Descripción: método gráfico de programación entera
Descripción completa
5852
cxcx
tema oposicon esteticaDescripción completa
Descripción completa
Descripción completa
Descripción: mata vela
bhjikml.Full description
hhhhFull description
1Full description
3/18/2013
OTPORNOST OTPORNOST MA MATERIJALA TERIJALA
Naponi
1
ANALIZA NAPONA Jedinica Jedinica u Si-sistem Si-sistemu u je Paskal Paskal (Pa) (Pa)
Pa=N/m2 MPa=106Pa
F (N)
GPa=10 a=109Pa
kN/cm2=10 MP MPa a N/mm N/mm2=MPa Jedinična po povr vršina (m2)
U tečnostima pritisak jedinic jedinica a bar=10 bar=105 Pa
2
1
3/18/2013
TENZOR NAPONA Telo je opterećeno spoljašnjim silama U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje sile
ravan preseka A
Svaka ravan ima normalu na ravan n
n
Posmatramo tačku A u ravni Kroz tačku A možemo da postavimo beskonačno mnogo ravni i 3
n1 n
A
ravan preseka ravan preseka 1 z
ravan y0z
ravan x0z y
Normala ravni y0z je x osa Normala ravni x0y je z osa Normala ravni x0z je y osa Znači: svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z normala na ravan je paralelna x osi svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y normala na ravan je paralelna z osi
0 ravan x0y x
Posmatramo tri ravni kroz tačku O Ravni su upravne među sobom
svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z normala na ravan je paralelna y osi 4
2
3/18/2013
z
ravan y0z
ravan x0z y 0
Svaku silu kroz tačku O možemo Projektovati na jednu od tri ravni i na normalu na tu ravan Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni Sila je prikazana preko projekcija pa nam vi še nije potrebna
ravan x0y x
Silu u ravni x0y možemo projektovati na ose x i y Uklonićemo i tu silu jer je menjaju projekcije
Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca
5
ravan preseka
F dA
F
l
l
n
n
A dA t
t Dobili smo napon u pravcu normale n to je normalni napon i dva smičuća napona u ravni preseka t i l
6
3
3/18/2013
Znači: za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno mnogo normalnih i smičućih napona Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi z
Ako naponi deluju u ravni, odnosno nema komponenti u pravcu z ose Tada je naponsko stanje ravno Smičući naponi
Normalni naponi
xx , yy
zz
i
xy , xz , yx , yz , zx
i
zy
y
y B
yx x
A
x
M
yx
y
x xy yx y
Tenzor napona za ravno stanje napona
11
Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao
Poznajemo napone
y
n
x
A
x xy yx y
-normalni napon
n
x y 2
n
2
sin 2
C
D
-smičući napon
y
n x y x y cos 2 xy sin2 2
sa x osom
n
x
M
xy cos 2 12
6
3/18/2013
Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavni naponi)
Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona
tg2
2 xy
x y
Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2
II
y
I
2
1
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant
x
Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant III
IV
Vrednosti glavnih napona tada su
1 2
x y 2
x y 2
1 2 1 2
2
4 2xy
-maksimalni glavni napon
2
4 2xy
-minimalni glavni napon
(x y ) (x y )
13
*U ravni glavnih osa smi čući napon je jednak nuli. τ=0 Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao
max
1 2
(x y )
2
1
4 (1 2 ) 2 xy
2
y
s
max
/4 x
Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45 Njemu odgovarajući normalni napon je
1
1
2
2
s (x y ) (1 2 )
14
7
3/18/2013
Morov krug napona 2 x y 2 n n2 x y xy2 2 2
To je jednačina kruga sa centrom
C
x y ; 0 2
i poluprečnikom
1 2
(x y )
2
4 2xy
15
Kako ga konstruišemo 1. Nacrtamo koordinatni sistem 2. Odredimo tačke
0
A( x; xy)
3. Spojimo tačke A i B i gde seku
B( y; yx)
osu tu je centar kruga
4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz ta čke A i B. U krajnjim Presecima kruga sa osom dobijamo ekstremne vrednosti napona 1 i 2 5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu pravu) . One se seku na krugu. To je pol P 6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim vrednostima napona 1 i 2 16
8
3/18/2013
+yx
120 110 100
-xy
max
90
n
80
B
A( x; xy) B( y; yx)
N
70 60 50 n
40
30 20
2
-
C
10
8 0 7 0 6 0 50 40 30 20 10 10
1
+
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
/420 30 40
=50
50 60
A
70
P
80
x xy yx y
90 100 110 120
-yx
+xy
17
Specijalna naponska stanja -Linearno stanje napona - pritisak i zatezanje x
0 - zatezanje
x
0 - pritisak
y
A
x
M y=0 y=0
1,2
x
x
x
-tenzor napona
yx= xy=0
x y 2
1 x 2 0
1 2
(x y )2 4 2xy -pritisak
2
1
1
1
2
2
x
x 2
2
-zatezanje
1
18
9
3/18/2013
Specijalna naponska stanja -Čisto smicanje
x=0
y
y=0
xy
1
2
x
A M
1,2
x y 2
1 2
2
(x y )
4 2xy
1 2
0 4 xz
2
xy
Specijalna naponska stanja -Izotropno stanje x=
y
y
1 2 x
x
A M
1,2
x y 2
1 2
2
(x y )
4 2xy
1 2
2x
1 2
0 0 x
1 x 2 x
10
3/18/2013
ZADATAK 2.1
100 60 U tački M zadato je ravno stanje napona 60 60
(Mpa)
Odrediti analitički i grafički pomoću Morovog kruga napona: -normalni i smičući napon u ravni čija normala zaklapa ugao od =50° sa x-osom, -glavne pravce i glavne napone -maksimalni smičući napon i odgovarajući normalni napon -skicirati orjentirane elemente u ta čki M za svaki koordinatni sistem sa ucrtanim komponentama napona. y
y
yx
B
x yx
A
M
x xy yx y
x
x
ravno stanje napona
y
21
ANALITIČKO REŠENJE a) Vrednosti napona u zarotiranom koordinantnom sistemu slika b) dati su izrazima
-normalni napon y
n x y x y cos 2 xy sin2 2
n
2
sin 2
C
D
-smičući napon
x y
n
2
n
x
M
xy cos 2
22
11
3/18/2013
vrednosti trigonometrijskih funkcija cos2=cos(100°)=-0.17365 sin2=sin(100°)=0.98481 100 60
n
2
100 60
n
2
100 60 2
0.98481 60 (0.17365) 89.20
n
C
D
MPa
*na slici b) prikazani su ovi naponi. Normalni napon je pozitivan i smer mu je u smeru normale na ravan. Smičući napon je pozitivan i deluje u smeru kao na slici. Pozitivan smer se dobija kada se rotacijom u pozitivnom matematičkom pravcu smer napona poklopi sa smerom normale na ravan.
y
n
(0.17365) 60 0.98481 65.20 MPa
x
M
b)
23
Glavni pravci i glavni naponi
1,2
20
x y
1
2
1 2
(x
y )2 4 2xy
100 60 2
1 2
2
(100 60)
4 602
2=-80 MPa
40000 20 100 1 120 MPa
2 ugao koji glavni pravac zaklapa sa pozitivnim delom x ose tg2
xy (x y ) 2
2 * 60 (100
60)
0.75
2
36.87
o
18.435o
ugao α nanosimo u pozitivnom matematičkom smeru od ose x y
2
*U ravni glavnih osa smi čući napon je jednak nuli. τ=0
1 x
24
12
3/18/2013
Maksimalni smičući napon
xymax
1 2
x y 2 4 2xy 1
100 602 4 602 100 MPa
2
ravni u kojoj je smi čući napon maksimalan zaklapa sa glavnim pravcima ugao od π/4 (45°) U odnosu na x osu taj ugao je α+π/4=18.435+45=63.435 odgovaraju ći normalni napon