/.161 690 b) S/.163 780 c) S/.162 890 d) S/.161 380 e) S/.165 790

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

46) Una circunferencia se divide en ángulos centrales DP a los 23 primeros números naturales consecutivos. Halla el mayor ángulo.

a) 30° b) 31° c) 32°

a) 25 b) 30 c) 40

d) 35 e) 45

48) Tres ciclistas se ponen de acuerdo para repartirse S/.6 200 por competir en una carrera. Si los tiempos utilizados por estos fueron 2; 3 y 5 minutos, halla cuánto recibe el más veloz.

a) 1 000 b) 1 200 c) 1 500

49) Se reparte una suma de dinero proporcionalmente a las edades de tres hermanos que son números consecutivos. Si al mayor le tocó el triple del menor, halla la suma de las edades.


50) Se reparte el número 840 en dos partes DP a 3 y 4. ¿Cuál es la diferencia de repartir IP con respecto al número mayor?

d) 3 000 e) 3 500


a) 100 b) 360 c) 120

d) 140 e) 150

El Ábaco

45) Al repartir 729 en partes proporcionales a 3a2, 3a3 y a4, al menor le corresponde 27. Halla "a" si es entero.

47) Divide 500 en partes DP a 8!, 9! y 10!. Halla la parte intermedia.

d) 33° e) 34°

3ro de Secundaria

Fueron los egipcios quienes 500 años a.C. inventaron el primer dispositivo para calcular, basada en bolitas atravesadas por alambres. Posteriormente, a principios del segundo siglo d.C., los chinos perfeccionaron este dispositivo, al cual le agregaron un soporte tipo bandeja, poniéndole por nombre Saun-pan. El ábaco permite sumar, restar, multiplicar y dividir. La palabra ábaco proviene del griego ABAX que significa “una tabla o carpeta cubierta de polvo”. Este dispositivo, en la forma moderna en que lo conocemos, realmente apareció en el siglo XIII d. C. y sufrió varios cambios y evoluciones en su técnica de calcular. Actualmente está compuesto por 10 columnas con 2 bolillas en la parte superior y 5 en la parte inferior. Los japoneses copiaron el ábaco chino y lo rediseñaron totalmente a 20 columnas con 1 bolita en la parte superior y 10 en la inferior, denominado soroban. El ábaco sigue estando en uso por almaceneros en Asia y en “China Towns” en Norteamérica. El uso del ábaco sigue siendo enseñado en las escuelas de Asia, y algunas pocas escuelas en el Oeste. Niños ciegos son enseñados para usar papel y lápiz para realizar cálculos. Un uso particular para el ábaco es enseñar matemáticas simples a niños y especialmente multiplicaciones. El ábaco es un excelente sustituto para memorización rutinaria de las tablas de multiplicar, una particularmente detestable tarea para los niños jóvenes. El ábaco es también una excelente herramienta para enseñar otros sistemas de base numérica desde que es fácilmente adaptable por sí mismo a cualquier base.


153

Aritmética

Promedios Introducción

3. PROMEDIO ARMÓNICO

Juan, alumno de 2.º de secundaria, enseña su libreta del colegio a Pedro, ambos alumnos y amigos. Las notas fueron: Nota Aritmética 18 Álgebra 10 Geometría 08 Física 13 Raz. Matemático 16

1. PROMEDIO ARITMÉTICO Llamado también Media Aritmética (Ma) o simplemente «promedio». Dados 4 números: 4; 13; 12 y 17, la media aritmética es: 4 + 13 + 12 + 17 Ma = 4

= 11,5

Para : a1, a2, a3, ..., an Ma =

Mh =

Promedio : 13

En ese momento, llega el papá de Juan y le pregunta: «Bien hijo,... ¿y? ¿Con cuánto pasas a 3.º de secundaria?», y Juan responde: «Con 18 papi». Pedro le queda mirando y le dice; «Oye, no!, dile el promedio». «Ah... sí, lo olvidé. Con 13, papi». Bien, así es, de un grupo de notas existe uno llamado «promedio» que les representa. Pero esta semana aprenderás que este promedio puede ser de 3 tipos: aritmético, geométrico y armónico. Lo obtenido en las notas es aritmético.

Llamado también Media Armónica (Mh). Dados 4 números: 2 ; 5 ; 2/3 y 1, la media armónica es:

a1 + a2 + a3 + ... +an n

2. PROMEDIO GEOMÉTRICO

4 1 1 + 2 5

+

Mh = 1,25

Para : a1, a2, a3, ..., an Mh =

1 2 3

1 1 1 1 + + +...+ a1 a2 a3 an

Propiedades  Si todos los números son iguales, entonces: Ma = Mg = Mh = mismo número.  Si todos los números son distintos, entonces: a) Número < Promedio < Número Menor Mayor

b) Mh < Mg < Ma

Dados 3 números: 12 ; 3/8 y 6, la media geométrica es: 3

Mg = 12 x

3 x 6 8

154

= 3 27 = 3

Para : a1, a2, a3, ..., an Mg = n a1. a2 . a3 . ... . an


1 1

n

Llamado también Media Geométrica (Mg).

+

3ro de Secundaria

Aritmética

4. PROMEDIO DE GRUPOS * El promedio de las aulas es variante. Aula

N.º Alumnos

Promedio

A

20

17

B

30

12

50

10

C

4) El promedio de 30 alumnos de la clase «A» es 16; de la clase «B», que tiene 40 alumnos, es 14; y de la clase «C», que tiene 50 alumnos, es 12. Halla el promedio de las tres clases.

El promedio de las 3 aulas es: 17 + 12 + 10 = 13 3

¡No!

20 x 17+30 x 12+50 x 10 Así : = 12 20 + 30 + 50

a) 13,2 b) 13,4 c) 13,6

d) 14,2 e) 14,6

* La temperatura media de una ciudad durante el mes de noviembre fue variante: Fecha N.º de Temperatura días media 1 al 5

5

16° C

6 al 20

15

17° C

21 al 30

10

22° C

La temperatura media en todo el mes fue: 5 x 16 + 15 x 17 + 10 x 22 = 18,5ºC 5 + 15 + 10

5. PARA 2 NÚMEROS A Y B

A+B (a) Ma = 2

(b) Mg2 = Ma . Mh

5) En una clase de 40 alumnos, la estatura promedio de los hombres, que son 25, es 1,68 m y el promedio de las mujeres es 1,62m. ¿Cuál es el promedio de la clase?

Mg = AB ; Mh =

2) Marco calcula el promedio de sus 5 primeras prácticas y resulta 13. Si en las 2 siguientes prácticas obtuvo 14 y 16, ¿cuál es su promedio ahora?

1) Juan Carlos ha obtenido en las cuatro primeras prácticas de aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál debe ser su nota en la quinta práctica para que su promedio sea 13?

a) 16 b) 18 c) 19

d) 14,25 e) N.A.




a) 90 b) 92 c) 94

d) 98 e) 88

7) En una partida de póquer se encuentran 5 personas cuyo promedio de edades es 32 años. Si ninguno tiene menos de 24 años, ¿cuál es la máxima edad que puede tener uno de ellos?

3) El promedio de las edades de 6 personas es 26. Si se retiran 2 de ellas, el promedio de los que quedan es 23 años. ¿Cuál es la suma de las edades de las personas que se retiraron?

d) 20 e) 21

3ro de Secundaria

a) 13,42 b) 13,57 c) 12,58

d) 1,66 m e) 1,67 m

6) El promedio de las notas de un grupo de 6 alumnos es 78. Si ninguno de ellos obtuvo menos de 74, ¿cuál es la máxima nota que pudo obtener uno de ellos?

2AB A+B

Nivel I

a) 1,63 m b) 1,64 m c) 1,65 m



8) Un ciclista va de Lima a Chorrillos con una velocidad de 60 km/h y regresa a razón de 40 km/h. Halla la velocidad promedio del recorrido.

a) 45 km/h b) 48 km/h c) 50 km/h

d) 52 km/h e) N.A.

155

Aritmética

9) En la última competencia de Caminos del Inca, la velocidad promedio de Lima a Cusco fue de 120 km/h y de Cusco a Lima de 130 km/h. ¿Cuál fue la velocidad promedio para todo el recorrido?

a) 124,2 km/h d) 126 km/h b) 124,8 km/h e) N.A. c) 125 km/h 10) La media geométrica de 3 números enteros positivos distintos es 7. Calcula su media aritmética.

15) H a l l a « x » s i e l p r o m e d i o geométrico de 2x; 22x y 8x es 1024.

a) 13 b) 15 c) 17

d) 19 e) 21

a) 2 b) 3 c) 2,5

d) 3,5 e) 2,3

a) 1 b) 4,5 c) 3,5

d) 4 e) 8

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

a) 7 y 3 b) 8 y 2 c) 6 y 4

156

d) 8 y 7 e) 9 y 13


a) 10 b) 11 c) 12

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

a) 04 b) 08 c) 12

d) 19 e) 20

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

23) El promedio de las notas de un alumno en sus tres primeras prácticas es exactamente 12. Si en la cuarta práctica obtiene 08, ¿cuál será el nuevo promedio?

d) 13 e) 9

20) El promedio de cuatro exámenes de un mismo alumno es 13. Si tres de ellos suman 48, ¿cuál es la cuarta nota?


19) El promedio aritmético de 13 números es 18. Si 3 de ellos suman 34, ¿cuál es el promedio de los demás?

a) 16 b) 17 c) 18

22) El promedio de notas de 27 alumnos es 15. Si a todos los alumnos se les aumenta un punto en su examen, ¿cuál será el nuevo promedio?

d) 9 e) 10

18) Si el promedio aritmético de 20 números es 11 y dos de ellos suman 40, ¿cuál es el promedio de los otros 18 números?

14) Halla 2 números, sabiendo que su media aritmética es 5 y su media armónica es 24/5.

a) 6 b) 7 c) 8

17) El promedio de las edades de 5 personas es 11,4. Si una de ellas tiene 13 años, ¿cuál es la edad promedio de las restantes?

13) Halla el promedio de las siguientes notas de Julio: 15, 10, 14, 5.

16) S e s a b e q u e e l p r o m e d i o aritmético de dos números es 12 y el P.H. es 3. ¿Cuál es el promedio geométrico de los 2 números?

12) La media geométrica y la media armónica de 2 números son 2 y 4. Calcula su media aritmética.

d) 5 e) 6

Nivel II

11) La media geométrica de 3 enteros positivos distintos es 2. Calcula su media aritmética.

a) 2 b) 3 c) 4

21) El promedio de notas de ocho estudiantes es 12. Si sólo uno obtuvo 10 y nadie desaprobó, ¿cuál es la máxima nota que pudo obtener uno de ellos?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 09 e) 13

24) El promedio de las edades de cinco estudiantes es 15 años. Si ninguno de ellos es mayor de edad, ¿cuál es la menor edad que puede tener uno de ellos?



25) Halla el promedio aritmético de 8, 12, 20 y 24.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 16 e) 20

d) 16 e) 20


3ro de Secundaria

Aritmética

26) El promedio geométrico de 3; 9; 27; ...; 3n es 243. Halla «n».

a) 9 b) 10 c) 8

d) 11 e) 12

27) Si el cociente de 2 números es 4, siendo la diferencia entre su M.A. y su M.G. la unidad, determina su M.H.

a) 2,5 b) 2,7 c) 3

d) 4 e) 3,2

28) La media aritmética de 30 números es 20. Si se quita 2 de éstos cuya media aritmética es 48, ¿en cuánto disminuye la media aritmética de los restantes?

a) 1 b) 1,5 c) 2

a) 1 010 b) 1 005 c) 1 110,5


a) 75 b) 76 c) 77

a) 78,4 b) 70 c) 21,3

d) 78 e) 79

32) El promedio aritmético de 100 números es 24,5. Si cada uno de éstos se multiplica por 3,2; el promedio aritmético es: d) 50 e) 87,6

33) Si el promedio de 21 números consecutivos es 2 100, ¿cuál es el mayor?

d) 2 098 e) 1 049

30) La edad promedio de 5 alumnos del ciclo anual es 17 años. Si ninguno es menor de 15 años, ¿cuál es la máxima edad que uno de ellos puede tener?

31) El promedio aritmético de 30 números es 14. Si agregamos un número, el promedio se incrementa en 2 unidades. ¿Qué número estamos agregando?


a) 132 b) 125 c) 110

d) 126 e) 120

34) La edad promedio de 6 personas es 64 años. Si ninguna de ellas es mayor de 70 años, entonces la mínima edad que puede tener cualquiera de ellas es:



35) La edad promedio de 5 personas es 54 años. Si ninguna de ellas es menor de 50 años, entonces la máxima edad que puede tener cualquiera de ellas es:

3ro de Secundaria




a) 41 b) 44 c) 42

d) 46 e) 40

37) ¿Cuál es el número menor si la media aritmética de 3 números es 28? Además uno de ellos es 26 y la diferencia de los otros dos es 14.

a) 18 b) 20 c) 24

d) 19 e) 22

38) El promedio armónico de 20 números es 36. Calcula el promedio armónico de sus terceras partes.

d) 2,5 e) 3

29) Encuentra la media aritmética del mayor número de 3 cifras diferentes con el menor número de 4 cifras significativas.

36) ¿Cuál es el número mayor si la media aritmética de 3 números es 30? Además uno de ellos es 24 y la diferencia de los otros dos es 18.

Nivel III

a) 49/120 b) 49/240 c) 49/2

d) 35/12 e) 27/12

39) Calcula el número cuya media armónica de su tercera parte y su sexta parte es 10 2 . 3

a) 49/120 b) 49/240 c) 49/2

d) 35/12 e) 27/12

40) Un automovilista viaja de Ica a Tacna a razón constante de 120 km/h y retorna a razón constante de 80 km/h. Calcula la velocidad promedio en todo su recorrido.

a) 100 km/h b) 96 km/h c) 92 km/h

d) 90 km/h e) 88 km/h

157

Aritmética

41) Halla “n”, sabiendo que el promedio geométrico de los números 2; 4; 8; 16; … (“n” números) es igual a 1 024.

a) 6 b) 8 c) 7

d) 9 e) 10

42) La media aritmética de dos números es 25/2. Si la M.G. de los mismos es 12, calcula la media armónica de dichos números.

a) 12,2 b) 13,2 c) 14,6

d) 11,52 e) 17,9

43) La media aritmética de dos números es 27. Si la M.H. de los mismos es 18, calcula la media geométrica de dichos números.

a) 45 b) 6 5 c) 4 5

d) 9 e) 9 5

44) El promedio geométrico de 3 números pares diferentes es 6, entonces la M.A. de dichos números es:

a) 7

d) 8

b) 9

e)

20 c) 3

26 3

50) ¿Cuál es el promedio armónico de 60 números si el promedio armónico de 20 de ellos es 18 y el promedio armónico de los 40 restantes es 54?

45) La media geométrica de 3 números pares diferentes es 4, entonces la M.A. de dichos números es: 17 a) 3 15 b) 2

d) 6 e)

14 3

c) 5

46) Sean los números A y B. Calcula M.G. si A = 9B. M.H.

a) 1/4 b) 2/5 c) 5/2

d) 3/5 e) 5/3

47) Sean los números A y B. M.H. Calcula si A = 4B. M.G.

a) 2/5 b) 5/2 c) 3/5

d) 5/4 e) 4/5

48) El producto de la M.A. de 2 números por su M.H. da como resultado 1 024. Calcula la M.G.

a) 6 2 b) 2 2 c) 4 2

d) 8 e) 4

49) El producto de la M.A. de 2 números por su M.G. y por su M.H. da como resultado 4 096. Calcula la M.G.

a) 18 b) 32 c) 8

d) 6 e) 16

a) 30,4 b) 31,2 c) 32,2

d) 30,2 e) 32,4

¿Cómo se calcula el cuadrado de un número utilizando promedios?

Se dice que los primeros en aplicar las potencias fueron los sacerdotes mesopotámicos. Así se ha deducido de unas tablillas encontradas en las orillas del río Éufrates. De acuerdo a lo estampado en ellas, los sacerdotes resolvían la multiplicación sin recurrir al ábaco, tan usado en esa época. Para solucionarla empleaban la tabla de cuadrados y se basaban en el siguiente principio: “El producto de dos números es siempre igual al cuadrado de su promedio menos el cuadrado de la mitad de su diferencia”. Vamos a comprobarlo con 5 y 3. El promedio de los dos es 4 y el cuadrado de 4 es 16. La diferencia entre 5 y 3 es 2, y su mitad corresponde a 1. 16 - 1 = 15 y 3 . 5 = 15 ¡Muy cierto!

158


3ro de Secundaria

Aritmética

1) Juan Carlos ha obtenido en las cuatro primeras prácticas de aritmética: 11; 13; 10 y 12. ¿Cuál debe ser su nota en la quinta práctica para que su promedio sea 13?

a) 16 b) 18 c) 19

d) 20 e) 21

2) La media geométrica de 3 enteros positivos distintos es 2. Calcula su media aritmética.

3) Si la media aritmética de dos números es 10 y la media geométrica es 5, calcula su media armónica.

a) 1 b) 0,5 c) 2,5

d) 1,5 e) 2

a) 2 b) 3 c) 2,5

d) 3,5 e) 2,3

4) Halla x si el promedio geométrico de 2x, 22x y 8x es 1024.

a) 2

d) 5

b) 3

e) 6

c) 4

5) El promedio aritmético de a; b y c es 29. Si b es el promedio aritmético de 12 y 20, halla (a + c).

3ro de Secundaria

a) 72

d) 62

b) 61

e) 51

c) 71


159

Aritmética

Regla de Tres Simple Se usan cuando intervienen dos magnitudes y cada una con dos cantidades, en total cuatro, pero una no se conoce.

A. Simple Directa Cuando las dos magnitudes que se comparan son D.P. Ejemplo 1: Si 60 naranjas cuestan 18 soles, ¿cuánto costarán 40 naranjas?

B. Simple Inversa Cuando las dos magnitudes que se comparan son I.P. Ejemplo 1: 12 obreros pueden terminar una obra en 18 días. ¿Cuántos obreros terminarán la misma obra en 27 días? Resolución: Obreros

Resolución: Naranjas

-

Soles

60

18

40

x

-

Días

12

18

x

27

+

12 . 18 = (x) (27)

Son IP:

Lo acabarán:

60 40 = 18 x

Son DP:

x = 8 obreros

x = 12 soles Ejemplo 2: Ejemplo 2: Se necesitan 24 obreros para sembrar 30m2 de un terreno fértil. ¿Cuántos obreros más se necesitarán para sembrar otro terreno de 35 m2?

Una rueda de 24 dientes engrana con otra rueda de 60 dientes. Si la primera da 300 vueltas, ¿cuántas vueltas dará la segunda? Resolución:

Resolución: Obreros 24

+

24+x

Son DP:

Dientes

m2 30 35

24 24+x = 30 35

Se necesitarán:

Arquímedes 298 a.C. - 212 a.C.

+

+ Son IP:

Vueltas

24

300

60

x

-

(24) (300) = (60) (x) 120 = x

dará 120 vueltas

Fue uno de los matemáticos más grandes de los tiempos antiguos. Nativo de Siracusa, Sicilia, fue asesinado durante su captura por los romanos en la Segunda Guerra Púnica. Cuentos de Plutarco, Livio y Polibio describen máquinas, incluso la catapulta, la polea compuesta, y un ardiente-espejo, inventadas por Arquímedes para la defensa de Siracusa. Pasó algún tiempo en Egipto, donde inventó un aparato ahora conocido como el "tornillo de Arquímedes". Arquímedes hizo muchas contribuciones originales a la Geometría en las áreas de figuras planas y las áreas y volúmenes de superficies curvas. Sus métodos anticipaban el Cálculo integral 2000 años antes de ser «inventado» por el Señor Isaac Newton y Gottfried Wilhelm von Leibniz. El fue conocido también por la aproximación de pi (entre los valores 310/71 y 31/7) obtenido por circunscribir e inscribir un círculo con polígonos regulares de 96 lados entre otros.

x = 4 obreros más

160


3ro de Secundaria

Aritmética

1) Si 35 velas cuestan 20 soles, ¿cuánto costarán 3 docenas y media?

a) S/. 24 b) S/. 28 c) S/. 30

d) S/. 32 e) S/. 36

2) El alquiler de 5 meses de una casa cuesta 800 soles. ¿Cuántos meses más se alquilará la casa si se paga 1120 soles?

a) 7 b) 5 c) 3

d) 2 e) 1

a) S/. 1350 b) S/. 675 c) S/. 405

d) S/. 450 e) S/. 270

a) 2m b) 2,50m c) 3,6m

d) 2,40m e) 2,70m

3ro de Secundaria

d) b e) ab2

a) mn m+n

b) m(m+n) n m+n c) mn

n(m+n) m m e) n d)

7) Un obrero realiza una obra en 28 días trabajando 12 horas diarias. Si hubiese trabajado 6 horas diarias, ¿en cuántos días haría la misma obra?

a) 35 días b) 49 días c) 42 días


8) En 30 días se culmina una obra si se trabaja 8 horas al día; pero si se trabajaría 2 horas menos por día, ¿cuántos días demoraría la obra?

a) 138 b) 200 c) 215

d) 272 e) 296

c) a

4) Un árbol de 12 m da una sombra de 16 m. ¿Qué sombra proyecta una persona de 1,80 m a la misma hora?

b2 a) a a2 b) b

10) 1800 soldados tienen comida para 5 meses. Por oden del mayor, se retiran 300 soldados, entonces, ¿cuántos meses durará la comida?

6) "m" obreros hacen "n" obras. ¿Cuántas obras harán (m+n) obreros?

3) Juan y Pedro alquilan una casa. Juan ocupa los 4/13 de la casa y al mes le toca pagar 180 soles. ¿Cuánto le tocará pagar a Pedro?

9) 1360 hombres tienen víveres para 8 meses. ¿Cuántos hombres deben retirarse si se desea que los víveres duren 10 meses?

5) Con "a" soles compro "b" figuritas. ¿Cuántas figuritas compraré con "b" soles?

Nivel I




a) 5 1/2 b) 6 c) 6 1/2

d) 7 e) 8

11) Un automóvil tarda 7h 30min en ir de Lima a Chimbote con una rapidez de 60km/h. Si la velocidad se triplica, ¿cuánto tiempo emplearía?

a) 3 h 20 min d) 2 h 20 min b) 2 h 30 min e) 4 h 30 min c) 3 h 30 min

12) Si un vehículo viaja a 80 km/h hace un trayecto en 6 horas, pero si va a 60 km/h, ¿cuánto más tardará en hacer el mismo trayecto?

a) 2h b) 3h c) 6h

d) 7h e) 8h

161

Aritmética

18) Dos hermanas son propietarias de una casa. Al venderla la hermana menor, como es dueña de los 7/12 recibe 8 400 dólares. ¿Cuánto recibe la mayor?

13) Si 20 hombres demoran 15 días en hacer una obra, ¿cuánto más demorarán si son 5 hombres menos?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

14) "H" obreros pueden efectuar una obra en "D" días. ¿Cuántos días demorarán "R" obreros?

a) HD R HR b) D DR c) H

R HD D e) HR

a) m b) 24 c) 20

d) m/5 e) 15

a) 9 200 b) 10 800 c) 11 200

a) 10 b) 20 c) 30

162

d) 40 e) 36

a) 120 b) 180 c) 240

d) 300 e) 320

a) 1325 b) 1315 c) 1265

d) 1285 e) 1305

21) Si 20 obreros construyen 28m de pared en cada día, ¿cuál será el avance diario si se retiran 5 obreros?

a) 13m b) 20m c) 21m

a) 6 b) 7 c) 8

a) 200 b) 250 c) 125

a) 6 b) 9 c) 18

d) 12 e) 10

26) Un cubo de madera cuesta 12 soles. ¿Cuánto costará otro cubo de la misma madera, pero de doble arista?

a) S/.24 b) S/.48 c) S/.60

d) S/.72 e) S/.96

27) Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó S/.3 600, ¿cuánto se pagará por un cubo de 15 cm de arista?

a) S/.32 400 b) S/.30 000 c) S/.52 000

d) S/.97 200 e) S/.10 800

28) Un agricultor puede arar un terreno rectangular en 8 días. ¿Qué tiempo empleará en arar otro terreno también rectangular, pero del doble de dimensiones?

d) 9 e) 10

23) Si un tornillo cuando da 40 vueltas penetra 8mm en una madera, ¿cuántas vueltas más debe dar para que penetre 50mm?

a) 8:48 p.m. d) 10:00 a.m. b) 10:00 p.m. e) 10:48 p.m. c) 8:48 a.m.

25) Un reloj se está adelantando hace 1 semana. Si se adelanta 1/4 hora cada 14 h, ¿cuántas horas está adelantado?

d) 25m e) 30m

22) Si para pintar 75 m2 de superficie son necesarios 30 galones de pintura, ¿cuántos galones serán necesarios para pintar 15m2?

d) 12 300 e) 12 400

17) Una rueda A de 50 dientes engrana con otra B de x dientes. Halla "x" si cuando A da 200 vueltas, entonces B da 300 vueltas más.

20) Si 8 polos tienen un precio de 145 soles, ¿cuál será el precio en soles de 6 docenas de polos?

Nivel II

16) Una rueda de 28 dientes engrana con otra de 18 dientes. Si la primera da 7200 vueltas, ¿cuántas vueltas da la segunda?

d) 7 000 e) 4 500

19) 800 obreros pueden realizar una obra en 420 días. Si se desea que la obra se termine en 120 días menos, ¿cuántos obreros deben contratarse?

d)

15) "m" obreros terminan una obra trabajando 8 horas diarias. Entonces (2/5)m obreros, ¿cuántas horas diarias necesitarán?

a) 4 000 b) 5 000 c) 6 000

24) Si cada 3 horas un reloj se atrasa 2 minutos y hace 1/2 día está que se atrasa, ¿qué hora será realmente si marca 9:52 p.m.?



d) 210 e) 212


3ro de Secundaria

Aritmética

29) Un buey atado a una cuerda de 2,5m de longitud puede comer la hierba que está a su alcance en 3 días. ¿Cuántos días emplearía si la longitud de la cuerda fuera 5m?



34) Cuarenta kilos de agua salada contienen 3,5 kg de sal. ¿Qué cantidad de agua se debe dejar evaporar para que 20 kg de la nueva mezcla contengan 3 kg de sal?

30) En un corral que tiene forma de un cuadrado de 6m de lado, un caballo puede comer 80 kg de pasto. ¿Cuántos kilos de pasto comerá en un corral de la misma forma, pero de 3m de lado?

a) 40 b) 50 c) 20

d) 10 e) 30

Nivel III



a) S/.64 b) S/.96 c) S/.144

33) Un agricultor puede arar un terreno rectangular en 8 días. ¿Qué tiempo empleará en arar otro terreno también rectangular, pero del doble de dimensión?


a) 920 b) 840 c) 750

d) 900 e) 800

a) 6 300 b) 2 800 c) 3 000

a) 8 b) 7 c) 10

c)

d)

hr h−d

e) d + r

hd h+r

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

40) Un barco tiene víveres para 33 días, pero al inicio de la travesía se suman 4 personas más y por ello los víveres sólo alcanzarán para 30 días. ¿Cuántas personas había inicialmente en el barco?

a) 44 b) 36 c) 40

d) 45 e) 72

41) En un campamento “n” hombres tienen alimentos para “d” días. Si estos alimentos deben alcanzar para “3d” días, ¿cuántos hombres deben disminuir?

a) n/3 b) n/6 c) 2n/3

d) 3n/4 e) n/2

42) Un pueblo de 1 000 adultos y 500 niños necesita 8 toneladas de arroz para 30 días. ¿Cuántas toneladas de arroz necesitará quincenalmente otro pueblo de 2 500 adultos y 2 000 niños, si en esta ciudad el consumo es 25% mayor que en la anterior, sabiendo además que un adulto consume el doble que un niño?


hd a) r hd b) h−r

39) Un grupo de jardineros emplean 6 días en cultivar 420 m2. ¿Cuántos días más emplearán para cultivar 560 m2?

d) 12 e) 15


3ro de Secundaria

d) 3 500 e) 2 100

37) Un albañil tenía pensado hacer un muro en 15 días, pero tardó 3 días más por trabajar 3 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente?

d) S/.128 e) S/.256

1 kg 2

36) Una fábrica de conservas tiene una producción mensual de 9 100 latas con 13 máquinas trabajando. Si tres máquinas se malograron, ¿en cuánto disminuye la producción mensual de latas?

32) Para pintar un cubo se gastó S/. 32. Si se duplica su arista se gastará:

c) 19

d) 25 1 kg 3 1 e) 23 kg 3

35) En una carrera de 2 000 metros, José ganó a Pedro por 400 metros y Pedro ganó a Luis por 500 metros. ¿Por cuántos metros ganó José a Luis?

31) Un barco tiene víveres para 72 tripulantes durante 33 días, pero sólo viajan 66 personas. ¿Cuánto tiempo durarán los víveres?

a) 16 2 kg 3 2 b) 18 kg 3

38) Si “h” hombres hacen un trabajo en “d” días; entonces “h + r” hombres harán el mismo trabajo en:

a) 14,7 b) 4,9 c) 10,5

d) 7,35 e) 7

163

Aritmética

43) Un hombre y 2 niños pueden hacer un trabajo en 24 días. Determina el tiempo necesario en que 2 hombres y un niño puedan hacer un trabajo que es el quíntuplo del anterior, sabiendo que el trabajo de un hombre y el de un niño están en la misma relación que los números 3 y 2.



a) 980 km b) 1 040 km c) 1 620 km

d) 1 220 km e) 1 800 km

d) 6,8 e) 8,4

a) 960 b) 970 c) 980

d) 990 e) 1 000

48) Un terreno de 10 acres puede alimentar a 12 bueyes por 16 semanas o a 18 bueyes por 8 semanas. ¿Cuántos bueyes podrán alimentarse en un campo de 40 acres durante 6 semanas si el pasto crece regularmente todo el tiempo?

a) 32 b) 70 c) 128

d) 96 e) 88

49) 8 obreros en 5 días a 10 h/d han dado 2 manos de pintura a un círculo de 5 m de radio. ¿Cuántos obreros de doble rendimiento serán necesarios para que en 8 días de 8 h cada uno den 4 manos de pintura a un círculo de 6m de radio?

164

a) 4,8 b) 6,4 c) 4,5

47) En un zoológico se necesita 720 kg de carne para alimentar a 5 leones durante el mes de noviembre. ¿Cuántos kilos de carne se necesitará para dar de comer a 3 leones más durante 25 días?


45) Por transportar 20 toros hasta una distancia de 800 km, pesando cada toro 900 kg, nos cobran S/.4 000. ¿Qué distancia se habrá transportado 30 toros de 800 kg cada uno si nos cobraron S/. 18 000?


44) Diez obreros en 8 días han avanzado 2/5 de una obra. Si se retiran dos obreros, los restantes, ¿en cuánto tiempo terminarán lo que falta de la obra?

46) Tres gatos cazan 6 ratones en 9 minutos. ¿En cuántos minutos 5 gatos cazarán 5 ratones?

a) 10 b) 9 c) 8

50) Si 6 monitos comen 12 plátanos en 6 minutos, ¿en qué tiempo 15 monitos comerán 300 plátanos?

a) 1/2 hora b) 1 hora c) 1/4 hora

d) 2 horas e) 1 1/2 hora

Tres estudiantes fueron a USA. Llegaron a un motel y pidieron rentar un cuarto. El hijo del dueño del motel, que se encontraba en la recepción en el momento que llegaron, les dijo que un cuarto cuesta 30 dolares. Entonces cada uno de los estudiantes saco 10 dolares y asi juntaron los 30 dolares para pagar el cuarto. Después de haber pagado y subido a su cuarto llegó el dueño del motel a la recepción y se dió cuenta que su hijo les cobró demasiado porque el cuarto cuesta solamente 25 dolares, entonces mando a su hijo al cuarto con 5 billetes de 1 dólar. Pero el hijo decidió que va a ser demasiado dificil dividir 5 dólares entre 3 personas, puso 2 dólares en su bolsa y dió un dólar a cada uno de los estudiantes.

d) 7 e) 6


3ro de Secundaria

Aritmética

1) Si 35 velas cuestan 20 soles, ¿cuánto costarán 3 docenas y media?

a) S/. 24 b) S/. 32 c) S/. 28

d) S/. 36 e) S/. 30

2) Un árbol de 12 m da una sombra de 16 m. A la misma hora una persona de 1,80 m, ¿qué sombra proyecta?

3) 1360 hombres tienen víveres para 8 meses. ¿Cuántos hombres deben retirarse si se desea que los víveres duren 10 meses?

a) 138 b) 272 c) 200

d) 296 e) 215

a) 2 m b) 2,40 m c) 2,50 m

d) 2,70 m e) 3,6 m

4) Si 20 hombres demoran 15 días en hacer una obra, ¿cuántos días más demorarán si son 5 hombres menos?

a) 3 b) 6 c) 4

d) 7 e) 5

5) Una rueda A de 50 dientes engrana con otra B de x dientes. Halla x si cuando A da 200 vueltas, entonces B da 300 vueltas más.

3ro de Secundaria

a) 10 b) 30 c) 36

d) 20 e) 40


165

Aritmética

Regla del Tanto por Cuanto 1. Tanto por ciento de un número Es una o varias de las 100 partes iguales en que se divide un número. Ejemplo : Calcula el 20 por ciento de 800. Resolución: 800 * Dividiendo: =8 100 * 20 partes será: 20 x 8 = 160. Luego el 20 por ciento de 800 es 160.

Conclusión: 100% . N = N N % . 100 = N

2. Tanto por cuanto de un Número Según lo anterior: * El 3 por 20 de 1000 es:

3 x 1000 = 150 20

* El 7 por 25 de S/. 200 es:

7 x S/. 200 = S/. 56 25

Ejemplos: * * * * *

Aumenta x en su 10% = 110%x Recarga n en su 20% = 120%n Disminuye n en su 30% = 70%n Descuenta N en su 20% = 80%N Incrementa N en su x% = (100 + x) % N

* Disminuye N en su x% = (100 - x) % N

4. ¿Qué porcentaje es A de B? Usamos la regla de 3:

B A

x=

100% x

En este caso:

Tanto por mil (%o)

 El porcentaje es 20 por ciento ó 20%.  El número es: 800  El “tanto” es: 20

* Calcula el 3%o de 7000

Para un número N, el a% es:

3. Operaciones con Porcentajes

* El “de” representa el 100%.

Aumenta N en su 40%

¿Qué tanto por ciento de

a a% N = xN 100

donde: % : porcentaje a : tanto Ejemplos: 15 * El 15% de 80 = x 80 = 12 100 0,5 1 1 1 * El 0,5% de = x = 100 2 400 2 20 * El 20% de S/.100 = x S/.100=S/. 20 100 30 * El 30% de S/.100 = x S/.100=S/. 30 300

166

3 x 7000 = 21 1000

N + 40% N = 100%N + 40% N = 140% N 140 = xN 100

Ejemplo :

1 5 4 15

Disminuye N en su 20% N - 20% N = 100%N - 20% N = 80% N 80 = xN 100


A . 100% B

1 4 es ? 5 15

100% x

4 .100 15 x= 1 5

400 x = % 3

3ro de Secundaria

Aritmética

7. Aumentos sucesivos

Ejemplo : ¿De qué número 4 es el 10%?

4 x

10% 100%

x = 4 . 100% = 40 10%

* 2 recargas sucesivas del 10% y 20%, ¿a qué único porcentaje equivalen? 110 x 120% = 132% 100

Aumento: (132 - 100)% = 32%


I. El 6% de 300 es 12.

II. El 8 por 12 de 36 es 18. ( )

III. El

(x 1- y)% de (x - y ) es ( ( xx+- yy )

5. Porcentaje de porcentaje de un número * Calcula el 20% del 8% de 20 000.

20 8 x x 20 000 = 320 100 100

* 2 descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un solo porcentaje, ¿de cuánto estamos hablando? 120 x 130% = 156% 100

Aumento: (156 - 100)% = 56%

3 * Calcula el 0,2% del % de 20 000 4 0,2 3 x x 20 000 = 0,3 100 400

Nivel I

110 90 x x 20 000 = 19 800 100 100

90 x 80% = 72% 100

Descuento: (100 - 72)% = 28%

* 2 descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un solo descuento, ¿de qué porcentaje estamos hablando?

I. El 40% de 200 es 60. ( ) II. El 5 por 9 de 81 es 45. ( )

( ) es ( a - b ) 100

1 III. El % de (a2 - b2) a+b

a) VVF b) FFF c) FVV

a) FFV b) VFF c) FFF

2

2

( ) d) FFV e) FFF

d) FVV e) VVV

3) ¿Qué tanto por ciento de 1250 es 75?

a) 4% b) 5% c) 10%

d) 3% e) 6%

a) 9% b) 10% c) 5%

d) 8% e) 8,3%

5) ¿De qué número es 276 el 8% menos?

a) 320 b) 316 c) 340

d) 400 e) 300

6) ¿De qué número es 390 el 30% más?

80 x 70% = 56% 100

a) 330 b) 340 c) 300

d) 360 e) 315

Descuento: (100 - 56%) = 44%

3ro de Secundaria

)


1) Coloca verdadero(V) o falso(F), según corresponda:

6. Descuentos sucesivos * 2 descuentos sucesivos del 10% y 20% equivalen a descontar un solo porcentaje. ¿De cuánto estamos hablando?

* Calcula el 10% más del 10% menos de 20 000.

( )


167

Aritmética

7) ¿Qué tanto por ciento de

2 1 es ? 3 2

a) 25% b) 60% c) 80%

d) 75% e) 45%

8) ¿Qué tanto por ciento es

2 24 de ? 5 30

a) 46% b) 75% c) 80%

d) 85% e) 83,3%

1 9) ¿De qué número el % de 100 2 es el 50%?

a) 2 b) 4 c) 5

d) 1 e) 6

10) ¿De qué número el 1 % de 200 5 es el 40%? a) 4 d) 1 b) 6 e) 5 c) 2

11) Si “a” aumenta en su 20%, ¿en qué tanto por ciento aumenta a 2? a) 24% d) 48% b) 20% e) 44% c) 40% 12) Si el lado de un cuadrado aumenta 50%, ¿en qué tanto por ciento aumenta el área? a) 15% d) 25% b) 50% e) 125% c) 225%

168

13) Al aumentar “N” sucesivamente en 20% y 30%, tendríamos: a) 150% N d) 106% N b) 156% N e) 152% N c) 136% N 14) Al disminuir “x” sucesivamente en 30% y 20%, tendríamos: a) 56% N d) 44% N b) 48% N e) 72% N c) 54% N 15) Tres incrementos sucesivos de 50%, 20% y 30%, ¿a qué único incremento equivalen? a) 115% d) 134% b) 100% e) 142% c) 128% Nivel II

16) Tres incrementos sucesivos de 80%, 20% y 40%, ¿a qué incremento único equivalen? a) 152% d) 142% b) 162% e) 202,4% c) 168%

17) Dos descuentos sucesivos del 15% y 60%, ¿a qué único descuento equivalen? a) 56% d) 66% b) 46% e) 68% c) 72%

19) Si la base de un triángulo aumenta en 20% y su altura disminuye en 30%, ¿en qué tanto por ciento varía su área? a) Disminuye en 10% b) Aumenta en 10% c) Queda igual d) Disminuye en 16% e) Aumenta en 16% 20) Si aumenta el largo de un rectángulo en 20%, ¿en qué tanto por ciento se debe disminuir el ancho para que el área no varíe? a) 12% d) 15,6% b) 18% e) 16,6% c) 19%

21) El 20% del 60% de A es igual al 30% del 50% de B. ¿Qué tanto por ciento de (2A + 3B) es (A + B) aproximadamente? a) 40,90% d) 37% b) 42% e) 67,2% c) 41,2% 22) ¿Qué tanto por ciento de A es B, si 45% A = 75%B? a) 40% d) 60% b) 50% e) 20% c) 30% 23) El 50% del 40% de “y” es “z”, el 60% de “x” es “3y”. ¿Qué tanto por ciento de “x” es “z”? a) 8% d) 6% b) 10% e) 4% c) 15%

18) Al disminuir N en 25% y al resultado aumentarle su 20%, tendríamos: a)150% N d) 60% N b) 80% N e) 90% N c) 120% N


3ro de Secundaria

Aritmética

24) La base de un rectángulo aumenta en su 30% y la altura disminuye en su 30%. Luego:

28) En la venta de un artículo por 1800 soles se ganó un 20% del precio de venta, ¿cuánto costó?

33) Al venderse un artículo en S/.1980 se perdió un 40% del precio de venta. ¿Cuántos soles costó?

I. El área del rectángulo no varía. II. El área aumenta en su 9%.

III. El área disminuye en su 9%.

IV. La nueva área es el 91% de la original.

a) VVFF b) VFVF c) VVFF

d) FVFV e) FFVV

III. La nueva área es 400% de la original.

IV. La nueva área es 300% más que la original.

a) FFVV b) FVFV c) VVFF

a) S/.3 524 b) S/.3 528 c) S/.3 546

a) S/.600 b) S/.800 c) S/.1 000

d) S/.680 e) S/.700

3ro de Secundaria

d) 65 e) 75

a) 100 b) 90 c) 80

d) 60 e) 50

a) 420 b) 430 c) 440

a) S/. 3 024 b) S/. 2 990 c) S/. 2 980

d) S/. 2 960 e) S/. 2 920


d) S/. 1 980 e) S/. 2 000

a) S/.225 b) S/.235 c) S/.245

d) S/.220 e) S/.210

36) Un artículo está marcado en 250 soles. Si al momento de venderse se descuenta un 10%, ¿cuánto se pagará?

d) 450 e) 460

32) Se vende un artículo por S/. 2520, perdiéndose un 10% del precio de venta. ¿Cuánto costó?

a) S/. 1 800 b) S/. 1 880 c) S/. 1 900

35) Un artefacto costó 180 soles. ¿A cuánto se venderá si se desea ganar un 20% del precio de venta?

31) En la fabricación de productos A y B, se obtuvo que el 10% de A son defectuosos, y el 15% de B también. Si el total de productos A es 1500 y el de B es 2000, ¿cuántos defectuosos hubo?

d) S/. 2 880 e) S/. 2 750

Nivel III

d) S/.3 536 e) S/.3 574

27) Al venderse un objeto se perdió 60 soles que representa un 10% del costo. ¿Cuál fue el costo?

a) 35 b) 45 c) 55

a) S/. 2 772 b) S/. 2 382 c) S/. 2 674

34) Un artículo costó 1200 soles. ¿A cuántos soles se venderá si se desea ganar el 40% del precio de venta?

d) VFVV e) VFVF

26) Se compró un artículo en 2720 soles. ¿A cuánto se vendió si se ganó un 30%?

30) De un rebaño de ovejas mueren 60, que representan un 40%. ¿Cuántas ovejas no murieron?

25) Si los lados de un triángulo equilátero se duplican, podemos afirmar que: I. El perímetro del triángulo se duplica. II. El área aumenta en 200%.

d) S/.1 490 e) S/.1 500

29) De 500 personas, el 30% son varones y el 10% de las mujeres lleva falda. ¿Cuántas eran éstas?

a) S/.1 440 b) S/.1 450 c) S/.1 480

a) S/.222 b) S/.223 c) S/.224

d) S/.225 e) S/.226

37) Un comerciante descuenta un 5% a los artículos que vende. ¿Cuánto pagará un cliente por un artículo marcado con 420 soles?

a) S/.399 b) S/.398 c) S/.397

d) S/.396 e) S/.395

169

Aritmética

38) En un corral hay 40 conejos y 120 gallinas. Si se mueren el 60% de conejos y el 20% de gallinas, ¿cuántos animales quedan vivos?

43) En una ciudad, el 56% de la población bebe, el 32% de la población fuma y el 25% de los que fuman beben. Si hay 1800 personas que no fuman ni beben, ¿cuál es la población de dicha ciudad?

a) 112 b) 110 c) 108

d) 104 e) 102

a) S/.125 b) S/.250 c) S/.150

d) S/.200 e) S/.225

40) Se vendió un artículo perdiendo un 10%. Si la venta fue por 9000 soles, ¿cuánto se perdió?

a) S/.1 000 b) S/.1 500 c) S/.2 000

a) 150 b) 155 c) 160

d) S/.1 800 e) S/.1 200

41) De un total de 400 personas, el 75% son hombres y el resto mujeres. Sabiendo que el 80% de los hombres y el 15% de las mujeres toman café, ¿cuántas personas no toman cafe? d) 140 e) 145

d) 12 000 e) 5 600

a) 18 000 b) 3 200 c) 9 000

44) Sabiendo que el precio de costo de una casaca para su venta se le aumentó en S/.42, pero al momento de venderla se rebaja en un 10%, y aún así se ganó el 8% del precio de su costo, halla el precio fijado.

39) Se vende un objeto ganando el 25% del costo. Si la venta fue por 1250 soles, ¿cuánto se ganó?

a) S/.210 b) S/.242 c) S/.252

d) S/.268 e) S/.272

45) Para fijar el precio de un equipo de sonido se aumentó su costo en S/.300, pero en el momento de realizar la venta se hizo una rebaja del 30% y aún así se ganó el 20% del costo. ¿Cuál es el precio de costo del equipo?

a) S/.560 b) S/.420 c) S/.6 00

d) S/.500 e) S/.650

a) 60% b) 70% c) 80%

170

a) S/.1 560 b) S/.1 248 c) S/.960

d) S/.1 100 e) S/.890

La concentración puede embriagar La concentración de alcohol de una bebida se define como: Volumen de alcohol .100% Volumen total de la bebida Así por ejemplo, la concentración de alcohol de la cerveza es del 5% (5° como aparece en la etiqueta), es decir, de 1000 ml (1 litro) sólo 50 ml son de alcohol puro. El porqué algunas bebidas alcohólicas embriagan más que otras es debido a la concentración. A continuación se muestra una lista de bebidas alcohólicas con sus respectivas concentraciones. Bebida

Concentración

Vino Sidra Bebidas Fermentadas Ron Coñac Ginebra Vodka Anisado Tequila

42) Un tirador debe acertar en total el 60% de los disparos que realiza. Le dan 85 balas y ya ha disparado 45 consiguiendo solo 19 aciertos. ¿Qué porcentaje de las balas que quedan debe acertar para cumplir el porcentaje requerido?

46) Al precio de costo de un juego de muebles se le aumentó en S/.600, pero en el momento de la venta se hace un descuento del 20% y aún así se vende ganando el 30% de su costo. ¿A qué precio se vendió?

11% - 12% 3% 16% - 24% 40% - 80% 40% 40% 40% 36% 40%

d) 90% e) 75%


3ro de Secundaria

Aritmética


a) 4%

d) 5%

b) 3%

e) 6%

c) 10%

2) Al aumentar N sucesivamente en 20% y 30% tendríamos

a) 150%N

d) 156%N

b) 136%N

e) 106%N

c) 152%N

3) Tres incrementos sucesivos de 50%, 20% y 30%, ¿a qué único incremento equivale?

4) Si la base de un triángulo aumenta en 20% y su altura dismuye en 30% ¿en que tanto por ciento varía su área?

a) 115% b) 128% c) 142%

d) 100% e) 134%

a) disminuye en 10%

d) disminuye en 16%

b) aumenta en 10% e) aumenta en 16%

c) queda igual

5) ¿Qué tanto por ciento de A es B?

3ro de Secundaria

Si 45%A = 75%B

a) 40%

d) 50%

b) 30%

e) 60%

c) 20%


171

Aritmética

Regla de Interés Simple Aristóteles y el Interés Interés es el precio pagado en dinero por el uso del ahorro en todas sus formas, entre ellos el propio dinero.

Se origina al depositar, prestar, imponer o invertir un capital (C), el cual producirá un beneficio o interés en un determinado tiempo. Para este proceso participan: (I)

Capital (C): es la cantidad de dinero que producirá un interés.

(II)

Tasa (r%): es el modo como se obtendrá el interés. En este caso si la tasa de préstamo o interés es del 5% mensual, quiere decir que “cada 100 soles ganará 5 soles” al mes.

En la antigüedad provocó muchas discusiones. Aristóteles desde un punto de vista religioso repudiaba el interés, y llegó a considerar como usura el préstamo a interés. En la Edad Moderna, como consecuencia de la revolución industrial, los préstamos tenían como objeto crear bienes, instrumentos que cooperasen en la producción.

(III) Tiempo (t): es el período que dura el préstamo, para ser devuelto con los intereses. Puede ser años, meses o días.

Para tiempos infinitamente pequeños se usa el cálculo del interés continuo, materia que no será considerada en este tema, así como el interés compuesto o a plazos.

(IV) Monto (M): es la cantidad de dinero que se devuelve al final del préstamo y es igual al capital más los intereses. (V)

Interés (I): es el beneficio producido por el capital prestado o depositado.

172


3ro de Secundaria

Aritmética

Fórmulas: Algebraicamente se usa: (I) I =

C.r.t 100  años 1 200  meses 36 000  días

(II) M = C + I

2) Jaime impone S/. 5 400 a interés simple del 20% anual. ¿Cuánto ganará en 5 meses y cuánto será el monto? Resolución aritmética En 1 año = 12 meses el interés será: 20 x 5 400 100

* r : debe ser anual. En 1 mes:

Ejemplos: 1) Se presta 1 200 soles al 5% mensual durante 8 meses. Calcula el interés producido. Resolución aritmética

20 1 x x 5 400 12 100

En 5 meses:

5 x

1 20 x x 5 400 = 450 soles 12 100

En 1 mes se produce:

5 x 1 200 100

En 8 meses:

El monto será: 5 400 + 450 =5 850 soles

5 8 x x 1 200 = 480 soles 100 Resolución algebraica Resolución algebraica

C = S/. 1 200 r = 5 al mes  r = 60 al año t = 8 meses

I=

C.r.t 1 200  meses

1 200 . 60 . 8 I = = 480 soles 1 200

3ro de Secundaria

C = S/. 5 400 r = 20 al año t = 5 meses I=

C.r.t 1 200

5 400 . 20 . 5 I = = 450 soles 1 200

M=C+I M = 5 400 + 450

M = 5 850 soles


EUCLIDES (330 a.C. - 275 a.C.) Matemático griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es probable que Euclides se educara en Atenas, lo que explicaría su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría (el epigrama, sin embargo, se atribuye también a Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).

173

Aritmética

4) Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

Nivel I 1) Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

* Cuanto mayor es la tasa, mayor es el interés. * A mayor tiempo de préstamo, mayor es el interés. * A menor capital, entonces menor es el interés.

a) VVV b) FFF c) VFF

d) FVF e) VFV


* Al interés se le denomina también renta. * A la tasa se le denomina también rédito. * En el interés simple el capital inicial se mantiene constante.

a) VVV b) FFF c) VFV

a) VVV b) FFF c) VFV

174

d) VFV e) FFV

* El mes comercial tiene 30 días. * El año comercial tiene 360 días. * El año bisiesto tiene 355 días.

d) FVF e) VVF

* La tasa del 2% mensual es equivalente a una tasa del 4% bimestral. * Una tasa del 0,6% trimestral es equivalente a una tasa del 0,1% mensual. * Una tasa del 200% bianual es equivalente a una tasa del 25% trimestral.




* La tasa del 5% trimestral es equivalente al 10% semestral. * La tasa de interés del 60% trianual es equivalente a una tasa del 10% semestral. * Una tasa del 0,01% diario es equivalente a una tasa del 3,6% anual.

a) VVV b) FVF c) FFF

d) VFV e) VVF


* El año civil tiene 365 días. * El mes común tiene 30 días. * El año normal tiene 366 días.

a) FFF b) FFV c) VVV

d) VFF e) FVV

7) El 0,2% quincenal es equivalente al:

a) 0,6% mensual b) 7,2% anual c) 8% bimestral d) 18% trimestral e) 6% anual

1 8) El % trimestral es equivalente 5 al:

a) 6% mensual b) 0,4% anual

c)

1 % mensual 15 2 d) % bimestral 5 e) 4,8% anual

9) Calcula el interés producido por S/. 3 600 que se ha impuesto al 30% anual durante 5 años.

a) S/.6 000 b) S/.2 000 c) S/.5 400

d) S/.1 400 e) S/.1 800

10) Calcula el interés producido por S/. 5 000 que se ha impuesto al 20% mensual durante año y medio. a) S/.16 000 d) S/.10 000 b) S/.18 000 e) S/.5 000 c) S/.6 400

d) FVF e) FVV


3ro de Secundaria

Aritmética

11) ¿Cuál es el capital que al 4% mensual ha producido $ 120 de interés simple durante 10 meses? a) $ 180 d) $ 300 b) $ 240 e) $ 360 c) $ 188

12) ¿Cuál es el capital que al 5% mensual produce un interés simple de 60 dólares durante 12 meses? a) $ 144 d) $ 100 b) $ 180 e) $ 96 c) $ 120

13) ¿En cuánto se convierte un capital de S/. 6 000 que fue impuesto al 18% anual durante 2 años? a) S/.7 340 d) S/.8 160 b) S/.6 460 e) S/.8 150 c) S/.7 960

14) ¿En cuánto se convierte un capital de $ 5 000 impuesto al 20% anual de interés simple durante 3 años? a) S/.9 600 d) S/.8 000 b) S/.7 200 e) S/.7 500 c) S/.6 400

15) Calcula el interés de S/. 1 500 en 8 meses colocados al 4% trimestral. a) S/.1 500 d) S/.1 600 b) S/.1 400 e) S/. 1200 c) S/.1 800

3ro de Secundaria

22) Durante un número de años numéricamente igual al tanto por ciento anual al que estuvo impuesto un capital, éste se duplicó. Calcula el tiempo. a) 2 años d) 10 años b) 6 años e) 12 años c) 8 años

Nivel II

16) ¿Qué interés produce S/. 4 000 si se impone durante medio año a una tasa del 25% semestral? a) S/.1 500 d) S/.750 b) S/.1 000 e) S/.800 c) S/.600 17) ¿Qué interés produce S/. 6 000 si se impone durante 4 meses a una tasa del 5% trimestral? a) S/.800 d) S/.1 000 b) S/.600 e) S/.400 c) S/.900 18) ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 20% para que se triplique? a) 6 años d) 8 años b) 10 años e) 12 años c) 15 años 19) ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 40% para que se triplique? a) 4 años d) 5 años b) 10 años e) 8 años c) 6 años 20) Se depositó un capital de $ 144 a una tasa del 10% trimestral produciendo un interés de $24. ¿Cuánto tiempo estuvo depositado el capital? a) 6 meses d) 5 meses b) 8 meses e) 4 meses c) 3 meses 21) ¿Cuánto tiempo estuvo impuesto un capital de S/. 4 000 al 5% bimestral para producir S/. 120? a) 150 días d) 27 días b) 20 días e) 36 días c) 24 días


23) Durante un número de años numéricamente igual al tanto por ciento anual a que estuvo impuesto un capital, éste se

multiplica por

5 . 4

Calcula el tiempo. a) 2 años d) 6 años b) 4 años e) 8 años

24) Durante un número de meses numéricamente igual al tanto por ciento anual a que estuvo impuesto un capital, éste se convirtió en su 103%. Calcula el tiempo. a) 3 meses d) 6 meses b) 4 meses e) 8 meses c) 5 meses

25) Cuando se indica que un capital (C) se duplicó, entonces el interés I es: a) I = C d) I = C/4 b) I = 2C e) I = 3C c) I = C/2

26) Al prestar un capital (C) se obtuvo un beneficio del 25%, luego el monto (M) es: a) M = C/4 d) M = (5/4)C b) M =(3/4)C e) M = C/2 c) M = C

175

Aritmética

27) Una tasa del 0,5% bimestral, ¿a qué tasa trimestral equivale? a) 4,5% d) 3% b) 0,75% e) (1/3)% c) 1%

32) Se impone un capital de S/. 4800 al 0,25% diario durante 4 meses. Halla el monto. a) S/.5250 d) S/.6240 b) S/.5720 e) S/.6520 c) S/.6000

28) La tasa del 0,02% diario, equivale a un rédito del: a) (1/18000)% d) (1/80)% b) 0,72% e) 18% c) 7,2%

33) ¿Cuánto fue un capital que al ser invertido al 15% semestral se convirtió en S/. 4347 durante medio año? a) S/.1980 d) S/.2385 b) S/.1890 e) S/.3780 c) S/.2835

29) ¿Cuánto gana una persona por prestar $ 18 000 al 1% semestral durante 5 meses? a) $ 150 d) $ 300 b) $ 180 e) $ 500 c) $ 200

30) El interés que obtiene una persona al prestar $ 1200 al 5% anual durante 3 meses es: a) $ 10 d) $ 25 b) $ 15 e) $ 30 c) $ 20 31) Un capital de S/. 3000 es depositado en un banco que paga el 2,5% mensual de interés. ¿Cuánto retirará al cabo de 2 años si el banco cobra S/. 10 cada año por mantenimiento? a) $ 4800 d) $ 3980 b) $ 1780 e) $ 4780 c) $ 2880

176

34) ¿Cuál es la suma que al 5% de interés simple anual se convierte en 3 años en S/. 3174? a) S/.2760 d) S/.1380 b) S/.2116 e) S/.2670 c) S/.1058 35) Una persona A presta a B $ 1800 al 2% mensual; mientras que a otra persona C presta la misma cantidad al 48% bianual. Después de un determinado tiempo, ¿qué se puede afirmar de los intereses IB e IC? a) IB = IC b) IB > IC c) IC > IB d) Depende del tiempo d) Falta información del cambio de dólar. 36) Se tienen 2 capitales que están en la relación de 3 a 5. El primero se coloca al 4% mensual durante 2 meses y el segundo al 6% mensual durante 1 mes; obteniéndose un beneficio total de S/. 108. Los capitales suman: a) S/.1600 d) S/.2500 b) S/.1800 e) S/.2800 c) S/.2000


37) Entre 2 personas poseen un capital de S/. 45 000. La primera persona impone su parte al 7% trimestral y el otro al 8,5% semestral, de manera que en 1 año 8 meses, ambos tienen la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto fue el capital inicial del que impuso al 7%? a) S/.26 000 d) S/.21 000 b) S/.14 000 e) S/.27 000 c) S/.19 000 38) Durante un número de años numéricamente igual al tanto por ciento anual al que estuvo impuesto un capital, éste se duplicó. Halla la tasa: a) 5% d) 10% b) 6% e) 15% c) 8% 39) Un capital se convirtió en sus 53/48, cuando se presta a una tasa anual numéricamente igual a la quinta parte del número de meses que duró el préstamo. ¿De cuántos meses fue el préstamo? a) 5 meses d) 20 meses b) 10 meses e) 25 meses c) 15 meses 40) ¿Cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 12% anual si los intereses producidos alcanzan al 60% del capital? a) 4 años b) 6 años c) 5 años d) 5 años 6 meses e) 4 años 5 meses 41) ¿Cuánto tiempo estuvo depositado un capital al 14% anual si los intereses producidos alcanzan al 70% del capital? a) 6 años d) 4 años b) 5 años e) 4 años 5 meses c) 3 años 5 meses

3ro de Secundaria

Aritmética

42) Un capital impuesto durante un año al 3% produce S/. 21 más que otro impuesto durante 9 meses al 4%. La diferencia de dichos capitales es: a) S/.600 d) S/.700 b) S/.750 e) S/.1000 c) S/.900

43) Un capital impuesto durante 2 años al 1% produce S/. 48 menos que impuesto durante 2 meses al 30%. El capital es: a) S/.1600 d) S/.1400 b) S/.1200 e) S/.2000 c) S/.1800

44) La relación de 2 capitales es de 2 a 7, la relación de los intereses producidos después de algún tiempo es de 8 a 21. Si el segundo capital está impuesto al 12% anual, ¿a qué tanto por ciento estará impuesto el primer capital? a) 14% d) 16% b) 10% e) 20% c) 15%

45) La relación de 2 capitales es de 4 a 5, la relación de los intereses producidos después de algún tiempo es de 6 a 7. Si el segundo capital está impuesto al 14% anual, ¿a qué tanto por ciento estará impuesto el primer capital? a) 13% d) 16% b) 14% e) 17% c) 15%

3ro de Secundaria

46) Se prestó un capital por 2 años y el monto al finalizar este tiempo es de S/. 3360. Si se hubiera prestado por 5 años, el monto sería S/. 3900. ¿Cuál fue el capital y la tasa de interés anual? a) S/.3000 y 5% b) S/.2500 y 6% c) S/.2400 y 5% d) S/.2700 y 4% e) S/.3000 y 6%

47) Se prestó un capital por 5 años y el monto al finalizar este tiempo es de S/. 10 400. Si se hubiera prestado por 3 años, el monto sería S/. 9440. ¿Cuál fue el capital y la tasa de interés anual? a) S/.6000 y 8% b) S/.6000 y 6% c) S/.8000 y 8% d) S/.8000 y 6% e) S/.5000 y 8% 48) Un capital se impone al 50% anual durante 3 años, de manera que cada año se reciben las ganancias y la mitad de ellas se suman al capital. Si al final del tercer año se recibieron S/. 37 500, ¿cuál fue el capital depositado?. a) S/.19 200 d) S/.16 000 b) S/.32 000 e) S/.20 000 c) S/.48 000


Las Matemáticas no son nada sin los Números ¿Sabes que si estuvieras estudiando en la época romana será imposible que sacaras un cero en clase? ¿Y qué los primeros números eran simplemente signos? El concepto de los números y las cuentas se remonta a la prehistoria, cuando los primeros números eran signos u objetos iguales que se repetían hasta llegar a la cifra deseada. Pero la complejidad de algunos hizo necesaria la creación de grupos. Fue así como se crearon símbolos para los grupos de diez, para los de cien, etc. Los babilonios fueron los que más desarrollaron este sistema a través de muescas en la arcilla, pero no fueron los únicos. Por ejemplo, los griegos empleaban letras de su alfabeto para referirse a esos números. Los primeros que comenzaron a usar estos signos en escritura fueron los romanos. De hecho, si te fijas, sus números reflejan una forma de contar con los dedos: el uno, el dos y el tres se consiguen con los dedos levantados, el cinco es una V, el diez se expresaba con las manos cruzadas a la altura de las muñecas, etc. Pero los números tal y como los conocemos hoy día se deben a la antigua escritura india, país donde se desarrollaron de gran manera la medicina y las matemáticas en el siglo IV de nuestra era. Eso sí; los que los trajeron a Europa fueron los árabes. De ahí el nombre de arábigos con que se conoce a nuestros números. Estos habían comenzado su expansión por la India alrededor del año 711, y así tomaron contacto con sus ciencias y conocimientos. Posteriormente, y con su introducción en Europa, fue como se logró implantar este sistema numérico.

177

Aritmética

1) Calcula el interés producido por S/.3600 que se ha impuesto al 30% anual durante 5 años.

a) S/.6000 b) S/.2000 c) S/.5400

2) ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un capital al 20% para que se triplique?

d) S/.1400 e) S/.1800

3) ¿Cuánto tiempo estuvo impuesto un capital de S/.4000 al 5% bimestral para producir S/.120?





4) Calcula el interés de S/.1500 en 8 meses, colocados al 4% trimestral.

a) S/.1500

d) S/.1600

b) S/.1400

e) S/.1200

c) S/.1800

5) ¿En cuánto se convierte un capital de S/.6000 que fue impuesto al 18% anual durante 2 años?

178

a) S/.7340 b) S/.6460 c) S/.7960

d) S/.8160 e) S/.8150


3ro de Secundaria

Aritmética

Repaso 4) En un triángulo escaleno la base aumenta en un 20% y la altura disminuye 30%. ¿En qué porcentaje varía el área del triángulo?

Nivel I

1) Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

I. La M.A. de 3 y 5 es 8 ( ) II. La M.G. de 25 y 4 es 10 ( ) III. La M.H. de 10 y 15 es 12 ( )

a) VFV b) FFF c) FVV

d) VVV e) VVF

2) Si comprara un libro con 2 descuentos sucesivos del 20% y 10%, pagaría S/. 1 440. ¿Cuánto costaba el libro?

a) S/.2 100 b) S/.2 000 c) S/.3 000

d) S/.2 400 e) S/.2 700

2) Luis pensó vender una videograbadora con dos aumentos sucesivos del 20% y 25% de tal manera que lo vendió en S/. 6000. ¿Cuál fue el precio de venta inicial?

a) S/.4 200 b) S/.4 000 c) S/.3 000

a) Aumenta 16 b) Disminuye 26 c) Aumenta 26 d) Disminuye 16 e) Disminuye 14 5) En un rectángulo se sabe que su ancho aumenta en 25% y su área aumenta en 15%. ¿En qué porcentaje varía su largo?

a) Aumenta 8% b) Disminuye 8% c) Disminuye 18% d) Aumenta 18% e) Disminuye 9% 6) Durante un número de meses igual al tanto por ciento a que estuvo impuesto un capital, aumentó éste en su tercera parte. ¿Cuál fue el tanto por ciento?

a) 20% b) 25% c) 30%

d) 15% e) 35%

d) S/.4 500 e) S/.3 500

3ro de Secundaria


7) Si un capital se duplicase y la tasa de interés se triplicase, el interés en el mismo tiempo sería 20 000 soles mayor. ¿Cuál es el interés primitivo?

a) S/.2 000 b) S/.3 000 c) S/.4 000

d) S/.2 500 e) S/.3 500

8) Los 2/3 de un capital se impone al 4% de interés simple y el resto al 12%. Si al cabo de 15 meses el monto es S/. 54 480, determina el capital inicial.

a) S/.50 000 b) S/.50 800 c) S/.51 000

d) S/.50 400 e) S/.51 200

9) Un barco tiene provisiones para alimentar a 400 pasajeros durante 6 meses. ¿Cuántos meses durarían estas provisiones si los pasajeros fuesen 1 200?

a) 3 b) 4 c) 6

d) 8 e) 2

10) Un grupo de 40 hombres ha hecho 8 pisos de un edificio de 45x27 m2 en 45 días a razón de 9 h/d. ¿Cuántas horas diarias deberán trabajar 60 obreros para que en 15 días puedan hacer un edificio de 12 pisos de 60x18 m2? a) 6 d) 8 b) 4 e) 10 c) 2

179

Aritmética

11) Un grupo de obreros han hecho una obra en 60 días trabajando 10 h/d. ¿En cuántos días habrían hecho la obra si hubieran trabajado 12 horas diarias? a) 40 d) 10 b) 30 e) 50 c) 65 12) Un zapatero hace 80 zapatos en 5 días. ¿Cuántos hará en 10 días si trabaja el doble de horas diarias? a) 180 d) 240 b) 160 e) 120 c) 200

13) Si 4 secretarias copian 300 proble-mas en una semana, ¿cuántas secretarias serían necesarias para copiar 1 500 problemas en 10 días? a) 16 d) 30 b) 15 e) 28 c) 24 14) En una hora un automóvil recorre 240 km. ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 1/4 horas si la velocidad es constante? a) 800 km d) 900 km b) 600 km e) 1 500 km c) 12 00 km

15) Un grupo de 60 obreros han hecho en 18 días de 8 h/d el 18% de una obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que ser reforzados para que en 41 días trabajando a 6 h/d puedan hacer lo que falta de la obra? a) 160 d) 120 b) 140 e) 180 c) 200

180

Nivel II

16) Se sabe que 9 hombres hacen una obra en 12 días. ¿En cuántos días 6 muchachos podrán hacer la obra si son 3/5 de eficientes que los hombres? a) 60 d) 40 b) 20 e) 30 c) 15

17) Calcula la suma de la M.A., M.G. y M.H. de los números 16 y 9. a) 24,3 d) 27,5 b) 35,2 e) 36,02 c) 26,02

18) La media aritmética de 2 números es 45/2. Si la media geométrica de los mismos es 18, calcula la M.H. de dichos números. a) 14,51 d) 16,61 b) 16,40 e) 15,21 c) 15,30

19) La edad promedio de 6 personas es 45 años. Si ninguna de ellas es menor de 40 años, entonces la máxima edad que puede tener una de ellas es: a) 60 años d) 66 años b) 55 años e) 70 años c) 64 años

20) Si el promedio de 15 números consecutivos es 60, determina la media armónica entre el menor y el mayor de los números. a) 61,20 d) 59,18 b) 71,20 e) 41,30 c) 51,18


21) El promedio aritmético de 6 números distintos es 8, y el promedio de otros 8 números también distintos es 10. Halla el promedio aritmético de los 14 números. a) 11,2 d) 7,14 b) 13,2 e) 8,12 c) 9,14

22) En la siguiente serie aritmética 3; 6; 9; 12; …; a; b; c el promedio aritmético de: (a; b) = 61,5   Halla “c” a) 72 b) 66 c) 69

d) 60 e) 63

23) El promedio de 5 números es 100. Si al aumentar un sexto número el promedio aumenta en 15, determina el sexto número. a) 170 d) 160 b) 120 e) 190 c) 140

24) Calcula “a” para los siguientes datos si se sabe además que el promedio fue 16. Matemática Física Química a) 14 b) 10 c) 7

Peso

Nota

3 2 3

17 a 15

d) 6 e) 8

3ro de Secundaria

y

Aritmética

25) Halla el promedio de hijos por familia de la muestra.

N.˚ Familias N.˚ Hijos 12 2 15 3 30 4 13 5 30 6 a) 2,3 d) 3,2 b) 4,5 e) 4,34 c) 2,5

26) Determina el valor de «x» en base a las siguientes relaciones: 10% r = 20% s 20% s = 30% t 100% r = x% t a) 20 d) 40 b) 166 2/6 e) 300 c) 31 1/3

29) Vendi un caballo por S/.792, perdiendo 12% del costo. ¿A cómo hay que venderlo para ganar el 8% del costo? a) S/.872 d) S./694 b) S/.572 e) N.A. c) S/.972

30) Efectúa: 0,35%(10)- 42%(15)+18,6%(50) a) 7,12 d) 18,035 b) 6 e) 9,035 c) 3,035

31) Si gastara el 20% del dinero que tengo y ganara el 10% de lo que me queda, perdería S/.840. ¿Cuánto dinero tengo? a) S/.4 000 d) S/.7 000 b) S/.5 000 e) S/.8 000 c) S/.6 000

27) Si una obra de arte se ha vendido en S/.44 000, ganando el 10% de comisión, ¿cuánto costó la obra de arte? a) S/.39 600 d) S./42 000 b) S/.36 000 e) S/.40 800 c) S/.40 000

28) Se vende el 20% de una finca de 40 hectáreas, se alquila el 50% del resto y se cultiva el 25% del nuevo resto. Halla la porción cultivada a) 5 ha d) 4 ha b) 6 ha e) N.A. c) 8 ha

3ro de Secundaria


Aritmética Árabe Al-Khowarizmi escribió dos libros sobre aritmética y álgebra que jugaron un papel muy importante en la historia de la matemática, el primero de ellos nos ha llegado sólo a través de una copia única de una traducción latina con el título de De número indorum (sobre el arte de calcular hindú), de la cual el original árabe se ha perdido. AlKhowarizmi daba una exposición tan completa del sistema de numeración hindú que es él, probablemente, el responsable de la extendida aunque falsa impresión de que nuestro sistema de numeración es de origen árabe. Al-khowarizmi no formula, desde luego, ninguna reclamación de originalidad con respecto al sistema en cuestión, dando por descontado seguramente su origen hindú, pero cuando aparecieron en Europa las primeras traducciones latinas de esta obra, los lectores, que carecían de más información al respecto, comenzaron en seguida a atribuir al autor no sólo la obra, sino también el sistema de numeración expuesto en ella, y así el nuevo sistema de notación vino a ser conocido como el de Al-Khowarizmi y, a través de las informaciones del nombre de la traducción y en la transmisión, simplemente como algorismi.

181

3° Aritmetica

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