301301-807-Tarea 3

Trabajo Colaborativo 1

Por

Jorge Emilio Alvear Julio Código: 10767599

Presentado a: Joice Andrea Corredor

Código del curso 301301_807

UNAD Universidad Nacional Abierta y a Distancia Tecnología en Gestión de Acceso de Redes de Telecomunicaciones Marzo de 2017

INTRODUCCIÓN

El Álgebra y la Trigonometría son áreas dentro del a ciencia de las matemáticas que busca desarrollar los principios fundamentales necesarios para resolver problemas en todos los campos del saber. El presente trabajo tiene como objetivo describir, Identificar e interpretar analíticamente los diversos tipos de ecuaciones e inecuaciones y valor absoluto, con el fin de plantear alternativas de solución de una miscelánea de ejercicios sobre las ecuaciones, inecuaciones y valor absoluto y sus propiedades, permitiendo adquirir destrezas.

habilidades operativas

y

Problema 1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y compruebe su solución con Geogebra.

3x −4 y+ 2 z=15 2 3 x+ 8 y −16 z=12 4 x −17 y+ 10 z=13

Solución: Para la solución del sistema de Ecuaciones utilizaremos el método por eliminación, primero enumeramos cada de unas de las ecuaciones, quedando de la siguiente manera: 3x −4 y+ 2 z=15 2

(1)

3 x+ 8 y −16 z=12

(2)

4 x −17 y+ 10 z=13

(3)

Luego tomamos las ecuaciones (1) y (2) y eliminamos una de las incógnitas para este caso multiplicamos la ecuación (1) por 2 y la ecuación (1) por (-1), de la siguiente manera: 3 x−8 y +4 z =30 −3 x−8 y +16 z=−12

−16 y +20 z=18

(4)

Se Cambia el signo al multiplicar por (-1) Esta es una nueva ecuación con dos incógnitas.

Ahora utilizamos la ecuación (3) y cualquiera de las otras del sistema para eliminar la X, en este caso vamos a utilizar la (2). Multiplicamos la ecuación (2) por (4) y la ecuación 3 por (-3), quedando nuestro sistema de la siguiente manera y simplificamos. 12 x +32 y−64 z=48

−12 x+ 51 y −30 z =−39 83 y−94 z=9

(5)

Se Cambia el signo al multiplicar por (-3) Esta es una nueva ecuación con dos incógnitas.

Como podemos observar obtuvimos las ecuaciones (4) y (5) con dos incógnitas, la solución se puede realizar por cualquier método, para este caso utilizamos el de Igualación, para esto despejamos Z en ambas ecuaciones y quedaría de la siguiente manera: Para la ecuación (4) tenemos: −16 y +20 z=18 entonces Z=

18+ 16 Y 20

Para la ecuación (5) tenemos: 83 y−94 z=9 entonces Z =

−9−83 y 94

Ahora igualamos las expresiones y operamos para hallar el valor de Y: 18+ 16Y −9−83 Y = 20 94 94 ( 18+16 Y ) =−20 (9−83Y ) 1692+ 1504 Y =−180+1692Y

Entonces tenemos que Y= 12 Ahora reemplazamos el valor de Y en la ecuación (4) o (5). Tomemos la ecuación (4) Obtenemos el valor de Z de la siguiente manera: −16 (12)+20 z=18 −192+20 z=18 Z=

21 2

Luego reemplazamos los valores de Y y Z en cualquiera de las ecuaciones originales, en nuestro caso utilizamos la ecuación 2, el resultado es el siguiente: 3 x+ 8(12)−16(

21 )=12 2

3 x+ 96−168=12 3 x=84 X =28

Solución: (28, 12,

21 2 )

Problema 2. Determine el valor de “x” que satisface la siguiente ecuación racional y compruebe su solución con Geogebra.

2

( x+ 7 ) 2(x 2−16) 5 ( x2 + x +1 ) ( x−1 ) − + =2 ( x−4)( x+ 4) ( x 3−1 ) ( x 3 +21 x 2 +147 x+ 343 )

Solución: 

Para resolver el sistema factoricemos la expresión la regla de productos notables de la forma: tenemos que:

3

( x 3+ 21 x 2 +147 x+343 ) aplicando 2

2

3

3

a +3 a b+3 ab + b =(a+ b)

entonces

( x 3+ 21 x 2 +147 x+343 ) = ( x+7 )3 nuestro sistema queda así:

2

2

2(x −16) ( x−1 ) ( x +7 ) −5 ( x 2+ x+1 ) 3 + =2 ( x−4)( x+ 4) ( x −1 ) ( x +7 )3 

Luego hallamos el mínimo común múltiplo de:

(x−4)(x+ 4)

( x+7 )3

multiplicamos

y simplificamos: 2 ( x 2−16 ) ( x−4 )( x +4 )

( x+7 )3 ( x +7 )2 ( x +7 )3

( x−4 ) ( x + 4 ) ( x+7 )3

=2

( x−4 ) ( x + 4 ) ( x+7 )3

-

5 ( x 2+ x +1 )

( x−1 )

( x3 −1 )

( x+7 )3

( x−4 ) ( x + 4 )

( x−4)( x+ 4)

2 ( x2 −16 ) ( x+7 )

3

3

5 ( x+7 ) ( x−4 ) ( x+ 4 )

+

( x+7 )2

( x−4 ) ( x + 4 )

= 2

( x+7 )3

(x−4)(x+ 4) Desarrollando: 3 3 2 ( x2 −16 ) ( x+7 ) 5 ( x +7 ) ( x −4 )( x +4 )

2

5

4

+

( x+7 )2 ( x−4 )( x+ 4 )

:

3

12 x −6832 x−3 x −62 x −379 x −15680 2

( x+7 )3

( x−4)( x+ 4)

2

5

: 4

2 x 5 + 42 x 4 +2 62 x 3 +14 x 2−4704 x−10976 3

12 x −6832 x−3 x −62 x −379 x −15680 5

4

3

=

2

2 x + 42 x +2 62 x +14 x −4704 x−10976 Restamos

2 x 5 + 42 x 4 +2 62 x 3 +14 x 2−4704 x−10976 en ambos lados de la ecuación:

12 x 2−6832 x−3 x 5−62 x 4−379 x 3−15680 (2 x 5 + 42 x 4 +2 62 x3 +14 x 2−4704 x−10976) =

-

5

4

3

2

2 x + 42 x +2 62 x +14 x −4704 x−10976

–

(

2 x 5 + 42 x 4 +2 62 x 3 +14 x 2−4704 x−10976 ¿ Tenemos que: 5

4

3

2

11536 x−5 x + 104 x +641 x +2 x +26656

y factorizamos: 2

11536 x−5 x 5+ 104 x 4 +641 x 3 +2 x 2+26656 : - ( x+7 ) ( x−4 )( x+ 4 )( 5 x +34 ) Entonces: -

( x+7 )2 ( x−4 )( x+ 4 )( 5 x +34 ) =0

utilizamos el principio de multiplicar por cero (0)

Resolviendo: x+ 7=0

:

x=

:

x=−7 ;

x+ 4=0

:

x=−4 ;

x−4=0 :

x=4 ;

5 x+34=0

−34 5

Reemplazamos los valores de X en la ecuación y observamos que la ecuación está indefinida para -7, -4, 4; entonces

x=

−34 5

Problema 3. Hallar la solución de la siguiente ecuación y compruebe su solución con Geogebra. x 6+ 5 x 3−24=0 Solución: Re-escribimos nuestra ecuación con de la siguiente manera: u=x 3 y u 2=x 6

tenemos entonces:

u2 +5 u−24=0

( u+8 ) ( u−3 )=0

entonces:

u=x 3

entonces:

Siendo

u=−8 ; u=3

x 3=3 ; x=√3 3 x 3=−8 ; x =√3 −8=−2; x=−2

Problema 4. Hallar la solución de la siguiente ecuación con radicales y comprobar su solución con Geogebra. 2 √ 4 x−7−√5 x +6=20 Solución:

√ 5 x +6

Sumamos

en ambos lados de la ecuación y temenos:

2 √ 4 x−7−√5 x +6+ √ 5 x+ 6=20+ √ 5 x +6 2 √ 4 x−7=20+ √ 5 x +6 Elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar los radicales: 2

2

(2 √ 4 x−7) =(20+ √ 5 x +6)

2

16 x−28=202+ 2.20 √5 x+ 6+( √5 x +6) 16 x−28=40 √ 5 x +6+5 x +406 Restamos

5 x+ 406

en ambos lados:

16 x−28− (5 x +406 )=40 √5 x+ 6+5 x+ 406−(5 x +406) 11 x−434=40 √5 x +6 Elevando ambos lados al cuadrado: 2

(11 x−434 )2=( 40 √5 x +6)

121 x 2−9548 x +188356=8000 x +9600 121 x 2−9548 x +188356−(8000 x +9600)=0 2

121 x −17548 x +178756=0

Problema 5. Hallar la solución del siguiente Sistema de ecuaciones y comprobar su solución con Geogebra. 7 5 + =9 x y 2 4 − =3 x y En este sistema observamos que las incognitas se encuentran localizadas en los denominadores entonces procedemos a: Re escribir las ecuaciones y enumeramos las ecuaciones de la siguiente manera: 1 1 7 + 5 =9 x y

(1)

1 1 2 −4 =3 x y

(2)

Ahora utilizamos el metodo de cambio de variable para resolver el Sistema donde: a=

1 x

1 y b= y

7 a+5 b=9

luego nuestro Sistema de ecuaciones queda de la siguiente manera:

(4)

2 a−4 b=3

(5)

Ahora podemos resolver nuestro Sistema de ecuaciones utilizando el metodo de igualación, para eso despejamos una de las dos variables de las ecuaciones 4 y 5. En nuestro caso:

a=

9−5 b 7

(6)

9−5 b 3+ 4 b = 7 2

a=

3+4 b 2

(7)

2(9−5 b)=7(3+ 4 b) 18−10 b=21+28 b 18−21=28 b+10 b

−3=38 b

b=

entonces;

−3 38

ahora vamos a reemplzar el valor de b en cualquiera de las

ecuaciones 6 o 7 para obtener el valor de b.

9−5( a=

7

−3 ) 38 =

Como sabemos que 51 1 = 38 x

entonces

15 38 ¿¿ 7

9+

a=

1 x

x=

=

357 38 = 7

1 y b= y

38 51

y

51 38

entonces;

a=

51 38

reemplazando temenos que: −38 1 = 3 y

entonces

y=

−3 38

REFERENCIAS

Rondón, J. (2011) Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 1 – 146. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7301