Se llama ecuación de 2do. grado a toda ecuación que admite ser reducida a la siguiente forma
ax2 + bx + c = 0; {a;b;c} a 0 1.
Dar como respuesta una de sus raíces.
Donde: a, b y c son números reales.
3x – 7x + 2 = 0 A) 1/3 B) 2/3
Métodos de Resolución:
D) –2/3
1.
2
C) –1/3
E) 1/2
2. Indicar una raíz de: 2x2 – 5x + 1 = 0
Por Factorización (Aspa Simple)
Sea: Ejemplo:
A)
5 17 2
C)
5 17 4
B)
5 17 4
D)
5 17 2
2
x –x–6=0
15
3. Resolver:
x
11x 5 x
2
E)
3
1
y dar como respuesta la diferencia de sus raíces. 2.
Por Formula de Carnot
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
dar
como
2
Sea P(x) = ax + bx + c / a 0; sus raíces se obtiene por:
x x2 5 , x 2 x 2
4. Resolver:
b x1,2 =
2
b 4ac 2a
respuesta la raíz mayor.
Ejemplo:
A) (9 +
41 ) / 5
D) (7 + 40 ) / 5
B) (3 +
41 ) / 5
E) (9 + 40 ) / 5
C) (4 +
41 ) / 5
2
x + 3x – 1 = 0 5. Si “a” y “b” son las raices de 2 2
x 6x c 0
2
(a b a) 3
ANÁLISIS DE LA ECUACIÓN:
;
entonces
2c) / 9 es igual a: b) 6 c) -6
el
d) 4
la ecuación: valor
e) -3
2
Para la ecuación: ax + bx + c = 0, se tiene: 1. Si: a 0 { b:c } , la ecuación es:
6. Dar como respuesta el conjunto solución de:
Compatible Determinada. 2.
3x – 1 =
Si: a = 0 b = 0 c = 0, la ecuación es: Compatible Indeterminada.
3.
Si: a = 0 b = 0 c 0, la ecuación es: Incompatible.
1
5x 2 x 2
A) {0, 3}
B) {0, 4}
D) {1, 4}
E) {0, 6}
C) {3, 4}
de :
7.
Al resolver la ecuación: x x 2 4 se puede
5x 4 5x 4 10 5x 4 5x 4 3
14. Resolver:
afirmar que:
e indicar la diferencia de sus raíces.
a) tiene raíces iguales. b) tiene una raíz real y otra no real. c) tiene raíces imaginarias. d) tiene sólo una raíz real.
A) 4/5
B) 8/5
D) 16/5
E) N.A.
C) 12/5
15. Resolver la ecuación e indicar la mayor raíz:
e) tiene sólo una raíz no real.
x7 4x 1 = 5, y hallar la suma de las
8. Resolver: x + raíces. A) 12
B) 14
D) 2 9.
a) 7 113 2 1 112 d) 2
C) –2
E) Más de una
Dar como respuesta la suma de sus soluciones. x6
2x 2
B) 31
D) –28
E) 34
2 x 1 c) 7 113 2
b) 1 112
2 7 e)
113 2
16. Luego de resolver:
5x 14
A) 3
4 x7
2 2 x 5x 4 x 5x 2
C) –31
2
2 3x 2 x 3x 1x señale la suma de las raíces:
10. Al resolver la ecuación: 3x(x – 1) = 5 (x – 1) Se obtiene: A) Una raíz mayor que 2
A) –8
B) –9
D) –11
E) –12
C) –10
17. En la ecuación:
B) Una raíz menor que –1
(2x -1)m2 – 2(x-1) – (3x - 1)m = 0 Determinar el valor de “m” de manera que “x”
C) Una raíz entre 3/2 y 2 D) Una raíz entre –1 y 0
posea infinitas soluciones. 11. Si {a,b} es el conjunto solución de la
x 2 197781 x 197771 0
ecuación: Halle 2
el
2
valor
d) 50
c) 50
e) 1
12. Determinar “a”,
si
d) -2
e) 2
una de las
B) 9
D) 16
E) A B
A) 0
a) 2 d) 1
2
C) –2
D) 4
E) –4
20. Resolver e indicar una raíz: 5x
5x
12 5x
2
x x 3x 4x 4 0 , es: b) 2 2 e) 0
B) 2
E) N.A.
13. Al resolver la ecuación ,la suma de las raíces reales de:
C) 7
2x 6x 2 1 x 1
D) a = 8/9
3
x 5 13 x
A) 14
raíces de la
2
4
2
c) 3
19. Calcular la menor raíz de la ecuación:
ecuación: x – 3ax + a = 0, es 3. A) a = 1 C) a = 1/3 B) a = 9/8
b) -1/2
18. Resolver:
de:
2 2
b a b 2ab(a b 1) a a) 10 b) 100
a) -1
A) 1
c) -1
2
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
x2
21. Resolver:
x 3
x3 x2
27. Escribe verdadero (V) o falso (F) según
5
corresponda:
2
e indicar una raíz. A) 10/3
B) 3/10
D) 5/6
E) 6/5
2 x x 12 0 ;
I. C) 3/5
4
1x x 13 1x x 6
x2 4 x 2 2 x 0
; Es
una
ecuación incompatible
7x x 12 2x 22x 6 ;
III.
e indicar el C.S.
la
ecuación tiene infinitas soluciones.
A) {4, 3}
C) {2, –2}
E)
B) {4/13, 9/13}
{1/9, 1/3}
una ecuación
compatible. II.
22. Resolver:
Es
a) VFF
b) FVV
d) VVF
D) {3/5, 6} 23. Luego de resolver la ecuación:
c) VFV
e) VVV
28. Si “m” y “n” son las raíces de la ecuación:
3 2 x x1 x 1 8 3 x2 1 3 x 1 3
2
x 2x 3
2
2
a)2
, calcular: J=m n+mn b)4 c)-4
d)6
e)-6
Calcule la suma de las soluciones A) 17
B) 18
D) 20
C) 19
E) 21
29. Si{a
4x
; b}
2 2x 3
son las
raíces
de la
ecuación
0 , halle otra ecuación cuadrática en
“y” cuyas raíces sean {2a –1 ; 2b–1} 24. ¿Cuántas raíces son reales de: A) 1 B) 2 C) 3
25. Resolver :
6
6
x –3 =0? D) 5 E) 6
x2 x 3 1 ; b) 11 e) 15
2 b) y
2 d) y y 8
e) y2 y 71
y2
c) y 2 y 1
30. Hallar “p” en la igualdad: e indicar la
suma de cifras de : 3x + 8. a) 10 d) 13
2 a) y y 3
c) 12
x 2 ( p 3) x p2 1 0 4 Si:
x a2a 1 1
;
x a2a 2
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación 26. Resolver:
x3
A) 2
B) 3
D) 5
E) N.A.
2x 1 2 x C) 4
a) 2/3
b) 3/2
d) -3/2
e) 1
c) -2/3
3
Propiedades Generales: A. Operaciones básicas con raíces: Sea: ax2 + bx + c = 0 de raíces x1, x2
; a0
*
>0
2 raíces reales diferentes
*
=0
2 raíces reales iguales
*
<0
2 raíces complejas y
conjugadas
* Suma de raíces (S):
Nota:
x1 + x2 = S
b
*
Posee raíces simétricas x1 + x2 = 0
a
*
Posee raíces recíprocas x1 x2 = 1
Producto de raíces (P): x1 x2 = P =
*
c a
Diferencia de raíces (D): 2
1.
2
(x1 + x2) – (x1 – x2) = 4x, x2
S *
2
–
D
2
Determinar la ecuación cuyas raíces sean –5/6 y –5/3: A) 9x2 – 15x + 25 = 0
= 4P
B) 18x2 + 25x + 25 = 0 C) 18x2 + 45x + 25 = 0 D) 18x2 – 15x + 25 = 0
Reconstrucción de la ecuación: x2 – (x1 + x2)x + x1 x2 = 0 x2 – Sx + P = 0
2. Siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación: x2 – 3x + 1 = 0 Calcular el valor de:
B. De las ecuaciones equivalentes: a) 20
ax2 + bx + c = 0 dx2 + ex + f = 0;
Sean: luego:
d) 23
ab c d e f
3.
Q = x1 (x12 + 1) +x2 (x22 + 1) b) 21 c) 22 e) 24
2 2 En la ecuación: 3k x 6kx (k 2) 0 , k 0
. Si la suma de sus raíces es igual al doble de C. Naturaleza de las raíces:
su producto, hallar “k”.
2
Sea: ax + bx + c = 0 ; a 0 donde: {a, b, c}
a) 1
Definimos su discriminante, así:
4.
b) 0.5 c) -0.5 d) 2
e) -2
Calcular “m” si las raíces de una ecuación: (m + 1) x2 – 2mx + (m – 3) = 0, son iguales A) 3/2 C) –3/2 E) N.A. B) 2/3 D) –2/3
2
= b – 4ac
4
5.
Hallar la ecuación de segundo grado de
12. Escribe
raíces es: 3 + 2
I.
2
A) x – 7x + 6 = 0
7.
2x 23x21x;
2x + (m – 1)x + (m + 1) = 0 Sus raíces difieren en 1 A) 1 B) –11 C) 6 D) 2
d) VVF
según
Tiene soluciones
E) 11
e) VFF
C) 16
B) –16 E) 12
14. Un profesor dicta una ecuación de segundo grado a sus alumnos. Uno de ellos se equivoca en el termino independiente y obtiene como soluciones 9 y 3 .Otro se
1/2
c) 9
equivoca en el coeficiente del termino de primer grado y obtiene como soluciones -7 y -5 .¿cual fue la ecuación dictada? 2 a) x 12x 35 b) x2 7x 35
e) 27
9. Calcular “m” en:
2 c) x 12x 35
2 d) x 9x 35
e) x 2 9x 12
C) 15
15. En la ecuación: x2 – px + 36 = 0, determinar p tal que se tenga:
10. Hallar la ecuación de segundo grado de coeficientes enteros cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación:
1 1 5 r s 12
Donde r, s son las raíces de dicha ecuación de segundo grado. Dar como respuesta la suma de las cifras de p. A) 6 B) 5 C) 1 D) 4 E) 2
5x2 – 7x + 13 = 0 Indicar el coeficiente de su término independiente. A) 25 B) 91 C) –91 D) 100 E) –100
16. Dada la ecuación 2x2 + 3px + p + 4 = 0, determinar el producto de todos aquellos
11. En la ecuación: a b 1 1 a b x x ab
El producto de las raíces es: A) 0 B) 1 D) –ab E) N.A.
b) FVVc) VFV
A) 16 D) 12
, hallar “m” para que
x2 – 8x + m = 0 con raíces x1 y x2 si: 3x1 – 4x2 = 3 A) 5 B) 10 D) 25 E) 35
; Tiene soluciones imaginarias
x2 – mx + 48 = 0 con raíces x1 y x2 si: x1 = 3x2
2
las raíces difieran en: 2 a) -10 b) -6
x
13. Calcular “m” en:
En la ecuación:
m 2 x m 7
1
1 x 4
a) VVV
Calcular “m” si en la ecuación:
d) 18
(F)
iguales y reales
Hallar “k” si: x2 – 15 – k (2x – 8) = 0 tiene raíces iguales. A) 1 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
2 x
falso
2 x 6 4 2 x 3 ; Tiene raíces diferentes
II.
2
8.
o
y reales
x2 – 7x = 0 x2 – 6x – 7 = 0 x2 – 6x + 7 = 0 N.A
III.
6.
(V)
corresponda:
coeficientes racionales, en donde una de las
B) C) D) E)
verdadero
valores de p que hacen que la suma de los cuadrados de las raíces sea 14. A) –2 B) –6 C) –8 D) 6 E) N.A.
C) ab
5
2 17. Resuelva la ecuación: x 6px 2k 0 . Si 2 tiene raíces 3x (k a)x 5 k 0 2 recíprocas y 6x (2p 1)x 8 0 tiene raíces simétricas a) 2 y 3 d) -1 y 7 18. Para que
b) -3 y 2 e) 1 y -4
2
3
x)
x
3
24. Si x1 y x2
x – (m – 1)x + m + 1 = 0 :
3 1 0 m
soluciones iguales a) 1 b) 2 ó -3 d) 1 ó -3/5 e) 1 ó 2
, tiene 2
c) 4
19. Calcular “m” para que la ecuación :
6 x
2
(2m 3)x 0 , tenga solo una raíz. m
a)1 d)5
b)1/2 e)2
son las raíces de la ecuación: 2
valores de “m” la ecuación
2
( 2
c) 5 y 4
2
23. La ecuación x 7x 12 0 , posse dos raíces cuya suma es -1. Calcule la suma de las inversas de las otras dos A) -1/2 B) -1/3 C) -1/4 D) -1/5 E) 1/3
c)3/2
20. Si el discriminante de una ecuación general de segundo grado es una cantidad positiva y cuadrado perfecto, se afirma que las raíces son: A) Reales e iguales B) Racionales e iguales C) Irracionales y desiguales D) Enteras y desiguales E) Racionales y desiguales 21. Sabiendo que las raíces de la cuadrática en “x”: x2 + bx + 30 = 0, son positivas y la diferencia entre ellas es 7, halle el valor de “b”. A) 13 B) 5 C) –13 D) –5E) Más de una es correcta
Calcular el valor de “m” si: A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
1 1 2 x x 3 1
2
C) 5
25. Si p y q son números reales para los cuales las ecuaciones cuadráticas: 2 8x (4p 2)x 2 0 y 2
(7q 2)x (5q 3)x 1 0
Tienen las mismas raíces encuentre el valor de “pq”. A) 6/49 B) 4/50 C)7/8 D) 3/10 E)2 26. Determinar la ecuación de segundo grado y de coeficientes racionales si una de sus raíces es:
2 3
a) x2+4x+1=0 b) x2-4x-1=0
c) x2-4x+1=0
d) x2-x+4=0e) x2+4x-1=0 27. Siendo “x1” y “x2” las raíces de la ecuación: 2mx2 + 2(m + 1)x + (m – 1) = 0 Calcular “m” si se cumple la siguiente relación: x x 2=7 ; m>0 1 x x 2
1
Señale como respuesta el valor de: mm + 2m A) –3 B) 0 C) 5 D) 8 E) 31
22. Si las ecuaciones: (2m + 1) x2 – (3m – 1) x + 2 = 0 (n + 2) x2 – (2n + 1) x – 1 = 0 son equivalentes; calcular el valor de “m” A) –9 B) 6,5 C) 9 D) –6,5 E) -19
28. Si la ecuación: Kx2 + (2K + 1) x + K = 0, tiene raíces iguales, hallar el producto de las raíces de la siguiente ecuación: (4K + 3) y2 + 3Ky – 4K2 + 9 = 0
6
