3 Mecanica Para Ingeniero Dinamica Meriam 3

9

,,

-~~

7

..-INAMICA . . . INAMICA ERIAM -- L.G. l.G. KRAIGE KRAIGE . ERIAM 33 3

EDICióN EDICióN

/

,

EDITORIAL REVERTÉ, REVERTE, S~A. S~A. EDITORIAL http://gratislibrospdf.com/

http://gratislibrospdf.com/


, ¿

FACTORES DE CONVERSIÓN Para convertir

DE LAS U. S. CUSTOMARY UNITS EN UNIDADES SI En

Multiplicar por

(Aceleración) pie/segundo' (ft/sec') pulgada/ segundo' (in./ sec2)

metro/ segundo' metro/segundo'

(m / s') (m/s')

3,048 X 10-1* 2,54 x 10-'*

(Área) pie' (ft') pulgada'

metro' metro'

(in.')

(m') (m')

9,2903 xlO-' 6,4516 x 10-4*

(Densidad) libra masa Zpulgada-' (lbmj in.") libra masa/pie3 (lbm /fi'')

kilogramo/ kilogramo

metro" / metro"

(kg/ m'') (kg / m ')

2,7680 x 104 1,6018 x 10

(Fuerza) kip (1000 lb) libra fuerza (lb)

newton newton

(N) (N)

4,4482 x 103 4,4482

(Longitud) pie (ft) pulgada (in.) milla (mi), (U. S. statute) milla (mi), (náutica internacional)

metro metro metro metro

(m) (m) (m) (m)

3,048 x lO-l' 2,54 x 10-" 1,6093 x 103 1,852 x 103'

(Masa) libra masa (lbm) slug (lb-sec- / ft) tonelada (2000 lbm)

kilogramo kilogramo kilogramo

(kg) (kg) (kg)

4,5359 x 101,4594 x 10 9,0718 x lO'

1

(Momento de fuerza) libra-pie (lb-ft) libra-pulgada (lb-in.)

newton-metro newton-metro

(Momellto de inercia, área) pulgada"

metro"

(N ·m) (N ·m)

1,3558 0,11298

(m")

41,623 x 10-5

(Momento de inercia, masa) libra, pie, segundo'

kilogramo-metro'

(kg· m')

1,3558

(Cantidad de movimiento, lineaL) libra-segundo

(Ib-sec)

kilogramo-metro/segundo

(kg . mis)

4,4482

(Cantidad de movimiento, angular) libra-pie-segundo

newton-metro-segundo

(kg· m'/s)

1,3558

(Potencia) pie-libra/ minuto (ft-Ib/ min) caballo de vapor (550 ft-Ib/sec)

watt(W) watt(W)

2,2597 x 10-' 7,4570 x lO'

(Presión, carga) atmósfera (estándar) (14,7Ib/in2) llbra Zpie? (lb/ft') libra/pulgada' (lb/in.' o psi)

newton/ metro' newton/ metro' newton / metro'

(N / m2 oPa) (N / m' oPa) (N / m' oPa)

1,0133 x 105 4,7880 x 10 6,8948 x 103

(Constante del resorte) libra/pulgada

(lb/in.)

newton/metro

(N/m)

1,7513 x 102

(Ve/ocidad) piel segundo (ft/ sec) nudo (náutico mi / hr) milla/hora (mi/hr) milla/hora (mi/hr)

metro/ segundo metro/segundo metro/segundo kilómetro/hora

(m/ s) (m/s) (m/s) (km/h)

3,048 x 10-1' 5,1444 x 10-1 4,4704 x lO-l' 1,6093

(Volumen) píe-' (f¡3)

pulgada' (ín.')

rnetro-' (m-') metro-' (m3)

2,8317 x 10-' 1,6387 x 10-5

joule Ij) joule (J) joule Ij)

1,0551 x 103 1,3558 3,60 x 1()6*

(Trabajo, energía) Unidad térmica inglesa pie-libra fuerza (ft-Ib) kilowatt-hora (kw-hr)

(BTU)

Valor exacto.


I

UNIDADES Magnitud

SI UTILIZADAS EN MECÁNICA Unidad

Símbolo

metro kilogramo segundo

m kg

SI

(Ullidades básicos) Longitud Masa Tiempo

s

(Ullidades derivados) Aceleración, lineal Aceleración, angular Área Densidad Fuerza Frecuencia Impulso, lineal Impulso, angular Momento de fuerza Momento de inercia, área Momento de inercia, masa Cantidad de movimiento, lineal Cantidad de movimiento, angular Potencia Presión, carga Producto de inercia, área Producto de inercia, masa Constante del resorte Velocidad, lineal Velocidad, angular Volumen Trabajo, energía

(Unidades suplementarios

metro/ segundo' radián/segundo' metro? kilogramo/ metro' newton hertz newton-segundo newton-metro-segundo newton-metro metro" kilogramo-metro' kilogramo-metro / segundo kilogramo-metro' / segundo watt pascal metro" kilogramo-metro' newton / metro metro/ segundo radián/ segundo

mis' rad/ s'

m' kg/m3 N (= kg· mis') Hz (= l/s) N ·s N· m· s N·m

m4

m'

kg· kg· m/s (= N· s) kg· m'/s (= N· m· s) W(=J/s=N·m/s) Pa (= N/m')

m4 kg· N/m

m'

m/s rad/s

metro?

m3

joule

j(=N·

m)

y otras unidades aceptables)

Distancia (navegación) Masa Ángulo plano Ángulo plano Velocidad Tiempo Tiempo Tiempo

milla náutica tonelada (métrica) grados (decimal) radián nudo día hora minuto

(= 1,852 km) t (= 1000 kg) o

(1,852 km/h) d

h min

ALGUNAS REGLAS IMPORTANTES PARA ESCRIBIR MAGNITUDES MÉTRICAS

PREFIJOS DE LAS UNIDADES Factor de multiplicación "1000000000000 1000000000 1 000 000 1000 100

la"

= = 109 = 106 =103 = = 10 0,1 = 10-1 0,01 = 10-' 0,001 = 10-3 0,000001 = 10-6 0,000000001 = 10-9 0,000000000001 = 10-12

la

la'

Prefijo tera

giga mega kilo hecto deca deci centi mili micra nano pico

SI Símbolo T G

M k h da d c m

11

l. (a) Utilizar los prefijos para mantener los valores numéricos dentro del intervalo 0,1 a 1000. (b) Evitar el uso de los prefijos hecto, deca, deci y centi, excepto en los casos de ciertas áreas y volúmenes en los que los números serían confusos. (e) En las combinaciones de unidades, utilizar prefijos solamente en el numerador. La única excepción es la unidad básica kilogramo. (Ejemplo: se escribe kN/m, no N/mm; l/kg, no mJ/g.) (d) No utilizar prefijos dobles. (Ejemplo: se escribe GN, no kMN.) 2. Escritura de unidades (a) Utilizar un punto para la multiplicación de unidades. (Ejemplo: se escribe N· m, no Nm.) (b) No utilizar barras inclinadas dobles. (Ejemplo: se escribe N / m', no N/ m/ m.) (e) Los exponentes se refieren a toda la unidad. (Ejemplo: rnrn? significa (m m)'.)

n

P

3. Agrupamiento de números Utilizar un espacio en lugar de un punto para separar los números en grupos de tres cifras, contando a partir de la coma decimal y en ambas direcciones. (Ejemplo: 4607321,04872.) En los números de cuatro cifras el espacio se puede omitir. (Ejemplo: 4296 ó 0,0476.)


11


Mecánica Mecánica para para Ingenieros Ingenieros

, ,

DINAMICA DINAMICA


11


Mecánica para Ingenieros Ingenieros Mecánica

,,

DINAMICA DINAMICA 3a

a

EDICION EDICION

J.l. MERIAM J.l. MERIAM University California University of California Santa Barbara Barbara Santa

l.G. KRAIGE KRAIGE l.G. Virginia Virginia Polytechnic Polytechnic Institute Institute and University State University

,,

EDITORIAL. EDITORIAL

REVERTE REVERTE

ss .

A . A

Barcelona - Bogotá - Buenos Aires - México Barcelona Bogotá Buenos Aires - Caracas Carocas México http://gratislibrospdf.com/

Título de de la obra obra original: original: Título Engineering Mechanics. Mechanics. Dynamics. Dynamics. Volume V olume two. two. Third Third Edition Edition Engineering Edición original original en lengua lengua inglesa inglesa publicada publicada por: Edición John Wiley Wiley & & Sons, Sons, Inc., Inc., New York, York, U.S.A. U.S.A. John Copyright © John .Iohn Wiley Wiley & Sons, Sons, Inc. Inc. Copyright Versión espaFíola española por: Versión por: Dr. José José Vilardell Vilardell Dr. Universidad Po Polilitécnica técnica de Cataluña Cataluña Universidad

Propiedad de: de: Propiedad EDITORIAL REVERTÉ, REVERTÉ, S. A. EDITORIAL Loreto, 13-15, 13-15, Local Local B Loreto, 08029 Barcelona Barcelona 08029 Te!: (34) 93 419 419 33 36 Tel: 419 51 89 Fax: (34) 93 419 E-mail: : [email protected] reverte@ reverte.com E-mail Internet: http://www.reverte.com http://www.reverte.com Internet:

Reservados todos todos los derechos. derechos. La reproducción cualquier medio Reservados reproducción total total o parcial parcial de esta esta obra, obra, por por cualquier medio o procedimiento, distribución de informático , y la distribución proced imien to, comprendidos comprendidos la reprografía reprografía yy el el tratamiento tratamiento informático, ejemplares mediante alquiler alquiler o préstamo préstamo públicos, públicos, queda queda rigurosamente rigurosamente prohibida prohibida sin la ej empl ares de ella ell a mediante autorización autori zac ión escrita escrita de los titulares titulares del copyright, copyright, bajo bajo las sanciones sanciones establecidas establecidas por por las las leyes. leyes. Edición en Edición en español español

© EDITORIAL EDITORIAL REVER REVERTÉ, TÉ, S. S. A., A., 1998 1998 REIMPRESIÓN: REIMPRESIÓN: Septiembre Septiembre de de 2002 2002

Impreso Impreso en en España Es paña - Printed Printed in in Spain Spain ISBN: ISBN : 84 84 -- 29\ 29 1 -- 4280 4280 -- OO ISBN: 291 -- 4259 4259 -- 22 ISBN: 84 84 -- 291

Obra Obra completa completa Volumen Volumen II Il

Depósito Depós ito Legal: Legal: B-38223-2002 B-38223-2002

Impreso [mpreso por por LTBERDÚPLEX, LlBERDÚPLEX, S.L. S.L. Constitución Constitución 19, 19, interior interi or (Can (Can Batlló) Batlló) 080\4 080 14 BARCELONA BARCELONA


Prólogo

No es posible ponderar las innovaciones por el posible ponderar innovaciones y contribuciones contribuciones introducidas introducidas por James L. Meriam Meriam en Mecánica Técnica, Técnica, ya ya que Dr. James en el campo campo de la Mecánica que sin sin duda duda su su influencia sobre sobre la enseñanza enseñanza de de esta esta disciplina disciplina ha sido superior superior a la de cualcualinfluencia ha sido quier persona durante último cuarto primeros liquier otra otra persona durante el último cuarto de siglo. siglo. En 1951, sus sus primeros bros reconstruyeron reconstruyeron literalmente literalmente la enseñanza materia y se convirtieron bros enseñanza de de esta esta materia convirtieron en los textos textos definitivos decenios siguientes. textos, organizadefinitivos durante durante los decenios siguientes. Sus textos, organizados lógica, se leían ingeniedos con lógica, leían fácilmente fácilmente y estaban estaban dirigidos dirigidos al estudiante estudiante de de ingeniemedio con una gran profusión de estimulantes ejemplos, basados basados en ría medio con una gran profusión estimulantes ejemplos, en problemas de auténtica Aquellos libros problemas auténtica ingeniería ingeniería estupendamente estupendamente ilustrados. ilustrados. Aquellos libros pasaron a ser modelos para para otros textos de Mecánica Mecánica Técnica pasaron ser modelos otros textos Técnica desde desde los años años 1950 hasta hasta ahora. ahora. El Dr. Meriam comenzó sus sus trabajos en Mecánica aplicada en en la UniversiMeriam comenzó trabajos en Mecánica aplicada Universidad de Yale, donde donde se graduó graduó en en Ingeniería doctoró en en Ingeniería dad Ingeniería y y se doctoró Ingeniería y Física. Física. No tardó en adquirir adquirir experiencia experiencia industrial industrial en en Pratt and Whitney en tardó en Pratt and Whitney Aircraft Aircraft y en General Electric Company, lo cual cual sirvió sirvió de estímulo estímulo para sus primeras contriGeneral Electric Company, para sus primeras contribuciones estudios sobre sobre tensiones internas tanto analíbuciones a la mecánica mecánica mediante mediante estudios tensiones internas tanto analíticos como como experimentales. experimentales. Durante 11 Guerra Guerra Mundial sirvió en en los Durante la 11 Mundial sirvió guardacostas. guardacostas. Durante años el Dr. de la Universidad de CaDurante veintiún veintiún años Dr. Meriam Meriam fue miembro miembro de Universidad de lifornia-Berkeley, donde prestó sus servicios como profesor de Mecánica para lifornia-Berkeley, donde prestó sus servicios como profesor de Mecánica para ingenieros, Decano de Estudios Superiores y Presidente ingenieros, Decano Ayudante Ayudante de Estudios Superiores Presidente de la DiviDivisión de Mecánica Ingeniería de la Universión Mecánica y Proyectos. Proyectos. En En 1963 fue Decano Decano de Ingeniería Universidad de Duke, donde dedicó dedicó todas sus energías energías al desarrollo desarrollo de la Escuela de sidad Duke, donde todas sus Escuela de Ingeniería sus deseos deseos de dedicarse dedicarse nuevamente de lleno Ingeniería de la misma. misma. Fiel a sus nuevamente de lleno a enseñanza, en en 1972 aceptó aceptó el nombramiento de profesor de Mecánica Técnila enseñanza, nombramiento de profesor de Mecánica Técnide California, California, de donde donde se retiró en ca de la Universidad Universidad Politécnica Politécnica Estatal Estatal de retiró en diez años años siguientes siguientes ejerció ejerció de de profesor en la Uni1980. Durante Durante los diez profesor visitante visitante en Universidad California, Santa Santa Bárbara, segunda vez en 1990. El versidad de California, Bárbara, retirándose retirándose por por segunda vez en Dr. Meriam dado siempre siempre gran gran énfasis énfasis a la enseñanza, enseñanza, característica característica que que ha Meriam ha ha dado ha sido reconocida sus alumnos alumnos en en todos lugares donde donde la ha sido reconocida por por sus todos los lugares ha practicado. practicado. En Berkeley en recibir, en 1963, el premio Outstanding Faculty Berkeley fue el primero primero en recibir, en premio Outstanding Faculty que la sociedad sociedad Tau Tau Beta otorga principalmente excelencia en en la enseenseque Beta Pi otorga principalmente por por la excelencia ñanza. de la Ingeniería ñanza. En 1978 la Asociación Asociación Americana Americana para par~ la Enseñanza Enseñanza de Ingeniería le

vv http://gratislibrospdf.com/

VI

PRÓlOGO PRÓlOGO

concedió premio Distinguished por sus concedió el premio Distinguished Educator Educator por sus sobresalientes sobresalientes servicios servicios a la enseñanza enseñanza de la Mecánica Mecánica Técnica. Técnica. profesor Meriam primer autor El profesor Meriam fue el primer autor que que mostró mostró claramente claramente cómo cómo ememplear para resolver problemas plear el método método de de los trabajos trabajos virtuales virtuales para resolver cierto cierto tipo tipo de de problemas de por autores de Estática Estática en en su mayoría mayoría despreciados despreciados por autores anteriores. anteriores. Por Por lo que que resrespecta a la Dinámica, pecta Dinámica, clarificó clarificó notablemente notablemente la exposición exposición del del movimiento movimiento plaplano y en en ediciones ediciones posteriores Cinemática y la Cinética Cinética tridimensionales tridimensionales no posteriores la Cinemática recibieron profesor Meriam recibieron el mismo mismo tratamiento. tratamiento. Es, además, además, el profesor Meriam uno uno de de los primeros promotores promotores del versiones de primeros del Sistema Sistema Internacional Internacional de de Unidades Unidades y las versiones de este Dinámica publicados publicados en prieste sistema sistema en en sus sus libros libros Estática Estática y Dinámica en 1975 fueron fueron los primeros meros textos textos de Mecánica Mecánica en en unidades unidades SI de de Estados Estados Unidos. Unidos. También el Dr. L. Glenn Glenn Kraige, Kraige, coautor coautor por segunda vez vez de de esta esta MECÁNIMECÁNITambién por segunda CA PARA PARA INGENIEROS, INGENIEROS, ha ha efectuado efectuado importantes importantes contribuciones contribuciones a la enseenseñanza ñanza de de la Mecánica. Mecánica. Cursó Cursó sus sus estudios estudios en en la Universidad Universidad de de Virginia, Virginia, donde donde se graduó principalmente en tecnología graduó y doctoró doctoró en en ciencias ciencias e ingeniería, ingeniería, principalmente tecnología aeroespacial, profesor de roespacial, y actualmente actualmente ejerce ejerce de profesor de Ciencia Ciencia de la Ingeniería Ingeniería y MeMecánica cánica en en la Universidad Universidad Estatal Estatal e Instituto Instituto Politécnico Politécnico de de Virginia. Virginia. Además campo Además de su reconocida reconocida labor labor investigadora investigadora y divulgadora divulgadora en en el campo de la dinámica prestado gran dinámica de de las naves naves especiales, especiales, el profesor profesor Kraige Kraige ha ha prestado gran atención a la enseñanza enseñanza de de la Mecánica, niveles tanto tanto de de iniciación iniciación como como suatención Mecánica, a niveles perior. Su destacada perior. destacada actividad actividad docente docente está está ya ya generalmente generalmente reconocida reconocida y le ha ha hecho premios, entre hecho merecedor merecedor de de varios varios premios, entre los que que se cuentan cuentan el concedido concedido por por AT & por su excepcional & T, en 1988, como como recompensa recompensa por excepcional labor labor en en el campo campo de la enseñanza para enseñanza dentro dentro de de la Southeastern Southeastern Section Section de la Asociación Asociación Americana Americana para la Enseñanza también en premio Outstanding Enseñanza Técnica Técnica y, también en 1988, el premio Outstanding Educator Educator del del Consejo Consejo Estatal Estatal de de Enseñanza Enseñanza Superior Superior de la Commonwealth Commonwealth de Virginia. Virginia. En su actividad actividad docente docente acentúa acentúa siempre siempre el desarrollo desarrollo de de las capacidades capacidades analítianalítisu con la consolidación consolidación del del sentido sentido físico y d del razonamiento técnico. técnico. cas junto junto con el razonamiento Son de de destacar, destacar, asimismo, asimismo, sus sus trabajos trabajos de de desarrollo software de simulasimulaSon desarrollo de software ción de movimientos movimientos para ordenadores personales mediados de de los años años ción para ordenadores personales a mediados ochenta. Más Más recientemente, recientemente, inició inició un un esfuerzo esfuerzo a largo largo plazo en el área área de proochenta. plazo en procedimientos de multimedia multimedia para enseñanza y aprendizaje aprendizaje de Estática Estática y DináDinácedimientos para enseñanza mica. mica. Esta tercera tercera edición edición de MECÁNICA MECÁNICA PARA PARA INGENIEROS INGENIEROS está está planteada planteada Esta en el mismo mismo nivel nivel superior superior que que sus sus predecesoras ella se han han añadido añadido nuevas nuevas en predecesoras y a ella aportaciones que que resultarán resultarán provechosas interesantes para estudiantes. aportaciones provechosas e interesantes para los estudiantes. Contiene asimismo asimismo una una vasta vasta colección colección de de interesantes interesantes e instructivos instructivos probleContiene problemas. El análisis análisis y las aplicaciones aplicaciones son son las piedras piedras angulares angulares del del éxito éxito en en el mas. aprendizaje de de la Mecánica Mecánica Técnica Técnica y J. L. Meriam Meriam y L. G. Kraige Kraige demuestran demuestran aprendizaje una vez vez más más que que son son los mejores mejores cuando cuando se trata trata de combinar combinar tan tan esenciales esenciales una características. características.

r

e s

r

s

r r t

Y Robert F. Steidel, Steidel, Jr. Robert Profesor emérito de Mecánica ProfesoT emérito Mecánica Técnica Universidad de California, California, Berkeley UniveTsidad Berkeley

d d

e c

p e g


estudiante Prólogo para el estudiante

I Al emprender emprender el estudio estudio de la Mecánica aplicada, primero seguidaMecánica aplicada, primero la Estática Estática y seguidamente sentar los cimientos cimientos de de su su capacidad capacidad analítica analítica mente la Dinámica, Dinámica, procede procede Vd. Vd. a sentar para gran variedad de problemas ingeniería. Actualmente, para resolver resolver una una gran variedad de problemas de ingeniería. Actualmente, el ingeniería exige exige una elevado nivel. de capacidad capacidad analítica analítica y Vd. ejercicio de la ingeniería una elevado nivel .de Vd. comprobará por que el estudio estudio de la Mecánica ayudará enormemenenormemencomprobará por sí mismo mismo que Mecánica le ayudará te a desarrollar desarrollar esa esa capacidad. capacidad. Merced aplicada podemos aprender a construir construir y resolver Merced a la Mecánica Mecánica aplicada podemos aprender resolver los modelos que describen describen los los efectos efectos de de las fuerzas fuerzas y los movimienmodelos matemáticos matemáticos que movimientos sobre sobre una gran variedad de estructuras estructuras y máquinas que son son de interés interés para una gran variedad de máquinas qUe para ingenieros. Aplicando consigue formular formular los ingenieros. Aplicando los los principios principios de la Mecánica Mecánica se consigue dichos modelos incorporando a ellos ellos las hipótesis físicas y las aproximaciones aproximaciones dichos modelos incorporando hipótesis físicas matemáticas adecuadas. Tanto Tanto en en el planteo como en en la resolución matemáticas adecuadas. planteo como resolución de probleproblemas son muy frecuentes las las ocasiones ocasiones para conocimientos mas de Mecánica Mecánica son muy frecuentes para utilizar utilizar conocimientos de geometría, geometría, álgebra, álgebra, cálculo cálculo vectorial, geometría analítica analítica y cálculo cálculo infinitesiinfinitesivectorial, geometría mal. Y, desde luego, es más que probable que descubra Vd. aspectos nuevos de Y, desde luego, más que probable que descubra Vd. aspectos nuevos de importancia de de estos estos instrumentos instrumentos matemáticos cuando los los emplee emplee dentro dentro la importancia matemáticos cuando campo de la Mecánica. del campo Mecánica. El éxito éxito en en mecánica mecánica (yen (y en toda ingeniería) depende depende grandemente grandemente del del dedetoda la ingeniería) sarrollo de un disciplinado para abordar los los problemas desde las sarrollo un método método bien bien disciplinado para abordar problemas desde hipótesis su conclusión conclusión y a través del cual cual se apliquen apliquen rigurohipótesis de partida partida hasta hasta su través del rigurosamente años de experiencia experiencia como samente los principios principios pertinentes. pertinentes. Por Por mis mis muchos muchos años como profesor ingeniero conozco conozco la importancia importancia que que tiene profesor e ingeniero tiene representar representar el trabajo trabajo propio desarrollado de una clara, lógica constipropio desarrollado una manera manera clara, lógica y breve. breve. La Mecánica Mecánica constituye excelente para desarrollar esos esos hábitos de pensamiento tuye una una motivo motivo excelente para desarrollar hábitos de pensamiento lógico lógico y exposición exposición eficaz. eficaz. Este de MECÁNICA INGENIEROS contiene contiene un gran número Este texto texto de MECÁNICA PARA PARA INGENIEROS un gran número cuyas soluciones soluciones se presentan con todo detalle. Además, en de problemas problemas tipo tipo cuyas presentan con todo detalle. Además, en dichos ejemplos ejemplos se incluyen incluyen observaciones observaciones útiles en las las que que se mencionan los dichos útiles en mencionan los errores y trampas corrientes que que deben evitarse. Adicionalmente, errores trampas más más corrientes deben evitarse. Adicionalmente, el texto texto contiene una gran colección colección de de problemas sencillos de tipo introductorio y de de contiene una gran problemas sencillos tipo introductorio problemas dificultad media, cuyo objetivo objetivo es facilitar facilitar la confianza confianza inicial inicial y problemas de dificultad media, cuyo entendimiento de de cada cada tema También se incluyen incluyen muchos el entendimiento tema nuevo. nuevo. También muchos problemas problemas ilustran casos casos importantes importantes y actuales actuales con con el fin de de estimular estimular el interés del que ilustran interés del VII


VIII VIII PRÓlOGO PARA PARA EL El ESTUDIANTE ESTUDIANTE PRÓLOGO

lector lector yy ayudarle ayudarle aa desarrollar desarrollar su su apreciación apreciación hacia hacia las las muchas muchas aplicaciones aplicaciones de de la Mecánica Mecánica aa la la Ingeniería. Ingeniería. la Nos Nos complace complace animarle animarle aa Vd. Vd. como como estudiante estudiante de de Mecánica Mecánica yy esperamos esperamos que que este este libro libro le le sea sea de de utilidad utilidad yy estímulo estímulo para para desarrollar desarrollar su su formación formación como como ingeniero. ingeniero.

L. KrcUge t: Ghmm. G~ Kroige Santa Bárbara, Bárbara, California California Santa


Blacksburg, Blacksburg, Virginia Virginia

I

Prólogo para el profesor I

Básicamente, Básicamente, el estudio estudio de de la Mecánica Mecánica aplicada aplicada consiste consiste en en desarrollar desarrollar la capacidad para predecir los efectos movimientos al llevar pacidad para predecir efectos de de las las fuerzas fuerzas y los movimientos llevar a cabo el trabajo trabajo de propio de la Ingeniería. Una predicción predicción acerde diseño diseño creativo creativo propio Ingeniería. Una acertada requiere algo algo más que el simple simple conocimiento conocimiento de los los principios físicos y tada requiere más que principios físicos matemáticos de la Mecánica. Mecánica. Se necesita imaginar las matemáticos de necesita también también habilidad habilidad para para imaginar configuraciones materiales reales, reales, los vínculos vínculos verdaverdaconfiguraciones físicas físicas en en función función de los materiales deros prácticas que máquinas y deros y las limitaciones limitaciones prácticas que rigen rigen el comportamiento comportamiento de de máquinas estructuras. Uno los objetivos objetivos primordiales cuando enseñemos enseñemos Mecánica Mecánica estructuras. Uno de los primordiales cuando debe esta habilidad habilidad para para la visualizavisualizadebe ser ser facilitar facilitar al estudiante estudiante el desarrollo desarrollo de de esta ción, algo vital para para el planteo planteo de los problemas. Y, Y, además, algo vital los problemas. además, ocurre ocurre que que la consconstrucción de un modelo modelo matemático matemático significativo menudo más más importante trucción de un significativo es a menudo importante que misma solución. progreso máximo máximo se consigue principios que su misma solución. El progreso consigue cuando cuando los los principios limitaciones se aprenden aprenden a la vez dentro del del contexto contexto de de su su aplicación aplicación a y sus limitaciones vez dentro la Ingeniería. Ingeniería. Los estudiantes una exigenestudiantes suelen suelen considerar considerar los cursos cursos de de Mecánica Mecánica como como una exigencia dificultosa frecuencia, también también como un obstáculo dificultosa y, con con frecuencia, como un obstáculo académico académico carente carente interés. La dificultad dificultad procede grandes dosis dosis de razonamiento en torno de interés. procede de las grandes razonamiento en torno a los principios principios fundamentales necesarios, en fundamentales que que son son necesarios, en contraposición contraposición al estudio estudio memorizado. El desinterés menudo se siente memorizado. desinterés que que a menudo siente se debe debe fundamentalmente fundamentalmente muchas veces, Mecánica se presenta como una disciplina académica académica a que, muchas veces, la Mecánica presenta como una disciplina desprovista mayor parte parte de práctica. Esta desprovista en en su su mayor de aplicación aplicación práctica. Esta actitud actitud es achacable achacable a la extendida propensión a emplear problemas más más que nada como vehíextendida propensión emplear los problemas que nada como vehículo para para ilustrar teoría, en resolver ilustrar la teoría, en lugar lugar de desarrollar desarrollar ésta ésta con con el fin de resolver problemas. Cuando permite que predomine el primer primer punto punto de vista, vista, los problemas. Cuando se permite que predomine problemas tienden tienden a hacerse hacerse excesivamente relación con con la problemas excesivamente idealizados idealizados y sin sin relación práctica, resultando hacen aburridos, práctica, resultando que que los ejercicios ejercicios se hacen aburridos, académicos académicos y faltos faltos de interés; toda la valiosa valiosa experiencia interés; de esta esta forma, forma, se despoja despoja al estudiante estudiante de toda experiencia que planteo de problemas por tanto, tanto, de posibilidad de que supone supone el planteo problemas y, por de la posibilidad de descubrir descubrir significado de de la teoría. Con el segundo segundo punto de vista conla necesidad necesidad y el significado teoría. Con punto de vista se consigue reforzar los motivos motivos para para aprender teoría y se produce produce un un mejor mejor equisigue reforzar aprender la teoría equilibrio por otra parte, no no es posible posible insistir librio entre entre ésta ésta y sus sus aplicaciones; aplicaciones; por otra parte, insistir suficientemente papel crucial juegan el interés hacia una una disciplina suficientemente en en el papel crucial que que juegan interés hacia disciplina y la utilidad utilidad de para provocar provocar la motivación motivación de su Aún más, más, debede ésta ésta para su estudio. estudio. Aún debeIX


xx PRÓLOGO PARA PRÓLOGO PARA EL EL PROFESOR PROFESOR

mos resaltar puede ser resaltar el hecho de que en el mejor de los casos, la teoría sólo puede una aproximación aproximación al mundo una aproximación aproximación a la mundo real, pero no que éste sea una teoría. Esta diferencia filosófica distingue a la filosófica es, es, desde desde luego, fundamental fundamental y distingue ingeniería ingeniería de la Mecánica de la ciencia ciencia de la Mecánica. Dentro del campo de la enseñanza durante los enseñanza de la Ingeniería, ha existido durante últimos treinta treinta años una fuerte tendencia tendencia a incrementar incrementar la extensión y el nivel de teoría en los cursos de ciencias para ningún otro lugar lugar se ha para ingenieros ingenieros y en ningún tendencia que en los cursos de Mecánica. Mientras los eshecho sentir más esta tendencia tudiantes estén preparados tudiantes preparados para para hacer frente a tratamientos tratamientos acelerados, esa tendencia una justificable pretendencia será beneficiosa. No obstante, existen pruebas pruebas y una ocupación aparecido una una imporocupación acerca del hecho de que más recientemente recientemente ha aparecido disparidad entre el alcance de las enseñanzas enseñanzas impartidas impartidas y lo entendido tante disparidad entendido contribuyen confluyen confluyen de tres direcciones. En de ellas. Los factores que a ello contribuyen primer lugar, parece haber disminuido disminuido el énfasis en los contenidos primer contenidos de GeomeFísica de las matemáticas matemáticas de los cursos preparatorios. preparatorios. En segundo segundo lugar, tría y Física habido una reducción reducción importante, importante, e incluso eliminación, de la enseñanza ha habido enseñanza de representaciones gráficas que en el pasado pasado servían servían para para realzar representaciones realzar la visualización visualización representación de los problemas problemas de Mecánica. Por último, al elevar el nivel y representación tratamiento matemático de la Mecánica ha aparecido aparecido la tendencia del tratamiento tendencia a perminotación vectorial enmascare enmascare o sustituya sustituya la visualización tir que el manejo de la notación visualización intrínsecamente una materia materia que depende geométrica. La Mecánica es intrínsecamente depende de la percepción física física y geométrica y debemos aumentar aumentar nuestros percepción nuestros esfuerzos esfuerzos para para que se desarrolle de esa forma. Mecánica, una de nuestras nuestras responsabilidades responsabilidades es emComo profesores de Mecánica, matemática más adecuada adecuada a cada tipo de problema. Así, plear la matemática ASÍ, la utilización problemas mono dimensionales dimensional es es generalmente de la notación vectorial en problemas generalmente baproblemas bidimensionales bidimensionales suele ser optativa; pero nal; en el caso de problemas pero en los protridimensionales suele ser esencial. esencial. Cuando Cuando introduzcamos introduzcamos operaciones blemas tridimensionales problemas bidimensionales, bidimensionales, es particularmente particularmente importante vectoriales en problemas importante insistir en su significado geométrico, ya que una ecuación vectorial aparece en cocorrespondencia a un polígono vectorial, que a menudo menudo revela, merced a su rrespondencia supuesto, existen muchos geometría, el método de resolución más corto. Por supuesto, problemas de Mecánica cuyas variables tienen entre ellas unas unas dependencias dependencias rebasan las capacidades de visualización visualización y percepción tan complejas que rebasan percepción norcálculo. No obstante este hecho, los estudiantes males y es esencial confiar en el cálculo. estudiantes llegarán a ser mejores ingenieros si su capacidad de percibir, visualizar visualizar y representar se desarrolla al máximo. Como profesores profesores de Mecánica para para ingenieros ingenieros tenemos tenemos la mayor mayor de las profesión de ingeniero ingeniero en el sentido sentido de situar obligaciones hacia la profesión situar nuestra nuestra actuación a un nivel razonable razonable y de mantener mantener ese nivel. Adicionalmente, tuación Adicionalmente, teneresponsabilidad de alentar a nuestros nuestros alumnos alumnos a que piensen mos la grave responsabilidad piensen por ello, una una ayuda ayuda excesiva para para detalles que los estudiantes sí mismos. Por ello, estudiantes deben deben puede ser tan nociva como una ayuda ayuda escasa y fácilmente conocer ya de antes puede puede condicionar condicionar al estudiante estudiante haciéndolo haciéndolo demasiado demasiado dependiente puede dependiente de los depropia iniciativa y capacidad. Además, Además, cuando cuando se divimás, sin que ejercite su propia número excesivo de pequeños pequeños compartimientos, de la Mecánica en un número compartimientos, cada uno instrucciones detalladas detalladas y repetitivas, repetitivas, el estudiante uno de ellos con instrucciones estudiante puede puede tedificultad para para distinguir distinguir entre los "árboles" "árboles" y el "bosque" y, en consecuenner dificultad cia, deje de percibir percibir la unidad unidad de la Mecánica y el gran gran alcance práctico que cia, reducido número número de sus principios principios y métodos métodos fundamentales. tiene el reducido fundamentales.


1'0

p¡ Cl

la in

ql ce ta lo dé

to

dE se ID

to e)c Zé

bl

pE ID

El ql r~ 01

ae cil

re lo re

pE ID

cu es lit H Y

or el

dE

hE tif 01

de ID

y

.1

Al igual predecesoras, esta Mecánica para IngenieIngenieigual que que sus sus predecesoras, esta tercera tercera edición edición de de Mecánica ros se ha Pensada especialmente ha escrito escrito teniendo teniendo presente presente la anterior anterior filosofía. filosofía. Pensada especialmente para imparte en para un un primer primer curso curso de Mecánica, Mecánica, que que generalmente generalmente se imparte en el segundo segundo curso vez conciso llano. Frente Frente a curso de carrera, carrera, se ha ha redactado redactado en en un un estilo estilo a la vez conciso y llano. la posibilidad particulares, se ha ha preferido preferido posibilidad de presentar presentar una una multitud multitud de de casos casos particulares, insistir los conceptos conceptos fundamentales, insistir fuertemente fuertemente en en mostrar mostrar la cohesión cohesión entre entre los fundamentales, que variedad de de problemas problemas que tan popoque son relativamente relativamente pocos, pocos, y la gran gran variedad que con con tan conceptos se pueden pueden resolver. resolver. Por Por ello, una característica de de mayor cos conceptos una característica mayor imporimportancia de esta esta obra obra es el tratamiento tratamiento tan tan amplio amplio que que reciben tancia reciben los problemas problemas tipo, tipo, los cuales modo que cuales se presentan presentan d dee modo que puedan puedan estudiarse estudiarse cómodamente cómodamente sin sin ayuayuda del problemas tipo tipo se ofrecen del profesor. profesor. Además, Además, las soluciones soluciones a estos estos problemas ofrecen con con todo llamada a los los puntos puntos notables notables todo detalle, detalle, con con comentarios comentarios y advertencias advertencias y llamada del proceso proceso de resolución resolución impresos impresos en en color. color. II, Dinámica, Dinámica, contiene contiene 114 problemas problemas tipo sin reEl tomo JI, tipo y 1500 problemas problemas sin solver de los que que pueden pueden extraerse extraerse enseñanzas enseñanzas muy estos problesolver muy variadas. variadas. De De estos problemas, más nuevos en esta tercera edición más de la mitad mitad son completamente completamente nuevos esta tercera edición y todos interés técnico técnico todos ellos ellos representan representan muchos muchos casos casos prácticos prácticos de ejemplos ejemplos de de interés extraídos de una gran variedad variedad de situaciones situaciones reales. extraídos una gran reales. En todo todo el libro libro se utiliutiliSI. zan unidades unidades SI. Como tercera edición mayoría de los conjuntos proComo novedad, novedad, en en esta esta tercera edición la mayoría conjuntos de de problemas tituladas Problemas Problemas introductorios blemas se agrupan agrupan en en dos dos secciones secciones tituladas introductorios y ProbleProblemas representa tivos. Los primeros representativos. primeros son son ejercicios ejercicios sencillos, sencillos, sin sin complicaciones, complicaciones, pensados confianza con nuevo tema, tema, pensados para para que que el estudiante estudiante adquiera adquiera confianza con cada cada nuevo mientras dificultad y extensión regulares. mientras que que los segundos segundos son son problemas problemas de de dificultad extensión regulares. general, se presentan presentan ordenados ordenados por por dificultad dificultad creciente creciente y los más En general, más difíciles, difíciles, que se identifican hacia el final de los Problemas Problemas identifican con con la señal señal ~ ~, , se han han colocado colocado hacia final de representativos. una sección de problemas problemas representativos. Cada Cada capítulo capítulo se cierra cierra con con una sección especial especial de orientados al uso uso de ordenador, ordenador, ubicada ubicada tras orientados tras los los Problemas Problemas de repaso. Se ofrece, ofrece, además, impares y también también a los los más más difídifíademás, la respuesta respuesta a todos todos los problemas problemas impares ciles. Todos redondear los Todos los cálculos cálculos han han sido sido realizados realizados y comprobados comprobados sin sin redondear resultados con resultados intermedios, intermedios, por por lo que que las respuestas respuestas finales finales deben deben coincidir coincidir con valores indicados indicados en en lo que que respecta respecta a las significativas. los valores las cifras cifras significativas. uso de ordenador. y aquí aquí es oportuna oportuna una una observación observación acerca acerca del del uso ordenador. Los autoautores desean plantamiento de problemas, problemas, que desean recalcar recalcar que que la experiencia experiencia en en el plantamiento que permite desarrollar desarrollar el raciocinio raciocinio y el sentido sentido de considerablemente permite d e las cosas, cosas, es considerablemente importante para para los estudiantes estudiantes que que el puro ejercicio manipulativo manipulativo de calmás importante puro ejercicio cular la solución. solución. Por Por ello, creemos creemos que que el empleo empleo del ordenador debe cular del ordenador debe limitarse limitarse escrupulosamente. En este este estadio, estadio, la construcción construcción de diagramas para sólido escrupulosamente. de diagramas para sólido libre y la formulación formulación d dee las ecuaciones ecuaciones será será mejor hacerla s con papel y mejor hacerlas con papel lápiz. lápiz. Hay, por otra parte, ocasiones en que el proceso de esas esas ecuaciones ecuaciones Hay, por otra parte, ocasiones en que proceso de resolución resolución de soluciones se ejecuta ejecuta y se representa, representa, respectivamente, y sus soluciones respectivamente, mucho mucho mejor mejor vía vía ordenador. Pero Pero los problemas orientados al ordenador ordenador deben ser genuinos en ordenador. problemas orientados deben ser genuinos en sentido de que que exista exista una una condición condición de de diseño diseño o de criticalidad que ser el sentido de criticalidad que deba d eba ser determinada, sin sin que que se trate trate de simples simples problemas en los que se determinada, problemas "de trajín" trajín" en los que variar algún algún parámetro parámetro sin sin otro otro motivo motivo evidente evidente que que forzar forzar un empleo arhace variar un empleo ardel ordenador. ordenador. Con Con esta esta idea idea hemos hemos confeccionado confeccionado los tificial del los problemas problemas para para ordenador de esta esta tercera tercera edición. edición. Para Para preservar preservar un suficiente destinaordenador un tiempo tiempo suficiente destinaplanteo d dee problemas problemas se sugiere sugiere que que a los alumnos alumnos se les asigne asigne únicado al planteo únicamente un un número número limitado limitado de problemas problemas para ordenador. mente para ordenador. mantenido la división división lógica lógica entre entre la dinámica dinámica de de un un punto Se ha mantenido punto material material dinámica d dee un un cuerpo cuerpo rígido, rígido, y en en cada cada parte antes y la dinámica parte se trata trata la cinemática cinemática antes


XI

PRÓlOGO PARA PARA EL El PROFESOR PROFESOR PRÓLOGO

XII PRÓLOGO PARA EL EL PROFESOR PROFESOR PRÓLOGO PARA

que la cinética. cinética. Esta disposición facilita facilita enormemente enormemente una exploración más que Esta disposición una exploración más amplia y rápida de la dinámica dinámica de de los cuerpos cuerpos rígidos con el beneficio amplia rápida de rígidos con beneficio previo previo de una comprensiva a la dinámica dinámica de de los puntos en los de una introducción introducción comprensiva puntos materiales materiales en los capítulos 2 y 3. capítulos El capítulo capítulo 3 sobre sobre la cinética cinética de de los puntos centra en en los tres puntos materiales materiales se centra tres métodos fuerza-masa-aceleración, impulso cantidad cantidad métodos básicos: básicos: fuerza-mas a-aceleración, trabajo-energía trabajo-energía e impulso de movimiento. de especial especial importancia, importancia, movimiento fuerzas de movimiento. Los Los temas temas de movimiento bajo bajo fuerzas centrales y movimiento agrupan en en la sección sección D del del capítulo capítulo 3 que que centrales movimiento relativo, relativo, se agrupan trata sobre aplicaciones aplicaciones especiales especiales y sirven sirven como como material opcional que que el protrata sobre material opcional profesor puede asignar de de acuerdo acuerdo con con sus sus preferencias disponible. fesor puede asignar preferencias y el tiempo tiempo disponible. Con esta esta disposición, disposición, la atención atención del del estudiante estudiante se centra centra más intensamente en en Con más intensamente los fundamentales de de la cinética, cinética, que que se desarrollan desarrollan en en las secciosecciolos tres tres métodos métodos fundamentales nes del capítulo. capítulo. nes A, A, B Y Y e del El capítulo capítulo 4 sobre sobre los sistemas de de puntos extensión de de los los sistemas puntos materiales materiales es una una extensión los principios del movimiento de un solo punto desarrolla las relacioprincipios del movimiento de un solo punto material material y desarrolla relaciones que son son básicas básicas para comprensión moderna de la dinámica. dinámica. nes generales generales que para una una comprensión moderna de El capítulo capítulo también incluye los los temas de movimiento estacionario de de un también incluye temas de movimiento estacionario un medio medio continuo y masa que pueden ser considerados considerados como como opcionales, opcionales, dedecontinuo masa variable variable que pueden ser pendiendo del tiempo de que que se disponga. disponga. pendiendo del tiempo de El capítulo capítulo 5 sobre sobre la cinemática cinemática de de los los cuerpos cuerpos rígidos en movimiento rígidos en movimiento plaplano, donde se encuentran encuentran la velocidad aceleración relativas, énfasis no, donde velocidad y la aceleración relativas, pone pone el énfasis conjuntamente en en la solución solución por geometría vectorial solución por álgebra conjuntamente por geometría vectorial y la solución por álgebra vectorial. doble enfoque enfoque sirve sirve al propósito de reforzar significado de de la vectorial. Este Este doble propósito de reforzar el significado matemática matemática vectorial. vectorial. En capítulo 6 sobre sobre la cinética cinética de de los cuerpos cuerpos rígidos hace hincapié en En el capítulo rígidos se hace hincapié en ecuaciones básicas que gobiernan gobiernan todas categorías de de movimiento las ecuaciones básicas que todas las las categorías movimiento plaplano. establece una fuerte relación de dependencia dependencia entre entre lo conocido conocido y lo desdesno. Se establece una fuerte relación de conocido y las las ecuaciones ecuaciones necesarias necesarias y suficientes suficientes que que garantizan garantizan la solución. solución. conocido También se pone especial énfasis énfasis en en el desarrollo desarrollo de de las equivalencias equivalencias directas directas También pone especial entre las fuerzas fuerzas y pares de fuerzas fuerzas aplicadas aplicadas reales sus resultantes 1Ct.. a. entre pares de reales y sus resultantes ma /na e 1 En este sentido, sentido, se destaca destaca la flexibilidad flexibilidad del del principio principio de de los momentos En este momentos y se anima a los estudiantes que piensen directamente en en términos de los efectos efectos anima estudiantes a que piensen directamente términos de dinámicos resultantes. dinámicos resultantes. En capítulo 7, que que puede ser tratado como opcional, opcional, proporciona inEn el capítulo puede ser tratado como proporciona una una introducción básica básica a la dinámica tres dimensiones para reretroducción dinámica en en tres dimensiones que que es suficiente suficiente para solver muchos de los problemas del movimiento en el espacio espacio más comunes. muchos de problemas del movimiento en más comunes. solver Para aquellos estudiantes estudiantes que que en en el futuro futuro desean desean hacer avanzaPara aquellos hacer trabajos trabajos más más avanzados en en dinámica, dinámica, el capítulo capítulo 7 proporciona fundamento sólido. sólido. El movidos proporciona un un fundamento movimiento giroscópico con con precesión estacionaria se trata de dos dos maneras: miento giroscópico precesión estacionaria trata de maneras: la primera de la analogía analogía entre entre la relación de fuerza fuerza y vectores de canticantiprimera hace hace uso uso de relación de vectores de dad de de movimiento lineal y la relación relación del del momento de cantidad cantidad de de dad movimiento lineal momento y vectores vectores de movimiento angular. Con Con este este tratamiento estudiante puede comprender el movimiento angular. tratamiento el estudiante puede comprender fenómeno giroscópico giroscópico de de precesión estacionaria y puede fenómeno precesión estacionaria puede manejar manejar la mayor mayor parte de los con los los giroscopios giroscopios sin sin un estudio parte de los problemas problemas técnicos técnicos relacionados relacionados con un estudio detallado de de la dinámica dinámica tridimensional; segundo hace de las las ecuacioecuaciodetallado tridimensional; y el segundo hace uso uso de nes de la cantidad cantidad de de movimiento, generales, para en tres nes de movimiento, más más generales, para la rotación rotación en tres dimensiones donde todas las de de la cantidad cantidad de de movimiento son explicados. explicados. mensiones donde todas las movimiento son En capítulo 8 trata de las vibraciones. estudio completo completo de de este este En el capítulo trata el tema tema de vibraciones. El estudio capítulo es especialmente especialmente útil los estudiantes estudiantes de de ingeniería ingeniería ya sólo verán capítulo útil para para los ya sólo verán este tema en el curso curso de de dinámica dinámica básica. básica. este tema en


d t;

a B d

b n b e e ti d o e

le d n

e S

o

S, d n

E n

lé

o

d

a. io eais fa la n

asn.

as

.;t

Los momentos y los productos de inercia de masa se presentan en el apéndice B. El apéndice C contiene un resumen de repaso de matemáticas elementales y de varias técnicas numéricas que el estudiante deberá conocer para resolver los problemas orientados hacia el ordenador. Los autores desean mencionar especialmente la magnífica contribución que a estos textos de Mecánica realizó durante veinticinco años el ilustrador [ohn Balbalis,muerto en Octubre de 1991.Su dedicación y su elevado nivel en el arte de la ilustración acrecentaron enormemente el potencial educativo de estos libros, brindando claridad, realismo e interés a los miles de estudiantes que fueron estimulados por sus esfuerzos. Un reconocimiento especial se debe al Dr. A. L. Hale, de BellTelephone Laboratories, por su continuada contribución en forma de inestimables sugerencias y cuidadosa revisión del manuscrito. El Dr. Hale prestó una ayuda similar en todas las versiones anteriores de esta obra y su colaboración ha sido un activo inestimable. Expresamos además nuestro aprecio al profesor J. M. Henderson, de la Universidad de California-Davis, por sus útiles sugerencias y comentarios en torno a la selección de problemas. Extendemos nuestro agradecimiento al profesor Alfonso Díaz-Jiménez de la Universidad de Bogotá (Colombia) por los constructivos comentarios y observaciones formulados durante años. Un grupo de miembros del Departamento de Ciencia de la Ingeniería y Mecánica del Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia, entre los que se cuentan los profesores Norman E. Dowling, J. Wallace Grant, Scott L. Hendricks, Arpad A. Pap, Saad A. Ragab y George W. Swift, nos ha ofrecido sus útiles sugerencias. La contribución del personal de [ohn Wiley & Sons, Inc., incluida la de su directora Charity Robey, refleja un elevado nivel de competencia profesional que debidamente reconocemos. Reconocemos asimismo el apoyo prestado, en forma de permiso sabático, por la Universidad Estatal e Instituto Politécnico de Virginia. Por último deseamos agradecer a nuestras esposas, Julia y Dale, la paciencia y comprensión mostradas durante las muchas horas que fueron necesarias para preparar este manuscrito.

se os

z:

n-

ees. avila tide el or io iodi-

Santa Bárbara, California

G Í2rML K rcU9e

Blacksburg, Virginia

te án


XIII

PRÓlOGO

PARA El PROFESOR

T


I

~ ~

Indice Indice analítico analítico

:

PRÓLOGO PRÓLOGO

V

PRÓLOGO PRÓLOGO PARA PARA EL EL ESTUDIANTE ESTUDIANTE

VII VII

PRÓLOGO PRÓLOGO PARA EL EL PROFESOR PROFESOR

IX

PARTE I DINÁMICA DEL PUNTO DINÁMICA PUNTO MATERIAL MATERIAL

Capítulo INTRODUCCiÓN A LA DINÁMICA DINÁMICA Capítulo 1: INTRODUCCiÓN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4 1.5 1.5 1.6 1.7 1.7

HISTORIA APLICACIONES MODERNAS HISTORIA Y APLICACIONES MODERNAS . .. .... . . ..... . .. . ... 4 CONCEPTOS FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES . .............. . ...... .. . . .. 5 CONCEPTOS LEYESDE NEWTON .. .. . ........................... . ..... 6 LEYES DE NEWTON UNIDADES UN IDADES ..... . .......... .... .. . ......... .... .. . .. . . . . 7 GRAViTACIÓN ... . .. . . ..... .. ... . ..... . ................. 8 GRAViTACIÓN DIMENSiONES 11 D IMENS iONES ............................ . ....... . . . .. 11 PLANTEAMIENTO RESOLUCIÓN DE DE LOS PROBLEMAS DE DE PLANTEAM IE NTO Y RESOLUCIÓN DINÁMICA ...................... . ............... . . .. . . 11 11 DINÁMICA

Capítulo 2: CINEMÁTICA CINEMÁTICA DEL PUNTO PUNTO Capítulo

2.1 2.2 2.2 2.3 2.3 2.4 2.5 2.5

3

15

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN ...................................... 16 MOVIMIENTO RECTILÍNEO M O VIMIENTO RECT ILíNEO ............ . ... .... .. ......... 17 MOVIMIENTO CU CURVILíNEO PLANO ................. . ..... 33 MOVIMIENTO RVILíNEO PLANO COORDENADAS RECTANGULARES (x-y) (x-y) ... . .... .. .... . ..... 36 COORDENADAS COORDENADAS TANGENClAL Y NORMAL NORMAL (n-t) (n-t) . . . . . . . . . . . . . . 46 COO RDENADAS TANGENCIAL

xv http://gratislibrospdf.com/

XVI XVI

íNDICE ANAlíTICO íNDICE ANAlíTICO

2.6 2.6 2.7 2.7 2.8 2.8 2.9

COORDENADAS COORDENADAS POLARES POLARES (r-e) (r-e) .... . . . ....... . . ... . . ... . .. 57 57 MOVIMIENTO MOVIMIENTO CURVILíNEO CURVILíNEO EN EN EL EL ESPACIO .. . . .. . . .... . .. .. 69 MOVIMIENTO RELATIVO (EJES (EJESEN ROTACIÓN) ) . .. . . . . .. . . . ... 75 MOVIMIENTO EN ROTACIÓN MOVIMIENTO PUNTOS MATERIALES MOVIM IEN TO VINCULADO VINCULADO DE PUNTOS CONECTADOS . .. .. . .. ... . ... . .. . . . ..... . . . ...... . .. . . . 84 CONECTADOS 2.10 REPASO REPASO Y RESOLUCiÓN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS .. . .. . . ... .. ... . . .. 91 91 2.10

CINÉTICA DEL DEL PUNTO PUNTO MATERIAL Capítulo 3: CINÉTICA

99

3.1 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN 3.1 . . ...... . .. .. .... .. .. . . . . . . . .. . ...... 100 SECCiÓN A. 100 SECCIÓN A. FUERZA, FUERZA, MASA MASA Y Y ACELERACIÓN ACELERACIÓN ..................... 100

3.2 3.3 3.4 3.5

SEGUNDA LEY LEY DE NEWTON NEWTON . ............ .. .. . . . . ........ 100 SEGUNDA ECUACIÓN DEL DEL MOVIMIENTO MOVIMIENTO Y RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE DE PROBLEMAS 104 ECUACIÓN MOVIMIENTO MOVIMIEN TO RECTILÍNEO ... .. .. .. . . . . . . . .. .. . ... . . .. . . 106 MOVIMIENTO CURVI CURVILíNEO MOVIMIENTO LíNEO . .. ... . .. . . . . .... . .. ... .. .... 120 (

SECCiÓN B. TRABAJO TRABAJO Y 135 SECCIÓN Y ENERGíA ENERGíA . ............................. . 135

3.6 TRABAJO Y ENERGíA CINÉTICA ClNÉTICA .. . ... .. . .. . . ...... . . .... . 135 3.7 ENERGíA POTENCIAL POTENCIAL .. . . . .. .. . . . .. .. . . . . .. .. .. .. .. . ... 152 SECCiÓN C. C. IMPULSO CANTIDAD DE 164 SECCIÓN IMPULSO y CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO . ............ . 164

S

3.8 INTRODU INTRODUCCIÓN CCIÓN . . .. .. . . .. . . .. ....... . ..... . .. . ... .. . 164 3.9 IMPULSO IMPULSO Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIM MOVIMIENTO IENTO . . . .. . ... .. . . . . .. . 165 3.10 IMPU IMPULSO MOMENTO CINÉTICO ClNÉTICO . . . . .. .. . ...... 178 3.10 LSO ANGULAR ANGULAR Y MOMENTO SECCiÓN D. SECCIÓN D. APLICACIONES APLICACIONES ESPECIALES ESPECIALES ......................... 187

3.11 3.12 3.13 3.14 3.14 3.15 3.15

INTRODUCCIÓN . . . . .. . . .. . .. .. .. .. . .. . .. . ..... . . .. .. INTRODUCCIÓN CHOQUE . .. . . . .. . ... . . .. .. . . . . .. . .. .. . .. . . . . . . ... . . CHOQUE MOVIMIENTO BAJO FU FUERZAS CENTRALES . . .. . . . . . . .... . . MOVIMIENTO ERZAS CENTRALES MOVIMIENTO RELATiVO . . . . .. . .. . .. . . . ... . .. . . . ... . ... MOVIMIENTO REPASO Y RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . ., REPASO

CINÉTICA DE DE LOS LOS SISTEMAS SISTEMASDE Capítulo 4: CINÉTICA DE PUNTOS MATERIALES MATERIALES PUNTOS 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

. 187 187 . 187 198 210 210 2200 22

S

231

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . ..... . .. . . . .. 232 GENERALIZACIÓN DE LA SEGUNDA SEGUNDA LEY LEY DE DE NEWTON NEWTON .. .. . .. 23 2322 GENERALIZACIÓN TRABAJO Y ENERGíA .. . .. . ........... .. . . . . .. .... . . . . . 234 234 IMPULSO Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO . . .... .. . . . .. . .. .. 235 IMPULSO CONSERVACIÓN DE LA ENERGíA Y LA CANTIDAD CANTIDAD CONSERVACIÓN MOVIMIENTO DE MOVIMI EN TO . ............ . . . ... . . . . .. . .. . . .. . . .... 239 MOVIMIENTO ESTACI ESTACIONARIO DE UN MEDI MEDIO CONTINUO 4.6 MOVIMIENTO ONA RI O D E UN O CO NTINU O . . . . 249 4.7 MASA MASA VARIABLE .. . .. . . . .. . .. . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . .. . .. 264 4.7


S

SI

PARTE 11 DINÁMICA DE LOS PARTE11DINÁMICA LOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Capítulo 5: CINEMÁTICA LOS CINEMÁTICA PLANA DE LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS 5.1 5.2 5.2 5.3 5.4 5.4 5.5 5.6 5.6 5.7 5.8 5.8

281

INTRODUCCIÓN . . .. . . ..... . . . ... .... . . . .. . . . . . . . ... . 282 INTRODUCCIÓN ROTACIÓN ROTACiÓN ....... . . .. . .. ... .. . .... .. ..... . ... .. .. .. . 284 MOVIM IENTO ABSOLUTO ABSO LUTO . ...... . . ... ... . . . . . .. . .. . .. . . 292 MOVIMIENTO VELOCIDAD VELOCIDAD RELATIVA . .. . . .. .. .... .. . ................ . 303 CEN TRO INSTANTÁNEO CENTRO INSTANTÁNEO DE DE ROTACIÓN ROTACIÓN .... . ..... . .. ... . .. 317 ACE LERACIÓN RELATIVA ........ . ..... . . .. .. . ..... . . .. . 323 ACELERACIÓN MOVIM IENTO RELATIVO A E JES EN MOVIMIENTO EJES EN ROTACIÓN ROTACIÓN. . . ... . . . . ... . . . . .. . .. . 335 REPASO REPASO Y RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. PROBLEMAS. . . . . . . . . . . . . . . . ... . 350

Capítulo 6: CINÉTICA CINÉTICA PLANA DE DE LOS LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS 357 6.1 ... . ....... . .... . ... . . . . . . . . ... . ... . . 358 6.1 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN 4 4 5 8

SECCiÓN SECCIÓN A. FUERZA, FUERZA, MASA MASA Y Y ACELERACiÓN ACELERACiÓN .................... . 359 359

6.2 6.3 6.3 6.4 6.5 6.5

ECUACIONES . . . .. . . . . . . .. . 359 ECUAClONES GENERALES GENERALES DEL DEL MOVIMIENTO MOVIMIENTO TRASLACIÓN TRASLACIÓN .............................. . ... . . .. ... 365 ROTACIÓN EN EN TORNO TORNO A UN UN EJE EJEFIJO ROTACIÓN FIJO ... . ... .. . ........ . . 375 MOVIMIENTO MOVIMIENTO PLANO PLANO GENERAL .... . . .. .. . . . ...... . ... . . 387

7 7 7 8 O O

SECCiÓN ENERGÍA . ............................. . 402 SECCiÓN B. TRABAJO TRABAJO Y Y ENERGÍA 402

6.6 6.6 6.7

RELACIONES ENTRE ENTRE EL EL TRABAJO Y LA ENERGíA .... . ..... . .. 402 DETERM INACIÓ N DE ACELERACIONES AC EL ERACIONES MEDIANTE DETERMINACIÓN MEDIANTE EL EL TEOREMA VIVAS ; TRABAJOS VIRTU ALES . . . . . 4 19 TEOREMA DE DE LAS LAS FUERZAS FUERZAS VIVAS; VIRTUALES 419

SECCiÓN C. C. IMPULSO CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO 427 SECCiÓN IMPULSO y CANTIDAD . ........... . 427

6.8 6.9

RELAC IONES ENTR E EL RELACIONES ENTRE EL IMPULSO IMPULSO Y LA CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO Y EL EL MOMENTO MOMENTO CINÉTICO ClNÉTICO .. . ..... . .. . . . . 427 427 REPASO REPASO Y RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE DE PROBLEMAS . . ........ .... . .. . 443

Capítulo 7: INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A LA LA DINÁMICA DINÁMICA DE DE LOS LOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS EN EN EL EL ESPACIO ESPACIO 7.1

451

INTRODUCCIÓN .. . . ..... . .... .. . .... . .. . .......... . . 452 INTRODUCCIÓN

SECCiÓN A. A. CiNEMÁTICA CiNEMÁTiCA ..................................... 452 452 SECCiÓN

7.2 7.2 7.3

TRAS LACIÓN . .. . . ... . . . . . .... . . .. .. . . . . .. ... ... . . . . . . 452 452 TRASLACIÓN ROTACIÓN FIJO .... . ....... . .... . .. . 453 ROTACIÓN EN EN TORNO TORNO A UN UN EJE EJEFIJO XVII XVII


XVIII XVIII

íNDICE ANALíTICO ANALíTICO íNDICE

7.4 7.5 7.5 7.6

MOVIMIENTO PLANO GENERAL GENERAL . . ........ .. . . . . .. . ...... 453 MOVIM IENTO PLANO ROTACIÓN TORNO A UN 454 ROTACIÓN EN EN TORNO UN PUNTO PUNTO FIJO FIJO .. . .... . . ... . .... 454 MOVIMIENTO MOVIM IENTO GENERAL . .... ... ..... ......... .. . ...... 464 464

SECCiÓN B. B. CINÉTICA C1NÉTICA ........................................ 475 SECCIÓN

7.7 7.8 7.9 7.9

MOMENTO CINÉTICO ClNÉTICO .. . .. .. . ... . .. . .... . ..... . . ....... 475 MOMENTO ClNÉTICA ................ . . . . ........... ... .. 478 ENERGíA CINÉTICA 478 ECUAClONES CINÉTICAS y MOVIMIENTO .486 ECUACIONES Y ENERGÉTICAS ENERGÉTICAS DEL MOVIM IENTO . .486 7.10 MOVIM MOVIMIENTO PLANO GENERAL GENERAL ........... . ... .. .. . ... . . 489 7.10 IENTO PLANO MOVIMIENTO GIROSCÓPICO: PRECESiÓN UNIFORME 7.11 MOVIM IENTO G IROSCÓPICO: PREC ESiÓN UN IFORME . .. . ... 495

Capítulo 8: 8: VIBRACiÓN TIEMPO Capítulo VIBRACiÓN Y Y RESPUESTA RESPUESTA EN EL EL TIEMPO

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

515 515

INTRODUCCIÓN 516 INTRODUCCIÓN . . ... .. . .. . . .. . ... .. ... . .. . .... . ..... 516 OSCILACIONES LIBRES DE UN UN PUNTO PUNTO MATERIA MATERIALL ............ 517 OSCI LACIONES LI BRES DE OSCILACIONES FORZADAS DE UN UN PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL .. .. . ... 532 OSC ILACIONES FORZADAS OSCILACIONES DE UN UN CUERPO RíG RíGIDO OSCILACIONES IDO .... . ..... . .. .. . . . . 545 MÉTODOS EN ENERGÉTICOS MÉTODOS ERGÉTI COS .................... .. .... . . . . . 555 REPASO Y RESO RESOLUCIÓN REPASO LUCIÓN DE PROBLEMAS . .. . ... . ... . .. .... 564

Apéndice Apéndice A: MOMENTOS MOMENTOS DE INERCIA INERCIA DE UNA UNA SUPERFICIE SUPERFICIE

571 571

Apéndice MOMENTOS DE INERCIA INERCIA DE MASAS MASAS Apéndice B: MOMENTOS

573 573

B.l MOMENTOS DE DE INERCIA MÁSICOS MÁSICOS RESPECTO RESPECTOA UN EJE EJE .. .... 573 B.l MOMENTOS A UN B.2 PRODUCTOS PRODUCTOS DE INERCIA .. . . . .. . . ................ .... .. 587 587

Apéndice C: TEMAS TEMAS ESCOGIDOS Apéndice ESCOGIDOS DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS Cl Cl C2 C3 C4 C5 C6 C7 C7 C8 C9

597 597

INTRODUCCIÓN . . ...... . . . .. . .. .. ... .. . . . . . . .... . .. . . 597 INTRODUCCIÓN GEOMETRíA PLANA PLANA .. . .. .... . . . . . ....... . .. . .. . ........ 597 GEOMETRíA GEOMETRíA G EOMETRíA DEL ESPACIO ... . .... . .. . . . .. ... . . . ....... . 598 ÁLGEBRA Á LGEBRA ... . .... . . . . .. .. .. .... ....... . ..... ... .. . .. . 598 GEOMETRíA ANALÍTICA GEOMETRíA ANAL íTICA . . .. . .. . . . .. . .... .. . ... . . .. . .. .. 599 TRIGONOMETRíA TR IGONOMETRíA .... .......... .. .. . .. ... . .... .. ...... 600 ÁLGEBRA VECTORIAL 600 VECTOR IAL . .. . .... ...... ..... . ..... . . ....... 600 SERIES SER IES ..... . ... . .... . ... . ... . . . . . . . . . .. . .. . ..... . .... 603 DERIVADAS . .... . .... . .... ..... . .... . . . .. ... ... . ... . . 604 DERIVADAS


(

í

Cl0 INTEGRALES INTEGRALES ..................... . ... . .............. ..604 . 604 Cl0 ················· Cll RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE DE ECUACIONES ECUACIONES POR POR EL ELMÉTODO MÉTODO Cll NUMÉRICO DE DE NEWTON NEWTON .. . .. .. . .... .. ... . .............607 607 NUMÉRICO .... . ...608 608

C12 TÉCNICAS TÉCNI CAS ESCOGIDAS ESCOGIDAS DE DE INTEGRACiÓN INTEGRACi ÓN NUMÉRiCA NUMÉRiCA C12

Apéndice D: D: TABLAS TABLAS ÚTILES ÚTILES Apéndice

D.l D.l D.2 D.2 D.3 D.3 D.4 D.4

613 613

PROPIEDADES FíSICAS FíSI CAS .. . . ... ... ... .....................613 613 PROPIEDADES CONSTANTES DEL DEL SISTEMA SISTEMA SOLAR SOLAR .. . ........ . .... .... . ...614 614 CONSTANTES PROPIEDADES DE DE LAS LAS FIGURAS FIGURAS PLANAS PLANAS .............. . ....614 614 PROPIEDADES PROPIEDADES DE DE SÓLIDOS SÓLIDOS HOMOGÉNEOS HOMOGÉNEOS . . . .... . . . ......617 617 PROPIEDADES

CRÉDITOS DE DE LAS LAS FOTOGRAFíAS FOTOGRAFíAS CRÉDITOS

621 621

íNDICE ALFABÉTICO ALFABÉTICO íNDICE

623

7 8 8 9

o 3 4


XIX XIX íNDICE íNDICEANALÍTICO ANALÍTICO


------------------~

PARTE 1

~ ~

DINAMICA DINAMICA DEL DEL PUNTO PUNTO MATERIAL



La técnica técnica de de los los vuelos vuelos espaciales espaciales es es un un ejemplo ejemplo de de aplicación aplicación masiva masiva de de los los principios principios fundamentales fundamentales de de la Dinámica Dinámica en en el el tecnificado tecnificado mundo mlmdo moderno. moderno. La propulsión propulsión de de los los cohetes, cohetes, la predicción predicción exacta exacta de de las las órbitas órbitas aa describir describir y el el control control y estabilidad estabilidad de de las las maniobras maniobras se se cuentan cuentan entre entre las las numerosas numerosas difidificultades cultades que que demandan demandan un un conocimiento conocimiento profundo profundo de de la la Sinámica. @inárnica.


4

1.1

HISTORIA Y Y APLICACIONES APLICACIONES MODERNAS MODERNAS HISTORIA

INTRODUCCiÓN INTRODUCCIÓN A LA LA DINÁMICA DINÁMICA

Dinámica es la rama rama de Mecánica que movimiento de los cuerLa Dinámica de la Mecánica que estudia estudia el movimiento de los cuerpos bajo bajo la acción acción de de las fuerzas. En los los estudios ingeniería su ele seguir pos fuerzas. En estudios de de ingeniería suele seguir a la las fuerzas los cuerpos reposo. La DiEstática, que Estática, que estudia estudia la acción acción de de las fuerzas sobre sobre los cuerpos en en reposo. námica consta de dos partes diferentes: diferentes: una una es la Cinemática, námica consta de dos partes Cinemática, que que es el estudio estudio del movimiento sin referencia referencia a las fuerzas fuerzas que que lo causan, otra es la Cinética, Cinética, del movimiento sin causan, y la otra que relaciona la acción acción de de las fuerzas los cuerpos con los los movimientos movimientos reque relaciona fuerzas sobre sobre los cuerpos con hallarán que que el conocimiento sultantes. sultantes. Los estudiantes estudiantes de de ingeniería ingeniería hallarán conocimiento profundo profundo de la Dinámica análisis más de Dinámica les proporcionará proporcionará uno uno de de los los instrumentos instrumentos de de análisis más útiútipotentes. les y potentes. Históricamente, la Dinámica Dinámica es una una materia materia relativamente relativamente reciente reciente compaHistóricamente, comparada estudio racional rada con con la Estática. Estática. El mérito mérito por por la iniciación iniciación del del estudio racional de de la DináDinámica atribuye a Galileo Galileo (1564-1642), quién quién realizó cuidadosas observaciones observaciones mica se atribuye realizó cuidadosas sobre la caída caída libre de los sobre planos sobre libre de los cuerpos, cuerpos, el movimiento movimiento sobre planos inclinados inclinados y los péndulos. A él se debe debe en en gran científico de la investipéndulos. gran parte parte el planteamiento planteamiento científico investigación de los problemas físicos. Sufrió Sufrió continuas continuas y durísimas durísimas críticas críticas por gación de problemas físicos. por nenegarse aceptar las ideas oficialmente vigentes en su su tiempo, garse a aceptar ideas oficialmente vigentes en tiempo, tales tales como como la filosofía de Aristóteles, según la cual, ejemplo, los cuerpos Aristóteles, según cual, por por ejemplo, cuerpos pesados pesados debedebefilosofía rían caer más más rápidamente que los rían caer rápidamente que los livianos. livianos. La inexistencia inexistencia de medios medios para para medir obstáculo para Galileo y los medir el tiempo tiempo con con precisión precisión fue un un grave grave obstáculo para Galileo los posposteriores avances de importancia en el estudio estudio de de la Dinámica teriores avances de importancia en Dinámica tuvieron tuvieron que que aguardar hasta que Huyghens de péndulo en 1657. Newton aguardar hasta que Huyghens inventó inventó el reloj reloj de péndulo en Newton de Galileo, Galileo, pudo formular con (1642-1727), guiado guiado por por los los trabajos trabajos de pudo formular con precisión precisión las leyes ello asentar sobre una sólida. leyes del del movimiento movimiento y con con ello asentar la Dinámica Dinámica sobre una base base sólida. El famoso famoso trabajo en la primera edición de sus Printrabajo de Newton Newton fue publicado publicado en primera edición de sus Principia, obra obra universalmente reconocida como como una contribuciones universalmente reconocida una de de las las mayores mayores contribuciones conocimiento. Además de enunciar enunciar las que rigen del al conocimiento. Además de las leyes leyes que rigen el movimiento movimiento del punto material, en formular formular correctamente correctamente la ley punto material, Newton Newton fue el primero primero en ley de la gravitación cuando su su descripción era correcta, correcta, tegravitación universal. universal. Aún Aún cuando descripción matemática matemática era nía que la idea fuerza gravinía la impresión impresión de que idea de de la transmisión transmisión a distancia distancia de la fuerza gravitatoria sin un soporte era era absurda. absurda. Después de Newton, hicieron tatoria sin un medio medio de soporte Después de Newton, hicieron importantes contribuciones a la Mecánica importantes contribuciones Mecánica Euler, Euler, D'Alambert, D'Alambert, Lagrange, Lagrange, LaplaCoriolis, Einstein otros. Einstein y otros. ce, Poinsot, Poinsot, Coriolis, Por su aplicación ser una Por lo que que respecta respecta a su aplicación técnica, técnica, la Dinámica Dinámica resulta resulta ser una ciencia aún aún moderna. moderna. Sólo Sólo desde desde que que las estructuras funcionan funcionan a ciencia las máquinas máquinas y estructuras grandes con aceleraciones aceleraciones apreciables apreciables ha sido necesario efecgrandes velocidades velocidades y con ha sido necesario efectuar cálculos basados de la Dinámica en los de la Estátuar cálculos basados en los los principios principios de Dinámica y no no en los de Estática. Los desarrollos tecnológicos actuales exigen exigen una aplicación cada cada rápidos desarrollos tecnológicos actuales una aplicación Los rápidos vez de los principios de de la Mecánica, de los vez mayor mayor de los principios Mecánica, particularmente particularmente de los de la Dinámica. son fundamentales fundamentales para námica. Estos Estos principios principios son para el análisis análisis y diseño diseño de de estructuras móviles, de estructuras fijas sometidas a cargas dinámicas, de tructuras móviles, de estructuras sometidas cargas dinámicas, de mecanismos sistemas de mando automático, de cohetes cohetes y naves mecanismos robóticos, robóticas, de sistemas mando automático, naves espaciales, de de vehículos de transporte aéreo, de de instrumentos espaciales, vehículos de transporte terrestre terrestre y aéreo, instrumentos basabasados en en la balística electrónica y de de todos como dos balística electrónica de maquinaria maquinaria de todos los tipos tipos tales tales como turbinas, alternativas, grúas, turbinas, bombas, bombas, máquinas máquinas alternativas, grúas, máquinas máquinas herramientas, herramientas, etc. El alumno alumno cuyo cuyo interés estas actividades actividades y de de mumuinterés le lleve lleve hacia hacia una una o más más de estas chas otras otras se encontrará encontrará en en la necesidad fundamentos de la Dichas necesidad de d e aplicar aplicar los fundamentos námica. námica.


r ) ( (

r

F r

r

11 c e o

1 j

s c d o d c fl ti

d

té v

g

----------------------------------------1.2 1.2

CONCEPTOS FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES CONCEPTOS

_-------.

......•.••

5 1.2 CONCEPTOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES 1.2

e

o

i-

Los conceptos conceptos fundamentales fundamentales de la Mecánica Mecánica fueron fueron expuestos expuestos en en el apartado apartado 1.2 Estática. Se resumen 1.2 del tomo tomo 1, Estática. resumen a continuación continuación acompañados acompañados de comentacomentarios adicionales adicionales de importancia importancia particular particular para para el estudio estudio de la Dinámica. Dinámica. Espacio es la región región geométrica geométrica ocupada ocupada por por los cuerpos. cuerpos. La posición posición en en el espacio se determina determina respecto respecto a un un cierto cierto sistema sistema geométrico geométrico de referencia referencia memeespacio diante diante medidas medidas lineales lineales y angulares. angulares. El sistema sistema de referencia referencia fundamental fundamental en en son aplicables aplicables las leyes leyes de la Mecánica Mecánica newtoniana newtoniana o Mecánica Mecánica clásica, clásica, el que son es el sistema primario o sistema sistema inercial inercial primario sistema astronómico astronómico de referencia, referencia, que que es un un sistema sistema imaginario de ejes mutuamente mutuamente ortogonales ortogonales que que se supone supone no tienen tienen traslación traslación imaginario ni rotación rotación en en el espacio. espacio. Las medidas medidas indican indican que que las leyes leyes de la Mecánica Mecánica newtoniana newtoniana son son válidas válidas para para este este sistema sistema de referencia referencia en en tanto tanto que que las velocivelocidades que que intervengan intervengan sean sean despreciables despreciables frente frente a la de la luz, luz, que que es de dades 300000 km km / s. Las medidas medidas efectuadas efectuadas respecto respecto a este este sistema sistema se dice dice que que son son absolutas y se considera considera que que este este sistema sistema está está "fijo" "fijo" en en el espacio. espacio. Un Un sistema sistema solidario solidario a la superficie superficie de la Tierra Tierra tiene tiene un un movimiento movimiento un un tanto tanto complicado complicado sistema de referencia referencia primario, primario, lo cual cual obliga obliga a efectuar efectuar una una corrección corrección de en el sistema las ecuaciones ecuaciones fundamentales fundamentales de la Mecánica Mecánica cuando cuando las medidas medidas se realicen realicen respecto al sistema sistema de referencia referencia de la Tierra. Tierra. Por Por ejemplo, ejemplo, en en el cálculo cálculo de trarespecto de trayectoria de cohetes y en el vuelo espacial, el movimiento absoluto de la Tierra yectoria cohetes en vuelo espacial, movimiento absoluto Tierra constituye un un parámetro parámetro importante. importante. En la mayoría mayoría de los problemas problemas técnicos técnicos constituye de máquinas máquinas y estructuras estructuras que que permanecen permanecen sobre sobre la superficie superficie terrestre, terrestre, las correcciones son son pequeñísimas pequeñísimas y pueden pueden despreciarse. despreciarse. En estos estos problemas problemas se rrecciones pueden aplicar aplicar directamente directamente las leyes leyes de la mecánica mecánica a medidas medidas efectuadas efectuadas pueden respecto respecto a la Tierra Tierra y dichas dichas medidas medidas pueden pueden considerarse considerarse absolutas absolutas desde desde un un punto de vista vista práctico. práctico. punto El tiempo tiempo es una una medida medida de la sucesión sucesión de acontecimientos acontecimientos y en en la Mecánica Mecánica newtoniana newtoniana se considera considera una una magnitud magnitud absoluta. absoluta. medida cuantitativa cuantitativa de la inercia inercia o resistencia resistencia que que presentan presentan La masa es la medida los cuerpos cuerpos a cambiar cambiar su estado estado de movimiento. movimiento. Puede Puede asimismo asimismo considerarse considerarse como la cantidad cantidad de materia materia que que posee posee un un cuerpo cuerpo y también también como como la propiepropiedad dad que da origen origen a la atracción atracción gravitatoria. gravitatoria. fuerza es la acción, acción, de naturaleza naturaleza vectorial, vectorial, que que ejerce ejerce un un cuerpo cuerpo sobre sobre La fuerza cuerpo. Las propiedades propiedades de las fuerzas fuerzas fueron fueron tratadas tratadas a fondo fondo en en el tomo tomo otro cuerpo. 1, Estática. punto material material o partícula, partícula, es un un cuerpo cuerpo de dimensiones dimensiones despreciables. despreciables. Un punto Además, cuando cuando las dimensiones dimensiones de un un cuerpo cuerpo no afectan afectan a la descripción descripción de Además, movimiento ni a la acción acción de las fuerzas fuerzas sobre sobre él, el cuerpo cuerpo puede puede tratarse tratarse su movimiento fuera una una partícula. partícula. Por Por ejemplo, ejemplo, para para describir describir la trayectoria trayectoria de vuelo vuelo como si fuera de un un avión, avión, éste éste puede puede tratarse tratarse como como una una partícula. partícula. cuerpo rígido rígido es aquél aquél cuyas cuyas variaciones variaciones de forma forma son son despreciables despreciables en en Un cuerpo comparación con con sus sus dimensiones dimensiones globales globales o con con las variaciones variaciones de posición posición comparación cuerpo como como un un todo. todo. Como Como ejemplo ejemplo de la hipótesis hipótesis de rigidez rigidez citemos citemos el del cuerpo un avión avión en en vuelo vuelo en en una una turbulencia turbulencia atmosférica. atmosférica. En tal caso, la caso de un hace que que los extremos extremos de éstas éstas se desplacen desplacen unos unos centímecentímeflexión de las alas hace respecto al fuselaje fuselaje de la aeronave, aeronave, lo cual cual carece carece de importancia importancia para para la tros respecto distribución media media de las fuerzas fuerzas aerodinámicas aerodinámicas ejercidas ejercidas sobre sobre las alas alas o para para distribución especificación del del movimiento movimiento del del avión avión en en su su conjunto conjunto en en su trayectoria trayectoria de la especificación tanto, el tratamiento tratamiento del del avión avión como como cuerpo cuerpo rígido rígido no presenta presenta ninninvuelo. Por tanto, guna complicación. complicación. En cambio, cambio, si se tratara tratara de examinar examinar los esfuerzos esfuerzos internos internos guna


6 INTRODUCCiÓN A LA LA DINÁMICA DINÁMICA INTRODUCCiÓN

en la estructura habría que estructura de las alas debidos debidos a cargas dinámicas dinámicas cambiantes, habría examinar las características de deformación deformación de la estructura, estructura, para examinar para lo cual ya no podría considerarse considerarse el avión como un un cuerpo cuerpo rígido rígido.. podría 1, Estática, ampliamente de vectores En el tomo 1, Estática, se trató ampliamente vectores y escalares, por por lo perfectamente clara. Los escalares que la diferencia entre ambos debe estar ya perfectamente representan con letras bastardillas bastardillas o cursivas y los vectores con letras negrise representan Has.Así, diremos que V (escalar) es el módulo módulo del vector V. Al escribir a mano llas. Así, diremos emplear una señal de identificación para para los vectores que susties importante importante emplear tuya a la letra negrilla que se emplea emplea en impresión.4generalmente impresión~eneralmente se emplea tuya emplea un un signo en forma de flecha y el vector V se escribe V. Recuérdese, por por ejemplo, paralelos V 1l + V 2 Y V 1l + V 22 significan cosas ..que que en el caso de dos vectores no paralelos completamente diferentes. diferentes. completamente Se Se supone supone que el lector ya está familiarizado familiarizado con la geometría geometría y el álgebra estudios anteriores anteriores de matemáticas matemáticas y también de los vectores gracias a sus estudios también de repasar tales temas encontrarán encontrarán un Estática. Quienes necesiten repasar un breve breve resumen resumen apéndice e junto matemáticas de uso frecuente en en el apéndice junto con otras relaciones matemáticas geometría suele ser una Mecánica. La experiencia revela que la geometría una fuente de difiestudio de la Mecánica. Ésta, por por su propia cultades en el estudio propia naturaleza, naturaleza, es estudiantes deben tener presente presente este hecho cuando geométrica y los estudiantes cuando repasen repasen matemáticas. Además Además del álgebra vectorial, la Dinámica sus conocimientos de matemáticas. requiere el empleo del cálculo vectorial infinitesimal, cuyos elementos elementos esenciaexpuestos en el texto a medida medida que sean necesarios. necesarios. les serán expuestos intervienen frecuentemente frecuentemente las derivadas derivadas respecto al tiempo En Dinámica intervienen abreviar la notación notación se emplearán tanto de vectores como de escalares. Para abreviar emplearán puntos sobre la cantidad cantidad para para representar representar derivación derivación respecto al tiempo. puntos tiempo. Así, dx/dt y x x significa d22x/dt xi significa dx/dt x/dt2.2. 1.3

LEYESDE NEWTON LEYES DE NEWTON

En el apartado apartado 1.4 1.4 del tomo 1, 1, Estática, enunciaron las tres leyes del moviEstática, se enunciaron miento de Newton Newton y aquí se repiten repiten dada dada su especial importancia importancia para para la DiExpresadas en términos términos modernos modernos son las siguientes: námica. Expresadas ley. Un punto punto material material permanece permanece en reposo reposo o continúa Primera ley. continúa en moviuniforme si sobre él no se ejercen fuerzas desequilibradas. desequilibradas. miento rectilíneo y uniforme ley. La aceleración de un punto punto material material es proporcional proporcional a la fuerza Segunda ley. resultante que se ejerce sobre él y tiene la dirección y sentido sentido de dicha fuerza. resultante

1 e

Tercera ley. ley. Las fuerzas de acción y reacción entre cuerpos cuerpos en contacto son intensidad y colineales y tienen sentidos sentidos opuestos. opuestos. de igual intensidad

F

verificada mediante mediante numerosas La validez de estas leyes ha sido verificada numerosas mediciofísicas de gran precisión. Las dos primeras primeras son válidas válidas para nes físicas para mediciones mediciones efectuadas en un sistema de referencia absoluto, pero efectuadas pero deben deben corregirse levecuando lo son con respecto a un sistema de referencia que tenga mente cuando tenga aceleración, tal como la superficie terrestre. segunda ley de Newton Newton constituye constituye la base de la mayoría La segunda mayoría de los análisis Aplicada a un punto punto material material de masa m, sometido una fuerza en Mecánica. Aplicada sometido a una fuerza F, puede puede enunciarse enunciarse en la forma ..resultante resultante F,

y

= ma F ==


(1.1) (1.1 )

L U C

g

donde a es la aceleración que se origina medida en un sistema de referencia no acelerado. La primera ley de Newton es consecuencia de la segunda, ya que no habrá aceleración si la fuerza es nula y en tal caso la partícula debe estar en reposo o moviéndose a velocidad constante. La tercera ley constituye el principio de acción y reacción que ya debemos conocer perfectamente de nuestros estudios de Estática.

1.4

7

1.4 UNIDADES

UNIDADES

En este tomo 2, Dinámica, se emplea el Sistema Métrico Internacional, pese a que el antiguo Sistema Terrestre o Sistema Técnico, aún sigue empleándose con frecuencia en la vida cotidiana. En la tabla siguiente se resumen las cuatro magnitudes fundamentales de la Mecánica y sus unidades en los dos sistemas:

Unidades SI

SISTEMA TERRESTREO TÉCNICO

Magnitud

Magnitud dimensional

Unidad

Símbolo

Masa Longitud Tiempo Fuerza

M L T F

un¡dades{ kilogramo básicas metro d segun o newton

kg m s N

Unidad -

{mel,"

Uru·da des , . segundo básicas kil opon di10

En el SI, las magnitudes fundamentales o básicas son la masa, la longitud y el tiempo, y la fuerza es una magnitud derivada de éstas a través de la segunda ley de Newton (ec. 1.1). En el Sistema Técnico, las magnitudes fundamentales son la fuerza, la longitud y el tiempo, y la masa es una magnitud derivada de éstas a través de la segunda ley de Newton. (Recuérdese que la unidad técnica de masa carece de nombre y suele representarse con las letras UTM). El Sistema Internacional de unidades recibe el adjetivo de absoluto porque en el mismo se toma la masa como unidad absoluta o fundamental. Del Sistema Técnico o Terrestre se dice que es gravitatorio porque en él la fuerza (medida como atracción gravitatoria) constituye una magnitud fundamental. Esta distinción representa una diferencia esencial entre ambos sistemas. La unidad internacional (o unidad SI) de fuerza recibe el nombre de newton y es, por definición, la fuerza capaz de imprimir a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por segundo al cuadrado. En el Sistema Técnico, una unidad de masa adquirirá una aceleración de un metro por segundo al cuadrado cuando sobre ella actúe una fuerza de un kilopondio. Entonces, según la ecuación 1.1, tenemos para estos sistemas

Unidades SI (1 N) = (1 kg)(l

N =kg·m/s2

mi S2)

Unidades Técnicas = (1 UTM)(l m/s2) 1 UTM=kp'm/seg2/m

(1 kp)


Símbolo UTM m seg kgf, kp

88 INTRODUCCIÓN INÁMICA INTRODUCCiÓN A LA LA D DINÁMICA

En el Sistema representa únicamente únicamente una una sola Sistema Internacional Internacional cada cada símbolo símbolo representa sola magnitud. ponerse cuidado palabra kilogramo magnitud. Debe Debe ponerse cuidado en en emplear emplear la palabra kilogramo únicamente únicamente como unidad de unidad de como unidad de masa masa y nunca nunca como como unidad de fuerza. fuerza. Suele Suele ser ser habitual habitual en en el lenguaje común común expresar expresar pesos en kilogramos, kilogramos, pero debe quedar quedar claro claro que que en en lenguaje pesos en pero debe tal caso pesos (fuerzas) tal caso lo que que se está está expresando expresando son son medidas medidas de de pesos (fuerzas) en en kilograkilogramos por tanto hecho de mos fuerza fuerza o kilopondios, kilopondios, y que que por tanto está está implícito implícito el hecho de que que se están pues, en tán expresando expresando en en el Sistema Sistema Técnico. Técnico. Hay Hay que que tener tener cuidado, cuidado, pues, en utilizar utilizar el símbolo para representar representar masas símbolo kg kg exclusivamente exclusivamente para masas en en el Sistema Sistema InternacioInternacional símbolo kp kp (o el kgf) kgf) exclusivamente exclusivamente para representar fuerzas fuerzas en en el Sisnal y el símbolo para representar tema Técnico. Técnico. Hacia Hacia el final final del del apartado apartado 1.5 próximo tema próximo se recordará recordará la relación relación entre ambos ambos sistemas, sistemas, tal tal como como se expuso expuso en en el apartado apartado 1.6 del del tomo tomo 1, Estátientre Estática. En este este texto texto se emplea emplea exclusivamente exclusivamente el Sistema Sistema Internacional, Internacional, salvo salvo en en ca. algún problema este capítulo capítulo con con fines fines aclaratorios. aclaratorios. algún problema de este En Mecánica unidades SI se irán Mecánica se emplean emplean otras otras magnitudes magnitudes cuyas cuyas unidades irán defidefiniendo a medida uso coheniendo medida que que aparezcan aparezcan en en los capítulos capítulos que que siguen. siguen. Para Para el uso coherente de unidades hay unas pautas, pautas, las cuales han seguido rente de estas estas unidades hay establecidas establecidas unas cuales se han seguido a lo largo largo de todo todo el libro. libro. 1.5

GRAVITACiÓN

La ley por Newton, Newton, que rige la atracción ley de de la gravitación, gravitación, formulada formulada por que rige atracción mutua mutua entre entre cuerpos cuerpos es (1.2) (1.2)

donde donde F == fuerza fuerza de de atracción atracción mutua mutua entre entre dos dos partículas F partículas G == constante universal llamada constante universal llamada constante constante de de gravitación gravitación mI, m2 = masas masas de de las partículas mI, partículas rr = distancia partículas distancia entre entre los centros centros de de las partículas

Según Según datos datos experimentales, experimentales, el valor valor de de la constante constante de gravitación gravitación es 11)) m33/(kg = 6,673(106,673(10-11 superficie terrestre, terrestre, la única fuerza gravigraviG = /(kg . S2) . En la superficie única fuerza tatoria de de intensidad intensidad apreciable apreciable es la debida debida a la atracción atracción ejercida ejercida por tatoria por la Tierra. Por ejemplo, ejemplo, en en el tomo tomo 1, Estática, vio que que dos dos bolas de hierro de 100 rra. Por Estática, se vio bolas de hierro de mm de de diámetro diámetro se ven atraídas cada cada una Tierra con con una fuerza gravigravimm ven atraídas una por por la Tierra una fuerza tatoria de 37,1 N, fuerza fuerza ésta ésta que que llamamos llamamos peso, pero entre ellas ellas se ejercen ejercen una tatoria pero entre una fuerza de de atracción atracción mutua mutua de 0,000 000 095 1 N. fuerza Dado que que la atracción atracción gravitatoria gravitatoria que que sufre sufre un cuerpo o peso del cuerpo cuerpo es Dado un cuerpo peso del una fuerza, los pesos deberán expresarse siempre en unidades de fuerza, deuna fuerza, pesos deberán expresarse siempre en unidades de fuerza, es decir, en en newtons (N) en el Sistema Internacional o bien en kilopondios (kp) o kinewtons en Sistema Internacional bien en kilopondios logramos fuerza fuerza (kgf) en en el Sistema Sistema Técnico. Técnico. Por Por desgracia desgracia y como como ya se ha logramos ha señalado, la unidad de masa masa (kg) se ha ha empleado empleado habitualmente habitualmente como como medida medida señalado, unidad de de peso. expresa en en kilogramos, kilogramos, la palabra "peso" significa significa técnicamente de peso. Si se expresa palabra "peso" técnicamente "masa". Para Para evitar evitar confusiones, confusiones, en en este este libro libro se reserva "peso" para "masa". reserva la palabra palabra "peso" para expresar la atracción atracción gravitatoria gravitatoria y se expresará expresará siempre siempre en en newtons kiloponexpresar newtons o kilopondios. dios. fuerza de atracción atracción gravitatoria gravitatoria que que ejerce ejerce la Tierra Tierra sobre sobre un cuerpo deLa fuerza un cuerpo pende de la posición de éste éste respecto aquélla. Si la Tierra Tierra fuese fuese una esfera pende de posición de respecto de aquélla. una esfera perfecta del mismo mismo volumen, volumen, un cuerpo de masa masa exactamente exactamente 1 kg kg se vería vería perfecta del un cuerpo


9

9,840

Relativa a una Tierra sin rotación 9,830

-

9,820

1---

9,810

--6

»>

/'

(/)

/

9,800

/

o{¡

9,790

--- ----

,/

-

~ V

V

"

9,780

c.;

»> -:

V

/

1'\

Relativa a la Tierra en rotación (Fórmula Internacional de la Gravedad)

9,770

O (Ecuador)

30

60

Latitud, grados Figura

90

(Polos)

1.1

atraído hacia el centro de la Tierra con una fuerza de 9,825 N si estuviera situado en la superficie terrestre, con una fuerza de 9,822 N a una altitud de 1 km, con una fuerza de 9,523 N a una altitud de 100 km, con una fuerza de 7,340 N a una altitud de 1000 km Y con una fuerza de 2,456 N a una altitud igual al radio medio de 6371 km de la Tierra. Se comprende de inmediato que la variación de la atracción gravitatoria es un dato a tener muy en cuenta en lo que respecta a cohetes de gran altura y naves espaciales. Todo cuerpo que se deje caer en el vacío desde una posición dada cerca de la superficie terrestre tendrá siempre la misma aceleración g, tal como se deduce combinando las ecuaciones 1.1 y 1.2 Y eliminando el factor común que representa la masa del cuerpo que cae. Dicha combinación da

a

a a e a

donde me es la masa de la Tierra y R es el radio de la Tierra l. Experimentalmente se ha determinado que la masa me y el radio medio R de la Tierra valen, respectivamente, 5,976(1024) kg Y 6,371(106) m. Si se aplican estos valores, junto al de G ya citado, la expresión de g da un valor medio g = 9,825 mi s2. La aceleración de la gravedad determinada según la ley de gravitación es la aceleración que se mediría en una sistema de ejes de referencia cuyo centro estuviera en el centro de la Tierra pero que no girase con ésta. Respecto a estos ejes "fijos", ese valor podría llamarse valor absoluto de g. A causa del hecho de que la Tierra rota, la aceleración de un cuerpo en caída libre, medida desde una posición solidaria a la superficie terrestre es levemente inferior al valor absoluto. Los valores exactos de la aceleración de la gravedad medidos con relación a la superficie terrestre están afectados por el hecho de que la Tierra es un esferoide oblongo achatado por los polos. Tales valores pueden calcularse con un 1

Se puede demostrar que si se toma la Tierra como una esfera con distribución simétrica de su masa respecto al centro, se puede considerar toda ella como un punto material con toda su masa concentrada en el centro.


1.5 GRA VII ACiÓN

l'

10

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A LA LA DINÁMICA DINÁMICA

alto precisión con Fórmula Internacional Internacional de la Gravedad alto grado grado de de precisión con la Fórmula Gravedad de 1980, que que es

c

sen-2 yy + 0,000 023 sen sen?4 yy + .. .... ) g = = 9,780327(1 9,780327(1 + 0,005 279 sen

donde metros por por segundo donde yy es la latitud latitud y g se expresa expresa en en metros segundo al cuadrado. cuadrado. La fórfórmula está basada en un modelo modelo elipsoidal para la Tierra Tierra y además tiene en mula está basada en un elipsoidal para además tiene en cuenta rotación de gravedad cuenta el efecto efecto de la rotación de ésta. ésta. La aceleración aceleración absoluta absoluta de de la gravedad determinada para una una Tierra rotación puede puede calcularse, buena aproxideterminada para Tierra sin sin rotación calcularse, con con buena aproxipartir de los valores valores relativos relativos sumando mación, sumando 3,382(103,382(10-22)cos22 yy mi s2, s2, con con lo mación, a partir que elimina el efecto efecto de de la rotación figura 1.1 se presenta que se elimina rotación terrestre. terrestre. En la figura presenta la variación con valores absoluto relativo de g al nivel nivel del mar.1 variación con la latitud latitud de de los valores absoluto y relativo del mar.' El valor internacionalmente aceptado para aceleración de la valor normalizado normalizado internacionalmente aceptado para la aceleración gravedad relación a una una Tierra rotación, a nivel nivel del mar y a una una latitud gravedad con con relación Tierra en en rotación, del mar latitud de Este valor valor difiere de 45°, es de 9,806 65 mi S2. S2.Este difiere levemente levemente del del que que se obtiene obtiene con con la Fórmula Fórmula Internacional Internacional de particularizada para para y= 45°. 45 Tal difede la Gravedad Gravedad particularizada diferencia que achacarla achacarla a que que la Tierra Tierra no sea exactamente exactamente un elipsoide, tal rencia hay hay que no sea un elipsoide, tal como Fórmula. como se supone supone al establecer establecer dicha dicha Fórmula. La proximidad grandes masas sólidas y las variaciones de densidad densidad de de proximidad de grandes masas sólidas variaciones de corteza terrestre influyen también en el valor local de de gg en en cuantía cuantía pequeña, la corteza terrestre influyen también en valor local pequeña, pero detectable. En casi todos en que que se efectúan efectúan medipero detectable. En casi todos los problemas problemas técnicos técnicos en mediciones sobre sobre la superficie superficie de la Tierra Tierra se desprecian desprecian la diferencia diferencia entre entre los vaciones valores absoluto absoluto y relativo aceleración de de la gravedad gravedad y el efecto efecto de de las lores relativo de la aceleración las toma como valor de nivel del mar 9,81 mi S2. variaciones locales, y se toma como valor de g al nivel del mar S2. variaciones locales, La variación con la altitud altitud se determina determina fácilmente fácilmente mediante ley de de variación de g con mediante la ley la gravitación. representa la aceleración nivel gravitación. Si go representa aceleración absoluta absoluta de de la gravedad gravedad al nivel del mar, absoluto a una altura h es del mar, el valor valor absoluto una altura o.

donde R es el radio Tierra. donde radio de la Tierra. La atracción atracción gravitatoria gravitatoria que que la Tierra Tierra ejerce ejerce sobre sobre un cuerpo puede calcuun cuerpo puede calcularse partiendo los resultados del sencillo sencillo experimento experimento gravitatorio. gravitatorio. Si la larse partiendo de los resultados del fuerza peso verdadero verdadero de un cuerpo W, como fuerza de de atracción atracción gravitatoria gravitatoria o peso de un cuerpo es W, como ese ese cuerpo una aceleración vacío, la ecuación cuerpo caerá caerá con con una aceleración absoluta absoluta g en en el vacío, ecuación 1.1 da da

p

C

SI

fj

Si

U

te

el si té sí ti' la

de ec su

Pa W = = mg

(1.3) (1.3)

peso aparente un cuerpo un dinamómetro El peso aparente de de un cuerpo determinado determinado con con un dinamómetro graduado graduado para indicar la fuerza fuerza correcta correcta y unido superficie terrestre, será ligeramenligeramenpara indicar unido a la superficie terrestre, será te inferior su peso diferencia se debe debe a la rotación rotación de de la Tierra. Tierra. inferior a su peso verdadero. verdadero. La diferencia La del peso aparente a la aceleración aceleración de de la gravedad aparente o relativa, La razón razón del peso aparente gravedad aparente relativa, sigue dando dando el valor correcto de de la masa. aparente y la aceleración aceleración resigue valor correcto masa. El peso peso aparente relativa magnitudes que miden en lativa de la gravedad gravedad son, son, desde desde luego, luego, las las magnitudes que se miden en los experimentos realizados realizados en Tierra. perimentos en la superficie superficie de de la Tierra. como se estableció estableció antes, antes, se toma de 9,81 mi s2 s2 al nivel Si, tal tal como toma para para g un un valor valor de nivel del mar, según la ecuación ecuación 1.3 el peso de la masa (véase tomo del mar, según peso de masa patrón patrón (véase tomo 1, Estática, Estática, apdo. 1.5) en en unidades será (1 kg)'(9,81ml S2)== 9,81 N. apdo. unidades SI será kg)·(9,81ml S2) 11

El estudiante estudiante podrá deducir estas relaciones para estudiar el movimiento podrá deducir para una una Tierra esférica al estudiar movimiento relativo en el capítulo 3. capítulo 3.


es sic

El da es po so de pn físi

~------~~-------~~~-------------------------En el Sistema peso de la masa masa patrón patrón es por por definición unidad Sistema Técnico Técnico el peso definición la unidad de fuerza kilopondio o kilogramo-fuerza. kilogramo-fuerza. Resulta fuerza o kilopondio Resulta entonces entonces que que 1 kp kp == 9,81 N

n d io a

puesto que ambos ambos valores expresan el peso de la misma Según la ecuaecuavalores expresan peso de misma masa. masa. Según puesto que en el Sistema Sistema Técnico Técnico la masa (1/9,81) UTM. como ya ción 1.3, en masa patrón patrón valdrá valdrá (1/9,81) UTM. Tal como ya dicho, la unidad en el Sistema Sistema Técnico Técnico carece carece de de nombre especíse ha ha dicho, unidad de masa masa en nombre especísuele expresarse expresarse mediante iniciales UTM. emplea en en esta esta obra, obra, fico y suele mediante las iniciales UTM. No No se emplea salvo en en algunos algunos problemas este capítulo capítulo a efectos efectos aclaratorios. aclaratorios. salvo problemas de este

1

la d n

eal

1.6

DIMENSIONES DIMENSIONES

Una dimensión dada, dada, tal como longitud, longitud, puede expresarse mediante diferenUna dimensión tal como puede expresarse mediante diferentes unidades como metros, milímetros o kilómetros. distinguiremos unidades como metros, milímetros kilómetros. Así Así pues, pues, distinguiremos entre la palabra dimensión y la palabra unidad. Las relaciones físicas deben deben ser ser entre palabra dimensión palabra unidad. relaciones físicas siempre homogéneas dimensionalmente, es decir, decir, las las dimensiones dimensiones de de todos siempre homogéneas dimensionalmente, todos los términos ecuación han de ser ser las las mismas. acostumbra emplear emplear los términos de una una ecuación han de mismas. Se acostumbra símbolos L, F, T YM longitud, fuerza, fuerza, tiempo símbolos YM para para representar representar longitud, tiempo y masa, masa, respecrespectivamente. En unidades fuerza es una derivada y en en virtud de unidades SI la fuerza una magnitud magnitud derivada virtud de tivamente. En ecuación 1.1 posee las dimensiones dimensiones de masa aceleración o sea sea la ecuación posee las masa por por aceleración

F de el

= ML/T2 ML/T2 =

Una aplicación muy importante del del análisis análisis dimensional dimensional es la comprobación comprobación Una aplicación muy importante corrección dimensional dimensional de las las relaciones físicas deducidas. deducidas. Entre Entre la velocide la corrección relaciones físicas velocidad v de un cuerpo de de masa que, a partir del reposo, desplaza una distandad un cuerpo masa m que, partir del reposo, se desplaza una distanacción de una fuerza F F se deduce deduce que que existe existe la relación cia horizontal horizontal x bajo bajo la acción una fuerza relación Fx Fx --- 2~mv2 ~mv2

li-

la se

.3)

donde ~ coeficiente adimensional adimensional resultante de una integración. Esta Esta donde ~ es un un coeficiente resultante de una integración. ecuación es dimensionalmente dimensionalmente correcta puesto que al sustituir sustituir por ecuación correcta puesto que por L M Y T resulta sulta [MLT-2][L] = [M][LT-l]2 [MLT-2][L] = [M][LT-l]2

Para que que una fórmula o ecuación ecuación sea sea correcta, correcta, la homogeneidad dimensional Para una fórmula homogeneidad dimensional condición necesaria suficiente, ya que los los coeficientes coeficientes adimenadimenes una una condición necesaria pero pero no no suficiente, ya que sionales no comprobarse de de este este modo. sionales no pueden pueden comprobarse modo.

do enfa.

va, reexivel

ica,

ento

1.7

PLANTEAMIENTO Y RESOLUCiÓN DE LOS PROBLEMAS PROBLEMAS DE PLANTEAMIENTO Y RESOLUCiÓN DINÁMICA DINÁMICA

estudio de la Dinámica Dinámica se dirige dirige hacia descripción de de las diversas canticantiEl estudio hacia la descripción las diversas dades que que intervienen intervienen en en el movimiento de los los cuerpos. cuerpos. Esta Esta descripción, descripción, que que dades movimiento de formular predicciones acerca del del comcomes principalmente principalmente matemática, matemática, permite permite formular predicciones acerca portamiento dinámico. El estudiante estudiante debe debe reconocer portamiento dinámico. reconocer la necesidad necesidad de un un proceprocedual. Debe Debe pensar con arreglo arreglo a la situación situación física física y también so de pensamiento pensamiento dual. pensar con también acuerdo con con la descripción descripción matemática correspondiente. El estudio estudio de de todo de acuerdo matemática correspondiente. todo problema del pensamiento del punto de vista problema requerirá requerirá la transición transición repetida repetida del pensamiento del punto de vista duda de de que que las mayores dificulfísico al punto punto de vista vista matemático. matemático. No No hay hay duda mayores dificul-


11 11

1.6 DIMENSIONES DIMENSIONES

12

INTRODUCCIÓN INTRODUCCiÓN A LA LA DINÁMICA DINÁMICA

tades que encuentran encuentran los estudiantes estudiantes en en Mecánica Mecánica es la falta falta de capacidad capacidad para tades que para realizar esta transición libremente, vinculando estos procesos mentales. mentales. El realizar esta transición libremente, vinculando estos dos dos procesos estudiante realizar un un gran para enlazar estudiante deberá deberá realizar gran esfuerzo esfuerzo para enlazar cada cada concepto concepto físico con Deberá reconocer reconocer que que la formucon su su correspondiente correspondiente expresión expresión matemática. matemática. Deberá formulación matemática de un un problema problema físico representa representa un un modelo modelo o descripción lación matemática descripción límite pero que nunca alcanza por completo límite ideal, ideal, que que se aproxima aproxima pero que nunca alcanza por completo la situación situación física real. física real. matemático idealizado para un un problema problema técnico técnico daAl construir construir el modelo modelo matemático idealizado para dado, siempre harán ciertas Algunas de siempre se harán ciertas aproximaciones. aproximaciones. Algunas de éstas éstas serán serán de de índole índole matemática otras de índole índole física física.. Por Por ejemplo, ejemplo, suele suele ser ser preciso preciso despreciar despreciar matemática y otras distancias, pequeñas, frente otras distancias, distancias, ángulos ángulos o fuerzas fuerzas que que sean sean pequeñas, frente a otras distancias, ángulos mucho mayores. mayores. Si la variación variación de velocidad velocidad de un cuerpo gulos o fuerzas fuerzas mucho de un cuerpo con con el tiempo uniforme, será Un tiempo es casi uniforme, será admisible admisible suponer suponer constante constante la aceleración. aceleración. Un intervalo movimiento que no pueda pueda describirse toda su intervalo de de movimiento que no describirse fácilmente fácilmente en en toda su extenextensión pequeños intervalos, uno de pueda ser sión suele suele dividirse dividirse en en pequeños intervalos,' cada cada uno de los cuales cuales pueda ser aproximado. retardador rozamiento en en los cojinetes, aproximado. El efecto efecto retar dador del del rozamiento cojinetes, sobre sobre el momovimiento adquirido por una una máquina momentos vimiento adquirido por máquina a consecuencia consecuencia de fuerzas fuerzas o momentos aplicados, puede a menudo menudo despreciar rozamiento son peaplicados, se puede despreciar si las fuerzas fuerzas de rozamiento son pequeñas. mismas fuerzas fuerzas no no podrán podrán despreciarse despreciarse si el fin de queñas. Sin embargo, embargo, esas esas mismas de la investigación rendimiento de la máquina máquina investigación es determinar determinar la disminución disminución del del rendimiento a causa proceso de rozamiento. Así Así pues, pues, hasta hasta qué pueden forcausa del del proceso de rozamiento. qué extremo extremo pueden mularse hipótesis, hipótesis, dependerá de la información precisión mularse dependerá de información que que se desee desee y de de la precisión exigida. hipóexigida. El estudiante estudiante deberá deberá estar estar constantemente constantemente atento atento a las diversas diversas hipótesis que hagan para para la formulación problemas reales. reales. La habilidad habilidad tesis que se hagan formulación de de los problemas para comprender utilizar las hipótesis hipótesis apropiadas para comprender y utilizar apropiadas en en la formulación formulación y solusolución de problemas problemas técnicos técnicos es, ciertamente, una de más imción de ciertamente, una de las características características más importantes de un un buen buen ingeniero. ingeniero. Junto principios e portantes Junto con con el desarrollo desarrollo de los principios instrumentos necesarios en moderna, uno uno de princiinstrumentos analíticos analíticos necesarios en la Dinámica Dinámica moderna, de los principales fines proporcionar un un máximo máximo de de oportunidades para depales fines de de este este libro libro es proporcionar oportunidades para desarrollar habilidad de formulación de modelos matemáticos. matemáticos. Se hará hará sarrollar esta esta habilidad de formulación de modelos mucho hincapié hincapié en una amplia variedad de prácticos, que mucho en una amplia variedad de problemas problemas prácticos, que no no sólo sólo exigen también obligan exigen el ejercicio ejercicio completo completo de la teoría, teoría, sino sino que que también obligan a considerar considerar decisiones que que hay que tomar tomar relativas hipótesis importantes. importantes. las decisiones hay que relativas a hipótesis Es esencial un método problemas de esencial un método de de ataque ataque eficaz eficaz de de los problemas de Mecánica, Mecánica, como como de todos los problemas problemas técnicos. técnicos. El desarrollo hábito de problemas de todos desarrollo del del hábito de formular formular problemas y de de representar sus soluciones soluciones es de de un extraordinario. Cada Cada resolución resolución representar sus un valor valor extraordinario. debe progresar a través una sucesión lógica de pasos pasos que debe progresar través de de una sucesión lógica que llevan llevan desde desde la hipótesis a la conclusión representación deberá un enunciado pótesis conclusión y su su representación deberá incluir incluir un enunciado claro claro de las partes partes siguientes, una de toda claridad: siguientes, cada cada una de ellas ellas identificada identificada con con toda claridad: Datos 1. Datos 2. Resultados pedidos Resultados pedidos necesarios 3. Diagramas Diagramas necesarios

Cálculos 4. Cálculos Respuestas y conclusiones conclusiones 5. Respuestas

conveniente, además, además, incorporar incorporar una serie de de comprobaciones comprobaciones de los cáluna serie Es conveniente, culos puntos intermedios resolución. Deberá culos en en puntos intermedios de de la resolución. Deberá observarse observarse si el orden orden de magnitud de numéricos es razonable razonable y deberá magnitud de los valores valores numéricos deberá comprobarse comprobarse con con frecuencia precisión y la homogeneidad homogeneidad de los términos. términos. Es también frecuencia la precisión también imporimportante que trabajo sea resoluciones tante que la distribución distribución del del trabajo sea limpia limpia y ordenada. ordenada. Las resoluciones descuidadas no puedan puedan ser leídas por los demás, poco descuidadas que que no leídas fácilmente fácilmente por demás, son son de poco valor o carecen verá que una buena buena forma valor carecen de él. Se verá que la disciplina disciplina inherente inherente a una forma constituye en misma una una valiosísima constituye en sí misma valiosísima ayuda ayuda al desarrollo desarrollo de de las capacidades capacidades


a

El ea u-

ón ón

ión

pódad lu-

erar amo

mas ción ahio de

s cálende e con poriones

formulación y análisis. análisis. Muchos Muchos problemas problemas que que puedan puedan parecer, parecer, al principrincide formulación difíciles y complicados, complicados, resultan resultan claros claros y sencillos sencillos una una vez vez que que se han pio, difíciles han afrontado con un un método método de ataque ataque lógico lógico y disciplinado. disciplinado. afrontado Dinámica se basa basa en en un un número número sorprendentemente sorprendente mente reducido reducido de conconLa Dinámica ceptos fundamentales fundamentales e implica, implica, principalmente, principalmente, la aplicación aplicación de estas estas relaciorelacioceptos fundamentales a una una diversidad diversidad de situaciones. situaciones. Uno Uno de los aspectos aspectos más más nes fundamentales valiosos del estudio estudio de la Dinámica Dinámica es la experiencia experiencia adquirida adquirida al razonar parvaliosos razonar partiendo de los principios principios fundamentales. fundamentales. Esta experiencia no puede puede obtenerse obtenerse tiendo Esta experiencia simplemente memorizando memorizando las ecuaciones ecuaciones de Cinemática Dinámica que que simplemente Cinemática y de Dinámica describen diversos diversos movimientos. movimientos. Debe Debe obtenerse obtenerse enfrentándose enfrentándose a una una amplia amplia describen variedad de problemas problemas que que obliguen obliguen a la elección, elección, empleo empleo y extensión extensión de los variedad principios fundamentales para para satisfacer satisfacer las condiciones condiciones dadas. dadas. principios fundamentales describir las relaciones relaciones entre entre las fuerzas fuerzas y los movimientos movimientos que que originan, originan, Al describir esencial que que se defina defina claramente claramente el sistema sistema al cual cual se aplica aplica el principio. es esencial principio. A sistema que que hay hay que que aislar aislar es un un punto punto material material o partícula, partícula, o un un cuercuerveces, el sistema rígido, mientras mientras que que otras otras veces veces son son dos dos o más más cuerpos cuerpos tomados tomados juntos po rígido, juntos los constituyen el sistema. sistema. La definición definición del del sistema sistema que que se quiere quiere analizar analizar que constituyen queda clara clara construyendo construyendo su su diagrama diagrama de sólido sólido libre. Este Este diagrama diagrama consiste consiste en en queda dibujo de forma forma cerrada cerrada que que representa representa los límites límites exteriores exteriores del sistema un dibujo del sistema definido. Se suprimen suprimen todos todos los cuerpos que están están en en contacto contacto con con el sistema sistema y definido. cuerpos que ejercen fuerzas fuerzas sobre sobre él pero pero no forman forman parte parte del del mismo, mismo, y se sustituyen sustituyen por por ejercen vectores que que representen representen las fuerzas fuerzas que que ejercen sistema aislado. aislado. De vectores ejercen sobre el sistema manera se establece establece una una distinción distinción clara clara entre entre la acción acción y la reacción reacción de esta manera cada fuerza fuerza y se tienen tienen en en cuenta cuenta todas las fuerzas fuerzas que que se ejercen ejercen sobre sobre el sistesistecada desde el exterior. exterior. Se supone supone que que el estudiante estudiante está está familiarizado familiarizado con con la técma desde del trazado diagramas de sólido sólido libre, libre, en en la que que ya ya se habrá habrá ejercitado ejercitado nica del trazado de diagramas anteriormente al estudiar estudiar la Estática. Estática. anteriormente aplicar las leyes leyes de la Dinámica, Dinámica, se pueden pueden emplear emplear directamente directamente los vavaAl aplicar lores numéricos de las cantidades cantidades al buscar buscar la solución solución o bien bien pueden pueden utilizarse utilizarse lores numéricos símbolos algebraicos algebraicos para para representar representar las cantidades cantidades que intervienen y dejar dejar la símbolos que intervienen respuesta en en forma forma d dee fórmula. fórmula. En el primer primer procedimiento, procedimiento, en en cada cada etapa etapa del del respuesta cálculo queda queda en evidencia evidencia el orden orden de magnitud magnitud de todas todas las cantidades cantidades excálculo presadas en en sus sus unidades unidades particulares. particulares. Esto Esto suele suele ser ser una una ventaja ventaja cuando cuando se vavapresadas significado práctico práctico del orden orden de magnitud magnitud de los términos. lore el significado términos. Sin embargo, la solución solución simbólica simbólica presenta presenta varias varias ventajas ventajas respecto respecto a la numérica. numérica. embargo, primer lugar, lugar, la abreviatura abreviatura lograda lograda con con la utilización utilización de símbolos símbolos ayuda ayuda a En primer concentrar la atención atención sobre sobre la interconexión interconexión entre entre la situación situación física física y la desdesconcentrar cripción matemática matemática con con ella ella relacionada. relacionada. En segundo segundo lugar, una solución solución simsimcripción lugar, una bólica permite permite la comprobación comprobación dimensional dimensional que que puede puede realizarse cada paso, bólica realizarse a cada paso, mientras que que cuando cuando se utilizan utilizan valores valores numéricos numéricos no puede puede comprobarse comprobarse la mientras homogeneidad dimensional. dimensional. En tercer tercer lugar, lugar, una una solución solución dimensional dimensional se puepuehomogeneidad emplear repetidamente repetidamente para para obtener obtener respuestas respuestas al mismo mismo problema cuando de emplear problema cuando puedan existir existir otros otros conjuntos conjuntos de valores valores y unidades. unidades. La facilidad con ambos ambos puedan facilidad con métodos de solución solución es esencial esencial y convendrá convendrá adquirir adquirir una una buena buena práctica práctica en en la métodos resolución de problemas. problemas. resolución estudiante descubrirá descubrirá que que hay hay tres tres maneras maneras de de hallar hallar las soluciones soluciones a las El estudiante distintas ecuaciones ecuaciones de Dinámica. Primera, puede ser ser una una solución solución matemámatemádistintas de la Dinámica. Primera, puede directa por por cálculo cálculo manual manual en en la que que las respuestas respuestas aparezcan aparezcan bien bien con con tica directa símbolos algebraicos, algebraicos, bien bien con con resultados resultados numéricos. numéricos. La mayoría mayoría de los proprosímbolos blemas están están comprendidos comprendidos en en esta esta categoría. categoría. Segunda, Segunda, hay hay problemas problemas que que se blemas resuelven fácilmente fácilmente por por métodos métodos gráficos, gráficos, como como ocurre ocurre en en la determinación determinación resuelven


13 PLANTEAMIENTO Y RESOLUCiÓN RESOLUCiÓN 1.7 PLANTEAMIENTO Y DE LOS LOS PROBLEMAS PROBLEMAS DE DE DINÁMICA DINÁMICA DE

14 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A LA LA DINÁMICA DINÁMICA

de velocidades y aceleraciones en problemas bidimenproblemas de movimiento movimiento relativo bidimensional de cuerpos rígidos. Dinámica, se presenta presenta un un rígidos. Tercera, en este tomo 2, 2, Dinámica, cierto número problemas orientados continuación de número de problemas orientados al ordenador. ordenador. Situados a continuación los problemas problemas de repaso, se han han elegido para para ilustrar ilustrar en qué tipos de problemas la solución mediante punto evidenmediante ordenador ordenador ofrece una ventaja de todo punto te. La elección ddee la forma más expeditiva un aspecto expeditiva de resolución constituye un importante importante de la experiencia que se debe adquirir adquirir en la resolución de problemas. Subrayemos, empero, que la experiencia más importante importante que se debe adquirir en el estudio de la Dinámica reside en el planteamiento planteamiento de los sí. problemas, a diferencia de lo que es su resolución en sí.

PROBLEMAS PROBLEMAS (Las (Las constantes constantes del Sistema Solar pueden pueden encontrarse encontrarse en la tabla D.2 del apéndice apéndice D.)

1 .1 Hallar .1 Hallar el peso en newtons newtons de una persona persona cuya masa es 80 80 kg. Expresar esta masa en UTM y calcular el correspondiencorrespondiente peso en kilopondios. kilopondios. Resp. N, m == 8,15 Resp. W == 784,8 784,8N, 8,15 UTM, UTM, W == 80 80 kp 1.2 Halle su propia 1 .2 propia masa en UTM. UTM. Convierta Convierta su peso en newtons y calcule la correspondiente correspondiente m masa newtons asa en kilogramos. 1.3 ¿A qué altura altura h11 por encima del Polo Norte se reduce reduce el peso de un objeto al iO% iO% de su valor en la superficie terrestre? Supóngase Supóngase que la Tierra es una esfera de radio radio R R y exprésese exprésese h11 en función de R. Resp. Resp. h == 2,16R 2,16R

lanzadera 1.4 Una lanz adera espacial describe una órbita circular a 250 km de altura. Calcular el valor absoluto absoluto de g a esa altura altura y 250 hallar el correspondiente correspondiente peso verdadero verdadero (fuerza gravitatoria) gravitatoria) de un pasajero del vehiculo cuyo peso es 880 880 N medido medido en la superficie terrestre una latitud terrestre a una latitud de 45°. 45°. ¿Son ¿Son correctos, en sentido absoluto, los términos términos "cero-g" "cero-g" e "ingravidez" "ingravidez" que a veces se emplean emplean para para describir la situación situación en las naves espaciales en órbita? F¿s que ejerce el Sol sobre un hombre hombre 1.5 Calcular la fuerza F 90 kg que se encuentre encuentre en la superficie de la Luna y compade 90 rarIa con la fuerza F, FI que sobre el mismo hombre hombre ejerce la Luna. rarla Resp. =0,534N, FI=146N F,=146N Resp. Fs=0,534N, Considérense dos esferas de diámetro diámetro 100 100 mm cada 1.6 Considérense exactamente en contacto. ¿A qué distancia distancia r del centro de una, exactamente la Tierra serán iguales las fuerzas de atracción entre las esferas y la que ejerce la Tierra sobre cada una? gravedad para para la 11.7 .7 Calcular la aceleración relativa de la gravedad rotación y su valor absoluto absoluto para para una una Tierra sin rotaTierra en rotación ción al nivel del mar ya ya una latitud 45°. CompaCompación latitud norte o sur de 45°. resultados con los valores valores de la figura 1.1. 1.1. rar los resultados Resp. gre' grel = = 9,806 9,806 mi S2, gabs gabs = = 9,823 9,823 mi S2 Resp.

1.8 Hallar fuerza que ejerce el Sol so1.8 Hallar el cociente RAA entre la fuerza bre la Luna y la que ejerce la Tierra sobre la Luna Luna en la posición posición A de ésta. Repetir el cálculo para para la posición posición B.

.".....-----... ".... ..-- - - -.... ........ ......•..

/

/ /

II/ /I /I A Q AQ

,"

'\.

Luz solar

"- \\ \\

~ ~.,. .,.

\ (} (}BB

\

I

\\

/ \\

II '\.

"- '".... <,

---

// ....-/

./

/

problema 1.8 1.8 Figura problema

1.9 Calcular a qué distancia distancia dd del centro de la Tierra una 1.9 Calcular partícula experimentará experimentará la misma misma atracción atracción de la Tierra que de partícula la Luna. Nos limitamos partícula sobre la limitamos a las posiciones posiciones de la partícula recta que une los centros de la Tierra y la Luna. Justificar físifísicamente la existencia de dos soluciones. Resp. Resp. d == 346 346 000 000 km o 432 432 348 km

~Ti ~Ti __ ~erra ~erra __ ._._._ __ ____ . _. _

I I

Luna Luna

.-----0----.----0-- ----

d---J d---J


Comprobar la homogeneidad homogeneidad dimensional dimensional de la ecua1.10 Comprobar siguiente ción siguiente rnv = rnv

f::

(F cos e) f:~ (F

dt dt

donde m es masa, v es velocidad, velocidad, F F es fuerza, donde t es tiempo.


eees un un ángulo ángulo y

enun

encto blead-

los

lsoción

una ede re la físi-

descripción de la trayectoria un punto punto material material en términos términos geométricos geométricos y en en función función del del tiempo tiempo La descripción trayectoria de un una parte parte fundamental fundamental de la Dinámica. Dinámica. Esta Esta fotografía fotografía en cadena de los rebotes rebotes de una una pelota pelota registra registra en cadena es una trayectoria de la misma misma y concuerda concuerda muy muy estrechamente estrechamente con con la trayectoria trayectoria que que somos somos capaces capaces de preprela trayectoria decir mediante mediante un un cálculo cálculo basado basado en en la gravedad gravedad yen y en la teoría teoría de de choques. choques. decir


2.1

16

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

z

R

x

\\

~~--_-=:"J \ ~~¡¡-~-"":::::-,J

Trayectoria Trayectoria

\\ \\

y

\

x

Figura 2.1

e

s

CINEMÁTICA DEL DEL PUNTO PUNTO CINEMÁTICA

parte de la Dinámica que describe el movimiento movimiento de los La Cinemática es la parte causan ni a las que se generan generan a concuerpos sin referencia a las fuerzas que lo causan mismo. Es frecuente referirse a ella como a la "geometría "geometría del mosecuencia del mismo. vimiento". El diseño de levas, engranajes, sistemas articulados articulados y otros órganos vimiento". máquinas que controlan controlan o producen producen movimientos movimientos previamente previamente determinadeterminade máquinas dos y el cálculo de las trayectorias trayectorias de vuelo de aviones, cohetes y naves espaproblemas de cinemática que ocupan ocupan la ciales son algunos ejemplos de los problemas ingenieros. El El'conocimiento profundo de la Cinemátiatención de los ingenieros. -conocimiento práctico profundo imprescindible para para estudiar estudiar Cinética, en la que se ca es un requisito previo imprescindible estudian las relaciones entre el movimiento movimiento y las correspondientes correspondientes fuerzas que estudian acompañan. lo causan o lo acompañan. estudio de la Cinemática considerando considerando priEn este capítulo se comienza el estudio movimiento de las partículas partículas o puntos puntos materiales. Una partícula partícula o punpunmero el movimiento dimensiones, comparadas comparadas con el radio de to material es todo cuerpo cuyas dimensiones, curvatura de su trayectoria, trayectoria, son tan pequeñas pequeñas que su movimiento movimiento puede puede tracurvatura movimiento de un punto. punto. Por ejemplo, la envergadura envergadura tarse como si fuera el movimiento de un reactor comercial que vuele de Los Angeles a New York no es significacurvatura de su trayectoria trayectoria de vuelo y el considerar considerar al tiva comparada comparada con la curvatura partícula no debe plantear plantear inconvenientes. inconvenientes. avión cual si fuera una partícula movimiento de un punto punto material material puede puede describirse de varias formas y El movimiento método más adecuado adecuado o más cómodo depende depende en gran medida medida la elección del método presentan los datos. Resumamos brevede la experiencia y del modo en que se presentan distintos métodos métodos que se desarrollan desarrollan en este capítulo refiriéndonos refiriéndonos mente los distintos 2.1 en la que se representa representa un punto punto material material P moviéndose moviéndose en el a la figura 2.1 una trayectoria trayectoria cualquiera. cualquiera. Cuando Cuando el punto punto está obligado espacio a lo largo de una trayectoria prefijada, como si fuera una cuenta que a moverse a lo largo de una trayectoria deslizara por un alambre fijo, fijo, se dice que el movimiento movimiento es vinculado. vinculado. Cuanse deslizara movimiento es no vinculado vinculado. . Una do no existen guías materiales, se dice que el movimiento pequeña piedra piedra sujeta al extremo de una cuerda cuerda a la que se hace mover circupequeña larmente se encuentra encuentra en movimiento movimiento vinculado vinculado hasta hasta que se rompe la cuerda, larmente instante en que el movimiento movimiento se convierte en no vinculado. vinculado. instante punto P en un instante instante t cualquiera cualquiera puede puede especificarse La posición de un punto mediante sus coordenadas coordenadas rectangulares rectangulares!l x, x, yy y z, sus coordenadas coordenadas cilíndricas mediante r, e e y z o sus coordenadas coordenadas esféricas R, R, e e y !/J.I/J. El movimiento movimiento de P puede puede asimisr, mo describirse mediante mediante mediciones mediciones a lo largo de la tangente tangente t y de la normal normal variables locales. La recta son a la trayectoria. Estos valores se conocen como variables encuentra en el plano osculador osculador de la curva curva/.2 . porte de 11n se encuentra movimiento de partículas partículas (y (y de cuerpos rígidos) puede puede describirse emEl movimiento pleando coordenadas coordenadas medidas medidas respecto a ejes de referencia fijos fijos (análisis del pleando movimiento absoluto) absoluto) o empleando empleando coordenadas coordenadas medidas medidas respecto a ejes ejes de removimiento movimiento relativo). relativo). En los ap apartados ferencia móviles (análisis del movimiento artados siguientes desarrollan y aplican ambos tipos de descripción. descripción. se desarrollan presente esta imagen cualitativa del movimiento movimiento de un punto punto maTeniendo presente primera parte de este capítulo limitaremos nuestra nuestra atención al caso terial, en la primera

(

2 o

F \i

d e z

a

F r, r

a lA

1 TI

e (

g s d TI

11

2

Llamadas coordenadas coordenadas cartesianas cartesianas en honor honor de René Descartes Descartes (1596-1650l, (1596-16501, matemático matemático fra francés Llamadas ncés que fu fuee uno uno de los fundadores fundadores de la geometría geometría analítica. analítica. que El plano plano que que contiene contiene a P y a los dos dos puntos puntos A y B, B, uno uno a cada cada lado lado de P, se convierte convierte en plano plano osculador cuando cuando las distancias distancias entre dos pW1tOS pW1tOSse aproximan a cero. Osculador Osculador deri deriva del latín, latín, entre dos se aproximan va del osculador osculari, que que significa significa "besar". "besar", osculari,


e c

li a

en el que que todos todos los los movimientos movimientos ocurren ocurren o pueden pueden reprerepremovimiento plano, de movimiento plano, en sentarse sentarse como como si ocurrieran ocurrieran en en un un solo solo plano. plano. Los Los movimientos movimientos de de una una gran gran proporción proporción de de máquinas máquinas y estructuras estructuras pueden pueden representarse representarse como como movimienmovimientos planos. planos. Más Más adelante, adelante, en en el capítulo capítulo 7, se presentará presentará una una introducción introducción al momovimiento vimiento tridimensional. tridimensional. Empezaremos Empezaremos el estudio estudio del del movimiento movimiento plano plano por por el movimiento movimiento rectilíneo, rectilíneo, movimiento movimiento que que tiene tiene lugar lugar a lo largo largo de de una una línea línea recta, recta, a lo que que seguirá seguirá la descripción descripción del del movimiento movimiento a lo largo largo de de una una curva curva plana. plana. a e e

e a

y

2.2

MOVIMIENTO MOVIMIENTO RECTILíNEO RECTILíNEO

Consideremos P que Consideremos un un punto punto material material P que se mueve mueve a lo largo largo de de una una recta recta (fig. 2.2). P en 2.2). La posición posición de de P en un un instante instante cualquiera cualquiera t puede puede especificarse especificarse por por su su distancia s a cierto cierto punto punto de de referencia referencia O fijo en en la recta. recta. En En el instante I'lt el distancia instante t + M punto se habrá habrá desplazado desplazado a P' su coordenada coordenada habrá habrá pasado ser s + t.s. /.}.s.La La punto P' y su pasado a ser variación variación de de la coordenada coordenada de de posición posición durante durante el intervalo intervalo M I'lt recibe recibe el nombre nombre de desplazamiento desplazamiento ó.s I'ls del del punto. punto. Si éste éste se moviera moviera en en el sentido sentido negativo negativo de de s, el desplazamiento sería sería negativo. negativo. desplazamiento La velocidad velocidad media media del del punto punto durante durante el intervalo intervalo de de tiempo tiempo ó.t I'lt es el despladesplazamiento zamiento dividido dividido por por el intervalo intervalo de de tiempo, tiempo, o sea sea vmed vmed == ó.s I'ls /I M. I'lt. A medida medida que que M I'lt se va va haciendo haciendo menor menor y tiende tiende a cero cero en en el límite, límite, la velocidad velocidad media media tiende tiende . ó.s a ser la velocidad velocidad instantánea llim instantánea del del punto, punto, la cual cual es v ~s, o sea sea 1m A' ~t ....•O lJ.t !J. t .....

o lJ.t

a

v = ds = s S dt dt o e a

e

17 2.2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO RECTILÍNEO RECTILÍNEO 2.2

(2.1 )

Resulta Resulta así así que que la velocidad velocidad es la variación variación por por unidad unidad de de tiempo tiempo de de la coordecoordenada nada de de posición posición s, y será será positiva positiva o negativa negativa según según que que el desplazamiento desplazamiento correspondiente sea rrespondiente sea positivo positivo o negativo. negativo. La aceleración aceleración media media del del punto punto material material durante durante el intervalo intervalo de de tiempo tiempo ó.t I'lt es la variación sea amed = variación de de su su velocidad velocidad dividida dividida por por el intervalo intervalo de de tiempo, tiempo, o sea I'lv/I I1t. I'lt. A medida medida que que ó.t I'lt se va va haciendo haciendo menor menor y tiende tiende a cero cero en en el límite, límite, la I1v aceleración aceleración media media tiende tiende a ser ser la aceleración aceleración instantánea instantánea del del punto, punto, la cual cual es .. ó.v Su a= o sea = Mll1m sea ....•o o ó.t I'lt'' !J.t .....

dv dv dt dt

(2.2) (2.2)

o bien bien

aceleración será será positiva positiva o negativa negativa según según que que la velocidad velocidad aumente aumente o disLa aceleración disminuya. minuya. Obsérvese Obsérvese que que la aceleración aceleración sería sería positiva positiva en en el caso caso de de que que la partípartícula tuviese tuviese una una velocidad velocidad negativa, negativa, pero pero fuese fuese cada cada instante instante menos menos negativa. negativa. cula Cuando Cuando el punto punto disminuye disminuye de de velocidad velocidad siendo siendo ésta ésta todavía todavía positiva, positiva, se dice dice que tal caso, que el punto punto se está está desacelerando; desacelerando; en en tal caso, la aceleración aceleración sería sería negativa negativa y su su sentido sentido sería sería opuesto opuesto al de de la velocidad. velocidad. realidad y tal tal como como veremos veremos a partir partir del del próximo próximo apartado apartado 2.3, la velocivelociEn realidad dad y la aceleración aceleración son son magnitudes magnitudes vectoriales. vectoriales. En En lo que que respecta respecta al movimovidad miento miento rectilíneo rectilíneo tratado tratado en en este este apartado, apartado, en en el que que la dirección dirección del del movimiento movimiento es la de de la trayectoria trayectoria recta recta dada, dada, el sentido sentido del del vector vector sobre sobre ésta ésta última última se espeespecifica mediante mediante un un signo signo más más o menos. menos. Cuando Cuando tratemos tratemos del del movimiento movimiento curvicurvilíneo tendremos en líneo tendremos en cuenta cuenta los cambios cambios de de dirección dirección de de los vectores vectores velocidad velocidad y aceleración, así así como como sus sus cambios cambios de de intensidad. intensidad. aceleración,


--55

-----r------1J---- s

o P P' -- - --T - --s---l~T---Figura 2.2 2.2

+s

Eliminando el tiempo dt entre la ecuación 2.1 y la primera de las 2.21 resulta una ecuación diferencial que relaciona el desplazamiento, la velocidad y la aceleración:

18 CINEMÁTICA

DEL PUNTO

v dv

ds di

(a)

v = -

= ti I I I I I

1

12

tI

v

(b)

V

12

11

n

(e)

a 11

I I I

-1 ¡-di

=

a ds

(2.3)

o bien

Las ecuaciones 2.1, 2.2 Y2.3 son las ecuaciones diferenciales del movimiento rectilíneo de un punto. Los problemas de movimiento rectilíneo en los que intervengan variaciones finitas de los desplazamientos y velocidades se resuelven integrando estas ecuaciones diferenciales fundamentales. El desplazamiento s, la velocidad v y la aceleración a son cantidades algebraicas, por lo que sus signos, positivos o negativos, deberán observarse cuidadosamente. Adviértase que los sentidos positivos de v y a son los mismos que el de s. Representando gráficamente las relaciones entre s, v, a y t se consigue aclarar considerablemente la interpretación de las ecuaciones diferenciales que rigen el movimiento rectilíneo. En la figura 2.3a se representa un esquema de la variación de s entre los instantes tI y t2 para un cierto movimiento rectilíneo conocido. Dibujando la tangente a la curva en un instante cualquiera t se obtiene la pendiente, que es la velocidad v = ds / di, Y así resulta que la velocidad puede determinarse en todos los puntos de la curva y representarse gráficamente en función de los tiempos correspondientes, tal como se muestra en la figura 2.3b. Análogamente, la pendiente dv / dt de la curva v-t en cualquier instante nos dará la aceleración en dicho instante y, por tanto, podremos representar gráficamente la curva a-i como en la figura 2.3c. En la figura 2.3b se ve en seguida que el área limitada bajo la curva v-t durante el tiempo dt es v dt que, según la ecuación 2.1 es el desplazamiento ds. En consecuencia, el desplazamiento total de la partícula durante el intervalo t1 a t2 es el área correspondiente bajo la curva, que es

12

o bien

Figura 2.3

S2 - S1

=

a

dv

= fl21, a dt

o bien

v2

- VI

A

(b)

v

e SI

I I I I I I I I I

¡~a_¡

o bien

- V12)

= (área bajo la curva a-s)

Cuando se representa gráficamente la velocidad v en función del desplazamiento s (fig. 2.4b), la pendiente de la curva en un punto A cualquiera es

B S2

ri

ZE

dE gl fic fu

dE (a m

pE tiE

Si pe

Es es

fin gr¡ tra blE pu

(b; ao dVI

1

Figura 2.4

~(V22

re

= (área bajo la curva a-t)

Se observan otras dos relaciones gráficas. Cuando se representa la aceleración a en función del desplazamiento s (fig. 2.4a), el área limitada bajo la curva durante un desplazamiento ds es a ds que, según la ecuación 2.3, es v dv = d(v2/2). Así pues, el área total limitada bajo la curva entre los desplazamientos SI y s2 será

v

e d ci la

(área bajo la curva v-t)

Análogamente, en la figura 2.3c se ve que el área limitada bajo la curva a-i durante el tiempo dt es a dt que, según la primera de las ecuaciones 2.2, es dv. Así pues, la variación total de la velocidad entre tI y t2 será el área correspondiente limitada bajo la curva, que es

2 fVv,

d tr

Las cantidades diferenciales se pueden multiplicar y dividir de la misma forma que las cantidades algebraicas.


ble

-----------------------------------------------_ lta ce-

.3)

En 1

a

dv/ds. AB a la curva punto, por por semejanza de dv/ds. Construyendo Construyendo la normal normal AB curva en en este este punto, semejanza de triángulos virtud de de la ecuación triángulos se ve que que CB/v CB/v = = dv/ds. dv/ds. Así Así pues, pues, en en virtud ecuación 2.3, = v(dv/ v(dv/ ds) = = a, que que es la aceleración. aceleración. Es necesario necesario que CB = que los ejes de de velocivelocidad y de desplazamiento desplazamiento tengan tengan la misma misma escala escala numérica numérica para que la aceleraaceleradad para que leída en en metros, metros, por por ejemplo, ejemplo, en en la escala escala de desplazamientos ción leída desplazamientos represente represente aceleración verdadera verdadera en en metros metros por por segundo segundo cuadrado. cuadrado. la aceleración representaciones gráficas gráficas descritas descritas son son útiles útiles no sólo para Las representaciones no sólo para visualizar visualizar las las relaciones existentes existentes entre entre las distintas distintas cantidades cantidades cinemáticas cinemáticas sino sino también relaciones también para estimar estimar los resultados por derivación derivación o integración integración gráfica falta , para resultados por gráfica cuando cuando la falta conocimiento de la relación relación matemática matemática no permita permita su su expresión expresión en en forma forma de conocimiento función matemática matemática explícita. explícita. Los datos datos experimentales experimentales y los de función los movimientos movimientos que intervienen intervienen relaciones relaciones discontinuas discontinuas entre entre las suelen estuestuen los que las variables variables suelen diarse gráficamente. gráficamente. diarse conoce el desplazamiento desplazamiento s para para todos todos los valores del tiempo Si se conoce valores del tiempo t,t, las las dederivaciones sucesivas sucesivas (matemáticas (matemáticas o gráficas) gráficas) respecto respecto a t darán darán la velocidad rivaciones velocidad v aceleración a. Sin embargo, embargo, en en muchos muchos problemas problemas no conoce la relación y la aceleración no se conoce relación funcional entre entre desplazamiento desplazamiento y tiempo tiempo y hay hay que que determinarla funcional determinarla por por integraintegrasucesivas a partir partir de la aceleración, aceleración, que que viene viene determinada ciones sucesivas determinada por por las las fuerfuermomentos que que se ejercen ejercen sobre sobre los cuerpos cuerpos móviles calcula a partir zas y momentos móviles y se calcula partir ecuaciones de la Cinética Cinética que que se estudiarán estudiarán en en capítulos de las ecuaciones capítulos posteriores. posteriores. Según sea la naturaleza naturaleza de las fuerzas fuerzas y momentos, momentos, la aceleración especigún aceleración podrá podrá especicomo función función del del tiempo, tiempo, la velocidad velocidad o el desplazamiento, ficarse como desplazamiento, o como como función combinada combinada de estas estas cantidades. cantidades. Indicamos Indicamos a continuación función continuación el método método integración de la ecuación ecuación diferencial diferencial en en cada cada caso. de integración caso. constante. Cuando Cuando a es constante, constante, podrá (a) Aceleración Aceleración constante. podrá integrarse integrarse directadirectamente la primera primera de las ecuaciones ecuaciones 2.2 y la ecuación ecuación 2.3. Por sencillez, Por razón razón de de sencillez, mente para el principio principio del del intervalo intervalo haremos haremos s == so' v == Vo O YY para de para vo YY t == O para un un lapso lapso de tiempo t,t, las ecuaciones ecuaciones integradas integradas se convierten convierten en en tiempo aft dt fr dv == aJt af5 ds fr ov ds == aJ5 v Va v

Vo

O O

So

bien o bien

= vo+at v= vo+at

bien o bien

Si en la ecuación ecuación 2.1 se sustituye sustituye v por por la expresión expresión integrada Si integrada y se integra integra resresobtiene pecto a t,t, se obtiene

SS

SS 50 So

rava

es la-

a-

es "da-

ds = = Jt fl (voo + at)dt at)dt oO

bien o bien

relaciones se limitan limitan estrictamente estrictamente al caso caso particular particular en en que aceleración Estas relaciones que la aceleración constante. Los límites límites de integración integración dependen dependen de es constante. de las las condiciones condiciones inicial inicial y para un un problema problema dado, dado, puede puede ser más más conveniente conveniente comenzar final y, para comenzar la inteintegración en en un un cierto cierto instante instante tI concreto concreto y no en en el instante gración instante t = O. O. Advertencia: Uno de los errores errores más más corrientes corrientes entre entre los Advertencia: Uno los principiantes principiantes es tratar de utilizar utilizar las ecuaciones ecuaciones anteriores anteriores en en problemas problemas de de aceleración aceleración variatratar variaque no pueden pueden aplicarse aplicarse ya que que se han han obtenido obtenido integrando en el susuble, a los que integrando en puesto de aceleración aceleración constante. constante. puesto

(b) La La aceleración aceleración dada como como {unción tiempo, a == ttt). Sustituyendo la (b) función del tiempo, f(l). Sustituyendo aceleración a por por la función función en en la primera primera de las ecuaciones f(t) == aceleración ecuaciones 2.2 se tiene tiene J(t) dv/dt, y la multiplicación multiplicación de ambos ambos miembros miembros por por dt permite separar las dv/dt, permite separar las variavariaintegrar. Así Así pues, pues, bles e integrar.


_----19

2.2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO RECTILÍNEO RECTILÍNEO

20 CINEMÁTICA CINEMÁTICA DEL PUNTO PUNTO

dv f(t) dt dv == ftf l f(t) dt

vv

ff Vo va

o bien bien

O O

v

= f~f(t)dt = va + f~f(t)dt

De esta esplazamiento esta expresión expresión integrada integrada de de v en en función función de de t se obtendrá obtendrá el d desplazamiento s integrando integrando la ecuación ecuación 2.1 que, que, formalmente, formalmente, sería sería

Sfs S

So

ds == ftfl V v dt dt

f~

s == So + f~ vv dt dt

o bien bien

oo

Si se emplea utilizarán las condiciones emplea la integral integral indefinida, indefinida, se utilizarán condiciones en los límites límites para establecer el valor de las constantes constantes de de integración integración con con resultados que separa establecer valor de resultados que rán iguales a los obtenidos obtenidos utilizando integral definida. definida. rán iguales utilizando la integral quiere, el desplazamiento desplazamiento s se puede obtener por directa de Si se quiere, puede obtener por resolución resolución directa la ecuación ecuación diferencial diferencial de de segundo segundo orden orden S' = f(t) obtenida sustituyendo sustituyendo a por j(t) obtenida por f(t) en la segunda segunda de las ecuaciones ecuaciones 2.2. f(t) en

s·

(c) La La aceleración aceleración dada como como función {unción de la velocidad, velocidad, a = = f(v). itv). Sustituyendo Sustituyendo (e) función en en la primera ecuaciones 2.2 tenemos dv/dt, lo cual cual a por por la función primera ddee las ecuaciones tenemos j(v) j(v) == dv/dt, permite separar las variables variables e integrar integrar permite separar

= ftf l dt dt = = fV dv t = f V dv o Voo f(v) f(v) V

da v en en función función d dee t. A continuación continuación sería sería necesario despejar Este resultado resultado nos nos da necesario despejar en función función de t para integrar la ecuación ecuación 2.1 y obtener obtener la coordenada coordenada s en para poder poder integrar como función función de t. de posición posición s como Otra posibilidad aplicar la función función a == j(v) en la primera primera de de las ecuaciones ecuaciones Otra posibilidad es aplicar j(v) en que nos da v dv dv == j(v) Entonces, se separan separan las variables integra 2.3, lo que nos da j(v) ds. Entonces, variables y se integra ecuación en en la forma forma la ecuación

v

Ss

v dv - fS ds v dv ff Vvao f(v) f(v) - So

sea o sea

vv

ss

dv v dv

= So + ff Vova f(v) = f(v)

Obsérvese que que esta esta ecuación ecuación da da s en en función función de de v sin sin referencia explícita a t. Obsérvese referencia explícita (d) La La aceleración aceleración dada como como función {unción del del desplazamiento, desplazamiento, a == fes). its). (d) yendo función en en la ecuación ecuación 2.3 e integrando integrando se tiene yendo a por por la función tiene vv

ff Voo

dv = = fS ds v dv f 5 f(s) f( s) ds

sea o sea

So

V

SustituSustitu-

va22 + 2f5 2fs f(s) v22 == Va f( s) ds So So

Seguidamente, despejamos despejamos v para obtener la función función de de s, v == g(s). gt»). Podemos Podemos Seguidamente, para obtener entonces sustituir sustituir v por dt, separar separar las variables integrar en en la forma forma entonces por ds / dt, variables e integrar vv ds g(s) ff Voo g(s) V

JISI

d

= oo t =

sea o sea

Sf ss

t = =

So So

ds g(s) g(s)

que da da t como como función función de de s. Finalmente, Finalmente, podemos disponer la expreexpreque podemos volver volver a disponer sión resultante que nos dé s como como función función de de t. sión resultante para para que nos dé cada uno casos anteriores, anteriores, cuando cuando la aceleración aceleración varía de acuerdo acuerdo En cada uno de los casos varía de con cierta cierta relación funcional, la posibilidad de resolver ecuaciones por con relación funcional, posibilidad de resolver las ecuaciones por integración directa matemática dependerá de la forma forma de de la función. función. En los casos casos tegración directa matemática dependerá en los que que la integración integración sea sea demasiado demasiado engorrosa engorrosa o difícil, difícil, podrán en podrán utilizarse utilizarse métodos integración gráficos, gráficos, numéricos ordenador. métodos de integración numéricos o por por ordenador.


II

PROBLEMA PROBLEMA TIPO TIPO 2.1

, ento

El desplazamiento partícula obligada desplazamiento de una una partícula obligada a moverse moverse a lo largo de una una recta está está dado por s == 2¡3 - 24t 24t + 6, donde donde s se mide mide en metros metros desde un un origen origen conveniente, conveniente, yy t en segundos. Hallar Hallar (a) el tiempo tiempo que tarda la partícula adquirir una una velocidad velocidad de 72 mis mis gundos. partícula en adquirir desde el reposo en el instante instante t == 0, O, (b) su su aceleración aceleración cuando cuando v == 30 30 mis mis yy (e) su su despladesplazamiento zamiento en el intervalo intervalo de t == 1 s a t == 4 s. s.

Solución. velocidad y la aceleración Solución. La La velocidad aceleración se obtienen obtienen derivando derivando s respecto respecto al tiempo Entonces tiempo una una y dos dos veces, veces, respectivamente. respectivamente. Entonces

endo cual

[v [v = s]

v == 6t -24 mis 6t22-24 mis

[a [a = = v] v]

a = 12t 12t m/s m/s2 2

(a) Haciendo Haciendo v == 72 mi mi s, la expresión expresión anterior anterior de de v da da 72 == 6t22 - 24, de de donde donde t = ±4 s. La raíz raíz negativa negativa da da cuenta cuenta de de un un valor valor posible posible de de t antes antes de de que que se iniini-

38

6

movimiento, por por lo que que carece carece de de sentido sentido físico. físico. Así Así pues, pues, el resultado resultado dedecie el movimiento, seado seado es

pejar ada

Resp. Resp.

t = 4s

(b) Haciendo Haciendo v = 30 mi mi s en en la expresión expresión de de v anterior anterior se obtiene obtiene 30 = 6t22 - 24 Y Y aquí resulta resulta una una raíz raíz positiva positiva t == 3 s, a la que que corresponde corresponde una una aceleración aceleración de aquí

ones tegra

2 2 a = 12(3) == 36m 36m/s/s

v, m is u, mis

,72 .72

Resp. Resp. ---- 130

(c)El desplazamiento neto durante durante el intervalo intervalo especificado especificado es (e) El desplaz. a miento neto

al.

titu-

emos

I

O 0001;----:;-,..----::.!~-===;!~:==~-+-4 4 t,' t,'

~s

= s4-s ]

~s

3 )-24(1)+6] = = [2(43)-24(4)+6]-[2(1 [2(43)-24(4)+6]-[2(13)-24(1)+6]

= 54m 54m

ru2-4

osea

--241 1

Resp. Resp.

que que representa representa la distancia distancia recorrida recorrida por por la partícula partícula a lo largo largo del del eje x desde desde la posición posición que que ocupaba ocupaba cuando cuando t == 1 s hasta hasta su su posición posición cuando cuando t == 4 s. Para Para ver ver mejor mejor este este movimiento, movimiento, en en las las figuras figuras se representan representan gráficamente gráficamente s, v y a en en función función del del tiempo tiempo t. Como Como el área área limitada limitada por por la curva curva v-t v-t representa representa un vemos un desplazamiento, desplazamiento, vemos que que la distancia distancia realmente realmente recorrida recorrida desde desde t == 1 1ss a t == 4 s es igual igual al área área positiva positiva ~S2-4 ~S2-4 menos menos el área área negativa negativa ~Sl-2' ~Sl-2'

~:8 " ~36

~48

1/ 1/s2s2

"~36,

0000

1

2

3

t,. 4 t,'

CD Hay que que tener tener cuidado cuidado para para elegir elegir el signo correcto correcto cuando cuando se saca saca una una raíz cuadrada. cuadrada. Cuando Cuando la situación situación requiere requiere una una única única solución, solución, la raíz positiva positiva no es necesariamente necesariamente la adecuada. adecuada.

o

xpre-

Adviértase Adviértase que que el desplazamiento desplazamiento se representa representa mediante mediante la letra letra cursiva cursiva s, mientras mientras que que la letra letra s de tipo tipo normal normal se emplea emplea para para representar representar segundos. segundos. Obsérvese en las representaciones representaciones gráficas gráficas que que los valores valores de v son las penpen® Obsérvese dientes dientes (s) de la curva curva s-ty s-ty que que los valores valores de a son las pendientes pendientes (v) (v) de la curcurv-t. Sugerencia: Sugerencia: Integrar Integrar v dt en ambos comprobar el resultado resultado va v-t. ambos intervalos intervalos y comprobar para para ~s. As. Demostrar Demostrar que que la distancia distancia recorrida recorrida durante durante el intervalo intervalo de t = 1 s a t = 4 s es 74 m.

21


PROBLEMA PROBLEMATIPO TIPO 2.2 2.2

Una Una partícula partícula se semueve mueve aalololargo largo del del eje ejexx con con una una velocidad velocidad inicial inicial VVxx ==50 50m/s mis en en elel origen origen en en elelinstante instante inicial inicial t t==O.O. Durante Durante los loscuatro cuatro primeros primeros segundos segundos carece carecede deaceaceleración leración y,y, aapartir partir de deese esemomento, momento, sufre sufre la laacción acción de deuna una fuerza fuerza retardadora reiardadora que que lelecocomunica 10 m/s2. munica una una aceleración aceleración constante constante ü, ax==--10 m/s2 Calcular Calcular lalavelocidad velocidad yy lalacoordenada coordenada '1'xx dedelalapartícula partícula en en los los instantes instantes tt==88ssYY tt==12 12 ssyy hallar hallar lalacoordenada coordenada xx máxima máxima que que \Valcanza. alcanza.

Solución. Solución.

La La velocidad velocidad aa partir partir de de tt ==44 ss se se calcula calcula de de VVx ==

v",m/s

x

501----".

yy se se representa representa tal tal como como se se muestra. muestra. En En los los instantes instantes especificados, especificados, las las velocidavelocidades son son des

1

::"J-10 o L---L_---'-_--L_...L....:'--L----L_ O

90 - 10t m/ s 90-10tm/s

12 -30

t, s

=

s, tt = 88 s,

VV x

== 90 90 -10(8) - 10(8) == 10 10 m/ m/ ss

tt = = 12 12 s, s,

VVx

== 90 /s 90 -10(12) -10(12) == -- 30 m mis

x

x

Resp. Resp.

La La coordenada coordenada x x de de la la partícula partícula en en cualquier cualquier instante instante posterior posterior aa 4 4 ss es es la la distandistancia recorrida recorrida durante durante los cuatro cuatro primeros primeros segundos segundos más más la distancia distancia recorrida recorrida después en después de de la discontinuidad discontinuidad en la aceleración. aceleración. O sea, sea,

f~

- 10t) dt dt = 5t22 + 90t -- 80 m m xx = = 50(4) ++ f~ (90 -10t) = -- 5t + 90t Para Para los los dos dos instantes instantes especificados especificados

tt = 8 s,

= -- 5(82) + 90(8) - 80 == 320 m m xx =

tt = 12 s, s,

5(12 2) + 90(12) 90(12) -- 80 == 280 m m xx == - 5(122)

Resp. Resp. 2

Cuando tt == 12 12 ss la la coordenada coordenada xx es es menor menor que que cuando cuando tt == 88 s,s, puesto puesto que que el el momoCuando vimiento tiene tiene lugar lugar en en el el sentido sentido negativo negativo del del eje eje xx después después del del instante instante tt = = 99 s. s. vimiento Por tanto, tanto, el el valor valor positivo positivo máximo máximo de de la la coordenada coordenada xx corresponderá corresponderá aa tt == 99 s;s; Por oo sea, sea, = -- 5(9 5(922)) ++ 90(9) 90(9) -- 80 80 == 325 325 m m xxmax max =

Resp. Resp.

o See veveque que estos estos desplazamientos desplazamientos corresponden correspondenaa las las áreas áreas limitadas limitadaspor porlalacurva curva 0s v-t v-thasta hasta elel valor valor de de tten en cuestión. cuestión.

CD Hay Hayque queacostumbrarse acos umbrarseaaser serflexible flexible con con los lossímbolos. símbolos. Para Paralala coordenada coordenadade de (!) posición vale valetanto tanto elel símbolo símboloxxcomo comoelel s.s. posición

o Demostrarque quelaladistancia distanciatotal tolalrecorrida recorridadurante durantelos los12 12segundos segundoseses370 370m. m. oo Demostrar

Obsérveseque quelalaintegración integraciónse sehace hacehasta hastaun uninstante instantet tcualquiera cualquierayyluego luegose se (3) Obsérvese sustituye sustituyepor por los losvalores valoresespecíficos. específicos.

22 22


PROBLEMA TIPO 2.3 resortes La corredera corredera montada montada entre entre dos dos resortes guía horizon se mueve mueve en la guía horizontaltal con con rozarozamiento miento despreciable despreciable yy tiene tiene una una velocivelocidad vo en la dirección pasar por por el dirección s al pasar centro Los dos centro donde donde s == O O Y t == O O.. Los dos resortes juntos ejercen fuerza retardasortes juntos ejercen una una fuerza retardadora del del movimiento movimiento de la la corredera corredera que que comunica proporcomunica a ésta ésta una una aceleración aceleración proporcional pero de senticional al desplazamiento, desplazamiento, pero de sentido opuesto, opuesto, yy de de valor valor a == --kk22s,s, donde donde k es una tante. (Esta preuna cons constante. (Esta constate constate se presenta en forma forma de para que senta de cuadrado cuadrado para que las las expresiones sean de expresiones resultantes resultantes sean de manejo manejo más cómodo. cómodo.) ) Hallar las expresiones expresiones del más Hallar las desplazamiento s yy la la velocidad velocidad v como como desplazamiento funciones del tiempo t. funciones del tiempo

el

recoda

ue

'da-

~ I '

f~/WIiW\MI

Solución especificada en función del desplazadesplazaSolución l./. Como la aceleración está especificada miento, es posible integrar integrar la relación diferencial v dv dv == a ds. Entonces,

p.

ff v dvdv == ff -- k ss dsds + CC (C(C 22

1l

1, 1,

una constante) una constante)

o sea

v2

k2s2

"2 =-2+C1

Cuando Cuando s == 0, v = = Vo, vo' por lo que C11 = voo22/2/ 2 y la velocidad velocidad resulta resulta v

=

+

CD

En En este este caso, caso, hemos hemos empleado empleado una una integral indefinida indefinida y hemos calcuintegral hemos calculado la constante constante de integración. integración. Como ejercicio ejercicio práctico, Como práctico, puede puede obtenerse obtenerse el mismo mismo resultado resultado utilizando una integral zando una integral definida definida con los límites límites adecuados. adecuados.

JVo -k 2

2s2

Cuando v es positiva sentido positivo s) se toma la raíz positiva. Cuando positiva (en el sentido positivo de s) positiva. Esta última expresión expresión puede integrarse haciendo sustitución v por ds// dt. dt. Es decir, puede integrarse haciendo la sustitución por ds 2

0-

9s. 9 s;

f

Jo

V 2

ds _k2s2

=

f

dt + C2 (C2, una constante)

o sea

ks 1 ks -k- arcsen - = k va

t + C2

Podemos volver volver a probar inteo Podemos probar una intedefinida como como antes. antes. gral definida

°°

para s == 0, la constante constante de integración integración resulta Con la condición de que t == para resulta C2 = y en la ecuación podemos despejar s y entonces entonces yen podemos despejar

°°

V va

= kko sen kt kt =

Resp. Resp.

ki v = = va cos kt

Resp. Resp.

s

esp. velocidad es v = = ti que da La velocidad va

ade ose Om.

Solución 11. Solución 11.

Como a

=

S·, la relación dada dada puede S", puede escribirse en la forma

s + k2s

=

°

diferencial lineal ordinaria ordinaria de segundo segundo orden cuya solución una ecuación diferencial que es una se conoce y es Kt + B cos Kt Kt s = Asen A sen Kt

23


donde A, B YK son constantes. Aplicando esta expresión en la ecuación diferencial, se ve que la satisface si K = k. La velocidad es v = s y queda

0)

Este movimiento recibe el nombre de movimiento armónico simple y es característico de todas las oscilaciones en las que la fuerza restauradora y, por lo tanto, la aceleración, es proporcional al desplazamiento pero de signo contrario.

v

=

Ak cos kt - Bk sen kt

La condición inicial v = Vo cuando t = Oexige que A cuando t = Oda B = O.Así pues, la solución es

0

Vo

T sen kt

s

v

y

=

= vol

Vo

k, y la condición s = O

cos kt

Resp.

PROBLEMA TIPO 2.4

CD

CD Un Recuérdese que un nudo es una velocidad de una milla náutica (1852 m) por hora. Debe trabajarse directamente en nudos y horas.

(3) Hemos preferido integrar hasta un valor genérico de v y su instante correspondiente t de forma que se obtenga la variación de v con t.

carguero se mueve a 8 nudos cuando sus motores se paran bruscamente. Sabiendo que son necesarios 10 minutos para que el carguero reduzca su velocidad a 4 nudos, determinar y representar gráficamente la distancia s en millas náuticas recorridas por el carguero y su velocidad v en nudos durante dicho intervalo como funciones del tiempo t. La desaceleración del buque es proporcional al cuadrado de su velocidad, de forma que a=-kv2

Solución. Como se conocen el tiempo y las velocidades, es posible aplicados directamente a la expresión de la aceleración en la definición fundamental a = dv I di e integrar. Así pues, _ kv2 = dv dt

dv v2 1 1

8

- +v S

I~ 1'-....

6

1'-t----r-

4

4

Ul

'" .s '" u '.0 '::J

.s
'§ '"

2

4 6 t,min

8

10

1,0

./ 0,8

S 1 + Sk(1/6)

k dt

kt

Sv8 v

= 4 nudos

dv

=

-k

v2

SI

di

O

S 1+ Skt

y t= ~ v

k

=

i hora, se obtiene S 1+ 6t

Resp.

La velocidad se representa gráficamente en función del tiempo tal como se muestra. La distancia se obtiene sustituyendo v por su expresión en la definición v = ds/ dt e integrando. Así pues,

V

0,6

V

0,4 0,2

= -

Aplicando ahora los valores límites v

2

°°

= _

S 1+ 6t

V

1/

°°

2

4

6

t, min

8

10

ds dt

I

SO

Sdt

1 + 6t =

SsO

ds

s

4 31n(1+6t)


t

1

Resp.

La distancia s también se representa gráficamente en función del tiempo, tal como se muestra, y así vemos que el buque ha recorrido una distancia s = ~ ln(l +~) = ~ In 2 = 0,924millas (náuticas) durante los diez minutos.

24

I

2

F v

PROBLEMAS

n-

Problemas introductorios

=0

Los problemas 2.1 a 2.5 se refieren al movimiento de un'punto material que se mueve a lo largo del eje x representado en la figura. ----'.1 __ -1

-0-1--..LI--'O'W-:L..I --~I--

O

1

En las etapas finales de alunizaje, el módulo lunar desciende bajo el impulso de su propio motor a una altura h = 5 m de la superficie lunar, donde tiene una velocidad de descenso de 2 mi s. Si el motor de descenso es apagado bruscamente en este punto, calcular la velocidad del impacto del tren de aterrizaje contra la Luna. La gravedad lunar es ~ de la gravedad en la Tierra. Resp. v = 4,51 mi s

2.7

2

Figura problema

- - -

3

+5, m

2.1 a 2.5

2.1 La velocidad de un punto material está dada por v = 2012 - 100f + 50, donde v son metros por segundo y t son segun-

dos. Representar gráficamente, en función del tiempo i, la velocidad v y la aceleración a para los seis primeros segundos de movimiento y calcular la velocidad cuando a es nula. Resp. v = -75 mis El desplazamiento de una partícula está dado por s = 213 - 3012 + 100t - 50, donde s son metros y 1 son segundos. Representar gráficamente, en función del tiempo, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración durante los 12 primeros segundos de movimiento. Determinar el instante de velocidad nula. 2.2

El desplazamiento de una partícula está dado por s = (- 2 + 3 t) e- 0,5 I , donde s son metros y t son segundos. Representar gráficamente, en función del tiempo, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración durante los 20 primeros segundos del movimiento. Determinar el instante de aceleraciónnula. Resp. v (4-1,5t)e-0,51

2.3

a=

a

(-3,5 + 0,751)e-

0,51,

1 = 4,67 s

2.4 La velocidad de un punto que se mueve a lo largo del eje s está dada por v = 2 + 513/2, donde 1 son segundos y v son metros por segundo. Calcular el desplazamiento s, la velocidad v y la aceleración a cuando 1 = 4 s. El punto se encuentra en el origen s = O cuando t = O.

o se íción

Resp. , tal cia

2.8 A partir de una velocidad inicial de 80 km Zh, un automóvil recorre 30 m antes de detenerse por completo. Con la misma aceleración constante, ¿cuál sería la distancia de parada s desde una velocidad inicial de 110 km/h?

Se dispara un proyectil hacia arriba con una velocidad inicial de 200 mi s. Calcular la altura máxima h alcanzada por el proyectil y el tiempo t que tarda en retornar al suelo desde el momento del disparo. Despreciar la resistencia del aire y tomar una aceleración de la gravedad constante e igual a 9,81 mi S2. Resp. h = 2040 m, t = 40,8 s 2.9

En la figura se muestra la gráfica desplazamiento-tiempo del movimiento rectilíneo de una partícula durante un in2.10

2,5 La aceleración de un punto está dada por a = 4t - 30, donde a son metros por segundo al cuadrado y t son segundos. Hallar la velocidad y el desplazamiento como funciones del tiempo. El desplazamiento inicial cuando t = O es So = - 5 m y la velocidad inicial es Vo = 3 mi s. Resp. v = 3 - 30t + 2t2 S =

10 8

--

<,

<,

6 6

<,

-5+3t-15t2+~t3

1'--

2.6 Calcular en "ges " la aceleración constante a que debe proporcionar la catapulta de un portaviones para generar una velocidad de lanzamiento de 290 km Zh en una distancia de 100 m. Se supone que el navío está fondeado.

2

4

6

8

t,5

Figura problema

2.10

25


tervalo de 8 segundos. Hallar la velocidad media vmed en ese intervalo y, dentro de unos límites de precisión aceptables, la velocidad instantánea v para t = 4 s. 2.11 Durante un intervalo de 8 s la velocidad de un punto material que se mueve en línea recta varía con el tiempo tal como se representa. Dentro de unos límites de precisión aceptables, hallar en qué cantidad fla excede la aceleración media en el intervalo a la aceleración en el instante t = 4 s. ¿Cuál es el desplazamiento Ss durante el intervalo? Resp. Su = 0,50 mi S2, fls = 64 m

el avión se encuentra inmóvil en la pista. El empuje de los motores permanece constante y el avión adquiere una aceleración casi constante de O,4g. Si la velocidad de despegue es 200 km/ h, calcular la distancia s y el tiempo t entre el reposo y el despegue.

Resp. s = 393 m, t = 14,16 s 2.14 Determinar con qué velocidad vertical Va hay que lanzar una bola desde A para que el tiempo de vuelo hasta el fondo del precipicio sea (a) 4 s y (b) 2 s.

I I I I I

Vo ~

14 12 ./

10 ~8

S;:,'

/

6

V

/

1/

\1

v

2

\-1

4 i, s

6

Figura problema

2.11

Figura problema

8

2.12 Se han obtenido datos experimentales del movimiento de un punto material a lo largo de una recta midiendo la velocidad v para varios desplazamientos s. Se ha dibujado una curva que pasa por los puntos como se muestra en la figura. Determinar la aceleración del punto cuando s = 20 m.

2.14

2.15 La niña de la figura hace rodar la pelota rampa arriba y la recoge cuando retorna a ella. Para el ángulo de inclinación de la rampa y esa pelota, la aceleración negativa de ésta a lo largo del plano inclinado vale siempre 0,25g. Si la velocidad inicial de la pelota es 4 mi s, hallar la distancia s que recorre rampa arriba hasta que empieza a retroceder y el tiempo que tarda en regresar a manos de la niña.

e

Resp. s = 3,26 m, t = 3,26 s

r

1

a

F t

8

1,

/ 1/ 6

2 e

V

/

n

V

q l¡ e

/

2

V

Figura problema

2.15

...-/ 15

20

25

Figura problema

e

30

s,m 2.12

Problemas representativos

2.16 Para comprobar los efectos de la "ingravidez" durante cortos períodos de tiempo se ha proyectado una instalación de pruebas en la que se acelera una cápsula verticalmente desde A a B por medio de un émbolo impulsado por gas, lo que le permite ascender de B a y descender a B en condiciones de caída libre. La cámara de pruebas consiste en un pozo profundo en el que se ha hecho el vacío para eliminar cualquier resistencia

e

2.13 El piloto de un reactor de carga pone sus motores a plena potencia en despegue antes de soltar los frenos y mientras

2 e

26


o

2 e q d

e lanl íon-

apreciable del del aire. aire. Si Si elel émbolo émbolo suministra suministra una una aceleración aceleración apreciable constantede de40g 40gdesde desdeAAhasta hastaBy B ysisieleltiempo tiempototal totalde delalaprueprueconstante baen enlas lascondiciones condicionesde de"ingravidez" "ingravidez"de deBBaaCCes es10 10s,s,calcular calcular ba al turahhrequerida requeridapara paralalacámara. cámara.Al Alvolver volveraaBBlalacápsula cápsulade de lalaaltura pruebase serecoge recogeen en una unacesta cestacon controzos trozosde depoliestireno poliestirenoque quese se prueba introduceen en la lalínea líneade decaída. caída. introduce

l

350m

AA

Cápsula de de pruebas pruebas Cápsula Cilindro yy Cilindro émbolo émbolo acelerador · acelerador

Figura Figura problema problema

Instalación de de prueba prueba de de "s "g igual igual aacere Instalación cerc Figura problema problema Figura

vv22,, (m/s)2 (m/s)2

::~-~ ::~~

2.16 2.16

velocidad de una una partícula partícula a lo largo del eje s5 esta esta 2.17 La velocidad por v == 55 5 5 33//22, , donde milímetros y v está en milídada por donde s5 está en milímetros metros por p or segundos. Hallar la aceleración cuando cuando s5 vale 2 milímetros. límetros. Re5p. Resp. a a == 150 150 mm mm/l S2 S2 2.18 mi s 2.18 Un corredor alcanza su celeridad máxima de 10,6 10,6 mis aa los los tt segundos segundos de partir del reposo y bajo una aceleración prácticamente constante. Si Si mantiene luego esa velocidad y cubre ar el bre una distancia de 100 100 m m en 10,5 10,5 s, hall hallar el intervalo de aceacet y su aceleración de salida m edia a. leración leración t y su media a.

o

ión de

esdeA lepere caída

oenel stencia

A A

B B

.l.-_


s, m

2.20

2.22 Sobre un punto material, punto m aterial, que se mueve inicialmente con una velocidad de 100 100 mi m/ s, s, actúa una fuerza retardadora. retardadora. En la la figura se muestra el registro oscilo oscilográfico de la desaceladesacelagráfico ración. Estim Estimar s. ración. ar la velocidad del punto para tt == 4 ss y para tt == 8 s.

Desaceleración Desaceleración

4g - - - - - - - 4g

- ("rAi'\r--, 11

II 11 11

11 11 11 11 11 11 11

2.20 2.20 Un Un cuerpo cuerpo se se mueve mueve en en línea línea recta recta con con una una velocidad velocidad cuyo cuyocuadrado cuadrado disminuye disminuye linealmente linealmente con con el el desplazamiento desplazamiento entre entre dos dos puntos puntos AA yy B, B, los los cuales cuales están están separados separados 3400 3400 m m tal tal como esplazamiento /';s comose seindica. indica. Hallar Hallar el elddesplazamiento As del del cuerpo cuerpo durandurantetelos losdos dos últimos últimos segundos segundos antes antes de de llegar llegar aa B. B. 2.21 e 200 /h 2.21 Un Un avión avión aa reacción reacción lleva lleva una una velocidad velocidad dde 200 km km/h en el momento de aterrizar y dispone de 600 m de pista en los en el momento de aterrizar y dispone de 600 m de pista en los que quereduce reducelalavelocidad velocidad aa30 30 km/h. km/h. Calcular Calcularlalaaceleración aceleraciónmemedia diade defrenado frenado aaque que necesita necesitaelelavión. avión. Re5p. Resp. aa==-2,51 -2,51 mi m/S2S2

~--1.

°OL--l~ OO--------4~OO-- s,m O 100 400

2.19 2.19 El El ascensor ascensor principal A A de la la Torre CN de Toronto Taranta se se eleva h asta unos 350 m y durante la mayor parte d el eleva hasta unos 350 m y durante la del recorrido recorrido mantiene / h. Suponiendo mantiene una una velocidad velocidad constante constante de de 22 22 km km/h. Suponiendo que que tanto tanto la la aceleración aceleración como como la la desaceleración desaceleración tengan tengan un un vavalor stante de el aslorcon constante de 0,25g, 0,25g, hallar hallar la la duración duración tt del del recorrido recorrido ddel ascensor. censor. Re5p. Resp. tt == 59,8 59,8 ss

urante

2.19 2.19

O O L---4f.- _ _- __ - -_ -1- 1_

- - -'\1: \,-_...1.

__ _

2 O 0 2 44

66

88

Tiempo t,t,ss Tiempo Figura problema problema 2.22 Figura 2.22

2.23 Recorriendo Recorriendo la la distancia distancia de de 33km km entre entre AA yy D, D,un un auau2.23 tomóvil viaja a 100 km/h entre A y B durante t segundos, tomóvil viaja a 100 km/h entre A y B durante t segundos, yyaa

27 27


e

60 km I h entre y D también durante t segundos. Si entre B y se aplican los frenos durante 4 segundos para comunicar al vehículo una des aceleración uniforme, calcular t y la distancia s entre A y B.

e

Resp. t

=

65,5 s, s = 1,819 km

100km/h

60km/h

A

T

f..<-----------

O 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08

ax, m/s2

x,m

a., m/s2

3300 2890 2490 1723 994 317

0,10 0,12 0,14

-300 -844 -1306 -1676 -1943 -2100

0,16 0,18 0,20

C;;;:=-~"~0

3 km ---

Figura problema

x,m

>1

2.23

2.24 La posición, en milímetros, de un punto material está dada por s = 27 - 12t + t2, donde t son segundos. Representar gráficamente las relaciones s-t y v-t durante los primeros 9 segundos. Hallar el desplazamiento neto L',sdurante ese intervalo y la distancia total recorrida D. Examinando la relación s-t, ¿qué conclusión puede sacarse acerca de la aceleración?

2.27 Un punto se mueve a lo largo del semieje x positivo con una aceleración a, en mi S2 que aumenta linealmente con x expresada en milímetros, tal como se muestra en el gráfico correspondiente a un intervalo del movimiento. Si en x = 40 rnm la velocidad del punto es 0,4 m I s, hallar la velocidad en x = 120mm.

Resp. v

= 0,8

mis

4

2.25 Un motorista de patrulla parte del reposo en A dos segundos después de que un automóvil, que corre a 120 km/h, pase por A. Si el patrullero acelera a razón de 6 mi S2 hasta alcanzar la velocidad de 150 km/h, máxima que le es permitida y que mantiene, calcular la distancia s entre el punto A y el punto en que rebasa al automóvil. Resp. s = 912 m

-

120km/h

A I I I I

Figura problema

2

OL-~------------~ 40

120 x,mm

Figura problema

2.27

2.28 El resorte de 350 mm se comprime hasta una longitud de 200 mm, en que se suelta desde el reposo y acelera el bloque deslizante A. La aceleración inicial de éste es de 130 mi S2 y desde este valor disminuye linealmente con el desplazamiento x del bloque hasta hacerse cero cuando el resorte recupera su longitud original de 350 mm. Calcular el tiempo que tarda el bloque en recorrer (a) 75 mm y (b) 150 mm.

2.25

2.26 La tabla que sigue da la aceleración ax del pistón de un motor alternativo de combustión interna en función de su desplazamiento medido desde el punto muerto superior. Mediante una representación gráfica de esta información, hallar la velocidad máxima vmax del pistón.

1.200mm, 1

[ftMMG:J 1--350mm

->

t;

-1

k d

Vv\J\J\JVV\ Figura problema

2 a

e 2.28

d e g n

Figura problema

2.26

2.29 La aceleración de un punto que se mueve en el sentido positivo de x varía como se muestra en función de la posición.

28


II

Si su velocidad es 0,8 mi s cuando x cuando x = 1,4m. Resp. v = 1,166mi s

=

O,hallar la velocidad v

A

Tren"

I

1,6 km

130km/h

~

°0,421-_-_-_-_-_--+"..i~.•.... ,

vocon n r excocoOmm enx =

I I I I

I I I I

0,4

0,8

~41'

13

-e+

LAutomóvil

Figura problema

2.31

1,2

x,m

2.29

Figura problema

2.30 Con un acelerómetro se mide la des aceleración del centro de masa G de un automóvil en una prueba de colisión y se obtienen los resultados que se muestran, siendo x = 0,8 m la distancia que recorre G tras el impacto. A partir de esta información, obtener un valor lo más aproximado posible de la velocidad de colisión v.

2.32 Si la velocidad v de un punto que se mueve en línea recta disminuye linealmente con su desplazamiento s desde 2 = mi s hasta un valor que tiende a cero en s = 30 mi s, hallar su aceleración a cuando s = 15 m y demostrar que el punto no llega nunca a s = 30 m.

20 v, mIs

~ O

<,

O

Figura problema

ngitud bloque 1/S2 y iento erasu ardael

../

~

0,2

.r:

0,6

V

0,8

-.r-.

x,m

Figura problema

10

2.30
8

o

entido sición.

2.32

2.33 avegando en calma, un buque reduce su velocidad al aproximarse a la bocana de un puerto. Esta reducción tiene lugar desde los 10 nudos, cuando el buque pasa por la primera baliza, hasta los 4 nudos, 6 minutos más tarde cuando el buque pasa por la segunda baliza. Calcular aproximadamente la distancia t-,.s entre las balizas en millas náuticas utilizando la gráfica directamente. (Se recordará que un nudo es una velocidad de una milla náutica por hora.) Resp. t-,.s = 0,60 millas.

7

0,4

30

s,m

2.31 Un tren que viaja a 130 kmlh aplica los frenos al llegar al punto A y reduce la velocidad con una desaceleración constante. Se observa entonces que la velocidad se ha reducido a 96 k111/h cuando pasa por un punto situado a 0,8 km por delante de A. Un automóvil que va a 80 kmlh pasa por el punto B en el mismo instante en que el tren llega al punto A. En un imprudente esfuerzo por ganar al tren en el cruce, el conductor "pisa el acelerador a fondo". Calcular la aceleración a que debe adquirir el automóvil para que gane al tren en el cruce con l1I1 margen de cuatro segundos y determinar la velocidad v que llevará cuando llegue al cruce. Resp. a = 0,280 mi S2, v = 144,6krrr/ s

"d

§ 6 ¡:;

<,

4

---

1---

2

O

O

2

t,min

Figura problema

2.34

4

6

2.33

Una partícula que se mueve en el sentido positivo del eje

x con una velocidad inicial de 12 mi s sufre W1afuerza retarda-

29


una aceleración aceleración negativa negativa que que varía varía linealdora que que le comunica comunica una dora linealmente con con el tiempo tiempo durante durante los 4 primeros primeros segundos, segundos, tal mente tal como como muestra. Durante Durante los los 5 segundos segundos siguientes siguientes la fuerza fuerza se manse muestra. mantiene constante constante y también también la aceleración. aceleración. Representar Representar gráficatiene gráficamente velocidad de la partícula partícula durante durante los 9 segundos segundos y mente la velocidad especificar su su valor valor para para t == 4 s. Determinar Determinar también especificar también la distancia distancia que recorre recorre la partícula desde su su posición posición para para t == O Lll: que partícula desde Ohasta hasta el punto en que se invierte invierte el sentido sentido de su su movimiento. movimiento. punto en que

4

049

aceleración mueve por aceleración cuando cuando se mueve por inercia inercia puede puede escribirse escribirse a = - el - e2vv22, , donde son constantes donde el y e2 son constantes dependientes dependientes de éste posee de la configuración configuración mecánica m ecánica del del vehículo. vehículo. Si éste posee una una velocidad velocidad inicial inicial va cuando cuando se desembraga desembraga el motor, motor, deducir deducir la expresión de expresión de la la distancia distancia D que que recorre recorre desde desde ese ese momento momento hasta hasta que que se detiene. detiene.

el -

el e

9

O~----------~-----------------I~S ~----------~-----------------I~S Ul

II I

6

I I

N

--

I I

-3

---------

Figura problema problema 2.38 2.38

-"'-----------------'


2.35 Un punto punto parte parte del del reposo reposo en en x == -2 m y se mueve 2.35 Un mueve a lo largo del eje x con con una velocidad cuya cuya variación variación se representa. largo del una velocidad representa. Representar gráficamente gráficamente el desplazamiento desplazamiento Representar y la aceleración aceleración correspondientes durante durante los los dos dos segundos. segundos. Determinar Determinar el inscorrespondientes instante tante t en en que que pasa pasa por por el origen. origen. 0,917 s Resp. t == 0,917

2.39 Calcular la velocidad velocidad de de impacto impacto de de un un cuerpo cuerpo que que se 2.39 Calcular deje 800 km. km. (a) Suponer Suponer que deje caer caer desde d esde una una altura altura h == 800 que la aceaceleración s2 y leración de de la gravedad gravedad es constante constante de de valor valor go ga == 9,81 m/ mi s2 (b) tener en cuenta de gg con (b) tener en cuenta la variación variación de con la altura altura (véase (véase apdo. apdo. 1.5). Se despreciarán 1.5). despreciarán los los efectos efectos de de la resistencia resistencia atmosférica. atmosférica. 3962 m/ 3730 m/ Resp. (a) v == 3962 mi s, (b) v == 3730 mi s

1__ h

v, mis v, mis

1

3

O~----~------------~~~~--0,5 1,0 O i, s

Q Q



2.36 Un automóvil automóvil se pone pone en en marcha marcha con con una 2.36 Un una aceleración aceleración m/ S2, S2,la cual disminuye disminuye linealmente linealmente con con el tiempo tiempo hasta de 6 mi la cual hasta anularse a los 10 segundos, segundos, instante instante a partir partir del del cual cual el vehículo anularse vehículo continúa constante. Hallar Hallar el tiempo tiempo t necesario continúa a velocidad velocidad constante. necesario para que que el automóvil automóvil recorra recorra 400 400 m desde desde que que arrancó. arrancó. para 2.37 cuerpo que que se mueve en línea línea recta recta se le aplica 2.37 A un un cuerpo mueve en aplica una una fuerza retardadora retardad ora de de modo modo que, que, durante durante un un intervalo intervalo de de su su fuerza movimiento, su su velocidad velocidad v decrece decrece a medida medida que que aumenta aumenta su su movimiento, coordenada de pos posición acuerdo con con v22 == kls, k/s, siendo siendo k una coordenada ición s de acuerdo una constante. Si, en en el instante instante t == O, O, el cuerpo posee una una velocidad constante. cuerpo posee velocidad hacia adelante adelante de de 50 50 mm mm/ l s y su su coordenada coordenada de de posición posición es 225 hacia 225 mm, h hallar velocidad v para para t == 3 s. mm, allar su velocidad 39,7 mmls mm/s Resp. v == 39,7

2.40 La bola bola de de acero acero A, de de diámetro diámetro D, D, se desliza desliza libremente libremente 2.40 La a lo largo largo de de la varilla varilla horizontal horizontal que que termina termina en en la la pieza pieza polar polar del del electroimán. electroimán. La fuerza fuerza de de atracción atracción depende depende de de la inversa inversa del del cuadrado cuadrado de de la distancia distancia y la aceleración aceleración resultante resultante de de la bola K/(L - x)2 bola es a = K/(L x)2 , donde donde K es una una medida medida de de la intensiintensidad dad del del campo campo magnético. magnético. Determinar Determinar la velocidad velocidad v con con que que la suelta partiendo la bola bola golpea golpea la la pieza pieza polar polar si se se suelta partiendo del del reposo reposo enx = = O. enx O.

2.38 resistencia aerodinámica aerodinámica al movimiento movimiento de 2.38 La resistencia de un un autoautomóvil es casi proporcional proporcional al cuadrado cuadrado de de su velocidad. velocidad. La móvil La reresistencia adicional adicional por por rozamiento rozamiento es constante, constante, por su por lo que que su sistencia

30


t

1 Figura problema problema 2.40 2.40

t

cribirse dientes seeuna ducirla omento

2.41 man2.41 El cuerpo cuerpo que cae con una una velocidad velocidad va choca y se mantiene por un juego juego ddee tiene en contacto con la plataforma plataforma soportada soportada por cuerpo es a == gg - cy, resortes. Tras el choque, la aceleración del cuerpo donde Ce es una constante positiva e y se mide posición constante positiva mide desd desdee la posición original original de la plataforma. plataforma. Si Si se observa observa que la compresión compresión máxima máxima de los resortes resortes es YIIl' YI/l' hallar hallar la constante constante c. e. Resp. Resp. ce =

va--=--"..--"'+ 2gYm 2gYII1 Y~,

l·1--.

s5-----+.[. [ -2m 2m

II

··11

---8

'" ;:>

0,250 0,250 1---,.. II I : I

"CJ "d

ro

'"

"CJ "d

'0 o

0,125 0,125

>

O

c::

Q)

Figura problema problema 2.41 Figura 2.41

----,-----,--

I I

---+----~---

I I L-

O O O

~' __ ~

2

I r

2+~ 2+~

I I I

2 + rr 2+n

I I

~'

rr 4+n

~

__

_L

_

2rr 44+~ + ~ 4 + 2n 2

Distancia s, m Distancia Figura Figura problema problema

2.42 El cono que cae con una una velocidad velocidad va choca y penetra 2.42 penetra en material de embalaje. Tras el choque, la acelerael bloque de material ción del cono es a == g _cy _ey22, , donde donde ce es una una constante constante positiva ción positiva e es la distancia distancia de penetración. penetración. La profundidad profundidad de penetrayy es penetración máxima se observa observa que es Ym Ym'' hallar hallar la constante constante e. ción c.

2.44

2.45 Con una dispara horizontalmente una velocidad velocidad va se dispara horizontalmente un proyectil de prueba proyectil prueba al interior interior de un un líquido líquido viscoso. La fuerza retardadora proporcional al cuadrado cuadrado de la velocidad, retardadora es proporcional velocid ad, por por aceleración es de la forma a == -- kv lo que la aceleración kv22. . Deducir Deducir la expredistancia D recorrida sión de la distancia recorrida en el seno del líquido líquido y el tiempo t que transcurre transcurre hasta hasta que la velocidad velocidad se reduce reduce a voo/2 /2. Despreciar Despreciar todo movimiento movimiento vertical. 0,693/k, t == 11// (kvo) (kvo) Resp. D == 0,693/k,

,, .

.'.remente za polar inversa te de la intensiconque 1 reposo

:--.

.

.-;-

Figura problema problema Figura 2.42

---

~ !

2.43 Como área de aterrizaje aterrizaje para para grandes grandes aviones aviones a reac2.43 ciónse propuesto un determinado determinado lago lago.. La velocidad 160 velocidad de 160 ción se ha propuesto km/h que lleva el avión en el momento momento de tocar tierra km/h tierra debe re30 km/h km/h en una una distancia distancia de 400 400 m. Si la desacelerades aceleraducirse a 30 ción es proporcional proporcional al cuadrado cuadrado de la velocidad velocidad ddee la ción (a == -- Kv Kv22),), determinar determinar el valor aeronave en el agua (a valor ddel el paraparámetro una medida medida de las dimensiones dimensiones y metro de diseño K, que sería una forma de las paletas paletas del tren de aterrizaje aterrizaje que surcarían surcarían el forma Determinar también también el tiempo tiempo t que dura dura el intervalo intervalo esagua. Determinar pecificado. pecificado. 4,18(10-3) mm'.1, t == 23,3 23,3 s Resp. K == 4,18(102.44 El El mando mando de aceleración electrónico electrónico de un 2.44 un tren tren maquemaqueprogramado para para que la velocidad velocidad varíe función de ta esta programado varíe en función modo que se representa. representa. Hallar Hallar el tiempo la posición del modo tiempo que vuelta completa. tarda el tren en dar una vuelta


2.45

2.46 Calcular Calcular aproximadamente aproximadamente la relación entre v y t para relación entre para el buque buque en reducción reducción de velocidad velocidad del problema problema 2.33 utilizanutilizanexpresión exponencial exponencial v == voe -kt, donde va do la expresión -kt, donde Vo y kk son constantes determinadas ppor condiciones iniciales y finales. tantes determinadas or las condiciones Calcular seguidamente seguidamente la distancia distancia s entre entre las balizas. Calcular 2.47 El modelo aceleración del "drágster" "drágster" modelo matemático m atem ático de la aceleración donde el término considera la resistenes a = cell - ce2voe- kt kt ,, donde término v22 considera resistencia aerodinámica aerodinámica y el constantes positivas. C1 Y Y ce 22 son constantes positivas. Si se sabe 1,64(10-4) ensayos en túnel que e2 C2 vale 1,64(10 - 4) m -1 - 1 (por ensayos túnel de viento), hallar el carrera de "drágs"dragsC1 si la velocidad velocidad final es 305 km/h. km / h. Una carrera ter" es un un recorrido recorrido recto de 400 m a partir partir de la salida. =O O 9,57 m/ S2 Resp. el Cl = m/ 52

31 31


~

v

Salida

Llegada Llegada

400 400 m

k-----------~/'---

en contacto contacto con con el amortiguador. amortiguador. Los dos resortes exteriores en Los dos resortes exteriores originan una desaceleración proporcional a la deformación originan una des aceleración proporcional deformación del del resorte. El resorte resorte central desaceleración cuando resorte. central aumenta aumenta la desaceleración cuando la compresión indica en la gráfica. gráfica. DeDecompresión excede excede de de 0,5 m según según se indica terminar compresión xx de de los los resortes exteriores. terminar la máxima máxima compresión resortes exteriores.

Figura problema Figura problema 2.47 2.47

Desaceleración Desaceleración m/s2 m/s2

~~~~C=r:zJ

2.48 Empleando el valor valor de de el calculado calculado en en el problema 2.48 Empleando problema 2.47 hallar necesita el "drágster" problema hallar el tiempo tiempo t que que necesita "drágster" de de ese ese problema para recorrer para recorrer los 400 m.

3000~ 2000 1000 1000~ 00 6 12 12 x, m m

2.49 El movimiento horizontal del 2.49 movimiento horizontal del conjunto conjunto de de émbolo émbolo y vástago por la resistencia resistencia del vástago está está reprimido reprimido por del disco disco solidario solidario que que se desplaza baí'ío de velocidad del desplaza dentro dentro del bailo de aceite. aceite. Si la velocidad del émboémbopara la que Y si la des desaceleración lo es Vo Vo en la posición posición A para que xx = =O OY aceleración forma que kv, deducir es proporcional proporcional a v de forma que a = = -- kv, deducir las expresioexpresiones d e la coordenada posición xx en nes de la velocidad velocidad v y de coordenada de de posición en funfuntiempo t. Expresar también v en función tiempo. ción del del tiempo Expresar también función del del tiempo.

Resp. Resp. v

voe vae --

v

va-kx

~s

~s

--"»-~

Figura problema problema Figura

vao kl, x = - e- k!] =. = 7([1 7([1V

I

II

kl]

2.52 2.52

2.53 Cuando efecto de resistencia aerodiná2.53 Cuando se incluye incluye el efecto de la resistencia aerodinámica, la aceleración una pelota pelota de béisbol que mueve mica, aceleración yy de de una de béisbol que se mueve verticalmente hacia hacia arriba kv22,, mientras mientras que verticalmente arriba es a" = = -- g - kv que cuancuando mueve hacia hacia abajo kv2, donde do se mueve abajo la aceleración aceleración es ad = = -- g + kir', donde una constante positiva y v es es la velocidad velocidad en pekk es una constante positiva en mI mi s. Si la pelota hacia arriba m I s desde prácticamente el nivel nivel lota se lanza lanza hacia arriba a 30 mi desde prácticamente del suelo, calcular calcular la altura altura h que que alcanza alcanza y su su velocidad del suelo, velocidad vf v¡ cuando Tómese kk == 0,0066 mm-11 y supóngase cuando choca choca con con el suelo. suelo. Tómese supóngase que que g es constante. constante. Resp.h = 35,9m, vf=23,7m/s v¡ = 23 ,7 m /s Resp.h=35,9m,

A

Figura problema 2.49 2.49 Figura problema

2.50 objeto pequeño pequeño se deja caer desde desde el reposo dentro 2.50 Un objeto deja caer reposo dentro de un un depósito depósito de de aceite. aceite. La aceleración aceleración descendente descendente del objeto de del objeto donde g es la aceleración aceleración constante constante debida debida a la gravegravees g - kv, donde dad, k es una una constante constante dependiente dependiente de de la viscosidad del aceite aceite dad, viscosidad del forma del del objeto objeto y v es la velocidad del obobvelocidad descendente descendente del y de la forma jeto. Deducir las expresiones expresiones de de la velocidad del recorrido velocidad y del recorrido jeto. Deducir vertical y como como funciones funciones del salida. vertical del tiempo tiempo t tras tras la salida. una prueba prueba en en aire aire en calma, se deja deja caer caer una de 2.51 En una en calma, una bola bola de acero de pequeño pequeño tamaño tamaño desde desde una altura considerable. considerable. Su acero una altura aceleración inicial inicial g disminuye disminuye en constanen kv kv22,, donde donde k es una una constanaceleración velocidad de de descenso. descenso. Hallar Hallar la velocidad velocidad máxima máxima te y v es la velocidad que alcanza alcanza la bola bola y expresar expresar el recorrido en función que recorrido vertical vertical y en función tiempo t transcurrido transcurrido desde desde el inicio de la caída. caída. inicio de del tiempo Resp. v max Resp. max =

jf, yy

~

cosh = ~ In cosh

Jki Jki

t

2.52 Un amortiguador, amortiguador, compuesto compuesto de de un de tres 2.52 Un un juego juego de tres resorresorutiliza para para detener detener una considerable que que lleva lleva una masa masa considerable tes, se utiliza una velocidad velocidad horizontal horizontal de de 40 mI mi s en en el instante en que que entra entra una instante en


2.53 2.53

2.54 de béisbol del problema que se lanza lanza 2.54 Para Para la pelota pelota de béisbol del problema 2.53 que hacia arriba con con una inicial de de 30 mI mi s, hallar hacia arriba una velocidad velocidad inicial hallar el tiemtiempo tu que que tarda en ir desde desde el suelo suelo hasta altura máxima el.. po t" tarda en hasta la la altura máxima y el que tarda, td, desde desde la altura máxima hasta suelo. que tarda, td, altura máxima hasta el suelo. 2.55 El combustible combustible de de un cohete modelo quema con con tal 2.55 un cohete modelo se quema rapidez que puede suponerse que que el cohete cohete adquiere adquiere su su velocirapidez que puede suponerse velocidad de de extinción extinción de de combustible combustible de de 120 mI mi s cuando cuando prácticadad prácticamente aún se encuentra encuentra a nivel 'del suelo. suelo. Entonces, sube mente aún nivel -del Entonces, sube

32


ores del o la

Des.

verticalmente por por inercia inercia hasta altura máxima máxima de de la trayectrayecverticalmente hasta la altura Incluyendo la resistencia resistencia aerodinámica, aerodinámica, la aceleración aceleración yy toria. Incluyendo durante durante ese ese movimiento movimiento es a a.,ll == -- g - 0,0005v 0,000Sv2,2, siendo siendo metros metros y unidades. En un pasegundos segundos las las unidades. En la culminación culminación se despliega despliega un paracaídas racaídas desde desde el morro morro y el cohete cohete adquiere adquiere en en seguida seguida una una velocidad velocidad de de descenso descenso constante constante de de 4 m mI/ s. Estimar Estimar el tiempo tiempo de vuelo vuelo tI t¡Resp. tI == 147,7 Resp. 147,7 s

constantes, instante y g es es la constantes, v es la velocidad velocidad vertical vertical en en cada cada instante aceleración de de la gravedad, gravedad, esencialmente esencialmente constante constante para para vuevueaceleración los en la atmósfera. efecto los en atmósfera. El término término exponencial exponencial representa representa el efecto de combustide la disminución disminución del del empuje empuje conforme conforme se quema quema el combustible, de ble, y el término término -cv -cv estima estima el retardo retardo debido debido a la resistencia resistencia de la atmósfera. de la velocidad vertical del del atmósfera. Hallar Hallar la expresión expresión de velocidad vertical cohete segundos después cohete t segundos después del del disparo. disparo.

Resp. vv = &(e -el Resp. -ct - 1) + ~(e ~(e e cc-b -b

bt bt -

e - el)

~ En rápi•. 2.58 2.58 En el anteproyecto anteproyecto de de un un sistema sistema de de transporte transporte rápido establece que debe variar variar con con el el do se establece que la velocidad velocidad del del tren tren debe tiempo tal como tren recorecotiempo tal como se representa representa en en la figura, figura, cuando cuando el tren rre pendientes rre los los 3,2 3,2 km km que que separan separan las las estaciones estaciones A y B. Las Las pendientes de de la forma forma de las las curvas curvas de de transición transición de de tercer tercer grado grado (que (que son son de a + bt + ct el tiempo tiempo ct22 + dt33 ) son son nulas nulas en en los los extremos. extremos. Hallar Hallar el total de recorrido máxima. total de recorrido entre entre las las estaciones estaciones y la aceleración aceleración máxima. Resp. t == 103,6 Resp. 103,6 s, amax = 3,61 3,61 m/ mI s2 ma x =

A Figura problema problema •

B

,ia 1-,1 i:9n L _ _ __

2.55

3,2 km _ _ __ _ _ _ __ ,~I

á-

ueve anande

a penivel ad vI gase

~ Una ~ 2.56 Una partícula partícula obligada obligada a moverse moverse en en línea línea recta recta está está sometida sometida a una una fuerza fuerza aceleradora aceleradora que que aumenta aumenta con con el tiempo tiempo y a una una fuerza fuerza retardadora retardadora que que aumenta aumenta en en proporción proporción directa directa con la coordenada coordenada de de posición posición x. La La aceleración aceleración resultante resultante es aa == Kt K y kk son Kt - kk22x,x, donde donde K son constantes constantes positivas positivas y donde donde tanto tanto xx como como x son son cero cero cuando cuando t == O. Hallar Hallar xx en en función función de de t.

v, km/h v, km /h Funciones Funciones de

.------ '''M grado ~ '''''' g,"do ~

x

K

O~--~---------~--~~---

O~--~---------~--~~---

Resp. x = ¡¿3(kt Resp. 0(kt - sen sen kt)

1-15 ~,-+-ol·-----.1-151-15 ~ 1-15 -l:+-· -ill ilt -

~ 2.57 aceleración vertical ~2.57 La aceleración vertical de de un un cohete cohete de de combustible combustible sólido sólido está está dada dada por por a = ke - bbtt - cv - g g,, donde donde k, b YY e son son

2.3

lanza tiema y el

on tal

elocicticasube

A A

--,

B B

t, t, s Figura problema problema

2.58 2.58

MOVIMIENTO CURVILíNEO CURVILíNEO PLANO MOVIMIENTO

Iniciamos ahora ahora el estudio estudio del del movimiento movimiento de de un un punto punto material material a lo largo largo de de Iniciamos trayectoria curva curva contenida contenida en en un un solo solo plano. plano. Se ve en en seguida seguida que que este este una trayectoria movimiento es un un caso caso particular del movimiento movimiento más más general general presentado presentado en en movimiento particular del ilustrado en en la figura figura 2.1. Si hacemos hacemos que que el plano plano del del movimoviel apartado apartado 2.1 e ilustrado miento coincida, coincida, por por ejemplo, ejemplo, con con el plano plano x-y, las coordenadas coordenadas z y rp de de la fimiento gura 2.1 serán serán nulas nulas ambas ambas y R se confundirá confundirá con con t. r. Tal como como ya ya se ha ha dicho, dicho, gura gran proporción proporción de de los movimientos movimientos de los puntos puntos y de de las partículas partículas mamauna gran teriales que que aparecen aparecen en en la práctica práctica de de la ingeniería ingeniería pueden pueden representarse representarse como como teriales movimientos planos. planos. movimientos Antes de proseguir proseguir con con la descripción descripción del del movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo plano plano en en Antes sistema específico específico de de coordenadas coordenadas cualquiera, cualquiera, vamos vamos a describir describir primeraprimeraun sistema mente el movimiento movimiento valiéndonos valiéndonos del del análisis análisis vectorial, vectorial, cuyos cuyos resultados resultados son son mente independientes del del sistema sistema de coordenadas coordenadas elegido. elegido. Lo que que sigue sigue de este este aparaparindependientes constituye uno uno de de los los temas temas de de mayor mayor importancia importancia entre entre todos todos los de la tado constituye 33 33


34

Trayectoria

CINEMÁTICA DEL PUNTO PUNTO CINEMÁTICA

l

v'

A'

I

r+M : r+M I I I I I I

11

v A rr

f.\L1: v

v

\ A

O

Figura 2.5 2.5 Figura

Dinámica; se trata de la derivada derivada temporal temporal de un un vector. vector. Una Dinámica; trata de Una porción porción notablemennotablemenelevada de de todos todos los temas temas tratados tratados por Dinámica dependen dependen directamente directamente te elevada por la Dinámica de las variaciones variaciones por de tiempo tiempo de de magnitudes magnitudes vectoriales, vectoriales, por que de por unidad unidad de por lo que este tema tema debe debe dominarse dominarse desde desde el comienzo comienzo ya ya que que las ocasiones ocasiones en en que que debe debe este hacerse del mismo mismo se presentan constantemente. hacerse uso uso del presentan constantemente. Consideremos ahora ahora el movimiento movimiento de un material a lo largo largo de una Consideremos un punto punto material una cur .¿lana como como la representada en la figura figura 2.5. En el instante instante t el punto cur¿iana representada en punto se encuentra en en la posición situada mediante mediante el vector vector de posición medido resresencuentra posición A, A, situada posición r medido pecto origen fijo conveniente conveniente O. Si en en el instante instante t se conocen conocen tanto tanto el mómópecto a un un origen dulo como como la dirección dirección y el sentido sentido de de r, la posición del punto material estará estará dulo posición del punto material especificada por completo. En el instante instante t + M M el punto encontrará en en la poespecificada por completo. punto se encontrará posición A', localizada localizada por vector de de posición L'lr.Se observará que, que, por susición por el vector posición r + L1r. Se observará por supuesto, esta última expresión es una suma vectorial vectorial y no suma de de puesto, esta última expresión una suma no una una suma escalares. Durante Durante el intervalo intervalo de tiempo tiempo L'lt desplazamiento del del punto mateescalares. L1t el desplazamiento punto material L'lr,que vector que que representa cambio de de posición que evidenevidenrial es L1r, que es un un vector representa el cambio posición y que temente es independiente independiente del del origen elegido. En efecto, efecto, si se hubiera tomado temente origen elegido. hubiera tomado un origen situado situado en en otra otra posición, vector de de posición sería distinto distinto pero un origen posición, el vector posición r sería pero L'lr L1r sería el mismo. mismo. La distancia distancia realmente moverse a lo sería realmente recorrida recorrida por por el punto punto al moverse largo de la trayectoria trayectoria entre entre A y A' escalar longitud longitud L1s L'lsmedido sobre la largo A' es el escalar medido sobre trayectoria. Distinguimos Distinguimos pues entre el vector vector desplazamiento desplazamiento L1r L'lry escalar trayectoria. pues entre y el escalar longitud L'ls. longitud L1s. velocidad media media del del punto material entre entre A y A' define Vmed = L1r/ L'lr/L'lt La velocidad punto material A' se define Vmed = L1t y vector que que tiene tiene la dirección dirección y el sentido sentido de L1r L'lry cuyo módulo de L1r L'lr es un un vector y cuyo módulo es el de dividido por celeridad media media del del punto material entre entre Ay cociente dividido por M. La celeridad punto material Ay A'es A'es el cociente escalar L'ls Evidentemente el módulo módulo del del vector vector velocidad velocidad media media y la celeescalar L1s// M. Evidentemente ridad media media se aproximan aproximan uno otro a medida medida que que decrece decrece el intervalo intervalo M y A ridad uno a otro YA' acercan más más y más. más. Y A' se acercan velocidad instantánea instantánea v del del punto material se define define como como el valor valor en en ellíellíLa velocidad punto material mite de de la velocidad velocidad media media cuando cuando el intervalo intervalo de de tiempo tiempo tiende tiende a cero. cero. EntonEntonmite ces vv

. L'lr L1r l1m M-40L'lt M-4 0L1t

L

Observemos que que la dirección dirección de de L1r L'lrse aproxima a la de de la tangente tangente a la trayectrayecObservemos se aproxima toria cuando cuando M tiende tiende a cero cero y que, que, por consiguiente, la velocidad velocidad v será será siemsiemtoria por consiguiente, pre vector tangente tangente a la trayectoria. trayectoria. Ampliemos Ampliemos ahora ahora a las magnitudes magnitudes pre un un vector vectoriales la definición definición fundamental fundamental de de derivada derivada de un escalar y escribamos escribamos vectoriales un escalar


a r a r

v= v=

dr dr dt dt

35

ii

(2.4) (2.4)

derivada de un un vector vector sigue sigue siendo siendo un un vector vector y posee posee tanto tanto módulo módulo como como La derivada dirección y sentido. sentido. El módulo módulo de v recibe recibe el nombre nombre de de celeridad celeridad y es el escalar escalar dirección

ds . ds vv== Iv I = - = s =-=s dt dt

ennte ue be na se esó-

ará 0-

sude

te-

ar ty l1r

En este este punto, punto, debemos debemos hacer hacer una una importante importante distinción distinción entre entre lo que que es el módulo de la derivada derivada y la derivada derivada del módulo. módulo. El módulo módulo de la derivada derivada puede puede escribirse Idr / dt escribirse de de cualquiera cualquiera de de las formas formas siguientes siguientes Idr/ dtl l = = lil Irl = = ss = = Ivl lvl == v y representa velocidad o celeridad representa el módulo módulo de de la velocidad celeridad del del puntó. punto. Por Por otra otra parte, parte, la derivada dlrl / dt derivada del del módulo módulo se escribe escribe dlrl/ dt == dr / dt dt == f yY representa representa la variación variación por por unidad unidad de de tiempo tiempo de de la longitud longitud del del vector vector de posición posición r. O sea, estas estas dos dos derivadas derivadas poseen poseen significados significados completamente completamente diferentes diferentes y debemos debemos ser ser sumasumamente mente cuidadosos cuidadosos para para distinguir distinguir una una de la otra otra tanto tanto al pensar pensar en en ellas ellas como como al escribirlas. escribirlas. Por Por esta esta y otras otras razones razones se insta insta al lector lector a que que adopte adopte una una misma misma notación magnitudes vectoriales notación de de escritura escritura manual manual para para todas todas las magnitudes vectoriales con con el fin de distinguirlas distinguirlas de de las magnitudes magnitudes escalares. escalares. Los símbolos símbolos utilizados utilizados con con mamayor frecuencia frecuencia son son t y 'Q, 'Q, aunque aunque también también se utilizan utilizan v y v . Una vez vez establecido establecido el concepto concepto de velocidad velocidad como como magnitud magnitud vectorial, vectorial, rereUna gresemos a la figura figura 2.5 representemos la velocidad velocidad del del punto punto material material en en A gresemos 2.5 y representemos mediante A' mediante vector tangente mediante el vector vector tangente tangente v y la velocidad velocidad en en A' mediante el vector tangente Evidentemente, durante durante el intervalo intervalo /':,.t vector velocidad habrá variado. v'. Evidentemente, /::"t el vector velocidad habrá variado. Si velocidad v en en A se suma suma (vectorialmente) (vectorialmente) la variación variación /':,.v velocidad, a la velocidad /::"V de la velocidad, resultar la velocidad en A', por por lo que que podemos podemos escribir escribir v' - v == /::"v. /':,.v.La La debe resultar velocidad en observación del del diagrama diagrama vectorial vectorial revela revela que que /::"V /':,.vdepende tanto de de la variavariaobservación depende tanto ción del del módulo módulo (longitud) (longitud) de v como como de de la variación variación de de la dirección dirección de v. Estas Estas dos variaciones básicas de las derivadas variaciones son son características características básicas derivadas de los vectores. vectores. aceleración media media del del punto punto material material entre entre A y A' define como como /::"v /':,.v//!:,.t A' se define t:,.t y La aceleración vector cuya cuya dirección dirección y sentido sentido son son los de de /::"v. /':,.v.El El módulo módulo de aceleración es un un vector de la aceleración media es el módulo módulo de de /::"v /':,.vdividido dividido por por t:,.t. !:,.t. media La aceleración aceleración instantánea instantánea a del del punto punto material material se define define como como el valor valor en en el límite de la aceleración aceleración media media cuando cuando el intervalo intervalo de de tiempo tiempo tiende tiende a cero. cero. O sea,

v.

nte eleyA llíon-

a

Según Según la definición definición de derivada, derivada, escribiremos escribiremos a

ecm-

des os

/':,.v .. /::"v ll1m -

"'I--;O/':,.t "'I.-,O/::,.t

dv dv dt dt

(2.5) (2.5)

A medida medida que que t:,.t !:,.tse hace hace menor menor y tiende tiende a cero, cero, la dirección dirección de la variación variación !:;.vse aproxima a la de la variación infinitesimal dv y, por consiguiente, /::;.V se aproxima variación infinitesimal dv por consiguiente, a aa.. La aceleración aceleración incluye, incluye, pues, pues, el efecto efecto de la variación variación del del módulo módulo de de v y de la vavariación de de la dirección dirección de de v. Es manifiesto manifiesto que, que, en en general, general, la dirección dirección de de la riación aceleración de un un punto punto material material en en movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo no no es ni tangente tangente aceleración ni normal trayectoria. No normal a la trayectoria. No obstante, obstante, sí que que observamos observamos que que la componente componente


2.3 MOVIMIENTO MOVIMIENTO CURVILÍNEO CURVILÍNEO PLANO PLANO

u

36 CINEMÁTICA DEL PUNTO CINEMÁTICA DEL PUNTO

n

(( Hodógrafa Hodógrafa

2.6 Figura 2.6

p P SI

de la aceleración aceleración normal la trayectoria trayectoria está está dirigida centro de de curvade normal a la dirigida hacia hacia el centro curvatura de la misma. tura de misma. En figura 2.6 se presenta otro estudio estudio que que ayuda ayuda a materializar concepEn la figura presenta otro materializar el concepto de de aceleración, aceleración, habiéndose efectos de de comprensión comprensión los los vechabiéndose representado representado a efectos vectores de posición correspondientes a tres arbitrarias del del punto en su su tores de posición correspondientes tres posiciones posiciones arbitrarias punto en trayectoria. cada vector de posición corresponde un trayectoria. A cada vector de posición corresponde un vector vector velocidad velocidad tantangente a la la trayectoria = i. i .Si ahora dichos dichos vectores gente trayectoria y la relación relación es v = Si se trazan trazan ahora vectores velocidad de un cierto punto arbitrario e, definirán definirán una curva llamada llamada velocidad a partir partir de un cierto punto arbitrario una curva hodógrafa. derivadas de de dichos dichos vectores serán los los vectores acelehodógrafa. Las Las derivadas vectores velocidad velocidad serán vectores aceleración que son son tangentes la hodógrafa. que la la aceleración aceleración guarda guarda ración a == vv que tangentes a la hodógrafa. Se ve ve que con la velocidad la misma que la la velocidad con el vector de posición. con velocidad la misma relación relación que velocidad con vector de posición. La geométrica de de las las derivadas derivadas del del vector de posición del La representación representación geométrica vector de posición r y del vector de la la figura figura 2.5 se puede describir la derivada derivada vector velocidad velocidad v de puede utilizar utilizar para para describir de una cantidad vectorial cualquiera respecto cualquier otra otra variable esde una cantidad vectorial cualquiera respecto a t o a cualquier variable escalar. Con Con la introducción introducción de de la la derivada derivada de de un en las las definiciones definiciones de de calar. un vector vector en velocidad aceleración, importará importará ahora ahora establecer establecer las las reglas reglas según según las cuales velocidad y aceleración, las cuales pueda llevarse a cabo cabo la la derivación derivación de de cantidades cantidades escalares, escalares, con con la la única difepueda llevarse única diferencia del caso caso del del producto en el cual cual hay que mantener orden de de rencia del producto vectorial vectorial en hay que mantener el orden los factores factores. . Las están desarrolladas desarrolladas en en el apartado apartado C7 del del los Las reglas reglas mencionadas mencionadas están apéndice C e y convendrá convendrá repasarlas repasarlas ahora ahora mismo. apéndice mismo. En caso del del movimiento curvilíneo de de un en un existen tres En el caso movimiento curvilíneo un punto punto en un plano plano existen tres sistemas de de coordenadas coordenadas diferentes diferentes que que son son de de uso común para la descripción descripción sistemas uso común para la de dicho dicho movimiento. estudio de de dichos dichos sistemas sistemas de de coordenadas coordenadas convenconvende movimiento. Del Del estudio drá aprender aprender a elegir elegir adecuadamente adecuadamente sistema de de referencia drá el sistema referencia para para un un probleproblema dado. Dicha elección suele suele revelar se por la forma forma en en que que se especifican los ma dado. Dicha elección revelarse por la especifican los datos. Vamos desarrollar e ilustrar ilustrar a continuación continuación cada cada uno de los los tres sistedatos. Vamos a desarrollar uno de tres sistemas de coordenadas. coordenadas. mas de

\

\\

_l_v _l _v

I1 I1 I1

.r

y v,

v

)J

I1 I1 I1 I1 I

aa

I1 I1 I1 I1

\

a,/ \ r--'

Yj~(t Yil2(t / I__ --X I_ _ --X

xi xi

ii

Figura 2.7 2.7

a p

S rr

ft

te Y A

ci

es


Y Y

CI

1

1 1 ·1 I

2.4 2.4

COORDENADAS RECTANGULARES (x-y) COORDENADAS RECTANGULARES (x-y)

Este sistema de de referencia en el caso caso de de movimientos en Este sistema referencia es particularmente particularmente útil útil en movimientos en los que que las las componentes componentes x e yy de de la la aceleración aceleración están están generadas generadas o determinadas determinadas los independientemente. El movimiento curvilíneo se obtiene, obtiene, pues, por combinacombinaindependientemente. movimiento curvilíneo pues, por ción vectorial de las las componentes componentes x e yy del del vector de posición, de la la velocidad ción vectorial de vector de posición, de velocidad y de de la la aceleración. aceleración. En la figura figura 2.7 vuelve la trayectoria del punto punto material de En la vuelve a representarse representarse la trayectoria del material de la figura figura 2.5 junto con los los ejes ejes x e y, y en en la misma incluyen el vector de pola junto con misma se incluyen vector de posición r, la la velocidad la aceleración aceleración a del del punto descritos en en el sición velocidad v y la punto material, material, descritos apartado 2.3, descompuestos descompuestos en en sus sus componentes componentes x e y. Utilizando los vectores apartado Utilizando los vectores


Iv ci lí: d, rr dI d rE

unitarios i Y j, podemos nentes x e y, o sea,

escribir los vectores

a

nceps vec-

de sus compo-

=

=

xi + yj

v

i

Xi + yj

v

r

Xi + yj

(2.6)

Al derivar respecto del tiempo, debe tenerse en cuenta que las derivadas temporales de los vectores unitarios son nulas ya que los módulos, direcciones y sentidos de los mismos permanecen constantes. Los valores escalares de las componentes de v y a son simplemente Vx = x , vy = y y ax = Vx = ay = vy = y. (Tal como aparece en la figura 2.7, el sentido de ax es el x negativo por lo que x será un número negativo.) Como ya hemos observado previamente, la dirección de la velocidad es tangente siempre a la trayectoria, y de la figura resulta evidente que

x,

v = Jv; + v~ a

=

a2x + a2y

a

=

tg

Ll

u =

vy Vx

Ja2 x + a2y

e

Si se mide el ángulo en sentido antihorario a partir del eje x y hacia v, podemos ver que, para la configuración de ejes representada, es dy/dx = tg e = vy/ VxSi conocemos cada una de las coordenadas x e y independientemente como funciones del tiempo, x = !1(t) e y = !2(t) , podremos combinarlas para obtener r como función del tiempo. Análogamente, sus primeras derivadas x e y se combinarán para damos v y sus derivadas segundas e y para damos a. Ahora bien, si se dan como funciones del tiempo las componentes ax y ay de la aceleración, podemos integrar cada una por separado respecto al tiempo, una vez para obtener Vx y vy y de nuevo para obtener x = !1(t) e y = !2(t) . Eliminando el tiempo t entre estas dos últimas ecuaciones paramétricas resulta la ecuación de la trayectoria y = !(x). Del estudio anterior debemos sacar la consecuencia de que la representación por coordenadas cartesianas rectangulares de un movimiento curvilíneo no es más que la superposición de las coordenadas de dos movimientos rectilíneas simultáneos según las direcciones x e y. Por tanto, todo lo expuesto en el apartado 2.2 acerca del movimiento rectilíneo puede aplicarse por separado a cada uno de los movimientos según los ejes x e y.

x

n tres ipción nvenrobleanlos

siste-

tosen . adas binacidad rial de de poen el ctores

37 2.4 COORDENADAS RECTANGULARES (x-y)

r

rva-

r, v y a en función

Movimiento de los proyectiles. Una importante aplicación de la teoría de la cinemática plana es el estudio del movimiento y alcance de los proyectiles (balística). En un primer planteamiento del problema, despreciamos la resistencia del aire y la curvatura y rotación de la Tierra, y admitimos que la altura máxima de la trayectoria es suficientemente pequeña como para que la aceleración de la gravedad podamos suponerla constante. Con estas hipótesis, para estudiar la trayectoria lo mejor es emplear coordenadas rectangulares. Para los ejes representados en la figura 2.8, las componentes de la aceleración son


38

yy

CINEMÁTICA DEl PUNTO PUNTO CINEMÁTICA DEl

I

v

:

----- -- ~ __ ___

¡V ~ -=-~ +-t :. __-=-~+iV·-'_-"""

I Ix....... 1

Vx

.>

Va

'

J.l----,,//

(vy)o=vosene:

J

Ig t

/:' I IVI I

V;r

"/

I

,e

I

------1 -c

vy t---:,.~v

I

-,"\

-j-.L-------------------------~L--X

(vxlo

= Vo cos

e

2.8 Figura 2.8

de un caso de de aceleración aceleración constante constante como como el tratado general Se trata, trata, pues, pues, de un caso tratado en general en el apartado apartado 2.2a, 2.2a, de de cuyos cuyos resultados escribir en resultados hacemos hacemos uso uso para para escribir Vx

x

=

(vx)o

vy

Xo (vx)ot Xo + (vx)ot v/ = = v/

yy

=

(vy)o - gt

= Yo Yo + (vy)o (vy)ot t =

(VY)02 2g(y (V )02 - 2g(y Y

~gt2 ~gt2

Yo) Yo)

En estas estas expresiones, expresiones, el subíndice subíndice cero cero se refiere las condiciones condiciones iniciales, iniciales, que que En refiere a las suelen tomarse como las las correspondientes correspondientes al punto disparo, donde, donde, en en el caso caso suelen tomarse como punto ddee disparo, ilustrado, Xo Yo == O. O.Adviértase que aquí aquí se toma como cantidad cantidad positiva. ilustrado, Xo == Yo Adviértase que toma gg como positiva. Vemos que los los movimientos y son son independientes independientes para condiciones Vemos que movimientos x e Y para las las condiciones de movimiento simplificadas que que se consideran. consideran. Al eliminar eliminar el tiempo entre de movimiento simplificadas tiempo t entre las ecuaciones ecuaciones de de los los desplazamientos desplazamientos x eY y resulta las resulta una una trayectoria trayectoria parabólica parabólica (véase problema tipo 2.6). 2.6). Si hubiera que introducir introducir la la resistencia del aire, aire, que que (véase problema tipo hubiera que resistencia del cuadrado de de la velocidad velocidad (celeridad (celeridad del del proyectil), las ecuaciones ecuaciones ddepende epende ddel el cuadrado proyectil), las de los los movimientos y estarían estarían acopladas acopladas (o sea, sea, serían serían interdependientes) interdependientes) y de movimientos x e Y sería parabólica. la trayectoria trayectoria no no sería parabólica. Cuando hay que d describir de los los proyectiles con una gran Cuando hay que escribir el movimiento movimiento de proyectiles con una gran precisión, intervienen grandes grandes velocidades velocidades y grandes grandes alturas, alturas, deben deben tenerse precisión, e intervienen tenerse cuenta la forma forma del del proyectil, de g con con la altitud, altitud, la de en cuenta proyectit la variación variación de la variación variación de densidad del del aire aire con con la altitud altitud y la rotación de la Tierra. Tierra. Estos elementos hala densidad rotación de Estos elementos hacen que que las las ecuaciones ecuaciones del del movimiento sean considerablemente complicadas y cen movimiento sean considerablemente complicadas suele ser ser necesario integración numérica. suele necesario recurrir recurrir a la integración numérica.

PROBLEMA TIPO 2.5 PROBLEMA TIPO 2.5 El movimiento curvilíneo de un un punto está definido movimiento curvilíneo punto está definido por v xx = 50 - 16t e yy == 100 - 44tt22 , donde además que donde V xx son son metros metros por segundo, segundo, yy son son metros metros yy t son son segundos. segundos. Se sabe además cuando t == O O es x == O O.. Representar trayectoria yy determinar cuando Representar la trayectoria determinar la velocidad velocidad yy la aceleracuando alcanza alcanza la posición ción cuando posición yy == O. I

Solución. La coordenada coordenada x se obtiene obtiene integrando integrando la expresión expresión d dee Vti¿x y la compocomponente aceleración derivando derivando vxx'' O sea, nente x de la aceleración


f~ dx = f~(50 - 16t) ax

=

ft(50 - 16t)

dt

=

x

ax = - 16 mi

50t - St2

m

s2

1=0

Las componentes y de la velocidad y de la aceleración son [vx [ay

eral

= yl =

vy ay

vyl

= =

E..(100 - 4t2) dt d -(- St) dt

vy

= -

ay

=

100

~

St mis

= 50-16(5)

-Sm/s2

=

J(-16)2+(-

3

y,m

/

40

I

20 1=55/

o O

vy = - S(5) = - 40 mi s

a

'\

60

= - 30 mis

v = J(-30)2+(-40)2

= 50m/s

S)2

=

1-«

50

Ahora se calculan los valores correspondientes de x e y para distintos valores de t y se representa gráficamente y en función de x, obteniendo la trayectoria representada en la figura. Para y = O,0= 100 - 4t2, Yentonces t = 5 s. Para este valor del tiempo tenemos Vx

--....j

40 A x,m

20

Trayectoria

17,9m/s2

60

80

Trayectoria

I

I

I

I

I

que easo

a. ones ntre 'liea que

ones es) y

Las componentes de la velocidad y de la aceleración y sus resultantes se representan por separado para el punto A en que y = O. O sea, para esa posición se tiene v = - 30i-40j

mis

Resp.

m/s2

Resp.

Observemos que, como debe ser, el vector velocidad se encuentra sobre la tangente a la trayectoria, pero que el vector aceleración no es tangente a la trayectoria. Obsérvese en particular que el vector aceleración posee una componente dirigida hacia el interior de la trayectoria. Ya dedujimos con relación a la figura 2.5 que es imposible que la aceleración tenga una componente dirigida hacia el exterior de la trayectoria.

,

r

u¿ = - 30 mi

s/

,

ax = -16 mi S2,/

-'il-:/?1A :

a = - 16i-Sj

I

I

: : v=50m/s

~

:

ay=-8m/s2

a=-17,9m/s2 vy=-40m/s2

PROBLEMA TIPO 2.6

Un cohete ha consumido todo su combustible cuando alcanza la posición A en la que lleva una velocidad u y forma un ángulo e respecto a la horizontal. Se inicia entonces el vuelo balística (no propulsado) y alcanza una altura máxima adicional h en. una posición B tras recorrer una distancia horizontal s a partir de A. Determinar las expresiones de h y s, el tiempo t de vuelo entre A y B Y la ecuación de la trayectoria. Para el intervalo de tiempo en cuestión, considérese una Tierra plana con una aceleración de la gravedad constante g y despréciese toda resistencia por parte de la atmósfera.

y 1_---5

u /~

A/¿1_e~

----~

I

B

/,~-1~ propulsado

h

1

~-~x

~roPulsado

39


CD G)

Este problema problema no es sino la descripdescripproyectil ción ción del movimiento movimiento de un proyectil despreciando la resistencia aire. despreciando resistencia del aire.

Solución. Como todas Solución. todas las componentes componentes del movimiento movimiento se expresan expresan directadirectamente horizontal y vertical, emplearemos mente en función función de las coordenadas coordenadas horizontal emplearemos un sisCD tema rectangular x-y. x-y. Al despreciar Y ay ay == -- g y tema rectangular despreciar la resistencia resistencia atmosférica atmosférica ay ax = =O OY el movimiento movimiento resultante resultante será una superposición superposición directa directa de dos movimientos movimientos rectilíneos de aceleración aceleración constante. constante. Así [dx = V xx dt] [dx dt] [dvyy [dv

f~ u cos 8 dt dt f~

x =

f~Ysen f~Ysen

= = aydt] aydt]

dv dvyy

= f~(-g) = f~(-g)

dt

uyy

= f~(usen8-gt)dt = f~(usen8-gt)dt

y

[dyy = vit] [d vit]

ee

x = ut ut cos 8

yy

= sen 8-gt = uusen 8-gt

= utsen8-~gt2 = utsen8-~gt2

°

cuando vyy = 0, O,lo ocurre para 8- gt, Se alcanza la posición posición B cuando lo cual ocurre para O= uusen sen 8g t, o sea

t

®

que el alcance alcance total total y el que proyectil distiempo tiempo de vuelo vuelo de un proyectil parado desde horizontal parado desde un plano plano horizontal hubieran sido el doble hubieran doble de los valores valores respectivos de s y t obtenidos respectivos obtenidos aquí. aquí.

De haberse haberse tenido tenido en cuenta cuenta la resistencia del aire, aire, habría que estencia habría tenido tenido que tablecerse tablecerse la dependencia dependencia de las componentes de la aceleración aceleración con componentes la velocidad velocidad antes antes de proceder proceder a la integración integración de las ecuaciones. ecuaciones. Con ello, el problema problema se hace hace mucho mucho más difícil.

Resp. Resp.

Aplicando este valor del tiempo tiempo en la expresión expresión de yy se tiene la altura altura adicional adicional Aplicando máxima máxima

o Vemos (2)

= = (u (u sen 8)/g 8)/g

(U

(U

1 ----sen - -8) sen 8 --g - -8)2 ---sen --g h --_ u 2 g g

h

Resp. Resp.

distancia horizontal La distancia horizontal se ve que es

s

U sen 8) = -g - cos 8 = u ( ---gU

s

(

sen28 u2sen28 2g

Resp. Resp.

que es evidentemente máxima cuando evidentemente máxima cuando 8 == 45°. La ecuación ecuación de la trayectoria trayectoria se obtiene eliminando eliminando t entre entre las expresiones expresiones de x e y, lo cual da O"x22 o-x Y = x tg 8-=8-~ 2 sec28 Y 2

2u

® ®

Resp. Resp.

Esta ecuación representa una parábola ecuación representa parábola vertical vertical como la de la figura.

PROBLEMAS PROBLEMAS (En aquellos problemas problemas de los que siguen refieran a un siguen que se refieran proyectil que se mueva proyectil mueva en el aire se despreciará, despreciará, salvo otra inempleará g = = 9,81 9,81 m m/i s2 s2 .) .) dicación, la resistencia resistencia del aire y se empleará

Problemas Problemas introductorios introductorios 2.59 En el instante posición de un punto punto instante t == 3,60 el vector vector de posición que se mueve x-y es 2,76i - 3,28j mueve en el plano plano x-y 3,28j m m.. En el instante instante 3,62 el vector de posición ha cambiado 3,33j m. Hat == 3,62 cambiado a 2,79i - 3,33j módulo v de la velocidad velocidad media media en ese intervalo intervalo y el ánllar el módulo gulo 8 que la misma misma forma con el eje x. Resp. 2,92 mi m/ s, s, 8 == -- 59,0° 59,0° Resp. v = = 2,92 velocidad de un punto 2.60 En el instante instante t == 6 s la velocidad punto que se mueve en el plano x-y es 4i + 5j m m/i s, s, y en el instante instante t == 6,1 s mueve plano x-y yen velocidad ha cambiado cambiado a 4,3i + 5,4j 5,4j mis. m/ s. Hallar Hallar el módulo módulo a a la velocidad

de la aceleración aceleración media media durante durante el intervalo intervalo de 0,1 0,1 s y el ángulo ángulo 8 que la misma misma forma con el eje x. 2.61 instante t == 3,65 un punto punto que se 2.61 En el instante 3,65 s la velocidad velocidad de un mueve plano x-y x-y es 6,12i + 3,24j mueve en el plano 3,24j mi m/ s. Su aceleración aceleración media durante durante los 0,02 Hallar su velo0,02 s siguientes siguientes es 3i + 6j m m/i S2. S2.Hallar cidad vector cidad v en el instante instante t == 3,67 3,67 s y el ángulo ángulo 8 entre entre el vector aceleración media media y el vector vector velocidad velocidad en el mismo mismo instante. instante. aceleración Resp. 6,2Oi+ 3,36j m/ 27,9° Resp. v == 6,2Oi + 3,36j m I s, 8 == 27,9° coordenadas, en milímetros, milímetros, de un animado un punto punto animado 2.62 Las coordenadas, movimiento curvilíneo curvilíneo varían varían con el tiempo tiempo t,i, en segundos, segundos, de movimiento de acuerdo acuerdo con x == 2t 2t22 - 4t 4t e yy == 3t 3t33 -~ Hallar los módulos módulos de - ~ t3.. Hallar velocidad v y la aceleración aceleración a y los ángulos ángulos que esos vectores vectores la velocidad forman forman con el eje xx en el instante instante t == 2 s.

40 40


2

ais-

y os

2.63 Un 2.63 Un techador techador lanza lanza una una pequeña pequeña herramienta herramienta hacia hacia un un ayudante ayudante que que está está en el suelo. suelo. ¿Cuál ¿Cuál es la velocidad velocidad horizontal horizontal mínima para que justo por mínima Vo para que el objeto objeto pase pase justo por el punto punto B? Ubicar Ubicar punto de de impacto impacto especificando especificando la distancia distancia s indicada en la indicada en el punto figura. figura. Resp. Vo = 6,64 6,64 mI mI s, s = 2,49 2,49 m

y 1

~~

.:»:

-~1--h

~t5

1

~----

--------~...: ........:...

A 1-----1 - - - - --

7,5 7,5 m m -------;.-


2.66 La coordenada de un un punto punto animado animado de de un un movimovi2.66 coordenada yy de 3 miento por yy = = 4t3 - 3t, donde donde yy son son metros metros miento curvilíneo curvilíneo está está dada dada por y t son punto posee posee una una aceleración aceleración en en son segundos. segundos. Además, Además, el punto la dirección = 12t mI S2. Si la la velocidad velocidad en en la direcdirecdirección x que que vale vale axx = 12t mI ando t = = O,calcular O, calcular los los módulos módulos de de la veveción ción x es d dee 4 mI mI s cu cuando locidad del punto punto cuando cuando t = = 1 s. Dibujar Dibujar v locidad v y la aceleración aceleración a del 1s. solución. y a en la solución.


se

2.64 Los movimientos 2.64 movimientos x e yy de de las guías guías A y B, B, cuyas cuyas ranuras ranuras forman forman ángulo ángulo recto, recto, controlan controlan el movimiento movimiento del del pasador pasador de de enlace enlace P, que que resbala resbala por por ambas ambas ranuras. ranuras. Durante Durante un un corto corto inintervalo tervalo esos esos movimientos movimientos están están regidos regidos por por x = 20 + ~t2 ~t2 e yy = 15 - ~t3 ~t3 , donde donde x e yy son son milímetros milímetros y t son son segundos. segundos. CalCalasacular cular los módulos módulos d dee la velocidad velocidad v y la aceleración aceleración a del p pasapara t == 2 s. Esquematizar Esquematizar forma de de la trayectoria trayectoria e dor para la forma indicar su curvatura curvatura en en ese ese instante. instante. indicar

2.67 A un combustible en en la posición posición re2.67 un cohete cohete se le agota agota el combustible presentada vuelo no no propulsado propulsado por por encima encima de de presentada y prosigue prosigue en en vuelo atmósfera. Si su su velocidad velocidad en 1000 km km Ih, en esa esa posición posición era era de de 1000 / h, la atmósfera. calcular la altura altura adicional adicional h. calcular h que que alcanza alcanza y el tiempo tiempo t que que tarda tarda en llegar esa fase fase del del vuelo vuelo la aceleración aceleración de de la llegar a ella. ella. Durante Durante esa gravedad gravedad es 9,39 9,39 m mi i S2. Resp. hh. == 3,08 3,08 km, Resp. km, t = = 25,6 25,6 s v

Vertical Vertical

= =

1000 km/h 1000km/h

!!

sp.


Problemas representativos representativos Problemas

ángulo

que se ónmeu velovector tanteo

imado

undos, ulos de ectores

2.68 vector de de posición posición de 2.68 El vector de un un punto punto que que se se mueve mueve en en el plano x-y x-y está está dado dado por por plano

33 2)' 2).1+ 12t JJ

22tt 3 r = (3 3 -- 'ii tt

f+--x----j f.--x ----j problema 2.64 2.64 Figura problema

2.65 Un saltador saltador de de longitud longitud se acerca acerca a la raya raya A con con una una 2.65 Un velocidad horizontal de de 10 m mi i s. Hallar Hallar la componente componente vertical vertical velocidad horizontal velocidad de de su su centro centro de de gravedad, gravedad, en en el momento momento del del vyy de la velocidad brinco, necesaria necesaria para para que que realice realice el salto salto representado. representado. ¿Qué brinco, ¿Qué altura h sube sube su centro centro de de gravedad? gravedad? altura Resp. vyy = 3,68 3,68 m mi i s, hti = 0,690 0,690 m Resp.

4

t4. .

1+

donde r está está en en metros metros y t está donde está en en segundos. segundos. Hallar Hallar el ángulo ángulo que forman forman la velocidad velocidad v y la que la aceleración aceleración a cuando cuando (a) t = = 2 s y(b) t=3s. t=3s. y(b) 2.69 piloto de de un un avión avión que 2.69 El piloto que transporta transporta una una saca saca de de correos correos un lugar lugar remoto remoto desea desea soltada soltarla en en el momento momento justo justo para para que que a un alcance el punto punto A. ¿Qué ¿Qué ángulo aJcance ángulo ee deberá deberá formar formar la visual visual al blanco con con la horizontal horizontal en blanco en el instante instante del del lanzamiento? lanzamiento? Resp. e= e= 21,7° Resp. 21 ,7°

41


--

200km/h 200km /h

2.73 2.73 Un Unpunto punto sesemueve mueveen enelelplano planox-y x-ycon conuna unacomponencomponenteteyy de delalavelocidad, velocidad, en enmetros metrospor porsegundo, segundo, dada dada por porv vyy==8t. 8t. Su Suaceleración aceleración en en lala dirección dirección x,x,en en metros metros por por segundos segundos alal cuadrado, cuadrado, viene viene dada dada por por aax x==4t, 4t, con cont ten ensegundos. segundos. Cuando Cuando tt==O,O,Y Y ==2,2,xx==OOY Y VVxx ==O.O.Hallar Hallar lalaecu ación de ecuación delalatrayectoria trayectoria yy calcular calcularlalaceleridad celeridad del del punto punto cuando cuando lalacoordenada coordenada xxalcanalcanza zaelelvalor valor 18 18m. m. Resp. Resp. (y(y -- 2)3 2)3== 144x 144x22, , VV ==30 30m/ m/ ss 2.74 / s se 2.74 Con Con una una velocidad velocidad va va ==25 25m m/s sedispara dispara un un proyectil proyectil desde desde elel suelo suelo de de un un túnel túnel de de 55m m de de altura. altura. Hallar Hallar el el alcance alcance máximo máximo RRyy el el ángulo ángulo de de disparo disparo 8f) correspondiente. correspondiente.

Figura problema 2.69

2.70 Demostrar Demostrar el el conocido conocido hecho hecho de de que, que, para para una una velociveloci2.70 dad de de lanzamiento lanzamiento dada dada va, va, el el ángulo ángulo de de lanzamiento lanzamiento 8f) ==45° 45° dad produce el el máximo máximo alcance alcance R. R.Hallar Hallar éste. éste. (Téngase (Téngaseen en cuenta cuenta produce que esta esta conclusión conclusión no no es es válida válida cuando cuando en en el el análisis análisis se se incluincluque ye la la resistencia resistencia del del aire.) aire.) ye

-¡ 5m

t A é::::::::::::::::::::::::::::::::==.::::::¡

2.71 Con Con la la condiciones condiciones iniciales iniciales indicadas, indicadas, desde desde el el punto punto A A 2.71 se dispara dispara un un proyectiL proyectil. Hallar Hallar la la distancia distancia en en pendiente pendiente ss que que se localiza el el punto punto B B del del impacto. impacto. Calcular Calcular el el tiempo tiempo de de vuelo vuelo t.t. localiza Resp. s = 1057m, t = 19,50s Resp. s = 1057 m, t = 19,50 s

vo=120m/s vo=120m/s

__

_--_ / .---..-----.....~ / /---'----"--..

A /8=40°

A /

"'", ""--"

8=40°

-,

"

800m BOOm

\\

Vo = 25 m is


2.75 Durante Durante un cierto intervalo del movimiento movimiento el el pasador pasador P es obligado a moverse por la ranura parabólica fija P ranura fija merced a la guía ranura ranura vertical, la cual se mueve en la dirección x x a la velocidad constante de 20 mm/ mm / s. Las cantidades cantidades están todas en milímetros milímetros y segundos. segundos. Calcular los módulos módulos de la velocidad v y la aceleración a del pasador P cuando = 60 mm. dad pasador cuando x = Resp. v = 25 mm/s, a = 5 mm /s2 Resp. v = mm/s, a = z s?

Figura Figura problema problema 2.71 2.71

2.72 2.72 El El punto punto PP describe describe la la trayectoria trayectoria circular circular de de radio radio r, r, tal tal como como se se ilustra. ilustra. Si Si == m (¡) = = constante, constante, demostrar demostrar que que la la aceleaceleración ración de de PP está está siempre siempre dirigida dirigida hacia hacia el el centro. centro.

ee

yy

E

II II II II II

..__-r-, -----¡-/~ :pI~ " \P I/ r -:/ '

/

II

/I

r

\

II

" -----------

'" ""-

""-

Figura problema problema 2.75 2.75 Figura

.........'"

:: 88 -------~----x ----- - -~ - -- -x

II \\

\\

II

/ ./' / /'

//

Figura Figuraproblema problema 2.72 2.72

2.76 Si Si elel tenista tenista de de lala figura figura saca saca horizontalmente horizontalmente (f) (8== O), O), 2.76 calcular su su velocidad velocidad sisielel centro centro de de lala pelota pelota salva salva lala red red de de calcular 0,90 m con conun unmárgen márgen150mm. 150 mm.Determinar Determinartambién tambiénlaladistandistan0,90m ciassdesde desdelalared redalalpunto puntoen enque quelalapelota pelotachoca chocacon conelelsuelo suelo cia delalacancha. cancha. Despreciar Despreciarlalaresistencia resistencia del delaire aireyy elelefecto efectodel del de girode delalapelota. pelota. giro

42 42


8

oneny= 8t.

os al ando aria y a1can-

........ _______ ---

---

___ --.

~

___ --v °1 ~ ~

2,55 m

0,9 m

2.80 2.80 Las Las bolas bolas de de cojinete cojinete salen salen del del canal canal horizontal horizontal aa una W1a velocidad velocidad de de módulo módulo uu yy caen, caen, según según se se muestra, muestra, por por el el orificio orificio de de 70 70 mm mm de de diámetro. diámetro. Calcular Calcular entre entre qué qué limites limites puede puede variar variar uu para para que que las las bolas bolas entren entren en en el el orificio. orificio. Los Los casos casos límites límites se se rerepresentan presentan con con trazo trazo discontinuo. discontinuo.

11,7 m --------;>-1 -~~---11,7 m---~

yectil cance

~~ -----j

1-

20 mm


----+-~------~

,¿J

-

! I

u

-+- -

2.77 Si Si el el tenista tenista del del problema problema 2.76 2.76 saca saca con con una una velocidad velocidad v 2.77 de 130 130 km/h km / h Y Yun un ángulo ángulo = = 5°, 5°, calcular calcular la la distancia distancia con con que que de centro de de la la pelota pelota salva salva el el borde borde superior superior de de la la red red yy la la disdisel centro desde la la red red al al punto punto en en que que la la pelota pelota choca choca con con el el suesuetancia ss desde tancia lo de de la la cancha. cancha. Despreciar Despreciar la la resistencia resistencia del del aire aire yy el el efecto efecto del del lo giro de de la la pelota. pelota. giro Resp. h = 107,5 107,5 mm, mm, s = 5,15 5,15 m m Resp.

ee

2.78 La La velocidad velocidad de de un un proyectil proyectil en en la la boca boca de de un un fusil fusil de de larlar2.78 go alcance, alcance, situado situado en en A, A, es es uu = = 400 400 mI mi s. Hallar Hallar los los dos dos ángulos ángulos go que permitirán permitirán al al proyectil proyectil alcanzar alcanzar el el blanco blanco BB de elevación elevación que de de la la montaña. montaña. de

70 ~mm~ Figura Figura problema problema 2.80 2.80

ee

2.81 2.81 Un Un partícula partícula es es expulsada expulsada del del tubo tubo A con con una una velocidad velocidad v yy formando con el y. Un formando un un ángulo ángulo econ el eje eje vertical verticaly. Un intenso intenso vienviento horizontal comunica comunica a la la partícula partícula una una aceleración aceleración horizonhorizonto horizontal tal constante en en la la dirección dirección x. Si Si la la partícula partícula golpea golpea en en el el suelo suelo tal constante en en un un punto punto situado situado exactamente exactamente debajo debajo de de la la posición posición de d e lanlanzamiento, hallar zamiento, hallar la la altura altura h del del punto punto A. A. La La aceleración aceleración descendescendente en la dirección y puede como la constante constante g. dente en la dirección puede tomarse tomarse como

e

sador rced a x a la todas eloci-

Resp. = Resp. h =

sen ~v2 sen

~v2

cos e+~sen e + ~sen ee)) ee((cos

1I

_

/I

:8// :8

W W A lJI---


I :

fI

160

X

vi:1fI---i _X vi: A

:

1

Ji :I 1I y

2.79 Se lanza con inicial 2.79 lanza un un proyectil proyectil con una una velocidad velocidad inicial de de 200 m miI s y un un ángulo ángulo de de 60° 60° respecto respecto a la horizontal. horizontal. Calcular Calcular el alcance edido pendiente alcance R m medido pendiente arriba. arriba. Resp. Resp. R == 2970 2970 m

i

h

\

\\

~~

1I

\:\1 \: v


fJ= O), ed de istansuelo to del


2.82 niño de la figura figura lanza lanza hacia hacia arriba arriba la la pelota pelota con con una una 2.82 El niño velocidad Va va == 12 12 mi mI ss yy el el viento viento comunica comunica aa la la misma misma una una aceacevelocidad 2 hacia leración horizontal horizontal de de 0,4 0,4 mi m/sS2 izquierda. ¿Con ¿Con qué qué leración hacia la izquierda. angulo e hay hay que que lanzar lanzar la pelota pelota para para que que vuelva vuelva al al punto punto de de angula partida? Supóngase Supóngase que que el el viento viento no no afecta afecta al al movimiento movimiento ververpartida? tical. tical.

43 43


electrones que se acercan a la placa superior. El campo confiere a los electrones una aceleración elilm en la dirección E, donde e es la carga del electrón y m su masa. Hallar la intensidad de campo E que permite a los electrones alcanzar la mitad de la distancia entre placas. Determinar también la distancia s.

E

f\

E

11

~r 11

r

~" ~" ~ ~ ~ ~ ~

Viento 2.85 Para pasar el control de calidad, las bolas de cojinete deben atravesar un orificio de dimensiones limitadas situado en la parte más alta de su trayectoria después de rebotar, tal como se representa, sobre una placa de gran masa. Calcu lar el ángulo e que forma la velocidad de rebote con la horizontal y la velocidad v de las bolas cuando atraviesan el orificio. Resp. = 68,2°, v =1,253 mi s

E

Figura problema

e

2.82

2.83 En los tubos de rayos catódicos, los electrones procedentes de la fuente viajan horizontalmente a la velocidad va y son desviados por un campo eléctrico E debido al gradiente de tensiones entre las placas P. La fuerza deflectora produce una aceleración en dirección vertical que vale elilm, donde e es la carga del electrón y m su masa. Si se retiran las placas, los electrones se mueven en línea recta. Hallar la expresión de la desviación 8 para las dimensiones de tubo y placas representadas.

Resp. 8

=

eEI

mvÓ

\l

'\

(12 + b)

/

'"

'"

"

I

----~,l "- "-

J500mm

,

\

\

,-e,

1,

(}

1,

\

"\~~~T~ 1-400 mm

I í ----~--p

-- -± --f-

~--=--.---.-------

T

CIIII~"'

'"

~l-+.

Figura problema

1

Figura problema

2.85

2.86 La boquilla de agua despide el líquido con una velocidad Va = 14 m I s y con un ángulo = 40°. Determinar, respecto al pie B del murete, el punto en que el agua llega al suelo. Despreciar el efecto del espesor del murete.

e

b

2.83

2.84 Desde A se emiten electrones con una velocidad v y un angulo al espacio comprendido entre las dos placas cargadas. Entre éstas, el campo eléctrico es en el sentido E y repele los

e

A

t

1m

(}

--~

0,3m B

======:::::r="

-

f

19 m ------~I

1 ..... ------

No a escala

b/2

Figura problema

! ,+ Fuente de electrones Figura problema

2.84

2.86

2.87 El agua sale de la boquilla del problema 2.86 con una velocidad va = 14 mi s. ¿Para qué valor del ángulo llegará el agua al suelo lo más cerca posible del murete tras salvar el borde superior de éste? Despreciar el efecto del espesor del murete y la resistencia del aire. ¿En qué punto llega el agua al suelo? Resp. = 50,7°, a 0,835 a la derecha de B

e

e

44


confiere donde e idad de d de la

2.88 Determinar Determinar la posición posición h h. del del lugar hacia el cual cual debe debe ti2.88 lugar hacia rar el lanzador lanzador la pelota pelota para para que que impacte impacte en en los los guantes guantes del del parador. La pelota pelota sale sale a 40 m mi i s. parador.

métricamente métricamente en torno torno al centro centro del del aro aro en en razón razón de de que que la pepelota lota debe debe franquear franquear el borde borde delantero delantero del del aro.) aro.) Resp. Resp. 42,2° 42,2° ::; ~ e::; e ~ 43,9° 43,9° 58,1" ~ 58,1°::;

e ~ 60,1" e::;

.

ete deadoen alcomo Iángulo la velo-

25 mm ~ 105 mm h

<,

<,

-,

Aro" Aro"

\ \

1m 1m

0,6 0,6 m m

//

Figura problema 2.88 problema 2.88

// ~/ ~/

2.89 Un marcar un 2.89 Un futbolista futbolista intenta intenta marcar un gol gol a 30 m de de la porporcapaz de de comunicar comunicar a la pelota pelota una una velocidad velocidad u de de tería. Si es capaz 30 m I1s, calcular calcular el ángulo ángulo mínimo mínimo e e para para el cual cual la pelota pelota puepuede pasar pasar rozando rozando el travesaño travesaño de de la portería. portería. (Sugerencia: (Sugerencia: HaHacer m In = = tg e.) e.) Resp. e e == 15,45° 15,45° Resp.

0-- --------

---

- - - - - t + - - -I

120 mm 120 120mm 120 mm -+--- 225 225 mm --+ ---+ ----- 225 225 mm ---+ ~


2.92 El piloto 2.92 piloto d dee un un avión, avión, que que va a 300 km/h km/h Y toma toma altura altura con un un ángulo ángulo de de 45°, 45°, lanza un paquete paquete en en la posición posición A. CalCalcon lanza un cular cular la distancia distancia horizontal horizontal s y el tiempo tiempo t desde desde el momento momento del del lanzamiento lanzamiento hasta hasta el momento momento en en que que el paquete paquete choca choca con con el suelo. suelo.

1,, - - - - - - - 30 30m .1 ~I m - ------....j.1 1f


a velocirespecto elo.Des-

..I ..;;r----.....

2.90 Un baloncestista falta con 2.90 Un baloncestista quiere quiere lanzar lanzar una una falta con un un ángulo ángulo e()== 50° respecto a la horizontal, 50° respecto horizontal, tal como como se muestra. muestra. ¿Qué ¿Qué vevelocidad locidad inicial inicial va Vo hará hará que que la pelota pelota pase pase por por el centro centro del del aro? aro?

1'/\ 45° 300km / ~~

-

~

~

/ lA

-......~

""

.

"-"-

\

500 m

\

-\1.

\

\

IkE~---- s -----~)Ol -----~)Ol 1""1

E~----

Figura problema problema 2.92 2.92 3m

2.93 En 2.93 En el instante instante t == O O se lanza lanza un un proyectil proyectil en el seno seno de de un un fluido experimental. experimental. La La velocidad velocidad inicial inicial es va Vo y e e es el ángulo ángulo fluido 4,125 m ------J 4,125 ----1

y

Figura problema problema 2.90. 2.90.

con una llegará el ar el borelmurete al suelo?

2.91 En En la figura figura se ilustra ilustra W1 un detalle detalle de de la pelota pelota y el aro aro del del problema jugador lanza peproblema 2.90. 2.90. Supóngase Su póngase que que el jugador lanza siempre siempre la pelota con con W1a una velocidad velocidad va Vo == 7,3 m mi i s. Para Para el margen margen de de posicioposiciones horizontales horizontales indicado indicado en en la figura, figura, hallar hallar el correspondiente correspondiente intervalo de valores valores del del ángulo ángulo de de lanzamiento lanzamiento e. (Téngase (Téngase en en intervalo de cuenta cuenta que que las las posiciones posiciones horizontales horizontales no no están están repartidas repartidas si-


45


horizontal. La resistencia traduce en con la horizontal. resistencia sobre el proyectil proyectil se traduce una aceleración aD ao == -- kv, kv, donde donde k es una constante constante y v es la veuna locidad del proyectil. Determinar, Determinar, como funciones del tiempo, locidad componentes x e yy tanto tanto de la velocidad velocidad como del desplazadesplazalas componentes velocidad terminal? Se incluirán incluirán los efectos miento. ¿Cuál es la velocidad gravitatoria. de la aceleración gravitatoria. e va cos e kt Resp. Vxx = =

(vacas (vacos

e)e(-kt),x= e)e(-kt),x=

kk

(l-e-kt) (l-e

mismo punto punto A tenla figura tales que pasan pasan por por el mismo punto A. El punto derá a ser un punto punto de la envolvente envolvente a a a medida medida que las dos raíderá tienden una una a la otra.) Despreciar Despreciar la resistencia resistencia del aire y ces tienden suponer que g g es constante. constante. suponer 22

22

uu ox <>x Resp. yy = = __ <2..::...Resp. - <=2g 2u 2u22 2g

)

y

kt _& kt-_& (va sen e+&)e e+&)evv y = (va k k

aa

::7'

/' -\

//

1

/

/I 11 1/ 11 1 1

2.94 Un punto punto P está localizado por su vector de posición r == e)i + (b22 sen e)j, e)j, donde donde bbIl y b2 son constantes y e es el án(bIl cos e)i aumenta constantemente constantemente a razón de gulo entre r y el eje x. Si e aumenta demostrar que P describe una trayectoria elíptica con una demostrar dirigida según r hacia el origen. aceleración proporcional proporcional a r dirigida

e

e,

I

~ _ __ L __ _ . P : I ----

01

r

ee ----

1 /

A 0", \

\' \

\ '\.

\ \'\ ,

\

\

\

\ \

\ \

\

\ \

\

L:~(~~:=~~2:~\~~±\:=::=r--- X Figura problema problema 2.95

~ punto A se dispara dispara un proyectil proyectil con la veloci~ 2.96 En el punto dad vo. Hallar Hallar el ángulo ángulo de disparo disparo e e que produce dad produce el máximo pendiente de ángulo ángulo a ex (O (O~ ex $~ 90°). 90°). alcance R R a lo largo de la pendiente :o; a Hallar los valores correspondientes correspondientes a aex = = O, O,30° Hallar 30° Y45°. Y 45°.

y

II II

......

/

¡

II II

:y

90°2+ex, 45°, 60°, 60°,67,5° Resp. e = 90 °2+ a, e = 45°, 67,5°

I -----L-X - - - - L- X

I I

Figura problema problema 2.94

I

Il~

~ 2.95 Hallar Hallar la ecuación de la envolvente envolvente a de las trayecto~ proyectiles disparados disparados bajo distintos distintos ánrias parabólicas parabólicas de los proyectiles velocidad en boca constante constante u. (Sugerencia: (Sugerencia: gulos pero con velocidad Sustituir m por e el ángulo ángulo de disparo disparo en la ecuaSustituir por tg e, siendo e ción de la trayectoria. La dos raíces mI Y m m22 de la ecuación ecuación essegundo grado grado en m dan dan los dos crita como ecuación de segundo ángulos de disparo disparo correspondientes correspondientes a las dos trayectorias trayectorias de ángulos

2.5


COORDENADAS TANGENCIAL y NORMAL NORMAL (n-t) COORDENADAS T ANGENCJAL Y

comienzo de este capítulo, capítulo, en el apartado apartado 22.1, una de las formas Al comienzo .1, dijimos que una habituales de describir describir el movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo se basa empleo de más habituales basa en el empleo componentes locales, las cuales son las componentes componentes medidas medidas a lo largo de las componentes tangente t y la normal normal n a la trayectoria. trayectoria. Estas coordenadas coordenadas locales permiten la tangente permiten describir de una una manera manera muy muy natural natural los movimientos movimientos curvilíneos curvilíneos y frecuendescribir temente son las más directas directas y prácticas. representa en la figura temente prácticas. Tal como se representa 2.9, se supone supone que los ejes t y n se desplazan desplazan con el punto material a lo largo de 2.9, punto material 46


Atenas raíaire y

la trayectoria desde A hacia B. El sentido positivo de n se toma, en todas las posiciones, dirigido siempre hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Como puede apreciarse en la figura 2.9, el sentido positivo de n puede desplazarse de uno a otro lado de la trayectoria si cambia el sentido de la curvatura. Ahora vamos a emplear las coordenadas t y n, introducidas en el apartado 2.3,para representar la velocidad v y la aceleración a de un punto material en movimiento curvilíneo. Con este propósito, introduzcamos los vectores unitarios e, según n Y e¡ según i, tal como se muestra en la figura 2.10a en el punto A de la trayectoria del punto. Durante un intervalo infinitesimal de tiempo di, el punto recorre la distancia infinitesimal ds comprendida entre A y A'. Representando por p el radio de curvatura de la trayectoria en el punto considerado, vemOSque ds = p df3, donde f3 son radianes. Vemos que es innecesario considerar la variación infinitesimal de p entre A y A' pues se introduciría un término de orden superior que desaparecería en ellímite, por lo qu~ el módulo de la velocidad puede escribirse como v = ds / dt = P df3/ dt. Entonces, podemos escribir que la velocidad es el vector

47 2.5 COORDENADAS TANGENClAL Y NORMAL (n-l)

\ A

r!

e .L:><,

11,..,/

»>

\

./

In 1..----/

\~"--.

t\

--\-\

\

»:

~._~--

\

B

•...

In I I

t Figura 2.9

(2.7)

velociáximo ::;90°).

I I

Trayectoria

En el apartado 2.3 definimos la aceleración como a = dv / dt y con relación a la figura 2.5 hicimos observar que se trata de un vector que da cuenta de las variaciones de la velocidad v tanto en módulo como en dirección. Diferenciemos ahora v en la ecuación 2.7 aplicando la regla usual de derivación del producto de un escalar por un vector ': resulta así a

dv dt

df3 por dt, queda de.] dt

t

I I I I I I I

-----------------(a)

a\

dv

el

= =

en

(df3/ dt)e

el

1lf

que puede

escribirse

(b)

(e)

2.9 y el valor de /3 dado por v

=

p/3 en 2.8 de la acelera-

(2.10)

I

Veáse C7 en el apéndice

t

I I

(2.9) Aplicando la ecuación ción resulta

I

\

11:<;

de,

formas pleo de argo de ermiten ecuena figura largo de

le'

I I

\

(2.8)

donde la derivada del vector e¡ es distinta de cero porque su dirección varía. Para hallar él estudiemos la variación de et durante el desplazamiento infinitesimal del punto de A a A' representado en la figura 2.10a. El vector unitario varía correspondientemente de et a e' t y la diferencia de¡ entre ambos se representa en la parte b de la figura. En el límite, el módulo del vector diferencia de¡ es igual a la longitud del arco letldf3 = df3 que se obtiene haciendo girar el vector unitario e¡ el ángulo df3 expresado en radianes. El sentido de de¡ está dado por e., Así pues, podemos escribir de¡ = en df3 y al dividir por df3 resulta

o bien, al dividir

\

e


Figura 2.10

/{

48

donde

CINEMÁTICA

DEL PUNTO

a/1

-v = pf3'2

at

V

2

B

p

v~

fi

/

/

/

a

"

/-:

~ a/1 + al

/

;/

/

/

1/

(a)

/ / /

/ /

/

(b)

A Vectores aceleración de un punto material que se desplaza de A a B. (a) Aumenta la celeridad; (b) disminuye la celeridad. Figura 2.11

Podemos observar también que at = v = d(p~)/ dt p~ + p~. Sin embargo, esta relación se aplica muy poco ya que son contadas las ocasiones en que debe calcularse p. Sólo si se ve con toda claridad la geometría de las variaciones vectoriales que describe la ecuación 2.10,podrá ésta ser entendida por completo. En la figura 2.10a se representa el vector velocidad v del punto material cuando éste se encuentra en A y v' cuando se encuentra en A'. La correspondiente variación de velocidad es el vector dv que establece la dirección y el sentido de a. La componente n de dv se representa por dv; Yen el límite su módulo es igual a la longitud del arco engendrado por el vector v como radio cuando gira un ángulo df3. Entonces es Idv /11 = v df3. Y la componente n de la aceleración es a/1 = IdV/1I/dt = v(df3/dt) = vf3 como vimos antes. La componente t de dv se representa por dv I Ysu módulo es sencillamente la variación dv del módulo del vector velocidad; por tanto, la componente t de la aceleración volverá a resultar a, = dv/ dt = v = S". En la figura 2.10c se representan también las componentes vectoriales de la aceleración junto a las correspondientes componentes vectoriales de la variación de la velocidad. Es particularmente importante observar que la componente normal de la aceleración an está siempre dirigida hacia el centro de curvatura C. Por otra parte, la componente tangencial de la aceleración estará dirigida en el sentido t positivo del movimiento si la celeridad v aumenta, y en el sentido t negativo si la celeridad v disminuye. En la figura 2.11 se representa esquemáticamente la variación del vector aceleración de un punto material que se mueve entre A y B para los casos de celeridad creciente (a) y decreciente (b). En el punto de inflexión de la trayectoria la aceleración normal v2 / p se hace nula puesto que p se hace infinito. El movimiento circular constituye un importante caso particular del movimiento curvilíneo plano, en el cual el radio de curvatura p es el radio constante r de la circunferencia y el ángulo f3 es el ángulo e que se mide desde cualquier radio de referencia hasta OP (fig. 2.12). La velocidad y las componentes de la aceleración de un punto material P pasan a ser, cuando el mismo describe un movimiento circular,

v

re

ve

Figura 2.12

(2.11 )

Las ecuaciones 2.10 y 2.11 se cuentan entre las relaciones más utilizadas en Dinámica, por lo que las mismas y el significado de lo que representan deben dominarse a fondo.


PROBLEMA TIPO 2.7

Previniéndose de la depresión y del cambia de rasante de la carretera, el conductor del automóvil aplica las frenas al objeta de producir una desaceleración constante. En elfonda A de la depresión la velocidad es 100 km/h y en el punta más elevada e del cambia de rasante, separada de A 120 m de carretera, es 50 km/h. Si las pasajeros experimentan en A una aceleración total de 3 m/s2 y el radia de curvatura del cambia de rasante en e es 150 m, calcular (a) el radia de curvatura p en A, (b) la velocidad en el punta de inflexión B y (e) la aceleración total en C.

go, ebe ales a fiéste ción afi-

lonlo es

0)

e

60m

60m

:"fiiiI..._

B

A

150m

1

Solución. Podemos tratar el automóvil como punto material puesto que sus dimensiones son reducidas en comparación con las de su trayectoria. Las velocidades son VA =

(100 ~ )(3¿0~ s)( 1000~) 1000 3600

ve = 50

27,78 m/ s

13,89 mis

=

CD

En realidad, el radio de curvatura de la carretera difiere en un metro aproximadamente del de la trayectoria que sigue el centro de masa de los pasajeros, pero despreciamos esta diferencia relativamente pequeña.

Ahora hallamos la desaceleración constante a lo largo de la trayectoria

u

a va-

yB e inue p

at =

v dv

=

fa

t

dsJ +n

1 (2 2) _ (13,89)2 - (27,78)2 _ 241 / 2 2s ve - v A 2(120) - -, m s

(a) Condiciones en A. Conocida la aceleración total y determinada calcular fácilmente a" y consiguientemente p: [a2 [an

= a/ = v2/

+ at p]

(b) Condiciones en B. infinito, an = O.

=

a/

2]

p

=

32 - (2,41)2

=

v2/a

n

=

3,19

(27,78)211,78

=

an 432 m

=

I

a=3m/52 al'

~t~"

podemos

=

at

=-

2,41 m/ s2

2.11)

1,78 m/52

~+t

1,78 m/ s2 Resp.

B~

~

- +t

= al = -2,41 m/52

a

Resp. al =-2,41

(e) Condiciones en C.

=

al = -2,41 m/52

Como en el punto de inflexión el radio de curvatura es a

:

m/52

e

121-----=-=-==-

La aceleración normal y total es

+t

all = 1,29 m/52

a

= 2,73

m/52 : I

nDi-

ndo-

Empleando los vectores unitarios en Y el de las direcciones n y t, la aceleración puede escribirse a

=

1,2gen-2,41et

+n

m/s2

49


módulo es es cuyo módulo cuyo

[a [a == Ja~ Ja~ ++ af] at]

Resp. Resp.

Como Como aclaración aclaración se se representan representan los los vectores aceleración correspondientes correspondientes aa cada uno de los los tres puntos puntos considerados. considerados.

PROBLEMA TIPO 2.8

Un cohete mantiene mantiene su eje en posición posición horizontal fase propulsada horizontal durante durante la lafase propulsada de vuelo a gran gran altura. altura. El empuje empuje impriimprisu vuelo una aceleración aceleración horizon horizontal me al cohete una tal componente vertical vertical de la la' de 6 m/s2 y la componente aceleración es la aceleración aceleración de la gravegraveaceleración altura que es g == 9 m/s2. m/s2. En dad a dicha altura instante representado representado la velocidad velocidad del el instante centro centro de masa masa G del cohete a lo largo de su grados es su trayectoria trayectoria inclinada inclinada 15 15 grados 20.000 posición, deter20.000 km/h. km/h. Para dicha posición, determinar minar (a) el radio de curvatura curvatura de la traaumento de la . yectoria yectoria de vuelo, vuelo, (b) el aumento celeridad v por unidad unidad de tiempo, tiempo, (e) (c) el celeridad desplazamiento angular unidad desplazamiento angular ~~ por unidad de tiempo tiempo del radio de curvatura curvatura CG CG y expresión vectorial vectorial de la acelera(d) la expresión ción ción total total a del cohete.

j .1

---~ ___ o _ 6m / s2 Horiz. ji -- ~ 20(1()3)krn / h jl I11 1 -.. . .: ! . . . : : :-- - --..., --1 ----~

G

/~ l

l!

m / 522 Pp g == 9 m/5

jj e

Otra Otra posibilidad posibilidad es hallar hallar la aceleraaceleraSolución. Sabemos que el radio radio de curvatura curvatura aparece aparece en la expresión expresión de la Solución. ción después descomdescomción resultante resultante y después componente normal por que emplearemos coordenadas componente normal de la aceleración, por lo que emplearemos coordenadas 10ponerla ponerla en sus componentes componentes locales locales para describir movimiento G. componentes aceleración G) cales para describir el movimiento de G. Las componentes t y n de la aceleración ty ty n. obtienen descomponiendo descomponiendo las aceleraciones aceleraciones vertical vertical y horizontal horizontal dadas dadas total se obtienen en sus sus componentes componentes t y n y combinándolas combinándolas a continuación. continuación. Según Según la figura, teen nemos nemos (3) El El factor factor de de conversión conversión para para pasar pasar sen 15' == 7,14 m/ mi s2 aann == 9 cos 15' - 6 sen de de km/h km/h a mis mis es es 1000 1000 m/km m/km sen 15' + 6 cos 15' = 8,12 mi m i s2 att = 9 sen 3600 3600 s/h s/h = = (1 m/s)/(3,6 m/s)/(3,6 km/h) km/h) 11

®

(a) (a)

Ahora Ahora podemos podemos calcular calcular el radio radio de de curvatura curvatura

ax=6m/s2

-----x

15° a,

: r-"'e

:

vv22 a ll = = -p a"

r --___

P

en e ll

=

," ..••.et t

11 , , 1I ,I

~'

l' l'

1,'

l'

-- ---~

g=9m/s g= 9m2 /s 2

¡j

[a ,.,

= v 2 / p]

3

2

p == v2 == [20(10 [20(10 3)/3,6]2 )/ 3,6]2 ==432(10 432(106)6) 7,14 m P aan 714 ' m n '

Resp. Resp.

(b) La variación variación de de vv por por unidad unidad de de tiempo tiempo es es sencillamente sencillamente la la componente componente tt de de (b) la la aceleración aceleración

aa

VV

50 50


8,12 m/s m /2s 2 8,12

Resp. Resp.

(e) El desplazamiento por unidad unidad de tiempo desplazamiento angular angular por tiempo

/3

del radio de curvatura curvatura

Ge por GC depende depende de v y de p p y está dado dado por [v p/3] [v = p/3l

3

3 = 20(10 20(10 )/ )/3,6 = 12,85(10 12,85(10-- 4) radl = v/ v/pp = 3,6 = rad l SS f3.. = 4,32(10 4,32(1066))

Resp. Resp.

(d) unitarios en respectiva(d) Empleando Empleando los vectores unitarios en y el e¡ en las direcciones n y t,i, respectivamente, la aceleración total es

a

= = 7,14e n + 8,12e tt m mii s2 s2

Resp. Resp.

ll

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas introductorios introductorios Problemas 2.97 Un punto material describe una trayectoria circular de 2.97 punto material una trayectoria 0,4m módulo a de su aceleración si su ce0,4 m de radio. Calcular el módulo constante y vale 0,6 0,6 m mi i s y (h) (b) si vale 0,6 0,6 mi mi s pero leridad (a) es constante aumenta a razón 1,2 m miI s cada segundo. segundo. aumenta razón de 1,2 Resp. 0,9 m mi i S2, S2,(h) (b) a = 1,5 1,5 m mi i S2 S2 Resp. (a) a = 0,9

una 13,5 mi mi s, hallar medios de las aceuna celeridad celeridad de 13,5 hallar los valores medios leraciones normal tangencial a la trayectoria trayectoria entre ambos leraciones normal y tangencial puntos. puntos.

muestran seis vectores aceleración para 2.98 En la figura se muestran para automóvil cuyo vector velocidad velocidad apunta apunta hacia adelante. el automóvil describir con palaPara cada uno de esos vectores aceleración describir bras el movimiento movimiento instantáneo instantáneo del vehículo.

Figura problema Figura problema 2.100

• v

2.101 El automóvil automóvil pasa pasa por 2.101 por la depresión depresión A de la carretera carretera con una celeridad constante constante que confiere a su centro de masa G una una celeridad una 0,5g. Si el radio curvatura de la carreteaceleración que vale 0,5g. radio de curvatura ra en A es 100 100 m, y si la distancia distancia de la calzada calzada al centro de masa G es de 0,6 0,6 m, hallar celeridad v del vehículo. masa hallar la celeridad Resp. 79,5 km/h km/h Resp. v == 79,5


material P describe una trayectoria circular 2.99 Un punto punto material una trayectoria instante considerado considerado su celeridad celeridad auradio. En el instante de 3 m de radio. mi i S2 S2y módulo de su aceleración total menta a razón razón de 6 m y el módulo 10 m mii s2. s2.Hallar celeridad v en ese instante. instante. vale 10 Hallar su celeridad Resp. 4,90 m mi i s Resp. v == 4,90 material describe la trayectoria trayectoria curva repre2.100 Un punto punto material instante tA el punto encuentra en A con una sentada. Si en el instante punto se encuentra una 12 m mii s y en el instante instante tBB se encuentra encuentra en B con celeridad de 12

0,6 m 0,6 Figura problema 2.101 Figura problema 2.101

camión experimenta experimenta una 2.102 El chofer del camión una aceleración de 0,4g cuando cuando el vehículo vehículo pasa, a celeridad celeridad constante, por 0,4g por la cima A del cambio de rasante carretera. En ese punto rasante de la carretera. punto el radio curvatura de la carretera carretera es 98 m y el centro de masa masa G del de curvatura

51


(considerado como partícula) partícula) se halla a 2 m por encima chofer (considerado la calzada. Calcular la celeridad celeridad v del camión. de la

A

Figuraproblema 2.102 Figura problema 2.102

2.103 Una furgoneta furgoneta se pone pone en marcha marcha en la carretera carretera de ra2.103 curvatura constante constante de 40 m y pperalte El movidio de curvatura eralte de 10°. El lugar en un plano plano horizontal. horizontal. Si Si la aceleración miento tiene lugar 2, hallar el módulo constante adelante es 1,8 mi m/sS2, módulo a de la tante hacia adelante cons iniciado el movimiento. movimiento. aceleración al cabo de 5 s de iniciado 2,71 m m/i S2 S2 Resp. a == 2,71

sabiendo sabiendo que la aceleración del vehículo es la aceleración gravitatoria a esa altura. (Observación: (Observación: Repasar el apartado apartado 22/5 vitatoria I 5 en lo el radio de la lo necesario y emplear emplear los valores medios de g g y ddel Compréndase además además que v es el módulo módulo de la velociTierra. Compréndase dad del satélite respecto al centro de la Tierra.) Resp. v == 27,8(10 27,8(1033) ) km/h km/h 2.106 Considerar Considerar el eje eje pol polar fijo en el espacio y 2.106 ar ddee la Tierra fijo calcular el módulo módulo de la aceleración a de un punto punto P de la superficie de la Tierra situado situado a 40 grados grados de latihtd latitud norte. El El diámetro medio medio de la Tierra es 12 742 742 km Y su velocidad velocidad angular angular es 0,729(10 4) rad 0,729(10 --4) rad/l s. s.

N N

e? Y r-,

I. "- \ .I \, ..... \ P ~ 40° \\

.,

-"\

,

\

-r-'I/

'---------r i S

Figura problema 2.106 2.106 Figuraproblema Figuraproblema Figura problema 2.103 2.103

una prueba prueba de "ingravidez" un reactor reactor de transportranspor2.107 En una 2.107 "ingravidez" un te que vuela vuela a 800 800 km/h km l h sigue sigue una una curva curva vertical vertical tal como se Problemas Problemas representativos representativos 2.104 2.104 Un lanzadera lanzadera espacial espacial que describe describe una una órbita órbita circular circular a un un altura altura h = = 240 240 km sobre sobre la superficie s uperficie terrestre terrestre debe poseer poseer una celeridad celeridad de 27 27 955 955 km/h. km/h. Calcular Calcular la aceleración aceleración gravitagravitatoria gg en esa altura. altura. El radio radio medio medio de la Tierra Tierra es 6371 6371 km.

(Comprobar (Comprobar el resultado resultado calculando calculando gg mediante mediante la fórmula fórmula

gg

indica en la figura. figura. ¿A que razón razón ~ ~ en grados grados por por segundo segundo indica debe inclinar inclinar el piloto piloto la dirección dirección de vuelo vuelo para para conseguir conseguir en la cabina dicha dicha condición condición de ingravidez? ingravidez? La maniobra maniobra se realiza a una una altura altura media media de 8 km Yla Y la aceleración aceleración de la gravedad gravedad puede puede tomarse tomarse igual igual a 9,79 9,79 m/s2. mi S2. Resp. ~~ = = 2,52 2,52 grd/ grdl s Resp.

== gO(R gO(R ~~ .:hf ' donde donde go = = 9,821 9,821 m/ m i S2según S2 según la tabla tabla D.2 D.2 del

apéndice apéndice D.)

~~ /' G) ~ /"

_

h=240km h=240km

~~

( \

\

R

R

/

Figura problema 2.107 2.107 Figuraproblema

I)

2.108 El anteproyecto anteproyecto de una una estación estación espacial espacial "pequeña" "pequeña" 2.108

"'.-/ J '" -------./

Figuraproblema Figura problema 2.104 2.104

2.105 Con una una celeridad celeridad constante constante v un un satélite satélite describe describe una una 2.105 Con órbita órbita circular circular a 320 320 km km sobre sobre la superficie superficie terrestre. terrestre. Calcular Calcular v

que debe debe girar girar alrededor alrededor de de la Tierra Tierra en órbita órbita circular circular consiste consiste que en un un anillo (toro) de sección sección circular circular según según se muestra. muestra. El espacio pacio habitable habitable dentro dentro del del toro toro corresponde corresponde a la sección A, A, donde donde el "nivel "nivel del del suelo" suelo" está está a 6 m del centro centro de la sección. Calcular la celeridad celeridad angular angular N en en revoluciones revoluciones por por minuto minuto neCalcular cesaria cesaria para para reproducir reproducir la gravedad gravedad normal normal en en la superficie superficie terrestre (9,81 (9,81 g/m g/m22).). Recuérdese Recuérdese que que no se percibiría percibiría campo campo rrestre

52


grav itatorio alguno nave espacial rotación alguno dentro dentro de una una nave espacial sin sin rotación gravitatorio que describiera torno a la describiera una una órbita órbita circular circular en en torno la Tierra. Tierra.

y

c· Figura problema 2.110 2.110 Figuraproblema

"Nivel "Nivel del suelo" Sección A Sección

de béisbol lanza una según las las condicondijugador de béisbol lanza una pelota p elota según 2.111 El jugador ciones representadas. Hallar Hallar el radio radio de ciones iniciales iniciales representadas. de curvatura curvatura de trayectoria (a) después el lanzamiento lanzamiento y la trayectoria (a) inmediatamente inmediatamente después d del (b) vértice. Calcular, variación de (b) en en el vértice. Calcular, en en cada cada caso, caso, la variación de celericeleridad por unidad unidad de tiempo. dad por de tiempo. Resp. (a) pp = = 105,9 m, v mi S2; (b) pp = = 68,8 m, v Resp. v == - 4,91 mi v == O

Figura problema 2.108 Figuraproblema 2.108 Va = 30m/s vo=30m/s

rse o en

~

2.109 Se representa un motor motor de representa la distribución distribución de de un de automóvil automóvil cuatro cilindros. cilindros. Conform Conforme e el motor acelera la velocidad de cuatro motor se acelera velocidad correa varía varía uniformemente uniformemente de 3 mi inde la correa de m i s a 6 mi m i s en un un intervalo de dos dos segundos. segundos. Calcular Calcular los los módulos de las las aceleraaceleratervalo módulos de ciones de los puntos puntos PI P1 y P2 en el instante instante medio de ese ese ciones medio de intervalo. intervalo. Resp. ap1 = 338 338m/s =1,5m/s Resp. = m 2/, s2, ap2 =1 ,5m2 / s2 p1 p2

~

® - -- - - @------

60 mm

Figuraproblema Figura problema 2.111

Engranaje del árbol de levas

aad

2.112 de la manivela enganchado pasador P de manivela PO, engan ch ado a la ranura ranura 2.112 El pasador horizontal de la guía guía C, manda de ésta ésta sobre sobre la horizontal de manda el movimiento movimiento de varilla fija.. Hallar aceleración de varilla vertical vertical fija Hallar la velocidad velocidad y la aceleración de e en función función d dee == O o y (b) (b) si é = Oy si (a) = = úJy úJ y =O y = = a.

e

Engranaje del cigüeñal cigü eilal

a"

ee

e é

ee

yy

e

ee

yy

Engranaje intermedio intermedio


po

2.110 Escribir Escribir la expresión expresión vectorial vectorial de de la aceleración aceleración aa del del 2.110 centro de masa masa G del del péndulo péndulo simple simple en coordenadas coordenadas n-t en centro n-t y en coordenadas x-yen x-y en el instante instante en en que que e e = 60° si é = coordenadas = 2,00 radl rad l s y == 2,45 radl rad l S2.

e e

e


53


viaja por por el tramo tramo curvo curvo de la carretera carretera 2.113 Un automóvil automóvil viaja 2.113 plana con con una una velocidad velocidad que que disminuye disminuye a razón razón de de 0,6 m mii s plana cada segundo. segundo. Al pasar pasar por por el punto punto A, su velocidad velocidad es 16 m mii s. cada Calcular el módulo módulo de su aceleración aceleración total total cuando cuando pasa pasa por por el Calcular punto B situado situado 120 m más más allá allá de A. En En B el radio radio de de curvatura curvatura punto de la carretera carretera es 60 m m.. Resp. a = 1,961 mii S2 S2 Resp. = m

2.116 2.116 En el punto punto inferior inferior A del del rizo rizo vertical vertical interno, interno, el módumódulo de de la aceleración aceleración total total del del avión avión es 3g. Si la velocidad velocidad aerodiaerodinámica (velocidad (velocidad respecto al aire) aire) es 800 km km/h y ésta ésta námica respecto /h Y aumenta a razón razón de de 20 km kmlh por segundo, segundo, calcular calcular el radio radio de de aumenta / h por curvatura p de de la trayectoria trayectoria en en A. curvatura

f3--~-

f3--~A

B

Figura problema problema 2.113 2.113 Figura A

2.114 El automóvil automóvil C aumenta aumenta de de celeridad celeridad uniformemente 2.114 uniformemente a razón de de 1,5 mi S2cuando pasa por por la curva. curva. Si el módulo de la razón mi S2 cuando pasa módulo de aceleración total total del del automóvil automóvil es 2,5 mi mi S2 S2en donde en el el punto punto A donde aceleración radio de de curvatura curvatura es 200 m, calcular la celeridad celeridad v del del autoautoel radio m, calcular móvil en en ese ese punto. móvil punto.


En un un determinado punto de de la reentrada de 2.117 En 2.117 determinado punto la reentrada de la lanzalanzadera espacial en en la atmósfera atmósfera terrestre, terrestre, la total del dera espacial la aceleración aceleración total del vehículo ser representada componentes. vehículo puede puede ser representada mediante mediante dos dos componentes. Una esa altitud, altitud, gg = Una de de éstas éstas es es la la aceleración aceleración gravitatoria gravitatoria a esa = 9,66 mi m i s2. S2. La La segunda vale 12,90 12,90 mi m i S2y S2 y se se debe debe a la la resistencia resistencia 9,66 segunda vale de la atmósfera la velocidad. velocidad. La La lanzadera lanzadera se se enende atmósfera y es es opuesta opuesta a la cuentra de 48,2 km Y su velocidad cuentra a una una altura altura de 48,2 km Yha ha reducido reducido su velocidad ororde 28 300 300 km km Zh / h a 15450 km / h en en la la dirección dirección 8 = = 1,50°. 1,50°. bital de bital 15450 kmlh Para ese ese instante instante calcular calcular el el radio radio de de curvatura curvatura pp de de la la trayectrayecPara toria y la la variación variación vv por por unidad unidad de de tiempo tiempo de de la la celeridad. celeridad. toria 2 Resp. vv = = -12,65 -12,65 mi m/sS2,p = 1907 1907 km km , p=

e


11

2.115 del pasador 2.11 5 El movimiento movimiento del pasador A por por la la ranura ranura circular circular fija está la guía asciende por mandado por por la guía B, que que asciende por acción acción del del husillo husillo está mandado con durante un una velocidad velocidad va Vo == 2 mi m i s durante un intervalo intervalo del del movimovicon una miento. componentes normal miento. Calcular Calcular las las componentes normal y tangencial tangencial de de la la aceleración del pasador pasador A cuando cuando pasa pasa por por la la posición posición en en que que aceleración del 8= 30°. 30°. Resp. anl1 = S2, a¡ = 21,3 21,3 mi m i S2, al = = -12,32 -12,32 mi mi S2 S2

e=

Horizontal v problema 2.117 2.117 Figura problema


Una partícula partícula se se mueve mueve con con celeridad celeridad constante constante v = = 10 2.118 Una 2.118 m i s sobre sobre la la trayectoria trayectoria circular circular de de la la figura figura de de radio radio rr = = 2 m. m. mi Durante Durante el el movimiento movimiento de de A A aa B B la la velocidad velocidad sufre sufre una una variavaria~v . Dividir Dividir esta esta variación variación por por el el intervalo intervalo de de ción vectorial vectorial Av. ción tiempo correspondiente correspondiente al al paso paso de de uno uno aa otro otro punto punto para para obteobtetiempo ner ner la la aceleración aceleración normal normal media media para para (a) (a) Mi ~e = = 30°, 30°, (b) L'.8 ~e = = 15° 15° Y Y (e) (e) L'.8 ~e = = 5°. 5°. Comparar Comparar estos estos valores valores con con los los de de la la aceleración aceleración normal normal instantánea. instantánea.

54


---------------------------------------------------------u-

cuando pasa por el extremo A del semieje menor. En la superficie terrestre el valor absoluto de g es 9,821 mi S2 y el radio medio de la Tierra es 6371 km. Hallar el radio de curvatura p de la órbita en el punto A.

ita de

2.118

Figura problema

2.119 El auto de carreras A sigue la trayectoria a-a mientras que el B sigue la b-b sobre la pista no peraltada. Si ambos vehículos llevan una celeridad constante limitada a la correspondiente a una aceleración lateral (normal) de 0,8g, hallar los tiempos tA y tE que respectivamente tardan los autos en recorrer la curva limitada por la recta e-e. Resp. tA = 10,52 s, tE = 10,86 s

9.121 Cuando un bólido de carreras entra en una curva es deseable que la aceleración normal no la adquiera bruscamente, pues de otro modo podría generarse un comportamiento inestable. Para un vehículo que se mueva con una celeridad constante de 300 km Zh, determinar la relación entre el radio de curvatura p de la curva y la distancia s a lo largo de la misma durante los primeros 200 m para que an varíe tal como se muestra en la gráfica. Resp. p = 1,573(105) I s (p y s en metros) a

l1

O"glz

e

a-

el es.

a b

i

P

l --~~~ O

-----

O

200

s,m

Figura problema

da

enorO°. ec-

2.121

9.122 Un cohete en vuelo por encima de la atmósfera a una altura de 500 km tendría una aceleración de caída libre de g = 8,43 mi S2 y en ausencia de otras fuerzas que las de atracción gravitatoria. Sin embargo, debido al empuje, el cohete tiene una componente de aceleración adicional al de 8,80 mi S2 tangente a la trayectoria, que en el instante considerado forma un ángulo de 30° con la vertical. Si en esta posición el cohete tiene una velocidad v = 30 000 krrr/h, calcular el radio de curvatura p de la trayectoria y la variación de v por unidad de tiempo.

b

2.119

Figura problema

_

2.120 Un satélite terrestre situado en una órbita elíptica ecuatorial, tal como se muestra, lleva una velocidad v de 17970 kmlh 16000 ,A =r.: - km _

o

/

~]

10 m. de te-

15° ión

,-<

./

v /-~-::,-, ... /' I \

/1/

<,

\ \r \

"--, \\

I I I

\ \ \

\

I

--1--'--'---

\\

I

I \ \

-,

"<.

I

2.122

...-

----t---

Figura problema

Figura problema

II /

/

/8000 km

2.120

2.123 En un ordenador, la cinta magnética corre tal como se muestra por la polea loca. Si en el instante t = O, cuando la velocidad de la cinta es de 4 mi s, la aceleración del punto P de la

55


cinta en en contacto contacto con con la polea polea forma forma un un ángulo ángulo de de 4° con con la tantancinta gente a ésta, ésta, hallar tiempo t necesario necesario para detener la polea gente hallar el tiempo para detener polea con una una desaceleración desaceleración constante. constante. Se supondrá supondrá que que no no hay hay resrescon balamiento entre la polea cinta. balamiento entre polea y la cinta. Resp. =2,10(10.33)) s Resp. t =2,10(10~

2.127 El conductor conductor de de un un bólido que se mueve mueve a 250 km km/h en bólido que / h en 2.127 tramo recto recto aplica los frenos frenos en en el punto reduce la velocivelociel tramo aplica los punto A y reduce dad uniformemente uniformemente hasta hasta 200 km km/h/ h en en el punto largo de de dad punto eC a lo largo una distancia distancia de de 150 + 150 == 300 m m.. Calcular Calcular el módulo módulo de de la aceaceuna leración total total del del bólido un instante instante después después de de su su paso bólido un paso por por B. leración Resp. a == 8,42 mi mi S2

v

p

500 m 500

II II I I I

120mm 120 mm

/"

_ _______ _____________-+l__~~~~

II

-------------~--~~---~

II

t v Figura problema problema Figura 2.123 2.123

------M--------M ---A--150 m~B--l~ A--150 m~B--15~ Figura problema problema 2.127 Figura 2.127

2.124 Una Una partícula del punto punto O con con una una celeridad celeridad 2.124 partícula P parte parte del despreciable y la aumenta aumenta hasta hasta el valor valor v = = J2iY, donde donde yy es despreciable caída vertical vertical desde Cuando x == 15 m, m, hallar hallar la compocompola caída desde O. Cuando nente 11 de de la aceleración aceleración de de la partícula. (Véase el apartado apartado nente partícula. (Véase C.l0 del apéndice C con con relación relación al radio radio de curvatura.) C.l0 del apéndice de curvatura.)

J2iY,

~ 2.129 El pasador pasador P está está obligado obligado a moverse moverse en las las guías guías rara~ 2.129 las cuales cuales se desplazan desplazan perpendicularmente entre sí. nuradas, las perpendicularmente entre instante representado, representado, A tiene tiene una una velocidad velocidad hacia hacia la dedeEn el instante recha de de 0,2 mi mi s que que decrece decrece a razón razón de de 0,75 mi mi s cada cada segunsegunrecha do. Al mismo mismo tiempo tiempo B B se mueve mueve h hacia abajo con con una una velocidad velocidad do. acia abajo de 0,15 mi mi s decreciente decreciente a razón razón de de 0,5 mi mi s cada cada segundo. segundo. CalCalde cular, para ese instante, instante, el radio radio de curvatura p de de la trayectoria trayectoria para ese de curvatura cular, seguida por P.. ¿Es posible determinar la variación variación de de p por unipor P p osible determinar por uniseguida dad d dee tiempo? tiempo? dad Resp. p == 1,25 m

Horizontal o Horizontal , - - - - _ --"'-=-- - - ----- - - - x ~----~~-~-=-----------x Vertical Vertical

2.128 En En un un instante instante dado, dado, un punto posee siguiente posiposi2.128 un punto posee la siguiente ción, velocidad velocidad y aceleración aceleración relativas relativas a un un sistema sistema de de coordenacoordenación, dasfijo:x=-3m, m , x=10m/s, =2m/s dasfijo:x=-3 x=10m / s, xx = 2m 2/,y=3m, s2,y=3 m , y=10m/s, y= 10m/ s, yy == 9 m mii S2. Hallar Hallar y esquematizar esquematizar los los vectores vectores urti unitarios en y ee¡l tarios en en función función de de los los vectores vectores unitarios unitarios ii y j. Calcular Calcular v, u, al' a¡, al1l1 Y Y p. en

yy == 0,008x 0,008x2 2 m

yy Figura problema problema 2.124 Figura 2.124

2.125 El vector vector de de posición posición de de un un punto que se mueve mueve en el 2.125 punto que plano está dado dado por donde las las unidades de plano x-y x-y está por r = ~~t2i t2i + ~t3j ~t3j , donde unidades de son metros metros y t son son segu segundos. Calcular radio de de curvatura curvatura p r son ndos. Calcu lar el radio de la trayectoria trayectoria en la posición correspondiente Dibude posición correspondiente a t == 2 s. Dibujar un esqu esquema de la velocidad velocidad v y del del radio radio de de curvatura curvatura para em a de para jar un instante considerado. considerado. el instante Resp. p == 41 41,7 ,7 m 2.126 Como Como prueba de manejabilidad, manejabilidad, un automóvil automóvil se concon2.126 prueba de un duce por de "slalom" "slalom" representada. representada. supone que que la la duce por la pista pista de Se supone trayectoria del del vehículo vehículo es sinusoidal sinusoidal y que que la aceleración aceleración latetrayectoria lateral máxima 0,7g. Si los los responsables de la prueba desean diresponsables de prueba desean ral máxima es O,7g. señar un un "slalom" "slalom" en en el cu cual celeridad máxima máxima sea sea 80 km km/h, señar al la celeridad / h, ¿cuál debe debe ser ser la sep separación de cono cono a cono? cono? ¿cuál aración L de

I~

»:

-1~

------;7/~'-~~

»:

CSinu~ide

L -\ <,

--

~ __

--..=-"----jI...-:-3 '-::::

~

'--..~_

v Figura problema

2.126

m

3m


~ 2.130 Una Una partícula partícula parte del reposo reposo en en el origen origen para para re~ 2.130 parte del correr la rama rama positiva de la la curva curva yy == 2x3//22, , de de tal modo modo que que la positiva de correr distancia s medida medida desde desde el origen largo de curva varía varía distancia origen a lo largo de la curva con el tiempo tiempo d dee acuerdo acuerdo con con s == 2t 2t33,, donde donde x, yy y z son son milímecon milímetros y t son son segundos. segundos. Hallar Hallar el módulo módulo de de su su aceleración aceleración total total tros cuando t == 1 s. (Buscar (Buscar la expresión expresión d dee p en en el apartado apartado C.l0 C.l0 a cuando del apéndice apéndice C.) del Resp. a == 12,17 12,17 mml mm l S2

56


------·----------------------=---2.6

COORDENADAS

IIIlIIII __

•••••••••••••••••

POLARES (r-e)

57 2.6 COORDENADAS

aceB.

__

Pasamos a considerar ahora la tercera de las formas en que puede describirse el movimiento curvilíneo plano, es decir, mediante coordenadas polares, en cuyo caso la posición del punto material queda determinada por la longitud r de su vector de posición respecto de un polo y por el ángulo que forma aquél con una posición de referencia. Las coordenadas polares resultan especialmente útiles para los movimientos vinculados a través de condiciones impuestas a la distancia a un punto fijo o al valor de un ángulo, y cuando ha de observarse un movimiento no vinculado mediante las medidas de una distancia a un punto fijo y de una posición angular. En la figura 2.13a se representan las coordenadas polares de un punto que describe una trayectoria curvilínea. Para medir se emplea una recta fija cualquiera, corno puede ser el eje x. Los vectores unitarios e, y ee se establecen según los sentidos positivos de r y e, respectivamente. El módulo del vector de posición r del punto A es la distancia radial r y su dirección y sentido están especificados por el vector unitario el" Así pues, la situación del punto material A queda expresada por

POLARES (r-e)

e

e

osiena-

r

/s, yet p. s rae sí. degun'dad Caltaria uni-

=

\ \

y

\ee / /

I I I I I I I

\

o

Al derivar esta relación respecto al tiempo para obtener v = i ya = V, necesitaremos las derivadas temporales de los dos vectores unitarios e, y s» Las expresiones de el' y ee se obtienen exactamente de la misma forma en que se dedujo é, en el apartado precedente. Durante el intervalo de tiempo dt las direcciones coordenadas giran un ángulo de y los vectores unitarios giran también pasando de el' a e/ y de ee a ee' tal como se representa en la figura 2.13b. Obsérvese que la variación de r está orientada en el sentido de positivo y que dee está orientada en el sentido de r negativo. Como en el límite sus módulos son iguales al vector unitario correspondiente multiplicado por el ángulo de en radianes, podemos escribir de; = eedey dee = - er de. Dividiendo ambas ecuaciones por de resulta

I I

/'

e

/

----------------

x

+e -r

\ \

I dt = -

(del dt)er;

(2.12)

y

Con esto, ya estamos en disposición de derivar r = re; respecto al tiempo. Aplicando la regla de derivación del producto de un escalar por un vector resulta

Aplicando la expresión de cidad queda

el'

=

i

dada por 2.12, la expresión vectorial de la velo-


\

e', e,

e

v

e,

lA

I

I I I

~/

\ /",//

(a)

O bien, si dividimos por di, tendremos de; I dt = (del dt)ee y de¿ es decir, simplemente

C.10

I I ,¡

\

rer

y

a reue la varía límetotal

Trayectoria ,

e

de (b)

Figura 2.13

de,

donde

58 CINEMÁTICA

DEL PUNTO

Vr

=

i

ve

=

re

v

=

Jv2r + v2e

La componente r de v no es sino la variación de longitud del vector r por unidad de tiempo. La componente 8 de v se debe a la rotación de r. Diferenciemos ahora la expresión de v para obtener la aceleración a = v . Se ve que la derivada de e origina tres términos ya que los tres factores son variables; entonces,

ree

Trayectoria

Aplicando los valores de

er y ee

dados por 2.12 y agrupando términos resulta (2.14)

donde V'

r

a, = ae =

r-

re+

rfJ2 2ie

a = Ja~ + a~

La componente 8 de a podemos escribirla también como (a)

ae

1d

= -r -dt (r28)

.

lo que puede verificarse fácilmente llevando a cabo la derivación. Esta expresión de aeencontrará su aplicación en el capítulo siguiente cuando tratemos del momento cinético del punto material. Sólo se ilega a la adecuada interpretación de los términos de la ecuación 2.14 cuando se ve con claridad la configuración geométrica y las variaciones físicas. Con este objeto la figura 2.14a muestra los vectores velocidad y sus componentes r y 8 en la posición A y la posición A' después de un movimiento infinitesimal. Cada una de estas magnitudes sufre una variación en módulo, dirección y sentido, como se ve en la figura 2.14b, donde se aprecian las siguientes: de (b)

Figura

2.14

Variación del módulo de vr. Es sencillamente el incremento de longitud de Vr, o sea do, = di, Yel término de aceleración correspondiente es di I dt = r en el sentido de r positivo. Variación de la dirección de vr: Según puede verse en la figura, esta variación es u, d8 = i d8 Ysu contribución a la aceleración es i de! dt = ie en el sentido de 8 positivo. Variación del módulo de Ve. Este término es la variación de longitud de v 8t o sea d(re) y su contribución a la aceleración es d(re) / dt = re + ie en el sentido de 8 positivo. Variación de la dirección de Ve. Esta variación vale ve d8 = re d8y el término de aceleración correspondiente resulta ser r fJ(d 81 d t) = r fJ2 en el sentido de r negativo.


Agrupando Agrupando términos términos resulta resulta ay ar = = f - r(J2 y aaee == re re + 2ffJ 2ié como como obtuvimos obtuvimos anantes. Vemos material en en dirección Vemos que que f es la la aceleración aceleración que que tendría tendría el punto punto material dirección radial en ausencia ausencia de de variación variación de de e. El término término - r(1r(J es la la componente componente normal normal radial en aceleración en en el caso en que que rr sea constante, como como en movimiento cirde la aceleración caso en sea constante, en el movimiento circular. El término término r es es la la aceleración aceleración tangencial tangencial que que tendría punto si r fuese fuese cular. tendría el punto constante, pero pero sólo representa una una parte parte de de la aceleración aceleración debida debida a la la variación variación constante, sólo representa módulo de de ve ve cuando cuando r es variable. variable. Finalmente, Finalmente, el término término 2ffJ 2ié se compone compone del módulo dos efectos; efectos; el primero primero procede procede de de la la parte parte de de la variación variación en magnitud d(r d(r é) de dos en magnitud fJ) por la variación variación en por la variación variación en dirección de Por de ve por en r y, el segundo, segundo, por en dirección de vJr" . Por consiguiente, el término término 2ffJ 2ié representa representa una una combinación combinación de de variaciones variaciones que que consiguiente, aprecian con con la la misma misma facilidad facilidad que que los los otros otros términos términos de de la aceleración. aceleración. no se aprecian Obsérvese bien bien la diferencia diferencia existente existente entre la diferencial diferencial dv dv ry del del vector vector v y y Obsérvese entre la variación do, dV r del del módulo módulo de de ti; v y. Igualmente, Igualmente, la diferencial diferencial vectorial vectorial dVe dVe no no es es la variación mismo que que la la diferencial diferencial dVe del del módulo módulo de de ve. Al Al dividir dividir esas esas diferenciales diferenciales lo mismo por por dt dt para para obtener obtener las las expresiones expresiones de de las las derivadas, derivadas, se ve ve claramente claramente que que el módulo de de la la derivada derivada Idv,l Idv,ldtl y la derivada derivada del del módulo módulo do.] dv r / dt dt no son son iguales. iguales. módulo dtl Yla Por en cuenta no es tendrá muy muy en cuenta que que a, arno es u, v r YY que que ae no no es es ve . Por lo mismo, mismo, se tendrá En la la figura representan la la aceleración aceleración a y sus componentes. Cuando En figura 2.15 se representan sus componentes. Cuando tenga una una componente componente normal normal a la la trayectoria trayectoria sabemos que, según estudio a tenga sabemos que, según el estudio las componentes componentes t y n realizado realizado en en el apartado apartado 2.5 anterior, anterior, el sentido de la la de las sentido de componente ser hacia componente n debe debe ser hacia el centro centro de de curvatura. curvatura. En los los casos casos de de trayectorias trayectorias circulares, circulares, en en que que r es es constante, constante, las las ecuaciones ecuaciones En 2.14 pasan pasan a ser 2.13 y 2.14 ser sencillamente sencillamente

59 2.6 2.6

COORDENADAS POLARES (r-e) COORDENADAS (r-e)

ee

or

.Se on

lta 14)

Trayectoria Trayectoria I

I

a

I

~

\

1

\1 A 1 \ 1 /

\ \

/ /

/

r

o redel

2.14 icas. entesióny

Esta descripción descripción es la misma misma que que la la obtenida obtenida con con las las componentes componentes t y n, coincoinEsta de e y t YY siendo opuestos los los sentidos de r y n. Por Por cidiendo las las direcciones direcciones de cidiendo siendo opuestos sentidos de en el caso caso de de movimiento movimiento circular circular centrado origen de de coordendas coordendas popoello, en centrado en en el origen lares ay ay = = - aJl' aJl" lares Las expresiones de Las expresiones de a, ar y ae en en forma forma escalar escalar pueden pueden obtenerse obtenerse también también por por derivación directa directa de de las relaciones entre entre coordenadas coordenadas x = rr cos cos e derivación las relaciones e e yy = rr sen sen e, obteniéndose rectangulares de obteniéndose aaxx = = xx y ay ay = = y . Cada Cada una una de de estas estas componentes componentes rectangulares de la aceleración se puede en las aceleración se puede descomponer descomponer en las componentes componentes radial radial y transversal, transversal, las cuales, expresiones de ecuaciones 2.14. cuales, combinadas, combinadas, darán darán las las expresiones de las las ecuaciones

e

/)1(/

ee Figura 2.15 2.15 Figura

y.

PROBLEMA PROBLEMA TIPO TIPO 2.9 2.9 ción tido v¡¡,o

tido

rmiode

El giro giro del brazo brazo radial radial ranurado ranurado está está regido por e == 0,2t 0,2t + O O,02t e está por e ,02t33,, donde donde e está en Simulradianes yy t está está en segundos. segundos. Simulen radianes táneamente, el husillo motorizado acciotáneamente, husillo motorizado controla su na el cursar cursor B yy controla su distancia distancia a O según está en según r == 0,2 + O,04t22,, donde donde r está metros Calcular la metros yy t está está en segundos. segundos. Calcular velocidad velocidad yy la aceleración aceleración del cursar cursor en el instante instante t = = 3 s.

A

--\

-'

.__ -=--.


e

1

CD Podemos Podemos ver ver que que este este problema problema CD

es es un caso caso de de movimiento movimiento vinculado vinculado en en un que elelcentro centro BBdel del cursor cursor está está ligaligaelelque do mecánicamente mecánicamente alal giro giro del del brazo brazo do ranurado yy aa la la rotación rotación del del husillo. husillo. ranurado

~ "".

0,24 Vu, r ==0,24

¿ ¿

ve= 0,414m/s 0,414~mis vo=

mis m is

BB

O,OSt if == 0,08t

== 0,08(3) 0,OS(3) = = 0,24 0,24 mi mis s ¡'3 ¡:3 == 0,08 O,OSmi mi s2 s2

8e == 0,2t 0,2t ++0,02t 0,02t33

8e33 == 0,2(3) 0,2(3) ++ 0,02(3 0,02(333)) == 1,14 1,14 rad rad oo sea sea 8e33 == 1,14(180/ 1,14(lS0/ n) n) == 65,3· 65,3·

0,2 ++ 0,06t O,06t 2 e== 0,2 0,12t e== 0,12t

fh fh

2

------

- ---- -

[ve ae = 0,557 mi S2 II

II

"I_ --r_ _ "":::""

""'/lc-----r---~B

B

2 m/s arr ==-0,227 - 0,227 m /s2

== 0,2 0,2 ++ 0,06(3 0,06(32)) == 0,74 0,74 rad rad/l ss

83 e3 ==

0,12(3) 0,12(3) == 0,36 0,36 radl radl s2 s2

De De la la ecuación ecuación 2.13 2.13 se se obtienen obtienen las las componentes componentes de de la la velocidad velocidad que, que, para para =3 3 s,s, son son tt = [z.,y = = i]f] [v

O

i3 f3

é

(}= 65,3° 65,3° ()=

--

rr33 = = 0,2 0,2 ++0,04(3 0,04(322)) = = 0,56 0,56 m m

é

=0'56m/S =0'56m/s

O O

0,2++0,04t 0,04t22 rr == 0,2

O,OS rr == 0,08

0,479 m mis vv==0.479 is ""'" II II

Solución. Solución. Hallemos Hallemos primeramente, primeramente, para para tt==3,3,elelvalor valor de de las las coordenadas coordenadas yy de de sus sus derivadas derivadas temporales temporales que que aparecen aparecen en en las las expresiones expresiones de de la la velocidad velocidad yy de de G) lala aceleración aceleración en en coordenadas coordenadas polares. polares. CD

[v

vvyr =0,24m/s = 0,24 mis

= re] ré] =

ve ve = 0,56(0,74) = 0,414 mis mi s

= Jv:+v~] Jv;+v~] =

v == J(0,24)2 J(O,24)2 + (0,414)2 == 0,479 m mi I s

Resp. Resp.

Se representan representan la velocidad velocidad y sus componentes componentes para para la posición posición del brazo brazo espeespecificada. cificada. La ecuación nos da para t == 3 s son ecuación 2.4 nos da las componentes componentes de de la aceleración, aceleración, que que para son [ar [ar =

2] rr-re - rfJ2]

ay ay

[aee = [a

2ie] rer8 + 2fé]

m i s2 aee == 0,56(0,36) + 2(0,24)(0,74) = 0,557 mi

[a = + a~] = Ja; Ja:+a~]

= 0,08 O,OS- 0,56(0,74)2 = - 0,227 mi mi s2

aa =

J( -- 0,227)2 + (0,557)2 =

mi s2 0,601 mi

Resp. Resp.

representan también también la la aceleración aceleración y sus sus componentes componentes para para la la posición posición de de Se representan 65Y 65,3° del del brazo. brazo.

PROBLEMA TIPO TIPO 2.10 2.10 PROBLEMA Un Un radar radar de de seguimiento seguimiento se se encuentra encuentra en en elel mismo mismo plano plano vertical vertical que que lala trayectrayectoria toria balística balística de de un un cohete cohete que que realiza realiza un un vuelo vuelo no no propulsado propulsado por por encima encima de de lala atmósfera. atmósfera. En En elel instante instante en en que que 8 == 30° 30° los los datos datos de de seguimiento seguimiento son son rr == 8(10 8(104)4) m, m, fi == 1200 1200 mis mis yy == 0,80 0,80 grdls. grdls. La La aceleración aceleración del del cohete cohete eses únicamente únicamente lala vertical vertical descendente descendente debida debida aa lala gravegravedad dad que que aa lala altura altura considerada considerada eses gg == 9,20 9,20 mle'. mls2 . En En estas estas condiciones, condiciones, deterdeterminar minar lala velocidad velocidad del del cohete coheteyy los los valovalores res de de rr yy 8.

e

+r +r

__ ;r

---

" .;: ()

é

60


___

~~ ;r

e

e.

,,

I

I

ry ()

Solución. Según Segúnlalaecuación ecuación2.13, 2.13,las lascomponentes componentesdedelalavelocidad velocidadson son Solución. [v r =

Vr=1~~0,m/5 v, = 12~0.... m I s

il

=

1200mis mis vrv r = 1200 4)(0,80{&Ü) ==1117 =8(10 8(104)(0,80)(~) 1117mis mis

I

veve=

[Ve = ré]

=J(l200)2 J(1200)2++(1117)2 (1117)2 ==1369 1369mis m is

2

vv =

[v[v=Jv = JV r2 ++vil vi] r

I I 0 8= 8 =30° 30

Resp. Resp.

/

I /

I

~~ ./.1 //

ae = 4,60m/52

ar ==-- 9,20 9,20cos cos 30 30· ==-- 7,97 7,97mi m/s2 s2 ay

I

0

I

9,20 sen sen30 30· aaee == 9,20 0

4,60mi m /s2 s2 ==4,60

8=300~1 8 = 300 ~ 1

A continuación, continuación, igualamos igualamos estos estos valores valores aa las las expresiones expresiones de de al'ar Yy a(J aeen en coordecoordeA nadas polares polares en en las las que que aparecen aparecen las las incógnitas incógnitas rr yy Así, según según la la ecuación ecuación nadas Así, 2.14 2,14

e.e.

=r-r821 ¡:- réZ]

- 7,97 == -7,97

[a r = [a,

®

rr

I

I

I

~~ ;';"

e

2

I

I

I

ve=1117m/s ve = 1117 m is

~/ ~/

Comolalaaceleración aceleracióntotal totaldel delcohete cohetees esgg== 9,20 9,20mi m /S2S2dirigida dirigidahacia haciaabajo, abajo,podepodeComo moshallar hallarfácilmente fácilmentesus suscomponentes componentesrryy e para paralalaposición posicióndada. dada.Tal Talcomo comose se mos representaen enlalafigura figurason son representa

o

v v==1639 m/s/ s ........ 1639m I

<,

•

//

I

:;' ,,1;" . ,

/, , /....,

.

....

I

I

I

/I

I

I

II

I

'.... 2 a=g=9,20m/5 a=g =9,20m / s2

//

r-

8(1044)()(0,801~OY 0,80 l~of r - 8(10 Resp. Resp.

2 = 7,63 m/s m/s2 =

2(1200)(0,80 1~0) 4,60 == 8(1044)) + 2(1200)(0,801~0)

ee

3,61(10 -4) -4) radl rad / s2 ee = - 3,61(10 = -

Resp. Resp.

Q) necesario tomar el CD Observemos Observemos que en coordenadas coordenadas polares no es siempre necesario ángulo ángulo

ee en en sentido sentido antihorario. antihorario.

2 Obsérvese que la ® la componente componente r de la aceleración aceleración tiene el sentido de r nega-

tivo, tivo, por por lo lo que que lleva lleva el el signo signo menos. menos.

®

No No hay hay que que olvidarse olvidarse de de pasar pasar éé de de grd/s grd/s arad/s. arad/s.

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas Problemas introductorios introductorios 2.131 2.131 La Lapluma pluma OAB OAB gira gira en en torno torno alalpunto punto OOaalalavez vez que que elel tramo tramoAB AB se seextiende extiende desde desde elelinterior interior del deltramo tramo OA. OA. Hallar Hallar lala velocidad velocidad yylalaaceleración aceleración del delcentro centroBBde delalapolea poleapara para las lasconconsiguientes: e = 20°, é = 5 o / s, = 2° / S2, 1 = 2 diciones diciones siguientes: e = 20°, é = 5 ° I s, = 2° I S2, 1 = 2m, m, ii== 2. Las 0,5 / s, [ ==1,2 / S2. [ son 0,5mmis, 1,2mm/s Lascantidades cantidades i iyyi' sonlas lasderivadas derivadas temporales temporales primera primera yysegunda, segunda, respectivamente, respectivamente, de delalalongilongitud del tramo 1 AB . tud del tramo 1AB. Resp. / ss Resp. vv==0,5e O.Se,+ 0,78Seeemmi r + 0,785e

ee

r

a a==-1,26ge ,. ++0,401e / s2s2 - 1,26ge 0,401eeemmi

Figuraproblema problema 2.131 2.131 Figura

r

6161


2.132 2.132 La posición del cursor cursar P en el brazo ranurado ranurado giratorio OA está controlada por un tornillo motorizado motorizado tal como se muestra. En el instante representado -20 rad representado é= 8 rad rad/s/ s y = =-20 rad// S2. S2.También, También, en ese instante, r = 200 mm, mm, ii = - 300 mm mm// s y f = O. Hallar, en ese instante, las componentes r y e e ddee la aceleración deP. deP.

e=

ee

A,," " r

B. Tanto en A com o en B la celeridad del agua es constante. B.Tanto como Bla constante. Hallar la velocidad y la celeridad de una ppartícula artícula ddee agua cuando pasa por (a) el punto punto A y (b) por el punto punto B. 2.135 2.135 Merced a un mecanism· mecanismoo interno, la velocidad angular angular de la nave espacial se mantiene mantiene constante en el valor Q Q = = 0,05 rad/ rad/ s alrededor alrededor del eje z mientras las plumas plumas telescópicas se extienden a velocidad velocidad constante. La longitud longitud 11 varía desde extienden prácticamente cero hasta prácticamente hasta 3 m. La aceleración máxima a la que pueden ódulos experimentales pueden someterse los m módulos experimentales sensibles P es m// S2. s2.Hallar Hallar la velocidad de extensión máxima ppermitiermiti0,011 m da ii de las plumas. Resp. ii == 32,8 mm Resp. mm// s


2.133 2.133 Cuando Cuando el cilindro hidráulico hidráulico rota en torno a O, O, la presión del aceite en su interior controla la longitud longitud 11 al descubiervelocidad uniforme de rotación del to de la biela P. Si Si la velocidad cilindro es é == 60 grd disminuye constantemente grd// s y 11 disminuye constantemente a razón razón mm/ s, s, calcular los módulos módulos de la velocidad v y la acede 150 mm/ leración a del extremo B cuando 11 == 125 mm. Resp. /s, a = 632 mm/s2 Resp. v = 545 mm mm/s, mm/s2

e


2.136 2.136 El movimiento movimiento curvilíneo de un punto punto material está regido por olares r = t3/3/3 y e por las coordenadas coordenadas ppolares e = 2 cos cos (m/6), (m/6), donde etros, e donde r está en m metros, e en radianes radianes y t en segundos. segundos. EspeciEspecificar ficar la velocidad velocidad v y la aceleración a del punto punto cuando cuando t == 2 s. s. 2.137 El El cohete hhaa sido disparado disparado verticalmente verticalmente y es segui2.137 do por el radar ando e radar que se representa. representa. Cu Cuando e llega a 60°, 60°, las


2.134 La boquilla de la figura gira a la velocidad angular angular 2.134 Q en torno a un eje eje horizontal horizontal fijo fijo que pasa por O. O. A constante Q consecuencia diámetro según un factor de 2, la con secuen cia del cambio de diámetro celeridad del agua con relación a la boquilla es v en A y 4v en

J r

I I

I

e

I

I

I

problema 2.13 2.13 7 Figura problema


62


a-

do ar 05

se e ue

es ti-

otras mediciones correspondientes dan los valores r = 9 km, T= 21 mi S2 y = 0,02 radl s. Hallar la velocidad y la aceleración del cohete para esa posición. Resp. v = 360 mi s, a = 20,10 mi S2 é

Problemas representativos En coordenadas polares, el movimiento curvilíneo de un punto material es tal que el producto r2 é, en mi S2, varía con el tiempo i, en segundos, del modo que se representa durante el periodo indicado. Calcular, aproximadamente, la componente e de su aceleración en el instante t = 5 s para el que r =

2.138

113m. Figura problema

28

-,

24

2.140

En el instante representado, la estación de radar O mide la variación por unidad de tiempo de la distancia a que se halla la lanzadera espacial P supuesto fijo el punto O hallando i = - 3472 mi s. Sabiendo que la lanzadera se encuentra en una órbita circular a una altura h = 240 km, hallar con esta información la celeridad orbital de la lanzadera. Resp. v = 7766 mi s

2.141

-.

<,

<,

12 4

5

6

'-

7

8

t. s Figura problema

p

2.138

.-----~ »>

El automóvil A se desplaza a velocidad constante v sobre la autopista recta y plana. El agente de policía trata de medir esa velocidad v con el radar de su automóvil P estacionado. Siel radar mide la velocidad" según su visual", ¿cuál será la velocidad Vi que observe el agente? Particularizar la expresión general deducida para los valores v = 115 km Zh, L = 150 m y D = 6 m y extraer las conclusiones pertinentes.

2.139

re6), ci-

s.

\\""'2;

~---~r /

---

/

!J¡,()~

/60

0

Figura problema

~

_ _

<,

2.141

Un satélite m se mueve en una órbita elíptica en torno a la Tierra. No hay fuerza sobre el satélite en dirección transversal, por lo que ae = O. Probar la segunda ley de Kepler para el movimiento planetario, según la cual el radio vector r barre áreas iguales en tiempos iguales. El área dA barrida por el radio vector durante el tiempo dt aparece sombreada en la figura.

2.142

Resp. u' = v ~,

ilas

u'

=

114,9 kmlh

L2+D2

~t

-- --A (]cjo~~

fn\~~

P ¡;J]j}bJ

I

....--E

I

1

-L~J Figura problema

m r ~

2.139

()

\

-, I

La pieza AB gira entre dos valores del ángulo f3y su extremo A hace que gire también la pieza ranurada AC. Para el instante representado, en que f3= 60°Y ~ = 0,6 radl s constante, hallar los valores correspondientes de i, T, é y Emplear las ecuaciones 2.13 y 2.14.

I

2.140

e.

/

/ / /'

/

Figura problema

2.142

63


2.143 2.143 Un punto materia materiall P P se se mueve aa lo lo largo largo de de la la trayecto trayectoria ria rr ==f{e), a respecto aa la J( e), simétric simétrica la recta recta e= e = O.o. Cuando Cuando el el punto punto pasa pasa por por la la posición e== 0, o, donde elel radio de curvatu curvatura la trayecto trayecto-ra de la ria ad es ria es es p, su su velocid velocidad es vv.. Deduci Deducirr una expresió expresión en funfunn ddee 1;f en ción ción de v, u, r y pp para el el movimi movimiento posición. ento del punto en esa posició n. R··esp. rr·· = R = -- v

2(1 1)-1) - -- r p p r

p

r

o

_._~~.p

Figura problema 2.145 Figuraproblema 2.145 _.-

2.146 robótico se está elevand 2.146 El El brazo robótica elevandoo y extendi extendiendo la endo aa la vez. En vez. En un un instante instante dado, = 30°, 30°, é = 10 grd lI s = cte., 11 = 0,5 m, = cte., ii == 0,2 S2. Calcul ar los módulo 0,2 mi s y ( = - 0,3 mi s2.Calcular móduloss de la velocidad ión a de la pieza asida P. Además cidad v y la acelerac aceleración Además,, expresa expresarr vv ya ya en función de los vectore vectoress unitarios unitario s ii y j.

Figura problema 2.143 Figuraproblema 2.143

2.144 2.144 Mientra Mientrass el brazo ranurad ranuradoo gira en torno al punto punto 0, 0, el el cursor puede desplazarse desplaz arse hacia el interior median cursar P puede mediante el cordel cordel te el

S. S. La La posició posiciónn angular angular del brazo está dada por

ee

r

~~

t2 O,St -_ 20' ~~, ee == 0,8t

I

~~
donde donde e e está en radiane radianess y t en segund segundos. Cuando tt == 0, 0, el el curcuros. Cuando sor m, instante a partir sar se halla en r == 1,6 1,6m, partir del cual es llevado hhaacia cia adentro adentro a razón de 0,2 0,2 mis. mi s. Hallar el módulo módulo,, direcció direcciónn yy sentido del cursor and o t == 4 s (expres cursar cu cuando (expresado mediante el ánguánguado median te el lo a respecto al eje eje x) x)..

e

~ ~

->. l~ • .o o ••• pp


2.147 Por Por la guía horizontal horizon tal fijase fija se mueven 2.147 mueven el cursor cursor y el pasador P cu yo movimiento movimi ento lo manda manda el brazo dor P cuyo brazo ranurado ranurad o giratorio giratori o

OA. Si, interval o del movimiento, movimi ento, el brazo gira aa OA. Si, durante durante un intervalo una velocid ad constante constan te é = = 22 rad rad I s, hallar una velocidad h allar los módulos mód ulos de la velocid ad y la aceleración acelerac ión del cursar cursor en la ranura velocidad ranura en el instante instante

e

r I/

A/ A/ / I


2.145 La leva tiene una forma tal que el centro del rodillo 2.145 rodillo A A

que sigue su contorno contorn o se mueve mueve sobre la cardioide que cardioid e definida definid a por p or = bb -- c cos e, donde donde bb > c. Si la leva no gira, determinar rr = determi nar la la aceaceleración aa de A en función de ee si el brazo brazo ranurado ranurad o gira gira con con una velocidad velocid ad angular angular constante constan te é == oi, una (o , en sentido sentid o antihoraantihor ario.

e

o

Resp. Resp. aa


64 64


en que r de que 8 == 60°. 60°. Hallar Hallar asimismo asimismo las las componentes componentes de la velovelocidad cidad y la aceleración. aceleración. - 267 Resp. v == 533 533 mm/s, mm/s, v/" ti; = =267 mm/s, mm/s, a = 1232 1232 mm mml / S2, S2 , a a,r = 616 616 mm/ mml S2 2.148 vuela en 2.148 Un Un avión avión que que vuela en línea línea recta recta ascendente ascendente formando formando un ángulo por un un radar un ángulo [3 {3 con con la horizontal horizontal es es seguido seguido por radar situado situado exactamente exactamente debajo debajo de de la la trayectoria trayectoria de de vuelo. vuelo. En En cierto cierto instaninstanlos datos rr = 3600 te se registran registran los datos siguientes: siguientes: 3600 m, m, il' = 11 110O m ia]/ s, e, l'F == 6 m/ para ese mI S2, 8 == 30° 30° Y é == 2,20 2,20 grd/ grd I s. Hallar, Hallar, para ese instante, instante, velocidad v, o, el ángulo ángulo de de subida subida [3, {3, 8 y la aceleración aceleración a. a. la velocidad

e

e

del / 4 y tiene una aceleración del reposo reposo en en 8 == n n/4 tiene una aceleración angular angular constanconstante, 8 == a, Hallar ex, en en sentido sentido antihorario. antihorario. Hallar la la aceleración aceleración del del vásvástago tago cuando cuando 8 == 3n/4 3n/4

e

2.151 un intervalo del el cilindro 2.151 Durante Durante un intervalo del movimiento movimiento cilindro hihidráulico comunica comunica al pasador velocidad v == 2 m mI/ s a lo dráulico pasador A una una velocidad brazo ranurado largo ddee su largo su eje, eje, lo lo que que a su su vez vez hace hace que que el brazo ranurado rote rote en valores de en torno torno a O. Hallar Hallar los los valores de i, r, ¡:i Y y 8 en en el el instante instante en en que que 8 == 30°. de 30°. (Indicación: (Indicación: Recuérdese Recuérdese que que todas todas las las componentes componentes de aceleración son son cero cero cuando cuando la constante.) la aceleración la velocidad velocidad es constante.) Resp. 1;i = 1,732 Resp. 1,732 m mI/ s

e

¡:i

= = 3,33 3,33 m mI/ s2, 8 e == -- 38,5 38,5 rad radl/ s2

a la

,5 m, velaresar

r I 1

I

~e ~e

I1 1I

o _ _ _ 300',,-30° '..~ -------~

300mm~

2.148 Figura problema problema 2.148

300mm~ 2.151 Figura problema problema 2.151

2.149 En En un instante dado, dado, un material posee las sisi2.149 un instante un punto punto material posee las guientes componentes componentes de la posición, la velocidad velocidad y la la aceleraaceleraguientes de posición, la ción respecto respecto a un sistema de coordenadas m, yy == ción un sistema de coordenadas fijo x-y: x-y: xx == 4 m, 2 m, 2-13 m tii]», - 2 mIs, =-5mj2, y=5m/s2. 2 .DeDe2m,x = 2J3 /s,yy = -2m /s,x =-5mj2,y=5m/s terminar los los valores valores siguientes siguientes asociados asociados a las las coordenadas coordenadas poterminar polares: Acompañar el proceso de cálculo cálculo con con un lares: 8, é, 8, r, 1;l' y ¡: j: . Acompañar proceso de un esquema geométrico. esquema geométrico.

x

x

e, e,

asatorio ira a de la tan te

Resp. Resp. 8

= 26,6", 26,6", é e == -- 0,746 0,746 rad rad/ / s =

= 2,24 2,24 rad rad,' / s2 8e = r

= 215 2)5 m, m, i1; = = 2,20 2,20 mIs, mI s, l'i = = 0,255 0,255 m/s2 mI s2 =

2.152 Un Un disco disco circular circular gira gira alrededor alrededor de de su su centro centro O con con una 2.152 una velocidad angular constante líJ Q) = = é y lleva lleva dos dos pistones cargavelocidad angular constante pistones cargados por resortes tal tal como muestra. La La distancia distancia b que que sobresobredos por resortes como se muestra. sale cada cada pistón del borde del disco varía de de acuerdo acuerdo con con b == pistón del borde del disco varía sale sen 2nnt, Zttni, donde donde ba es es la longitud longitud máxima máxima que que sobresale, sobresale, n es es ba sen la frecuencia frecuencia constante constante de de oscilación oscilación de de los los pistones en las las rarapistones en la nuras radiales radiales y t es es el el tiempo. tiempo. Hallar Hallar los los valores valores máximos máximos de de nuras las componentes componentes de la aceleración aceleración de de los los extremos extremos A de de los los las r y 8 de pistones durante su su movimiento. movimiento. pistones durante

e

2.150 El brazo ranurado OA OA obliga obliga al al pequeño vástago a momo2.150 brazo ranurado pequeño vástago verse en en la la guía espiral definida definida por K8. El brazo OA parte verse guía espiral por r == K8. brazo OA parte

A


ee

.~

.~


2.153 Se representa representa nuevamente nuevamente satélite del del problema 2.120, el satélite problema 2.120, 2.153 que lleva lleva una velocidad v == 17970 17970 km/h km/h cuando cuando pasa pasa por exque una velocidad por el extremo A del del semieje semieje menor. menor. Calculando Calculando según según la ley ley de de la la gragratremo

65


vitación, la atracció oria produce vitación, atracciónn gravitat gravitatoria produce una acelerac aceleración ión aa == aal'r -1556 m / S2. Para esa posición, posició n, calcular la variación -1556 mi s2.Para variació n de vv por por unidad de tiempo de la celerida unidad celeridadd del satélite y el valor de r f .. Resp. vv = = -0,778 m / S2, Resp. -0,778 mi S2, r f = S2 = - 0,388 mi m / S2

jf ;(

= =

16000 16000

v~~p

/ ,/

o

"'j

00 Ct)

.--<

/

/ .

, \ r

l'

I

1

1\,

"-

\

-,

\

'\

I

I ,

/

//

/

~

I \,\

/

If

/

//

\

!

\\ I

--1--·------

,

I

I

\

I \

I \

/ "

l'

-,

"'-,_

'

----t---

/

//

A

~ 1) 000 km


Figura problema 2.153 Figuraproblema 2.153 2.154 instante t == Oel Oel pequeño pequeñ o bloque 2.154 En el instante bloque P parte parte del reposo reposo en A y sube por el plano en el punto punto A plano inclinad inclinadoo con una una acelerac aceleración ión constan te a. Expresa constante Expresarr fr en función del tiempo.

y I I I I I

I I I


()

O~I'===R==.~IA Figura problema 2.154 Figuraproblema 2.154 2.155 condici ones del problema 2.155 Para las condiciones problem a 2.154, expresar expresa r función del tiempo.

R Resp. esp.

ee· =

eé enen

2.158 El radar A sigue al cohete desde 2.158 El radar desde la posición lanzaposició n de lanzamiento A. A A los 10 segundos segund os de vuelo el radar miento radar registra registra las las memedicione s siguientes: siguient es: r = 2200 m, f = diciones = 500 mi m / s, fr = = 4,66 mi m / S2, s2, e== 22°, é = = 0,0788 radl rad / s y {}= -- 0,0341 rad,' 22°, rad / S2.Para S2. Para ese instante instante

e

e

e

Rat Rat sen a ----,-----; --,-Rat22 cos a + 4!a22t4t4 R2 + Rat

2.156 2.156 Un cohete que sigue una trayectoria trayecto ria en el plano vertical vertical es es seguido por un un radar radar A. En cierto instante instante,, el radar las meradar da las medidas 2. didas rr = 10,5 km, },i = 480 m miis,s, é = O Oy rad/ S2. y {}= - 0,00720 rad/s Dibujar posició n del cohete en ese instante Dibujar la posición instante y hallar el radio hallar el radio de curvatu ra p de la trayectoria trayecto ria en esa posición. curvatura posición .

e

e

2.157 ranurad o, en cuyo interior 2.157 El brazo ranurado, interior se mueve cursar mueve el cursor C, posició n de C dentro C, gira en torno a O. La posición dentro de la ranura está ranura está control ada por el cordel que está sujeto en D y se mantiene controlada mantien e tentenso. movimi ento el brazo so. Durant Durantee un interval intervaloo del movimiento brazo gira en sentido ario con la velocidad velocid ad angular do antihor antihorario angular constante constan te é == 44 rad rad I/ s. s. La DBC del cordel vale R, con lo que r == OOcuando La longitu longitudd DBC cuando e == O. Hallar el módulo módulo a de la acelerac O. Hallar aceleración cursar en la posición ión del cursor posició n longitu d R e== 30°. La longitud R es 375 mm. Resp. a == 12,22 mi m/ S2 S2

e

\ r

"

\

\

\

e

e

66


A


hallar el el ángulo ángulo f3f3 que que forman forman la la horizontal horizontal yy la la tangente tangente aa la la hallar módulos de de la la velocidad velocidad vv yy la la aceacetrayectoria del del cohete cohete yy los los módulos trayectoria leración aa del del mismo. mismo. leración 2.159 El El bloque bloque PP se se desliza desliza por por la la superficie superficie representada representada 2.159 la celeridad celeridad constante constante vv == 0,6 0,6 m m I/ ss yy pasa pasa por por el el punto punto O O en en aa la el instante instante tt == O. O. Siendo Siendo R R == 1,2 1,2 m, m, hallar hallar los los valores valores de de el

e, r,J;, r,r, 8,

8,é, ri; yy

2.161 2.161 Durante Durante una una parte parte de de un un rizo rizo vertical vertical un un avión avión describe describe un un arco arco de de radio radio pp== 600 600 m m con conuna una celeridad celeridad vv == 400 400 km/h. km / h .EsEstando tando en en A,A, el el ángulo ángulo que que forma forma vv con con la la horizontal horizontal es es f3f3 == 30° 30° Ylos datos del del seguimiento seguimiento del del radar radar son son rr == 800 800 m m yy 8 == 30°. 30°. Y los datos Calcular Calcular Vvr,r, VfP vlP a, aryY Resp. Resp. vvr r == 96,2 96,2 mIs, mis, ve ve == 55,6 55,6 mIs mi s

e

e.e.

2 2 2, 2, e=-0,0390rad/s aar r == 10,29m/s 10,29m/s e=-0,0390rad/s

instante tt == 2(1 2( 1 ++ ~) ~) .. eeenen elel instante

Resp. rr == 2,32 2,32 m, m, l;i == 0,424 0,424 mI m/ ss Resp.

r

0,1345 mI m / s2 s2 rf == -- 0,1345 15 °, 8é == 0,1830radl 0,1830 rad / s, s, e== 0,025 0,025 radl rad / s2 s2 8e == 15°,

e

yy II II II II II II II II II II II II 11

0 0

rr

!

le B

ee f---R I-R-



brazo ranurado torno de O dentro 2.160 El brazo ranurado OA oscila en torno dentro de los límites indicados manivela CP a través del pasaindicados y arrastra arrastra a la manivela dor P. Durante movimiento, é Durante un intervalo intervalo del movimiento, 8 == K, constante. aceleración total de P Hallar el valor de la correspondiente correspondiente para todo valor de 8 comprendido comprendido entre los límites en que é 8 == K. K. Emplear las coordenadas coordenadas polares polares r y 8. 8. Demostrar Demostrar que permanecen constantes constantes los módulos módulos de la velocidad velocidad y la aceleración ción de PP en su trayectoria trayectoria circular.

2.162 2.162 Un cable sujeto al vehículo vehículo A pasa pasa por por la pequeña pequeña polea fija C. Si el vehículo fija BB y se arrolla en el tambor tambor C. vehículo se mueve mueve con una celeridad celeridad constante constante Vo == ii ,,hallar expresión de la acelehallar la expresión ración de un un punto situado entre BB y C, C, en función punto P del cable, situado 8. Expresar también en función de 8. 8. (Observación: (Observación: Adde e. Expresar también componentes r y e 8 de la aceleración ddee A son viértase que las componentes ambas nulas.)

ee

~ ~

\\

\\

e Figuraproblema 2.162 Figura problema 2.162


2.163 El Elpivote pivote AA describe describe una una circunferencia circunferencia de de radio radio 90 90mm mm 2.163 mientras la la manivela manivela AC AC gira gira aa la la velocidad velocidad constante constante mientras 60 rad rad /Is. s. La La pieza pieza ranurada ranurada gira gira en en torno torno del del punto punto O O ~~ == 60

667 7


mientras que el vástago unido a A se mueve en vaivén dentro de la ranura. Para la posición f3 = 30°, hallar r, r, y

e e.

Resp. i

3,58 mi s, r

=

=

315 mi s2

e = 17,86 rad,' s e = - 1510 radl s2

t, s

z km

e, grados

t, s

r,km

e, grados

O 5 10 15 20 30 40 50

36,4 29,9 26,2 24,1 22,7 20,9 20,1 19,3

110,5 100,0 91,0 83,7 77,7 67,7 58,6 52,0

60 70 80 90 100 110 120

19,0 18,8 18,7 18,7 18,7 18,7 19,0

45,0 38,5 32,8 27,0 21,6 16,8 12,0

<,

~ .•..• -----

300 rnrn

'W \'"

--~--+_.I

\

"'-

\

"'"'-

\ \

Figuraproblema 2.163

"-

\ \ 1"J\,

~

\

\

r

\ \

Se presenta otra vez el jugador de béisbol del problema 2.111 y se añade más información. En el instante t = O,la pelota sale proyectada con una velocidad inicial de 30 mi s que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Hallar los valores de r. 1', r, e, y en el sistema de coordenadas x-y indicado para el instante t = 0,5 s. 2.164

y I I

1 1

"ik~'1Ii>!~ n

! I I

\

\

\ \

\

f)

B

\

\


e e

I

\

~2.166 Si el brazo ranurado (problema 2.145) gira en sentido antihorario a una velocidad constante de 40 rpm y la leva gira en sentido opuesto a 30 rpm, hallar la aceleración a del centro del rodillo A cuando brazo y leva se hallan en una posición relativa tal que e = O.Los parámetros de la cardioide son b = 100 mm y c = 75 mm. (Atención: Redefinir, según convenga, las coordenadas tras observar que el ángulo e de la expresión r = b - e cos eno es el ángulo absoluto que figura en la ecuación 2.14.) . Resp. a = 3,68 mi S2

Va = 30 mis

--1-2m

I I

c=====~~======~·_--x Figuraproblema 2.164 40 rey I min

Durante su regreso una cápsula espacial A es seguida por la estación de radar B situada en el plano vertical de la trayectoria. Los valores de r y e se leen en función del tiempo y se registran en la tabla adjunta. Hallar la velocidad v de la cápsula cuando t = 40 s. Explicar cómo puede calcularse la aceleración de la cápsula a partir de los datos tabulados. Resp. v = 1020 km/h 2.165

68


~Orev/rnin Figuraproblema 2.166

2.7

MOVIMIENTO CURVILíNEO EN EL ESPACIO

69 2.7 MOVIMIENTO

El caso general de movimiento tridimensional de un punto material a lo largo de una curva del espacio fue presentado en el apartado 2.1 e ilustrado en la figura 2.1. Ya se mencionaron los tres sistemas de coordenadas, rectangulares (x-y-z), cilíndricas (r-8-z) y esféricas (R-8-rp) corrientemente utilizados para describir esta clase de movimientos. En la figura 2.16 se representan dichos sistemas y en la misma se indican también los vectores unitarios correspondientes a cada sistema'. Antes de exponer el uso de estos sistemas de coordenadas podemos observar que puede emplearse la descripción mediante las variables locales, descritas en el apartado 2.5, utilizando las coordenadas n y t dentro del plano osculador. Este plano fue definido anteriormente como el plano que contiene a la curva en dicha posición. Vemos que la velocidad v, que es tangente a la curva, se halla en el plano osculador. La aceleración a del punto también se halla en el plano osculador y como en el caso del movimiento plano, puede representarse en función de su componente a¡ = tangente a la trayectoria, debida a la variación del módulo de la velocidad y de su componente a.; = v2 / p normal a la curva, debida a la variación de dirección de la velocidad. Como antes, p es el radio de curvatura de la trayectoria en la posición considerada y sería medido dentro del plano osculador. Esta descripción del movimiento, que encontramos natural y directa para muchos problemas de movimiento plano, es de poca utilidad en el caso del movimiento espacial porque el plano osculador cambia de orientación continuamente, por lo que su empleo como referencia resulta embarazoso. Por tanto, limitaremos nuestra atención a los tres sistemas de coordenadas fijas representados en la figura 2.16.

CURVILÍNEO EN EL ESPACIO

f)

R

v

ntieva del osison

ga, ión ión

(a) Coordenadas rectangulares (x-y-z), La ampliación de dos dimensiones a tres dimensiones no ofrece dificultad especial. Basta simplemente añadir la coordenada z y sus dos derivadas temporales a las expresiones bidimensionales 2.6, de forma que el vector de posición R, la velocidad v y la aceleración a se hacen xi + yj + zk

R

=

v

R = xí +.vj + zk = v = R = Xi + yj

a

Obsérvese que en tres dimensiones no con r.

(2.15)

+ ik

el vector de posición se representa

con R y

(b) Coordenadas cilíndricas (r-O-r). Si se ha comprendido la descripción del movimiento plano en coordenadas polares, no debe existir dificultad alguna respecto a las coordenadas cilíndricas, puesto que sólo se necesita añadir la coordenada z y sus dos derivadas temporales. En coordenadas cilíndricas, el vector de posición R de un punto material es sencillamente R = re; + zk

1 En una variante de las coordenadas esféricas bastante empleada, el ángulo complemento.

I/J

se sustituye por su


'>... 1

~ X

Figura 2.16

70 CINEMÁTICA PUNTO CINEMÁTICA DEL PUNTO

ecuación 2.13 2.13 relativa lugar de la ecuación En lugar relativa al movimiento movimiento plano, plano, la velocidad velocidad puede puede escribirse escribirse v == fe fer+réee+ik r + rée e + ik

(2.16) (2.16)

donde donde V rr

= fi

Ve ve = ré ré Vzz

= iz

v = Jv/+vi+v/ V Jv,2+vi+v/ Análogamente, aceleración se escribe añadiendo añadiendo la componente componente z a la ecuaAnálogamente, la aceleración 2.14, lo que nos da ción 2.14, a = (f - riJ2)e r + (re + 2fé)ee + ik

(2.17) (2.17)

donde donde = r - r()2 ar =r-r()2

ae ae

d)+ 2fé 2fé = re+ =

azz

=

!!

= r ddt (r (r22é\JJ =

z

a = Jar2+ai+az2 Jar2+ai+a z2 ee poseen derivadas temporales En tanto tanto que los vectores vectores unitarios unitarios eerr y ee poseen derivadas temporales a causa direcciones son variables, obsérvese que el vector de que sus direcciones variables, obsérvese vector unitario unitario k de la dirección z no varía dirección y en consecuencia consecuencia carece de derivadas derivadas temdirección varía de dirección porales. porales.

-1\

l.

(c) Coordenadas Coordenadas esféricas esféricas (R-()- tal como se muestran figura 2.16. 2.16. Obsérvese Obsérvese que el sentido sentido del vector muestran en la figura eR es el que tendría aumentara pero eR tendría el movimiento movimiento del punto punto P si R aumentara pero manteniénmanteniénconstantes ()y ey es el que tendría dose constantes Asimismo, el sentido tendría el movimienmovimiento de P si es el que tendría aumentara pero sentido tendría el movimiento movimiento de P si
donde donde

= R R

VR =

ve

= Ré = Ré cos
v"»

uede

yy (2.19) (2.19)

a 2.16)

71 71 2.7 2.7 MOVIMIENTO MOVIMIENTO CURVILÍNEO CURVILÍNEO EN EN EL El ESPACIO ESPACIO

donde donde 21/> COS2lP aaRR = RR-R~2_R¡j - R~2 - RiJ cos

cos 1/> lP dd R2 .. cos .. .. ae == ~~ d/R28 2R()lP sen sen 1/> lP ae ) ()) -- 2R81/>

d/

aq¡ a~ = =

11 dd

..

r.2 r.2

..

R21/» + Rtf R R d/ d/R2lP) Rtt sen sen 1/>cos lP cos 1/> lP

Debemos mencionar mencionar que que pueden pueden desarrollarse desarrollarse transformaciones transformaciones algebraialgebraiDebemos cas lineales lineales entre entre dos dos cualesquiera cualesquiera de de las las tres tres expresiones expresiones de de la la velocidad velocidad yy la la cas aceleración en en los los tres tres sistemas sistemas de de coordenadas. coordenadas. Con Con estas estas transformaciones transformaciones es es aceleración posible, por por ejemplo, ejemplo, expresar expresar las las variables variables del del movimiento movimiento en en coordenadas coordenadas posible, rectangulares si si aquéllas aquéllas se se conocen conocen en en coordenadas coordenadas esféricas, esféricas, oo viceversa. viceversa. El El rectangulares manejo de de estas estas transformaciones transformaciones es es fácil fácil con con ayuda ayuda del del álgebra álgebra matricial matricial yy un un manejo sencillo programa programa de de ordenador. ordenador. sencillo


parte del reposo y El tornillo tornillo motorizado motorizado parte recibe una una velocidad velocidad rotacional rotacional que auaumenta menta uniformemente uniformemente con el tiempo tiempo t = según según = kt, ki, donde donde k es una una constante. constante. Determinar Determinar las expresiones expresiones de la velocivelocidad v y la aceleración aceleración a del centro centro de la bola A cuando cuando el tornillo tornillo haya girado girado una vuelta vuelta completa. completa. El paso del tornillo tornillo (avance por vuelta) vuelta) es L.

r---r---

ee

Solución. Solución. El El centro de la bola A describe una hélice contenida contenida en una superficie cie cilíndrica de radio b y las coordenadas coordenadas cilíndricas r, r, f)e y z quedan quedan claramente indicadas.

ee

Al Al integrar integrar la expresión expresión de dada resulta vuelta aa partir partir del reposo tenemos

e = I'lf) óe =

f)

f ee dt = ~kt2. ~kt2. Para una

2rr 27r == !kt !kt22 22

.18)

con con lo lo que que 2,.fiJk tt == 2,.¡¡¡jk yy así, así, la la velocidad velocidad angular angular al al cabo cabo de de una una vuelta vuelta es es

k(2,.fiJk) = = 2jiik 2N ee == ktkt == k(2,.¡¡¡jk)


CD A menos menos que se comprenda comprenda que el Q) ángulo del paso de la trayectoria trayectoria heángulo gobierna el movimiento movimiento z licoidal gobierna relación al giro del del tornillo, tornillo, no con relación es posible posible finalizar finalizar el problema. problema. debemos tener tener cuidado cuidado en en Además, debemos paso L por el el perímetro perímetro dividir el paso 27rb y no no por por el el diámetro diámetro 2b 2b para para obob2rrb tener tg tg y.y. Si Si quedan quedan dudas, dudas, desarrodesarrotener llar una una vuelta vuelta de de la la hélice hélice descrita descrita llar por el el centro centro de de la la bola. bola. por

El ángulo ydel ydel paso de la hélice descrita descrita por el centro de la bola gobierna gobierna la relación entre las componentes componentes 8 y z de la velocidad velocidad y está dado dado por L / (2nb).. vemos en la figura que Ve == v cos y. Sustituyer:do 0" tg yY == = L/(2nb) .: Ent
o

JJa

o

Resp.

®

El signo signo negativo de a a,r es compatible compatible El anterior con nuestro conocimiento conocimiento anterior acerca de la componente componente normal de aceleración. la aceleración.

componentes de la aceleración dadas dadas por 2.1 2.177 se hacen Las componentes

® ®

[ar == = r-riJ2 r - riJ2] ] lar

0- b(2jlik)2 == = - 4bnk 4bnk aayr === 0-b(2Jiik)2

[ae == = re re++ 2f8] 2fiJ] rae

aaee ===

bk + 2(0)(2Jiik) 2(0)(2jlik) = bk bk bk ==

d

d

d

..

azz == di(v) = di(v = di(v di(vee tg y) == = di(b8 di(b8 tg y) z) == .... L kL kL = (b tan y)8 y)8 == = b= == k == 2nb 2n 2nb 2n

Ahora, combinando combinando las componentes componentes para para obtener obtener la aceleración total, tenemos tenemos (- 4bnk)2 4bnk)2 + (bk)2 (bk)2 + (~~) (~) (-

= a ==

bkJ(l

2

Resp. Resp.

+ 16n2) + L2/(4n2b2)

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas introductorios introductorios Problemas 2.167 Supóngase Supóngase que el tornillo motorizado motorizado del problema problema 2.167 tipo 2.11 aso ddee 30 mm. 2.11 tiene un ppaso mm. Si b == 150 150 mm y si el tornillo constante de 4 rps, calcular los valores de gira a una velocidad velocidad constante la velocidad velocidad y aceleración del centro de la bola A. Resp. v == 3,77 3,77 m mii s, a == 94,7 94,7 mi mi S2

horizontal. horizontal. La velocidad velocidad de los vagones vagones cuando cuando pasan pasan por A es 15 m mii s y en dicho punto punto la componente componente de la aceleración según la tangente tangente a la trayectoria trayectoria es g cos y. El radio radio efectivo de la hélice cilíndrica es 5 m y el ángulo del paso de la hélice yy== cuando 40°. Calcular el valor de la aceleración de los pasajeros cuando pasan por el punto punto A. pasan

2.168 2.168 En cierto instante instante la velocidad velocidad y la aceleración de un punto aterial son v = punto m material = 6i + 3j + 2k m mii s ya ya= = 3i - j - 5k m mii S2 S2.. Hallar el ángulo f3 que forman v y a y el radio ddee curvatura curvatura p plano osculador. osculador. en el plano

¡I If

""

/1/1 1111 1/ 11// II 1Iti _ 11 _____ Ifti_____ _ tI

"

2.169 enadas rectangulares 2.169 Las coord coordenadas rectangulares de un punto punto material material

son x

--Jl f\O~~i~/ f\O~~ i~/

V Vo 11 vao rr cos --t t y z == -t,t, yy == = rr sen va = vot + 'ibt2. 'ibt2. Dibujar la r r

..

trayectoria allar los módulos trayectoria y hhallar módulos de la velocidad velocidad v y la aceleración a como funciones del tiempo t. Las cantidades cantidades r, Vo va y b son constantes.

A A

_____ -;; »->:

~ ~

Vert. Figura problema 2.170 Figuraproblema 2.170 2.170 Una atracción de feria llamada llamada el "sacacorchos" "sacacorchos" lleva a 2.170 interno de una hélice cilíndrica los pasajeros a lo largo del lado interno

2.171 El órgano órgano rotatorio rotatorio de una cámara cámara mezcladora mezcladora ejecuta movimiento axial periódico periódico z == Zo sen 27mt 2nnt mientras mientras gira un movimiento

72


ee

la

y. ón

con velocidad velocidad angular angular constante constante := expresión con = 0). ro. Hallar Hallar la expresión del módulo máximo de la aceleración de un un punto punto A del borde borde r. La frecuencia n de la oscilación vertical es constante. de radio r. := J Jr20)4 16n44n4z Resp. a max r 2 ro4 + 16n n4zo2o2 max =

p. Figura problema problema

Z 1 1 1 1 1 1

problema 2.171 Figura problema 2.171

~

/

os

/

/

-- "

2.173 2.173

n

......

r

Problemas representativos representativos Problemas 2.172 La antena del radar radar P efectúa el seguimiento seguimiento del avión 2.172 horizontalmente con una celeridad u y a reacción A que vuela horizontalmente una celeridad altura 11 por encima de P. Hallar expresiones de las Hallar las expresiones a una altura

velocidad en las coordenadas coordenadas esféricas cencomponentes de la velocidad tradas definidas definidas por el movimiento movimiento de la antena. antena. h"adas 'X "X


2.175 Un avión avión P despega despega en A con una Vo de 2.175 una velocidad velocidad Va

250 km/h dentro del plano vertical y'-z' km / h Y Y sube dentro y' -z' bajo un un ángulo constante de 15° animado animado de una 0,8 mi S2 seconstante una aceleración de 0,8 gún gún la trayectoria trayectoria de vuelo. vuelo. El radar radar O observa la evolución del vuelo. Descomponer componentes ciciDescomponer la velocidad velocidad de P en sus componentes líndricas a los 60 60 segundos segundos del despegue despegue y determinar determinar 1', T, y ii líndricas (Sugerencia: Dibujar y relacionar las proyeccioen ese instante. (Sugerencia: nes en los planos componentes de la velocidad.) planos x-y x-y y x-z de las componentes

ee


2.173 La boquilla boquilla giratoria giratoria rocía una gran superficie circular 2.173 una gran horizontal y gira a la velocidad velocidad angular angular constante constante := K. El horizontal = K.

Resp. Resp. iT :=99,2m/s =99,2m/s

ee =8,88(10-3)rad/s, = 8,88(10- rad/s, iz =30,4m/s =30,4m/s 3)

ee

constante i = c relaagua se mueve por el tubo a la velocidad velocidad constante expresiones de los módulos módulos de la velotiva al tubo. Escribir las expresiones cuando cidad y de la aceleración de una una partícula partícula de agua P cuando dada ¡¡del pasa por una posición dada del tubo giratorio.

Resp. v a

JJcc22 + K2¡2 K2¡ 2 sen f3 f3 4c22 K sen f3JK2¡2 f3 J K2[2 + 4c

2.174 El El pequeño pequeño bloque P describe con la celeridad celeridad constante constante 2.174

ejecuta asgira

contenida en la superficie inv la trayectoria circular de radio r contenida Si es e = o o en el instante t == O, hallar componentes hallar las componentes clinada. Si x, y y z de la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo.


73


2.176 El mecanismo mecanismo robótico robótico gira alrededor alrededor de un un eje vertiverti2.176 fijo a la vez que el brazo brazo se alarga alarga y se eleva. En un un instante instante cal fijo dado, 1/>= 1/>= 30°, 30°, ~ ~ = 10 grd grd/s/ s = cte., 1 1 = 0,5 0,5 m, m, ii = 0,2 0,2 mis, {= dado, m is, (= mi/ S2 y Q.Q = 20 grd/ grdl s = cte. Hallar Hallar los módulos módulos de la velo- 0,3 0,3 m cidad v y la aceleración aceleración v de la pieza P P asida. cidad

x problema 2.178 2.178 Figura problell.la

2.179 una altura altura h, un un avión describe un círculo horizontal horizontal 2.179 A una radio b a una una celeridad celeridad constante constante u. u. En está situado situado un rade radio

e


2.177 La estructura estructura de la base de la escalera del coche de bom2.177 alrededor de un un eje vertical que pasa por O con una una beros gira alrededor velocidad angular angular constante constante Q Q = 10 grd/ grdl s. Al mismo tiempo, la velocidad OB se eleva a la velocidad velocidad constante constante ~~ = = 7 grd/ grdl s y el escalera OB tramo AB AB avanza avanza desde desde el tramo OA OA a la velocidad velocidad constante constante de tramo mi/ s.s. En el instante instante considerado, considerado, 1/1/>> = 30°, 30°, OA OA = 9 m y AB AB = 0,5 m módulos de la velocidad velocidad y aceleración del extre6 m. Hallar los módulos mo B de la escalera.

seguimiento. Escribir las expresiones expresiones de la velocidad velocidad dar de seguimiento. coordenadas esféricas definidas definidas por por el radar radar para las coordenadas del avión para función de la posición posición f3 f3 de aquél. en función

Resp. Resp. vRR =' ==

vq¡ =

,ve sen ,ve= = u usen

f32:f3

22

¡¿ -hu cos f} 2

J4b

2

sen2~ +

h

2

zz

I e CJ..)

---_ - - _ -........... 1I1......---...........-- - . . . -. .

I / I

J4b sen2~ sen2~ + h h 22

Resp. vv = 2,96 2,96 m mi/ s, aa = 0,672 0,672 m mi/ S2 Resp.

Q

f3 bu sen f3

Ck_--b-rl° C k---b-rl°

/

o /

I I

h

_--_----'~ -+-uu '~ --

11 II

1 1 I I

,/ ,/

//11 1 11 11

1

R R ;' ;'

II1 1 I1 1 III I

II

~~·---i-~8?~'--i-~'",:1 r I '",:1 ,-e ,-JJ '<7f,-,, , <,


))

,,~ ~ ,,

_-y _-y

<,

problema 2.179 2.179 Figura problema 2.178 En una prueba prueba del mecanismo mecanismo de accionamiento de la 2.178 antena telescópica de una nave espacial, el eje eje de sujeción gira antena alrededor del eje eje fijo fijoz velocidad angular angular constante Hallar Hallar alrededor z a la velocidad las componentes componentes R, R, ay ay 1/1/>> de la aceleración a del extremo de la aninstante en que L = 1,2 m y f3 f3 = 45° 45° si durante durante el movitena en el instante permanecen constantes constantes las velocidades velocidades = 2 rad radl/ s, miento permanecen = ~ = / sy L /s. = ~~ rad rad/sy L==0,9 0,9 m mis.

e. e.

ee

2.180 Para las condiciones condiciones del problema problema 2.175 2.175 descomponer descomponer 2.180 velocidad del avión P P en sus componentes componentes esféricas a los 60 la velocidad segundos del despegue hallar R, y ~~ en ese instante. instante. (Susegundos despegue y hallar gerencia: Dibujar y relacionar proyeccioones de la velocidad velocidad gerencia: relacionar las proyeccioones plano x-y plano vertical que contiene a r y R.) en el plano x-y y en el plano

74


ee

2.181 rota en torno al eje vertical z con una velociveloci2.181 El disco disco A rota en torno eje vertical con una dad rad I s. Simultáneamente, el brazo brazo dad constante constante úl = = 8 = = ni 3 rad Simultáneamente, articulado velocidad constante ~ = l 3 rad articulado OB se se eleva eleva a la velocidad constante ~ = 2n 2rr./3 rad/ l s. En mide desde En el instante instante t = O, es 8 = !/J !/J = O. El ángulo ángulo 8 se se mide desde el el eje eje de referencia fijo hacia afuera por la vade referencia fijo x. La La esferita esferita se se desliza desliza hacia afuera por la varilla según R == 50 + 200 200 t2,, donde donde R son son milímetros serilla según milímetros y t son son segundos. módulo de total a de de P cuando gundos. Hallar Hallar el módulo de la la aceleración aceleración total cuando t == 0,5 s. Resp. 0,904 mi Resp. a == 0,904 m i S2

úl

z

~2.183 Aprovechar Aprovechar los resultados del problema 2.182 para para ~2.183 los resultados del problema obtener de esobtener las las componentes componentes de la aceleración aceleración en en coordenadas coordenadas esdirectamente el vector vector de de posiposiféricas féricas (ecs. (ecs. 2.19) diferenciando diferenciando directamente el ción R R == ReR' ReR. ción ~2.184 Los una de de un parque parque ~2.184 Los carros carros de de una de las las instalaciones instalaciones de un unos brazos brazos de ddee atracciones atracciones están están sujetos sujetos a unos de longitud longitud R, los los cuales están están articulados articulados en en un un plato central giratorio giratorio que que arrasarrascuales plato central tra conjunto en en torno eje vertical, con una constorno al eje vertical, con una velocidad velocidad constra al conjunto tante Los carros carros suben suben y bajan siguiendo la tante úl == 8. Los bajan por por la pista pista siguiendo relación (hI2)(1 cos 28). Hallar Hallar las las expresiones expresiones de R, 8 Y relación z == (h I 2)(1 - cos de Y de la la velocidad de cada cada carro carro cuando cuando éste éste pasa la posi!/J!/J de velocidad v de pasa por por la posición 8 == ni 4. ción

úl

Resp. v»«R Resp.

e

O J 1- c~r O,,ve == RúlJ1ve

Rúl

húl húl

x

tal ra-

= =

---;::::===

vtjJ = = -==--== v",

ad

J1-c~r J1-c~r

ar

Figura 2.181 Figura problema problema 2.181

~2.182 En la la figura figura 2.16 asignar asignar los los vectores ~2.182 En vectores unitarios unitarios eR, ea y eetjJ las direcciones direcciones de la la coordenadas coordenadas esféricas y hallar tp a las de esféricas hallar

__ - x

eR, ee ee y etp etjJ.. eR, Resp. eR Resp. eR

~etjJ+ (8 cos !/J)ee

ee = ee

cos !/J)eRR + (8 sen sen !/J)e !/J)etjJ (8 cos ",

etjJ = - ~eR e", ~eR -

2.8 2.8

sen !/J)ee (8 sen

Figura 2.184 Figura problema 2.184

MOVIMIENTO RELATIVO TRASLACIÓN) MOVIMIENTO RELATIVO (EJESEN (EJES EN TRASLACIÓN)

apartados precedentes de este este capítulo capítulo hemos descrito el movimiento de En los apartados precedentes de hemos descrito movimiento de coordenadas referidas los puntos puntos materiales materiales utilizando utilizando coordenadas referidas a ejes de referencia referencia fijos. Los desplazamientos, desplazamientos, velocidades velocidades y aceleraciones aceleraciones determinados determinados de de esta esta forma se llaman llaman absolutos. absolutos. No obstante, no siempre es útil conveniente ememforma No obstante, no siempre útil ni ni conveniente plear conjunto de observar un en la práctica plear un un conjunto de ejes fijos para para observar un movimiento movimiento y en práctica existen numerosos en los que que se simplifica simplifica el estudio estudio del del movimienexisten numerosos problemas problemas en movimiento empleando empleando mediciones efectuadas respecto sistema de referencia mediciones efectuadas respecto a un un sistema referencia mómóvil. Tales Tales mediciones, cuando se combinan combinan con con el movimiento absoluto del del mediciones, cuando movimiento absoluto sistema de coordenadas coordenadas móvil, determinar el movimiento absosistema móvil, nos nos permiten permiten determinar movimiento absoluto en cuestión. cuestión. Este procedimiento conoce como análisis por movimiento luto procedimiento se conoce como análisis por movimiento absoluto. . absoluto del sistema sistema de de coordenadas coordenadas móvil especifica respecto El movimiento movimiento del móvil se especifica respecto a un sistema de coorden coordenadas fijo.. En sentido sentido estricto, estricto, tal sistema sistema fijo sería, sería, según según un sistema adas fijo la Mecánica Mecánica Clásica Clásica de Newton, sistema inercial inercial fundamental fundamental constituido constituido Newton, el sistema 75


76 CINEMÁTICA CINEMÁTICA DEL PUNTO PUNTO

y

A

y y I

I I I I I I I I I

oO

fB

---------- X

Figura 2.17 2.17

por en el espacio. espacio. Para Para las aplicaciones aplicaciones por un un sistema sistema de ejes que que se suponen suponen fijos en prácticas sistema fijo cualquier cualquier sistema sistema cuyo cuyo prácticas cotidianas, cotidianas, puede puede tomarse tomarse como como sistema movimiento absoluto absoluto sea sea despreciable despreciable en movimiento en lo que que respecta respecta al problema problema tratado. tratado. En la mayoría planteados en en la superficie superficie temayoría de los problemas problemas de ingeniería ingeniería planteados rrestre, nos nos resultará resultará suficientemente suficientemente preciso preciso tomar tomar como como sistema sistema de de referenreferenrrestre, despreciando el movimiento movimiento de de ésta. ésta. cia fijo un un sistema sistema de ejes fijos a la Tierra, Tierra, despreciando Para movimiento de satélites satélites en en torno torno a Para los problemas problemas en en los que que interviene interviene el movimiento la Tierra, formada por por un un sistema sistema de de coordecoordeTierra, una una referencia referencia conveniente conveniente está está formada nadas de rotación rotación de la Tierra. Tierra. Para Para describir describir nadas cuyo cuyo origen origen se encuentre encuentre en en el eje de un viaje interplanetario, un sistema sistema de referencia referencia no no giratorio giratorio un viaje interplanetario, será será apropiado apropiado un fijo en en el centro centro del del Sol. Así Así pues, pues, la elección elección del sistema fijo depende de la clase del sistema depende clase problema en en cuestión. cuestión. de problema este apartado apartado vamos vamos a limitar limitar nuestra nuestra atención sistemas de En este atención a sistemas de referencia referencia en giran. El movimiento movimiento observado observado desde desde en movimiento movimiento que que se trasladan trasladan pero pero no no giran. sistemas apartado 5.7 del del capítulo capítulo 5, que que trata trata sistemas en rotación rotación será será examinado examinado en en el apartado de la cinemática donde dicho dicho procedimiento procedimiento recibe recibe cinemática de los cuerpos cuerpos rígidos rígidos y donde una importancia. Además, Además, vamos vamos a limitar limitar una aplicación aplicación concreta concreta pero pero de gran gran importancia. también nuestra nuestra atención atención al análisis análisis por por movimiento también movimiento relativo relativo del del movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo plano. plano. Consideremos que pueden pueden estar estar dotados dotados Consideremos ahora ahora dos dos puntos puntos materiales materiales A y B que de sendos un plano plano dado dado o en en planos planos paralelos paralelos sendos movimientos movimientos curvilíneos curvilíneos en en un (fig. 2.17) punto B B el origen origen de de un un sistema sistema de ejes 2.17).. Arbitrariamente, Arbitrariamente, fijamos fijamos en en el punto x-yen de A desde desde nuesnuesx-y en traslación traslación (no giratorios) giratorios) y observamos observamos el movimiento movimiento de tra posición posición móvil móvil de B. El vector vector de posición posición de tra de A observado observado relativamente relativamente al sistema x-y es rAIB yj, donde significa "A con con relación relación sistema x-y rA/B = xi + yj, donde el subíndice subíndice "A/B" "A/B" significa a B" o "A respecto son ii y j, Y x respecto a B". Los vectores vectores unitarios unitarios según según los ejes x e yy son e yy son en los ejes x-y. x-y. La posición posición absoluta absoluta de de B son las coordenadas coordenadas de A medidas medidas en está medido desde origen de los ejes fijos X-Y. X-Y. Se ve, está definida definida por por el vector vector rB rBmedido desde el origen por está determinada determinada por por el vector vector por tanto, tanto, que que la posición posición absoluta absoluta de A está

II

II

Derivemos respecto del del tiempo, tiempo, una una vez vez para para obDerivemos ahora ahora esta esta ecuación ecuación vectorial vectorial respecto tener velocidades velocidades y dos dos veces veces para para obtener obtener aceleraciones. tener aceleraciones. Así Así pues, pues, o bien bien

o bien bien

VA VA

vB+vAIB == vB+vAIB

(2.20) (2.20)

(2.21 )

En la ecuación que observamos observamos desde desde nuestra nuestra posición posición ecuación 2.20, la velocidad velocidad de A que B ligada x-y es fAlB fAlB = = v A/B AIB = = Xi xi + yj . Este Este término término es la ligada a los ejes móviles móviles x-y velocidad en la ecuación ecuación 2.21 la aceleración aceleración velocidad de A respecto respecto a B. Análogamente, Análogamente, en de A que desde posición no no giratoria giratoria de de B es que observamos observamos desde nuestra nuestra posición iAlB = = v VAlB = Xi Xi + +.vj término es la aceleración rAIB AlB = .vj . Este término aceleración de de A respecto respecto a B. TenTengamos los vectores vectores unitarios unitarios ii y j carecen carecen de gamos buen buen cuidado cuidado en en observar observar que que los derivadas además de de sus sus módulos, módulos, permanecen permanecen derivadas puesto puesto que que sus sus direcciones, direcciones, además invariables. de referencia referencia en en rotarotainvariables. (Más adelante, adelante, cuando cuando tratemos tratemos de los ejes de de los vectores vectores unitarios unitarios cuando cuando ción, deberemos deberemos tener tener en en cuenta cuenta las derivadas derivadas de éstos cambien cambien de dirección.) dirección.) éstos


o

ir o e a e ta e al'

to

os os es

sal ón

La ecuación ecuación 2.20 (o la 2.21) dice dice que que la velocidad velocidad (o la aceleración) aceleración) absoluta absoluta igual a la velocidad velocidad (o la aceleración) aceleración) absoluta absoluta de B más, más, vectorialmenvectorialmende A es igual te, la velocidad velocidad (o la aceleración) aceleración) de A relativa relativa a B, B, que que mediría mediría un un observador observador que pueden expresarque s~ se moviera moviera con con B. Los términos términos del del movimiento movimiento relativo relativo pueden expresaren cualquier cualquier sistema sistema móvil móvil de coordenadas que sea sea conveniente conveniente --rectanguse en coordenadas que rectangular, normal y a tal fin pueden las normal y tangencial tangencial o polarpolarpueden emplearse emplearse las formulaciones diformulaciones de los apartados apartados anteriores. anteriores. El sistema sistema fijo apropiado apropiado según según dichos te. chos apartados apartados se convie~te convierte en en el sistem sistemaa móvil móvil del del apartado apartado presen presente. La selección selección del del punto punto móvil móvil B para para asociarle asociarle el sistema sistema de coordenadas coordenadas es arbitraria. Igualmente Igualmente se podría podría utilizar utilizar el punto punto A A para para asociarle asociarle el sistema sistema arbitraria. móvil, relativo corresponmóvil, en en cuyo cuyo caso caso las tres tres ecuaciones ecuaciones del del movimiento movimiento relativo correspondientes dientes a la posición, posición, velocidad velocidad y aceleración aceleración serían serían

77

2.8 MOVIMIENTO (EJES EN 2.8 MOVIMIENTO RELATIVO (EJESEN TRASLACIÓN) TRASLACIÓN)

yy I I I I

y

Seve,portanto,quer -rA / B ya yaB/AB / A == - aAA/B/ B Se ve, por tanto, que rBB/A/ A - rA/B/ ,B,vB vB/A/ A == -- vA V A/B En el análisis aceleraanálisis del del movimiento movimiento relativo relativo importa importa percatarse percatarse de que que la aceleración x-y es igual que ción de una una partícula partícula observada observada desde desde u unn sistema sistema en en traslación traslación x-y igual que la observada observada desde desde un un sistema sistema X- y si el sistema sistema móvil móvil lleva lleva velocidad velocidad constanconstante. Esta Esta conclusión conclusión amplía amplía la aplicabilidad aplicabilidad de la segunda segunda ley de de Newton, Newton, tratatratada en en el capítulo capítulo 3. En consecuencia, consecuencia, concluimos concluimos que que todo todo sistema sistema de da de ejes dotado de velocidad velocidad absoluta absoluta constante constante puede puede ser ser utilizado utilizado en en lugar lugar de de un dotado un sistema tema "fijo" "fijo" para para la determinación determinación de aceleraciones. aceleraciones. Todo Todo sistema sistema de referencia referencia en traslación traslación que que no posea posea aceleración aceleración se conoce conoce como como sistema sistema inercial. inercial.

I I II II I

lA lA

--- ·x

I I I II II

:

fa - -- --- - --- -- x O ------------x

Figura 2.18 Figura 2.18

'X

B

e,

PROBLEMA TIPO TIPO 2.12 2.12 b-

20)

21 ) ión s la ión es ende cen atado

viajan en el reactor reactor coLos pasajeros pasajeros que viajan mercial A que vuela vuela hacia el este este con mercial A que una celeridad celeridad constante constante de 800 800 km/h km/h obuna servan un un segundo reactor B B que que pasa servan segundo reactor por volando horizonhorizonpor debajo del primero primero volando talmente. Aunque está setalmente. Aunque el morro morro de B está Ha/ando en la dirección dirección 45 45°° nordeste, nordeste, el iialando avión B se presenta avión presenta a los pasajeros pasajeros de A A como separándose de éste éste bajo el ángulo ángulo como separándose representado. Hallar Hallar la velocidad velocidad de 60° representado. verdadera de B. verdadera


Solución. Los ejes ejes de referencia móviles x-y x-y están ligados aa A donde se efecefecLos Solución. túan la observaciones relativas. Por tanto, escribamos

CD 1 Cada avión

tratado como como punto punto Q) CD es tratado

material. material.

o 0) 3

Identifiquemos seguidamente seguidamente datos e incógnitas. incógnitas. La velocidad velocidad vA vA es conocida, Identifiquemos módulo El 60° de la dirección de vvB/A' tanto en módulo como en dirección. El ángulo de 60° B/A, veSuponemos que no hay viento viento lateSuponemos 010cidad observadores movimiento locidad que parece tener B a los observadores en movimiento de A, es conocido produzca deriva. deriva. ral que produzca verdadera de B tiene la dirección de 45° 45° según la cual está dirigiy la velocidad verdadera quedan son los módulos módulos de VVBB Y YvvB/Ada. Las dos incógnitas que quedan B/A- Podemos resol0) ver la ecuación vectorial por tres procedimientos procedimientos diferentes. ® Conviene familiarizarse familiarizarse con las tres tres Conviene soluciones. soluciones. (1) Gráfica. Gráfica. punto P dibujando dibujando VA VA (1) Comencemos la suma de vectores desde un punto conveniente y después después tracemos una recta por el extremo de VA vA que a la escala conveniente vB/A- A continuación, continuación, tracemos por P la dirección tenga la dirección conocida de vB/AY el punto punto de corte e de ambas rectas nos da la única solución VB Y conocida de vB permite completar completar el triángulo triángulo de vectores y medir medir a escala los valores que nos permite \\ resultan ser \\ desconocidos, que resultan

®

\\

devB/A \\Dir. Dir. de v B/A \\

VBI A = 586 586 BIA

60°•\ \ P.. P •\ VA = = 800 km km/h vA /h \

km/h km/h

=

y

717 VBB = 717

km/h km/h

Resp. Resp.

(11) Trigonométrica. Trigonométrica. (11)

Se hace un esquema esquema del triángulo triángulo de vectores para evidenciar la geometría, geometría, lo que nos da 800 sen 60: 60° 800 sen 75° 75

717 717 km/h km / h

Resp. Resp.

(11I)Algebraica (/11) Algebraica vectoria/. vectorial. Empleando Empleando los vectores unitarios unitarios ii y j podemos podemos expresar presar como sigue en forma vectorial cada una Wla de las velocidades velocidades VA

800i km / h 800i km/h V vBIBI A = (V ( VBIBI A

o Debemos Debemos estar estar dispuestos dispuestos a identifiidentifi-

car car cuál cuál es la relación relación trigonométritrigonométrica apropiada, apropiada, que que en este este caso caso es el teorema teorema de de los senos. senos.

45°)i + (V (vBB sen 45°)j 45°)j vBB = ((VvBB cos 45°)i

Vemos Vemos que que en este este problema problema conconcreto creto las soluciones soluciones gráfica gráfica y trigotrigonométrica nométrica son son más más breves breves que que la algebraica algebraica vectorial. vectorial.

00

Aplicando Aplicando estas expresiones expresiones en la ecuación de la velocidad velocidad relativa relativa y operando operando con las componentes componentes ii y j resulta resulta ( Componentes Componentes i) (Componentes ( Componentes j)j)

® ®

00

cos 60 60 )(_i) )(_i) + (V (VBIBI Asen A sen 60 60 )j)j

= vBB sen 45° 45° = = VVBIBI Asen A sen 60° 60°

VBB

cos 45° 45°

= 800 800 - VVBI A cos COS 60° BI A

® Resolviendo Resolviendo este sistema sistema de ecuaciones ecuaciones resultan resultan los módulos módulos de las velocidades velocidades desconocidos desconocidos V A = VBI BIA

586 586 km/h km / h

yy

V VB =

B

717 717 km/h km / h

Resp. Resp.

Vale la pena pena observar observar cuál sería la solución solución de este problema problema desde desde el punto punto de vista vista de un un observador observador de B. Fijando en en BB unos unos ejes de referencia, escribiríamos escribiríamos VA VA= = vB+ vB + VB/A; V B/A; entonces, la velocidad velocidad aparente aparente de A A observada observada desde desde BB es vA/B' A/B' opuesta opuesta a vB/Av B/A-

78 78


(

PROBLEMA PROBLEMA TIPO TIPO 2.13 2.13

_~!_ILL : - - - - - , - - Y-------'\

El automóvil automóvil AA está está acelerándose acelerándose en en la la El dirección de de su su movimiento movimiento aa razón razón de de dirección 2 El 1,2 mls 1111S2 El automóvil automóvil BB está está tomando tomando 1,2 una curva de 150 150 m m de de radio radio con con una una ceceuna curva de leridad constante constante de de 54 54 kmlh. kmlh. Hallar Hallar la la leridad velocidad yy la la aceleración aceleración aparentes aparentes del del velocidad automóvil BB respecto respecto aa un un observador observadol' automóvil que viaje viaje en en el el automóvil automóvil AA si si éste éste ha ha alalque canzado una una celeridad celeridad de de 72 72 kml]: kmlh en en las las canzado posiciones representadas. representadas. posiciones

o 1-

A

e n

x - ~-IJI:Jl]-~~ - CII:llJ - ~ x-

CD CD También También podría podría haberse haberse seguido seguido un un procedimiento procedimiento gráfico gráfico oo algebraico algebraico vectorial. vectorial.

VA = 20

mis

" ,e, ,, VB/A ",

n

,,

Solución. Como Como se trata trata del del movimiento movimiento de de Brespecto B respecto aa A, A, tomamos tomamos unos unos ejes ejes Solución. de referencia referencia no giratorios giratorios fijos fijos en en A. A. Velocidad. Velocidad.

ecuación de la velocidad velocidad relativa relativa es La ecuación

módulos de las velocidades velocidades de A AyB B en la posición posición considerada considerada son son y los módulos

=

VA VA =

7,2/ 3,6 == 20 mIs mIs 7,2/3,6

vVBB

=

o Póngase Póngase cuidado cuidado para para elegir elegir entre entre

54/ 3,6 = 15 mI mis 54/3,6

Dibujando el triángulo triángulo de velocidades velocidades en el orden orden indicado indicado por por la ecuación ecuación y Dibujando resulta aplicando los teoremas del coseno y de los senos resulta ex-

= 18,03 mi s 18,03 mi

V VB! B; A =

Aceleración. Aceleración.

ee =

La ecuación de la aceleración relativa es

[a l1 =v 2 / p)

Trazando, Trazando, tal como como se se muestra, muestra, el el triángulo triángulo de de aceleraciones aceleraciones en en el el orden orden marcado do por por la la ecuación ecuación yy proyectando proyectando en en las las direcciones direcciones xx ee y se se obtienen obtienen las las correscorrespondientes pondientes componentes componentes de de aBIA aB/A (a -1,2 == 0,099 CaB!; A)x A) == 1,5 1,5cos cos 30· 30°-1,2 0,099m mIi s2 s2 B

des

x

(a CaBB!; A)y A)y ==

1,5 1,5sen sen 30· 30° == 0,750 0,750m mIi s2 s2

de (0,099)2 ++ (0,750)2 de donde donde aaBB;! AA == JJCO,099)2 (0,750)2== 0,757 0,757m mii s2 s2

Resp. Resp.

La BIA puede Ladirección dirección de de aaS/A puede especificarse especificarse mediante mediante el el ángulo ángulo f3f3 que, que, según según el el teoteorema rema de de los los senos, senos, será será 2

1,5 1,5 sen sen f3f3

0,757 0,757 sen sen 30· 30°

arcsen(0~7;7 0,5) 0,5) f3f3 == arcsen(oj~7

==

Resp. Resp.

46,1° 46,1"

La La aceleración de A se conoce conoce y la aceleración aceleración de B es normal normal aa la curva en la din y su módulo es rección rección su módulo es

do

los dos dos valores valores 82.5° 82.5 0 yy 180 180 -- 82,5 82,5 97,5º. 97,52.

=

97,S· 97,5°

Resp. Resp.

Sugerencia: Para aumentar aumentar la famiSugerencia: liarización con el manejo manejo de ecuaecualiarización ciones vectoriales, vectoriales, se sugiere sugiere escribir escribir ciones nuevamente las ecuaciones ecuaciones del monuevamente vimiento relativo forma vB ve ,1A = = vimiento relativo en la forma VB VA Y aB/A = aB aAYdibujar otra ve - VA aBIA =aB a:1 Ydibujar otra polígonos vectoriales vectoriales de forvez los polígonos ma que se adapten adapten aa estas otras otras expresiones. presiones.

Advertencia. Hasta Hasta aquí aquí sólo sólo estaestaAdvertencia. mos en disposición de manejar el mos en disposición de manejar el movimiento relativo relativo aa ejes ejes no no giratogiratomovimiento rios. Si Si hubiéramos hubiéramos fijado fijado los los ejes ejes de de rios. referencia rígidamente rígidamente al al automóvil automóvil referencia B, éstos éstos girarían girarían con con el el automóvil automóvil yy B, hallaríamos que que los los términos términos de de vevehallaríamos locidad yy aceleración aceleración relativos relativos aa los los locidad ejes giratorios giratorios no no son son opuestos opuestos aa los los ejes medidos en en los los ejes ejes no no giratorios giratorios que que medidos se mueven mueven con con A. A. los los ejes ejes giratorios giratorios se se tratan tratan en en el el apartado apartado 5.7. 5.7. se

79 79


PROBLEMAS Problemas introductorios 2.185 Los trenes A y B viajan por sendas vías paralelas. El tren A posee una celeridad de 80 km/h Y está desacelerándose a razón de 2 mi S2, mientras que el B mantiene una celeridad de 40 km/h. Hallar la velocidad y la aceleración del tren B respecto al A. Resp. vBIA = 120i km/h, aBIA = - 2i mi S2

A

---------·x

B

2.188 Un velero ciñe por babor con viento norte. La corredera registra una celeridad del casco de 6,5 nudos. El "axiómetro" (cordel ligero atado al aparejo) indica que la dirección aparente del viento forma un ángulo de 35° con el eje del barco. ¿Cuál es la verdadera celeridad del viento v,/


2.186· El avión de pasajeros B vuela hacia el este con una velocidad vB = 800 km/h. Un reactor militar que viaja hacia el sur con una velocidad VA = 1200 km/h pasa por debajo de B volando un poco más bajo. ¿Qué velocidad les parece que lleva A a los pasajeros de B y cuál es la dirección de esa velocidad aparente?

I I I

N

t

~

B

__


I

2.189 Para aumentar de velocidad, el ésquiador acuático A corta por la estela de la lancha de remolque B, que posee una velocidad de 60 km/h. En el instante en que (J = 30°, la trayectoria verdadera del esquiador forma un ángulo f3 = 50° con el

+VA

---x

VB


2.187 El trenA viaja con una celeridad constante VA = 120 km/h por la vía recta y plana. El conductor del automóvil B, previendo el paso a nivel disminuye la velocidad de 90 km/h de su vehículo a razón de 3 mi S2. Hallar la velocidad y la aceleración del tren respecto al automóvil.

e

Resp. v A/B aA/B

= 70,9i - 46,9j = 1,5i

km/h

+ 2,60j mi

s2


80


cabo de de enganche. enganche. Para Para esa esa posición posición hallar hallar la la velocidad velocidad vVA del A del cabo esquiador yy el el valor valor de de esquiador Resp. VA VA = = 80,8 80,8 km/h, km/h, = = 0,887 0,887 rad/s rad/s Resp.

e.e.

N (0°) I

ee

A

._-- --~

I

I

~

-¿7

Problemas representativos representativos Problemas 2.190 Se Se representan representan dos dos automóviles automóviles AA yy BB que que viajan viajan por por 2.190 calzadas rectas. rectas. Si Si el el incremento incremento por por unidad unidad de de tiempo tiempo de de la la calzadas distancia AB AB que que separa separa aa ambos ambos es es igual igual al al módulo módulo de de la la vevedistancia entre ellos ellos que que está está quieto, quieto, ¿que ¿que puede puede afirafirlocidad relativa relativa entre locidad de las las velocidades velocidades de de los los vehículos? vehiculos? marse acerca acerca de marse

10°

---.

B


2.193 2.193 El El jugador jugador de de hockey hockey AA guía guía el el disco disco con con su su bastón bastón en en la la dirección que se se indica indica con con una una celeridad celeridad VA VA = = 44 m/ m / s. Al Al hacer hacer dirección que un un pase pase aa su su compañero compañero de de equipo equipo B, que que está está quieto, quieto, ¿cuál ¿cuál debe debe ser ser el el ángulo ángulo de de tiro tiro a respecto respecto aa su su visual visual si si lanza lan za con con una una celeridad celeridad inicial inicial de de 7 m m// s respecto respecto aa sí sí mismo? mismo?

Resp. Resp. aa = = 23,8°


automóvil A posee posee una una celeridad celeridad hacia hacia adelante adelante de de 2.191 El automóvil 18 km/h km / h y está está acelerando acelerando a 3 m / s2. S2. Hallar Hallar la la velocidad velocidad y la respecto al observador que está suaceleración del del vehículo vehiculo respecto aceleración observador B, que está subido en una barquilla barquilla no no giratoria giratoria de noria. Ésta Ésta posee posee una una bido en una de la noria. velocidad angular constante Q Q = rpm. velocidad angular constante = 3 rpm. Resp. v AlB A/B = = 3, OOi OOi + 2, OOjkm/h OOj km / h Resp. a AlB A/ B =

2.194 con rumbo oeste a 15 nudos nudos y el B 2.194 El barco barco A navega navega con rumbo oeste con rumbo sudoeste. La marcación e de de B relativa de 80° con rumbo sudoeste. marcación e relativa a A es de y no las tres de la tarde tarde la distancia distancia entre entre A y B es de de no varía. varía. Si a las tres de náuticas, ¿cuándo ¿cuándo ocurrirá ocurrirá la colisión colisión si ninguno de los 8 millas millas náuticas, ninguno de dos cambia cambia el rumbo velocidad? ¿A qué qué velocidad velocidad navega navega dos rumbo o la velocidad?

3,63i+ m / s2 3,63i+ 0,628j m/s2

yy 1I

B? B?

I

B


I

LL __ __ -x

~E ~B

//\ \\

A

so SO

\\

\

Figura problema 2.191 Figuraproblema

\ \ .....; ~

2.192 2.192 Un Un barco barco pequeño pequeño capaz capaz de desarrollar desarrollar 66 nudos nudos en aguas aguas tranquilas tranquilas se se mantiene' mantiene' proa proa al al este este mientras mientras que que es es imimpulsado pulsado hacia hacia el el sur sur por por una una corriente corriente oceánica. oceánica. El rumbo rumbo ververdadero dadero del del barco barco es de de A aa B, B, separados separados una una distancia distancia de de 10 10 millas millas náuticas náuticas que que requiere requiere 22 horas horas exactamente. exactamente. Determinar Determinar la la celeridad celeridad VVw de de la la corriente corriente y su su dirección dirección medida medida en en sentido sentido horario horario desde desde el el norte. norte.

9~ OJ~A

O ~~A ~ ~ Figuraproblema 2.194 Figura problema 2.194

2.195 En En el el instante instante representado representado la la velocidad velocidad del del automóvil automóvil 2.195 es de de 100 100 km km/h aumenta aa razón razón de de 88 km/h km/h cada cada segundo. segundo. A es / h Y aumenta A la la vez, vez, el el automóvil automóvil B B lleva lleva una una velocidad velocidad de de 100 100 km/h km/h cuancuanA

81 81


do toma toma lalacurva curva yy disminuye disminuye de de velocidad velocidad aa razón razón de de 88km kmlh do lh cada segundo. segundo. Hallar Hallar la la aceleración aceleración que que los los pasajeros pasajeros del del autoautocada móvil AA aprecian aprecian en en el el B. B. móvil Resp. aB aB/A 4,4i ++ 2,57j 2,57j m mii S2 S2 Resp. IA ==-- 4,4i

2.199 2.199 En En el el instante instante representado representado la la aceleración aceleración del del automóautomóvil vil A A tiene tiene la la dirección dirección de de su su movimiento movimiento yy el el automóvil automóvil BB tiene tiene una una celeridad celeridad de de 72 72 km/h kmlh que que está está aumentando. aumentando. Si Si la la aceleraaceleraallar la ción ción de de BB observada observada desd desdee AA es es cero cero en en ese ese instante, instante, hhallar la aceleración e tiempo aceleración de de A A yy la la variación variación por por unidad unidad dde tiempo de de la la ceceleridad leridad de de B. B. Resp. Resp. aaAA = 3,14 3,14 m mii S2, S2,vB 'ÚB = = 2,22 2,22 m mii S2 s2

tt

I

~~

R:j\) {\'

~?)

A AI_

e- - -- - y - - -

2.198 ateriales que 2.198 Para Para tres tres puntos puntos m materiales que se se mueven mueven en en un un mismismo lano oo en mo pplano en planos planos paralelos, paralelos, demostrar demostrar que que la la velocidad velocidad yy la as respecto la aceleración aceleración relativ relativas respecto aa ejes ejessin sin rotación rotación cumplen cumplen las las ecuaciones elB Y ecuaciones vvAIB A/B = = vVAle A/C + + vvC/B Y aAIB aA/B = = aAle aA/C + + aelB' aC/B'

II t

II II II

2.196 En En el el instante representado representado el automóvil automóvil A m marcha 2.196 arch a por la curva curva circular circular aa la velocidad constante de 50 km /I h, mientras mientras la el B B di disminuye velocidad a razón de 8 km/h kmlh por segunque el sminuye de velocidad do. Hallar la la aceleración que el automóvil automóvil A parece llevar a un do. observador que viaje en el automóvil automóvil B. observador

/ 1 tf

/~ A~/

1

I

180m

1 1 1

I

_ _ ,-1_-

~

150

I

111

---------,--~ - - -- - - --,---

~

./

"""---- B DCllJ -----

30° 30°

\


/-> /

/-r

/~

~

'~ /

~/

/~~

\

/

\

B

/~ ;r /

2.200 Dos aviones, A y B, vuelan vu elan horizontalmente horizontalmente en el mismo rrUsmo 2.200 plano vertical vertical a las altitudes altitudes respectivas respectivas de 2,40 2,40 km YY 1,80 plano 1,80 km YY respectivas velocidades velocidades de 800 800 kmlh kmlh YY 600 600 km/h. km / h. Cuando Cuando a las respectivas ángulo eede d e la visual visual de BB a A llega a los 30°, hallar hallar la variavariael ángulo por unidad unidad de tiempo tiempo con que que aumentan aumentan la distancia distan cia ciones por r A/B de a A A a BB y el ángulo ángulo e. rA/B

IY IY I1

L_-x L--x

~ ~


2.197 2.197 Los satélites A A yy BB describen describen la misma misma órbita órbita circular de altura altura h = = 1500 1500 km. Hallar Hallar el módulo módulo de la aceleración del satélite un observador observad or sin rotación rotación situado situado en en el satéte BB con relación a un lite A. A. Emplear Emplear go go == 9,825 9,825 mi m i s2como s2 como aceleración aceleración gravitatoria gravitatoria en en la superficie de la Tierra Tierra yy R R= = 6371 6371 km km como como radio radio de de la la misma. misma. Resp. aB/A aBIA = = 9,10 9,10 mi m i S2 s2

A A

~

~

yy I1

y~t-~ y~t-""

107 !~I

\

1

\\

J¡J¡ = =

I

/

I

A

45° :

/

))

1

1500 1500 km/~ ktn/ ' "

\

I/

I/

I/

I/

I/

I1 // le I/ le -- xx

/J AA

/)

'--- ------

I/

I

I/

I/

I/

I1 I/

~

~

, VB "VB

BB

'-- --------



82 82


terrestre está está situado situado en en una circular 2.201 Un Un satélite satélite terrestre 2.201 una órbita órbita circular polar a una una altura altura de de 240 km, km, que que requiere requiere una una velocidad velocidad orbiorbipolar tal de h con de 27 940 km km l/h con relación relación al centro centro de de la Tierra, Tierra, consideconsiderado va de cuando pasa pasa rado éste éste fijo en en el espacio. espacio. Si va de sur sur a norte, norte, cuando sobre paresobre un un observador observador en en el Ecuador Ecuador ¿en ¿en qué qué dirección dirección le parecerá a éste la Tierra Tierra es es éste que que se mueve? mueve? El radio radio ecuatorial ecuatorial de de la km Y su su velocidad velocidad angular angular 0,729(10 0,729(10 --4) radll s. 6378 km 4) rad Resp. Dirección norte hacia hacia el Dirección aparente, aparente, 3,43° 3,43° del del norte oeste oeste (356,57°) (356,57°)

2.204 Arrancando Arrancando de la posición posición marcada con "x", un jugajuga2.204 de la marcada con "x", un dor de fútbol americano ejecuta la carrera carrera que en dor de fútbol americano B B ejecuta que se muestra muestra en la figura partir del una celeridad la figura y a partir del quiebro quiebro en en P corre corre con con una celeridad constante VB == 7 mi en la dirección Q lanconstante m i s en dirección indicada. indicada. El interior interior Q lanza la la pelota pelota con una velocidad velocidad horizontal horizontal de mi s en moza con una de 30 mi en el momento en que el receptor receptor B pasa pasa por por P. Hallar Hallar el ángulo mento en que ángulo a con con que el interior de ésta que interior debe debe lanzar lanzar la pelota pelota y la la velocidad velocidad de ésta con con relación al receptor receptor en momento en en que la recoge. recoge. DesDesrelación en el momento que éste éste la preciar de la pelota. preciar el movimiento movimiento vertical vertical de pelota.

2.202 El avión avión B vuela vuela a una una celeridad celeridad constante constante VB = 600 km krrr/h 2.202 VB = lh a lila m . Cuando una una altura altura de de 1800 m. Cuando el avión avión A se encuentra encuentra a una altura vertical que que altura de de 3000 m, su su visual visual a B se halla halla en en el plano plano vertical contiene contiene a la trayectoria trayectoria de de vuelo vuelo de de B y forma forma un un ángulo ángulo e e == 30° 30° vertical. Hallar Hallar el valor valor de de la velocidad velocidad que que debe.ría con la vertical. debe.ría manmantener A para tiempo transtranstener para que que se produjera produjera una una colisión. colisión. ¿Que ¿Que tiempo curriría desde desde el instante instante descrito descrito hasta hasta la colisión colisión si no curriría no se efectuara efectuara alguna alguna maniobra maniobra evasiva? evasiva?

y I

I

le\ 1 1\ \ I \ 1I \\ \ I

VA

~

x-------¡\ X-------¡\

30~\", \\

3000m 3000m

\\

\\ \\

--x ---x

-----_ - - - - - - - ____

----

B

300~\,"

A

----~-----------------~------------1\ 12° 1\ _____ 12°

"'IIpp

15 m 15m

\\

\\

Q

----

Figura problema problema 2.204 2.204 \\

\\ \\ \\

\\

\\

\\

\\ \\

------~ -- - --1800 --1800 m m - - - --~ ____ B VB problema 2.202 2.202 Figura problema

2.203 El aeroplano aeroplano A vuela vuela horizontalmente horizontalmente a la velocidad 2.203 velocidad constante de de 200 kmlh krn/I. remolcando remolcando al planeador planeador B, que que está está gaconstante ganando altitud. altitud. Si la longitud longitud del del cable cable de de remolque remolque es r = = 60 m nando e aumenta aumenta constantemente constantemente razón de de 5 grados grados por segundo, ye a razón por segundo, hallar los módulos módulos de de la velocidad velocidad v y la aceleración aceleración a del hallar del plaplaneador en en el instante instante en en que que e e == 15°. neador Resp. vB VB = 206 km/ km/h,h, aB = 0,457 0,457 m mii S2 de de B a A

~ con una ~ 2.205 2.205 Un Un bateador bateador golpea golpea la pelota pelota A con una velocidad velocidad inicial de Vo Va = = 30 mi directamente hacia forinicial de m i s directamente hacia el jugador jugador B y formando ángulo de de 30° 30° con con la mando un un ángulo la horizontal; horizontal; la pelota pelota se halla halla iniinicialmente a 0,90 m del del suelo. suelo. El jugador cialmente jugador B B necesita necesita 0,25 s para para estimar donde donde debe debe recoger recoger la pelota comienza a desplazarse desplazarse estimar pelota y comienza hacia esa posición celeridad constante. constante. Gracias Gracias a su su gran hacia esa posición a celeridad gran exexperiencia, ajusta su su carrera carrera de que llega periencia, el jugador jugador B ajusta de modo modo que llega a la "posición de de recogida" de re"posición recogida" a la vez vez que que la pelota. pelota. La La posición posición de recogida es el punto del campo campo en en que que la altura de de la pelota cogida punto del la altura pelota es 2,1 m. de la pelota con relación en el m . Hallar Hallar la velocidad velocidad de pelota con relación al jugador jugador en momento en que que se hace ella. momento en hace con con ella. Resp. v A/B = 21,5i A/B = 21 ,5i + 14,19j 14,19j mi mi s

yy I I

L--x L- - x B B

--___ B

____

=-.,l.,g:::;;;;;¡¡:c~¡ ~ ! A

-----~"'--.-~

65m 65m

~I ~I



83


~2.206 El avión A, A, con equipo detector de radar, vuela hori~2.206 km de altura y aumenta zontalmente a 12 12km aumenta su celeridad a razón de zontalmente mI/ s cada segundo. Su radar detecta un vuela en 1,2 m radar detecta un avión que vuel.a la misma dirección y en el mismo plano plano vertical a una una altura altura de 18 km. Si Si la celeridad celeridad de A es de 1000 1000 km krrr/h instante en 18 / h en el instante 30°, determinar determinar los valores de r r y en ese mismo insque e e== 30°, celeridad constante constante de 1500 1500km/h. tante si B tiene una celeridad km/h.

km 18 km

rr =

-..•.. ---- ..r"-' .••..----A

0,1660(10-- 3) rad/s ee = 0,1660(10 rad /s

2 2

3)


2.9 2.9

A\ A

ii A'{DC A ' f~C

I

Q7 ~

1


-----

- .....- - - -..r"-' ...... - . - - - - - - - - -

- 0,637 0,637 m mI/ s2

=

B B

~/,2~ ~/12~

ee

Resp. Resp.

_,

----------~~-

----------~ ~-

JJ

MOVIMIENTO VINCULADO MOVIMIENTO VINCULADO DE PUNTOS PUNTOS MATERIALES MATERIALES CONECTADOS CONECTADOS

movimientos de puntos Hay ocasiones en que los movimientos puntos materiales están interrelavirtud de los vínculos que establecen miembros miembros que conectan cionados en virtud unos a otros y se hace necesario tener en cuenta tales vínculos, o ligaduras, ligaduras, cuando puncuando hay que determinar determinar los movimientos movimientos respectivos de los distintos distintos puntos. Consideremos primero interconectados A Consideremos primero el sencillo sistema de dos puntos puntos interconectados perfectamente evidente y B de la figura 2.19. 2.19. Aunque Aunque sea perfectamente evidente que el movimiento movimiento horizontal de A es doble que el movimiento horizontal movimiento vertical de B, B, emplearemos emplearemos este ilustrar el método de análisis que luego trasladaremos trasladaremos a situaciopara ilustrar ejemplo para resultados no pueden pueden deducirse nes más complicadas, en las que los resultados deducirse por mera observación. Es obvio que el movimiento movimiento de B es el mismo que el del centro de su polea, por lo que estableceremos las coordenadas coordenadas de posición x e yy medidas medidas adecuada. La longitud longitud total del cable es desde una referencia adecuada.

L

=x+

T + 2y + 71:1'

nTI

+b

L, r2' r» rl TI Y y b, las dos primeras derivadas temporales temporales de esta Siendo constantes L, primeras derivadas ecuación dan

oo == xx + 2y 2y O O == xx + 2y 2y

o sea

O O = = VVAA + 2vBB

o sea

00== aAA + 2aBB

Las ecuaciones de ligadura velocidad y la aceleración indican que, ligadura de la velocidad para coordenadas elegidas, el signo de la velocidad velocidad de A debe ser opuesto opuesto para las coordenadas al de la velocidad de B y lo mismo para para las aceleraciones. La ecuaciones de ligadura son válidas para movimiento del sistema en uno u otro sentido. gadura para el movimiento Como los resultados resultados no dependen dependen de las longitudes longitudes ni de los radios de las poleas, podemos movimiento sin considerar considerar esos parámetros. podemos analizar el movimiento parámetros. En la parte izquierda de la figura 2.19 2.19se ampliada del diámetro parte izquierda se representa representa una una vista ampliada horizontal instante cualquiera. Es evidente evidente horizontal A'B'C A'B'C de la polea horizontal horizontal en un instante 84


que A Y A' A' tienen las mismas mismas magnitudes magnitudes cinemáticas, al igual que B y B' B'.. Durante un desplazamiento A' se ve fácilmente que B' desplazamiento infinitesimal infinitesimal de A' B' se desplaza la mitad, ya que el punto punto e considerado considerado como punto punto del cable no se mueve. Así, derivando derivando respecto respecto al tiempo tiempo mentalmente, mentalmente, deducimos deducimos por inspección inspección las Así, relaciones entre las velocidades velocidades y entre las aceleraciones. aceleraciones. De hecho, la polea es una rueda rueda que gira sobre el cable vertical fijo. fijo. (La (La cinemática de la rueda rueda se trata con mayor mayor extensión extensión en el capítulo capítulo 5, 5, dedicado dedicado al movimiento movimiento del cuerpo cuerpo rígido.) gido.) Del sistema de la figura 2.19 2.19 se dice que tiene un un grado de libertad libertad puesto puesto que basta con una una variable, x o y, para para defüúr definir las posiciones de todas todas sus partes. tes. En la figura 2.20 grados de libertad. 2.20 se representa representa un sistema de dos grados libertad. Aquí Aquí la posición del cilindro inferior depende depende de los valores independientes independientes de las dos coordenadas coordenadas YA e YB. Las longitudes longitudes de los cables unidos unidos a los cilindros cilindros A y B pueden pueden escribirse, respectivamente, respectivamente, L LAA = =

LB

85 2.9 2.9 MOVIMIENTO MOVIMIENTO VINCULADO VINCULADO DE PUNTOS PUNTOS MATERIALES CONECTADOS CONECTADOS

Y Y A + 2Y Y oD + cte

= = YB+Ye+(Ye-Yo)+cte YB + Ye + (Ye - YD) + cte

y sus derivadas derivadas temporales temporales son

oo == YA + 2yo 2YD

y

0=YB+2Ye-Yo 0=YB+2Ye-YD

0=YA+ 0=YA+2YD 2yO

y

0=YB+2Ye-Yo 0=YB+2Ye-YD

r

términos en Yo YD yen y en Yo YD resulta resulta Eliminando los términos

a

+ 2vBB + 4vee == O O

= = O O

o bien

VA

YA+2YB+4Ye=0 YA+2YB+4Ye =O

o bien

+2a O aAA + 2aBB+4a + 4a c e == O

YA+2YB+4Ye YA+2YB+4Ye

términos no pueden pueden ser positivos Evidentemente, los signos de los tres términos positivos a la vez. Así, por ejemplo, si tanto tanto A como B tienen tienen velocidades velocidades descendentes descendente s (positiAsí, vas),la velocidad de e será ascendente ascendente (negativa). vas), la velocidad resultados se llega observando observando el movimiento movimiento de las dos poA los mismos resultados leas e y D. D. Con un incremento incremento dYA dYA (con YB fija), fija), el centro de O se mueve mueve hacia leas una distancia distancia dYA dYA /2 Y Yhace mueva hacia arriba arriba una una arriba una hace que el centro de e se mueva distancia dYA dYA/4./ 4. Con un incremento incremento dYB (con YA fija), fija), el centro de e sube una una dYB //2. combinación de los dos movimientos movimientos da un movimiento movimiento asdistancia dYB 2. La combinación cendente

e, o

s la o te

conlo Ve = = vA A /4 + vB //22 como antes. antes. Una habilidad habilidad muy muy importante importante es la con lo que - Ve para representarse representarse mentalmente mentalmente la geometría geometría real del movimiento. movimiento. capacidad para segundo de los problemas problemas tipo que siguen siguen se ilustra ilustra una una segunda segunda clase En el segundo miembro de enlace cambia de dirección con el movide vínculo en la que el miembro miento. miento.


Figura Figura 2.20 2.20

PROBLEMA TIPO 2.14 ,

En el aparejo de lafigura el cilindro A posee una velocidad descendente de 0,3 m/s. Hallar la velocidad ascendente de B. Resolver por dos procedimientos.

Solución (/). Los centros de las poleas A y B los ubicamos mediante las coordenadas YA e Y B medidas desde posiciones fijas. La longitud constante del cable del aparejo es

dSBSdSB : (e)

A

2d'~

I

:

dSB

~2dSA dSB

(a)

donde las constantes comprenden las longitudes fijas de cable en contacto con los perímetros de las poleas y la separación vertical constante entre las dos poleas de arriba a la izquierda. Derivando respecto al tiempo resulta

(b)

0)

L = 3YB + 2YA + constantes

0)

Despreciamos la leve oblicuidad de los cables entre B y C.

Sustituyendo por

Al

°=

o Elsigno negativo indica que la velo- o cidad de es en sentido B

ascendente.

vA

= YA

= 0,3

m/ s y por

3(vB) + 2(0,3)

o bien

vB =

YB vB

resulta =

-0,2m/s

Resp.

Solución (11). Se acompaña un diagrama ampliado de las poleas en A, B Y C. Durante un movimiento infinitesimal ds A del centro de A, el extremo izquierdo de su diámetro horizontal no se mueve porque está en contacto con la parte fija del cable. Por tanto, tal como se muestra, el extremo derecho se mueve 2ds A' Este movimiento se transmite al extremo izquierdo del diámetro horizontal de B. Además, como e tiene su centro inmóvil, vemos que los desplazamientos en cada lado son iguales y opuestos. Entonces, en la polea B, el extremo derecho del diámetro tiene un desplazamiento descendente igual al ascendente dSB de su centro. Observando la geometría concluimos que

Pn

o bien

hac

2.2

Dividiendo por dt resulta

!vE I

=

~vA

2.2 arr: ~(0,3)

0,2 m/ s (ascendente)

Resp.

SiE

tan

86



El tractor tractor AA se se emplea emplea para para izar izar elel embaembaEl lajecon con elel aparejo aparejo representado. representado. Si Si AA popolaje see una una velocidad velocidad vvAA hacia hacia adelante, adelante, see hallar, en enfunción función de de x,x, la la velocidad velocidad hahahallar, cia arriba arriba VB VB del del embalaje. embalaje. cia

1----X---->-1 ¡---- - x - - --,..;

Solución. La La posición posición del del tractor tractor la la especificamos especificamos con con la coordenada coordenada x, x, yy la del del Solución. coordenada y, medidas medidas ambas ambas desde desde la misma misma referencia referencia fija. La La embalaje con la coordenada longitud total total constante constante del del cable es longitud

G) CD En En

Mecánica Mecánica se se presenta presenta con con frefrecuencia la necesidad de derivar cuencia la necesidad de derivar la la relación relación existente existente entre entre los los lados lados de de un un triángulo triángulo rectángulo. rectángulo.

2 = 2(h 2(h -- y) y) + 11= = 2(h 2(h -- y) y) + Jh J h2 2 + xx2 L =

Derivando respecto respecto al tiempo tiempo resulta resulta Derivando ·· xX xX O O = - 2 yy+ + ¡;-::;---;; 2 2 2 ",Jhh + +xx2 Con por VB Con las sustituciones sustituciones por VA VA = =XY Ypor VB = =

Y Y queda queda Resp. Resp.

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas Problemas introductorios introductorios 2.207 está animado 2.207 Si Siel elbloque bloque BBestá animado de de una una velocidad velocidad de de 1,2 1,2mi mi ss hacia la izquierda, haciala izquierda, hallar hallar la la velocidad velocidad del del cilindro cilindro A. A. Resp. Resp. VA VA ==0,4 0,4mi miss hacia hacia abajo abajo

2.208 2.208 El El torno torno que que equipa equipa alal camión camión tira tira de de éste éste pendiente pendiente arriba mediante laladisposición arribamediante disposición de decable cableyy polea polea que que se semuestra. muestra. SiSiel el cable cablese searrolla arrolla en eneleltambor tambor aarazón razón de de40 40mm rnmll s,s,¿cuánto ¿cuánto tarda tardaelelcamión camión en enascender ascender 44mmpendiente pendiente arriba? arriba?


87 87


B B

A



2.209 El El cilindro cilindro B Bdesciende 0,6 m miI s y tiene una aceleración aceleración 2.209 desciende a 0,6 ascendente de 0,15 0,15 mi Calcular la velocidad velocidad y aceleración mi S2. Calcular ascendente A. bloque A. del bloque Resp. VA == 0,9 m mis arriba), Resp. i s (hacia arriba), aA aA == 0,225 0,225 mi m i S2 (hacia abajo)

w Figura problema 2.211 2.211 Figuraproblema


2.210 2.210 La velocidad velocidad descendente descendente del del bloque bloque B, B, en en metros metros por por 22 segundo, segundo, está está dada dada por por VB VB = = tt I 2 2 + tt33 I 6. Calcular Calcular la aceleración aceleración de de A A cuando cuando tt = = 22 s. s. 2.211 2.211 Hallar Hallar la distancia distancia hh que que sube sube la la carga carga W W durante durante 55 sesegundos gundos si si el el tambor tambor del del mecanismo mecanismo de de izado izado arrolla arrolla el el cable cable aa razón razón de de 320 320 mml mm I s. s. Resp. Resp. hh = = 400 400 mm mm 2.212 2.212 Hallar Hallar la la ecuación ecuación de d e ligadura ligadura que que relaciona relaciona las las aceleraaceleraciones cuerpos AA yy B. B. Supóngase Supóngase que que la la superficie superficie supesupeciones de d e los los cuerpos rior rior de de AA permanece permanece horizontal. horizontal.

'88 '88




rf

2.213 Hallar la relación que rige las velocidades de los cuatro cilindros. Expresar como positivas las velocidades descendenteso ¿Cuántos grados de libertad tiene el sistema? Resp. 4v A + 8VB + 4vc + VD = O, tres grados de libertad

:f

-l

\ft~

-

1m

-

1

tf-

~ Figura problema

e Figura problema

2.213

cr

I 1.~~~J---X y

i

Figura problema

If( Figura problema

,

~

2.216

2.217 Los cursores A y B se deslizan a lo largo de las barras fijas y están enlazados por una cuerda de longitud L. Si el cursar A posee una velocidad v A = X hacia la derecha, expresar la velocidad vB = - s de B en función de x, VA y s.

;ft~ -J ~

2.215

y

B

2.214 Los tornos eléctricos del andamio permiten elevarlo o bajarlo. Cuando giran en el sentido indicado, el andamio sube. Si los tornos tienen unos tambores de 200 mm de diámetro y giran a 40 rpm, hallar la velocidad ascendente v del andamio.

t

f

f

Resp. "s

=

s+

J2x

------¡;;V A x + ,.;2s

2.214

2.215 El andamio del problema 2.214 se modifica montando los tornos en el suelo y no en el mismo andamio. Las demás condiciones son las mismas. Hallar la velocidad ascendente v del andamio. Resp. v = 104,7 mm/ s 2.216 Los cursores A y B se deslizan por las barras fijas perpendiculares y están enlazados por una cuerda de longitud L. Hallar la aceleración ax del cursar B en función de y si el cursar A está animado de una velocidad ascendente constante v A-

Figura problema

2.217

89


2.218 Para un valor dado de y, hallar la velocidad ascendente de A en función de la velocidad descendente de B. Despreciar los diámetros de las poleas.

2b---~>1

B

Figura problema

Figura problema

2.218

2.219 Para acelerar el izado de embalajes que se representa en el problema tipo 2.15, el aparejo se modifica del modo que se muestra. Si el tractor A avanza con una velocidad VA- hallar una expresión para la velocidad ascendente VB del embalaje en función de x. Despreciar la pequeña distancia entre el tractor y su polea de modo que ambos tengan esencialmente la misma velocidad. Comparar los resultados con los del problema tipo 2.15.

~2.221 Bajo la acción de la fuerza P, el bloque B está animado de una aceleración de 3 m/ S2 hacia la derecha. En el instante en que la velocidad de B es 2 m/ s, también hacia la derecha, hallar la velocidad y la aceleración de B relativas a A y la velocidad absoluta del punto C del cable. Resp. vBIA = 0,5 m/ s, aBIA = 0,75 m / S2, ve = 1 m/ s, todas hacia la derecha

.f.) Resp. "e

2.220

.

A

.

e

(..}-

.

.f.)

Figura problema

B

.

~

2.221

~2.222 Despreciar el diámetro de la pequeña polea sujeta al cuerpo A y hallar el módulo de la velocidad total de B en función de la velocidad v A con que el cuerpo A se mueve hacia la derecha. Se supondrá que el cable entre B y la polea permanece vertical y el resultado se escribirá para cualquier valor de x.

"

+ h2 x2 + h2

2x2

Resp. vB

1-----

vA

r-x

x ---~

Figura problema

=

I

I

2.219

h

~

A

2.220 El pequeño cuerpo A, asimilable a una partícula, está montado en una varilla sin peso que puede girar en torno a O y, por tanto, está obligado a moverse en un arco circular de radio 1'. Hallar la velocidad de A en función de la velocidad descendente VB del contrapeso y del ángulo e.

90


Figura problema

2.222

2.10 2.10

REPASO Y Y RESOLUCIÓN RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS PROBLEMAS REPASO

En este capítulo desarrollado e ilustrado ilustrado los elementos elementos fundamentales fundamentales En este capítulo hemos hemos desarrollado de la teoría teoría y aplicaciones movimiento de puntos materiamateriaaplicaciones que que describen describen el movimiento de los puntos lector revise revise esta materia antes les. Es importante importante que que el lector esta materia antes de de proseguir proseguir con con la consolidación punto. consolidación y ampliación ampliación de sus sus conocimientos conocimientos de la cinemática cinemática del del punto. procedimientos desarrollados Los conceptos conceptos y procedimientos desarrollados y expuestos expuestos en en este este capítulo capítulo constituyen base sobre por completo toda la Dinámica Dinámica y el constituyen la base sobre la que que descansa descansa por completo toda avance los temas temas que avance satisfactorio satisfactorio en en los que siguen siguen sólo sólo se conseguirá conseguirá conociendo conociendo a fondo fondo el contenido contenido de de este este capítulo. capítulo. temporal de un vector vector es con mucho el concepto La derivada derivada temporal de un con mucho concepto más más imporimportante comprendido las contribuciotante comprendido en en este este capítulo capítulo y ciertamente ciertamente ocurre ocurre que que las contribuciones independientes las variaciones variaciones en módulo y dirección derivada nes independientes de de las en módulo dirección de de la derivada son Dinámica son fundamentales. fundamentales. A medida medida que que avancemos avancemos en en el estudio estudio de la Dinámica tendremos más ocasiones para examinar temporales de vectores ditendremos más ocasiones para examinar derivadas derivadas temporales de vectores diferentes relativas al vector vector de posición yyaa la velocidad velocidad y aplicaremos ferentes a las relativas de posición aplicaremos directamente los los fundamentos métodos desarrollados rectamente fundamentos y métodos desarrollados en en este este capítulo capítulo 2. Cuando nos concentramos los aspectos un tema, tem a, no no siemCuando nos concentramos en en los aspectos concretos concretos de de un siempre se comprenden las relaciones relaciones existentes partes. Por Por pre comprenden con con claridad claridad las existentes entre entre sus sus partes. otra parte, cuando pauta que marca una una lección lección deotra parte, cuando el estudiante estudiante dispone dispone de la pauta que marca determinada acerca un tema, tema, puede puede reconocer reconocer automáticamente terminada acerca de de un automáticamente la categoría categoría de un un problema problema y el método método adecuado para su adecuado para su solución; solución; sin sin embargo, embargo, cuando cuando carezca pauta, deberá por sí mismo mismo el método método de resolución. La carezca de de dicha dicha pauta, deberá elegir elegir por de resolución. capacidad procedimiento más más apropiado capacidad para para elegir elegir el procedimiento apropiado es, sin sin duda, duda, la clave clave para plantear plantear y resolver resolver acertadamente los problemas problemas de ingeniería y una una de para acertadamente los de ingeniería de mejores maneras maneras para para adquirir los distintos mélas mejores adquirir esta esta capacidad capacidad es comparar comparar los distintos métodos posibles posibles tras tras haber haber analizado uno. todos analizado cada cada uno. Para facilitar muy provechoso provechoso que Para facilitar esta esta comparación comparación será será muy que seamos seamos capaces capaces de descomponer un problema problema y clasificar descomponer un clasificar como como sigue sigue sus sus siguientes siguientes aspectos. aspectos. (a) Tipo de movimiento. movimiento.

Existen tres tres categorías: Existen categorías:

Movimiento rectilíneo (una Movimiento rectilíneo (una coordenada) coordenada) Movimiento curvilíneo Movimiento curvilíneo plano plano (dos (dos coordenadas) coordenadas) Movimiento curvilíneo Movimiento curvilíneo en en el espacio espacio (tres (tres coordenadas) coordenadas) Generalmente, propia geometría geometría de cada problema permite permite efectuar inmeGeneralmente, la propia cada problema efectuar de inmediato esta identificación. identificación. Como diato esta Como excepción excepción a esta esta división división en en categorías categorías se señala señala el caso interesan las las cantidades medidas a lo largo largo de la caso en en que que sólo sólo interesan cantidades cinemáticas cinemáticas medidas trayectoria; en tales situaciones, puede emplearse trayectoria; en tales situaciones, puede emplearse como como coordenada coordenada la distancia distancia medida a lo largo largo de la trayectoria trayectoria curva unión de sus temporales medida curva en en unión sus derivadas derivadas temporales escalares tangencial fi. escalares que que proporcionan proporcionan la celeridad celeridad Isl y la aceleración aceleración tangencial s. movimiento plano plano es más más sencillo generar y controlar, El movimiento sencillo de de generar controlar, especialmente especialmente en maquinaria, que movimiento en por lo que una gran proporen la maquinaria, que el movimiento en el espacio, espacio, por que una gran proporción problemas de movimiento que nuestra atención ción de los problemas de movimiento que ocuparán ocuparán nuestra atención caen caen en en la categoría categoría de curvilíneo plano. de rectilíneo rectilíneo o curvilíneo plano.

referencia. Corrientemente, Corrientemente,laslas mediciones cinemáticas (b) Inmovilidad Inmovilidad de la referencia. mediciones cinemáticas efectúan respecto de referencia (movimiento absoluto) absoluto) y respecto se efectúan respecto a ejes de referencia fijos (movimiento respecto a ejes en movimiento (movimiento relativo). La elección en movimiento (movimiento relativo). elección de de los ejes adecuados adecuados depende problema. Para Para la mayor mayor parte parte de los problemas problemas técnicos, técnicos, unos unos depende del del problema. ejes ligados ligados a la Tierra Tierra son suficientemente "fijos", aunque entre excepciones son suficientemente "fijos", aunque entre excepciones de importancia importancia se cuentan movimiento interplanetario interplaIl.etario y de satélites cuentan el movimiento satélites artifiartificiales, trayectorias balísticas de precisión, navegación y otras. Las ecuaciones ciales, trayectorias balísticas precisión, navegación otras. ecuaciones


91

2.10 REPASO REPASO Y Y RESOLUCiÓN DE 2.10 RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS PROBLEMAS

del movimiento movimiento relativo relativo tratadas tratadas en del en este este capítulo capítulo 2 se limitan limitan a los ejes de de refereferencia en en traslación. traslación. rencia

92 92

CINEMÁTICA CINEMÁTICA DEL PUNTO PUNTO

(e) De importancia básica es la la elección elección de de las las coordenadas. coordenadas. La (c) Coordenadas. Coordenadas. importancia básica descripción del del movimiento movimiento se ha descripción ha llevado llevado a cabo cabo empleando empleando

Coordenadas cartesianas (rectangulares) (rectangulares) Coordenadas (x-y) y (x-y-z) (x-y-z) cartesianas Coordenadas normales normales y tangenciales tangenciales (n-t) (n-t) Coordenadas Coordenadas Coordenadas polares polares (1'-8) (r-e) Coordenadas cilíndricas cilíndricas (r-8-z) (r-e-z) Coordenadas Coordenadas esféricas esféricas (R (R-8-rp) Coordenadas -8- ¡P)

yy I I I

,----

no se especifican especifican las coordenadas, coordenadas, la elección Si no elección de de éstas éstas dependerá dependerá habitualhabitualmente de cómo cómo se genera genera o se mide mente mide el movimiento. movimiento. Así, Así, en en el caso caso de de un un punto punto material que que se deslice deslice radialmente radialmente a lo largo material largo de de una una varilla varilla giratoria, giratoria, lo natural natural será emplear emplear coordenadas coordenadas polares. polares. Un seguimiento por será Un seguimiento por radar radar reclama reclama el empleo empleo coordenadas polares de coordenadas polares o esféricas. esféricas. Si medimos medimos a lo largo largo de de una una trayectoria trayectoria curcurvilínea, lo indicado indicado son son las coordenadas coordenadas normal vilínea, normal y tangencial. tangencial. Un Un trazador trazador de de dos dos coordenadas hace hace intervenir intervenir evidentemente evidentemente coordenadas coordenadas coordenadas rectangulares. rectangulares. En la figura figura 2.21 se reúnen reúnen las En las representaciones representaciones de d e la velocidad velocidad v y la aceleaceleración a del del movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo en r-e. Muchas ración en coordenadas coordenadas x-y, x-y, n-t n-t y 1'-8. Muchas veces veces puede ser ser necesario necesario pasar pasar la descripción descripción de movimiento de sistema de puede de un un movimiento de sistema de coordenadas a otro otro y la figura figura 2.21 contiene ordenadas contiene la la información información precisa precisa para para ello. ello.

X

I

/

/

y

:~-~------------------x -s . I

:

r

/

= X

Vx

vy

=

y

v" = O VI = V V, = = rr = re r8 v, Va = (a) Componentes Componentes de velocidad velocidad (a)

y 1 1

()

1

_ __ _ ~

\

//A

I

\

..... /

1

\\

1 1

:

,

.,

"

~

a'J

I 1

//

~ =x

I '"

/

al

ti' \\. . .....-/ I

~/

r

/

/

JI

~

~x

//

.J'

'l" ,// \ 1

/ ;

t

.¡ I \ '{ I \ 1"

1\,

I~

/

".¿/ \

1

1 1

\

"

/ //

/

a e '"

"

I I

(1

/"./

/

n

a Trayectona .

ay

\

.....a

r

'a x

y

~- Y- --- --- --- -- --- --- x

:

a,

//

v2 / p a, =i;-rlf aH =

(b) (b)

1

ay

=y

a, = 1; aa =rB+2ie

Componentes de aceleración Componentes 2.21 Figura 2.21

Aproximaciones. Una de de las las habilidades (d) Aproximaciones. Una habilidades más más importantes importantes que que debe debe adadquirirse es la de de efectuar efectuar las las aproximaciones aproximaciones apropiadas. quirirse apropiadas. La hipótesis hipótesis de de aceleaceleración constante constante es válida cuando las ración válida cuando las fuerzas fuerzas que que causan causan la aceleración aceleración no no varían apreciablemente. apreciablemente. Si los los datos varían datos relativos relativos al movimiento movimiento se adquieren adquieren emempíricamente, debemos debemos emplear emplear estos píricamente, estos datos datos no no exactos exactos para para conseguir conseguir la la desdescripción mejor mejor posible, menudo con cripción posible, a menudo con ayuda ayuda de de aproximaciones aproximaciones gráficas gráficas o numéricas. numéricas. Procedimiento matemático. Con (e) Procedimiento matemático. Con frecuencia frecuencia es posible posible elegir elegir el procediprocedimiento de resolución resolución entre entre álgebra álgebra escalar, miento escalar, álgebra álgebra vectorial, vectorial, trigonometría trigonometría y geometría. Se han han expuesto expuesto todos todos ellos geometría. ellos y es importante importante aprenderlos aprenderlos todos. todos. El mémétodo elegido elegido depende depende de la geometría geometría del todo del problema, problema, de de cómo cómo aparecen aparecen los datos datos precisión deseada. deseada. Por Por cuanto y de la precisión cuanto que que por por propia propia naturaleza naturaleza la Mecánica Mecánica es geométrica, se anima anima al lector lector a que su habilidad geométrica, que desarrolle desarrolle su habilidad para para esquematizar esquematizar gráficamente relaciones relaciones vectoriales vectoriales como gráficamente como ayuda ayuda para para descubrir descubrir las las relaciones relaciones geométricas y trigonométricas geométricas trigonométricas adecuadas adecuadas y como como medio medio para para resolver resolver gráficagráficamente ecuaciones ecuaciones vectoriales. vectoriales. La representación mente representación geométrica geométrica constituye constituye la desdescripción más más directa directa en en la inmensa inmensa mayoría cripción mayoría de de los los problemas problemas de de Mecánica. Mecánica.

PROBLEMAS DE REPASO REPASO PROBLEMAS 2.223 La posición de un punto punto en una línea recta está dada dada 2.223 0,41 - 6t 6 t + t22, , donde donde s está en metros y t en segunpor s = 8e- 0,41 Hallar la velocidad velocidad v cuando cuando la aceleración es 3 mi S2 S2. dos. Hallar Resp. v == -7,27 -7,27 mi s Resp. 2.224 Las coordenadas coordenadas polares polares de un punto punto material material son r == 2.224 f} = = 2t radianes, radianes, donde donde t son segundos. segundos. Ha30 mm, constante, y (J cuando (Jf} == 60060°. llar yy cuando

2.225 Un diseñador 2.225 diseñador inexperto inexperto del terraplén terraplén para para un un nuevo gran velocidad tren de gran velocidad propone propone unir unir un tramo tramo recto de vía a un tramo circular de 600 tramo 600 m de radio, tal como se muestra. muestra. Para Para un celeridad de 150 150 km/h, tren que viaje a la celeridad km / h, representar representar gráficamente m ente el valor valor absoluto absoluto de su aceleración aceleración como función de d e la distancia entre distancia entre los puntos puntos A y e y explicar por por qué este diseño inaceptable. es inaceptable. Resp. Resp. aann = = 2,89 2,89 mi S2 (de B a e)


2.228 pequeñocilindro cilindroseselelecomunica comunicaun unmovimiento movimientoaalolo 2.228 Al Alpequeño

\i\

fe.La

¡Wi< W

largo que largode delalavarilla varillagiratoria giratoriadado dadopor porr l'=="o ro++bbsen sen2nt 2nt queejeejer -r

cuta cutaentre entrer l'=="nro++bbYYr l'==roro- - b,b,siendo siendot teleltiempo tiempotranscurrido transcurrido desde desdeelelinstante instanteen enque queelelcilindro cilindropasa pasapor porlalaposición posiciónr r=="oy ro yr -r es eselelperiodo periodo de de oscilación oscilación(el (eltiempo tiempoque quedura durauna unaoscilación oscilación completa). entorno tornoalaleje ejevertiverticompleta).Simultáneamente, Simultáneamente,lalavarilla varillagira giraen cal calcon conuna unavelocidad velocidadangular angularconstante constante Hallar Hallarelelvalor valorde der r para paraelelcual cuales esnula nulalalaaceleración aceleraciónradial radial(o (osea, sea,en enlaladirección direcciónr).r).

6

I

I

II II

..

ee

111 1111 111 111 111111 11 1111 111 1111 111 111 111 ~llllllllllllIllllllillll

AA

e.e.

BB

Figuraproblema problema Figura

2.225 2.225

Inmediatamente tras tras ser ser golpeada golpeada por por el el bastón, bastón, una una 2.226 inmediatamente 2.226 pelota de de golf go lfadquiere adquiere una unavelocidad velocidad de de 38 38 m mIIss que que forma forma un un pelota áng ulo de de 35° 35°con con la lahorizontal. horizontal. Localizar Localizarla la posición posicióndel del punto punto ángulo de caída. caída. de dos eleces co-

38 mis mi s 38


adeleno emesso ediía y

méatas a es tizar


2.228 2.228

2.226 2.226

polipasto diferencial diferencial de la figura las dos poleas poleas su2.227 En el polipasto periores son solidarias. periores solidarias. El cable está arrollado arrollado alrededor alrededor de la más pequeña pequeña con su extremo extremo fijo fijo a ella para para que no resbale. Hallar la aceleración aceleración ascendente ascendente aB aB del cilindro B, si el cilindro A posee una aceleración descendente descendente de 2 m mi i S2. S2. (Sugerencia: (Sugerencia: Analizar geométricamente geométricamente las consecuencias consecuencias de un movimienmovimiento to infinitesimal infinitesimal del del cilindro cilindro A.) A.) Resp. Resp. aB aB == 0,25 0,25 m mi i S2 s2

2.229 2.229 En En la la figura figura se se representa representa el el disparo disparo de de un un pequeño pequeño proproyectil yectil con con una una velocidad velocidad inicial inicial de de 500 500 mi m i S2 S2 y y un un ángulo ángulo de de 60° 60° respecto horizontal. Despreciar Despreciar la la resistencia resistencia atmosférica atmosférica yy respecto aa la la horizontal. las de g g yy calcular las variaciones variaciones de calcular el el radio radio de d e curvatura curvatura pp de de la la tratrayectoria del proyectil proyectil 30 s después después del disparo. disparo. yectoria Resp. p == 9,53 9,53 km Resp.

//

//

//

/' / '

I/

lOOmm

uu=500m/s = 500m/s () =

60°

oo Figura problema problema 2.229 Figura 2.229

AA BB

iseño


2.230 Se Searroja arroja una una piedra piedra pendiente pendiente abajo abajotal tal como comose semuesmues2.230 tra. Hallar el módulo u y la dirección e de su velocidad inicial tra . Hallar el módulo u y la dirección e d e su velocidad inicial para que se eleve 12 m y alcance una distancia de 50 m a larpara que se eleve 12 m y alcance una distancia de 50 m a lololargode delalapendiente. pendiente. go

93 93


-

------------:;-/'

/~

U

-- ""--

"-

/ /

"-

,, \

\

\ \ \ \

\ \ \

3

\,


verticalmente un cohete cuya trayectoria es 2.333 Se 2.333 Se dispara dispara verticalmente es seguida radar del problema problema 2.137 que aquí vuelve a rereseguida por el radar presentarse. instante en que e presentarse. En el instante e == 60°, las mediciones señarad l s y r == 7500 mm y se encuentra la lan i:J == 0,03 rad/ encuentra que la aceleración vertical del cohete es aa == 20 m/ mi S2. Para dicho insS2.Para tante hallar los valores de fj; y i:J.

e

e.


Resp. j;r = 24,1 m/ m i s2 Resp. s2

ee = - 1,784(10-

La tercera fase de un cohete se separa separa de la segunda segunda con velocidad u de 15 000 km/h kmlh en A y realiza a continuación continuación una velocidad un vuelo balístico hasta B. B. En este punto, donde donde la trayectoria forma con la horizontal horizontal el ángulo de 20° se procede al encendido del cohete motor. La operación operación se realiza prácticamente prácticamente por encima de la atmósfera, pudiendo pudiendo considerarse considerarse que en todo el intervalo la aceleración de la gravedad gravedad se mantiene mantiene constante en dirección y sentido mi s2. sentido siendo su valor de 9 m/ s2. Calcular el B. (Esta cantidad cantidad se necesita tiempo t empleado empleado en ir de A a B. para el diseño del sistema de encendido.) Hallar también el correspondiente incremento incremento de altura rrespondiente altura h. Resp. t = 3 min 28 s, h = 418 km Resp.

2.231 2.231

33))

= -

radl s2 rad/ s2

J r

8


ti

2.234 ejercicio de entrenamiento, entrenamiento, el piloto 2.234 Como parte parte de un ejercicio del avión A ajusta su velocidad velocidad aerodinámica velocidad reaerodinámica (o velocidad

km l h mientras mientras aún se encuentra encuentra en la lativa al viento) a 220 km/h porción horizontal horizontal de d e la trayectoria de aproximación porción aproximación y después mantiene mantiene una una velocidad velocidad constante mientras mientras recorre la trapués yectoria de planeo que forma un ángulo de 10° con la horizontal. La velocidad velocidad absoluta del portaviones portaviones es 30 km/h km/h km/h. ¿Cuál será, para un observador y la del viento es 48 km/h. observador situado tuado en el barco, el ángulo f3 que forme con la horizontal horizontal la trayectoria trayectoria de planeo?


2.232 El desplazamiento 2.232 desplazamiento angular angular de la centrífuga centrífuga está dado dado = 4[t 4[t + 30e 0,031 - 30] rad, donde por 30e - 0,031 donde t son segundos segundos y es t= en el momento momento de la puesta puesta en marcha. Si la persona persona pier=O Oen de el conocimiento para para un umbral umbral de aceleración de 10g, ha-

ee

--

instante ocurre tal cosa. llar en qué instante cosa. Comprobar Comprobar que la cuando la aceleración aceleración tangencial es despreciable despreciable cuando acerca al valor 10g normal se acerca 10g..

94


--.. ___ "'=~ --.,.. 1100 0 0

A

A

--...----

------

-: -- :=

30km/h 30km/h


::= 48 48 km/h km / h

e ¿¿-E---E-

2.235 La rotación del brazo OP está controlada por el movimiento horizontal del vástago ranurado vertical. Si i = 1,2 mi s y x = 9 mi S2cuando x = 50 mm, hallar y en ese instante. Resp. é = 13,86 rad I s, = 215 radl S2 é

e

e

iaes a re-

Figura problema

señaue la ins-

o Figura problema

2.235

2.236 Un punto P que describe una trayectoria circular plana está localizado por las coordenadas polares representadas. En un instante determinado r = 2m, 8 = 60°, u, = 3 mi s, ve = 4 mi s, ar=-10 mi s y ae= - 5 mi S2.Para dicho instante, calcular el radio de curvatura p de la trayectoria. Además, situar gráficamente el centro de curvatura C.

r

<,

,

I I I I I

I I

,

I

r

I

e

~2.239 La varilla OA se mantiene con un ángulo constante f3 = 30° Y gira alrededor de la vertical con celeridad angular constante de 120 rpm. Simultáneamente el cursor P oscila a lo largo de la varilla a una distancia variable del pivote fijo O dada en milímetros por R = 400 + 100 sen Znni, donde la frecuencia de oscilación n, a lo largo de la varilla, es constante e igual a 2 ciclos por segundo, y el tiempo se mide en segundos. Calcular la aceleración del cursor en el instante en que su velocidad R a lo largo de la varilla sea máxima. Resp. a = 35,3 mi s2

y

p

<,

2.237

e~ I I

x----------

piloto ad reen la y deslatraon la km/h dar sintalla

/h

Figura problema

o

2.236

2.237 El cilindro A posee una celeridad constante hacia abajo de 1 mi s. Calcular la velocidad del cilindro B para (a) 8 = 45°, (b) 8 = 30° Y (e) 8 = 15°. El resorte se encuentra estirado durante el intervalo de movimiento que interesa y las poleas están conectadas por el cable de longitud constante. Resp. (a) VB = 0,293 mi s (hacia la derecha) (b) VB = O, (e) VB = 0,250 mi s (hacia la izquierda) 2.238 Un punto posee las siguientes componentes de posición, velocidad y aceleración: x = 50 m, y = 25 m, i = -10 mi s, y = 10 mi s, x = -10 mi S2,y = 5 mi S2.Calcularlos valores de u, a, et, e", at, at, a", al!' o, e., e¡¡, Vr, v-: V¡¡,V o a., a., a¡¡, a¡¡, r, i, i , 8, é y Expresar todos los vectores en función de i y j y representarlos gráficamente en unos ejes x-ya medida que se van obteniendo los valores necesarios.

e.

o Figura problema

2.239

~2.240 La antena del radar seguidor oscila en torno a su eje vertical según 8 = 80 cos ox, donde úJ es la pulsación constante y 280 es la amplitud de la oscilación. Simultáneamente, el ángulo de elevación
b JK4 + úJ48a cos?

bKJK2 + 4úJ48a

95


B B

---------problema 2.240 Figura problema

*PROBLEMAS ESPECIALES ESPECIALES PARA ORDENADOR ORDENADOR *PROBLEMAS *2.241 reposo en x *2.241 Dos puntos puntos A y B parten parten del reposo ven siguiendo siguiendo trayectorias trayectorias paralelas según x A paralelas según

OYse O Y se mue7rt nt 0,16 sen "2 y = 0,16 = =

donde XA Y xB están en metros metros y t está en segundos segundos 0,08t, donde XA Y xB están contados desde desde el inicio del movimiento. movimiento. Hallar Hallar el instante instante t contados (donde t > O) O)en tienen el mismo desplazadesplaza(donde en que ambos puntos puntos tienen miento y calcular ese desplazamiento desplazamiento x. Resp. t == 1,473s, 1,473s,xx == 0,1178 0,1178m m

xB = XB =

*2.242 Retornamos Retornamos a la leva fija rotatorio del problema *2.242 fija y brazo brazo rotatorio problema 2.166.La seguidor A se mueva mueva si2.166. La forma de la leva hhace ace que el seguidor guiendo una una cardioide cardioide ddee ecu ecuación ación r == b - c cos e, con b > c. Si guiendo 100 mm, CC == 50 mm y el brazo brazo gira a la velocidad velocidad constante b == 100 = 2 rad I s, s, representar representar gráficam gráficamente módulos de la veloci= ente los módulos e= OOyy e= e= 180°. 180°.Jusddad ad v y la aceleración a del pasador pasador A entre e= Juse == o. tificar el valor de la aceleración para para e

ee

problema 2.242 Figura problema

*2.243 Se representa representa otra vez el "drágster" del problema problema 2.47. 2.47. *2.243 aceleración está ddada donde ccll se sabe que La aceleración ad a por por a == Cl - C2V2, donde 9,15 mi S2 pero Hallar sabiendo que el vale 9,15 pero C2 se ddesconoce. esconoce. H allar C2 sabiendo piloto recorrido de 400 400 m en 9,4 9,4 s. A continuación, piloto realiza el recorrido A continu ación, representar gráficamente velocidad y la aceleración en función presentar gráficam ente la velocidad tiempo. del tiempo. Resp. c2 c2 = = 7,93(10 7,93(10--5)5) m -1 -1

Salida Salida

Llegada Llegada

~1~~--------------~JL---400m~ ~1~~----------------JL---400m~ problema 2.243 Figura problema

*2.244 La guía con la ranura ranura vertical recibe un m movimiento *2.244 ovimiento oshorizontal definido por xx == 100 100 sen 2t, donde donde xx son micilatorio horizontal pasador P a límetros y t son segundos. La oscilación obliga al pasador ranura parabólica fija fija cuya forma responde moverse por por la ranura responde a y == xX22 1100, siendo y también también milímetros. Representar Representar gráficamenmódulo v ddee la velocidad te, en función del tiempo, el módulo velocidad del pasador durante durante el intervalo intervalo necesario necesario ppara sador ara que P se ddesplace esplace desde el centro hasta hasta el extremo en que xx == 100 100 mm. mm. Hallar Hallar y desde valor máximo de v y comprobar comprobar analíticamente analíticamente los localizar el valor resultados. resultados.

96


La resistencia resistencia del aire produce produce una una aceleración adicional adicional kv kv22 hacia abajo proporcional proporcional al cuadrado cuadrado de la velocidad velocidad v. v. Tomando constante, calcular el coeficiente kk.. mando g == 9,81 9,81 mi mi s2, s2,constante, Resp. Resp. k == 1,200(101,200(10-3)3 ) mm-11

y I

t- x----<>-j

.-------------~I--__,~~ , r------. :-1

*2.246 *2.246 Un barco de 16 000 000 toneladas toneladas de desplazamiento desplazamiento total zarpa zarpa con mar en calma bajo un empuje empuje constante constante de las hélices 250 kN. Al movimiento movimiento el agua agua opone opone una resistencia total T == 250 dada por por R == 4,50v22,, donde donde R son kilonewtons kilonewtons y v son metros metros dada por segundo. segundo. Representar Representar gráficamente gráficamente su celeridad celeridad v, u, en nudos, en función de la distancia distancia recorrida, recorrida, en millas náuticas, a lo largo de las cinco primeras primeras millas desde desde el punto punto de partida. partida. Hallar Hallar la celeridad celeridad al cabo de una una milla. ¿Cuál es la celeridad celeridad máxima máxima que el barco puede puede alcanzar?

Figura problema problema 2.244 2.244 *2.245 Se dispara dispara una una bala verticalmente verticalmente hacia arriba arriba con una una *2.245 velocidad velocidad en boca de 610 610 mi s y alcanza una una altura altura de 1,6 km.

osrruPa

y= enpalace ary los

97 97



movimiento curvilíneo curvilíneo de una partícula partícula está siempre siempre acompañado acompañado de una aceleración, la cual, a su El movimiento requiere la existencia de una una fuerza que sostenga sostenga el movimiento. movimiento. Para diseñar diseñar la estructura estructura portante portante vez, requiere arte acto de feria hay que tener en cuenta cuenta la fuerza que acompafia acompaña a la aceleración que de los rizos de este arteacto se genera.


100

3.1

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

CINÉTICA DEl DEl PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL ClNÉTlCA

De acuerdo acuerdo con con la segunda ley de de Newton, Newton, cuando cuando un un punto punto material material se halla halla De segunda ley sometido de fuerzas no equilibrado, equilibrado, el punto punto material material experiexperisometido a una una sistema sistema de fuerzas no menta un un movimiento movimiento acelerado. acelerado. La cinética cinética estudia estudia las las relaciones relaciones existentes existentes menta entre los los sistemas de fuerzas fuerzas que que no no están las variaciones variaciones de de momoentre sistemas de están en en equilibrio equilibrio y las vimiento que que originan. originan. En En este este capítulo capítulo 3 estudiaremos estudiaremos la cinética cinética del del punto punto vimiento material, tema tema que que requiere requiere combinar combinar nuestros nuestros conocimientos conocimientos acerca acerca de de dos dos material, partes de de la Mecánica Mecánica previamente que son las propiedades propiedades de de las partes previamente estudiadas, estudiadas, que son las fuerzas, desarrolladas al comienzo comienzo de de la Estática, fuerzas, descritas descritas y desarrolladas Estática, y la Cinemática Cinemática del en el capítulo del punto punto material, material, que que acabamos acabamos de de tratar tratar en capítulo 2. Apoyándonos Apoyándonos en en la segunda segunda ley en disposición ley de de Newton, Newton, ya ya estamos estamos en disposición de de combinar combinar ambos ambos tetemas resolver los mas y prepararnos prepararnos para para resolver los problemas problemas reales reales en en los los que que intervengan intervengan fuerzas, fuerzas, masas masas y movimientos. movimientos. Los Los problemas problemas de de Cinética Cinética pueden pueden abordarse abordarse por por tres tres procedimientos: procedimientos: (A) aplicación segunda ley (llamado método aplicación directa directa de de la segunda ley de de Newton Newton (llamado método de de la fuerza, fuerza, masa (B) aplicación (teorema de masa y aceleración), aceleración), (B) aplicación de de principios principios energéticos energéticos (teorema de las las fuerzas en el impulfuerzas vivas) vivas) y (C) resolución resolución mediante mediante procedimientos procedimientos basados basados en impulestos procedimientos, procedimientos, cada cantidad de de movimiento. movimiento. De estos cada uno uno presenta presenta so y la cantidad sus ventajas sus características este capítulo en sus ventajas y sus características particulares particulares y este capítulo 3 está está dividido dividido en tres tres partes partes que que se corresponden corresponden con con los los tres tres procedimientos procedimientos mencionados. mencionados. Se añade en la que añade una una cuarta cuarta parte parte en que se tratan tratan aplicaciones aplicaciones especiales especiales y combinacombinaciones ciones de de los tres tres procedimientos procedimientos generales. generales. Antes Antes de de proseguir, proseguir, recomendarecomendamos encarecidamente un mos encarecidamente un repaso repaso minucioso minucioso de de las las definiciones definiciones y conceptos conceptos contenidos son esenciales para las contenidos en en el capítulo capítulo 1, ya ya que que son esenciales para las exposiciones exposiciones que que siguen. guen.

SECCCIÓN A. SECCCIÓN A. FUERZA, FUERZA, MASA MASA Y Y ACELERACiÓN ACELERACiÓN

~I I

3.2 3.2

SEGUNDA LEY DE SEGUNDA DE NEWTON NEWTON

La relación establecida por segunda ley relación básica básica entre entre fuerza fuerza y aceleración aceleración es establecida por la segunda ley de (ec.l .l.). La su de Newton Newton (ec.1.1). La validez validez de de dicha dicha leyes leyes puramente puramente experimental experimental y su significado fundamental significado fundamental se describirá describirá con con ayuda ayuda de de un un experimento experimento ideal ideal en en el cual supone que sin error error alguno. cual se supone que la fuerza fuerza y la aceleración aceleración se miden miden sin alguno. Se aísla aísla un sistema inercial primario! l y se le somete somete a la acción un punto punto material material en en el sistema inercial primario acción de de la fuerza FI / al fuerza única única FI. Se mide mide la aceleración aceleración al al de de la partícula partícula y el cociente cociente Fd al de será un de los los módulos módulos de de la fuerza fuerza y la aceleración aceleración será un número número CII cuyo cuyo valor valor dedependerá en que penderá de de las las unidades unidades en que se midan midan las las fuerzas fuerzas y las las aceleraciones. aceleraciones. El experimento repite sometiendo sometiendo a ese perimento se repite ese mismo mismo punto punto a otra otra fuerza fuerza F2 y midiendo midiendo la aceleración F22/ / a2 dará un aceleración correspondiente correspondiente a2. De De nuevo, nuevo, el cociente cociente F a2 dará un número número C22•• Se repite el experimento tantas veces como se quiera. De los resultados repite experimento tantas veces como quiera. De resultados se extraen dos conclusiones importantes. Primera, los cocientes entre extraen dos conclusiones importantes. Primera, cocientes entre las las fuerzas fuerzas aplicadas son todos aplicadas y las las correspondientes correspondientes aceleraciones aceleraciones son todos iguales iguales a un un mismo mismo número, número, con con tal tal que que no no se cambie cambie de de unidades unidades de de medida medida en en los los experimentos. experimentos. 1

El sistema sistema de referencia imaginasistema inercial inercial primario primario o sistema referencia astronómico, astronómico, es un sistema sistema de d e ejes imaginario que se supone supone carente 1. carente de rotación rotación o traslación traslación en el espacio. Véase apartado apartado 2, 2, capítulo capítulo 1.


Así pues, pues, Así

101 SEGUNDA LEY DE NEWTON 3.2 SEGUNDA NEWTON

F

aa

e,

una constante una constante

Concluimos en en que que e es una constante que que mide cierta propiedad invariaConcluimos una constante mide cierta propiedad invariable del del punto punto material. Esta propiedad inercia del del punto que es ble material. Esta propiedad es la inercia punto material, material, que su resistencia resistencia a variar variar de velocidad. velocidad. En En el caso caso de de un de mucha su un punto punto material material de mucha inercia (e grande) grande) la aceleración aceleración será será pequeña fuerza F dada dada y, recíinercia pequeña para para una una fuerza reCÍprocamente, si la inercia inercia es pequeña, aceleración será será grande. grande. Como Como medida procamente, pequeña, la aceleración medida cuantitativa de de la inercia inercia se toma que podemos escribir e == cuantitativa toma la masa masa m, por por lo que p odemos escribir donde k .es una constante que que depende depende de de las las unidades empleadas. Así km, donde una constante unidades empleadas. Así pues, tenemos tenemos la relación experimental pues, relación experimental

F

= kma = kma

(3.1 )

donde F es la magnitud magnitud de de la fuerza fuerza resultante que se ejerce ejerce sobre sobre el punto madonde resultante que punto material de de masa masa m y a es el módulo de la aceleración aceleración que que adquiere adquiere éste. éste. terial módulo de segunda conclusión conclusión que que extraemos extraemos del del experimento experimento ideal ideal es que que la aceaceLa segunda leración tiene tiene siempre siempre la misma dirección y sentido sentido que que la fuerza fuerza aplicada. aplicada. Así leración misma dirección Así pues, la ecuación ecuación 3.1 es una vectorial que que puede escribirse en en la forma forma pues, una relación relación vectorial puede escribirse = kma F = kma

(3.2) (3.2)

Pese a la imposibilidad imposibilidad de de efectuar efectuar un experimento ideal ideal como como el descrito, descrito, Pese un experimento conclusiones se infieren infieren de de la mediciones de innumerables innumerables experimentos experimentos las conclusiones mediciones de realizados con con precisión cuyos resultados resultados se predicen correctamente a partir realizados precisión cuyos predicen correctamente partir hipótesis en en que que se basa experimento ideal. ideal. Una de las las comprobaciocomprobaciode las hipótesis basa el experimento Una de nes más más precisas precisas se encuentra encuentra en en la exacta exacta predicción de los los movimientos de nes predicción de movimientos de planetas basada basada en en la ecuación ecuación 3.2. los planetas

y

u el

la

inercia/es. Si bien las conclusiones conclusiones del del experimento experimento ideal ideal se han (a) Sistemas inerciales. bien las han obtenido para para mediciones efectuadas respecto sistema inercial inercial primario "fiobtenido mediciones efectuadas respecto al sistema primario "fijo", son válidas válidas igualmente igualmente para cualquier sistesistepara mediciones mediciones hechas hechas respecto respecto a cualquier jo", son ma de de referencia referencia no giratorio que que se traslade constante respecto ma no giratorio traslade a velocidad velocidad constante respecto al sistema primario. primario. Cuando Cuando en en el apartado apartado 2.8 estudiamos estudiamos el movimiento sistema movimiento relatirelativimos que que las las aceleraciones aceleraciones medidas en todo sistema que que se traslade sin vo, vimos medidas en todo sistema traslade sin aceleración son son las las mismas que las las medidas desde el sistema sistema primario. aceleración mismas que medidas desde primario. Así Así pues, la segunda segunda ley ley de de Newton cumple también en todo sistema no acelepues, Newton se cumple también en todo sistema no acelerado, por por lo que que podemos podemos definir definir que que sistema inercial es todo sistema en en el que que rado, sistema inercial todo sistema válida la ecuación ecuación 3.2. es válida experimento descrito descrito se realizase en la superficie superficie terrestre las Si el experimento realizase en terrestre y todas todas las mediciones se efectuaran efectuaran relativas sistema de de referencia solidario al suelo, suelo, mediciones relativas al sistema referencia solidario resultados medidos ligera discrepancia discrepancia al aplicarlos aplicarlos en en la los resultados medidos presentarían presentarían una una ligera ecuación 3.2. Esta Esta discrepancia discrepancia se debería debería al hecho de que que la aceleración aceleración mediecuación hecho de medida no no sería sería la aceleración aceleración absoluta absoluta correcta. correcta. La discrepancia discrepancia desaparecería desaparecería da cuando se tuvieran tuvieran en en cuenta cuenta las las correcciones correcciones debidas debidas a las las componentes componentes de de cuando aceleración de de la Tierra. Tierra. En En la mayoría de los los problemas aceleración mayoría de problemas técnicos técnicos referentes referentes a movimientos de de estructuras estructuras y máquinas en la superficie dichas comovimientos máquinas en superficie terrestre, terrestre, dichas rrecciones son son despreciables. despreciables. En En tal caso, las las aceleraciones aceleraciones medidas rrecciones tal caso, medidas respecto respecto a de referencia referencia solidarios solidarios a la sJ.lperficie superficie terrestre, considerarse los ejes de terrestre, pueden pueden considerarse


102

CINÉTICA ClNÉTlCA DEl DEl PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL

puede aplicarse aplicarse la ecuación ecuación 3.2 a las mediciones absolutas" y puede "absolutas" mediciones experimentales experimentales efectuadas que el error error sea sea apreciable.' apreciable. 1 efectuadas en en la superficie superficie terrestre terrestre sin sin que Existe problemas, particularmente particularmente referentes referentes a coExiste un un número número creciente creciente de problemas, hetes en que que las las componentes componentes de de la aceleración aceleración hetes y diseño diseño de naves naves espaciales, espaciales, en Tierra tienen tienen una una importancia importancia primordial. de la Tierra primordial. Para Para tales tales cuestiones cuestiones es esenesenuna comprensión comprensión perfecta perfecta de las las bases cial una bases fundamentales fundamentales de de la ley de de Newton Newton y que adecuadas de de la aceleración aceleración absoluta. absoluta. que se empleen empleen las componentes componentes adecuadas Con anterioridad a 1905 se habían verificado las leyes de Con anterioridad habían verificado las leyes de la Mecánica Mecánica newtoniana experimentos físicos físicos y se consideraba consideraba que newtoniana mediante mediante innumerables innumerables experimentos que aquéllas definitiva del del movimiento movimiento de de los cuerpos. cuerpos. aquéllas constituían constituían la descripción descripción definitiva concepto de tiempo, tiempo, considerado considerado como El concepto como magnitud magnitud absoluta absoluta en en la teoría teoría de de Newton, básicamente diferente diferente en en la teoría teoría de de la RelNewton, sufrió sufrió una una interpretación interpretación básicamente atividad enunciada enunciada por por Einstein en 1905. El nuevo atividad Einstein en nuevo concepto concepto exigía exigía reformular reformular por completo las leyes Mecánica. La teoría teoría de de la Relatividad Relatividad por completo leyes aceptadas aceptadas por por la Mecánica. pudo parecer parecer ridícula ridícula en en un un principio, pudo principio, pero pero ha ha tenido tenido comprobación comprobación experiexp erimental todos los los científicos científicos del del mundo. mundo. Aun Aun cuancuanmental y en en la actualidad actualidad la aceptan aceptan todos do diferencia entre de Newton Newton y la de de Einstein, Einstein, do es fundamental fundamental la diferencia entre la Mecánica Mecánica de los resultados sólo presentan presentan una una diferencia diferencia prácprácresultados obtenidos obtenidos por por las dos dos teorías teorías sólo tica cuando cuya celeridad celeridad sea sea del del orden orden de de la de de la cuando intervienen intervienen velocidades velocidades cuya 6 luz .2 Problemas referentes a partículas partículas atómicas atómicas y luz (300 x 10 mi S) S).2 Problemas importantes importantes referentes nucleares, por por ejemplo, ejemplo, llevan llevan consigo consigo cálculos nucleares, cálculos basados basados en en la teoría teoría de de la RelaRelatividad tanto a físicos físicos como como a ingenieros. ingenieros. tividad y afectan afectan de manera manera fundamental fundamental tanto 11

(b) Unidades. En la ecuación acostumbra a tomar tomar k igual igual a la unidad, unidad, ecuación 3.2 se acostumbra con Newton toma toma su forma usual usual con lo que que la ley de Newton su forma F

,.

I

== ma

(1.1 (1.1 )

Todo cual kk sea sea la unidad unidad recibe recibe el nombre de sisTodo sistema sistema de unidades unidades para para el cual nombre de tema cinético. cinético. Así Así pues, pues, en en un un sistema sistema cinético tema cinético las las unidades unidades de de fuerza, fuerza, masa masa y aceleración no son son independientes. independientes. Tal aceleración Tal como como se expuso expuso en en el apartado apartado 1.4, la unidad SI de fuerza fuerza es el newton newton (símbolo (símbolo N) y se deriva, segununidad deriva, a través través de de la segunda ley de Newton, Newton, del del producto producto de la unidad da unidad fundamental fundamental de de masa masa (kilogra(kilogramo, kg) por por la unidad unidad de aceleración aceleración (metros segundo al cuadrado, mo, (metros por por segundo cuadrado, mi S2); S2); 11

magnitud Podemos citar como ejemplo de la m agnitud del error error introducido introducido al despreciar d espreciar el movimiento movimiento ddee la Tierra en el caso de una partícula partícula que se abandona abandona libremente librem ente partiendo partiend o del reposo reposo (relativo altura h sobre el suelo. Puede ti vo a la Tierra) desde una altura Puede demostrarse d emostrarse que la rotación de d e la Tierra Ti erra da origen a una aceleración hacia el Este (aceleración de d e Coriolis) relativa rela ti va a la Tierra y, y, despred es prepartícula cae al suelo sue lo a una una distancia distancia ciando la resistencia del aire, la partícula

punto del suelo situado situado directam directamente ente ddebajo ebajo del punto pun to inicial de d e la caída. caída . La velocial Este del punto angular ddee la Tie Tierra w == 0,729 0,729 (10 {10-4) dad angular rra es úJ -4) rad/s rad / s yy la latitud, latitud, Norte N orte o Sur, es y. En latitud latitu d de de 45 y d desde 200 m, la desviación 45° esde una altura de 200 d esviación hacia h acia el Este es xx = = 43,9 43,9 mm. La teoría de la Relatividad pone de manifiesto que no existe ningún ningún sistema inercia1primario inercia l primario preferido y que las mediciones del tiempo que se hagan hagan en e n dos sistemas sis temas de coordenadas coordenadas que tendife rentes. Basándose en esto, los princigan una velocidad relativa el uno respecto al otro son diferentes. pios ddee la Relatividad ddemuestran, emuestran, por ejemplo, que un un reloj que lleve un piloto de una nave siguiendo una órbita circular polar de a 640 espacial que rodee la Tierra siguiendo 640 km de d e altura a una un a vekm/h retrasaría respecto a un reloj reloj situado locidad de 27 080 km /h retrasaría situado en el Polo a razón de 0,000 0,000 00185 001 85 s cada órbita. 0

2


o sea, N = kg . mi S2.Este sistema se llama absoluto, pues la unidad de fuerza depende del valor absoluto de la masa. Por otra parte, en el Sistema Técnico la unidad de masa (UTM)se deriva de la unidad de fuerza (kilogramo-fuerza, kgf, o kilopondio, kp) dividiendo ésta por la aceleración (mi S2).Así pues, para la unidad técnica de masa se tiene UTM = kp . s21 m. Este sistema recibe el nombre de graoitatorio, o terrestre, porque la masa se deduce de la fuerza producida por la atracción gravitatoria terrestre. Por mediciones hechas con relación a la Tierra en rotación, se utiliza el valor relativo de g, cuyo valor intemacionalmente admitido, al nivel del mar y a 45° de latitud, es 9,806 65 mi S2.Salvo cuando se requiera una precisión mayor, para valor de g se empleará 9,81 mi S2.Para mediciones relativas a la Tierra supuesta sin movimiento de rotación, se utilizará el valor absoluto de g, que a 45° de latitud y a nivel del mar es de 9,8236 mi s2.La variación de ambos valores de g, absoluto y relativo, al nivel del mar, se indica en la figura 1.1 del apartado 1.5. Si bien en este texto se emplean sólo las unidades SI, nos referiremos ocasionalmente al Sistema Técnico, por lo que debemos aseguramos por completo de que entendemos claramente cuáles son las unidades correctas de fuerza y masa en cada uno de dichos sistemas. De estas unidades se trató en el apartado 1.4, pero será provechoso ponerlas aquí de manifiesto empleando números sencillos, .antes de adentrarnos en las aplicaciones de la segunda ley de Newton. Consideremos, primeramente, el experimento 'de caída libre representado en la figura 3.1a, en el que se suelta un objeto en reposo respecto a la superficie terrestre y se permite que caiga libremente bajo la influencia de la fuerza atractiva gravitatoria W que sufre el cuerpo y que llamamos peso. En unidades SI, para una masa m = 1 kg el peso es W = 9,81N Yla aceleración descendente a correspondiente es g = 9,81 mi S2.En unidades técnicas, una masa

y

(a)

a

Caída libre gravitatoria Sistema técnico m=lUTM (9,81 kp)

SI m= 1 kg

);

Q

9

to

a· ra e·

w= 9,81 N

W= 9,81 kp

,

,

I I

I I

a

=s=

9,81 m/s2

(b)

a = g = 9,81 m/s2

Segunda ley de Newton Sistema técnico a = 1 m/s2

SI a=lm/s2 F=l N

----

m = 1 kg

i= 1 kp

I

_

----

m=lUTM

Figura 3.1


103 3.2 SEGUNDA LEY DE NEWTON

104 CINÉTICA DEL DEl PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL CINÉTICA

S2I m) tiene siendo igualmemnte m == 1 UTM UTM (1 kpkp· S2 tiene un un peso peso W W= = 9,81 kp, kp, siendo igualmemnte la aceleración gravitatoria gravitatoria g = 9,81 mi S2. leración mI S2. figura 3.1b se ilustra son las sistema En la figura ilustra cuáles cuáles son las unidades unidades propias propias de de cada cada sistema con un un ejemplo ejemplo muy simple consistente consistente en en la aceleración con muy simple aceleración de de una una masa masa m a lo larlarhorizontal mediante go de la horizontal mediante una una fuerza fuerza F. En En unidades unidades SI, una una fuerza fuerza F == 1 N produce una S2sobre este produce una aceleración aceleración a = 1 mi mI S2 sobre una una masa masa m = 1 kg. Expresando Expresando este mismo proceso proceso y las en unidades mismo las mismas mismas cantidades cantidades que que intervienen intervienen en en él en unidades técnitécnigravitatorias), diremos diremos que que una una fuerza fuerza F = 11/9,81 / 9 ,81 kp kp (1 kp kp = 9,81 N) cas (o sea, gravitatorias), produce una una aceleración S2sobre una masa 1/9,81 produce aceleración a = = 1 mi mI S2 sobre una masa m = = 1 19,81 UTM UTM (1 UTM UTM = 9,81 kg). kg). = tendrá en en cuenta cuenta que que la unidad unidad SI de de masa masa es el kilogramo kilogramo (kg) y que que por por Se tendrá tanto el peso peso en sistema debe expresarse en en newton newton (N) según según W = = mg, tanto en este este sistema debe expresarse siendo g == 9,81 mi S2.En sistema técnico, un cuerpo siendo mI S2. En el sistema técnico, el peso peso W de de un cuerpo se expresa expresa en kilogramos-fuerza, kilogramos-fuerza, o kilopondio (kp), y la masa (kp . s2 s2I m), cuya en kilopondio (kp), masa (kp cuya unidad unidad carece de nombre nombre específico específico y se representa siendo rece representa UTM, UTM, está está dada dada por por m = WIg, siendo mi S2. S2.En solemos referirnos referimos al peso un cuerpo g == 9,81 mI En el lenguaje lenguaje cotidiano, cotidiano, solemos peso de de un cuerpo cuando en en realidad su masa; que ocurre cuando realidad hablamos hablamos de de su masa; lo que ocurre es que que el número número que que expresa su su peso sistema técnico expresa su expresa peso (kp) en en el sistema técnico es el mismo mismo número número que que expresa masa en en unidades unidades SI. En sigue, empleamos sólo masas masa En lo que que sigue, empleamos sólo masas y pesos pesos expresaexpresados en en unidades unidades SI, salvo salvo otra en algunos emplearemos la dos otra indicación, indicación, y en algunos casos casos emplearemos unidad técnica unidad técnica de de fuerza fuerza o kilopondio. kilopondio.

3.3

ECUACiÓN DEL MOVIMIENTO ECUACiÓN MOVIMIENTO Y Y RESOLUCiÓN RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS PROBLEMAS

Cuando un un punto sometido a la acción Cuando punto material material de de masa masa m está está sometido acción de de fuerzas fuerzas conconcurrentes Fl1 F2' F2, F3' F3, ... cuya cuya suma vectorial es LF, la ecuación ecuación 1.1 queda queda en en la currentes Fl' suma vectorial forma forma

H, •••

LF LF

== ma ma

(3.3) (3.3)

resolución de 3.3 suele suele expresarse En la resolución de problemas, problemas, la ecuación ecuación 3.3 expresarse descompuesta descompuesta en sus sus tres tres componentes sistemas de en componentes escalares escalares empleando empleando alguno alguno de de los los sistemas de coorcoordenadas expuestos expuestos en en el capítulo sistema de denadas capítulo 2. La elección elección del del sistema de coordenadas coordenadas más indicado se basa más indicado basa el tipo tipo de de movimiento movimiento que que interviene interviene en en el problema problema y constituye un constituye un paso paso vital vital en en la formulación formulación del del mismo. mismo. La ecuación ecuación 3.3 o de de cualquiera de ecuación de cualquiera de las componentes componentes escalares escalares de de dicha dicha ecuación de fuerza, fuerza, masa masa y aceleración, suele suele recibir aceleración, recibir el nombre nombre de de ecuación ecuación del movimiento movimiento y proporciona proporciona el valor instantáneo instantáneo de aceleración que fuerzas actuantes. valor de la aceleración que corresponde corresponde a las fuerzas actuantes. dos problemas ecuación 3.3, 3.3, podemos en(a) Los dos problemas de de la Dinámica. Dinámica. Al aplicar aplicar la ecuación podemos enfrentamos a dos frentarnos dos tipos tipos de de problemas. problemas. En En el primer primer caso, caso, la aceleración aceleración está está especificada o bien pecificada bien puede puede determinarse determinarse a partir partir de de condiciones condiciones cinemáticas cinemáticas determinadas. La fuerza sobre el punto determinadas. fuerza que que correspondientemente correspondientemente actúa actúa sobre punto mamaterial cuyo cuyo movimiento especifica se determina seguidamente sustituyendo sustituyendo terial movimiento se especifica determina seguidamente directamente en 3.3. La resolución este tipo suele directamente en la ecuación ecuación 3.3. resolución de de este tipo de de problemas problemas suele ser bastante bastante inmediata. ser inmediata. segundo tipo especifican una En el segundo tipo de de problemas, problemas, se especifican una o más más fuerzas fuerzas de de las las actuantes y debe actuantes debe determinarse determinarse el movimiento movimiento resultante. resultante. Cuando Cuando las las fuerzas fuerzas sean constantes, constantes, la aceleración será constante, fácilmente se deduce sean aceleración será constante, como como fácilmente deduce de de la ecuación 3.3. 3.3. Cuando sean funciones tiempo, de ecuación Cuando las las fuerzas fuerzas sean funciones del del tiempo, de la posición, posición, de de velocidad o de 3.3 se convierte en una la velocidad de la aceleración, aceleración, la ecuación ecuación 3.3 convierte en una ecuación ecuación


diferencial para determinar diferencial que que debe debe integrarse integrarse para determinar la velocidad velocidad y el desplazadesplazamiento. de este este tipo tipo suelen suelen ser ser más laboriosos, ya que la inteintemiento. Los problemas problemas de más laboriosos, ya que gración puede dificultosa, especialmente especialmente si la fuerza fuerza es una función en en gración puede resultar resultar dificultosa, una función la que mezclan dos más variables variables cinemáticas. práctica, es frecuente que se mezclan dos o más cinemáticas. En la práctica, frecuente tener que recurrir a técnicas técnicas de integración tener que recurrir integración aproximada, aproximada, especialmente especialmente si interintervienen datos procedivienen datos experimentales. experimentales. En el apartado apartado 2.2 se desarrollaron desarrollaron los procedipara integrar matemáticamente la aceleración mientos para mientos integrar matemáticamente aceleración cuando cuando ésta ésta es función función de las variables variables cinemáticas; pueden aplicarse procedimientos cinemáticas; pueden aplicarse estos estos mismos mismos procedimientos cuando una función mismos parámetros, parámetros, ya cuando la fuerza fuerza sea sea una función especificada especificada de de los mismos que masa. que la fuerza fuerza y la aceleración aceleración sólo sólo difieren difieren en en el factor factor constante constante de de la masa.

y e

y 1

(b) Movimiento Movimiento vinculado tipos de movimiento vinculado yy no vinculado. vinculado. Existen Existen dos dos tipos de movimiento físicamente diferenciados diferenciados descritos descritos ambos ambos por ecuación 3.3. El primero físicamente por la ecuación primero de ellos es el movimiento movimiento no vinculado una partícula partícula libre maellos vinculado que que ejecuta ejecuta una libre de guías guías materiales al describir una trayectoria trayectoria determinada por su moviteriales describir una determinada sólo sólo por su estado estado de de movimiento inicial y por fuerzas de de origen origen exterior. exterior. Un avión o un cohete en en miento inicial por las fuerzas Un avión un cohete vuelo y un un electrón moviéndose en un campo movivuelo electrón moviéndose en un campo eléctrico eléctrico son son ejemplos ejemplos de movimientos no no vinculados. vinculados. El segundo movimiento vinculado mientos segundo tipo tipo es el movimiento vinculado en en el que que la trayectoria de la partícula partícula está total o parcialmente parcialmente obligado por guías materiatrayectoria está total obligado por guías materiales o ligaduras. Un disco hockey sobre hielo se mueve mueve con parligaduras. Un disco de de hockey sobre hielo con la ligadura ligadura parcial que hielo. Un Un tren tren que mueve a lo largo vía y un un cursor cursor que supone supone el hielo. que se mueve largo de su su vía deslizándose un eje fijo son movimiento totalmente totalmente deslizándose a lo largo largo de de un son ejemplos ejemplos de de movimiento vinculado. de las fuerzas actuantes actuantes sobre sobre un vinculado. Algunas Algunas de las fuerzas un punto punto material material durante durante movimiento vinculado éste pueden ser de de origen origen exterior exterior y otras otras pueden el movimiento vinculado de éste pueden ser pueden de los vínculos, ligaduras, sobre sobre la partícula. aplicar la ser las reacciones reacciones de vínculos, o ligaduras, partícula. Al aplicar ecuación 3.3 deben deben incluirse incluirse todas las fuerzas, activas como como re activas, que que ecuación fuerzas, tanto tanto activas reactivas, actúan sobre la partícula. actúan partícula. elección del del sistema sistema de coordenadas coordenadas viene viene frecuentemente frecuentemente determinado determinado La elección por geometría de de las ligaduras. ligaduras. Así, si un por el número número y la geometría un punto punto material material puede puede moverse libremente por espacio, como como le ocurre centro de de masa moverse libremente por el espacio, ocurre al centro masa de un un cohete en vuelo vuelo libre, libre, se dice dice que que el punto libertad, ya que se hete en punto tiene tiene tres grados grados de libertad, ya que requieren coordenadas independientes independientes para especificar la posición del requieren tres tres coordenadas para especificar posición del punto en un instante cualquiera. cualquiera. Deberán Deberán integrarse integrarse las tres componentes de de punto en un instante tres componentes ecuación del del movimiento obtener las coordenadas coordenadas espaciales espaciales en en funfunla ecuación movimiento para para obtener ción del del tiempo. material está está obligado obligado a moverse sobre una superción tiempo. Si un un punto punto material moverse sobre una supercomo sería sería el caso caso de de un un bolita deslizándose sobre sobre la superficie superficie curva curva de de ficie, como bolita deslizándose una sólo serán serán necesarias dos coordenadas coordenadas para especificar su su posición una taza, taza, sólo necesarias dos para especificar posición y este caso caso se dice dice que que tiene libertad. Si un está ..en e n este tiene dos grados grados de libertad. un punto punto material material está obligado a moverse largo de de una trayectoria lineal lineal fija, como como en en el caso caso de obligado moverse a lo largo una trayectoria una cuenta que que se deslice deslice por por un alambre fijo, su deberá especificarse especificarse una cuenta un alambre su posición posición deberá con la coordenada medida a lo largo punto sólo coordenada medida largo del del alambre. alambre. En este este caso, el punto sólo tiene un grado tiene un grado de libertad. libertad.

aplicar cualquiera cualquiera de las ecuaciones ecuaciones del del (c) Diagrama para sólido sólido libre. Al aplicar movimiento fuerza-masa-aceleración absolutamente necesario intermovimiento fuerza-mas a-aceleración es absolutamente necesario hacer hacer intervenir correctamente correctamente todas las fuerzas que que se ejercen ejercen sobre sobre el punto punto material venir las fuerzas material o partícula. fuerzas de de las que que se puede puede prescindir son aquéllas aquéllas cuyos cuyos partícula. Las únicas únicas fuerzas prescindir son módulos sean despreciables despreciables frente frente a las de las demás demás fuerzas fuerzas que que se ejercen, ejercen, módulos sean como por ejemplo son son despreciables despreciables las fuerzas fuerzas de de atracción atracción mutua entre dos dos como por ejemplo mutua entre corpúsculos frente frente a su su atracción atracción por de un cuerpo celeste, celeste, tal como la corpúsculos por parte parte de un cuerpo tal como Tierra. La suma suma vectorial ecuación 3.3 significa significa la suma suma vectorial de Tierra. vectorial LF de la ecuación vectorial de todas las fuerzas fuerzas que que se ejercen ejercen sobre el punto material en en cuestión. cuestión. Análogapunto material Análoga-


105

3.3 ECUACiÓN Y ECUACiÓN DEL MOVIMIENTO MOVIMIENTO Y RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

106 CINÉTICA ClNÉTICA DEl DEl PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL

~i•

mente, suma escalar escalar correspondiente correspondiente de las fuerzas fuerzas en en una una cualquiera cualquiera de las mente, la suma direcciones direcciones componentes componentes significa significa la suma suma de las componentes componentes de todas las fuerzas fuerzas que que se ejercen ejercen sobre el punto punto en en dicha dicha dirección. dirección. La única única manera manera fiable de hacer hacer intervenir intervenir todas todas las fuerzas fuerzas es aislar aislar el punto punto material material considerado considerado de todos los cuerpos cuerpos en en contacto contacto con con él que que influyan influyan sobre sobre él y sustituir sustituir los cuerpos cuerpos suprimidos suprimidos por por las fuerzas fuerzas que que ejercen ejercen sobre sobre el punto punto aislado. aislado. El diagrama diagrama para sólido libre resultante resultante es el medio medio por por el cual cual toda toda fuerza, fuerza, conocida conocida o no, que que se sólido ejerza ejerza sobre sobre el punto punto material material quede quede representada representada y, por por tanto, tanto, sea tenida tenida en en cuenta. cuenta. Solamente Solamente después después de haber haber dado dado este este paso paso primordial primordial podrá podrá proceprocederse derse a escribir escribir la ecuación ecuación o ecuaciones ecuaciones del del movimiento movimiento apropiadas. apropiadas. El diagrama para sólido libre cumple en en Dinámica Dinámica el mismo mismo papel papel clave clave que que en diagrama para sólido libre cumple un método fiable para Estática. Estática. Éste no es más más que que establecer establecer un método completamente completamente fiable para el cálculo correcto correcto de la resultante resultante de todas todas las fuerzas fuerzas reales que se ejercen ejercen sobre sobre cálculo reales que punto material punto de que que se trate. trate. En Estática, Estática, esta esta resultante resultante era era nunuel punto material o el punto mientras que que en Dinámica se iguala iguala al producto producto de la masa masa por por la aceleraacelerala, mientras en Dinámica ción. Si el estudiante estudiante se da cuenta cuenta de que que las ecuaciones ecuaciones del del movimiento movimiento deben deben ción. interpretarse exacta exacta y literalmente, literalmente, y si al hacerlo hacerlo respeta respeta el significado significado escalar escalar interpretarse vectorial del del signo signo igual igual en en la ecuación ecuación del del movimiento, movimiento, encontrará encontrará un un mínimíniy vectorial dificultad. Todo Todo estudiante estudiante experimentado experimentado de Mecánica Mecánica técnica técnica comcommo de dificultad. prende que que la observancia observancia cuidadosa cuidadosa y sistemática sistemática del del método método del CUeTpO cuerpo libre es prende importante que que puede puede aprender aprender en en el estudio estudio de la Mecánica Mecánica técla lección más importante Como parte parte del trazado trazado de un un diagrama diagrama para para sólido sólido libre libre deberán deberán indiindinica. Como carse claramente claramente los ejes de coordenadas coordenadas y sus sus sentidos sentidos positivos. positivos. Cuando Cuando se carse escriban las ecuaciones ecuaciones del del movimiento, movimiento, todas todas las sumas sumas de fuerzas fuerzas deberán deberán escriban compatibles con con la elección elección de los sentidos sentidos positivos. positivos. Además, Además, para para ayudar ayudar ser compatibles identificación de las fuerzas fuerzas exteriores exteriores que que actúen actúen sobre sobre cada cada cuerpo cuerpo en a la identificación cuestión, dichas dichas fuerzas fuerzas se representarán representarán con vectores vectores azules azules de trazo grueso cuestión, trazo grueso en el resto resto de la obra. obra. Los problemas problemas tipo tipo 3.1 a 3.5 incluidos incluidos en en el apartado apartado sien guiente contienen contienen cinco ejemplos ejemplos de diagramas diagramas para para sólido sólido libre libre que que pueden pueden guiente repasarse fácilmente fácilmente como como recordatorio recordatorio de cómo cómo se construyen. construyen. repasarse resolver problemas, problemas, el estudiante estudiante suele suele preguntarse preguntarse cómo cómo empezar empezar y Al resolver qué pasos pasos debe debe seguir seguir para para llegar llegar a la solución. solución. Esta dificultad dificultad se reducirá reducirá al qué mínimo si se acostumbra acostumbra a encontrar encontrar primeramente primeramente alguna alguna relación relación entre entre la mínimo cantidad incógnita incógnita del del problema problema y otras otras cantidades, cantidades, conocidas conocidas y desconocidas. desconocidas. cantidad continuación se encontrarán encontrarán otras otras relaciones relaciones existentes existentes entre entre dichas dichas cantidacantidaA continuación des desconocidas desconocidas y otras otras cantidades, cantidades, conocidas conocidas o no. Por último, se establece establece des Por último, dependencia de los datos datos originales originales y se indica indica el procedimiento procedimiento para para el anáanála dependencia cálculo. Emplear Emplear unos unos minutos minutos en en organizar organizar el plan plan de enfoque enfoque melisis y el cálculo. diante el reconocimiento reconocimiento de la dependencia dependencia entre entre sí de las distintas distintas cantidades, cantidades, diante siempre será será provechoso provechoso y por por lo general general evitará evitará que que se retrase retrase el alcanzar alcanzar la siempre solución a causa causa de cálculos cálculos inútiles. inútiles. solución 3.4

MOVIMIENTO RECTILíNEO RECTILíNEO MOVIMIENTO

Pasamos ahora ahora a aplicar aplicar los conceptos conceptos examinados examinados en en los apartados apartados 3.2 y 3.3 a Pasamos problemas de movimiento movimiento de puntos puntos materiales materiales empezando empezando en en este este aparaparlos problemas tado por por el movimiento movimiento rectilíneo rectilíneo y tratando tratando el movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo en en el tado apartado 3.5. En ambos ambos apartados apartados se estudiarán estudiarán los movimientos movimientos de los cuercuerapartado pos que que pueden pueden ser tratados tratados como como puntos puntos materiales materiales o partículas. Esta simplisimplipos partículas. Esta ficación es aceptable aceptable mientras mientras sólo sólo nos nos interese interese el movimiento movimiento de la línea línea ficación descrita por por el centro centro de masa masa del del cuerpo, cuerpo, en en cuyo cuyo caso caso las fuerzas fuerzas pueden pueden tratradescrita


tarse como si concurrieran en el centro de masa. Cuando en el capítulo 6 examinemos la cinética de los cuerpos rígidos, incluiremos la acción de las fuerzas no concurrentes sobre el movimiento de los cuerpos. Si, por ejemplo, tomamos la dirección x coincidente con la del movimiento rectilíneo de un punto material de masa m, las componentes y y z de la aceleración serán nulas y las componentes escalares de la ecuación 3.3 se hacen

I.Fx

=

107 3.4 MOVIMIENTO

RECTILíNEO

ma;

I.Fy

O

I.Fz

O

(3.4)

En aquellos casos en que no sea posible hacer coincidir una de las direcciones coordenadas con la del movimiento, tendremos en el caso más general tres ecuaciones componentes

I.Fx

m«.

=,

I.Fy I.Fz

=

(3.5)

maz

donde la aceleración y la fuerza resultante

están dadas por

a = axi + ayj + azk a

,.,¡fa2x

+ a2y + a2y

I.F = I.F xi + I.Fyj + I.Fzk

II.FI = J(I.Fx)2

+ (I.Fy)2 + (I.Fzf

PROBLEMA TIPO 3.1

y I I I

Un hombre de 75 kg de masa se halla de pie sobre una báscula de resortes en el interior de un ascensor. Durante los tres primeros segundos de movimiento a partir del reposo, la tensión T del cable soportan te es 8300 N. Calcular la lectura R de la balanza en neuiion durante ese intervalo y la velocidad de ascenso v del ascensor alfinal del mismo. La masa total del hombre, el ascensor y la báscula es de 750 kg.

tT=8300N

y I I I

m tay

t

t(5(9'81)

= 736 N

t

R

750(9,81)= 7360N


Solución. La fuerza que registra la báscula y la velocidad dependen de la aceleración del ascensor, que es constante porque lo son las fuerzas durante el intervalo. A partir del diagrama para sólido libre del conjunto de hombre, ascensor y báscula, la aceleración resulta ser 8300 - 7360 = 750ay

ay = 1,257 m/ s2

En la báscula se lee la fuerza ejercida sobre ella por los pies del hombre. La reacción igual y opuesta R a esa acción se representa en el diagrama para sólido libre del hombre aislado solo con su peso, y la ecuación de movimiento correspondiente es

CD

Si la báscula estuviera calibrada en kilogramos, su lectura habría sido 830/9,81 = 84 ,6 kg que, desde luego, no sería su verdadera masa puesto que la medida fue hecha en un sistema no inercial. Sugerencia: Resolver nuevamente este problema empleando unidades del sistema técnico.

CD

[¿Fy

=

mayl

R - 736 = 75(1,257)

R

830 N

Resp.

La velocidad al cabo de los tres segundos es

[~v =

f

a dt]

v- O=

fa

1,257

dt

v = 3,77 mis

Resp.

PROBLEMA TIPO 3.2

H

Una pequeña góndola de inspección, de masa 200 kg, corre a lo largo del cable aéreo y está controlada por el cable que se sujeta en A. Hallar su aceleración cuando el cable de control está horizontal y con una tensión T = 2,4 kN. Calcular también lafuerza total P que el cable de sustentación ejerce sobre las ruedas.

I

y

a ~/x ;::- ;:;.::/]5 12

G

T=2,4kN

Solución. El diagrama para sólido libre de la góndola y sus ruedas como un todo, y tratadas como si fueran una partícula, incluye la tracción T de 2,4 kN, el peso W = mg = 200(9,81) = 1962 N Y la fuerza P que el cable ejerce sobre las ruedas. El vehículo se encuentra en equilibrio en la dirección y ya que no hay aceleración en esa dirección. Entonces

W=mg=1962N

CD

Colocando los ejes de coordenadas paralela y perpendicularmente a la dirección de la aceleración podemos resolver por separado las dos componentes escalares de la ecuación del movimiento. ¿Sería lo mismo si x e y se hubieran tomado horizontal y vertical respectivamente?

P - 2,4(~) - 1,962@)

=

O

P = 2,73 kN

Resp.

CD En la dirección x la ecuación del movimiento nos da a

108


7,30 m/s2

Resp.

PROBLEMA PROBLEMATIPO TIPO3.3 3.3

bloqueAAdedehormigón hormigóndede125 125kgkgsese ElElbloque abandonadesde desdeelelreposo reposoenenlalaposición posición abandona y arrastra el tronco representada representada y arrastra el tronco dede 200 kg kg por por lala rampa rampa dede 30° 30 ° arriba. arriba. 200 Siendo0,5 0,5elelcoeficiente coeficientedederozamiento rozamiento Siendo troncoyyrampa, rampa,hallar hallarlala cinéticoentre entretronco cinético velocidad del del tronco tronco cuando cuando elel bloque bloque velocidad da contra el suelo en B. da contra el suelo en B.

o CD

Solución. Los Los movimientos movimientos del del tronco troncoyy elelbloque bloque son son claramente claramente interdepeninterdepenSolución. dientes. Aunque Aunqueya ya deba deba ser ser evidente evidente que que lala aceleración aceleración del deltronco tronco rampa rampaarriba arriba dientes. es lala mitad mitad que que lala aceleración aceleración descendente descendente de de A, A, podemos podemos comprobado comprobarlo formalformales longitud constante constante del del cable cable es es LL == 2sc 2sc ++ SSAA ++ constante, constante, donde donde lala consconsmente. La La longitud mente. tante corresponde corresponde aa las las longitudes longitudes de de cable cable arrolladas arrolladas en en las las poleas. poleas. Derivando Derivando tante dos veces veces respecto respecto al al tiempo tiempo resulta resulta OO == 25'C 2É;"c + + SÉ;"A; A ; oo sea sea dos

T

\

\200(9,81) N \ \

//''\

Suponemos aquí aquí que que las las masas masas de de las las poleas poleas son son despreciables despreciables yy que que giran giran Suponemos con unos unos rozamientos rozamientos despreciables. despreciables. Con Con estas estas hipótesis hipótesis el el diagrama diagrama para para sólido sólido con de la la polea polea revela revela el la traclibre de libre el equilibrio equilibrio de de fuerzas fuerzas y momentos, momentos, de de donde donde la tractronco es bloque. Obsérvese ción ción en en el cable cable sujeto sujeto al tronco es doble doble que que la la del del sujeto sujeto al bloque. Obsérvese que son que las las aceleraciones aceleraciones del del tronco tronco y y la la polea polea son iguales. iguales. En En el diagrama diagrama para para sólido sólido libre libre del del tronco tronco se muestra muestra la fuerza fuerza de de rozamienrozamiento f.1J'l !1,;N que que se opone opone al movimiento movimiento rampa rampa arriba. arriba. El equilibrio equilibrio del del tronco tronco en en la

e

N

CD CD

e

dirección dirección yy da da N N -- 200(9,81) 200(9,81) cos cos 30· 30·

2

== OO

0,5(1699) 0,5(1699)-- 2T 2T ++200(9,81) 200(9,81) sen sen 30· 30·

A

o

4

=

200 200 aac c

125(9,81) 125(9,81)-- TT == 125a 125aAA

aacc == -- 0,888 0,888mi mI s2s2

VA

las coordenadas empleadas empleadas para Las coordenadas para exexpresar la relación del vínculo cinétipresar la relación del vínculo cinético final final deben deben ser ser coherentes coherentes con con las las co empleadas en en las las ecuaciones ecuaciones cinéticinétiempleadas caso cas.

cometería suponiendo T= 125(9,81) N,pues puesen ental tal caso caso elelbloque bloque AAno nosese N, aceleraría. aceleraría.

1004NN TT == 1004

2(1,777)(6) == 4,62 = JJ2(1,777)(6) 4,62mi mIs s

1+

Obsérvese elel grave grave error error que que se se o0) Obsérvese cometería suponiendo T = 125(9,81)

Durante Durante lalacaída caída de de 66mm con con aceleración aceleración constante, constante, elelbloque bloque adquiere adquiere lalavelocivelocidad dad [v[v22 ==2ax] 2ax]

~:

125(9,81) N

mente el el tronco tronco subirá subirá por por la la rampa rampa mente calculando la la fuerza fuerza que que debe debe ejerejercalculando cer el el cable cable para para iniciar iniciar el el movimovicer miento aa partir partir del del estado estado de de miento equilibrio. Esta fuerza es 2T = 0,5N equilibrio. Esta fuerza es 2T = 0,5N 200(9,81 )sen )sen 30° 30° = = 1831 1831 N, N, oo sea sea ++ 200(9,81 915 N, N, inferior inferior alal peso peso 1226 1226 del del TT==915 bloque A. Así pues, el troco se movebloque A. Así pues, el troco se moverampa arriba. arriba. rárá rampa

Resolviendo Resolviendo elel sistema sistema de de tres tres ecuaciones ecuaciones en en ac, ao aA aAY YTT obtenemos obtenemos

aaA

T .

o

Para Para el el bloque bloque tenemos, tenemos, en en la la dirección dirección positiva positiva hacia hacia abajo, abajo,

2 = 1,777 1,777 m/s m/s2

2T~

Podemos comprobar comprobar que que efectivaefectiva(3) Podemos

N == 1699 1699 N N N

yy la la ecuación ecuación del del movimiento movimiento en en la la dirección dirección xx da da

[+ [+ ~t HH== ma] ma]

, /0,5 N

x/

0= 2a 2acc + aaAA 0=

eh

Resp. Resp.

o

Como en en este este sistema sistema las las fuerzas fuerzas @ Como

permanecen constantes, constantes, las lasaceleraacelerapermanecen ciones resultantes resultantes permanecen permanecen tamtamciones biénconstantes. constantes. bién

109 109


PROBLEMA TIPO 3.4 El modelo a escala de un nuevo barco tiene una masa de 10 kg Y se ensaya en un canal hidrodinámico para determinar su resistencia al movimiento a través del agua a distintas velocidades. En el gráfico se plasman los resultados del ensayo, pudiendo aproximarse la resistencia muy fielmente mediante la curva parabólica de trazo discontinuo que se representa. Si el modelo se abandona a sí mismo cuando su celeridad es 2 mls, hallar el tiempo t necesario para que la celeridad se reduzca a 1 mls y la correspondiente distancia recorrida x.

8

I I

6

/

R,N /

4

,,.••.~

2

.••.

j ....

--

1

2

u, mis

La relación aproximada entre resistencia y velocidad puede tomarse R = kv2, donde k se determina haciendo R = 8 N Yv = 2 mI s, lo que da k = 8/22 = 2 N· s2/m2. O sea R = 2v2. La única fuerza horizontal que actúa sobre el modelo es R, por lo que Solución.

1

Póngase cuidado en observar el signo menos de R.

CD

_ 2v2

o bien

=

10 dv dt

Separando variables e integrando se obtiene fto dt Entonces, cuando v

-SfD dv 2 v2

= vo/2 = 1 mI

s, el tiempo es t

=

SCI-~)

=

2,S s

Resp.

La distancia recorrida durante estos 2,S segundos se obtiene integrando v = dx/dt.Asípues, v = 1O/(S+2t) de forma que

® Sugerencia:

Expresar la distancia x tras la suelta en función de la velocidad v y ver si concuerda con la relación resultante x = 5 In(vo/v).

=

o

f~ dx

= fa's S ~02t

x

= ~oln(S + 2t) ]5,5 = 3,47 m

Resp.

PROBLEMA TIPO 3.5

La corredera de masa m se desliza por el eje vertical hacia arriba bajo la acción de una fuerza F de módulo constante y dirección variable. Si e = ki, donde k es una constante, y si la corredera parte del reposo siendo e = O, hallar el módulo F de lafuerza que actúa sobre la corredera cuando ésta se acerca al reposo cuando e =71:12. El coeficiente de rozamiento cinéiico entre el eje y la corredera es flc


F

rng

ecuació n escribim os lala ecuación libre, escribimos sólido libre, para sólido Solución. diagram a para dibujar elel diagrama Tras dibujar Solución. Tras resulta direcció n yy yy resulta para lala dirección del movimi ento para del movimiento FF cos cos

CD desdel desfunción del en función expresa ra eeen CD SiSi sese expresara

dv dv

mg ==m dt m dt !le-rng ee==Ilc-

Sustitue.Sustitusen e. N == FF sen que N requier e que horizon tal requiere donde direcció n horizontal la dirección en la equilibr io en el equilibrio donde el s tenemo os genéric tenemos límites genéricos entre límites yendo in tegrand o entre kt ee integrando por kt yendo por

ee

J~ f!

m rng)dt == m kt -- mg)dt sen kt (F !lJ sen kt -- IlJ cos kt (F cos

plazamiento del lugar del en lugar vertical yy en plazam iento vertical itiempo t, la aceleración se converticonvert se ión acelerac tiempo t, la ría desplazadel desplazafunción del una función en una ría en miento dy. dv ==aa dy. emplearíamos vv dv miento yy emplearíamos

f~ dv J~ dv

en convier te en se convierte que se que FF rnv = mv rngt = - 1)] - mgt kt -1)] !le(cos kt ¡;Jsen kt + Ilc(cos 7([sen kt

Para Para

2

que modo que de modo O, de ni 2 yy vv == O, hace t = rr/2 se hace e= tiempo se ni 2, elel tiempo e= rr/2, F -[1+//(0-1)]k ~c

mgrr =0 2k

F = =

y

mgrr rngn 2(12(1 - Il!le) c)

Resp. Resp.

Q)Vemos depenno depenresultados no los resultados que los Q)Vemos que den de unidad de por unidad variación por k, variación de k, den de tiempo fuerza. de la fuerza. dirección de la dirección de la tiempo de

r

PROBLEMAS LEMAS PROB ctorios as introdu Problemas introductorios Problem vil de 3.1 En un unaa prueba prueba de de frenado frenado, , el automó automóvil de tracción tracción dedeEn 3.1 de inicial d celerida una de partir a m 50 lantera se detiene en partir una celeridad inicial de en detiene lantera ras puede 95 km I/h. Sabiendoo que que a las ruedas ruedas delante delanteras puede atribuir atribuir- h. Sabiend seles 90% de la fuerza fuerza de frenado frenado, , hallar hallar la la fuerza fuerza de de frenado frenado les el 90% se Ff en cada cada rueda rueda delante delanterara y la fuerza fuerza de de frenado frenado Fr F, en en cada cada F¡ lleva kg, 1200 de rueda trasera. trasera. Supone Suponer r que que el vehícul vehículo,o, de 1200kg. lleva una una rueda te. eración constan desacel des aceleración constante. Resp. Resp. F¡ Ff== 3760 3760 N, N, Fr r, == 418 418 N N

1----------- -- 50 m --- -- - - . ;¡,. ,IO1 f-I50 m -------

Figura problem problemaa 3.2 Figura 3.3 ¿Qué fracción fracción nn del del peso peso del del avión avión a reacción reacción represe represen-n¿Qué 3.3 cia resisten la ta el empuje neto (empuje morro menos resistencia menos T morro el en ta el empuje neto (empuje ánun do forman del aire R) necesario para que avión suba formando un ánsuba avión el que para io necesar R) del aire ión a en la digulo e e con con la la horizon horizontal animado o ddee una una acelerac aceleración tal animad gulo rección de de vuelo? vuelo? rección

••••.. O

= V2 V2 =

/h V1 == 95 95 km km/h v,

~_R

Resp. nn == sen sen e+ e+ ~~ Resp. gg

Figura Figura problem problemaa 3.1 3.1

re el 3.2 El embalaj embalajee de de 50 50 kg kg se se deposit depositaa poco poco aa poco poco sob sobre el El 3.2 ad nula. plano inclinadoo con con una una velocid velocidad nula. Describ Describirir qué qué ocurre ocurre ano inclinad pl (a) e= e= 15° 150 yy (b) (b) e= e= 10°. 100. sisi (a)

T Figura problem problemaa 3.3 3.3 Figura

111


3.4 El 3.4 El embalaj embalajee de 50 50 kg se proyect proyectaa a lo largo del suelo desde con una celerida de el el punto punto x == O Ocon celeridadd inicial de 7 mi mi s. Siendo 0,4 0,4 el nte de rozamie nto cinético el coeficie coeficiente rozamiento cinético,, calcular el tiempo que tiempo que tarda en pararse pararse y la distanci distanciaa x que recorre. recorre.

-

horizon tal neta F que deben ejercer las correas sobre la niña horizontal niña para que ezca fija para que ésta perman permanezca fija a la silla. La niña se tratará como si punto material materia l y se definirá si fuera fuera un punto definiránn las hipótes hipótesis comple-is comple mentari as que puedan puedan ser necesarias necesarias para mentarias para el análisis. Resp. F == 833 833 N

vO= Vo = 7m/s 7 mis

~

/le Jle ==

0,4 0,4

Figura problem a 3.4 Figura problema

3.5 problem a 3.4 se proyecta 3.5 El embalaj embalajee del problema proyect a ahora hacia hacia abajo por una rampa rampa con una celeridad celerida d inicial de 7 mi abajo por mi s.s. Calcular tiempo tt que tarda tarda en pararse lar el el tiempo pararse y la distanc distancia ia x que recorre si (a) e 8== 15° 15° Y (b) si e 8== 30°. 30°. Resp. (a) t == 5,59 5,59 s, x == 19,58 19,58m, m, (b) (b) El embalaj embalajee no se detiene

Figura Figura problem problema a 3.7

Figura problem Figura problema a

u

••

•

lO

3.8 El collarín A se desliza libremente 3.8 libreme nte a lo largo del eje eje liso liso B montad o en el bastido r. El plano de éste es vertical. Bmontado bastidor. Hallar vertical. Hallar la la acelerac ión a del bastidor bastido r necesar aceleración necesaria ia para que el collarín coll arín se manmantenga en una posición posició n fija eje. fija respecto al eje.

3.5

3.6 Durant espegue , cada uno de los cuatro 3.6 Durantee la carrera de ddespegue, motores pasajero s de 300 motores de un avión ddee pasajeros 300 Mg produc producee un un emempuje te de 180 puje casi constan constante 180 kN. Hallar Hallar la longitud pista relongitu d s de pista requerida ad ddee despegu querida si la velocid velocidad despeguee es ddee 220 220 km/h. Calcularr km / h. Calcula ss primero primero para para un ddespegue espegue pendiente sentido de de A pendien te arriba en sentido A aa By B y después para un despegu después para despeguee pendiente sentido de de pendien te abajo, en sentido B aa A, a lo largo de la pista leveme B A, a levemente las nte inclinada. inclinad a. Despreciar Desprec iar las resistencias ddel el aire y a la roda resistencias dura. rodadur a. 0,5

B

---aa

Figura problema Figura problem a

3.8

3.9 Calcula 3.9 Calcularr la acelerac aceleración de 150 150 kg ión vertical a del cilindro de kg en los los dos casos ilustrados. ilustrad os. Desprec en Despreciar iar el rozamiento rozamie nto y la la masa masa de las poleas. Resp. (a) m i S2, Resp. (a) a == 1,401 1,401mi s2, (b) a = = 3,27 3,27 m mi i s2 S2

~=0'~~~1~==~~~~·~~····§··§~~~~~~~J A

JJ Horizon Horizontaltal Figura problem a 3.6 Figura problema

3.7 Como parte del proceso de diseño de una sillita de segu3.7 ridad para nií'los, un ingeniero ingenie ro examina ridad para niños, condicio-examin a el conjunto conjunt o de condicio nes posibles posibles siguientes: siguien tes: Una niña de 12 nes 12kg kg viaja en la sillita, que que aa su firmem ente sujeta al asiento del automó su vez está firmemente automóvil. Éste vil. Éste s1.úre sufre un choque frontal con otro vehícul vehículo. celeridadd inicial Vo Vo o. La celerida del vil es de 50 km lZh, del automó automóvil durante el el h, que se reduce a cero durante ch oque de 0,2 n . Suponie choque 0,2ss de duració duración. Suponiendo choque ndo que durante durante el choque el vil se desacel ere uniformemente, uniform emente, estimar la fuerza el automó automóvil desacelere fuerza

112


(al (a)

(b) (bl Figura problem a 3.9 Figura problema

Problemas Problemas representativos representativos

Un automóvil automóvil desciende desciende del cerro por la pendiente pendiente el e} aplicados de modo modo que la celeridad celeridad v con los frenos levemente levemente aplicados se mantiene mantiene constante. constante. En el punto punto A, la pendiente pendiente disminuye disminuye bruscamente bruscamente a e e2.. Si Si el chofer no varía varía la fuerza de frenado, frenado, hallar la aceleración a del automóvil automóvil a partir partir del punto punto A. ParticuParticularizar la expresión expresión deducida deducida para para el e} == 6° Y 8z e2 == 2°.

3.10 3.10

100

99

98 98

3

22

11


banda transportadora transportadora A, que se mueve mueve a la velociLa banda dad VI mi s, conduce conduce objetos pequeños pequeños hasta hasta la rampa rampa de dad v} == 0,4 mi longitud. Si la banda banda transportadora transportadora B tiene una una celeri2 m de longitud. dad V2 == 0,9 0,9 mi mi s y los objetos llegan llegan a ella sin resbalar, resbalar, calcular calcular dad rampa. el coeficiente de rozamiento rozamiento I1c u¿ entre entre los objetos y la rampa.

3.14 3.14


El coeficiente de rozamiento plataforma rozamiento estático entre la plataforma del camión y la caja caja que transporta transporta es 0,3. Hallar Hallar la distancia distancia mínima de frenado frenado que puede puede recorrer recorrer el camión, partiendo partiendo de una celeridad / h yY siendo celeridad de 70 70 km km/h siendo constante constante la aceleración durante el frenado, sin que la caja resbale hacia adelante. adelante. Resp. s == 64,3 Resp. 64,3 m

3.11


Se observa figura lleva una observa que el bloque bloque de la figura una velocidad VI 20 m I s al pasar pasar por por el punto punto A y una una velocidad velocidad V2 == dad v} = = 20 10 mi mi s al pasar pasar por por el punto punto B del plano plano inclinado. inclinado. Calcular Calcular el coeficiente de rozamiento entre el bloque rozamiento cinético l1e I1c entre bloque y el plano plano si x = = 75 75 m my e e == 15°. 15°. Resp. Resp. u¿ I1c == 0,479 0,479

3.15 3.15

A

~x

Figura Figura problema problema 3.11

- - vI

~B I

Si una veSi el camión del problema problema 3.11 3.11 se detiene detiene desde desde una adelante de 70 70 km/h km/h en una una distancia distancia de locidad inicial hacia adelante 50 m y bajo una desaceleración desaceleración uniforme, uniforme, averiguar averiguar si la caja espaldera de la plataforma. plataforma. Si Si golpea, calcular golpea contra la espaldera calcular la respecto al vehículo vehículo en el momento momento del la celeridad de la caja respecto rozamiento tómense tómense l1e l1e = = 0,3 impacto. Como coeficientes de rozamiento 0,3 Y Y Jie== 0,25. 0,25. I1c

--_

3.12 3.12

compone de una locomotora locomotora de 180 Mg Y Un tren se compone cien vagones tolva de 90 Mg. Si, Si, al poner poner en marcha marcha el convoy cien locomotora ejerce sobre los raíles una una fuerza fuerza desde el reposo, la locomotora rozamiento de 180 kN, calcular las fuerzas en los enganches enganches de rozamiento 100. Suponer Suponer que no hay huelgos huelgo s en los enganches enganches y des1 y 100. el rozamiento. rozamiento. preciar el Resp. T11 == 176,5 176,5kN, = 1765 1765 N Resp. kN, TlOO lOO =

3.13 3.13


Un motor motor de iones de cesio para para la propulsión propulsión en el espacio interestelar empuje diseñado para para producir producir un un empuje interestelar se ha diseñado constante constante de 2,5 2,5 N durante durante largos largos períodos períodos de tiempo. Si el motor está impulsando espacial en una impulsando una una nave espacial una misión misión interplainterplanetaria, netaria, calcular calcular el tiempo tiempo t necesario necesario para para que la velocidad velocidad aumente 65 000 aumente de 40 000 000 km/h km / h a 65 000 km/h. km / h . Hallar Hallar también también la distancia s recorrida recorrida durante Supóngase durante ese intervalo intervalo de tiempo. Supóngase que la nave se está moviendo moviendo en una una región región lejana del espacio donde empuje de su motor fuerza que acdonde el empuje motor iónico es la única única fuerza túa túa sobre ella en la dirección dirección de su movimiento. movimiento.

3.16 3.16

113 113


3.17 Durante 3.17 Durante un un ensayo de fiabilidad, una una tarjeta de circuito impreso una vibradora impreso de masa m se sujeta a una vibradora electromagnética electromagnética y se somete a un movimiento movimiento armónico x == X sen rot, on, donde donde X es la amplitud amplitud del movimiento, movimiento, ro m es la pulsación pulsación en radianes radianes por segundo segundo y t es el tiempo. Hallar Hallar el módulo módulo Fmax max de la fuerza horizontal máxima que la máquina máquina ejerce sobre la tarjeta. horizontal Resp. F Fmax = mXoJ mXoJ Resp. max =

3.20 Hallar la aceleración de cada cilindro y la tracción que Hallar 3.20 sufre el cable superior desde el resuperior cuando cuando el sistema se libera desde poso. poleas. poso. Despreciar Despreciar el rozamiento rozamiento y las masas masas de las poleas.

A

50 50 kg

Figura problema 3.20 problema 3.20 Figura problema problema 3.17 3.17

3.18 El punto punto O es el eje de giro de un péndulo péndulo simple que 3.18 El libremente en el plano plano vertical de la placa. placa. Si Si ésta recibe oscila libremente constante a dirigida dirigida plano plano inclinado inclinado e e arriba, una aceleración constante expresión del ángulo ángulo constante constante f3 que adopta adopta el pénescribir la expresión siguen al arranque. arranque. dulo tras el cese de las oscilaciones que siguen Despreciar la masa del brazo brazo del péndulo. péndulo. Despreciar

3.21 Se repite aquí 2.209 a la que 3.21 aquí la ilustración ilustración del problema problema 2.209 se añade añade información información acerca de las masas. Despreciar Despreciar todos los rozamientos y las masas de las poleas y hallar hallar las aceleraciones rozamientos cuerpos A y B cuando cuando se abandonan abandonan desde desde el reposo. de los cuerpos

Resp. aAA Resp.

1,204 mi m/s2s2 plano plano abajo 1,204

aBB

0,682 mi mi s2 hacia arriba 0,682

H ••

'1

10kg 10kg problema 3.21 3.21 Figura problema


3.19 Si los coeficientes de rozamiento rozamiento estático y cinético en3.19 Si bloque A de 20 kg Y el carretón carretón B de 100 100 kg son prácticatre el bloque 0,50, hallar hallar la aceleración de cada parte parte para para (a) mente iguales a 0,50, (b) P = 40 N. P = 60 N Y (b) N.

3.22 El sistema se abandona abandona desde desde el reposo reposo con el cable ten3.22 El Despreciando la pequeña pequeña masa de la polea y el rozamiento so. Despreciando rozamiento cuerpo y la tracción Ten en ella, calcular la aceleración de cada cuerpo tracción Ten instante inicial si (a) f.1e 0,25 Y f.1c el cable en el instante /.le = 0,25 /.le = 0,20 0,20 Y (b) (b) f.1e /.le = = 0,15 Y f.1c 0,10. 0,15 /.le == 0,10.

2,a2 , a = Resp. m/s m /2 s 2 Resp. (a)a (a)aAA == 1,095 1,095m/s 0,981m/s B B == 0,981

(b)aAA

=

== 0,667m 0,667m/s/2s 2 aB =

20kg 20kg 100kg 100 kg problema 3.22 3.22 Figura problema


114 114


El El aparejo del problema problema 3.22 3.22 se modifica como se muesJ.1e = = 0,25 0,25 Y J.1c J.1e = = 0,20, 0,20, tra. Para unos coeficientes de rozamiento rozamiento J.1e calcular la aceleración de cada cuerpo cuerpo y la tracción T en el cable. cable.

3.23 3.23

Resp. aA

1,450 mi mi s2 s2 hacia abajo 1,450

aBB

0,725 0,725 m mii s2 s2 hacia arriba

T=105,4N T 105,4 N

3.26 La aceleración del carro A de 50 3.26 50 kg en sus guías lisas verticales está controlada por la tracción T que se ejerce en el controlada por espigas fijas fijas al cacable de accionamiento accionamiento que pasa pasa por las dos espigas Hallar el valor de T necesario para para que la aceleración desrro. Hallar cendente 0,20 el coeficiente cendente del carro no rebase los 1,2 m mii S2 si es 0,20 de rozamiento rozamiento entre el cable y las espigas. (Recuérdese que la relación que guardan guardan las tracciones que sufre un cable flexible deslizarse por una una superficie cilíndrica es T22 = = T11eJ.lf3.) eP¡3. ) al deslizarse

B B


~~TT El mecanismo de la figura es un acelerómetro y se compone de un émbolo A de 100 100 g que deforma el resorte cuando cuando la carcasa carcasa recibe una aceleración ascendente ascendente a. Expresar qué constante recuperadora recuperad ora necesita el resorte para para que el émbolo lo acorte 6 mm desde la posición de equilibrio y toque el contacto eléctrico cuando cuando la aceleración que aumenta aumenta lenta y constanteeléctrico 5g. Puede Puede despreciarse despreciarse el rozamiento. mente alcance el valor de 5g. 3.24 3.24


3.27 Un jugador horizontalmente una 3.27 jugador de béisbollanza béisbol lanza horizontalmente una pelota pelota tiene hacia un radar radar manual manual sensible a la velocidad. velocidad. La pelota una masa de 0,146 0,146 kg Y Y un perímetro perímetro de 230 230 mm. Si Si en x = = O Ola celeridad es Vo == 140 140 km /Zh, celeridad en función del celeridad h, calcular la celeridad aerodinámica tiempo. Se Se supondrá supondrá que la resistencia horizontal horizontal aerodinámica al movimiento donde Coo es el al movimiento de la pelota pelota es O = CD(~pv2)S, CD(~pv2)S, donde ves la celeridad celeridad coeficiente de retardo, retardo, p es la densidad densidad del aire, ves y S es la superficie de la sección frontal de la pelota. Para Coo tómese un valor de 0,4. componente yy del 0,4. Puede Puede despreciarse despreciarse la componente movimiento pero justificando movimiento justificando la validez de esta hipótesis. Pardistancia aproxiticularizar el resultado resultado para para x == 18 m, que es la distancia mada entre la mano del lanzador puesto meta. mada lanzador y el puesto PSx / m) = voe- 5,22(IO-3)x 5,22(lO- 3)x Resp. vv = voe( voe(-- O,5C O,5CooPSx/m) Resp.


VIS

= 127,5 127,5

km/h kmlh

Un cilindro de masa m descansa descansa sobre un carrito base tal como se representa. representa. Si f3 == 45° Y e () == 30°, 30°, calcular la aceleratal ción ción pendiente pendiente arriba máxima máxima a que puede puede comunicarse comunicarse al carrito sin que el cilindro pierda pierda contacto en B. B. Resp. a == 0,366g

3.25 3.25

o n



3.28 movimiento horizontal 3.28 La resistencia total R al movimiento horizontal de un cohete experimental representa experimental que se mueve mueve sobre carriles se representa mediante continua del gráfico. Aproximar Aproximar R mediante mediante la línea continua mediante la línea de trazos y determinar determinar la distancia distancia x que el cohete debe recorrer en los raíles desde su estado estado de reposo reposo hasta recorrer hasta alcanzar alcanzar una velocidad de 400 motores del couna velocidad 400 m mii s. El empuje empuje T de los motores

115


hete es prácticamente constante y vale 300 kN, Yel peso total del cohete permanece, también, prácticamente constante y vale 2Mg.

deja caer un cono de acero de masa m desde una altura h que penetre en el material. La resistencia R de éste a la penetración depende de la sección transversal frontal del objeto penetrante, y por ello es proporcional al cuadrado de la distancia x penetrada por el cono, o sea, R = - kx2. Si el cono se detiene a una distancia x = d, hallar la constante k en función de las condiciones y resultados del ensayo.

300

v....

1/

200

.... V •..• .... v ~ •..• •..• V

100 I"""/"

V 100

200 300 v, mis

Figura problema

400

500

J

3.28

3.29 La velocidad de contacto de un reactor de masa 5 Mg es de 300 km/h, instante en que se despliega el paracaídas de frenado y se cortan motores. Si la resistencia total sobre el avión varía con la velocidad tal como muestra el gráfico, calcular la distancia de pista x que recorre el avión hasta que su velocidad se reduce a 150 km/h. La variación de la resistencia puede aproximarse mediante la expresión D = kv2, donde k es una constante. Resp. x = 201 m

If'

.

Figura problema

3.30

3.31 El collarín de 1,8 kg se deja caer desde el reposo sobre el resorte elástico sin masa, cuya constante recuperadora es 1750 N 1m y que está comprimido una distancia de 150 mm. Hallar la aceleración a del collarín como función del desplazamiento vertical x del mismo medido en metros desde el punto de suelta. Determinar la velocidad v del collarín cuando x = 0,15m. El rozamiento es despreciable. Resp. ax = 136,0- 972x, v = 4,35 mi s

11

"

t

x

120 ~ 100 el 80

.g'"

V

1

/

60

/ /

.~ 40

Jl

/

V

20

Figura problema

3.31

V

00

»> 100 200 Velocidad v, km/ s

Figura problema

300

3.29

3.30 En un ensayo para determinar las características al aplastamiento de un relleno de poliestireno para embalajes, se

3.32 Una fuerza constante P arrastra una cadena pesada de masa p por unidad de longitud por una superficie horizontal compuesta de una zona lisa y una zona rugosa. Si al comienzo la cadena descansa sobre la superficie lisa, siendo x = OYJ.1.c el coeficiente de rozamiento cinético entre la cadena y la superficie rugosa, determinar la velocidad v de la cadena para x = L. Supóngase que la cadena permanece tirante y que por ello se

116


mueve toda a la vez durante el movimiento. ¿Cuál será el valor mínimo de P para que la cadena permanezca tirante? (Indicación: La aceleración no debe hacerse negativa.)

3.35 Al carro inicialmente en reposo se aplica una fuerza P. Hallar la velocidad y el desplazamiento en el instante t = 5 s para cada una de las evoluciones P1 y P2 de la fuerza. Despreciar el rozamiento. Resp. Para P1: v = 12,5 mi s, s = 20,8 m Para P2: v = 8,33 mi s, s = 10,42 m

P,N

Rugosa,¡.le

Lisa

3.32

Figura problema

50 1 1 1

3.33 Una cadena de longitud 21 y masa p por unidad de longitud cuelga del modo representado. Si al extremo Bse le da un leve desplazamiento hacia abajo, el desequilibrio genera una aceleración. Hallar la aceleración de la cadena en función del desplazamiento hacia arriba x del extremo A y determinar la velocidad v del extremo A cuando llega arriba. Despreciar la masa y el diámetro de la polea. Resp. a

re es ato

(-

=

yg,

v

=

Jil

I . 10kg

I-!-

"+1

O """'=--

1'--

O

Parábola t, s

5 3.35

Figura problema

3.36 Hallar las aceleraciones de los cuerpos A y B Y la tracción en el cable a consecuencia de la aplicación de la fuerza de 250 N. Despreciar todos los rozamientos y las masas de las poleas.

r

35kg

1

l

A

Figura problema

3.36

B

Figura problema

3.33

3.34 Una barra de longitud 1 y masa despreciable enlaza el carrito de masa M y la partícula de masa m. Si el carrito está animado de una aceleración uniforme a hacia la derecha, ¿qué ángulo e con la vertical forma la barra libremente oscilante cuando ésta alcanza la posición estacionaria? Hallar la fuerza neta P (no representada) a aplicar al carrito para que éste adquiera la aceleración especificada.

3.37 Para ensayar la resistencia al movimiento de un baño de aceite, se suelta una pequeña bola de acero de masa m desde el reposo en la superficie (y = O).Si la resistencia al movimiento está dada por R = kv, donde k es constante, deducir una expresión para la profundidad h necesaria para que la bola adquiera una velocidad v. _~ k2

Resp. h -

( 1 In 1- kv/(mg)

)_mv

k

-a

o se

Figura problema

Figura problema

3.34

3.37

117


3.38 Si la bola de acero del problema 3.37 se abandona desde el reposo en la superficie de un líquido en cuyo seno la resistencia al movimiento es R = co', donde e es una constante y v es la velocidad de descenso de la bola, determinar la profundidad h necesaria para que la bola adquiera una velocidad v. 3.39 Se representan dos montajes diferentes del dispositivo de elevación de un ascensor. El ascensor A con el motor y el tambor instalados en él posee una masa total de 900 kg. El ascensor B con el tambor, pero sin motor instalado, posee también una masa de 900 kg. Si en ambos casos el motor aplica un par constante de 600 m· N, durante 2 s, a su tambor de 250 mm de diámetro, elegir el montaje que produzca la mayor aceleración ascendente y hallar la correspondiente velocidad v del ascensor a los 1,2 s de la partida desde el reposo. La masa del tambor del motor es pequeña y puede analizarse como si estuviera en equilibrio. Despreciar las masas de cables y poleas y todos los rozamientos. Resp. La mayor aceleración la da el montaje (a) v = 7,43 mis

1-<1

3.41 Un amortiguador es un mecanismo que ofrece una resistencia a la compresión o a la tracción dada por R = co, donde e es una constante y v es la variación de longitud del amortiguador por unidad de tiempo. Se representa el ensayo de un amortiguador de constante e = 3000 . slm con un cilindro de 100 kg suspendido de él. El sistema se suelta con el cable tirante en el punto y = O Y se deja que se alargue. Hallar (a) la velocidad uniforme Vs del extremo inferior del amortiguador y (b) el instante t y el desplazamiento y del extremo inferior cuando el cilindro alcanza el 90% de su velocidad uniforme. Despreciar las masas del pistón y su biela. Resp. (a) Vs = 0,327 mi s (b) t = 0,0768 s, Y = 15,29 mm

~

~ I

deformado y el sistema está en reposo, se aplica al cilindro una fuerza constante de 10 N, hallar la velocidad del cilindro cuando x = 40 mm y el máximo desplazamiento del mismo.

25O mm

qb\

q

A

B

m

Figura problema

=

100 kg

3.41

¡-., I

(al

250 mm

(bl

3.42 Las correderas A y B están conectadas mediante una barra rígida liviana de longitud 1 = 0,5 m y se mueven sin rozamiento por las guías horizontales. Para la posición XA = 0,4 m, la velocidad de A es vA = 0,9 m I s hacia la derecha. Hallar la aceleración de cada corredera y la fuerza que sufre la barra en ese instante.

~ Figura problema

3.39

3.40 El resorte de constante k = 200 N I m está sujeto al soporte y al cilindro de 2 kg que se desliza libremente por la guía horizontal. Si en el instante t = O, en que el resorte no está

~

I

Posición de equilibrio

I

¡rl

P=40N

• 200N/m

ION

2kg

Figura problema

1----

3.40

XA ----

Figura problema

118


3.42

un de

an10-

3.43 Las Lascorrederas correderasAAyyBestán B estánconectadas conectadasmediante medianteuna unababa3.43 rrarígida rígidaliviana livianayysesemueven muevensin sinrozamiento rozamientopor porlas lasranuras, ranuras, rra lascuales cualessesehallan hallanambas ambasen enelelplano planovertical. vertical.En Enlalaposición p osición las ilustrada,lalavelocidad velocidadde deAAeses0,4 0,4mi mis shacia hacialaladerecha. d erecha.Hallar Hallar ilustrada, la aceleración de cada corredera y la fuerza sobre la barra en la aceleración de cada corredera y la fuerza sobre la barra en ese instante. ese instante. 2 (hacia la derecha), Resp.aA= aA =7,95 7,95mi m/s Resp. s2 (hacia la derecha), aB==8,04 8,04mi miS2(hacia S2 (haciaabajo) abajo) aB T=25,0 25,0NN T=

PP Figura Figuraproblema problema 3.46 3.46

~~3.47 3.47 El El sistema sistemase seabandona abandona desde desdeelelreposo reposoen enlalaposiposición representada. Calcular la tensión T de la cuerda ción representada. Calcular la tensión T de la cuerdayylalaaceleaceleración del bloque bloque de de 30 30 kg. kg. Se Se desprecian d esprecian lala masa masa de de lala ración aa del pequeña pequeñapolea p olea sujeta sujeta alal bloque bloque yy elel rozamiento rozamiento en en lalamisma. mism a. (Sugerencia: (Sugerencia: Empezar Empezarestableciendo estableciendo lala relación relación cinemática cinemáticaenentre delos los dos dos cuerpos.) cuerpos.) trelas las aceleraciones aceleracionesde Resp. a == 0,766 Resp. TT == 138,0 138,0N, ,a 0,766mi miS2 S2

(h) do re-


e

¿Para qué qué valor(es) valor(es) del del ángulo ángulo e tendrá tendrá el el bloque bloque de de ¿Para 35 kg kg una una aceleración aceleración de de 99 mi m i s2hacia S2 h acia la la derecha? derecha? 35 3.44 3.44

44 ~3 ~3

P=450N P=450N

d 35~ . --~ ~~

!le !le = = 0,6, 0,6,!le u¿ == 0,5 0,5

abaoza-

Am, ar la



3.45 Calcular 3.45 Calcular la la aceleración aceleración del del bloque bloque AA en en el el instante instante rerepresentado. asa de presentado. Despreciar Despreciar la la m masa de la la polea. polea. Resp. Resp. aax ==1,406 1,406 mi mi S2s2

~ 3.48 3.48 Dos esferas esferas dde hierro, ambas ambas dde 100 mm mm de de diám diáme~ Dos e hierro, e 100 etro, se se abandonan abandonan desde desde el el reposo reposo con con una una separación separación entre entre tro, centros de de 11m m.. Supóngase Supóngase que que se se encuentran encuentran en en un un lugar lugar del del centros espacio ddonde no hay hay otra otra fuerza fuerza que que la la atracción atracción gravitatoria gravitatoria onde no espacio mutua yy calcular calcular el el tiempo tiempo tt necesario necesario para para que que las las esferas esferas enenmutua tren en contacto entre sí y la celeridad absoluta v de cada una tren en contacto entre sí y la celeridad absoluta v de cada una tocarse. alal tocarse. Resp. tt == 13 13 hh 33 33 min min Resp.

x

a en

30° !l.u, == 0,50} 40 0,50} 40kg kg !le = 0 ,40 ~ •• !le = 0,40 ~

<, ~ T= N T= 100 100N

= 4,76(10 4,76(10 -- 5) 5) mmiiss vv =

C:::::=::::::::~::=:::::::::"'''::::::::::i ~::::::,::::::::::::::::::::::::::::-==::::::l Figura Figuraproblema problema 3.45 3.45 100mm 100 mm

~ ~ 3.46 3.46

Con Conlos losbloques bloques inicialmente inicialmenteen enreposo, reposo,lalafuerza fuerzaPP . Representar aumenta aumentalentamente lentamente desde desdecero cerohasta hasta260 260NN. Representar grágráficamente, ficamente,en enfunción funciónde deP,P,las lasaceleraciones aceleracionesde deambas ambasmasas. masas.

-1-\I rO (J l.l.

l1m-m --


O O ...•.• 1

---.I

3.48 3.48

119 119


120

3.5

MOVIMIENTO MOVIMIENTO CURVILÍNEO CURVILÍNEO

CINÉTICA CINÉTICA DEL PUNTO PUNTO MATERIAL

Volvamos ahora ahora nuestra nuestra atención atención a la cinética cinética de Volvamos de los los puntos puntos materiales materiales que que describen aplicar la segunda segunda ley ley de de Newton, Newton, describen trayectorias trayectorias curvilíneas curvilíneas planas. planas. Al aplicar representada de las tres tres expresiones expresiones de de la acerepresentada por por la ecuación ecuación 3.3, haremos haremos uso uso de leración en en el movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo que que desarrollamos desarrollamos y utilizamos leración utilizamos en en los apartados apartados 2.4, 2.5 Y 2.6. El sistema de las condiciones condiciones del del problema problema sistema de coordenadas coordenadas elegido elegido depende depende de y constituye un problema problema de de movimiento movimiento constituye un un decisión decisión fundamental fundamental al resolver resolver un curvilíneo. de tres tres formas formas diferentes diferentes curvilíneo. Escribamos Escribamos ahora ahora de de nuevo nuevo la ecuación ecuación 3.3 de cuya sea el más más adecuado. adecuado. cuya elección elección depende depende de de qué qué sistema sistema de de coordenadas coordenadas sea Coordenadas Coordenadas rectangulares rectangulares (apdo. (apdo. 2.4, fig. 2.7)

L.F í:.F xx = = ma maxx

(3.6) (3.6)

í:.Fyy = = ma may L.F y

donde donde

y

Coordenadas tangencial tangencíal y normal normal (apdo. (apdo. 2.5, fig. 2.10) Coordenadas I.Fnn = = ma ma;n 'LF I.Ft t 'LF

(3.7) (3.7)

= ma ma¡t =

donde donde ·2 ·2

.

ann = pf3 = = pf3 = v221p/p = = vf3, j

a,

=

v,

y

pf3 v = p~

I

Coordenadas polares (apdo. Coordenadas polares (apdo. 2.6), fig. 2.15) I.Frr == mar mar 'LF I.Fee == ma ma¿e 'LF donde donde

(3.8) (3.8)

y

Al aplicar deberá seguirse seguirse el proproaplicar las anteriores anteriores ecuaciones ecuaciones de de movimiento, movimiento, deberá cedimiento anterior para para el movimiento movimiento recreccedimiento general general establecido establecido en en el apartado apartado anterior tilíneo. Así tipo de de movimiento movimiento y elegido elegido el tilíneo. Así pues, pues, una una vez vez identificado identificado el tipo sistema diagrama para para sólido sólido libre del sistema de de coordenadas, coordenadas, deberá deberá dibujarse dibujarse el diagrama libre del cuerpo considerado considerado com comoo punto punto material. cuerpo material. A continuación, continuación, se obtendrán obtendrán de de la manera de las las fuerzas fuerzas apropiadas. apropiadas. El manera habitual habitual las sumas sumas de de las componentes componentes de diagrama para que que no no se produzcan produzcan erroerrodiagrama para para sólido sólido libre libre deberá deberá ser ser completo completo para calcular las sumas sumas de de las componentes componentes de res al calcular de las las fuerzas. fuerzas. Particularmente, Particularmente, se pondrá una suma suma de de componentes componentes de de las pondrá cuidado cuidado en en que que el sentido sentido asignado asignado a una fuerzas sea concordante con con el sentido sentido correspondiente correspondiente del fuerzas sea concordante del término término de de la aceleración. Así, en en la primera primera de de las ecuaciones ecuaciones 3.7, por leración. por ejemplo, ejemplo, el sentido sentido posipositivo del del eje n se toma hacía el centro centro de de curvatura, curvatura, y entonces tivo toma hacia entonces el sentido sentido positivo positivo de la suma suma de de componentes componentes 'LF I.FI1n debe debe tomarse tomarse también de curde también hacía hacia el centro centro de curvatura de la aceleración aceleración a; all = = v 2// p. vatura para para que que concuerde concuerde con con el sentido sentido positivo positivo de


PROBLEMA PROBLEMATIPO TIPO3.6 3.6 e AA

a

o s

I I I I I I

Hallarlalaceleridad celeridadmáxima máximavvque quepuede puede Hallar tener elelbloque bloquedeslizante deslizantesin sinque quepierda pierda tener contactocon conlalasuperficie superficiealalpasar pasarpor porelel contacto punto A. punto A.

•

Solución. La Lacondición condiciónpara paraque que se sepierda pierdael elcontacto contactoes esque quese seanule anulela lafuerza fuerza Solución. normal N N que que la la superficie superficie ejerce ejerce sobre sobre el el bloque. bloque. Sumando Sumando fuerzas fuerzas en en la la direcdirecnormal ción normal positiva resulta ción normal positiva resulta

v22 mg=m v-mg=m pp

vv ==

JiP JiP

Resp. Resp.

JiP,

en A A la celeridad celeridad es menor menor que que JiP, existirá existirá una una fuerza fuerza hacia hacia arriba arriba que que la la Si en superficie ejerce sobre sobre el bloque. bloque. Para Para que que éste éste pueda pueda pasar pasar por por A con con una una celesuperficie ridad mayor mayor que que JiP la ligadura ligadura debe debe ser ser bilateral, bilateral, es decir, debe debe existir existir una una ridad segunda superficie superficie curva curva por por encima encima del bloque bloque que produzca produzca una una reacción reacción nornorsegunda mal hacia hacia abajo. abajo. mal

7)

mg rng

~

~ D----t 0----1

tN=ü tN=ü I I I

I

nn

JiP

PROBLEMA TIPO TIPO 3.7 3.7 PROBLEMA

.8)

fO-

ecel del la

Se Se abandonan abandonan libremente libremente en en A, A, partienpartiendo do del del reposo, reposo, objetos objetos pequeños pequeños que que caen caen deslizándose deslizándose por por la la superficie supelficie lisa lisa circucircular lar de de radio radio R R hasta hasta una una correa correa sin sin fin fin B. B. Determinar en función de e la expreDeterminar en función de e la expresión sión de de lala fuerza fuerza normal normal de de contacto contacto NN que que se se ejerce ejerce entre entre lala guía guía yy cada cada objeto objeto yy especificar especificar lala velocidad velocidad angular angular OJQ)que que ha hade de tener tener lalapolea polea de de radio radio rrde de la lacorrea correa sin sin fin fin para para evitar evitar cualquier cualquier deslizadeslizamiento miento sobre sobre lalacorrea correa alalser ser transferidos transferidos aaésta ésta los los objetos. objetos.

A

R R --~

--/1 //

¡¡ ,

lB

,.---,

r¿ )f~ o

. El fO-

, se las cesivo f-

Solución. Solución. En Enlalafigura figurapuede puede verse verseeleldiagrama diagrama para parasólido sólidolibre libredel delobjeto objetojunjuntotocon conlas lasdirecciones direccionescoordenadas coordenadas nnyyt.t.La Lafuerza fuerzanormal normal NNdepende depende de delalacomcomponente ponente normal normal nnde delalaaceleración aceleraciónlalacual, cual,aasu suvez, vez,depende depende de delalavelocidad. velocidad. Esta Estaserá seráacumulativa acumulativa en envirtud virtud de delalaaceleración aceleracióntangencial. tangencial. Luego, Luego,en enprimer primer lugar, buscaremos al para una posición genérica cualquiera lugar, buscaremos at para una posición genérica cualquiera

mg mg cos cosee==mat mal

aal cosee t == ggcos

I p. 121 121


11

Aquíesesesencial esencial que que comprendamos comprendamos Q) Aquí CDIntegrando, Integrando, ahora ahorapodemos podemos hallar hallar lalavelocidad velocidad necesidad de de expresar expresar lalaaceleraaceleralalanecesidad ción tangencial tangencial como como función función de de lala ción dv ==a¡at ds] ds] vv22 == 2gR [v[v dv f~f~ vv dv dv == f~g fgg cos cos e8d(Re) d(R8) 2gR sen sen e8 posición para para que que vv pueda pueda hallarse hallarse posición integrando lala relación relación cinemática cinemática integrando La Lafuerza fuerza normal normal lalaobtenemos obtenemos sumando sumando las lasfuerzas fuerzas en enlaladirección dirección nn positiva, positiva, dv ==ala,ds, ds,en en lalaque que todas todas las lascancanvvdv que es la dirección de la componente normal de la aceleración. que es la dirección de la componente normal de la aceleración. tidades se miden a lo largo de la tratidades se miden a lo largo de la trayectoria. yectoria. vv22 NN == 3mg Resp. [LF n = ma,J NN-- mg mg sen sen e8 == m m RR 3mg sen sen e8 Resp.

La Lapolea polea debe debe girar girar aa la la velocidad velocidad vv ==rw reopara para e8=n/ =n/ 2,2,por por lo lo que que

wO) == ,J2gRIr ,J2gRIr

Resp. Resp.


Un Un automóvil automóvil de 1500 1500 kg entra en un tramo curvo de una carretera horizontal horizontal y disminuye disminuye la marcha uniformemente uniformemente km/h en A desde una celeridad de 100 km/h hasta 50 km/h km/h al pasar por C. El radio de curvatura curvatura de la carretera es de 400 m en A y de 80 m lafuerza m en C. Determinar Determinar la fuerza ruetotal que ejerce la calzada sobre las ruedas en en las posiciones posiciones A, A, BB YY C. El punto punto inflexión donde donde la curvatura curvatura BB es el de inflexión cambia cambia de sentido. sentido.

1I

p = 400 ID p=400m

n p=80m

_1

(B) (B)

Solución. El El automóvil automóvil vamos vamos aa tratarlo tratarlo como como aa una una partícula, partícula, por por lo lo que que el el Solución. efecto de de todas todas las las fuerzas fuerzas que que la la calzada calzada ejerce ejerce sobre sobre las las cubiertas cubiertas lo lo asimilareasimilareefecto mos aa una una única única fuerza. fuerza. Como Como el el movimiento movimiento es es en en la la dirección dirección de de la la carretera, carretera, mos la aceleración aceleración del del vehículo vehículo la la especificaremos especificaremos empleando empleando las las coordenadas coordenadas tantanla gencial normaL gencial yy normal. La aceleración aceleración tangencial tangencial constante constante tiene tiene la la dirección dirección tt negativa negativa yy su su módumóduLa lo lo es es

0) Véase Véase que que el el

valor valor numenco numenco del del coeficiente coeficiente de de conversión conversión para para pasar pasar de de km/h km/h aa mis mis es es 1000/3600, 1000/3600, oo sea sea 1/3,6. 1/3,6.

@2 Obsérvese Obsérvese que que a 17 está está siempre siempre diridirial!

gida centro de de curvatura. curvatura. gida hacia hacia elel centro

(A)

I I

n F¡ .»:

(B)

~ '-1 F ('yV F

»>

t

Fn(;::l F17( ,//

(C)~/ (C) ~/

/ / F¡ FI <. " 1

aa

CD CD

= 1(50/3,6)2 1(50/3,6)2-- (100/3,6)21 (100/3,6 )21 == 1,45 1,45m/ m/s2 s2

=

tt

2(200) 2(200)

Lascomponentes componentesnormales normalesde delalaaceleración aceleraciónen enA, A, BBYYCCson son Las

[a n

= v 2 /p]

enA, A, en

a

(100/3,6)2 = 1,93 m/s2 = 1,93 m/s2 =(100/3,6)2 400 400

an n =

enB, B, en

aan n ==OO

enC, C, en

«; an = (50~~,6)2

nn

122


= (50 /803,6)2

2,41m/s2 m /s2 2,41

Aplicandolalasegunda segundaley leyde deNewton Newtonen enlas lasdirecciones direccionesnnyyt tdel deldiagrama diagrama Aplicando parasólido sólidolibre libredel delautomóvil automóvilresulta resulta para

33

[LFnn==ma ma]ll ] [LF n

0) oObsérvese Obsérveseque queelelsentido sentidode de FIIdebe debe

FF" n == 1500(1,45) 1500(1,45) == 2170 2170NN

[LF ¡== mat] mal] [LFt

enA, A, en

FII

coincidir dea¡¡" a l!' coincidircon conelelde

1500(1,93) == 2894 2894NN F" == 1500(1,93)

FI1

enB,B, en

Fn ==OO Fn

enC, en C,

1500(2,41) FFnn == 1500(2,41)

3617N 3617N

Asípues, pues,lalafuerza fuerzahorizontal horizontal que queactúa actúasobre sobrelas lasruedas ruedas Así en A, A, en

JF; ++FfF¡ == J(2894)2 J(2894)2 ++(2170)2 (2170)2 == 3617 3617NN FF == JF~

Resp. Resp.

en B, B, en

F t == 2170 2170 NN FF == E¡

Resp. Resp.

enC, en C,

JF; ++FfF¡ == J(3617)2 J(3617)2 ++ (2170)2 (2170)2 == 4218 4218 N N FF = JF~

Resp. Resp.

o SiSi sese desea, desea, puede puede calcularse calcularse el el ánángulo formado por a y F con la direc-

gulo formado por a y F con la dirección ción de de la la carretera. carretera.


0) Adviértase Adviértase que, que, para para las las observacioobservacioG) Calcular Calcular el el módulo módulo vv de de la la velocidad velocidad nenecesaria cesaria para para que que la la nave nave espacial espacial SS se se mantenga mantenga en en una una órbita órbita circular circular aa una una altura altura de de 320 320 kilómetros kilómetros sobre sobre lala supersuperficie ficie terrestre. terrestre.

CD

Solución. Solución. Tal Talcomo comose semuestra muestra en enel eldiagrama diagrama para para sólido sólido libre, libre, la laúnica única fuerza fuerza externa externa actuante actuante sobre sobre la la nave nave espacial espacial es es lala atracción atracción gravitatoria gravitatoria de de la la Tierra Tierra (el (elpeso). peso). Sumando Sumando fuerzas fuerzas en en la ladirección dirección normal normal tenemos tenemos

[LF 1l = ma ll ]

_rcm:_CL.

_rcm;_~

vv -- ~(R+h) ~(R+h) -- R~~ R~(R7h)

2 donde . Introduciendo dondese seha hasubstituido substituido Cme Cme por porgR gR2. Introduciendo los losvalores valoresnuméricos numéricos tenetenemos mos

9,825 9,825 vv = (6371)(1000) (6371)(1000) (6371 (6371++320)(1000) 320)(1000)

7720 mis mIs 7720

Resp. Resp.

nes que que se se hagan hagan en en un un sistema sistema de de nes referencia inercial, no existen magreferencia inercial, no existen magnitudes como como la la "fuerza "fuerza centrífuga" centrífuga" nitudes actuante en en la la semidirección semidirección nn neganegaactuante tiva. Además, Además, ni ni la la nave nave ni ni sus sus ocuocutiva. pantes son "ingrávidos", porque el pantes son "ingrávidos", porque el peso de cada uno lo dicta la ley de la peso de cada uno lo dicta la ley de la Gravitación Universal Universal de de Newton. Newton. A A Gravitación esa altura, altura, los los pesos pesos son son del del orden orden un un esa 10% menores menores que que en en la la superficie superficie 10% de la Tierra. Finalmente, la expreexprede la Tierra. Finalmente, la sión "cero-g' "cero-g' es es asimismo asimismo engañosa. engañosa. sión Sólo es es haciendo haciendo las las observaciones observaciones Sólo respecto a un sistema de coordenacoordenarespecto a un sistema de das que que tenga tenga una una aceleración aceleración igual igual das gravitatoria (como (como una una nave nave esesaa lala gravitatoria pacial en en órbita) órbita) cuando cuando nos nos parece parece pacial estar en en una una región región de de "cero-g'. "ceso-g', estar Pero lalamagnitud magnitud que que se seanula anula aaborborPero dode deuna una nave nave espacial espacial en enórbita órbita no no do sino lalaya yaconocida conocida fuerza fuerza normal normal esessino asociada, por por ejemplo, ejemplo, aa un un objeto objeto asociada, que esté esté en encontacto contacto con con una unasupersuperque ficiehorizontal horizontal dentro dentro de delalanave. nave. ficie 123 123



o

El tubo tubo AA gira gira en en torno torno alal eje eje vertical vertical O O El aa una una velocidad velocidad angular angular constante constante éB == úJúJ YY contiene contiene un un pequeño pequeño émbolo émbolo cilíndrico BB de de masa masa m, m, cuya cuya posición posición cilíndrico radial radial está está mandada mandada por por la la cuerda cuerda que que atraviesa atraviesa libremente libremente elel tubo tubo yy elel eje eje yy está arrollada arrollada al al tambor tambor de de radio radio b.b. DeDeestá terminar la la tensión tensión TT en en la la cuerda cuerda y la la terminar componente componente horizontal horizontal FFe() de la la fuerza fuerza ejercida por el el tubo tubo sobre el el émbolo émbolo si si la la ejercida velocidad angular angular del tambor tambor es es %' OJo, cuyo velocidad sentido sentido es primero primero el correspondiente correspondiente al caso (a) (a) y luego el correspondiente correspondiente al caso (b) (b).. Despreciar Despreciar los rozamientos. rozamientos.

-------

rr

bg:~úIo .

caso

(b)

@

caso caso (a) (a)

++8 8 .

8=w

¿;-jr

T

T

I III

i¡ I

B

B

+-0------~-----

t

+r +r

Fe Fo

variable, utilizaremos coordenadas polares polares Solución. Siendo l'r variable, utilizaremos la expresión expresión en coordenadas ecuación del movimiento movimiento (ecs. diagrama para para sólido de la ecuación (ecs. 3.8). 3.8). El diagrama sólido libre de BB que se representa representa en vista vista horizontal, horizontal, sólo revela revela a TT y a Fe. F()- Las ecuaciones ecuaciones del movimiento vimiento son son

Caso (a). Caso

Con ri Con

m(f == m(i

r(2 ) riJ2)

[2:Frr = = marl ma r ] [LF

-T -T

[2:F e = = mael ma e] [LFe

Fe = = m(r8+2fB) m(rfJ+ 2ié) Fe

b úJo,Y == OY O Y 8fJ == O, O, las las fuerzas fuerzas se se hacen hacen == ++ búJo'y

mrm2 TT == mr or

Con rl' Con

Resp. Resp.

búJo,Y ==OY O Y 8fJ ==O, O, las las fuerzas fuerzas se se hacen hacen == ++ búJo'y

TT ==mror: mrm2

Resp. Resp.

Q) Elsigno El signo menos menos muestra muestra que que Fefutiene tiene elel sentido sentidoopuesto opuesto al al que que se se indica indica en en elel CD diagrama diagrama para pdrasólido sólido libre. libre.

124 124


PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas Problemas introductorios introductorios

3.49 El El pequeño pequeño bloque A de 2 kg se desliza hacia abajo por por por el punto punto más bajo B con una una cela trayectoria curva y pasa por mi s. Si en este punto p unto el radio de curvatura leridad de 4 mi curvatura es de 1,5 m, hallar hallar la fuerza normal normal N que en el mismo ejerce la tra1,5m, bloque. ¿Hacen falta datos datos acerca del rozayectoria sobre el bloque. miento? 41,0 N (hacia arriba), no Resp. N == 41,0

prueba homologada homologada para para determinar 3.52 La prueba determinar la aceleración un automóvil lateral máxima de un automóvil consiste en conducirlo conducirlo siguiendo circunferencia de 60 60 m de diámetro diámetro pintada guiendo una circunferencia pintada sobre una superficie plana plana asfaltada. El conductor una conductor aumenta aumenta lentamente la celeridad celeridad del vehículo hasta hasta que no le es posible manruedas a caballo de la línea. Si tener las dos parejas de ruedas Si esta celeridad máxima vale 55 km/h automóvil de 1400 1400kg, celeridad km / h para un automóvil kg, all en g y calcular el hallar su capacidad capacidad de aceleración lateral a" módulo FF de la fuerza de rozamiento rozamiento total que ejerce la calzada módulo sobre las cubiertas n eumáticos. cubiertas de los neumáticos.

B B


3.50 A la cuenta 1,5 kg se le comunica una una celeridad cuenta P de 1,5kg celeridad inim I s en el punto punto A de la guía lisa, la cual es una una curva cial cial de 2 mi plana horizontal. entre la horizontal. Si en el punto punto B la fuerza normal normal entre cuenta y la guía tiene un módulo h allar el radio de módulo de 0,8 0,8 N, hallar curvatura trayectoria en ese punto. punto. curvatura p de la trayectoria problema 3.52 Figura problema A

automóvil del problema 3.52 viaja a 40 km/h cuando 3.53 El automóvil problema 3.52 km/h cuando el conductor prosigue moviénconductor aplica los frenos y el vehículo prosigue dose a lo largo de la trayectoria trayectoria circular. ¿Cuál es la máxima desaceleración posible si las cubiertas cubiertas admiten admiten una fuerza de rozamiento máxima de 10,6 rozamiento 10,6 kN? Resp. al a¡ == -- 6,36 6,36 mi mi S2

B B


3.51 pasa por por la cima B del tramo cir3.51 Si Si el bloque A de 2 kg pasa una celeridad celeridad de 2 mi m i s, calcular el cular de la trayectoria con una ormal que la trayectoria trayectoria ejerce sobre el módulo N de la fuerza nnormal punto B. B. Hallar la máxima máxima celeridad celeridad v que el blobloque en el punto que puede perder contacto con la trayectoria. puede llevar en B sin perder = 9,62 = 4,20 4,20 mi mis Resp. N = 9,62 N, v =

3.54 Una corredera corredera de 0,8 lanza desde A hacia h acia arriba 0,8 kg se lanza por la barra barra fija un plano plano vertical. Si se observa que por fija situada situada en un la corredera una celeridad pasar por por B,hallar B, hallar corredera lleva una celeridad de 4 m I s al pasar (a) el módulo módulo N de la fuerza que la barra barra ejerce sobre ella y (b) la aceleración negativa negativa que lleva. Despreciar Despreciar el rozamiento. rozamiento.

11

B B

11

1 1 11

1 1 1 1 1 1

11 11

,\

p== 1,8 1,8m \ P m \,

, 30°1 0°1 O6 m \ ,3 06m \ ''1111 ,

1 1

-------~

\ 30°: \30°: ,\

1 1

,\ ,\

-------~

I 1 I 1 '1



125


3.55 Las Lasdos dosesferitas esferitaspueden pueden moverse moverse libremente libremente por porelelinin3.55 teriorde delas lascámaras cámarasesféricas esféricasrotativas rotativas de deradio radio RR==200 200mm. mm. terior lasesferitas esferitasse semantienen mantienen en enun un posición posición angular angular estacionaestacionaSiSilas ria f3 = 45°, hallar la velocidad angular Q del mecanismo. ria f3 = 45°, hallar la velocidad angular Q del mecanismo. Resp. QQ ==3,64 3,64rad rad// ss Resp. II II

QQ

el:=> el:=>

--

~3R---f--3R

,,

600 /h 600km km/h Figura problema Figura problema 3.57 3.57

I,I, ++

3.58 3.58 Un Un avión avión aa reacción reacción vuela vuela siguiendo siguiendo la la trayectoria trayectoria rerepresentada presentada al al objeto objeto de de que que unos unos astronautas astronautas experimenten experimenten unas unas condiciones condiciones de de "ingravidez" "ingravidez" similares similares aa las las reinantes reinantes en en un un vehículo vehículo espacial espacial en en órbita. órbita. Si Sien en el el punto punto más más alto alto la la celericeleridad dad es es de de 900 900km/h, km/h, ¿qué ¿qué radio radio de de curvatura curvatura pp hace falta falta para para simular exactamente la situación de "caída libre" orbital? simular exactamente la situación de "caída libre"

111111 I111


3.56 Un muchacho voltea una pequeña pequeña pelota de 50 50 gg unida 3.56 al extremo de un cuerda de 11 m m de longitud, de tal modo que al la pelota describe una circunferencia situada situada en un plano verla tical tal como se representa. representa. ¿Qué celeridad mínima debe llevar la pelota en la posición 1? 1? Si Si esta celeridad celeridad se mantiene mantiene en toda cuerda cuando cuando la circunferencia, hallar la tracción que sufre la cuerda tendrá en cuenta el movila pelota está en la posición 2. No se tendrá miento de mano del miento de la la mano del muchacho. mud1acho.

11.J.) I I

<,

J.) "

/ /I II

\ \

\

"\\ \\ \\

III f


3.59 El miembro miembro DA alrededor de un eje horizontal horizontal que OA rota alrededor pasa por D animado de una velocidad angular constante pasa por O animado una velocidad angular constante antihoraria Q) ro = = 3 rad rad / s. Cuando Cuando pasa por por la posición posición () e== O, se le cohoraria un pequeño pequeño bloque bloque de masa masa m In a una una distancia distancia radial radial r = = loca un observa que que el bloque bloque resbala resbala para para () e== 50°,hallar 50°, hallar 450 mm. Si se observa rozamiento estático estático !le J.1e entre entre el bloque bloque yy el el el coeficiente de rozamiento miembro. miembro. Resp. !le J.1e= = 0,549 Resp.

t~1 t\~1I

tt

\

f

11m m

\\

\\ \\

2'-<-, 2'-<-,//

//

//

3



3.57 3.57 Con Conun unceleridad celeridadconstante constantede de600km/h, 600 km / h, un unpiloto pilotodesdescribe aviónuna unacircunferencia circunferenciavertical vertical de de radio radio 1000m. 1000 m . cribe con con su su avión Calcular quesobre sobreel elpiloto pilotoejerce ejerceel elasiento asientoen enel elpunpunCalcularla lafuerza fuerzaque to en el toAA yyen elpunto puntoB. B. Resp. A == 3380 Resp. NNA 3380N, N,NNB B== 1617N 1617


3.60 Hallar Hallar aa qué qué altitud altitud hh (en (en kilómetros) kilómetros) por por encima encima de de lala 3.60 unsatélite satéliteartificial artificialtendrá tendráelelmismo mismoperíodo período superficieterrestre terrestreun superficie queelelde de rotación rotaciónabsoluta absolutade delalaTierra, Tierra, elelcual cuales esde de23,9344h. 23,9344 h . que

126 126


r

z e c f

n

Si Si tal órbita se encuentra encuentra en el plano plano ecuatorial, se dice de ella que es geosíncrona geosíncrona porque porque el satélite parece no moverse moverse con relación a un observador observador solidario solidario de la Tierra. lación 3.61 Cuando 3.61 Cuando el patinador patinador pasa pasa la curva curva indicada indicada las celeridades de su centro de masa para para e == o, 45° 45° y 90° son, respectirespectivamente 8,5 Hallar la fuerza normal 8,5 m mii s, 6 m mii s y O. O.Hallar normal entre la superficie y las ruedas ruedas del patín patín si la masa masa conjunta conjunta del patinapatinador el centro dar y el patín patín es de 70 kg Y Yel centro de masa se halla a 750 750 mm superficie. de la superficie. Resp. No = 2040 2040 N, N, N45 1158 N, N, N90 45 = 1158 90 = O

e

00

00

~-----

I


3.64 ¿Cuál debe ser el ángulo ángulo e e del peralte peralte de la curva curva de 450 m de radio radio de la pista pista de carreras carreras para para que un un bólido bólido que corra a 200 / h no tienda tomar 200 km km/h tienda a derrapar derrapar lateralmente lateralmente al tomar la curva? curva?

4,5 m

I I

I I

pp == 450 m m --'"l --3>-j

I

11

11


3.62 3.62 Un pequeño pequeño objeto A se mantiene mantiene contra contra la pared pared vertical del recinto cilíndrico giratorio giratorio de radio merced a la fuerza radio r merced cal rozamiento estático entre entre centrífuga. Siendo fle f.1.e el coeficiente de rozamiento el objeto y el recipiente, recipiente, determinar determinar la expresión expresión de la velocidad de giro mínima mínima é = ro co del recipiente recipiente para para que el objeto no resbale por la pared pared vertical. resbale é


3.65 En A los carros de un artefacto artefacto de feria llevan llevan una una celeridad de vB == 12 i s. Si uno de los pasajeros, ridad v A = 22 m I s y en B Bde 12 m mis. pasajeros, de 75 75 kg de masa, está sentado sentado en una una balanza balanza (que acusa la fuerza fuerza normal normal que se ejerce sobre ella), hallar hallar las lecturas lecturas de la balanza balanza cuando cuando el carro pasa pasa por por los puntos puntos A y B. B. Supóngase Supóngase que ni las piernas piernas ni los brazos brazos de la persona persona soportan soportan una una fuerza apreciable. fuerza apreciable. NBB== 198,5 N Resp. NA NA = 1643 1643 N, N 198,5N

\\ Figura problema problema 3.62

a

o

3.63 3.63 El avión de 30 Mg sube según según el ángulo ángulo e =15° con un empuje en tobera T de 180 empuje 180 kN. En el instante instante representado, representado, su 300 km km/h aumenta a razón razón de 1,96 1,96 m mii S2. Adeceleridad es 300 / h Y aumenta más e más e disminuye disminuye conforme conforme el avión comienza comienza a ponerse ponerse horizontal. Si Si en ese instante instante el radio radio de curvatura curvatura de la trayectoria trayectoria zontal. es km, calcular la sus sustentación y la resistencia es 20 20km, tentación L Ly resistencia aerodinámiaerodinámica ca D. D. (La (La sustentación sustentación L y la resistencia resistencia aerodinámica aerodinámica D son las fuerzas fuerzas aerodinámicas aerodinámicas perpendicular perpendicular y opuesta, opuesta, respectivarespectivamente, a la dirección del vuelo.) mente, Resp, 45,0 kN, L == 274 274 kN Resp. D = 45,0

A


brazo ranurado ranurado gira uniformemente uniformemente en el plano plano ho3.66 El brazo rizontal alrededor alrededor de su centro centro a razón é=10 rad/s rad/s y lleva rizontal razón de é=10 una una deslizadera deslizadera montada montada sobre resortes resortes de 1,5 1,5 kg que oscila libremente en la ranura. Si la deslizadera deslizad era lleva una una velocidad velocidad de bremente ranura. Si 600 por el centro, de600 mm rnmll s respecto respecto a la ranura ranura cuando cuando pasa pasa por terminar el empuje empuje lateral lateral horizontal horizontal P P que ejerce el brazo brazo raterminar

127


nurado sobre sobre la deslizadera deslizadera en dicho dicho instante. instante. Determinar Determinar qué qué nurado lado, A o B, B, de la ranura ranura está está en contacto contacto con con la deslizadera. deslizadera, lado,

3.69 El brazo 3.69 brazo ranurado ranurado rota rota en el plano plano horizontal horizontal en torno torno al eje fijo vertical vertical que que pasa pasa por por el punto punto O. El cursor cursar e de 2 kg es atraido atraído hacia hacia O, 0, tirando tirando de la cuerda cuerda S, S, a razón razón de 50 mm mm/ / s. En el instante instante en que que r == 225 mm, mrn, el brazo brazo lleva lleva una una velocidad velocidad angular angular antihoraria antihoraria w m= = 6 rad/ rad / s y está está desacelerándose des acelerándose a razón razón de 2 rad allar la tracción rad / S2. S2. Para Para ese instante, instante, h hallar tracción T que que sufre sufre la cuerda cuerda y el módulo módulo N de la fuerza fuerza que que ejercen ejercen sobre sobre el cursor cursar los lados lados de de la ranura ranura radial radial lisa. Indicar Indicar qué qué lado lado de ésta, ésta, A o B, B, está está en en contacto contacto con con el cursor. cursar. Resp. Resp. T == 16,20 16,20 N, N == 2,10 2,10 N, el lado lado B


3.67 instante t == O O la placa placa cuadrada cuadrada se halla en reposo 3.67 En el instante halla en reposo posición A y, a partir de ese ese momento, descrien la posición partir de momento, se traslada traslada describiendo una circunferencia vertical según e e == 1,5t 1,5t22,, donde donde el rebiendo una circunferencia vertical según corrido angular angular e e está está en en radianes está en radianes y el tiempo tiempo t está corrido segundos. Con Con un adhesivo se sujeta sujeta temporalmente segundos. un adhesivo temporalmente a la placa placa un pequeño pequeño instrumento instrumento P de de 0,4 0,4 kg. Hallar fuerza cortante cortante un Hallar la fuerza que el adhesivo adhesivo debe debe soportar soportar en instante t == 3 s. F que en el instante Resp. FF == 45,6 Resp. 45,6 N

<

,.,------ r--

: (:; I

'"

r= 1,5 m

'"

/

3.70 esferita de de masa los dos alambres incialLa esferita masa m m cuelga cuelga de de los dos alambres incial3.70 La mente en en reposo. reposo. Si de de repente repente se corta uno de de los los alambres, alambres, mente corta uno hallar hallar el cociente cociente kk entre entre la la tracción tracción que que sufre sufre el otro otro alambre alambre inmediatamente inmediatamente después despu és del del corte corte y la la que que sufría sufría el mismo mismo alambre alambre en en la situación situación de de equilibrio equilibrio inicial. inicial.

I

~ __ J

/ \8


\

\

o~/_--\...--~ A


3.68 Calcular cuál 3.68 Calcular cuál debe debe ser ser la la velocidad velocidad de de rotación rotación N del del arartefacto de feria feria para para que que los los brazos brazos de de las las góndolas góndolas adquieran adquieran tefacto de un un ángulo ángulo de de 60° 60° con con la la vertical. vertical. Despreciar Despreciar las las masas masas de de los los brazos brazos a los los que que están están sujetas sujetas las las góndolas góndolas y tratar tratar éstas éstas como como partículas. partículas.


3.71 Se representa representa el el tambor tambor rotatorio rotatorio de de una una secadora secadora de de roro3.71 pa. Hallar Hallar la la velocidad velocidad angular angular Q Q para para la la cual cual la la ropa ropa y el tamtampa.



128 128


bar pierden pierden contacto en 8 == 50°. Suponer equeñas Suponer que las ppequeñas hasta la pérdida pérdida de contacto. paletas impiden impiden el resbalamiento resbalamiento hasta Resp. Resp. Q Q = = 4,77 4,77 rad rad// s

o g s, d

c.broúJ ~ I1

3.72 El artefacto de feria gira en torno al punto punto fijo fijo O. O. Un meerdo can ismo (no incluido canismo incluido en la ilustración) ilustración) lo impulsa impulsa de acu acuerdo con con 8e = (n/ (n/3)3) sen 0,950t, 0,950t, donde donde 8 está en radianes radianes y t está en segundos. Hallar Hallar la fuerza normal normal máxima N que ejerce el asiengundos. un viajero de masa m In y decidir qué viajeros sufren la to sobre LlI1 máxima fuerza.

n

a

o


3.75 Un automóvil kg entra punto A en la doautomóvil de 1500 1500kg entra por el punto ble curva, con una una celeridad celeridad de 96 96 km/h, km/h, con los frenos aplicareducir uniformemente uniformemente la celeridad dos al efecto de reducir celeridad hasta hasta los 72 km/h km/h a lo largo de una distancia distancia de 90 m medida 72 medida entre los puntos curvatura de la trayectoria trayectoria puntos A y B ddee la curva. El radio radio de curvatura automóvil es de 180 180 m en el punto punto B. Calcular la fuerza de del automóvil rozamiento ruedas del rozamiento total que la calzada ejerce en BB sobre las ruedas automóvil, punto punto en el cual la carretera carretera es horizontal. automóvil, horizontal. Resp. F == 4220 Resp. 4220 N


aIes,

re o

3.73 Se Se coloca un pequeño pequeño objeto dentro dentro de la cazoleta cónica, ca, en la posición que se indica. indica. Si Si el coeficiente de rozamiento rozamiento estático estático entre el objeto y la superficie cónica es 0,30, 0,30, ¿para qué velocidades de rotación en torno al eje eje vertical no se deslizará deslizará el objeto? objeto? Considérese Considérese que los cambios de celeridad celeridad se realizan realizan tan tan lentamente lentamente que se pueda pueda despreciar despreciar la aceleración angular. angular. Resp. Resp. 3,41 3,41 < ro m<< 7,21 7,21 rad rad/s/ s

~_~_-__ __ BB

------ [(Jj-..: [(Jj -..: ü>------.•...

_------

A

180 m 180m problema 3.75 Figura problema

I¡O,2m O,2m ,,

-+

información, la ilustración 3.76 Se repite aquí, con más información, ilustración del d el brazo robótico robótico del problema problema 2.146.En 2.146.En un brazo u n instante instante dado dado 8= 30°, 30°, 2, 2 1 = 0,5 m, i; 0,4 mIs y { = = 40 grd/s, grd/s, = 120 grd grd/s/s = = i= mis ( = , 1= m / S2. Calcular Calcular las fuerzas fuerzas radial radial y transversal - 0,3 m/ transversal F,.y F,. y Fe Fe que

ee

ee

roam-

r


Se coloca un ppequeño In en la superficie superficie equeño objeto ddee masa m 3.74 Se cónica rotatoria, rotatoria, en el radio que se indica. Si Si el coeficiente de cónica 0,80, rozamiento estático entre el objeto y la superficie cónica es 0,80, calcular la velocidad velocidad angular angular máxima máxima ro m del cono alrededor alrededor del calcular eje vertical de tal manera manera que el objeto no se deslice. Considéeje cambios velocidad angular angular son muy lentos. rese que los camb ios de velocidad


129


el brazo ejerce sobre la pieza asida P, cuya masa es de 1,2 kg. Comparar Comparar la solución con la correspondiente correspondiente al caso de equilibrio estático en la misma posición. 3.77 El 3.77 El brazo de un robot mueve la esfera S de 2 kg en un Cuando el ángulo e vale 30°, la velocidad anguplano vertical. Cuando lar del brazo en torno al eje eje vertical que pasa p0f O es de 50 grd// s, s, horaria, y su aceleración es de 200 grd grd// S2, antihoraria. antihoraria. grd Además, el elemento hidráulico hidráulico se acorta a la velocidad velocidad constante de 500 mm mm// s. s. Hallar la fuerza de agarre mínima necesaria P si el coeficiente coeficiente de rozamiento rozamiento estático entre la esferá y la Comparar P con la fuerza de superficies de agarre es de 0,5. Comparar requerida para agarre mínima P Pee requerida para sujetar la esfera en equilibrio estático en la posición de 30°. Resp. P = 27,0 N, P, Pe =19,62 N

e

3.79 El 3.79 El camión de plataforma plataforma abierta del problema problema 3.78 parte del reposo en una carretera ddee radio de curvatura curvatura constante igual a 30 m y un peralte peralte de 10°. Si Si la aceleración uniforme haadelante del vehículo es de 2 m / S2, hallar el tiempo t que cia adelante transcurre transcurre hasta que la caja caja empieza a resbalar por la plataforcoeficiente de rozamiento rozamiento estático entre la caja caja y el piso ma. El coeficiente = 0,3 Y Yel es f.le f.1e = el camión se mueve en un plano horizontal. Resp. Resp. t = 5,58 s 3.80 El collar A de 0,8 kg montado 3.80 montado entre resortes oscila a lo largo de la barra barra horizontal horizontal que, a su vez, gira con una velocivelocidad angular angular constante ()() == 6 rad rad// s. s. En cierto instante, r aumendad ta a razón razón de 800 mm mm//s. s. Si Si entre el collar y la barra el coeficiente coeficiente de rozamiento rozamiento cinético vale 0,40, calcular la fuerza de rozamiento rozamiento F que en ese instante instante ejerce ejerce la barra barra sobre el cocollar.

p

Vertical Vertical

~s ~s

~P ~p

~ ~

s Figura problema problema 3.80 3.80

j 1I


3.78 Un camión de plataforma plataforma abierta que viaja a 100 km km/h 3.78 /h circula por una curva de 300 m de radio peraltada peraltada hacia adentro con un ángulo de 10°. Si Si el coeficiente coeficiente de rozamiento rozamiento estático entre el piso de la plataforma plataforma y la caja caja de 200 kg que transporta transporta es 0,70, calcular la fuerza de rozamiento rozamiento F que actúa sobre la caja. caja.

---p ----p

3.81 El tambor de 650 mm gira en torno a un eje eje horizontal horizontal con la velocidad angular angular constante Q Q = = 7,5 rad rad// s. s. El El pequeño pequeño bloque A no posee movimiento movimiento con relación al tambor cuando pasa por la posición e e== OO.. Hallar el coeficiente coeficiente de rozamiento rozamiento estático f.le f.1e entre el bloque y el tambor si se observa que aquél resbala al llegar a (a) e e = 50° Y (b) ee = 100°. 100°. Comprobar Comprobar que el contacto no se pierde pierde hasta e e = 100°. Resp. (a) f.le f.1e = 0,306, (b) f.le f.1e = 0,583

11

)1 -1

1 1



3.82 El 3.82 El cursor de 2 kg ajusta holgadamente holgadamente en la ranura ranura lisa del disco que gira en torno a un eje eje vertical que pasa por O. O. El puede moverse levem levemente ranura antes de de. que cursor puede ente por la ranura uno de los alambres se tense. Si Si el disco gira partiendo partiendo del re-

130 130


instante t == O Oanimado una aceleración angular angular poso en el instante animado de una horaria constante de 0,5 0,5 rad I S2, representar representar gráficamente gráficamente en horaria constante intervalo O O :o; ~ t :o; ~ Ss, Ss, las tensiones tensiones en función del tiempo tiempo t,i, en el intervalo alambres 1 y 2 Y Y el módulo módulo N de la fuerza normal normal a la ralos alambres nura. nura.

Vertical Vertical

o


vehículo de pequeñas pequeñas dimensiones dimensiones entra 3.85 Un vehículo entra en el punpuntrayectoria con una una velocidad velocidad Vo y gana to más alto A de la trayectoria gana velocidad Hallar la expresión expresión del locidad conforme desciende desciende por ella. Hallar ángulo vehículo abandona abandona su traángulo f3 f3 hasta hasta la posición posición en que el vehículo convierte en un proyectil. Despreciar Despreciar el rozamienrozamienyectoria y se convierte to y tratar tratar el vehículo como una una partícula. partícula.


tal ño do to él el

3.83 3.83 El cohete se mueve mueve en un plano plano vertical y se le da un impulso mediante mediante un empuje empuje T de 32 kN. Además Además se encuentra encuentra sometido a una resistencia atmosférica atmosférica R de 9,6 kN. Si Si el cohete tiene una velocidad velocidad de 3000 3000 m mi i s y si la aceleración de la gravealtura en que se halla el cohete, calcular dad es de 6 mi m i S2 a la altura curvatura p de su trayectoria trayectoria para posición reprepara la posición el radio de curvatura sentada y la variación variación por unidad unidad de tiempo tiempo del módulo módulo v de la la velocidad del cohete. La masa del cohete en el instante instante con2000 kg. siderado es 2000 3000 km, v v == 6,00 6,00 m mi i S2 Resp. p == 3000

v2 22 v2 ) Resp. f3 f3 = 48,2° 48,2° f3 = arceas arccos ( :3 + 3g~ 3gOR ', f3

Vo A -... -------

'"'" , ,

I I

I I I

1// I

I I I I

\

//

//

/

//

i¡3)/

~~------ ------

R

Vertical Vertical

"\, \ B \

\

..

\ \

\

\


II

3.86 Un tramo una sucesión sucesión de crestramo de carretera carretera comprende comprende una contorno se suposupotas y valles regularmente regularmente espaciados espaciados y cuyo contorno ne representado = b sen (27rX/L). representado por la función yy = (2nxIL). ¿Qué celeridad máxima puede puede llevar el automóvil automóvil A en una celeridad una cresta perder contacto con la calzada? Si el vehículo conserva esa sin perder celeridad celeridad crítica, ¿cuánto vale la reacción total N sobre las ruedas en el fondo de un valle? La masa automóvil es m. masa del automóvil

T


lisa .El que

1re-

3.84 Se Se coloca una una pequeña pequeña moneda moneda sobre la superficie superficie hori3.84 zontal del disco giratorio. Si Si éste parte parte del reposo y está animazontal do de una aceleración angular angular constante constante ij == ex, hallar hallar cuántas cuántas revoluciones N da el disco antes de que la moneda moneda resbala. resbala. El revoluciones coeficientede rozamiento estático entre entre disco y moneda moneda es /-le' /-le' coeficiente de rozamiento


131 131


3.87 En En el el fondo fondo de de la la depresión depresión el el automóvil automóvil lleva lleva una una celecele3.87 ridad de de 70 70km km/h Yel conductor aplica aplica los los frenos frenos produciendo produciendo ridad lh Y el conductor una desaceleración desaceleración de de 0,5 0,5 g. g. ¿Qué ¿Qué ángulo ángulo mínimo mínimo e ()de inclinauna d e inclinación debe debe tener tener el el cojín cojín del del asiento asiento para para que que el el paquete no no resresción bale hacia hacia adelante? adelante? El El coeficiente coeficiente de de rozamiento rozamiento estático estático entre bale el paquete paquete yy el el asiento asiento es es (a) (a) 0,2 0,2 yy (b) (b) 0,4. 0,4. el Resp. (a) (a) e () = 7,34°, 7,34°,(b) (b) e () = - 3,16° 3,16°

A :~---- -----

r

1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 I

B B


Cojín ddel asiento Cojín el asiento


"

Animadas ddee una velocidad velocidad horizontal 4,1 mi s, s, las 3.88 Animadas horizontal de 4,1 65 g cada una, ppenetran enetran por A en el bolitas ddee acero, de masa 65 canal semicircular vertical. Hallar, en función de ()y y la velocidad vB VB de las bolas en B, B, la fuerza R que el canal ejerce ejerce sobre desprecia el rozamiento. cada una de ellas. Se desprecia rozamiento.

3.90 Un satélite S, S, cuya masa en el instante del lanzamiento lanzamiento era de 150 150 kg, kg. es puesto en órbita elíptica alrededor alrededor de la la TieTierra. En el instante representado representado en la figura, el satélite se encuentra a una distancia r == 10 10 729 729 km del centro de la Tierra y tiene una velocidad velocidad v == 26 26 730 730 kmlh kmlh formando un ángulo f3f3== 60° La única fuerza que actúa 60° con la línea radial que pasa por S. S.La sobre el satélite es la atracción terrestre, que es de 519 519 N en esas condiciones. Calcular el valor de r r en la posición descrita.

e

r

f3 =11

,----; V

e

60°11

-_~-- 1 ~, II

r= 10 729 km

l .~ problema 3.90 Figura problema

--

VA = = 4,1 4,1

mano derecha derech a un un lanzador lanzador de béisbollanza béisbol lanza un 3.91 Con la mano p elota curva curva apuntada apuntada inicialmente inicialmente al borde borde derecho derecho del puespuespelota

m/s m /s

A

150


3.89 3.89 Un Un pequeño pequeño vehículo vehículo de d e propulsión propulsión por por cohete, cohete, cuya masa masa es m, viaja hacia h acia abajo por por la la trayectoria trayectoria circular circular de d e radio radio efectivo r bajo la la acción de de su propio propio peso peso y del del empuje empuje constante tante TT que que le le proporciona proporciona el el motor. motor. Si el vehículo vehículo parte parte del del rereposo poso en en A, A, determinar determinar su su velocidad velocidad vv cuando cuando llega llega aa B B y la la fuerza fuerza N N ejercida ejercida por por la la guía guía sobre sobre las ruedas ruedas antes antes de d e llegar llegar aa B. B. Despreciar Despreciar los los rozamiento rozamientoss yy las las pérdidas pérdidas de de masa masa del del cocohete. hete. Resp. Resp. vv =

1~r mm rnrn

J(~ +2g)

B

11 11 11 11

t:t: 111 1 1111 1111

++ :: 18 m m 1111 11 1 1111 1111 1111 ¡I11 1111

A~ A~


N N = Tn+3mg T7r+3mg

132 132


quebrán curva"quebránpelota se curva" la pelota to represe nta, la B. Tal como se representa, meta B.Tal to meta te constan al orizont h d celerida dose" 150mm. Suponiendo una celeridad horizontal constante dose" 150 mm. Suponie ndo una , vertical ento vv = 38 m / s y despreciando el movimiento vertical, calcular movimi o = 38 m I y desp reciand trala trade la curvatu ra pp de de curvatura m edio de aproximadamente radio medio (a) el radio aproxim adamen te (a) la sobre la normal R que actúa sobre yectoria fu erza normal (b) la fuerza la pelota yy (b) d e la yec toria de misma. masa de 146 g de la misma. 0,1952 N Resp. 1080 m, R = 0,1952N Resp. pp == 1080m, partícul a abando na la partícula O, se abandona 3.92 instante t = O,se Desde rr == ro, en el instante 3.92 Desde el éste, el respecto ad velocid P en el interior del tubo liso sin velocidad respecto a éste, tubo interior P en toren úJo te constan angular ad cual se hace girar a una velocidad angular constante COa en torvelocid una girar ace h cual posició n raradial oV ;r , la posición no velocid ad radial Hallar la velocidad vertical. Hallar eje vertical. un eje no aa un tiempo t.t. del función del tiempo ve en función dial tangenc ial Ve velocid ad tangencial dial r1" y la velocidad ad velocid la , radiales fuerzas radiales, velocidad Explicar ausenci a de fuerzas por qué, en ausencia Explica r por traente gráficam ntar radial aumenta con el tiempo. Representar gráficamente la traReprese radial aument a para tubo para hasta que sale del tubo yectoria partícul a hasta d e la partícula absolu ta de yectoria absoluta radl yúJo 1'0 = 0,1 m, 1 = 1 m YCOa = 1 rad/ s. l ro =

\

"


3.95 radiales lisas gira alredepalas radiales d e palas centrífu ga de bomba centrífuga La bomba 3.95 La Calcula r la ú) . Calcular dor de su eje vertical con celeridad angular = úJ. angular d celerida vertical dor de su eje p artícula de una partícula sobre una fuerza palas sobre d e las palas una de por una ejercida por N ejercida fuerza N pala. La largo de la pala. masa afuera a lo largo movers e ésta hacia afuera al moverse m al masa m ase Supóng radial. ad partícula se introduce en r = "n sin velocidad radial. Supóngase velocid 1"0 r= partícula se introdu ce que la partícula sólo toca el costado de la pala. costado a que partícul

ee

Resp. N Resp. N

Jr2 -- r5r6 2mw2 Jr2 = 2moJ

=

Figura problema problem a 3.92 Figura problema problem a 3.95

las hipótes is de que las 3.93 En el problema 3.92 se suprim suprimee la hipótesis problem a 3.92 3.93 coeficiente de rosuperficies admite que existe un coeficiente roies son lisas y se admite superfic Hao. Haartícula y el tubo giratori zamiento J1c entre la ppartícula giratorio. o cinético J.l.c zamient ésta si la partícu la de r n posició llar, partícula si ésta t, la posición llar, en función del tiempo i, O. Se supon= O.Se ando tt = = ro cu se suelta suelta sin velocidad cuando suponvelocid ad relativa en r = se . estático nto rozamie drá vencido rozamiento estático. el drá

Resp. r

=

1'0

[CJ1c+JJ1Z+1)eWO(-

puede sokg puede d e 1350 3.96 automóvil 1350kg vil de neumát ico del automó Cada neumático 3.96 Cada . Esta calzada portar una fuerza máxima de 2500N paralela a la calzada. paralela d e 2500 N portar una fuerza en te fuerza límite es prácticamente constante todos los moviconstan mente práctica fuerza límite vehícul o y es almientos curvilíneos, eos, del vehículo rectilíne os o curvilín posibles, rectilíneos mientos posibles, ones de canzado sólo sólo si el mismo no patina. condiciones patina. En estas condici canzado

~ ~

!1c+j¡1"f+l)t

2JJ1Z + 1 + C- J1 + JJ1Z + l)ewO(c

1 !1c+J!1z+ )t

10m

]

y 3.94 La delgada uniform uniformee de longitu longitudd L, L, masa m m y La varilla delgada 3.94 en ú), alta te constan angular ad sección A, gira con una velocidad angular constante úJ, en velocid con sección A, un plano plano horizon horizontal eje vertical O-O O-O que pasa por por tal en torno al eje un sobre es actuant tales horizon su centro. Analizando horizontales actuantes sobre fuerzas las ndo Analiza su centro. do que se indica, deducir el element elemento diferencial acelerado deducir una una ial acelera o diferenc el la varilla en sufre expresión esfuerzoo de tracción (J (J que en ara el esfuerz n ppara expresió erzo nado esfu ente denomi función de 1". r. El El esfuerzo esfuerzo,, comúnm comúnmente denominado esfuerzo función centrífugo, divididaa por la la secsecgo, es igual a la fuerza de tracción dividid centrífu A. ción ciónA.

--1r--1r

- - -- -- -- -- -- -- -- .[]J]-.[IIJ-- -- -- -- -- -- --- -- -- -- -- -_ --A

! I

I I I

problemaa 3.96 Figura problem

133


frenado aatope, tope, hallar hallar laladistancia distancia total total de de parada parada sssisilos losfrenos frenos frenado comienzan aaaplicarse aplicarse en en elelpunto punto A, A, donde donde lalavelocidad velocidad es esde de comienzan 25 m miI s,s,yyel elau automóvil sigue lalalínea línea de de división división de de lalacarretera. carretera. 25 tomóvil sigue Resp. ss==47,4 47,4 m m Resp.

Resp.s Resp.s

~ 3.97 3.97 El Eltubo tubo hueco hueco rota rota en en torno torno al aleje ejehorizontal horizontal que que pasa pasa ~ por OOcon con una una velocidad velocidad angular angular constante constante %. %. En Enrr ==O OYYcuanpor cuando ee== O O se se introduce introduce una una partícula partícula de de masa masa mm con con una una velocivelocido dad relativa relativa nula, nula, la la cual cual se se desliza desliza hacia hacia afuera afuera por por el el interior interior dad liso del del tubo. tubo. Hallar Hallar rr en en función función de de e.e. liso

,II,

CZ~ ~~ ~

Resp. r == ~ ~ (senh e-sen e - sen e)e) Resp.r (senh

,,

Vo Va

I

2wo 2w o


~ ~ 3.100 3.100 Desde Desde el el reposo reposo en en A A se se suelta suelta un un pequeño pequeño objeto objeto que que se se desliza desliza con con rozamiento rozamiento por por la la trayectoria trayectoria circular. circular. Si Si el el coeficiente coeficiente de de rozamiento rozamiento es es 0,2, 0,2, hallar hallar la la velocidad velocidad del del objeto objeto cuando cuando pasa pasa por por B. B. (Indicación: (Indicación: Escribir Escribir las las ecuaciones ecuaciones del momovimiento vimiento en coordenadas coordenadas locales locales nn yy t,i, eliminar N yy hacer hacer la sustitución sustitución v dv == a¡ a¡ rr de. de. Resulta así una ecuación diferencial inhomogénea inhomogénea de la forma dyldx dyldx + j(x)y j(x)y == g(x), cuya solución se se conoce perfectamente.) perfectamente.) Resp. Resp. v == 5,52 5,52 mI mi ss

1 '1


A

~ ~

El pequeño carrito 3.98 El pequeño péndulo péndulo de masa m cuelga de un carrito que corre corre por por un Inicialmente el el carrito carrito yy el el que un raíl rm1 horizontal. horizontal. Inicialmente péndulo carrito recibe un péndulo se hallan hallan en reposo reposo con e == O. Si el carrito un aceleración constante a == g, g, hallar ángulo máximo máximo eemax que aceleración constante a hallar el ángulo max alcanza el péndulo en sus oscilaciones. Hallar también la tracpéndulo Hallar también ción ción TT que que sufre sufre la la cuerda cuerda en en función función de de e. Resp. = lr/2, T = mg(3 sen e + 3 cos ee-- 2) Resp. eemax max = n/ 2, T = mg(3 sen e

e

,.f---~~--~~-- ,f-

/ ! /!

II J.lc = 0,2,, /le = 0,2 ..-rII

~mm

B B Figura problema problema 3.100 3.100 Figura

brazo ranurado ranurado OB gira gira en en un un plano plano horizontal horizontal en en ~~ 3.101 El brazo torno al punto punto O de de la leva leva circular circular fija con con una una velocidad velocidad anantorno gular = = 15 rad radlI s. El El resorte resorte tiene tiene un un constante con stante recuperadora recuperadora gular

ee

B B

m,


+ ~~ 3.99 3.99 Un Un collarín collarín de de masa masa mm recibe recibe una una velocidad velocidad inicial inicial de de módulo módulo Va va sobre sobre la la guía guía circular circular horizontal horizontal hecha hecha de de varilla varilla delgada. delgada.Siendo Siendo J.1c J.1cel el coeficiente coeficiente de de rozamiento rozamiento cinético, cinético, hallar hallar la ladistancia distancia que que recorre recorre el el collarín collarín antes antes de de pararse. pararse. (Indicación: (Indicación: Recuérdese Recu érdese que qu e la la fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento depende depende sólo sólo de d e la la fuerza fuerza normal normal total.) total.)

134 134


0,1 m m 0,1 0,1 m m 0,1 Figura problema problema 3.101 3.101 Figura

longitud natural natural cuando cuando e e == O.O.El de 5 kN / m y está en su longitud El rodillo Hallar la fuerza normal liso A tiene una masa masa de 0,5 0,5 kg. Hallar normal N que la leva ejerce sobre A y también también la fuerza R que sobre A ejercen los costados de la ranura ranura cuando cuando e e== 45°. 45°. Las superficies superficies son todesprecia el pequeño pequeño diámetro diámetro del rodillo. das lisas. Se desprecia Resp. Resp. N = 81,6 N, R = 38,7 N

A

~ ~

posición de reposo reposo en A la pequeña pequeña vagoneta vagoneta 3.102 En su posición recibe un un pequeño pequeño impulso impulso que la precipita, precipita, con una una velocidad velocidad inicial despreciable, despreciable, por por la trayectoria trayectoria parabólica parabólica contenida contenida en un plano vertical. Despreciar Despreciar el rozamiento rozamiento y demostrar demostrar que la vagoneta vagoneta se mantiene mantiene en contacto con la parábola parábola para para todos los valores de k.

__ Resp. Resp. N N -

mg mg

2 2 3/2 3/2

(1 (1 + 4k x )

yy problema 3.102 Figura problema

>O O

SECCiÓN SECCiÓN B. TRABAJO TRABAJO Y ENERGíA ENERGíA

3.6

TRABAJO TRABAJO Y ENERGíA ENERGíA CINÉTICA CINÉTICA

.t

n

ra

1

En los dos dos apartados apartados anteriores anteriores se aplicó aplicó la segunda segunda ley de de Newton Newton F == ma a diversos diversos problemas problemas de movimiento movimiento de de puntos puntos materiales materiales para para establecer establecer la relación lación que que en en cada cada instante instante guardan guardan la fuerza fuerza resultante resultante actuante actuante sobre sobre el punpunaceleración que que éste éste adquiere. adquiere. Cuando Cuando se quería quería obtener obtener la variación variación de to y la aceleración velocidad velocidad o el desplazamiento desplazamiento correspondiente correspondiente del del punto, punto, se integraba integraba la ecuaecuaresultante de de aplicar aplicar las las ecuaciones ecuaciones cinemáticas cinemáticas adecuadas. adecuadas. ción resultante Hay dos dos clases clases generales generales de de problemas problemas en en los que que interesa interesa conocer conocer los efecefecHay tos acumulativos acumulativos de las las fuerzas fuerzas no no equilibradas equilibradas actuantes actuantes sobre sobre un un punto punto mamaterial. terial. Respectivamente, Respectivamente, en en estos estos casos casos interviene interviene la integración integración de de las las fuerzas fuerzas respecto al desplazamiento desplazamiento del punto punto y la integración integración de de las las fuerzas fuerzas respecto respecto del respecto tiempo que que dura dura su su aplicación. aplicación. Los resultados resultados de esas esas integraciones integraciones pueden pueden al tiempo incorporarse directamente directamente a las las ecuaciones ecuaciones que que rigen rigen el movimiento, con lo incorporarse movimiento, con resulta innecesario innecesario despejar despejar directamente directamente la aceleración. aceleración. La integración integración que resulta respecto al desplazamiento desplazamiento conduce a ecuaciones ecuaciones que que relacionan relacionan trabajo trabajo y conduce respecto energía, las las cuales cuales son son el tema tema de de este este apartado. apartado. La integración integración respecto respecto al energía, tiempo conduce conduce a las las ecuaciones ecuaciones que que relacionan relacionan impulso impulso y cantidad cantidad de de movimovitiempo miento, las las cuales cuales se estudian estudian en en la parte parte e de de este este capítulo. capítulo. miento, (a) Estableceremos ahora ahora el significado significado cualitativo cualitativo del del término término tratra(a) Trabajo. Estableceremos bajo.' En En la figura figura 3.2a se muestra muestra una una fuerza fuerza F actuando actuando sobre sobre una una partícula partícula A bajo.l que se desplaza desplaza a lo largo largo de la trayectoria trayectoria representada. representada. El vector vector de de posición posición que medido desde desde un un origen origen convenido convenido 0, 0, sitúa sitúa a la partícula su paso paso por por el r, medido partícula a su punto A y dr es el desplazamiento desplazamiento infinitesimal infinitesimal asociado asociado a un un movimiento movimiento ininpunto 1

desarrolló también también al estudiar estudiar el principio principio de los trabajos trabajos virtuales El concepto de trabajo se desarrolló virtuales en 1,Estática. el capítulo 7 del tomo 1, Estática.

135


136

CINÉTICA CINÉTlCA DEl DEl PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL

finitesimal desde A a A '.'. Por definición, el trabajo de la fuerza F durante durante el desplazamiento plazamiento infinitesimal infinitesimal dr es dU dU == F· dr dr

F

dr a A' ;:--;: ----

/

/'

A

/'

r

r + dr

El El valor de este producto producto escalar es dU dU == F ds cos a, a, donde donde a es el ángulo que forman F y dr, y ds es el módulo módulo de dr. Esta expresión puede puede interpretarse interpretarse como el desplazamiento multiplicado por la componente desplazamiento multiplicado componente F F¡t == F cos a en la dirección del desplazamiento, discontinuo. De desplazamiento, tal como representan representan las rectas de trazo discontinuo. otra forma, el trabajo dU dU puede puede interpretarse interpretarse también como la fuerza multiplicada por la componente componente del desplazamiento desplazamiento ds cos a en la dirección de la fuerza, tal como representan 3.2b. Definido así representan las rectas de trazo lleno de la figura 3.2b. el trabajo, debemos observar que la componente F" = F sen a normal normal al desobservar componente Frt F plazamiento no efectúa trabajo. Por tanto, el trabajo dU dU puede puede escribirse plazamiento

o dU = F¡ ds dU = F,

(a)

componente qúe que realiza trabajo F F,t tenga el El trabajo será positivo cuando la componente sentido que el desplazamiento desplazamiento y será negativo negativo cuando cuando ambos sentidos mismo sentido sentidos opuestos. Llamamos fuerzas activas a las fuerzas que realizan realizan trabajo; a las sean opuestos. fuerzas activas ligadura, que no realizan realizan trabajo, las llamamos fuerzas reactivas. de ligadura, fuerzas reactivas. unidad SI SI de trabajo es igual a la unidad (N) por la unidad unidad de La unidad unidad de fuerza (N) desplazamiento (m); (m); o sea, N . m. Esta unidad unidad recibe el nombre nombre de joule desplazamiento joule y es, una fuerza de 1 N cuando cuando se desplaza desplaza una por definición, el trabajo que efectúa una propia dirección. El uso del joule como unidad unidad de distancia de un metro en su propia ambigüedad con las trabajo (y de energía) en vez de N . m evitará la posible ambigüedad unidades de momento momento de una una fuerza o de un par de fuerzas que se expresan expresan unidades enm·N. enm·N. observarse que el trabajo es una magnitud escalar, dada dada por el proDebe observarse una magnitud medidas ambas a lo ducto escalar, o interno, de una fuerza por una distancia, medidas largo de la misma línea. El momento, por su parte, es una magnitud magnitud vectorial dada por el producto producto vectorial de un vector de posición por una fuerza. dada Durante un desplazamiento desplazamiento finito del punto punto de aplicación de una fuerza, Durante ésta realiza un trabajo

I ~I

(b)

Figura 3.2 Figura

= u=

ff

F· dr

o sea F,

u == //11

//

=F¡ds dU =F,ds dU

11 11 1 1 1 1

1 1 1 1

11

S2

Figura 3.3 Figura

ff

F¡ ds

integración es preciso conocer la relación existente entre las Para efectuar esta integración componentes de la fuerza y sus respectivas respectivas coordenadas coordenadas y las relaciones entre componentes F¡ y s. s. Si Si no se conociese la relación funcional como expresión expresión matemática matemática inteF¡ estuviera especificada en forma de datos aproximados aproximados o experigrable, pero estuviera podría calcularse el trabajo efectuando efectuando una numérica o mentales, podría una integración integración numérica representada por el área limitada limitada bajo la curva curva de F¡en Ften fungráfica que estaría representada s, según según se indica en la figura 3.3. 3.3. ción de s, realizado sobre un cuerpo por una Un ejemplo muy corriente de trabajo realizado encontramos en la acción de un resorte sobre un cuerpo mofuerza variable lo encontramos


es-

ue mo

ión

De plierasí es-

Tracción F

Compresión Compresión

lAr ~LC L1i F=kx

""-----'--------'--------'---x X Xl ~ X2 Xl ~ x2

xl

D~p I

F=kx F=kx ~x ~x

-i

~

X2 x2

Xx

I

D~p

P ---.o~F=kx

--j --j

~X~

k

I

S2

estirar Sin estirar

comprimir Sin comprimir 3.4 Figura 3.4

a el dos las

proala arial rza,

e las entre inteperiiea a fununa mo-

unido. Supondremos Supondremos aquí que el resorte es del tipo lineal vible al que se halle unido. recuperadora o rigidez k, de tal modo común de constante constante recuperadora modo que la fuerza F que proporcional a su deformación deformación x, es desarrolla, de tracción o compresión, es proporcional F == kx. En la figura 3.4 3.4 se representan representan los dos casos en que el cuerpo se decir, F para alargar el resorte mueve (por acción de fuerzas que no se indican) bien para longitud x, bien para para comprimirlo comprimirlo una una longitud longitud x. una longitud x . En cada caso, la fuerza ejerce el resorte sobre el cuerpo es de sentido sentido contrario contrario al desplazamiento, desplazamiento, que ejerce negativo. Así pues, tanto si por lo que el trabajo que realiza sobre el cuerpo es negativo. el resorte se alarga como si se acorta, el trabajo realizado realizado sobre el cuerpo es neel gativo gativo y vale

Cuando un resorte se libera, desde un estado de tracción o de compresión, Cuando 3.4 que su deformación vemos ahora en los dos ejemplos de la figura 3.4 deformación cambia X2 a una una deformación deformación menor Xl. En esta situación situación la fuerza que actúa en desde X2 mismo sentido sentido que el desplacualquiera de los dos casos sobre el cuerpo tiene el mismo realizado sobre el cuerpo es positivo. zamiento y, por tanto, el trabajo realizado positivo. El valor del trabajo, positivo positivo o negativo, se ve que es igual al área trapezoitrapezoiEl sombreada que para para ambos casos se representa representa en la figura 3.4. 3.4. Al calcular dal sombreada el trabajo efectuado efectuado por la fuerza de un resorte debe ponerse ponerse cuidado cuidado en comel unidades en las que se expresen expresen k y x sean coherentes. coherentes. Es decir, probar que las unidades N/m. si x está en metros, k debe estar en N/m. realidad, la expresión expresión F == kx es de naturaleza naturaleza elástica y sólo es válida En realidad, partes del resorte carecen de aceleración. El estudio cuando todas las partes estudio dinámico comportamiento de un resorte cuando cuando se tiene en cuenta su masa es basdel comportamiento complicado y no vamos a tratarlo tratarlo aquí; supondremos supondremos que la masa del retante complicado pequeña comparada comparada con las masas de otras partes partes del sistema que sorte es pequeña implicará errores estén aceleradas, en cuyo caso la relación estática lineal no implicará apreciables. Consideremos ahora el trabajo realizado realizado sobre una partícula partícula de masa m (fig. Consideremos 3.5)que describiendo una una trayectoria trayectoria curva bajo la acción de la fuer3.5) que se mueve describiendo


137 3.6 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA CINÉTICA 3.6

138 CINÉTICA DEL DEL PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL CINÉTICA

za F, que representa la resultante resultante ~F de de todas todas las las fuerzas que representa fuerzas que que actúan actúan sobre sobre la partícula. posición de de m es establecida por el vector posición r, y su despartícula. La posición establecida por vector de de posición su desplazamiento trayectoria durante tiempo dt está representado plazamiento a lo largo largo de de su su trayectoria durante el tiempo está representado por variación dr de su vector vector de posición. posición. El trabajo trabajo de un despladesplapor la variación de su de F durante durante un zamiento finito finito de la partícula desde el punto zamiento partícula desde punto 1 al punto punto 2 es

rJ

UI_2 z

F·dr

I

=

f52

F¡ ds

51

donde límites especifican los puntos puntos inicial inicial y final intervalo de movidonde los límites especifican los final del del intervalo de movimiento en en cuestión. cuestión. Introduciendo segunda ley de Newton expremiento Introduciendo la segunda ley de Newton F = ma, ma, la expresión todas las las fuerzas queda sión del del trabajo trabajo de de todas fuerzas queda UII-2-2

o x Figura Figura 3.5

JJIrI

F . dr

22 ma· ma· dr == f5f5 s, 5,

Pero = al tangencial de aceleración de Pero a . dr = al ds, donde donde al at es la componente componente tangencial de la aceleración de m y ds es el módulo módulo de de dr. Atendiendo Atendiendo a la velocidad velocidad v de de la partícula, partícula, la ecuación ecuación 2.3 da al ds = = v dv. Con expresión del del trabajo trabajo de F queda da a, Con ello, la expresión queda en en la forma forma

U I _2

I ~,

= JI r

F· dr

2 mv dv = ~m(vl-v/) = fV v,

(3.9) (3.9)

donde integración se ha ha efectuado puntos 1 y 2 de la curva donde la integración efectuado entre entre los puntos curva en en los cuales velocidades tienen tienen por por módulo módulo VI cuales las velocidades VI y V2' respectivamente. respectivamente. (b) Energía cinética. cinética. por definición, definición, por

energía cínética cinética T de partícula o punto punto material material es, La energía de la partícula T = ~ mv 2

(3.10) (3.10)

sobre la partícula que ésta ésta adquiera adquiera una y es el trabajo trabajo total total a realizar realizar sobre partícula para para que una vevelocidad de del estado estado de reposo. locidad de módulo módulo v partiendo partiendo del reposo. La energía energía cinética cinética T es una magnitud magnitud escalar escalar cuya cuya unidad que es siempre una unidad SI es el N . m, m , o joule joule (J), y que siempre positiva independientemente de cuáles cuáles sean sean la dirección sentido de de la vepositiva independientemente de dirección y el sentido velocidad. La ecuación ecuación 3.9 podemos escribirla otra otra vez en la forma forma más simple locidad. podemos escribirla vez en más simple

(3.11 ) que es la ecu ecuación que relaciona efectuado sobre sobre un que ación que relaciona el trabajo trabajo efectuado un punto punto material material con la variación de su su energía energía emética, con variación de cinética, relación relación conocida conocida de de antiguo antiguo como como teoque fuerza que ha rema de las fuerzas fuerzas vivas, vivas, ya ya que fuerza viva viva es otro otro nombre nombre que ha recibido recibido la energía cinética. fuerzas que que energía cinética. N os dice dice que que el trabajo total efectuado efectuado por por todas todas las las fuerzas ejercen sobre sobre un durante el intervalo de movimiento desde se ejercen un punto punto material material durante intervalo de movimiento desde estado 1 al estado estado 2 es igual igual a la correspondiente correspondiente variación variación de energía el estado energía cinética cinética del punto punto material. T es siempre siempre positiva, su variación ser del material. Aunque Aunque T positiva, su variación I1T t:,.T puede puede ser positiva, negativa de esta esta forma forma concisa, ecuación 3.11 nos positiva, negativa o nula. nula. Escrita Escrita de concisa, la ecuación nos informa de de que que el trabajo conlleva un de energía energía cinética. forma trabajo siempre siempre conlleva un cambio de cinética. Otra manera de entender entender el teorema de las fuerzas vivas sería afirmar afirmar que que Otra manera de teorema de las fuerzas vivas sería energía cinética energía la energía cinética inicial inicial TI más más el trabajo trabajo realizado realizado UlI--22 es igual igual a la energía cinética final final T 2 o sea sea cinética (3.11a) (3.11a)


Expresado así, el teorema obedeciendo a la sucesión sucesión naExpresado teorema presenta presenta los términos términos obedeciendo natural acontecimientos. Es obvio obvio que que ambas ambas formas, formas, la 3.11 y la 3.11a, tural de de los acontecimientos. 3.11a, son equivalentes. equivalentes. Vemos ahora de de la ecuación ecuación 3.11 que que el teorema teorema de de las fuerzas fuerzas vivas Vemos ahora vivas presenpresenta la importante importante ventaja evitar el cálculo cálculo de la aceleración aceleración y lleva lleva directadirectaventaja de evitar mente de velocidad como funciones funciones de de las fuerzas fuerzas que que mente a las variaciones variaciones de velocidad como trabajan. de las fuerzas fuerzas vivas sólo intervienen intervienen aquellas aquellas trabajan. Es más, más, en el teorema teorema de vivas sólo fuerzas que que trabajan dan lugar lugar a variaciones en las las velocidades. fuerzas trabajan y dan variaciones de módulo módulo en velocidades. Consideremos dos dos o más conexiones exentas exentas de de rozaConsideremos más partículas partículas unidas unidas por por conexiones rozamiento y que que no deformarse elásticamente. elásticamente. Las fuerzas fuerzas de las conexioconexiomiento no pueden pueden deformarse nes aparecen por de igual igual módulo dirección y sentidos sentidos opuestos, opuestos, y nes aparecen por parejas parejas de módulo y dirección de aplicación aplicación de de tales fuerzas tendrán componentes los puntos puntos de tales fuerzas tendrán necesariamente necesariamente componentes desplazamiento iguales iguales en en la dirección dirección de de las fuerzas. fuerzas. Por Por tanto, de desplazamiento tanto, el trabajo trabajo efectuado por dichas fuerzas fuerzas internas internas será será nulo del total efectuado p or dichas nulo para para todo todo movimiento m ovimiento del sistema de de las las dos dos o más conectadas. Así ecuación 3.11 será será sistema más partículas p artículas conectadas. Así pues, pues, la ecuación aplicable al sistema sistema total, siendo UI--22 el trabajo efectuado sobre sistema aplicable total, siendo trabajo total total efectuado sobre el sistema por fuerzas exteriores exteriores a él y siendo siendo !'!.T flT la variación energía cipor las fuerzas variación T22 -- TI de la energía nética del sistema. sistema. La energía energía cinética cinética total suma de de las energías energías nética total total del total es la suma cinéticas de de todos elementos del del sistema. sistema. Podemos Podemos observar observar ahora ahora que que una cinéticas todos los elementos una nueva del teorema de las fuerzas fuerzas vivas consiste en en que que permite anánueva ventaja ventaja del teorema de vivas consiste permite el anásistema de de puntos de la manera descrita, sin sin nelisis de un un sistema puntos materiales, materiales, unidos unidos de manera descrita, necesidad de de desmembrar desmembrar el sistema. sistema. cesidad del teorema de las las fuerzas fuerzas vivas aislamiento del del teorema de vivas reclama reclama el aislamiento La aplicación aplicación del punto del sistema sistema en en cuestión. cuestión. En el caso caso de un solo, punto material material o del un punto punto material material solo, deberá trazarse diagrama para sólido libre libre donde donde se representen deberá trazarse un un diagrama representen todas todas las fuerzas externamente externamente aplicadas. aplicadas. En el caso caso de de sistemas sistemas de de puntos fuerzas puntos materiales materiales unidos sin miembros elásticos, puede diagrama de defuerunidos rígidamente rígidamente sin miembros elásticos, puede trazarse trazarse un un diagrama fuerzas activas activas donde donde sólo sólo se incluyan incluyan las fuerzas que que trabajen. trabajen.' 1 las fuerzas

a e e

a

e a

capacidad de de una cantidad de trabajo (e) Potencia. Potencia. La capacidad una máquina máquina se mide mide por por la cantidad trabajo de energía energía que que entrega entrega por que realiza realiza o de por unidad unidad de tiempo. tiempo. El trabajo trabajo total total o energía producida constituye una capacidad puesto que un un energía producida no no constituye una medida medida de tal tal capacidad puesto que motor, que sea, puede entregar una gran cantidad cantidad de energía energía si se motor, por por pequeño pequeño que puede entregar una gran suficiente. Por Por otra otra parte, requieren máquinas grandes y muy muy pole da tiempo tiempo suficiente. parte, se requieren máquinas grandes potentes conseguir grandes grandes cantidades cantidades de energía energía en períodos tentes para para conseguir períodos de tiempo tiempo cortos. De esta esta forma, forma, la capacidad capacidad de las máquinas clasifica de de acuerdo acuerdo con con su su máquinas se clasifica potencia, que que por definición es la cantidad cantidad de trabajo efectuada efectuada por unidad unidad de tiempo. tiempo. por definición acuerdo con con ello, la potencia desarrollada por fuerza F que que realiza De acuerdo potencia P desarrollada por una una fuerza realiza un dU/dt == F . dr / dt. di. Como Como dr / dt es la velocidad del punto un trabajo trabajo U es P == dU/dt velocidad v del punto aplicación de de la fuerza, fuerza, tenemos de aplicación tenemos (3.12) escalar y su unidad La potencia potencia es, evidentemente, evidentemente, una una magnitud magnitud escalar unidad SI es N·m / s == J J // s, que que recibe de watt watt (W) y es un segundo. recibe el nombre nombre de un joule joule por por segundo. cociente entre entre el trabajo (d) Rendimiento. Rendimiento. El cociente trabajo realizado realizado por una una máquina máquina y el trabajo esa máquina durante un intervalo de de tiempo trabajo realizado realizado sobre esa máquina durante un mismo mismo intervalo tiempo rerecibe el nombre rendimiento mecánico mecánico emm de de la máquina. esta definición definición se nombre de rendimiento máquina. En esta 1

El diagrama diagrama de fuerzas activas fue introducido introducido en el método El método de los trabajos virtuales. virtuales. Véase el capítulo 7 del tomo 1,Estática. Estática. tom o 1,


139 3.6 TRABAJO TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA C1NÉTICA 3.6 Y ENERGÍA

140 140 C1NÉTlCA DEL PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL CINÉTICA DEL

supone supone que que lalamáquina máquina funciona funciona regularmente regularmente de de forma forma que que en en su su interior interior no no se acumula ni se consume energía. El rendimiento es siempre inferior se acumula ni se consume energía. El rendimiento es siempre inferior aala launiunidad dad puesto puesto que que todo todo mecanismo mecanismo funciona funciona siempre siempre con con cierta cierta pérdida pérdida de de enerenergía y no puede crearse energía en el interior de la máquina. En los dispositivos gía y no puede crearse energía en el interior de la máquina. En los dispositivos mecánicos mecánicos que que incluyen incluyen piezas piezas móviles móviles existirá existirá siempre siempre alguna alguna pérdida pérdida de de energía a causa del trabajo negativo realizado por las fuerzas de rozamiento energía a causa del trabajo negativo realizado por las fuerzas de rozamiento cinético, cinético, trabajo trabajo que que se se transforma transforma en en energía energía calorífica calorífica yy que que aasu su vez vez se se disipa disipa en en el el ambiente. ambiente. En En un un instante instante dado, dado, el el rendimiento rendimiento mecánico mecánico puede puede expresarexpresarse en en función función de de la la potencia potencia mecánica mecánica PP por por se Pútil Pútil

PPconsumida consumid a

Además Además de de pérdidas pérdidas de de energía energía producidas producidas por por el el rozamiento, rozamiento, puede puede haber haber además pérdidas de energía eléctrica y térmica, en cuyo caso intervendrán además pérdidas de energía eléctrica y térmica, en cuyo caso intervendrán también también el el rendimiento rendimiento eléctrico eléctrico ee eeyy el el rendimiento rendimiento térmico térmico el. el. En En tales tales circunstancircunstancias, el el rendimiento rendimiento global global sería sería cias,

I

"


••

t!

I ~

Calcular la velocidad Calcular ve/ocidad vv de la caja de 50 kg kg cuando cuando llega al final final B de la rampa rampa si en en AA recibe una una velocidad velocidad inicial inicial de 4 mis mis rampa rampa abajo. El coeficiente coeficiente de rozamienrozamiento cinético cinético es 0,30. 0,30.

50(9,81) 50(9,81) NN

Solución. El El diagrama diagrama para para sólido sólido libre libre de de la la caja caja comprende comprende la la fuerza fuerza normal normal Solución. R yy la la fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento cinético cinético FF calculada calculada del del modo modo usual. usual. El El trabajo trabajo reareaR lizado por por la la componente componente del del peso peso paralela paralela al al plano plano es es positivo, positivo, mientras mientras que que el el lizado de la la fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento es es negativo. negativo. El El trabajo trabajo realizado realizado sobre sobre la la caja caja durante durante de el el movimiento movimiento es es

b

N .....,- \ f.1cR == 142 142N ~\

PcR

R N R =474 = 474N

CD CD CD Como Como el el trabajo trabajo realizado realizado total total es es negativo, negativo, resulta resulta que que la la energía energía cinécinética tica disminuye. disminuye.

[U == Fsl Fs] [U

Ul_l 2_2 == [50(9,81) [50(9,81) sen sen 15° 15°-142]10 -142]10 == -152 -152 JJ U

La La variación variación de de energía energía cinética cinética es es TT22 -- TI TI = = flT I:!T

El El teorema teorema de de las las fuerzas fuerzas vivas vivas da da [U1.l2_=2 = flT] I:!T] [U

9,93(mi (mis2) S2) vv2 2 == 9,93


-152 ==25(v 25(v22-16) -16) -152 3,15mi m is vv == 3,15 s

Resp. Resp.

o PROBLEMA PROBLEMA TIPO TIPO 3.12 3.12

ros de to

El camión camión de de plataforma plataforma abierta, abierta, que que El transporta un un embalaje embalaje de de 80 80 kg, kg, parte parte transporta del reposo reposo yy alcanza alcanza una una celeridad celeridad de de del 72 km/h en una distancia de 75 m a lo 72 kmln en una distancia de 75 m a lo largo de-una de-una carretera carretera horizontal horizontal bajo bajo largo aceleración constante. constante.Calcular Calcularelel trabatrabaaceleración de las las fuerzas fuerzas de de rozamiento rozamiento que que acacjojo de túan sobre el embalaje si los coeficientes túan sobre el embalaje si los coeficientes de rozamiento rozamiento estático estático yy cinético cinético entre entre de embalaje yy plataforma plataforma son, son, respectivarespectivaembalaje mente, (a) (a) 0,30 0,30 yy 0,28, 0,28, óó (b) (b) 0,25 0,25 Y Y 0,20. 0,20. mente,

pa

er án

Solución. Si el el embalaje embalaje no no resbala resbala sobre sobre la la plataforma, plataforma, su su aceleración aceleración será será la la Solución. misma que que la la del del camión, camión, y ésta ésta es misma a a

[v2 2 = = 2as] 2as ] [v Caso (a). (a). Caso

22

(72 / 3,6)2 == 267 267 / 2 == vv2s == (72/3,6)2 2(75) ,m s 2s

2(75)

,m

s

80(9,81) N N

c6 F~t F ~t ~~a

Esta aceleración aceleración requiere requiere que que sobre sobre el bloque bloque actúe actúe la fuerza fuerza de de ro-

zamiento zamiento

+

a

80(9,81) N

[F == mal mal [F

= 80(2,67) 80(2,67) = = 213 213 N FF =

menor que el máximo máximo valor valor posible posible de f.1.eN f.1eN = = 0,30(80)(9,81) 0,30(80)(9,81) = = 235 235 N. Por Por que es menor resbala y el trabajo trabajo efectuado efectuado por por la auténtica fuerza de rotanto, el embalaje embalaje no resbala auténtica fuerza zamiento, zamiento, que es la estática estática de 213 N es [U [U = = Fs] Fs]

_2 = U ll _ 213(75) == 16000 JJ 2= 213(75)

o sea

16,0 kJ 16,0

Para f.1e f.1.e == 0,25, 0,25, la fuerza de rozamiento rozamiento máxima máxima posible posible es 0,25(80)(9,81) 0,25(80)(9,81)== 196 196 N, ligeramente ligeramente inferior inferior al valor de 213 213 N necesario necesario para para que no haya deslizamiento. deslizamiento. Resulta pues pues que el embalaje resbala y el valor de la fuerza de rozamiento rozamiento está determinado determinado por el coeficiente cinético y es F == 0,20(80)(9,81) 0,20(80)(9,81)== 157 157 N N.. La aceleración aceleración se hace

Caso Caso (b).

[F [F == mal mal

aa == F/m F/m == 157/80 157/80 == 1,96m/s 1,96m/s22

Las Las distancias distancias recorridas recorridas por el el embalaje embalaje yy el el camión son son proporcionales proporcionales aa sus sus aceleraciones. aceleraciones. Entonces, Entonces, el el embalaje embalaje se se desplaza desplaza (1,96/2,67)75 (1,96/2,67)75 == 55,2 55,2 m, m, yy el el tratrabajo bajo efectuado efectuado por por la la fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento cinético cinético es es [U [U == Fs] Fs]

2

U Ull-_22

== 157(55,2) 157(55,2) = = 8660 8660JJ

oo sea sea

8,66kJ kJ 8,66

Resp. Resp.

1 Obsérvese CD Obsérvese que que las lasfuerzas fuerzas de de rozamiento rozamiento estático estático no no trabajan trabajan cuando cuando ambas ambas susuperficies perficies en en contacto contacto están están en en reposo. reposo. Cuando Cuando se se mueven, mueven, no no obstante, obstante, como como ocuocurre rre en en este este caso, caso, la la fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento estático estático que que actúa actúa sobre sobre el el embalaje embalaje hace hace un un trabajo trabajo positivo positivo yy la la que que actúa actúa sobre sobre la la plataforma plataforma hace hace un un trabajo trabajo negativo. negativo.

o

2 Este Este problema problema muestra muestra que que una una fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento cinético cinético puede puede realizar realizar una una trabajo trabajo positivo positivo cuando cuando lala superficie superficie que que soporta soporta el el objeto objeto yy que que genera genera la la fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento está está en en movimiento. movimiento. SiSila la superficie superficie portante portante está está en en reporeposo, so, lala fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento cinético cinético que que actúa actúa sobre sobre lala parte parte móvil móvil realizará realizará un un trabajo trabajo negativo. negativo.

141 141


¡

¡;

PROBLEMA TIPO TIPO 3.13 3.13

I

El bloque bloque A de 50 kg está está montado montado sobre rodillos forma que puede puede moverse rodillos de forma moverse con rozamiento rozamiento despreciable despreciable por el carril hofijo bajo la acción de la fuerza fuerza rizontal rizontal fijo constante constante de 300 300 N N que actúa actúa sóbre sobre el cable. El bloque bloque se abandona abandona en A desde el estando el resorte resorte al que está está uniunireposo, estando estirado inicialmente inicialmente Xl Xl = = 0,233 0,233 m. do estirado rigidez del resorte N/m. La rigidez resorte es k == 80 N 1m. Calcular la velocidad velocidad v del bloque bloque cuando cuando cular B. llega a la posición posición B.

I

-

300 N

.>

~

80x

300N 300N

Ir , 0,9m 0,9m

A

-lJ

I-X¡+1,2m I-X¡+1,2m I

Partiremos de la hipótesis hipótesis de que la rigidez rigidez del resorte resorte es suficienSolución. Partiremos temente reducida reducida para para permitir permitir que el bloque bloque llegue a la posición posición B. Se Se represenrepresentemente para una una posición posición cualquiera, cualquiera, el diagrama diagrama de fuerzas activas del sistema sistema ta, para formado poi por bloque bloque y cable. La fuerza del resorte 80x y la tensión tensión de 300 300 N son formado exteriores al sistema sistema que realizan realizan trabajo sobre el mismo. La las únicas fuerzas exteriores fuerza que ejerce el carril sobre el bloque, el peso de éste, y la reacción de la pequeña polea polea sobre el cable no realizan realizan trabajo sobre el sistema sistema y no se incluyen incluyen queña diagrama de fuerzas activas. en el diagrama Cuando el bloque bloque se mueve mueve desde desde XX == O O ,233 0,233 + 1,2 == 1,433, 1,433, el traCuando J33 m a XX == 0,233 efectuado por la tensión tensión del resorte que actúa sobre el bloque bloque es negativo negativo y bajo efectuado vale

t

I ~

e

[U = [U

dx] ff F dx]

Ull__22

rr'233 433 = 80x dx = = - JO JO'233 = ,

40x2 40x2

JJ ,433 ,433 1 1

0,233 0,233

= = -- 80,0 80,0

JJ

constante de 300 300 N aplicada aplicada al cable realiza realiza sobre el El trabajo que la fuerza constante producto de ésta por el desplazamiento desplazamiento horizontal horizontal del cable sobre sistema es el producto C, el cual vale JJ(l,2)2 (0,9)2 - 0,9 = 0,6 m m. . Así pues, el trabajo realila polea C, (l,2)2 + (0,9)2 300(0,6) == 180 180 J. Aplicando Aplicando ahora el teorema teorema de las fuerzas vivas se obzado es 300(0,6) tiene [Ul-l2-2 = ~T] [U = ~T]

80,0 + 180 180 - 80,0

= ~(50)(v2 ~(50)(v2 =

O)

2,Om/s v = 2,Om/s

Resp. Resp.

Observemos particularmente particularmente la ventaja ventaja de haber haber tomado tomado un sistema sistema como el Observemos Si el sistema sistema hubiera hubiera estado formado sólo por el bloque, bloque, la componente componente elegido. Si estado formado horizontal de la tensión tensión del cable de 300 300 N habría habría tenido tenido que integrarse integrarse a lo largo horizontal desplazamiento de 1,2 m. Esta operación requeriría un esfuerzo esfuerzo notablemennotablemendel desplazamiento operación requeriría superior que el necesario en la solución solución ofrecida. ofrecida. De haber haber existido existido un rozate superior miento apreciable apreciable entre el bloque bloque y su carril de guía, se habría habría visto la necesidad necesidad miento bloque en solitario con el fin de calcular la fuerza normal normal variable y, de aislar el bloque partir de la misma, la fuerza de rozamiento rozamiento variable. A continuación, continuación, hubiera hubiera a partir integrar la fuerza de rozamiento rozamiento a lo largo del desplazamiento desplazamiento sido necesario integrar para calcular el el trabajo negativo negativo realizado realizado por la misma. para

Q) Si la variable variable x se se hubiera hubiera medido medido a partir partir de la posición posición de de partida partida A, la tentensión del del resorte resorte habría habría sido sido 80(0,233 los límites límites de de integración integración O y 1.2 1,2 m. sión 80(0.233 + x) y los

142



El torno torno motorizado motorizado AA iza iza elel tronco tronco de de El 360 kg kgpor porelel plano plano inclinado inclinado30° 30°aalala cece360 leridad de de 1,2 1,2 mis. mis. Si Si lala potencia pote1?cia útil útil dedeleridad sarrollada por por elel torno torno es es de de 44 kW, kW, sarrollada calcular elel coeficiente coeficiente de de rozamiento rozamiento calcular cinético J1.c I1centre entre tronco tronco yy plano. plano. ¿Cual ¿Cuál cinético sería la la correspondiente correspondiente aceleración aceleración insinssería tantánea aa del del tronco, tronco, sisi la la potencia potencia auautantánea mentase repentinamente repentinamente aa66 kW? kW? mentase

AA

Solución. Según Según el el diagrama diagrama para para sólido sólido libre libre del del tronco tronco tenemos tenemos N N = = Solución. 360(9,81) cos 30° 30° = = 3058 3058 N, N, Y Y la la fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento cinético cinético valdrá valdrá 3058J1.c 305811c. 360(9,81) la celeridad celeridad es es constante, constante, las las fuerzas fuerzas están están en en equilibrio, equilibrio, por por lo lo que que Como la

36:V¡

~

30° 30°

potencia útil útil del del torno torno nos nos da da la tensión tensión del del cable La potencia

\

= P IvIv == 4000/1,2 4000 / 1,2 = = 3333 N

=

J1. I1c c =

0,513 0,513

N N

CD Obsérvese Obsérvese que que los kilowatt kilowatt se pasan pasan

Sustituyendo por su valor valor resulta resulta Sustituyendo T T por 3333 3333 = 305811c 3058J1.c + 1766 1766

xX

~

=3058J1. 305811cc + 1766 TT = T

-' ./

36~

305811cc -- 360(9,81) 360(9,81) sen sen 30° 30· == O TT -- 3058J1.

[P Tv] [P = Tv]

-' -'

aa watt. watt. Asimismo Asimismo empleam empleam s lis J/s y no no N·m/s. N-mis.

Resp. Resp.

Cuando potencia aumenta, tensión pasa pasa a ser momentáneamente momentáneamente Cuando la potencia aumenta, la tensión [P = = Tv] Tv]

T

= / 1,2 = = P IIvv = = 6000 6000/1,2 = 5000 5000 N

o

y la aceÚ~ración aceleración correspondiente correspondiente es [¿F P~Fxx == ma) maJ 2

medida que que aumenta aumenta la celeridad, celeridad, (3) A medida

5000 5000 - 3058(0,513) 3058(0,513)-- 360(9,81) 360(9,81) sen 30· 30° == 360a 360a 2 a == 4,63 m/s2 4,63m/s

Resp.

la aceleración aceleración disminuye disminuye hasta hasta que aquélla se estabiliza en un aquélla estabiliza un valor superior a 1,2 mis. mis. perior

PROBLEMA TIPO TIPO 33 .15 .15 PROBLEMA I

Un Un satélite satélite de de masa masa m m se se coloca colocaen en órbita órbita elíptica elíptica en en torno torno aa lala Tierra. Tierra. En En elel punto punto AA su su distancia distancia aalala Tierra Tierra es es hhl1==500 500 km km yy su su velocidad velocidad VI vI ==30 30000 000 km/h. km/h. DeterDeterminar minar lalavelocidad velocidad V2 V2del del satélite satélite cuando cuando llega llega alal punto punto B, B, aa una una distancia distancia hh22 == 1200 1200 km km de de lala Tierra. Tierra.

143


Solución. se mueve mueve fuera fuera de de la la atmósfera atmósfera terrestre, terrestre, por por lo lo que que la la úniúniSolución. El El satélite satélite se ca ca fuerza fuerza que que sobre sobre él él actúa actúa es es la la atracción atracción gravitatoria gravitatoria de de la la Tierra. Tierra. Siendo Siendo me me yy R R la la masa masa yy el el radio de de la la Tierra, Tierra, respectivamente, respectivamente, la la ley ley de de la la atracción atracción universal universal (ec. mf¡2, cuando (ec. 1.2) 1.2) nos nos da da F == Gmm.lr2 Gmm.[r: == gR gR22m/,z, cuando se se sustituyen sustituyen los los valores valores en en la la susuperficie F == mg mg yy r == R R por Cm Cm,e == gR2. El El u"abajo trabajo realizado realizado por F se debe debe únicamente aa la la componente componente radial radial del movimiento movimiento aa lo lo largo de de la recta soporte soporte de de F negativo cuando cuando rr aumenta. aumenta. yy es negativo

lB

r22 F ddrr --= - mg 2fr22 U Ul12 -2 --= -- ff r F mgRR2fr r~ r~1 1

dr -dI'

mgR

T2

~

2(r---1 r1) 2

1

El teorema teorema de las fuerzas vivas U UlI-_2 2 == I1T flT da El

CD 0)

Obsérvese que el resultado es indeObsérvese la masa del satélite. pendiente de la

o Para Para el radio radio R de la la Tierra, Tierra, consul® tar la la tabla D.2 0.2 del apéndice apéndice D. O. tar

CD

mgR 2( -1 - -1) = 1 2m (2 v2

r2

r1

- VI

2)

= VI 2 + 2g R2(1-

v22

T2

1)

- -

TI

numéricos resulta resulta 00Introduciendo Introduciendo los valores numéricos (1010- ) ) (1010000)2 v/ 3T V/ = ( 30 ""3,6" + 2(9,81)[(6371)(10 3)]2 6371 6371 + 1200 1200 - 6371 6371 + 500 500 3

3

3

= = 69,44(10 69,44(1066) -10,72(10 -10,72(1066) ) = = 58,73(106)(ml 58,73(106)(m/ s)2 s)2

I .'

vV22 == 7663 7663 m is /s

o sea

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas Problemas inlroductorios introductorios

vV2 == 7663(3,6) /h 7663(3,6) = 27590 km km/h

Resp. Resp.

(\ r -r (\ 1 1 I I

3.103 3.103 Cuando Cuando xx = = O,el O, el resorte resorte tiene su longitud longitud natural. natural. Si el

I1 I1

cuerpo 100 mm hasta cuerpo se desplaza desplaza desde desde su posición posición inicial xl Xl = = 100 hasta la posición posición final X2 x2 = = 200 mrn, mm, hallar hallar (a) el trabajo trabajo que que realiza realiza el resorte resorte sob-reel sob"r e el cuerpo cuerpo y (b) el trabajo trabajo que que sobre sobre el cuerpo cuerpo realiza su propio propio peso. Resp. Resp. (a) U Ull-2-2 = = - 60 J, (b) U 1-2 1-2 = = 2,35 JJ

hit h

1 I

+


3.105 En el punto punto A A el pequeño pequeño cuerpo cuerpo posee posee una una celeridad celeridad 3.105 v = = 5 mi mi s. Despreciando Despreciando el rozamiento, rozamiento, hallar hallar su su celeridad celeridad VB VB en el punto punto B,tras B, tras haberse haberse elevado elevado 0,8 m. ¿Es necesario necesario conocer conocer en perfil de la pista? pista? el perfil Resp. vB vB = = 3,05 mi m i s; no no Resp.

A VA


3.104 3.104 Aplicando Aplicando el teorema teorema de de las las fuerzas fuerzas vivashallar vivas'hallar una una expresión para la la máxima máxima altura altura que que alcanza alcanza un un proyectil proyectil lanzado lanzado presión para desde desde el suelo suelo con con una una velocidad velocidad inicial inicial vo. vo.Evaluar Evaluar la expresión expresión hallada para Vo Vo = = 50 mi m i s. s. Supóngase Supóngase que que la la aceleración aceleración gravitagravitahallada para toria toria es es constante constante yy despréciese despréciese la la resistencia resistencia del del aire. aire.

-. ~=-~

144 144


----;~~~::!r,D::rL-~B A


3.106 3.106 Al proyectar proyectar un parachoques parachoques elástico para para un automóautomóvil de 1500 desea que el vehículo 1500 kg, se desea vehículo se detenga detenga desde desde una celeridad de 8 km / h con una km/h una longitud longitud de deformación deformación de los 150 mm. Especificar qué constante constante recuperadora recuperadora resortes de 150 uno de los dos resortes resortes montados montados detrás detrás del debe tener cada uno parachoques. Ambos Ambos están están sin deformar deformar al inicio del impacto. parachoques.

+----f+--

-

750 750 mm mm

----+j --

-

+i

r

375mm 375 mm

J1

."" Figura problema problema 3.109 3.109

3.110 abandona desde 3.110 El anillo de 2 kg se abandona desde el reposo reposo en A y se desliza por por la varilla varilla inclinada inclinada fija en el plano plano vertical. El coefidesliza ciente de rozamiento rozamiento cinético es 0,4. 0,4. Calcular Calcular (a) la velocidad velocidad v (b) el acortamiento del anillo cuando cuando golpea golpea contra contra el resorte resorte y (b) acortamiento máximo x del resorte. máximo resorte.


3.107 El pequeño pequeño collar de masa masa m se suelta suelta desde desde el reposo reposo 3.107 rozamiento apreciable, por por la varilla curen A y se desliza, sin rozamiento condiciones dadas, dadas, la va vertical. Expresar, en función de las condiciones cuando choca con la base B. velocidad v del collar cuando

Resp. v ==

2kg

J2ih

~\\\~\ ~\

0,5 m

)

b ---.1

I I I

----T--r I I I I I I



ridad ad

VB

nacer

3.108 Si Si para para el collar deslizante deslizante del problema problema 3.107 3.107 es m == 3.108 0,5 kg, b b= 0,8 m y h h = 1,5 1,5 m y, además, además, la velocidad velocidad del collar 0,5 = 0,8 4,70 mi mi s al chocar con la base B tras haber haber partido partido del rees de 4,70

3.111 sube con una Vo = 105 km/h 3.111 El automóvil automóvil sube una celeridad celeridad va = 105 km/h por por la pendiente conductor aplica los frependiente del 6 por por ciento cuando cuando el conductor fninos en el punto punto A, haciendo haciendo que todas todas las ruedas ruedas patinen. patinen. El coeficiente de rozamiento resbaladiza de rozamiento cinético en la calzada calzada resbaladiza lluvia u¿ = lluvia es J1c = 0,6. Hallar Hallar la distancia distancia de parada parada SAB' SAB. Repetir Repetir los cálculos para para el caso en que el vehículo vehículo se mueva mueva cuesta cuesta abajo de B aA. aA. Resp. 80,4 m Resp. SAB' SAB. = = 65,8 65,8 m, SBA = = 80,4

poso, calcular el trabajo Q Q realizado realizado por por el rozamiento. rozamiento. ¿Qué se energía perdida? perdida? hace de la energía 3.109 El El anillo de 0,8 0,8 kg se desliza desliza con rozamiento rozamiento despreciadesprecia3.109

A

inmovilizada en el plano plano vertical. Si Si ble a lo largo de la varilla inmovilizada parte del reposo reposo en A bajo la acción de la fuerza horiel anillo parte constante de 8 N, calcular su velocidad velocidad v cuando cuando choca zontal constante B. con el tope B. 4,73 m mi i s Resp. v == 4,73

_vo _ vo

JJ66 100 100 Figura problema problema 3.111 3.111

145


11' 3.112 La Lamuchacha muchacha de de54 54kg kgsube subeeleltramo tramode deescalera escaleraen encincin3.112 cosegundos. segundos. Determinar Determinar lalapotencia potencia útil útil media media que que desarrodesarroco lla. lla. , \

1

/

lA

2,75 m 60N 60N

Figura problema 3.115 Figuraproblema 3.115 Figuraproblema 3.112 Figura problema 3.112

Problemas representativos representativos Problemas 3.113 El El vector vector de de posición posición de de un un punto punto material material es es rr == 8ti 8ti ++ 3.113 2 1,2t j 0,5(t3 -l)k, donde t es el tiempo en segundos desde el 1,2t2j - 0,5(t3 -l)k, donde t es el tiempo en segundos desde el inicio del movimiento y r se expresa en metros. Para el instante inicio del movimiento y r se expresa en metros. Para el instante s, determinar determinar la la potencia potencia PP desarrollada desarrollada por por la la fuerza fuerza FF == tt == 44 s, 10i -- 20j 20j -- 36k 36k N N que que actúa actúa sobre sobre el el punto punto material. material. 10i Resp. PP == 0,992 0,992 kW kW Resp. 3.114 La escalera mecánica de unos grandes grandes almacenes trans3.114 porta una carga constante de 36 personas minuto desde la porta constante 36 personas por minuto primera planta hasta la segunda, con una diferencia primera planta segunda, una diferencia de nivel de 7 m. La masa masa media media de las personas personas es de 65 kg. Si el motor motor que dispositivo entrega calcular el rendimiento rendimiento acciona el dispositivo entrega 3 kW, calcular mecánico mecánico del del sistema. sistema.

3.116 3.116 Un Un automóvil automóvil de de 1500 1500kg kg de de masa masa parte parte del del reposo reposo al al pie de una cuesta del 10 por ciento y alcanza una celeridad pie de una cuesta del 10 por ciento y alcanza una celeridad de de 50 50 km/h km/h aa los los 100 100 m m de de estar estar uniformemente uniformemente acelerado acelerado penpendiente diente arriba. arriba. ¿Qué ¿Qué potencia potencia PP entrega entrega el el motor motor aa las las ruedas ruedas motrices matrices cuando cuando el el vehículo vehículo adquiere adquiere esa esa velocidad? velocidad? 3.117 3.117 Un Un automóvil automóvil de de 1200 1200 kg kg entra, entra, aa 100 100 km/h, kmlh, en en una una pendiente pendiente del del 88 por por ciento. ciento. El El conductor conductor aplica aplica los los frenos yy rereduce duce la la velocidad velocidad hasta 25 25 km/h kmlh en en una una distancia de de 0,5 0,5 km km medida medida aa lo largo largo de la la calzada. Calcular la energía perdida perdida Q Q en forma de calor disipado disipado en los frenos. Despréciese cualquier cualquier pérdida pérdida por rozamientos rozamientos de otro origen tal como la resistencia del aire. Resp. Q == 903 903 kJ 3.118 A se emplea 3.118 La unidad unidad motriz motriz A emplea para para elevar elevar el cilindro cilindro de 300 kg a la velocidad velocidad constante constante de 2 mi mi s. Si el wattímetro wattímetro B reun consumo consumo de potencia potencia eléctrica eléctrica de 2,20 2,20 kW, calcular calcular el gistra un gistra rendimiento combinado combinado electromecánico electromecánico ee del sistema. sistema. rendimiento

100 100 kg kg


300 300 kg kg

l2m/s

3.115 3.115 La Labola bolade de44kg kg Yla Y lavarilla varillaliviana livianaaaella ellaunida unidarotan rotanen en un unplano plano vertical verticalen en torno tornoalaleje ejefijo fijo O. O. Si Sielel conjunto conjuntose seabanabandona dona desde desdeelelreposo reposo en en e == ooyyse semueve muevebajo bajolalaacción acciónde delala fuerza fuerzade de60 60N, N,que quese semantiene mantienenormal normalaalalavarilla, varilla,hallar hallarlalavevelocidad locidadvvde delalabola bolacuando cuando eetiende tiendeaa90°. 90°.La Labola bolapuede puedetratratarse tarsecomo comomasa masapuntual. puntual. Resp. Resp.vv== 1,881 1,881mi m iss


e

3.119 El Elcollar collarcilíndrico cilíndricode de66kg kgse sesuelta sueltadesde desdeelelreposo reposoen en 3.119 posiciónindicada. indicada.Calcular Calcularsu suvelocidad velocidadvvcuando cuandoelelresorte resorte lalaposición seha hacomprimido comprimido50 50mm. mm. se Resp.vv== 2,41 2,41mi m iss Resp.

146 146


libre es 7,5 mm y la masa de la bala es 14 g, determinar la velocidad en boca. Despreciar el efecto del rozamiento en el cañón comparado con la fuerza de los gases sobre la bala. Recuérdese que un megapascal (MPa) vale 106 NI m2• Resp. v = 940 mi s

6kg

A

3.122 El anillo de 0,8 kg se desliza libremente por la varilla circular fija. Calcular su velocidad v cuando choca con el tope B sabiendo que sube bajo la acción de la fuerza constante de 40 N que se ejerce sobre la cuerda. Ésta está guiada por las pequeñas poleas fijas.

k= 12kN/m


oso al adde

s y re0,5 km didaQ alquier stencia

40N,

En el diseño estructural de los pisos superiores de una nave industrial, hay que tener en cuenta la posibilidad de caídas accidentales de maquinaria pesada a través de una distancia corta. Para una máquina de masa m que caiga una distancia muy corta sobre un suelo que actúe elásticamente, determinar la fuerza máxima F que soporta el piso. (El modelo de este problema es una masa m montada sobre apoyos a una distancia despreciable por encima de un resorte de rigidez k, teniendo lugar la acción cuando los apoyos se retiran bruscamente.) 3.120


drode o B recularel

3.123 Los dos sistemas se sueltan desde el reposo. Calcular la velocidad v de cada cilindro de 25 kg después de que los de 20 kg hayan descendido 2 m. El cilindro de 10 kg del caso (a) está sustituido por una fuerza de 10(9,81)N en el caso (b). Resp. (a) v = 1,889 mi s, (b) v = 2,09 mi s


3.121 La presión p en el interior del cañón de un fusil varía con la posición de la bala tal como muestra el gráfico. Si el ca-

300

~ ro e,

~ ~

/

200

I

:g V> Q)

•..

100

\

I

¡:::

p...

1\

\

11

-,

10 (9,81)N (a)


~ 200

poso en 1resorte

p_1

600 400 x,rnm )


800

(b)

1000

El carro A de la grúa puente se desplaza a 0,9 mi s cuando bruscamente se detiene. (a) Para el caso en que la distancia d sea grande en el momento de la parada, calcular el ángulo 3.124

147


Ir

máximo de oscilación e e de los cables. cables. (b) Para el caso en que d valga 0,75 en el momento 0,75en momento de parada, parada, calcular la celeridad celeridad v con que la bola pesada pesada B B golpea el muro. Despreciar Despreciar las masas de los cables, cables, las poleas y el gancho, pero tener en cuenta el diámetro de 0,8 0,8 m de la bola B. B.

penetra el cono, cono, o sea, es R == kX4 Si el cono se tancia x que penetra X 4 . Si distancia x == d, hallar la constante k en función de detiene a una distancia las condiciones y resultados resultados del ensayo. Aplicar una sola vez el teorema de las fuerzas vivas.

0,9 m 0,9

~

~


~d ~d 0,8 m O,Sm I

1iP~


3.125 3.125 La esfera parte parte de la posición A con una una velocidad velocidad de 3

3.127 3.127 Al sistema articulado articulado se aplica una fuerza horizontal horizontal constante P == 700 700 N del modo que se indica. Estando la esfera 14 kg inicialmente en reposo sobre el soporte soporte cuando cuando e e == de 14 60°, 60°, calcular su velocidad velocidad v cuando cuando e e se aproxima aproxima al valor cero y la bola se acerca a su posición más alta. Resp. v == 3,88 3,88 m mii s

mii s y oscila en un m un plano vertical. En la posición más baja, el una barra barra fija fija en B y la esfera continúa continúa oscicordón choca con una siguiendo el arco punteado. punteado. Calcular la velocidad velocidad ve ve de lando siguiendo cuando llega a la posición C. C. la esfera cuando Resp. ve ve == 3,59 3,59 m mii s

1:60

r,

0 0

1,2m 1,2m

sm

O'l

,

e

ii

---,- ~- --/~ --} B >- . ./ >-,./ I '\ l ,_Á....._I

'-JA ~A

I

__ --/ - ...... , _ Á....._I__ I

// "...../

//

pp

/ mis // / 33m/s



3.126 En un ensayo para para determinar determinar las características de 3.126 aplastamiento de un material de empacado, empacado, se deja caer sobre aplastamiento para que éste un cono de acero de masa m desde una altura h para lo penetre. El radio del cono depende depende del cuadrado cuadrado de la dismedida desde la punta. punta. La resistencia R del material tancia medida material a la penetración depende depende de la sección transversal transversal del objeto penepenetración es, por ello, ello, proporcional proporcional a la cuarta potencia potencia de la distrante y es,

3.128 El carro de 150 150 kg inicia su descenso por el plano incli3.128 nado con una velocidad mii s, s, cuando cuando al cable se aplica una velocidad de 3 m constante de 550 550 N del modo que se indica. Calcular la fuerza constante velocidad ddel B.Demostrar velocidad el carro al llegar a B. Demostrar que, en ausencia de rozamiento, esa velocidad velocidad es independiente rozamiento, independiente de que la velocidad inicial del carro en A fuese ascendente ascendente o descendente. descendente. dad

148 148


550

se e

~...".--- ---,-

el

plano planovertical verticalsegún segúnseseindica. indica.SiSielelcohete cohetepropulsor propulsorejerce ejerceun un empuje empujeconstante constanteTTde de1,5 1,5kN kNdesde desdeAAhasta hastaBBen enque queseseapaga, apaga, hallar distanciassque querueda ruedaelelvehículo veruculopor porlalapendiente pendienteananhallarlaladistancia tes depararse. pararse.La Lapérdida pérdidade demasa masapor porlalaexpulsión expulsiónde degases gases tesde del pequeñayyse sepuede puededespreciar. despreciar. delcohete cohetees espequeña Resp. s = 160,0 m Resp. s = 160,0 m

¡:~\ ¡~:\

12


120m 120m

\\

\ \ \

3.129 En En un un apartadero apartadero de de clasificación clasificación ferroviaria, ferroviaria, un un vagón vagón 3.129 de mercancías mercancías de de 68 68 Mg Mg que que pasa pasa por porAA aa 0,5 0,5 mi miss penetra penetra en en BB de

\

TT

en un un tramo tramo de de freno freno de de vía vía que que le le ejerce ejerce una una fuerza fuerzaretardadoTetardadoen 32 kN kN en en sentido sentido opuesto opuesto al al movimiento. movimiento. ¿A ¿A lo lo largo largo de de ra de de 32 fa qué distancia x debe actuar el freno de vía para limitar a 3 mi qué distancia x debe actuar el freno de vía para limitar a 3 mi ss la velocidad velocidad en en ee del del vagón? vagón? la Resp. x = 53,2 m Resp. x = 53,2 m

AA

Figura 31 Figura problema problema 3.1 3.131

3.132 3.132 Las Las correderas correderas AA yy B B tienen tienen una una masa masa de de 22 kg kg cada cada una una yy se mueven sin rozamiento apreciable por sus guías se mueven sin rozamiento apreciable por sus guías respectirespecti-

tal era 6= era

e

(Escala vertical vertical exagerada) exagerada) (Escala

vas, situándose yy en en la la dirección dirección vertical. vertical. En En el el centro centro de de la la babavas, situándose rra rra de de enlace, enlace, de de masa masa despreciable, despreciable, se se aplica aplica una una fuerza fuerza horizontal horizontal de de 20 20 N N Yel Y el conjunto conjunto se abandona abandona desde desde el reposo reposo con con e= e= o.o. Calcular Calcular con con qué.velocidad qué. velocidad vvAA choca choca A A con con la la guía guía hohorizontal, cuando e = = 90°. rizontal, cuando

e

Figura problema problema 3.129 3.129 Figura yy I I I

3.130 3.130 El cilindro de 6 6 kg se abandona abandona desde desde el reposo en la posición indicada indicada yy cae sobre el resorte precomprimido precomprimido 50 50 mm mediante la pletina y los alambres de sujeción sin peso. Si ple tina y Si la ririgidez gidez del resorte es 44 kN I m, m, calcular el acortamiento acortamiento adicional

I

A A

88del del resorte que produce produce el el cilindro en en su su caída caída antes de rebotar. tar. 6 kg

~.

mII.~

xx - - - - - BB o

100mm

sr] ~ [~ I

\


i

Figura 30 Figuraproblema problema 3.1 3.130

3.131 3.131 Un Unveruculo vehículo de deprueba prueba pequeño, pequeño, propulsado propulsado por por cohecohete, te,con conuna una masa masa total totalde de100 100kg, kg,parte parte del delreposo reposo en enAAyy avanavanZ&, Z&, con conrozamiento rozamiento despreciable, despreciable, aa lolo largo largo de de lala pista pista en en elel

3.133 El Elmontaje montaje de de dos dos resortes resortes sirve sirve para para detener detener el elémbolo émbolo 3.133 de0,5 0,5kg kgdesde desde una una celeridad celeridad de de55mi misseeinvertir invertir su sumovimienmovimiende to.El Elresorte resorte interno interno aumenta aumenta la la desaceleración des aceleración yy su su posición posición to. seajusta ajusta aaefectos efectosde decontrolar controlar elelpunto punto exacto exactoen enque que tiene tieneluluse garlalainversión. inversión. SiSise sedesea desea que que ese esepunto punto se secorresponda corresponda con con gar un acortamiento acortamiento 88==200 200mm mm del delresorte resorte externo, externo, especificar especificarelel un

149 149


ajuste del resorte interno mediante la distancia s. La rigidez del resorte externo es 300 N I m y la del resorte interno es 150 NI m. Resp. s = 142,3mm

saria para mantener unas velocidades constantes de 50 y 100 en una carretera plana, (b) la potencia necesaria para mantener una velocidad de 100 km/h hacia arriba y hacia abajo de una pendiente del seis por ciento y (e) la velocidad constante que no necesita potencia para bajar por la pendiente del seis por ciento. km/h

Resp. (a)Pso

=

4,34 kW, PlOO

=

13,89kW

(b)P arriba = 28,6 kW, P abajo = - 800 W (c)v

= 105,6 kml

h

3.133

Figura problema

3.134 El anillo A de 7 kg se desliza sin rozamiento apreciable por la barra vertical. Cuando el anillo parte del reposo desde la posición más baja, señalada en la figura, se mueve hacia arriba bajo la acción de una fuerza constante F = 200 N aplicada mediante el cable. Calcular la constante k del resorte para que la compresión .de éste quede limitada sólo a 75 mm. La posición de la pequeña polea B es fija.

3.136 El movimiento vertical del bloque de 20 kg está gobernado por las dos fuerzas P aplicadas a los extremos A y B del sistema articulado, estando A y B limitados a moverse por la guía horizontal. Si al sistema, inicialmente en reposo con ()= 60°, se aplican unas fuerzas P = 1100N, hallar la velocidad ascendente v del bloque cuando ()tiende a 180°.Despréciense el rozamiento y las masas de las varillas articuladas y adviértase que P es mayor que su valor para el equilibrio, el cual es (5WI 2) ctg 30° = 850N.

I .'

225mm h

20kg

T---

\

450mm

F

A

3.134

Figura problema

3.135 Extensos ensayos de un automóvil experimental de 900 kg revelan que la fuerza de resistencia aerodinámica F o y la fuerza no aerodinámica total de resistencia a la rodadura FR varían tal como se representa. Determinar (a) la potencia nece-

300

Z

/

200

~

/

100

o

O

3.136

1/

cO

&:

Figura problema

3.137 Al sistema, inicialmente en reposo, se aplica la fuerza P = 40 N. Hallar las celeridades de A y B después de que A se haya desplazado 0,4 m. Resp. VA = 1,180mis, VB= 2,36 mis

/

FR (constante)

B

1;;

(parabólica) f----I I 40 80 120 Celeridad v, km/h

V

Figura problema

3.135

Figura problema

150


3.137

00 ara

bansdel

3.138 En Enla la posición posicióninicial inicial indicada indicadala lacorredera corredera de de 25 25 kg kg está está 3.138 animada de de una una velocidad velocidad Va Va == 0,6 0,6 mi m iss al al deslizarse deslizarse por por el el raíl raíl animada inclinado bajo bajo la la acción acción de de la la gravedad gravedad yy el el rozamiento. rozamiento. Entre Entre inclinado la corredera corredera yy el el raíl raíl hay hay un un coeficiente coeficiente de de rozamiento rozamiento cinético cinético la de 0,5.Calcular 0,5. Calcular la lavelocidad velocidad de de la la corredera rorredera cuando cuando pasa pasa por por la la de posición en en que que el el resorte resorte se se ha ha comprimido comprimido una una distancia distancia xx = = posición 100 mm. El El resorte resorte ofrece ofrece una una resistencia resistencia aa la la compresión compresión e yy es es 100mm. "duro", pues pues su su rigidez rigidez aumenta aumenta con con la la deformación deformación del tipo tipo "duro", del tal como como se se muestra muestra en en la la gráfica gráfica adjunta. adjunta. tal

I( C,kN C,kN

-. '"

Resp. Resp.

r


A

V 2 V2

)113 m + vfVf)1/3

3PS 3PS

= ((

v

3.138

~

3.139 El El bloque bloque de 10 desde el reposo reposo en el punto punto 3.139 10 kg se suelta suelta desde B, en que el resorte está alargado alargado 0,5 longitud 0,5 m respecto respecto a su longitud natural, y se mueve mueve sobre la superficie horizontal. horizontal. El coeficiente te de rozamiento rozamiento cinético entre ésta y el bloque bloque es de 0,30. 0,30. Calcular cular (a) la velocidad velocidad v del bloque bloque cuando cuando pasa por el punto punto A y (b) la la longitud longitud máxima x que el bloque bloque recorre a la izquierda izquierda de A. deA. Resp. Resp. v == 2,13 2,13 mi mi s, s, x == 0,304 0,304 m m

e

3.140 3.140

3.141 3.141 Bajo Bajo la la acción acción de de la la fuerza fuerza motriz motriz FF el el automóvil automóvil de de masa masa m m acelera acelera desde desde una una celeridad celeridad VI VI hasta hasta otra otra mayor mayor V2 V2 a a lo lo largo largo de de una una distancia distancia ss de de la la carretera carretera horizontal. horizontal. Si Si el el motor motor desarrolla desarrolla una una potencia potencia útil útil constante constante P, P, hallar hallar V2' V2' El El automóvil automóvil puede puede tratarse tratarse como como una una partícula partícula sometida sometida aa la la acción acción de de la la única única fuerza fuerza horizontal horizontal F. F.

Va= 0,6 mis

$"


3.141


cilindro de 10 kg se abandona 3.142 El cilindro abandona desde desde el reposo reposo con deformar. Hallar Hallar (a) la velox == 1 m, en que el resorte resorte está sin deformar. cidad máxima máxima vV del cilindro y el valor de x correspondiente correspondiente y (b) el valor máximo de x durante durante el movimiento. movimiento. La rigidez del 450 NI NI m m.. resorte es de 450

B

11

erza

Ase

x

)1e = = 0,30 0,30 Pe


3.140 3.140 Los Los tres tres resortes resortes de de constantes constantes iguales iguales tienen tienen sus sus longilongitudes tudes naturales naturales cuando cuando se se suelta suelta el el carro carro desde desde el el reposo reposo en en la la posición Si kk == 120 kg, hallar posiciónxx == O. O.Si 120NIIm m yy m m= = 10 10kg, hallar (a) (a) la la celeridad celeridad vv del del carro carro cuando cuando xx == 50 50 mm, mm, (b) (b) el el desplazamiento desplazamiento máximo máximo xXmax del carro carro yy (e) (e) el el desplazamiento desplazamiento estacionario estacionario xXest que exisexisest que max del tiría tiríatras tras el el cese cese de de las las oscilaciones. oscilaciones.

I

10kg 10 kg


151 151


152 CINÉTICA DEL CINÉTICA DEL PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL

\ \

,...J0

\

j mg

Vg=mgh

\

h \

)"Jv '-(

g

=0

I I

(a) (a)

3.7

ENERGíA POTENCIAL POTENCIAL

En el apartado apartado anterior, dedicado dedicado al trabajo y la energía energía cinética, se aislaba un punto material o partícula, o se aislaba un conjunto de éstos unidos unidos entre sí y punto material partícula, un se determinada el trabajo realizado sobre el punto material o sobre el conjunto determinada realizado punto material de puntos puntos por por fuerzas gravitatorias o por fuerzas elásticas o de otra naturaleza, gravitatorias naturaleza, externamente término U que figura en el teoexternamente aplicadas, al objeto de calcular el término rema de las fuerzas vivas. vivas. En este apartado trata del trabajo de las fuerzas apartado se trata gravitatorias y elásticas introduciendo introduciendo el concepto de energía energía potencial. gravitatorias potencial. Este concepto simplifica los cálculos en numerosos numerosos problemas. problemas. (a) Energía Energía potencial potencial gravitatoria. gravitatoria. Empecemos considerando considerando el movimiento movimiento de una una masa puntual puntual m en la proximidad proximidad inmediata inmediata de la superficie terrestre, donde mg es prácticamente prácticamente constante donde la atracción gravitatoria gravitatoria (peso) mg constante (fig. 3.6a). La energía potencial gravitatoria gravitatoria Vgg de esa masa puntual energía potencial puntual es, por definición, el tramgh que se realiza contra para elevar la masa una una bajo mgh contra el campo gravitatorio gravitatorio para distancia un plano plano de referencia arbitrario distancia h por encima de un arbitrario en el que V gg se toma energía potencial como cero. Así pues, la energía potencial puede puede escribirse (3.14) (3.14)

Vgg = mgh = mgh

energía potencial Este trabajo recibe el nombre nombre de energía potencial porque porque puede puede convertirse en energía si permitimos energía permitimos que la masa puntual puntual realice un un trabajo sobre un un cuerpo portante, situado a menor portante, mientras mientras regresa regresa a su plano plano original de referencia situado menor alaltura h == h1 a otra más elevada elevada h = h2,, la variación tura. Al pasar pasar de una una altura variación de energía potencial energía potencial es

(b)) (b


correspondiente trabajo que realiza la fuerza gravitatoria gravitatoria sobre la masa punEl correspondiente puntual es -mgt-.h. -mgoñ. Así pues, el trabajo efectuado efectuado por gravitatoria es igual por la fuerza gravitatoria y opuesto opuesto a la variación energía potencial. variación de energía Al considerar considerar grandes grandes variaciones altitud en el campo gravitatorio gravitatorio tevariaciones de altitud rrestre (fig. 3/ 3/ 6b), la fuerza gravitatoria gravitatoria Gmm Gmmef? rrestre (fig. j r == mgR2/r mgR2/r22 ya no puede puede considerarse constante. constante. El trabajo efectuado efectuado contra contra esa fuerza para derarse para cambiar la posición desde r a r' r' es la variación posición radial radial de la masa puntual puntual desde variación Vg'- Vgg de la energía gravitatoria: energía gravitatoria:

= mgR2(~ = V gg''- V mgR2dr = mgR2(~ -~) -~) = r2 r r gg r2 S mgR2dr S r' r

acostumbra a tomar Se acostumbra tomar V gg'' tiene

= =

Opara r' O para r'

=V gg =-

= =

00 00

con lo que, con esta referencia, se

mgR2 mgR2 r

De r1 correspondiente cambio de energía energía potencial rl a r2' el correspondiente potencial es


(3.15)

que, como resulta ser trabajo efectuado por la fuerza como antes, antes, resulta ser igual igual y opuesta opuesta al trabajo efectuado por fuerza gravitatoria. Adviértase que potencial de una masa puntual depengravitatoria. Adviértase que la energía energía potencial de una masa puntual depende sólo posición, h ó r, y no no de la trayectoria trayectoria concreta haya seguido sólo de de su su posición, concreta que que haya seguido para llegar posición. para llegar a esa esa posición. (b) potencial elástica. potencial lo en(b) Energía potencial elástica. El segundo segundo ejemplo ejemplo de energía energía potencial encontramos en en la deformación deformación de de los los cuerpos cuerpos elásticos, elásticos, como como es el caso caso de de los los contramos resortes. que se realiza sobre un deformarlo se almacena almacena resortes. El trabajo trabajo que realiza sobre un resorte resorte para para deformarlo en el mismo mismo y recibe recibe el nombre nombre de potencial elástica elástica Ve' de energía energía potencial Ve' Esta Esta energía energía es recuperable en trabajo que realiza el resorte resorte sobre recuperable en forma forma de de trabajo que realiza sobre el cuerpo cuerpo al que que está unido por por su móvil, durante restauración del resorte a su está unido su extremo extremo móvil, durante la restauración del resorte su lonlongitud natural. En un resorte resorte lineal unidimensional de rigidez k, que gitud natural. En el caso caso de de un lineal unidimensional de rigidez que tratamos en tratamos en el apartado apartado 3.6 e ilustramos ilustramos en en la figura figura 3.4, la fuerza fuerza que que soporta soporta para toda deformación x, tracción tracción o compresión, medida desde posición no no para toda deformación compresión, medida desde su su posición deformada, natural, es FF == kx. kx. O sea, definimos potencial deformada, o longitud longitud natural, definimos la energía energía potencial elástica un resorte resorte como valor del trabajo necesario necesario para para deformarlo una elástica de un como el valor del trabajo deformado una longitud longitud x y, entonces, entonces,

V ee

= = IXfXOO kx kx

dx dx

= = 22!kX2 !kx2

(3.16) (3.16)

Si la deformación, tracción o compresión, un resorte resorte aumenta deformación, de de tracción compresión, de un aumenta desde desde a X2 X2 durante movimiento, la variación variación de potencial durante el intervalo intervalo de de movimiento, de energía energía potencial del resorte resorte será valor final valor inicial, será su su valor final menos menos su su valor inicial, es decir decir

Xl

que es positiva. deformación del del resorte disminuye desde desde X2 que positiva. Y al revés, revés, si la deformación resorte disminuye X2 a durante movimiento, la variación variación de potencial se durante el intervalo intervalo de de movimiento, de su su energía energía potencial hará cuantía de de estos estos cambios cambios está está representada área trapehará negativa. negativa. La cuantía representada por por el área trapezoidal sombreada sombreada de de la figura figura 3.4. zoidal Como sobre el resorte resorte por por el cuerpo Como la fuerza fuerza ejercida ejercida sobre cuerpo móvil móvil es igual igual y opuesopuesF ejercida sobre el cuerpo por el resorte resorte (fig. 3.4), resulta resulta que trata a la la fuerza fuerza F ejercida sobre cuerpo por que el trabajo realizado resorte es igual realizado sobre bajo realizado sobre sobre el resorte igual al realizado sobre el cuerpo cuerpo cambiado cambiado de signo. realizado por por el resorte resorte sobre podesigno. Por Por tanto, tanto, el trabajo trabajo U realizado sobre el cuerpo cuerpo podereemplazarlo por por - L1 variación de energía potencial del resorte cammos reemplazado ~ Ve Ve'' O variación energía potencial del resorte cambiada de tal que resorte esté biada de signo, signo, con con tal que el resorte esté en en este este caso caso incluido incluido en en el sistema. sistema. xl Xl

(e) fuerzas vivas. Con miembro elástico (e) Teorema Teorema de las fuerzas Con el miembro elástico incluido incluido en en el sistema, modifiquemos modifiquemos ahora vivas de fortema, ahora la expresión expresión del del teorema teorema de de las las fuerza fuerza vivas de forma que potencial. Si representamos representamos por por U\_2 ma que incluya incluya los términos términos de de energía energía potencial. U'1-2 el trabajo trabajo que partícula efectúan son ni de que sobre sobre la partícula efectúan las las fuerzas fuerzas que que no son de la gravegravedad resorte, la ecuación relaciona el trabajo trabajo con variación de dad ni del del resorte, ecuación 3.11 que que relaciona con la variación de energía en la forma sea energía cinética cinética queda queda en forma U\_2 U\_2 + ((- LlV L1Vg)) + ((- LlV L1Ve)) == LlT, L1T, o sea (3.17) (3.17)

Esta otra manera de relación entre trabajo y energía utiotra manera de expresar expresar la relación entre trabajo energía suele suele ser ser de de utilización mucho más cómoda cómoda que que la ecuación ecuación 3.11, ya que el trabajo de las las fuerfuerlización mucho más ya que trabajo de zas de la gravedad resorte se considera gravedad y el de de las las del del resorte considera atendiendo atendiendo a las las posiciones extremas resorte elástiposiciones extremas del del centro centro de de gravedad gravedad y de la longitud longitud del del resorte elásti-


153 3.7 ENERGÍA POTENCIAL

154 CINÉTICA CINÉTICA DEl DEl PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL

co. El camino posiciones extremas camino seguido seguido entre entre dichas dichas posiciones extremas carece carece de importancia importancia en e. en el cálculo cálculo de ~ Vgg y ~ V Ve. Obsérvese puede escribirse Obsérvese que que la ecuación ecuación 3.17 puede escribirse otra otra vez vez en en la forma forma T1+Vg

(al

I ,,~

N

F11

\~I ~I

I

I~ F2 I~F2 F=kx F=kx

W=mg W = mg

U Ull-2 = = t:J.T st

1

«v,

1

+U'12=T 2+Vg -

2

+Ve

2

(3.17a) (3.17a)

Para aclarar aclarar más más la diferencia diferencia entre entre las aplicaciones aplicaciones de las ecuaciones ecuaciones 3.11 Para representa una una partícula partícula de masa y 3.17, en en la figura figura 3.7 se representa masa m obligada obligada a descridescribir una una trayectoria bajo la acción bir trayectoria fija bajo acción de las fuerzas fuerzas Fl F1 y F F2'2, la fuerza fuerza gravitatoria gravitatoria W == mg, mg, la fuerza fuerza F del del resorte figura se preresorte y la reacción reacción N. En la parte parte b de la figura presenta el diagrama diagrama para sólido libre libre de la partícula aislada y se calcula calcula el trabajo trabajo senta para sólido partícula aislada de las fuerzas resorte F == kx para el intervalo fuerzas F Fl'1, F F2'2, W y la del del resorte kx para intervalo de movimiento movimiento en desde A hasta hasta B, trabajo en cuestión, cuestión, es decir, decir, desde trabajo que que se iguala, iguala, mediante mediante la ecuaecuación 3.11, a la variación variación de energía energía cinética cinética ~T. La reacción ligadura N es ción reacción de ligadura normal a la trayectoria parte c de la figura normal trayectoria y no trabaja. trabaja. En la parte figura se ilustra ilustra el otro otro procedimiento y el resorte resorte se incluye parte del trabajo de Fl y procedimiento incluye como como parte del sistema. sistema. El trabajo F2 durante U'l-2 de la ecuación durante el intervalo intervalo es el término término U'l-2 ecuación 3.17 y en en el segundo segundo miembro potenciales gramiembro de la ecuación ecuación figuran figuran las variaciones variaciones de las energías energías potenciales gravitatoria primer método, realizado vitatoria y elástica. elástica. Adviértase Adviértase que, que, con el primer método, el trabajo trabajo realizado por F == kx podría requerir requerir una una integración por kx podría integración algo algo molesta molesta al tener tener en en cuenta cuenta las variaciones en en módulo módulo y dirección dirección de F conforme conforme la partícula desplaza desde desde variaciones partícula se desplaza A hacia B. Sin embargo, embargo, con con el segundo segundo método método sólo harían longitudes hacia B. harían falta las longitudes inicial resorte para para calcular e' lo cual notablemente los inicial y final del del resorte calcular ~ V Ve' cual simplifica simplifica notablemente cálculos. cálculos. Para un sistema partícula y resorte, resorte, la otra Para un sistema de partícula otra expresión expresión (ec. 3.17) del del teoreteorema podemos volver ma de las fuerzas fuerzas vivas vivas podemos volver a escribirla escribirla

(bl (bl (3.17b) (3.17b)

-¡

donde partícula y con donde E == T + Vgg + Ve Ve es la energía energía mecánica mecánica total total de la partícula con el resorte unido a ella. La ecuación .17b afirma neto realizado realizado sobre sorte unido ecuación 33.17b afirma que que el trabajo trabajo neto sobre el sistema por todas no gravitatorias sistema por todas las fuerzas fuerzas no gravitatorias ni elásticas elásticas es igual igual a la variavariación ción total total de la energía energía mecánica mecánica del del sistema. sistema. En los casos casos en en que que sólo intervenintervengan fuerzas de ligadura gan fuerzas fuerzas elásticas, elásticas, fuerzas fuerzas gravitatorias gravitatorias y fuerzas ligadura que que no trabajen, U ' es nulo nulo y la ecuación trabajen, el término término U' ecuación de la energía energía se queda queda en en ~E ~E

Vg=O

U'1_2 = tlT + tl vg + tl Ve (el Figura 3.7 3.7

= = O O

o sea

E == constante constante

(3.18) (3.18)

Cuando E sea sea contante, contante, pues, vemos que que se podrán cambios de enerCuando pues, vemos podrán producir producir cambios enercinética a potencial viceversa, con con tal que que no varíe la energía energía mecánica mecánica togía cinética potencial y viceversa, no varíe tal T + Vgg + V e' La ecuación principio de Ve' ecuación 3.18 expresa expresa el principio de conservación conservación de de la energía energía dinámica. dinámica. Campos de fuerzas fuerzas conservativos. conservativos. Hemos visto que que el trabajo trabajo realizado ll(d) (d) Campos Hemos visto realizado contra una fuerza gravitatoria gravitatoria o elástica elástica sólo depende depende de la variación variación total total de contra una fuerza posición trayectoria concretamente concretamente seguida seguida para alcanzar la nueposición pero pero no de la trayectoria para alcanzar nueLas fuerzas fuerzas de dichas dichas características características están están asociadas asociadas a campos campos de va posición. posición. Las de fuerzas conservativos que que poseen matemática de gran gran importanimportanfuerzas conservativos poseen una una propiedad propiedad matemática Consideremos un campo de fuerzas fuerzas cuya cuya fuerza fuerza F sea sea función función de las coorcoorcia. Consideremos un campo 1 1

Optativo. Optativo.


155

denadas realizado por desplazamiento dr de denadas (fig. (fig. 3.8). 3.8). El trabajo trabajo realizado por F durante durante un un desplazamiento de su su punto punto de de aplicación aplicación es dU dU == F . dr y el trabajo trabajo total total cuando cuando se se desplaza desplaza desde desde 1 aa22 es es

3.7 ENERGÍA ENERGÍA POTENCIAL POTENCIAL

2

yy

II \

La general, del La integral integral fJ F·dr es es una una integral integral curvilínea curvilínea que que depende, depende, en en general, del camicamino del no seguido seguido para para ir de de un un punto punto 1 a otro otro punto punto 2 cualesquiera cualesquiera del espacio. espacio. Sin Sin embargo, si F·dr F-dr fuese fuese una una diferencial diferencial exacta exacta'1 -- dV dV de de una una cierta cierta función función escalar escalar embargo, V de tendríamos de las las coordenadas, coordenadas, tendríamos

\\

\\

\

i\

F

I I I /I

dr /I //

rr

(3.19) (3.19)

./0

//

//

11

o o s e s s

que que sólo sólo depende depende de de los los puntos puntos extremos extremos del del movimiento movimiento y que, que, en en consecuenconsecuencia, será será independiente independiente del del camino camino seguido. seguido. El signo signo menos menos ante ante dV dV es arbitrario arbitrario y sólo sólo se toma toma para para que que haya haya concordancia concordancia con con la la designación designación habitual habitual del del sigsigno de de la la variación variación de de energía energía potencial potencial en en el campo campo gravitatorio gravitatorio terrestre. Si no terrestre. existe existe V, V, la la variación variación diferencial diferencial de de V podrá podrá escribirse escribirse en en la la forma forma av av av av dx+av dy+av dz dV= dV = - dx+dy+ax ay ax ay az

az

Comparándola con - dV dV = F·dr F·dr = Fx E, dx + +F Fyy dy dy + +F¿ tiene Comparándola con Fz dz se tiene

F x

ee a-

o

av = _ av

F = _ av av

F == __ av av ay yy ay

- ax ax

z

az

La fuerza fuerza también también puede puede escribirse escribirse en en la la forma forma vectorial vectorial (3.20) (3.20)

F = = - VV VV

donde donde el símbolo símbolo V representa representa el operador operador vectorial vectorial "nabla" "nabla" que que es es

a a

.a .a ka ka-=1 - +)-+ =1-+)-+

n n· ·

8)

v

ax ax

ay ay

az

r-

oía

o de ede nr-

cantidad V se denomina denomina función la expresión expresión V V recibe recibe el nomnomLa cantidad función potencial potencial y la bre de de gradiente gradiente de la función bre función potencial. potencial. Cuando de Cuando las las componentes componentes de una una fuerza fuerza pueden pueden derivarse derivarse de de un un potencial potencial de descrita, se de la manera manera descrita, se dice dice que que la la fuerza fuerza es es conservativa conservativa y se se deduce deduce que que el trabajo del trabajo efectuado efectuado por por F entre entre dos dos puntos puntos cualesquiera cualesquiera es es independiente independiente del cacamino mino seguido. seguido.

1

di/! == P P dx dx + Q Q dy dy + R dz será diferencial diferencial exacta en las coordenadas coordenadas Recordemos que una una función difJ x-y-z x-y-z si

ap _ aQ ay - ax

ap dP dZ az

aR dR

dX ax

dQ aQ _ dR aR az -- dy ay dZ


x

Z z


PROBLEMA PROBLEMA TIPO TIPO 3.16 3.16 I

La Lacorredera correderaAA de de10 10kg kgsesemueve mueve sin sin rorozamiento zamiento en enun un plano plano vertical vertical aalololargo largo de lalaguía guía inclinada. inclinada. El El resorte resorte unido unido aa de ella tiene tiene una una constante constante de de 60 60 N/m N/m yy ella está está sometido sometido aaun un alargamiento alargamiento de de 0,6 0,6 m m en en lalaposición posición A, A, desde desdelalaque quese sesuelta suelta lala corredera corredera partiendo partiendo del del reposo. reposo. Se Se aplica una una fuerza fuerza constante constante de de 250 250 NNaa aplica una cuerda cuerda ligera ligera que que pasa pasa por por una una pepeuna queña queña polea polea en en B. B. La La polea polea no no ofrece ofrece reresistencia sistencia alal movimiento movimiento de de lala cuerda. cuerda. Calcular Calcular lala velocidad velocidad vv de de lala corredera corredera cuando pasa pasa por por elel punto punto C. C. cuando

Solución. La Solución. La corredera corredera yy la la cuerda cuerda inextensible, junto con el el resorte, serán analizados lizados como como un un sistema sistema único, único, lo que permitirá permitirá emplear emplear la ecuación 3.17. 3.17. La La única fuerza fuerza que actúa sobre sobre este este sistema realizando realizando trabajo es la tensión tensión de 250 250 N aplicada aplicada a la cuerda. Mientras la corredera corredera se mueve mueve desde desde A a C, C, el punto punto de aplicación de la fuerza de 250 250 N se mueve mueve una distancia distancia AB AB - BC BC ó 1,5 1,5 - 0,9 0,9 == 0,6m. Así

,,'

.,

CD

I,

U' 1-2 = 250(0,6) 250(0,6) = 150 U'l-2 150 JJ

~.'

La variación variación de energía energía cinética de la corredera corredera es

•. I

donde la velocidad velocidad inicial Vo Va es nula. nula. El incremento incremento de de energía energía potencial potencial gravigravidonde tatoria tatoria es óV Vgg == mg(óh) mg(óh) == 10(9,81)(1,2sen 10(9,81)(1,2 sen 30°) 30°) ó

58,9 JJ 58,9

El incremento incremento de de energía energía potencial potencial elástica elástica es es El

® ® Sustituyendo por por sus sus valores valores en en la la otra otra ecuación ecuaciónenergética energética resulta resulta Sustituyendo

sr

[U' 1-2 == óT ++ óó VVg g++ Óó Ve] V e] [U'l_2

150 ==~(10)v2 ~(10)v2 ++58,9 58,9 ++ 86,4 86,4 150

0,974mis mis vv == 0,974

Resp. Resp.

m

las reacciones reacciones de de lala guía guía sobre sobre lala corredera corredera son son perpendiculares perpendiculares aa lala direcdirecCD las su movimiento movimientoyyno no realiza realizatrabajo. trabajo. ción de desu ción

oo

Como elel desplazamiento desplazamientodel del centro centrode demasa masade delala corredera correderatiene tieneuna unacomcomComo ponente ponenteascendente, ascendente,Ótl":~ ":~es espositivo. positivo.

®

Hayque quecuidar cuidarde deno nocometer cometerelelerror errorde deemplear emplear1k(x2 ~k(x2- - xx )2 1)2 como comoexpreexpre® Hay 1 Ve.Se Senecesita necesitalaladiferencia diferenciade delos loscuadrados cuadradósyyno noelelcuadrado cuadradode delaladidisiónde deóó\1;.. sión ferencia. ferencia.

156 156



10,6 1 0 , 6 m------i m------¡

parLa corredera corredera de 3 kg se abandona abandona parpunto A yy se destiendo tiendo del reposo en el punto liza liza con rozamiento rozamiento despreciable despreciable en un un plano vertical guía circuplano vertical a lo largo de la guía circular. El resorte resorte al que está está unida unida tiene tiene una N/m yy su su longitud una constante constante de 350 Nlm longitud Hallar la velocidad natural natural es de 0,6 0,6 m. Hallar velocidad corredera al pasar de la corredera pasar por por la posición posición B.

Solución. trabajos del peso y la fuerza del resorte corredera se traLos trabajos resorte sobre la corredera tarán potenciales, y la reacción de la guía tarán como variaciones variaciones de energías energías potenciales, guía sobre la corredera perpendicular al movimiento realiza trabajo. Por tanto, U' 1-2 == corredera es perpendicular movimiento y no realiza O.Las variaciones de las energías energías potencial sistema formado formado por O. Las variaciones potencial y cinética del sistema por la corredera corredera y el muelle muelle son ~Ve ~Ve

= ~k(xi-xi) = ~(350){(0,6[J2-1])2-(0,6)2} = = ~k(xi-xl) = ~(350){(0,6[J2-1])2_(0,6)2} = -52,2J -52,2J ~h = ~ V gg = = W W~h = 3(9,81)(3(9,81)(- 0,6) = = -- 17,66 JJ ~T = ~m (vi-vi) = ~3(vi-0) = ~T = ~m(vi-vl) = ~3(vi-0) = 1,5vi 1,5vi [~T + ~ V + ~Ve [~T Vg+~ Ve = O] O] g

vBB

1,5vi-17,66 -52,2 1,5vi-17,66 -52,2

O

= = 6,82 mis mi s

Resp. Resp.

que si calculáramos calculáramos el trabajo realizado por la fuerza del resorte actuante actuante sobre la corredera mediante la integral fF·dr fF·dr los cálculos se alargarían alargarían porque habríamos de tener en cuenta la variación del módulo de la fuerza y también la del ángulo que forma ésta con la tangente a la trayectoria. Obsérvese Obsérvese además que VB depende depende sólo de las condiciones condiciones en los extremos y no requiere conocer conocer la forma de la trayectoria.

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas introductorios introductorios Problemas 3.143 La dos partículas partículas de masas unidas por por 3.143 masas iguales iguales están están unidas

una varilla varilla de masa masa despreciable. despreciable. Si se abandonan abandonan desde desde el reposo en la posición indicada y se deslizan deslizan sin rozamiento posición indicada rozamiento por por

guía vertical vertical plana, calcular su velocidad velocidad v cuando cuando A llega a la guía plana, calcular la posición posición de B y ésta se encuentra encuentra en B'. Resp. v == 2,21 Resp. 2,21 mi mi s 3.144 La corredera reposo en A 3.144 corredera de 4 kg se abandona abandona desde desde el reposo y se desliza por la varilla desliza con rozamiento rozamiento despreciable despreciable por varilla circular

A ¿!)

:\-------r

-------::;;¡ ------ - ~

SOOmm SOOmm : I I I I I

:B :B

:

0,6m

I I I

v .s:

~

B'

B' ~~

~~\

~-~~~~~~~~~~~~~\ J

k = 20 kN/m k=20 kN/m problema 3.144 3.144 Figura problema


157


vertical.Hallar Hallar(a) (a)lalavelocidad velocidadvvde delalacorredera correderacuando cuandollega llega vertical. punto más másbajo bajoBByy(b) (b)laladeformación deformaciónmáxima máximaxxdel delresorte. resorte. alalpunto 3.145 El Elresorte resorte tiene tiene una una longitud longitud natural natural de de 0,4 0,4 mm yy una una 3.145 constantede de200 200NI NI m. m.La Lacorredera correderaunida unida aaélélse sesuelta sueltaen enrereconstante posoen enelelpunto punto AAyyse semueve mueveen enelelplano plano vertical. vertical.Calcular Calcularlala poso velocidadvvde delalacorredera corredera cuando cuando llega llegaaaBBen enausencia ausenciade derorovelocidad zamiento. zamiento. Resp. vv ==1,537 1,537 mi mi ss Resp.

3.147 3.147 La Lapequeña pequeña cuenta cuenta de de0,25 0,25 kg kgseseabandona abandona sin sinvelocivelocidad en A y corre a lo largo del alambre liso inmóvil. dad en A y corre a lo largo del alambre liso inmóvil.Hallar Hallarlala fuerza fuerzaNNentre entreelelalambre alambre yylalacuenta cuentacuando cuando ésta éstapasa pasapor por elel punto punto B.B. Resp. Resp. NN ==14,42 14,42 NN

A"l Ml 0,6 0,6 m m

J

~

L__ I

JUUUU¡¡¡UUU¡UU L

yvvvvnvvvyvnnvvnnv

__

~A


B

JI 1" • H


3.148 3.148 Cuando Cuando la la corredera corredera de de masa masa m m pasa pasa por por B, B, el el resorte resorte de de constante kk tiene su longitud natural. Si la corredera parte del longitud natural. Si la reposo en A, A, hallar su celeridad cuando pasa por los los puntos puntos B B yy C. ¿Qué fuerza normal ejerce ejerce la guía sobre la corredera en la posición C? C? Despreciar el rozamiento rozamiento entre la corredera yy la guía, la cual está en un plano vertical.

3.146 punto PP del cilindro de 2 kg posee una una velocidad velocidad ini3.146 El punto cial va Vo = = 0,8 mi m i s al pasar pasar por por la posición posición A. A. Despreciando Despreciando la masa de las poleas poleas y el cable, hallar hallar la distancia distancia yy del punto punto P P por debajo de A cuando el cilindro de 3 kg ha adquirido por A cuando cilindro 3 ha adquirido una una velocidad s. velocidad ascendente ascendente de de 0,6 0,6 mi mis.

ee Figura problema problema 3.148 3.148 Figura p AA

3kg 3kg 2kg 2kg Figura Figuraproblema problema 3.146 3.146

3.149 La Labarra barra liviana liviana está está articulada articulada en en OO aa un un eje eje de de giro giro yy 3.149 lleva las las dos dos masas masas puntuales puntuales de de 22yy 44 kg. kg. Si Si la labarra barra se se abanabanlleva dona desde desde el el reposo reposo con con ee== 60° 60°YYoscila oscila en en el elplano plano vertical, vertical, dona (a) la lavelocidad velocidad vv de de lalamasa masa de de22kg kginmediatamente inmediatamente calcular (a) calcular antesde dechocar chocarcon conelelresorte resorteen enlalaposición posiciónmarcada marcadaaatrazos trazos antes (b)lalacompresión compresiónmáxima máximaxxdel delresorte. resorte.Se Sesupondrá supondráque quexxes es yy(b) pequeñade demodo modoque quelalaposición posiciónde delalabarra barracuando cuandocompricompripequeña meelelresorte resortees esprácticamente prácticamentehorizontal. horizontal. me Resp.(a) (a)vv==1,162 1,162mi mis,s,(b) (b)xx==12,07 12,07mm mm Resp.

158 158


canismo canismoparte partedel delreposo reposoen enlalaposición posicióne()==20°, 20°,hallar hallarsusuvelovelocidad cidadangular angular cuando cuandoe()==O.La O. Lamasa masammde decada cadaesfera esferaeses33kg. kg. Tratar Tratarlas lasesferas esferascomo comopartículas partículasyydespreciar despreciarlas lasmasas masasde delas las varillas varillasyylos losresortes. resortes. Resp. Resp. ==4,22 4,22radl radlss

4kg 4kg

é

I

k=35kN/m

/~,

/

/

I

__ _____

I

I \

, ,/~, , ,

_ _ _1 1 ,

é

\

,--

"r-'

\

, I

I/

e

t I

e

3.152 3.152 El Elcilindro cilindrode de0,9 0,9kg kgseseabandona abandonadesde desdeelelreposo reposoen enAA yyse sedesliza deslizalibremente librementepor porlalavarilla varillahacia haciaarriba, arriba,chocando chocandocon con eleltope topeBBaalalavelocidad velocidadv.v.La Lalongitud longitudnatural naturaldel d elresorte resortede deririgidez gidezkk== 24 24N IImmes es375 375mm. mm.Calcular Calcularv.v.

//

//

Figura problema 3.149 3.149


3.1 50 El El anillo anillo de de 77 kg kg se se desliza desliza libremente libremente por por la la barra barra fija fija 3.150 vertical yy recibe recibe una una velocidad velocidad ascendente ascendente Va Vo = = 2,5 2,5 m m Ii ss en en la la vertical posición representada. representada. El El anillo anillo comprime comprime el el resorte resorte de de arriba arriba posición es así así proyectado proyectado hacia hacia abajo. abajo. Calcular Calcular la la deformación deformación máximáxiyy es ma x resultante en el resorte inferior. ma x resultante en el resorte inferior.

e el B

la la


3.153 Las Las dos dos barras iguales de de masa masa despreciable despreciable parten parten aa la barras iguales la 3.153 vez del del reposo reposo con con ()e == 30°. 30°. Hallar Hallar la velocidad vv de de cada cada esfera esfera vez la velocidad de 1,2 1,2 kg kg cuando cuando ()e= 90°, posición posición en en que que el el resorte resorte tiene tiene su su lonlonde = 90°, gitud natural. gitud natural. Resp. v == 2,71 2,71 mi mi ss

k= m k = 8,4kN/ 8,4kN/m Figura Figura problema problema 3-150 3-150

150 mm rr150mm-j --¡

3.151 kN I1m, m, tienen 3.151 Los Los dos dos resortes, resortes, ambos ambos de de rigidez rigidez kk ==1,2 1,2kN tienen longitudes iguales y están sin deformar cuando () = O. longitudes iguales y están sin deformar cuando e = o. Si Siel el meme-

/"'./

/

/

--

/

k

I

mm

I

1,2kg 1,2 kg

\

I \

mm /

I

//

'" Figura Figuraproblema problema 3.151 3.151

/

I I /

1,2kg 1,2 kg Figura problema problema 3.153 3.153 Figura

3.154 Se Seddesea que elelrecipiente recipiente de de45 45kg, kg,alalser serabandonado abandonado 3.154 esea que enreposo reposoen enlalaposición posición representada, representada, llegue lleguesin sinvelocidad velocidad aalala en plataforma situada situada 22mmpor por debajo. debajo.Especificar Especificarlalamasa masa mm que que plataforma debetener tenerelelcontrapeso. contrapeso. debe

159 159


11

== 1¡..I·---- + - - - - 77mm-

~

------1'1 ----1'1

3.157 unrizo rizointerno internopara parauna unaatracción atracciónde deferia, feria, 3.157 Al Aldiseñar diseñarun

------------------

1,Sm 1,S m

L

~ ._ -- - -- - -

tT

2m 2m

_

I

4Skg 4Skg

mm

¡+


antener una sese desea desea mmantener una aceleración aceleración centrípeta centrípeta constante constante en en toda toda su sulongitud longitud.. Suponer Suponer que queesesdespreciable despreciable lalapérdida pérdida de de energía energíadurante durante elelmovimiento movimiento yyhallar hallarelelradio radiode decurvatura curvatura PP de delalatrayectoria trayectoriaen enfunción funciónde delalaaltura alturayypor porencima encimadel delpunto punto más bajo A, donde la velocidad y el radio de curvatura más bajo A, donde la velocidad y el radio de curvatura son sonVoVo yyPo, Po,respectivamente. respectivamente. Para Paraun unvalor valorde dePo Podado, dado, ¿cuál ¿cuáles eselelvavamínimo de Vo para que el vehículo no se separe de la lor lor mínimo de Vo para que el vehículo no se separe de lapista pista en enlalacima cimadel delrizo? rizo?

Resp. Resp. pp == pa( Po(ll -- ~), ~), va vamm. . == ~ V va mm o

¡p;g

3.155 Si Siel el sistema sistema se se suelta suelta desde desde el el reposo, reposo, hhallar las celericeleri3.155 allar las dades de de ambas ambas masas masas cuando cuando BB ha ha recorrido recorrido 11m. m. Despreciar Despreciar dades el rozamiento rozamiento yy las las masa masa de de las las poleas. poleas. el Resp. vVA 0,616mis, Vs == 0,924 0,924mis Resp. A == 0,616 mI s, vB mI s

II yy

'"

L L~_______ A A

o~


3.158 el mismo 3.158 La La masa masa del del anillo anillo es es 22 kg kg Y Yel mismo está está unido unido al al resorresor-

..

masa despreciable rigidez es N II m my y longitud nate te de de masa despreciable cuya cuya rigidez es 30 30 N longitud na,5 m . El anillo se suelta en A desde el reposo y sube por turall tural 1,5 m. A el vástago liso bajo la acción de la fuerza constante de 40 N. Calvelocidad v del anillo cuando cuando pasa por por la posición B. B. cular la velocidad

1" , ~

~ ,

B


•••, .0-

3.156 3.156 La La corredera corredera e C de de 1,5kg 1,5 kg se se mueve mueve por por la la varilla varilla inmóvil inmóvil bajo del resorte resorte cuya cuya longitud longitud natural natural es es de de 0,3 0,3 m. m. Si Si bajo la la acción acción del la la velocidad velocidad de de la la corredera corredera es es de de 22 mi mI ss en en el el punto punto AA yy de de 33 mi mI ss en en el el punto punto B, B, calcular calcular el el trabajo trabajo U¡ Uf que que realiza realiza el el rozarozamiento entre esos dos puntos, Hallar asimismo la fuerza miento entre esos dos puntos. Hallar asimismo la fuerza de de rorozamiento zamiento media media que que actúa actúa sobre sobre la la corredera corredera entre entre AA yy BB si si la la longitud longitud del del trayecto trayecto es es de de 0,70 0,70 m. m. El El plano plano x-y x-y es es horizontal. horizontaL

zI

K

I -, I : I

-¡

-,

I

-, -.

I _---y-

I I I I I I I I


Figura problema

3.156

3.159 Una Unanave naveespacial espacialmmse sedirige dirigehacia haciaelelcentro centrode delalaLuna Luna 3.159 con una velocidad de 3000 km / h cuando se halla a una distancon una velocidad de 3000km/h cuando se halla a una distanciade delalasuperficie superficiede denuestro nuestrosatélite satéliteigual igualalalradio radioRRdel delmismiscia Calcular lala velocidad velocidad de de impacto impacto vv contra contra lala superficie superficie m o. Calcular mo. lunarsisiaalalanave naveespacial espaciallelefallan fallanlos losretrocohetes. retrocohetes.Se Sesupone supone lunar quelalaLuna Lunasesehalla hallainmóvil inmóvilen enelelespacio. espacio.El Elradio radiode deésta éstaesesRR que

160 160


1738 km Y la aceleración de la gravedad en su superficie es 1,62 m/s2. Resp. v = 6740 km/h

=

cribe la trayectoria señalada con trazo discontinuo y pasa por el punto B, a 125 mm directamente por debajo de A. Calcular la velocidad VB cuando pasa por B. La rigidez de cada resorte es 1800N/m. Resp. vB = 2,68 m/ s Un saltador con pértiga de 80 kg, cuya pértiga uniforme de 4,9 m tiene una masa de 4,5 kg, se aproxima al obstáculo con una velocidad v y consigue salvar apenas la barra a una altura de 5,5 m. Al pasar por encima de la barra, su velocidad y la de la pértiga son prácticamente nulas. Calcular el valor mínimo posible de v para que pueda dar el salto. Durante la aproximación los centros de gravedad tanto del atleta como de la pértiga horizontal se hallan a 1,1 m por encima del suelo.

3.162

Figura problema

3.159

El sistema formado por las dos esferas y las varillas acodadas en ángulo recto se abandona desde el reposo en la posición e = O.Hallar la constante k del resorte, si se observa que el sistema se halla momentáneamente en reposo cuando e = 45°. Para e = o el resorte tiene su longitud natural. Tratar las esferas como partícuias y despreciar el rozamiento.

T

3.160

5,5 m

I 11

1/ H

/ I

~ V

4,9 m

V Figura problema

2kg

-

3.162

f-

a-

Cuando el cilindro de 5 kg se abandona en reposo en la guía vertical con e = O, cada resorte de rigidez k = 3,5 kN / m está sin comprimir. Las barras pueden deslizarse libremente por sus collarines giratorios y comprimir los resortes. Calcular la velocidad v del cilindro al pasar por la posición e = 30°. Resp. v = 0,972 m/ s 3.163

Figura problema

3.160

En la posición A, correspondiente al estado no deformado de los dos resortes horizontales, la bola de 1,5 kg recibe una velocidad inicial v A = 2,5 m / s en el plano vertical. La bola des-

3.161

lISO /""~

VA

/

\

/'

a sde

ne sR

mm ~ 150mm

Figura problema

J

3.163

J

~~~~~~WMWM~ r---300mm

I

A • (

, 1/ ¿lB

/

/

300 mm

/

vB

Figura problema

3.161

-------....¡

El punto fijo O ocupa uno de los focos de la guía elíptica. El resorte tiene una rigidez de 3 N / m y está sin estirar cuando la corredera está en A. Si la celeridad v A es tal que la celeridad de la corredera de 0,4 kg se aproxima a cero en C, hallar su celeridad en B. La guía lisa está en un plano vertical. (Si 3.164

161


FííííX

es necesario, véase la ecuación 3.39 con relación a la geometría de la elipse.)

B

~ ~k

C-

r 600mm

v

--======::;;...--------"_L

~j

v

3.166

Figura problema

f-800rnrn-l Figura problema

.

"

J

,,

3.164

3.165 El mecanismo se suelta desde el reposo con e = 180°,en que el resorte no comprimido de rigidez k = 900 N I m está iniciando el contacto con la base inferior del anillo de 4 kg. Hallar el ángulo e correspondiente a la máxima compresión del resorte. El movimiento tiene lugar en el plano vertical y la masa de las barras puede despreciarse. Resp. e = 43,8°

3.167 El mecanismo articulado de barras mueve la esfera de 3 kg Yel resorte tiene su longitud natural cuando e = 90°. Si el mecanismo parte del reposo en e = 90°, calcular la velocidad v de la esfera cuando pasa por la posición e = 135°.Las barras están en el plano vertical y sus masas son pequeñas y pueden despreciarse. Resp. v = 1,143mi s

3 kg

••

t .'

,

••

.. 1-- 500rnrn~ Figura problema

3.167

3.168 La longitud natural del resorte es de 625 mm. Si el sistema se abandona en reposo en la posición representada, hallar

Figura problema

3.165

3.166 El cilindro de masa m está sujeto en A al soporte del collarín mediante un resorte de rigidez k. El collarín se ajusta holgadamente en el árbol vertical, el cual hace descender al collarín y al cilindro con una velocidad constante v. Cuando el collarín choca con la base B, se detiene bruscamente prácticamente sin rebote. Hallar la deformación adicional máxima 8 del resorte tras el impacto.

r

650mm

162


1

o

k---

600rnrn

Figura problema

----J 3.168

AA

celeridadvvde delalabola bola(a) (a)cuando cuandoha hadescendido descendidouna unadistandistanlalaceleridad de250 250mm mmyy(b) (b)cuando cuandolalavarilla varillaha hagirado girado35°. 35°. ciavertical verticalde cia 3.169 Las Lasvagonetas vagonetasde deunas unasmontañas montañasrusas rusasllevan llevanuna unacelecele3.169 ridadV2V2== 90 90km/h km/hen en elelpunto puntomás másbajo bajode delalapista. pista.Hallar Hallarsu su ridad enelelpunto puntomás másalto altode delalamisma. misma.Despreciar Despreciarlalapérpérvelocidaden velocidad didade deenergía energíapor porrozamiento. rozamiento. (Advertencia: (Advertencia: Mucho Muchocuidado cuidado dida conlalavariación variaciónde deenergía energíapotencial potencialdel deltren trende devagonetas.) vagonetas.) con Resp. V2 V2= = 35,1 35,1 km/h km / h Resp.

A

.JI r B ( --

~",, \

----Figura Figura problema problema 3.171 3.171

--

V2

3.172 3.172 Un Unsatélite satélite artificial artificialse se pone poneen en órbita órbitaelíptica elípticaalrededor alrededor de la Tierra y su velocidad en el perigeo P es de la Tierra y su velocidad en el perigeo P es Vp. Vp. Hallar Hallar la la exexpresión presión de d e la la velocidad velocidad vvAA en en el el apogeo apogeo A. A. Los Los radios radios de de AA yy PP son, A y y rp. rp. Téngase Téngase en en cuenta cuenta que que la la energía energía son, respectivamente, respectivamente, rJ'A total permanece constante. constante. total permanece


3.170 La corredera corredera de 0,6 0,6 kg parte parte del d el reposo reposo en A y se desligu ía parabólica parabólica lisa (contenida (contenida en un plano plano vertical) za por la guía bajo la influencia influencia de su propio propio peso y del resorte resorte de constante constante 120 120 NI NI m. Hallar Hallar la celeridad celeridad de la corredera corredera cuando cuando pasa pasa por B y la correspondiente al que la guía ejerce sobre correspondiente fuerza norm normal ella. ella. La La longitud longitud natural natural del del resorte resorte es es 200 200 mm. mm.


3.173 El El vástago vástago del del émbolo émbolo vertical vertical de de 22 kg kg ocupa ocupa la la posición posición 3.173 marcada aa trazos trazos cuando cuando descansa descansa en en equilibrio equilibrio ap apoyado en el el marcada oyado en resorte de de rígidez rígidez kk == 1,6 1,6 kN kN I m m.. El El extremo extremo superior superior del del resorresorresorte te está soldado al al émbolo y el el inferior a la placa de base. Si Si se te eleva el émbolo 40 mm por encima de su posición de equilibrio eleva el émbolo 40 mm por encima de su posición d e equilibrio se suelta suelta partiendo partiendo del reposo, reposo, calcular la velocidad velocidad vv cuando yy se golpea contra contra el el disco disco A. A. El El rozamiento rozamiento es es despreciable. despreciable. golpea Resp. vv =1,119 =1,119mi mi ss Resp. m=2kg

BB Figura Figura problema problema 3.170 3.170

k= 1,6kN/m

acial 3.171 e regreso 3.171 En Enelelviaje viaje dde regreso aa lala Tierra, Tierra, una una cápsula cápsula esp espacial tiene tieneuna una velocidad velocidad absoluta absoluta de de24 24000 000km/h km/h en enelelpunto punto AA que que km del dista dista 7000 7000km delcentro centro de delalaTierra. Tierra.Calcular Calcular lalavelocidad velocidad ababsoluta soluta de de lalacápsula cápsula cuando cuando alcanza alcanza elelpunto punto BBaa6500 6500km km del del centro centrode delalaTierra. Tierra.La Latrayectoria trayectoria entre entreestos estosdos dospuntos puntos queda queda fuera ósfera terrestre. fuerade delalainfluencia influencia de delalaatm atmósfera terrestre. Resp. /h Resp. vB vB==26 26300 300km km/h

40mm[!

!...f6mm

A'--, "


163 163


, f;ss

3.174 La cuerda que se representa en la parte a de la figura se suelta a partir del reposo en la guía lisa semicircular y adquiere una velocidad v cuando ha abandonado por completo la guía tal como se ve en la parte b de la figura. Hallar v. (Sugerencia: Al hallar la variación de energía potencial, imagínese que la porción semicircular de la cuerda correspondiente a la posición inicial pasa a ser la parte inferior de la cuerda de longitud equivalente en la posición final.)

(a)

pedido arrollando varias vueltas de cable en torno al tambor y la longitud de cable arrollado en el tambor puede despreciarse en comparación con L. Si los vagones arrancan del reposo con x = OYM es constante, deducir la expresión de la velocidad de cada vagón en función de x. Despreciar la masa del tambor y todos los rozamientos. Resp. v = J2m ~ PLJ~x

(b)

(a)

T

T

L/2

0,6 m

(b)

(e)

T

-..iy

1

~

..

- pgx(L - x) sen 8

;

Figura problema

Figura problema

3.175

Figura problema

3.176

3.174

~ 3.175 El extremo libre de una cuerda de longitud L y masa p por unidad de longitud se suelta desde el reposo tal como se muestra en la parte a de la figura. Hallar la velocidad v de la porción móvil de la cuerda en función de y. Discutir el significado de v cuando y = L Yexplicar todos los cambios energéticos. Resp. v =

J2gy L-y/2 L-y

~ 3.176 El funicular se compone de dos vagones de pasajeros, de masa m cada uno, sujetos cada uno a un extremo del cable de longitud L y masa p por unidad de longitud. El sistema se acciona aplicando un par M al tambor de radio r instalado en la parte superior del recorrido. El resbalamiento queda im-

SECCiÓN C. IMPULSO y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

3.8

INTRODUCCIÓN

En los dos apartados anteriores hemos centrado nuestra atención en las ecuaciones que relacionan trabajo y energía deducidas al integrar respecto al desplazamiento del punto material la ecuación del movimiento F = ma. Como consecuencia encontramos que las variaciones de velocidad pueden expresar164


y n

y

se directamente directamente en en función función del del trabajo trabajo o en en función función de de la la variación variación de de energía energía se total. En En los los dos dos apartados apartados siguientes, siguientes, vamos vamos a dirigir dirigir la la atención atención a la la integraintegratotal. ción de de la la ecuación ecuación del del movimiento movimiento respecto respecto al al tiempo tiempo y no no respecto respecto al al despladesplación zamiento y ello ello nos nos llevará llevará a las las ecuaciones ecuaciones del del impulso impulso y la la cantidad cantidad de de zamiento movimiento. Veremos Veremos que que estas estas ecuaciones ecuaciones facilitan facilitan notablemente notablemente la la resoluresolumovimiento. de numerosos numerosos problemas problemas en en que que las las fuerzas fuerzas aplicadas aplicadas actúan actúan durante durante ininción de ción tervalos de de tiempos tiempos cortísimos cortísimos (como (como en en los los problemas problemas de de choques) choques) o bien bien tervalos durante intervalos intervalos de de tiempo tiempo especificados. especificados. durante

165 165 3.9 3.9 IMPULSO IMPULSO Y CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

zz

3.9

~=mv

--_ -- _

Consideremos de de nuevo nuevo el el movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo general general en en el espacio espacio de de un un Consideremos punto material material de de masa masa m (fig. 3.9), 3.9), cuyo cuyo vector vector de de posición posición es es r con con relación relación a punto un origen origen fijo O. O. La La velocidad velocidad de de esa esa partícula partícula es es v = = ii: Y Y es es tangente tangente a su su tratraun yectoria (que (que se representa representa en en trazo trazo discontinuo). discontinuo) . La La resultante resultante LF de de todas todas las las yectoria fuerzas actuantes actuantes sobre sobre m tiene tiene la la misma misma dirección dirección y sentido sentido que que su su aceleraacelerafuerzas ecuación fundamental fundamental del del movimiento movimiento (ec. (ec. 3.3) 3.3) para para esta esta partícula partícula popoción. La ecuación demos escribirla en en la la forma forma demos escribirla LF LF

mv

(3.21 )

sea o sea

donde, velocidad es la cantidad cantidad de donde, por por definición, definición, el producto producto de de la masa masa por por la velocidad movimiento G = de la masa masa puntual Según la ecuación movimiento = mv mv de puntual o partícula. partícula. Según ecuación 3.21 la resultante de todas las lasfuerzas actúan sobre un un punto material es igual igual a la variación variación sultante fuerzas que actúan punto material por unidad unidad de tiempo cantidad de movimiento. movimiento. La unidad unidad SI de de cantidad cantidad de de tiempo de la cantidad movimiento será será kg'm/ kg·m/ s o, lo que que es lo mismo, mismo, N . s. movimiento Como Como la 3.21 es una una ecuación ecuación vectorial, vectorial, debemos debemos tener tener presente presente que, que, adeademás de ser ser iguales iguales los los módulos módulos de LF y G, la dirección dirección y sentido sentido de de la fuerza fuerza más resultante resultante deben deben coincidir coincidir con con la dirección dirección y sentido sentido de de la derivada derivada temporal temporal cantidad de movimiento, movimiento, que que tiene tiene la misma misma dirección dirección y sentido sentido que que la de la cantidad derivada temporal temporal de la velocidad. velocidad. La ecuación ecuación 3.21 es una una de de las las relaciones relaciones derivada más útiles útiles e importantes importantes de la Dinámica Dinámica y conserva conserva su su validez validez en en tanto tanto no no varíe varíe más masa m de la partícula. partícula. En En el apartado apartado 4.7 del del capítulo capítulo 4 se trata trata con el tiempo tiempo la masa en que que m varía varía con con el tiempo. tiempo. De momento, momento, las tres tres componentes componentes esdel caso en calares de la ecuación ecuación 3.21 podemos podemos escribirlas escribirlas en en la forma forma calares (3.22) (3.22)

cuadesomo sar-

cuales pueden pueden aplicarse aplicarse independientemente independientemente unas de otras. otras. las cuales unas Hasta aquí, aquí, en en este este apartado apartado no hemos hemos hecho hecho otra otra cosa cosa que que escribir escribir de otra otra Hasta manera manera la segunda segunda ley de Newton Newton e introducir introducir en en ella ella la cantidad cantidad de movimovimiento. No obstante, obstante, ahora ahora podemos podemos describir describir el efecto efecto de la fuerza fuerza resultante resultante miento. IF LF sobre sobre el movimiento movimiento del del punto punto material material a través través de un un intervalo intervalo de tiempo tiempo más que que integrar integrar la ecuación ecuación 3.21 respecto respecto al tiempo tiempo t. Al multiplicar multiplicar finito sin más ecuación por por dt resulta resulta LF dt == dG, e integrando integrando ésta ésta entre entre los instantes instantes tI y la ecuación t2 obtenemos obtenemos ~G .-1G


. r _ -" --LF ~ LF -~~ G vv \\ m\ /y / y "'>, ~=mv

IMPULSO Y Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

(3.23) (3.23)

v =

x\

\\

" tr

VI VI 'NI

'.-. Trayectoria Trayectoria

xx Figura 3.9 3.9

166 CINÉTICA PUNTO MATERIAL MATERIAL CINÉTICA DEL DEL PUNTO

donde donde G G2 == mV2 mV2 es la cantidad cantidad de movimiento movimiento en el instante instante t22 y G1I == mV mV1I es la cantidad cantidad de movimiento movimiento en el instante instante tI. El producto producto de la fuerza por el tiempo se llama impulso fuerza, y la ecuación 3.23 impulso de la lafuerza, 3.23 dice que el impulso impulso total de la fuerza igual a la correspondiente correspondiente variación variación de la cantidad cantidad de fuerza que se ejerce sobre m es igual movimiento. 3.23 suele conocerse como teorema de la cantidad movimiento. Esta relación 3.23 cantidad de movimiento. vimiento. La ecuación 3.23 3.23 podríamos podríamos escribirla también también como (3.23a) (3.23a)

'"

que simplemente simplemente establece que la cantidad cantidad de movimiento movimiento inicial del punto punto material más el impulso impulso que recibe es igual a su cantidad cantidad de movimiento movimiento final. final. material impulso es un vector que, en el caso general, puede puede variar La integral del impulso tanto en módulo módulo como en dirección durante durante el intervalo intervalo de tiempo. En tales expresar LF y G en forma de componentes componentes y luego condiciones, será necesario expresar componentes integradas. integradas. Entonces, la ecuación 3.23 3.23 descompuesdescompuescombinar las componentes componentes escalares se convierte en ta en sus componentes

.

rf f:::: S rf l2

111

Fuerza, F F Fuerza, F22 F l.

• *,

•

- - - - - - - - - - --

F11 F

l2 1111

111

122

Tiempo,1 t Tiempo, 3.10 Figura 3.10

LFx dt LFx dt

(mvJx2 )2 -- (mv (mvX)lX )l (mv

LFy dt LFy

(m (mvvYY)2)2 -- (mv (mvYY)l ) l

LFz (mvz)2 (mvz)l z)l LFz dt == (mv z)2 - (mv

completamente independientes. independientes. Las expreEstas tres ecuaciones escalares son completamente correspondientes a la ecuación vectorial 3.23a no son sino esa siones escalares correspondientes reordenada. misma ecuación reordenada. actúan sobre un punto punto material material vaEn ocasiones, alguna alguna de las fuerzas que actúan algún modo modo que se determina determina experimentalmente experimentalmente u otros ría con el tiempo de algún procedimientos aproximados. aproximados. En estos casos, casos, debe recurrirse recurrirse a la integración integración procedimientos partícula gráfica o numérica. numérica. Por ejemplo, si una fuerza F que actúa sobre una partícula una dirección dada dada varía con el tiempo tiempo t tal como se muestra muestra en la figura en una 3.10,el impulso 3.10, el impulso

SI fl2

2

1, 1,

instantes tI t, y t22 será el área comF dt de esa fuerza entre los instantes

prendida bajo la curva. curva. prendida impulso es necesario incluir el efecto de todas las fuerzas que Al calcular el impulso módulo sea despreciable. despreciable. El lector debe se ejercen sobre m salvo aquellas cuyo módulo perfectamente al corriente de que el único procedimiento procedimiento fiable para para estar ya perfectamente partícula en cuestión tener en cuenta los efectos de todas las fuerzas es aislar la partícula dibujando su diagrama diagrama para sólido libre. dibujando Conservación de la cantidad cantidad de movimiento. movimiento. Si la fuerza resultante resultante que actúa Conservación Si punto material material es nula nula durante durante un un intervalo intervalo de tiempo, vemos que la sobre un punto ecuación 3.21 3.21 impone que su cantidad cantidad de movimiento movimiento G permanezca permanezca constanSe dice, en tal caso, caso, que la cantidad cantidad de movimiento movimiento del punto punto material material se conte. Se Puede ocurrir ocurrir que la cantidad cantidad de movimiento movimiento se conserve según según una una de serva. Puede coordenadas, como la x, pero no siempre siempre en las direcciones yy o las direcciones coordenadas, z. Un examen diagrama para para sólido libre de la partícula partícula revelará si z. examen atento del diagrama


su cantidad cantidad de de movimiento movimiento total total es es nula nula en en alguna alguna dirección. dirección. Si Si es es así, así, la la correscorressu pondiente cantidad cantidad de de movimiento movimiento no no varía varía (se (se conserva) conserva) en en esa esa dirección. dirección. pondiente Consideremos ahora ahora el el movimiento movimiento de de dos dos puntos puntos materiales materiales aa yy bb que que ininConsideremos teractúan durante durante un un intervalo intervalo de de tiempo. tiempo. Si, Si, durante durante ese ese intervalo, intervalo, las las únicas únicas teractúan no equilibradas equilibradas que que se se ejercen ejercen sobre sobre esas esas partículas partículas son son las las fuerzas fuerzas rerefuerzas no fuerzas cíprocas FF yy -- F, F, resulta resulta que que la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento de de la la partícula partícula aa es es la la cíprocas opuesta aa la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento de de la la partícula partícula b. b. Por Por consiguiente, consiguiente, según según opuesta la ecuación ecuación 3.23, 3.23, la la variación variación ~Ga óG a de de la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento de de aa es es la la vavala riación ~Gb óG b de de bb cambiada cambiada de de signo. signo. Es Es decir, decir, tenemos tenemos que que ~Ga óG a = = -- ~ óG Gbb;; oo sea, sea, riación (G n + Gbb)) = = O.Así O. Así pues, pues, durante durante el el intervalo, intervalo, la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento total total ~ó (G, G = Gaa + Gbb del del sistema sistema permanece permanece constante constante y podemos podemos escribir escribir G óG = =0 ~G O

sea oo sea

167 167 3.9 3.9 IMPULSO IMPULSO Y Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

(3.24) (3.24)

Esta Esta ecuación ecuación 3.24 3.24 expresa expresa el el principio principio de conservación conservación de la cantidad cantidad de movimovi-

miento. miento.


z

Una puntual de 0,2 kg se mueve Una masa masa puntual 0,2 kg mueve dentro plano vertical y-z (z vertical, vertical, dentro del plano vertical y-z su propio propio yy horizontal) horizontal) bajo la acción acción de su fuerza F que peso yy de una una fuerza que vana varía con con el tiempo. Su cantidad tiempo. Su cantidad de movimiento, movimiento, en kg·m/s, por G == ~~(t22++ 3)j kg·m/s, está está dada por ~~ (¡3 4)k, donde (¡-3 donde t es el tiempo tiempo en segundos. gundos. Determinar Determinar F para tt == 2 s.

~O ~+

~ Arriba Arriba

tt

O,2(9,81)k N - ü,2(9,81)k '-------y

L -_ __ __ _ _

y

El peso, expresado expresado vectorialmente, vectorialmente, es - 0,2(9,81)k 0,2(9,81)k N. La ecuación ecuación Solución. El que relaciona las fuerzas con la cantidad cantidad de movimiento movimiento queda queda [LF =

G]

0,2(9,81)k == ft[ ft[~(t2 ~(t3 - 4)k] F - O,2(9,81)k ~(t2 + 3)j - ~(t3 = 3tj 3tj -- 2t 2t2k =

Para tt == 2s

0,2(9,81)k + 3(2)j - 2(2 2(222)k )k F == O,2(9,81)k -6,04k == 6j -6,04k

Entonces Entonces

+ (6,04)2 (6,04)2 == 8,51 8,51 N N F == J622 +

J6

Resp. Resp.

11 No se incluyen No debe debe olvidarse olvidarse que que en en LF 2:Fse incluyen todas todas las las fuerzas fuerzas que actúan actúan sobre sobre la la partícula, partícula, entre entre las las cuales cuales se se encuentra encuentra el el peso. peso.


PROBLEMA PROBLEMA TIPO TIPO 3.19 3.19 I

y

Una masa masa puntual puntual de de 0,5 0,5 kg kg lleva lleva una una Una velocidad uu == 10 10 mIs mis dirigida dirigida según según elel velocidad eje xx en en elel instante instante tt ==o.O. Sobre Sobre esta esta parpareje tícula se seejercen ejercen las lasfuerzas Fl yy FF22 cuyas cuyas tícula fuerzas Fl intensidades varían varían con con el el tiempo tiempo según según intensidades se indica indica en en lalagráfica gráfica adjunta. adjunta. DetermiDetermise nar la la velocidad velocidad final vv de de la la partícula partícula al al nar cabo de de 33 segundos. segundos. cabo

F,N F,N

..- -..--- x Fl

U

4~ II F F] F]

4~ 22

F22

O O

O O

11

22

33

t,1, ss

Solución. Solución. Al Al aplicar aplicar el el teorema teorema de de la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento en en forma forma de de componentes, componentes, se se obtiene obtiene para para las las direcciones xx ee y respectivamente respectivamente

-[ 1)] == 0,5(vx -10) -[ 4(1) 4(1) + 2(3 2(3 --1)] -10) "

I

vVxx

= m/s = -6 -6m/s

:\------ ---- Sj Sj m mis :\ is

j

[1(2) [1(2)++ 2(3 - 2)]

10 m mis :: vv == 10 is II II II

1, .I

v"» = y =

8x = 126,9° 1-6im/s 1-6i m is __ 'I __'tt == 3 3s s ', -,

,,

O) O)

8m/s 8 mis

Así pues, pues,

\

\

sS

= = 0,5(vyy --

\\

\ \, \

,, , 1t=2s = 2 s,", ~ \\

66

-6i+8j v = -6i+8j

\

\

y,m y, m

\

ex = ex

\\

44

\\

22

O O

l=ls./ t=ls . /

2

4

6

mis mis

\\ II II

o

y

J6

2 +2 82 v = J62+8

arctg _8 _8 = 126,9° 126,9° arctg 66

mis 10 mis Resp. Resp.

Si bien bien no no se solicita, se ha ha representado representado la la trayectoria trayectoria de de la masa masa puntual puntual dudurante los los tres tres primeros primeros segundos. segundos. Se representa representa la la velocidad velocidad para para tt = = 3 s junto junto rante con con sus sus componentes. componentes.

x,m x, m

impulso en en cada cada dirección dirección es es el el área área correspondiente correspondiente situada situada bajo bajo la la curva curva CD ElEl impulso de la la fuerza fuerza en en función función del del tiempo. tiempo. Obsérvese Obsérvese que que FF11tiene tiene el el sentido sentido de de xx neganegade tivo, tivo, por por lo lo que que produce produce un un impulso impulso negativo. negativo.

o

Muy importante importante es es tener tener en en cuenta cuenta que que deben deben respetarse respetarse cuidadadosamente cuidadadosamente Muy los signos signos algebraicos algebraicos alal aplicar aplicar las las ecuaciones ecuaciones de de lala cantidad cantidad de de movimiento. movimiento. los Además, debemos debemos tener tener presente presente que que elel impulso impulso yy lala cantidad cantidad de de movimiento movimiento Además, son magnitudes magnitudes vectoriales, vectoriales, alal contrario contrario que que elel trabajo trabajo yy lala energía, energía, que"son que· son esesson calares. calares.

168 168


PROBLEMA TIPO 3.20

P

Una vagoneta de mina de 150 kg rueda rampa abajo a 4 mis cuando en el instante t = O se aplica al cable una fuerza P, tal como se representa. Esa fuerza aumenta constantemente con el tiempo hasta valer 600 N cuando t = 4 s, instante a partir del cual conserva ese valor. Calcular: (a) el instante tI en que la vagoneta invierte su marcha y (b) la velocidad v de la misma para t = 8 s. Se tratará la vagoneta como si fuera una masa puntual.

P,N 600

I

I I

I I

:"''''t~ I I

00

Solución.

I I

4

Se representa la gráfica de la variación diagrama para sólido libre de la vagoneta.

tI

8

i, s

de P con el tiempo y el

Parte (a).

La vagoneta invierte su marcha cuando su velocidad se anula. Supongamos que ese estado se alcanza para t = 4 + lit segundos. La ecuación de la cantidad de movimiento aplicada en la dirección x nos dará

U 'LFxdt

= m.ó.vx]

~(4)(2)(600)+ 2(600),ó,t -150(9,81) sen 30°(4 +,ó,t) 464,ó,t =

,ó,t =

1143

2,46 s

=

=

t

Al aplicar la ecuación de la cantidad

Parte (b).

150(0 - [- 4]) 4 + 2,46

=

6,46 s

de movimiento

Resp. al intervalo

completo resulta

U 'LFydt

=

m.ó.vy]

~(4)(2)(600)+ 4(2)(600),ó,t

=

-150(9,81) sen 30°(8) 150v

=

714

v

=

150(v - [-

4])

4,76 mis

Se habría obtenido el mismo resultado estudiando

Resp.

el intervalo comprendido

en-

tre tI y 8 s.

CD

El diagrama para sólido libre nos impide caer en el error de calcular el impulso producido por una fuerza P en lugar de 2P u olvidar el impulso producido por el peso. El primer término de la ecuación es el área triangular de la relación P- t durante los 4 primeros segundos, doblada para la fuerza 2P. Los signos se han escrito en concordancia con el sentido positivo asignado a la coordenada de posición 169



Labala baladede50 50g,g,que quesesedesplaza desplazaaa600 600mis, mls, La choca chocacentralmente centralmente con conelelbloque bloquedede44kg kg YY seseincrusta incrusta en en él.él.SiSielelbloque bloque sesedeslideslizaba, zaba, sobre sobreun un plano plano horizontal horizontal liso, liso, con con una una celeridad celeridad de de12 12 mis, mls, en en laladirección dirección queseseindica, indica, justo justo antes antes del delimpacto, impacto, dedeque terminar lala velocidad velocidad vv del del bloque bloque yy lala terminar bala bala inmediatamente inmediatamente después después del del impacimpacto. to. 16,83m/s L~ 16,83 mis /8=52,4° / 8=52,40 ///\, __ L_-x

/ ...•... \ /

\

("""

I

\/

. ,,'\

II

II II

0 0

0 0

Escribir que que la la variación variación de de la la canticantiCD Escribir

dad de de movimiento movimiento es es igual igual aa cero, cero, dad L.G = = O, O,es lo mismo mismo que que afirmar afirmar que que Le es lo las cantidades de movimiento inicial las cantidades de movimiento inicial final son son iguales. iguales . yy final

•I

~~ + /s +600m 600m/s

0,OSO(600j) + 4(12)(cos 30 i ++ sen 0,050(600j)+ 4(12)(cos30 sen 30 30 j)

lo •

1,

#(J5io0_--' , ---,

12 m is 12m/s

Solución. Solución. Como Como la la fuerza fuerza del del impacto impacto es es interna interna al al sistema sistema compuesto compuesto por por el el bloque bloque yy la labala bala yy no no hay hay fuerzas fuerzas exteriores exteriores que que actúen actúen sobre sobre el elsistema sistema en en el elplaplano no del del movimiento, movimiento, se se deduce deduce que que la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento del del sistema sistema se se conserva conserva en en las las direcciones direcciones xx ee y. y. Por Por lo lo tanto, tanto,

///", __ L_-x i> ",-'

I 1. . . . '\v~i . . -c.i

ylyl ::

(4 (4 ++ O,OSO)v 0,050)v

+ 13,33j vv == 10,26i 1O,26i+ 13,33j mi mIss

Resp. Resp.

La celeridad final final yy su su dirección son, son, pues, La

[v = Jv; +v~] [v=Jv~+v~]

v == J(10,26)2 J(10,26)2 + (13,33)2 (13,33)2 t g

ee ==

13,33 13,33 10,26 10,26

1,30 1,30

16,83 mi s 16,83mIs

ee ==

S2,4° 52,4°

Resp. Resp. Resp. Resp.

PROBLEMAS PROBLEMAS

'"

Problemas Problemas introductorios introductorios 3.177 3.177 El El automóvil automóvil de de 1500kg lS00 kg sube sube aa 30 30 km/h km/h por por la la pendienpendiente del 10 por ciento cuando el conductor acelera durante te del 10 por ciento cuando el conductor acelera durante 88 ss hasta hasta los los 60 60 km/h. km/h. Calcular Calcular el el valor valor medio medio temporal temporal FF de de la la fuerza fuerza total total tangente tangente aa la la calzada calzada que que soportan soportan los los neumáticos neumáticos durante durantelos los88s.s. Tratar Tratarel elvehículo vehículo como comouna una partícula partículayy despredespreciar ciarla la resistencia resistencia del del aire. aire. Resp. Resp.FF== 3,03 3,03 kN kN

v

~ 1

10 10 Figura Figuraproblema problema

3.177 3.177

3.178 La La velocidad velocidad de de una una partícula partícula de de 1,2 1,2 kg kg está está dada dada por por 3.178 1,St3i3i ++ (2,4(2,4 - 3t 3t2)j2)j ++ 5k, Sk, donde donde vv está está en en metros metros por por segunsegunvv ==1,5t do yy el el tiempo tiempo tt está está en en segundos. segundos. Hallar Hallar la la cantidad cantidad de de movimovido miento G G de de la la partícula, partícula, su su módulo módulo GG yy la la fuerza fuerza total total que que miento actúa sobre sobre la la partícula partícula cuando cuando tt == 22 s.s. actúa 3.179 Los Los dos dos motores motores de de maniobra maniobraorbital orbitalde de la lalanzadera lanzadera eses3.179 unempuje empuje de d e25 2S kN kN cada cadauno. uno.Si Siel elvehículo vehículo pacial desarrollan desarrollanun pacial suórbita órbitacon conuna unaceleridad celeridadde de26 26000 km/h,¿cuánto ¿cuántotartarrecorresu recorre 000km/h, daría en enalcanzar alcanzaruna una celeridad celeridad de de 26 26200 200km/h km/h tras trashaber haberenendaría lanzadera tiene una masa de 90 Mg. cendido ambos motores? La cendido ambos motores? La lanzadera tiene una masa de 90Mg. Resp. t t== 11min min 36 36ss Resp. 3.180 Bajola Bajo laacción accióndel delempuje empujeTTde desu sumotor motoryyde delalaresistenresisten3.180 del aire, aire, igual igualyy opuesta opuestaaa T, T, un unavión aviónde depropulsión propulsiónaa ciaRRdel cia demasa masa10 10Mg Mgvuela vuelahorizontalmente horizontalmentecon conuna unacelericelerichorrode chorro dad constante de 1000 km/h. El piloto enciende dos cohetes dad constante de 1000 km/h. El piloto enciende dos cohetes cadade delos loscuales cualesdesarrolla desarrollaun unempuje empujeTo Tode de88kN kN auxiliares,cada auxiliares,

170 170


durante 99 s.s. Si Si el el avión avión adquiere adquiere una una velocidad velocidad horizontal horizontal de de durante 1050 km/h km l h al al cabo cabo de de los los nueve nueve segundos, segundos, calcular calcular el el increincre1050 medio temporal temporal !lR till. de de la la resistencia resistencia del del aire. aire. La La masa masa mento medio mento del combustible combustible consumido consumido es es despreciable despreciable en en comparación comparación del con la la del del avión. avión. con

E E - - -- -- - - 20 20 m m ------- - - - -1...•:;-------¡"'I

--1

==-

f~X:KY f:x=n

-

~

4km/h 4km / h Figura Figura problema problema 3.183 3.183

R


Un proyectil proyectil de de 75 g que que va va a 600 mi m i s choca yy se incrusincrus3.181 Un 3.181 en el bloque bloque de de 50 kg. kg, inicialmente inicialmente inmóvil. inmóvil. Calcular Calcular la la enerenerta en pierde en en el impacto. impacto. Expresar Expresar la respuesta respuesta como como gía que se pierde Ii1EI y como porcentaje porcentaje n de la energía energía original original absoluto I!lEI valor absoluto E del sistema. Ii1EI = 13480 13480 J, n = 99,9% Resp. I!lEI

3.184 3.184 Un Un vagón vagón de de carga carga de de masa masa m m yy celeridad celeridad inicial inicial vv choca choca yy engancha engancha con con otros otros dos dos vagones vagones iguales. iguales. Calcular Calcular la la celericeleridad dad final final v' v' del del grupo grupo de de tres tres vagones vagones yy la la fracción fracción nn de de energía energía perdida perdida si si (a) (a) la la distancia distancia de de separación separación inicial inicial es es dd = = O(o O (o sea, sea, los los dos dos vagones vagones inmóviles inmóviles están están inicialmente inicialmente enganchados enganchados sin sin huelgo huelgo entre entre ellos) ellos) yy (b) (b) la la distancia distancia dd OYlos O Y los vagones vagones están están desenganchados desenganchados yy algo algo separados. separados. Despreciar Despreciar la la resistencia resistencia aa la rodadura. la rodadura.

"*'*

'ij:O,

vv

[ t;P.I()() I ! !! () I

75 g 600m/s 600 m i s 75g -- --~ ----+----~---

(l()



mueve a 3 3.182 El vagón vagón de carga A de masa total 80 80 Mg se mueve km / h sobre una vía horizontal km/h horizontal de una playa playa de maniobras. maniobras. El vagón B de masa total 60 I h alcanza 60 Mg y que se mueve mueve a 5 km km/h al al vagón A y se engancha engancha al mismo. Hallar Hallar (a) la velocidad velocidad v del conjunto de ambos vagones vagones cuando cuando se muevan muevan a la vez tras el enganche y (b) la pérdida pérdida de energía energía Ii1EI j!lEj originada originada por el impacto. pacto.

3.185 El alunizador alunizador de 200 kg desciende desciende sobre la superficie superficie lunar lunar a 6 m miI s cuando cuando se enciende enciende el retromotor. retromotor. Si éste genera un un empuje empuje T durante durante 4 s que varía varía con el tiempo tiempo tal como se muestra muestra y entonces entonces se corta, calcular calcular la velocidad velocidad del vehículo cuando suponiendo que aún cuando t = = 5 s suponiendo aún no haya haya tocado suelo. En la superficie de la Luna gravedad vale 1,62 1,62 mi superficie Luna la gravedad mi S2. Resp. v == 2,10 2,10 mis mi s

T,N T,N

3km/h 3km/h

5km /h 5km/h

~

~

~

~

800 800

, i :,,:,¡

i

¡

=1 ¡

...•...

B B

AA

OL---~--~-

O


3.183 3.183 Un Un muchacho muchacho de de masa masa 50 50 kg kg corre corre yy salta salta aa su su trineo trineo de de 10 kg con 10kg con una una velocidad velocidad horizontal horizontal de de 44 mi mi s. s.Si Siel el muchacho muchacho yy el el trineo trineo se se deslizan deslizan 20 20m m sobre sobre la la nieve nieve plana plana antes antes de de detenerdetenerse, se,calcular calcular el el coeficiente coeficiente de de rozamiento rozamiento Jie f.1c entre entre la la nieve nieve yy los los patines patines del del trineo. trineo. Resp. Resp. Jie f.1c == 0,028 0,028

22 t,i, ss

44


3.186 El El bloque bloque de de 99 kg kg se se mueve mueve hacia hacia la la derecha derecha sobre sobre una una 3.186 superficie horizontal horizontal con con una una velocidad velocidad de de 0,6 0,6m mii ss cuando, cuando, en en superficie el instante instante tt ==O O,se le aplica aplica una una fuerza fuerza P. P. Calcular Calcular su su velocidad velocidad el , se le

171 171


i-

cuandot t==0,4 0,4s.s.ElElcoeficiente coeficientede derozamiento rozamiento cinético cinéticoentre entrebloblocuando queyysuperficie superficieesesPe J.1c==0,3. 0,3. que P,N P,N

Vo

721-----, 72 1-----...,

0,6 m i s

PP

------, 36 ---------f36 -- -- --If -----,

LI

3.189 está so3.189 El Elcarro carro de de 44kg, kg.en en reposo reposo en en elelinstante instante t t ==O,O,está so!le ==0,3 0,3 !le

I I I I

O '-

=

----..

canismo canismode deexpulsión, expulsión,éste éstepermanece permaneceen encontacto contactocon conelelsatélite satélite durante durante 44segundos segundos yylelecomunica comunicauna unavelocidad velocidad de de0,3 0,3mI mi ssen en laladirección dirección zzrelativa relativa aalalalanzadera. lanzadera. La Lamasa masa de de ésta ésta es esde de 90 adquiere elelvehículo 90 Mg. Mg.Hallar Hallar qué quévelocidad velocidad v/v/adquiere vehículoen enlaladirecdirección ciónz2negativa negativa como comoconsecuencia consecuencia de delalaexpulsión. expulsión. Hallar Hallar asiasimismo mismo lalamedia media temporal temporal FF de delalafuerza fuerza de deexpulsión. expulsión. metido metido aa lala acción acción de de una una fuerza fuerza horizontal horizontal que que varía varía con con elel tiempo tiempo tal tal como como se semuestra. muestra. Despreciar Despreciar elelrozamiento rozamiento yyhallar hallar lalavelocidad velocidad del del carro carro para para tt == 11ssYYtt == 33s.s. Resp. Resp. VVl1 == 0,417 0,417 mI mi s,s, v3 V3= = 8,96 8,96 mI mi ss

-L. __

OL------'------'-O 0,2 0,4 0,2

O

0,4


•• I

r ,

z

Problemas representativos representativos Problemas 3.187 El El superpetrolero superpetrolero tiene tiene un un desplazamiento desplazamiento total total (masa) (masa) 3.187 de 150 150 000 000 toneladas (métricas) (métricas) yy está está quieto quieto en en el el agua agua cuando cuando de el remolcador remolcador comienza comienza aa remolcarlo. remolcarlo. Si Si en en el el cable cable de de arrastre arrastre el se desarrolla desarrolla una tensión constante de de 200 kN, kN, calcular calcular el el tiemse la velocidad de un nudo po necesario para llevar el barco hasta la reposo. A A esta reducida reducida velocidad, la resistencia del a partir del reposo. casco al al movimiento movimiento a través del agua es muy pequeña pequeña y puecasco de despreciarse despreciarse (1 (1 nudo nudo == 1,852 1,852 km km/h). de / h). Resp. 6,84 min min Resp. tt == 6,84

,I

20°

~!

30 - -- - -------E -------------Recta Recta

u;- 20

- -- -- -

ro N

~

Parábola Parábola

;:l

\.t..

FF O~~----~------~---

Ol.....¿"-----'-----~ __ O 22 44 O Tiempo Tiempo "t, ss


3.190 El carro de masa m nI está sometido 3.190 sometido a la fuerza FF decreexponencialmente, que representa representa una una carga por por impacciente exponencialmente, por explosión. explosión. Si Si el carro carro está inmóvil inmóvil en el instante instante tt = = O, O, to o por hallar su velocidad velocidad v y su desplazamiento desplazamiento s como funciones funciones del hallar tiempo. ¿Cuánto ¿Cuánto vale v cuando cuando tt crece mucho? mucho? tiempo.

&:-------------


3.188 3.188 La lanzadera lanzadera espacial espacial lanza lanza un un satélite satélite de de 800 800 kg kg expulexpulsándolo sándolo desde desde el el compartimiento compartimiento de de carga. carga. Al Al activarse activarse el el meme-

zz II

II

tt

vv

iiII

10

~1.m.1


O

L-.

=~ __

O Figura problema 3.190 3.190 Figuraproblema

yy

./ ./ ./ ./

s,

Ti empo tt Tiempo

II

x/

s,

3.191 La Lavelocidad velocidaddel delproyectil proyectilde de140 140gges esde de600 600m mI1sscuancuan3.191 doengancha enganchalas lastres tresarandelas arandelasde de100 100ggcada cadauna unayyse selas laslleva lleva do consigo.Hallar Hallarlalavelocidad velocidadvvcomún comúnde deproyectil proyectilyyarandelas. arandelas. consigo.

Hallartambién tambiénlalapérdida pérdidade deenergía energía I~EI I""EI durante durantelalainteracinteracHallar ción. ción. Resp.vv==190,9 190,9mi m1 I""EI ==17,18(10)3 17,18(10)3J J Resp. s,s, I~EI

172 172


--

600mis mis 600 ~

--

II II

--

--


3.192 El Elautomóvil automóvil Bestá B estáparado paradocuando cuandolo logolpea golpeaelelautomóautomó3.192 vilAA que que se se mueve mueve con conuna una celeridad celeridadv. v. Tras Traslalacolisión colisiónambos ambos vil vehículos quedan quedan trabados trabadosyy se semueven m"ueven con conla laceleridad celeridadvv'.'.La La vehículos masa del del automóvil automóvil AA es es mmyy la la del del automóvil automóvil BBes es pm, pm, siendo siendo masa la relación relación entre entre las las masas masas de de los los automóviles automóviles BByyA. A. Si Sila la cocoppla lisión dura dura St, M, expresar expresar la la velocidad velocid ad común comúnu' v 'tras tras la la colisión colisión yy lisión la aceleración aceleración media media de de cada cada vehículo vehículo durante durante la la colisión colisión en en la función de de u, v, ppee M. M. Calcular Calcular el el valor valor de d e la la expresión expresión deducida deducida función para pp == 0,5. 0,5. para

3.194 Unsistema sistemade deevacuación evacuaciónde deemergencia emergenciade d elalatorre torrede de 3.194 Un lanzamiento deastronautas astronautasconsiste consisteen enun uncable cablede delanzamienlanzamienlanzamientode totode degran granlongitud longitudpor porelelque quelalacesta cestade desalvamento salvamentodesciende desciende hasta una distancia de seguridad. 'Las cesta, hasta una distancia de seguridad . Las cesta, con consus susdos dosocuocupantes, pantes,tiene tieneuna unamasa masade de320kg 320 kgYse Y seacerca acercaaalalamalla mallahorizonhorizontalmente talmentecon conuna unaceleridad celeridadde de28 28mI mIs.s.La Lamalla mallaestá estásujeta sujetaalal cable cablepor poruna unaatadura ataduramovible movibleyyestá estáunida unidaaa20 20mm de decadena cadena pesada pesada cuya cuya masa masa es es de de 18 18kg/m. kg / m .Entre Entre lala cadena cadenayy elelsuelo suelo hay hayun uncoeficiente coeficientede derozamiento rozamientocinético cinéticode de0,70.Hallar 0,70. Hallarlalavevelocidad locidadinicial inicialvvde delalacadena cadenacuando cuandolalacesta cestase seacopla acoplaaalalamamalla lla yy elel tiempo tiempo tt que que tarda tarda en en detenerse detenerse lala cesta cesta después después del d el acoplo. Se supondrá que todos los eslabones de la acoplo. Se supondrá que todos los eslabones de la cadena cadena se se mantienen mantienenen en contacto contactocon conel elsuelo. suelo.

pm pm

m m

v ~

~~

~

~ B B

A A

20 ll1

Figura problema problema 3.192 3.192 Figura Figura Figura problema problema 3.194 3.194

3.193 azo ddee un martinete martinete tiene una masa m asa de 450kg 450 kg Ycae, Y cae, 3.193 El m mazo sin velocidad inicial, desd e una altura de 1 4 sobre la cabeza ddee sin inicial, desde un pilote de 240 240 kg que está hincado 0,9 0,9 m en el suelo. Se Se observa serva que después del choque el el mazo se mueve con el pilote sin sin rebote apreciable. Hallar la velocidad común de mazo y pilote espués del impacto. lote inmediatamente inmediatamente ddespués impacto. ¿Puede justificarse la la aplicación aplicación del del principio de de la la cantidad cantidad de de movimiento aun aun cuando cuando los los pesos pesos actúen actúen durante durante el el impacto? impacto? Resp. Resp. vv == 3,42 3,42mI mI ss

lA nva

las. ac-

3.195 El El camión camión remolque remolque con con el el automóvil automóvil de de 1200 1200 kg que 3.195 kg que arrastra se se aacelera uniformemente ddesde 30 km/h km/h hasta hasta arrastra celera uniformemente esde 30 70 km km/h lo largo largo de de un un intervalo intervalo de de 15 15s. La resistencia resistencia media media 70 1h aa lo s. La la rodadura rodadura del del automóvil automóvil es es de de 500 500 N N durante durante todo todo ese ese ininaa la tervalo. Suponiendo que el ángulo de 60° represente la positervalo. Suponiendo que el ángulo d e 60° represente la posición media del cable cable durante durante el el intervalo, hallar la la tensión ción en el el cable. cable. media en Resp. TT == 2780 2780N N Resp.

m I

o"m]' Figura Figuraproblema problema 3.193 3.193


3.196 Un Un camión camión de de88Mg Mgdescansa descansa en enlalacubierta cubierta dde unabarbar3.196 e una cazade de 240 240Mg Mgde de desplazamiento desplazamiento que que reposa reposa en en agua agua encalencalcaza camiónarranca arranca yyse seencamina encaminahacia hacialalaproa proacon conuna una mmada. ad a. SiSielelcamión velocidad vVrel km/h relativa aalalaembarcación, embarcación, calcular calcular lala velocidad reJ ==66km l h relativa

173 173


velocidad x de ésta. La resistencia del agua al movimiento de la barcaza es despreciable a baja velocidad.

Figura problema

3.200 Unas medidas realizadas con gran precisión durante el choque del cilindro metálico de 200 g con la placa cargada por resorte revelan que entre la fuerza de contacto F y el instante t del choque existe una relación semielíptica como la representada. Hallar la velocidad de rebote v del cilindro si éste choca con la placa a 6 mi s.

6 mis

3.196

-

3.197 El movimiento vertical del cilindro de 3 kg está gobernado por las fuerzas P aplicadas a los rodillos de los extremos del sistema articulado de la figura. Si la velocidad ascendente del cilindro aumenta de 2 a 4 mi s en dos segundos, calcular la fuerza media Rmed que actúa bajo cada rodillo durante los dos segundos. Estudiar el sistema completo como un todo y despreciar la pequeña masa del sistema articulado. Resp. Rmed = 16,22N t •

v

30N ---0"'0'0

6

Q

I

\

I

\

P

O

I

\

p

O I I

°

I

0,08 t, s

3.200

Figura problema

3.201 El movimiento de la caja de 9 kg en las guías lisas verticales lo controlan las tensiones T1 y T2 en los cables. Si la barquilla lleva una velocidad descendente de 1,2 mi s en el instante t = O,hallar su velocidad v cuando t = 10 s. Resp. v = 0,700mi s hacia arriba

1, 'I

Figura problema

3.197

250

I

:<:: 200 ",' 150

3.198 Hallar el tiempo que necesita una locomotora dieseleléctrica, que produce una tracción de enganche constante de 270kN, para aumentar la celeridad de un tren de carga de 1600 Mg desde 32 km I h hasta 48 km I h subiendo por una pendiente del 1 por ciento. El tren presenta una resistencia de 50 N por megagramo.

100

1

50

-'

t-

~

00

1

'It2

-I-,--r-1 1 1

1 1 1 1

TI

~

~ ¡.r.,

I 1

-I~

1 --1_ 1 1

1

f-J

:

I

4

6

8

10

i, s

3.199 Una nave espacial que viaja por el espacio lejano está programada para aumentar de celeridad en una cuantía prefijada /'<,.v encendiendo el motor durante un tiempo especificado t. Al cabo de un veinticinco por ciento del recorrido propulsado, el motor falla y a partir de ese instante genera sólo la mitad de su empuje normal. ¿Qué porcentaje n de /'<,.v se consigue si el motor cohete se mantiene encendido durante el tiempo t planeado? ¿Cuánto tiempo adicional t ' tendría que seguir funcionando el cohete para que compensara la avería? Resp. n

=

62,5%, t'

= ~t

Figura problema

3.201

3.202 Las etapas tercera y cuarta de un cohete vuelan por inercia a 15000 km/h cuando se enciende el motor de la cuarta etapa originando la separación de ambas bajo la acción de un empuje T y su reacción. Si la velocidad v de la cuarta etapa es 10m I s mayor que la velocidad V1 de la tercera etapa al final del intervalo de 0,5 s que dura la separación, calcular el empuje medio T durante ese período. Las masas de la tercera y cuarta

174


etapas en el instante instante de la separación separación son 40 y 60 kg, respectivamente. Supóngase Supóngase que todo el chorro del motor de la cuarta cuarta etapa golpea contra la tercera etapa una fuerza igual y conetapa con una traria a T. T.

3.205 Un cuerpo kg, que se mueve mueve sobre una una superficie cuerpo de 4 kg. horizontal horizontal lisa con una una velocidad velocidad de 10 mi m i s en la dirección x, x, está sometido tiempo tal como se sometido a la fuerza F F;x que varía con el tiempo muestra. datos experimentales experimentales mediante muestra. Aproximar Aproximar los datos mediante la líhallar la velocidad velocidad del cuerpo (a) nea de trazos que se indica y hallar en t == 0,6 s y (b) (b) en t == 0,9 s. Resp. (a) v = 2 mis, m i s, (b) v =-2,5 = -2,5 mis mis

44'a etapa etapa

3· 3a etapa etapa

.1~F----g;¿~~~¡

---

,

~--;>---

---v

V1

teoro de 10 kg que se mueve mueve a una una velocidad velocidad V rnrn de módulo módulo queda incrustado incrustado en 5000 km/h km / h en la dirección indicada indicada y que queda la misma. Hallar Hallar la velocidad velocidad final v del centro de masa G de la nave y el ángulo ángulo f3 entre entre v y la velocidad velocidad inicial VV ss de la nave.

Figura 3.202 Figura problema problema

3.203 km / h 3.203 El El automóvil automóvil B B (1500 kg) viaja hacia el oeste a 48 km/h

Ychoca automóvil A (1600 kg) que viaja hacia el norte a Y choca con el automóvil

240

32 km/h. Si 32km/h. Si los vehículos se empotran empotran uno en otro y se despladespla-

después del choque, calcular el módulo zan juntos después módulo v de su veinmediatamente después después del accidente y el locidad común inmediatamente ángulo e e que forma el vector vectar velocidad velocidad con la dirección norte. km/h, e e = 54,6° Resp. v = 28,5 km/h,

O~~~f---------*-----~-----~s o~~~~--------*-----~-----t,s -120 -120

N N I I I

W - - - - -:-:- - I

t~A t~A

32km!hh 32km/


48km/h 48km/ h -+-~

-tB1J)Dj -[BIJ)D¡

abandona en el re3.206 El tapón tapón cilíndrico A de masa mA m A se abandona poso en B y se desliza por la guía circular lisa, en cuyo pie choexpresión ca con el bloque bloque e y se encaja en el mismo. Escribir la expresión distancia s que recorren tapón antes de detenerde la distancia recorren bloque bloque y tapón se. El coeficiente de rozamiento rozamiento cinético entre el bloque y la superficie horizontal horizontal es /-Le' f.le-

B

B


B

3.204 Una nave espacial de 1000 kg viaja par 3.204 por el espacio lejano con una celeridad V ss == 2000 mi s cuando cuando choca con ella un un mecon

~

._

I

r

._

.

_

._

.

_

.

-

z

J1c

Ilc

me me


x


linealmente con el tiempo tal 3.207 La fuerza P, que varía linealmente como se representa, representa, se aplica al bloque bloque de 10 kg inicialmente en reposo. Si Si los coeficientes de rozamiento rozamiento estático y dinámico valen valen 0,6 y 0,4, respectivamente, respectivamente, hallar hallar la velocidad velocidad del bloque para para t == 4 s. Resp. v == 6,61 mi mis

175


P,N P,N

Fuerza Fuerza FF

100 ---------100 ---- --- -

b

O~--~~L---~lOkg 10 kg

\ 45N ---'\~....i

'-J ---P --- P

u, == 0,6, 0,6,Ile u¿== 0,4 0,4 Ile


3.211 3.211 Un Un cuerpo cuerpo de de 10 10 kg kg se se mueve mueve en en línea línea recta recta horizontal horizontal

3.208 El El carro carro de de 30 30 kg kg se se mueve mueve por por el el raíl raíl horizontal horizontal con con roro3.208 zamiento despreciable despreciable bajo bajo la la acción acción de de la la fuerza fuerza senoidal senoidal FF == zamiento 40 sen sen n:t nt N N medida medida positivamente positivamente hacia hacia la la izqu izquierda tal como como 40 ierda tal se indica. indica. Si Si en en tt == O Oel carro tiene tiene una velocidad velocidad vv de de 1,5 1,5 mi mi ss se el carro hacia la la izquierda, hallar hallar su su velocidad velocidad vv cuando cuando tt == 11s.s. Por Por simsimhacia observación, ¿cuál ¿cuál será será la la velocidad del del carro carro cuando cuando tt == 22 s7 s? ple observación,

.. ' ,


~ _ _ _ _-..L......_ Oo 0<.-_ ' - -_ t,t,ss O 44 O

con con una una velocidad velocidad de de 33 mi mi ss cuando cuando se se le le aplica aplica una una fuerza fuerza hohorizontal rizontal PP perpendicular perpendicular aa la la dirección dirección inicial inicial del del movimiento. movimiento. Si SiPP varía varía según según se se muestra muestra en en la la gráfica, gráfica, permaneciendo permaneciendo consconstante tante su su dirección dirección yy es es la la única única fuerza fuerza que que actúa actúa sobre sobre el el cuerpo cuerpo en en el el plano plano del del movimiento, hallar la la velocidad del del cuerpo cuerpo para tt == 22 ss yy el el ángulo ángulo e que que forma forma con con la la dirección de de P. P. R esp. v == 3,91 ,2° Resp. 3,91 m miis,s, e= e = 50 50,2°

P,N P,N

++F,N F,N

20 1,5 m mis 1,5 /s ---- - -------+xx --- -- +

9'M~ -401--------t= O

1, •I

II II

II II

:¡,--------f,',

00

- 401-- ----

1

I --r--.---,

I - - r -- ¡----¡

2 t,t, s

---

II II II II

II II II II

II II II II

1 1 t, s

1,5 1,5

2 2

OL-----~~--~_

o


problema 3.211 3.211 Figura problema 3.209 3.209 El remolcador remolcador de 500 toneladas toneladas arrastra arrastra la gabarra gabarra carbonera bonera de 900 900 toneladas toneladas a la velocidad velocidad constante constante de 6 nudos. nudos. Durante Durante un un corto período período de tiempo tiempo el torno torno de popa popa recoge cable de arrastre arrastre a razón razón de 0,5 mi mi s. Calcular Calcular la celeridad celeridad reducireducida v del remolcador remolcador durante durante ese intervalo. intervalo. Se supondrá supondrá que el cable está horizontal. horizontal. (Recuérdese, 1 nudo nudo = = 1,852 1,852 km/h.) km / h.)

3.212 Un cuerpo cuerpo de 0,5 kg oscila a lo largo largo del eje horizontal horizontal 3.212 única acción de de una una fuerza fuerza alternativa alternativa en en la dirección dirección xx bajo la única x, cuya cuya amplitud amplitud decrece decrece con con el tiempo tiempo tt tal como como se muestra muestra y está dada dada por por FFxx = = 4e 4e --1t cos 27ft, 2m, donde donde FFxx está está en en newtons newtons yy ten ten está segundos. Si en en el el instante instante tt = = Oel O el cuerpo cuerpo lleva lleva una una velocidad velocidad segundos. mi s en en la la dirección dirección xx negativa, negativa, hallar hallar su su velocidad velocidad vven de 1,2 mi en el el instante instante tt = =2 2 s. s.


4

3.210 3.210 El El carro carro de de 10 10 kg kg se se halla halla inmóvil inmóvil en en el el instante instante tt == O O cuando al FF== bb++45 cuando es es sometido sometido aala la fuerza fuerza senoid senoidal 45 sen sen 6t, 6t, donde donde FFyy bbestán están en en newtons newtons yy el el tiempo tiempo tt está está en en segundos. segundos. (a) (a) Si Si bb== 22 22 N,,hallar hallar su su velocidad velocidad vv cuando cuando tt == 1,5 1,5 s.s. (b) (b) Hallar Hallar el el valor valor de de bbpara para el el que que la la velocidad velocidad sería sería nula nula tras tras finalizar finalizar el el primer primer ciclo ciclo de de aplicación aplicación de de la la fuerza. fuerza. Despreciar Despreciar el el rozamiento rozamiento

176 176


0~4---4-~~--~~~-O

-J--


i,

s

3.213 ElEldisco discode dehockey hockeysobre sobrehielo hielode demasa masa0,20kg 0,20 kglleva llevauna una 3.213 velocidad de 12 m I s antes de recibir un golpe de "stick". Tras velocidad de 12 mi s antes de recibir un golpe de "stick". Tras impacto,eleldisco discosesedesplaza desplazaen enlaladirección direcciónindicada indicadaaalalaveveelelimpacto, de 18 mi s. Si el "stick" permanece en contacto con locidad locidad de 18 mi s. Si el "stick" permanece en contacto con elel discodurante durante0,04 0,04s,s,calcular calcularelelmódulo módulode dela' la'fuerza mediaFF disco fuerza media queejerce ejercesobre sobreeleldisco discodurante duranteelelcontacto contactoyyhallar hallarelelángulo ángulo que queforma formaFFcon conlaladirección direcciónx.x. f3f3que Resp.FF== 147,8N, 147,8 N,f3f3== 12,02° 12,02° Resp.

llar llarelelángulo ángulof3f3que queforma formaRRcon conlalahorizontal. horizontal.Comentar Comentarcómo cómo sesetrata trataelelpeso pesode delalapelota pelotadurante duranteelelimpacto. impacto. Resp. Resp.RR==43,0, 43,0,f3f3==8,68° 8,68°


3.216 3.216 El Elbloque bloque de de 10 10kg kg descansa descansasobre sobre la la superficie superficiehorizonhorizontal cuando recibe la acción de la fuerza T durante tal cuando recibe la acción de la fuerza T durante 77 segundos. segundos. Se Se representa representa la la variación variación de de TT con con el el tiempo. tiempo. Calcular Calcular la la velovelocidad máxima alcanzada alcanzada por por el el bloque bloque yy el el tiempo tiempo total total t..t M duducidad máxima rante rante el el cual cual el el bloque bloque se se halla halla en en movimiento. movimiento. Los Los coeficientes coeficientes de de rozamiento rozamiento estático estático yy cinético cinético valen valen ambos ambos 0,50. 0,50. 3.213 Figura problema problema 3.213 Figura

T,N T,N 100 100

3.214 La pelota pelota de béisbol béisbol se mueve mueve con una una velocidad velocidad horihorikm I h inmediatamente iIU11ediatamente antes de golpear golpear contra contra el zontal de 135 135km/h bate. Inmediatamente Inmediatamente tras tras el el impacto, impacto, la la velocidad de la la pelota pelota bate. velocidad de de 146 g es de 210 un án146g 210 km/h km/h formando, formando, tal como se muestra, muestra, un gulo de 35° 35° con la horizontal. horizontal. Hallar Hallar las componentes componentes x e y y de la pelota durante la fuerza media R que ejerce el bate sobre la pelota durante el impacto de 0,02 elota 0,02 s. s. Comentar Comentar cómo se trata el peso de la ppelota (a) (a) durante durante el el impacto yy (b) (b) transcurridos transcurridos los dos o tres primeros ros segundos segundos tras tras el el impacto. impacto.

d n

210km / h/

/

I I

10 kg kg

t+

T

u; =l1c = ·j.lc = = 0,50 0,50 l1e

40 40

--

-----+1--,

O~------~----~O

44

77

t,t, ss Figura problema problema 3.216 3.216 Figura

3.217 La La carretilla carretilla de de mina mina cargada cargada tiene tiene una una masa masa de de 33 Mg. Mg. El El 3.217 tambor izador produce una tracción T en el cable de acuerdo con tambor izador produce una tracción T en el cable de acuerdo con

/

n

--------- ----

/

35°

"'""~V-- ~---- -u: .\~9--~------

135 /h 135 km km/h T,kN T,kN 16 16


1--

'~--""-~I 1 1

3.215 3.215 La Latenista tenistagolpea golpealalapelota pelota con conlalaraqueta raqueta mientras mientras lalapepelota lotaaún aúnse seestá estáelevando. elevando. Antes Antesde dechocar chocarcon conlalaraqueta, raqueta, lalaceceleridad leridad de delalapelota pelota esesV1VI ==15 15mi mi ssyyv2v2==22 22mi mi ssdespués después del del impacto, impacto,en enlas lasdirecciones direcciones que queseseindican. indican. SiSilalapelota pelota de de60 60gg con la raqueta durante 0,05 s, hallar el módulo está en contacto está en contacto con la raqueta durante 0,05 s, hallar el módulo de delalafuerza fuerzamedia mediaRRque queejerce ejercelalaraqueta raqueta sobre sobrelalapelota. pelota.HaHa-

1

I I 22

44

66

t,t,s s Figuraproblema problema 3.217 3.217 Figura

177 177


el cronograma Si la caja caja descansa sobre A cuancronograma que se muestra. Si do se arranca el tambor, hallar la celeridad v de la caja caja cuando cuando s. Pueden Pueden despreciarse las pérdidas pérdidas por rozamiento. rozamiento. t == 6 s. Resp. v == 9,13 mi s Resp. 9,13 mi

ne el agua al movimiento movimiento dadas dadas las reducidas reducidas velocidades velocidades que intervienen. intervienen. Resp. V2 == 40,0 Resp. 40,0 mml mml s

mA

~ 3.218 El péndulo péndulo simple A Ylongitud ~ A de masa masa Y longitud 1 cuelga del trole B B de masa mB' mB' Si el sistema se suelta desd~ desde el reposo en e hallar la velocidad e == O,O,hallar velocidad vVBB del trole cuando cuando e e = 90°. El El rodespreciable.. zamiento es despreciable 2g1 __ mAJ mAJ .------=---;-1 // 1


r--=---::--

Resp,v Resp,vB B

-

mBB

+m +mAA mBB ~ toneladas de desplazamien~ 3.220 Un lanzatorpedos lanzatorpedos de 60 60 toneladas desplazamiento navega a 18 18 nudos nudos cuando cuando dispara dispara horizontalmente horizontalmente un torpedo de 140 pedo 140 kg con el tubo lanzador lanzador a 30°, 30°, tal como se torpedo lleva una representa. representa. Si, Si, cuando abandona abandona el tubo, el torpedo mi s con relación a la embarcación, hallar la revelocidad de 6 mi instantánea de velocidad óv Su que experimenta experimenta ésta. (Re(Reducción instantánea cuérdese que un nudo km/h.) Resolver también este nudo son 1,852 1,852km/h.) problema problema refiriendo el movimiento movimiento a un sistema de coordenadas que se mueva mueva con la velocidad velocidad inicial de la embarcación. Resp. óv Resp. ~V = = 0,0121 0,0121 mi mi s


1, .I

~ ~ 3.219 Dos barcazas barcazas que desplazan desplazan (cuya masa es de) 500 500 toneladas métricas cada una están fondeadas fondeadas en aguas aguas tranquitoneladas tranquilas. Un conductor conductor acrobático pone en marcha marcha su automóvil automóvil de las. 1500 1500 kg en A, atraviesa atraviesa la cubierta cubierta y se separa separa del extremo de la rampa l h respecto a barcaza rampa de 15° 15° a la celeridad celeridad de 50 km kmlh barcaza y rampa. El El conductor conductor consigue salvar el vacío y detiene en B B su automóvil con relación a la barcaza velocidad vl vI automóvil barcaza 2. Calcular la velocidad imprime a la barcaza barcaza.. Despreciar que se imprime Despreciar la resistencia que opo-

3.10 3.10

IMPULSO IMPULSO ANGULAR ANGULAR Y MOMENTO MOMENTO CINÉTICO ClNÉTICO

Además de las Además de las ecuaciones ecuaciones que que relacionan relacionan el impulso impulso con con la cantidad cantidad de de movimovimiento, miento, existe existe un un sistema sistema paralelo paralelo de de ecuaciones ecuaciones que que relacionan relacionan el impulso impulso anangular con con el momento momento cinético. cinético. Empecemos Empecemos definiendo definiendo qué qué es momento momento gular cinético. En En la figura figura 3.11a 3.11a se representa representa un un punto punto material material P de de masa masa m que que se cinético. mueve mueve a lo largo largo de de una una curva curva en en el espacio espacio y que que queda queda localizado localizado mediante mediante su su vector vector de de posición posición r respecto respecto a un un origen origen conveniente conveniente O de de coordenadas coordenadas fijas x-y-z. La velocidad x-y-z. velocidad del del punto punto es v == ii: Y su su cantidad cantidad de de movimiento movimiento G == mv. El momento momento respecto respecto al origen origen O del del vector vector cantidad cantidad de movimiento movimiento mv es, por por defidefinición, el momento P respecto respecto a O y vendrá nición, momento cinético cinético Ho Ha de de P vendrá dado dado por por el producproducto vectorial vectorial que que expresa expresa el momento momento de de un un vector vector H xmv Hao = = rrxmv

(3.25) (3.25)

Así un vector su Así pues, pues, se trata trata de de un vector perpendicular perpendicular al plano plano A definido definido por por r y v y su sentido la regla sentido es, desde desde luego, luego, el definido definido por por la regla de de la mano mano derecha. derecha. 178


179

Las componentes escalares del momento cinético pueden obtenerse del desarrollo

3.10 IMPULSO ANGULAR Y MOMENTO CINÉTICO

r Xmv

o bien z

(3.26)

A~

Ho=rxmv

\

,

con lo que

/ /

/

/

O

/ / / /

X

Cada una de estas expresiones del momento cinético puede comprobarse fácilmente con ayuda de la figura 3.12,en la que pueden verse las tres componentes de la cantidad de movimiento, tomando los momentos de dichas componentes respecto a los ejes respectivos. Para que se imagine mejor qué es el momento cinético, en la figura 3.11b se representan en dos dimensiones coincidentes con el plano A los vectores representados en la parte a de la figura, contemplándose el movimiento en el plano A definido por r y v. El módulo del momento de mv respecto a O es sencillamente la cantidad de movimiento mv multiplicada por el brazo de momento r sen e, o sea, mur sen e que es el módulo del producto vectorial Ho = r x mv . En unidades SI el momento cinético se expresará en kg·(m/ sj-m = kg·m2 / s = m·N/s. Estamos ya preparados para relacionar el momento de las fuerzas actuantes sobre el punto material P con su momento cinético. Si LF representa la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el punto material P de la figura 3.11, su momento Mo respecto al origen O es el producto vectorial LMO

o

(a)

Vista en el plano A (b)

Figura

3.11

= rXLF = s x.m»

en el que se ha introducido la segunda ley de Newton LF = mv . Si derivamos la ecuación 3.25 respecto al tiempo, haciendo uso de la regla de derivación del producto vectorial (véase el punto 9 del apartado C.7 del apéndice C) resulta

Ho =

i X mv + r X mv

=

V

X mv

+r

X

z

mv

El término v X mv es nulo porque el producto vectorial de dos vectores paralelos es idénticamente nulo. Al sustituir valores en la expresión de LMO resulta (3.27)

O x

j)

u

La ecuación 3.27 establece que el momento respecto al punto fijo O de todas lasfuerzas que actúan sobre m es igual a la variación por unidad de tiempo del momento cinético de m respecto a O. Esta relación, especialmente cuando se amplía a los sistemas de puntos materiales, rígidos o no, constituye uno de los instrumen-


Figura

3.12

180 180 -------------------------CINÉTICA DEl DEL PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL CINÉTICA

tos tos de de análisis análisis más más eficaces eficaces de de toda toda la la Dinámica. Dinámica. Las Las componentes componentes escalares escalares de de la ecuación ecuación 3.27 3.27 son son la LMa

x

= Ha

x

LMa LMa yy == H Haayy

LMa LMa zz

== Ha Ha z

z

(3.28) (3.28)

La La ecuación ecuación 3.27 3.27 proporciona proporciona la la relación relación instantánea instantánea existente existente entre entre el el momomento mento yy la la variación variación del del momento momento cinético cinético por por unidad unidad de de tiempo. tiempo. Para Para obtener obtener el el efecto efecto del del momento momento LMo LMO sobre sobre el el momento momento cinético cinético de de la la partícula partícula en en un un inintervalo tervalo de de tiempo tiempo finito, finito, podemos podemos integrar integrar la la ecuación ecuación 3.27 3.27 desde desde el instante instante tItI hasta hasta el el instante instante tt22.. Multiplicando Multiplicando la ecuación ecuación por por dt dt se tiene tiene LMo LMO dt dt == dH dHoo que que puede integrarse, integrarse, dando dando puede (3.29) (3.29)

donde donde Ha Ha 22 = = r 2 XX mV mV22 Y Ha Ha 11 = = r 1 XX mv11.. Al producto producto del momento momento por por el tiempo tiempo se le denomina denomina impulso impulso angular angular y la ecuación ecuación 3.29 dice que que el impulso impulso angular gular total aplicado a m respecto al punto punto fijo O es es igual a la correspondiente correspondiente variación variación de momento momento cinético cinético respecto al punto punto Jijo fijo O. Esta Esta relación relación 3.29 suele suele conocerse conocerse como teorema del momento momento cinético cinéiico .. como La ecuación ecuación 3.29 podríamos podríamos haberla haberla escrito escrito también también (3.29a) (3.29a)

que que el momento momento cinético cinético inicial inicial del punto material material que simplemente simplemente establece establece que del punto más el impulso impulso angular angular que recibe es igual igual a su su momento momento cinético cinético final. más que recibe final. Las unidades que que miden miden el impulso impulso angular momento cinético cinético son evidenteunidades angular y el momento son evidente2 2 mente las mismas, es decir, m·N·s ó kg·m s en el Sistema Internacional. / mente las mismas, decir, m-N's kg·m en Sistema Internacional. Como en en el caso caso del del impulso impulso y la la cantidad cantidad de de movimiento, movimiento, la ecuación ecuación que que Como relaciona el impulso impulso angular angular con con el momento momento cinético cinético es es una una ecuación ecuación vectorivectorirelaciona en la la que que durante durante el el intervalo intervalo de de integración integración pueden pueden tener tener lugar lugar variaciones variaciones al, en tanto de de módulo módulo como como de de dirección. dirección. En En estas estas condiciones, condiciones, será será necesario necesario extanto persar LMa LMa Y Y Ha Ha según según sus sus componentes componentes yy luego luego combinar combinar las las componentes componentes persar integradas. integradas. Así, Así, la la componente componente x de de la la ecuación ecuación 3.29 3.29 será será

(H o )2 -- (Ha)l (Ha)l (Ha)2 m[(vzy -- VvyyZ)2Z)2 -- (vzy (v zy -m[(vzy

VyZ)l] VyZ)l]

donde los los subíndices subíndices 1 yy 22 se se refieren refieren aa los los valores valores de de las las cantidades cantidades corresponcorrespondonde Para las las componentes componentes yy yy ZZ de de la la integral integral del del momodientes aa los los instantes instantes tItI yy tt22.. Para dientes mento mento cinético cinético se se tienen tienen expresiones expresiones análogas. análogas. impulso angular angular yy al al momento momento cinético cinético Las relaciones relaciones anteriores anteriores relativas relativas al al impulso Las han desarrollado desarrollado con con toda toda generalidad generalidad para para tres tres dimensiones. dimensiones. Por Por otra otra parparse han se te, la la mayoría mayoría de de los los casos casos particulares particulares de de los los que que vamos vamos aa ocuparnos ocuparnos pueden pueden te, estudiarse como como problemas problemas de de movimiento movimiento plano, plano, en en los los que que se se toman toman momoestudiarse mentos respecto respecto aa un un solo solo eje eje normal normal al al plano plano del del movimiento. movimiento. En En tales tales casos, casos, mentos momento cinético cinético podrá podrá variar variar de de módulo módulo yy de de sentido, sentido, pero pero su su dirección dirección el momento el permanecerá inalterada. inalterada. Así, Así, para para un un punto punto material material de de masa masa m m que que describe describe permanecerá una trayectoria curva contenida en el plano x-y (fig. 3.13), los momentos una trayectoria curva contenida en el plano x-y (fig. 3.13), los momentos


181 181

3.10 IMPULSO ANGULAR Y Y MOMENTO CINÉTICO ClNÉTICO MOMENTO

respecto a O en los puntos puntos 1 y 2 poseen poseen los módulos módulos cinéticos respecto Ha¡ = IrIrlI xX mvll = = mvId miud; l Y Ha2 = Ir2 X 1 = mv d , respectivamente. H a, = = Ir x mv 1 = mv d respectivamente. , 22 2 2 2 2 2 a2 HaY Haa 2 se representan representan en sentido sentido antihorario antihorario según según lo indica En la figura, H a, Y H indica momento de la cantidad cantidad de movimiento. movimiento. La ecuación 3.29 aplicada aplicada al el del momento movimiento entre los puntos puntos 1 y 2 durante durante el intervalo intervalo de tiempo tiempo de tI tI a t2 se movimiento convierte en la ecuación escalar ¡

o sea contribuir a aclarar la relación entre las formas vectorial y escalar de que debe contribuir la relación entre el impulso impulso angular angular y el momento momento cinético. aportan ninguna ninguna información información básica nueva, nueva, Las ecuaciones 3.21 y 3.27 no aportan maneras de expresar expresar la segunda segunda ley de Newton. Newton. Sin pues no son más que otras maneras capítulos posteriores posteriores veremos veremos que las ecuaciones del movimiento movimiento embargo, en capítulos expresadas en función de la velocidad velocidad de variación variación de la cantidad cantidad de moviexpresadas momento cinético son aplicables al movimiento movimiento de cuerpos cuerpos rígimiento y del momento constituyen un método método muy general y eficaz para resolver dos y no rígidos y constituyen para resolver multitud de problemas. problemas. Para describir el movimiento punto material material multitud movimiento de un punto movimiento plano plano de un cuerpo rígido no suele ser precisa precisa la total único o el movimiento generalidad de la ecuación 3.27, pero sí encuentra encuentra una una importantísima importantísima aplicageneralidad estudio del movimiento movimiento espacial de los cuerpos cuerpos rígidos, tema del que ción en el estudio una introducción introducción en el capítulo capítulo 7. 7. se ofrece una Conservación del momento momento cinético. cinético. Si Si el momento resultante respecto a un Conservación fijoO punto fijo O de todas las fuerzas actuantes sobre un punto punto material es nulo durante un intervalo de tiempo, vemos que la ecuación 3.27 impone que su momento cinéticoH Ha punto permanezca permanezca constante. Se Se dice, dice, en tal caso, caso, que el cinético a respecto a ese punto cinético del punto punto material se conserva. conserva. Puede ocurrir que el momento momento cinético cinéticose eje, pero no respecto a otro. Un examen atento cinético se conserve respecto a un eje, del diagrama para sólido libre de la partícula revelará si es nulo el momento respunto fijo fijo de la fuerza resultante que se ejerce ejerce sobre la partícula, en pecto a un punto cuyo caso el momento cinético cinético respecto a ese punto (se conserva). cuyo punto no varía (se Consideremos ahora ahora el movimiento movimiento de dos puntos puntos materiales materiales a y b que inConsideremos teractúan durante durante un intervalo intervalo de tiempo. Si, Si, durante durante ese intervalo, intervalo, las únicas teractúan


182 182 CINÉTlCA DEL DEl PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL CINÉTICA

fuerzas fuerzas no noequilibradas equilibradas que quese seejercen ejercensobre sobre esas esaspartículas partículas son sonlas lasfuerzas fuerzas FFyy -- FFde de acción acciónrecíproca, recíproca, resulta resulta que que los losmomentos momentos de de esas esas dos dos fuerzas fuerzas iguales iguales yy opuestas opuestas respecto respecto aacualquier cualquier punto punto fijo fijoOOque que no no esté esté en en sus sus rectas rectas soporte soporte son son iguales iguales yy opuestos. opuestos. Si Siaplicamos aplicamos lalaecuación ecuación 3.29 3.29aalalapartícula partícula aa yy luego luego aa la la partícula partícula b,b,obtenemos obtenemos ~Ha fiHa ++~Hb fiHb ==OO (donde (donde los los momentos momentos cinéticos cinéticos se setotoman man respecto respecto alalpunto punto O). O).Así Así pues, pues, durante durante elelintervalo, intervalo, elelmomento momento cinético cinético total total del del sistema sistema permanece permanece constante constante yy podemos podemos escribir escribir AH¿

oo sea sea

= O

=

Ha 1

(3.30) (3.30)

Ha 2

Esta Esta ecuación ecuación 3.30 3.30expresa expresa el el principio principio de de conservación conservación del del momento momento cinético. cinético.


~,

bloque de de 22 kg kg se se desliza desliza por El pequeño bloque una supelficie superficie horizontal horizontal lisa lisa bajo bajo las las acacuna de la lafuerza del resorte resorte y una fuerfuerciones de fuerza del F. El momento momento cinético cinético del bloque za F. el tiempo tal como respecto a O varía con el representa la gráfica. gráfica. Para t == 6,5 s, se representa sabe que r == 15 cm y [3 13 == 60 60°.°. Hallar Hallar F instante. en ese instante.

,

1:1

i'

1,

o

•I

Solución. El único momento momento de las fuerzas respecto a O es el debido debido a F ya que Solución. la fuerza fuerza del resorte resorte pasa pasa por por O. O. Así pues, I.M EMa = Fr Fr sen 13. [3. Según la gráfica, la a = Ha por por unidad unidad de tiempo tiempo para para t = = 6,5 s es muy muy aproximadamente aproximadamente variación de d e Ha variación 4)/I (7 - 6), o sea Ha = 4 kg kg·. mi m/s2 ecuación de la cantidad cantidad de (8 - 4) S2 = 4 N·m. La ecuación movimiento movimiento nos da da

t, s

G) CD En En este este caso caso no no precisamos precisamos notación notación vectorial vectorial ya que que tratamos tratamos de de un movimiento vimiento plano plano en en el que que no varía varía la dirección dirección del del vector vector Ho. Ha.

G) CD

[I.Ma=Hal

F(O,150) sen sen 60· = 4 F(0,150)

= 30,8 30,8 N N FF =

Resp. Resp.

PROBLEMA TIPO TIPO 3.23 3.23 PROBLEMA I

Una partícula partícula se se lanza lanza con con una una velocivelociUna dad inicial inicial Va vatangente tangente al al borde borde horizonhorizondad tal tal de de un un cuenco cuenco liso liso hemisjérico hemisféricoyy en en un un punto punto AA situado situado aa una una distancia distancia ra ro del del eje eje de de simetría simetría vertical, vertical, tal tal como como se se muestra muestra en en lafigura. la figura. La La partícula partícula alal papasar sarpor porelelpunto punto B,B, aauna unadistancia distancia hhpor por debajo debajoAAyyaauna unadistancia distanciarrdel deleje ejede desisimetría lleva una una velocidad velocidad v.v. metría vertical, vertical, lleva Hallar Hallarelelángulo ángulo eeque queforman forman su suvelocivelocidad dad con con lala tangente tangente horizontal horizontal aalala susuperficie perficiedel del cuenco cuencoen endicho dichopunto. punto.


-'"

reacció n la reacción y la peso y partícul a son su peso Solución.. Las Las fuerzas que actúan actúan sobre la partícula Solución profuerzas estas fuerzas proNingun a de estas normal ejercida por superficie ie lisa del cuenco. Ninguna por la superfic normal ejercida cinético to momen el ará duce momen momento respecto al eje O-O, por conservará momento cinético por lo que se conserv to respecto duce respecto eje. Así respecto a ese eje. mvoro

mvr cos

=

e

tanplano tanCD El mide en el plano ángulo eese mide El ángulo

hemisférica en gente superficie hemisférica gente a la superficie el punto punto B.

por lo que Tambiénn se conserv conservaa la energía energía,, por Tambié ~mv2 + OO ~mv02 + mgh mgh = = ~mv2 ~mv02

+2gh JV0022+2gh v = JV 2 2 - h2 resulta por '0 Eliminando sustituyendo r2 por r02resulta endo ,2 ndo v y sustituy Elimina

voro

e

=

JV02 + 2ghJr02 - h2 cos

= arcos

e Resp. Resp.

I-,,:=-o=_

Jl+~ Jl- h

2

v02

r02

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas introdu ctorios as introductorios Problem to cinético respect 3.221 Hallar módulo Ha momento respectoo al Ha del momen Hallar el módulo 3.221 ón vectodefinici la punto O de la esfera kg empleando definición ndo emplea (a) 2 de punto de la esfera escamiento procedi el te rial de momento (b) mediante procedimiento median (b) y cinético to momen de rial x-y. lar equival equivalente. centro de la esfera está en el plano plano x-y. ente. El centro lar Resp. Ha == 69,3 69,3 kg·m2// s Resp. Ha

°

yy

kg partícul a de 4 kg una partícula 3.223 En posició n de una vector de posición metros, el vector En metros, 3.223 33ii - 2t; tiempo está dado por r = 3t 3tk, donde t es el tiempo en segundonde 2tj 3tk, está dado por = la momen to cinético de la dos. Para módulo del momento hallar el módulo = 3 s, hallar Para tt = dos. todas origen partícula y el módulo del momento respecto al origen de todas respecto to momen módulo partícul a y el las fuerzas actúan sobre ella. fuerzas que actúan N ·m = 260 Nrn Resp. N·m·s, M = = 389 N'm's, Resp. H = velocid ad una velocidad alcanza una 3.224 reposo y alcanza arranca del reposo montaje arranca El montaje 3.224 El fuerza una angular de 150 rpm bajo la acción de una fuerza T de 20 N que rpm angular de

m /s 77m/s

I

2k~

i

2k~

II II

I I

:5 m

I

15m

II

I

12m 12m : _______________

~I

x

-- -- -- --- ----- -~ - --- - - x

O problemaa 3.221 Figura problem

iento y el 3.222 En En un cierto instante instante,, la cantida cantidadd de movim movimiento 3.222 vament e, G vector de posiciónn de una partícula respectivamente, G == partícul a son, respecti de posició vector Ha módulo el Hallar 3i -- 2j 2; + + 3k kg·m/ 4j - 3k m. Hallar módulo Ha kg·m / s y r == 3i + 4; -_ 3i de origen al respecto del momento cinético de la partícula respecto origen coa partícul del momen to ordenadas. as. ordenad

~T

3.224 Figura problema problem a 3.224

183


se se aplica aplica aa la la cuerda cuerda durante durante tt segundo segundos.s. Hallar Hallar t.t. Desprec Despreciar el iar el rozamie nto yy todas rozamiento todas las las masas masas salvo salvo la la de de las las cuatro cuatro esferas esferas de de 33 kg, kg, las las cuales cuales pueden pueden tratarse tratarse como como partícul partículas. as. 3.225 3.225 Una Una partícul partícula a de de masa masa m m se se mueve mueve con con rozamie rozamiento desnto despreciab preciablele sobre sobre una una superfic superficieie horizon horizontal está unida unida en en O O aa tal yy está un un resorte resorte liviano. liviano. En En la la posició posiciónn A A la la velocid velocidad de la la partícul partícula a ad de es es VA VA = =4 4m m i/ s. s. Hallar Hallar la la velocid velocidad VB de de la la partícul partícula a cuando cuando ad VB pasa por por la la posició posiciónn B. B. pasa VB = = 5,43 5,43 mi m/ ss Resp. VB

Figura Figura problem problemaa 3.22 3.2277 3.228 3.228 La La única única fuerza fuerza que que actúa actúa sobre sobre un satélite satélite terrestr terrestre e que que viaja por fuera de la atmósfe viaja por fuera de la atmósferara terrestr terrestre e es la atracció atracciónn gravitagravitatoria toria radial. radial. El El momen momentoto de dicha dicha fuerza fuerza es nulo nulo respecto respecto al centro de la Tierra 2 tomado como centro de la Tierra tomado como punto punto fijo. Demost Demostrar que 11'2 rar que é perman ece constan permanece constantete durante durante el movimi movimiento del satélite. satélite . ento del

e

.. ' •. ,

~ Figura problem problemaa 3.225 3.225

1, ,I

i~, ,',

•• "1,.

'

3.226 3.226 Las Las dos dos esferas, esferas, de de masa masa m cada cada una, una, están están montad montadasas en en las las varillas varillas livianas livianas que que rotan rotan en en un un plano plano horizon horizontaltal aa la la velovelocidad cidad angular angular () en en torno torno al eje vertical vertical fijo. Si Si se se hacen hacen descendescender der las las varillas varillas, , median mediantete un un mecanismo interno, hasta hasta las las mecani smo interno, posicion ntadas a trazos posicioneses represe representadas trazos sin sin interfer interferirir con con la la libertad libertad de rotación en de rotación en torno torno al eje vertical, hallar la la nueva velocidadad vertical, hallar nueva velocid angular ondient e a la nueva angular ()' corresp correspondiente posición n de de las las esferas. esferas. nueva posició

e

e'

m

m

Figura problema 3.228 Figura problema 3.228 3.229 central atractiv 3.229 La La fuerza fuerza central atractiva a F que que actúa actúa sobre sobre un satélite un satélite terrestr tiene un un momento momen to nulo nulo respecto respecto al centro terrestre e tiene centro O de de la la TieTierra. Para Para la la órbita órbita elíptica elíptica cuyos ejes mayor rra. cuyos ejes mayor y menor menor se se indican indican en la figura, figura, un un satélite satélite tendría tendría en en el perigeo, enIa perigeo , situado situado aa 390 390 km km de altura, altura, una una velocidad velocid ad de de 33 880 880 km/h. km / h . Hallar de Hallar la velocidad velocid ad del satélite satélite en en el el punto punto B y en en el el apogeo apogeo A. del A. El radio radio de de la Tierra Tierra es 6371 es 6371 km. km. Resp. vB VB = = 19 19 540 540 km/h, km l h, VA VA = Resp. = 11 290 290 km/h km/h

f


...--....

]

Problemas representativos Problemas representativos 3.227 La La pequeña pequeñ a esfera esfera de 3.227 de masa masa m que que se se desplaza desplaz a con con la la ceceleridad vv choca choca yy se se queda queda unida leridad unida al al extremo extremo del del dispositivo disposi tivo ininmóvil que que puede puede girar girar libremente libreme nte en móvil en torno torno aa un un eje eje vertical vertical que que pasa por por O. O. Hallar Hallar la la velocidad velocid ad angular pasa angular úJ (J) del del conjunto conjunt o después después del impacto impacto yy calcular calcular la del la variación variació n Af ó-E que que experimenta experim enta la la enerenergía gía del del sistema. sistema .

Resp. Resp.

)t /

0

~ I :::: I

t----.. I ""' B

- "-" 33880 km / h

/

\ l'

-

390 km

vv E 22 E __ 1 = 2L'!'J. 2L' ó- -- -- 44: rnv mv

úJ (J) =


184


\

t (

ee

...•

3.230 Expresar en función de e del e la aceleración angular angular 3.230 Expresar péndulo simple simple utilizando utilizando la expresión relativa a la derivada péndulo expresión relativa derivada temporal temporal del momento momento cinético.

10

el

I I I I I


2.233 2.233 Calcular Calcular los módulos módulos del momento momento cinético de la Luna respecto al centro de la Tierra y el del momento momento cinético de la respecto Tierra respecto respecto al centro de la Luna. Supóngase Supóngase en cada caso que la órbita órbita es circular y consultar consultar la tabla D.2 en lo necesario.

In


40) kg'm Resp. 2,66(10 40 kg'm22/s/s Resp. HT HT = = 2,66(10

3.231 Un pequeña pequeña partícula partícula de 0,1 una velocidad velocidad de 0,1 kg recibe una plano horizontal horizontal x-y x-y y es guiada banda curva 2 mi s en el plano guiada por la banda fija. El rozamiento rozamiento es despreciable. partícula cruza el fija.El despreciable. Cuando Cuando la partícula eje velocidad tiene la dirección x, y cuando eje y por A, su velocidad cuando cruza cruza el eje B, su velocidad velocidad forma un un ángulo x . En ejexx por B,su ángulo de 60° 60° con el eje x. B, el radio de curvatura trayectoria es 500 mm. Hallar Hallar la B, curvatura de la trayectoria 500 mm. derivada temporal Ha de la partícula derivada temporal del momento momento cinético Ha partícula respor 0, tanto tanto para para el punto punto A como para para el B. B. pecto al z que pasa por

Ha = =O O B, Ha = - 0,120 / 2s 2 En B, 0,120 kg· kg· m22/s

Resp.En Resp.En A,

34) kg'm 2,89(10 34 kg'm22/s/ s HLL = 2,89(10

3.234 bloque de 4 kg (representado 3.234 La esfera de 6 kg Y el bloque (representado en sección) están brazo de masa masa despreciable están sujetos al brazo despreciable que rota en el plano un eje horizontal horizontal que pasa pasa por por O. plano vertical en torno a un O. El cilindro cilindro de 2 kg se deja caer desde desde el reposo en A y se encaja en el hueco del bloque bloque cuando brazo alcanza la posición hocuando el brazo rizontal. instante antes de la unión, rizontal. Un instante unión, el brazo brazo lleva una una velocidad roo == 2 rad rad I s. Hallar la velocidad velocidad angular cidad angular angular % s. Hallar angular del brazo inmediatamente brazo inmediatamente después después de que el cilindro se haya asentado en el bloque.

z Z

2kg

?lA ' % iJ

I I I

y x

600 mm

1

If-~l1

- - ~ -- -- - -I1 _I __ ..J_ Figura problema 3.231 Figuraproblema -----

2.232 iguales m pueden pueden ddeslizarse eslizarse a 2.232 Las dos esferas de masas iguales barra horizontal horizontal giratoria. Si inicialmente lo largo de la barra inicialmente están están trabadas distancia r del eje eje de giro, estando trabadas a una distancia estando el conjunto girando a una angular %' girando una velocidad velocidad angular roo, hallar hallar la nueva nueva velocidad velocidad angular Q) después de soltar las esferas y que éstas se hayan fiangular w después hayan finalmente situado situado en los extremos extremos de la barra distancia barra a una una distancia radial de 21'. 2r. Hallar cinéHallar asimismo qué fracción n de la energía cinética inicial se pierde. pierde. Despreciar Despreciar la pequeña pequeña masa de la barra barra y eje. el eje.

500 Q¡rn

-----J

1

4kg 4kg


3.235 En el punto Sol, un cometa 3.235 punto A de máxima máxima proximidad proximidad al Sol, tiene una 600 mi s. Hallar componentes una velocidad velocidad VA == 57 600 Hallar las componentes radial donde la radial y transversal transversal de su velocidad velocidad VB en el punto punto B, B, donde distancia radial 120(1066)) km. distancia radial al Sol es de 120(10 km. Resp. Vrr = = 27100 m mi i s, vfJ ve = = 38 38 400 mi i s Resp. 400 m

185


ma maun unángulo ángulof3f3con conlalatangente tangentehorizontal. horizontal.Cuando Cuandolalapartícula partícula llega llegaalalpunto punto BBaauna unadistancia distanciahhpor pordebajo debajode deA, A,hallar hallarlalaexexpresión presión del delángulo ángulo eeque que forma forma su suvelocidad velocidad con conlalatangente tangente horizontal horizontal en enB.B. cos cosf3f3 Resp. Resp. ee = = arcos arcos ~ 11+~ + V 22

"'~"' "~"

120(1066) )km km----./ +-, / 120(10

\\

/1

\

R5 R5

\

-W-'A -W-'A

o Va

//

3.238 con valores y rr conocidos, 3.238 En Enelelproblema problema 3.237, 3.237,con valores de deVovo, f3f3y conocidos, hallar hallar la la altura altura máxima máxima bb por por encima encima del del punto punto AA que que alcanza alcanza la lapartícula partícula yy elelmódulo módulo vv de de su su velocidad velocidad en en ese esepunto. punto.

// //

//

///

80(1066)) 80(10 km km


3.235 3.235

3.236 Una Una partícula partícula se se mueve mueve por por el el interior interior liso liso de de una una cáscás3.236 cara cónica cónica yy recibe recibe una una velocidad velocidad Vo Vo tangente tangente al al borde borde horihoricara zontal en en el el punto punto A. A. Cuando Cuando pasa pasa por el el punto punto B, B, aa una una zontal distancia zz por debajo debajo de de A, A, su su velocidad velocidad vv forma forma un un ángulo e distancia con la la horizontal horizontal tangente aa la la superficie en en B. B.Hallar las exprecon Hallar las siones de de e yy la la celeridad celeridad v. v. siones

e

~ t ,

3.239 3.239 Determinar Determinar el el momento momento cinético cinético Ha Ha respecto respecto al al punto punto de de lanzamiento lanzamiento O O del del proyectil proyectil de de masa masa m m que que se se dispara dispara con con una una celeridad celeridad Vo Vobajo bajo un un ángulo ángulo e,e, tal tal como comose serepresenta, representa, (a) (a) en en el el momento momento del del disparo disparo yy (b) (b) en en el el momento momento del del impacto. impacto. JusJustificar tificar cualitativamente cualitativamente los los dos dos resultados. resultados. Despreciar Despreciar la la resisresistencia tencia atmosférica. atmosférica. 2 2mv03 2mv 3 sen sen2ee cos cos e e

a "----Resp. (a) (a) Ha Ha == O, O, (b)H (b)Haa == -----=-----gg

': i'

1, 01



3.237 3.237 Una Una partícula partícula se se suelta suelta sobre sobre la la pared pared interna interna lisa lisa de de un un depósito depósito cilíndrico cilíndrico en en el el punto punto AA con con una una velocidad velocidad Vo Vo que que forfor-

3.240 Un Un péndulo péndulo se compone compone de dos masas m asas concentradas concentradas de 3.240 3,2 kg montadas, tal como se muestra, en una barra liviana liviana 3,2 kg montadas, como muestra, en una barra pero rígida. rígida. Cuando Cuando una una bala bala de 50 g, g, que que va va aa vv = = 300 300 mi mi s en en pero la dirección dirección indicada, indicada, impacta impacta en en la la masa masa inferior inferior yy se se incrusta incrusta la en ella, ella, oscila oscila con con una una velocidad velocidad angular angular (O úJ= =6 6 rad radI ss de de sentido sentido en horario en en torno torno aa la la posición posición vertical. vertical. Calcular Calcular la la velocidad velocidad horario angular (O' úJ' que que posee posee el el péndulo péndulo inmediatamente inmediatamente tras tras el el imimangular pacto yy determinar determinar su su elongación elongación angular angular máxima máxima e.e. pacto



186 186


3.241 pequeña partícula masa m y la cuerda, partícula de masa cuerda, a la que 3.241 La pequeña está ligada, giran una velocidad velocidad angular giran con una angular O) sobre la supersuperficie horizontal muestra en sección. CuanCuanficie horizontal del disco liso, que se muestra disminuye ligeramente, ligeramente, r aumenta aumenta y O) O) cambia. do la fuerza FF disminuye Determinar la velocidad demosDeterminar velocidad de cambio de O) respecto respecto a rr yy demostrar que el trabajo hecho por durante un desplazamiento desplazamiento dr dr por F durante es igual a la variación variación de la energía partícula. energía cinética de la partícula. dO) dO)

Resp. Resp. -

dr dr

20) 20)

= --- -

~ 3.242 El conjunto ~ conjunto de dos esferas de 5 kg está girando girando libremente e == 90°. Si la fuerza mente en torno torno al eje vertical vertical a 40 rpm rpm con e F necesaria para para mantener mantener esa posición posición se aumenta F necesaria aumenta y eleva el e se reduce reduce a 60°, 60°, hallar velocidad anguanillo base y e hallar la nueva nueva velocidad Hallar también variar la lar O) • Hallar también el trabajo U que realiza realiza F para para variar configuración todas configuración del sistema. Se supondrán supondrán despreciables despreciables todas las masas masas salvo las de la esferas. Resp. rad / s, U = Resp. O) = 3,00 3,00 rad/ = 5,34 5,34 JJ

r lOOmm! lOOmm!

I

w<=-? ú) <=-?

r- rr----I r-----1

1:-------1 1=------j,.JJlI

m

t F

Figura problema 3.242 Figura problema


-e-

SECCiÓN APLICACIONES ESPECIALES SECCiÓN D. APLICACIONES

3.11 3.11

INTRODUCCiÓN INTRODUCCiÓN

En las las tres de este este capítulo capítulo se han desarrollado e ilustrado ilustrado los los En tres primeras primeras partes partes de han desarrollado principios fundamentales y los los métodos métodos propios de la cinética cinética de de los los puntos principios fundamentales propios de puntos materiales. Ello incluía incluía la aplicación aplicación directa directa de de la segunda segunda ley ley de de Newton de materiales. Ello Newton y de los teoremas teoremas de movimiento y del momento de las las fuerzas fuerzas vivas, vivas, de de la cantidad cantidad de de movimiento del momento cinético. prestó una una atención particular al tipo problema para para el que cinético. Se prestó atención particular tipo de de problema que es más adecuado uno de planteamientos. más adecuado cada cada uno de los planteamientos. En parte D se tratan brevemente algunos temas que merecen una una atenEn esta esta parte tratan brevemente algunos temas que merecen atención particularizada. Estos hacen necesario necesario profundizar profundizar más ción particularizada. Estos temas temas hacen más en en la apliaplicación principios fundamentales de por ello, cación de de los los principios fundamentales de la Dinámica Dinámica y, por ello, su su estudio estudio amplía la base de conocimientos conocimientos de de la Mecánica. Mecánica. amplía base de

3.12 3.12

CHOQUE CHOQUE

Una aplicación de de los los principios del impulso impulso y la cantidad cantidad de de moUna importante importante aplicación principios del movimiento encuentra en en la descripción descripción del del comportamiento comportamiento de los los cuerpos cuerpos vimiento se encuentra de que chocan. chocan. El choque choque se refiere colisión de de dos dos cuerpos cuerpos y se caracteriza caracteriza por que refiere a la colisión por la generación relativamente intensas generación de de fuerzas fuerzas de de contacto contacto relativamente intensas que que actúan actúan durandurantiempos muy muy breves. breves. Antes Antes de tema, conviene te tiempos de abordar abordar el tema, conviene que que advirtamos advirtamos que un choque es un fenómeno muy muy complejo complejo que que da da lugar lugar a la deformación deformación que un choque un fenómeno de los materiales de éstos éstos con con generación generación de calor y sonido. sonido. de materiales y a la recuperación recuperación de de calor 187


188 CINÉTICA DEl PUNTO ClNÉTICA DEl PUNTO MATERIAL MATERIAL

>

V1 Vl

V2

~~

~~

--~-~--~- ~- (a) (a) Antes del choque choque ~ Vo ~Vo

-00(b) (b)

Máx ima deforma c ión Máxima deformación durante durante eell choqu choquee Vl/ Vl'

~~

<

V2'

~~

--~~---Q)-Q}-(e) Después Después de dell choqu choquee


Unas pequeñas pequeñas variaciones variaciones en un choque pueden originar Unas en las las condiciones condiciones de de un choque pueden originar grandes propio proceso proceso y, por por tanto, tanto, en grandes cambios cambios en en el propio en la situación situación inmediatainmediatamente posterior posterior a éste. Por ello, no no hay hay que mente éste. Por que depositar depositar excesiva excesiva confianza confianza en en los resultados de de los cálculos. cálculos. resultados (a) (a) Choque Choque central central frontal. Como Como introducción introducción al estudio estudio del del choque choque consiconsideremos masa mI mI Y m2 mueven a lo largo una misma misma deremos dos dos esferas esferas de de masa m2 que que se mueven largo de de una recta 3.14a) a las las velocidades VI y VI es mayor que V2' tendrá lugar una recta (fig. 3.14a) velocidades vI Y V2. Si VI mayor que tendrá lugar una colisión según la recta recta que une los colisión estando estando las fuerzas fuerzas de contacto contacto dirigidas dirigidas según que. une centros; esta situación situación recibe de choque choque central central frontal. Iniciado el conconcentros; esta recibe el nombre nombre de frontal. Iniciado tacto, tiene un corto período de hasta que tacto, tiene lugar lugar un corto período de deformación deformación que que dura dura hasta que la susuperficie de contacto contacto entre perficie entre ambas ambas esferas esferas deja deja de de crecer, crecer, en en cuyo cuyo instante instante (fig. 3.14b) viajan a la misma misma velocidad. velocidad. Durante Durante el resto resto ddel el tiempo tiempo de 3.14b) las dos dos viajan de contacto tiene tiene lugar un período período de restauración, restauración, durante tacto lugar un durante el cual cual la superficie superficie de contacto reduce a cero. En la parte parte c de representa la situación contacto se reduce cero. En de la figura figura se representa situación final, en poseen las nuevas velocidades velocidades vVII ' Y V2 en que que ya las esferas esferas poseen las nuevas V2"" siendo siendo VVII ' necesariamente menor menor que Arbitrariamente se suponen todas las necesariamente que V2 ''.. Arbitrariamente suponen positivas positivas todas velocidades dirigidas hacia la derecha, por lo que notación escalar velocidades dirigidas hacia derecha, por que con con esta esta notación escalar toda velocidad velocidad dirigida hacia la izquierda negativo. Si el choque toda dirigida hacia izquierda llevará llevará signo signo negativo. choque no es excesivamente violento y si las no excesivamente violento las esferas esferas son son elásticas elásticas en en sumo sumo grado, grado, éstas éstas recuperarán su forma forma original original tras de restauración; choque es recuperarán su tras el período período de restauración; si el choque más violento y las las esferas esferas son son menos elásticas, puede que éstas éstas adquieadquiemás violento menos elásticas, puede resultar resultar que ran deformaciones permanentes. ran deformaciones permanentes. Tal como vimos en como vimos en el apartado apartado 3.9, dado dado que que durante durante el choque choque las fuerzas fuerzas de tienen el mismo mismo módulo módulo y sentidos la cantidad movide contacto contacto tienen sentidos opuestos, opuestos, la cantidad de de movimiento del permanece constante. Así pues, pues, aplicando miento del sistema sistema permanece constante. Así aplicando la ley d dee la conconservación movimiento podemos podemos escribir servación de de la cantidad cantidad de de movimiento escribir

(3.31 )

V V11

--+

~

V2

--+

~

t, ~--~------~_ --~_ Fd Periodo deformación Peri odo de deformación Va

--+

~

Vo

--+

~

___ ~_ ~_ F, _~ _~ __ _ --+

~ Vl'1' V

--+

~ v2' V2'

hipótesis de que todas las Ello en en la hipótesis que todas las fuerzas fuerzas que que actúen actúen sobre sobre las las esferas esferas duranduranrelativamente te el choque, choque, diferentes diferentes a las fuerzas fuerzas de de contacto contacto internas, internas, sean sean relativamente pequeñas y produzcan produzcan impulsos pequeñas impulsos despreciables despreciables en en comparación comparación con con el impulso impulso asociado una de durante el ch oque. asociado a cada cada una de las fuerzas fuerzas internas internas desarrolladas desarrolladas durante choque. Suponemos, además, que breve duración no tienen tienen luSuponemos, además, que durante durante la breve duración del del choque choque no lugar posición apreciables. gar cambios cambios de de posición apreciables. Para condiciones iniciales iniciales y unas dadas, la ecuación ecuación de de conserconserPara unas unas condiciones unas masas masas dadas, vación de movimiento contiene vación de la cantidad cantidad de de movimiento contiene dos dos incógnitas, incógnitas, VI' VI' Y V2 ''.. Es evievidentemente necesaria adicional para determinar las dentemente necesaria una una relación relación adicional para poder poder determinar velocidades finales. En esta relación debe reflejarse capacidad de de los cuerpos cuerpos velocidades finales. En esta relación debe reflejarse la capacidad en para recuperarse recuperarse del puede expresarse mediante el coen contacto contacto para del choque choque y puede expresarse mediante ciente e del del impulso impulso durante durante el tiempo de restauración impulso durante durante el ciente tiempo de restauración y el impulso tiempo cociente recibe de coeficiente coeficiente de restitutiempo de ddeformación. eformación. Este Este cociente recibe el nombre nombre de restitude las las fuerzas fuerzas ción. Si representamos representamos por por F, Fr YFd, Y Fd, respectivamente, respectivamente, los módulos módulos de contacto durante durante los períodos de restauración de deformación deformación (fig. 3.15), de contacto períodos de restauración y de definición de de e combinada combinada con con el teorema de la cantidad cantidad d dee movimiento la definición teorema de movimiento nos nos dará para dará para la masa masa puntual puntual 1

Periodo de restauración restauración Periodo Figura 3.15 Figura

e

mI [[-- v/ )) mI v/ -- ((- Va Va)] m I [- v a - (- VI mI[-Va-(VI)])]


y análogamente, análogamente, para para la masa masa puntual puntual 2 tendremos tendremos

189 3.12 3.12 CHOQUE CHOQUE

e

JS r, II lo

Fr dt

va)] m22[-v [-v 2'-(2 ' - (- va)] m 22[-v [- av-(-v])] ( V O I )]

v2' - va --va- v2

estas ecuaciones ecuaciones -se ha ha puesto puesto cuidado cuidado en en expresar expresar la variación variación de la can cantiEn estas tidad movimiento (y por por tanto, tanto, ~v) L1v) en en el mismo mismo sentido sentido que impulso (y por por dad de movimiento que el impulso tanto la fuerza). fuerza). El tiempo tiempo durante durante el cual cual tiene tiene lugar lugar la deformación deformación es ttao Y el tanto tiempo tiempo de contacto contacto total total es t. Eliminando Eliminando va entre entre las dos dos ecuaciones ecuaciones y despedespejando resulta jando e resulta

e

velocidad relativa relativa de separaciónl separaciónl I velocidad

I velocidad velocidad relativa relativa de acercamientol acercamiento]

Materiales perfectamente Materiales perfectamente elásticos elásticos ----------------------------

,------------,------------Vidrio Vidrio con vidrio vidrio

\ \, \

Ampliemos ahora ahora las relaciones relaciones obtenidas obtenidas al esAmpliemos tudiar caso en tudiar el choque choque central central frontal frontal al caso en que que las velocidades velocidades iniciales iniciales y finales finales no sean sean paralelas paralelas (fig. 3.17). En esta esta situación, situación, las esferas esferas de masas masas mI m] Y y m2' dodotadas mismo plano, tadas de las velocidades velocidades iniciales iniciales vI v] Y y V2 V2 contenidas contenidas en en el mismo plano, se aceraceruna a la otra otra siguiendo siguiendo trayectorias trayectorias de colisión colisión tal como como se representa representa en en la can una parte figura. Las direcciones direcciones de los vectores vectores velocidad velocidad se miden miden arbitraarbitraparte a de la figura. riamente a partir partir de la dirección dirección tangente tangente común común a las superficies superficies en en contacto contacto riamente 3.17b). Así Así pues, pues, las componentes componentes de la velocidad velocidad inicial inicial según según los ejes t y (fig. 3.17b). n son son (V (Vl)/l v]I sen sen el' e], (VI)I (V])I = Vv]I cos ev (V2) (V2)"/1 = VI v] sen sen el el y (V2)t (V2)¡ = V2 v2 cos e22·. En 11 I) " = - V parte ce de la figura figura se representa representa la situación situación resultante resultante tras tras el rebote. rebote. Las la parte


11

\

(3.32) (3.32)

además de las condiciones condiciones iniciales iniciales se conoce conoce e para para el choque choque en en cuescuesSi además tión, las ecuaciones ecuaciones 3.31 y 3.32 nos nos darán darán sendas sendas ecuaciones ecuaciones de las velocidades velocidades finales desconocidas. desconocidas. finales choque van Los fenómenos fenómenos de choque van casi siempre siempre acompañados acompañados de pérdida pérdida de de energía, que que puede calcularse restando restando a la energía energía cinética cinética del del sistema sistema inmeinmeenergía, puede calcularse diatamente antes antes del del choque choque la energía energía cinética cinética del del sistema sistema inmediatamente inmediatamente diatamente después después del choque. choque. Esta Esta pérdida pérdida de de energía energía tiene tiene lugar lugar mediante mediante la generageneración de de calor calor durante durante la deformación deformación inelástica inelástica localizada localizada del del material, material, memediante la generación generación y disipación disipación de ondas ondas elásticas elásticas en en el interior interior de los diante cuerpos de energía acústica. cuerpos y mediante mediante la generación generación de energía acústica. Según esta esta teoría clásica del del choque, choque, un un valor valor e e = 1 significa significa que que la capacicapaciSegún teoría clásica dad dad de los dos dos cuerpos cuerpos para para restaurarse restaurarse es igual igual a su tendencia tendencia a deformarse. deformarse. Esta condición condición es la de choque choque elástico, elástico, sin sin pérdida pérdida de energía. energía. En cambio, cambio, un un vavaOcaracteriza choque inelástico inelástico o plástico en el cual cual los cuerpos cuerpos quedan quedan lor e == O caracteriza al choque plástico en unidos después del del choque choque y la pérdida pérdida de energía es máxima. máxima. Todos Todos los casos casos unidos después de energía de choque entre estos choque se encuentran encuentran entre estos dos dos casos casos extremos. extremos. También También debe debe indiindicarse que que se asocia asocia un un coeficiente coeficiente de restitución restitución a cada cada par cuerpos en en conconcarse par de cuerpos tacto. coeficiente de restitución restitución se considera considera a menudo menudo constante constante para para geomegeomeEl coeficiente trías dadas dadas y para para una una combinación combinación dada dada de materiales materiales en contacto. contacto. En realirealidad, dad, depende depende de la velocidad velocidad de choque choque y tiende tiende a la unidad unidad cuando cuando la velocidad de choque choque tiende tiende a cero cero tal como como se representa representa esquemáticamente esquemáticamente en en velocidad figura 3.16. Por Por lo general, general, los valores valores de e consignados consignados en en manuales manuales no no son son la figura fidedignos. fidedignos.

(b) Choque Choque central central oblicuo. oblicuo. (b)

Coeficiente Coeficiente de restitución ee restitución

"

,----------,-----------

\

Acero con acero Acero

\

" Plomo con plomo plomo Plomo •...... ....... _---------_---------Materiales perfectamente Materiales perfec~~~~ J?~sticos J?~ s ticos

Q<===-===':::::'='='=:'=':=O-=-==-O'=-'='-=='-=='-== '-===--Q Velocidad Velocidad relativa O relativa al choque choque


(al (al

(bl

(el (el

11 11 I

I

O

[F]

h h

~ -F - F ~

O: II I

too Tiempo, t

(el) (el)

(el (el Figura Figura 3.17 3.17

190

CINÉTICA ClNÉTICA DEl DEl PUNTO PUNTO MATERIAL

fuerzas de contacto, representadas representadas por por F y - F en la parte parte d de la figura, varían varían desde desde cero hasta hasta su valor máximo durante durante el período período de deformación, para anularse nuevamente nuevamente durante durante el período período de restauración, anularse restauración, tal como se indica en parte ee de la figura, donde donde t es el intervalo intervalo de duración duración del choque. la parte Para unos valores iniciales dados dados de mI, mI, m2' m2' (VI)", (VI)I1' (VI)¡, (VI)¡, (V2)" (V2)11 y (V2) (V2)/ ¡ se tendrán cuatro incógnitas, es decir, (VI (VI ')", ')", (VI (VI ')¡, (V2 ')1'1 y (V2 (V2 'JI' ')/. Entonces las cuatro drán ecuaciones que necesitamos necesitamos son: (1) (1) La cantidad cantidad de movimiento movimiento se conserva conserva en la dirección n, lo que nos da

(2) Y Y(3) Se conserva la cantidad cantidad de movimiento movimiento de cada masa en la direc(2) (3) Se pues ninguna ninguna de ellas recibe impulso impulso alguno según según esa dirección. Así ción x, pues pues, m mII(v(v1')t I ')¡ m22(v (v2')t 2') ¡

': \ '

(4) El coeficiente de restitución, restitución, al igual que en el caso del choque central (4) módulos del impulso impulso restaurador restaurador y del impulso impulso de frontal, es el cociente de los módulos 3.32 será pues pues aplicable a las componentes componentes de las vedeformación. La ecuación 3.32 locidades notación utilizada utilizada en la figura 3.17 3.17 tendrelocidades en la dirección n y con la notación mos

ee

(V2')n n - (v1I')n (V2') ')n (v2)n (v1l)n)n - (V2)n

halladas las cuatro componentes componentes de las velocidades, velocidades, finales, finales, los ánUna vez halladas 3.17 se determinan determinan fácilmente. gulos 811'' Y 822' de la figura 3.17

TIPO 3.24 3.24 PROBLEMA TIPO

El mazo mazo de un un martinete martinete de hincar hincar pilopilouna masa de 800 kg Y se suelta, tes tiene una suelta, encima a partir partir del reposo, desde 2 m por encima 2400 kg. Si se de la cabeza del pilote pilote de 2400 observa que el mazo mazo rebota hasta hasta una una alobserva impacto sobre el pitura de 0,1 m tras su impacto calcular (a) la velocidad velocidad vpp' ' del lote, calcular pilote inmediatamente tras el impacto, impacto, pilote inmediatamente coeficiente de restitución restitución aplicable aplicable (b) el coeficiente yy (e) (c) la pérdida energía pérdida porcentual porcentual de energía impacto debida al impacto


Altura de de caída caída 2 m Altura

h h '}}Jf~~lJj,fY. '.cD;f~~l&~,f> 111 11I

Rebote Rebote m 0,1 m

--------------------------------------------Solución. La conservación de la energía durante una caída libre nos da v J2iii para las velocidades inicial y final del mazo. O sea Vm

=

J2(9,81)(2)

=

vm' = J2(9,81)(0,1)

6,26 mI s

=

=

.:O

1,40 mIs

Mazo

La conservación de la cantidad de movimiento del sistema formado por mazo y pilote nos da (a)

vr'

800(6,26) + O = 800(- 1,40) + 2400vr'

=

2,55 mI s

Des~ués del coque

Antes del choque

',.0

Resp.

lO

Pilote I I

I

Ot"" 01"

Y (b)

El coeficiente de restitución resulta ser e

=

! vel. rel. de separación! [vel. rel. de acercamiento!

2,55 + 1,40 = O 63 6,26 + O '

=

e

Resp.

(c) La energía cinética del sistema inmediatamente antes del impacto es la misma que posee el mazo en reposo con relación al pilote y vale

T = Vg

=

mgh = 800(8,91)(2)

=

CD los

impulsos debidos a los pesos del mazo y el pilote son muy pequeños comparados con los impulsos de las fuerza de choque y por ello se desprecian durante éste.

15 700 J

Inmediatamente después del impacto la energía cinética T' es T' = ~(800)(1,40)2+ ~(2400)(2,55)2 = 8590

J

Por tanto, la pérdida porcentual de energía será 15700 - 8590(100) 15700

.

"

=

45

'

301 /0

:•.•.. ~~".,.. ,

Resp.

.

.

.

Sobre la placa metálica de gran masa se lanza una bola de acero a la velocidad de 16 mis bajo el ángulo de 30° indicado. Siendo 0,5 el coeficiente de restitución efectivo entre la bola y la placa, calcular la velocidad u' y el ángulo e' de rebote.

PROBLEMA TIPO 3.25

6

W« Fchoque

t

2

CD Obsérvese Solución. La bola será el cuerpo 1 y la placa será el cuerpo 2. La masa de la placa puede suponerse infinita y, por tanto, su velocidad después del impacto será nula. El coeficiente de restitución debe aplicarse a las componentes de las velocidades normales a la placa, que tienen la dirección de las fuerzas de contacto, y entonces 0,5

- 16 sen 30· - O


Fchoque

aquí que al ser la masa infinita no hay posibilidad de aplicar al sistema el principio de conservación de la cantidad de movimiento en la dirección Vi' En el diagrama para sólido libre se observa que hemos despreciado el impulso producido por el peso W, ya que éste es muy pequeño comparado con la fuerza de contacto.

La de movimiento movimiento de de lalabola bola permanece permanece inalterada inalterada en en laladirección dirección t,i, Lacantidad cantidad de pues pues suponiendo suponiendo superficies superficies lisas lisasno no actúan actúan fuerzas fuerzas sobre sobre lalabola bola en enesa esadirecdirección.Así Asípues, pues, ción.

La Lavelocidad velocidad de de rebote rebote v' u' yy elelángulo ángulo e' e'correspondiente correspondiente serán serán

e, =

arctg

(VI')n) (vI')t

( 4 ) = arctg arctg (13~86) 13,86 = 16,1 16,1 0

Resp. Resp.

o

PROBLEMA PROBLEMA TIPO TIPO 3.26 3.26 t , , •

I

~

I

_'"

l

¡,

11 \

\

\'I-:

~ \~

() ()

~

2r 2r

\

\

f' y'

La partícula partícula esférica 11 lleva una una velocivelocimis en la dirección dirección indicada indicada dad vI == 6 mIs yy choca con la partícula esférica 2, de partícula esférica igual masa iniigual masa yy diámetro, diámetro, que que se halla halla inicialmente en reposo. Si en estas estas condicondicialmente ciones ciones el coeficiente coeficiente de restitución restitución ee es 0,6, determinar determinar el movimiento movimiento de cada 0,6, masa después después del choque. choque. Calcular Calcular tamtammasa bién el porcentaje porcentaje de energía energía perdida perdida aa bién causa causa del del choque. choque.

2~ I I I

1(j

V1 V1

Solución. Durante Durante el el contacto contacto la la geometría geometría indica indica que que la la normal normal 11n aa las las supersuperSolución. ficies en en contacto contacto forma forma un un ángulo ángulo ee= = 30° 30° con con la la dirección dirección de de Vv Vv tal tal como como se se ininficies CD dica di ca en en la la figura. figura. Así, Así, las las componentes componentes iniciales iniciales de de las las velocidades velocidades serán serán (vI)n (Vl) n= = C}) vI cos cos 30° 30° == 66 cos cos 30° 30° ==5,196 5,196 mi m Is,s, (VI)t (Vl)/ == VIVI sen sen 30° 30° == 66 sen sen 30° 30° == 33 mi m Iss yy (V2)n (V2)"== VI (V2)t (V2)1 == O.O. La conservación conservaciónde de la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento del del sistema sistema de de dos dos partículas partículas La en en la la dirección dirección 1111 da da

11 11

oosea, sea,como como m¡ mI == m2f mu

11 11 \

\

\

\

\

\

~F//

~F//

ofu

(a) (a)

Lafórmula fórmul adel delcoeficiente coeficientede derestitución restituciónes es La e

=

(V2')n - (vI')¡¡

(vI)n - (v2)n

192 192


0,6 0,6

(V 1')11 (V(V 2 ')11- - (vI')n 2')¡¡

5,196-- OO 5,196

(b) (b)

®2

Resolviendoelelsistema sistemadedeecuaciones ecuacionesformado formadopor por(a)(a)yy(b)(h)resulta resulta Resolviendo (v 2 ') n = 4,16 m / s

Conlalahipótesis hipótesisde deque quelas lassuperficies superficiesson sonlisas, lisas,no nohay hayfuerzas fuerzasen enlaladirección direcciónt t Con en tonces,en enesa esadirección direcciónseseconservan conservanlas lascantidades cantidadesde d emovimiento movimientode delas las y,y,entonces, partículas.OOsea, sea,para paralas laspartículas p artículas11yy22sesetiene tiene partículas.

3

®

)t = m1(v ')t mm 1(v 1)t1 = mI(v I')t1 I(v

m/s (v(vI')t1') t == (v(vI)t1 )t == 33mis

) f = m 2(v ') f mm2(v 2(v 2)2t = m2(v 2')2 t

(v2')t (v2)t2 )t == OO (v 2 ')t == (v

Las celeridades celeridadesfinales finales de delas laspartículas partículasson son Las

El ángulo án gulo (J(J que que v¡' v1' forma forma con con la la dirección dirección ttes El es 1 ')n , n )] v') (V 1 ( 1,039 1039) = 19,1° arctg ( (v (V'f arctg (-3-) 3efY == arctg == arctg = 19,1 ( 2')n

Resp. Resp.

o

2

11

mI = = m2las m2 las energías energías cinéticas inmediatamente inmediatamente antes antes e inmediatamente inmediatamente desdesCon m1 pués del choque son pués del choque son

2 ~m2v/ = ~m (6) 2 + O = 18m = = ~ml ~mI v112 + + ~m2v/ = ~m(6)2 + O = 18m v '2 + v '2 --= !m + !m ~m(3,17)2 + !m(4 ~m(4,l6)2 = 2~mIvI'2 11 2~m2v2'2 2 2-=-!m(3 2 ' 17)2 + 2 ' 16)2 = T

TT''

13 13,68m , 68m

El ergía perdida El porcentaje porcentaje de de en energía perdida será, será, pues, pues, IL\EI(100) IL\EI(100) EE

TT -- r(100) T'(100) TT

18m - 13,68m(100) 18m

= 24%

Resp. Resp.

CD CD EsEsesencial esencial establecer establecer unas unas coordenadas coordenadas nnyy ttrespectivamente respectivamente normal normal yy tantanQ Q gente gente aa las las superficies superficies en en contacto. contacto. los los cálculos cálculos relativos relativos alal ángulo ángulo de de 30 30 son son cruciales cruciales en en lolo que que sigue. sigue.

o

(3) Adviértase Adviértase que que aunque aunque en en elel problema problema clásico clásico del del choque choque central central oblicuo oblicuo haya haya cuatro cuatro ecuaciones ecuaciones en en cuatro cuatro incógnitas, incógnitas, sólo sólo están están acopladas acopladas una una pareja. pareja.

®®

Obsérvese Obsérvese que que lalapartícula partícula 22carece carece de de componente componente t ten ensus susvelocidades velocidades iniinicial cialyyfinal. final. Por Portanto, tanto, susuvelocidad velocidad final final VV2' está confinada confinada en enlaladirección dirección n.n. 2 está 193 193


PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas introductorios introductorios Problemas VI' Y V2 V2'' después después del 3.243 Calcular las velocidades velocidades finales VI' deslizan a lo largo de la bachoque de los dos cilindros que se deslizan 0,6. rra lisa horizontal. horizontal. El coeficiente de restitución restitución es e == 0,6. Resp. VI' = = 4,52 izquierda), Resp. VI' 4,52 mi m i s (hacia la izquierda), V2'' = = 2,68 2,68 mi V2 mi s (hacia la derecha)

-~~~~¡~F ~~~~~F VI VI

= 7 mi/s s =7m

pm

~ ~~ V

B

A


V2 = 5 mi s v2=5m/s

mI = = mI

= 3 kg 2 kg m2 = Figura problema problema 3.243

t t t

m

suelen rechazarse consiguen 3.224 Las pelotas de tenis suelen rechazarse si no consiguen rebotar hasta el nivel de la cintura cintura cuando cuando se las deja caer desSi una exactamente la de el nivel de los hombros. hombros. Si una de ellas pasa exactamente prueba prueba tal como se indica en la figura, hallar hallar el coeficiente de restitución perdida en restitución e y el porcentaje n de la energía original perdida el choque.

3.247 La esfera de masa mI mI se mueve mueve con una una velocidad velocidad inicial VI dirigida dirigida como se indica y golpea a la esfera de masa m2' Para un coeficiente de restitución restitución e, hallar hallar para para qué cociente mI m2 resulta queda inmóvil tras el choque. mI I m2 resulta que mI mI se queda m Resp. -..2 == ee Resp . .....! m m22

---~-----~-----~-----~---

m,

mI


--\

mA rueda derecha al chocar 3.248 El vagón vagón A de masa mA rueda hacia la derecha mB en reposo inicialmente. Si Si ambos con el vagón B de masa mB vagones se acoplan tras el impacto, demostrar demostrar que la fracción mal (m (mAA + mB)' mB)' de energía perdida perdida vale mBI

--'--\-01 1f - \-\ /Pl 1600 \ I IfIJlOO I/IJI00 11II \

\ /

\ I

1600 mm

mm mm

VV ((l~ t.¡


Si la pelota de tenis del problema 3.244 tiene un coeficoefi3.245 Si problema 3.244 0,8 al chocar con el suelo de la cancha, restitución e == 0,8 ciente de restitución lanzarse hacia abajo deshallar la velocidad velocidad va con la que debe lanzarse de la altura altura de 1600 1600 mm correspondiente correspondiente al nivel de los hombros para para que regrese hasta hasta la misma altura altura tras rebotar rebotar una una vez en la superficie de la cancha. Resp. mi s Resp. Va == 4,20 4,20 mi aquílos dos automóviles automóviles del problema 3.192. 3.246 Se repiten repiten aquílos problema 3.192. El El B está inicialmente parado parado y recibe el golpe del A que lleva una celeridad celeridad v. Si Si la masa del automóvil automóvil B es pm, pm, siendo m m la masa del A P una constante constante positiva, AyP positiva, y si el coeficiente de restitución es e == 0,1 0,1 expresar expresar las celeridades celeridades V A' VB' de los dos A' Y VB' automóviles después después del choque en función de pp y v. v. Evaluar automóviles expresiones para 0,5. las expresiones para pp == 0,5.

A A

B B


Problemas representativos representativos Problemas deslizarse libre3.249 Tres cilindros de acero iguales pueden pueden deslizarse mente por el árbol horizontal fijo. Los cilindros 2 y 3 están en horizontal fijo. reposo y a ellos se aproxima aproxima el cilindro 1 con una celeridad u. una celeridad Expresar la velocidad velocidad final V del cilindro 3 en función de u y del restitución e. coeficiente de restitución 2 u Resp. Resp. V = 4(1 4(1 + e)

194


--

aproximadamente. aproximadamente.¿Cuál ¿Cuáldebería deberíaser serlalamasa masadel delmazo? mazo?CalcuCalcular larlalavelocidad velocidadv Vdel delpilote piloteinmediatamente inmediatamentedespués despuésdel delchochoque quesisicae caeelelmazo mazosobre sobreelelpilote pilotedesde desdeuna unaaltura alturade de44metros. metros. Calcular tambiénlalapérdida pérdidade deenergía energía!lE óEen encada cadagolpe. golpe. Calculartambién

uu

11

22

33

3.249 Figuraproblema problema 3.249 Figura

3.250 El Elcilindro cilindro11de demasa masammque quese semueve mueveaalalavelocidad velocidadVlVI 3.250 golpea contra el cilindro 2 de masa 2m inicialmente enreposo. reposo. golpea contra el cilindro 2 de masa 2m inicialmente en

¡.

te

Lafuerza fuerzade decontacto contactoFFvaría varíacon coneleltiempo tiempotal talcomo comose sereprerepreLa senta,siendo siendot tdlaladuración duracióndel delperíodo períodode dedeformación deformaciónyy i;trlala senta, d duración del del período período de de restauración. restauración. Hallar Hallar lala velocidad velocidad V2' V2' duración delcilindro cilindro22inmediatamente inmediatamentedespués después del delchoque choqueen enfunción función del de la la velocidad velocidad inicial inicial VlvI del del cilindro cilindro para para (a) (a) i,t r == td' td, de (b) t = 0,5 t Y (e) t = O. r d r (b) i, = 0,5 td Y (e) t, = O.

--VI

V2

_F

Vl'

Figura problema problema 3.252 3 .252 Figura

=O

3.253 3.253 ¿A ¿A qué qué altura altura hhhay hay que que servir servir horizontalmente horizontalmente la la pelopelo-

__

m m _ (Después) ____ (Después) Vl'

Fuerza, F

(Antes) (Antes)

2m 2m _ - _

I"L-_----+_--\JVL rL-----¡.----4/V-'-- Tiempo, Tiempo,

tt

V 2'

V2'


'n

ta ta de de ping-pong ping-pong para para que que su su centro centro salve salve la la red red como como se se indica? indica? Hallar también h . El coeficiente de restitución en los Hallar también h22 . El coeficiente de restitución en los impactos impactos entre entre la la pelota pelota yy la la mesa mesa es es ee = = 0,9 0,9 yY el el radio radio de de la la pelota pelota es es rr = = 18,75mm. 18,75 mm. Resp. Resp. hh == 273 273 mm, mm, hh22 = = 185,8mm 185,8 mm

3.251 3.251 Hallar Hallar el el coeficiente coeficiente de de restitución restitución ee para para una una bola bola de de acero acero que que caiga caiga desde desde el el reposo reposo desde desde una una altura altura hh sobre sobre una una

placa placa de de acero acero de de gran gran masa masa sabiendo sabiendo que que en en el el segundo segundo rebote rebote . sube hasta una altura h sube hasta una altura h22· h h)

h2 1/ 4 1/4

Resp. Resp. ee == ((:)


3.254 La Labola bola de de acero acero choca choca con con la la pesada pesada placa placa de de acero acero con con 3.254 una celeridad celeridad va va==24 24mI mi ssyyun un ángulo ángulo de de 60° 60°con conla lahorizontal. horizontal. una

Sielelcoeficiente coeficiente de de restitución restitución es es ee==0,8, 0,8,calcular calcular la la celeridad celeridad vv Si y la dirección e con que la bola sale rebotada de la placa. y la dirección e con que la bola sale rebotada de la placa.


3.252 3.252 Al Alseleccionar seleccionarelelmazo mazode deun unmartinete martinete sesedesea deseaque queen en

cada cadagolpe golpeelelmazo mazo ceda cedatoda toda su suenergía energía cinética. cinética.Es Esdecir, decir,lala del mazo inmediatamente después del choque velocidad velocidad del mazo inmediatamente después del choquedebe debe ser sernula. nula.Los Lospilotes pilotesque quesesetrabajan trabajanson sonde de300 300kg kgcada cadauno unoyy lalaexperiencia experienciaindica indicaque queelelcoeficiente coeficientede derestitución restitución será será0,3 0,3


195 195


3.255 ElElproblema problema anterior anterior sesemodifica modifica de demodo modo que que lalaplaca placa 3.255 conlalaque que ch choca bola tiene tiene ahora ahora una una masa masa igual igual aalaladde ésta oca lalabola e ésta con y está apoyada como se muestra. Calcular las velocidades finay está apoyada como se muestra. Calcular las velocidades finalesde de ambas ambas mmasas inmediatamente después después del del choque choque sisilala les asas inmediatamente placa está está inmóvil inmóvil yylas lasdemás demás condiciones condiciones son son las lasmismas mismas que que placa en elelproblema problema anterior. anterior. en Resp. Pelota, Pelota, Vv1'1' ==12,20 12,20mmi/ s,s,ee==-- 9,83° 9,83° Resp. Placa, V2 v2' 18,71m mii ss(hacia (hacia abajo) abajo) Placa, ' ==18,71

I

I I I I I I I I I I

-( , /~-( f \

/

I I

I

f

/

I

I

\ \

I

,\.

I I

I I

I I

,

I

",.'

-

--+-

V II

Vl


3.258 3.258 La La bola bola se se suelta suelta en en la la posición posición AA yy cae cae sobre sobre el el plano plano ininclinado e 0,75 clinado desde desde una una altura altura dde 0,75 m m.. Si Sien en el el choque choque el el coeficiencoeficienallar el te te de de restitución restitución es es ee == 0,85, 0,85, hhallar el alcance alcance R R medido medido plano plano abajo. abajo.


-o----OA

i

0,75 m

1,

3.256 H Hay que introducir introducir la la bola bola de de billar billar B B en en la la tronera tronera latelate3.256 ay que ral D D jugándola jugándola con con rebote rebote por por la la bbanda en C. C. Especificar Especificar la la popoanda en ral sición x del impacto en la banda para un coeficiente de sición x del impacto en la b anda p ara un coeficiente de restitución (a) e = 1 Y (b) e = 0,8. restitución (a) e = 1 Y (b) e = 0,8.

:

I

t

_-~, ->

-'---f---'''--G;:;:,.t~/'

'1

. tI

h, ,', .

8t============j?;::::=:;::D 9t============,~Dt===:J t::::=:j

....

\\

1: : 1

A O O A BO 80

:\ v ¡\Z I

¡i

//

\/1 \ /1

i

:

d/2 d/2

3.259 En En una una partida partida de de billar billar la la bola bola blanca blanca AA debe debe golpear golpear aa 3.259 bola ocho ocho en en la la posición posición que que se se indica indica al al objeto objeto de de lanzarla lanz arla la bola la tronera a una velocidad V2 ' . La bola blanca tiene una contra la contra la tronera a una velocidad v2 '. La bola blanca tiene una velocidad V1 V1 antes antes del d el choque choque yy una una velocidad velocidad V1 V 1'' después después del del velocidad choque.El El coeficiente coeficiente de d e restitución restitución es es 0,9. 0,9. Las Las dos dos bolas bolas tienen tienen choque.

f~

~~===; I

I-X_C

l.

~

: O:

I

!

:

I I

\ '

3.258 3.258

d/2 d/2

~ /-:-t / -:-t

:

/

/


d

•


3.257 representan nn esferas esferas de de igual igual masa m asa mm 3.257 En En lala figura figura se se representan que que cuelgan cuelgan alineadas ~lin eada s de de otros otros tantos tantos cables cables yy de de forma forma que que casi casisesetocan tocanuna unaaaotra. otra.SiSisesesuelta su eltalalaesfera esfera11desde desdelalaposición posición de detrazos trazosyygolpea golpealalaesfera esfera22aalalavelocidad velocidadVv Vvescribir escribirlalaexpreexpresión sión de de lala velocidad velocidad VII de de lala enésima enésima esfera esfera inmediatamente inmediatamente después despuésde deser sergolpeada golpeadapor porlalacontigua contiguaaaella. ella.ElElcoeficiente coeficientede de restitución común es e. restitución común es e. VII

Resp. Resp.

e)n-1 e)/- vI

11++

VII == ((-2- 2-

VII

VI 1


196 196


----------------------------------------------------ee

iguales masa masa yy diámetro. diámetro. Calcular Calcular elel ángulo án gulo de d e rebote rebote yy lala iguales de energía energía cinética cinética que que se se pierde pierde en en elel choque. choque. fracción nn de fracción Resp. ==2,86°, 2,86°, nn ==0,0475 0,0475 Resp.

yy II

ee

VB= vB=

12 12mis m is

L-

I

~kgL-

dos bolas bolas de de acero acero iguales iguales se se mueven mueven con con las las velociveloci3.260 La La dos 3.260 dades iniciales iniciales vvAA yy vB VB Ychocan Y chocan como como se se muestra. muestra. Siendo Siendo ee== 0,7 0,7 dades elcoeficiente coeficiente de de restitución, restitución, hallar hallar la la velocidad velocidad de de cada cada bola bola ininel mediatamente tras tras el el impacto impacto yy el el porcentaje porcentaje nn de de energía energía cinécinémediatamente perdida. tica perdida. tica

!2kg

10kgrD::::~"10kgrn:::=~~ ___ xx

__ -UB ~~~UB --

45°1 45°1

AA

/VA mis/ s jVA== 1313m yy


II

vA=6 m /s l vA=6m/sl

~oo : ~Oo:

3.263 3.263 Determinar Determinar el el coeficiente coeficiente de de restitución restitución ee que que hace hace que que la la bola bola rebote rebote tal tal como como se se muestra muestra escalera escalera abajo. abajo. La La huella huella yy la la contrahuella contrahuella tienen tienen las las mismas mismas medidas, medidas, dd yy hh respectivamenrespectivamente, en todos todos los los escalones escalones yy la la bola b ola rebota rebota hasta h asta la la misma misma altura altura te, en hh I por por encima encima de de cada cada escalón. escalón. ¿Qué ¿Qué velocidad velocidad Vxx hace hace falta falta para para que que la la bola bola impacte impacte en en el el centro centro de de cada cada huella? huella?

::8----, 8----,

f

t

V8=8m/s tVB=8m/s Figura problema problema 3.260 3.260 Figura

Resp. ee == Resp.

3.261 La La esfera esfera A tiene tiene una una masa masa de de 23 kg kg Y un un radio radio de de 75 3.261 mm, mientras m ientras la la B tiene tiene una una masa masa de de 4 kg kg Y un un radio radio de de 50 mm. mm. mm, describen las las trayectorias trayectorias paralelas paralelas representarepresentaSi inicialmente inicialmente describen das las velocidades velocidades indicadas, indicadas, hallar hallar sus sus velocidades velocidades inmedas con con las inmediatamente tras tras el impacto. impacto. Especificar los ángulos diatamente Especificar los ángulos eA eA y e eBBque que forman velocidad de rebote con coefiforman los los vectores vectores velocidad de rebote con el eje x. El coefirestitución es 0,4 y se desprecia rozamiento. ciente ciente de de restitución desprecia el rozamiento. Resp. v AA' == 2,46 mi Resp. m / s, e eAA== 40,3° 40,3° V B' = 9,16 m i s, B = - 88,7° vB!=9,16m/s, B=-88,7°

h--¡---h" J"J;1; h'h" + + 1'

1

Vx = = v,

~d ¡~+h

ru ~ Jii' + ,.¡h' h' + h ,.¡ h' h'+ +h

/--'

f

ee

Figura problema problema 3.263 3.263 yy I . II

A

3.264 En un un minigolf minigolf un un tiro tiro desde desde la posición posición A hacia hacia el hoyo hoyo 3.264 debe realizarse realizarse con con rebote rebote en la banda banda de 45°. Empleando Empleando la D debe teoría de este este apartado, apartado, determinar determinar la distancia distancia x para para la cual cual teoría conseguirá el hoyo. hoyo. El coeficiente coeficiente de restitución restitución asociado asociado al se conseguirá choque con la banda banda es e == 0,8. choque

v',

0~x ~-x ---O----r ---0----Fs

4m/s 4m/s

mm 75mm

----

2d-r~~~

- ---

12 m is 12m/s

B B


3.262 3.262 La La esfera esfera A A choca choca con con la la esfera esfera B B tal tal como como se se representa. representa. Si Si es es ee ==0,5 0,5 el el coeficiente coeficiente de de restitución, restitución, hallar hallar las las componentes componentes xx ee yy de 'esfera inmediatamente de la la velocidad velocidad de de cada cadaesfera inmediatamente tras tras el el imimpacto. pacto. El El movimiento movimiento está está confinado confinado en en el el plano plano x-y. x-y.

-t -t

yo yD

dd

liI¡

tti'

i'

.1 .1

-A-=--~~--e'\. 45° -..1-=----=------=------.:-= í/xC~ -J.Ix ¡::=:==========~B ~==========~

450

B


197 197


o

u

3.265 Durante el precalentarniento anterior a un partido, dos pelotas de baloncesto chocan, tal como se muestra, encima del aro. Inmediatamente antes, la pelota 1 lleva una velocidad vl que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Si, también inmediatamente antes del choque, la pelota 2 lleva una velocidad V2 de módulo igual al de Vl' hallar los dos posibles valores del ángulo e, medidos respecto a la horizontal, que pueden hacer que la pelota 1entre directamente por el centro del aro. El coeficiente de restitución es e = 0,8. Resp. e = 82,3° ó - 22,3°

de la esquina izquierda e al punto donde la bola blanca golpea en la banda después de chocar con la bola ocho. Las bolas, de masa iguales, tienen 50 mm de diámetro y el coeficiente de restitución es e = 0,9. ~ 3.267 Un niño lanza una pelota desde el punto A con una celeridad de 15 mi s. La pelota golpea el muro en el punto B y luego regresa exactamente al punto A. Hallar cuál ha de ser el ángulo a si el coeficiente de restitución en el choque con la pared es e = 0,5. Resp. a = 11,55° 78,4° ó

2

-----~------.::¡,B

/ /

..#:'---

----

-- --"

/

-Q--

3m l'

Figura problema

¡, Figura problema

3.265

1,

,I l'

h, ,',.

,....

En una partida de billar, la bola ocho ha de ser golpeada por la blanca A para que la impulse a entrar por la tronera de la esquina derecha B. Especificar la distancia x desde la tronera 3.266

,

1200mm

_600mm_

~ 3.268 La esfera de 2 kg se proyecta horizontalmente con una velocidad de 10 mi s contra el carro de 10 kg apoyado en el resorte de 1600 N I m de rigidez. Inicialmente el carro está en reposo y el resorte sin comprimir. Si el coeficiente de restitución es 0,6, calcular la velocidad de rebote u', el ángulo de rebote (J y el máximo desplazamiento 8 del carro tras el impacto. Resp. v' = 6,04 mi s, e = 85,9°, e = 165,0 mm

!+-x -+30~+ mm

..

r

700m m

e

3.267

v'

\r>.

-;;¡¡!:--

-,

'

\

30°/' ./ B "

\

\

,

\

/

k=1600N/m

I

\

\ -~::... /'

I

1

A

0- Figura problema

3.266

- -

3.13

Figura problema

MOVIMIENTO

3.268

BAJO FUERZAS CENTRALES

Cuando un punto material se mueve bajo la acción de una fuerza dirigida hacia un centro de atracción fijo, el movimiento se dice que está originado por una fuerza central. El ejemplo más común de dicho tipo de movimiento se encuentra en los planetas y satélites. La leyes que rigen ese movimiento fueron deducidas 198


-~----------""'---------------r por por Kepler Kepler (1571-1630) (1571-1630) observando observando el movimiento movimiento de de los planetas. planetas. La dinámica dinámica del movimiento movimiento bajo bajo la acción acción de fuerzas centrales es esencial esencial para para el cálculo cálculo y del fuerzas centrales proyecto proyecto de cohetes cohetes de de vuelo vuelo a gran gran altura, altura, satélites satélites artificiales artificiales y vehículos vehículos esespaciales de paciales de toda toda clase. clase. Consideremos punto material Consideremos un un punto material de masa masa m (fig. 3.18) 3.18) que que se mueva mueva bajo bajo la acción acción de de la atracción atracción central central gravitatoria gravitatoria

19~ 19~

3.13 3.13 MOVIMIENTO MOVIMIENTO BAJO FUERZAS CENTRALES

mmo mmo F= G- 2 F=G-

~

~

r2

\ v

donde donde mo es la masa masa del del cuerpo cuerpo atractivo atractivo supuesto supuesto fijo, G es la constante constante de de la gravitación que separa punto de gravitación universal universal y r es la distancia distancia que separa las masas. masas. El punto de masa masa m podría podría representar representar a la Tierra Tierra o un un satélite satélite artificial artificial en en su movimiento movimiento orbital orbital alrededor de de la Tierra Tierra por encima de de la atmósfera. atmósfera. El sistema sistema de de coordenadas coordenadas alrededor por encima más más práctico práctico es el de coordenadas coordenadas polares polares en en el plano plano del del movimiento movimiento ya ya que que F está está siempre siempre dirigida dirigida según según el sentido sentido negativo negativo de de la dirección dirección radial radial y no no hahabrá fuerzas fuerzas en en la dirección dirección transversal. transversal. brá Podemos aplicar aplicar directamente directamente las ecuaciones ecuaciones 3.8 para para las direcciones direcciones radial radial Podemos y transversal transversal obteniendo obteniendo mmo mmo

--GGr22

oo

m(i --ril) m(i riJ)

(3.33) (3.33)

m(rf)+2re) m(re+2ifJ)

Se ve que por r / m es igual que la segunda segunda de de estas estas ecuaciones ecuaciones multiplicadas multiplicadas por igual a d(r d(r22 fJ) e) / dt dt = = O, o, que que integrada integrada da da r 2 fJ

= h,

una una constante constante

(3.34) (3.34)

Se pone pone de manifiesto manifiesto el significado significado físico de de la ecuación ecuación 3.34 3.34 observando observando que que momento cinético cinético r X mv de de m m respecto respecto a mo tiene tiene por por módulo módulo mr mr:2 fJ. Así Así el momento pues, la ecuación ecuación 3.34 3.34 sólo sólo dice dice que que el momento momento cinético cinético de m respecto respecto a mo perperpues, manece manece constante, constante, o sea, se conserva. conserva. Esto Esto se deduce deduce fácilmente fácilmente de de la ecuación ecuación 3.27 3.27 donde donde se observa observa que que el momento momento cinético cinético H Hao permanece permanece constante constante (se conserva) punto conserva) si no no se ejerce ejerce sobre sobre el punto punto ningún ningún momento momento respecto respecto a un un punto fijo O. Nótese que Nótese que durante durante el tiempo tiempo dt dt el radio radio vector vector barre barre una una área área (sombreada (sombreada en la figura figura 3.18) 3.18) que que vale vale dA.= dA.= q r)(r.de) r)(r.de). . Por Por tanto, tanto, la velocidad velocidad con con que que el raradio vector vector barre barre esa esa área área es A = = ~r2eque ~r2eque es constante constante según según la ecuación ecuación 3.34. 3.34. Esta conclusión segunda ley de conclusión constituye constituye la segunda de Kepler Kepler del del movimiento movimiento planetario planetario que que dice dice que que en en tiempos tiempos iguales iguales se barren barren áreas áreas iguales. iguales. La forma forma de de la trayectoria trayectoria que que sigue sigue m puede puede obtenerse obtenerse resolviendo resolviendo la priprimera mera de de las ecuaciones ecuaciones 3.33 3.33 eliminando eliminando el tiempo tiempo t en en combinación combinación con con la ecuaecuación )it,, que ción 3.34. 3.34. Para Para ello es útil útil el cambio cambio de de variable variable r == l/u l/u. . Así Así ir = = -- (11 (1/ u22)ü que virtud de la ecuación ecuación 3.34 3.34 queda queda en en la forma forma ir = = -h(itl -h(ü/ fJ) e) o sea sea en virtud 1; = ld e). La segunda u / de = h(du h(du/de). segunda derivada derivada respecto respecto al tiempo tiempo es ii == -- h(d h(d22u/ de22) ) fJ 2 que u/ de que combinada combinada con con 3.34 3.34 da da ij; == -- h22uu22(d(d2u/ de22),), que que aplicada aplicada en en la primera primera de de ecuaciones 3.33 3.33 da da las ecuaciones

e.

e


Foco Foco


I

Directriz Directriz

200 200

sea oosea

ClNÉTICA DEL DEL PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL CINÉTICA

(3.35) (3.35)

que que es es una una ecuación ecuación diferencial diferencial lineal lineal inhomogénea. inhomogénea. La La integración integración de de esta esta coconocida nocida ecuación ecuación de de segundo segundo orden orden puede puede efectuarse efectuarse por por sustitución sustitución directa directa yy es es Hipérbola ee >>11 Hipérbola

uU

Parábola ee=1 =1 Parábola

1 rr

Gm

Gm o == --1 == ecos ecos (e (8 ++ O) 5) ++ --22-o

hh

donde donde ee yy [)(5son son las las dos dos constantes constantes de de integración. integración. El El ángulo ángulo de de fase fase puede puede elieliminarse o sea, minarse eligiendo eligiendo un un eje eje xx tal tal que que rr sea sea mínimo mínimo cuando cuando e 8 == o. O.O sea,

Elipse e <1

Gm Gmoo eecos cos e 8+ + --¡:;2 --¡:;2

11 rr

(3.36) (3.36)

a(l- e)

2a---/--+--;.¡ 2a - --/---f--"'¡

La La interpretación interpretación de 3.36 requiere requiere el conocimiento conocimiento de las ecuaciones ecuaciones de las secciones secciones cónicas. cónicas. Recordemos Recordemos que una una sección sección cónica cónica está está formada formada por por elluellugar geométrico geométrico de un un punto punto que se mueve mueve de tal manera manera que que el cociente cociente e entre entre su distancia distancia a un un punto punto (foco) y a una una recta recta (directriz) (directriz) es constante. constante. Así pues, pues, de la figura figura 3.18, e == rr / (d - Tr cos 8), 8), que que podemos podemos volver volver a escribir escribir de la forma forma 1 -1-T = -1 =- cos e+ 8+d ed r


d

(3.37) (3.37)

ed

que es de de la misma misma forma forma que que la ecuación ecuación 3.36. Se ve, ve, por por tanto, tanto, que que el movimovique miento de de m tiene tiene lugar lugar a lo largo largo de de una una sección cónica en que dd == l/e l/e y miento sección cónica en la que ed = = h22/ / (Gmo), (Gmo), o sea sea (3.38) (3.38)

e

Hay tres tres casos casos aa considerar: considerar: ee < < 11 (elipse), (elipse), ee == 11 (parábola) (parábola) yy ee > > 11 (hipérbola). (hipérbola). Hay En la la figura figura 3.19 3.19 se se representan representan las las trayectorias trayectorias correspondientes. correspondientes. En

e

Caso 1: elipse elipse (e (e < < 1). 1). De De la la ecuación ecuación 3.37 3.37 resulta resulta que que rr es es mínimo mínimo cuando cuando 8 == Caso o y eses máximo máximo cuando cuando 8 == tt: n. Así Así pues, pues, OY

e

ed ed

ed ed

2a ==rmin T min + + rmax T max ==-1-1- ++ -12a +e -1--e -e +e

sea oo sea

a a

=

ed ed 11-ee22

Expresando la la distancia distancia dd en en función función de de a,a, la la ecuación ecuación 3.37 3.37 yy los los valores valores máximáxiExpresando mo yy mínimo mínimo de de rT pueden pueden escribirse escribirse en en la la forma forma mo 11 rr = a(l a(l-e) rrmin - e) min =

e

1 ++ecos e cos 8 1 a(l a(l -- ee22) ) rrmax max

(3.39) (3.39)

a(l+e) ==a(l + e)

Además, lalarelación relación bb == aJ1aJ 1 - ee22, , que que resulta resulta de de lalageometría geometríade de lalaelipse, elipse, da da Además, expresióndel delsemieje semiejemenor. menor.Se Seve veque quecuando cuandoee== Ola Olaelipse elipsese seconvierte convierteen en lalaexpresión unacircunferencia circunferenciade deradio radiorr== a.a.La Laecuación ecuación3.39 3.39constituye constituyelalaexpresión expresiónmamauna


temática primera ley de Kepler, temática de de la antigua antigua primera Kepler, según según la cual cual los planetas planetas descridescriben órbitas órbitas elípticas elípticas en en uno uno de cuyos cuyos focos focos se encuentra encuentra el Sol. ben órbita elíptica elíptica es igual igual al área área total total A de la elipse elipse dividida dividida El período período r de la órbita por la velocidad velocidad areolar areolar constante constante Ji A con con que que se barre barre el área. área. Así Así pues, por pues, r = Al A = nab

2 fJ !r 2

sea o sea

rr

= =

201 3.13 ENTO BAJO FUERZAS 3.13 MOVIMI MOVIMIENTO CENTRALES CENTRALES

2nab 2nab h

virtud de de la ecuación ecuación 3.34. Aplicando Aplicando la 3.38, la identidad identidad d d == 1/ 1/ C, las las relarelaen virtud 2) ciones geométricas geométricas a = ed / (1 (1 - e2 = a J1 para la elipse elipse y la equivalenequivalenciones )y b = JI - e22 para Gmo= gR tiene, tras tras simplificar, simplificar, cia Gmo= gR22 se tiene,

rr

3/ 2 a312

a = 2n-2n-=

(3.40) (3.40)

RJg RJg

Obsérvese que que en en esta esta ecuación ecuación R es el radio radio medio medio del del cuerpo cuerpo atractivo atractivo central central Obsérvese que g es el valor valor absoluto absoluto de la aceleración aceleración gravitatoria gravitatoria en en la superficie superficie del del y que mismo. mismo. ecuación 3.40 expresa expresa la tercera ley de de Kepler Kepler del del movimiento movimiento planetario planetario La ecuación que dice dice que que los cuadrados cuadrados de de los períodos revolución son son proporcionales proporcionales que períodos de revolución cubos de de los semiejes semiejes mayores mayores de de las órbitas. órbitas. a los cubos Caso 11: 1/: parábola (e = = 1). Caso parábola (e

11

:¡:r

= =

ecuaciones 3.37 y 3.38 se convierten convierten en en Las ecuaciones

e¡U i1 + cos e)

11

y

radio vector vector y la dimensión dimensión a se hacen hacen infinitos infinitos al tender tender El radio

ee a n.

Caso 1//: 11/: hipérbola hipérbola (e (e>> 1). De De la ecuación ecuación 3.37 se ve que que la distancia distancia radial radial r Caso hace infinita infinita para para los dos dos valores valores del del ángulo ángulo polar polar el y - el definidos definidos por por cos se hace = -1 -l/e./ e. Tan Tan sólo sólo la rama rama 1 1correspondiente el1 << e< representa 11el1 = correspondiente a - 11 11< 11el1 (fig. 3.20) representa un movimiento físicamente posible. La' rama rama 11 11corresponde ángulos del del secun movimiento físicamente posible. La· corresponde a ángulos restante (con (con r negativa). negativa). Pueden Pueden emplearse emplearse r positivas positivas para para esta esta rama rama si se tor restante sustituye e por por e-n e-n y - r por por r. Así, la ecuación ecuación 3.37 queda queda de de la forma forma sustituye 111 1 11 = = - cos (11 (e - n) + - r d ed

--

ee

11 1 cos -= - +--+--

sea o sea

rr

ed

d

Pero esta esta expresión expresión está está en en contradicción contradicción con con la forma forma de de la ecuación ecuación 3.36, dondonPero Gmo/ h22 es necesariamente necesariamente positivo. Por tanto, tanto, la rama rama 11 11no existe (salvo (salvo en en de Gmo/ positivo. Por no existe de fuerzas fuerzas repulsivas). repulsivas). el caso de Consideremos ahora ahora las energías energías del del punto punto de masa masa m. El sistema sistema es conconConsideremos servativo y la energía energía constante constante E suma de su su energía energía cinética cinética T y de de servativo E de m es la suma energía potencial V. La energía energía cinética cinética es T su energía potencial V. 9)

= ~mv2 ~mv2 = = ~m(f2 ~m(r2 + rfJ2) di) =

y, se-

gún la ecuación ecuación 3.15 la energía energía potencial mgR2/ r. Recuérdese Recuérdese que que g es gún potencial es V = - mgR2/ aceleración absoluta absoluta de la gravedad gravedad medida medida en en la superficie superficie del del cuerpo cuerpo la aceleración 2 atractivo, que R es el radio de éste y que Gmo = gR2. Así pues, atractivo, que radio de éste que = gR . Así pues,

da en a-


Figura .3.20 .3.20 Figura

202 202 CINÉTICA DEL DEL PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL CINÉTICA

El El valor valor constante constante de de EE puede puede determinarse determinarse aa partir partir de de su su valor valor para para e (1==O,O,dondonde de ir == O,O,11Ir Ir == CC ++gR gR2 IIhh22 según según la la ecuación ecuación 3.36 3.36 yy re re == hlr hlr según según la la ecuación ecuación 3.34. 3.34. Aplicándolos Aplicándolos en en la la expresión expresión de de EE yy simplificando simplificando se se tiene tiene

Sustituyendo ahora Sustituyendo ahora C C por por su su valor valor de de la la ecuación ecuación 3.38, 3.38, que que se se puede puede escribir escribir 2C como hh2 eg R? se se obtiene obtiene como C == egR2

ee

=

++

2Eh2

(3.41) (3.41 )

1+---

mg2R4

Hay Hay que que tomar tomar el el signo signo positivo positivo del del radical radical porque porque ee es es positiva positiva por por definición. definición. Se ve que que ahora ahora que que para para la la Se

, 1, ' ,i

i'

irbita elíptica elíptica ;rbita ;rbita irbita parabólica parabólica ;rbita irbita hiperbólica hiperbólica

e << 1, 1, e = = 1, 1, e> 1, 1,

E es es negativé negativa E es nula nula E es positivo posítiv.

Estas Estas conclusiones conclusiones dependen, dependen, desde desde luego, luego, de de la elección elección arbitraria arbitraria del del cero cero de de energía potencial potencial (V == O cuando cuando rr = = 00 00). energía ). La La expresión expresión de de la velocidad velocidad v de de m puede puede hallarse hallarse a partir partir de de la ecuación ecuación de la la energía, energía, la cual cual es de !mv2 _ mgR2 r

2

= E

La energía energía total total E se se obtiene obtiene de de la la ecuación ecuación 3.41 3.41 combinando combinando la la ecuación ecuación 3.38 3.38 y La C = dd = a(1 a(l - e2) e2) I ee para para dar dar la la órbita órbita elíptica elíptica la 1 I C la E = E

2m gR2m gR 2a

(3.42) (3.42)

Sustituyendo en en la la ecuación ecuación de de la la energía energía yy despejando despejando se se tiene tiene Sustituyendo (3.43) (3.43)

de la la cual cual puede puede calcularse calcularse el el módulo módulo de de la la velocidad velocidad para para una una órbita órbita particuparticude lar en en función función de de la la distancia distancia radial radial r.r. Combinando Combinando con con la la ecuación ecuación 3.39 3.39 las las exexlar presiones de de rrmax m ax Y Yrrmin min correspondientes correspondientes al al perigeo perigeo yy al al apogeo apogeo (ec. (ec. 3.39), 3.39), las las presiones velocidades en en esas esas dos dos posiciones posiciones de de la la órbita órbita elíptica elíptica quedan, quedan, respectivamenrespectivamenvelocidades te, en lala forma forma te, en

(3.44) (3.44)


En el apéndice D se incluyen datos numéricos referentes al sistema solar que resultan útiles al aplicar las relaciones anteriores a problemas de movimiento planetario. Los cálculos anteriores se basan en tres hipótesis:

203 3.13 MOVIMIENTO

BAJO FUERZAS CENTRALES

1. Los dos cuerpos poseen unas masas esféricamente simétricas, por lo que pueden tratarse como si sus masas estuvieran concentradas en sus centros respectivos, es decir, como si fueran puntos materiales o partículas. 2. No hay más fuerzas presentes que la gravitatoria que cada masa ejerce

sobre la otra. 3. La masa ma está fija en el espacio. La hipótesis (1) es excelente para cuerpos que se hallan distantes del cuerpo atractivo central, cual es el caso de la mayoría de los objetos celestes. Una clase muy importante de problemas para los que la hipótesis (1)resulta deficiente es la que se refiere a satélites artificiales que navegan en la proximidad inmediata de planetas achatados. En lo que respecta a la hipótesis (2) haremos la observación de que la resistencia aerodinámica no es una fuerza que habitualmente pueda ignorarse al estudiar las órbitas de satélites artificiales de baja altitud. En el caso de un satélite artificial en órbita terrestre, la hipótesis (3) introduce un error despreciable porque el cociente entre las masas del satélite y de la Tierra es muy pequeño. Por el contrario, para el sistema Tierra-Luna se introduce un error pequeño pero significativo si se recurre a la hipótesis (3): adviértase que la masa lunar es del orden de 1/81 veces la terrestre. Elproblema de los dos cuerpos. Vamos ahora a tener en cuenta el movimiento de ambas masas y admitiremos la presencia de otras fuerzas, además de las de atracción mutua, examinando el llamado problema de los" dos cuerpos perturbados". En la figura 3.21 se representa la masa principal ma, la masa secundaria m, sus respectivos vectores de posición rl Yr2 relativos a una referencia inercial, las fuerzas gravitatorias F y - F Yuna fuerza P no mutua que se ejerce sobre la masa m. Esta fuerza P puede deberse a la resistencia aerodinámica, a la presión solar, a la presencia de un tercer cuerpo, a actividades de pilotaje, a un campo gravitatorio no esférico o una combinación de éstas u otras causas. Aplicando la segunda ley de Newton a cada masa resulta mma

G--r

mma

-G--

y

1'3

Dividiendo la primera por la primera resulta - G

ma,

(ma

la segunda por

+ m)

r+-

1'3

r

P

m

y restando la segunda menos

f2 - fl

m

Figura 3.21

P

i

1'3

f

o sea ..

r+ G

(ma+m)

r

3

r

=

P m


m

(3.45)

204 204 C1NÉTICA DEL PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL CINÉTICA DEL

Esta Esta ecuación ecuación 3.45 3.45es es una una ecuación ecuación diferencial diferencial de de segundo segundo orden orden que, que, una una vez vez resuelta, resuelta, proporciona proporciona el el vector vector de de posición posición relativa relativa rr en en función función del del tiempo. tiempo. Habitualmente ara integrar Habitualmente hacen hacen falta falta técnicas técnicas numéricas numéricas ppara integrar las las ecuaciones ecuaciones didiferenciales escalares escalares equivalentes equivalentes aa la la vectorial vectorial 3.45, 3.45,particularmente particularmente si si PP no no es es nula. , se tiene nula. Si Si mo mo »» m m yy PP == O O,se tiene el problema problema de de los los dos dos cuerpos cuerpos restringido, cuya ecuación de movimiento movimiento es es cuya G 3 O .... G mo =-_ O r+ -3 r r+ rr

(3.45a) (3.45a)

Expresando Expresando r yy ¡:i en en coordenadas coordenadas polares, la ecuación 3.45a 3.45a se hace

t t • l.

i'

I ti

,

I

I I

Al igualar igualar los coeficientes de los vectores unitarios unitarios iguales, retornamos retornamos a las las 3.33. ecuaciones 3.33. Y 3.45a La comparación comparación de las ecuaciones 3.45 3.45 (con P == O) O)Y 3.45a nos permite permite suavizar la hipótesis hipótesis de que la masa mo esté fija fija en el espacio. Si Si en las expresiones deducidas deducidas con la hipótesis hipótesis de que mo está fija fija sustituimos sustituimos ésta por mo + m m tenemos entonces expresiones expresiones que dan cuenta del movimiento movimiento mo. Por ejemplo, la expresión expresión corregida corregida del período período de la órbita elíptica de m m en torno a mo será, será, según 3.40, 3.40, según r

"

312 a3/2

(3.45b) (3.45b)

22nn ----;:::=:======; r=;:::;::::==:::;: JG(mo JG(mo+ + m)

donde se ha empleado empleado la igualdad R2g == Gmo. donde igualdad R2g


I

Desde su su cohete cohete portador portador se lanza lanza un un Desde satélite satélite artificial artificial en en el el punto punto BB del ecuador ecuador para para ser ser colocado en en una una órórbita bita elíptica elíptica cuya cuya altura altura de perigeo perigeo es 2000 km. km . Siendo Siendo 4000 4000 km km la altura altura de 2000 apogeo, calcular calcular (a) la ve/ocidad velocidad de de perigeo vp vp necesaria necesaria yy la la velocidad velocidad de de perigeo apogeo apogeo correspondiente correspondiente vA, v A, (b) la vevelocidad en en el el punto punto e en en el el que que la alallocidad tura tura del del satélite satélite es es 2500 2500 km km yy (e) (c) el el período período r-r de de una una órbita órbita completa. completa.


/

A VA

./---f---.. . e // ./ '.~ i' .~~"2500km / ~ .

\t

" 1R

(

'c'!

vp

1

. ------f~·--·--. P

~,

1

·0

""

I

I'

'-

I I'

---~ --.,....,...

B

.//

//

/

"",4,;-O_OO~E--_1 2 742 742 km km ¡...4"O_OO~~_12 ~---_.~--------~ ~----'~ ----~

3

ecuacio las ecuaciode las obtiene n de se obtienen apogeo se Las perigeo yy apogeo de perigeo velocid ades de Las velocidades que las que en las 3.44, en nes 3.44, nes Solución. (a) Solución. (a)

12742/2 0.2 tabla 0.2 de lala tabla km de 6371 km 12742/ 2 == 6371 del emse emAsimismo, se D. Asimismo, apéndice D. del apéndice plea acelerade lala aceleraabsoluto de valor absoluto plea elel valor 2 ción de la gravedad g = 9,824 m/s m/s2 9,824 = g d graveda la ción de mencionado 1.5. apartad o 1.5. en elel apartado mencionado en

km 10371 km == 10371 8371km 2000 == 8371km 6371 ++ 2000 rl'rnin min == 6371 km 9371 km mro,)/2 == 9371 aa == (r(1'rnin+ min + rrrnaJ/2

4000 rl'rnax 6371 ++ 4000 max == 6371

pues, Así pues, Así

vv == R R p P

Vv A A

rg

lt

rg ~~ ~a

10371 10371 8371 8371

rnax 6371(10 33)) I---'-:~~ = 6371(10 max = r1mm rnin oo sea sea mis 7261 mis == 7261

km / h 26140 26140 km/h

Resp. Resp.

8371 J 10371

9,825 6371(10 33)) J--'--'-'-:-~ == R rg Jr min = 6371(10 min = 9371(103)

J' ~~ ~a

max rrrnax

mis == 5861 mis

oo sea sea

8371

10371

km/h 21099 km/h 21099

Resp. Resp.

= 2500 = 6371 + 2500 = 6371+ Tierra es rr = centro de la Tierra A distanci a al centro 2500 km, la distancia altura de 2500km, la altura A la es e punto el en punto es velocid ad en 8871km. ecuació n 3.43, la velocidad Según la ecuación 8871 km. Según

(b) (b)

vev e2 --

=

;a) -

km / h 24773 km/h 24773

Resp. Resp.

ser período de la órbita, que resulta La ecuació ecuaciónn 3.40 nos da el período resulta ser La 3

®

a 3/2 2 = 3/2 = 10 3)] = 2na3 = 2n [(9371)( [(9371)(10 )]3/2 = 9026 9026 s / rr =

RJg Jg R

3 )J 9,825 3)J9,825 (6371)(100 (6371)(1

o sea

h r = 2,507 2,507h

al o Hay cuidado al gran cuidado poner gran que poner Hay que manejar las unidades.s. lo seguro más seguro lo más manejar las unidade

suele unidades las unidades con las trabajar con ser trabajar suele ser fundamentales, metros en este caso, caso, este en fundamentales, metros yy hacer las conversiones al final. final. iones convers las hacer

® interel interque el aquí que observar aquí Debemos observar ® Debemos

_ 1 _)~ 3 2( _ 1_ _ 18742 (3) ) 2(982 2 gR2(~r -_~) ] 8871 -18 ;42\~310 3 2gR2G , 5 [(6371) 10 )f(8;71 - 2(9,825)[(6371)(10 2a = = 47,353(10 )(m/l s)2 47,353(10 66)(m = ve == 6881 o sea mis 6881 mis Ve

(e) (e)

CD radio del radio medio del valor medio emplea elel valor Se emplea CD Se

Resp. Resp.

valo sucepasos sucedos pasos entre dos tiempo entre de tiempo valo de sivos sobre registre sobre que registre satélite que del satélite sivos del en su situado en observador situado cabeza un observador su cabeza el ecuador es mayor que el tiempo tiempo que el ecuado r es mayor calculado que el puesto que caso, puesto este caso, en este calculado en observador desplazado en habrá desplazado observador se habrá el rotación de de la rotación causa de espacio aa causa el espacio la Tierra contemplada verticalmente mente vertical plada la Tierra contem desde el polo norte. norte. polo desde

PROBLEMAS LEMAS PROB naades mencio (A menos que se se indique indique otra cosa, cosa, las velocid velocidades menciona(A sistema un a respecto miden se tes siguien das en los problemas siguientes miden a un sistema problem as das en de referenc referencia giratorioo cuyo origen coincid coincidee con con el el centro centro ia no giratori de del cuerpo cuerpo atractiv atractivo. Además,, si si no no se se dice otra otra cosa, cosa, se se despredespreo. Además del ámica. Tómese ciará la la resisten resistencia aerodinámica. Tómese gg == 9,825 9,825m m/i S2 S2 como como cia aerodin ciará e yy terresh' ie superfic la en d graveda la de aceleración absoluta de la gravedad en la superficie terrestre a acelerac ión absolut Tierra.) la de radio como km R = 6371 km como radio de la Tierra.) R = 6371

ctorios as introdu Problem Problemas introductorios ra espacia 3.269 ¿Qué ¿Qué velocid velocidad debe poseer poseer la la lanzade lanzadera espaciall ad vv debe 3.269 circuórbita una en Hubble l espacia para colocar el telescopio espacial Hubble en una órbita circuio telescop el para colocar ie terrestre lar aa una una altura altura de de 590 590km por encima encima de de la la superfic superficie terrestre?? km por lar is Resp Resp. . vv == 7569 7569m mis

Figura problem problema a 3.269 3.269 Figura

205 205


• 3.270 ad de un ingenio espacia 3.270 Calcula Calcularr la velocid velocidad espaciall en órbita órbita alreded or de la Luna a una altitud alrededor altitud de 80 km.

de velocidad velocid ad óv necesar io para L'.v necesario para alcanza alcanzarr el punto punto B, B, que que se se hahalla lla a una una distanci distanciaa 6R 6R del centro de la Tierra? ¿En qué punto punto de de la la órbita órbita circular original debe producirse incremento de produci rse ese increme nto de velocid velocidad? ad? Resp. L'.v óv == 1257 Resp. 1257mi mI s 3.274 3.274 Hallar Hallar la celerida celeridadd v que necesita en necesita un satélite terrestre terrestre en el punto A para para que su órbita sea (a) circular el punto circular,, (b) elíptica de exexcentrici dad e = 0,1, 0,1, (e) elíptica de excentr centricidad e= excentricidad e= (d) paicidad e = 0,9 0,9 Y (d) parabólica rabólica.. En los casos (b) y (e), A es el perigeo. perigeo .

cuJ~ Cff J~

Figura problema problem a 3.270

3.271 inar la celerida 3.271 Determ Determinar celeridadd relativa relativa al Sol que debe poseer poseer una una nave nave espacia espaciall a una una distanc distancia 150(1066)) del Sol (es decir, decir, ia de 150(10 en proxim idades de la órbita en las proximidades órbita terrestre terrestre)) para espara que pueda pueda escapar capar del sistema solar. Consul Consultar ápendices tar la tabla D.2 de los ápendic es en lo necesar necesario. io. Resp. Resp. v == 151 151 400 400 kmlh km/h 3.272 rar que la trayectoria trayecto ria de la Luna es cóncava ha3.272 Demost Demostrar hacia posició n representada. represe ntada. Se cia el Sol en la posición Se supond supondrá el Sol, Sol, rá que el la Tierra y la Luna están alineados. alinead os.

Luz solar Luz solar Tierra Tierra Luna Luna

R R


3.275 El vehículo vehícul o orbital lanzado 3.275 lanzado a Marte con ocasión del proproyecto yecto Viking fue calculad calculadoo de forma que diese una una vuelta vuelta comcompleta al planeta planeta exactam ente en el mismo pleta exactamente mismo tiempo tiempo que tarda tarda Marte Marte en girar girar una una vez en torno a su propio es propio eje. eje. Este tiempo tiempo es 24 h, h, 37 min y 23 s. Con ello se consigu 24 37 min consiguió ió que el vehículo vehícul o orbital pasara por por encima del lugar lugar de llegada pasara llegada al planeta planeta de la cápsula cápsula de je a la misma misma hora de aterriza aterrizaje hora de cada día marcian marcianoo a una altura altura mínima (periáps ide) del vehículo vehícul o orbital. En el proyect mínima (periápside) proyectoo ViViking 1, la altura periáps ide del vehícul king 1,la altura del periápside vehículoo orbital era 1508 1508km. km. Utilizan do los datos conteni Utilizando contenidos apéndicee D, dos en la tabla D.2 del apéndic D, calcular altura máxima (apoáps calcular la altura (apoápside) en ide) ha ha del vehículo vehícul o orbital en trayecto ria elíptica su trayectoria elíptica.. Resp. ha ha = Resp. = 32 600 600 km

Figura problem problemaa 3.272

-------..... "'---------"

/'/'

3.273 Un satélite describe describ e una órbita circular de radio 3.273 radio 2R, 2R, donde R es el radio radio de la Tierra. ¿Cuál donde ¿Cuál es el mínimo mínimo incremento increme nto

/'

/ /I /

/I

I

....•..•.

"'"

\\

ha ha

= 1508 km h;\ = km

\ \\

""" """---..........--------_...-

"- ""

/'

/ /

/'


problem a 3.273 Figura problema

3.276 cuatro satélites mayores mayore s de Júpiter 3.276 De De los cuatro (descubiertos Júpiter (descub iertos por Galileo Galileo en 1610), Ganime des es el más grande por 1610),Ganímedes grande y se sabe que que tiene una una masa de 1,490(10 tiene 1,490(102323)) kg Y un 1,070 un radio radio orbital de 1,070 6 km (10 trayecto ria casi circular en torno (106)) km en su trayectoria torno a Júpiter. La La masa de éste es 1,900(10 masa de 1,900(102727)) kg (318 (318veces veces la masa de la Tierra) y y su radio ecuator ial es 142 su radio ecuatorial 142 800 800 km. Calcula Calcularr la fuerza gravitatogravitat oria FF que Júpiter ejerce sobre Ganime ria que Júpiter Ganímedes aceleración des y hallar hallar la acelerac ión aal!n de de éste éste respecto respecto al centro de Júpiter. Emplear Emplea r este resultado resultad o

206


observa do valorobservado elvalor conel compar arlocon para períodor1: yycompararlo elperíodo calcularel paracalcular h.) 23,93h.) sidéreo ==23,93 día sidéreo sidéreos . (1(1 día de días sidéreos. 7,16 días de7,16 km 600km 32600 Resp. haha== 32 Resp.

representativos Problemas representativos Problemas km 240km es240 terrestr ees satéliteterrestre unsatélite deun perigeo de 3.277 Si la altura del delperigeo altura la 3.277 Si órbitayy laórbita dela excentr icidad eede laexcentricidad calcular la Yla km, calcular 400km, apogeo400 de apogeo Yla de espacio . el espacio. en el comple ta en órbita completa una órbita de una el período 'r1:de el período s 5446 ,1:= 0,01196 'r= 5446 s Resp. ee== 0,01196, Resp.

volver aa de volver del objeto de periódi cament e alal objeto enciend e periódicamente se enciende satélite se del satélite debido centrar la masa. De este modo se contrarresta el retardo debido retardo centrar la masa. De este modo se contrar resta el tecircular aa las resistencias. Si el satélite describe una órbita circular teórbita una e las resisten cias. Si el satélite describ del total ido rrestre a 200 km de altitud y el tiempo de encendido total del encend de tiempo el y rrestre a 200 km de altitud órbitas, 10 órbitas, generador durante 10 segund os durante 300 segundos de 300 es de empuje es de empuje generad or de 100 de 100 satélite hallar la fuerza resistente O que actúa sobre el satélite de el sobre actúa que D te resisten hallar la fuerza . N 2 de E kg. El generador de empuje produce una fuerza E de 2 N. fuerza una e produc empuje de or generad El kg. Resp. 0,01132 NN Resp. OD == 0,01132

excende excenpolar de órbita polar una órbita describ e una terrestr e describe 3.278 satélite terrestre Un satélite 3.278 Un norte. polo el sobre km 320 a mínima a 320 km sobre el polo norte. tricidad altura mínima la altura con la 0,2 con tricidad 0,2 cuando satélite el bajo ente exactam Un observador A situado exactamente bajo el satélite cuando situado A dor Un observa la en la f>.f3 en variació n 1'1f3 una variación observa una B observa en B éste ecuado r en el ecuador por el pasa por éste pasa en B n posició la a regresa a la posición Ben mismo regresa el mismo cuando el longitud satélite cuando del satélite longitu d del f>.f3. Calcula r 1'1f3. Tierra. Calcular la Tierra. torno aa la en torno vuelta en su siguien te vuelta su siguiente

---~~ TT

D

Figura 3.283 problem a 3.283 Figura problema

que para que 3.284 indicad a para direcció n indicada la dirección en la VB en velocid ad VB la velocidad Hallar la 3.284 Hallar circula trayectoria de la nave espacial sea tangente a la órbita circuórbita la a e la trayecto ria de la nave espacia l sea tangent lar punto C. en el punto 2R en radio 2R de radio lar de 4R 4R

R R

R R

."-,

/---/

I

\C

(


una altura 3.279 Un satélite satélite pasa norte con una altura pasa sobre el polo norte iciuna órbita para el perigeo perigeo de 500 500 km en una órbita elíptica elíptica de excentr excentriciad absolut 0,7. Calcula Calcularr la velocid velocidad absolutaa vv del del satélite satélite cuando cuando dad e == 0,7. atravies atraviesaa el ecuador ecuador.. /h Resp. Resp. v = = 25 680 680 km km/h espaciall se halla en una órbita circular circular aa una una 3.280 Una nave espacia ad f>.v nto de velocid altura de 200 km. ¿Qué increme incremento velocidad I'1v debe debe cococampo del escape que para cohete motor municar al su del campo su ingenio al r munica orio terrestre gravitat gravitatorio terrestre?? 3.281 En En una de de las órbitas órbitas descrita descritass por la la nave espacia espaciall ApoApo3.281 ie de ia aa la lo alreded alrededor de la la Luna, Luna, su su distanc distancia la superfic superficie de ésta ésta vavaor de lo ad máxima riaba de de 100 100 aa 300 300 km. km. Calcula Calcularr la la velocid velocidad máxima de de la la nave nave riaba e esa dentro dentro dde esa órbita. órbita. p == 6024 Resp. Resp. vVp 6024 km/h km/h ia de 3.282 Determ Determinar la diferenc diferencia de energía energía f>.E I'1E entre entre un un vehícuvehícuinar la 3.282 iento en lanzam de rma platafo su en kg lo orbital de 80 000 kg en su plataforma de lanzamiento en 000 80 lo orbital de o en Cabo Cañave Cañaveral (latitud 25°) 25°) yy el el mismo mismo vehícul vehículo en una una órbita órbita ral (latitud Cabo circular de de altitud altitud hh ==300 300 km. km. circular s" es 3.283 Un Un satélite satélite ""sin retardos" es el el que que lleva lleva en en su su interior interior sin retardo 3.283 como tal tra una una cámara cámara en en la la que que se seencuen encuentra una masa masa tal como se semuesmuesuna ye aa causa tra. Si Sila la celerida celeridad del satélite satélite disminu disminuye causa de de las las resisresisd del tra. ye yy por tencias, la la de de la la masa masa no no disminu disminuye por tanto tanto se se mueve mueve con con tencias, relación aala lacámara cámara como comose seindica indica en enla lafigura. figura. Este Estecambio cambio de de relación or de s yy el posición lo detecta detectan unos sensore sensores el generad generador de empuje empuje n unos n lo posició

B Figura problem problemaa 3.284 Figura

3.285 Dos Dos satélites satélites B By describen en la misma órbita circular de y e describ 3.285 800 km de altura. Tal como se B va 2000 2000 km el satélite B indica, se 800 km de altura. Tal como

\)\)\) :'1~ ,

~

~

¿-'/

B

~

<'\

/ /

\ \

I I

/!

I ~ I

(

I \

I

I

J

\

\

~

\ \

I

I I

"'

\ \

\

800 km

"

"" "

_ ::r' _----~

/

........... ___ ........ _

Figura problem problemaa 3.285 3.285 Figura

.)

207


C Mostrar que C puede "pisando por delante del C. puede alcanzar a B "pisando los frenos". Concretamente, Concretamente, ¿en qué cuantía t'1v I'1v debe reducirse los reducirse encuentre con B la velocidad orbital circular de C para para que se encuentre Comprobar que C período en su nueva nueva órbita elíptica? Comprobar tras un período no choca con la Tierra en su órbita elíptica. Resp. I'1v == 115,5 115,5 mi Resp. t'1v m/s

f3 que forma la intersección de la trayectoria trayectoria con llar el ángulo f3 Supóngase que la posición B del vehícula superficie terrestre. Supóngase corresponde al final del funcionamiento funcionamiento de los motores de lo corresponde maniobra lugar pérdida altura durante durante ese m aniobra y que no tiene lugar pérdida de altura funcionamiento. funcionamiento. Resp. f3 == 151Y 151Y Resp. f3

mueve en una órbita circular a una altura altura 3.286 Un satélite se mueve 320 km sobre la superficie terrestre. terrestre. Si Si un motor cohete del de 320 incremento de velocidad velocidad de 300 300 m mi / s en la produce un incremento satélite produce dirección de su movimiento movimiento durante durante un tiempo muy corto, calcalpara la nueva nueva posición de su apocular la altura H del satélite para geo. geo.

B ?.-----........

-7 /;l'

altura 3.287 Un satélite artificial se coloca en su órbita a una altura velocidad absoluta Vo va bajo un ángulo de vuelo f3 f3 tal H con un velocidad Hallar la expresión expresión de la velocidad velocidad v del sacomo se muestra. Hallar distancia radial r al centro télite en su órbita en función de su distancia de la Tierra. Resp. =v Resp. v22 =

2

O O

2gR2(! __ + 2gR2(! __

I

'-..

II

It

/3--1

I\ I \. \C \

l

'1>

" \/320km /J'

\

J

\

¡

»>

""'-

/

/ -;( <, _-_/

./


1_) 1 _)

r R+H R+H

3.290 Un satélite se pone en órbita polar circular a una distanCuando en A pasa por encima cia H de la superficie terrestre. Cuando del polo norte, se activa su retropropulsor retropropulsor produciéndose produciéndose un momentáneo que reduce la velocidad velocidad hasta hasta empuje negativo negativo momentáneo un valor que asegura Deducir la exasegura el aterrizaje en el ecuador. Deducir presión velocidad t'1v I'1vAA necesaria en A. Obpresión de la reducción reducción de velocidad sérvese que A es el apogeo de la trayectoria elíptica.


A

Demostrar que la velocidad velocidad de un satélite que viaje en 3.288 Demostrar cuando llega al extremo C del seórbita circular vale RJi1(¡ RJg1a cuando Demostrar asimismo que la velocidad velocidad es la mismieje menor. Demostrar ma que en una órbita circular de radio radio a.

~-r=-~ I -,

Vc ~~~ ~

Ve

/.....-

I

/----

I

~

.•••..••..•..

............

I "-\\ ,,R/ . R.¡f \\ \--\--- --f--------*'-----t-- +--~--- _t_ / a , \\ "// I,I ?f I/

B

b b

Y Y

/

'"

"'- ~


--.l, ./ ?f --- --11----' ./


80 Mg describe una órbita cir3.289 La lanzadera lanzadera espacial de 80 altura de 320 320 km. Los dos motores motores ddel el sistema de cular a una altura maniobra orbital, cada uno de los cuales produce maniobra produce un empuje de 27kN, encienden en retroempuje durante 150 150segundos. 27 kN, se encienden retroempuje durante segundos. Ha-

3.291 Una estación de seguimiento seguimiento instalada instalada en el ecuador ecuador 3.291 ecuatorial que describe un satélite en direcobserva la órbita ecuatorial Si la altura altura en el perigeo es H == 150 150km Ysu ción oeste-este. Si km Y su vealtura en el apogeo locidad es v en la vertical de la estación y su altura 1500km, velocidad angular angular pp (relaes 1500 km, hallar la expresión de la velocidad tiva a la Tierra) con que debe hacerse girar el reflector de la antena cuando cuando el satélite se encuentra encuentra justo en encima. cima. Calcular p. La velocidad angular angular de la Tierra es to 0,7292(10-4)rad I/ s. s. velocidad ro == 0,7292(10-4) Resp. 0,0514 rad Resp. pp == 0,0514 rad/' s

208


, \

n

\ \

Jv '/'

+

I

/

/

3.291 problema 3.291 Figura Figura problema Figura 3.294 problema 3.294 Figura problema

de celerida d de una celeridad proyect il con una un proyectil 3.292 dispara un Desde B se dispara 3.292 Desde

tal horizon tal tal = 30° con la horizontal 2000 ángulo ex = un ángulo forman do un m i s formando 2000 mi . h máxima altura la Hallar ax m como se indica. Hallar altura máxima hmax'

necesar io en el ex necesario problem el en problemaa 3.294. punto definid a en trayecto ria definida de la trayectoria B de punto B Resp. = 38,8° Resp. ex =

3.295 lanzam iento ángulo de lanzamiento el ángulo Calcula r el 3.295 Calcular

órbita circuuna órbita 3.296 inyecta rse en una debe inyectarse espacia l S debe nave espacial La nave 3.296 La

instalac ión, en la instalación, lar avería en una avería d e una culpa de Por culpa km. Por 400 km. altura 400 de altura lar de circular , órbita para la celeridad de inyección ves la correcta para la órbita circular, correcta es v ón inyecci de la celerida d direcció n pero ángulo ex con la dirección un ángulo velocid ad inicial v forma un la velocidad pero la para permisi ble ex para que máximo permisible error máximo pretend ía. ¿Cuál es el error se pretendía. que se resisten iar Desprec que el vehículo no choque con la Tierra? Despreciar la resistenchoque que el vehícul o cia atmosférica. rica. atmosfé

o

D

/.----r~VB VB /.'--r~ ex a

/l1max I/ / hmax-

•"\ •

,

(

.... B "' B / I

"\

m is 2000 mis = 2000 =

//

• •

,y-f3---vr , {3»«/ /I

\

:-\"' // \

'f ~

v

O

.,ex a

S

~'trtr~ ./, / / /

/'"

/,

<, ............

<,

"-

/Q \

3.292 problema 3.292 Figura Figura problema

I /

/

,l.1

+

~

.'.'~

"'"\

\\ I

.. •.

I

JJ

\\

estrella s las estrellas por las 3.293 El El sistema estelar binario está formad formadoo por 3.293 de centro al en órbitas en A y B, las cuales giran torno centro de ambas A y B, ¡ calculad o con período orbital 'r1"/calculadocon rar el período masa del sistema sistema.. Compa Comparar n¡ calhipótesis fija con el período período 'r1""1calis de que la estrella A esté fija la hipótes s. culado sin esa hipótesi hipótesis. 00 ss 00 s, 'r1""1 ¡ = 217600 Resp. 'r1"1= 21760000 = 207400 20740000 Resp. n¡ =

/

\

\" \

400 km 400km

-..... ".......... __ ......

-='?"/ ".-

//

/

---'"

Figura problema 3.296 problema 3.296 Figura

3.297 Una Una nave nave espacia espaciall de 800 800kg describee una órbikg de masa describ 3.297 y se desea que Tierra ta circular a 6000 la de encima por km 6000 a ta circular

.60003 \ km A

a 3.293 Figura Figura problem problema 3.293 3000 3000 km km

iento nead de 3.294 Calcula Calcularr el el módulo de de la la velocid velocidad de lanzam lanzamiento ne3.294 interil proyect del ria trayecto la que cesaria en el Bpara que la trayectoria del proyectil interpara B punto cesaria en el e 90°. seque aa la la superfic superficie terrestree bajo bajo un ángulo ángulo f3f3 dde 90°. La La ie terrestr seque ria es altitud del del vértice vértice de de la la trayecto trayectoria es 0,5 0,5 R. R. altitud

Figuraproblem problema 3.297 a 3.297 Figura

209 209


cambie a otra órbita elíptica cuya altura altura de perigeo sea 3000 3000 muestra. La transferencia transferencia se lleva a cabo encenkm, tal como se muestra. diendo en A el retromotor diendo retromotor y produciendo produciendo un empuje inverso de 2000 2000 N. Calcular el tiempo t que debe estar activado el motor. Resp. t == 162 Resp. 162 s

Resp. I1v AA Resp. D.v = 2370 2370 mis mi s

~ 3.298 En cierto instante instante un ~ 3.298 un ingenio espacial tiene en su órvelocidad que se indican. Hallar la bita elíptica la posición y la velocidad longitud mayor de la órbita y el ángulo longitud a del semieje mayor ángulo agudo agudo a que forma el semieje mayor mayor con la recta L. ¿Acabará el satélite chocando con la Tierra? Resp. aa == 7462 km, a= a = 72,8°; Resp. 7462km, 72,8 no

= 1447 mi s 1447 mis

0

;

problema 3.299 Figura problema 3.299 km 1000 km

~ 3.300 una velocidad velocidad de 3200 mi s en la ~ 3.300 El satélite lleva en B una 3200 mi dirección indicada. Hallar el ángulo punto e del indicada. Hallar ángulo que sitúa el punto choque choque con la Tierra. Resp. 109,1°o Resp. f3 == 109,1


~ 3.299 Un vehículo espacial que se mueve ~ 3.299 mueve en una una órbita circular de radio radio r¡ r} cambia a otra órbita circular de radio radio mayor'2 mayor r 2 mediante desde A hasta mediante un tramo elíptico desde hasta B. B. (Esta trayectoria trayectoria Hohmann.) El salto se se conoce como elipse de cambio de Hohmann.) mediante un un incremento brusco de celeridad A efectúa mediante incremento brusco celeridad D.v I1vAA en A B. Escríbanse las expresiones y un segundo segundo incremento incremento D.VB I1vB en B. expresiones de D.v radios indicados I1vAA e D.VB I1vB en función de los radios indicados y del valor g de la gravedad gravedad en la superficie terrestre. Si Si ambos D.v I1v son positipuede suceder vos, ¿cómo puede suceder que la celeridad celeridad en la órbita 2 sea menor 1? Calcular Calcular el valor numérico I1v si menor que en la 1? numérico de cada D.v I'} = (6371 + 500) Y r2 = = (6371 + 35 800) 1"1= (6371+ 500) km Y1"2 (6371+ 800) km. Obsérvese que se ha tomado tomado '2 r 2 como radio de órbita.


3.14 MOVIMIENTO MOVIMIENTO RELATIVO RELATIVO material hemos En lo que llevamos de esta exposición de la cinética del punto punto material aplicado Newton y los teoremas teoremas de las fuerzas vivas y de la aplicado la segunda segunda ley de Newton cantidad movimiento a problemas problemas en los que el movimiento movimiento se mide respeccantidad de movimiento un sistema de referencia que se supone to a un supone fijo. fijo. Lo más aproximado aproximado a un sisprimario o sistema de tema de referencia "fijo" es el sistema de referencia primario por un un conjunto de ejes ligados a referencia astronómico, que está constituido constituido por las estrellas fijas fijas.. Se Se considera, entonces, que todos los demás demás sistemas de refe210


rencia se mueven en el espacio, incluidos todos los sistemas de referencia ligados a la Tierra. Las aceleraciones de los puntos ligados a la Tierra medidas en el sistema primario son, empero, muy pequeñas y normalmente se desprecian en la gran mayoría de las mediciones efectuadas sobre la superficie terrestre. Por ejemplo, la aceleración del centro de la Tierra, en su órbita casi circular alrededor del Sol supuesto fijo, es 0,00593 mi S2y la aceleración de un punto del ecuador al nivel del mar respecto al centro de la Tierra supuesto fijo es 0,00399mi s2.Es evidente que estas aceleraciones resultan pequeñas comparadas con g y con la mayoría de las aceleraciones que intervienen en las aplicaciones de índole técnica; así pues, sólo cometemos un pequeño error al hacer la hipótesis de que los sistemas de referencia ligados a la Tierra equivalen a un sistema de referencia fijo. (a)

Ecuación del movimiento relativo.

211 3.14 MOVIMIENTO RELATIVO

Consideremos una partícula de masa

m (fig. 3.22) cuyo movimiento se observa desde un sistema de ejes x-y-z dotado

de un movimiento de traslación respecto a un sistema de referencia fijo X-y-Z, de forma que las direcciones x, y y z permanecen siempre paralelas a las direcciones X, Y YZ. El estudio del movimiento con relación a un sistema de referencia que gire lo reservamos para los apartados 5.7 y 7.7 posteriores. Sea aB la aceleración del origen B de x-y-z. La aceleración de A observada desde o respecto a x-y-z es arel = a A / B = r A / B y, en virtud de la relación para la aceleración relativa expuesta en el apartado 2.8, la aceleración absoluta de A es

Figura 3.22

f

Entonces, la segunda ley de Newton LF

= maA

se escribirá (3.46)

La suma de fuerzas LF queda de manifiesto, como siempre, mediante un diagrama para sólido libre completo, el cual será el mismo para un observador en x-y-z que para un observador en X-Y-Z, puesto que en tal diagrama sólo se representan las fuerzas reales que actúan sobre el punto material. Concluimos de inmediato que la segunda ley de Newton no se cumple en un sistema acelerado ya que LF *- m arel'

a y

y

y

a

Principio de D'Alambert. Cuando se observa un punto material desde un sistema de ejes fijo X-Y-Z (fig. 3.23a), se mide su aceleración absoluta a y se aplica la conocida relación LF = ma. Cuando el mismo punto se observa desde un sistema móvil x-y-z solidario del punto en su origen (fig. 3.23b), éste necesariamente parece encontrarse en reposo en el sistema x-y-z. Si el observador pretende que el punto está en equilibrio en x-y-z, deduce la conclusión de que se ejerce una fuerza -ma que equilibra a LF. Este punto de vista, que permite tratar los problemas de Dinámica con los métodos de la Estática, fue enunciado en 1743por D'Alambert en su Traiié de Dynamique. Este método equivale, simplemente, a escribir la ecuación del movimiento de manera LF - ma = O,que tiene la forma de una suma nula de fuerzas si se considera -ma como fuerza. A esta fuerza ficticia se le da el nombre de fuerza de inercia y al estado artificial de equilibrio así creado se la el nombre de equilibrio dinámico. La transformación aparente de un problema de Dinámica en otro de Estática se conoce con el nombre de principio de D'Alamberi.


I

1

If

/

Lma

m Q---

mQ

x

I

I

n

I

1 1

X

(a)

LF

X (b)

Figura 3.23

212 212

CINÉTICA C1NÉTICA DEL DEL PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL

(a) (a)

,

.

I , "

T

Y

T

Y

--~ 1111-) --~ --~ 11-

--.~ 11-

_ mroJ mror' __

1 11 mg rng

mg mg

(b) (b)

(e)


Hay principio de de Hay diferencia diferencia de opiniones opiniones acerca acerca de de la interpretación interpretación del del principio D'Alambert, pero pero en en este este libro libro la forma en que que suele suele ser ser conocido conocido se trata D'Alambert, forma en trata prinprincipalmente como como cuestión cuestión de interés interés histórico. histórico. Se enunció enunció en en un un tiempo cipalmente tiempo en en el cual el conocimiento conocimiento y la experiencia experiencia que que se tenían tenían en en el campo campo de de la Dinámica cual Dinámica eran muy muy limitados limitados y constituyó constituyó un un intento intento de de exponer exponer la Dinámica Dinámica mediante eran mediante principios de de la Estática Estática que, que, por por entonces, entonces, se conocían conocían de de modo los principios modo mucho mucho más completo. completo. Este recurso de describir describir una situación real real empleando empleando una más Este recurso una situación una situación artificial artificial ya ya no no es necesario necesario actualmente, actualmente, pues pues hoy hoy día día se dispone tuación dispone de de conocimientos y experiencias acerca de de los fenómenos fenómenos dinámicos dinámicos que conocimientos experiencias acerca que respalrespaldan decisivamente decisivamente los procedimientos procedimientos directos directos de de pensar pensar en en términos términos de dan de DináDinámica y no de de Estática. Estática. Resulta Resulta algo algo difícilmente difícilmente justificable persistencia en mica justificable la persistencia en la aceptación de de la Estática Estática como como medio medio para para comprender comprender la Dinámica, Dinámica, particuaceptación particularmente en en vista vista de de los esfuerzos esfuerzos continuos continuos que que se hacen hacen para para conocer larmente conocer y desdescribir cribir los fenómenos fenómenos físicos físicos de de manera manera que que no resulten resulten desfigurados. desfigurados. Citaremos únicamente un del principio principio de de Citaremos únicamente un ejemplo ejemplo sencillo sencillo de de aplicación aplicación del D'Alambert. El péndulo péndulo cónico de masa masa m (fig. 3.24a) 3.24a) se mueve mueve describiendo D'Alambert. cónico de describiendo una (1). Aplicando Aplicando una circunferencia circunferencia horizontal horizontal de de radio radio r con con velocidad velocidad angular angular 0). directamente de la acedirectamente la ecuación ecuación de de movimiento movimiento LF ~F = mar¡ en en la dirección dirección n de leración, el diagrama diagrama para para sólido sólido libre, libre, que que se representa representa en en la parte parte bb de leración, de la figura, muestra muestra que que T sen sen e 8 == mroJ. mror . Combinando Combinando esta ecuación ecuación con gura, esta con la correspondiente e -- mg = O, O, correspondiente al requisito requisito de de equilibrio equilibrio en en la dirección dirección y, T cos 8 pueden hallarse hallarse la incógnitas incógnitas T y e. 8. Pero Pero si los ejes de referencia referencia se tomaran pueden tomaran unidos En conconunidos a la partícula, partícula, ésta ésta aparecería aparecería en en equilibrio equilibrio relativo relativo a esos esos ejes. En secuencia, imagisecuencia, habría habría que que añadir añadir la fuerza fuerza de inercia inercia -ma, -ma, lo que que equivale equivale a imaginar según se nar la aplicación aplicación de mroJ mroJ en en sentido sentido opuesto opuesto al de de la aceleración, aceleración, según indica para sólido libre, libre, la indica en en la parte parte c de de la figura. figura. Con Con este este pseudodiagrama pseudodiagrama para sólido suma sen eque, desde desde lueluesuma nula nula de de fuerzas fuerzas según según la dirección dirección n da da T sen 8- mroJ mror == O Oque, go, da esta formulaformulada el mismo mismo resultado resultado que que antes. antes. Podemos Podemos concluir concluir que que con con esta ción porque ción no se obtiene obtiene ventaja ventaja alguna. alguna. Los autores autores desaconsejan desaconsejan su su empleo empleo porque no supone inexistente supone ninguna ninguna simplificación simplificación y, en en cambio, cambio, agrega agrega una una fuerza fuerza inexistente al diagrama. circular, diagrama. En el caso caso de una una partícula partícula que que recorra recorra una una trayectoria trayectoria circular, esta hipotética hipotética fuerza fuerza de de inercia inercia se denomina denomina fuerza centrífuga ya ya que esta fuerza centrífuga que está está diridirigida de la acegida en en el sentido sentido de de alejamiento alejamiento del del centro centro y su su sentido sentido es opuesto opuesto al de leración. cuenta de fuerza leración. Se insta insta al alumno alumno a que que se dé dé cuenta de que que no existe existe tal fuerza centrífuga aplicada aplicada a la partícula. partícula. La única única fuerza fuerza horizontal horizontal que que podría denocentrífuga podría denominarse de la tractracminarse adecuadamente adecuadamente centrífuga centrífuga sería sería la componente componente horizontal horizontal de ción ción T que que la partícula partícula ejerce ejerce sobre sobre el hilo. hilo.

relativo a sistemas sistemas en traslación uniforme. uniforme. Al estudiar (b) Movimiento Movimiento relativo estudiar el momovimiento material relativo movimiento, vimiento de un un punto punto material relativo a sistemas sistemas de de referencia referencia en en movimiento, importante considerar considerar el caso particular particular en en que que se observa observa el movimiento es importante movimiento desde constandesde un un sistema sistema de referencia referencia en en traslación traslación que que se mueva mueva a velocidad velocidad constante. Si los ejes x-y-z será aB aB = =O x-y-z de la figura figura 3.22 se mueven mueven a velocidad velocidad constante, constante, será Y la aceleración A = ecuación aceleración del punto punto material material será será aaA = arel' are!. Por Por consiguiente, consiguiente, la ecuación 3.46 puede puede escribirse escribirse ~F LF

= marel mare! =

(3.47) (3.47)

que nos nos dice dice que que la segunda segunda ley ley de de Newton cumple para para mediciones mediciones efecque Newton se cumple tuadas en un sistema sistema que que se mueva mueva a velocidad velocidad constante. sistema se conotuadas en un constante. Tal sistema conocomo sistema sistema de de referencia referencia newtoniano, newtoniano, o inercial. inercial. Los observadores ce como observadores


solidarios solidarios del del sistema sistema móvil móvil y los los solidarios solidarios del del sistema sistema fijo concordarán concordarán en en sus sus designaciones designaciones de de la fuerza fuerza resultante resultante que que actúa actúa sobre sobre la partícula partícula al dibujar dibujar sus sus diagramas diagramas para para sólido sólido libre, libre, pues pues éstos éstos serán serán exactamente exactamente iguales iguales siempre siempre que que eviten eviten el uso uso de las las llamadas llamadas "fuerzas "fuerzas de de inercia". inercia". Vamos teoremas de Vamos a examinar examinar ahora ahora el tema tema paralelo paralelo de de la validez validez de de los los teoremas de las fuerzas fuerzas vivas de la cantidad vivas y de cantidad de de movimiento movimiento respecto respecto a un un sistema sistema no no giratorio ratorio en en traslación traslación uniforme. uniforme. Regresemos Regresemos a la figura figura 3.22 en en la que que los los ejes x-y-z respecto a los ejes fijos XY-Z. La x-y-z se mueven mueven a velocidad velocidad constante constante vB vB == rB respecto B trayectoria partícula en en x-y-z está regida regida por por rrel Y Y se representa representa esquemáesquemátrayectoria de la partícula x-y-z está ticamente en x-y-z es dU ticamente en la figura figura 3.25. El trabajo trabajo que que LF efectúa efectúa en en x-y-z dUrel = LF·dr LF·dfrel' rel = re1. Pero Pero LF = maA maA = marel marel ya que que aB aB == O. Además, Además, arel arel ·dr ·dfrel dVrel por por la misma misma rel = vrel dVrel razón que en razón que en el apartado apartado 2.25 sobre sobre movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo era era a a¡t ds = v dv. Así Así pues, pues, tenelllOS tenemos

213 213

3.14 3.14 MOVIMIENTO MOVIMIENTO RELATIVO RELATIVO

Trayectoria I,F LF '\. relativa a '\. x-y-z "" x-y-z -,__ -~r'el '__ ~r'el

z\ ylL:; {¿l .,~=~=V rel

a

ylCly

B~ B~

O

O

cinética relativa relativa en en x-y-z definimos como como Tre La energía energía cinética x-y-z la definimos rel! que se tiene tiene que

=~ mvri mvri de forma forma =~ de

X

y

"-""-""-"x

Figura 3.25 3.25 Figura (3.48) (3.48)

sea o sea

'r

que muestra muestra que que el teorema teorema de de las fuerzas fuerzas vivas vivas es válido válido para para mediciones mediciones lo que efectuadas en en sistemas sistemas en en traslación traslación uniforme. uniforme. efectuadas impulso sobre la partícula partícula durante el tiempo tiempo dt es En x-y-z x-y-z el impulso sobre durante LF dt = = maAA dt dt = = marel mare! dt. dt. Pero Pero marel mare! dt dt = = m dVrel dVrel = = d(mvrel) d(mvre!) y así así I,F dt

Enx-y-z cantidad de de movimiento movimiento del del punto punto material material la definimos definimos Grel mVrel En x-y-z la cantidad rel == mVrel nos da da LF dGrel dividir por por dt e integrar integrar resulta resulta y ello nos I,F dt == dG rel. . Al dividir

LF

o

n

y

ff I,F LF dt = = AGrel rel

(3.49) (3.49)

Así pues, pues, el teorema teorema de de la cantidad cantidad de de movimiento movimiento relativa relativa a un un sistema sistema de de reAsí ferencia fijo se cumple cumple también también para para mediciones mediciones efectuadas efectuadas en en un un sistema sistema en en ferencia traslación uniforme. uniforme. traslación Finalmente, definimos definimos el momento momento cinético cinético del del punto punto material material respecto respecto a Finalmente, un punto punto en en x -y-z, -y-z, como como puede puede ser ser el origen origen B, como como el momento momento de de la cantidad cantidad un movimiento relativa. relativa. Entonces, = frel !. derivada temporal de movimiento Entonces, H = rrel X G . La derivada temporal B re Brel rel rel· . · de esta rrel X Grel cuyo esta expresión expresión es HB,.I HB'CI= = rrel X Grel cuyo primer primer sumando sumando es rel + frel vrel X Y el segundo o sea, la suma de , Vrel X mVrel mVrel = = O OY segundo es rrel frel X X LF = = LM LMB' suma de los los momoB mentos respecto respecto a B B de de todas todas las las fuerzas fuerzas que que actúan actúan sobre sobre m. Así Así pues, pues, tenemos tenemos mentos (3~50) (3~50)

que muestra muestra que que el teorema teorema del del momento momento cinético cinético es válido válido en en los los sistemas sistemas lo que en traslación traslación uniforme. uniforme. en Aun cuando cuando sean sean válidos válidos los teoremas teoremas de las fuerzas fuerzas vivas vivas y de de la cantidad cantidad Aun movimiento en en un un sistema sistema en en traslación traslación uniforme, uniforme, las las expresiones expresiones del del tratrade movimiento


v"'

214 214

CINÉTICA ClNÉTICA DEL DEL PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL

bajo, la energía energía cinética y la cantidad cantidad de movimiento movimiento son diferentes diferentes de las correspondientes rrespondientes al sistema sistema fijo. fijo. Así (dU (dU

= LF· dr drAA) )"* of. (dU (dUrelrel = = LF· drrel = rel))

(T = ~mv}) ~mv}) "* of. (T (Trel ~mvri) (T rel = ~mvri)

(G = mv mv A) of. (G (Grel = mV mVrel) (G A) "* rel )

ecuaciones 3.47 a 3.50 3.50 constituyen constituyen una una demostración demostración formal de las ecuaLas ecuaciones Newton en todos todos los sistemas sistemas no giratorios giratorios en traslación traslación uniforme. uniforme. ciones de Newton Esta conclusión conclusión podría podría haberse haberse sospechado sospechado del hecho de que LF LF == ma ma depende depende pero no de la velocidad. velocidad. Además, Además, podemos podemos concluir que no de la aceleración, pero es posible posible llevar a cabo experimento experimento alguno alguno en un un sistema sistema en traslación traslación uniforme (sistema de referencia referencia inercial) que sea capaz de revelar revelar la velocidad velocidad absoluta luta de tal sistema, pues pues todos todos los experimentos experimentos mecánicos darán darán los mismos mismos resultados en todos sistemas de referencia referencia inerciales. resultados todos los sistemas


Un péndulo péndulo simple simple de masa m yy longilongitud tud rr está montado montado sobre la batea de ferrocarril que posee la aceleración ferrocarril aceleración horizontal pénzontal constante constante ao ao indicada. indicada. Si el péndulo se suelta suelta desde el reposo con O,, relación a la batea en la posición posición e == O hallar el valor valor de la tensión tensión T de la varivaridespreciable en función lla de masa despreciable función de e. Hallar también también T T para e e == 11:11:/2/2 YY ee == 11:.11:. Hallar

o 00----- - - e 11', ', e

-

xx

ff

In', 1 ~ 1 ~ 1 T 1

yy

/ // "

t

mg

Diagrama para sólido libre

.

re2 2

/ /

//

o/~ ao o/~ao

"!J "!J

''

re

ao ~~~~~

__-L~__~~~LU ~

Solución. sistema x-y móvil lo vinculamos vinculamos al vagón vagón en traslación traslación situando situando Solución. El sistema por comodidad Relativamente a este sistema comodidad el origen en O. O. Relativamente sistema de coordenadas, coordenadas, las naturalmente ubicadas, ubicadas, ya que el movimiento movimiento es circular direcciones n y t son las naturalmente x-y. La aceleración de m es la dada respecto respecto a x-y. dada por la relación de aceleraciones

,

, '"

o

r8 Componentes de la aceleración aceleración

donde donde arel es la aceleración que mediría mediría un observador observador que se trasladase trasladase con el observador mediría mediría una componente componente n de valor r é 2 Y Yuna una compovagón. Este observador nente nente t de valor re. re. Las tres componentes componentes de la aceleración absoluta absoluta ddee m se representan presentan en el esquema. esquema. Primeramente Primeramente aplicamos aplicamos la segunda segunda ley de Newton Newton según según la dirección t y obtenemos obtenemos é

CD

Empezamos con la dirección dirección t porporEmpezamos que en la ecuación ecuación de la dirección dirección n, que que contiene contiene la incógnita incógnita T, T,intervieinterviene iP, que a su vez se obtiene tP, que obtiene de una una integración integración de

ee .

CD

mg mg cos e e == mere m(re - aoo sen e) re re == g cos e e + aoo sen


ee

e

Alintegrar integrarpara paraobtener obtener é en enfunción funciónde deeeresulta resulta Al 1 cos e+ a sen e)de cos e+ aoosen e)de fe'ofoe'eedede. .== fefeoo1r(g¡;(g

if2 iJ2

11

¡;[gsen sen ee+ cos e)] e)] ""22 == r[g + aao(1o(1 - cos Apliquemosahora ahoralalasegunda segundaley leyde deNewton Tewtonsegún segúnlaladirección direcciónn, n,teniendo teniendo Apliquemos encuenta cuentaque quelalacomponente componentenn de delalaaceleración aceleraciónabsoluta absolutaes es rif2 r iJ2-- aaoocos cos e.e. en 2

[¿F" = ma,,]

o2 ~omprob~r Comprobar sin sin lugar lugar aa dudas dudas que que

mg sen sen ee == m(rif2 m(riJ2-- aaoocos cos e)e) TT-- mg

e de e d

e de == e d ee puede puede obtenerse obtenerse de de vv dv dv == a,a t ds ds dividido dividido por por ? il.

[2 g sen sen ee++2a 2aoo(1(1 - cos cos e)e) -- aaoocos cos e] e] == mm[2g m[3g sen sen e+a e+oa(2-3 cos e)] e)] TT == m[3g o(2 -3 cos

Resp. Resp.

Para e= e=n/2 n/ 2yy e= e=ttntenemos tenemos Para ¡¡;/2 TTn:/2

= m[3g(1) m[3g(1) ++ aaoo(2(2 -- O)] O)] == m(3g m(3g ++ 2a 2aoo) )

=

m[ 3g(0) +a Smao o T ¡¡; == m[3g(0)+a Tn: o(2 - 3[- 1])] == 5ma o(2-3[-1])]

Resp. Resp. Resp. Resp.


.

La batea batea de de ferrocarril ferrocarril se se mueve mueve aa celericeleriLa dad constante constante Vo va yy transporta transporta un un torno torno dad que produce produce una una tracción tmcción constante constante P que en pequeña vagoneta. vagoneta. en el el cable cable unido unido a a la la pequeña Esta tiene Esta tiene una una masa masa m m yy rueda rueda librelibremente mente sobre sobre la la superficie superficie horizontal, horizontal, partiendo del partiendo del reposo reposo relativo relativo al al vagón vagón en en el instante en que x = O Y X = el instante en que x = O Y X = Xo Xo = = b. b. Aplicar Aplicar el el teorema teorema de de las las fuerzas fuerzas vivas vivas aa la la vagoneta, vagoneta, primero primero para para un un observaobservador dor que que se se mueva mueva con con el el sistema sistema de de refereferencia de la batea y, después, pam rencia de la batea y, después, para un un observador observador situado situado en en tierra. tierra. Poner Poner de de manifiesto manifiesto lala compatibilidad compatibilidad de de ambas ambas expresiones. expresiones.


rr -1-1

x=o x=o

bb

Para Para un un observador observador situado situado en en la la batea batea el el trabajo trabajo de de PP es es

f~

UUre1 dx == Px Px re1 == f~ PP dx

siendo siendo PP constante constante

La Lavariación variación de de energía energía cinética cinéticarelativa relativa aalalabatea batea es es

~~ ~~

II

G) la la única única coordenada coordenada que que puede puede (D medir elel observador observador móvil móvil es es x.x. medir

yyelelteorema teorema de delas lasfuerzas fuerzas vivas vivasnos nosdará dará para para elelobservador observador móvil móvil

215 215


Para dOr en Para el el observa observador en tierra tierra el el trabajo trabajo de de P P es es

uu == f~ f: PP dX dX == P(X P(X -- b) b) yy la la variació variaciónn de de energía energía cinética cinética observa observada desde tierra es es da desde

® Para dor en Para el el observa observador en tierra tierra la la velovelo- (3) ® cidad cidad inicial inicial de de la la vagonet vagonetaa es es vo, vo, por lo que su energía cinética es por lo I1 22 que su energía cinética es 2zmvo· mvo'

!J.T = = ~rn(X2 ~m(X2 _ v 2) óT - v 0a )

por lo lo que que el el teorema teorema de de las las fuerzas fuerzas vivas, vivas, para el el observa observador inmóvil,, resulta resulta dor inmóvil [U = = óT] !J.T] [U

11 .. 22 22 P(X P(X -- b) b) == 2rn(X zm(X -- VVa o)

Para ibilidad de esta exp resión con la corresp Para ver ver la la compat compatibilidad expresión correspondiente ondient e al observador vador móvil pueden pueden hacerse las sustituc sustituciones siguientes: iones siguien tes:

x

== xo + x, Xa+X,

Entoncess Entonce

o ElEl símbolo símbolo t represen representata el tiempo tiempo de de t

I, •

movimi movimiento desde x == O hasta hasta x == x. x. ento desde El El desplaz desplazamiento vagonetaa amiento de la vagonet Xo - b es la velocida velocidadd de ésta multiplicada plicada por el tiempo tiempo t,t, o sea Xo -- b b= = voto vot. Además Además,, como como la acelera aceleración ción constan constantete multipli multiplicada por el tiemtiemcada por po es igual a la variació variaciónn de velocivelocidad, es i;i' t = ii .. dad,

••, "

P(X P(X -- b) b) = = Px Px + + P(x P(xao - b) = = Px Px + rni(x m;i'(xoo - b)

®

= = Px Px + rnivot m;i'vot = = Px Px + rnvox mvox y

con con lo lo cual el teorema teorema de las fuerzas fuerzas vivas se expresa expresará rá ahora

que no no es ~rnx2 tal como concluy que es sino sino Px Px = = ~mi2 concluyóó el observador así que que observa dor móvil. Vemos así la diferencia diferencia entre entre ambas ambas expresiones expresi ones del teorema la teorema de las fuerzas fuerzas vivas vivas es es

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas introductorios Problemas introductorios 3.301 El carro carro con los ejes x-y 3.301 x-y solidarios solidari os se mueve mueve hacia hacia la la dederecha con una una celeridad celerida d absoluta recha absolut a de 2 mi m / s. A la la vez, vez, el el brazo brazo peso de longitud longitu d 11= sin peso = 0,5 m rota rota en en torno torno al punto punto B B del del carro carro velocid ad angular angular constante con la velocidad constan te é = = 2 radl rad / s. Si Si la la masa masa de de la esfera esfera es m m= = 3 kg. kg, hallar hallar las cantidades cantida des siguientes siguien tes para para la la esesfera cuando cuando ee= = o: G, Gre ¡,, T, T, Trerel¡,, Ha HaY YH HB,el ' donde el rel el subíndisubíndi B rel ,donde ce "rel" "rel" indica indica medición medició n respecto ce respecto aa los ejes ejes x-y. x-y. El punto punto O O es es un punto punto inercialmente inercial mente fijo que un en el instante que coincide coincide con B B en el instante considerado. conside rado.

e

216 216


yy 1I

•

•

--+ ~

( rtr~\ O,B

'"

1\:

.

' - -. /

--x-

1

.


v

Resp. Resp. G T

tanto absoluto explicar el significado significado del térmiabsoluto como relativo relativo y explicar no muv.

9i kg·m kg·m/s, 3i kg'm kg-m /s Zs 9i /s, Grel rel = 3i

13,5 13,5 J, T rel = 1,5 J J kg ' m2 H kg ' m2 _45k =_15k _45kkg'm2 =_15kkg'm2 , s B rel ' S Brel II

1

3.302 3.302 El portaviones portaviones se mueve mueve con celeridad celeridad constante constante y lanza un avión a reacción de 3 Mg a lo largo de la cubierta cubierta de 75 catapulta accionada accionada a vapor. Si Si el avión m por medio de una catapulta abandona la cubierta cubierta con una velocidad velocidad de 240 240 km km/h abandona / h relativa al portaviones portaviones y si el empuje empuje del reactor es constante constante e igual a despegue, calcular la fuerza constante constante P ejer22 kN durante durante el despegue, catapulta sobre el avión durante durante los 75 m del recocida por la catapulta rrido del carro de lanzamiento. lanzamiento.


3.305 mueve con la celeridad celeridad cons3.305 La escalera mecánica se mueve tante u == 0,8 m 50 kg se encuentra encuentra en ella mii s. Un muchacha muchacha de 50 inicialmente en reposo, pero pero en A comienza inicialmente comienza a acelerarse uniformemente. punto B, situado situado a formemente. En el momento momento en que llega al punto una distancia distancia s = 7 m del punto punto A, una A, su celeridad celeridad es v = = 2 m I s respecto a la escalera. Hallar componentes horizontal horizontal y vertiHallar las componentes cal de la fuerza media media F que la escalera ejerce sobre los pies de muchacha. la muchacha. Resp. Fver = = 497 497 N N Resp. Fhor Fhor = = 12,95 12,95 N, N, r.;


3.303 La furgoneta furgoneta de 2000 2000 kg es conducida conducida desde la posición posición 3.303 A hasta la B sobre la barcaza A barcaza que es remolcada remolcada a una celeridad celeridad constante va Va = = 16 16 km/h. km/h. La furgoneta furgoneta arranca arranca estando estando parada parada embarcación en el punto punto A, A, se acelera hasta hasta v = = 24 24 respecto a la embarcación km/h barcaza en 25 m y, al final, final, se detiene detiene merkm / h respecto a la barcaza

ced a una una desaceleración del mismo valor. Hallar Hallar el módulo módulo de la fuerza total F que se ejerce entre los neumáticos neumáticos de la furgoneta y la barcaza barcaza durante durante la maniobra maniobra descrita. Resp. F == 1778 Resp. F 1778 N N

r- --t--tr25m 25m

A

kmA va == 16 lan

-

-1-1


25m 25m

vv=2~/h = 24 lan / h A B B A r'(:;"6--""~,-_---",g=,>,---_ ....•• :;"=-_:,,,,CEl".:.;, ...---""~,-----g=",,------,,,,:,;,=-_:..,CE-

--

-~======


3.304 3.304 Un niño de masa m está de pie inicialmente inicialmente en reposo respecto a la alfombra rodante, rodante, que está animada animada de una celeridad horizontal horizontal constante constante uu.. El niño se decide a avanzar avanzar más rápido punto A con una rápido y comienza comienza a caminar caminar desde desde el punto una celeridad creciente has ta llegar al punto una celeridad hasta punto B B con una celeridad ix == v respecto a la alfombra alfombra rodante. rodante. Mientras Mientras se acelera, genera genera una fuerza horizontal entre sus zapatos horizontal media media F F entre zapatos y la alfombra. EsEspara sus movimientos movimientos cribir el teorema de las fuerzas vivas para

3.306 Dos naves espaciales A y B 3.306 B viajan viajan por por el espacio lejano trayectoria recta. B B se encuentra encuentra a 20 20 km a lo largo de la misma misma trayectoria directamente por delante delante de A, A, respecto directamente respecto a la que lleva una una velocidad estabilizar la separación separación en 1000 locidad de 2 km kmll s. Si se desea estabilizar 1000 hallar que retroempuje retroempuje F constante km, hallar constante hay que aplicar a la nave B, cuya masa es de 200 Calcular el tiempo tiempo t que debe 200 kg. Calcular durar durar la aplicación del retroempuje. retroempuje.


3.307 kg, se mueve mueve con rozamiento rozamiento 3.307 El cursor cursar A, de masa 2 kg. despreciable 30° de la placa deslizante deslizante despreciable por la ranura ranura inclinada inclinada 30° vertical. ¿Qué aceleración vertical vertical aa hay que comunicar comunicar a la absoluta del cursar cursor esté dirigida dirigida placa para para que la aceleración absoluta

217 217


verticalmente verticalmente hacia abajo? abajo? ¿Cuál será el valor de la fuerza correspondiente rrespondiente R que sobre el cursor ejerza la ranura? ranura? Resp. mi S2, R = O Resp. ao ao = 16,99 16,99mi

B

ao l}"~~~:-----'-----'i?~~~::::: •

•

•

-:::;:a;;;:-

•

w:::;:

••

A_M

W::;:W w:;:;:w:;;:w

w:;;:w:::;;:-

----+-

-=-

Figura problema problema 3.310 A

3.311 3.311 Un péndulo péndulo simple está instalado instalado en un ascensor que se acelera hacia arriba tal como se indica. Si Si se separa separa un ángulo 8ea0 de la vertical y se abandona abandona desde el reposo respecto al ascensor, hallar la tracción T Too que sufre la varilla liviana de suspensión cuando cuando 8= e= O.O.Particularizar resultado para para 800 = = ni ti] 2. 2. pensión Particularizar el resultado ) Resp. Resp. T Too == m(g m(g + ao)(3 - 2 cos (ea) 0


3.308 Si Si el portaviones portaviones del problema problema 3.302 3.302 se mueve mueve con celeridad constante constante u y su catapulta catapulta lanza un avión de masa celeridad m con una una velocidad velocidad v relativa relativa al portaviones portaviones y en el sentido sentido u, la energía cinética del avión respecto a tierra es de u, ~m(v ~m(v + u)2 u)2 = ~mv2 ~mv2 + ~mu2 ~mu2 + muv muv al final del lanzamiento. lanzamiento. Si el avión es lanzado lanzado por la misma catapulta catapulta con la misma fuerza aceleradora, estando estando el portaviones portaviones parado, parado, su energía cinética es ~mv2 ~mv2 . Explicar la diferencia entre ambas expresiones. 3.309 La catapulta catapulta de lanzamiento lanzamiento del portaaviones portaaviones comunica al reactor de 7 Mg una aceleración constante y lo proyecta proyecta a 100m medida a lo largo de la cubierta de vueuna distancia de 100 m medida lo sesgada. El El navío se mueve con una celeridad celeridad uniforme uniforme ve ve == 16 mi mi s. s. Si Si para para el despegue despegue se necesita que el avión lleve una celeridad celeridad absoluta absoluta de 90 90 mi mi s, s, hallar la fuerza total F F que proporcionan catapulta y los motores del avión. porcionan la catapulta Resp. kN Resp. F == 194,0 194,0kN

In


parte del reposo relativo al tubo 3.312 La cápsula de masa m parte horizontal horizontal estando estando el resorte de rigidez k comprimido comprimido inicialmente una longitud longitud 8. 8. La batea está dotada dotada de una velocidad constante Vo va hacia la derecha. Aplicar el teorema de las fuerzas constante vivas al movimiento movimiento de la cápsula tanto para para un observador observador para un observador observador fijo fijo en tierra. solidario del vehículo como para Poner de manifiesto la compatibilidad compatibilidad de ambas expresiones. (Sugerencia: (Sugerencia: En el segundo segundo caso, caso, incluir el resorte en el sistema observador.) del observador.)

k

In



Si la batea de ferrocarril recibe una una aceleración ao ao == 0,2 0,2 3.310 Si mi S2 a partir partir del reposo, calcular la correspondiente correspondiente tracción T mi en el cable sujeto al embalaje A de 50 50 kg. Despreciar Despreciar la masa de la polea B y el rozamiento rozamiento en ella. El El coeficiente de rozamiento rozamiento entre el embalaje y la superficie horizontal horizontal de la batea es J.1.e !le = = 0,30 0,30

3.313 Los coeficientes de rozamiento rozamiento entre la plataforma plataforma del camión y el embalaje son J.1.e !le == 0,8 0,8 YJ.1.e u¿ == 0,7. El El coeficiente de rozamiento zamiento cinético entre los neumáticos neumáticos del camión y la calzada 0,9. Si Si el camión se para desde una celeridad inicial inicial de15 de15 mi mi s es 0,9. frenando al máximo (con (con las ruedas patinando), determinar en embalaje o la velocidad qué lugar de la plataforma se detiene el embalaje

218


relativa al vehículo con que la misma golpea la espaldera la plataforma. Resp. Vrel = 2,46 m / s

Vrel

Figura problema

de

3.313

Para pequeñas amplitudes 81 el péndulo simple de soporte fijo O ejecuta un movimiento armónico simple de período r = 2nNg alrededor de la verticaL Si el soporte O recibe un aceleración horizontal aaf pequeña pero constante, demostrar que el péndulo oscila alrededor de un eje inclinado 80 =aa / g con el mismo período que con el soporte fijo, con tal que la amplitud el siga siendo pequeña.

3.314

Soporte

fijo

Soporte

la celeridad del ascensor es Va. Hallar la altura de rebote 172 (a) si va es constante y (b) si el ascensor recibe una aceleración ascendente a = g/ 4 desde el momento en que se suelta la bola. El coeficiente de restitución en el impacto es e. Resp. (a) y (b) 172 = e2h1 ~ 3.316 El bloquecito A se desliza con rozamiento despreciable pendiente abajo del bloque inclinado que se mueve hacia la derecha a la celeridad constante v = va. Con el teorema de las fuerzas vivas hallar el módulo v A de la velocidad absoluta del bloquecito cuando éste pasa por C, si se suelta en B sin velocidad relativa al bloque. Aplicar el teorema desde el punto de vista tanto de un observador solidario del bloque como del suelo y conciliar ambos resultados.

Resp. v A

=

(v02 + 2g1 sen 8 + 2vo cos 8J2g1 sen 8)1/2

v

acelerado

11,0

e

1"

11'

1 I

1

1

,

Figura problema

' \

3.316

1 ,1 ,

le11'e1 ',

1

: ...." 1

'.•.....•J-

'

'

,

I ..•" _¡- -', .../

f-<--

Vertical

lativa respecto al primero.

eo = aolg Figura problema

~ 3.317 Repetir el problema 3.316 pero con el bloque llevando una aceleración constante aa hacia la derecha. La velocidad del bloque es va cuando el bloquecito se suelta sin velocidad re-

Resp.

3.314

vi

v02 + 2g1 sen 8 + 2 sen 8 (g cos

donde d = v

~ 3.315 Desde el reposo relativo al ascensor se deja caer una bola desde un altura 171 por encima del suelo. En ese instante,

J

o g

e + ao

sen 8)d

21

sen 8-ao cos 8 aol

+ ----~~----~ g sen 8- ao cos 8

a

el 10-

f

111

í 11 Vo

da

15 en ad

= ti

Figura problema

3.135

4

~ 3.318 Cuando se suelta una masa puntual desde el reposo relativo a la superficie terrestre en un punto de latitud y, la aceleración inicial aparente es la aceleración relativa debida a la gravedad grelo La aceleración absoluta g debida a la gravedad está dirigida hacia el centro de la Tierra. Deducir una expresión de grel en función de g, R, m y y, donde R es el radio de la Tierra supuesta esférica y m es la velocidad angular constante de la Tierra en su giro alrededor del eje que pasa por los polos supuesto fijo. (Aunque los ejes x-y-z estén unidos a la Tierra y por ello giren, puede emplearse la ecuación 3.46 en tanto que la masa puntual carece de velocidad relativa a x-y-z.) ilndica-

219


ción: Obtener os priObtener una una expresión expresión aproximada aproximada mediante mediante los d dos primeros meros términos términos del del desarrollo desarrollo binómico.) binómico.)

Resp. Res p.

grel =

g-Rw2cos2{1-~~)+ g-RoJcos2~1-~~)+ ...

= 9,825 9,825 - 0,03382 0,03382 cos22yy

mi s2


3.15 3.15

REPASO REPASO Y RESOLUCiÓN RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS PROBLEMAS

En este procedimientos fundamentales fundamentales este capítulo capítulo 3 hemos hemos desarrollado desarrollado los tres tres procedimientos para materiales. Esta Esta experiencia experiencia es para resolver resolver problemas problemas de cinética cinética de puntos puntos materiales. básica en en el estudio estudio de la Dinámica Dinámica y sirve sirve de fundamento fundamento para para el estudio estudio subsubbásica de los los deformables. deformables. Hemos Hemos siguiente siguiente de la dinámica dinámica de los cuerpos cuerpos rígidos rígidos y de comenzado aplicando aplicando la seglmda segunda ley de Newton Newton I.F = comenzado = ma a la determinación determinación de la relación aceleración que que producen. producen. UtiUtirelación instantánea instantánea entre entre las fuerzas fuerzas y la aceleración lizando lo aprendido aprendido en en el capítulo capítulo 2 para para identificar lizando identificar la clase clase de de movimiento movimiento y ayudándonos libre, que que ya nos nos es familiar, familiar, para para ayudándonos con con el diagrama diagrama para para sólido sólido libre, asegurarnos fuerzas, hemos podido resolver resolver asegurarnos que que se tienen tienen en en cuenta cuenta todas todas las las fuerzas, hemos podido una coordenadas x-y x-y y r-e r-e para para los los una gran gran variedad variedad de problemas problemas empleando empleando coordenadas problemas coordenadas x-y-z, x-y-z, r-B-z r-e-z y R-9-i/> R-e-I/> para para los problemas de movimiento movimiento plano plano y coordenadas problemas problemas tridimensionales. tridimensionales. segundo lugar, lugar, hemos hemos integrado ecuación fundamental En segundo integrado la ecuación fundamental de de movimienmovimiendesplazamiento y deducido deducido el teorema respecto al desplazamiento teorema de de las las fuerzas fuerzas vivito I.F == ma respecto cual nos nos permite permite relacionar relacionar las velocidades velocidades iniciales iniciales y finales finales con con el vas, el cual trabajo realizado realizado por por las fuerzas fuerzas exteriores exteriores al sistema sistema definido. definido. Este Este procediproceditrabajo miento fue ampliado ampliado para para incluir incluir la energía energía potencial, miento potencial, tanto tanto elástica elástica como como gragravitatoria. Empleando Empleando estos instrumentos instrumentos descubrimos estos descubrimos que que el método método vitatoria. energético es particularmente particularmente valioso valioso en en el caso energético caso de de los los sistemas sistemas conservativos, conservativos, decir, sistemas sistemas en en los cuales cuales las pérdidas pérdidas de de energía energía por por rozamiento rozamiento o por por es decir, otras formas formas de disipación disipación son son despreciables. despreciables. otras Seguidamente, escribimos escribimos de nuevo nuevo la segunda segunda ley de Seguidamente, de Newton Newton bajo bajo la forforma de igualdad igualdad entre entre la fuerza fuerza y la variación variación de ma de la cantidad cantidad de de movimiento movimiento por por unidad de tiempo, tiempo, y de igualdad igualdad entre entre el momento momento y la variación unidad variación del del momento momento cinético por por unidad unidad de tiempo. tiempo. A continuación, continuación, integramos relaciones cinético integramos esas esas relaciones para obtener obtener las expresiones expresiones del del impulso impulso y del para del impulso impulso angular angular en en función función de de cantidad de movimiento y del del momento momento cinético, la cantidad de movimiento cinético, respectivamente; respectivamente; estas estas expresiones fueron fueron luego luego aplicadas aplicadas a intervalos intervalos de presiones de movimiento movimiento en en casos casos en en que que fuerzas eran eran funciones funciones del del tiempo. tiempo. Además, Además, hemos las fuerzas hemos examinado examinado las las acciones acciones recíprocas entre entre puntos puntos materiales materiales para para las condiciones condiciones en en que que se conservan conservan la recíprocas cantidad d~ de movimiento movimiento y el momento momento cinético cinético . cantidad parte de este este capítulo capítulo 3 hemos hemos aplicado última parte aplicado los los tres tres métodos métodos funfun. En la última damentales a temas temas definidos. definidos. Concretamente, Concretamente, hemos damentales hemos visto visto que que el principio principio de de 220 220


221

cantidad de movimiento movimiento permite desarrollar cómodamente cómodamente conservación de la cantidad permite desarrollar puntuales. Seguidamente, Seguidamente, helas relaciones que rigen los choques entre masas puntuales. comprobado que la aplicación directa de la segunda segunda ley de Newton Newton posimos comprobado determinación de las prop(edades propiedades de la trayectoria trayectoria descrita por por una bilita la determinación una puntual sometida sometida a la acción de una una fuerza central. Finalmente, hemos masa puntual cualquiera de los tres procedimientos procedimientos fundamentales fundamentales es aplicable al visto que cualquiera movimiento de una masa puntual puntual relativo a un sistema de referencia en traslación. Es evidente que para para resolver acertadamente acertadamente problemas problemas de cinética del Es evidente indispensable conocer la cinemática del punto punto material es condición indispensable punto material. Análogamente, Análogamente, los desarrollos desarrollos analíticos asociados a los sistemas de terial. materiales y a los sólidos rígidos, a los que se dedica el resto de esta DiDipuntos materiales dependen fuertemente fuertemente de los principios fundamentales expuestos expuestos en námica, dependen principios fundamentales 3. este capítulo 3.

REPASO Y RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE 3.15 REPASO PROBLEMAS PROBLEMAS

PROBLEMAS DE DE REPASO REPASO PROBLEMAS 3.319 Un contrapeso contrapeso de equilibrado equilibrado de 30 30 g se sujeta a una de 3.319 las superficies verticales de la llanta de una rueda rueda mediante mediante un las adhesivo. A continuación, continuación, la rueda rueda se comprueba comprueba en la máquiequilibrad ora. Si el adhesivo adhesivo puede puede soportar soportar una fuerza na equilibradora. 80 N, hallar hallar la velocidad velocidad de rotación constante máxima de 80 contrapeso no se desprende. desprende. Se Se supomáxima N para la que el contrapeso velocidad son muy graduales. graduales. ne que los cambios de velocidad Resp. N == 1177 1177rpm rpm

F,N F,N

,

,r- ---',

t= O

t = 1,5 s

4m/s/s 4m

,

,

r- - - - l

'r<

v'

----

10

v

'u-

8

r,.!

O

~0,4 *1 ~0,4 ~0,4 *1 O ~0,4 t,i, s problema 3.320 Figura problema

1,5

3.321 La caja se halla en reposo en el punto punto A cuando cuando recibe 3.321 empujón cuesta abajo. abajo. Si Si el coeficiente de rozamiento rozamiento un empujón rampa es 0,30 0,30 entre A y B Y Y0,22 cinético entre la caja y la rampa 0,22 entre hallar su celeridad celeridad en los puntos puntos B y C. C. B y e, hallar Resp. Vs vB = = 2,87 2,87 m mii s, ve ve = = 1,533 1,533mi mis

= = 0,28 0,28 I1c = 0,22 0,22 f.!c=

f.!e l1e


B

instante t == O, O,el mueve libremen3.320 En el instante el carrito de 2 kg se mueve horizontal a la celeridad celeridad de 4 m mii s. s. Una fuerza aplite sobre la horizontal opuesto al movimiento movimiento produce produce dos cada al carrito en sentido opuesto muestra la gráfica "picos" de impulso, uno tras otro, tal como muestra instrumento que midió las fuerzas fuerzas.. Utilizar las de lecturas del instrumento aproximación de las fuerzas y determidetermilíneas de trazos como aproximación velocidad v del carrito para para t == 1,5 1,5 s. nar la velocidad

e

~k-7m~ problema 3.321 Figura problema

3.322 Seis Seis esferas iguales están están dispuestas dispuestas como se muestra muestra izquierdo se sueltan sueltan en la figura. Las dos esferas del extremo izquierdo


desd posicio nes indicad as en trazos y golpean desdee las posiciones indicadas golpean a la esfera 33 con endo que el coeficie con la la celerida celeridadd VI VI.' Suponi Suponiendo coeficiente nte de restiturestitución común sea e == 1, ción 1, explica explicarr por qué del extremo derecho sasalen celerida d VI len dos dos esferas con la celeridad VI y no una sola esfera con la la celerida celeridadd 2vI. 2 VI '

,, ,, ,, , ,,, ,, ,, ,, , ,, 1

1

1 1 1

1

1

1 1 1


... -.!., " ,.....--.!...!. ,/ ....-..:.\ /

f 1\

,,,

//

ff ,\ l'" ,,

--' ---V¡ V1

3.325 3.325 Para la órbita elíptica en torno a la Tierra de un un ingenio espacia l, hallar hallar la celeridad celerida d V A en el punto espacial, punto A que produzca produz ca una una altura 200 km. ¿Cuál es la excentricidad altura de perigeo perigeo de 200 excentr icidad ee de de la la órbita? Resp. VI Resp. VI = = 7451 7451mi 0,0295 mI s, e == 0,0295

VI


, .. ,

f" f

..

3.323 te k se compri 3.323 El El resorte de constan constante comprime me y se suelta de de rerepente, haciend partícul a de masa m salga resbala pente, haciendoo que la partícula resbalando ndo por la pista. pista. Hallar la mínima compre por compresión la sión 8 del resorte resorte para para la cual partícul a no pierde cual la partícula pierde contact contactoo con el tramo de la tramo rizado rizado de la ie de la pista es lisa a excepción pista. La superfic superficie excepci ón del tramo tramo rurugoso longitu d s == R, R, donde donde el coeficie goso de longitud coeficiente rozamiento nte de rozamie nto cinético vale 11e/le'

Resp. Resp. 8

= =

E

VA

¡I

/'

A ...- e

"""" '\

\

6bOkm

\0. :

mgR(5 + 2/l) mgR{5 211e) kk

\

t

!

"'"

B B

\

--- B

7

..-/

I

1200km


8

3.326 últimas apariciones aparicio nes del cometa Halley tuvieron 3.326 Las dos últimas tuviero n lugar y 1986. Su distanc lugar en 1910 1910y 1986.Su distancia ia de máxima aproximación aproxim ación al al Sol Sol es es más o menos igual a la mitad mitad de la distanc distancia Tieia entre entre la la Tierra y el Sol. Hallar la distanc rra Sol. Hallar distancia Sol. Desia máxima máxima del cometa al Sol. Despreciar los efectos gravitatorios gravitat orios de los demás preciar d emás planetas. planetas. 3.327 bloque A de 3 kg se abando 3.327 El bloque abandona na en reposo en la posiposición de 60° indicada indicad a y choca luego con el carrito B de ción kg. Si Si d e 1 kg.

k~

~ m A

I+s=R+1

Zona rugosa rugosa !le Zona l1e Figura problema problem a 3.323

3.324 nta un embrag 3.324 En la figura se represe representa embrague centrífugo consue centrífu go constituido, tituido, en parte, por una cruceta rotatoria impulsa cuacuarotatori a A que impulsa tro émbolo B. Cuando tro émboloss B. Cuando la cruceta empiez empiezaa a girar en torno aa su su centro a la celerida celeridadd 0), m, los émbolos émbolo s se mueven mueven hacia afuera afuera yy empuja n contra la superfic empujan superficie interior de e haciéndola ie interior d e la rueda rueda C haciénd ola girar. La rueda girar. rueda y la cruceta son independientes, indepen dientes , salvo el rozarozamiento o. Si miento de contact contacto. Si la masa ddee cada émbolo es 2 kg Y Ysu censu centro de masa está en G, coeficiente de rozamiento tro G, y si el coeficiente rozamie nto cinético entre los émbolos émbolo s y la rueda ru eda es 0,40,calcular entre 0,40, calcular el momento momen to máxim áximo M puede transmitirse transmi tirse a la rueda mo M que que puede para una rueda e C para una celeridad celerida d de la cruceta de 3000 3000 rpm.

222



en el choque el coeficiente de restitución es e = 0,7,hallar hasta qué distancia s el carrito B rebasa el punto C. Despreciar el rozamiento. Resp. s = 2,28 m 3.328 La bala de 60 g se dispara a los dos bloques que descansan sobre un superficie con la cual el coeficiente de rozamiento cinético es 0,5. La bala atraviesa el bloque de 8 kg Yse queda alojada en el bloque de 6 kg. Los dos bloques se desplazan las distancias que se indican. Calcular la velocidad inicial v de la bala.

v

----+-

I

la

I

)

~:;.::'

60g~====~==~====~~~~'~~~ 0,50 11-«<----- ---->1 u¿ =

1,2 m

Figura problema

3.328

I rEO

I

~

El auto A comienza a patinar

=

~JgR, xmin

L

Colisión

15 m

Vista lateral

I

m:::::I11

I

B

15 m----o>~--

3.330

Figura problema

3.331 La esferita de masa m está unida mediante una cuerda a un pivote O y describe una circunferencia de radio r sobre el plano liso inclinado un ángulo e respecto a la horizontal. Si en la posición más alta A la esferita tiene una celeridad u, hallar la tracción T que sufre la cuerda cuando la esferita pasa por las posiciones B a 90° y e abajo. Resp. T B Te

3.329 Una persona lanza a rodar una bola con celeridad u desde el punto. A del suelo. Si x = 3R, hallar la celeridad u necesaria para que la bola retorne a A tras rodar por la superficie semicircular entre B y e y describir una trayectoria balística desde C. ¿Cuál debe ser el valor mínimo de x para que pueda lograrse el juego si el contacto debe mantenerse hasta el punto C?Despreciar el rozamiento. Resp. u

Vista desde arriba

1

2

e) 2 = m (Ur + 5g sen e)

=

m(Ur

+ 2g sen

= 2R

e 3.331

Figura problema n

al

3.332 La pella de masilla de 2 kg cae desde 2 m sobre el bloque de 18 kg inicialmente en reposo sobre los dos resortes, de

_---x---->~IB l-

Figura problema

2kg

3.329

Si 3.330 Un accidente de automóviles ocurre así: El conductor de un automóvil de tamaño normal (vehículo A, 1800kg) viaja por una calzada horizontal seca, acercándose a un automóvil pequeño (vehículo B, 900 kg) parado. Exactamente 15 metros antes de la colisión, el conductor aplica los frenos y hace patinar las cuatro ruedas. Tras el choque, el vehículo A patina 15 metros más y el B, cuyo conductor tenía los frenos aplicados a fondo, patina 30 metros. En la figura se representan las posiciones finales de los vehículos. Siendo 0,9 el coeficiente de rozamiento, ¿estaba el conductor de A rebasando el límite de velocidad de 90 km/h antes de aplicar los frenos?

I ----J

2m

81 :::k

:::k

k= 1,2 kN/m

Figura problema

3.332

223


constante k = 1,2 kN / m cada uno. Calcular la compresión adicional 8 de los resortes a causa del impacto de la masilla que se adhiere al bloque al contactarlo. 3.333 Sobre una autopista situada en el ecuador, en dirección este-oeste y a nivel del mar, viaja un automóvil de masa m a la celeridad VI. Si la autopista sigue la curvatura terrestre, deducir una expresión para la diferencia M entre la fuerza total que sobre las ruedas del vehículo ejerce la calzada cuando el mismo viaja en sentido este y cuando viaja en sentido oeste. Hallar el valor de /:"P para m = 1500 kg Y o, = 200 km/h. La velocidad angular w de la Tierra es 0,7292(10 - 4) rad/ s. Despreciar el movimiento del centro de la Tierra.

3.336 Con () = 0° el sistema se abandona desde el reposo. La cuerda de la que cuelga el cilindro de 1,5 kg esta arrollada y sujeta en la polea liviana O de 50 mm de diámetro, de la cual son solidarios los brazos de masa despreciable con sus esferas de 2 kg. Los centros de éstas distan 250 y 375 mm del eje que pasa por O. Hallar la velocidad hacia abajo del cilindro cuando ()= 30°.

25mm

Resp. M = - 4mwvr, /:"P = -24,3 N 3.334 El tubo hueco cuarto-circular de sección circular parte del reposo en el instante t = O Ygira alrededor de O en un plano horizontal con una aceleración angular constante antihoraria = 2 rad / s2. ¿En qué instante t se deslizará respecto al tubo la partícula P de 0,5 kg? El coeficiente de rozamiento estático entre la partícula y el tubo es fle = 0,8.

o

e

2 kg

Figura problema

3.336

11 1

e

1

¡ Figura problema

3.334

3.335 Un lanzador de béisbollanza una pelota rápida con una velocidad horizontal de 145 kml.h. El bateador consigue una carrera completa al batear por encima de la valla del campo. La pelota de 146 kg recorre una distancia horizontal de 110 m, con una velocidad inicial en la dirección a 45° que se indica. Hallar el valor de la fuerza media Fmed que el bate ejerce sobre la pelota durante el contacto de 0,01 s entre ambos cuerpos. Despreciar la resistencia del aire durante el vuelo de la pelota. Resp. Fmed = 987 N

3.337 El cursar lleva una celeridad de 3 m / s al pasar por el punto A de la guía, la cual se halla en un plano vertical. El coeficiente de rozamiento cinético entre el cursar y la guía es flc = 0,6. Calcular la desaceleración tangencial a¡ del cursar inmediatamente después de pasar por A si (a) el orificio del cursar y la sección de la guía son ambos circulares y (b) si orificio y sección de la guía son ambos cuadrados. En el caso (b), los lados del cuadrado están verticales y horizontales. Se supone que entre el cursar y la guía hay un leve huelgo. Resp. (a)at =-10,75m/s2, (b)at=-14,89m/s2

(a)

/

\(i A

y

Figura problema

Bate Figura problema

3.335

I\

,_/

/'


¿

-4'

/"'"

~'N...y~ q"'9k.../~·97·7

O O "+----

\~. ~

e

3.337

3.338 En muchos ambientes se ha extendido el deporte del "puenting". En el caso que se ilustra, un hombre de 80 kg salta desde el punto A del puente con la cuerda elástica sujeta a sus tobillos atados y cae 20 m antes de que los diecisiete metros elásticos de aquélla comiencen a estirarse. Los tres metros no elásticos del extremo superior de la cuerda no se estiran apreciablemente. Se observa que el hombre cae una distancia total

224

~
(b)

las Desprec iar las aHiba. Despreciar hacia arriba. de antes de ser proyectado proyect ado hacia de ser m antes 44 m de 44 adora recuper te constan la pérdidas de energía y calcular la constante recuperadora kk (a) calcular energía de pérdida s ad velocid (b) , elástica por metro de longitud de la cuerda elástica, (b) la velocidad cuerda la de d longitu de metro por acelecaída y (e) su máxima que alcanza el hombre su caída su aceleen su hombre en máxima vvOlax m ax que alcanza partíuna como tratarse como una partíración máxima amax . El hombre puede tratarse hombre puede ración máxima m ax ' cuerda. de la cuerda. cula sujeta sujeta al extremo extremo de cula

de prueba de de prueba vil de 3.340 automóvil nuevam ente el automó represe nta nuevamente Se representa 3.340 Se velocila velocideterm inado que ha determinado choques que la 2.30 y se ha problem a 2.30 del problema choque s del de es de vehícul o es del vehículo masa del la masa dad de impacto 38,9 km/h. km/h. Si la de 38,9 era de impacto era dad de la calcular m, 0,8 m, calcular la = 0,8 1100 aplasta xx = se aplasta delante ra se parte delantera su parte Y su kg Y 1100 kg dulo obstácu el contra obstáculo dufuerza ejerce contra mismo ejerce el mismo que el med que Fmed media F fuerza media no med no Fmed mueve, F no se mueve, rante obstácu lo no que el obstáculo Dado que impacto . Dado el impacto. rante el ramos conside , análisis al ación trabaja. Como primera aproximación análisis, consideramos trabaja. Como primera aproxim indilas indicomo las partes como dos partes que compuesto sto ddee dos está compue automó vil está el automóvil que el duranm 0,8 mueve kg, cadas. La parte intacta, de masa 650 kg, se mueve 0,8 m duran650 masa de cadas. La parte intacta, parte La parte de 8g. La media de te el choque des aceleración eración media una desacel con una choque con te el llemasa de centro su kg acordeonada tiene una masa de 450 kg Y centro de masa llede masa una tiene da ona acorde parte cada ndo analiza med F va una desaceleración de 4g. Hallar med analizando cada parte Hallar de eración desacel una va durante el de energía por separado o yy determinar energía !'lE !lE durante el pérdida de determ inar la pérdida por separad choque. choque.

--

38,9 km/h ~==~.-3~S~,9-km/h

~ "---

650kg 6_5_0 _kg

kg 450 kg I 450

Sg 8g

4g

1

\O,S.\

n

3.338 Figura problem problemaa 3.338 Figura

3.339 satélite en satélite en en órbita órbita elípelípcircular A y el satélite órbita circular en órbita El satélite 3.339 El masas de las Si C. punto tica colisionanan y se incrusta incrustan n en en el punto las masas de B colision tica B órbita rela órbita ambos son son iguales, iguales, hallar altitud máxima máxima hmax de la rehallar la altitud max de ambos sultante. . sultante

km Resp. 1438 km = 1438 Resp. hmax m ax =

Figura problemaa 3.340 3.340 Figura problem

proes prorecreati va es máquin a recreativa 3.341 El El objeto objeto del del juego de una una máquina juego de 3.341 Cuando agujero E. Cuando por el agujero entre por yectar la modo que que entre de modo partícul a de la partícula yectar partícul a la partícula se comprime resorte y se repentin amente , la suelta repentinamente, se suelta el resorte me el se compri Be, rugoso tramo el salvo tramo rugoso Be, es por la pista, lisa salvo que es lisa pista, que lanzada por es lanzada punel En /le' cinético nto donde hay un coeficiente de rozamiento cinético J.1e En el pundonde hay un coeficie nte de rozamie la compre Hallar la proyect il. Hallar to en un compre- un proyectil. convier te en partícu lase convierte la partícula-se D la to D el en el entre a partícul que sión (5 del resorte necesaria para que la partícula entre en para ia sión 8 del resorte necesar

d~1 * Dr\---d-\

;>1- O

el

----", ¡E --- -----, ¡E

la

11

A

Zona ru gosa

Agujero Agujero

)le

3.341 Figura problem problemaa 3.341 Figura

Figura problema 3.339 problema 3.339 Figura

225


agujero E. Establecer las condiciones condiciones que deben cumplir cumplir las longitudes longitudes dd y p.

/5 = = Resp. 8

T[g: +

+ 2p(1 2p(1 + Ilcc)] )]

d? d e 2J2p 2J2p

3.342 Un lanzamiento pelota dé en el punto punto lanzamiento largo hace que la pelota Y después contra el suelo en el punpunA del muro muro (donde (donde el el = = 0,5) 0,5)Ydespués (donde e2 e2 = = 0,3). situado fuera del cuadro to B (donde 0,3). El jugador jugador situado cuadro desea recoger la pelota cuando alla a 1,2 cuando ésta se hhalla 1,2 m sobre el suelo y a por delante 0,6 0,6 m por delante suyo, tal como se muestra. muestra. Hallar Hallar a qué dismuro debe situarse situarse para pelota en esas tancia x del muro para recoger la pelota condiciones. condiciones. Adviértase Adviértase que hay dos soluciones soluciones posibles.

~ ~ 3.344 Las fuerzas retardadoras retardadoras que actúan actúan sobre un auto de aerodinámica Fo Fo Y Yuna carreras son la resistencia aerodinámica una fuerza nnoo aerodinámica FR. La primera Fo = = Coo(( ~p donde Coo es el cocorodinámica primera es Fo ~p v22)S, )S, donde eficiente aerodinámico, aerodinámico, p es la densidad densidad del aire, v es la celeridad del auto y S == 2,8 2,8 m 2 es la superficie frontal proyectada del vehículo. La fuerza no aerodinámica aerodinámica FFRR se mantiene mantiene constante plancha metálica en buen buen estado, el constante a 900 900 N. Con la plancha automóvil tiene un coeficiente aerodinámico aerodinámico C o == 0,3 0,3 Y Yuna una veautomóvil 320 km km/h. un choque leve, la plancha locidad máxima v == 320 / h. Tras un dañada parte delantera dañada de la parte delantera hace que el coeficiente aerodináaerodinámico pase a C Co' == 0,4. 0,4. ¿Qué velocidad velocidad máxima v' corresponde corresponde a este nuevo nuevo valor del coeficiente aerodinámico? aerodinámico? Resp. 293 km km/h Resp. v' == 293 /h

. B

----------------I - - - - - - - - - - xx

Figura problema problema 3.342 Figura problema problema 3.344

3.343 Una de las misiones de la lanzadera lanzadera espacial es colocar satélites de comunicaciones comunicaciones a baja altura. En B se enciende enciende un un cohete de refuerzo refuerzo y el satélite se coloca en una una órbita elíptica de cambio, cuyo apogeo tiene la altitud para el altitud necesaria necesaria para geosincronismo. (Una órbita geosíncrona geosíncrona es una una órbita circular geosincronismo. situada p eríodo coincide con el situada en el plano plano del ecuador ecuador cuyo período período de la rotación período rotación absoluta absoluta de la Tierra, de tal modo modo que un un estacionario a todo observasatélite en esas condiciones parece parece estacionario dor solidario solidario de la Tierra.) Seguidamente, Seguidamente, en C, C, se enciende enciende un segundo segundo cohete de refuerzo refuerzo y se consigue la órbita final. En una de las primeras primeras misiones de la lanzadera, lanzadera, desde ésta se lanB, donde donde h1l == 275 275 km, un un satélite de 700 700 kg. El cohete de zó en B, refuerzo debía actuar actuar durante durante t == 90 90 segundos, segundos, formando formando una una refuerzo 900 km. El cohete se averió duranduranórbita de cambio con h22 == 35 900 funcionamiento y las observaciones observaciones de radar radar determinadeterminate su funcionamiento altura de apogeo de la órbita órbita de cambio fue sólo de ron que la altura 1125km. Hallar el tiempo durante el cual el motor motor cohete 1125 km. Hallar tiempo real t' durante supone que la pérdida funcionó antes de averiarse. Se supone pérdida de masa durante el funcionamiento funcionamiento del del.. cohete de refuerzo refuerzo es despreciadespreciadurante .. cohete ble. Resp. itI' == 8,47 Resp. 8,47 s

~ 3.345 Se comunica una elevada elevada velocidad velocidad inicial, inicial, en el pla~ no horizontal, a la pequeña pequeña partícula partícula de masa m que enrolla la

226


o ! 11

~~I

11 I

i

O


cuerda en el eje vertical fijode radio a. Si la velocidad angular de la cuerda es % cuando la distancia de la partícula al punto de tangencia es 7"0' hallar la velocidad angular O) de la cuerda y su tensión Tcuando ha girado un ángulo 0). ¿Qué principio de conservación se aplica? ¿Por qué? Resp.

O)

=

duzca a 5 km/h desde una inicial de 90 km/h. Se supondrá que la calzada es horizontal y recta y que no hay viento. Resp. P45 = 2,11 kW, P90 = 11,25 kW t = 250 s, s = 1775 m

wa a

1--e 7" o

r

// l/

270

Z

~ 3.346 Para un automóvil de 1000 kg se han efectuado extensos estudios en tunel de viento y en marcha por propia inercia, los cuales revelan que la resistencia aerodinámica FD y la fuerza no aerodinámica de resistencia a la rodadura FR varían con la celeridad según se muestra en las curvas. Hallar (a) la potencia P requerida para mantener velocidades constantes de 45 y 90 km/h y (b) el tiempo t y la distancia s que necesita el vehículo para que su celeridad, a motor desembragado, se re-

.

'"

FR (recta)

~ ;::l ~

A //

180

N

/

90

FD (parábola)

//

/ o

/

O

/' ./'"' ........ 30

60

90

120

Velocidad u, km/h Figura problema

3.346

*PROBLEMAS ESPECIALES PARA ORDENADOR

*3.347 Retornamos al tambor giratorio del problema 3.81. El tambor de 650 mm rota en torno a un eje horizontal con una velocidad angular constante O = 7,5 rad/ s. El pequeño bloque A carece de movimiento relativo a la superficie del tambor cuando pasa por la posición inferior en que e = O.Hallar el coeficiente de rozamiento estático f.le que permitiría deslizarse al bloque en una posición angular e; representar gráficamente el resultado en el intervalo O:s; e:s; 180°. Hallar el coeficiente mínimo requerido f.lmin para que el bloque permanezca fijo con relación al tambor durante una vuelta completa de éste. Para un coeficiente de rozamiento levemente menor que f.lmjn ¿a qué valor de e se iniciaría el resbalamiento? Resp. f.lmin= 0,636, e = 122,5°

figura, representar gráficamente la posición del punto e para el intervalo de valores del coeficiente de restitución 0,5:S;e:S;0,9. (El valor de e es común a A y B.) ¿Para qué valor de e es x = O en el punto C, y cuál es el correspondiente valor de y?

A

~==~==========;===========~--x 1 ..----tm -----.1 Figura problema

3.348

Q=7,5rad~

*3.349 El péndulo simple de longitud 1 = 0,5 m posee una velocidad angular o = 0,2 rad / s en el instante t = O,en que e = o.

e

"

r=325mm

eo = 0,2 rad/ s Figura problema

3.347

*3.348 La tenista se ejercita lanzando la pelota contra la pared A. La pelota rebota en B en el suelo de la cancha y se eleva hasta su máxirn'a altura C. Para las condiciones indicadas en la


Figura problema

3.349

Deducir una expresión integral que define define el Deducir una expresión integral para para el instante instante t que momento posición angular momento en en que que se alcanza alcanza la posición angular arbitraria arbitraria e. e. Representar gráficamente gráficamente t en en función función de de presentar

o8

ff

Resp. 0,5 o o Resp. t = 0,5

O~ e~ ~. ee para para O ~e

de J 9,81 sen J9,81 sen

ee + 0,01 0,01

0,409 s s 'r t = 0,409

O~ adhesivo falla cuando cuando la fuerza fuerza cortante cortante F alcanalcanO ~ t ~ 5 s. Si el adhesivo instante t y la posición posición angular za los 30 30 N, determinar determinar el instante angular e e en en que tiene lugar el fallo. que tiene lugar fallo . Resp. 3,40 s, e e == 663° 663° Resp. t = = 3,40 *3.352 El mecanismo en un *3.352 mecanismo representado representado se halla halla en un plano plano ververtical en reposo en la posición 60°, para cual el resorte tical y en reposo en posición e == 60°, para la cual resorte

e

En la figura figura se representa otra vez atracción de ferepresenta otra vez la atracción problema 3.68. 3.68. Hallar gráficamente el ánria del problema Hallar y representar representar gráficamente gulo e e en función función de la velocidad O~ velocidad de de rotación rotación N para para O ~ N ~ 10 gulo rpm. l~s masas masas de brazos a los que rpm. Despreciar Despreciar las de los brazos que están están sujetas sujetas las góndolas tratar éstas masas puntuales. góndolas y tratar éstas como como masas puntuales. Calcular Calcular el valor de e e para para N'; N ~ 8 rpm. rpm. valor

-*3.350 '*3.350

tiene su natural y desde que se suelta. Representar tiene su longitud longitud natural desde la que suelta. Representar gráficamente en en función función de e la celeridad celeridad de de la esfera esfera de 5 kg Y gráficamente hallar (a) la celeridad máxima de la esfera valor de hallar celeridad máxima esfera y el valor de e e correscorrespondiente ángulo máximo e que que gira gira la barra. pondiente y (b) el ángulo m áximo e barra. Pueden Pueden despreciarse el rozamiento de las barras. despreciarse rozamiento y la masa masa de barras.

e

II

375 mm 375mm

J

problema 3.352 Figura problema 3.352 problema 3.350 Figura problema 3.350

de 9 kg kg se sujeta de La esfera esfera A de sujeta formando formando el ángulo ángulo de 60°, tal como como se representa, después se suelta suelta y golpea golpea a la es60°, representa, y después fera este choque choque el coeficiente coeficiente de de restitución restitución es fera B de 4,5 4,5 kg. kg. En este 0,75. La esfera esfera B está está unida extremo de de una e == 0,75. unida al extremo una varilla varilla liviana liviana giratoria en torno alargar torno al punto punto O. Estando Estando inicialmente inicialmente sin alargar giratoria en de constante constante k == 1,5 1,5 kN, ángulo máximo e el resorte resorte de kN, hallar hallar el ángulo máximo e que gira gira la varilla choque. que varilla tras tras el choque. Resp. e 21,4° Resp. e == 21,4°

*3.353 *3.353

aquí un sistema similar similar al del del problema Se representa representa aquí un sistema problema 3.67. placa cuadrada halla en reposo en la posición posición A en 3.67. La placa cuadrada se halla en reposo en el instante Y después un movimiento movimiento de traslación traslación instante t == O OY después ejecuta ejecuta un siguiendo una circunferencia vertical de siguiendo una circunferencia vertical de acuerdo acuerdo con con e e == kt22,, donde k == 1 rad s2, el desplazamiento desplazamiento e e está está en en radianes donde rad / s2, radianes y el tiempo t está está en en segundos. segundos. Un instrumento P de 0,4 0,4 Un pequeño pequeño instrumento tiempo kg se fija temporalmente temporalmente a la placa placa con un adhesivo. Represencon un adhesivo. Representar erza cortante requerida en tiempo t para para tar la fu fuerza cortante F requerida en función función del del tiempo

*3.351 *3.351

A

k-600mm~ k--600mm~ Figura problema problema 3.353 3.353


228 228


Los ensayos en tunel de viento para determinar la resistencia de cierta esfera de 0,1 kg en una corriente de aire a baja velocidad dan como resultado la curva que se representa con trazo lleno. Si la esfera se suelta desde el reposo en aire encalmado, emplear esos datos para predecir su velocidad v trasuna caída de 10 m desde el reposo. Multiplicar por dx la ecuación de movimiento y reescribirla como ecuación en diferencias finitas a intervalos de un metro. A continuación, despejar v aproximando la información de la gráfica mediante la expresión analítica R = kv2, para la cual la concordancia en v = 6,5 mi s representa una media aceptablemente compatible con los datos experimentales dentro de la zona considerada. (Véase que de la curva resulta k = 0,0133N·s2 1m2.)

2,0

*3.354

1,6

z¡:¿

T-----

/

x

1/

LO

/

1,2

m =0,1 kg

í/ /

,,

0,8

,/

~,

0,4

°°

~ 1

[.Y

2 3 4

5 6 7 8 v, mis

9

10


229



Ladinámica dinámica de de un un conjunto conjunto de de masas masas oode de un un sistema sistema material material cualquiera, cualquiera, es esuna una generalización generalización de de la la dinámica dinámica de de La una masa masa puntual puntual yysu su desarrollo desarrollo conduce conduce aalas lasecuaciones ecuaciones de de traslación traslación yyrotación rotación que que describen describen elelmovimiento movimiento de de una los cuerpos cuerpos tanto tanto rígidos rígidos como como deformables. deformables. La Lalanzadera lanzadera espacial espacial con con sus sus cohetes cohetes auxiliares auxiliares de de refuerzo refuerzo desprendesprenlos dibles yysu su combustible combustible consumible consumible constituye constituye un un excelente excelente ejemplo ejemplo de de sistema sistema no no rígido rígido con conpérdida pérdida másica. másica. dibles


232 CINÉTICA C1NÉTICA DE DE LOS LOS SISTEMAS SISTEMAS DE DE PUNTOS PUNTOS MATERIALES MATERIALES

4.1 4.1

En los dos capítulos precedentes fundamentos de la dinámica precedentes se trató de los fundamentos del movimiento movimiento de un punto punto material. Aun Aun cuando cuando en el capítulo capítulo 31a 3 la atención se centrara un solo punto, punto, al estudiar estudiar los teocentrara principalmente principalmente en la cinética de un remas de las fuerzas vivas y de la cantidad cantidad de movimiento movimiento se hizo una una breve referencia al movimiento puntos materiales, considerando considerando que juntos juntos movimiento de dos puntos formaban desarrollo de la Dinámica va a ser formaban un sistema. El paso siguiente siguiente en el desarrollo extender movimiento de un un solo punto punto material material a la desextender esos principios principios del movimiento cripción del movimiento un sistema puntos materiales. Esta ammovimiento de un sistema general de puntos pliación dota de unidad apartados restantes restantes de este libro, lo cual nos unidad a los apartados permitirá cuerpos rígidos y también también del movimiento permitirá tratar tratar del movimiento movimiento de cuerpos movimiento de sistemas no rígidos. Se recuerda recuerda que un un cuerpo cuerpo rígido es un un sistema de punpunmutuas permanecen tos cuyas distancias mutuas permanecen esencialmente esencialmente invariables. invariables. Los movimientos globales que se dan dan en máquinas, máquinas, vehículos vehículos terrestres terrestres y aéreos, cohetes y naves especiales y otras muchas muchas estructuras estructuras móviles, constituyen constituyen problemas de cuerpos rígidos. ejemplos de problemas rígidos. En cambio, un un cuerpo no rígido puede ser un sólido del que interese estudiar puede estudiar la dependencia dependencia del tiempo tiempo de las debidas a deformaciones, variaciones de forma debidas deformaciones, elásticas o no. O bien, podemos podemos dada compuesta lídefinir como cuerpo no rígido a una una masa dada compuesta por por partículas partículas líquidas o gaseosas animadas animadas de una quidas una velocidad velocidad de circulación dependiente dependiente del tiempo. Como ejemplos tendríamos tendríamos el aire y el combustible tiempo. combustible que circulan circulan por la turbina de un motor de avión, los gases quemados turbina quemados que salen por la tobera del motor de un cohete o el agua que atraviesa atraviesa una una bomba bomba rotatoria. Aunque la ampliación ampliación de las ecuaciones del movimiento Aunque movimiento de una una partícula partícula única a un sistema general de partículas partículas se lleva a cabo sin dificultades dificultades excesiexcesivas, no es posible confiar en que pueda pueda comprenderse comprenderse toda la generalidad generalidad e importancia de esos principios principios ampliados importancia ampliados sin una una experiencia experiencia considerable considerable en resolución de problemas. problemas. Por ello, recomendamos la resolución recomendamos vivamente vivamente que se repasen repasen durante lo que queda con frecuencia, durante queda del estudio estudio de la Dinámica, los resultados resultados obtienen en los apartados siguientes. De ese modo, la unidad generales que se obtienen apartados siguientes. unidad subyacente en estos principios principios más amplios subyacente amplios de la Dinámica Dinámica se perfilará perfilará mejor conseguirá una una visión más amplia y se conseguirá amplia del tema. 4.2

II II II

r.II ' r·

i

II II II II II

o ""

,-, ,-,

sistema Contorno del sistema Contorno

,-, Figura 4.1


GENERALIZACiÓN DE DE LA LA SEGUNDA LEY LEYDE NEWTON GENERALIZACIÓN DE NEWTON

Extenderemos ahora la segunda segunda ley de Newton teoremas de las fuerzas Extenderemos Newton y los teoremas cantidad de movimiento vivas y de la cantidad movimiento de un un punto punto material material para para que cubran un un sistema genérico de n puntos puntos materiales materiales limitados limitados por por una una superficie cerra(fig. 4.1). 4.1). Dicha superficie límite podría da en el espacio (fig. podría ser, por ejemplo, la sucuerpo rígido dado, la superficie limitad perficie exterior de un cuerpo limitad ora de una porción arbitraria arbitraria del cuerpo, la superficie exterior de un porción un cohete que contenga cuerpos tanto rígidos como deformables deformables o un volumen volumen particular particular de partículas partículas sistema considerado de un fluido. En cada caso, el sistema considerado es la masa masa interior interior a la envoltura y dicha masa debe definirse o aislarse claramente. voltura En la figura 4.1 se representa representa un un punto punto material material de masa mi, m;, aislado del sistema del que forma parte, con las fuerzas Fl' F1, F2' F2, F3' F3, .....,., que sobre él ejercen agenexteriores al contorno contorno del sistema, y las fuerzas fl! ... , que sobre él tes exteriores f l1 f22,, f33,, ... interiores al contorno. Las fuerzas exteriores se deben ejercen agentes interiores deben al contacsistema o bien to con cuerpos externos al sistema bien son fuerzas gravitatorias, gravitatorias, eléctricas o interiores son de reacción con otros puntos magnéticas. Las fuerzas interiores puntos materiales materiales


interiores al contorno del sistema. La posición de mi la define su vector de posición T¡medido desde un sistema inercial de ejes de referencia fijos'! El centro de masa G del sistema de puntos materiales aislado lo determina su vector de posición r que, según la definición de centro de masa tal como vimos en Estática, está dado por

a. n

e

mi

= I,m¡T¡

donde la masa total del sistema es m = Em; El signo sumatorio I, representa una suma I,I'= 1 que se extiende a la totalidad de los n puntos materiales. La segunda ley de Newton aplicada a mi da

s o

Fl + F2 + F3 + .. - + f1 + f2 + f3 + ...

donde r¡ es la aceleración de mi- Para cada punto del sistema puede escribirse una ecuación análoga. Si estas ecuaciones, escritas para todos los puntos del sistema, se suman todas miembro a miembro, resulta

i-

s, n

I,F + I,f = I,m¡r¡

o s s

Resulta entonces que el término I,F se convierte en la suma (vectorial) de todas la fuerzas que los agentes exteriores al sistema ejercen sobre todos los puntos materiales del sistema aislado, mientras que I,f se convierte en la suma (vectorial) de todas las fuerzas que actúan sobre todos los puntos materiales debidas a las acciones internas y a las reacciones entre los puntos materiales. Esta última suma es idénticamente nula siempre, ya que las fuerzas interiores aparecen siempre dos a dos opuestas, pues son acción y reacción. Derivando dos veces respecto al tiempo la ecuación de definición de r , se tiene mi = I,Fmir¡, donde m carece de derivadas respecto al tiempo puesto que no hay masa que entre o salga del sistema.f Sustituyendo en la suma de las ecuaciones del movimiento se tiene

el la

el a l-

e n n

~ I,F

s d

as

as n-

is-

m.i¡

=

mi

o sea

I,F

=

ma

(4.1 )

donde a es la aceleración i del centro de masa del sistema. La ecuación 4.1 es la segunda ley de Newton generalizada para el movimiento de un sistema de puntos materiales y lleva el nombre de ecuación del movimiento de m. La ecuación dice que la resultante de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre un sistema cualquiera de puntos materiales es igual al producto de la masa total del sistema por la aceleración del centro de masa. Esta ley expresa el llamado principio del movimiento del centro de masa. Obsérvese que a es la aceleración del punto geométrico que representa en cada instante la posición del centro de masa de los n puntos materiales dados. En el caso de un cuerpo deformable esta aceleración no tiene por qué representar la aceleración de ningún punto material particular. Obsérvese también que la ecuación 4.1 es válida en cada instante y constituye, por tanto, una relación instantánea. La ecuación 4.1 para el sistema material no puede inferirse directamente de la ecuación 3.3 para el punto material único, sino que debe demostrarse. La ecuación 4.1 puede expresarse en forma de componentes mediante las coordenadas

Il-

él

ea es

I

2

En el apartado 3.14 vimos que todo sistema de ejes no giratorio ni acelerado constituye un sistema inercial en el que son válidos los principios de la Mecánica de Newton. Cuando 111 es función del tiempo, se presenta una situación más complicada, que se estudia en el apartado 4.7 bajo el encabezamiento de masa variable.


233 4.2 GENERALIZACIÓN DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON

x-y-z empleando el sistema de coordenadas coordenadas que mejor convenga convenga al problema x-y-z O empleando problema

234 234 ClNÉTlCA DE LOS lOS SISTEMAS SISTEMAS DE CINÉTICA PU NTOS MATERIALES PUNTOS

en cuestión. Entonces, (4.1 a)

Aun cuando cuando la ecuación 4.1, 4.1, como ecuación vectorial que es, exige que la Aun a tenga tenga la misma misma dirección que la resultante aceleración a resultante de las fuerzas exteriores LF, 1:F,no deduce de aquí que LF 1:Fpase G. En general, LF 1:F no se deduce pase necesariamente necesariamente por por G. no pasará G, tal como demostraremos demostraremos después. después. pasará por G, 4.3

TRABAJO Y ENERGíA ENERGíA TRABAJO

apartado 3.6 3.6 se desarrolló desarrolló el teorema teorema de las fuerzas vivas para En el apartado para un punto punto material y se indicó asimismo su aplicabilidad aplicabilidad a un material un sistema de dos puntos puntos maahora en el sistema general de la figura 4.1 4.1 en donde donde teriales unidos. unidos. Fijémonos ahora material genérico de masa mi mi la relación entre trabajo y energía para para el punto punto material (Ul-I2-)¡2)¡ = I:lT¡. I:lTi. En este caso (U (Ul-I2-)2 ) es el trabajo efectuado efectuado sobre m¡ mi por todas las es (U F1 + F2 + F3 F3+ ... ... aplicadas aplicadas desde desde agentes exteriores al sistema y por fuerzas F¡= FI todas las fuerzas f¡ f¡= .interiores al sistema. sistema. La energía cinética de todas = f 1l + f 2 + f3 + .. .interiores m¡ es T¡ Ti = donde V¡ Vi es el módulo módulo de la velocidad velocidad Vi f¡. mi = ~m¡v?, ~ miv?, donde Vi = r¡. suma de las ecuaciones correspondientes correspondientes al teorema teorema Para todo el sistema, la suma de las fuerzas vivas aplicado a cada uno de sus puntos es 1:(U _ )¡= 1:I:lT¡, puntos L(UlI -22 )i = LI:lT¡, la cual puede mediante la ecuación 3.11 3.11 del apartado apartado 3.6; es decir, puede representarse representarse mediante o sea

.\

.: ..•., \~

J\ J

I

~ J


\ \

\

\

\ \

\

"11/-"

(4.2 ) (4.2)

donde UlI--22 = L( 1:( UlI--22)¡)¡ es el trabajo efectuado efectuado por todas las fuerzas sobre todos donde materiales y I:lT I:lT es la variación variación de energía energía cinética total T = LT¡. 1:T¡. los puntos puntos materiales cuerpo rígido o de un sistema de cuerpos rígidos unidos En el caso de un cuerpo unidos por rozamiento no se efectúa trabajo resultante resultante por parpor conexiones ideales sin rozamiento momentos de interacción interacción interiores interiores en las conexiones, y vete de las fuerzas o momentos interiores f¡ fi y - ff¡i mos que el trabajo realizado realizado por por todas las parejas de fuerza interiores actuantes en cada conexión (fig. (fig. 4.2) 4.2) del sistema es nulo por tener los puntos actuantes puntos de aplicación iguales componentes componentes del desplazamiento desplazamiento en la dirección de las efectuado sobre el sistema por resulta ser el trabajo efectuado por las fuerzas. En tal caso UlI--22 resulta fuerzas exteriores únicamente. únicamente. deformable que tenga tenga miembros miembros elástiEn el caso de un sistema mecánico deformable almacenar energía, parte efectuado por las fuerzas cos capaces de almacenar parte del trabajo efectuado alterar la energía potencial interna V Ve'e. Adeexteriores se invierte en alterar potencial elástica interna más, si del término término del trabajo se excluye excluye el trabajo de las fuerzas gravitatorias gravitatorias y este trabajo se incluye como" como"variaciones energía potencial gravitatoria variaciones de la energía potencial gravitatoria igualar el trabajo total U '1-2, realizado durante V g,, podremos podremos igualar U '1-2, realizado sobre el sistema durante un intervalo intervalo del movimiento, movimiento, a la variación variación I:lE de la energía mecánica del sistema. Así pues, U '1-2 \ -2 = I:lE, o sea (4.3)

o bien TI + V g1 + V e1 + U'1-2

= T 2 + V g2 + Ve 2

3.17 y 3.17a. 3.17a. que son las mismas que las ecuaciones 3.17


~-

-.//-

= G

(4.3a) (4.3a)

Examinemosahora ahoracon conmayor mayordetalle detallelalaexpresión expresiónTT == 'L~m¡v¡ L~m ¡v¡2 2de delalaenerenerExaminemos gíacinética cinéticadedelalamasa masadel delsistema. sistema.Según Segúnlas lasecuaciones ecuacionesdel delmovimiento movimientorelarelagía tivoexaminadas examinadasenenelelapartado apartado 2.8, 2.8, lalavelocidad velocidad dedeuno unocualquiera cualquieradedelos los tivo puntosdel delsistema sistemapuede puedeescribirse escribirse puntos

v+p¡ v¡v¡==v+p¡ siendovv lalavelocidad velocidaddel delcentro centrode demasa masaGGyy p¡p¡lalavelocidad velocidadde dem¡ m¡respecto respectoaa siendo W1 sistema de referencia que se mueva con el centro de masa G. Recordemos un sistema de referencia que se mueva con el centro de masa G. Recordemos que vv¡¡22 ==VV¡¡. .VV¡¡YYescribamos escribamoscomo comosigue siguelalaenergía energíacinética cinéticadel delsistema sistema que TT

L!m·v . ·vv·1 1 == 'L!m.(v L!m.(v p'.) (v++p'.) p'1 1.) 'L!m·v.· ++p'.) . .(v 22 1 1 1 I 22 1 1 11 ~l ~l ~ ~1 -2 ~1 l'·l'p1.122++L.m·v· ~.:..,m -·v· .. .:..,-m ·v- 2++usm. .:..,-m ism» p.p. I I p. I I I 22 22 1

1

1

1

1

Como p,p¡ se se mide mide desde desde el el centro centro de de masa, masa, es es 'Lm¡p¡ Lm¡p¡ == OY O Yelel tercer tercer término término es es Como v· 'Lm¡p¡ Lm¡p¡ v'

v· :t1t 'L(m¡p¡) L(m¡p¡) == O. O. Además, Además, 'L~m¡v2 L~m¡v2 == ~v2'Lm¡ iv 2Lm¡ == ~mv2. ~mv2. Por Por tantan== v·

to, la la energía energía cinética cinética total total queda queda to, T T

22 + 'L!m'lp' L!m·lp· .122 ==!mv 2!mv + 2 2

11

2

.1

1I

(4.4) (4.4)

Esta ecuación ecuación expresa expresa el el hecho hecho de de que que la la energía energía cinética cinética total total de de un un sistema sistema de de Esta masas es igual a la energía de traslación del centro de masa del sistema en conmasas igual la energía de traslación del centro de masa del sistema en conjunto más más la energía energía debida debida al movimiento movimiento de de todos todos los los puntos puntos respecto respecto al cencenjunto tro de de masa. masa. tro

4.4 4.4

IMPULSO IMPULSO Y Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

(a) Tal como (a) Cantidad Cantidad de movimiento. movimiento. como definimos definimos en el apartado apartado 3.8, la canticantidad dad de movimiento movimiento de un un punto punto material material cualquiera cualquiera del sistema sistema descrito descrito en la figura = r¡i¡ la figura 4.1 4.1 es es G¡= G¡= m¡v¡, m.v], siendo siendo V¡ V¡= la velocidad velocidad de de mi' mi' La La cantidad cantidad de de movimovimiento miento del del sistema sistema se se define define como como la la suma suma vectorial vectorial de de las las cantidades cantidades de de momovimiento vimiento de de todos todos los los puntos puntos materiales materiales del del mismo, mismo, oo sea, sea, G G == Lm¡ Em¡ Vi' Vi' Sustituyendo Sustituyendo la la expresión expresión de de la la velocidad velocidad relativa relativa Vi V¡== V v ++ p¡ p¡ Y Y teniendo teniendo en en cuenta , tenemos cuenta que que Lm¡ Em¡ p¡ p¡== mp mp == O O,tenemos G

=

'Lm¡(v + p¡)

Lm¡v 'Lm¡v++1tLm¡p¡ :t'Lm¡Pi · + E-(O) = vLm v'Lm·+ ~(O) I1 dt dt

oosea sea (4.5) (4.5)

G = mv

Así Así pues, pues, lalacantidad cantidad de de movimiento movimiento de de todo todo sistema sistema material material de de masa masa consconstante tante es eselelproducto producto de delalamasa masa por por ~alavelocidad velocidad de desu su centro centro de de masa. masa. La Laderivada derivada temporal temporal de deGGes esmv mil == ma ma,, que que según según lalaecuación ecuación 4.1 4.1es eslalareresultante sultante de delas lasfuerzas fuerzas exteriores exteriores que que actúan actúan sobre sobre elelsistema. sistema. Luego Luego (4.6) (4.6)

LF 'LF ==GG


235 235 4.4 4.4 IMPULSO IMPULSOYYCANTIDAD CANTIDADDE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

236 236 ClNÉTICA DE LOS LOS SISTEMAS SISTEMAS DE CINÉTICA PUNTOS MATERIALES MATERIALES PUNTOS

3.21 para para un punto punto material material único. que tiene la misma forma que la ecuación 3.21 4.6 dice que la resultante resultante de las fuerzas exteriores de todo sistema La ecuación 4.6 material es igual a la variación por unidad unidad de tiempo de la cantidad cantidad de movimaterial constituye otra forma de la ecuación 4.1 de la segunda segunda ley miento del sistema y constituye Newton generalizada. generalizada. En la ecuación 4.6 la masa total se mantiene mantiene constande Newton durante la derivación derivación respecto al tiempo, por por lo que dicha ecuación no será te durante aplicable a sistemas cuya masa varíe con el tiempo. Momento cinético. cinético. momento cinético de un sistema de puntos puntos mate(b) Momento El momento cualquiera vamos a tratarlo tratarlo determinándolo determinándolo respecto a un punto punto fijo fijo O, O, riales cualquiera puntos materiales materiales y respecto a un respecto al centro de masa G del sistema de puntos punto cualquiera~. cualquiera~.como 4.3, que puede puede estar animado animado de una punto como el P de la figura 4.3, ap == rp. aceleración ap

Contorno Contorno del sistema

'.../ '../

(Respecto a O). Por definición, el momento momento cinético respecto al punto punto O, O, fijo fijo (Respecto newtoniano, del sistema de masas que nos ocupa es en el sistema de referencia newtoniano, suma vectorial de los momentos momentos respecto a O de las cantidades cantidades de movila suma puntos materiales materiales que integran integran el sistema y se expresa miento de todos los puntos

G(fijo) O(fijo) Figura 4.3 4.3 Figura

derivada temporal temporal de esta suma suma de productos productos vectoriales es La derivada L(t¡ x m¡v¡) m¡v¡)+ L(r¡x m¡v¡). El primer primer sumatorio sumatorio desaparece desaparece porque porque el Ha == L(t¡ + L(r¡ x m¡v¡). producto vectorial de dos vectores iguales iguales, , t¡ i¡ Y v¡, es nulo. El El segundo segundo sumaproducto m¡a¡) = L(r¡ L(r¡x suma vectorial de los momentos momentos restorio es L(r¡x L(r¡ x m¡a¡) x F¡), o sea, la suma actúan sobre todos los puntos puntos del sistema. pecto a O de todas las fuerzas que actúan suma de momentos momentos LMa representa únicamente únicamente los momentos momentos de las LMO representa Esta suma puesto que las internas internas son iguales y opuestas opuestas fuerzas exteriores al sistema, puesto suma de sus momentos momentos es nula. Así pues, la suma suma de dos a dos y, por por tanto, la suma momentos queda queda los momentos (4.7) (4.7)

3.27referente punto material. cuya forma es igual a la de la ecuación 3.27 referente a un único punto 4.7 establece que el momento momento resultante resultante respecto a un punto punto fijo fijo Esta ecuación 4.7 cualquiera de todas las fuerzas exteriores actuantes actuantes sobre un sistema de puntos puntos cualquiera materiales es igual a la derivada derivada temporal temporal del momento momento cinético del sistema materiales punto fijo. fijo. Al igual que en el caso de la cantidad cantidad de movirespecto al mismo punto 4.7 no es válida válida si la masa total del sistema varía con el miento, la ecuación 4.7 tiempo. (Respecto a G). (Respecto

momento cinético respecto al centro de masa G es la suma suma El momento momentos respecto a G de las cantidades cantidades de movimiento movimiento de todos los de los momentos puntos materiales materiales del sistema y es puntos (4.8) (4.8) Podemos escribir la velocidad velocidad absoluta absoluta ti,¡ como Ci (f: + p¡), p¡), con lo que H Hee queda queda Podemos


En esta ecuación el primer miembro puede puede volver a escriprimer término término del segundo segundo miembro I.m¡p¡, porque I.m¡p¡ según la definición definición de ¡p ¡, que es nulo porque I.m ¡p ¡ = = O según birse como - f x I.m centro de masa. Por tanto, se tiene (4.8a) (4.8a)

La momento cinético absoluto absoluto porque porque en La expresión expresión 4.8 4.8 recibe el nombre nombre de momento ella nombre de ella se se emplea emplea la velocidad velocidad absoluta absoluta r¡ f¡.. La expresión expresión 4.8a recibe el nombre momento cinético relativo velocidad relativa relativa p¡ p ¡ . Torelativo porque porque en ella se emplea emplea la velocidad mando como referencia el centro de masa momentos cinéticos masa G, G, se ve que los momentos absoluto y relativo son iguales. Veremos que esta igualdad mantiene igualdad no se mantiene cuando se toma como referencia referencia un punto para un un punto punto de refepunto arbitrario arbitrario P; para fijo O no hay distinción. distinción. rencia fijo Derivando Derivando 4.8 4.8 respecto respecto al tiempo tiempo resulta resulta

El primer primer sumatorio sumatorio es I.(p¡ I.(p¡ x m;f) m;f) + I.(p¡ El I.(p¡ x m¡p¡). m ¡p¡). El primer primer térmico puede puede . . d I.m¡p¡ -f x d t I.miP¡ resulta ser nulo volver a escribirse en la forma - rf x I.m ¡p¡ = -r I.m¡p¡ y resulta nulo

:t

por la definición de centro de masa. El segundo término es nulo porque porque es nulo nulo segundo término el producto paralelos. Si F¡es F¡ es la resultante resultante de todas todas producto vectorial de dos vectores paralelos. las fuerzas exteriores actuantes y f i es la resultante resultante de todas todas las fuerzas actuantes sobre m¡ mi Yf¡es fuerzas Newton el segundo interiores actuantes actuantes sobre mi' mi' según según la segunda segunda ley de Newton segundo suqueda I.[p¡ I.[p¡ x (F¡ (F¡+f¡)] = I.(p¡ I.(p¡ x F¡) suma de los + f¡)] = F¡) = = I.Me, I.M e , que es la suma matorio queda momentos de todas respecto al punto punto G. Recordemos que todas las fuerzas fuerzas exteriores exteriores respecto G.Recordemos momentos I.Pi I.p¡ x f¡ de las fuerzas interiores Queda enla suma de los momentos interiores es nula. Queda tonces

(4.9) (4.9) podemos emplear emplear el momento momento cinético absoluto absoluto o bien el relativo. donde podemos 4.7 y 4.9 4.9 se encuentran encuentran entre entre las relaciones más potentes Las ecuaciones 4.7 potentes y eficaces válidas para para cualquier masas eficaces que rigen la Dinámica Dinámica y son válidas cualquier sistema sistema de masas definido, rígido o deformable. deformable. (Respecto a P). un punto punto arbitrario P). El momento momento cinético respecto a un arbitrario P (cuya podría ser iip) ) lo expresamos expresamos ahora ahora con la notación notación de la figura 4.3; 4.3; aceleración podría es decir,

primer término término como P P x I.m¡i~¡ Podemos escribir el primer I.m¡i~¡ = = pp x I.m¡v¡ I.m¡v j = = pp x mv mv.. El segundo segundo término término es I.p¡ I.p¡ x m¡r¡ m.i¡ = = He. He. Entonces, reordenando El reordenando resulta resulta Hpp H

= He+P He+P =

x mv mv

(4.10) (4.10)

4.10 establece que el momento momento cinético absoluto absoluto respecto Esta ecuación 4.10 respecto a un punto cualquiera cualquiera P es igual al momento momento cinético respecto a G más el momento punto momento


237 237 4.4 IMPULSO Y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO

238

CINÉTICA DE LOS CINÉTlCA DE LOS SISTEMAS SISTEMAS DE DE PUNTOS MATERIALES MATERIALES PUNTOS

movimiento m v v del sistema supuesto respecto a P de la cantidad cantidad de movimiento supuesto concentrado en G. trado G. Ahora vamos a utilizar desarrolló en utilizar el principio principio de los momentos momentos que se desarrolló Estática, según puede representarse representarse mediante mediante según el cual un sistema de fuerzas puede una fuerza resultante aplicada a un punto cualquiera, como el G, y una resultante aplicada punto cualquiera, G, el correspondiente 4.4 se representa, aplicada en pondiente par par de fuerzas asociado. En la figura 4.4 representa, aplicada G, resultante ~F LF de las fuerzas exteriores actuantes G, la resultante actuantes sobre el sistema acompañada del correspondiente par de fuerzas de momento LMe. Relacionando ahoñada correspondiente par momento ~Me. momento resultante resultante respecto a P de las fuerzas exteriores con el momento momento ra el momento resultante de las mismas respecto a G podemos podemos escribir resultante

que, según 4.9 y 4.6, 4.6, se convierte en según las ecuaciones 4.9 ~Mp He+pxma LMp = He+jixma

p


(4.11 (4.11 )

Esta relación 4.11 4.11 nos permite permite escribir la ecuación del momento momento respecto a cualquier punto P que convenga cualquier punto convenga y es fácilmente imaginable imaginable con ayuda ayuda de la fifigura 4.4; constituye una estudio de la cicigura 4.4; por otra parte, constituye una base rigurosa rigurosa para para el estudio desarrolla en el capítulo 6. 6. nética de los cuerpos rígidos que se desarrolla Empleando momento cinético respecto a P es posible desarrollar Empleando el momento desarrollar unas resegún la figura 4.3 laciones similares. De este modo, según 4.3

donde p; sustituciones de donde pi es la ve~ocidad ve~ocidad de m¡ respecto a P. Con las sustituciones p; = Pji + p¡ ,r podemos pi == pji + p, p¡ Y p; pi = podemos escribir

El primer sumatorio es px segundo sumatorio sumatorio es pji x primer sumatorio jix mvrel El rel. . El segundo tercero es -

tt

~m¡p¡ Lm¡p¡

yel yel

ppx ~m¡p¡, según la definición de cenLm¡p¡, y estos dos son ambos nulos según

tro de masa. sumatorio es (He)rel. (He)rel. Reordenando Reordenando términos masa. El cuarto sumatorio términos resulta resulta (4.12) (4.12) donde (Hdrel (Hdrel es el mismo que He He (véanse las ecuaciones 4.8 4.8a). Adviértase donde 4.8 y 4.8a). Adviértase similitud entre las ecuaciones 4.12 4.10. la similitud 4.12 y 4.10. expresarla en funLa ecuación del momento momento respecto a P podemos podemos ahora expresarla Derivando respecto al tiempo ción del momento momento cinético respecto a P. Derivando tiempo la definición (HP}rel (HP)rel = = ~p; m¡p; y sustituyendo sustituyendo r¡ resulta LPi x m¡pi r¡ == rp + p;, pi, resulta


n

te s-

Elprimer sumatorio es idénticamente idénticamente nulo y el segundo segundo es la suma suma ¿M ¿Mpp de los El primer sumatorio todas las fuerzas exteriores. El tercer sumatorio sumatorio se momentos respecto a P P de todas hace ¿pi ¿p; x m m¡a = - a pp x ¿m¡pi ¿m¡p; = = - a p x mp = = p x ma map. . Sustituyendo Sustituyendo y hace ¡a pp = reordenando términos términos resulta resulta reordenando

n

to

(4.13) (4.13)

Estaecuación 4.13reviste una forma muy muy cómoda cómoda cuando cuando se emplea emplea como cenEsta ecuación 4.13 reviste una tro de momentos momentos un un punto punto PP cuya aceleración se conozca. Además, Además, adquiere adquiere tro la forma más sencilla

cumple cualquiera cualquiera de las condiciones condiciones siguientes: cuando se cumple

1)

a fiie-

e

1. aapp = O O (equivalente (equivalente a la 4.7) 4.7) 1. P == O O (equivalente (equivalente a la 4.9) 4.9) 2. P P Y ap son paralelos paralelos (la recta soporte soporte de 3. P 4.5 4.5

pasa por G) G) pasa

DE LA LA ENERGíA ENERGíAY LA CANTIDAD CANTIDAD DE DE CONSERVACiÓN DE Y LA MOVIMIENTO MOVIMIENTO

Se da con mucha mucha frecuencia el caso de que la energía energía mecánica total de un un sisSe durante algún algún intervalo intervalo de su movimiento. movimiento. Otras veces ocurre ocurre tema no varíe durante experimenta una una variación variación neta en su cantidad cantidad de movimienmovimienque el sistema no experimenta to. Estas situaciones situaciones se tratan tratan seguidamente seguidamente por separado. separado. to. Conservación de la energía. energía. De un sistema material material se dice que es conserconser(a) Conservación un sistema vativo si no pierde pierde energía energía en virtud virtud de fuerzas fuerzas de rozamiento interno que reavativo rozamiento interno lizan un trabajo negativo negativo o en virtud virtud de miembros miembros no elásticos que disipan disipan recorrer ciclos. ciclos. Si Si durante durante un un intervalo intervalo del movimiento movimiento no hay fuerenergía al recorrer zas exteriores (gravitatorias deriven de un un potencial) que realicen (gravitatorias u otras que deriven trabajo sobre un un sistema sistema conservativo, conservativo, no se pierde pierde nada nada de la energía energía del sistrabajo tema. En tal caso es llE l1.E = = 0, 0, es decir, Einicial Einicial = Efinal. Efinal. Por tanto, la ecuación 4.3 potema. demos escribirla

el Il-

ap

(4.14) (4.14)

o sea (4.14a)

2)

se nfi-

energía mecánica. mecánica. Este principio principio sólo que expresa el principio principio de conservación conservación de la energía vale en el caso ideal en que el rozamiento rozamiento cinético interno interno es suficientemente suficientemente vale para ser despreciado. despreciado. pequeño como para (b) Conservación Conservación de la cantidad cantidad de movimiento. movimiento. Si, para para un un cierto intervalo intervalo (b) Si, resultante ¿F de las fuerzas fuerzas exteriores exteriores que se ejercen sobre un un sisde tiempo, la resultante conservativo o no, es nula, nula, la ecuación 4.6 exige que G G == O, con tema material, conservativo durante dicho intervalo intervalo de tiempo lo cual durante tiempo (4.15)


239 CONSERVACiÓN DE DE LA ENERGíA 4.5 CONSERVACIÓN CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO Y LA CANTIDAD

240 240 CINÉTICA CINÉTICA DE DE LOS LOS SISTEMAS SISTEMAS DE DE PUNTOS PUNTOS MATERIALES MATERIALES

lo que expresa principio de conservación conservación de la cantidad cantidad de movimiento. movimiento. Así pues, expresa el principio en ausencia movimiento de un ausencia de un un impulso impulso exterior la cantidad cantidad de movimiento un sistema permanece invariable. permanece invariable. Análogamente, Análogamente, si el momento momento resultante resultante respecto a un punto punto fijo fijo O o respecto al centro de masa G de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre un material es nulo, las ecuaciones 4.7 4.7 y 4.9 4.9 exigen, respectivamente, respectivamente, que sistema material (4.16) (4.16)

bien que o bien

expresan el principio conservación del momento momento cinético cinético para para un Esta relaciones expresan principio de conservación sistema material material cualquiera cualquiera en ausencia ausencia de impulso impulso angular. angular. Así pues, si no sistema impulso angular angular respecto respecto a un un punto punto fijo fijo (o respecto respecto al centro de masa), el hay impulso momento cinético del sistema respecto respecto al punto punto fijo fijo (o respecto respecto al centro de mamomento permanece invariable. invariable. Una y otra ecuación pueden pueden cumplirse cumplirse independienindependiensa) permanece temente la una una de la otra. temente apartado 3.14 3.14 demostramos demostramos que las leyes fundamentales fundamentales de la MecáEn el apartado cumplen para para mediciones mediciones realizadas realizadas en un un sistema sistema de ejes Newton se cumplen nica de Newton traslación uniforme. uniforme. Así pues, las ecuaciones 4.1 4.1 a 4.16 4.16 son válidas válidas con tal en traslación cantidades de movimiento movimiento se expresen expresen con relación relación a los ejes en que todas las cantidades traslación uniforme. uniforme. traslación 4.1 a la 4.16 4.16 figuran figuran entre entre las más importantes importantes de los Las ecuaciones de la 4.1 principios fundamentales fundamentales deducidos capítulo se han han deducidos de la Mecánica. En este capítulo principios deducido esas leyes a partir partir del sistema sistema más general general de masa constante constante a fin de deducido poner de manifiesto manifiesto la generalidad generalidad de las leyes. Estas hallarán hallarán su utilización utilización poner aplicadas a sistemas sistemas materiales materiales específicos tales como cuerpos cuerpos rífrecuente al aplicarlas deformabless y ciertos sistemas sistemas fluidos que se estudian estudian en los apartados apartados gidos y deformable recomienda al lector que estudie estudie detenidamente detenidamente estas leyes y que siguen. Se recomienda compare con las fórmulas más restringidas restringidas que aparecieron aparecieron anterioranteriorque las compare capítulo 3. 3. mente en el capítulo

TIPO 4.1 PROBLEMA TIPO

yy

bj bjmm una esLas tres esferas de masa m cada una armazón equiangular equiangular rítán soldadas al armazón gido de masa despreciable. El conjunto conjunto una superficie horizontal reposa sobre una superficie horizontal rígida. Si a uno uno de los brazos se aplica, rígida. repentinamente, una una fuerza horizontal repentinamente, fuerza horizontal indica, hallar hallar (a) la aceleF tal como se indica, ración del punto punto O yy (b) la aceleración e del armazón. armazón.

e


FF r

b Soldadura Soldadura ---....

m

m

esferas, tres esferas, las tres de las sistema de del sistema masa del Solución. de masa centro de el centro es el O es punto O (a) El punto Solución. (a) 4.1. n ecuació la por dada por lo que su aceleración estará dada por la ecuación 4.1. estará ión por que su acelerac

s, a

ma] =mal [LF = [:EF

c-

aa = aa ao

Fi 3ma Fi = 3ma

F. F.

Resp. Resp.

3m11 = 3m

depend e (DObsérvese resultado depende el resultado que el Q)Obsé rvese que de FF yy n de sólo del módulo y de la dirección direcció la de y módulo del sólo F. de F. no soporte de recta soporte la recta sitúa la que sitúa de b, que no de

ee

del teorema del el teorema median te el (b) La puede determi narse mediante puede determinarse angular acelerac ión angular La aceleración (b) cada de cada ad de velocid la que e, H hallar para momento cinético (ec. 4.9). Obsérvese, para hallar He, que la velocidad se, Obsérve 4.9). cinético to momen 8, es rr e. x-y es giratori os x-y no giratorios los ejes no en los medida en esfera masa O medida de masa centro de respecto al centro esfera respecto del cinético to momen El brazos. los de donde momento cinético del común de los brazos. angular común velocid ad angular la velocidad es la donde 8 es movide movicantida des de las cantidades de las momen tos de sistema los momentos de los suma de la suma es la O es respecto a O sistema respecto expresa se mismo s entonce 4.8, n miento, tal como muestra la ecuación 4.8, y entonces el mismo se expresa ecuació la muestra miento, tal como

e

e

6)

o el an-

Ha Ho 22

3mr2iJ2 8 == HG 3(mr8)r == 3mr He == 3(mriJ)r

da 4.9 da ecuació n 4.9 Entonces, Entonces, la ecuación

nenula, neo inicialmente nula, sea inicialmente Aunque 8 sea ® Aunque é

[:EMG = HGl áes al en

e

que así así que

Fb

=

Fb 3mr2

Resp. Resp.

He Ho = He de Ha cesitamos expresión de la expresión cesitamos la adepara Observ emos adeHG' Observemos obtener HG. para obtener model momás indepen diente del es independiente que es más que O. vimiento de o. vimiento de

ee

os

PROBLEMA TIPO 4.2 EMA TIPO PROBL

de ón

yy

rí-

I I

os y

bJ. m

rr

ción Articulación Articula

nes Consideremos mismas condicio condiciones emos las mismas Consider 4.1, pero con los problema tipo 4.1, que en el problema brazos articulad articuladosos en O sin que que consticonstibrazos tuyan un un conjunto conjunto rígido. rígido. Explicar Explicar la tuyan problemas. diferenciaa entre entre los dos problemas. diferenci

m

m

izada se cumple Solución.. La segund segundaa ley de Newton Newton general generalizada cumple para para cualqui cualquierer Solución la es G masa de centro del a ión sistema material, por lo que la aceleración centro masa G es la misma misma acelerac sistema materia l, por que sea o 4.1, tipo a problema tipo que en el problem

F.

1 -1

Resp. Resp.

3m 3m

ento de ntado, el movimi Aunque G G coincid coincidaa con O en el instante instante represe representado, movimiento de la la artiartiAunque no éste que ya G, masa de centro del ento culación O no coincide movimiento centro masa G, ya que éste no movimi el con e coincid no O n culació varían. brazos los se mantien mantienee en O puesto puesto que los ángulos ángulos entre entre brazos varían. se Tanto :EM HG tienen tienen los mismos mismos valores valores en ambos ambos problem problemasas en en el el M e como He Tanto:E es angular entos movimi los a problem este en instante considerado. embargo, problema movimientos angulares o, embarg Sin instante conside rado. nte. narse fácilme de los los brazos brazos son diferent diferentes pueden determi determinarse fácilmente. es y pueden de

(D
El present presente e sistema sistema podría desmem- podría desmem El nes del brarse y escribir escribirsese las las ecuacio ecuaciones del brarse parsus de movimiento de cada una de sus paruna cada movimiento de tas una tes para para elimina eliminar r las incógni incógnitas una tes por una. una. Tambié También n podría podría seguirse seguirse un por procedimiento más sofistica sofisticadodo basabasamiento más procedi do en las ecuaciones de Lagrang Lagrange.e. de nes do en las ecuacio (Véase Dinámic Dinámica, del autor autor principrincia, del (Véase pal, 2~ 2ª edición edición, , donde donde se expone expone ese ese pal, método.) .) método

241


°

I

PROBL EMA TIPO PROBLEMA TIPO 4.3 4.3

,

Un Un proyecti proyectill de de20 20 kg kg de de masa masa se sedispadisparara en en elel punto punto OO con con una una velocida velocidad d uu == 300 300 mIs mls contenid contenidaa en en elel plano plano x-z z-z yy con con lala inclinaci ón indicada inclinación indicada.. Cuando Cuando llega llega alal vértice ia estalla vértice PP de desu su trayector trayectoria estalla en en tres tres fragmen tos A, fragmentos A, BB YY C. C. Inmedia Inmediatamente tamente tras n, se tras lala explosió explosión, se observa observa que que elelfragfragmento mento AA sube sube una una distancia distancia vertical vertical de de 500 500 m m por por encima encima de de PP yy que que elelfragmenfragmento to BB tiene tiene una una velocida velocidad horizontal d horizont al VvBB para finalmen finalmentete llegar llegar al al suelo suelo en en elel punpunto das las to Q. Q. Recupera Recuperadas las masas masas de de los los fragmentos mentos A, A, BB YY CC se se encuentr encuentraa que que sus sus masas masas son 5, 5, 99 Y Y 66 kg, kg, respectiv respectivamente. amente. Calcular Calcular la la velocida velocidadd de/ del fragmen fragmentoto C inmedia tamente después de inmediatamente de la la explosió explosión. n. Despreci ar la Despreciar la resistenc resistencia atmosférica. ia atmosfér ica.

.

--xx

Solución ento de los proyect Solución.. Por Por lo lo que que sabemo sabemoss acerca del movimi movimiento proyectiles iles (problema tiempo necesar io para que el proyectil proyect il llegue a P y su ascenblema tipo tipo 2.6), 2.6), el el tiempo necesario sión vertical son tt hl

1

~i

g == 300(4/5)/9,81 300(4/5 )/9,81 == 24,5 == uzI uz/ g 24,5 s

==

u 22 Uz _z_

2g = 2g

2 = 2936 [(300)(4 /5)]2 2936 [(300)(4/5)J 2(9,81) 2(9,81) m

El módulo módulo de la velocidad velocid ad de de A es J 2ghAA == J2(9,81)(500) J 2(9,81)(500) == 99,0 mI vvAA == J2gh m I ss

Carecie ndo inicialmente inicialm ente de de componentes compon entes z, z, el el fragmento fragmen to BB necesita Careciendo necesita 24,5 24,5 ss para para volver al suelo. Entonce s su velocid ad horizon tal, que permanece volver al suelo. Entonces su velocidad horizontal, que perman ece constante, constan te, es es vVB B

CD CD La la velocidad velocidad vv del del proyectil proyectil en en el el

vértice vértice de de su su trayectoria trayecto ria es, es, por por susupuesto, puesto, lala componente compon ente horizontal horizontal de de su su velocidad velocidad inicial inicial u,u, que que es es uu (3/5). (3/5).

Como la la fuerza fuerza de de la la explosión explosi ón es es interior interior al al proyectil proyect il yy al Como al sistema sistema formado formad o por sus sus tres tres fragmentos, fragmen tos, la la cantidad cantida d de de movimiento movimi ento del por del sistema sistema permanece perman ece constan te durante durante la la explosión. explosió n. Así constante Asípues, pues, [Gl = G2J

22

Obsérvese Obsérve se que que elel centro centro de de masa masa de de los lostres tresfragmentos fragmentos durante durantesu su vuelo vuelo sigue lala misma sigue misma trayectoria trayecto ria que que haha- (3) (3) bría bríadescrito descritoelelproyectil proyectilsisino nohubiehubieraraestallado. estallado.

4000/24 ,5 == 163,5 163,5 mI == s/sltt == 4000/24,5 s mIs

mv

= mAvA +mBvB+meve

20(300)( ~)i == 5(99,Ok)+ 5(99,Ok) +9(163,5)(i 9(163,5)(i cos cos45' 45°++jj sen 20(300)(~)i sen45') 45°)++6v 6ve e 6ve 2560i-- 1040j 1040j-- 495k 6v 495k e == 2560i

ve ==427i 427i-- 173j 173j-- 82,5k 82,5kmI ve mIss

ve == J( J(427)2 427)2++(173)2 (173)2++(82,5)2 (82,5)2 == 468 468 mI m Iss ve

242 242


Resp. Resp.


La carretilla carretilla AA de de 16 16 kg kg sese mueve mueve horihoriLa zontalmente aa lolo largo largo de de lala guía guía con con zontalmente una celeridad celeridadde de 1,20 1,20mis mistransportando transportando una dos juegos juegos de de bolas bolas yy barras barras sin sin masa masa dos quegiran giran en en torno torno alaleje eje OOde de lala carreticarretique lla. Las Las bolas bolas tienen tienen una una masa masa de de 1,6 1,6 kg kg lla. cada una. una. El El conjunto conjunto más más adelantado adelantado cada gira aa80 80 rpm rpm en en sentido sentido antihorario antihorarioyy elel gira más retrasado retrasado aa 100 100 rpm rpm en en sentido sentido hohomás rario. Para Para elel sistema sistema completo completo calcular calcular rario. (a) la la energía energía cinéiica cinética T, T, (b) (b) elel módulo módulo GG (a) de la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento yy (c) (c) elel de módulo Ha Ha del del momento momento cinético cinético resresmódulo pecto al punto O. pecto al punto O.


80rpm 80rpm

, -, \\ 44 I I

'-;/ ' -;/

lOOrpm 100 rpm

Energía cinéiica. cinética . La La velocidad velocidad de de las las bolas bolas respecto respecto aa O O es es . Energía

(a)

80(2n) 80(2n) (vrerell)1,2 \2 = = 0,45° 0,45° 3,77 mIs mis (v 60 == 3,77 60 100(2n) 100(2n) (vrerel)3,4 l\4 = = 0,300 0,300"""60 = 3,14 3,14 mis mis (v ~ =

La ecuación ecuación 4.4 4.4 nos nos da da la la energía energía cinética cinética del del sistema. sistema. La La parte parte correspondiente correspondiente La

CD1

la traslación traslación es aa la es

~mv2 ==

~ [16 + 4(1, 4(1, 6)](1,2)2 ~[16 6)](1,2)2 = = 16,13 16,13 JJ

La correspondiente a la rotación los cuadrados velociLa parte parte correspondiente rotación depende depende de de los cuadrados de de las las velocidades relativas y vale dades relativas y vale L~m¡lp¡12 (~) (1,6)(3, 77)2] (1,2) + 2[( ~) (1,6)(3,14) 2 ] (3,4) L~mdp¡12 = = 2[ 2[(~)(1,6)(3,77?](1,2) 2[(~)(1,6)(3,14)2](3,4) == 22,74 22,74 + 15,79 15,79 == 38,53 38,53

JJ

La La energía energía cinética cinética total total

Resp.

(b) Según (b) Cantidad Cantidad de movimiento. movimiento. Según la la ecuación ecuación 4.5, la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento del sistema es la masa total multiplicada por la velocidad va del centro del sistema es la masa total multiplicada por la velocidad Va del centro de de masa. masa. Osea, O sea, [G [G =mv] = mv]

G G == [16 [16 ++ 4(1,6)](1,2) 4(1,6)](1,2) == 26,88 26,88 kg·m kg-m l/ ss

(e) (e) Momento Momento cinético cinético respecto respecto aa O. O. El El momento momento cinético cinético respecto respecto aa O O es es debidebido de do aa los los momentos momentos de de las las cantidades cantidades de de movimiento movimiento de las las bolas. bolas. Tomando Tomando como como positivo positivo el el sentido sentido antihorario, antihorario, tendremos tendremos

4

Ha Ha == Llr¡ Llr¡ xx m¡v¡1 m¡v¡1 H a= (1,2) -- [2(1,6)(0,300)(3,14)] (3,4) Ha = [2(1,6)(0,450)(3,77)] [2(1,6)(0,450)(3,77)](1,2) [2(1,6)(0,300)(3,14)](3,4) 2/ss 5,43 -- 3,02 3,02 = = 2,41 2,41 kg·m kg-m/v == 5,43

Resp. Resp.

Obsérvese Obsérvese que que m es la masa masa total, total, la de cuatro bolas, de la carretilla carretilla más las cuatro bolas, yy que que vv es la velocidad velocidad del centro centro carretilla. de masa O que que es la de la carretilla.

(3) Obsérvese Obsérvese ®

que el sentido sentido de giro, que horario o antihorario, antihorario, no importa importa en horario lo que respecta respecta al cálculo cálculo de la enerenercinética, la cual depende depende del gía cinética, cuadrado de la velocidad. velocidad. cuadrado

® Puede Puede sentirse sentirse la tentación tentación de de pasar pasar alto la contribución contribución de de las bolas por alto puesto que que sus sus cantidades cantidades de de movipuesto miento respecto respecto aa O O tienen tienen sentidos sentidos miento opuestos en en cada cada pareja pareja yy se se anulan. anulan. opuestos No obstante, cada bola tiene una No obstante, cada bola tiene una componente de de velocidad velocidad vv y, y, por por componente tanto, una una componente componente de de cantidad cantidad tanto, de movimiento movimiento mv. mv . de Contrariamente al al caso caso de de la la energía energía o@ Contrariamente cinética en que el sentido de giro es

cinética en que el sentido de giro es indiferente, el el momento momento cinético cinético es es indiferente, una magnitud magnitud vectorial vectorial yy debe debe teteuna nerse en en cuenta cuenta el el sentido sentido de de giro. giro. nerse

243 243


PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas introductorios introductorios Problemas

Tres monos A, B Y e de 10, 18 kg. kg, respectivamente, YC 10, 15 15 Y Y18 respectivamente, trepan trepan y bajan por la cuerda cuerda suspendida suspendida de D. En el instante instante representado, presentado, A desciende desciende por la cuerda cuerda con una aceleración de 2m m i S2, mii s2 s2y e C se esfuerza en subir con una una aceleración de 1,5 1,5mi S2, mientras que B sube a la velocidad i s. Travelocidad constante de 0,8 0,8 m mis. tando el conjunto de cuerda cuerda y monos como un sistema completo, to, calcular la tensión T de la cuerda cuerda en el punto punto D. Resp. T == 316 316 N N 4.1 4.1

mediante las dos barras barras de masa masa despreciable mediante despreciable articuladas articuladas libremente cuelgan en un plano plano vertical. bremente en sus extremos extremos y que cuelgan Las esferas están obligadas obligadas a moverse moverse en la guía horizontallihorizontallisa. Si Si se aplica una una fuerza fuerza horizontal horizontal FF = sao = 50 N N a una una de las barras en la posición posición que se indica, ¿cuál será la aceleración del centro e C del resorte? ¿Por qué no depende depende el resultado resultado de la dimensión mensión b? Resp. acc == 12,5 12,5 m mi i S2 S2

2 kg

(}--;,'¡.JI/VV\fIfV\[I¡liM-n." 2 kg

"

Figura problema 4 .3 problema 4.3

Figura problema problema

4.4 unidas me4.4 Las dos esferas, de masa m m cada una, una, están están unidas diante una cuerda cuerda de longitud longitud 2b (medida diante (medida desde desde los centros de las esferas) y se encuentran reposo sobre una una encuentran inicialmente inicialmente en reposo superficie horizontal horizontal lisa en la posición posición indicada. superficie indicada. Si al centro A de la cuerda vertical FF de módulo módulo constancuerda se aplica una una fuerza vertical te, hallar hallar la velocidad cuando éstas chocan al velocidad v de cada esfera cuando tender máximo de FF las esferas no tender ()e hacia 90°. ¿Para qué valor máximo pierden (Estudiar el sistema sistema sin pierden el contacto con la superficie? (Estudiar desmembrarlo.) desmembrarlo.)

4.1 4.1

4.2 Las tres esferitas, conectadas conectadas por las cuerdas cuerdas y el resordescansan en una una superficie horizontal horizontal lisa. Si Si a una una de las te, descansan cuerdas cuerdas se aplica una una fuerza F == 6,4 6,4 N, determinar determinar la aceleración aji del centro de masa de las esferas en el instante instante considerado.

FF

0,8kg 0,8kg Figura problema 4.4 problema 4.4

0,3kg

0,5 kg kg Figura problema problema 4.2

sistema está compuesto compuesto de dos esferas lisas, de masa masa 4.3 El sistema hallan enlazadas enlazadas por un resorte sin masa y 2 kg cada una. Se hallan

4.5 cantidad de movimiento movimiento total En el instante instante t == 2,2 2,2 s la cantidad de un dado por por G2,2.2= = 3,4i - 2,6j 2,6j un sistema sistema de cinco partículas partículas está dado + 4,6k kg'm cantidad de movimienmovimienkg-m I Ss.. En el instante instante t == 2,4 s, la cantidad to ha cambiado kg'm l s. S. Calcular Calcular el cambiado a G2,4,4 == 3,7i - 2,2j 2,2j + 4,9k kg-m/ módulo resultante de las fuermódulo F F del valor medio medio temporal temporal de la resultante exteriores que actúan actúan sobre el sistema zas exteriores sistema durante durante el intervalo. intervalo. Resp. F == 2,92 2,92 N

244 244


4.6 Las Lasdos dospequeñas p equeñasesferas, esferas,dedemasa masaInmcada cadauna, una,están están 4.6 conectad asrígidamente rígidamentemediante m edian teuna unavarilla varilladed emasa masadespredespreconectadas ciab le.ElElcentro centro dedeésta éstaúltima últimaposee poseeuna l!l1avelocidad velocidadvvenenlala ciable. varillarota rotaenensentido sentidoantihorario antihorarioaalalavelocivelocidirecciónx xyylalavarilla dirección dadconstante constante é.Para Paraun unvalor valordado dadoded e 8escribir escribirlas lasexpresioexpresiodad nes(a) (a)de d elalacantidad canti daddedemovimiento movimientode decada cadaesfera esferayy(b) (b)de delala nes

ee

e.

e

cantidadde demovimiento movimientoGGdel delsistema sistemade delas lasdos dosesferas. esferas. cantidad

. .Problemas Problemasrepresentativos representativos 4.9 4.9 Dos Dosbolas bolasdedeacero, acero,dedemasa m asamIncada cadauna, una,están estánsoldadas soldadas aauna unavarilla varillaliviana livianaded elongitud longitudLLe einicialmente inicialm entereposan reposansosobre breuna unasuperficie superficiehorizontal horizontallisa. lisa.Repentinamente Repentinamenteseseaplica aplicaaa lalavarilla, varilla,tal talcomo comoseseindica, indica,una unafuerza fuerzahorizontal h orizontaldedemódulo módulo F.F.Hallar Hallar(a) (a)lalaaceleración aceleracióninstantánea instantánea adel delcentro centrodedemasa masaGG yy (b) (b)lalacorrespondiente correspondientevariación va riación ij por porunidad unidadde detiempo tiempode de lala velocidad velocidad angular angula r del del conjunto conj unto alrededor alrededor del del centro centro de de á

e

masa masaG. G.

l

FF .. .. 2Fb 2Fb Resp. Resp. (a) (a) aa==2m' -2 '(b)e (b)8 ==mL2 -2

~2

m

m

b

mL

IY

-:

b

Á

I ~ I __ ~ -----+

e

x

v

1


yy

4.7 4.7

se compone compone de de cuatro cuatro recipientes recipientes cilíncilínU na centrífuga centrífuga se Una

m. cada cada uno, uno, situados si tuados aa una una distancia distan cia radial radial rr dricos, de d e masa masa m dricos, del eje de rotación. Hallar el tiempo t n ecesario p ara que la mámádel eje de rotación. Hallar el tiempo t necesario para que la una velocidad velocidad angular an gular úJ roaa partir partir del d el reposo reposo yy sosoquina alcance alcance una quina metida aa un un par par constante constante M M aplicado El diámetro metida aplicado al al árbol. árbol. El diámetro de de los pequeño comparado los cilindros cilind ros es es pequeño comparado con con rr y y la la masa masa del del árbol árbol y y de los brazos es pequeña comparada con m. de los brazos es pequeña comparada con m. o

Resp. Resp. tt ==

n

2 4mr 4m1'2úJro

---¡;;;¡-M

I I

I

TI

I

I

m111


4.10 Las vagonetas de mina mina de de 300 300 y 400 kg ruedan aa lo lo largo largo 4.10 Las vagonetas de y 400 kg ruedan de la la vía vía horizontal horizontal en en sentidos sentidos opuestos opuestos yy aa las las celeridades celeridades de respectivas de de 0,6 0,6 yy 0,3 0,3 mi m/ s. s. Al Al chocar, chocar, se se acoplan. acoplan. Justo Justo en en el el respectivas instante anterior anterior al al choque, choque, un un trozo trozo de de mineral mineral de de 100 100 kg kg instante abandona la la canaleta canaleta ddee descarga descarga aa 1,20 1,20 mi m/ ss para para caer caer en en la la vavaabandona goneta de de 300 300 kg. kg. Calcular Calcular la la velocidad velocidad ddel sistema después después de de goneta el sistema que el el trozo trozo de de mineral mineral se se hhaya detenido o en en la la vagon vagoneta. ¿Haque aya detenid eta. ¿Habría sido sido la la misma misma la la velocidad velocidad final final si si las las vagonetas vagonetas se se hubiehubiebría ran acoplado acoplado antes antes de de que que cayera cayera el el h'ozo trozo de de mineral? mineral? ran

J

Figura Figuraproblema problema 4.7 4.7 al

6j Il-

el ¡-

o.

4.8 Para 4.8 Para las las condiciones condiciones del del problema problema 4.6, 4.6, escribir escribir las las exexpresiones presiones (a) (a) de de lala cantidad cantidad de de movimiento movimiento absoluta absoluta de de cada cada esfera ecto aaeeyy(b) esfera resp respecto (b) de de los los momentos momentos cinéticos cinéticos absoluto absoluto yy relativo, relativo, (HC)abs (Hdabs yy(Hdrel' (Hdrel' del del sistema sistema respecto respecto aaC.C.

300kg

M

M

0,6mmis 0,6 Is

LJ

400kg

M

M

L

-+--

0,3mmis 0,3 Is


245 245


4.11 Los tres vagones de carga ruedan por la vía horizontal con las velocidades indicadas. Después de chocar, quedan enganchados y se mueven con una velocidad común v. Los vagones A, B Y C con sus cargas tienen unas masas respectivas de 65, 50 Y 75 Mg. Hallar v y el porcentaje de energía perdida en el proceso de enganche. Resp. v = 0,355km/h, n = 95,0%

2 km/h

1 km/h

y I I

1-0,4m~1 I

I

I I

I ,~--~

I I

I

0,3 m

:

~

,----------------.

1,5km/h

Figura problema

Figura problema

4.11

La muchacha A de 60 kg, el capitán B de 90 kg Yel marinero C de 80 kg están sentados en el esquife de 150 kg que se desliza por el agua a la celeridad de un nudo. Si las tres personas cambian sus posiciones tal como se muestra en la segunda figura, hallar la distancia x desde la proa del esquife a la posición que la misma ocuparía si las personas no se hubieran movido. Despreciar cualquier resistencia al movimiento que pudiera presentar el agua. ¿Afecta al resultado final la secuencia en la que t~rigan lugar los cambios de posición? 4.12

I •1,

1,8m

-

e

-t175mrn

L

75mm

2 kg

e

1 kg Figura problema

x

1,2m

1,8m

Figura problema

4.13

4.14 Las dos bolas están unidas a la varilla rígida liviana, que cuelga del soporte mediante una cuerda.' Si sobre el conjunto, inicialmente en reposo, comienza a actuar la fuerza F = 60 N, calcular la aceleración correspondiente a del centro de masa y la variación por unidad de tiempo de la velocidad angular de la varilla.

2,4 m

B

1 nudo

x

O

I '

4.14

1,2m 4.15 En cierto instante, los vectores de posición de las partículas A, B Y C, de 2, 3 Y4 kg de masa, respectivamente, son rA = 2i + 3j m, rR= 2j - k m, y re = i - 2k m. En ese mismo instante, las velocidades son v A = iA = 2j - 2k mIs, vB = i = B 2i + 3j mI s, y ve = ie = - 2j + k mI s. Calcular el momento cinético Ha del sistema de las tres partículas respecto al origen O. Resp. Ha = - 19i - 2j - 12k kg-m? I s

4.12

4.13 Las cinco partículas conectadas tienen una masa de 0,6kg cada una y G es el centro de masa del sistema. En cierto instante el momento cinético del sistema respecto a G es 1,20k kg-m- I s, y las componentes x e y de la velocidad de G son 3 y 4 mI s, respectivamente. Calcular el momento cinético Ha del sistema respecto a O en ese instante. Resp. Ha = 3,3k kg'm2 I s

4.16 En el instante t = 4 el momento cinético de un sistema de seis partículas respecto a un punto fijo O es H4 = 3,65i + 4,27j - 5,36k kgm? I s. En el instante t = 4,1 s, el momento cinético es H4,l = 3,67i + 4,30j - 5,20k. Hallar el valor medio del momento resultante respecto a O de todas las fuerzas que actúan sobre las seis partículas durante el intervalo de 0,1 s. 4.17 Desde el vehículo de 1 Mg que se mueve a la velocidad inicial VI = 1,2 mI s se disparan simultáneamente dos proyectiles de masa 10 kg cada uno en sentido opuesto al del movi-

246


miento del vehículo. Cada proyectil posee una velocidad en boca VI' = 1200 mi s respecto al cañón. Calcular la velocidad V2 del vehículo después del doble disparo. Resp. v2 = 24,7 mi s

4- 30km/h ,

I

¡

I~~-I

Vl~

18m

-------i Figuraproblema 4.20

La escalera mecánica de unos grandes almacenes forma un ángulo de 30° con la horizontal y tarda 40 segundos en llevar a una persona desde la primera a la segunda planta, a través de una distancia vertical de 6 m. En un determinado momento, en la escalera se hallan 10 personas, cuya masa media es de 70 kg. en reposo relativo a los escalones en movimiento. Además, tres muchachos de 54 kg de masa media corren escalera abajo a una celeridad de 0,6 mi s relativa a los escalones en movimiento. Calcular la potencia útil que desarrolla el motor de accionamiento de la escalera para mantener a ésta con su celeridad constante. La potencia en vacío necesaria para vencer los rozamientos en el mecanismo es de 1,8 kW. Resp. P = 2,59 kW

4.21 Figuraproblema 4.17

e d

La pequeña vagoneta de 20 kg de masa rueda libremente por la vía horizontal transportando la esfera de 5 kg montada en la barra giratoria de masa despreciable en la quer = 0,4 m. Un accionamiento por motor con reductor de velocidad mantiene la barra a una celeridad angular constante = 4 rad zs. Si la velocidad de la vagoneta es v = 0,6 m I s cuando ()= O,calcular v cuando ()= 60°. Despreciar la masa de las ruedas y todos los rozamientos.

4.18

e

Las dos esferitas, de masa m cada una, están conectadas por una cuerda de longitud 2b (medida desde los centros de las esferitas) e inicialmente se hallan en reposo sobre una superficie horizontal. Un proyectil de masa mo animado de una velocidad va perpendicular a la cuerda incide en el centro de ésta, haciendo que la misma se doble tal como se indica en la parte b de la figura. Hallar la velocidad v de mo cuando las dos esferitas están a punto de tocarse y el valor de ()se acerca a los 90°, tal como se indica en la parte e de la figura. Hallar asimismo en esa situación.

4.22

e

rn

Figuraproblema 4.18 riO, m

Hallar el valor máximo de la velocidad v de la vagoneta del problema 4.18 y el ángulo ()correspondiente. Resp. v'= 0,920 mis, ()= 90°

4.19

a 7j es re

ad tivi-

Las vagonetas de una montaña rusa pasan por la cima de la pista circular con una celeridad de 30 km/h. Despreciar el rozamiento y hallar su celeridad v cuando llegan al tramo horizontal inferior. En la posición superior, el radio de la trayectoria circular de sus centros de masa es de 18 m y las seis tienen la misma masa.

4.20

to

I I ,I

I

,..A

(al

m (bl

(el

Figuraproblema 4.22

247


4.23 Las 4.23 Lasbarras barras AAyyBBdde 10kg kgdde masa cada cada una, una, sesedeslizan deslizan e 10 e masa sin sinrozamie rozamiento por lalaguía guía horizon horizontal. Como sesereprese representa en nto por tal. Como nta en lalafigura, figura, elelmovimi movimiento controlado por la palanca de masa ento esescontrol ado por la palanca de masa desprec despreciable conectada lasbarras. barras. Calcula Calcularr lalaacelerac aceleración del iable conecta da aalas ión del punto punto eCde delalapalanca palanca cuando cuando se seaplica aplica lalafuerza fuerza dde 200 N en e 200 N en lala forma forma indicad indicada. Para compro comprobar resultadoo estudia estudiarr lalacinéticinétia. Para bar elelresultad ca eade de cada cada miembr miembroo por por separad separadoo yyhallar hallar ac acpor por conside consideracioraciones nes cinemát cinemáticas partir de de las las acelerac aceleraciones calculadas de las las icas aa partir iones calculad as de dos barras. barras. dos Resp. ac ac==10 10mi mi S2S2 Resp.

cular ión inicial cular lalaacelerac aceleración inicial aa del del centro centro de de masa masa de de las las esferas, esferas, elelaument ad angular aumentoo ¡j por por unidad unidad de de tiempo tiempo de de lalavelocid velocidad angular yy lalaacelerac ión inicial aceleración inicial aade de lalaesfera esfera superio superior. r. Resp. Resp. aa ==2,67 2,67 mi mi s2, s2,¡j ==15,40 15,40 radl rad S2, ' s2,aa==5,33 5,33 mi mi S2s2

e

e

200NN 200 22kg kg

TT

++¡

200mm 200 mm

Figura a 4.25 Figura problem problema 4.25

100mm 100 mm

t

100mm 100 mm

~

~

4.26 Las 4.26 Las tres tres esferas esferas iguales, iguales, de de masa masa m m cada cada una, una; están están sujetas en jetas en el el plano plano vertical vertical sobre sobre el el plano plano inclinad inclinadoo 30 30°. Están Están también iables. La también soldada soldadas s aa .las Ias dos dos varillas varillas de de masas masas desprec despreciables. varilla iable, está varilla superio superior,r, también también de de masa masa desprec despreciable, está articula articulada da libreme nte a la esfera repentin amenlibremente a la esfera superio superior r yy al al soporte soporte A. Si Si repentinamente ad v con te se se retira retira el el tope tope B, B, hallar hallar la la velocid velocidad con que que la esfera esfera susuperior golpear á en el plano inclinad ese que perior golpeará en el plano inclinado.o. (Obsérv (Obsérvese que la corresp ondient e velocid ad de correspondiente velocidad de la la esfera esfera central central será será vi 2.) ExpliExplicar de energía que tiene tiene lugar lugar cuando cuando ha ha cesado car la la pérdida pérdida de energía que cesado todo movimi ento. todo movimiento. 0

•

Figura problem problema 4.23 Figura a 4.23

4.24 Las tres esferas, 4.24 esferas, de masa masa m m cada cada una, una, están están sujetas sujetas aa las las varillas varillas livianas livianas forman formando un conjunt conjuntoo rígido rígido que que se se mantien mantiene e do un en el plano plano vertical vertical merced merced aa la la superfic superficieie circular circular lisa. lisa. La La fuerfuerza P de módulo módulo constan constantete se aplica aplica perpend perpendicularmente la icularm ente aa la varilla varilla y en el centro centro de de la misma. Si el el sistema sistema parte del reposo misma. Si parte del reposo = O, hallar con e = el sissishallar (a) la fuerza fuerza mínima mínima P Pmin min que que hará hará que que el tema se pare tema de las esferas pare en ee= = 60° 60 Y (b) (b) la la velocidad velocid ad vv común común de las esferas . 11 yy 22 cuando cuando ee== 60° 60 0 Y Y PP = = 2P 2Pmin min ·

e

0

22


11

~ 4.27 ~ 4.27


4.25 Las Las tres 4.25 tresesferas esferasiguales igualesde de22kg kgestán estánsoldadas soldada saalas lasvavarillas de rillas de masas masas despreciables d esprecia bles yy cuelgan cuelgan de de AA mediante median te una una cuerda. La cuerda. Laesferas esferasseseencuentran encuen traninicialmente inicialm enteen enreposo reposocuancuandoaalalasuperior superio rseseaplica do horizontal F aplicauna unafuerza fuerza horizon tal F== 16 16N. N.CalCal-

Una cuerda cuerda flexible flexible ee inextensible inexten sible de de masa masa Pp por Una por unidad de longitu d y de longitu digual igualaa1114 I 4del delperímetro perímet rodel unidad de longitud y de longitud del tamborde deradio radiorrse sesuelta sueltadesde desdeelelreposo reposoen enlalaposición posició ninditambor indicadapor porlas laslíneas líneasde detrazos, trazos, con consu suextremo extremoBBsujeto sujetoalalpunto cada punto másalto altodel deltambor. tambor.Hallar Hallarlalapérdida pérdidade deenergía energíaLlQ óQdel más delsistesistema cuando cuando finalmente finalme nte lalacuerda cuerda sese detiene detienecon consusuextremo ma extremoAA enC. C.¿A ¿Adónde dóndeva vaaaparar pararlalaenergía energíaperdida? perdida ? en Resp.LlQ óQ= 2 0,571pgr pgr2 Resp. ~ 0,571

248 248


en el tope B. B. Despreciar Despreciar el rozamiento rozamiento y tratar tratar el vehículo y el vagón como si fueran fueran masas puntuales. puntuales. Resp. mii s Resp. v == 1,186 m

B

Figura problema problema 4.27 ~ arra horizontal equeño diáme~ 4.28 Una bbarra horizontal de masa mI mI Y Y ppequeño mediante dos alambres alambres de longitud longitud 11de tro cuelga mediante de un carrito de m2' que puede puede rodar rodar sobre los dos raíles horizontales. horizontales. Si Si masa n12' el conjunto se abandona abandona desde el reposo alambres forreposo con los alan1bres mando un ángulo 8 con la horizontal, horizontal, hallar la velocidad velocidad Vb/c de la barra relativa al carrito y la velocidad velocidad vvee del carrito en el insla O.Despreciar rozamiento y tratar el carrito y la barra barra tante 88== O. Despreciar el rozamiento como si fueran m masas puntuales en un plano de movimiento movimiento como asas puntuales vertical. vertical.

J(1

Resp. vb/e/e == J(l + m 11/m 8) /m Resp. vb 2)2gl(12 )2gl(1 - cos 8)

ve

== =

2gl(1 - cos 8) 2gl(1


~ 4.30 4.30 Una cuerda cuerda fle flexible ~ xible de masa pp por unidad unidad de longieje vertical con una tud se hace girar en torno a un eje una velocidad velocidad angular constante úJ == Determinar la forma yy =j(x) angular Determinar = ¡(x) que adcuerda cuando cuando úJ es lo suficientemente suficientemente grande quiere la cuerda grande para medida a lo largo de la cu cuerda, que la distancia, medida erda, desde d esd e el extrecuerda hhasta cualquier elemento elemento de la misma mo sujeto ddee la cuerda asta cualquier pueda suponerse suponerse aproximadamente aproximadamente igual al radio pueda radio horizontal horizontal correspondiente al elem elemento. puedee asimilarse a un correspondiente ento. La cuerda pued sistemaa de partículas partículas conectad conectadas. (Sugerencia: Dibujar el sistem as. (Sugerencia: diagrama para para sólido libre del trozo de cu cuerda diagrama erd a representado representádo y ecuaciones movimiento en las direcciones x e y. escribir sus ecu aciones de movimiento dyldx == tg 8y 8y que la tensión T de la cuerda Véase que dyldx cuerda es nula extremoo libre, donde donde x =L.) =1.) en su extrem

e.

Resp. yy == Resp.

~ I) ~ ln( 1 + I)

w =8e cbw= c..b

~~~,'


~~~"

y Y

~ 4.29 4.29 ~

25Mg 7,5Mg Un vagón batea de 25 Mg carga un vehículo de 7,5 Mg construida sobre la propia Si el veen una rampa ramp a de 5° construida propia batea. Si desdee el reposo, estando estando el vagón vagón también también en hículo se deja ir desd cuando el primero primero hhaa roreposo, hhallar allar la velocidad v de éste cuando 12 m rampa rampa abajo, abajo, inmediatamente golpear dado s == 12 inmediatamente antes de golpear

4.6 4.6

L

I I «=: ___ _ _ _ ::o~ ~"":::===-e : ~ ""::: ===-e -i¡X""S_I x""s ---1 --

(}o~ ~~

I I

::o~


MOVIMIENTO ESTACIONARIO ESTACIONARIO DE DE UN MEDIO MEDIO CONTINUO CONTINUO MOVIMIENTO

expresión d dee la cantidad cantidad d dee movimiento movimiento obtenida obtenida en el apartado apartado 4.4 para para La expresión un sistema sistema material material cualquiera cualquiera proporciona proporciona un un procedimiento procedimiento para para estudiar estudiar un directamente lo que que ocurre ocurre en el movimiento movimiento de de un un m medio continuo en el que que directamente edio continuo varíe la cantidad cantidad de de movimiento. movimiento. La dinámica dinámica d dee los medios medios continuos continuos es de de varíe gran importancia importancia para para el estudio estudio de de las máquinas máquinas de de fluidos fluidos de de todo todo tipo, entre gran tipo, entre que se cuentan cuentan turbinas, turbinas, bombas, bombas, toberas, toberas, motores motores de de reacción reacción aerobios aerobios y las que 249 249


250 250 CINÉTICA ClNÉTICA DE lOS lOS SISTEMAS SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES PUNTOS

i "

(a) (al

'---

cohetes. cohetes. El tratamiento tratamiento que que en en este este apartado apartado damos damos al movimiento movimiento de los memedios dios continuos continuos no no está está pensado pensado como como sustitutivo sustitutivo de la Mecánica Mecánica de Fluidos, Fluidos, sino la sino que que simplemente simplemente pretende pretende presentar presentar los principios principios y las ecuaciones ecuaciones de la cantidad cantidad de de movimiento movimiento fundamentales fundamentales de mayor mayor aplicación aplicación en en Mecánica Mecánica de de Fluidos movimiento general Fluidos y en en el movimiento general de de medios medios continuos, continuos, sea sea la forma forma de de éstos éstos líquida, líquida, gaseosa gaseosa o granular. granular. Uno Uno de los casos casos más más importantes importantes del del movimiento movimiento de de un un medio medio continuo continuo se tiene en en condiciones condiciones estacionarias, estacionarias, es decir, decir, cuando cuando la masa masa que que penetra penetra por por tiene unidad unidad de de tiempo tiempo en en un un volumen volumen dado dado es igual igual a la masa masa que que por por unidad unidad de de tiempo tiempo abandona abandona dicho dicho volumen. volumen. Este Este puede puede estar estar encerrado encerrado por por un un contorno contorno rígido, fijo o móvil, móvil, tal tal como como la tobera tobera de un un avión avión a reacción reacción o de de un un cohete, cohete, el rígido, espacio de una volumen interno espacio entre entre aletas aletas de una turbina turbina de de gas, gas, el volumen interno de de una una bomba bomba centrífuga un codo de tubería centrífuga o el volumen volumen interno interno de de un codo de tubería por por la que que fluya fluya un un fluifluido do a velocidad velocidad constante. constante. El diseño diseño de de estas estas máquinas máquinas depende depende del del análisis análisis de de las las fuerzas fuerzas y momentos momentos que que se desarrollan desarrollan a consecuencia consecuencia de de las variaciones variaciones correspondientes correspondientes de la cantidad cantidad de movimiento movimiento y del del momento momento cinético cinético de la masa masa en en circulación. circulación. Consideremos Consideremos el recipiente recipiente rígido, rígido, cuya cuya sección sección se representa representa en en la figura figura 4.5a, a cuyo cuyo interior interior penetra penetra una una corriente corriente másica, másica, por por la sección sección de de entrada entrada de de área Al' a razón razón de m' m' por área Al' por unidad unidad de de tiempo. tiempo. Por Por la sección sección de de salida, salida, de área área A2' sale masa masa del del recipiente recipiente en en la misma misma cantidad cantidad por por unidad unidad de de tiempo, tiempo, por por lo A 2, sale que período de que durante durante el período de observación observación no no se acumula acumula ni disminuye disminuye la masa masa total contenida contenida en en el recipiente. recipiente. La velocidad de la corriente corriente entrante entrante es VI normal normal tal velocidad de a Al, Al, y la velocidad las velocidad de de la corriente corriente saliente saliente es V2 V2 normal normal a A22· · Si son son PI y P2 P2las respectivas densidades densidades de de las corrientes, corrientes, la continuidad continuidad de circulación circulación exige exige respectivas

/';"/'1

Instante Instante t + M

Instante tf Instante

(4.17) (4.17)

(b) (bl

Figura 4.5 4.5

Las fuerzas fuerzas que que se ejercen ejercen las las describiremos describiremos aislando aislando la masa masa de de fluido fluido ininterior terior al recipiente recipiente o bien bien el recipiente recipiente completo completo con con el fluido fluido interior interior al mismo. mismo. primero sería deseara describir Lo primero sería lo que que se haría haría si se deseara describir las fuerzas fuerzas que que se desadesarrollan rrollan entre entre el recipiente recipiente y el fluido; fluido; lo segundo segundo cuando cuando interesen interesen las fuerzas fuerzas exteriores que acostumbra exteriores al recipiente. recipiente. La última última situación situación es la que acostumbra a interesar, interesar, en en cuyo cuyo caso caso el sistema sistema aislado consta consta de de la estructura estructura fija del del recipiente recipiente y del del fluido fluido existente existente en en su su interior interior en en un un instante instante particular. particular. Ese aislamiento aislamiento se describe describe mediante mediante un un sistema sistema para para sólido sólido libre libre de de la masa masa interior interior a un un volumen volumen definidefinido do por por la superficie superficie externa externa del del recipiente recipiente y las las superficies superficies de de entrada entrada y salida. salida. Deberán Deberán tenerse tenerse en en cuenta cuenta todas todas las fuerzas fuerzas aplicadas aplicadas exteriormente exteriormente a ese ese sistesistema figura 4.5a se ha ha representado representado por por LF I:F la suma suma vectorial vectorial de de ese sistesistema y en la figura ma ma de fuerzas fuerzas exteriores. exteriores. En En LF I:F se incluyen incluyen las las fuerzas fuerzas que que se ejercen ejercen sobre sobre el recipiente puntos de estructuras, incluyendo recipiente en en sus sus puntos de sujeción sujeción a otras otras estructuras, incluyendo las sujeciosujeciones Al y A2' A 2, si existen, Al y A22 sobre nes en en Al existen, las las fuerzas fuerzas que que se ejercen ejercen en en Al sobre el fluido fluido interior interior al recipiente recipiente debidas debidas a cualquier cualquier presión presión estática estática que que pueda pueda existir existir en el fluido fluido en fluido y la estructura apreciaen dichas dichas posiciones posiciones y el peso peso del del fluido estructura si es apreciable. La resultante resultante LF Ef de de todas todas estas estas fuerzas fuerzas exteriores exteriores debe debe ser ser igual igual a la variavariación ción por por unidad unidad de tiempo tiempo G G de la cantidad cantidad d dee movimiento movimiento del del sistema sistema aislado, aislado, en en virtud virtud de la ecuación ecuación 4.6 desarrollada desarrollada en en el apartado apartado 4.4 para para todo todo sistema sistema de masa masa constante, constante, rígido rígido o deformable. deformable. expresión de G G puede puede hallarse hallarse por por análisis análisis incremental. incremental. La figura figura 4.5b 4.5b La expresión presenta presenta el sistema sistema en en el instante instante t,t, cuando cuando la masa masa del del sistema sistema es la del del recipienrecipiente, la que que éste éste contiene contiene y un un incremento incremento de de masa masa f...m Sm a punto punto de de entrar entrar durante durante un tiempo tiempo f...t. En el instante instante tt + f...t la misma misma masa masa total total es la del del recipiente, recipiente, la que que un


el durant e el recipie nte durante abando na el recipiente éste que abandona f.m que igual Sm increm ento igual un incremento contien e yy un éste contiene encontien e enque contiene masa que recipie nte yy la masa tiempo movim iento del recipiente cantida d de movimiento La cantidad M. La tiempo M. variala que lo por M, e durant ble tre las secciones Al y A permanece invariable durante M, por lo que la variainvaria ece perman tre las seccion es Al y 22 es tiempo es mismo tiempo durant e ese mismo sistem a durante del sistema ción movim iento del de movimiento cantida d de la cantidad de la ción de

es, la de os

G tiene G límite se tiene Dividiendo pasand o al límite M y pasando por M Dividie ndo por

se or de

,

u

(f.m) l'1m (!'!..m) m m , = M-->O !'!..t f.t M--70

donde m' f.v,, donde == m'tsv

dm dm

dt dt

4.6 ecuació n 4.6 Así pues, en virtud virtud de la ecuación :EF m'f.v LF = m'!'!..v es la

ra de a

lo 0-

al as

1-

a. eeel

(4.18) (4.18)

soresulta nte sofuerza resultante entre la fuerza Esta existen te entre relació n existente estable ce la relación 4.18 establece ecuació n 4.18 Esta ecuación másico caudal tes ondien corresp bre un sistema en régimen estacionario y los correspondientes caudal másico nario bre un sistem a en régime n estacio velocid ad. l e incremento vector velocidad'! increm ento de vector tiemde tiemunidad de por unidad variaci ón por que la variación Otra posibilidad sería tener cuenta que en cuenta tener en Otra posibil idad d cantida la entre ial) (vector cia po de la cantidad de movimiento es la diferencia (vectorial) entre la cantidad diferen movim iento po de la cantida d mode d cantida a sistem de movimiento que por unidad de tiempo sale del sistema y la cantidad de motiempo por unidad de movim iento escribi r podem os escribir Entonc es, podemos vimiento entra en él. Entonces, tiempo entra unidad de tiempo por unidad que por vimien to que r. anterio do resulta G = m'v m'v ; = m'Isv , que concuerda con el resultado anterior. rda concue G = m'v22 - m'v 1 = m' f.v, potenaplicac iones más potenuna de las aplicaciones En observ ar una podem os observar momen to ya podemos este momento En este a sistem un para obtuvo lizada tes de la segunda ley de Newton generalizada que se obtuvo para un sistema Newto n genera tes de la segund a (la rígidas las partícu incluye a sistem material cualquiera. En el caso presente, el sistema incluye partículas rígidas (la presen te, materia l cualqu iera. mueve n se mueven materia les que se puntos materiales estructura másica ) y puntos corrien te másica) limita la corriente que limita estruct ura que cuyo en cuyo a, sistem del límites los os (el sistema, en Definid movim iento). Definidos continu o en movimiento). medio continuo (el medio de uso hacer posible es nario, estacio interior posible hacer uso de régime n estacionario, constan te en régimen masa es constante la masa interior la poner de ha se te, obstan No 4.6. n ecuació 4.6. la generalidad obstante, se ha de poner lidad con que se ha escrito la ecuación la genera cualas cuaactuan tess sobre el sistema cuidado todas las fuerzas actuante sistema,, las cuenta todas tener en cuenta en tener cuidad o en libre. solido para ma diagra el les son evidentes correctamente amente diagrama para solido libre. eviden tes si se dibuja correct les son obtiene nario se régime n estacio Para el momento cinéticoo de sistema sistemass en régimen estacionario se obtiene momen to cinétic Para el in0 , infijo punto un a o respect nte una formul formulación momento resultante respecto un punto fijo O, to resulta análog a. El momen ación análoga. una igual es res, exterio fuerzas las todas terior exteriorr al sistem sistemaa (fig. 4.5a), de todas exteriores, es igual aa (fig. 4.5a), terior oo exterio respect o o cinétic to la variaci variación momento cinético del sistem sistemaa respecto tiempo del momen unidad de tiempo por unidad ón por la de caso el en cual, la 4.7, O. Este hecho se se estable estableció ecuaciónn 4.7, de régime régimenn ció en la ecuació Este hecho aa O. estacionario un plano, queda queda en la forma nario en un estacio (4.19) (4.19)

un mismo en un Cuandoo las las velocid velocidades entrantee y salient salientee no estén en mismo ades de las masas entrant Cuand te siguien manera la de al vectori forma en plano, la ecuación deberá escribirse vectorial manera siguiente rse plano, la ecuació n deberá escribi (4.19a) (4.19a)

masa del Téngase cuidado cuidado en no interpret interpretar dm/dt sea la derivada derivada tempora temporall de de la la masa del sistema sistema ar que dm/dl 11 Téngase

rse éste ce constant aislado. Tal Tal derivada derivada es nula, pues la m masa permanece constantee al al encontra encontrarse éste asa del sistema permane aislado. ario tar el caudal másico n, para represen en régimen régimen estacion estacionario. confusión, representar másico estacion estacionario ario. Para evitar la confusió en m' Y y no dl71/dt. dm/dt. se emplea el símbolo /J1'


251 251 4.6 ESTACIONARIO MOVIM IENTO ESTACIONARIO 4.6 MOVIMIENTO DE CONTI NUO MEDIO CONTINUO UN MEDIO DE UN

252 CINÉTICA DE LOS LOS SISTEMAS DE CINÉTICA DE SISTEMASDE PUNTOS MATERIALES MATERIALES

I "

donde Y d22 son los vectores vectores de posición posición de los centros Al y A2 respecto respecto al centros de Al donde dI d¡ Yd punto de referencia Jeferencia O. En ambas relaciones podría podría tomarse tomarse como centro de punto ambas relaciones momentos el centro masa G en virtud virtud de la ecuación 4.9. momentos centro de masa ecuación 4.9. 4.18 y 4.19 4.19 son relaciones relaciones muy muy sencillas que hallan hallan una una apliLas ecuaciones ecuaciones 4.18 importante en la descripción descripción de acciones relativamente complicadas de relativamente complicadas cación importante relacionan fuerzas los fluidos. Debe observarse observarse que estas ecuaciones ecuaciones relacionan fuerzas exteriores exteriores con las resultantes resultantes variaciones variaciones de la cantidad movimiento y son indepencantidad de movimiento independientes de la trayectoria cantidad de movitrayectoria del flujo y de las variaciones variaciones de la cantidad dientes miento internas miento internas al sistema. El análisis anterior anterior puede puede aplicarse a sistemas que se muevan muevan con celeridad constante teniendo cuenta que las relaciones fundamentales fundamentales l:F LF == G G y LMa LMo = constante teniendo en cuenta Ho, o bien bien l:M sistemas que se mueven mueven con celeridad Ha, LMee == He , son aplicables a sistemas constante, expuso en los apartados apartados 3.12 y 4.4. 4.4. La única única restricción restricción es constante, tal como se expuso que la masa interior permanezca constante respecto al tiempo. interior al sistema sistema permanezca constante respecto Los problemas continuación constituyen constituyen tres ejemproblemas tipo que se presentan presentan a continuación plos de análisis de movimiento estacionario de un continuo e ilustran ilustran la movimiento estacionario un medio medio continuo aplicación de los principios contenidos en las ecuaciones ecuaciones 4.18 principios contenidos 4.18 y 4.19. 4.19. aplicación

PROBLEMA TIPO PROBLEMA TIPO 4.5

I ,

La paleta paleta lisa de la figura figura desvía desvía la corriente rriente fluida fluida abierta abierta de sección sección recta recta de área A, A, densidad densidad p yy velocidad velocidad v. v. (a) Determinar las componentes componentes R yy F de la terminar fuerza fuerza necesaria necesaria para mantener mantener la paleta paleta una posición en una posición fija. fija . (b) Hallar Hallar las fuerfuerzas cuando se da a la paleta una velocivelocizas cuando paleta una dad constante constante u inferior inferior a v yy de su su mismo mismo sentido. sentido.

.r

yy

v'

A',40 _'ii4e

~v_~-~,_t_

~F--- x

c-F'i-- ~F--c-F'\-~ v ___ ~--

x

R Paleta Paleta fija

(a). diagrama para Solución. Parte Parle (a). Se representa representa el diagrama para sólido libre de la paleta paleta junto cantidad de movimiento. junto la porción porción de fluido que sufre la variación variación de cantidad movimiento. Podemos aplicar el teorema cantidad de movimiento demos teorema de la cantidad movimiento al sistema aislado en ambas direcciones x e y. Con la paleta celeridad de salida salida v' ambas paleta parada, parada, la celeridad v ' debe ser entrada v, puesto despreciamos el rozamiento. igual a la de entrada puesto que despreciamos rozamiento. Las variaciones variaciones componentes de la velocidad serán de las componentes velocidad serán

CD CD

L3.V Llv x x = u' v' cos ee-v- v

== -- v(lv(l-

cos e)

y

L3.V e-o Llv y y = = u' v' sen e-o aplicar la ecuación ecuación 4.18 4.18 ha de de poCD Al Al aplicar nerse cuidado en los signos signos nerse mucho mucho cuidado algebraicos. algebraicos. La La variación variación de v< v, es el valor valor final menos menos el valor valor inicial meme· didos en la dirección dirección x positiva. didos positiva. También debe debe ponerse cuidado al También ponerse cuidado escribir Lf, r,f< que que es - f. escribir

== v sen

e

El caudal caudal másico es m' aplicado en la ecuación ecuación 4.18 m' == pAv pAv y aplicado 4.18 resulta resulta [r,F x

= m' L3.Vx]

-v(l- cos e)l e)] -- F = = pAv[ pAv[-v(lF = pAv pAv2(12(1 - cos e)

[r,Fy

= m'L3.vy]

R

== pAv[v e] pAv[v sen el

R = pAv pAv2 2 sen e


Resp. Resp.

Resp. Resp.

al

la es la salir es al salir fluido al del fluido velocid ad final del la velocidad Cuando mueve, la paleta se mueve, la paleta Cuando la recon fluido del ad velocid la más velocidad del fluido con resuma paleta más de la paleta velocid ad u de de la velocidad vectoria l de suma vectorial velocila velocide la compon entes de dos componentes estas dos lación de estas combin ación de u-v. La combinación paleta u-v. la paleta lación aa la La a. La indicad forma en v' fluido dad, da la velocidad absoluta final del fluido v' en la forma indicada. a absolut dad, da la velocid ad decir, es partes, dos sus de entes componente x de v' es la suma de las componentes de sus dos partes, es decir, compon suma v' de x compon ente cola code la velocid ad de de la velocidad compon ente xx de v'x variació n de la componente La variación u. La cos ee+ u. u) cos (v -- u) = (v v'x = rriente rriente es

Parte (b). Parte (b).

de

lide

=

ó.v - u)cos e+ (uu-v) - v) ose+( (v-u)c /).vxx = (v

== --(v (v --u)(l u)(l- -

cose) cos e)

compon ente de la componente variació n de que la variación La sen e, con lo que u) sen (v -- u) v' es (v compon ente yy de v' La componente e. sen u) (v = /).v es yy de la velocidad corrient e ó.vyy = (v - u) sen e. velocid ad de la corriente variala variasufre la que sufre masa que La tiempo es la masa unidad de tiempo por unidad que circula por m'' que masa m La masa sobre circula que tiempo. ción de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo. Es la que sobre unidad por ento movimi d cantida la ción de tiemde unidad por tobera por la tobera por unidad de tiemla que sale por no la que tiempo yy no unidad de tiempo por unidad paleta por la paleta pues, po. po. Así pues,

ad es ID-

la

=

m' m'

pA(v-u) pA(v - u)

sentido s los sentidos aplicad o en los 4.18) aplicado (ee. 4.18) El movimi ento (ec. cantida d de movimiento de la cantidad princip io de El principio coorden adas da positivos positivo s de las coordenadas

== pA(v (v u)[- (v pA(v - u)[F == pA(v u)2(1 pA(v - u)2(l-

-F -F

R

=

= pA(v pA(v -

u)(lu)(l-

e)] cos e)] Resp. Resp.

e) cos e)

valores dao Obsérvese para los valores que para Obsérvese que dos de u v, el ángulo corresponángulo correspondos de u y diente máxima es fuerza máxima diente a la fuerza 180°. 180°.

ee ==

Resp. Resp.

u)2sen e

)'

PROBLEMA 4.6 TIPO 4.6 PROBLEMA TIPO I

respecta lo que u en celeridad óptima Para la la paleta móvil del del problema hallar la celeridad óptima u en lo que respecta 4.5, hallar tipo 4.5, problema tipo paleta móvil Para paleta. la sobre fluido del acción a la la generac generación de la la potencia máxima por por la acción fluido sobre la paleta. potencia máxima ión de a

perproblem a tipo 4,5 es Solución. representada es perntada en la figura del problema fuerza R represe La fuerza Solución. La la pero o, negativ es fuerza la de pendicular a la paleta y no trabaja. El trabajo F negativo, pero la El . trabaja y paleta la pendicu lar a la sobre fluido el por potencia que desarro desarrolla F) ejercida por sobre la lla la fuerza (de reacción a F) potenci a que paleta móvil es paleta P

= Fu] Fu] [P =

= pA(v pA(v =

u)2u(1cos e) u)2u(l-

ondient e a la La velocid velocidad de la la paleta paleta para para la potenci potenciaa máxima corresp correspondiente la paleta paleta ad de La por cada especifi está que se corriente, especificada e, corrient la en halla que 2 pA(l - cos e)(v e)(v22 - 4uv 4uv + 3u 3u2)) pA(l (v-3u)(v-u) = O O -3u)(v -u) = (v

O

v = 3 uu = 3

Resp.

onde aa poLa segund segundaa solució soluciónn u == v da una condici condición corresponde poón de mínimo que corresp La emente evident y flujo el to flujo y evidentemente tencia nula. nula. Un Un ángulo ángulo e e == 180° 180 invierte por comple completo tencia er valor de producee tanto tanto una una fuerza como una potenci potenciaa máxima máximass para para cualqui cualquier de u. u. produc 0

CD1 Este resultad resultadoo

es solamen solamentete aplicaaplicade caso el ble paleta única. En En única. paleta una a ble varias paletas, paletas, como como son los álabes álabes varias de un rotor rotor de turbina, turbina, el ritmo ritmo al de es cual sale el fluido por toberas toberas las por cual variael mismo tiene lugar la lugar tiene que al mismo el ento. ción de la cantida cantidadd de movimi movimiento. ción O sea, sea, m'= m'= pAven pAv en vez de pA(v pA(v - u). u). O Con este cambio cambio,, el valor óptimo óptimo de Con u resulta resulta ser u = = v/2.

253



La La tobera tobera acodada acodada tiene tiene una una sección seccIón de de descarga descarga de deárea área AA en en BB yy una una sección sección de de admisión admisión de de área área Ao Aa en en C. C. En En ella ella penepenetra tra un un líquido líquido que, que, en en lala tubería tubería estática, estática, presenta presenta una una presión presión manomé mano métrica trica pp yy que que sale sale por por la la tobera tobera con con una una velocida velocidadd vv en en la la dirección dirección que que se se indica. indica. Si Si es es p la la densidad densidad constant constantee del del fluido, fluido, escribir escribir las nes de las expresio expresiones de la la tracción tracción T, T, la la fuerfuerza za cortante cortante Q Q yy elel momento momento flector flector M M en en la la sección sección e de de la la tubería. tubería.

y

~

, I, I M' M '

~ Q-TT ~ C2 __ - -- xx pAo pAo

l--b l--b~1_1 e

=-----,,',"/#

BB

---='" -¡l\=jr-tr==Ir-tr=-=IT----I/""=col*- ;;l"W-~W'------ -__

~ ~ v att v

-

a

-1 ~

Solución Solución.. En En el el diagram diagramaa para para sólido sólido libre de la tobera tobera y el fluido fluido conteni contenido do en ella se muestra n en ella se muestran la la tracción tracción T, T, la fuerza fuerza cortante cortante Q y el momen momentoto flector M M que que actúan actúan sobre sobre la la pestaña pestaña de de la tobera tobera que la fija fija a la tubería. tubería. La fuerza fuerza pAo que se se pAo que ejerce ejerce sobre sobre el el fluido fluido interior interior a la tobera tobera debida debida a la presión presión estática estática es otra fuerfuerza exterior exterior al sistema sistema conside considerado. rado. La idad del caudal La ecuació ecuaciónn de de la la continu continuidad caudal para para densida densidadd constan constantete requier requieree

~

Q

donde ad del fluido al entrar entrar en en la tobera. donde Vo va es es la la velocid velocidad del fluido la cantobera. El principio princip io de de la cantidad movimi ento (ec. 4.18) puede puede aplicarse aplicars e en las dos tidad de de movimiento (ec, 4.18) dos direcciones direccio nes coordenacoorden adas para para dar dar das

pAo -- TT pAo

pAv(v cos ee -== pAv(v

vo)

T == pAo pAo + PAv2(~ PAV 2 (:o -cos - cos e) e) T

Resp. Resp. 3

pAv(- vv sen sen e-o) e-O) -Q == pAv(-

Q == pAv pA2v 2 sen sen ee Q

Resp. Resp.

La ecuación ecuació n 4,19 4,19 aplicada aplicad a en La en sentido sentido horario horario nos nos da da M == pAv(va pAv(va cos cos e+vb e+vb sen sen e-O) e - O) M 2(a2(a cos M == pAv pAv cos e+ e + bb sen sen e) e) M

Resp. Resp.

CD Insistimos Insistimos otra otra vez vez en en la la necesidad necesidad de de observar observar escrupulosamente CD escrupulosamente los los signos signos algebraicos de de los los términos términos de de ambos ambos miembros miembros de algebraicos de las las ecuaciones ecuaciones 4.18 4.18 yy4.19. 4.19.

o lasLas fuerzas fuerzas yy los los momentos momentos actuantes actuantes sobre sobre la la tubería tubería son son iguales iguales yyopuestos opuestos a los que se representan representan actuando actuand sobre la tobera. a los que se o sobre la tobera.

254 254


2


UIl turborreactor turborreactor de de masa masa total total mm que que Un vuela a la celeridad constante v consume vuela a la celeridad constante v consume U/1 caudal caudal másico másico de de aire aire m;' ma yy lanza lanza un un un caudal másico másico 111g' 111g'de de gases gases quemados quell7ados aa caudal lavelocidad velocidad uurelativa relativaalalavión. avión. El El caudal caudal la de combustible c01lsull7ido es cOllstante de combustible consumido es constante yy vale 111/ Las Lasfuerzas fuerzas aerodinámicas aerodináll7icas que que vale actúall sobre sobreelel avión avión son son lala sustentacién susteHtación actúall L, perpendicular perpendicular aa la la dirección dirección de de vuelo, vuelo, L, la resistencia resistencia D O del del aire aire opuesta opuesta al al sensenyy la tido del del vuelo. vuelo. Se Se supone supone que que todas todas las las tido fuerzas originadas originadas por por la la presión presión estática estática fuerzas sobre las las euperficiee supelficies de de admisión admisión yydel del esessobre cape están están incluidas incluidas en en D. D. Escribir Escribir la la ecuación del del movimiento movimiento del del avión avión ee ecuación identificar el el empuje empuje T. T. identificar I

117/

yy \

2

\mg

Solución. En el diagrama diagrama para para sólido sólido libre libre del avión avión junto junto con el aire, el comSolución. escape contenidos contenidos en en su su interior interior figuran figuran sólo el peso peso yy las bustible yy el gas de escape bustible sustentación yy resistencia, resistencia, tal como se definieron. definieron. Fijemos unos unos ejes fuerzas de sustentación x-y al avión y apliquemos apliquemos la ecuación ecuación de la cantidad cantidad de movimiento movimiento referida referida al x-y sistema móvil. El combustible combustible lo tratamos tratamos como una una corriente corriente estacionaria estacionaria que penetrase penetrase en El velocidad nula respecto respecto al mismo y que saliese a la velocidad velocidad relativa relativa el avión a velocidad u por la corriente corriente de escape. Aplicamos Aplicamos ahora la ecuación ecuación 4.18 4.18 con relación a los por separado ejes ejes de referencia tratando tratando por separado a los caudales caudales de aire y combustible. Para la corriente corriente de aire, la variación variación de velocidad velocidad en la dirección x respecto al al sistema móvil es óV = -(u-v) flvna == -u-(-v) -u-e-v) -(u-v)

3

y para la corriente de combustible la variación de velocidad velocidad en la dirección x respecto aa x-y x-y es es óv flv¡f

- uu-(O) - (O)

_-x _- x

L

mg

L L

Obsérvese CD Obsérvese

la corriente de aire que la del sistema corta al al través a la la corriente de aire aire en la la entrada de la la rriente la corriente de aire en la la totoma y a la bera.

-u -u

o

Así Así pues, tenemos

Nos es es posible posible utilizar utilizar ejes ejes móviles móviles (3) Nos

-mgsen8-D=-rngsen8-D = - m~(u-v)-m'.ru m~(u-v)-míu == -- m~u+ m~ u + m~v m~v

mí

donde donde se se ha ha hecho hecho la la sustitución sustitución de de m m ~~++ mí por por m m ~~.. Cambiando Cambiando los los signos signos reresul ta sulta m~urn~u - m~v m~v ==

mg mg sen sen 8+0 8+ D

que que no no es es sino sino una una ecuación ecuación que que expresa expresa el elequilibrio equilibrio del del avión. avión. Si Simodificamos modificamos el elcontorno contorno del del sistema sistema para para dejar dejar aalalavista vista las lassuperficies superficies ininteriores teriores sobre sobre las las que que actúan actúan el el aire aire yy elel gas, gas, obtendremos obtendremos elel modelo modelo simulado simulado

que se se trasladen trasladen aa velocidad velocidad consconsque tante. Véanse Véanse los los apartados apartados 3.14 3.14 yy tante. 4.2. 4.2.

® Volando Volando en en el el avión avión observaríamos observaríamos ® que el el aire aire entra entra en en el el sistema sistema aa la la que velocidad -- v,v, medida medida en en la la direcdirecvelocidad ción xx positiva positiva yy que que lo lo abandona abandona aa ción unavelocidad velocidad cuya cuya componente componente xxes es una u. la la diferencia diferencia entre entre los los valores valores -- u. inicial yy final final nos nos da da lala expresión expresión ciciinicial tada, es es decir, decir, -- uu-- ((- v)v) == -- (u (u-v). -v). tada,

255 255


oVemos, Vemos,pues, pues,que queel"empuje" el "empuje" no noeses

4

enrealidad realidadlalafuerza fuerzaexterior exterioraplicaaplicaen daalalavión avión que que sese representa representaen en lala da primera figura, pero podemos imagiprimera figura, pero podemos imaginariacomo como sisilolofuera. fuera. naria

de delalafigura figuraen enelelque queelelaire aireejerce ejerceuna unafuerza fuerzam/v ma'v sobre sobreelelinterior interiorde delalaturbina turbina yyelelgas gasde deescape escapereacciona reaccionacontra contralas lassuperficies superficiesinteriores interiorescon conuna unafuerza fuerzamm'gu. 'gu. En Enlalaúltima última figura figura sesemuestra muestra elelmodelo modelo habitualmente habitualmente empleado empleado con conlos los el aire efectos efectosnetos netosde delas lascantidades cantidades de demovimiento movimiento ddel aireyydel delescape escapesustituidos sustituidos porun unempuje empuje simulado simulado por Resp. Resp.

aplicado aplicado alalavión avión por por un un hipotético hipotético agente agente externo. externo. Como Comosucede sucede que que m'¡ m' f es esgeneralmente generalmente sólo sóloe12% el2% de demm~~oomenos, menos, podemos podemos hacer la aproximación m~ == m' a Y expresar el empuje mediante hacer la aproximación m~ m'a y expresar el empuje mediante

=

T=. m ~ (u-v)

Resp. Resp.

Hemos Hemos estudiado estudiado el el caso caso de de velocidad velocidad constante. constante. Aunque Aunque los los principios principios de de la la Mecánica Mecánica de de Newton Newton no no son son válidos válidos en en general general respecto respecto aa ejes ejes acelerados, acelerados, se se demuestra demuestra que que puede puede emplearse emplearse la la ecuación ecuación FF == ma ma con con el el modelo modelo simulado simulado yy 'escribir 'escribir TT -- mg mg sen sen e-- D D == m mv prácticamente prácticamente sin sin error. error.

,,


De caudal de de 0,2 0,2 m de aire aire con con De la la boquilla boquilla mana mana un un caudal m33/I ss de una velocidad de 100 m/ s que es desviado por el álabe rectanuna velocidad de 100 mi s que es desviado por el álabe rectangular. necesaria para para mantener mantener inmóvil inmóvil el el gular. Calcular Calcular la la fuerza fuerza FF necesaria 3.3 álabe. La densidad del aire es 1,206kg/m álabe. La densidad del aire es 1,206 kg / m . Resp. Resp. FF = = 24,1 24,1 N N

4.31 4.31

n

FF

yy

I

I

I

tt


\ \.. F_

~- - - x

Un supresor supresor de de ruido ruido de de motor motor aa reacción reacción consiste consiste en en Un una conducción conducción móvil móvil que que se se sitúa sitúa directamente directamente detrás detrás de de la la una salida, asegurándola mediante el cable A y que desvía hacia salida, asegurándola mediante el cable A y que desvía hacia arriba el el chorro. chorro. Durante Durante una una prueba prueba en en tierra, tierra, el el aparato aparato ababarriba sorbeaire aire aaraz~ raz~de de43 43kg/ kglssyy quema quema combustible combustibleaarazón razónde de sorbe 4.33 4.33


De De lalaboquilla boquillamana mana un uncaudal caudal de de 0,05 0,05 mm3/3 Iss de de agua agua dulce con una velocidad de 30 m/ s y el chorro se divide dulce con una velocidad de 30 mi s y el chorro se divideen endos dos corrientes corrientesiguales igualespor poracción accióndel delálabe álabefijo fijoque quelas lasdesvía desvía60°, 60°, tal muestra.Calcular Calcularlalafuerza fuerzaFFnecesaria necesariapara paramanmantalcomo comosesemuestra. 3. 3 . tener tenerinmóvil inmóvilelelálabe. álabe.La Ladensidad densidaddel delagua aguaeses1000kg/m 1000 kg / m

4.32 4.32

256 256



0,8kg/s. kg I s.La Lavelocidad velocidadde delos losgases gasesde deescape escapeesesde de720 720mis. mis. 0,8 Hallarlalatracción tracciónTTque quesufre sufreelelcable. cable. Hallar Resp.TT==32,6 32,6kN kN Resp. 4.34 El El remolcador remolcador contraincendios contra incendios descarga descargaun unchorro chorro de de 4.34 3) 3 ) con agua de de mar mar (densidad, (densidad, 1030 1030 kg/m kg/m con una una velocidad velocidad de de agua 40mm/ Issaalalasalida salidade delalaboquilla boquillayyaarazón razónde de0,080 0,080mm3/3 Is.s.CalCal40 cula!" elempuje empujeque quedebe debedesarrollar desarrollarlalaembarcación embarcaciónpara paramanmancularel tenerseen enuna unaposición posiciónfija fija mientras mientraslanza lanzaagua. agua. tenerse

carga cargaaalalavelocidad velocidadvvaatravés travésde delas lasdos dossalidas salidasB. B.La Lapresión presión en los puntos A y B de las corrientes de aire es la atmosférica. en los pun tos A y B de las corrientes de aire es la atmosférica. Hallar Hallarlalaexpresión expresiónde delalatensión tensiónTTque queseseejerce ejercesobre sobrelalabomba bomba aatravés de la pestaña C. través de la pestaña C. 4.37 4.37 Funcionando Funcionandoen enagua aguade demar, mar,elelesquí esquíacuático acuáticode depropropulsión a chorro alcanza una velocidad máxima de 70 km pulsión a chorro alcanza una velocidad máxima de 70 km/ /h.h.La La toma tomade deagua aguase sehalla hallaen enun untúnel túnelhorizontal horizontalen enelelfondo fondodel delcascasco, porlo loque queelelagua aguapenetra penetraen enélla éllaaalalavelocidad velocidadde de70 70km/h km / h co,por con relación al esquí. La bomba mecánica descarga agua procecon relación al esquí. La bomba mecánica descarga aguaprocedente dente de delalatobera tobera de de escape escapehorizontal horizontalde de50 50mm mm de de diámetro diámetro aarazón razón de de 0,083 0,083m m33/ Is.s. Calcular Calcularlalaresistencia resistenciaRRdel delagua agua sobre sobre el el casco casco aala lavelocidad velocidad de de funcionamiento. funcionamiento. Resp. Resp. RR == 1885 1885NN


4.35 El El reactor reactor tiene tiene una una masa masa de de 4,6 4,6 Mg Mg y, y, aa determinada determin ada 4.35 altura, soporta una resistencia aerodinámica de 32 kN kN aa una una altura, soporta una resistencia aerodinámica de 32 velocidad de de 1000 1000 km/h. km / h. El El avión avión consume consume aire aire a razón razón de de velocidad 106 kg/ kg l s a través través de de su su toma toma de de admisión admisión yy gasta gasta combustible combustible 106 razón de 4 kg /I s. Si el escape escape posee posee una lilla velocidad velocidad hacia hacia atrás atrás a razón de 680 m I s con relación a la tobera, hallar el ángulo de elevade 680 m/ relación hallar ángulo elevaaparato es capaz capaz de volar a una una ción máximo a bajo el que el aparato ción constante de 1000 1000 km/h km I h a la altura altura en cuestión. celeridad constante Resp. aa = = 17,22° Resp. 17,22°


4.38 En la figura se representa representa la vista vista en en planta planta de un trineo trineo cohete experimental experimental cuya velocidad velocidad es de 300 300 m/ m I s cuando cuando su toma de agua delantera delantera penetra penetra en un un canal de agua que actúa dispositivo de frenado. El agua como dispositivo agua es desviada desviada según ángumovimiento del trineo. los rectos respecto al movimiento trineo. Siendo de 10-22 m m22 la la superficie superficie de de admisión admisión delantera, delantera, calcular calcular la la fuer10fuer3 inicial. La La densidad densidad del agua es 1000 1000 kg kg/m / m 3. za de frenado inicial.


4.36 4.36 La La bomba bomba representada representada extrae extrae aire aire de de densidad densidad pp aa través vésdel del conducto conducto AA de de diámetro diámetro dd con con una velocidad velocidad uu yy lo lo desdeste

en

de la

Cuchilla Canal de agua

Railes Railes

v

hacia o abónde



Problemas representativos representativos Problemas 4.39 El Elálabe álabe de de 90° 90° se semueve, mueve, aa la laceleridad celeridad constante constante de de 10 10 4.39 mIs,s,en ensentido sentido opuesto opuesto alaldel del chorro chorro de deagua agua dulce dulce que que mana mana mi 20 mi mIss de de lala boquilla boquilla de de 25 25 mm mm de de diámetro. diámetro. Calcular Calcular las las aa 20 fuerzas F, y F que deben ejercerse sobre el álabe para mantefuerzas Fx Y Fyyque deben ejercerse sobre el álabe para mantenerloen enmovimiento. movimiento. nerlo Resp. Fx F, ==442 442 N, N, FFyy ==442 442 NN Resp.

257 257


yy I

I

~'I

xw~om/,~_ 100;;/5

r,

t Fy


4.40 Laplancha plancha de de acero acerodde 25mm mm de deespesor espesor yy1,2 1,2m de anan4.40 La e 25 m de chura penetra en los rodillos a 0,4 mi s y su espesor se reduce chura penetra en los rodillos a 0,4 mi s y su espesor se reduce 19mm. mm. Calcular Calcular el el pequeño pequeño empuje empuje horizontal horizontal TT que que sufren sufren aa 19 los cojinetes de los dos rodillos. los cojinetes de los dos rodillos.

4.42 En 4.42 Enuno unode delos losprocedimientos procedimientos más másavanzados avanzados para paracorcortar tarplacas placasmetálicas metálicasseseemplea empleaun unchorro chorrode deagua aguaaaalta altavelocivelocidad dad que que lleva lleva en en suspensión suspensión polvo polvo de de granate granate abrasivo. abrasivo. ElEl chorro chorrobrota brotade delalaboquilla boquillade de25 25mm mmde dediámetro diámetroyysigue sigueeleltratrayecto yectoque quese seindica indicade deun unlado ladoaaotro otrodel delespesor espesor t tde delalaplaca. placa. Conforme Conformelalaplaca placase sedesplaza desplaza lentamente lentamente hacia hacialaladerecha, derecha,elel abre una ranura de precisión de poca anchura chorro chorro abre una ranura de precisión de poca anchura en enlalaplaplaca. La mezcla de agua y abrasivo, de densidad 1100 kg / m33, , se ca. La mezcla de agua y abrasivo, de densidad 1100kg/m se 3 gasta gastaescasamente escasamente aarazón razón de de2(102(10-)3.).El Elagua agua sale salede delalacara caraininferior ferior de delalaplaca placa con conuna una velocidad velocidad igual igual alalsesenta sesenta por por ciento ciento de la que tenía al incidir.en la cara superior saliendo de la que tenía al incidir en la cara superior saliendo de de lalaboboquilla. quilla. Calcular Calcular la lafuerza fuerza horizontal horizontal FFnecesaria necesaria para para mantener mantener lala placa placa contra contra el elchorro. chorro.



El El ventilador ventilador de de flujo flujo axial axial aspira aspira aire aire por por la la canalizacanalización de sección circular y lo descarga en B con una velocidad v. ción de sección circular y lo d escarga en B con una velocidad v. En En A yy BB las las densidades densidades del del aire aire son, son, respectivamente, respectivamente, P AA Y YPB' Las Las paletas paletas deflectoras deflectoras fijas fijas D D restablecen restablecen el el flujo flujo axial axial del del aire aire después de pasar éste por las paletas impulsaras C. Escribir después de pasar éste por las paletas impulsoras C. Escribir la la expresión la fuerza fuerza horizontal horizontal R R que que ejercen ejercen sobre sobre el el grupo grupo expresión de de la ventilador ventilador la la brida brida yy los los pernos pernos de d e la la sección sección A. A. 4.41 4.41

A

P PB·

2

4.43 4.43

En el el ensayo ensayo estático estático de de un un montaje montaje de de motor motor aa chorro chorro En tobera de de escape, escape, el el caudal caudal másico másico de de aire aire aspirado aspirado es es de de yy tobera 30 kg l s y el consumo de combustible es de 1,6 kg l s. La sección 30 kgl s y el consumo de combustible es de 1,6kgl s. La sección d e flujo, flujo, la la presión presión estática estática yy la la velocidad velocidad axial axial del d el flujo flujo son son las las de siguientes en las tres secciones que se indican: siguientes en las tres secciones que se indican:

2

Resp. Resp. RR ==

2 nd ( 1- P 4 PBB( A v + - PPA) n: [ [P 1- PB) ~:)v2 + (PB (Pr A)]]

l:1 TI

II

ff

Diám=d Diám=d

~-=~~==~==~~~

__-d ~

o--_-J IF~ ~

Diám=d Diám=d

L~~~~=~T~ L~~~~===:;T~ II II II

AA

BB Figura Figuraproblema problema 4.441 4.441

AA

BB


258 258


ee

Sección,m2 Presión estática, kPa Velocidad axial, m I s

Sección A

Sección B

SecciónC

0;15 -14 120

0,16 140 315

0,06 14 600

Hallar la tracción T que sufre el elemento diagonal del soporte y la fuerza F que sobre la brida B ejercen los pernos y la junta

4.46 El vehículo levitante experimental tiene una masa de 2,2 Mg. Aspirando aire a la presión atmosférica a través del conducto de admisión circular B y descargándolo horizontalmente por debajo de la periferia del faldón C consigue mantenerse flotando en el aire. Para una velocidad de admisión v de 45 mi s, calcular la presión media p del aire a nivel del suelo bajo la máquina de 6 m de diámetro. La densidad del aire es 1,206 kg/m3.

para mantener la tobera unida al cárter del motor. Resp. T = 21,1 kN, F = 12,55 kN 4.44 A través del conducto estacionario A se hace circular una corriente de aire a una velocidad de 15 mi s y sale por un tramo de tobera experimental de sección Be. La presión estática media indicada en la sección B es de 1050 kPa y la densidad del aire a esa presión y a la temperatura existente es de 13,5 kg I m'. La presión estática media indicada en la sección de salida C resulta ser de 14 kPa y la densidad del aire correspondiente es de 1,217 kg/m3. Calcular la fuerza T que sobre las pestañas B ejercen los pernos y la junta para sujetar la tobera.

Figura problema

3m Figura problema

4.46

4.47 Para un chorro que actúe sobre múltiples álabes de tal modo que a cada álabe que entre en el chorro le siga inmediamente otro (véanse las figuras de los problemas 4.65 y 4.66), determinar la potencia máxima P que puede generarse para un ángulo de álabe dado y la correspondiente celeridad periférica óptima u de los álabes en función de la velocir;iaddel chorro para potencia máxima. Modificar el problema tipo 4.6 suponiendo que el número de paletas es infinito de tal manera que el ritmo al cual el fluido abandona la tobera es igual al ritmo al cual el fluido pasa por las paletas.

4.44

Resp. P= !¡pAv3(1 - cos 8), u

'n

"',

4.45 En el aterrizaje de los reactores el empuje inverso se consigue rotando los deflectores de escape tal como se muestra en la figura, con lo que se invierte parcialmente el chorro de escape. Para un motor a reacción que gaste 40 kg de aire por segundo a una velocidad en tierra de 250 km/h Yconsuma 2 kg de combustible por segundo, determinar el empuje inverso como fracción n del empuje hacia adelante sin deflectores. La velocidad de descarga es de 600 mi s respecto a la tobera. Se supone que el aire penetra en el motor a una velocidad igual a la velocidad en tierra del avión. Resp. n = 0,508

vl2

4.48 El codo de tubería de la figura tiene una sección recta de área A y está soportado en su plano por la tensión T aplicada a sus pestañas por los tubos contiguos (no ilustrados), Si la velocidad del líquido es u, su densidad p y su presión estática p, hallar T y mostrar que no depende del ángulo 8.

T

Figura problema

250kmjh

Figura problema

=

4.48

4.49 Un avion comercial que vuela horizontalmente a 800 km/h halla a su paso un fuerte aguacero que descarga verticalmente a 6 mi s con una intensidad equivalente a una pluviometría en tierra de 25 mm/h. La superficie superior del avión proyectada en un plano horizontal es de 275 m2. Calcular


la fuerza despreciable despreciable F hacia abajo que la lluvia ejerce ejerce sobre el avión. Resp. N Resp. F == 11,46 11,46N

I

I I I

I I

.e-:

~

800 /h 800 km km/h

I

I

Figura problema problema 4.49 4.49 Figura problema problema 4.51 4.51 4.50 En una prueba 4.50 prueba de funcionamiento funcionamiento de un camión contraincendios con grúa alzamanguera, alzamanguera, la máquina máquina puede puede rodar rodar libremente con los frenos sueltos. Para la posición representada, representada, bremente se observa que el camión comprime mm el resorte de conscomprime 150 150mm tante k == 15 15 kN / m a consecuencia del chorro de agua horizontal que brota de la lanza cuando cuando se activa la bomba. Si Si el diámetro diámetro de salida de la lanza es 30 30 mm, calcular la velocidad velocidad v del chorro cuando cuando abandona abandona la lanza. Hallar asimismo el momento adicional M que debe resistir la articulación articulación A cuando cuando la funcionando con la lanza en la posición indicada. bomba está funcionando

----v

1I

4.52 La tubería 4.52 tubería de retorno retorno descarga descarga a la atmósfera atmósfera un un caudal mar (den sidad, caudal constante constante de 0,050 0,050 m33// s ddee agua agua de mar (densidad, 3 ). En la sección A, la presión presión estática del agua es de 1030 1030 kg kg// m m'). 70 70 kPa por encima de la atmosférica. La sección en A tiene una área de 12 12 500 500 mm mrn-2 y en las dos salidas las secciones son de 2 2000 pernos de las bridas acoplamiento se 2000 mm mrn",. Si Si los seis pernos bridas ddee acoplamiento aprietan aprietan todos con una llave dinamométrica dinamométrica de tal modo que cada uno soporta presión mesoporta una una tracción de 750 750 N, hallar la presión soporta la junta de las bridas. La superficie de brida brida dia pp que soporta 2 . Hallar también el moen contacto con la junta junta es 10000 mm mm-. Hallar también bloquea la mento flector M en la sección A de la tubería si se bloquea descarga izquierda izquierda y el caudal se reduce a la mitad. Se Se despredesprecian el peso de la tubería y el agua que ésta contiene.



4.51 La bomba 4.51 bomba de avenamiento avenamiento tiene una una masa total de 310 kg Y Ybombea 0,125m 310 bombea un caudal de 0,125 m 3// s de agua dulce contra Hallar la fuerza vertical R que se desarrolla desarrolla una altura de 6 m. Hallar durante el funentre la base de apoyo y la brida brida de la bomba bomba A durante bomba cionamiento de ésta. La masa de agua contenida en la bomba puede suponerse suponerse equivalente equivalente a una columna de 200 200 mm de puede diámetro"y diámetrd y 6 m de altura. 5980 N Resp. R == 5980

El El helicóptero helicóptero de la figura tiene una masa m 111 y se mansuspendido en el aire al comunicar comunicar una cantidad cantidad de motiene suspendido vimiento hacia abajo a una columna columna de aire definida definida por el el vimiento Hallar la velocidad límite del rotor según se indica en la figura. Hallar dada al aire por el rotor en una sección del chorro v hacia abajo dada él, en donde donde la presión presión es la atmosférica y el rapor debajo de él, r. Hallar Hallar también también la potencia potencia P P que debe dedio del chorro es r. sarrollar el motor. motor. Despréciese la energía energía de rotación del aire, sarrollar 4.53 4.53

260 260


cualquier elevación de temperatura debida al rozamiento con el aire y cualquier variación de la densidad p del aire. Res. v p

=

! 0i3., p = ~2r~-;P 0i3. r~-;P

agua es 1000 kg 1 m3. La presión estática del agua al entrar por la base B es de 800 kPa. Resp. T = 53,0 kN, V = 0,691 kN, M = 2,48 kN'm

/

\ \

I

\

\ \

\

\ \ \

I I I /

I I

\

=

I

I

I

\

/

\ \

\

I

I

~

~ !

~~

a

I I I

t t /

Figura problema

v ~r--f

4.55

I Figura problema

Una terminal marítima para descarga de trigo a granel está equipada de una tubería vertical dotada de una boquilla A que aspira el grano y lo traslada al depósito. Calcular las componentes x e y de la fuerza F necesaria para cambiar la cantidad de movimiento de la corriente de grano al doblar el codo. Identificar todas las fuerzas exteriormente aplicadas al codo y a la masa de su interior. El aire fluye por la tubería de 350 mm de diámetro con un caudal másico de 16 Mg por hora bajo una depresión de 250 mm de mercurio (p = - 36,7 kPa) y arrastra consigo 135 Mg de trigo por hora a una velocidad de 40 mi s.

4.56

4.53

4.54 El aire penetra en el tubo por A a razón de 6 kgl s a una presión indicada de 1400 kPa y sale por el silbato a la presión atmosférica a través de la abertura B. La velocidad con que penetra el aire por A es de 45 mi s y la de escape por B es de 360 mis. Calcular la tensión T, la fuerza cortante Q y el momento flector M en la sección A del tubo. El área de flujo efectivo en A es 7500 mrrr'.

B

. ..-;':...• :-

"

.

......

~

~-~ ...~~f!!I!i¡¡¡¡jIFigura problema

4.54 Figura problema

La boca de incendios se ensaya sometiendo la columna a W1aalta presión de 800 kPa. El caudal total es de 0,280 m3 1s. Este 2 se divide a partes iguales entre las dos salidas, de 3800 mm de sección cada una. La sección transversal de la base de entrada es de 6,80(104) mrrr'. Despreciar el peso de la boca y el agua que contiene y calcular la tensión T, la fuerza cortante V y el momento flector M en la base B de la columna. La densidad del

4.56

4.55

La soplante aspira aire por la abertura axial A con una velocidad VI y lo descarga a la presión y temperatura atmosféricas con una velocidad V2 por el conducto Bde 150 mm de diámetro. La máquina despacha 16 m3 de aire por minuto con el motor y el ventilador funcionando a 3450 rpm. Si el motor con4.57

261


sume sume un una potenciaa de de 0,32 0,32 kW kW en en vacío vacío (ambos (ambos conduc conductos cea potenci tos cen'ados), rrados), cacalcular potenciaa PP que que consum consumee funcion funcionando lcul ar lala potenci ando norma mente. lrnen te. normal Resp.PP==0,671 0,671 kW kW Resp.

cidad cidad del del gas gas de de escape escape uues es 940 940 mi mi ss con con una una contrap contrapresión res ión (indicad a) nula en la tobera de escape. (indicada) nula en la tobera de escape. Calcula Calcularr lala acelerac aceleración ión inicial ión alalsoltar inicial aadel del av avión soltar los los frenos. frenos. Resp. Resp.na==4,83 4,83 m mii S2S2

-'~l V1

c:::o.

~

~=-d€=~~, Figura a 4.59 Figura problem problema 4.59

B V2 V2


4.58 Se 4.58 Se está está exam examinando la viabi viabilidad de una una embarc embarcación inando la lid ad de ación aérea onop la za de aérea m rnonoplaza de despegu despegue e y aterriza aterrizajeje vertical vertical. . El El antepro anteproyecto yecto demand demanda a un motor motor pequeñ pequeñoo de de alta alta relación relación potenci potencial a1 peso peso que que acc accione una bomba bomba que que introd introduzca aire por por los los conconione una uzca aire ductos ductos a 70°con 70°con una una velocid velocidadad de de entrada entrada vv == 40 40 mi mi ss aa una una prepreión estática sión estática indicada de -1,8 -1,8 kPa kPa aa través través de de las las superfic superficiesies de de indicad a de adm isión de admisión de 0,1320 0,1320 111 en total. total. El se descarg descarga a vertical verticalmenm22 en El aaire ire se mente hacia hac ia abajo abajo con con una una velocidad 420 mi velocid ad uu = = 420 mi s.s. Para Para un un pasajero pasajero de de 90 kg, calcular la masa total total máxima tener kg, calcular la masa máxima neta neta 111 m que que debe debe tener la máquina máquin a para la que pueda y mantenerse en el para que pueda despegar despega r y manten erse en el aire. aire. (Véase (Véase la la tabla tab la D.1 0.1 para para la la densidad densida d del del aire.) aire.)

4.60 El ión militar 4.60 El av avión militar de de despeg despegueue yy aterriza aterrizajeje vertical vertical es es cacapaz de elevarse mente bajo paz de elevarse vertical verticalmente bajo la la acción acción de de su su chorro chorro de de esescape, cape, el el cua cuall puede puede orientar orientarsese desde desde e == '= OO para para despega despegar r yy suspend erse hasta almente. A suspenderse hasta e e == 90° 90° para para volar volar norm normalmente. A plena plena carga, el avió n tiene una carga, el avión tiene una masa masa de de 8600 8600 kg. Bajo Bajo la potenci potencia a máxima máxima al al despegu despegue, e, su su motor motor turbofá turbofán n consum consume e 90 kg kgll s ddee aire stible de aire yy tiene tiene una una relación relación airel aire I combu combustible de 18. La velocid velocidadad del del gas gas de de escap escape es es 1020 1020 mi mi ss con con una una presión presión esencia esencialmente lmente igua r ica en igual l aa la la atmosfé atmosférica en las las toberas tobera s de de escape. escape. Por Por los los ca canales na les de ira aaire ire de de admisió admisión n se se asp aspira de 1,206 1,206 kg kgl l m33 de de densida densidad d a una una presión (indicad total de presión (indicada)a) de de -- 22 kPa kPa en en la la sección sección total de entrada entrada de de 22 1,10 ll ar el ángu lo e para ddespegue espegue vertical vertical y la la correscorres1,10 m m . . Ha Hallar el ángulo epara pondien acelerac ión vertical vertical aay del avión. pondiente te aceleración v del avión.

¡I T-V70°

~

"'-./

II ,I I1

/ ~ctIP"='"

IDI

'el , 1"1I

uu



El Elreactor reactor militar militar tiene tiene una una masa masa total total de de 10 10Mg Mg YYestá está posado para posado para despegar despeg ar con con los los frenos fre nos aplicados apli cados mientras mientra s elel motoraumenta motor aum entade de revoluciones revolu cioneshasta hastalalamáxima m áximapotencia. potenci a. En En esa de aire de densidad 1,206 esa situación situac ión aspira asp ira48 48 kg/s kg / s de a ire de densida d 1,206kg/m3 kg/m 3 porlos loscanales por ca na lesde deentrada entrada con conuna unapresión presiónestática estática (indicada) (indicad a) de -- 2,0 2,0 kPa de kPa en en las las embocaduras embocad uras dede los los canales. canales. La La sección sección transve rsaltotal transversal to taldedeambos amboscanales ca nalesdedeentrada entrada(uno (unoenencada cadacoscos22 tado)eses1,160 tado) 1,160mm. LaLa relación relaciónaire a ireIlcombustible combu stibleeses18 18yylalavelovelo4.59 4.59

4.61 La La soplante sop lante eses accionada acciona da por por elel motor motor eléctrico eléctric o que que hace g irar alal impulsor impulso r aa 3450 3450 rpm rpm yy lanza lanza por por lala salida hace girar sa lida ee de de 150rnm mm de de diámetro diám etro un un caudal caudalde de aire aire de de 24 24 mm3 3I1min. min oEl 150 Elaire aire penetra en e n lala máquina máquin aen en elelsentido sentidoyynegativo negativ o con co nuna penetra unadensidensi3m 3 El conjunto de dad de 1,206 kg l soplanteyysusumotor dad de 1,206 kg/m . El conjunto de soplante motoreléceléctrico tiene tiene una un a masa masa dede 30 30 kg. kg, con con elel centro centro dede masa trico masa enen G, G, exactam enteencima encim adel delcentro centroentre entrelos lospernos pernosded eanclaje exactamente anclajeAAyy Calcula rlalafuerza fue rzavertical verti caltotal totalque qu esufren sufrenlos lossoportes B.B.Calcular sopo rtesAAyyB.B. Resp.AA==159,0 159,0N,N,BB==135,3 135,3NN Resp. 4.61

262 262


arriba. arriba.SiSilalaboquilla, boquilla,situada situadapor pordebajo debajodedelalasección secciónA-A, A-A,tiene tiene una unamasa masadede3030kg, kg,calcular calcularlalacompresión compresiónCeenenelelempalme empalmeA-A. A-A. Resp. Resp.Ce==265 265NN 250 mm

----1-x--

x --

A

mm

Figura problema problema 4.61 4.61 Figura 4.62 Un Un aspersor aspersor gira gira aa la la velocidad velocidad angular angular constante constante (Ow ~~ 4.62 distribuye un un volumen volumen de de agua agua Q Q por por unidad unidad de de tiempo. tiempo. yy distribuye Cada una una de de las las cuatro cuatro boquillas boquillas tiene tiene una una sección sección de de salida salida A. A. Cada Escribir la la expresión expresión del del momento momento M M aplicado aplicado al al árbol árbol del del sursurEscribir tidor necesario necesario para para mantener mantener la la rotación. rotación. Para Para una una presión presión tidor dada yy por por tanto, tanto, un un gasto gasto Q, Q, ¿cuál ¿cuál debe debe ser ser la la velocidad velocidad mo OJo del del dada aspersor si si no no se se aplica aplica momento momento alguno? alguno? La La densidad densidad del del aspersor agua es es p. p. agua

d

.~ .. ¿.,~

412mm Figura Figura problema problema 4.63 4.63

)W] Resp. M M = == PQ[~ PQ[~ -- (1'2 (r 2 + + bb22)(O Resp. ]

w O -

Qr Q1'

3 ~ ~ 4.64 4.64 La La bomba bomba centrífuga centrífuga trasiega trasiega 20 20 m m 3 de de agua agua dulce dulce por por minuto con unas velocidades de de entrada entrada yy salida salida de de 18 18 mi mi s.s. Al minuto con unas velocidades Al impulsor se se le le hace girar en en sentido sentido horario 900 rpm medianimpulsor hace girar horario aa 900 rpm mediante un motor motor de de 40 40 kW. kW. Estando Estando la la bomba bomba llena llena ppero sin girar, girar, te un ero sin las reacciones reacciones verticales verticales en en e Cy yD O son son de de 250 250 N N cada cada una. una. CalCallas cular las las reacciones reacciones de de la la base base de de la la bomba bomba sobre sobre e C yy D. D. Las Las tentencular siones en en los los tubos tubos de de unión unión en en A A yy B Bestán equilibradas por por las las están equilibradas siones respectivas fuerzas debidas a la presión estática del agua. (Surespectivas fuerzas debidas a la presión estática del agua. (Sugerencia: Aislar Aislar la la bomba bomba completa completa yy el el agua agua contenida contenida en en su su iningerencia: terior entre entre las las secciones secciones AA yy B BY Y aplicar aplicar el el teorema teorema de de la la terior cantidad de de movimiento movimiento al al sistema sistema total.) total.) cantidad Resp. eC==4340 4340 N N (hacia (hacia arriba), arriba), Resp. 0= 3840 N (hacia abajo) D = 3840 N (hacia abajo)

4A(r2 + b 2)

U


G, y B.

AA

~ ~ 4.63 4.63 Se Serepresenta representa aquí aquí W1a unasección secciónlongitudinal longitudinal de delalaboboquilla de succión A de la descargadora de trigo del problema quilla de succión A de la descargadora de trigo del problema 4.56. 4.56. El Eltubo tubo externo externo está está unido unido alalinterno interno por por varios varios nervios nervios longitudinales longitudinales que que no noestorban estorban elelflujo flujode de aire. aire.En Eneleltubo tubo ininterno ternosesemantiene mantiene una unadepresión depresión de de230 230 mm mmde demercurio mercurio (p(p=== -30,7 -30,7 kPa, kPa,indicada) indicada) yyen enlalaparte parte inferior inferiordel deltubo tuboexterno externosese mantiene mantienelalapresión presiónatmosférica atmosférica(p(p==O). O).Entre Entreelelespacio espaciode deamambos / m 33 aarazón bostubos tubosseseaspira aspiraaire airede dedensidad densidad 1,206 1,206 kg kg/m razón de de 1616Mg Mgpor porhora, hora,a alalapresión presiónatmosférica, atmosférica,elelcual cualarrastra arrastraconsigo consigo 135 135Mg Mgpor porhora horade degrano granocon conuna unavelocidad velocidadde de4040mi mis stubo tubo

II

ilsOi~ ¡lsO¡~ mm mm mm mm Figura problema 4.64 Figura problema 4.64

263 263


~ 4.65 En la figura puede puede verse un detalle del diafragma ~ diafragma A giratorias Bde B de una una turbina turbina de la tobera estacionaria y las paletas giratorias de gas. Los productos productos de la combustión combustión pasan pasan a través de las paletas fijas fijas del diafragma montadas montadas a un ángulo de 27° 27° e inciden sobre las paletas móviles del rotor. Los ángulos que se indican se han han tomado tomado para para que la velocidad del gas relativa a la paleta móvil forme a la entrada entrada el ángulo de 20° 20° para para turbulencia turbulencia ITÚmínima, correspondiente correspondiente a una una velocidad media media de las paletas de nirna, 315 Siel 315 mI s a un radio de 375mm. 375 mm. Si el caudal de gas, rebasadas rebasadas las paletas, es de 15 15kg s, determinar kg I s, determinar la potencia útil teórica P de la turbina. turbina. Despréciense los rozamientos rozamientos mecánico y fluido con las correspondientes supóngase correspondientes pérdidas pérdidas de energía térmica, y supóngase desvían por las superficies de las paletas que todos los gases se desvían paleta de módulo módulo constante. con una velocidad relativa a la paleta Resp. 1,197MW Resp. P = = 1,197 MW

~ ~ 4.66 En la figura puede puede verse una una turbina turbina de central hidroeléctrica que funciona con una columna estática de agua una columna igual a 300 300 m en cada una una de sus seis toberas toberas y gira a 270 270 rpm. rueda y generador generador debe desarrollar desarrollar una una poCada conjunto de rueda tencia útil de 22 000 000 kW. kW. El rendimiento rendimiento del generador generador puede puede considerarse considerarse igual a 0,90y 0,90 y puede puede esperarse esperarse que el rendimiento rendimiento conversión de la energía energía cinética de los chorros de agua en de conversión energía suministrada por la turbina turbina sea de 0,85. 0,85. La velocidad energía suministrada por velocidad periférica media rueda para media de la rueda para rendimiento rendimiento máximo es, aproximadamente, el 47% 47% de la velocidad velocidad del chorro. Si cada aproximadamente, álabe tiene la forma indicada indicada en la figura, determinar determinar el diámetro d del chorro y el diámetro diámetro D de la rueda rueda necesarios para para las anteriores condiciones. Supóngase agua actúa sobre el anteriores Supóngase que el agua tangente a cada uno uno de los chorros. álabe que esté tangente Resp. d = = 165,3 mm, D = = 2,55 2,55 m Resp. 165,3mm,

u

---6, -6,

/

40l

J

~.lOo v



4.7 4.7

MASA MASA VARIABLE VARIABLE

En el apartado apartado 4.4 se han han extendido extendido las ecuaciones que describen describen el movimienmovimiento de un punto sistema de puntos punto material material para para incluir incluir un sistema puntos materiales. materiales. En ese apartado, tal extensión extensión nos llevó a las expresiones expresiones de carácter carácter totalmente totalmente geneapartado, = G, LMa = Ha H a y LMe = He, que son las ecuaciones 4.6, 4.7 Y4.9, Y 4.9, ral LF = LMa = LMe = ecuaciones 4.6, respectivamente. ecuaciones los sumatorios sumatorios comprendían respectivamente. Al deducir deducir estas ecuaciones comprendían un número fijo fijo de puntos puntos materiales, materiales, por por lo que la masa del sistema número sistema estudiado estudiado era constante. apartado 4.6 se extendieron constante. En el apartado extendieron esos principios principios mediante mediante las ecuaciones 4.18 4.18 y 4.19para 4.19 para describir describir la acción de las fuerzas que se ejercen sobre un sistema definido por por un un volumen volumen geométrico geométrico atravesado atravesado por por un un flujo másico sistema definido estacionario. estacionario. La masa existente en el interior interior del volumen volumen considerado considerado era, por por constante respecto al tiempo tiempo y, por por ello, pudieron pudieron emplearse emplearse las ecuaciotanto, constante 264


265

v

4.7 4.7 MASA VARIABLE VARIABLE

m m absorbe masa ( v > VO) va)

(a) (al

v

LF _

~(~j~~)};~R~'.;;:;i'-"~~

(bl (b)

m m expulsa masa (v >VO) >vo)

v

..--

XF -__ LF

vo va

~;;¡¡ ~~~_~~~~:;~ ~~~~~~;~,;~~t~~

(el (e)

m m expulsa masa (v>vo) (v>vo) Figura Figura 4.6 4.6

nes 4.6, 4.7 Y 4.9. Cuando 4.6,4.7 Y4.9. Cuando la masa interior interior al contorno contorno de un un sistema sistema que se considere no sea constante constante con el tiempo, las relaciones anteriores anteriores dejan de tener tener validez. 1 validez.' Ahora un sistema Ahora vamos vamos a desarrollar desarrollar la ecuación ecuación del movimiento movimiento de un sistema cuya masa varíe con el tiempo. Para este caso simplificado simplificado consideremos, consideremos, primeraprimeramente, un un cuerpo cuerpo (fig. (fig. 4.6a) 4.6a) que gane masa al absorber absorber y expulsar expulsar una una corriente corriente de materia. La masa del cuerpo cuerpo y su velocidad, velocidad, en un un instante instante cualquiera, cualquiera, son respectivamente. Se supone supone que la corriente de materia materia se mueve mueve en la m y v, respectivamente. sentido que m con una una velocidad velocidad constante constante Vo Va inferior inferior a v. misma dirección y sentido En virtud virtud de la ecuación ecuación 4.18, 4.18,la fuerza ejercida por por m sobre las partículas partículas de la la fuerza para acelerarlas acelerarIas desde desde una una velocidad velocidad Vo va hasta hasta otra velocidad velocidad mayor mayor corriente para = m '(v '(v - vo) va) = = mu mu ,, donde donde el aumento aumento de m por por unidad unidad de tiempo tiempo es vveses R = = m m y donde donde u es la velocidad velocidad relativa relativa con que se aproximan aproximan a m las parm' = Aparte de R, R, designaremos designaremos por I.F I,F a todas las fuerzas que se ejerzan sotículas. Aparte movimiento. La ecuación del movimiento movimiento de m bre m en la dirección de su movimiento. según la segunda segunda ley de Newton por tanto, tanto, I.F I,F - R == m muil;; o sea, según Newton es, por I,F I.F

= mil mi; + mu mu =

(4.20)

Análogamente, si el cuerpo cuerpo pierde pierde masa expulsándola expulsándola a una una velocidad velocidad Vo va Análogamente, 4.6b), la fuerza fuerza R necesaria necesaria para para desacelerar des acelerar las partículas partículas desinferior a v (fig. 4.6b), una velocidad velocidad v hasta hasta otra inferior Vo va es R = m '( '(-va [- v]) v]) = m '(v '(v - vo). va). Ahode una - Vo - [m' == -m =m ,, ya que m disminuye. disminuye. Además, Además, la velocidad velocidad relativa relativa con que ra bien, m' partículas abandonan abandonan m es u == v - vo. Va. Así pues, pues, la fuerza R se hace las partículas = -m u . Si Si I.F I,F representa representa la resultante resultante de todas todas las demás demás fuerzas que se ejerR = movimiento, la segunda cen sobre m en la dirección de su movimiento, segunda ley de Newton Newton exige I,F + R == mil mi; o sea, que I.F I,F = mil mi; + mu I.F

0-

relativista la masa resulta ser función de la velocidad, velocidad, y su derivada derivada respecto al En Mecánica relativista tiempo tiene un significado diferente al que tiene en Mecánica newtoniana. newtoniana.


266 CINÉTICA DE LOS SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES

que es la misma relación que se obtuvo en el caso en que m ganaba masa. Por tanto, la ecuación 4.20 puede utilizarse como ecuación del movimiento de m tanto si gana como si pierde masa. Es frecuente cometer el error de expresar la suma parcial de fuerzas LF en la forma

LF

d dt(mv)

=

=

mu + mo

~R

De los análisis anteriores se ve que esta derivación directa de la cantidad de movimiento da la fuerza correcta LF únicamente cuando el cuerpo capta masa inicialmente en reposo o cuando la expulsa con una velocidad absoluta nula. En ambos casos, Va = OY u = v.

¡

¡

mg

J

mg

hA

J

trA

tE

=

Sistema real

Sistema simulado

(a)

(b)

m'u

La ecuación 4.20 puede también obtenerse por derivación directa de la cantidad de movimiento a partir de la relación fundamental LF = G con tal que se tome un sistema adecuado de masa total constante. Para explicar esto, tomaremos el caso en que m pierde masa; la figura 4.6c muestra el sistema constituido por m y una porción arbitraria ma de la corriente de masa expulsada. La masa de este sistema es m + ma y es constante. La corriente de masa expulsada se supone que se mueve sin perturbación una vez separada de m y que la única fuerza exterior al sistema total es LF, que está aplicada directamente a m como antes. La reacción R = -mu es interior al sistema y no se ha representado. Con masa total constante es aplicable el principio de la cantidad de movimiento LF = G y queda

Figura 4.7

Evidentemente riza = - m , Yla velocidad de la masa expulsada respecto a m es u = v - va· Además va = O,puesto que ma se mueve sin perturbación con aceleración nula una vez libre de m. Así pues, la relación queda en la forma

I1

LF que es igual al resultado

=

mu + mu

de la formulación

anterior.

El caso en que m pierde masa es característico de la propulsión cohete. En la figura 4.7a puede verse un cohete en ascenso vertical, cuyo sistema es la masa interior al volumen definido por la superficie exterior del cohete y el plano de salida a través de la tobera. El diagrama para sólido libre presenta como exteriores a ese sistema los valores instantáneos de la atracción de la gravedad mg, la resistencia aerodinárnica R y la fuerza pA debida a la presión estática me.dia a través del plano de salida a través de la tobera de área A. Además, la circulación de masa por unidad de tiempo es m' = - m . Así pues, la ecuación del movimiento del cohete LF = mu + mu podemos escribirla en la forma pA-mg-R = mv+mu i o eee, m'u+pA-mg-R

=

mv

(4.21 )

La ecuación 4.21 es de la forma "LF = ma", donde el primer término de "LF" es el empuje E = m' u . Así pues, el cohete puede simularse mediante un cuerpo al cual se aplique un empuje exterior E (fig. 4.7b) Y el problema puede en-


tonces estudiarse estudiarse como como cualquier cualquier otro otro problema problema de F == ma, con con la salvedad salvedad de de tonces que m es función del tiempo. que función del tiempo. Puede Puede observarse observarse que, que, durante durante las etapas etapas iniciales iniciales del del movimiento movimiento en en las que el valor de la velocidad v del cohete es inferior a la velocidad relativa que valor velocidad del cohete inferior velocidad relativa de de expulsión velocidad absoluta expulsión u, la velocidad absoluta va de los gases gases expulsados expulsados estará estará dirigida dirigida hacia cuando el cohete hacia atrás. atrás. En cambio, cambio, cuando cohete alcance alcance una una velocidad velocidad v cuyo cuyo valor valor sea mayor mayor que que u, u, la velocidad velocidad absoluta absoluta va de de los gases gases expulsados expulsados estará estará diridirigida gida hacia hacia adelante. adelante. Para Para una una circulación circulación dada dada de masa masa por por unidad unidad de de tiempo, tiempo, el empuje empuje E del del cohete cohete sólo sólo depende depende de de la velocidad velocidad relativa relativa de expulsión expulsión u y no del del valor valor ni ni del del sentido sentido de la velocidad velocidad absoluta absoluta va de de los gases gases expulsados. expulsados. En este este estudio estudio de de los cuerpos cuerpos de de masa masa variable variable con con el tiempo tiempo hemos hemos susupuesto puesto que que todos todos los elementos elementos de de la masa masa m del del cuerpo cuerpo se movían movían a la misma misma velocidad velocidad v en en todo todo instante instante y que que las partículas partículas que que el cuerpo cuerpo ganaba ganaba o perdía perdía sufrían sufrían una una transición transición de de velocidad velocidad brusca brusca al penetrar penetrar o abandonar abandonar el cuerpo. cuerpo. Por Por ello, esa esa variación variación de de velocidad velocidad se ha ha representado representado mediante mediante una una discontidiscontinuidad matemática, matemática, pero pero en en la realidad, realidad, esa esa variación variación de de velocidad velocidad no no puede puede nuidad discontinua aun aun cuando transición pueda pueda ser ser muy muy rápida. rápida. En el caso caso de de ser discontinua cuando la transición un cohete, cohete, por por ejemplo, ejemplo, la variación variación de de velocidad velocidad tiene tiene lugar lugar en en el espacio espacio comcomun prendido entre zona de combustión combustión y el plano plano de salida salida de la tobera tobera de esprendido entre la zona cape. Un Un estudio estudio más más general general de de la dinámica dinámica de de masas masas variables variables elimina elimina esta esta cape. limitación limitación que que supone supone la discontinuidad discontinuidad en en la variación variación de de la velocidad velocidad e introduce troduce una una pequeña pequeña corrección corrección en en la ecuación ecuación 4.20.

267 4.7 4.7 MASA MASA VARIABLE

o


n

la a-

o d

e¡-

el a

1)

r-

El extremo extremo de una una cadena de longitud longitud L y masa p por unidad unidad de longitud, longitud, que está apilada sobre una plataforma, se una plataforma, eleva verticalmente verticalmente a velocidad velocidad constanconstanmediante una una fuerza variable P. Hate v mediante fuerza variable altura x del llar P en función función de la altura extremo sobre la plataforma. extremo plataforma. Hallar, Hallar, además, la energía energía perdida durante la además, perdida durante ascensión de la cadena. ascensión

x

Solución (método de la masa variable). Utilizaremos Utilizaremos la ecuación 4.20 4.20 para para Solución I (método longitud x, cuya masa aumenta. aumenta. El aplicarla a la porción porción móvil de la cadena, de longitud sumatorio "LF I.F de las fuerzas incluye a todas las que actúan actúan sobre la porción porción mósumatorio puntos materiales materiales que en cada instante instante están en el vil, salvo la ejercida por los puntos diagrama resulta resulta sistema. Del diagrama I.Fxx = Ppgx "LF P-pgx

n-


La El aumento Lavelocidad velocidadesesconstante constanteyypor portanto tantovi;= =O.O.El aumentode demasa masapor porunidad unidad de de tiempo tiempoesesrizm = =pv pvyylalavelocidad velocidadrelativa relativacon conque quelos lospuntos puntos materiales materialesseseagreagregan ==v.v.Así gana alalaporción porciónmóvil móvilesesuu==vv- -OO Asípues, pues,lalaecuación ecuación4.20 4.20sesehace hace [LF ==mv mi;++111U] mu] [:EF

2 PP == p(gx p(gx ++vv2) )

P-pgx P-pgx == O-pv(v) O-pv(v)

Resp. Resp.

Vemos Vemosasí asíque quelalafuerza fuerzaPPsesecompone componede dedos dospartes: partes:pgx, pgx,peso pesode delalaporción porciónmómó2, que es la fuerza adicional para cambiar la cantidad de movil vilde delalacadena, cadena,yypv pv2, que es la fuerza adicional para cambiar la cantidad de movimiento vimiento de delos loseslabones eslabones de delalaplataforma plataforma desde desde su suestado estado de dereposo reposo hasta hasta lala velocidad v.v. velocidad Solución Solución 1 1

l

pgx pgx

Solución Solución 11II

pg(L-X)l

pgL pgL

Solución Solución 111/(método (método de de lala masa masa constante). constante). Aplicaremos Aplicaremos aa toda toda lala cadena cadena elel teorema teorema de delalacantidad cantidad de demovimiento movimiento para para un unsistema sistema de depuntos puntos materiales materiales exexpresado presado por por lala ecuación ecuación 4.6, 4.6,considerando considerando toda toda lala cadena cadena como como un un sistema sistema de de masa masa constante. constante. El Eldiagrama diagrama para para sólido sólido libre libre de de éste éste presenta presenta lala fuerza fuerza descodesconocida nocida P, P, el elpeso peso total total de de todos todos los los eslabones eslabones pgLy pgLy la la fuerza fuerza pg(L pg(L -- x) x)que que ejerce ejerce la laplataforma plataforma sobre sobre los loseslabones eslabones que que se sehallan hallan en en reposo reposo sobre sobre ella. ella.La Lacantidad cantidad de de movimiento movimiento del del sistema sistema para para una una posición posición cualquiera cualquiera es es GGxx == pxv pxv yy la la ecuaecuación ción de de la la cantidad cantidad de de movimiento movimiento da da

[ LF

dGx]

x

dd PP ++ ppg(L g(L -- x) x) -- pg pgLL == dt(pxv) Jj(pxv)

=dt

2 PP == p(gx p(gx + + vv2)) Resp. Resp.

Vemos otra vez que la la fuerza P es es igual al al peso de la la porción de cadena que ha abandonado abandonado la la plataforma plataforma más el término adicional que tiene en cuenta el aumento por unidad unidad de tiempo de la cantidad cantidad de movimiento movimiento de la cadena.

perdIda. Cada Energía perdida. Cada eslabón eslabón situado situado en la plataforma plataforma adquiere adquiere su velocidad velocidad repentinamente un choque inmediatamente superior superior repentinamente a través través de un choque con el eslabón eslabón inmediatamente separa de la plataforma. plataforma. Esta sucesión sucesión de choques choques origina origina una una péra él yy que lo separa dida de energía energía ¡"E. !1E. El teorema teorema de las fuerzas fuerzas vivas vivas puede puede escribirse escribirse U'1.2 U '1-2 = = dida ¡"T !1T + LlV LlVgg + ¡..E. tlE. Uí_2 Uí_2

Jp dx == J~(pgx+ pv2) dx == ~pgL2 +pv2L

== Jp tlT ¡"T

dx

1 1 'iPLv22 =='i'pLv

J~(pgx+pV2)

!1V Vgg ¡..

dx

~pgL2+pv2L

L 2 11 pgLL"2 == 'ipgL 'i pgL2 == pgL"2

Al aplicar aplicar estos estos valores valores en en el el teorema teorema de de las las fuerzas fuerzas vivas vivas resulta resulta Al 2

!1E =-- ~pLv2 !pLv 2 ¡"E

Resp. Resp.

modelode de lalafigura figura4/6a 4/6aseseve velalamasa masaque queseseagrega agregaalalextremo extremode decacaCDCD EnEnelelmodelo porciónmóvil. móvil.En Enelelcaso casode delalacadena, cadena,lalamasa masaseseañade añadealalextremo extremode de bezade delalaporción beza cola, cola,pero peroelelefecto efectoeseselelmismo. mismo.

o

Hayque queprestar prestaratención atenciónpara parano noaplicar aplicarlalaecuación ecuaciónLF :EF==GGaasistemas sistemascuya cuya @ Hay masavaríe. varíe.Por Porello, ello,elelsistema sistemaenennuestro nuestrocaso casopresente presenteesestoda todalalacadena cadenayayaque que masa susumasa masaesesconstante. constante. 268 268


4.10 PROBLEMA TIPO 4.10 PROBL EMA TIPO

pp

p

t ~_t _----,--~ t

t

p

pgL ¡~ pgL

1 xx

sueltos eslabones sueltos Sustituir cadena de eslabones la cadena Sus tituir la cuerda una cuerda por una 4.9 por tipo 4.9 del problema problema tipo de cadena de una cadena flexible inextensible oo una flex ible ee inextensible masa y longitud de tipo de bicicleta de longitud L y masa pp bicicleta de tipo Determinar la por unidad longitud. Determinar de longitud. unidad de extreelevar el extrepara elevar fuerza necesaria para fuerza P necesaria constant d velocida la mo de la cuerda cuerda a velocidad constantee entre reacción R entre v yy la correspondiente correspondiente reacción plataform a. el arrollamiento arrollam iento yy la plataforma.

1 R R

tI~ T tt oo

RIo-_--t R T -

o

pg(L-x) pg(L - x)

_

JF jF

~ rud

tR tR

sópara sódiagram a para nta el diagrama Solución. izquierdaa se represe representa ilustrac ión de la izquierd .') lu ' iO). En la ilustración una e d causa A iento. arrollam el d móvil lido libre del arrollamiento y la porción móvil del arrollamiento. A causa de una porción lido libre del arroll amiento lamovimi ento lade movimiento algo de cuerda yy de algo cierta resistencia que ofrecerá ofrecerá la cuerda flexión que ci a a la flexión cierta resisten lo a lugar tendrá lugar a lo vertical vv tendrá velocid ad vertical teral, transición reposo hasta hasta la velocidad d esde el reposo ón desde la transici teral, la primero mos supone e, No obstant largo de un apreciable de la cuerda. cuerda. No obstante, suponemos primero ble de trecho aprecia un trecho largo de que lo que por lo velocid ad, por poseen la misma que todos elementos movimiento misma velocidad, ento poseen tos en movimi los elemen todos los que ecuació n 4.6 resulta aplicamos resulta camos la ecuación si apli

~J

dG [ L.F x = dt

que (3) Recuérdese constante yy que v es constante que ves Recuérdese que o que es igual a x . Adviértase también que ase también

pg L P + R-- pgL P+R

dos en tos ddee cuerda Suponemos adicionalmente que todos elementos cuerda conteni contenidos en el el todos los elemen almente que mos adicion Supone ella sobre ejerce que y rma platafo la arrollamiento hallan reposo sobre plataforma que no ejerce sobre ella sobre reposo en allan h se arrollam iento do esta pg(L - x). más fuerza que que su propio propio peso, peso, por por lo que que R == pg(L x). Aplican Aplicando esta relación relación más fuerza anterior tenemo tenemoss en la anterior 2+ygL + rgL pv2 P+pg(L-x) + pg(L - x) == pv P

o sea

P

= pv pgx pv22 + pgx =

tipo 4.9 anterior resultadoo que que coincid coincidee con el obtenid obtenidoo en el problem problemaa tipo anterior. . resultad es a cuerd la sobre P El trabajo total sobre cuerda de total trabajo Uí-22 Uí_

admitiría Q) perfecta no admitiría flexibilidad perfecta (D Un flexibilidad flexión. resistencia alguna a la flexión. alguna resistencia

2 ~pgx2 pgx) dx = = Jf P dx = = f~(pV2 J~(pV2 + pgx) = pv pv2xx + ~pgx2 =

es igual a i . Adviért para la esta válida para relación es válida misma relación esta misma 4.9. tipo cadena del problema tipo 4.9. a problem cadena

tenido en ® Este término término adicion adicionalal no tenido ®

cuenta en la energía cinética es energía cinética cuenta que exactamente energía que ente igual a la energía exactam choque el pierde la cadena durante choque durante pierde cadena es. eslabones. de sus eslabon

Aplicando estos valores valores en el teorem teoremaa ddee las fuerzas fuerzas vivas vivas resulta resulta do estos Aplican pv22xx + ~pgx2 ~pgx2 == t:.T f'lT + pgx~ pgx~ pv

f'lT pxv2 2 T == pxv t:.

269


que que es es el el doble doble de de la la energía energía cinética cinética ~pxv2 ~pxv2 del del movimi movimiento vertical. Es decir, ento vertical

. Es decir, ® ® hay hay una una cantida cantidadd igual igual de de energía energía que que no no se se tiene tiene en en cuenta. cuenta. Esta Esta conclus conclusión está ión está

0. @ Esta Esta guía guía limitado limitadora podríamos imara podríam os imaginaria ginaria como como si si fuera fuera una una especie especie de de receptá receptáculo de masa masa desprec despreciable culo de iable que que rotase rotase dentro dentro del del arrollam arrollamiento iento con con una velocida velocidadd angular angular vlr vlr yy coconectado nectado por el el eje eje aa la la platafor plataforma. Al ma. Al girar, aliment alimentaa de cuerda cuerda al al tramo tramo en movimi movimiento vertical,, haciend haciendoo ento vertical que que los los element elementos cuerda pasen os de cuerda del del reposo reposo a moverse moverse vertical verticalmente mente con una velocid velocidad v, tal como como se se ininad v, dica en la figura adjunta adjunta..

~\w_"/,)WO"I' ~

:U IV II I

••

!I' rr

r=±c

III

en ancia con is de en total total discord discordancia con nuestra nuestra hipótes hipótesis de movimi movimiento monodimensional en ento monodi mensio nal en la direcció dirección x. la n x. Al ir un Al objeto objeto de de consegu conseguir un modelo modelo monodi monodimensional que retenga retenga la la propiepropiemensio nal que dad sibilida d atribuid dad de de inexten inextensibilidad atribuidaa aa la la cuerda, cuerda, es es necesar necesario imponerr una una ligadur ligaduraa io impone física física en en la la base, base, tal tal que que guíe guíe aa la la cuerda cuerda hasta hasta que que ésta ésta se se halle halle en en movimi movimiento ento @ vertical , pero que @ vertical, pero que aa la la vez vez garantic garanticee una transici transición suave desde desde el el reposo reposo h~sta h~sta ón suave una ad vertical una velocid velocidad vertical vv sin sin pérdida pérdida de energía energía.. En En la la ilustrac ilustración del centro centro se se ión del represe nta el representa el diagram diagramaa para para sólido libre de toda la la cuerda con con la la guía añadida añadida cuyo ión central del diagram cuyo esquem esquemaa puede puede verse en la la ilustrac ilustración diagramaa para sólido sólido lilibre de la derecha derecha.. Para ativo, el teorema de las fuerzas vivas da Para un un sistema sistema conserv conservativo, da

®

[dU'

=

dT+dVgJ

pP = ~pv2 pgx ~pv2 + pgx yy aplican do estos aplicando estos valores en el teorema teorema de la cantida cantidadd de movimi movimiento resulta ento resulta ~pv2 + pgx+R == pv ~pv2+pgx+R pv22+pgL +pgL

R == ~pv2 ~pv2 + pg(L pg(L - x)

Pese Pese aa que que esta esta fuerza, fuerza, que excede en ~pv2 ~pv2 al peso, es experim experimentalmente irreal, entalme nte irreal, estará present presentee en el modelo modelo ideal. El io del tramo El equilibr equilibrio tramo vertical requier requieree

® Téngase Téngase en cuenta cuenta que que el centro centro de masa del trozo trozo de longitud longitud x estará estará aa una distancia distancia x/2 encima de la x/2 por por encima de la base. base.

T pgx TO o= = PP -- pgx

= pgx = ~pv2 ~pv2 + pgx

pgx pgx

= ~pv2 ~pv2 =

Como necesar ia una una fuerza para cambia Como es es necesaria fuerza de pv2 para cambiarr la cantida cantidadd de movimiento movimi ento de elemen tos de de la la cuerda, cuerda, la guía limitadora limitad ora debe proporcionar de los los elementos falta, proporc ionar lo que falta, F= = ~pv2 ~pv2 ,, que, a su vez, es transmitido transmi tido a la plataforma. F platafor ma.

PROBLEMA TIPO TIPO 4.11 PROBLEMA

En el polo norte norte se dispara dispara verticalmenEn verticalmente un un cohete cohete de masa masa inicial inicial mo que que se hasta agotar agotar el combustible, acelera hasta combustible, el consume aa velocidad velocidad constante. cual se consume constante. velocidad en en tobera del gas La velocidad gas expulsado expulsado tiene un un valor valor constante constante uu yy durante tiene durante todo el vuelo vuelo sale sale el gas todo gas por por la tobera aa la presión atmosférica. atmosférica. Si es mb la masa presión masa residual del cohete cohete con con su sidual su maquinaria maquinaria cuando se se agota agota el combustible, combustible, hallar cuando hallar la expresión de de la la velocidad velocidad máxima expresión máxima que que alcanza el el cohete. cohete. Se Se desprecian alcanza desprecian la la resisresistencia atmosférica atmosférica yy la tencia la variación variación de de la la gravedad con gravedad con la altura. altura.

270 270


t E

SoluciónI I(solución (soluciónf F==majo majo Adoptamos Adoptamoselelplanteamiento planteamientoque queseseilustra ilustraenenlala Solución figurayytratamos tratamoselelempuje empujecomo comosisifuera fuerauna unafuerza fuerzaexterior exterioraplicada aplicadaalalcohete. cohete. figura Despreciandolalacontrapresión contra presiónp pen enlalatobera toberayylalaresistencia resistenciaatmosférica atmosféricaR,R,lalaseseDespreciando G) gunda ley de Newton, o sea, la ecuación 4.21, nos da G) gunda ley de Newton, o sea, la ecuación 4.21, nos da

mg==mil mv EE ==mg

Peroelelempuje empujeesesEE== mm'u'u==- - mmu, entonceslalaecuación ecuacióndel delmovimiento movimientoqueda queda Pero u r yyentonces -mu -mg == mil mv -mu-mg

Multiplicandopor pordi, dt, dividiendo dividiendopor pormmyyordenando ordenandolos lostérminos términosresulta resulta Multiplicando dm dm dv == -u--g -u - - g dtdt dv m m

que ya ya presenta presentauna una forma forma integrable. integrable. La Lavelocidad velocidadvv correspondiente correspondienteal al tiempo tiempo que t viene dada por la integral t viene dada por la integral

fmdm

fl

St dt -usmmo dm - --g mom m g OO dt SfvOO dvdv == =u v

sea oo sea mO mo In --gt - -gt v == uu In m m

®

Como el combustible combustible se quema quema a razón razón constante constante de masa masa m' m' = = -- m m por por uniuniComo dad de tiempo, la masa masa en en un un instante instante cualquiera cualquiera tt es m = mo + m mt.t. Si es nu, mb la masa masa dad combustible, el instante instante en que tiene del cohete en el momento momento en que se agota el combustible, lugar m == (m (- m). lugar el agotamiento agotamiento del combustible combustible será tb== (mb (mb-- mo)/ mo)/m (m;o- mb)/ mb)/(m). Este instante instante corresponde corresponde al al de de velocidad velocidad máxima máxima yy ésta ésta será será Resp. Resp.

La La cantidad cantidad

rfl m

es es negativa, negativa, ya ya que que la la masa masa disminuye disminuye con con el el tiempo.

Solución Solución 11 11(masa (masa variable). variable). ecuación ecuación quedará quedará

Si ==-- mg Siempleamos empleamos la la ecuación ecuación 4.20, 4.20,será será I,F "L.F mg yy la la

[I,F [LF = = mv mil ++111.U] mu] Pero Pero mu mu

--mg mg == mv+mu mii= mu

== -- m'u entonces la mu == -- EE YYentonces laecuación ecuación del del movimiento movimiento se seconvierte convierte en en E-mg E-mg == mv mil

igual igual aalalaplanteada planteada en enlala Solución Solución J.I.

CDCD EnEnuna una primera primeraaproximación, aproximación, despreciar despreciarlalaresistencia resistenciaatmosférica atmosférica no noes esuna una hipótesis hipótesis incorrecta, incorrecta, por porcuanto cuanto lalavelocidad velocidad de deascenso ascenso del delcohete cohete esesmenor menoren en lalazona zonadensa densade delalaatmósfera atmósferayymayor mayoren enlalazona zonaenrarecida. enrarecida. Además, Además,aa320 320 km km de dealtitud altitudlalaaceleración aceleración de delalagavedad gavedadeseselel91 91%%de delalaexistente existente en enlalasuperficie superficie terrestre. terrestre. ®® SeSehahasupuesto supuestoun unlanzamiento lanzamientovertical verticaldesde desdeelelpolo polonorte norteúnicamente únicamente para para eliminar eliminarlas lascomplicaciones complicaciones que quesupone suponelalarotación rotaciónterrestre terrestrealalrepresentar representarlalatratrayectoria yectoriaabsoluta absolutadel delcohete. cohete. 271 271


PROBLEMAS PROBLEMAS Problem as introdu Problemas introductorios ctorios 4.67 El 4.67 El cohete Saturno V tiene una masa de 2,7(10 2,7(1033) ) Mg Mg aproxim adamen te. En el momento momen to del lanzam aproximadamente. lanzamiento combus-iento el combus tible MgII s y en la tobera los gases tietible se se quema quema a razón de 13 Mg tienen una una velocidad velocid ad de escape de 2400 nen 2400 mis. Calcularr la la m i s. Calcula acelerac ión inicial del cohete. Supone aceleración Suponerr que en el plano saliplano de de salida de la tobera de escape reina la presión atmosférica. presión atmosfé rica. Resp. Resp. a == 1,746 1,746 mi mi S2 S2

4.68 Cuando, Cuando , en su trayectoria, trayecto ria, el cohete alcanza la posición 4.68 posició n represe ntada, tiene una masa de 3 Mg Y se halla fuera de representada, los de los efectos de la atmósfera atmósfe ra terrestr efectos terrestre. e. La aceleración acelerac ión gravitatoria gravitat oria vale El combus tible es quema vale 9,60 9,60 m mii S2. s2.El combustible 130 kgl quema a razón razón de 130 kgl ss y y la velocid ad de escape, relativa a la tobera, es 600 la velocidad 600 m mi i s. s. CalcuCalcular las compon entes n y t de la acelerac componentes aceleración ión del cohete.

4.70 depósit o, cuya masa vacío es de 50 4.70 Un depósito, 50 kg, es impulsado impulsa do hacia la izquier da por por una fuerza P y recoge agua dulce de izquierda de una una corrient sentido contrar corrientee que fluye en sentido contrario io con una velocidad velocid ad de de 1,5 recogid a tiene una entrada 1,5 mi mi s. La boca de recogida entrada de 2000 mm?2 y 2000 mm y el penetra por ella con una velocidad el agua agua penetra velocid ad igual a la de la boca boca respecto a la corrient e. Hallar Hallar la fuerza P en el instante respecto corriente. instante en en que que se han admitido admitid o 80 kg de agua agu a y la velocidad se han del velocid ad y aceleración acelerac ión del depósit o son, respectivamente, 2 respecti vament e, de 2 mis depósito mi s y 0,4 0,4 mi m/sS2.Despre. Despreciar la debida al choque con la boca, necesar ciar la pequeñ pequeñaa presión presión debida necesaria ia para agua al depósito. para elevar el agua depósit o.

Vertical Vertical I I I I

Figura problem a 4.70 Figuraproblema 4.70

I I


4.69 un autocub 4.69 A plena carga, un autocubaa para para la limpieza calles limpiez a de de calles tiene tiene una masa total de 10 Mg. Con el rociado rociadorr conecta conectado, de do, de la boquilla boquill a mana mana un un caudal caudal de agua 40 kg agua de 40 kglI s a una una velocidad velocid ad ddee 20 20 111 vehícul o y bajo el ángulo indicad mi 1s relativa al vehículo indicadoo de de 30°. 300. Si el vehículo vehícul o ha de acelerar a razón Si el sorazón de 0,6 0,6 mi mi s2,al s2, al arrancar arranca r sobre tal, hallar bre una calzada horizon horizontal, P necehallar la fuerza de tracción P necesaria neumát icos y la calzada saria entre los neumáticos calzada cuando cuando (a) el rociador rociado r funcion funcionaa y (b) (b) el rociado rociadorr no funcion funciona. a. Resp. (a) P = = 5,31 Resp. 5,31 kN, 6,00 kN kN, (b) P == 6,00 kN

4.71 Un vagón carbone ro tiene una masa vacío de 25 4.71 carbonero 25 Mg Mg Y Y transpo rta una carga total de 90 transporta 90 Mg de carbón. Los contenedocontene dores están están equipados equipad os con unas puertas res puertas de fondo que permiten permite n descarg ar el carbón a través de unas unas aberturas descargar abertur as entre los rafles. raíles. Si Si el el vagón descarg descargaa carbón a razón de 10 Mg I s en direcció direcciónn Mg/s descend ente relativa relativa al vagón y si la resistencia descendente resisten cia al movimiento movimi ento debida al rozamie nto es de 20 N por megagramo debida rozamiento megagr amo de masa reremanent e, hallar hallar la fuerza de enganche manente, enganc he P necesaria necesar ia para comucomunicarle una acelerac ión de 0,045 nicarle una aceleración 0,045 mi mi S2en S2 en la dirección direcció n y y sentido sentido de P en el instante instante en que se ha descargado de carbón. descarg ado la mitad mitad del del carbón. Resp. PP = = 4,55 Resp. 4,55 kN kN

-p

Figura problem a 4.71 Figuraproblema


4.72 La masa m de una una gota de lluvia aumenta 4.72 aument a a medida medida que que recoge humedad humed ad durante durante su descenso recoge descens o en el seno de aire encalencalmado. Si la resistencia resisten cia del aire al movimiento mado. movimi ento de la gota es es R R yy su velocid ad descend ente es n, su velocidad descendente ecuaciónn del moviv, escribir la ecuació movi-

272


se d(mv)ld t se = dimu'[d! LF = relación 'L.F que la relación miento mostrar que de la gota y mostrar miento de variamasa para n ecuació la de ecuación para masa variacumple particu lar de cumple como caso particular ble. ble. comdepósit o de comsu depósito junto con su 4.73 espacia l, junto lanzade ra espacial, 4.73 La lanzadera total masa una tiene , refuerzo de refuerzo, tiene una masa total bustible cohetes de dos cohetes central y dos bustible central gene33)) Mg en refuerzo de cohetes e. de 2,04(10 el despegue. Los cohetes de refuerzo genedespegu en de 2,04(10 del princip ales del motore s principales Y los tres motores ran 11,8(1066)) N Ylos empuje de 11,8(10 ran un empuje 66) impuluno. cada 2,00(10 vehículo generan un empuje de 2,00(10 N cada uno. El impulempuje un generan o vehícul galos gadescarg a de los velocid ad de descarga so entre la velocidad (cociente entre específico (cociente so específico tres los de uno cada uno ses los tres gravitat oria) en cada acelerac ión gravitatoria) ses y la aceleración vertical acelerac ión vertical Calcula r la aceleración motores princip ales es de 455 s. Calcular motores principales ando funcion todos s motore inicial a del conjunto con los cinco motores todos funcionando conjunt o inicial a uno cada l en tible yy hallar el consumo de combustible m', en kg I s, de cada uno combus o hallar consum ra. lanzade s de los tres motores de la lanzadera. motore kgl ss = 448 kgl m'= mi S2, m' Resp. = 4,70 mI Resp. aa =

desplieque el desplieinmóvil yy que el platafo rma inmóvil una plataforma espacia l es una ingenio espacial el ingenio Despréorio. gravitat gue tiene lugar fuera de cualquier campo gravitatorio. Desprécampo er cualqui de gue tiene lugar fuera con x. ciese la compar ación con en comparación la cota bb en


dispara mo. Se dispara 4.75 pequeñ o cohete es mo· un pequeño masa inicial de un La masa 4.75 La te). constan (g verticalmente cerca de la superficie de la Tierra (g constante). superfic ie vertical mente nar determi Si la resistencia del aire es despreciable, determinar la forma en iable, desprec Si la resisten cia tiempo que debe variar la masa m del cohete en función del tiempo tt masa variar que debe pueda cuestió n pueda después para que el cohete en cuestión lanzam iento para despué s del lanzamiento velocid ad una velocidad tener constan te a con una vertical constante acelerac ión vertical una aceleración tener una . tobera la respecto constante u de los gases escape respecto a tobera. de constan te moe Resp. = moe Resp. m =

Problemas representativos as representativos Problem Mg I s. El 4.76 La masa del cohete en el lanzamiento 8,5 MgI lanzam iento es de 8,5 La masa 4.76 ad de velocid una con s I consumoo de de combus combustible 200 kg velocidad tible es 200 consum a ión acelerac descarga en tobera de 760 mI Calcular la aceleración inicial r Calcula s. i m 760 descarg a en tobera hola con forma que e ángulo del cohete rampa y hallar ángulo e hoel hallar rampa la en del cohete rizontalla aceleración instante después después ión del centro de masa un instante la acelerac rizontal ne la rampa. abandone de que el cohete abando

...... /,_ ..

-~t - ~t u

,'


4.74 El El brazo magnet magnetométrico espaciall se se ométric o de un ingenio espacia 4.74 se que lares triangu tos elemen de compone de número elementos triangulares que se número gran un compon e del liberan se cuando ada expanden configuración desplegada cuando del despleg ración configu su a en expand receptáculo contienee y en cuyo interior se guarda guardann plepleculo que los contien receptá la fuerza de ón gados antes de la suelta. Escribir la expresi expresión fuerza F, F, gados que la base del receptá receptáculo brazo durante durante culo debe ejercer sobre el brazo que el desplie despliegue longitudd en aument aumentoo xx yy gue de éste, en función de la longitu el unidad por brazo del masa sus derivadas temporales. La brazo unidad de de La les. sus derivad as tempora en apoyo e d base la que ase longitud desplegada Supóngase de apoyo en Supóng p. es ada longitu d despleg


273


4.77 acción de de la fuerza extremo superior superior de de la la 4.77 Bajo la acción fuerza P, el extremo cadena de de longitud longitud L y masa de longitud longitud desciendesciencadena masa p por por unidad unidad de celeridad constante constante v. de la básde a la celeridad v. Determinar Determinar la lectura lectura R de báscula en en función función de cula de x. Resp. Resp. R == pgx pgx + pv pv22

4.79 En de prueba de cohetes cohetes el consumo consumo de de 4.79 En una una plataforma plataforma de prueba de combustible m en kilogramos segundo, de de un cohete inscombustible m',r en kilogramos por por segundo, un cohete instalado de manera que el empuje empuje talado verticalmente verticalmente se programa programa de manera que compense siempre siempre la disminución disminución de de peso del cohete cohete durante durante compense peso del ensayo. Si la masa de cohete cohete y combustible combustible es de de 6000 6000 el ensayo. masa inicial inicial de kg la velocidad de descarga descarga relativa de 800 800 mi indepenkg Y Y la velocidad de relativa es de m / s, independientemente del del consumo consumo de de combustible, combustible, hallar de qué qué modo dientemente hallar de modo debe variar con el tiempo en segundos segundos después después del encendebe variar m' m ' con tiempo t en del encendido. Hallar asimismo la masa combustible consumido consumido Hallar asimismo masa mi mI de de combustible dido. en los los primeros diez segundos. segundos. en primeros diez Resp. 73,6e- 0,01231 kgl/ s, mi 692 kg Resp. m' m' = 73,6e0,0123 1 kg m¡ = 692 kg

s e v ti

p

4.80 La figura figura representa de una estructura 4.80 representa la idealización idealización de una estructura monodimensional de masa de longitud longitud monodimensional de masa uniforme uniforme p por por unidad unidad de


4.78 extremo superior superior de de la la cadena cadena de de longitud longitud L y masa 4.78 El extremo masa p por por unidad unidad de de longitud, longitud, se suelta suelta partiendo del reposo reposo con con el partiendo del extremo inferior inferior tocando de la báscula. extremo tocando la plataforma plataforma de báscula. DetermiDeterminar la fuerza fuerza F que que señala señala la báscula en función función de de la la distancia distancia nar báscula en recorrida por extremo superior. superior. (Comentario: (Comentario: La cadena adadx recorrida por el extremo La cadena quiere una una velocidad de caída caída libre libre de,¡¡gx, pues eslaboquiere velocidad de pues los los eslabones que que ya ya están están en en la báscula ejercen fuerza fuerza alguna alguna sobre sobre nes báscula no no ejercen que están están encima encima de ellos descendiendo descendiendo todavía libremenlos que de ellos todavía libremenResolver el problema dos procedimientos: calte. Resolver problema por por dos procedimientos: primero, primero, calculando la variación de tiempo de la cantidad cantidad de de culando variación por por unidad unidad de tiempo de movimiento de de la cadena cadena completa completa y, segundo, segundo, considerando considerando movimiento fuerza F como como compuesta compuesta por de los los eslabones eslabones en en rela fuerza por el peso peso de reposo sobre sobre la báscula fuerza necesaria desviar una poso báscula más más la fuerza necesaria para para desviar una corriente fluida fluida equivalente.) equivalente.) corriente

que se mueve va cuando cuando choca choca que mueve horizontalmente horizontalmente a una una velocidad velocidad Vo con un obstáculo inamovible aplasta. La fuerza fuerza F requerida un obstáculo inamovible y se aplasta. requerida con para deformación acordeonada acordeonada es constante. constante. Se para mantener mantener una una deformación desprecia longitud b del del tramo aplastado de de la estructura estructura en en tramo aplastado desprecia la longitud comparación con con el desplazamiento desplazamiento s del del tramo deformado comparación tramo no no deformado del impacto. aún no deformada puede considea partir partir del impacto. La parte parte aún no deformada puede considerarse como un cuerpo de de masa decreciente. Deducir ecuación un cuerpo masa decreciente. Deducir la ecuación rarse como diferencial que que relaciona con s, sti y Éis aplicando aplicando adecuadaadecuadarelaciona F con diferencial mente ecuación 4.20. Comprobar el resultado aplicando la mente la ecuación 4.20. Comprobar resultado aplicando ecuación 4.6 las dos dos porciones del cuerpo cuerpo juntas como si fuera fuera porciones del juntas como ecuación 4.6 a las un cuerpo de de masa constante. un cuerpo masa constante.

~I

de,¡¡gx,

11~1 L

FF

o

r-

--:11 1

vo Vo-

L L

()

()

()

b

()

L-s L- s

4.

bL de so un ra pr inc igt las en l

I,J ¡

()

()

()


4.81 con una fuerza constante constante P, del del 4.81 Se tira tira horizontalmente, horizontalmente, con una fuerza extremo de de una cadena de de eslabones eslabones independientes que está está extremo una cadena independientes que apilada y que que tiene de longitud. longitud. Si el apilada tiene una una masa masa p por por unidad unidad de coeficiente de de rozamiento cinético entre entre la cadena cadena y la superfisuperfirozamiento cinético coeficiente l1e'' calcular calcular la aceleración aceleración aa de de la cadena cadena en en función función de de x cie es l1e y xx..

Resp. Resp. a

4.8-

¡_x--¡ 1----- --¡ p x



274 274


--p

tud en e haci tota segl

4.82 Una Unacadena cadenade delongitud longitudLL==88mmyy48 48kg kgde demasa masareposa reposa 4.82 sobreuna unasuperficie superficiehorizontal horizontallisa lisacuando cuandoesesdoblada d obladasobre sobre sobre mismaaplicando aplicandouna unafuerza fuerzaPPalalextremo extremoA.A.(a) (a)Calcular Calcularelel ellamisma ella valorde dePPnecesario necesariopara paracomunicar comunicaraaAAuna unavelocidad velocidadconsconsvalor tante de 1,5 m / s. (b) Calcular la aceleración a del extremo tante de 1,5 m/ s. (b) Calcular la aceleración a del extremo AA sisi 20N Ysi ysiv 1,5m PP==20 v ==1,5 m/ /sscuandox=4m. cuando x = 4 m.

vv

-+-

;~ [ [ ~o,1 •

L

•

L

•

I


Mediante una una fuerza fuerza PP aplicada aplicada aa su su extremo extremo A, A, se se dodoMediante bla sobre sí misma una cuerd a ideal, o cadena de tipo bicicleta, bla sobre sí misma una cuerda ideal, o cadena de tipo bicicleta, de longitud longitud L L yy masa masa pp por por unidad unidad de de longitud, longitud, que que descansa descan sa sobre una una superficie superficie horizontal horizontal lisa. lisa. Su extremo extremo B está está unido unido a soporte fijo.Hallar fijo . Hallar la fuerza fuerza P P necesaria necesaria para para que A A adquieadquieun soporte un velocidad constante constante v. v. (Sugerencia: (Sugerencia: El efecto puede puede rera una velocidad un disco disco sin sin masa masa en en la la forma form a presen tarse intercalando intercalando un presentarse separado de de la la figura figura y y haciendo haciendo luego luego indicada en en el el esquema esquema separado indicada Se demuestra igual a cero el el radio de ese disco. Se demuestra fácilmente que las tensiones las tensiones en en los los puntos puntos C, C, D D yy B B de de la la cuerda cuerda valen valen todas todas P P en las condiciones ideales impuestas y a velocidad constante.) impuestas Resp. Resp. P P == pv2/ pv2/4 4 4.83 4.83


4.85 4.85 Una Una cadena cadena de de eslabones eslabones sueltos, sueltos, de de masa m asa pp por por uniunidad dad de de longitud, longitud, se se abandona abandona desde desde el el reposo reposo sobre sobre el el plano plano inclinado inclinado en en la la posición posición xx == O.Entre O. Entre la la cadena cadena yy el el plano plano hay hay un coeficiente de rozamiento cinético f.1.c' La cadena un coeficiente de rozamiento cinético f.1.c' La cadena se se amonamontona tona en en un un cubo cubo situado situado al al pie pie del del plano. plano. Hallar, Hallar, en en función función de de x, x, la la fuerza fuerza R R que que debe debe irse irse ejerciendo ejerciendo sobre sobre el el cubo cubo para p ara sujesujetarlo tarlo contra contra la la acción acción de de la la cadena. cadena. Se Se tendrá tendrá en en cuenta cuenta que que el el último eslabón en movimiento al final del plano pierde contacúltimo eslabón en movimiento al final del plano pierde contacto con el que que inmediatamente inmediatamente le precede. precede. Resp. Resp. R R == pgx(3 pgx(3 sen sen e8 -- 2f.1.c 2f.1. c cos cos e) e)

con con f.1. f.1. cc << tg tg e8

L

!

'1 ?

ee

?

?

?~ BB

a::

/t

R


~o

D


Una cadena cadena de de eslabones eslabones sueltos, sueltos, dde longitud nr rer/ Una e longitud / 22 yY masa p por unidad de longitud, se abandona desde el reposo masa p por unidad de longitud, se abandona desde el reposo enlalaposición posición 8e==OOYse haciaabajo abajopor por lalaguía guíacircular circular en Y se ddesliza esliza hacia lisa.La Lacadena cadena se seamontona amontona alalpie piede delalaguía guía donde donde elelúltimo último lisa. eslabón en en movimiento, movimiento, situado situado en enf3f3==nre/ /2, pierde contacto contacto 2, pierde eslabón conelelque queleleprecede, precede, que queya yaestá estáen enreposo. reposo.Hallar, Hallar,en enfunción función con de e, la expresión de la aceleración a común a todos los eslabot de 8, la expresión de la aceleración al común a todos los eslabones.(S(Sugerencia: Escribirlalaecuación ecuación del delmovimiento movimiento para para un un nes. ugerencia: Escribir elemento cualquiera cualquiera según según lalasegunda segunda ley leyde deNewton Newton eeinteinteelemento 4.86 4.86

4.84 4.84 La Lacadena cadena de delongitud longitud LLyymasa masapppor por unidad unidad de delongilongitud en elelpreciso tudse sesuelta sueltaaapartir partir del delreposo reposo en enxx ==OOen precisoinstante instante en enque quelalaplataforma plataforma arranca arranca también también desde desdeelelreposo reposoen enyy==OO hacia haciaarriba arriba con conuna una aceleración aceleraciónconstante constante a.a.Hallar Hallar lalafuerza fuerza total totalRRejercida ejercidasobre sobrelalaplataforma plataforma por porlalacadena cadenaalalcabo cabode det t segundos d e iniciado el movimiento. segundos de iniciado el movimiento.

275 275


desde cero, para [3 == e, hasta grar la tensión desde para f3 hasta cero, para para f3[3 = n/ 2.) Hallar pérdida de energía n/2.) Hallar asimismo la pérdida energía Q Q durante durante el movimiento desde e= e = Oo hasta e = n/2. ti] 2. movimiento hasta e=

l!

último ÚltimOeslabón eslabón .-. .-. en en movimiento movimiento para f3 == 7
.

Figura Figura problema 4.86 4.86

El carro transporta una cadena transporta una cadena de eslabones eslabones sueltos, de masa p por unidad unidad de longitud, longitud, amontonada. amontonada. La cadena cadena atralibremente el orificio existente existente en el carro y se va deteviesa libremente niendo, eslabón parte de niendo, eslabón a eslabón, merced merced a la tracción tracción T en la parte la misma que descansa descansa sobre el suelo sujeta por por el extremo. El conjunto conjunto de carro y cadena cadena se mueve mueve bajo la acción de la fuerza constante una velocidad una masa constante P y posee una velocidad va Vo y una masa mo cuando cuando Despreciando todos los rozamientos, rozamientos, determinar xx == O. O.Despreciando determinar las expresiones de la aceleración a y la velocidad presiones velocidad v del carro en función de x. Hallar eslabón Hallar también también T. Adviértase Adviértase que el eslabón intermedio 2 se desacelera desacelera desde desde la velocidad velocidad v hasta intermedio hasta la velocidad por efecto de la tracción T que le transmite último dad cero por transmite el último eslabón horizontall. Adviértase asimismo que el eslabón eslabón 2 no eslabón horizontall. Adviértase ejerce fuerza alguna, durante durante la transición, transición, sobre el eslabón eslabón sipor qué no aparece el término guiente guiente 3. Explicar por término mu si se aplica la ecuación problema. ecuación 4.20 4.20 a este problema. P Resp. a == Resp. mo - px mo-px

El carro transporta un rollo de cable flexible de masa 4.88 4.88 transporta un masa pp por unidad unidad de longitud. por longitud. El cable se desenrolla desenrolla y atraviesa atraviesa el deteniendo merced merced a la orificio existente en el carro y se va deteniendo tracción T en la parte parte del mismo por el exmismo ya en el suelo sujeto por tremo. El conjunto conjunto de carro y rollo se mueve mueve bajo la acción de la fuerza constante posee una una masa Desconstante P y posee masa mo cuando cuando xx == O. O.Despreciando todos los rozamientos, rozamientos, determinar preciando determinar las expresiones expresiones de la aceleración a y la tracción T en función de x y la velocidad velocidad v. Como el carro y todo el cable constituyen un sistema constituyen un sistema conservativo, el teorema puede aplicarse durante teorema de las fuerzas vivas puede durante un desplazamiento puede un desplazamiento infinitesimal infinitesimal dx. Seguidamente, Seguidamente, T puede obtenerse relación entre obtenerse escribiendo escribiendo la relación entre el impulso impulso y la cantidad cantidad de movimiento movimiento para para el sistema sistema completo. Compárese Compárese este problema con el 4.87. blema 4.87. Se supone supone que todos todos los elementos elementos del cable tienen la misma misma velocidad v. del rollo tienen velocidad horizontal horizontal v.

4.87 4.87

v T

2P mo mo v5+-ln - - mo-px p mo-px

vcr+-In ---

pv22 pv

A

--x x---..1 It-----~.I f-I


En la figura puede puede verse un un sistema para detener un sistema para detener un avión en su aterrizaje sobre un un campo de longitud reducida. El longitud reducida. El avión de masa rueda libremente masa m rueda libremente con velocidad velocidad va Vo y se enganengancha en un dispositivo dispositivo que tira de los extremos extremos de dos cadenas cadenas pesadas de longitud una y masa por unidad unidad de longipesadas longitud L L cada una masa p por tud, en la forma indicada. indicada. En un cálculo prudente prudente de la efectitud, vidad prescinde del frenado por rozamiento vidad del dispositivo dispositivo se prescinde frenado por rozamiento de la cadena resistencia al movicadena sobre el suelo y de toda toda otra resistencia miento hipótesis, calcular la velocidad miento del avión. Bajo Bajo esta hipótesis, velocidad v del avión en el instante instante en que se pone en movimiento movimiento el último eslabón eslabón de la cadena. Determinar Determinar también también la relación entre el desplazamiento partir del instante desplazamiento x y el tiempo t medido medido a partir instante

4.89 4.89

V

_v ~ v ~~,P A

I-x ------l

--vo

cc:=rüQD) cc:=t'O'D)

~ I

j

1 1232 3

I

L~·

Transición Transición



276


-

rI n

eslacada eslaque cada Supóng ase que cadena. Supóngase en conlala cadena. contact o con toma contacto que toma en que contact el por v ad velocid v por el contacto o su velocidad bón instantá neamen te su adquier e instantáneamente bón adquiere movimi ento. en movimiento. eslabon es en los eslabones con con los

vo va ---"-Resp. vv == ---Resp. 2pL/m + 1 1 +2pLlm xx

LL

~[Jl 2V;PP--lJ1]

1 1

+ 2v;t == ~[J1+

de rollo de un rollo contien e un mo contiene masa mo de masa ~~ 4.90 metálic o de bote metálico Un bote 4.90 Un extremo El d. longitu de unidad por p cuerda flexible de masa p por unidad de longitud. El extremo masa de flexible cuerda de alto de lo alto en lo situado en soporte situado un soporte de amarra do aa un está amarrado cuerda está la cuerda de la En reposo. el desde caer deja se bote el un hueco de ascensor y el bote se deja caer desde el reposo. En y r ascenso de un hueco ajustar para ajustar sirve para que sirve manual que tornillo manual un tornillo el hay un bote hay del bote cuello del el cuello nto rozamie de fuerza una aplica que una abrazadera elástica que aplica una fuerza de rozamiento elástica era abrazad una por pasa por ésta pasa cuando ésta cuerda cuando la cuerda de la constante costado de cada costado constan te FF// 22 aa cada la bote del a ión acelerac la de ón el cuello. Hallar la expresión de la aceleración a del bote yy la expresi la Hallar cuello. el La v. La velocid ad v. la velocidad de la de xx yy de función de en función fuerza soporte en el soporte en el fuerza PP en L. es L. cuerda es la cuerda d e la total de longitud longitu d total


de sueltos de ~~ 4.92 eslabones sueltos de eslabones cadena de la cadena de la libre de extremo libre El extremo 4.92 El dessuelta se longitud total L y masa p por unidad de longitud se suelta desd longitu d total L y masa p por unidad de longitu que R que fuerza R de la fuerza x, la de x, función de en función Hallar, en O. Hallar, = O. con xx = reposo con el reposo d e el cadela soporta se ejerce en el extremo fijo y la tracción TI que soporta la cadeque TI tracción la y fijo se ejerce en el extremo también na Hallar también inmóvi l. Hallar porción inmóvil. la porción de la inferior de extremo inferior el extremo en el na en = L. la cuando xx = Q cuando energía Q de energía total de pérdida total la pérdida

22

v /2!2-F - F P pv + -'----,--...., Resp. aa = gg + Resp. p(L -x) mo + p(L-x) ma

Resp. R Resp. R

¡ pgL2 Q == ~pgL2 == ~pg(L pgx, Q TI == pgx, 3x), TI ~pg(L ++ 3x),

2!2 + +F +pv pgx + = pgx P = pv2/2 F

I I _t x

1 x

J

~v

Figura problem problemaa 4.92 4.92

problemaa 4.90 4.90 Figura problem

dos, como Una cuerda cuerda oo cadena cadena de de eslabon eslaboneses articula articulados, como Una d, longitu de unidad por p asa m y L d las de bicicleta, de longitud L masa por unidad de longitud, longitu e d , bicicleta de las exinar, en se suelta suelta del del reposo reposo en en xx == O. Determ Determinar, en función función de de x, x, la la exse la sobre cadena la por ejercida R total presión que da la fuerza total R ejercida por la cadena sobre la fuerza la da que presión ~ 4.91 ~

o.

ese que plataforma fija. Obsérv Obsérvese que una una cadena cadena ddee este este tipo tipo es es un un rma fija. platafo ento, salvo sistemaa conserv conservativo durante todo todo el el movimi movimiento, salvo en en la la ativo durante sistem rar el última fase fase.. Compa Comparar el resultad resultadoo con con el el del del problem problema a 4.84 4.84 si si última rma en nte de ento ascende se anula anula el el movimi movimiento ascendente de la la platafo plataforma en ese ese proprose

~ 4.93 4.93 Sustitui Sustituir r la la cadena cadena del problem problema a 4.92 por por una una cuerda cuerda ~ flexible oo una una cadena cadena de de biciclet bicicletaa de masa masa p y longitu longitud d total total L. L. flexible bajo cae Y O = x El extremo extremo libre libre se se suelta suelta desde desde el reposo reposo con O bajo El la acción acción de de la la graveda gravedad.d. Hallar, Hallar, siempre siempre en función función de x, x, la la la cuerda la sufre que fuerza R en el extremo fijo tracción TI que sufre cuerda TI tracción la y fijo fuerza R en el extremo en el el bucle. bucle. (Adviér (Adviértase que aa es mayor mayor que que g. g. ¿Qué ¿Qué le le pasa pasa aa la tase que en energía del del sistema sistema cuando cuando x = = L? L? energía

blema. blema.

Resp. aa == g[l g[l + + x(L -- X!2)] X/2)] Resp. (L -- x)2 x)2 CL

R - I [CL [(L x(L -- X!2)] X/2)] )) + x(L R - 'iI'íPg L- x L-x ++ xx + pg T

4L-3x 4L-3x Resp. R R = pgx Resp. pgx 2(L 2(L _-x)x)

_ 1 -

II

pg 'i'ipg

x(L -x!2) - x/2) x(L -x LL-x

277 277


~ tremo libre ~ 4.94 4.94 Al Al ex extremo libre de de la la cuerda cuerda flexible flexible ee inexten inextensible, sible, dde e masa masa pp por por unidad unidad de de longitu longitudd yy longitu longitudd total total L, L, se se le le cocomunica munica una una velocid velocidad ascendente constante v.Escribir Escribir,, en en funfunad ascende nte constan te v. ción ción de de x, x, las las expresi expresiones de P, P,la la fuerza fuerza FFque que sujeta sujeta al al extremo extremo ones de fijo fijo yy la la tracción tracción TI TI que que soporta soporta la la cuerda cuerda en en el el bucle. bucle. (En (En este este caso caso el el bucl buclee se se supone supone de de dimens dimensiones despreciables y la traciones desprec iables y la tracción es es la la misma misma en en ambas ambas ramas ramas de de la la cuerda. cuerda.)) ción 2 2 Resp. TI ¡pv Resp. T] )¡pv

PP

~p(~v2 ++ gx) gx) ~p(~v2

R R

2 + pg( L _ ~) 1¡pv 2 + ;¡pv pg - :2

bién ión de bién la la acelerac aceleración de la la cadena cadena caída caída yy la la energía energía Q Qque que ha ha perperdido dido el el sistema sistema cuando cuando el el último último eslabón eslabón abando abandona la na la platafor ma. (Sugeren cia: Aplicar plataforma. (Sugerencia: Aplicar la la ecuació ecuaciónn 4.20 4.20yy tomar tomar el el proproducto ducto xy xy como como variable variable para para resolve resolverr la la ecuació ecuaciónn diferenc diferencial. ial. Obsérve se también to adecuad o, que Obsérvese también,, en en el el momen momento adecuado, que dx dx === vv dt.) dt.) La La longitu longitudd total total de de la la caden cadenaa es es LL yy su su masa masa por por unidad unidad de de longilongitud tud es es p. p.

Resp Resp. vv = ==

.

¡f,

~ a = 8.~, QQ === pgL2 P~L2 ~ 3' a == 3' 6

(L x)

r x

~

Figura a 4.96 Figura problem problema 4.96 LL

x


tU 1,1

I

, " 1:'

4.95 Sustituir Sustitui r la ~~ 4.95 la cuerda cuerda del del problema problem a 4.94 4.94 por por una una cadena cadena de eslabones eslabon es sueltos de p por unidad su eltos de de la misma misma masa masa p por unidad de de longilongitud. A A su su extremo extremo libre tud. libre se se le le comunica comuni ca una una velocidad velocid ad ascenascendente constante constan te v. Escribir, dente Escribir, en en función función de de x, x, la la expresiones expresi ones de de P, la la tracción tracción TI T I que que sufre sufre la la cadena cadena en en el el extremo extremo inferior inferior de de la la p arte móvil m óvil yy la parte la fuerza fuerza R R que que sujeta sujeta al al extremo extremo fijo. fij o. Hallar, Hallar, asiasimismo mismo en en función función de de x, x, la la pérdida pérdida de de energía energía Q. Q.

Resp. Resp. TT]1

~pv2 ~pv2

PP

1 1 ~p(~v2 '2p('iv 2 ++ gx) gx)

R

pg(L-~)

Q

= ipx(v 2 + gx)

~ ase la ~ 4.97 4.97 Sustitúy Sustitúyase la cadena cadena apilada apilada del del problem problema a 4.96 por por un rollo erda de p por un rollo de de cu cuerda de masa masa p por unidad unidad de longitu longitud d y longilongitud total total LL en forma indicad nese la velocid tud en la la forma indicada,a, y determí determínese velocidad ad ddee la parte que que cae función de la parte cae en en función de x si parte parte del del reposo reposo con con xx == = O. Demost rar que acelerac ión es constante constan te y vale Demostrar que la la aceleración vale g/ g! 2. La cuercuerda se perfecta mente flexible, flexible, pero pero inextensible da se conside considerara perfectamente inexten sible y constitu ye un sistema conserv ativo (sin (sin pérdida constituye un sistema conservativo pérdida de de energía energía mecánic a). Los Los elementos elemen tos de de la cuerda cuerda adquieren adquieren su mecánica). su velocidad velocid ad d e forma forma continua continu a desde d esde cero cero hasta hasta v en en un un pequeño de pequeñ o tramo tramo de de transici ón de la la cuerda cuerda en en la la parte parte alta alta del d el rollo. rollo. Para transición de Para comparar compar ar este caso caso con con el el de de la la cadena cadena del del problema problem a 4.96, 4.96, puede este puede consideconside rarse que que ese ese tramo tramo de de transición transici ón tiene tien e una una longitud longitu d despreciararse desprec iable sin sin violar violar el el requisito requisit o de de que que no no haya haya pérdida p érdida de ble de energía energía en en este problem Determ inar también también la la fuerza fuerza R este problema.a. Determinar R ejercida ejercida por por la la platafor ma sobre sobre el el rollo rollo en en función función de de xx yy explicar plataforma explica r por por qué qué R R se anula anula cuando cuando xx === 2L 2L!/ 3. 3. Despréciense Despréc iense las las dimensiones dimens iones del se del rorollo frente frente aa x. llo x.

Resp. vv === Resp.

4.96 Por Por un ~~ 4.96 un orificio orificio practicado practica do en en la la superficie superfic ie donde donde desdescansa una una cadena cadena apilada cansa apilada sale sale un un extremo extremo de de ésta ésta yy tira tira de de los los demás eslabones eslabon es poniéndolos demás poniénd olos en en movimiento movimi ento continuo. continu o. Si Si los los eslabon es, que que inicialmente eslabones, inicialm ente están estánen enreposo, reposo, adquieren adquier enbruscabruscamente lala velocidad velocid ad de mente de lala cadena cadena sin sin resistencias resisten cias por por parte parte del del rozamie nto oo de rozamiento de los los eslabones eslabon es adyacentes, adyacen tes, hallar hallar lala velocidad velocid ad delala cadena cadenaen vv de en función funciónde dexx sisivv=== OOcuando cuandoxx === O.O.Hallar Hallartamtam-

278 278


JgX, RR=== pg( pg(LL JgX, __33;) X) 2

x

v


PARTE 2

,,

,,

DINAMICA DINAMICA DE DE LOS LOS CUERPOS CUERPOS RICIDOS RICIDOS

1-


_1


lineal yy angula movim ientos lineal entre los movimientos La rígidos describe angularr de de los los relació n entre describ e la relación cuerpo s rígidos los cuerpos de los cinemá tica de La cinemática s móvile piezas otras s mucha ajes, cuerpos que no cambian de forma. El engranajes, levas, bielas y muchas otras piezas móviles engran de diseño cuerpo s que no cambia n fepetrolí pozo para pozo petrolífebombe o para instala ción de bombeo de maquinaria son problemas cinemáticos. diseño de esta instalación ticos. El diseño proble mas cinemá maquin aria son de rola ropor la inados por determ están bomba de árbol ro es lID caso en que la velocidad y aceleración del la bomba están determinados ción acelera la ro es lill caso en que la velocid ad motriz . tación de la manivela manive la motriz.


282 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE LOS LOS CUERPOS CUERPOS RíCIDOS RíCIDOS

,

}

5.1 5.1

INTRODUCCIÓN

Al tratar Cinemática del punto punto material material en el capítulo capítulo 2 se dedujeron dedujeron las tratar de la Cinemática un relaciones que rigen rigen el desplazamiento, desplazamiento, la velocidad velocidad y la aceleración aceleración de un punto punto que se mueva mueva a lo largo de una una línea recta o curva. En la Cinemática Cinemática de los cuerpos cuerpos rígidos se emplean emplean esas mismas mismas relaciones, pero pero además además hay que tener movimiento de rotación Cinemátener en cuenta cuenta el movimiento rotación del cuerpo. Así pues, pues, en la Cinemática de los cuerpos angucuerpos rígidos rígidos intervienen intervienen magnitudes magnitudes tanto tanto lineales como angulares. descripción del movimiento movimiento de los cuerpos cuerpos rígidos rígidos es útil por La descripción por dos imporimportantes razones. Primero, frecuentemente frecuentemente es necesario generar, generar, transmitir transmitir o gobernar bernar ciertos movimientos movimientos empleando empleando levas, engranajes engranajes y transmisiones transmisiones de diversos para diversos tipos. En estos casos la descripción descripción del movimiento movimiento es necesaria necesaria para determinar determinar la geometría geometría del diseño diseño del mecanismo mecanismo y lo que es más, a consetenerse cuencia del movimiento movimiento generado generado suelen suelen aparecer aparecer fuerzas que deben deben tenerse en cuenta cuenta en el proyecto. proyecto. Segundo, Segundo, a menudo menudo es necesario necesario determinar determinar el movimiento miento de un un cuerpo cuerpo rígido que resulta resulta de aplicar fuerzas a éste. Ejemplo de este tipo de problemas problemas lo tenemos tenemos en el cálculo de la trayectoria trayectoria de un un cohete sometido sometido a la influencia influencia del empuje empuje de su chorro y de la atracción atracción gravitatoria. gravitatoria. En ambos casos es necesario dominar dominar los principios principios de la Cinemática Cinemática del cuerpo rígido rígido antes de que puedan puedan determinarse determinarse las fuerzas que se ejercen. En este capítulo se desarrolla desarrolla la Cinemática Cinemática de los movimientos movimientos que pueden pueden analizarse analizarse capítulo tuvieran lugar lugar en un un plano. En el capítulo capítulo 7 se ofrecerá una una introduccomo si tuvieran introducbreve a la Cinemática movimientos que requieren requieren las tres coordeCinemática de los movimientos ción breve nadas espaciales espaciales para para su descripción. descripción. nadas capítulo anterior anterior definimos definimos el cuerpo cuerpo rígido como un un sistema En el capítulo sistema de punpunmateriales que mantienen mantienen invariables invariables sus distancias distancias mutuas. mutuas. Así pues, tos materiales pues, si localizamos cada punto punto de un un tal cuerpo cuerpo mediante mediante ejes de referencia referencia solidarios calizamos solidarios cuerpo y que giren giren:con habrá variación variación de ningún ningún vector de posición con él, no habrá posición al cuerpo mida respecto a dichos ejes. ejes. Esta formulación formulación es, desde desde luego, ideal que se mida ideal ya todos los materiales materiales sólidos cambian cambian algo de forma cuando cuando se les aplican que todos aplican fuerzas.. A pesar pesar de todo, si los movimientos movimientos asociados a los cambios de forma fuerzas pequeños frente a los movimientos movimientos globales del cuerpo, el concepto son muy muy pequeños rigidez es totalmente totalmente aceptable. Como ya se dijo en el capítulo capítulo 1, 1, los ideal de rigidez desplazamientos debidos debidos a las vibraciones vibraciones de las alas de un avión, por desplazamientos por ejemdescripción de la trayectoria trayectoria de vuelo vuelo de la aeroplo, no tienen tienen efecto sobre la descripción perfectamente lícito considerar considerar el cuerpo nave en su conjunto, por lo que es perfectamente cuerpo problema es describir describir en función del tiempo como rígido. En cambio, si el problema tiempo los esfuerzos internos internos generados generados en el ala por sus vibraciones, vibraciones, los movimientos movimientos reesfuerzos elementos del ala cobran importancia importancia primordial primordial y no pueden pueden lativos de los elementos despreciarse. En este caso no puede puede considerarse considerarse el ala como cuerpo cuerpo rígido. En despreciarse. capítulo y en los dos que siguen, toda materia que se desarrolla desarrolla se basa toda la materia este capítulo esencialmente en la hipótesis hipótesis de rigidez. esencialmente cuerpo rígido rígido ejecuta un un movimiento movimiento plano plano cuando cuando todas todas sus partes Un cuerpo partes se mueven en planos planos paralelos. paralelos. Por comodidad, comodidad, generalmente generalmente se considera considera como mueven plano del movimiento movimiento al que contiene al centro de masa y el cuerpo cuerpo se trata plano trata como una placa placa delgada delgada con el movimiento movimiento confinado confinado en el plano plano de la missi fuera una idealización se ajusta perfectamente perfectamente a una una extensa extensa categoría categoría de movima. Esta idealización mientos de cuerpos cuerpos rígidos que se dan dan con gran gran frecuencia en la práctica. práctica. mientos movimiento plano plano de los cuerpos cuerpos rígidos puede puede dividirse dividirse en varias varias cateEl movimiento presenta en la figura 5.1. 5.1. gorías, tal como se presenta


movimientoplano planodede Tiposdedemovimiento Tipos uncuerpo cuerporígido rígido un (a)

(a)

.\

Traslación Traslación recti línea reetilínea

--¡~~\ --¡~~\

(!l (f} A

BB

Ejemplo Ejemplo

A

, , I I I J , , I I , , , , I I , , , , I I / / , , I I / /

Trineo Trineode deensayo ensayopara para cohetes cohetes

, I __--\-4B'i .J,-JB '"/ __ ,' ...... _..../ / , '-'

,

I

"

(b) (b)

Traslación Traslación curvilínea eurvilínea Placa Placaoscilante oscilantesujeta sujeta con conbarras barrasparalelas paralelas

(e) (e)

Rotación en en torno torno Rotación un eje eje fijo fijo aa un Péndulo Péndulo compuesto compuesto

(!l (fl A

(d) (d) Movimiento Movimiento plano general genera l plano

B B

j: ~\ j:';~\

fl

__ __

\\

\\

\I \\ I\

\\ \\

\\

\I II

\\

\\

\\

\\

II \\

,

\

_l--\.B'\ _l--\~B'\ \, I ,-, ...•. __ __ ......

/

..... /

Bielas de un un motor motor de movimiento movimiento alternativo alternativo

Figura Figura 5.1

Por definición, definición, traslación es es todo movimiento en cuyo curso curso todo segmento segmento rectilíneo rectilíneo del del cuerpo cuerpo permanece permanece paralelo paralelo aa su su posición original. original. En En una traslación ción no no gira gira ningún ningún segmento segmento rectilíneo rectilíneo del del cuerpo. cuerpo. En En una una traslación traslación rectilínea rectilínea (fig. (fig. 5.L parte a), todos los puntos del cuerpo recorren rectas paralelas. En una tras5.L parte a), todos los puntos del cuerpo recorren rectas paralelas. En una tras5.1, parte b), lación lación curvilínea curvilínea (fig. (fig.5.1,parte b), todos todos los los puntos puntos recorren recorren curvas curvas congruentes. congruentes. Adviértase Adviértase que que en en uno uno yy otro otro caso caso el el movimiento movimiento de de traslación traslación del del cuerpo cuerpo lo lo define define el el movimiento movimiento de de uno uno cualquiera cualquiera de de sus sus puntos, puntos, pues pues todos todos ellos ellos ejecuejecutan tan el el mismo mismo movimiento. movimiento. Queda Queda así así claro claro que que el el contenido contenido del del capítulo capítulo 22nos nos permite permite describir describir por por completo completo el elmovimiento movimiento de de traslación traslación del del cuerpo cuerpo rígido. rígido. La Larotación rotación en en torno torno aaun un eje ejefijo fijo(fig. (fig.5.1 5.1parte parte c)c)es eselelmovimiento movimiento angular angular alrededor alrededor de de dicho dicho eje. eje.Se Sededuce deduce que que todos todos los los puntos puntos seguirán seguirán trayectorias trayectorias circulares circulares alrededor alrededor del del eje ejede de rotación rotación yy que que todos todos los los segmentos segmentos rectilíneos rectilíneos cuerpo (incluso los que no pasan por el eje) giran al mismo tiempo del del cuerpo (incluso los que no pasan por el eje) giran al mismo tiempo ángulos ángulos iguales. iguales.También También en eneste estecaso casoocurre ocurre que que ya yahemos hemos tratado tratado eleltema tema en enelelcapícapítulo tulo2,2,alalestudiar estudiar elelmovimiento movimiento circular circulardel delpunto, punto, loloque quenos nospermite permite descridescribir bir elelmovimiento movimiento de de rotación rotación de delos loscuerpos cuerpos rígidos rígidos tal tal como comoveremos veremos en enelel apartado apartado siguiente. siguiente. ElElmovimiento movimiento plano plano general general de deun un cuerpo cuerpo rígido rígido (fig. (fig.5.1, 5.1,parte parte d)d) esesuna una combinación combinaciónde detraslación traslaciónyyrotación. rotación.Para Para describir describirelelmovimiento movimiento plano plano gege-


283 283 5.1 INTRODUCCIÓN 5.1 INTRODUCCIÓN

284 284 CINEMÁTICA PLANA DE DE LOS LOS CINEMÁ TICA PLANA CUERPOSS RíGIDO RíGIDOSS CUERPO

neral as desarro lladas alal estudia neral haremo haremoss uso uso de de las las fórmul fórmulas desarrolladas estudiarr el el movim movimiento plaiento plano no en en el el apartad apartadoo 2.8. 2.8. Adviér tase que os citados Adviértase que en en todos todos los los ejempl ejemplos citados el el movim movimiento real del del cuerpo cuerpo iento real se proyec ta sobre el plano del movim iento, se proyecta sobre el plano del movimiento, tal tal como como se se represe representa en cada cada fifinta en gura. gura. La inación del iento plano La determ determinación del movim movimiento plano de de los los cuerpo cuerposs rígidos rígidos se se realiza realiza oo bien por cálculo directo de los despla zamien tos absolu bien por cálculo directo de los desplazamientos absolutos de sus sus derivad derivadas tos yy de as respect ración absolu respectoo al al tiempo tiempo aa partir partir de de la la configu configuración absoluta actual, oo bien bien utilizan utilizan-ta actual, do ios del iento relativo do los los princip principios del movim movimiento relativo. . Uno Uno yy otro otro método método son son import importantes antes yy útiles y serán aborda dos sucesiv amente en útiles y serán abordados sucesivamente en los los apartad apartados que siguen siguen.. os que 5.2 5.2


ROl ACIÓN ACIÓN ROl

La La rotació rotaciónn de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido queda queda descrit descritaa por por su su movim movimiento angular.r. En En iento angula la ndo un la figura figura 5.2 5.2 puede puede verse verse un un cuerpo cuerpo ejecuta ejecutando un movim movimiento plano en el plaiento plano en el plano nes angula res de dos segmen no de de la la figura. figura. Las Las posicio posiciones angulares segmentos cualesquiera 2, tos cualesq uiera 11 yy 2, solidar ios al icadas por solidarios al cuerpo cuerpo,, están están especif especificadas por los ángulo ánguloss el 81 yy e 822 medido medidoss aa parpartir ón conven iente de referen tir de de una una direcci dirección conveniente referencia cualquiera. Como el el ángulo ángulo f3 f3es es cia cualqu iera. Como constan te, la constante, la relació relaciónn e 822 == el 81 + f3 f3 deriva derivada respecto al tiempo da fh = el da respect o tiempo da (h = ye2 y fh = = ,o ,o bien, bien, para para un un interva intervalolo finito, finito, /',e 1182 = /',e]. 1181, Así pues, pues, todas las las rectas rectas de de 2= un un cuerpo cuerpo rígido rígido tendrán tendrán,, en su plano de movimi movimiento, mismo desplaz desplazamiento anguento, el mismo amiento angular, lar, la la misma misma velocida velocidadd angular angular y la la misma misma acelerac aceleración angular. . Nótese Nótese que que el el momoión angular vimien vimientoto angula angular r de de una una recta recta sólo sólo depend depende e de su despla desplazamiento angular zamien to angula r respect cia arbitra rio cualqu respectoo aa un un eje eje de de referen referencia arbitrario cualquiera derivadas respectoo iera y de las deriva das respect al zamien to. El movim al tiempo tiempo del del despla desplazamiento. movimiento angular r no no exige exige la la presen presencia de iento angula cia de un normal al plano del movim iento alreded un eje eje fijo fijo normal al plano del movimiento alrededoror del del cual cual giren giren la la recta recta y y cuerpo. . el cuerpo

el

el

(a) Fórmulas Fórmulas del iento angular. angular. La velocid (a) del movim movimiento velocidad angular r wy O)y la ad angula la aceleración acelera ción angula a de un cuerpo rígido en en rotación rotació n angular angula r plana angular r a de un cuerpo rígido plana son, son, respectivamente, respect ivamen te, las derivad as temporales tempor ales primera primer a y segunda segund a de las derivadas de la coordenada coorde nada de de posición posició n anangular ede cualqu ier recta recta del del cuerpo cuerpo conten gular 8 de cualquier contenida en el plano Esida en plano del del movimiento. movim iento. Estas definiciones tas definic iones dan dan de w == d8 dt dt

O)

a ==

dO) dw

=

== ÓJÓJ

sea o sea

O)dO)=ad8 wdw= ade

sea o sea

dt dt

e 2

a = d8

dt dt22

-

e

(5.1 ) (5.1

ede= ede ede=ed8

La tercera tercera relación relació n se se obtiene obtiene eliminando elimin ando dt dt entre La entre las las dos dos primeras. primer as. En En todas todas estas relaciones relacio nes el el sentido sentido positivo positiv o de de O) wyy a, horario estas es el horario oo antihorario, antihor ario, es el mismo mismo que se se haya haya tomado tomado para para 8. e. Debe Debe observarse observ arse que que las que las fórmulas fórmul as 5.1 5.1 son son análogas análog as las definitorias definit orias del del movimiento movim iento rectilíneo rectilín eo del aa las que son las del punto punto que son las ecuaciones ecuacio nes 2.1,2.2 Y2.3. Y 2.3. En En realidad, realida d, todas todas las las relaciones relacio nes expuestas 2.1,2.2 expues tas en en el el apartado aparta do 2.2 2.2 con con relació n al al movimiento movim iento rectilíneo rectilín eo son son válidas válidas para relación caso de rotación plana, para el el caso de rotació n plana, si si las cantidades cantida des lineales lineale s s,s, vv yy aa se se sustituyen sustitu yen por las por las las cantidades cantida des angulares angula res equiequivalente s 8, O)wY y a. a.A A medida medid a que que avancemos avance mos en en la valentes la dinámica dinámi ca de de los los cuerpos cuerpo s rígirígidos, iremos iremos viendo viendo que que las las analogías analog ías entre entre las dos, los movimientos las fórmulas fórmul as de de los movim ientos lineal yy angular angula r son son casi casi absolutas absolu tas en en toda toda la lineal la Cinética Cinétic a yy la la Cinemática. Cinem ática. Es Es imim-

e,


portante portante reconocer estas relaciones, ya que ayudan ayudan a poner poner de manifiesto la simetría y la unidad unidad que impregnan impregnan toda toda la Mecánica. angular constante constante resulta, tras integrar integrar las Para la rotación con aceleración angular ecuaciones 5.1, 5.1,

285 285 5.2 ROTACIÓN 5.2 ROl ACIÓN

= wo++ at ai

W W =

cff oJ2

e

= = w6

2a(e+ 2a(eeoo))

= eo eo+wot+~at2 = +wot+~at2

eoo y aJo son los valores para para t == O Ode coordenada de posición angular angular Donde e de la coordenada velocidad angular, respectivamente, respectivamente, y t es la duración duración del intervalo y de la velocidad intervalo de considerado. El lector no debe encontrar encontrar dificultades para para efectuar movimiento considerado. estas integraciones, pues son por completo análogas a las ecuaciones correspondientes al movimiento movimiento rectilíneo bajo aceleración constante desarrolladas desarrolladas pondientes apartado 2.2. en el apartado representadas en las figuras 2.3 2.3 y 2.4 Las relaciones gráficas entre s, v, a y t representadas pueden aplicarse a e, w y a sin más que sustituir sustituir los sÍ~bolos símbolos correspondientes. correspondientes. pueden para la rotación rotación Recomendamos al lector que dibuje esas relaciones gráficas para marcha del cálculo para para obtener obtener la velocidad velocidad y el desplazamiento desplazamiento a plana. La marcha movimiento rectilíneo partir de la aceleración que se describió para para el caso de movimiento puede aplicarse a la rotación rotación sin más que sustituir sustituir las cantidades cantidades lineales por puede cantidades angulares angulares correspondientes. correspondientes. las cantidades (b) Rotación Rotación alrededor alrededor de un eje fijo. Cuando Cuando un cuerpo gira alrededor alrededor de un (b) eje fijo todos sus puntos, salvo los situados en el eje de rotación, describen circireje fijo puntos, situados eje describen cunferencias alrededor alrededor del eje. eje. ASÍ, Así, en el movimiento movimiento giratorio de la figura 5.3, alrededor de un eje eje fijo fijo perpendicular perpendicular en O al plano plano de la figura, un punto punto alrededor como el A describe una una circunferencia de radio r. Ya Ya conocemos del apartado apartado 2.5 las relaciones entre el movimiento movimiento lineal de A y el movimiento movimiento angular angular de normal a su trayectoria, que representa representa también también al movimiento movimiento angular angular la recta normal Representando respectivamente respectivamente por w == y a = = ro m= = la del cuerpo rígido. Representando velocidad y la aceleración angulares angulares del cuerpo podemos podemos volver a escribir velocidad como sigue las ecuaciones 2.11

ee

v al1

\ \

_..\v=rw "

al = ra

Figura 5.3 5.3

w v

ee

rw rw rcff r0J2

\ \

(a) (a)

vw vw

(5.2) (5.2)

ra magnitudes pueden pueden también también expresarse expresarse utilizando utilizando la notación del Estas magnitudes producto vectorial, lo cual es particularmente particularmente importante importante para para estudiar estudiar moviproducto dimensiones. La velocidad velocidad angular angular del cuerpo en rotación puepuemientos en tres dimensiones. representarse mediante mediante un vector w normal rotación y cuyo de representarse normal al plano de rotación representa en la sentido esté dado por la regla de la mano derecha, tal como se representa 5.4a. Según la definición de producto producto vectorial vemos que v se obtiene figura 5.4a. multiplicando vectorialmente vectorialmente w por f.r. Este producto producto vectorial nos da el módumódumultiplicando lo, la dirección y el sentido sentido correctos de v y podemos podemos escribir lo, V = i =W X f v=r=wxr OS 1-

El orden de los vectores no debe alterarse, pues si lo invertimos resulta fr x W w = -v. -v. El


(b)) (b

Figura 5.4 5.4

286 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

La aceleración de A la obtenemos obtenemos derivando derivando el producto producto vectorial que da el valor de v y así resulta resulta wxr+wxr wxr+wxr w x (wxr)+wxr wx(wxr)+wxr

a

wxv+axr wxv+axr Aquí Aquí aa = w w representa representa la aceleración angular angular del cuerpo. cuerpo. Entonces, las relaciones vectoriales equivalentes equivalentes a las 5.2 5.2 son v

= = wxr wxr wx(wxr) wx(wxr)

at

(5.3) (5.3)

axr

y se representan representan gráficamente gráficamente en la figura 5.4b. 5.4b. Cuando Cuando un un cuerpo cuerpo rígido se mueve mueve en tres dimensiones, dimensiones, el vector velocidad velocidad angular angular w puede puede cambiar de dirección y también de módulo módulo y de sentido, sentido, y entonces la aceleración angular, angular, que es la derivada derivada temporal temporal de la velocidad velocidad angular gular aex == W, ya no tendrá tendrá la misma misma dirección y sentido sentido que w. to.

PROBLEMA PROBLEMA TIPO TIPO 5.1 5.1 I I

Un volante fuerzas vavolante que gira en sentido sentido horario a 1800 1800 rpm rpm está está sometido sometido a un un par de fuerzas variable, de sentido fuersentido antihorario, aniihorario, que empieza empieza a aplicarse aplicarse en el instante instante t == O. Ese par de defuerproduce una zas produce una aceleración angular angular antihoraria antihoraria a ex == 4t rad/s22, , siendo siendo t el tiempo tiempo en segundos Hallar (a) el tiempo segundos que dura la aplicación aplicación del par. Hallar tiempo que transcurre transcurre hasta hasta que la celeridad celeridad angular angular del volante volante se reduce reduce a 900 rpm, (b) el tiempo tiempo necesario necesario para que se invierta invierta el sentido sentido de la rotación rotación del volante volante yy (c) el número número de vueltas vueltas que da el volante, volante, en sentidos primeros 14 segundos sentidos horario yy antihorario, aniihorario, durante durante los primeros segundos que que dura la aplicación del par.


CD

Los Los signos algebraicos algebraicos deben deben manemanejarse coherentemente. jarse coherentemente. El El límite inferior es el valor valor de la velocidad velocidad angular inicial cambiando cambiando de signo angular (sentido horario). (sentido horario). Además Además hemos hemos de pasar pasar las revoluciones revoluciones a radianes radianes porque se expresa porque a exse expresa en radianes. radianes.

(a) (a)

Arbitrariamente, Arbitrariamente, tomamos tomamos como positivo positivo el sentido sentido antihorario. antihorario.

exes una función conocida del tiempo, podemos podemos integrarla integrarla para obComo a es una

CD tener la velocidad 1800(2n ) / 60 velocidad angular. angular. Siendo --1800(2n) 60 == -- 60n 60n rad rad// s la velocidad velocidad angular gular inicial, tenemos [dO) = adt] exdt] [deo

e

607r 607r

dw dw

= = f~ f~4t4t dt

eo O)

= = --

60n+ 60n+ 2t 2t22

Al sustituir sustituir por la velocidad velocidad angular angular horaria horaria correspondiente correspondiente a 900 900 rpm, o sea, eo O) = = -900(2n) -900(2n) / 60 60 == -- 30n 30n rad / s, resulta resulta - 30n 30n = - 60n+ 60n+ 2t 2t22

t22 = 15n 15n

t = 6,86 6,86 s

Resp. Resp.

(b) La rotación instante en que su velocirotación del volante volante cambia de sentido sentido en el instante dad dad angular angular se anula anula momentáneamente. momentáneamente. O sea,

oo =

- 60n+ 60n+ 2t 2t22


t22 = 30n 30n

9,71 s

Resp. Resp.

totalde devueltas vueltasque queda daelelvolante volanteen en14 14segundos segundosesesigual igualalalnúmero númerode de ElEltotal vueltasen ensentido sentidohorario horarioNI N lque queda dadurante durantelos losprimeros primeros9,71 9,71segundos segundosmás máselel vueltas númerode devueltas vueltasantihorarias antihorariasNN2 2que queda dadurante duranteelelresto restodel delintervalo. intervalo.InteIntenúmero grandolalaexpresión expresiónde deQ)úJen enfunción funciónde det tobtenemos obtenemoseleldesplazamiento desplazamientoangular angular grando enradianes. radianes.Entonces, Entonces,elelprimer primerintervalo intervalo en

(e) (e)

[d8= [de = Q)úJdt] dt]

oo SeSe observará observará una una vez vez más más que que enen este problema el signo menos repreeste problema el signo menos representa sentasentido sentidohorario. horario.

64,3n: 64,8n:

Velocidad Velocidad

J~l ded8 ==10,71(Jo,71 (-6070 60n+ f~l + 2t2t

angular angular w,ro,rad/ s rad /s antihorario antihorario

2) 2 )dtdt

8

el 1 == [-[-60nt+~t3]6,71 6070t + ~t3]Ó,71

==--1220rad 1220 rad

6,86

sea, N, N, == 1220/270= 1220/2n =194,2 194,2vueltas vueltas en en sentido sentidohorario. horario. oosea, Paraelelsegundo segundo intervalo intervalo Para

82

[1 4

2

d8 == f!~l J9,n(-60n+2t f~2 (- 6070 + 2t2) ) dtdt J0 de

-30n: -30

60nt ++~t3]§j1 ~t3 ]~)1 == 410 410 rad rad e822 == [-[- 6070t sea, N N2= = 410/270 410/ 2n= = 65,3 65,3 vueltas vu eltas en en sentido sentido antihorario. antihorario. Así Así pues, pues, el el número número totooo sea, 2 tal de vueltas que da el volante en los 14 segundos es tal de vueltas que da el volante en los 14 segundos es N N

NI ++ N N22 == 194,2 194,2 ++ 65,3 65,3 == 259,5 259,5 rev rev == NI

Resp. Resp.

Representando Q)úJen función de de i,t, vemos vemos que que el 81 está está representada representada por por el el área área Representando en función por el área área positiva. positiva. Si hubiéramos hubiéramos integrado integrado a lo lo largo largo de de todo todo el el negativa yy e822 por negativa intervalo en un solo paso, paso, habríamos habríamos obtenido obtenido 1e21-1 e11 intervalo

1821-1811

60n: -- 60n:

o ® lala expresión expresión original original de de a a podría podría haha-

2 berse berse pasado pasado aa rev/s rev/s2, , en en cuyo cuyo caso caso las dado directadirectalas integrales integrales habrían habrían dado mente mente vueltas. vueltas.

PROBLEMA TIPO PROBLEMA TIPO 5.2 5.2

El El piiióll piñon AA del del motor motor engrana engrana con con el el pipiiión B, solidario del tambor elevador. ium B, solidario del tambor elevador. La La carga carga LL es es izada izada desde desde elel reposo reposo adquiadquiriendo, riendo, bajo bajo aceleración aceleración constante, constante, una una velocidad velocidad ascendente ascendente de de 22 mis mis durante durante su su recorrido recorrido vertical vertical de de 0,8 0,8 m. m. Calcular, Calcular, en el instante en que la carga en el instante en que la carga pasa pasa por por dicha dicha posición, posición, (a) (a) la la aceleración aceleración del del punto punto CC del del cable cable en en contacto contacto con con elel tambor tambor yy (b) (b) lala velocidad velocidad angular angular yy lala aceleración angular del pi11ón aceleración angular del pi11ónA. A.

200

rnrn-

1!'Jj'-~"'~Ú¡fln ~~

A,..L----'L,

-c,

n

~s" _

2 m is

tt

-¡ -t 0,3 mm 0,8

L

I

Solución. Solución. (a) (a) SiSielelcable cableno noresbala resbalaen eneleltambor, tambor, lalavelocidad velocidad yylalaaceleración aceleración verticales verticalesde delalacarga cargaLLson sonnecesariamente necesariamente iguales iguales aalalavelocidad velocidad tangencial tangencial vvyy lalaaceleración a aceaceleracióntangencial tangencialala,del delpunto punto C.C.Para Paraelelmovimiento movimiento rectilíneo rectilíneode deL,L,a aceleración leraciónconstante, constante,las lascomponentes componentes nnyyt tde delalaaceleración aceleraciónde deCCsesehacen hacen 287 287


1 Compré ndase bien bien que (j) Compréndase que las velocida velocida--

[v [v22 = 2as] 2as]

des de los puntos puntos del cable cable cambian cambian de dirección dirección cuando cuando éstos éstos entran entran en Q) contact contactoo con con el tambor tambor y su aceleraaceleración adquier adquieree una una compon componente norente normal.

/(2s) = 222/[2(0,8)] /[2(0,S)] = aa = = aatt == v22/(2s) = 2,5 2,5 m/s2 m/s 2

[ann = v22/r] /r]

[a [a

/ 0,400 = 10 aan = 222/0,400 10 m/ s2 mi s2

= Ja~ + al] = Ja~ al]

a ac = = J(l0)2 J(10)2 + (2,5)2 (2,5)2 == 10,31 10,31m/ s2 mi s2

Resp. Resp.

El movimi ento angular engrana je A se determina El movimiento angular del engranaje determ ina a partir partir del del movimovimiento je B median te la velocid miento angular angular del engrana engranaje Bmediante velocidad aceleración ad VI VI y la acelerac ión tangentangencial punto común contacto. Primera cial al al de de su su punto común de contacto. Primeramente movimiento del mente el movimi ento angular angular del engrana je B B se na a partir partir del movimi engranaje se determi determina movimiento tambor solisoliento del punto punto e del tambor dario. O sea (b) (b)

al = 2,5

-,

e

m/s2

[V = [V = rm] rúJ]

m úJB = v/r v/r = 2/ 2/0,400 = 5 radl rad/ s 0,400 =

[at = ra] ra] [at

aaBB = a/r atlr = 2,5/0,40 2,510,400 0 = = 6,25 rad/ 52 s2 6,25 radl

y entonce s, como

v=2m/ s

VI =

rAmA = rB mB Y al = r A aA = rB aB, tenemo s

0,300 m = rrBBmB = 0,3°°5 = 15rad/ A = rr AA úJB = 0,1005 = úJA 15 rad/ s(H) s (H) 0,100

Resp. Resp.

_ rrBB m = _ 0,300 _ 2 aaAA = 0,300 radl 52 6,25 - lS,75 - r A úJB 0,100625 18,75rad/ s (H) r A B - 0,100 '

Resp. Resp.

PROBLEMA TIPO 5.3

La barra barra acodada acodada en ángulo La ángulo recto gira gira con una velocidad angular con una velocidad horaria que que angular horaria decrece decrece aa razón razón de 4 radls rad/s22. . Escribir Escribir las expresio nes vectoria expresiones vectoriales velocidadd yy les de la velocida la aceleración del punto la aceleración cuando úJ punto AA cuando m == 2 radls. rad/s.


0,4 m

Según la regla de la mano mano derecha derecha

w oo = -2krad -2k rad/s/s

a = + 4k a 4k rad/s rad/s22

y

Así pues, para la velocidad velocid ad y la acelerac Así pues, para aceleración escribir ión del punto punto A podemos podemo s escribir [v=w x r] [v w cox

v

[a = wx(w x r)] [a.,n = wX(wxr)]

=

[a t = [at

aa x x r] r]

= 2k x (O,4i + 0,3j) = = -2kx(0,4i+0,3j) = 0,6i-0,8jm/s Resp. 0,6i - O,Sj mi s Resp. ann == --2k 2k x (0,6i (0,6i-0,8j) = -- 1,6i 1,6i-1,2j - O,Sj) = - 1,2j m/s2 mi s2 aatt = = 4k x (O,4i (O,4i+ 1,6j mi m/ s2 s2 + 0,3j) == -- 1,2i + 1,6j

2,Si + O,4j a == -- 2,8i O,4j mi m/ s2 52

Resp. Resp.

Los mód ulos de v y a son módulos

v

= J O,622 + 0,82 = JO,6 1,0 mi m/ s 0,S2 = = 1,0

288


y

aa

=

J 2,S2 = J2,82

0,42 + 0,42

s2 = 2,83 2,S3 m/ mi 52

=

PROBLEMAS PROBLEMAS introductorios Problemas Problemas introductorios

la ABe aa la posició n ABC la posición desde la mueve desde 5.1 La se mueve acodad a se biela acodada La biela 5.1 izla hacia mm 100 a desplaz se A 'B 'C' mientras el extremo A se desplaza 100 mm hacia la izA A 'B'e' mientra s el extremo

velola veloCalcula r la s. Calcular mm / s. 25 mm/ de 25 quierda constan te de velocid ad constante la velocidad quierda aa la interval o. ese intervalo. durante ese Be durante brazo BC del brazo cidad úJmed del media wmed angular media cidad angular antihor ario. es antihorario. movimi ento es del movimiento Se supone sentido del el sentido que el supone que rad/ ss 0,393 rad/ = 0,393 Resp. úJmed = Resp. Wmed

angular 5.4 La velocid ad angular una velocidad con una gira, con rectang ular gira, placa rectangular La placa 5.4 esquina la esquina por la pasa por constante que pasa eje que al eje torno al en torno s, en rad / s, 10 rad/ = 10 constan te WúJ = la de la acelerac ión aa de la aceleración O. velocid ad vv yy la la velocidad de la módulo s de los módulos Hallar los O. Hallar relalas (b) y s esquina A empleando (a) las relaciones escalares y (b) las relaescalare es relacion las (a) ndo esquina A emplea ciones vectoria les. ciones vectoriales. zz

I

1

w
B' B'

C' C'

A A

I I I

B

e

"<

b>

x Figura problema 5.4 Figura problema A A A' e - - - -+-A' .----+--

90mm

B

--;: "'eL-_ _ _....:: "'.L-

sentido indica5.5 El en el sentido centro O en torno a su centro gira en torno disco gira El disco 5.5 una posee una ro posee perímet do. En un cierto instante, el punto P del perímetro do. En un cierto instante , punto ad velocid aceleración dada por a = 3i 4j m/ S2. Hallar la velocidad anHallar S2. m/ = por acelerac ión dada . instante en gular os y la aceleración angular a del disco en ese instante. a angular ión acelerac la y w gular rad/ S2 Resp. rad/ s, aa == 6k rad/ = -J8 k rad/ w= Resp. os

\__ 100mm-\ 0mm~ I--I0


inercia volante de inercia un volante 5.2 Un par par de fuerzas que se aplica a un 5.2 desde lleva que e uniform ión produce en éste una aceleración uniforme lo desde acelerac una produce número el número os. Hallar 800rpm segundos. Hallar el rpm en cuatro segund 200 rpm a las 800 las 200rpm (Sugereninterval o. (Sugerendurante ese intervalo. volante durante de vueltas N que da el volante .) iones y minutos cia: En los cálculos emplea emplearr revoluc revoluciones minutos.) posició n 11 yy ne5.3 abandona nena en reposo en la posición El carrito se abando 5.3 2 del punto n posició la a llegar cesita 0,683segundos posición punto más más para os cesita 0,683 segund ad una velocid bajo de la trayecto trayectoria, donde su centro G tiene una velocidad ria, donde en AB recta la ad angular 4,33 m m// s. s. Hallar la velocid velocidad angular úJ W de AB en la la de 4,33 durante AB de úJmed media ad angular velocidad angular Wmed AB durante el el posición 2 y la velocid o. interval intervalo. rad/ss to == 3,61 3,61 rad/s, rad/ s, úJmed Wmed = = 1,231 1,231rad/ Resp. úJ

<, x x .......


indicad a 5.6 La cinta cinta magnét magnética avanza y pasa de la forma indicada ica avanza La 5.6 la celeriSi or. por las las poleas poleas sin sin peso montad montadas ordenador. celerias en un ordenad por

-v

~

o

A

B

--

.....vv Figura problem problemaa 5.6 5.6 Figura


289 289


Ir

-

-

dad v de la cinta es constante y si el módulo de la aceleración del punto A de la cinta es 4/3 la del punto B, calcular el radio r de la polea pequeña 5.7 Si la placa rectangular del problema 5.4 arranca del reposo y el punto B esta animado de una aceleración inicial de 5,5 m / S2,hallar la distancia b si la placa alcanza una celeridad angular de 300 rpm en dos segundos bajo una aceleración angular constante. Resp. b = 180,6 mm

ción entre la velocidad angular y la coordenada angular e obedece a la curva representada. Determinar por aproximación la aceleración angular ex del componente para e = 6 rad. 5.11 El brazo giratorio parte del reposo y adquiere una celeridad de rotación N = 600 rpm al cabo de dos segundos bajo una aceleración angular constante. Determinar el tiempo t que transcurre desde el arranque hasta que el vector aceleración del extremo P forme un ángulo de 45° con el brazo OP. Resp. t = 0,1784 s

5.8 La posición angular de uno de los radios de un disco que gira está dada por el ángulo horario e= 2t3 -3t2 + 4, donde e está en radianes y t está en segundos. Calcular el desplazamiento angular ~edel disco durante el intervalo en que su aceleración angular aumenta de 42 rad/ s2a 66 rad/ s2.

:~150 p

Problemas representativos 5.9 El cilindro macizo rota en torno a su eje z. En el instante representado, el punto P de la llanta posee una velocidad cuya componente x es -1,28 m/ s, siendo e= 20° . Hallar la velocidad angular w de la recta AB perteneciente a la base del cilindro. ¿Posee velocidad angular la generatriz BC? Resp. «a = 24,9k rad/ s; no

.

rnm


5.12 La placa rectangular rota en sentido horario en torno al cojinete fijo O. Si el lado BC tiene una velocidad angular constante de 6 rad/ s, hallar las expresiones vectoriales de la velocidad y la aceleración del punto A en las coordenadas que se indican.

Figura problema 5.9 5.10 Los datos experimentales relativos al componente rotatorio de un dispositivo de accionamiento revelan que la rela10


v

8

/V'

¡;:::::::;

V

5.13 A ritmo constante se acelera un árbol desde el reposo hasta una celeridad de 3600 rpm, instante desde el que inmediatamente se desacelera, a ritmo constante, hasta el reposo, invirtiéndose un total de 10 segundos para toda la maniobra. ¿Cuántas vueltas N habrá dado el árbol durante ese intervalo? Resp. N = 300 rev

/

/

:S 4 / ~/ 2

246

e, rad


8

10

5.14 Un árbol se halla girando, en sentido horario, con una celeridad de rotación de 200 rpm cuando se le aplica un par de fuerzas que le comunica una aceleración angular constante ex de sentido antihorario. Si, al cabo de tres segundos de la aplicación del par, la celeridad del árbol es de 400 rpm, en sentido antihorario, calcular la aceleración angular ex y el número total

290


da que da antihora rio) que horario yy antihorario) N sentido s, horario ambos sentidos, (en ambos vueltas (en de vueltas N de

2 2 a; rad /5 a, rad/5

segund os. tres segundos. los tres el durante los árbol durante el árbol

22

conun conforman un trapezo idales forman 55.15 _15 Las correas trapezoidales de correas poleas de dos poleas Las dos punto el , instante cierto En junto único que gira alrededor de O. En cierto instante, el punto de or junto único que gira alreded punmi ss elel pun1,5 mi = 1,5 A= velocid ad vA A una velocidad lleva una pequeñ a lleva correa pequeña la correa de la A de tal S2, tal mi S2, 45 mi = 45 a8 = acelerac ión aB una aceleración to posee una grande posee polea grande la polea de la to BB de en e punto del ac módulo ac del punto el módulo como en Hallar el figura. Hallar la figura. en la indica en se indica como se e. ondient corresp l vectoria a ese instante y dibujar el diagrama vectorial correspondiente. ese instante y dibujar el diagram S2 mi S2 = 149,6 mi Resp. ac =

O0 11_ _ _ _ _ __ _ __ _ __ 10 O 10 O

11 11 11 11 11 11

t.e t, 5

5.17 Figura problema 5.17 Figura problema

mando de mando m ecanism o de un mecanismo 5.18 de un rotación de de rotación velocid ad de La velocidad 5.18 La represe que modo el d disminuye desde 2000 rpm a 500 rpm del modo que se reprerpm 500 a rpm 2000 disminu ye desde número el Hallar os. senta durante el intervalo de seis segundos. Hallar el número segund seis de o interval el durante senta segundo s. seis segundos. esos seis de durante esos mecani smo durante el mecanismo da el que da N que vueltas N d e vueltas duS2, duI S2, rad en IX, angular Determinar asimismo la aceleración angular ex, en radl ión Determ inar asimism o la acelerac o. interval del rante los dos últimos segundos del intervalo. os segund rante los dos últimos

B

800 800 mm mm

w,rpm ro, rpm 2000 1---" . 2000 I---~ Figura problema Figura problema

I1 I1 I

5.15 5.15

- - - -j-- - 1000 1000 ---T---

___

I 1-

I 1.

_

- - -I- - - - L - - I I I O'--_--'__ --L--'-__ --L..L..._ OL-- --L--

500 500

repreinstante repreel instante En el centro O. En 5.16 su centro torno a su en torno gira en disco gira El disco 5.16 El acelerac la y s l mm 200j = vA = 200j mml s y la aceleraciónión sentado, es vA de A es velocid ad de la velocidad sentado , la expresi ones las expresiones Escribir las mm l S2. tangencial de B es (aB)t = 150i mml s2. Escribir 150i = (a8)! es tangencial de disdel disa del ión acelerac la vectoriales de la velocidad angular w y la aceleración (X angular ad velocid la de les vectoria vectorión expresi vectorila expresión escribir la co. estos resultados para escribir resultad os para Emplea r estos co. Emplear punto C. del punto al de de la aceleración ión del la acelerac al

y I

:B

2

OO

t,5 t,5

6

4

Figura problema Figura problema

5.18 5.18

acciona das a celerida 5.19 Las solidariasas son son accionadas celeridad d poleas solidari dos poleas Las dos 5.19 = dv= celerida una creciente por la correa. Cuando ésta alcanza una celeridad alcanza ésta Cuando crecient e por la correa. para Hallar, S2. mi es P 0,6 mi s, la aceleración total del punto es 8 mi S2.Hallar, para punto del total ión acelerac la 0,6 mi s, acelerala acelerapoleas yy la las poleas d e las IX de ese angular ex acelerac ión angular la aceleración instante , la ese instante, correa . la correa. ción de la punto B de del punto ción del 1,744m l s2 a8 = Resp. ex = 17,44 radl radl s2, S2, aB = 1,744ml S2 IX =

X\A -~SO-7---X

v

v

t !

lOOmm

"" ·C inra


o? na de

a pli'do tal

5.17 Un engrana engranaje je que que gira gira a 200 200 rpm, rpm, en en sentido sentido horario horario, , es es Un 5.17 ión sometido un p par de fuerzas fuerzas que que le comuni comunicaca una una acelerac aceleración ar de etido a un som angular IX ex en en sentido sentido h horario que varía varía con con el tiempo tiempo según según se se orario que angular tt == cuando disco del N d indica en la gráfica. Hallar celeridad del disco cuando celerida la Hallar indica en la gráfica. 5 s. rpm Resp. N == 272 rpm

200mrn

J----------Figura problem problema a 5.19 5.19 Figura

291 291


5.20 El alrededor del eje eje z con una velocidad anguEl disco gira alrededor lar del sentido indicado. En En cierto instante, el módulo módulo de la velocidad del punto punto A es de 3 mI mi s y decrece a razón de 7,2 7,2 mI mi S2. Escribir las expresiones expresiones vectoriales de la aceleración angular angular (\' O' del disco y la aceleración total del punto punto B en ese instante.

2 a, rad/ rad / 52 8

:: ~ 1,8

0,6

00'--------,--.,------::"::-o OL-----.,---~8, rad 20 8, 20

yy

5.21 problema 5.21 Figura problema

I,I

~ representa un un reductor reductor de velocidad velocidad a base ~ 5.22 La figura representa de poleas de correas trapezoidales, trapezoidales, en el que la polea A arrastra arrash-a solidarias B, B, que a su vez arrastran arrastran a la polea a las dos poleas solidarias C. Si Si A parte parte del reposo en el instante C. instante t = = OYrecibe O Y recibe una una aceleración angular constante al, av deducir deducir las expresiones expresiones de la veangular constante locidad d el módulo módulo de la aceleración de un locidad angular angular de e y del punto para un un instante instante t. punto P de la correa, ambas para

Resp. me ==


5.21 = O 5.21 En el instante instante t = Oaa un volante se aplica un par de fuerzas variable, de sentido sentido horario, horario, el cual hace que su aceleración angular, de sentido horario, disminuya disminuya linealmente linealmente con el desplazamiento revoluciones de la manera plazamiento angular angular e e durante durante 20 20 revoluciones manera que se representa. representa. Si Si la celeridad, de sentido sentido horario, del volante era de 300 hallar su celeridad 300 rpm en el instante instante t == O, O,hallar celeridad N al cabo de las 20 20 revoluciones. (Sugerencia: (Sugerencia: Emplear vueltas vueltas y no radianes.) Resp. 513 rpm Resp. N == 513

(1'~ )2 al

t

B

e


1:'L. l'

5.3

MOVIMIENTO ABSOLUTO MOVIMIENTO

Vamos a exponer ahora cómo se describe la cinemática de los cuerpos cuerpos rígidos procedimiento basado basado en el movimiento movimiento absoluto. En este planteamiento por el procedimiento planteamiento emplean las relaciones geométricas que definen se emplean definen la configuración configuración de los cuerintervienen en el problema pos que intervienen problema y, seguidamente, seguidamente, se derivan derivan respecto al tiempo esas relaciones geométricas al objeto de obtener obtener velocidades velocidades y aceleraciones. En el apartado apartado 2.9 2.9 del capítulo 2, ciones. 2, que trataba trataba de la cinemática del punto punto presentó cómo se realiza el análisis del movimiento material, se presentó movimiento vinculado vinculado de puntos por el método método del movimiento movimiento absoluto. Así, Así, en los aparejos de poleas puntos velocidades y aceleraciones interrelacionadas que allí se examinaron, las velocidades interrelacionadas se determinaron derivando derivando sucesivamente sucesivamente las longitudes terminaron longitudes de los cables de enlace. En primer planteo planteo las relaciones geométricas eran aquel primer eran muy sencillas, sin que huconsiderar cantidades cantidades angulares. Sin embargo, cuando biera que considerar cuando se trata del movimiento de cuerpos rígidos, en las relaciones geométricas definitorias definitorias aparecen aparecen medidas tanto lineales como angulares angulares y, por medidas por tanto, las derivadas derivadas temporales temporales de esas cantidades cantidades comprenden angulares_ comprenden velocidades velocidades tanto lineales como angulares. 292


análisis por por movimiento movimiento absoluto absoluto es esencial esencial la coherencia coherencia en en los En el análisis los cálculos posición angular de una una culos en en gue que se basa basa la descripción. descripción. Por Por ejemplo, ejemplo, si la posición angular de recta que mediante el ánguque se mueve mueve en en el plano plano del del movimiento movimiento se especifica especifica mediante ángude referencia, referencia, enlo e, medido medido en en sentido sentido antihorario, antihorario, gue que forma forma con con algún algún eje de entonces velocidad angular angular como tonces el sentido sentido positivo positivo tanto tanto de de la velocidad como de de la aceleración deberá Resulta así gue un un sigaceleración angular angular deberá ser ser también también el antihorario. antihorario. Resulta así que signegativo que que afecta afecta a cualquiera cualquiera de de estas estas cantidades cantidades indicará que la misma no negativo indicará que misma tiene un relativas al movimiento movimiento liun sentido sentido horario. horario. Las definiciones definiciones 2.1 y 2.2, relativas relativas a la rotación, rotación, se aplican aplican aguí aquí repetidamente, neal, y las 5.1, 5.2 Y 5.3, relativas repetidamente, por por lo que que deben deben dominarse dominarse a fondo. fondo. Para rígidos, el método método del del momoPara resolver resolver problemas problemas de cinemática cinemática de de cuerpos cuerpos rígidos, vimiento tal que gue la configuración vimiento absoluto absoluto resulta resulta muy muy sencillo sencillo y eficaz eficaz con con tal configuración geométrica no sea geométrica se preste preste a una una descripción descripción matemática matemática que que no sea excesivamente excesivamente complicada. incómoda de manejar, puede puede que complicada. Si la configuración configuración es complicada complicada o incómoda de manejar, que preferible el aI"lálisis análisis por por movimiento movimiento relativo. relativo. Este trata en en este este capítulo sea preferible Este se trata capítulo a partir del apartado apartado 5.4. La elección elección de uno uno u otro otro procedimiento partir procedimiento no no podrá podrá realirealizarse una experiencia ambos. zarse adecuadamente adecuadamente hasta hasta disponer disponer de una experiencia suficiente suficiente en en ambos. por Los tres tres problemas problemas tipo tipo que que siguen siguen ilustran ilustran la aplicación aplicación del del análisis análisis por movimiento muy corrientes movimiento absoluto absoluto a tres tres situaciones situaciones muy corrientes y conviene conviene que que se estuestudien movimiento dien a conciencia. conciencia. Especialmente Especialmente importante importante es la cinemática cinemática del del movimiento de rodadura presenrodadura que que se expone expone en en el problema problema tipo tipo 5.4 y, dada dada la frecuente frecuente presencia de la rueda diversos, se incluye incluye repetidarepetidarueda en los sistemas sistemas mecánicos mecánicos más más diversos, mente mente en en los problemas problemas propuestos. propuestos.

293 MOVIMIENTO ABSOLUTO 5.3 MOVIMIENTO

ee

ee


yy I

I

...,.- -- -

Un disco disco de radio r rueda sin sin deslizadeslizamiento plana. Determiento por una una supelficie superficie plana. Determinar minar su su movimiento movimiento angular angular en función del movimiento función movimiento lineal de su centro O. Determinar Determinar asimismo asimismo la aceleración de un punto punto de la periferia periferia del disco en el instante instante en que se halla en contacto contacto con la superficie superficie sobre la que rueda.

---+ ---+

Vo

ao

:J}a ,..---,""",,.-'--~""--+-"""'-------x

Solución. La muestra el deslizamiento hacia la dereSolución. La figura muestra el disco rodando rodando sin deslizamiento cha desde la posición indicada indicada con trazo continuo. indicada con trazos hasta hasta la indicada longitud e 'A de El El desplazamiento desplazamiento del centro O es s, que es también también el arco de longitud su borde, radio eo gira un un ángulo ángulo e, hasta hasta su borde, sobre el que ha girado el disco. El El radio nueva posición e 'O " donde donde e e se mide desde la vertical. Si Si el disco no se desliza, desplas. Entonces, la relación entre entre los desplael arco e 'A debe ser igual a la distancia s. zamientos y sus dos primeras primeras derivadas derivadas temporales temporales son s ==

re Resp. Resp.


En este este punto, punto, estas estas tres tres CD En

relaciones relaciones ya no deben deben resultarnos resultamos poco poco familiares y su aplicación aplicación al movimiento liares movimiento debe dominarse dominarse a fondo. disco debe del disco fondo.

donde ro = donde va va = S, S, aa "o = va va = S,5",m = ée yy aa == roCÍJ = e. Por Por supuest supuesto, el ángulo ángulo 8() o, el debe estar expresa do en s. La debe estar expresado en radiane radianes. La acelerac aceleración aa tendrá un un sentido sentido opuesto opuesto ión aa al ad. En al de de Va va si si el el disco disco aminor aminoraa de de velocid velocidad. En este este caso, caso, la la acelerac aceleración angular aa ión angular tendrá tendrá un un sentido sentido opuesto opuesto al al de de ro. m. El adas fijo El origen origen del del sistema sistema de de coorden coordenadas fijo lo lo colocam colocamos arbitrariamente, pero os arbitrar iamente , pero por dad, en por comodi comodidad, en el el punto punto del del suelo suelo inicialm inicialmente en contact contacto con el el punto punto C C de de ente en o con la la periferi periferiaa del del disco. disco. Cuando Cuando C C se se ha movido aa lo lo largo largo de de su su trayecto trayectoria cicloiria cicloidal dal hasta hasta la la posició posiciónn C', C', sus nuevas coorden coordenadas sus derivad derivadas temporales son adas yy sus as tempora les son

e.

@ evidente que (3) Es Esevidente que cuando cuando 8()== O Oel punel punto to de de contact contactoo tiene tiene velocida velocidadd nula, nula, por por lo lo que que ii == Y Y == O.O.la Laacelera aceleración ción del del punto punto de de contact contactoo del del disco disco puede de también también obtener obtenerse aplicando las se aplican do las fórmula fórmulass del movimi movimiento relativo ento relativo apartadoo 5.6 del apartad

== ss -- rr sen sen 8()= = r( 8()-- sen 8)(}) reos 8() == r(l r(1 -_ cos cos 8) (}) y == rr -- reos xx == ré(l cos 8) = v (l - cos r8(l- cos (}) = aa(1cos 8) (}) y y = = ré re sen 8() == va va sen 8() xx == va(1 va(1- - cos cos 8) (})+ va vaeé sen 8() yy == va va sen 8()++ va va cos cos 8() == aa(12 aa(1- cos cos 8) (})+ rolrw sen 8() = + rw = aa aa sen 8()+ rio? cos cos 8() xx

Para el instante instante de contact contactoo deseado deseado 8()== 0, O,Y Y

xx == OO

e

yy = = rolrw

Resp.

Por ión del punto Por tanto, tanto, la la acelerac aceleración punto C de la periferi periferiaa en el instante instante de contact contactoo con con el el suelo suelo depend dependee sólo sólo de r y ro m y está dirigida dirigida hacia el centro del disco. Si Si se desea, desea, la ad yy la ión de C en cualqui la velocid velocidad la acelerac aceleración cualquier posiciónn 8()pueden obtenerse con er posició pueden obtener se con la expresi ones v = expresiones = Xi ii + yj yj y a = = Xi Xi + yj yj . La ilidad de las fórmula icas referentes La aplicab aplicabilidad fórmulass cinemát cinemáticas rueda, referent es a un disco o rueda, que iento convien que ruede ruede sin sin deslizam deslizamiento convienee que se analice en distinta distintass configu configuracioraciones rodadu ra, tales como las que se ilustran ilustran en la figura. Cuando nes de de rodadura, Cuando una una rueda rueda se se desliza desliza aa la la vez que rueda, rueda, las fórmula fórmulass anterior anteriores válidas. es ya no son válidas. I

,

PROBLEMA TIPO TIPO 5.5 PROBLEMA

dispositivo de cables yy poleas El dispositivo poleas reprerepresentado se emplea emplea para izar sentado izar la carga L. Todos los cables están están arrollados Todos arrollados yy sujesujetos aa sus sus poleas de modo modo que que no pueden pueden resbalar. Las dos poleas poleas aa las que que L está está unida son son solidarias solidarias yyforman unida forman un un cuerpo cuerpo rígido único. único. Calcular Calcular la aceleración rígido aceleración yy la velocida correspondientes vevelocidadd de L yy las correspondientes velocidad yy aceleración aceleración angulares locidad angulares m ro yy aa de polea doble bajo las la polea las condiciones condiciones siguientes: guientes:

r: = 100 mm

Caso (a) Caso (a)

Polea 1: 1: Wj úlj = = CÍJ ro 1l ==OO (polea en Polea en reposo) reposo) Polea 2: Polea 2: illz 0>.2 = = 22 radls, rad/s, Ct2 = = CÍJ Cl2 ro 22 == -3 rad/ rad/sS22 Caso (b) Caso (b)

Polea 1: Polea

= 1 radls, rad/s,

Wj úlj =

ro

100mm

alal = = CÍJI l = = 44 rad/s22

rad/s

Polea 2: Polea 2: illz 0>.2 = = 22 rad]s, rad/s, Ct2 == CÍJ ro 22 == -- 2rad/s Cl2 2rad/s22

294 294


un de un acelerac ión de velocid ad yy lala aceleración Solución. tangenc ial, lala velocidad desplaz amiento tangencial, El desplazamiento Solución. El coes vertical entos movimi los a iguales punto del borde de las poleas 1 ó2 son iguales a los movimientos verticales coson ó2 1 poleas las de punto del borde inexson inexcables son los cables hipótes is los por hipótesis que por rrespondientes puesto que puntos AA oo BBpuesto los puntos de los rrespon dientes de tensible s . tensibles. giAB '' giposició n AB pasa aa lala posición AB pasa recta AB Caso instantá neo, lala recta reposo instantáneo, en reposo Con AA en (a). Con Caso (a). los que ver s podemo a diagram En elel diagrama podemos ver que los dt. En rando interval o dt. durante elel intervalo de durante ángulo de un ángulo rando un dan tempor ales dan derivad as temporales sus derivadas desplazamientos desplaz amiento s yy sus ABro VB Va = ABro

de AB de dSBa == AB dS

(aB}t (aa)t

rueda recla recde la largo de lo largo rueda aa lo que rueda rueda que ta fija definida por el cable de la izizla de cable el ta fija definida por quierda. Por ello son válidas las las válidas son ello Por . quierda expresiones probleel probleen el utilizadas en expresiones utilizadas ma 5.4. tipo 5.4. ma tipo

a AO a aa == AO "o

ro va AO ro va == AO

de AO de ds a == AO dso

ABa == ABa

CD una es una interior es polea interior la polea que la Véase que CD Véase

movimi enel movimiens2, el m i S2, 0,3 mi =-- 0,3 0,1(- 3) = r2fXQ. =0,1(-3) Siendo aD = r2CXz= s, ao= m i s, 0,2 mi 0,1(2) ==0,2 =0,1(2) r2W¿ = = r2W:l vD = Siendo Vo es doble es polea doble la polea de la to angular de to angular ro ro

(AH) rad l ss (AH) 2/ 3 radl == vBI 0,2 / 0,3 == 2/3 AB == 0,2/0,3 vDI AB AB == vDI Val AB

Resp. Resp.

a

= (aaV AB = aDI AB = - 0,3 / 0,3 = - 1 radl s2 (H)

Resp. Resp.

Caso (a) Caso (a)

o Como Como

BB describe trayecto ria una trayectoria describ e una curvilínea, tendrá acelerac ión tendrá curvilínea, su aceleración una y (aB), y tangencial (a8)t compon ente tangencial una componente además una componente normal dinormal ente además una compon rigida afecta a la que no afecta a que hacia O rigida hacia aceleración polea. de la polea. angular de acelerac ión angular

es carga LL es la carga O yy la de O movimi ento de El corresp ondient e movimiento El correspondiente va Va

®

Resp. Resp.

m is 0,0667 mis = 0,0667 == AOro 0,1(2 /3) = = 0,1(2/3) AOro = m /2s2 = -- 0,1 m/s == 0,1(-1) 0,1(- 1) =

a = AOa oo = AOa

Resp. Resp.

A 'B desplaz a aa A AB se recta AB la recta tanto el A, la Caso se desplaza 'B'' por tanto punto C, y por movers e el punto Al moverse (b). Al Caso (b), amiendesplaz los que muestra durante el el tiempo dt. El diagrama a para este caso caso muestra que los desplazamienpara este El diagram tiempo dt. durante tos y sus sus derivad derivadas as tempora temporalesles dan dan tos VB-VA=ABro = AB ro va-VA

a - ds A = AB ds dSB-dsA AB de de dsa-dS dso-dsA A

= = AO AO de de

= AOro va-vA AOro Va-VA

aD

(aB)¡ - (aA)t (aA)¡ = ABa ABa (aa)t

®

En estas verse estas pueden verse diagramas pueden los diagramas En los cantidades relasencillez de las relala sencillez cantida des yy la ciones la mismas. La entre las mismas. lineales entre ciones lineales representación mienayy BBmienreprese ntación visual de O tras AB gira debe aclaángulo de debe gira el ángulo tras AB análisis. rar el análisis.

ao-(aA )¡ t = AOa AOa (aA) aa-

= r 2Uz = 0,1(-

2)

= - 0,2 m /s 2

para el el movimi movimiento angular de de la la polea polea doble doble tenemo tenemos s ento angular para

ro

a

va-VA

VD -Ve

AB

AB AB

= ---=--

d i s (AH) °,1 = = 1/3 1/3 ra radls (AH) -- 0,1 0,203 0, 3

Resp. Resp.

s

02 04 a -a ) = (aa) I -(a A I = D e = - , - , = _ 2 radl s2 (H) AB

AB

Resp. Resp.

0,3

ento de El corresp correspondiente movimiento de O O yy la la carga carga L L es es ondient e movimi El va = =V VA AOro A ++AOro Va

0,1(0,333) = VcAOroro = = 0,1 0,1 ++0,1(0,333) = 0,1333 0,1333 m m IIss == veAO

Resp. Resp.

o De De nuevo, nuevo, como como en el el caso (a), (a), la rorotación infinitesimal de la la recta recta AB, AB,

tación infinitesimal tal como como se se ve ve en en la la figura, figura, establec establecee tal la relación relación entre entre la la velocida velocidadd anguangula lar de de la la polea polea yy las las velocid velocidades de ades de lar los puntos A, O Y B. El signo negatinegatisigno El B. y a los puntos A, vo de de (aB)¡ (aB)¡ = = al) ao da da el el diagram diagramaa de de vo aceleraciones representado pero no no ntado pero iones represe acelerac destruyee la la linealid Iinealidad de las las relaciorelacioad de destruy nes. nes.

Resp. Resp.

295 295



El nto en El movimie movimiento en su su plano plano de de lala placa placa ABe, ABC, en en forma forma de de triángul triánguloo equiláter equilátero, o, se se controla controla mediant mediantee elel cilindro cilindro hidráuhidráulico lico D. D. Si Si elel vástago vástago del del pistón pistón del del cilincilindro dro se se mueve mueve hacia hacia arriba arriba con con celeridad celeridad constant constantee de de 0,3 0,3 mis mis durante durante un un interintervalo valo de de su su movimie movimiento, calcular para para el el nto, calcular instante instante en en que que e e== 30° 30°lala velocida velocidadd y y la la acelerac ión del aceleración del centro centro del del rodillo rodillo BB en en la la guía al y la guta horizont horizontal la velocida ve/ocidadd yy aceleraaceleración ción angulare angularess del del borde borde CB. CB.

Solución adas x-y Solución.. Con Con las las coorden coordenadas x-y elegida elegidas s tal tal como se se indica en la figura, el movimi ento deAesv A =y El corresp movimiento de A es VA =Y =0,3 = 0,3 m/sy mi s y aA aA = Y Y = O.O.El correspondiente movimienondient e movimi ento as respecto al to de de B B viene viene dado dado por por xx yy sus derivad derivadas al tiempo, que pueden pueden obtenerse de X2 x2 + y2 y2 = = b2.. Derivan Derivando tenemoss do tenemo 11

Obsérvese es más más fácil fácil derivar derivar Obsérv ese que es productoo que un un cocient cociente. Por un product e. Por derivamos + = O Y no ello derivam os + = O Y no = - yYlx. ~ = yYlx.

x

°

xi+YY = O xi+yy

X

.

11 .

= - ¿y X

xx yyyy

Con yy = = bb sen sen Con

expresi ones se convierten e,e, xx == bb cos eee yy = O,0, las expresiones convier ten en = i x-v vVBB = - V AA tg ee v22 sec 3 ee aaBB == Xi = -- b:A sec-'

Sustitu yendo por por los valores valores numéricos numéri cos vvAA == 0,3 mi Sustituyendo mI s yy ee== 30° resulta resulta vVBB ==

--0,3(~ 0,3(~) ) == --0,173 0,17322m/s mi s

°

(0,3)2(2 /j3)3 )3)3 _= _0693 -= _ (0,3)2(2/ 693 II 22 0,2 0,2 - -, , m m ss

aB - as

Resp. Resp.

Resp. Resp.

Los signos signos negativos negativ os indican indican que que la la velocidad velocid ad yy la la aceleración Los acelerac ión de de BBestán están dirigidirigidas hacia hacia la la derecha, derecha , ya ya que que el el sentido sentido positivo positivo de das de xx es es hacia hacia la la izquierda. izquierd a. El movimiento movimi ento angular angular de de CB CB es es el el mismo mismo que que el el de de cualquier cualqui errecta El recta de de la la plaplaca y, por ello, el mismo que el el de de AB. AB. Derivando Derivan doyy == bbsen ca y, por ello, el mismo que sen eeobtenemos obtenem os

bécos cos ee yy == be

.

ú) O)

v2 v~

== eé == - b~ sec sec ee 2 b

Laaceleración aceleración angular La angulares es VVA A ..

W==b b aa == ciJ

vv2 2

b;

sec eetgtg ee== b~ sec eesec sec22tgtg ee

296 296


resulta numéri cos resulta Al aplicar los valores valores numéricos ú) úJ

== ~:~ 1,732 rad/ s ~:~ ~~ == 1,732rad/s

Resp. Resp.

1,732ra d / 2s2 exa == (0,3)2 (2)2 ~ = 1,732rad/s (0,3)2 (2-)2~ 13 13 J3 (0,2)2 (0,2)2 J3

Resp. Resp.

positivo s son positivos puesto que sus signos son Tanto antihora rio, puesto sentido antihorario, d e sentido son de a son como ex úJ como Tanto ú) 8. en el sentido medició n positiva de e. sentido de la medición

PROBLEMAS PROBLEMAS introductorios Problemas Problemas introductorios

deslizam iento. plana sin deslizamiento. 5.23 plancha plana rueda por la plancha El disco rueda 5.23 El la mientra s la a mientras derech Si su centro O se desplaza 100mm hacia la derecha mm 100 a desplaz Si su centro a, izquierd plancha desplaza 75 mm hacia la izquierda, calcular el desacia h 75 a desplaz se plancha /<,.8 del disco. angular be plazamiento plazam iento angular rad = 1,167 Resp. 1,167rad /<,.8 = Resp. be

velocid ad velocidad derech a, calcular la velocidad = 0,8 m I/ s hacia la derecha, velocid ad vvAA = ón a (Atenci rueda. del centro O y la velocidad angular ú) de la rueda. (Atención úJ del centro O y velocid ad angular rueda no cometer el error de suponer que el carrete rueda hacia la izr supone no comete r el error quierda.) quierda .) 1,333 rad / s H Resp. úJ = 1,333rad/s m / s, ú)= = 1,2 mis, Vo = Resp. Vo

»: 150......

o O

A A

.ntm .,.lnm Figura problema problem a 5.25


velocid ad aniento con 5.24 La La rueda rueda gira sin deslizam deslizamiento con una velocidad an5.24 imal gular cons constante ea. Si Si la recta POC POC rota un ángulo infinites infinitesimal tante úJ. gular ad del punto rar que la velocid de durante demostrar velocidad punto nte un tiempo dt, demost d8dura icada multipl e o contact P es es igual igual a su distanci distanciaa al pLInto punto de contacto multiplicada P vela r expresa ás, Adem rueda. por la velocidad angular de Además, expresar la vela por velocid ad angular ad del centro O. locidad de P en función de la velocid velocidad O.

impulsa do por la 5.26 El pequeñoo vehículo vehícul o corre sobre raíles impulsado El pequeñ 5.26 o rueda de fricción de 400 mm de diámetro a la cual hace girar diámetr 400 fricción rueda de o si la ruevehícul un motor eléctrico. Hallar la velocidad v del vehículo ad velocid Hallar . eléctrico un motor ientos da de fricción gira a 300 rpm y no hay resbalamientos de ninresbalam 300 fricción da de

guna clase. clase.

tt

P. P. I

800

b' b'

01 01

mm

tt

I

ir

[1'

e



iento co rueda sin deslizam 5.25 El El carrete de cable cable telefóni telefónico deslizamiento 5.25 una lleva cable del A punto por la superficie horizontal. Si punto cable una el Si tal. horizon ie por la superfic

5.27 El El carrete carrete de cable telefónico rueda rampa rampa abajo abajo merced telefóni co rueda 5.27 al cable cable guía guía que se aliment alimentaa ddesde superiorr y arroesde el tambor superio al llado en en torno torno al cubo interno del carrete. Si Si el tambor superio superiorr llado

297


se sehace hace girar girar aalalavelocid velocidad constante l»J ==22rad radlIs,s,calcular calcular elel ad constan te w¡ tiempo tiempo que quetarda tarda elelcentro centrodel delcarrete carrete en endesplaz desplazarse 30m mramramarse 30 pa abajo. abajo.NNo hay deslizam deslizamientos. pa o hay ientos. Resp. tt==66,7 66,7 ss Resp.

aalos can unas loscables cablesAA yyBBse seles lescomuni comunican unas velocid velocidades ascendenades ascende ntes ivamen te, calcular tes de de 0,3 0,3mmii ss yy 0,4 0,4mmii s,s, respect respectivamente, calcular lala velocivelocidad ad angular dad del del centro centro OOyy lalavelocid velocidad angular de de la lapolea. polea. Resp. Resp. va "o ==0,34 0,34mmii s,s, üJ= w= 0,4 0,4rad rad/l ss 5.30 5.30 El Eldisco disco central central es es fijo fijoyy no no rota. rota. El Elbrazo brazo AOB AOB arrastra arrastra los os, que losdos dos discos discos pequeñ pequeños, que ruedan ruedan sin sin deslizar deslizar sobre sobre el elgrangrande. ad angular de. Si SiAOB AOB recibe recibe una una velocid velocidad angular antihor antihoraria Ú{¡, hallarhallararia %' la ad angular la velocid velocidad angular row de de cada cada uno uno de de los los discos discos pequeñ pequeños. os.

~

/ ~200 mm

~ Figura problem problemaa 5.27 5.27 Figura


5.28 5.28 En En la la figura figura se se represen representan los element elementos de un un integraintegratan los os de dor o. La dar mecánic mecánico. La rueda integrad integradora gira alreded alrededor de su eje eje ora A gira or de su fijo y es fijoy es arrastra arrastrada, rozamiento sin deslizam deslizamiento, por el disda, por rozamie nto sin iento, por el disco co B B tangent tangentee aa su periferi periferia. La distanci distanciaa y es es una una variable variable que que a. La puede controla rse a volunta controlarse voluntad. Demostrar el desplaz desplazamiento d. Demost rar que el amiento angular de la rueda integrad integradora por zz == (l (llb) dx, ora viene dado por l b) ff yy dx, donde x es el el desplaz desplazamiento del disco disco B. B. amiento angular del

Problem as represe ntativos Problemas representativos

5.31 5.31 Del Del extremo extremo A A ddee la barra barra delgada delgada se se tira hacia la derecha ad vv con cha con con una una velocid velocidad con lo cual se desliza por la superfic superficie ie del indro inmóvil del semicil semicilindro inmóvil.. Hallar, en función de x, la velocid velocidad ad angular angular ro w ==

e. e.

V Resp. ro w = - -v

!- y~

I ,

, I

l' -=== l'

-~_ X Jx2 J x2_1'2 X _1'2

b

q®~ ~ x z

B

-----

vv

!

I·>-¡.... -- xx - - - _ o_/I /Figura problem Figura problemaa 5.31

Figura Figura problema problem a 5.28 5.28

5.29 Los cables A 5.29 AyB B están están arrollados arrollad os firmemente firmem ente alrededor alreded or de la periferia periferi a yy la garganta de gargant a de de la polea, polea, tal tal como como se se muestra. muestra. Si Si

5.32 Calcular Calcula r la la velocidad velocid ad angular angular ea ro de de la la varilla varilla AB 5.32 AB en en funfunción de la distanci a d e la la velocidad velocid ad angular angular constante ción de la distancia xx yy de constan te COa % del del tambor. tambor.

BB BB AA BB

f h

_t

r


Figura problema problem a 5.32 5.32 Figura

298 298


distanci a OA 5.33 El El cilindro hidráulico O hace que la distancia OA auhidrául ico D 5.33 r pasado del ad velocid r mente a razón de 50 mm/ s. Calcular la velocidad pasador Calcula s. / mm mente a ra zón momen to en que e == 50°. e en la guía horizon horizontal 50°. tal en el momento mm / s Resp. ve ve == 59,6 59,6 mm/

movimi ento gobiern a el movimiento 5.36 palanca OA la gobierna rotación de la palanca 5.36 La rotación a del disco circular en contacto con ella, cuyo centro se comuo contact del disco ón expresi nica una velocidad horizontal v. Hallar la expresión de la veloHallar tal horizon ad nica una velocid cidad angular w de OA en función de x. ro cidad angular

A


e problemaa 5.33 Figura problem

platafo rma de taller lo con5.34 El movimi ento vertical ddee la plataforma El movimiento 5.34 una trola pasadorr A. Si Si éste tiene una hori zontal del pasado movimi ento horizontal trol a el movimiento de v vertical ad velocid hallar la velocidad velocidad v de izquierd a, hallar Vo hacia la izquierda, ad Vo velocid e. plataforma ma en función de la platafor

rueda movimi ento a la rueda 5.37 pone en movimiento tambor A pone El cable del tambor 5.37 El Hallar la doble deslizam iento sobre el cubo. Hallar la cual gira sin deslizamiento B, la doble B, tambor e en adel angular a velocidad del tambor acelerac ión angular royy la aceleración angular w velocid ad angular A de A es de angular acelerac ión angulares el velocid ad y la aceleración instante en que la velocidad el instante ansentido en sean sentido respecti vament e, ambas S2, respectivamente, rad/ S2, rad/ s y 3 rad/ 4 rad/ sean 4

tihorario. tihorari o. S2 AH rad/ S2 Resp. rad/ s AH, aa = 1 rad/ = ;j rad/ ro = Resp. w

.

-----------A


el

coicament e respecto al co5.35 La excéntricamente La leva circular se monta excéntr 5.35 en sente ro jinete fijoen constante wen velocid ad angular constan en O y gira con velocidad jinete fijo horquil la A y la barra de tido antihora antihorario. de rio. La leva hace que la horquilla tido horizon tal x. Escribir n horizontal mando unida a ella oscilen la dirección direcció en ella mando barra ión a, las expresio expresiones aceleración a, de la barra velocid ad Vu,y nes ddee la velocidad x y la acelerac las de mando función del ángulo e, medido éste desde la vertimando en función de verticales. horquil la son verticales. cal. Las Las superfic superficies ies de contacto de la horquilla cal. e sen ew ew cos e, a, = -- eol e Resp. Vv,x = ero

Figura problem a 5.37

deslizam iento y su centro 5.38 rueda de la figura gira sin deslizamiento La rueda 5.38 La dirigida hacia la derecha O Va dirigida derecha.. constan te Vo velocid ad constante posee una velocidad O posee el fijo ia referenc fijo en el Tras adecuadamente un sistema de referencia dament e un elegir adecua Tras elegir exprelas deducir A, deducir punto A, que expresar coorden adas del punto expresa r las coordenadas que funA en funpunto A nA del punto siones acelerac ión aA velocid ad v A y la aceleración siones de la velocidad ey Vo ción de r,r, By Vo

x ------ - A r I /(1

-~01

-----+

Vo



299


5.39 La articulada O yy su su extremo extremo A A 5.39 La biela telescóp telescópica ica está articula da en D recibe una velocid ad ascende velocidad ascendente constante 200 mm mm// ss del del nte constan te de 200 émbolo del cilindro hidrául hidráulico B.Calcular velocidad angular ico B. Calcula r la velocid ad angular iJ yy la acelerac ión angular aceleración angular jj ddee la biela DA OA en en el instante en en 600 mm. que y == 600

e

e

-------0»/ f«-I'- - - s ----» j~1 /...-.---

S

.:»: vv .--r

Resp. Resp. iJe = = 0,1639 0,1639 rad rad// s, s, jje = - 0,0645 rad rad// S2 s2

y Figura Figura problem problemaa 5.41

5.42 Hallar la acelerac ión ddel el vástago B para 8()= 5.42 aceleración ma= 60° si la manivela DA ión angular nivela OA tiene una acelerac aceleración angular jj == 8 rad/ rad / S2 S2y una vevelocidad locidad angular angular iJ == 4 rad / s en esa posición posición.. El El resorte hace que no o entre el rodillo y la cara del émbolo no se se pierda pierda el contact contacto émbolo..

e

e

x --_

o


5.40 Deduci ón ddee la velocid 5.40 Deducirr la expresi expresión velocidad ascendente ad ascende nte vv del del elevado viles en función de 8. elevadorr de automó automóviles ().La velocidad que La velocid ad con con que se extiend extiendee el émbolo ddel hidráulico es tis .. el cilindro hidrául ico es

problem a 5.42 Figura problema 5.42

5.43 El cilindro cilindro hidráulico hidráulico e comunica comuni ca al extremo A de la 5.43 El biela AB AB una una velocidad velocid ad constante constan te Va biela va en el sentido sentido xx negativo. negativo. ~--L,-_~ ¡...,--- L --~

Figura problema problem a 5.40 5.40

5.41 5.41

El film pasa pasa por por los rodillos rodillos de guía guía indicados indicad os yy está está siendo enrollad bobina, la cual gira a la velocidad siendo enrolladoo en la bobina, velocid ad anguanguconstan te Q). úJ. Hallar Hallar la aceleración lar constante acelerac ión aa = = v v del film alal pasar pasar por por rodillos. El espesor espesor del film es tt yy s es lo bastante los rodillos. bastant e grande grande para suponer supone r despreciable desprec iable la variación para variació n del ángulo ángulo que que forma forma el el film con la horizontal. horizon tal.

Resp. aa == Resp.

tv tv22 --2 -2

B L

e k----x

2nr 2m"

e

A

---=-- • ------+1


300 300


x

Determinar, en función de x, las expresiones de la velocidad angular OJ = é y de la aceleración angular ex = jj de la biela.

Resp.

1~

OJ

=

va

- xv5

~,ex= ",L2 _x2

2

(L -x

23/2

)

5.44 El volante gira en sentido horario a 600 rpm. La biela de enlace AB se desliza por la guía oscilante C. Calcular la velocidad angular

OJ

e = 60°.

de AB en el instante en que

o 200mm

ae-

e Figura problema

!~

400mm ~I

Figura problema

5.46

B

I I I I

5.4 7 La rotación de la biela AO está gobernada por el émbolo del cilindro hidráulico Be, el cual se extiende a la velocidad constante s = k durante un intervalo del movimiento. Obtener la expresión vectorial de la aceleración del extremo A para un valor de dado empleando los vectores unitarios en y e, de las

I 5.44

e

coordenadas

n y t. k2¡

Resp. aA =

5.45 La barra OB se desliza por el interior del cursar articulado en A a la manivela giratoria. Si OA posee una velocidad angular OJ = 3 radl s durante un intervalo de su movimiento, calcular la velocidad angular de OB cuando = 45°. Resp. OJOB = 0,572 rad/ s AH

b2

cos2-

e ( en+2tg12et e) 2

e

A

r

la

o.

400mm

I_--b

L Figura problema

Figura problema

5.45

5.46 Cuando se activa el cilindro hidráulico, OB se alarga a razón de 0,260 mi s. Calcular la aceleración normal del punto A en su trayectoria circular en torno a en el instante en que

e

e= 60°.

--

1

5.47

5.48 Una transmisión por correa de velocidad variable se compone de dos poleas cada una de las cuales está formada por dos conos que giran solidariamente, pero cuya distancia mutua puede variarse a voluntad para variar así el radio efectivo de la polea. Si la velocidad angular co,. de la polea 1 es constante, hallar la expresión de la aceleración angular a¿ = W 2 de la polea 2 en función de las variaciones por unidad de tiempo

'1 '2 y

de los radios efectivos.

301


i


1O1 WI

5.51 Para ones del 5.51 Para las las condici condiciones del problem problemaa 5.46, 5.46, hhallar la comcomall ar la ponente tangenc ial de la acelerac ión del ponente tangencial de la aceleración del punto punto A A en en su su trayectrayectoria toria circular circular alreded alrededoror de de e en en el el instante instante en en que que e f} = = 60°. 600. Resp. Resp. (aA)I (aA)I== 0,218 0,218 m/s2 m/s2


5.49 En el 5.49 el instante instante en en que que y == 200 mm, mrn, el el émbolo émbolo ddel cilindro el cilindro hidráuli co hidráulico e comuni comunica pasador r A un un movimi movimiento vertical l ca al pasado ento vertica definid definidoo por por y !J = 400 mm mm/ /ss e fjy = -100 - 100 mm/s2. mrn / S2. Determ Determinar, inar, para para ese ins instante, velocidad angular ú)y la la acelerac aceleración angutante, la velocid ad ang ular roy ión angude la la biela AB.. lar a de biela AB Resp. Resp. ro ú) == 1,155 1,155 rad AH, a == 0,481 0,481 rad rad // S2 s2 AH rad / s AH, AH

5.52 Demost rar que ones vv = rro 5.52 Demostrar que las las expresi expresiones rto Y al = fa ra son válidas iento del das para para el el movim movimiento del centro centro O de la rueda rueda cuando cuando va rodando rencia, donde dando sobre sobre el el arco arco de de circunfe circunferencia, donde ro ú) y a a son la velocid ad yy acelerac ión angular as, respecti velocidad aceleración angulareses absolut absolutas, respectivamente, vam ente, ddee la ión: Siguien d o el ejemplo la rueda. rueda. (Indicac (Indicación: Siguiendo ejemplo present presentado ado en el problem rueda se desplac problemaa tipo tipo 5.4, 5.4, hacer hacer que que la rueda desplacee una una p pequeña equeña di stancia. Poner distancia. Poner atenció atenciónn para para establec establecerer correcta correctamente mente el ángulo la rueda gulo absoluto absoluto girado girado por por la rueda al determi determinar velocidad nar la velocid ad y la ión angular la acelerac aceleración angulareses de de ésta.) ésta.)

°

o

1,' ., ~

• B

.

I t. ~

R

e Figura Figura problema problema 5.49 5.49


°

5.50 El El brazo brazo ranurado 5.50 ranurad o oscila oscila en en torno torno aa O yy mantiene mantien e la la rerelació n entre entre los lación sus varilos movimientos movimi entos de de los los cursores cursore s AA yy BBY Y sus varill as de de mando. mando. Cada llas Cada uno uno de de los los pequeños pequeñ os bloques bloques puede puede girar girar en torno torno alal pasador pasado r que en que lo lo une Wle aa su su respectivo respecti vo cursor cursor yy está está lilimitado aa moverse movers e por mitado por su s u ranura ranura correspondiente. corresp ondient e. Demostrar Demost rar que eleldesplazamiento desplaz amiento xx es que es inversamente inversa mente proporcional proporc ional aay.y. EsEstablecerseguidamente seguida mente lala relación tablecer relación entre en tre las lasvelocidades velocid adesvvAAyy "evB' Además, sisivVAAes es constante Además, constan te durante durante un un corto corto intervalo interva lo del del momovimiento, v imien to, hallar ha llar lala aceleración acelerac ión de de B. B.

I I

~

5.53 La La Cruz Cruz de de Malta Ma lta es es un un mecanismo mecani smo destinado destina do aa pro~~ 5.53 producir una rotación intermi tente.La La clavija cl avija PP montada ducir una rotación intermitente. montad a en en el elplaplato motor motor A, A, del del que que es es solidaria solidari a la la placa placa B, B, penetra to p en etra en en las las ranuras radiales radia les de de la la cruz cruz yy hace hace que que ésta ésta dé ranuras dé un un cuarto cuarto de de vuelta por porcada cada vuelta vuelta de de lala clavija. clavija.En En lala posición posición representada vuelta represe ntada es f} ==45°. 45°. Para Para una una velocidad velocid ad angular angular horaria horaria constante es constan te W,m, == rad /ss del del plato plato motor motorA, A, hallar hallar lala correspondiente corresp ondient e velocidad 22rad/ velocid ad angular antihoraria antihor aria ~úJ:! == de de lala cruz cruz en en f} == 20°. angular 20°. (Obsérvese (Obsérv ese que durante durante cada cadaacoplo acoploelelmovimiento movimi entoestá estáregido que regido por porlala geogeometría del del triángulo triángu lo 0102P 0,02P de de ángulo ángulo f) variable.) metría variable .) Resp.~úJ:! == 1,923 1,923rad/ rad/ss Resp.

ee

e

302 302


ee

e

e

//

//

//

/'" Ji 200 / J2 / '" 200/ rnm mm

// //

B A

,, ,~ mm--I , 1 - - 200 mm-v-s-]

5.53 problema 5.53 Figura Figura problema

vez la vez oscilant e aa la por la guía oscilante La varilla desliza por AB se desliza varilla AB redel parte A Si . ranura por la ranura. que A parte del redesplaz a por extremo A se desplaza que su extremo ión acelerac una derecha poso en x = OYse mueve hacia la derecha con una aceleración hacia = OY se mueve poso en AB en de AB angular de acelerac ión angular constante calcular la aceleración S2, calcular m i S2, constan te de 0,1 mi 150 mm. = 150 el instante instante en que xx = Resp. a= 0,1408r ad /s2 2 AH a = 0,1408rad/s ~ 5.54 ~ 5.54


mecanis una de los mecanisEl biela-m anivela es una conjunt o biela-manivela El conjunto roAB angular mos más comunes. Expresar la velocidad angular (OAB yY la acead velocid r Expresa s. comune ás mos m ángulo de función del ángulo leración en función AB en biela AB roAB de la biela angular (OAB leración angular %. Tóconstan te úlo· manivela manive la constante celerida d de manivela una celeridad para una manive la 8e para ario. antihor mense (OAB y aAB positivos en sentido antihorario. sentido mense roAB Y a AB positivo s

~~ 5.56 5.56

r(Oo cos 8 e rroo -¡==~== Resp. (OAB -1- -;:==== ro AB = -/r2 ~/22 sen228e -l11

J

r2

2

rro o

aAB

- 1- sen

e (1 -

--1 12 2

~ sen2 e)

3/2

5.54 Figura problem problemaa 5.54

El punzón punzón es acciona accionado secdo por la placa en forma de secento armónic tor circular que ejecuta un movimi movimiento armónicoo simple dado dado tor por 8= = ea 80 sen 2m, 2m, donde donde la amplitu amplitudd es ea 80 = ni ni 12 12 rad (15°) (15°) yy por e acelerala Hallar o. segund una oscilación completa dura segundo. Hallar un dura ta comple ón una oscilaci Y (b) e punzón cuando cuando (a) (a) e 8= =O OY 8= = ni ni 12. 12. ción del punzón m i S2 (hacia arriba), Resp. (a) (a) a = 0,909 0,909mi Resp. a= = 0,918 0,918mi abajo) m i S2 (hacia abajo) (b) a

~ 5.55 ~ 5.55

5.4

B

:3~-~+ A


IVA VELOCIDAD RElATIVA IDAD RElAT VELOC

tica de los cuerpo Otro proced procedimiento para aborda abordar r la cinemá cinemática cuerposs rígidos rígidos se se basa basa imient o para Otro do aparta el en llaron desarro se Éstas en las fórmulas del movimiento relativo. Éstas desarrollaron en el apartado . relativo iento movim en las fórmul as del ón de ión y 2.8 para para observ observaciones realizadas desde ejes en traslac traslación y la la ecuaci ecuación de las las das desde acione s realiza 2.8 as ades relativ velocidades relativas velocid (2.20) (2.20)

=

VA=VB+VA/B v B + v AI B A V

les. se aplicó aplicó a los movim movimientos dos puntos puntos materia materiales. ientos de dos se 303 303


304 304

Ahora vamos vamos a tomar tomar dos puntos puntos pertenecientes pertenecientes al mismo mismo cuerpo rígido, La Ahora cuerpo rígido. consecuencia movimiento de uno uno de los puntos, puntos, visto por por un consecuencia de ello será que el movimiento observador mueva solidariamente punto, deberá observador que se mueva solidariamente con el otro punto, deberá ser circular, puesto que la distancia radial entre puntos no varía. varía, Esta observación puesto distancia radial entre ambos puntos observación es la clave clave para para hacerse con una una gran mayoría de los problemas problemas relacionados relacionados gran mayoría con el movimiento movimiento plano plano de cuerpos idea se ilustra ilustra en la figura S.Sa cuerpos rígidos. La idea representa un un cuerpo rígido que se mueve mueve en el plano plano de la figura y en ésta se representa cuerpo rígido cambiando posición de AB AB a A 'B tiempo !'lt. /}'t. Este movimiento movimiento podecambiando su posición 'B'' en un tiempo podemos imaginarlo desarrollara en dos fases. En la primera imaginarlo como si se desarrollara primera de éstas el cuerpo un desplazamiento /}.rB que lo trasladaría, paralelamente a sí cuerpo sufriría sufriría un desplazamiento !'lrB trasladaría, paralelamente mismo, hasta segunda, el cuerpo cuerpo rotaría ángulo !'le hasta la posición posición A" A" B'; B '; en la segunda, rotaría un un ángulo /}.8 en torno torno a B'. B '. Este segundo movimiento, observado segundo movimiento, observado desde desde los ejes de referencia giratorios x '-y' punto de referencia referencia B" B " se vería vería como una una rotación rotación no giratorios '-y' fijos fijos en el punto simple alrededor B 'que daría /}.rA/8 de A respecto a alrededor de B'que daría lugar lugar al desplazamiento desplazamiento !'lrA/B B.Para observador no giratorio cuerpo parecería sufrir una B. Para el observador giratorio vinculado vinculado a B,el B, el cuerpo parecería sufrir rotación alrededor de un fijo que pasase rotación alrededor un eje fijo pasase por por B,ejecutando B, ejecutando A un un movimienmovimiento circular tal como se resalta resalta en la figura S.Sb. S.5b. Por tanto, las relaciones del movimiento obtenidas en los apartados apartados 2.5 5.2 Y mencionadas vimiento circular obtenidas 2.5 y 5.2 mencionadas como ecuaciones 2.11 describen la parte ecuaciones 2.11 y 5.2 (o 5.3) 5.3) describen parte relativa relativa del movimiento movimiento de A. Arbitrariamente Arbitrariamente hemos hemos fijado en B los ejes no giratorios. giratorios. Del mismo mismo modo modo podríamos observado a Bejecutanpodríamos haberlos haberlos fijado en A, en cuyo caso se habría habría observado B ejecutanalrededor de A, el cual se consideraría consideraría fijo fijo tal como do un movimiento movimiento circular alrededor S.5c.Vemos sentido de giro, antihorario antihorario en este case ilustra ilustra en la figura S.5c. Vemos que el sentido so, es el mismo mismo se tome A o B como referencia referencia y que !'lrB/A /}.r B/A = --!'l/}. rA/B' Si es B el punto punto de referencia, en la figura S.Sa se ve que el desplazamiento desplazamiento total de A es

ClNEM -ÁTICA PLANA PLANA DE lOS ClNEM-ÁTICA lOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

(a) (a)

Movimiento relativo relativo a B Movimiento (b)

./' /

r ,/ / /18 ~ ,/ ,/ ....

A A

/

",,'/

,//

/

,

./

/

r

/

/ .

donde el módulo cuando !'le Obsérvese que donde módulo de !'lrA/B /}.rA /B tiende tiende a r!'le r/}.8 cuando /}.8 tiende tiende a cero. Obsérvese lineal relaiioo acompañado por el movimiento movimiento lineal relativo ts /}. rA/B r A/B está acompañado por el movimiento mov imiento angular angular rerelativo !'le, observado desde desde los ejes en traslación expresión /}'8, observado traslación x '-y'. Dividiendo Dividiendo la expresión lativo A por correspondiente intervalo de !'lr /}.rA por el correspondiente intervalo de tiempo tiempo M /}'t y pasando pasando al límite, resulta la ecuación ecuación de la velocidad velocidad relativa relativa

//

//

\ B " '\,.-- """/

,---- "'"

(5.4) (5.4)

V A = B +vAIB VA = vvB+vAIB

"-

Movimiento relativo a A (e) (e)

5.5 Figura 5.5

salvedad de que la distancia distancia entre entre A y Bperque es la misma misma que la 2.20, 2.20, con la salvedad B permanece constante. Por ello, vemos que el módulo módulo de la velocidad velocidad relativa relativa es (IMAlBI/!'lt) (r!'le/M)M) que,conw= que,coneo= e,sehace 8,sehace vAlB = lim (IM AlBI/ /}.t) = = lim (r/}'8/ AlB = M--->O M--70

/1t--->O /1 t--7 0

(5.5)

= reo = rw

VAIB AI B

Si en la primera ecuaciones 5.3 representamos por r al vector primera de las ecuaciones representamos por vector rA/B podemos escribir que la velocidad velocidad relativa relativa es el vector VAIB V AIB

== eo x r wXr

(5.6) (5.6)

donde w es el vector velocidad angular normal donde velocidad angular normal al plano plano del movimiento, movimiento, cuyo sentido está dado dado por derecha. Una observación de gran sentido por la regla de la mano mano derecha. Una observación trascendencia trascendencia que puede puede hacerse hacerse a la vista de las figuras S.5b S.Sb y c es que la ve-


~ v...... ' ••........•././.. - ir,////L 7'-;:»/7 .~ •.. ..r.-/..%'.c.. •.•....••. -"/,-7<"_ -a v- h. •• //# ..... /0:;.*,...... Gr/h~J '-'Ap...r,C;..'.s:-,A;:->P rZ~~7~F77co)..-l \ ¡-o(·J7A:~/,'lQ~-4-~<>,4;..s:v.;:.·..;-4-?'r.;:. •.. $- ~--";';>/7.4""'-/~~'·!'" <;c••.•? _s·.rr'~-:'h?<: .•·.,..,,,,;.. ·,U,:>""1~>

__________

r.. ' •.. ~~

(. .•~~<-.J/Q.:.7<.*!iC(,/~
••...•.•••• conocidos

ctC-"é>,~Ll
rrrrY1nla.h::n~1nal

c.tir('CédI1l<'ll('

•.,,. ~

~'..f ~

.,.Oi'lt.' ('Il',bu

,......,1""'\1 .•..•..•...............•........ "U' •••_..a.,;--L.~L.....l._-....;..

I _

305

305

V AIH

a e-

// lo ¡.

el sí

Trayectoriade deBB Trayectoria


locidadlineal lineal relativa relativa es es siempre siempreperpendicular perpendicular aala larecta rectaque queune unelos los dos dospunpunlocidad tos en cuestión. tos en cuestión. El significado significado de de la la ecuación ecuación 5.4 5.4 puede puede quedar quedar claro claro imaginando imaginando por por sepasepaEl rado las componentes de traslación y rotación de la misma. Estas componentes rado las componentes de traslación y rotación de la misma. Estas componentes se resaltan resaltan en en la la figura figura 5.6 5.6 que que representa representa aa un un cuerpo cuerpo rígido rígido en en movimiento movimiento se plano. Tomando Tomando B Bcomo como punto punto de de referencia, referencia, la la velocidad velocidad de de AA es es la la suma suma vecvecplano. torial de de la la parte parte de de traslación traslación Vs vB más más la la parte parte de de rotación rotación VAIS v AIB= = wX wX r, r, cuyo cuyo mómótorial dulo es es vAIS vAIB== rto rúJ y donde donde Iwl == es es la la velocidad velocidad angular angular absoluta absoluta de de AB. AB. El El dulo hecho de que que la ve/ocidad velocidad lineal lineal absoluta absoluta sea siempre siempre perpendicular perpendicular a la recta recta que que une los dos puntos puntos en en cuestión cuestión constituye constituye una una clave importante importante para para resolver resolver numerosos problemas. El lector deberá dibujar el diagrama equivalente en el numerosos problemas. deberá dibujar diagrama equivalente en que A A se emplea emplea en lugar lugar de B como punto punto de referencia. Una segunda segunda aplicación de la ecuación ecuación 5.4 a problemas problemas planos planos de velocidavelocidades relativas puede ser para el movimiento deslizante de dos articulaciones relativas puede para movimiento deslizante articulaciones de un mecanismo que estén vinculadas entre sí. En estos casos, los puntos mecanismo vinculadas sí. puntos A y B se toman uno en una cada articulación y coincidentes en el instante se articulación coincidentes instante consideraconsiderado. do. Al Al revés que en el ejemplo previo, en este caso los dos puntos puntos están en cuerpos pos distintos y, y, por lo lo tanto, no aa una distancia fija. fija. Esta segunda segunda utilización se se ilustra ilustra en en el el problema problema tipo tipo 5.10. 5.10. Para Para resolver resolver la la ecuación ecuación de de la la velocidad velocidad relativa relativa se se puede puede recurrir recurrir al al álgeálgebra bra escalar escalar oo al al álgebra álgebra vectorial, vectorial, oo puede puede hacerse hacerse gráficamente. gráficamente. Cualquiera Cualquiera que que sea sea el el caso, caso, debe debe hacerse hacerse un un esquema esquema del del polígono polígono de de vectores, vectores, que que reprerepresenta senta la la ecuación ecuación vectorial, vectorial. para para poner poner de de manifiesto manifiesto las las relaciones relaciones físicas físicas que que intervienen intervienen en en el el problema. problema. A A partir partir de de este este esquema esquema pueden pueden escribirse escribirse ecuaecuaciones cionesescalares escalares proyectando proyectando los los vectores vectores sobre sobre direcciones direcciones convenientemente convenientemente elegidas; generalmente, podrá evitarse la redundancia elegidas; generalmente, podrá evitarse la redundancia en en la la resolución resolución eligieneligiendo docon concuidado cuidado las lasproyecciones. proyecciones. Otro Otro procedimiento procedimiento consiste consisteen enescribir escribir todos todos los lostérminos términos de de lalaecuación ecuación en en función función de de sus sus componentes componentes i iyy j,j, con conlo loque que reresultarán sultarán dos dosecuaciones ecuaciones escalares escalares cuando cuando se seimponga imponga lalacondición condición de deigualdad igualdad por porseparado separado aalos loscoeficientes coeficientesde de términos términos en eni iyy j j.. Numerosos Numerosos problemas problemas se se prestan prestan aauna una solución solución gráfica, gráfica,especialmente especialmente cuando cuando su su geometría geometría dé dé por por reresultado sultado una una expresión expresión matemática matemática poco pocomanejable. manejable. En Enestos estos casos casosse seconstruconstruyen primero los vectores conocidos en sus posiciones correctas, utilizando yen primero los vectores conocidos en sus posiciones correctas, utilizando una una escala escalaadecuada, adecuada, yydespués después sesemiden miden directamente directamente sobre sobreeleldibujo dibujolos losvectores vectores desconocidos, desconocidos,que quecompletarán completarán elelpolígono polígono yysatisfarán satisfarán lalaecuación ecuaciónvectorial. vectorial. La elección del procedimiento a seguir depende de cada problema La elección del procedimiento a seguir depende de cada problema concreto, concreto,de de lalaprecisión precisiónpedida pedida yyde delas laspreferencias preferenciasyyexperiencia experienciaindividuales. individuales. En Enlos losproproblemas blemastipo tipoque quesiguen siguenseseilustran ilustranlos lostres tresprocedimientos. procedimientos.

ee

ato

ue re'ón ul-

.4)

ve-

II


5.4 5.4 VELOCIDAD VELOCIDADRELATIVA RELATIVA

306 306 CINEMÁTICA PLANA PLANA DE DELOS LOS CINEMÁTICA CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CUERPOS

Independientemente delprocedimiento procedimiento de deresolución resoluciónque quesesesiga, siga,sesetendrá tendrá Independientemente del siempre siempreen encuenta cuentaque quelalasencilla sencillaecuación ecuaciónvectorial vectorialque quesesemaneja manejaen endos dosdidimensiones mensiones equivale equivale aados dos ecuaciones ecuaciones escalares, escalares, por por loloque que puede puede resolverse resolverse para parahallar hallardos dosincógnitas incógnitasescalares. escalares.Estas Estasincógnitas incógnitaspueden pueden ser, ser,por porejemplo, ejemplo, elelmódulo módulo de de un un vector vector yy laladirección dirección de deotro. otro.Antes Antes de deintentar intentar resolver resolver un un problema problema deben deben identificarse identificarse sistemáticamente sistemáticamente todos todos los losdatos datos yytodas todas las lasinincógnitas. cógnitas.


---

vo =3m / s vo=3m/s

La rueda rueda de de radio radio rr == 300 300 mm mm gira gira sin sin La deslizamiento hacia hacia la la derecha derecha teniendo teniendo deslizamiento centro O a una una velocidad velocidad va Vo == 33 mis. mis. su centro la velocidad velocidad del del punto punto A de de la la Calcular la instante representado. representado. rueda en el instante

----+-

I

r=300rnm

Solución Como conocemos su movimiento, Solución I (geométrico-escalar). (geométrico-escalar). movimiento, tomamos tomamos el centro O punto de referencia referencia de la ecuación a como punto ecuación de la velocidad velocidad relativa. relativa. Por escribimos tanto, escribimos

e

donde la velocidad velocidad relativa relativa se observa observa desde desde los ejes en en traslación traslación x-y x-y fijos en en a. O. donde La velocidad velocidad angular angular de de Aa AO es la misma misma que que la de de la rueda rueda y ésta, según según el proproblema tipo tipo 5.4, es to (j) = = vctr volr == 310,3 310,3 = = 10 rad radl' s. Entonces, Entonces, según según la ecuación ecuación 5.5, blema tenemos tenemos V AlO = = VAlO

0,2(1,0) == 22 mi miss 0,2(1,0)

G) CD Hay Hay que que asegurarse asegurarse de de imaginar imaginar G) CDque que es es normal normal aa Aa AO tal tal como como se se indica. indica. En En el el diagrama diagrama se se representa representa el el vector vector bien vllIO como la velocidad que AA bien v/\'o como la velocidad que suma vVA cuyo módulo módulo puede puede calcularse calcularse por por el el teorema teorema del del coseno. coseno. a O sea, sea, suma A cuyo aparenta aparenta tener tener en en su su movimiento movimiento circular o. circular relativo relativo aa O.

o(3) También También podrían podrían haberse habersedibujado dibujadoaa escala ánescala los los vectores vectores yy medido medido elel ángulo gulo yy lala dirección dirección de de VA VA directadirectamente mentesobre sobreelel diagrama. diagrama.

® o Utilizando Utilizando ee como como punto punto de de referefe-

rencia, rencia, puede puede determinarse determinarse fácilfácilmente la velocidad mente la velocidad de de cualquier cualquier punto punto de de lala rueda. rueda. Recomendamos Recomendamos alal lector lectorque, que, como como práctica, práctica, consconstruya truya los losvectores vectoresvelocidad velocidad de devavarios riospuntos puntosde delalarueda. rueda.

vl vi

2(3)(2) cos cos 60' 60· == 19 19 (mi (mis)2 s)2 == 3322++2222 ++2(3)(2)

V A == VA

4,36 mi miss 4,36

Resp. Resp.

En el el instante instante considerado, considerado, la la velocidad velocidad del del punto punto de de contacto contacto CC es es nula nula yy En puedeutilizarse utilizarsetambién tambiéncomo comopunto puntode dereferencia, referencia,en encuyo cuyocaso casola laecuación ecuaciónde de puede lavelocidad velocidadrelativa relativapasa pasa aaser serVA VA = = VVe +VvA/C, Ale, donde donde la C + -

VAIC

AC

= AC ú) = =vo = ac

0,436 0300(3)

=

4,36ml s

VA VA

r

l e = 4,36 mis == vVA AIC = 4,36 mis

La distanciaAC == 436 436mm mmse secalcula calculapor porseparado. separado.Vemos Vemosque quevVA esnormal normalaa A es

oLa distanciaAC

ACya yaque queAAgira girapor porun uninstante instantealrededor alrededordel delpunto puntoC. C. ® AC

Solución11(vectorial). 11 (vectorial). Aquí Aquíempleamos empleamoslalaecuación ecuación5.6 5.6para paraescribir escribir Solución VA VA

V o AIO + v A I O ==VO+WXf V o + w x rO ==vO+v O


donde donde

@) @

o denhacia dendirigido hacia está dirigido vector ww está @ ElEl vector

- 10k rad l s ww == -10krad/s m 0,1 j m 0,173 i ++ 0,1j 30°) == -- 0,173i sen 30·) ro = 0,2(30° ++ jj sen cos 30· = fO 0,2(- ii cos

tro de lala regla de la regla según la papel, según del papel, tro del mano dila dique la mientras que derecha, mientras mano derecha, del rección fuera del hacia fuera es hacia positiva es rección zz positiva papel menos. signo menos. el signo ahí el de ahí papel yy de

3im Vo == 3i va mis/s vectorial ecuació n vectorial la ecuación Ahora resolve mos la Ahora resolvemos

vvAA == 3i 3 i ++

O O

j kk -10 O -10 O

=

1,O i 1,73 j ++ 1,Oi 3 i ++ 1,73j 3i

O 0,173 0,1 O -- 0,1730,1 = =

Resp. Resp.

mi s 1,73 j mis 4i ++ 1,73j 4i

J4

condirecció n conJ 4,36 mi s yy su dirección J4,36m/s

2 (1,73)2 = Jf§ = Jf9 ElmódulodevAesv El m ódulo de vAAes v A == J42 + (1,73)2 . anterior solució n anterior. la solución cuerda cuerd a con la

PROBLEMA TIPO 5.8 PROBLEMA TIPO

y

I

desC desCB oscila en torno La manivela torno a aC manivela CB haciendo y limitado arco un cribiendo un limitado y haciendo cribiendo O. OA oscile manivela OA oscile en torno a a O. que la manivela posición reCuando la biela pasa por la posición reCuando presentada, está horizont horizontalal yy presentada, en que CB está de CB angular d velocida la OA vertical, velocidad angular de CB vertical, OA rio. Hallar sentido antihora antihorario. Hallar es 2 rad/s en sentido des angulare velocidades angularess de OA OA y AB AB las velocida en ese instante instante. .

"

B+ VvAlB ad relativa vA n de la velocid ecuación velocidad vA = =v vB+ AIB volvolLa ecuació la como sigue, escribirla vemos aa escfibir Solución (vectorial). al). n II (vectori Solució

CD Aquí Aquí empleam empleamos primera de las os la primera G) ecuaciones ecuaciónn 5.6. nes 5.3 yy la ecuació ecuacio

fA rA == 100j 100j mm

75 i mm B= frB = --75i

ffAlB AlB

175i ++ 50j == --175i 50j mm

endo resulta Sustituy Sustituyendo resulta WOA 100j k kxx 100j wOA

75 i ) +w Zk x ((-75i) + wAbk == 2kx Ab k

0j ) 175i+5 xx ((-175i + 50j)

175wA 150j --175w Bjj -50W -50wAAB éi 100wOA i == --150j --lOOwOAi AB

ntes de vos coeficie Igualando los respecti respectivos coeficientes de ii yy jj resulta resulta do los Igualan 100wOAA++50w --lOOwO 50wAB AB

l

== OO 307


22

cuyasraíces raícesson son cuyas Elsino menos de los resultados indiEl sino menos de los resultados indi- 0 mmAB 6/7 rad/s yy AB == - -6/7rad/s mOA d/ss Resp. caque queelelsentido sentidode delos losvectores vectoresWWAB mOA == -3/7ra - 3/7 rad/ ca Resp. lB Wo;\ es eselelkknegativo negativo y,y,por porello, ello, las las yyWO/l Solució n 1111(geomét rico-escalar). En Solución (geométrico-escalar). Eneste estecaso, caso,lalaresoluci resolución escalarutilizan utilizando ón escalar velocidades angulares son de de sentisentido velocida des angular es son lalageomet ría del triángu lo de vectore s resulta especia do horario. geometría del triángulo de vectores resulta especialmente sencilla, ya que que vVA lmente sencilla , ya A do horario. yyva forman un ángulo recto n conside rada del VB forman un ángulo rectoen enlalaposició posición considerada delsistema sistema.. Primero Primero calcalculamo culamos AB, que que es es s vvAa,

[v [v = = rm] rm]

V"e B

== 0,075(2) /s 0,075(2) == 0,150 0,150m mis

yy lala represe ntamos , tal representamos, tal como como se se muestra muestra,, en en su su sentido sentido correcto correcto.. El El vector vector vvAla A/B debe ser perpend icular debe ser perpendicular aa AB AB yy el el ángulo ángulo eeentre entre vvAIA/BB yy va VB es es también también el el ángulo ángulo que tal. Este que forma forma AB AB con con la la horizon horizontal. Este ángulo ángulo está está dado dado por por

VB ==150 150mm 111111/5 VB /s

t e = tgg e =

® Compro Comprobar siempre que que el el orden orden en en ® ® ® bar siempre

100 - 50 10050 250 -75 250-75

22 77

El tal VA ta el El vector vector horizon horizontal vA comple completa el triángul triángulo, para el el que que tenemo tenemoss o, para

que están están los los vectores vectores en en el el triángutriánguque lo concuer concuerda con la la igualdad igualdad entre entre lo da con vectores especifi especificada por la la ecuaecuavectores cada por ción vectoria vectorial,l. ción

vv A IB = A/B = vBI vB/ VA VA

== va vB

tg

cos cos e == 0,150/ 0,150/ cos cos e

e = 0,150(21 7) = 0,30/7 0,150(2/7) 0,30/7m/s m/s

Las ades angular Las velocid velocidades angulares resultan es resultan [m=v/r] [m = vir]

mAB

0,150 cos e 0,150 e e 0,250 0,250-0,075 cos e - 0,075

= VA/B/AB

6/7rad /sH 6/7rad/sH 0,30 0,30

[m=v/r] [m= vlr]

Resp. Resp. 1

7 0100 0100 7 ,,

= 3/7rad/sH 3/7 rad/s H =

Resp. Resp.


La configuración cOI/figuración habitual La habitual de de los los motomotores alternativos alternativos es es lala de res de biela-cigüeñal biela-cigüefial representada. SiSi elel cigüeñal representada. cigiiefial OB OB gira gira aa 1500rpm rpm en ensentido sentidohorario, 1500 horario, para paralala poposición e= 8=60° 60 °hallar hallarlala velocidad sición velocidaddel delpispistón A, A, lala velocidad velocidad del tón del punto pU1lto GG de de lala bielayy lala velocidad velocidadangular biela a1lgularde deésta ésta

B

Solució Lavelocidad velocid addel delpunto puntoBBde delalamuñequilla muñequ illaconsiderado Solución.n. La conside radocomo comopertepertenecient eaaAB ABse sedetermina determi nafácilmente, fácilme nte, por porlo locual cualemplearemos emplea remos BBcomo neciente comopunto punto dereferencia referenc iapara parahallar hallarlalavelocidad velocid adde deA.A.Entonces, Entonce s,lalaecuación de ecuació nde delalavelocidad velocid ad relativapuede relativa puedeescribirse escribir se VA == vB+v vB+v VA A/B AI B

308 308


La velocidad de la muñequilla es VB =

[v=rm]

0,125 150~62n)

19,63 m I s

=

normal a OB. La velocidad v A está dirigida, desde luego, a lo largo del eje del cilindro horizontal. La dirección de v AIB debe ser perpendicular a la recta AB, tal como se expuso en este apartado y se muestra en el diagrama, en el cual el punto de referencia B se representa como fijo. Esta dirección la obtenemos calculando el ángulo f3 mediante el teorema de los senos, lo que nos da 125 sen f3

350 sen 60·

f3

=

arcsen 0,3093

=

18,0·

A

o

Ahora ya podemos completar el esquema del triángulo de velocidades en el que v A/B y v A forman un ángulo de 90° -18,0° = 72,0° Yel tercer ángulo es 180° - 30°72,00 = 78,0°. Los vectores v A y V AIB se representan con sus sentidos correctos de tal modo que vB Yv AIB colocados uno tras otro, origen con extremo, dan v A- Los módulos de los vectores desconocidos se determinan por la trigonometría del triángulo de vectores o simplemente se miden a escala en el dibujo si nos basta la solución gráfica. Aplicando el teorema de los senos y despejando vAY v AIB resulta 19,63 sen 72,0·

vA

=

20,2 mIs

v A/B _ 19,63 sen 30· - sen 72,0·

v AlB

=

10,32 mI s

vA

®

sen 78,0·

Resp.

La velocidad angular de AB es antihoraria, tal como revela el sentido de v AIB' y su valor es [m=v!r]

mAB

v AlB

=

AB

10,32

= 0,350 = 29,5 rad zs

Resp.

Ahora la velocidad de G podemos determinada escribiendo

donde

vC/B

= GBmAB

GB AB

v AlB

100

= 350(10,32) = 2,95 mI s

\

\ \

Tal como se ve en el diagrama, vC/By v AIB tienen la misma dirección y sentido. La suma de los vectores puede verse en el último diagrama. Podemos calcular Vc por consideraciones geométricas o simplemente medirlo en el diagrama de velocidades dibujado a escala. Por su sencillez, seguimos este último procedimiento y obtenemos

"e

=

\ A

Resp.

19,24m/s

Véase que este diagrama puede superponerse directamente al primer diagrama de velocidades.

(D Recuérdese que al usar v

=

ro: es preciso poner

m en radianes por unidad de

tiempo.

o Para este problema, el procedimiento más rápido es el gráfico, aunque su precisión sea limitada. Por supuesto, puede aplicarse el álgebra vectorial pero en este problema ello supone más trabajo. 309



B

El El husillo husillo gira gira de de tal tal modo que que el el collacollarín rín roscado rascado C C se se desplaza desplaza hacia hacia abajo abajo aa 0,25 0,25 mis. mis. Hallar Hallar la la velocida velocidadd angular angular 0 del del brazo brazo ranurad ranuradoo cuando cuando e == 30 30°. •

G) CD Desde Desde luego, luego, tal tal punto punto no no existe existe físifísi-

e

cament camente, pero podemo podemoss imagina imaginario e, pero rlo en en el el centro centro de de la la ranura ranura y ligado ligado al al brazo.

B A A

A

,B

o

o Identific Identificar y las las ininar siempre los datos y

Solución os la velocid ad de algún punto Solución.. Si Si conocem conocemos velocidad punto del brazo podrem podremos deos determina ad angular terminarr la la velocid velocidad angular de éste. Para ello, ello, tomemo tomemoss un punto punto A A del del brazo brazo CD ente con CD coincid coincidente con el pasado pasadorr B del collarín collarín.. Si Si utilizam utilizamos punto de de referenreferenos B como punto cia os vA B, en un diagram cia y y escribim escribimos VA = = VB va + VvAI Ala, diagramaa que represe represente al brazo y aa los los nte al brazo y puntos puntos A Ay yB B un un instante instante antes y un instante instante despué despuéss de la coincid coincidencia, veremoss encia, veremo que que vvAIB Ala está dirigida dirigida a lo largo de la ranura ranura alejánd alejándose O. ose de O. Como las tas de la ecuació Como las únicas únicas incógni incógnitas ecuaciónn son los módulo móduloss de VA vA y VV Ala, AIB, esta esta ecuació se. Entonce s, dibujam ecuaciónn puede puede resolver resolverse. Entonces, dibujamos conocidoo va y obteneos el vector conocid VB Y obtenemos seguida mente el P de intersec ción de la direccio mos seguidamente el punto punto P intersección direcciones conocidas nes conocid as de de vvAla AIB y VA. vA. La solució soluciónn es

oo

cógnitas antes de iniciar la resoluresolución de una ecuació ecuaciónn vectorial. vectorial.

= vBB cos e e= = 0,25 0,25 cos 30° 30· = = 0,217 0,217 mi s

V A = VA

0,217 0,217

[ro [m=vlrj = v lr ]

~ A

"~-o "" '. /

/

0,450 I cos 30· 30° 0,450

A

0,417 radl rad l s AH = 0,417 AH

0°

P p 1lJ(. /~

iI

o

VB VB

= 0,25 =

~~6''-..,j

~8"'-..,J

mI m Iss

Resp. Resp.

Obsérv ese la la diferencia diferenc ia entre entre este problema, problem a, en en que Obsérvese que existe un un contacto contact o deslizante deslizan te entre los los dos dos elementos elemen tos del del sistema, sistema , y los tres problemas entre problem as tipo tipo precedentes precede ntes en en los los que no no había había contacto contact o deslizante deslizan te alguno alguno y donde, donde, en que en todos todos los casos, los puntos puntos A yy B estaban estaban situados situado s en en el mismo A mismo cuerpo cuerpo rígido. rígido.

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas Problemas introductorios introdu ctorios

5.57 La plataforma platafor ma se 5.57 se mueve mueve aa 1,2 mi miss hacia hacia la la derecha. derecha . DeDetermina r la la velocidad velocid ad de terminar de rotación rotación N N del del disco disco para para que que el el punto punto m ás alto alto AA de de la la periferia más periferi a tenga tenga una una velocidad velocid ad (a) (a) de de 1,2 1,2 mi m I ss hacia la la izquierda, izquierd a, (b) hacia s hacia la derecha. (b) nula nula yy (c) (e) de d e 2,4 2,4 mi mi s hacia la derecha . Resp. Resp. (a) (a) NN == 91,7 91,7 rpm rpm AH AH (b) (b) NN = = 45,8 45,8 rpm rpm AH AH (e) (e) N N == 45,8 45,8 rpm rpm H H 5.58 Cuando Cuando el el punto punto AA del 5.58 del neumático neumát ico de de un un automóvil automó vil se se encuent ra en en la la posición encuentra posició n indicada, indicad a, el el módulo módulo de de su su velocidad velocid ad

_

~===~:::::::¡

310 310


Figura problema probl ema 5.57 5.57 Figura

v c = 1,2m /s

5

O. I-: P

absolutaeses2 2mim s. / s.¿Cuál ¿Cuáleseslalavelocidad velocidadcorrespondiente correspondienteVoVodel del absoluta automóvily ylalavelocidad velocidadangular angulartowdedelalarueda? rueda?(La (Larueda ruedagira gira automóvil

VB

= 3 3mis m is

VIJ =

sinresbalamiento.) resbalamiento.) sin BB

AA

Figura Figuraproblema problema 5.61 5.61 Figuraproblema problema 5.58 5.58 Figura

5.59 Un Un elemento elemento de de control control de de un un mecanismo mecanismo especial especial se se 5.59 mueve en en elel plano plano de de lala figura. figura .Si, Si, en en cierto cierto instante, instante, lala velocivelocimueve dad de de BBrespecto respecto aa AA tiene tiene un un módulo módulo de de 0,926 0,926 mi m /s,s, ¿cuál ¿cuál será será dad el módu lo de la correspondiente velocidad de respecto a D? el módulo de la correspondiente velocidad de respecto a D?

5.62 5.62 En Enelelinstante instanterepresentado, representado,lalabarra barracurva curvatiene tieneuna unavevelocidad locidad angular angularantihoraria antihoraria de de44radj' rad/ssyyelelrodillo rodilloBBtiene tieneuna una velocidad velocidad de de 40 40 mm mmI/ss paralela paralela aa lala superficie superficie de de apoyo apoyo tal tal como se muestra. Hallar el módulo VA de la velocidad como se muestra. Hallar el módulo VA de la velocidad de deA. A.

ee

AA

Resp. velO velO = = 0,579 0,579 mi m/ss Resp.

,,

,

20 mm' ,

\......./i'~

10 \"\"\n"\ ----"1

\e

45°'

01 t


50 mm

-$'-$'

~ /

0

""

-

O

5.63 Si el 5.57 tiene 5.63 Si el punto punto B B del del disco disco del del problema problema 5.57 tiene una una vevelocidad de módulo 1,52 mi s, hallar la correspondiente locidad de módulo 1,52 m/ s, hallar la correspondiente velocivelocidad de de rotación rotación N del disco. disco. ¿Que ¿Que puede puede afirmarse afirmarse acerca acerca del del dad N del sentido de la rotación? rotación? sentido Resp. N N == 34,4 34,4 rpm; rpm; H H oo AH AH Resp.

A A


5.60 Si A Y 5.60 Si VVA YVB vB son son las las velocidades velocidades instantáneas instantáneas de de los los respecrespectivos tivos extremos extremos de de la la barra barra rígida, rígida, demostrar demostrar que que la la velocidad velocidad angular /ILLY angu lar de de la la misma misma está está dado dado por(v por (vAA sen sen e+ e + VBVB sen sen f3) {3) Yque que VA cos e=VB cos f3. VA cos e= Vo cos f3. AA

,,

5.64 En el el instante instante en en que que e == 60°, 60°, la la barra barra acodada acodada en en ánguángu5.64 En lo recto posee una velocidad angular horaria de 3 radl s. ExExlo recto posee una velocidad angular horaria de 3 rad/s. presar vectorialmente, para ese instante, la velocidad de presar vectorialmente, para ese instante, la velocidad de AA respecto aa B. B. respecto

e

~¡.;>s

L

I ¡j)

1)) ) '

°

A

) 3 rad/s y I


L_x

5.61 5.61 En Enelelinstante instante representado, representado, elelextremo extremo BBde delalabarra barra de de 0,5 m tiene una velocidad de 3 m / s en la dirección indicada. 0,5 111 tiene una velocidad de 3 mi s en la dirección indicada. Hall ar lalavelocidad Hallar velocidad mínima mínima posible posible del delextremo extremo AAyylalacorrescorrespondiente locidad angular pondiente ve velocidad angular de delalabarra. barra. Resp. / s, WAB = =5,20 Resp. (VA)min (VA)mín = =1,5 1,5mmis, aJAB 5,20rad/ rad sZsAH AH


5.65 ElEldisco disco rueda rueda sin sinddeslizar conlalavelocidad velocidad angular angular hoho5.65 eslizar con raria WaJ rad Is.s.Para Para elelinstante instante representado, representado, escribir escribir las lasexexraria = =44rad/

311 311


presion es vectoria les de la velocid presiones vectoriales velocidad A respecto aa B B yy de de la la ad de A velocidad P. velocid ad de P. Resp. Resp. v Al A/BB = = 1,2(i 1,2(i + j)ml j)ml s

5.68 ad angular 5.68 Hallar Hallar la la velocid velocidad angular del enlace telescóp telescópico AB ico AB en la posició n represe ntada en que las bielas de arrastre en la posición representada arrastre tienen las velocid ades angular velocidades angulares indican.. es que se indican

vvpp = 4(O,3i+ 4(0,3i+ O,2j) 0,2j) mis mis

+- ~50 /'.

-1

-¡

150

t, _.

~

,

I--'--~~ad/~ '"di, 'L1.45

I I I/

~/

/

~I

.

165 165

Figura problem problemaa

®

B

/

!/

5.65

o

Cotas en milímetr os milímetros

,

~/'~ /

5.66 5.66 En el instante instante represe representado, barra acodad acodadaa en ángulo ángulo ntado, la barra recto tiene una ad angular una velocid velocidad angular antihor antihoraria rad/I ss y y la la aria de 33 rad velocid ad del punto velocidad punto B B es VB == 2i - O,3j 0,3j mi mi s. s. Hallar Hallar la velocid velocidad ad de A A emplea ndo la notació empleando notaciónn vectoria vectorial. Dibujar el polígon polígonoo vecvecl. Dibujar torial corresp ondient e a los término correspondiente términoss que figuran figuran en en la la ecuaecuación ad relativa relativa y estimar ción de la velocid velocidad estimar o medir medir el módulo módulo de de vAvA' ~

O,4m O,4m

A

Figura problem problemaa

5.68

5.69 pedalea a ritmo ritmo uniform 5.69 El El ciclista pedalea uniformee para para manten mantener una er una celerida te de 16 km/h celeridadd constan constante km/h contra contra un viento frontal suave. un viento Calcula módulo s máximo máximo y mínimo Calcularr los módulos mínimo de la velocidad velocid ad absoluta del pedal luta pedal A. Resp. (VA)max (VA )max = = 5,33 m i s, (VA)min 5,33 mis, (VA )min = = 3,56 mis mis

A A

úJ

yy I I

0,5 m m

02rad/ s

L_-x

• B Figura problema problema

5.66

Problemas representativos Problemas representativos 5.67 'En . En el instante instante representado represe ntado la placa placa triangular triangu lar ABD ABD poposee una una velocidad velocid ad angular angular horaria see horaria de 3 rad/ rad I s. Determinar, Determ inar, para ese instante, instante , la velocidad velocid ad angular para angular OJBe (UBe de la barra barra Be. BC Resp. OJBe 'sH (UBe = = 3 rad radls D



5.70 Durante Durant e un un intervalo interval o del del movimiento movimi ento el émbolo 5.70 émbolo del del cilindro hidráulico hidrául ico tiene la velocidad velocid ad VA lindro VA = = 1,2 mi m i s que que se indica. indica. En cierto cierto instante instante es OJ (U = f3 = 60°. Determinar En Determ inar para para ese instante instante velocid ad angular angular OJBe la velocidad (UB e de la barra barra Be. BC

312 312


5.73 Las barras OlA y 02B controlan el movimiento de la . placa triangular ABD. Hallar la velocidad angular mde la placa y el módulo de la velocidad del punto D. El dibujo está hecho a escala y puede servir para medir longitudes y ángulos dentro de la precisión que ofrece. Resp. m == 1,03 rad/ s AH, vD = 315 mm/ s

o

Figura problema

D

5.70

5.71 La rotación de la rueda dentada se controla por el movimiento del extremo A de la cremallera. Si el vástago del pistón tiene una celeridad constante x = 300 mm/ s durante un corto intervalo del movimiento, determinar la velocidad angular OJo de la rueda y la velocidad angular mAB de AB en el instante en que x = 800 mm. Resp. mAB = 0,0968rad/ s AH, OJo = 1,452 rad/ s H

B

B

I O A

I 25

I 50

I 75

I 100

x ---_1 Figura problema

5.73

5.74 En la posición x = 75 mm la barra OA posee una velocidad angular de 2 rad/ s. Hallar la velocidad del cursor B.

5.71

A

En el instante representado, la manivela OB tiene una velocidad angular horaria m = 0,8 rad/ s y se encuentra en posición horizontal. Hallar la correspondiente velocidad del rodillo guía A en su ranura a 20° y la velocidad del punto e equidistante de A y B. 5.72

Figura problema

cica. te

Figura problema

5.72

I 150

Escala, mm Figura problema

\.

I 125

5.74

5.75 La barra Ci) se desliza por la guía articulada unida a la biela OA. Si eB posee una velocidad angular horaria de 2 rad/ s, hallar la velocidad angular mOA de la biela OA cuando e = 60°. Resp. mOA = 4 rad/ s H

313


BB

5.78 tes AA yy B 5.78 Los Los railes railes deslizan deslizantes B están están en en contact contacto sin resbaresbao sin lamient o con lamiento con las las llantas llantas de de la la rueda rueda doble. doble. Para Para las las velocid velocidades ades indicad as de ad angular indicadas de AA yy B, B, hallar hallar la la velocid velocidad angular ro m de de la la rueda rueda yy el el módulo módulo de de la la velocid velocidad del punto punto P. P. ad del

o pp

A A

----1

1-120rnm 1-120 mm ~


5.76 5.76 Se Serepite aquí aquí el el mecani mecanismo del problem problemaa 5.44. 5.44.El volansmo del El volante te gira en en sentido sentido horario aa 600 600rpm la biela de de enlace enlace se se desdesrpm yy la liza liza por el el interior de de la la guía oscilant oscilante C. Para la la posició posición e == e C. n e 45°, hallar la ad angular ro 45°,hallar la velocid velocidad mde aplicando las fórmula fórmulass de AB aplican do las de la ad relativa la velocid velocidad relativa.. (Sugeren (Sugerencia: de referenc referencia cia: Como punto de ia del del cual cual se se conozca conozca el el sentido de su velocid velocidad, un punto punto ad, tómese un D de AB coincid coincidente con C) C) D ente con

200 mm

I I I

I

B

1~400mm ~I

mm rnrn 120 120 B mm rnrn V 8 = 1,8 mis V8=l,Srn/s

t ~


5.79 ntan simplif icadam ente los compon 5.79 Se Se represe representan simplificadamente componentes entes de un cucharó n de draga de quijada un cucharón quijada.. El El cable que lo abre y lo ciecierra pasa por taco-gu ía montado montad o en O. rra pasa por el taco-guía o. Suponi Suponiendo endo que este punto velocid ad angular punto sea sea fijo, fijo, hallar la velocidad angular m quijadass ro de las quijada cuando cerránd ose y pasando pasand o por la posición cuando éstas están cerrándose e == posició n e 45°. La velocidad velocid ad ascende nte del cable es de 0,5 45°. La ascendente 0,5 mi m / s a su paso por el taco. por

problemaa 5.76 Figura problem v

tt

5.77 Para la posició posiciónn indicada indicad a del sistema sistema articulado articula do de de cuatro barras, hallar hallar la velocidad velocid ad que debe tener el el punto punto D D para que la biela AB AB tenga una velocidad angular antihoraria velocid ad angular antihor aria de 40 rad/s. rad / s. Resp. VD = Resp. vD = 9 mis mis

B

Figura problema problem a 5.79 Figura 5.79

100 100 rnm mm

100 100 rnm mm


5.80 Se Se representan represe ntan los los elementos elemen tos de de un un dispositivo 5.80 disposi tivo de de mamaniobra. Si Si la la varilla varilla de de mando mando vertical vertical tiene niobra. tiene una una velocidad velocid ad descenden te vv de de 0,9 0,9 mi m / s cuando cuando ee= = 60° 60° Ysi cendente Y si el el rodillo rodillo AA está está en en contact continu o con con la la superficie, superfic ie, hallar contactoo continuo hallar el el módulo módulo de de la la vevelocidad de de e en en ese ese instante. locidad instante .

314 314


aes

hallar la correspondiente velocidad angular de AOB. Resolver gráfica o geométricamente.

ay

5.83 Se representan los elementos integrantes del mecanismo de despliegue de un brazo magnetométrico de nave espacial. Hallar la velocidad angular del brazo cuando la manivela de arrastre OB cruza el eje y con una velocidad angular úJOB = 0,5 rad/s si en ese instante tg (J= 4/3. Resp. WCA = 0,429k rad / s

5.80

Figura problema

5.81 El movimiento de la placa rectangular P lo controlan las dos bielas que se cruzan sin tocarse. En el instante representado, en que las bielas están perpendiculares entre sí, la placa posee una velocidad angular antihoraria úJp = 2 rad/ s. Hallar las correspondientes velocidades angulares de las dos bielas. Resp. WAO = 1,333k rad/ s, WBO = 1,20k rad/ s

\. 120 .\ mm Figura problema

de de-

OJp = 2

este das

rad/

S)

A •

B=

Y

aso

I I

5.84 En el sistema articulado de tres barras, la barra de mando OA lleva una velocidad angular antihoraria aJo = 10 rad/ s durante un corto intervalo de su movimiento. Cuando la barra CBpasa por la posición vertical representada, las coordenadas del punto A son x = - 60 mm e y = 80 mm. Utilizando álgebra vectorial, determinar la velocidad angular de AB y Be.

P

t

:D

.L

I I

0,2 m

B

,----

O

AO = 0,6 m

BD

=

0,5 m B

5.82 El mecanismo forma parte de un cerrojo en que la rotación de la barra AOB está controlado por la rotación de la pieza ranurada D en torno a e. Si la pieza D tiene una velocidad angular horaria de 1,5 rad/ s cuando la ranura está paralela a OC,

e .i-+---180

mm

Figura problema 80 mm

ma-

en ve-

-----+1

'

5.84

f

B

des-

5.83

-e

_______ 1

\--!n ---j Figura problema

5.82

5.85 Se repite aquí el mecanismo de Cruz de Malta del problema 5.53.Por el método del movimiento relativo hallar la velocidad angular úJ.2 de la cruz C para (J = 20°. El plato A tiene una velocidad angular horaria constante ú>J. = 2 rad/ s. Resp. úJ.2 = 1,923rad/s

315


, /', 200 / Ji ", , -/ ,

mm

,

~-~ ',

,

/"

//

DI DI

200/J2

-:

'>

rnrn

//

B

I

A

200 . ''--rnrn~1 - - - m m -I

100 100 mm rnrn

Figura Figura problem problema 5.85 a 5.85

200 rnrn mm

Figura Figura problem problemaa 5.87 5.87 5.86 El movimi ento de los collarin 5.86 movimiento collarines rascadoss A B está está gogoes roscado A yy B bernado bernado por la rotación de sus respect respectivos husillos.. Si Si A A tiene tiene ivos husillos una velocid ad hacia la derecha de 75 mm velocidad mmlI s y B B tiene tiene una una velovelocidad hacia la izquier izquierda x == 150 150 mm, mm, hallar hallar da de 50 mm lI s cuando x la velocid ad angular velocidad angular ú) Q) de ACO ACD en ese instante instante..

I I I I I I

D

l+- 200rnm ---1111111111

_

11I1II11II; q ===] ; 1111

0_

A


B

~ 5.89 En el instante representado, represe ntado, a = 150 ~ 5.89 150 mm y bb = 125 mm = 125 y la ia a disminu ye a razón y la distanc distancia a + b entre AA y BB disminuye razón de 0,2 0,2 mi mi s. s. Hallar la velocidad velocid ad común Hallar común v de los puntos puntos B y D O en ese instaninstante. Resp. v = = 0,0536 Resp. 0,0536 mi mi s


5.87 5.87

En la figura se ilustra ilustra un mecanismo mecani smo que empuja empuja cajas cajas de pequeño pequeñ o tamaño tamaño desde desde una una línea de montaje a una una cinta cinta transpo rtadora en la posición posició n en que están transportadora están verticales vertical es el el brazo brazo 00 manive la CB. Ésta gira en sentido OD y la manivela sentido horario horario aa la la velocivelocidad constante constan te de una una vuelta cada dos segundo dad segundos. s. Para la la posiposihallar con qué celeridad ción de la figura, hallar empujada celerida d está siendo siendo empuja da caja hacia la cinta transportadora. la caja transpo rtadora . Resp. VE Resp. vE= = 0,514 0,514 mi mi s 5.88 Los extremos extremo s A A y B de ~~ 5.88 d e las barras barras articuladas articula das están están controla dos por por el movimiento movimi ento vertical de los vástagos controlados vástago s de de los los émbolo s de los cilindros cilindro s hidráulicos. émbolos hidráuli cos. Durante Durante un un corto corto intervalo interval o movimi ento, A posee una del movimiento, una velocidad velocid ad ascendente ascende nte de de 33 mi mi ss yy descend ente de 2 mi mi s. Hallar C una descendente en Hallar la velocidad velocid ad de B B en el el insinstante en que yy = = 150 150 mm. mm. Resp. vB Resp. v8 = = 3,97 3,97 mi mi s

316


yy


~ ~

5.90 El El disco rueda rueda sin deslizamiento. deslizamiento. Para el instante instante ree, la barra barra OA tiene presentado, en que O está en la vertical de C, una velocidad v = Q) = = 1,5 1,5 m mii s hacia la derecha y to = 30°. 30°. Hallar la angular Q) (j) de la biela ranura ranura da. velocidad angular Resp. Q) (j) = = 18,22 18,22radl Resp. rad/ s AH


5.5

m

Iso

CENTRO CENTRO INSTANTÁNEO INSTANTÁNEO DE ROTACiÓN ROTACiÓN

En el apartado hemos visto de un un punto punto de de un un cuerpo cuerpo apartado anterior anterior hemos visto que que la velocidad velocidad de rígido velocidad relatirelatirígido en en movimiento movimiento plano plano puede puede determinarse determinarse sumando sumando la velocidad debida a la rotación rotación alrededor alrededor de de un un punto punto de referencia referencia conveniente va debida conveniente a la vevelocidad vamos a ver ver cómo cómo se locidad de ese ese punto punto de referencia. referencia. En este este apartado apartado vamos resuelve único que que en instante resuelve ese problema problema utilizando utilizando un un punto punto que que es el único en el instante considerado que a las las velocidades velocidades conconconsiderado tiene tiene velocidad velocidad nula. nula. En este este caso, caso, en en lo que rotación pura pura alredealredecierne, cierne, el cuerpo cuerpo puede puede considerarse considerarse como como si estuviera estuviera en en rotación dor que pasa pasa por por el punto punto dor de un un eje, normal normal al plano plano del del movimiento, movimiento, que mencionado. intersección mencionado. Este Este eje se conoce conoce como como eje instantáneo instantáneo de rotación rotación y su su intersección con el plano rotación. Este Este procediprocediplano del del movimiento movimiento como como centro centro instantáneo instantáneo de rotación. miento analizar físicamente miento proporciona proporciona un un medio medio de de gran gran valor valor para para analizar físicamente y estuestudiar las velocidades velocidades en en los movimientos movimientos planos. planos. diar existencia del del centro centro instantáneo instantáneo de de rotación rotación se demuestra fácilmente. . La existencia demuestra fácilmente Supongamos que que conocemos conocemos las direcciones direcciones de de las las velocidades Supongamos velocidades absolutas absolutas de de dos el cuerpo que esas esas vevedos puntos puntos cualesquiera cualesquiera A y B d del cuerpo rígido rígido de de la figura figura 5.7aa y que locidades del cual cual A esté animalocidades no no son son paralelas. paralelas. Si existe existe un un punto punto alrededor alrededor del esté animado de considerado, dicho dicho punto punto de un un movimiento movimiento circular circular absoluto absoluto en en el insta;;'te instante considerado, debe Un razonamiento razonamiento similar debe encontrarse encontrarse en en la normal normal a v A que que pasa pasa por por A. Un similar válido para para B, B, y la intersecciónC intersecciónC de de ambas ambas perpendiculares perpendiculares cumple es válido cumple las las concondiciones considerado. Ese diciones para para ser ser un un centro centro absoluto absoluto de rotación rotación en el instante instante considerado. punto C es el centro centro instantáneo instantáneo de rotación rotación y puede puede encontrarse encontrarse dentro punto dentro o fuera fuera cuerpo. Si se encuentra encuentra fuera fuera del del cuerpo, cuerpo, puede puede imaginarse estudel cuerpo. imaginarse como como si estuviera dentro dentro del del cuerpo cuerpo prolongado. prolongado. El centro centro instantáneo instantáneo de viera de rotación rotación no no es un un punto fijo respecto respecto al cuerpo cuerpo ni respecto respecto al plano. plano. punto también se conoce conoce el módulo módulo dé de la velocidad velocidad de Si también de uno uno de de los los puntos, puntos, v A por por ejemplo, pueden pueden conocerse conocerse inmediatamente inmediatamente la velocidad velocidad angular angular úJ ú) del ejemplo, del cuerpo cuerpo velocidades lineales lineales de de todos todos los puntos puntos de de éste. éste. Entonces 5.7a), la vey las velocidades Entonces (fig. 5.7a), velocidad angular angular del del cuerpo cuerpo es locidad

e

(a) (a)

11 \J ~

~

e (b (b))

(e)

Figura 5.7 5.7

que, por por supuesto, supuesto, es también también la velocidad velocidad angular angular de que, de todas las las rectas rectas del del cuercuerPor tanto, tanto, la velocidad velocidad de de B es VB VB == rBúJ rBÚ)== (rB (rB /I rrA)VAUna vez situado el cenpo. Por A)VA- Una vez situado cen317


318 318 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE lOS lOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Ruleta Ruleta

\

-,

--...::::,.....

./

"'-

C

\

// //

Base Figura 5.8 5.8

tro instantáneo velocidad instantánea instantánea de todos instantáneo de rotación, la dirección dirección de la velocidad los puntos inmediato puesto puesto que debe ser normal normal a puntos del cuerpo cuerpo se encuentra encuentra de inmediato punto en cuestión cuestión con C. la recta que une el punto C. Si un cuerpo cuerpo en movimiento movimiento plano plano son paSi las velocidades velocidades de dos puntos puntos de un ralelas, como en las figuras 5.7b la recta que pasa pasa por por ambos puntos puntos es S.7b o 5.7c, S.7e,la perpendicular a la dirección de las velocidades velocidades y el centro instantáneo perpendicular instantáneo de rotación e podrá mediante una una proporción proporción directa. En la podrá hallarse, como se indica, mediante figura 5.7b módulos de las velocidades velocidades S.7b se ve fácilmente que a medida medida que los módulos paralelas instantáneo de rotación rotación e se desparalelas tienden tienden a hacerse hacerse iguales, el centro instantáneo plaza donde el cuerpo cuerpo plaza alejándose del cuerpo, tendiendo tendiendo al infinito en el límite donde pierde traslada. pierde su velocidad velocidad angular angular y sólo se traslada. cuerpo cambia de posición, también también el centro instantáneo instantáneo e A la vez que el cuerpo cambia de posición, tanto respecto al espacio como respecto respecto al cuerpo. El lugar lugar instantáneos de rotación geométrico de los centros instantáneos rotación respecto respecto al espacio es una una curva conocida como base y el lugar centros instantáneos instantáneos de lugar geométrico geométrico de los centros rotación conocida como ruleta. ruleta. En cada cada instante instante rotación respecto al cuerpo es una una curva curva conocida considerado ambas curvas curvas son tangentes tangentes en el punto punto donde considerado donde se encuentra encuentra C. C. Puede durante el movimiento movimiento del Puede demostrarse demostrarse que la ruleta ruleta rueda rueda sobre la base durante cuerpo, tal como se representa 5.8. representa esquemáticamente esquemáticamente en la figura 5.8. Si considerado como punto punto perteneperteneSi bien el centro instantáneo instantáneo de rotación rotación considerado cuerpo se encuentra encuentra en reposo reposo en cada instante, instante, en general general su aceleraciente al cuerpo ción no será nula. Así pues, ese punto puede emplearse emplearse como centro punto no puede instantáneo de aceleración nula, o centro de aceleraciones, de forma más o meinstantáneo nos análoga a como se emplea velocidades. Realmente Realmente existe un emplea para para calcular velocidades. para todos los cuerpos centro de aceleraciones para cuerpos en movimiento movimiento plano plano general, utilización práctica práctica constituye pero su localización y utilización constituye un un tema muy muy particular particular de la cinemática cinemática de mecanismos mecanismos y no lo trataremos trataremos aquí.


Se representa representa otra vez vez la rueda rueda del proproblema tipo 5.7 rodando rodando sin sin deslizamiendeslizamienblema izquierda yy cuyo cuyo centro centro O D to hacia la izquierda una velocidad velocidad Vo va == 3 mIs. mls. LocaliLocalilleva una zar el centro centro instantáneo instantáneo de rotación rotación yy zar utilizarlo para hallar hallar la velocidad velocidad del utilizarlo punto A representada. punto A en la posición posición representada.

vo=3 m/s vo=3m/s

VA

A~m

\ 'c-,O

120o~

\

:0,300 m \

I \IC

Solución. Si la rueda rueda no resbala, el punto Solución. Si punto de su perímetro perímetro en contacto con el por tanto, el centro instantáneo suelo carece de velocidad; éste será, por instantáneo de rotación C. La velocidad velocidad angular angular de la rueda rueda es C. [w = vlr] [aJ=vlr]


=

= 3/0,300 3/0,300 = 10 radls radls

to = va/OC va/De = aJ

es entreAA yy CCes distanci aentre La distancia La 0,436mm 120 o == 0,436 cos120 2(0,300)(0,200) cos AC (0,200)2-- 2(0,300)(0,200) J (O,300)2 ++(0,200)2 AC ==J(0,300)2

CDCD

o

pues, será,pues, deAA será, velocid ad de La velocidad La vvAA

rm] [v[v == rw]

Resp. Resp.

m I ss 4,36 m/ 0,436(10) == 4,36 == AC w == 0,436(10) ACm

indica. se indica. como se tal como AC, tal perpend icular aa AC, La es perpendicular de vvAA es direcció n de La dirección 11

negativo. es negativo. 1200 es cos 120 que cos Recuérdese Recuérdese que 0

imaginar y de imaginar capaz de ser capaz debe ser ledor debe el lector o(3) Con problema, el este problema, de este resultados de los resultados Con los los puntos de la rueda. y

todos los puntos de la rueda. de todos trazar velocidades de las velocidades de las esquema de un esquema trazar un

o

P.ROBLEMA 5.12 TIPO 5.12 PROBLEMA TIPO

o

150 D

A ~~ A 200mm B mm D 200mm

45 °, que f)8= en que indicada en posición indicada Para la posición Para = 45°, gira articulado gira sistema articulado la barra barra OB del sistema la Hallar radls. 10 a horario en rad/s. Hallar la sentido horario a en sentido vela veO yy la de D velocidad de A , la velocidad velocidad de A, velocidad insel insen el AB en barra AB de la barra angular de locidad angular locidad representado. tante tante representado.

cb CD

150 J2 mm 150 mm mm

oO

O'

A yy B ades de nes de las velocid Solución.. Tal como como se represe representa, direcciones velocidades de A B nta, las direccio Solución '. La O Y O fijos puntos los a tomo en es son tangentes trayectorias circulares torno puntos fijos O y O'. La circular rias trayecto sus a es son tangent B sitúa a~or~y B ades trazad intersección perpendiculares velocidades trazada~or~y sitúa el el iculares a las velocid ción de las perpend intersec OC Y BC AC, as distanci Las AB. centro instantá instantáneo rotación de la barra barra distancias AC, BC Y DC que que neo de rotación centro aparecenn acotada acotadass en el diagram diagramaa se calculan calculan o se miden miden a escala escala en en el el dibujo. dibujo. aparece ación del prolong la de recta una como rada La velocidad angular Be, considerada como una recta la prolongación del conside BC, de angular ad La velocid ad angular cuerpo, es igual igual a la velocid velocidad angular de de AC, AC, OC DC yy AB AB Y Y es es cuerpo, [m [W == vlr] v/r]

WBe

=

vB BC

OBwOB

BC

0) 150,)2(1 150J2(10) 350,)2 350J2

Resp.

~z -. -"'" I350\\ \\'"" ~~

Prolongación ción Prolonga del cuerpo . 350 mm 350J2 \\ 350J2 mm mm mm 381 mm "" "" 381 mm \

4,29 radls rad / s AH == 4,29

'" '"

v8

/~

lB ades de s, las Entonce Entonces, las velocid velocidades de AA yy O D son son [v [v == reo] reo]

VVAA ==

29) == 1,500 0,350(4,29) 1,500 m m/I ss 0,350(4,

D == vVD

29) == 1,632 0,381(4,29) 1,632 m m/I ss 0,381(4,

IL Resp. Resp.

O'

I

_

_

'"

450'" _ _I _ _ _ O

nes que en en las las direccio direcciones que se se indican indican.. arse la CD Para Parael el instante instante represe representado, debe imagina imaginarse la barra barraAB AB con con su su prolong prolongantado, debe CD C.

ción de de cuerpo cuerpo girando girando como como un un todo todo rígido rígido único único en en torno torno al al punto punto C. ción

319 319


PROBLEMAS Problemas introductorios Problem as introdu ctorios 5.91 animada deuna unavelocid velocidad angular hoho5.91 La Labarra barraAB ABestá estáanimad a de ad angular raria rariade de55rad rad// s.s.Constru Construir determinar vectorvelocid velocidad de ir yydetermi nar elelvector ad de an1bos ambosextremo extremos centroinstantá instantáneo derotación rotaciónse seencuenencuens sisielelcentro neo de tra(a) (a) en enCClyy(b) (b) en enCC2.. tra 1 2 Resp. (a)v =-- 0,5j 0,5j mis, mis, VVB = = 1,Oj 1,0j mis mis Resp. (a)v AA = B (b)v AA (b)v

88rad /s rad/s

~~ ~~

G

~\)~ ~ ~11 C)\)~~

G

~

\1o: \~m~:1J ~

990rnrn o mm

c==;.; ~~ \) _____ ____ ____ ___ _lL ------C)9\)/

0,375j m mis, 1,875j m mis == 0,375j / s, vVBB == 1,875j /s

BB

Figura a 5.93 Figuraproblem problema 5.93

yy \\

\\

~ \\\...~ ~

xx

\- ~

BB


5.92 En 5.92 En cierto instante instante,, el centro instantá instantáneo de rotación rotación de de neo de la la placa rectang rectangular movimiento plano se se halla halla en en C. C. Si, Si, en en ular en movimi ento plano ese mismo instante instante,, la la placa posee una velocid velocidad angular antiantíad angular horaria horaria de 4 rad/ de la la velocid velocidad vGdel cenrad / s, hallar el módulo módulo de ad ve del centro O de de la la placa. placa. tro O

Figura Figura problem problemaa 5.94 5.94 5.95 5.95 5.5. 5.5.

Resolve el problem por el método método del apartado apartad o Resolverr el problemaa 5,81 5,81 por Resp. úJBD OJBO = = Resp.

1,2 rad/ ss AH, 1,2 rad/

OJAO = = úJAO

1,333 rad/ rad/ s AH

5.96 Las Las ruedas ruedas traseras traseras de un un camión camión de reparto reparto tienen un 5.96 un diámetr o de de 660mm 660 mm yy resbalan resbala n en en una una calzada calzada con hielo hielo cuandiámetro do se se les les aplica aplica el el par par motor motor a través través del del diferencial. diferencial. Sabiendo do Sabiend o que la ruleta de cada rueda una circunferencia circunfe rencia de que la ruleta de cada rueda es una de 50 mm mm yy que ambas ambas ruedas ruedas giran giran aa 400 400 rpm, rpm, hallar hallar la la velocidad velocid ad del que del cacamión. Hallar Hallar también también la la velocidad velocid ad u, v r con con que que las las cubiertas cubierta s resmión. resbalan en en la la superficie superfic ie helada. helada. balan

-----

oo

5.97 5.97

El movimiento movimi ento de de la la barra barra está está controlado control ado por por las las traEl trayectoria s vinculadas vincula das de de AA yy B. B. Si Si la la velocidad velocid ad angular angular de yectorias de la la baba-

EE


p •

5.93 En 5.93 En el el instante instante representado, represe ntado, en en que que la la manivela manive la OA OA pasa por por la pasa la posición posició n horizontal, horizon tal, hallar hallar la la velocidad velocid ad del del centro centro GGde de la labiela bielaAB AB por porel elmétodo método del del apartado apartad o5.5. 5.5. Resp. vG = 277 mm/ s Resp. ve = 277 mm/s 5.94 En 5.94 En cierto cierto instante instante elel vértice vértice BBde de lala placa placaen en forma forma de de triángu lorectángulo triángulo rectáng ulotiene tieneuna unavelocidad velocid adde de200 200mm/ mm /ssen enlaladidirecciónque rección quese seseñala. señala.Si Sielelcentro centroinstantáneo instantá neode derotación rotaciónse seenencuentra aa40 cuentra angular es 40mm mm del delpunto punto BByy sisilalavelocidad velocid ad angular es de de sentido sentidohorario, horario ,hallar hallarlalavelocidad velocid addel delpunto puntoD. D.

320 320


B

AA


rra es de 2 radl s (AH) al pasar por la posición e = 45°, hallar la velocidad v A y el módulo de la velocidad de P. Resp. VA = 0,707 mis, Vp = 1,581mis Problemas representativos 5.98 Resolver el problema 5.72 por el método del apartado 5.5.

5.106 El engranaje D (no se representa el dentado) gira en torno a O en sentido horario a 4 radl s. El sector de 90° AOB está montado en O sobre un eje independiente y las pequeñas ruedas dentadas A y B engranan con D. Si en el instante representado el sector gira en sentido antihorario a 3 rad ' s, hallar la correspondiente velocidad angular de las ruedas dentadas pe-

queñas.

5.99 En el problema tipo 5.9, hallar la velocidad del pistón para un ángulo de cigüeñal e = 135°. Resp. v A = 10,26mi s 5.100

Resolver el problema 5.79 por el método del apartado

5.5. 5.101


5.5. Resp. ve 5.102

=

1,873mi s


5.5. 5.103



5.5. Resp. wBe

= 2,77 rad

I s AH

5.107

5.104 Se repite aquí el dibujo a escala del sistema articulado del problema 5.73. Ubicar directamente en el mismo el centro instantáneo de rotación y emplear la escala del dibujo para hallar, con la aproximación posible, la velocidad del punto D en el instante representado. Hallar también la velocidad angular to de la placa. Una vez resuelto el problema, comparar los resultados obtenidos con los dados en el problema 5.73.

Resolver el problema 5.76por el método del apartado 5.5. Resp. WAB = 19,38radl s H

5.108 El cilindro hidráulico produce un movimiento horizontal limitado del punto A. Si v A = 4 mi s cuando e = 45°, hallar el módulo de la velocidad de D y la velocidad angular W de ABD para esa posición.

'1-\l\l

o

D ~\l\l \S'\S'

.. ¡ "

~

#

A

G

'?Sa B

~_._._._f) W

D

~<>l

o

A

~

VA

o O2


/ / /

5.109 En la figura se representa un dispositivo que sirve para ensayar la resistencia al desgaste de dos materiales A y B. Sa-

o, B

O

I 25

I 50

I 75

I 100

I 125

I 150

Escala, mm

E


5.105

Resolver el problema 5.78por el método del apartado 5.5. Resp. w= 15 rad Zs, vp = 1,897mis


321


biendo biendoque quecuando cuando ee= 45°elelvástago vástagoED EOlleva llevauna unavelocid velocidad de = 45° ad de 1,2 1,2mi misshacia hacialaladerecha derecha, hallarlalavelocid velocidad defrotami frotamiento vA, hallar ad de ento vAResp. vVA 2,76 m mii ss Resp. A ==2,76

-

4m /s

75

5.110 5.110 El Elcuerpo cuerpo rectang rectangular está articula articulado enAA aalalamanimaniular BBestá do en vela velaDA OA yyse seapoya apoya en enDDen eneleldisco. disco.Si SiDA OA posee posee una una velocid velocidad ad angular angular antihor antihoraria de22rad teá] l s,s,hallar hallar la lavelocid velocidad delpunto punto EE aria de ad del yy lala velocid velocidad angular del del cuerpo cuerpo BB cuando cuando la la manive manivela OA ad angular la DA pasa por por lalaposició posición vertical indicad indicada. pasa n vertical a.

r

~

1

250

mm

j

BB

O


"<;:-::,..- rt:t--..r

80mm 80 mm

5.114 ir la 5.114 Constru Construir la base base yy la la ruleta ruleta de de la la barra barra AB AB dentro dentro de de los los límites ento vincula do. Demost rar que límites de de su su movimi movimiento vinculado. Demostrar que el el movimovimiento irse haciend miento puede puede describ describirse haciendoo que que la la ruleta ruleta ruede ruede sobre sobre la la base. base.


5.111 5.111 Resolve Resolverr el problem problemaa 5.74 5.74 por por el el método método del del apartad apartadoo 5.5. 5.5. Resp. vB vB = = 269 269 mm mmll ss Resp. 5.112 5.112 La oscilaci oscilación horizontal empujador con resorte ón horizon tal del empuja dor EE con resorte se gobierna gobiern a variando aire dentro dentro del cilindro variand o la presión presión del aire del cilindro neumát ico horizontal neumático horizon tal F. F. Si el empujador empuja dor tiene tiene una una velocidad velocid ad de 2 mi m i s hacia hacia la derecha derecha cuando cuando ee= = 30°, 30°, hallar hallar la la velocidad velocid ad descend ente VD descendente vD del rodillo rodillo D en su su guía guía vertical vertical y y la la velocidad velocid ad angular angular ea aJ de ABD ABD en en esa esa posición. posició n.

11 11 1 1 J1 1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1

•

B __

x


5.115 La La oscilación oscilación vertical vertical del vástago vástago FF con con resorte resorte está 5.115 está gobernada por por el el cambio cambio periódico periódi co de de la presión presión en bernada en el cilindro cilindro A


5.113 La La banda 5.113 banda flexible flexible FFestá está sujeta sujeta en en EEal al sector sectorgiratorio giratori o yy pasa por por la la polea pasa polea de de guía. guía.Hallar Hallar las las velocidades velocid ades angulares angular es de de AD yy BD BD para AD para lala posición posició n representada represe ntada sisi lala banda banda tiene tiene una una velocidad velocid adde de44mi mis.s. Resp. Resp. Ú)AD aJAD== 12,5 12,5radl radls,s, Ú)BD aJB D== 7,5 7,5radl radlss

322


Figuraproblema problem a 5.115 5.115 Figura

hidráulico E. E. Para Para la posición 8 == 60°, 60°, hallar hallar la velovertical hidráulico posición e angular de AD velocidad del rodillo rodillo A en su guía guía cidad angular AD y la velocidad horizontal una velocidad horizontal si el vástago vástago F lleva una velocidad descendente descendente de 2m / s. 2m/s. Resp. Q)AD rad / s H, vA is OJAD = = 13,33 13,33rad/s vA = = 2,31 2,31 m mIs

para determinar rotación del engranaje para determinar la velocidad velocidad de rotación engranaje BB (no se representa el dentado) representa dentado) si (a) la corona D O está inmóvil y (b) si la corona D rota en torno torno a O en sentido sentido antihorario antihorario a 80 rpm. Resp. rpm Resp. (a) Q)B OJB = 360 rpm, (b) % % = 600 600 rpm

~ 5.116 Hallar ~ Hallar la velocidad velocidad angular angular Q) OJ del ariete de la trituratrituradoraAE 8= 60°. La manivela AE en la posición posición en que e= manivela OB gira a 60 dora rpm. Cuando Cuando BB se encuentra encuentra en su posición posición más baja, D y E se horizontal de F y las rectas BD AE están encuentran encuentran en la horizontal BD y AE están verticales. AE == ticales. Las cotas son OB = 100 100 mm, BD BD = 750 750 mm y AE E D = D F == 375 ED DF 375 mm. Dibujar cuidadosamente cuidadosamente la configuración y aplicar el método método del apartado apartado 5.5. 5.5. Resp. Q)= OJ= 1,11 1,11 rad/s rad/s H

D

Figura problema .117 problema 55.117

~ 5.118 El rodamiento rodamiento de gran rueda hacia la iz~ gran tamaño tamaño rueda quierda pista exterior y su centro O lleva una velociquierda sobre su pista dad m / s. A la vez, el eje central y la pista pista interior rotan dad de 0,9 m/ interior rotan en sentido sentido antihorario antihorario a 240 240 rpm. Hallar Hallar la velocidad velocidad angular angular Q) . OJ que lleva cada rodillo. Resp. Q) rad / s H OJ == 10,73 10,73rad/


~ 5.117 El eje O hace girar el brazo brazo OA, en sentido horario, a ~ sentido horario, 90 rotación 90 rpm. Aplicar el método método del centro instantáneo instantáneo de rotación

5.6 5.6


ACELERACIÓN RELATIVA ACELERACIÓN RELATIVA

derivar respecto al Para obtener la expresión de la aceleración relativa podemos podemos derivar VA = + V AIB AIB entre las velocidades de dos puntos puntos A y B en motiempo la relación VA = vB vB+ vimiento plano plano referido referido a ejes no giratorios; con ello, obtenemos VA = AIB, obtenemos VA = vB B + V A/B, osea o sea

(5.7) (5.7) Expresándolo palabras, la ecuación 5.7 punto A Expresándolo en palabras, 5.7 dice que la aceleración del punto es igual a la aceleración del punto punto B más (vectorialmente) (vectorialmente) la aceleración apaun observador rente de A respecto a un observador no giratorio giratorio que se mueva mueva con B. Si los puntos A y B están situados en el mismo plano de movimiento cuerpo rígipuntos están situados plano movimiento del cuerpo do, la distancia permanece constante, por lo que el observador distancia r entre entre ambos permanece observador solidario solidario de B B verá verá a A moviéndose moviéndose circularmente circularmente alrededor alrededor de B, tal como ya 323


324 CINEMÁTICA PLANA PLANA DE DE LOS LOS CINEMÁTICA CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS CUERPOS

apartado 5.4 respecto dijimos en el apartado respecto a la ecuación ecuación de la velocidad velocidad relativa. relativa. Dado Dado movimiento relativo relativo es circular, resulta resulta que el término que el movimiento término de la aceleración aceleración relativa contendrá contendrá a la vez una normal dirigida relativa una componente componente normal dirigida de A a B, B, debida debida dirección de v AIB' al cambio de dirección AIB, y una una componente componente tangencial tangencial perpendicular perpendicular a AB, debida debida al cambio de módulo AB, módulo de v AIB. AIB. De estas componentes componentes de la aceleraecuaciones 5.2, 5.2, ya hablamos ción, citadas en las ecuaciones hablamos en el apartado apartado 2.5 y ya deben deben familiares. Así pues, sernos del todo familiares. pues, podemos podemos escribir escribir (5.8) (5.8)

donde los módulos módulos de las componentes donde componentes de la aceleración aceleración relativa relativa son (aA/B\ A/B2/r (a AlB) n = = v AlB2/r (aA/B\ (a AlB\

== rol ral-

== vA/B o: ti AlB == rra

(5.9) (5.9)

notación vectorial, vectorial, estas componentes En notación componentes se expresan expresan WX(w x r) WX(w

aXr aXr \

+

I ..( -<1

/


Trayectoria Trayectoria de B de


deAA de

(5.9a) (5.9a)

relaciones, w es la velocidad En estas relaciones, velocidad angular angular y ex a es la velocidad velocidad angular angular del mientras que res cuerpo, mientras res el vector vector de posición posición de A respecto respecto a B.Es B. Es importante importante tener en cuenta cuenta que los términos tener términos de la aceleración aceleración relativa relativa dependen dependen de la velocidad angular angular absoluta absoluta y de la aceleración locidad aceleración angular angular absoluta absoluta respectivas. respectivas. 5.9 se ilustra significado de las ecuaciones Yen En la figura 5.9 ilustra el significado ecuaciones 5.8 y 5.9 Y en ella representa un un cuerpo cuerpo rígido se representa rígido en movimiento movimiento plano plano con dos puntos puntos A y B que describen trayectorias trayectorias curvilíneas separadas animados describen curvilíneas separadas animados de aceleraciones aceleraciones absolutas aA Y aaB· Contrariamente al caso de las velocidades, lutas Bo Contrariamente velocidades, las aceleraciones aceleraciones aA Y aBB no son en general general tangentes a tangentes a las trayectorias trayectorias descritas descritas por por A y B cuando cuando tatrayectorias son curvilíneas. les trayectorias curvilíneas. En la figura, figura, la aceleración aceleración de A se representa répresenta compuesta de dos partes: partes: la aceleración compuesta aceleración de B y la aceleración aceleración de A respecto respecto a B. B. esquema que representa representa como fijo Un esquema fijo al punto punto de referencia referencia resulta resulta muy muy útil para poner poner de manifiesto manifiesto el sentido sentido correcto de cada para cada una una de las componentes componentes término de la aceleración aceleración relativa. del término relativa. También podríamos podríamos haber También h aber escrito la ecuación ecuación de la aceleración aceleración en orden orden incolocando los ejes de referencia verso o sea, colocando referencia no giratorios giratorios en A y no en B. B. Entendríamos tonces, tendríamos

Aquí aBIA Y Ysus componentes n y t serán serán opuestas Aquí sus componentes opuestas a aAIB Ysus Y sus componentes componentes n y El lector deberá deberá dibujar dibujar un tt.. El un esquema esquema como el de la figura 5.9 correspondiente correspondiente ordenación inversa inversa de los términos. a esta ordenación términos. solución de la Como en el caso de la ecuación ecuación de la velocidad velocidad relativa, relativa, la solución ecuación 5.8 5.8 puede puede extraerse ecuación extraerse por por tres procedimientos procedimientos diferentes diferentes o sea, empleando la geometría geometría y el álgebra pleando álgebra de escalares, por por álgebra álgebra vectorial vectorial o por por construcción gráfica. Se aconseja al lector que se familiarice trucción familiarice con estas tres técnicas de resolución. resolución. En todos todos los casos conviene conviene trazar trazar un un esquema esquema del polígono polígono de representa gráficamente vectores que representa gráficamente la ecuación ecuación vectorial, vectorial, prestando prestando estrecha estrecha


origen sobre extremo extremo para atención a la colocación de los vectores de origen para que esa concuerde con la ecuación. Así, primero deben sumarse sumarse los veccombinación concuerde primero deben desconocidos sean sean los lados que cietores conocidos, de forma que los vectores desconocidos imaginar los vectores con su sentido sentido geométrico, pues rran el polígono. Es vital imaginar pues sólo así puede puede percibirse percibirse por completo completo la importancia ecuación de las acesólo importancia de la ecuación acertado identifileraciones. Antes de iniciar un proceso de resolución resolución es muy muy acertado identifiincógnitas y tener presente presente que para ecuación vectorial car datos e incógnitas para resolver resolver una una ecuación vectorial dimensiones, las incógnitas incógnitas deben deben reducirse ecuaciones escalares. en dos dimensiones, reducirse a dos ecuaciones Estas cantidades cantidades pueden pueden ser el módulo módulo o la dirección de cualquiera cualquiera de los térEstas Obsérvese que cuando describen trayecminos de la ecuación. Obsérvese cuando los dos puntos puntos describen ecuación 5.8 intervendrán intervendrán seis cantidades cantidades torias curvilíneas, en general en la ecuación escalares. cuenta que las componentes componentes normales Teniendo en cuenta normales de las aceleraciones dependen de las velocidades velocidades respectivas, respectivas, generalmente generalmente será necesario penden necesario resolver resolver la velocidades antes de que pueda ecuación de las velocidades pueda hacerse cálculo alguno. El punpunpara la ecuación de la aceleración relativa to de referencia para relativa se elige de modo modo que algún punto punto del cuerpo cuerpo en cuestión cuestión cuya aceleración se conozca coincida con algún pueda determinarse determinarse fácilmente. Se Se debe poner cuidado para o pueda poner cuidado para no utilizar utilizar como punto de referencia el centro instantáneo instantáneo de rotación, salvo que se conozca su punto tenida en cuenta. Tal como se dijo, para cuerpo ríaceleración y ésta sea tenida para todo cuerpo rÍmovimiento plano plano general, existe un gido en movimiento un centro de aceleraciones del que tratamos aquí puesto puesto que se trata trata de un tema más o menos especializado. especializado. no tratamos

325 5.6 ACELERACIÓN RELATIVA 5.6 ACELERACIÓN RELATIVA

a e

PROBLEMA TIPO TIPO 5.13

y

-úJ úJ

ro A_

rueda de radio r gira hacia la izquierizquierLa rueda sin deslizamiento deslizamiento y, en el instante instante da sin considerado, centro O está está animado animado considerado, su centro una velocidad velocidad Va va Y y una una aceleración aceleración de una aa hacia la izquierda. izquierda. Determinar Determinar la aa aceleración de los puntos aceleración puntos A A y e de la rueda en el instante instante considerado. considerado. rueda

y te

ro .,.

0//8 0//0

~-r--va Va

~ -r- --

I r

e:

Solución. hemos visto ya en el problema 5.4, sabemos sabemos que la veloSolución. Según hemos problema tipo 5.4, aceleración angulares angulares de una una rueda cidad y la aceleración rueda son y

la escribimos en función función de la aceleración aceleración de O, O, que es coLa aceleración de A la escribimos nocida; o sea, n


-JJ oo

Los ntan la ión relativa Lostérmino términoss que que represe representan la acelerac aceleración relativa resultan resultan de de supone suponerr que que OO esté ento circular esté fijo, fijo,yy en en el elcaso caso de de este este movimi movimiento circular relativo relativo sus sus módulo móduloss son son

,

I Inn

I

""'-'---

(aC/o)"" ==rolraJ (acd

---

/' /

(aA/O\¡ (aA/O)" ==

./

--..::::::...--t "'-::::::::"' - - -t e (ac/O)¡ (ac¡o)¡ == ra ra

e

(aA / O)! (aA/O )¡

(ac¡o)¡ =ra = rtx (ac/O)¡

roC~r

rooY- == roCl~Y roo:?

== rOa roa == roC~) roC~)

CD CDyy sus sus direccio direcciones las indicad indicadas. nes las as. Sumand Sumandoo los los vectore vectoress origen origen sobre sobre extremo extremo,, resulta resulta aA aA tal tal como como se se represe represennta. Numéri cament e, la ación puede ta. Numéricamente, la combin combinación puede obtener obtenerse gráfica oo algebra algebraicamente. se gráfica icament e. La ón algebra ica del La expresi expresión algebraica del módulo módulo de de aA aA es es igual igual aa la la raíz raíz cuadrad cuadradaa de de la la suma suma de os de entes; utilizan de los los cuadrad cuadrados de sus sus compon componentes; utilizando las compon componentes en las las direcdirecdo las entes en ciones ciones nn yy t,t, tenemo tenemoss

ao=ra ao =ra

G) CD La la acelerac aceleración angular antihora antihorariaria ión angular

de de OA DA determi determinana la la direcció dirección n positipositi- 0 (3) va va de de (aA/o)¡, (aNdl' La la compon componente normal ente normal (aNO)11 está, está, por por supuest supuesto,o, dirigida dirigida (aNdn hacia el el centro centro de de referenc referenciaia O. D. hacia

)¡

J[a nl2 ++ [ao sen 8+ (aA/o)t J[aoo cos cos 8+ (aA/o) (aA/o)n12 (aA/o)t12l2

J(ra J(ra cos cos 8+ roú/)2 row2)2 + (ra (ra sen 8+ rroa)2 oa)2

o(3) Obsérvese que si la rueda rodase haObsérvese que si la rueda rodase hacia la derecha derecha con con la misma misma velocivelocicia dad, pero pero su acelerac aceleración siguiese dad, ión siguiese siendo ao hacia hacia la izquierd izquierda, a, el el valor valor siendo de aA no no variaría variaría. . de

Resp. Resp.

Si Si se desea, puede puede calcular calcularse direcciónn de aAaAse la direcció La ión del neo de rotación La acelerac aceleración del centro instantá instantáneo rotación C, e, conside considerado punto rado como punto de la rueda, rueda, se obtiene de la expresi expresión ón

rw,

donde el término acelerac ión relativa compon e de (aC/o)" donde el término de de la la aceleración relativa se compone (aC/o)" = = rof, dirigida dirigida de C a O, y de de (ac/O)¡ (ac/o)t = = ra; m, dirigida dirigida hacia hacia la derecha, derecha , habida de e a O, y habida cuenta cuenta de que que la la aceaceleración angular angular de de la la recta recta eo CO en torno torno a O O es antihoraria. leración antihora ria. En el diagrama diagram a infeinferior aparece aparece la suma suma de los términos rior término s y en él se ve que que

®3 Obsérvese Obsérvese

que que la la aceleración aceleración del del centro centro instantáneo instantáneo de de rotación rotación es es inindependiente depend iente de de a y que que está está dirigida dirigida hacia hacia el el centro centro de de la la rueda. rueda. Será Será de de gran gran utilidad utilidad recordar recorda r bien bien esta esta conconclusión. clusión.

aAA == J(aA)~ J(aA)~ + + (a (aA A)¡

®

Resp. Resp.


y

Repetimos aquí aquí sistema sistema articulado Repetimos articulado del del problema tipo tipo 5.8. problema 5.8. Durante Durante un un corto corto inintervalo de de su su movimiento, movimiento, yy para tervalo para lala poposición indicada, indicada, lala manivela sición manivela Cñ CB tiene tiene unavelocidad velocidadangular angularantihoraria una antihoraria consconstante de de 22 rad/s. rad/s. Hallar Hallar lala aceleración tante aceleración angular de de las las barras barras AB angular AB yy OA OA en en esa esa posición . Utilizar Utilizar elelálgebra posición. álgebra vectorial. vectoria l.

326 326


I,

-:r -1-'-"-1-- __

50rnm x t

1-.-

250 rnm

B

\.

I~

wC~1

---J

Solución. Primero Primerohay hayque quecalcular calcularlas lasvelocidades velocidadesque queyayasesedeterminaron determinaronenen Solución. problematipo tipo5.8 5.8yyque queson son elelproblema = -6 / 7rad / s ro(OAB AB = -6/7rad/s

yy

(OOA 3 / 7rad/ rad /s s roO A ==- -3/7

tomandocomo comopositivo positivoelelsentido sentidoantihorario antihorario+k, +k.La Laecuación ecuaciónde delas lasaceleracioaceleraciotomando neseses nes

donde,según segúnlas lasecuaciones ecuaciones5.3 5.3yy5.9a, 5.9a,podemos podemosescribir escribir donde, a OA xx r fA++wOA wOA xX (wOA (wO A xx rA) fA) /XOA A

aA

a oA k aoAk

100j+(- ~ k)X(- ~ k xx 100j) 100j) xx 100j+(-~k)X(-~k

100aOA i - 100(~) 2j mm/s2 mm / s2 == -- 100aOAi-lOO(~fj

aB = /XCB a CB xx rf B++ wCB W CB xX (wCB (W CB xx rB) f B) aB B = O+2k 0+ 2k xx (2k (2k xx [-75i]) [- 75i)) = 300i 300imm / s2 mm/s2 / )" = (a A/B)11 = wAB W AB xX (WAB (WAB xX rA/B) f A / B) (a A B

= -~k - ~k =

x [(- ~ k) x (- 175i + 50j)] x[(-~k)X(-175i+50j)]

= (~)2(175i( ~ )2(175i - 50j) mm/ mm / s2 = (a A / B )¡ = /XABxrA/B aABxf A / B (aA/B)¡

=

a A Bk x aABk

(-175i (-175i + 50j)

= / s2 = -50a -50aAé-175aABj mm/s2 A Bi-175a A B j mm Aplicando ahora estos valores en la ecuación de la aceleración relativa relativa e igualando por separado separado los los coeficientes de los términos términos en i yy j resulta -100a -lOOaOAOA = =

428,6 428,6-- 50a 50aAB AB

--18,37 18,37 == -- 36,73 175AB a AB 36,73--175a cuyas cuyas raíces raíces son son

aaAB = - 0,105 rad/ s2 AB = - 0,105 rad/ s2

yy

aaOA 4.34rad/ rad/ s2 s2 OA == -- 4.34

Resp. Resp.

Como Como elelvector vector unitario unitario kk está está dirigido dirigido hacia hacia fuera fuera del del papel papel en en elelsentido sentido zzpopositivo, sitivo, vemos vemos que que las las aceleraciones aceleraciones de de AB AB yy OA OA tienen tienen ambas ambas sentido sentido horario horario (negativo). (negativo). Para Para dejar dejar más más clara clara lala solución solución del del problema problema recomendamos recomendamos alallector lector que que dibuje dibuje un un esquema esquema de delos losvectores vectores aceleración aceleración en enelelque que aparezcan aparezcan representarepresentados dossegún según lalarelación relación geométrica geométrica señalada señalada por por lalaecuación ecuación de delalaaceleración aceleración rerelativa. lativa.

G) G)Recuérdese Recuérdese conservar conservar elelorden orden de delos losfactores factores en enelelproducto producto vectorial. vectorial.

o

Q) AlAlexpresar ,\ B compruébese B es expresar aaAB compruébese bien bienque que rArAiB eselelvector vector que queva vade de8BaaAAyyno no alalrevés. revés. 327 327



Repetim os aquí Repetimos aquí el el mecanis mecanismo biela-cimo biela-cigüeíial gueñal del del problema problema tipo tipo 5.9. 5.9. El El cigüecigüe¡'ial ñal OB OB gira gira en en sentido sentido horario horario aa 1500 1500 rpm. rpm. Hallar Hallar la la acelerac aceleración del pistón pistón A ión del y la ión angular la acelerac aceleración angular de de la la biela AB AB en en el el instante instante en en que que el ángulo ángulo que que forma forma el el cigüeñal cigueñal es de 60 60°. °.

ee

Solución ión de A podemo Solución.. La La acelerac aceleración podemoss expresa expresada la aceleraacelerarla en función de la ción de la la muñequ muñequilla sea, illa B; oo sea,

El rencia de 125 El punto punto B B describ describee una circunfe circunferencia 125mm celeridadd constan constan-mm de radio a celerida CD Si el cigüeña CDSi cigüeñall 08 08 tuviera tuviera acelerac aceleración te, por ión tendrá ión CD CDte, por lo lo que que su su acelerac aceleración tendrá sólo una compon componente normal dirigida dirigida de de B B ente normal ao. angular angular,, su acelera aceleración as tendría tendría aO. ción aH además además una compon componente tangencia/. ente tangenc ial. [a"" = = ral] rw2] [a

o(3) Para calcular calcular

(aAls)/1 también también podría podría (aNB)11 utilizars utilizarsee la relación relación aa.,l1 = = V-jr, vi r, can can tal que que en el lugar lugar de v se ponga ponga la la velocida velocidadd relativa relativa vAlB' la equivale equivalenNB. la ncia es obvia obvia recorda recordando que vAlB = ndo que AlB = rto. r{J).

Los término s corresp ondient es a la acelerac Los términos correspondientes aceleración relativa los imagina imaginamos ión relativa mos como A describ iera una circunfe rencia de centro en B como si si A describiera circunferencia By fijo, y éste lo suponemos supone mos fijo, tal como se represe nta. Del problem tal como se representa. problemaa tipo 5.9 sabemo sabemoss que, en las condici condiciones ones conside radas, la acelerac ión angular angular de AB consideradas, aceleración AB es {J)AB {J)AB = = 29,5 rad/ rad / s y, entonces, entonce s, [a "

= ral]

(a A/B>n AIB )" = (a

0,350(29 ,5)2 = 305 m/ 0,350(29,5)2 s2 m / s2

en sentido sentido de de A A aa B.De B. De la componente compon ente tangencial tangenc ial (aA/B)t en (aA/B)tCOnOcemos conocem os sólo la la direcdirección, pues pues su su módulo módulo depende depend e de la aceleración acelerac ión angular ción, angular de AB AB yy ésta no no la la coconocemo s. Conocemos Conoce mos también también la dirección direcció n de aA, nocemos. aA, puesto puesto que el pistón pistón está está obligad o aa moverse movers e a lo largo largo del eje horizontal horizon tal del cilindro. obligado cilindro . En la ecuación ecuació n ya ya quedan únicam ente dos incógni tas, que que son los módulos quedan únicamente dos incógnitas, módulo s de aA aA Y (aA/B)t, (a A/B)t, y y es es poposible resolveda. resolver la. Si optamos optamo s por por la la solución solució n algebraica algebra ica apoyandonos apoyán donos en la geometría Si geomet ría del polípolígono de aceleraciones, calcularemos calcular emos primero primero el ángulo gono de aceleraciones, ángulo de AB AB con la horizontal. horizon tal. Según el el teorema teorema de los senos, ese ángulo ángulo es 18,0°. Según 18,0°. Igualando Igualan do por por separado separad o las las compon entes verticales verticales yy horizontales horizon tales de los términos componentes término s que que figuran figuran en en la la ecuación ecuación de las las aceleraciones, aceleraciones, talcomo tal como aparecen aparece n en el polígono de polígon o de las aceleraciones, aceleraciones, resulta resulta = 3084 3084 cos 60° 60· + 305 cos 18,0°18,0· - (a (a AlB), aaAA = A/B)¡ sen sen 18,0° 18,0·

°°= =

aB

=3084 m/s2

3084 sen sen 60°60· - 305 sen sen 18,0°18,0· - (a 3084 /B)! )¡ cos 18,0° (aAA/B 18,0·

Resolvi endo este este sistema sistema de de dos dos ecuaciones ecuacio nes obtenemos Resolviendo obtenem os los módulos módulo s yy

aA

=

994 m/s2

R esp. Resp.

Como el el sentido sentido de de (aA/B)t (aA/B)t lo lo determina determi na también también el Como el diagrama, diagram a, la la aceleración acelerac ión anangular de AB, que represe nta la la rotación rotación relativa relativa aa B, gular de AB, que representa B, se se ve ve en en la la figura figura que que es es

a

CXAB AB

328


= 2710/0,350 2710 / 0,350 == 7740 rad/s = rad / s H H

Resp. Resp.

®

Si optamos por sumar optamos por por el procedimiento procedimiento gráfico, empezaremos empezaremos por sumar los vectores aB Y (aA/B)n conveniente. Seguida(aA/B)1I origen origen sobre extremo, extremo, empleando empleando la escala conveniente. Seguidamente por el extremo último mente obtendremos obtendremos la dirección dirección de (aA/B)¡ (aA/B)t trazándola trazándola por extremo del último solución a la ecuación ecuación se obtiene obtiene mediante P de esta vector. La solución mediante el punto punto de corte P última recta con la horizontal horizontal que pasa pasa por última por el punto punto inicial que representa representa la dirección conocida conocida del vector vector suma suma aAaA- Midiendo Midiendo a escala sobre el diagrama diagrama se obtienen calculados numéricamente: numéricamente: tienen unos unos valores valores que concuerdan concuerdan con los calculados

®

Salvo que que se pida una gran gran preciprecipida una sión, vacilar en seguir sión, no hay que que vacilar seguir un procedimiento gráfico, gráfico, pues pues es rápiprocedimiento do y revelador revelador de la relación relación física entre vectores. los los vectores vectores coentre los vectores. nocidos supuesto, sunocidos pueden, pueden, por por supuesto, marse en cualquier cualquier orden orden mientras mientras marse ecuación fundamental. fundamental. se respete respete la ecuación

Resp. Resp.

y

PROBLEMAS PROBLEMAS I

Problemas introductorios introductorios Problemas

yy

5.119 giran en sentido 5.119 Las dos paletas paletas de 800 800 mm de radio radio giran sentido antihorario, bloque deslizante, tihorario, en torno al eje O montado montado en el bloque deslizante, con la velocidad rad l s. La acelevelocidad angular angular constante constante w == iJ == 2 radl ración del bloque Hallar el módulo módulo de la acelebloque es ao ao == 3 m mii S2. S2.Hallar punta A de la paleta paleta cuando cuando (a) e e == o, (b) ee == 90° 90° Y ración de la punta Y (e) velocidad de O o el (e) e e == 180°. 180°. ¿Intervienen ¿Intervienen en el cálculo la velocidad sentido sentido de w? Resp. (a) 4,39 mi mi S2, Resp. (a) aA aA = = 0,2 mi mi S2 s2,, (b) aA == 4,39 S2, (e) (e) aA aA = = 6,2 m mii S2 S2

A

I I I I

~~:m ~~~:m A

100 mm 100mm

e

~_---x ~ - -- -x

B ~ 100

mm mm

"" ""

problema 55.121 .121 Figura problema

y I I IL__

-X

o Figura problema problema 5.119 5.119

ao == 3 m/s m/s2,2, 5.120 5.120 Para el dispositivo dispositivo del problema problema 5.119, 5.119, si ao cuando e e == o, determinar determinar la aceleraaceleracon == 5 rad lI s 22yy == cuando instante. ción del punto punto A en ese instante.

ee

e °°


é

5.121 El disco rueda rueda sin deslizamiento deslizamiento hacia 5.121 hacia la derecha. derecha. Si mmll S2, S2,hallar velocidad y aceleración aceleración del centro centro mm hallar la velocidad O del disco. va = 30i mi mi s, ao = - 0,6Oi 0,6Oimi S2 Resp. Vo mi s2

5.123 centro O O del disco está montado montado en el bloque bloque desli5.123 El centro zante aceleración ao s2hacia zante que lleva la aceleración ao == 8 mi mi s2 hacia la derecha. derecha. En

aB/A = = 800i 800i aB/A

°°

5.122 Se Se representa representa el sistema sistema articulado articulado de vuelco 5.122 vuelco de un un remateriales de desecho. Si Si el vástago vástago del émbolo émbolo del cipiente de materiales hidráulico parte parte del reposo reposo en la posición cilindro hidráulico posición indicada indicada y animado de una una aceleración aceleración de 0,5 m mii S2 S2en dirección inestá animado en la dirección calcular la aceleración aceleración angular angular inicial del recipiente. dicada, calcular recipiente.

----..

ao


329 329


ee

ee

el el instante instante en en que que e f)== 45°, 45°, es es == 33 rad rad/l ss yy == -- 88 radl rad/ S2. S2.DeDetermina terminarr los los módulo móduloss de de las las acelerac aceleraciones de los puntos A yy B B iones de los puntos A en ese ese instante instante.. en Resp. Resp. aA aA == 9,58 9,58 m m/i S2, s2,aB aB == 9,09 9,09 mi m/ S2 s2

distanc ia rr de distancia de O. O. Para Para unos unos valores valores dados dados dde aa, R R yy r,r, hallar hallar el el e ao, ángulo y la ad VD. ángulo e f)y la velocid velocidad va. de de la la rueda rueda para los los que que el el punto punto PP carece carece de de acelerac aceleración. ión.

5.124 5.124

En En el el instante represe representado, el punto B B de de la la placa placa tiene tiene ntado, el lilla ión de una acelerac aceleración de 0,3 0,3 m m/i s2 S2y una velocid velocidad de 4 m/ s en las diy una ad de 4 mi s en las direccione s que recciones que se se indican indican.. Por Por su su parte, parte, la la placa placa posee posee una una aceleaceleración ración angular angular antihora antihoraria de 1,5 1,5 radl rad/ S2. s2.¿Qué más informa información ria de ¿Qué más ción hace hace falta falta para determi determinar la acelerac aceleración punto A? A? AtribúAtribúnar la ión del punto yase un valor razonab razonable ese dato dato no conocid conocido calcúlese un le aa ese o yy calcúles e un valor para aak A-

ao aa

---+-

--

---+-

--

va Va

Figura Figura problem problemaa 5.126 5.126 A

Problem as represe Problemas representativos ntativos 5.127 Hallar la acelerac ión del pistón 5.127 Hallar aceleración pistón del problem problemaa tipo 5.15 para para (a) (a) f)= 0°, 0°, (b) f)= 90° yY (e) e= 180°. 180°. Tómese hacia la derecha

e=

e=

e=

el sentido x positivo positivo..

Resp. Resp. (a)a AA == 4186i m/s m/s22 (b)a (b)aAA Figura problem problemaa 5.124 5.124 Figura

= = -1179i -1179i m m/s2 / s2

(e)a (c)aAA = = -1983i -1983i m m/s2 / s2

5.125 5.125 En cierto instante instante,, la esquina e de la placa rectang rectangular esquina C ular tiene una acelerac aceleración m/s2 negativo, mienión de 5 m i S2 en el sentido yy negativ o, mien-

5.128 repite aquí aquí el punzón punzón del problem 5.128 Se repite problemaa 5.55 con el sector oscilan do según según e = e Calcula r la aceleración oscilando e= f)oo sen 2m. Calcular acelerac ión del punpunzón cuando cuando f) = =o Osi si 8e0o = tt] rel 12 rad. rad.

e

tras que la placa tiene una angular horaria de 44 rad/ una velocidad velocid ad angular horaria de rad l ss disminu ye a razón razón de 12 rad/ que disminuye segundo.. Hallar acerad l s cada segundo Hallar la la aceleración de A en ese instante. el métoinstante . Encontrar Encontr ar la solución por por el métogeométr ico-escalar y por do geométrico-escalar por álgebra vectoriaI. vectorial. Resp. Resp. aA aA = = 11,18 m/ m i S2 S2

o

140 .\

{1:/Jr¡~

~

¡ \ / B

300 mm mm

,----------- ----, r----------,

A A

/

yy II II II II

a= a= 12 rad/ rad/ S2 S2

}) } )

I-----x I- - - - -

x

(0= (j)= 4 rad/s rad/s

400mm 400 mm

oo

ac=5m/s2 ac = 5 m /s2



5.126 La La rueda, rueda, de de radio 5.126 radio R, R, rueda rueda sin sin deslizamiento deslizam iento yy su su cencentro O O lleva lleva una una aceleración acelerac ión aa. tro ao. El El punto punto PP de de la la rueda rueda está está aa la la

5.129 Hallar Hallar la la aceleración acelerac ión angular angular de 5.129 de la la barra barra AB AB yy la la aceleaceleración lineal lineal de de AA para para = = 90° 90° si si son ración son = = Oy y = = 44 rad rad /I s2en S2 en el el

ee

ee

o

ee

instante considerado. conside rado. Resolver Resolve r por instante por álgebra álgebra vectoriaI. vectoria l. Resp. G'AB n AB = = -- 4k 4k rad/ rad l S2, S2, aA aA = Resp. = 1,6i 1,6i m/ mi S2 S2

330 330


angular wy acelerac ión angular la aceleración Hallar la nula. Hallar angular nula. acelerac ión angular una aceleración OJ y una de posició n. esa posición. en esa de Be en Resp. = 2Zaf fIl rrH H a=21o: Resp. cx

r--400 mm

ee

L_

B B

Figura 5.133 problema 5.133 Figura problema

5.129 problema 5.129 Figura problema

5 a

hallar 5.129, hallar problem a 5.129, del problema 5.130 articula do del disposi tivo articulado 5.1~O En el dispositivo cuanA de lineal ión acelerac AB la aceleración angular de AB y la aceleración lineal de A cuande acelerac ión angular r Resolve . posición en o = do e = 90°, siendo = 4 rad I s y = o en esa posición. Resolver rad = é do e= 90°, siendo

e

ee

vectorial. por álgebra vectorial. por álgebra

ciclista 5.69. Si el ciclista 5.134 problem a 5.69. del problema biciclet a del la bicicleta aquí la repite aquí Se repite 5.134 Se una bajo I m de parte del reposo y adquiere una velocidad de 2 mi s, bajo una parte del reposo adquier e una velocid ad calcular aceleración constante, en una distancia de 3 m, calcular el móa distanci acelerac ión constan te, en una en encuen tra en dulo cuando éste se encuentra pedal A cuando del pedal acelerac ión del la aceleración de la dulo de su superio r. posició n superior. su posición

procedi miento por el procedimiento 5.130 por 5.131 problem a 5.130 Resolve r el problema 5.131 Resolver

acelerac iones. polígon o de las aceleraciones. geométrico-escalar aplicad o al polígono geométr ico-esca lar aplicado s2 mi 17,30 = A a H, s2 radl Resp. aA = 17,30 mi s2 37,9 radl S2 = 37,9 a AB = Resp. CXAB

or Il-

solidari as. poleas solidarias. merced a las dos poleas 5.132 descien de merced 5.132 La carga L desciende anad anvelocid una velocidad tambor A tiene una En represe ntado, el tambor instante representado, En el instante

radl' ss de 44 rad razón de disminu ye a razón gular antihoraria radl s que disminuye antihora ria de 4 radl anguad velocid una tiene B tambor cada segundo. una velocidad anguo. A la vez, el tambor cada segund secada serad Il ss cada razón de 22 rad lar aumentaa a razón rad lI s que aument horaria de 6 rad lar horaria la Y de DY puntos e yy D iones de los puntos gundo. Calcula Calcularr las acelerac aceleraciones de la 1. carga L.


ión angular 5.135 Para Para la la posició posiciónn indicad indicada, hallar la acelerac aceleración angular a, hallar 5.135 ad de la la placa placa si si la la barra barra de acciona accionamiento AO tiene una una velocid velocidad miento AO de barras. dos las para angular constante WOA = 4 rad/ s y e= para 60° = e es angular constan te OJOA = rad I Resp. aCXAB = 15,40 rad rad l' S2 S2 H AB = Resp.

D D


nes indica5.133 La manive manivela OA oscila entre las dos posicio posiciones indicala OA 5.133

elen el

la Be das con con líneas de trazos yy hace que que la manive manivela Be ejecute ejecute un un das de barra la de dio interme por pequeño movimiento angular intermedio la barra de angular ento pequeñ o movimi hoAB estando tal, horizon la por enlace AB. Cuando OA la horizontal, estando AB hopasa OA Cuando B. A enlace ad angular rizontal yy Be Be vertical vertical,, la la primera primera tiene una velocid velocidad angular rizontal


331 331


5.136 5.136 En Enelelinstante instante conside considerado es ee==45° 45°YYla placa triangu triangu-rado es la placa lar larABe ABC posee posee una una velocid velocidad angular antihor antihoraria de20 20 rad rad/l ssyy ad angular aria de una ión angular una acelerac aceleración angular horaria horaria de de 100 100radl rad/ s2. s2.Hallar los mómóHallar los dulos dulos de de las las corresp correspondientes velocidad aceleración del ondient es velocid ad vv yy acelerac ión aa del vástago vástago del del pistón pistón del del cilindro cilindro hidrául hidráulico unido a C. ico unido a C.

y

(a) (a)


(b) (b)


5.137 5.137 Se Se represe representa el sistema sistema articula articulado del probleproble-,. nta otra vez el do del ma 5.70. En el 5.70.En el instante en que e == f3 == 60°, 60°,el cilindro hidrául hidráulico el cilindro ico comuni ca aa A una velocid comunica velocidad 1,2 m m i/ ss que que aument aumentaa aa razón razón ad vA == 1,2 de 0,9 m m/i ss cada segund segundo. la acelerac aceleración angular de de la la o. Hallar la ión angular barra Be BC en ese ese instante instante.. aBC = = 2,08 2,08 radl rad / S2 S2AH Resp. aBe AH

e

, B /\

~

\'>

250 mm

100 100

100 100

mm

mm

Figura problema problem a 5.139 5.139 Figura E

5.140 Se Se repite repite aquí aquí el mecanismo mecani smo del del problema problem a 5.67. 5.140 5.67. En En el el


5.1 38 Si en en ambos ambos casos 5.138 casos el el disco disco rueda rueda sin sin deslizamiento deslizam iento por por la superficie superfic ie circular, circular , hallar la hallar la la aceleración acelerac ión del del punto punto Ce del del disco disco instantá neamen te en instantáneamente en contacto contact o con con la la superficie superfic ie circular. circular . La La vevelocidad yy aceleración acelerac ión angulares locidad y a, angular es del del disco disco son son to my a, respectivarespecti vamente. mente.

instante considerado, conside rado, la la placa placa triangular triangu lar tiene instante tiene una una velocidad velocid ad angular horaria de 3 radl s y OA tiene una una aceleración acelerac ión angular angular horaria de 3 rad/ s y OA tiene angular nula. Hallar Hallar las las aceleraciones acelerac iones de de AD AD yy BC Be en nula. en ese ese instante. instante .

o

D

500 mm B @¡

5.139 Se Se repite repite aquí 5.139 aquí la la figura figura del del problema problem a 5.77, 5.77, con con la la adiadición de de unos unos ejes ción ejes de de referencia. referenc ia. Si Si AB AB tiene tiene una una velocidad velocid ad anangular antihoraria antihor aria constante gular con stante de de 40 40 rad/ rad lss durante durante un un intervalo interval o

que comprende compre nde el el instante que instante representado, represe ntado, hallar hallar la la aceleración acelerac ión angular de deAO AOyy la angular la aceleración acelerac ión del delpunto punto D. D. Expresar Expresa rlos losresulresultados tados en en notación notació n vectorial. vectoria l. 2 G'AO = Resp. S2, Resp. aD a o == -120(4i -120(4i ++3j) 3j) m/ m/s , IXAO =

°°

332 332


300 mm

A

~ 700 mm-- --l Figuraproblema problem a 5.140 5.140 Figura

brazo del brazo desplie gue del de despliegue 5.141 mecani smo de el mecanismo aquí el repite aquí Se repite 5.141 Se maniLa 5.83. a problem del l magnetométrico de nave espacial del problema 5.83. La maniespacia nave de magneto métrico conshoraria consangular horaria velocid ad angular vela una velocidad lleva una OB lleva arrastre OB de arrastre vela de acelerac ión la aceleración Hallar la vertical. Hallar la vertical. tan te úJOB cruzar la al cruzar rad /l ss al 0,5 rad de 0,5 wOB de tante que la que para la represe ntada, para posición representada, la posición angular en la brazo en d el brazo
tg8=4 /3 . tg8=4/3.


simplifi quijada s simplifide quijadas 5.144 cucharó n de el cucharón vez el otra vez represe nta otra Se representa 5.144 Se permaO guía taco cado del problema 5.79. Suponiendo que el taco guía O permael que endo Suponi 5.79. a cado del problem sea miento acciona nezca fijo y que la velocidad del cable de accionamiento sea de cable del ad velocid la que y fijo nezca angular ión constante e igual a 0,5 m / s en C, hallar la aceleración angular acelerac hallar en mI 0,5 a igual e te constan ceestá cemecani smo está (X Y el mecanismo 45° Y = 45° cuando 88 = derecha cuando quijada derecha la quijada de la o: de

.1 120 .1 l. mm 120 mm

rrándose. rrándos e.

5.141 Figuraproblema Figura problema 5.141

v

5.84. problem a 5.84. del problema articula do del 5.142 sistema articulado aquÍ el sistema rep ite aquí 5.142 Se repite = aJo = te constan aria antihor angular Si OA posee una velocidad angular antihoraria constante aJo ad Si OA posee una velocid para AB barra la de angular ción 10 rad/ s, calcular la aceleración angular de la barra AB para acelera r 10 rad I calcula mm ee = -- 60 A son coorde nadas de la que las de A son xx = 60 mrn las coordenadas en que posició n en la posición Revertical . Rehalla vertical. barra BC se halla la barra yy == 80 80 mm. esa posición, posició n, la Para esa mm. Para del os resultad los resultados del (Aprov echar los solver por vectoria!.l. (Aprovechar álgebra vectoria por álgebra solver son BC y AB de es velocid ades angular problema 5.84 en en que angulares de AB y BC son las velocidades que las problem a 5.84 WBC = 5,83k 5,83k BC = W

radl rad/ s y

= AB = W WAB

t

s.) 2,5k 2,5k rad rad/ l s.) B B

Figuraproblema 5.144 problema 5.144 Figura

E 8 r oE

1

oo 00 00 ,.-
d

e

x

.

5.145 Si Si el el extremo extremo A de la barra barra vincula vinculadada posee posee W1a una velociveloci5.145 dad descend descendente constantete v A de de 2 m I/ s cuando cuando la barra barra pasa pasa ente constan dad

yy

.

I II II

mm _ _ _1 1_180 1_180mm---1 problema 5.142 Figuraproblema 5.142 Figura

A

5.143 Se represe representan órganos de una una sierra sierra de de arco. arco. La La ntan los órganos 5.143 que arco de hoja está está montad montadaa en en un bastido bastidor r en forma forma de arco que se se desdeshoja liza por por la guía guía horizon horizontal. Si el motor motor hace hace que que el el volante volante gire gire tal. Si liza la hallar rio, antihora sentido en constantemente a 60 rpm en sentido antihorario. hallar la aceacerpm constan temente a 60 corresla Y 90° = 8 que en n posició leración de la hoja para la posición en que 8 = 90° Y la corresla para lel"ación de la hoja ión angular pondientete acelerac aceleración angular de de la la biela biela AB. AB. pondien 2 2, O:AB Resp. aA aA = = 4,89 4,89 mI m/sS2, (XAB = = 0,467 0,467 rad rad/sl S2 AH AH Resp.

x Figuraproblema 5.145 problema 5.145 Figura

333 333


por n ee==30°, hallar la la acelerac aceleración del centro centro de de masa masa por lalaposició posición 30°,hallar ión del GGde de la la barra barra que que se seencuen encuentra en el el centro centro de de la la misma. misma. ComComtra en parar parar la lasolució solución obtenidaa gráficam gráficamente conla la obtenid obtenidaa por por áláln obtenid ente con gebra vectoria vectorial. gebra l. Resp. aG ac == 15,40 15,40mi miS2S2 Resp.

5.148 tivo de 5.148 Se Serepite repite aquí aquí el el disposi dispositivo de maniob maniobra del problem problemaa ra del 5.80. 5.80. Si Si la la varilla varilla de de mando mando tiene tiene una una velocid velocidad de 0,9 0,9 mi mi ss yy ad de una eración de una desacel desaceleración de 66 mi mi S2S2 cuando cuando ee==60°, 60°,hallar hallar el el módulo módulo de de la la acelerac aceleración de C. C. ión de

5.146 5.146 El El movimi movimiento de la la barra barra ABC ABC está está goberna gobernado por el el ento de do por desplaz amiento del desplazamiento del vástago vástago del del émbolo émbolo del del cilindro cilindro hidrául hidráulico ico D Dyy por por la la guía guía vertical vertical del del cursor cursor articula articulado en B. B. En En el el instaninstando en te te en en que que e e== 45°, 45°,el el vástago vástago está está retroced retrocediendo la velocid velocidad iendo aa la ad constan te Ve constante Ve == 180 180 mml mml s.s. Hallar Hallar la la velocid velocidad del punto A en en ad del punto A ese instante instante.. ese

vv

y 100

A.

100mm


D

e

~;;;;;;;;;;;;;;;;;;;Q0 · -- --

x


5.147 Se repite repite aquí aquí el mecanismo 5.147 5.113.La mecani smo del problema problem a 5.113. La banbansujeta al sector en E recibe una da flexible F sujeta velocidad constanuna velocid ad constan -

te de 4 mi s, tal como se muestra. muestra . Hallar Hallar la aceleración acelerac ión angular angular BD en el instante de BD instante en que BD BD está perpendicular perpend icular aa OA. OA. Resp. Resp. aBD= aBO = 46,9 rad/ radl S2 S2 H H

~ la figura se representa represe nta una una instalación ~ 5.149 5.149 En En la instalac ión de bombeo bombeo para la extracc ión de petróleo. petróleo . La varilla para la extracción varilla flexible D de la bomba bomba está penetra siempre siempre vertical está sujeta sujeta al al sector sector en E yy penetra vertical por por el canal guía situado AB hace que oscile la viga BCE guía situado bajo D. La biela AB BCE cuando rota rota el el cigüeñal cigüeña l OA OA descompensado. descom pensado . Si éste gira en cuando sentido horario horario dando dando una una vuelta vuelta cada cada tres tres segundos, sentido segund os, hallar hallar la acelerac ión de de la varilla varilla D de la bomba bomba cuando aceleración cuando la viga viga y el cigüeñal se encuentran encuen tran ambos ambos en en posición posició n horizontal güeñalso horizon tal como se muestra en en la figura. muestra Resp. aD ao= Resp. = 0,568 mi m/sS22

1 t

c

r

F

r.

(j

SI

n q fe

4m/s 4m/s

Ir

cc

250 250 mm mm

j

VE

re

dE

o

D

tal



lo: se.

334 334


~ 5.150 5.150 Un mecanismo intermitente intermitente para para arrastre arrastre de cinta ~ DAB accion accionada manivela ada por la manivela perforada consiste en la pieza DAB representa la trayectoria trayectoria de la uña uña D. D. HaOB. La línea de trazos representa llar la aceleración de ésta en el instante instante representado, representado, en que llar OB y CA eA están ambas horizontales, horizontales, si OB OB tiene una velocidad velocidad OB horaria constante de 120 rpm. rpm. de rotación horaria «o== 1997 mm/ mm/ S2 Resp. aD

200 mm

j B

50mm 50 mm Figura problema problema 5.150 5.150 Figura

5.7

o a

al E n

la ci-

se

MOVIMIENTO RElATIVO A EJES EJES EN ROTACiÓN ROTACiÓN MOVIMIENTO RELATIVO

apartado 2.9 2.9 tratamos tratamos del movimiento movimiento de los puntos puntos materiales materiales Cuando en el apartado capítulo las ecuaciones del movimiento movimiento relativo al moviy al aplicar en este capítulo plano de los cuerpos cuerpos rígidos, rígidos, todas las velocidades velocidades relativas relativas y todas todas las miento plano relativas se medían medían respecto a ejes de referencia referencia no giratorios. giratorios. Sin aceleraciones relativas solución a muchos muchos problemas problemas de Cinemátíca Cinemátíca en los que el moviembargo, la solución genera dentro dentro de un sistema sistema que es por sí mismo rotatorio, rotatorio, o bien bien se miento se genera desde uno de éstos, dicha solución solución se facilita notablemente notablemente si se emobserva desde movimienplean ejes de referencia en rotación. Como ejemplo de este tipo de movimientos puede puede citarse la trayectoria por una una partícula partícula de fluido a lo largo tos trayectoria descrita por una bomba bomba centrífuga, centrífuga, en el que la trayectoria trayectoria de uno de los álabes curvos de una impulsor se convierte en un dato de diseño de gran gran imrelativa a los álabes del impulsor portancia. Comenzaremos la descripción descripción del movimiento movimiento con ejes ejes giratorios giratorios consideComenzaremos movimiento plano plano ejecutado por dos puntos puntos A y B en el plano plano fijo fijo XX-y rando el movimiento y (fig. S.IOa) 5.10a).. A efectos de generalidad, generalidad, por el momento momento supondremos supondremos que A y B (fig. mueven independientemente independientemente uno del ·otro. otro. Ahora observaremos observaremos el movise mueven fijo en B, B, miento de A desde un sistema de referencia x-y x-y móvil, con su origen fijo una velocidad angular angular constante w m = que podemos podemos escribirla en que gira con una ea == wk mk == k, siendo el vector normal normal al plano plano del moviforma vectorial como w miento, cuyo sentido sentido positivo es el z positivo (saliendo del plano de la figura) tal comoimpone El vector de posición absoluta absoluta de A es como impone la regla de la mano derecha. El

e e

A

yy rr== rAIB

o (a) (a)

e e

(5.10)

Yjj son vectores unitarios unitarios del sistema sistema x-y representa a rA/B' rA/B' donde i Y x-y y r = xi + yj yj representa posición de A respecto respecto a B. B.El velocidades y aceleraciones vector de posición El cálculo de velocidades derivaciones sucesivas respecto respecto al tiempo tiempo de la expresión expresión del vector requiere derivaciones posición. Contrariamente Contrariamente a lo que ocurría ocurría en el caso de ejes en traslación traslación trade posición. 2.8, aquí los vectores unitarios unitarios ii y j giran giran acompañando acompañando a tado en el apartado apartado 2.8, derivadas temporales temporales no son nulas y deben deben calcularlos ejes x-y, x-y, por lo que sus derivadas se. Estas derivarse derivarse pueden pueden verse en la figura S.IOb, 5.10b, en la que se representa representa la se.

x

(b)

Z II

I I

Y Y",- '"

<, '-

tt

roxx 11. ro ro

,~///x , ~ /// x J

•

...;...---. 1 __ - ~ mX J. i _---mX)

(e)

5.10 Figura 5.10

335


336 336

variación infinitesimal unitarios durante durante el interinfinitesimal de cada uno de los vectores unitarios valo dt en que los ejes de referencia rotan rotan un ángulo ángulo de == w ro dt. La variación variación infinitesimal de ii es di, cuya dirección es la de j y cuyo módulo módulo es igual al ángulo de multiplicado módulo de i, que es uno; así pues, di di = = dej. AnálogamenAnálogamenmultiplicado por por el módulo te, el vector unitario variación infinitesimal infinitesimal dj dirigida dirigida en el sentido unitario j tiene una una variación sentido sustituyendo di; x positivo, por lo que dj == - d8i. Dividiendo Dividiendo por dt y sustituyendo di/ dt por i, dj por = = to, ro, resulta resulta dj;/ dt por j, y de de;/ dt por

CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

e e

ii = roj = wj

y

j

== -

roi wi

Introduciendo el producto producto vectorial, podemos Introduciendo podemos escribir w x ii = = wj YY w x j = = -- w ro i, según se ve en la figura 5.10c. 5.10c. Por tanto, las derivadas derivadas temporales temporales de los vectores unitarios unitarios pueden pueden escribirse ii = w x ii

y

j = w x ii

(5.11 )

(a) expresiones 5.11 vamos ahora ahora a emplearlas emplearlas al (a) Velocidad Velocidad relativa. relativa. Estas expresiones derivar respecto al tiempo tiempo la relación entre los vectores de posición posición de A y BB Y Y derivar obtener así la ecuación velocidad relativa. Derivando Derivando 5.10 resulta resulta ecuación de la velocidad lA fA (fijo en la P (fijo trayectori trayectoriaa y coincidente coincidente conA) conA)

yy \ \ \

x //

// //

y

I I

i

to úJ

:

~

lB f B+

fB lB

:/xi + yj) :/Xi

+ (xi (xi + yO (xi + yj) + (Xi

Ahora bien, xi + yj. (xi + yj) Ahora yj == W w x xi xi + oo w x yj yj == w x (xi yj) == w x r. r. Además, como el observador una velocidad velocidad de componentes componentes xx e y, y, observador situado situado en x-y mide una vemos que Xi rel que es la velocidad velocidad relativa relativa al sistema de referencia xi + yj yj == V rel x-y. Así pues, la ecuación de la velocidad velocidad relativa relativa queda queda

1

f

Trayectoria de A Trayectoria

B I~ rr8B ---------X - - - - - - - X B

Figura 5.11 5.11

VA

= =

VB

(5.12 ) (5.12)

+W w Xx r + V rel rel

I

Comparando expresión 5.12 con la 2.20 para para ejes no giratorios giratorios se ve que Comparando esta expresión v AlB AlB = podemos concluir que el término término w x r reprerepre= WW x r + vrel' de lo que podemos senta la diferencia entre medir medir la velocidad velocidad relativa relativa respecto a ejes no giratorios y respecto a ejes giratorios. Para ilustrar últimos términos términos de 5.12, en ilustrar aún más el significado de los dos últimos punto A como si tuviera la figura 5.11 se representa representa el movimiento movimiento del punto tuviera lugar lugar a lo largo de una una ranura ranura curva practicada en una placa que representa el sistema practicada una representa x-y. La velocidad velocidad vrelde vrel de A medida medida respecto a la placa sería tangente tangente giratorio x-y. trayectoria fija fija en el plano x-y a la trayectoria x-y y su módulo módulo sería s, medido medido s a lo largo de la trayectoria. Esta velocidad velocidad relativa relativa puede puede contemplarse contemplarse también también como la veAIP de A respecto a un fijo a la placa y que coincide con A en locidad v AIP un punto punto P fijo instante considerado. considerado. El término el instante término w x r tiene un un módulo módulo r ey una una dirección normal a r y .representa representa la velocidad normal velocidad del punto punto P respecto a B,tal B, tal como se vería ejes no giratorios desde unos ejes giratorios fijos fijos él. a. B. B. comparaciones siguientes siguientes servirán servirán como ayuda Las comparaciones ayuda para para establecer la equivalencia y aclarar la diferencia entre las ecuaciones de la velocidad velocidad relativa para ejes ejes de referencia giratorios para giratorios y no giratorios giratorios

e


ti e.

g d eí n. p,

ci 01 Vi

ql

V A = VB+ VB+W V w

o

VA= VA=

337 337 5.7 MOVIMIENTO MOVIMIENTO RELATIVO RELATIVO A EJES EJES ROTACiÓN EN ROTACiÓN

V rel r + Vrel

VB+V vB+vp1Bp 1 B +V +vA1P A1P

'---------v---~

v Vp p

VA

o i,

X

(S.12a) (5.12a) +VA1P +V A 1P

'---------v---~

+

VA 1B vA1B

En la segunda término vp/B vp/Bdebe medirse medirse desde una posición posición no gisegunda ecuación, el término desde una pues si no, será nulo. El término término v V A/P es el mismo que vrelYes vrel Y es la veloratoria, pues sistema x-y. En la tercera ecuación Vpes cidad de A medida medida en el sistema tercera ecuación vp es la velocidad velocidad absoluta de P y representa representa el efecto del movimiento movimiento a la vez de traslación traslación y de rotación del sistema sistema de coordenadas. coordenadas. La cuarta cuarta ecuación es igual a la desarrodesarropara ejes no giratorios vp/B + vA/P = W X r + vrel' vrel' llada para giratorios (ec. (ec. 2.20) 2.20) y se ve que v A/B = vp/B

i, 0-

(b) Transformación de derivadas temporales. La ecuación representa la derivadas temporales. ecuación 5.12 5.12 representa transformación de la derivada temporal del vector de posición de A al pasar pasar de transformación derivada temporal posición los resultado podemos podemos generalizarlo los ejes giratorios giratorios a los no giratorios. giratorios. Este resultado generalizarlo sin derivada temporal cantidad vectodificultad y hacerla hacerlo válido válido para para la derivada temporal de toda toda cantidad rial V == Vxi + Vyj. Para ésta, la derivada tiempo tomada tomada en el Vyj. Para derivada total respecto al tiempo sistema X-y X-y es

1)

al

y

ás,

y,

Los dos primeros derivada total de V que Los primeros términos términos representan representan la parte parte de la derivada se referencia x-y, y los dos segundos términos se mide con relación al sistema sistema de referencia segundos términos representan derivada que se debe a la rotación representan la parte parte de la derivada rotación del sistema sistema de referencia. Empleando Empleando las expresiones expresiones 5.11 5.11 de ii y j, podemos ferencia. podemos escribir

cia

(dV) dV) = (dV) +w -= -+w ((dV) dt dt dt xr dt xy

X

V

(5.13)

Xy

a

ma nte

de veen

Aquí w x V representa entre la derivada derivada del vector respecto al representa la diferencia entre tiempo medida fija y la misma derivada derivada medida medida en una una referencia fija medida en una una referencia giratoria. Como veremos dimensiones veremos al presentar presentar el movimiento movimiento en tres dimensiones apartado 7.2, 7.2, la ecuación 5.13 5.13 es válida dimensiones. en el apartado válida también también para para tres dimensiones. 5.12 se ilustra ilustra el significado físico de la ecuación ecuación 5.13. 5.13. En esa fifiEn la figura 5.12 instante t tal como se observa, a la vez, desgura se representa representa el vector V en el instante fijos X-y desde los ejes giratorios giratorios x-y. Como sólo tratamos tratamos de los de los ejes fijos X- y y desde efectos de la rotación, el vector puede origen de coordeefectos puede representarse representarse sobre el origen nadas sin pérdida generalidad. Durante intervalo de tiempo pérdida de generalidad. Durante el intervalo tiempo dt, el vector observador de x-y componentes dV, debida a la variapasa a V' V' Yel Y el observador x-y mide mide las componentes dV, debida módulo, y V df3, debida a la rotación rotación df3 respecto a x-y. O sea, para ción del módulo, df3, debida para el observador en rotación, la derivada observador d~rivada I dt)xy' dt)xy' que él mide, tiene las componentes dV dV I dt derivada temporal dt y V df31dt df3/ dt == V f3. La parte parte de la derivada temporal que el observador en rotación del dt y en forma vectorial w x V. Así rotación no mide mide vale V del vectorial es w pues, físicamente vemos que, según según el diagrama, diagrama, es

(dV

tiva

ecuación 5.13. 5.13. que es la ecuación


yy

y

1I

11

\

1 1 11

I "1 \

1

"\

11 111

I "1 \

"

Vd88 Vd

1

I1 1 11

\1

11Ij

Figura 5.12 5.12

(e) Aceleración Aceleración relativa. de la aceleración puede obterelativa. La expresión expresión de aceleración relativa relativa puede obtenerse nerse derivando derivando la ecuación ecuación de de la velocidad velocidad relativa relativa 5.12; o sea, sea,

338 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE LOS LOS CUERPOS íCll DOS CUERPOS IR RíGlIDOS

En En la deducción deducción de de la ecuación ecuación 5.12 vimos vimos que que .

d( (xí' d

.) ')

r=dt r=dtX1+YJX1 + YJ

(xi + yj) (xí + yj) (xi yj) + (xi yj)

w os x X r + vrel vrel

Por Por tanto, tanto, el tercer tercer término término del del segundo segundo miembro miembro de de la expresión expresión de la aceleaceleración ración queda queda w ta x X ii

= = wco

xX (w V rel) (lO x X r +V rel)

= = WlO xX (w (lO x X

r) + w oo x X

V rel V rel

Con último término Con ayuda ayuda de de las relaciones relaciones 5.11, el último término del del segundo segundo miembro miembro de de la expresión expresión de aA aA queda queda "rel

:t>~i + yj) :t>~i

= yj) + (Xi + yj) yj) = (xi (xi + yj)

w y j) + (Xi + yj) yj) co x (xi (xi + yj)

Trayectoriaa Trayectori deA deA

'\

Sustituyendo por sus sus valores Sustituyendo ii Y "rel por valores en en la expresión expresión d dee aA Y agrupando agrupando térmitérminos nos resulta resulta

\

y \ \

aAA = aBB+wxr+w + w x r + lO Xx(wxr)+2wx (lO X r) + 2lO x v rel arel rel + arel

\

(5.14)

x

Figura Figura 5.13

Esta un Esta ecuación ecuación 5.14 es la expresión expresión vectorial vectorial de de la aceleración aceleración absoluta absoluta de un punto material un sistema punto material A en en función función de su su aceleración aceleración arel medida medida en en un sistema de de coordenado una aceleración ordenado móvil móvil que que gira gira a velocidad velocidad angular angular w t» y tiene tiene una aceleración angular angular w. En En la figura figura 5.13 se representan representan los términos términos w w x r y w«o xX (w (lo x X r) que que corresponden, rresponden, respectivamente, respectivamente, a las las componentes componentes t y n de de la aceleración aceleración ap/B apIB del del punto coincidente P en en su su movimiento movimiento circular circular respecto respecto a B. B. Este Este movimiento movimiento punto coincidente podría observarse desde desde unos no giratorios giratorios que que se muevan muevan con con B. B. El mómópodría observarse unos ejes no dulo (w dulo de de w o» x res res r y su su dirección dirección es tangente tangente al círculo. círculo. El módulo módulo de de w os x (lo su dirección dirección va va de P a B sobre sobre la normal normal al círculo. círculo. La aceleración aceleración xX r) es ro} y su arel puede expresarse utiarel de A respecto respecto a la trayectoria trayectoria puede expresarse en en el sistema sistema giratorio giratorio utilizando polares, o bien bien las componentes lizando coordenadas coordenadas rectangulares rectangulares o polares, componentes normal normal y tangencial. tangencial. Por Por regla regla general, general, estas estas últimas son las las más más utilizadas repreúltimas son utilizadas y se representan sentan en en la figura figura 5.13. El módulo módulo de la componente componente tangencial tangencial es (arel)t (arel)t == s', i;, siendo siendo s la distancia distancia hasta hasta A medida medida a lo largo largo de de la trayectoria, trayectoria, y el módulo módulo de la componente componente normal normal es Vvre l2 // p, donde donde p es el radio radio de de curvatura curvatura de de la trayectrayecre? toria x-y. El sentido toria medido medido en en x-y. sentido de de este este último último vector vector está está dirigido dirigido siempre siempre hahacia el centro centro de de curvatura. curvatura. El término término 2w 2lO x vrel' que que se representa representa en en la figura figura 5.13, se conoce conoce como como aceleración aceleración de de Coriolis Coriolie'1 y representa representa la diferencia diferencia entre entre la aceleración aceleración de de A resrespecto a P medida pecto medida en en el sistema sistema no no giratorio giratorio y la medida medida en en el sistema sistema giratorio. giratorio.

e e

1 E

1

En honor francés G. Coriolis primero en honor del ingeniero ingeniero militar militar francés Coriolis (1792-1843), quien quien fue el primero en llamar llamar la atención atención acerca acerca de este este término término


a r

Su dirección es siempre normal a vrelY su sentido queda fijado por la regla de la mano derecha del producto vectorial. Imaginar qué es la aceleración de Coriolis resulta difícil, pues se trata de un término compuesto de dos efectos físicos separados. Como ayuda, vamos a considerar el movimiento más sencillo en el que aparezca ese término. En la figura 5.14 se presenta un disco que gira, dotado de una ranura radial por la que una partícula A está limitada a deslizarse. Supongamos que el disco gire con una velocidad angular constante úJ= y que la partícula se mueva con una celeridad constante Vrel= X respecto a la ranura. La velocidad de A tiene una componente x debida a su movimiento a lo largo de la ranura y una componente XúJ, debida a la rotación de la ranura. Las variaciones de ambas componentes debidas a la rotación del disco se representan en la parte b de la figura para el intervalo de tiempo dt durante el cual los ejes x-y giran con el disco un ángulo de pasando a ocupar la posición x '-y'. Durante ese intervalo, el incremento de velocidad debido al cambio de dirección de vreles x de, y el debido a la variación del módulo de XúJ es úJ dx, ambos en la dirección y normal a la ranura. Dividiendo ambos incrementos por dt y sumando resulta úJX + x úJ = Zxu: , que es el módulo de la aceleración de Coriolis 2w X vrel. Dividiendo por dt el incremento de velocidad restante xú) de debido al cambio de dirección de XúJ resulta xúJe o xcff, que es la aceleración de un punto P fijo a la ranura y que en el instante considerado coincide con la partícula A. Vemos entonces que la ecuación 5.14 se ajusta a estos resultados. Si tomamos B como origen, es aB= o. Además, si la velocidad angular es constante, resulta que eo X r = O. Si el módulo de Vreles constante y la ranura carece de curvatura, es arel= o. En tales condiciones, nos queda

339 5.7 MOVIMIENTO

e

e-

de

i-

(w ión uti-

mal pre= tf,

= -

xw2i + 2xúJj

que concuerda con el análisis de la figura 5.14. Observemos además que este mismo resultado aparece en el estudio en coordenadas polares del movimiento curvilíneo plano realizado en el apartado 2.14 cuando se hace i = O Y ij = O Y se sustituye r por x y por o: Si la ranura del disco de la figura 5.14 hubiera sido curva, la aceleración relativa al disco tendría una componente normal y arelno sería nula. Las comparaciones siguientes servirán como ayuda para establecer la equivalencia y aclarar la diferencia entre las ecuaciones de la aceleración relativa para ejes giratorios y no giratorios:

e

aB+ , wXr+w

aA aA

=

aB +

x(wxr)

resorio.

aplB

+ 2wx

vrel + arel

+

aA1P

+

aA1P

(5.14a)

ap

aA

omo

V,el

=

aA

aB +

aA1B

La equivalencia entre aplB Y w x r + w X (w X r), que muestra la segunda ecuación, ya se ha descrito. En la tercera ecuación, donde se combinan aB + aplB para dar ap, puede verse que el término de aceleración relativa aAIP, a diferencia del termino de velocidad relativa correspondiente, no es igual a la ace-


X

----x

(a)

y y'

\

\ \

\ d(xw) = w dx + x dio =wdx+O

xoi

xwde\ \ \

--<--

1'\ de \

Figura 5.14

aA

ode

yecha-

_x

de

un

nto

y

(b)

Sustituyendo r por xi, w por úJkYvrelpor X i resulta

mó-

y

vrel

aA = wx(wxr)+2wx 14)

colar codel

RELATIVO A EJES EN ROTACiÓN

=

constante

340 CINEMÁTICA PLANA PLANA DE DE LOS LOS CINEMÁTICA CUERPOS CUERPOS RíCIDOS RíGIDOS

leración medida en en el sistema sistema de de referencia referencia giratorio giratorio x-y. Por Por leración relativa relativa arel medida consiguiente, término de Coriolis consiguiente, el término Coriolis es la diferencia diferencia entre entre la aceleración aceleración aA/p aA/p de de un sistema A respecto respecto a P medida medida en en un sistema no no giratorio giratorio y la aceleración aceleración arel arel de de A resrespecto a PP medida en un pecto medida en un sistema sistema giratorio. giratorio. De De la cuarta cuarta ecuación ecuación resulta resulta que que la aceleración aceleración aA/B aA/B de A respecto respecto a B medida medida en en un un sistema sistema no no giratorio giratorio (ec. 2.21) combinación de de los cuatro cuatro últimos últimos términos términos de la primera ecuación que que es una una combinación primera ecuación se refiere refiere al sistema sistema giratorio. giratorio. significado de la relación relación 5.14 acaso acaso pueda interpretarse de manera algo pueda interpretarse manera algo El significado más punmás sencilla sencilla escribiendo escribiendo la aceleración aceleración de A en en función función de de la aceleración aceleración del del punto coincidente P es ap == aB + W x (lA) x r), coincidente P. Como Como la aceleración aceleración de de P W x r + lA) lA) (lA) r), la expresión podemos volver expresión 5.14 podemos volver a escribirla escribirla (5.14b) (5.14b)

Si la expresión punto PP ya podemos toexpresión de aA aA la escribimos escribimos de este este modo, modo, el punto ya no no podemos marlo porque se trata un punto punto solidario marlo al azar azar porque trata de de un solidario del del sistema sistema de referencia referencia giratorio que que coincide coincide con con A en en el instante instante considerado. considerado. Aquí Aquí también también debe debe giratorio emplearse para aclarar emplearse la figura figura 5.13 para aclarar el significado significado d dee cada cada término término de de la ecuaecuación ción 5.14 y su su equivalente equivalente la 5.14b. 5.14b. En resumen, una En resumen, una vez vez establecido establecido el sistema sistema de de referencia referencia giratorio, giratorio, deben deben identificarse identificarse las las cantidades cantidades siguientes: siguientes: vB origen B vB = velocidad velocidad absoluta absoluta del del origen B de de los ejes giratorios giratorios aB== aceleración del origen giratorios aceleración absoluta absoluta del origen B B de los ejes giratorios r == vector posición del coincidente PP medido vector de posición del punto punto coincidente medido desde desde B B lA) los ejes giratorios lA) = = velocidad velocidad angular angular de de los giratorios w == aceleración aceleración angular angular de de los los ejes giratorios giratorios w vrel giratorios vrel == velocidad velocidad de de A medida medida relativamente relativamente a los ejes giratorios arel arel == aceleración aceleración de de A medida medida relativamente relativamente a los ejes giratorios giratorios Es aconsejable, por vectores aconsejable, además, además, que que recordemos recordemos que que el análisis análisis por vectores que que hehemos llevado llevado a cabo cabo depende depende de de la utilización sistemática de de sistemas sistemas d dee ejes comos utilización sistemática ordenados a derechas. derechas. Señalemos, Señalemos, por que las las ecuaciones ecuaciones 5.12 y 5.14, ordenados por último, último, que que aquí aquí se han han desarrollado desarrollado para movimiento plano, son asimismo válidas que para el movimiento plano, son asimismo válidas para movimiento en en el espacio espacio y que que en en el apartado apartado 7.6 se efectuará efectuará la correscorrespara el movimiento pondiente generalización. pondiente generalización.

TIPO 5.16 5.16 PROBLEMA TIPO En el instante instante considerado, considerado, el disco doranura radial gira en torno a tado de la ranura velocidad angular angular antihoraaniihoraO con una velocidad radls que que decrece a razón razón de 10 ría de 4 rad/s movimiento del cursor cursor A se rad/s22 ..', El movimiento controla independientemente independientemente yy en ese controla instante mm/s instante es r = 150 150 mm, mm, fr = 125 mm/s yy r == 2025 2025 mm/s2. mm/s2. Hallar velocidad yy Hallar la velocidad absolutas de A para la posiaceleración absolutas considerada. ción considerada.


OJ = = QJ

rad.'!ss ..•......... 4 rad --.....

rotaen rotatrayecto ria en una trayectoria relativo a una Solución. movimi ento relativo de movimiento un caso de este un Es este Solución. Es en origen en el origen con ado coorden sistema un ción, por lo que parece indicado utilizar un sistema coordenada con el utilizar o indicad parece que lo por ción, j. y i s unitario s vectore O. emplee mos los vectores unitarios i y j. disco y empleemos x-y al disco Fijemos los ejes x-y O. Fijemos Velocidad. Velocidad. tenemos tenemo s

5.12 yy ecuació n 5.12 vB de la ecuación término vBde Con desapar ece el término en O desaparece origen en Con el origen

CD

w Xx rr+v = w vvA A = + v rel rel

o (3)

vecel vecsiendo kk el rad I s, siendo 4k radl = 4k angular es w = Expresada velocid ad angular vectoria lmente, la velocidad Expresa da vectorialmente, n ecuació la s, Entonce +z. n direcció tor unitario perpendicular al plano x-y en la dirección +Z. Entonces, la ecuación tor unitario perpend icular plano x-yen queda relativa queda de la velocidad velocidaél relativa

mI ss vV AA = 4k x 0,150i + 0,125i = 0,600j + 0,125i mi = 4k

Resp. Resp.

módulo vale indicad a y su módulo y VvA A tiene direcció n indicada tiene la dirección vvAA

m I ss 0,613 mi == J(0,600)2 (0,125)2 == 0,613 J (0,600)2 + (0,125)2

Resp. Resp.

coordede coordeorigen de para el caso en que el origen Aceleración. escrita para ecuació n 5.14, escrita Aceleración. La ecuación nula, es aceleración nula, nadas una aceleración tenga una nadas tenga

I I

término s son cuyos términos

m /2s2 4kx 0,6j == -2,4i == 4kx(4k -2,4i m/s 4kX(4k x 0,150i) == 4kx m /2s2 -1,5j m/s = -1,5j == -10k -10k x 0,150i = 1,Oj m/s2 2 = 2(4k) xX 0,125i == 1,Ojm/s 2w v rel = 2w x vrel S2 m I s2 arel = 2,025i mi arel =

® ®

w X(wXr ) w x(wxr) wXr wXr

ión total es Por tanto, la acelerac aceleración

= (2,025 (2,025 - 2,4)i + (1,0 - 1,5)j aaAA =

= - 0,375i =

0,5j mI mi s2 s2

Resp. Resp.

x

-, -,

direcciónn se indica indica y cuyo módulo módulo es cuya direcció Resp. Resp.

vectoutilizar la notació indible utilizar Para resolve resolverr este problema imprescindible notaciónn vectoproblem a no es impresc Para escalar n notació la do aplican paso cada r rial y el lector debe ser capaz efectuar aplicando notación escalar efectua de rial y el lector ión de Coriolis puede con la la misma misma facilida facilidad. sentido correcto de la acelerac aceleración puede d. El sentido con siempre determi determinarse teniendoo present presentee que es el sentido sentido en que se se moverí moveríaa el el narse teniend siempre or de su origen, tal extremo del del vector vectar vrel vrel si se hiciera girar alreded alrededor tal como como se se extremo muestra,, en el mismo mismo sentido sentido que indica w. w. muestra

2wx 2w x

wx(wxr)" aA

.••

vrel V re l

/

--0 /A\..

wx r

arel

,-, ,, x '"x

()) ro

~ a coriolis ~reV ~re~ ~

acorioLis

CD Esta Estaecuación VA = = vp+ vp + VA/P' donde Pes Pes un punto fijo fijo al al disco disco ecuació n es la misma que VA G) rado. coincidente A en el el instante conside considerado. ente con A coincid

s. o Recuérd Recuérdese x-y-z es a derecha derechas. ese que el sistema de ejes x-y-z o ntan las Esimportante comprender w x (w x r) y w w x r represe representan las comcomnder bien que w importa nte compre Es coincidisco del P punto un de ión ponentes normal y tangencial aceleración P disco coinciacelerac la de ial tangenc y normal s ponente ondient e a la dente con con A. A. Esta Esta descrip descripción correspondiente la ecuació ecuaciónn 5;14b. 5;14b. ción es la corresp dente

® ®

341

~----

--------


- - - - - - - --


y

¡k'--l.

La clavija A de la la varilla basculan basculantete AC AC está limitada limitada a moverse moverse en la ranura ranura giratoria de la varilla OD. La velocida velocidadd angular angular de ésta es (O m == 2 rad/s, rad]s, en sentisentido horario, y se mantien mantienee constant constantee en el intervalo intervalo de tiempo que que interesa. Para la posición posición en que e== 45 45°° con AC AC horizonhorizontal, hallar la la velocida velocidadd de la clavija A yy la velocida velocidadd de ésta relativa relativa a la ranura ranura giratoria giratoria de OD.

¡ II

-1

l,

<,

""-, 450 mrn

450 mm

,,", "~ •. ".

I

6~45 ~ '~6~ I

225mml 225mrn

/s w= 2 rad rad/s

(j)=

1

x

/

/

G) ente, está bastant 0) Físicam Físicamente, bastantee claro claro que que CA CA tendrá tendrá una velocid velocidad angular anad angular tihorari tihorariaa para para las condici condiciones ones especificada cificadas,s, por lo que prevem prevemos que os que para para (OCA mCA resultar resultaráá un valor valor negativo negativo..

® o ElEl procedi procedimiento miento

Solució n. Dado punto (la clavija) A describ Solución. Dado que el punto describee una una trayecto trayectoria, parece ria, parece aconsej able emplea ados giratori aconsejable emplearr unos ejes coorden coordenadas giratorios solidarios del os x-y x-y solidari os del brazo brazo O D. Con punto fijo fijo O, O, el término OD. Con el el origen origen en el punto término vvBB de la ecuació ecuaciónn 5.12 5.12 desapar desaparece ece y nos queda queda vVAA == (JJ m x X r + vrel' V rel. La ad de A A en su movimi La velocid velocidad movimiento circular en torno es ento circular torno a C C es

resolución de resoluci ón de este problem problemaa no está está limitado limitado en lo que se refiere refiere a los ejes utilizad utilizados. os. Así, otra otra posibili posibilidad sería colocar colocar el G)dond dad sería ad angular (JJCA le asignamos asignam os arbitrariamente 0) dondee aa la la velocid velocidad angular mCA arbitrar iamente el sentido sentido horahoraorigen origen de los ejes x-y, que que seguiría seguiríann rio sobre la direcció direcciónn z positiva positiva (+ k). solidari os de DO, solidarios OD, en el punto punto coincicoinciLa ad angular (JJ de los ejes giratorios giratori os es la del brazo La velocid velocidad angular m brazo OD y, y, según según la la dente dente P pertene perteneciente CD. Con ello ciente a Co. regla la mano mano derecha (JJ = (Ok = = 2k rad/ rad/ s. El vector regla de de la derecha,, es m = mk une el ori origen con vector que ue une en con ocurrirí ocurriríaa simplem simplemente m x r seente que (JJ el punto P P de coincid ente con A es r = el punto de OD coincidente + (225)2i = OP OP i = = J(450 (450 _- 225)2 225)2 + (225)2i = = ría sustituid sustituidaa por por su igual vp. Tam225./2i 225J2i mm. mm. O sea, podríam os haber bién podríamos expresado haber expresa do todos todos los vectore vectoress en compon componentes entes (JJ X x r = 2k 2k x 225J2i 225./2i = 450J2j m 450./2j mm/s mm / s Xemplea ndo los vectore x- Y, Y, empleando vectoress unitaunitaPor término velocidad rios I y J. velocid ad relativa relativa vrel,es Por último, último, el término Vrel, es la velocidad velocid ad medida medida por por un un observa dor solidari sistema de referencia referenc ia giratorio observador solidarioo del sistema giratori o y es vrel Vrel = = x X i.i. SustituSustituyéndola en la expresi ón de la velocidad yéndola expresión velocid ad relativa relativa queda queda y y

I I

\ \

-~/-/-:.-;;~o

X

(225J2)mCA(i

I \ I

- j) = 450J2j + xi

Igualan do por por separad coeficientes de los vectores Igualando separadoo los coeficientes vectore s i y j resulta resulta

x

y

la conversión conversión directa La directa entre entre los dos dos sistemas de referencia sistemas referenc ia se obtiene obtiene de geomet ría de la circunferencia la geometría circunfe rencia de radio radio unidad unidad es i == I cos cos ee-- JJ sen sen ee y

jj = = I sen sen

ee+ JJ cos cos ee

-(225./2 )(OCA -(225J2)m CA

= 450J2 450./2

por lo que da por

(OCA m - 4 rad / s CA = -4rad/s

y

xx ==

450./2 mm/ vvrel mm / s rel = - 450J2

Resp. Resp.

Como mCA (OCA es es negativa, negativa, resulta resulta que que la velocidad velocid ad angular Como angular de CA CA es en en realidad realidad anantihorari a y, y, por por tanto, tanto, la velocidad velocid ad de A está tihoraria está dirigida dirigida hacia hacia arriba arriba yy su su módulo módulo es es VA VA

225(4) == 900 mm/ == 225(4) mm / s

342


Resp. Resp.

Con fácilmente. Con La interpretación término s es útil y se hace fácilmente. geomét rica de los términos tación geométrica La interpre 0, = 0, VB siendo 5.12a, nes ecuacio la 5.12a, siendo VB = primera de las ecuaciones tercera y la primera entre la tercera equival encia entre la equivalencia coinOD o giratori brazo podemos escribir v A = Vp + v A/P, donde P es el punto del brazo giratorio OD coinpunto AlP' donde podemo s escribir v A = V p disu dimm / s yy su 450J2 mm/ cidente 225J2(2 ) == 450J2 = 225J2(2) OPm = = OPw vp = Evident emente , vp A. Evidentemente, con A. cidente con se vrel' se que misma que AIP' v rección es normal a La velocidad relativa v A/P, que es la misma que Vrel' relativa ad velocid OD. a rección es normal ión conclus Esta ranura. la de ve ranura. conclusión largo dirigida hacia O a lo largo está dirigida que está figura que la figura en la ve en desranura deslargo de la ranura queda aproxim a a P a lo largo observa que A se aproxima se observa cuando se clara cuando queda clara desranura largo arriba de abajo antes de coincidir y se aleja de P hacia arriba a lo largo de la ranura deshacia ir de abajo antes de coincid centro de circular e pués de la coincidencia. La velocidad de A es tangente al arco circular centro tangent ad velocid encia. coincid la pués de esdos esquedan dos en ahora, ya que sólo quedan resolve rse ahora, puede resolverse vectoria l puede ecuació n vectorial La ecuación C. La en C. 45° de n posició Para AAIP calares desconocidos, que son los módulos de v A/P y v APara la posición de 45° s módulo calares descono cidos, la con la una con cada una mm //s, = 900 mm Y VVAA = de J2 mm /s y s, cada mm/s 450J2 = 450 AIP = v A/P requier e v se requiere figura se la figura de la AC angular ad dirección que se muestra. La velocidad angular de AC es velocid . muestra n direcció [w=vlrl [m=v lr ]

WAC = AC = Al AC = vv Al mAC =

antihor ario sentido antihorario 900/225 rad/ s en sentido 900 1 225 = 4 rad/

5.18 PROBLEMA TIPO 5.18 PROBLEMA TIPO I

y

"--, <, "-

1-.1.<----"---~ 450 mm -"---~ I¡....f---- - 450mm

I

1

8=45°

I

1

225mml 225mml

I

úJ

1

Para problema tipo condiciones del problema Para las condiciones angular de 5.17, hallar la aceleración angular ión acelerac 5.17, hallar AC relativa a la raaceleración de A relativa AC yy la aceleración nura giratorio OD. brazo giratorio nura del brazo

=

2 rad/ s

D / /

xx

OD yyembrazo OD x-y lo fijamos al brazo Solución. emgiratori o x-y coorden adas giratorio sistema de coordenadas El sistema Solución. El es aB es término el O, fijo punto fijo pleamos término aB origen en el punto Situand o el origen 5.14. Situando ecuació n 5.14. la ecuación pleamo s la nulo entonce s, nulo y, entonces, aA

=

W x r+

W

x ( W x r) + 2 w x v rel + arel

s, rad/ s, 2k rad/ = 2k W = tenemo s que w Según de resolución problem a tipo 5.17 tenemos resoluci ón del problema proceso de el proceso Según el escribir s podemo s mm WCA = 4k rad / s y V rel = 450 J2 i mm / y podemos escribir J2 Y vrel = W CA = - 4k rad a aA

A

wCA + WCA Xx(wCA (WCA xr xrCA) CA) xrCA CA xr w CA +wCA

225[_i _j]) WCA 225(_i _D _ 4kX(_ 4k x 225[_i_il) wCAkk x 22\_i_i)_4kX(-4k

J2 J2

J2 J2

343 343


wwxx r r==OOyayaque quewco ==constante constante Wea X(wXr) X(wxr) ==2k 2kxx (2kx (2kx 225Jii) 225J2i) ==-900Jii -900J2i mm mm/s2 Zs-' 2w == -1800Jij 2w xx vvrel 2(2k)xx(-450Jii) (-450J2i) -1800J2j mm mm/s2 Zs? rel== 2(2k) ;{~ Vrel

2WXVrel

CD

arel

=

xi

(O

Sustituyendo Sustituyendo en enlalaecuación ecuaciónde delalavelocidad velocidad relativa relativa resulta resulta

1(225 cOCA ++3600)i cOCA 1800Jij ++xi ~(225mCA 3600)i++1(~(- 225 225m 3600)j == - - 900Jii 900J2i --1800J2j xi CA ++3600)j Igualando Igualando por por separado separado los loscoeficientes coeficientesde de i iyyj j tenemos tenemos

(225 cOCA Ji ++xx (225m CA ++3600)/ 3600)/ Ji J2 == -- 900 900J2 (cOCA / Ji (- 225 225m 3600)/ J2 == -1800Ji -1800J2 CA ++3600)

yy

Despejando Despejando las las dos dos incógnitas incógnitas resulta resulta

cOCA mCA

== 32 32 rad rad// s2 s2

yy

xx == arel arel == 8910 8910 mm mm// s2 s2

Resp. Resp.

Si Si se se desea, desea, la la aceleración aceleración de de A A podría podría también escribirse

aaAA

= Ji)(32)(i -= (225 (225J2)(32)(i

= = 7637i 7637i - 2546j 2546j mm mm// s2 s2

j) + (3600/ (3600/ Ji)(i J2)(i + j)

Para esclarecer aún aún más el problema problema vamos a hacer uso de la representación representación geométrica geométrica de la ecuación de la aceleración relativa relativa.. Este planteo planteo geométrico geométrico puede considerarse considerarse como otro procedimiento procedimiento de resolución. Volvemos a consipuede d erar el punto punto P de OD coincidente coincidente con A. A. Los términos términos escalares escalares equivalentes equivalentes derar son

(aA)t (a A\ (aA)" (a A )1l

IWCA == IWCA IWCA == IWCA

xx

= Iw Iw xx

(w (w xx r)1 r)1 == opaJ2 OPa? dePaO dePaO

(a (ap)" p )" =

(ap)t (ap)!

rcOCA raCA normal normal a CA, CA, sentido sentido desconocido desconocido == rm CA == raCA (wCA xX rcA)1 rcA)1 == rmCA2 rcOCA 2 de deAaC (wCA A aC

rCAI xx rCAI

rcO == OO ya ya que que == I1wW xx rlrl == rto

w == W

constante constante

2w 12w xx vrell v rell == 2wv 2wvrel en la la dirección dirección que que se se indica indica rel en

1

arel == xX según según OD, OD, sentido sentido desconocido desconocido arel partirde deun unpunto puntoRRsumamos sumamoslos losvectores vectoresconocidos conocidosde de cada cadamiembro miembrode dela la AApartir ecuación, dibujándolos dibujándolos uno uno tras tras otro otro origen origencon conextremo, extremo,hasta hastallegar llegar alal punto punto ecuación, deintersección intersecciónSSde delas lasdirecciones direccionesconocidas conocidasde de (aA)t (aA)tyyarelque arel queestablece establecelalasosode lución.El Elcierre cierredel delpolígono polígonodetermina determinaelelsentido sentidode delos losdos dosvectores vectoresdes desconolución. conocidosyysus susmódulos módulosse secalculan calculanfácilmente fácilmentepor porlalageometría geometríade delalafigura. figura. (3) cidos

o

ranurafuese fuesecurva curvacon conradio radiode decurvatura curvaturap,p,eleltérmino términoarel areltendría tendríauna una CDCD SiSilalaranura componentevre?lP vre?/Pnormal normalaa lalaranura ranurayydirigida dirigidahacia haciaelelcentro centrode decurvatura, curvatura, componente componentetangencial tangencialaalalaranura. ranura. ademásdedelalacomponente además

o

Siempreserá seráposible posibleeludir eludirun unsistema sistemadedeecuaciones ecuacionesproyectando proyectandolos losvectovecto(3) Siempre ressobre sobrelalanormal normala aalguna algunadedelas lasincógnitas. incógnitas. res 344

344


PROBLEMAS PROBLEMAS

x

Problemas introductorios introductorios Problemas 5.151 El El automóvil automóvil B B describe la curva con una celeridad 5.151 km/h automóvil A se le acerca en el cruce constante de 54 km / h yYel el automóvil celeridad constante de 72 km km/h. con una celeridad / h. Hallar qué velocidad aparenta llevar el automóvil automóvil A para para un observador observador que viaje en aparenta automóvil B B y gire con éste. Los ejes x-y indicados son soliel automóvil x-y indicados B. ¿Es ¿Es esa velocidad aparente aparente la opuesta opuesta darios del automóvil B. B parece llevar a un observador observador que viaje en el autoa la que B distancia que separa separa ambos vehímóvil A, el cual no gira? La distancia instante considerado. considerado. culos es de 40 m en el instante Resp. vrel == 20i - 9j m m/ i s; No No Resp. vrel

celeridad constante constante x = / s relativa se desliza con una celeridad = 120 mm I relativa ranura durante durante un cierto intervalo intervalo de su movimiento. a la ranura movimiento. Si to == 15 rad rad/l s es la velocidad velocidad angular angular del disco en el instante ro instante en pasa por su centro, hallar hallar la aceleración del cursor que el cursor pasa momento empleando empleando tanto la ecuación 5.14 como la en ese momento 2.14. Resp. 3,6k m m/i S2 Resp. aA == 3,6k yy \

\ \

\\

~ ~

\L \'L 8-----x 8-----x

/j i;-

---IO([]E-B-I-~ -IO([]E-I-A A l~~ '00",

[?J

5.152 El El barco A navega con rumbo rumbo norte a 12 nudos nudos constan5.152 tes, mientras que el B B va a 10 nudos nudos virando virando a babor tes, babor a razón grd/min. Cuando se encuentran encuentran separados separados constante de 10 grd I mino Cuando náuticas en las posiciones relativas una distancia de 2 millas náuticas muestran, con B B momentáneamente momentáneamente proa proa al oeste y A que se muestran, A rumbo por proa, el navegante navegante de B B mide la velocortándole el rumbo aparente de A. Determinar módulo de esa velocidad velocidad y cidad aparente Determinar el módulo horario f3 que forma con la dirección norespecificar el ángulo horario te. te.

t A

Figura problema 5.153 Figura 5.153

~

Figura problema 5.151 5.151 Figura

I

~x~ ~x~

5.154 Para los automóviles automóviles del problema problema 5.151 que se despla5.154 celeridades constantes, hallar hallar la aceleración que apazan con celeridades para un observador observador que se mueva mueva y renta llevar el vehículo A para gire con el B. 5.155 Consideremos Consideremos una vía férrea recta y horizontal 5.155 horizontal y un vamueva sobre ella con una celeridad consgón de 50 Mg que se mueva lma celeridad m/i s. s. Hallar Hallar la fuerza horizontal tante de 15 m horizontal R que los carriles estuviera hipotéticamente ejercen sobre el vagón vagón si la vía estuviera hipotéticamente tendida (a) en el polo norte norte y (b) en el ecuador, ecuador, orientada dida orientada de norte a sur. Resp. (a) R == 109,4 N, (b) R = = O Resp. 5.156 Un vehículo viaja hacia el oeste a gran 5.156 gran velocidad velocidad desplazándose sobre un camino perfectamente perfectamente recto tangente plazándose tangente a la terrestre en el ecuador. En el plano superficie terrestre plano vertical, el camicurvatura. Hallar Hallar la celeridad no carece de toda curvatura. celeridad Vrel vrel que necesi-

N

1

k--- :-;::-~-d:g~~~___....

B

,¡jJ ,r -.

I t I

./

II I y

')

A

.~vrel .~ vrel

.......


5.153 El El disco dotado dotado de la ranura ranura radial gira alrededor alrededor de O 5.153 con una aceleración angular angular ro ciJ== 20 rad rad/l S2 y y el cursor A de 2 kg

Figura problema 5.156 Figura 5.156

345 345


vehículo respecto respecto alal camino camino para para que que su su aceleración aceleración tata elel vehículo verticalsea seanula. nula.Se Sesupondrá supondrá que queelelcentro centrode delalaTierra Tierracarece carece vertical deaceleración. aceleración. de 5.157 Suponiendo Suponiendo que quelalacarretera carretera del delproblema problema 5.156 5.156siguiesiguie5.157 se la curvatura de la superficie terrestre en lugar de ser rectayy se la curvatura de la superficie terrestre en lugar de ser recta sin curvatura, hallar la velocidad hacia el este vrel que debería sin curvatura, hallar la velocidad hacia el este vrel que debería llevar elelvehículo vehículo respecto respecto aalalacarretera carretera para para que que su su aceleraacelerallevar ción vertical fuese nula. Se supondrá que el centro de la Tierra ción vertical fuese nula. Se supondrá que el centro de la Tierra carecede deaceleración. aceleración. carece Resp.vrel vrel ==1674 1674km/h Resp. km/h 5.158 Al Altomar tomar una una curva curva no noperaltada peraltada con conuna una celeridad celeridad uniuni5.158 forme de 25 km/h, el centro e del vagón de ferrocarril describe forme de 25 km/h, el centro e del vagón de ferrocarril describe una trayectoria trayectoria circular circular de de radio radio pp ==60 60m. m. El Eleje ejelongitudinal longitudinal una del vagón permanece tangente a la circunferencia. Hallar la lavevedel vagón permanece tangente a la circunferencia. Hallar locidad absoluta v de una persona P que camina por el vagón locidad absoluta v de una persona P que camina por el vagón conuna una celeridad celeridad constante constante de de 1,5 1,5mi relativa al almismo mismo cuancuancon m/ ssrelativa do se se encuentra encuentra en en los los puntos puntos A, A, B ByY C. C.Emplear Emplear los los ejes ejesx-y x-y inindo dicados solidarios solidarios del del vagón. vagón. dicados yy

-+- ---+1 ~~ ~+~~ II

~+~~~-_ __

¡---lO ID m -+-:-+-- 10 10m 1-+--10 ID -+-1

_-----\B\B _------

ff

5.160 5.160 ElEldisco disco con conuna una ranura ranura circular circular de de200 200mm mmde deradio radio gira gira en entorno torno aaOOcon conuna una velocidad velocidad angular angular constante constante ú>m== 15 15rad rad/ Is.s.Hallar Hallarlalaaceleración aceleracióndel delcursor cursarAAen enelelinstante instanteen enque que pasa pasapor porelelcentro centrodel deldisco, disco,sisien enese esemomento momento iJ ==12 12rad/ radl ssyy ==0. 0.

e

ee

yy

,

xx


5.161 5.161 En En el el punto punto más más bajo bajo de de un un rizo rizo circular circular de de 400 400m m de de raradio el avión B lleva una velocidad constante de 540 km/h. dio el avión B lleva una velocidad constante de 540 km/h. El El avión avión A, A, que que vuela horizontalmente horizontalmente en en el el plano del del rizo, rizo, pasa aa 100 100 m m directamente directamente debajo debajo de de B B aa la la velocidad velocidad constante constante de de 360 360 km/h. km/h. En En ese ese instante instante yy con con los los ejes ejes x-y x-y indicados indicados solidasolidarios hallar la rios de de B, B,hallar la aceleración aceleración que que aparenta aparenta llevar llevar A A para para el el pipiloto de B. Resp. arel arel = = -- 4,69k m/ mi S2 S2

60m 60m Figura Figura problema problema 5.158 5.158


5.159 5.159 El El cursar cursor AA se se mueve mueve en en la la ranura ranura aa la la vez vez que que el el disco disco gira en torno a su centro O con una celeridad angular m positiva gira en torno a su centro O con una celeridad angular ú> positiva en en sentido sentido antihorario. antihorario. Hallar Hallar las las componentes componentes xx ee yy de de la la aceaceleración absoluta de A si, en el instante indicado, m = 5 rad/ leración absoluta de A si, en el instante indicado, ú> = 5 rad/s, s, 2 2. eO ro =-10rad/s = -10rad,x=100mm, / s2,x=100mm, xi =150mm/sy =150mm/sy xi =500mm/s =500mm/s2. Resp. Resp. (aA)x (aA)x == -- 1,0 1,0 mi m/S2, S2, (aA)y (aA)y == 2,0 2,0 mi m/S2 S2 100 100 mm mm

yy


._J~. O·

lA

x

xx Figura Figuraproblema problema 5.159 5.159

5.162 El El camión camión contraincendios contraincendios avanza avanza aa lala celeridad celeridad de de 5.162 60km/h km / hdesacelerándose des acelerándoseaarazón razónde de33mi m /s,s,aalalavez vezque quese seeleele60 vayyextiende extiendelalaescalera. escalera.En Enelelinstante instanterepresentado representadoelelángulo ángulo va e es de 30° y aumenta uniformemente a razón de 10 grd En e es de 30° y aumenta uniformemente a razón de 10 grdl /s.s.En esemismo mismoinstante instantelalaexpansión expansiónbbde delalaescalera escaleraesesde de1,5 1,5m, m, ese con¡j¡j ==0,6 0,6mi m/ssyy i;b' ==- - 0,3 0,3mi m/S2. S2.Para Paraese eseinstante, instante,hallar hallarlala con .aceleracióndel delextremo extremoAAde delalaescalera escalera(a)(a)respecto respectoalalvehículo vehículo .aceleración respectoalalsuelo. suelo. yy(b)(b)respecto

346


Bosque jar lanzada . Bosquejar no de lanzada. despué s de instante después un instante platafo rma un la plataforma de la no de obserla obsercomo tal ma la trayectoria de la pelota sobre la plataforma tal como la platafor la sobre pelota la de ria la trayecto vaB. vaB. en mencio na en se menciona que se 5.165 persona que la persona de la acelerac ión de la aceleración Hallar la 5.165 Hallar Y C. BYC. A, B el posicio nes A, las posiciones de las una de cada una en cada 5.158 en problem a 5.158 el problema S2 m i S2 Resp. - 1,151j mi 0,134Oi -1,151j = -- 0,1340i aA = Resp. aA aB = 0,134Oi-1,151j mi S2 S2 i m j ,151 -1 aB = 0,134Oi S2 ac mi S2 -1 ,151j mi = -1,151j ac = con circular con salida circular la salida 5.166 enfilar la para enfilar vira para B vira automó vil B El automóvil 5.166 El la a viaja que A, vil una celeridad u, mientras que el automóvil A, que viaja a la automó que s mientra v, d una celerida vela veque la rar que Demost ..D misma emostrar recta-. línea recta en línea prosigu e en celerida d, prosigue misma celeridad, vire con viaje yy vire que viaje locidad observa dor que un observador para un aparent a para A aparenta que A locidad que era cualqui a B es nula cuando A pasa por la posición indicada cualquiera indicad n posició la por B es nula cuando A pasa 8. que sea el ángulo e. ángulo que

problema 5.162 Figura Figura problema

procedi miento, otro procedimiento, por otro 5.163 p roblem a 5.162 por resolve r el problema Para resolver 5.163 Para indica. se indica. tal B en origen 1'-8 tomar unas coordenadas r-e con origen en Btal como se adas coorden tomar unas polares adas coorden en es relacion Seguidamente utilizar las relaciones en coordenadas polares utilizar mente Seguida de compon entes rl' yy e8 de B. Las componentes respecto a B. de la aceleración aceleración de A respecto entes compon coincid ir con las componentes la aceleración deben coincidir absolut a deben acelerac ión absoluta problem a el problema hallada s en el ésta halladas según normal a ésta según la escalera yy la normal 5.162. S2 m i S2 = - 3,13err + 1,70geee mi Resp. aA aA =

A~ Figura problema 5.166 Figura problema

~ problem a 5.167 Para consecu encias del problema condici ones y consecuencias las condiciones Para las 5.167 aparenvil automó el 5.166 demostrar aceleración automóvil A aparenque ión acelerac la que rar 5.166 demost vil B vale ta para observador automóvil dor que viaje y vire con el automó un observa para un ta velocid ad de A. R en en sentido sentido perpend perpendicular A. verdade ra velocidad icular a la verdadera vv2 II R


nes 5.164 Dos muchac muchachos, B, están sentado sentadoss en posicio posiciones hos, A y B, 5.164 rma giratori diametralmente opuestass en una platafo plataforma giratoriaa horizon horizon-almente opuesta diametr en ro te ad angular velocidad angular constan constante m en sentido sentido tal que se mueve con velocid ho A antihorario El muchac muchacho A lanza una una pelota pelota rio vista por encima. El antihora tal uu relativa ad horizon comunicándole velocidad horizontal relativa aa la la cándole una velocid hacia B comuni plataforma dirigida hacia B. B. Supone Suponerr que la pelota no no tiene tiene ma y dirigida platafor ón aceleración horizontal lanzada yy escribir la la expresi expresión tal una vez lanzada ión horizon acelerac plael en pelota la lleva que la acelerac aceleración arel que B observa en el plaión arel de la

de

A-+--
~

ad 5.168 El El sector sector semicir semicircular ranuradoo gira con una velocid velocidad cular ranurad 5.168 el te, neamen Simultá s. I angular antihoraria constante m = 3 rad S. Simultáneamente, angular antihora ria constan te ro =

(fija en el secbrazo ranurad ranuradoo OC oe oscila alreded alrededor OB(fijaen secor de la recta OB brazo l s, rad 2 de razón a tor) de modo que e constantemente radl s, temente constan varía 8 que tor) de modo ensalvo al al final final de de cada oscilaci oscilación movimienón cuando se invierte el movimi salvo to. Hallar Hallar la la acelerac aceleración pasadorr A cuando 8e == 30° Y ión total del pasado to. (H). es positiva (H).

ee

y

B

I~ Figura problem problemaa 5.168 5.168 Figura


347 347


5.169 de radar radar BB situada situada en en el el ecuado ecuadorr observa observa 5.169 Una Una estación estación de un un satélite satélite A, A, que que se se desplaz desplazaa de de oeste oeste aa este, este, describ describiendo una iendo una órbita órbita circular circular ecuator ecuatorial 200 km km de de altura. altura. Cuando Cuando el el satélite satélite ial aa 200 se tra aa 30° se encuen encuentra 30° sobre sobre el el horizon horizonte, hallar la la diferenc diferencia entre te, hallar ia entre la velocid ad la velocidad del del satélite satélite relativa relativa aa la la estación estación,, medida medida desde desde un un sistema o, yy la sistema no no giratori giratorio, la velocid velocidad medida con con relación relación al al sissisad medida tema tema de de referenc referencia de la la estación estación.. ia de Resp. ~vrel AVrel == -- 50,3i 50,3i + + 87,lj 87,lj km km/h lh Figura Figura problem problemaa 5.171 5.171


5.170 5.170 El El collarín montad montadoo entre resortes resortes oscila en en el el eje eje de de acuerdo acuerdo con x == 0,04 0,04 sen 7Ú, m, donde donde x está en metros metros yy tt está está en en segund os. Simultá neamen te, el bastido segundos. Simultáneamente, bastidorr gira en torno al al cojinecojinete O con una velocid ad angular velocidad angular ú) (i)= sen(7ti/2) rad/1s. s. Hallar Hallar la la = 2 sen(7Ú / 2) rad acelerac ión del centro C del collarín (a) cuando aceleración cuando tt == 33 ss yy (b) (b) cuando t == 11/2 s. cuando / 2 s. yy ,,

5.172 5.172 La La cámara cámara de ensayos A, que se emplea emplea para estudia estudiarr el mareo ento, está prepara da para oscilar en torno al mareo al al movimi movimiento, preparada eje = e eje O O de de acuerdo acuerdo con con e 8= 80sen 27if1tt aa la la vez que ejecuta un moosen 2n:/I vimient vimientoo lineal y == Yo Yosen 2nht 27if2t respecto respecto al al bastido bastidor.r. Durant Durantee un serie des se fijan en e serie de de ensayos ensayos las amplitu amplitudes 8o0== ni 7[/44 radiane radianess e Yo Yo == 150 150 mm, mrn, mientra mientrass que las frecuen frecuencias 11 == ~~ ciclo ciclo/1s y cias son JI hfz == ~§ ciclo ón vectoria ciclo/1s. s. Hallar Hallar la expresi expresión vectoriall ddee la acelerac aceleración ión del punto punto C de la cámara cámara en el instante instante en que t == 2 s. s. y

I

A

',

1I 1I Wx I.Jx 1I 1I

-1-

x


0,2 0,2 m

ú)

_______JJ ---

5.173 La La manivela manive la OA gira con una una velocidad velocid ad angular 5.173 angular horaria horaria constan te de de 10 rad 1s dentro dentro de un un arco limitado constante 10 rad/ limitad o de su su movimovimiento. Para Para la posición posició n 8 = = 30° 30° hallar hallar la velocidad miento. velocid ad angular angular de la barra barra ranurada ranurad a CB y la aceleración acelerac ión de A medida la medida respecto respecto a la ranura ranura de CB.

e


5.1 71 En la figura figura se representan repres~ntan las paletas 5.171 paletas del impulsor impulso r de de

Resp. Resp.

radl s H, arel arel = - 8660i 5 rad/s 8660i mm mmlZs? S2

ú) = (i)=

una bomba bomba centrífuga centrífu ga que que gira una gira con una una velocidad velocid ad constante constan te de de

200 rpm. rpm. Se observa observa que que las partículas 200 partícul as del fluido fluido tienen tienen un un veve-

locidad absoluta absolut a cuya cuya componente compon ente en locidad en la dirección direcció n radial radial rr es es de de su descarga descarg a de de las paletas. 3 m /1s a su paletas. Además, Ademá s, el módulo módulo de de la la vevelocidad de de las partículas partícul as medida locidad medida con con relación relación a la la paleta paleta auaumenta razón de de 24 24 m/ m i s2inmediatamente menta a razón S2 inmedia tamente antes antes de de abandonar abando nar la paleta. paleta. Hallar Hallar la aceleración acelerac ión absoluta absolut a de de una una partícula partícul a de de fluido en el instante instante inmediatamente fluido en inmedi atamen te anterior anterior aa salir salir del del impulimpulsor. El radio radio de de curvatura curvatu ra pp de de la la paleta paleta es de de 200 200 mm mm en en su su exextremo. tremo. Resp. Resp. aa == 46,9 46,9 m/ m i S2 S2

348 348


B B /

/

/

I I

e

1

\ \ \ \

"

//

- --- - -----Figura problem a ................

Figura problema

/'

//

//

//

5.173 5.173

5.174 Un edificio ador. edificio de gran gran altura altura está está situado situado en el ecu ecuador. En su fachada fachada norte norte se aloja un un reloj del tipo común común de doce horas yo centro horas cu cuyo centro está a una una distancia distancia h11 del suelo suelo (que se encuentra el mar) allar la velocidad cuentra prácticamente prácticamente a nivel nivel ddel mar).. H Hallar velocidad y la aceleración horas a las aceleración de la punta punta A ddee la manecilla manecilla ddee las horas ddoce oce horas, horas, medidas medidas ambas ambas desde desde un un sistema sistema de coordenacoordenaddas as no giratorio giratorio centrado centrado en la Tierra. Tierra. Tomar Tomar el eje x de modo modo que parta el centro centro de la Tierra parta ddel Tierra y su sentido sentido positivo positivo se extienda tienda radialmente radialmente hacia hacia el edificio edificio y el eje z se dirija hacia hacia el norte. norte. La manecilla manecilla de las horas horas tiene tiene una una longitud longitud 11 y da dos vu eltas completas vueltas completas sobre sobre la esfera esfera del reloj durante durante una una rotarotación completa completa de la Tierra. Tierra. El radio radio y la velocidad velocidad de la Tierra Tierra son R y ú). ú). 5.175 Se Se repite repite aquí aquí el mecanismo mecanismo de Cruz Cruz de Malta Malta del problema 5.53. 5.53. Hallar Hallar la aceleración aceleración absoluta absoluta C<2 02 d dee la cruz C en el instante instante en que e e == 20°. 20°. El plato plato motor motor A tien tienee una una velocidad velocidad angular angular horaria horaria constante constante de 2 rad rad// s. Resp. Resp. C<2 02 == 16,53 16,53 rad rad/s/ 2s2 AH

najes,·articulado C, hace que el husillo husillo a dderechas najes, .articulado en C, erech as rote a la velocidad velocidad constante constante N == 100 100 rpm rpm en el sentido sentido indicado, indicado, con lo que el collarín roscado allar roscado A avanza avanza sobre el husillo husillo hacia C. C. H Hallar variación por unidad unidad de tiempo tiempo WAO de la velocidad angula variación velocidad angular de AO AO cuando cuando pasa pasa por por la posición posición vertical vertical indicada. indicada. El husimples por por centímetro centímetro de longitud. longitud. sillo tiene tres filetes simples 2 /s 2 Resp. -4,41(104)rad/s - 4 )rad Resp. WAO = =-4,41(10~ escribe una ~ 5.177 La lanzadera lanzadera espacial espacial A ddescribe una órbita órbita circular circular ecuatorial aecuatorial a 240 240 km de altitud altitud y en sentido sentido de oeste a este. H Hallar la velocidad velocidad y aceleración aceleración que aparenta aparenta tener tener para para un observador ador, servador fijo fijo en la Tierra Tierra y girando girando con ella en el ecu ecuador, cuando el vehículo vehículo pasa pasa por por su vertical. 6378 km km cuando vertical. Tómese R == 6378 como radio radio de la Tierra. Además, Además, el valor valor correcto de g se determinará terminará mediante mediante la figura figura 1.1 1.1 y el resultado resultado se obtendrá obtendrá con una precisión precisión de cuatro cuatro decimales. decimales. una Resp. Vrel Vrel = = -- 26 220i km km/h Resp. /h arel arel = = -- 8,018j 8,018j m/ m/ S2 (con g == 9,814 9,814 m m// S2)

y I A

. . . - . . - . . . --

l

--d1-_

i 240 km-----. __.

BI

~;;~ problema 5.177 Figura problema

B A

~ 5.178 Hallar Hallar la aceleración aceleración angular angular de la barra EC en la ppo~ b arra EC o-

200 . '-+--mm~1

representada,a, con ú) = ~ ~ = 2 rad rad / s y ~ ~ = 6 rad rad / S2 cuando cuando sición representad solidaria de la barra barra EC. EC. La ranura ee == f3 == 60°. La clavija AA es solidaria ranura circular de la m manivela un radio radio de curvatura curvatura de 150 150 circular anivela DO tiene un mm. En la posición posición de la figura, figura, la tangente tangente a la ranura ranura en el mm. punto de contacto contacto es paralela paralela a AO AO. . punto Resp. aEC lXEC = = 12 rad rad / S2 AH Resp.

problema 5.175 Figura problema i-

~ 5.176 Se representa representa un mecanismo mecanismo destinado destinado a producir producir ~ un par fuerzas muy muy intenso intenso en el árbol O. El tren de engraengraun par de fuerzas

•

--150mm-problema 5.178 Figura problema


349


350 CINEMÁTICA CINEMÁTICA PLANA PLANA DE LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

5.8

REPASO REPASO Y RESOLUCiÓN RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS

En este capítulo 5 hemos aplicado cuerpos rígidos aplicado al movimiento movimiento plano plano de los cuerpos los conceptos fundamentales desarrollaron en el capífundamentales de la Cinemática Cinemática que se desarrollaron tulo 2. por dos procediprocedi2. Esencialmente los problemas problemas los hemos abordado abordado por mientos. En el primero ecuación que describe la primero de ellos se plantea plantea una una ecuación configuración configuración geométrica geométrica general general del problema problema dado dado en función de datos y vaobtener velocidades velocidades y riables y luego se deriva deriva ésta respecto al tiempo tiempo para para obtener angulares. Este procedimiento procedimiento lo hemos aceleraciones, tanto lineales como angulares. hemos llamado cuando no hay difimado análisis por por movimiento movimiento absoluto absoluto y es satisfactorio satisfactorio cuando cultad temporales. cultad en escribir la expresión expresión geométrica geométrica y sus derivadas derivadas temporales. En el segundo procedimiento se aplican los fundamentos movimiento segundo procedimiento fundamentos del movimiento relativo a los cuerpos rígidos y con ello resulta procedimiento permite permite resulta que el procedimiento resolver muchos problemas engorroso al problemas que serían de manejo excesivamente excesivamente engorroso derivadas. Para utilizar utilizar tanto la ecuación de la velocidad calcular las derivadas. velocidad relativa instantáneo de rotación y la ecuación de la aceleración relativa, como el centro instantáneo es necesario tener una una imagen imagen mental mental clara del caso de movimiento movimiento circular de un alrededor de otro punto un punto punto alrededor punto observado observado desde desde ejes no giratorios, y además éste debe analizarse analizarse cerrectamente. correctamente. En realidad, realidad, el perfecto conocimiento movimiento circular es una condición condición esencial sin la cual de las ecuaciones del movimiento no podrá podrá progresarse progresarse demasiado. demasiado. Las ecuaciones de la velocidad velocidad relativa y de la aceleración relativa son ecuaciones vectoriales que pueden por análisis pueden resolverse de tres formas diferentes: por geometría del polígono polígono vectorial, por álgebra vectorial y gráficaescalar de la geometría construyendo el polígono polígono vectorial. Cada uno de estos métodos mente construyendo métodos tiene apremiamos al lector a que adquiera adquiera experiencia sobre los tres. sus ventajas y apremiamos utilizar métodos métodos basados basados en el álgebra vectorial siempre Al utilizar siempre deberá deberá dibujarse porque la habilidad habilidad para para imaginar un esquema esquema de los vectores, porque imaginar las relaciones físicas entre fuerzas y movimientos movimientos constituye constituye probablemente probablemente la geométricas y físicas importante de todas en el estudio estudio de la Mecánica. experiencia más importante estudiaremos la Cinética de los cuerpos En el capítulo 6 estudiaremos cuerpos rígidos rígidos en moviplano y allí veremos que la habilidad habilidad para para despejar las aceleraciones limiento plano angulares de los cuerpos cuerpos rígidos es absolutamente absolutamente necesaria neales y angulares necesaria al objeto momentos que relacionan de aplicar las ecuaciones de fuerzas y momentos relacionan las fuerzas movimientos resultantes. resultantes. Por tanto, las materias aplicadas con los movimientos materias tratadas tratadas en para el capítulo capítulo 6. 6. este capítulo 5 son esenciales para han presentado presentado los sistemas de coordenaPor último, en este capítulo 5 se han coordenarotación que permiten permiten resolver los problemas problemas en los que el movimiento das en rotación movimiento se observa desde un sistema de referencia que gire. Siempre que un un punto punto desuna trayectoria también se mueva, mueva, es obligado criba una trayectoria que a su vez también obligado hacer hacer el estumediante ejes ejes en rotación rotación si se sigue el procedimiento procedimiento del movimiento dio mediante movimiento deducir la expresión expresión 5.12, 5.12, de la velocidad velocidad relativa, y la 5.14, relativo. Al deducir 5.14, de la términos relativos se miden aceleración relativa, en las que los términos miden desde desde un un sistema de referencia en rotación, fue necesario tener en cuenta las derivadas derivadas de los vectores unitarios unitarios ii y j. Estas ecuaciones 5.12 5.12 y 5.14 5.14 son válidas válidas también también para para movimiento en el espacio, tal como se verá en el capítulo capítulo 7. el movimiento 7.

5 i.J n t;

e

5. di

e


PROBLEMAS DE REPASO velociunavelociconuna ejezzcon sueje tornoaasu entorno giraen circulargira discocircular 5.179 Eldisco 5.179 El tiene canto el en situadoen el canto tiene puntoPPsituado Unpunto radl dad / s.s.Un angularwú)== 22rad dadangular coordelas Hallar s. i m 0,6j 0,8i = porvv= - 0,8i - 0,6j m/ s. Hallar las coordedadapor una velocid addada unavelocidad disco. deldisco. radior r del dePPyyelelradio nadasde nadas m 0,5m m,rr== 0,5 0,4m, m,yy== 0,4 0,3m, Resp. xx== -- 0,3 Resp.

animanaa queaniman velocid adesque lasvelocidades mercedaalas subemerced cargaLLsube Lacarga 5.183 La los extremos A y B del cable. Hallar la aceleración del punto punto del ión acelerac la Hallar los extremo s A y B del cable. m is, más alto P de la roldana en el instante en que VA = 0,6 mis, 0,6 = VA que en instante el en roldana la más alto P de 2 vA A == 0,15 , VB . m i S2. = - 0,15m/s m i s y vBvB =-0,15 0,9m/sy VB== 0,9 m i2S2, 0,15m/s v Resp. 3/16 6m/s m/s2 2 ap=3/1 Resp.üp=

5.183

ZZ II

5.179 problem a 5.179 Figura problema Figura el En el z. En fijo z. eje fijo su eje torno aa su en torno rectang ular gira en placa rectangular 5.180 5.180 La placa

f

disrad /I ss yy dis3 rad =3 ú) = es w angular es velocid ad angular instante conside rado su velocidad instante considerado insese para , Escribir o. segund cada segundo. Escribir, para ese insradl s cada minuye razón de 66 rad/ minuye a razón las de y P de ad velocid la de les vectoria ones expresi tante, las expresiones vectoriales de la velocidad de P y de las ión. acelerac su .de ial tangenc normal componentes normal y tangencial.de su aceleración. entes compon

zz


5.184 El cilindro hidráulico derecha al hacia la derecha desplaz a hacia hidrául ico desplaza El cilindro 5.184 pasador A a la velocidad constante v. Apoyándose en que la dose Apoyán te constan ad velocid pasado r A a la distancia entre A yB B no no varía, AC el inspunto de AC siendo B el punto varía, siendo A y ia entre distanc tantáneamente en contact contactoo con con la rueda dentada dentada,, obtener obtener la la rueda tantáne amente en y la expresión de la velocidad angular w la rueda dentada dentada rueda de ú) angular expresi ón de la velocid ad velocidad angular cremallera AC. era cremall la de velocid ad angular

o

A A

a

--v v

ión del a 5.179, 5.181 Si, Si,en enelelproblem problema 5.179, la laacelerac aceleración delpunto punto PP tiene tiene 5.181 ión rado, hallar dirección en elelinstante instante conside considerado, hallar la la acelerac aceleración n xx en laladirecció citaa problem del os angular exadel del disco. disco.Emplea Emplearr los losresultad resultados del problema citaangular do. do. ~ kk rad Resp. Resp. exa ==--~ rad/l S2S2


ión del 5.182 Hallar Hallarlalaacelerac aceleración delcentro centrode demasa masaGGde delalabiela bielaAB AB 5.182 para 5.15 tipo a problem del anivela del problema tipo 5.15 para (a) delmecani mecanismo biela-manivela (a) smo biela-m del 180°. Oy (b) e= e= 8=Oy(b) 8=180°.

5.185 La Labarra barra acodad acodada enángulo ángulorecto rectoABC ABC ejecuta ejecutaun unmovimovia en 5.185 lala miento plano en el plano x-y. En el instante representado ntado represe instante el En x-y. plano "el en plano miento

351


aceleración de B respecto a A es 20i mi s2 y la aceleración es nula. Hallar la aceleración del punto A. Resp. aA = -12,8i - 9,6j mi S2

de

e 5.188 Resolver el problema 5.187 por álgebra vectorial partiendo de la relación entre vectores de posición fe + rBle = rA + fBIA que se muestra en la figura.

e B

fBIC

e

120mm B

fC

x A

o

, /


/ /

X


5.186 El disco se desliza y rueda. Si va = 1,2 mi s y si la velocidad de A respecto a B es 0,9 J2 m I s, ubicar el centro instantáneo de rotación e y determinar la velocidad del punto P.

5.189 El gran carrete de cable para transporte de energía rueda cuesta arriba por acción del vehículo de servicio del modo que se muestra. El vehículo parte del reposo con x = O respecto al carrete y se acelera uniformemente a 0,6 mi s2. Calcular, para el instante en que x = 1,8 m, la aceleración del punto P del carrete que se indica.

Resp. íl p

= 3,34

mi

S2

--vo

x


Figura problema 5.189 5.187 En el sistema articulado de la figura la barra oe está dotada de una velocidad angular horaria constante úl = 2 radl s durante un intervalo del movimiento, mientras el cilindro hidráulico comunica al pasador A una velocidad constante de 1,2 mis hacia la derecha. Para la posición representada, en la que oe está vertical y Be horizontal, calcular la velocidad angular de BC Resolver dibujando el polígono de velocidades necesario.

Resp.

úlBe = 2

5.190 En el instante representado x = 50 mm y ti = 1,6 mis. Hallar la correspondiente velocidad del punto B.

rad z's H

B

400rnm

e

s s C> C>

C0

Figura problema 5.187 Figura problema 5.190

352


5.191 mantiene en agitación el baño baño 5.191 El El dispositivo dispositivo de vaivén mantiene

de agua donde manivela OA gira en sendonde se lavan verduras. verduras. La manivela tido horario horario a 120 rpm. Hallar la velocidad velocidad angular angular de la barindicada en que OA está vertical y e= 30°. quilla en la posición indicada Resp. Resp. úJOB úJOB== 3,24 rad rad// s H


o o

~ 5.195 ~ 5.195 Cerca del final de su carrera de despegue, despegue, el avión esta "basculando" morro hacia arriba) inmediatamente inmediatamente "basculando" (con el morro antes de entrar sustentación. Su velocidad velocidad y aceleración, exentrar en sustentación. presadas presadas en función del tren de ruedas ruedas C, C, son Ve Y ae, ambas dirigidas horizontalmente hacia adelante. El El ángulo de cabedirigidas horizontalmente e y su variación úJ == aumenta aumenta ceo es e variación por unidad unidad de tiempo tiempo úJ a la razón razón a == ro una persona persona AA camina hacia adelante W .. Si una adelante por el pasillo central con una velocidad velocidad y aceleración vrel v rel Y Y arel' ammedidas hacia adelante adelante con relación a la cabina, deducir bas medidas deducir las expresiones de la velocidad observaría expresiones velocidad y aceleración de A que observaría alguien tierra. alguien inmóvil en tierra.

e


é

5.192 movimiento, el vástago vástago del 5.192 Duranle Durante un intervalo intervalo de movimiento, émbolo del cilindro hidráulico un velocidad velocidad verhidráulico comunica a A un tical constante vV Amoverse por la tical A- El El rodillo B está obligado a moverse guía horizontal. barra AB AB en función horizontal. Hallar la velocidad velocidad de la barra

de

Resp. v AA Resp.

e.

aA

(Ve L)i + (úJL (Ve cos e e-- úJh + L)i (úJL - Ve Ve sen e)j

((aaee cos

an - LW2 e- ah Lw2 + L)i L)i + (hw2 + La+ La + 2úJL)j (-aa 2úJL)j ee sen e- hW2

Iso problema 5.195 Figura problema 5.195

B

~ 5.196 OB gira, en sentido horario, con una una ve~ 5.196 La manivela manivela OB sentido horario, locidad constante úJo de 5 rad rad / s. instante en que locidad constante úJo S. Hallar, en el instante ee == 90°, la aceleración angular angular a de la barra barra BD BD que se desliza por C. por el collarín que pivota pivota en C. Resp. a a == 6,25 rad/ s2H Resp. rad / s2 H


barquilla de la lava5.193 5.193 Hallar la aceleración angular angular de la barquilla

B /' --

'.,

dora de verduras posición en que OA verduras del problema problema 5.191 en la posición angular está vertical. En esa posición OA tiene una velocidad velocidad angular de 4n rad/ rad/ s y carece de aceleración angular. angular. Resp.aBO H Resp.aBO= = 41,2 rad rad// s2 s2H 5.194 muestra la varilla De DC gira en sen5.194 En la posición que se muestra tido antihorario rad / s. Hallar la antihorario a la velocidad velocidad constante constante N == 2 rad/ S. Hallar velocidad angular angular úJ úJ y la aceleración angular angular a de EBO EBO en ese

A

'<,

1" -, 1", 250mm \ 250rnrn

~_._.t-.I-.. t% t% )\I ," / " .. ----le'

J

\

D

instante. instante.

,

,

1---

/

--:r ----=r ...........

/ .// ./

600 rnrn mm problema 5.196 Figura problema 5.196

353 353


*PROBLEMAS *PROBLEMAS ESPECIALES ESPECIALES PARA ORDENADOR ORDENADOR animada de una velocidad angular *5.197 *5 .197 La barra barra OA está animada velocidad angular antihoraria velocidad angular antihoraria constante 0). OJ. Hallar Hallar la velocidad angular O)AB OJAB de la barra AB AB en función de 8. Calcular y representar representar gráficamente barra gráficamente OJAB/ OJ entre los límites O O ::; 8::; 8::; 90°. Indicar el valor el cociente O)A B / O) de 8 para para el que la velocidad velocidad angular AB es la mitad mitad que la angular de AB de OA. Resp. 8 == 46,1 Resp. 46,1°°

de 8 Y Y determinar tiempo t que tarda tarda la manivela manivela en rotar determinar el tiempo desde hasta 8 = 150°. desde 8 = 90° 90° hasta 150°.

e= 10J2 J 8-sen 8-0,0236 rad /s 10J2J8-sen 8-0,0236 rad/s

Resp. Resp.

t = 0,0701 0,0701ss

e

B


M M

o *5.198 Para la Cruz de Malta del problema problema 5.53, *5.198 5.53, que se repite aquí, escribir la expresión expresión de la velocidad angular C0. de la velocidad angular cruz C durante tiempo en que la clavija P está acoplada durante el tiempo acoplada y representarla entre los límites - 45°::;O::; 45°::; O::; 45°. presentarla 45°. El plato motor A tievelocidad angular rad / s. ne una velocidad angular constante constante O>¡ OJ¡ = 2 rad/ s.


*5.200 articulada en O de modo que *5.200 La manivela manivela doble está articulada puede girar por completo, sin interferir barra articulada puede interferir con la barra articulada Si la manivela CB que se desliza por el collarín A. Si manivela posee una velocidad angular hallar y representar representar gráficamente angular constante constante hallar gráficamente el cociente ~ j3 / como función de 8, entre 88== O De8,entre O YY 88== 180°. 180°.Determinar, por examen a simple vista, el ángulo terminar, ángulo f3para [3 para el cual es j3 ==0.o. ~

e,

200 / / " " / mm

,,

--------, ,

", ,

e,

B A

I.I

·---mrn----200 200 ·---rnrn---I

I



**5.199 5.199 El par par de fuerzas de momento momento constante M es mayor mayor que el momento momento respecto a O debido debido a la fuerza F ejercida soresultado es una una aceleración angular = bre el vástago y el resultado angular = 100(1rad / S2. desde el re100(1- cos 8) 8)rad/ S2. Si Si la manivela manivela A se abandona abandona desde en que 88== 30°, Y choca con el tope C, = 150°, poso en B, B,en 30°,Ychoca C, en que 88= 150°, representar gráficamente velocidad angular representar gráficamente la velocidad angular como función

*5.201 *5.201 Para el mecanismo mecanismo de biela y cigüeñal representado, representado, deducir velocidad VA pistón (tomada deducir la expresión expresión de la velocidad v A del pistón (tomada O::;8 ::; como positiva positiva hacia la derecha) en función de8 para para O ::; () ::; 180°.Representar gráficamente Vv A en función de 8 y determidetermi180°. Representar gráficamente nar su valor máximo y el valor correspondiente correspondiente de 8. 8. (Por simetría, prever 180°::;8::;360°.) prever los resultados resultados para para 180° ::; 8 ::; 360°.) Resp. (VA )max = 20,9 m i s para para 8= Resp. (VA)max 20,9 mis 8= 72,3° 72,3°

ee

ee

354 354


B

ex*5.202Para deducir lala ex5.201, deducir problem a 5.201, del problema mecani smo del *5.202 Para elel mecanismo positiva como presión de la aceleración aA del pistón (tomada como positiva a (tomad pistón presión de la acelerac ión aA del los hacia == cte. Emplea rlos cte.Emplear = ú)= para()) de eapara funciónde enfunción derecha ) en hacialaladerecha) ay de función datos del problema tipo 5.15 para calcular aA en función de ey en aA calcular para 5.15 tipo a problem del datos pre, determinar el valor de e para el que aA = O. (Por simetría, presimetría (Por determi nar el valor de a para el que a A = O. 0 ver .::;e.::; 360°.) $a $ 360°.) 180° p ara 180 resultad os para los resultados ver los

e

é

xx

5.201 problema 5.201 Figura problema Figura

a <:;

i1-

355 355


.'


rse las neame nte deben En un un cuerpo cuerpo rígido rígido que que puede puede rotar rotar yy traslad trasladarse simultáneamente deben calcula calcularse las fuerzas fuerzas que que arse simultá En arriba, hacia o rotand y ndo acelera está que causan o acompañan el movimiento. En el despegue, un avión, que está acelerando y rotando hacia arriba, avión, un ue, despeg el En iento. movim el causan o acomp añan ámicas que está someti sometido al empuje empuje de de sus sus motore motores, su peso peso yy aa las las fuerzas fuerzas aerodin aerodinámicas que actúan actúan sobre sobre sus sus s, aa su do al está res. cies exterio superficies exteriores. superfi


358 358 CINÉTICA C1NÉTICA PLANA PLANA DE LOS LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

.'

6.1 6.1

INTRODUCCiÓN

La cinética de los cuerpos cuerpos rígidos rígidos trata trata de las relaciones relaciones existentes existentes entre entre las fuerzas que sobre ellos ejercen agentes agentes exteriores exteriores y los correspondientes correspondientes movimientos de traslación rotación de dichos cuerpos. cuerpos. En el capítulo capítulo 5 se desarrodesarromientos traslación y rotación llaron las relaciones cinemáticas plano de los cuerpos llaron cinemáticas del movimiento movimiento plano cuerpos rígidos, para examinar y en este capítulo capítulo las vamos vamos a utilizar utilizar ampliamente ampliamente para examinar los efectos de las fuerzas sobre el movimiento bidimensional de los cuerpos movimiento bidimensional cuerpos rígidos. Para los propósitos propósitos de este capítulo capítulo recordemos un cuerpo recordemos que un cuerpo rígido que ejecute un un movimiento plano puede puede asimilarse una placa plana plana delgada movimiento plano asimilarse a una delgada cuyo movimiento plano de la placa, el cual es además plano del movimiento esté confinado confinado al plano además el plano movimiento. plano contiene al centro de masa, y todas movimiento. Este plano todas las fuerzas que actúan proyectan sobre el mismo. El movimiento túan sobre el cuerpo cuerpo se proyectan movimiento de todo cuerperpendicular al po rígido rígido que tenga tenga dimensiones dimensiones apreciables apreciables en dirección dirección perpendicular plano movimiento pero alrededor de dicho plano plano del movimiento pero que sea simétrico alrededor plano respecto del centro de masa, puede puede tratarse un problema problema de movimiento tratarse como un movimiento plano. perfectamente a una una extensa Es evidente evidente que estas idealizaciones idealizaciones se adaptan adaptan perfectamente categoría categoría de movimientos movimientos de cuerpos cuerpos rígidos. rígidos. En el capítulo para definir plano de un un punto punto capítulo 3 vimos que para definir el movimiento movimiento plano material material cuyo movimiento movimiento tenga tenga dos componentes, componentes, se necesitaban necesitaban dos componentes plano de un un cuerpo nentes de fuerza. En el caso del movimiento movimiento plano cuerpo rígido rígido se neuna ecuación más para para especificar el estado cesita una estado de rotación rotación del cuerpo. Así para determinar plano de un pues, para determinar el estado estado de movimiento movimiento plano un cuerpo cuerpo rígido se necesitarán dos ecuaciones de fuerzas y una momentos o sus equivalentes. necesitarán una de momentos equivalentes. constituyen la base de la mayoría mayoría de los análisis del moLas relaciones que constituyen vimiento para un un sistema vimiento de cuerpos cuerpos rígidos se desarrollaron desarrollaron en el capítulo capítulo 4 para general puntos materiales. general de puntos materiales. Al desarrollar desarrollar aún aún más estas ecuaciones en este plano de cuerpos capítulo capítulo 6 y aplicarlas aplicarlas concretamente concretamente al movimiento movimiento plano cuerpos rígidos, nos referiremos referiremos frecuentemente frecuentemente a ellas. Se aconseja al lector que revise a menumenudo lo expuesto expuesto en el capítulo capítulo 4 mientras mientras esté estudiando estudiando este capítulo capítulo 6. 6. También se le aconseja que no siga adelante bién adelante a menos que haya haya aprendido aprendido a fondo los cálculos de velocidades capítulo 5 para para velocidades y aceleraciones desarrollados desarrollados en el capítulo el movimiento plano de un un cuerpo movimiento plano cuerpo rígido. Sin la capacidad capacidad de determinar determinar cocorrectamente las aceleraciones a partir principios de la Cinemática, suele rrectamente partir de los principios inútil intentar intentar aplicar los principios movimientos. En ser inútil principios de las fuerzas a los movimientos. consecuencia, instamos instamos al alumno alumno a que domine domine la Cinemática Cinemática necesaria, inproseguir. cluido el cálculo de aceleraciones relativas, antes de proseguir. Para los métodos métodos de la Cinemática resulta fundamental Cinemática resulta fundamental el aislamiento aislamiento del cuerpo utilizó el aislamiento cuerpo o sistema sistema a analizar. En el capítulo capítulo 3 se ilustró ilustró y utilizó aislamiento estudiar la cinética del punto material y en este capítulo capítulo se empleará empleará del mispunto material al estudiar intervengan las relaciones instantáneas instantáneas enmo modo. En los problemas problemas en que intervengan tre fuerza, masa masa y aceleración o cantidad cantidad de movimiento, movimiento, se definirá definirá sólido libre. explícitamente el cuerpo explícitamente cuerpo o sistema sistema aislándolo aislándolo con su diagrama diagrama para sólido libre. Cuando principios de trabajo y energía, y no el diagrama para Cuando se apliquen apliquen los principios diagrama para sólido libre, puede puede emplearse un diagrama fuerzas activas emplearse un diagrama de fuerzas activas en el que sólo figuren las fuerzas exteriores Nunca deberá exteriores que realicen trabajo sobre el sistema. Nunca deberá intentarse problema sin sin definir por completo tentarse resolver resolver un un problema definir antes antes por completo el contorno contorno exterior exterior del cuerpo sistema e identificar fuerzas exteriores cuerpo oo sistema identificar todas todas las fuerzas exteriores que se ejercen ejercen sobre él. Este capítulo capítulo 6 está divido divido en tres secciones coincidentes coincidentes con las tres secciosecciodividió el capítulo capítulo 3 relativo a la cinética del punto nes en que se dividió punto material. En relacionan fuerzas y momentos momentos con aceleraciones aceleraciones instantáneas instantáneas la sección A se relacionan


lineales y angulares. angulares. En la sección B se expone la resolución resolución de problemas problemas mediante el teorema teorema de las fuerzas vivas. La sección e comprende comprende los procediprocedimientos basados basados en el impulso impulso y la cantidad cantidad de movimiento. movimiento. Virtualmente Virtualmente todos los procedimientos procedimientos e ideas que abarcan abarcan las tres secciones ya fueron fueron considerados siderados al tratar tratar de la cinética del punto punto material material en el capítulo capítulo 3, 3, pero su repetición petición facilitará el avance a través través de este capítulo, en el supuesto supuesto de que se domine bien la cinemática plana plana de los cuerpos cuerpos rígidos. En las tres secciones del capítulo capítulo se separan separan de manera manera perfectamente perfectamente definida definida los tres tipos de movimiento, o sea, la traslación, la rotación rotación alrededor alrededor de un eje fijo fijo y el movimienmovimiento plano plano general. En la cinética de los cuerpos cuerpos rígidos rígidos animados animados de movimiento movimiento angular angular es necesario introducir introducir una una propiedad propiedad característica característica del cuerpo cuerpo que responde responde de la distribución distribución radial radial de la masa respecto respecto a un eje de rotación rotación particular particular perpendicular momenpendicular al plano plano del movimiento. movimiento. Esta característica se conoce como momencuerpo y es imprescindible imprescindible saber cómo se calcula para para resolver resolver to de inercia del cuerpo problemas problemas de cuerpos cuerpos en rotación. Llegados a este punto, punto, suponemos suponemos que el lector está familiarizado familiarizado con el cálculo de momentos momentos de inercia. No obstante, obstante, el apéndice B para para quienes necesiten necesiten aprenderlo aprenderlo o repasarlo. repasarlo. tema se expone en el apéndice

SECCiÓN SECCiÓN A. FUERZA, FUERZA, MASA Y ACElERACION ACElERACION

6.2 6.2 a e

ECUACIONES ECUACIONES GENERALES DEl DEl MOVIMIENTO MOVIMIENTO

En los apartados apartados 4.2 4.2 y 4.4 4.4 se dedujeron dedujeron las ecuaciones que rigen el movimiento movimiento de un sistema general de puntos puntos materiales. Empecemos Empecemos ahora ahora aplicando aplicando esas cuerpo rígido considerado considerado en el espacio tridimensional. tridimensional. La ecuaciones a un cuerpo ecuación 4.1 4.1 es LF LF

o a e

= = ma

[4.1 ]

y nos dice que la resultante resultante LF de las fuerzas exteriores actuantes actuantes sobre un cuerpo rígido es igual a la masa m de éste multiplicada multiplicada por la aceleración a de su centro de masa G. G. La otra ecuación hace referencia al momento momento resultante resultante y es

n

el to

sná

e. ra

nel '0-

n as

[4.9] que nos dice que el momento momento resultante resultante respecto al centro de masa de las fuerzas exteriores actuantes actuante s sobre el cuerpo es igual a la derivada derivada temporal temporal del momento mento cinético del cuerpo cuerpo respecto respecto al centro de masa. sabemos que, en general, un sistema de fuerzas aplicadas aplicadas a un un Por Estática sabemos sólido rígido puede punpuede sustituirse sustituirse por por la resultante resultante de las fuerzas aplicada aplicada al punto que se desee acompañada acompañada de un par par de fuerzas convenientemente convenientemente calculado. calculado. Sustituyendo Sustituyendo las fuerzas exteriores exteriores por el sistema fuerza-par fuerza-par equivalente, equivalente, cuya fuerza esté aplicada aplicada en el centro de masa, podremos podremos imaginar imaginar cuál es el efecto de las fuerzas y la consiguiente consiguiente respuesta respuesta dinámica dinámica del cuerpo cuerpo con ayuda ayuda de la 6.1. En la parte parte aa de la figura se representa representa el diagrama diagrama para para sólido libre figura 6.1. del cuerpo. En la parte parte bb se representa representa el sistema fuerza-par fuerza-par equivalente equivalente con la resultante resultante aplicada aplicada en G. G. En la parte parte ce se representa representa el llamado llamado diagrama diagrama cinético, cinético, que sirve para para ilustrar ilustrar los efectos dinámicos dinámicos resultantes resultantes tal como nos los indican para indican las ecuaciones 4.1 4.1 y 4.9. 4.9. La equivalencia equivalencia entre los diagramas diagramas para una imagen imagen clara y fácilmente recordable recordable de sólido libre y cinético nos facilita una


359 359 6.2 ECUACIONES ECUACIONES GENERALES GENERALES DEl DEL 6.2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO

360 360 CINÉTICA CINÉTICA PLANA PLANA DE LOS CUERPOS CUERPOS RÍGIDOS RíGIDOS

y

\

I I I

F¡

\

a

F3

\1 ~ \úJ I

mi@

¡ ~ G

~JJC

Figura 6.2 6.2

,\ 01

Diagrama Diagrama para sólido libre

a

Fuerza-par Fuerza-par equivalente equivalente

Diagrama cinético Diagrama

(b)

(e)

(a) (a)

Figura 6.1 ~--x

los efectos separados separados que ejercen sobre la traslación traslación y la rotación rotación del cuerpo cuerpo las equivalencia la iremos expresando expresando matemátimatemátifuerzas al mismo aplicadas. Esa equivalencia camente conforme apliquemos apliquemos estos resultados resultados al estudio estudio que sigue acerca del movimiento movimiento plano plano de los cuerpos cuerpos rígidos.

Ecuaciones del movimiento plano. Aplicaremos Ecueciones movimiento plano. Aplicaremos ahora las relaciones anterioanteriores al caso de movimiento movimiento plano. En la figura 6.2 6.2 se representa representa un cuerpo cuerpo rígido rígido animado animado de un movimiento movimiento plano plano en el plano plano x-y. Su centro de masa masa G tiene una una aceleración a a y el cuerpo cuerpo tiene una una velocidad velocidad angular angular w w == wk y una una aceleración angular angular a a == a a k, ambas tomadas tomadas en el sentido sentido 2 positivo. positivo. Como la dirección 2, que es tanto la de w como la de a, a, es perpendicular perpendicular al plano plano del movimiento, la velocidad velocidad y la aceleración angulares angulares podemos podemos representarlas representarlas movimiento, mediante mediante los símbolos escalares w y a == w. ÚJ. El momento momento cinético respecto respecto al centro de masa de un sistema sistema general general vimos que es (ec. donde Pi es el vector de posición (ec. 4.8) 4.8) H Hee == I,p¡ x mJ)¡ mJ)¡, , donde posición relativo relativo a G de un punto punto genérico de masa masa mi. mi' En nuestro nuestro cuerpo cuerpo rígido rígido la velocidad velocidad de mi relativa relativa a G es p¡ = = w x p¡, módulo es PiW y yace en el plano plano del momi Pi' cuyo módulo vimiento y es perpendicular perpendicular a p¡. producto p¡ vimiento Pi. El producto p¡ x p¡ es, pues, un vector norplano x-y con el sentido sentido de w os y de módulo módulo p?w. modo el módulo módulo mal al plano p.?w. De este modo Hee se hace He == I,p?miw w¿p?m¡. Este sumatorio, sumatorio, que también también podría podría esde H I,p?miw == wLP?mi. cribirse f~ J~ dm, dm, es por definición definición el momento momento de inercia inercia másico másico 1 i del cuerpo cuerpo respecto al eje eje 2 que pasa por G. (Véase en el apéndice apéndice B un estudio estudio acerca del cálculo de momentos momentos de inercia de masas.) Ahora Ahora podemos podemos escribir

j

e r

Hee == lw Leo H

donde donde 1 i es una una propiedad propiedad constante constante del cuerpo cuerpo que constituye constituye una una medida medida de resistencia a los cambios de velocidad velocidad de rotación, su inercia a la rotación rotación o resistencia consecuencia consecuencia del modo modo en que su masa está distribuida distribuida radialmente radialmente en torno torno al eje 22 que pasa pasa por por G. Sustituyendo Sustituyendo por este valor de He en la ecuación ecuación del momento 4.9 momento resultante resultante 4.9 lÚJ = la la lw

donde es la aceleración angular donde a = w ÚJes angular del cuerpo. cuerpo.


f

r· d g

g d tr

n n

Resulta así que la ecuación del momento expresión vectorial momento resultante resultante y la expresión 4.1 segunda ley de Newton 4.1 de la segunda Newton generalizada generalizada pueden pueden ahora escribirse

361 361

6.2 ECUACIONES ECUAClONES GENERALES GENERALES DEL 6.2 MOVIMIENTO MOVIMIENTO

LF = ma (6.1 )

LMe = la la LMe

as tiel

Estas ecuaciones 6.1 6.1 son las ecuaciones generales del movimiento cuerpo movimiento de un un cuerpo rígido en movimiento 6.1, la de la fuerza removimiento plano. Al aplicar estas ecuaciones 6.1, sultante se expresará expresará a través de sus dos componentes componentes escalares empleando empleando sultante unas coordenadas coordenadas x-y, según sean las que resulten x-y, n-t n-t ó r-e, según resulten más cómodas y prácticas en cada problema. problema. procedimiento también deducir la Como procedimiento también posible puede puede ser instructivo instructivo deducir directamente a las fuerzas que ecuación del momento momento resultante resultante refiriéndonos refiriéndonos directamente 6.3. actúan sobre el punto punto material material de masa mi' mi, tal como se indica en la figura 6.3. La aceleración de m¡ suma vectorial de a a más los términos mi es igual a la suma términos relativos p¡oJ donde se toma G como punto Se dep¡oJ Y Y p.a, p¡a, donde toma el centro de masa G punto de referencia. Se duce que la resultante resultante de todas todas las fuerzas que se ejercen sobre m¡ tienen tienen las componentes m.á suma componentes m¡a,, m¡p¡oJ m¡p¡oJ y Y m¡ p.o: p¡a en las direcciones que se indican. La suma componentes de fuerzas respecto a G en el sentido sentido de los momentos momentos de estas componentes de aes aes

~ ~

o bien bien

úJ¡ ¡ v, IX a

Figura 6.3 6.3

0-

o e lecel as vi-

cuerpo pueden expresiones análogas y, Para los demás puntos puntos del cuerpo pueden escribirse expresiones así, la suma suma de los momentos así, momentos respecto a G de las fuerzas resultantes resultantes que se ejercen sobre todos los puntos puntos puede puede escribirse en la forma

Pero como el origen de coordenadas coordenadas se ha fijado en el centro de masa, es I,m¡x¡ = mx = I,m¡y¡ = mf¡ = O. Entonces, la suma suma de momentos queda Lm¡x¡ = mx = O Y Lm¡Yi = my = O. momentos queda

vo

de

F3 F3

0-

Diagrama Diagrama para para sólido libre sólido libre

or-

lo esesdel

de

ón, mo del

contribución a me como antes. La contribución LMe de las fuerzas interiores interiores al cuerpo es, por supuesto, nula ya que éstas aparecen aparecen en parejas de fuerzas de acción y reacción supuesto, entre puntos puntos materiales materiales contiguos. Así pues, me LMe representa representa como antes la suma de los momentos momentos respecto al centro de masa sólo de las fuerzas exteriores actúan sobre el cuerpo, tal como aparecen aparecen en el diagrama diagrama para que actúan para sólido libre. Adviértase componente de fuerza miP¡oJ Adviértase que la componente m¡p¡oJ carece de momento momento respecto a angular (Uno «i no influye en la ecuación del moG y, en consecuencia, la velocidad velocidad angular mento resultante resultante respecto al centro de masa G. G. Los resultados 6.1, o sea, en las ecuaciones resultados materializados materializados en las ecuaciones 6.1, fundamentales del movimiento fundamentales movimiento de un un cuerpo rígido en movimiento movimiento plano, se representan esquemáticamente en la figura 6.4, 6.4, que es la réplica bidimensional representan esquemáticamente bidimensional 6.1 referente a un de las partes partes a y e de la figura 6.1 un cuerpo tridimensional tridimensional cualdiagrama para fiquiera. El diagrama para sólido libre revela qué fuerzas y momentos momentos han han de figurar en los primeros El gurar primeros miembros miembros de las ecuaciones del movimiento. movimiento. El diagrama cinético revela la consiguiente consiguiente re!,puesta diagrama re.:"puesta en función del término término de traslación me la que aparecen aparecen en los segundos segundos ma y del término término de rotación rotación laque miembros 6.1.Tal miembros de las ecuaciones 6.1. Tal como se dijo antes, el término término de traslación traslación expresará por sus componentes componentes x-y, euna vez que se haya ma se expresará x-y, n-t n-t y r- euna haya elegi-


Diagrama Diagrama cinético cinético

Figura 6.4 6.4

362 CINÉTlCA PLANA DE lOS CUERPOS RíGIDOS

d

il .-r

.-r

do el sistema de referencia inercial conveniente. La equivalencia que se ilustra en la figura 6.4 es esencial para la comprensión de la cinética del movimiento plano y se empleará continuame~te en la resolución de problemas. La representación de las resultantes mil el a contribuye a garantizar que las sumas de las fuerzas y momentos determinados en los diagramas para sólido libre se igualan a sus resultantes adecuadas. Una variante de la ecuación del momento resultante. Cuando en el apartado 4.4 tratamos del teorema del momento cinético para un sistema de puntos materiales dedujimos la ecuación 4.11 siguiente referente al momento resultante respecto a un punto P cualquiera

mil

[4.11 ]

Diagrama para sólido libre

Diagrama cinético

Figura 6.5

donde p es el vector que une P con el centro de masa G y a es la aceleración del centro de masa. Tal como hemos visto anteriormente en este mismo apartado para un cuerpo rígido en movimiento plano, He se convierte en t a . Además, el producto vectorial p X me no es sino el momento, de módulo mád , de me. respecto a P. Por tanto, para el cuerpo bidimensional ilustrado en la figura 6.5 con sus diagramas para sólido libre y cinético la ecuación 4.12podemos volver a escribirla como

" (6.2) Evidentemente, los términos son los tres positivos en sentido antihorario para el ejemplo representado y el punto P se ha elegido de modo que no intervengan las fuerzas FI y F3' Si hubiéramos deseado que no intervinieran F2 y F3' tomando como centro de momentos su punto de intersección, P estaría así al otro lado del vector ma y el momento de éste respecto a P tendría sentido horario y en 6.2 aparecería con un signo negativo. La ecuación 6.2 se recuerda fácilmente puesto que no es sino una expresión del ya conocido principio de los momentos, expresión en la cual la suma de los momentos respecto a P es igual al momento combinado respecto a P de su suma, expresada por el par resultante r,Mp = i a y la fuerza resultante r,F = me . Asimismo, en el apartado 4.4 desarrollamos otra ecuación, la 4.13, del momento respecto a P que era [4.13]

Para un cuerpo rígido en movimiento plano, si como punto P se toma un punto fijo al cuerpo, entonces (Hp )rel en forma escalar es Ipa, donde Ip es el momento

de inercia másico respecto a un eje que pasa por P y a es la aceleración angular del cuerpo. Así pues, la ecuación 4.13 podemos escribirla como (6.3)

donde la aceleración de P es ap y p es el vector de posición que une P con G. Cuando p = Oel punto P pasa a ser el centro de masa G y la ecuación 6.3 se reduce a la forma escalar r,Me = i a, anteriormente deducida. Cuando ap = O,el punto P pasa a ser el punto 0, fijo en un sistema de referencia inercial y unido al cuerpo (o a éste ampliado), y la forma escalar de la ecuación 6.3 se reduce a (6.4)


a

o e

e o ate

1]

ón ede ra

01-

.2) ara ento-

tro

0-

ecuación 6.4 6.4 es pues cuerpo rígido alrededor Esta ecuación pues aplicable a la rotación rotación de un un cuerpo rígido alrededor de un un punto punto O no acelerado bidimensional acelerado fijo fijo al cuerpo cuerpo y es la simplificación simplificación bidimensional de la ecuación ecuación 4.7.

Movimiento vinculado un cuerpo puede Movimiento vinculado y no vinculado. vinculado. El El movimiento movimiento de un cuerpo puede ser libre o vinculado. vinculado. Por ejemplo, el cohete de la figura 6.6a, que se mueve mueve en plano vertical, es un un caso de movimiento pues no se un plano movimiento libre, o no vinculado, vinculado, pues limitaciones de ninguna movimiento. Aquí, las dos componencomponenejercen limitaciones ninguna clase al movimiento. tes aax y ay de la aceleración aceleración del centro de masa pueden determinarse masa pueden determinarse indepenindependientemente una de la otra aplicando dientemente una aplicando directamente directamente las ecuaciones 6.1. Por el contrario, la barra barra de la figura 6.6b representa representa un un caso de movimiento movimiento vinculado y en él las guías horizontal horizontal y vertical por las que se mueven mueven los extremos extremos de imponen una la barra barra imponen una relación cinemática entre la aceleración del centro de angular de la barra. acometer la resolumasa y la aceleración angular barra. Por ello, antes de acometer cinemática a partir ción del problema, problema, es necesario determinar determinar dicha relación cinemática partir de los principios principios establecidos establecidos en el capítulo capítulo 5 y combinarla combinarla con las ecuaciones de las fuerzas y del momento resultante. En general, los problemas problemas de Dinámimomento resultante. Dinámica en los que intervienen intervienen vínculos vínculos materiales materiales que limitan limitan el movimiento movimiento requieren un estudio cinemática cinemático previo quieren un estudio previo de la relación entre la aceleración lineal puedan resolverse resolverse las ecuaciones de las y la aceleración angular, angular, antes de que puedan fuerzas y del momento resultante. Es por esta causa que resulta resulta vital para para este momento resultante. capítulo 6 haber haber comprendido perfectamente los fundamentos procedimiencomprendido perfectamente fundamentos y procedimientos desarrollados desarrollados en el capítulo capítulo 5. Sistemas de cuerpos En aquellos casos en que haya Sistemas cuerpos interconectados. interconectados. haya que tratar con dos o más cuerpos cuerpos rígidos rígidos conectados conectados cuyos movimientos movimientos estén relacionados cinemáticamente, nados cinemáticamente, es conveniente conveniente estudiar estudiar los cuerpos cuerpos como sistema sistema completo. En la figura 6.7 6.7 se ilustran ilustran dos cuerpos cuerpos rígidos rígidos articulados articulados en A y sometidos a las fuerzas exteriores que se indican. indican. Las fuerzas que actúan actúan en la cocometidos representan. La resultante resultante de todas nexión A son interiores interiores al sistema y no se representan. las fuerzas exteriores debe ser igual a la suma resultantes suma vectorial vectorial de las dos resultantes mI al y mI a y la suma de los momentos respecto a un punto cualquiera al a22 suma momentos un punto cualquiera como P de todas resultantes todas las fuerzas exteriores exteriores debe ser igual al momento momento de las resultantes Ila podemos escribir La mlaldl l + m22aii22dd2.2 . Así pues, podemos l l + 12a2 + mliild LF

Lma Lma (6.5) (6.5)

LMp = Lla+Lmad Lla+ Lmad LMp to ento ular

(6.3)

nG. e re-

0,el 'do ce a (6.4)

Diagrama para Diagrama para sólido libre del sistema sistema

p Diagrama sistema Diagrama cinético del sistema

Figura 6.7 6.7


363 363

6.2 ECUACIONES ECUACIONES GENERALES GENERALES DEL MOVIMIENTO MOVIMIENTO

~ ~ /

~ ax

yy I I I I I ILL _ _

_

__

X X

(a) Mov imiento no vincu lado Movimiento vinculado

F

y I

I I L

X

(b) (b) Movimiento Movimiento vinculado vinculado

Figura 6.6 6.6

364 364 CINÉTICA ClNÉTICA PLANA PLANA DE LOS LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS .

donde donde los sumatorios sumatorios de los segundos segundos miembros miembros constan de tantos tantos sumandos sumandos como número número de cuerpos separados separados existan en el problema. problema. No obstante, si en el sistema quedan quedan más de tres incógnitas, las tres ecuaciones escalares independientes pendientes del movimiento movimiento aplicadas aplicadas al sistema no bastan bastan para para resolver el problema. En tales casos puede puede recurrir recurrir se a procedimientos procedimientos más elaborados, elaborados, como el del trabajo virtual virtual o el de las ecuaciones de Lagrange (que no se trata en este 1 ), o bien puede libro libro"), puede desmembrarse desmembrarse el sistema y estudiar estudiar cada porción porción por separado resolviendo el sistema de ecuaciones resultante. parado resolviendo resultante.

Procedimiento Procedimiento de análisis. análisis. Al resolver problemas problemas dinámicos dinámicos relacionados relacionados con el movimiento cuerpos rígidos, hay que seguir los pasos siguienmovimiento plano de cuerpos tes una una vez que se tenga una una idea clara de los datos y requerimientos requerimientos del problema.

.'

(1) (1) Cinemática. Primero se identificará identificará el tipo de movimiento movimiento y seguidamenseguidamente se determinarán angulares que pueden determinarán las aceleraciones lineales y angulares pueden hallarse exclusivamente con la información información cinemática disponible. En el caso de moviexclusivamente miento plano vinculado, suele ser necesario establecer la relación entre la aceaceleración lineal del centro de masa y la aceleración angular angular del cuerpo resolviendo resolviendo primero primero las ecuaciones adecuadas adecuadas de la velocidad velocidad y la aceleración relativas. Recalcamos otra vez que la resolución resolución acertada acertada de los problemas problemas de supeditada a la capacidad capacidad para para describir correctamente correctamente la cicieste capítulo está supeditada nemática nemática necesaria, por lo que se recomienda recomienda repasar repasar frecuentemente frecuentemente el capítulo 5. 5. (2) Diagramas. El (2) Diagramas. El diagrama diagrama para para sólido libre del cuerpo analizado analizado se dibujará siempre. Se un sistema Se tomará tomará un sistema de coordenadas coordenadas inercial que resulte cómodo rotularán todas las cantidades cantidades conocidas y desconocidas. El El y práctico y se rotularán diagrama cinético debe asimismo dibujarse para clarificar la equivalencia entre diagrama para equivalencia las fuerzas aplicadas y la consiguiente consiguiente respuesta respuesta dinámica. (3) Ecuaciones del movimiento. (3) fcuaciones movimiento. Al aplicar las tres ecuaciones del movimiento movimiento 6.1 6.1 hay que ser coherente con los signos algebraicos en relación con los ejes ejes de referencia elegidos. Como alternativa alternativa a una de las ecuaciones 6.1 6.1 puede puede em6.2 o la 6.3. 6.3.Se combinarán los resultados resultados obtenidos obtenidos del anáplearse la ecuación 6.2 Se combinarán cinemático que haya sido necesario realizar. realizar. Es preciso contar el número número lisis cinemática para asegurarse asegurarse de que existe un número número igual de ecuaciones inde incógnitas para dependientes. Para que un problema problema de movimiento movimiento plano de un cuerpo rígidependientes. do sea resoluble, no puede puede haber más de cinco incógnitas escalares, que es el número que permiten permiten las tres ecuaciones escalares del movimiento movimiento (6.1) (6.1) y las número componentes escalares procedentes procedentes de la ecuación de la dos relaciones entre componentes aceleración relativa. orden a seguir en un un problema problema dado depende depende de las condiciones del misEl orden mo. Para organizar organizar una resolución resolución en una secuencia de pasos lógicos se recodependencia que pueda pueda tener la cantidad cantidad mienda, antes que nada, reconocer la dependencia requerida con otras cantidades cantidades intermedias. intermedias. Siguiendo Siguiendo la pista de estas depenrequerida para llegar hasta hasta la información información disponible, disponible, se establece el el dencias hacia atrás, para orden inverso de los pasos a seguir para para resolver realmente realmente el problema. orden

1 1

Cuando un sistema interconectado interconectado posee más de un grado grado de libertad, libertad, es decir, requiere requiere más de Cuando coordenada para especificar completamente completamente su configuración, suelen generalmente generalmente emuna coordenada corresponden a un nivel más elevado que el el de esta plearse las ecuaciones de Lagrange, que corresponden Dinámica, del autor principal, (Ed. (Ed. Reverté, 1976) 1976)se se expone este método. obra. En Dinámica,


A lo largo de los tres apartados vamos a aplicar el análisis anteapartados que siguen siguen vamos rior a los tres casos de movimiento movimiento plano, es decir, traslación, rotación rotación en torno torno a un un eje eje fijo fijo y movimiento movimiento plano plano general. generaL

6.3

365

TRASLACiÓN 6.3 TRASLACiÓN

TRASLACiÓN TRASLACiÓN

un cuerpo rígido en movimiento movimiento plano plano se describió en el aparLa traslación traslación de un 5,1 y se ilustró en las figuras 5.1a y 5.1b, S.lb, donde donde se vio que todo segmento segmento tado 5.1 rectilíneo de un un cuerpo en traslación traslación permanece permanece paralelo paralelo en todo momento momento a su rectilú1eo inicial. En la traslación traslación rectilínea todos los puntos puntos describen describen trayectodirección inicial. mientras que en la traslación traslación curvilínea todos los puntos puntos describen describen rias rectas, mientras congruentes. En uno y otro caso no puede puede haber haber movimiento movimiento angutrayectorias congruentes. úJ y a son ambas nulas. Por consiguiente, lar del cuerpo en traslación, por lo que úJ segunda de las ecuaciones 6.1, 6.1,no interviene para para nada nada el momento momento de según la segunda no interviene inercia si el cuerpo está en traslación. para un un cuerpo cuerpo en traslación traslación las ecuaciones generales generales del moviAsí pues, para plano (6.1) (6.1)pueden miento plano pueden escribirse o

iía-

o El

á-

ma

LF

n

(6.6) (6.6)

la = = O O Ia

una traslación traslación rectilínea, como la ilustrada ilustrada en la figura 6.8a, 6,8a, si el eje x se Para una toma en la dirección de la aceleración, las dos ecuaciones escalares de las fuerquedan I,Fx = max mú; y I,F = ma mayy = = o. O.Para una traslación traslación curvilmea, curvilínea, como zas quedan LFx = LFy Para una y = ilustrada en la figura 6.8b, empleando empleando coordenadas coordenadas n-t, n-t, las dos ecuaciones esla ilustrada quedan I,FI1 = ma m~11 = ma má.,t . En ambos casos I,Me = O. O. calares de las fuerzas quedan LFn = LFt = LMe = n y I,F¡ Podemos asimismo aplicar la variante variante 6.2 6.2 a la ecuación del momento momento resulPodemos ayuda del diagrama diagrama cinético. Para una una traslación rectilínea vemos traslación rectilínea tante, con la ayuda = mad mád y I,M = O. O.Para una traslación curvilínea el diagrama diagrama cinético que I,M LMpp = LMAA = Para una traslación curvilmea nos permite permite escribir LM mandA en sentido sentido horario horario y I,M matdB B en senLMAA = mandA LMBB = matd disponemos de libertad libertad completa completa para para elegir el centro tido antihorario. antihorario. O sea, disponemos momentos que convenga. convenga. de momentos

ro

in-

giel las la

Trayectoria de G Trayectoria

,-

//

,'"

//

F2~~ F2

//

G

\

¡(

//

•

F1

,- X

ma

// // //

is-

,-

//

~

,-/\ ~

A

Trayectoria '" Trayectoria " ./ deG // deG /" //

-F3

is de emesta

Diagrama para sólido libre Diagrama para sólido (a) (a)

Diagrama cinético Diagrama cinético

......--

G

a, al

----

\

\ \

\ a" n11

Diagrama para para sólido sólido libre libre Diagrama

Traslación recti rectilínea Traslación línea (a= 0, w= (a= OJ= O)

me,

~-

-""

\ \ \

n11 Diagrama cinético cinético Diagrama

(b) Traslación Traslación curvilínea curvilínea (b) (a=O,w=O) (a=O, OJ=O)

Figura 6.8 Figura


_ t

- t

PROBL EMA TIPO PROBLEMA TIPO 6.1 6.1 I

Partiend o del Partiendo delreposo, reposo,lalacamione camioneta alcanta alcanza za una una celeridad celeridad de de50 50 km/h km/h en en una una disdistancia tancia de de60 60 m m subiendo subiendo por por lalapendient pendientee del del 10 10 por por ciento ciento con con una una aceleraci aceleración ón constant e. Calcular constante. Calcular lalafuerza normal que que fuerza normal actúa actúa bajo bajo cada cada pareja pareja de de ruedas ruedas yy lala fuerza fuerza de de rozamien rozamiento que actúa actúa bajo bajo las las to que ruedas ruedas motrices matrices posterior posteriores. Se sabe sabe que que es. Se elel coeficien te de coeficiente de rozamien rozamiento entre las las cucuto entre biertas biertas yy lala calzada calzada es es de de 0,8 0,8 como como mínimínimo. mo.

Solució n. Solución.

Sin esta esta hipótesi hipótesiss nos nos veríamo veríamoss obliobliCD Sin tener en en cuenta cuenta las las fuerzas fuerzas gados aa tener adicionales relativamente pequeñas adicion ales relativa mente pequeñ as que son son el el origen de de los los momen momentos que tos que confiere confierenn a las ruedas ruedas su su aceleaceleque ración angular angular.. ración

= -=1 --==1

10 10

Supond remos que Supondremos que la la masa masa de de las las ruedas ruedas es es desprec despreciable comparada

iable compar ada CD o, que podemo CD con con la la masa masa total total del del vehícul vehículo, podemoss asimila asimilarlo rígido rlo ahora aa un cuerpo rígido único ón rectilíne único animad animadoo de una traslaci traslación rectilíneaa con una acelerac aceleración ión

00

- = (50/ 3,6)2 = = 1608 1608 / 2 a- = (50/3,6)2 2(60) 2(60) .ouo m s , m

[v22 == 2as] 2as]

El eta comple El diagram diagramaa para para sólido sólido libre de la camion camioneta completa muestra las fuerzas ta muestra normale s NI y Nz, la fuerza rozamie nto F opuesta normales NI y N2, la fuerza de de rozamiento opuesta al deslizam deslizamiento iento de las ruedas motrices y y el peso P P == mg represe ntado por por sus dos compon das motrices el peso mg representado componentes. Siendo 8 8 == entes. arctg / 10 = 5,71 0, dichas compon entes son mg 0= arctg 11/10 = 5,71°, dichas componentes 1500(9,81)cos5,710 mg cos 8 = = 1500(9,8 1)cos 5,71 = 14,64(lc P)3)N N Ymg Y mg sen sen 8= 8 = 1500(9,8 1) sen 5,71 °0= 14,64(10 1500(9,81)sen5,71 = 1,464(10 1,464(1033).).Enel En el diagrama diagram a cinético se representa represe nta la la resultante resultan te aplicada aplicad a en el centro centro de masa se masa y en en la dirección dirección de de la la aceleración de éste. aceleración éste. Su módulo módulo es

Recuérdese km/h equival equivalee aa o Recuérd ese que 3.6 km/h mis. 11 mIs.

yy

ma. =

má =

1500(1,608) = 2411 1500(1,608) 2411 N

Aplican do las las tres tres ecuaciones ecuaciones del del movimiento movimi ento 6.1 resulta Aplicando resulta (hay (hay tres tres incógniincógnitas):

®

FF --

[í:F y = ma ma .---~

1461 == 2411 2411

3875 N N FF == 3875

ma. y = O]

(a) (a)

.--- ..•..

Bl-·--~1~

-

o® Debe Debe eludirse eludirse aquí aquí la la aplicación aplicación de de la la fórmula fórmula del del rozamiento rozamie nto FF==J.lN, f.lN, ya ya que que no no estamos estamos ante ante un un caso caso de de deslizamiento deslizamiento ni ni de de deslizamiento deslizamiento inminente. el coeficiente inminente. Si Si el coeficiente de de rozarozamiento miento dado dado fuese fuese inferior inferioraa 0.48, 0.48, lala fuerza fuerza de de rozamiento rozamie nto sería sería J.lN pN22 yy el el vehículo vehículosería seríaincapaz incapazde dealcanzar alcanza rlala aceleración acelerac ión de de 1,608 1,608 m/s m/s2•2 • En En tal tal caso caso las las incógnitas incógnitasserían serían NNJ, ], N: N 2Ya. Ya.

[í:M e == la la == O] O] [L:Me

Resp. Resp.

1,5N1I ++3875(0,6)3875(0,6) - N2(1,5) N 2(1,5) == O O 1,5N

(b) (b)

Resolvi endo el el sistema sistema formado formad o por por las las ecuaciones ecuacio nes (a) Resolviendo (a) yy (b) (b) se se tiene tiene NI == 6546 6546 N N NI

N22 == 8096 8096 N N N

Resp. Resp.

Para soportar soporta r una unafuerza fuerza de de rozamiento rozamie nto de de3875 3875N, Para N,hace hace falta falta un 1.mcoeficiente coeficiente de rozamie nto mínimo mínimo de de FF/ /NN22== 3875/8096 3875 / 8096 == 0,48. 0,48.Como de rozamiento Como elel coeficiente coeficiente de de rorozamien todel delproblema problem aes esde de0,8 0,8por porlo lomenos, menos, las lassuperficies zamiento superfic iesson sonlo lobastante bastant erurugosaspara parasoportar soporta relelvalor valorcalculado calculad ode gosas deFFyyelelresultado resultad oes escorrecto. correcto . Otroprocedimiento. procedimiento. En Eneleldiagrama diagram acinético cinéticovemos vemosque Otro NI que NIyyNN22pueden puedenobteobtenerseindependientemente indepen dientem enteuna unade deotra otraescribiendo escribie ndounas nerse unasecuaciones ecuacio nesde demomenmomen tosseparadas separad asrespecto tos respectoaaAA yyaaB.B.

366 366


3) 3 ) - 0,6(1464 2N 22 -- 1,5(14,6 1,5(14,64)(10 0,6(1464) ) = 2411(0,6 2411(0,6) ) 4)(10 2N N = 8096 N 8096 N N22

mad] [LMA A = = mad] [LM

2411(0,6) 14,64(1033)(1,5) 1464(0,6) ) - 3N 3N 1I = 2411(0,6) )(1,5) - 1464(0,6 14,64(10 NI 8096 N N = 8096 NI =

[LM B = mad]

Resp. Resp.

Resp. Resp.

el libre yy el para sólido @ miembroo de la ecuación procede del diagram diagramaa para sólido libre ecuación procede primer miembr El primer 4 El

suma las suma positivo asignad segundo miembro sentido positivo asignadoo aa las El sentido cinético. El diagrama cinético. miembro del diagrama segundo la de la os miembr ambos para mismo de momentos es arbitrario, pero debe ser mismo para ambos miembros de el ser de momentos es arbitrario, pero debe ario antihor sentido el positivo ecuación. En este problema ha tomado como positivo sentido antihorario como tomado se a ecuación. En este problem resultante. para momentoto respecto respecto a B fuerza resultante. B de la fuerza el momen para el

PROBLEMA TIPO 6.2

su La barra vertical vertical AB 150 kg tiene tiene su AB de 150 centro su punto medio yy se punto medio G en su masa G de masa centro de por o, por en e = eleva, partiendo reposo en = O, partiendo del reposo eleva, paraleconexión paralemedio barras de conexión medio de las barras despreciable merced a un un able yy merced masa despreci las de masa par constante e momento constant fuerzas de momento par de fuerzas inM= barra inaplicado en C aa la barra m·kN aplicado = 5 m·kN aceleraferior. Hallar en función función de e la aceleraferior. Hallar conexión angular ex de las barras de conexión a de ción angular sobre la barra yy la fuerza que se ejerce sobre barra fuerza B que O B en el instante instante en que que e == 30° 30° DB

CD En

mejor líneas generales, la mejor muy generales, líneas muy referende referenmanera ejes de elegir los ejes manera de elegir con las cia es haciéndolos coincidir con haciéndolos coincidir cia cuales se direcciones según las cuales direcciones según acede la aceexpresan compon entes de expresan las componentes masa. Examíleración centro de masa. del centro leración del tiene que tiene nense consecuencias que nense las consecuencias ejes en tomar ejes en problema tomar este problema en este horizontal. direcciones vertical y horizontal. direcciones vertical

curvilín ea traslaci ón curvilínea una traslación Solución. Se ve que el movimiento barra es una movimi ento de la barra ve que n. Se Solució masa de masa centro el Como ento. puesto que no gira en conjunto durante movimiento. de movimi el conjunt o durante puesto que no gira será que t, y n adas coorden unas os CD G describe un movimiento circular, tomaremos unas coordenadas n y t, que será tomarem , circular G) G describ e un movimi ento ente compon la iable, desprec es lo más cómodo. Dado la barras despreciable, componente barras las de masa que Dado . lo más cómodo AC de AC libre de para sólido libre tangencial de la fuerza en A se obtiene del diagram diagramaa para At de ial At tangenc dirigida está B en fuerza La kN. 3,33 kN. en el el que que LM LMe == y = MI/ AC fuerza B dirigida / 1,5 = 3,33 = 55/1,5 AC = A t =M Y A¡ en c las todas las verse todas pueden verse aa lo diagramaa para sólido libre pueden barra. En el diagram la barra. de la largo de lo largo te resultan la donde , cinético a fuerzas aplicadas y también diagrama cinético, donde resultante diagram el indica se fuerzas aplicad as y también entes. compon dos sus m a aparece componentes. de función en 111 a depend en Y B dependen An YB La secuenc secuencia resolutiva cuenta que An teniend o en cuenta establec e teniendo va se establece ia resoluti La 30°. e = 30°. en al r m por y, de la suma de las componentes n de las fuerzas por ello, de mr alen e= de la suma de las compon entes estase encia depend e. con El valor de úJ depende de la variación ex = Esta dependencia se esta= a de n variació El valor de úJ depend e gevalor gepara un valor blece suma de las compon componentes direcciónn t para entes en la direcció una suma median te una blece mediante con comenz amos con pues, comenzamos nérico de e, donde donde a á,t = = (a tt) ) A = = ACex. ACa. Así pues, nérico de

o

=°°

t

,

t () '( mra\

.

\

\

B

G c \•. \

n/ ~

n/~

!

n

"

0,15(9,81)

A,: -\

kN

A,

ee

[LF

t =

3,33 - 0,15(9,81) 0,15(9,81) cos 3,33

mat]

ee =

0,15(1,5 0,15(1,5ex)a)

e

ex 14,81 - 6,54 si rad / si 6,54 cos e radl a == 14,81-

Conociendo exen en función de endo a Conoci [úJ [úJ

d úJ == a ex de] de] dúJ

Resp. Resp.

de obtiene de barras se obtiene e, la velocid velocidad angular úJ de las barras ad angular

f~

f~

úJ úJ

f~

= f~ (14,81(14,81- 6,54 6,54 cos e) e) de de = m2 e - 13,08 13,08 sen e e 29,6 e w2 = 29,6

dt» dúJ

fuerzas y de o de las fuerzas ecuaciones de las ecuaciones ® las

de cuerpo de los momentos para un cuerpo momentos para iguales a hacen iguales masa despreciable se hacen masa despreciable equilibrio. Por las ecuaciones ecuacio nes de equilibrio. como un tanto la barra BD actúa como actúa BD barra tanto equilimiembro fuerzas en equilide dos fuerzas miembro de brio. brio. 367


Sustitu yendo Sustituyendo

por30° resulta resulta epor30°

(c02ho" = 8,97 (rad/s)2

aa30 30"

0

9,15 9,15rad/ rad/ s2 s2

yy

mrc02 )(8,97) = mraJ2 = == 0,15(1,5 0,15(1,5)(8,97) == 2,02 2,02kN kN mra = 0,15(1,5 )(9,15) === 2,06 mr a == 0,15(1,5)(9,15) 2,06kN kN La puede obtener se de una suma de momen La fuerza fuerza B Bpuede obtenerse momentos A que elielitos respecto aa A mine Aw Al Y el mine A", Al Y el peso. peso. O O bien bien puede tomarse tornarse una una suma de momen momentos tos respecto a la ción de la intersec intersección de AII AIl con con la la recta soporte de de m ra, con lo lo que no intervie intervienen A ni ni nen A mra. do A como mra . Toman Tomando corno centro centro de momen momentos se tiene tos se

a

[LM [LMAA = == mad] miid]

1,8 ) cos 30· 1,8 cos cos 30· 30·B B === 2,02(1,2 2,02(1,2)cos 30· + 2,06(1,2 2,06(1,2)sen 30· ) sen 30· B B === 2,14 2,14 kN

Resp.

La ente An se de una suma de fuerzas en la direcció La compon componente An podría podría obtener obtenerse direcciónn nn oo de tos respecto a G oo respecto a la intersec de una una suma suma de de momen momentos intersección B con con la la ción de B recta soporte de m ria a.

" ,

PROB PROBLEMAS LEMAS Problemas introductorios Problem as introdu ctorios 6.1 ¿Para qué acelerac 6.1 aceleración a del bastido bastidorr se mantendrá la vavaión a manten drá la rilla delgada uniform e en la posición delgada uniforme Se despredespreposició n representada? represe ntada? Se cian el rozamiento rozamie nto y la masa de los rodillos A A yy B. B. Resp. ==g J3 Resp. a =g

la puede aplicars la fuerza fuerza máxima máxima P P que puede aplicarsee sin que el embalaj embalajee vuelque alreded or de Ca) borde delante vuelque alrededor (a) su borde delantero h = =b b Y (b) ro con h (b) su su borde trasero con h == O. borde O. 6.3 Una varilla varilla delgada uniform e descans 6.3 Una delgada uniforme descansaa sobre un asiento de automó vil tal corno se muestra . Hallar Hallar la desacel to de automóvil como muestra. desaceleración eración para la la cual cual comenzará comenz ará a volcarse volcars e hacia adelante. aa para supone adelant e. Se supone que el el rozamiento rozamie nto en B basta basta para para impedir impedi r el resbalamiento. que resbalam iento. Resp. aa = = 5,66 5,66 m/s2 Resp. m / S2 Vertical Vertical


A

, 1

~ --,I

embalaj e homogéneo homogé neo de masa 6.2 El embalaje masa m m está montado montad o sobre sobre ruedeci llas instaladas instalad as en sus bordes ruedecillas bordes delantero delante ro yy trasero. trasero. Hallar Hallar

30°1

90°

ee

iB

Horizon tal ~~ Horizontal

aa Figura problema problem a 6.3 Figura 6.3


6.4 El poste poste uniforme uniform e de de 100kg 100 kg pende pende en 6.4 El en posición posició n horizonhorizon tal de de los los tres tres cables cables representados. represe ntados. Si se rompe tal rompe Cb, CB, calcular calcular la la tracción que que sufre sufre BD BO inrnediatemente inmedia temente tras tracción tras la la rotura. rotura. (Sugeren(Sugeren cia: Eligiendo Eligien do cuidadosamente cuidado sament e el el centro cia: centro de de momentos momen tos puede puede resolve rse con una sola sola ecuación ecuació n de resolverse con una de movimiento.) movimi ento.)

368 368


ción máxima. La masa de las ruedas es pequeña comparada con la total del vehículo. El coeficiente de rozamiento estático entre la calzada y las ruedas posteriores motrices es 0,8. Resp. NA = 6,85 kN, NB = 9,34 kN

o

e 2,5 m

2,5 m

Figura problema

6.4

6.5 Cuando a la cortadora de césped de tracción trasera se le conecta la transmisión estando en reposo, se observa que sus ruedas traseras patinan momentáneamente mientras se acelera. Si los coeficientes de rozamiento entre las ruedas traseras y el suelo son {Le = 0,7 Y {Le = 0,5, hallar la aceleración hacia adelante de la máquina. La masa de ésta y del saco unido a ella es de 50 kg con el centro de masa en G. Se supone que quién la acciona no empuja sobre la empuñadura, por lo que P = O. Resp. a = 4,14 mi S2

P

A

A 1400rnm

1200 k-mm

1200jB mm

Problemas

representativos

6.8 El brazo AB de un acelerómetro clasificador tiene una masa de 0,1 kg con centro de masa en G y en A está articulado libremente al armazón F. El resorte de torsión que rodea a A está ajustado de modo que el brazo sufre la precarga de un momento horario de 225mm- . Hallar la aceleración descendente a del armazón para la cual se separan los contactos en B y se abre el circuito eléctrico. 27 mm

36 mm

Figura problema

6.7

Figura problema

6.5

B

C~ F

'n

ne

--

¡a

6.6 Al descender por la pendiente del 10°, el ciclista aplica los frenos. ¿Qué desaceleración a provocaría el peligro de un vuelco alrededor de la rueda delantera? El centro de masa de la bicicleta y el ciclista se halla en G.

Figura problema

6.8

6.9 Hallar el valor de la fuerza P que iniciaría el vuelco del armario. ¿Qué coeficiente {Le de rozamiento estático hace falta para que el vuelco no vaya acompañado de deslizamiento? a 2 Resp. P = 392 N, {Le > g :3

O,4m 0,4 m I+-------+-

~

50kg

Figura problema

I C·

6.6

on-

ede

~

J

~í6m

rla

ren-

1 0,6 m

p

6.7 El centro de masa del automóvil de 1650 kg está en G. Calcular las fuerzas normales NA YN B entre la calzada y las parejas de ruedas delanteras y traseras en condiciones de acelera-

A

---l.

.

Figura problema

• 110kg

6.9

369


6.10 impulsado por 6.10 El coche de un un monorraíl monorrat1 aéreo es impulsado por una una aquélla para de las pequeñas pequeñas ruedas ruedas A o B. Elegir aquélla para la cual el coaceleración sin que se deslice la rueche puede puede recibir la mayor mayor aceleración aceleración máxima da motriz motriz y calcular la aceleración máxima si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas limitado a rozamiento efectivo entre ruedas y el raíl está limitado 0,25. Se desprecia desprecia la pequeña 0,25. pequeña masa de las ruedas. ruedas.

A¡5m A¡5m


Si la aceleración aceleración horizontal el pasador pasador O y el rodillo rodillo A. A. Si horizontal del bastidor es a == 20 mi s2,calcular fuerza FA tidor m i s2, calcular la fuerza FA que sufre el rodillo rodillo y las componentes pasador O. componentes x e y de la fuerza fuerza que soporta soporta el pasador 6.13 abierta del camión 6.13 En la plataforma plataforma abierta camión se transporta transporta el taladro de columna columna de centro de masa G. Si el conductor conductor se olviladro amarrar la máquina da de amarrar máquina al vehículo, vehículo, hallar hallar la aceleración máxima adquirir sin que el taladro máxima a que éste puede puede adquirir taladro resbale ni vuelque vuelque en torno torno al punto punto A de su base. El coeficiente de rozamiento entre la plataforma 0,60. miento estático entre plataforma y el taladro taladro es de 0,60. Resp. s2 Resp. a == 4,91 4,91 mi m i s2

1200 mm mm

600 mm

--a

A

.' ,

6.11 cilindros homogéneos 250 mm 6.11 Los cilindros homogéneos de 400 400 mm de alto y 250 diámetro descansan descansan en una transportadora plana de diámetro una cinta transportadora plana que celeridad de la cinta aumenta aumenta se mueve mueve horizontalmente. horizontalmente. Si la celeridad según v == 1,2 + 0,9 0,9 t2, donde donde t es el tiempo segundos medido según tiempo en segundos medido instante en que se inicia el aumento aumento de celeridad, celeridad, calddesde esde el instante cilindros comenzarán comenzarán a volpara el cual los cilindros cular el valor de t para listones impiden impiden que los cilindros cilindros resbalen. carse. Los listones Resp. t == 3,41 Resp. 3,41 s

Figura problema problema 6.1 3

6.14 carrito B derecha con una 6.14 El carrito B se mueve mueve hacia la derecha una aceleradesviación angular angular estacionaria estacionaria de la varilla varilla ción a == 2g. Si la desviación delgada uniforme observa que es de 20°, 20°, hallar delgada uniforme de masa masa 3m se observa hallar constante K del resorte resorte de torsión. Éste, que ejerce el valor de la constante K(}, está sin deformar deformar cuando cuando sobre la varilla varilla un un momento momento M == K8, 0,5 kg Y 0,6 0,6 m, la varilla varilla está vertical. Los valores valores de m y 11 son 0,5 respectivamente. extremo, de masa m, se respectivamente. La pequeña pequeña esfera ddel el extremo, tratará tratará como una una partícula. partícula.


6.12 OB de 30 kg está unida 6.12 La barra barra uniforme uniforme OB unida al bastidor bastidor acelerado en la posición acelerado posición a 30° respecto respecto a la horizontal horizontal mediante mediante

_

a

Figura problema 6.14 problema 6.14 B


6.15 cargado de 900 900 kg tiene su centro de masa 6.15 El remolque remolque cargado enganche del parachoques en G y está sujeto en A al enganche parachoques trasero. Si automóvil y el remolque alcanzan una el automóvil remolque alcanzan una velocidad velocidad de 60 km/h, km / h, carretera horizontal, distancia de 30 m parsobre una una carretera horizontal, en una una distancia tiendo reposo y con una aceleración constante, constante, calcular calcular la tiendo del reposo una aceleración componente vertical fuerza soportada soportada p~r enganche A. componente vertical de la fuerza por el enganche A.

370 370


las rozamie nto ejercida sobre las Despreciar fuerza de rozamiento pequeñ a fuerza Desprec iar la pequeña ligeras. ruedas relativamente ligeras. mente ruedas relativa N = 1389 Resp. 1389 N Ay = Resp. Ay

índice solidaun índice dentado conjugado engranajeje C que lleva un el engrana do ddel dentado conjuga dereh acia la derehorizon tal a rio. a hacia uniform e horizontal acelerac ión uniforme una aceleración Bajo una rio. Bajo ario antihor angular antihorario cha, desplaz amiento angular un desplazamiento sufre un sector sufre el sector cha, el O. = o. 8 nula ión acelerac de n constante aceleración nula e = posició respecto a la posición 8, respecto constan te e, 8. ángulo un e ondient Hallar la aceleración correspondiente a un ángulo e. corresp Hallar acelerac ión e8 g tg "66 = g Resp. Resp. aa = de 66 AC de bastido r AC Bajo la acción de la fuerza fuerza de 80 N, el bastidor desse 1 d longitu Y kg 4 AB de kg delgada uniforme Ylongitud 1 desuniform e AB barra delgada Y la barra kg Yla fija. tal horizon varilla lizan sin rozamiento a lo largo de la varilla horizontal fija. Callargo lizan sin rozamie nto entes compon y BC cular la tracción T que el cable BCy las componentes xx ee sufre cular tracción moviA. El movipasado r A. barra el pasador yy de fuer za que ejerce sobre la barra la fuerza de la vertical. plano vertical. miento lugar en el plano miento tiene lugar 6.18 6.18

A

~,..=.l::=:::;o!.:::::::-T 0,5 m

~1,2m

k-l,2m


SON 80

fuerza necesaHallar direcció n e8 de la fuerza módulo P y la dirección Hallar el módulo la a la S2 a m i S2 = 1,5 mi atrás hacia ión ria para comunicar una aceleración hacia atrás a = acelerac una car ria para comuni roque sin ntada represe carretilla cargada desde la posición representada y sin que rodesde cargada a carretill kg te. carretillaa y su carga es de 190 190 kg combin ada ddee la carretill m asa combinada La masa te. La B en normal fuerza la rar con normal en B Compa G. Comparar m asa en G. con centro de masa esio equilibr cuando misma cuando hay aceleración con la misma cuando hay equilibrio esión acelerac cuando rozamie nto y la tático Desprec iar el rozamiento figura. Despreciar posició n de la figura. la posición en la tá tico en a. masa de la rued rueda.

6.16 6.16

.

A

B B 6.18 Figura problema 6.18 Figura problema

uniforbarra uniforEllaminador componee de la barra rodillos se compon d e rodillos El laminad or de sohacen fuerza me fuerza solivianos que hacen rodillos livianos d os rodillos ACB con dos 2 kg ACB de 2 me de largo a hapado contrac bre las caras superior e inferior de un contrachapado lo largo un bre las caras superio r inferior rodillo sobre el concada rodillo Hallar la fuerza que ejerce cada borde. Hallar el borde. ddel en fuerza de 50 N en una trachapado cuando a la barra se aplica una fuerza barra cuando ado trachap rozamie ntos. todos los rozamientos. la Desprec iar todos represe ntada. Despreciar posició n representada. la posición N = 134,9 Resp. 79,6 N, C = 134,9N = 79,6 Resp. B = 6.19 6.19

a

se

200mm 200 mm 6.16 Figura problema 6.16 Figura problema A

axmazó n compone de un armazón El mecanismo representado ntado se compone mecani smo represe un sector torno a O un vertical libreme nte en torno A sobre el que gira libremente vertical A

6.17 6.17

36

B Cotas en milímetros milímetr os 6.19 Figura problema 6.19 Figura problema asa .Si

Ih, arla eA.

kg. ABC de 20 kg. La uniformee ABC transpo rta la viga uniform camion eta transporta La camioneta una te median El extremo A está sujeto al de la caja mediante una cuerfondo El extremo su ponerse que las suPuede suponerse da sulongitu d. Puede horizon tal de corta longitud. d a horizontal zaguera son puerta zaguera perficies entre la viga y la puerta contact o en B entre de contacto perficies de

6.20 6.20

6.17 a 6.17 Figura problem problema Figura

371 371


lisas. Si el vehículo arranca con aceleración inicial a = 3 mi s2, hallar la correspondiente fuerza en B.

Figura problema

6.23 El bloque A y la barra sujeta a él tienen una masa total de 50 kg Yestán obligados a moverse a lo largo de la guía a 600 bajo la acción de la fuerza aplicada de 800 N. La masa de la barra uniforme horizontal es de 15 kg Yestá soldada al bloque en B. El rozamiento en la guía es despreciable. Calcular el momento flector M ejercido por la soldadura sobre la barra en B. Resp. M = 196,0 m-N

6.20

6.21 La barra uniforme de acero AD está rígidamente unida al vaso, que recibe una oscilación armónica tal como se indica. Despreciando el peso de las barras comparado con otras fuerzas actuantes, hallar el momento flector máximo M que se induce en la barra durante su oscilación vertical para una amplitud Yo = 3 mm y una frecuencia n = 6 ciclos por segundo. Resp. M = 0,417 m-N

·' .

6.23

Figura problema

6.24 A la cómoda se aplica la fuerza P = 400 N tal como se muestra. El centro de masa G del mueble coincide con su centro geométrico. Hallar las variaciones porcentuales nA Y nB de las fuerzas normales en A y B con relación a los valores estáticos cuando P = O.

P=400N 15O=------~1/2--

.q I

t

y

= Yo

Figura problema

.uc = 0,4 } .uc=0,2 ~

sen Zn ni

6.21

11

I

__ ¡/2--1

'1

4

G

I

A

B

Figura problema

6.22 El dispositivo de la figura oscila horizontalmente de acuerdo con x = b sen ox, donde b y ro son constantes. Hallar y representar la fuerza T -en la barra ligera fija a A como función del tiempo t. La masa de la varilla delgada uniforme es m. x = b sen wt

¡j4 t

6.24

6.25 Un reactor comercial aterriza a 200 km/h y reduce su celeridad hasta 60 km/h merced al empuje negativo R que producen los inversores de chorro a lo largo de 425 m de pista y

. A

v

~ • p

Figura problema

~

6.22

•.•.•.•.•.•.•.•.. G

......"",

~~t

Figura problema

372


6.25

de esde aparatoes delaparato total del masa total Lamasa constan te. La con desacel eraciónconstante. condesaceleración la bajo N reacción la r Calcula G. en masa de 140Mg con centro de masa en G. Calcular la reacción N bajo la centro 140 Mg con la de antes y frenado de período del final al rueda de morro al final del período de frenado y antes de la morro de rueda fuerlasfuerbajas,las velocid adesbajas, mecánic o.AAvelocidades aplicación frenado mecánico. del frenado aplicacióndel desprec iarse. puedendespreciarse. pequeñ asyypueden sonpequeñas zas aerodin ámicas son zasaerodinámicas kN 257kN Resp. NN == 257 Resp. kg 2000kg de2000 masade unamasa tieneuna cargadatiene minera cargada La vagone ta minera La vagoneta ligera barra ligera la barra median te la remolq ue mediante de remolque vehícul o de Yestá al vehículo sujeta al Y está sujeta acelerac ión unaaceleración tieneuna remolq uetiene de remolque vehículo de articulada elvehículo Siel CD. Si articula daCD. las bajo las reaccion es bajo corresp ondientes reacciones las correspondientes de calcular las S2, calcular mis2, de 33 mi B. tamaño AA yy B. pequeñ o tamaño de pequeño ruedas de ruedas 6.26 6.26

alallugar aproxim adas dimens ionesaproximadas lasdimensiones danlas Sedan lanzam iento.Se delanzamiento. lugarde Las G.Las de masaG. demasa centrosde loscentros delos posicio nesde lasposiciones estructu rayylas delalaestructura masas aproximadas son mA = 3 Gg, mB = 3,3 Gg, me = 0,23 Gg, masas aproxim adas son mA = 3 Gg, mB = 3,3 Gg, me = 0,23 Gg, desde mo pararsedesde parapararse necesar iapara mínimanecesaria distanc iamínima Ladistancia Gg.La mo == 33Gg. lalaceleridad máxima de 1,5 km/h es 0,1 m. Calcular la compocompola r Calcula celerida d máxima de 1,5 km / h es 0,1 m. dunente delante roFFduorugadelantero trenoruga bajoeleltren reacciónbajo delalareacción verticalde nentevertical . rante el período de des aceleración máxima. máxima rante el período de desacel eración Resp. MN 59,5MN Resp. FF== 59,5

punto 6.28 enelelpunto libreme nteen giralibremente acodad a gira uniform e acodada barrauniforme Labarra 6.28 La PP del cursor, el cual se desplaza por la varilla horizontal. Hallar Hallar tal. horizon varilla la por a del cursor, el cual se desplaz ¿Para el 2. ¿Para (b) aa== ggI12. OY(b) (a) aa== OY ángulo 88 sisi (a) delángulo estacion ariodel valorestacionario el valor qué valor de a sería cero el valor estacionario de (f? ff? de ario estacion valor el cero qué valor de a sería a

400 400

2000 1000 1000 600 2000 milímetr os Cotas en milímetros Cotas 6.26 problem a 6.26 Figura problema Figura


se Il-

lanzam iende lanzamienA de platafor ma móvil A La figura muestra la plataforma figura muestra sin cohete sin el cohete umbilic al B, junto con la torre umbilical to del Saturno Saturno V junto B, el sistema al lleva rtador oruga combustible e y el transpo transportador oruga D que que lleva al sistema tible C combus 6.27 6.27

de ti-

emba6.29 transfer ir embapara transferir sirve para articula do sirve paralelo gramo articulado El paralelogramo 6.29 El lajes de la plataforma A a la plataforma B.La presión del aceite presión La B. rma platafo la a A lajes de la platafo rma endel cilindro hidráulico está programada para que el movimienmovimi para ada program está ico del cilindro hidrául to desde e = Ohasta 8 = 8 ni suave siguiendo la ley do siguien suave sea 3 nl = 0 8 = e hasta O to desde e = 0

"6n( 1 -- cos cos"2 nt) t son son segund segundos. Hallar la fuerza soos. Hallar donde t ~t),,donde e8 == ~(1 bre el el pasado pasadorr de de D D (a) (a) inmedia inmediatamente despuéss de iniciado el tamente despué bre movimiento, siendo 8 todavía cuando t == 1 s. s. El El emcuando (b) y cero, movimi ento, siendo 8 todavía cenel Y balaje y la plataforma tienen Yel cenkg 200 de total masa una balaje y la platafo rma tienen barras tro de masa de la combinación G. La barras las de masa La G. en está ación tro de masa de la combin es pequeñ pequeñaa yy puede puede desprec despreciarse. iarse. es Resp. (a) (a) D D == 1714 1714 N, N, (b) (b) D == 2178 2178 N Resp.

su ro-

y

......:



373 373


6.30 6.30 ElElparalelo paralelo gramo gramo articula articulado delalafigura figura sesemueve mueve en enelel do de plano plano vertical vertical con conlalabarra barra uniform uniformee EF EFde de88kg kgsujeta sujeta aalalaplaca placa en en elel punto punto EE median mediante un pasado pasadorr soldado soldado tanto tanto aa lala placa placa te un como como aalalabarra. barra. AAlalabiela biela AB AB se se aplica aplica un un par par de de fuerzas fuerzas (no (no indicad indicado) en torno torno alal pasado pasadorr inferior inferior alal objeto objeto de de impulsa impulsarr aa o) en las las dos dos bielas bielas en en sentido sentido horario horario. . Cuando Cuando e()llega los 60°, 60°, amamllega aalos bas bas bielas bielas poseen poseen una una acelerac aceleración una velocid velocidad angulares ión yy una ad angular es de de 66rad rad I IS2S2y rad IIs2, s2,respecti respectivamente. Calcularr los los módulo móduloss y 33rad vamente. Calcula de de lala fuerza fuerza FF yy del del momen momentoto M Mque que en en ese ese instante instante soporta soporta elel pasadorr en en E. E. pasado

""-

sao 500

B

Cotas os Cotasen enmilímetr milímetros Figura a 6.32 Figuraproblem problema 6.32

Pasador Pasa dor soldado soldado '--_~

~-~---

"

_ _ ___ _ _.-.C-/F "'/ F

. _ . - Horizon tal

.


6.33 asa coincid 6.33 El El embalaj embalajee de de 900 900 kg, kg. cuyo cuyo centro centro de de m masa coincidee con con su rico, cuelga su centro centro geomét geométrico, cuelga por por A A yy BB de de sendos sendos cables cables yy por por eC de de una una cuerda cuerda que que lo lo mantien mantienenen en en un un plano plano vertical vertical. . Si Si la la cuerda se suelta repenti nament e cuando cuerda se suelta repentinamente cuando e () == 60°, 60°, calcular calcular la la tracción tracción que que sufre sufre el el cable cable A A un un instante instante despué después.s. Resolve Resolver,r, priprimero, ndo tres nes ddee movimi ento para mero, escribie escribiendo tres ecuacio ecuaciones movimiento para las las tres tres incógni tas y, ndo una incógnitas y, después después, , escribie escribiendo una sola sola ecuació ecuaciónn de de equiliequilibrio. rar las mientos. brio. Compa Comparar las ventaja ventajass de de los los dos dos procedi procedimientos. Resp. Resp. TTAA == 1616 1616 N N

6.31 Las dos dos ruedas ruedas del del verucul vehículoo están están enlazad enlazadasas m mediante ediante la biela biela AB de de 20 kg kg cuyo cuyo centro centro de de masa masa está está en en G. G. La La biela biela está está articula articuladada a una una rueda rueda en B, en A el pasador entra en en una raB, yy en A el pasado r entra una ranura nura horizon horizontaltal de de la biela. biela. Si el el verucul vehículo o lleva lleva una celeridad d una celerida constan constantete de de 4 mi s, hallar soporta hallar el el módulo módulo de de la la fuerza fuerza que que soporta el pasador () = 300. pasado r de de BB en en la la posición posició n e = 30°. Resp. 188,3 N Resp. B B= = 188,3 N

A

e

;':0 mm

d. 1

1 900 mm


6.34 La La barra barra uniforme uniform e AB AB de de 200 200 kg kg sube sube en en el el plano plano ver~~ 6.34 vertical merced merced aa la la aplicación aplicaci ón en en C de de un un par par de d e momento momen to constical constante M == 33 m m .. kN kN aa la la biela. biela. Las Las masas masas de de las las bielas bielas son tante M son pequeñ pueden despreciarse. desprec iarse. Si Si la la barra barra parte parte del d el reposo pequeñasas yy pueden reposo en () == O, O, hallar hallar el el módulo módulo de d e la la fuerza fuerza que que soporta soporta elel pasador en pasado r en AA cuando cuando elel sistema sistema pasa pasa por por lala posición posició n () == 600. en 60°. Resp. AA == 2,02 2,02 kN kN Resp.

e

v -+-v -

e

e


6.32 Bajo 6.32 Bajo lala acción acción del d el par par de d e fuerzas fuerzas de de momento momen to M M == 600 600 m ..NN aplicado aplicad o alal extremo m de una de las bielas, el sistema extremo d e una de las bielas, el sistemaartiarticuladoparalelo culado paralelode demasa masadespreciable desprec iableeleva, eleva,desde desdeelelreposo, reposo,lala placa semicircular placa 70 kg. Calcular semicir cular de deespesor espesoruniforme uniform e de de 70 kg. Calcula rlas las compon entes normal componentes norm al yy tangencial tangenc ial aa AB AB de de lala fuerza fuerza cortante cortante queSoporta soportaelelpasador que pasado ren enAA un uninstante instantedespués despué sde delalaaplicaaplicación cióndel delpar. par.

374 374



6.4

ROTACiÓN FIJO ROTACiÓN EN EN TORNO TORNO A UN EJE EJEFIJO

375

apartado 5.2 5.2 se describió la rotación cuerpo rígido en torno a un eje En el apartado rotación de un un cuerpo un eje representó en la figura 5.1c. Vimos allí que en este movimiento movimiento todos todos fijo fijo y se representó los puntos puntos del cuerpo cuerpo describen describen circunferencias circunferencias alrededor alrededor del eje de rotación rotación y todos los segmentos plano del movique todos segmentos rectilíneos del cuerpo cuerpo situados situados en el plano miento tienen angular ro to y la misma angular a. tienen la misma misma velocidad velocidad angular misma aceleración angular En el caso del movimiento movimiento circular la aceleración del centro de masa masa se expresa expresa con muchísima muchísima más facilidad en componentes por lo que tenemos tenemos componentes n y t,t, por muestra en la figura 6.9a para para la rotación rotación del all == 1'0)2 rw Y y al lit = Ta, Ya, tal como se muestra cuerpo rígido alrededor un eje fijo pasa por por O. parte b de la figura alrededor de un fijo que pasa O. En la parte se representa representa el diagrama para sólido libre y el diagrama diagrama para diagrama cinético equivalente equivalente de la parte parte c de la figura muestra muestra la resultante resultante ma mil descompuesta descompuesta en sus componentes par de fuerzas resultante ponentes n y t Y el par resultante 1 1 aa.. Las ecuaciones generales generales 6.1 movimiento plano plano son aplicables y se repiten repiten aquí del movimiento aquí

°

ROTACIÓN EN TORNO TORNO A UN UN EJE EJE 6.4 ROTACiÓN fiJO FIJO

Rotación torno a un un eje fijo Rotación en torno fijo

a

---......

ll

n

++-;

.l:F = ma LF mil

(a) (a)

[6/1] [6/1]

.l:Me = la la

o sea, las componentes fuerzas pasan pasan a ser ahocomponentes escalares de la ecuación ecuación de las fuerzas

ra LFII .l:F = = m1'0)2 mi cc' y.l:F = m1'a. mi a . Al aplicar la ecuación ecuación de momentos y LFtt = momentos respecto respecto a G, es fundamental fundamental tener cuenta el momento cuerpo tiene G, tener en cuenta momento de la fuerza que el cuerpo aplicada por lo que esta fuerza no puede puede omitirse para sóaplicada en 0, 0, por omitirse del diagrama diagrama para lido libre. En la rotación rotación de un un cuerpo un eje fijo cuerpo en torno torno a un fijo es generalmente generalmente útil aplicar una una ecuación momentos directamente respecto al eje de rotación. Esta ecuación de momentos directamente respecto dedujimos anteriormente anteriormente con la designación designación 6.4 y la repetimos repetimos ecuación ya la dedujimos aquí

\\ II Ía Ía

I1

1

[6.4] erns-

son so

dor

Del diagrama podemos obtener muy fácilmente esta diagrama cinético de la figura 6.9c 6.9c podemos obtener muy ecuación 6.4 momento resultante resultante respecto a 0 6.4 calculando calculando el momento 0,, que es IMo Aplicando el teorema teorema de Steiner relativo relativo a los momentos momentos ¿;Mo == la + ma/ . Aplicando = iI + m1' mi?2 y, por .l:Mo = = (l (loo - m1'2)a mr2)a de inercia másicos resulta resulta que lloo = por tanto, tanto, IMo 2a = mi-o: = lloa. + m1' o a. Para muy corriente rotación de un un cuerpo un eje Para el caso muy corriente de rotación cuerpo rígido en torno a un pase por por su centro de masa G, por consiguienfijo fijo que pase G, es evidente evidente que ila = O o y, por consiguiente, IF ¿;F== O. o. Así pues, sistema equivalente equivalente a las fuerzas aplicadas aplicadas es el par 1a . pues, el sistema par 1 La fuerza resultante resultante ma, ma t Y y el par par resultante resultante la podemos combinarlos la podemos combinarlos trasladando ma una posición posición paralela paralela que pase por por el punto punto Q (fig. trasladando má,t a una (fig. 6.10) 6.10) localizado por por m1'a Aplicando el teorema teorema de Steiner, y mia qq = = ilaa + m1'a(r). mi oiñ . Aplicando siendol kd m ,,resulta resulta q = kdIY . El punto punto Q recibe el nombre nombre de centro siendo loo = = kdm = kd/r. centro de percusión y presenta presenta la singular propiedad de que la resultante resultante de todas todas las percusión singular propiedad aplicadas al cuerpo deben pasar por él. Se Se deduce, deduce, por cuerpo deben pasar por por lo tanto, que la fuerzas aplicadas suma de los momentos suma momentos de todas todas las fuerzas respecto al centro de percusión percusión es siempre nula, o sea, LM Q == O. O. siempre


mat ~

m¡¡t~

G

...•...roe"c.\ma" \ mii"

'\

-

\

"

r\

\

';.0

';.0 ~o

(b (b))

(e)

Diagrama p ara Diagrama para sólido sólido libre

Diagrama Diagrama cinético

Figura 6.9 6.9

6.10 Figura 6.10


I

ElElbloque bloquede dehormigó hormigónn de de300 300 kg kgesesizaIzado mo dedeelevació dopor porelelmecanis mecanismo elevación cuyos n cuyos cables cables están están asegurad asegurados los tambore tambores os aalos s sobre sobre los losque que se searrollan arrollan.. Los Los tambores tambores,, que que son son solidario solidarioss yy giran giran como como un un conconjunto r de junto único único alrededo alrededor de su su centro centro de de masa masa 0, 0,tienen tienen una una masa masa combina combinada de da de 150 150 kg kgYYun un radio radio de degiro giro respecto respecto aa de de 450 450 mm. mm. Si Si en en elelgrupo grupo propulso propulsorr AA se se mantien mantienee una una tensión tensión constant constantee PP de de 1,80 1,80 kN, kN, hallar hallar la la acelerac aceleración vertical ión vertical del del bloque bloque yy la lafuerza fuerza resultan resultantete que que sosoporta elel cojinete cojinete O. O. porta

p= 1,80 kN

°°

IjII

Solució Soluciónn /./. Se Se dibujan dibujan los los diagram diagramaass para para sólido sólido libre libre yy de de las las fuerzas fuerzas resulresultantes del bloque de hormig ón yy de es yy en tantes del bloque de hormigón de los los tambor tambores en ellos ellos pueden pueden verse verse todas todas CD es, entre CD las las fuerzas fuerzas actuant actuantes, entre las las que que se se cuentan cuentan las las compon componentes O; de la la reentes 00xx yy Oy acción acción en en el el cojinete cojinete.. La La resultan resultantete del sistema sistema de fuerzas fuerzas que actúa actúa sobre sobre los los tambore tamboress es, es, en en este caso de rotación rotación centroid centroidal, la = = loa, loa, donde donde al, Ía

"1

Í = l o = (0,450)2150 = 30,4 kg·m 2

°

Toman do momen tos respecto masa de las fuerzas Tomando momentos respecto al centro centro de masa fuerzas que que actúan actúan sobre poleas resulta, resulta, conside rando positivo positivo el sentido sentido de la aceleración sobre las las poleas considerando acelerac ión anguangular, lar, a

300(9,81)N 300(9,81)N

CD Atención Atención al al hecho hecho de de que que la la tensión tensión TT no no es es 300(9,81) 300(9,81) N. N. Si Si lo lo fuera fuera el el bloque aceleraría. bloque no no se se aceleraría.

o(3) NoNo hay hay que que descuidar descuidar expresar expresar ka en en k¿

metros se expresa metros si si ggse expresa en en m/s2. m/s2.

[I:M e = la] la] [L:Me

1800(0,600) - T(0,300) T(0,300) = 30,4a 30,4a 1800(0,600)

(a) (a)

aceleración del del bloque bloque queda La aceleración queda descrita descrita por por 300(9,81) == 300a 300a TT -- 300(9,81)

(b) (b)

Como a¡ at = = ra; ra, tenemos tenemo s aa = = (0,300)a. (0 ,300)a. Tras Tras sustituir sustitui r por por este este valor, Como valor, el el sistema sistema de de ecuaciones ecuacio nes (a) (a) yy (b) (b) da da = 3252 N TT ='3252 N

3,44 radl radls2 S2 aa == 3,44

1,031 mi mis2 S2 aa == 1,031

Resp. Resp.

La reacción reacció n en en elel cojinete cojinete se se obtiene obtiene de de sus sus componentes. compon entes.Como La Como aii = O, O, popodemos emplear emplea r las las ecuaciones ecuacio nes de demos de equilibrio equilibr io

aa

[L:Fx=O] [LFx =O]

0 x-1800 - 1800cos cos45° 45° == OO o,

[L:F [I:F O] y y == O]

150(9,81)-- 3252 3252-- 1800 1800 sen sen45° 0y -150(9,81) 45° == OO

°y ° + °° = ~-----~

0 x == 1273 1273 NN 0x

0y y == 5996 5996NN 300(9,81)N 300(9,81)N

J (1273)2+ (5996)2 (5996)2 ==6130 6130NN = J(1273)2

Resp. Resp.

Solución 11. 11. Podemos Podemo s seguir seguir un un procedimiento procedi miento más más resumido Solución resumid o trazando trazand o elel diagram parasólido sólidolibre libredel delsistema sistemacompleto, comple to,con conlo10que diagrama apara queseseelimina eliminatoda todarereferenciaaaT, T,que quepasa pasaaaser serinterior interioralalnuevo nuevosistema. sistema .Del Deldiagrama ferencia diagram acinético cinéticodel del 376 376


G

°

momen almomenigual al s'e rigual debeser respectoaa debe sistema momen tosrespecto de momentos suma de lasuma quela vemo~ que sistema vemos bloelbloen ma te resultan la de to momen el más to resultante 1 a en los tambores más el momento de la resultante rna en el s tambore to resultan te 1a en los s tenemo 7.3 nes ecuacio las según que. Entonce s, según las ecuaciones 7.3 tenemos que.Entonces,

mad] [LM O== 11a+ [LMO a + mad]

300a(0,300) 30,4aa ++300a(0,300) 1800(0,600) 300(9,81)(0,300) == 30,4 1800(0,600) -- 300(9,81)(0,300)

antes. como antes. miS2s2como 1,031 m/ resulta aa== 1,031 resolve r resulta Con al resolver 0,300a, al Con aa== 0,300a, sistema aa el sistema todo el sobre todo actúan que fuerzas Podemos igualar las sumas de las fuerzas que actúan sobre las de sumas Podemo s igualar las pues, Así tes. resultan las resultantes. Así pues, de las las swnas de las sumas

°

45°== sen 45° 1800 sen 0yy-- 150(9,81) 300(9,81) -- 1800 150(9,81) -- 300(9,81) 5996 NN 0 y == 5996 == 150(0) 0y 300(1,031) 150(0) ++ 300(1,031) O 45° = O 0x 1800 cos cos 45° 0 x--1800

N 1273 N 0 x = 1273 0x

6.4 PROBLEMA TIPO 6.4 PROBLEMA TIPO

. ,

I

•

I

CD Las aceleración de la aceleración componentes de las componentes de raJl yy supuesto, aa = ,.0} por supuesto, son, por G son, de G llll

alal

= ia ¡"a..

o" masa de masa centro de con centro kg con 7,5 kg de 7,5 El péndulo péndulo de mm 295 mm de 295 giro de de giro radio de un radio tiene un en G tiene en G se O. Si suspens ión O. de suspensión centro de respecto Si se respecto al centro ha0, hareposo en del reposo partiendo del suelta en ee == O, suelta partiendo cojinete soporta el cojinete llar la lafuerza total que que soporta fuerza total llar Elroza60 °. El en que en el instante instante en que e == 60°. rozaen able. miento en el cojinete cojinete es despreci despreciable. miento

G) CD

Solución.. Se Se present presentan diagramaa para para sólido libre del péndulo péndulo,, en en una una popoan el diagram Solución dontes resultan fuerzas las de a diagram e sición cualquiera, correspondiente diagrama resultantes donondient corresp el y era, sición cualqui te se han de las compon componentes resultante han dibujad dibujadoo pasand pasandoo por por G. G. entes de la fuerza resultan de en fuerzas de n La compon componente ecuación fuerzas en la la direcdirecente normal 00"/1 se obtiene de una ecuació La ión normal ción n, n, ecuació ecuaciónn en la que intervie interviene aceleración normal 1'aJl yo}. . Como Como la la velocivelocine la acelerac ción ión yy dad angular angular OJ m del péndul pénduloo se halla aa partir partir de la integral de de la la acelerac aceleración dad obtedeberá que deduce se 1'a, ial tangenc ión como 0t depende de la aceleración tangencial Ya, se que deberá obteacelerac como O¡ depend e da a o respect tos momen de n ecuació la fin, nerse primeramente a. A tal fin, ecuación momentos respecto a da tal nerse primera mente a. A

7,5(9,81) N 7,5(9,81)

0\\

o

\

°

~\~

2(7,5) a 7,5(9,81)(0,25) cos e == (0,295) (0,295)2(7,5)a )(0,25) cos 7,5(9,81

aa ara y ppara

28,2 cos cos == 28,2

q

\ ~ ~ra Q"

,, ,

e rad rad/l s2 s2

mrúY

e= 60° 60° [OJ [m dOJ dm == aa de] de]

flr/3 oo 28,2 dt» == J"/3 28,2 cos cos ee de de fowo OJm dOJ

J

úJ

o} aJl

)2 48,8 (rad (rad//ss)2 == 48,8

Repasarotra otra vez vez la la teoría teoría hasta hasta conconoo Repasar "encerse bien de de que que LMO LM o e bien ~encers 1ex+ mf my22aa == mraq mi aq

loa == == loa

la+

377


Las dos restantes restantes ecuaciones ecuaciones del movimiento movimiento aplicadas aplicadas a la posición posición dan dan

e == 60°

0n o, -7,5(9,81) -7,5(9,81) sen 60° == 7,5(0,25)(48,8) 7,5(0,25)(48,8)

® Aquí se observará en particular que ® los sumatorios de las fuerzas se tosentidos positivos de las man en los sentidos componentes de la aceleración componentes aceleración del G. centro de masa G.

0n = 155,2 N 155,2N - O¡ cos 60° 01 + 7,5(9,81) 7,5(9,81) cos 60° = 7,5(0,25)(28,2) 7,5(0,25)(28,2)cos

[¿FI t = mra] [LF mra]

O¡ 01

°

o

= = 10,37N 10,37N

= J(155,2)2 + (10,37)2 N = J(155,2)2 (10,37)2 == 155,6 155,6N

Resp. Resp.

sentido adecuado adecuado de Ot O/ puede puede ?bservarse observarse desde desde un un principio principio aplicando aplicando la El sentido ecuación de momentos momentos LMe ¿Me = la, donde donde el momento momento respecto respecto a G debido debido otra ecuación a 0O/1 debe tener tener sentido sentido horario horario para para que concuerde concuerde con a. La fuerza 0O/1 podría podría también haberse haberse obtenido obtenido inicialmente inicialmente tomando tomando momentos momentos respecto respecto a Q, con lo también habría evitado evitado la necesidad necesidad de calcular a. Primero Primero debe obtenerse obtenerse la disque se habría tancia q, que es [q = = kd kd/r]/ T] [q

.'

.

qq

(0,295)2 = 0348 0348 = (0,295)2 0,250 0,250

'

m

0/0,348) 7,5(9,81)(cos 60°)(0,348 - .0,250) 0/0,348) --7,5(9,81)(cos 60°)(0,348-.0,250)

[¿MQQ = = O] [LM

°/

°

O

Resp. Resp.

0t = 10,37 N 10,37N

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas Problemas introductorios introductorios

"

.

6.35 La viga uniforme 6.35 uniforme de 100 100 kg está articulada articulada libremente libremente extremo superior superior A e incialmente incialmente se halla halla en reposo reposo en la en su extremo posición vertical con e e == O.O.Hallar aceleración angular posición Hallar su aceleración angular inicial FA que soporta soporta el pasador pasador en A a consecuencia consecuencia de a y la fuerza fuerza FA la aplicación aplicación repentina repentina de una una fuerza fuerza P == 300 300 N en el cable unido a la viga. Resp. a == 1,193 Resp. 1,193 rad rad// S2, FA FA = = 769 769 N

6.36 La barra elgada uniforme 6.36 barra ddelgada uniforme de 20 kg está suspendida suspendida en O y oscila libremente libremente en el plano plano vertical. Si Si se suelta suelta desde desde el reposo en posición posición horizontal, horizontal, calcular el valor valor inicial de la reposo un instante instante después después de iniciarfuerza R que le ejerce el cojinete un movimiento. se el movimiento.

°

-~--~(o)-- _~-------r-(.)

1,6 m ---+. ;"'i·~--1, 6m :...¡

.~--

.1I


6.37 Cada uno de los tornos una 6.37 tornos con su cubo respectivo respectivo tiene una masa de 250 un radio 250 kg Y Yun radio de giro respecto respecto a su eje de 375 375 mm. Calcular la aceleración aceleración angular angular de cada uno. Se desprecia desprecia el roCalcular zamiento en los cojinetes. zamiento Resp. aa == 3,20 3,20 rad rad// S2, ab ab == 3,49 3,49 rad rad// S2 Resp. aa


6.38 Calcular la aceleración aceleración descendente descendente a del cilindro cilindro de 10 6.38 Calcular tambor es un un cilindro cilindro uniforme uniforme y el rozamiento kg. El tambor rozamiento en el eje despreciable. Comparar Comparar el resultado resultado con el que se obtiene obtiene iges despreciable. norando norando el efecto de la inercia del tambor. tambor.

378 378


en reposoen La desdeelelreposo sueltadesde sesuelta uniform ese delgadauniforme barra delgada Labarra que paraelelque lalaposición dexxpara valorde Hallarelelvalor indicad a.Hallar horizon talindicada. posició nhorizontal valor aa es corresp ondient evalor el correspondiente angularyy el acelerac ión angular máxima lala aceleración es máxima

6.41 6.41

Gf? ~¡

de misma. de lala misma. ¡;; g _11 _ _ ¡;::,g Resp. ",3 11 2J3' aa =- ,,3 Resp. xx == 213'

!

20kg 20kg

20(9,81)N 20(9,81)N

1-'1 He 1--

(b) (b)

(a) (a)

x-.l\-G--~·\

1\-+. --\-.

6.37 problem a 6.37 Figura problema Figura

)

~o Figura 6.41 problema 6.41 Figura problema

15 kg

repoen repoLa estando en suelta estando se suelta uniform e se rectang ular uniforme losa rectangular La losa es cual el so en la posición indicada. Hallar el valor de x para el cual es para x de valor so en la posició n indicad a. Hallar los rar máxima la aceleración angular y el valor de ésta. Comparar los Compa de valor y máxima la acelerac ión angular resultados anterior . problem a anterior. del problema con los del resultad os con

6.42 6.42

6.38 problem a 6.38 Figura problema bb

m·N, vale 22 m-N, O vale pivote O rozamie nto en el pivote por rozamiento Si el momento momen to por cual el a, gargant tambor angular hallar la aceleración angular del tambor con garganta, el cual ión hallar acelerac mm. 225 mm. = 225 giro ka radio de un radio Y un tiene una de giro ko = una masa de 8 kg Y AH Resp. a == 0,622 Resp. 0,622 rad/ rad/ s2 s2AH

6.39 6.39

bb

•G .e

2:

H H o

Figura problem problemaa 6.42 6.42 Figura n

6.43 El bastido bastidorr cuadrad cuadradoo se compon componee de cuatro cuatro trozos iguaEl 6.43 ida les de varilla delgada uniforme suspendida O está suspend esfera la y e uniform delgada les de varilla de un un zócalo zócalo (no (no represe representado). A partir partir de la posició posiciónn indicantado). A de da, el el conjunt conjuntoo recibe recibe un giro de 45° 45° en torno al al eje eje A-A A-A y se da, r. Repesuelta. Hallar la aceleración angular bastidor. bastido del inicial suelta. Hallar la acelerac ión angular DesB-B. eje al tir los cálculos para una rotación de 45° al eje torno en 45° e d tir los cálculos para una y el rado preciar la pequeña masa de su descentrado el descent su esfera, la de masa a preciar la pequeñ rozamiento ella. ella. en nto rozamie

el la f-

kg 12 12kg

Figura Figura problem problemaa 6.39 6.39 6.40 La barra barra delgada delgada uniform uniformee de de masa masa 88 kg kg oscila oscila en en el el plaplaLa 6.40 rad/ 2 = Si A. ión suspens de punto al no vertical en torno al punto de suspensión A. Si = 2 rad / ss torno en no vertical cuando e e==30°, 30°, calcular calcular la la fuerza fuerza que que soporta soporta el elpasador pasador en en AA en en cuando ese ese instante instante..

e é

a

m.

A --A

0-

b

tal -é- '-'-- -Horizon Horizontal . -eA

10 eje ig-

b

BB


a 6.40 Figura Figuraproblem problema 6.40

379


Problemas representativos representativos Problemas barra está soldada soldada a la plancha plancha de contorno contorno irregular La barra irregular Demostrar que la aceleraen el centro de masa G de la misma. Demostrar angular que se origina cuando cuando se corta la cuerda cuerda S es inción angular dependiente ddee la orientación orientación angular angular e e de la plancha respecto dependiente a la barra. 6.44 6.44

ee problema 6.46 6.46 Figura problema

El dinamómetro dinamómetro ddee automoción automoción es capaz de simular simular El 0,6g para para la caunas condiciones de aceleración en marcha de 0,6g cargada de 2,8 2,8 Mg de masa total. Calcular el momento momento mioneta cargada de inercia que debe tener el tambor tambor del dinamómetro dinamómetro respecto suponiendo que gire libremente libremente durante durante la fase a su centro O suponiendo ensayo. de aceleración del ensayo. Resp. lo == 2,27 2,27 Mg·m Mg-rrr'2 Resp. lo

6.45 6.45

I

•

El anillo ddee radio m medio dimensiones transversales transversales El edio r y dimensiones pequeñas gira dentro dentro de un plano plano horizontal horizontal a la velocidad velocidad anpequeñas constante m m alrededor alrededor de su centro O. Hallar Hallar la tensión tensión T gular constante Encontrar la solución primero primero estudiando estudiando una mien el anillo. Encontrar después, estudiando estudiando tad del anillo como cuerpo libre aislado y, después, elemento diferencial de arco como cuerpo cuerpo libre aislado. un elemento Resp. T == pral pr2aJ2 Resp.

6.47 6.47



Cuando la barra barra delgada delgada uniforme uniforme se encuentra encuentra en la Cuando representada el resorte está sin comprimir. posición vertical representada Hallar la aceleración angular angular inicial a de la barra barra cuando cuando ésta Hallar reposo en una posición en que la misma está se suelta desde el reposo girada 30° en sentido sentido horario horario respecto a la posición de la figugirada Se supone supone que el resorte es de masa despreciable despreciable y que no ra. Se se comba.

6.48 6.48 problema 6.45 6.45 Figura problema

estudiar el movimiento movimiento elástico de modelos flexiflexiPara estudiar emplea una mesa mesa de aire. En ésta, bles ddee ingenios espaciales se emplea generar un colchón de apoyo neumático neumático que elimine prácpara generar rozamiento s, se emplea aire a presión presión que mana mana ticamente los rozamientos, número de orificios practicados de un gran número practicados en la superficie hoEl modelo representado representado se compone compone de un cubo cilínrizontal. El apéndices de longitud longitud 11 y pequeño pequeño drico de radio r y cuatro apéndices El cubo Y Ylos apéndices tien tienen altura espesor t. El los cuatro apéndices en la misma altura material de densidad densidad p. Supodd y están construidos construidos del mismo material momento niendo que el ingenio espacial sea rígido, calcular el momento para hacer girar al modelo ddesde M que debe aplicarse al cubo para esde hasta una velocidad velocidad angular angular m m en un tiempo de r seel reposo hasta gundos. (Téngase en cuenta que para para un ingenio espacial de apéndices altamente altamente flexibles, flexibles, el momento momento hay que aplicarlo apéndices prudencia al cubo rígido para para evitar que los apéndices sucon prudencia grandes deformaciones elásticas indeseables.) fran grandes

6.46 6.46

380 380


ir"

l~' i~~

A

m

//11//-1 G

k

//-111// 11

//-1 ~

O

l·

B

l---J


cuartoarco cuartode arco forma de en forma curva en 6.49 se curva m se masa m de masa barra AA de La barra 6.49 La livarillas las te median cubo al circular de radio r y está unida al cubo mediante las varillas liunida está y r circular de radio al torno en oscila B torsión de vianas. Bajo la acción del resorte de torsión B oscila en torno al resorte del acción la Bajo vianas. es angular es velocid ad angular la velocidad eje conside rado la instante considerado el instante En el vertical. En eje vertical. model moexpresi ón del la expresión Escribir la a. Escribir wwyy la es a. angular es acelerac ión angular la aceleración horizon fuerza la y cubo el mento M que ejerce el resorte sobre el cubo y la fuerza horizonmento M que ejerce el resorte sobre cubo. el sobre eje sobre el cubo. el eje ejerce el tal que ejerce tal RR que 2J2rnr Ja ~_.? w2 2Jimr .i cc-2 ++ ar a, RR == --mr22a, Resp. M == rnr Resp. M ttn

función en función torno expresi ones en las expresiones Deduci r las O. Deducir en O. fijo en cojinete fijo del cojinete torno del coel coen e de e de las componentes n y t de la fuerza F actuante en el actuant F ft~erza la de t y n entes de e de las compon jinete. jinete.

Resp. e, sen e, 1,721mg sen = 1,721rng Resp. FFnn = FFtt= cos ee 0,640mg cos = 0,640rng

monestá mon2b está Una longitu d 2b masa mm yy longitud de masa uniform e de barra uniforme Una barra barra La tada desprec iable. La barra masa despreciable. de masa isósceles de escuadr a isósceles una escuadra en una tada en en fijo en eje fijo un eje yy la torno aa un en torno vertical en plano vertical el plano en el giran en escuadr a giran la escuadra vertical n posició O. Si la barra se suelta desde el reposo en la posición vertical O. Si la barra se suelta desde el reposo en la módulo el módulo para el (e = O), expresi ón para una expresión e, una de e, función de en función deducir , en O), deducir, (e= a. escuadr la de la fuerza que el cojinete en O ejerce sobre la escuadra. de la fuerza que el cojinete en O ejerce sobre

6.52 6.52

A A

es

nT l-

do I

O O

Figura problema 6.49 Figura problema Figura 6.52 problema 6.52 Figura problema

el en el libreme nte en girar libremente puede girar 6.50 masa m puede estrecho de masa 6.50 El aro estrecho en reposo estando suelta plano vertical alrededor de O. Si se suelta estando en reposo en or alreded vertical plano n yy compon entes n la expresi ones de las componentes hallar las expresiones = O, hallar posició n ee= la posición función de e. t de la fuerza fuerza en O en función n1"1

n

El engrana je A de 20 kg vale centroid al del engranaje de giro centroidal radio de El radio 150 mm. El radio de giro centroidal engrana je B de 10 kg centroid al del engranaje 150 mm. El radio engrana je BB vale 100 mm. Calcular la aceleración angular del engranaje angular vale 100 mm. Calcula r acelerac ión to 12 momen par cuando al eje del engranaje A se aplica un par de momento un cuando al eje del engrana je m-N. rozamie nto. desprec ia el rozamiento. m·N. Se desprecia AH Resp. s2AH rad/ S2 = 25,5 rad/ Resp. aB =

6.53 6.53

la ir.

A

240 mm = 240

YA = TA

t


eno B

El disco semicir semicircular descular de masa m y radio rr se suelta desEl nte en el plano de el reposo en e == o Oy Y rota libreme libremente plano vertical en en de

6.51 6.51

problemaa 66.53 .53 Figura problem

11

El rotor rotar cilíndric cilíndricoo macizo B tiene una masa de 43 43 kg Y El gira en A r esta montado sobre su eje geométrico e-e. El bastidor bastido El e-e. rico geomét eje su sobre o montad esta torno al al eje eje fijo fijo vertical vertical O-O bajo la acción del par aplicad aplicadoo M M == torno el o 30 m·N. m-N. El El rotor rotar puede puede destrab destrabarse bastidorr retirand retirando el paarse del bastido 30 sador de de trinca trinca P. P. Calcula Calcularr la acelerac aceleración angular aa del bastido bastidorr ión angular sador lo no A cuando cuando (a) (a) el el pasado pasadorr está colocad colocado (b) cuando cuando lo está. o y (b) A r. bastido del Se desprec desprecian todos los rozamie rozamientos bastidor. ntos y la masa ian todos Se 6.54 6.54

T

~w

~ ~ Figura problem problemaa 6.51 6.51 Figura

381 381


e I

oo !I p

giro rico vale girorespecto respectoaasu sueje ejegeomét geométrico vale300 300mm. mm.Para Paravencer vencerlala resisten cia por nto aalalarotación resistencia por rozamie rozamiento rotación hay hay que que ejercer ejerceruna una tracción r lalaacelerac ión angular tracciónTTde de90 90N. N.Calcula Calcular aceleración angular aadel delcarrete carrete sisialalextremo extremolibre libredel delcable cableseseaplica aplicauna una tracción tracciónde de180 180N. N.

~M M

BB

6.57 ular uniform e está grado en 6.57 El Elpanel panelrectang rectangular uniforme estáembisa embisagrado enAA yy BBaaun eje fijo inclinad o un eje fijo inclinado un un ángulo ángulo f3fJ respecto respecto alalplano plano vertical vertical y-z. y-z.Si Sielelpanel panelse sesuelta sueltadesde desdeelelreposo reposocon consus susbordes bordessuperio superior r eeinferior tales, hallar ión angular inferiorhorizon horizontales, hallar su su acelerac aceleración angular inicial inicialaa..

A

*

I

Resp. 2b sen Resp. aa --= ~ sen f3fJ

~2S0mrn--1

ee

o


.'

.

~

/f// b/--

k/ 1-' I

6.55 6.55 Se Se ilustra ilustra la la platafo plataforma de descarg descarga por rodadu rodadura de rma de a por ra de lffi un camión camión de de transpo transporte de contene contenedores. El contene contenedor carrte de dores. El dor cargado gado de de 120 120 Mg Mg puede puede tratarse tratarse como como un un bloque bloque rectang rectangular ular macizo macizo yy homogé homogéneo con centro centro de de masa masa en en G. G.Si Si la la rueda rueda de de neo con apoyo apoyo AA está está inmovil inmovilizada, calcular la la fuerza fuerza FFB que que ejerce ejerce la la izada, calcular B platafo plataforma sobre la la rueda rueda de de apoyo apoyo B Bcuando el camión camión arranarranrma sobre cu ando el ca ca hacia hacia adelant adelantee con con una una acelerac aceleración de 33 mI mi s2. s2.Se desprecia ión de Se desprec ia el rozamie rozamiento en B. B. el nto en 310kN kN Resp. FFBB == 310

1f3

I I I

I I

~----
X X


6.58 ra espacia l, la carga útil que transpo 6.58 En En la la lanzade lanzadera espacial, transporta rta está instalad a en un soporte con cardan está instalada en un soporte cardan que la desplie despliega ga al abrirse rtas del timient o de carga durante abrirse las las compue compuertas del compar compartimiento durante el vuelo orbital. La La carga útil puede puede asimila rse a un bloque recvuelo orbital. carga útil asimilarse tangula r homogéneo homogé neo de de 6000 6000 kg de masa. masa. Sobre el eje O-O de tangular la articula ción cardan actúa un un par par de momento momen to 30 m-N la articulación cardan actúa m·N produproducido por un motor de c.e. sin escobill as. vehícul o en órcido por un motor de C.e. sin escobillas. Con el vehículo A


Un carrete 6.56 Un carrete de d e cable cable de de transmisión transmi sión eléctrica eléctrica está está montamontado sobre sobre una do una carretilla, carretilla, la la cual cual se se halla halla inmovilizada. inmovil izada. En En el el cacarrete, de de radio rrete, 0,65kg radio 375 375 mm, mm, hay hay 60 60 m m de de cable cable de de masa masa 0,65 kg por por metro. En metro. En vacío, vacío, la la masa masa del del carrete carrete es es de de 28 28 kg kg Ysu Y su radio radio de de

T

Figura Figuraproblema problem a 6.56 6.56


382 382


la a te

y al or

bita en estado estado de "ingravidez", "ingravidez", hallar hallar el tiempo tiempo t necesario necesario para desde su posición e == O,O, para que la carga pase pase desde posición de estiba, con e hasta despliegue, con e e == 90°, 90°, si el par aplica durante durante hasta la de despliegue, par se aplica luego se invierte invierte durante durante los 45° hasta los primeros primeros 45° y luego hasta detener la carga (é (é = O). O). ensayos de resiliencia consta de un 6.59 Una máquina máquina para para ensayos resiliencia consta un péndulo centro de masa péndulo de 34 kg con centro masa en G y un radio radio de giro respecto 620 mm. La distancia distancia b se toma de modo modo que la respecto a O de 620 fuerza actuante sobre el cojinete O sea lo menor duranfuerza actuante menor posible posible durante el choque choque con la probeta, probeta, que se coloca en el punto punto más bajo fuerza total R acde la oscilación. Hallar Hallar b y el módulo módulo de la fuerza tuante instante después después de soltar soltar el péndulo tuante en el cojinete O un un instante péndulo e == 60°. en la posición posición e Resp. 167,8 N Resp. b == 40,7 mm, mm, R == 167,8

~e

tática de la articulación articulación A por completo, y la de la articulación articulación por completo, B repartida iguales entre entre los dos brazos. supone que repartida a partes partes iguales brazos. Se supone B centros de masa centros geométricos geométricos los centros masa Gl y G22 se hallan hallan en los centros asimilan a varillas delgadas. de los brazos brazos y éstos se asimilan varillas delgadas. 6.61 El poste 300 kg Y 6.61 poste uniforme uniforme de 24 m tiene una una masa masa de 300 está articulado articulado por extremo inferior inferior al soporte soporte fijo fijo O. Si el torpor su extremo no e desarrolla desarrolla un 1300 m-N arranque, calcular la un par par de 1300 m·N en el arranque, soporta el pasador cuando el poste cofuerza total que soporta pasador en O cuando mienza separarse de su apoyo apoyo B. Determinar Determinar también la comienza a separarse rrespondiente rrespondiente aceleración aceleración angular angular a del poste. En A el cable está horizontal desprecian las masas horizontal y se desprecian masas de las poleas poleas y el torno. Resp. = 0,071 0,071 rads", = 5260 5260 N Resp. a = rads 2, O =

y r

\

B

Ár.rl---------------~~A ~========~tfo'A

e

I


cilindro de 12 12 kg montado soportes con cojineEl cilindro montado en los soportes tes en A y B posee inercia de 0,080 0,080 kg·m2 resposee un momento momento de inercia pecto vertical Zo que pasa centro de masa G. El pecto al eje vertical pasa por por su centro masa G. disco Y los soportes soportes tienen inercia de 0,60 0,60 tienen un un momento momento de inercia kg·m2 respecto z. Si al disco se aplica respecto al eje vertical vertical de rotación rotación z. un 16 m-N estando un par par de momento momento M == 16 m·N a través través de su árbol y estando inicialmente en reposo, calcular las componentes componentes horizontales inicialmente reposo, calcular horizontales x de las fuerzas fuerzas que soportan soportan los cojinetes A y B.

6.62


compone del pedestal estático 6.60 El mecanismo mecanismo robótica robótico se compone pedestal estático OA, el brazo articulado en A y el brazo Be articulado articulado en B. OA, brazo AB AB articulado brazo Be

Los ejes de rotación rotación son normales normales al plano plano de la figura. Calcuaplicar al brazo momento MAA a aplicar brazo AB AB para para hacerla hacerlo girar, lar (a) el momento sentido horario, alrededor de la articulación articulación A, a 4 rad/ en sentido horario, alrededor rad / S2 a partir indicada con la articulación articulación B B inmovilizainmovilizapartir de la posición posición indicada aplicar al brazo Be para girar momento M MBB a aplicar brazo Be para hacerla hacerlo girar da y (b) el momento aceleración alrededor alrededor de la articulación articulación B B estando estando con la misma misma aceleración 'la inmovilizada. Las masas Be son de 25 la A inmovilizada. masas de los brazos brazos AB AB y Be y 5 kg. excluyen la de la parte parte eskg, respectivamente, respectivamente, de las que se excluyen



383


6.63 Las barras esbeltas uniformes OA y BC tienen una masa de 8 kg cada una. Las barras están soldadas en A formando un miembro en T y giran libremente alrededor de un eje horizontal que pasa por O. Si las barras tienen una velocidad angular ú) de 4 rad/ s cuando OA pasa por la posición horizontal indicada, calcular la fuerza total R que soporta el cojinete O. Resp. R = 101,3 N

6.65

6.66 La placa doblada en ángulo recto está formada a partir de una placa plana de masa p por unidad de superficie y está soldada al árbol horizontal montado en el cojinete O. Si el árbol puede girar libremente, hallar la velocidad angular inicial ex de la placa cuando ésta se suelta partiendo del reposo con su superficie superior en el plano horizontal. Hallar también las componentes y y z de la fuerza resultante que actúa en O sobre el árbol.

e 0,25 m 0,5 m

O

Figura problema

A 0,25 m

B

Figura problema

u •

6.63

6.64 El cilindro macizo homogéneo tiene una masa de 100kg Yestá montado en un árbol acodado en ángulo recto que gira libremente en torno al eje horizontal O-O. Si el cilindro se abandona desde el reposo con su eje geométrico en el plano horizontal, calcular la aceleración angular inicial del conjunto y la fuerza resultante F que el cojinete A ejerce sobre el árbol. La masa de éste es despreciable.

300 mm

1120

I

l mm ,

I

I~

I

I

I I I I

Figura problema

6.64

-1

O

6.65 La barra semicircular uniforme de masa m y radio r gira libremente alrededor de un eje horizontal que pasa por A. Si la barra parte del reposo en la posición representada, donde AB es horizontal, hallar la aceleración angular ex de la barra y la expresión de la fuerza ejercida sobre la barra por el pasador en A. (Obsérvese que la aceleración tangencial inicial del centro de masa no es vertical.) Resp. ex

=

fr, A

6.66

6.67 El carrete tiene arrollado un cable flexible de 60 m de longitud y una masa de 0,160 kg por metro de longitud. Con y = O, el peso del cilindro de 4 kg se aprovecha para que el carrete se ponga en movimiento venciendo el rozamiento en los cojinetes. Hallar la aceleración descendente a, en metros por segundo al cuadrado, del cilindro en función de y (en metros). En vacío, el carrete tiene una masa de 16 kg con un radio de giro de 200 mm respecto a sus cojinetes. Resp. a = 0,0758y

z I

Figura problema

-~

= 0,593mg

4kg Figura problema

384


6.67

La biela B de 0,4 kg. con su centro de masa a 55 mm de O-O, tiene un radio de giro de 69 mm respecto a O-O. Está sol-

6.68

dada al tubo de acero y puede rotar libremente en torno al árbol horizontal fijo sobre O-O. Si el tubo se suelta partiendo del reposo con la biela en posición horizontal, calcular la aceleración angular inicial a del conjunto y la correspondiente reacción O que el árbol ejerce sobre la biela.

tor eléctrico M y un disco A, el cual es accionado a una velocidad angular constante de 1600 rpm. Entre ambos discos los coeficientes de rozamiento estático y cinético son, respectivamente, Jie = 0,8 Y Jic = 0,6. El disco B se halla inicialmente inmóvil cuando entra en contacto con el disco A a consecuencia de la aplicación de la fuerza constante P = 14 N. Hallar la aceleración angular a de B y el tiempo t que tarda B en alcanzar su velocidad estacionaria.

tá

01 de

TB

30

0

u-

las re

O

Figura problema

Cotas en milímetros Figura problema

6.68

6.69 Antes de extender sus dos brazos instrumentales AB, la nave espacial representada en la parte superior de la figura gira en torno a sí misma a la velocidad de una vuelta por segundo. Cada brazo instrumental, como el que se muestra en la ilustración inferior, tiene una masa de 100 kg con centro de masa en G. Calcular la tracción T que sufre cada cable de ma. niobra antes de soltarse. Hallar también la fuerza sobre el pasador A. Despreciar la aceleración del centro O de la nave. Resp. T = 987

N,

A =

6.70

1,007 kN

6.71 Dos barras esbeltas AB, de masa m y longitud 1 cada una, están articuladas en A a la placa. Ésta gira en el plano horizontal alrededor de un eje vertical fijo que pasa por su centro O y que recibe una aceleración angular constante a. (a) Hallar la fuerza F que sufre cada rodillo cuando el conjunto se pone en movimiento. (b) Hallar la fuerza total sobre el pasador A y demostrar que permanece constante mientras que F > O. (e) Hallar la velocidad angular wa la que cesa el contacto con los rodillos. Resp.

r se).En

(a)F

mla/6

(b)A

Tm1a

J10

(c)w = Ja/3

giro A

I-I/2T 2--1 1

/

B

"',,::C=~,_,c:===::;--' -t

al

;t'_. I--.-t

1

1/2

O.

400

I

mm

100mm

.T

I

B

B

Gi~500_IG

"

A

Figura problema

1/2

~

6.71

mm

Figura problema

6.69

6.70 El disco B tiene una masa de 22 kg Y un radio de giro centroidal de 200 mm. El grupo motor se compone de un mo-

e

6.72 Una barra metálica uniforme de masa 0,60 kg por metro de longitud se curva recibiendo la forma representada en el plano vertical y pudiendo girar libremente en torno al eje horizontal en O perpendicular al plano. Si la barra se abandona

385


reposo en la posición posición indicada, indicada, en la que la sección desde el reposo horizontal, calcular las componentes componentes iniciales x e yy de recta está horizontal, soporta el cojinete en O. O. la reacción R que soporta

----T

L~===:::;;=========!=======y-j'

y

250rnm •

I

0f6 m

tA·~=============F==~~ __ 1,2m ~

I

x ..-

I~-----1 -+--------

m 4,8 m

-------~~

Figura problema problema 6.74 Figura fig,ura prohlema &.72 6.72 li'ig, ura pfoblema

barra esbelta uniforme uniforme de masa m y longitud longitud 11 se La barra abandona desde desde el reposo, cuando cuando está vertical, de manera manera que abandona gira sobre su extremo extremo en torno torno a la esquina esquina O. O. (a) Si Si se observa cuando e e == 30°, 30°, hallar el coeficiente de rozamiento rozamiento que resbala cuando estático Jie Jie entre esquina. (b) entre la barra barra y la esquina. (b) Si Si el extremo extremo de la barra se entalla de modo modo que no pueda pueda resbalar, hallar hallar para para qué ángulo ángulo e e cesa su contacto con la esquina. Resp. Jie == 0,188, Resp. (a) Jie 0,188, (b) e e == 53,1 53,1 °

6.75

La barra barra curvada curvada de masa m puede puede girar libremente libremente en solidario al disco giratorio giratorio y se apoya sin rozatorno al eje O solidario miento contra uno de los dos muñones muñones lisos A y B B fijos fijos al disco. Si éste gira en torno a su eje vertical C, C, hallar hallar la fuerza que ejerSi barra y la reacción A o B B de ésta (a) si el disco ce el eje O sobre la barra velocidad angular angular constante constante m m y (b) (b) cuando cuando el disco tiene una velocidad parte parte del reposo reposo con aceleración angular angular IX en sentido sentido antihorario.

6.73 6.73:

t

J

,

R A = _ 2mrm2 Resp. ()O (a)O -= 2mrm2 2mrm2, A 2mrm2 esp. a le le n ' n (b)O (b)O

= mra = mm J1 J1 +

mra( -~) :2' == mm( B

1 -~)


..~. .~ . .

~ 6.76

figura prroblema prrohfemlll 6.73 li'ig,urra

La viga en doble T tiene una se manuna masa de 900 900 kg Y Yse tiene en posición posición horizontal horizontal mediante mediante la articulación articulación O y el cable vertical que pasa pasa por por la polea A y alrededor alrededor del torno torno mecánico B de 200 200 kg. Si Si el motor motor del torno torno tiene un un par par útil de arranque de 800 800 m·N, m-N, calcular la fuerza vertical inicial que soarranque porta pasador de O. porta el pasador O. Tratar Tratar la viga como una una barra barra esbelta y el conjunto del torno como una una masa puntual puntual concentrada concentrada en el centro de la polea. ¿Es ¿Es nula nula la componente componente horizontal horizontal de la fuerza sobre el pasador? pasador? 6.14 6.74

una masa de 50 50 kg Y Yse La viga esbelta de 3 m tiene una se suelta desde el reposo reposo en posición horizontal horizontal con e == O. Si Si el coeficoeficiente de rozamiento rozamiento estático entre entre el apoyo fijo fijo en O y la viga vale 0,30, 0,30, hallar el ángulo ángulo e e para para el que se produce produce deslizamiento miento en O. O. ¿Depende ¿Depende el resultado resultado de la masa de la viga?

386


é

1 r

o

e

(J

1m 1m 2m

Figura Fi'gura problema problema 6.76

F li

v d

e

6.5

MOVIMIENTO PLANO GENERAL

387 6.5 MOVIMIENTO PLANO GENERAL

m

En la dinámica del movimiento plano general de un cuerpo rígido se combinan la traslación y la rotación. En la figura 6.4 se representó, en relación con el apartado 6.2, un cuerpo rígido con su diagrama para sólido rígido y su diagrama cinético, en el que se indicaban las resultantes dinámicas de las fuerzas aplicadas. Aquella figura se repite aquí por comodidad, así como las ecuaciones 6.1 aplicables ahora al movimiento plano general: I.F

= ma [6.1 ]

I.Me = la 1 se

que rva

ento baqué

Como antes, las dos componentes escalares de la ecuación se expresan en aquel sistema de coordenadas que mejor describa la aceleración del centro de masa. La aplicación directa de estas ecuaciones expresa la equivalencia entre las fuerzas externamente aplicadas, que figuran en el diagrama para sólido libre, y su fuerza y momento resultantes, que se representan en el diagrama cinético. En el apartado 6.2 vimos asimismo, en relación con la figura 6.5, que si se toma un centro de momentos distinto del centro de masa, tal como un punto P, la ecuación del momento resultante adquiere la forma 6.2. Por comodidad se repiten aquí la ecuación 6.2 y la figura 6.5: I.Mp

suel-

coefiaviga slizaa?

=

la+ mád

F3 Diagrama para sólido libre

Diagrama cinético

Figura 6.4

[6.2]

En ocasiones puede resultar más práctico emplear la ecuación de momentos en su forma 6.3, si se toman momentos respecto a un punto P cuya aceleración se conozca. Recordemos también que la ecuación de momentos respecto a un punto O no acelerado del cuerpo (ec. 6.4) constituye otra posibilidad y que, a veces, puede ser ventajoso utilizarla. Al acometer la resolución de un problema de movimiento plano general, lo primero a observar es si se trata de un movimiento libre o de un movimiento vinculado, tal como se ilustró en la figura 6.6. Si el movimiento es vinculado, hemos de tener en cuenta la relación cinemática entre las aceleraciones lineal y angular e incorporarla a las ecuaciones de fuerzas y momentos del movimiento. Si el movimiento es libre, las aceleraciones pueden determinarse independientemente unas de otras aplicando directamente las tres ecuaciones 6.1 del movimiento. Queremos hacer hincapié en lo importante que es elegir claramente el cuerpo a aislar y la representación de ese aislamiento mediante un diagrama para sólido libre correcto. Tan sólo después de este paso crucial puede evaluarse adecuadamente la equivalencia entre las fuerzas exteriores y sus resultantes. De igual importancia en el movimiento plano es la comprensión clara de la cinemática del sistema. Muy a menudo, las dificultades que en este punto se les presentan a los principiantes se deben a la cinemática y será aquí de gran utilidad un repaso a fondo de las relaciones de la aceleración relativa para el movimiento plano. Al formular la solución de un problema hay que darse cuenta de que al inicio pueden no saberse las direcciones de ciertas fuerzas y aceleraciones, por lo que acaso haya que formular hipótesis iniciales cuya validez será confirmada o anulada al llevar a cabo la resolución. Sin embargo, es necesario


a

d

~

..>r

ma -

F3 Diagrama para sólido libre

Diagrama cinético

Figura 6.5

388 388 CINÉTICA C1NÉTICA PLANA PLANA DE LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

'1

J

que todas todas las hipótesis hipótesis que se hagan hagan sean compatibles compatibles con el principio principio de igualdad todos los requisitos requisitos cinemáticos, también también codad entre acción y reacción y con todos conocidos condiciones de vinculación vinculación o de ligadura. ligadura. ASÍ,si ASÍ, si una una rueda rueda está nocidos como condiciones rodando por una una superficie horizontal, su centro estará moverse sirodando por superficie horizontal, estará obligado obligado a moverse siguiendo una guiendo una recta horizontal. horizontal. Es más, si la aceleración aceleración lineal desconocida desconocida aa del centro de la rueda rueda se supone supone positiva positiva hacia la derecha, la aceleración aceleración angular angular deberá ser positiva sentido horario suponienconocida a deberá positiva en el sentido horario para para que aa == +ra, suponiendo que la rueda rueda no se deslice. Además, Además, debe notarse notarse que en el caso de una una rueda que ruede ruede sin deslizamiento, deslizamiento, a =ta, pero pero la fuerza F de rozamiento rozamiento estático *- r a, entre la rueda rueda y su superficie menor que su valor máximo, superficie de apoyo suele ser menor por /leN . Pero si la rueda rodar, es aa =tpor lo que F *- lleN. rueda se desliza al rodar, *- ra, ra , y aparece un rozamiento por F = lleN. /leN. En un un problema problema dado dado podrá podrá ser necerozamiento cinético dado dado por sario comprobar validez de una una u otra hipótesis. A veces se ignora ignora la diferencomprobar la validez otra hipótesis. cia entre los coeficientes de rozamiento rozamiento estático y cinético, Jie Jie' en cuyo caso, caso, J.Le YJ.Le' para representar a uno uno u otro coeficiente, o a ambos, se emplea Ji. para representar emplea el símbolo J.L.

I

PROBLEMA TIPO 6.5 PROBLEMA TIPO

Sobre el plano inclinado 20 20°° se plano inclinado se abandoabandometálico de rana desde el reposo el aro metálico mm. Si los coeficientes coeficientes de dio r == 150 150 mm. rozamiento estático estático y cinético cinético son Ile /le == rozamiento 0,15 Y Ile 0,12, hallar 0,15 /le == 0,12, hallar la aceleración aceleración angular a del aro yy el tiempo angular tiempo t que tarda descender una una distancia distancia de 3 m m a lo en descender largo del plano. plano.

Solución. En el diagrama diagrama para para sólido libre se muestran muestran el peso peso no especificado Solución. especificado normal N y la de rozamiento rozamiento F, actuantes actuantes las dos en el punto punto de mg, la fuerza normal contacto fuerza contacto e con el plano plano inclinado. inclinado. En el diagrama diagrama cinético se muestran muestran la fuerza resultante mii resultante ma.,, aplicada aplicada en el punto punto G y en la dirección dirección de la aceleración aceleración del mispar 1a. La aceleración aceleración angular, angular, al ser antihoraria, antihoraria, requiere requiere que el momo, y el par mento mento respecto respecto a G lo sea también, también, por por lo que F está dirigida dirigida plano plano arriba. arriba. desliza y, entonces, ra. Aplicando Aplicando las ecuaSe supone supone que el aro no se desliza entonces, a. == ro: para los ejes x-y x-y indicados, indicados, resulta resulta ciones 6.1, 6.1, para [I.F [LF xx = ma.) ma.xl

mg mg sen 20' -F = má ma.

[I.F mg cos 20° 20° = O N - mg [LFyy == ma.y == O] Q) CD Como toda la masa del aro está a [LM e = la] la] [I.Me una distancia distancia r de su centro centro G, G, su Q) CD momento momento de inercia respecto respecto a G Eliminando entre las ecuaciones segunda e introduciendo Eliminando F entre ecuaciones primera primera y segunda introduciendo la hipótehipótemr', debe ser m¡2. obtiene . sis cinemática cinemática a. = ra se obtiene Obsérvese que ii¡¡ es independiente independiente Obsérvese 81 (0,3420) - = ~ <7 sen20° 20' 9;2 9;~1(0,3420) tanto 0 tanto de m como de r. 0 l,678m /s2 / s2 l,678m a.a=~sen 2

o


alatá

de hipótes is de conlalahipótesis y, con momen tosy, de momentos centro de Otra como centro tomar ee como estomar posibili dad es Otra posibilidad sea, o a; ente directam dará directamente a ; o sea, 6.2 dará ecuació n6.2 aa == ra pura, lala ecuación rodadu ra pura, para rodadura ra para

mad] la+ [LMee == la [I.M + mad]

mar mr2 2 ~~ ++mar 20· == mr mgr sen 20· mgr sen rr

20· aa == gg sen sen 20· 22

caldeslizam iento, calde deslizamiento, ausenci a de la ausencia de la Para hipótes is de la hipótesis de la validez de la validez verifica r la Para verificar es anterior nes ecuacio las De límite. valor culamos F y N Y comparamos F con su valor límite. De las ecuaciones anteriores su culamo s F y N Y compar amos F con FF un

ceenso,

0,1710mg 20· ==O,l710mg sen 20· == mg 20· -- mm ~~ sen sen 20· mg sen

0,9397mg 20· == O,9397mg cos 20· mg cos N N == mg es posible es máxima posible rozamie nto máxima de rozamiento Pero fuerza de la fuerza Pero la

0,1410mg F 0,15(0,9397mg) == O,1410mg = O,15(O,9397mg) max = Fmax

N] J.LeN] =,ue max = [F [Fmax

resulta 0,1410mg, resulta de 0,1410mg, límite de valor límite al valor excede al Como 0,1710mg excede de 0,1710mg calculad o de valor calculado el valor Como el roal rodesliza se aro el tanto, Por ta. incorrec es que la hipótesis de rodadura pura es incorrecta. Por tanto, el aro se desliza al pura ra que la hipótes is de rodadu cinético valor su tiene nto rozamie de dar y a 01= r a . Entonces, la fuerza de rozamiento tiene su valor cinético fuerza la s, Entonce . a dar y a"* r 0,1128mg FF == O,12(O,9397mg) 0,12(0,9397mg) == O,1128mg ahora dan ahora movimi ento dan del movimiento Las ecuacio nes del Las ecuaciones [I.F max]x ] [LFxx = ma

ma 0,1128mg = má sen 20· - O,1128mg mg mg sen

aa = 0,229(9,81) 0,229(9,81)

la] [I.Me [LM e == la]

s2 mi s2 = 2,25 mi

o independiente Obsérvese que a es independiente ® Obsérvese

2a mr2a 0,1128mg(r) == mr O,1128mg(r)

de m pero no de r.

737 di == 0,1128(9,81) di 22 0,1128(9,81) == 737 , 0,150 a ' ra ra ss

Resp. Resp.

acebajo acereposo bajo el reposo desde el recorre r 3 m desde en recorrer aro en El del aro centro G del tarda el centro que tarda tiempo que El tiempo es constan te es leración constante leración t =

~a:

{;

=

J2(j) 2,25

Resp. Resp.

1,633 s

o

PROBLEMA TIPO 6.6 EMA TIPO PROBL

e a s-

oa-

te-

ón antambor A recibe una una aceleraci aceleración anEl tambor 2 gular constant constantee lXo fXo de 3 3 rad/s radle: y medianmediangular nte arrollado aa la fuertemente la te un cable fuerteme garganta del del canete carrete B de de 70 70 kg kg hace hace que que garganta al. El éste ruede por la la superfici superficiee horizont horizontal. El éste radio de de giro k k del del canete carrete B B respecto respecto aa radio su eje eje de de revolució revoluciónn (que (que pasa por por G) G) es es su rozamien de te mm y el el coeficien coeficiente rozamientoto 250 mm estático entre entre el el canete carrete y la la superfici superficiee estático al es horizontal es 0,25. 0,25. Hallar Hallar la la tracción tracción TT horizont que sufre sufre elel cable cable yy lala fuerza fuerza de de rozarozaque miento FF ejercida ejercida por por lala superfici supe¡ficiee horihorimiento zontal zontal sobre sobre el el carrete. carrete.

B B

A A

389 389


yy

,

I

k=

I'k=250mm 250

a

-;0 /;

-T

70(9,81)N 70(9,81)N

I~f\

iiii

"C)--x ------D

e F

t

==

mm

Solución. Se represe ntan los diagrama diagram ass para para sólido .. Solución. Se representan sólido libre libre y cinético cinético del del carrete. carrete. En este este problema problem a el sentido sentido correcto correcto de la fuerza En fuerza de de rozamiento rozamie nto puede puede asignarse asignar se teniend o en cuenta que, que, según ambos diagramas, diagram as, una teniendo en cuenta según ambos una aceleración acelerac ión angular angular antiantihoraria impone suma de momentos momen tos respecto respect o a G (y también horaria impone que que la suma D) también respecto respecto aa D) sea antihor aria. Un Un punto punto del tramo del sea antihoraria. del tramo del cable cable de de enlace enlace tiene tiene una una aceleración acelerac ión a¡ = = ra = 0,25(3) = 0,75 mI mi S2, que es también también la componente al ra = 0,25(3) = s2, que de la acecompon ente horizontal horizon tal de la aceleración del del punto punto D del del carrete. carrete. Supond leración Supondremos éste rueda sin remos inicialmente inicialm ente que que éste rueda sin deslizam iento, en en cuyo cuyo caso caso tendrá tendrá una deslizamiento, una aceleración acelerac ión angular angular antihoraria antihor aria CD / DC = 0,75/ 0,30 = CD aa == (aD) (aD\/DC = 0,75/0,30 = 2,5 rad rad/ l s2. s2. La aceleración acelerac ión del del centro centro de de masa masa G G es, por por tanto, tanto, aa = = r a == 0,45(,25) = 1,125 mI s2.. 0,45(,25) = mi s2 Conoci da ya ya la ica, podemos podemo s aplicar Conocida la cinemát cinemática, aplicar ahora ahora las las tres ecuaciones 6.1 del del tres ecuacio nes 6.1 movimi ento movimiento

F - T = 70(70(- 1,125)

(a)

N

°

[LFyy = [LF = ma mayy]]

N -- 70(9,81) = O N

[LM G = [LMe = 1la] a]

F(0,450) -- T(0,150 F(0,450) T(0,150) )

N = 687 N 70(0,250)2(2,5) 70(0,250 )2(2,5)

(b) (b)

Resolvi endo el sistema Resolviendo sistema de de ecuacio ecuaciones nes (a) y (b) (b) se obtiene obtiene F = 75,8 N

,

, :,

® ® ~I

,

y

T = 154,6 N

Resp. Resp.

Para hipótes is de Para establec establecerer la validez validez de la hipótesis de ausencia ausenci a de de rozamiento, rozamie nto, veamos veamos que que las superfic ies son son capaces capaces de soportar soporta r una las superficies máxima FFmax = una fuerza fuerza de rozamiento rozamie nto máxima max = J.l"N = 0,25(687 N= = 171,7 N. Como para mantener J.1e 0,25(687)) = Como para pura basta con una manten er la rodadura rodadu ra pura basta con una fuerza de de 75,8 75,8 N, la conclusión conclus ión es que que la hipótesis fuerza deslizamiento hipótes is de de rodadura rodadu ra sin sin deslizam iento válida. es válida. Si el el coeficiente coeficiente de rozamie nto estático estático hubiese Si rozamiento la fuerhubiese sido, sido, por por ejemplo, ejemplo , 0,1 0,1 la fuerza rozamie nto hubiese hubiese estado limitad a a 0,1(687) = za de de rozamiento estado limitada = 68,7 N, que que es es menor menor que que 78,5 N, Yel Yel carrete hubiese deslizad 78,5 N, carrete hubiese deslizado.o. En este caso caso la relación En este relación cinemática cinemát ica aa = = rr a a ya no no sería válida. Conocida Conoci da (aD)x, ya sería válida. (ao)x, la aceleración angular sería sería a acelerac ión angular a = = [a -- (aD»)/ GD. Emplea ndo esta esta relación relación junto [a (aD\]lGD. Empleando junto con con F = = J.1JV J.lJ'l << 68,7 68,7 N, N, volveríavolvería mos aa resolve tres ecuaciones ecuacio nes del mos resolverr las tres movimiento del movimi ento en en las incógnitas incógni tas T, T, aa yy a. a. Existe posibili dad de tomar tomar C como como centro Existe la la posibilidad T didicentro de de momentos momen tos yy obtener obtener T rectame nte mediante median te la ecuación rectamente ecuació n 6.2. En tal tal caso, [LM c [LMC

= Ia+ Ia+ mar] mar]

=

0,3T 2(2,5) + 70(1,125 0,3T = 70(0,25) 70(0,25)2(2,5) 70(1,125)(0,45) )(0,45)

T = = 154,6 N

Resp. Resp.

donde se se ha ha incorporado incorpo rado la condición condici ón cinemática donde a. cinemát ica de de no no deslizamiento deslizam iento aa = = rra. @ Podríamos Podríam os asimismo asimism o escribir escribir una una ecuación ecuació n de de momentos momen tos respecto respecto aa D D yy obtener obtener

o F directam directamente. ente.

CD laLa relación relación entre entre r y a a es la condición condici ón cinemática CD cinemática que que representa representa la la limitación limitación al movimi ento impuesta impuesta por por la hipótesis hipótesis de que al movimiento que el carrete carrete rueda rueda sin deslizamiento. deslizamiento.

o

(3) Debe Debe eludirse eludirse el error error de emplear emplear ~mil ~ mil para para de un disco disco circular circular uniforme. de uniforme.

1 del carrete, 1 carrete, ya que que no no se se trata trata

® Aquí Aquí son son imprescindibles imprescindibles las fórmulas fórmulas de ® de la aceleración aceleración relativa. relativa. Por Por ello ello debe debe reconoc erse la relación relación (aGID)t reconocerse (aG/D)t = GD GD a.

o

@ la La flexibili dad en la elección elección de de los centros flexibilidad centros de de momentos momen tos que que proporciona proporciona el el diagram cinético puede puede habitualmente habitualmente aprovecharse diagramaa cinético aprovecharse para para simplificar simplificar el el análisis. análisis. 390 390


:;~~ J~(.~~~~--

'~'- •• - '

--

• --

_;,~;~.2 ~.~~M.A TIPO 6.7 . ~~}.:',."

kg sese 30 kg masa 30 de masa AB de esbelta AB barra esbelta La barra La sus estando sus vertical estando plano vertical en elel plano mueve en mueve las por e deslizars a obligados a deslizarse por las extremos obligados extremos Si lisas. vertical y al horizont guías horizontal y vertical lisas. Si lala guías extremo AA aplicaalal extremo N seseaplica 150 N de150 fuerza de fuerza reenreinicialmenteen estáinicialmente barra está cuando lala barra cuando calcular 30°, = e posición e = 30°, calcular lala en lala posición poso, en poso, bade lala baresultante de angular resultante ión acelerac angular aceleración pequelos pequesobre los actuantesobre la fuerza actuante rra yy lafuerza rra B. rodillos AA yy B. líos rodillos iios

cD CD

150N IS0N

BB

esdebemo s esque debemos lo que por lo vincula do, por movimi ento vinculado, Solución. un movimiento ejecuta un barra ejecuta La barra Solución. La anguión acelerac angula aceleración masa yy la de masa centro de del centro acelerac ión del tablecer la aceleración entre la relación entre la relación tablecer la Y aA/B Y + aA/B aB + relativa aa == aB acelerac ión relativa la aceleración de la ecuació n de la ecuación lar. resolve rse la debe resolverse Primero debe lar. Primero oexpresi obtener para aC/B + aB + aC/B para obtener expresioac = aB ecuació n aa = ac aa continuación la ecuación resuelv e la se resuelve continu ación se polígon os corresp ondient es polígonos los correspondientes represe ntado los han representado nes Se han con a. Se relacion en aacon que relacionen nes que dan nes solucio cuyas real, horario sentido su sentido horario real, cuyas soluciones dan en su de con a en acelerac iones, con de aceleraciones,

sólido para sólido diagram as para muestra , los diagramas como se muestra, Seguidamente constru imos, tal como Seguida mente construimos, que tas incógni las a, de función libre y cinético cinético.. Conoci Conocidas ahora a a,x y ay ay en función de a, las incógnitas que das ahora libre da nos 6.1 nes ecuacio las de ón aplicaci quedan son son a y las fuerzas fuerzas A y B. La aplicación ecuaciones 6.1 nos da quedan [LM [LMee = = Ia] la] 150(0,6 cos 30°) 30') - A(0,6 A(0,6 sen 30°) 30') ++ B(0,6 B(0,6 cos cos 30°) 30') 150(0,6

[LF [LF xx == ma maxx] ] [U [LF y == ma mayy] ] y

lay

s,

150N A IG

I I I I

a = 4,69 rad/ s2

Resp. Resp.

tos yy emplea Existe la la posibili posibilidad de tomar tomar ee como como centro centro de de momen momentos emplearr la la dad de Existe

ad de ecuaciónn 6.2, 6.2, con con lo lo cual cual se se evita evita la la necesid necesidad de resolve resolverr un un sistema sistema de de tres tres ecuació incóglas de dos das elimina te ticamen automá ecuaciones. De este modo quedan automáticamente eliminadas dos de las incógquedan modo ecuacio nes. De este ente. Es nitas, AA yy B, B,lo lo que que nos nos permite permite hallar hallar aadirectam directamente. Es decir decir nitas, 3 ®

I I

30°:

nes se Resolviendo este sistema sistema de de tres tres ecuacio ecuaciones se obtiene obtiene endo este Resolvi

== 76,8 76,8 N N

I <, I <, •.... ---_ ..•...•.

de de aplicación de la aplicación perfecta mente la de perfectamente las aceleración rela aceleración de la ecuaciones de las ecuaciones lativa, apartad o repasarse el apartado deberá repasarse lativa, deberá 5.6. Obsérvese aparece el no aparece que no 5.6. Obsérvese que término de la aceleración normal reión normal la acelerac término de lativa, ya ya que que la la barra barra no no tiene tiene velolativa, cidad angular angular.. cidad

1~ 30(1,2)2 a

A A -- 30(9,81) 30(9,81) == 30(0,3a 30(0,3a) )

BB

a

30° ---~

I

0a) 150 150 -- B B == 30(0,52 30(0,520a)

AA == 337 337 N N

---::1'--..

CD comprenno se comprenmomen to no este momento en este Si en G) Si

s2 m/ s2 30° = 0,520 aa mI 0,6a cos 30' 30° = 0,6a aax == aa cos 30' x 0,3am2 / s 2 0,6ase n30° == 0,3am/s ay a sen 30° = 0,6asen30' ay == asen30'

®. ®

aAIB 1,2a =1,2a aAIB=

[LM [LMCc ==Ia+ la +Lmad] Lmad]

I

1 max-r I I

I

:

dy

______ l~ C

Recuérdese que elel momen momento de inerinerto de ese que oo Recuérd cia de de una una barra barra esbelta esbelta respecto respecto aa

cia 2 su centro centro es es TITím1 111/ 2 •• su

® Según Según elel di~gram di~grama cin_ético, los tértér, lo~ a cin_ético Q) minos Lmad Lmad sonma, sonmaxddll ++IJIayd\ maydx'.• minos ll

30(1,2)2 aa (0,6 sen 150(1,2cos cos30°) 30') -- 30(9,81) 30(9,81)(0,6 sen 30°) 30°) == 1111230(1,2)2 150(1,2

2

30(0,520a)(0,6 cos30°) 30') ++30(0,3 30(0,3a) a)(0,6 (0,6sen sen 30°) 30') a)(0,6 cos ++30(0,520 2 s2 / rad 4,69 = a 6,76 == 14,40a 14,40a a = 4,69rad/s 6,76

30(9,81)N

•y---"C

/

Como ambos ambos son son horarios horarios,, en enelelsensenComo tido de 1 a , son positivos. s. positivo tido de 1a , son

Resp. Resp. 391 391


Conoci da ya s aplicar dientem ente las Conocida ya aapodemo podemos aplicar indepen independientemente las ecuacio ecuaciones de las las nes de fuerzas yyobtener obtener fuerzas

[¿Fx = maJ

AA -- 30(9,81) 4,69) 30(9,81) == 30(0,3)( 30(0,3)(4,69)

AA == 337 337 NT

Resp. Resp.

150 )(4,69) 150-- BB == 30(0,520 30(0,520)(4,69)

BB == 76,8 76,8NN

Resp. Resp.


Inadvert idamente lala puerta Inadvertidamente puerta del del automóautomóvil vil fu¡ ha quedado quedado ligerame ligeramente abierta cuancuannte abierta do do se se aplican aplican los los frenos frenos para dar dar al al vehículo ón constant vehículo una una aceleraci aceleración constantee hacia hacia atrás atrás a.a. Deducir Deducir las las expresio expresiones la vevenes de la locidad angular angular ro (¡) de la la puerta puerta cuando cuando ésta pasa por la la posición posición e 8 == 90° Y las compone ntes de la componentes la reacción en la la bisagra para cualquie cualquierr valor de e. 8. La masa de la puerta puerta es m, su cent1'O centro de masa está a una distancia distancia r del eje de la bisagra O y el radio de giro respecto respecto a O es ka. ko.

aa

iav //" mra

CD1

Se ha elegido elegido el punto punto el único único punto punto de de la la aceleración acelerac ión se se conoce. conoce.

O O porque porque es es puerta puerta cuya cuya

o Téngase a en Téngase cuidado cuidado en en colocar colocar mr mra en 2

el sentido sentido a positivo positivo con con relación relación al al giro giro en en torno torno aa O. O.

®3

El El diagrama diagram a para para sólido sólido libre libre muesmuestra tra que que el el momento momen to respecto respecto aa O O es es nulo. nulo. Aquí Aquí aplicamos aplicam os el el teorema teorema de de Steiner Steiner yy hacemos hacemo s la la sustitución sustituc ión kt) k[) == 1(2+ j(2 + 1'2. ;.2. Si Si esta esta relación relación no no reresulta sulta familiar, familiar, repasar repasar el el apartado apartad o B.l B.l del del apéndice apéndic e B. B.

Solución. Como velocid ad angular ro aumenta aument a con e, Solución. Como la la velocidad angular (¡) 8,es es preciso hallar hallar como varía con con e la aceleración acelerac ión angular angular a a de forma que podamos podamo s integrar varía 8 la integra r ésta en todo todo el intervalo interval o para para obtener obtener (¡). ro. La aceleración acelerac ión a la podemos el podemo s obtener obtener de una una ecuaecuación de de momentos momen tos respecto respecto aa O. Primero Primero dibujamos dibujam os el diagrama ción diagram a para para sólido sólido libre de la puerta en el plano plano horizontal horizon tal en en una una posición posició n genérica bre de la puerta en el genéric a 8. e. En dicho dicho plano las las únicas únicas fuerzas fuerzas son son las componentes compon entes de de la reacción plano reacció n en en la bisagra bisagra que que aquí se se representan represe ntan en en las las direcciónes direcció nes xx e y. y. En el diagrama diagram a cinético, aquí cinético, además además del par resultante resultan te iia, a, que que se se representa represe nta en en el el mismo mismo sentido sentido que par que a, la la fuerza fuerza resulresulCD tante ma lala representamos represe ntamos en en términos término s de de sus sus componentes CD tante mil compon entes empleando emplea ndo una una ecuació n de de aceleraciones acelerac iones relativas relativa s respecto respecto aa O. O. Esta Esta ecuación ecuación ecuació n se se convierte convier te en en la la ecuació n cinemática cinemát ica de ecuación de ligadura ligadur a yy es es

Los módulos módulo s de de las las componentes compon entes de Los de mil ma son, son, pues, pues, ma mao ma o == ma

o Podríamos Podríam os también también haber haber tomado tomado O O

e

3

donde donde los los valores valores escalares escalare s de de los los término s son son loa loa == lI~kba términos IIIk[)a yy ppxx lilao lilao se seconvierte convier teen en -rma -/'1111/ sen sen 8.8.

ee..

donde (¡)= donde ro = é yy a= a= Para un un ángulo ángulo dado dado 8, e, las las tres tres incógnitas incógni tasson son a,a, O, Para OxY YOy. Oy.Podemos Podemo seliminar elimina r Oxyy Oy Oymediante median te una una ecuación ecuació nde de momentos momen tos respecto Ox respecto aa O, O, lo loque que da da

como como centro centro de de momentos momen tos yy emempleado pleado lala ecuación ecuació n 6.3 6.3

o

[¿M o == iiaa++¿mad] [¿Mo ¿mad ]

0 Despejando Despeja ndo atenemos atenem os

m(kd-- rr2)2 )aa++mi mra(r) ma(r sen sen 8) e) oo== m(kd cdi¡ -- matr

arar aa=2 = 2sen8sene ko ko

392 392


obtenem os genéric ayy obtenemos posició ngenérica unaposición Primero hastauna integra mos aahasta Primerointegramos

Jfo

de] de == aa de] [O) de [w

ú)(j)

o

de sen ee de ar sen f8 ar wO) dto dO) == Je ka22 ooko

2ar - cos e)e) -(1 -(1 - cos w==2ar k¿ kd

w2

Para Para

® ®

ee ==

nl2, n:/2,

1 J2rjj wO) == kk1 J2af oa

Resp. Resp.

fuerla fuerde la ecuacio nes de las ecuaciones e, las de e, dado de valor dado Para cualqui er valor para cualquier Oypara 0 xyy Oy hallar O, Para hallar dan za dan za

® resultanfuerzas resultanlas fuerzas de las diagrama de ® ElEl diagrama

tes términos los términos clarame nte los muestra claramente tes muestra que ma"y .. ma";.. yy ma forman mú que forman

sen ee mra e- mr cos e0x a sen mrw cos ma -- mrw2 0 .. == ma

==

2ar2 2ar2 (1- cos ma--cos m [ a - - 2-2 (1ko ka

J

ar sen22eeJ 2 sen e-2ar cos ee) cos ka ko 22

cos 2 e)] == ma[ - :~2(1 :~2(1 + 22 cos e-e- 3 cosma[11-

0y 0'1

=

Resp. Resp.

mrw sen ee e- mrw2 e2ar -_ 2ar(1 e) sen e - 2(1mI' sen eecos cos ee-mr 2 - cos e)

mi a cos mra

ar -_ ar mr mI' 2 2 ko ka mai? mar2

ka ko

e- 2) sen ee -2-(3 cos e-2)

Resp. Resp.

ka ko

PROBLEMAS LEMAS PROB ctorios as introdu Problem Problemas introductorios 6.77 La La placa cuadrad cuadradaa uniform uniformee de masa m m reposa sobre sobre la la 6.77 fuerza la aplica le tal cuando superficie horizontal cuando en en A A se se le aplica la fuerza P, P, tal tal ie horizon superfic ión inicial iente acelerac como se se muestra muestra.. Hallar Hallar la la consigu consiguiente aceleración inicial del del como nto. rozamie el ia Se desprec punto punto B. B.Se desprecia el rozamiento.

ie 6.78 La barra barra acodad acodadaa de de masa masa m reposa sobre la superfic superficie La 6.78 se como tal P, horizontal cuando en A se le P, se fuerza la aplica le se A en cuando tal horizon ia muestra.. Hallar Hallar la la acelerac aceleración inicial del del punto punto A. Se Se desprec desprecia ión inicial muestra barra. la el rozamiento y las dimensiones transversales la de el rozamie nto y las dimens iones transve rsales

J:... (-(- 3i 3i -- j)j) Resp. aaBB == ~ 2m 2m

b



6.79 El Elradio radio de de giro girode dela larueda rueda de de30 30kg kg es es 150 150mm. Siel elroromm. Si 6.79 calcular zamiento es suficiente para impedir el deslizamiento, calcular iento, deslizam el r impedi para te suficien es to zamien

393 393


=sm

=

lalafuerza derozamie rozamiento queactúa actúasobre sobrelalarueda ruedadurante durantesu su fuerzade nto FFque rodada rodada cuesta cuestaabajo. abajo.¿Cuál ¿Cuáleseselelcoeficie coeficiente de rozamiento mínte de rozamie nto mínimocapaz capazde deimpedi impedir deslizamiento? nimo r eleldeslizam iento? Resp.FF==34,8 34,8N, N,!le 0,128 Resp. l1e ==0,128


¿:js 12 12

6.82 ro macizo neo se 6.82 Elcilind Elcilindro macizo homogé homogéneo sesuelta suelta desde desde el elreposo reposo sobre el plano inclinad o. Si 8 = 40°, l1e ==0,20, sobre el plano inclinado. Si e = 40°,l1e !le==0,30 0,30Y Yu¿ 0,20,hallar hallar la ión del la acelerac aceleración del centro centro de de masa masa G Gyy la la fuerza fuerza de de rozamie rozamiento nto que que el el plano plano ejerce ejerce sobre sobre el el cilindro cilindro..

Figuraproblem problema 6.79 Figura a 6.79

..

.

.:: 1 "

6.80 6.80 El disco disco macizo macizo de de 30 30 kg kg reposa reposa inicialm inicialmente sobre la la El ente sobre superficie horizontal cuando aa la la cuerda cuerda arrollad arrolladaa firmeme firmemente superfic ie horizon tal cuando Í1te en su su periferi periferiaa se se le le aplica aplica una una fuerza fuerza PP de de 12 12N, N, de de módulo módulo yy en dirección constantes. El disco disco descans descansaa sobre sobre un un colchón colchón de de direcció n constan tes. El aire formad formado por chorros chorros de de aire aire que que pasan pasan por por un un gran gran númenúmeaire o por ro de de orificios orificios existent existentes en la la superfic superficie y, por por tanto, tanto, se se desliza desliza ro es en ie y, ésta práctica prácticamente sin rozamiento. Calcular la velocidad sobre ésta mente sin rozamie nto. Calcula r la velocid ad angular (O OJ del disco a a los dos segund segundos de haberle haberle aplicad aplicadoo la la os de fuerza de 12 12 N Y la velocid velocidad v de su centro de masa tras haad v de su centro de masa tras h atrasladado 1,2 metros metros aa partir partir del del reposo. reposo. berse traslada do 1,2

In m == 3,6kg 3,6 kg

~ ~

150rnm 150rnrn

/1/

G~

G ~ ~

file [Jie

/(l1 / u;c


6.83 Repetir el problem a 6.82 datos e8 == 30°, Jil1e == 0,15 6.83 Repetir el problema 6.82 con los datos e 0,15 l1e = = 0,10. 0,10. Yu; Resp. aa == 4,06 4,06 mi mI S2, S2, F F == 3,06 N N Resp. 6.84 6.84

El disco disco de de masa masa m m yy radio radio rr se se abandona abando na en en reposo reposo El siendo 8 esencia lmente cero y rueda sin sin deslizamiento deslizam iento por siendo e esencialmente cero y rueda por la la guía circular circular de de radio radio R. R. Hallar Hallar la la expresión expresi ón de de la la fuerza fuerza norguía normal N N entre entre el el disco disco yy la la guía guía en en función función de de e8yy calcular calcular el el ánmal ángulo e' 8 ' para para el el que que cesa cesa el el contacto contacto entre entre ambos. ambos. gulo


6.81 La 6.81 La cápsula cápsula espacial espacial está está girando girando en en torno torno aa su su eje eje zz con con velocidad mientras su centro de velocid ad angular angular constante constan te OJ, (o, mientra s su centro de masa masa O O sedesplaza se desplaz acon convelocidad velocid adVo Vaen enla ladirección direcció ny.y.Si Sise seproyecta proyect aun un chorro de chorro de peróxido peróxid o de de hidrógeno hidróge no tangencialmente tangenc ialment e cuando cuando lala cápsulaestá cápsula la aceleración estáen enlalaposición posició nde delalafigura, figura,hallar hallar la acelerac iónababsolutade soluta deun unpunto puntoAAde delalaperiferia periferi ade delalacápsula, cápsula,en enelelinstante instante enque quelalafuerza en fuerzadel delchorro chorroes esF.F. El Elradio radiode degiro girode delalacápsula cápsula alrededor alreded ordel deleje ejezzes eskkyysu sumasa masaes esm. m.

RResp. esp. aaA

2 -.?). = Fr (F -.?)"

Fr2.1• -(F--rur = ---1----rw- J J A 2 2 mk mm mk

\ \ II / / . . I I RR

\ev \ev' \.\-' Figuraproblema problema 6.84 6.84 Figura

394 394


r

i\

de altura de una altura terrestre yy aa una atmósfe ra terrestre Por de lala atmósfera encima de Por encima un S2, / m 8,69 m/ S2, un es 8,69 graveda d es de lala gravedad 400 acelerac ión de donde lala aceleración km, donde 400 km, orientac ión unaorientación kgYYuna 300kg de 300 remane nte de cohete masa remanente unamasa posee una cohete posee 0 kN es44kN motor su de T empujeT de su motor es elempuje Siel que vertical.Si lavertical. conla 30 con forma30 queforma la calcular , muestra se como tal como se muestra, calcular la 10tal YYsi inclinad a 10 está inclinada tobera está la tobera si la ión acelerac la de y e x entes compon las componentes aceleración x e y de la aceleración angular aa yy las acelerac ión angular vale cohete vale del cohete centroid al del giro centroidal de giro radio de del El radio masa. El de masa. centro de del centro 1,Sm. 1,5m. 2 2 0,310 rad/s a= 0,310rad/s Resp. Ci= Resp. miS2s2 6,87 m/ ax == 6,87 i'ix 2 s2 = 2,74m/ i'iay y =274m/s ,

6.85 6.85

\

0

\

2m 2m

IfOigura 6.87 problem a 6.'87 liigura¡problema

y

1

I I

\\",,300

o

I I

radio rl' La m yy radio masa m de masa uniform e de semicil índrica uniforme cáscara semicilíndrica La cáscara el con el ntada se abandona desde el reposo en la posición representada con represe n posició la en reposo el desde se abando na el Hallar borde inferior apoyado en la superficie horizontal. Hallar el tal. horizon ie superfic la en o apoyad inferior borde para io coeficiente de rozamiento estático mínimo f.1e necesario para necesar {Le mínimo estático nto rozamie de nte coeficie que inicialm ente. deslice inicialmente. no se deslice cáscara no la cáscara que la

6.88 6.88

I

I xx

'\; ~

1°~ T 1°~ 6.85 problema 6.85 Figura problema

ntativos as represe Problem Problemas representativos 15

so

la r-

para que 6.86 "o de la gargant gargantaa circular circular para que ¿Cuál debe ser el radio ro 6.86 la y rueda nto alguna entre la rueda y la superrozamiento superno actúe fuerza de rozamie era que sea el valor de la ficiehorizontal cualquiera la fuerza fuerza P P aplicaaplicahorizon tal cualqui ficie es rueda la de al El radio de giro centroid centroidal la rueda es k. k. da aa la cuerda? El Figura problem problemaa 6.88 6.8'8 Figura

-p

Figura Figura problem problemaa 6.86 6.86 6.87 El centro centro de de masa masa G Gde de la la rueda rueda de de 10 10kg kg está está separad separadoo El 6.87 indicad n posició la en está G Si rico. 10 mm del centro geométrico. Si G está en la posición indicadaa geomét 10 mm del centro el por iento deslizam sin o rodand cuando la rueda pasa rodando sin deslizamiento por el fondo fondo pasa cuando la rueda anguad velocid la a radio de m 1,2 de de la trayectoria circular de 1,2m de radio a la velocidad angucircular ria trayecto de la sobre suelo el por ejercida P erza fu la lar Q) de 10rad / s, calcular la fuerza P ejercida por el suelo sobre calcular s, / rad 10 de ro lar ión coión de n aala rueda. (Préstes (Préstese atención lautilizac utilización de la la acelerac aceleración coe atenció lalarueda. rrecta rrecta del del centro centro de de masa.) masa.) N Resp. Resp. PP ==100,3 100,3N

6.89 Hallar la la acelerac aceleración angular de de cada una de las las dos ión angular Hallar 6.89 incliruedas cuando van hacia abajo sin resbalar por los incliplanos los ruedas cuando van hacia abajo sin resbala r de masa la nados. Para la rueda A estudiar el caso en que la masa de la la que en nados. Para la rueda A estudia r el caso conesté barra llanta y radios sea despreciable la masa de la barra esté conla de masa la y llanta y radios sea desprec iable centradaa aa lo lo largo largo de de su su eje. eje. Para Para la la rueda rueda B B supone suponerr que que el el centrad de radio su grosor de la llanta es despreciable comparado con su radio de con ado compar iable desprec grosor de la llanta es modo que que toda toda la la masa masa esté esté concen concentrada en la la llanta. llanta. Hallar Hallar trada en modo el evita también el coeficiente mínimo de rozamiento f.1e que que evita el {Le nto rozamie de mínimo nte coeficie el también deslizamiento de cada cada rueda. rueda. iento de deslizam

sen ee, {Lf.1e == O o Resp. aCiAA = 8:rg sen Resp. ' e r

.z.. -! ~ 2r sen sen e, e, {Le f.1e --- ~ tg ee 22 tg 21' 395 395


AA

xx

Figura a 6.93 Figuraproblem problema 6.93 6.94 e de 6.94 El Elextremo extremo AA de de la labarra barra uniform uniforme de 55kg kg está está articula articulado al collarín ión es en la do al collarín cuya cuya acelerac aceleración esaa==44mi mi s2 s2en la direcció dirección n ddel el eje tal fijo. eje horizon horizontal fijo. Si Si la la barra barra está está animad animadaa de de una una velocid velocidad ad angular horaria angular horaria úJw == 22 rad radll ss cuando cuando pasa pasa por por la la posició posición vertin vertical, entes de cal,hallar hallar las las compon componentes de la la fuerza fuerza que que actúa actúa sobre sobre la la babarra rra en en dicho dicho instante instante..


.,

~ y

• ,

1

6.90 6.90 El disco disco de de 200 200 mm mm de de r:.adio ~adio tiene tiene una una masa masa de de 25 25 kg kg El con con un un radio radio de de giro giro centroid centroidal 175 mm mm yy una una acanala acanaladura al kk == 175 dura circular circular concént concéntrica de 75 75 mm mm de de radio. radio. Tal Tal como como se se muestra muestra,, aa rica de una cuerda cuerda arrollad arrolladaa en en la la acanala acanala dura dura se se aplica aplica una una fu fuerza erza constan constante bajo un ángulo e. 8. Si Si TT == 30 30 N, N, e 8 == O, O,l1e {le = 0,10 y {le = te T bajo = 0,10 Y l1e = 0,08, hallar la la acelerac aceleración angular a a ddel disco, la la acelerac aceleración ión angular el disco, ión aa de su centro de masa G y la fuerza ddee rozamie rozamiento F que la sunto F que la superficie ejerce ejerce sobre sobre el el disco. disco. perficie

A •

y II II

II

0,8 0,8 m m

l _ __ _ X

•

to

~T ~

oe

/le )./< = = /le Pe==

0,10 0,10 0,08 0,08


T

}~

6.95 Durante Durant e una una prueba, prueba, el automóvil automó vil describe describ e un 6.95 un círculo círculo horizon tal de de radio radio R R yy posee posee una una aceleración acelerac ión tangencial tangenc ial hacia horizontal hacia


6.91 6.91

6.92 6.92

Repetir 300. Repetir el el problema problem a 6.90, 6.90, pero pero con con TT = = 50 50 N NY Y(Je= = 30°. Resp. Resp. aa == 0,295 0,295 radl rad l S2 S2 AH AH aa == 1,027 1,027 mi mis2,hacia s2, hacia la la derecha derecha F= F = 17,62 17,62 NN Repetir Repetir el elproblema problem a 6.90, 6.90, pero pero con con TT == 30 30 N NY Y(Je== 700. 70°.

6.93 6.93

Pequeños Pequeñ os rodamientos rodami entos de de bolas bolasmontados montad os en enlos losextreextremosde de la mos la barra barra esbelta esbelta de d emasa m asa InIn yylongitud longitu dZ 1vinculan vincula nel elmomovimient o de vimiento de la la misma misma aa las las ranuras ranuras horizontales horizon tales xx ee y.y.Si Si aa lala barra, inicialmente barra, inicialm ente en en reposo reposo en en 8e== 45°, 45°, se se aplica aplica un un par par de de momen to M, momento se ejercen sobre los M, hallar h allar las las fuerzas fuerzas que que se ejercen sobre los rodarodamientos mientosAA yyBBcuando cuandolalabarra barraempieza empiez aaamoverse. movers e. 3M. B 3M. 3M . B RR AA 3M . esp. J J esp. ==2J21 2J2¡ 1,1, ==-- 2J2z 2J2¡

\ ta

~

R~ tv

,\ " ]dd

+ 11 - - -

]

//

//

/I /I

Figuraproblema problema 6.95 6.95 Figura 396


adelante a. Hallar las reacciones laterales en las parejas de ruedas delanteras delanteras y traseras traseras si la celeridad del vehículo es (a) v == O Y Y (b) (b) vv"#*" O. O. La masa del automóvil automóvil es m y su momento momento de inercia ecto a un eje que pasa pasa por G) es 1 cia polar (resp (respecto 1 . Supóngase Supóngase R » d. R»d. la la (a)R (a)Rdd = = 2dR' 2dR' Rt R¡ = = - 2dR 2dR (un par) Resp. Resp. _ 22 2 (b)Rd = = mv mv dd + lla, mvv2dd - la la (b)R a, R Rt = m d 2Rd ¡= 2Rd 2Rd 2Rd

el

d

6.96 La barra uniforme AB, de masa m, se mueve sobre los uniforme AB, rodillos ligeros de sus extremos a lo largo de la horizontal, horizontal, con celeridad v, u, cuando cuando el extremo A pasa por el punto punto e y empieza a m overse por la porción moverse porción curva del camino de radio radio r. Determinar la fuerza ejercida por por el camino sobre el rodillo A inmediatamente después de que pase por C. inmedia tamente después

a-

G ~ II ~(é!;~~ ¿~~.~~--~~~~~~\/ ~~---~])~~e~ ~ v

1"1"

6.98 La viga uniforme uniforme de acero de masa m y longitud longitud 11 cuelga de los cables amarrados amarrados en A y B. Si Si éste último se rompe repentinamente, hallar pentinamente, hallar la tracción T que experimenta experimenta el otro inmediatamente después después ddee la rotura. rotura. La viga puede tratarse inmediatamente puede tratarse como una barra barra esbelta y demostrar demostrar que el resultado resultado es independiente longitud de la misma. pendiente de la longitud

\=l ~=l Figura 6.98 Figura problema problema

puede apli6.99 Hallar Hallar la fuerza horizontal horizontal máxima P que puede carse al carro de masa M M sin que la rueda rueda se deslice al comenzar a rodar rodar sobre el carro. La rueda rueda tiene una masa m, un radio de rodadura rodadura l'r y un radio radio de gil"O giro k k . Los coeficientes de rozam iento estático y cinético entre la rueda miento rueda y el carro son, respectivamente, !le Y Y !le!le'

Resp. Resp. P

= !leg[ !leg[ m + M( M( 1 + [z)] [z)] =


lo cia

estudiar los efectos de las sacudidas sacudidas producidas 6.97 Al estudiar producidas por los alcances (choques por detrás), la rotación brusca brusca de la cabeza se modela ediante una esfera maciza homogénea modela m mediante homogénea de masa m y radio l'r articulada m articulada en un eje tangencial (el cuello). cuello). Si Si ese eje eje estando la cabeza inicialO recibe una aceleración constante a estando mente en reposo, hallar hallar las expresiones expresiones de la velocidad velocidad angular angular inicial angular inicial ú) inicial a ex ddee la cabeza y su velocidad velocidad angular úJ en función del ángulo de rotación e. Se Se supone supone que el cuello está relajado, por lo que eenn O no hay ningún ningún momento momento aplicado a la cabeza. cabeza.

(16 J Resp. aex = 5a 71" ú) Resp. to = ~7rg( ~7rg(l- l - cos

e) + a sen e e

-p p

M M


6.100 El cuadro punto e mecuadro homogéneo homogéneo de 12 12 kg cuelga del punto diante diante los dos cables amarrados amarrados a A y B. B. Si Si éste último se rompe repentinamente, repentinamente, calcular la tracción T que experimenta experimenta el otro un instante instante ddespués espués de la rotura.

"

e

Vertical Vertical

9;) ~-_8 (ihl I

p

P ~"·"

•••ao = a

45° 45° 4 A ff---,-4S,-o_--,4=S_o

A

B B

b

o

bb Figura 6.100 Figura problema problema


397


6.101 El péndulo compuesto de masa m y radio de giro ko respecto a O está articulado libremente al carrito, que recibe una aceleración horizontal constante a partiendo del reposo con el péndulo inicialmente en reposo con f) = O. Hallar la expresión de la aceleración angular y las componentes n y t de la fuerza en O como funciones de f). Calcular el valor máximo que alcanza si a = 0,5g.

brazo BC tiene una masa de 4 kg Y puede tratarse como si fuera una varilla delgada uniforme. Resp. MB = 3,55 m-N AH

e

e

.. r e = 2(a

Resp.

cos

ko

01

m(g sen

e-

g

sen

f)

e- a cos e{l-

::J

( k:r2) -2 ;d

[

m (g cos f)+a sen f) 1 +

O"

emax

2

g

-2 ]

53,1"


---a

6.104 El fuselaje que cubre la nave espacial situada en el extremo del cohete de lanzamiento se desprende cuando la atracción gravitatoria es despreciable. Un actuador mecánico mueve lentamente las dos mitades desde la posición 1 a la II a partir de la cual los fuselajes giran libremente alrededor de los goznes, tal como el O, bajo la influencia de una aceleración a constante del cohete. Cuando se alcanza la posición III, los goznes se sueltan y el fuselaje se desprende del cohete. Hallar la velocidad angular to del fuselaje en la posición de 90°. La masa de cada fuselaje es 111, su centro de masa está en G y el radio de giro respecto de O es ko.

n /

t "-

/ /

<,

<,

~

/


~ fJ ,

6.102 El camión, inicialmente en reposo con un rollo macizo de papel en la posición indicada, se mueve hacia adelante con una aceleración constante a. Determinar la distancia s que recorre el camión antes de que el rollo ruede por el borde de la plataforma. El rozamiento es suficiente para que no haya deslizamiento.

a

,-

,- ..-

..II

/ /

c

g

/ /

d

/

/

u

/ I

P tr



6.103 Se repite aquí el mecanismo robótico del problema 6.60. El miembro AB está girando en torno a la articulación A con una velocidad angular antihoraria de 2 rad/ S2 que aumenta a razón de 4 rad / S2. Hallar el momento MB que el brazo AB ejerce sobre el BC si la articulación B se mantiene bloqueada. El

6.105 La viga en doble T de 50 kg está sujeta en la posición representada mediante la fuerza P. Si el cable sujeto en B se rompe de repente, calcular la tracción T en cable vertical sujeto en A inmediatamente después de la rotura. Resp. T = 137,9 N

398


reacción normal normal bajo cada pareja de ruedas. ruedas. Se Se desprecia desprecia la inercia rotacional rotacional de las ruedas ruedas del camión. Resp. T == 1177 N, N NA NBB == 8500 N Resp. 1177N, = 17980 N, N 8500N A =

12m 12m

6.108 La barra 0,8 kg barra esbelta uniforme uniforme AB AB tiene una una masa de 0,8 Y Y es movida movida por la manivela manivela OA OA y bajo la vinculación vinculación de la barra sin masa barra masa CB. Si OA OA tiene una una aceleración aceleración angular angular OQ OQ = = rad/ S2 S2 y una velocidad angular OQ OQ = = 2 rad/ cuando OA OA y CB 4 rad/ velocidad angular rad / s cuando están ambas perpendiculares están perpendiculares a AB, AB, calcular la fuerza en CB en (Sugerencia: Considérese Considérese la utilización ese instante. (Sugerencia: utilización de la 6.3 tomando tomando A como centro de momentos.) momentos.) ecuación 6.3

A

B Figura problema Figura problema 6.105

El poste de 3,6 3,6 m está articulado articulado a la plataforma 6.106 El plataforma del cadesde la posición vertical cuando cuando el mión y se suelta en reposo desde arranca con una aceleración de 0,9 m m// S2. S2. Si la aceleracamión arranca durante el movimiento movimiento del poste, ción permanece permanece constante durante velocidad angular angular ro (j) del poste cuando cuando el mismo llecalcular la velocidad horizontal. ga a la horizontal.

,,//

I II

zla sa e

1

II

,// ,

200 mm mm

o

100 mm H+~~~~.r~~~~~~ mm~==~~~==~~ A B A 300mm B 300 mm

..--~ »>

o a

C

./ . /

3,6 m m 3,6

/ /


/ / ! 90° Ic========== L===========~==-.

o

manivela OA OA rota en el plano vertical con una velo6.109 La manivela angular horaria horaria constante constante % % de 4,5 4,5 rad/ rad/ s. Para la posicidad angular OA está horizontal, horizontal, calcular la fuerza bajo el rodillo ción en que OA despreciable B de la barra de masa despreciable barra esbelta AB. AB. Resp. B == 36,4 36,4 N Resp. B

O


transporta un carrete de 1500 1500 mm de cable 6.107 El camión transporta 0,75kg longitud. El carrete alberkg por metro de longitud. cuya masa es de 0,75 150 vueltas vueltas de cable y, en vacío, tiene una masa ga un total de 150 140kg radio de giro de 530 530 mm. El El camión solo tiene de 140 kg con un radio una masa de 2030 2030kg Si el vehículo se kg con centro de masa en G. Si pone en marcha con una aceleración inicial de 0,2g, 0,2g, hallar hallar (a) la donde se une al muro tracción T en el cable en el punto punto donde muro y (b) la

A

r

0,8 O ,S m

lL.

1,Om 1,Om

B


rem-

en

milímetros Cotas en milímetros Figura problema Figura problema 6.107

uniforme de 15 15kg 6.110 La barra barra uniforme kg se apoya en la superficie horizontal a través de un rodillo A de masa despreciable. Si Si es rizontal 0,30 el coeficiente de rozamiento rozamiento cinético entre el extremo B By 0,30 la superficie vertical, calcular la aceleración inicial del extremo A cuando cuando la barra abandona en reposo ddesde barra se abandona esde la posición de la figura. figura.

399


1,5m

y

1,5 m

I

I I

B

¡0,9 m Jic = 0,30

• G 0,9m .t......:. A

e

0,5 m

t

B

1m Figura problema

Figura problema

6.110

El bloque rectangular, macizo y homogéneo, está soportado en sus vértices por pequeños rodillos que descansan sobre superficies horizontales. Si la superficie soportante en B se suprime bruscamente, hallar la aceleración inicial del vértice A.

6.111

Resp. aA

= ~

4- +h

¡

I

b

-

6.113

námica) decide calcular la mínima aceleración a que necesita el camión para voltear la caja de carga en torno a su eje de giro. Se pone así a calcular la aceleración angular inicial a de la caja si el camión recibe una aceleración de 1,2a. ¿Qué valores correctos encuentra para a y a? ¿Sería capaz de llevar a cabo la experiencia? El contenedor puede asimilarse a un bloque rectangular homogéneo y macizo de centro de masa G. Resp. a = 16,35 m/s2 (no factible), a= 0,72 rad/s2 La barra esbelta uniforme de masa m y longitud L dotada de pequeños rodillos en los extremos se abandona en reposo desde la posición representada con el rodillo inferior en contacto con el plano horizontal. Hallar la fuerza normal N bajo ese rodillo y la aceleración angular a de la barra inmediatamente tras iniciarse el movimiento.

6.114 b

~. J I

1m

h

,

I I

Figura problema

6.111

Los dos discos, de masa m cada uno, están conectados mediante una barra liviana pero rígida de longitud l. El conjunto se lanza desde una superficie horizontal, tal como se muestra, con una celeridad v. Si ésta es suficiente elevada para que la barra no haga contacto con la esquina después de que A abandone la superficie, hallar aproximadamente el valor de la velocidad angular ea del conjunto después de que B se separe de la superficie. Se tratarán los discos como masas concentradas y formular las hipótesis simplificadoras necesarias.

6.112

v

_

A

B 1 '-.-L-------------L~.~

Figura problema

m

6.112

6.114

La biela AB de 0,6 kg de un motor de combustión interna tiene su centro de masa en G y un radio de giro respecto al mismo de 28 mm. El pistón y su eje de pie de biela A tienen una masa total de 0,82 kg. El motor está funcionando al régimen constante de 3000 rpm, de modo que la velocidad angular del cigüeñal es 3000(2n) / 60 = 100n rad/ s. Despreciar los pesos de los componentes y la fuerza que ejerce el gas encerrado en el cilindro, en comparación con las fuerzas dinámicas engendradas y calcular el módulo de la fuerza que soporta el eje de pie de biela A cuando el ángulo de la manivela es = 90°. (Sugerencia: Emplear la ecuación 6.3 tomando B como centro de momentos.) Resp. A = 1522 N

6.115

e

El cilindro hidráulico Be del camión volquete se rompe y desconecta. El conductor (que ha aprobado un curso de Di-

6.113

Figura problema

400


6 b d

P n

1 1

22 1

2 Figura problema 6.117 6.117 Figuraproblema


6.116 La puerta puerta elevable elevable de de garaje garaje está está constituida constituida por por un 6.116 un taomogéneo de m guiado blero blero rectangular rectangular h homogéneo de masa masa m guiado por por cuatro cuatro rorodillos dillos instalados instalados en en las las esquinas esquinas y que que corren corren por por las las pistas pistas que que representan en en trazo trazo discontinuo. discontinuo. Si la puerta puerta se suelta suelta desdesse representan reposo en la posición posición indicada, indicada, hallar hallar la fuerza fuerza que que ejerejerde el reposo sobre ella ella cada cada uno uno de de los los rodillos rodillos A y B. B. Despreciar Despreciar el cen sobre rozamiento. rozamiento.

6.118 En uunn estudio 6.118 En estudio de de las las lesiones lesiones de de cabeza cabeza contra contra el salpicasalpicadero dero de de un un automóvil automóvil en en marcha marcha en en paradas paradas súbitas súbitas o choques, choques, usa un un cinturón cinturón de de regazo regazo sin sin las las bandas bandas de de los los hombros hombros y se se usa analiza el maniquí maniquí articulado articulado que que se muestra muestra en en la figura. figura. La analiza junta O de junta de la cadera cadera se supone supone que que permanece permanece fija respecto respecto al vehículo, yel yel torso torso se trata como un un sólido sólido rígido rígido de de masa masa m que que vehículo, trata como pivota pivota libremente libremente en en torno torno a O. El centro centro de de masa masa del del torso torso está está en G, con con una una posición posición inicial inicial tal que que OG está está vertical. vertical. El radio radio en de de giro giro del del torso torso alrededor alrededor de de O es ko. Si se lleva lleva el automóvil automóvil a una una parada parada brusca brusca con con una una desaceleración des aceleración constante constante a, hallar hallar la velocidad del maniquí velocidad v relativa relativa al vehículo vehículo con con que que la cabeza cabeza del maniquí golpea golpea al panel panel de de instrumentos. instrumentos. Trabajar Trabajar con con lo siguientes siguientes vavakg, rr = 450 mm, lores: lores: m = 50 kg. mm, r = 800 mm, mm, ko ko = 550 mm, mm, = 45° yaex == 45° Y calcular calcular v. Y

e

"

" " /~// //

/ / / / //

B

" "

11 //

/-:;:." /

//

/


/~/

11 11 11

/ /

1/

II~

/1

11

1

'\

Vertical

~I·IB-

6.119 6.119 La placa placa cuadrada cuadrada uniforme uniforme de de masa masa m cuelga cuelga en el plaplannoo vertical vertical mediante mediante los los rodillos rodillos instalados instalados en las esquinas esquinas A y mueve horizontalmente horizontalmente hacia la derecha derecha con con una una velocivelociB Y se mueve hacia v. Hallar Hallar la fuerza fuerza que que cada cada rodillo rodillo ejerce ejerce en en la placa placa un un ddad ad v.

h/ Ji

11

11 11

11

a

Figura problema 6.116 Figuraproblema 6.116 A

e

e 1-

6.117 La pieza pieza en en T de de masa masa m se compone compone de de dos dos barras barras eses6.117 beltas iguales iguales soldadas. soldadas. Si el cuerpo cuerpo se abandona abandona en en reposo reposo beltas desde la posición posición representada, hallar la aceleración aceleración inicial inicial del del desde representada, hallar punto A. Se desprecian desprecian la pequeña pequeña masa masa del del rodillo rozapunto rodillo y el rozamiento en en él. miento

Resp. Resp. aAA

14 b . 109gg ranura ranura a aJo ajo 109

v

----+

B

b

'---b-V

r

'-----b~V Figuraproblema 6.119 Figura problema 6.119

401


instante después después de que la esquina esquina B penetre penetre en la parte parte circular de la guía.

Resp . A A Resp.

= g= -m( "2 2 g-

22 V - ))

6r '' B B 6r

m"22 gg -- (5v-6r6r) ) = = -m 22

pequeños rodillos extremos de la barra barra esbelta uni6.120 Los pequeños 3,6 kg están limitados limitados a moverse por las ranuras ranuras que forme de 3,6 e == 30°, 30°, la velocihay en el plano vertical. En el instante instante en que e angular de la barra barra es de 2 rad 1 I s en sentido antihorario. antihorario. dad angular angular de la barra, barra, las reacciones en A y Hallar la aceleración angular aceleraciones puntos A y B bbajo B Y las aceleracion es de los puntos ajo la acción de la P de 26 26 N N.. Se Se desprecian desprecian las masas de los rodillos y el fuerza P rozamiento en ellos. ellos. rozamiento Resp. 18,27radl Resp. a = 18,27 rad / sS22 RAA = =5,05N ,RBB=1,208N 5,05N ,R = 1,208N = 19,56 19,56m mi i S2, aB 17,17ms? aA = aB== 17,17 ms 2

A


~ 6.122 Se Se representa representa de nuevo nuevo el camión de contenedores ~ contenedores problema 6.55. 6.55.El contenedor cargado cargado de 120 120Mg del problema El contenedor Mg puede puede trarectangular homogéneo homogéneo de centro de tarse como un sólido rectangular G. En la posición representad representada,a, las dos ruedas masa en G. ru edas A están inmovilizadas y los frenos del vehículo aplicados aplicados para inmovilizadas para evitar Si súbitamente súbitamente se liberan las ruedas que éste se mueva. Si ruedas A para p ara permitir ruede el contenedor, contenedor, calcular la fuerza de rozapermitir que ruede ruedas del camión inmediatemiento total F que se aplica a las ruedas inmediatedesbloqueo. mente tras el desbloqueo. Resp. F == 340kN Resp.

P=26N P=26N Figura problema problema 6.120

~ 6.121 6.121 Los pequeños pequeños rodillos de los extremos de la barra barra es~ uniforme están vinculados vinculados a la ranura ranura circular de la subelta uniforme Si la barra se suelta en reposo desde la perficie vertical. Si hallar la aceleración angular angular inicial a. a. Se Se posición indicada, hallar desprecian las masas ddee los rodillos y el rozamientó rozamiento en ellos. desprecian Resp. Resp. a ==

fH

~~2 g1


SECCiÓN B. TRABAJO TRABAJO Y ENERGíA ENERGíA SECCiÓN

6.6 6.6

RELACIONES ENTRE ENTRE EL EL TRABAJO TRABAJO Y LA ENERGíA ENERGíA RELACIONES

En los apartados apartados 3.6 y 3.7 se desarrolló desarrolló y aplicó aplicó el teorema teorema de de las En las fuerzas fuerzas vivas vivas movimiento del del punto punto material material y a unos unos cuantos cuantos casos casos escogidos escogidos de al movimiento de puntos puntos materiales conectados. conectados. Vimos Vimos entonces entonces que que el teorema teorema d dee las las fuerzas materiales fuerzas vivas vivas reresulta particularmente particularmente útil para describir describir los movimientos que resultan sulta útil para los m ovimientos que resultan del del efecefecacumulado de de fuerzas fuerzas que que actúan actúan a lo largo largo de distancias. distancias. Además to acumulado Además de de ello, cuando las las fuerzas fuerzas son son conservativas, conservativas, pueden pueden determinarse determinarse cambios velocuando cambios de de velocidad estudiando estado de de la energía energía al comienzo comienzo y al final final del cidad estudiando el estado del intervalo intervalo del del 402


movimiento. Para desplazamientos desplazamientos finitos el teorema teorema de las fuerzas vivas elimina la necesidad necesidad de calcular la aceleración e integrarla integrarla a lo largo del intervalo intervalo para obtener obtener la variación variación de velocidad. Estas mismas ventajas se tienen tienen cuando cuando amplía el teorema de las fuerzas vivas a la descripción descripción del movimiento movimiento de se amplía los cuerpos recomendamos vivacuerpos rígidos. Antes de acometer acometer esta ampliación, recomendamos mente un repaso repaso minucioso minucioso de las definiciones y conceptos de trabajo, energía energía cinética, energía potencial potencial gravitatoria gravitatoria y elástica, fuerzas conservativas conservativas y pocinética, tencia, tratados tratados en los apartados apartados 3.6 3.6 y 3.7, 3.7, ya que se supone supone que el lector está completamente completamente familiarizado familiarizado con ellos cuando cuando se aplican a los problemas problemas de apartados 4.3 4.3 y 4.4 4.4 acerca de la cinética de los sistemas cuerpos rígidos. En los apartados de puntos puntos materiales, materiales, se ampliaron ampliaron los contenidos contenidos de los apartados apartados 3.6 y 3.7 3.7 para que abarcasen abarcasen los sistemas generales de puntos puntos materiales, materiales, en los que se incluyen incluyen los cuerpos cuerpos rígidos, y esa discusión discusión debe también también repasarse. repasarse.

403 6.6 6.6 RELACIONES RELACIONES ENTRE ENTRE EL EL TRABAJO TRABAJO Y LA ENERGÍA

A

(a) Trabajo de las fuerzas y de los pares de fuerzas. El trabajo efectuado efectuado por par una fuerza F se trató con detalle en el apartado apartado 3.6 y está dado dado por

ores tra-

de

u

stán

=

ff

Figura Figura 6.11

F· dr

u= fCF cos a)ds a)ds = fCF

o sea

itar

siendo dr el vector desplazamiento desplazamiento infinitesimal infinitesimal del punto punto de aplicación de F durante durante el tiempo tiempo dt. dt. En la forma escalar equivalente equivalente de la integral, a es el ángulo formado formado por F y la dirección del desplazamiento desplazamiento y ds es el módulo módulo del vectar desplazamiento desplazamiento dr. Son muy muy frecuentes las ocasiones en que debe calcuvector larse el trabajo efectuado efectuado por por un par par de fuerzas de momento momento M M que actúa sobre un cuerpo cuerpo rígido durante durante el movimiento movimiento de éste. En la figura 6.11 6.11 se representa representa par de momento momento M == Fb que actúa sobre un cuerpo cuerpo que se mueve mueve en el plaun par Durante el tiempo tiempo dt dt el cuerpo cuerpo gira un ángulo ángulo de, pasando pasando la recta no del par. Durante AB a ocupar ocupar la posición posición A 'B '. Este movimiento podemos considerarlo considerarlo formado formado AB movimiento podemos partes: primero primero una una traslación traslación hasta hasta A 'B " Y Y luego una una rotación rotación de de en por dos partes: inmediato que, durante durante la traslación, el trabajo efectuado efectuado torno a A '.'. Vemos de inmediato una de las fuerzas se anula anula con el efectuado efectuado por por una por la otra, por lo que el trabajo dU = de) = =M M dey dey se debe a la parte parte del movimiento movimiento consefectuado neto es dU = F(b de) tituida por la rotación. rotación. Si el par par actuase en sentido sentido contrario contrario a la rotación, el tratituida efectuado sería negativo. Por consiguiente, consiguiente, durante durante una una rotación rotación finita el bajo efectuado efectuado por por un par momento M M cuyo plano sea paralelo paralelo al plano plano par de momento trabajo efectuado movimiento es del movimiento

para ozaiate-

u

=

ff

m¡ \

V¡=VV G ·~

(a) Traslación Traslación (a)

M de de M Rotación torno a (b) Rotac ión en torno

utilizaremos la conocida expresión expresión de A continuación, continuación, utilizaremos energía cinética de un punto punto material material para para obtener obtener las expresiones expresiones de la la energía cuerpo rígido en cada uno de los tres casos de movienergía cinética de un cuerpo ilustran en la figura 6.12. 6.12. miento que se ilustran Energía cinética. cinética. (b) Energía

eje fijo fijo un eje

cuerpo rígido en traslación traslación de la figura 6.12a 6.12a tiene una una masa El cuerpo puntos tienen tienen una una velocidad velocidad común común v. La energía energía cinética de un m y todos sus puntos punto cualquiera cualquiera de masa mi del cuerpo cuerpo es Ti = = ~~ miv2, Y Y para para todo el cuerpo cuerpo punto 2 2 2 2 I: ~~ m¡v == ~~ V v I:L m mi'i' o sea será, pues, T == L

(Traslación)

vivas untos as relefeceello, veloo del

22 T -- !mv 2!mv

.<

(6.7) (6.7)

expresión es válida para las traslaciones tanto rectilíneas como curvilíneas. curvilíneas . Esta expresión válida para


Movimiento p plano (e) Movimiento lano generall genera Figura 6.12 6.12 Figura

404 CINÉTICA ClNÉTICA PLANA PLANA DE LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

(Rotación en torno a un eje fijo) El cuerpo rígido de la figura 6.12b 6.12b gira con angular O) walrededor fijo que pasa pasa por O. O. La energía cinécinéuna velocidad velocidad angular alrededor del eje fijo punto genérico de masa mi m¡ es Ti = = ~~ m¡(riO))2 mi(r¡w)2 == ~~ oJI,m;r? tica de un punto aJLm¡r{ Luego, para oJI, mir}. m¡r}. Pero el momento momento de inercia del cuerpo de el cuerpo completo, T == ~~aJL lo == L I, m;r?; respecto a O es lo m¡r?; luego

(6.8) (6.8) Obsérvese la semejanza semejanza formal de las expresiones expresiones de la energía cinética para para rotación y traslación. El lector puede puede comprobar comprobar que las dimensiones dimensiones de ambas expresiones expresiones son las mismas. (Movimiento (Movimiento plano plano genera/) general) El cuerpo cuerpo rígido de la figura 6.12c 6.12c ejecuta un movimiento plano plano en el cual, en el instante instante considerado, considerado, la velocidad velocidad de su centro de masa G es v v y la velocidad velocidad angular angular es 0). w. La velocidad velocidad Vi Vi de un punto punto geném¡ puede puede expresarse expresarse en función de la velocidad v del centro de rico de masa mi velocidad v velocidad p.o: masa y de la velocidad PiO) relativa al centro de masa tal como se indica. Con ayuda ayuda del teorema del coseno podremos podremos escribir la energía energía cinética del cuerpo suma I,Ti puntos. Así como la suma LTi de las energías energías cinéticas de todos sus puntos.

= L~m¡v¡ I,~m¡v¡ 2 2 = = L~m¡(v2 I,~m¡(v2 + p¡ 2vp¡w cos e) T = Pi 2m2 + 2vp¡w Como O) to y v v son comunes a todos los términos del tercer sumatorio, podemos sacarlas como factor común. Entonces, el tercer término de la expresión de T resulta ser

puesto que que I,m¡y¡ my == O. La energía energía cinética cinética del del cuerpo cuerpo será, será, pues, pues, puesto Lm¡y¡ == my 2 . o sea =! v22 L I, ! aJLm oJI,m·p2. T =! m + ! p 2 1 22 1 l l' ' (6.9) (6.9) donde donde l1 es el momento momento de inercia del cuerpo respecto a su centro de masa. Esta expresión expresión de la energía cinética presenta presenta claramente claramente por separado separado las contribuciones a la energía cinética total de la velocidad velocidad de traslación traslación v v del centro de masa y de la velocidad velocidad de rotación en torno al centro de masa. rotación O) wen La energía cinética del movimiento movimiento plano plano puede puede también también expresarse expresarse en velocidad de rotación rotación alrededor alrededor del centro instantáneo instantáneo de rotafunción de la velocidad C. Como e tiene instantáneamente instantáneamente una velocidad demostración ción C. velocidad nula, la demostración que lleva a la ecuación 6.8 6.8 valdrá valdrá lo mismo para para el punto punto e que para para el punto punto fijo fijo O, O, por lo que la energía energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento movimiento plano podrá podrá escribirse también también en la forma (6.10) (6.10)

En el apartado para la energía cinética de un sisapartado 4.3 4.3 se dedujo la ecuación 4.4 4.4para tema material cualquiera, rígido o no. Vemos ahora que esa expresión es equivalente a la 6.9 6.9 cuando cuando el sistema material es rígido. En el caso de un un cuerpo cantidad p¡ de la ecuación 4.4 4.4 es la velocidad velocidad del punto punto representativo representativo rígido, la cantidad respecto al centro de masa y es el vector ú) x p¡ Pi de módulo PiO). El ténnino módulo PiW. término su4.4 se convierte en L~ I,~m¡(p¡w)2 = ~m2Lm ~m2I,m¡Pt = ~l m2, m2, con matorio de la ecuación 4.4 m¡(p¡0))2 = ¡Pt = 4.4 concuerda concuerda con la 6.9. 6.9. lo cual la ecuación 4.4

U


n é-

a

e

8)

ca tle

(e) potencial. En el apartado trató detalladamente (e) Energía Energíapotencial. apartado 3.7 3.7 se trató detalladamente de la energía energía potencial potencial elástica Ve' Recordemos potencial gravitatoria gravitatoria Vgg y de la energía energía potencial Recordemos que el símbolo U' (y no U) U) se emplea para representar representar el trabajo realizado realizado por por todas todas emplea para incluyen en los térlas fuerzas salvo el peso y las fuerzas elásticas, los cuales se incluyen energía potencial. minos de la energía potencial. Teorema de las fuerzas vivas. teorema de las fuerzas vivas (ec. vivas. El teorema (ec. 3.17) 3.17) fue presentado para el movimiento movimiento del punto punto material material y en el presentado en el apartado apartado 3.7 3.7 para apartado movimiento de los sistemas puntos maapartado 4.3 4.3 se amplió amplió al movimiento sistemas generales generales de puntos teriales. La expresión expresión

[4.3] [4.3] otro é-

de

on po

os

re-

es,

.9)

sta bude

en otaión

nto ano

.10)

sisqui-

erpo tivo su-

,con

sistema mecánico conservativo. conservativo. Al ser aplicada aplicada a un es aplicable a todo sistema un único cuerpo rígido, desaparece desaparece el término i1Vee Y cuerpo término LiV Y el trabajo total U U '1-2 que sobre el cuerpo efectúan efectúan las fuerzas fuerzas exteriores exteriores (que no sean gravitatorias) gravitatorias) resulta cuerpo resulta igual i1T de la energía energía cinética del cuerpo i1V a la variación variación liT cuerpo más la variación variación Li Vgg de su energía potencial gravitatorio. Si Si se incluyera incluyera en U el energía potencial de posición posición en el campo gravitatorio. gravitatorias, la ecuación ecuación quedaría quedaría en la forma U i1T. trabajo de las fuerzas fuerzas gravitatorias, U '1-2 == liT. Cuando se aplique aplique a un sistema cuerpos rígidos Cuando sistema de cuerpos rígidos interconectados, interconectados, la ecuación 4.3 4.3 comprenderá comprenderá la variación energía elástica almacenada ecuación variación i1Ve Li Ve de la energía almacenada conexiones. El término \-2 contendrá contendrá el trabajo de todas fuerzas exen las conexiones. término U U't-2 todas las fuerzas sistema (que no sean gravitatorias) gravitatorias) incluyendo incluyendo el trabajo negativo teriores al sistema negativo de internas si las hay. El término i1T es la suma suma de las las fuerzas de rozamiento rozamiento internas término liT variaciones de energía energía cinética de todas durante el intervalo intervalo variaciones todas las partes partes móviles durante i1V suma de las variaciones energía pode movimiento movimiento en cuestión, y Li V g es la suma variaciones de energía gravitatoria de los distintos distintos miembros. tencial gravitatoria miembros. fuerzas vivas puede asimismo escribirse en la forma de la El teorema teorema de las fuerzas puede asimismo 3.17a, donde donde los términos corresponden con la secuencia natural ecuación 3.17a, términos se corresponden natural de acontecimientos. los acontecimientos. Al aplicar a un cuerpo rígido un cuerpo rígido aislado los principios principios referentes referentes a trabajo y emplearse un diagrama para libre o un diagrama de fuerzas acenergía, debe emplearse un diagrama para sólido sólido libre un diagrama fuerzas activas. En el caso de un sistema de cuerpos cuerpos rígidos interconectados, deberá deberá ditivas. un sistema rígidos interconectados, diagrama de fuerzas fuerzas activas del sistema completo completo a fin de aislarlo aislado y bujarse un diagrama poner de manifiesto fuerzas que realizan realizan trabajo sobre el sistema. poner manifiesto todas todas las fuerzas asimismo dibujar dibujar unos diagramas diagramas que representen Conviene asimismo representen las posiciones posiciones intervalo de movimiento dado. inicial y final del sistema en el intervalo movimiento dado. directa entre entre las El teorema teorema de las fuerzas vivas proporciona proporciona una una relación directa consiguientes cambios en el movimiento realizan trabajo y los consiguientes movimiento del fuerzas que realizan embargo, si hay un interno apresistema mecánico. Sin embargo, un rozamiento rozamiento mecánico interno sistema hay que desmembrarlo desmembrado al objeto de poner poner de manifiesto manifiesto las ciable, el sistema cuenta el trabajo negativo fuerzas de rozamiento rozamiento cinético y tener en cuenta negativo que las Cuando un desmembra, automáticamente automáticamente se piermismas realizan. realizan. Cuando un sistema se desmembra, teorema de las fuerzas fuerzas vivas. Los prode una una de las ventajas ventajas primordiales primordiales del teorema cedimientos basados cedimientos basados en el teorema teorema de las fuerzas vivas son de la máxima máxima utilidad para analizar sistemas sistemas conservativos conservativos de cuerpos cuerpos interconectados interconectados en utilidad para analizar despreciarse la pérdida energía debida debida al trabajo negativo los que pueda pueda despreciarse pérdida de energía negativo de las fuerzas fuerzas de rozamiento. rozamiento. apartado 3.6, 3.6, cuando cuando (d) Potencia. El concepto de potencia potencia se presentó presentó en el apartado energía en el movimiento material. Recordese trató del trabajo y la energía movimiento del punto punto material. aquí que potencia cantidad de trabajo realizado mos aquí potencia es la cantidad realizado por por unidad unidad de tiempo. Para Para una cuerpo rígido en movimiento una fuerza F que actúe sobre un un cuerpo movimiento plano, plano,


405 6.6 6.6 RELACIONES RELACIONES ENTRE ENTRE EL El TRABAJO TRABAJO Y LA ENERGíA

406 406

CINÉTICA ClNÉTICA PLANA PLANA DE LOS LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

la potencia un instante instante dado dado lo da la ecuación ecuación 3.12 3.12 potencia que desarrolla desarrolla esa fuerza en un y es el trabajo que efectúa por unidad tiempo; o sea unidad de tiempo; P == dU == F· dr == F. v dt dt

donde infinitesimal y la velocidonde dr y v son, respectivamente, respectivamente, el desplazamiento desplazamiento infinitesimal dad Análogamente, para para un un par par de modad del punto punto de aplicación de la fuerza. Análogamente, mento desarrolla el par par de fuerzas en un mento M aplicado aplicado al cuerpo, la potencia potencia que desarrolla instante mismo efectúa efectúa por por unidad unidad de instante dado dado es la cantidad cantidad de trabajo que el mismo tiempo; o sea p de = == Mm p == = dU dU == = M M de Mw dt dt dt dt

donde desplazamiento angular angular infinitesimal infinitesimal yy donde de y m w son, respectivamente, respectivamente, el desplazamiento la velocidad potencia velocidad angular angular del cuerpo. Si Si los sentidos sentidos de M y m w son iguales, la potencia es positiva tienen sentidos sentidos conpositiva y el cuerpo recibe energía. A la inversa, si M y m w tienen energía. Si una una fuerza F y un trarios, la potencia potencia es negativa negativa y el cuerpo cuerpo cede energía. par potencia instantánea instantánea total será par de momento momento M actúan actúan simultáneamente, simultáneamente, la potencia P==F·v+Mm P=F·v+Mw

.~"

• I

.

La potencia mediante la variación variación por por unidad unidad potencia puede puede asimismo asimismo expresarse expresarse mediante de tiempo cuerpo rígido o de tiempo que exprimenta exprimenta la energía energía mecánica mecánica total de un un cuerpo un sistema de cuerpos desplazamiento infinitesimalla infinitesimal la ecuacuerpos rígidos. Para un un desplazamiento 4.3 del teorema teorema de las fuerzas vivas es ción 4.3

-. donde dU' pares de fuerzas fuerzas activos aplicados aplicados al donde dtl.' es el trabajo de las fuerzas y pares cuerpo incluidos los trabajos de las fuercuerpo o sistema de cuerpos. En dU dU' ' no están incluidos zas gravitatorias tienen en cuenta cuenta en los términos términos dV dVgg gravitatorias ni elásticas, los cuales se tienen y dV fuerzas y pares pares de dVee. . Dividiendo Dividiendo por dt se obtiene la potencia potencia total P de las fuerzas fuerzas activos P=-== P

su: dU'

di dt

. . . d == T+ V g + Ve == d/ T + V)

Vemos así que la potencia desarrollan las fuerzas fuerzas y los pares pares de fuerzas acacpotencia que desarrollan tivos es igual a la variación tiempo de la energía energía mecánica mecánica total variación por unidad unidad de tiempo del cuerpo ecuación 6.9, 6.9, para para un cuerpo o sistema sistema de cuerpos. Véase que, según según la ecuación cuerpo cuerpo dado, dado, el primer primer término término puede puede escribirse

.

= T ==

dT dT

dt === lit

d

(1 __ __ 1- ))

mv . v + 2: 1w2 dt 2: 2:mv,v+2:Iw2 dt

== v . a) a) + iwm i = ~m(a. ~m(a. v + v·

mm

== v + i a(m) === R· v + Mw = ma· ma·v+ia(w) R·v+Mw

donde actúan sobre el cuerpo cuerpo y M es donde R es la resultante resultante de todas las fuerzas fuerzas que actúan momento resultante resultante respecto al centro de masa el momento masa G de todas todas las fuerzas. El El producto masa ejecute un producto escalar tiene en cuenta cuenta el caso en que el centro de masa movimiento misma dirección. movimiento curvilíneo curvilíneo y a y v v no tengan tengan la misma


6.9 PROBLEMA TIPO 6.9 PROBLEMA TIPO

inclinado roplano inclinado La rueda por el plano sube por rueda sube sus en sus apoyada iento dando sin deslizamiento apoyada en deslizam sin dando aplifuerza de 100 N aplicubos merced aa la fuerza cubos merced perímesu perímeen su arrollada en cada aa la cuerda cuerda arrollada reposo, del parte cuerpo tro externo. Si el cuerpo parte externo. Si cuando úJ angular calcular su velocidad angular OJ cuando velocidad su calcular m aa lo largo del su avanzado 3 m centro ha avanzado su centro masa una masa tiene una rueda tiene plano inclinado. La rueda plano inclinado. un masa de 40 kg con centro de masa en O yy un centro kg Hamm. Haradio de giro centroida l de 150 mm. giro centroidal la fuerza por lafuerza desarrollada por llar la potencia potencia desarrollada metros. de 100 N al final final de los tres metros.

e

y

200 mm

a

sólo libre, sólo sólido libre, para sólido diagram a para Solución. incluida s en el diagrama fuerzas incluidas cuatro fuerzas De las cuatro Solución. De rozade fuerza La N. = 392 trabajan fuerza de rozapeso de 40(9,81) = tracción de 100 N Y el peso la tracción trabajan la cende cenconcept o de Emplea ndo el concepto miento rueda no se deslice. Empleando tanto la rueda trabaja en tanto no trabaja miento no le se que al cuerda A punto un tro instantáneo de rotación C, se ve que un punto A de la cuerda al que se le que rotación tro instantá neo ello, Por 100]v. / [(200 = ad aplique la fuerza de N tiene una velocidad v A = + 100) / 100]v. Por ello, velocid una tiene 100 fuerza aplique la maveces ma= 3 100 = distanc ia de (200 + 100) / 100 el 3 veces una distancia moverá una cuerda se moverá de la cuerda A de punto A el punto trabajo el U, término el incluido yor que el centro O. Así, con el efecto del peso incluido en término U, el trabajo peso yor que el centro hace efectuado rueda se hace do sobre la rueda efectua

á

d

e a-

U Ull-2_2

= 100 2001~~00 2001~~00 (3) =

(392 sen 15°)(3)

N N

instancentro instanCD velocidad del centro Como la velocidad 1 Como

rueda es táneo de la rueda rotación e de táneo de rotación nula, velocidad a la que la velocidad resulta que nula, resulta efectúa que rozamiento efectúa de rozamiento fuerza de que la fuerza instante. Entrabajo todo instante. nula en todo trabajo es nula tantrabajo en tantonces, F no realizará realizará trabajo tonces, F deslice. Sin rueda no se deslice. que la rueda to que embargo,o, si la rueda moviera sorueda se moviera embarg fuerza bre plataforma móvil, la fuerza una plataforma bre una trabarozamiento realizaría un trabanto sí realizaría de rozamie deslizase. aunque la rueda rueda no se deslizase. jo aunque

= = 595 JJ

2

variació n de por lo que la variación La rueda ejecuta ejecuta un plano, por de su su general plano, movimi ento general un movimiento La rueda es energía cinética energía

al r-

Vg de

AT

= [~40(0,10úJ)2 + ~40(0,15)2w2] -

O

0,650w2

teorema de las fuerzas fuerzas vivas da El teorema ac-

[U l -2

= AT]

0,650 m2 595 = 0,650w2

22

.Obsérvese compon ente del que la componente ese que Obsérv paralela al plano efectúa un plano efectúa peso paralela trabajo negativo negativo.. trabajo

33

correcto Atenciónn a utilizar utilizar el valor valor correcto Atenció radio en la expresión = rúJ rOJ del expresión v = del radio centro de la rueda. rueda. centro

OJ = = 30,3 rad rad// s úJ

tal se La energía energía cinética emética de la rueda rueda puede puede también también escribir escribirse La

un

T = ~40[(0,15)2 + (0,10)2]w2

4

2 = 0,650w 0,650w2

o

Recuérdese que ese que @ Recuér~ La potenci potenciaa que desarro desarrolla fuerza de 100 N cuando cuando úJ OJ = = 30,3 30,3 rad rad // ss es es lla la fuerza La 5

F . v] [P == F·

100 P 100

(30,3) = = 100(0,3) 100(0,3)(30,3) = 908 W =

Resp. Resp.

55

[e = le

donde 1I = = lo 'o = = mk02. donde

In OC ii + m oc22 ,

punto de Aquí la velocid velocidad ad es la del punto aplicación fuerza de 100 100 N ón de la fuerza aplicaci

es . El un

407


PROBLEMA PROBLEMATIPO TIPO 6.10 6.10 Labarra barra delgada delgada de de1200 1200mm mmtiene tiene La una masa masa de de 20 20 kg kg con con centro centro de de una masaen enBByysesesuelta sueltaen enreposo reposoen enlala masa posición en enque que e8 es esprácticamente prácticamente posición cero.El Elpunto punto BB está estálimitado limitado aamomocero. verse por por lalaguía guía vertical vertical lisa, lisa,mienmienverse tras que que elelextremo extremo AA se semueve mueve por por tras guía horizontal horizontal lisa lisa comprimiencomprimienlala guía do elel resorte resorte cuando cuando la la barra barra cae. cae. do Determinar (a) (a) la la velocidad velocidad angular angular Determinar de la la barra barra en en elel momento momento en en que que de ésta pasa pasa por por la laposición posición e8==30° 30°Y Y(b) (b) ésta la velocidad velocidad aa la la que que BB golpea golpea la la susula perficie horizontal horizontal si sila la constante constante del del perficie resorte vale vale 55 kN kN // m. m. resorte

oD

s

u

ti

c

oD II

Solución. Solución. Al Al despreciarse despreciarse el el rozamiento rozamiento yy las las masas de los los rodillos A yy B, B, el el sistema puede puede considerarse conservativo. conservativo. sistema

Parte Durante ae Parte (a). (a). Durante el el primer primer intervalo del movimiento, movimiento, desde e 8 == o Oa 8 == 30°, el resorte no interviene y en la expresión de la energía no habrá término interviene expresión energía habrá término Ve. Ve' Si Si Q) adoptamos la decisión de incluir el trabajo del peso en el término término V g,, no habrá CD adoptamos habrá 1& g lió lió O. otras fuerzas que trabajen y U' 1-2 == O. I 1 Como estamos plano vinculado, hay una una relaestamos ante un caso de movimiento movimiento plano vinculado, hay entre la velocidad velocidad VB del centro centro de masa masa y la velocidad angular ción cinemática entre velocidad angular A A ro de la barra. barra. Esa relación relación se obtiene obtiene fácilmente empleando empleando el centro centro instantáneo instantáneo code rotación C y teniendo teniendo en cuenta cuenta que VB vB = = CB CB co. ro. Así pues, pues, la energía energía cinética de rotación de la barra en la posición 8 = 30° es barra posición e = 30° CD1 Véase Véase que que las las fuerzas fuerzas actuantes actuantes sosobre bre la la barra barra en en A A yy BB son son perpendiperpendiculares [T = ~mv2 + Fw2J 12(20)(0,300 w2) 1 )) w2 w2) + + 21( 21( 1220[l,2J2 1220[1,2]2 w2 == 2,10w2 2,10w2 culares aa las las respectivas respectivas direcciones direcciones T = 2(20)(0,300 de movimiento y por ello no trabade movimiento y por ello no trabajan. jan. de energía energía potencial potencial gravitatoria gravitatoria es es el el peso peso multiplicado multiplicado por por la la La variación variación de La de altura altura experimentada experimentada por por el el centro centro de de masa masa yy vale vale variación de variación (D Nótese Nótese que que las las cantidades cantidades se se toman toman todas en las mismas unidades ó VVgg == 20(9,81)(0,600 20(9,81)(0,600 cos cos 30° 30°-- 0,600) 0,600) == -- 15,77 15,77JJ todas en las mismas unidades fundafundaÓ mentales mentales Aplicándola ahora ahora en enla la expresión expresión del del teorema teorema de de las las fuerzas fuerzas vivas vivas tenemos tenemos Aplicándola 300mm 300 mm II

e rr--C - - I $' 1 I$'fi!:i l 1&

o

2,10w2-15,77 - 15,77 oo== 2,10w2

2,74rad earo == 2,74 rad/ /ss

Resp. Resp.

Para elelintervalo intervalo de de movimiento movimiento completo completo debe debe incluirse incluirseelel resorte resorte Para como partedel del sistema, sistema, donde donde comoparte

Parte (b). (b). Parte

Ve ÓÓVe

~(5000)(0,600 - 0,450)2 0,450) 2-- OO== 56,25 56,25JJ == ~(5000)(O,600-

Enlalaposición posiciónfinal finalhorizontal, horizontal,elelpunto puntoAAno notiene tienevelocidad, velocidad,por porloloque queen en En realidadlalabarra barraestá estágirando girandoalrededor alrededorde deA.A.Por Portanto, tanto,lalaenergía energíacinética cinéticade delala realidad barra barraes es Diagrama Diagramacinético cinéticoalternativo alternativo

1( 1 20 __ 1(1

2 2)(2)(0,600 VB )2)2 -_13,33v 13,33vi 0,600

20[l,2J [1,2] TT - - 22 33

408 408


VB

B

E di

Y

e

y

B á¡

ci

3t di

pt

d: m di ci el di

S di el (a ea

m

gravitat oria es potenci al gravitatoria La variación energía potencial variació n de energía 117,7JJ 0,600) = - 117,7 ó V gg = 20(9,81)(- 0,600) = 20(9,81)(vivas fuerzas vivas las fuerzas teorema de las Llevando expresi ón del teorema valores a la expresión tres valores estos tres Llevand o estos resulta resulta óT+óVg +óV [U'1_2 [U'1_2 = óT+ÓVg+óV e] e]

vvBB = 2,15 mi s 2,15 mi

56,25 -117,7 + 56,25 O (13,33 vi - O) -117,7 O = (13,33vi

Resp. Resp.

el constitu ye el aislada constituye barra aislada que la barra Otro supone r que en suponer procedi miento consiste en Otro procedimiento hace peso el que muestra que el peso hace activas muestra sistema, fuerzas activas diagram a de fuerzas cuyo caso el diagrama en cuyo sistema , en Ennegativ o. Entrabajo negativo. hace un trabajo kx hace un resorte kx fuerza del resorte que la fuerza positivo y que trabajo positivo un trabajo escribir famos tonces, escribiríamos [Ull__22 = óT]

13,33v i 117,7 56,25 = 13,33vi 117,7 - 56,25

anterior . cuyo resultado idéntico al anterior. resultad o es idéntico

PROBLEMA TIPO 6.11 PROBLEMA TIPO ,l·

una figura, cada una mecanismo de la figura, En el mecanismo 30 kg masa de 30 una masa tiene una de las dos ruedas ruedas tiene mm. centroidal de 100 Y un un radio de giro giro centroidal 100 mm. kg masa de 10 una masa 10 kg tiene una Cada barra OB tiene cursor delgada. El cursor Y puede tomarse como delgada. puede tomarse Y por el masa de 7 kg Y corre por una masa B tiene una rozamiento desprefijo con rozamiento árbol vertical vertical fijo despre= resorte tiene tiene una una constant constantee k = ciable. El resorte kN/m yy entra entra en contacto contacto con la base 30 kNlm llegan a la cursor cuando cuando las barras llegan del cursor abancursor posición horizontal. el cursor se abanSi al. horizont posición e == 45° Y si el rozarozadona en reposo con e miento basta para que las ruedas ruedas no se miento vB del deslicen, hallar hallar (a) la velocida velocidadd VB deslicen, con contacto el inicia cursor cuando inicia contacto éste cuando cursor ión máxima deformación máxima xx el resorte yy (b) la deformac del resorte. ativo si lano y es conserv ento pplano Solución.. El El mecani mecanismo movimiento conservativo si se se smo ejecuta un movimi Solución la de origen el dad, comodi Por . cinético deprecian las pérdidas rozamiento cinético. comodidad, el origen de la nto rozamie por s pérdida depreci an las O. a O de va de O a O. horizon tal que va energía potenci potencial gravitatoria oria debe estar en la horizontal al gravitat energía (a) Para Para el el interval intervaloo de e == 45° 45° a e == O, vemos que ÓTruedas ÓTruedas es cero, puesto puesto que que (a) AdeO. = e cuando ente táneam momen cada rueda parte momentáneamente cuando e = o. Adedetiene se y reposo del cada rueda parte vo ente rota en torno aa su más, en en la la posició posiciónn inferior cada barra simplemente su respecti respectivo barra simplem más, punto O, O, por lo que pt.mto óT

= [2(~Iow2) -

O]barras

B

+ Hmv 2 -

V )2 + "27vB ( ,375)2( 0,375 31 100 1

O]cursor

2 _ 6 8 2 - ,3 v B

409


El cursor cursar B cae un¡ un¡ distancia distancia 0,375 0,375 I

Ji J2

= = 0,265 0,265

m, con lo cual

Ll V = Ll V gg = 2(10)(9,81) 0,~65 0,~65 - 7(9,81)(0,265) 44.2 JJ LlV = LlV = 00- 2(10)(9,81) 7(9,81)(0,265) = = - 44.2 = O. Luego Además, U'¡_2 U'1-2 = peso del cursor B CD Además, CD Con el trabajo del peso

dentro del término LlV Ll Vg,, no habrá más fuerzas exteriores exteriores al sistema La fuerza de que realicen trabajo. La rozamiento existente rozamiento existente bajo cada rueda no trabaja, ya que la rueda no se desliza y, por supuesto, supuesto, la fuerza normal aquí no trabaja. Por tanto,

[U'1-2 [U' 1-2 = LlT + LlV] Ll V]

O = 6,83vi - 44,2 44,2

V 2,54 mis m Is VBB = 2,54

Resp. Resp.

En el estado estado de deformación deformación máxima (b) máxima x del resorte, todas las piezas piezas se encuentran reposo, con lo que LlT == O. O sea, cuentran momentáneamente momentáneamente en reposo, [U'1_2 = LlT+LlVg+LlV LlT+ LlVg + LlVee] ]

O 2(10)(9,81)(0,~65 O = O O -- 2(10)(9,81)(0,~65

U'1-2= O.

~(30)(103)x2 +~) -- 7(9,81)(0,265 7(9,81)(0,265 + + x) + + ~(30)(103)x2

positiva de esta ecuación ecuación da La raíz positiva

Resp. Resp.

x = 60,1 mm

resultados de los apartados una vaDebe observarse observarse que los resultados apartados (a) y (b) entrañan entrañan una muy pequeña pequeña a pesar pesar de que el mecanismo mecanismo ha realizado realizado riación total de energía muy movimientQs relativamente relativamente complicada. Este problema problema y otros una sucesión de movimientos tratar de resolverse más que por por este método método energético. similares no deben deben tratar

PROBLEMAS PROBLEMAS

, ,

(Salvo problemas siguientes (Salvo que se indique indique otra cosa, en los problemas siguientes se pérdidas de energía rozamiento despreciarán despreciarán las pérdidas energía debidas debidas al rozamiento cinético.) Problemas introductorios Problemas introductorios

tambor acanalado una masa masa de 12 kg con un ramás? El tambor acanalado tiene una centroidal Tele == 210 acanaladura dio de giro centroidal 210 mm mm y el radio radio de la acanaladura f¡ = = 200 200 mm. El El momento debido al rozamiento es r¡ momento en O debido rozamiento vale constantemente 3 m-N. constantemente m·N.

6.123 La barra suelta en reposo desde desde la 6.123 barra esbelta uniforme uniforme se suelta posición indicada. indicada. Si x == 1 1 I 4, angular cuan4, hallar hallar su velocidad velocidad angular desprecia el rozamiento do pasa por por la posición vertical. Se desprecia rozamiento en O. el eje O. Y¡=200mm r¡= 200 mm

-flli -flli

Resp. Resp. to ro - ~7z ~ 7T

6 g 2 e

.1



6

6.124 En cierto instante instante la velocidad cilindro de 8 kg es de 6.124 velocidad del cilindro 0,3 m mi i s. ¿Cuál será su velocidad descendido 1,5 1,5 m velocidad v tras haber haber descendido

6.125 Las dos ruedas 6.89, que vuelven vuelven a re6.125 ruedas del problema problema 6.89, presentarse significan dos situaciones situaciones extremas extremas de dispresentarse aquí, significan tribución supone tribución de masa. En el caso A toda toda la masa masa In se supone

410 410


1; k d

desprediámetr o desprede diámetro axial de barra rodal la barra concentrada de la centro de el centro en el concent rada en en trada concen supone se m masa m se supone concentrada en ciable. la masa toda la caso BB toda el caso En el ciable. En de s despué aro cada de centro del ad la llanta. Hallar la velocidad del centro de cada aro después de la llanta. Hallar la velocid abajo o inclinad plano x ia distanc que se hayan trasladado una distancia x plano inclinado abajo una do traslada que se hayan deslizam iento. sin deslizamiento. ruedan sin aros ruedan partiendo Los aros reposo. Los del reposo. partien do del

cruza cuando cruza rad/ la / ss cuando ro==44 rad angular ()) velocid ad angular una velocidad tenga una barra tenga la barra a dinámic la en x por la posición horizontal ¿Qué efecto ejerce x en la dinámica ejerce efecto ¿Qué por la posició n horizon tal del problem a? del problema?

sen ee J 2gx sen A: vvAA = J2gx Resp. Caso A: Resp. Caso

///

----

AA

_- -

//--

sen ee Jgx sen v B == Jgx B: "s Caso Caso B: //

//

//' //'

// //

600mm 600 mm

// (I

A A

II II I{ I{

ii

¡¡----t-h---1--

o

1¡

':? ___ _ _ ---- - - lr----';? - - :::2= r _- _-__ :$ 1

~~ tt

--_ _

wQ)

.

=

II I~x mm~; !'-x ==400 mm-s-;


radio de giro res6.129 un radio tiene un inercia de 50 kg tiene de inercia volante de El volante 6.129 El

par de pecto sometid o al par está sometido = 0,4 m y está árbol de kk = su árbol de su eje de al eje pecto al s. Si el radiane momento M = 2(1 eO,lB) m-N, donde e está en radianes. momen to M = 2(1 - 0,19) m·N, donde e está ad anvelocid su volante hallar velocidad = O, hallar cuando ee= reposo cuando en reposo halla en se halla volante se gular vueltas. gular al cabo de cinco vueltas. Resp. rad/ s 3,31 rad/ = 3,31 ro = Resp. ())

6.125 problemaa 6.125 Figura problem

desreposo dessuelta en reposo uniform e se suelta 6.126 La placa rectang rectangular ular uniforme 6.126

ro máxima ()) angular máxima velocid ad angular de la posició posiciónn indicad indicada. Hallar la velocidad a. Hallar de el en nto rozamie el ia desprec Se del movimiento que ejecuta. Se desprecia rozamiento en el del movimi ento ión. eje eje ddee suspens suspensión. problemaa 6.129 6.129 Figura problem

o .. nte en torno al eje 6.130 El El disco disco uniform uniformee de 6 kg rota libreme libremente eje 6.130

bb

horizontal que pasa pasa por O. Al disco está sujeta una barra barra deltal que horizon en la reposo en gada de 2 kg tal como muestra. Si, estando estando Si, . muestra se como tal kg 2 de gada su hallar , impulso posición indicada, impulso, hallar leve un recibe sistema el a, indicad n posició velocidad angular tras haber haber girado girado 180°. 180 ad angular velocid

2b Figura problem problemaa 6.126 6.126 Figura

0

•

kg Y 6.127 Un volante de de inercia de 1200 1200kg Y 400 400 mm de de radio radio de de 6.127

rpm en un interval a 3000 giro reduce su su velocid velocidad de 5000 5000a 3000rpm intervaloo de de ad de giro lla. Expresa minutos.. Calcula Calcularr la potenci potenciaa media que desarro desarrolla. Expresarr 22 minutos ts yy en caballos de vapor. el resultad resultadoo en kilowat kilowatts vapor. el kW, P = 191 140,4kW, 191 cv Resp. PP == 140,4 6.128 La La barra barra esbelta esbelta OA OA de 15 15 kg se se suelta en reposo desde desde 6.128

a redis-

pone

te kk == 20 me el la posició posición vertical yy compri comprime el resorte de constan constante 20 n vertical la ajuste que Hallar tal. horizon n kN / m al pasar por la posición horizontal. ajuste la posició kN / m al pasar cado por la debe darse darse al al resorte, resorte, especifi especificado la distanci distanciaa h, h, para para que que debe

.....

°. . . v: ~ /3/00 ..... 0 3_I~ _

200 mm

~~~p


411 411


Para la barra esbelta del problema 6.123,hallar la distancia x para la cual será máxima la velocidad angular cuando pase por la posición vertical tras partir del reposo desde la posición indicada. Expresar la correspondiente velocidad angular.

6.131

Resp. x

=

0,211/, wmax

=

tra en posición vertical. Si la barra se suelta en reposo en la posición horizontal indicada, hallar su velocidad angular to cuando pasa por la vertical. Se desprecia el rozamiento.

Jf

1,861

r¡ II II I

Problemas representativos ~(j)

II II II II II I

Las dos barras iguales, de las misma longitud b y la misma masa 111, pueden suponerse uniformes y delgadas. Si se sueltan en reposo desde la posición indicada estando el extremo A vinculado a la guía vertical lisa, hallar la velocidad v con que A llega a O con e prácticamente cero.

6.132

A

::::::========:j~: 0,8 m ~ Figura problema

6.134

® b

e

La barra uniforme ABC de 3 kg está inicialmente en reposo con su extremo A contra el tope de la guía horizontal. Al aplicarse un par de momento constante M = 8 m-N al extremo C, la barra gira haciendo que el extremo A choque con el lado de la guía vertical a la velocidad de 3 mi s. Calcular la pérdida de energía f.Q a causa del rozamiento en guías y rodillos. Pueden despreciarse las masas de los rodillos. Resp. f.Q = 0,059 J

6.135 ® B

I

o

I ®

b

Figura problema

6.132

El torno de 375 mm de radio y su árbol tienen una masa de 41 kg Yun radio de giro de 300 mm respecto al eje de rotación. Alrededor del torno hay arrollados 18 m de cable flexible de acero de 3,08 kg por metro de longitud, con un extremo sujeto a la superficie del tambor. El extremo libre del cable cuelga inicialmente una distancia x = 0,6 cuando el dispositivo se abandona en reposo. Hallar la velocidad angular w del torno en el instante en que x = 6 m. Se supone que el centro de masa de la porción de cable que queda en el torno se encuentra siempre en el eje del árbol. Se desprecia el rozamiento. Resp. w=9,68rad/s 6.133

Figura problema

6.135

375mm 6.136 El disco B rueda hacia abajo sin deslizamiento por el plano inclinado A, que se mueve con una celeridad v. Expresar el trabajo que realizan las fuerzas normal y de rozamiento que actúan sobre el disco en los casos (a) v = O Y (b) v t= O .

Figura problema

6.133

El resorte de torsión, de constante 30 m-N /rad, está sin deformar cuando la barra delgada uniforme de 6 kg se encuen-

6.134

412


Figura problema

6.136

reposo enreposo suelta en se suelta homogé neo se macizohomogéneo 6.137 semicil indro macizo El semicilindro 6.137 El

para basta para rozamie nto basta el rozamiento Si el desde represe ntada. Si posició n representada. la posición desde la máxiangular ad velocid angular máxila velocidad hallar la que deslizam iento, hallar haya deslizamiento, no haya que no horizon tal. superfic iehorizontal. lasuperficie porla rodarpor alrodar ma sólidoal elsólido alcanzael quealcanza ma (j)wque

w

-1

cos e)e) g(l -- cos Resp. (j)w == 44 g(l Resp.

0,8 m 0,8m

)r (9n-16 (9n16)1'

B

•

_l_J


soldada 6.140 está soldada 111 está masa 111 longitu d lLyy masa de longitud delgada de bana delgada Una barra 6.140 Una desaa la reposo desen reposo suelta en se suelta aro se el aro Si el radio l.L. Si de radio aro de un aro de un llanta de la llanta 6.137 problem a 6.137 Figura problema Figura e-

Al

cade caprestaci ones de compro bar las prestaciones para comprobar 6.138 instalac ión para Una instalación 6.138 Una

ajuses ajusángulo eees cuyo ángulo banda sin fin cuyo lma banda en una rros de golf consiste en ad velocid su hasta poco a poco table. El carro masa 111 se lleva poco poco hasta su velocidad cano de masa frenade par del M to momen el s mientra nominal momento M del par de frenamarcha v mientras nomina l de marcha modo de modo constan temente de superio r se ajusta constantemente do sobre la polea superior banal respecto A fija n posició una en que el carro permanezca una posición fija A respecto al banperman ezca pola sobre que requiere se banda, la en co de ensayos ensayos.. Sin cano carro banda, requiere que sobre la ponto rozamie el vencer para Mo to lea actúe un rozamiento yy momen Mo para par de momento un par El velocid ad. El la sea que era cualqui giren hacer que las poleas cualquiera la velocidad. deslise ruedas las que impedir para te rozamiento suficiente para impedir las ruedas se deslinto es suficien rozamie potenci a P ón de la potencia cen sobre la banda. banda. Hallar la expresi expresión P que que ababnto an las fuerzas de sorbe el par de frenado M. ¿Trabaj ¿Trabajan de rozamie rozamiento estático entre las ruedas ruedas yy la la banda? banda?

del centro del de del centro celerida d vv del la celeridad hallar la represe ntada, hallar posición representada, la posición de la suSe aro después de que ésta haya dado una vuelta y media. Se sumedia. y aro despué s de que ésta haya dado una vuelta aro el pone que no hay resbalamiento y que el contacto entre el aro yy entre contacto pone que no hay resbala miento y que el la ia desprec la superficie de apoyo es continuo. Asimismo se desprecia la mo Asimis o. la superfic ie de apoyo es continu masa aro. del aro. masa del

Figura problem problemaa 6.140 6.140 Figura A

6.141 El El motor motor eléctric eléctrico potenciaa de o de la figura entrega una potenci 6.141 4 kW a 1725 rpm a la bomba que acciona. Calcular el ángulo de el r Calcula . acciona que bomba la a 4 kW a 1725 rpm cada uno de inclinación 8 del motor bajo si la constante te constan la si carga bajo motor del 8 ión inclinac sentido qué de sus cuatro soportes elásticos es 15 I m. ¿En sentido ¿En m. I kN 15 es s elástico s soporte cuatro de sus gira el el motor? motor? gira Resp. 88== 2,1 2,11 en sentido sentido horario P,0, en Resp.

el sar que r


la OA 6.139 La La manive manivela OA de de 88kg, kg.de de centro centro de de masa masa en en G Gyy radio radio 6.139 barra la a da de giro giro de de 0,22 0,22 m m respecto respecto aa O, 0, está está conecta conectada a la barra delgadelgade da uniform uniforme AB de de 12 12kg. kg. Si Siel elsistema sistema se sesuelta suelta en en reposo reposo desdese AB da del v ad velocid a, calcular de la la posició posición indicada, calcular la la velocidad v del extremo extremo BB n indicad de cuando OA OA pasa pasa por por la la vertical vertical.. cuando Resp. Resp. vv ==2,29 2,29 m mii ss

200mm mm 200 Figuraproblem problema 6.141 a 6.141 Figura

413 413


6.142 6.142 ElElcentro centrode delalarueda rueda de de100 100kg, cuyoradio radiode degiro girocencenkg, cuyo

troidal troidalesesde de100 100mm, mm,tiene tieneuna unavelocid velocidad de0,6 0,6mI mi ssalalrodar rodar ad de plano planoinclinad inclinado abajoen enlalaposició posición representada. Calcular o abajo n represe ntada. Calcula r lala reacción reacciónnnormal bajoella ellacuando cuandoppasa porelelpunto punto A. A.Se Sesusuormal NNbajo asa por poneque queno nohay haydeslizam deslizamiento. pone iento.

cuales midos 50 n de cualesestán están compri comprimidos 50mm mm en enlalaposició posición decierre. cierre.Se Se desprec ian elelpeso e las nto en desprecian pesodde lasbarras barrasyyelelrozamie rozamiento enlos loscursore cursores s C.C.Además , elelesp esor de equeño en Además, espesor delalatapa tapaesesppequeño encompar comparación ación aa sus iones. susotras otrasdimens dimensiones. AA

~ I

150mm

~

oo

~

I

:,

600mm 600 mm

1\\

II

..- »->: A

~

y '?!;.)\J ~

~

// //

--1 I

-:

I I

//

II

I/ II //

/!

I/

II II


oo 6.143 6.143 Al Al sistema articula articulado simétrico, que se se pone pone en en movimovido simétric o, que

"',

miento miento desde el el reposo reposo en en la la posició posición representada, se le le aplica aplica n represe ntada, se la fuerza fuerza vertical constan constante F. H Hallar qué velocid velocidad angular úJ ú) te F. allar qué ad angular adquier adquieren mo cada cada una, una, cuando cuando llegan llegan aa la la en las barras, de masa /no posición e == O. O.La rueda es un disco disco macizo macizo de de masa masa /n m y gira La rueda y gira deslizamiento la superfic superficie horizontal. sin deslizam iento por la ie horizon tal. sen e /nog) sen Resp. = 3(F + mag) Resp. ú) úJ =

e

mob

FF


6.145 6.145 La La polea polea ddee 400 400 mm mm de radio tiene una masa de 50 kg Y un radio de giro de 300 mm. mm. La polea y su carga de 100 un radio de giro de 300 100kg kg cuelcu el-

gan del del cable cable y y del del resorte resorte cuya cuya constante constan te es 1,5 kN I m. Si el sisgan 1,5kN tema se abando na desde el reposo estando el resorte resorte alargado tema se abandona desde el reposo estando alargad o 100 mrn, mm, hallar hallar la la velocidad velocid ad de O tras tras un un descenso d escenso de 50 mm. 100 Resp. vv = = 0,757mi 0,757 mI s Resp.


Figura problema 6.145 6.145 Figuraproblema 6.144 El Elsoporte 6.144 soporte de de lala tapa tapa del del cofre cofre de delala figura figura se sequiere quieredidiseñar de de modo señar modo que que lala velocidad velocid ad angular angular de de lala tapa tapa de d e 4,5 4,5 kg kg quedelimitada limitad aaa 1,5 quede 1,5radl rad lsscuando cuando ee== Osi O sise sesuelta sueltaen enreposo reposo coneeesencialmente con esencialmenteigual igualaa90°. 90°.Para Paraello ellose sedispone disponede dedos dosmemecanismo siguales canismos Especificar igu ales alalrepresentado represe ntado en en elel croquis. croquis . Especificarlala constan te kk que constante que debe d ebe tener tener cada cada uno uno de de los los dos dos resortes, resortes, los los

6.146 La Labarra barrauniforme uniform eOA OAde demasa masa50 50kg kgYlongitud Y longitu d2b 6.146 2b== 2,4 2,4 mse sesuelta su eltaen enreposo reposodesde desdelalaposición posició nvertical vertical en enque queee== 900. m 90°. Cuando ee== 90°, 90°, elelresorte resortede deconstante constan tekk== 1,6 1,6kN kNIImm está Cuando estásin sin alargar. Desprec iando lala masa masa de de las las dos dos barras barras de de articulaalargar. Despreciando articula ción,calcular calcularlalavelocidad velocid adangular angularú)úJ== -- é de delalabarra barracuando ción, cuando llegaaalalaposición posició nde deplegamiento plegam ientode deee== o.o. llega

414 414


e

Se

torno en torno libreme nte en ción pivota libremente cuerpo pivota El cuerpo 2r. El longitu d 2r. de longitud recta de ción recta vertical n posició vertical la posición aa la en la reposo en en reposo encuen tra en se encuentra Si se O. Si rótula O. la rótula velocid ad su velocidad representada calcular su impulso , calcular leve impulso, un leve recibe un represe ntada yy recibe (b) A-A yy (b) eje al (a) al eje A-A torno (a) angular en torno 90° en de 90° rotación de una rotación tras una angular wro tras

A A

es a

B-B. eje B-B. en al eje torno al en torno

de experim ental de 6.149 autobú s experimental el autobús para el motriz para potenci a motriz La potencia 6.149 La

de volante de un volante en un 10 almacen ada en energía almacenada la energía de la procede de Mg procede 10 Mg de radio su Y su radio de kg Y 1500 kg inercia éste es 1500 de éste masa de La masa lleva. La que lleva. inercia que de máxima ad giro velocid máxima de una velocidad proporc iona una le proporciona mm yy se le 500 mm es 500 giro es veuna e adquier 4000 reposo yy adquiere una vedel reposo parte del autobú s parte Si el autobús rpm. Si 4000 rpm. por m por situada a 20 m locidad loma situada la loma de la la cima de en la km/h en 72 km/h de 72 locidad de a reducid ad encima de la posición de salida, calcular la velocidad reducida velocid salida, calcular encima de la posició n energía de N del volante. Se supondrá que se pierde el 20% de la energía pierde supond rá que N del volante . rotade rotacedida energía cinética de Desprec iar la energía volante . Despreciar el volante. por el cedida por . autobús ción de ruedas del autobús. de las ruedas rpm Resp. = 3720 rpm N= Resp. N

~--b ~--b 6.146 Figura problem a 6.146 Figuraproblema

el tener el de tener ha de lo ha deform ada lo longitu d no deformada 6.147 qué longitud Especificar qué 6.147 Especificar tenga contacto que para I N resorte de constante k = 1400 N/ m para que el contacto tenga = k te constan resorte posila poside la partien do de llegar a A partiendo una mi/ s al llegar velocid ad de 0,25 m una velocidad

real reabando na al = O, que abandona ción neutra conmut ador en que ee = neutra del conmutador 1,5 de masa una contact or en T tiene una masa de 1,5 cibir un leve golpecito. golpeci to . El contactor m ovimien to respecto a O. El movimiento mm respecto kg radio de giro de 55 mm un radio Y un kg Y horizon tal. plano horizontal. tiene lugar lugar en el plano = 90,0 mm lo = Resp. lo Resp. Figuraproblema 6.149 Figura problem a 6.149

una transve rsal de una 6.150 En figura se representa represe nta la sección transversal la figura En la 6.150 uniform ular uniformee puerta de garaje garaje formad formadaa por un rectangular panel rectang un panel p uerta de dotada está puerta de 2,4 dotada de masa es 100 kg. La puerta 2,4 m cuya masa x 2,4 2,4 x de el reprecomo dos disposi dispositivos resortes,, uno a cada lado, tivos de resortes dos I/ m cada N 700 de te sentado.. Los Los resortes resortes tienen una una constan constante sentado en la potra encuen se uno y están sin alargar cuando la puerta encuentra uno y están sin alargar cuando puerta el repodesde suelta sición abierta representada. Si la puerta se sición abierta represe ntada. Si puerta cuando A borde so en tal posición, calcular la velocidad borde cuando del ad velocid so en tal posición , al suelo del garaje. llega al problem a 6.147 Figuraproblema 6.147 Figura ~ ------'J ---~ """-

ido de varilla delgada 6.148 El cuerpo de la figura está constru construido delgada 6.148 rr sujeto aa una porradio de uniformee y se compon componee de un un anillo poruniform

B B

-1

=2,4

/

L L

/'

90°. á sin

D .A /1

' //"

cula-

ando

2,4 m m 2,4

BB

/'

' //"

//"'

{,{,{,{,{,{,{,{,{,{,{,{,{,{,{'{--I

{'{'{'{'{'{'{'{'{'{'{'{'{'{'{'{i

I I I I II I I II II II I I II II II II

A 3m 3m

W///llll// /////////2

B B

problem a 6.148 Figuraproblema 6.148 Figura

Figuraproblema 6.150 problem a 6.150 Figura

415 415


6.151 de masa masa m m yy longitu longitudd L, L, 6.151 La La varilla varilla delgada delgada uniform uniformee de inicialm ente en inicialmente en reposo reposo centrad centradaa horizon horizontalmente sobre la la susutalmente sobre perficie perficie circular circular de de radio radio R, R, se se bascula bascula hasta hasta la la posició posiciónn reprerepresentada sentada con con trazos trazos yy se se 'ssuelta sin velocidad inicial. Hallar la uelta sin velocid ad iniciaL Hallar la expresi ón de expresión de su su velocid velocidad angular romcuando cuando pasa pasa por por la la posiposiad angular ción ción horizon horizontal. El rozamie rozamiento es suficien suficiente para que que no no haya haya taL El nto es te para deslizamiento. deslizam iento.

Resp. Resp. rom == ~J6gR( ~J6gR(8 8 sen sen 8+ 8+ cos cos 8-1) 8-1)


7"~74i 1

i

I

1 1

1 11 11

""--'::::-'::::-":::-..::::-..:;

/

/

/ ¡

//RR /

18/ I(J¡ 1/ I¡ I1/¡

j¡~


6.154 e 10 6.154 La La rueda rueda doble doble dde 10 kg, kg, cuyo cuyo radio radio de de giro giro respecto respecto aa O da al O es es de de 125 125 mm, mrn, está está conecta conectada al resorte resorte de de constan constantete kk == 600 ente arrollad 600 N N // m m median mediantete una una cuerda cuerda firmem firmemente arrolladaa al al cubo. cubo. Si la rueda na en Si la rueda se se abando abandona en reposo reposo sobre sobre el el plano plano inclinad inclinadoo y con con el el resorte resorte alargad alargadoo 225 225 mm, mm, calcular calcular la velocid velocidad máxima ad máxima vv de su centro O durante el ento subsigu de su centro O durante el movimi movimiento subsiguiente. iente. No hay deslizam iento de la rueda. deslizamiento rueda.

6.152 6.152 El pequeñ pequeñoo vehícul vehículoo se ha diseñad diseñadoo para para viajar viajar aa gran gran velocid ad sobre velocidad sobre la nieve. nieve. La llanta llanta continu continuaa tiene tiene una una masa masa p p por por unidad unidad de longitu longitudd y las ruedas ruedas motrice motricess son son las las delante delanteras. Determ inar la porción Determinar porción M del del momen momentoto aplicad aplicadoo al al eje eje dedelantero necesar io para lantero necesario para dar dar a ambas ambas llantas llantas su su movimiento, movimi ento, corresp ondient e a una correspondiente una velocidad alcanzada con velocid ad v del del vehículo vehícul o alcanza da con acelerac ión constante, constan te, en aceleración s partiendo del reposo en una una distancia distanc ia s partien do del reposo en terreno terreno llano. llano.


-

6.155 Las Las dos dos barras barras esbeltas esbeltas de d e masa masa m m yy longitud longitu d bb cada 6.155 cada una una están articula das entre entre sí sí yy se se mueven mueven en en el el plano están articuladas plano vertical. verticaL Si se se sueltan en en reposo reposo desde desde la la posición posició n indicada indicad a yy se sueltan se mueven mueven junjun-

vv


6.153 Las Las dos 6.153 dos barras barras uniformes uniform es iguales iguales se se sueltan sueltan en en reposo reposo desde la la posición posició n representada desde represe ntada en en el el plano plano vertical. verticaL Hallar Hallar lala velocid ad angular angular mro de velocidad de AB AB cuando cuando las las barras barras se se alinean. alinean. Resp. Resp. mro ==

Jtt(2J2 J,*(2Ji -

AA

-1)1)


416


momento de módulo módulo constante tas bajo la acción de un par de momento M aplicado a AB, AB, hallar la velocidad velocidad de A cuando cuando choca con o. O.

gb(l- cos e)] A J3[~e J3[~1e -- gb(l-

Resp. v A ==

6.156 En la figura se muestra muestra la sección de una puerta puerta de ventilación uniforme uniforme de 100 100 kg articulada articulada con bisagras bisagras en su borde borde horizontal horizontal superior superior O. Su posición la controla el cable cargado cargado pequeña polea A. El El resorte tiene con un resorte que pasa pasa por la pequeña 200 N por metro de alargamiento alargamiento y está sin una constante de 200 deformar deformar cuando cuando e e == O. Si Si la puerta puerta se suelta en reposo desde horizontal, hallar la velocidad velocidad angular (O la posición horizontal, angular máxima liJ correspondiente ángulo e. que alcanza y el correspondiente

pequeño vehículo experimental 6.158 Un pequeño experimental tiene una masa total m de 500 500 kg, kg. conductor conductor y ruedas ruedas incluidos. Las cuatro ruedas tienen una masa de 40 centroidal de 40 kg Y Y un un radio de giro centroidal 400 por rozamiento rozamiento al movi400 mm cada una. La resistencia R por 400 N Y Y se mide remolcando remolcando el vehículo a velocidad miento es 400 constante horizontal con el motor constante a lo largo de una calzada calzada horizontal desembragado. motor a la velodesembragado. Determinar Determinar la potencia potencia útil del motor cidad de 72 km / h subiendo rampa del 10% km/h subiendo la rampa 10% (a) a aceleración nula potencia es nula y (b) a la aceleración de 3 mI m/ S2. (Sugerencia: (Sugerencia: La potencia igual al incremento incremento por unidad unidad de tiempo de la energía total del vehículo más la cantidad rozamiento que se cantidad de trabajo de rozamiento disipa por unidad disipa unidad de tiempo.)

cto k= bo.

ay ima

hay



auna Si se jun-

uniforme de 6.157 Cada una de las bisagras, A y B, de la tapa uniforme torsión masa m de un cajón de juguetes juguetes contiene un resorte de torsión que ejerce ejerce un momento momento resistente M M == Ke sobre la tapa al cecerrarse ésta. (a) Especificar la rigidez torsional K que debe tener velocidad angular angular de la tapa sea nula cada resorte para que la velocidad cuando la misma llegue a la posición horizontal horizontal de cierre (e (e == cuando n/2) al caer desde e= O O sin velocidad velocidad inicial. (b) ¿Cuál sería su n12) angular ex. a en la posición cerrada cerrada si se soltara desde aceleración angular bisagras una solución práctica? el reposo? ¿Serían esas bisagras 2mgl _ g = 2mgl a - 0,410 0,410 , , No Resp. K = n22' ' ex. 11

6.159 La biela y la manivela manivela tienen una una masa de 22 kg Y Y un un racentroidal de 60 mm cada una. La corredera dio de giro centroidal corredera B tiene Y se mueve mueve libremente libremente por la guía vertical. El una masa de 3 kg Y resorte tiene una constante de 6 kN I/ m. m . Si a la manivela manivela OA se par de fuerzas constante constante de momento M= aplica un par momento M = 20 20 m-N, m ·N, a través de O, y a partir partir del reposo con e e == 45°, 45°, hallar la velociangular liJ (O de OA cuando cuando e e == O. dad angular Resp. liJ (O = = 9,51 9,51 rad/ Resp. rad l s

L L

tt

50

200 mm

mm mn1

400 mm

_1 ___

200 mm


6.160 Un rollo macizo de papel papel de envolver, de radio inicial abandona en reposo sobre el plano ro, se abandona plano inclinado con su exproblema 6.157 Figura problema

inmovilizado en el punto punto más alto de la pendiente. tremo libre inmovilizado pendiente.

417


velocidad en función de la distancia x recorrida recorrida penHallar su velocidad abajo. El El rollo tiene una longitud longitud total de papel L. L. ¿Puede diente abajo. concuerde la diferencia entre la energía inicial del hacerse que concuerde cuando ha cesado todo movimiento? movimiento? rollo y la final del papel papel cuando

T T

A

11

1 B



El bastidor bastidor cuadrado cuadrado está constituido constituido por cuatro cuatro vari6.161 El delgadas iguales de longitud longitud b cada una. Si Si el bastidor bastidor se llas delgadas representada, hallar la celecelesuelta en reposo desde la posición representada, ridad de la esquina esquina A (a) después después de que A haya haya descendido descendido ridad distancia b y (b) después después de que A haya descendido descendido una una una distancia distancia 2b. La pequeñas pequeñas ruedas ruedas giran sin frotamiento frotamiento por las distancia ranuras de la superficie vertical. ranuras

ru=

~ Resp. (a) y (b)v (b)v A = ~ ~5gb Resp. 5 gb

A

J,


b

~ 6.164 6.164 La barra barra uniforme uniforme ABC ABC tiene una masa m y parte parte del ~ reposo con ()() == 180°, 180°, en que A, B, B, C Y O están alineados. Si la aplicada P es de intensidad intensidad constante, determinar determinar la vefuerza aplicada locidad angular angular ro m de la barra barra cuando cuando B llega a O O siendo ()()== o. locidad tensar OC son despreciables. despreciables. (Su(SuLas masas del rodillo B y del tensor gerencia: Sustituir Sustituir la fuerza P por aplicada en B y gerencia: por una fuerza P aplicada un par.)

1 I

B

Resp. m Resp. ro ==

JJ 13mb 6Pn 6Pn 13mb

Figuraproblema Figura problema 6.161

e 6.162 La varilla delgada delgada uniforme uniforme se suelta en reposo ddesde 6.162 esde representada. ¿Qué celeridad celeridad v A lleva su extremo A la posición representada.

cuando golpea contra la rampa rampa inclinada inclinada 30°? 30°? Se Se desprecia desprecia la cuando pequeños rodillos y el rozamiento rozamiento en los mismos. masa de los pequeños ~ 6.163 6.163 Calcular la fuerza constante constante P requerida requerida para dar al ~ velocidad de 1,2 1,2 m / s hacia arriba en un centro de la polea una velocidad 0,9 m de dicho punto punto a partir partir de la posición de repoascenso de 0,9 15kg Yun so indicada. La polea tiene una masa de 15 kg Y un radio de giro 250 mm y el cable mide 4,5 4,5 m y tiene una masa de 3 kg/m. kg / m. de 250 Resp. N . Resp. P == 178,3 178,3N

418 418


b

(/p A


6.7 6.7

DETERMINACiÓN DE ACELERACIONES ACELERACIONES MEDIANTE EL EL TEOREMA TEOREMA DETERMINACiÓN DE MEDIANTE DE DE LAS FUERZAS FUERZAS VIVAS; VIVAS; TRABAJOS TRABAJOS VIRTUALES VIRTUALES

Además de determinar determinar las velocidades resultantes resultantes de la acción de fuerzas que actúan durante durante intervalos finitos del movimiento, la ecuación que relaciona trapuede emplear para establecer las aceleraciones instantábajo con energía se puede emplear para neas de los miembros de un sistema de cuerpos interconectados interconectados debidas a las aplicadas. O bien puede fuerzas activas aplicadas. puede modificarse la ecuación para para establecer la configuración de un tal sistema cuando cuando esté sometido a aceleración constante. La ecuación 4.3 para un intervalo 4.3 escrita para intervalo infinitesimal infinitesimal del movimiento movimiento queda en la forma dU' dU'

= = dT+dV dT+dV

El término dU El término dU' ' representa representa el trabajo total de todas las fuerzas activas no conservativas que se ejercen sobre el sistema considerado considerado durante durante el desplazadesplazamiento infinitesimal infinitesimal del sistema. sistema. En el término dV dV está incluido el trabajo de las fuerzas conservativas. para designar conservativas. Si se emplea emplea el subíndice subíndice i para designar un cuerpo representativo representativo del sistema de cuerpos cuerpos interconectados, interconectados, la variación variación infinitesimal de la energía cinética T del sistema es

del i la

ve-

o. Su-

donde donde dv¡ dii¡ y dm¡ dio, son las variaciones respectivas respectivas de las magnitudes magnitudes de las velotodos los !=uerpos del sistema. Pero para para cidades y donde donde la suma suma se extiende.a extiende _atodos !=uerposdel cada cuerpo, m ¡v¡dv¡ = ¡m¡ dm¡ m¡v¡dv¡ = m¡a¡ m¡a¡· · ds¡ e llu», dco¡ = = l ¡a¡ ia¡ dO¡, de¡, donde donde ds¡ ds, representa representa el desplazamiento desplazamiento lineal infinitesimal infinitesimal del centro de masa y de¡ de; representa representa el . desplazamiento plano del movimiento. desplazamiento angular angular infinitesimal infinitesimal del cuerpo en el plano movimiento. Obsérvese que a¡ . ds ¡)¡ ds ¡)¡ es la componente ds¡¡ es igual a (a (a)¡ ds],¡, donde donde (a (a)¡ componente de a¡ según la tangente tangente a la curva descrita descrita por el centro de masa del cuerpo en cuestión. Al mismo tiempo, ex¡ a¡ representa representa a ¡j¡, aceleración angular angular del cuerpo cuerpo representativo. En consecuencia, para para el sistema completo presentativo.

e¡,

By

también escribirse en la forma Esta variación puede puede también dT de1 dT = = LR·ds+LM LR·ds+LMe e ii ··de r1 1

donde YM donde R¡ R¡Y Mee son la fuerza y el momento momento resultantes resultantes que se ejercen sobre el cuerpo i y donde ponen de manidonde dO¡ dO¡ = = de¡k. de¡k. Estas dos últimas últimas ecuaciones sólo ponen variación infinitesimal infinitesimal de energía cinética es igual al trabajo elefiesto que la variación mental efectuado por la fuerza y el par resultante. efectuado sobre el cuerpo por resultante. El término dV potencial dV representa representa la variación variación infinitesimal infinitesimal de la energía potencial gravitatoria potencial elástica total.Ve Y tiene la forma gravitatoria total Vgg y de la energía potencial Ytiene


419

6.7 DETERMINACiÓN DE DETERMINACiÓN DE ACELERACIONES MEDIANTE ACELERACIONES MEDIANTE EL EL TEOREMA TEOREMA DE DE LAS LAS FUERZAS FUERZAS VIVAS; VIVAS; TRABAJOS TRABAJOS VIRTUALES VIRTUALES

---'

..--..-

- ._--

-~._~

T

420 C1NÉTICA PLANA PLANA DE LOS LOS CUERPOS CUERPOS CINÉTICA RíGIDOS RÍGIDOS

donde hh¡i representa representa la distancia distancia vertical del centro de masa del cuerpo repredonde sentativo de masa mi m¡ por por encima de un plano de referencia conveniente conveniente y donsentativo un plano representa la deformación, de tracción o de compresión, de un miembro miembro de X¡ representa representativo del sistema (resorte) cuya constante constante es kj. kj. elástico representativo expresión completa completa de dU dU' ' puede puede ahora escribirse en la forma La expresión

dU' dU'

(6.11 (6.11 )

la ecuación 6.11 6.11 a un sistema de un grado grado de libertad, los términos términos Al aplicar l~ m¡a¡ . ds¡ e I¡a¡ [¡a¡ d 8¡ serán positivos si las aceleraciones tienen el mismo sentido sentido m¡3.¡ serán positivos desplazamientos respectivos respectivos y negativos negativos si tienen sentidos sentidos opuestos. que los desplazamientos 6.11 tiene la ventaja de relacionar directamente directamente las aceleraciones La ecuación 6.11 necesidad de desmembrar desmembrar el sistema con las fuerzas activas, lo cual elimina la necesidad eliminar después después las fuerzas interiores interiores y fuerzas reactivas al resolver el sistey eliminar para cada uno de los ma de ecuaciones fuerza-masa-aceleración, fuerza-masa-aceleración, escritas para separado. miembros por separado. 6.11 los movimientos movimientos infinitesimales son Trabajos virtuales. En la ecuación 6.11 desplazamientos reales. Para un sistema mevariaciones infinitesimales de los desplazamientos adquiera una configuración configuración estacionaria estacionaria durante durante una una aceleración cánico que adquiera introducir el concepto de trabajo virtual. virtual. Los constante suele ser conveniente introducir virtual y desplazamiento desplazamiento virtual virtual ya se introdujeron introdujeron y emconceptos de trabajo virtual plearon para para resolver configuraciones de equilibrio en sistemas estáticos de plearon 1,Estática). desplazacuerpos interconectados interconectados (véase el capítulo 7 del Tomo 1, Estática). Un desplazavirtual es todo desplazamiento desplazamiento imaginado imaginado y arbitrario, lineal o angular, miento virtual natural o real. En el caso de un sistema de que aparte al sistema de la posición natural desplazamientos virtuales virtuales han de ser compatibles compatibles con cuerpos conectados, los desplazamientos ligaduras del sistema. Por ejemplo, cuando cuando un extremo de una barra barra está arlas ligaduras mediante un pasador pasador fijo, fijo, el desplazamiento desplazamiento virtual ticulado mediante virtual del otro extremo perpendicular a la recta que une ambos extremos. extremos. Estos requisitos requisitos de debe ser perpendicular compatibilidad de los desplazanúentos desplazamientos con las ligaduras ligaduras son puramente puramente cinecompatibilidad geometría de los movimientos movimientos posibles máticos, es decir, tienen que ver con la geometría proporcionan las llamadas llamadas ecuaciones ecuaciones de ligadura. ligadura. Si se da a un sistema mecáy proporcionan desplazamientos virtuales virtuales que contengan contengan las ecuaciones nico un conjunto de desplazamientos ligadura y que son, por tanto, compatibles con las ligaduras, ligaduras, se establecerá de ligadura adecuada entre las coordenadas coordenadas que especifican la configuración configuración del la relación adecuada 6.11 que expresa la relación entre el trabajo y la sistema aplicando la ecuación 6.11 términos de variaciones virtuales. virtuales. Entonces energía escrita en términos (6.11a) (6.11a)

Se acostumbra acostumbra a emplear emplear el signo d d de diferencial para para referirse a variaciones variaciones Se infinitesimales en desplazamientos desplazamientos reales, mientras mientras que se emplea emplea el signo 8 infinitesimales representar variaciones infinitesimales infinitesimales que se imaginan, imaginan, o sea, variaciopara representar virtuales. . nes virtuales


e

reon-

PROBLEMA 6.12 TIPO 6.12 PROBLEMA TIPO

ro SON

11)

masa una masa tiene una movibleAA tiene cremallera movible La La cremallera La fija. La estáfija. cremallera BB está la cremallera kg YY la de de 33 kg kg YY de 22 kg masa de una masa tiene una dentada tiene rueda dentada rueda posila posiEn la mm. En 60 mm. de 60 giro de de giro radio de un un radio constant de resorte el figura, la de lafigura, el resorte de constante e ción ción de de longitud de una longitud alargado una está alargado kN/m está 1,2 1,2 kN/m representado, instante representado, el instante Para el mm. Para 40 40 mm. cremala cremade la aceleración aa de la aceleración determinar la determinar N. 80 N. de fuerza la de acción la bajo A bajo la acción de lafuerza de 80 llera A vertical. es vertical. la figura es de lafigura plano de El plano El

nos tido tos. nes ma istelos

son meción Los ems de azalar, ade con aremo s de

CD G)

sisteel sistetodo el de todo activas de fuerzas activas de fuerzas diagram a de Solución. represe nta el diagrama figura representa Solución. La figura conserv ativo. que es conservativo. ma, que A, cremall era A, la cremallera de la dx de infinite simal dx ascende nte infinitesimal Durante desplaz amiento ascendente un desplazamiento Durant e un traeste y metros, son x donde dx, sistema el trabajo efectuado dU' sobre el sistema es 80 dx, donde x son metros, y este trasobre dU' do el trabajo efectua del total del energía total la energía de la corresp ondient es de bajo variacio nes correspondientes suma de las variaciones igual a la suma es igual bajo es tes siguien los son 6.11, n ecuació 6.11, son los siguientes aparece n en la ecuación sistema. según aparecen cambios , según sistema . Estos cambios,

a¡ para la rueda que i'!¡ Obsérv ese que (3) Obsérvese

dx == 3a dx

a dx dx + 2(0 06)22 aa/2 dx/2 = 0,781a dx /2 dx/2 dT dT eng engr.r = = 2~ 22: 0,08 0,08 = 0,781a dx 0,08 0,08 ' 2 + 2(0,06) 2 2'

á

ales del sistema La variació variaciónn de las energía energíass potenci potenciales sistema incluida incluidass en en la la ecuació ecuaciónn La 6.11 6.11 resultan resultan

[dV == :Lm¡g 2:.m¡g dh¡ dh, + :Lk¡Xj 2:.klj dxjl dxj] [dV dV crem crem = = 3g 3g dx == 3(9,81) 3(9,81) dx == 29,4 dx dx dV dVengr = 2g(dx/2) ) == g dx dx == 9,81 9,81 dx dx dV engr = 2g(dx/2 4) dx/2 dVres == k¡Xj kh dX =,j == 1200(0,0 1200(0,04) dx/2 dVres

.11 a)

dentada es acelera ción de su cenla aceleración es la dentada tro de masa, masa, que que es la mitad de la tro de aceleración de la cremallera era A. Adela cremall ión de acelerac más, su desplazamiento dx/2. más, su desplazamiento es dx/2. Para la rueda dentada, acelerala , dentada rueda Para la ción angular angular que que figura figura en a = ra es ción a1 = = (a/2)/O, (a/2)/0,08 el desplaz desplazamiento amiento 08 yy el al angular que figura angular que figura en ds = rde es de¡ == (dx/2)/O (dx/2)/0,08. ,08. de¡

® Obsérv Obsérvese ese ®

aquí que que el el desplaz desplazaaaquí miento del resorte la mitad del del mitad la es resorte del miento desplazamiento de la la cremall cremallera; era; amiento de desplaz por tanto, tanto, X¡ X¡ = x/2. x/2. por

24 24 dx

Al aplicar aplicar estos estos valores valores en en la la ecuació ecuaciónn 6.11 6.11 resulta resulta Al 80 dx dx 80

fuerzas sistema realiza exteriores al sistema fuerzas exteriores trabajo. efectua do por el trabajo efectuado El trabajo trabajo. El peso incluye en los resorte se incluye el resorte peso yy el términos de la energía potencial. potencial. energía la de s término

o

de¡l [dT 2:.m/t¡ . ds¡ + n¡a¡ 2:.l¡ai de¡] [dT = :Lm¡a¡ dTcrem crem dT

CD que ninguna de las demás Obsérvese que CD Obsérvese

3a dx dx ++ 0,781a 0,781a dx dx ++ 29,4 29,4 dx dx ++ 9,81 9,81 dx dx ++ 24 24 dx dx == 3a

os ndo aa obtenem ndo por Dividiendo por dx dx yy despeja despejando obtenemos Dividie 3,781 == 4,43 16,76/3,781 4,43 mi mi s2 s2 aa == 16,76/

iones gn08 iacio-

l'

Resp. Resp.

aVemos pues pues que que aplican aplicando teorema de de las las fuerzas fuerzas vivas vivas aa un un desplaz desplazado elel teorema Vemos exterior fuerza la el(ltre relación la ente miento infinitesimal se obtiene directamente la relación entre la fuerza exterior miento infinite simal se obtiene directam brar el io desmem la acelerac aceleración resultante. No ha ha sido sido necesar necesario desmembrar el sistema sistema,, dibujar dibujar te. No ión resultan yy la a == jla :LM aplicar veces, dos ma = :LF dos diagramas para sólido libre, aplicar 2:.F = mi'! dos veces, aplicar 2:.M e aplicar libre, e sólido para dos diagram as a. r nte despeja dos yy finalme kx ni ni elimina eliminarr término términoss indesea indeseados finalmente despejar a. yy FF==kx 421 421



Una constante se aplica aplica al al Una fuerza fuerza constan te PP se extremo extremo AA de de dos dos barras barras idéntica idénticass yy uniform es yy les uniformes les origina origina un un movimovimiento miento hacia hacia la la derecha derecha en en su su plano plano vertical vertical con con una acelerac aceleración horiión horizontal inar el zontal a. a. Determ Determinar el ángulo ángulo estaestable ble 8e que que forman forman las las barras barras entre entre ellas. ellas.

0) (!) Obsérv Obsérvese ese

O se se ememque el símbolo o plea para para represen representar una variació variación tar una n infinitesimal hipotética virtual en en infinites imal hipotéti ca o virtual lugar lugar del símbolo d, d, que se refiere a CD (!) variación infinitesimal durante 11 una variació n infinites imal durante un desplaz desplazamiento real. un amiento real. 00

Solución ye el Solución.. La La figura figura constitu constituye el diagram diagramaa de fuerzas fuerzas activas del del sistema sistema.. Para Para hallar ración estable, conside rar un desplaz hallar la la configu configuración considerar desplazamiento virtual de de cada cada amiento virtual barra barra desde desde su su supuest supuestaa posició posiciónn natural natural durante durante la la acelerac aceleración. La medida medida del del ión. La desplaz amiento con desplazamiento con respecto al extremo A A elimina cualqui cualquier por er trabajo hecho por la la fuerza P P durante durante el desplaz desplazamiento virtual; o sea, sea, amiento virtual; oU' == O O Según Según 6.l1a, 6.11a, la variació variaciónn virtual virtual de la energía energía cinética es

2 Al (3) buscamos es la la Al calcular oT lo que buscam os es

variación T consecu consecuencia de una una variació n de T encia de variación desplazamienvariació n virtual del desplaz amiento. Por Por tanto, hemos de emplear ma·Osy y no la expresión 1/2mv2), , ma·Ds expresión oq 1/2mv-) representa de T T que represen ta la variación variación de consecuencia v. consecuencia de una variación variación de de v. 3

Para Para describir describir la configuración configuración de de las barras barras hemos hemos tomado tomado el ángulo ángulo e,8, aunque de la misma forma podríapodríamos haber empleado empleado la distancia distancia enentre ambas barras.

oT oT = = Lma :Ema . os Os = = ma(ma(- O 0s1) mai- 85 (5 )) SI ) + ma(22

O(~

~) O(~ sen ~)J ~)J

= = -- ma[ ma[ ~~ sen ~) + ~~

0 ®

== -- ma(l ma(l cos ~~ oe) De) Como origen origen de de energía energía potencial potenci al tomamos tomamo s la horizontal Como horizon tal que pasa pasa por por A. A. EnEnenergía potencial potenci al de las barras tonces la energía barras será será

V g = 2mg(-

~ cos~)

variació n virtual virtual de y la variación de energía energía potencial potenci al se hace hace

8V == oo((le) 2mg -1 cos -8) oV -- 2mg gg 22 22

=

mql mol = sen = sen -e8 oe 22 22 08

Aplican do estos estos valores valores en en la la ecuación ecuació n 6.11a 6.l1a que Aplicando que expresa expresa el el teorema teorema de de las las fuerfuerzas vivas vivas para para variaciones variacio nes virtuales zas virtuale s resulta resulta

e -malcos-oe+=sen22 22

e se

8 m 0-/ mgl 8 0= -malcos -88+..:. .:..<.Ls en- 88 0= 22

de de donde donde

2a 2a arctge8 == 22 arctgg g

Resp. Resp.

En este este problema problem a comprobamos compro bamos otra otra vez vez que que el En el procedimiento procedi miento basado basado en en el el teorema de las fuerzas fuerzas vivas vivas suprime suprim e la la necesidad necesid ad de teorema de las de desmembrar desmem brarel el sistema, sistema , didibujar diagramas diagram as para para sólido sólido libre libre separados, separad os, aplicar aplicar ecuaciones bujar ecuacio nes de de movimiento, movimi ento, elimina r términos término s indeseados eliminar indesea dos yy despejar despeja r e. 8. 422 422


PROBLEMAS PROBLEMAS

.

Problemas introductorios introductorios Problemas

__ a

soportada por las barras 6.165 La carga de masa m está soportada barras articuparalelas de masa despreciable despreciable y el tope fijo ladas paralelas fijo A. Hallar Hallar la angular inicial a de las barras barras a consecuencia de la aceleración angular modo indicado. aplicación del par M a uno de los extremos del modo Resp. aa = = m~2 M -- ~ 8. sen sen Resp. b mb 2

f} f}

e Figura problema problema 6.167

M M

~ ~

A


muestra la barra barra delgada delgada uniforme 6.166 En la figura se muestra uniforme de masa m en su posición de equilibrio antes de la aplicación de la angular inicial al serie serIe aplicafuerza P. Calcular su aceleración angular da la fuerza P. Figura problema problema 6.168 p p

6.169 Si se duplica P necesaria duplica la fuerza P necesaria para para mantener mantener en equilibrio la roldana 50 kg. equilibrio roldana de 25 kg Y su carga de 50 kg, calcular la aceleración a del centro O de la roldana. roldana. El radio de giro de ésta respecto a su centro es de 150 150 mm, mm. Resp. aa == 8,26 8,26 mi m i S2

A

B


barras articuladas una masa de 4 kg articuladas A y B tienen una 6.167 Las barras cada una y la barra C tiene una masa de 6 kg. Calcular el ánguángubarras si el cuerpo al que están están unidas lo f}f} al que se colocan las barras unidas horizontal constante a a de 1,2 1,2 mi recibe una aceleración horizontal m i S2. Resp. f}f} == 7,0 0 Resp. 0

caja cargada del camión volquete tiene una 6.168 La caja una masa m momento de inercia lA respecto al con centro de masa en G y un momento eje A. Hallar la aceleración angular angular a de la caja cuando cuando se pone eje movimiento desde la posición indicada indicada por la aplicación del en movimiento par M a la barra barra CD. CD. Se Se desprecian desprecian las masas de las barras.


423


TE ;'5

Problemas representativos Problem as represe ntativos

6.1 70 Las Lasbarras barras delgada delgadas articuladas, demasa masammcada cadauna, una,se se 6.170 s articula das, de mueven mueven en en elel plano plano vertical vertical. sistema se se pone pone en en movimovi. SiSielel sistema miento miento en enlalaposició posición 60°,hallar hallar lalaacelerac aceleración angular iniinin (J(J==60°, ión angular cialaa'de lasbarras. barras. ciál 'de las

BB

\~-~ p

Figura Figura problem problemaa 6.172 6.172 6.173 es ee iguales 6.173 Los Los tres tres paneles paneles uniform uniformes iguales de de una una puerta puerta de de taller tada tienen taller segmen segmentada tienen una una masa masa m m cada cada uno uno yy son son guiados guiados por ntan aa trazos). por las las pistas pistas (que (que se se represe representan trazos). Hallar Hallar la la aceleraaceleración horizon tal aa del ción horizontal del panel panel superio superiorr bajo bajo la la acción acción de de la la fuerza fuerza P. ian los ntoss en P. Se Se desprec desprecian los rozamie rozamiento en los los rodillos de de guía.

Figura problem problemaa 6.1 6.170 Figura 70

6.171 6.171 El El bloque bloque deslizan deslizante recibe una una acelerac aceleración horizontal te recibe ión horizon tal hacia hacia la la derecha derecha que que aument aumentaa lentame lentamente hasta un valor estante hasta un valor estacionario a. a. El El péndulo péndulo aa él él unido, de de masa masa m m yy centro centro de de masa masa G, adquier e una desviac G,adquiere desviación permanente (J. El El resorte resorte de de torsión torsión ión perman ente (J. montad montadoo en O ejerce ejerce sobre el el péndulo péndulo un un momen momento M == K(J K(J to M opuesto a la desviac desviación. la torsión torsión (constan (constan-ión. Hallar la rigidez aa la te) te) KK corresp correspondiente desviación estacionaria (J. ondient e a cada desviac ión estacion aria (J.

~(~ -~) _ ~) ~(~ 8 m 2

Resp. a ==

mr

mr e(a cos (J (J-- gg sen sen (J) (J) Resp. K K = -¡¡(a

1:1V~rtical V~rtical :11

Figura problema problema 6.173 6.1 73 Figura 6.174 El El cilindro cilindro hidráulico hidrául ico AA ejerce ejerce una una fuerza fuerza ascendente 6.174 ascende nte PP sobre la la articulación articula ción BB de de la labarra barra uniforme uniform e Be Be de sobre de masa masa m. m. DesDes-

Figura Figura problema problema 6.171 6.1 71

BB

6.172 La La caja caja de 6.172 de carga carga del del camión camión de de alimentos aliment os para para servicio servicio de aeronav es tiene de aeronaves tiene una una masa masa en en carga carga mm yy se se eleva eleva por por la la apliaplicaciónde de un unpar cación parde demomento momen toM M al alextremo extremoinferior inferiorde dela labarra barra articula da al al bastidor articulada bastido r del del camión. camión . Las Las ranuras ranuras horizontales horizon tales permite n abrirse permiten abrirse al al sistema sistema articulado articula do para para elevar elevar la la caja caja de de carga. Determinar Determ inarla carga. la caja en la aceleración acelerac ión ascendente ascende nte de de la caja enfunfunciónde de hhpara paraun ción un valor valor dado dado de deM. M. Despreciar Desprec iarla lamasa masa de de las las barras. barras.

424

ee Figuraproblema problema 6.174 6.1 74 Figura

I

j 1


preciando preciando la masa masa de de la barra barra OC, OG, hallar hallar la aceleración aceleración angular angular exa de de BC cuando cuando ésta ésta se pone pone en movimiento movimiento desde desde la posición posición indicada. vertical. indicada. El movimiento movimiento se ejecuta ejecuta en en el plano plano vertical. 6.175 6.175 Merced Merced a la aplicación aplicación de de las fuerzas fuerzas P la carga carga de de masa masa m recibe recibe una una aceleración aceleración ascendente ascendente a cuando cuando está está en en reposo reposo en sus sus apoyos. apoyos. Despreciando Despreciando la masa masa del del sistema sistema de de barras barras ararticuladas, ticuladas, hallar hallar la aceleración aceleración inicial inicial a. a. 2P 2P

Resp. a = Sm Resp. Sm tg

ade ados leraerza

b

masa Hallar la aceleración aceleración masa del del sistema sistema de de barras barras articuladas. articuladas. Hallar ascendente demostrar que que es independienindependienascendente a de de la plataforma plataforma y demostrar te de de b y e. F Resp. Resp. a 2m -g -g

ee

:2 -- g

b

problema 6.175 6.175' Figura problema

Figura problema 6.1 77 77 problema 6.1

6.176 6.176 El sector sector con con las las ruedas ruedas unidas unidas a él se sueltan sueltan en en reposo reposo desde desde la posición posición representada representada en en el plano plano vertical. vertical. Cada Cada rueda rueda una disco disco macizo macizo de de masa masa S kg kg que que rueda rueda sin sin deslizamiento deslizamiento es una sobre la trayectoria trayectoria circular circular fija. El sector sector tiene tiene una una masa masa de de 8 kg kg sobre Y puede asimilarse a un Ypuede asimilarse muy muy aproximadamente aproximadamente un cuarto cuarto de de disco disco macizo ddee 400 mm macizo mm de de diámetro. diámetro. Hallar Hallar la aceleración aceleración angular angular ínicial ex a del del sector. inicial sector.

6.178 de masa masa m está está soportada soportada por por 6.178 La plataforma plataforma horizontal horizontal de cuatro barras barras articuladas articuladas uniformes, uniformes, dos cada lado cuatro dos a cada lado tal tal como como reposo el borde borde izquierdo izquierdo desdesse muestra. muestra. En En la posición posición de de reposo cansa Hallar el momento momento M del del par par que que cansa sobre sobre la repisa repisa inmóvil. inmóvil. Hallar debe para que que éstas éstas adquieran adquieran una una debe aplicarse aplicarse a una una de de las las barras barras para aceleración angular inicial Las barras barras pueden pueden tratarse tratarse cada cada aceleración angular inicial ex. a. Las una una barra de masa masa mo. mo. una como como una barra delgada delgada de

ente P

.Des-

Figura problema 6.178 problema 6.178 Figura problema problema 6.176 6.176

6.177 6.177 El andamio andamio trasladable trasladable se eleva eleva mediante mediante los dos dos cilincilindros dros hidráulicos hidráulicos articulados articulados en en los puntos puntos C. La presión presión hace hace que cada cada cilindro cilindro genere genere una una fuerza fuerza F. El andamio, andamio, el operario operario que y la carga espreciarse la carga poseen poseen una una masa masa conjunta conjunta m y puede puede d despreciarse

6.179 tienen una una masa masa de de 2 kg kg 6.179 Las Las barras barras uniformes uniformes OA y OB tienen cada en O al eje vertical, vertical, que que está está anianicada una una y están están articuladas articuladas en mado d dee una aceleración ascendente ascendente aa = mado una aceleración = g/ g/ 2. Las Las varillas varillas que que conectan las barras barras son son de de peso peso despredespreconectan al collarín collarín sin sin peso peso C a las ciable y el collarín collarín se desliza desliza libremente libremente por por el eje. La La constante constante ciable del resorte resorte es 130 N / m y para para e sin deformar. e== ooestá está sin deformar. Calcular Calcular del

425 425


elelángulo ánguloeeque queadoptan adoptan las lasbarras barrasen encondici condiciones deaceleraaceleraones de ciónconstan constante. ción te. Resp. e= e =64Y 64,3° Resp.

na

collar ad de collareeestá estáfijo fijoalalárbol. árbol.Hallar Hallarlalavelocid velocidad derotación rotaciónNNdel del árbol para una lectura f3 = 15°. La constan te del árbol para una lectura f3 = 15°. La constante delresorte resorteeses900 900 NNI /mmyyestá mir cuando Desprec iar elel estásin sincompri comprimir cuando ee==OoYyf3f3==O.O.Despreciar peso . pesodel delvarillaje varillaje. Resp. Resp. NN ==132,8 132,8 rpm rpm

tt

yy

BB

AA

200 200

200 200

oo

_.& N

Cotas en en milímetr milímetros Cotas os AA


Figura problema 6.181 Figuraproblema 6.181 6.180 6.180 El El piñón piñón A del del motor motor eléctric eléctrico acciona la la corona corona B B yy a su o acciona a su tambor solidari solidario C. El El rotor rotar del del motor motor yy el el piñón piñón poseen una tambor o C. poseen una masa masa conju conjunta Yun radio de de giro giro de de 150 150 mm. mm. La La corocoronta de 30 kg Y un radio na na B B y el tambor ee poseen una masa masa conjunt conjuntaa de de 95 95 kg kg con con un un radio de giro de 300 300 mm. El El motor recibe recibe una una potenci potenciaa eléctric eléctrica a de 1,2 kW, kW, el el 94% 94% de la cual convier convierte en potenci potenciaa mecáni mecánica. te en ca.

Para el instante velocidad ascendente del cilindro cilindro de instante en que la velocid ad ascende nte del de 80 80 kg es de 0,9 0,9m/ correspondiente m I s, calcular su corresp ondient e aceleración acelerac ión asascendente a. cenden te a.

6.182 La barra d e masa m está soporta da en el plano vertical 6.182 La barra de masa In está soportada el por das uniform es de masa mo por las las dos dos barras barras articula articuladas uniformes mo cada una. Sin brar el ión descend ente Sin desmem desmembrar el sistema sistema,, hallar hallar la acelerac aceleración descendente inicial la barra barra horizontal horizon tal si repenti nament e se rompe rompe el inicial aa de de la si repentinamente alambre que que sujeta sujeta los los extremos extremo s inferiores inferior es de las barras barras de soalambre porte. Estas pueden tratarse como delgada s y se desporte. Estas pueden tratarse como varillas delgadas precian todos los rozamientos. rozamie ntos. precian

200 200

In m

bb

I bb

(

r bb f)e

bb

e

f)


r

L a e

e 80kg 80 kg

6.183 El El elevador elevado r de de lala figura figura está está diseñado diseñad o para para elevar elevar un 6.183 un


6.181 El 6.181 Eltacómetro tacóme tromecánico mecánic omide midelalavelocidad velocid adde derotación rotaciónNN

delárbol árbolmerced del mercedalalmovimiento movimi entohorizontal horizon taldel delcollar collarBBaalololarlargodel go movimiento lo causa el delpropio propioárbol. árbol.Este Este movimi ento lo causa elefecto efectocentrícentrífugo de fugo delas las dos dosmasas masasAA de de350 350gg que quegiran girancon conelelárbol. árbol. El El

hombreen endirección direcció nvertical. vertical.Un Unmecanismo mecani smointerno internoen enBBhace hombre hace que el ángulo entre AB y Be sea doble queelelángulo ánguloeeentre entreBe que el ángulo entre AB y Be sea doble que Be suelo.Si Silalamasa masatotal totaldel deloperario operari oyylalacabina cabinaes esde de200 200kg yyelelsuelo. kg todaslas lasotras otrasmasas masasse sedesprecian, desprec ian,determinar determi narelelmomento momen to YYtodas Maplicado aplicad oaaBe Been eneeyyelelmomento momen toMM en la unión requeriM B Ben la unión BBrequeridospara paradar daraalalacabina cabinauna W1aaceleración acelerac iónvertical verticalascendente ascende ntede de dos 1,2m/ m is2 S2cuando cuandoparte partedel delreposo reposoen enlalaposición posició nee==300. 1,2 30°. Resp.MM = 11 ,44kN kN. .m,m,MM==OO Resp. B B= 11,44

426 426


e n n

v

te

h rr rr rr

cualquier cualquier valor de e. La masa de la varilla OC es despreciable despreciable y la guía lisa es horizontal. horizontal.

el

00 el

Resp. ex a =

3P) 2 + cos eee ((3P) mb 7 + 6 cos e e


~ reprad uce aquí la barra barra deslizante ~ 6.184 6.184 Se Se reprod deslizante de masa 111 m del problema 6.164. AC debida a 6.164. Hallar la aceleración angular angular de AC P cuando cuando la barra barra parte parte del reposo para para la acción de la fuerza P

A


SÉCCIÓN C.IMPULSO C.IMPULSO y CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO SECCiÓN ical nao nte

6.8

RELACIONES ENTRE EL IMPULSO Y LA RELACIONESENTREEL LA CANTIDAD CANTIDAD DE DE MOVIMIENTO MOMENTO CINÉTICO MOVIMIENTO Y EL ELMOMENTO CINÉTICO

el 80-

es-

un

ede

En los apartados principios referenreferenapartados 3.9 y 3.10 3.10 se desarrollaron desarrollaron y aplicaron aplicaron los los principios tes al impulso, movimiento y el momento momento cinético para la desimpulso, la cantidad cantidad de movimiento cinético para descripción un punto punto material. material. Se vio vio entonces tales cripción del del movimiento movimiento de un entonces que que tales principios eran eran de importancia importancia especial especial cuando cuando las las fuerzas fuerzas aplicadas aplicadas podían principios podían expresarse en en función función del del tiempo cuando las acciones acciones recíprocas entre los los expresarse tiempo y cuando recíprocas entre puntos materiales tenían lugar lugar durante durante períodos muy cortos, cortos, como como en en el caso caso puntos materiales tenían períodos muy choques. Cuando Cuando esos esos principios aplican al movimiento de cuerpos cuerpos de los choques. principios se aplican movimiento de rígidos, las ventajas ventajas son son similares. similares. rígidos, apartado 4.2 se ampliaron ampliaron esos esos principios cubrir cualquier cualquier sisteEn el apartado principios para para cubrir sistema definido definido de puntos puntos materiales materiales carente carente de de restricciones en lo que que respecta ma restricciones en respecta a conexiones entre entre los puntos del sistema. sistema. Estas Estas relaciones ampliadas son son las conexiones puntos del relaciones ampliadas aplicables todas movimiento del del cuerpo cuerpo rígido, éste no que un aplicables todas al movimiento rígido, pues pues éste no es más más que un particular de sistema sistema material general. Esas Esas relaciones ahora a apliaplicaso particular material general. relaciones vamos vamos ahora carlas al movimiento movimiento bidimensional bidimensional del del cuerpo cuerpo rígido. carlas rígido.

Cantidad de movimiento. movimiento. apartado 4.4 d definimos que la cantidad cantidad de de (a) Cantidad En el apartado efinimos que movimiento de un un sistema sistema material suma (vectorial) (vectorial) de de las cantidades cantidades de de movimiento material es la suma movimiento de todos todos sus sus puntos escribimos G == 'Lm¡v¡. 'I.m¡v¡.Si movimiento puntos materiales materiales y escribimos Si r¡ es el vector de posición posición del del punto punto de de masa mi' será será v¡ == f¡ r¡ Y G = = 'Lm¡f¡ 'I.m¡f¡ que, que, si la masa vector masa m¡, masa total del del sistema sistema permanece permanece constante, constante, puede escribirse G == d('Lm¡r¡) d('I.m¡r) / dt dt.. SustiSustitotal puede escribirse tuyendo en ésta ésta 'Lm¡r¡ 'I.m¡r¡por su igual igual mi:, m i , la expresión expresión de de la cantidad cantidad de de movituyendo por su movimiento queda queda G = d(m dim i: ) // dt dt = mi:, m.i , donde donde i: es la velocidad del centro centro de de miento velocidad v v del masa. Por Por tanto, tanto, como como antes, antes, resulta que la cantidad cantidad de de movimiento del sistesistemasa. resulta que movimiento del ma material, material, rígido rígido o no rígido, ma rígido, es G

mv

[4.5] [4.5] 427 427


428 ClNÉTlCA PLANA DE LOS CUERPOS RíGIDOS

de la ecuación 4.5 fue innecesario Se observará que en la deducción emplear la condición cinemática de rigidez del sistema material (fig. 6.13), que es V¡ = v + W X p¡. En tal caso el resultado es el mismo escribiendo G = Em¡ (v + w x p¡). En efecto, la primera suma es vI.m¡ = mv , y la segunda queda w x I.m¡p¡ = w x mo = 0, ya que p¡ se mide desde el centro de masa y p resulta nulo. Siguiendo en el apartado 4.4, escribimos allí de nuevo la segunda ley de Newton generalizada bajo la forma de la ecuación 4.6. Esa ecuación y su integral son (6.12)

y Estas ecuaciones 6.12 pueden descomponerse en sus componentes que en el caso de movimiento en el plano x-y da I.Fx = Gx Figura 6.13

I.Fy =

Gy

r r ti

y

t

1

I.Fx dt =

G -G X2

escalares, lo

Xl

(6.12a) I.Fy dt

= G

Y2

GYI

Expresado en palabras, las primeras de las ecuaciones 6.12 y en 6.12a establecen que la fuerza resultante es igual a la variación de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo. Las formas integradas de las ecuaciones 6.12 y 6.12a establecen que el impulso sufrido por el cuerpo en el intervalo t2 - tI es igual a la variación correspondiente de la cantidad de movimiento. Otra manera de escribir las relaciones entre impulso y cantidad de movimiento sería la expresada por la ecuación 3.23a, donde el orden de los términos corresponde a la secuencia natural de los acontecimientos. Al igual que en la formulación mediante la segunda ley de Newton, en las ecuaciones 6.12 y 6.12a los sumatorios deben incluir todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo. Por consiguiente, hemos de recalcar que al emplear el teorema de la cantidad de movimiento, es fundamental construir el diagrama para sólido libre completo con el fin de poner de manifiesto todas las fuerzas que aparecen en el sumatorio. Al contrario de lo que ocurre con el teorema de las fuerzas vivas, aquí todas las fuerzas ejercen impulsos, trabajen o no trabajen. (b) Momento cinético. Por definición, el momento cinético es el momento de la cantidad de movimiento. En el apartado 4.4 el momento cinético respecto al centro de masa de un sistema material cualquiera dado lo expresamos como He = I.Pi x m¡v¡, que no es más que la suma (vectorial) de los momentos respecto a G de las cantidades de movimiento de todos los puntos materiales. En el apartado 4.4 vimos que esta suma podía escribirse también como He = I.p¡ x m¡p¡, donde p¡ es la velocidad de m¡ respecto a G. Aunque esta expresión la simplificamos en el apartado 6.2, en el transcurso de la deducción de la ecuación de momentos del movimiento, proseguiremos utilizándola para resaltar su significado empleando el cuerpo rígido en movimiento plano representado en la figura 6.13. La velocidad relativa se hace p¡ = w X p¡, siendo w = úJk la velocidad angular del cuerpo, en la que el vector unitario k está dirigido hacía el papel en correspondencia con el sentido de w indicado. Como p¡, p¡ Y w forman ángulos rectos entre sí, el módulo de p¡ es p¡úJ y el módulo de p¡ x m¡p¡ es p?wm¡. Así pues, podemos escribir He = I:p?m¡úJk = I úJk, donde I = I.m¡p? es el momento de inercia del cuerpo respecto a su centro de masa. Como el momento cinético es siempre un vector normal al plano del movi-


rr

ci

E) de bn cir im bn de Vll

de de

cm fuI de da. ma vec cin poe

Est ser en ~

En( ciné unr

.1:

time apli: vimi

o ),

miento, la notación generalmente innecesaria innecesaria y el momento notación vectorial vectorial es generalmente momento cinético respecto respecto al centro de masa masa puede puede escribirse como el escalar

a a

(6.13) (6.13)

e e-

Este momento momento cinético es el que aparece teorema del Este aparece en la expresión expresión 4.9 del teorema movimiento plano, junto junto con su momento cinético, cuya forma escalar para para un movimiento integral, es y

2)

lo

a)

le-

(6.14) (6.14)

palabras, la primera primera de las ecuaciones establece que la suma Expresado en palabras, ecuaciones 6.14 6.14establece suma fuerzas que actúan actúan sode los momentos momentos respecto respecto al centro de masa de todas las fuerzas variación por por unidad unidad de tiempo tiempo del momento momento bre el cuerpo cuerpo es igual igual a la variación cinético respecto respecto al centro de masa. La forma integrada establece que el integrada de 6.14 6.14establece impulso angular torno al centro de masa de todas todas las fuerzas que actúan angular en torno actúan sobre el cuerpo cuerpo durante durante el intervalo intervalo t2 - tI tI es igual a la variación correspondiente variación correspondiente del momento momento cinético respecto respecto a e. nuevo, lo mismo que en el caso del moe. De nuevo, relación entre el impulso momento cinético puepuevimiento lineal, la relación impulso angular angular y el momento equivalente a la de la ecuación ecuación 3.29a 3.29a. . El sentido sentido de también también escribirse en forma equivalente de rotación rotación positivo positivo debe especificarse con toda toda claridad claridad y los signos algebraialgebraicos LMe , He 22 Y He 11 deben también cos de LMc, deben ser congruentes congruentes con él. En este caso, es también fundamental un fundamental un diagrama diag~ama para para sólido libre. Puesto cantidades Puesto que He H e == 11m co contiene los momentos momentos respecto respecto a e de las cantidades deduce que el vector cantide movimiento movimiento de todos todos los puntos puntos materiales, materiales, se deduce tomar de modo dad de movimiento movimiento G == mv se debe tomar modo que pase por por el centro de masa e, según según se indica indica en la figura 6.14a, 6.14a, Así pues, G y H¿ He tienen tienen propiedades propiedades vectoriales análogas análogas a las de la fuerza resultante resultante y el momento momento resultante. resultante. Establecidos en la figura 6.14a 6.14a la cantidad cantidad de movimiento movimiento y momento momento cualquiera cinético resultantes, resultantes, el momento momento cinético Ha Ha respecto respecto a un un punto punto O cualquiera podrá podrá escribirse en la forma

de o al mo res-

.En

Esta expresión expresión es válida cualquiera para O, que puede válida en un un instante instante particular particular cualquiera para O, puede fijo o en movimiento, situado sobre el cuerpo cuerpo o fuera de él. ser un un punto punto fijo movimiento, situado Cuando un cuerpo cuerpo gira alrededor alrededor de un punto fijo O situado situado en el cuerpo cuerpo o Cuando punto fijo expresión de Ho en su prolongación, prolongación, como se indica en la figura 6.14b, 6.14b, en la expresión podrán sustituir se v v y d por v = iu: dando Ho == podrán sustituirse por las relaciones v rw y d = rr dando (i m + mr 1 + mi? lo, por (lco+ mr22m)co).. Pero 1 mr 2 == lo, por lo que (6.16) (6.16)

reela salsen-

En el apartado apartado 4.2 dedujimos dedujimos la ecuación ecuación 4.7, teorema del momento 4.7, que es el teorema momento fijo O. O. Esta ecuación, escrita en forma escalar para cinético referido referido a un un punto punto fijo para un movimiento integral es movimiento plano, junto junto con su forma integral

w= ido

(6.17) (6.17)

y

Pi y

de nde asa. ovi-

-:::\0) ~O)

HG == 10) HG 10)

G=mvB G=mv B .:~ ____e____ e _

--

G

(a) (a)

(6.15) (6.15)

Ho = lco+mvd lm+mvd jer-

429 6.8 6.8 RElACIONES RElACIONES ENTRE EL IMPULSO IMPULSO Y LA LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO Y

Además dibujar un Además de dibujar un diagrama diagrama para para sólido libre completo para para poder poder estimar correctamente correctamente los sumatorios sumatorios de fuerzas y momentos momentos en el momento momento de cuerpo rígido los teoremas cantidad de moaplicar al movimiento movimiento de un un cuerpo teoremas de la cantidad vimiento gran utilidad dibujar un diagrama vimiento y del momento momento cinético, resulta resulta de gran utilidad dibujar un diagrama


(b)) (b

6.14 Figura 6.14

..

donde movimiento resultante resultante y el par par asociado donde figuren figuren el vector cantidad cantidad de movimiento asociado al momento previene al lector para para que no sume momento cinético. Se previene sume cantidades cantidades de movimiento momentos cinéticos, por por la misma misma razón razón de que fuerzas momenmiento con momentos fuerzas y momentos de fuerzas pueden sumarse fuerzas no pueden sumarse directamente. directamente.

430 430 CINÉTICA ClNÉTICA PLANA PLANA DE LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

F¡ F]

2

(e) Cuerpos rígidos interconectados. También pueden emplearse Cuerpos rígidos intereonectados. También pueden emplearse los teoremas de la cantidad movimiento del momento momento cinético en el caso de un un siscantidad de movimiento tema rígidos interconectados interconectados ya que dichos teoremas teoremas son aplicables tema de cuerpos cuerpos rígidos a todo todo sistema general de masa masa constante. constante. En la figura se han han representado representado sistema general figura 6.15 6.15se dos cuerpos un número interconectados. Las ecuacuerpos de un número cualquiera cualquiera de cuerpos cuerpos interconectados. LF = =G LMo = = Ho, Ha, donde un punto punto de refeciones 4.6 y 4.7, 4.7, que son LF G Yy LMo donde O es un rencia fijo, pueden escribirse para para cada miembro miembro del sistema fijo, pueden sistema y sumarse. sumarse. Las sumas sumas serían serían LF = LF

o

G Gll + G G22 + ...

LM o == Ho] Ho¡ + Hoz H0 2 + ... LMo

Figura 6.15 6.15

f

t¡

LF dt

= (~G ) sistema

fj

tzt 2

t1 t]

LMO dt = (~HO) SIS . tema LMo = (~Ho)

(6.19) (6.19)

Se observa iguales y opuestas observa que las acciones y reacciones iguales opuestas que se ejercen en las conexiones son interiores interiores al sistema por lo que no es sistema y se anulan anulan entre entre sí, por preciso calcularlas. También notar que el punto punto O es un un punto punto de refeTambién se hace notar rencia fijo para todo el sistema. fijo para

(d) Conservación cantidad de movimiento. movimiento. En el punto punto (b) del apartado Conservación de la cantidad apartado 4.5 se expresaron mediante las ecuaciones 4.11 y 4.12 4.12 los principios principios de conserexpresaron mediante ecuaciones 4.11 vación de la cantidad movimiento y del momento momento cinético. Tales principios principios cantidad de movimiento pueden un cuerpo rígido o a un un sistema rígidos intercopueden aplicarse aplicarse a un cuerpo rígido sistema de cuerpos cuerpos rígidos nectados. Así pues, si para dado LF == O,entonces nectados. para un un intervalo intervalo de tiempo tiempo dado O, entonces ~G = O ~G O

[4.15] [4.15]

cantidad de movimiento alguno en que nos dice que el vector cantidad movimiento no sufre cambio alguno ausencia de un impulso impulso lineal resultante. sistema de cuerpos cuerpos ausencia resultante. En el caso de un un sistema rígidos interconectados puede puede haber haber variaciones variaciones de cantidad movimiento rígidos interconectados cantidad de movimiento en partes partes individuales individuales del sistema intervalo, pero no habrá habrá variasistema durante durante el intervalo, ción de la cantidad movimiento resultante resultante del sistema un impulso impulso cantidad de movimiento sistema si no hay un lineal resultante. resultante. Análogamente, si es nulo nulo el momento momento resultante resultante respecto respecto a un un punto punto fijo Análogamente, fijo dado intervalo de tiempo tiempo determidado O, o respecto al centro de masa, durante durante un un intervalo determinado tendrá, en el caso de un un cuerpo rígido único o de un un sistema nado se tendrá, cuerpo rígido sistema de cuerpos cuerpos rígidos interconectados, rígidos interconectados, ~Ho

= O

o sea

[4.16] [4.16]

que nos dice que el momento momento cinético respecto respecto al punto punto fijo, respecto al centro fijo, o respecto de masa, no sufre cambio alguno un impulso resultante alguno en ausencia ausencia de un impulso angular angular resultante correspondiente. nuevo, en el caso de un un sistema rígidos intercorrespondiente. De nuevo, sistema de cuerpos cuerpos rígidos podrán producirse producirse variaciones variaciones de momento momento cinético en compoconectados, podrán nentes individuales durante intervalo de tiempo, pero pero el momento momento cinético nentes individuales durante el intervalo resultante variará si no hay impulso resultante resultante de todo el él sistema no variará impulso angular angular resultante respecto punto fijo ecuaciones 4.16 4.16 pueden pueden cumplirrespecto al punto fijo o al centro de masa. Las ecuaciones cumplir-


vi

dE dE ler (e,

in m.

da pe su cei

(6.18) (6.18)

tiempo finito, estas expresiones expresiones son En forma integral integral para para un un intervalo intervalo de tiempo t2

se S1;

lis. ch cie sej

de qu tes im clu cae

cer sin zór

ya los cin CUE

al i-

e-

ses o aeas

8)

9)

en es fedo er-

ios co-

15]

se independientemente interconectado no independientemente una de otra. En el caso de un un sistema sistema interconectado empleo del centro de masa del sistema. Según se indicó presuele convenir el empleo previamente capítulo que trataba trataba del movimiento movimiento viamente en los apartados apartados 3.9 3.9 y 3.10 3.10 del capítulo del punto teoremas de la cantidad movimiento y punto material, el empleo empleo de los teoremas cantidad de movimiento del momento momento cinético facilita grandemente grandemente el análisis de situaciones situaciones en las cuales se ejerzan fuerzas y pares intervalos de tiempo muy cortos. pares durante durante intervalos tiempo muy

431

6.8 RELACIONES ENTRE 6.8 ENTRE El El IMPULSO IMPULSO y LA CANTIDAD CANTIDAD DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO Y

(e) Choque choque intervienen intervienen unas unas Choque de cuerpos cuerpos rígidos. En los fenómenos fenómenos de choque interacciones bastante transferencia de energía bastante complicadas complicadas de transferencia energía y cantidad cantidad de movimiento, disipación disipación de energía, deformaciones deformaciones elásticas y plásticas, velocimovimiento, geometría. En el apartado apartado 3.12 3.12 tratamos choque de cuerdades relativas y geometría. tratamos del choque asimilados a partículas partículas y sólo consideramos consideramos el caso de choque pos asimilados ~hoque central, que cuando las fuerzas fuerzas de contacto desarrolladas desarrolladas en el choque choque pasan sucede cuando pasan por por los siempre en el choque centros de masa de los cuerpos, como ocurriría ocurriría siempre choque de esferas lisas, por ejemplo. Para establecer la relación entre la situación situación después después del choque con la existente antes de éste, fue necesario necesario introducir introducir el llamado llamado coefirestitución e (o (o coeficiente de impacto), que compara compara la velocidad velocidad de ciente de restitución separación relativa relativa a la velocidad velocidad de acercamiento acercamiento relativa, medidas separación medidas a lo largo contacto. Aunque de la dirección de las fuerzas de contacto. Aunque en la teoría clásica del choconsideraba constante constante para para cada material, que e se consideraba material, investigaciones investigaciones más recienmuestran que e depende depende notablemente notablemente de la geometría tes muestran geometría y de la velocidad velocidad de además del material. En todo todo caso e incluso para impacto, además para esferas y barras barras bajo longitudinal, el coeficiente de restitución choque central y longitudinal, restitución es un un factor complivariable de aplicación limitada. limitada. cado y variable propósito de ampliar ampliar la teoría teoría del choque simplificada Todo propósito simplificada al choque choque no cuerpos rígidos utilizando utilizando coeficientes de restitución constituye una central de cuerpos restitución constituye una muy gravosa gravosa de valor práctico simplificación excesiva muy práctico casi nulo. Por esta raincluimos el tema en este libro, aunque aunque su teoría es de fácil desarrollo. desarrollo . zón, no incluimos algunas referencias. referencias. No obstante, obstante, podemos y aparece en algunas podemos hacer uso completo completo de principios de conservación conservación de la cantidad cantidad de movimiento los principios movimiento y del momento momento cinético, cuando cuando sean aplicables, al estudiar estudiar el choque choque y otras interacciones interacciones de cinético, cuerpos rígidos. cuerpos

en


fijo mi-

pos .16]

potico

que se aplica al cable enrollaenrollaLa fuerza fuerza P que núcleo de la rueda rueda simétrica simétrica auaudo en el núcleo menta lentamente lentamente según según P == 6,5t, donde donde menta neunons y t es el tiempo, tiempo, en seP está en newtons gundos, transcurrido tras el comienzo gundos, transcurrido comienzo de aplicación de P. Determinar Determinar la velocivelocila aplicación angulartoro de la rueda 10 segundos segundos dad angular después de la aplicación aplicación de P si en el insinsdespués tante t == O O la rueda se mueve mueve hacia la iztante quierda con una una velocidad velocidad de su centro centro de quierda rueda, que tiene tiene una una masa de 0,9 mis. La rueda, Y un un radio de giro respecto a su su cen60 kg Y 250 mm, mm, rueda rueda sin sin deslizamiento. deslizamiento. tro de 250

--

Voo = = 0,9 V 0,9 mis mIs

ante plir-


yy

(t(t ==O)O)

11

o,...fmvo :t

11úJúJo o OO

-r+

10s)s) ++ (t(t==10

111\ 1,,\ ---x x ---

II1V

Solución Se nta elel diagram Solución.. Sereprese representa diagramaa para para sólido sólido libre libre de de la la rueda rueda corresp corresponondiente er posició n dentro o. Se diente aacualqui cualquier posición dentro del del interval intervalo. Seindican indican también también la la cantida cantidadd de ento yy el to cinético s en de movimi movimiento el momen momento cinético iniciale iniciales en el elinstante instante tt ==O OYfinales en el el Y finales en CD G)instante instante tt ==10 10s.s. El El sentido sentido correcto correcto de de la la fuerza fuerza de de rozamie rozamiento es elel opuesto opuesto nto FF es al iento que al del del deslizam deslizamiento que se se tendría tendría en en ausenci ausencia de rozamie rozamiento. a de nto. Aplican do los Aplicando los teorema teoremass de de la la cantida cantidadd de de movimi movimiento del momen momento ento yy del to cinético cinético al al interval intervalo completo resulta resulta o completo

-mv mv

60 [0,450 w - (- 0,9)]

1úJ IúJ

e F N N

®

fo° [0,450F - 0,225(6,5t)] dt = 60(0,250)2 [ w- (- 0~4~0)J Como ecer bajo Como la la fuerza fuerza F F es es variable variable,, debe perman permanecer bajo el signo integral integral.. La La elieliminamo icando por 0,450 minamoss multipl multiplicando 0,450 la segund segundaa ecuació ecuaciónn yy sumánd sumándola primeola aa la primera. Integra ndo yy despeja Integrando despejando 0), resulta resulta ndo w,

w O)

= = 2,60 2,60 rad/ rad / s

en el sentido sentido horario horario

Resp. Resp. Otro procedi miento. Podría Otro procedimiento. Podría haberse haberse evitado evitado la necesid necesidad ad de resolver resolve r un sistema nes aplican do la segund ma de de ecuacio ecuaciones aplicando segundaa de las ecuacio ecuaciones 6.17respecto un punpunnes 6.17 respecto a un to ie horizon tal. Los momen to fijo fijo O O de de la la superfic superficie horizontal. momentos 60(9,81) N Yde tos del peso de 60(9,81) NY de la ia N se anulan la fuerza fuerza contrar contraria anulan entre entre sí y F no aparece aparece porque momento porque su momen to resrespecto O es es cero. cero. Entonce momen to cinético respecto pecto aa O Entoncess el momento O se hace respecto a O hace Ha = 2 )w, = iIw+m vr == mJC2w mFw+ w = m(JC2+ m(F+r1'2) Ho O) + mirr + mr mr/ 2 o: 0), donde donde kfe es el radio radio de d e giro giro centroid al y y rl' es es el el radio radio de rodadura rodadu ra de 450 450 mm. Así pues, centroidal pues, resulta resulta que que Ha Ha = = He, Hü 2 = kc22 Y He = Iew= ya que que JC2 F ++ 1'2 mkc2 w. Con Con esto, la ecuación ya r = kc YHe = leO) = m ke2 0). ecuació n 6.17 da ahora ahora

u::

LMo dt = H02

-

HoJ

fo° 6,5t(0,450-0,225) 6,5t(0,450 - 0,225) dt dt

0)-(-(- oj~o)J 0~4;0)J

= 60[(0,250)2+ 60[(0,250)2 + (0,450)2J[ (0,450)2][ w-

La resolución resoluc ión de de esta esta ecuación ecuació n única única equivale equival e a la resolución La resoluc ión del del sistema sistema de de dos dos ecuacio nes precedente. ecuaciones precede nte.

CD Obsérvese Obsérvese que que el el desequilibrio desequilibrio en en sentido sentido horario G) horario de de los los momentos momentos respecto respecto e produce produce una una aceleración aceleración angular angular horaria horaria cuando aa e cuando la la rueda rueda gira gira sin sin deslizadeslizamiento. Como Como la la suma suma de de momentos momentos respecto respecto aa G miento. G debe debe tener tener el el mismo mismo sentido sentido horario que que a, a, la la fuerza fuerza de de rozamiento rozamiento debe debe actuar horario actuar hacia hacia la la izquierda izquierda para para que que así así sea. sea. (3) Obsérvense Obsérvense bien bien los los signos signos de de los los momentos. momentos. la o la velocidad velocidad lineal lineal final final se se susupone que tiene el sentido

positivo, por por lo lo que que G~? pone que tiene el sentido xx positivo, G1"0 es es positiva. positiva. lala velocidad velocidad lilineal inicial inicial es es negativa, negativa, por por lo lo que que GGrx es es negativa neal negativa yy alal restar restar este este término término aparece un un doble doble signo aparece ..11 signo negativo. negativo.

® Como Como lala rueda rueda no no se se desliza desliza alal rotar, rotar, una una velocidad velocidad según ® según las las xx positivas positivas rere-

quiere una una velocidad velocidad angular angular horaria horaria yy viceversa. viceversa. Nuevamente quiere Nuevamente se se da da elel caso caso de de sustracción de de una sustracción una cantidad cantidad negativa. negativa. 432 432


PROBLEMA 6.15 TIPO 6.15 PROBLEMATIPO

AA

una tiene una elevador tiene del elevador móvil del polea móvil La polea La cengiro de radio un Y kg Y un radio de giro cen30 kg de30 masa de masa kg 40 kg de40 carga DDde La carga mm.La 250 rnm. de 250 troidal de troidal velocidad una velocidad tiene una polea tiene soporta lalapolea que soporta que en elel mIs en 1,20 mis Vo == 1,20 abajo Va hacia abajo inicial hacia inicial sende par, un aplica se quese aplica un par, de senen que instante en instante que tal elevador tambor al horario, tido tido horario, al tambor elevador tal que constante FF == fuerza constante unafuerza mantenga una éstemantenga éste velociCalcular lala velociB. Calcular cable B. en elel cable 380 NN en 380 des5 móvil polea la de la polea móvil 5 ssdesangular O)ro de dad angular dad hallar y tambor al par el aplicar de pués de aplicar el par al tambor y hallar pués intervadurante elel intervacable durante del cable tensión TT del la tensión la rozamientos. los rozamientos. desprecian los Se desprecian lo. Se lo.

l

~

vo=1,2m/s Vo = 1,2 m is

se polea yy se la polea carga yy la la carga de la conjunt o de por el conjunto Solución. formad o por está formado sistema está El sistema Solución. El son tas incógni Las incógnitas corresp ondient e. Las libre correspondiente. sólido libre representa son para sólido diagram a para represe nta el diagrama Aplipolea. Aplila de ro de final angular ad velocid dos: la tensión T del cable en O y la velocidad angular final O) la polea. en del tensión dos: como tomand o como O yy tomando fijo O punto fijo respecto al punto cando cinético respecto momen to cinético teorema del momento el teorema cando el io princip al elimina da al principio queda eliminada antihora rio, T queda positivo sentido antihorario. positivo el sentido

[f::LMO dtdt == HH 0 2 -HoJ [J:~LMO -HoJ 02

J;~

f;~

LMO = LMO dt =

J~

50) [380(0,750)f~ [380(0,7

)(0,375)] dt (30 + 40)(9,81 40)(9,81)(0,375)] dt

= 137,4 137,4 N'm's N·m·s =

0)

-HO)o (H (H0 2 -H o)D 02

40(9,81)N 40(9,81)N

) = 2 -v = mv mV2d-rnvld = md(v md(v2-v 1) 1 2d-mv 1d = ro + 1,2) 40(0,375)[v-(-l,2)] = 15(0,375 15(0,3750)+1,2) )[ v - (- 1,2)] = = 40(0,375

CD Atenció Atenciónn al al signo signo negativo negativo al al restar restar cD cantidades negativas. Además, las

'm ro + 18 = = 5,63 5,630)+ 18 N N·m O¡))EE == I(ro 1) (Ho Ho I(0)2 0)1) + md(v md(v22 -- vv1) (H 1)+ 2 -- ro 02 -- H 2

1

)[0,375ro - (-1,2)] 30(0,250)2[0)(-1,2/0,375)] 30(0,375)[0,3750)(-1,2)] / 0,375)] ++ 30(0,375 0)2[ro- (-1,2 == 30(0,25

cantida des negativas. Además, las unidadess del del momen momento cinético,, que to cinético unidade son las mismas que las del impulso son las mismas que las del 1 angular, pueden escribirse kg·m22.s·s- 1 kg.m se escribir angular, pueden

ro + 19,50 == 6,09 6,090)+ 19,50N'm's N·m·s

to cinético n del Aplicando estos valores valores en en la la ecuació ecuación del momen momento cinético resulta resulta do estos Aplican 137,4 == 5,63 5,63roO) ++ 18 18++ 6,09 6,09roO) ++ 19,50 19,50 137,4 ario 8,53rad/ rad/ ss en en sentido sentido antihor antihorario roO) == 8,53

Resp. Resp.

Para determi determinar aplicamos sistema el el teorema teorema de de la la cantida cantidadd de de movimovios alal sistema nar TTaplicam Para s tenemo nte ascende miento. Asigna Asignando signo positivo positivo al al sentido sentido ascendente tenemos ndo elelsigno miento.

[f:: [J:~LF dtdt = GG LF

=

22 --

G1J G1]

J~

(8,53) -- (-1,2)] 380--70(9,81)] dt == 70[0,375 70[0,375(8,53) (-1,2)] 70(9,81)] dt Jo [T[T++380

5T == 1841 1841 5T

368NN TT == 368

Resp. Resp. 433 433


SiSihubiéra mos tomado tos respecto hubiéramos tomado momen momentos respecto alalcentro centroCCde delalapolea poleaen enlugar lugar del del punto do las tas TTyy (¡)úJy punto O, 0,habrían habrían apareci aparecido lasdos dosincógni incógnitas habríamos tenido que que desdesy habríam os tenido pejar o por n yy lalaque pejar ambas ambas del delsistema sistema formad formado por esta estaecuació ecuación quenos nos daría daría elelteorema teorema de la· cantida d de ento, que e también de la-cantidad de movimi movimiento, que contien contiene también las lasdos dos incógni incógnitas. tas.


II El lar uniform El bloque bloque rectangu rectangular uniforme,e, cuyas cuyas dimensio nes se dimensiones se indican, indican, se se desliza desliza hacia hacia la la izquierd izquierdaa por por la la superfici superficiee horizont horizontal al con con una una velocida velocidadd vv cuando cuando choca choca con con el el pequeño pequeño escalón. escalón. Supónga Supóngase un rebote rebote se un desprecia ble en despreciable en éste éste y calcúlese calcúlese el el valor valor mínimo mínimo de de vv que que permita permita al al bloque bloque girar girar alrededo alrededorr del del borde borde del del escalón escalón y alcanalcanzar ente la zar exactam exactamente la posición posición vertical vertical A A sin d. Calcular sin velocida velocidad. Calcular el el porcenta porcentaje de je de pérdida pérdida de energía energía /JE/E ¡jE/E para b == c.

• Pro

6.111

°

Solución remos que Solución.. Supond Supondremos que el el borde borde del escalón O hace las veces de un pasador dor en en la la arista arista del del bloque, bloque, con lo que éste gira alreded alrededor O. Ademá Además, suponor de O. s, supondremos iable la dremos desprec despreciable la altura altura del escalón frente a las dimens dimensiones bloque. iones del bloque. Durant única fuerza momen to respecto Durantee el el choque, choque, la la única fuerza que ejerce un un momento respecto a O es el 1 peso mg, pero el impulso angular debido peso es extraordinariamente Q)peso mg, pero el impulso angular debido al peso extraor dinaria mente pequepequeño por ser despreciable desprec iable el el tiempo tiempo de choque. Así pues, pues, puede ño por ser puede decirse decirse que se conmomen to cinético respecto serva el momento respecto a O. El momen to cinético inicial bloque respecto respecto a 0, El momento cinético inicial del bloque O, inmediatamente inmedia tamente antes antes del choque, choque, es es el el momento momen to de de su cantidad cantida d de movimiento movimi ento y es Ho del / 2).. La Ha = = mv(b mv{b/2) La 2 velocidad velocid ad del del centro centro de de masa masa G inmediatamente inmedia tamente después (3) yy la despué s del del choque choque es fj, v, la velocid ad angular angular es es úJ (¡) = = fj v // i¡.. El momento momen to cinético respecto velocidad respecto a O inmediatameninmedia tamente después después del del choque, choque, cuando cuando el bloque bloque inicia inicia su te su rotación rotación alrededor alreded or de de 0, O, es es

°

1

Si la arista del bloque Si bloque chocase chocase concontra un resorte en vez contra un vez de de contra un escalón escalón rígido, entonces entonces el el tiempo tiempo de de interacción interacción durante la la comprecompresión del resorte podría ser ser apreciaapreciable yy habría de de tenerse tenerse en en cuenta cuenta el el momento momento cinético cinético respecto respecto al al extreextremo mo del del resorte resorte como como punto punto fijo fijo debidebido do al momento momento del del peso. peso.

(3) 2 Obsérvese Obsérvese el el repentino repentino cambio cambio de de dirección dirección yy módulo módulo de de la la velocidad velocidad de de G G durante durante el el choque. choque.

Q) 3 Asegu~ar Asegurar que que el el teorema teorema de de Steiner Steiner lo lo == 1I ++ 1I7¡-2 1111. 2 se se emplea emplea correctacorrectamente mente en en este este caso. caso.

barr te cc Hoe misr

°

3

La conservación conserv ación del del momento La momen to cinético cinético da da [b.H o = O]

Esta velocidad velocid ad angular angular será será suficiente suficiente para para llevar llevar el el bloque Esta bloque aa lala posición posició nAA sisi la la energíacinética cinéticade derotación rotaciónes esigual igualal alincremento increme ntode energía deenergía energíapotencial. potenci al.Así Asípues pues

434 434


6.186

°

del

Resp. El porcentaje de pérdida de energía es óE E

1 Zmv

2

-zlr O oJ2

2 !mv 2 3

1-

2 '

4(1

kd0J2

1---

=

v2

+

2 2 (b C )[ 3b 1 - -32(b2 c2)

62,5%

óE/E

+~)

+

para b

r

e

Resp.

PROBLEMAS Probl'emasinhodudorios 6.185 En el instante representado, el centro de masa G de la barra delgada de masa 0,8 kg Ylongitud 0,4 m cae verticalmente con una velocidad v = 2 mi s. Calcular el momento cinético Ha de la barra respecto al punto O si la velocidad angular de la misma es (a) wa = 10 rad/ s H y (b) W¡, = 10 rad/ s AH. Resp. (a) Ha = 0,587 kg-rrr' I s, (b) Ha = 0,373 kg·m2 I s

zontal constante P. El disco se pone en movimiento desde el reposo y rueda sin deslizamiento durante t segundos por la superficie horizontal. Hallar la velocidad v del centro O en función de t. 6.187 Hallar el momento cinético de la Tierra respecto al centro del Sol. Supóngase que la Tierra es un cuerpo homogéneo que describe una órbita circular de radio 149,6(106) km. Consúltese cualquier dato necesario en la tabla D.2. Coméntense las contribuciones relativas de los términos j w y m iid . Resp. H = 2,66(104°) kg·m2 I s

Luz solar

~ \

\ \

\ \

o

\~

1__

@

0,3 m --..


1 y

I

I

I

" z~--

X

I

A través de la horquilla, tal como se muestra, al centro O del disco uniforme de masa m se le aplica una fuerza hori-

6.186

I

I


a

p


6.188 El volante de inercia de 75 kg tiene un radio de giro respecto a su eje de k = 0,50 m y está sometido a un par de fuerzas de momento M = 10(1- e- t) m-N, donde t son segundos. Si el volante se encuentra en reposo en el instante t = O, hallar su velocidad angular w para t = 3 s.

435


guiar gular ro úJ que que adquier adquieree la la barra barra con con la la bala bala incrusta incrustada inmedia-da inmedia tamente tamente después después del del impacto impacto.. Resp. Resp. ro úJ == 2,81 2,81 rad/ rad/ ss

x

x Figura problem problema 6.188 Figura a 6.188

·1.¡_.-·

O

o

400 mm 400rnrn

t--t--

6.189 6.189 Los Los tambore tamboress acanala acanalados los dos sistema sistemass represe represendos de los ntados tados son iguales. iguales. En cada cada caso, caso, (a) (a) y (b), (b), el el sistema se se encuenencuentra tra en en reposo para tt == O. O.Hallar la velocid velocidad angular del del tambor tambor Hallar la ad angular acanala do en acanalado en el el instante instante t == 4 s. s. Se Se desprec desprecia el rozamie rozamiento en ia el nto en el eje eje O. O. el Resp. (a) (a) ro úJ = = 119,0 rad rad// s, s, (b) ro úJ = = 72,0 72,0 rad rad// ss

500 m i s _=5,!", Is

-= ~

400 mm 400rnrn

LOA

_1 D A Figura Figura problem problemaa 6.191 6.191

m In f1'0 o

~.,

= 14 14 kg, k = 225 mm rnrn = mrn, TY¡i = 215 mm rnrn = 325 mm,

6.192 6.192 Si Si la bala del problem problemaa 6.191 tarda 0,001 s en incrusta incrustarr-

se se en en la la barra, barra, calcular el valor medio tempor temporal al de la fuerza horizontal rizontal Ox Ox que el eje eje O ejerce sobre la barra barra durante durante la la interacc ión de ésta y la bala. Emplée interacción Empléense resultados nse los resultad os del problema 6.191. 6.191.

f t

c d

lé el

Problem as represe Problemas representativos ntativos

~~ 10(9,81)

10(9,81) N N (al

).

t

6.193 delgada de masa m / 2 es solidari 6.193 La La varilla delgada solidariaa del cilindro circular neo de masa m y radio R. Si éste rueda circular homogé homogéneo rueda sin deslizamie nto por la superfic ie con una lizamiento superficie una velocid velocidad va de su centro, ad Vo hallar los momen tos cinético hallar los momentos cinéticoss He Y Y Ha Ha del sistema sistema en el instaninstante representado. represe ntado.

lOkg 10kg

(bl


Resp. He HG = ~mRva' ~mRvo' Ha Resp. Ho = ~mRva ~mRvo 6.190 6.190 Al cilindro escalonado la escalon ado se aplica, tal como como se se muestra, muestra , la

te de 40 N. El radio fuerza constan constante radio de giro centroidal centroid al del del cilincilindro es kTe = = 200 200 mm y rueda rueda sin deslizamiento deslizam iento por por la la pendiente. pendien te. Si halla en reposo Si el cilindro se halla reposo cuando cuando recibe la la aplicación aplicaci ón de de la fuerza, hallar su velocidad velocid ad angular angular úJ ro ocho segundos segund os desdespués. pués.

~vo

6. mi de

3R

"4

~40N ~ 40N

rar

cir

250

mm



6.191 La bala bala de 30 6.191 30 gg lleva lleva una una velocidad velocid ad de de 500 500 m/ m/ ss cuando cuando incide la barra barra delgada delgada OA incide en la OA de de 10 10 kg, kg, la cual cual está está suspendida suspend ida punto O O e inicialmente inicialm ente en del punto en reposo. reposo. Calcular Calcula r la la velocidad velocid ad anan-

6.194 El El pequeño pequeñ o bloque bloque de de masa masa m 6.194 m desliza desliza por por la ranura ranura raradial del del disco disco mientras mientra s ésta ésta gira gira en en el plano dial plano horizontal horizon tal en en tortorno aa su su centro. centro. El bloque bloque se se suelta suelta estando no estando en en reposo reposo relativo relativo respecto al disco disco yy se se mueve mueve hacia hacia afuera afuera con respecto al con una una velocidad velocid ad rf en aumento aument o aa lo lo largo largo de de la la ranura ranura del del disco en disco cuando cuando éste éste gira. gira. Hallar, en función función de de rr yy if,. el el momento momen to M Hallar, en M que que debe debe aplicarse aplicars e

436


al disco para que éste mantenga tante Q).

una velocidad

angular

cons-

vertical de O y es O y es = 90°.

f) =

O Y (b) cuando G pasa por la horizontal de

e

o rl\

\

+d.:no

~ M

6.197 El disco uniforme de radio 200 mm tiene una masa de 25 kg Y está montado en la barra giratoria OA de tres modos distintos. En todos los casos la barra gira en torno a su eje vertical con una velocidad angular horaria Q) = 4 rad I s. En el caso (a) el disco está soldado a la barra. En el caso (b) el disco, sujeto a la barra por el pasador A, ejecuta un movimiento de traslación curvilínea y no rota como un cuerpo rígido. En el caso (e) el ángulo relativo entre el disco y la barra aumenta a razón de = 8 radl s. Calcular, en cada caso, el momento cinético del disco respecto al punto O. Resp. (a) Ha = 18 kg-m? I s (b) Ha = 16 kg·m2/s (e) Ha = 14 kg·m2 I s

e

6.194

Figura problema

ola 0-

6.195 Una barra delgada uniforme de masa M y longitud L se traslada sobre el plano horizontal liso x-y con una velocidad vM cuando una partícula de masa m que se mueve con una velocidad VM, tal como se muestra, choca y se incrusta en ella. Hallar las velocidades lineal y angular finales de la barra con la partícula incrustada. Resp.

MVM Vx

mVm

M+m'vy=

12Vm(

= -L-

Q)

(a)

200mm

M+m m

4M+7m

)

AH (b)

o eso,

200mm 3L

anMI

y

"4

\'

L

',41

I

--+

VM

I I I

---x

(e)

.m 200mm

lVm 6.197


6.195

6.196 La rueda desequilibrada se hace que ruede sin deslizamiento hacia la derecha con una velocidad constante de 0,9 mi s de su centro O. Su masa es de 8 kg con centro de masa en G y su radio de giro respecto a O vale 150 mm. Hallar su momento cinético Ha respecto a O (a) cuando G pasa exactamente por la

6.198 La barra delgada de masa m y longitud 1 está sujeta con un pasador en su extremo inferior al soporte O del que se

1

-, -,

<,

-,

-, , \ \

b

225mm

\

\ \

~

ra-

0,9 m/s

~

tortivo

Detalle del apoyo O

!::::13

~--+l~~--J 2

Figura problema

6.196

\

-----~~~~2

i:0:::::":;:-=::=~=-;'=~=:::::::¡::==:;;::~=

75mm

di gira. arse

(

Figura problema

2

6.198

437


muestra etalle. La muestra un un ddetalle. La barra barra se se suelta suelta en en reposo reposo desde desde la la posiposición ción vertical vertical 1.1.Cuando Cuando el elcentro centro dde barra choca choca con con el el pivote pivote e lalabarra AA en en la la posició posiciónn 2,2, se se traba traba al al mismo mismo aa la la vez vez que que se se libera libera la la conexió conexiónn en en O. O.Hallar Hallar la la velocid velocidad angular lü.3 WJ de de la la barra barra inmeinmead angular diatame nte ddespués espués dde diatamente trabarse al al pivote pivote AA en en la la posición posición 3. 3. e trabarse 6.199 6.199 Dos Dos pequeñ pequeños reactoress de de empuje empuje variable variable se se dispara disparann os reactore para er lala velocid para manten mantener velocidad angular de de la la nave nave espacia espaciall constan constan-ad angular te te en en el el valor valor % %==1,25 1,25rad rad// ss en en torno torno al al eje eje zz aa la la vez vez que que se se exextienden tienden los los brazos brazos retráctil retráctiles, desde r}1"1 == 1,2 1,2m m hasta hasta r2 1"2 = 4,5 m, es, desde = 4,5 m, con con una una velocid velocidad constantete durante durante un un período período de de dos dos minuminuad constan tos. tos. Hallar, Hallar, en en h.mciÓn función ddel tiempo, qué qué empuje empuje TT ddebe tener el tiempo, ebe tener cada cada reactor, reactor, siendo siendo tt == el el instante instante en en que que comien comienza el moviza el movimiento ico. Los miento telescóp telescópico. Los pequeñ pequeños registradores experimentales os registra dores experim entales de de 10 10kg kg instalad instalados en los los extremo extremoss de de los los brazos brazos pueden pueden tratartrataros en se se como como si si h.leran fueran masas masas puntual puntualeses yy pueden pueden desprec despreciarse las iarse las masas de de los los brazos. brazos. masas Resp. TT == 0,750 0,750 ++ 0,01719t N Resp. ,01719t N

°

°

zz

velocid ad de velocidad de rotación rotación de de 0,3 0,3 rev rev //ss en en torno torno aa un un eje eje normal normal al al plano de la ria. Calcula adamen te lala velocid plano de latrayecto trayectoria. Calcularr aproxim aproximadamente velocidad ad angular to posterio angular N Nen en el el momen momento posteriorr del del salto salto en en que que el el nadado nadador r ha encogid o el cuerpo. Se ha encogido el cuerpo. Se harán harán unas unas hipótes hipótesisis razonab razonables refeles referentes tos de rentes aa los los momen momentos de inercia inercia del del cuerpo cuerpo en en cada cada configu configuraración ción.. 6.201 jes inicialm ente en 6.201 Estando Estando los los engrana engranajes inicialmente en reposo reposo con con el el par de momen to par de momento M M nulo, nulo, las las fuerzas fuerzas que que el el armazó armazónn ejerce ejerce en en AA yy B jes son B sobre sobre los los ejes ejes de de los los engrana engranajes son 120 120 yy 64 64 N, N, respecti respecti-vam ente, ambas hacia restar los vamente, ambas hacia arriba arriba para para contrar contrarrestar los pesos pesos de de los jes. En los engrana engranajes. En cierto cierto momen momentoto se se aplica aplica un un par par de de momen momen- to ayor de jes aa través to M M == 6,8 6,8 m·N m·N al al m mayor de los los engrana engranajes través de de su su eje eje A. Cuah'o Cuatro segund segundosos después después, , este este mismo mismo engrana engranajeje tiene tiene un un m moomento mento cinético cinético de de 15 15 kg·m kg-m?2 // s,s, de de sentido sentido horario horario, , y el el engrana engranaje je pequeñ pequeñoo un un momen momentoto cinético cinético ddee 55 kg·m kg'm22/ / s, s, de de sentido sentido antihor ario. Calcula antihorario. Calcular r los los nuevos nuevos valores valores de las fuerzas fuerzas R RAA y R RB B que que ejerce ejerce el el armazó armazónn sobre sobre los ejes ejes durante durante el interval intervaloo ddee 4 s. s. Aislar jes conside Aislar el el conjunt conjuntoo de de ambos ambos engrana engranajes considerándolo como rándolo como sistema sistema. . Resp. Resp. R RAA == 106,8 106,8 N, RBB == 77,2 77,2 N

10 kg

~

e

v

Figura problem a 6.201 6.201 Figuraproblema

6.202 En En la la figura figura se se muestran muestra n los los elementos elemen tos de 6.202 de una una nave nave esespacial con simetría simetría axial axial másica másica yy un un sistema sistema de pacial con de control control por por

r~r

r~r

zz

Figuraproblema Figura problem a 6.199 6.199

6.200 Inmediatamente Inmedi atamen te tras 6.200 tras dejar dejar el el saltadero, saltader o, el el cuerpo cuerpo comcompletamente extendido extendi do del pletamente del nadador nadado r de de 80 kg kg de de masa masa posee posee una una

6.: ta

¿q en

pro 6.2 Figuraproblema Figura problem a 6.200 6.200

Figura problem a 6.202 6.202 Figuraproblema

438 438


COI

ve;

al d

or ea-

el en tide n-

A.

aa'do

RB 4 s. mo

rueda de reacción. Cuando motor eléctrico un par par sorueda de reacción. Cuando el motor eléctrico ejerce ejerce un bre ésta última, sobre nave se ejerce un par par igual bre ésta última, sobre la nave ejerce un igual y opuesto, opuesto, con varía el momento momento cinético todos con lo que que varía cinético en en la dirección dirección z. Si todos los elementos moverse a partir partir del reelementos del del sistema sistema empiezan empiezan a moverse del reposo y el motor motor ejerce ejerce un un par par de momento M M durante un tiemtiemposo de momento durante un po angular final final de de (a) (a) la nave (b) de de la po t,t, hallar hallar la velocidad velocidad angular nave y (b) rueda respecto respecto a la nave. nave. El momento momento de respecto al eje rueda de inercia inercia respecto Z de la nave completa, rueda incluida, es 1 1y el de de la rueda sola z de nave completa, rueda incluida, rueda sola I(ú" El eje de rotación de rueda coincide es lO). de rotación de la rueda coincide con con el eje de de simesimetría z de nave. tría de la nave.

madamente cuál velocidad de rotación N cuando pemadamente cuál será será su su velocidad de rotación cuando pegue todo los brazos al cuerpo manos muy muy gue del del todo los brazos cuerpo colocando colocando las las manos cerca del del eje de de giro. giro. Como aproximación aceptable, aceptable, asimilar asimilar cerca Como aproximación sus brazos extendidos varillas delgadas uniformes, de sus brazos extendidos a varillas delgadas uniformes, de longilongitud 680 mm y masa masa 7 kg kg cada una. El torso torso puede puede asimilarse tud 680 mm cada una. asimilarse a un cilindro macizo de 60 kg diámetro de de 330 330 mm. Con un cilindro macizo de kg con con un un diámetro mm. Con los brazos brazos pegados, p egados, el patinador patinador puede puede considerarse un los considerarse como como un cilindro macizo de kg con un diámetro mm. Se descilindro macizo de 74 kg con un diámetro d dee 330 330 mm. desprecia el rozamiento rozamiento en patines con hielo. precia en los los contactos contactos de de los patines con el hielo. Resp. N N == 4,89 4,89 rev rev / s Resp.

6.203 Una profesora profesora de Dinámica está a sus 6.203 Una de Dinámica está exponiendo exponiendo sus alumnos cinético. Para alumnos los principios principios relativos relativos al momento momento cinético. Para ello, pie sobre una plataforma plataforma rotatoria muy ello, se coloca coloca de de pie sobre una rotatoria de de muy bajo rozamiento rozamiento con vertical de bajo con el cuerpo cuerpo alineado alineado con con el eje vertical de la misma. Sin que rote, sujeta una rueda rueda de bicicleta misma. que la plataforma plataforma rote, sujeta una de bicicleta especialmente preparada de modo que el eje de de ésta ésta está está vertíespecialmente preparada de modo que verticaL A continuación continuación voltea darle al eje una oriencal. voltea la rueda rueda para para darle una orientación sin variar distancia de de 600 600 mm desde el eje tación horizontal horizontal sin variar la distancia mm desde de rueda y, así, los alumnos de su su cuerpo cuerpo al centro centro de de la rueda alumnos observan observan que la plataforma gira a 30 30 rpm. llanta lastralastraque plataforma gira rpm. La La rueda rueda tiene tiene la llanta da m asa es de kg con un radio radio de da y su su masa de 10 kg con un de giro giro centroidal centroidal k k == 300 mm, y gira gira a una una velocidad velocidad prácticamente prácticamente constante 300 mm, constante de de 250 rpm. rpm. Calcular el momento momento de 250 Calcular aproximadamente aproximadamente de inercia inercia 1 de postura que muestra) respecto respecto al eje de la profesora profesora (en (en la postura que se muestra) vertical de plataforma. vertical de la plataforma. Resp. 1 == 3,45 kg·m22 Resp. 3,45 kg·m

c.b cb I

11 rev/s rev /s


6.206 macizo de radio r está reposo so6.206 El cilindro cilindro circular circular macizo de radio está en en reposo bre la cinta transportadora plana plana cuando una bre cinta transportadora cuando a ésta ésta se aplica aplica una fuerza horizontal horizontal P. Si ésta basta para para que haya siempre fuerza ésta basta que haya siempre deslideslizamiento entre hallar el tiempo tiempo t necesario necesario zamiento entre la cinta cinta y el cilindro, cilindro, hallar para que posición indicada de para que el cilindro cilindro llegue llegue a la posición indicada con con línea línea de trazos. Hallar también la velocidad velocidad angular angular ro trazos. Hallar también w del del cilindro cilindro en en esa misma coeficiente de de rozamiento rozamiento entre entre el cilincilinesa misma posición. posición. El coeficiente dro y la cinta cinta es J.1.c dro J.1.c

600

e espor

Figura problema problema 6.203 6.203 Figura problema problema 6.206 6.206

6.204 profesora ddee Dinámica Dinámica del problema 6.203 reorien6.204 Si la profesora del problema 6.203 reorienrueda a 180 0 respecto respecto a su posición vertical vertical inicial, ta el eje d dee la rueda su posición inicial, ¿qu velocidad de rotación N observarán Puede ¿quéé velocidad de rotación observarán los alumnos? alumnos? Puede emplearse toda información facilitada facilitada y la respuesta dada al emplearse toda la información respuesta dada problema 6.203. problema 6.203. 0

6.205 patinador sobre hielo de kg gira mismo 6.205 El patinador sobre hielo de 74 kg gira sobre sobre sí mismo con los brazos extendidos horizontalmente en torno torno a un un eje los brazos extendidos horizontalmente vertical segundo. Calcular Calcular aproxiaproxivertical a razón razón ddee una una vuelta vuelta por por segundo.

uniforme O de kg puede puede girar 6.207 6.207 El disco disco uniforme de 4 kg girar libremente libremente sobre cojinetes en en torno brazo B de de 2,5 kg está unido bre cojinetes torno al eje e-e. El brazo kg está unido rígidamente al árbol vertical O-O. Dicho Dicho brazo brazo puede rígidamente árbol vertical puede consideconsiderarse como una delgada de de 300 300 mm mm de de longitud longitud y el morarse como una barra barra delgada momento de inercia inercia del del árbol árbol vertical O-O puede despreciarse. La mento de vertical O-O puede despreciarse. La varilla de 3 kg está asegurada asegurada a fondo fondo al brazo inicialvarilla A de kg está brazo B. B. Si inicialmente el disco tiene una una velocidad velocidad angular rad / s en mente disco O tiene angular % % == 7 rad/ en el sentido brazo B está reposo, ddeterminar eterminar la sentido indicado indicado y el brazo está en en reposo,

439 439


velocidad angular Ú)B del brazo después segundos un momento M = 1,5 m·N. Resp. Ú)B = 34,0 rad/ s

de aplicar durante

4

miento cinético, hallar el tiempo t que dura el deslizamiento. Determinar, además, la velocidad v del centro de masa G y la velocidad angular co al final del período de deslizamiento.

Resp. t

= -Vo ;:;---~~_---;;2

e - 2 sen e

g 71le cos 5v olle

v

71le - 2 tg

ú)=

e

5voll/r 71le- 2 tg

e

-: %

Figura problema


6.208 Las dos varillas uniformes de 300 mm tienen una masa de 1,5 kg cada una y están articuladas por sus extremos a la base giratoria B. La masa de ésta es 4 kg Y su radio de giro es 40 mm, girando libre inicialmente en torno a su eje vertical a 300 rpm con las varillas trabadas en posición vertical. Si se sueltan los fiadores y las varillas toman las posiciones indicadas con trazo discontinuo, calcular la nueva velocidad N de giro del conjunto.

/'

...A

/

/ / I

I I

300 mm

R1 I W

l---_

I

------

6.209

6.210 La esfera homogénea del problema 6.209 se coloca sobre el plano inclinado con una velocidad angular horaria OJo pero con su centro sin velocidad lineal (vo = O). Hallar el tiempo t que dura el deslizamiento. Determinar, además, la velocidad v y la velocidad angular ú) al final del período de deslizamiento. 6.211 La barra esbelta de masa m y longitud 1 se suelta estando en reposo en la posición horizontal representada. Si, tras el choque, el punto A de la barra queda unido al pivote B, hallar la velocidad angular ú) de la barra inmediatamente después del choque en función de la distancia x. Particularizar la expresión obtenida para x = O, 1/2 Y l .

60 60

,. .

In

A

Resp.

ú)

=

G-

X )J2Sh/(jI2

-Ix + x2)

300 mm

'1 Ai

:h B

Figura problema

I I I


6.209 La esfera homogénea de masa m y radio r se lanza por el plano inclinado de ángulo con una celeridad inicial Vo y sin velocidad angular (OJo = O). Siendo Ile el coeficiente de roza-

e

6.211

6.212 El disco ranurado tiene una masa de 6 kg Y un radio de giro respecto a O de 175 mm. Lleva cuatro bolas de acero, de

440


6 e v tJ si ir d d ti.

to.

la

y figura y indica la figura 0,15 colocad as como indica de masa cada una, colocadas kg de 0,15 kg con eje gira libremente alrededor de un vertical en torno a O con un or alreded nte gira libreme pequeñ as una de las pequeñas Cada una una 120 rpm. Cada angular de 120 velocid ad angular una velocidad r pasado bolas está retenida por un pequeño pasador que no se señala. o pequeñ un por retenida está bolas y girando y Si cuando el disco está girando libertad cuando bolas se dejan en libertad las bolas Si las posició ranuras en la posiciónn permanecen respecto a las ranuras reposo respecto perman ecen en reposo Haro del disco. Haangular ea punteada, velocid ad angular nueva velocidad hallar la nueva puntead a, hallar imal debido perdida debido llar energía perdida imI~EI de la energía también el valor IL1EI llar también el iar Desprec . ranuras pacto extremo de las ranuras. Despreciar el las bolas con el extremo de las pacto de ación. aproxim diámetroo de las bolas y discutir discutir esta aproximación. diámetr

deslizam iento con ve6.214 rueda sin deslizamiento uniform e que rueda disco uniforme Un disco 6.214 Un movimi ento al locidad direcció n de movimiento bruscam ente de dirección cambia bruscamente locidad vv cambia nueva veloHallar 8. topar con el plano inclinado un ángulo e. Hallar la nueva topar con el plano inclinad o un ángulo arriplano arriento movimi cidad u' del centro del disco al iniciar el movimiento plano cidad v' pierde ba y determinar la fracción n de la energía inicial que se pierde inar determ y ba = 10°. a causa del contacto contact o si e8 =


120 rev/min 120 rev/min

6.214

/ / un forman do un longitu d L formando 6.215 uniform e de longitud poste uniforme suelta un poste Se suelta 6.215 Se A extremo ángulo e con la vertical y al chocar el extremo A con el suelo vertical 8 ángulo pivota A pivota ambos velocid ad v. Si el extremo A una velocidad extremo s llevan una ambos extremos ento, movimi su sobre su punto de contacto durante el resto de movimiento, contact o durante sobre su punto determinar la velocidad v' con la que B choca con el suelo. v' ad determi nar velocid Resp. = v' = Resp. u'

a soaC4J mpo idad ien-

stanas el aliar 'sdel esión


9v 9V22

3gL cos e8 8+ 3gL 4 sen e+ JT 22

6.212

17,5 Mg tiene su centro 6.213 lunar de 17,5Mg aterriza je lunar módulo de aterrizaje El módulo 6.2 13 El ha Se ha G. Se 1,8 de de masa y un radio de m respecto a G. giro radio un G en masa de con lunar ie superfic proyectado para tomar contacto con la superficie lunar una o contact tomar para ado proyect una de las cua/ h. Si una velocidad velocid ad de caída libre vertical de 8 km /h. inclinac ión pequeñ a inclinación una pequeña tro lunar sobre una superfic ie lunar patas toca la superficie tro patas módulo del ro angular w sin módulo velocid ad angular sufrir rebote, calcular la velocidad sin sufrir e pivotas si inmediatamente impacto , como pivotase alrededespué s del impacto, inmedia tamente después la longitu d de la dor contacto. La cota de 9 m es la longitud punto de contacto. del punto dor del vércomo pies cuatro los diagonall del cuadrad cuadradoo formado por formad o por diagona tices. tices.

t v'v' Figura problema Figura problema

6.215

kg d e 160 una masa de 6.216 El 160kg espacia l tiene una nave espacial El fuselaje de la nave 6.216

paneles Yun z. Los dos paneles respecto a su eje z. 0,45 m respecto radio de giro de 0,45m Y un radio

rad / s Resp. 0,308 rad/s ro = 0,308 Resp. tú=

z

I1

8km/h 8km/h

¡¡

1,8m

~ú)

0,6 m

3m

~ dio de ro, de

;~~~~~~;::Z"~m ~·<~<'y~=~i~~~5 Figura problema 6.213 Figura problema

Figura problema problema 6.216 Figura

441


solares rse aa sendas solares pueden pueden asimila asimilarse sendas placas planas de 88 kg kg cada cada una. una. Si Si con con e == o o la nave gira en torno a su eje eje z a la velocid velocidad ad de rad / s, de 1,0 1,0rad/ s, hallar la velocid velocidad angular e cuando un mecanis mecanis-ad angular mo mo interno rota rota los paneles y los coloca coloca a e == n/2. n/2. Desprec Despreciar iar la la pequeñ pequeñaa variació variaciónn del momen momento respecto cinético del fuselaje respecto al al eje eje y. to

e

6.219 inar la velocid ad mínima v que debe tener la 6.219 Determ Determinar velocidad la

rueda rueda para para que que justo ruede ruede por encima del obstácu obstáculo. El radio lo. El de al de la rueda de giro giro centroid centroidal rueda es k y se supone supone que la rueda rueda no no se desliza.

Resp. Resp. v = =

6.217 6.217 El El pequeñ pequeñoo engrana engranaje se hace rotar en un plano plano horihorije se

zontal alreded or del engrana alrededor engranaje grande median mediante el par par de de momoje grande te el mento M M aplicad aplicadoo al brazo OA. El El engrana engranaje pequeñoo tiene tiene una una je pequeñ masa puede tratarse masa de 33 kg Y Ypuede tratarse como si fuera un disco. El El brazo brazo OA OA de 2 kg tiene un radio de giro de 150 150 mm respecto al al cojicojinete fijo fijo en O. o. Hallar el momen momento constante necesario to M del par constan te necesar io para dotar al al brazo OA de una velocid velocidad angular de de 20 20 rad/ rad/ ss en en ad angular 33 segund os aa partir segundos partir del reposo. Se Se desprec desprecia rozamiento. ia el rozamie nto. Resp. M == 1,819 1,819m-N Resp. m·N

2

r

k + r 22 - rh

2 2 + r22)) JJ2gh(k 2gh(k


6.220 6.220 La barra barra esbelta uniform uniformee de masa m y longitu longitudd 1 1 carece carece

de ad angular de velocid velocidad angular cuando cuando su extremo A choca sin rebotar rebotar con con el el tope. Si Si a == 15°, 15°, ¿cuál es el módulo módulo mínimo mínimo de la velocidad dad inicial inicial VI VI para para el que la barra barra gira en torno a A hacia la la poposición vertical vertical??

B

1/2 45°

Engranajeje fijo Engrana

// ...-'l G G


v1 V¡41/2 4 1/ 2 A

6.218 zumo de frutas 6.218 Una lata de zumo congelado la refrutas congela do descansa descans a en en la re-

pisa de la puerta puerta de un congelador congela dor tal como se muestra. muestra . ¿Con ¿Con qué ad angular angular máxima m áxima Q qué velocid velocidad n puede puede cerrarse "de golpe" golpe" la la puerta puerta sin que la lata salte de la repisa? Se supone supone que que la la lata lata puede rodar rodar sin resbalar resbala r por puede soporte y se se desprecia por el canto del soporte desprec ia ión d comparada compar ada con la distancia la dimens dimensión 500 mm. distanc ia de 500 mm.

d

c Figura problema 6.220 Figura problema

6.221 El bloque uniform e con bb = 6.221 bloque de piedra piedra uniforme = 1,2 m y h h= = 0,9 0,9 m ID se suelta suelta en reposo reposo desde posició n en que su centro de masa se desde la posición masa G se se halla halla casi en la vertical vertical de la esquina G esquina sobre la que se apoya. Hallar velocid ad angular angular 0)' ro ' en torno Hallar su velocidad torno a A inmediatamente inmedi atamen te despué s del impacto impacto suponiendo suponie ndo que A permanezca después perman ezca en contacto con con el suelo. Se supone supone también también que el contacto to contact o tiene lugar lugar únicam ente en las esquina que no hay únicamente esquinass y que hay deslizamiento. deslizam iento. ¿Qué fracción ILlEI lóEI // EE de la energía energía se pierde fracción pierde en el impacto? impacto ? Resp. 0)' ro' = = 0,1121rad/ 0,1121 rad / s, ILlEI Resp. lóEI // EE == 0,998 0,998

(.

d e

TI

o rr

« A

35mm

/'

/ I I

7mm~8

I

I


Figura problema problema 6.221 Figura

di Cé Zé

(Q

la y

m pI

442


la '0

o

~ 6.222 6.222 El El motor motor M acciona el disco A, el cual hace girar girar el ~ deslizamiento. El disco A, disco B sin que haya haya deslizamiento. A , el árbol soli18kg conjunta tienen dario y el bloque bloque motor de 18 kg de masa total conjunta radio de giro de 85 85 mm. El El disco B de 5 kg tiene un radio radio un radio El motor motor y el brazo solidario e ddee 24 kg ddee giro de 140 mm. El brazo solidario respecto al eje eje O-O un radio radio de giro de en conjunto presentan presentan respecto mm.. Sin Sin funcionar funcionar el motor, todo el sistema sistema gira en torno 450 mm eje O-O o-o con una una velocidad velocidad angular angular OJo OJo = = 30 30 rpm rpm en el sential eje motor tiene una una velocidad velocidad de régimen régimen de 1720 do indicado. indicado. El motor rpm en el sentido sentido indicado indicado cuando cuando e está fijo fijo.. Determinar Determinar la rpm nueva velocidad velocidad angular angular del brazo brazo e cuando cuando el motor motor funcionueva na.

o Figura problema 6.222 6.222 Figura

Resp. Resp. N == 26,2 rpm H

ece tar

ocipo-

6.9 6.9

REPASO Y RESOLUCiÓN RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS PROBLEMAS REPASO

elementos de DiEn este capítulo 6 se ha hecho uso prácticamente prácticamente de todos los elementos tratados hasta hasta aquí. Hemos visto que el conocimiento de la Cinética, námica tratados emplea el análisis del movimiento movimiento absoluto como el movimiento movimiento tanto la que emplea constituye una parte resolución de problemas relativo, constituye parte esencial de la resolución problemas de cinétiseguido en este capítulo capítulo es paralelo ca de sólidos rígidos. El procedimiento procedimiento seguido paralelo al seguido en el capítulo 3 donde donde se desarrolló desarrolló la cinética del punto material utiseguido punto material segunda ley de Newton, lizando la segunda Newton, el teorema de las fuerza vivas y el teorema teorema cantidad de movimiento. movimiento. de la cantidad resumen de consideraciones consideraciones importanimportanLa breve exposición que sigue es un resumen cuerpos rígidos en motes a tener en cuenta a la hora de resolver problemas problemas de cuerpos vimiento plano. vimiento ,9m asa

oya. ente ntaclugar

¿Qué

(a) Identificación del cuerpo cuerpo o sistema. sistema. Es fundamental fundamental decidir sin ambigüe(a) Identificación del cuerpos que se van a estudiar estudiar y, a continuacontinuadad cuál es el cuerpo o sistema de cuerpos ción, aislarlo trazando trazando su diagrama diagrama para diagrama de fuerzas ción, para sólido libre y su diagrama resultantes o de fuerzas activas, según según el caso. caso. resultantes Seguidamente se identifica el tipo de movimiento movimiento (b) Tipo de movimiento. movimiento. Seguidamente como traslación traslación rectilínea, traslación traslación curvilínea, rotación en torno a un eje eje fijo, fijo, movimiento plano asegurarse bien de que la cineplano general. Siempre hay que asegurarse o movimiento descrita adecuadamente adecuadamente antes de comenzar comenzar a resolmática del problema problema esté descrita ver las ecuaciones cinéticas. Sistema de coordenadas. coordenadas. coordenadas adecua(e) Sistema Para tomar un sistema de coordenadas recordarse que la geometría geometría de la cinemática que interviene interviene en cada do debe recordarse Se designarán designarán los sentidos sentidos positivos para caso suele ser el factor decisivo. Se para fuermomentos y se será coherente con esa designación. designación. zas y momentos Fundamentos yy método. método. instantánea entre (d) Fundamentos Si lo que se desea es la relación instantánea aplicada.sy equivalencia entre las fuerzas las fuerzas aplicada.s y la aceleración, entonces la equivalencia mii e II ú) consiguientes, que la revelan revelan los diagramas diagramas para y los valores ma para sólido resultantes, proporcionarán señalarán el libre y de las fuerzas resultantes, proporcionarán la solución y señalarán procedimiento procedimiento a seguir más conveniente. 443


444 CINÉTICA PLANA DE DE LOS LOS CUERPOS ClNÉTICA PLANA CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS

Cuando movimiento tenga lugar un desplazamiento lugar a través de un desplazamiento conociCuando el movimiento do, lo más indicado teorema de las fuerza vivas, ya que relaciona indicado es aplicar el teorema las velocidades velocidades iniciales con las finales sin necesidad necesidad de calcular aceleraciones. procedimiento en el caso de los sistemas Ya hemos visto las ventajas de este procedimiento mecánicos interconectados interconectados con rozamiento interno despreciable. despreciable. rozamiento interno Si movimiento está especificado en función del tiempo tiempo y no Si el intervalo intervalo de movimiento del desplazamiento, teorema de la cantidad desplazamiento, lo más indicado indicado es el teorema cantidad de moviteorema del momento movimiento de romiento o bien el teorema momento cinético. Cuando Cuando el movimiento un cuerpo rígido varía varía o se inicia bruscamente, bruscamente, hay que aplicar el tación de un principio de la conservación momento cinético. principio conservación del momento (e) Hip"ótesis Hip'ótesis yy aproximaciones. aproximaciones. (e)

debido captar el En este punto punto el lector ha debido sentido hipótesis y aproximaciones, tratar una sentido práctico de ciertas hipótesis aproximaciones, tales como el tratar barra como si fuera un un varilla esbelta o delgada rozamiento barra delgada o el despreciar despreciar el rozamiento cuando muy pequeño. pequeño. Estas y otras idealizaciones para cuando éste es muy idealizaciones son importantes importantes para el proceso de resolución resolución de problemas problemas reales.

PROBLEMAS PROBLEMAS DE REPASO REPASO fundamenta6.223 Haga una lista de las magnitudes magnitudes lineales fundamentaangulares corresponles de la Mecánica con sus magnitudes magnitudes angulares SI de cada una. dientes. Anote la unidad unidad SI una. 6.224 Un persona persona que atraviesa la puerta puerta giratoria giratoria ejerce ejerce una fuerza horizontal horizontal de 90 90 N en una de las cuatro hojas. Si Si cada rectangular uniforme uniforme de una de éstas es asimilable a una placa rectangular 60 60 kg de 1,2 1,2 m de altura, hallar la aceleración angular angular de la puerta. Se puerta. Se desprecia el rozamiento. Figura problema problema 6.225

6.226 Una varilla delgada delgada de masa mo y longitud longitud 11 está soldada por su centro A a la periferia del disco macizo de masa m y El centro del disco, que rueda rueda sin deslizamiento, tiene radio 1'. r. El velocidad v en su instante una velocidad instante en que A se encuentra encuentra en el punto más alto y la varilla está paralela paralela al suelo. Hállar, para ese momento cinético del conjunto respecto a O. instante, el momento O. problema 6.224 Figura problema

6.225 El El camión volquete transporta transporta 5 m3 de basura basura de densi3 dad de 1600 kg / m y el mecanismo de elevación rota la caja 1600kg/ caja en torno a A a una velocidad angular angular constante de 4 grd / s. El centro de masa de la caja caja y su carga está en G. G. Hallar la potencia máxima P necesaria durante durante el volteo de la carga. Resp. kW Resp. P == 8,22 8,22kW


~v. . v


a

o a

6.227 En la figura se representa un telescopio espacial. Una de las ruedas de reacción de su sistema de mando de orientación rota como se muestra a 10 rad 1 s, velocidad a la cual el rozamiento en el cojinete de la rueda produce un par de fuerzas internas de momento 10-6 m-N, Tanto la velocidad de la rueda como el momento debido al rozamiento pueden considerarse constantes durante un lapso de varias horas. Si el momento de inercia de la nave espacial completa respecto al eje x es de 150(103) kgrn'', hallar cuánto tiempo pasa hasta que la línea de mira de la nave inicialmente inmóvil derive un segundo de arco, es decir 1/3600 grados. Los demás elementos permanecen fijos relativamente a la nave y sobre la rueda de reacción de la figura no se aplica par de fuerzas alguno para corregir la deriva de orientación. Despreciar todos los pares de fuerzas exteriores. Resp. t = 1206 s

da, en la que el resorte de 150N 1 m de rigidez no está alargado. Calcular la velocidad con la que el extremo A golpea la superficie horizontal. 6.229 Cuatro varillas delgadas iguales, de masa m cada una, se sueldan por los extremos formando un cuadrado y luego los vértices se sueldan a un aro metálico liviano de radio 1'. Si el conjunto se deja rodar plano inclinado abajo, hallar el valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático para que no haya deslizamiento. Resp.

Jie =

2

5

tg

e

Figura problema

6.229

6.230 Se repite aquí el camión volquete del problema 6.113.El contenedor cargado tiene una masa de 80 Mg Y puede asimilarse a un bloque homogéneo macizo. En la posición inicial representada, el cilindro hidráulico aplica una fuerza de 300 kN al contenedor. Calcular la aceleración angular inicial ex del contenedor (a) si el camión no se mueve y (b) si el camión posee una aceleración hacia adelante de 3 mi S2. Figura problema

lda-

rny

.-

6.227

6.228 La barra esbelta uniforme tiene una masa de 30 kg Yse abandona en reposo desde la posición casi vertical representa-

1,5 m

1,5 m

0,9 m

eC

0,9 m A

e

~

iene

0,5 m

un-

~~~~I

ese

I

t

B

0,3. A m

1m

-

\ \

0,9 m

Figura problema -\

\_-,

'--,\_-, 1_-1

o.

1m

\_-,

=========~~

Figura problema

6.228

6.230

6.231 En un salto acrobático, el hombre A de masa mA cae desde una plataforma elevada sobre el extremo de la vigueta ligera, aunque resistente, a la velocidad vo. El muchacho de masa me es proyectado hacia arriba a la velocidad vs. Para un coeficiente dado 11 = mBlmA' determinar b en función de 1 de forma

445


que quelalavelocid velocidad ascendente delmuchac muchacho seamáxima máxima. Sesusuad ascende nte del ho sea . Se pondrá pondrá que quetanto tantoelelhombre hombrecomo comoelelmuchac muchacho se comportan ho se compor tan comocuerpos cuerposrígidos. rígidos. como Resp. b = -_LL

I II II II II I II II I I I II II I I II \"

Resp. b = - e Jn 11+ + ",n

f+ e

AA

w=o

-. --

B

% %


E_b

o L--- __


6.232 6.232 Un Un rollo rollo macizo macizo de de papel papel grueso grueso montad montadoo en en un un eje ejehohorizontal O O se se desenro desenrolla por efecto efecto de de la la caída caída de de una una masa masa m m aa rizontal lla por la que que está está sujeto. sujeto. El El papel papel tiene tiene una una masa masa pp por por unidad unidad de de lonlonla gitud gitud y un espesor espesor D D yy el el rollo tiene tiene un un radio radio inicial inicial ro "o cuando cuando y == O. O. Si Si el el sistema se se abando abandona en reposo reposo con con yy == O, O, hallar hallar la la na en velocid velocidad final vide vide m cuando rr tiende tiende aa cero. cero. Se Se desprec desprecia el ad final ia el pequeñoo movimi movimiento horizontal de m m yy del del papel. pequeñ ento horizon tal de papel.

6.234 vil de kg de 6.234 El Elautomó automóvil de 1600 1600kg de tracción tracción trasera trasera clásica clásica tiene tiene su centro de masa en G. El coeficie nte de nto efectivo su centro de masa en G. El coeficiente de rozamie rozamiento efectivo entre icos yy la entre los los neumát neumáticos la calzada calzada es es 0,80. 0,80.(a) (a) Tratar Tratar el el vehícul vehículo o yy sus sus ruedas ruedas como como si si fueran fueran un un cuerpo cuerpo rígido rígido único único despredespreciando ciando la la inercia inercia aa la la rotació rotaciónn de de las las ruedas ruedas yy calcula calcularr la la aceaceleración a r. (b) leración a que que es es capaz capaz de de alcanza alcanzar. (b) Calcula Calcularr el el momen momento to M ial aplica M del del par par que que el el diferenc diferencial aplica aa cada cada rueda. rueda. Las Las ruedas ruedas traseras traseras tienen tienen una una masa masa de de 32 32 kg kg cada una yy un diámetr diámetroo de 620 620 mm mm con con un radio de giro de 210 210 mm.

--aa

1200 -....;""¡"';-.mrn Figura problema problem a 6.234 Figura

y

D1

6.235 Una Una puerta puerta formada formad a por por un un panel panel rectangular rectang ular uniforme uniform e de masa m está montad a en en bisagras bisagra s situadas situada s en en las las esquinas esquina s AA de masa m está montada y B, estando el el eje eje de de las las bisagras bisagra s inclinado inclinad o un un ángulo ángulo 13f3respecrespecy B,estando to al eje vertical z. La bisagra A es capaz de de soportar soporta rfuerzas fuerzas seto al eje vertical z. La bisagra A es capaz según el el eje eje de de las las bisagras bisagra s yy también también fuerzas fuerzas transversales transve rsales aa ese gún ese eje. La La bisagra bisagra BBsólo sólo puede puede soportar soporta r fuerzas fuerzas transversales transve rsales al eje. al eje de las bisagras. bisagra s. Despreciando Despre ciando el el rozamiento, rozamie nto, hallar hallar las las exeje de las expresion esde de (a) (a) la laaceleración acelerac iónangular angularinicial inicialwúJque queadquiere adquier ela presiones la puerta cuando se suelta enreposo reposo desde desde lalaposición posició nindicada, indicad a, puerta cuando se suelta en (b) lavelocidad velocid ad angular angularmáxima máxima wúJde de lalapuerta puertayy (e) (e) lalafuerza fuerza (b) la R que soporta la bisagra B cuando la velocid ad angular angular es R que soporta la bisagra B cuando la velocidad es máxima . máxima. 6.235

Figuraproblema Figura problem a 6.232 6.232

6.233 La 6.233 La varilla varilladelgada delgadauniforme uniform e de demasa m asammyylongitud longitu d11está está articu ladalibremente articulada pasa libreme nteaaun uneje ejehorizontal horizon talque que pasapor porsu suextreextremo OO yy recibe mo recibe una una velocidad velocid ad angular angular inicial inicial % % cuando cuando pasa pasa porlalaposición por posició nvertical verticalee== O.O.Si Silalavarilla varillaoscila oscilahasta hastaun unángulo ángulo máximo13[3<<90°, máximo 90°,deducir deducirlalaexpresión expresi ónen enforma formaintegral integralque queda da tiempo t t desde elel tiempo en que se inicia el movimiento, desdeelel momento momen to en que se inicia el movimi ento, ee==O,O,hasta hastaque que ee==13·[3. (Expresar (Expres ar% % en enfunción funciónde de13.) [3.) Resp. t = {T ff3 de R t {T de esp. =~3g ~ 3gJo O Jcos J cosee-cos cos13f3

Resp.(a)a (a)a== Resp.

jf3

446 446


**

sen13f3 sen

(b)úJ==J(3g J(3gsen senf3)/b f3) / b (b)w

~[52

13]J

sen13f3++~bcos (c)R== !?f[~sen 2 cos f3 (c)R

Ji

1 6.238 El bloquecito desliza por diame6.233 bloquecito de masa masa m se desliza por la ranura ranura diametral lisa del disco, el cual gira libremente libremente en su cojinete. Si el bloquecito desplaza un poco desde desde la posición posición central cuanbloquecito se desplaza do la velocidad aJo,h allar su velocidad velocidad del disco es OJo, hallar velocidad radial radial Vvrr en función de la distancia distancia radial función radial r. El momento momento de inercia del disrotación es 10. co respecto respecto a su eje de rotación

Figura 6.235 Fi.gura problema problema 6.235

ne o lo eeto as

6.236 La barra extremo se aban6.236 barra OA y el disco que gira en su extremo donan en reposo desde la posición donan reposo desde posición representada representada y oscilan en el plano alrededor del cojinete fijo fijo O. La barra plano vertical vertical alrededor barra OA de 6 kg tiene un un radio radio de giro respecto respecto a O de 375 mm. mm. El disco tiene una supone que los dos cojinetes carecen de una masa de 8 kg. Se supone rozamiento. Hallar la fuerza fuerza Foque Foque en O se ejerce sobre la barozamiento. Hallar rra (a) inmediatamente inmediatamente después después de iniciarse iniciarse el movimiento movimiento y cuando OA OA pasa OA '. (b) cuando pasa por por la posición posición vertical vertical OA

de

Figura problema problema 6..238 Figura 6.238

6.239 El regulador instalado en un 6.239 regulador centrífugo centrífugo está instalado un eje vertical Conforme aumenta aumenta la velocidad . O-O. Conforme velocidad del árbol N, el radio radio de

rotación 1,5 kg tiende aumentar y el anillo rotación de las dos bolas de 1,5 tiende a aumentar Beleva estacionario de f3 f3para masa A. A. Hallar Hallar el valor valor estacionario para una una veB eleva la masa locidad de rotación 150 rpm. Despreciar la masa locidad rotación de 150 rpm. Despreciar masa de los brazos y el anillo. Resp. f3 == 22,5° 22,5° Resp. f3

I I I I I

600

J

mm

"v/

I I

1---

_/ ,I,I »> A 1---

." ."

I

o

./


e A ecseese

al exe la

6.237 El aro circular circular liviano liviano de radio una banda 6.237 radio r lleva una banda uniforuniforabandona me pesada pesada ddee masa masa m a lo largo de su perímetro perímetro y se abandona desde la posición superior en reposo reposo desde posición representada representada en la parte parte superior del plano inclinado. Después Después de que el aro haya plano inclinado. haya rodado rodado media media vuelta, angular 0OJyy (b) la fuerza fuerza normal vuelta, (a) hallar hallar su velocidad velocidad angular normal bajo el mismo 10 0 . mismo si e= 10

e=

J

0.

r () J'g-4-co-s-e-+-n;-::2-e-n-e R () g-4-co-s-e-+-n;-;::"2s-s-en-e OJ= n;-2 esp. a 0= r n;-2

(b)N = 4,14mg 4,14mg (b)N

da, rza es

Cotas en milímetros f,igura problema 6.239 Figura problema 6.239

.~ esbelta uniforme longitud 1 1 I ~ 6.240 6.240 La barra barra esbelta uniforme de masa m y longitud


articulada a un está articulada un eje horizontal horizontal que pasa pasa por por O y oscila en el plano compuesto. Si se suelta suelta en plano vertical vertical a modo modo de péndulo péndulo compuesto. reposo desde la posición e == 90°, 90°, escribir las exreposo desde posición horizontal horizontal con e presiones T, la fuerza fuerza cortante cortante V y el momento presiones de la tracción tracción T, momento

447


flec tor M flector M en en la la barr barraa en func función para una una p~si posición dadaa ión de x para ción dad Se reci an todo Se desp desprecian todoss los roza rozamientos. mie ntos . 5/ 5122 -- 2/x 21x - 3x22 Resp Resp.. TT == cos e e mg cos 22

21 2/

vV

==

M M ==

(1--x) x)(l3x) 'e (I (l3x)e

sen mg sen

4/ 22 41

(1- x)2x x)2x

412 4/

mg sen

e

e.e.

~ 6.24 2 El aro hen dido de radi ~ 6.242 El aro hendido radioo r gira con velo velocidad angular cida d ang ular con stan te ú) constante lü en en tom tornoo a un eje eje vert vertical por su su cent centro O. ical que pasa por ro O. Emp lean do un elem ento infin itesi Empleando un elemento infinitesimal deducir las expr expremal de aro ded ucir las esion es de la fuer za cort ante N y de siones de la fuerza cortante tensión circunferencial la tens ión circ unfe rencial TT en ión del áng ulo e. Hal en el el aro aro en en func función ángulo Hallar momento flector Me lar el mom ento flec tor Me en el pun to e utili zand o med io aro en el punto e utilizando medio como sólido libre.. La La mas masaa com o sóli do libre del ad de long del aro aro por unid unidad longitud es p. p. itud es Resp Resp.. N = = pr pr22w2 sen e w2

TT == pr pr22w2(1 w2(1 + cos e) e) 3 Me Me == 2pr 2pr3w2 w2

Figura prob 'Figura problema lema

I

*

s

O

e e c 1<

6.2400 6.24

~ 6.24 1 ~ 6.241

Del emo libre de la cuer Del extr extremo cuerda de masa da flexible flexible de mas a pp por por unid ad de itud se tira haci unidad de long longitud haciaa arri arriba con una fuerza del ba con una fuer za P P del mod o indicado. indi cado . En el inst ante con modo instante considerado el extr extremo libre poside rado el emo libre posee erac ión asce nde nte a y una velo see una una acel aceleración ascendente velocidad v. cida d ascendente asce nde nte v. Dem ostr ar que Demostrar que,, en el lími límite medida la te a med ida que que la la longitud long itud de de la cuer da tien de a cero tens ione s TI y T cuerda tiende cero,, las tensiones T2 a a uno otro lado del uno yy otro lado del bucl e son les yy vale bucle son igua iguales valenn ~pv22 . (Sug (Sugerencia: Asimilar el bucle erencia: Asim ilar el buc le aa un aro icirc ular rígido rígi do sujeto suje to a una un aro sem semicircular de radio una rueda rued a sin sin masa mas a de radi o se muestra. mue stra . Seg rr tal tal com comoo se Seguidamente, que rr tienda uida men te, hacer hace r que tien da aa cecero.)

¡pv

Figura prob Figura problema lema

*(

6.242 6.24 2

fe

Cl

(a ~ 6.24 ~ 6.2433

Ant es de de chocar choc ar contra con tra el suel Antes suelo, o, una una chimenea chim enea que que se se derr umb a, como com o la de la figura, figura, suele suel e partirse derrumba, la de por el lugar part irse por el luga r dondon de el mom ento flector es máximo. máx imo . Dem de el momento flector Demostrar ostr ar que la la posición posi ción de de mom ento máx imo coin cide momento máximo coincide con el centro cent ro de percusión perc usió n relativo rela tivo al extremo extr emo superior, supe rior , en el caso de que la chimenea al chim enea sea sea esbelta esbe lta yy de secc ión tran sver sal constante. cons tant e. Despreciar de sección transversal Des prec iar el momento mom ento resisresistent e en la base. tente base .

e

vi

*6,

na

mg mg

cer


Figura problema problema 6.243 Figura 6.24 3

448


fic

pn

A

*PROBLEMAS ORDENADOR *PROBLEMAS ESPECIALES ESPECIALES PARA ORDENADOR T e a

*6.244 el problema *6.244 Se Se repite aquí el carrito ddel problema 6.14. 6.14. El El carrito B h acia la derecha se mueve hacia derecha con una una aceleración a == 2g. Si m == kg. 1 1 == 0,6 0,6 m y K K == 75 m m-N rad, hallar la desviación desviación angular angular 0,5 kg, ·N / rad, estacionaria delgada uniforme estacionaria e 8 de la varilla delgada uniforme ddee masa 3m. La esfera de masa m ddel el extremo puede partípuede tratarse tratarse como una partícula. El resorte, que ejerce un momento momento de valor M M == Ke K8 sobre deformar cu cuando la varilla, está sin deformar ando la varilla está vertical.

ejerce esquina sobre el bloque. bloque. (a) Si en O hay h ay una pequeña pequeña ejerce la esquina entalla que impide impide el deslizamiento deslizamiento del bloque, hallar el ánguángulo e esquina. (b) En ausencia 8 para para el que cesa el contacto con la esquina. un coeficiente de rozamiento rozamiento estático de de esa entalla, y con un 0,8, hhallar allar el ángulo án gulo e para el que se iniciará el deslizamiento. deslizamiento. 8 para b

b

_a_a

ivo

*6.245 *6.245 Se Se repite aquí la figura del problema problema 6.35. 6.35. La viga uniforme AB de 100 100 kg cuelga inicialmente en reposo con e 8 == O cuando N. Hallar cuando al cable se aplica la fuerza constante constante P P == 300 300 N. (a) la velocidad áxima qu gulo velocidad angular angular m máxima quee alcanza la viga y el án ángulo e8 correspondiente correspondiente y (b) el ángulo máximo e 8max max que alcanza la viga. Resp. Ú)max illmax 0,680 rad rad// s a e 8 = 22,4° 22,4° Resp. 0,680

e8max m ax

*6.247 resbala rampa rampa abajo con una una velocidad velocidad VI *6.247 El embalaje resbala vI

y su canto choca con el pequeño pequeño obstáculo A. A. Hallar la veloci-


se onde


dad mínima mínima v] dad v] necesaria necesaria para para que el embalaje rote en torno a A y viaje tumbado tumbado por por la cinta transportadora, transportadora, tal como se muesmuestra en la figura. Representar gráficamente la variación figura. Representar variación de VI VI con para OO::; ex::; ex para ex::; 45°. 45°.

Resp. Resp.

VI VI =

00

4,71 J 1 - cos (45 4,71J1-

--

m is ex) mis

00

45,9 45,9

ay sisFigura problema 6.247 6.247 Figuraproblema

*6.248 barra OA de d e 4 kg. kg, de centro de masa G, G, está articu*6.248 La barra lada en O al carro móvil dentro d entro del plano plano vertical. El resorte tielongitud natural ne su longitud natural cuando cuando 8 e== O. Hallar Hallar el valor estacionario

33m m

~ ~

l'm

~B ~B


*6.246 El El bloque cuadrado cuadrado homogéneo homogéneo de masa m se abando*6.246 8 prácticamente prácticamente nulo y bascula en torno al na en reposo con e esquina fija fija O. Hallar Hallar y representar representar grácentro de su base en la esquina 8 las fuerzas normal normal y tangencial exficamente en función de e presadas en las formas adimensionales adimensionales N N// mg mg y F F// mg mg que presadas

-a


449 449


queadquier adquiere ángulo8 ()que formalalabarra barracon conlalavertical verticalduduque e elelángulo que forma ranteuna unaacelerac aceleración horizontal constante IX = 4 m / S2 del carro. rante ión horizon tal constan te a= 4 m i S2 del carro. (Indicación: Haydos dosvalores valoresde de8,(),uno estableyyotro otroinestabl inestable. (Indicaci ón: Hay uno estable e. *6.249 *6.249 La Labarra barrade de44kg kgdel delproblem problema 6.248 se encuentra inia 6.248 se encuen tra inicialmente enreposo reposoen enposició posición vertical con el resorte de conscialmen te en n vertical con el resorte de constantekk==600 600 N/m consusulongitu longitud natural. SiSielelcarro carrorecibe recibe tante 1m con d natural. unaacelerac aceleración 0,4gaapartir partirdel delreposo, reposo,hallar hallaryyreprese representar una ión aa= =0,4g ntar gráJicamente velocidad angular ú)(Ude delalabarra barra en enfunción función () gráficam ente lalavelocid ad angular 8 paraOO:s:; 90°. para :o; 8():s:; :o; 90°. Resp. Resp.

fi() 2(8) JJ36,8f 36,811( 1(()-225 8)-2251 donde 11(8) f 1te === 0,4 0,4sen sen 8+ ()+11- - cos cos8() donde (U == ú)

/"

////

/ /

1,2 1,2mm

/ /

/ «,. .''::-f: ~0 " 1( ....

/ / I/

I I

I/

/

I

.... ....

.... ....

roúJ

%%

........ /" ''::-'./()

()

. . '.::-, ~ .......• 12 - 2

,.::-,1, rom ,~" ,~,

f '.::-' ........ ,~ ...._ ( Ir------------- -- -- -- -- -----

y, 1-1!f-;

Yf,¡ k=3kN k = 3kN/ /mm

~ 1,2 m~YY, 1,2m~

f1.,; 1M '

OO

1~1,2 1~1,2mm

i i--1)

f2(() === sen sen 8-2(se ()- 2(sen cos~ 12(8) n ~ ++cos

AA

1)


*6.250 La Labarra barra esbelta esbelta dde 30kg kg tiene tiene una una velocid velocidad angular *6.250 e 30 ad angular inicial % % == 44rad rad/l sscuando cuando se sehalla halla en en la laposició posición vertical para inicial n vertical para que elel resorte resorte no no está está alargad alargado. Hallar la velocidad angular lala que o. Hallar la velocid ad angular mínima ú)min (Umin que que adquier adquieree la labarra barra yyel elángulo ángulo corresp correspondiente mínima ondient e también la la velocid velocidad angular de de la la barra barra cuando cuando golgol8.().Hallar Hallar también ad angular pea con con lalasuperfic superficie horizontal. pea ie horizon

tal.

*6.251 *6.251 El El péndulo péndulo compue compuesto consta de de una una varilla varilla delgada delgada sto consta de longitu longitudd 1l yy masa masa 2m 2m aa la la que que está está unido unido un un disco disco uniform uniformee de de diámetr diámetroo 112 l/2 y y masa 111. m. El El cuerpo cuerpo oscila oscila libreme libremente en torno torno nte en eje horizon horizontal por O. O. Si Si el el péndul pénduloo tiene tiene una una veveaa un eje tal que pasa por locidad angular angular horaria de de 33 rad rad/1ss cuando cuando 8()== O O en en el el instante instante O,, hallar el instante tt en en que que el el péndul pénduloo pasa por la la posició posiciónn t == O pasa por 900.La longitudd del del péndul pénduloo es es 1l = = 0,8 m. 8()= = 90°. La longitu 0,8 m. Resp. tt == 0,302s Resp. 0,302 s

450 450


m m


-j -J

teruna terde una inclusi ón de La inclusión inconta ble. La rígidos cuyo tridime nsiona l es incontable. movim iento es tridim.ensional cuyo movimiento cuerpo s rígidos númer o de cuerpos El :tl,qmerode esto de o Ejempl iento. movim el e describ que describe movimiento. Ejemplo de esto ática que r~di1:n.ensión matemática consid erablem ente la matem complica conside:t;ableme:nte dimens ión complica cera manifiesto de manifiesto pone de como pone combin ados, tal como ión ~nemos en el movimiento gíroscópíco con giro y precesión combinados, preces giro con pico giroscó iento movim el en lo tenemo s l. vertica eje del or alreded del eje vertical. movim iento alrededor su movimiento ejecuta su que ejecuta demos tración que de demostración girósco po de eltgiróscopo


452 452

7.1 7.1

INTRODUCCIÓN DINÁMICA DE INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS EN EL EL LOS CUERPOS ESPACIO ESPACIO

INTRODUCCIÓN INTRODUCCiÓN

cuando un elevado porcentaje de los problemas problemas de Dinámica que se preAun cuando sentan en la técnica se resuelven resuelven mediante mediante los principios del movimiento movimiento plasentan adelantos modernos modernos han han centrado centrado cada vez más su atención en no, los adelantos problemas que requieren requieren el análisis del movimiento movimiento en tres dimensiones. La problemas inclusión de la tercera dimensión dimensión introduce introduce una complejidad considerable en cinéticas. La tercera dimensión dimensión no sólo introduce introduce las relaciones cinemáticas y cinéticas. una tercera componente componente a los vectores representativos representativos de fuerzas, velocidades velocidades una cantidades de movimiento, y aceleraciones lineales y cantidades movimiento, sino que también añade componentes a los vectores representativos representativos de la posibilidad posibilidad de dos nuevas componentes cantidades angulares angulares tales como los momentos momentos de fuerzas, velocidades velocidades angucantidades angulares y momentos momentos cinéticos. Y así, así, es en el movimiento movimiento lares, aceleraciones angulares tridimensional donde se aprovechan aprovechan por completo todas las posibilidades posibilidades del tridimensional donde análisis vectorial. dinámica en el espacio será muy útil poseer una una firme En el estudio de la dinámica movimiento plano, ya que el método de resolución de los base de dinámica del movimiento problemas y muchos de los términos de las relaciones tridimensionales tridimensionales son problemas aparecen al tratar tratar los problemas problemas bidimensionales. bidimensionales. iguales o análogos a los que aparecen Si se emprendiera emprendiera el estudio estudio de la dinámica dinámica en el espacio sin haber haber estudiado estudiado Si previamente la dinámica del movimiento movimiento plano, se necesitaría más tiempo previamente para dominar dominar los principios principios y familiarizarse con el método de resolución de los para problemas. El tratamiento tratamiento que se da al tema en este capítulo 7 no pretende pretende ser un desaEl movimiento de los cuerpos rígidos en el espacio, sino simrrollo completo del movimiento plemente una introducción introducción a los fundamentos fundamentos del mismo. Esta introducción introducción plemente para resolver gran número problemas debe ser suficiente, no obstante, para número de los problemas movimiento en el espacio y, además, ha de servir de fundamás corrientes de movimiento para estudios estudios más avanzados. Vamos a seguir la misma pauta pauta que en el mento para movimiento del punto punto material y que en el movimiento movimiento plano de los cuerpos movimiento examinaremos primero primero las aspectos necesarios de Cinemática rígidos, es decir, examinaremos pasaremos después después a la Cinética. y pasaremos

Cc n-;

de es1 en To

fer

cuco de

SECCIÓN A. CINEMÁTICA SECCiÓN

7.2

TRASLACIÓN TRASLACIÓN

dar ma a tan l1

7.1 se representa representa un un cuerpo rígido trasladándose trasladándose en el espacio triEn la figura 7.1 puntos cualesquiera cualesquiera del cuerpo, tales como los A y B, recodimensional. Dos puntos rrerán rectas paralelas si el movimiento movimiento es de traslación traslación rectilínea, rectilinea, o curvas rrerán congruentes si se trata trata de una una traslación traslación curvilínea. curoilinea. En uno y otro caso, caso, todo segcongruentes mantiene paralelo paralelo a su posición mento rectilíneo del cuerpo, tal como el AB, AB, se mantiene inicial. Los vectores de posición y sus derivadas derivadas primera primera y segunda segunda respecto al inicial. tiempo son VA

Figura 77.1 Figura .1

= vB

a· ,

Cm rale pIar mas

donde rA/B rAIB se mantiene derivada respecto al donde mantiene constante y, por tanto, no tiene derivada puntos del cuerpo tendrán tendrán la misma velocidad y la tiempo. Así pues, todos los puntos presenta dificultades dificultades parmisma aceleración. La cinemática de la traslación no presenta ticulares y no es necesaria mayor elaboración.


del, Ad,

pítu apli

n

453

n

//

/

ROTACIÓN EN EN TORNO TORNO A UN EJE EJE 7.3 ROTACIÓN FIJO FIJO

/

w=a

j

----

•.•... {

\

"-

',a

a,,=w'x(WX~_~ /

es e e

A

a,

=

wxr

//

11 n

u-

//

to el

n11

\\ \\

x

Figura Figura 7.2

e

7.3 s. do

po os samón as ael

EJEFIJO FIJO ROTACiÓN EN EN TORNO A UN EJE

Consideremos Consideremos ahora la rotación rotación del cuerpo rígido de la figura 7.2 7.2 en torno al eje eje n-n, fijo paralelo al eje fijo en el espacio, a la velocidad velocidad angular angular w. Esta es un un vector paralelo de rotación y sentido definido por por la ya conocida regla de la mano derecha. En este caso de rotación en torno a un un eje eje fijo, fijo, w w no cambia de dirección ya que está en el eje. eje. Por comodidad, comodidad, tomamos tomamos un origen O situado situado en el eje eje de rotación. Todo punto, punto, tal como A, que no se halle sobre el eje recorre un arco de circunferencia en un plano plano normal normal al eje y tiene una una velocidad velocidad v

= = ww

(7.1 )

x r

cuyo significado puede puede aclararse sustituyendo sustituyendo r por h + b Y Y observando observando que h == O. La aceleración de A está dada dada por la derivada derivada respecto al tiempo w x h de la ecuación 7.1. Así pues, a=wxr+wx(wxr) a=lOxr+wx(wxr)

trica-

(7.2) (7.2)

donde r se ha sustituido sustituido por su expresión expresión v = w x r. r. Las componentes componentes normal y tangencial de a en el movimiento movimiento circular tienen los valores conocidos Iw X(w b0)2 Y Y al a'¡ = Iw IlOx b a , donde donde aa = m. Puesto Puesto que aanl1 = Iw X(w x r)1 r)1 = b0)2 x rlrl = ba, tanto v como a son perpendiculares perpendiculares a w y w eo resulta resulta que v . w = O, O, v . W o» = O, O, a .w w = O, O, ya ya· · w lO = O O en el caso de rotación en torno a un eje fijo. fijo.

vas

egión o al

o al yla par-

y

7.4

MOVIMIENTO PLANO GENERAL GENERAL MOVIMIENTO

Cuando Cuando todos los puntos puntos de un cuerpo rígido se mueven mueven dentro dentro de planos paralelos a un plano fijo P (fig. 7.3), plano fijo 7.3), se tiene una una forma general de movimiento movimiento plano. Se tomar el plano plano de referencia pasando Se acostumbra acostumbra tomar pasando por el centro de masa G y suele mencionarse mencionarse como plano plano del movimiento. movimiento. Como todo punto punto del cuerpo, como A', A ', ejecuta un movimiento movimiento idéntico al ejecutado por el punto punto A del plano, resulta resulta que la cinemática del movimiento movimiento plano plano tratada tratada en el capítulo 5 proporciona proporciona una descripción descripción completa completa del movimiento movimiento cuando cuando se plano de referencia. aplica al plano


z Figura problema 7.3 Figuraproblema

454

z

z

INTRODUCCiÓN DlNÁMrcA DE INTRODUCCiÓN A LA DINÁMrcA CUERPOS RÉGlDOS RíGIDOS EN EL El LOS CUERPOS ESPACIO ESPAClO

yy

x

Primero Primero

yy

x

ex y luego luego ey ey ex

Primero Primero

ey y luego ex ey luego ex (b) (b)

(a) (a)

Figura 7.4 7.4

7.5 7.5

•

dOxx rr dO

Fi'gura 7.5 7.5 Figura

1.6 Figura 7.6

1'1'11

I , , w

1

Figura 7.7 7.7

ROTACIÓN lEN TORNO A UN PUNTO ROTACIÓNENTORNO PUNI0 FIJO fiJO

Cuando punto fijo, la velocidad Cuando un un cuerpo cuerpo gira gira en en torno torno a un un punto velocidad angular angular deja deja de de ser un un vector vector de de dirección dirección constante constante y este este cambio cambio reclama reclama un un concepto concepto de de roroser tación más más generalizado. generalizado. tación Primero Primero hemos hemos de de examinar examinar bajo bajo qué qué condiciones condiciones las las rotaciones rotaciones obedecen obedecen regla del del paralelogramo respecto a la adición adición y por tanto pueden tratarse la regla paralelogramo respecto por tanto pueden tratarse como vectores. vectores. Consideremos Consideremos la esfera esfera maciza maciza de de la figura figura 7.4 perteneciente como perteneciente a un punto fijo O. un cuerpo cuerpo rígido rígido limitado limitado a girar girar en en torno torno al punto Los x-y-z están por tanto Los ejes ejes x-y-z están fijos en en el espacio espacio y por tanto no no giran giran con con el cuerpo. cuerpo. En En de la figura, figura, dos dos rotaciones rotaciones sucesivas sucesivas de de 90° de de la esfera, esfera, la primera la parte parte a de primera alrededor del del eje x y la segunda segunda alrededor alrededor del del eje y, dan dan lugar lugar al movimiento movimiento alrededor de un un punto que se halla halla inicialmente inicialmente sobre sobre el eje y en en la posición sude punto que posición 11 y pasa pasa sucesivamente a las posiciones posiciones 2 y 3. En cambio, rocesivamente cambio, si se invierte invierte el orden orden de de las las ropunto no pero se taciones, taciones, el punto no sufre sufre movimiento movimiento alguno alguno durante durante la rotación rotación y, pero mueve punto 3 durante pues, mueve hasta hasta el punto durante la rotación rotación de de 90° 90° alrededor alrededor del del eje x. Así Así pues, los dos dos casos casos no no dan dan el mismo mismo resultado resultado y resulta resulta evidente evidente en en este este ejemplo ejemplo parparlos ticular que que las las rotaciones rotaciones finitas finitas no no obedecen obedecen en en general general a la ley ley del del paraleloticular paralelogramo gramo de de la suma suma de de vectores vectores y no no son son conmutativas. conmutativas. Por Por tanto, tanto, las rotaciones rotaciones podrán tratarse tratarse como finitas finitas no podrán como vectores. vectores. En paralelograEn cambio, cambio, las rotaciones rotaciones infinitesimales infinitesimales sí obedecen obedecen la ley ley del del paralelogramo presenta de mo de de la adición adición de de vectores. vectores. Este Este hecho hecho se presenta de nuevo nuevo en en la figura figura 7.5 que representa representa el efecto efecto combinado combinado de de dos dos rotaciones rotaciones infinitesimales infinitesimales dO d01l y dfh d02 que en torno torno a los los ejes ejes respectivos respectivos que que pasan causa de de d0l! dOv el en pasan por por el punto punto fijo O. A causa punto A sufre dO punto sufre un un desplazamiento desplazamiento d01l x r y, análogamente, análogamente, a causa causa de de d022,, el punto A sufre punto sufre un un desplazamiento desplazamiento d02 x r. Cualquiera Cualquiera que que sea sea el orden orden de de adiadiinfinitesimales, ción ción de de estos estos desplazamientos desplazamientos infinitesimales, se obtiene obtiene el mismo mismo desplazadesplazamiento miento resultante, resultante, que que es dO d01l X r + d02 x r == (dO (d01l + d( d(22) ) x r. Luego, Luego, las las dos dos rotaciones equivalen equivalen a la rotación rotación única única dO dO == dO d01l + d022.. Se deduce deduce que las velovelorotaciones que las cidades angulares angulares w11 = = fh (h Y YW w22 = = fh (h pueden sumarse vectorialmente vectorialmente dando dando cidades pueden sumarse W1 + ~. ~. Se obtiene obtiene la la conclusión conclusión de de que, que, en un un instante instante cualquiera, cualquiera, w == iJ == Wl un cuerpo cuerpo que que tenga tenga un un punto está girando girando instantáneamente instantáneamente alrededor un punto fijo, está alrededor de un uneje que pasa ese punto. de jtje particular particular que pasa por por ese punto. Para ayudar ayudar a fijar fijar el concepto concepto de de eje instantáneo instantáneo de de rotación, rotación, citaremos citaremos un un Para ejemplo plástiejemplo concreto. concreto. La La figura figura 7.6 representa representa un un rotor rotor cilíndrico cilíndrico macizo macizo de de plástico transparente transparente que partículas negras que contiene contiene varias varias partículas negras atrapadas atrapadas en en su su interior. interior.


El su ro tal ne Es, rol ve] igl rro cril PUl

Ha! eje qm yq cue un en : (a)

7.6, con gue gen

espa plo del de, con: tos ( (b)»

vim gula esca vimi de 1, velo dire: recci

e hace tor CJ. lerac

Esta que, vectc de Ul gula!

de 0-

en se a

En ra to u-

rose es, arlones ra7.5 d02

, el -' el adi-

El El rotor rotar gira a la velocidad velocidad constante constante illJ. illJ. alrededor alrededor del eje de su árbol y éste, a su vez, gira a la velocidad velocidad angular angular (()¿ w¿ alrededor alrededor del eje eje vertical fijo, fijo, teniendo teniendo las rotaciones los sentidos rotor en cierto inssentidos que se indican. Si Si se fotografiara fotografiara el rotar tante de su movimiento, resultante presentaría presentaría una una recta de puntos puntos movimiento, la imagen imagen resultante indicaría que su velocidad velocidad era nula instante. negros muy nítidos, lo que indicaría nula en ese instante. velocidad establece la posición instantánea del eje de Esa recta de puntos puntos sin velocidad posición instantánea rotación O-no Todo punto punto de esta recta, como A, A, tendrá tendrá dos componentes componentes de velocidad: vI producida por illJ. producida por por (()¿, vI producida illJ. y V2 V2 producida W¿, que serán serán de módulos módulos iguales y sentidos puntos, tales como P, aparecerán sentidos opuestos. opuestos. Los demás demás puntos, aparecerán borrosos y sus movimientos borrosos que desmovimientos se manifestarán manifestarán en forma de trazos borrosos criben pequeños pequeños arcos circulares situados planos normales normales al eje O-no Así situados en planos partículas del cuerpo, excepto las situadas pues, todas las partículas situadas en la recta O-n, O-n, se hallan girando girando instantáneamente instantáneamente siguiendo siguiendo arcos de circunferencia circunferencia alrededor alrededor del eje una sucesión eje instantáneo instantáneo de rotación. Si Si se tomara tomara una sucesión de fotografías, se vería que el eje de rotación rotación vendría vendría definido definido por por una una nueva nueva serie de puntos puntos nítidos nítidos eje variaría variaría de posición y que dicho eje posición tanto en el espacio como con relación al cuerpo. En el caso de una una rotación un cuerpo rotación genérica de un cuerpo rígido alrededor alrededor de rotación no es, en general, una una recta fija un punto punto fijo, fijo, pues, se ve que el eje de rotación fija en el cuerpo.

7.5 ROTACIÓN ROTACiÓN EN EN TORNO TORNO A UN PUNTO PUNTO FIJO ruo

Cono del espacio

Cono del cuerpo cuerpo

, ,,, •• O I I I I

(a) Cono Cono del cuerpo cuerpo y cono cono del del espacio. espacio. En el cilindro de plástico de la figura (a) 7.6, el eje rotación O -A -n engendra un 7.6,el eje instantáneo instantáneo de rotación O-A-n engendra en torno al eje eje del cilindro un cono circular recto llamado llamado cono del cuerpo. cuerpo. Mientras ambas rotaciones prosiguen y el cilindro gira alrededor rotación alrededor del eje vertical, el eje instantáneo instantáneo de rotación genera también un cono circular recto llamado también en torno al eje eje vertical un llamado cono cono del espacio. En la figura 7.7 7.7 se representan correspondientes a este ejemespacio. representan los conos correspondientes cuerpo rueda rueda sobre el cono plo particular particular y en ella puede puede verse que el cono del cuerpo velocidad angular angular w del cuerpo cuerpo yace en la recta tangente tangente del espacio y que la velocidad general en el que las rotaciones no fueran fueran de ambos conos. En un un caso más general cuerpo y del espacio ya no serían conos circulares recconstantes, los conos del cuerpo 7.8),pero cuerpo seguiría seguiría rodando tos (fig. 7.8), pero el cono del cuerpo rodando sobre el cono del espacio.

Figura 7.8 7.8

I Iw Iw

tb) Aceleración Aceleración angular. La aceleración angular angular aa de un cuerpo rígido (b) un cuerpo rígido en motridimensional es la derivada derivada respecto al tiempo tiempo de su velocidad velocidad anvimiento tridimensional a == W. Contrastando Contrastando con el caso de rotación gular a rotación en un un plano, plano, en que el variación del módulo módulo de la velocidad velocidad angular, angular, en el moescalar a mide sólo la variación vimiento tridimensional tridimensional el vector a a refleja el cambio de dirección dirección de wademás wademás vimiento variación de su módulo. módulo. Así, en la figura 7.8, 7.8, donde donde la punta de la variación punta del vector velocidad angular angular w w sigue la curva varía a la vez de módulo módulo y velocidad curva del espacio pp y varía aceleración angular angular aa es un tangente a dicha curva curva en la didirección, la aceleración un vector tangente variación de W. W. rección de variación Cuando el módulo oa permanece angular a a se Cuando módulo de w permanece constante, la aceleración angular W. En este caso, si n n representa velocidad a la que gira el vechace normal normal a W. representa la velocidad (precesión) cuando cuando éste forma el cono del espacio, la acetor w sobre sí mismo (precesión) angular puede leración angular puede escribirse

(7.3)

sun ástirior.

455

7.9, en la cual los vectores a, w y n, n, Esta relación se ve fácilmente en la figura 7.9, aparecen en la figura inferior, guardan guardan entre entre sí la misma misma relación que los que aparecen superior al relacionar velocidad de un vectores v, r y w de la figura superior relacionar la velocidad un punto punto A cuerpo rígido con su vector de posición velocidad ande un un cuerpo posición respecto respecto a O y la velocidad gular del cuerpo.


= wxr wxr

Irl Irl

constante = constante

Il'=W a=w Qxw = Q x w

Iwl espacio

O 7.9 Figura 7.9

constante = constante

456 456 INTRODUCCIÓN A INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DINÁMICA DE DE LOS LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS EN EL EL ESPACIO ESPACIO

Utilizando figura 7.2 para para representar representar la rotación rotación de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido en en Utilizando la figura torno torno a un un punto punto fijo O, siendo siendo n-n el eje instantáneo instantáneo de de rotación, rotación, vemos vemos que que la velocidad v y la aceleración velocidad aceleración a == v v de de un un punto punto cualquiera cualquiera A del del cuerpo cuerpo vienen vienen dadas dadas por por las las mismas mismas expresiones expresiones que que se aplican aplican al caso caso en en que que el eje es fijo, es decir decir v == w x r a ==

w wx

[7.1 ]

[7.2] [7.2]

r+w X(w x r+w X(w X r)

La única única diferencia diferencia entre entre los casos casos de rotación rotación en en torno torno a un un eje fijo y en en torno torno a un un punto punto fijo reside reside en en el hecho hecho de de que que en en este este último último la aceleración aceleración angular angular a == w eo presenta presenta una una componente componente normal normal a w debida debida a la variación variación de de dirección dirección de w, co, así así como como una una componente componente en en la dirección dirección de de w oo que que refleja refleja las las variaciones variaciones de del del módulo módulo de w. w. Aunque Aunque todos todos los los puntos puntos del del eje de rotación rotación n-n tengan tengan momomentáneamente velocidad mentáneamente velocidad nula, nula, sus sus aceleraciones aceleraciones no son son nulas nulas puesto puesto que que w oo está variando variando de dirección. dirección. Por Por el contrario, contrario, en en la rotación rotación en en torno torno a un un eje fijo está a == w tiene una co sólo sólo tiene una componente componente a lo largo largo del del eje fijo que que refleja refleja la variación variación del del módulo módulo de de w. Y además, además, es evidente evidente que que los los puntos puntos pertenecientes pertenecientes al eje fijo carecen carecen de de velocidad velocidad y aceleración. aceleración. Aunque Aunque la exposición exposición de de este este apartado apartado se ha ha desarrollado desarrollado para para el caso caso de rotación en en torno torno a un un punto punto fijo, hemos hemos de de observar observar que que la rotación rotación es función función rotación exclusivamente exclusivamente de de la variación variación angular, angular, por por lo que que las expresiones expresiones de w oo yana y a no dependen dependen de de la inamovilidad inamovilidad del del punto punto en en torno torno al cual cual tiene tiene lugar lugar la rotación. rotación. Es decir, del decir, puede puede haber haber rotación rotación independientemente independientemente del movimiento movimiento lineal lineal del del punto punto en en torno torno al cual cual se rota. rota. Esta Esta conclusión conclusión es la equivalente equivalente tridimensional tridimensional al concepto concepto de rotación rotación de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido en en movimiento movimiento plano plano expuesto expuesto en en el apartado largo de apartado 5.2 y que que se empleó empleó a lo largo de los capítulos capítulos 5 y 6.

TIPO 7.1 7.1 PROBLEMA TIPO OA de 0,8 m de un un mecanismo mecanismo El brazo OA telemando gira alrededor alrededor del eje hode telemando rizontal x de la horquilla horquilla y el conjunto conjunto rizontal completo gira alrededor alrededor del eje z a la cecompleto leridad constante constante N == 60 rpm. rpm. SimulSimulleridad táneamente el brazo se eleva a razón razón de táneamente ~ = 4 rad/s. radls. Para la posición ~ posición f3 = 30° angular de OA OA, hallar (a) la velocidad angular angular de OA, OA, (c) la (b) la aceleración angular velocidad del punto punto A y (d) la aceleración del punto movimiento punto A. Si, además del movimiento vertical y el punto descrito, el árbol vertical punto O poseyeran un movimiento poseyeran un movimiento lineal, en la ¿influiría ese dirección z por ejemplo, ¿influiría movimiento angular o en movimiento en la velocidad angular angular de OA? OA? la aceleración angular

z

A

x

í http://gratislibrospdf.com/

en

tendrá ejesxx ee y,y, tendrá los ejes de los alreded or de vez alrededor la vez Solución Como gira aa la OA gira brazo OA el brazo Como el (a). Solución (a). La rad/ 6,283 = 60 / 2n(60) /60 ==2n(60) I 60 = 6,283 rad I s.s. La 2rcN160 las I ss yy WCOz =2nN rad/ z = compon entes WCOxx == ~~ ==44 rad las componentes es angular es velocid ad angular velocidad

la

en ,es 7.1 ]

6,283k = 4i4i ++ 6,283k

=

rad /s rad/s

= w + WWzz = Wxx +

ww

Resp. Resp.

es OA es de OA angulru' de La acelerac ión angular La aceleración

(b) (h)

7.2] IDO

direcde direcvaría de Wxx varía Pero W O. Pero = O. Wzz = Como direcció n, W de dirección, ni de módulo ni de módulo varía de no varía W zz no Como W es 7.3, según que, a derivad una ción y por ello tiene una derivada que, según 7.3, es tiene ello ción y por

lar ión

nes

W = WW W =

ew fijo ción

CD

xx

zz

xx

mo-

s2 rad / s2 25,13j rad/ = 25,13j 4i = = 6,283k xx 4i = 6,283k

tanto Por tanto Por a

eje

W W xx

S2 rad / s2 == 25,13j ++ OO == 25,13j 25,13j radl

Resp. Resp.

seserá, sevelocid ad será, su velocidad de A, su posició n de de posición Siendo vector de 0,4k m el vector = 0,693j + 0,4k Siendo rr = gún7.1 gún 7.1 (e) (e)

o de ción ano ción. del

v = ww xx rr == v =

ional toen

(d) (d)

k j k 4 O 6,283 O 0,693 0,693 0,4

°

°

s m/s 2,77k mi + 2,77k - 1,60j + = 4,35i -1,60j = -- 4,35i

Resp. Resp.

A es acelerac ión de A Según 7.2, la aceleración Según

= w x r+w x(w xr) aa=wxr+wX(wxr) aXr+ axr+wxvwxv

jj O 25,13 25,13 O 0,693 00,693

°

k°

[i

k O + [ 0,4

i 4 4,35 -

° kj j

k jj O 6,283 1,60 2,77

(10,50i) + (10,05i (10,05i - 38,44k 38,44k - 6,40k) 6,40k) (l0,50i) 20,lli -- 38,44j 38,44j - 6,40k m mi/ s2 s2 == 20,lli

2

Resp. Resp.

nes angulaente de las variacio El movimi movimiento angular de OA OA depend dependee únicam únicamente variaciones angulaento angular El a ni w a ento lineal res N N yy ~~,, por por lo que que ningún ningún movimi movimiento lineal de O afecta afecta a w ni a a. a. res

os al an solidari CD Otra Otra posibilid posibilidad sería suponer suponer que que los ejes ejes x-y-zse x-y-zsean solídarios al árbol árbol vertical vertical ad sería CD Pero 4i. = la horquill horquillaa ry así así girarán. girarán. la La derivad derivadaa de de w. Wx se se hace hace W Wx = 4i. Pero según según 5.11, 5.11, yy la 6,283j. O tenemoss que que ii = WWz Xx ii = 6,283k 6,283k xxii = =6.283j. O sea, sea,como como antes, antes, aa = = W Wx = = tenemo 7

4(6,283 4(6,283)j)j == 25,13j 25.13j ridN. rad/s".

o

os obtener Para compar comparar procedimientos, sugerimos obtener estos estos valores valores de de vv yy aa apliaplimientos, sugerim ar procedi (3) Para ento del cando las las ecuacio ecuaciones 2.18 yY 2.19 2.19 del del movimi movimiento del punto punto materia materiall en en coordecoordenes 2.18 cando ios. necesar s nadas esférica esféricas, haciendoo los los cambio cambioss de de símbolo símbolos necesarios. s, haciend nadas

457 457



zZ

El El motor motor eléctrico eléctrico con con su su disco disco solidario solidario funciona funciona con con una una celeridad celeridad constant constantee reducida reducida de de 120 120 rpm rpm en en elel sentido sentido indiindicado. cado. Su Su carcasa carcasa yy la la base base de de montaje montaje se se encuentr an inicialm encuentran inicialmente en reposo. reposo. A A ente en continua ción, elel conjunto continuación, conjunto completo completo se se pone aa girar girar en en torno torno al al eje eje vertical vertical ZZ aa lala velocida velocidadd constant constantee N N == 60 60 rpm, rpm, permanecie ndo yy fijo aa 30°. maneciendo 30°. Determi Determinar (a) nar (a) la la velocida velocidadd angular angular y la la acelerac aceleración anión angular gular del del disco, disco, (b) (b) los los conos del del espacio espacio yy del cuerpo y (e) (c) la la velocida velocidadd y la la aceleración del punto punto A en lo lo alto del borde del disco en el instante instante represen representado. tado.

w w

I P 7

I

I

y Q=2n \rad/s /.

->

o

/.

z

Solució n. Los Solución. Los ejes ejes x, x, yy y z de vectore vectoress unitario unitarioss i, i, j Y Y k son solidari solidarios aros del armazón del motor iendo el eje mazón del motor coincid coincidiendo eje z con el eje del rotor rotor y el x con el eje eje horihorizontal or del cual cabecea el motor. El eje Z es vertical yy zontal que que pasa pasa por por O O alreded alrededor contien contienee el vector unitario unitario K == j cos yy++ k sen y.

\Kt

y

W

=

I I

J3n

rad/s O zZ

El El rotor rotor con con el el disco tienen tienen dos compon componentes velocidad angular % %= = entes de velocid ad angular 120(2n) 4n rad torno al eje z y nO == 6 == (2n) I/ 60 120(2n) /I 60 60 == 4n rad /I ss en torno 60 == 2n rad torno al al rad I/ s en torno eje Z. Así pues, la velocid velocidad angular se hace ad angular (a) (a)

I

----:t----~ z

CD

la

w = Wo n = úJok+ co Wo + n mok + OK nK mok + n(j n(j cos cos y+ y+ k sen y) = (n y)j + (úJ úJok+ (O cos y)j (moo + Osen n sen y)k y)k

w

Cono del espacio espacio

vr

Resp. Resp.

(2n cos 30 30·)j)j + (4n+ (4n + 2nsen30·)k 2n sen 30· )k = nCJ3j (2ncos n(J3j + 5,Ok) 5,Ok) rad/s rad / s 0

Según 7.3, la aceleración aceleración angular Según angular del disco es O o

Cono Cono del cuerpo cuerpo ti' = a

2

= =

® Recuérdese Recuérd ese que (3) que 7.3 7.3 da da la la expresión expresió n comple ta de completa de a ti' sólo sólo en en el el caso caso de de precesió n uniforme, precesión uniform e, en en que que Iwl Iwl es es constan te, como constante, como es es el el caso caso en en este este problema. problem a.

® Como Como el ® el módulo módulo de de ea w es es constante, constan te, ha de de ser ati' ha ser tangente tangent e aa la la base base del del cono del cono del espacio, espacio , lo lo que que la la sitúa sitúa en en el sentido sentido xx positivo el positivo de de acuerdo acuerdo con con nuestros nuestro s cálculos. cálculos .

ea w

n(j cos cos y+ y+ k sen sen y) x [(O [(n cos y)j O(j y)j + (úJ (moo + Osen n sen O)k] 8)k]

= O(úJ n(moo cos y+ y+n sen yycos yH-(n = O sen cos y)i - (022 sen cos y)i sen yycos

Q) Obsérvese Obsérve se que CD que Wo Wo + +n n ==wwyy ++ ww:,z' tal tal ® ® como se se ve en como en el diagrama diagram a de de vectovectores. res.

ww = nx nx

(nmo cos y)i y)i = = i(2n)(2n) i(2n)(2n ) cos 30· = = 68,4i rad/s == (OúJocos 2 2 rad/s

Resp. Resp. 7.2

La velocidad velocid ad angular angular co w es un un vector vector que que constituye La constitu ye un un elemento elemen to común común aa los conos del cuerpo cuerpo yy del del espacio espacio que que ya ya pueden pueden ahora los conos del ahora construirse constru irse de de la la forma forma indicada. indicad a. (b) (b)

(e) (e)

El vector vector de de posición posició n del del punto punto AA en en el El el instante instante considerado conside rado es es 0,215j ++ 0,250k, 0,250k, m m rr == 0,215j

Según la la ecuación ecuació n 7.1, Según 7.1, la la velocidad velocid ad de de AA es es

vv

== cow xx rr ==

jj kk J3n 5n 5n J3n

°O °O 0,125 0,250 0,125 0,250

458 458


- 0,1920m mIs == -0,1920ni m/ s

Resp. Resp.

los cas clu: roti les, con

7.3 dar al ej + 61 milí braz

Según Según la ecuación ecuación 7.2, la aceleración aceleración de de A es a

= = w w x r + w x (w (w x r) = = all' xX r + wco x v = 68,4i 68,4i x (0,125j (0,125j + 0,250k) 0,250k) + n(J3j n(J3j + 5k) 5k) x ((- 0,1920ni) 0,1920ni) = = = -- 26,6j 26,6j + 1l,83k 11,83k mI mI s2

Resp. Resp.

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas Problemas introductorios introductorios Coloque 7.1 Coloque este este libro libro sobre sobre su su escritorio, escritorio, con con unos unos ejes fijos orientados torno al eje x y orientados tal tal como como se indica. indica. Gírelo Gírelo 90° en en torno y desdespués, desde desde esa esa nueva nueva posición, posición, gírelo en torno torno al eje y. pués, gírelo 90° en Haga un un dibujo dibujo del del libro libro en en su su posición posición final. final. Repita Repita luego luego el Haga proceso, pero pero invirtiendo invirtiendo el orden orden de de las las rotaciones. vista proceso, rotaciones. A la vista de los los resultados, resultados, saque saque sus sus conclusiones conclusiones acerca acerca de de la suma suma de vectorial de de vectores vectores finitos. Confronte sus sus observaciones observaciones con con vectorial finitos. Confronte figura 7.4. la figura

yy


/'' / /'' / /'' / /'' / /'' /

7.4 El disco disco gira gira con con una una velocidad velocidad de de rotación rotación propia propia de de 7.4 rad/ l s en en torno su eje horizontal horizontal z, primero primero en en el sentido sentido 15 rad torno a su luego en en el sentido sentido (h). (b). El conjunto conjunto gira gira a N == 10 rad radl l s en en (a) y luego torno al eje vertical vertical fijo. Construir Construir los conos conos del del cuerpo cuerpo y del del estorno pacio en en ambos ambos casos. casos. pacio -x -x problema 7.1 Figura problema

Repita el experimento experimento del del problema problema 7.1, pero pero con con ánguángu7.2 Repita pequeños, 5° por por ejemplo. ejemplo. Observe Observe que que la posición posición final final es los pequeños, misma en en ambas ambas secuencias secuencias de de rotaciones. rotaciones. ¿A qué qué conconcasi la misma clusión le lleva lleva esta esta observación observación respecto respecto a la combinación combinación de de clusión rotaciones infinitesimales infinitesimales y respecto respecto a las las derivadas derivadas temporatemporarotaciones de las las magnitudes magnitudes angulares? angulares? Confronte Confronte sus sus observaciones observaciones les de con la figura figura 7.5. con


Un mecanismo mecanismo cronométrico cronométrico consta consta del del brazo brazo distribuidistribui7.3 Un dor rotatorio rotatorio AB del contacto contacto fijo C. Si el brazo brazo gira gira en en torno torno dor AB y del con la velocidad velocidad angular angular constante constante w w == 30(3i 30(3i + 2j al eje fijo OA con rad I s y si las las coordenadas coordenadas del del contacto contacto e son son (20, 30, 80) + 6k) rad milímetros, hallar hallar el valor valor de de la aceleración aceleración de de la punta punta B del del milímetros, brazo distribuidor distribuidor cuando cuando pasa pasa por por el punto punto C. brazo Resp. a == 1285 mI mI S2 Resp. a

barra está está articulada articulada en en el eje O-O O-O de de la horquilla horquilla so7.5 La barra lidaria al extremo extremo del del árbol árbol que que gira gira con con una una velocidad velocidad angular angular lidaria constante úJo tal como como se muestra. e decrece decrece constantemente constantemente constante muestra. Si e según = p, escribir escribir las las expresiones expresiones de de la velocidad velocidad angular angular según = de la aceleración aceleración angular angular a ll' de de la barra. barra. w y de Resp. ea = pj úJok, a ll' = =Resp. w pj + úJok, - púJoi púJoi

ee

459 459


bir ones vectoria les de bir las las expresi expresiones vectoriales de la la velocid velocidad de la la aceleraaceleraad vv yy de ción ción aa de de la la punta punta AA de de la la pala pala para para el el instante instante en en que que sus sus coorden adas x-y-z coordenadas x-y-z son son 0,260, 0,260, 0,240 0,240 Y Y0,473, 0,473, respect respectivamente. ivamen te. Resp. Resp. vv ==27,3i 27,3i -- 3,87j 3,87j -- 13,07k 13,07k m mii ss aa ==-- 949i 949i ++ 2520j 2520j -- 230k 230k m mii S2 S2 7.8 U n disco 7.8 Un disco gira gira en en torno torno aa un un eje eje fijo fijo con con una una velocid velocidad ad angular angular constan constantete w w == 10(i 10(i ++ 2j 2j ++ 2k) 2k) rad rad/l s. s. En En cierto cierto instante instante, , un un punto punto PP de de su su perímet perímetroro tiene tiene una una velocid velocidad cuyas compocompoad cuyas nentes x e y son ivamen te. Hallar nentes x e y son 33 m mii ss yy -- 22 m mii s,s, respect respectivamente. Hallar el el módulo ad de módulo vv de de la la velocid velocidad de P P yy la la distanc distanciaia radial radial R R desde desde P P al inar asimism al eje eje de de rotación rotación. . Determ Determinar asimismoo el el módulo módulo aa de de la la aceaceleración leración de de P. P.

7.6 El 7.6 El disco disco gira alreded alrededoror ddel eje fijo fijo OC OC con con una una velocid velocidadad el eje angular angular constan constantete ro (¡) = = 20 rad rad I s. s. En cierto cierto instante instante, , el el punto punto A A de eriferia ppasa asa por de la la pperiferia por un un punto punto cuyas cuyas coorden coordenadas x-y-z son son adas x-y-z 40, 118 118 Y Y 51 mm, mrn, respecti respectivamente. Calcular r los los módulo módulos s de de la la vament e. Calcula velocid velocidadad v y de la acelerac aceleración del punto punto A. A. Determ Determinar asiión a del inar asimismo el radio radio R del disco. disco. mismo Z Z II

¡---e L :~__ ~ -1,R I I

Problem as represe Problemas representativos ntativos 7.11 Se nta nuevam ente el motor motor del 7.11 Se represe representa nuevamente del problema tipo problem a tipo 7.2. motor rota rota alreded 7.2. Si Si el el motor alrededoror del del eje x a la velocidad constantete velocid ad constan yy == 370 rad / ss sin rotación alreded del eje Z (N == O), 3n rad/ sin rotación alrededoror del O), hallar h allar la acelerac ión angular angular ll' a del del rotar rotor y el disco disco al aceleración al pasar pasar por por la posiposición y= y = 30°. 30°. El El motor motor gira gira constantemente constan tem ente a 120 ción 120 rpm. rpm. DetermiDeterm inar asimismo asimism o la la velocidad velocid ad yy la aceleración acelerac ión del nar del punto pWlto A A que que se se encuen en lo lo más más alto alto del del disco disco para para esa encuentratra en esa posición. posició n. Resp. ll'a == 12n2j 12702j rad/ Resp. rad l s2

mm~! -- -'~A

75mm¡ 75

xx

/ /

/ /

/ // /

O

\A

o:0 to ro -m-;;- 11------ y // ---------1

II

___

100 100m~-

7.9 Un 7.9 Un cuerpo cuerpo rígido rígido gira gira en en torno torno aa un eje eje fijo fijo con con una una vevelocidad angular locidad angular constan constantete w w == 2i 2i ++ 2j -- 4k 4k rad rad l' s. s. Si Si las las compocomponentes ión de nentes xx ee yy de de la la acelerac aceleración de uno uno de sus sus puntos puntos A son, son, respecti vament e, 10 y 88 m respectivamente, 10 mi mi S2 S2y mii S2, S2, hallar hallar el el módulo módulo a de la acelerac ión del aceleración del punto punto A A yy la la distanc distanciaia radial radial R desde desde A A al eje de de rotación rotación. . Resp. R == 0,652 Resp. a == 15,65 15,65 m mii S2, S2,R 0,652 m 7.10 Un 7.10 Un cuerpo cuerpo rígido rígido gira gira en torno torno a un un eje fijo con una una aceleración leración angular angular all' == 2i 2i + j -- 3k 3k radl rad,' S2. s2. En cierto cierto instante instante, , la aceaceleración ial de leración tangenc tangencial de un un punto punto A del del cuerpo cuerpo tiene tiene unas unas comp onentes yy yy zz que y 0,4 m componentes que valen valen - 0,5 mi mi S2 S2y mii S2, s2, respecti respectivavamente. ódulo de mente. Hallar Hallar el el m módulo de la acelerac aceleración tangencial de P P y y la la ión tangen cial de dis tancia R radial desde distancia R radial desde A al eje de de rotación rotación. .

------

y


7. ar lu

ej' m es

= 0,125n(0,1257«- 4i 4i + 6j 6j - 3k) vv = 3k) mi mis

7.7 El ventilador ventilad or de 7.7 El de cuatro cuatro palas palas rota rota alrededor alreded or del d el eje eje fijo fijo OB con con una una velocidad velocid ad angular OB angul ar constante constan te N N= = 1200 1200 rpm. rpm. EscriEscri-

= -0,125n2(25j+18k)m/s2 - 0,125702(25j + 18k) mi s2 aa =

N N

z I

I I I 0

/ /

x

/..

~ ,/ --

1

A I I

\

-~ \ .....--~_<-.. \ I

~\

/~_ "

B

J

I --- _ ' -l- .-/

-1--_

7.1 5 r:

I -,...... 0,3 m I / ~- Y O ~ / .. 1 n..~~~ I /,,'\..<$<' l ~ I / ,,'

~~~

- - -..¡/

Figura problema 7.7


460 460


7.1. ticc con

7.12 El rotar B gira alrededor de su eje inclinado OA con la celeridad Nl = 200 rpm, donde {3 = 30°. A la vez, el conjunto rota en torno al eje vertical z a la velocidad N2· Si la velocidad angular total del rotar tiene un módulo de 40 rad / s, hallar N2·

d e,

Z a la velocidad constante Q = 0,8 rad/ s. Hallar la velocidad angular w y la aceleración angular a del halterio. Expresar los resultados en función de la orientación dada de los ejes x-v-z: donde el eje y es paralelo al Y. Resp. w = - O,4i + 2,69k rad/ s, a = 0,8j rad/

S2

z

D-

el p e-

eI

D-

I

n,

x

la de

y

ce-

ceas varia

ipo te la osirmie se

Figura problema

7.12

7.13 El carrete A gira alrededor de su eje con una velocidad angular constante de 20 rad/ s, primero en el sentido de wa y luego en el sentido de %. A la vez, el conjunto rota en torno al eje vertical con una velocidad angular ~ = 10 rad/ s. Hallar el módulo W de su velocidad angular total y dibujar los conos del espacio y del cuerpo para cada caso. Resp. w=26,5rad/s, 17,32rad/s

Figura problema

7.15

7.16 Hallar la aceleración angular a del halterio del problema 7.15 para las condiciones definidas, salvo que Q aumenta a razón de 3 rad/

S2

en el instante considerado.

7.17 El robot de la figura tiene cinco grados de libertad de rotación. Los ejes x-y-z están fijos al anillo de la base, que gira

Figura problema

7.14

Resolver

el problema

7.13

7.13 para el caso en que wl =

5 rad / s y wb = 20 rad / s. 7.15 Al manipular el halterio, la garra del mecanismo robótica lleva una velocidad angular wp = 2 rad/ s en torno al eje OG con r fijo en 60°. La totalidad del conjunto rota en torno al eje

Figura problema

7.17

461


-~-~•....---. ~-

entorno torno alaleje ejezzaalalavelocid velocidad úJ.¡.El Elbrazo brazo 0O}O gira en torno al en ad ú>¡. 1 0 22gira en torno al eje ejexxaalalavelocid velocidad ~ ==ée. brazo de demando mando 02A 02Agir. gira entorno torno ad ~ . ElElbrazo a en alaleje eje0¡-02 0]-02 aalalavelocid velocidad %yyaalalavelocid velocidad (04 = f3 en torno ad lü.3 ad úJ4 = f3 en torno aaun un eje eje perpend perpendicular que pasa pasa por por OO2 yy que que está está momen momentáicular que tá2 neamen neamente paralelo alaleje ejex.x.Finalme Finalmente, garra gira gira en en torno torno al te paralelo nte, lalagarra al eje ejeOTA aTA aalalavelocid velocidad cq;.Los Losmódulo móduloss de de estas estas velocid velocidades anad úls. ades angulares gulares son son todos todos constan constantes. Para lala configu configuración representates. Para ración represe ntada da hallar hallar elel módulo módulo úJ(O de de lala velocid velocidad angular total de las ad angular total de las ga~ras garras para para ee==60° 60° Y Yf3f3 ==45° 45° sisi úJl (O¡= =22 rad rad// s,s, éé == 1,5 1,5 rad rad// ssyy % lü.3 ==úJ(04 =úls cq;==O.O.Expresa Expresarr vectoria vectorialmente aceleración angular a 4 = lmente lala acelerac ión angular a del brazo brazo O] O}OO2., del 2 Resp. úJ(O==2,5 2,5 rad rad// s,s, aa ==3j 3j rad rad// S2 S2 Resp. Para el el robot robot ddel problema a 7.17 7.17 hallar hallar la la velocid velocidad anPara el problem ad angular gular ww de de la la garra garra para para e e== 60° 60° Y Y f3f3 == 45° 45° si si lü.3 % = = 33 rad rad// s,s, úls cq; == 22 rad rad// ss yy ú>¡ (O¡ = =~ ~ == úJ4 (04 = = O.O. Determ Determinar asimismoo la la acelerac aceleración inar asimism ión angular aa dde la garra. garra. angular e la Para el el robot robot del del problem problema a 7.17 7.17 hallar hallar la la velocid velocidad anPara ad angular gular total total w w de de la la garra garra para para e = = 60° 60° Y Y f3f3 = = 45° 45° si si úJ¡ úJ.¡ = 2 rad/ s, = 2 rad / s, ~ ~ == 1,5 1,5 rad rad/ / s, s, úJ4 (04 = = 33 rad rad/ / ss yy lü.3 %= = úls cq; = = O.O. Determ Determinar asimismo inar asimism o la acelerac aceleración angular aa del del brazo brazo O] O}O O2., la ión angular 2 w = -1 -1,5i,5i + + 2k 2k rad rad/ / s, s, aa = = 3j 3j rad rad/ / S2 s2 Resp. w

7.20 7.20

Se represe representa nuevamente el motor motor con con el el disco disco solidasolidanta nuevam ente el rio del del problem problema a tipo tipo 7.2. Si Si el el motor motor alcanza alcanza una una velocid velocidadad 3000 3000 rpm rpm en en dos dos segund segundosos aa partir partir del del reposo reposo bajo bajo una una aceleraaceleración ción constan constante,te, hallar hallar la acelerac aceleración angular total del rotar el ión angular total del rotor yy el disco disco un un tercio tercio d dee segund segundo o despué después s d dee ponerse ponerse en movimienen movim iento si la base base gira gira a la velocidad 30 rpm. El ángulo velocid ad constante constan te N N == 30 rpm. El ángulo y= 30° 30° se se mantiene mantien e constante. constan te.

z

x

----

zz

7.18 7.18

7.19 7.19

---~


7.22 7.22

En ase que En la la figura figura del del problem problema a 7.20 7.20 supóng supóngase que el el árbol árbol del del motor motor yy su su disco disco solidari solidarioo están están girando girando en en torno torno al al eje eje z con con una una velocid velocidadad % úJo de de 120 120 rpm rpm que que aument aumenta a a razón razón de 10 10 rad rad/ / S2 S2 en en la la posició posiciónn yy == 30°. 30°. A A la la vez, vez, y vale vale 12 12 rad rad / s y aument aumenta a a razón Determ inar la razón de de 15 15 rad rad/ / S2. S2.Determinar la expresi expresiónón vectoria vectorial l de la aceleración angular leración angular aa del del rotor rotar en en ese ese instante instante. . No No hay hay rotación rotación en torno torno al eje Z.

r

7.23 7.23

La La grúa grúa tiene tiene una una pluma pluma de de longitu longitud d OP == 24 m y gira gira constan temente alreded constantemente alrededoror del del eje vertical vertical a razón razón de de 2 rpm en rpm en el Simultá neamen te la pluma pluma descien el sentido sentido indicad indicado.o. Simultáneamente desciendede a la celerida d constante constan te /3 ~ == 0,10 rad / s. s. Calcula los módulos módulo s de celeridad 0,10 rad/ Calcular r los d e la la velocid de la la aceleración acelerac ión del del extremo extremo P de de la la pluma velocidadad yy de pluma en en el el instante en en que que f3f3 = instante = 30°. 30°. Resp. vv == 3,48 3,48 m/ m / s, aa = 1,104 1,104 m/ m / s2 s2 Resp.

7

ct ej la

pp

CA = 125 mm


7.21 El Eldisco 7.21 discode de120 120mm mmde deradio radiogira giraalrededor alreded ordel deleje ejezzaalala velocid adconstante velocidad 'entero constan te (Oz úJz== 20 20rad rad/ /ssyyelelconjunto conjunt o 'e nterorota rotaen en tornoalaleje torno = 10 rad/ s. Calcuejefijo fijoxxaalalavelocidad velocid adconstante constan te(Ox úJx = 10 rad / s. Calcularlos losmódulos lar módulo sde delalavelocidad velocid advvyyde delalaaceleración acelerac iónaadel delpunpuntotoBBen enelelinstante instanteen enque que = 300. 30°.

e= e

Resp. / s,s,aa==72,2 Resp.vv==3,95 3,95mm/ 72,2m/ m/S2 S2

OJ


462 462


7.2 ace pos tal (

~: el c<

torno en torno giran en solidari a giran horquil la solidaria 7.24 su horquilla vertical yy su árbol vertical El árbol 7.24 El te neamen Simultá s. l rad 4 = Q te al eje z a la velocidad constante Q = 4 rad/ s. Simultáneamente constan ad al eje z a la velocid ad velocid la a DA rico geomét el árbol B rota en torno a su eje geométrico OA a la velocidad eje su a torno en el árbol B rota constan temente ydismin uye constantemente ángulo ydisminuye constante el ángulo rad /Iss yy el % == 33 rad constan te aJo móduel móduw yy el angular w velocid ad angular aa razón la velocidad Hallar la rad I s.s.Hallar ni 4 rad/ de n/4 razón de Los 30°. y= cuando B árbol B cuando y= 30°. Los del árbol a del lo angular a acelerac ión angular la aceleración de la lo de ella. con giran y horquil la y giran con ella. la horquilla ejes fijos aa la están fijos x-y-z están ejes x-y-z

acede lala acemódulo de dedor elmódulo Calcula r el segund os. Calcular cuatro segundos. cada cuatro de BBcada dedor de A. leración cono A. del cono angular aa del leración angular Resp. S2 rad l S2 6,32 rad/ Resp. aex == 6,32

zz zz

ír J_-~ t o

ZZ II

150 mm 150 rnm

Figura 7.27 problem a 7.27 Figura problema x al on

(i) módulo O) el módulo ~ hallar el 7.17, hallar problem a 7.17, del problema robot del el robot Para el 7.28 Para ~ 7.28 si 45°, = Y 60° = de la velocidad angular de la garra para = 60° Y f3 = 45°, si () para garra la de angular de la velocid ad Hallar aJs == O. Hallar illJ. = Ws úJ:2 = radl ss yy W¡ 0,5 rad/ = 0,5 S,(i)4 = radl S,0)4 lU:3 == 22 rad/ s, úJ:J rad l s, 1,5 rad/ a>.2 = 1,5 garra. la garra. de la también angular a de acelerac ión angular la aceleración también la 2 + 2k rad I S2 Resp. a = - 3,46j +2krad/s (i) = 2,24 rad I s, a=-3,46j Resp. 0)=2,24rad/s,

e

152 aa ceen

a en a la ela n el

7.24 problem a 7.24 Figura Figura problema ciruna cirsiguien do una deslizam iento siguiendo 7.25 sin deslizamiento rueda sin volante rueda El volante 7.25 El del or alreded ta comple alrededor del vuelta completa cunferencia una vuelta da una radio R y da de radio cuniere ncia de Determ r. tiempo un en te constan en un tiempo ""L. Determi-ieje vertical celerida d constante con celeridad vertical yy con eje vodel voa del angular a acelerac ión angular nar la expresión vectorial de la aceleración de l nar la expresi ón vectoria . espacio del y cuerpo del conos lante y representar los conos del cuerpo y del espacio. los ntar lante represe

Resp. Resp. a a == -_

(2n)2~ (2;r~ r

i r i

horquil la la horquilla ~ soldado a la está soldado barra A está la barra de la extremo de El extremo 7.29 El ~ 7.29 Éste cursor C. Éste del cursor que eje z del al eje pasado r al un pasador con un articula daa con está articulad que está la barra La puede rotar alrededor del eje x del árbol fijo. La barra A yy la del árbol puede rotar alreded or del torno en no pero horquilla pueden girar en torno a los ejes x y z pero no en torno ejes los torno en horquil la pueden girar de extremo de otro extremo del otro al eje y. movimi ento del el movimiento cuenta el en cuenta tener en Sin tener y. Sin al eje barra A la barra de la la que la angular w de velocid ad angular la velocidad demost rar que A, demostrar barra A, la barra O. Los h) = O.Los yy su w . h x (r x h) relación w' cumplir la relación debe cumplir horquil la debe su horquilla see, sevament vectores r y h son cualesquiera dirigidos, respectivamente, respecti s, dirigido uiera vectore s r y h son cualesq iperpend gún la barra y según el eje fijo. El eje de la barra A es perpendibarra la de eje el según y gún la barra tanto, está por tanto, cular eje de (dirección está ón z) y, por horquil la (direcci la horquilla de la al eje cular al contenido en el plano plano x-y. do en conteni

y

z I I

t

n

h

x..-x..--Figura problem problemaa 7.25

ad vv yy de ones de la velocid 7.26 Determ Determinar expresiones velocidad de la la inar las expresi 7.26 la para 7.25 a problem del volante aceleración a punto volante problema 7.25 para la del A punto del a ión acelerac posición represe representada en que que A está está cruzand cruzando o la la línea línea horizon horizon- ntada en posición tal que que pasa pasa por por el el centro centro del del volante volante. . tal emente sobre ión AA rueda ~ 7.27 7.27 El cono cono de de revoluc revolución rueda uniform uniformemente sobre ~ alreta comple vuelta una realiza y el cono de revolución fijo B realiza una vuelta completa alreB fijo ión revoluc de cono el


~ 7.30 7.30 El El cono cono ddee revoluc revolución macizo de radio radio de la base base r y ión macizo ~ El plana. ie superfic altura h, rueda sin deslizamiento por una superficie plana. El una por iento deslizam sin rueda 11, altura ria circentro B B de de la la base base se se mueve mueve describ describiendo una trayecto trayectoria ciriendo una centro

463 463


J

cular alrededor alrededor ddel el eje z, 2, con celeridad celeridad constante constante v. Determinar Determinar la velocidad velocidad angular angular úJ ea y la aceleración aceleración angular angular aa del cono macizo.

z

lé TI

1. 1. Resp. 1 esp. úJ w = v - +-1 1'2 11 22 ~ 1'2

~

C

2(!:. r~)j

~v2 2(1'h ++ 11) J. aa == -_ 1111 2 11 r

,-, ,,

,-, ,-,

x ---- -

,-, ,-,

,-,


7.6

z

MOVIMIENTO MOVIMIENTO GENERAL GENERAL

m

La aplicación principios del d el movimiento movimiento relativo relativo es el mejor mejor procediprocediaplicación de los principios miento cinemática de de un un cuerpo rígido en en movimiento movimiento triditridimiento para para estudiar estudiar la cinemática cuerpo rígido mensional. Así Así procedimos procedimos con mensional. con los problemas problemas de de movimiento movimiento plano plano y ahora ahora vamos a ampliar ampliar el procedimiento procedimiento al movimiento vamos movimiento espacial. espacial. Emplearemos Emplearemos a la vez en traslación rotación. vez ejes de referencia referencia en traslación y rotación.

z

en traslación. traslación. En En la figura figura 7.10 7.10 se representa representa un un cuerpo cuerpo (a) Ejes Ejes de referencia referencia en rígido velocidad angular angular w . Como Como origen origen del del sistema de rerígido animado animado de una una velocidad sistema de ferencia x-y-z tomamos tomamos el punto punto B. Respecto Respecto a éste, éste, la velocidad velocidad ferencia en en traslación traslación x-y-z v y la aceleración otro punto punto cualquiera cualquiera A del del cuerpo cuerpo vienen vienen dadas dadas por por las aceleración a de de otro fórmulas de la velocidad velocidad y de fórmulas de la aceleración aceleración relativas. relativas.

o

x

VA

X

= vB + V AI B

7.10 Figura 7.10

[5.4] [5.4] [5.7]

desarrolladas en en los apartados 5.4 y 5.6 5.6 con desarrolladas apartados 5.4 con relación relación al movimiento movimiento plano plano de de cuerpos rígidos, rígidos, pero pero que son igualmente los cuerpos que son igualmente válidas válidas para para todo todo plano plano del del espaespacual deben deben pertenecer pertenecer los tres cio al cual tres vectores vectores que que aparecen aparecen en cada cada una una de las las ecuaciones. ecuaciones. aplicar estas estas relaciones relaciones al movimiento Al aplicar movimiento de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido se observa observa en en figura 7.19 7.10 que que la distancia la figura distancia AB AB permanece permanece constante. constante. Así, Así, para para la posición posición de un un observador observador en en x-y-z, x-y-z, A parece parece girar girar alrededor alrededor del del punto punto B y mantenerse mantenerse superficie esférica esférica de en una una superficie de centro centro B. B. En En consecuencia, consecuencia, el movimiento movimiento general general puede considerarse considerarse como puede como una una traslación traslación del del cuerpo cuerpo con con el movimiento movimiento de de B más una una rotación rotación del del cuerpo más cuerpo entorno entorno a B. Los términos términos del del movimiento movimiento relativo relativo representan representan el efecto efecto de de la rotación rotación torno a B y son son iguales iguales a las en torno las expresiones expresiones de de la velocidad velocidad y de de la aceleración aceleración estudiados en el apartado apartado anterior estudiados anterior para para la rotación rotación de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido y de de una línea línea en torno torno a un una un punto punto fijo. fijo . Por Por tanto, tanto, las ecuaciones ecuaciones de la velocidad velocidad y aceleración relativas relativas serán serán la aceleración = V = v BB + W

X

r A1B A1 B

= aB+w a AA = a B +w

x

rA1B+w rA 1 B+w X(w X(w X X rA1B) rA1 B)

VA

donde w oo es la velocidad velocidad angular donde angular instantánea instantánea del del cuerpo. cuerpo. 464


pl ri.

d¡ cc nc ar m

si

dE bi: (b m:

qu se ca de ap eje Cal

tw cic

COI

rio

(7.4) (7.4) 1

P n

4

465

La punto de referencia B es, en teoría, totalmente totalmente arbitraria. La selección selección del del punto de referencia B es, en teoría, arbitraria. En En la práctica, punto B toma, por por comodidad, punto del práctica, el punto B se se toma, comodidad, en en algún algún punto del cuerpo cuerpo cuyo cuyo movimiento total o parcialmente. parcialmente. Si se toma como punto de referenmovimiento se se conozca conozca total se toma como punto de referencia movimiento relativo relativo quedan la forma cia el A, las las ecuaciones ecuaciones del del movimiento quedan en en la forma VA VA

aA A

7.6 MOVIMIENTO MOVIMIENTO GENERAL

vB +wx r BI A vB+WXfB/A

= + w = aB aB+w

+w x(w x(w X X ff BIA x fA/B rAIB+w )) B/ A

z

1-

i-

ra la o ead as

donde fB/A = -- rBIAfB/A-Debe quedar claro claro que que W y, por tanto, w oa son son los los mismos donde r BIA = Debe quedar por tanto, mismos vectores una y otra puesto que movimiento angular vectores en en una otra formulación formulación puesto que el el movimiento angular absoluto absoluto del de referencia. Cuando del cuerpo cuerpo es es independiente independiente de la la elección elección del del sistema sistema de de referencia. Cuando hablemos movimiento general, hablemos de de las las ecuaciones ecuaciones cinéticas cinéticas en en el el caso caso del del movimiento general, vereveremos de masa masa constituye punto de referencia más más cómodo mos que que el centro centro de constituye el punto de referencia cómodo que que puede puede elegirse. elegirse. puntos A y B de representan los vaSi los los puntos de la la figura figura 7.10 7.10 representan los extremos extremos de de alguna alguna varilla rígida rígida del mando de un mecanismo mecanismo espacial, modo rilla del mando de un espacial, cuyas cuyas conexiones conexiones son son a modo de problema tipo tipo 7.3), necesario imponer de rótulas rótulas (como (como en en el problema 7.3), es es necesario imponer determinadas determinadas condiciones cinemáticas. cinemáticas. Evidentemente, Evidentemente, ninguna de la la varilla en torcondiciones ninguna rotación rotación de varilla en torno propio eje propia varilla. varilla. Entonces, la velocidad velocidad no a su su propio eje afecta afecta a la la acción acción de de la la propia Entonces, la angular '" cuyo vector es a la varilla, varilla, describirá describirá la angular w W'" cuyo vector es perpendicular perpendicular la acción acción de de la la misma. necesario, por por tanto, tanto, que y r A/B sean perpendiculares, lo que misma. Es necesario, que W)1 W Y sean perpendiculares, que se cumple cumple fA/B= sólo la la componente componente de la la aceleración aceleración angular angular B = O. Análogamente, Análogamente, sólo actn1I de si wW " . fAI de varilla normal normal a AB AB afecta por lo tamde la la varilla afecta a su su acción, acción, por lo que que debe debe cumplirse cumplirse que que también AIB = bién a ct ll • ffA/B = O. l1

II•

l1

ll

.4]

.7] de

palas en ión

rse eral eB

•

(b) Una formulación más general (b) Ejes Ejes de referencia en en rotación. rotación. Una formulación más general del del movimovimiento un cuerpo rígido en referencia miento de de un cuerpo rígido en el espacio espacio exige exige el empleo empleo de de ejes ejes de de referencia que mismo tiempo tiempo que trasladan. La que giren giren al mismo que se se trasladan. La descripción descripción de de la la figura figura 7.10 7.10 se modifica muestra unos unos ejes referencia ligados punto B, modifica en en la la 7.11 que que muestra ejes de de referencia ligados al al punto como pero que una velocidad velocidad angular puecomo antes, antes, pero que giran giran con con una angular absoluta absoluta .o, n, la la cual cual puede velocidad angular de ser ser diferente diferente de de la la velocidad angular absoluta absoluta W W del del cuerpo. cuerpo. Apliquemos ahora en Apliquemos ahora las las ecuaciones ecuaciones 5.11, 5.11, 5.12, 5.12, 5.13 5.13 Y 5.14 5.14 desarrolladas desarrolladas en el el apartado movimiento plano plano de un cuerpo apartado 5.7 5.7 al describir describir el el movimiento de un cuerpo fígido rígido empleando empleando ejes rotación. Para relaciones de tres dimensiones basta ejes en en rotación. Para ampliaf ampliar estas estas relaciones de dos dos a tres dimensiones basta con incluir incluir la la componente componente de los los vectores, que dejamos dejamos al al lector. lector. SustiSusticon z de vectores, paso paso que tuyendo W Wpor la velocidad angular .o n de de los los ejes ejes x-y-z en rotación, dichas ecuaecuatuyendo por la velocidad angular x-y-z en rotación, dichas ciones nos dan ciones nos dan

ii ción ción de ad y

= O O x X =

ii

(7.5) (7.5)

j = O O Xx j

como derivadas derivadas respecto al tiempo de los los vectores en rotación solidacomo respecto al tiempo de vectores unitarios unitarios en rotación solidarios de de x-y-z. Las expresiones expresiones de de la la velocidad aceleración del del punto B quedan quedan rios x-y-z. Las velocidad y aceleración punto B VA = vBB ++ O x X ff AIB + vreJ vreJ V A/ B + aA A

(7.4)

11

= a BB ++ n. n xX rf AA/BB ++ O =

(7.6) (7.6)

(O X fAlB) + + 20 20 x X vreJ ++ arel xX (O X fAlB)

Puede demostrarse que all'"" = = w" si la velocidad angular de la varilla propio eje Pu ede demostrarse velocidad angular varilla en torno torno a su propio apartado 37 de Dinámica, edición, del autor Reverté, 1976). 1976). no varía. Véase el apartado Dinámica, 2" edición, autor principal principal (Ed. Reverté,


w(Cuerpo)

o x X

Figura 7.11

466 INTRODUCCIÓN LA DINÁMICA DINÁMICA DE INTRODUCCiÓN A LA LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS EN EL EL ESPACIO ESPACIO

siendo Vrel == xi + yj yj + ij Y arel == xi + yj yj + ij respectivamente, la velocidad velocidad y la ij Yarel ij , respectivamente, siendo Vrel aceleración del punto punto A medidas medidas en x-y-z x-y-z por por un un observador observador solidario solidario de ese sistema. Observemos nuevo que O velocidad angular Observemos de nuevo O es la velocidad angular de los ejes que puede ser diferente velocidad angular angular w también que puede diferente a la velocidad w del cuerpo. Vemos también el módulo fA/B no varía varía en el caso de cuerpo pero que cambia de dimódulo de fA/B cuerpo rígido, pero respecto a x-y-z x-y-z cuando velocidad angular rección respecto cuando la velocidad angular O de los ejes es diferente diferente a lq velocidad angular x-y-z están la velocidad angular w del cuerpo. Observemos Observemos además además que, si x-y-z están unidos rígidamente rígidamente al cuerpo, vrel Y arel son ambas unidos cuerpo, O == w y vrelYarelson ambas nula, lo que hace a estas ecuaciones ecuaciones exactamente exactamente iguales iguales a las 7.4. 7.4. En el apartado relación (ec. apartado 5.7 se desarrolló desarrolló asimismo asimismo la relación (ec. 5.13) 5.13) entre la derivada temporal temporal de un un vector V medida medida en el sistema X- y y y la derivada vada sistema fijo fijo Xderivada temporal de V medida medida en el sistema rotación x-y. Esa relación aplicada aplicada al caso poral sistema en rotación tridimensional es tridimensional

dV) ((dV) dt dt

= XYZ XYZ

(dV) (dV) +0 +0 x v dt xyz dt xyz

(7.7) (7.7)

transformación al vectar vector de posición posición relativa relativa fA/B fA/B == fA fA - fBen rBen el Al aplicar esta transformación cuerpo cuerpo rígido de la figura 7.11, 7.11, obtenemos obtenemos A)A) dfdr ( -dt XYZ dt XYZ

(dfB) = - B) = (df

dt xyz dt xyz

A/BA)/ B) (df--+ +0 + (df +0 dt xyz dt xyz

X ffAAl /B B

o sea

que nos da la primera primera de las ecuaciones ecuaciones 7.6. 7.6. Las ecuaciones 7.6 resultan especialmente 7.6 resultan especialmente útiles cuando cuando los ejes de referencia son solidarios movimiento en cuyo seno tiene lugar un mosolidarios de un cuerpo cuefpo en movimiento lugar un vimiento relativo. vimiento La ecuación puede también también escribirse empleando vectorial ecuación 7.7 puede empleando el operador operador vectorial

( ~) dt dt

(~)

(~)

= = (~) XYZ XYZ

dt dt

xyz xyz

+O O x [ J J

(7.7a) (7.7a)

donde representa cualquier tanto en el sistema X- Y-Z donde [ ] representa cualquier vector V expresable expresable tanto sistema X-Y-Z Si el operador operador se aplica a sí mismo, se obtiene la segunda como en el x-y-z. x-y-z. Si segunda derivada rivada temporal temporal que resulta resulta ser 22 [J) =(d2[J) +OX[J+OX(OX[]) [J) =(d2[J) +OX[J+OX(OX[]) (dddt di?2 XYZ dt2 2 xyz XYZ dt xyz

+ 20 x

(d[ (d[ J) dt dt

xyz xyz

(7.7b) (7.7b)

Dejamos este ejercicio al lector, observando misma que observando que la forma 7.7b es la misma la segunda para aA/B aA/B == aA segunda de las ecuaciones 7.6 7.6 expresadas expresadas para aA - aBo aB.


I


<:::>í.)~~ S\)~~

~> Oh

~>~

i

1 , .

//

®

D D

/

(-'-¡:-'--

hoeje hodel eje alrededor del gira alrededor CB gira El cigüeñal CB El cigüeñal (i)¡ angular d velocida una con una velocidad angular w¡ == rizontal rizontal con inun indurante un contante durante es contante que es 66 rad/s rad/s que que en elel que movimiento en del movimiento corto del tervalo tervalo corto represenposición represenla posición comprendida la está está comprendida sus en sus rótulas tiene AB biela La biela AB tiene rótulas en tada. tada. La con DA con manivela DA enlaza la manivela extremos extremos yy enlaza repreinstante reprepara el instante CB. Determinar, Determinar, para la de la ~ de angular ú>]. velocidad angular sentado, sentado, la uelocidad OJ angular d velocida la y DA manivela manivela DA y velocidad angular ronn AB. biela AB. del eje de la biela

cD

III 111

11 11 11 11 11

1100rrun 1100rnm 1 11 11 1

1

1

11

YY

-J

-B B

relativa velocid ad relativa para la velocidad ecuació n 7.4 para Solución. primero la ecuación Resolve remos primero Solución. Resolveremos es n es ecuació La B. a dos vincula rotación ia empleando unos ejes de referencia en rotación vinculados a B.La ecuación referenc emplea ndo unos

perpend icularm ente aa tomada perpendicularmente AB tomada donde W es la velocidad angular de la biela AB velocid ad angular donde W nn son B y A de ades velocid AB. Las velocidades A y son AB.

vBB = 100(6)i = 600i mm mm/s/ s

[v [v = = rOJ] rro]

ades do en la relación de Además,, rA/B rAIB = = 50i + 100j 100j + 100k mm y aplican aplicando de velocid velocidades Además resulta

decia, puede demovimiento puede pues su movimiento cia, pues terminarse de la partir de fácilmente a partir terminarse fácilmente velocidad eB. de CB. (i)¡ de angular w¡ velocidad angular

o La angular velocidad angular la velocidad m toma como un vector

W de AB AB se W WIl normal a toma como un vector W Il normal AB, biela rotación de la biela toda rotación que toda ya que AB, ya en torno propio eje AB carece carece AB eje propio su a en torno de influenc influenciaia sobre sobre el compor comportatade miento del disposit dispositivo. ivo. miento

kk

a)

ronnxx OJ"y rolly OJn ron,, 600i + OJ 50 100 100 100 100 50

-z e-

CD referende referenpunto de como punto Tomamos BB como G) Tomamos

k se ntes de do los Desarrollando el determi determinante igualando los coeficie coeficientes de i,i, jj Y Yk se tiene tiene nante ee igualan llando el Desarro + OJ ronnyy -- OJ ron, n,

-- 6 ==

ro22 == -OJ

ronn xx ++ 22OJ

++ OJ", ron,

O o == ndo Despejando Despeja

nes ~ ú>]. de de estas estas ecuacio ecuaciones

OJro22 == 66 rad/ rad/ ss

Resp. Resp.

467 467


Tal nes incluye Talcomo como están están escritas escritas,, las las tres tres ecuacio ecuaciones incluyen hecho de de que que w" w" es es perpern elelhecho ® pendicu lar pero no no es esposible posible resolve resolverlas hasta no no incluir incluir la lacondici condición de AIB, pero rlas hasta Laecuació ecuaciónn de de lala velocid velocidad relati- 0pendicular aavvAIB, La ón de ad relati33 que que WWnn sea sea perpend perpendicular rA/B' ASÍ, icular aarAI B' Así, va puede puede escribir escribirse vA -- VE VB = vAlE V AIB = va se vA = x rrAlE' AIB, lo lo que que exige exige que que vvAlE AIB sea sea WW" Il x [w·rA/ B=Oj [w·rA/B=O] 50ro SOOJnnx ++100ro 1000Jnny ++100ro 1000Jn = =O O perpendicular vez aa WWnn yy rrAIB' AIB. perpend icular aa lala vez ,z x y Esta ecuació ecuaciónn sola sola no no incorpo incorpora Esta ra lala Combin ando ésta condición adicionall de de que que w" w" sea sea nes anterior Combinando ésta con con dos dos de de las las tres tres ecuacio ecuaciones anteriores resultan las las soluciosoluciocondici ón adiciona es resultan nes nes perpendicular a r AIB. Así pues, debe perpend icular

o ®

=

a rAIB. Así pues, debe cumplirse que w w"or AIB = o. cumplir se que ll ·rAIB = O.

ron = - ~ rad/s x

ron OJyn == -- •3~~rad rad //ss

OJn, =

y

!.30

rad / s

o sea, Osea, W Wn

== ~(2i + 4j ++Sk) 5k) rad/ ~(-2i+4j rad/ss

con con

Resp. Resp.

PROBL EMA TIPO PROBLEMA TIPO 7.4

Hallar ión angular Hallar la la acelerac aceleración angular w w2 de de la manivela manivela AD AD del problema las conconproblema tipo 7.3 para para las diciones adas. Hallar Hallar también diciones mencion mencionadas. también la acelerac aceleración angular w w de de la la biela biela AB. ión angular AB. n

Solución. Las Las aceleraciones acelerac iones de las barras barras pueden Solución. segunpueden hallarse hallarse mediante median te la la segunecuacio nes 7.4, 7.4, que puede da de las ecuaciones puede escribirse escribir se

donde W nn es, es, al al igual igual que que en CD Si la biela en el problema 0) problem a tipo biela tuviese tuviese una tipo 7.3, 7.3, la velocidad una componente velocid ad angular componente 0) donde angular de de AB AB totoW

de de velocidad velocidad angular angular según según AB, AB, en en tal tal caso caso podría podría tener tener lugar lugar una una variavariación ción tanto tanto de de módulo módulo como como de de didirección componente, lo rección de de esta esta componente, lo que que podría podría contribuir contribuir aa la la aceleración aceleración angular angular real real de de la la biela biela como como cuerpo cuerpo rígido. rígido. No No obstante, obstante, como como las las rotarotaciones ciones en en torno torno aa su su propio propio eje eje AB AB carecen carecen de de influencia influencia sobre sobre el el movimovimiento miento del del cigüeñal cigüeñal en en Cy e y de de la la mamanivela nivela en en D, D, nos nos ocupamos ocupamos solamente • solamente de de w wlJ' l1

CD mada mada perpendicularmente perpend icularm ente a AB. AB. La aceleración acelerac ión angular angular de AB AB la la escribimos escribim os w w

..

nn En función función de de sus sus componentes compon entes tangencial tangenc ial y normal, En normal, las las aceleraciones acelerac iones de de A A y Bson B son

= SOOJii 50ro~i+ 50W2j = = 1800i 1800i+ aaAA = + SOw2j + SOw2j s2 50w2 j mm/ mm/s2 aaB B

100rork ++ (O)i (O)i == 3600k 1000Jfk 3600k mm/ mm/ s2 S2

Además Ademá s (w n XX rA/B) fA/B) Wnn XX (wn W

fA/B wwnn XX rA/ B ==

= -- OJ~r ro;fAlB = -20(SOi -20(50i ++ 100j = 100j ++ 100k) 100k) mm/ mm/s2 s2 A/ B =

(lOOw -100w )i ++ (SOw (50wn n -lOOw -100w (lOOw n n y -lOOw - SOw )k + (lOOw (100w n nz)i n l1 )j)j + n n -50wn )k y

zz

z

xx

xx

n

yy

G

Sustitu yendo en en la la ecuación ecuació n de de la la aceleración acelerac ión relativa relativa ee igualando Sustituyendo igualan do los los coeficiencoeficie ntes respectivos respecti vos de tes de i,i, jj Yk Y k resulta resulta 28 =

W" y -

WW22 ++ 40 wnxn, 40 == -- 22w 32 == -- 32

468


++ ww"z n,

2w 2w W" nn z-- w n 'y Z

wn z

y

L

tiene setiene ecuacio nes se estas ecuaciones enestas Despejando Despeja ndo wm 22 en 2 W2 36 radl /s s2 m2 == --36rad

Resp. Resp.

con wwnn .. ocurría con como ocurría AlB como a vA/B no av pero no fAI Bpero El perpend icular aa fA/B es perpendicular wnn es vector lO El vector 2 [lO,,'

= O]

fAIB

o® laLa componente perpend ino perpendide ~" no compon ente de ~ll

cular de variación de provoca lala variación A/B provoca cular aa vvAjB la dirección de v AjB' vA/B' de n direcció la

da cantida des, da mismas cantidades, estas mismas entre estas anterior es entre que, relacion es anteriores las relaciones con las combin ada con que, combinada s2 2 radls2 12 radl W", mn , == -- 12 W = 16 radj' s2 d/s W - 8 radl s2 m ==-8ra ny

11, nx

oOsea, sea, lO W

nn

s2 rad l s2 3k) radl 4j -- 3k) 2i ++ 4j == 4(4(- 2i

Resp. Resp.

yy

Resp. Resp.

IW I I1

PROBLEMA TIPO 7.5

I

giran soporte giran su soporte motor yy su La Cal'casadel carcasa del motor constante celeridad constante en torno al eje Z aa la celeridad en tomo eje el eje Respecto aa la carcasa, el Q radls. Respecto = 3 radls. Q = una tienen solidario su disco solidario tienen una del motor motor y su sentiel sentien el radls en = 8 rad/s giro pp = velocidad ve/ocidad de giro constantemente vale constantemente indicado. Si rY vale do indicado. aceleravelocidad yy la acelera30° determinar la velocidad 30° determinar más alto del disco disco punto A en lo más ción del punto ión angular y la acelerac aceleración angular a ir del disco. disco.

CD 0)

os de Solución.. Los ejes ejes de referenc referencia rotatoriooss x-y-z x-y-z son solidari solidarios de la la carcasa carcasa del del ia rotatori Solución ión que orientac la te neamen instantá motor yy la la base rotatori rotatoriaa del motor tiene instantáneamente orientación que se se motor entes Xremos tanto compon muestra respecto a los ejes ejes fijos fijos X- Y-Z. Emplea Emplearemos componentes X- Y-Z, Y-Z, muestra entes x-y-z, de vectore de vectore vectoress unitario unitarioss 1, 1,J y K, K, como compon componentes vectoress unitario unitarioss i,i, jj de radl 3K = QK = velocidad angular de los ejes ejes x-y-z x-v-z se hace n n QK = 3K radl s. s. ad angular yy k. La velocid Velocidad. ad. Velocid

nes 7.6 velocidad primera de las ecuacio ecuaciones 7.6 ad de A la da la primera La velocid

CD Tomand Tomandoo así los ejes de CD

referenciaia referenc conseguimos descripción ión senciimos una descripc consegu lla del del movimi movimiento respecento del disco respeclla esos ejes. to a esos

/ B+vrel vA == vB+n vB+n X x rA fAIB+vrel VA

donde donde vB == n n xx rfB == 3K 3K xx 0,350j 0,350j == -1,051 -1,051 == -1,05i -1,05i mis B = 3K 3K xx (0,300j (0,300j ++ 0,120k) 0,120k) n xx rfAIB Al B = (_ 0,9 0,9 cos cos 30 30 )i ++ (0,36 (0,36 sen sen 30 30 )i == -- 0,599i 0,599i mi ss == (rel == PP Xx rrAl AlBB = = 8j 8j xx (0,300j (0,300j ++ 0,120k) 0,120k) == 0,960i 0,960i mi mi ss vvrel V

00

Luego Luego -1,05i -A ==-1,05i VVA

o Obsérv Obsérvese que K K xx ii == JJ == jj cos cos y -- kk ese que ®

00

0,599i ++ 0,906i 0,906i==-0,689i -O,689imi mi ss 0,599i

sen y,y, K Kxx jj == ....:.; ii cos cos y,y, yy K Kx sen y.y. x kk == ii sen sen

Resp. Resp. 469 469


Acelera ción. Aceleración.

La ión de La acelerac aceleración de AA la la da da la la segund segundaa de de las las ecuacio ecuaciones 7.6 nes 7.6

1: g

I1 11

donde donde

n

aaB B

== fiX(fiX f AlB ) = KxO,35 0J) = OX(OxrA/B) = 3Kx(3 3Kx(3KxO,350J) = -3,15J -3,15J

7

== 3,15(3,15(- jj cos cos 30° 30° ++ kk sen sen 30°) 30°) = = -- 2,73j 2,73j ++ 1,58k 1,58k mi mi s2 s2 0=0 !i =

fi

°

g e.

fix(fiX Kx(0,3 O x (O xfrAlB = 3KX[3 3Kx [3Kx (0,300j + 0,120k)] 00j +0,120 k)] A/B) ) =

o Obsérvese

@

= == =

Obsérvese que que K K xx ii J j cos cos 1"" i'" kk sen y, K K x j = - iicos cos W ry K K xx kk = ¡sen i sen y.y. sen

=-

=

= 3K 3K

0 @

xx ((- 0,599i) 0,599i)

n

== --1,557j 1,557j ++ 0,899k 0,899k mi mi s2 s2

2fixv 20xvre1re l == 2(3K)xO 2(3K)xO,960i 5,76J ,960i == 5,76J

== 5,76(j 5,76(j cos cos 30° 30° --

k sen sen 30°) = = 4,99j - 2,88k mi mi s2 s2

arel arel = = P P

X (0,300j + 0,120k) x (p (p X x frA/B) = 8j X x [8j [8j X X(0,300j 0,120k)]] AlB ) = = = -7,68k -7,68k mi mi s2 s2

Aplican do estos ón de aA Aplicando estos valores valores en la expresi expresión aA Y Y agrupa agrupando términoss resulta resulta ndo término aaAA == 0,703j 0,703j - 8,086 8,086 k mi mi s2 s2

y

Resp. Resp.

Aceleración angular ón es uniform Aceleración angular.. Como la precesi precesión uniforme, la e, podemos podemo s emplear emplea r la ecuació ecuaciónn 7.3 7.3 y obtener obtener a a

= OXw fixw == 3K == w id = = =

X(3K+8j) x(3K+ 8j) + (24 cos 30 ()i)i = - 20,8i radl rad l s2

°°

0 0

Resp. Resp.

PROBLEMAS Problemas Problemas introductorios introductorios 7.31 El helicóptero helicóp tero está 7.31 está picando picando a la velocidad velocid ad constante constan te de de rad l s. Si las palas palas del rotar qq rad/ rotor giran giran a la velocidad velocid ad constante constan te de de rad l s, escríbase escríbas e la expresión pp rad,' expresi ón de la la aceleración acelerac ión angular angular a a del del rotor. Tómese el eje yy ligado rotar. ligado al fuselaje, fuselaje, dirigido dirigido hacia hacia adelante adelante y perpendicular perpend icular al al eje eje del del rotar. rotor. Resp. Resp. a= a = pqj pqj

7.32 Se Se está está proyectando proyect ando un un avión avión radar radar de reconocimiento, 7.32 reconoc imiento , dirigido por por radio, radio, sin sin tripulación tripulac ión y propulsado propuls ado por dirigido por rotores rotores

7. au co di:

7..

da po

sol ZZ II

ckp cob p f

I

7.:

-i---yy

se un He

--}-qq Figura Figura problema problem a 7.31 7.31


470 470


gel

50

basculantes. El El ascenso vertical comienza con e e == oo y luego sibasculantes. horizontal a medida medida que eva eva acercándose a 90°. 90°.Si gue el vuelo horizontal Si celeridad constante N de 360 360 rpm, halos rotores giran con una celeridad llar la aceleración angular angular aa del rotor A para e e == 30° 30° si é se mantiene constantemente constantemente a 0,2 0,2 rad rad// s. mantiene

z

é

I I I I I

El cursor O O y el árbol solidario OC oe giran en torno al eje 7.33 El fijo Xo a la velocidad velocidad constante constante Q Q = = 4 rad / s. A la vez, el disco fijo oe a la velocidad velocidad constante constante pp == 10 10rad s. Hallar rad / s. gira en torno a OC módulo de la velocidad velocidad angular angular total w del disco y determiel módulo angular a. a. nar su aceleración angular Resp. 0== 10,77 10,77rad/s, a=-40j rad/s/ 2s2 Resp. w rad / s, a = -40j rad

I I

I

~~"-

"-

" problema 7.36 Figura problema


alrededor de su eje eje z, cuya di7.37 La estación espacial gira alrededor permanece constante constante en el espacio, a la velocidad velocidad rección permanece pp == ~ ~ rad rad// s. Simultáneamente, Simultáneamente, los paneles paneles solares se están desplegando con una una velocidad velocidad angular angular /3, programada programada para para desplegando producir la variación B muestra en el gráfico. producir B del modo que se muestra Hallar la aceleración angular angular aa del panel instante Hallar panel A en (a) un instante (b) un instante f3 == 18°. 18°. antes y (b) instante ddespués espués de llegar a la posición f3 Resp. (a)a = - (3,88i + 3,49 3,49j) 10-3 rad rad// s2 Resp. (a)a j) 10(b)a = -3,49(10-3,49(10-33)j)j rad /s Zs?2 (b)a

10rad/s pp = 10rad /s


Si la velocidad velocidad angular angular pp del disco del problema problema 7.33 7.33 7.34 Si aumenta a razón razón de 6 rad/ rad/ s por segundo segundo y si Q permanece permanece aumenta constantemente en 4 rad / s, hallar hallar la aceleración angular angular aa ddel constantemente el instante en que pp alcanza el valor de 10 10 rad rad// s. disco en el instante problema 7.33, 7.33,hallar 7.35 Para las condiciones ddel el problema hallar la velocipunto A ddel cuando pasa dad v A y la aceleración aaAA del punto el disco cuando ejes de referencia x-y-z por la posición que se muestra. muestra. Los ejes x-y-z son Oe. solidarios del cursor O y el árbol Oc. Resp. Resp. v A

= -- 3i =

1,6jj + 1,2k m m// s 1,6

34,8j - 6,4k m/ s2 a AA = - 34,8j m / s2 barra telescópica AB 7.36 Los collarines ddee los extremos ddee la barra AB fijos tal como se muestra. Durante Durante se deslizan por los árboles fijos un intervalo intervalo del movimiento, movimiento, vA v A == 124 124 mm mm// s y vB == 50 50 mm mm// s. Hallar la expresión vectorial de la velocidad velocidad angular Wn del eje eje Hallar angular W posición que YA YA == 100 100 mm e YB == barra en la posición geométrico ddee la barra 50mm. 50 mm.

(0) {3, (0)

90


El cursor y la horquilla horquilla A reciben una una velocidad velocidad ascen7.38 El dente constante constante ddee 0,2 0,2 m m// s durante durante un intervalo intervalo de su movidente

471 471


miento, miento,produc produciendo deslizamiento delextremo extremo BB por por lala iendo eleldeslizam iento del ranura ranuraddel discogiratori giratorio. Hallarlalaacelerac aceleración angular de delala el disco o. Hallar ión angular barra barracuando cuandopasa pasapor porlalaposició posición z = 75 mm, El disco gira n z = 75 mm. El disco gira a alala velocidad constante de22rad rad/ velocid ad constan te de l s.s.

rra rraen enelelinstante instanteen enque queee= =60°. 600.ElElángulo ángulof3f3está estáenenelelplano planoy-y_ zzyyvale temente 45°. valeconstan constantemente 450. Resp. Resp. vA vA= =- -0,636i 0,636i ++- - 4,873j 4,873j ++1,273k 1,273k mmI /ss

zz

. ---- y

-: x


7.39 7.39 El El disco disco circular circular de de 100 100 mm mm de de radio radio gira gira en en lomo torno aa su su eje zz con con una una celerida celeridad constante p = 240 rpm y el brazo OCB eje d constan te p = 240 rpm y el brazo OCB gira en en torno torno al al eje eje Y y con con una una celerida celeridad constante N == 30 30 rpm. gira d constan te N rpm. Hallar Hallar la la velocid velocidad A del del disco disco cuando cuando ppasa por la la ad vv del punto A asa por posició posición que se se muestra muestra.. Emplea Emplearr unos unos ejes ejes x-y-z x-y-z solidari solidarios del n que os del brazo OCB. OCB. brazo Resp. vv == n(O,li n

°

7.42 7.42 El El centro centro O de de la la nave nave espacia espaciall se mueve por el espacio aa celerida te. Durant celeridadd constan constante. Durantee el el período período previo a la estabiliz estabilizaación, animad a de d e una velocidad veloci d ad de d e rotación consción, la la nave nave está está animada con stante n = ~ rad s en en torno torno aa su eje z. Los ejes x-y-z x-y-z son tante Q = ~ rad/I s solidari os del del fuselaje fuselaje de de la la nave nave yy los paneles paneles solares giran en solidarios torno al al eje eje ya ya la la velocidad velocid ad constante constan te ee = = ra d l s relativa relativa a la torno rad/ nave. Si es w la velocid ad angular angular absoluta absolut a de los paneles paneles solanave. Si es w la velocidad res, hallar hallar w. w. Determinar Determ inar también también la la aceleración acelerac ión del punto punto A res, A cuando ee= 30°. cuando = 30°.

¡¡

,--

1--

IDO 100 mrn mm

/y

JJ / -------

/

/

zz

I ~Q

/'

/'

/'


AA

-y .---y

7.40 Resolver 7.40 Resolve r el el problema problem a 7.39 7.39 fijando fijando los los ejes ejes de dereferencia referenc ia x-y-z x-y-zalaldisco discogiratorio. giratorio. 7.41 Se 7.41 Se repite repite aquí aquíelelrobot robotdel del problema problem a 7.17, 7.17, pero p ero con conelel sistema sistema de decoordenadas coorde nadasx-y-z x-y-zcon conorigen origenen en OO22yygirando girandoaalala velocid ad iJé en velocidad en torno torno alaleje ejeX. X.Los Losejes ejesno no rotatorios rotatori osX-Y-Z, X- Y-Z, orienta doscorno orientados comose semuestra, mues tra, tienen tienensu su origen origenen en 01. 0 1 .Si Si lü:2w;¡== é==33rad/ radlssconst., const.,IDJID.3==1,5 1,5rad/ rad lssconst., const.,~ro¡==WsWs==O,0, 0 11 0 22 == 1,2mmyy 02A 1,2 02A == 0,6 0,6m, m,hallar hallarlalavelocidad velocid addel delcentro centroAAde delalagagaé

°°


7.43 Durante Duranteun uncorto cortointervalo interva lode demovimiento, moviJni ento,elelcursor cursorAAsese 7.43 mueve largode desu suárbol árbolfijo fijocon conuna unavelocidad velocid adVAVA==22m/ mueve aalololargo s m is

472 472


largodedesusu deslizaa alololargo cursorBBsesedesliza vez,elelcursor enenlaladirección direcciónY.Y.AAsusuvez, puelongitu de mm 700 tiene AB barra fijo.LaLabarra AB tiene 700 mm de longitud dy ypueverticalfijo. árbol árbolvertical arse acomod para A en la horquil la de interior dederotar rotarenenelelinterior de la horquilla en A para acomodarse a a Hahorquil las.Haambashorquillas. relativadedeambas orientac iónrelativa lalavariación variació ndedelalaorientación quey y== posició nenenque porlalaposición p asapor queAApasa instanteenenque paraelelinstante llar,para llar, compon ente determ inarlalacomponente cursorBByydeterminar delcursor velocid addel 200 mm,lalavelocidad 200mrn, Encontr ar barra.Encontrar angulardedelalabarra. velocid adangular delalavelocidad AB,de w" normalaaAB, w"normal adecuad [2 2 = Z2 + 2 y + relaciónxx2+ y2 + Z2 = ¡2 adecuada. a. d erivand olalarelación Vsderivando también tambiénVa

y-

l- lOOrnm

wJh

-.J

: 1

O

1

AA

-~ km /s v B == -~km/s Resp. vB Resp.

rad /ss 6k) rad/ ~(~ i-- 2j2j++6k) w n ==~(~i w" I _v-~/:>-.. lx /

ZZ II I II

~ I

I

s-....I ......I 1 1

VB VB

II

ZZ


II

cada, en plano con elel plano coincid e con disco coincide del disco x-y del plano x-y cu al elel plano cada, en lala cual X-Y. Los ejes x-y-z son solidarios de la horquilla. la. horquil la de os solidari son x-y-z X -Y. Los ejes

Resp. b( 2)k + b( (rw rpi -- (rw 1l + Resp. vv == -- rpi 2)k a == -- w - y(wl + 2k k 2rpw p2) j ++ 2rpw + p2)j 1)i 2rw + 2r( (bw w22(bw 2 2+ a 2 l )i - r(w? yy


7.44 La biela biela AB AB está está sujeta sujeta al al brazo brazo giratori giratorioo OA OA yy aa la la cocoLa 7.44 limitaestá OA rredera en en B B median mediantete sendas sendas rótulas. rótulas. El El brazo brazo OA está limitarredera do aa girar girar en en torno torno al al árbol árbol vertical vertical fijo fijo yy la la correde correderara está está do ular inmóvil rectang barra la limitadaa aa movers moversee aa lo lo largo largo de de la barra rectangular inmóvil.. limitad 0,5 m / s cuando ss == 50 ad de Si la la velocid velocidad de la la correde correderara es es Vs VB == 0,5 m/ s cuando 50 Si ondiencalcular a, indicad n mm con con OA OA en en la la posició posición indicada, calcular la la corresp correspondienmm ad angular velocidad angular WWnI1 de de la la biela biela AB. AB. Emplea Emplearr los los ejes ejes no no gigitete velocid B. de os solidari x-y-z ratorios ratorios x-y-z solidarios de B.

asa mm yy radio El 7.45 El disco disco delgado delgado de de m masa radio rygira gira en en torno torno aa su su 7.45 la en horquil la y p te constan ad angular ejezzcon con una una velocid velocidad angular constante p y la horquilla en la la eje or del que está está montad montadoo rota rota alreded alrededor del eje ejeXX que que pasa pasa por por con con que te 1íJ.¡. ad angular una velocid velocidad angular constan constante W¡. A Alalavez, vez, todo todo elelconjunt conjuntoo una ad anvelocid una con por pasa que Y fijo eje al gira en en torno torno al eje fijo Y que pasa por con una velocidad angira aadel ión acelerac la y v ad velocid la allar H ~. te constan gular constante ~. Hallar la velocidad v y la aceleración del gular el disco punto AAdel delborde borde ddel disco cuando cuando pasa pasa por por lalaposició posiciónn indiíndipunto

°°

°°

Ase

mIs


7.46 Para el el robot robot de de la la figura figura del del problem problemaa 7.41, 7.41, hallar hallar la la vevePara 7.46 locidad del del centro centro AA de de la la garra garra para para las las condicio condiciones siguientes: es: siguient nes locidad , w¡ = 2 rad/ s const., ~ = ==-3 -3rad rad// ss const., const., W4 W4 == /3 ¡3 == 1,5 1,5rad rad// ss , líJ.¡ = 2 rad / s const., ~ = const., ú>.3 = O, = 1,2 m, 02A = 0,6 m, e = 60° Y f3 = 45°. 45°. = f3 Y 60° = e m, 0,6 = 02A m, 1,2 = 1 2 O, = const., ú>.3 1 2

ee °°°°

7.47 La cápsula cápsula de de prueba prueba de de un un simulad simulador de vuelo vuelo consisconsisor de La 7.47 te en un un tambor tambor que que gira gira alreded alrededor del eje eje a-a a-a con una una velocivelocicon del or te en dad angular constan constante p relativa alal armazó armazónn cilíndric cilíndricoo A. A. Este Este relativa p te dad angular armazónn está está montad montadoo sobre sobre cojinete cojinetess transve transversales horizontatahorizon rsales armazó les yy gira gira alreded alrededor del eje ejehorizon horizontal b-bcon con velocid velocidad consad constal b-b or del les tante Todo elel conjunt conjuntoo se se hace hace girar girar alreded alrededor del eje eje fijo fijo or del Todo tante

e.e.

473


velocidad angular constan constante Expresarr la acelevertical z zcon convelocid vertical ad angular te Q.Q.Expresa la aceleración angular angular a.adel deltambor tambor giratori giratorio durante elelmovimi movimiento ración o durante ento compuesto para un unvalor valor dado dado de 8. compue sto para de 8. Resp. a.a== ee(p(psen sen 88- Q)i n)i - -(pQ (pn cos cos 8)j 8)j++(pe (pe cos cos8)k 8)k Resp.

zz

mente, or del mente, eleltambor tambor BBgira gira alreded alrededor deleje ejexxcon conuna una velocid velocidad ad constan te ~ = 0,15 rad I s y el módulo e da vueltas en el tambor constante /3 = 0,15 rad/ s y el módulo e da vueltas en el tambor a alalavelocid ad constan te pp= =0,9 velocidad constante 0,9rad rad/I s sen enelelsentido sentido indicad indicado. o. Para estas condici ones, determi nar ad angular Para estas condiciones, determinar lalavelocid velocidad angular wwyylala acelerac ión angular or eecuando aceleración angular Cl'adel delsimulad simulador cuando pasa pasa por por lalapoposición sición f3f3==OO ~ 7.49 ~ 7.49

I

ElElmotor te motor hace hace girar girar alaldisco disco aalala celerida celeridadd constan constante

pp ==30 s, elel motor or del 30radl rad/ s.s.Ademá Además, motor oscila oscila alreded alrededor del eje eje horihori-

ee

a ~'3__ ._-. ~Q

zontal te ==22rad zontal BO BO(eje (ejey)y) aalalacelerida celeridadd constan constante rad/l s.s.AAlalavez, vez, todo el conjunt o rota alreded or del todo el conjunto rota alrededor del eje eje vertical vertical e-e e-eaalala velocivelocidad te qq ==88rad dad constan constante rad/I s.s. Hallar, Hallar, para para elel instante instante en en que que 8e== 30°, la acelerac ión angular Cl' ión aa del 30°, la aceleración angular a del del disco disco yy la la acelerac aceleración del punto punto AA del del borde borde inferior inferior del del disco. disco. Los Los ejes ejes x-y-z x-y-z son son solidasolidarios rios de de la la carcasa carcasa del del motor motor yy elel plano plano O-xo-Y O-xo-yes es horizon horizontal. tal. Resp. Resp. aa == -- 52,li 52,li -- 9,23j 9,23j ++120,2k 120,2k m m/i s2 s2 Cl' = 13,86i + 208j + 52k radl s2 a = 13,86i + 208j + 52k rad/ s2

x-x n


• 7.48 Un Un simulad simulador, para perfecc perfeccionar el procedi procedimiento de 7.48 or, para ionar el miento de contacto con con el suelo suelo de de una una astrona astronave, consiste en una estruccontacto ve, consiste en una estructura A montad montada a sobre sobre cuatro cuatro apoyos apoyos con con cojinete cojinetess neumát neumáticos, tura icos, manera que que puede puede traslada trasladarse girar libreme libremente sobre de tal manera rse yy girar nte sobre superficieie horizon horizontal. Montado o en en la la estructu estructurara hay hay un tamla superfic tal. Montad un tambor bor B que puede alrededoror del del eje eje horizon horizontaltal de de la estrucB que puede girar girar alreded la estructura A. Los ejes coorden coordenados tura Los ejes ados x-y-z x-y-z son son solidarios solidari os del del tambor, tambor, yy el forma un el eje forma un ángulo ángulo f3 con con la la horizontal. horizon tal. Dentro Dentro del del tambor tambor está el módulo está e que puede girar, módulo de de mando mando simulado simulad o e que puede girar, indeindependientemente pendien temente del del tambor, tambor, alrededor alreded or de de su su eje eje z, z, con con una una vevelocidad locidad p. p. Para Para una una cierta cierta prueba, prueba, la la estructura estructu ra móvil móvil AA está está girando sobre girando sobre la la superficie superfic ie horizontal, horizon tal, en en el el sentido sentido mostrado, mostrad o, con una con una velocidad velocid ad angular angular constante constan te de de 0,2 0,2 rad/ rad l s.s. SimultáneaSimultá nea-

_x

~

---1.e

xo

v

e

Figura problema problema 7.49 7.49 Figura ~ 7.50 Para las mismas condici ones especifi cadas en el pro~ 7.50 Para las mismas condiciones especificadas en el problema tipo 7.2, 7.2, salvo salvo que que Yy aumenta aument a constantemente constan temente aa razón razón de blema tipo de 3n rad l s, hallar la velocid ad angular w y la acelerac ión angular 3nrad/ s, hallar la velocidad angular w y la aceleración angular Cl' del rotor para la posició n y = 30°. (Sugeren cia: Aplicar Aplicarlalaecuaecuaa del rotor para la posición y= 30°. (Sugerencia: ción 7.7 alal vector vector eaw para parahallar hallar aCl'.. Obsérvese Obsérv ese que que en enelelprobleprobleción 7.7 ma tipo 7.2 n ya ya no no es es lala velocidad velocid ad angular angular completa comple ta de de los los ma tipo 7.2 ejes.) ejes.)

a

Resp. eaw == n(n(-3i3i++J3j J3j++5k) 5k)rad/ rad lss Resp. 2(4J3i + 9j + 3J3k) rad s2 aCl' == nn2(4J3i + 9j + 3J3k) rad/ ls2


I

7.51 ElElrotor rotordel delgiroscopio girosco piode delalafigura figurasesemueve mueveaalalave~~7.51 velocidad constan te de 100 rpm, relativa losejes ejesx-y-z x-y-zyyenenelel locidad constante de 100 rprn, relativa aalos sentidoindicado. indicad o.SiSielelángulo ánguloyque yqueforma formaelelanillo anillodedelalasussentido suspensión cardan con el plano horizon tal X-yysesehace hacecrecer creceruniunipensión cardan con el plano horizontal Xformem entea arazón razóndede44rad/ rad Is syysisielelconjunto conjunt osesefuerza fuerzaa a formemente tenerprecesión precesi ónenentorno tornoa alalavertical verticalalalritmo ritmoconstante constan tededeNN== tener rpm,calcular calcularelelmódulo módulodedelalaaceleración acelerac iónangular angularaCl'del delro2020rpm, ro-

474 474


L 4 d

p el

III

q\ gE es re

su

dE

H¡

Pe rel

tor cuando y= 30°. 300. Aplicar la ecuación 7.7 7.7 a la velocidad an angugular del rotar. rotor. Resp. ex == 42,8 42,8 rad/ rad / S2 Resp.

Z y

I

miento a lo largo de la circunferencia horizontal horizontal de radio R, determinar velocidad angular determinar las expresiones de la velocidad angular w y de la angular O' de la rueda. eje x permanece aceleración angular rueda. El El eje permanece siempre horizontal. Resp. Resp. w = p[j p[i cos

I

i!

O' =

e + ~)J ee + k( k( sen e ~)J

(R;.2 (R~2 cos e} yy

//

\

\

8tE

____

---- ----


~ 7.52 La rueda rueda de radio r puede puede girar alrededor ~ alrededor del eje eje eo, el cual gira a su vez en torno al eje eje vertical a la veacodado ca, Si la rueda locidad constante de pp rad/ rad/ s. Si rueda rueda rueda sin desliza-

M P_____ R -----

1UJJ~

x

B\

\

7.52


SECCiÓN SECCiÓN B. CINÉTICA CINÉTICA

7.7

0-

de ar

aleos

eel

MOMENTO CINÉTICO CINÉTlCO MOMENTO

cualquiera, rígido o no (ec. (ec. La ecuación de la fuerza para para Un un sistema material material cualquiera, 4.10 generalización de la segunda segunda ley de Newton 4.10 4.6),es 4.6), es la generalización Newton para para el movimiento movimiento de un un punto punto material material y no precisa de ninguna ninguna explicación más. En cambio, la ecuación del momento momento no es tan sencilla como la primera primera de las ecuaciones 6.1 6.1 para el movimiento movimiento plano, ya que la variación variación del momento momento cinético tiene, en para el movimiento movimiento tridimensional, tridimensional, algunas algunas componentes componentes que no aparecían aparecían en el movimiento plano. movimiento Consideremos ahora un cuerpo un movimiento movimiento cualConsideremos ahora Un cuerpo rígido que ejecuta un quiera en el espacio (fig. 7.12a). x-y-z son solidarios al cuerpo 7.12a). Los ejes x-y-z san solidarios cuerpo y su origen se encuentra velocidad angular encuentra en el centro de masa G. La velocidad angular w del cuerpo cuerpo es la velocidad velocidad angular x-y -z observada angular del sistema sistema x-y-z observada desde desde el sistema sistema de ejes de referencia fijos Y-Z. El momento momento cinético absoluto respecto a fijos XX-Y-Z. absoluto He del cuerpo cuerpo respecto su centro de masa masa G es la suma momentos respecto respecto a G de las cantidasuma de los momentos cantidades de movimiento expresado en la parte (b) del apartado apartado 4.4 en la forma movimiento y fue expresado parte (b) He == ¿(Pi I,(p¡ x mivi), m¡v¡),donde absoluta del elemento de masa mi' mi' donde v¡ Vi es la velocidad velocidad absoluta Pero en el caso del cuerpo cuerpo rígido v¡ W X Pi' p¡, donde donde w x Pi p¡ es la velocidad vi == V + W velocidad relativa m¡ respecto a G. G. Así pues, podemos relativa de mi podemos escribir

v

ro-

He He

= -- vv x ¿miPi I,m¡p¡ + ¿[Pi I,[p¡ x m(w mi co x p¡)] = p;)]

Z I I I I I I

y

x

,,

~ - - --

" x (a) (a)

w

y

,-,,-, -. X xx ''x (b) (b)

Figura Figura

7.12 475


476 476 INTRODUCCiÓN INTRODUCCiÓN A LA LA DINÁMICA DINÁMICA DE LOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS EN EN EL EL ESPACIO

donde v factor común común en el primer primer sumatorio, sumatorio, después después de inverdonde se ha sacado v tir el orden orden del producto producto vectorial y cambiar cambiar el signo. Con el origen origen en el centro de masa G, I,m¡p¡ == mp G, el primer primer término término en He es nulo puesto puesto que I,m¡p¡ mp == o. El El segundo término, sustituyendo sustituyendo m¡ m¡ por por dm y p¡ por p, da gundo

= f[p He = f[p X(lo X(lo x p)] p)] dm

(7.8) (7.8)

Antes de desarrollar desarrollar el integrando integrando de la ecuación 7.8, consideremos consideremos también el caso de un un cuerpo cuerpo rígido rígido que gira en torno a un un punto punto fijo fijo O (fig. (fig. 7.12b). 7.12b). Los ejes x-y-z x-y-z son solidarios solidarios al cuerpo cuerpo y éste y aquéllos aquéllos tienen tienen una una velocidad velocidad angular angular lo. El momento momento cinético respecto respecto a O se expresaba expresaba en la parte parte (b) del apartado a == I,(r¡ donde, para apartado 4.4 como H Ha I,(r¡ x m¡v¡), m¡v¡),donde, para el cuerpo cuerpo rígido, v¡ v¡ == lOX lOX r¡. r¡. sustituyendo mi por dm y ri por por r, el momento momento cinético es Así pues, sustituyendo

y

L tn

(7.9) (7.9)

VE

Se observa observa ahora que en los casos de las figuras 7.12a 7.12a y 7.12b, 7.12b, los vectores vectores posición p¡ Y ri ri vienen vienen dados dados por por la misma misma expresión expresión xi + yj yj + zk. zk. Así pues, pues, de posición p¡ Y las ecuaciones 7.8 y 7.9 son formalmente formalmente iguales y se empleará empleará el símbolo H para para uno y otro caso. El desarrollo desarrollo del integrando integrando de las dos expresiones expresiones del momento cinético se realizará realizará teniendo teniendo en cuenta cuenta el hecho de que las compomomento nentes nentes de lO co son invariantes invariantes respecto respecto a las integrales integrales extendidas extendidas al cuerpo cuerpo y que por por tanto resultan resultan ser multiplicadores multiplicadores constantes constantes de las integrales. integrales. El desarrodesarrollo del producto reducidos térmiproducto vectorial aplicando aplicando a tres vectores, una una vez reducidos nos semejantes, da

de

Ha = f[rx(lO x r)] = f[rx(lO r)] dm

dH = i[(y2 + Z2)úJx

+j[

- yxúJx +

+k[ +k[

2)w (z? + xx2)úJ (z2 yy

- zXúJx

te¡ ea.

ex un

po sei

de po los to

- xzw xZúJz]z ] dm dm - zywz] ]dm dm -zYúJz

-xYúJyy -xYW

in co

(x22 + y2)w dm --zyw zY yúJy + (x y2)úJz] dm z]

I

Ahora, sean

ff ff = f

ff = f f = f f

=

(y2 (y2 + Z2) Z2) dm

i; Ixy =

xy xy dm

Iy y = Iyy

(z2 + X2) X2) dm

I xz = i.;

xz dm xz dm

.;I yz

yz yz

Ix x Ixx

2 + y2) dm 2+y2) Izz = f(X(x

=

(7.10) (7.10)

dm

Las cantidades Iyy e Izz Izz son los llamados cantidades IXX' IXX' Iyy llamados momentos momentos de inercia del cuerpo cuerpo resIxy' IIxzxz e IIyzyz son los productos productos de inerpecto a los ejes respectivos respectivos y las cantidades cantidades Ixy' inercia respecto respecto a los pares pares de planos planos de coordenadas. coordenadas. Estas cantidades cantidades definen definen la manera manera cómo se distribuye distribuye la masa de un un cuerpo cuerpo respecto respecto a los ejes elegidos. apéndice B se ofrece una una exposición exposición completa completa del cálculo de momentos momentos y En el apéndice productos de inercia. Los subíndices subíndices dobles de los momentos momentos de inercia hacen productos hacen una simetría notación que tiene un un significado significado especial en que se conserve una simetría de notación formulación tensoriaP tensorial.' Se observa observa que Ixy expresión la formulación Ixy == Iyx, Iyx' IIxzxz == Iw Iw IIyzyz == Izy. Izy. La expresión queda, al sustituir 7.10, de H queda, sustituir por las ecuaciones 7.10, 11

por ejemplo, ejemplo, Dinámica, Dinámica, del autor autor principal (2" ed., Ed. Reverté 1976). 1976). Véase, por principal (2"


se e taci ine úni mei

taci

lW 19

r-

H H

o

+ (-Iyxw Iyywy y - 1yzwJj IyzwJj (- 1yxwx x + 1yyw + (Izx wx - 1zyw Izywy y + Izzwz)k (- 1zxwx 1zzwz)k

e-

8)

477

IxxÚ\ - Lxyw Ixywyy - 1xzwz)i Ixzwz)i Lxxú\

7.7 MOMENTO CINÉTICO MOMENTO ClNÉTICO

(7.11) (7.11)

y las componentes componentes de H resultan resultan ser

Hx H;

Ixxwx -Ixyw Ixzwz 1xxwx - Lxywyy - 1xzwz

). ad

Hyy == -Iyxwx-Iyywy-Iyzwz H -1yxwx-1yywy-1yzwz

el

Hz Izxwx - 1zyw Izywy y + 1zzw I zz wz 2 Hz = - 1zxwx

(7.12) (7.12)

fi·

.9)

res es, H del

La ecuación 7.11 es la expresión expresión general del momento momento cinético respecto respecto al centro de masa G o respecto respecto a un punto punto fijo fijo O de un cuerpo cuerpo rígido rígido que gira con velocidad velocidad angular angular instantánea instantánea w. w. representaLlamamos la atención acerca del hecho de que en los dos casos representax-y-z son solidarios dos, los ejes de referencia x-y-z solidarios al cuerpo cuerpo rígido. Esto hace que las integrales 7.10 7.10 de los momentos momentos y de los productos productos de inercia sean invariantes invariantes integrales con el tiempo. Si Si los ejes x-y-z girasen respecto a un cuerpo irregular, x-y-z girasen un cuerpo irregular, dichas integrales de inercia serían serían funciones del tiempo, lo que introduciría introduciría una una complinada deseable en las relaciones del momento momento cinético. Se presenta presenta una una cación nada importante en el caso de un cuerpo cuerpo rígido en rotación alrededor de excepción importante rotación alrededor eje de simetría, pues pues entonces entonces las integrales integrales de inercia no se ven afectadas afectadas un eje posición angular angular del cuerpo cuerpo respecto respecto a su eje de rotación. Así pues, pues, suele por la posición conveniente permitir permitir que un cuerpo cuerpo de simetría simetría axil gire respecto respecto al sistema sistema ser conveniente alrededor de uno de los ejes de coordenadas. coordenadas. Además Además de las comde referencia alrededor ponentes de la cantidad cantidad de movimiento movimiento debidas debidas a la velocidad velocidad angular angular n n de ponentes introducir una nueva componente componente del momenmomenlos ejes de referencia, habrá habrá que introducir una nueva dirigida a lo largo del eje de rotación rotación relativa relativa al eje. to cinético dirigida 7.12 la matriz matriz de los momentos momentos y productos En las ecuaciones 7.12 productos de inercia

.10)

resinernla

matriz de de inercia inercia o tensor tensar de de inercia. inercia. A medida medida que varía la oriense conoce como matriz varían también también los valores de los momentos momentos y productos productos de tación de los ejes varían Puede demostrarse demostrarse! 1 que para para un origen origen dado dado existe una una orientación orientación inercia. Puede para la cual los productos productos de inercia son nulos y los moúnica de los ejes x-y-z x-y-z para mentos de inercia 1xv Lzz adquieren adquieren valores estacionarios. estacionarios. Con esta orienmentos Ixx' 1yy Iyy e Izz matriz de inercia toma toma la forma tación, la matriz

dos. tos y

1XX Ix x

acen al en sión

[[

1

O O] O] O

O 1yy O Iyy OO O O O Izz 1zz O

a Véase, por ejemplo, el aapartado 41 de Dinámica, (Z"edición, Véase, pal·tado 41 Dinámica, del autor principal principal (2 edición, Ed. Reverté, 1976). 1976).


478 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA DINÁMICA DE LOS CUERPOS RíGIDOS EL RíGIDOS EN EN EL ESPACIO

y se dice que está diagonalizada. x-y-z para para los que diagonalizada. Los ejes x-y-z que los productos productos de inercia son nulos llaman ejes principales inercia e tlxx.x, Iyy e Izz son los llamainercia nulos se llaman principales de inercia dos momentos momentos principales principales de inercia. Para cada inercia. Para cada origen origen de coordenadas coordenadas los momentos inercia representan mentos principales principales de inercia representan los valores valores máximo máximo y mínimo mínimo y un un valor intermedio momentos de inercia. valor intermedio de los momentos Cuando principales de inercia, Cuando los ejes coordenados coordenados coinciden coinciden con los ejes principales la expresión momento cinético respecto respecto al centro masa o a un un punto punto expresión 7.11 del momento centro de masa fijo fijo se convierte convierte en (7.13)

Figura 7.13 7.13

Para todo todo cuerpo tridimensional es siempre posible situar principaPara cuerpo tridimensional siempre posible situar los ejes principales de inercia. tanto, su momento momento cinético podrá podrá expresarse mediante 7.13, inercia. Por tanto, expresarse mediante aunque por razones razones geométricas puede que ello no sea siempre aunque por geométricas puede siempre fácil. fácil. Excepto cuando uno de los ejes principales principales o cuando Ixx == cuando el cuerpo cuerpo gire alrededor alrededor de uno cuando Ixx Izz¡ los vectores vectores H y w tendrán tendrán direcciones Iyy == Izz¡ direcciones distintas. distintas. El estado un cuerpo rígido puede puede representarse representarse por por la cantidad estado cinético de un cuerpo rígido cantidad de movimiento movimiento total total G masa y el momento momento cinético total G == m en el centro centro de masa He centro de masa, como se indica indica en la figura figura 7.13. En ésta, He He respecto respecto al centro H e se masa por por comodidad, bien es un un vector vector libre. Los ha colocado colocado en el centro centro de masa comodidad, si bien vectores citados propiedades análogas una fuerza un par; así, vectores citados ofrecen ofrecen propiedades análogas a las de una fuerza y un cualquier punto cuerpo es igual igual a He el momento momento cinético respecto respecto a cualquier punto A A no fijo Jijo al cuerpo He (vector libre) más el momento momento respecto respecto a A de la cantidad movimiento. Por cantidad de movimiento. consiguiente, podemos escribir consiguiente, podemos escribir

r b

¡::

e q

TI pt

Cc

mvv

dOl

ral do

(7.14) (7.14)

Esta ecuación un teorema teorema de transferencia transferencia de momentos momentos ecuacion 7.14 constituye constituye un cinéticos. 7.8

7.11

ENERGíA ENERGíA CINÉTICA CINÉTlCA

En el apartado trataba de la dinámica punto material material apartado 4.3 del capítulo capítulo que trataba dinámica del punto obtuvo la expresión expresión de la energía energía cinética T de un sistema material general, se obtuvo un sistema material general, rígido o no, que resultó resultó ser rígido

Silo¡ ment

[4.4]

siendo velocidad del centro masa Y Y p, Pi el vector vector de posición posición respecto respecto al siendo v v la velocidad centro de masa centro masa de un un elemento masa mi . El primer primer término término quedó centro de masa elemento genérico genérico de masa quedó identificado traslación del sistema identificado como la energía energía cinética de traslación sistema y el segundo segundo como la energía movimiento respecto respecto al centro energía cinética asociada asociada al movimiento centro de masa. El término de traslación traslaci~n puede puede escribirse también término escribirse también 11

--2 2

'i'imv mv

rr

siendo velocidad siendo la velocidad cuerpo. cuerpo.

11

--

--

11-

= i mr · r == 'iv. G = ''imr· G

centro de masa masa y G la cantidad movimiento del vv del centro cantidad de movimiento


Cl to O( tica e!

donde do ri¡:: O. La~ 6.9 y6

En el caso de los cuerpos pasa a ser la energía cuerpos rígidos rígidos el término término relativo pasa energía cicidebida a la rotación velocidad respecnética debida rotación del centro de masa. Como p¡ Pi es la velocidad punto material para los cuerpos to al centro de masa del punto material genérico, para cuerpos rígidos rígidos podremos = Ww X Pi p¡, / donde velocidad angular angular del cuerpo. podremos escribir p¡ Pi = donde w es la velocidad Con esta sustitución, sustitución, el término término relativo relativo de la expresión expresión de la energía energía cinética queda queda o

Teniendo en euenta productos mixtos pueden pueden intercambiarse euenta que en los productos intercambiarse el punto y el aspa, o sea que P x Q . R == P . Q x R, podemos podemos escribir punto (w x Pi) p¡) . (w (w x Pi) p¡) = w· Pi p¡ X x (w (w x Pi p¡)) (w = W·

3,

o co aparece multiplicando multiplicando a todos todos los términos términos del sumatorio, sumatorio, podemos Como w podemos común y resulta resulta sacarla factor común d al

se os sí, G

or

donde donde H Hee es el mismo que expresa expresa la integral integral 7.8. Así pues, la expresión expresión general de la energía energía cinética de un un cuerpo rígido rígido cuyo centro de masa está animado de una una velocidad una velocidad velocidad v v y que tiene una velocidad angular angular w co es 1 1-

1 1

T = = zV' zV' G + zW zW . He He

(7.15) (7.15)

4) os

Al desarrollar desarrollar esta expresión expresión sustituyendo sustituyendo en ella el valor de He He dado dado por 7.11 resulta resulta 2 I2 I2) -2 l(IT I = I'izmv mv-2 ú\ + l(Ix XWx + yyOJ yy Wy y + zzOJ zzWz z 'iz xx -

-

(IxyOJxOJ - (Ix ywx yW y

rial ral,

edó do

(7.16) (7.16)

Si los ejes coinciden principales de inercia, la energía Silos coinciden con los principales energía cinética es simplemente TI

.4]

o al

-

+ IxzOJxOJ I xz wxwz Iy z W y W z + IyzOJyOJ z) z )

I --22 l(I 2 II2 II2) l(I-= zmv xxOJx = zmv + zz xX Wx + yyOJ yy Wy y + zzOJ zz Wz z

(7.17) (7.17)

Cuando un cuerpo un punto punto fijo un punpunCuando un cuerpo rígido gira en torno torno a un fijo 0, o cuando cuando un to del cuerpo cuerpo tiene una una velocidad velocidad nula, momentáneamente, momentáneamente, la energía energía ciné= r,~m¡T¡' T¡. Esta expresión expresión se reduce reduce a L~miTi' Ti' tica es T =

°

.El T = ~w·Ha

del

(7.18) (7.18)

donde Ha es el momento momento cinético respecto 0, como puede sustituyendonde respecto a 0, puede verse sustituyendo ri por Pi posición respecto t¡ por p¡ en la derivación derivación anterior, anterior, siendo ri r, el vector de posición respecto a O. O. Las ecuaciones ecuaciones 7.15 y 7.18 son las tridimensionales tridimensionales correspondientes correspondientes a las 6.9 6.9 y 6.8 6.8 del movimiento movimiento plano.


479 7.8 ENERGíA ENERGíA CINÉTICA C1NÉTICA


La La placa placa acodada acodada de de 70 70 kg kg por por metro metro cuacuadrado drado de de superfici superficiee da da vueltas vueltas alrededo alrededorr del del eje eje zzaa lala velocidad velocidad líJ(¡)== 30 30 rad/s. rad]s. HaHallar llar (a) (a) elel momento momento cinético cinético HHde de la la plaplaca ca respecto respecto al al punto punto O O yy (b) (b) lala energía energía cinética cinética TT de de lala placa. placa. Desprec Despreciar iar lala masa masa del del cubo cubo y elel espesor espesor de de la la placa en en compara ción con comparación con la la superfici superficiee de de ésta. ésta.

I I I I

( "--,

xx

Solución nes B.3 y B.9 Solución.. Con Con ayuda ayuda de de las ecuacio ecuaciones B_3y B_9del apéndicee B podemo podemoss esesdel apéndic cribir tos yy product cribir los los momen momentos productosos de inercia inercia de cada cada porción porción,, aplican aplicando do los teoCD CD remas remas de de Steiner Steiner aa cada cada una una de ellas. ellas, En primer primer lugar, lugar, la masa masa ddee cada cada parte parte es es mA 0,125)(70) == 0,875 kg Y mB == (0,075)( mA = = (0,100)( (0,100)(0,125)(70) (0,075)(0,150)(70) kg_ 0,150)(70) == 0,788 kg.

!,\o I I

-- y

A Parte A

\ \

B

\ A

\

y »>

----

\ \

I

[Ixx

= i., + md2J

Ixx == 0,:;5[(0 ,100)2 + (0,125)2 Ixx 0,~;5[(0,100)2 (0,125)2J] + 0,875[(0,050)2 0,875[(0,050)2 + (0,0625)2J (0,0625)2] = = 0,00747 0,00747 kg-mkg·m 2 +

I O

-'( '--"'"-»> -

[Iyy [Izz

0,875 92 kkg·m Iyy == -3-(0,100) 0,~5(0,100)22 = 0,002 0,00292 Iyy g-m 22

= 31ml 2J

Izz == 0,~5 0,~5 (0,125)2 (0,125)2 = 0,00456 0,00456 kg-m2 Izz kg·m 2

= ~m12J

x

[Ixy =

CD En En el el apéndice apéndice B B se se exponen exponen los los teoteoremas remas de de Steiner Steiner para para calcular calcular momomentos mentos

yy productos productos de de inercia inercia

respecto respecto aa ejes ejes que que sean sean paralelos paralelos aa otros otros que que pasen pasen por por el el centro centro de de mamasa. sa. Se Se trata trata de de relaciones relaciones de de gran gran utiutilidad. lidad.

f xy

dm,

[Iy z ==iIyz mdiz] yz ++ mdydzJ [Iyz

Jf

IIxz xz==

IIyzyz

xz dmJ XZdm]

0+0,875(0,0625)(0,050) == 0,00273 == 0+0,875(0,0625)(0,050) 0,00273 kg-mkg·m 2

° °

0,788 ,150) 2++ 0,788[(0,125)2 Ixx =_- 0,;~8(0,150)2 --:¡:z(0 Ixx ,788[( ,125) 2++ (0,075)2J (0,075) 2] 0,018 21 kg-m kg'm22 == 0,01821

Iyy == 0,;~8[(0,075)2 0,~~8[(0,075f++(0,150)2J (0,150)2] Iyy 0,788[(0,0375)2 ++(0,~75)2J (0,0?5)2] == 0,00738 0,00738 kg-m/ ++0,788[(0,0375)2 kg·m 2 Izz == 0,;~8 0,~~8(0,075)2 (0,075)2++0,788[(0,125)2 0,788[(0,125)2++(0,0375)2J (0,0375)2] Izz

0,013 78kg-m kg·m22 ==0,01378 480 480


7.:

gic se de cril mü

Parte Parte B B

- + md2 2] [Ixx == i., Ixx [Ixx + md J

I

coe

kg·m 2 == 0+0,788(0,0375)(0,125) 0+0,788(0,0375)(0,125) == 0,00369 0,00369 kg-m?

[Ixy = Ixy Ixy + mdxdyl mdxd y ] [Ixy

Ixy Ixy

[Ixz = iIxz mdxd z ] [Ixz xz + mdxdzl

Ixz 0+0,788(0,0375)(0,075) = 0,00221 0,00221 kg·m22 xz = 0+0,788(0,0375)(0,075)

[Iyz = iIyz mdyd z ] [Iyz yz + mdydzl

I yz kg·m 2 0+0,788(0,125)(0,075) = 0,00738 0,00738 kg-myz = 0+0,788(0,125)(0,075)

respectivos términos términos da, para para el conjunto La suma suma de los respectivos conjunto de las dos placas, Ixx = 0,0257 kg-mkg·m 2 Ixx

Ixy 0,00369 kg-m? Ixy ~~ 0,00369 kg·m 2

Iyy = 0,01030 Iyy 0,010 30 kg·m22

0,00221 kg-mI xz kg·m 2 xz = 0,00221

Izz = 0,01834 0,01834 kg-m? kg·m 2

I yz 0,01012 kg· kg· m22 yz = 0,01012

cuerpo está dado dado por por la ecuación ecuación 7.11, donde donde (a) El momento momento cinético del cuerpo 30 rad/ rad/ s y (¡)x úlx Y (¡)y úly son nulas. Entonces,

o

Ha = Ha = 30(30(- 0,002 21i - 0,010 12j + 0,018 34k) 34k) N . m ·. s (b)

úl = (¡)z z =

Resp. Resp.

o Recuérdese que empleando empleando las unidades fundamentales fundamentales del momento momento cinético puede expresarse también cinético también js. en kg·m 2js.

La energía energía cinética dada dada por ecuación 7.18 resulta por la ecuación resulta T = ~(w· ~(w . Ha) Ha) = ~(30k). ~(30k). 30(2li - 0,010 12j + 0,018 34k) 30(- 0,002 2li 34k) = 8,25 J J


7.53 Las tres pequeñas pequeñas esferas, de masa masa m cada una, están están rígidamente montadas en el árbol horizontal horizontal que gira, tal como gidamente montadas se indica, con una una velocidad velocidad angular (¡). Despreciando Despreciando el radio radio angular úl. de cada esfera en comparación comparación con las otras dimensiones, dimensiones, esvalores de su cantidad cribir las expresiones expresiones de los valores cantidad de movimiento G y su momento momento cinético Ha Ha respecto respecto al origen miento origen de coordenadas coordenadas O. O. Resp. G= 3mboJ Resp. G = mbúlJ2, mb(¡)J2, Ha Ha = = 3mbaJ

7.54 Se sustituyen problema 7.53 por por sustituyen las tres esferas del problema otras tantas longitud 1 1 cada una, tantas varillas, de masa masa m y longitud una, que se unen centros al árbol que gira, tal como se indica, con unen por por sus centros una velocidad velocidad angular (¡). Los ejes de q.e las varillas varillas se encuentran, una angular to. encuentran, respectivamente, direcciones de los ejes x, yy y z y sus diárespectivamente, en las direcciones metros son despreciables comparados con las otras dimensiometros despreciables comparados dimensiones. Hallar Hallar el momento momento cinético Ha H a de las tres varillas varillas respecto respecto al origen origen de coordenadas coordenadas O. O.

y

y

z problema Figura problema

"'- x »>

7.53

problema Figura problema

7.54

481 481


7.55 7.55 ElElsemicil semicilindro macizode demasa masammrota rotaalreded alrededor deleje eje indro macizo or del zzcon conuna unavelocid velocidad angular (OúJtal talcomo comosesemuestra muestra.. Hallar Hallarsu su ad angular momento cinéticoHHrespecto respectoaalos losejes ejesx-y-z. x-y-z. momen to cinético Resp. HH == mr(O mrto[ [- Resp.

2(2c+b). r ]] 2(2 c3" + b). J +r2:k

3n-

J + 2k

a yy

II

II \\

ij

w'cZi w "6Zi . ~O

Figura problema

.~O yy ... »> ...x

ee

7.57

x

Figura problem problema Figura a

TI

7.55 7.55

7.56 7.56 En En la la figura figura se se muestra muestrann los los compon componentes del sistema sistema entes del de de mando mando de de orientac orientación por rueda rueda de de reacción reacción de de una una nave nave esesión por pacial. pacial. El El punto punto G é es es el el centro centro de de masa masa del del sistema sistema de de nave nave yy ruedas ruedas yy x, z, yy yy zz son son los los ejes ejes princip principales de ese ese sistema sistema.. Cada Cada ales de rueda rueda tiene tiene una una masa m m yy un momen momento de inercia 1 respecto to de inercia 1 respecto aa su propio eje eje y giia gira del modo que se se indica indica con con una una velocid velocidad ad angular angular relativa p. p. El El centro de cada rueda, rueda, que que puede puede tratarse tratarse como un disco de espesor desprec despreciable, se halla halla aa una una distanc distancia iable, se ia b de G. Si Si son Q x' Q y Y y Q z las compon componentes de la velocidad anentes de la velocid ad angular gular de la nave, hallar hallar el momen momento cinético H Hee del del conjunt conjuntoo de de to cinético las tres las tres ruedas. ruedas.

7.58 or del 7.58 La Lavarilla varilla de de masa masa m m yy longitu longitudd 11gira gira alreded alrededor del eje ejeyy como riz de ono recto. ad angular como generat generatriz de un un .ccono recto. Si Sila la velocid velocidad angular alrealrededor to cinético dedor del del eje ejeyy es es (o, úJ, hallar hallar el el momen momento cinético de de la la varilla varilla resrespecto a n particul ar represe pecto a los los ejes ejes x-y-z x-y-z para para la la posició posición particular representada. ntada.

z

ºx' ºy ºz

o """-, "-, x Figura problema problema Figura

z

7.58 7.f

7.59 La La varilla varilla doblemente doblem ente acodada acodad a tiene tiene una una masa masa m 7.59 m yy rota rota alreded or del del eje eje xx con con una una velocidad velocid ad angular angular úJ. (o. Hallar Hallar el alrededor el momomento cinético cinético de de la la varilla varilla respecto respecto al al origen origen de de coordenadas coorden adas mento O para la posición posició n representada. represe ntada. Asimismo Asimis mo determinar determi nar la la enerO para la energía cinética cinética de de la la varilla. varilla. gía Resp. Ha Ho == mb?» mb (O (~i(~i - ~j~j - ¿k), ¿k), TT == ~mb2m2 ;mb 2 m2 Resp. 2

--- --.- yy xx

-'

-'


7.56 7.56

7.57 El Elcubo cubomacizo 7.57 macizode demasa masammyylado ladoaagira giraen entorno tornoaaun uneje eje M-M diagonal diagona l con M-M con una una velocidad velocid ad angular angular úJ.(o. Hallar Hallar lala expreexpresióndel delmomento sión momen to cinético cinéticoHH'del 'del cubo cuborespecto respecto aalos losejes ejesindiindicados. cados. 22

Resp. Resp.HH == ma ma/r,úJ(i ¡;:,(O(i++j j++k) k)

6",,3 6",3


482 482


7.59 7.59

aln tán loc

representativos Problemasrepresentativos Problemas repite queseserepite 7.51,que problem a7.51, delproblema girosco piodel delgiroscopio rotordel 7.60 7.60 ElElrotar los relativa rpm 100 = p te constan ad velocid la a giraa la velocidad constante p = 100 rpm relativa aalos aquí, aquí,gira aniel forma que y ángulo el Si o. indicad sentido el en ejes x-y-z en el sentido indicado. Si el ángulo y que forma el anix-y-z ejes hace X-ysesehace horizon talX-y planohorizontal conelelplano cardancon suspens ióncardan llo delalasuspensión llode tener a fuerza se o conjunt se fuerza a tener rad /ssyysisielelconjunto de44rad/ razónde aumentar aument araarazón consritmoconsverticalalalritmo tornoaalalavertical entorno precisió nen deprecisión movimiento movimi entode rotor del Ho cinético to momen cinético Ha del rotor calcularelelmomento rpm,calcular 20rpm, tante deNN== 20 tantede sales transver y axial inercia de tos momen de inercia axial y transversales Losmomentos 30°.Los cuando y =30°. cuando y= 2 2 2. 3 kg·m 3) 3(10= Iyy = Ixx 2 e 3 kg·m = 6(10-3) sonIIzz son u = 6(10- ) kg·m e Irr = IW = 3(10- ) kg·m .

lejey alrea res-

origen posició n cinéticaTTenenlalaposición energíacinética x-y-zyylalaenergía ejesx-u-z losejes origenOOded elos . representada. La masa del cono es m. m es cono del asa represe ntada. La m h2 6 r ) nI.++pkJ Resp. p Ho =- 10 mr 2:++6~~)Qi Resp.Ho 2

k] p1 ] 2

3 2[(1 _;om1'2[G 3 [(14_+_h1'2 T = _mr 10 2

) Q2+_ 2

2

su 7.62 masammyysu unamasa tieneuna representadatiene espacia lrepresentada cápsulaespacial Lacápsula 7.62 La centro de masa es G. Respecto a su eje z su radio de giro es k, yy k, es giro e d radio su centro de masa es G. Respecto a su eje z respecto al eje x o al y es k' . En el espacio, gira respecto a su sississu a respecto gira , espacio el respecto al eje x o al y es k' . En puntema unpunvez,un velocid adpp== ~.~.AAlalavez, x-y-zaalalavelocidad referenc iax-y-z dereferencia temade totoeedel eje z describe una circunferencia en torno al eje Zo con con Zo eje al torno en rencia circunfe una e describ del eje z una frecuenciaf(vueltas por unidad de tiempo). El eje Zo manmanZo eje El . tiempo) de unidad por eltas ciaf(vu frecuen una tiene momen to Hallarelelmomento espacio. Hallar en elelespacio. constan teen direcció nconstante una dirección tieneuna cinético He de la cápsula respecto a los ejes citados. Adviértase ase Adviért citados. ejes cinético H e de la cápsula respecto a los eje que el eje x está siempre en el plano Z-Zo y que, por tanto, el eje el tanto, por que, y z-zo plano que el eje x está siempre en el yy es perpendicular a Zo· Zo. a es perpend icular Zo Zo

da.

.-~---

~ - ~ ---

~ . l("" ~---¡ ./" C\ ...•.. -r- -- -~~~1 l('

xx

"'- y

""'y

.

"-

~\ II

7.60 problem a 7.60 Figura problema

y rota el mo-

\

circular recto recto de altura altura hh yy radio radio de de la la base base rr gira gira 7.61 El cono circular angular ad velocid la a simetría de eje su or de su eje de simetría a la velocidad angular p. alrededor p. SimulSimulalreded or del ente todo el táneamente el cono cono da da vueltas vueltas alreded alrededor del eje eje xx aa la la vevetáneam ecto al om ento cinético locidad angular angular n Q .. Hallar Hallar el el m momento cinético Ho Ha resp respecto al locidad

enadas

a enerzz II II


7.63 El El disco disco de de masa masa m m yy radio radio rr está está montad montadoo en en el el árbol árbol ver7.63 tical con su plano formando un ángulo a con el plano de rotarotade plano el con a ángulo un do forman tical con su plano del ción del árbol. Hallar la expresión del momento cinético H del H cinético to momen del ón expresi la Hallar árbol. ción del

v II

CL) p

ZZ

xx - ~



483 483


disco disco respecto respecto aaO. O.SiSiaa= 10°,determi determinar ángulo 13{3 que elelmomo= 10°, nar elelángulo que mento cinético cinético HHforma forma con con elelárbol. árbol. mento 2 w [(-sen Resp. HH == ¡mr ~mr2w [( - sen aa cos cos a)i a)i Resp.

(sen22a+ cos22a)k] a)k] ++ (sen a+ 22 cos 4,96° 13{3== 4,96°

7.64 7.64 El El conjunt conjunto, compuesto de la la esfera esfera maciza maciza de de masa masa mm o, compue sto de yy lala varilla varilla uniform uniformee de de longitu longitudd 2c 2c de de igual igual masa masa m, m,rota rota alrealrededor dedor del del eje eje vertical vertical zz con con una una velocid velocidad angular constan constantete w. w. ad angular La La varilla varilla de de longitu longitudd 2c 2c tiene tiene un un diámetr diámetroo pequeñ pequeñoo compar compara-ado do con con su su longitu longitudd yy es es perpend perpendicular la varilla varilla horizon horizontal icular aa la tal aa la la que que está está soldada soldada con con la la inclinac inclinación que se se indica. indica. Hallar Hallar el el ión 13{3que momen momentoto cinético cinético H Ha del conjunt conjuntoo de de esfera esfera yy varilla varilla inclinad inclinada.a. a del

Hallar ón para to cinético Hallar una una expresi expresión para elelmomen momento cinético HHa de las las dos dos a de varillas respecto varillas respecto alalorigen origen OO de de los los ejes. ejes. 2 Resp. a ==2m( 13+ Resp. HHa 2m( jj12[2sen sen? {3+ bb22)wk )wk 7.66 7.66 En En un un ensayo ensayo de de los los paneles paneles solares solares de de una una nave nave espaespacial, ntado se cial, elel modelo modelo represe representado se hace hace girar girar en en torno torno al al eje eje vertivertical ad angular cal aa la la velocid velocidad angular w. co. Si Si la la masa masa por por unidad unidad de de superfic ie de panel es p, escribir superficie de panel es p, escribir,, en en función función de de 8,e,la la expresi expresión ón del to cinético a. Hallar, del momen momento cinético HHa. Hallar, además además,, los los valores valores máximo máximo,, mínimo dio del mínimo ee interme intermedio del momen momentoto de de inercia inercia respecto respecto aa los los ejes ejes que que pasan pasan por por O. O.

zZ

zZ

----1 I --.¡...•..- b--/

,--1-

II II II

II

L...- b b b -'1 II II II II II 0011

I II II II

x --



7.65 Cada Cada una 7.65 una de de las las varillas varillas delgadas delgada s de de longitud longitu d [y 1 y masa masa está soldada soldada al m está eje vertical al disco disco que que gira gira en en torno torno al al eje vertical zz con con una velocidad velocid ad angular una angular ta. w. Cada Cada varilla varilla forma forma un un ángulo ángulo {3 13 con con la vertical vertical y están están contenidas conteni das en en sendos sendos planos planos paralelos paralelo s al al y-z. y-z.

7.67 Se problem a 7.33 7.67 Se repite repite aquí aquí el el disco disco del del problema 7.33 con con sus sus dos dos compon entes de velocid ad angular . Si el disco disco tiene componentes de velocidad angular. tiene una una masa masa de 60 kg, calcular su su energía energía cinética cinética T y el módulo módulo Ha de 60 kg, calcular H a de de su su momen to cinético cinético respecto respecto al al punto punto O. momento Resp. Ha Ha = = 51,5 51,5 kg.m kg·m2/2 / s, T = 223 223 JJ Resp.

Z z

--y -- y

p = 10 rad /s Figura problema problem a 7.67 7.67 Figura

ru di:

7.68 El El cilindro cilindro circular circular macizo macizo de de masa masa m, m, radio radio rr yy longi7.68 longitud b Iota alreded or de su eje geomét rico aa lalavelocidad velocid ad constud b rota alrededor de su eje geométrico cons-

da to la I

(f Figura Figuraproblema problem a 7.65 7.65

7.:

oe

484 484


-------------------------------dos

tante p rad/ s. Simultáneamente, el soporte y su árbol solidario rotan alrededor del eje x a la velocidad m rad / s. Escribir la expresión del momento cinético Ha del cilindro respecto a O con

--y

los ejes de referencia indicados. spaertid de sión imo, a los

z

-, -,

-,

-,

<, <,

Figura problema

7.70

7.71 Se repite aquí el disco uniforme del problema 7.45 con las tres componentes de velocidad angular. Hallar la energía cinética T y el momento cinético Ha del disco respecto a O en el instante representado, en que su plano x-y coincide con el plano X-Y. La masa del disco es m. Figura problema

7.68

Resp. 7.69 El disco tiene una masa velocidades de Ha respecto al

uniforme del problema 7.39, que se repite aquí, de 2,5 kg. Siendo p = 240 rpm y N = 30 rpm las . rotación indicadas, hallar su momento cinético punto fijo O y su energía cinética T. El espesor

del disco es pequeño

Resp.

en comparación

Ha

T

= ¡mr2[-mli+(1+ =

~mr2[

4:22)m2j+2Pk]

mi + (1 + 4::)m~

+ 2p2]

con su radio.

Ha = n: (0,1l23j + O,lk) kg·m2/s

s dos masa de su

T

= 0,456n;2 J

__x _.X

z

1--

".... z

y /'

lOOmm

/' /'

j

Figura problema

/5

7.71

/' /' /'

Figura problema

7.70 El disco macizo de masa m = 2 kg Y radio r = 100 mm rueda sin deslizamiento describiendo una circunferencia de radio b = 200 mm sobre el plano horizontal. Si el eje geométrico del árbol de la rueda gira en torno al eje z con una velocidad angular m = 4n;rad / s, determinar la expresión del momento cinético del disco respecto al punto fijo O. Calcular también

oe

y longiad cons-

7.69

~ 7.72 Se repite aquí el robot del problema 7.15. Para manipular la pieza en forma de halterio, el dispositivo robótico gira en torno a su base a la velocidad constante Q. Simultáneamente, el brazo cilíndrico gira hacia arriba a la velocidad y la garra gira en torno a la recta OG a la velocidad mp' Para unos valores dados de la longitud constante OG = 1 Y del ángulo y, hallar el momento cinético He del halterio respecto al centro de masa G y su momento cinético Ha respecto al punto O. Expresar He en función de sus componentes en los ejes x-u-z y Ha en función de sus componentes en los ejes X-Y-Z. Los rnomen-

r

la energía cinética de la rueda.

485


tos tosde deinercia inercia del delhalterio halterio respect respecto losejes ejesyy yyzzvalen valen 2ma 2ma2 2 y o aalos y elelmomen to de momento de inercia inercia respecto respecto alaleje ejexx es esdesprec despreciable. iable. Resp. H HG =O O Resp. G = xx

que cia: La n relativa que pasan pasan por por O. O. (Sugeren (Sugerencia: La rotació rotación relativa aa x-y-z x-y-z es es Rm/r, Rtolr, donde donde m w ==2n/ 27r/-r.) r.)

27rmr2[1(r R). (R2 )1R 2k]] -R). JJ++ (R2 ----2 - 3 -3)n,2 l--k - r r2 4

2nmr2[ Resp. o == ----Resp. H Ho -- - -1(r -rr 22- RR

HG == -2ma -2ma2y2y HG ~ y

r

r

e

e,

p

R2 R2

4

HG, == 2ma 2ma22(w +QQ sen sen r) y) HG (m pp+ z

== 2m 2m cos cos r[a y[a22(w Q sen sen r) y) _Z2Q _Z2Q sen sen rl y] (mp p ++Q Ho = = -- 2my{a 2mY(a22 ++[2) Z2) Ho y

Ho Hoxx

zz /'

y

y

L pl

Hoz Hoz == 2m[a 2m[a22 sen sen y(m y(wp ++ Q Q sen sen r) y) ++ Z2Q Z2Q cos cos 2rl 2y] p

m

la a cc tie

Z I I I

I

Figura Figura problem problemaa

I I I

111

I

7.73 7.73

~ La índrica de masa m, radio r y 10ftgi~ 7.74 7.74 La cáscara cáscara semicil semicilíndrica longitud b gira en torno tud b gira en torno al eje eje z que pasa por un extremo con velocidad te m. dad angular angular constan constante to. Hallar Hallar el momen momento cinético H de la to cinético cáscara respecto respecto a los ejes x-y-z. x-y-z.

I

/

xx

y

Resp. H == mrm Resp. mrto

(~i (~i+ ~j~ + 2rk) 2rk)

Le de de pr l

problemaa Figura problem

7.72 7.72 xx

7.73 ~~ 7.73

El disco uniforme El uniform e de masa masa m m yy radio radio rr está está montado montad o en su eje, el cual pivota O en torno al eje vertical pivota en en en tomo eje vertical zo. zo. Si Si el el disdisrueda sin deslizamiento deslizam iento y da co rueda vuelta completa a lo da una una vuelta comple ta a lo largo largo del disco fijo de mayor mayor tamaño tamaño en en un un tiempo tiempo r, -r, escribir escribir la la exexpresión del momento momen to cinético del presión ejes del disco disco respecto respecto aa los los ejes x-y-z x-y-z

to é de H,I de Figura problema problema 7.74 7.74 Figura

ahe

salí das co.,

ecu

7.9 7.9

ECUACIONES CINÉTlCAS CINÉTICAS yYENERGÉTICAS ENERGÉTICAS DEL ECUACIONES DEL MOVlMIENTO MOVlMIENTO

Con lala descripción descrip ción del del momento momen to cinético, cinético , las las propiedades Con propie dades inerciales inercia les yy lala enerenergía cinétic deun uncuerpo cuerporígido rígidoestablecidas estable cidasen gía cinética ade enlos losdos dosapartados apartad osanteriores anterio resesestamosen endisposición dispos iciónde deaplicar aplicarlas lasecuaciones ecuacio nescinéticas cinétic asyy energéticas tamos energé ticasgenerales genera les del movimiento. del movim iento. 486 486


Las mie pecl

es

(a) Ecuaciones fcuaciones cinéticas. cinétices. apartado 4.4 4.4 del capítulo 4 establecimos las (a) En el apartado ecuaciones generales de la cantidad cantidad de movimiento movimiento y del momento momento cinético para un para un sistema de masa constante. Tales ecuaciones son

~F =

~M

G

[4.6]

= I-i

[4.7] o [4.9]

Las ecuaciones 4.7 4.7 o 4.9 4.9 para para un sistema cualquiera cualquiera de masa constante constante se exexpresarán ahora mediante mediante la ecuación única ~M LM = = I-i, I-i, donde donde se toman toman los térpresarán punto fijo fijo cualquiera cualquiera O o respecto al centro de masa G. G. En minos respecto a un punto la deducción deducción del principio principio del momento momento se tomaba tomaba la derivada derivada de H respecto a un sistema de coordenadas coordenadas absoluto. Cuando Cuando se expresa H en función de componentes medidas respecto a un un sistema de coordenadas x-y-z que componentes medidas coordenadas móvil x-y-z velocidad angular angular n, la ecuación 7.7 7.7 queda queda en la forma tiene una velocidad

°

~M LM ongilocide la

= =

(~H) (~H)

t xyz

+n nx

H H

= Hyj + Hzk) = CHxi (Hxi + Hyj Hzk) + n nx

H

términos entre paréntesis paréntesis representan representan la parte parte de I-i debida debida a la variación Los términos variación componentes de H, y el producto producto vectorial vectoríal representa representa la parte del valor de las componentes parte debida debida a los cambios de dirección de las componentes componentes de H. Desarrollando Desarrollando el producto vectorial y agrupando agrupando términos términos se tiene producto LM = CHx (Hx - Hyn Hl).z z + Hzny)i Hzo.y)i ~M (Hyy -- Hzn Hzo.xx + Hxnz)j Hxo.z)j + (H

(7.19)

(Hz -- Hxo. + (Hz Hxny Hyn x)k y + Hyo.x)k La ecuación 7.9 es la forma más general de la ecuación del momento 7.9es momento respecpunto fijo fijo 0O,, o respecto al centro de masa G. Las n o. son las componentes componentes to a un punto de la velocidad velocidad angular angular de rotación rotación de los ejes ejes de referencia y las componentes componentes definidas en las ecuaciones 7.12, 7.12,donH, en el caso de un cuerpo rígido, son las definidas donde las ú) ú.lson las componentes componentes de la velocidad velocidad angular angular del cuerpo. Aplicamos ahora la ecuación 7.19 7.19 a un cuerpo rígido en el que los ejes de coordenadas coordenadas son solidarios solidarios al cuerpo. En estas condiciones, cuando cuando se expresan expresan en las coordenacoordenadas x-y-z, x-y-z, los momentos productos de inercia momentos y productos inercia son invariantes invariantes con el tiempo tiempo y n == w. Así pues, para para ejes solidarios solidarios al cuerpo, las tres componentes componentes escalares de la ecuación 7.19 7.19 se convierten convierten en LMx = ~Mx

o enerres eserales

LMy ~My

u,Hx - Hyú.l Hyú)zz + Hzú.l Hzú)yy

= Hy-Hzú.l = Hy - Hzú)x Hxú)z x+ + u,»;

(7.20) (7.20)

LMz = = Hzz - Hxú.l ~Mz HxÚ)yy + Hyú.l Hyú)x x

7.20 son las ecuaciones generales del momento momento para para el moviLas ecuaciones 7.20 un cuerpo rígido con ejes ejes de referencia solidarios solidarios y son válidas resmiento de un pasen por un punto punto fijo fijo O o por el centro de masa G. G. pecto a ejes que pasen

°


487 7.9 CINÉTICAS y Y 7.9 ECUACIONES ECUAClONES CINÉTlCAS ENERGÉTICAS DEL MOVIMIENTO MOVIMIENTO ENERGÉTICAS DEL

488 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A A LA DINÁMICA DINÁMICA DE LOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS EN EN EL EL ESPACIO

En el apartado para un apartado 7.7 7.7 se vio que, en general, para un origen cualquiera cualquiera fijo fijo a un cuerpo rígido, existen tres ejes principales de inercia para para los que se anulan ejes principales anulan los productos de inercia. Si principales productos Si los ejes de referencia coinciden coinciden con los ejes principales de inercia con origen en el centro de masa G o en un punto O fijo un punto fijo al cuerpo y fijo I xy' Iyz e Ixz son nulos y las ecuaciones 7.20 fijo en el espacio, los términos términos Ixy, 7.20 se reducen ducen a

Ct en

pL Er cei

LMx LMX

= Ixxwx -(Iyy-Izz = Ixxwx-(Iyy-Izz)wyw z ){f)y{f)z

LMy LMy

1Iyywy-(Izz-IxJwzwx yy w y - (I zz - 1xJ {f)z {f)x

(7.21) (7.21 )

LM I zz w z -(Ixx-1yy){f)x{f)y LM z z = Izzwz-(Ixx-Iyy)wxwy

ge el] de COI

Estas relaciones se conocen con el nombre Eulerll y se cuentan nombre de ecuaciones ecuaciones de Euler cuentan entre las más útiles de la Dinámica.

Ecuaciones energéticas. Ecueciones energéticas. La resultante resultante de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre un cuerpo rígido puede puede sustituirse por la fuerza resultante sustituir se por resultante LF par resultante momento LM y un par resultante de momento LM aplicados aplicados al centro de masa. La fuerza resultante y el par resultante realizan, por unidad unidad de tiempo, los trabajos LF . v sultante par resultante LMe . w, donde donde v es la velocidad velocidad del centro de masa y w es la velocidad velocidad any LMe Integrando respecto al tiempo desde el estado estado 1 hasta hasta el 2 se gular del cuerpo. Integrando efectuado durante durante ese intervalo intervalo de tiempo. Igualando Igualando obtiene el trabajo total efectuado realizados a los respectivos cambios en la energía cinética, exprelos trabajos realizados según la ecuación 7.15, 7.15, resulta sada según resulta

y l:

(b)

~ LF J2 :¡v LF . v- dt = = 1:¡v . G J2

ff

~ ~

1 1

l

f

2

~

LMe· w dt = 1 :¡ w . H e J2

(7.22)

1

respectivamente, la variación variación de energía energía cinética de Estas ecuaciones expresan, respectivamente, traslación y la variación de energía cinética de rotación durante traslación variación energía durante el intervalo intervalo de tiempo en que actúa LF o LM, LM, y la suma suma de ambas expresiones expresiones es igual a óT. 11T. El teorema teorema de las fuerzas vivas, desarrollado desarrollado en el capítulo 4 para para un sistemateriales y que viene dado dado por ma general de puntos puntos materiales U'1-2 = = U'1-2

I1T+I1Ve+I1Vg g óT+ÓVe+ÓV

[4.3]

cuerpos rígidos en el capítulo 6. 6. La fue aplicado al movimiento movimiento plano plano de los cuerpos válida igualmente igualmente para para los cuerpos cuerpos rígidos en movimiento movimiento tridiecuación es válida anteriormente, el teorema teorema de las fuerzas vivas mensional. Como hemos visto anteriormente, resulta sumamente útil para estudiar las condiciones en los extremos (inicial y resulta sumamente para estudiar final) de los estados de movimiento. movimiento. En estos casos, casos, el trabajo U' 1-2 1-2 realizado realizado final) durante el intervalo intervalo por todas las fuerzas activas exteriores al cuerpo o al sisdurante suma de las variaciones variaciones correspondientes correspondientes de energía cinética tema es igual a la suma I1T, la energía potencial 11Ve Yla gravitatoria Ó 11V óT, potencial elástica Ó Ve Y la energía potencial potencial gravitatoria Vgg.. La determinan de la manera manera habitual habitual descrita variaciones de energía potencial potencial se determinan apartado 3.7. en el apartado desarrolladas en este apartado apartado vamos a liLa aplicación de las ecuaciones desarrolladas mitarla a dos casos de interés particular, movimiento paralelo mitarla particular, el movimiento paralelo a un plano plano o movimiento plano examinan en movimiento plano general y el movimiento movimiento giroscópico, que se examinan apartados que siguen. siguen. los apartados

1 1

honor del m matemático suizo Leonhard Leonhard Euler Euler (1707(1707- 1783) 1783) En honor atemático suizo


Se' ecu 6.4: 1

el C{ situ vim tem

1 efecl

lo,

u ce v,

7.10 7.10 s y

1)

MOVIMIENTO MOVIMIENTO PLANO PLANO GENERAL

489 489 7.10 MOVIMIENTO MOVIMIENTO PLANO GENERAL GENERAL

Cuando todos los puntos puntos de un cuerpo cuerpo rígido describen describen trayectorias contenidas contenidas Cuando un plano plano fijo, fijo,se movimiento en planos paralelos a un se dice que el cuerpo describe un movimiento plano general, tal como se describió en el apartado con relación a la figura 7.3. apartado 7.4 7.4con 7.3. movimiento todas las rectas del cuerpo normales normales al plano plano fijo fijo permanepermaneEn este movimiento cen paralelas paralelas a sí mismas en todo instante. En el centro de masa G se sitúa el origen de las coordenadas x-y-z solidarias x-y con coordenadas x-y-z solidarias al cuerpo, coincidiendo coincidiendo el plano plano x-y plano P del movimiento. el plano movimiento. Entonces, las componentes componentes de la velocidad velocidad angular angular cuerpo y de los ejes solidarios solidarios a él son OJ úJxx = = OJ úJyy = =O OY Y OJ úJzz =¡f #- O. En este caso, las del cuerpo componentes del momento momento cinético según según las ecuaciones 7.12 7.12 serán serán componentes

y las relaciones de momentos momentos de las ecuaciones ecuaciones 7.20 7.20 se reducen reducen a LMx LMy LM z

-- Ixzwz Ixz wz + IyzúJ Iy zOJ/ z 2

= - 1Iyzw yz lÍJzz -= = 1 [zzm zz W z z =

(7.23)

IIxxzzOJ úJz 2

se do

re-

22) de de T.

Se Se ve que la tercera tercera ecuación ecuación de momentos momentos es equivalente equivalente a la primera primera de las ecuaciones ecuaciones 6.1, 6.1, donde donde el eje z pasa pasa por por el centro de masa, o bien bien a la ecuación ecuación 6.4 si el eje z pasa pasa por fijo. 6.4 por un punto punto fijo. Las ecuaciones ecuaciones 7.23 7.23 son válidas válidas para para un un origen origen de coordenadas coordenadas situado situado en el centro de masa, según según se indica indica en la figura figura 7.3, 7.3, o para para un un origen origen cualquiera cualquiera situado situado en un eje de rotación rotación fijo. fijo. Las tres ecuaciones ecuaciones independientes independientes del movimiento plano general vimiento que también también son aplicables al movimiento movimiento plano general son, evidenevidentemente, temente, I,Fx LFx

te4.3]

. La

= max ma¿ = -

I,F LFy y

= ma mayy =

I,Fz LFz

= O O =

ecuaciones 7.23 7.23 encuentran encuentran una una utilización para describir describir el Las ecuaciones utilización especial para desequilibrio dinámico dinámico de árboles y cuerpos cuerpos en rodadura. rodadura. efecto del desequilibrio I

II

TIPO 7.7 PROBLEMA TIPO

idi'vas

'aly ado sis-

'tica .La crita

00

en

Los dos discos, discos, de masa masa mI mI cada uno, uno, están conectados conectados por la barra curva curva doblacuarto circulada en forma forma de dos arcos cuartocirculares. La masa de la barra es m2' O sea, la masa del conjunto conjunto es m == 2ml 2ml + m2' Si masa los discos ruedan ruedan sin deslizamiento por sin deslizamiento un plano horizontal de tal modo que sus un plano horizontal sus centros poseen velocidad constante constante poseen una una velocidad centros o, hallar hallar el valor valor de la fuerza rozav, fuerza de rozamiento que que actúa actúa en cada disco en el insinsmiento tante representado, representado, en que el plano tante plano de la curva está está horizontal. horizontal. barra curva

y


Solució n. Se ento plano Solución. Setrata trata de de un un movimi movimiento plano general general,, ya ya que que los losplanos planos de de momovimient o de vimiento de todas todas las laspartes partes del del sistema sistema son son paralelo paralelos. Eldiagram diagrama para sólido sólido s. El a para libre es yy de libre present presentaa las las fuerzas fuerzas normal normales de rozamie rozamiento en AA yy BBYYel peso total total mg rng nto en el peso que que actúa actúa en en elelcentro centro de de masa masa G, G,donde donde situamo situamoss el elorigen origen de de coorden coordenadas soadas solidarias lidarias alalcuerpo. cuerpo. Ahora aplicam os las nes 7.23 Ahora aplicamos las ecuacio ecuaciones 7.23con conIIyzyz == O OY YÓJÓJzz == O.O. La Laecuació ecuación de momon de mentos e determ inar Ixz, mentos respecto respecto al al eje eje yy requier requiere determinar Ixz, Examin Examinando el diagram diagramaa que que ando el represe nta la ría de representa la geomet geometría de la la barra barra curvada curvada yy represe representado por pp la la masa masa de de la la ntado por barra barra curvada curvada por por unidad unidad de de longitu longitud, tenemoss d, tenemo

yy

IIxz xz ==

++

1t/2 fn/2

1t12 fn/2

(r (r sen sen e)(0)(- rr ++ reos r cos e)pr O)pr de dO (-rsen (- r sene)(r-rc O)(r-r ose)pr cos O)pr de dO

Calcula ndo las Calculando las integral integrales resulta es resulta

II rr lele

II

fJoo fJoo

dm dm

------x -- -- x

IG IG

rr

elII

Hacien do o)z Haciendo o)z == v/r v/r yy

I

ÓJ ÓJzz == O O en la segund segundaa

ecuaciones 7.23,tenemos de las ecuacio nes 7.23, tenemo s

I zz

pondrá CD Se pondrá

cuidado especial especial en en obobcuidado servar los signos correcto correctoss en en las las cocoservar ordenadasas del elemen elementoto de de masa masa dm dm ordenad que entran entran en el el product productoo xz. xz.

FA + FB

Pero como

vv == v (cte.), (cte.), es i1x nx

= O, =

por lo cual FA

= FB

Así pues,

o Cuando Cuando el plano plano de la la barra barra curvada curvada no está está horizontal, horizontal, las las fuerzas fuerzas nornormales males bajo bajo los discos discos ya ya no no son son iguaiguales les

7.

U!

Resp. Resp.

Observ emos además además que, siendo siendo Iyzyz = = O OY ÓJzz Observemos ecuació n de momentos momen tos respectos ecuación respecto s al eje xx nos nos da da

= =

A

gl

OOpara para la posición posició n dada, dada, la la

PROBLEMAS Problemas Problemas introductorios introdu ctorios 7.75 Cada Cada una 7.75 una de de las las dos dos barras barras de de masa masa mm está está soldada soldada aa la la superfic ie del superficie del disco disco que que gira gira en en torno torno al al eje eje vertical vertical con con una una vevelocidad angular angular constante locidad constan te 0). 0). Hallar Hallar el el momento momen to flector flector que que acactúa túa en enla la base base de de cada cadabarra. barra. Resp. Resp. M M == ~~ rnblaJ mblaJ

7.76 El El árbol árbol esbelto esbelto arrastra arrastr a dos dos masas masas puntuales 7.76 puntua les descen tradas, de masa mm cada cada una, una, yy gira descentradas, de masa gira con con una una velocid ad angular angula r constante constan te O)O)tal tal como como se velocidad se indica. indica. Hallar, Hallar, para la la posición posició n indicada, indicad a, las las componentes compo nentes xx ee yy de para de las las reaccio nes en en los los cojinetes cojinet es AA yy BB debidas d ebidas al reacciones al desequilibrio desequ ilibrio dinámi co del dinámico del árbol. árbol.

490 490


~~-

¡_éV

Fi~ura problema

7.77

tfll11'"nYáfrW11tb~flrrf~¡(~Wé~.r«~ lo f3 respecto al eje de rotación z. Siendo

m ?'J~ T constante, hallar el <

O)

"

••

MMen del baseOOdel corresp ondient eaalalabase varillacorrespondiente delalavarilla secciónde enlalasección portaherrarnientas. tas. rramien portahe 3 Resp. 2pboJ3 0J2 Mx==- - 2pb M==Mx Resp.M

constan te velocid adconstante giranaalalavelocidad kggiran de66kg discode árbolyyeleldisco 7.78 ElElárbol rorode 10000 rpm. Si el centro de masa del disco está descentrado rado descent está disco del masa de centro de 10000 rpm. Si el 0,05 mm, hallar las fuerzas horizontales que soportan los cojicojilos n soporta que tales horizon fuerzas las 0,05 mm, hallar netes A y B a causa del desequilibrio. librio. desequi del causa a B y A netes

7.78

Uijj II


tt

200mm 200 mm

t¡

BB


sirque sirmodelo que del modelo esquem a del el esquema muestra el se muestra figura se la figura En la 7.79 En ve para representar el desequilibrio dinámico de un cigüeñal, l, cigüeña un de o ve para represe ntar el desequi librio dinámic en el que el árbol arrastra tres pequeñas esferas de 0,6 kg uniunikg de esferas as en el que el árbol arrastra tres pequeñ das aa él mediante varillas de masa despreciable. Si el árbol gira das él median te varillas de masa desprec iable. Si árbol aa la velocidad fuerzas RAA yy calcular las fuerzas rpm, calcular 1200 rpm, de 1200 constan te de la velocid ad constante R que actúan fuerzas gradesprec ian las fuerzas Se desprecian cojinetes. Se los cojinetes. sobre los R que actúan sobre

7.79

yy

BB

vitatorias. vitatori as.

7.76 Figura problem problemaa 7.76

Resp. RAA Resp. R

ido por 7.77 El agitado agitadorr de pintura pintura de la figura figura está está constitu constituido por El d. longitudd 7b yY masa pp por por unidad unidad de de longitu longitud. una varilla de longitu anad velocid una con irse en la Antes de sumerg sumergirse la pintura pintura,, gira gira con una velocidad anAntes to flector te ro gular constan constante ro en en torno aa su su eje eje z.z. Hallar Hallar el el momen momento flector gular

== RBB = = 615 N B

x

r___

~-

200 mm ' --- /

/ ' 200 mm

\.

zz

) ___ ,

1~

-----r "

O

___

---y - 200mm >~

200 mm

'---/, Y

y

b

~

"

~

! I

T

t Figuraproblem problemaa Figura

b

una aliar, e las ibrio

~ a Figura Figuraproblem problema

7.77 7.77

7.79 7.79

7.80 La Lavarilla varilladelgada delgada de demasa masammyylongitu longitud estámontad montada a d LLestá 7.80 en un manguito giratorio con su extremo desalineado un ánguánguun en un mangui to giratori o con su extremo desalin eado respecto alaleje ejede derotación rotación z.z,Siendo Siendo roroconstan constante, hallar elel te, hallar lolo[3f3respecto

491 491


momen to flector momento flector Mo Mo en en lala base base OO de de lala varilla. varilla. Desprec Despreciar iar elel momen momento debido alal peso peso de de lala varilla. varilla. to debido

z2

200 mrn

2

: f3 /

1-' , 1, 1

,

L

',,"

úJ

mm

<,

'y



Problemas representativos Problem as represe ntativos 7.81 7.81 La varilla varilla de forma forma irregula irregular r tiene tiene una una masa masa p p por por uniunidad dad de longitu longitudd y gira gira en torno torno al eje z del árbol árbol aa la la velocid velocidad ad angular angular constan constantete ro. m. Hallar Hallar el momen momentoto flector flector M M en en la la sección sección A de la varilla. varilla. Se desprec despreciaia el pequeñ pequeñoo momen momentoto que que introdu introdu- peso de la varilla. varilla. ce el peso

7.84 para el el conjunt conjuntoo del del problem problemaa 7.83, el momen momen-7.84 Calcula Calcular,r, para to Hector M en la sección to flector M en la sección O del árbol árbol vertical vertical debido debido a la aceleración ento por ración angular angular cuando cuando se pone pone en movimi movimiento por acción acción ddee un un par par de de 64 64 m m .. N N de de momen momentoto aplicad aplicadoo al árbol árbol en torno torno al eje z. equeño momen z. Se Se desprec despreciaia el el ppequeño momentoto que que introdu introducece el peso peso de las varillas varillas.. 7.85 7.85 El El disco disco delgado delgado de de masa masa m m y radio radio R está está embisa embisagrado grado por tal al extremo un árbol por su su tangent tangentee horizon horizontal extremo de de un árbol giratori giratorioo que que gira velocid ad angular gira en en torno torno aa su su eje eje vertical vertical con una una velocidad angular m. ro. HaHallar forma el plano plano del llar el el ángulo ángulo f3 f3 de de equilibr equilibrioio que que forma del disco disco con con la vertical vertical

Resp. M = Resp. M = Jl3pb J13pb330)2 w2

Resp. f3 f3 = arcos arcos Resp.

4~_? 4~.? SRur SRw-

7. dI

gi cc de

b

:I:~I- --I

b

I

.,k.

I

-,l

--- - z -2

Figura Figura problema problem a 7.81

7.82 Si Si la la varilla varilla del 7.82 del problema problem a 7.81 7.81 se se pone pone en en movimiento movimi ento por acción acción de de un un par por par de de momento momen to Mo Mo respecto respecto al al eje eje zz que que le le aplica el el collarín collarín en aplica enA, A, hallar hallar el el momento momen to flector f1ector inicial inicialM M en en didicha sección sección A. cha A. Se Se desprecia desprec ia el el pequeño pequeñ o momento momen to que que introduintrodu ce ce el el peso peso de de la la varilla. varilla. 7.83 Cada Cada una una de de las 7.83 las alas alas de de 200 200 mm mm de de las las varillas varillas acodadas acodad as soldada s al al árbol árbol vertical soldadas vertical tiene tiene una una masa masa de de 0,12 0,12 kg. kg. Calcular Calcula r el el momen to flector f1ector M momento M en en la la sección sección O O del del árbol árbol debido debido aa la la rotarotación del del conjunto conjunt o en ción en torno torno aa la la vertical vertical del del árbol árbol aa la la velocidad velocid ad constan te de de 1200 constante momento 1200rpm. rpm. Se Se desprecia desprec ia elel pequeño pequeñ o momen to que que introduce introdu ce el el peso peso de de las las varillas. varillas. Resp. Resp. M M == 268 268 m·N m ·N

R

z

z

2

Detalle de de lala bisagra bisagraen enAA Detalle Figura problema problema 7.85 7.85 Figura

7.8: motrax

rner

7.86 La Lagran granantena antena seguidora seguido ra de de satélites satélite stiene 7.86 tieneun unmomenmomen to de de inercia inercia 11respecto respecto aa su su eje ejezz de de simetría simetríayy un to unmomento momen tode de

492 492


7.8( torr

funenfunHallar,en ejesxxeey.y.Hallar, losejes delos unode cadauno inercia respectoaacada inercialol orespecto eje al torno en a angular ión acelerac su e, ión ción orientac e, su aceleración angular o: en torno al eje delalaorientación ciónde meel aplica Z a que M to momen de par un a debida vertical Z debida a un par de momento M que a Z aplica el meZ vertical arrastre . dearrastre. canismode canismo

eje tornoalaleje bol entorno constan tewroen angularconstante velocid adangular unavelocidad conuna girancon bolgiran varila vertical z. Escribir la expresión del ángulo e que forma la variforma que e ángulo del ón expresi la vertical z. Escribir quelala lla tener ro paraque debetenerwpara mínimodebe valormínimo ¿Quévalor vertical. ¿Qué conlalavertical. llacon ? varilla vertical delalavertical? distintade posició ndistinta unaposición adquier auna varillaadquiera -~~ wromin -- -- ~2i ~@i Resp. 21m2' mi n {2i arcos 210)2' Resp. ee-- arcos

zz x

1

I

~ \ ~a

\

o:

!I

\e\ '

\

\ \

---_---o Z

•

x

• - ----- --- x

lele \

I

ii

AA

zz


ee je

7.86 problem a 7.86 Figura problema Figura

e

o e an

forman O formanSi soldada aa O está soldada problem a 7.89 está del problema varilla del la varilla Si la O en O do un ángulo e con la vertical, hallar el momento flector en Hector to momen hallar , vertical la con e do un ángulo árbol del ro debido al efecto combinado de la velocidad angular w del árbol angular ad velocid de ado combin efecto al ebido d yyel el peso varilla. de la varilla. peso de

7.90 7.90

A tangenc ia A de tangencia punto de el punto Hector M en el momen to flector Hallar Hallar el momento misma la cuando m masa y r radio de cular de la varilla semicircular radio r y masa m cuando la misma varilla semicir angular velocid ad angular una velocidad tangent e con una gira alrededor alreded or del eje tangente debimgr debito mgr el momen desprec ia el constante w de gran gran valor. Se desprecia momento te ro constan do al peso de de la la varilla. varilla. 2 2 m2 Resp. Resp. M M = = -- mr mr20)2

7.87 7.87

n: tt

árbol La soldada al árbol Y está soldada kg Yestá masa de 3 kg una masa tiene una placa tiene La placa mor vertical que gira constantemente a 20n rad / s. Calcular el moCalcula rad 20n: temente constan gira vertical que mento consecu encia del desplaca a consecuencia por la placa árbol por al árbol aplicad o al M aplicado mento M

7.91 7.91

o. equilibrio dinámico. io dinámic equilibr Resp. M =-79,O =-79,Oi i m· N Resp. zz

~y

xx ---


cular del 7.88 Si Sila la varilla varilla semicir semicircular del problem problemaa 7.87 7.87se se pone pone en en 7.88 o aa aplicad Mo to momen de par un e d movimiento por acción acción de un par de momento Mo aplicado ento por movimi través del del collarín collarín en en torno torno alal eje eje de de rotación rotación z,z, hallar hallar el el momotravés mento Hector flector inicial inicialM Men en la la sección secciónAA de de lalavarilla. varilla. mento enode

nte en d Ilgira 7.89 Lavarilla varilla OA OA de demasa masa mmyylongitu longitud giralibreme libremente en La 7.89 eleláry O espigón El O. por pasa que tal horizon torno a un eje horizontal que pasa por O. El espigón O y áreje un torno a


7.92 El Elmismo mismo disco disco del del problem problemaa 7.63, 7.63,de de masa masa m m yy radio radio rr 7.92 plano el y está montado en un árbol vertical y entre su plano y el plano plano su entre y vertical árbol un en o montad está rotación del del árbol árbol hay hay un un pequeñ pequeñoo ángulo ángulo a.0:. Hallar Hallar la la exexe rotación dde

493 493


presión del momento fIector M que actúa sobre el árbol a consecuencia del balanceo del disco para una velocidad del árbol de O)rad/s.

de O) para el que la soldadura no esté sometida a ningún par de fuerzas, siendo e = 60° Y b = 1/4. Resp.

O)

==

2)1

ini cié mi

g

-J;X

Y4 /

<,

(j)

qu b.

NE

do

x'

aCE

B

I z

Figura problema

7.92

7.93 Las hojas plegadizas cuadradas y uniformes, de masa m cada una, están articuladas en A y B a la placa cuadrada, la Figura problema

cual es solidaria al árbol que gira en torno al eje vertical z con una velocidad angular constante 0). Hallar la velocidad angular O) necesaria para mantener un determinado ángulo e positivo. Resp.

O)

==

P

7.95

7.96 El anillo incompleto de la figura tiene una masa p por unidad de longitud y está soldado en A al árbol. Hallar el momento fIector M en la sección A del anillo debido a su rotación a la velocidad angular constante 0).

6g tg e b 4 sen e+ 3

z

• En me

do qu COI

Figura problema

Figura problema

7.93

7.94 Si el mecanismo del problema 7.93 gira con una velocidad angular constante mayor que la calculada en la resolución del problema, hallar el momento por rozamiento que deben resistir los pasadores de las bisagras para que las hojas plegadi-. zas se mantengan en el ángulo e especificado.

La varilla uniforme de longitud 1 está soldada en A al Soporte por la cara inferior del disco. Éste gira en torno a un eje vertical con una velocidad angular constante 0). Hallar el valor 7.95

7.96

7.97 Para el anillo incompleto del problema 7.96, hallar el momento torsor T (momento respecto a un eje tangente a la periferia) en la sección B cuando se pone en movim~ento por acción de un par de momento M que el árbol transmite al anillo a través de A. La masa del anillo por unidad de longitud es p. Resp. T= ~M. ~ 7.98 Cada uno de los dos discos tiene una masa m y están soldados al extremo de una varilla rígida de masa mo de modo

494


pie av ap¡ tar bn inc za COI

sió ga efe tan dia

e

que tienen el eje z común una distancia común y están están separados separados por una distancia aplicado a uno estando el conjunto b. Un par M, aplicado uno de los discos, estando inicialmente en reposo, da a los centros de ambos una una acelerainicialmente El rozamiento suficiente para evitar el deslización a == +ai. El rozamiento es suficiente para evitar miento. Deducir Deducir las expresiones expresiones de las fuerzas normales normales N NAA Y Y N superficie horizontal horizontal sobre los discos cuanN BB ejercidas por la superficie comienzan a rodar. Expresar los resultados do comienzan rodar. Expresar resultados en función de la a en vez del momento momento M. aceleración a

~ 7.99 La placa triangular triangular homogénea homogénea delgada ~ 7.99 delgada de masa m soldada al árbol horizontal libremente en los cojicojiestá soldada horizontal que gira libremente netes A y B. Si la placa se suelta suelta en reposo desde la posición horeposo desde rizontal r ep resentada, hallar hallar el módulo módulo ddee la reacción en el rizontal representada, instante después después de iniciado iniciado el movimiento. cojinete A un un instante movimiento. Resp. A == mg mg/6 /6

YI I Y

moogg( ( 1+ a) NA = Resp. N = mg+T mg+Tm 1+3ga) 3g m- oogg(( 1-1 - -a) a) N = mg+ mg+- -m N

I I I

A

B =

22

3g3g

x


~ 7.100 Si la placa triangular 7.99 ~ 7.100 triangular homogénea homogénea del problema problema 7.99 suelta en reposo reposo ddesde esde la posición posición representada, representada, hallar hallar el se suelta módulo después de que la placa módulo de la reacción en el cojinete A después haya girado 90°. 90°. haya girado

por 0-

ión

Resp.


7.11 7.11

ar el aper ac'llo es p.

están odo

AA

= 1!!.S.[7a 1!!.E.[7a + 2bJ 2bJ = 3 2a + b

MOVIMIENTO GIROSCÓPICO: PRECESiÓN PRECESiÓNUNIFORME MOVIMIENTO UNIFORME

problemas de la Dinámica, uno de los más interesantes interesantes es el del Entre todos los problemas movimiento siempre que el eje alredealredemovimiento giroscópico. Este movimiento movimiento se genera siempre cuerpo está en rotación gira a su vez alrededor alrededor de otro eje. Aundor del cual un cuerpo descripción completa completa de este movimiento intervienen desarrollos desarrollos de que en la descripción movimiento intervienen complejidad considerable, los casos habituales giroscócomplejidad habituales y útiles de movimiento movimiento giroscópico se dan dan cuando cuando el eje de un rotor que gira a velocidad constante da vueltas velocidad constante vueltas constante alrededor alrededor de otro eje (movimiento (movimiento de precesión). a velocidad velocidad constante precesión). En este apartado centraremos centraremos nuestra apartado nuestra atención en este caso particular. particular. gran impormovimiento giroscópico son de gran Las aplicaciones técnicas del movimiento tancia. Montado Montado en una suspensión cardan cardan (fig. (fig. 7.19b), 7.19b), el giroscopio queda queda liuna suspensión bre de momentos fija en el espacio momentos exteriores y su eje mantiene mantiene una una dirección fija independientemente de las estructura estructura a la que está unido. independientemente unido. Así es como se utiliguiado inercial y en otros mecanismos za el giroscopio en los sistemas de guiado mecanismos de interno de la suspensuspencontrol direccional. Añadiendo Añadiendo una una masa pendular pendular al aro interno cardánica se consigue que la rotación sión cardánica rotación terrestre terrestre haga haga que el giroscopio tenapunte siempre siempre al norte; este ga precesión precesión de forma que el eje de rotación rotación apunte fundamento de la brújula encontrado efecto es el fundamento brújula giroscópica. El giroscopio ha encontrado también importantes importantes aplicaciones como dispositivo dispositivo estabilizador. estabilizador. Así, mem ediante la precesión controlada de un un giroscopio de gran tamaño diante precesión controlada tamaño montado montado en 495


496 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN A LA LA DINÁMICA DINÁMICA DE LOS CUERPOS EL CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS EN EL ESPACIO ESPACIO

yy

Eje de precesión~i precesión./""i

cblQI cb lQI

= i¡t =

I

Figura 7.14 7.14

y

un buque producir un un momento un buque se consigue consigue producir momento giroscópico giroscópico capaz capaz de de contrarrescontrarrestar el balanceo del buque en el mar. mar. Además, Además, el efecto efecto giroscópico giroscópico es una contar balanceo del buque en una consideración de de suma suma importancia importancia para de cojinetes cojinetes de de rotores roto res sideración para el proyecto proyecto de sometidos precesión forzada. sometidos a precesión forzada. El efecto utilizando primeramente primeramente un un enfoefecto giroscópico giroscópico vamos vamos a describirlo describirlo utilizando enfoque basado en hemos aplicado que físico físico sencillo sencillo basado en los los cálculos cálculos vectoriales vectoriales que que ya ya hemos aplicado a la dinámica plano. Este procedimiento nos nos facilitará una apreciación dinámica del del plano. Este procedimiento facilitará una apreciación física física didirecta del uso de recta del efecto efecto giroscópico. giroscópico. Seguidamente Seguidamente haremos haremos uso de la expresión expresión general genera] del para conseguir una descripción del momento momento cinético cinético (ec. 7.19) 7.19) para conseguir una descripción más más completa. completa. (a) Descripción En un rotor rotor simétriDescripción simplificada. simplificada. En la figura figura 7.14 7.14 se representa representa un simétriuna gran co que que gira gira alrededor alrededor del del eje z con con una gran velocidad velocidad angular angular p, que que llamarellamaremos rotor le aplicásemos fuerzas F mos velocidad velocidad de rotación. rotación. Si al eje del del rotor aplicásemos dos dos fuerzas formando un de momento momento M, cuyo cuyo vector vector representativo estuviese dirigidirigiformando un par par de representativo estuviese do que plano x-z x-z aldo según según el eje x, encontraríamos encontraríamos que el eje del del rotor rotor giraría giraría en en el plano rededor del indicado con una velocidad angular rededor del eje yy en en el sentido sentido indicado con una velocidad angular relativamente i¡t, conocida conocida como como velocidad velocidad de precesión. De esta esta relativamente pequeña pequeña Q == i¡t, precesión. De forma rotación (p), al eje del par (M) y al eje de forma dejamos dejamos identificados identificados al eje de de rotación del par de precesión (O), donde rotación quedan especifiprecesión donde los los sentidos sentidos de de los los vectores vectores de de rotación quedan especificados regla de rotor no gira cados mediante mediante la habitual habitual regla de la mano mano derecha. derecha. El eje del del rotor gira alalrededor del por M como rotor no no rededor del eje x en en el sentido sentido marcado marcado por como sería sería el caso caso si el rotor estuviese estuviese girando girando alrededor alrededor de de su su eje. Para Para que que se comprenda comprenda mejor mejor este este fenófenómeno podemos establecer una analogía rotación y meno podemos establecer una analogía directa directa entre entre los los vectores vectores de de rotación los ya conocidos, para describir los vectores, vectores, ya conocidos, que que sirven sirven para describir el movimiento movimiento curvilíneo curvilíneo de un material. de un punto punto material. En una partícula partícula de En la figura figura 7.15a 7.15a se representa representa una de masa masa m que que se mueve mueve en el plano x-z con una celeridad una fuerza plano con una celeridad constante constante Ivl Ivl == v. La aplicación aplicación de de una fuerza F perpendicular su cantidad cantidad de de movimiento movimiento G = en ésta ésta una vaperpendicular a su = mv produce produce en una variación dG por tanto un vector vector que riación dG == d(mv). d(mv). Vemos Vemos que que dG, dG, y por tanto dv, dv, es un que tiene tiene la didirección de de la fuerza fuerza normal según la segunda segunda ley ley de de Newton G, la cual cual rección normal F según Newton F == G, puede escribirse puede escribirse como como F dt dt == dG. dG. En En la figura figura 7.15b vemos vemos que, que, en en el límite, límite, tg F dt/mv notación vectorial, j, la tg de de = de de = F dt/mv , o sea, sea, F F = mve. mv 8. En En notación vectorial, siendo siendo w = e8j, fuerza queda queda fuerza

F

I I

F,,: z

G=~?_Q~, ---;: '~G ,/ /~; , , (F =

G)

= d(mv)

", x

(a)

(b)

7.15 Figura 7.15

= mwxv = mwxv

que es la expresión expresión vectorial vectorial equivalente equivalente a la ya conocida relación escalar FII que ya conocida relación escalar F" == fuerza normal actuante en en la partícula, de lo que que se trató trató extensaextensamann para para la fuerza normal actuante partícula, de mente en en el capítulo capítulo 3. mente Teniendo presentes esas relaciones, de roroTeniendo presentes esas relaciones, retornemos retornemos a nuestro nuestro problema problema de tación. Recordemos Recordemos ahora ahora que que para todo sistema sistema material material dado, dado, rígido tación. para todo rígido o no, no, puede obtenerse una ecuación análoga análoga M M == Ii Ii referida centro de de masa masa del del puede obtenerse una ecuación referida al centro sistema (ec. 4.9) 4.9) o a un punto fijo O (ec. 4.7). 4.7). Apliquemos Apliquemos ahora ahora esta esta relación relación sistema un punto al rotor simétrico considerado considerado que que se representa representa en en la figura figura 7.15c. 7.15c. Para Para una rotor simétrico una velocidad de de rotación elevada y una de precesión O lenta lenta alredealredevelocidad rotación p p elevada una velocidad velocidad de precesión O dor del del eje y, el momento momento cinético cinético está está representado representado por vector H H == 1p, Ip, dondondor por el vector de 1 I == Izz momento de de inercia inercia del del rotor de rotación. de Izz es el momento rotor respecto respecto al eje de rotación. Inicialmente despreciamos despreciamos la pequeña componente del del momento momento cinético cinético resInicialmente pequeña componente respecto que acompaña acompaña al lento movimiento de de precesión. aplicación pecto al eje yy que lento movimiento precesión. La aplicación del par de momento variación dH dH == d(Ip) en del par de momento M perpendicular perpendicular a H produce produce una una variación momento cinético. emético. Aquí Aquí vemos vemos que que dH, dH, y por tanto dp, vector que que tiene tiene por tanto dp, es el vector el momento dirección del del momento momento M M puesto que M M == Ii, Ii, que que también escribirse la dirección puesto que también puede puede escribirse M dt dt = De la misma misma forma forma que que la variación variación de de la cantidad cantidad de de movimiento movimiento M = dH. De


)

e rl

e d ci

p P ci

ql bl

lic. ejt cu pll tef

la de lac

pn gu un an¡ me yI-. en

de de la la partícula partícula tiene tiene la dirección dirección de de la la fuerza fuerza aplicada, aplicada, la variación variación del del momenmomento cinético del del giroscopio giroscopio tiene tiene la la dirección dirección del del momento momento del del par par de de fuerzas fuerzas to cinético aplicado. Vemos, Vemos, pues, pues, que que existe existe analogía analogía entre entre los los vectores vectores M, M, H Y dH dH Y los los aplicado. vectores F, G Y Y dG. Con Con estas estas observaciones, observaciones, ya no no debe debe extrañar extrañar que que el vector vector vectores ya de rotación rotación sufra sufra una una variación variación en en la la dirección dirección de de M, M, provocando provocando así la la preceprecede así sión del del eje del del rotor rotor alrededor alrededor del del eje eje y. sión En En la figura figura 7.15d 7.15d vemos vemos que que durante durante el tiempo tiempo dt el momento momento cinético cinético Ip lp ha barrido barrido el ángulo ángulo dlfl, dlJf, por por lo que que en en el límite, límite, en en que tg dlfl= dlJf= dlfl, dw, tendremos tendremos ha que tg

497

GIROSCÓPICO: 7.11 MOVIMIENTO MOVIMIENTO GIROSCÓPICO: UNIFORME PRECESiÓN UNIFORME

yy

d lfI lJf

M dt dt M

= -- = lp Ip

I

M~ '-X

o sea sea

M~'-X•••., -,, :II

º

H H= = Ip

Sustituyendo dlfl/dt Sustituyendo dlJf/dt por por el módulo módulo Q de de la velocidad velocidad de de precesión precesión queda queda

n 13

-*"0-

------ ,-,

zz -------.

(7.24)

== H)

j a

o, el n

a enn.

s'n

en ne se to

yy

(7.24a) (7.24a)

que presenta presenta una una analogía analogía completa completa con con la la relación relación anterior anterior F == mw moo x v relativa relativa que movimiento curvilíneo curvilíneo de de una una partícula partícula desarrollado desarrollado entre las las figuras figuras 7.15a al movimiento entre b. Las Las ecuaciones ecuaciones 7.24 7.24 y 7.24a son son válidas válidas para para momentos momentos respecto respecto al centro centro y b. de de masa masa o respecto respecto a un un punto punto fijo del del eje de de rotación. rotación. Puede recordarse recordarse cuál cuál es la la relación relación espacial espacial correcta correcta entre entre estos estos tres tres vectovectoPuede res a partir partir del del hecho hecho de de que que dH, dH, y por por tanto tanto dp, tiene tiene la dirección dirección de de M, M, que que res establece el sentido sentido correcto correcto de de la la precesión precesión !l. O. Así Así el vector vector de de rotación rotación p p tientienestablece de vector M. tres orientade siempre siempre a girar girar hacia hacia el vector M. En En la la figura figura 7.16 7.16 se indican indican tres orientaciones ciones relativas relativas de de los los tres tres vectores vectores compatibles compatibles con con su su orden orden correcto. correcto. En En todo todo problema pues problema este este orden orden debe debe establecerse establecerse correctamente, correctamente, pues de de lo 10 contrario contrario es es probable llegar llegar a conclusiones conclusiones opuestas opuestas a la la correcta. correcta. Resaltemos Resaltemos que que la la ecuaecuaprobable ción ción 7.24, 7.24, al igual igual que que F == ma y M == la, es una una ecuación ecuación de de movimiento, movimiento, por por lo que que el momento momento M representa representa el momento momento de de todas las las fuerzas fuerzas que que actúan actúan sosobre el rotor rotor y que que deben deben quedar quedar de de manifiesto manifiesto en en un un correcto correcto diagrama diagrama para sóbre rotar. Señalemos Señalemos asimismo asimismo que, que, cuando cuando se se obliga obliga a un un rotor rotor a lido libre del rotor. ejecutar ejecutar un un movimiento movimiento de de precesión, precesión, como como es el caso caso de de la turbina turbina de de un un barco barco cuando vira, ese cuando éste éste vira, ese movimiento movimiento engendra engendra un un momento momento giroscópico giroecopico M M que que cumcumple en sentido. ple la ecuación ecuación 7.24a tanto tanto en en módulo módulo como como en sentido. En giroscópico En el precedente precedente análisis análisis del del movimiento movimiento giroscópico se se ha ha hecho hecho la hipóhipótesis tesis de de que que la la velocidad velocidad de de rotación rotación es es alta alta y la de de precesión precesión baja. baja. Y aunque aunque en en la ecuación y M, ecuación 7.24 7.24 podemos podemos ver ver que, que, para para valores valores dados dados de de I1y M, la la precesión precesión Q debe ser ser pequeña pequeña si pp es grande, grande, examinemos examinemos ahora ahora la influencia influencia de de Q en en la reredebe lación Volveremos a limitar lación entre entre los los momentos momentos cinéticos. cinéticos. Volveremos limitar nuestra nuestra atención atención a la la precesión uniforme, uniforme, caso caso en en el que que el módulo módulo fi O permanece permanece constante. constante. En En la la fiprecesión gura 7.17 7.17 se representa representa nuevamente nuevamente rotor considerado. considerado. Dado Dado que que éste éste posee posee gura el rotor un momento momento de de inercia inercia respecto respecto al eje y y y que que está está animado animado de de una una velocidad velocidad un al eje angular de de precesión precesión alrededor alrededor del del mismo, mismo, existirá existirá una una componente componente de momoangular de mento según dicho Hz mento cinético cinético según dicho eje. Así Así pues, pues, tenemos tenemos las las dos dos componentes componentes H, == Ip Ioº, donde donde lo representa representa Iyy e I1 representa representa otra otra vez vez Izz. Según Según se indica indica Y Hyy == IoQ, en en la la figura, figura, el momento momento cinético cinético total total es es H. H. Como Como antes, antes, la la variación variación de de H sisi-

º


~" .... "''', ,, x (e) (e)

Podemos observar observar que que los los vectores vectores M, M, fi O Y P son son mutuamente mutuamente perpendiculares Podemos perpendiculares que pueden pueden quedar quedar relacionados relacionados entre entre sí por producto vectorial vectorial y que por el producto

M = lfixp IOxp

'x>dH=d(Ip) ' x> dH= d(Ip)

. (M (M

I

tº=vri

tº=vri I

Mdt=d(Ip) _vr dvr~Mdt=d(Ip) Ip ,;,; I~..... ...... __ ~ -,, '::~---~

~

', ~::__ ___ -----zz --- ',~::

'-', ",

x

(d) (d)

Figura 77 .15 Figura

(continuación) (continuación)

º


7.16 7.16

498 INTRODUCCIÓN A LA INTRODUCCIÓN LA DINÁMICA DINÁMICA DE LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS EN El ESPACIO ESPACIO

yy 1 1

gue gue siendo siendo dH == M dt y el ángulo ángulo de de precesión precesión durante durante el tiempo tiempo dt dt es dlfl dlfl = = aun, == M dt/(Ip)' dt/(Ip). Así Así pues, pues, la ecuación ecuación 7.24 conserva validez y, en en el caso caso M dt/Hz conserva su su validez de de la precesión precesión uniforme, uniforme, constituye constituye una una descripción descripción exacta exacta del del movimiento movimiento en tanto que en tanto que el eje de de rotación rotación sea sea perpendicular perpendicular al eje alrededor alrededor del del cual cual tiene tiene lugar lugar la precesión. precesión. Consideremos Consideremos ahora ahora la precesión precesión uniforme uniforme de de la peonza peonza simétrica simétrica de de la figura 7.18 en en revolución revolución sobre sobre su eje con con una una velocidad velocidad angular angular elevada elevada p p y gura apoyada en rotación forma apoyada en su su punto punto O. En este este caso caso el eje de de rotación forma un un ángulo ángulo e e con con el eje vertical vertical Z alrededor alrededor del del cual cual tiene tiene lugar lugar la precesión. precesión. Aquí Aquí volveremos volveremos a despreciar la pequeña pequeña componente componente del del momento momento cinético cinético debido debido a la precesión precesión despreciar supondremos que que H H es igual igual a Ip, que es el momento momento cinético cinético respecto respecto al eje y supondremos Ip, que de de la peonza peonza asociado asociado únicamente únicamente a la rotación. rotación. El momento momento resultante resultante respecrespecto a O está está producido producido por por el peso peso y vale vale mgr mgi sen sen e, donde donde r es la distancia distancia desdesde de O hasta hasta el centro centro de de masa masa G. En el diagrama diagrama vemos vemos que que durante durante el tiempo tiempo dt el vector vector momento momento cinético cinético Ho Ho experimenta experimenta una una variación variación dH dHoo == Mo Mo dt en en la dirección dirección de Mo M¿ Y que que e permanece permanece constante. constante. El incremento incremento que que experiexperimenta menta el ángulo ángulo de precesión precesión en en torno torno al eje Z es

1 S

L C

d r. ti

s p e a Si

o

Mdt=dH

Mo dt Mo dt dlfl dw - Ip Ip sen sen e e


Sustituyendo Sustituyendo dlfl/dt dlfl/dt por por Q Q y Mo Mo por por su valor valor mgr mgr sen sen mg¡' mgl- sen sen

ee == IQp IQp sen sen e e

o sea sea

e, tenemos tenemos mgr mgr

ni

= = IQp IQp

que forma que que es independiente independiente de de e. Introduciendo Introduciendo el radio radio de de giro, giro, de forma que y despejando despejando la velocidad velocidad de precesión precesión resulta, resulta,

te I == mk mk22

ni

z z

dH dHo=Madt o = M o dt \",', , '

,,: '-: " ,,

l-l---

1 1 1

Ha ~ Ip

-1-

1

dt¡f :: dljf .i -)...---'"

->:

••••••.

"""

1 1

e -------1I \ \ »: e 1 ~

K

1

A

1

1 1 1 1

_

1

r

:

al B. al ce

p(

"<.,../1 "'<.,... / 1I /,"'"

--

// _

(7.25)

11

X

mg +

\

1

y

1 1

1.---

''xx

''xx Figura Figura 7.18 7.18

A diferencia diferencia de la ecuación ecuación 7.24 que que describe describe exactamente exactamente el movimiento movimiento del rotor de la figura 7.17, cuya precesión está confinada en el plano x-z, la del rotor de figura cuya precesión está confinada en plano x-z, ecuación ecuación 7.25 es una una aproximación aproximación basada basada en en la hipótesis hipótesis de de que que el momento momento cinético cinético asociado asociado a Q es despreciable despreciable comparado comparado con con el asociado asociado a p. En la parparte (b) (b) de este este apartado apartado veremos veremos qué qué error error se comete. comete. Fundados Fundados en en este este estudio, estudio, la peonza con el ángulo peonza tendrá tendrá un un movimiento movimiento de de precesión precesión uniforme uniforme con ángulo constanconstante e e únicamente únicamente si se pone pone en en movimiento movimiento con con un un valor valor de de Q que que satisfaga satisfaga la ecuación ecuación 7.25. Si no no se cumplen cumplen estas estas condiciones, condiciones, la precesión precesión resulta resulta desigual desigual y e e puede puede oscilar oscilar con con una una amplitud amplitud que que aumenta aumenta cuando cuando disminuye disminuye la velocivelocidad dad de de rotación. rotación. El correspondiente correspondiente movimiento movimiento de de vaivén vaivén del del eje de de giro giro se conoce conoce como como nutación. nutación.

(b) Un estudio Ahora estudio más más completo. completo. Ahora vamos vamos a utilizar utilizar directamente directamente la ecuaecuación 7.19, que que es la ecuación ecuación general general del del momento momento cinético cinético para para el caso caso de de cuercuerción po po rígido, rígido, aplicándola aplicándola a un un cuerpo cuerpo en en rotación rotación sobre sobre su su eje de simetría simetría de de revolución. punto o del del revolución. Esta Esta ecuación ecuación es válida válida para para rotación rotación alrededor alrededor de de un un punto centro de masa. masa. Una Una peonza, peonza, el rotor rotor de un un giroscopio giroscopio y una una cápsula cápsula espacial, espacial, centro de constituyen meconstituyen ejemplos ejemplos de de cuerpos cuerpos cuyos cuyos movimientos movimientos pueden pueden describirse describirse mediante diante las ecuaciones ecuaciones de la rotación rotación en en torno torno a un un punto. punto. Las ecuaciones ecuaciones de de momomento mento para para este este tipo tipo general general de problemas problemas son son bastante bastante complicadas complicadas y su


ejl

dE

o la

resolución completa completa conlleva el empleo de integrales integrales elípticas y cálculos un buena parte parte de los problemas problemas técnicos en los que el movitanto laboriosos. En buena miento es una una rotación intervienen intervienen cuerpos que presentan presentan simetría en torno a un eje. Esta simetría introduce simplificaciones y facilita en gran manera simetría introduce manera la resolución de las ecuaciones. Consideremos Consideremos un cuerpo con simetría axial (fig. (fig. 7.19a) que gire en torno a un punto punto O de su eje, eje, el cual hacemos coincidir con la dirección z. z. Tomando Tomando O convierten automáticamente automáticamente en ejes principales principales como origen, los ejes x e y se convierten de inercia junto junto con el eje eje z. Podríamos Podríamos emplear emplear la misma descripción descripción para para la rotación de un cuerpo simétrico análogo en torno a su centro de masa G que se tomaría tomaría como origen origen de coordenadas, coordenadas, tal como se indica en el giroscopio con suspensión suspensión cardan cardan de la figura 7.19b. 7.19b. También en este caso los ejes ejes x e y son principales punto G. principales de inercia para para el punto G. Igualmente Igualmente podría podría emplearse emplearse esta descripción para para representar representar la rotación rotación en el espacio de un cuerpo de simetría axial, tal como la cápsula cápsula espacial de la figura 7.19c, 7.19c, en torno a su centro de masa. Se Se observa en cada caso que, independientemente independientemente de la rotación de los ejes de la rotación del cuerpo en torno a los ejes (en torno al eje eje z), z), los momentos momentos o d~ principales principales de inercia respecto a los ejes x e yy permanecen permanecen constantes con el tiempo. Volvemos a designar principales de inercia por Izz Izz == II e designar los momentos momentos principales Ixx = Iyy Iyy = lo. Los productos Ixx productos de inercia son, por supuesto, supuesto, nulos. Antes de aplicar la ecuación sistema de coordenadas ecuación 7.19 7.19 introducimos introducimos un sistema coordenadas que ofrezcan una una descripción descripción natural natural del problema problema considerado. considerado. Esas coordenadas nadas se muestran muestran en la figura 7.20 7.20 para para el caso de rotación en torno a un punpunto fijo fijo O. Los ejes XY-Z están X-Y-Z están fijos fijos en el espacio y el plano A contiene los ejes Xel punto X-yy y Yel punto O del eje eje del rotor. rotar. El plano B contiene el punto punto O y es siempre siempre eje del rotor. rotar. El ángulo e e mide la inclinación del eje eje del rotor rotar respecto normal al eje al eje eje vertical Z y es también también la medida medida del ángulo que forman los planos planos A y B. La intersección de estos dos planos B.La planos es el eje eje x, y éste queda queda situado situado respecto al eje eje X mediante mediante el ángulo IJI 1jI. . El eje eje yy está contenido contenido en el plano B y el eje eje z coincide con el eje eje del rotor. rotar. Los ángulos e e y IJI1jI especifican completamente completamente la eje del rotor. rotar. El desplazamiento desplazamiento angular angular del rotor rotar respecto a los posición del eje ejes x-y-z x-y-z está especificado por el ángulo x ' solidario ángulo

499

GIROSCÓPICO: 7.11 MOVIMIENTO MOVIMIENTO GIROSCÓPICO: PRECESiÓN UNIFORME PRECESiÓN UNIFORME

z

\

(a) (al

--------x --x

(b (bl)

z

\

to

z

Q,, = = Q úJ, W,

donde donde p p

"

¿M ¿Mzz

''(X ''LX \¡feos e i:X iX i¡f cos e

\

= , +P = QQ,+p

= = ~

\

(e) (el

Figura 7.19 Figura A

=

B

ee

CVIM CVIM \

xx

\

\

0-

su

=

Qxx = úJ Wxx = Q

\

XX



-~--~:

~---

---

~~ ~ ----

"

500 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA LOS CUERPOS RíGIDOS EN EL ESPACIO

DE

En la figura 7.20 las componentes de la velocidad angular velocidad angular n de los ejes x-y-z resultan ser Q x ==

e

Qy ==

lÍfsen e

Qz ==

lÍfcos e

ú)x ==

e

ú)y ==

lÍfsen e

ú)z ==

lÍfcos e + p

lA)

del rotor y la

Es importante observar que las velocidades angulares de los ejes y del cuerpo tienen iguales componentes x e y, pero que las componentes z difieren en la ve- . locidad angular relativa p. Las componentes del momento cinético de las ecuaciones 7.12 quedan Hx == Ixxwx == Ioe Hy

== Iyywy == lo lÍfsen

Hz

== Izzwz == I(lÍfcos

e e+p)

Aplicando en la ecuación 7.19 las componentes de la velocidad angular y del momento cinético resulta 1:Mx == Io(8- tif2 sen e cos e) + llÍf{lÍf cos e+ p) sen e 1:My == IoUjfsen e+2lÍfecos

e)-I8(lÍfcos

e+p) (7.26)

1:Mz == I:/lÍfcos

e+p)

1

1

Estas ecuaciones 7.26 son las ecuaciones generales de la rotación de un cuerpo simétrico en torno a un punto fijo O o a su centro de masa G. En un problema específico, la solución de las ecuaciones dependerá de las sumas de los momentos aplicados al cuerpo respecto a los tres ejes de coordenadas. La aplicación de estas ecuaciones vamos a limitada a los dos casos especiales de rotación alrededor de un punto que se describen en las secciones siguientes.

\ d I ti

(c) Precesión uniforme. Ahora vamos a examinar aquellas condiciones en las que la precesión del rotor es a velocidad uniforme lÍf,con un ángulo e constante y a la velocidad de rotación p también constante. Entonces,

lÍf == constante,

ljf==O

e ==

e ==

constante,

p == constante,

p

==

E: ci

8

==

o

(d

m

o

sa pI

y las ecuaciones 7.26 se hacen

sÍ<

1:Mx == lÍfsen e[I(lÍfcos 1:My == 1:Mz ==

o o

e+p)-IolÍfcos

el su

e] (7.27)

1:

7.:

H, De estos resultados se ve que el momento respecto a O (o respecto a G) que ha de actuar sobre el rotor debe tener la dirección x, puesto que son nulas las com-


7.1 laG

lo

la

o e- .

ponentes ponentes y y z. Además, siendo constantes los valores de e, lit' Vr y pp se ve que el momento momento debe ser constante. También es importante importante observar observar que el eje eje de momentos es normal normal al plano por el eje eje de precesión precesión (eje (eje Z) Z) y el eje eje de momentos plano definido por rotación (eje (eje z). z). La ecuación 7.27 7.27 podemos podemos obtenerla obtenerla asimismo teniendo teniendo en cuenta que las componentes x-y-z permanecen componentes de H observadas observadas desde x-y-z permanecen constantes, por lo que (H)x (fi1ryzyz = = O. O. Como en general I:M 1:M = = (H)x (H)xyz yz + n n x H, H, para para el caso de precesión uniforme uniforme tenemos 1:M = I:M

nx n

H H

501

7.11 7.11 MOVIMIENTO MOVIMIENTO GIROSCÓPICO: GIROSCÓPICO: PRECESiÓN PRECESIÓN UNIFORME UNIFORME

(7.28)

que es a lo que se reducen reducen las ecuaciones 7.27 7.27 al sustituir sustituir los valores de n ny H. Aquellos casos, en que la precesión casos, como el de la figura 7.14, 7.14,en precesión tiene lugar lugar alrededor rededor de un eje eje normal normal al eje eje del rotor constituyen constituyen con mucho los ejemplos más corrientes de movimiento movimiento giroscópico que se dan en las aplicaciones téchaciendo las sustituciones sustituciones e e = ni n/2,2, Wz = p, Vr nicas. Entonces, haciendo lit' = Q Y LMx LMx = M 7.27,tenemos de las ecuaciones 7.27, tenemos y

26)

M M

= = IQp IQp

[7.24]

que ya dedujimos dedujimos inicialmente inicialmente en este mismo apartado apartado estudiando estudiando directamente particular. m ente este caso particular. Examinemos ahora la precesión precesión uniforme uniforme del rotor (peonza simétrica) de la 7.20para cualquier valor de e e constante constante distinto distinto a ni 2. 2. El momento momento I:M 1:Mx figura 7.20 para cualquier eje x es debido debido al peso del rotor y vale mgr mgr sen e. Al sustituir sustituir en respecto al eje 7.27 y agrupando agrupando términos términos resulta las ecuaciones 7.27

z Z I

IHee

/,\ /.\

// z

rpo ma mo-

icacle

\-.

Vr es pequeña pequeña cuando cuando p p es grande, grande, por lo que el segundo segundo término término Vemos que lit' segundo miembro miembro de la ecuación se hace más pequeño pequeño en comparación comparación con del segundo I Vrp. Si Si despreciamos despreciamos este término término más pequeño, pequeño, tenemos lit' Vr = mgr mgr I (Ip) (Ip) que, llit'p. sustituciones por Q == lit' Vr y mk mk22 == I que antes, se hace tras las mismas sustituciones

s. las tan-

eha COffi-

//

\\ w t»

\ \// //~~ Hc\ Hc'// ~. ~z·

= .s!... k2p


\ < ,,'/ /

/lIc,c, /lI

\

\

\\//w

y

[7.25]

(d) Precesión Precesión uniforme con momento nulo. Consideremos Consideremos ahora el movi(d) momento externo respecto a su centro de mamiento de un rotor simétrico sin momento movimientos de este tipo se encuentran encuentran en las naves espaciales y sa. Los movimientos movimiento de preceproyectiles que giran sobre sí mismos y tienen a la vez movimiento durante el vuelo. En 7.21 se representa representa un cuerpo de este tipo en sión durante Eh la figura 7.21 eje Z, cuya dirección es fija fija en el espacio, se ha tomado tomado de forma que el cual el eje momento cinético H He, constante al ser su dirección coincida con la del momento e, que es constante 1:Mee == O. O.Los ejes x-y-z fijos de la manera manera descrita en relación a la figura I:M Los ejes x-y-z están fijos 7.20.En 7.21las componentes del momento momento cinético son He == O, O, 7.20. En la figura 7.21 las tres componentes = He sen e ey H H¿z = = H Hee cos e. e. Según las relaciones de definició~ definició~ (ecs. (ecs. He = 7.12), con la notación de este apartado apartado esas componentes componentes son también también He = 7.12), Iow Hee = Iow O,por e es const~te, constante, IowX/x, H Iowyy Y He, He, = Iito; wz · Así pues, Wx = QQxx = O, por lo que e movimiento es una una precesión uniforme alrededor del veclo cual iridica que el movimiento uniforme alrededor

y

\\

-

Q

deducida anteriormente anteriormente suponiendo suponiendo que el momento momento Esta misma relación fue deducida totalmente alineado con el eje eje de rotación. cinético estaba totalmente

.27)

\\

//


y

constante H He. componente xx es nula, la velocidad velocidad angular angular w oo del tor constante e. Como su componente rotar formando un ángulo 13 con el rotor junto junto con el eje Z permanece permanece en el plano plano y-z y-z formando un ángulo relación entre entre 13 y e e se obtiene obtiene de tg e e = HHee y I/ He z = loIoroCOyyI/ (I(Icorozz)'), que es eje z. La relación

502 INTRODUCCiÓN A LA DINÁMICA DINÁMICA DE INTRODUCCiÓN A LOS CUERPOS CUERPOS RíGIDOS RíGIDOS EN EL EL LOS ESPACIO ESPACIO

tg

z

e == loT tg 13

(7.29)

Cono del del espacio espacio I Cono

z

1 1

velocidad angular angular w forma un ángulo constante constante 13 con el eje de roAsí pues, pues, la velocidad un ángulo tación. velocidad de precesión obtiene fácilmente fácilmente de la ecuación ecuación 7.27 7.27 sin más La velocidad precesión se obtiene 0, con lo que resulta que hacer hacer en ella M == 0, resulta

Cono del cuerpo cuerpo

. __

Ip Ip

lfI -- (Io (lo - I) cos lfI

(7.30) (7.30)

e e

resulta evidente evidente que la dirección dirección de la precesión depende de De esta relación relación resulta precesión depende valores relativos momentos de inercia. los valores relativos de ambos momentos

Precesión directa directa lo > I Precesión

> I, será 13 < < e, según según se indica indica en la figura figura 7.22a, 7.22a, y se dice que la precepreceSi lo > directa. En este caso el cono del cuerpo cuerpo rueda rueda sobre el exterior exterior del cono sión es directa. del espacio.

(a) (a)

z II

i¡r\

lo, ' será e e << 13, según según se indica indica en la figura figura 7.22b, 7.22b, y se dice que la preI > lo preSi I> retrógrada. En este caso el cono del espacio espacio es interior interior al cono del cuercesión es retrógrada. po y lÍ' y pp tienen opuestos. tienen signos opuestos.

Cono del espac_i_o-."",""-, z

\/

p\l Precesión retrógrada Precesión retrógrada Io< I

por la ecuación ecuación 7.29 7.29 será e e = 13 y la figura figura 7.22 7.22 indica indica que ambos ánSi II = lo, por han de ser nulos nulos para iguales. En este caso el cuerpo cuerpo no precegulos han para que sean iguales. siona y simplemente simplemente rota con una velocidad angular angular p. situación se da en siona una velocidad p . Esta situación cuerpos simétricos simétricos respecto los cuerpos respecto a un un punto, punto, tales como una una esfera homogénea. homogénea.

\

(b) (b)

7.22 Figura 7.22

.

PROBLEMA TlPO·7.S

El rotor rotar de la turbina turbina del grupo grupo generador generador un barco tiene tiene una una masa masa de 1000 1000 kg de un centro de masa masa en G yy radio de giro con centro giro de 200 200 mm. mm. El eje de la turbina turbina está está monmonhorizontalmente sobre cojinetes cojinetes A tado horizontalmente A yy B dirección de proa a popa yy gira B en la dirección gira en sentido antihorario a 5000 5000 rpm rpm visto visto dessentido antihorario componentes verticaverticade popa. Hallar Hallar las componentes reacciones en los cojinetes cojinetes A les de las reacciones A yy B un viraje viraje a babor (iz(izB si el barco hace un quierda) de 400 400 m m de radio a la velocidad velocidad quierda) nudos (1 (1 nudo nudo == 0,514 0,514 mIs). mls). ¿Se de 25 nudos hunde la proa a causa del efecto eleva o se hunde giroscópico? giroscópico?


Babor (izquierda)

Estribor (derecha)

Q)

serán cojinetes serán los cojinetes en los reaccion es en las reacciones de las Solución. vertical es de compon entes verticales Las componentes Solución. Las más rotor, del peso el por el peso del rotar, más ocasion adas por R2I ocasionadas iguales Rl yy R2' estática s Rl reacciones estáticas las reacciones iguales aa las mode n ecuació La pico. giroscó efecto oo menos el incremento LlR a causa del efecto giroscópico. La ecuación de momenos el increme nto till. a causa del diagrael En N. 3294 = R Y N 5886 = Rl ida mentos de la Estática nos da enseguida Rl = 5886 N Y R 2 = 3294 N. En el diagraensegu 2 da mentos de la Estática nos de velocid ad de la velocidad de la dados de sentido s dados los sentidos ma indican los se indican rotor se del rotar libre del sólido libre para sólido ma para siemtiende rotación de eje de rotación tiende siemel eje Como el n .Como rotación precesi ón n. de precesión velocid ad de la velocidad de la rotación pp yy de estribor hacia estribor apunta hacia M, apunta éste, M, de éste, eje de el eje pre que el vemos que par, vemos del par, eje del el eje hacia el girar hacia pre aa girar del libre sólido para a diagram nado (la derecha), tal como se indica en el mencionado diagrama para sólido libre del mencio el en indica (la derecha), tal como se en BB yy arriba hacia es till. ntos increme los rotar. Por consiguiente, el sentido de los incrementos LlR es hacia arriba en de sentido el iente, consigu rotor. Por reacciones las reacciones Entonces, las M. Entonces, momen to M. de momento hacia par de produc ir el par para producir A, para en A, abajo en hacia abajo serán cojinetes AA yy BB serán en los cojinetes en los

P

y

---~tR¡

yy

,, II

II

cPQ ~Q

B

A

O)

el por el dividid a por barco dividida del barco velocid ad del la velocidad La igual a la es igual precesi ón Q es de precesión velocid ad de La velocidad viraje. del viraje. radio radio del

e

pQJ [v = pQ] [v

e-

no

Q Q

rad / s 0,0321 rad/s 25i~~4) 25i~~ 4) = 0,0321

x

Lilll

t

lOOO(9,81)N lOOO(9,81)N

,

"

- - - - - - . .."".j¿ - -'-

resulta G resulta rotor G del rotar masa del de masa centro de Aplicando 7.24 al centro ecuació n 7.24 la ecuación ahora la Aplican do ahora

eer-

mpJ [M = mp]

[500~621r)J

1,500óR 1000(0,200)2(0,0321) [5oo~62n)J l,500óR == 1000(0,200)2(0,0321)

N 449 N óR = 449 óR

ce-

en ea.

cojinetes son en los cojinetes Las reacciones son pedidas en reacciones pedidas

1

N 449 = 5437 5886 - 449 RAA == 5886 5437 N

®2

y

R RB

B

Resp. N Resp. == 3924 3473 N = 3473 449 = 3924 + 449

reacción, las Observemos que, según según el princip principioio de acción acción yy reacción, las fuerzas fuerzas ahora que, emos ahora Observ ra del estructu la por rotor eje el sobre s que acabamos de calcular son ejercidas sobre rotar por la estructura del ejercida las son que acabam os de calcular yy opuesiguales es reaccion unas barco al barco. En consecuencia, rotar aplica al barco unas reacciones iguales opuesaplica rotor el encia, consecu En barco. ión inferior tas, tal tal como como puede puede aprecia apreciarse ilustración inferior. . Por Por tanto tanto el el efecto efecto del del rse en la ilustrac tas, proa la y ntados represe till. ntos par giroscó giroscópico generar los increme incrementos LlR representados y la proa tenderá tenderá pico es generar par ente). a hundirs hundirse e y la popa popa a elevarse elevarse (pero (pero sólo ligeram ligeramente).

da desde aria observa CD SiSi elel barco barco vira a babor, babor, la rotación rotación es antihor antihoraria observada desde arriba arriba yy el el G) . derecha mano la de regla la según vector de precesión n es hacia arriba mano derecha. arriba hacia vector de precesió n n

® Tras imagina imaginarr el sentido sentido correct correctoo de M aplicad aplicadoo al al rotor, rotor, es es un un error error muy muy frefre2 Tras

do así el principi cuente aplicarl aplicarloo al al barco barco en el mismo sentido sentido,, olvidan olvidando principioo de de acaccuente os. (Si invertid estarán os resultad los s, ción y reacción. Es evidente que, entonces, resultados estarán invertidos. (Si entonce ción y reacció n. Es evident e que, aestabiliz el amiento funcion en poner al tiene Ud un yate cometa error al poner en funcionamiento el estabilizaerror este cometa no tiene Ud un yate o.) restar el balance dor giroscó giroscópico vertical para para contrar contrarrestar balanceo.) pico vertical dor

503


PROBLEMA TIPO 7.9 Se ha propuesto un estación espacial que puede aproximarse satisfactoriamente a cuatro cáscaras esféricas uniformes de masa m y radio r cada una. En primera aproximación, puede despreciarse la masa de la estructura que las une y del equipo interior. Si se diseña la estación para que gire alrededor de su eje z a razón de una vuelta cada cuatro segundos, hallar: (a) el número n de ciclos de precesión para cada revolución alrededor del eje z si el plano de rotación se desota muy poco respecto a una orientación fija y (b) el período de precesión rsi el eje de rotación zforma un ángulo de 20° respecto al eje de orientación fija alrededor del cual tiene lugar la precesión. Dibujar los conos del espacio y del cuerpo para esta última condición.

z e

x

Solución. (a) El número de ciclos de precesión para cada revolución de la estación alrededor del eje z será el cociente entre la velocidad de precesión Vt y la velocidad de rotación p que, según la ecuación 7.30, es

!l = P

CD

la teoría se basa en la hipótesis de que Ix, = II'Y = momento de inercia respecto a cualquier eje que pase por G perpendicular al eje z. Este es nuestro caso y elleclor deberá comprobarlo para su propia satisfacción.

__ 1__ (lo - l)cos

e

7: pe

~mr2

cic eÍE

Los momentos de inercia son

un

Izz

=

1 = 4[~mr2 + m(2r)2]

Ixx

= lo = 2(~)mr2 + 2[~mr2 + m(2r)2] = ~mr2

Si e es muy pequeño, cos se reduce a

=

e == 1 Y el cociente entre

n

!l= p

7.1

las velocidades angulares

56

3

7

3256

3

3-3

Resp.

El signo menos indica precesión retrógrada donde, en este caso, Vt y p son, esencialmente, de signo contrario. Así pues, la estación realiza siete ciclos de precesión por cada tres revoluciones. Para e= 20° y P = 2n/4 rad/ s, el período de precesión es r= Zn] que según la ecuación 7.30 (b)

r

2n

= 2n/4

IIo-1- 1cos ~ 171

po efe

IVtI, con lo

7.1

árt sen

hac

se (

7.1

1

La con

= 4(~)cos20· = 1,61 s

Resp.

axÍi

apa La precesión es retrógrada y el cono del cuerpo es exterior al del espacio, según se indica en la figura, donde el cono del cuerpo, en virtud de la ecuación 7.29, está determinado por tg

1

f3 = I tg e = o

56/3 32/3(0,3640)

504


.

0,6370

f3 = 32,50·

b= el s

pro mie

PROBLEMAS PROBLEMAS Problemas Problemas introductorios introductorios 7.101 profesor de Dinámica Dinámica está enseñando 7.101 Un profesor enseñando a sus alumnos alumnos

fundamentos del giroscopio. giroscopio. Para ello, mantiene mantiene suspendisuspendilos fundamentos da de una una cuerda uno de los extremos cuerda sujeta a uno extremos de su eje horizontal una una rueda rápidamente. Especificar cuál rueda que gira muy muy rápidamente. es el movimiento precesión de la rueda. rueda. movimiento de precesión Resp. antihoraria vista desde desde arriba. arriba. Resp. La precesión precesión es antihoraria z I I

)....--y }--- y

A

/ /

X X

o B


sla


7.102 Si el barco del problema 7.102 problema tipo 7.8 sigue un rumbo rumbo recto

pero su proa desciende en el momento momento en que cae en el seno de proa desciende una ola, determinar determinar la dirección dirección del momento momento giroscópico ejerturbina sobre estructura del casco y su cido por por el rotar rotor de la turbina sobre la estructura movimiento del barco. efecto en el movimiento 7.103 Un automóvil automóvil tuerce a la derecha derecha viajando 7.103 viajando por por una una cales

zada horizontal. Determinar si la reacción normal normal bajo la rueda zada horizontal. Determinar rueda posterior derecha aumenta aumenta o disminuye disminuye a consecuencia consecuencia del posterior derecha ruedas. efecto giroscópico de la precesión precesión de las ruedas. Resp. Disminuye Resp. Disminuye

esp.

7.104 Los dos discos iguales iguales giran giran libremente libremente alrededor alrededor del 7.104

ence-

velocidades angulares angulares del mismo mismo valor valor pero unas velocidades árbol con unas sentidos contrarios, contrarios, tal como se muestra. muestra. A su vez, el árbol sentidos hace girar como se indica Comprobar si el árbol indica al eje vertical. Comprobar se comba como en A o como en B a causa del efecto giroscópico.

nlo

7.105 El ventilador ventilador especial está montado montado como se muestra. muestra. 7.105

esp. , seción

La armadura armadura del motor, el árbol y las paletas tienen una paletas tienen una masa Y un conjunta de 2,2 kg Y un radio de giro de 60 mm. La posición posición ventilador axial b del bloque bloque A de 0,8 kg es ajustable. Con el ventilador apagado, el conjunto está equilibrado cuando apagado, equilibrado en torno al eje x cuando mm. El motor motor y el ventilador ventilador funcionan funcionan a 1725 rpm bb == 180 mm. rpm en sentido indicado. indicado. Hallar Hallar el valor valor de b necesario el sentido necesario para para que se produzca una precesión uniforme de 0,2 rad/ produzca Wla precesión W1iforme rad / s en torno torno al semieje yy positivo. Resp. Resp. b == 216 mm

zz ..---

Figura problema 7.1 7.105 Figu ra problema 05

7.106 Las paletas 7.106 paletas y la cabeza del rotar rotor del helicóptero helicóptero tienen una radio de giro de 3 m respecto al eje de una masa de 64 kg Y Y un un radio rotación Mientras el rotar rpm durante durante un rotación z. Mientras rotor gira a 500 rpm un corto in-

despegue vertical, el aparato aparato se inclina un despegue tervalo que sigue a un adelante a razón grd// s al objeto de ganar ganar velohacia adelante razón de == 10 grd adelante. Hallar Hallar el momento momento giroscópico M M que el cidad hacia adelante. transmite al fuselaje y explicar si el aparato aparato tiende tiende a desrotor transmite sentido horario antihorario tal como lo vería un pahorario o antihorario viarse en sentido mirando hacia adelante. adelante. sajero mirando

ee

505 505


zz \I IIVertical Vertical \1 I I \11I e() wW

oo I~~

--~~-"

~p ~ P _ -~ !.-I L ___--~-# ~) ) ---------"" ---~ ~~ ~,

al

o(

.

ba

r

xx



7.107 7.107 El El rotor rotar de de 210 210 kg kg de de la la turbina turbina de de un un motor motor de de avión avión aa reacción reacción tiene tiene un un radio radio de de giro giro de de 220 220 mm mm yy rota rota en en sentido sentido antihor ario aa 18 antihorario 18 000 000 rpm rpm visto visto de de frente. frente. Si Si el el avión avión viaja viaja aa 1200 1200 km/h km / h yY comien comienza ejecutar un un rizo rizo interno interno de de 3800 3800 m m de de za aa ejecutar radio, radio, calcular calcular el el momen momentoto giroscó giroscópico M que que se se transmi transmitete aa la la pico M estructu estructurara del del fuselaje fuselaje.. ¿Qué ¿Qué enmien enmienda en los los mandos mandos deberá deberá da en efectua efectuar r el el piloto piloto para para manten mantenerse en el el plano plano vertical vertical?? erse en Resp. Resp. M == 1681 1681 m .. N, timón timón aa la la izquier izquierdada 7.108 7.108 Un Un aautobús río contam contaminante experimental está propulpropulu tobús no inan te experi mental está sado sado por por la energía energía cinética cinética que que se alm almacena en un un volante volante de de acena en inercia inercia de gran gran tamaí'io tamaño que que gira gira aa una una velocid velocidad muy alta alta pp en en ad muy el sentido sentido indicad indicado.o. Cuando Cuando el el vehicul vehículoo encuen encuentra una penpentra una diente diente ascende ascendente corta, las las ruedas ruedas delante delanteras se elevan y ello nte corta, ras se elevan y ello hace que hace que el volante tenga precesió precesión.n. ¿Qué ¿Qué variacio variaciones tienen volante tenga nes tienen lugar lugar en las fuerzas fuerzas entre entre los neumát neumáticos la calzada calzada durante durante icos yy la este cambio cambio repentin repentino?o? este

Problem as represe Problemas representativos ntativos 7.110 sor de aire 7.110 Un Un pequeñ pequeñoo compre compresor aire para para cabina cabina de avión avión consta consta de de una una turbina turbina A de 3,50 kg que que mueve mueve el ventilad ventiladoror B de ad de 20 000 rpm. de 2,40 2,40 kg kg aa una una velocid velocidad rpm. El árbol árbol de unión unión está montad o transve rsalmen está montado transversalmente te a la direcció direcciónn del vuelo vuelo y se ve desde desde la la parte parte posterio posterior r del avión. avión. Los radios radios de de giro giro de de A y B B son ,0 mm ivamen te. Hallar son de de 79,0 79,0 mm mm yy 71 71,0 mm respect respectivamente. Hallar las fuerzas fuerzas radiales radiales que que actúan actúan sobre sobre los cojinete cojinetess C y O si el avión avión hace hace un tonel longitud inal de tonel (rotació (rotaciónn alreded alrededoror del del eje longitudinal de vuelo) vuelo) en sentisentido parte trasera del aparato do horario, horario, visto visto desde desde la la parte trasera del aparato, , de rad/s. de 2 rad / s. Se ian los pequei'ios momentos momen tos debidos debidos a los Se desprec desprecian los pequeños los pesos de pesos de los rotores. Dibujar un diagrama diagram a para para sólido sólido libre los rotores. Dibujar un libre del del árbol árbol visvisto arriba ee indicar la forma forma que que adquiere adquier e su to desde desde arriba indicar la su eje eje geomégeométrico con la deformación. deform ación. trico con

e o

7.1 ~ apo: mac de 3 viste eje v dica sopc

A A

e

D

1.1~150Jl1111 .•.. .1..... 150

111m

1

-0-0-


7.109 Un Un avión avión acaba 7.109 acaba de de dejar dejar la la pista pista con con una una velocidad velocid ad de de despegu e v. v. Las despegue Las ruedas, ruedas, que que giran gira n libremente, libreme nte, tienen tienen una una masa masa 111 cada cada una una yy un 111 un radio radio de de giro giro lerespecto k respecto aa sus sus ejes. ejes. Vista Vista desde desde la parte parte delantera delante ra del la una del avión, avión, cada cada rueda rueda tiene tiene una velocidad velocid ad angular de de precisión precisió n Q angular Q mientras mientra s el el tren tren de de aterrizaje aterriza je se se pliega pliega bajo el el ala ala en en torno bajo torno al al eje eje O. O. Como Como resultado resultad o del del efecto efecto giroscógiroscópico, el el miembro miembr o soporte pico, soporte AA ejerce ejerce un un momento momen to torsional torsiona l M M sosobre BB para para impedir bre dentro impedir que que el el miembro miembr o tubular tubular gire gire dentro del del mangui to de de B. manguito B. Hallar Hallar M M ee identificar identifi car sisi su su sentido sentido es es el el de de M¡ M1 ooel el deM 2. . deM 2

2Q7! Resp. Resp. M M ==M¡ M 1 ==mle 111~Q!!. rr


7.111 En En la la figura figura se se representa represe nta un un giroscopio girosco pio de 7.111 de eje eje vertical vertica l emplea do para para estabilizar estabili zarun unbarco barco hospital hospital contra contra elelbalanceo. empleado balance o. El motor motor AA gira gira elel piñón piñón que que hace hace lala precesión precesió n del El del giroscopio girosco pio acciona ndo lala gran gran corona corona de de precesión precesió n BByy aa su accionando su rotar rotor solidario solidari o en torno torno aa un un eje eje horizontal horizon tal transversal transve rsal alal barco. barco. El en El rotar rotor gira gira dentro de de su su alojamiento alojami ento aa 960 960 rpm rpm en en sentido sentido horario, dentro horario , visto visto desde arriba, arriba, yy tiene tiene una una masa masa de de 80 80Mg Mg YYun desde ro de un radio radio de de gigiro de 1,45 m. Hallar el momen to ejercido por por elel giroscopio girosco pio sobre 1,45 m. Hallar el momento ejercido sobre lala estructu ra del del casco cascosisielelmotor motormueve muevelalacorona coronaBBde estructura deprecesión precesió n

506 506


7.113 biliza, dencí. haya < tarde monte trasen altura curva

a una los dos dos sentidos una velocidad velocidad de 0,320 rad/ rad/ s. ¿En ¿En cuál cuál de de los sentidos (a) o (b) debería un balance balance del del debería girar girar el motor motor para para contrarrestar contrarrestar un barco barco a babor? babor? Resp. Resp. M == 5410 m . kN; kN; en sentido sentido (b)

Vertical Vertical

Babor Babor (izquierda) ---(izquierda)

~

~

--.......E stribor .......... Estribor (derecha) (derecha)

A

vión or B nión seve

yB

Proa Proa (delante) (delante)

Figura problema 7.111 Figuraproblema

7.112 una masa masa total total de de 10 kg kg YY se 7.112 El motor motor eléctrico eléctrico tiene tiene una apoya disco giratorio. giratorio. La La arapoya en los soportes soportes A y B solidarios solidarios del del disco armadura del motor kg Y Y un un radio radio de giro madura del motor tiene tiene una una masa masa de de 2,5 kg de giro de 35 mm razón de rpm mm y gira gira en en ·sentido sentido antihorario antihorario a razón de 1725 rpm visto desde desde A hacia hacia B. La plataforma plataforma da da vueltas en torno visto vueltas en torno a su de 48 rpm rpm en el sentido ineje vertical vertical a la velocidad velocidad constante constante de sentido indicado. verticales de las fuerzas dicado. Hallar Hallar las las componentes componentes verticales de las fuerzas que que soportan soportan los apoyos apoyos A y B. B.

locidad pp debe girar el rotar rotor y en para contrarrestar locidad debe girar en qué qué sentido sentido para contrarrestar completamente tendencia del volcar en un viraviracompletamente la tendencia del automóvil automóvil a volcar en un bien a la izquierda? izquierda? je a la derecha derecha o bien

mvh mvh id o contrano Resp. pp = -2 ; en as rue rue d as as --2; en senh sentí ·d contrano. a 1as mok mok 7.114 Las dos ruedas iguales iguales tienen tienen una una masa masa de kg Y un rara7.114 Las dos ruedas de 4 kg Y un dio de giro giro kzz == 120 mm mm cada una y ambas montadas en dio de cada una ambas están están montadas en sendos horizontales AB AB sujetos versendos árboles árboles horizontales sujetos en en O a sus sus árboles árboles verticales. En En el caso AB es solidario d e un un manguito ticales. caso (a) el árbol árbol AB solidario de manguito O que gira en torno tomo al eje vertical En el caso caso (b) el que gira libremente libremente en vertical y. En árbol AB es solidario de una una horquilla horquilla articulada manguito árbol AB solidario de articulada al manguito en torno al eje x. Si en posición de de la figura rueda gira gira con en torno en la posición figura la rueda con una velocidad velocidad angular elevada pp == 3600 rpm rpm en torno a su una angular elevada en torno su eje hallar en caso la velocidad velocidad de precesión que pueda exis2, hallar en cada cada caso de precesión que pueda existir flector MAA en en la sección A del árbol. Despretir y el momento momento flector la sección del árbol. Despreciar m asa del del árbol de los los acopladores ciar la pequeña pequeña masa árbol y de acopladores en en O.

yy

I

yy

II.

~400 ~400 80 80 ., .. mm mm ___1 rnm-""¡ 1_ mm-""¡ 1 _ 1 I 1 1 1 xi 1 xii I1/ ../' 1

/¡' /¡.

omé-

r-1---

400 80 ... . mm~ mm ___1 80 mm - I :11_ _ 11 1 mm-I .

1 1

.

1

x 1 x I1/ ../'

1 1 i

1 /r...J-l"";;;;;:~~

.-zz

(a) (a)

(b (b))


7.115 la rueda rueda del problema 7.114 es obligada 7.115 Si la del caso caso (a) del del problema obligada a sufrir precesión en torno torno a la vertical vertical con una velocidad velocidad n == sufrir precesión con una rad / s merced merced a un un mecanismo mecanismo de hallar el momenmomen2j rad/ de arrastre, arrastre, hallar to flector en en la sección sección A del del árbol árbol horizontal. ausencia de to flector horizontal. En En ausencia de rozamiento, ¿cuál momento Mo Mo del del par par de rozamiento, ¿cuál es el momento de fuerzas fuerzas que que se aplica manguito para para mantener mantener ese ese movimiento? movimiento? aplica en en O al manguito Resp. M MAA == 30,9 m . N, Mo Mo == O Resp.

I Cotas en milímetros Figura problema 7.11 Figuraproblema 7.1122

ertical anceo, scopio lidario or gira , visto ira de bre la cesión

7.113 un esta7.113 Un Un automóvil automóvil experimental experimental está está equipado equipado con con un estabilizador giroscópico giroscópico para contrarrestar completamente bilizador p ara contrarrestar completamente la tentendencia tomar una una curva no dencia del del vehículo vehículo a ladearse ladearse al tomar curva (para (para que que no haya cambios cambios en la fuerzas fuerzas entre entre neumáticos calzada). El rohaya neumáticos y calzada). rotor masa mo mo y un un radio radio de giro kk y está tar del del giroscopio giroscopio tiene tiene una una masa de giro está montado un árbol paralelo al puente puente montado sobre sobre cojinetes cojinetes fijos en en un árbol paralelo trasero masa de de éste éste se halla halla a una una trasero del del automóvil. automóvil. El centro centro de de masa altura pasando por por una una altura h sobre sobre la calzada calzada y el vehículo vehículo está está pasando curva una celeridad v. ¿A qué vecurva horizontal horizontal no no peraltada peraltada con con una celeridad v. qué ve-

7.116 de 5 kg kg Y Y su tienen un un radio radio de de giro giro de 7.116 El disco disco de su cubo cubo A tienen de 85 mm mm respecto respecto al eje 20 20 y giran giran con una velocidad velocidad pp == 1250 rpm. rpm. con una Simultáneamente, todo conjunto rota alrededor del Simultáneamente, todo el conjunto rota alrededor del eje vertivertical 22 con una velocidad velocidad Q Q = rpm. Calcular momento gical con una = 400 rpm. Calcular el momento roscópico M M que disco ejerce ejerce sobre sobre el árbol árbol en el punto punto e y el roscópico que el disco momento flector MAA en en la sección sección O del árbol. Despreciar momento flector del árbol. Despreciar la masa del del árbol pero, por tener en en cuenta todas las las masa árbol pero, por lo demás, demás, tener cuenta todas fuerzas mismo. fuerzas que que actúan actúan sobre sobre el mismo.

507 507


1,'

//'

22

20 20

p

d2-e~

\

AA

i \\

o

~ ~

Detalle Detalle del del contacto contacto en la punta en la punta



7.117 7.117 Un Un cono cono circular circular,, recto recto yy macizo, macizo, de de masa masa m, m, radio radio de de la la base base l'r == 100 100 mm mm yy altura altura H H == 31' 31' == 300 300 mm, mm, está está suspend suspendido ido de de su su vértice vértice en en O O yy rota sobre sobre su su eje eje con con una una velocid velocidad 2700 ad pp == 2700 rpm. Hallar el el período de de la la precesi precesión uniformee lenta lenta alredealredeón uniform dor de de la la vertical vertical.. ¿Depen ¿Depende resultadoo del del ángulo ángulo e (}formado de el resultad formad o eje del cono cono yy la la vertical vertical? por el eje ? Resp. 7: = 2,41 Resp. r = 2,41 ss

7.119 7.119 El El rotor rotar de de 44 kg kg de de masa masa yy 75 75 mm mm de de radio radio de de giro giro rota rota sobre rodami entos de bolas ad de sobre rodamiento s de bolas aa una una velocid velocidad de 3000 3000 rpm rpm en en torno nte sobre torno aa su su árbol árbol OG OG que que puede puede pivotar pivotar libreme libremente sobre el el eje eje X or del X yy también también girar girar alreded alrededor del eje eje Z. Z. Calcula Calcularr el el vector vector n npara para la precesió n en iar la la precesión en torno torno al al eje eje Z. Z. Desprec Despreciar la masa masa del del árbol árbol OG OG yy calcular to giroscó pico M calcular el el momen momento giroscópico M que el el árbol árbol ejerce ejerce sobre la la sección sección G del rotor. rotar. Resp. 1,25K rad/ s, M = Resp. n = = --1,25K rad Zs, = 8,3Oi m m-N ·N

Vertical Vertical

7: pio leí y


ba

Figura problema 7.119 7.119 Figuraproblema 7.1:

7.118 La La peonza peonza de 7.118 de 12 12 g, g, con con un un radio radio de d e giro giro de de 16 16 mm mm resres-

pecto aa su su eje pecto eje de de rotación, rotación , gira gira en en el el sentido sentido indicado indicad o con con una una velocid adpp== 3600 velocidad un ángulo 3600rpm. rpm. El Eleje eje de de rotación rotación forma forma un ángulo (} e== 20° con con la la vertical vertical yy entre 20° centro de masa de entre la la punta punta OO yy el el centro de masa de la la peonza hay hay una peonza una distancia distanci a r == 60 60 mm. mm.Hallar Hallar la la precesión precesi ón n n yy explicar por por qué explicar qué (}decrece e decrece paulatinamente paulatin amente en en tanto tanto la la velocivelocidad de de rotación rotación permanece dad detalle perman ece alta. alta. Se Se acompaña acompa ña un un detalle del d el contacto contactoen en lalapunta. punta.

r

7.120 Los Los dos dos conos conos macizos macizo s de de base base común comúnyy alturas alturas iguales 7.120 iguales giran en en el el espacio espacio alrededor alreded or de de su su eje eje común común con con una giran una velocivelocidad p.p. ¿Para ¿Para qué qué valor valor del del cociente cociente hlr h/r será será imposible imposib le la dad la preceprecesión? sión? 7.121 Los Losdos dosdiscos discosiguales igualesde demasa masammyyradio radiorl'cada cadauno 7.121 unogigi-

rancomo comoun unconjunto conjunt orígido rígidoen entorno tornoalaleje ejeque quelos losune. une. Hallar ran Hallar el valor para elel que queno nohabría habríamovimiento movimi ento de deprecesión precesi ónsisielel el valor bbpara conjunt ose semoviera movier alibremente libreme nteen enelelespacio. espacio . conjunto Resp. bb== rr Resp.

508 508


de] por res¡ cua que cida

mie con se b des¡



loneje lonsu eje 7.124 sobre su espacio sobre el espacio en el rota en rectang ular rota barra rectangular La barra 7.124 La a, balance gitudinal con una velocidad p = 200 rpm. Si su eje se balancea, se eje su Si gitudin al con una velocid ad p = 200 rpm. cal20°, de tal como se muestra, describiendo un ángulo total de 20°, caltotal ángulo un iendo tal como se muestra , describ

rota en leje para lOG obre

cular balance o. del balanceo. período -rT del el período cular el


prorotación prouna rotación con una un anillo delgado 7.122 Se lanza delgado con lanza al aire un 7.122 un present rico presentaa un pia de 300 300 rpm. observa que su eje geomét geométrico rpm. Si se observa

cia ff de inar la n, determ precesión, determinar la frecuen frecuencia de ese ese balance o de precesió leve balanceo o. balance balanceo.



cándole 7.125 El El muchac muchacho lanza el el disco disco delgado delgado comuni comunicándole ho lanza 7.125 del una velocidad de giro de 300 rpm. Se observa que el plano del plano el que observa Se . rpm 300 de giro de ad una velocid

ra primari 7.123 La La estructu estructura primariaa de de una una estación estación espacia espaciall en en fase fase 7.123 guales eloci-

preceno giHallar ón si el

das s conecta s esférica de proyect proyecto se compon componee de de cinco cinco cáscara cáscaras esféricas conectadas o se de ra to de s. El por radios radios tubulare tubulares. El momen momento de inercia inercia de de la la estructu estructura por respecto que doble el rico A-A respecto aa su su eje eje geomét geométrico A-A es es el doble que respecto aa respecto que A-A a icular a A-A que pase cualquier ejeperpend perpendicular pase por por O. O. Se Sepretend pretendee er eje cualqui una con rico geomét eje su a torno en gire que lala estación estación gire en torno a su eje geométrico con una veloveloque -A tiene te de cidad constan constante de 33rpm. rpm. Si Sieleleje ejede de rotación rotación AA-A tiene movimovicidad ión fija, miento de de rotación rotación repecto repecto alaleje ejeZ, Z,de de orientac orientación fija,yy forma forma miento ad litJi! velocid qué a calcular o, calcular a qué velocidad conéste éste un un ángulo ángulo muy muy pequeñ pequeño, con masa de centro del ión acelerac La . sebalance balancea estación. La aceleración del centro de masa OOes es a lalaestación se iable. desprec despreciable. da ón retrógra Resp. litJi! ==- - 66rpm; rpm; precesi precesión retrógrada Resp.


509 509


disco discosesebalance balancea describiendo unángulo ángulototal totalde de10°. 10°.Calcular a describ iendo un Calcula r elelperíodo período 'rTdel delbalance balanceo indicar sisilalaprecesi precesión directa oo o eeindicar ón esesdirecta retrógrada. retrógra da. Resp. 'r= T=0,0996 0,0996s, retrógrada Resp. s, retrógra da 7.126 7.126 En Enlalafigura figurase sereprese representa una pelota pelota de defútbol fútbolamerica americanta una no no en en tres tres configu configuraciones de vuelo vuelo comune comunes. caso (a) (a) coracione s de s. ElElcaso correspon rresponde unlanzam lanzamiento perfectoen enpase pase con conefecto efectoespiral espiral de aaun iento perfecto yyuna unavelocid velocidad degiro girode de120 120rpm. Elcaso caso(b) (b) es esun un pase pase espiespiad de rpm. El ral ralbambol bamboleante también con conuna una velocid velocidad de giro de 120rpm eante también ad de giro de 120 rpm en en torno torno aasu su propio propio eje, eje,pero pero con conéste éste bambol bamboleándose un ánáneándose un gulo gulo total total de de 20°. 20°.El Elcaso caso (c) (e)es esun un tiro tiro libre libre de de lado lado aa lado lado con con una una velocid velocidad de rotación rotación de de 120 120rpm. rpm. Especif Especificar para cada cada ad de icar para caso caso los los valores valores de de p,p, 8,e, f3f3 yy l¡tIjt definid definidos en este este apartad apartado. El os en o. El momen momento de inercia inercia del delbalón balón respecto respecto aasu su eje ejemayor mayor es es0,3 0,3del del to de momen momento de inercia inercia respecto respecto al al·eje ·ejede simetría transve transversal. to de de simetría rsal.

.. "'"=:» """ ~ ~ ..

-

_Ctv- .•.. . (}

...... .Ó

.... . . .>_.. Ó:

•

: . 0

_

<....' _-_o_o20° •.. ... ,._-

-fJ_ ~: .··

1i ..

__ ~ _ -

••

-

", .:'.:' •••••

".

o"

'

•

,

_ _20

."

o

-

/

JII/

\I \

.

•.."X o

".o

',/ ,

"


",

•••••

·C • •

""\ \

..>.>•. .•..o

.. ..:"/;

./

7.1: mal

con quiJ lar

mO!

úJo.l

nen

bb

-:.-'-~.-' (j-(j) ...•

\

7.128 ular de a, paredes 7.128 La Lacaja cajarectang rectangular desección seccióncuadrad cuadrada, paredes finas finas yyextremo s abiertos , tal extremos abiertos gira giraen enelelespacio espacio, talcomo comosesereprese representa, nta, en dinal. SiSiéste entorno tornoaasu sueje ejelongitu longitudinal. éstetiene tieneun unleve levemovimi movimiento ento de o, ¿para de balance balanceo, ¿para qué qué valores valores del del cociente cociente l/b llb resultar resultará una á una precesi ón directa ón retrógra precesión directa oouna una precesi precesión retrógrada? da?

\\ Figura Figura problem problemaa 7.128 7.128

\

II II 1-

-~

7.127 La cápsula espaciall de la simétricaa respecto cápsula espacia la figura figura es es simétric respecto aa su eje eje z y respecto respecto a ese eje tiene tiene un un radio radio de de giro giro de de 720 720 mm. mm. Los Los radios radios de giro respecto respecto aa los los ejes ejes xx ee yy en en el el centro centro de de masa masa valen ambos 540 mm. Cuando Cuando se se mueve mueve en en el el espacio, espacio, el el eje eje zz genera un cono con un genera un ángulo ángulo total total en en el el vértice vértice de de 4° 4° en en su su rorotación alrededor alreded or del eje del momento momen to cinético cinético total. total. Si Si la la cápsucápsula tiene una una velocidad velocid ad de giro giro ~~ respecto respecto al al eje eje zz de de 1,5 1,5 rad rad I/ s, s, calcular el período calcular el vector período T'r de de cada cada precesión. precesió n. ¿Tiene ¿Tiene el vector de de rorotación el sentido sentido positivo positivo oo negativo negativ o del del eje eje z? z? Resp. Resp. T= 'r= 1,831s, 1,831 s, sentido sentido negativo. negativo.

7.129 7.129 La La hélice hélice de de avión avión de dos palas tiene una velocid velocidad ad angular ~ alreded or del gular ~ alrededor del eje eje z ddee su árbol. El El avión se encuent encuentra ra haciend izquierd a del piloto, de tal modo haciendoo un un viraje viraje hacia hacia la izquierda modo que ad angular que el el avión avión yy la la hélice hélice tienen tienen una una velocid velocidad angular constan constante te (de precesió n) Ijt alreded or de un eje vertical (de precesión) Ijt alrededor vertical.. Hallar, en función la posición posició n angular angular cf! rp de la hélice, las componentes compon entes x, yy ción de de la y del momento momen to que que sobre sobre la misma misma ejerce su árbol. Los moy zz del mentos de de inercia inercia respecto respecto a los ejes x, yy y z son son IXX' Ixx' Oe mentos Oe Izz, Izv respectiva mente. (Sugerencia: Emplear Emplea r la ecuación ecuació n 7.20con pectivamente. (Sugerencia: 7.20 con los ejes x-y-z fijos a la hélice.) x-y-z hélice.)

Resp. Mx Mx == (Ixx (Ixx+Iz Resp. + Izz)z )l¡t~sen Ijt~ sen cf! rp My = = (Izz (Izz --Ix) l¡t~ cos cos cf! rp My Ixx) Ijt~ Mzz == ~Ixxtf2sen2cf! ~Ixx o/2sen2rp M

-y z

/

xx /

Figura Figuraproblema problem a 7.127 7.127


510 510


7.13 locid mien

ángu el rru ment ecua.

apro:

~7.

bre e tor. S

7.130 La barra barra esbelta uniforme de masa masa m y longitud longitud 11 está esbelta uniforme montada por su centro A-A, alrededor montada por centro en el eje A-A, alrededor del cual gira con una una velocidad ~ == p. Simultáneamente, velocidad constante constante ~ Simultáneamente, la horquilla se hace girar una velocidad girar alrededor alrededor del eje x con una velocidad anguangular constante constante %. Hallar, Hallar, en función función de O/, el módulo módulo del momento M necesario necesario para para mantener momento mantener la velocidad velocidad constante constante %. (Indi cación: Aplicar para obtener (Indicación: Aplicar la ecuación ecuación 7.19 7.19 para obtener la compocomponente x de M.) nente M.)

la aceleración aceleración angular angular 1jJ 1ft que resultará resultará de aplicar aplicar el momento momento M al árbol vertical, siendo = Vt = O. siendo O. Las masas masas del soporte soporte y del cuerpo cuerpo se consideran consideran despreciables despreciables comparadas comparadas con la masa rotor. El radio radio de giro de éste respecto respecto al eje z es kzz masa m del rotar. y respecto respecto al eje x es krr

r

R··esp.

M/m

lfI = --;:,.-----,,----;;---;:-kx 2 cos? y + kx 2 sen?

.~. 7.133 El satélite una órbita satélite explorador explorador de la Tierra Tierra describe describe una órbita circular de período r, Su velocidad velocidad angular angular en torno torno al eje y, o circular período 1:. eje de cabeceo, es (0 nula en torno m== 2n/ 2n/ 1:y ry nula torno a los ejes x y z. El eje x del satélite satélite apunta apunta siempre siempre hacia el centro centro de la Tierra. El ingenio dispone dispone de un sistema sistema de mando mando de orientación orientación comgenio puesto puesto de las tres ruedas ruedas representadas, representadas, cada una una de las cuales puede accionada por motor independiente. independiente. En el instaninstanpuede ser accionada por un un motor Ola angular Qz de la rueda relativa al satélite satélite te t == O la velocidad velocidad angular rueda z relativa instante, las ruedas están en reposo mismo instante, ruedas x e y están reposo es Qo y, en ese mismo relativo Hallar los momentos momentos Mx, YM relativo al satélite. Hallar MX' My My Y M zz de los pares de fuerzas fuerzas axiales que deben deben ejercer los motores motores sobre los árboles de sus respectivas velocidad anguangurespectivas ruedas ruedas para para que la velocidad árboles m del satélite constante. El momento momento de inercia lar (O satélite permanezca permanezca constante. de cada cada rueda 1.Las velocidades de las ruerueda respecto respecto a su eje es 1. Las velocidades funciones armónicas armónicas del tiempo tiempo con das de reacción reacción x y z son funciones período Representar gráficamente, gráficamente, en funperíodo igual al de la órbita. Representar tiempo, durante durante un orbital, las velocidades velocidades reun período período orbital, ción del tiempo, lativas ºn, ruedas. (Indicación: (Indicación: El momento momento del lativas x' ºQyy Y o, de las ruedas. par para acelerar acelerar la rueda igual a la reacción del momento momento par para rueda x es igual giroscópico sobre la rueda viceversa.) giroscópico rueda z y viceversa.)

ºz

ºo

x


a

o e

7.131 Supongamos Supongamos que el rotor rotar de la figura figura 7.18 7.18 posea 7.131 posea una una velocidad ddee giro de 3600 rpm ejecutando un locidad rpm y que esté ejecutando un movimiento de precesión estacionaria alrededor alrededor del eje Z bajo un miento precesión estacionaria un ángulo constante constante e == 30°. 30°. Además, Además, r r == 200 200 mm, rnm, k == 150 mm y y ángulo momento de inercia inercia respecto el momento respecto al eje x es cinco veces el momento de inercia respecto rotación. Empleando Empleando la mento respecto al eje de rotación. ecuación 7.25, 7.25, calcular calcular la precesión precesión Vt == Q yYobtener obtener en buena buena ecuación aproximación error porcentual hallado. aproximación el error porcentual e en el valor hallado. Resp. Vt == 0,231 0,231 rad/s, 0,21% Resp. rad / s, ee == 0,21 % por por defecto

e

º

y

ºz

Resp. Mx I (Oºo mQo cos (Ot coi Resp. Mx = - 1 My = = O O My mt M zz = - 1I mQo (Oºo sen (Ot

cuerpo del motor motor eléctrico pivota libremente so.~. 7.132 El cuerpo pivota libremente bre el eje horizontal centro de masa masa G del rohorizontal x que pasa pasa por por el centro tar. Si el motor motor gira con una velocidad constante constante ~ tor. una velocidad ~ == p, hallar hallar yy

/ zz -- x



511


~ 7.134 La ecuación 7.27, 7.27, de segundo segundo grado grado en lit, ljI, describe ~ precesión uniforme uniforme de un cuerpo cuerpo de simetría axial. Con la precesión ¿Mx == M, hallar hallar las dos raíces lit ljIl 1 Y y lit ljI22 para para valores grandes LMx valores grandes ~. Expresar primero la solución solución en la forma general general lit ljI = = de ~. Expresar primero (1 ± JI={} Jl={} ).).Seguidamente Seguidamente desarrollar desarrollar el radical en serie [[l1(1 convergente reteniendo reteniendo únicamente únicamente los dos primeros primeros térmiconvergente Comparar lit v 1, == litljI HH con la precesión precesión deducida deducida para para el nos. Comparar rotar de la figura 7.18 en la primera primera parte apartado. La raíz rotor parte del apartado. ljI22 = = lit ljI (+) representa representa una precesión rápida rápida que se presenta presenta a lit una precesión difícilmente conseguible conseguible experiun nivel energético más alto difícilmente mentalmente. mentalmente. R' M. R ' M . Ip 0/1 = Ip sen (l lJf2 0/2 = (lo - 1) cos esp. lJf1 4 {iM(Io - I) 1) cot donde p2 p2 > J2M(Io

2

P re ee p! qt pe ve

.)

=

=

el ir

.)

-""2

2

r + 41

2

ee

qu de

ee

Pmin = Pmin

2

=

ee

~ 7.135 Un proyectil que surca la atmósfera atmósfera con una veloci~ v que forma un ángulo pequeño pequeño e e con su eje eje geométrico dad v aerodinámica resultante resultante R de senestá sometido a una fuerza aerodinámica esencialmente opuesto opuesto al de V. V. Si R tido, tal como se muestra, esencialmente punto e levemente adelantado adelantado respecto al centro pasa por un punto G,hallar mínima velocidad velocidad de giro p p para para la cual el de masa G, hallar la mínima estabilizado en rotación rotación con == o. El El momento momento proyectil estará estabilizado eje de rotación es II y respecto a un eje eje de inercia respecto al eje transversal lo. (Indicación: (Indicación: Hallar Mx Mx Y aplitransversal que pase por G es lo. 7.27. Expresar el resultado resultado en forma de carlo en la ecución 7.27. segundo grado en lit ljI y hallar el valor mínimo de p p ecuación de segundo para el cual es positivo el radicando.) radicando.) Resp. Resp.

me(r2bP + 1e me(r e, ""2 2bP-1e donde e. 2 J 2g1

Resp. Az

~~JRr(Io-I) JRr(Io-I)

cos

ee

Ob

rra

•


~ ~ 7.137 Deducir Deducir la ecuación 7.24 7.24 relacionando relacionando las fuerzas con las aceleraciones en un elemento elemento diferencial del anillo delgado de masa m. El anillo está animado animado de una una velocidad velocidad angular velocidad gular constante constante pp en torno al eje z y recibe una una velocidad angular angular adicional constante constante Q Q en torno al eje y mediante mediante la aplicación de un par externo de momento un par momento M (no representarepresentado). (Indicación: (Indicación: La aceleración del elemento elemento en la dirección z se debe (a) a la variación variación del valor de la componente componente de su velocidad (b) a la variación sentido dad en esa dirección a causa de Q Q y (b) variación de sentido de la componente componente xx de su velocidad.)


xx


~ 7.136 El El disco macizo de masa m y poco espesor rota libre~ mente sobre su árbol con la velocidad velocidad p. Si Si el conjunto se aban-

ee

e == 0,0, con == 0,0, hallar las dona en la posición vertical e componentes horizontales horizontales de las fuerzas A y B que los respeccomponentes horizontal cuando cuando el sistetivos cojinetes ejercen sobre el árbol horizontal ma pasa por la posición e e == 7r/ ti] 2. 2. Despreciar Despreciar la masa de los dos comparada con m y los rozamientos. rozamientos. Resolver emárboles comparada pleando las ecuaciones de momentos momentos adecuadas. adecuadas. pleando

~ elementos de un ~ 7.138 7.1 38 En la figura se representan representan los elementos un compás giroscópico cuyo rotor, en una una latitud latitud norte r en la superficie suspensión cardan ficie terrestre, está montado montado en una una suspensión cardan que puede puede girar libremente libremente en torno al eje vertical fijo fijo y. Por tanto, el rotor es capaz de rotar rotar en el plano plano horizontal horizontal x-z, x-z, rotación medida supone que medida por por el ángulo ángulo f3 con la dirección norte. Se supone

512


de momen tos de susmomentos que sus velocid adppyy que unavelocidad el conuna giracon girosco piogira elgiroscopio pasa que rsal transve eje al y rotación de eje inercia respecto al eje de rotación y al eje transversal que pasa al inercia respecto gidel gieje del el eje que el Demost rar que lo. Demostrar por respecti vament e, 11ee lo. son, respectivamente, por GGson, con acuerdo de norte de acuerdo con lala direcció nnorte la dirección torno aa la roscopio en torno oscila en roscopi o oscila el 2 que el Yl lo yY que cos y/lo IOJop 2 = K2 donde K2 = IO)op cos ecuación O, donde ecuació n ~i3++KKb b == O, pevalores para norte al respecto ones período de esas oscilaciones respecto al norte para valores peoscilaci período de esas comLascom(Indicación:Las y) ). (Indicación: cos y)). queños 2n: Jlo l (I OJoP cos 13, eess r1: == 2nJlo/(I0)0P de {3, queños de la de la función de en función ejes en los ejes de los n de angular n ponentes velocid ad angular la velocidad de la ponente s de son Tierra son la Tierra de la % de angular OJo velocidad velocid ad angular

ºxºx ºyºy ºzº z

= - OJo = -0)0

sen {313 cos yy sen cos

y + ~~ sen y+ OJo sen = 0)0 =

cos OJo cos = 0)0 =

13 cos {3 Yy cos

ecuacio nes las ecuaciones de las compon ente yy de la componente en la que emplea rse en pueden emplearse que pueden tiempo. del tiempo. función del 13 en función determ inar {3en de para determinar 7.19 para momen tos 7.19 de momentos Tiela Tiede % angular ad velocid angular OJo de la la velocidad de la Obsérvese cuadrad o de el cuadrado que el Obsérve se que %p.) o product al frente iarse desprec rra puede despreciarse frente producto OJop·} pequeñ o yy puede rra es pequeño

ss Figuraproblema 7.138 Figura problema 7.138

as

el-

amperque anta,

ción que 513 513



Dentro de de lalaDinámica Dinámica como como disciplina, disciplina, elel tema tema de de las las vibraciones vibraciones reviste reviste una una importancia importancia especial. especial. Dentro Loscuerpos cuerpos que que sufren sufren perturbaciones perturbaciones periódicas periódicas pueden pueden exhibir exhibir un un movimiento movimiento caracterizado caracterizado por por Los amplitudes muy muy altas, altas, incluso incluso desh·uctivas. destructivas. En En lalailustración ilustración se se muestra muestra un un automóvil automóvil cuya cuya suspensuspenamplitudes sión se seetá etá comprobando comprobando excitándola excitándola mediante mediante actuadores actuadores colocados colocados bajo bajo los losnewl1áticos. neumáticos. Con Con estos estos sión ensayos de laboratorio puede simularse toda una variedad de estados de la calzada y velocidades ensayos de laboratorio puede simul
8.1 8.1

516 VIBRACiÓN Y RESPUESTA RESPUESTA EN VIBRACiÓN Y EN EL TIEMPO TIEMPO


En Dinámica clase de de problemas especiales muy importantes relacioEn Dinámica hay hay una una clase problemas especiales muy importantes relacionados con con los los movimientos de traslación de cuerpos cuerpos que que oscilan oscilan nados movimientos de traslación y rotación rotación de como respuesta de perturbaciones que actúan actúan en en presencia de como respuesta a la aplicación aplicación de perturbaciones que presencia de fuerzas restauradoras. Ejemplos de de esta esta clase clase de de problemas dinámicos los los fuerzas restauradoras. Ejemplos problemas dinámicos constituyen la respuesta de las las estructuras estructuras civiles civiles a los los terremotos, las vibracioconstituyen respuesta de terremotos, las vibraciones de las las máquinas equilibradas, la respuesta de una cuerda de de nes de máquinas rotatorias rotatorias no no equilibradas, respuesta de una cuerda instrumento musical las vibraciones de las las líneas líneas de de transmisión instrumento musical punteada, punteada, las vibraciones de transmisión producidas flameo de de las las alas alas de de los los aviones. aviones. En En numerosos producidas por por el viento viento y el flameo numerosos casos, se hace de vibración excesivos a causa causa de de casos, hace necesario necesario reducir reducir unos unos niveles niveles de vibración excesivos las limitaciones limitaciones de de los los materiales factores humanos. las materiales o por por factores humanos. En el estudio estudio de de todo sistema objeto objeto del del análisis análisis hay que En todo problema problema real, real, el sistema hay que asimilarlo a un físico. Frecuentemente asimilarlo un modelo modelo físico. Frecuentemente es posible posible representar representar un un sistesistema continuo continuo o de parámetros (aquel cuya cuya masa elementos elásticos elásticos parámetros distribuidos distribuidos (aquel masa y elementos están repartidos en el espacio espacio físico) físico) mediante modelo discreto están repartidos en mediante un un modelo discreto o de parámetros parámetros concentrados (aquel cuya cuya masa elementos elásticos elásticos están están separados separados y concenconcenconcentrados (aquel masa y elementos trados). La construcción construcción de de este este tipo de modelos deseable tipo de modelos es particularmente particularmente deseable trados). La cuando algunas algunas porciones de un sistema continuo continuo presentan masa grande grande cuando porciones de un sistema presentan una una masa con relación otras. Por ejemplo, como como modelo físico del del árbol árbol de de la hélice de con relación a otras. Por ejemplo, modelo físico hélice de un adopta muchas sin masa, aunque resistente un barco barco se adopta muchas veces veces una una barra barra sin masa, aunque resistente a la torsión, con un disco rígidamente cada extremo, extremo, representado de torsión, con un disco rígidamente unido unido a cada representado uno uno de los discos discos la turbina otro la hélice. Como segundo segundo ejemplo, ejemplo, observemos observemos los turbina y el otro hélice. Como que frecuentemente frecuentemente la masa de los los resortes desprecia frente frente a la de de los los cuercuerque masa de resortes se desprecia pos los que que están están unidos. Conviene hacer que no los sistemas sistemas son son pos a los unidos. Conviene hacer notar notar que no todos todos los reducibles sistema discreto. discreto. Por ejemplo, la de la tareducibles a un un sistema Por ejemplo, la vibración vibración transversal transversal de tabla de un salto del del nadador de vibraciones bla de un trampolín trampolín tras tras el salto nadador es un un problema problema de vibraciones con parámetros distribuidos algo dificultoso. En En este este capítulo capítulo iniciaremos iniciaremos el con parámetros distribuidos algo dificultoso. estudio de de los los sistemas sistemas discretos, discretos, limitándonos limitándonos a aquellos aquellos cuya cuya configuración configuración estudio puede definirse con con una sola variable de desplazamiento. desplazamiento. De estos sistemas sistemas se puede definirse una sola variable de De estos dice que que poseen un grado libertad. Un estudio más detallado, que que incluya incluya el poseen un grado de libertad. Un estudio más detallado, dice análisis de sistemas de de dos dos o más grados de de libertad libertad y sistemas sistemas continuos, continuos, el análisis de sistemas más grados lector deberá deberá buscarlo en alguno alguno de de los los numerosos dedicados exclusivaexclusivalector buscarlo en numerosos textos textos dedicados mente de las las vibraciones. mente al tema tema de vibraciones. Este capítulo capítulo 8 está está dividido en cuatro cuatro apartados. apartados. En En el apartado apartado 8.2 se trata Este dividido en trata de la oscilación oscilación libre libre del del punto en el e18.3 oscilación forforde punto material material y en 8.3 se presenta presenta la oscilación zada del del punto Cada uno de estos estos apartados apartados está está subdividido subdividido en en dos, dos, zada punto material. material. Cada uno de para del movimiento amortiguado y del del movimiento amortiguado. para tratar tratar del movimiento no no amortiguado movimiento amortiguado. En el apartado oscilación de de los los cuerpos cuerpos rígidos. En ap~rtado 8.4 se estudia estudia la oscilación rígidos. Por Por último, último, en el apartado apartado 8.5 se presenta de problemas de oscilaciones oscilaciones por en presenta la resolución resolución de problemas de por métodos energéticos. El estudio estudio de de este este capítulo capítulo se verá facilitado tenienmétodos energéticos. verá muy muy facilitado teniendo en en cuenta cuenta que que el tema de las las oscilaciones oscilaciones es una aplicación directa directa de de los los do tema de una aplicación fundamentos de de Cinética Cinética desarrollados desarrollados en en los los capítulos capítulos 3 y 6. Concretamente, Concretamente, fundamentos ecuación del del movimiento obtiene sin sin dificultades especiales aplicando aplicando las las la ecuación movimiento se obtiene dificultades especiales ecuaciones de de la Dinámica diagrama para sólido libre libre dibujado un vaecuaciones Dinámica a un un diagrama para sólido dibujado para un cualquiera de la variable variable de desplazamiento. esta ecuación ecuación de de movilor positivo positivo cualquiera desplazamiento. De De esta movimiento, que es una ecuación diferencial diferencial ordinaria ordinaria de de segundo segundo orden, orden, se puede miento, que una ecuación puede extraer toda toda la información información de de interés, interés, como como es la frecuencia frecuencia del del movimiento, extraer movimiento, su período como función función del del tiempo. su período o el propio propio movimiento movimiento como tiempo.


~~~~~~~~~~~~~~~«--¿-~..--?~ ~~4:¿:2r¿¡¡¿¿;/¿?d'..4~d!'7~d#4<-z~~/,?4'/7~4"~/""4¿?/~~

:.c.:.==.;=.::=-"'-"'~ .::::.==-

m()s r()n

-:-==_ -'"'.

~~~p;:

<7~,;Y7~47Jjj:i7P'¿?-'

G

e b

1, rr

a 8.2

s e e s

se el el a-

OSCILACIONES LIBRES DE UN PUNTO LIBRESDE PUNTO MATERIAL

517

Cuando un cuerpo un resorte resorte se aparta posición de equilibrio Cuando un cuerpo sujeto a un aparta de su posición equilibrio ejeejecuta, como consecuencia, un un movimiento movimiento que recibe el nombre nombre de oscilación oscilación libre si sobre él no actúan realidad, existe siempre actúan fuerzas externas. En la realidad, siempre alguna alguna fuerza retardad retardadora tiende a reducir reducir el movimiento. movimiento. Las ora o amortiguadora amortiguadora que tiende amortiguador as más comunes comunes son las debidas debidas al rozamiento rozamiento mecánico fuerzas amortiguadoras parte (a) se considera amortiguay fluido. En la parte considera el caso ideal en que las fuerzas amortiguadoras bastante pequeñas pequeñas para para que puedan puedan despreciarse. parte (b) doras son lo bastante despreciarse. En la parte se trata trata el caso en que el amortiguamiento amortiguamiento es apreciable apreciable y hay que tenerlo tenerlo en cuenta.

(a) para empezar (a) Oscilaciones Oscilaciones libres no amortiguadas. amortiguadas. Consideremos Consideremos para empezar la oscilación horizontal horizontal del sencillo sistema de una una masa con resorte, con ausencia ausencia de rozamientos, de la figura 8.1a. Adviértase Adviértase que la variable variable x designa rozamientos, designa el despladesplazamiento, partir de la posición posición de zamiento, llamado llamado también también elongación, elongación, de la masa a partir asimismo la posición deformación equilibrio, la cual, para para este sistema, es asimismo posición de deformación nula del resorte. En la figura 8.1b se representa representa gráficamente, para los diferennula gráficamente, para necesaria para para deformar tes tipos de resorte, la fuerza fuerza F F¿s necesaria deformar el resorte, en función de la deformación. Aunque en algunas resortes alineadeformación. Aunque algunas aplicaciones se emplean emplean resortes les, tanto blandos blandos como duros, aquí vamos vamos a limitar nuestra atención limitar nuestra atención a los resortes lineales. resortes ejercen una una fuerza recuperad recuperadora masa lineales. Estos resortes ora sobre la masa cuando la masa se desplaza desplaza hacia la derecha, la fuerza fuerza del que vale kx, es decir, cuando dirigida hacia la izquierda izquierda y viceversa. Hay que poner atención en resorte está dirigida poner atención distinguir perfectamente entre las fuerzas fuerzas de módulo F,s que deben deben aplicarse a distinguir perfectamente entre módulo F ambos extremos del resorte sin masa masa para para producir producir en él una una tracción o una una compresión y la fuerza F = = - kx, de igual compresión igual módulo, módulo, que el resorte resorte ejerce sobre la masa. La constante constante k se conoce como constante constante del resorte, resorte, constante constante recuperadora recuperadora rigidez y se expresa expresa en N/m. o rigidez N/m. ecuación del movimiento cuerpo de la figura 8.1a se obtiene dibujandibujanLa ecuación movimiento del cuerpo diagrama para aplicando a éste la segunda segunda ley de Newton do su diagrama para sólido libre y aplicando Newton mi, con lo cual en la forma I.F x = mi, - kx

= mi mi =

mx+ k:x mi+kx

o sea

= O O =

(8.1 ) (8.1)

sometida a una cuando La oscilación de una una masa sometida una fuerza restaurador restauradoraa lineal cuando queda descrita descrita por una ecuación como ésta se dice que es un movimiento armóqueda una ecuación un movimiento armócaracteriza por ser su aceleración proporcional proporcional y de signo connico simple simple y se caracteriza trario al desplazamiento desplazamiento o elongación. elongación. Normalmente ecuación 8.1 8.1 se escribe Normalmente la ecuación ..

2

iX + OJ w/x Il X

= O O =

(8.2)

donde donde (8.3) (8.3)

te, las vavi-

de

es una sustitución práctica conveniente cuyo significado significado físico se aclarará aclarará en una sustitución práctica y conveniente breve. breve. Dado que se prevé solución en prevé un un movimiento movimiento oscilatorio, buscaremos buscaremos una una solución tiempo t.t. Así pues, es lógico que probela que x sea una una función periódica periódica del tiempo probemos con

to,

x

A cos OJll wntt + B sen OJllt wnt


(8.4) (8.4)

8.2 8.2 OSCILACIONES OSCILACIONES LIBRES LIBRES DE UN UN PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL

Posición de I equilibrio r-;-~

kx ~

tN (a) (a)

/ /

/

/ /

·· Blando ..-Blando ...

~::: ........ . -1•.... /.

/ Duro Duro ineal, ineal, F F,s = = kx

........;-; / /

(b) (b)

Figura 8.1

518 518 VIBRACiÓN RESPUESTA EN El EL VIBRACiÓN YYRESPUE STA EN

biencon con oobien

TIEMPO TIEMPO

xx == eesen sen(ill (w"t lf/) l1 t ++If/)

(8.5) (8.5)

Al mente estas iones en Alaplicar aplicar directa directamente estasexpres expresiones enlalaecuaci ecuación 8.2se secompr comprueba que ón 8.2 ueba que ambas son válidas n. Las tes AA yyB,B,ooeeyyIf/, ambas son válidas como comosolució solución. Lasconstan constantes lf/,se determinan se determ inan median te las iones iniciale s, es endo lalaelonga mediante lascondic condiciones iniciales, esdecir, decir,conoci conociendo elongación inicialXo Xo ción inicial yylalavelocid ad inicial o, sisioperam velocidad inicial io io de de lalamasa. masa. Por Por ejempl ejemplo, operamos con lalasolució solución os con n de n 8.4 mos xx yy ii hacien de la laforma forma de de la laecuació ecuación 8.4 yyevalua evaluamos haciendo obtenemos do tt ==0,0, obtene mos

o == AA

mi

ch Vl

T'

nE

eu

Le

yy

XXo

ee se

télJ

Llevan do estos Llevando estos valores valores de de AA yy BB aa 8.4 8.4 queda queda mi

90

io sen w/1t w/1

x = Xo cos w"t + -

(8.6) (8.6)

Las tes ee yy If/ de la n 8.5 Las constan constantes lf/de la ecuació ecuación 8.5 pueden pueden determ determinarse en función función de de las las inarse en condic iones iniciale s dadas de una condiciones iniciales dadas de una maner maneraa similar similar.. Particu Particularizando la ecuaecualarizan do la ción da tempor al en ción 8.5 8.5 yy su su primer primeraa deriva derivada temporal en el el instant instantee tt == 0, 0, resulta resulta

o ==

X Xo

Despej ando Despejando

e sen If/lf/

yy

io

= e ill"

vil

po fin ea:

cos If/

e y If/lf/ se obtiene En lf/ = arctg

sei

(xo w,,/ io)

Aplica ndo estos valores en la ecuació Aplicando ecuaciónn 8.5 8.5 queda queda Ve

(8.7) (8.7)

de

Las ecuaciones ecuacio nes 8.6 8.6 yy 8.7 8.7 representan represe ntan dos expresiones expres iones matemáticas Las matem áticas diferentes diferen tes del mismo movim iento dependiente depend iente del tiempo. tiempo . Obsérvese Obsérv ese que del mismo movimiento que e = JA2 JA 2 + B2 B2 If/ = arctg(A/ YY lf/ arctg( A/ B) . En la la figura figura 8.2 8.2 se se muestra muestr a la la representación represe ntación gráfica gráfica habitual habitu al de En de este este movimovimiento . En ella, es la la proyección proyec ción sobre sobre un un eje eje vertical vertica l de miento. En ella, xx es de un un vector vector rotatorio rotator io de longitud longitu d C. C. Este Este vector vector rota rota aa la la velocidad velocid ad angular angula r constante de In , consta nte illll == Jk/ Jk/m,

qu, gel

WIl

xx

(b) un

+x +x

ee

cOI 2", 211: T = -

=WI-----+1 II 1r-r liJ"

xx II Xo I I Xo II °o~----;-------+-------+------°O~--~---T----T---_

-c~-- -----

-c~

_

-x -x Figura 8.2


res tao

mo un mil eos

elf sos fue se i cae)

conocida como pulsación pulsación natural, pulsación propia, propia, que se mide mide en radianes radianes por por natural, o pulsación segundo. número de ciclos completos por unidad unidad de tiempo tiempo es la frecuencia segundo. El número completos por lafrecuencia natural, oofrecuencia mil 12n /2n y se expresa expresa en hertz (1 hertz cifrecuencia propia, propia, fn = mil hertz (1 hertz (Hz) = 1 cinatural, segundo). El tiempo dura un movimiento completo completo (una (una por segundo). tiempo que dura un ciclo de movimiento clo por vuelta del vector de referencia) referencia) es el período período del movimiento movimiento y está dado por vuelta dado por 'l" mn- Se ve asimismo en la figura que x es la suma 1: = 11 1/ fllfll = 2n 2n I/ mnsuma de las proyeccioperpendiculares de módulos módulos A y B Y nes sobre el eje eje vertical de dos vectores perpendiculares precisamente un un vector de módulo módulo e que es la amplitud. cuyo vector suma suma es precisamente amplitud. BY giran a la vez con una angular consLos vectores de módulos módulos A, B Ye giran una velocidad velocidad angular Y que lf/= tante mil" mil" Así pues, ya hemos visto que e = JA2 J A 2 + B2 B2 Yque 1fI = arctg (AIB). (A/B). observación adicional acerca de las oscilaciones libres de un Como observación un punto punto material, adviértase adviértase que, si el sistema sistema de la figura 8.1a recibe una rotación de una rotación 90° horario para para convertirse 90° en sentido sentido horario convertirse en el sistema de la figura 8.3, 8.3, cuyo movimiento es vertical y no horizontal, horizontal, la ecuación movimiento no se altera (y vimiento ecuación del movimiento por elongación x continuamos continuamos depor tanto tampoco tampoco las demás demás propiedades) propiedades) si la elongación posición de equilibrio. finiéndola finiéndola como el desplazamiento desplazamiento desde desde la posición equilibrio. En este un estado caso la posición posición de equilibrio equilibrio corresponde corresponde a un estado del resorte en que éste presenta una una deformación Aplicando la segunda Newton al presenta deformación bstst no nula. Aplicando segunda ley de Newton diagrama para sólido libre de la figura 8.3 diagrama para 8.3

e ·0

n

6)

as a-

- k(bstst + x) x) + mg mg

519

8.2 LIBRES UN 8.2 OSCILACIONES OSCILACIONES LIBRES DE UN PUNTO MATERIAL MATERIAL PUNTO

mg Figura Figura 8.3

mx mi

Entonces, como en la posición posición de equilibrio la suma equilibrio es x == O, O,la suma de las fuerzas fuerzas debe ser cero, de modo modo que

.7)

l

k

Vemos así que las dos fuerzas -kb -kbstst Ymg aparecen en el primer Y mg que aparecen primer miembro miembro de la ecuación movimiento se anulan, ecuación del movimiento anulan, quedando quedando

i

mx mx +kx +kx = O O

tes

B2 VI-

río

m,

ecuación 8.1. 8.1. La consecuencia consecuencia aquí aquí es que estableciendo estableciendo el orique es igual a la ecuación elongación en la posición equilibrio y no en la de deformación deformación del gen de la elongación posición de equilibrio resorte nula, es posible ignorar ignorar las fuerzas iguales iguales y opuestas opuestas asociadas asociadas al estado de equilibrio. equilibrio.'1 (b) Oscilaciones Oscilaciones libres amortiguadas. amortiguadas. Todos los sistemas sistemas mecánicos poseen poseen un cierto grado grado de rozamiento inherente a los mismos, cuya existencia implica implica rozamiento inherente consumo de energía energía mecánica. fuerzas consumidoras consumidoras precisan consumo mecánica. Estas fuerzas precisan de unos unos modelos suelen ser complicados. complicados. El amortiguador amortiguador viscoso es modelos matemáticos matemáticos que suelen un dispositivo que se instala instala intencionadamente un dispositivo intencionadamente en los sistemas al objeto de limitar mitar o retardar retardar sus vibraciones. Consiste en un un cilindro lleno de un un fluido viscomunicación a través de los cuales pistón con orificios u otro tipo de comunicación coso y un pistón amortiguadores viscopuede pasar pasar de uno uno a otro lado del pistón. Los amortiguadores el fluido puede sos sencillos se disponen disponen como se esquematiza esquematiza en la figura 8.4a y ejercen una una intensidad es proporcional fuerza Fdd cuya intensidad proporcional a la velocidad velocidad de la masa, tal como ilustra en la figura 8.4b. La constante constante de proporcionalidad proporcionalidad c se conoce como se ilustra coeficiente de amortiguamiento amortiguamiento viscoso viscoso y se mide sentido de la fuerza fuerza coeficiente mide en N·s/ N·s I m. El sentido 1

sistemas no lineales hay que incluir incluir todas las fuerzas, incluso las estáticas En el análisis de los sistemas asociadas al estado estado de equilibrio. equilibrio. asociadas


[rn"LL

m "

Posición de equilibrio I xx I~g equilibrio kx_ kx . ci_ ci .-

I~g

tN tN (a) (a)

Fd Fd I I I

I

~ I

I

__ ---

.

----- ----:-------x ----:-------x ~ __-__ --

II I I I

(b) (b)


520 520 VIBRACIÓN Y RESPUESTA EN El El VIBRACIÓN TIEMPO TIEMPO

amortiguadora aplicado aplicado a la masa masa es opuesto opuesto al de la velocidad velocidad de ésta, es deamortiguadora cir, esa fuerza se expresa por por -cx . cir, amortiguadores viscosos con válvulas válvulas unidireccionales unidireccionales internas internas de acLos amortiguadores independiente del caudal caudal pueden pueden tener coeficientes de amortiguamiento amortiguamiento ción independiente diferentes según según que trabajen compresión; es asimismo asimismo posible diferentes trabajen a tracción o a compresión; características sean alineales: Nuestra atención queda queda limitada limitada al que sus características Nuestra atención amortiguador lineal simple. amortiguador movimiento del cuerpo cuerpo sometido sometido a amortiguamiento amortiguamiento pueLa ecuación del movimiento deducirse del diagrama diagrama para para sólido libre de la figura 8.4a 8.4a.. Aplicando Aplicando a éste de deducirse segunda ley de Newton resulta la segunda Newton resulta -kx-cX = mx mx -kx-eX =

o sea

mx + v eX cx + v kx mx

= O O =

(8.8) (8.8)

razones que en Además de la sustitución sustitución de Jk/ Q)n resulta Además J k/ m por ron resulta práctico, por razones seguida se harán harán evidentes, evidentes, introducir introducir la combinación combinación de constantes constantes seguida

cantidad ~ S recibe el nombre nombre de índice índice de amortiguamiento amortiguamiento y constituye constituye una una La cantidad medida de la rigurosidad rigurosidad del amortiguamiento. amortiguamiento. Recomendamos Recomendamos al lector que medida compruebe que ~S es adimensional. adimensional. La ecuación 8.8 8.8 puede puede ahora escribirse compruebe (8.9) (8.9) resolver esta ecuación ensayamos ensayamos soluciones de la forma Para resolver x

= Ae = AeAtM

Sustituyendo en 8.9 8.9 resulta resulta la ecuación característica característica Sustituyendo 2 ,F +2 'r:> roA+ro n n =0

cuyas raíces son

superposición la solución solución general general es Por superposición x

= é 1t1t + A2e = Al Alé A2e~t~t = Ale(Ale(-~+J~2-l)Wnt A2e(-~-J~2-l)Wnt = ~ + J~2- l)Wn t + A2e(~- J~ 2- l)Wn t

(8.10)

OS; S S;S; 00, el radicando radicando U;(f --1) puede ser positivo, positivo, negativo negativo e incluso nuComo O S; ~ 1) puede pueden darse las tres categorías siguientes siguientes de movimiento movimiento amorlo, con lo que pueden tiguado: tiguado: 00,

1. 1.

s>

(sobreamortiguado). Las raíces Al y ~ ~ son números números reales negativos negativos ~ > 1 (sobreamortiguado). El movimiento movimiento expresado expresado por la ecuación 8.10 8.10 decrece de tal y distintos. El manera que x tiende a cero para para grandes grandes valores del tiempo t. No hay osmanera tampoco hay un período período asociado al movimiento. movimiento. cilaciones y, por tanto, tampoco


521 521 x, mm x,mm

Im =9NN/ m kg,k k=9 Condiciones: Condicio nes:m:m:1 1kg, 30mm,XoXo==O O XoXo==30mm,

3030 //

20 20

e

j

8.2 UN DEUN LIBRESDE OSCILACIONESLIBRES 8.2 OSCILACIONES PUNTO MATERIAL PUNTOMATERIAL

ortiguad o) sobream et;s= 2,52,5sobre amortiguado) amortig uado críticam enteamortiguado ee= 6N· s / met;es= 1)1)críticamente 6N·s/m

· s/ me e e==15 N s/m 15N· =

=

=

10 10

__ t, s ~----~====~==~--

L-__-L__~c=~~==~ OO L-__ t,s 44 33 22 11 OO 8.5 problem a 8.5 Figuraproblema Figura

e

n

nereales nenúmer os reales son números ~ son Alyy A.z raíces Al Las raíces Il. amortiguado). Las (críticam ente amortiguado). S"== 11 (críticamente Il. 1; cial diferen ón ecuaci la a n solució la y gativos -Wn) = -úl ~= (Al == A.z iguales (Al gativos ee iguales n) Y la solución a la ecuación diferencial por dada por está dada iguales está raíces iguales de raíces particu lar de para caso particular el caso para el a

e

9)

transcu rrido cero, transcurrido tendien do aa cero, con xx tendiendo decae con Aquí movim iento decae tambié n el movimiento Aquí también Un ico. Un aperiód es iento movim el grande , y movimiento es aperiódico. un suficie ntemen te grande, tiempo suficientemente un tiempo velouna con o excitad es cuando excitado con una velosistema amorti guamie nto crítico, cuando sistem a con amortiguamiento ramayor racon mayor equilib rio con tiende al equilibrio ambos) , tiende cidad despla zamien to (o ambos), un desplazamiento cidad o un las n ilustra se 8.5 figura pidez 8.5 se ilustran las sobrea mortig uado. En la sistem a sobreamortiguado. un sistema pidez que un amorti ente críticam y otro críticamente amorti-sobrea mortig uado Yotro respuestas un sistema sistem a sobreamortiguado stas de un respue ad inicial guado a un despla desplazamiento Xo sin velocid velocidad inicial Xo io .. zamien to inicial Xo guado do (S"2do en cuenta que el IlI. S"1;<< 11 (subam (subamortiguado). Teniendo el radican radicando (1;2- 1) 1) es es ortiguado). Tenien IlI. b como r b escribi a volver os podem negativoo y record recordando e(a+ b) == eae eae podemos volver a escribir como ando que e(n negativ ón 8.10 sigue la ecuaci ecuación 8.10

en reetro Ú)d donde ii== ~ ~ Conviene ahora emplea emplearr un un nuevo nuevo parám parámetro úJd en rene ahora .. Convie donde JI - S"2. tación de presen presentación de w úlnnJ11;2. Así, Así,

10)

nu-

n a de Empleando ahora la lafórmul fórmula de Euler, Euler, e± e±ixix== COS cosxx ±± iisen sen x,x, la la ecuació ecuación ando ahora Emple rla os escribi anterio anteriorr podem podemos escribirla

orXX

'vos e tal osnto.

súJ"t {Al(COSs wdt úldt ++i isen sen wdt) úldt) ++AAicos úldt -- i isen sen wdt)}eúldt)}e-(W"t {A1(co 2(cos wdt súJ"t = {(A {(Al l ++AA22)cos )cos wdt úldt++i(A i(Al1 -- AA22)sen )sen wdt úldt}e}e-(w"t súJ"t = {A {A 3cos úldt++AA4 4sen sen wdt}eúldt }e-(w"t cos wdt 3


) (8.11 (8.11)

donde A3= A4= donde A3 = (Al + A22) ) YY A4 = i(A i(AII -- A22)·)· Ya hemos visto, con relación a las ecuaciones 8.4 8.4 y 8.5, 8.5, que las sumas sumas de dos armónicos, como los encerrados en los corchetes de la ecuación 8.11, puede sustituirse 8.11,puede sustituirse por una función trigonométrica trigonométrica sencilla que implique un ángulo ángulo de fase. implique un fase. Así pues, la ecuación 8.11 podemos escribirla 8.11 podemos

522

VIBRACiÓN Y VIBRACiÓN Y RESPUESTA RESPUESTA EN EN EL TIEMPO TIEMPO

(8.12) (8.12)

x,mm x,mm 30

Condiciones: Condiciones: m == lkg, 1kg, kk == 36 N / m m N· s/ m (( e == 1 N· s/m (( == 0,083) Xo mm, Xo Xo == 30 mm, Xo == O

°

8.12 representa armónica exponencialmente exponencialmente Esta ecuación 8.12 representa una una función armónica decreciente como la ilustrada para unos valores numérinumériilustrada en la figura 8.6 8.6 para cos concretos. La pulsación pulsación

20 10 O O~+--f-L-+-f'---\----f->'----+-

=~~k[/

t, s

es la llamada pulsación natural, propia, aI:;ortiguada. período amortiguallamada pulsación natural, o propia, aJJortiguada. El período amortiguadado POf"!"d 2n/úJúJdd = = 2n/ 2n/(úJ 1-(2). do está dado pOI"rd == 2n/ (úJ" 1 - (?) . l1

-30

Figura 8.6 8.6

x

Es importante para las importante tener tener muy en cuenta cuenta que las expresiones expresiones obtenidas obtenidas para constantes constantes C y lJIen w et: función de las condiciones iniciales en el caso (a) ddee ausencia de amortiguamiento para el caso de amortiguamiento amortiguamiento no son válidas válidas para amortiguamiento de esta parte parte (b) amortiguamiento, debe comenzarse (b).. Para hallar C y lJI, si hay amortiguamiento, comenzarse desde el principio, es decir, igualando igualando la expresión expresión 8.12 8.12 de la elongación elongación y su primera particularizadas para para t == 0, Xo y mera derivada, derivada, ambas particularizadas 0, a la elongación Xo velocidad Xo iniciales, respectivamente. respectivamente. velocidad Xo En el caso de los sistemas no amortiguados, determiamortiguados, muchas muchas veces hay que determinar experimentalmente experimentalmente el índice de amortiguamiento. amortiguamiento. La causa suele ser que de otro modo el coeficiente de amortiguamiento puede conocerse amortiguamiento viscoso c no puede bien. bien. Para ello, el sistema se excita con unas condiciones iniciales y se represenrepresenta gráficamente t, tal como se esquema esquematiza gráficamente x en función del tiempo tiempo i, tiza en la figura 8.7. Luego, sobre la curva obtenida 8.7.Luego, obtenida experimentalmente, experimentalmente, se miden miden dos amplituamplitudes sucesivas Xl Xl y X2 X2 Y Y se calcula el cociente C e-!;w"t, Ce-Súi"t, Ce-!;W,,(l, Ce-Súi,,(t, + Td Td))

decremento logarítmico logarítmico es Por definición, el decremento

O = In ( -Xl) x2

= SúJ

'r

nd

= SúJ " úJl

2n

J1-s 2

2n r ~2

= - -"'-

De esta expresión expresión se despeja S (yy se obtiene Figura 8.7 8.7

amortiguamiento pequeño (j « «1,1, por lo que S (==== Para un un índice de amortiguamiento pequeño es Xl xl == == X2 X2 Y YO (j/2n. SIlos valores de Xl o/2n. Xl y X2 X2 son tan próximos próximos que sea prácticamente prácticamente imposible distinguirlos experimentalmente, anteriores pueden distinguirlos experimentalmente, las fórmulas anteriores pueden modificarse para amplitudes separadas separadas n ciclos. ciclos. para utilizarlas utilizarlas con dos amplitudes


I

PROBLEMA 8.1 TIPO8.1 PROBLEMATIPO

suspendidodede estásuspendido 10kgkgestá cuerpodede 10 Un cuerpo Un kNlm . 2,5 kN/m. k e constant de resorte un un resorte de constante k == 2,5 porlala pasapor cuandopasa instantet t== 0,0, cuando Enelelinstante En aniestáaniestático, está equilibrioestático, posicióndedeequilibrio posición de nte descende d velocida una de mado de una velocidad descendente de mado Hallar: mis. 0,5 0,5 mis. Hallar: del Ost del estático D$I alargamiento estático (a) elel alargamiento (a) resorte resorte la (0),,) natural (w pulsación natural (b) lala pulsación (b) n) yy la sistema del sistema (Jn) del natural (In) frecuencia natural frecuencia sistema del sistema período T7:del (c) elel período (c) del función del en función elongación xx en la elongación (d) la (d) posila desde medida x con tiempo, tiempo, con x medida desde la posiestático equilibrio estático de equilibrio ción de ción que v1l1ax que máxima Vmax velocidad máxima la velocidad (e) la (e) masa la masa alcanza la alcanza que máxima aamax aceleración máxima la aceleración (j) la max que (J) masa la alcanza alcanza la masa

:2 ~

2= k=2,Sk N/m ~ k=2,SkN/m -ez:

=-

-ez:

mamdOkg ~

m.l0kg

E, = kOst

j


(a) (a)

resulta kx resulta = kx Fs = resorte F$ del resorte ecuació n del la ecuación De la De

mg = kOst

e e

(b) (b)

Dst

_ ~

p500 = 15,81 [k {k = psoo w = = ~m ~m = 10 = lS,81 rad/ rad/ ss O)n fn

=

(e) (e)

o

(d) (d)

Resp. Resp.

(2 (211n)n) = 2,52 2,S2 ciclos ciclos// s (Hz)

(lS,81 ) (15,81)

T

1

= -i, =

11

sen 15,8lt ++ 1~'~1 1~:~1 , sen lS,8lt

= 0,0316 0,0316 sen sen 15,81 lS,81 tt m m oo sea sea 31,6 31,6sen sen 15,81 lS,81 tt mm mm

Resp. Resp.

O)n

i'

CD CD

Hay que que extrema extremarr siempre siempre las las prepreHay cauciones en lo referente a las uniunilas cauciones en lo referente a dades. Tratando con oscilaciones y ones oscilaci con o dades. Tratand vibraciones, es muy muy fácil fácil equivoc equivocararnes, es vibracio se yy mezclar mezclar milímet milímetros con metros, metros, ros con se o ciclos con radianes, y otras parejas o ciclos con radianes, y otras parejas de cantidades que intervienen coconen intervie que de cantidades rrientemente en los los cálculos cálculos.. ente en rrientem

Recuérdese que cuando cuando se se toma toma ese que oo Recuérd como referencia posición de de equiequiia lalaposición

como referenc librioestático estático,, la laecuació ecuación del movimovin del librio miento, y por tanto su solución, del miento, y por tanto su solución, del presente sistema es igual a la del sissisdel la a igual es presente sistema tema oscilant oscilante horizontal. tal. e horizon tema

ón 8.7 os ahora Como ejercicio ejercicio,, utilicem utilicemos ahora la la expresi expresión 8.7para para hallar hallar x:x: Como

xx == JX$ JX5 ++(i(ialO/0)71)2 wn)2 sen sen [[ »;t t ++ tgC~:n tgr~:n) )

kx

Resp. Resp.

De De la la ecuació ecuaciónn 8.6: 8.6:

= (O) (O) cos cos 15,8lt lS,8lt

_ SI

mg mg

Resp. Resp.

-, == 0,397 O 397 ss 252 2,S2 '

x)

mg mg

Resp. Resp.

n

a

(3)

x

_ 10(9,81) _= 0,0392 m o sea 39, 2 mm - 10(9,81) 2S00 - 0,0392 m o sea 39, 2 mm 2500

k

-

~':~8st 1 J-. U ti' U

) -p ~ k(os,+ =B> + Ix ~

Posición de Posici?n .d e eqmhbno 'qmbbn o

]J

0 ++(~) ( O,S 2 sen sen {15,81t {lS,81 t++ arct arctg[(0)(lS,81)J} g [(0)(15, 81)J} 02 0,5 lS,81 O,S 15,81

2

le se

)2

Resp. Resp.

= 0,0316 0,0316sen sen 15,81 lS,81t t

523 523


(e) ad es 0316) cos 15,81t (e) La Lavelocid velocidad es x:i ==15,81(0, 15,81(0,0316)cos 15,81t==0,5 0,5cos cos15,81t. 15,81t.Como Como lalafunfunción ción coseno coseno no no puede puede ser ser mayor mayor que que 11ni ni menor menor que que -1, -1, lala velocid velocidad máxima ad máxima vvmax rnax es es0,5 0,5mi mis,s,que que en eneste este caso casoes eslalavelocid velocidad inicial. Resp. ad inicial. Resp.

(f) (f)

Laacelerac aceleración es La ión es i x == -15,81( 0,5) sen 15,8lt - 15,81(0,5)sen 15,8lt == -7,91 - 7,91sen sen 15,8lt 15,8lt

La ión máxima Laacelerac aceleración máxima aamax es 7,91 7,91mi mi S2. S2. max es

Resp. Resp.


-

El El cuerpo cuerpo de de 88 kg kg se se desplaza desplaza 0,2 0,2 m m aa la la derecha derecha de de su su posición posición de de equilibri equilibrioo yy se se suelta suelta desde desde el el reposo reposo en en el el instante instante tt == O. O. Hallar Hallar la la elongaci elongación instante tt == ón en elel instante 2 segundo segundos.s. El coeficien coeficiente amortigua-ate de amortigu miento miento viscoso viscoso es ce == 20 N's/m Ns/m y la la rigidez del resorte resorte es k == 32 N/m. N/m.

Posición de de : x _ I Posición ~I equj librio ~ equilibrio mg ex 20i eX == 20i

::t!J11

kx 32x kx = =32x

e

~,,8kg.,l

Solució n. Lo nar si el sistema Solución. Lo primero primero es es determi determinar sistema está sub subamortiguado, amortig uado, críticamente uado oo sobream ortigua do. Para ello, calculamos mente amortig amortiguado sobreamortiguado. de calculam os el índice índice de amortig amortiguamiento 1;. uamien to S. ron Jk/m == -132/8 (i)n = = -1k/m J32/8 == 2 rad,' radlss

s ==

1;

tN tN

I f---- x Ié --_-.

c

2mro 2m(i)n

n

=

20 20 = 0,625 2(8)(2) = 0,625 2(8)(2)

Como 1; S<< 11 el el sistema sistema está está subamortiguado. subamo rtiguad o. Su pulsación pulsaci ón natural Como natural amortiguada amortig uada es rod = ron ~2 = 2 J 1 (0,625)2 == 1,561rad/ 1,561 radl ss.. El movimiento es (i)d = (i)n ~2 = 2J1 - (0,625)2 movimi ento viene viene dado dado por la ecuación ecuació n 8.12 yy es por Ce- t;w,,1 sw"t sen sen ((i)dt (rodt ++ 'If) lfI) == CeCe-11,251 ,25t sen sen (1,561 xx == Ce(1,56ltt ++ 'If) lfI)

velocid ad será, La velocidad será, pues, pues, 1,25t sen(1,5 6lt + lfI) + 1,25Ce-1,251 1,25t cos(1,56lt 1,561 Ce-1,25t cos(1,5 6lt ++ 'If) xx== -- 1,25Cesen(1,56lt + 'If) + 1,561CelfI)

°

Particu larizand o las las expresiones expresi ones de de la la velocidad velocid ad yy la Particularizando la aceleración acelerac ión al al instante instante tt == O resulta resulta sen lfIlfI == 0,2 0,2 oo == CC sen

XX

(Sé'

°

Xo == -1,25C -1,25C sen sen lfI+ lfI+ 1,561C 1,561C cos COS 'If lfI == O :io

val

Despeja ndo CC yy lfIlfIde de este este sistema sistema de de dos dos ecuaciones ecuacio nes resulta Despejando resulta CC == 0,256 0,256 m m yY'IflfI== 0,895 rad. rad. Por Por tanto, tanto, la laelongación elongac ión (en 0,895 (en metros) metros) es es

Resp. Resp.

CD Obsérvese 1•25t vale 0,082 para t = 2 segunObsérvese que que elel coeficiente coeficienteexponencial exponencial e-e-1,25/ CD vale 0.082 para t = 2 segun-

dos. De Deaquí aquíque que 1;S== 0,625 0,625 represente represe nteun unfuerte fuerte amortiguamiento, amortiguamiento, pese dos. peseaaque queelel movimientosea movimiento seaoscilatorio. oscilatorio. 524 524


lib

Pn Os

0,256e-1,251 -1,251 sen sen(1,561t (1,561 t++0,896) 0,896) xx == 0,256e

Q)Particularizando Particu larizand oalal instante instante tt==22segundos segund osresulta CD resultaX2X2==-- 0,0612m. 0,0612 m.

I 8.1

tan des

tan

PROBLEMA TIPO 8.3

Las dos poleas fijas glran en sentidos contrarios y son accionadas a la misma velocidad angular 010. Sobre ellas y descentrada se coloca, tal como se muestra, una barra redonda. Hallar la frecuencia natural del movimiento de la barra. Entre ésta y las poleas hay un coeficiente de rozamiento cinético Jlc

j

Posición

ce\:~a~~l

Solución. En la figura se representa el diagrama para sólido libre de la barra para un desplazamiento cualquiera x de la misma desde la posición centrada. Las ecuaciones que rigen el comportamiento de la barra son [LFX = mi] [LFy] = O [LMA = O]

CD

JlcN A - JlcN B = mi NA +NB-mg aNr(~

2

Ix

M

2

C¡13t

tLc~tA

N

= O

+x)mg

y

A

mg

~NB

NB

O

CD Como la barra es esbelta

y no gira, se justifica el empleo de una ecuación de equilibrio de momentos.

Eliminando N A Y N B entre las dos primeras, resulta i + 2Jlcg

---x a

o Obsérvese que la celeridad angular

= O

no aparece en la ecuación del movimiento. la causa de ello está en nuestra hipótesis de que la fuerza de rozamiento cinético no depende de la velocidad relativa en la superficie de contacto. 010

Esta ecuación tiene la misma forma que la 8.2, por lo que la pulsación natural, en radianes por segundo, será OJn = JC2Jlcg)/ a y la frecuencia natural, en ciclos por segundo, será Resp.

PROBLEMAS (Salvo que se indique lo contrario, se supondrá que todas las variables de movimiento están referidas a la posición de equilibrio.)

Problemas introductoriosOscilaciones libres no amortiguadas Cuando sobre el plato que está unido al resorte de constante desconocida se coloca un anillo de 3 kg se observa que el descenso estático adicional del plato es 40 mm. Hallar la constante k del resorte en N/ m y en kp / cm. Resp. k = 736 N/m k = 0,750 kp/ cm

8.1

Figura problema 8.1

525


8.2 Hallar 8.2 Hallarlalapulsaci pulsación frecuencia naturales delsistema sistema ón yylalafrecuen cia natural es del de demasa masa yyresorte resorte de delalafigura figura en enradiane radianess por por segund segundo encicio yyen clospor por segund segundo (Hz). clos o (Hz). II ~x 1------+ II

8.

Posición Posición de de

,quilib~ -1-

x

,quilib~_l

<-«: ::?:?- kk=l44N/m = l44 1m <---:?-

[)m m

__

O,: dl

ur

m =.4kg 4 kg

Yy Figura Figura problem problemaa 8.6 8.6


8.3 Para 8.3 Para el el sistema sistema del del problem problemaa 8.2, 8.2, hallar hallar la la elongac elongación ión xx de de la la masa masa en en función función del del tiempo tiempo sisi la la misma misma se se abando abandona, en el el na, en instante instante tt == O, O,desde desde el el reposo reposo en en una una posició posición situada aa 30 30 mm mm n situada la derecha derecha de de la la posició posición de equilibr equilibrio. aa la n de io. Resp. x == 30 30 cos cos 1St 15t mm mm Resp. 8.4 Para 8.4 Para el el sistema sistema del del problem problemaa 8.2, 8.2, hallar hallar la la elongac elongación ión xx de de la la masa en en función función del del tiempo si si la la misma misma se se abando abandona en el el na en instante tt == O O en en una posición situada situada aa 30 30 mm mm aa la la izquierd izquierdaa de de la la posición de equilibr equilibrio velocidad inicial de de 120 120 mm mm /I ss io con una velocid ad inicial hacia la derecha derecha.. Hallar la amplitu amplitudd C C del del movimi movimiento. ento.

Problem as repres entativ osProblemas representativosOscilac iones libres Oscilaciones libres no no amorti amortiguadas guadas 8.8 En ntados sustitui 8.8 En los los dos dos casos casos represe representados sustituirr los los resortes resortes por por un resorte te kk (consta nte equival un resorte único único de de constan constante (constante equivalente los dos dos ente aa los resortes resortes)) que que haga haga oscilar oscilar al al cuerpo cuerpo con con la la misma frecuen frecuencia cia que que antes. antes.

qUE

su J

8.5 El 8.5 El émbolo vertical tiene una masa de de 2,5 2,5 kg kg Y Y está está sujeto sujeto entre los dos resortes resortes que se hallan hallan siempre siempre comprim comprimidos. Calidos. Calcular su frecuen frecuencia natural in se aparta aparta de de su su posiposicia natural f /l si el mismo se ción de equilibr equilibrio suelta. Se desprec desprecia el rozamie rozamiento en la la io y se suelta. ia el nto en guía. guía. Resp. 7, 40 Resp. I, f" == 7, 40 Hz Hz

(a)

(b) (b)

Figura problema problema 8.8 8.8 Figura 8.9 Un automóvil automó vil viejo, viejo, de 1000 1000 kg kg de masa, masa, se deja 8.9 Un deja caer desde poca poca altura altura cuando cuando está está siendo siendo trasladado traslada do de desde de lugar lugar por por una grúa grúa de de electroimán. electroi mán. Suponiendo Suponi endo que que sus sus amortiguadores una amortig uadores estén ya ya inservibles, inservib les, calcular calcular la la frecuencia frecuen cia natural estén natural j,fn en en ciclos ciclos por segund (Hz) de de las las oscilaciones oscilaci ones verticales vertical es que que sobreviepor segundoo (Hz) sobrevi enen aa consecuencia consecu encia del del choque choque con con el el suelo. suelo. Cada Cada uno nen uno de de los los cuatro resortes del vehícul tiene una una constante constan te de cuatro resortes del vehículoo tiene de 17,5 17,5 kN kNIIm. m. Como el el centro centro de de masa masa se se encuentra encuent ra equidistante equidist ante de de los Como los puentes puentes el automóvil automó vil está está horizontal horizon tal cuando cuando se se deja deja caer, caer, no no existe yy el existe momovimient o de de rotación. rotación. Formular Formul ar las las hipótesis. hipótesis. vimiento Resp.J" = 1,332 1,332 Hz Resp i], = Hz

Placa Placa fija fija

2,5kg 2,5kg Figura Figura problema problema 8.5 8.5

8.1

ma el F roz

8.12

hall, miel lacie

8.6 Para el el sistema 8.6 Para sistema de de masa masa yy resorte resorte de de la la figura, figura, hallar hallar el el alargam iento estático alargamiento estático 6bstst'' el el período período r'r del del sistema sistema yy la la velocivelocidad máxima máxima vvmax dad que resultan resultan sisi el el cilindro cilindro se max que se desplaza desplaz a 0,1 0,1 m m hacia abajo abajo desde hacia equilibrio y luego se suelta. desde su su posición posició n de de equilibr io y luego se suelta.

8.7 8.7

El El cilindro cilindro del del sistema sistema del del problema problem a 8.6 8.6 se se desplaza desplaz a

0,1 m m hacia haciaabajo 0,1 abajodesde desdesu suposición posició nde deequilibrio equilibr ioyyse sesuelta sueltaen en elinstante instante t t== O.O.Hallar el la velocidad v Hallarlalaelongación elongac iónyy yy la velocid ad vcuando cuando t t== 33s.s. ¿Cuánto ¿Cuántovale valelalaaceleración acelerac iónmáxima? máxima ?

Resp.yy== 0,0660 Resp. = 3,6 mi s2 0,0660m, m,vv== 0,451 0,451mi mis,s,aamax max = 3,6 m i s2

526


8.13


tiene, ra eq

de descend entede velocid addescendente unavelocidad llevauna kglleva 100kg de100 8.10 masade Silalamasa 8.10 Si mócalcular elel móequilibr io, calcular de equilibrio, posició n de su posición 0,5 I ss alal pasar por su pasar por 0,5 111mi cada tienen cada resortes tienen Los resortes máxima . Los dulo acelerac ión máxima. su aceleración de su dulo aamax ma x de m. kNIIm. 180kN rigidez kle == 180 una rigidez uno una uno

J

k¿:

de celerida dde aproxima unaceleridad conuna masacon granmasa degran rígidode murorígido unmuro aproxim aaaun del función 88km/h, enfunción del automó vilen del automóvil velocid advvdel (a) lalavelocidad hallar (a) km/h, hallar conese contiempo iniciánd ose ese muro, iniciándose con elel muro, contact o con durante elel contacto tiempo durante del x tacto en el instante t = O, Y (b) la contracción máxima x max máxima max del tacto en el instante t = O, Y (b) la contrac ción parachoques. p arachoq ues. Resp. mis,s, 20,9tmi cos 20,9t 2,22 cos (a) vv == 2,22 Resp. (a) (b) x = 106,2 mm mm (b) xmax m ax = 106,2

J

:?k

I ~OOk; I 8.10 problema 8.10 Figura problema Figura

la hallar la deslizam iento, hallar de deslizamiento, ausenci a de de ausencia Con hipótes is de la hipótesis Con la que para kg 6 de carrito del encima colocar masa m del bloque a colocar encima del carrito de 6 kg para que a bloque masa 111 del de coeficiente de el coeficiente es el ¿Cuál es s. ¿Cuál 0,75 s. de 0,75 sea de el sistema sea del sistema período del el período bloel cual el para sistema para el cual el blodel sistema J.1e del mínimo !le rozamiento estático mínimo rozamie nto estático de mm de 50 mm aparta 50 se aparta éste se cuando éste carrito cuando el carrito que sobre el resbala sobre no resbala que no suelta? se luego y io equilibr de equilibrio y luego se suelta? posición de su su posición 0,358 = 0,358 J.1.e = kg, J1.e 2,55 kg, In = 2,55 Resp. 111 Resp.

8.11 8.11


nor8.14 Una fuerza norla fuerza registra la clásica registra resortes clásica de resortes balanza de Una balanza 8.14 peestá que está pela que mal persona aa la la persona de la pies de los pies sobre los ejerce sobre ella ejerce que ella mal que bordo a da se sando. En la situación de movimiento orbital que se da a bordo sando. En la situació n de movimi ento orbital que Con de normale s. Con fuerzas normales. tales fuerzas existen tales no existen espacia l no lanzade ra espacial la lanzadera de la sele lo que sabemos acerca de las oscilaciones, explicar como le secomo explicar lo que sabemo s acerca de las oscilaciones, mismo(a) . sí mismofa). ría ."pesarse" a sí astrona uta ,"pesarse" un(a) astronauta posible aa unía) ría posible

1

un de un centro de 8.15 el centro en el pie en de pie halla de se halla kg se 55 kg de 55 mujer de Una mujer 8.15 Una 22 de flecha tablón apoyado por los extremos y produce una flecha de una e produc s extremo los por o apoyad tablón de objeto al objeto de mm Si dobla dobla levemente rodillas al las rodillas leveme nte las centro. Si el centro. en el mm en natucia natuprovocar ¿cuál será será la frecuen frecuencia vertical, ¿cuál vibració n vertical, una vibración provoca r una respond ral/" del movimiento? Se supond supondrárá que que el tablón responde e el tablón movimi ento? Se ral f" del elásticamente y se despreciará su relativamente pequeña a masa. masa. elástica mente y se desprec iará su relativa mente pequeñ


8.12 Si los dos dos resortes resortes están están sin sin deform deformarar cuando cuando la la masa masa se se Si 8.12 ntada, hallar halla en la la posició posiciónn central central represe representada, hallar el el desplaz desplaza-ahalla miento estático estático OSI Dst de la misma. misma. ¿Cuál ¿Cuál es es el el período período de de las las oscioscimiento

Besp.]; Resp.f"

= 3,36 =

Hz Hz

io? laciones en en torno torno aa la posició posiciónn de de equilibr equilibrio? laciones

es 0-

00

Figura problem problemaa 8.15 8.15 Figura Figura Figura problem problemaa 8.12 8.12

nte de vil absorbe ques de 8.13 Un Un paracho parachoques de automó automóvil absorbente de energía energía 8.13 adoar, una tiene, con con sus sus resortes resortes sin sin deform deformar, una constan constantete recuper recuperadotiene, kg, 1200 de o, ra equival equivalente de 525 525 kN kN IIm m.. Si Si el el vehícul vehículo, de 1200 kg, se se ente de ra

8.16 El El gran gran cubilete cubilete dde cementoo que que cuelga cuelga de de la la grúa grúa memee cement 8.16 se Cuando kg. diante un cable elástico tiene una masa de 4000 kg. Cuando se 4000 de masa diante un cable elástico tiene una vertical ón perturba el cubilete, se observa en éste una oscilación vertical oscilaci una éste en perturb a el cubilete, se observa de período período 0,5 0,5 s.s. ¿Cuál ¿Cuál es es el el desplaz desplazamiento estático OSI Dst del del cucuamiento estático de

527 527


bilete? Se desprecia la masa del cable y se supone que la grúa es rígida para la posición entrada de la figura.

Il

ti r:

d Figura problema

Figura problema

8.16

Una partícula de masa m está sujeta, tal como se muestra, a dos alambres fuertemente tensos. Hallar la pulsación natural OJII de las pequeñas oscilaciones verticales del sistema bajo la hipótesis de que la tracción T en ambos alambres se mantiene constante. ¿Es necesario calcular el pequeño desplazamiento estático de la partícula? OJn

=

Se representa en la figura el modelo de un edificio de un piso. La barra de masa m está soportada por dos columnas livianas elásticas cuyos extremos superior e inferior no pueden rotar. En cada columna, si se aplicara una fuerza F y el momento correspondiente M del modo que se indica, la desviación /5 estaría dada por /5 = PL 3/12EI, donde L es la longitud real de la columna, E es el módulo de Young e 1 es el momento de inercia de la superficie de la sección transversal de la columna respecto a su eje neutro. Hallar la frecuencia natural de las oscilaciones horizontales de la barra cuando las columnas se doblan tal como se muestra en la figura. 8.20

8.17

Resp.

8.19

{2T ~mz

m

_1

m

~

O

t-I-JLI~ Figura problema

t

~

L

k

k

Nivel del suelo

~

I

8.17

I Figura problema

Se supone ahora que la partícula del problema 8.17 descansa sobre una superficie horizontal lisa y que oscila a lo largo de una recta equidistante de los puntos de sujeción de los alambres. Se considera ahora que los alambres no sufren una tracción constante, sino que pueden asimilarse a bandas elásticas. La tracción en éstas está dada por T = kél, donde Ll.l es la variación de longitud de cada banda cuando la partícula se aparta de su posición de equilibrio. Deducir la ecuación alineal del pequeño movimiento del sistema.

It 181

I I

8.:

ne reI ose Re ye

8.20

8.18

Un trozo de masilla de 3 kg se deja caer desde 2 m sobre el bloque inicialmente inmóvil que se apoya en cuatro resortes,

8.21

La boya cilíndrica flota en agua salada (densidad, 1030 kg / rn') y tiene una masa de 800 kg con un centro de masa bajo para que se mantenga estable en la posición vertical. Hallar la frecuencia 1" de sus oscilaciones verticales. Suponer que la superficie del agua permanece tranquila en sus proximidades. Resp.J" = 0,301 Hz 8.19


528


8.21

nes des!

Hallar N/m.Hallar 800N/m. constan tekk== 800 unaconstante tieneuna cualestiene cada loscuales delos unode cadauno ón oscilaci la durante tiempo del función del tiempo durante la oscilación en función lala elongación elongac ión xx en del original n posició la desde mide se consiguiente, donde xx se mide desde la posición original del consigu iente, donde represe ntado. bloquerepresentado. bloque mm 10,16tmm sen10,16t 59,7sen 10,16t) ++59,7 cos 10,16t) 9,20(1- cos Resp. Resp.xx == 9,20(1veroscilacionesverlasoscilaciones delas naturalf"f"de frecuen cianatural Calcular Calcula rlala frecuencia La ento. movimi en pone se cuandose pone en movimiento. La kg cuando 25kg de 25 ticales bloque de delbloque ticales del masas las ian desprec Se N/m. 1200 es resorte es 1200 N/m. Se desprecian las masas rigidez cada resorte de cada rigidez de poleas. las poleas. de las de

8.22 8.22

\H\\\\ IHIII

1-


k~

\

8.25 represe ntasistema representadel sistema (})n del natural ron pulsaci ón natural la pulsación Calcula r la 8.25 Calcular ellas. en ellas. do. Se desprecian la masa de las poleas y el rozamiento en nto rozamie el y poleas las de masa la ian do. Se desprec

[4k

{4k ~sm

25 kg 25kg

Resp. = ~ sm (}) n = Resp. ron


coestá com yy está masa m una masa báscula tiene una La plataforma platafo rma de la báscula palanca de sistema el sistema de palancass median te el rigidez k mediante nectada al resorte de rigidez nectada pequeñ as las pequeñas ial de diferenc representado. Deducirr la ecuació ecuaciónn diferencial de las ntado. Deduci represe período su hallar y rma platafo es de la plataforma y hallar su período -ro oscilaciones verticales ". ones vertical oscilaci rma amiento vertical de Representar desplazamiento de la la platafo plataforma ntar por Yy el desplaz Represe s. despreciar palancas. iar las masas de las palanca y desprec

8.23 8.23

Resp. Resp.

a 8.25 Figura Figura problem problema 8.25

k (C)4 (b)2 ~k[in yy + ~(~rY m b y == O, o, -r" == 2n(~r 2n e ~ Deducirr la la ecuació ecuaciónn diferenc diferencial movimiento ento del sisial del movimi Deduci de tema de la figura en función de la variable Xl' La de las las masa La xl' tema de la figura en función natuón piezas articuladas es despreciable. Formular pulsación natupulsaci la ar Formul piezas articula das es desprec iable. ral (})n' ron' en en rad rad// ss para para el el caso caso kkll = = kk2 YmI ml = = m2 m2 = = m. m. Se Se supone supone 2 = kk Y ral . as que en todo el sistema las oscilaciones son pequeñas . pequeñ son ones oscilaci las que en todo el sistema 8.26 8.26

obre rtes, m m

••

••

II

~Xl ~Xl

II

t-


b L.t.OFo

ocia J"f" de ón de 8.24 Deduci Deducirr lalaexpresi expresión dela lafrecuen frecuencia delas lasoscilaci oscilacio8.24 Se ento. movimi en pone se cuando cilindro nes vertical verticales del cilindro cuando se pone en movimiento. Se es del nes as poleas. espreci an las ddesprecian lasmasas masas de delas laspequeñ pequeñas poleas.

==(0)

B


529 529


Problemas introductorios_ Problem as introd uctori osOscilaciones libresamorti amortiguadas Oscilaciones libres guadas delíndice índice de deamortig amortiguamiento del dis8.27 Hallar Hallar elelvalor valor del 8.27 uamien to SSdel dispositivo sencil sencillo compuesto de masa, masa, amortig amortiguador y resorte positivo lo compue sto de uador y resorte representado. represe n tado. Resp. SS==0,75 0,75 Resp.

Problem as repres entativ osProblemas representativos_ Oscilac iones libres Oscilaciones libresamorti amortiguadas guadas 8.32 nte de uamien to vis8.32 Hallar Hallar elelvalor valor del del coeficie coeficiente de amortig amortiguamiento viscoso uamien to del coso para para elelcual cual elelíndice índice de de amortig amortiguamiento del sistema sistema vale vale (a) (a)0,5 0,5yy(b) (b)1,5. 1,5.

I

~x I

c=42N's/m

\~~I\~ k = 392 N / m

2kg \,

\-,

I


Figura Figuraproblema problema 8.32 8.32 8.

8.28 8.28 El El período período Td Ta de de las las oscilaci oscilaciones lineales amortig amortiguadas ones lineales uadas de de una una cierta cierta masa masa de de 11 kg kg es es 0,32 0,32 s.s. Si Si la la rigidez rigidez del del resorte resorte lilineal neal aa la la que que está está unida unida es es 850 850 N N/m, calcular el el coeficie coeficiente de / m, calcular nte de amortiguamiento amortig uamien to c.c. 8.29 8.29 A un un sistema sistema de de masa masa yy resorte resorte inicialm inicialmente no amoramorA ente no tiguado tiguado se le le añade añade un un amortig amortiguilmiento viscoso. ¿Para ¿Para qué qué vau¡lmien to viscoso. valor lor del del índice índice de amortig amortiguamiento S será será la la pulsaci pulsaciónón natural natural uamien to S amortig amortiguada Ú)d igual igual al 75 75 por por ciento ciento de de la la pulsaci pulsaciónón natural natural uada Q)d del sistema sistema original original no no amortig amortiguado? del uado? Resp. S S == 0,436 0,436 Resp. 8.30 8.30 amortiguamiento sistema de de masa La adición adición de de amortig uamien to aa un un sistema masa yy resorte no resorte no amortiguado amortig uado hace hace que que el el período período aumente aument e en en un un 20 20 por por ciento. ciento. Hallar Hallar el el índice índice de de amortiguamiento amortig uamien S.

to

S.

8.33 8.33 Un Un oscilado oscilador r armónic armónico o lineal lineal de de masa masa 1,10 1,10 kg kg se se pone pone en movimi ento bajo uamien to viscoso en movimiento bajo amortig amortiguamiento viscoso. . Si Si la la frecuen frecuencia cia es iones sucesiv es 10 10 Hz Hz yy si si dos dos elongac elongaciones sucesivasas separad separadasas por por un un ciclo ciclo comple completoto resultan resultan ser ser 4,65 4,65 mm mm yy 4,30 4,30 mm, mrn, tal tal como como se indica, indica, calcular nte de uamien to viscoso calcular el el coeficie coeficiente de amortig amortiguamiento viscoso c. Resp. /m Resp. ee == 1,721 1,721 N· N· ss/m

ar

dE pl ta

8.: pa

X, mn1 X,lTIn1

sUI

-I-'--I- I-+-,-+ --+-'-j' --+--i- -+-- Tiem po

8.31 Hallar 8.31 Hall ar el el valor valor del del coeficiente coeficie nte de de amortiguamiento amortig uamien to visviscoso ee para coso para el el cual cual es es crítico crítico el el amortiguamiento amortig uamien to del del sistema sistema rerepresentado. present ado.

Resp. Resp. ee == 2240 2240 N· N . s/m s/m Figura problema problema 8.33 8.33 Figura

T T

35 35 kN/m kN / m

36 36kg kg

8.34 Si Silala amplitud amplitu d del del octavo octavo ciclo ciclo de deun un oscilador oscilado rlineal lineal con 8.34 con amortig uamien viscoso es es dieciséis dieciséi s veces veces lala del del vigésimo vigésim o ciamortiguamiento to viscoso ciclo, calcular calcular elel índice índice de de amortiguamiento amortig uamien to S.S. clo, 8.35 La La masa masa de de 22kg kg del del problema problem a 8.27 8.27 se se abandona abando na en enre8.35 reposo desdeuna unadistancia distanc iaXoxoaalaladerecha derechade delalaposición posició nde deequiposo desde equilibrio.Hallar Hallarlalaelongación elongac iónxxcomo comofunción funcióndel deltiempo tiempot,t,donde librio. donde t = O es el instante enque quelalamasa masa sesesuelta. suelta. t = Oes el instante en

Resp.xx==xo(cos xo(cos9,26t 9,26t++1,134 1,134sen sen9,26t)e-1O,SI 9,26t)e-10 ,s/ Resp.


8.36 Un Unsistema sistemaamortiguado amortig uadodedemasa masayyresorte resorteseseabandona abando na 8.36 desdeelelreposo reposoaapartir partirdedeuna unaposición posició ninicial inicialxo. xo.SiSilalaampliamplidesde tudpositiva positivasiguiente siguien teesesxo/2, xo/ 2,hallar hallarelelíndice índicededeamortiguaamortig uatud mientoSSdel delsistema. sistema . miento

530 530


8.39 plitu Calcl mien

xx

xx

-t-t 0,30mm 0,30 mm

_+_~

~,

+~~_~I~ ' tt ~~k -~r11-- ,s

_i_ ~------~--0,15mm 1 1 0,15 mm

,5

------------- - - - --- - --

~t

Figura 8.39 problema 8.39 Figuraproblema

8.40 Hallar la expresión del decremento logarítmico 8 en 8.40 Hallar la expresi ón del decrem ento logarítm ico 8 en tal función de ciclos,tal pornnciclos, separad aspor amplitu desXlXl YyX"XII++1l separadas lasamplitudes función delas como se muestra en la gráfica de la elongación en función del del función en ión elongac la de se muestra en la gráfica

como

8.36 problema 8.36 Figuraproblema Figura

tiempo. tiempo.

críticam ente estácríticamente 8.4está figura 8.4 delala figura rn de masa In de masa cuerpo de Si elel cuerpo 8.37 8.37 Si medida ión elongac la de ón expresi la deducir amortig uado, deducir la expresión de la elongación Xx medida amortiguado, destiempo tt desun tiempo transcu rrido un equilibr io transcurrido de equilibrio posició n de desde lala posición desde disuna ado desplaz reposo desplazado una disen reposo estandoen soltado estando haberlo soltado de haberlo pués pués de io. equilibr de equilibrio. posició n de su posición de su Xo de tancia Xo tancia

e a o

Resp. Xx Resp.

xx

Xo

1

2~n t)e- (CI2I11)t + 2~t)e-(cl2m)t Xo(1 + == xo(l

Xl

a

reposo a el reposo desde el ab andona desde se abandona figura se la figura de la sistem a de El sistema 8.38 El 8.38 Xl' Se rebasam iento Xl' el rebasamiento Hallar el xo. Hallar inicial xo. posición inicial una posición de una partir de partir Se x. direcció la en ón traslaci una es una traslación en la dirección n x. movimi ento es el movimiento que el supone supone que

O ~--r-~-r-+-1--r-+-~-+~~ O

xX

k~108N/\'I~~ ~~.'8N'/m I, C18N . " m bl08N =3kg -rm m=3kg -T-

Xo Xo


8.41 La masa del sistema de la figura se abandona desde 8.41 La masa del sistema de la figura se abando na desde el reposo en la posició posiciónn Xo Xo = = 150 150 mm mm cuando cuando tt = O. O. Hallar Hallar la elonelonreposo en la gación xx para para tt == 0,5 0,5 ss si si (a) (a) ee == 200 200 N's/m N'sI m y (b) (b) ee == 300 300 N·s/m. N'sI m. gación Resp. (a) (a) Xx ==110,4 110,4 mm, mm, Resp. (b) Xx == 118,0 118,0 mm mm (b)

xX

oOL--....\------==

L---+--r----~=--=

on ci-

reuide

ona plia-

=-__ •..... ~-

OO

I ~X

I


ctor registra nte de 8.39 La Lasel'íal señal procede procedente de un un transdu transductor registra una una amam8.39 de masa una e d libre ón oscilaci la en ecrecien te en la oscilación libre de una masa de 44kg. plitud ddecreciente kg. plitud uante de Calcularr lala amplitu amplitudd indicad indicadaa 11,11,elel coeficie coeficiente de amortig amortiguaCalcula miento miento eeyylalarigidez rigidez kkdel del apoyo apoyo elástico elástico.. mm 0,075 = 11 Resp. Resp. h = 0,075 mm /m ee==9,24 9,24N-s N's/m N/m = 115,0 k k= 115,ON/m

e


8.42 El pequeño cañón dispara una bala de 4,5 kg con una 8.42 El pequeñ o cañón dispara una bala de 4,5 kg con una velocidad absolutaa de de 250 250 mmi que forma forma una una ángulo ángulo de de 20° 20° / s sque velocid ad absolut con la horizontal. Lamasa masa conjunt conjuntaa del del cañón cañón yysu suafu afuste esde de es ste La tal. horizon con la

531 531


Si el mecanismo de retroceso se compone del resorte de 750 kg. Si constante k == 27 kN / m y el amortiguador amortiguador de coeficiente coeficiente viscoso e == 9000 9000 N·s/m, N·s/m, hallar el retroceso máximo xmax max del cañón.

ner que se efectúan pequeñas pequeñas oscilaciones en torno a la posirepresentada. ción de equilibrio representada. .... b b22 c. c. kk OO Resp. x+x+-x+-x -x+-x = 2

a2 m

...-----200 ......--200

m

250 /s 250 m mis

Q¡-Q¡ --

o Figura problema problema Figura 8.42

b

8.43 La La masa de un sistema críticamente amortiguado amortiguado se suelta en el instante instante t == O O desde la posición Xo > O O con una velocidad inicial negativa. Hallar el valor crítico crítico (xo\ (xo\ de la velocivelocidad inicial por debajo del cual la masa pasa por su posición de equilibrio. (xo)c == -- (¡)"Xo (¡)"Xo Resp. (xo\ amortiguamiento t;t; del sistema re8.44 Hallar el índice de amortiguamiento presentado. Se desprecian desprecian las masas de las poleas y el rozapresentado. supone que el cable está siempre miento en las mismas y se supone tenso. tenso.

B

e

~k


~ ~

Estudiar el caso de amortiguamiento 8.46 Estudiar amortiguamiento de Coulomb para el bloque de la figura, en la que el coeficiente de rozaPe Y Y cada resorte posee una rigidez k. El blomiento cinético es Pe que se separa una distancia Xo de la posición neutra neutra y luego se suelta. Encontrar y resolver la ecuación diferencial del moviRepresentar gráficamente la oscilación resultante resultante e inmiento. Representar decrecimiento r de la amplitud amplitud por por dicar la velocidad de decrecimiento unidad de tiempo. unidad 2Pcg 2P cg

1m

----:¡¡- ~{k Resp. r == ----:¡¡k

y d. yy


representado escribir su ecuación de 8.45 Para el sistema representado expresión del movimiento en función de la variable x. Hallar la expresión amortiguamiento t;t; en función de las constantes del índice de amortiguamiento AB y suposistema indicadas. Despreciar la masa de la palanca AB

l1e Figura problema Figura problema 8.46

que tica par; cau: está tud gasE siste mos

tadc 8.3

OSCILACIONES FORZADAS FORZADAS DE UN UN PUNTO OSCILACIONES PUNTO MATERIAL

Aunque existen numerosos numerosos casos en que las oscilaciones son un Aunque un fenómeno fenómeno importante, los problemas problemas de oscilaciones más importantes importantes se presentan portante, presentan en aquesituaciones en que el movimiento movimiento está continuamente continuamente excitado excitado por por una una llas situaciones perturbadora. Esta fuerza puede puede estar exteriormente exteriormente aplicada fuerza perturbadora. aplicada o bien bien generarse en el seno del sistema sistema por por medios medios como alguna nerarse alguna pieza pieza rotatoria rotatoria desequidesequilibrada. Pueden Pueden asimismo asimismo excitarse oscilaciones oscilaciones forzadas librada. forzadas a consecuencia consecuencia del movimiento de la cimentación cimentación del sistema. movimiento 532


Si al NeVl

Esta el aF

i-

533 533 8.3 OSCILACIONES OSCILACIONES FORZADAS FORZADAS DE UN UN PUNTO PUNTO MATERIAL MATERIAL

(a) Armónica (a)

n LJn ~J Cuadrada

1

¿j ¿jt ;1 /\ /\ /\ /\ / .LLLLLL /\ /\

V V V '\J'VV ,'VVV L '\jVV En diente de sierra

Triangular Triangular

Cuadrada

F(t) o XB(t) F(t) XB(t)

1/\ 1\1\ I/\/\C\

~V V V ~V General

Semisenoidal

(b) Periódica inarmónica inarmónica (b)

F(t) F(t) o XB(t) XB(t)

mb

~L~LJL~ ~L ~LJL ~ En escalón

En rampa

Cicloidal En impulso (e) (e)

in-

Aleatoria

Aperiódica Aperiódica

Figura 8.8 Figura

--

por

Fosenwt Fosenwt

8.8 se ilustran ilustran diversas diversas formas de funciones de fuerzas F == F(t) F(t) En la figura 8.8 desplazamiento de la base, o cimentación, XB = XB(t). fuerza armónica armónica yYde de desplazamiento XB = XB(t). La fuerza muestra en la parte muy a menudo menudo en la prácque se muestra parte a de la figura se presenta presenta muy estudio asociado a las fuerzas armónicas armónicas es un ineludible un primer primer paso paso ineludible tica y el estudio para analizar y comprender comprender la acción de fuerzas más complicadas. para analizar complicadas. Por esta centraremos nuestra nuestra atención atención en las excitaciones armónicas. causa, centraremos Empecemos considerando considerando el sistema sistema de la figura 8.9a, en el que el cuerpo cuerpo Empecemos sometido a la fuerza armónica armónica exterior F == Fa sen rot, ox, donde donde Fa es la ampliestá sometido tud fuerza y ro es la pulsación excitadora (en radianes radianes por segundo) segundo).. Téntud de la fuerza pulsación excitadora cuidado ahora ahora para confundir ron == Jk/ para no confundir Jk/ m , que es una una propiedad propiedad del gase cuidado aplicada al sistema. sistema. AdvirtaAdvirtauna propiedad propiedad de la fuerza fuerza aplicada sistema, con ro que es una también que si la fuerza fuerza se expresa expresa en la forma F == Fa cos rot, ox, en los resulmos también obtenerse seguidamente seguidamente basta sustituir sen rot ox por cos rot. ox. tados que van a obtenerse basta con sustituir Si al diagrama diagrama para segunda ley de Si para sólido libre de la figura 8.9a se aplica la segunda Newton Newton se obtiene I

ex

-I __m_-----'I(a) (a)

C;(_I C i_ 1

m rn

:.:J I

~ " .J~~\\\~ m

Posición neutra (b) (b)

ecuación adquiere adquiere su forma habitual habitual con las mismas mismas sustituciones sustituciones que en Esta ecuación apartado 8.2. 8.2. Esta forma es el apartado

m

~)

XB = b sen wt

kx - eX + Fosen Fa sen rot tot = mx mx - kx

Fa sen rot rot

kx

(8.13) (8.13)


Figura 8.9 Figura

534 534 VIBRACIÓN RESPUESTA EN El EL VIBRAC iÓN YYRESPUE STA EN TIEMPO TIEMPO

En es lalaexcitac ión de Enmucha muchass ocasion ocasiones excitación de la lamasa masa no no se sedebe debe aauna una fuerza fuerza direcdirectament e a, sino iento de tamente aplicad aplicada, sino alalmovim movimiento de la labase base oociment cimentación que la lamasa masa ación aalala que se tra conect ada median te resorte se encuen encuentra conectada mediante resortess uu otro otro montaj montajee de de natura naturaleza elástileza elástica. os de ca.Ejempl Ejemplos de estos estos casos casos los los tenemo tenemoss en en los los sismóg sismógrafos, las suspen suspensiones de rafos, las siones de los vehícu los uras por das de los vehículos yy las las estruct estructuras por las las sacudi sacudidas de los los terrem terremotos. El movimoviotos. El miento co de lente aala miento armóni armónico de una una base base es es equiva equivalente la aplicac aplicación directa de de una una fuerfuerión directa za armóni ca. Para ente, consid za armónica. Para ver ver esto esto claram claramente, consideremos el sistem sistemaa de de la la figura figura eremos el 8.9b, e. El 8.9b, donde donde el el resorte resorte está está unido unido aa la la base base movibl movible. El diagra diagrama para sólido sólido lilima para bre muestr a zada una ia xx respect bre muestra aa la la masa masa despla desplazada una distanc distancia respectoo aa la la posició posiciónn natunatural, ía si ral, oo posició posiciónn neutra, neutra, que que ocupar ocuparía si la la base base se se encont encontrara en su su posició posiciónn rara en neutra. neutra. La La base, base, aa su su vez, vez, se se supone supone que que posee posee un un movim movimiento armónico iento armóni co x8 = b sen wt. Téngas e en cuenta que la deform ación del xB = b sen ox. Téngase en cuenta que la deformación del resorte resorte es es la la diferen diferencia cia entre zamien tos inercia les de entre los los despla desplazamientos inerciales de la la masa masa yy la la base. base. Aplica Aplicando la segunsegunndo la da ley de Newto ma para da ley de Newtonn al al diagra diagrama para sólido sólido libre libre se se tiene tiene

La rec me

yg

sen

01'1

fue pla

Fal

Esb

con ticu el si sea oo sea

wt mt x + 2¿;w"x + w/x = kb sen m

(8.14) (8.14)

Se ón es formal mente igual Se ve ve en en seguid seguidaa que que esta esta ecuaci ecuación formalmente igual a la ecuació ecuaciónn fundafundamental iento 8.13, mental del del movim movimiento 8.13, en en la la que que Fo Fa aparec aparecee sustitu sustituida por kb. En conseconseida por cuencia siones que cuencia,, todas todas las las conclu conclusiones que se obteng obtengan continuación son válidas válidas an a continu ación son tanto tanto para para la 8.13 8.13 como como para para la 8.14. (a) iones forzadas forzadas no no amortig uadas. Empec (a) Oscilac Oscilaciones amortiguadas. Empecemos en que que el el emos por por el caso caso en amorti guamie nto sea despre ciable, o sea, c == O. O. Entonc amortiguamiento sea despreciable, sea, Entonces, es, la la ecuación ecuaci ón fundafundamental mental del del movim movimiento iento se hace hace

mSt

mit gan vale que mu-

Me

de a da 1 solu

(b) Fo w,?xx = Fa - sen sen cot wt Xx + mI! m ..

2

(8.15) (8.15)

La solución solució n completa comple ta aa esta esta ecuación ecuaci ón 8.15 8.15 es es la la suma suma de La de la la solución solució n complecomple mentar ia xc' que es la solució genera l aa la la ecuación ecuaci ón 8.15 mentaria XC' que es la soluciónn general 8.15 con con el el segundo segund o miemmiembro nulo, nulo, más más la la solución solució n particular particu lar xxpp' ' que que es es cualquiera cualquiera de bro de las las soluciones solucio nes aa la la ecuació n completa. comple ta. Es Es decir, decir, xx == Xc Xc + + xxp'p•En En la la sección sección (a) ecuación (a) del del apartado aparta do 8.2 8.2 hemos hemos vist~ ya cuál es la solució n comple mentar ia Xc La solució n particular visto ya cuál es la solución complementaria XC' La solución particu lar podemos podem os .. ",. determinarla determ inarla haciendo hacien do la la hipótesis hipótes is de de que que la la respuesta respue sta aa la la fuerza fuerza ha ha de de revesrevestir la la misma misma forma forma que que ésta. ésta. A A tal tal fin, tir fin, supondremos supond remos que que xxp p

sen cot wt == XX sen

(8.16) (8.16)

donde X X es es la la amplitud amplit ud (en (en unidades unidad es de de longitud) longitu d) de de la donde la solución solució n particular. particu lar. Sustitu yendo por esta expresión expres ión en en lala ecuación ecuaci ón 8.15 Sustituyendo por esta 8.15 yy despejando despej ando XX resulta resulta XX= =

Fo / k __ F-..:.a_l_k_

1-(w/ w,Y 1(mi m,y

(8.17) (8.17)

Conesto, esto, lala solución solució nparticular Con particu larqueda queda Fo/k

---=--- ---:::2

1- (w/ w,,)


sen wt

(8.18) (8.18)

mie

Con men cero ción ción res u secó pues

Llev cien!

irecmasa lástiesde ovifuerigura 'do linatusición ónico rencia egun-

(8.14)

fundaconse'álidas que el funda-

La solución complementaria, conocida como solución o respuesta transitoria, carece aquí de interés ya que, con el transcurso del tiempo, se desvanece gradualmente a causa del pequeño amortiguamiento siempre presente en los sistemas y que nunca puede eliminarse por completo. La solución particular xp representa la parte del movimiento que se mantiene y recibe el nombre de solución o respuesta estacionaria. Su período es r = 2n/O), el mismo que el de la función fuerza. De interés primordial es la amplitud X del movimiento. Si es Dst el desplazamiento estático de la masa bajo una carga estática Fo, se cumple que Dst = Fo/k Y podemos formar el cociente M _ ~ -

_

Dst -

1

(8.19)

1-(0)10)11)2

(b) Oscilaciones forzadas amortiguadas.

Si reintroducimos el amortiguadel movimiento la escribiremos

(8.15)

[8.13]

(8.16)

Como en la sección (a), la solución completa es la suma de la solución complementaria, que es la solución general a la ecuación 8.13 con el segundo miembro cero, más la solución particular xp' que es cualquiera de las soluciones a la ecuación completa. En la sección (b) del apartado 8.2 hemos visto ya cual es la solución complementaria Xc En virtud de la presencia del amortiguamiento, resulta que una expresión sencilla en seno o coseno, tal como la utilizada en la sección (a), ya no es suficientemente general para la solución particular. Así pues, probamos con

ticular. sulta (8.17)

o

xp

= X sen

(O)t - 1»

Llevando la segunda de estas expresiones a la ecuación 8.13, igualando coeficientes y despejando X y 1> del sistema de ecuaciones resultante nos queda X=

(8.18)

6

5 4

Este cociente M se conoce como índice de amplitud o factor de amplificación y constituye una medida de la rigurosidad de las oscilaciones. Observemos particularmente que M tiende a infinito cuando O) tiende a 0)". Por consiguiente, si el sistema no está amortiguado y lo excita una fuerza armónica cuya pulsación O) sea próxima a la natural 0)11 del sistema, entonces M, y por tanto X, crecen ilimitadamente. Físicamente, esto significa que la amplitud del movimiento llegaría a los límites del resorte del sistema y ello es una situación a evitar. El valor co; se conoce como pulsación crítica o resonante del sistema y el estado en que O) tiene un valor próximo a 0)", con la consiguiente amplitud X de un valor muy elevado, se conoce como resonancia. Para O) < 0)" el factor de amplificación M es positivo y la oscilación está en fase con la fuerza F. Para O) > co; el factor de amplificación es negativo y la oscilación está en oposición de fase (desfasada 180°) con la fuerza. En la figura 8.10 se representa gráficamente el valor absoluto de M en función del cociente de pulsaciones 0)/0)". miento, la ecuación diferencial fundamental

omplemiemnesa la hemos demos ereves-

535 8.3 OSCILACIONES FORZADAS DE UN PUNTO MATERIAL

Folk

{[1 - (0)10)11)2]2 + [2 sO)l O)I1Fpl2

1> = arct

[ 2 sO)l to; ] g 1 - ( O)IO),y

(8.20)

(8.21 )


IMI

3

/

2

~

1

o

\

<;

O

3 Figura 8.10

536

VIBRACiÓN TIEMPO

Conocemos así ahora la solución completa y, por tanto, la misma puede escribirse como sigue para un sistema no amortiguado

Y RESPUESTA EN EL

x

=

Ce-t;w"t sen (wdt + 1fI) + X sen (wt -

(8.22)

El primer término del segundo miembro disminuye con el tiempo y, por ello, se conoce como solución o respuesta transitoria. La solución particular xp se conoce como solución o respuesta estacionaria y constituye la parte de la solución que nos interesa primordialmente. Todas las cantidades que figuran en el segundo miembro de la ecuación 8.22 son propiedades del sistema y de la fuerza aplicada, salvo C y lfI (que dependen de las condiciones iniciales) y el tiempo transcurrido t. En las proximidades de la resonancia, la amplitud X de la respuesta estacionaria depende fuertemente del índice de amortiguamiento S y del cociente, adimensional, de pulsaciones ea] wn- Aquí vuelve a ser conveniente formar el cociente adimensional M = X/(Fa/ k), conocido como índice de amplitud o factor de amplificación.

(8.23)

6

S=O 5

4 IMI ,1

3

1.11\\

LO,2,\

2 1

~~

°°

S

1 --

1

w!(j)"

Figura 8.11

2

3

En la figura 8.11se representa gráficamente, con gran exactitud, el factor de amplificación M en función del cociente de pulsaciones to] wn para distintos valores del índice de amortiguamiento S. Dicha figura revela la información más esencial concerniente a la oscilación forzada de un sistema de un solo grado de libertad sometido a una excitación armónica. De la gráfica resulta claro que si la amplitud de un movimiento es excesiva, dos remedios posibles serían (a) aumentar el amortiguamiento (para que el valor de S sea mayor) y (b) alterar la pulsación excitadora W alejándola de la pulsación de resonancia wn- El efecto del amortiguamiento se nota perfectamente en la proximidad de la resonancia. En la figura 8.11se ve asimismo que, salvo para S = O, la curva del factor de amplificación no crece de hecho ilimitadamente para w/ co; = 1. Para cualquier valor dado de S la cresta puede calcularse hallando el máximo de M mediante la expresión 8.23. El ángulo de fase to; y

(

q c.

Si X

d( fi¡ ns ar

scri-

8.22)

ello,

bastido r, relativaalalbastidor, masarelativa posició ndedelalamasa denotalalaposición vimiento bastido r.SiSixxdenota delbastidor. vimien toXBXBdel obtiene Newto nseseobtiene leydedeNewton segund aley aplicarlalasegunda alalaplicar sea oosea

- ex-kx -cX-kx

537 537 8.3 OSCILACIONES DE FORZADASDE 8.3 OSCILACIONESFORZADAS UN PUNTO MATERIAL UN PUNTOMATERIAL

.... c.e . kk -XB xx++-x x+ + -m -m == -XB

mm

mm

ecuamt,lalaecuasenox, masa.SiSieses XBXB == bbsen delalamasa. inercia lde donde elonga cióninercial eslalaelongación XB)es donde(x(x++ XB) será habitu alserá notació nhabitual conlalanotación movim ientocon delmovimiento ción cióndel

i/J,1/>,rad rad

ción el seerza

úniinteres ando únisigue interesando Nos sigue boJ. Nos por bat. sustitu ido por msustituido que Fa/m con Fol 8.13 con igual aa lala 8.13 es igual que es s tenemo 8.20, según 8.20, tenemos Entonces, según estacio naria xxp'p' Entonces, camente solució nestacionaria camen te lala solución

0,1 0,1

0,2 0,2 0,5 0,5 n/2 1--_".---,,---$-----+-----1

adimen sional cocient e adimensional el cociente relativ a xxp'p' el respue sta relativa la respuesta Si de la amplit ud de la amplitud represe nta la Si XX representa será X/b será Xlb

1 1

(8.23)


tarde os van más do de que si (a) auerar la efecto ancia. de amier va-

ante la

la de la parte bb de la parte En la 8.23. En expres ión 8.23. la expresión de la donde amplif icación de de amplificación factor de el factor es el M es donde M opulsaci de e cocient del función en X/b mente figura 8.14·se 8.14·se representa gráficamente X/b en función del cociente de pulsacioreprese nta gráfica figura de los factore cias entre udes yy diferen las similit nes m/ mi ml mnConvienene advert advertir ir las similitudes diferencias entre los factores s de 1" Convie nes icación de amplif amplificación de las las figuras figuras 8.14(b) 8.14(b) yy 8.11 8.11..

.....

:I :I ,

repreá rezaiación res del nancia n de lo a, en la primer etoma

-,

------,<>-F~-
- - (Qt_

' I

\'\, '.... _-_ .... ....-/..- '~ / " , .....

-----

t '

~ _\.- _ _ _ ~e. <-I-f-'------ ''.--'I--:: ---f--+-- ---::;-':- -I,----i-- -r-I

,

°

wt

I

/

/4 w< (0< w'" (o"' 1/>= i/J= nn/4

vamos ógrafos ntes de almo-


22

3

3

6

s= °

5 m

rn

Id t

_i~ \

Posición de equilibrio

G~t:;;;;;:;;::;;;~;;:;;;;;:;;;;;:;;;;:;;;;;';;;;~:;;;;;¡_l ~B o"

POSIClOn

neu

= b sen wt

4

X/b \\

3

I(~\

2

J

t'/

.r

ra

(al

0,2'" 0,5

~ 1

2

3

w/w" (bl Figura 8.14

E Figura 8.15

Si el cociente de pulsaciones OJIOJn es grande, será X/b == 1 para todos los valores del índice de amortiguamiento S. En estas condiciones, la elongación de la masa relativa al bastidor es aproximadamente igual al desplazamiento absoluto de éste y el instrumento actúa como un indicador de desplazamiento. Para que OJ/ OJI! sea alto, hace falta que OJn = Jk/m sea pequeño, lo que supone que el resorte ha de ser blando y la masa grande. Con esta combinación, la masa tenderá a permanecer inmóvil por inercia. Generalmente, los indicadores de desplazamiento tienen un amortiguamiento muy leve. Por el contrario, si el cociente de pulsaciones OJ/ OJIl es pequeño, M será próximo a la unidad (véase fig. 8.11) Y X/b == (OJ/ OJn?,o sea, X == b(OJI OJ17? Pero baf es la aceleración máxima del bastidor y el instrumento podrá usarse como acelerómetro. Generalmente, el índice de amortiguamiento se elige de modo que M sea próximo a·la unidad para la gama de valores de OJ/ OJI1 más amplia posible. En la figura 8.11 se ve que un índice de amortiguamiento comprendido entre S = 0,5 Y S = 1 puede cumplir esta condición. Entre los circuitos eléctricos y los sistemas mecánicos de masa y resorte existe una importante analogía. En la figura 8.15 se representa un circuito en serie compuesto de una fuente de tensión E, que es función del tiempo, una inducción L, un condensador e y una resistencia R. Representando la carga mediante la letra q, la ecuación por la cual se rige ésta es

(8.24)

Esta ecuación es formalmente igual a la del sistema mecánico. Así pues, mediante un simple intercambio de símbolos, puede utilizarse el comportamiento del sistema eléctrico para predecir el comportamiento del sistema mecánico y viceversa. Resulta de utilidad la siguiente tabla de equivalentes mecánicos y eléctricos.


SISTEMA MECÁNICO --------SíMBOLO MAGNITUD Masa Rigidez de un resorte Fuerza Velocidad Desplazamiento Constante de amortiguamiento viscoso

SISTEMA ELÉCTRICO UNIDAD

MAGNITUD Inductancia l/Capacidad Tensión Intensidad Carga Resistencia

kg N/m N mis m N-s/m

m

k

F

x x c

SíMBOLO

UNIDAD

L

H henry 1/ F farad V volt A ampere e coulomb Q ohm

l/C E 1

q R

PROBLEMA TIPO 8.4

El instrumento de 50 kg se apoya en cuatro resortes de rigidez 7500 N/m cada uno. Si la base en la que descansa el conjunto está sometida a un movimiento armónico dado, en metros, por XB = 0,002 cos 50t, hallar la amplitud estacionaria del movimiento armónico del instrumento. El amortiguamiento es despreciable.

Solución. Para el caso de oscilación armónica de la base sustituimos Fa por kb en las fórmulas y, así, la ecuación 8.17, que da la amplitud estacionaria, queda

La pulsación de resonancia es wll = ,Jk/m = ,14(7500)/50 pulsación impartida W = 50 rad/ s es dato. Así pues,

x

0,002 1 - (50/24,5)2

=

= -

6,32(10-4) m

o sea

=

24,5 rad/ s y la

- 0,632 mm

Resp.

Obsérvese que el cociente de pulsaciones to] to; vale 2 aproximadamente, lo que evita la resonancia.

CD Téngase cos 50t

(3)

y

en cuenta que la función

el resultado

fuerza

puede expresarse

con sen

50t

o con

es el mismo.

El signo menos indica que el movimiento

está desfasado

1800

con la excita-

ción aplicada.

539



r

., Posición Posiciónneutra neutra 11xxB 8 ==bbcos cosrot wt

1-1--

Iq::;:=: I~~::J :!

TT TT El El punto punto B, B, donde donde está está sujeto sujeto elel resorte, resorte, experim enta un experimenta un movimie movimiento horizontal nto horizont al xB xB== bb cos cos O)t. mt. Hallar Hallar la la pulsació pulsaciónn exciexcitadora iadora crítica crítica 0)" ea; para para la la cual cual tiendan tiendan aa hacerse hacerse excesiva excesivamente amplias las las oscioscimente amplias laciones laciones de de la la masa masa m. m. Desprec Despreciar los ro1'0iar los zamiento zamientoss yy las las masas masas asociada asociadass aa las las poleas. poleas. Los Los dos dos resortes resortes tienen tienen la la misma misma rigidez kk rigidez

t. t

Posición Posición de de { equilibri o C,-uilib,io

y_~X ~

~¡

m m

kx kx (S6lo (Sólo fuerzas fuerzas dinámic as) dinámicas)

Solució n. Se Solución. Se dibuja dibuja el el diagram diagramaa para sólido libre para dos desplaz desplazamientos amiento s positivo s arbitrar ios xx yy XB positivos arbitrarios XB'. La variable x se mide hacia abajo desde la posició posiciónn Q) io estático El alargam CD de de equilibr equilibrio estático existent existentee cuando cuando XB. XB' = = O. O.El alargamiento adicional iento adicion al del reresorte existent e en el equilibr sorte superio superior,r, por por encima encima del existente equilibrio estático,, es 2x -_ xB' io estático XB. Por ill actuant e en el resorte resorte superior, superio r, y también (3) tanto, tanto, la la fuerza fuerza dinámica dinámica actuante también la tracción didinámica T en el cable, k(2x - xB.). XB.). Sumando Sumand o fuerzas námica T ejercida ejercida en cable, es k(2x fuerzas en la dirección direcció n xx reresulta [LF x = mi] mi] [¿Fx

2k(2x -- xxBB)) - kx kx -- 2k(2x

mx mi

que se convierte convier te en en

Sk = -2kb 2kb cos cos_tot O)t .... Sk X+-x x+-x m m

s

m m

La pulsación pulsaci ón natural natural del del sistema sistema es es to; La ro" = = J(5k)/m J( Sk) lm .. Entonces, Entonce s,

O)ee == mO)nn == JSk/m JSklm m

Resp. Resp.

CD SiSi eses necesario necesario recordar recorda r algo algo acerca acercade de la la cinemática cinemática del CD del movimiento movimiento vincuvinculado, véase véase elel apartado lado, apartad o 2.9. 2.9.

El m

o

En elel apartado apartad o 8.2 8.2 vimos vimos que que eses posible posibleomitir omitir las lasfuerzas fuerzas iguales (3) En igualesyyopuestas opuestas asociad as posiciónde deequilibrio equilibrioestático. estático.Aquí Aquíseseemplean asociadas aa lalaposición empleanlas lasexpresiones expresionesde de fuerza dinámica dinámica del del resorte resorte yytracción tracción dinámica dinámica para fuerza para recalcar recalcarelel hecho hecho de de que que sólo hay hay que que considerar conside rarlos losincrementos incrementosde delas lasfuerzas fuerzasadicionales sólo adicionalesaasus susvalores valores estáticos. estáticos. 540


Lé an

r

PROBLEMA 8.6 TIPO8.6 PROBLEMATIPO

-

pp=posen = Po sen rotrol

por elel soportado por estásoportado kg está 45 kg de 45 pistón de El pistón El ParalekN/m. Parale35 kN/m. rigidez kk == 35 de rigidez resorte de resorte amortiguaun amortiguaactúa un resorte actúa lamente alal resorte lamente Sobre Ns/m. 1250 = c te coeficien c = 1250 N·s/m. Sobre de coeficiente dor de dor de es de cabeza de sección cuya pistón, el el pistón, cuya sección de cabeza es cíclicapp== presión cíclica una presión actúauna 50(10-3)m2,2,actúa 50(10-3)m desplazamiento Hallar elel desplazamiento 30t. Hallar sen 30t. 4000 sen 4000 del función del en función rio estaciona régimen estacionario en en régimen en transse que máxima fuerza la y tiempo tiempo y lafuerza máxima que se transbase. la base. mite aa la mite

w w

Posición de Posición de equilibrio rio (equilib rol sen pA = F F = pA sen rot (

tt

amorde amoríndice de el índice natural yy el pulsaci ón natural la pulsación Comenzamos calcula ndo la Comen zamos calculando sistema del tiguami ento del sistema tiguamiento


S -- -- c- -S 2mm -- 2múJ n

II

-

-T; -Tx-

~J-t

P5(103 (k P5(10 ) = rad / ss -----;¡:s~ m== ---¡s== ~m = 27,9 rad/ 3

úJn mn

.-----'~----,

)

1250 (subam ortigua do) = 0,498 (subamortiguado) 2(45)(27,9) 2(45)(27,9)

t

kx ci ex kx (Sólo dinámica s) fuerzas dinámicas) (Sólo fuerzas

ecuació n 8.20, la ecuación estacion ario es, según La amplitu amplitudd en régimen régimen estacionario según la 8.20,

Fol k Folk

-~~-~--~~ X = --------~------+ [(2sm) /m l1 J2}l/2 (úJlúJm)2f {[1- (ml n )2]2 [(2SúJ)/úJn]2}1/2 lI

C:D CD

3)] 3)] [35(10 )(10- 3)/ 4000(50)(103)/[35(10 4000(50 )(30/27,9)]2}1/2 )2]2 + [2(0,498 {[1- (30/27,9 (30/27,9)2]2 [2(0,498)(30/27,9)]2}1/2 {[1-

C:D

== 0,00528 0,00528 m m oo 5,28 5,28 mm mm

n 8.21, Según Según la la ecuació ecuación 8.21, el el ángulo ángulo de de fase fase es es

o

Ci)

ase que, en este caso, el arguo Adviért mento del arco tangente de tiene

2]

Smi múJnn 2J arctg [[ 22SúJI I/Ji/J == arctg

Adviértase que, en este caso, el argumento del arco tangente de I/Ji/J tiene un numera numerador positivo y un un denomi denomi-dor positivo un nador negativo, lo que sitúa a I/Ji/J en en el el a sitúa que lo o, negativ nador segundo cuadran cuadrante. Recuérdese que ese que te. Recuérd segundo los límites límites definido definidoss para para I/Ji/J son son O O:::;~ I/Ji/J los

) - (mi 11(úJI m úJn) 17

)(30/27, 9)J arct [2(0,498 [2(0,498)(30/27,9)J = arct

gg

9)2 11 -- (30/27, (30/27,9)2

== 1,716 1,716 rad rad

o o término El movimi movimiento estacionario nos lo lo da da ahora ahora el el segund segundo término del del segund segundo ario nos ento estacion El n 8.22: o de miembr miembro de la la ecuació ecuación 8.22: sen (mt (úJt -I/J) - i/J) == 5,28 5,28 sen sen (30t (30t -- 1,716) 1,716) mm mm xxp == XXsen

Instamoss al al lector lector aa que que repita estos repita estos Instamo cálculos con un coeficiente de amoramorde nte cálculos con un coeficie tiguamiento igual a cero cero y que que obserobserento igual tiguami ve así así la la influenc influenciaia del relativa relativamente mente ve elevado amortig amortiguamiento presente.e. uamiento present elevado

~n :::;rc

Resp. Resp.

s por Lafuerza fuerza FFtr transmi transmitida labase base es eslala suma suma de de las lasejercida ejercidas por elelresorte resorte yy elel tida aala La tr uador, oosea amortig amortiguador, sea

=.

kxp ++cX = = kX kX sen sen(mt-I/J) (úJt - i/J)++cmX cúJX cos cos(mt-I/J) (úJt - i/J) FFtrtr == kxp p

541 541


El valor máximo de F Ftrtr es (Ftr)max (Ftr)max

= =

2 2 + c22w2 J( kX)2 + (croX)2 XJk w2 J(kX)2 (croX)2 = = XJk

0,00528 J (35 000)2 + (1250)2(30)2 0,00528J(35 000)2+ (1250)2(30)2 271 271 N

Resp. Resp.

PROBLEMAS PROBLEMAS (Salvo (Salvo que se indique indique lo contrario, se supondrá supondrá que el amortiguamiento guamiento es de ligero a moderado, moderado, por lo que la amplitud amplitud de la respuesta máxima para para ro/ respuesta forzada es máxima rol ron ron == 1.) Problemas Problemas introductorios introductorios

Hallar la amplitud amplitud X X del movimiento movimiento estacionario estacionario de la masa de 10 N-s / m y si (b) c == O. 10 kg si (a) c == 500 500 N-s/m Resp. (a) X Resp. X == 1,344(101,344(10-22)) m m (b) (b) X == 2,27(102,27(10-22)) m m

8.47

•

1

k=100kN/m~

N FF = 1000 1000 cos cos 1201 N Figura 8.47 Figura problema problema

Una fuerza armónica de amplitud amplitud constante constante Fa, pero de pulsación to, excita un sistema de masa y resorte con pulsación variable ro, amortiguamiento amortiguamiento viscoso. Si Si la amplitud amplitud de la respuesta respuesta estacionaria se observa que decrece a la octava parte parte cuando cuando el cocorol ron rollvaría 2, hallar el índice de pulsaciones ro/ varía de 1 a 2, ciente de pulsaciones amortiguamiento amortiguamiento Sdel sistema.

8.48

8.50 Si Si el coeficiente de amortiguamiento amortiguamiento viscoso del amortiguador del sistema del problema problema 8.49 N .. s/ tiguador 8.49 es ce == 36 N si m, determinar los límites permitidos permitidos a la pulsación pulsación excitadora excitadora ro ro de amplitud ddee la respuesta respuesta estacionaria estacionaria sea inferior modo que la amplitud a 75 75 mm. Justificar la solución comparándola comparándola con la del problema 8.49. ma8.49. 8.51 Si pulsación excitadora 8.51 Si la pulsación excitadora del problema problema 8.49 8.49 fuese ro ro== 6 rad er el coeficiente de radl/ s, determinar determinar el valor que debe ten tener amortiguamiento para que la amplitud amortiguamiento c para amplitud de la respuesta respuesta estacionaria no exceda de 75 75 mm. Resp. c == 55,6 Resp. 55,6 N· s/m slm

8.

fa ci ci

8.!


trc

8.52 Un sistema de masa y resorte con amortiguamiento amortiguamiento visimpulsado a la pulsación pulsación natural natural no amortiguada amortiguada coso es impulsado (ro/ (rol ron== 1). 1). Si Si el índice de amortiguamiento amortiguamiento S S se duplica duplica de 0,1 0,1 a 0,2, 0,2, calcular la reducción reducción porcentual porcentual Rl que experimenta experimenta la amplitud amplitud estacionaria. Comparar Comparar este resultado resultado con el que se obtiene (R22)) repitiendo repitiendo los cálculos con la condición ro/ rol ron roll== 2. 2. Comprobar los resultados resultados a la vista de la figura 8.11. 8.11. Comprobar

eSI

mi

se

una de las bolas de 0,5 kg está sujeta al extremo de 8.53 Cada una 0,5kg cuando recibe la la varilla elástica sin peso que flexiona 4 mm cuando aplicación estática de una fuerza de 2 N. Si el collarín central recibe un movimiento movimiento armónico vertical de frecuencia 4 Hz y una amplitud amplitud de 3 mm, mrn, hallar hallar la amplitud amplitud Yo de la oscilación vertical de cada bola. Resp. Yo == 8,15 Resp. 8,15 mm

El carro de 30 kg está sometido sometido a la acción de la fuerza armónica que se indica. Si determinar los límites permiSi ce == O, O,determinar tidos a la pulsación pulsación excitadora de modo que la amplitud excitadora ro rode amplitud de respuesta estacionaria estacionaria sea inferior a 75 75 mm. la respuesta Resp. ro ro > 6,86 Resp. ro< 4,99 4,99 rad radl/ s ooro> 6,86 rad radl/ s

8.49

t

111-=.==={'bJ k = 1080N / m

I

¡---------,

,I I Figura problema problema Figura 8.49


542


0,5 kg

8.57 zont mas. cion

= XB = por XB dado por viene dado exterior viene 8.54 carro exterior del carro movim iento del 8.54 El movimiento ines m ora excitad pulsaci ón excitadora bb sen OJ es invalores de la pulsación qué valores mt. ¿Para qué sen OJt. al relativo al m relativo masa m ferior movimi ento de la masa amplitu d del movimiento 2b la amplitud ferior a 2b

II 1------+¡...--..

ee

XB rol cos rol XB bcos

II

== b 1------+¡...--..

xx

II

II

carro? B

k¡

8.57 Figura problem a 8.57 Figura problema

rot sen rol ¡\XB=b ¡-IXB= bsen

111

k/ 2 M/N-

horimovimi ento horiun movimiento El elemen to de fijación B recibe un El elemento la ento movimi n zontal xB = b cos OJt. Deducir la ecuación del movimiento de la ecuació r Deduci mt. b = XB zontal oscilalas cual para la masa mec para pulsaci ón crítica OJ definir la pulsación masa mm yy definir amplias . ¿Cuál es el ciones excesiv amente amplias. hacen excesivamente masa se hacen la masa de la ciones de ? sistema del S índice de amortiguamiento S del sistema? to amortig uamien índice

8.58 8.58 B B


II

del curvas del máximo s de las curvas Se dice en el texto que los máximos Se Dedu1. = 1. m m/ tran encuen factor de amplificación M no se encuentran en OJ/ OJ n = Dedun cación amplifi de factor funen funmáximo s en cir posicio nes de los máximos qu e da las posiciones expresi ón que la expresión cir la S. amortig uamien to S· ción del índice de amortiguamiento

8.55 8.55

el

1------+¡...--..

IXB=bcosrol IXB=b cosúJI

xx

1------+¡...--.. I

II

S!l:~ \I\I\I\/~S! p~

\\\\~p

m m

B B

kk

J l-2s2 2S2 = J1-

Resp. OJ = Resp. m mn1I OJ


8.56 Cuando el cencenperman ece de pie inmóvil en el persona permanece Cuando la persona 8.56 una e tro del del entram entramado muestra,, produc produce una flecha flecha ado de piso que se muestra tro misla misrápido!) por (jO corre rápido') estática Si camina (iO por la Ost bajo sus pies. Si estática 0st vibrael que harían o ma zona, ¿cuántos pasos por segundo harían piso vibrasegund por ma zona, ¿cuánto s pasos vertical ? ld vertical? se con la máxima amplih amplitud

transmisión TT del de transmisión 8.59 Deducir coeficiente de expresi ón del coeficiente Deduci r la expresión 8.59 por defisistema de transmi sión es, por coeficie nte de transmisión figura. El coeficiente la figura. de la sistema te a la transmi nición, el cociente de la fuerza máxima que se transmite máxima nición, el cociente r Expresa base dividida por la amplitud Fa de la función fuerza. Expresar Fo d amplitu base dividid a por cación amplifi del la solución en función de OJ, OJ Ydel factor de amplificación y m m, S, Il n n la solució M.

e a

1

Fo sen sen rol F == Fa

y n


e

ento hori8.57 El elemen elemento fijación B B recibe recibe un movimi movimiento to de fijación El 8.57 ento de la movimi del n zontal XB = b cos OJt. Deducir la ecuación movimiento la zontal XB = b cos mt. Deduci r ecuació oscilalas cual la para e m masa m y definir la pulsación OJ oscilacrítica ón c masa m y definir la pulsaci amente amplias ciones de la masa se hacen excesiv excesivamente amplias.. ciones b k = )x k Resp. mx + ex + (k )x b cos mt OJt + 22 cos Resp. mx cx (k11 22

II

2 m OJ = = Jkl + kk2

e

m

Base Figura problem problemaa 8.59 8.59 Figura

a8.60 Deducirr la la ecuació ecuaciónn del movimi movimiento para el desplaz desplazaento para Deduci 8.60 proel tar Comen 8.14. miento inercial x, de la masa de la 8.14.Comentar figura miento inercial Xi rlo. ceso de de resoluc resolución ecuación, acometerlo. n, pero sin acomete ión de la ecuació ceso

543 543


8.61 para generar generar vibraciones vibraciones consiste en dos 8.61 Un dispositivo dispositivo para ruedas una de ruedas que giran giran en sentidos sentidos contrarios, contrarios, llevando llevando cada una ellas una una masa excéntrica mo mo == 1 kg de centro de masa situado situado a la distancia = 12 distancia e = 12 mm de su eje de rotación. Las ruedas ruedas están están sincronizadas de manera manera que las posiciones sincronizadas posiciones verticales de las masas no equilibradas equilibradas coinciden coinciden siempre. La masa total del dispositivo posibles de dispositivo es de 10 10 kg. Determinar Determinar los dos valores posibles constante k del resorte resorte equivalente la constante equivalente que permitan permitan que la fuerza transmitida desequilibrio de los rotransmitida a la base fija fija a causa del desequilibrio tores tenga un valor máximo de 1500 1500 N N a una una velocidad velocidad de 1800rpm. Despréciese el amortiguamiento. amortiguamiento. 1800 rpm. Despréciese Resp. 823 kN kN/m kN/m Resp. k == 823 / m o 227 kN /m

amplitud de la oscilación vertical del instrumeninstrumense para para que la amplitud to no exceda de 0,15 0,15 mm. Los cuatro cuatro resortes resortes son iguales y tienen una rigidez tienen una rigidez de 7,2 kN I/ m m..

H Figura problema problema 8.64

8.65 El sismógrafo sismógrafo está montado montado sobre una estructura aniuna estructura mada una vibración una doble mada de una vibración vertical de frecuencia 5 5 Hz y una amplitud una masa m == 2 Y la riamplitud de 18 mm. mm. El sensor tiene una 2 kg Y gidez del resorte resorte es k == 1,5 1,5 kN I/ m m.. El movimiento movimiento de la masa respecto respecto a la base del instrumento instrumento se registra registra en un tambor tambor rotatorio y muestra muestra una una doble amplitud amplitud de 24 mm durante durante la situación tuación estacionaria. estacionaria. Calcular la constante constante de amortiguamiento amortiguamiento viscoso c. Resp. Resp. ec == 44,6 N· ss/m /m


una estructura estructura animada animada de 8.62 El sismógrafo está fijado a una una vibración armónica armónica de 3 Hz. El instrumento instrumento tiene una una masa m == 0,5 0,5 kg, kg. un resorte de rigidez rigidez k == 20 N I/ m y un amortiguador un amortiguador Si el valor viscoso de coeficiente ec == 3 N . ssi/ m. Si valor máximo registramovimiento estacionario estacionario es X == 2 mm, rnm, hallar hallar la do de x en su movimiento amplitud b del movimiento movimiento horizontal horizontal de la estructura. estructura. amplitud

t:=~,'l\lU

I~Xl

24 mrn tt 24mm


Deducir y resolver resolver la ecuación ecuación del movimiento movimiento de la 8.66 Deducir repentinamente una masa a la que se aplica repentinamente una fuerza F que perconstante después después de su aplicación. En el instante instante t == O manece constante desplazamiento y la velocidad velocidad de la masa son ambos nulos. el desplazamiento Representar gráficamente gráficamente x en función de t para varios ciclos Representar para varios movimiento. del movimiento.

""""k ctura


mecanismo similar al del problema 8.62 va a em8.63 Un mecanismo problema 8.62 plearse para medir la aceleración horizontal horizontal de la estructura estructura para medir que está vibrando vibrando a 5 Hz. La masa masa es m == 0,008 0,008kg, constante kg, la constante resorte k = 150 150 N I/ m y el índice de amortiguamiento amortiguamiento es S S= del resorte 0,75. amplitud de x es 4,0 4,0 mm, calcular aproximadamente aproximadamente 0,75. Si la amplitud máxima amax estructura. la aceleración máxima max de la estructura. Resp. = 75,0 75,0 m mi/ S2 Resp. amax m ax = instrumento de la figura tiene una 8.64 El instrumento una masa de 43 kg Y montado a la base horizontal horizontal mediante mediante resortes. resortes. Si Si la amestá montado plitud vibraciones verticales de la base es de 0,19 0,19 mm, plitud de las vibraciones impedircalcular la gama de frecuencias /n /nde la base que debe impedir-

FuerzaF FuerzaF

k ~F

~ /I/IN#

Fool- - -

~

o O

Tiempo, t Tiempo,


1

e e

a

ti equilibrio de la masa m se da para para yy == O 8.67 La posición de equilibrio e YB == O. O.Cuando cursor BB se le comunica comunica un movimiento movimiento verCuando al cursor

l¡ ti

544


4 estacionario YB == b sen wt, ox, la masa m ejecuta una tical estacionario una oscilación estacionaria. Deducir Deducir la ecuación ecuación diferencial diferencial del movivertical estacionaria. miento de m m y especificar la pulsación mee para miento pulsación w para la cual las oscitienden a hacerse demasiado demasiado grandes. grandes. La rigidez laciones de m tienden rigidez del resorte resorte es k y se desprecian desprecian la masa masa de la polea y el rozamiento en ella. 4k R··esp. y·· + 4k --y y

m

= 2kb - m sen wt on , w mee = = 2 = -2kb

r¡("7= 1j(7=// m m

-../1\./ -..JIU

~ 8.68 Hallar vibración vertical del remol~ 8.68 Hallar la amplitud amplitud de la vibración montado sobre resortes resortes cuando cuando avanza avanza a una velocidad de que montado una velocidad 25 km / h sobre el camino con piso de troncos cuyo contorno km/h contorno puede asimilarse a una sinusoide (o cosinusoide). La masa del puede asimilarse una sinusoide remolque es de 500 kg Y la de las ruedas remolque Yla ruedas es despreciable. despreciable. Durante la carga, cada incremento rante incremento de 75 kg comprime comprime 3 mm los resortes. Supóngase Supóngase que las ruedas ruedas están están siempre siempre en contacto despreciar el amortiguamiento. amortiguamiento. ¿A ¿A qué velocicon el camino y despreciar dad remolque? dad crítica ve ve será máxima máxima la vibración vibración del remolque? Resp. 14,75 mm, mm, ve ve = 15,23 15,23 km km/h Resp. X = = 14,75 /h

50mm

t


8.4

la f-

O s. os

-o ef-


OSCILACIONES DE DE UN CUERPO CUERPO RíGIDO RíGIDO OSCILACIONES

enteramente análogo El tema de las oscilaciones planas planas de un cuerpo rígido es enteramente segundo caso la variable al de las oscilaciones de un un punto punto material. En este segundo interesar es alguna alguna que define una traslación traslación (x), (x),mientras que suele interesar mientras que en las variable de máximo interés es alguna alguna que oscilaciones de un cuerpo rígido la variable (8). Así pues, los fundamentos fundamentos de la dinámica dinámica de la rotadefine una una rotación (8). deducción de la ecuación de movición representan representan un un papel papel primordial primordial en la deducción rotatorias de un cuerpo miento. Veremos que ésta, en el caso de las oscilaciones rotatorias rígido, es formalmente formalmente igual a la deducida deducida en los apartados apartados 8.2 8.2 y 8.3 8.3 para para las traslación de un ocurría con éste, el oscilaciones de traslación un punto punto material. Tal como ocurría diagrama para dibujado para diagrama para sólido libre es recomendable recomendable y práctico dibujarlo para un desplazamiento positivo cualquiera de la variable de desplazamiento, plazamiento positivo cualquiera desplazamiento, puesto puesto que un valor negativo negativo de ésta conduce fácilmente a errores errores de signo en la ecuación medir el desplazamiento desplazamiento desde desde la posición de de movimiento. La práctica práctica de medir desde la posición de deformación deformación nula equilibrio estático y no desde nula del resorte sigue aquí simplificando simplificando la formulación formulación en el caso de los sistemas lineales porque aquí porque las momentos iguales y opuestos opuestos asociados al equilibrio estático se anufuerzas y momentos lan. En vez de tratar tratar particularmente particularmente los casos de (a) oscilaciones lineales, amortiguadas amortiguadas, y (b) oscilaciones forzadas, amortiguadas amortiguadas y no tiguadas y no amortiguadas, 545


amortiguadas, amortiguadas, tal como como hicimos hicimos con con el punto punto matenaI material en en los apartados apartados 8.2 y 8.3, entraremos entraremos directamente directamente en en el problema problema de las oscilaciones oscilaciones forzadas forzadas y amortiguadas. amortiguadas. Como Como ejemplo ejemplo ilustrativo, ilustrativo, consideremos consideremos las oscilaciones oscilaciones de rotación rotación de la barra barra esbelta esbelta de la figura figura 8.16a. 8.16a. En la figura figura 8.16b 8.16b se muestra muestra el diagrama diagrama para para sólido sólido libre libre asociado asociado a la posición posición horizontal horizontal de equilibrio equilibrio estático. estático. Igualando Igualando cero la suma suma de momentos momentos respecto respecto a O resulta resulta a cero

546 546

VIBRACIÓN VIBRACiÓN Y Y RESPUESTA RESPUESTA EN El EL TIEMPO TIEMPO

p p

donde donde P es el módulo módulo de la fuerza fuerza estática estática del del resorte. resorte. En la figura figura 8.16c 8.16c se muestra muestra el diagrama diagrama para para sólido sólido libre libre asociado asociado a un un desplazamiento desplazamiento angular angular positivo positivo cualquiera cualquiera 8. e. Empleando Empleando la ecuación ecuación del del momovimiento de rotación EMo == lloo deducida vimiento rotación LMO deducida en el capítulo capítulo 6, podemos podemos escribir escribir

(a)

ee,,

(mg)(~ cos 8)-(~ecos e)-(~ecos 8)(~ e)(~ cos 8)-(P+k~ e)-(p+k~ sen sen 8)(~ e)(~ cos 8)e) (mg)(~

¡ °

mg

P

(b)

Fa cos cos rol

tt

o, t Oy

~ lti .. t tmg ~

21

P+k sen P+k--21 33

t mg

e

1}2g 1!!:E 4

..

d(/) el· d(l) e == -ecos a e -ecos

c- - sen di di 3 3 (e)

Figura 8.16 8.16

r

.... 1z 1 + (F (Foo cos OJt) úJt) (( :3 3 cos 8e)) == 1§m[28 §mFe donde donde lloo = 1 1 + md md?2 == mZ m122// 12 + m(l mil / 6)2 6)2 = mZ m12 / 9 se obtiene obtiene aplicando aplicando el teorema teorema Steiner para para momentos momentos de inercia inercia másicos. másicos. Para Para desviaciones desviaciones angulares angulares de Steiner pequeñas es posible posible aceptar aceptar las las aproximaciones aproximaciones sen sen 8 == 8 Y y cos 8 == 1. Con Con P = = pequeñas mg/4, la ecuación ecuación de movimiento, movimiento, una una vez vez reordenada re ordenada y simplificada, simplificada, queda queda

e e

e

33

E e ti

P d

e me

e m

.... c· k (F 0113 c· 01/3 )cos )cos OJt ost + - + 4- = ---'--::-;0-'-:-8+-8+4-8= m[2/9 m[2 /9

Cl

(8.25) (8.25)

El segundo OJt) /olo, segundo miembro miembro se ha ha dejado dejado sin sin simplificar simplificar en en la forma forma Mo(cos úJt)/I , donde Z/ 3 es el módulo donde Mo == F Foo1/3 módulo del del momento momento respecto respecto al punto punto O de la fuerza fuerza externamente externamente aplicada. aplicada. Adviértase Adviértase que que los dos dos momentos momentos iguales iguales y opuestos opuestos asociados a las fuerzas fuerzas de equilibrio equilibrio estático estático se han han anulado anulado entre entre ellos ellos en en el asociados primer primer miembro miembro de la ecuación ecuación de movimiento movimiento de rotación. rotación. Por Por consiguiente, consiguiente, no fue rzas y los momentos no es necesario necesario incluir incluir en en el análisis análisis las fuerzas momentos del del equilibrio equilibrio estático. estático. Llegados Llegados aquí, aquí, observamos observamos que que la ecuación ecuación 8.25 es formalmente formalmente igual igual a la 8.13, correspondiente correspondiente al caso caso de traslación, traslación, y por por ello podemos podemos escribir escribir

(8.26) (8.26)

Así relaciones desarrolladas Así pues, pues, podemos podemos emplear emplear todas todas las relaciones desarrolladas en en los apartados apartados 8.2 y 8.3 sin homólogas sin más más que que sustituir sustituir las cantidades cantidades de traslación traslación por por su suss homólogas de rotación. rotación. En En la tabla tabla de la página página siguiente siguiente se muestra muestra el resultado resultado de efectuar tuar esa esa sustitución sustitución para para la barra barra basculante basculante de la figura figura 8.16. En dicha dicha tabla, tabla, el parámetro parámetro ke representa representa la constante constante del del resorte resorte de torsión torsión equivalente equivalente del del sis-


547 ROTACIÓN (problema presente)

TRASLACIÓN

c .

k

=

x+-x+-x m 111

..

Fo cos OJt

OJti

=

= xp = X

2mOJ"

_c_ 2Jkm

OJ11 ~2

=

=

_c_ 2mOJl1

OJd = OJnJl-

~J4km-c2 2m

= ep = ec

lo

2jk/m _c_ 4Jkm

r = 2~ J16km

2

- c

ecos (OJt- cp)

(MO) _

e - M

)

=

8.4 OSCILACIONES DE UN CUERPO RíGIDO

Ce- t;w"t sen(OJdt + lI')

_ _

O

m(k

OJ" = j4k/m

S=

X cos (OJt- cp)

=

=

m

Ce- t;w"t sen(OJdt + lI')

Xc

4k m

e+-e+-e

OJ" = jk/m

S = _. _c_ =

c· m

Mo cos OJt

--r; -

Fo(l/3)

_

M §k12

3Fo

- 4kl

tema de la figura 8.16 y se determina escribiendo el momento recuperador del resorte. Para un ángulo e pequeño, este momento respecto a O es Mk

= -

[k(21/3)

sen

e] [(21/3) cos e]

== - (§kF)

e

Es decir, ke = § k12. Obsérvese que la cantidad Mo / ke es la desviación angular estática que produciría un momento exterior constante Mo· Concluimos, pues, que existe una analogía exacta entre las oscilaciones de traslación de una partícula y las pequeñas oscilaciones de rotación de un cuerpo rígido. Y aún más, la utilización de esta analogía puede ahorrar toda la labor de deducir las relaciones aplicables a un problema dado de oscilaciones de un cuerpo rígido.

PROBLEMA TIPO 8.7

Oy

o En la figura se representa simplificadamente un péndulo como los utilizados para ensayos de resiliencia. Deducir su ecuación de movimiento y hallar el período de sus pequeñas oscilaciones alrededor del eje de suspensión O. El centro de masa G está ubicado a una distancia 1·= 0,9 m de O y el radio de giro respecto a O es ko = 0,95 m. El rozamiento en el cojinete es despreciable.

Ox

\\ \

f

lo~) rng


1 Habiend CD Habiendo o

tomado O O como como centro centro tomado de de momen momentos, lascompon componentes O,, yy tos, las entes O O O}' de la la reacción reacción del del cojinete cojinete no no enen}' de tran tran nunca nunca en en la la ecuació ecuación del movimovin del miento. miento.

Solución Dibujam os el Solución. . Dibujamos el diagram diagramaa para para sólido sólido libre libre corresp correspondiente un desdesondient e aa un plazam iento positivo era e,e, midiénd ose éste plazamiento positivo cualqui cualquiera midiéndose éste en en sentido sentido antihor antihorario para ario para el adas elegido mente aplicam el sistema sistema de de coorden coordenadas elegido.. Seguida Seguidamente aplicamos la ecuació ecuación fundaos la n fundamental mental del del movimi movimiento obtenemos ento yy obtenem os

-- mgr mgr sen sen e e == mkde mkde

°

e+.si sen e = o e+~ kk 22 sen =

sea oo sea

oo

Resp. Resp.

Obsérv ese que n es diente de Obsérvese que esta esta ecuació ecuación es indepen independiente de la la masa. Cuando Cuando ees es pequeñ pequeño, o, es sen e n del movimi es sen ===- eyy la la ecuació ecuación movimiento puede escribir escribirse ento puede se

e+~ k 2 e=

® (D Para Para oscilaci oscilaciones de gran gran amplitu amplitud, ones de d, la la determi determinación del período período del del nación del péndulo péndulo requiere calcular una una inteintegral elíptica elíptica.. gral

o

°

(Da cia en ciclo. s por segund (Da frecuen frecuencia ciclos segundoo y el período período en segund segundos son os son

= ~ =

r

Para los datos dados dados

(0,95)2 (0,95)2 (9,81)(0 ,9) "(9,81 )(0,9)

"" = = 2,. 2~

'r'

fkJ .~-gr

211:

Resp.

201 = = 2,01 s

Resp. Resp.

In

r


G) Como Como CD

antes, consideramos consideramos únicaúnicamente las mente las variaciones variaciones en las las fuerzas fuerzas debidas a un un movimiento movimiento de de separaseparación de la posición posición de de equilibrio. equilibrio.

La barra uniforme uniforme de masa masa m m yy longitud longitud tiene un un eje de oscilación oscilación en 1I tiene en su su centro. centro. El resorte resorte de constante constante kk de la izquierda El izquierda está sujeto sujeto aa una una superficie está superficie inmóvil, inmóvil, pero el de la derecha, derecha, también pero también de consconstante k,k, lo está está aa un un soporte tante soporte sometido sometido aa un movimiento movimiento armónico armónico dado por un por YB = = sen OJt.Hallar mt. Hallar la pulsación bb sen pulsación excitadora excitadora de resonancia de resonancia OJome

1

1

1

r21~21 k

;5 YB= b sen

r líJ~ r1J![J k _

B

01

Solución. Aplicamos Aplicam os la la ecuación ecuació n de de movimiento movimi ento en Solución. en su su versión versión de de momentos, momen tos, tomand o éstos éstos respecto respecto aa 0, tomando O, yy obtenemos obtenem os (1 l1 .. k-1I sen sen ee)) -1-I cos 2e cos e-k .. e-k(1 sen e-YB e-YB)) -1-I cos -- ((k-- sen = -m12e cos ee= -mI 22 22 22 22 12 12

Con la la hipótesis hipótes is de de pequeñas pequeñ as oscilaciones oscilaciones yy simplificando Con simplif icando queda queda 6k .... 6k

6kb 6kb

e+ -e -1 sen sen OJt e+-e == -1 mt mm mm 548 548


a

z

ecuació n conocid aecuación ahoraconocida observa ndolalayayaahora identifi camosobservando oo LaLapulsación naturallalaidentificamos pulsaci ónnatural yes yes

ron

= J6k/m

tanto (entanto resonan cia(en produc irálalaresonancia = J 6k/m producirá De pulsaci ónúlroe unapulsación queuna aquíque Deaquí c == úlron n = J6k/m ones). oscilaci as pequeñ de is hipótes nuestra que además violará nuestra hipótesis de pequeñas oscilaciones). violará que además ..

o

aquí típica eses aquí (1) La forma típica la forma

22

__

.. ee++úln ee-Ú)11

klb sen últrot Mo klb Mosen 2 ee Mo == 2 ' donde Mo lJ ,donde OO

Am1

perturb ade lala perturbadepend e de no depende sistema no un sistema de un ro" de natural úl" lo 2• La pulsación natural la pulsación lo == hml2. externa . ción externa. ción


del movimiento del del mooimienio ecuación del Deducir la ecuacwn Deducir rueda que eo homogén circular homogéneo que rueda cilindro circular cilindro su kg, su 50 kg, de 50 es de masa es su masa Si su deslizar. Si sin deslizar. sin resordel resorconstante del la constante m, la 0,5 m, mide 0,5 radio mide radio amorde amorcoeficiente de el coeficiente N/m yy el 75 N/m vale 75 te vale te hallar N:s/m, es 10 tiguamiento es tiguamiento 10 N:s/m, hallar amortino amortipulsación natural (a) la pulsación natural no guada guada uamiento (b)el índice índice de de amortig amortiguamiento ada natural n (e) (c) la pulsació pulsación natural amortigu amortiguada amortigu sistema del (d)el período período del sistema amortigua-ado. do. Hallar Hallar además además xx en en función función del del tiempo tiempo el desde suelta si si el el cilindro cilindro se se suelta desde el reposo reposo en en lala posición posición xx == -- 0,2 0,2 m m cuando cuando tt == O. O.

10)

I¡....--x f----;- x I e

tido horario , a efectos de corresp ondencia cinemá cinemática con x. x. tica con dencia

la fuerza fuerza de de rozamie rozamiento puede nto F puede la o(1) AAatribuirsele un sentido cualquiera. era. cualqui sele un sentido F

ento podemo Como variable variable del del movimi movimiento podemoss elegir elegir entre entre xx yy la la rotación rotación Como valor un da nos se a problem del do del problema se nos da un valor de del cilindro cilindro.. Como Como en en el el enuncia enunciado de x, x, el el ee del de era cualqui positivo valor un para os dibujam lo diagramaa para para sólido sólido libre libre lo dibujamos para un valor positivo cualquiera de xx diagram tes ento siguien nes de os las escribimos las ecuacio ecuaciones de movimi movimiento siguientes yy escribim

Solución. n. Solució

[LF [Ux == mi] mi]

ci-- kx kx ++FF == mi mi -- eX

[LM [¿Me le] e ==[e]

2 -Fr -Fr --= 2!mr ~mr2e

x

e re.

oosea sea

atribuir Encontraremos que su su sentido sentido real real aremos que Encontr es hacia hacia la la derecha derecha para para x> x > O, O,Y Yhahaes cia la la izquierd izquierdaa para para xx << O; O; FF == O O cia cuando x = O. cuando x = O.

r ¡-----¡

posición de de I IxlX . Posición equilibrio o equilibri

~ ee "\

I

kx&mJjm ------kxf gg

ón o esta iento es ra sin Lacondici condición derodadu rodadura sindeslizam deslizamiento esi i == re. Llevand Llevando estacondici condición ón de La rode fuerza la de ón expresi Esta . ~mi = F tos resulta ecuación demomen momentos resulta F = - ~mi . Esta expresión de la fuerza de ron de aalalaecuació n xxyyse n de zamiento introducimos enlalaecuació ecuación delalafuerza fuerza en enlaladirecció dirección setiene tiene cimos en to lalaintrodu zamien .. .. . . kk 1.. 1.. -ex_ cx - x--mx x - 2-mx == mx mx 2

CD ElEl ángulo ángulo e e se se toma toma positivo positivo en senCD tido horario, a efectos de correspon-

..oo

FF

eX eX

tt

NN

2k = OO e. .. 22c.2k ..x+-x+- -x -x = - -x+x+ m 33mm

33 m

549 549


Comparando la ecuación anterior con la 8.9, correspondiente al oscilador amortiguado general, podemos establecer directamente 2 k úJ2 == n

(a)

3m

(b)

2SúJ

n

úJn ==

2 e == - 3 m

Jn P

75 35O

1 rad/s

Resp.

== 3(50)(1) == 0,0667

Resp.

3 m

1

10

e

S == 3 múJ"

Por tanto, la pulsación natural amortiguada y el período amortiguado son (e) Resp. (d)

7:d == 2n/ úJd == 2n/O,998

== 6,30 s

Resp.

Según la ecuación 8.12, la solución no amortiguada a la ecuación del movimiento es x == Ce" sW,J sen (úJdt + t¡I) == Ce-

(0,0667)(1)1

La velocidades i == - 0,0667Ce-O,06671 + 0,998Ce-

0,06671

sen (0,998t + lf/)

8.7 pre hac per. cen

sen (0,998t + t¡I) cos (0,998y + t¡I)

En el instante t = 0, x y i valen Xo

=

C sen t¡I

=-

0,2

io == - 0,667C sen t¡I + 0,998C cos t¡I =

°

Despejando C y t¡lde este sistema de ecuaciones, resulta C == -0,2004

m

t¡I

=

1,504 rad

Por consiguiente, el movimiento está dado por x == - 0,2004e-

0,06671

sen (0,998t + 1,504) m

Resp.

8.72 alred cione Problemas introductorios

8.69 La varilla liviana y la esfera solidaria de masa m están en reposo en la posición representada. Hallar el período 7: de

las pequeñas oscilaciones en el plano vertical alrededor del eje de suspensión O. Resp. 7: == 6n

IO

rm

~5k

-f ~k

~'

Lb!blbJ~m Figura problema

8.69

.

8.70 Se representa un péndulo invertido cargado con resortes en su posición de equilibrio. Hallar la frecuencia natural!" de sus pequeñas oscilaciones en torno a la vertical y establecer para qué valor mínimo de la constante k de los resortes tendrán lugar tales oscilaciones. Se desprecia la masa de la varilla.

550


8.73 unifo

en la pequeña bola situada en O. Si se hace que el rectángulo se balancee alrededor del eje A-A, hallar la frecuencia natural de las pequeñas oscilaciones. Despreciar el leve descentrado, la masa y el rozamiento de la bola. Resp.

8.71 La placa delgada cuadrada cuelga de una rótula (no representada) que encaja en la pequeña bola situada en O. Si se hace que la placa se balancee alrededor del eje A-A, hallar el período de las pequeñas oscilaciones. Despreciar el leve descentrado, la masa y el rozamiento de la bola. Resp.

T

=

_~ fi 2~2b -

8.74 Si el marco rectangular del problema 8.73 se pone a oscilar alrededor del eje B-B, hallar la frecuencia natural de las pequeñas oscilaciones y comparada con la obtenida en el problema 8.73.

8.70

Figura problema

Q)n

8.75 La masa de la varilla delgada uniforme es 3 kg. Hallar la posición x en que debe encontrarse el cursor de 1 kg para que el período del sistema sea 0,9 s. Suponer pequeñas oscilaciones en torno a la posición horizontal de equilibrio representada. Resp. x = 0,587m

Fx __

(2b

. ,11

O_'8..•.~

2¡¡;~3g ~I'

\

ijfl

3 kg

lkg I

1 1

b/2

A -_

~5N/m

B / /

1//

Figura problema

b /2

8.75

/ O --

A


B~

b

~

8.76 Para la placa semicircular de radio r, hallar la frecuencia natural in de sus pequeñas oscilaciones en el plano vertical en torno al cojinete O.

b /"'

b Figura problema

o

8.71

r

.

I

~ 8.72 Si la placa cuadrada del problema 8.71se pone a oscilar alrededor del eje B-B, hallar el período de las pequeñas oscilaciones y compararlo con el obtenido en el problema 8.71.

e

8.73 El marco rectangular está construido de varilla delgada uniforme y cuelga de una rótula (no representada) que encaja

Figura problema

8.76

8.77 El anillo circular de radio r cuelga de una rótula (no representada) que encaja en la pequeña bola situada en O. Deter-

b

r-

Figura problema

Figura problema

8.73

8.77

551


minar minar elel cociente cociente RR entre entre los los período períodos las pequeñ pequeñas s dde e las as oscilaci oscilaciones alrededor delos losejes ejesB-B B-ByyA-A. A-A. Desprec Despreciar leve ones alreded or de iar elelleve descent descentrado, masa yyelelrozamie rozamiento delalabola. bola. rado, lalamasa nto de

Escribir to de Escribirelelmomen momento deinercia inercia 11del delvolante volante en enfunción función de delas las cantida des medida cantidades medidas. s.

2

2 Resp. Resp. RR == -J3

J3

(

e

8.78 8.78 Hallar Hallar lalaexpresi expresión de lalafrecuen frecuencia natural Inf de de las laspepeón de cia natural queñas queñas oscilaci oscilaciones en torno torno aa OOdel del brazo brazo con con contrap contrapeso. La ones en eso. La rigidez rigidez del del resorte resorte es es kk yy su su longitu longitud se ajusta ajusta de de modo modo que que elel d se brazo brazo esté esté en enequilibr equilibrio en lalaposició posición horizontal representada. io en n hori:wn tal represe ntada. Desprec Despreciar masa del del resorte resorte yyel elbrazo brazo en encompar comparación conm. m. iar lalamasa ación con

8 q e

si

Cl



8.79 El 8.79 El mecani mecanismo representado oscila en en el el plano plano vertical vertical smo represe ntado oscila alreded or del eje alrededor eje de suspens suspensión O. En la la posició posiciónn de de equilibr equilibrio, ión O. io, ef} == o,0, los resortes de igual rigidez rigidez están están ambos ambos comprim comprimidos. idos. Hallar la expresi expresión período -rT de las pequeñ pequeñas oscilaciones ón del período as oscilaci ones alreded alrededor El mecani mecanismo una masa masa m m con con centro centro de de or de O. El smo tiene una masa en G y el radio radio de giro del conjunt conjuntoo respecto respecto aa O O es es ka. kü.

8.81 La dida en 8.81 La placa placa cuadrad cuadradaa uniform uniformee está está suspen suspendida en un un plaplano horizon tal por no horizontal por cuatro cuatro cables cables sujetos sujetos aa los los vértices vértices que que bajan bajan desde desde los los puntos puntos A A yy B B situado situadoss en en la la misma recta horizon horizontal tal aa una ia bb por una distanc distancia por encima encima de la la placa. Hallar la la expresi expresión de ón de la cia In as oscilaci ones de la placa alredela frecuen frecuencia in de de las las pequeñ pequeñas oscilaciones dor del eje eje AB.

Resp. Resp.

1 fIi. fli In in --_ !7r~ffi ñ~ffi

2nko 27rk

o Resp.T= = ~~ Resp.-r 2kb 2kb22 gr _m+ gr

80l

en pn de gu

m+


8.82 Cuando Cuando el el motor motor eléctrico eléctrico se se acelera acelera paulatinamente paulati namente 8.82 hasta su su velocidad velocid ad de de régimen, régimen , aa las las 360 360 rpm rpm se se presentan present an unas hasta unas 0,-. Figura Figura problema problem a 8.79 8.79

8.8~

8.80 8.80

Elvolante El volante está estásuspendido suspend idopor porsu sucentro centrode de un unalambre alambre que cuelga cuelga de que de de un W1 soporte soporte fijo fijo yy sus sus oscilaciones oscilaci ones de torsión torsión en en torno alal eje torno eje vertical vertical tienen tienen un un período período TI' -r1' según según las las medidas medida s realizad as. Seguidamente, realizadas. Seguida mente, en en posiciones posicio nes opuestas opuesta s yy aa sendas sendas distanci as rr del distancias del centro centrose secolocan colocandos dospequeñas pequeñ aspesas pesasde demasa masa cadauna. una.Con mmcada Conesto estose semide mideun unperíodo período'l21igeramente 'l2ligeramentemayor. mayor.

552 552


o 200rnm Figuraproblema problem a 8.82 8.82 Figura

200 mm 200rnrn

en E do. Me fuer dee pleb siste

oscilaciones vibratorias bastante intensas de todo el motor en torno a O-O, lo que muestra que la velocidad citada corresponde a la frecuencia natural de las oscilaciones libres del motor. Si éste tiene una masa de 43kg y un radio de giro respecto a O-O de 100 mm, hallar la rigidez de cada uno de los soportes elásti-

sección del barco hacia proa y hacia popa y se tratará el barco cargado como si fuera un bloque macizo de sección cuadrada. Resp. r = 12,95 s.

cos iguales. Hallar el valor mef de la masa del sistema (b) de modo que su frecuencia sea la misma que la del sistema (a). Téngase en cuenta que los dos resortes son iguales y que la rueda del sistema (a) es un cilindro macizo homogéneo de masa m2· La cuerda no resbala sobre el cilindro.

8.83

Resp.

1

mef =

m1 + 2m2 Figuraproblema 8.85

k

l-e:

laan a

:2-k

8.86 Se repite aquí el sistema del problema 8.45.Si la palanca AB tiene ahora una masa m: Y un radio de giro ko respecto al

-«:

punto O, hallar las expresiones de la pulsación natural no amortiguada OJII y del índice de amortiguamiento ( en función de los parámetros del sistema dados. Suponer pequeñas oscilaciones. El coeficiente de amortiguamiento del amortiguador es c.

<:: <::

de e-

[Ím

ef

mIlI 11\\ (a)

(b)

Figuraproblema 8.83

m~ x

La varilla uniforme de masa m puede oscilar libremente en torno al eje O. Suponer pequeñas oscilaciones y hallar la expresión del índice de amortiguamiento (. ¿Para qué valor Cer del coeficiente de amortiguamiento tendrá el sistema amorti-

8.84

b

• e

guamiento crítico?

B

\\\\

Figuraproblema 8.86

La lenteja esférica del péndulo de la figura oscila en el seno de un fluido que le ejerce una fuerza resistente de la forma

8.87

ente as Figuraproblema 8.84

El centro de masa G del barco puede suponerse situado en el centro de la sección cuadrada equivalente de 15 m de lado. La altura metacéntrica h, determinada por la intersección M del plano de simetría del barco con la recta soporte de la fuerza resultante del empuje hidrostático aplicada en el centro de empuje E, es 0,9 m. Hallar el período r de un balanceo completo del barco si la amplitud es pequeña y se desprecia la resistencia del agua. Se desprecian también las variaciones de la

8.85

kv2

Figuraproblema 8.87

553


kv2, donde k es una constante y v es la velocidad de la lenteja. Si la masa de ésta es m y pueden despreciarse la masa y la resistencia de la varilla y el rozamiento en la suspensión, deducir la ecuación del movimiento del péndulo para pequeñas oscilaciones. ..

kl¡;J'

m

Resp. e+

o

t11e+ e

Z

=

O

plitudes e = e¡y hallar el período 'r de las oscilaciones. Hallar asimismo la velocidad angular úJ del cilindro cuando atraviesa la recta vertical central. (Advertencia: No confundir úJ con ni con úJn tal como se emplean en las ecuaciones definitorias. Adviértase también que no es el desplazamiento angular del cilindro.)

e

e

8.88 Al carro B se le da un movimiento armónico xB = b sen ox. Hallar la amplitud estacionaria de la oscilación periódica de la varilla delgada uniforme articulada en P al carro. Se supone que los ángulos son pequeños y se desprecia el rozamiento en el eje de suspensión. El resorte de torsión está sin deformar cuando O.

e

e=

m

Figura problema XB = b

sen

8.90

wl

K

I

~

8.91

I

B

Figura problema

mI

La polea cilíndrica maciza y homogénea

tiene una masa

Y un radio r. Si el punto de fijación B está sometido al des-

plazamiento armónico indicado, escribir la ecuación de movimiento del sistema en función de la variable x. La cuerda que enlaza la masa m2 al resorte superior no resbala en la polea.

8.88

Resp.

(mz + ~ml)x

+ (k1 + kz)x

Dos barras uniformes iguales están soldadas formando un ángulo recto y están suspendidas, tal como se muestra, de un eje horizontal que pasa por O. Hallar la pulsación excitadora crítica úJe del bloque B capaz de producir en el sistema unas oscilaciones de amplitud excesiva. La masa del conjunto soldado esm.

=

k1 b cos

tot

8.89

Resp.

úJe =

§(2k +

5 m

•

la d S,

di d, ta

ee m

XB = b cos

ox

I

H

es ci m

re el

g)1

•

1/2 x -er:

-c:

~k

-er

k~

El

-<:-"

Figura problema

B

Figura problema

8.89

8.90 El cilindro macizo uniforme de masa m y radio r rueda sin deslizamiento durante su oscilación por la superficie circular de radio R. Si el movimiento está limitado a pequeñas am-

8.91

8.92 Se repite aquí el "maniquí articulado" del problema 6.118. Se supone que la articulación de la cadera O permanece en contacto con el automóvil y el torso, situado por encima de la cadera, se trata como si fuera un cuerpo rígido de masa m. El centro de masa del torso está en G y el radio de giro del mismo respecto a O es ko. Un resorte de torsión interno ejerce un par de momento M = Ke sobre el torso, siendo K la constante del resorte y la desviación angular medida desde la posición ver-

e

m le' es so ro

dE tal taj nu

gu os'

554


tical inicial. Si el vehículo detiene bruscamente vehículo se detiene bruscamente bajo una una desconstante a, deducir deducir la ecuación ecuación diferencial diferencial del aceleración constante movimiento instrumovimiento del torso antes de chocar con el tablero tablero de instrumentos.

centrada m == 0,25 0,25 kg que se indica, hallar la velocidad angular centrada velocidad angular úJ cuyo efecto sería excitar el sistema de suspensión suspensión a su frecuen(O amortiguada. ¿Cuál sería la correspondiente correspondiente celenatural no amortiguada. cia natural ridad Hallar el índice de amortiguamiento amortiguamiento S S.. ridad v del vehículo? Hallar Suponer pequeñas despreciar los efectos giroscóSuponer pequeñas oscilaciones y despreciar picos y las vibraciones eludir las complicaciones vibraciones del chasis. Para eludir fuerza normal normal variable que la calzada ejerce soasociadas con la fuerza bre cada rueda, estuviera despegadespegarueda, se tratará tratará el vehículo como si estuviera suspendida libremente libremente en el aire. do del suelo con la rueda rueda suspendida Resp. (O úJ = = 10,21 10,21 rad/ 12,87 km/h, S == 1,517 1,517 Resp. rad / s, v == 12,87 km / h, S


~ 8.93 ~ 8.93

figura se ilustran ilustran los elementos elementos que componen componen En la figura suspensión trasera "eje oscilante" de los automóviles. automóviles. El la suspensión trasera tipo "eje diferencial D está unido diferencial unido rígidamente rígidamente al chasis ddel el vehículo. Los semiejes están están articulados articulados en sus extremos extremos interiores interiores (punto (punto O están unidos del semieje representado) representado) y están unidos rígidamente rígidamente a las ruerueOtros componentes componentes de la suspensión, suspensión, que no se represenddas. as. Otros representan, limitan limitan el movimiento movimiento de la rueda rueda al plano plano de la figura. El conjunto de rueda conjunto rueda y neumático neumático tiene una una masa masa M == 45 kg Y su momento diametral que pase momento ddee inercia respecto respecto a un un eje diametral pase por por el centro de masa masa G es 1,4 kg·m2.. La masa masa del semieje es ddespreespreconstante del resorte amortiguaresorte y el coeficiente de amortiguaciable. La constante miento amortiguador son kk = 8,75 8,75 kN / m y e = 2600 2600 N·s/ miento del amortiguador N·s / m, respectivamente. desequilibrio estático en la resp ectivamente. Si se presenta presenta un desequilibrio supone la masa adicional conrueda, como el que supone cubierta de la rueda,

8.5 8.5

a e e

o el r-

r=350


~ 8.94 Para la suspensión suspensión del automóvil automóvil del problema 8.93, ~ 8.94 Para problema 8.93, hallar amplitud X vertical del punto hallar la amplitud X del movimiento movimiento vertical punto G si la velocidad angular de la rueda corresponde a (a) (a) la frecuencia frecuencia rueda corresponde velocidad angular natural amortiguada del sistema sistema y (b) (b) a una celeridad del natural no amortiguada una celeridad vehículo Conciliar ambos ambos resultados. vehículo de 90 km/h. km / h. Conciliar resultados. Resp. (a) X = 0,611 0,611 mm, 1,731 mm Resp. mm, (b) X = 1,731

MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS MÉTODOS

En los los apartados apartados 8.2 a 8.4 hemos las ecuaciones ecuaciones del del movimoviEn hemos deducido deducido y resuelto resuelto las miento de puntos cuerpos rígidos oscilantes aplicando aplicando la segunda segunda miento de puntos materiales materiales y cuerpos rígidos oscilantes ley de de Newton diagrama para sólido libre libre correspondiente correspondiente cada caso. caso. Con ley Newton al diagrama para sólido a cada Con este método tener en en cuenta cuenta los efectos efectos de de todas todas las las fuerzas fuerzas actuantes actuantes este m étodo pudimos pudimos tener sobre el cuerpo, cuerpo, incluidas incluidas las las amortiguadoras amortiguadoras por rozamiento. Existen Existen numesobre por rozamiento. numerosos problemas problemas en es pequeño pequeño y puede puede rosos en los los que que el efecto efecto del del amortiguamiento amortiguamiento despreciarse, con con lo que que la energía energía del del sistema sistema prácticamente conserva. En En despreciarse, prácticamente se conserva. tales casos el principio de conservación conservación de de la energía energía puede aplicarse con con ventales casos principio de puede aplicarse ventaja establecer la ecuación ecuación del del movimiento cuando el movimiento artaja para para establecer movimiento y cuando movimiento es armónico simple, para determinar la frecuencia o la pulsación de las oscilaciones. mónico simple, para determinar la frecuencia pulsación de las oscilaciones. Para ilustrar ilustrar este este otro otro método método empecemos empecemos considerando considerando el sistema sistema de de la fiPara gura 8.17, constituido constituido por cuerpo de de masa de rigidez que gura por el cuerpo masa m unido unido al resorte resorte de rigidez k que oscila en el plano vertical. Corno Como antes, oscila plano vertical. antes, lo más más práctico práctico es medir medir la variable variable x 555 555


556 556 VIBRACiÓN Y RESPUESTA RESPUESTA EN EN EL EL VIBRACiÓN Y TIEMPO TIEMPO

movimiento a partir del movimiento partir de la posición de equilibrio. Con ésta como referencia, gravitatoria, es la energía potencial potencial total del sistema, elástica más gravitatoria, Ve+Vg g = = ~k(x+ost)2_~kos?-mgx v == Ve+V ~k(x+ost)2_~koi-mgx

donde Ost 0st = = mg/k mg/k es el desplazamiento desplazamiento estático inicial. Con la sustitución sustitución de mg mg donde por 0stk y simplificando simplificando queda queda

Así pues, la energía total del sistema se hace j

Ves constante constante en los sistemas conservativos, su derivada derivada temporal temporal Como T + Ves es nula nula y, por consiguiente, d d d/T+ V) d/T+

= mxx+kxi mxx s kxx = = O O =

8.17 Figura 8.17

(

F i¡ e e

li Dividiendo por ix resulta movimiento Dividiendo resulta por fin la ecuación diferencial de movimiento mx +kx +kx mx

= O O =

8.1 deducida deducida en el apartado apartado 8.2 8.2 para que es igual a la 8.1 para el mismo sistema que el 8.17. de la figura 8.17. conservación de la energía puede emplearse para determinar La conservación puede asimismo emplearse para determinar conservativos lila pulsación pulsación o el período período de las oscilaciones de los sistemas conservativos neales sin necesidad necesidad de deducir deducir y resolver la ecuación de su movimiento. movimiento. En un sistema que ejecute oscilaciones armónicas armónicas simples en torno a su posición elongación x, la energía varía desde una de equilibrio, desde la que se mide la elongación cinética máxima y potencial potencial nula nula en la posición x == O,hasta O, hasta una una cinética nula nula desplazamiento máximo x == x max con potencial potencial máxima en la posición de desplazamiento max.. O sea, podemos podemos escribir = V max T max max = max

La energía energía cinética máxima es ~m(imax)2, ~m (imax) 2, y la energía potencial potencial máxima es ~k(xmax)2 . En el caso del oscilador armónico de la figura 8.17 sabemos que la ~k(xmaJ2 . 8.17 elongación puede escribirse x = x sen(wt + lfI), por lo que la velocidad velocidad elongación puede = max max máxima es i = wnx . Por tanto, podemos escribir máxima i max podemos max = wnxmax max .

donde x máxima la energía energía potendonde Xmax para la que es máxima max es la elongación máxima, para cial. De esta igualdad igualdad de energías se obtiene enseguida enseguida cial. W »;n

= Jk/m Jk/m

determinación de la pulsación pulsación puede emplearse Este procedimiento procedimiento directo de determinación puede emplearse cualquier movimiento movimiento oscilatorio lineal no amortiguado. amortiguado. con cualquier método energético en el caso de las oscilaciones liLa ventaja principal principal del método , bres de los sistemas conservativos conservativos reside en que hace innecesario innecesario desmembrar desmembrar


si

el sistema y recontar recontar todas las fuerzas que actúan actúan en cada miembro. En los apartados Y 6.7 vimos que, para para un sistema de cuerpos interconectados, apartados 3.7,6.6 Y6.7vimos interconectados, un diagrama diagrama de fuerzas fuerzas activas nos permitía permitía calcular el trabajo U' U ' de las fuerigual arlo a la variación de la energía energía mecánica total, zas exteriores activas para para igualarlo sistema. Resulta entonces que para T + V, del sistema. para un sistema mecánico conservativo de componentes componentes interconectados interconectados que tenga un solo grado grado de libertad, al ser U ' == Opodemos Opodemos obtener movimiento sin más que igualar U' obtener su ecuación de movimiento igualar a cero la derivada derivada temporal temporal de su energía energía mecánica total (que es constante), o sea

557 557 8.5 MÉTODOS MÉTODOS ENERGÉTICOS ENERGÉTICOS 8.5

d d d/T+ d/T+ V V)) = O O

potenciales elásticas y gravitatoria Aquí V == Ve Ve + Vgg es la suma suma ddee las energías potenciales gravitatoria del sistema. Además, tanto para para un sistema mecánico interconectado interconectado como para un cuerpo cuerpo único, la pulsación para pulsación de las oscilaciones naturales naturales se obtiene igualando la expresión expresión de su energía energía cinética total máxima a la expresión expresión de su igualando energía potencial tomando la posición origen de energía potencial máxima, tomando posición de equilibrio como origen energías potenciales. Este método método para para determinar pulsación natural natural es vádeterminar la pulsación únicamente cuando cuando pueda claramente que el movimiento lido únicamente pueda establecerse claramente movimiento del sistema es armónico simple.


La esferita La esferita de masa masa m m está está montada montada en en la varilla liviana sujeta varilla liviana articulada articulada en en yy sujeta por el extremo A al resorte por extremo A resorte vertical vertical de de rigidez k. k. El extremo gidez extremo A A se desplaza desplaza una una pequeña distancia por debajo popequeña distancia Yo Yo por debajo de de la posición de se sición de equilibrio equilibrio horizontal horizontal Y luego luego se suelta. Por Por el método suelta. método de de la la energía energía dedudeduecuación diferencial diferencial del movimienmovimiencir la ecuación oscilaciones de de la to para para pequeñas pequeñas oscilaciones varilla Y determinar determinar la expresión expresión de de la varilla pulsación oscilaciones naturanaturapulsación ron ro" de sus sus oscilaciones les. El amortiguamiento amortiguamiento es despreciable. despreciable.

°

r----r----~o ~o .,

bb

!~ <: @-===--fA @-===--fA ''j j

kk

L-z=---J L-z =---J

Solución. Midiendo posición de equilibrio Solución. Midiendo desde desde la posición equilibrio el desplazamiento desplazamiento Y del extremo para pequeños pequeños valores de Y potencial en una una poextremo de la varilla, para Y la energía energía potencial sición cualquiera podemos escribirla cualquiera podemos escribirla

donde Dst es la deformación resorte en el estado donde Dst deformación estática estática del resorte estado de equilibrio. Pero momentos respecto a 0, kDst . Susla fuerza fuerza en el resorte, si tomamos tomamos momentos 0, es (b/l)mg (b/l)mg == kDst tituyendo este valor valor en la expresión tituyendo expresión de V y simplificando simplificando queda queda

'=?' T

¿: $ bb ~ ~ yY kk ~~ yY c-~---~ c-~--~ OstI OstT

r~. r~. ~===-==-==-=~lY ¡Y-====-==-==-=~lY

rr =f f

Posición de equilbrio equilbrio

CD

Para valores de y, el moviPara grandes grandes valores miento circular miento circular del extremo extremo de la vaharía que rilla haría que la expresión expresión empleada empleada para el alargamiento resorte repara alargamiento del resorte sultase sultase excesivamente excesivamente errónea. errónea.

o Obsérvese una vez más, la senObsérvese aquí, aquí, una cillez expresión de la energía energía cillez de la expresión potencial cuando se toma como oripotencial cuando toma como gen la posición posición de equilibrio. equilibrio.

1 V = 1 -ky2 -ky2 2 2..


Para n desplaz ada cualqui era, lalaenergía Para una una posició posición desplazada cualquiera, energía cinética cinéticaes es

1 (b(b11yy.)2.)2

1 m TT == 22m

donde amiento vertical donde vemos vemos que que elel desplaz desplazamiento vertical de de mm es es (b/l)y. (b/l)y. Entonce Entonces, como la la s, como suma de las energía s es te, su suma de las energías es constan constante, su derivad derivadaa tempor temporal será cero cero yy tenemo tenemoss al será

[1[1

.)2.)2++12_ky2 1 ] = OO -ky2 2

d-(T d ++V) (b -(T -- yy V) == -d -d -m -m(b dt dt dt di 22 11

=

que nos nos da da que

.... 1122 kk O y+ y= O v+tsz:»> bb22 m m

Resp. Resp.

donde ecido. Compa rando esta donde y y ha ha desapar desaparecido. Comparando esta ecuació ecuación con la la 8.2, 8.2,podemo podemoss escriescrin con bir ente que bir directam directamente que la la pulsaci pulsación del movimi movimiento es ón del ento es

Resp. Resp. Otra dad sería Otra posibili posibilidad sería igualar igualar la energía energía cinética máxima máxima,, que que se da en y == O O,, aa la al máxima la energía energía potenci potencial máxima,, que se da en y == Yo Yo = = Ymax' Yrnax' donde donde la elongac elongación es ión es máxima máxima.. O sea, sea,

)2 221mm (b. 11 Ymax Ymax 1 (b.

da

T max == V max m ax

__ 22kYmax 1k 1 22 Ymax

-

Sabiend una oscilación oscilaci ón armónica armóni ca que puede Sabiendoo que que se se trata trata de una expresarse como puede expresa rse como Y = Yrnax sen úJnt, tenemo s ymax = Yrnax úJn- Llevand o y = Ymax sen úJnt, tenemos Ymax = YrnaxúJn- Llevando esta expresión expresi ón a la igualdad igualda d energét ica anterior energética anterior resulta resulta 1k

2

Yrnax

2

así que

Resp. Resp.

como antes. antes.

PROBLEMA TIPO TIPO 8.11 8.11 PROBLEMA Hallar la la pulsación pulsación natural Hallar natural to; úJn de de las las oscilaciones verticales oscilaciones verticales del del collar collar de de33kg kg al al que están están articuladas articuladas las que las dos dos barras barras uniuniformes de de 1,2 1,2 kg, kg, las formes las cuales cuales pueden pueden tratratarse como como sisifueran fueran varillas tarse varillas esbeltas. esbeltas. La La rigidez del del resorte, resorte, que rigidez que está estáfijo fijo tanto tanto alal collar como como aalala base, collar base, es es kk == 1,5 1,5 kN/m kN/m yY las barras barras están estánambas las ambas horizontales horizontalesen en lala posición de deequilibrio. equilibrio. Un posición Un pequeño pequeño rodirodillo montado montado en en los llo los extremos extremos BB de de las las barraspermite permiteque quelos barras losextremos extremosAAacomacompañen alal collar collar en pañen en susu movimiento. movimiento. La La resistencia por por rozamiento resistencia rozamiento eses despreciadespreciable. ble.

558


® y

_ k= 1,5 kN / m

al igualal esigual resortees elresorte enel compre siónPPen Solución. equilibr io,lalacompresión deequilibrio, posició nde Enlalaposición Solución. En 3(9,81) = P sea, o barra, o sea, P = 3(9,81) ++ cadabarra, de cada peso de del peso peso mitad del la mitad más la 3kgmás de 3kg collar de del collar peso del resorte del resorte estático del iento estático acortam e 2(0,5)(1,2)(9,81) corresp ondient acortamiento El correspondiente N. El 41,20 N. 2(0,5)(1 ,2)(9,81) == 41,20 3)) m. a3) ) = desplaz de 3 variable la do 3 Midien m. es 8 = P/k = 41,20/1,5(10 27,47(10Midiendo la variable de desplaza,5(10 = 27,47(10 es 0st st = P/k = 41,20/1 potenenergía os asignam que la a io, miento y a partir de la posición de equilibrio, a la que asignamos energía potenequilibr de n posició la miento y a partir de desplaz ada posició n desplazada una posición para una miembr o para cada miembro de cada cial potenci al de energía potencial la energía cero, la cial cero, será cualqui era será cualquiera kostY ~ky2 ++k8st ~kosl == ~ky2 Ve Y ~k(y ++ 80st)2 V e == ~k(y st)2 -- ~k8st

Resorte ) (( Resorte)

3)(27,47)(103)y (27,47)(10- 3)y ==~(1,5)(103)y2 1,5(103) ~(1,5)(103)y2 ++ 1,5(10

J

41,20y J 750y2 ++41,20y = = 750y2

Collar) (( Collar) barra) Cada barra) (( Cada

vV gg

29,43y JJ == -- mcgy 3(9,81)y == -- 29,43y m cgy == -- 3(9,81)y

CD de masa de de masa centro de el centro que el Adviértase que CD Adviértase

5,89y JJ 1,2(9,81)~ == -- 5,89y vV gg == -- mlg~ mlg~ == -- 1,2(9,81)~

cada mitad la mitad sólo la desciende sólo barra desciende cada barra que collar. el collar. que el

pues vale pues sistema vale del sistema total del potenci al total La energía energía potencial

vV == ® ®

® medila medique la vez que otra vez Recalquemos otra o Recalquemos

750y2 JJ 2(9,81)y == 750y2 29,43y -- 2(9,81)y 750y2 41,20y - 29,43y 750y2 + 41,20y

donde es donde que es equilibr io, que posició n de equilibrio, en la posición La da en máxima se da energía cinética máxima La energía ones oscilaci as pequeií. las Para máximo valor. Para la pequeñas oscilaciones posee su máximo velocid ad yy del collar posee la velocidad que lo por mueve, se no mente práctica barras prácticamente no se mueve, por lo que del extremo BB de las barras del collar, cada extremo cada a torno en do oscilan rotaran las barras pueden tratarse cada una como si rotaran oscilando en torno a cada una cada las barras pueden tratarse enerla enerpues, la Así pues, / 0,3. Así angular yy /0,3. velocid ad angular punto B, tomado una velocidad fijo, con una tomado como fijo, punto B, pieza es gía cinética de cada pieza es (Collar) (Collar) (Cada barra)

ción pode la popartir de ya partir variable ya la variable de la ción de sición resultado por resultado da por equilibrio da de equilibrio sición de que potenenergía potende la energía expresión de la expresión que la cial sea simplemente V = ~ky2. ~ky2. = V ente simplem sea cial

® ®

Es aquí lo recorda r aquí indispensable recordar Es indispensable que cinemátide la cinemátiacerca de sabemos acerca que sabemos ca rígido. cuerpo rígido. ca del cuerpo

~mcy2 = = ~y2 iy2 J J T == ~mcy2

= ~IBw2 ~IBw2 = = ~GmI12 ~GmI12)cy/l)2 ~mly2 }y/I)2 == ~mly2 T = !(12) ·2 = - 0,2 02 y·22 !(1,2)y2 66 ' Y - ,y

Por tanto, la la energía cinética cinética del del collar collar yy ambas ambas barras barras es es Por

o ® ®

o por Expresando el movimi movimiento armónico por y == Yrnax Yrnax sen sen mnt, cont, tenemo tenemoss ento armónic ndo el Expresa ser resulta s energía de d igualda la que YrnaxCOIl' con con lo lo que la igualdad de energías resulta ser Yrnaxmn' oo sea sea

COn = = J750/l, J750/1,9 9 m"

yy max rnax

==

19,87Hz Resp. Hz Resp. = 19,87

rarse ro® Si las las oscilaci oscilaciones fueran amplias amplias,, las las barras barras ya ya no no podrían podrían conside considerarse roones fueran 5 Si

ad angular mos que tando en en torno torno aa puntos puntos fijos. fijos. En Ental tal caso, caso, hallaría hallaríamos que la la velocid velocidad angular tando ya que alineal ta respues una ría produci que de cada barra sería !i/ JO,09 y2, que produciría una respuesta alineal que ya no no y2, JO,09 !i/ sería barra cada de te yy== Ymaxsen ntarse median podría represe representarse mediante Yrnaxsen mt. cot. podría

Para que que el el lector lector aprecie aprecie exactaexactaoo Para mente las ventajas ventajas de de aplicar aplicar el el teoteo-

mente las rema de de las las fuerzas fuerzas vivas vivas aa éste éste yy rema otros problemas similares de sistesistede s similare as otros problem mas intercon interconectados, le incitam incitamos os aa ectados, le mas que examin examinee los los pasos pasos necesar necesarios ios que para resolver resolver lo lo aplican aplicando los teoreteoredo los para mas de de la la cantida cantidadd de de movimi movimiento ento yy mas momento cinético aa las las piezas piezas seseto cinético elel momen paradas.. paradas

559 559


,

PROBLEMAS

(Resolv er los (Resolver losproblem problemas siguientes porelelmétodo método del delapartad apartado as siguien tes por o 8.5) 8.5) Problemas introductorios Problem as introdu ctorios 8.95 8.95 Deduci Deducir la ecuació ecuación diferencial del movimi movimiento del r la n diferenc ial del ento del péndulo péndulo cargado cargadopor por resortes resortes compue compuesto de una una partícul partícula sto de a yy una una varilla varilla rígida rígida sin sin masa. masa. Supone Suponerr pequeñ pequeñas oscilaciones. as oscilaci ones.

ee (2kb mgl)

R esp. ++(2kb:1~ +;ngl)ee -Resp. ml? = 2

oo

Figura Figura problem problemaa 8.97 8.97 k

I/INW

b k

8.98 to de 8.98 El El disco disco tiene tiene un un momen momento de inercia inercia másico másico llo respecto o respecto aa O y sobre él actúa O y sobre él actúa un un resorte resorte de torsión de de constan constante K. La La popote K. sición os cursore s, de masa m sición de de los los pequeñ pequeños cursores, m cada cada uno, es es ajusajustable. table. Hallar Hallar el el valor valor de x para el el cual cual el el sistema tiene un período dado T.7:.

NWW


lo

¡-x --+- x --¡

8.96 La rueda rueda de rayos de radio r, masa masa m m yy radio de giro radio de giro centroid al kk rueda centroidal el plano rueda sin deslizamiento deslizam iento por por el plano inclinado. inclinad o. Hallar la frecuencia los casos líÍ!ecuen cja de oscilación oscilaci ón natural natural y y analizar analiza r los casos límites de de kk = = O OyY kk = = r. r.

c::8=~~~

O~"

m

m K

Figura problema problem a 8.98 Figura

8.99 Se Se repite repite aquí aquí el el sistema sistema del del problema problem a 8.22.Hallar 8.22. Hallar el 8.99 el peperíodo de la la oscilación oscilaci ón vertical vertical por por el el método método de de este ríodo de este apartado. apartad o. Cada resorte resorte tiene tiene una una rigidez rigidez de de 1200 NI Cada m. N/m. Resp. 7:T == 0,321s 0,321 s Resp. Figura Figura problema problem a 8.96 8.96

d-

k

8.97 Una Una varilla varillauniforme 8.97 uniform e de de masa masa m m yy longitud longitu dl1está estásoldasoldada por por un un extremo da radio extremo aa un W1 aro aro circular circular sin sin peso peso de de radio l.l. El El otro otro extremo coincide coincid e con extremo con el el centro centro del del aro. aro. Hallar Hallar el el período período 7:Tde de las pequeñas pequeñ as oscilaciones las oscilaci ones alrededor alreded or de de la la posición posició n vertical vertical de de lavarilla varilla sisiel la elaro arorueda rueda sin sindeslizamiento deslizam ientopor porla lasuperficie superfic iehohorizontal. rizontal .

-k.

-",.

\

k

J 25kg 25kg

8 z

{2i {2l

Resp. Resp. 7:T == 2n 271:~3g ~3g Figuraproblema problem a 8.99 8.99 Figura

560 560


h O.

represe ntado. 8.100 úJlI del sistema representado. natural to; pulsació n natural Hallar la pulsación 8.1 00 Hallar

mismas . rozamie nto en las mismas. Se desprec desprecia ia la masa de las poleas y el rozamiento Se

resorte constan te kk del resorte ¿Qué impone r a la constante hay que imponer condici ón hay ¿Qué condición para oscilaciones? haya oscilaciones? para que haya Resp. úJnn Resp. w

-lk_~ -lk _ ~ -

m m

8.g

~~

k> 41 2 l'l' k>


Problemas representativos as representativos Problem 8.101 Calcular oscilación vertical del sisfrecuen cia 1" de la oscilación 8.101 Calcula r la frecuencia de radio de giro de un radio tema representado. La polea de 40 kg tiene un 40 polea ntado. represe tema 200 mm respecto respecto a su centro O. 200 Resp. In == 1,519 1,519 Hz Resp. J"


m2 está masa m2 longitu d 11y masa 8.104 uniform e de longitud esbelta uniforme varilla esbelta La varilla 8.104 La

mI' Si el sistema está fija Y masa ml· radio 1/5 Ymasa uniform e de radio disco uniforme al disco fija al pulsaci ón hallar la pulsación io, representado en su posición de equilibrio, hallar equilibr d~ n posició represe ntado pequeñ as úJ natural w Y la velocidad angular máxima W de las pequeñas máxima angular ad velocid y úJ natural l1 torno al eje O. oscilaciones amplitu d 800 en torno oscilaci ones de amplitud

k=2kN/m k=2kN / m

l1

40kg 40kg kko = 200 rnm o=200mm

8.101 Figuraproblema Figura problema 8.101 m2

\

8.90, que problem a 8.90, 8.102 El homogé neo del problema cilindro circular homogéneo El cilindro 8.102

radio R. pista de radio por la pista se repite R. deslizam iento por rueda sin deslizamiento aquí, rueda repite aquí, se ones. oscilaci as Hallar el período T de las pequeñas oscilaciones. pequeñ Hallar período -r

__ 2//5-+//5-+8.104 Figuraproblema Figura problema 8.104

vertical es del sisones verticales 8.105 oscilaciones período T-r de las oscilaci Hallar el período 8.105 Hallar 80 kg, poleas de 80 tema 140 kg Y dos poleas bastido r de 140 compue sto del bastidor tema compuesto

8.102 Figuraproblema 02 Figura problema 8.1

m se deslimasa m 8.103 Los extremoss de la barra uniform e de masa barra uniforme Los extremo 8.103

vertical yy ranuras vertical por las ranuras zan muestra , por libreme nte, tal como se muestra, zan libremente, = 8= cuando io equilibr horizontal. Si la barra halla en equilibrio estático cuando 8 se barra horizon tal. oscilaciones. pequeñ as oscilaciones. O, úJlIlI de sus pequeñas natural w pulsaci ón natural hallar la pulsación O, hallar

P:'Sj 140kg

Figuraproblema 8.105 problema 8.105 Figura

561


de un radio de giro ko = 400 mm cada una. Los cables flexibles no resbalan en las poleas. Resp. r= 0,957 s 8.106 Hallar la frecuencia del sistema representado.

natural

In

de la oscilación vertical



• 8.107 Deducir la frecuencia natural j, del sistema compuesto de los dos cilindros circulares homogéneos, de masa M cada uno, y la biela AB de masa m. Suponer pequeñas oscilaciones.

Resp·I,

= 1

1

2][

•

5kg

5kg

-r 0,8 m 8

mgro -" 3Mr2 + m(r _ ro)2

•

/--;:--

M

12kg

K

K

e( Figura problema 8.109

d. dr

8.110 Cada una de las dos correderas A tiene una masa m y está obligada a moverse en las ranuras radiales lisas del volante, que es accionado a una velocidad angular constante w. Cada uno de los cuatro resortes tiene una rigidez k. ¿Es correcto afirmar que el sistema compuesto por el volante, los bloques y los resortes posee una energía constante? Justificar la respuesta.

se su m

gt

M


8.108 El panel delgado homogéneo de masa m está embisagrado a un eje fijo que forma un ángulo ex con la vertical en torno al cual puede oscilar libremente. Hallar el período de las pequeñas oscilaciones.

o

~.ili~ A

8.109 El bloque de 12 kg descansa sobre las dos barras de 5 kg. cargadas como se muestra por sendos resortes de torsión de rigidez K = 500 N'rn Zrad cada uno. Esta rigidez basta para que la posición representada sea de equilibrio estable. Hallar la frecuencia naturalj, de las pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio.

Resp. /"

= 1,496 Hz

q;"

A


8.111 Hallar el período r del sistema si la pieza articulada AB está horizontal en la posición de equilibrio estático representa-


8.1 turl sen del pm

da. El radio radio de giro de AB AB respecto respecto a O es ka ko Y su centro de masa es el punto punto G. Suponer pequeñas oscilaciones. Suponer pequeñas

~ ~ h+~~~ I~~~~-M

kdO

k 2

Resp. 'fr = 22n Resp. re

~

m I +-:¡m2 mI +2m2 a 1--- -=-2b k; + 2k2 a

~

I I ,. ".j. ~~-1 I

100 mm 100mm

I ----=---------I I I-~~ -+--M

100 mm 100mm


r- ----rb

I

~

m2

a

-1

La cáscara semicilíndrica de espesor espesor despreciable, despreciable, pero uniforme, y radio radio r oscila con pequeña pequeña amplitud uniforme, amplitud sobre la suhorizontal. Si no hay deslizamiento, hallar el período período 'f'[ perficie horizontal. deslizamiento, hallar de las oscilaciones.

8.114 8.114

GOl ~~

__ ~.

A


8.11 representa la suspensión 8.1122 En la figura se representa suspensión delantera delantera de un

y

automóvil. rigidez de cada uno de los resortes resortes espirales automóvil. La rigidez espirales es 46,8 kN 1m. travesaño delantero porción 46,8 kN 1m. Si la masa del travesaño delantero y la porción equivalente unida al extremo equivalente de carrocería unida extremo delantero delantero es 800 800 kg, determinar natural de las oscilaciones verticales verticales determinar la frecuencia natural carrocería en ausencia ausencia de amortidel conjunto de travesaño travesaño y carrocería guadores. Para relacionar relacionar la deformación guadores. (Indicación: (Indicación: Para deformación de los resortes con el desplazamiento travesaño y la carrocería, desplazamiento del travesaño suponer travesaño está fijo ruedas se suponer que el travesaño fijo y que el suelo y las ruedas mueven verticalmente.) mueven verticalmente.)

a ros


~ 8.115 una masa masa total m == 5500 ~ 8.115 La tolva de cemento tiene una 5500 kg tambor izador Y está siendo siendo descendida descendida a 1,2 1,2 mi mi s cuando cuando el tambor izador se

detiene repentinamente. Hallar Hallar el desplazamiento detiene repentinamente. desplazamiento descendendescendenf n de la consiguiente te adicional adicional t-.h f"..h de la tolva y la frecuencia fn consiguiente vibración de la tolva para para h vibración h = = 12 m. La longitud longitud del cable de acero de 25 mm de diámetro diámetro es L == 15 m entre la tolva y el tammódulo elástico del acero es E == 200 200 GPa. (Recuérdese bor. El módulo que E = por unidad unidad de su= (JI (JI E, donde donde el esfuerzo esfuerzo (Jes o es fuerza fuerza por perficie y la deformación deformación E alargamiento elástico por E es el alargamiento por unidad de longitud.) longitud.) dad Resp. f"..h = 46,7 Resp. t-.h 46,7 mm,fn mm, fn = 4,09 4,09 Hz Hz


Si el bastidor bastidor cargado por resortes resortes recibe una una leve percargado por turbación posición de equilibrio turbación vertical estando estando en la posición equilibrio representada, hallar su frecuencia de vibración vibración natural natural fnfn" La masa masa sentada, hallar del miembro 24 kg Y la del miembro miembro inferior miembro superior superior es 24 inferior es despreciable. La rigidez rigidez de cada resorte resorte es de 9 kN kN I m. Resp. Resp. L. f ll.== 2,62 2,62 Hz

8.11 8.113 3

AB ta-


563


~ 8.116 En el cilindro cilindro de radio ~ 8.116 radio R se practica, como se muesmuestra, un orificio de radio formar un cuerpo cuerpo de masa m. radio R/ R / 4 para para formar Si éste rueda deslizamiento por Si rueda sin deslizamiento por la superficie superficie horizontal, horizontal, hallar el período p eríodo T de sus pequeñas pequeñas oscilaciones.

Resp. Resp.

T= T =

!i

---"~-+- R / 4 --""~-+

G_ G __ _ O+

R/2 R/2 -+-L..R/4/ 4 -+..L.R

41,4 41,4 ~


8.6 8.6

REPASO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS REPASO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Al estudiar estudiar las oscilaciones de los puntos puntos materiales y los cuerpos rígidos a lo 8, hemos visto que el tema es sencillamente una largo de este capítulo 8, una aplicación fundamentales de la Dinámica expuestos expuestos y tratados directa de los principios fundamentales tratados a comportamiento lo largo de los capítulos 3 y 6. En éstos establecimos cuál es el comportamiento instante y, asimismo, determinamos determinamos qué camdinámico de un cuerpo en cada instante bios experimenta experimenta en su movimiento después de intervalos intervalos finitos de desplazamovimiento después miento o tiempo. 8, por el contrario, ha tratado tiempo. Este capítulo 8, tratado de la resolución de expresar las ecuaciones diferenciales que definen el movimiento, al objeto de expresar desplazamiento lineal o angular. Esta información información como función del tiempo un desplazamiento importancia crítica en numerosos es de importancia numerosos problemas problemas técnicos. técnicos. estudio de la respuesta El estudio respuesta en el tiempo de los puntos puntos materiales materiales lo hemos dividido en las dos categorías de movimiento: libre y forzado, con las subdivisubdividividido amortiguamiento despreciable despreciable o apreciable. Hemos visto siones adicionales de amortiguamiento amortiguamiento S S es un adecuado para determique el índice de amortiguamiento un parámetro parámetro adecuado para determinar la naturaleza aunque con amortiguamiento amortiguamiento naturaleza de las oscilaciones no forzadas, aunque viscoso. Lo más importante importante de las enseñanzas enseñanzas asociadas a la excitación armónica es que el excitar a un sistema ligeramente amortiguado amortiguado con una un ligeramente una fuerza cuya frecuencia sea próxima próxima a la natural natural o propia propia del sistema puede puede causar en amplitud excesiva, situación situación ésta llamada llamada de resoéste unas oscilaciones de amplitud nancia y que habitualmente cuidadosamente. habitualmente hay que evitar cuidadosamente. Al estudiar estudiar las oscilaciones de un cuerpo rígido, vimos que la ecuación del un cuerpo movimiento movimiento presenta presenta una una forma igual a la del movimiento movimiento de un un punto punto material. Mientras Mientras que las oscilaciones de un un punto punto material material pueden pueden describirse completamente mediante completamente mediante las ecuaciones que rigen el movimiento movimiento lineal, las oscuerpo rígido suelen requerir dinámica de requerir las ecuaciones de la dinámica cilaciones de un cuerpo la rotación. apartado 8.5, 8.5,final 8, descubrimos descubrimos de qué modo el méEn el apartado final de este capítulo 8, todo energético puede puede simplificar la resolución resolución de los problemas problemas de oscilaciones libres en los que pueda despreciarse el amortiguamiento. amortiguamiento. En estos casos se pueda despreciarse hace la hipótesis energía del sistema permanece constante. Luego, al hipótesis de que la energía permanece constante. igualar a cero su derivada derivada temporal directamente la ecuación difeigualar temporal se obtiene directamente rencial del movimiento energético permite movimiento del sistema. El método método energético permite asimismo analizar un sistema conservativo conservativo sin desmembrarlo. desmembrarlo. Ahora cuando la dianalizar Ahora bien, cuando energía mecánica no pueda despreciarse, hay que recurrir sipación de la energía pueda despreciarse, recurrir a las leyes del movimiento movimiento en términos términos de fuerza, masa y aceleración. En todo este capítulo, la atención la hemos ceñido a los sistemas de un un solo grado de libertad, es decir, a aquellos cuya posición queda definida definida por grado posición queda por una una 564 564


8 ni

8.1 da

qu

única variable. Es problemas técnicos. técnicos. Si un sisEs este el caso de gran cantidad cantidad de problemas Siun tema posee n grados de libertad, posee asimismo n frecuencias naturales. naturales. Entonces, tonces, si una fuerza armónica se aplica a uno de estos sistemas que esté ligeramente amortiguado, habrá n frecuencias excitadoras capaces de provoamortiguado, habrá car movimientos procedimiento, llamado movimientos de tipo resonante. Existe Existe un procedimiento, llamado análisis modal, mediante puede remediante el cual un sistema complejo de n grados de libertad libertad puede ducirse a 11 sistemas de un solo grado de libertad. Por esta causa, el conocimiento profundo para el estudio profundo del contenido de este capítulo es esencial para estudio ulterior de las vibraciones.

565 8.6 8.6 REPASO Y RESOLUCiÓN RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

PROBLEMAS DE REPASO PROBLEMAS REPASO lo

ade ar ón os visto

8.117 8.117 El proyectil de 0,1 kg se dispara dispara contra el bloque de 10 kg que inicialmente reposo sin que en el resorte resorte inicialmente se encuentra encuentra en reposo actúe fuerza fuerza alguna. El resorte resorte tiene ambos extremos extremos sujetos. elongación horizontal horizontal máxima Calcular la elongación máxima X del d el resorte resorte y el período de la oscilación subsiguiente bloque con el proyectil proyectil subsiguiente del bloque incrustado. incrustado. Resp. Resp, X == 0,287 0,287 m, T= 0,365 0,365 s

(a) del eje A-A A-A y (b) del eje B-B. Despreciar Despreciar el leve descentrado, descentrado, masa y el rozamiento rozamiento de la bola. la masa

2Jfr,

Resp. (a)m" = 2jf,., (b)m" (b)m" = Resp. (a)m"

J*~

,.-----; 0,1 kg ~ _SOOm/s ___ SOOrn /s ~

Figura Figura problema problema 8.117 8.117 .

to órza en so-

Figura problema problema 8.119 Figura 8.11 9 8.118 Inde las oscilaciones oscilaciones verti8.118 Hallar Hallar la frecuencia frecuencia natural natural In cales del cilindro de masa m. Despreciar cilindro escaloDespreciar la del cilindro nado nado y el rozamiento rozamiento en el mismo.

del ateirse osde

mécio-

s se o, al

e-

solo una

8.120 Hallar el valor valor del coeficiente de amortiguamiento 8.120 Hallar amortiguamiento e para sistema está críticamente 70 para el cual el sistema críticamente amortiguado amortiguado si kk == 70 kN / m m y m == 90 kg.

r

1111111~I I

J

1

k



8.121 bloque de d e masa mediante las dos 8.121 El bloque masa M está suspendido suspendido mediante varillas delgadas uniformes cada una. Hallar varillas delgadas uniformes de masa masa m cada Hallar la pulpulsación natural natural mil pequeñas oscilaciones del sistema. mn de las pequeñas

una rótula rótula (no representarepresenta8.119 8.119 El disco uniforme uniforme cuelga de una da) que encaja en la pequeña O. Hallar Hallar el período período del pepequeña bola O. queño balancea libremente libremente alrededor queño movimiento movimiento si el disco se balancea alrededor

Resp. m" = Resp.


&(M+m) &(M+m) 1 M+~m M+ ~ m 3

b

b

b/2

Figu ra prob Figura problema 8.1211 lema 8.12 8.12 idor trian gula r está con 8.1222 El El bast bastidor triangular construido con una una vari varilla stru ido con lla delg ada unif orm e yy osci la en torn delgada uniforme oscila tornoo a un eje eje hori horizontal que pasa zon tal que pasa por lar la ació n exci por O. O. Hal Hallar la puls pulsación excitadora crítica me del del bloq bloque tado ra críti ca COc ue BB que dé por resu ltad o una que dé por resultado unass osci oscilaciones conjunto propensas lacio nes del conj un to prop ensa s aa crec er dem asia do. La mas crecer demasiado. masaa total bastidor es m. m. tota l del bast idor es

b/2

Figu ra problema problema 8.12 Figura 8.1244

8.

ba 8.12 ular el índi ce de amo 8.1255 Calc Calcular índice amortiguamiento S del del siste sistema rtig uam ient o S ma rerepres enta do presentado si si la la mas masaa y el radi radioo de giro del cilin cilindro dro escalonaesca lona do do son son m m = =9 9 kg kg Y Y lek == 140 140 mm mrn,, la con constante del reso resorte es kk == stan te del rte es 2,60 iciente de amo 2,60 kN kN // m my y el el coef coeficiente amortiguamiento del cilin cilindro rtig uam ient o del dro hihidráu lico es ·s/m . El cilin dráulico es ee == 30 30 N N·s/m. cilindro rueda sin deslizamiento dro rued a sin desl izam ient o sobr mm y el reso sobree su su radi radioo rr == 150 150mm resorte resiste tantoo aa la la trac tracción rte resi ste tant ción com o a la com como compresión. pres ión. Resp Resp.. S S == 0,07 0,0717 17

k

dE

la (fn ea

10<

e

d

Figu ra prob Figura problema 8.1222 lema 8.12 8.12 lar el odo "de 8.1233 Hal Hallar el perí período z de las peq pequeñas oscilaciones del conconueñ as osci laciones del junt pue sto de as livia juntoo com compuesto de dos barr barras livianas masas puntuales nas yy dos mas as pun tual es m. min ar la ción cua ndo el áng m. Exa Examinar la solu solución cuando ángulo ex tien tiende los valo valores ulo ex de aa los res O y 180° 180°. .

°

JJg

R"p R"p.. .,T = " 2. 2. .

Figu ra prob Figura problema 8.1255 lema 8.12 8.12 lar la ima amp litu d Xo con la que el 8.1266 Hal Hallar la máx máxima amplitud el disc discoo uniforunif orme de rodar roda r sin desl izam ient o por me pue puede deslizamiento por la superficie. la supe rfici e.

JI ex g cos" cos"2 2 I

f--.. X 1---+X

II

250N / m ~ 250N/m ~ WI¡W ..¡I¡ ,/(/lf \¡I¡\¡I¡\¡I¡\¡

2kg 2kg

JJ J1eu, / r ~Jlflc=0,50 fI!#J l J1c

'(&1

/JI/) //11)

= =

=

0,70 0,70 0,50

Figu ra prob lema 8.12 Figura problema 8.1266

m m Figu ra prob lema 8.12 Figura problema 8.1233

8.12 4 La plac a trian gula r unif orm e pivo 8.124 La placa triangular uniforme pivota libremente alredeta libr eme nte alre dedor zon tal que pasa por O. dor de de un un eje eje hori horizontal O. Hal Hallar la frec frecuencia lar la uenc ia natu ral de las peq natural pequeñas oscilaciones. ueñ as osci laciones.

8.12 dro A A de radi 8.1277 El El cilin cilindro radioo r, mas masaa m y y radio de giro giro kle es es acradi o de accion ado por por un ma de cabl cionado un siste sistema cablee y reso resortes unido al cilindro rtes unid o al cilin dro mot or B, B, que que osci la com motor oscila comoo se indi indica. cables no resbalan en ca. Si los cabl es no resb alan en los cilin dros amb os reso rtes se tens los cilindros yy si si ambos resortes tensan el punto de no an hasta hast a el pun to de no aflo jarse dura nte un hall ar la exp aflojarse durante un ciclo ciclo,, hallar expresión de la la amplitud resi ón de amp litu d máx ima 88max lación esta máxima max de de la osci oscilación estacionaria del cilin cilindro cion aria del dro A. A. Resp Resp.. 8max max = = 1/>0 C/lo

566


ro I r 2 donde m =:::rfJ ro/r r~k k 2 don de con = = _ n 11-- ((mi col mn) con) kk -m m

8.1 exti

miento. -rde las pequeñas miento. Hallar Hallar el período período 'rde pequeñas oscilaciones del sistema tema sobre la pista curva curva . .---~----~~--.---=-------::-----:;---::-

Resp. Resp. -r 'r = 2n 2n

2rnR2 MR2 - !MZ2 2mR2 + MR2 !MZ2 6

ggJ4R2 J 4R2-Z2(rn -Z2(m +M/2) + M/2)

J


8.128 Un motor motor experimental experimental de 220 220 kg está instalado instalado en un pruebas con soportes soportes elásticos en A y B, de una rigibanco de pruebas dez de 105 105 kN / m cada uno. El radio de giro del motor motor respecto mm. Con el motor a su centro de masa G es 115 115mm. motor parado, parado, calcular la frecuencia natural natural (fn)y (Jn)y de la vibración vibración vertical y la frecuencia (J,J f) de rotación en tomo tomo aG. Si Si se impide impide el movimiento movimiento verti(f,J cal y se presenta presenta un leve desequilibrio desequilibrio a la rotación, ¿a qué velocidad N no deberá deberá hacerse funcionar funcionar el motor?

~ ~ 8.130 Un bala bala de 60 g se dispara dispara con una una velocidad velocidad de 300 m m// s contra contra el bloque bloque de 5 kg montado montado en la viga en voladizo, sin peso pero rígida. El pr. oyectil se incrusta proyectil incrusta en el bloque, que se observa que empieza empieza a vibrar con una frecuencia de 4 Hz. Calcular el desplazamiento desplazamiento de vibración vibración máximo A y determideterminar la constante ·s / m sabiendo constante de amortiguamiento amortiguamiento e en N N·s/ sabiendo que entre dos amplitudes amplitudes separadas separadas diez ciclos compleel cociente entre 0,6. Despreciar Despreciar la pérdida pérdida de energía energía durante durante el primer primer tos es 0,6. cuarto de ciclo. ciclo. cuarto

T T

ón

1,5m yy

= _1 _1 =

60g

===..= ==== === 300 m mis 5 kg 300 is ~


~ 8.131 8.131 Un máquina máquina de 200 200 kg descansa descansa sobre cuatro cuatro sopor~ uno de los cuales tiene una una constante constante k == tes de suelo, cada uno 250 kN / m y un coeficiente de amortiguamiento 250 amortiguamiento viscoso efecti1000N·s/m. Se sabe que el suelo vibra verticalmente verticalmente con vo e == 1000 N·s / m. Se una frecuencia de 24 Hz. ¿Cuál sería el efecto sobre la oscilauna absoluta de la máquina máquina si los soportes soportes se reemplazaran reemplazaran ción absoluta tuvieran la misma constante constante k pero un coeficiente por otros que tuvieran amortiguamiento efectivo doble? de amortiguamiento Resp. ¡La ¡La amplitud amplitud aumentaría aumentaría en un 28,9%! 28,9%! Resp.

1 or-

I problema 8.128 Figura problema

barra uniforme uniforme de masa M y longitud longitud ZZ tiene en cada 8.129 La barra un pequeño pequeño rodillo de masa m desprovisto desprovisto de rozaextremo un

~ 8.132 El sistema sistema compuesto compuesto de cuatro varillas livianas rígi~ cilindro de masa m se representa representa en su posición de das y el cilindro

¡1 R

1

~~ problema 8.129 Figura problema


567


mil de de las las oscilaciones oscilaciones equilibrio. Hallar equilibrio. Hallar la pulsación pulsación natural natural mil verticales de pequeña amplitud del del cilindro. cilindro. (Indicación: (Indicación: Reteverticales de pequeña amplitud Retener sólo los orden.) ner sólo los términos términos de de primer primer orden.)

.v:«: ~m "6 ,,2

~ Resp. Resp. mnn -- ~m + b-J2

*PROBLEMAS ESPECIALES PARA PARA ORDENADOR ORDENADOR *PROBLEMAS *8.133 En el instante instante t == O Ose suelta la masa en reposo de 2 kg *8.133 se suelta masa en reposo de kg desde la posición de desde posición x == 15 mm mm medida medida respecto respecto a la posición posición de equilibrio. Las sucesivas amplitudes amplitudes positivas observa que que equilibrio. Las sucesivas positivas se observa decrecen por factor de de 4. Representar gráficamente el desdesdecrecen por un un factor Representar gráficamente plazamiento de la masa en función función del del tiempo en el intervalo intervalo plazamiento x de masa en tiempo en 00<< t < ls.

*8.136 Representar gráficamente la respuesta del cuerpo cuerpo de de *8.136 Representar gráficamente respuesta x del 20 kg largo del intervalo O g g ::; ::; los valokg a lo largo del intervalo 1 segundo. segundo. Hallar Hallar los valores de x y los los instantes instantes correspondientes. correspondientes. máximo y mínimo mínimo de res máximo Las condiciones iniciales iniciales son son xa OYxa mIi s. Las condiciones Xo = O Y Xo = 2 m

~x I I

4 ,31t mm Resp.x 19,53t + 3,31 sen sen 19,53t)e19,53t)e-4,31t Resp.x = (15 cos 19,53t mm

k=800N/m ,VVVV\,\,\,



*8.134 La masa de un sistema críticamente críticamente amortiguado amortiguado de de *8.134 masa de un sistema pulsación to; == 4 radl suelta en en reposo desde un pulsación natural natural mil rad l s se suelta reposo desde un desplazamiento inicial inicial xa. tiempo t necesario que desplazamiento xo. Hallar Hallar el tiempo necesario para para que llegue a la posición la masa masa llegue posición xx == O,lxao.. *8.135 La masa del sistema sistema representado suelta bajo con*8.135 masa del representado se suelta bajo las condiciones iniciales iniciales xa io == -- 5 m mIi s con con t == O. O.RepresenXo == 0,1 m y iD Represendiciones tar gráficamente la respuesta del sistema sistema y determinar determinar el el(los) tar gráficamente respuesta del (los) instanteís) (si existen) existen) para los que que x = = -- 0,05 m. instante(s) para los m. Resp. Resp. tI = = 0,0544 s, t2 = = 0,442 s

*8.137 La de 4 kg está suspendida suspendida mediante *8.137 La masa masa de kg está mediante el resorte resorte de rigidez I m y se encuentra encuentra inicialmente inicialmente en en reposo de rigidez k == 350 N 1 reposo en la posición de equilibrio. equilibrio. Si al cuerpo cuerpo se aplica aplica una fuerza en posición de una fuerza F == Ct, Ci, dirigida dirigida hacia abajo, tal que alcanza alcanza un de 40 N hacia abajo, tal que un valor valor de cuando t == 1 s, deducir deducir la ecuación ecuación diferencial diferencial del del movimiento, cuando movimiento, resolverla gráficamente la elongación elongación y, en en milírepresentar gráficamente milíresolverla y representar metros, en función función del del tiempo durante el primer primer segundo. segundo. El tiempo durante metros, en amortiguamiento amortiguamiento es despreciable. despreciable. Resp. 114,3(t - 0,1069 sen sen 9,35t) 9,35t) mm Resp. yy == 114,3(t mm

~k=350

~k=350N/mN / m

~m~4kg

::s:: 100 N/m :;:;:::100 N/m

[$:l . "f

2kg

l

1'

~m~4kg

I

~ON.s/ m

t

~ON.s/m


F=Ct F = Ct

Figura problema 8.13 7 problema 8.13

568 568


*8.138 Se representan en la figura los elementos de un conta-

dor de desplazamiento que se emplea para estudiar el movimiento YB = b sen m t de la base, El movimiento de la masa relativo al bastidor se registra en el tambor rotatorio. Si 11= 360 mm, 1 = 480 mm, 13 = 600 mm, rn = 0,9 kg. e = 1,4 N . s/m 2 y m = 10 rad / s, hallar entre qué limites puede estar el valor de la constante k del resorte para que el desplazamiento relativo registrado en el tambor sea menor que 1,5b. Se supone que el cociente m/ mil debe mantenerse mayor que uno.

J


arte oso

nto,

1 ,1

milío, El

569


I

E d

P rr rr

ft a

d( m

ci: ea tri

ea pe trc dü

(m


Apéndice Apéndice A: Momentos Momentos de inercia inercia de una superficie superficie

En el apéndice A del tomo Estática, se expone la teoría y los procedimientos tomo 1, 1, Estática, procedimientos momentos de inercia de superficies. Dada importancia del de cálculo de los momentos Dada la importancia representa esta magnitud magnitud en el diseño de estructuras, estructuras, particularpapel que representa particularmente las tratadas Dinámica presentamos tratadas en Estática, en este tomo de Dinámica presentamos únicauna breve definición para para que el lector pueda pueda apreciar las diferencias mente una fundamentales fundamentales entre los momentos momentos de inercia de superficies y de masas. momentos de inercia de una superficie plana plana A respecto Por definición, los momentos a los ejes eje z normal a su plano son ejes x e y de su plano y respecto al eje

y

X/dA X/dA A

rr

donde y2. Evidentemente donde dA es el elemento infinitesimal de área y r 2 == xx22 + y2. Evidentemente el momento de inercia polar Iz Iz es igual a la suma Ix Ix + Iy Iy de los momentos momentos de inercia rectangulares. rectangulares. Tal como se expone en el apéndice B, B, al tratar tratar con placas planas finas, finas, el momento momento de inercia de una superficie puede puede aprovecharse aprovecharse para para calcular el momento de inercia de una masa. El El momento momento de inercia de una una superficie es una medida medida de cómo está distribuida esa superficie en torno al eje eje en cuestión y para para éste es una una propiedad propiedad tribuida constante de la superficie. Las dimensiones del momento momento de inercia de una superficie son (10ngitud)4, (longitudr', expresándose expresándose en m m"4 o en mm mm"4 en unidades unidades SI. SI. En contraste, el momento momento de inercia de un cuerpo es una una medida medida de cómo está distribuida distribuida su masa en torno al eje eje en cuestión y sus dimensiones dimensiones son (longitud? , expresándose expresándose en kg·m kgrrr'2 en unidades unidades SI. SI. (masa) (longitud?

yy

- -- - -- - -- - -- - - - - -x o -------------------x Figura A.1

571


-• B.1

La ViI

de]

grE de: eje pla pw cor, con virt sulí res] did tod. inte to a

Esta

el al noa sists de 1, L


Apéndice Apéndice B: Momentos Momentos de inercia inercia de masas masas

B.l B.l

MOMENTOS DE INERCIA MOMENTOS INERCIA MÁSICOS MÁSICOS RESPECTO RESPECTO A A UN UN EJE EJE

La ecuación ecuación del del movimiento movimiento rotatorio rotatorio respecto respecto a un un eje normal normal al plano plano del del momovimiento de de un un cuerpo cuerpo rígido rígido en en movimiento movimiento plano plano contiene contiene una una integral integral que que vimiento depende de de la distribución distribución de de la masa masa respecto respecto al eje de de momentos. momentos. Esta Esta inteintedepende gral aparece aparece siempre siempre que que un un cuerpo cuerpo rígido rígido adquiere adquiere aceleración aceleración angular angular alrealregral dedor de de su su eje de de rotación. rotación. dedor Consideremos un un cuerpo cuerpo de de masa masa m (fig. B.l) B.l) en en rotación rotación alrededor alrededor de un un Consideremos con aceleración aceleración angular angular a . Los puntos puntos del del cuerpo cuerpo se mueven mueven todos todos en en eje O-O con planos paralelos paralelos normales normales al eje de de rotación rotación O-O. Cualquiera Cualquiera de de esos esos planos planos planos puede tomarse como plano plano del del movimiento, movimiento, aun aun cuando cuando suela suela designarse designarse puede tomarse como como tal tal al que que contiene contiene al centro centro de de masa. masa. Un Un elemento elemento de masa masa dm tiene tiene una una como componente de aceleración aceleración tangente tangente a su su trayectoria trayectoria circular circular igual igual a ra, y en en componente virtud de de la segunda segunda ley ley de de Newton del movimiento, movimiento, la fuerza fuerza tangencial tangencial revirtud Newton del sultante que que se ejerce ejerce sobre sobre ese ese elemento elemento es ra ra dm. dm. El momento momento de de esa esa fuerza fuerza sultante respecto al eje O-O es r22aa dm y la suma suma de de los momentos momentos de de esas esas fuerzas fuerzas extenextenrespecto dida a todos todos los elementos elementos es f rZa dm. En un un cuerpo cuerpo rígido, rígido, a es la misma misma para para dida todas las las rectas rectas radiales radiales del del cuerpo, cuerpo, por por lo que que podrá podrá sacarse sacarse de la integral. integral. La todas integral que que así así queda queda se denomina denomina momento momento de de inercia inercia 1 de la masa masa m respecrespecintegral I de O-O y es to al eje O-O 1I

= =

ff

r 22 dm

o I aa .•. (j) C0~li__

.:" m

I -_~

o

...-- / .

radm

Figura B.l B.l Figura

(B.l (B.l )

Esta integral integral representa representa una una importante importante propiedad propiedad del del cuerpo cuerpo e interviene interviene en en Esta análisis de de fuerzas fuerzas de de todo todo cuerpo cuerpo que que posea posea aceleración aceleración de de rotación rotación en en tortorel análisis no a un un eje dado. dado. Al igual igual que que la masa masa m de un un cuerpo cuerpo es una una medida medida de la reno sistencia a la aceleración aceleración de de traslación, traslación, el momento momento de inercia inercia 1es medida sistencia I es una una medida de la resistencia resistencia del del cuerpo cuerpo a ser ser acelerado acelerado en en su su rotación. rotación. de integral del del momento momento de de inercia inercia también también puede puede expresarse expresarse en en la forma La integral forma 1I

= 'Errm¡ 'Lrrm¡ =

(B.l a) (B.l

donde Ti es la distancia distancia radial radial del del eje de de inercia inercia al punto punto representativo representativo de de masa masa donde donde el sumatorio sumatorio se extiende extiende a todos todos los puntos puntos materiales materiales del del cuerpo. cuerpo. mi Y donde 573


574 574 MOMENTOS MOMENTOS DE INERCIA INERCIA DE MASAS

a e

-~

E d

P d n

(b )

Figura B.2 8.2

Si la densidad constante en todo el cuerpo, el momento momento de inercia densidad pp fuese constante sería I == p

ff r 2 dV dV

L

2

CE

donde donde dV dV es el elemento de volumen. volumen. En este caso, la integral integral define por sí sola una propiedad propiedad puramente puramente geométrica geométrica del cuerpo. Cuando Cuando la densidad densidad no sea constante constante sino que se exprese como función de las coordenadas, coordenadas, deberá deberá dejarse dentro de la integral integral y tenerse en cuenta su efecto en el proceso de integración. integración. dentro integración deberán deberán utilizarse utilizarse las coordenadas coordenadas que mejor En general, en la integración se adapten importante elegir adeadapten al contorno contorno del cuerpo. Es particularmente particularmente importante cuadamente cuadamente el elemento de volumen volumen dV. dV. Deberá tomarse tomarse un elemento elemento del orden más bajo posible y utilizarse utilizarse la expresión expresión correcta del momento momento de inercia buscar el momento momento de del elemento respecto al eje en cuestión. Por ejemplo, al buscar inercia de un cono recto de revolución revolución respecto a su eje, eje, podrá podrá utilizarse utilizarse un elemento en forma de rebanada B.2a). El momento rebanada circular (fig. (fig. B.2a). momento de inercia diferenexpresión correcta del momento momento de inercia respecto cial de este elemento es la expresión revolución de altura altura infinitesimal. (Esta expresión expresión la a su eje de un cilindro de revolución obtendremos en el problema problema tipo B.l.) También También podría podría haberse haberse elegido un eleobtendremos espesor infinitesimal, como el represenrepresenmento en forma de capa cilíndrica de espesor B.2b. Como toda la masa del elemento se halla a la misma tado en la figura B.2b. momento de inercia infinitesimal infinitesimal de ese eledistancia r del eje de inercia, el momento 2 dm, donde mento sería simplemente simplemente 1)2 donde dm es la masa infinitesimal infinitesimal de la capa mento elemental. dimensiones del momento momento de inercia másico son (m (maDe su definición, las dimensiones aexpresan en kg·m kg-rrr'2 en el Sistema Internacional. Internacional. sa)(longitud)2 y se expresan (a) una masa m respecto a un eje para para el (a) Radio de giro. El radio radio de giro k de una momento de inercia es II es cual el momento

o sea

I = k2m k2m

A

qu pa sez del

110 ani al E me

un con

tad. sen

(B.2) (B.2)

medida de la distribución distribución de la masa de un cuerpo dado dado alAsí pues, k es una medida rededor del eje eje en cuestión y su definición es análoga a la del radio de giro de rededor segundos momentos momentos de superficie. superficie. Si Si pudiera pudiera concentrarse concentrarse toda toda la masa m los segundos a un distancia k del eje, eje, el momento momento de inercia correcto sería k22m. momento un distancia m. El momento un eje particular particular suele indicarse indicarse especificande inercia de un cuerpo respecto a un radio de giro del cuerpo respecto al eje. eje. Con la ecuado la masa del cuerpo y el radio ción B.2 se calcula entonces el momento momento de inercia. http://gratislibrospdf.com/

qt

Esta mer

(b) Cambio un cuerpo respecto Cambio de ejes. Si se conoce el momento momento de inercia inercia de un cuerpo respecto a un un eje centroidal, podrá determinarse relativo a un un eje paralelo paralelo centroidal, podrá determinarse fácilmente el relativo cualquiera. paralelos a la figura cualquiera. Para demostrarlo, demostrarlo, consideremos consideremos los dos ejes paralelos figura B.3,uno centroidal, es decir, pasa masa G. G. Las B.3, uno de los cuales es centroidal, pasa por por el centro de masa distancia radiales de un un elemento distancia radiales elemento cualquiera cualquiera de masa masa dm dm a los dos ejes las representamos por por ro presentamos "o y r, y llamaremos llamaremos d d a la separación separación de los ejes. IntroducienIntroduciendo el teorema teorema del coseno, r22 = = ro2+d r 02 + d22 +2r + 2r o odd cos e, en la definición definición del momento respecto al eje no centroidal momento de inercia inercia respecto centroidal se tiene

11 = = f r22 dm dm cia

ola

sea se

575 575

B.1 MOMENTOS MOMENTOS DE INERCIA INERCIA UN EJE MÁSICOS RESPECTO RESPECTO A UN EJE MÁSICOS

= = f (r02 er02 + dd22 + 2r 2rOodd cos e) dm dm

2fdm+2dfu dm = fr02 dm+d = fr02 dm+d2fdm+2dfu dm La primera primera integral respecto al eje que pasa pasa por por el integral es el momento momento de inercia inercia 11respecto centro de masa, el segundo nula puesto puesto segundo término término es md md22 y la tercera tercera integral integral es nula que la coordenada pasa por por G es cero. coordenada u del centro centro de masa masa respecto respecto al eje que pasa Así pues, pues, el teorema paralelos, o de Steiner, dice que teorema de los ejes paralelos, md?2 11 = 11+ + md

ón.

B.3 Figura B.3

(B.3) (B.3)

jor de-

orcia

Debe recordarse recordarse que este cambio sólo puede puede hacerse hacerse si un un eje pasa pasa por por el centro masa y ambos ejes son paralelos. sustituir en la ecuación de masa paralelos. Al sustituir ecuación B.3 B.3 por por las expresiones presiones de los radios radios de giro, resulta resulta

de eleen-

cto nla eleenma eleapa ma-

a el

(B.3a) (B.3a)

teorema de Steiner para obtener el radio de giro k respecto a un que es el teorema para obtener un eje separa_douna distancia d d de otro eje paralelo centroidal para radio de giro para_do una distancia paralelo centroidal para el cual el radio k. sea k. movimiento plano lugar alreEn los problemas problemas de movimiento plano en que la rotación rotación tiene lugar dedor de un movimiento, basta subíndice sencidedor un eje normal normal al plano plano del movimiento, basta con un subíndice designar el eje de inercia. Así, si la placa de la figura B.4 estuviese estuviese llo para para 1 para para designar animada movimiento plano momento de inercia respecto animada de movimiento plano en el plano plano x-y, x-y, su momento respecto al eje z que pasa pasa por por O se designaría designaría lo. Sin embargo, embargo, en el movimiento movimiento tridimensional, pueden aparecer mensional, en el que pueden aparecer componentes componentes de la rotación rotación en más de un eje, utilizan subíndices subíndices dobles para para conservar notación un eje, se utilizan conservar la simetría simetría de la notación con los términos productos de inercia, los cuales se presentan presentan en el apartérminos de los productos aparrepretado B.2. Así pues, los momentos momentos de inercia respecto respecto a los ejes x, y y z se representan, respectivamente, B.5 vemos vemos que son por IXXI Iyy Iyy e Izz y en la figura B.5 sentan, respectivamente, por

B.2)

i, Ixx

= f =

r} dm dm r}

o alo de

1 1yy yy

= = f

ryy 2 dm dm

am

i.; Izz

2 + y2 ) dm x2+y2) = f r/ r/ dm dm = dm = = fef(X

ento

2

= fey2+z2) = f(y2+ Z 2)

dm dm

= f(z2 + X2) = fez2

dm dm

Estas integrales integrales aparecen aparecen en las ecuaciones ecuaciones 7.10 7.10 del apartado apartado 7.7 relativo relativo al momento cinético en la rotación tridimensional. mento rotación tridimensional.


z

(B.4) (B.4)

cancua-

B.4 Figura B.4

o x

Figura B.5 B.5

576 576 MOMENTOS DEINERCI INERCIA DEMASAS MASAS MOMEN TOS DE A DE

Fácilm ente seseobserv a lalasemeja nza existen te entre Fácilmente observa semejanza existente entrelas lasexpres expresiones definitoiones definit orias tos de s yylos riasde delos losmomen momentos deinercia inerciamásico másicos losmomen momentos deinercia inerciade desuperfi superfitos de cies. cies.En Enelel caso casode de las las placas placas planas planas existe existe una una relació relación exacta entre entre ambas ambas n exacta expres iones. Consid eremos lalaplaca r uniform expresiones. Consideremos placa de deespeso espesor uniforme de lalafigura figura B.4. B.4.ReRee de presen tando por r consta nte yypor presentando por t telelespeso espesor constante por pla pla densid densidad cúbica, el momento ad cúbica, el momen to de deinercia inerciamásico másicoIzz Izz de delalaplaca placa respect respecto ejezznorma normall aaella ellaes es o alaleje

Izz Izz ==

fJ

2 r1'2 dm dm == pt pt

fJ

dA == ptIz ou, rr22 dA

(8.5) (8.5)

oosea, to de o al sea,el elmomen momento de inercia inercia másico másico respect respecto aleje ejezz es esigual igual aala lamasa masa por por uniunidad cie, pt, licada por dad de de superfi superficie, pt, multip multiplicada por el elmomen momento de inercia inercia polar polar Iz Iz de de la laplaplato de ca o al o frente ca respect respecto al eje ejez. z. Si Sitt es es pequeñ pequeño frente aa las las dimens dimensiones de la placa en su iones de la placa en su plano, iones de tos de plano, las las expres expresiones de los los momen momentos de inercia inercia Ixx Ixx ee Iyy Iyy de de la la placa placa respect respecto o aa los los ejes ejesxx ee yy son, son, con con gran gran aproxim aproximación, ación, Ixx i.; == Iyy Iyy ==

fJ y2 fJ

y2 dm dm == pt pt

2 x2 x

dm dm = = pt pt

fJ y2 fJ X2 x2

(8.6) (8.6) dA dA == ptI ptIyy

(8.7) (8.7) que solamente solamen te se se cumple cumple para para una una placa placa delgada. delgad a. Esta restricción que restricc ión puede puede observarse en las ecuacio nes B.6, que no son válidas a menos varse en las ecuaciones B.6, no son válidas menos que el espesor espeso r tt oo la la coorde nada zz del del elemento elemen to sea sea despreciable despre ciable frente frente a su coordenada su distancia distanc ia al eje xx o y. y. La La ecuaci ón B.7 B.7 es es muy muy útil útil al tratar tratar de de un un elemento elemen to de ecuación de masa masa diferencial diferen cial que que se. se tome como rebana da plana de espeso r infinite simal dz. tome como rebanada plana de espesor infinitesimal dz. En En tal tal caso, caso, la ecuación ecuació n B.7 se se cumple cumple exactamente exactam ente yy queda B.7 queda en en la la forma forma (8.7a) (8.7a)

La integral integra l de de definición definic ión dada La dada por por la la ecuación ecuació n B.l B.l contien e el el cuadrado cuadra do de de la ladistancia distanc iadel del elemento elemen to al contiene que siempre al eje, eje, por porlo lo que siempr e será será positiv a. Así Así pues, pues, como como en en el el caso caso de de los los momentos momen tos de de inercia positiva. inercia de de superficie, superfi cie, el momen to de de inercia inerciamásico másico de de un uncuerpo cuerpocompuesto compu estoserá el momento serála lasuma sumade delos losmomomentos de de inercia inercia respecto respect o al al mismo mismo eje eje de de las las distintas distint as partes mentos integran partes que que integra nel el cuerpo . Conviene Convie ne aa menudo menud o considerar consid erar un un cuerpo cuerpo compuesto cuerpo. compu esto como como definido definid o porvolúmenes volúm enespositivos positiv osyy volúmenes volúm enesnegativos. negativ os. El Elmomento por momen tode deinercia inerciade deun un elemen negativ o, tal talcomo comoun unagujero, agujero , debe debeconsiderarse consid erarsecomo elementotonegativo, comocantidad cantida dnenegativa. gativa. Antesde depenetrar penetra ren enelelestudio estudiode delalaDinámica Dinám icadel Antes delmovimiento movim ientoplano planoes esababsolutam entenecesario necesa rioconocer conoce rperfectamente perfect amenteelelcálculo cálculode solutamente de inercia demomentos momen tos de inercia másico sde decuerpos cuerpo srígidos rígidosrespecto respect oaaejes ejesnormales normal esalalplano másicos planodel delmovimiento. movim iento.


I

y2 dA dA == ptI pt Ix;

Luego tos de Luego los los momen momentos de inercia másico másicoss son iguales aa la masa por unidad unidad de de superfi cie pt multip licada ondien tes momen superficie pt multiplicada por los los corresp correspondientes momentos de tos de inercia de superfi cie. El ice de los tos de inercia másico superficie. El doble doble subínd subíndice los momen momentos másicoss los distingue tos de inercia de superfi gue de los momen momentos superficies. cies. Como para los tos de inercia de las superfi cies se cumple Como para los momen momentos superficies cumple Iz Iz == Ix Ix + Iy, Iy' se deduce deduce que

(e) Cuerpos Cuerpo s compuestos. compue stos. (e)

r

n

0)

0

torfias

fórlasfóralguna sdedelas resume ndedealgunas unresumen ofreceun En apéndi ceDDseseofrece delapéndice D.4del tablaD.4 Enlalatabla diversa a tes ondien corresp s másico inerciamásicos correspondientes a diversas s mulas momen tosdedeinercia demomentos útilesde másútiles mulasmás comun es. formascomunes. deformas masasde masas

577 577 B.l INERCIA DEINERCIA MOMENTOSDE B.l MOMENTOS MÁSICOS RESPECTOA EJE UNEJE MÁSICOS RESPECTO AUN

e-

to PROBLEMA B.l TIPOB.l PROBLEMATIPO .5)

lasu cto radio inercia yy elel radio de inercia momento de Hallar elel momento Hallar revolude recto cilindro un de giro de de giro de un cilindro recto de revoluradio rl' masa mm yy radio de masa homogéneo de ción homogéneo ción O-O. eje su respecto aasu eje O-O. respecto

.6)

de de

tin-

0)

= dV = dm == pp dV es dm masa es de masa elemen to de un elemento cilíndri cas, un Solución. coorden adas cilíndricas, En coordenadas Solución. En cilindel inercia de to momen El . cilindro El momento de inercia del cilindel cilindro. densida d del ptro donde pp es la densidad de, donde dI'ode, ptrodro es eje su a respecto dro dro respecto a su eje es

1=

f

2

ro dm

4 lrr f2rcfr 3 = pt Jo O ro dr o de = pt 2 .

Resp. Resp.

mento cilíndricáscara cilíndriuna cáscara masa una de masa mento de ca de radio 'o, longitud t, y masa dm, dm, masa y t, longitud ca de radio ro, habríamos directam ente tenido directamente habríam os tenido dI calcudeberá calculector deberá El lector dm. El = 1'5 dm. dI ::: lar esta integral. lar esta integral .

r6

o ElEl valor valor ®

yy el el radio radio de de giro giro es es

B.7)

CD elecomo eleemplea do como hubiéra mos empleado Si hubiéramos CD Si

k=

fI

~m

l'

Ji

Resp. Resp.

I mr2 es únicaválido únicaes válido = ~~mr2 1 ::: mente para cilindros homogéneos neos homogé s cilindro mente para macizos yy no no puede puede emplea emplearse para rse para macizos cuerpos en en forma forma de de rueda. rueda. cuerpos

PROBLEMA TIPO B.2 B.2 EMA TIPO PROBL I

I

· -xx

Hallar Hallar elelmomento momento dedeinercia inercia yyelelradio radio ea maciza esfera una de dedegiro giro de una esfera maciza homogén homogénea dedemasa masa mm yy radio radio rrrespecto respecto aauno uno dede s. sus susdiámetro diámetros.


Solución. Com o volu men elem enta l tomamos tom amo s una Solución. Como volumen elemental una rebanada reba nad a circular circular de de espeespe sor dx y radi o y. Seg ún se ha vist o prob lem a tipo B.l, sor dx y radio y. Según se ha visto en el problema B.1,el momento de inercia el mom ento de iner cia resp ecto al eje respecto x del cilin cilindro elemental es dro elem enta l es

G) emos aqu CD Ten Tenemos aquíí un ejem ejemplo plo de utilizautilización resultado ya conocido ción de un resultado con ocid o para esar el momento para expr expresar inercia mom ento de iner cia del ento de mas del elem elemento masaa eleg elegido, que ido, que en en este este caso caso es un cilin cilindro de dro recto rect o de long itud dife rencial dx. Serí longitud diferencial Seríaa una una tont ería emp ezar con tontería empezar elemento con un elem ento de er orde n, com de terc tercer orden, comoo p dx dy dy dz, dz, cuan do el prob lem a puede cuando problema resolverpue de reso lverse mayor faci se con mayor facilidad lidad empleando emp lean do un ento de primer un elem elemento orden. prim er orde n.

CD don de p es la den sida d con stan te donde p es la densidad constante de la esfe esfera. ra. El momento mom ento de de inercia inercia total total resrespect o al eje x es: pecto .§..npr .!?npr55

Resp. Resp.

15

El radi o de giro es El radio

Resp. Resp.

PRO BLE MA TIP PROBLEMA TIPO O B.3

Hallar los mom entos de inerc Hallar momentos inercia ia del del paparalelepípedo rectangular rectangular hom ralelepípedo homogéneo ogéneo de de masa m m respecto respecto a sus sus ejes centroidales masa centroidales xo yy z yy resp ecto al eje xx que xo respecto que pasa pasa por por una base. una base.

z

Solución elem ento de volumen volu men se toma Solución.. Com Comoo elemento tom a una una rebanada reba nad a transversal tran sver sal de de espe sor dz. El mom ento de inercia espesor dz. El momento de inercia de esa rebanada grosor infinitesimal reba nad a de de gros or infin itesi mal es es igua l al mom ento de inercia superficie de la sección igual al momento de inercia de la superficie sección multiplicado mul tipli cado por por la la mas a por unid ad de superficie p Lue go el momento masa por unidad de superficie p dz. Luego de la rebanada mom ento de de inercia iner cia de la reba nad a tran sver sal respecto respecto al eje y' transversal y' es: es:

respecto al x' yy respecto x' es

CD fron tar con CD Con Confrontar con las ecua ecuaciones cion es 8.6 8.6 yy G) reco rdar recordar cuál es el momento de mom ento de iner cia de una superficie rectangular inercia una superficie rect angu lar respecto a un eje paralelo respecto paralelo a la la base base que pase por por el centro. que pase cent ro.

Mie ntra el elem ento sea una plac Mientrass el elemento sea una placaa de espesor espe sor infinitesimal, infinitesimal, podremos pod rem os aplicar apli car relación B.7a la relación B.7a y, entonces, entonces,

578


I Pr B. la mi 101

desearesultad os desealosresultados obtenerlos paraobtener Ahora integrar separa puedenintegrarse expresi onespueden estas expresiones Ahora estas dos. dos. es ejezzes respectoalaleje inerciarespecto deinercia El momen tode Elmomento

a

Resp. Resp.

de momen to de el momento símbolo s, el los símbolos, Interca mbiand o los donde bloque. Intercambiando del bloque. masa del la masa es la donde mm es ser resulta ser ejeXoXo resulta al eje respecto al inercia respecto inercia I

xoxo

=

Resp. Resp.

2m(a2 + 12)

-11

de teorema de el teorema median te el hallarse mediante puede hallarse eje xx puede al eje El respecto al inercia respecto de inercia momen to de El momento Así, B.3). Así, (ec.B.3). Steiner (ec. Steiner p.

_

(/)2 _

11m (2 2) (2 ( 1)2 _ ]2m 1xox +m a + 4 12) Ixx --_ Ixoxo Ixx o + m 22: -- 12 a +41

Resp. Resp.

la de la inercia de de inercia momen to de el momento expresa ndo el Este obtener se expresando puede obtenerse resultad o puede último resultado Este último lonla toda para ón expresi la ndo integra rebanada la expresión para toda la lonrespecto al eje xx ee integrando elemen tal respecto rebanad a elemental Steiner, de Steiner, teorema de por el teorema N uevame nte, por gitud barra. Nuevamente, gitud de la barra.

anterior . resultad o anterior. obtiene el resultado Integrando Integra ndo se obtiene

pab = pab 11xx = xx

fJ

(a2 ll (a2 _- + z2 z2 ) O O 12 12

22 4/2) i.. m(a22 + = l.m(a 1122 + aa-4 )) = --pabl( + 4/2) -dz == pabl( 12 3 4 12

iones sean En el el caso caso de una barra barra prismát prismática dimensiones sean ica larga o varilla esbelta cuyas dimens En IxX" de ón carse la expresi pequeñas longitud, puede simplifi simplificarse expresión de Ixx' En En este este d, puede as frente a su longitu pequeñ to de inercia caso se se puede puede desprec despreciar 412,y el momen momento inercia de de la la varilla varilla resresiar a22 frente a 4[2, caso pecto aa un eje eje perpend perpendicular extremo resulta resulta ser ser icular aa ella y que pase por un extremo pecto respecto inercia de to 22. momen el ación, aproxim 1 = ~ m1 En virtud aproximación, momento de inercia respecto misma la de virtud 1 = ~ m1 . 2 icular aa la barra al perpend eje centroid centroidal perpendicular barra es es 11 == ~m12 rzml .. aa un eje de es la da

PROBLEMAS LEMAS PROB ctorios as introdu Problem Problemas introductorios

y

to de ndo un Empleando un elemen elemento de masa masa dm dm ==pp dx, dx, donde donde pp es es Emplea

icar

I

B.l B.l tos de d, calcular masa por por unidad unidad de de longitu longitud, calcular los los momen momentos de lala masa my masa de nea homogé delgada varilla la de Iy'y' inercia Iyy Iyy ee Iy'y' de la varilla delgada homogénea de masa m y inercia d l.l. longitu longitud - ~m12 1 12 Resp. 1yy = Resp. Iyy - 12m 13 11 -- 11111 m13

Figura problem problemaa B.l B.l Figura

y'y' v'v' - - '33

579 579


B.2 Todas B.2 Todas las lasbarras barras "esbelta "esbeltas" tienen un unradio radio finito finito r.r.ConCons" tienen súltese súltese lala tabla tabla D.4 0.4 yy dedúz dedúzcase una expresi expresión para elel error error case una ón para porcent porcentual que sesecomete comete desprec despreciando radio l' rde de una una babaual eeque iando elelradio rra rra cilíndric cilíndrica maciza yyhomogé homogénea de longitu longitudd 11alalcalcular calcular su su a maciza nea de momen momento de inercia inercia Izz. lzz. Evaluar Evaluar elel resultad resultadoo para para los los casos casos to de

<, <,

,

~~ ,

,//

r

0,01,0,1,, YY0,5 0,5 . . 7l'y == 0,01,0,1

/

/'

l\ ' ,: r'

I I~ /.~, /

~

/ ./

~

I ./././

.

~O

»<

Figura Figura problem problemaa B.4 B.4

ra ia dd entre ra por por el el cuadrad cuadradoo de de la la distanc distancia entre el el eje eje xx yy el el eje eje centroicentroidal paralelo . ¿Qué error ual eese dal paralelo. ¿Qué error porcent porcentual se comete comete si si (a) (a) dd ==21' 2r Y y (b) (b)

Figura problem problemaa B.2 B.2 Figura

dd ==10r? 10r?

Resp. Resp. (a) (a) ee == -- 9,09%, 9,09%, (b) (b) ee == -- 0,398% 0,398% B.3 B.3 Al objeto objeto dde apreciarr mejor mejor la la simplifi simplificación que suposupoAl e aprecia cación que ne ne emplea emplearr infinité infinitésimos de orden orden menor menor para para integrar integrar, , calcucalcusimos de lar lar el el momen momentoto de de inercia inercia Ixx lxx de de la la placa placa delgada delgada homogé homogénea nea emplea empleando el elemen elemento cuadradoo (a) (a) yy después después el el elemen elementoto ndo el to cuadrad rectang rectangular (b). La La masa masa de de la placa placa es es m. m. Seguida Seguidamente deterular (b). mente determinar Iyy lyy por por observa observación y, por por último, último, hallar hallar Izzt.; minar ción y, Resp. ITu ~ma2 Resp. xx = ~ma2

l

1

b2

YY = '!"'mb 12m 2 12

xx Figura problem B.5 Figura problema a B.5

lzz = ~m(a2 ~m(a2 + + bb22))

yy

rr-

~~ .k""/--b/2 b/ 2

~~ ff

B.6 Hallar el el radio radio de de giro giro de de la la placa placa triangular triangu lar fina fina de B.6 Hallar de masa m m yy respecto respecto al al eje eje x-x x-x que que pasa pasa por por su masa su base. base.

::

---"1""--~ II

b/2-.../ b/ 2 _

,(a) I(al tt I Gl-

1

'·•.F"{J=;dya ) ::1 q: y )-_~ -: / / dx d; ----

//' zz

// /' -: /'/'

t tn/ 2 a/2

B. al bi Ot

ql

j1.

f--x t --

(b) (bl J,1 a/2 a/ 2 J

X

.x .x

11--..:...-1 k-l

......•.. --""1

dx dx Figura Figura problema problema B.3 B.3

xx

El El segmento segmen toen en forma forma de de cuña CUIlase seha hacortado cortadode deuna unacáscáscaracilíndrica cara cilíndrica de deradio radiorl'cuyo cuyoespesor espesores esmuy muypequeño pequet'iocompacomparado con con r.1'. Por rado Por simple simple inspección inspecc ión escribir escribir elel momento momen to de de inercia del inercia del segmento segmen to respecto respecto alal eje eje de de revolución revoluc ión O-O O-O de de lala cáscara cilú1drica. cáscara cilíndrica.

Figura problema problema B.6 B.6 Figura

B.4 B.4

B.5 El momento B.5 El momen to de d e inercia inercia de de una una esfera esferamaciza macizahomogéhomogé nea de de radio nea radio rl' respecto respecto aa cualquier cualqui ereje ejexxno no centroidal centroid alpuede puede obtener seaproximadamente obtenerse aproxim adamen temultiplicando multipl icandolalamasa masade delalaesfeesfe-

B.7 Hallar elel momento momen to de de inercia inercia de de lala placa placa triangular triangu lar B.7 Hallar equiláte ra fina fina de de masa masa mm respecto respecto alal eje eje z-z z-zperpendicular perpend icular aa equilátera ellayy que quepasa pasapor porsu sucentro centrode demasa masaG. G.Aprovechar Aprove charlos losresulella resultados del problem a B.6yy aplicar aplicarlas lasrelaciones relacion esobtenidas obtenid aspara tados del problema B.6 para lasplacas placasdelgadas delgada syyelelteorema teoremade deSteiner. las Steiner. Resp. lzz Izz ==~mb2 ~mb2 Resp.

B.l

cén

580


-x

Figura B.l0 problema B.l0 Figura problema


B.7 B.7

masa chapa fina de acero de masa B.8 Una hecha de chapa plantill a está hecha Una plantilla B.8 placa 2 . Los momentos la iales 2 superfic inercia 31,3 kg/m . de inercia superficiales de la placa momen tos 31,3 kg/ m 6 mm4 . Calcula r su moson Calcular su mo= 76,6 (10 ) mm". mm4 e IyIy = 25,2(1066)) mm" = 25,2(10 son IxIx = z. eje al respecto mento inercia másico respecto mento de inercia

B.l1 respecto al eje O-O, del disco radio de giro, respecto Calcula r el radio B.ll Calcular de acero agujereado. agujere ado. mm Resp. = 230 mm ka = Resp. ko

yy 1I

I

1

1I

z"

" ""


"

B.ll B.l1

--x - -x

problema Figura problema

B.8 B.8

una radio rr tiene una m y radio La cuña cilíndrica cilíndric a maciza de masa m escriB.1, tipo a problem altura B.1,escriresultad os del problema Emplea ndo los resultados altura b. Empleando respecto al eje O-O. bir su momento O-O. inspecc ión, respecto por inspección, momen to de inercia, por bir su respecto al eje Deducir seguidamente eje momen to de inercia respecto mente su momento Deduci r seguida O-O. a paralelo es y paralelo O-O. por el centro de masa pasa por que pasa 2 812) 1 2 2(1 16 16 Sen sen 8/2) 8 mr ,Ice -"9 mr 2 , IG G == mr Resp. loa = = 22mr 2-"9 82 2 Resp. loo B.9 B.9

Problemas representativos as representativos Problem Y su esmasa de 2 kg Y B.12 La placa semicircular una masa tiene una cular tiene B.12 La placa semicir radio su ación pesor puede despreciarse en comparación con radio de compar pesor puede desprec iarse respecto 250 mm. Calcular sus momentos de inercia respecto a los ejes inercia tos momen r 250 mm. Calcula x, y, y' y' y z. z.

y ./ ./

/ ./ / ./

problemaa B.12 B.12 Figura problem

b

I1 I1 I1

O problemaa B.9 B.9 Figura problem

Hallar [xx para para el cilindro con un orificio circular conar Ixx Hall céntrico.. La La masa del cuerpo es m. m. céntrico

ida por una vaB.13 Una raqueta raqueta de bádminton constituida bádmin ton esta constitu Una B.13 Desprec iar el . Despreciar muestra se rilla delgada doblada del modo muestra. que rilla delgada doblada to de inercia momen su cordaje y el mango madera estimar momento estimar y madera de cordaje y el mango aplisupone se que el respecto al eje O, punto supone en punto O, por pasa que y eje al respecto cada la la mano mano del del jugador jugador.. La masa por unidad unidad de longitu longitudd del cada materiall de la varilla es p. materia

B.l0 B."IO

R esp. II yy -R

(43 (43 192 192

83 ) L3 L3 83 128 n n) pp + 12S

581 581


ción ciónxxde delalalenteja lentejayyelelcociente cocienteRRde delos loslo lo calculad calculados para xx== os para ~lyx =.I. ~lyx=l 4

Resp. Resp. lo lo == m(7x m(7x22 ++§12), j12), RR

0,582 == 0,582

B.16 B.16

Una Unavarilla varilla delgada delgada,, de demasa masa total total m, m,se sedobla dobla en enforma forma de dos culos. Hallar to de de dos semicír semicírculos. Hallar su su momen momento de inercia inercia respecto respecto alal eje icular alalplano ejeque que pasa pasa por por OOyyes esperpend perpendicular plano de delalavarilla. varilla. ReResolver al para solver sin sin emplea emplearr la larelación relación centroid centroidal para un un arco arco semicir semicír-cular. cular. Figura problem problemaa B.13 B.13 Figura

B.14 Calcula B.14 Calcular momento de inercia inercia del del volante volante de de acero, acero, r elel momen to de que que se sereprese representa seccionado, respecto su eje ejegeométr geométrico. Tienta seccion ado, respect o aasu ico. Tiene ne ocho ocho rayos; rayos; todos todos ellos ellos de de sección sección transve transversal constante rsal constan te igual igual aa 200 200mm", ¿Qué porcent porcentaje del momen momento de inercia inercia totomm 2 . ¿Qué aje nn del to de tal hay hay que que atribuir atribuir aa la la llanta? llanta? tal Figura Figura problem problemaa B.16 B.16

I~75 -~I B.l El neo tiene una masa m, B.177 El cilindro cilindro circular circular homogé homogéneo m, un radio r y una ón de su momen radio r y una longitu longitudd l.l. Deduci Deducirr la expresi expresión momento to de de inercia inercia respecto respecto al al eje eje xx que pasa por una de sus bases.

••-.

~-200m-m2-

r-

12) m(i2 +~)

--¡

120

~J:IÓO

_·_·_·_·5,0 ••

r Resp. xx = Resp. Ilxx = m ( "4 + 3"

70 1001300400 400 Y! 300

XX I

II

j

~ ~

II

Cotas en milímetros milímetr os Figura Figura problema problema B.14 B.14

........ z B.15 El péndulo péndulo de reloj se compone B.15 compon e de de la la varilla varilla delgada delgada de de longitu d 1y 1y masa longitud Se desprecian masa m m yy la lenteja lenteja de de masa masa 7m. 7m. Se desprec ian los los efectos del del radio efectos radio de de la la lenteja. lenteja. Hallar Hallar lo lo en en función función de de la la posiposi-

Figura problema problema B.17 B.17 Figura B.18 B.18

Hallar el el momento momen to de de inercia inercia del del mazo mazo respecto respecto al Hallar al eje eje x. x. La densida d del mango de madera es 800 800 kg/ kg /m m33 yy la La densidad del mango de madera es la del del metal metal 40

xx

Figura Figura problema problema B.15 B.15

Figuraproblema problema B.18 B.18 Figura

582 582


B r

rrr'. m 3.

cala cade la long itud inal de El eje longitudinal

dúctil de la cabeza es 9000 kg/ dúct il de la cabe za es 9000 kg / x. beza es perp end icul ar al eje x. beza es perpendicular uno por uno cort a por aris ta se corta 8.19 Un cubo de acero de 150 150 mm de arista B.19 Un cub o de acer o del cia iner de ento mom el de sus planos Calc ular momento de inercia del diag onales. Calcular plan os diagonales. de sus . x-x ta aris la a prisma arista x-x. resp ecto resu ltan te respecto pris ma resultante 2 Resp. 0,19 82 kg·m = 0,1982 I xx = Resp. Ixx

m mas a m de masa anillo de sem ianillo 8.22 Hallar el momento de inercia iner cia del semi B.22 Hal lar el mom ento por pasa que pasa por b-b que resp ecto al eje b-b respecto a-a Yy respecto diam etra l a-a eje diametral su eje resp ecto aa su radi o El radio o. El anill o plan el punto medio del arco y es normal al plano del anillo. al norm y arco el pun to med io del r. a te fren o peq ueñ frente a r. de circ ular es pequeño rect a circular secc ión recta la sección de la

bb

B.22 Figura problema 8.22 Figura problema 150mm

150mm 150 mm

cuaal cuaprop orci ona l al 8.23 El radio del sólido de revolución revo luci ón es proporcional B.23 El radi o del sóli do cuer del a mas la m sien do la masa del cuer-IXX' siendo drado Hal lar IxX' x . Hallar coo rden ada x. la coordenada de la drad o de

x

B.19 Figura problema 8.19 Figura problema

po. po.

mr

- ~ 5 R esp.. 1Ixx xx -= 18 mr 2 Resp

acero de acero icili ndro de 8.20 Calc Calcular el momento semicilindro inercia del sem mom ento de inercia ular el B.20 al para lelo al ante Xo-Xo paralelo macizo respecto al eje x-x y respecto al eje xo-xo ante-mac izo resp ecto al eje x-x resp ecto .1.) D a tabl la en rior. (La (La den densidad del acer acero la tabla D.l.) enco ntra rse pue de encontrarse o puede sida d del rior.

yy I

:------

h

I I I I

xo /

/ /' /' /' /'

/' /'

Z

/' /'

/' /'

/' /'

B.23 Figura problema 8.23 Figura problema Figura 8.20 problema B.20 Figura problema

tang enci al resp ecto al eje 8.21 Hallar eje tangencial inercia, respecto mom ento de inercia, el momento Hal lar el B.21 m2' mas a m-. de llo iani sem del Y x-x, del anillo entero de masa ml Ydel semi anillo de masa ml mas a x-x, del anillo ente ro

.2

_

para bolo ide 8.24 Hallar el radio de giro respecto resp ecto al eje z del paraboloide B.24 Hal lar el radi o de ogé neo de hom po cuer un de revolución de la figura, que es un cuerpo homogéneo de revo luci ón de la figu ra, masa mas a m.

2(3 4,

r (~2 ;) m2r2 = m2 I xx Resp. - ~mlr 2mIl 2,.i.; - ñ) I xx = Resp. Ixx _

3

zz I

-~--~-_. ~--~;-r'fn--

.: m22 m xx __~

x

/

/ / /

I

-x - x

-

-x -x

x

B.24 Figura problema 8.24 Figura problema

Figura 8.21 problema B.21 Figura problema

583


B.25 Hall ar el ento de iner B.25 Hallar el mom momento inercia respecto al eje eje yy del del para para-cia resp ecto al bolo ide de revo luci ón del prob boloide revolución problema B.24. lem a B.24 .

(2

1 Resp. Iyy -_ 2m h

2

r) +"3 z ___.. z -----o

B.26 Calc u lar el ento de iner B.26 Calcular el mom momento inercia de revolución cia del cono de revo luci ón recto , mac izo ogé neo de mas recto, macizo yy hom homogéneo masaa m, m, radi radioo de de la la base base rr yy alaltura ecto al tura 17, h, resp respecto al eje eje xx del con cono eje yy que que pasa por o y respecto resp ecto al eje p asa por su vér vértice. tice. Figura problema problema B.28 Figura B.28

y 1I

yy I I I

---.. x -- - x z

Figu ra prob Figura problema B.26 lema B.26

Figu ra problema problema B.29 Figura B.29 B.27 B.27 form a forma

La a de ueta de un coh La ojiv ojiva de la la maq maqueta cohete cilíndrico tienee la la ete cilín drico tien que se mue stra. En el prim que se muestra. primer cuadrante del plano el er cua dran te del plan o x-y x-y el

con torn o cum ple la ecu ació n de la parábola contorno cumple ecuación pará bola yy = =

b( 11 -- :~) Si :~) .. Si

B.30 El sóli do mac izo de mas B.30 El sólido macizo masaa 111 m se genera en gen era haciendo haci end o girar gira r en torn trián gulo rectángulo rect áng ulo isósceles. tornoo al al eje eje zz el el triángulo moisósceles. Hallar Hal lar su su momen to de iner cia respecto mento inercia resp ecto al eje eje z. z.

es la masaa de a, que es hom es m m la mas de la la ojiv ojiva, homogénea, su momento ogé nea, hallar h alla r su mom ento de iner cia resp inercia respecto eje x. x. ecto al eje

z

Resp Resp.. Ixx Ixx = = ~m ~mb2 b2 . a

II.

-~-i ---1 a

JJ

r

Figura problema problema B.30 Figura B.30 B.31 Hallar el mom ento iner cia respecto B.31 Hallar el momento de inercia resp ecto al al eje eje xx del del segsegm ento esférico esférico de masa mento m. mas a 111.

--xx

- ;o~mR2 53 R2 R Resp. esp. 1Ixxxx -= 200 m

Figu ra prob Figura problema lema B.27 B.27 B.28 Hal lar el ento de iner B.28 Hallar el mom momento inercia al eje eje xx del del sesecia respecto resp ecto al mie lips oide de lución, mac mielipsoide de revo revolución, macizo homogéneo, de masa m. izo y hom ogé neo , de mas a 111 . B.29 Hallar el mom ento de iner B.29 Hallar el momento inercia másico cia más ico respecto resp ecto al al eje eje xx de de la tica delg la plac placaa elíp elíptica delgada masa m. ada de m asa m. '1 2 Resp Resp.. Ixx In -_= 4m ~mb2 b

Figu ra problema problema B.31 Figura B.31 584 584


B. dI m

sector d elsector ejexxdel respect oalaleje inerciarespecto m om entoded einercia Hallar Hallarelelmomento figura. la de m masa de ogéneo hom esférico esférico homogéneo de masa m de la figura.

B.32 8.32

y I IR / 2 R / 2

B.35 m asammyy homogé nea,dedemasa barrahomogénea, rectaded elalabarra secciónrecta Lasección 8.35 La

longitud respecto inerciarespecto momen todedeinercia Hallarsusumomento cuadrad a.Hallar 1, escuadrada. longitu d1,es alaleje y_y que pasa por su centro de masa G y que coincide con con coincide que y G asa m de eje y-y que pasa por su centro una de las diagonales de la sección recta central. central. ta rec sección la e d les una d e las diagona 2 ++b2b)2) Resp. l2m(a2 Iyy ==-Am(a Resp. Iyy

I.:,..:........¡~

//

I

--1--

/ / I

---\- ---

I I I I

\ \.

'

....

8.32 problem a B.32 Figuraproblema Figura una de una prelimi nar de modelo preliminar el modelo re present a el se representa fi gura se En lala figura En planos d y ca cilíndri cáscara una cáscara cilíndrica y dos plandeuna comp uesto de nave espacia l, compuesto nave espacial, y espesor Y iguales espesor tienen iguales plancha s tienen las planchas cáscara yy las La cáscara planas. La chas ch as planas. a torno en estable giro un tenga o vehícul el que Para d. densidad. Para que el vehículo tenga un giro estable en torno a densida resinercia e d momen to de inercia resel momento que el demost rarse que puede demostrarse su 1-1 puede eje 1-1 su eje resinercia resde inercia momen to de el momento que el menor que ser menor debe ser eje debe ese eje pecto pecto aa ese se exceder ebe d que l de crítico valor el Hallar 2-2. Hallar el valor crítico de 1que debe excederse eje 2"2. al eje pecto pecto al 1-l. eje al torno en estable giro un ar garantiz para garantizar un giro estable en torno al eje 'l-L para 4,89r Resp. 11>> 4,89r Resp.

B.33 8.33

I

a

I

Y Figura 8.35 problem a B.35 Figura problema

semiesfécáscara semiesféla cáscara de la inercia de de inercia momen tos de los momentos Hallar los 8.36 Hallar rica respecto a los ejes x y z. La masa del cuerpo es m y su espesu espey m es cuerpo el d masa La z. y x ejes los a rica resp ecto sor radio r.r. al radio frente al despreciable frente es despreciable sor es

B.36

3

xx II ~z _z

, I I

2

Figura problem problema B.36 a 8.36 Figura

3 a 8.33 Figura Figuraproblem problema B.33

o soldad B.34 El El conjunt conjunto soldadoo de de la la figura figura está está hecho hecho con con varilla varilla 8.34 e l1,asa e 0,993 acero dde 0,993 kg/ kg/ m m dde masa por por metro. metro. Calcula Calcularr su su momoe acero dde o al e inercia mento mento dde inercia respect respecto al eje ejex-x. x-x.

B.37 Hallar el momento de inercia respecto al eje de revolu8.37 Hallar el m om ento d e inercia respecto al eje de revolución del toro m macizo completo cuyas dimensiones son las las ind indiiiones son yas dimens to cu acizo comple ción del toro cadas en la sección de la figura. figura. la e d cadas en la sección Resp. I1== m(R2 m(R2 ++ ~a2) ~a2) Resp.

Cotas en milímetr os a 8.34 Figura Figuraproblem problema B.34

Figuraproblem problema B.37 a 8.37 Figura

585 585


B.38 Hallar el momento de inercia respecto al eje de revolución del toro hueco completo cuyas dimensiones son las indicadas en la sección de la figura.

150

150

25 150

O!CQ

a

<,

-,

<,

Figura problema

B.38

'a Cotas en milúnetros Figura problema

B.39 Para el tronco de cono, de radios de las bases masa m, hallar Iu.

rl

B.41

Y r2 Y

r ·z

-r

r

r2

t..--.-

r

1 1 1 1 1 _____

x

Figura problema

Figura problema

B.42

~ B.43 Una varilla delgada de masa p por unidad de longitud se arrolla en torno al cilindro dando una vuelta de hélice completa. La coordenada z es proporcional a 8. Hallar sus momentos de inercia respecto a los ejes x y z.

B.39

~ B.40 Hallar el momento de inercia másico respecto al eje del tronco de cono del problema B.39.

9

Resp. lzz

=

2pr3Jl+n2,lxx

=

~pr3Jl+n2

E: la

Resp.iYY=2pmp

{ MP2+4h2J(r25-r15)_~h22p 1 2

donde P,

=

r

4_ r 4} 1

1

r23-r13'P2

=

z

to v(

(r2-r )2 1

m bI

~ B.41 El cubo con los canales semicirculares practicados en dos caras opuestas es de plomo. Calcular su momento de inercia respecto al eje a-a.

A sil

dE

Resp. lnn = 0,367 kg-rn~ B.42 La cáscara de masa m se genera haciendo girar el sector circular alrededor del eje z. Si el espesor de la cáscara es pequeño comparado con a y si r = a /3, hallar su radio de giro respecto al eje z. .

ve ex.

Resp. kz = 0,890a

x Figura problema

B.43

gu Cal

dx los

586


~ 8.44 Hallar, integrando directamente, el momento de inercia respecto al eje Z de la placa semicircular, de masa m y radio R, inclinado un ángulo e respecto al plano X-y.

x

\

e

X I

\~ \

Resp. Izz

=

¡mR2(1 + cos? e)

Figuraproblema 8.44

B.2

PRODUCTOS DE INERCIA

En la expresión del momento cinético de los cuerpos rígidos en rotación tridimensional aparecen, además de los momentos de inercia, otros términos llamados productos de inercia que se definen como

Ixy

=

i.;

Ixz Iyz

Iyx

=

Izy

f f =f

xy dm xz dm

(B.8)

zy dm

Estas expresiones son las de las ecuaciones 7.10 que aparecieron al desarrollar la expresión 7.9 del momento cinético. En el cálculo de productos de inercia intervienen los mismos procedimientos básicos que seguimos al calcular momentos de inercia y otras integrales de volumen en lo que concierne a la elección de los elementos de masa y a los límites de integración. La única precaución que es preciso observar es tener doble cuidado al manejar los signos algebraicos que aparecen en las expresiones. A diferencia de los momentos de inercia, que son cantidades esencialmente positivas, los productos de inercia pueden ser positivos o negativos. Las unidades en que se expresan los productos de inercia son las mismas que las de los momentos de inercia. Ya hemos visto que el cálculo de momentos de inercia se simplifica muchas veces utilizando el teorema de Steiner y en el caso de los productos de inercia existe un teorema similar para transferir productos de inercia entre ejes (segundo teorema de Steiner). En la figura B.6se ve en planta x-y un cuerpo rígido con unos ejes xo-Yo que pasan por el centro de masa G situado a las distancias dx Y dy respecto a los ejes x-y. Por definición, el producto de inercia respecto a los ejes x-y es 587


588 MOMENTOS

t., = f

DE INERCIA DE MASAS

=

xy dm

= f(Xo + dx)(yo + dy) dm

f Xoyo dm + dxdy f dm + dxf Yo dm + dy f Xo dm

= 1XoYo + mdxdy

Las dos últimas integrales desaparecen porque los momentos estáticos respecto al centro de masa son necesariamente nulos. Para los otros dos productos de inercia pueden escribirse unas relaciones similares y si prescindimos del subíndice cero y adoptamos la barra para designar cantidades referidas al centro de masa, podemos escribir

Figura 8.6

i., + mdxdy

1xz

1xz + mdcd,

1yz = 1yz +

M

/

/~

(B.9)

=».

Estas relaciones de transferencia entre ejes son válidas únicamente para cambiar de un eje que pase por el centro de masa a otro paralelo a éste o viceversa. Con ayuda de los productos de inercia podemos calcular el momento de inercia de un cuerpo rígido respecto a cualquier eje dado que pase por el origen de coordenadas. Supongamos que se desee calcular el momento de inercia del cuerpo rígido de la figura B.7 respecto al eje ~M. Sean l, m y n los cosenos directores de OM, de forma que un vector unitario Asegún OM podrá escribirse A = li + mj + nk. El momento de inercia respecto a OM es 1M

donde Ir x x

1xy

=

f

h2 dm

=

f(r

Al = r sen e = h. El producto (r

X

A)

=

x A)· (r x A) dm

vectorial es

(yn - zm)i + (zl- xn)j + (xm - yl)k

Figura 8.7

y el producto escalar nos da, tras agrupar los términos, (r X A) . (r x A)

= h2 = (y2 + z2)l2 + (x2 + z2)m2 + (x2 + y2)n2 - 2xylm - 2xzln-2yzmn

Entonces, sustituyendo aquí por las expresiones equivalentes de B.4 y B.8, resulta

(B.l0)

Esta expresión nos da el momento de inercia respecto a cualquier eje OM en función de los cosenos directores del eje y de los momentos y productos de inercia respecto a los ejes coordenados. (a) Ejes principales de inercia. Desarrollando la expresión 7.11 del momento cinético de un cuerpo rígido se obtiene la matriz


• 589 B.2 PRODUCTOS PRODUCTOS DE INERCIA INERCIA

conocida como matriz Estudiando para para un un origen matriz de inercia inercia o tensor tensar de inercia. inercia. Estudiando origen dado momentos y productos productos de inercia con la orientación dado la variación variación de los momentos orientación de los ejes ejes respecto respecto al cuerpo, se llega a la conclusión conclusión de que en el caso más general existe una única orientación x-y-z para para la cual los productos productos de inercia orientación x-y-z inercia son nulos y la matriz matriz adopta adopta la forma diagonal diagonal

e

Los principales de inercia IXXI 1yy momentos Los ejes ejes x-y-z x-y-z se llaman llaman ejes principales inercia e 1XXI 1yyee 1zz se llaman llaman momentos principales de inercia máximo y mínimo mínimo y otro intermedio principales inercia y son los valores máximo intermedio de los momentos para el origen momentos de inercia para origen concretamente concretamente elegido. Puede para una una orientación x-y-z la resoPuede demostrarse demostrarse!1 que para orientación dada dada de los ejes x-y-z lución de la ecuación ecuación de tercer grado grado

n ie

(B.ll ) (B.ll

da tres raíces 111' momentos principales principales de inercia. Ade1, 122 e 13 que son los tres momentos más, los cosenos directores 1,1, m y n de un eje principal principal de inercia están por están dados dados por

e-

O)

en de

(Ixx (Ixx - 1)1 1)1-- 1xym 1xym - 1xzn 1xzn

O O

(Iyyy - I)m 1yzn - 1yxl + (Iy I)m - 1yzn

= O O =

1z) l - 1zym 1zym + (Izz (Izz - 1)n 1)n - 1zx

O O

1

Estas ecuaciones unidas por unidas a la condición condición 1 122 + m22 + n22 == 1 facilitan la obtención obtención por separado uno de los momenmomenseparado de los cosenos directores directores correspondientes correspondientes a cada uno tos principales. principales. Para que se imagine imagine mejor el significado de estas conclusiones, considereconsideremos el bloque B.S, representado representado con una una orientación bloque rectangular rectangular de la figura B.S, orientación cualquiera x-y-z. Para Para simplificar, el centro de masa masa G se ha cualquiera respecto a los ejes x-y-z. situado momentos y los producproducsituado en el origen origen de coordenadas. coordenadas. Si Si se conocen los momentos tos de inercia del bloque respecto a los ejes x-y-z, x-y-z, al resolver resolver la ecuación B.11 se bloque respecto ecuación B.11se obtendrán 11, 122 e 113, momentos principales principales de inercia. obtendrán tres raíces, 11' 3, que son los momentos Después, B.12, sucesivamente Después, al resolver las ecuaciones ecuaciones B.12, sucesivamente sustituyendo sustituyendo en ellas los valores de las tres "1", junto con 122 + m22 + n22 == 1, "I", junto 1, se obtendrán obtendrán los cosenos directores, 11,, m y n, de cada uno uno de los ejes principales. principales. Según proporciones Según las proporciones con las que se ha dibujado bloque, vemos que 111 es el momento momento de inercia dibujado el bloque, máximo, 122 es el intermedio es el momento momento de inercia mínimo. intermedio e 13 13es

nto 11

Vease principal (Ed. Reverté, 1976) Vease Dinámica, Dinámica, del del autor autor principal (Ed. Reverté, 1976)


/ /

(B.12)

3

/ /

2 ---- -

----- - - 2 •..... _' ...... _' .......... .

.....x 'x

/ / / /

3 B.8 Figura B.8

I I

PROBLEMA TIP PROBLEMA TIPO O B.4

I

c

En com paración con las demás En comparación demás dimendimensione de la placa, placa, el espe sioness de espesor sor t puede puede desdespreciarse. La dens idad del mate preciarse. densidad material rial es es p. p. Hallar los productos prod uctos de inerc Hallar inercia respecto ia respe cto a los ejes indicados. indi cado s.

CD CD

Deb emos tene Debemos tenerr cuid cuidado conado para para conserv ar el mism o sent servar mismo sentido las cocoido que las orde nada s. Así, más Xo ordenadas. Xo e Yo Yo deb deben en con cord ar con más x e y. concordar y.

Solu ción. Solución.

<,

"- <, "-

''xx

Se dian por por sepa Se estu estudian separado cada una de las rado cada una de las partes. partes.

Parte rectangular.

En el esqu ema

Parte rectangular. En el esquema de esta esta part partee introducimos intr odu cim os unos uno s ejes ejes paralepara leCD los Xo Yo que que pasa P?r el cent ro de masa CD los Xo -- Yo pasann P?r centro mas a G y aplicamos el segundo teorema de

y apli cam os el segu ndo teor ema de Stei ner. Por tría, Ixy Ixy = Steiner. Por sime simetría, = IxOyo = O O y, por I xoyo = por tanto, tant o, II xy = 0+ ptab(ptab (- 2~)(~) 2b2 = 0+ ~pta2b2 I!.)(2~) == _- 44!pta xy

Com o la coo rden ada z de todo s los elem Como la coordenada z de todos elementos cero,, resulta ento s de la placa plac a es es cero resu lta que que = IIyzyz = O.

/' Yo Yo

»> /'

G~

/'

/'

/' /'

"-

"-

Parte triangular. En el esqu ema esta parte, Parte triangular. En el esquema de esta el centro G part e, localizamos loca liza mos el cent ro de de masa masa G y colocamos en éste uno s eje~ xo, Yo y colocamos en éste unos eje~ xo, Y Zo· Com Comoo la co
""-

"-

/'

Ixy Ixy

/, Y

Xo

x

2c/ 3 c/ 3

"-

a

"-

""-

"-

xx

o Hem os preferido preferido integrar Hemos integrar primero primero respecto a z, cuyo lími respecto límite superior te supe rior es es la ra vari able z = cyib. la altu altura variable Si hubiécylb. Si hubiéram os de integrar integrar primero ramos respecto prim ero resp ecto y, los tes de la primera aa y, los lími límites integral prim era inte gral estarían com pren dido s entre estarían comprendidos entr e la la vavariable yy = riable = bzl bzl ce y b.

pt~2 c(- a>(~b) a)(2b) = - ~Ptab2c OO+ + Pt~C(!ptab 2c 3 3

Izx = Izx =

O Pt~ c(- a{~) a)(~) = - ~Ptabc2 O + Pt~c(~Ptabc2

Obt enem os I yz por inte grac ión dire cta, teniendo Obtenemos I por integración directa, teni end o en en cuenta cuen ta que que la la distancia dist anci a aa del del plan o del trián gulo al plan o y-z no plano del triángulo al plano y-z no afec afecta en absoluto aa las coordenadas ta en abso luto las coo rden adas YY yy z. Con z. el elem ento de mas a dm Con el elemento de masa tenemos dm = = pt pt dy dz, dz, tene mos

/ Y "-

I == Ixy xy

0

f lb ffbbfe P-- tctc22jbfby3 dy dy

Y cylb fb [Z2J [Z2 "2 ]eOa lb dy '2 dy

[b = PtJoJ~Y pt a aY lb yz yz dz dz dy dy = ptJoY IIyzyz = pt aY

= =

2b22 o 2b O

1

1 2c2 = -ptb2c2 -ptb 8 8

Sum and o las expr esio nes corr espo ndie ntes a las Sumando las expresiones correspondientes las dos dos porciones porc ione s resulta resu lta

Resp. Resp. -- ~ptabc2 ~ ptabc2 = = -- ~ptabc2 ~ptabc2

Resp. Resp.

2c2 =- + !ptab2c2 + 8!ptab ~ptab2c2 8~ ptab2c2

Resp. Resp.

590 590


2

PROBLEMA B.5 TIPO B.5 PROBLEMA TIPO

z

alude aluchapa de de chapa es de angular es El soporte angular El soporte mepor mekg por 13,45 kg de13,45 es de masa es minio cuya masa minio cuya momentos los momentos Calcular los cuadradoo Calcular tro tro cuadrado. origen al origen respecto al inercia respecto de inercia principales principales de ejes los de s directore cosenos O y los cosenos directores de los ejes los y O la de la espesor de El espesor inercia El de inercia. principales principales de las con las comparado con pequeño comparado es pequeño chapa chapa es medidas otras medidas. otras o

o

son partes son tres partes las tres de las masas de Las masas Las


mI mI

CD G)

kg 0,282 kg = 13,45(0,21)(0,1) == 0,282 = 13,45(0,21)(0,1)

Adviértase orificio del orificio masa del la masa que la Adviértase que se negativo. númsro negativo. como númsro trata como se trata

kg 0,0518 kg m2 - 13,45n(0,035)2 = - 0,0518 m 2 == -13,45n(0,035)2 kg 0,1775 kg = 0,1775 m3 13,45(0,12)(0,11) = m 3 == 13,45(0,12)(0,11)

zz

Parte 1 4 ) kg m2 2 9,42(10- 4) = 9,42(10== ~mb2 kg·m ~(0,282)(0,1)2 = = ~(0,282)(0,1)2 ~mb2 = 4 4 kg m 2 = 50,9(10== §m(a 2 + bb22)) = (0,1)2] = 50,9(10- ) ) kg-m? ~(0,282)[( 0,21)2 + (0,1)2] = ~(0,282)[(0,21)2 ~ m(a2 kg m22 41,5(10-4) 4) kg·m ~(0,282)(0,21 ) 2 == 41,5(10== ~ma2 = ~(0,282)(0,21f ~ ma2 =

® 2

1 1

o

Ixx Ix x

o

Iyy I yy

Y, Y " -,

°

Ixy = O I xy = IIxz xz

°

_x

<,

1

-,

z

4 )kg2 m 2 105)(0,05) = == 0O + m m ~ ~ ~~ = 0,282(0,105)(0,05) = 14,83(10 14,83(10-4-)kg'm = 0,282(0,

2

1

o

1

",I~--O d

= 120

1

/'

1

-"'-

r = 35

------t

l' I '

1

Y

( 0,0:5)2 + (0,050)2 I == ~mr2 !mr2 + md md z 2 == -- 0,0518[ O 0518[(0,035)2 (O 050)2JJ Ixx xx 4 Z ' 4 '

__ x

o

Iyz yz = O

Parte 2

--

""

o

Izz Izz

11

--\<;- k. l' l '

d ",56

Zj __

X

---

3

c",nO

.

= - 1,45(10- 4 ) kg m 2 o

Iyy = ~mr2 ~mr2 ++ m(d/ m(d} ++ d/ d/) ) Iyy

=

[(0,0~5)2 ++ (0,16)2 = - 0,0518 0,0518[(0,0~5)2 (0,16)2 + + (0,050)2 (0,050)2 JJ =

@ Esta Esta fórmula fórmula se deduce deduce sin dificul(3) tad. Consult Consultar la tabla 0.4. 0.4. ar también la tad.

4) 4 ) kg m22 10== -14,86( -14,86(10kg·m o

°

2J (0,035)2 ++ (O !mr22 ++ md md 22 == -- O0518[ 0518[(0,035)2 (O' 16) 16)2J == !mr IIzz 44 '' xx zz ' 44

591 591


Parte3 3 Parte

zz

1

y

-, -,

--k1'l '

-,

== ~ md2 4) kg om 22 )(0,12)2 == 8,52(10jmd2 == ~(0,1775 j(0,1775)(0,12)2 8,52(10-4) kg'm 1yy 4 ) kg om 2 )(0,11)2 == 7,16(10Iyy == ~ mc2 jmc2 == ~(0,1775 ~(0,1775)(0,11)2 7,16(10-4) kg-m-' 1xx Ixx

100 b b",'='lOO

1

-~1

___ x x

22 1zz ) [(0,11)2 ++(0,12)2] Izz == ~ m(c2 ~m(c2 ++dd )) == §(O,1175 ~(0,1175)[(0,11)2 (0,12)2]

om 2 = 15,68(10 15,68(10--44)) kg kg-m?

o~~o

/1"=35

1

<,

z 1

y

1 1

1xy Ixy

1

2-----r 1'd,=,S6 I

'

_-

m~C-~/)

== m~(-2d ) == 0,1175( 0,055)(- 0,06) == -5,86(1 0- 4) 0,1175(0,055)(-0,06) -5,86(10-4)

j _x

I.n =

-

"'-Ol~d=120~ e= 110

(Figurarepetida repetida)) (Figura

°

Totales Totales om 22 == 16,48(10 16,48(10--4)4 ) kg kg'm

1xx Ixx

=

1yy Iyy = 43,23(10 43,23(10-4-) 4) zz

om 2 kg-rn? kg

om 2 kg-rn-' kg

=

om 2 1zz Izz = 43,79(10 43,79(10--4) 4 ) kg kg-rn-'

1Ixy == -- 5,86(10 m 22 5 r 86(10-- 4) 4) kgo kg-rn xy

°

1yz = O Iyz = 1Ixz xz

4 om 2 == 10,69(10 10,69(10--4) ) kg kg-rn?

3 \ \

Llevand o estos valores aa la llando el la ecuació ecuaciónn Bo11, B.ll, desarro desarrollando el determi determinante nante y

Llevando estos valores ® 0) simplif simplificando queda icando queda

B. fe

°

1I33 -103,51 (10- 44)I2 )1 2 + 3179(10 )I - 24 769(10- 12) = O - 103,51(103179(10- - 88)I 24769(10-12) Resolvi endo esta esta ecuación ecuació n de de tercer tercer grado grado se obtienen obtiene n las raíces siguientes, Resolviendo siguien tes, que que son los momentos momen tos principales princip ales de inercia: = 48,4(1048,4(104-) 4) kg-rnkg om 2 I111 =

0)Para G) Para resolver resolver una una ecuación ecuación de de tercer tercer grado a un grado puede puede recurrirse recurrirse a un prograprograma ma de de ordenador, ordenador, oo bien bien pueden pueden emplearse emplearse las las fórmulas fórmulas citadas citadas en en el el punto punto 44 del del apartado apartado C/4 C/4 del del apénapéndice dice C e

=11,82(1011,82(104) 4 ) kg-m-' kg om 2 I122 = 13 == 43,3(1043,3(104)- 4) kg'm kg om22 I3 Los cosenos cosenos directores director es de de cada cada eje eje principal princip al se se obtienen obtiene n aplicando aplican do cada Los cada una una de de estas raíces sucesivamente sucesiv amenteen enlas lasecuaciones ecuacio nesB.12 Bo12yy combinando combin estas raíces éstas con 1212++mm22 ando éstas con 22 1. Los Los resultados ++ nn == 1. resultad os son son 0,363 1111 == 0,363 mI mI nI nI

== 0,409 0,409

0,174 mm2 2 == -- 0,174

0,0183 1313 ==0,0183 = 0,895 mm 3 3 = 0,895

0,837 == - - 0,837

0,312 nn2 2 == - - 0,312

nn3 3 == - -0,445 0,445

0,934 1122 == 0,934

Enlalaúltima últimafigura figuraseseilustra ilustraelelsoporte soportecon consus susejes ejesprincipales princip alesde En deinercia inerciaorienorientados deacuerdo acuerdocon conlos losresultados resultad osde tados de delos loscálculos. cálculos o

592 592


B.' eo


Hallar los productos productos de inercia respecto respecto a los ejes de cocoordenadas ddel formado por ordenadas el conjunto formado por cuatro pequeñas pequeñas partícupartícuunidas por barras barras ligeras, pero rígidas. las, de masa m cada una, unidas 2 I Resp. 4m¡2, O Resp. Ixy = - 2m12, Ixz = - 4m1 , yz = O

8.45 8.45

yy

res. La masa masa del material material de la placa superficie placa por por unidad unidad de superficie es p. p.

25 kg. El bloque bloque rectangular rectangular uniforme uniforme tiene una masa de 25 ejes de coordeproductos de inercia respecto respecto a los ejes Calcular sus productos nadas indicados. nadas indicados.

8.48 8.48

z m

y, y,

I I II I

,, , ,1 ',1

x 200

~

~

-

mm mrn

~

150mm

100 mm 100mm

Figura problema problema 8.45 Figura problema problema 8.48 8.48

Hallar los productos Hallar productos ddee inercia ddee la barra barra esbelta uniforme de masa masa m, respecto a los ejes de coordenadas coordenadas indicados. indicados.

8.46 8.46

8.49 Hallar producto de inercia In; Ixy de la barra barra esbelta de 8.49 Hallar el producto masa m. masam.

z

m

Resp. Ixy Ixy = -~mI2 -~mI2 sen 28 Resp.

h

y

i


Hallar productos de inercia respecto respecto a los ejes de Hallar los productos coordenadas placa cuadrada coordenadas de la placa cuadrada con dos agujeros agujeros circula-

8.47 8.47


yy

Il~b_/4~~b1-->4~: b/4 b/4: ~~ b14. ~I I I

:

-.¡. bl4 y' ~-+-+-+-.¡.

--~---~~~ I I I ~-----' I I

bi S L--_ _

Z

I

:{~-x

h

x

b 4

I

.,

8.50 Hallar productos de inercia del semicilindro macizo 8.50 Hallar los productos homogéneo de masa respecto a los ejes indicados. homogéneo masa m respecto indicados.

+ ~4 Figura problema problema 8.50 8.50


593


Problemas representativos Problem as represe ntativos 8.51 B.51 Hallar Hallarlos losproduct productos deinercia inerciarespecto respectoaalos losejes ejesdados dados os de delalaplaca placarectang rectangular uniforme demasa masam. m. de ular uniform e de Resp. Ixy Ixy == -~mb2 -~mb2 sen sen22e Resp.

e

8.53 cular de B.53 SeSerepite repiteaquíla aquí laplaca placasemicir semicircular demasa masammyyradio radioR,R, inclinad a un a B.44. inclinada unángulo ánguloeecon conelelplano planoX-y X-y del delproblem problema B.44.HaHallar s de o elelmomen to dde e inercia llarpor porlos losmétodo métodos deeste esteapartad apartado momento inercia respect o alaleje respecto ejeZ. Z. Resp. Resp. Iz Izzz == ¡mR2(1 ¡mR2(1 ++cos cos22 e)e)

Ixz == ¡mbh ¡mbh cos cosee Ixz ¡mbh sen sen ee yz == ¡mbh I Iyz

8.54 rar que to de o rígiB.54 Demost Demostrar queelelmomen momento deinercia inerciadel delconjunt conjunto rígido o por s, todas doformad formado portres tresbolas bolasidéntica idénticas, todasellas ellasde demasa masammyyraradio dio rr es es elel mismo mismo para para todos todos los los ejes ejes que que pasan pasan por por O. O. Se Se desprec ia lalamasa desprecia masa de delas lasvarillas varillas que que unen unen las lasbolas. bolas.

zz I

I

bb

!r-

zz 1 1

hh

r

I

I

b

I I

l¿L<

Figura problem problema a 8.51 B.51 Figura

b

"-

~

B.52 Demost Demostrar cálculo que que Ix'y' Ix'y' = =O O para para los los ejes ejes x' x' ee y' y' 8.52 rar sin cálculo el centro del bloque bloque cuadrad cuadradoo de de caras caras paralela paralelas. que pasan por el s.

m xx Figura problem Figura problema a 8.54 B.54

8.55 Hallar Hallar los los productos produ ctos de de inercia Ixy, Ixy, II xz e II yz de la varilla B.55 xz yz delgada de de masa masa m m doblada doblada en la forma que se indica. delgada mb 2 __ mb? Resp. Ixy Ixy -- 4J2' Resp. ¡;:;' IIxz xz

4",2 .

Figura Figura problema problem a

1 mb 2 __ 1 22 __ mb? -- -12mb, _ -12 mb , IIyz yz - -4J2

4)2

\

\

()

e

XX 1

É r

B.52 8.52 "-

xx

E

"-

"-

Figura problema problem a Figura

I

~ \\

'x

8.55 B.55

\~

\

8.56 La Lapieza piezavaciada vaciadade dealuminio alumini oes esun uncubo cubode de150mm 150 mmcon B.56 con un hueco, también tambiéncúbico, cúbico,de de 100 100mm. mm. Calcular Calcula rlos losproductos product os un hueco, deinercia inerciade delalapieza piezarespecto respectoaalos losejes ejesque quese semuestran. muestra n. de

1 1

\

\

1 \ 1 \1

Figura Figuraproblema problem a

B.53 8.53

8.57 La Laplaca placade deacero, acero,con condos dospliegues pliegue saaángulo ángulorecto rectoyyun B.57 un agujero enelelcentro, centro,tiene tieneun unespesor espesorde de 15 15mm. mm. Calcular Calcula rsu agujero en su momen tode deinercia inerciarespecto respectoalaleje ejediagonal diagonalque quepasa pasapor porlos momento los vérticesAAyyB.B. vértices Resp.IAB IAB==2,58 2,58kg kg. .mm2 2 Resp.

594 594


*

*1 ñ, d, re

ru

zz

m

\1 \1 \1

100 100 150 150 100 100 /

XX

/'/ ' /' »<

150 150

150 150 <, '-

'-- y '-y milímetr os en milímetros Cotas en Cotas 8.56 problema 8.56 Figura problema Figura

111

--

- .....

x


barra la barra *8.60 de la princip ales de inercia principales de inercia momen tos de los momentos Hallar los *8.60 Hallar longitu d. doblada de longitud. unidad de por unidad es pp por masa es cuya masa doblada cuya 500 500 zz b 1

A

500

milímetr os Cotas en milímetros 8.57 a 8.57 Figura problem Figura problema

o b xx

radio rr forma El plano del disco fino de masa m y radio forma el el ánánEl del inercia to de inercia del disco plano x-y. x-y. Hallar Hallar el produc producto disco gulo f3 con el plano respecto al al plano x-y. x-y.

8.58 8.58

Figura problem problema 8.60 a 8.60 Figura

Se present presentaa aquí aquí la varilla delgada delgada del problem problemaa B.16 B.16 Se que está concon el eje A-A que pasa por el centro G y G masa de con el eje A-A que pasa to de inercia 11 tenido en en el el plano plano de de la la varilla. Hallar el momen momento tenido y dibujar una de la varilla respecto al eje e de función en A-A eje al respecto de la varilla gráfica del del mismo mismo para valores ddee e compre comprendidos entre e == o ndidos entre gráfica os resultad los y aquél que de tanto 1 como 1max' Comprobar los resultados bar min como I max ' Compro y aquél que de tanto 1min nes ecuacio las gráficos de 1 e 1max con los calculados con ecuaciones con os calculad los gráficos de 1mminin e Imax con A.1l del del volumen volumen 11Estática. Estática. A.11 Resp. 11min = 0,1905mr2r2 con con e== 25,9° 25,9° 0,1905m = Resp. min 2 con = 1,809m 1,809mr 115,9° 115,9° = e con ? = 11max max

*8.61 *8.61 x

/

/

°

1\

1\ // ~f3 "f3 -1 -\

zz


dor as para ** Problem Problemas para ordena ordenador *8.59 Cada Cada una una de de las las esferas esferas de de masa masa m m son son de de radio radio pequepeque*8.59 ra de masa la iar la masa de la ño compar comparado con la la cota cota b.b. Desprec Despreciar la armadu armadura ado con ño

o tos de inar los de varillas varillas yy determ determinar los momen momentos de inercia inercia del del conjunt conjunto de coselos también Hallar as. indicad adas respecto a las coordenadas indicadas. Hallar también los cosecoorden las a respecto tos de nos director directores de los los ejes ejesde de momen momentos de inercia inercia máximo máximo.. es de nos 2 2 1111==0,521 Resp. 11 =7,525mbb, , 0,521 Resp. 1 1=7,525m 2 6,631mb2, , m1 m1 ==-- 0,756 0,756 112 2==6,631mb 2 nI 13 13==1,844mb 1,844mb2,, 111==0,397 0,397

AA/


595 595


*8.62 Hallar el momento de inercia 1respecto al eje OM de la varilla delgada uniforme curvada como se indica y cuy~ masa por unidad de longitud es p. Representar gráficamente 1en función de f} para valores de O a 90° y determinar al valor mínimo de 1y el ángulo a que forma el eje con la dirección de x. (Nota. Puesto que el análisis no implica a la coordenada z, se pueden utilizar en este problema las fórmulas desarrolladas para momentos de inercia de superficies en las ecuaciones A.9, A.lO y A.11 del apéndice A del volumen 1 Estática.)

b

o <,

" x

Figuraproblema 8.63 r

r

I I I I

_--~r

->»

*8.64 La varilla esbelta de masa p por unidad de longitud está conformada como se indica. Hallar los momentos de inercia principales respecto a los ejes que pasan por O y calcular los cosenos directores del eje de momento de inercia mínimo.

M »>

I

o ~------ -----------x

z

(

I

i( :

Figuraproblema 8.62

I~

b

I

La placa delgada, de masa p por unidad de longitud, está conformada como se indica. Hallar sus momentos de inercia principales respecto a los ejes que pasan por o. Resp. 1} = 3,779pb4 12= 0,6l2pb4 13 = 3,608pb4 *8.63

E v

I

//)1//Y

I

e

SI

o

...-

n

o~

fE <,

'x Figuraproblema 8.64

S,

d.

rn UJ

rn

g,

ca el cil

C. lo

pe po

596


Apéndice C: Apéndice escogidos de matemáticas matemáticas Temas escogidos

Cl C1

Triángulos semejantes 2. Triángulos


resumen y formulario abreEste apéndice C contiene un resumen fundamentales de matemáticas matemáticas de aplicaviado de temas fundamentales ción frecuente en Mecánica. Las relaciones se trascriben demostración. Los estudiantes estudiantes de Mecánica tendrán tendrán sin demostración. utilizar muchas muchas de estas relacioocasiones frecuentes de utilizar encontrarán en desventaja desventaja si no las dominan dominan pernes y se encontrarán también otras materias que aquí no fectamente. Existen también se incluyen que son asimismo necesarias de vez en cuando. Cuando el lector repase y aplique sus conocimientos Cuando tener presente matemáticos, debe tenér presente que la Mecánica es aplicada que describe cuerpos materiales materiales y una ciencia aplicada movimientos reales. Por tanto, las interpretaciones interpretaciones movimientos física de la matemática matemática aplicada aplicada en cada geométrica y Hsica toda claridad claridad durante durante caso deben tenerse presentes presentes con toda desarrollo de la teoría y durante durante el planteo el desarrollo planteo y resolución de los problemas. problemas. C2

-1 triángulo 3 Para todo triángulo Área

= = §bh ~bh

GEOMETRíA PLANA PLANA GEOMETRíA

Cuando dos re(tas rectas que se cortan son respectivamente respectivamente 1. Cuando perpendiculares perpendiculares a otras dos rectas, los ángulos formados por cada pareja de rectas son iguales.

b

4. Círculo

597 597


Perímetro Zttr Períme tro = ==2nr 2 Área == n:r 2 Área = nr Longitud dearco arcoss= ==rere Longit ud de Área del sector Área del sector ===~ ~r 2r2ee

3.3. Cono r recto Conocircula circular recto

Todotriángu triángulo inscritoen enun unsemicír semicírculo rectán5.5. Todo lo inscrito culo esesrectángulo. gulo.

Volum en ===~ nr2h Volumen ~n:r2h Área Árealateral lateral= ==nrL nrl. LL=== Jr Jr22 ++hh22

r h

1

6. Ángulo Ángulos de un un triángu triángulo 6. s de lo

r

180 elel ++ ee22 ++ ee33 == 180 ee44 == elel ++ ee22

.1

00

4. de oo cono 4. En En toda toda pirámi pirámide cono

Volum en === ~~Bh Volumen Bh donde donde B B === área área de de la la base base

I

() (). L..-8:..c1_ _ _ _-=-' 8.

C.3 C.3

h h

_1 _1

GEOMETRíA GEOME TRíA DEL DEL ESPACIO ESPACIO

1. Esfera 1. Esfera Volumen Volum en === ~n:r3 ~ nr3 Área Área de de la la superficie superfi cie === 44 ¡¡;y2 m2

C.4 C.4

ÁLGEBRA ÁLGEBRA

1. Ecuación Ecuaci ón de de segundo segund o grado grado 1.

(

ax 2 ++ bx bx ++ ee == OO ax? Jb2 2-- 4ac 4ac 22 -- bb +-+ )b 2a 4ac si si las las raíces raíces son sonreales reales xx == - 2a ,b' b ¿~ 4ac

2. Logaritmos Logari tmos 2.

e

XX

10gbYY bb ===y,y, xx===10gb

Logari tmosnaturales natura les Logaritmos

2. 2. Cuña Cuñaesférica esférica Volumen == Volum en = ~ ~¡-3e ¡-3 e

2,718282 bb===ee===2,718282

=y,y,xx===logeY logeY===In Inyy lag (ab) = lag lagbb lag (ab) == lag aa++lag lag(a/b) (a/b)=== lag lagaa-lag -lagbb lag lag (1/ n) = -lagnn lag (1/ n) == -lag laga"a IL=== nnlag lagaa lag lag11===OO lag 10glOX X===0,4343In 0,4343 Inx x logIO ~ ¿ ==

3 3

~1e

L:2W-L 598 598


se

A

y{

GEOMETRíA ANALíTICA GEOMETRíA ANALíTICA

Determ inantes 3. 3. Determinantes

CS CS

orden 2° orden 2°

1. recta Línea recta 1. Línea yy

"~

,~

11 11- _ _ _ _ _____ - - - _ -

3° orden 3°orden

xx

y=a + mx v=s+=

al bbll al aa22 bb22

CClI CC22

+ al al bb22cc33 + aa22bb33ccl I + aa33bbl l CC22

aa33 bb33 CC33

al bb33cc22 -- a3b2cl a3 b2 cI - aa22bbl l cC33 - al

2. Círculo Círculo yy

yy

1

1

1 11 11 11 11 11 f--

1

11

~ --,

(3--'

grado tercer grado 4. Ecuación Ecuaci ón de tercer

=Ax + B xx33=Ax+B Seap=A/3,q=B/2 Seap =A/3, q = B/ 2 distinta s) Caso negativ o (tres raíces reales y distintas) p3 es negativo 1: q2-- p3 Caso 1:q2 cos uu

= q/( pJP), = q/(pJp),

X2

+

f-

11 11

bl bl

11 1L1 L

___ _

y2 = y2

_

L _ _ __ X X

_

aa 2 (x = ry2 b)2 = (y - b)2 a)2 + (y (x -- a)2

O< uu < 180° O<

(u / 3) Xl 2Jp cos (u/3) Xl = 2JP

3. Parábola Parábo la

2Jp cos (u (u/3 120°) /3 + 120°) x22 = 2JP

X

yy

yy

/3 + 240°) x33 = 2JP 2Jp cos (u (u/3 240°)

\ 1

1\ 1\

\ 1

1\

1\ 1\ 1\ _________

¡---- -1-

aCaso JI: II: q2 - p3 positivoo (una raíz real yy dos imagin imaginap3 es positiv rias)

\ 1 1\ 1\ 1\ 1\ 1\

y= y=

Caso JII: III: q2 - p3 == O O(tres son (tres raíces reales, de las que dos son iguales iguales))

a

,------\ ---- - - 1 ,

aa

1\ b 1\ b 1\

x

---- ---- - x

\

\b \ \ \

---'---x y2

2

X2 bL2 ba

x = a-2 b

4. Elipse

- 2qql/3 X2X3-- _ql ql/3/3 = =- x3 l /3,, x2 = xl X1-

y

el caso caso de una ecuació ecuaciónn genera generall de tercer grado En el ax22 ++ bx ++ Cc == O O x33 ++ ax

3 se obtiene se hace el el cambio cambio x == Xo Xo -- a/3 a / 3 yYse obtiene xo == Axo Axo ++ B. B. se Xo ina determ se y antes como A continuación se procede como se determina Xo e proced A continu ación se despuéss Xx == Xo Xo -- a/3. a/3. yy despué

1 1

0--' X2

y2

-2+ -2 b a

=

1

599 599


5. Hipérbola

e eos e tg e ese e see e eot e

I

11

III

IV

+

+

-

-

+

-

-

+

+

-

+

-

+

+

-

-

+

-

-

+

+

-

+

-

sen

xy=a2

3. Fórmulas varias sen? 8+ cos? 8= 1 C.6

1 + tg2 8 = sec2 8 1 + cot2 8 = csc28

TRIGONOMETRíA

1. Definiciones sen 8 = a/ e csc 8 = e/ a cos 8 = b/ e sec 8 = e/b tg 8 = a/b cot 8 = b/ a

sen ~

=

J~(1 - cos 8)

cos ~

=

J~(l + cos 8)

!

)

sen 28 = 2 sen 8 cos 8 cos 28 = cos? 8 - sen2 8 sen (a :±: b) = sen a cos b :±: cos asen b cos (a :±: b) = cos a cos b ::¡: sen asen b e

t

E

4. Teorema del seno a

a b

e

=

senA sen B

b

[

B

2.

Signos en los cuatro cuadrantes

e

a

e D

A (+) 1

b

II (+)

5. Teorema del coseno

~(+)H~

e2= a2 + b2 - 2ab cos 2 e = a2 + b2 + 2ab cos D

e

C.7

pE ex

ÁLGEBRA VECTORIAL

1. Notación. Las magnitudes vectoriales se imprimen en negrita y las magnitudes escalares en cursiva común. Así, el módulo del vector V se escribe V. En la escritura ordinaria, las magnitudes vectoriales deben representarse por -7 símbolos como ~ o V para distinguirlas de las escalares. 600


do tar cu:

601

2. Adición

C.7 ÁLGEBRA VECTORIAL

Triángulo de vectores P + Q = R Paralelogramo de vectores P + Q

=

R

Conmutatividad P + Q = Q + P Asociatividad P + (Q + R) = (P + Q) + R 3. Resta P- Q

=

P + (- Q)

4. Vectores unitarios i, j, k

v donde

=

Vxi+ Vyj + Vzk

IVI = V =

Jv x 2 + V y 2 + V z 2

5. Cosenos directores. 1,m y n son los cosenos de los ángulos que forma V con los ejes x, y y z. Entonces m

=

V/V

n

=

;t¿JR p

VzIV

V = V(li + mj + nk)

por lo que

¡2 + m2 + n2

y

= 1

6. Producto escalar p. Q

=

PQ cos

e

Este producto puede considerarse como el producto del módulo de P por la componente Q cos e de Q según la dirección de P o como el módulo de Q por la componente P cos e de P según la dirección de Q.

z

v

p.Q=Q.p

Propiedad conmutativa De la definición de producto escalar i·i=j·j=k·k=l i.j =j.i=i.k=k.i=j·k=k.j p.Q

(P)+Pyj+Pzk)·(Qxi+Qyj+Qzk) P xQx + P yQy + P

p.p=p2+p2+p2 x

y

J

iVx

~

.o,

x

z

De la definición de producto escalar se deduce que dos vectores P y Q serán perpendiculares cuando se anule su producto escalar, P . Q = O. El ángulo e que forman dos vectores P 1 Y P2 puede hallarse a partir de la expresión P1 . P2 = P1P2 cos e de su producto escalar y se tiene

donde 1, m y n son los respectivos cosenos directores de los vectores. Se observa también que dos vectores serán perpendiculares cuando sus cosenos directores cumplan la relación 11/2 + m1m2 + n1n2 = O. Propiedad distributiva

-.

=0

P . (Q + R) = P . Q + P . R


y

602 602 TEMASESCOG ESCOGIDOS DE TEMAS IDOS DE MA TEMÁ TlCAS MATEM ÁTICAS

7.7. Produc to vectori al. ElElproduc to vectori al PP XX QQde Producto vectorial. producto vectorial de los los dos dos vectore vectoress PPyy QQes, es,por por definic definición, un vector vector de de módul móduloo ión, un

IPIPxx QIQI == PQ PQ

sen sen e()

cuya ón yy sentido os por cuya direcci dirección sentido quedan quedan definid definidos por la la regla regla de de la la mano mano derech derechaa tal tal como se indica en la figura. Invirti endo el como se indica en la figura. Invirtiendo el orden orden de de los los vectore vectoress yy aplican aplicando la do la regla regla de de la la mano mano derech derechaa resulta resulta PP XX QQ==-Q -Q XX P. P.

0' vi

Propie dad distrib Propiedad distributiva utiva

uu

PP xx (Q (Q ++R) R) == PP xx Q Q ++ PP xx RR

PCOs()

QQcos() cos(}

~

~ ~

~

()

\

,, \

pP

\

De ión de De la la definic definición de produc productoto vectori vectorialal resulta resulta que que para para todo todo sistema sistema de de coorden coordenaadas directo directo das

,\

YJL p

iixj=k xj = k

~p

PPXQ XQ

jjXk=i xk = i kkxj=-i x j= - i ixi= jxj= ixi=jxj=kxk kxk

kk xx ii == jj iixk=-j x k= - j

jjxi=-k x i=-k

O O

Con ades y de la propie dad distrib Con ayuda ayuda de de estas estas identid identidades propiedad distributiva, productoto utiva, el produc vectori vectorialal puede puede escribi escribirse en la la forma forma rse en PxQ P x Q = (P i + Pyj j+Pzk (Pxxi+Py + Pzk) ) xx (Qé+ (Qxi +Q Qyjyj+Qz + Qzk) k)

(P yQz -- P zQy)i + (P zQx - P xQz)j + (PxQ (PyQz PzQy)i (PzQx PxQz)j (PxQy y - PyQx)k PyQx)k \\ \\

\\ \\ \ \ \ \

,

El produc to vectorial vectori al puede puede también tambié n escribi rse en El producto escribirse en forma forma de de determinante determ inante

k j k Px PPy Pz r, Pz y ii

Qxp=-PX Q X P=-p x Q Q

PxQ P x Q=

Qx Qy Qy Qz Qz Qx

8. 8. Otras Otras relaciones relaciones

Producto mixto mixto (P (P XX Q) Q) .. R R= =R R .. (P (P XX Q). Q). El El punto punto yy el el aspa Producto aspa pueden pueden intercaminterca mbiarse mientr as se conser ve el orden de los vectore biarse mientras se conserve el orden de los vectores.s. El El paréntesis parénte sis es es superfluo superfl uo puesto que que PP XX (Q (Q .. R) R) carece carece de de sentido sentido ya ya que que no no es es posible puesto posible multiplicar multip licar vecvectorialm ente un vector P por un escalar Q . R. Así pues, torialmente un vector P por un escalar Q . R. Así pues, la la expresión expres ión puede puede esescribirse cribirse P x Q·R == P·QxR P·Q x R PxQ·R El producto produc to mixto mixto puede puede desarrollarse desarro llarse en en forma El forma de de determinante determ inante

Px Q .R PxQ·R=

=

Px PPyy PzP z Px QQx QQy QQz x

y

z

Rx Ry Ry u, Rz e, Dobleproducto productovectorial vectorial(P (P XX Q) Doble Q) XX RR == -- RR XX (P (P XX Q) Q) (Q XX P) P) == RR XX (Q


d

expres iónPPXX QQXXRR quelalaexpresión parénte sisyayaque delparéntesis u sodel En necesa rioeleluso casoesesnecesario estecaso Eneste vectori almultip licarvectorialquemultiplicar hayque vectore shay quévectores sería especif icarqué noespecificar porno ambigu apor seríaambigua a le equiva al vectori equivale a produc tovectorial dobleproducto queeleldoble mente. demos trarseque Puededemostrarse mente.Puede

y

=

QP PQ- - RR. .QP Q)xxRR =RR. .PQ (PxxQ) (P

al la

a-

QR p.QR RQ-- p. p.RQ R) ==p. PPxx(Q (QxxR)

bien oobien

escalar produc toescalar ejempl o,eseselelproducto porejemplo, expres ión,por El primer aexpresión, delalaprimera términ ode primertérmino Elprimer Q. vector el por licado multip , escalar multiplicado por el vector Q. unescalar, RR·. P, esun quees P,que escalos escadelos lasde quelas reglas que mismareglas lasmisma cumpl enlas 9.9. Las vectorescumplen los vectores de los derivadas de Las derivadas lares lares dP '. '. . zk Pzk l\i + Pyj + di ~~ == Pp. == Pxl+Py)+P

Pu Pú ++Pu d(Pu) == Pu d(Pu)

=i: dt

Q++ PP..QQ p .Q Q) == p. d(P .. Q) d(P dt dt Q ++ PPxx QQ Q) == PP xx Q d(P xx Q) d(P dt dt do

dz dy dz dx dy d-r == dx es d'r x, yy yy zz yy es de x, funció n de una función V una es V Si es 4. vectores. Si de vectores. Integración de 4. Integración espuede esvolum en puede un volumen extend ida aa un de V extendida integra l de la integral un volume n, la de volumen, elemen to de un elemento les integra tres las de al vectori de las tres integrales suma vectorial como suma cribirse cribirse como

CB CS

SERIES SERIES

ación de la (La expres expresión entre corche corchetes continuación la serie serie indica indica el el domin dominioio de de tes a continu ión entre (La ) gencia. conver convergencia.)

-- 2) n(n )" -_ 11+ + n(n -- 1) 1) 22 + + n(n n(n - l)(n l)(n 2)x 33 + ... ++ )" 3! (1 -- nx nx ++ 2! 2! x -3! x + ... -(1 -_ XX xx33 xx55 xx77 sen sen xx == xx -- 3! 3! ++ S! 5! -- 7! 7! ++ ... .,. cos cos

[x2
x2 x2 xx44 xx66

XX

== 11- 2! 2! ++ 4! 4! -- 6! 6! ++ ... .,.

xx33 xx55 xx77 eX eX__ eeXX + x = senh senh xx == --2--2= x + 3! 3! ++ S! 5! ++ 7! 7! ++ ... .,.

~ ~ nnx " b sen -zo " nnx ao n nx + k.,¡ nitx a2" -zcos a k.,¡ x) = + a cos + bl1 sen- ¡ + = f(x) l1 f( 2 ¡

L

L

11

,,=1 11=1

11

n=l n=l

nnx 1f1J f(x) f(x) cos cos -z-¡- dx, dx,

donde donde aa" = T1 ll =

11

1 - -1

n tix

nnx 1fl 1J f(x)f(x) sensen -znnx -¡- dx dx

1 bb; n == T

1

-1 -1

[Desarrollo de Fourie Fourierr para para -Z -¡<

603 603

SERIES C8 SERIES ,C8

604 TEM AS ESC TEMAS ESCOGIDOS OGIDOS DE MAT MATEMÁTICAS EMÁTICAS

C.9

DERIVADAS DER IVADAS

dxn _dx" -dx = = nx nxn=) n- l dx

= dX dx =

'

I

lim lim sen ~x tu = sen sen dx dx = tg dx dx = = dx dx óx ....• o sen ~x~ o

du du dv vv--u- - u -dv dx dx dx dx v2

lim cos Lix = = cos eos dx dx = = 11 o eos L\.x

óx ....• ~x~ o

d sen x

sen x d X --crx-

deo d eoss xX dX dX

= cos eos xx,,

d sen senhh Xx d h dx = cos dx eosh X, x,

d d tg Xx - = sec -- dx sec-2 Xx dx

= = -se -senx,nx,

dd cos eoshh Xx nh nh dx = dx = se x, x,

d tgh tgh Xx = sech 2 d = sech-' Xx dx dx

C.1 C.100 INTE INTEGRALES GRALES

J

x" dx xn

f

J~

= = xX"+ n+l1 nn+l +1

fd ;==ln x lnx

J J

f Ja J a + bx bx dx = = 32bJ(a bx)33 32b J (a + bx) 2a)J(a + bx)3 bx)3 1~b2(3bX -- 2a) J (a +

f xJa xJa + bx bx dx = = ~2(3bx

J ff

15b

f xx22Ja Ja + + bx bx dx dx

= 10~b3(8a2 -12 2)J(a(a + = 10~b3(8a2 -12abx + lSb 15b22xx2)J bx)33 abx + + bx)

dx = 2 2Ja+bX J(,l+bX JJaa + bx bx b

l

J J J

J;,;....; dx Ja + xJb - x + (a + b)a rcse n Ja+x+ J~ dx = = --Ja+xJb-x+(a+b)aresen x f ~ b-x ~b-x aa++bb Xx dx 1 a +bx == b2[a+bx-aln(a+bx)] [a+ bx- aln (a+ bx) ] a+bx f

xx dx dx = (a + bX) = bX)l-n(a bx __ a_) ) l - n(a + bx _ _ a_ + bx)n f (a (a+bx)n b22 2-n 2 - n 1l-n- 11

J J J

dx 1 xM t xJ(ib -dx b - = J(ib G1 arct a+ +bxx22 = areg g--b-bf a ~ ab

o bien o bien

11 x J- ab xJar ctg --aretg_ -JJ- ab aa

- .l 1 ln(a + bX2) 2 xxdx dx -2 -= 2b + bx? 2b ln(a + bx ) bx f aa+

2 f Jx Jx22 ±a HxJ2x2 ±a2 ± a2 dx dx = = HxJx ± a2 ±a2 ± a2 1n(x ln(x + Jx2 a2)] Jx2 ± ±a2 )]

J

~(x~

f Ja J a22-x-2 X2 dx dx "" :o:: ~(x~+a2aresen;) + a 2 ,arc sen ; ) 2

~ J(a2-x2)3

2-x2 -x 2 dx = fx Ja fxJa =- ~J(a2-x2)3


J x'JaL J

ares en ~) ~(xJa2 -- X'X2 ++ a'a2 arcsen~; X2)3 ++ ~(xJa' ¡Je a2 -- x')3 dx == -- ¡Jea' X2 dx f x 2Ja 2 - x'

2)3 ~a2) Jea2 2-x g(x2 + ~a2)J(a Ja2 2-x - x22 dx - X2)3 dx = - ~(X2+ fxx33Ja

r:)

b XJC ++ br:) cx22+ xJC bx + ex dx = Ir: In (Ja (Ja + bx = ~ dx 2,.,¡c 2 Ja + bx + ex2 ,,¡e 2,,¡e JC f Ja+ bx + cx 2cx ) -1 -1 aresen ares en ( bb + 2ex ) oo bien = bie n 2 2 -4a c H Jb Jb -4ae H

J

Jx 2±± aa22)) == In (x + JX2

J J --=~ == = J J J dx dx

22

f Jx Jx ±± a dx dx 2 f ,,¡a2-x Ja2 -x2 22

xx aa

en aresen = ares

x dx = Jx2-a2 JX2 - a2 xdx =+~ r=r:: _,,¡a~:!:x· ,,¡a2 ±x2 xJx2 ± a2 dx

J x2JX2 a2 ±

~J(X2 ± a2)3

=

dx =

¡Jex' ± a')3, a;xJx'

± aL

a; In en Jx' ± a2)

J

= -- eos xx f sen xx dx =

J fJ

sen xx = sen dx = eoss x dx feo II+senx n1 +se nx d _!1 sen xx see xx dxx -= 2-2In 1 _-sen see

J J fJ J f

f

sen 2x 2x x sen

sen?2 x dx sen

-4 = = 22: - -4-

cos?2 x dx eos

= 2 -+-+ -4= 2 4

x

sen x eos x dx sen

sen sen 2x 2x

sen? x sen2

2= = -2-

senhh x dx == eos eoshh xx f sen

J

eoshh x dx == sen senhh xx f eos

J

tgh x dx = In eos eoshh xx f tgh

fJ

x-x ln x dx = = xIn xInx-x Inx


605 605 C.l0 INTEGRALES C.10 INTEGRALES

606 606 TEMAS ESCOGIDOS DE TEMAS ESCOG IDOS DE MA TEMÁT/CAS MATEM ÁTICAS

f Sf Sf Sf

e= dx =

a

e=

eax eax ax dx xe xe= dx == --(ax (ax - - 1)1) aa22

ax dd -- eax(a eOx(a sen sen px px -- pp cos cos px) px) eaxe sen sen px px xx -22 22 aa +p .. +p

ax eax(a cos:...I;::...x_+_ px + pe~s~e::...n~PLx sen px) a_X~(a~co::...s: eeax cos cos px px dx dx == e-_ _----'--_--'_--',--_-'--"- ~) a2 ++p2 p?

Sfee

ax OX

a2

~:2(aa sen sen?2 xx -- sen sen 2x 2x ++~) ~:2( ~)

2 sen sen? xx dx dx == 44

Sfe

ax cos eax cos-2 xx dx dx

eax e= == 4+a -2((aa cos --2 cos-2 xx ++ sen sen 2x 2x ++ 2) _ 4+a

aa

eax e= (a2:.2 sen sen xx cos cos xx dx dx = 44 + + aa (a sen 2x 2x -- cos cos 2x 2x )) f eeax sen S cos xx cos sen-3 x dx = - -3-(2 -3-(2 + + sen sen?2 x) f sen S ax

=

2

= -

f cos3 X dx S cos> X dx

sen x sen -3-(2 -3-(2 + cos cos-2 x)

!sensS xx S f coscosfs x dx == sensen xx - ~sen3 xx + !sen fSxx sen sen xx dx dx = sen sen xx - xx cos cos xx ~sen3

3

fS fS fS

5

cos xx dx xx cos dx == cos cos xx ++ xx sen sen xx 2

sen xx dx dx xx2 sen

2x sen sen xx -- (x == 2x (x2 2 --

2)cos 2)cos xx

d

2 COS xx dx dx = = 2x 2x cos xX2 cos cos xx ++ (x (x2 2 -- 2)sen 2)sen xx

P xy == Pxy

Lé Radio Radiode decurvatura curvat ura

te to

==

P rO PrO


1.

C.ll C.ll

RESOLUCiÓN DE DE ECUACIONES ECUACIONES POR POR EL EL MÉTODO MÉTODO NUMÉRICO RESOLUCiÓN NUMÉRICO DE DE NEWTON

Muchas veces, al aplicar las leyes fundamentales fundamentales de la Mecánica se llega a una una ecuación algebraica o transcendente transcendente no soluble (o no fácilmente soluble) en forma exacta. En estos casos, algún Newton por por algún método método iterativo, iterativo, como el de Newton ejemplo, puede obtener con buena buena aproxipuede ser una potente potente herramienta herramienta para para obtener mación la raíz o raíces de la ecuación. f(x) == O. En la parte parte (a) La ecuación a resolver la ponemos ponemos en la forma f(x) (a) de la acompaña se representa representa una una función cualquiera figura que se acompaña cualquiera f(x) f(x) en las proxiproximidades midades de la raíz buscada buscada x,. Xy• Obsérvese Obsérvese que Xx,r es simplemente simplemente el valor de x dispone (quizá mediante mediante al que la función cruza cruza el eje x. Supongamos Supongamos que se dispone primer valor aproximado aproximado Xl xl una representación representación gráfica hecha a mano) de un un primer de esa raíz. Con tal que Xl un mínimo mínimo de la funXl no esté cerca de un máximo máximo o un ción f(x), f(x), podemos prolongando la tangente tangente af(x) f(x) podemos aproximarnos aproximamos más a la raíz xx,r prolongando en Xl X2' Observando Xl hasta hasta que corte al eje eje en X2. Observando la figura se ve que

607 607 C.11 RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ECUACIONES POR EL EL MÉTODO MÉTODO NUMÉRICO NUMÉRICO DE NEWTON NEWTON

f{X) fiX)

: Tangente Tangente a I f{x) fix) en : xx = = Xl I

'-=t"""""_ L -_ -"-_ 2I 1---_ __ '-=-'O-",'--L-_--"__ _..L X2

XX

Xl

(a)

f{X) fi X)

donde j'(X1) es la derivada f(x) respecto a XX particularizada Xl' Despedonde f'(Xl) derivada de f(x) particularizada en XX == Xl. jando X2 resulta jando resulta \ \

\ \

'. xr, ~--'~_---L-~-'
El término f(X I) / f'(XI) j'(XI) es una corrección al primer aproximado Xl. Xl' Una término - f(XI) primer valor aproximado vez calculado X2' el proceso puede para obtener obtener x3' x3' Yasí Y así sucalculado el valor X2' puede repetirse repetirse para cesivamente. cesivamente. Por tanto, la expresión expresión anterior anterior puede puede generalizarse generalizarse así

X

X2

(b)

f{X) fiX)

donde donde Xk + 11 == (k + l)-ésima Xr Xk l)-ésima aproximación aproximación a la raíz buscada buscada z,

~-~-~~-~~---X ~~~-~~-~~---X Xl

Xk == k-ésima aproximación aproximación a la raíz buscada buscada

f(Xk) f(Xk)

= función J(x) J(x) particularizada particularizada en XX = xk xk

f'(Xk) derivada de la función particularizada particularizada en XX = xk j'(Xk) = derivada Xk

La fórmula se aplica repetidamente f(Xk + 1) se acerque acerque suficientemenrepetidamente hasta hasta que f(Xk suficientemenxk + ll ~ ~ xk' xk. El lector deberá deberá comprobar comprobar que la fórmula es válida válida para para te a cero Y xk todas f(Xk) Y y f'(Xk). j'(Xk)' todas las posibles combinaciones combinaciones de signos de xk' xk' f(Xk) Proceden Proceden algunas algunas advertencias: advertencias: 1. j'(Xk) no debe ser cero ni próxima 1. Es evidente evidente que f'(Xk) próxima a cero. Ello supondría, supondría, como se condicionó antes, que xk aproximadamente a xk corresponde corresponde exacta o aproximadamente un mínimo o a un máximo de f(x). f(x). Si la pendiente j'(Xk) es nula, su prolonprolonpendiente f'(Xk) gación no cortará j'(Xk) es pequeña, pequeña, la correccortará nunca nunca al eje x. x. Si la pendiente pendiente f'(Xk) una aproximación aproximación a la raíz ción a xk podría podría ser tan grande grande que xk xk + 11 fuese una


(e) (e)

608 TEMAS ESCOGIDOS MA TEMÁ T1CAS

peor que xk· Por esta razón, la experiencia aconseja limitar el valor del término correctivo; o sea, que si el valor absoluto de f(Xk) / j'(Xk) es mayor que un valor máximo prefijado, se emplea ese valor máximo.

DE

2. Si la ecuación f(x) = Oposee varias raíces, debemos estar en las proximidades de la raíz buscada Xr para que el algoritmo converja realmente hacia esa raíz. En la parte (b) de la figura se representa una situación en la que la aproximación inicial xl produce la convergencia hacia x y no hacia x ,. r2

r

3. Puede tener lugar una oscilación de un lado a otro de la raíz si, por ejemplo, la función es antisimétrica respecto a una raíz que sea un punto de inflexión. Para evitar este efecto, que se representa en la parte (e) de la figura, suele bastar con emplear la mitad del término correctivo. Ejemplo. Comenzando con un valor aproximado única de la ecuación eX -10 cos x-lOa = O.

inicial

Xl =

5, aproximar la raíz

En la tabla siguiente se resume la aplicación del método de Newton a la ecuación dada. El proceso iterativo se dio por terminado cuando el valor absoluto de la corrección -f(Xk) / j'(Xk) se hizo inferior a 10-6.

k

xk

1 2 3 4 5

c.rz

f(xk)

5,000000 4,671695 4,596498 4,593215 4,593209

ALGUNOS

!'(Xk)

45,576537 7,285610 0,292886 0,000527 -2(10-8)

MÉTODOS

xk + l

138,823916 96,887065 89.,203650 88,882536 88,881956

DE INTEGRACiÓN

-

f(xk) xk = -j'(x ) k

-0,328305 -0,075197 -0,003283 -0,000006 2,25(10-10)

NUMÉRICA

1. Determinación de una área. Consideremos el problema de determinar el área de la superficie sombreada, que se indica en la parte (a) de la figura, limitada por la curva y = f(x) y las abscisas x = a y x = b, y que no sea factible la integración analítica. La función debe conocerse, bien en forma tabular por

y y

= f(x)

---1

YII

Yll-

A¡

I

Y¡ +1

Y¡ Yo Xo

YI XI

Y2 X2

L'.x

Y3 X3

X¡

=a (al

X¡

+I

Xll_1

x X'I

=b


f

Ai = Yrn!:lx

A¡

Y¡

Rectángulo

s;

'---:----' J Y¡+I

A =

L'.x (bl

Y dx=¿ym!:lx

mediciones mediciones empíricas, bien bien en forma analítica; además, se supone supone que es continua en el intervalo tinua intervalo a <
Se supone supone que las franjas son de supersuperSe ficie trapezoidal, trapezoidal, tal como se muestra muestra mediante mediante la franja representativa. representativa. El área ficie A¡ altura media media (Y¡ (Y¡ + Y¡ Y¡+ 1) 1)// 2 multiplicada multiplicada por f1x. fix. Sumando Sumando A ¡ de ésta es igual a la altura las áreas de todas las franjas se obtiene el valor aproximado aproximado del área tal como Para nuestro nuestro caso, si la curvatura curvatura es como se representa, representa, la figura en la tabla. Para aproximación resultará resultará por defecto. Si Si la curvatura curvatura fuese la contraria, la aproximación aproximación resultaría resultaría por aproximación por exceso. III. Aproximación superficie comprendicomprendiAproximación parabólica parabólica [figura (d)] En este caso, la superficie entre la cuerda cuerda y la curva curva (que se desprecia desprecia en la aproximación aproximación trapezoidal) trapezoidal) da entre

Trapezoidal Trapezoidal

el

Y¡+Y¡+l A - Y¡+Y¡+lÓ óxx 2

A¡¡ -=

A¡ Yi (e) (e)

Yi + 11 Lll Lll

Parabólica Parabólica 1 1 3(y¡+4Y¡+1 +Y¡+2)ÓX óóAA = 3(y¡+4Y¡+1 +Y¡ +2)ÓX Yi+2 Yi +2 .r

v, Yi

Yi+l Yi +l

A A

2Y4+ 2Y4 = fyfy dx=~( dx=~(yo+4Yl +2Y2+4Y3+ = yo+4Yl +2Y2 +4Y3 +2Yn_2+4Yn_l +Yn)Óx + ... + 2Yn _2 +4Yl1_ 1 + Yl1 )ÓX

(d) ) (d


609

cn C12

ALGUNOS MÉTODOS ALGUNOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTEGRACiÓN NUMÉRICA

610 610 ESCOGIDOS DE TEMAS ESCOGIDOS MATEMÁTICAS MA TEMÁTICAS

puede tenerse en en cuenta cuenta aproximando aproximando la curva curva mediante mediante una una parábola definipuede tenerse parábola definida por tres valores valores sucesivos sucesivos de de y. El área área de de esa esa superficie superficie puede calcularse a da por tres puede calcularse partir de la geometría geometría de de la parábola sumarse al área área del del trapezoide trapezoide formado formado partir de parábola y sumarse por la pareja de franjas, franjas, obteniéndose obteniéndose así así el área área ¿lA M de de la pareja tal como como se expor pareja de pareja tal pone en la figura. figura. Al sumar sumar todas todas las las áreas áreas ¿lA M resulta resulta la tabla tabla que que se muestra, muestra, pone en conocida como como regla regla de de Simpson. Simpson. Para Para aplicar aplicar la regla regla de de Simpson, Simpson, el número número conocida de franjas ha de de ser ser par. n de franjas ha par. Ejemplo: Determinar el área área de de la superficie superficie limitada limitada por curva yy = xx J1 Ejemplo: Determinar por la curva JI + xX22 entre x = O OY Y x = 2. (Como (Como ejemplo ejemplo se toma toma una una función función integrable integrable para que entre para que puedan compararse los tres tres valores valores aproximados aproximados con con el valor valor exacto, exacto, que que es puedan compararse 2)3121o = o xJ1 + xx22 dx dx = == j(l == j(sJ5 -1) = == 3,393447.) 3,393447.) f:xJ1 j(1 + xx2)3121~ ~(5J5 -1)

f

2

A A =

2

NÚMERO DE NÚMERO DE SUBINTERVALOS

APROXIMACIÓN APROXIMACIÓN POR POR RECTÁNGULOS RECTÁNGULOS

TRAPEZOIDAL TRAPEZOIDAL

PARABÓLICA PARABÓLICA

3,361 704 3,388399 3,388399 3,393245 3,393245 3,393396 3,393396 3,393446 3,393446 3,393447 3,393447

3,456731 3,456731 3,403536 3,403536 3,393850 3,393850 3,393547 3,393547 3,393448 3,393448 3,393447 3,393447

3,392214 3,392214 3,393420 3,393420 3,393447 3,393447 3,393447 3,393447 3,393447 3,393447 3,393447 3,393447

4 10 50 100

1000 2500 2500

Obsérvese que que el error error del del peor valor aproximado aproximado es inferior inferior al2 a12 por ciento inObsérvese peor valor por ciento cluso con con sólo sólo cuatro cuatro franjas. franjas. cluso

ecuaciones diferenciales diferenciales ordinarias ordinarias de primer orden. 2. Integración Integración de ecuaciones primer orden. Es frecuente que que la aplicación aplicación de de las leyes leyes fundamentales fundamentales de de la Mecánica Mecánica dé dé por frecuente por resultado relaciones relaciones diferenciales. diferenciales. Consideremos Consideremos una una de de primer orden tal tal resultado primer orden como ~ donde la funciónf(t) funciónf(t) no no sea sea inmediatamente inmediatamente integrable integrable o se como ~ == f(t), f(t), donde conozca sólo sólo en en forma forma tabular. tabular. Podemos Podemos proceder su integración integración numérica numérica conozca proceder a su recurriendo a una una técnica técnica sencilla sencilla por de pendientes, conocida recurriendo por proyección proyección de pendientes, conocida como método método de de integración integración de de Euler, Euler, que que se ilustra ilustra en en la figura. figura. como

Pendiente Pendiente

dy dy

-¡¡-;¡¡-

= f{t) = J(t)

/ /

y(t) ----..... ------..... y(t) y(t) y(t)

I/~

Pendiente == f{t Pendiente J(t33) ) Pendiente == f{t Pendiente J(t22) )

Pendiente = = NI) f{t1) Pendiente

---

I I I I

:Y3 :Y3 I I I

IYl IYI I I


I I I I I I

I I I I I I I I I I I I I I I I

Error algorítmico acumulado acumulado Y4 Y4

---+-+-

etc.

r

e a

E h

611

A partir de tlt donde conocemos el valor Ylt proyectamos la pendiente sobre un intervalo horizontal o incremento (t2 - tI) Yvemos que, Y2 = YI + j(tl)(t2 - tI)· Este proceso podemos repetirlo en Y2 y luego sucesivamente hasta llegar al valor deseado de t. La expresión general será, pues, Yk+l

=

Yk+ j(tk)(tk+1-tk)

Si Yen función de t fuese lineal, es decir, si j(t) fuese constante, el método daría un resultado exacto y no habría necesidad de la aproximación numérica en tal caso. Pero la variación de la pendiente dentro de cada intervalo introduce un error. Para el caso representado, el valor estimado Y2 es evidentemente inferior al valor de la función y(t) para t = t2. Hay técnicas de integración más precisas (como el método de Runge-Kutta) que tienen en cuenta la variación de la pendiente en los subintervalos y, por ello, dan unos resultados mejores. Al tratar con funciones analíticas, al igual que al determinar áreas, la experiencia es muy valiosa para elegir la longitud de los intervalos o incrementos. Como regla muy general, se recomienda empezar con un intervalo relativamente grande y, luego, reducirlo paulatinamente hasta que la variación en el valor resultante de la integral sea muy inferior a la precisión deseada. Ahora bien, un intervalo demasiado pequeño puede producir un aumento en el error a causa de que el número de operaciones realizadas por el ordenador resulte muy elevado. Este tipo de error se conoce generalmente como "error de redondeo", mientras que el error debido a un intervalo grande se conoce como error algorítmico. Ejemplo: Para la ecuación diferencial ~

= St, con la condición inicial y(O)

=

2,

hallar y(4). Aplicando el método de Euler se obtienen los resultados siguientes: NúMERO DE SUBINTERVALOS

LONGITUD DEL INTERVALO

10 100 500 1000

0,4 0,04 0,008 0,004

y en

t =4

38 41,6 41,92 41,96

ERROR PORCENTUAL 9,5 0,95 0,19 0,10

Este es un caso sencillo que es posible integrar analíticamente y cuyo resultado exacto es y = 42.


C.12

ALGUNOS MÉTODOS DE INTEGRACiÓN NUMÉRICA

-----~

--


-

---

t

Apéndice Apéndice D: Tablas útiles

, "

TABLA D.1 PROPIEDADES FISICAS D.1 PROPIEDADES F1SICAS

Densidad (kg / m3)3) Densidad (kg/m

Aceite Aceite (med.) (med.) Acero Acero Agua (dulce) Agua (dulce) (salada) (salada) Aire* Aire" Aluminio Aluminio Cobre Cobre Hielo Hielo Hierro Hierro (colado) (colado) Hormigón Hormigón (med.) (med.) **A 20 oC y presión 20°C presión atmosférica atmosférica

900 7830 1000 1030 1030 1,2062 1,2062 2690 2690 8910 900 7210 7210 2400 2400

Madera Madera (blanda, (blanda, pino) pino) (dura, (dura, roble) roble) Mercurio Mercurio Oro Oro Plomo Plomo Tierra (húm. Tierra (húm. med.) med.) (seca. med.) med.) Titanio Titanio Vidrio Vidrio

480 800 13570 19300 11370 1760 1760 1280 1280 3080 3080 2590 2590

Valores típicos típicos del coeficiente coeficiente de rozamiento rozamienio' 1 Valores

Superficies Superficies en en contacto contacto Acero sobre sobre acero acero (seco) Acero Acero Acero sobre sobre acero acero (engrasado) (engrasado) Acero blanco (seco) Acero sobre sobre metal metal blanco Acero etal blanco Acero sobre sobre m metal blanco (engrasado) (engrasado) Cable Cable sobre sobre polea polea de hierro hierro (seco) Cuerda Cuerda de cáñamo cáñamo sobre sobre metal metal Forro sobre fundición Forro de frenos frenos sobre fundición Latón Latón sobre sobre acero acero (seco) Metal hielo Metal sobre sobre hielo Neumáticos de caucho Neumáticos caucho sobre sobre pavimento pavimento (seco) Teflón sobre sobre acero acero

Estático, u; Estático, J.le 0,6 0,1 0,1 0,4 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,9 0,04

Cinético u; Cinético J.lc 0,4 0,05 0,3 0,07 0,07 0,15 0,15 0,2 0,3 0,4 0,4 0,02 0,02 0,8 0,04

1 (Los (Los coeficientes de la tabla representan representan valores valores típicos sólo en condiciones condiciones ordinarias ordinarias de trabajo. Los verdaverdanaturaleza exacta de las superficies deros deros coeficientes correspondientes correspondientes a una situación situación dada dada dependerán dependerán de la naturaleza superficies en contacto. Puede Puede esperarse esperarse una variación del 25% o más respecto respecto a estos valores valores en las aplicaciones aplicaciones prácticas, prácticas, segün condiciones de limpieza, presión, lubricación según sean las condiciones limpieza, pulido pulido de la superficie, presión, lubricación y velocidad.) velocidad.)

613


TABLA D.2 CONSTANTES DEl SISTEMA SOLAR

CUERPO Sol Luna Mercurio Venus Tierra Marte

DISTANCIA MEDIA AL SOL, km

EXENTRICIDAD DE LA ÓRBITA, e

-

-

384398 t 5,73 X 106 108 X 106 149,6 X 106 227,9 X 106

DIÁMETRO MEDIO, km

PERIODO DE LA ÓRBITA días solares

0,055 0,206 0,0068 0,0167 0,093

MASA RELATIVA A LA TIERRA

1392000 3476 5000 12400 12742 tt 6788

-

27,32 87,97 224,70 365,26 686,98

333000 0,0123 0,054 0,815 1,000 0,107

GRAVEDAD EN LA SUPERFICIE m/s2 274 1,62 3,47 8,44 9,821 ttt 3,73

VELOCIDAD DE ESCAPE km/s 616 2,37 4,17 10,24 11,18 ttt 5,03

6,673(10-11) m3/ (kg-s'') m¡ = 5,976 (1024) kg = 23 h 56 min 4 s = 23,9344 h (O = 0,7292(10-4) rad/ s (o' = 0,1991(10-6) rad/ s = 107200 km/h

Constante de la Gravitación Universal Masa de la Tierra Periodo de rotación de la Tierra (1 día sidéreo)

G

Velocidad angular de la Tierra Velocidad angular del radio vector Tierra-Sol Velocidad media del centro de la Tierra respecto al Sol

=

t Distancia media a la Tierra (entre centros) tt Diámetro de la esfera de igual volumen, basado en una Tierra esferoidal con un diámetro polar de 12714 km Yun diámetro ecuatorial de 12756 km ttt Para una Tierra esférica sin rotación, equivalente al valor absoluto al nivel del mar y una latitud de 37,5°

TABLA D.3 PROPIEDADES DE lAS FIGURAS PLANAS FIGURA

Arco de circunferencia

CENTROIDE

4:: 'j C

r

r sen ex ex

= ---

MOMENTOS DE INERCIA

-

Cuadrante y semicircunferencia

De : c~

-r

-----C

y

2r

=-

tt

~_____ t _____ ~~ ___


-

MOMENTOS DE INERCIA

CENTROIDE

FIGURA

Círculo

"

nr4

y

r, = Iy = 4

I

@ I

r

1z

cV---- - x

Semicírculo

nr4

r, = Iy = -"8 4r

y

Ix

y =-3n

I I

l

r

8)

= (n"8 -

4

9n r

nr4

r, =-"8

IC

~

nr4

=- 4

y

--x

nr4

Cuadrante circular

y

X

I I

'Bt

4r

= Y =-3n

i,

= Iy = 16

Ix

= -Iy = (n16 -

4) 4 9n r

nr4

r, =-"8 --x

Sector circular

~Aié\

Ix

4 = r-¡(a-2: 1 sen

Ix

4 = r-¡(a+

1

=

z

2a)

1

2: sen 2a)

4a !r 2

~-'

Superficie rectangular

3

i;

=

12

í,

= ~~(b2 + h2)

1t--+--+" .

I-b-----l

bh3

-

Yo

~

bh3 =

i,

_-x

615


TABLA D.3 PROPIEDADES DE TAF lGURAS PLANAS (continuación)

FIGURA FIG URA

CEN CENTROIDE TRO IDE

MO ME NTO S DE MOMENTOS DE INE INERCIA RCI A

Supe Superficie triangular rfici e trian gula r

;~r'

ee ' ~ 1 r -1.l, x

II

hh

: I

Yy

I-b----/ Ib -!

bh 3

_ a ++ b xx- = -= -33 _hh YY = -3 = 3

x

Ix = U -

Ix =

bh 3

36

bh 3 Iz = 4

Supe rfici e de Superficie de cuad cuadrante elíptico rant e elípt ico

y

bro_> II I

b~_,

xx-

=4a 3n3n

-

4b

=

4a

Y == 3n 3n-

a

Supe Superficie subparabólica rfici e subp arab ólica yy II II II

Ix t, ==

ix

= 3a ="4 4 3b -_ 3b Y Y = 10

ab: Área A = ab: 3 II I I

Iy Iy

ab33

21 a 3bb

=--: = 55

2 b2)

I = ab (a-+_ z 5 21

a

Supe rfici e parabólica Superficie para bólic a yy I

y = kx 2 = b 2 a

x2

2ab33

3a 3a 8" x = 8

2ab I1 = =_ xx 7-

3b -_ 3b YY = 5"

Iy Iy

15 == 15

I

= 2ab (a_ +_ 15 7

I

Área AA

==

2ab 2ab

3

z

616 616


2a33bb 2a

2 b2)

CENTRO DE MASA

CUERPO

MOMENTOS DE INERCIA DE MASA

Cáscara cilíndrica de revolución ~mr2 + -b.m12

Ixx

!mr2 + !m12

Ix¡x¡ r

2

3

IZZ

mr?

Ixx

Iyy

X Xl

!mr2 + l...m12

Cáscara semicilíndrica de revolución

2

Iy¡y¡

Ix¡x¡

1

-

-~

1

2r

X

~-

2 + !m12 !mr 2 3

n

. .-_.---cr; ,

"

z.--

Ir. .

X

Yl

12

mi?

Izz

(1- :2)mr2

Izz

Y

Xl

Cilindro de revolución Ixx Ix¡x¡

xi

!mr2 + l...m12 4

12

2 + !m12 !mr 4 3

Izz

!mr2

Ixx

Iyy

2

X

!mr2 + l...m12

Semicilindro

4

Ix¡x¡

X

3n


Iy¡y¡

2 + !m12 !mr 4 3

4r

z

12

Izz

~mr2

Izz ==

(!_~ )mr2 2 9n2

CUERPO CUE RPO

CEN TRO S DE CENTROS DE MA MASA SA

MO ME NTO S DE RCI A DE MOMENTOS DE INE INERCIA DE MA MASA SA

Paralelepípedo rectangular Para lelep íped o recta ngul ar

Ixx a22 ++ bb22)) Ixx = i2m( rzm(a Iyy b2 ++ 12) Iyy = i2m( rzm(b2 [2)

i2m( a22 ++ bb22)) rzm(a

IIzz zz

mb2 ++ §m IIY1Y1 l..mb2 !m[22 == -A y,y, 12 3 1

1Y2Y2 = jm(b 2 + 12)

Cáscara esférica Cásc ara esfér ica

---'

Izz -- 3~mr2

zz

Cáscara hemisférica Cásc ara hem isférica

r

2

I xx Ixx Iyy Íyy

xx

Iyy = = Izz I zz = = ~mr2 ~mr2 == Iyy = ÍIzzzz = {!¿mr2 izmr 2

Esfera Esfera

z--

0:\-

Z-'~

Semiesfera Sem iesfe ra

x

3r 3r 88

II XX

I xx Ixx

Iyy == Izz Izz == ~mr2 ~mr2 == Iyy

Iy y Íyy

:io mr2 == ÍzzI zz == 3~Omr2

Varilla Varilla delgada delg ada uniforme unif orm e

-f

-f"2

1

Iyy == Iyy \

\

~

I1y,y, y,y,

, G', , 'Y1y¡ Yy

,

618 618


i2m12 rzm[2

2 !m ==3!m[2 3 1

CENTROS DE MASA

CUERPO


Varilla cuarto circular x I

x

y

Ixx

Iyy

2r n:

Izz

mr2

=

-/zmr2

y

1

= ~ma2 4 = 4!mb2

Ixx

Cilindro elíptico ~ 2

Iyy

+ .lml2 12

+ .lml2 12

1 2 -m(a + b2) 4

Izz

!mb2 + ~m12

Iy¡y¡

4

3

z

2 ~mr2 + !mh 4 2

=

I yy

2 + !mh2 Iy¡y¡ = !mr 4 6

Cáscara cónica

Izz -- 2!mr2

2h

3

- - 1 ,2 1m h2 Iyy - ;¡mJ + 18

= Iyy

Ixx

2 + !mh2 !mr 4 2

Cáscara semicónica 4r 3n:

= !mr2 4

211

Cono circular recto I

Z =

4

2 + !mh 6

2 Izz = !mr 2

3

3h

= Iy¡y¡

Ix¡x¡

Izz

-

=

I

= 1-mr2 + ~mh2

yy

y¡Yl

I

zz

(12: - 16) 9n:2

20

-

wmr 3

mr?

5

2

1

+ lfim

12 1

= 1-mr2 10

+ 1-mh2 I-yy = 1-mr2 20 80

z


CUERPO

CENTROS DE MASA

Semicono


t., =

Z

, r

Y1

I

~mr2 +~mh2 5

20

r n: 3h 4

X

z-

[yy

=

[x¡X¡

[Y1Yl

~mr2 + .lmh2

20

[zz

X

~mr2 10

=

-

Xl

10

Izz =

(310 - 1) mr Jr2

2

Semielipsoide

=

[xx

x2 y2 z2 -+-+-=1 a2 b2 c2

~m(b2 + e2)

YY -5 - _lm(a2 + e2)

[

3e 8

Z

[zz = ~m(a2 + b2)

i xx -- 5!m(b2 + :!264e2) y Paraboloide X2

(2

19 2)

2 + !me2 2

= ~ma2 + ~me2

= i., =

~m(a2 + b2)

[zz

3

-. '.

x

~m(b2 + je2)

[_1 (212) yy - ¡;m a +:le

rectangular Z I I

e

--G_

b

y

!mb 6

Iyy

2e

x·--::--a

[ xx =

1

y I

Tetraedro

sm a + Me

elíptico

z

+ a2

tyy _ -

x =

Ixx

= fom(b2 + e2)

4

[yy

=

b

[zz = fom(a2 + b2)

a

Y

= 4

z

= 4-e

""

fom(a2 + e2)

ixx

=

ifom(b2 + e2)

[yy

=

3(22) ¡¡¡¡m a

izz

= ifom(a2 + b2)

+e

Semitoro

+ 4R2 x=-a2 __ y

2JrR


[

-[ xx -

- 1m R2

yy -

2

[ zz = mR2+~ma2 4

+ 5ama 2

Pri

.'•

FOTOGRAFíAS LAS FOTOGRAFíAS DE LAS CRÉDITOS DE CRÉDITOS capítul o de capítulo Princip ios de Principios

Corp. McDon nell- Dougla s Corp. de McDonnell-Douglas Cortes ía de CAPÍTULO CAPÍT ULO 1: Cortesía Center . Develo pment Center. Educat ion Development de Education CAPÍTULO Heath & Co. y de Physic s, 2e, 1965, D.C. Heath PSSC Physics, 2: PSSC CAPÍT ULO 2: .¡

Morga n/Rain bow.. Hank Morgan/Rainbow CAPÍT ULO 3: Hank CAPÍTULO NASA. 4: NASA. ULO 4: CAPÍT CAPÍTULO Works . Image Works. Daemm rich/T he Image CAPÍTULO 5: Bob Daemmrich/The ULO 5: CAPÍT s. nsa Airline ía de Luftha ULO 6: CAPÍTULO 6: Cortes Cortesía Lufthansa Airlines. CAPÍT raphy. an Photog berger / Grant CAPÍTULO 7: Runk / Schoen Schoenberger Grant Heilm Heilman Photography. ULO 7: CAPÍT s. ía de ULO 8: CAPÍT CAPÍTULO 8: Cortes Cortesía de MTS MTS System Systems.


(

(

(

(

c c c c

( (

e

e e e

e e o

o

o e(


~

~

Indice Indice alfabético alfabético

I Aceleración 100,359 100,359 determinación determinación por el teorema teorema de las fuerzas vivas 419 419 Aceleración constante constante 19 19 Aceleración Aceleración dada dada como función del tiempo tiempo 19 19 Aceleración instantánea instantánea 17 17 Aceleración relativa 323, 323, 338 338 Acelerómetro Acelerómetro 538 538 Álgebra Álgebra 598 598 Álgebra vectorial 600 600 Álgebra Amplitud Amplitud 519 519 Aristóteles Aristóteles 4 Balística 37 Campos Campos de fuerzas conservativos conservativos 154 154 Cantidad Cantidad de movimiento movimiento 164, 164, 165, 165, 427 427 sistema sistema 235 235 Centro Centro de percusión percusión 375 Centro instantáneo instantáneo de rotación rotación 317 Centro Centroide, Centroide, tablas 614 614 Choque Choque 187 187 Choque central frontal 188 Choque 188 Choque Choque central oblicuo 189 189 cuerpos rígidos rígidos 431 431 Choque de cuerpos 189 Choque elástico 189 Choque inelástico 189 189 Choque Choque plástico 189 189 Choque Cinemática 16 16 Cinemática Cinemática tridimensional tridimensional 452 452 Cinemática 475 Cinética 475 punto material material 100 100 Cinética del punto amortiguamiento viscoso 519 519 Coeficiente de amortiguamiento restitución 188 188 Coeficiente de restitución Coeficiente de rozamiento, rozamiento, valores 613 613 cuerpo 455 455 Cono del cuerpo 455 Cono del espacio 455 Conservación de la cantidad cantidad de movimiento movimiento 166, 166, 239, 239, 430 430 Conservación

energía 239 239 Conservación energía Conservación Constante de gravitación gravitación 8 Constante Constante de la Gravitación Gravitación Universal Universal 614 614 Constante Constante Constante del resorte 517 Constante Constante recuperadora recuperadora 517 Constantes Constantes del sistema sistema solar 614 614 Coordenadas Coordenadas cilíndricas 69 69 Coordenadas esféricas 70 70 Coordenadas Coordenadas Coordenadas polares polares 57 Coordenadas Coordenadas rectangulares rectangulares 36, 36, 69 69 Coordenadas Coordenadas tangencial tangencial y normal normal 46 Coriolis, aceleración 338 338 Cosenos directores directores 601 601 Cuerpo Cuerpo rígido rígido 5 Cuerpos Cuerpos rígidos rígidos interconectados interconectados 430 430 Decremento logarítmico logarítmico 522 522 Decremento Densidad Densidad 613 613 Derivada temporal Derivada temporal de un vector 34 Derivada transformación cambio Derivada temporal temporal vector posición, transformación ejes 337 Derivadas Derivadas 604 604 Derivadas de vectores 603 603 Derivadas Desaceleración 17 17 Desaceleración Desplazamiento 17 17 Desplazamiento Diagrama cinético 359 359 Diagrama Diagrama para para sólido libre 13, 13, 105 105 Diagrama Dimensión 11 11 Dimensión Dinámica aplicaciones 4 historia 4 historia planteo 11 11 planteo resolución problemas problemas 11 11 resolución unidades 7 unidades Dinámica tridimensional, tridimensional, cuerpos cuerpos rígidos 452 452 Dinámica producto vectorial 602 602 Doble producto

623 623


Ecu ació n del Ecuación del mov movimiento 104 imie nto 104 Ecu ació n del Ecuación del mov movimiento de In m 233 233 imie nto de EClI ación ddel el mov Ecuación movimiento relativo 211 imie nto rela tivo 211 Ecu aciones, reso Ecuaciones, resolución método Newton 607 luci ón mét odo New ton 607 Ecu acio nes ciné Ecuaciones cinéticas generales 487 ticas gen eral es 487 Ecu acio nes de Ecuaciones de Eule Eulerr 488 488 Ecu acio nes ener Ecuaciones energéticas 488 géti cas 488 Eje antá neo de Ejeinst instantáneo de rota rotación 317 ción 317 Ejes Ejes de de refe referencia en rota rotación 465 renc ia en ción 465 Ejes Ejes de de refe referencia en tras traslación 464 renc ia en laci ón 464 Ejes Ejes prin principales de iner inercia 478 cipa les de cia 478 Elongación 517 Elon gaci ón 517 Energía 234 Ene rgía 234 Ene Energía cinética 138 rgía ciné tica 138 rotación 404 rota ción 404 Ene rgía ciné Energía cinética tridimensional478 tica trid ime nsio nal 478 Ene Energía potencial 152 rgía pote n cial 152 Ene rgía pote Energía potencial elástica 153 ncia l elás tica 153 Ene rgía pote Energía potencial gravitatoria 152 ncia l grav itato ria 152 Equ i librio diná Equilibrio dinámico 211 mic o 211 Espacio Esp acio 5

Joul e 136, Joule 136,138 138 Kep Kepler ler prim era ley primera ley 201 201 segu nda ley segunda ley 199 199 terc era ley tercera ley 201 201 kp kp 88 Ley es de Leyes de New Newton ton 66

Fact or de amp Factor amplificación 535, 536 536 lificació n 535, Figu ras geo métrica s, prop Figuras geométricas, propiedades, tablas 614 ieda des, tabl as 614 Fórm ula Inte rnac iona l de la Gra Fórmula Internacional Gravedad 10 ved ad 10 Frec Frecuencia natural 519 uenc ia natu ral 519 FreC Frecuencia 519 llencia propia prop ia 519 Fue Fuerza 5, 100, 100,359 rza 5, 359 Fue Fuerza centrífuga 212 rza cent rífu ga 212 Fue Fuerza 211 rza de inercia iner cia 211 Fuerza 138 Fue rza viva 138 Fue rzas acti Fuerzas activas 136 vas 136 Fue rzas reactivas Fuerzas 136 reac tiva s 136 Fun ción conservativa Función 155 cons erva tiva 155

Galileo Galileo 4 Geo met ría analítica Geometría anal ítica 599 599 Geo met ría del Geometría del espacio espa cio 598 598 Geo met ría plana Geometría plan a 597 597 Gra dos de libertad Grados libe rtad 85,105 85,1 05 Gra vita ción 8 Gravitación Hod ógra fa 36 Hodógrafa Huyghens Huy ghe ns 4 Imp ulso 164, Impulso 164, 165 165 Imp ulso angular Impulso ang ular 178, 178, 180 180 Indi cado r de desplazamiento Indicador desp laza mie nto 538 538 Índi ce de amortiguamiento Índice amo rtig uam ient o 520 520 Índi ce de amplitud Índice amp litud 535, 536 536 Inercia Iner cia 101 101 Inte gración de de ecuaciones ecua cion es diferenciales Integración dife renc iale s ordinarias ordi nari as de de primer primer orden orde n 610 Inte grac ión de Integración de Euler Eule r 610 610 Inte grac ión de Integración de vectores vect ores 603 603 Inte grac ión numérica, Integración num éric a, técnicas técn icas 608 608 Integrales Inte gral es 604 604

Mas Masaa 5, 5, 100, 100,359 359 Mas a de la Tier Masa Tierra 614 ra 614 Mat riz de iner Matriz inercia 477, 589 589 cia 477, Med ida abso Medida absoluta luta 55 Mom ento ciné tico 178, Momento cinético 178,428 428 con serv ació n 181 conservación 181 Mom ento ciné tico trid ime nsio nal 475 Momento cinético tridimensional 475 Mom ento tico, siste Momento ciné cinético, sistema 236 ma 236 Mom ento de iner Momento inercia 359 cia 359 cuer pos com pu esto s 576 cuerpos compuestos 576 radi radioo de giro 574 574 tabl as 614 tablas 614 Mom ento cia más Momento de iner inercia másico 360 ico 360 Mom ento s de iner Momentos inercia masas 573 cia de mas as 573 Mom ento s de iner cia de supe Momentos inercia superficies 571 rfici es 571 Mom ento s principales prin cipa les de iner Momentos inercia 478, 589 589 cia 478, Mov imie nto Movimiento cuer pos inte rcon ecta dos 363 cuerpos interconectados ecua cion es generales gen erales 359 ecuaciones proy ecti les 37 proyectiles Mov imie nto absoluto abso luto 292 Movimiento Mov imie nto angular, ang ular , fórmulas Movimiento fórm ulas 284 284 Mov in1i ento armónico arm ónic o simple Movimiento sim ple 24, 517 Mov imie nto bajo fuerzas fuer zas centrales Movimiento cent rale s 198 198 Mov imie nto circular Movimiento circ ular 48 Mov imie nto críticamente críti cam ente amortiguado Movimiento amo rtig uad o 521 521 Mov imie nto curvilíneo curv ilíne o 120 Movimiento Mov imie nto curvilíneo curv ilíne o en el espacio Movimiento espa cio 69 69 Mov imie nto curvilíneo curv ilíne o plano Movimiento plan o 33 Mov imie nto estacionario esta cion ario de un Movimiento un medio med io continuo con tinu o 249 249 Mov imie nto general, gen eral, espacio Movimiento espa cio 464 Mov imie nto giroscópico giroscóp ico 495 Movimiento Mov imie nto masa mas a variable Movimiento vari able 264 Mov imie nto no no vinculado vinClllado 16, 105 Movimiento Mov imie nto plano Movimiento plan o 17 ecua cion es 360 ecuaciones Mov imie nto plano plan o general gen eral 283, Movimiento 283, 387, 387, 453, 453, 489 439 Mov imie nto rectilíneo rect ilíne o 17,106 Movimiento 17, 106 Mov imie nto relativo rela tivo 210 Movimiento 210 Mov imie nto relativo rela tivo (ejes (ejes en Movimiento en rotación) rota ción ) 75 75 Mov imie nto relativo rela tivo aa ejes ejes en Movimiento en rotación rota ción 335 335 Mov imie nto rela tivo a siste mas en Movimiento relativo a sistemas en traslación tras laci ón uniforme unif orm e 212 212 Mov imie nto sobre sobr eam Movimiento amortiguado orti gua do 520 520 Mov imie nto subamortiguado sub amo rtig uad o 521 Movimiento 521 Mov imie nto vinculado vinc ulad o 16, Movimiento 16, 105 105 de puntos pun tos materiales mat eria les conectados de con ecta dos 84 84

624 624


1

1 1 1

1 1

r

r

p

P P P Pi

Pl Pl Pr Pr Pr Pr

Pu Pu Pu Pu Pu Pu Pu Rel Re! Rer Rer Res Res Res Res

Rigidez 517 Rigidez 517 Rotación 284 283, 284 Rotació n 283, 453 375, 453 Rotación 285, 375, fijo 285, eje fijo un eje torno aa un en torno Rotació n en 454 Rotación fijo 454 punto fijo un punto torno aa un en torno Rotació n en

Newton 4, 7 Newton4,7 607 ecuacio nes 607 método resoluc ión ecuaciones método resolución 232 general ización 232 ley, generalización segunda segund a ley, 498 Nutació n 498 Nutación energét icos 555 método s energéticos Oscilaciones, Oscilaciones, métodos rígido 545 cuerpo rígido Oscilaciones Oscilac iones cuerpo amortig uadas 535 forzada s amortiguadas Oscilaciones Oscilac iones forzadas materia l 532 punto material un punto de un s Oscilaciones forzadas de forzada iones Oscilac amortig uadas 534 no amortiguadas Oscilaciones forzada s no Oscilac iones forzadas libres 517 Oscilaciones Oscilac iones libres amortig uadas 519 libres amortiguadas Oscilaciones Oscilac iones libres amortig uadas 517 no amortiguadas Oscilaciones libres no libres iones Oscilac Partícul a 5 Partícula 519,614 Período 519,614 Período Tierra 614 rotación de la Tierra Periodo Periodo de rotación Peso 8 405 139, 405 Potencia Potenci a 139, directa 502 Precesión Precesi ón directa retrógra da 502 Precesión Precesi ón retrógrada 495, 500 uniform e 495, Precesión Precesió n uniforme 501 nulo 501 momen to nulo Precesión uniform e con momento Precesió n uniforme 240 movimi ento 240 cantida d de movimiento Principio conserv ación de la cantidad Princip io de conservación 239 ación de la energía Principio conservación energía 239 Princip io de conserv dinámic a 154 energía dinámica Principio 154 conserv ación de la energía Princip io de conservación 240 to momen del Principio de conservación momento cinético 240 ación conserv Princip io 211 D'Alam bert 211 io de D'Alambert Principio Princip 233 ento del centro de masa Principio movimiento masa 233 io del movimi Princip 203 Problema cuerpos 203 Problem a ddee los dos cuerpos to escalar 601 Producto 601 Produc to mixto 602 Producto 602 Produc to vectoria Producto vectoriall 602 602 Produc vectoria l doble 602 to vectorial Producto 602 Produc Productos 476, 587 587 tos de inercia 476, Produc les 588 principales 588 ejes principa ón crítica 535 Pulsación 535 Pulsaci ón natural Pulsación natural 519 519 Pulsaci uada 522 Pulsación natural amortig amortiguada 522 ón natural Pulsaci 519 propia ón Pulsación propia 519 Pulsaci uada 522 Pulsación propia amortig amortiguada 522 ón propia Pulsaci te 535 ón resonan Pulsación resonante 535 Pulsaci Punto materia materiall 55

12

iento 139 Rendim Rendimiento 139 o 140 iento eléctric Rendimiento eléctrico 140 Rendim iento mecánic Rendimiento mecánicoo 139 139 Rendim iento térmico Rendimiento térmico 140 140 Rendim nes método Resolución ecuaciones método newton newton 607 607 ión ecuacio Resoluc 535 ncia Resona Resonancia 535 aria 535, sta estacion Respuesta estacionaria 535, 536 536 Respue ria 535, sta transito Respuesta transitoria 535, 536 536 Respue

Segunda Newton 100 de Newton ley de Segund a ley Series 603 Sistema absolut o 7 Sistema absoluto Sistema referenc ia 5 de referencia astronó mico de Sistema astronómico Sistema inercial 212 referenc ia inercial de referencia Sistema de 212 Sistema n ewtonia no 212 referenc ia newtoniano de referencia Sistema de Sistema inercial 77, 101 inercial Sistema Sistema fundam ental 75 inercial fundamental Sistema inercial Sistema primari o 5, 100 inercial primario Sistema inercial Solución estacion aria 535, 536 Solució n estacionaria Solución transito ria 536 Solució n transitoria Steiner, teorema teorema 575 Tensor 477, 589 inercia 477,589 Tensor de inercia Teorema movimi ento 166 cantida d de movimiento Teorem a de la cantidad 153, 405 Teorema de las fuerzas vivas 138, 153, fuerzas vivas 138, Teorem a determinación de aceleraciones 419 iones acelerac determi nación 575, 587 Teorema Teorem a de Steiner 575, Tiempo Tiempo 5, 102 Trabajo 135, 135, 234 fuerzas fuerzas 403 pares fuerza 403 pares de fuerza Trabajo virtual 419, 420 virtual 419, 402 Trabajo energía,, relaciones relacion es 402 Trabajo y energía tempor ales 337 Transformación derivadas as temporales rmación de derivad Transfo Traslación 283, 365 365 283, ión Traslac Traslación curvilínea 283, 452 452 ea 283, ión curvilín Traslac Traslación rectilíneaa 283, 283, 452 ión rectilíne Traslac Traslación tridime nsional 452 ión tridimensional452 Traslac Trigonometría 600 600 metría Trigono Unidades SI es SI Unidad cantidadd de movimi movimiento 165 ento 165 cantida 136 de trabajo 136 138 energía cinética 138 impulso angular angular 180 180 impulso momento 179 to cinético 179 momen potenciaa 139 139 potenci Unidades 102 es sistema cinético 102 Unidad Vectoress unitario unitarioss 601 601 Vectore Velocidad angular de la Tierra 614 614 ad angular Velocid 496 Velocidad precesión 496 ón precesi de ad Velocid nea 17 Velocidad instantánea 17 ad instantá Velocid Velocidad absolutaa 305 305 ad lineal absolut Velocid Velocidad relativa 303, 303, 336W 336W ad relativa Velocid 139 Watt 139



UNITS CUSTOMARYUNITS LASU.U.S.S.CUSTOMARY NOMOGRAMAS PARA LA CONVERSIÓN ENTRE LAS UNIDADESESSISIYYLAS NOMO GRAMA S PARA LA CONVE RSIÓN ENTRE LAS UNIDAD in. in. 20 20

mm mm

500 500

ftft mm 100 30--~-100 30

400 - - . ¡ - - 400--1----->--- 15 --1---15

mi mi -1---120 -+--- 120

km km 200 200

90 90

110 no

80 80

100 100 --->---90 -1---9 0

70 70 -1---80 -f--- 80

20--120 ---1F 60 60

300 - - ¡ - - - 300 10 --...-- 10

_=--50 -1=-- 50 40 40

200 -""':::¡ "200--+10 10 ------'1-

70 ~--70

100 100

60 60 ----,--50 - j - - - 50

40 -1--- 40 30 30 -----l--30 --1---30

--+--- 55 -+----

20 20

---1---100 --j--100

_ Jr---20 - - - 20 _r

10 10

0----'--0 0--=--0 Longitu d Longitud

Ibm kg lbm - - r - - - 220 100 100----220 -1---- 200 90_=::IC=-200 -90--1

t=----==t=----===

180 180

80 80

- 160 ->--~'---160 r70--. 70 - 140 --1--1---140 ---60--i 60-----''--120 120 50-~f---

50

40 40

100 -i----'---100 _!---8080 ->---

-30--1 30-----''-- ' - - - 60 60

---===t=--

20 20-==t=-40 40 10-------j--20 f---2 0 10-=

--'---0 0 O--L---O Masa Masa

-+---10 - + - - 10

0--'---0 0--'---0

O--L---O O_ - - - . J I - - _ O

Longitud Longitud

Longitud Longitu d

N N 1000---1-1000 ---t-

lb

=__ 200 ---"L--200 900- - c 900 800--1--00---8

"1700-700 ----1--150 - 150 ==f-600--f-}--600---

-C_ 500500 ---,--100 ----1- -100 400--1-----+-400-

22 kPa lb/in Ib / in. kPa 1000--~----,. 1000 _r---140 - ¡ - - - 140

900------'1---- 130 900 --I--== :-- 130 120 - - - 120 - '.r---800---t---'800-1---110 j - - - no 700--!== -=::::l:=::::=--100 -- 100 700 _1---90 -l--:=:- - 90 600--.J=-= -1-600--L--_ 80 - i - = - - _ 80

---==1:=_

500--::=l==-- 70 70 500 400--..:.=1 ~=:::J==-60 :=- 60 400 -1--=50 . ¡ - - - 50 _

-==t~~:=_ 4040 ---==1

300 300

300 300

---1--50 50 --1-200---l---+200-

200 _---!I===__ 30 =-- 30 --c:= 200 _1--_20 - i - - - - 20 100--\.--_100-

100--r-100 O----L---O ---'---0 0 Fuerza Fuerza


_~-10 lO _¡---

0__ ,--_0 O --=.:: =-- O Presión oocarga carga Presión

NOMOGRAMAS (CONTINUACIÓN) N-m 1000

Ib-ft 700

Mg/m3 10

Ibm/ft"

kW

600

200

hp 260

900 9 180

240

160

220

600

800

8

500

700 500

200

7

140

600

180

400 6

120

400

500

160

5 300 400

300

140

100

120

4

80 100

300

200

3

200 200

60

2

60

40

100

100

100

80

40

1

20 20

O

O

O

Momento de fuerza o torque mis 100

ft/ sec 320

O

O

Densidad

km/h

O

Potencia

mi/hr

500 300

m/s2 50

ft/ sec? 160

300

90

280 80

260

140

250

400

40 240 70

120

220 200

60

200 300

50

100

30

180 160

150 80

140

40

120 30

200 20 60

100

100 80

20 60

40

100 50

10

40

10

20

20 O

O

Velocidad

O

O

Velocidad


O

O

Aceleración

1

J \


I S BN ISBN

84- 291 - 425 9- 2 84-291-4259_2

••• ••• • • ~

•••

~ELECOl~

9 788429 788 429 142594 9 142 594 http://gratislibrospdf.com/

• •

• •

••• •••

3 Mecanica Para Ingeniero Dinamica Meriam 3

Recommend Documents