DISTRIBUSI FREKUENSI
BAB III DISTRIBUSI FREKUENSI 1.1.
Pendahuluan
Dalam pertemuan ini Anda akan mempelajari beberapa pandangan tentang cara menata atau mengorganisir data yang besar kedalam bentuk kelompok. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dalam setiap kelas. Dari beberapa pandangan ini akan membantu anda dalam mengikuti perkuliahan berikutnya tentang cara menentukan ukuran pemusatan dan letak data. Pada akhir perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat; (1) Menyebutkan arti dan manfaat distribusi frekuensi, (2) Menyusun distribusi frekuensi data kualitatif dan data kuantitatif, (3) Menggambar grafik frekuensi, frekuensi relatif, dan frekuensi kumulatif. 1.2.
Penyajian
Tabel 3.1 Distribusi Frekuensi Tinggi Badan 100 Mahasiswa Universitas A Tinggi Badan
Frekuensi
151 151 – 153 153
3
154 154 – 156 156
7
157 157 – 159 159
12
160 160 – 162 162
18
163 163 – 165 165
27
166 166 – 168 168
17
169 169 – 171 171
11
172 172 – 174 174
5
Data yang jumlahnya besar perlu ditata dengan cara meringkas data tersebut ke dalam bentuk kelompok data. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang. Suatu pengelompokan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas-kelas kelas- kelas data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinya disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Tabel 3.1 merupakan distribusi frekuensi dari data tinggi badan (dalam cm) 100 Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-1
DISTRIBUSI FREKUENSI
mahasiswa pada Universitas A. Tabel 3.1 terdiri atas dua kolom. Kolom pertama berisi kelas-kelas data tinggi badan yang terdiri atas delapan kelas yaitu 151-153, 154156, 157-159, 160162, 163-165, 166-168, 169-171, dan 172-174. Lambang yang menyatakan kelas seperti 151-153 dalam Tabel 3.1 disebut selang kelas (interval kelas). Susunan atau ringkasan data dalam bentuk distribusi frekuensi, seperti Tabel 3.1, sering disebut data berkelompok. 1.2.1
Limit Kelas, Batas Kelas, Nilai Tengah, dan Lebar Kelas
Nilai terkecil dan terbesar pada setiap kelas disebut limit kelas atau tepi kelas. Pada kelas pertama dalam Tabel 3.1, yaitu 151-153, nilai 151 disebut limit bawah kelas dan nilai 153 disebut limit atas kelas. Pada kelas kedua, 154-156, nilai 154 disebut limit bawah kelas dan nilai 156 disebut limit atas kelas, demikian seterusnya. Nilai tengah antara batas bawah kelas dengan batas atas kelas disebut nilai tengah kelas. Kelas 151-153 dengan batas kelas 150,5-153,5 mempunyai nilai tengah 152; kelas 154-156 dengan batas kelas 153,5-156,5 mempunyai nilai tengah 155;; dan seterusnya. Dalam praktek, cara yang dipakai untuk menghitung nilai tengah kelas untuk masing-masing kelas adalah: Nilai tengah kelas
batas bawah kelas batas atas kelas 2
Selisih antara batas atas kelas dengan batas bawah kelas disebut lebar kelas. Pada umumnya lebar masing-masing kelas dibuat sama. 1.2.2
Cara Membuat Tabel Distribusi Frekuensi
Secara umum langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut. 1. Tentukan nilai maksimum (terbesar) dan nilai minimum 1 terkeeil) dari data mentah, kemudian tentukanlah range atau jangkauannya, yaitu dengan menggunakan: Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-2
DISTRIBUSI FREKUENSI
r nilai maksimum nilaim min imum 2. Tentukanlah banyaknya kelas dengan memakai rumus empiris Sturgess, yaitu k = 1 + 3,3 log n, di mana k adalah banyaknya kelas dan n adalah banyaknya data. Pada umumnya banyaknya kelas yang diambil antara 5 sampai dengan 20 bergantung pada banyaknya data. 3. Tentukanlah lebar kelas (c) dengan cara membagi jangkauan data (r) dengan banyaknya kelas (k), yaitu =
r k
. Penentuan kelas dengan cara seperti ini hanya
bersifat pendugaan atau perkiraan saja. 4. Tentukanlah limit bawah kelas untuk kelas pertama dan kemudian batas bawah kelasnya. Tambahkan dengan lebar kelas (c) pada batas bawah kelas untuk memperoleh batas atas kelas pertama tersebut. Contoh 3.1 Nilai ujian akhir semester mata kuliah Kalkulus I dari 180 mahasiswa sbb. 68
52
69
51
43
36
44
35
54
57
55
56
55
54
54
53
33
48
32
47
47
57
48
56
65
57
64
49
51
56
50
48
53
56
52
55
42
49
41
48
50
24
49
25
53
55
52
56
64
63
63
64
54
45
53
46
50
40
49
41
45
54
44
55
63
55
62
56
50
46
49
47
56
38
55
37
68
46
67
45
65
48
64
49
59
46
58
47
57
58
56
59
60
62
59
63
56
49
55
50
43
45
42
46
53
40
52
41
42
33
41
34
56
32
55
33
40
45
39
46
38
43
37
44
54
56
53
57
57
46
56
45
50
40
49
39
47
55
46
54
39
56
38
55
37
29
36
30
37
49
36
50
36
44
35
45
42
43
41
42
52
47
51
46
63
48
62
49
53
60
52
61
49
55
48
56
38
48
37
47
5. Daftarkanlah limit bawah kelas dan batas atas kelas untuk kelas berikutnya dengan cara menambahkan lebar kelas (c) pada limit bawah kelas dan batas atas Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-3
DISTRIBUSI FREKUENSI
kelas dari kelas sebelumnya. 6. Tentukanlah nilai tengah kelas untuk masing-masing kelas dengan cara mengambil nilai rata-rata limit kelas atau batas kelasnya. 7. Tentukanlah frekuensi dari masing-masing kelas. Dari jajaran data tersebut, diperoleh jangkauan atau range data, yaitu; r nilai maksimum nilai min imum
1
69 24 45
Banyaknya kelas data adalah: k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 180 = 8,4 Dengan demikian banyaknya kelas dapat ditentukan kira-kira mendekati 8, bisa kurang dari 8, atau bisa lebih dari 8. r
45
2
Lebar kelas adalah c
3
Karena nilai minimum data adalah 24, maka kita dapat memilih limit bawah
k
8,4
5,3; mendekati 5.
kelas pertama adalah 24, 23, atau 22 dan diusahakan agar tidak terlalu jauh dengan nilai minimumnya. Alternatif 1
Alternatif 2
Alternatif 3
22 – 26
23 – 27
24 – 28
27 – 31
28 – 32
29 – 33
32 – 36
33 – 37
34 – 38
37 – 41
38 – 42
39 – 43
42 – 46
43 – 47
44 – 48
47 – 51
48 – 52
49 – 53
52 – 56
53 – 57
54 – 58
57 – 61
58 – 62
59 – 63
62 – 66
63 – 67
64 – 68
67 – 71
68 – 72
69 – 73
Perhatikan bahwa banyaknya kelas adalah 10, bukan 9 meskipun berdasarkan rumus Sturgess diperoleh banyaknya kelas adalah k = 8,4 sehingga yang paling Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-4
DISTRIBUSI FREKUENSI
mendekati adalah banyaknya kelas k = 9. Tetapi bila banyaknya kelas adalah 9 dan dengan lebar kelas c = 5, maka akan ada nilai yang tidak dapat tertampung (dimuat). Oleh karena itu, kita pakai banyaknya kelas adalah k = 10 dengan lebar kelas c = 5. Selanjutnya nilai tengah kelas ditentukan dengan cara sebagai berikut. Nilai tengah kelas pertama (23-27), yaitu =
22,5 27,5 2
25 , dengan cara yang sama
dapat diperoleh nilai tengah kelas berikutnya. Dengan memakai jajaran data dari nilai ujian akhir mata kuliah Kalkulus I tersebut, maka diperoleh turus dan frekuensi data, yaitu sebagai berikut. Tabel 3.2 Limit Kelas 23 – 27 28 – 32 33 – 37 38 – 42 43 – 47 48 – 52 53 – 57 58 – 62 63 – 67 68 – 72
Turus
Frekuensi 2 4 15 21 31 35 46 11 12 3
Dengan demikian, tabel distribusi frekuensi lengkap data nilai ujian akhir semester mata kuliah Kalkulus I dari 180 mahasiswa adalah sebagai berikut.
Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-5
DISTRIBUSI FREKUENSI
Tabel 3.3 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Kalkulus 180 Mahasiswa
1.2.3
Limit Kelas
Batas Kelas
Nilai Tengah
Frekuensi
23 – 27
22,5 – 27,5
25
2
28 – 32
27,5 – 32,5
30
4
33 – 37
32,5 – 37,5
35
15
38 – 42
37,5 – 42,5
40
21
43 – 47
42,5 – 47,5
45
31
48 – 52
47,5 – 52,5
50
35
53 – 57
52,5 – 57,5
55
46
58 – 62
57,5 – 62,5
60
11
63 – 67
62,5 – 67,5
65
12
68 – 72
67,5 – 72,5
70
3
Distribusi Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Tabel 3.4 Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Kalkulus 180 Mahasiswa Interval Kelas
Batas Kelas
Nilai Tengah
Frekuensi
Frekuensi Relatif (%)
23 – 27
22,5 – 27,5
25
2
1,1
28 – 32
27,5 – 32,5
30
4
2,2
33 – 37
32,5 – 37,5
35
15
8,3
38 – 42
37,5 – 42,5
40
21
11,7
43 – 47
42,5 – 47,5
45
31
17,2
48 – 52
47,5 – 52,5
50
35
19,4
53 – 57
52,5 – 57,5
55
46
25,6
58 – 62
57,5 – 62,5
60
11
6,1
63 – 67
62,5 – 67,5
65
12
6,7
68 – 72
67,5 – 72,5
70
3
1,7
Jumlah = 180
Jumlah = 100%
Dengan memakai tabel distribusi frekuensi tersebut kita dapat mengolah data pada tabel tersebut menjadi distribusi frekuensi relatif dan distribusi frekuensi kumulatif. Distribusi kumulatif ada dua jenis, yaitu distribusi kumulatif kurang dari Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-6
DISTRIBUSI FREKUENSI
dan distribusi kumulatif lebih dari. Distribusi frekuensi relatif dari nilai ujian akhir semester mata kuliah Kalkulus I adalah sebagai berikut. Frekuensi relatif diperoleh dengan cara membandingkan antara frekuensi masing-masing kelas dengan jumlah frekuensi kemudian dikalikan 100%. Misalnya untuk kelas 23—27 dengan frekuensi f = 2, maka frekuensi relatifnya adalah 2
x100% 1,1% dan seterusnya. 180 Sedangkan distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatf lebih dari adalah sebagai berikut. Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Untuk Nilai Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Kalkulus 180 Mahasiswa Batas Kelas
Frekuensi Kumulatif Kurang dari
Persen Kumulati f
23 – 27
Kurang dari 22,5
0
0
28 – 32
Kurang dari 27,5
2
1,1
33 – 37
Kurang dari 32,5
6
3,3
38 – 42
Kurang dari 37,5
21
11,7
43 – 47
Kurang dari 42,5
42
23,3
48 – 52
Kurang dari 47,5
73
40,6
53 – 57
Kurang dari 52,5
108
60,0
58 – 62
Kurang dari 57,5
154
85,6
63 – 67
Kurang dari 62,5
165
91,7
68 – 72
Kurang dari 67,5
177
98,3
Kurang dari 72,5
180
100,0
Interval Kelas
Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-7
DISTRIBUSI FREKUENSI
Tabel 3.6 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari Untuk Nilai Ujian Akhir Semester Mata Kuliah Kalkulus 180 Mahasiswa
1.2.4
Interval Kelas
Batas Kelas
Frekuensi Kumulatif Kurang dari
Persen Kumulatif
23 – 27
Lebih dari 22,5
180
100,0
28 – 32
Lebih dari 27,5
178
98,9
33 – 37
Lebih dari 32,5
174
96,7
38 – 42
Lebih dari 37,5
159
88,3
43 – 47
Lebih dari 42,5
138
76,7
48 – 52
Lebih dari 47,5
107
59,4
53 – 57
Lebih dari 52,5
72
40,0
58 – 62
Lebih dari 57,5
26
14,4
63 – 67
Lebih dari 62,5
15
8,3
68 – 72
Lebih dari 67,5
3
1,7
Lebih dari 72,5
0
0
Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogif
Histogram dan poligon frekuensi adalah dua grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi. Sedangkan ogif adalah grafik yang mencerminkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Cara untuk menyajikan data dengan histogram, poligon frekuensi, dan ogif adalah sebagai berikut. 1. Histogram
Suatu histogram terdiri atas satu kumpulan batang persegi panjang yang masingmasing mempunyai: a.
Alas pada sumbu mendatar (sumbu X) yang lebarnya sama dengan lebar kelas interval; dan
b.
Luas yang sebanding dengan frekuensi kelas.
Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-8
DISTRIBUSI FREKUENSI
2. Poligon Frekuensi
Suatu poligon frekuensi adalah grafik garis dari frekuensi kelas yang menghubungkan nilai tengah-nilai tengah kelas dari puncak batang histogram. . Histogram dan poligon frekuensi dari distribusi frekuensi data ujian akhir semester mata kuliah Kalkulus I dari 180 mahasiswa sebagaimana dinyatakan pada Tabel 3.3 adalah sebagai berikut. 50
46
45 40 35
35
31
30 25
21
20 15
15
12
11
10 5
4
B2
4C
0 22,5
27,5 32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
72,5
Gambar 3.1 Histogram dan Poligon Frekuensi 3. Ogif
Ogif merupakan grafik dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kurang dari. Ogif disebut juga poligon frekuensi kumulatif. 200 180
177 180 165
160
154
f i t 140 a l u m120 u K i 100 s n e 80 u k e 60 r F
108 73 42
40 20 0
16 0
21
2
22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 Nilai
Gambar 3.2 Ogif Frekuensi Kumulatif Kurang Dari. Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-9
DISTRIBUSI FREKUENSI
200 180
180
178
f i t 160 a l u 140 m120 u K 100 i s n 80 e u k 60 e r F 40
174 159 138 107 72
26
20
15 3
0
67. 5
7 2. 5
0 22 .5
27. 5
32. 5
3 7. 5
4 2. 5
47 .5
52 .5
57 .5
62. 5
Nilai
Gambar 3.3 Ogif Frekuensi Kumulatif Lebih Dari. Bila titik-titik sudut dari ogif atau poligon frekuensi kumulatif pada Gambar 3.2 dan Gambar 3.3 dihilangkan atau dihapuskan sehingga diperoleh ogif yang mulus (tanpa titik sudut), maka akan diperoleh kurva ogif kurang dari dan kurva ogif lebih dari yang gambarnya dijadikan satu sebagai berikut. 200 180 160
f i t a 140 l u m120 u K i 100 s n e 80 u k e r 60 F
40 20 0
22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 Nilai
kurva ogif kurang dari
Kurva ogif lebih dari
Gambar 3.4 Kurva Ogif Kurang Dari dan Lebih Dari.
Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-10
DISTRIBUSI FREKUENSI
1.3.
Penutup
Berdasarkan uraian di atas dapat diambil suatu kesimpulan bahwa data dengan jumlah besar perlu ditata ke dalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui ciri-cirinya dan dapat dianalisis. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam setiap kelas yang disebut frekuensi kelas. Suatu pengelompokan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas-kelas data dan dikaitkan dengan masing-masing frekuensinya disebut distribusi frekuensi atau tabel frekuensi. Soal Latihan
1. a. Berikan penjelasan seperlunya apa yang dimaksud dengan: (1) limit kelas;
(5) frekuensi kumulatif,
(2) batas kelas;
(6) histogram;
(3) nilai tengah kelas;
(7) poligon;
(4) frekuensi;
(8) ogif.
b. Sebutkan kelebihan dan kelemahan penyajian data dengan distribusi frekuensi! 2. Data umur 40 buah aki mobil yang serupa jenisnya dan dicatat sampai sepersepuluh tahun terdekat disajikan pads tabel distribusi frekuensi berikut. Aki-aki mobil tersebut dijamin mencapai umur 3 tahun. Kelas Interval
Frekuensi
1,5—1,9
2
2,0—2,4
1
2,5—2,9
4
3,0—3,4
15
3,5—3,9
10
4,0—4,4
5
4,5—4,9
3
Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-11
DISTRIBUSI FREKUENSI
a.
Berapa persen aki mobil yang berumur kurang dari 2,95 tahun?
b.
Berapa persen aki mobil yang berumur dari 2,0 tahun sampai 3,9 tahun?
c.
Berapa persen aki mobil yang umurnya lebih dari 3,4 tahun?
3. Data hasil ujian Mata Kuliah Statistika dari 60 mahasiswa Universitas A adalah sebagai berikut.
a.
23
60
79
32
57
72
52
70
82
36
80
77
81
95
41
65
92
85
55
76
52
10
64
75
78
25
80
98
81
67
41
71
83
54
64
72
88
62
74
43
60
78
89
76
84
48
84
90
15
79
34
67
17
82
69
74
63
80
85
61
Buatlah tabel distribusi frekuensi yang berisi kelas interval, batas ke las, nilai tengah, frekuensi, dan frekuensi relatif dalam persen!
b.
Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari dan. kurang dari!
c.
Buatlah histogram, poligon frekuensi, ogif, dan kurva ogif.,
4. Data berikut merupakan daya tahan sampai mati, diukur sampai sepersepuluh menit terdekat, dari sampel acak 60 lalat yang telah disemprot dengan bahan kimia baru dalam suatu percobaan di laboratorium.
a.
2,4
1,6
3,2
4,6
0,4
1,8
2,7
1,7
5,3
1,2
0,7
2,9
3,5
0,9
2,1
2,4
0,4
3,9
6,3
2,5
3,9
2,6
1,8
3,4
2,3
1,3
2,8
1,1
0,2
1,2
2,8
3,7
3,1
1,5
2,3
2,6
3,5
5,9
2,0
1,2
1,3
2,1
0,3
2,5
4,3
1,8
1,4
2,0
1,9
1,7
2,8
3,7
3,1
1,5
2,3
2,6
3,5
5,9
2,0
1,2
Buatlah tabel distribusi frekuensi yang berisi kelas interval, batas kelas, nilai tengah, frekuensi, dan frekuensi relatif dalam persen!
b.
Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari dan kurang dari!
c.
Buatlah histogram, poligon frekuensi, ogif, dan kurva ogiff!
Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-12
DISTRIBUSI FREKUENSI
Bahan Ajar “Statistik Teknik” 2008
3-13